Calculo Con Trascendentes Tempranas - 7ma Edición - C. Henry Edwards, David E. Penney

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EDWARDS PENNEY

Entre las ayudas adicionales de aprendizaje se incluyen: • Preguntas de análisis conceptual, donde se exponen conceptos, preguntas y análisis que se utilizan en la discusión del salón de clase. • Respuestas impares, que vienen al final del libro. Más de 340 gráficas nuevas generadas por computadora, cuyo estudio tiene un importante componente visual. • Investigaciones de estudiantes. • Material histórico.

La página Web www.pearsoneducacion.net/edwards ofrece apoyos importantes al profesor.

ISBN 978-970-26-1197-4

Visítenos en: www.pearsoneducacion.net

CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS

En esta obra se incluyen recursos de aprendizaje para el estudiante con las siguientes secciones: • Guía de estudio, ayuda al usuario a verificar la precisión en su lectura y retención; además, lo guía de manera sistemática para resolver los problemas. • Definición, contiene los conceptos, las fórmulas y los resultados de cada apartado; además, los localiza y describe brevemente. • Objetivos, identifica los problemas muestra de cada apartado recomendados para su repaso. (Se presenta una lista de los métodos y las técnicas que se han estudiado y seleccionado.)

CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS E D WA R D S

En la actualidad, los profesores y los estudiantes de cálculo enfrentan retos tanto tradicionales como nuevos ante los cambios en los conocimientos y la aplicación de las matemáticas. El libro que el lector tiene en sus manos se diseñó para incluir trascendentes tempranas, lo que representa correcciones en casi todas las secciones e importantes mejoras didácticas. Las nuevas características de la obra se dirigen al logro de experiencias de aprendizaje del estudiante, para que sean más activas y más concretas.

SÉPTIMA EDICIÓN

SÉPTIMA EDICIÓN

&

P E N N E Y

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ÁLGEBRA Fórmula cuadrática Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se dan por

(n1 ) x y + ( n2 ) x y n n y +…+( xy +y , + … + ( )x k n − 1) n n! donde el coeficiente binomial ( ) es el entero . m m!(n − m)! En general, (x + y)n = x n +

2 x = − b ± b − 4ac . 2a Notación factorial Para cada entero positivo n, n! = n(n − 1)(n − 2) … 3 .2 .1; por definición, 0! = 1.

n

(a r )s = a rs

m

a ra s = a r + s ar = ar − s as

n−2 2

n−1

n

Factorización Si n es un entero positivo, entonces x n − y n = (x − y)(x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3y 2 + … + x n − k − 1 y k + … + xy n − 2 + y n − 1).

x m = ( x ) = x m/n

Exponentes (ab)r = a r b r

n−1

n−k k

Radicales n

FORMAS HIPERBÓLICAS

Fórmula binomial (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3 y + 6 x 2 y 2 + 4xy3 + y 4

FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS

Si n es un entero positivo impar, entonces x n + y n = (x + y)(x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3y 2 − … ± ± x n − k − 1 y k … − xy n − 2 + y n − 1).

1 x −n = n x

GEOMETRÍA

Área del triángulo:

Fórmulas de distancia Distancia sobre la recta numérica real: d = |a − b|

A = 12 bh

h

d

a

Área del rectángulo: A = bh h b

b

b

Distancia en el plano coordenado: d

d = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

(x2, y2)

(x1, y1) Ecuaciones de líneas y circunferencia

Área de la circunferencia: A = πr 2 Circunferencia: r C = 2πr

Área del trapezoide: b2 b + b2 A= 1 h 2 h

y

b1

Ecuación de la intersección de la pendiente: y = mx + b

Pendiente: m (0, b) Volumen del cilindro: V = πr 2h

Volumen de la esfera: x

Ecuación de punto pendiente: y − y1 = m (x − x1)

Pendiente: m (x1, y1)

V=

4 πr 3 3

r

Área de la superficie: A = 4πr 2

Área de la superficie curvada: A = 2πrh

r

h

y

Circunferencia con centro (h, k) y radio r : (x − h)2 + (y − k)2 = r 2

Volumen del cono: V = 13 πr 2h

(h, k) x

TRIGONOMETRÍA + =1 tan2A + 1 = sec2A

sen2 A

cos2A

h

Superficie del área curvada:

( la identidad fundamental )

cos 2A = cos2A − sen2A = 1 − 2 sen2A = 2cos2A − 1 sen 2A = 2 sen A cosA

A = πr r 2 + h2

r

cos(A + B) = cos Acos B − sen Asen B cos(A − B) = cos Acos B + sen Asen B sen(A + B) = sen Acos B + cos Asen B sen(A − B) = sen Acos B − cos Asen B cos2A =

1 + cos2 A 2

sen2A =

1 − cos2 A 2

INTEGRALES DEFINIDAS

Véase los apéndices para más fórmulas de referencia.

si n es un entero par y n si n es un entero impar y n

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2 3

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CÁLCULO con trascendentes tempranas

C ÁLCULO

con trascendentes tempranas Séptima edición

C. Henry Edwards The University of Georgia, Athens

David E. Penney The University of Georgia, Athens TRADUCCIÓN Marcia Aída González Osuna Javier Enríquez Brito Traductores profesionales REVISIÓN TÉCNICA Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnología Avanzadas Instituto Politécnico Nacional (México)

® -»8)#/s!2'%.4).!s"2!3),s#/,/-")!s#/34!2)#!s#(),%s%#5!$/2 %30!¶!s'5!4%-!,!s0!.!-¬s0%2·s05%24/2)#/s525'5!9s6%.%:5%,!

Edwards, C. Henry; David E. Penney

Cálculo con trascendentes tempranas Séptima edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1197-4 Área: Matemáticas Formato: 21 × 27 cm

Páginas: 1336

Authorized translation from the English Language edition, entitled Calculus: early transcendentals, 7th Edition by C. Henry Edwards and David E. Penney, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALL INC., Copyright ©2008. All rights reserved. ISBN 0-13-156989-9 Traducción autorizada de la obra titulada Calculus: early transcendentals, 7ª edición, de C. Henry Edwards y David E, Penney, publicada originalmente en inglés por Pearson Education Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyright ©2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor:

Rubén Fuerte Rivera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Juan José García Guzmán Edición en inglés Acquisitions Editor: Adam Jaworski Vice President and Editorial Director, Mathematics: Christine Hoag Project Manager: Dawn Murrin Production Editor: Barbara Mack Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Buyer: Maura Zaldivar Associate Director of Operations: Alexis Heydt-Long Director of Marketing: Patrice Jones Marketing Assistant: Kathleen DeChavez Editorial Assistant/Print Supplements Editor: Christine Whitlock Art Director: Jonathan Boylan Interior and Cover Designer: Koala Bear Design Art Editor: Thomas Benfatti Creative Director: Juan R. López Director of Creative Services: Paul Belfanti Director, Image Resource Center: Melinda Patelli Manager, Rights and Permissions: Zina Arabia Manager, Visual Research: Beth Brenzel Manager, Cover Visual Research & Permissions: Karen Sanatar Image Permission Coordinator: Frances Toepfer Cover Photo: Spain, Vizcaya, Bilbao, Guggenheim Museum exterior, night, John W. Banagan/Getty Images Art Studio: Laserwords Compositor: Dennis Kletzing SÉPTIMA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5to. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1197-0 ISBN 13: 978-970-26-1197-4

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Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09 08

Contenido ACERCA DE LOS AUTORES

CAPÍTULO 1

PREFACIO

xiii

FUNCIONES, GRÁFICAS Y MODELOS

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

CAPÍTULO 2

Funciones y modelado matemático 2 Gráficas de ecuaciones y funciones 12 Polinomios y funciones algebraicas 24 Funciones trascendentales 34 Vista preliminar: ¿qué es cálculo? 45 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones 50 Objetivos: métodos y técnicas 50 PROBLEMAS DIVERSOS 51

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 2.1 2.2 2.3 2.4

CAPÍTULO 3

xi

53

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 54 Concepto de límite 64 Más consideraciones respecto a los límites 76 Concepto de continuidad 90 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones 102 Objetivos: métodos y técnicas 102 PROBLEMAS DIVERSOS 103

LA DERIVADA 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

105 La derivada y las tasas de cambio 106 Reglas básicas de derivación 119 Regla de la cadena 130 Derivadas de funciones algebraicas 138 Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados Problemas de optimización aplicada 156 Derivadas de funciones trigonométricas 169 Funciones exponencial y logarítmica 180 Derivación implícita y tasas relacionadas 194 Aproximaciones sucesivas y método de Newton 204 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones 218 Objetivos: métodos y técnicas 219 PROBLEMAS DIVERSOS 219

146

v

vi

Contenido

CAPÍTULO 4

APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 6

Introducción 226 Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 226 Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio 235 Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones 246 Trazo de curvas sencillas 256 Derivadas de orden superior y concavidad 266 Bosquejo de curvas y asíntotas 280 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 293 Más formas indeterminadas 301 REPASO: Comprensión: conceptos y definiciones, resultados 308 Objetivos: métodos y técnicas 309 PROBLEMAS DIVERSOS 309

LA INTEGRAL 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

313 Introducción 314 Antiderivadas y problemas de valor inicial 314 Cálculos elementales de área 329 Sumas de Riemann y la integral 341 Evaluación de integrales 352 Teorema fundamental del cálculo 362 Integración por sustitución 373 Áreas de regiones del plano 382 Integración numérica 393 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones, resultados 409 Objetivos: métodos y técnicas 410 PROBLEMAS DIVERSOS 410

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

225

Aproximaciones por sumas de Riemann 414 Volúmenes con el método de secciones transversales 425 Volúmenes por el método de capas cilíndricas 437 Longitud de arco y área de la superficie de revolución 446 Fuerza y trabajo 457 Centroides de regiones planas y curvas 468 El logaritmo natural como una integral 476 Funciones trigonométricas inversas 488 Funciones hiperbólicas 499 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y fórmulas 508 Objetivos: métodos y técnicas 509 PROBLEMAS DIVERSOS 510

413

Contenido

CAPÍTULO 7

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

CAPÍTULO 8

CAPÍTULO 9

Introducción 516 Tablas de integrales y sustituciones sencillas 516 Integración por partes 521 Integrales trigonométricas 528 Funciones racionales y fracciones parciales 535 Sustitución trigonométrica 543 Integrales que contienen polinomios cuadráticos 549 Integrales impropias 554 REPASO: Comprensión: conceptos y técnicas 570 Objetivos: métodos y técnicas 570 PROBLEMAS DIVERSOS 571

575

Ecuaciones y modelos sencillos 576 Campos de pendientes y el método de Euler 588 Ecuaciones separables y aplicaciones 599 Ecuaciones lineales y aplicaciones 607 Modelos de población 619 Ecuaciones lineales de segundo orden 631 Vibraciones mecánicas 641 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y métodos 653 Objetivos: métodos y técnicas 654 PROBLEMAS DIVERSOS 654

COORDENADAS POLARES Y CURVAS PARAMÉTRICAS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

CAPÍTULO 10

515

ECUACIONES DIFERENCIALES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Geometría analítica y las secciones cónicas 660 Coordenadas polares 665 Cálculo de áreas en coordenadas polares 674 Curvas paramétricas 680 Cálculo de integrales con curvas paramétricas 690 Secciones cónicas y aplicaciones 698 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y fórmulas Objetivos: métodos y técnicas 718 PROBLEMAS DIVERSOS 718

SERIES INFINITAS 10.1 10.2 10.3 10.4

vii

Introducción 722 Sucesiones infinitas 722 Series infinitas y convergencia 732 Series de Taylor y polinomios de Taylor

659

717

721

743

viii

Contenido

10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10

CAPÍTULO 11

VECTORES, CURVAS Y SUPERFICIES 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

CAPÍTULO 12

899

Introducción 900 Funciones de varias variables 900 Límites y continuidad 910 Derivadas parciales 919 Problemas de optimización con variables múltiples 931 Incrementos y aproximación lineal 942 Regla de la cadena para varias variables 951 Derivadas direccionales y vector gradiente 962 Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida 973 Puntos críticos de funciones de dos variables 984 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y resultados 993 Objetivos: métodos y técnicas 994 PROBLEMAS DIVERSOS 994

INTEGRALES MÚLTIPLES 13.1 13.2 13.3 13.4

817

Vectores en el plano 818 Vectores en tres dimensiones 824 El producto cruz de vectores 835 Líneas y planos en el espacio 843 Curvas y movimiento en el espacio 851 Curvatura y aceleración 865 Cilindros y superficies cuadráticas 879 Coordenadas cilíndricas y esféricas 887 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y resultados 895 Objetivos: métodos y técnicas 896 PROBLEMAS DIVERSOS 896

DIFERENCIACIÓN PARCIAL 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10

CAPÍTULO 13

Prueba de la integral 757 Pruebas de comparación para series de términos positivos 765 Series alternas y convergencia absoluta 771 Series de potencias 780 Cálculos con series de potencias 794 Solución de ecuaciones diferenciales con series 803 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y resultados 812 Objetivos: métodos y técnicas 813 PROBLEMAS DIVERSOS 813

Integrales dobles 998 Integrales dobles sobre regiones más generales 1006 Área y volumen por integración doble 1013 Integrales dobles en coordenadas polares 1020

997

Contenido

13.5 13.6 13.7 13.8 13.9

CAPÍTULO 14

Aplicaciones de las integrales dobles 1028 Integrales triples 1039 Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1049 Área de una superficie 1057 Cambio de variables en las integrales múltiples 1064 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y resultados 1073 Objetivos: métodos y técnicas 1074 PROBLEMAS DIVERSOS 1075

CÁLCULO VECTORIAL 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

ix

1079

Campos vectoriales 1080 Integrales de línea 1086 El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria 1097 Teorema de Green 1105 Integrales de superficie 1116 Teorema de la divergencia 1127 Teorema de Stokes 1136 REPASO: Comprensión: conceptos, definiciones y resultados 1143 Objetivos: métodos y técnicas 1145 PROBLEMAS DIVERSOS 1145

APÉNDICES

A-1 A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N:

Números reales y desigualdades A-1 El plano coordenado y líneas rectas A-6 Revisión de trigonometría A-13 Demostraciones de las leyes de los límites A-19 La completez del sistema de los números reales A-23 Existencia de la integral A-27 Aproximaciones y sumas de Riemann A-33 La regla de L’Hôpital y el teorema del valor medio de Cauchy A-35 Demostración de la fórmula de Taylor A-38 Las secciones cónicas como secciones de un cono A-39 Demostración del teorema de la aproximación lineal A-40 Unidades de medida y factores de conversión A-41 Fórmulas del álgebra, geometría y trigonometría A-41 El alfabeto griego A-43

GUÍA DE ESTUDIOS FALSO/VERDADERO: SUGERENCIAS Y RESPUESTAS

A-45

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES

A-65

REFERENCIAS PARA ESTUDIO POSTERIOR

A-155

x

Contenido

ÍNDICES

I-1 CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍA: p. 1 Corbis/Bettmann p. 53 (arriba izquierda) Getty Images, Inc.-Hulton Archive Photos; (abajo izquierda) Cortesía de International Business Machines Corporation. No se permite su uso no autorizado. (derecha) Navy Visual News Service/U.S. Navy News Photo p. 105, Ward’s Natural Science Establishment/Science Source; (abajo derecha) C. H. Edwards p. 168 Richard Megna/Fundamental Photographs p. 225 (arriba izquierda) The Royal Society of London; (abajo derecha) David E. Penney p. 313 Art Resource, N.Y. p. 324 Richard Megna/Fundamental Photographs p. 413 The Granger Collection, New York p. 458 Lucas Bruno/AP/ Wide World Photos p. 461 Omnia/Getty Images, Inc.-Hulton Archive Photos p. 515 (arriba izquierda) Library of Congress; (abajo derecha) David E. Penney p. 575 Corbis/Bettmann p. 659 (arriba izquierda) Stock Montage, Inc./Historical Pictures Collection; (abajo derecha) Stephen Gerard/Science Service/Photo Researchers, Inc. p. 721 (arriba izquierda) University of Cambridge; (abajo derecha) Image by David E. Penney p. 817 (arriba izquierda) Library of Congress p. 852 Robert Garvey/Black Star p. 899 Courtesy of the Library of Congress p. 997 (arriba izquierda) The Granger Collection, New York; (abajo derecha) Jeff Greenberg/PhotoEdit p. 1079 (arriba izquierda) Corbis/Bettmann; (abajo derecha) Chandra X-Ray Center/A. Hobart

Acerca de los autores C. Henry Edwards es profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Georgia. Obtuvo su doctorado por la Universidad de Tennessee en 1960 y recientemente se retiró, después de 40 años de enseñanza en aulas (donde incluía cálculo o ecuaciones diferenciales prácticamente en cada periodo) en las universidades de Tenessee, Wisconsin y Georgia, con un breve interludio en el Institute for Advanced Study (Princeton) como académico de Alfred P. Sloan Research Fellow. Ha recibido numerosos premios académicos, que incluyen la medalla de honor de la Universidad de Georgia en 1983 (por su excelencia sostenida en la enseñanza), el premio Josiah Meigs en 1991 (el más alto reconocimiento de la institución para la enseñanza) y el premio estatal Georgia Regents en 1997 por excelencia en enseñanza e investigación. Su carrera escolar abarca desde la investigación y dirección de disertaciones en topología hasta la historia de las matemáticas, computación y tecnología en la enseñanza y aplicaciones matemáticas. Además de ser autor y coautor de libros de texto de cálculo, cálculo avanzado, álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, es conocido entre los profesores de cálculo como el autor de The Historical Development of the Calculus (Springer-Verlag, 1979). Durante la década de 1990 sirvió como investigador principal en tres proyectos auspiciados por la National Science Foundation: 1) un proyecto de matemáticas escolares que incluyó Maple para estudiantes iniciales de álgebra, 2) un programa de cálculo con Mathematica y 3) un proyecto de laboratorio basado en MATLAB para estudiantes de análisis numérico y ecuaciones diferenciales. David E. Penney, de la Universidad de Georgia, terminó su doctorado por la Universidad de Tulane en 1965 (bajo la dirección del profesor L. Bruce Treybig) mientras enseñaba en la Universidad de Nueva Orleans. Antes había trabajado en biofísica experimental en Tulane y en el Veteran’s Administration Hospital de Nueva Orleans bajo la dirección de Robert Dixon McAfee, donde la meta principal del equipo de investigación del Dr. McAfee era el transporte activo de iones de sodio por membranas biológicas. La contribución más importante de Penney fue el desarrollo de un modelo matemático (usando ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas) para el fenómeno metabólico de regular ese transporte, con aplicaciones potenciales futuras a la fisiología de riñones, la administración de la hipertensión y el tratamiento de fallas cardiacas congestivas. También diseñó y construyó servomecanismos para el monitoreo preciso del transporte de iones, un fenómeno que incluye la medición de potenciales en microvolts a impedancias de millones de megaohms. Penney comenzó a enseñar cálculo en Tulane en 1957 e impartió ese curso casi todos los periodos con entusiasmo y distinción hasta su retiro al final del milenio pasado. Durante su trabajo en la Universidad de Georgia recibió numerosos premios de enseñanza y dirigió varias disertaciones doctorales y siete proyectos de investigación de licenciatura. Es autor de artículos de investigación en teoría de números y topología y es autor y coautor de libros de texto de cálculo, programación de computadoras, ecuaciones diferenciales, álgebra lineal y matemáticas para las ciencias sociales

xi

Prefacio Los profesores y estudiantes de cálculo contemporáneos se enfrentan tanto a retos tradicionales como nuevos debido a los cambios en los papeles y la aplicación de las matemáticas por los científicos e ingenieros del mundo entero. Por lo tanto, los cambios hechos a esta edición de nuestro libro de cálculo, junto con los incluidos en la sexta edición, son los más extensos y profundos desde que apareció la primera edición en 1982. En la sexta edición de 2002, desaparecieron dos capítulos completos de la tabla de contenido de la edición precedente y apareció un capítulo totalmente nuevo. Aunque la revisión actual conserva la misma tabla de contenido general de la sexta edición, se hicieron mejoras constructivas y correcciones en casi todas las secciones de esta séptima edición. Las nuevas características (descritas con más detalle en seguida) están dirigidas al logro de experiencias de aprendizaje del estudiante más activas y concretas. Las guías de estudio que aparecen ahora al final de cada sección incluyen más de mil rubros de falso/verdadero cuyo propósito es dirigir el repaso y la lectura de las secciones individuales del libro. Cada guía de estudio va seguida de varias preguntas de análisis conceptual que precede el problema establecido por la sección. Los nuevos repasos del capítulo de esta edición ofrecen las referencias de las páginas para repasar los temas individuales en cada sección y los problemas sugeridos para que el estudiante trabaje al repasar los métodos más importantes de cada sección.

RECURSOS DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIANTE Nueva sección de guía de estudio Se proporcionan diez preguntas de falso/ verdadero al final de cada sección para ayudar al estudiante a verificar la precisión de su lectura y retención, y para guiarlo de manera sistemática hacia las partes adecuadas de la sección para las que necesita repasar los hechos y conceptos requeridos antes de intentar trabajar los problemas. Las respuestas y sugerencias para estos aspectos de falso/verdadero se encuentran al final del libro (antes de la sección de respuestas impares). Los estudiantes pueden primero marcar cada concepto como falso o verdadero y luego consultar las respuestas proporcionadas. Si tiene alguna respuesta incorrecta, entonces puede consultar las sugerencias para los conceptos adecuados. La sugerencia para cada pregunta dirige al estudiante a la parte apropiada de la sección que ha de leer de nuevo para descubrir cuál era la dificultad.

Nuevos repasos del capítulo Cada repaso del capítulo consiste en dos partes —comprensión y objetivos— que preceden al conjunto de problemas diversos del capítulo. La parte de comprensión consiste en los conceptos, definiciones, fórmulas, resultados, etcétera (con referencias de páginas) que deben revisarse sección por sección al preparar un examen. Su premisa es que el estudiante, que de hecho necesita esta ayuda, es probable que no haya descrito el capítulo para sí mismo. Como lo sabe cualquier profesor experimentado, muchos estudiantes (si no la mayor parte) necesitan ayuda para identificar, localizar y describir brevemente los conceptos individuales en el capítulo cuya comprensión incluye el conocimiento del capítulo como un todo. xiii

xiv

Prefacio

La parte de los objetivos identifica problemas muestra en cada sección que se recomiendan para el repaso. Aquí, de nuevo muchos estudiantes no pueden clasificar y reconocer los tipos de problemas que se han cubierto y las habilidades requeridas para resolverlos. No han trabajado los problemas de manera consistente en cada sección que se estudió en clase y pueden necesitar ayuda para identificar un número manejable de problemas representativos que revisar. En consecuencia, esta parte del material de repaso del capítulo proporciona una lista, sección por sección, de los métodos y técnicas que se han visto y seleccionado —para cada uno de esos tipos— varios problemas ilustrativos para proporcionar una práctica adecuada en la preparación para un examen.

Ayudas de aprendizaje adicionales Preguntas de análisis conceptual El conjunto de problemas que concluye cada sección está precedido por un pequeño conjunto de Conceptos: preguntas y análisis que consisten en varias preguntas conceptuales abiertas que se pueden usar para el estudio individual o para discusión en el salón de clase.

