cÁlculo de Árboles y Ejes SegÚn Criterio

CÁLCULO DE ÁRBOLES Y EJES SEGÚN CRITERIO DE RESISTENCIA A FATIGA DEL MATERIAL.

Compilación de apuntes del curso de Elementos de Máquinas II.

Profesor: Dr. Gonzalo González Rey Email: [email protected] Profesor Principal de Elementos de Máquinas Facultad de Ingeniería Mecánica Instituto Superior Politécnico José A. Echeverría Ciudad de La Habana. Cuba

Septiembre 2006

Árboles y Ejes

G. . González Rey

Por la forma del eje geométrico del árbol se distinguen los árboles rectos y los árboles acodados (cigüeñales). Los árboles cigüeñales se emplean siempre que se requiera transformar en una máquina el movimiento alternativo en movimiento giratorio o viceversa. Como se comprenderá, los árboles cigüeñales son característicos de construcciones especiales, lo que hace que los criterios para el dimensionado previo y su cálculo no sean tratados en este curso. También los árboles flexibles con ejes curvilíneos constituyen un grupo especial no tratados en este material.

Tema 3. Árboles y Ejes. Objetivos. Analizar y diseñar un eje de transmisión de potencia, para cualquier número de apoyos, tipos y número de cargas, tomando en cuenta la potencia a transmitir, velocidad del eje, material del mismo, naturaleza de las cargas y factor de seguridad deseado. Contenidos fundamentales del tema: Clasificación. Materiales. Criterios de diseño. Diseño de árboles y ejes. Comprobación de la resistencia a la fatiga. Cantidad de horas del tema: 7 Cantidad de horas de conferencia: 3 Cantidad de horas en solución de problemas: 3 Evaluación: Prueba parcial (1 hora) y una tarea. Bibliografía.

En cambio la gran difusión de los árboles rectos en la ingeniería mecánica moderna, hace necesario que sean objetos de estudio, con énfasis en el análisis de los criterios de dimensionado previo y de comprobación de la capacidad de carga.

Libros: • Mott, R. L. Machine Elements in Mechanical Design. Editorial Prentice. 1999. • Dobrovolski. Elementos de Máquinas. Editorial MIR. 1981. • Reshetov. Elementos de Máquinas. Editorial Pueblo y Educación. 1985. • Norton. Diseño de Máquinas. Editorial Prentice Hall. 1999. • Shigley, J. E. Diseño en Ingeniería Mecánica. Editorial McGraw Hill, 1990. • Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana

Diferentes tipos de árboles rectos.

Normas: • ANSI/ASME B106.1M-1985, Design of Transmission Shafting (second printing), ASME, EUA, 1985. • ANSI/AGMA 6001-D97, Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives, AGMA, EUA, 1997 1. -Introducción. Como es conocido, los árboles y ejes son elementos de máquinas sobre los cuales se montan las partes giratorias de las máquinas, resultando ser los verdaderos ejes geométricos de estas partes en rotación∗. Los árboles, a diferencia de los ejes, además de sostener los elementos giratorios trasmiten momentos torsores, por consiguiente, los árboles resultan cargados, no solo por esfuerzos normales debido a los momentos flectores, sino también, por esfuerzos tangenciales generados por momentos torsores, en toda la longitud o en sectores aislados del árbol. ∗

Algunos tipos de árboles no soportan partes giratorias sobre ellos, como es el caso de los árboles de transmisión o de torsión y los árboles flexibles.

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G. . González Rey

Tomando lo anterior en consideración es indiscutible que el material más empleado por su excelencia es el acero. Por ello durante este curso serán tratados con exclusividad los árboles rectos de acero, para los cuales se brindan algunas especificidades de los materiales empleados.

1. Ranura para permitir la salida de la muela de rectificado, o un tallado que requiera diferencia de diámetros entre las secciones contiguas. 2. Muñones de apoyo para los cojinetes de rodamiento o deslizamiento. Pueden ser cilíndricos o cónicos y generalmente son zonas endurecidas superficialmente entre los 48 y 52 HRC. En el caso de muñones para cojinetes de rodamientos debe tenerse en cuenta que su diámetro debe coincidir con la serie de los diámetros de montaje de los rodamientos, usualmente múltiplos de 5. 3. Escalón de apoyo. Sirve para absorber las cargas axiales en los árboles, producto de los elementos que se vinculan a el, y trasmitirlas a los apoyos y anclaje de las máquinas. Otro objetivo, es el garantizar la correcta disposición axial de los elementos en el montaje. 4. Zona de ajuste para el montaje. En caso de no estar en un extremo del árbol, se realiza con un diámetro mayor que las secciones contiguas para permitir el montaje de los elementos. Se recomienda un endurecimiento de la zona entre 48 y 52 HRC. 5. Zona de transición. Son superficies que suavizan los cambios de sección y disminuyen los concentradores de tensión. Suelen ser circulares o elípticas. Es recomendable que sean empleadas superficies con radios mayores al 10% del diámetro menor de las secciones vinculadas. 6. Biseles. Se emplean para centrar las piezas durante el montaje y tambien para evitar cortaduras de los operarios durante la manipulación de los árboles. 7. Chaveteros. 8. Zona de centraje. Esta es una zona del árbol contigua a una zona de montaje, con dimensiones ligeramente menores que la de montaje, para facilitar esta operación y el centrado de los elementos.