Respuestas impares La sección de respuestas al final del libro se ha ampliado mucho para esta edición, principalmente mediante la inserción de más de 340 gráficas nuevas. Estas ilustraciones generadas por computadora intentan ayudar al estudiante a entender esos problemas, cuya comprensión tiene un componente visual importante. El resultado es una sección de respuestas más atractiva que invita a estudiar por sí mismo. Investigaciones de estudiantes Muchas de las investigaciones (o proyectos) del libro se rescribieron para esta edición. Aparecen después de los conjuntos de problemas al final de las secciones clave en todo el libro. La mayor parte de estos proyectos (pero no todos) usan algún aspecto de la tecnología de computadoras para ilustrar las ideas centrales de la sección anterior, y muchas contienen problemas adicionales para resolverse con una calculadora con gráficas o un sistema algebraico de computadora.

Material histórico La apertura de los capítulos con hechos históricos o biográficos ofrece a los estudiantes la idea de que el tema fue desarrollado por seres humanos reales. Sin duda, nuestra exposición de cálculo con frecuencia refleja el desarrollo histórico del tema, desde la antigüedad a los tiempos de Newton, Leibniz y Euler, hasta nuestra era de la nueva tecnología y el poder de las computadoras. ORGANIZACIÓN DEL LIBRO La edición actual del libro está diseñada para incluir • Trascendentes tempranas integradas por completo en el semestre I. • Ecuaciones diferenciales y aplicaciones en el semestre II. • Cálculo de variables múltiples en el semestre III. La cobertura completa del cálculo de las funciones trascendentes está integrada en los capítulos 1 a 6. Un capítulo de ecuaciones diferenciales (capítulo 8) ahora aparece justo después del capítulo 7 de técnicas de integración. Incluye tanto campos directores como métodos de Euler junto con los métodos simbólicos más elementales (que explotan técnicas del capítulo 7) y aplicaciones interesantes de ecuaciones de primero y segundo orden. El capítulo 10 (Series infinitas) termina con una nueva sección sobre solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias, con lo que se completa el círculo de unificar el enfoque de cálculo del segundo semestre sobre ecuaciones diferenciales elementales.

Con más detalle Capítulos de introducción En lugar de una revisión rutinaria de los temas que preceden al cálculo, el capítulo 1 se concentra específicamente en funciones

Prefacio

xv

y gráficas que se usan en el modelado matemático. Incluye una sección que cataloga de manera informal las funciones trascendentes elementales de cálculo, como antecedente a su tratamiento más formal usando el propio cálculo. El capítulo 1 concluye con una sección que analiza la pregunta “¿Qué es cálculo?” El capítulo 2, de límites, comienza con una sección sobre rectas tangentes para motivar la introducción de los límites en la sección 2.2. Los límites trigonométricos se tratan en todo el capítulo 2 con el fin de lograr una introducción más rica y más visual al concepto de límite.

Capítulos de derivación La secuencia de temas en los capítulos 3 y 4 difiere un poco del orden tradicional. Intentamos construir la confianza del estudiante introduciendo los temas, sobre todo, según su orden de dificultad. La regla de la cadena aparece pronto (en la sección 3.3) y cubrimos las técnicas básicas para derivar funciones algebraicas antes de analizar los máximos y mínimos en las secciones 3.5 y 3.6. La sección 3.7 maneja las derivadas de las seis funciones trigonométricas y la sección 3.8 introduce las funciones exponencial y logarítmica. La derivación implícita y las tasas relacionadas se combinan en una sola sección (sección 3.9). El apego de los autores al método de Newton (sección 3.10) será evidente. El teorema del valor medio y sus aplicaciones se encuentran en el capítulo 4. Además, un tema dominante del capítulo 4 es el uso de cálculo para construir gráficas de funciones y para explicar e interpretar las gráficas que se construyen con una calculadora o computadora. Este tema se desarrolla en la sección 4.4 acerca de la prueba de la primera derivada y en la 4.6 sobre derivadas más altas y concavidad. Pero también puede ser evidente en las secciones 4.8 y 4.9 sobre la regla de l’Hôpital, que ahora aparece claramente en el contexto de cálculo diferencial y se aplica aquí para redondear el cálculo de las funciones exponencial y logarítmica.

Capítulos de integración El capítulo 5 comienza con una sección de antiderivadas, la cual sería lógico incluir en el capítulo anterior, pero se beneficia con el uso de la notación de integrales. Cuando se introduce la integral definida en las secciones 5.3 y 5.4, hacemos hincapié en sumas de puntos extremos y puntos medios en lugar de en las sumas de Riemann más generales. Este énfasis concreto sigue en todo el capítulo hasta la última sección de integración numérica. El capítulo 6 comienza con una sección de aproximaciones de sumas de Riemann, con ejemplos que se centran en el flujo de fluidos y las aplicaciones médicas. La sección 6.6 trata las centroides de regiones y curvas planas. La sección 6.7 da un enfoque integral de logaritmos y las secciones 6.8 y 6.9 cubren cálculo diferencial e integral de las funciones trigonométricas inversas y de las funciones hiperbólicas. El capítulo 7 (Técnicas de integración) está organizado para ajustarse a esos profesores que sienten que los métodos de integración formal ahora tienen menos importancia, en vista de las técnicas modernas de integración numérica y simbólica. La integración por partes (sección 7.3) precede a las integrales trigonométricas (sección 7.4). El método de fracciones parciales aparece en la sección 7.5, y la sustitución trigonométrica y las integrales que involucran polinomios se encuentran en las secciones 7.6 y 7.7. Las integrales impropias se desarrollan en la sección 7.8, con subsecciones amplias de funciones especiales y probabilidad y muestreo aleatorio. Este reacomodo del capítulo 7 facilita que el profesor se detenga donde lo desee.

Ecuaciones diferenciales Este capítulo comienza con las ecuaciones diferenciales más elementales y sus aplicaciones (sección 8.1) y luego procede a introducir métodos tanto gráficos (campo de pendientes) como numéricos (Euler) en la sección 8.2. Las secciones subsecuentes del capítulo tratan ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y separables y (con mayor profundidad que la usual en un curso de cálculo) aplicaciones tales como crecimiento de población (que incluyen logística y poblaciones depredador-presa) y movimiento con resistencia. Las dos últimas secciones del capítulo 8 estudian ecuaciones lineales de segundo orden y sus aplicaciones a vibraciones mecánicas. Los profesores que deseen más material de ecuaciones diferenciales pueden arreglar con la editorial el agrupamiento y uso

xvi

Prefacio

de las secciones apropiadas de Edwards y Penney, Differencial Equations: Computing and Modeling, 3th ed. (Prentice Hall, 2004).

Curvas paramétricas y coordenadas polares En lugar de las tres secciones separadas de parábolas, elipses e hipérbolas que aparecen en algunos textos, el capítulo 9 concluye con la sección 9.6, que proporciona un tratamiento unificado de todas las secciones cónicas.

Series infinitas Después de la usual introducción a la convergencia de sucesiones y series infinitas en las secciones 10.2 y 10.3, un tratamiento combinado de polinomios de Taylor y series de Taylor aparece en la sección 10.4. Esto hace posible para el profesor experimentar con un manejo más breve de series infinitas, pero incluir cierta exposición a las series de Taylor que son tan importantes para las aplicaciones. Quizá la característica más novedosa del capítulo 10 es una sección final de métodos de series de potencias y su uso para introducir nuevas funciones trascendentes, concluyendo las dos terceras partes del libro con un regreso a las ecuaciones diferenciales.

Cálculo de variables múltiples El estudio del cálculo de más de una variable es bastante tradicional, comenzando con vectores, curvas y superficies en el capítulo 11. El capítulo 12 (Diferenciación parcial) va seguido del capítulo 13 (Integrales múltiples) y el 14 (Cálculo vectorial), y en sí contiene un tratamiento sólido de problemas de máximo-mínimo con varias variables en las secciones 12.5 (enfoque inicial para estos problemas), 12.9 (multiplicadores de Lagrange) y 12.10 (puntos críticos de funciones de dos variables). AGRADECIMIENTOS Nuestro agradecimiento por sus consejos y críticas constructivas en la preparación de esta edición para los siguientes competentes revisores: Kenzu Abdella, Trent University Martina Bode, Northwestern University David Caraballo, Georgetown University Tom Cassidy, Bucknell University Lucille Croom, Hunter College Yuanan Diao, University of North Carolina at Charlotte Victor Elias, University of Western Ontario Haitao Fan, Georgetown University James J. Faran, V., The State University of New York at Buffalo K. N. Gowrisankaran, McGill University Quing Han, University of Notre Dame Melvin D. Lax, California State University, Long Beach Robert H. Lewis, Fordham University Allan B. MacIssac, University of Western Ontario Rudolph M. Najar, California State University, Fresno George Pletsch, Albuquerque Technical and Vocational Institute Nancy Rallis, Boston College Robert C. Reilly, University of California, Irvine James A. Reneke, Clemson University Alexander Retakh, Yale University Carl Riehm, McMaster University Ira Sharenow, University of Wisconsin, Madison Kay Strangman, University of Wisconsin, Madison Sophie Tryphonas, University of Toronto at Scarborough Kamran Vakili, Princeton University Cathleen M. Zucco-Teveloff, Trinity College

Prefacio

xvii

Muchas de las mejoras visibles en esta edición se deben a colegas y usuarios de las seis ediciones anteriores en Estados Unidos, Canadá y el extranjero. Agradecemos a todos aquéllos, en especial a los estudiantes, que nos han escrito y esperamos que continúen haciéndolo. Para esta edición, damos las gracias en especial a Jill McClain-Wardynski, Kurt Norlin y Harold Whipple quienes —bajo la supervisión de Teri Lovelace de Laurel Tech— no sólo verificaron la solución de todos los ejemplos resueltos y las respuestas impares en el libro, sino hicieron innumerables comentarios y sugerencias que mejoraron mucho la exposición en todo el libro. La apariencia y calidad del libro terminado es un claro testimonio de la habilidad, diligencia y talento del personal excepcional de Prentice Hall. En especial agradecemos a Adam Jaworski sus sugerencias como nuestro editor de matemáticas que de manera significativa influyeron en esta edición. También agradecemos a Dawn Murrin y Christine Whitlock por sus servicios altamente variados y detallados como ayuda a los editores y autores durante todo el trabajo de revisión. Barbara Mack, nuestro editor de producción, manejó con experiencia y habilidad todo el proceso de producción del libro. Nuestro director de arte, Jonathan Boylan, supervisó y coordinó el atractivo diseño del texto y su cubierta. El editor de arte Thomas Benfatti coordinó la producción artística de esta edición. Por último, es un placer especial dar crédito a Dennis Kletzing y su extraordinaria pericia técnica por la atractiva composición y distribución de las páginas del libro terminado. C. Henry Edwards [email protected]

David E. Penney [email protected]

1

Funciones, gráficas y modelos

A

l erudito francés del siglo xvii se le recuerda más como filósofo que como matemático, pero muchos de nosotros estamos familiarizados con el “plano cartesiano” en el que la localización de un punto P se especifica por sus coordenadas (x, y). Cuando era niño, con frecuencia se le permitía levantarse tarde debido a su René Descartes (1596-1650) mala salud. Afirmaba que podía pensar con mayor claridad sobre filosofía, ciencias y matemáticas en la cama durante las mañanas frías. Después de graduarse de la universidad, donde estudió leyes (aparentemente con poco entusiasmo), Descartes viajó con varios ejércitos durante algunos años, pero como soldado aristócrata, y no como militar de profesión. En 1637, cuando finalmente estableció su residencia fija en Holanda, publicó su famoso tratado Discurso sobre el método. Uno de los tres apéndices de este trabajo establece un nuevo enfoque “analítico” de la geometría. Su idea principal (publicada casi al mismo tiempo por su compatriota Pierre de Fermat) fue la correspondencia entre una ecuación y su gráfica, generalmente una curva en el plano. La ecuación se podía usar para estudiar la curva y viceversa.

Suponga que se quiere resolver la ecuación f (x) = 0. Sus soluciones son los puntos de intersección de la gráfica de y = f (x) con el eje x, de manera que una figura exacta de la curva muestra el número y la localización aproximada de las soluciones a la ecuación. Por ejemplo, la gráfica de Y D X  X  C 

tiene tres intersecciones con el eje x, que muestran que la ecuación X  X  C  D 

tiene tres soluciones reales: una entre −1 y 0, otra entre 0 y 1 y otra más entre 2 y 3. Una calculadora moderna con función de gráficas o un programa de computadora puede aproximar estas soluciones con mayor exactitud al ampliar las regiones en las que se localizan. Por ejemplo, la región ampliada muestra que la solución correspondiente es x ≈ 0.65. 





 Y

Y 















 X









X



Gráfica de y = x 3 − 3x 2 + 1

1

2

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

1.1 FUNCIONES Y MODELADO MATEMÁTICO El cálculo es uno de los logros supremos del intelecto humano. Esta disciplina matemática proviene básicamente de las investigaciones en el siglo xvii de Isaac Newton (1624-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), pero algunas ideas datan de los tiempos de Arquímedes (287-212 a. C.) y se originaron en culturas tan diversas como las de Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón. Muchos descubrimientos científicos que han dado forma a nuestra civilización durante los tres últimos siglos no hubieran sido posibles sin el uso del cálculo. El objetivo principal del cálculo es el análisis de problemas de cambio (por ejemplo, de movimiento) y contenido (como el cálculo de áreas y volúmenes). Estos problemas son fundamentales porque vivimos en un mundo que cambia continuamente, lleno de cuerpos en movimiento y fenómenos fluctuantes. En consecuencia, el cálculo sigue siendo un tema lleno de vida y, hoy, este conjunto de entendimiento conceptual y técnicas de cómputo es todavía el lenguaje cuantitativo más importante de la ciencia y la tecnología. r

Funciones Casi todas las aplicaciones de cálculo involucran el uso de números reales o variables para describir cantidades que cambian. La clave del análisis matemático de una situación geométrica o científica suele ser el reconocimiento de la relación entre las variables que describen la situación. Esta relación puede ser una fórmula que expresa una variable como función de otra. Por ejemplo:

FIGURA 1.1.1 Círculo: área A = πr 2, circunferencia C = 2πr.

• El área A de un círculo de radio r está dada por A  πr 2 (figura 1.1.1). El volumen V y el área de la superficie S de una esfera de radio r están dados por 6 H  R 

r

Y

3 H R  ;

respectivamente (figura 1.1.2). • Después de t segundos (s) un cuerpo que se deja caer a partir del reposo ha recorrido una distancia de S H  GT 

pies (ft) y tiene una velocidad v  gt pies por segundo (ft/s), donde g ≈ 32 ft/s2 es la aceleración debida a la gravedad. • El volumen V (en litros, L) de 3 gramos (g) de dióxido de carbono a 27°C está dado en términos de su presión p en atmósferas (atm) por V  1.68yp. FIGURA 1.1.2 Esfera: volumen 6 H  R  área de la superficie S  4π r 2.

DEFINICIÓN Función Una función f de valores reales definida en un conjunto D de números reales es una regla que asigna a cada número x en D exactamente un número real, denotado por f (x). El conjunto D de todos los números para los que f (x) está definida se llama dominio (o dominio de definición) de la función f. El número f (x), leído “f de x”, se llama valor de la función f en el número (o punto) x. El conjunto de todos los valores y  f (x) se llama recorrido (o rango) de f. Así, el recorrido de f es el conjunto {y : y  f (x)

para alguna x en D}.

En esta sección se estudiará más el dominio de una función que su recorrido. EJEMPLO 1

La función cuadrada definida por F .X/ H X 

asigna a cada número real x su cuadrado x 2. Debido a que todo número real puede elevarse al cuadrado, el dominio de f es el conjunto R de todos los números reales, pero sólo los ≥ 0, entonces a  ( a ), números no negativos son cuadrados. Más aún, si a − a )2  f (

SECCIÓN 1.1

Funciones y modelado matemático

3

de manera que a es un cuadrado. Así, el recorrido de la función cuadrada f es el con≥ 0} de todos los números reales no negativos. junto {y : y − Las funciones se pueden describir de varias maneras. Una descripción simbólica de la función f la proporciona una fórmula que especifica cómo calcular el número f (x) en términos de x. El símbolo f ( ) se puede ver como una operación que debe realizarse siempre que un número o una expresión se inserta dentro del paréntesis. EJEMPLO 2

La fórmula F .X/ H X  C X 

(1)

define una función f cuyo dominio es toda la recta real R. Algunos valores típicos de f son f (−2)  −1, f (0)  −3 y f (3)  9. Otros valores de la función f son F ./ H  C   H ; F .C/ H C C C ; F . C H/ H . C H/ C . C H/  H . C H C H  / C . C H/  H H  C H C ; 

 





Y



F .T / H .T / C .T /  H T T : x

f

f(x)

FIGURA 1.1.3 Una “máquina de funciones”.

Cuando describimos la función f escribiendo una fórmula y  f (x), llamamos a x la variable independiente y a y la variable dependiente porque el valor de y depende —en toda la función f— del valor de x que se elija. Conforme la variable independiente x cambia, o varía, también lo hace la variable y. La forma en que y varía está determinada por la regla de la función f. Por ejemplo, si f es la función de la ecuación (1), entonces y  −1 cuando x  −2, y  −3 cuando x  0 y y  9 cuando x  3. Puede ser útil visualizar la dependencia del valor y  f (x) de x pensando en la función f como en una máquina que acepta como entrada un número x y produce como salida el número f (x), quizás en una pantalla o impreso (figura 1.1.3). Un ejemplo de una máquina de este tipo es la tecla de raíz cuadrada en una calculadora de bolsillo sencilla. Cuando se introduce un número x no negativo y se presiona esta tecla, la calculadora despliega el número  x (o una aproximación). Observe que el x es el conjunto [0, +∞) de todos dominio de esta función raíz cuadrada f (x)   los números reales no negativos, porque ningún número negativo tiene raíz cuadrada real. El recorrido de f también es el conjunto de todos los reales no negativos, porque el símbolo  x siempre denota la raíz cuadrada no negativa de x. La calculadora ilustra su “conocimiento” del dominio desplegando un mensaje de error si le pedimos que calcule la raíz cuadrada de un número negativo (o tal vez muestre un número complejo, si es una calculadora más sofisticada). EJEMPLO 3 No todas las funciones tienen una regla que se pueda expresar como parte de una fórmula sencilla como f (x)   x . Por ejemplo, si escribimos X H.X/ H p X

SI X



SI X < 

entonces tenemos una función perfectamente definida con dominio R. Algunos de sus valores son h(−4)  2, h(0)  0 y h(2)  4. En contraste, la función g del ejemplo 4 está definida inicialmente mediante una descripción verbal, y no por fórmulas. EJEMPLO 4 Para cada número real x, g(x) denota el mayor entero que es menor o igual que x. Por ejemplo, g(2.5)  2, g(0)  0, g(−3.5)  −4 y g(π)  3. Si n es un ≤ x < n + 1. Esta función g se llama entero, g(x)  n para todo número x tal que n − función entero mayor y con frecuencia se denota por G.X/ H TTXUU:

4

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

De manera. que TT:UU H  TT :UU H  Y TT UU H : Observe que aunque TTXUU está definida para toda x, el recorrido de la función del mayor entero no es todo R, sino el conjunto Z de todos los enteros. El nombre de una función no necesita ser una sola letra, como f o g. Por ejemplo, piense en las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) con nombres como sen y cos. EJEMPLO 5

Otro nombre descriptivo para la función entero mayor del ejemplo 4 es Piso .X/ H TTXUU:

(2)

(Pensamos en el entero n como el “piso” en el cual están los números reales entre n y n + 1.) De manera similar, podemos usar Redondear(x) para nombrar a la familiar función que “redondea” el número real x al entero más cercano n, excepto que Redondear(x)  n + 1 si x  n + 12 (de manera que redondeamos hacia el número superior en caso de confusión). Redondee suficientes números para comprender a cabalidad que Redondear(x)  Piso(x + 12 )

(3)

para toda x. Estrechamente relacionada con las funciones Piso y Redondear tenemos la “función techo”, usada por el Servicio Postal de Estados Unidos; Techo(x) denota el menor entero, que no es menor que el número x. En 2006 la tasa postal para una carta de primera clase era 39¢ por la primera onza y 24¢ por cada onza adicional o fracción. Para una carta que pesa w > 0 onzas, el número de “onzas adicionales” incluidas es Techo(w) −1. Por lo tanto el timbre postal s(w) para enviar esta carta está dado por s(w)  39 + 24 · [Techo(w) − 1]  15 + 24 · Techo(w).

Z

Dominios e intervalos La función f y el valor o expresión f (x) son diferentes tanto como una máquina y su salida. Sin embargo, es común usar una expresión como “la función f (x)  x2” para definir una función con sólo escribir su fórmula. En esta situación, el dominio de la función no se especifica. Por convención, el dominio de la función f es el conjunto de números reales x para los que la expresión f (x) tiene sentido y produce un número real y. Por ejemplo, el dominio de la función h(x)  1yx es el conjunto de todos los números reales diferentes a cero (porque 1yx está definida precisamente cuando x H 0).  

)NTERVALOCERRADO

;  =

)NTERVALOSEMIABIERTO

; 

)NTERVALOSEMIABIERTO

  = ;  1 

 1 

)NTERVALOABIERTO

)NTERVALONOACOTADO )NTERVALONOACOTADO

FIGURA 1.1.4 Algunos ejemplos de intervalos de números reales.

Los dominios de funciones a menudo se describen en términos de intervalos de números reales (figura 1.1.4). (La notación de intervalos se vuelve a tratar en el apéndice A.) Recuerde que un intervalo cerrado [a, b] contiene los dos puntos extremos x  a y x  b, mientras que el intervalo abierto (a, b) no los incluye. Cada uno de los intervalos semiabiertos [a, b) y (a, b] contiene exactamente uno de sus puntos extremos. El intervalo no acotado [a, ∞) contiene el punto extremo x  a, mientras que (−∞, a) no lo incluye. El domino mencionado de h(x)  1yx es la unión de los intervalos no acotados (−∞, 0) y (0, ∞).

SECCIÓN 1.1

 1 

  1





FIGURA 1.1.5 El dominio de g(x)  1y(2x + 4) es la unión de dos intervalos abiertos no acotados.

Funciones y modelado matemático

5

  X C  Solución La división entre cero no está permitida, de manera que el valor g(x) está definido precisamente para 2x + 4 H 0. Esto se cumple cuando 2x H −4, es decir, cuando x H −2. El dominio de g es el conjunto {x : x H −2}, que es la unión de los Z dos intervalos no acotados (−∞, −2) y (−2, ∞), mostrados en la figura 1.1.5.

EJEMPLO 6

Encuentre el dominio de la función G.X/ H

EJEMPLO 7

Encuentre el dominio de H.X/ H p

 X C 



Solución Ahora es necesario no sólo que la cantidad 2x p+ 4 sea diferente de cero, sino también que sea positiva, para que la raíz cuadrada X C  esté definida, pero 2x + 4 > 0, cuando 2x > −4, es decir, cuando x > −2. Así el dominio de h es el interZ valo no acotado (−2, ∞).

Modelado matemático Frecuentemente, la investigación de un problema aplicado consiste en definir una función que capte la esencia de una situación geométrica o física. Los ejemplos 8 y 9 ilustran este proceso. EJEMPLO 8 Una caja rectangular con base cuadrada tiene un volumen de 125 unidades cúbicas. Exprese su superficie total A como función de la longitud x de la arista de su base. Y

X

X

FIGURA 1.1.6 La caja del ejemplo 8.

Solución El primer paso es dibujar un bosquejo y etiquetar las dimensiones relevantes. La figura 1.1.6 muestra una caja rectangular con base cuadrada con longitud x en la arista y altura y. Se sabe que el volumen de la caja es V  x2y  125.

(4) 2

Tanto la tapa como la base de la caja tienen un área x y cada una de sus cuatro caras verticales tiene el área xy, de manera que su superficie total es A  2x2 + 4xy.