2.- El acero como material de árboles y ejes. La selección de los materiales es una de las partes que integran el diseño de cualquier pieza de las máquinas; en determinados casos no se presta a este asunto toda la atención que merece, y hemos de insistir sobre tan fundamental tema recordando que, antes de decidirse por un material determinado, por sencilla y poca importancia que se le conceda a una pieza a construir, se elija el que reúna las características más apropiadas, no ya solo por su resistencia, sino por su facilidad de maquinado y tratamiento, y muy especialmente también, por el factor económico que puede influir notablemente en el costo de fabricación, por tanto, ha de elegirse el más apropiado con todo detenimiento. La resistencia y rigidez son factores clave siempre tomados en cuenta en la selección de un material. Igualmente importantes es la confiabilidad relativa y la durabilidad de la pieza cuando se consideran alternativas posibles con respecto al material. El acero es el material que se usa con más frecuencia para la construcción de los árboles y ejes. Variando adecuadamente la composición, el tratamiento térmico y el tratamiento mecánico pueden obtenerse propiedades mecánicas que se encuentren entre márgenes muy amplios. Para la selección apropiada de la composición del acero son fundamentales tres relaciones básicas: 1.

Los materiales empleados para la construcción de los árboles deben distinguirse por las características de: resistencia suficientemente alta, pequeña sensibilidad a la concentración de tensiones, capacidad de poder ser tratados térmica y quimico-termicamente y poseer buena maquinabilidad.

2

Todos los aceros tienen esencialmente el mismo módulo de elasticidad. Entonces, si el requisito decisivo del árbol o eje es la rigidez, como todos los aceros se comportan igual, debe seleccionarse el de menor costo (incluyendo los costos de fabricación).

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2.

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3.

El contenido de carbono, casi por sí solo, determina la máxima dureza que puede desarrollarse en el acero. El máximo potencial de dureza según el contenido de carbono puede llegar hasta cerca de 0,7%. Esto significa que se puede aplicar un tratamiento térmico a las partes con forma regular, relativamente pequeñas, hechas con acero simple al carbono para obtener esencialmente la misma dureza y resistencia que se lograría con los aceros de aleación más costosa.

Los elementos de aleación (manganeso, molibdeno, cromo, níquel y otros) elevan la templabilidad del acero. Por lo tanto, el potencial de dureza y resistencia (el cual está controlado por el contenido de carbono) puede obtenerse con tratamientos térmicos menos drásticos usando dichos elementos de aleación.

Tabla 1.- Composición química de algunos aceros•. Aceros

Denominación Tratamiento térmico GOST

CT 3 CT 4 Al Carbono de CT 5 Calidad Normal CT 6 CT 7 10 15 Al carbono de Alta 20 Calidad 25 35 45 55 65 15X 20X Aleados al Cromo 30X 35X 40X Al Cromo 20XΓC Manganeso-Silicio 30XΓC 50XH Al Cromo-Níquel 1X13 Anticorrosivo 3X13 Para muelles 50C2 Nota: ST: Sin tratamiento térmico N: Normalizado, TR: Templado y revenido M: térmicamente mejorado

•

ST ST ST ST ST N N N N TR TR TR TR TR TR TR TR TR TR TR TR TR TR M

Composición Química C% 0,14- 0,22 0,18- 0,27 0,28- 0,37 0,38- 0,49 0,50- 0,62 0,07- 0,15 0,12- 0,20 0,17- 0,24 0,22- 0,30 0,32- 0,40 0,42- 0,50 0,52- 0,60 0,62- 0,70 0,12- 0,18 0,17- 0,23 0,27- 0,35 0,32- 0,40 0,37- 0,45 0,17- 0,23 0,28- 0,35 0,47- 0,55 Max. 0,15 0,25- 0,34 0,47- 0,55

Mn % 0,35- 0,65 0,35- 0,65 0,35- 0,65 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,60- 0,90 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,50- 0,80 0,80- 1,10 0,80- 1,10 0,50- 0,80 Max. 0,60 Max. 0,60 0,60- 0,90

Si % 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17-0,37 0,17- 0,37 0,17- 0.37 0,17- 0,37 0,17- 0,37 0,17- 0,37 0,90- 1,20 0,90- 1,20 0,17- 0,37 Max. 0,60 Max. 0,60 1,50- 1,80

Cr % 0,70- 1,00 0,70- 1.00 0,80- 1,10 0,80- 1,10 0,80- 1,10 0,80- 1,10 0,80- 1,10 0,40- 0,75 12,0-14,0 12,0-14,0 Max. 0,30

Ni % Max. 0,30 Max. 0,30 Max. 0,30 Max. 0,30 Max. 0,30 Max. 0,30 Max. 0,30 1,00- 1,40 Max. 0,60 Max. 0,60 Max. 0,30

Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana.

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Tabla 2.- Esfuerzos límites de resistencia en Mpa de algunos aceros. Rotura a A fluencia Tracción Nominación σF A Tracción y Compresión GOST σRT σ0T σ-1T CT 3 CT 4 CT 5 CT 6 CT 7 10 15 20 25 35 45 55 65 15X 20X 30X 35X 40X 20XΓC 30XΓC 50XH 1X13 3X13 50C2

Min. 380 420 500 600 700 350 380 410 470 550 650 750 820 700 800 900 950 1000 800 1100 1100 550 750 1200

Max. 470 520 620 720 850 450 500 500 550 650 750 900 1150 840 960 1080 1140 1200 960 1320 1320 660 900 1440

240 260 280 310 350 210 220 250 300 350 390 450 480 500 600 700 750 800 600 850 850 350 550 1100

intermitente 238 255 313 365 430 223 245 254 284 333 390 460 530 400 458 515 545 570 458 630 630 315 430 685

alternativo 132 145 174 205 240 124 135 140 156 185 217 256 285 240 272 306 324 340 272 385 380 188 256 4080

Generalmente, los árboles y ejes son hechos de barras circulares de acero al carbón estirado en frío. Son usadas barras de acero aleado cuando se requiere tenacidad, resistencia al impacto y alta resistencia en materiales disponibles de modo comercial. En estos casos, los árboles y ejes pueden tratarse térmicamente para obtener las propiedades requeridas. Cuando la resistencia al desgaste en la superficie es un factor muy importante, puede usarse acero de cierto grado de carburación. Sin embargo, para no aumentar el costo, el diseñador deberá tratar de usar un acero con bajo contenido de carbono, si esto fuera posible, y posteriormente garantizar un endurecimiento local por tratamiento térmico o térmico-químico.

Límites de fatiga A Flexión σ0F σ-1F intermitente alternativo 323 180 358 194 425 238 500 280 590 328 304 170 335 185 346 191 388 214 456 254 532 298 630 352 710 395 508 324 580 370 653 415 690 438 725 460 580 370 800 508 800 508 400 254 545 346 870 550

A Torsión τ0 τ-1 intermitente alternativo 214 107 220 110 280 140 332 166 390 195 200 100 220 110 225 112 252 126 300 150 350 175 416 208 460 230 354 192 405 220 455 247 480 260 505 275 405 220 555 302 555 302 280 151 380 206 608 330

Prácticamente es aconsejable que las características mecánicas de los aceros sean determinadas por el constructor y/o proveedor, mediante ensayos de los materiales empleados y/o disponibles para la fabricación de los árboles y ejes, con la intención de conocer exactamente los valores limites de resistencia y realizar cálculos precisos de los coeficientes de seguridad. En su defecto, pueden ser empleados valores suministrados por la literatura asociada a la resistencia de materiales. Para este último caso, el autor recomienda el empleo de las tablas 1 y 2, basadas en recopilaciones realizadas por el profesor polaco Andrzej Grefkowicz•.

Las barras de acero estiradas en frío tienen las propiedades físicas superiores a las barras estiradas en caliente del mismo material, destacándose una mayor resistencia a la fluencia, a la fractura y a la fatiga. Sin embargo, los valores de fatiga altos a veces son afectados por los esfuerzos residuales de tensión en la superficie que son causados por el estirado en frío.

•

Grefkowicz, A., Problemas Escogidos del cálculo de resistencia en el Diseño de Máquinas, Tecnología Serie 7, Ingeniería Mecánica, abril 1970, Universidad de la Habana.

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es exigida una optimización de las dimensiones y se desea tomar la experiencia práctica anterior. A continuación son brindados algunos ejemplos:

3.-Criterios para el dimensionado previo de árboles. Durante el diseño de árboles de transmisión, se hace necesario asegurar en estos elementos de máquinas: resistencia mecánica, rigidez suficiente y un régimen de explotación no coincidente con el régimen de resonancia del sistema. La tarea de asegurar las anteriores condiciones es una parte integrante del proceso de proyección de los árboles y ejes. Generalmente una etapa importante de este proceso se vincula a los criterios empleados durante el dimensionado previo, que permiten determinar aquellas dimensiones básicas del árbol que garanticen una adecuada capacidad de trabajo y un costo aceptable según las exigencias de fiabilidad establecidas en el diseño.