(5)

Pero ésta es una fórmula para A en términos de dos variables x y y, en lugar de una función únicamente de la variable x. Para eliminar y de manera que se obtenga A en términos únicamente de x, se resuelve la ecuación (4) para y  125yx2 y luego se sustituye el resultado en la ecuación (5) para obtener   ! H X  C X
 H X  C : X X Por lo tanto, el área de la superficie está dada como función de la longitud de la arista x por  ;  < X < C1: !.X/ H X  C (6) X Es necesario especificar el dominio porque los valores negativos de x tienen sentido en la fórmula (5) pero no pertenecen al dominio de la función A. Debido a que toda x > 0 determina una caja de este tipo, el dominio en sí incluye todos los números reales Z positivos. COMENTARIO En el ejemplo 8 nuestra meta era expresar la variable dependiente A como función de la variable independiente x. Inicialmente, la situación geométrica nos proporcionó lo siguiente:

1. La fórmula en la ecuación (5) que expresa A en términos de x y de la variable adicional y, y 2. La relación en la ecuación (4) entre x y y, que usamos para eliminar y y para expresar A como función sólo de x. Notará que éste es un patrón común en muchos distintos problemas aplicados, como el que sigue.

6

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

Debemos construir un corral rectangular para animales. Para ahorrar material, usaremos un muro ya existente como uno de los cuatro lados. La barda para los otros tres lados cuesta $5yft y debemos gastar $1yft para pintar el muro que forma el cuarto lado del corral. Si podemos gastar un total de $180, ¿qué dimensiones maximizarán el área que podemos construir? La figura 1.1.7 muestra el corral y sus dimensiones x y y, junto con el costo por pie en cada uno de sus cuatro lados. Cuando tenemos un problema establecido en forma verbal, nuestra primera pregunta es, ¿por dónde empezar? El concepto de función es la clave para descifrar la situación. Si expresamos la cantidad a maximizar —la variable dependiente— como una función de alguna variable independiente, contamos con una base sólida: encontrar el valor máximo que alcanza la función. Geométricamente, ¿cuál es el punto más alto en la gráfica de esta función?

Problema del corral

X FT

Y FT

FT Y

FT X

0ARED

FIGURA 1.1.7 Corral para animales.

EJEMPLO 9 En relación con el problema del corral, exprese el área A del corral como una función de la longitud x de la pared.

Solución El área A del corral rectangular con largo x y ancho y es A  xy.

(7)

Cuando multiplicamos la longitud de cada lado en la figura 1.1.7 por su costo por pie y luego sumamos los resultados, encontramos que el costo total C del corral es # H X C Y C X C Y H X C Y:

Entonces 6x + 10y  180,

(8)

ya que se conoce C  180. Elegimos x como la variable independiente, usamos la relación en la ecuación (8) para eliminar la variable adicional y de la fórmula del área en la ecuación (7). Despejamos y en la ecuación (8) y sustituimos el resultado YH

 . 

X/ H  . X/

(9)

en la ecuación (7). Así, obtenemos la función deseada !.X/ H  .X X  /

que expresa el área A como función de la longitud x. Además, debemos especificar su dominio. El rectángulo real se producirá sólo si x > 0, pero encontramos conveniente incluir también el valor x  0. Este valor de x corresponde a un “rectángulo degenerado”, con base de longitud cero y altura YH

 


 H ;

que es consecuencia de la ecuación (9). Por razones similares, se tiene la restricción ≥ 0. Dado que y− Y H  . X/;

≤ 30. De este modo, la definición completa de la función del área es se deduce que x − !.X/ H  .X X  /;



X

:

(10) Z

El dominio de una función es una parte necesaria de su definición y para cada función debe especificarse el dominio de valores de la variable independiente. En las aplicaciones se usan los valores de la variable independiente que son relevantes al problema que se analiza.

COMENTARIO

SECCIÓN 1.1

x 0 5 10 15 20 25 30

Funciones y modelado matemático

7

El ejemplo 9 ilustra una parte importante de la solución de un problema aplicado típico: la formulación de un modelo matemático de la situación física que se estudia. El área de la función A(x) definida en (10) proporciona un modelo matemático para el problema del corral. La forma del corral óptimo se puede determinar encontrando el valor máximo que alcanza la función A sobre su dominio de definición.

A(x) 0 75 120 135← 120 75 0

FIGURA 1.1.8 Área A(x) de un corral con lado de longitud x.

Investigación numérica Con el resultado del ejemplo 9 resolveremos el problema del corral calculando una tabla de valores de la función del área A(x) en la ecuación (10). Esta tabla se muestra en la figura 1.1.8. Los datos sugieren claramente que el área máxima es A  135 ft2, que se logra con una longitud de lado x  15 ft, en cuyo caso la ecuación (9) da y  9 ft. Esta conjetura se corrobora con los datos más refinados mostrados en la figura 1.1.9. Así, el corral con área máxima (con costo de $180) tiene x  15 ft de largo y y  9 ft de ancho. Las tablas en la figuras 1.1.8 y 1.1.9 muestran únicamente valores enteros de x, sin embargo, es muy posible que la longitud x del corral de área máxima no sea un entero. En consecuencia, las tablas numéricas en sí no aseguran el resultado. Se necesita una nueva idea matemática para probar que A(15)  135 es el valor máximo de !.X/ H  .X X  /;

x

A(x)

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

120 125.4 129.6 132.6 134.4 135 ← 134.4 132.6 129.6 125.4 120



X



para toda x en su dominio. Este problema se estudia en la sección 1.2.

FIGURA 1.1.9 Mayor indicio de que x  15 proporciona el área máxima A  135.

Tabulación de funciones Muchas calculadoras científicas con opción de graficación permiten al usuario programar una función dada para una evaluación repetida, y con ello calcular sin esfuerzo tablas como las de las figuras 1.1.8 y 1.1.9. Por ejemplo, las figuras 1.1.10 y 1.1.11 ilustran las pantallas de una calculadora preparada para calcular los valores de la variable dependiente Y H !.X/ H .=/.X X  /;

y la figura 1.1.12 muestra la versión de la calculadora para la tabla de la figura 1.1.9. El uso de una calculadora o computadora para tabular los valores de una función es una técnica sencilla con una cantidad sorprendente de aplicaciones. Aquí se ilustra un método para resolver aproximadamente una ecuación de la forma f (x)  0 mediante la tabulación repetida de los valores f (x) de la función f. Como ejemplo, suponga que se desea el valor de x en la ecuación (10) que da un corral con área A  100. Necesitamos resolver la ecuación !.X/ H  .X X  / H ;

que es equivalente a la ecuación F .X/ H  .X X  /  H :



Ésta es una ecuación cuadrática que se resuelve usando la fórmula cuadrática de álgebra básica, pero queremos tomar un enfoque numérico más directo. La razón es que el t T

4%8!3).3425-%.43

4) 

FIGURA 1.1.10 Una calculadora programada para evaluar A(x) = (3y5)(30x − x 2).

T

4%8!3).3425-%.43

4%8!3).3425-%.43

4) 

4) 

FIGURA 1.1.11 Para establecer la tabla.

FIGURA 1.1.12 Tabla obtenida.

8

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

enfoque numérico se puede aplicar aun cuando no se disponga de una fórmula sencilla (como la fórmula cuadrática). Los datos de la figura 1.1.8 sugieren que un valor de x para el que A(x)  100 está entre x  5 y x  10 y que un segundo valor puede estar entre x  20 y x  25. Sin duda, la sustitución en la ecuación (11) da F ./ H  < 

Y

F ./ H  > :

El hecho de que f (x) sea negativo en un punto extremo del intervalo [5, 10] pero positivo en el otro punto extremo sugiere que f (x) es cero en algún punto entre x  5 y x  10. Para determinar dónde tabulamos valores de f (x) en [5, 10]. En la tabla de la figura 1.1.13 se observa que f (7) < 0 y f (8) > 0, de manera que nos centramos en el intervalo [7, 8]. Al tabular f (x) en [7, 8] se obtiene la tabla de la figura 1.1.14, donde se observa que f (7.3) < 0 y f (7.4) > 0. Por lo tanto tabulamos f (x) una vez más, ahora en el intervalo [7.3, 7.4]. En la figura 1.1.15 se ve que F .:/  :

Y

F .:/  ::

Como f (7.36) es considerablemente más cercano a cero que f (7.37), concluimos que la solución deseada de la ecuación (11) está dada aproximadamente por x ≈ 7.36, con una exactitud de dos decimales. Si se busca mayor exactitud, puede tabularse f (x) en intervalos cada vez más pequeños. Si comenzamos con el intervalo [20, 25] y procedemos de manera similar, encontramos el segundo valor x ≈ 22.64 tal que f (x)  0. (Realice esta operación para practicar.) Por último, calculamos los valores correspondientes del ancho y del corral tales que A  xy  100: • Si x ≈ 7.36, entonces y ≈ 13.59. • Si x ≈ 22.64 entonces y ≈ 4.42. Así, con la restricción de costo del problema del corral, se puede construir un rectángulo de 7.36 por 13.59 ft, o bien uno de 22.64 por 4.42 ft, ambos con área de 100 ft2. El esquema de las figuras 1.1.13 a 1.1.15 sugiere el concepto de las tabulaciones repetidas como un proceso de amplificación numérica. Este método se puede aplicar a una amplia gama de ecuaciones de la forma f (x)  0. Si el intervalo [a, b] contiene una solución y los valores de los puntos extremos f (a) y f (b) difieren en signo, entonces podemos aproximar esta solución tabulando valores en subintervalos sucesivos cada vez más pequeños. Los problemas 57 a 66 y el proyecto al final de esta sección son aplicaciones de este método numérico concreto para la solución aproximada de ecuaciones.

X

FX

     

     

FIGURA 1.1.13 Valores de f (x) en [5, 10].

X

FX

X

          

          

          

FIGURA 1.1.14 Valores de f (x) en [7, 8].

FX           

FIGURA 1.1.15 Valores de f (x) en [7.3, 7.4].

SECCIÓN 1.1

Funciones y modelado matemático

9

1.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Isaac Newton nació en el siglo xviii. 2. Una función es una regla que asigna a cada número real en su dominio uno y sólo un número real. 3. El valor de la función f en el número x en su dominio suele denotarse por f (x). 4. Si el dominio de una función f no se especifica, es el conjunto de todos los números reales. 5. La función que da el área de la superficie A como función de la longitud de la arista x de la caja en el ejemplo 8 está dada por !.X/ H X  C

 ; X



X < C1:

6. En el problema del corral (ejemplo 9), el área máxima se obtiene cuando la longitud x del lado de la pared es 18 ft. 7. Se dice que el intervalo (a, b) es abierto porque no contiene sus puntos extremos 8. El dominio de f (x)   x no incluye el número x  −4. 9. El dominio de la función A(x)   .X X  / es el conjunto de todos los números reales. 10. No existe una buena razón por la que el dominio de la función del corral en la ecuación (10) esté restringida al intervalo  X 

1.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Puede tener una función el mismo valor en dos puntos diferentes? ¿Puede tener valores diferentes en el mismo punto? 2. Explique la diferencia entre una variable dependiente y una variable independiente. Un cambio en una de ellas ocasiona y determina un cambio en la otra. ¿Cuál es la “variable que controla”? 3. ¿Cuál es la diferencia entre un intervalo abierto y un intervalo cerrado? ¿Todo intervalo en la recta real es abierto o cerrado? Justifique su repuesta. 4. Suponga que S es un conjunto de números reales. ¿Existe una función cuyo dominio de definición sea precisamente el conjunto S? ¿Existe una función definida en toda la recta real cuyo recorrido sea precisamente el conjunto S? ¿Existe una función que tenga el valor 1 en cada punto de S y el valor 0 en cada punto de la recta real R que no está en S? 5. La figura 1.1.6 muestra una caja con base cuadrada y altura y. ¿Cuál de las siguientes dos fórmulas es la correcta para definir el volumen V de esta caja como función de y? a) V  x2y;

b) V  y(10 − 2y)2.

Analice la diferencia entre una fórmula y una función. 6. En la siguiente tabla, y es una función de x. Determine si x es una función de y o no. x

0

2

4

6

8

10

y

−1

3

8

7

3

−2

10 CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

1.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, encuentre y simplifique cada uno de los a ); d) f (a2). siguientes valores: a) f (−a); b) f (a−1); c) f (  F .X/ H  F .X/ H

 X

 F .X/ H X  C 

X

 C

 F .X/ D

p  C X C X

En los problemas 5 a 10, encuentre todos los valores tales que g(a)  5.  G.X/ H X C  p  G.X/ H X  C  p  G.X/ H  X C 

 G.X/ H

 X 

 G.X/ H X  

37. Exprese la circunferencia C de un círculo como función de su área A. 38. Exprese el volumen V de una esfera como función de su superficie S. 39. Dados: 0°C es lo mismo que 32°F y un cambio de 1°C en la temperatura es lo mismo que un cambio de 1.8°F, exprese la temperatura en grados Celsius C como una función de la temperatura en grados Fahrenheit F. 40. Demuestre que el área de un rectángulo que tiene base x y perímetro 100 (figura 1.1.16), entonces su área A está dada por la función !.X/ H X. X/;  X :

 G.X/ H X  X C 

Calcule los problemas 11 a 16 y luego simplifique la cantidad f (a + h) − f (a).  F .X/ H X 

Y

 F .X/ H  X



 F .X/ H X  C X   F .X/ H X C

 F .X/ H X   F .X/ H X

En los problemas 17 a 20, encuentre los valores del recorrido o rango de la función dada. X SI X H I jXj  F .X/ H  SI X H 

X

FIGURA 1.1.16 A  xy (problema 40).

41. Un rectángulo cuya base tiene longitud x está inscrito en un círculo de radio 2 (figura 1.1.17). Exprese el área A del rectángulo como función de x.

18. f (x)  TTXUU (Recuerde que TTXUU es el mayor entero que no excede x.) 19. F .X/ H ./TTXUU 20. f (x) es el costo postal (en centavos) de una carta enviada en Estados Unidos que pesa x onzas, 0 < x < 12. A partir del 8 de enero de 2006, la tasa postal por este tipo de envío era de 39¢ por la primera onza más 24¢ por cada onza adicional o su fracción. En los problemas 21 a 35, encuentre el dominio más grande (de números reales) donde la fórmula dada determina una función (de valores reales).  F .X/ H  X  p  F .T/ H T  p  F .X/ H X  p  F .T/ H  T  X p  F .X/ H X  C   F .X/ H

 F .X/ H



p

X

 F .X/ H X  C  p   G.T/ H T p   G.T/ H T C    G.X/ H .X C /

 X 

FIGURA 1.1.17 A  xy (problema 41).

42. Un campo de petróleo con 20 pozos produce 4000 barriles de petróleo diarios. Por cada nuevo pozo que se perfora, la producción diaria de cada pozo disminuye 5 barriles por día. Escriba la producción diaria total del campo petrolero como función del número x de nuevos pozos que se perforan. 43. Suponga que una caja rectangular tiene un volumen de 324 cm3 y base cuadrada con longitud de arista de x centímetros. El material para la base de la caja cuesta 2¢ycm2 y el material para la tapa y los cuatro lados cuesta 1¢ycm2. Exprese el costo total de la caja como función de x. Vea la figura 1.1.18.

 T   H.Z/ H p  Z

 G.T/ H

 F .X/ H

Y

X C X 

T jTj 36. Exprese el área A de un cuadrado como función de su perímetro P.  G.T/ H

Y 

X

X

FIGURA 1.1.18 V  x2y (problema 43).

SECCIÓN 1.1

Funciones y modelado matemático

11

44. Un rectángulo con perímetro fijo de 36 se rota alrededor de uno de sus lados S para generar un cilindro circular recto. Exprese el volumen V de este cilindro como función de la longitud x del lado S. Vea la figura 1.1.19. X

FIGURA 1.1.22 Caja del problema 47.

Y X

FIGURA 1.1.19 V  πxy2 (problema 44).

45. Un cilindro circular recto tiene volumen de 1000 in3 y el radio de su base es r pulgadas. Exprese el área de la superficie total A del cilindro como función de r. Vea la figura 1.1.20.

48. Continúe con el problema 40, investigando numéricamente el área de un rectángulo con perímetro 100. ¿Qué dimensiones (largo y ancho) maximizan el área de ese rectángulo? 49. Determine numéricamente la cantidad de nuevos pozos petroleros que deben perforarse para maximizar la producción diaria total del campo petrolero del problema 42. 50. Investigue numéricamente el área de la superficie total A de la caja rectangular del ejemplo 8. Suponiendo que x ≥ −1 y y≥ − 1, ¿qué dimensiones x y y parecen minimizar A? Los problemas 51 a 56 incluyen las funciones Techo, Piso y Redondear del ejemplo 5.

H R

FIGURA 1.1.20 V  πr2h (problema 45).

46. Una caja rectangular tiene un área de 600 cm2 en su superficie total y una base cuadrada cuya arista tiene por longitud x centímetros. Exprese el volumen V de la caja como función de x. 47. Fabrique una caja abierta en su parte superior a partir de una pieza cuadrada de cartón cuyo lado mide 50 pulgadas. Primero, se cortan de las esquinas del cartón cuatro cuadrados pequeños cada uno de x pulgadas de lado (figura 1.1.21). Después las cuatro pestañas que resultan se doblan hacia arriba —por las líneas punteadas— para formar los cuatro lados de la caja, que tendrá una base cuadrada y una profundidad de x pulgadas (figura 1.1.22). Exprese su volumen V como una función de x.

51. Demuestre que Techo(x)  −Piso(−x) para toda x. 52. Suponiendo que k es una constante, ¿cuál es el recorrido o rango de la función g(x)  Redondear(kx)? 53. ¿Cuál es el recorrido de la función g(x)  101 Redondear (10x)? 1 Redondear 54. Recuerde que π ≈ 3.14159, observe que 100 (100π)  3.14. Defina (en términos de Redondear) una función Redondear2(x) que dé el valor de x redondeado con exactitud de dos decimales. 55. Defina una función Redondear4(x) que dé el valor de x redondeado con exactitud de cuatro decimales, de manera que Redondear4(π)  3.1416. 56. Defina una función Truncar4(x) que “corte” (o descarte) todos los decimales de x más allá del cuarto, de manera que Truncar4(π)  3.1415. En los problemas 57 a 66, se proporciona una función cuadrática ax 2 + bx + c  0 y un intervalo [ p, q] que contiene una de sus soluciones. Use el método de tabulación repetida para aproximar esta solución con dos dígitos decimales correctos o correctamente redondeados. Verifique que su resultado coincida con una de las dos soluciones dadas por la fórmula cuadrática. XH

B 

p

B AC : A





X X



X

FIGURA 1.1.21 Doble las orillas hacia arriba para formar la caja (problema 47).

         

X  X C  H ; T; U X  X C  H ; T; U X  C X  H ; T; U X  C X  H ; T; U X  X C  H ; T; U X  X C  H  ; = X  X C  H ; T; U X  X C  H ; T; U X  C X  H ; T; U X  C X  H ; T; U

12 CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

1.1 INVESTIGACIÓN: diseño de una piscina poco profunda A partir de una pieza de aluminio rectangular, diseñe una piscina de la manera indicada en las figuras 1.1.21 y 1.1.22. Su tarea es investigar para qué volumen máximo se puede construir y cómo construir una piscina con un volumen específico. Para su piscina personal, comience con una pieza cuadrada de aluminio de tamaño a × b ft, donde a y b < a son los dos dígitos más grandes del número de su credencial de estudiante. Debe determinar la longitud x de la muesca para que la piscina que construya tenga el mayor volumen posible V. Comience por expresar el volumen de la caja V  f (x) como función de su altura x y luego use el método de tabulación repetida para encontrar el valor máximo Vmax (redondeado a 2 lugares decimales) que alcanza la función f (x) en el intervalo [0, by2]. (¿Por qué es éste el dominio adecuado de f ?) Para una segunda investigación, suponga que decide que su piscina tenga exactamente la mitad del máximo volumen posible Vmax. Observe primero que una tabulación de f (x) en el intervalo [0, by2] indica que esto es cierto para dos valores diferentes de x. Encuentre cada uno de ellos (redondeando a 3 posiciones decimales). Escriba los resultados de sus investigaciones en la forma de un reporte cuidadosamente organizado que consista de oraciones completas (más las ecuaciones pertinentes y las tablas de datos), que explique sus resultados con detalle y que exprese con precisión qué hizo para resolver sus problemas.

1.2 GRÁFICAS DE ECUACIONES Y FUNCIONES Las gráficas y ecuaciones de las líneas rectas en el plano coordenado xy se repasan en el apéndice B. Recuerde la ecuación de pendiente-ordenada al origen

Y

y  mx + b

YMXB

de la recta con pendiente m  tan φ, ángulo de inclinación φ y ordenada al origen b (figura 1.2.1). La definición de “elevación entre avance horizontal”

F B

MH

X

FIGURA 1.2.1 Línea recta con intersección del eje y en b y ángulo de inclinación φ.

(1)

ELEVACI˜N H AVANCE

Y Y Y H X X X



de la pendiente (figura 1.2.2) lleva a la ecuación de punto-pendiente y − y0  m(x − x0)

(3)

de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x0, y0), vea la figura 1.2.3. En cualquier caso, un punto (x, y) en el plano xy está en la recta si y únicamente si sus coordenadas x y y satisfacen la ecuación indicada.

Y

Y X Y

$YY Y X Y

X Y Y YMX X

F

X Y

$XX X X

FIGURA 1.2.2 Pendiente Y  M H TAN  H X

X

FIGURA 1.2.3 Recta que pasa por (x0, y0) y tiene pendiente m.

SECCIÓN 2

Gráficas de ecuaciones y funciones

13

Si y  0 en la ecuación (2), entonces m  0 y la recta es horizontal. Si x  0, entonces la recta es vertical y (dado que no podemos dividir entre cero) la pendiente de la recta no está definida. Así:

Y

F

• Las rectas horizontales tienen pendiente cero. • Las rectas verticales no tienen la pendiente definida. EJEMPLO 1 Escriba una ecuación para la recta L que pasa por el punto P(3, 5) y es paralela a la recta cuya ecuación es y  2x − 4.

F

X

FIGURA 1.2.4 Rectas paralelas con la misma pendiente m  tan φ.

Solución Las dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación φ (figura 1.2.4) y por lo tanto tienen la misma pendiente m. Al comparar la ecuación dada y  2x − 4 con la ecuación de pendiente-ordenada en (1), vemos que m  2. La ecuación de punto-pendiente deriva en y − 5  2(x − 3);

Y

de manera alternativa, y  2x − 1, como ecuación de la recta L. Las ecuaciones (1) y (3) pueden escribirse como la forma de la ecuación general de la recta X

FIGURA 1.2.5 Grafica de la ecuación X  C Y  D .X  C Y  X/ 

Y

! X C "Y H #:



Inversamente, si B H 0, entonces podemos dividir los términos de la ecuación (4) entre B y despejar y para obtener la ecuación de pendiente-ordenada al origen de la recta. Si A  0, entonces la ecuación resultante tiene la forma y  H, la ecuación de una recta horizontal con pendiente cero. Si B  0 pero A H 0, se puede despejar x  K en la ecuación (4) para obtener la ecuación de una recta vertical (sin pendiente definida). Observamos de nuevo que si los coeficientes A y B no son ambos cero, entonces la ecuación (4) es la ecuación de alguna recta en el plano.

0X Y

Gráficas de más ecuaciones generales D

0X Y

Una línea recta es un ejemplo sencillo de la gráfica de una ecuación. En contraste, un programa de computación con gráficas produjo la exótica curva mostrada en la figura 1.2.5 cuando se le pidió que mostrara el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

Y Y

X X X

FIGURA 1.2.6 El teorema de Pitágoras implica la fórmula de la distancia D D .X X / C .Y Y / 

X  C Y  H .X  C Y  X/ :

Tanto la recta como esta complicada curva son ejemplos de gráficas de ecuaciones.