a)- Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranajes cilíndricos: d1 ≈ (0,8.0....120 , ) ⋅ dm y d2 ≅ ( 0,30...0,35) ⋅ a w b)- Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranaje de tornillo sinfín: d2 ≅ ( 0,35...0,40) ⋅ a w c)- Árbol de levas de un motor de combustión interna: dL ≈ ( 0,25....0,30) ⋅ D C

Es indiscutible que el criterio de dimensionado previo de los árboles empleado con mayor frecuencia por los proyectistas es el asociado con un cálculo clásico de resistencia mecánica. A pesar de ser reconocido en este criterio numerosas conveniencias, debemos de ser conscientes de que no toma en consideración aspectos tales como: dimensiones necesarias en las secciones que satisfacen la capacidad de trabajo de otros elementos vinculados a los árboles como los cojinetes de rodamiento y de deslizamiento, la suficiente rigidez de los árboles establecida de acuerdo con las condiciones de explotación y del funcionamiento normal del conjunto y variación de las magnitudes de las cargas, entre otros aspectos. Muchas veces, criterios para el dimensionado previo que emplean dependencias empíricas o empiricas-convencionales satisfacen más convenientemente esta etapa del proyecto, que aquellos criterios clásicos de resistencia mecánica, que requieren de la suposición de esquemas de montajes y distancias entre apoyos para el cálculo de los momentos flectores en los árboles en la etapa de diseño previo.

Donde: d1: diámetro del extremo en voladizo del árbol rápido. d2: diámetro del extremo en voladizo del árbol lento. dm: diámetro del extremo del eje de un motor con igual torsor nominal que el momento torsor nominal del árbol rápido del reductor de velocidad. aw : distancia interaxial entre los árboles del reductor de velocidad. dL: diámetro del muñón del árbol de levas. Dc: diámetro de los cilindros del motor de combustión interna. 3.2 - Dimensionado previo según dependencias semiconvencionales. De no existir dependencias empíricas seguras para el árbol que se desea proyectar, puede ser utilizado un cálculo semiconvencional donde solo se considera el momento torsor y no se requiere de una evaluación inicial del momento flector, en una etapa en que aún no se han determinado las dimensiones del árbol en longitud, ni se conoce con precisión la ubicación exacta de los apoyos.

A continuación, serán brindados varios criterios para el dimensionado previo de árboles rectos de acero con montaje horizontal, basados en dependencias empíricas y fórmulas clásicas de Resistencia de Materiales, de forma tal que se disponga de un grupo de criterios prácticos para el dimensionado previo de las secciones básicas de estos tipos de árboles.

Planteando la condición de resistencia mecánica a esfuerzos tangenciales debido a la torsión de una sección circular, puede ser obtenida una fácil ecuación para el dimensionado previo:

τ mt =

3.1 - Dimensionado previo según dependencias empíricas.

Mt

π ⋅ d 3 ⋅ ⎡⎢1 − ⎛⎜ d 0 ⎞⎟ 4 ⎤⎥ 16

⎢ ⎣

τ]

≤[

⎜ d ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

De donde:

La base de este criterio de dimensionado previo es la experiencia obtenida de otras construcciones, verificadas durante la explotación y que han demostrado una seguridad y fiabilidad aceptable. Estos diseños confiables permiten establecer relaciones practicas entre las dimensiones básicas del árbol y parámetros fundamentales del componente o agregado de máquina donde será empleado el árbol que se diseña. Este método debe ser aplicado en árboles donde no

16 ⋅ Mt

d ≥

3π

5

4⎤ ⎡ ⎡d ⎤ ⋅ ⎢1 − ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⋅ [ ⎢ ⎣ d ⎦ ⎥ ⎣ ⎦

τ]

(mm)

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Siendo: Mt : Momento torsor en la sección del árbol (Nmm) d : Diámetro de la sección analizada del árbol (mm) d0 : Diámetro interior de la sección del árbol (mm). En caso de árboles macizos debe ser tomado d0 = 0. Generalmente la proporción d0 / d = 0,4 ... 0,6 en árboles huecos. [τ] : Esfuerzo tangencial admisible según ciclo de carga del torsor (MPa).

3.3 - Dimensionado previo según Código ASME.

Generalmente en este cálculo, como es despreciado el efecto del momento flector, deben de ser tomados valores muy bajos del esfuerzo tangencial admisible, previendo que posteriormente el árbol garantice una resistencia suficiente a la combinación de los esfuerzos normales (debido al momento flector que no ha sido considerado en la etapa de dimensionado previo) y los esfuerzos tangenciales. Con frecuencia se adoptan coeficientes de seguridad entre 10 y 20, los que reportan valores de esfuerzos tangenciales admisibles entre 12 y 20 MPa para los aceros típicos de árboles.

El Código ASME establece un valor de esfuerzo tangencial admisible, correspondiente a la más pequeña de las dos magnitudes siguientes;

Este método fue establecido por la Asociación Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME) en 1927 y fue reconocido hasta principios de los años 60. Su fundamento es teóricoempírico y fue empleado para proyectar árboles durante muchos años y, por ello, es una información que debe tener en su poder un proyectista mecánico que trabaje en el área del diseño de transmisiones.

[ τ] = 0,30 ⋅ σ ⋅ f ft ct

Mt extr K CAL

[ τ] = 0,18 ⋅ σ ⋅ f rt ct

Donde: σft : esfuerzo límite de fluencia a tracción del material (MPa). σrt : esfuerzo límite de rotura a tracción del material (MPa). fCT :factor por concentración de tensiones. En caso de existir algún concentrador de tensiones, debido a un chavetero o una zona de transición por cambio de sección, debe de ser tomado fCT = 0,85. En caso de no existir un concentrador de tensiones fCT =1,0.

Una forma bastante difundida de aplicar este cálculo fue la prevista en la norma GOST 12080-66 (ratificada hasta 1985) y también asumida por las antiguas normas CAME para extremos de árboles. La referida norma establece un cálculo previo muy sencillo y con buenos resultados prácticos mediante el empleo de la siguiente fórmula:

dextr ≥ 3

o

La ecuación para el dimensionado previo según el Código ASME está basada en la teoría de fallo por el máximo esfuerzo cortante, para la cual es calculado un momento torsor equivalente:

(mm)

m

Donde : Mtextr : momento torsor en el extremo del árbol (Nmm). dextr : diámetro del extremo del árbol (mm) KCAL : Coeficiente de cálculo (MPa).

te

d≥

Tabla 3.- Coeficiente de cálculo KCAL en MPa, en dependencia del ciclo de carga del momento torsor Mt (Nmm) y de la fuerza en voladizo F (N), considerando la longitud máxima del extremo del árbol (lextr) no mayor de dextr = 3.

=

(C

F

⋅m

+ C f) (

16 ⋅ m

2

te 4⎤ ⎡ d π ⋅ ⎢1 − ⎛⎜⎝ 0 ⎞⎟⎠ ⎥ ⋅ [ τ] d ⎥ ⎢ ⎣ ⎦

T

⋅m

t)

2

(Nmm) (mm)

Donde: mte : momento torsor equivalente (Nmm). CF : coeficiente modificador de la flexión. (Ver tabla 4) CT : coeficiente modificador de la torsión. (Ver tabla 4)

Límite de Torsor (Mt) con fuerza (F) Torsor (Mt) puro rotura a en voladizo a tracción F> 8 √Mt F 1389 Mpa, entonces debe ser empleado:

Esta relación nos permite determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga del material del árbol, en la sección analizada, empleando la siguiente ecuación: 1 n= 2 2 ⎛ σ ae ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ σ me ⎟ ⎜ K ⋅ σ −1 f ⎟ ⎜ σ ft ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

σ −if

= 690 MPa

4.2 - Cálculo de Comprobación según Serensen (Goodman-Soderbeg modificado). Para árboles de acero, en el caso de un análisis tridimensional completo de la resistencia a la fatiga, puede ser empleado el criterio de Serensen, correspondiente a un comportamiento en el diagrama de fallo con rectas quebradas según se muestra en la figura 5.

Donde:

• ANSI/ASME B106.1M-1985, Design of Transmission Shafting (second prnting), ASME, EUA, 1985. ∗ ANSI/AGMA 6001-D97, Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives, AGMA, EUA, 1997

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Fig. 5 - Representación de la curva de fallos según el criterio de Serensen. El coeficiente de seguridad a fatiga se puede obtener de forma analítica y de forma gráfica. Para el caso de una flexión En este tema se tratarán los árboles y ejes sometidos a alternativa será deducida la formula para evaluar el flexión y torsión pues son las solicitaciones mas frecuentes de coeficiente de seguridad a fatiga. estos elementos de máquinas. El método que será empleado es válido también para cargas variables de tracción y De la figura 5, puede observarse que el coeficiente de compresión. seguridad a esfuerzos normales puede ser evaluado como: Para que exista el fenómeno de fatiga deben existir esfuerzos 02 02´ variables en el tiempo. Los casos más frecuentes son:: nσ = = 01 01` • Cargas variables actuando sobre un árbol o eje. • Cargas constantes sobre un árbol o eje que gira lo que Siendo: provoca en la superficie exterior del elemento esfuerzos de tracción y compresión sucesivos. 02´ = σ −1F

01´ = 01 + *

tan θ =

ψσ =

*

2σ −1f − σ 0 σ0

nσ =

σ máx σ mín

σ −1f

σ an ⋅ k σ + ψ σ σ mn εσ

nσ : Coeficiente de seguridad a fatiga para esfuerzos de flexión. σ-1f : Esfuerzo límite de fatiga para esfuerzos de flexión alternativos. [MPa] σ0 : Esfuerzo límite de fatiga para esfuerzos de flexión intermitente. [MPa]

Para los casos ciclos de carga con inclusión de una flexión alternativa el coeficiente de asimetría del ciclo es r= -1 y se calcula como:

r=

* = σ m ⋅ tan θ = ψ σ ⋅ σ mn

σ mn

.