DEFINICIÓN Gráfica de una ecuación La gráfica de una ecuación en dos variables x y y es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano que satisfacen la ecuación.

Y

Por ejemplo, la fórmula de la distancia de la figura 1.2.6 nos demuestra que la gráfica de la ecuación X  C Y H R 

X Y R

es la circunferencia de radio r centrada en el origen (0, 0). De modo más general, la gráfica de la ecuación

H K

.X H/ C .Y K/ H R  X

FIGURA 1.2.7 Círculo trasladado.





es la circunferencia de radio r con centro en (h, k). Esto también se deduce de la fórmula de la distancia porque la distancia entre los puntos (x, y) y (h, k) en la figura 1.2.7 es r.

14 CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

EJEMPLO 2

La ecuación de la circunferencia con centro en (3, 4) y radio 10 es .X / C .Y / H ;

que también se puede escribir en la forma X  C Y  X Y  H :

Z

Traslación de gráficas Y XH YK

X Y X

Suponga que el plano xy se mueve de forma rígida (o se traslada) moviendo cada punto h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba. (Un valor negativo de h o k corresponde a un movimiento a la izquierda o hacia abajo.) Esto es, cada punto (x, y) del plano se mueve al punto (x + h, y + k); como en la figura 1.2.8. La circunferencia de radio r y centro en (0, 0) se traslada a la circunferencia de radio r y centro en (h, k). Así, la circunferencia general descrita por la ecuación (6) es una traslación de la circunferencia con centro en el origen. Observe que la ecuación de la circunferencia trasladada se obtiene de la ecuación original sustituyendo x − h en lugar de x y y − k en lugar de y. Esta observación ilustra un principio general que describe las ecuaciones de las gráficas trasladadas.

FIGURA 1.2.8 Traslación de un punto.

Principio de traslación Cuando la gráfica de una ecuación se traslada h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba, la ecuación de la curva trasladada se obtiene de la ecuación original sustituyendo x − h en lugar de x y y − k en lugar de y. Observe que escribimos la ecuación de la circunferencia trasladada en la ecuación (6) en la forma general X  C Y  C AX C BY H C:

(7)

¿Qué hacer cuando encontramos una ecuación que ya está en la forma de la ecuación (7)? Hay que considerar que la gráfica puede ser una circunferencia. Si es así, podemos descubrir su centro y radio mediante la técnica de completar cuadrados. Para la que deducimos que X  C AX H X C

A 





A ; 

que muestra que x2 + ax se puede convertir en el cuadrado perfecto (x + 12 a)2 sumándole el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. EJEMPLO 3

Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es



X  C Y  X C Y D :



Solución Se completan los cuadrados por separado para cada una de las variables x y y. Esto da

Y 

.X  X C / C .Y  C Y C / H  C  C I

 



.X / C .Y C / H :







 X



FIGURA 1.2.9 Circunferencia del ejemplo 3.



Así, la circunferencia —mostrada en la figura 1.2.9— tiene centro (2, −3) y radio 5. Al despejar y de la última ecuación se obtiene Y H  

 .X / :

La circunferencia completa consiste en las gráficas de las dos ecuaciones Y H  C

 .X /

Y H 

 .X /

y que describen sus semicircunferencias superior e inferior.

Z

SECCIÓN 2

Gráficas de ecuaciones y funciones

15

Gráficas de funciones La gráfica de una función es un caso especial de la gráfica de una ecuación.

DEFINICIÓN Gráfica de una función La gráfica de la función f es la gráfica de la ecuación y  f (x). La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos en el plano que tienen la forma (x, f (x)), donde x está en el dominio de f (figura 1.2.10). Como la segunda coordenada de estos puntos está determinada únicamente por su primera coordenada, se obtiene el siguiente principio útil: Y X FX X FX

YFX

X FX

FX FX

FX

X

X

X

X

FIGURA 1.2.10 Gráfica de la función f.

Prueba de la línea vertical Cada línea vertical que pasa por un punto del dominio de una función se encuentra con su gráfica exactamente en un punto. Por lo tanto, ninguna línea vertical puede intersecar la gráfica de una función en más de un punto. Por ejemplo, se deduce que la curva en la figura 1.2.5 no puede ser la gráfica de una función, aunque es la gráfica de una ecuación. De manera similar, una circunferencia no puede ser la gráfica de una función.

Y

P X

Construya la gráfica de la función valor absoluto f (x)  u x u.

Y





X

RA

AR

PA

A

X

X





Y

EJEMPLO 4

Y\X\

Solución Recuerde que X

FIGURA 1.2.11 Gráfica de la función valor absoluto y  | x| del ejemplo 4.

jXj H

X X

SI X ; SI X < :

De manera que la gráfica de y  u x u consiste en la mitad derecha de la recta y  x junto Z con la mitad izquierda de la recta y  −x, como se muestra en la figura 1.2.11. EJEMPLO 5

Bosqueje la gráfica de la función recíproca F .X/ H

 : X

Solución Examinemos cuatro casos naturales. 1. Cuando x es positivo y numéricamente grande, f (x) es pequeño y positivo. 2. Cuando x es positivo y cercano a cero, f (x) es grande y positivo. 3. Cuando x es negativo y numéricamente pequeño (negativo y cercano a cero), f (x) es grande y negativo. 4. Cuando x es grande y negativo (x es negativo pero ux u es grande), f (x) es pequeño y negativo (negativo y cercano a cero).

16 CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

   Y X





  

Y

Para comenzar a analizar la gráfica podemos localizar unos cuantos puntos, como

   







  

(1, 1), (−1, −1), (5, 15), (15, 5), (−5, −15) y (−15, −5).

 



 

X





   



FIGURA 1.2.12 Gráfica de la función recíproco y  1yx del ejemplo 5.

Y x

 

La localización de estos puntos, junto con los cuatro casos presentados, sugiere que la Z gráfica se parece a la mostrada en la figura 1.2.12. La figura 1.2.12 muestra un “espacio” o “discontinuidad” en la gráfica de y  1yx en x  0. De hecho, este espacio se conoce como discontinuidad infinita porque y crece sin límite conforme x se acerca a cero por la derecha, mientras que disminuye sin límite cuando x se acerca a cero por la izquierda. Este fenómeno generalmente se indica por la presencia de denominadores que son cero en ciertos valores de x, como en el caso de las funciones   Y F .X/ H  ; F .X/ H X X se pide al lector que bosqueje estas gráficas. EJEMPLO 6 La figura 1.2.13 muestra la gráfica de la función entero mayor f (x)  [[x]] del ejemplo 4 de la sección 1.1. Observe los “saltos” que ocurren en los valores enteros de x. En ocasiones, en las calculadoras, la función entero mayor se denota por Z INT ; en algunos lenguajes de programación se llama FLOOR (Piso en inglés).















X

EJEMPLO 7

Gráfica de la función cuya fórmula es





FIGURA 1.2.13 Gráfica de la función entero mayor f (x)  [[x]] del ejemplo 6.

Solución Recuerde que [[x]]  n, donde n es el mayor entero que no excede a x, es ≤ x < n + 1. Así, si n es un entero, entonces decir, n − F .N/ H N N

 

H  :

Esto implica que el punto (n, −12) está en la gráfica de f para cada entero n. Ahora, si ≤ x < n + 1 (de nuevo, donde n es un entero), entonces n− F .X/ H X N  :

Como la gráfica de y  x − n − 12 es una recta con pendiente 1, se deduce que la gráfica de f toma la forma mostrada en la figura 1.2.14. Esta función de diente de sierra es otro ejemplo de una función discontinua. Los valores de x donde el valor de f (x) tiene el salto se llaman puntos de discontinuidad de la función f. Así, los puntos de discontinuidad de la función de diente de sierra son los enteros. Cuando x se acerca al entero n por la izquierda, el valor de f (x) se acerca a +12, Pero f (x) salta en forma abrupta al valor −12 cuando x  n. Una definición precisa de continuidad y discontinuidad de las funciones aparece en la sección 2.4. La figura 1.2.15 ilustra una calculadora con gráfiZ cas preparada para graficar la función de diente de sierra.

4%8!3).3425-%.43 4) 

Y

T

 x

x

x



F .X/ H X TTXUU  :









X



FIGURA 1.2.14 Gráfica de la función de diente de sierra f (x)  x − TTXUU  del ejemplo 7.

FIGURA 1.2.15 Calculadora con gráficas preparada para la gráfica de la función de diente de sierra del ejemplo 7.

SECCIÓN 2

Gráficas de ecuaciones y funciones

17

Parábolas La gráfica de la función cuadrática de la forma F .X/ H AX  C BX C C

.A



/

es una parábola cuya forma se parece a la parábola específica del ejemplo 8. EJEMPLO 8

Construya la gráfica de la parábola y  x2.

Solución Se localizan algunos puntos de una pequeña tabla de valores. x

−3

−2

−1

0

1

2

3

9

4

1

0

1

4

9

y  x2

Cuando dibujamos una curva suave por estos puntos se obtiene la curva que se muestra Z en la figura 1.2.16. Y   

 

YX

  

  

 

   

X

FIGURA 1.2.16 Gráfica de la parábola y  x2 del ejemplo 8.

La parábola y  −x2 sería similar a la figura 1.2.16, pero estaría abierta hacia abajo y no hacia arriba. De manera más general, la gráfica de la ecuación y  ax2

Y Y X

X

Y X

FIGURA 1.2.17 Gráfica de la parábola x  y2 del ejemplo 9.

(9)

es una parábola con vértice en el origen, siempre que a H 0. Esta parábola se abre hacia arriba si a > 0 y lo hace hacia abajo si a < 0. [Por el momento podemos considerar el vértice de una parábola como el punto en el que “cambia de dirección”. El vértice de una parábola de la forma y  ax2 (a H 0) siempre está en el origen. En el capítulo 9 se da una definición precisa del vértice de una parábola.] EJEMPLO 9

x. Construya las gráficas de las funciones f (x)   x y g(x)  −

Solución Después de localizar y conectar los puntos que satisfacen y  6 x , se obtiene la parábola y2  x mostrada en la figura 1.2.17. Esta parábola se abre a la derecha. La mitad superior es la gráfica de f (x)   x ; la mitad inferior es la gráfica de g(x)  − x . De aquí que la unión de las gráficas de estas dos funciones es la gráfica de una sola ecuación: y2  x. (Compare esto con la circunferencia del ejemplo 3.) De forma más general, la gráfica de la ecuación x  by2

(10)

es una parábola con vértice en el origen, siempre que b H 0. Esta parábola se abre a la Z derecha si b > 0 (como en la figura 1.2.17), y a la izquierda si b < 0.

18 CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

El tamaño del coeficiente a en la ecuación (9) [o b en la ecuación (10)] determina el “ancho” de la parábola; su signo determina la dirección en la que se abre. En particular, cuanto más grande es a > 0, mayor pendiente tendrá la curva al abrirse y por ende más angosta será la parábola. (Vea la figura 1.2.18.) A A A Y

A

V

 H

A

Y 

U

0 V



U



 X

H K



K X

FIGURA 1.2.18 Parábolas con diferentes anchos.

FIGURA 1.2.19 Parábola trasladada.

La parábola de la figura 1.2.19 tiene la forma de la “parábola estándar” del ejemplo 8, pero su vértice está localizado en el punto (h, k). En el sistema de coordenadas uv, la ecuación de esta parábola es v  u2, en analogía con la ecuación (9) cuando a  1. Pero las coordenadas uv y las coordenadas xy tienen la siguiente relación: U H X H;

G H Y K:

Así, la ecuación en coordenadas xy de esta parábola es Y K H .X H/ :



Por lo tanto, cuando la parábola y  x2 se traslada h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba, la ecuación (11) de la parábola trasladada se obtiene sustituyendo x − h en lugar de x y y − k en lugar de y. Éste es otro caso del principio de traslación que se mencionó en conexión con las circunferencias. Generalizando, la gráfica de cualquier ecuación de la forma Y H AX  C BX C C

.A

/



se puede reconocer como una parábola trasladada si primero se completa el cuadrado en x para obtener una ecuación de la forma Y K H A.X H/ :

Y



La gráfica de esta ecuación es una parábola con vértice en (h, k). EJEMPLO 10 X

Determine la forma de la gráfica de la ecuación Y H X  X :



Solución Si completa el cuadrado en x, la ecuación (14) toma la forma Y H .X  X C / I Y C  H .X / :  

FIGURA 1.2.20 Parábola Y H X  X  del ejemplo 10.

Así, la gráfica de la ecuación (14) es la parábola de la figura 1.2.20. Se abre hacia arriZ ba y su vértice está en (1, −3).

SECCIÓN 2

Gráficas de ecuaciones y funciones

19

Aplicaciones de funciones cuadráticas En la sección 1.1 vimos que para cierto tipo de problemas aplicados es necesario encontrar el máximo o el mínimo que logra una función f. Si f es una función cuadrática como en la ecuación (8), entonces la gráfica de y  f (x) es una parábola. En este caso, el valor máximo (o mínimo) de f (x) corresponde al punto más alto (o más bajo) de la parábola. Por lo tanto, podemos encontrar este valor máximo (o mínimo) a partir de la gráfica —por lo menos su aproximación— amplificando el vértice de la parábola. Por ejemplo, recuerde el problema del corral de la sección 1.1. En el ejemplo 9 de esa sección vimos que el área A del corral (vea la figura 1.2.21) está dada como una función de la longitud de su base x por

X FT

Y FT

FT Y

FT X

0ARED

FIGURA 1.2.21 Corral para animales.

!.X/ H  .X X  /;



X

:

(15)

La figura 1.2.22 muestra la gráfica de y  A(x) y las figuras 1.2.23, 1.2.24 y 1.2.25 muestran amplificaciones sucesivas de la región cercana al punto alto (vértice) de la parábola. El rectángulo punteado en cada figura es la vista de la siguiente. En la figura 1.2.25 parece que el área máxima del corral es A(15)  135. Es claro en esta figura que el valor máximo de A(x) tiene un error de 0.001 respecto a A  135. 





 



Y

Y 



 

Y!X



Y!X





X



 







X







FIGURA 1.2.22 Gráfica de y  A(x).

FIGURA 1.2.23 Primera amplificación.





  Y

Y 



Y!X

Y!X

 



! 

0UNTOMÖSALTO   RECTATANGENTE HORIZONTAL







 X





FIGURA 1.2.24 Segunda amplificación.

 



 X





FIGURA 1.2.25 Tercera amplificación.

Al completar el cuadrado como en el ejemplo 10 podemos verificar que el valor máximo es precisamente A(15)  135: ! H  .X  X/ H  .X  X C  /

!  X X 

H  .X  X C / C I 



FIGURA 1.2.26 Gráfica de !.X/ H  .X X  / para 



X

es decir, !  H  .X / :

X



(16)

Se deduce de la ecuación (16) que la gráfica de la ecuación (15) es la parábola mostrada en la figura 1.2.26, que se abre hacia abajo desde su vértice (15, 135). Esto prueba que el valor máximo de A(x) en el intervalo [0, 30] es el valor A(15)  135,

20

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

como lo sugerían las investigaciones numéricas de la sección 1.1 y las investigaciones gráficas de esta sección. Cuando observamos la ecuación (16) en la forma !.X/ H   .X / ;

es evidente que el valor máximo posible de 135 − 35u2 es 135 cuando u  x − 15  0, esto es, cuando x  15. La técnica de completar cuadrados es bastante limitada: se puede usar para encontrar valores máximos y mínimos únicamente tratándose de funciones cuadráticas. Una de las metas del cálculo es desarrollar una técnica más general que se pueda aplicar a una variedad mucho más amplia de funciones. La base de esta técnica más general está en la siguiente observación. La inspección visual de la gráfica de !.X/ H  .X X  /

en la figura 1.2.26 sugiere que la recta tangente a una gráfica en su punto más alto es horizontal. Si supiéramos que la tangente a una gráfica en su punto más alto debe ser horizontal, nuestro problema se reduciría a demostrar que (15, 135) es el único punto de la gráfica de y  A(x) en el que la recta tangente es horizontal. Pero, ¿qué quiere decir recta tangente de una curva arbitraria? Se analizará esta pregunta en la sección 2.1. La respuesta abrirá la puerta a la posibilidad de encontrar los valores máximos y mínimos de una gran variedad de funciones.

Puntos de vista gráfico, numérico y simbólico Una ecuación y  f (x) proporciona una descripción simbólica de la función f. Una tabla de valores de f (como las de la sección 1.1) es una representación numérica de la función, mientras que esta sección trata más que nada con las representaciones gráficas de las funciones. Con frecuencia las aplicaciones interesantes incluyen entender la misma función desde por lo menos dos de estos tres puntos de vista. EJEMPLO 11 Suponga que un auto parte (en el tiempo t  0 horas) en Atenas, Georgia (posición x  0 millas), y viaja a Atlanta (posición x  60) a una velocidad constante de 60 mi/h. El auto permanece en Atlanta justo una hora, luego regresa a Atenas, de nuevo con velocidad constante de 60 mi/h. Describa la “función de posición” del auto gráfica y simbólicamente.

Solución Es bastante claro que x  60t durante el viaje de una hora de Atenas a Atlanta; por ejemplo, después de t  12 hora, el auto viajó la mitad, de manera que x  ≤ t ≤ 2, la posición del auto es constante, x ≡ 30  12 · 60. Durante la siguiente hora, 1 − − ≤ t ≤ 3, la 60. Y quizá pueda ver que durante el viaje de regreso en la tercera hora, 2 − − posición del auto está dada por X H  .T / H  T

(de manera que x(2)  60 y x(3)  0). Así, la función de posición x(t) está definida simbólicamente por

X XXT



X.T/ H 





T

FIGURA 1.2.27 Gráfica de la función de posición x(t) del ejemplo 11.

T

SI 

T

;



SI  < T

;

 T

SI  < T

:

El dominio de esta función es el intervalo de t [0, 3] y su gráfica se muestra en la figura 1.2.27, donde denotamos tanto la función como la variable dependiente con el mismo Z símbolo x (un abuso de notación que es común en las aplicaciones).

SECCIÓN 2      0      

Gráficas de ecuaciones y funciones

21

EJEMPLO 12 Durante la década de los ochenta la población P (en miles) de una pequeña ciudad en crecimiento se registró en la siguiente tabla. !®O













T













0













00T

Estime la población de esta ciudad en el año 1987. 





T



FIGURA 1.2.28 Función de población del ejemplo 12.





Solución La figura 1.2.28 muestra una gráfica de la función de población P(t) obtenida al conectar seis puntos dados (t, P(t)) con una curva suave. Una medición cuidadosa de la altura del punto en esta curva en el que t  7 da la población aproximada Z P(7) ≈ 37.4 (miles) en la ciudad en 1987.

1.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Las rectas paralelas, si no son verticales, tienen la misma pendiente. La recta con ecuación y  3x − 5 tiene pendiente 3 y ordenada al origen 5. La gráfica de la ecuación .X / C .Y C / H  es una circunferencia. La gráfica de la función f está definida como la gráfica de la ecuación y  f (x). Si el número a en el eje x está en el dominio de la función f, la recta vertical que pasa por a cruza la gráfica de f exactamente en un punto. La gráfica de y  ux u tiene una discontinuidad en x  0. La gráfica de la “función de diente de sierra” del ejemplo 7 tiene una discontinuidad en cada valor entero de x. Si a H 0, la gráfica de y  ax2 es una parábola con vértice en el origen. La gráfica de Y H X  X  (ejemplo 10) es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice en el punto (1, −3). La fórmula de posición x(t) en el ejemplo 11 no es una función porque su regla se expresa en tres partes.

1.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Al principio de esta sección se revisaron dos formas generales de ecuaciones de líneas rectas. Describa una línea recta para la que es más conveniente usar la ecuación de pendiente-ordenada al origen al escribir la ecuación de la recta. Después describa una recta para la cual es más conveniente la ecuación de puntopendiente. 2. a) ¿Cuál es la diferencia entre una recta que tiene pendiente cero y una recta sin pendiente? Si dos rectas son perpendiculares y una de ellas tiene pendiente cero, ¿cuál es la pendiente de la otra? b) Siendo L1 y L2 dos rectas perpendiculares con pendientes m1 y m2, respectivamente. El teorema 2 en el apéndice B asegura que L1 y L2 son perpendiculares si, y sólo si, m1m2  −1. ¿Es cierta esta afirmación en el caso en que L1 es el eje x y L2 el eje y o existe una omisión en el teorema 2 del apéndice B? 3. a) Bosqueje la gráfica de la ecuación | x | + |y |  1. ¿Es ésta la gráfica de alguna función? Justifique su respuesta. b) Repita el inciso a), pero con la ecuación |x + y |  1. 4. a) Suponga que f es una función tal que f (x) > 0 para todo real x. Analice si la gráfica de la ecuación dada es la gráfica de alguna función. i) Y  H F .X/I ii) jYj H F .X/I iii) Y D j F .X/j:

22

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

b) Repita el inciso a), pero suponga que f (x) < 0 para toda x. c) Repita el inciso a), pero suponga que f tiene valores tanto positivos como negativos. Por ejemplo, bosqueje las gráficas de las ecuaciones en i), ii) y iii) si f (x)  x2 − 1. 5. Los artículos de los periódicos a menudo describen o se refieren a funciones (explícita o implícitamente) pero rara vez contienen ecuaciones. Encuentre y analice ejemplos de representaciones numéricas y gráficas de funciones en un tema común de su periódico local. También intente encontrar una referencia a una función que esté descrita en forma verbal, pero sin una gráfica o representación numérica.

1.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, escriba una ecuación de la recta L descrita y bosqueje su gráfica. 1. L pasa por el origen y el punto (2, 3). 2. L es vertical e intercepta al eje x en 7. 3. L es horizontal y pasa por (3, −5). 4. L tiene abscisa 2 y ordenada −3. 5. L pasa por (2, −3) y (5, 3). 6. L pasa por (−1, −4) y tiene pendiente 12. 7. L pasa por (4, 2) y tiene un ángulo de inclinación de 135°. 8. L tiene pendiente 6 y ordenada al origen 7. 9. L pasa por (1, 5) y es paralela a la recta con ecuación 2x + y  10. 10. L pasa por (−2, 4) y es perpendicular a la recta con ecuación x + 2y  17. Bosqueje las circunferencias trasladadas en los problemas 11 a 16. Indique el centro y el radio de cada una.  X  C Y  H X

 X  C Y  C Y H 

 X  C Y  C X C Y H 

 F .X/ H  X;



X 0, es el punto (h, k) si C  0, y no contiene puntos si C < 0. (¿Por qué?) Identifique las gráficas de las ecuaciones en los problemas 23 a 26. Si la gráfica es una circunferencia, proporcione su centro y radio.  X  C Y  X C Y H   X  C Y  X C Y C  H   X  C Y  C X C Y C  H   X  C Y  X C Y C  H 

Bosqueje las gráficas de las funciones en los problemas 27 a 50. Tome en cuenta el dominio de definición de cada función y localice los puntos necesarios.  F .X/ H  X;



X



 .X C /

jXj X

SI X < ; SI X 

Bosqueje las gráficas de las funciones dadas en los problemas 51 a 56. Indique cualesquiera puntos de discontinuidad.  F .X/ H

 SI X < ;  SI X 

 F .X/ H

 

SI X ESENTERO DEOTRAMANERA

 F .X/ H TTXUU  F .X/ H TTXUU X

X  jX j  F .X/ H TTXUU C TT XUU C 

 F .X/ H

En los problemas 57 a 64 use una calculadora graficadora o una computadora para encontrar (amplificando) el punto P más alto o más bajo (según sea el caso) en la parábola dada. Determine las coordenadas de P con dos dígitos decimales correctos o correctamente redondeados. Después verifique su resultado completando cuadrados para encontrar el vértice real de la parábola.  Y H X  X C   Y H X  X C   Y H X  X C   Y H X  X C   Y H  C X X 

SECCIÓN 2

 Y H  X X   Y H  X X

 Y H  C X X



En los problemas 65 a 68, use el método de completar cuadrados para graficar la función adecuada y con ello determinar el valor máximo o mínimo que se pide. 65. Si una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s, entonces su altura t segundos después es y  96t − 16t2 (pies). Determine la altura máxima que alcanza la pelota. 66. Encuentre el área máxima posible del rectángulo descrito en el problema 40 de la sección 1.1. 67. Encuentre el valor máximo posible del producto de dos números positivos cuya suma es 50. 68. El problema 42 de la sección 1.1 le pidió que expresara la producción diaria de un campo petrolero específico como una función P  f (x) del número x de nuevos pozos perforados. Construya la gráfica de f y utilícela para encontrar el valor de x que maximiza P. En los problemas 69 a 72 escriba una descripción simbólica de la función cuya gráfica se presenta. Puede usar la función del entero mayor de los ejemplos 6 y 7 (si es necesario). 69. Figura 1.2.29 Y  

 



   







X



FIGURA 1.2.29 Problema 69.