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ψσ : Coeficiente sensibilidad del material a la asimetría del ciclo para esfuerzos de flexión. σmn : Esfuerzo medio nominal de flexión. [MPa] σan : Esfuerzo de amplitud nominal a flexión. [MPa]

n eq =

nσ ⋅ nτ nσ2 ·nτ2

Siendo: neq : Coeficiente de seguridad a fatiga equivalente.

Como se observa en la expresión del cálculo del coeficiente de seguridad, el esfuerzo de amplitud a la flexión nominal se modifica por un grupo de coeficientes:

Los coeficientes incluidos en el anterior termino ajustan el valor del esfuerzo de amplitud nominal a flexión en función de las características de la superficie del material, el coeficiente de tamaño (1/εσ) y del coeficiente de entalladura (kσ).

El tamaño de las piezas a comprobar influye en la resistencia de estas a la fatiga ya que para mayores dimensiones de la sección las probabilidades de la existencia de fallas en el material aumentan, el coeficiente de tamaño (1/ε) depende también del coeficiente de forma en la entalladura (αk), y del límite de resistencia del material a la fatiga por flexión alternativa, tanto cuando se realicen cálculos de comprobación a esfuerzos normales como a tangenciales.

En el caso de esfuerzos tangenciales variables, el cálculo del coeficiente de seguridad a fatiga por esfuerzos de torsión de una sección de un árbol o eje se efectúa de forma semejante como:

El coeficiente de entalladura (Kσ, kτ) tiene en cuenta los efectos del coeficiente de concentración de la carga por la forma (Kσk, Kτk) y del coeficiente de concentración de la carga por el estado de la superficie (Kσs, Kτs.).

σ an kσ ) ( εσ

nτ =

τ −1

El coeficiente de concentración de la carga por la forma (Kσk, Kτk), depende de la geometría de la sección y la solicitación en la resistencia de esta a la fatiga, por medio del coeficiente de forma en la entalladura (αk). Este coeficiente (αk) refleja con claridad el aumento de la resistencia, por ejemplo, para aumentos de radios de redondeo, y la diferencia entre el comportamiento de la resistencia de una sección para diferentes tipos de solicitaciones de carga. En resumen Kσk, Kτk se obtienen en función del coeficiente de forma, el tratamiento térmico, y para ambos casos (flexión y torsión) toman en cuenta el esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa.

τan k τ + ψ τ τmn ετ

ψτ =

2τ −1 − τ 0 τ0

Siendo: nτ : Coeficiente de seguridad a fatiga por torsión. τ-1 : Esfuerzo límite de fatiga por torsión alternativa. [MPa] τ0 : Esfuerzo límite de fatiga por torsión intermitente. [MPa] ψτ : Coeficiente de sensibilidad del material a la asimetría del ciclo para esfuerzos tangenciales. τm : Esfuerzo medio nominal de torsión. [MPa] τan : Esfuerzo de amplitud nominal a torsión. [MPa]

Los coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie. Kσs, Kτs. Reflejan la influencia de esta en la resistencia a la fatiga. Se determina en función del esfuerzo límite de rotura, y la rugosidad superficial, su valor numérico es diferente para las cargas de flexión y torsión.

Como en el caso de esfuerzos de flexión, el esfuerzo de amplitud a la torsión se modifica por un grupo de coeficientes:

El coeficiente de entalladura (Kσ, kτ) se calcula como:

τ an kτ ) ( ετ

K σ = K σK + K σS − 1

Estos coeficientes ajustan el valor del esfuerzo de amplitud a torsión en función del coeficiente de tamaño (1/ετ) y del coeficiente de entalladura (kτ).

K τ = K τK + K τS − 1 Para comprobar un árbol o eje a fatiga se puede adoptar la siguiente propuesta de secuencia de cálculo.

Si se da la combinación de cargas variables por esfuerzos de flexión y esfuerzos por torsión se plantea:

a) b)

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Determinar las cargas que actúan sobre el elemento. Construcción de los gráficos de momento torsor y flector. Definir el carácter de las cargas que actúan. Tipo de ciclo. (constante, alternativo o intermitente).

Árboles y Ejes

c) d) e)

Selección de las secciones a comprobar. Cálculo de los esfuerzos que actúan en la sección. Determinación de los coeficientes modificadores del esfuerzo. e-1) Obtención de los coeficientes de entalladura Kσ, Kτ: 1. Determinación del radio límite. ρ Se obtiene en función del radio geométrico y la línea de esfuerzos.