70. Figura 1.2.30 Y 

  

 

     

23

72. Figura 1.2.32



  

Gráficas de ecuaciones y funciones

  





 X





FIGURA 1.2.30 Problema 70.

71. Figura 1.2.31 Y   









FIGURA 1.2.31 Problema 71.



X

Y  

   









X





FIGURA 1.2.32 Problema 72.

Cada uno de los problemas 73 a 76 describe un viaje que se realiza por un camino recto que conecta a dos ciudades separadas 120 millas. Bosqueje la gráfica de la distancia x desde su punto de partida (en millas) como función del tiempo t transcurrido (en horas). Describa además la función x(t) simbólicamente. 73. Viaja una hora a 45 mi/h, luego se da cuenta que está retrasado, por lo que viaja a 75 mi/h la siguiente hora. 74. Viaja una hora a 60 mi/h, se detiene media hora mientras cruza el camino una manada de renos caribú, luego maneja hacia su destino la siguiente hora a 60 mi/h. 75. Viaja una hora a 60 mi/h, súbitamente queda envuelto en niebla y se regresa a casa a 30 mi/h. 76. Viaja media hora a 60 mi/h, recuerda que dejó su cartera en casa, maneja de regreso a 60 mi/h para recogerla y finalmente maneja durante dos horas a 60 mi/h hacia su destino. 77. Suponga que el costo C de imprimir un panfleto de un máximo de 100 páginas es una función lineal del número p de páginas que contiene. Cuesta $1.70 imprimir un panfleto de 34 páginas, mientras que 79 páginas cuestan $3.05. a) Exprese C como función de p. Use esta función para encontrar el costo de imprimir un panfleto de 50 páginas. b) Bosqueje la gráfica de la recta de la función C(p). Diga qué significan la pendiente y la ordenada al origen de esta recta, quizá en términos del “costo fijo” para preparar la prensa para impresión y el “costo marginal” de cada página adicional impresa. 78. Suponga que el costo C de rentar un auto por un día es una función lineal del número x de millas que maneja ese día. El día 1 manejó 207 millas y el costo fue $99.45. El día 2 manejó 149 millas y el costo fue $79.15. a) Exprese C como función de x. Use esta función para encontrar el costo para el día 3 si maneja 175 millas. b) Bosqueje la gráfica de la recta de la función C(x). Diga qué significan la pendiente y la ordenada, quizá en términos de los costos fijo y marginal como en el problema 77. 79. Por un paquete enviado por Federal Express a cierto destino y que pesa cuando mucho una libra, el precio C es $8.00 por las primeras 8 onzas más 80¢ por cada onza o fracción adicional. Bosqueje la gráfica de esta función C del número total x de onzas y descríbala simbólicamente en términos de la función del mayor entero de los ejemplos 6 y 7. 80. En determinada ciudad, el precio C por un viaje en taxi de 20 millas máximas es $3.00 por las primeras 2 millas (o fracción), más 50¢ por cada media milla (o parte) hasta un total de 10 millas, más 50¢ por cada milla (o parte) adicional después de las 10 millas. Bosqueje la gráfica de esta función C del número x de millas y haga su descripción simbólica en términos de la función del mayor entero de los ejemplos 6 y 7.

CAPÍTULO 1

24

Funciones, gráficas y modelos

81. El volumen V (en litros) de una muestra de 3 g de dióxido de carbono a 27°C se midió como una función de su presión p (en atmósferas) con los resultados mostrados en la siguiente tabla: P











6











que relacionan las longitudes x y y indicadas en la figura 1.2.33. La gráfica de la ecuación (17) es una hipérbola rectangular trasladada, mientras que la gráfica de la ecuación (18) es una parábola trasladada (figura 1.2.34). Puede usar una calculadora con gráficas o una computadora para localizar el o los puntos pertinentes de intersección de estas dos gráficas.

Bosqueje la gráfica de la función V( p) y use la gráfica para estimar los volúmenes de la muestra de gas a presiones de 0.5 y 5 atmósferas. 82. La temperatura promedio T (en °F) en Atenas, Georgia, se midió a intervalos de dos meses, con los resultados mostrados en la siguiente tabla:

X



X  Y



FIGURA 1.2.33 El árbol roto.

&ECHA *UL  3EP  .OV  %NE -AR  -AY  4













Bosqueje la gráfica de T como función del número de días después del 15 de julio. Después use su gráfica para estimar la temperatura promedio el 15 de octubre y el 15 de abril. 83. Un árbol de 50 ft está a 10 ft de una barda que tiene 10 ft de alto. Repentinamente, el árbol se “rompe” en cierto punto. Determine a qué altura se rompió el árbol si su tronco apenas tocó la parte alta de la barda cuando la copa llegaba al suelo al otro lado de la barda. La clave es usar geometría sencilla para derivar las ecuaciones YH

 ; X 

.Y C / H  X

 

Y  X  

Y  X 

  Y 

 







 





 X







FIGURA 1.2.34 Hipérbola y parábola para la investigación del árbol roto.

1.3 POLINOMIOS Y FUNCIONES ALGEBRAICAS



En esta sección y en la siguiente se revisarán brevemente varias funciones que se usan en aplicaciones del cálculo, para describir y modelar un fenómeno cambiante del mundo que nos rodea. Nuestro punto de vista en gran parte es gráfico. El objetivo es lograr una comprensión general de las principales diferencias entre distintos tipos de funciones. En capítulos posteriores se usa el cálculo para investigar mayormente las gráficas que se presentan aquí.

X



X

 X

Y   







 X





FIGURA 1.3.1 Gráficas de funciones potencia de grado par (ejemplo 1).

Funciones potencia Una función de la forma f (x)  x k (donde k es una constante) se llama función potencia. Si k  0, entonces tenemos la función constante f (x) ≡ 1. La forma de la gráfica de una función potencia con exponente k  n, un entero positivo, depende de si n es par o impar. EJEMPLO 1 Las gráficas de las funciones potencia de grado par x 2, x4, x6, . . . “abren hacia arriba”, como se indica en la figura 1.3.1. Si n > 2 es un entero par, la gráfica de y  x n se parece a la parábola y  x 2, pero es más plana cerca del origen y más inclinada cuando ux u > 1. Las gráficas de funciones potencia de grado impar x1, x 3, x 5, . . . tienen todas un trazo “de suroeste a noreste”, como se indica en la figura 1.3.2. Si n > 3 es un entero impar, la gráfica de y  x n se parece a la de y  x 3, pero es de nuevo más plana cerca Z del origen y más inclinada cuando u x u > 1.

SECCIÓN 1.3 

X

Observe que todas las gráficas de funciones potencia en las figuras 1.3.1 y 1.3.2 pasan por el origen, por el punto (1, 1) y por (−1, 1) o bien (−1, −1), dependiendo de si n es par o impar. En cualquier caso, x n aumenta numéricamente (al lado positivo o negativo) cuando x crece. ¿Estaría de acuerdo que la notación

X

 X Y 

X N ! C1 CUANDO X ! C1;









 X



Polinomios y funciones algebraicas 25



FIGURA 1.3.2 Gráficas de funciones potencia de grado impar (ejemplo 1).

XN !

C1 1

CUANDO X ! 1 CUANDO X ! 1

(donde la flecha significa “tiende a”), proporciona una conveniente y sugestiva descripción de las características generales, cuando u x u crece, de las gráficas de las figuras 1.3.1 y 1.3.2? La gráfica de y  x k tiene una apariencia muy distinta si el exponente k no es un entero positivo. Si k es un entero negativo —digamos, k  −m, donde m es un entero positivo—, entonces F .X/ H X K H X M H

     Y 













FIGURA 1.3.3 Y H

     Y 













FIGURA 1.3.3 Y H

SI N ESPAR SI N ESIMPAR

 ; XM

así en este caso la función potencia es el recíproco de una función como las del ejemplo 1. Las figuras 1.3.3 y 1.3.4 muestran las gráficas de Y H X  H

YX 

 X



  X

YX 

 X



 X

Y

Y H X  H

 ; X

respectivamente. Observe que 0 no está en el dominio de estas funciones. Más aún, el recíproco de un número cercano a cero tiene una magnitud muy grande, lo cual explica el comportamiento de estas gráficas cerca de cero: en ambas | y | es muy grande —por lo que el punto (x, y) está muy arriba o muy abajo— cuando x es cercano a cero. ≤ 0 y k no es un entero. En el caso La gráfica de y  x k no estará definida si x − más sencillo, cuando k es irracional, no intentamos definir x k si x < 0, de manera ≥ 0. que la gráfica de x k existe sólo para x − La situación es todavía más complicada si el exponente k no es un entero. No intentamos (por ahora) definir la expresión x k si k es irracional; es decir, si no es un cociente de enteros. Pero si k  myn es racional, donde los enteros m y n no tienen factores enteros comunes mayores que 1, podemos escribir p N X K H X M=N H X M ;

y en consecuencia interpretar f (x)  x k como una “función raíz”. Si n es impar, p N M entonces X está definida para toda x real si m es positivo y para todos lospvalores de x diferentes de cero si m es negativo. Pero si n es par y m impar, la raíz N X M no está definida para valores negativos de x. El comportamiento típico de estas funciones raíz se ilustra por las gráficas de p x y y  x1y3   X mostradas en las figurasp1.3.5 y 1.3.6. La raíz y  x1y2   ≥ 0. La raíz cúbica  X está definida para x está definida sólo para x − cuadrada  toda x, pero note que su gráfica es tangente al eje y en el origen.

  X



 



Y

  Y

Y

X

 



X

 Y 









         X

FIGURA 1.3.5 Y H X = 







 X

FIGURA 1.3.6 Y H X = 



26

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

Combinación de funciones Muchas funciones variadas y complicadas se unen a partir de simples “funciones como bloques de construcción”. Aquí se presentan algunas maneras de combinar funciones para obtener nuevas. Suponga que f y g son funciones y que c es un número real fijo. El múltiplo (escalar) cf, la suma f + g, la diferencia f − g, el producto f · g y el cociente fyg son las nuevas funciones con las siguientes fórmulas: .C F /.X/ H C
F .X/;

(1)

. F C G/.X/ H F .X/ C G.X/;

(2)

. F G/.X/ H F .X/ G.X/;

(3)

. F
G/.X/ H F .X/
G.X/;

Y

(4)

F F .X/ .X/ H : G G.X/

(5)

Las combinaciones en las ecuaciones (2) a (4) están definidas para todo número x que está tanto en el dominio de f como en el dominio de g. En la ecuación (5) se requiere que g(x) H 0. EJEMPLO 2

Sea F .X/ H X  + 1 y G.X/ H X  De este modo: . F /.X/ H .X  C /; . F C G/.X/ H .X  C / C .X / H X  C X; . F G/.X/ H .X  C / .X / H X  X C ; . F
G/.X/ H .X  C /.X / H X  X  C X ;

Y



F X C .X/ H G X 

.X H /:

p

Z

p

≤ 1 y g(x)   C X para x ≥ −1, la suma EJEMPLO 3 Si f (x)   X para x − − y el producto de f y g están definidos donde ambas funciones f y g está definidas. Así, el dominio de los dos p p F .X/ C G.X/ H  X C  C X y p p F .X/
G.X/ H  X  C X H  X  es el intervalo cerrado [−1, 1]. Pero el dominio del cociente p F .X/ X X H Hp CX G.X/ CX es el intervalo semiabierto (−1, 1], porque g(−1)  0.

Z

Los resultados de las operaciones algebraicas algunas veces se pueden visualizar con la ayuda de interpretaciones geométricas de las operaciones. Las figuras 1.3.7 a 1.3.10 muestran los resultados de varias operaciones que involucran la función f (x)  20x 2(x 2 − 1)2. Sumar una constante simplemente hace que la gráfica corra en sentido vertical, como en la figura 1.3.7, que muestra que y  f (x) + c para c  −2, 0, 2 y 4. La multiplicación por una constante positiva c expande (si c > 1) o contrae (si 0 < c < 1) la gráfica en la dirección vertical, como en la figura 1.3.8, que muestra que y  cf (x) para c  1, 2 y 3. La figura 1.3.9 ilustra y  f (x) y la parábola y  2x 2, mientras que la figura 1.3.10 muestra la gráfica de y  2x 2 + f (x), obtenida sumando las ordenadas de las curvas.

SECCIÓN 1.3 

C



C

 



C 

         X

FIGURA 1.3.7 Y H X  .X  / C C PARA C H    

FIGURA 1.3.8 Y H C
X  .X  / PARA C H   

YXX  

Y

YXXX  















Y













27

C   C   Y      C 



         X

C

 Y

Polinomios y funciones algebraicas



YX

YX



         X



         X

FIGURA 1.3.9 Y H X  Y Y H X  .X  / 

FIGURA 1.3.10 Y H X  Y Y H X  C X  .X  / 

Polinomios Un polinomio de grado n es una función de la forma P.X/ H AN X N C AN X N C


C A X  C A X C A

(6)

donde los coeficientes a0, a1, . . . , an son número reales fijos y an H 0. Así, un polinomio de grado n es una suma de múltiplos constantes de las funciones potencia ;

X;

X ;

::: ;

X N ;

XN:

Un polinomio de primer grado es simplemente una función lineal a1x + a0 cuya gráfica es una línea recta. Un polinomio de segundo grado es una función cuadrática cuya gráfica y  a2x2 + a1x + a0 es una parábola (vea la sección 1.2). Recuerde que un cero de la función f es una solución de la ecuación f (x)  0. ¿Es obvio que los ceros de f (x) son precisamente las intersecciones con el eje x de la gráfica y  f (x)? Sin duda, una razón importante para interesarse por la gráfica de una función es ver el número y las localizaciones aproximadas de sus ceros. Una clave para comprender las gráficas de los polinomios de grado más alto es el teorema fundamental del álgebra. Establece que todo polinomio de grado n tiene n ceros (tal vez complejos, tal vez repetidos). Se deduce que un polinomio de grado n tiene no más de n ceros reales diferentes.

28

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

EJEMPLO 4 Las figuras 1.3.11 y 1.3.12 exhiben polinomios que tienen el número máximo de ceros reales permitidos por el teorema fundamental del álgebra. Pero las gráficas de las funciones potencia en las figuras 1.3.1 y 1.3.2 muestran que un polinomio de grado alto puede tener un solo cero real, y la función cuadrática

  Y 

F .X/ H X  C X C  H .X C / C 



no tiene ceros reales. (¿Por qué?) La figura 1.3.7 incluye gráficas de polinomios de grado que tienen seis, tres o ningún cero. Sin duda, un polinomio de grado n pude tener Z cualquier número de ceros entre 0 y n si n es par (de 1 a n si n es impar).







 X





FIGURA 1.3.11 f (x)  x3 − 3x2 + 1 tiene tres ceros reales (ejemplo 4).

     Y 













Un polinomio se comporta “cerca del infinito” —es decir, fuera del intervalo en el eje x que contiene sus ceros reales— de manera muy parecida a la función potencia del mismo grado. Si p(x) es un polinomio de grado impar, y  p(x) va en direcciones opuestas (verticales) cuando x tiende a −∞ y a +∞ (parecido a la gráfica de la función cúbica de la figura 1.3.11). Pero si p(x) es un polinomio de grado par, y  p(x) va en la misma dirección (vertical) cuando x tiende a −∞ y a +∞ (como el polinomio de grado 4 de la figura 1.3.12). Entre los extremos a la izquierda y derecha, donde u x u es grande, un polinomio de grado n tiene, a lo más, n − 1 “dobleces”, como los 2 dobleces de la gráfica del polinomio de grado 3 en la figura 1.3.11 y los 3 dobleces de la gráfica del polinomio de grado 4 en la figura 1.3.12. En el capítulo 4 se usará el cálculo para ver por qué ocurre esto (y precisar el concepto de “doblez” en una curva).

Gráficas en calculadora/computadora





 X







FIGURA 1.3.12 f (x)  x4 − 4x2 + x + 1 tiene cuatro ceros reales (ejemplo 4).

Una aplicación típica de gráficas en calculadora o computadora muestra (en su pantalla o monitor) sólo esa porción de la gráfica y  f (x) que está dentro de una ventana seleccionada de la forma f.X; Y/ V A X B y C Y D g: Las partes de la gráfica que están fuera de esta ventana no se ven (figura 1.3.13). Con una calculadora, los valores máximo y mínimo de x y y pueden introducirse de manera explícita en una forma como 8MIN H A 8MAX H B

9MIN H C 9MAX H D

Con frecuencia el usuario debe especificar cuidadosamente el rango o intervalo de x [a, b] y el intervalo de y [c, d] para que la ventana muestre la porción deseada de la gráfica. La “ventana por omisión” de la calculadora o computadora puede proporcionar sólo un punto de partida. Y

D

C A

FIGURA 1.3.13 Ventana A

X

B

B C

Y

X

D

EJEMPLO 5 Construya una gráfica que exhiba las características principales del polinomio cúbico Y H X  C X  C X :

(7)

SECCIÓN 1.3

Polinomios y funciones algebraicas 29

Solución Se anticipa una gráfica que se parece a la gráfica cúbica de la figura 1.3.11, que va de “suroeste a noreste”, quizá con un par de dobleces en el camino. Pero cuando se introduce la ecuación (7) en una calculadora con gráficas con la ventana por omisión ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10, se obtiene el resultado mostrado en la figura 1.3.14. Es −10 − − − − evidente que la ventana no es suficientemente grande para mostrar el comportamiento esperado.      Y 















 X











 Y 

 Y 













   





   

 X

   

 X

   

FIGURA 1.3.16 Y H X  C X  C 5x − 66 con la ventana  X   Y 

Al duplicar las dimensiones de la ventana, se obtiene el resultado de la figura 1.3.15. Ahora se ven los tres ceros que puede tener un polinomio cúbico, lo mismo que cierta posibilidad de dos dobleces, pero parece que se necesita ampliar en la dirección de y. Quizá se requiere un intervalo de y medido en cientos en lugar de decenas. Con ≤ x ≤ 20, −200 ≤ y ≤ 200 obtenemos por fin la gráfica adecuada la ventana −20 − − − − de la figura 1.3.16. Una vez que se amplifica para tener una “vista global”, se pueden amplificar los puntos de interés. Por ejemplo, la figura 1.3.16 indica los “cuadros de amplificación” que localizan los tres ceros del polinomio en (7). Parece que estos ceros se localizan en (o cerca de) los puntos x  −11, x  −3 y x  2. Cada quien se puede aproximar en la gráfica tanto como desee (sujeto a las limitaciones de su computadora) con el método de amplificaciones sucesivas. (Intente convencerse de que estos tres ceros son Z exactamente los enteros indicados. ¿Cómo puede verificar que esto es cierto?) 

 X





FIGURA 1.3.17 y  .X  /.X /.X :/ con la ventana  X   Y 

Y 



FIGURA 1.3.18 y  .X  /.X /.X :/ con la ventana : X :  Y 

Investigue la gráfica del polinomio de cuarto grado

Solución Ahora conocemos de antemano los ceros x  −1, 1, 10 y 10.1, de manera que tiene sentido elegir un rango de x que los incluya. Note que f (0)  −101, y supone≤ x ≤ 15, mos que un rango de y medido en cientos es adecuado. Así, con la ventana −5 − − ≤ ≤ −1000 − y − 1000, se obtiene la atractiva gráfica de la figura 1.3.17. Observe que con sus tres dobleces se parece a la gráfica de grado cuatro en la figura 1.3.12. Pero ahora el comportamiento de la gráfica cerca del punto x  10 no está claro, ¿baja o no del eje x? Seleccionamos la ventana 9.5 X :  Y  para amplificar esta área y obtener el resultado en la figura 1.3.18. Éste es un caso en el que parece que se requieren trazos a diferentes escalas para mostrar el detalle del comporZ tamiento de la gráfica.



 X

EJEMPLO 6

F .X/ H .X  /.X /.X :/ H X  .:/X  C X  C .:/X : (8)



 





FIGURA 1.3.15 Y H X  C X  C 5x − 66 con la ventana  X   Y 

FIGURA 1.3.14 Y H X  C X  C 5x − 66 con la ventana  X   Y 

     Y 

















Las gráficas de los ejemplos 5 y 6 exhiben el número máximo posible de ceros y dobleces para los polinomios de las ecuaciones (7) y (8), por lo que tenemos confianza en que nuestra investigación revela las principales características cualitativas de las gráficas de estos polinomios. Pero sólo con las técnicas del cálculo del capítulo 4 se puede estar seguro de la estructura de una gráfica. Por ejemplo, una gráfica de polinomios puede mostrar menos dobleces que el número máximo posible, pero en esta fase no podemos estar seguros de que no se esconden más dobleces en algún lado, tal vez sólo visibles en una escala diferente de la ventana que elegimos.

30

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

Funciones racionales Igual que un número racional es el cociente de dos enteros, una función racional es el cociente F .X/ H

P.X/ Q.X/



de dos polinomios p(x) y q(x). Las gráficas de funciones racionales y polinomiales tienen varias características en común. Por ejemplo, una función racional tiene un número finito de ceros, porque f (x) en la ecuación (9) es cero sólo cuando el polinomio del numerador p(x) es cero. De manera similar, la gráfica de una función racional tiene también un número finito de dobleces. Pero el polinomio en el denominador q(x) en la ecuación (9) puede tener un cero en el punto x  a donde el numerador es diferente de cero. En este caso el valor de f (x) será muy grande en magnitud cuando x esté cerca de a. Esta observación implica que la gráfica de una función racional tiene una característica que ninguna gráfica polinomial tiene: una asíntota. EJEMPLO 7

La figura 1.3.19 muestra la gráfica de la función racional F .X/ H

.X C /.X / : X.X C /.X /



Observe que las intersecciones con el eje x, x  −2 y x  1, corresponden a los ceros del numerador (x + 2)(x − 1). Las rectas verticales x  −1, x  0 y x  2 mostradas en la gráfica corresponden a los ceros del denominador x(x + 1)(x − 2). Estas Z rectas verticales son asíntotas de la gráfica de f. 







Y 

Y 













 X





FIGURA 1.3.19 Gráfica de la función racional en la ecuación (10) del ejemplo 7.

EJEMPLO 8





 X





FIGURA 1.3.20 Gráfica de la función racional en la ecuación (11) del ejemplo 8.