G. . González Rey

nσ2 + nτ2

A continuación es referido el resto de los parámetros de cálculo para una sección circular:

ρ = ρk + ρm

σMf : esfuerzo normal por flexión.

ρk Radio geométrico (radio de redondeo de la sección analizada en el plano). ρm radio teórico en la línea de esfuerzo. (Ver Fig. 6, en función del esfuerzo de rotura a la tracción).

σMf

=

32 ⋅ Mf 4⎤ ⎡ π ⋅ d3 ⋅ ⎢1 − ⎛⎜⎝ dd0 ⎞⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

(MPa)

τaMt : esfuerzo tangencial de amplitud por torsión.

τaMt =

2. Determinar el coeficiente de forma en la entalladura αk, en función de la geometría la carga que actúa y el radio límite. (Ver Figs. 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16 Y 17)

Mta (MPa) 4⎤ 3 ⎡ π ⋅ d ⎢ ⎛ d0 ⎞ ⎥ ⋅ 1− ⎜ ⎟ 16 ⎢ ⎝ d ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

Siendo: M Ta =

3. Obtención de los coeficientes de concentración de la carga por forma de la entalladura (Kσk, Kτk) en función del coeficiente de forma, el tratamiento térmico, y para ambos casos del esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa. (Ver Fig. 11) e-2) Obtención de los coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie Kσs, Kτs, en función del esfuerzo límite de rotura y el estado de la superficie. (Ver Fig. 13)

M Tmax − M Tmin 2

τmMt : esfuerzo tangencial medio por torsión.

τmMt =

(MPa) Mtm 4 π ⋅ d ⎡⎢ ⎛ d0 ⎞ ⎤⎥ ⋅ 1− ⎜ ⎟ 16 ⎢ ⎝ d ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 3

Siendo: M Tm =

e-3) El coeficiente modificador de los esfuerzos (Kσ, kτ) se calcula como:

Donde:

K σ = K σk + K σS − 1

K τ = K τK + K τS − 1 f) Obtención del coeficiente de tamaño 1/ε. (Ver Fig. 9). Se busca su valor con σ-1f, αk, las dimensiones de la sección.

M T max + M T min 2

Mta : momento torsor de amplitud. (Nmm) Mtm : momento torsor medio. (Nmm)

τQ : esfuerzo tangencial por cortante. Q τQ = AY ⋅ K τ (MPa)

g) Cálculo de los coeficientes de seguridad.

nσ =

nσ ⋅ nτ

n eq =

(

A = π 4 ⋅ d2 − d0 2

σ −1

σan ⋅ 1 ⋅ k σ + ψ σ ⋅ σm εσ τ −1 nτ = τan ⋅ 1 ⋅ k τ + ψ τ ⋅ τm ετ

Kτ =

)

(mm2)

123 , ⋅ (d2 + 2,25 ⋅ d0 2 ) d2 + d0 2

4.3 - Coeficiente admisible de seguridad a la resistencia por fatiga [n]. El valor del coeficiente de seguridad calculado a la resistencia por fatiga de material n debe ser mayor que el coeficiente de seguridad admisible [n] para garantizar un nivel de seguridad en el diseño del árbol o eje.

n ≥ [n]

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Árboles y Ejes

Aunque teóricamente el valor del coeficiente admisible de seguridad [n] debe ser mayor o igual a la unidad [n] ≥1, es conveniente que su magnitud sea evaluada en función del tipo de aplicación y tomando como base la incertidumbre en situaciones de cargas, de propiedades del material, condiciones ambientales, fiabilidad, costo económico, riesgo de deterioro medioambiental debido a una rotura y peligro para la vida humana. Muchas veces el valor del coeficiente admisible de seguridad es acordado por normativas de seguridad legisladas, en casos donde es evidente el peligro para la vida humana, como en diseños de ascensores, teleféricos, aviones, etc, y el diseñador deberá respetarlos necesariamente. No obstante, en la mayoría de las aplicaciones en construcción mecánica no existen referencias fiables, y el propio diseñador deberá seleccionar loa valores numéricos que considere adecuados.