La figura 1.3.20 ilustra la gráfica de la función racional F .X/ H

X.X C /.X / : .X C /.X /



Las intersecciones con el eje x, x  −2, x  0 y x  1 corresponden a los ceros del numerador mientras que las asíntotas x  −1 y x  2 corresponden a los ceros Z del denominador. Debe quedar claro que, contando las intersecciones con el eje x y las asíntotas, se tiene la correspondencia de las funciones racionales en las ecuaciones (10) y (11) con sus gráficas en las figuras 1.3.19 y 1.3.20 sin saber de antemano cuál es cuál.

SECCIÓN 1.3

31

Funciones algebraicas

 

Una función algebraica es aquélla cuya fórmula se construye comenzando con las funciones potencia y aplicando las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación por un número real, multiplicación, división y/o raíces. Así, los polinomios y las funciones racionales son funciones algebraicas. Pero ya que todo polinomio está definido en toda la recta real y toda función racional está definida en todos lados excepto en (un número finito de) los ceros reales de su denominador (que corresponden a las asíntotas verticales), el dominio de definición de una función algebraica es bastante limitado. Por ejemplo, las figuras 1.3.21 y 1.3.22 muestran las gráficas de las funciones algebraicas

  Y   







Polinomios y funciones algebraicas





 X







F .X/ H

p  FIGURA 1.3.21 Y H  X  en [−2, 2].

   Y   

  X

FIGURA 1.3.22 Y H .1; U [ T; 1/

   

p

 X 

G.X/ H

y

X  

en los intervalos acotados y no acotados (respectivamente) donde están definidas. La gráfica de todo polinomio o función racional parece “suave” en todos sus puntos de definición, pero la gráfica de una función algebraica puede presentar “esquinas” o “cúspides” pronunciadas donde no se ve tan suave. Por ejemplo, en las gráficas en las figuras 1.3.23 y 1.3.24 de las funciones algebraicas p F .X/ H X  H jXj y G.X/ H  X  .X / :





   



En el capítulo 3 se usarán conceptos de cálculo para precisar qué es una gráfica suave. La figura 1.3.25 muestra las gráficas de las dos funciones algebraicas definidas por p Y H  : X :X :X  C :X  :X  : (12) El lazo describe el perfil de la sección cruzada del álabe (superficie de sustentación) NASA 0012 según el diseño de los ingenieros aeronáuticos.

X   en













Y 

Y 









  Y 











 X





FIGURA 1.3.23 y  ux u con una “esquina” en el origen.





  



 X







FIGURA 1.3.24 Y H  X  .X / con “cúspides” en (0, 0) y (2, 0).









 X





FIGURA 1.3.25 y p .: X :X :X  C :X  :X  

1.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si x está cerca de cero, también lo está x −3. p 2. Si m y n son enteros positivos y x 0, entonces x myn  N X M  3. El producto f · g de las funciones f y g está definido como sigue: ( f · g)(x)  f (x) · g(x). p p 4. Si f (x)   X y g(x)   C X entonces el dominio de fyg es [−1, 1]. 5. Si p(x)  x3 + x3y2 − x2 + 1, entonces p(x) es un polinomio. 6. El cociente de cualesquiera dos funciones se conoce como funciónp racional. 7. Si f (x)  ux u, entonces f es una función algebraica porque F .X/ H X  

32

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

8. La gráfica de la función racional F .X/ H

X.X C /.X / .X C /.X /

tiene tres intersecciones con el eje x y dos asíntotas verticales. 9. La gráfica mostrada en la figura 1.3.25 no es la gráfica de una función. 10. Si p(x) es un polinomio de alto grado, entonces cuando x → +∞, p(x) → +∞ o bien p(x) → −∞.

1.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. En cada uno de los siguientes casos, dé un ejemplo de una función según se describe o explique por qué no existe tal función. a) Una función polinomial de grado menor que 2 cuya gráfica está totalmente por arriba del eje x. b) Un polinomio de grado positivo cuya gráfica está totalmente por abajo del eje x. c) Un polinomio de grado positivo y con coeficiente inicial positivo cuya gráfica está totalmente por abajo del eje x (el coeficiente inicial de un polinomio es el coeficiente de su término con la potencia más alta). d) Un polinomio de grado impar con coeficiente inicial negativo cuya gráfica no tiene intersección con el eje x. e) Un polinomio cuya gráfica está comprendida entre las rectas y  −1 y y  1. f) Un polinomio cuya gráfica contiene puntos por encima de la recta y  1 y debajo de la recta y  −1, pero que no contiene puntos entre estas dos rectas. g) Una función racional que tiene valores tanto positivos como negativos pero nunca es cero. h) Una función racional constante que nunca es cero y no tiene asíntotas verticales. 2. En cada uno de los siguientes cinco casos escriba la fórmula de la función específica que se describe. También bosqueje una gráfica típica de una función de este tipo (no necesariamente la misma que definió simbólicamente). a) b) c) d) e)

Un polinomio cuadrático sin ceros reales. Un polinomio cúbico con exactamente un cero real x H 0. Un polinomio cúbico con exactamente dos ceros reales distintos. Un polinomio de cuarto grado con exactamente dos ceros reales distintos. Un polinomio de cuarto grado con exactamente tres ceros reales distintos.

3. ¿Cuáles de las siguientes funciones algebraicas concuerda con alguna función polinomial? p p B F .X/ H X  C X C  A F .X/ H X  C X C  C F .X/ H



.X /

D F .X/ H

1.3 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, encuentre f + g, f · g y fyg y proporcione el dominio de definición de cada nueva función.

 F .X/ H

G.X/ H X  C X 

 F .X/ H

 F .X/ H X C ;

  ; G.X/ H X  X C  p p  F .X/ H X; G.X/ H X   F .X/ H

 F .X/ H

p p

X C ; X  C ;

X  ; X 



.X /

G.X/ H

p

X 

G.X/ H p

 X

G.X/ H

X C X C

SECCIÓN 1.3

En los problemas 7 a 12, dé la correspondencia entre el polinomio y su gráfica mostrada en las figuras 1.3.26 a 1.3.31. No use una calculadora con gráficas ni una computadora, más bien considere el grado del polinomio, el número de ceros indicado y su comportamiento para valores grandes de ux u.

Polinomios y funciones algebraicas 33









Y 

Y 







 F .X/ H X X C 







 F .X/ H  C X X 

 X

 



FIGURA 1.3.32

 X









FIGURA 1.3.33

 F .X/ H X  X  C X C  

 F .X/ H X  X  C X  

 F .X/ H  C X X







Y 

Y 









 F .X/ H X  C X 







Y 

Y 











 X





FIGURA 1.3.26





 



 





 X





 Y 

FIGURA 1.3.35









Y 

Y







 X

En los problemas 17 a 20, use principalmente el dominio de definición de la función algebraica dada (en lugar de una calculadora con gráficas o computadora) para dar la correspondencia con la gráfica entre las que se muestran en las figuras 1.3.36 a 1.3.39. p p  F .X/ H X X C   F .X/ H X X  p p  F .X/ H X  X  F .X/ H   X  X



Y 

 X

FIGURA 1.3.34

FIGURA 1.3.27











 

 X





FIGURA 1.3.28





 X





FIGURA 1.3.29







 X













X

FIGURA 1.3.36







FIGURA 1.3.37 



 



Y 

Y 



 

 X





FIGURA 1.3.30







 X



FIGURA 1.3.31

En los problemas 13 a 16, use las asíntotas verticales de la función racional dada (en lugar de una calculadora con gráficas o computadora) para dar la correspondencia con su gráfica entre las que se muestran en las figuras 1.3.32 a 1.3.35.  F .X/ H

 F .X/ H

 .X C /.X /

 F .X/ H

 X C 

 F .X/ H

Y 

Y









X X  X C  X 







 X



FIGURA 1.3.38







 X

FIGURA 1.3.39

En los problemas 21 a 30, use una calculadora graficadora o una computadora para determinar una o más ventanas adecuadas para exhibir los rasgos principales de la gráfica y  f (x). En particular, determine con ello el número de soluciones reales de la ecuación f (x)  0 y la localización aproximada (el entero más cercano) de cada solución.  F .X/ H X  X C   F .X/ H X  X C   F .X/ H X  X C 

34

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

 F .X/ H X  X  C X  

38. Use el método gráfico de amplificaciones repetidas para encontrar la longitud y el ancho máximo del álabe mostrado en la figura 1.3.25. Determine cada una con exactitud de tres decimales. 39. Una escalera de 12 ft está recargada en una barda de 5 ft y toca una pared alta localizada 3 ft atrás de la barda. Debe encontrar la distancia del pie de la escalera a la base de la barda. La clave es usar geometría para obtener las ecuaciones



 F .X/ H X X C X   F .X/ H X  X  C X   F .X/ H X  X   F .X/ H X  C X  X   F .X/ H X  C X  X  X  C X   F .X/ H X  X  C X  

xy  15 y (x + 3)2 + (y + 5)2  144

En los problemas 31 a 37, determine cómo cambia la gráfica y  f (x) cuando cambia el valor de c dentro de un intervalo dado. Con una calculadora de gráficas o computadora trace las gráficas con diferentes valores de c en la misma pantalla.  F .X/ H X  X C C 

C





 F .X/ H X C CX  



C

 F .X/ H X C CX 

C



 F .X/ H X  C CX  

C







 F .X/ H X C CX C X  C   C   F .X/ H  C CX   F .X/ H

X  C X 

C



que relacionan las longitudes x y y indicadas en la figura 1.3.40. ¿Puede eliminar y para encontrar una ecuación polinomial de cuarto grado que x debe satisfacer? Si es así, use una calculadora graficadora o computadora para aproximar los valores posibles de x con el método de amplificaciones repetidas.

Y



  

 X EN .C; C/

X

3UELO

FIGURA 1.3.40 Escalera recargada.

1.4 FUNCIONES TRASCENDENTALES Continuando con la investigación de funciones elementales que comenzamos en la sección 1.3, haremos una revisión breve de las funciones no algebraicas que se estudian en cálculo. Éstas incluyen las funciones trigonométricas, que se usan para modelar fenómenos periódicos —fenómenos de fluctuación que incluyen cantidades que oscilan con el tiempo— y las funciones exponencial y logarítmica, que se usan para modelar fenómenos de crecimiento y decaimiento —que incluyen cantidades que aumentan o disminuyen de manera estable con el paso del tiempo—. También se introduce la composición de funciones, una nueva manera (además de las operaciones algebraicas de la sección 1.3) de combinar funciones conocidas para formar nuevas.

Funciones trigonométricas En el apéndice C se incluye un repaso de trigonometría. En la trigonometría elemental una función trigonométrica como sen A, cos A o tan A suele ser la primera en definirse como una función del ángulo A en un triángulo rectángulo. Pero, aquí, una función trigonométrica de un número real x corresponde a esa función de un ángulo que mide x radianes. Así,  p SEN        Hp ; Y TAN H SEN H ; COS H        COS  porque πy6 es la medida en radianes de un ángulo de 30°. Recuerde que π radianes  180 grados,

(1)

de manera que  RAD H

 GRAD 

Y

 GRAD H

 RAD: 

SECCIÓN 1.4 

Y

YSENX

YCOSX

Y





X







Y 



Y







35



 Y

Funciones trascendentales



Y 





FIGURA 1.4.1 y  sen x.





X







FIGURA 1.4.2 y  cos x.

Las figuras 1.4.1 y 1.4.2 muestran las gráficas y  sen x y y  cos x de las funciones seno y coseno, respectivamente. El valor de cada una oscila entre +1 y −1, exhibiendo la característica de periodicidad de las funciones trigonométricas: SEN.X C / H SEN X

Y

COS.X C / H COS X



para toda x. Si trasladamos πy2 unidades a la derecha la gráfica de y  cos x, obtenemos la gráfica de y  sen x. Esta observación corresponde a la familiar relación COS X

 

H COS

 X H SEN X: 



EJEMPLO 1 La figura 1.4.3 muestra la curva del seno trasladada que se obtiene al mover el origen al punto (1, 2). Su ecuación se obtiene sustituyendo x y y en y  sen x por x − 1 y y − 2, respectivamente. Y  H SEN .X /I ESDECIR Y H  C SEN .X /:

Z

  

 

Y  

 



X





FIGURA 1.4.3 Curva del seno trasladada y − 2  sen (x − 1). 4 

4 COS

T P 

El mundo que nos rodea está lleno de cantidades que oscilan igual que las funciones trigonométricas. Piense en el transcurso del día a la noche, la repetición infinita de las estaciones, el ciclo mensual de la luna, la subida y la bajada de la marea, el latido de su corazón.









 T

FIGURA 1.4.4 Temperatura promedio diaria en Atenas, Georgia, t meses después del 15 de julio (ejemplo 2).

EJEMPLO 2 La figura 1.4.4 muestra el comportamiento tipo coseno de las temperaturas en Atenas, Georgia. La temperatura promedio T (en °F) durante 24 horas un día t meses después del 15 de julio se puede aproximar por 4 H 4 .T/ H : C : COS

T : 



36

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

Por ejemplo, en un 15 de octubre típico (tres meses después del 15 de julio) la temperatura promedio es 4 ./ H : C : COS

 H : 

. &/

porque cos(3πy6)  cos(πy2)  0. El “punto medio” del clima de otoño en Atenas —cuando la temperatura promedio diaria está en un punto medio entre la temperatura alta del verano y la baja de invierno— ocurre alrededor de tres semanas después del inicio oficial del otoño (o cerca del 22 de septiembre). Note también que T C  

4 .T C / H : C : COS

H : C : COS

T 

H 4 .T/

(¿por qué?), de acuerdo con el ciclo anual de 12 meses de clima promedio.

Z

El comportamiento periódico y oscilatorio de las funciones trigonométricas las hacen muy diferentes de las funciones polinomiales. Porque SEN N H 

COS.N C /

Y

 H 

(5)

para n  0, 1, 2, 3, . . . , vemos que las ecuaciones trigonométricas simples sen x  0 y cos x  0

(6)

tienen un número infinito de soluciones. En contraste, una ecuación polinomial tiene únicamente un número finito de soluciones. La figura 1.4.5 presenta la gráfica de y  tan x. Las intersecciones con el eje x corresponden a los ceros del numerador sen x en la relación TAN X H

SEN X ; COS X

(7)

mientras que las asíntotas verticales corresponden a los ceros del denominador cos x. Observe los “espacios infinitos” en la gráfica de y  tan x en los múltiplos enteros impares de πy2. Estos espacios se conocen como discontinuidades, fenómeno que se estudia en el capítulo 2.   Y



P

P

P

















X

FIGURA 1.4.5 y  tan x.

Composición de funciones Muchas funciones variadas y complejas se pueden “construir” usando funciones simples como “bloques de construcción”. Además de sumar, restar, multiplicar y dividir dos funciones dadas, también se pueden combinar haciendo que una función actúe sobre el resultado de la otra.

SECCIÓN 1.4

Funciones trascendentales

37

DEFINICIÓN Composición de funciones La composición de dos funciones f y g es una función h  f ◦ g definida por h(x)  f (g(x))

(8)

para toda x en el dominio de g tal que u  g(x) está en el dominio de f. (El lado derecho de la ecuación (8) se lee “f de g de x”.)

x

Así, la salida u  g(x) de la función g se usa como entrada para la función f (figura 1.4.6). Algunas veces nos referimos a g como la función interior y a f como la función exterior en la ecuación (8).

g u = g(x)

EJEMPLO 3

Si f (x)   x y g(x)  1 − x 2, entonces

f

 X

F .G.X// H f(u) = f(g(x)) = h(x)

FIGURA 1.4.6 Composición de f y g.

PARA jXj

;

mientras que G. F .X// H 

p



X

HX

PARA X

:

Z

La notación f (g(x)) para la composición es la de uso más común en cálculos normales, mientras que la notación f ◦ g hace hincapié en que la composición se puede entender como una nueva manera de combinar las funciones f y g. Pero el ejemplo 3 muestra que f ◦ g es bastante diferente al producto fg de las dos funciones f y g, puesto que F  G H G  F;

mientras que fg  g f (ya que f (x) · g(x)  g(x) · f (x) siempre que f (x) y g(x) están definidos). No debe olvidar que la composición es bastante diferente en carácter de la multiplicación ordinaria de funciones. EJEMPLO 4

Si F .X/ H X 

Y

G.X/ H COS X;

entonces las funciones F .X/G.X/ H X  COS X; F .G.X// H COS X H .COS X/ ; Y G. F .X// H COS X  H COS.X  /

están definidas para toda x. Las figuras 1.4.7 a 1.4.9 ilustran con claridad la diferencia Z entre estas tres funciones. EJEMPLO 5 Dada la función h(x)  (x2 + 4)3y2, encuentre dos funciones f y g tales que h(x)  f (g(x)). 



 YXCOSX



YCOSX





Y 

Y 







Y





 X



FIGURA 1.4.7 y  x2 cos x (ejemplo 4).





 X



FIGURA 1.4.8 y  cos2 x (ejemplo 4).

YCOSX









 X





FIGURA 1.4.9 y  cos x2 (ejemplo 4).

38

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

Solución Es técnicamente correcto —pero inútil— definir g(x)  x y f (u)  (u2 + 4)3y2. Estamos buscando una respuesta no ordinaria. Para calcular (x2 + 4)3y2, debemos primero calcular x2 + 4. De manera que elegimos g(x)  x2 + 4 como la función interior. El último paso es elevar u  g(x) a la potencia 32, por lo tanto, tomamos f (u)  u3y2 como la función exterior. Así, si F .X/ H X =

Y

G.X/ H X  C ;

ENTONCES F .G.X// H F .X  C / H .X  C /= H H.X/

Z

Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma F .X/ H A X ;

YX



Y 

YX  







X





FIGURA 1.4.10 Funciones exponenciales crecientes y  2x y y  10x.



donde la base a es un número real positivo fijo, una constante. Observe la diferencia entre una función exponencial y una función potencia. En la función potencia x n, la variable x se eleva a una potencia constante, en la función exponencial, a x, una constante se eleva a la una potencia variable. Muchas computadoras y calculadoras programables usan la notación A ^ X para denotar la exponencial a x (unas cuantas usan A " X  Si a > 1, la gráfica y  a x es muy parecida a las de la figura 1.4.10, que muestra y  2x y y  10 x. La gráfica de una función exponencial con base a, a > 1, está enteramente arriba del eje x y sube de manera estable de derecha a izquierda. Por lo tanto, esta gráfica no se parece a la de un polinomio o a una función trigonométrica. Cuanto más grande sea la base a, más rápida será la tasa a la que la curva y  a x sube (para x > 0). Así, y  10 x sube con mayor inclinación que y  2x. EJEMPLO 6 Toda función exponencial (con base a > 1) aumenta con gran rapidez cuando x es grande. La siguiente tabla compara los valores de x2 con 2x y muestra con claridad la tasa de aumento de la función exponencial, aun comparada con la función potencia x2, que crece a una tasa más restringida cuando x aumenta. X

X

X

         

         

         

La comparación entre x2 y 2x para valores pequeños de x es interesante en una forma diferente. Las gráficas de y  x2 y y  2x en la figura 1.4.11 indican que la ecuación x2  2x tiene tres soluciones entre x  −2 y x  5. ¿Está claro que x  2 y x  4 son soluciones exactas? La “amplificación” mostrada en la figura 1.4.12 indica que la solución negativa es un poco menor que −0.75. Quizá pueda amplificar una vez más para enZ contrar el valor exacto de esta solución negativa con al menos dos decimales. Si sustituimos x en la ecuación (9) con −x, obtenemos la función a−x. Su gráfica y  a−x cae de izquierda a derecha si a > 1. La figura 1.4.13 ilustra las gráficas y  3−x y y  7−x. Mientras que las funciones trigonométricas se usan para describir fenómenos periódicos de fluctuación, las funciones exponenciales se usan para describir procesos naturales de crecimiento o decaimiento estable.

SECCIÓN 1.4  

 



YX

Y 

YX



 

 





 





X









FIGURA 1.4.11 y  x2 y y  2x.

     Y      



Funciones trascendentales

39

Y X 

YX Y  Y X

YX 

 X





FIGURA 1.4.12 Amplificación de 1.4.11 que muestra la solución negativa.



X





FIGURA 1.4.13 Funciones exponenciales decrecientes y  3−x y y  7−x.

EJEMPLO 7 P(t) es el número de roedores después de t meses en cierta población prolífica que se duplica cada mes. Si al inicio existen P(0)  10 roedores, entonces hay • P(1)  10 · 21  20 roedores después de 1 mes, • P(2)  10 · 22  40 roedores después de 2 meses, • P(3)  10 · 23  80 roedores después de 3 meses, y así sucesivamente. Así, la población de roedores después de t meses está dada por la función exponencial 0.T/ H 
T

(10)

si t es un entero no negativo. En las condiciones adecuadas, la ecuación (10) da una aproximación precisa de la población de roedores aun cuando t no sea un entero. Por ejemplo, esa fórmula predice que después de t  4 12 meses habrá 0.:/ H 
:  :   roedores.

Z

EJEMPLO 8 Suponga que invierte $5000 en una cuenta de mercado de dinero que paga 8% de interés compuesto anualmente. Esto significa que la cantidad en la cuenta se multiplica por 1.08 al final de cada año. Sea A(t) la cantidad en la cuenta al final de t años. Así, 

• A(1)  5000 · 1.081 ($5400.00) después de 1 año, • A(2)  5000 · 1.082 ($5832.00) después de 2 años, • A(3)  5000 · 1.083 ($6298.56) después de 3 años,

! 

y así sucesivamente. Después de t años (t un entero no negativo), la cantidad en la cuenta está dada por la función exponencial

!  !  T

!.T/ H 
:T :

 







T





FIGURA 1.4.14 Gráfica para el ejemplo 8.



(11)

La figura 1.4.14 muestra la gráfica A(t)  5000 · 1.08t al igual que la recta horizontal A  10,000. A partir de esta gráfica se observa, por ejemplo, que la cantidad en la cuenta se duplica (a $10,000) aproximadamente después de t  9 años. Se puede aproximar el “tiempo para duplicarse” con mayor exactitud si se amplifica la gráfica cerca de la Z intersección de la recta horizontal y la curva creciente. El ejemplo 9 presenta una función que combina el decaimiento estable de una función exponencial con exponente negativo con la oscilación de una función trigonométrica. EJEMPLO 9

La función Y.T/ H 
T COS  T

(12)

CAPÍTULO 1

40

Funciones, gráficas y modelos



puede describir la amplitud y, en pulgadas, de las vibraciones arriba-abajo de un automóvil que tiene unos pésimos amortiguadores t segundos después de caer en un bache profundo. ¿Puede ver que la ecuación (12) describe una amplitud inicial (t  0) de 3 pulgadas que baja a la mitad cada segundo, mientras que cada segundo ocurren dos oscilaciones arriba-abajo completas? (El factor 3 · 2−t es la amplitud decreciente de las vibraciones y la función cos 4πt tiene periodo 12 s.) La figura 1.4.15 muestra la gráfica de y(t). La curva descrita en la ecuación (12) oscila entre dos curvas y(t)  ±3 · 2−t. Aparentemente las vibraciones del auto cesan y son mínimas después Z de 7 u 8 segundos.

Yq T



Yq TCOSPT

 YPULG 

 Y q T



 







  TSEC





FIGURA 1.4.15 y(t)  3 · 2−t cos 4πt (ejemplo 9).



Funciones logarítmicas Como analogía con las funciones trigonométricas inversas que puede haber visto en trigonometría, los logaritmos son el “inverso” de las funciones exponenciales. El logaritmo base a de un número positivo x es la potencia a la que debe elevarse a para obtener x. Esto es, Y H LOGA X

 YLN X YLOGX

 Y 



La tecla LOG en la mayoría de las calculadoras da el logaritmo base 10 (común) log10 x. La tecla LN da el logaritmo natural ln x  loge x,

 



donde e es un número irracional especial:

 





X





  YLOGX 

Y  X 

Y 

E H : : : : :



FIGURA 1.4.16 Funciones logarítmicas común y natural.



Se verá la importancia de esta extraña base en el capítulo 3. La figura 1.4.16 presenta las gráficas y  ln x y y  log10 x. Ambas pasan por el punto (1, 0) y suben de modo estable (aunque despacio) de izquierda a derecha. Como las funciones exponenciales nunca toman valores negativos o cero, ni el cero ni los números negativos están en el dominio de las funciones logarítmicas. Los hechos de que log10 100,000  5 y log10 1,000,000  6 indican que la función log x  log10 x aumenta bastante despacio cuando x crece. Mientras que el ejemplo 6 anterior ilustra el hecho de que una función exponencial a x (con a > 1) aumenta con mayor rapidez que cualquier función potencia cuando x → ∞, el ejemplo 10 ilustra el hecho de que una función logarítmica aumenta más lentamente que cualquier función potencia. EJEMPLO 10 En la siguiente tabla se compara la tasa de crecimiento de la función potencia f (x)   X = con el de la función logaritmo g(x)  log x.

 

SI A Y H X:





FIGURA 1.4.17

 X  = X





s

pasa a log x.



Y  X 

  Y 

YLOGX













X



FIGURA 1.4.18 log x pasa a





 =  X

X          

F .X/ H  X =

G.X/ H LOG X

         

         

Aquí y en la figura 1.4.17 log x es menor que  X = cuando x > 100,000. La figura 1.4.18 muestra que log x es menor que  X =, pero “la alcanza y la supera” en algún punto cerca de (aunque un poco menor que) x  5. Por lo que  X = a su vez alcanza y supera a log x en x  100,000. Cuando x  1050,  X =  5,000,000,000, pero el valor Z de log x es sólo 50.

SECCIÓN 1.4

Funciones trascendentales 41

Ecuaciones trascendentales Las funciones trigonométricas, la exponencial y la logarítmica se llaman funciones trascendentales. Como se vio en las ecuaciones (5) y (6), una ecuación que incluye funciones trascendentales puede tener un número infinito de soluciones, pero también un número finito de ellas. Determinar si el número de soluciones es finito o infinito puede ser difícil. Un enfoque es escribir la ecuación dada en la forma f (x)  g(x),

(14)

donde ambas funciones f y g se grafican. Las soluciones reales de la ecuación (14) corresponden a las intersecciones de las dos gráficas y  f (x) y y  g(x). EJEMPLO 11 El único punto de intersección de las gráficas y  x y y  cos x, mostrado en la figura 1.4.19, indica que la ecuación x  cos x tiene una sola solución. Más aún, de la gráfica se puede colectar la información adicioZ nal de que la solución está en el intervalo (0, 1).  Y X YX



 YCOSX

Y 





YCOSX

Y 







 X



FIGURA 1.4.19 Solución de la ecuación x  cos x del ejemplo 11.





 X



FIGURA 1.4.2 20 Solución de la ecuación 1 − x  3 cos x del ejemplo 12.

EJEMPLO 12 Las gráficas de y  1 − x y y  3 cos x se muestran en la figura 1.4.20. En contraste con el ejemplo 11, hay tres puntos de intersección de las gráficas. Esto aclara que la ecuación  X H  COS X

tiene una solución negativa y dos soluciones positivas que pueden aproximarse (por Z separado) amplificando los tres puntos de intersección.

¿Puede confiar en lo que aparece en la pantalla de su calculadora/computadora? Los ejemplos que se presentan a continuación muestran que la respuesta a esta pregunta es “no siempre”. Una razón es que una calculadora con gráficas o computadora traza sólo un número finito de puntos igualmente espaciados sobre la curva y  f (x), ≤ x ≤ b, uniendo los puntos seleccionados con segmentos de recta. Si los puntos a− − trazados están suficientemente cerca, la gráfica obtenida puede parecer a primera vista una curva suave, pero puede omitir algunas características esenciales que se revelarían si se localizaran más puntos. EJEMPLO 13 Una corriente alterna de 1 ampere con una frecuencia de 60 Hz (Hertz: ciclos por segundo) se describe por la función I(t)  sen 120πt.

(15)

El valor absoluto |I(t)| da la magnitud (en amperes) de la corriente en el tiempo t que fluye en una dirección cuando I > 0 y en dirección opuesta cuando I < 0. Se usó un sencillo

CAPÍTULO 1

42

)

Funciones, gráficas y modelos













)



)





















 T



FIGURA 1.4.21 En el intervalo [−1, 1] algo es incorrecto.





 T

FIGURA 1.4.22 En el intervalo [−1y2, 1y2] hay algo extraño.



       T

FIGURA 1.4.23 En el intervalo [−1y30, 1y30], ¡está la respuesta correcta!

programa de computadora para trazar las supuestas gráficas de I(t) mostradas en las fi≤ t ≤ 1, guras 1.4.21 a 1.4.23. La gráfica de la figura 1.4.21 se trazó en el intervalo −1 − − donde debemos ver 120 oscilaciones completas porque el periodo de I(t) en la ecuación (15) es 1y60 s. Pero en su lugar, la figura muestra exactamente una oscilación, por lo que deducimos que algo salió muy mal. La gráfica en la figura 1.4.22 se traza ≤ t ≤ 12, y lo que haya ocurrido hizo que un simple error apareciera en el intervalo − 12 − − como algo bastante extraño. Por último, en la figura 1.4.23 la gráfica se traza en el   4 T intervalo   de longitud 60, de manera que debemos ver justo 4 oscilaciones completas. Y se ven, por lo que ahora tenemos una gráfica correcta de la función en la Z ecuación (15). Se ofrece una explicación de lo que estuvo mal al principio en el ejemplo 13. La computadora estaba programada para graficar valores en 120 puntos igualmente espaciados del intervalo deseado. En la figura 1.4.21 se trazó sólo un punto por ciclo —nada cercano para captar la forma real de la curva— y sólo dos puntos por ciclo en la figura 1.4.22. Pero en la figura 1.4.23 se trazan 30 puntos por ciclo y esto ofrece una representación fiel de la gráfica real. La gráfica incorrecta de la figura 1.4.21 —que parece ilustrar una oscilación con el 1 s— es un ejemplo del fenómeno de periodo incorrecto de 2 s, en lugar del correcto de 60 crear una frecuencia falsa. Un ejemplo análogo tomado de las películas del viejo oeste es la rueda de la carreta que parece rotar más despacio en la dirección equivocada. 

OBSERVACIÓN El fenómeno de crear una frecuencia falsa exhibido en las figuras 1.4.21 y 1.4.22 depende fuertemente del número preciso de puntos graficados. Un dispositivo de gráficas (como una calculadora graficadora) que usa un número fijo de puntos para graficar es susceptible a este fenómeno. Las aplicaciones de gráficas más sofisticadas pueden evitar crear una frecuencia falsa usando un número variable de puntos de trazo espaciados de manera no uniforme.

 )









 T



FIGURA 1.4.24 Puntos individuales localizados que se unieron por segmentos de recta en la figura 1.4.22.

La figura 1.4.22 consiste en segmentos de recta que unen puntos consecutivos no cercanos. La figura 1.4.24 muestra cómo surgió la gráfica incorrecta; los puntos 1, 3, 5, 7, . . . , 117, 119 en el intervalo [−0.5, 0.5] están graficados en color, mientras que los puntos 2, 4, 6, . . . , 118, 120 están en gris. Ahora puede ver qué ocurrió cuando la computadora trazó segmentos de recta del punto 1 al 2, del punto 2 al 3, etcétera. Una moraleja del ejemplo 13 es que vale la pena saber qué se busca en una gráfica. Si la gráfica se ve muy diferente en ventanas de varios tamaños es señal de que algo está mal. Mientras que en el ejemplo 13 se obtuvieron resultados anómalos al graficar en ventanas diferentes, el siguiente ejemplo ilustra una situación en la que debemos graficar en varias escalas para tener una visión completa. EJEMPLO 14 Ahora suponga que una corriente de 0.01 amperes de alta frecuencia (6000 Hz) se suma a la corriente del ejemplo (15); la corriente que resulta se describe por I(t)  sen 120πt + (0.01) sen 12000πt.

(16)

SECCIÓN 1.4

Funciones trascendentales

43

 



  )

 ) 















 T



FIGURA 1.4.25 I(t)  sen 120πt + (0.01) sen 12000πt en el intervalo −1y60 ≤ t ≤ 1y60. − −



   

 T





  s 

FIGURA 1.4.26 I(t)  sen 120πt + (0.01) sen 12000πt en el intervalo −1y2400 ≤ t ≤ 1y2400 − −

1 ≤ ≤ 1 Al graficar la ecuación (16) en el intervalo −60 − t − 60 , obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.4.25. Se ve como dos ciclos de la corriente original en (15), aunque el trazo está un poco “difuso”. Para ver el efecto del segundo término sumado en la ecuación (16) debemos graficar en una escala amplificada, como en la figura 1.4.26. Lo “difuso” de la figura 1.4.25 ahora se ha amplificado para mostrar con claridad las 1 s. Z oscilaciones de alta frecuencia con periodo 6000

1.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Para todo número real x, sen(x + 2π)  sen x. La ecuación cos x  0 no tiene soluciones. La composición h  f  g de las funciones f y g tiene la fórmula h(x)  f (g(x)). Si f y g son funciones, entonces f  g  g  f. Si f (x)  x 2 y g(x)  cos x, entonces f (g(x))  cos (x2). Si f (x)  2x, entonces f (x) → −∞ cuando x → −∞. La afirmación y  loga x significa que ay  x. Para el número de dígitos mostrados, e ≈ 2.71828. La ecuación x  cos x tiene un número infinito de soluciones reales. Si x > 100,000, entonces log x < 12 x1y5.

1.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Cada uno de los siguientes aspectos describe cierta cantidad de población específica P (t) en el tiempo t. Diga si piensa que es más probable que la función P (t) sea una función de t lineal, cuadrática, polinomial, raíz, racional, trigonométrica, exponencial o logarítmica. En cada caso escriba una función específica que satisfaga la descripción dada. 1. La población se triplica cada cinco años. 2. La población crece al mismo ritmo cada año. 3. La población oscila cada cinco años entre un máximo de 120 y un mínimo de 80. 4. La población disminuye durante un tiempo, alcanza un valor mínimo y posteriormente aumenta (haciéndose cada vez más grande con el tiempo). 5. La población aumenta durante un tiempo y llega a un valor máximo, disminuye después y llega a un valor mínimo y de ahí en adelante crece (siendo cada vez más grande).

CAPÍTULO 1

44

Funciones, gráficas y modelos

6. La población aumenta cada año, pero en un porcentaje menor de lo que creció el año anterior. 7. La población disminuye en el mismo porcentaje cada año. 8. La población crece durante un tiempo, llega a un valor máximo y en adelante decrece (en apariencia hasta desaparecer) con P(t), que tiende a cero cuando t aumenta.

1.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, relacione la correspondencia de la función dada con su gráfica entre las mostradas en las figuras 1.4.27 a 1.4.36. Intente hacerlo sin usar su calculadora graficadora o computadora.  F .X/ H  X

 F .X/ H  C COS X

 F .X/ H   SENX

 F .X/ H  C  COS X

 F .X/ H  SENX

X X

 F .X/ H

 C COS X  F .X/ H  C X

 F .X/ H 



 

 Y  











LOG X X X

 

Y 

 F .X/ H X 

 F .X/ H



 



 X











FIGURA 1.4.33

SEN X









Y 

Y 















FIGURA 1.4.27

















Y 

Y 







 





FIGURA 1.4.29



 X







 X













X







 

 



FIGURA 1.4.31

X













FIGURA 1.4.36

En los problemas 11 a 20, encuentre f (g(x)) y g(f (x)).

 F .X/ H SEN X G.X/ H COS X  F .X/ H  C X  G.X/ H TAN X

En los problemas 21 a 30, encuentre una función de la forma f (x)  x k (puede especificar k) y una función g tal que f (g(x))  h(x).

 Y 



X

 F .X/ H  X  G.X/ H SENX







 F .X/ H SEN X G.X/ H X 



Y



 F .X/ H  G.X/ H jXj p  F .X/ H X   G.X/ H X  C    F .X/ H X  C  G.X/ H  X C p  F .X/ H X   G.X/ H  X C  p  F .X/ H X G.X/ HCOS X







 F .X/ H  X  G.X/ H X C 

FIGURA 1.4.30









FIGURA 1.4.28

 X



Y 











Y 



















FIGURA 1.4.35  X

 X

FIGURA 1.4.34

 

















FIGURA 1.4.32

 X





 H.X/ H . C X/ p  H.X/ H X X 

 H.X/ H . X/

 H.X/ H . X  /=   H.X/ H X C   H.X/ H p X C 

.X /   H.X/ H  C X   H.X/ H . C X C X  /

 H.X/ H . C X  /  H.X/ H



SECCIÓN 1.5

En los problemas 31-40, use una calculadora graficadora o una computadora para determinar el número de soluciones reales inspeccionando la gráfica de la ecuación dada.  X H X  X C  H  COS X  X  H  COS X

46.

 X H  COS X  X H  COS X   LOG X H COS X  LOG X H COS X

47.

.X > / .X > /

 X  H  COS X

48.

 X  H  SENX  X H  COS X C  LOG X

.X > /

41. Considere la población del ejemplo 7 en esa sección, que comienza con 10 roedores y se duplica cada mes. Determine gráficamente (es decir, amplificando) cuánto tiempo toma para que la población crezca a 100 roedores. (Suponga que cada mes es de 30 días y obtenga una respuesta correcta al día más cercano.) 42. Considere la cuenta de mercado de dinero del ejemplo 8, que paga 8% anual. Determine gráficamente en cuánto tiempo la inversión inicial de $5000 se triplicará. 43. En 1980 la población P de México era de 67.4 millones y crecía a una tasa de 2.6% al año. Si la población continúa creciendo a esta tasa, t años después de 1980 será P(t)  67.4 · (1.026)t (millones). Determine gráficamente cuánto tiempo tomará para que la población de México se duplique. 44. Suponga que la cantidad A de ozono en la atmósfera disminuye a una tasa de 0.25% por año, de manera que después de t años la cantidad restante es A(t)  A0(0.9975)t, donde A0 denota la cantidad inicial. Determine gráficamente cuánto tiempo pasará para que quede sólo la mitad de la cantidad original de ozono. ¿Afecta la respuesta la cantidad numérica A0? 45. El accidente nuclear de Chernobyl contaminó la región aledaña con estroncio-90, que inicialmente emitía una radiación aproximadamente 12 veces el nivel seguro para los seres humanos. Cuando un átomo de estroncio-90 emite radiación, decae a un isótopo no radioactivo. De esta manera, cerca de

49.

Vista preliminar: ¿qué es cálculo?

45

2.5% del estroncio-90 desaparece cada año. Así, la cantidad de radiación que queda después de t años será A(t)  12 · (0.975)t (medido en “unidades seguras” de radiación). Determine gráficamente cuánto tiempo (después del accidente original) pasará hasta que la región tenga sólo 1 unidad y sea, por lo tanto, seguro que las personas la vuelvan a habitar. Con referencia al ejemplo 6 de esta sección, determine gráficamente el valor (con exactitud a tres decimales) de la solución negativa de la ecuación x2  2x. Con referencia al ejemplo 10 de esta sección, determine gráficamente el valor (con exactitud a tres decimales) de la solución cercana a x  5 de la ecuación log10 x  12 x1y5. La ecuación x10  3x tiene tres soluciones reales. Aproxime en una gráfica cada una de ellas con exactitud a dos decimales. Usted aterriza su nave espacial en un asteroide esférico entre la Tierra y Marte. Su copiloto camina 1000 ft alejándose sobre la suave superficie del asteroide, llevando una varilla de 10 ft y que desaparece en el horizonte. Cuando coloca un extremo de la varilla en el suelo y la sostiene verticalmente, usted, que se mantiene pecho tierra, apenas puede ver la punta. Utilice esta información para encontrar el radio R de este asteroide (en millas). La clave será obtener un par de ecuaciones que relacionen R y el ángulo θ indicado en la figura 1.4.37. (Piense en el triángulo rectángulo mostrado y en la relación entre la longitud del arco circular y el ángulo central subtendido.) Intente resolver estas ecuaciones gráficamente. Debe encontrar suficientes soluciones. Pero, ¿cuál de ellas nos proporciona el radio del asteroide? FT FT

Q 2

FIGURA 1.4.37 Problema del asteroide.

1.5 VISTA PRELIMINAR: ¿QUÉ ES CÁLCULO? Seguramente se hace esta pregunta desde que comenzó el estudio de cálculo, que probablemente se extienda dos o tres cursos. Después del repaso de funciones y gráficas en las secciones 1.1 a 1.4, podemos echar un vistazo a los siguientes capítulos, que desarrollarán los conceptos centrales del cálculo.

Los dos problemas fundamentales La base de la técnica de cómputo que constituye “el cálculo” gira alrededor de dos problemas geométricos fundamentales que el hombre ha investigado durante más de 2000 años. Cada problema involucra la gráfica de y  f (x) de una función dada. El primer problema fundamental es el siguiente: ¿Qué significa la recta tangente a la curva y  f (x) en un punto dado? La palabra tangente viene del latín tangens, “tocar”. Así, la recta tangente a una curva es una que “sólo toca” a la curva. Las rectas tangentes a las circunferencias (figura 1.5.1) se conocen desde la geometría elemental.

46

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos



Y

0

YX

    YX 

,





FIGURA 1.5.1 La recta tangente L toca el círculo en el punto P.



 X





FIGURA 1.5.2 Recta tangente a la parábola y  x2 en el punto (1, 1).

La figura 1.5.2 muestra la recta tangente a la parábola y  x2 en el punto (1, 1). Se verá en la sección 2.1 que esta tangente en particular tiene pendiente 2, de manera que su ecuación de punto-pendiente es

Y YFX ,

y − 1  2 · (x − 1);

0X FX

FIGURA 1.5.3 ¿Cuál es la pendiente de la recta L tangente a la gráfica y  f (x) en el punto P(x, f (x))?

y  2x − 1.

Nuestro primer problema es cómo encontrar las rectas tangentes en casos más generales.

Problema de la tangente Dado un punto P(x, f (x)) en la curva y  f (x), ¿cómo calculamos la pendiente de la recta tangente en P (figura 1.5.3)? Comenzamos por explorar la respuesta a esta pregunta en el capítulo 2. Si denotamos por m(x) a la pendiente de la tangente en P(x, f (x)), m es una nueva función. De modo informal puede llamarse pronosticador de la pendiente para la curva y  f (x). En cálculo esta función para predecir la pendiente se llama derivada de la función f. En el capítulo 3 aprenderemos a calcular las derivadas de diferentes funciones y en los capítulos 3 y 4 se verán numerosas aplicaciones de las derivadas a la solución de problemas del mundo real. Estos tres capítulos introducen la parte del cálculo que se llama cálculo diferencial. El problema de la tangente es un problema geométrico, una pregunta puramente matemática, pero su respuesta (en la forma de derivadas) es la clave para la solución de varios problemas aplicados en muchas áreas científicas y técnicas. Los ejemplos 1 y 2 pueden sugerir las conexiones que son clave para el papel central del cálculo en la ciencia y la tecnología. EJEMPLO 1 Suponga que conduce un auto por un camino largo y recto (figura 1.5.4). Si f (t) denota la distancia (en millas) que ha recorrido el auto en el tiempo t (en horas), la pendiente de la recta tangente a la curva y  f (t) en el punto (t, f (t)) (figura Z 1.5.5) es la velocidad (en millas por hora) del auto en el tiempo t. Y

YF T

$ISTANCIA

X

es decir,

$ISTANCIA F T )NICIO

4IEMPO T

FIGURA 1.5.4 Un automóvil en un camino recto (ejemplo 1).

T F T

4IEMPO

T

FIGURA 1.5.5 La pendiente de la recta tangente en el punto (t, f (t)) es la velocidad en el tiempo t (ejemplo 1).

SECCIÓN 1.5

YFT

0OBLACI˜N

47

EJEMPLO 2 Suponga que f (t) denota el número de personas en Estados Unidos que tienen una enfermedad grave en un momento t (medido en días desde el inicio del año). La pendiente de la recta tangente a la curva y  f (t) en el punto (t, f (t)) (figura 1.5.6) es la tasa de crecimiento (el número de personas nuevas afectadas por día) de Z la enfermedad en la población en el tiempo t.

Y

La veracidad de las afirmaciones hechas en estos dos ejemplos no es obvia. ¡Llegar a comprender esto es una razón para estudiar cálculo! Regresamos a los conceptos de velocidad y tasa de cambio al principio del capítulo 3.

NOTA

T FT

4IEMPO

Vista preliminar: ¿qué es cálculo?

T

FIGURA 1.5.6 La tasa de crecimiento de f (t) en el tiempo t es la pendiente de la tangente en el punto (t, f (t)) (ejemplo 2).

Por ahora nos conformamos con la observación de que las pendientes de las rectas tangentes en los ejemplos 1 y 2 al menos tienen las unidades correctas. Si en el plano de tiempo-distancia del ejemplo 1 medimos el tiempo t (en el eje horizontal) en segundos y la distancia y (en el eje vertical) en pies (o metros), la pendiente (razón de elevación entre intervalo de avance horizontal) de una línea recta tiene dimensiones en pies (o metros) por segundo: unidades adecuadas para la velocidad (figura 1.5.7). De manera similar, si en el plano t y del ejemplo 2 el tiempo t se mide en meses y y en personas, la pendiente de una recta tiene las unidades adecuadas en personas por mes para medir la tasa de crecimiento de la población afectada (figura 1.5.8). YFT

YPERSONAS

5NIDADESDELAPENDIENTE

PERSONAS 5NIDADESDELAPENDIENTE MESES

FT S

%LEVACI˜N PERSONAS

%LEVACI˜NFT )NTERVALOHORIZONTALS

)NTERVALOHORIZONTALMESES TS

TMESES

FIGURA 1.5.7 Aquí la pendiente tiene las dimensiones de la velocidad (ft/s).

FIGURA 1.5.8 Aquí, la pendiente tiene las dimensiones de la tasa de cambio de la población.

El segundo problema fundamental del cálculo es el problema del área. Dada la gráfica y  f (x), ¿cuál es el área entre esta gráfica y el eje x en el intervalo [a, b]?

Problema del área Si f (x) 0 para x en el intervalo [a, b], ¿cómo calculamos el área A de la región del plano que está entre la curva y  f (x) y el eje x en el intervalo [a, b] (figura 1.5.9)? Y YFX

¬REA! A

B

X

FIGURA 1.5.9 Problema del área.

Comenzamos a explorar la respuesta a esta segunda pregunta en el capítulo 5. En cálculo, el área A se llama integral de la función f. Los capítulos 5 y 6 están dedicados al cálculo y aplicación de las integrales. Estos dos capítulos introducen la otra parte del cálculo que se conoce como cálculo integral. Igual que el problema de la tangente, el problema del área es una cuestión puramente matemática, pero su respuesta (en la forma de integrales) tiene muchas ramificaciones de importancia práctica. Los ejemplos 3 y 4 tienen una afinidad obvia con los ejemplos 1 y 2.

CAPÍTULO 1

48

Funciones, gráficas y modelos

Y

EJEMPLO 3 Si f (t) denota la velocidad de un auto en el tiempo t, el área bajo la curva y  f (t) en el intervalo [a, b] es igual a la distancia recorrida por el auto entre el Z tiempo t  a y el tiempo t  b (figura 1.5.10).