Tabla 10 - Valores de los coeficientes parciales de [n]. n1 : coeficiente por propiedades del material Caso n1 Material laminado, forjado o trefilado 1,1 Fundiciones ejecutadas muy cuidadosamente: 1,15 fundición centrifugada o bajo presión Fundiciones ejecutadas cuidadosamente y 1,2 soldaduras fuertes Fundiciones y soldaduras corrientes 1,25 Fundiciones burdas para aplicaciones de 1.3 importancia secundaria n2: coeficiente por rigurosidad en el control de las piezas Caso n2 Control riguroso de cada pieza por métodos 1,0 directos Control riguroso de cada pieza por métodos 1,05 indirectos Control menos riguroso de cada pieza o control 1,1 estadístico de la muestra de piezas Control de forma irregular 1,15 Falta de control 1,2 n3: coeficiente por responsabilidad de la pieza Caso n3 La rotura de la pieza no provoca la detención de la 1,0 - 1,1 máquina La rotura de la pieza produce la detención breve 1,1 - 1,2 de la máquina La rotura de la pieza puede dañar la máquina 1,2 - 1,3 n4: coeficiente por inexactitudes en las dimensiones Caso n4 Maquinado cuidadoso 1,01 1,02 Maquinado corriente 1,02 1,04 Maquinado basto 1,04 1,07 Superficie sin maquinado 1,07 1,1 n5: coeficiente sobre la base de experiencia del diseñador Caso n5 Todas las sobrecargas han sido incluidas y son 1,0 empleadas fórmulas exactas No son incluidas todas las sobrecargas y/o las Hasta fórmulas empleadas no son exactas 1,3

En la tabla 9 se presentan algunos valores recomendados del coeficiente admisible de seguridad, orientativos tan sólo, para el diseño considerando el riesgo a fatiga del material. Tabla 9 - Coeficientes admisible de seguridad [n] .♠ Casos Aplicaciones Choques pequeños Motores eléctricos, bombas en el arranque centrífugas. Choques de nivel Máquinas y motores medio alternativos. Choques fuertes con Máquinas de punzonado y frecuencia media de corte. aplicación Choques fuertes con Prensas de martillo, frecuencia alta de molinos de bolas. aplicación

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[n] 1,0 - 1,1 1,2 - 1,5 1,5 - 2,0 2,0 - 3,0

Para facilitar la selección de los valores del coeficiente admisible de seguridad y determinar concretamente los factores que influyen sobre su valor, puede ser empleado el procedimiento recomendado por el profesor polaco Moszynski∗ hace ya algún tiempo, y empleado con muy buenos resultados en el diseño de árboles de la sección de Elementos de Máquinas de la Facultad de Ingeniería Mecánica del ISPJAE. Según Moszynski puede ser orientado el coeficiente admisible de seguridad [n] como el producto de una serie de coeficientes parciales, donde cada uno considera una influencia determinada y sus valores son recomendados en la tabla 10. En general, el valor de [n] se encuentra entre los límites de 1,2 y 1,8.

[n] = n1 ⋅ n 2 ⋅ n3 ⋅ n 4 ⋅ n5

♠

Avilés R., Fatiga de Materiales en el Diseño y Análisis Mecánico, ETSII de Bilbao, España, 1993. ∗ Moszynski, W., Wytrzymalosce zmeczeniowa czesci maszynowych, Varsovia, PWT, 1953

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Fig. 6 - Radio teórico ρm en la línea de esfuerzo.

Fig. 7 – Coeficientes de forma αK para barras planas y cilíndricas sometidas a FLEXIÓN. . A la izquierda con un cambio de sección y a la derecha con una entalladura. .

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Fig. 8 - – Coeficientes de forma αK para barras cilíndricas sometidas a TORSIÓN. A la izquierda con un cambio de sección y a la derecha con una entalladura.

Fig. 9 - Coeficientes de forma αK para sección de árbol circular macizo con un chavetero (TORSIÓN).

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Fig. 10 - Coeficientes de forma αK para un cilindro circular sometido a FLEXIÓN con un casquillo montado a presión.

Fig. 11 - Coeficientes de concentración de la carga por forma de la entalladura (Kσk, Kτk) en función del coeficiente de forma, el tratamiento térmico y del esfuerzo límite a fatiga a la flexión alternativa.

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Fig. 12 - Coeficientes de concentración de la carga por estado de la superficie Kσs, Kτs, en función del esfuerzo límite de rotura y el estado de la superficie: 0- Pulida (Ra = 0,63- 0,02μm), a- Esmerilada (Ra = 0,63 – 0,02μm), b- Torneado cuidadoso (Ra = 1,25 – 0,63μm), c- Torneado de desbaste (Ra = 5 – 1,25μm), e- Laminado (Ra = 10 – 80μm), f- Corroída por agua dulce, g- Corroída por agua salada.

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Fig. 13 - Coeficiente de tamaño 1/ε en función del esfuerzo límite del material a la fatiga por flexión alternativa, el coeficiente de forma y las dimensiones de la sección.

Fig. 14 - Coeficientes de forma αK para un cilindro circular con un agujero transversal. A la izquierda con carga de TRACCIÓN y COMPRENSIÓN y a la derecha con FLEXIÓN.

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Fig. 15 - Coeficientes de forma αK para barras cilíndricas con uno o dos agujeros (FLEXIÓN EN EL PLANO DEL AGUJERO).

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Fig. 16 - Coeficientes de forma αK para barra circular hueca con cambio de forma sometido a FLEXIÓN.

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Fig. 17 - Coeficientes de forma αK para barra circular hueca con cambio de forma sometido a TORSIÓN.

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