6ELOCIDAD

YF T

¬REA! A

B 4IEMPOT

FIGURA 1.5.10 El área A bajo la curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo a t b (ejemplo 3).

EJEMPLO 4 Si f (t) denota una tasa de crecimiento de una población enferma en el tiempo t, el área bajo la curva y  f (t) en el intervalo de tiempo [a, b] es igual al cambio neto en el tamaño de esta población entre el tiempo t  a y el tiempo t  b (figura Z 1.5.11). Cuando estudie las integrales en el capítulo 5, aprenderá por qué las afirmaciones en los ejemplo 3 y 4 son ciertas.

La relación fundamental

4ASADECAMBIO

Y YF T

¬REA! A

B 4IEMPOT

FIGURA 1.5.11 El área A bajo la curva de tasa de cambio es igual al cambio neto en la población del tiempo t  a a t  b (ejemplo 4).

Los ejemplos 1 y 3 son dos lados de la misma moneda: se tiene una “relación inversa” entre la distancia viajada y la velocidad de un auto en movimiento. Los ejemplo 2 y 4 exhiben una relación similar entre el tamaño de la población y la tasa de cambio. Ambas relaciones, la de distancia/velocidad y la de tamaño/tasa de cambio, ilustradas en los ejemplos 1 a 4, son consecuencia de una relación profunda y fundamental entre el problema de la tangente y el problema del área. Esta relación más general se describe en el teorema fundamental del cálculo, que se estudia en el capítulo 5. Fue descubierto en 1666 por Isaac Newton a la edad de 23 años cuando todavía era estudiante en Cambridge University. Unos cuantos años más tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz, que era un diplomático alemán en París y matemático autodidacta, lo descubrió de manera independiente. Aunque incluso entonces el problema de la tangente y el problema del área tenían ya casi 2000 años de existir y los predecesores de Newton y Leibniz habían hecho avances en soluciones separadas, el descubrimiento de ambos de la relación fundamental entre los problemas del área y la tangente les dio fama como “los inventores del cálculo”.

Aplicaciones del cálculo El cálculo se centra en el cómputo y la aplicación de las derivadas e integrales, es decir, de las pendientes de las tangentes y las áreas bajo las curvas. En este libro encontrará aplicaciones concretas del cálculo en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología. La siguiente lista, con trece aplicaciones, da justo un breve indicio de la extraordinaria variedad de poder del cálculo en el mundo real. • Suponga que usted fabrica y vende tiendas de campaña. ¿Cómo haría la tienda más grande a partir de una cantidad de tela dada y para maximizar su ganancia? (sección 3.6) • Usted lanza a un lago una pelota de corcho que tiene un cuarto de la densidad del agua. ¿Qué tan profundo se hundirá? (sección 3.10) • Un conductor involucrado en un accidente asegura que iba a sólo 25 mi/h. ¿Puede determinar la velocidad real del auto en el momento del accidente a partir de las huellas al derrapar? (sección 5.2) • La gran pirámide de Khufu, en Gizeh, Egipto, fue construida hace más de 4000 años. No existen registros del personal involucrado en la construcción, pero se puede calcular el número aproximado de trabajadores involucrados. (sección 6.5) • Suponga que gana la lotería de Florida y decide usar parte de sus ganancias para comprar un “bono perpetuo” que le pagará a usted y a sus herederos (y los de ellos, para siempre) $10,000 al año. ¿Cuál es un precio justo que debe cobrar una compañía de seguros por esta anualidad? (sección 7.8) • Si la población de la Tierra continúa creciendo a la tasa actual, ¿cuándo habrá lugar “sólo para estar de pie”? (sección 8.1) • Las fábricas que contaminaban el lago Erie fueron forzadas de inmediato a dejar de arrojar los desechos al lago. ¿Cuánto tiempo tomará que el proceso natural restaure el lago a un nivel aceptable de pureza? (sección 8.4)

SECCIÓN 1.5

Vista preliminar: ¿qué es cálculo?

49

• En 1845, el demógrafo belga Verhulst usó el cálculo para predecir con exactitud el curso del crecimiento poblacional de Estados Unidos (con un 1% de error) hasta bien entrado el siglo xx, mucho tiempo después de su muerte. ¿Cómo lo hizo? (sección 8.5) • ¿Qué explica el hecho de que un reportero bien situado pueda oír una conversación en voz baja entre dos diplomáticos que están a 50 ft en la Galería de los Secretos del Senado de Estados Unidos, aun cuando esta conversación es inaudible a otros en la misma habitación? (sección 9.6) • Suponga que Paul y Mary se alternan lanzando un dado legal de seis lados hasta que uno gana las apuestas cuando obtiene el primer “seis”. ¿Cuánta ventaja tiene el que lanza primero? (sección 10.3) • ¿Cómo puede la tripulación de un submarino saber la posición de éste si viaja en la oscuridad debajo de la capa de hielo polar y no tiene contacto de radio con el resto del mundo? (sección 11.5) • Suponga que su club está planeando una carrera de autos sin fuente de energía para el derby cuesta abajo. Usted tiene por opciones llantas sólidas, llantas de bicicleta con rayos delgados o llantas esféricas sólidas (como balines gigantes). ¿Puede determinar (sin realizar experimentos complicados) cuáles harán que el auto se desplace más rápido? (sección 13.5) • Algunas balas tienen puntas achatadas. ¿Es posible que un obús o proyectil con un “cono” achatado experimente menor resistencia del aire —y con ello viaje más lejos— que uno con una punta redondeada? (sección 14.5)

1.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El problema de la tangente es el problema de encontrar la pendiente de una línea recta tangente a la gráfica de y  f (x) en el punto P de la gráfica. 2. El problema del área es el problema de encontrar el área de la región plana arriba ≥ 0 para a ≤ x ≤ b. del eje x y abajo de de la gráfica de la función y  f (x) − − − 3. El teorema fundamental del cálculo fue descubierto por Newton y, de manera independiente, por Leibniz. 4. La pendiente de la tangente a la gráfica de y  x2 en el punto (1, 1) es 4. 5. Si una línea recta toca o interseca una curva exactamente en un punto, es tangente a la curva en ese punto. 6. Si una línea recta toca o interseca a una curva en más de un punto, no puede ser tangente a la curva en ninguno de esos puntos. 7. Una función que predice la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (x, f (x)) se llama derivada de f. 8. El cálculo del área es un tema estudiado en cálculo integral. 9. La relación entre la distancia y la velocidad no tiene que ver con cálculo. 10. El teorema fundamental del cálculo muestra que el problema de la tangente y el problema del área están relacionados.

50

CAPÍTULO 1

Funciones, gráficas y modelos

CAPÍTULO 1: REPASO Comprensión: conceptos y definiciones Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos y definiciones del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 1.1 Definición de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dominio y recorrido de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Variables dependientes e independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Notación de intervalos abierto y cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Qué es una fórmula versus qué es una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 La idea de un modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ecuaciones de rectas pendiente-ordenada y punto pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Gráfica de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Circunferencias y traslaciones de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-14 Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Prueba de la línea vertical para gráficas y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Discontinuidades de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Parábolas y gráficas de funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-18 Representaciones gráficas, numéricas y simbólicas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Definición de función potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Combinaciones algebraicas de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Definición de polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Definición de función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Definición de función algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Funciones seno y coseno y sus gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Definición de composición de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Definición de función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Definición de función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 1.1 Simplificar expresiones funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 15 Encontrar el dominio de una función definida por una fórmula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 29, 33 Escribir fórmulas para funciones descritas verbalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39, 41, 43, 45 Solución numérica de ecuaciones por tabulaciones repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 60 1.2 Escribir la ecuación de una recta dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9 Bosquejar la gráfica de una circunferencia con ecuación dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 15 Bosquejar una parábola con ecuación dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Identificar y bosquejar la gráfica de una función dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 37, 39, 45, 49 Investigación algebraica y gráfica de puntos altos y bajos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 61 1.3 Encontrar fórmulas para combinaciones algebraicas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5 Identificar la gráfica de un polinomio determinando su número de ceros y su comportamiento para uxu grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 11 Identificar la gráfica de una función racional determinando su número de ceros y su comportamiento para uxu grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 15 Encontrar gráficamente el número de ceros reales de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 25, 39 1.4 Dar la correspondencia de gráficas y ecuaciones de funciones trigonométricas y exponenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 5, 7 Encontrar la fórmula de la composición f (g(x)) de dos funciones dadas f y g . . . . . . . . 11, 15, 17, 19 Encontrar gráficamente el número de soluciones reales de una ecuación trascendente dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33, 35, 39

Capítulo 1

Problemas diversos

51

PROBLEMAS DIVERSOS En los problemas 1 a 10, encuentre el dominio de definición de la función con la fórmula dada.  F .X/ H

p

X 

  p  F .X/ H  C X

 F .X/ H

 F .X/ H

X

p



 F .X/ H

En los problemas 19 a 24, escriba una ecuación de la recta L descrita. 19. L pasa por (−3, 5) y (1, 13). 20. L pasa por (4, −1) y tiene pendiente −3.



21. L tiene pendiente 12 y ordenada −5.



 X



 F .X/ H .X /. X/



 X X F .X/ H  X C X C F .X/ H  X X  F .X/ H p  X p F .X/ H .X /. X/

11. De acuerdo con la ley de Boyle, la presión p (lb/in2) y el volumen V (in3) de cierto gas satisfacen la condición pV  800. ¿Cuál es el recorrido de valores posibles de p, dado que ≤ V ≤ 200? 100 − − 12. La relación entre la temperatura Fahrenheit F y la temperatura Celsius C está dada por & H  C  #:

Si la temperatura un día dado va de un bajo de 70°F a un alto de 90°F, ¿cuál es el rango de temperatura en grados Celsius? 13. Un circuito eléctrico contiene una batería que suministra E volts en serie con una resistencia de R ohms (figura 1.PD.1). La corriente de I amperes que fluye en el circuito satisface la ley de Ohm, E  I R. Si E  100 y 25 < R < 50, ¿cuál es el rango de valores posibles de I?

22. L pasa por (2, −3) y es paralela a la recta con ecuación 3x − 2y  4. 23. L pasa por (−3, 7) y es perpendicular a la recta con ecuación y − 2x  10. (El apéndice B revisa las pendientes de rectas perpendiculares.) 24. L es la bisectriz perpendicular del segmento que une (1, −5) y (3, −1). En los problemas 25 a 34, señale la correspondencia de la función dada con su gráfica entre las mostradas en las figuras 1.PD.2 a 1.PD.11. Haga esto sin usar su calculadora graficadora o computadora. En su lugar, confíe en su conocimiento de las características generales de las funciones polinomiales, racionales, algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.     Y 











   Y  

 



#ORRIENTE)AMPERES

 X





FIGURA 1.PD.2 "ATER¤A %VOLTS

2ESISTENCIA 2OHMS















  X



FIGURA 1.PD.4

FIGURA 1.PD.6

 X

 Y 



     Y 

























  Y 

14. El periodo T (en segundos) de un p péndulo simple de longitud L (en pies) está dado por 4 H  ,= Si 3 < L < 4, ¿cuál es el recorrido de valores posibles de T ? 15. Exprese el volumen V de un cubo como función del área de su superficie total S. 16. La altura de cierto cilindro circular recto es igual a su radio. Exprese el área de su superficie total A (incluyendo ambas tapas) como función de su volumen V. 17. Exprese el área A de un triángulo equilátero como función de su perímetro P. 18. Una pieza de cable con 100 pulgadas de largo se corta en dos piezas de longitudes x y 100 − x. La primera pieza se dobla en forma de cuadrado, la segunda en forma de circunferencia. Exprese como función de x la suma A de las áreas del cuadrado y el círculo.

 X

FIGURA 1.PD.3



FIGURA 1.PD.1 Circuito eléctrico sencillo del problema 13.









FIGURA 1.PD.5 

 Y 

 X







FIGURA 1.PD.7

 X



52

CAPÍTULO 1

     Y 















Funciones, gráficas y modelos

 X





     Y 













FIGURA 1.PD.8

FIGURA 1.PD.9

     Y 













     Y 













 X



FIGURA 1.PD.10

los dos casos por separado para concluir que el conjunto de soluciones es .1; / [ .; C1/ = Use el método del problema 47 para resolver las desigualdades de los problemas 48 a 50.  X  X C  <   X

 X

 X





FIGURA 1.PD.11

 X  X  > 

 X 

Los problemas restantes requieren el uso de una calculadora o computadora adecuada. En los problemas 51 a 56, use el método de tabulaciones repetidas o el método de amplificaciones sucesivas (o ambos) para encontrar las dos raíces (con tres decimales correctos o correctamente redondeados) de la ecuación cuadrática dada. Verifique su trabajo con la ayuda de la fórmula cuadrática y una calculadora normal.  X  X  H 

 X  X  H 

 X  X C  H 

 X  C X  H 

 X  C X  H 

 X  C X  H 

En los problemas 57 a 62, aplique el método de tabulaciones repetidas o el método de amplificaciones sucesivas (o ambos) para encontrar el punto mínimo en la parábola dada. Verifique su trabajo completando cuadrados.  Y H X  X C 

 Y H X  X C 



 F .X/ H  X X  



 F .X/ H X X C   X X C   F .X/ H X   F .X/ H  C  SENX

 F .X/ H

 F .X/ H X  X  C    F .X/ H  X X  p  F .X/ H  C X X 

 X Y H   X  C Y  H X  Y H X  X    F .X/ H X C  F .X/ H jX j

 jX Yj H   X  C Y  H Y X C   Y H X X    F .X/ D  X  F .X/ H jX j C jX C j

45. Aplique la desigualdad del triángulo (apéndice A) dos veces para demostrar que jA C B C Cj

jAj C jBj C jCj

para números reales arbitrarios a, b y c. 46. Escriba a  (a − b) + b para deducir de la desigualdad del triángulo (apéndice A) que jAj jBj

 Y H X  C X C   Y H X  C X C  63. La figura 1.PD.12 muestra un retrato de 10 cm por 7 cm que incluye un marco de ancho x arriba y abajo y de ancho 2x en cada lado. El área del marco es 20 cm2. Use tabulaciones repetidas o amplificaciones sucesivas para encontrar x.

 F .X/ H LOG .X C /  F .X/ H X C  SENX

Bosqueje las gráficas de las ecuaciones y funciones dadas en los problemas 35 a 44.

jA Bj

para números reales arbitrarios a y b. 47. Resuelva la desigualdad x2 − x − 6 > 0. [Sugerencia: concluya de la factorización X  X  H .X /.X C /

que las cantidades x − 3 y x + 2 deben ser ambas positivas o ambas negativas para que la desigualdad se cumpla. Considere

 Y H X  C X C 

 Y H X X C 

X X

X CM

X CM

FIGURA 1.PD.12 Retrato con marco del problema 63.

64. Un catálogo para ordenar por correo ofrece un mantel de 60 por 35 pulgadas que se encoge 7% en su área cuando se lava por primera vez. La descripción del catálogo también implica que el largo y ancho disminuirán en la misma cantidad x. Use el método numérico (tabulaciones) o el gráfico (amplificaciones) para encontrar x. Determine gráficamente el número de soluciones reales de cada ecuación dada en los problemas 65 a 70.  X  X C  H   X  X  C X  H   SEN X H X  X C   COS X H X  X  COS X H LOG X  X H LOG X

2

Introducción al cálculo

E

l moderno lenguaje de computadoras Ada se llama así en honor a Ada Byron, hija del poeta inglés Lord Byron. Su interés en la ciencia y las matemáticas la llevaron, alrededor de 1840, a estudiar la “máquina diferencial”, una calculadora mecánica a base de engranes que el matemático Charles Babbage había construido para calcular tablas de valores Ada Byron (1815-1852) de funciones. Por esa época, Babbage desarrollaba una máquina de cálculo más elaborada que hubiera estado muy adelantada para su época si la hubiese terminado. En 1843 Ada Byron escribió una serie de ensayos breves explicando la planeación de la “máquina analítica” y los principios matemáticos en los que se basaba. Incluyó el prototipo de un “programa de computadora” para ilustrar cómo debían “programarse” los cálculos por adelantado, usando un juego de tarjetas perforadas que especificaban las instrucciones.

La máquina diferencial

El cálculo ha sido llamado “la máquina de calcular por excelencia”, pero en la actualidad el estudio y las aplicaciones del cálculo han adquirido otra dimensión debido a las computadoras electrónicas. En este libro se ilustrarán los conceptos del cálculo mediante resultados gráficos, numéricos y simbólicos generados por computadoras. En el capítulo 2 se explota en forma sistemática la tecnología computacional en la investigación de los límites.

Grace Murray Hopper (1906-1992)

Casi un siglo después de la muerte de Ada Byron, el primer compilador de computadora moderno (para la traducción de programas en lenguaje-humano a instrucciones en lenguaje-máquina) fue desarrollado por Grace Murray Hopper. Como matemática y oficial de la Marina de Estados Unidos, tuvo la oportunidad de trabajar con las primeras computadoras electrónicas que se desarrollaron durante e inmediatamente después de la Segunda Guerra Mundial. En 1967 fue llamada a servicio activo para dirigir los esfuerzos tendientes a estandarizar el lenguaje de computadora COBOL para la Marina. En 1985, a la edad de 79 años, se convirtió en vicealmirante. En 1986 se retiró —cuando era la oficial comisionada en activo con más antigüedad en la Marina— en una ceremonia llevada a cabo en el U.S.S. Constitution, el barco de guerra más antiguo de la Marina.

53

54

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

2.1 RECTAS TANGENTES Y EL PRONOSTICADOR DE PENDIENTES

0

/

FIGURA 2.1.1 La recta tangente a la circunferencia en el punto P es la perpendicular al radio OP.

En las secciones 1.2 y 1.5 vimos que algunos problemas aplicados plantearon la pregunta de qué significa la recta tangente en un punto específico de una curva general y = f (x). En esta sección observamos cómo el “problema de la recta tangente” nos lleva al concepto de límite, el cual se estudia más detalladamente en la sección 2.2. En geometría elemental, la recta tangente a una circunferencia en el punto P se define como la recta que pasa por P y que es perpendicular al radio (OP ) en ese punto (figura 2.1.1). Una gráfica general y = f (x) no tiene un radio que podamos usar, pero la recta tangente a la gráfica en el punto P debe ser la recta que pasa por P y tiene —en cierto sentido— la misma dirección que la curva en el punto P. Debido a que la “dirección” de la recta está determinada por su pendiente, nuestro plan para definir una recta tangente a la curva se concretará en encontrar una “fórmula pronosticadora de pendientes” que nos proporcione la pendiente apropiada de la recta tangente. El ejemplo 1 ilustra este enfoque usando una de las curvas más simples entre las curvas no rectas, la parábola con ecuación y = x 2. EJEMPLO 1 Determine la pendiente de la recta L tangente a la parábola y = x 2 en el punto P(a, a2 ).

Solución La figura 2.1.2 muestra la parábola y = x 2 y un punto típico P(a, a2 ) en ella. La figura muestra también una aproximación visual de la recta tangente L en el punto P que buscamos. Debemos encontrar la pendiente de L. Y YX ,

0A A X

FIGURA 2.1.2 La recta tangente en P debe tener la misma dirección que la curva en el punto P (ejemplo 1).

No podemos calcular directamente la pendiente de L porque sólo conocemos las coordenadas de un punto P(a, a2) de L. Iniciemos con otra recta cuya pendiente podamos calcular. La figura 2.1.3 muestra la recta secante K que pasa por el punto P y un punto cercano Q(b, b2) de la parábola y = x2. Podemos escribir H H X HBA para la diferencia en las coordenadas x de P y Q. (La notación x es tan antigua como el mismo cálculo y significa lo mismo ahora que hace 300 años: un incremento o un cambio en el valor de x.) Las coordenadas de Q están dadas por las fórmulas B HACH

Y B H .A C H/ :

Así, la diferencia en las coordenadas y entre P y Q es Y H B A  H .A C H/ A  :

Como P y Q son dos puntos diferentes, podemos utilizar la definición de la pendiente para calcular la pendiente mPQ de la recta secante K que pasa por los puntos P y Q. Si

SECCIÓN 2.1

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 55 Y YX

+

1B B

,

$Y

0A A $X X

BAH

A

FIGURA 2.1.3 Recta secante K que pasa por los puntos P y Q, y que podemos utilizar para determinar su pendiente (ejemplo 1).

se cambia el valor de h = x, se cambia la recta K y su pendiente. Por consiguiente, mPQ depende de h. M01 H H

.A C H/ A  Y H X .A C H/ A AH C H  H.A C H/ .A  C AH C H  / A  H H : H H H



Como h es diferente de cero, la cancelamos en la fracción final. Encontramos que la pendiente de la recta secante K está dada por M 0 1 H A C H:



Imaginemos ahora qué pasaría si movemos el punto Q por la curva cada vez más cerca del punto P. (Esta situación corresponde a h acercándose o tendiendo a cero.) La recta K todavía pasa por los puntos P y Q, pero tiene un pivote en el punto fijo P. Cuando h tiende a cero, la recta secante K coincide cada vez más con la recta tangente L. Esto se puede apreciar en la figura 2.1.4, que muestra la recta secante K acercándose a la recta tangente L. La idea es definir la recta tangente L como la posición límite de la recta secante K. Para entender con más precisión lo que esto significa, examinemos qué pasa con la pendiente de K cuando K “pivotea” hasta coincidir con L: Y YX + , 1

0 A

X

FIGURA 2.1.4 Cuando h → 0, Q se acerca a P y K se mueve hasta coincidir con la recta tangente L (ejemplo 1).

56

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

Cuando h tiende a cero, Q se acerca a P, y así K se aproxima a L; mientras tanto la pendiente de K se acerca a la pendiente de L. Por lo que nuestra pregunta es: cuando el valor de h tiende a cero, ¿a qué valor tiende la pendiente mPQ = 2a + h? Podemos responder esta pregunta del “valor límite” de 2a + h escribiendo L¤M .A C H/ H 



H!

Aquí “lím” es una abreviatura de la palabra “límite” y “h → 0” es una abreviatura de “h tiende a cero”. Así, la ecuación (3) dice: “¿cuál es el límite de 2a + h cuando h tiende a cero?” Para cualquier valor específico de a se puede investigar numéricamente esta pregunta calculando los valores de 2a + h con valores de h que se hacen cada vez más cercanos a cero, como los valores h = 0.1, h = −0.01, h = 0.001, h = −0.0001,…, o los valores h = 0.5, h = 0.1, h = 0.05, h = 0.01,… Por ejemplo, las tablas de valores en las figuras 2.1.5 y 2.1.6 indican que con a = 1 y a = −2 se puede concluir que L¤M . C H/ H 

Y

H!

L¤M . C H/ H :

H!

De manera más general, se aprecia claramente de la tabla en la figura 2.1.7 que L¤M M 0 1 H L¤M .A C H/ H A:

H!

H

CH

    # 

    # 

FIGURA 2.1.5 Cuando h → 0 (primera columna), 2 + h tiende a 2 (segunda columna).



H!

H

 C H

      # 

: : : : : : # 

FIGURA 2.1.6 Cuando h → 0 (primera columna), −4 + h tiende a −4 (segunda columna).

H

A C H

  :: : # 

A C : A C : :: : # A

FIGURA 2.1.7 Cuando h → 0 (primera columna), 2a + h tiende a 2a (segunda columna) (ejemplo 1).

Esto, finalmente, responde la pregunta original: la pendiente m = m(a) de la recta tangente a la parábola y = x 2 en el punto (a, a2) está dada por m = 2a.

(5) Z

La fórmula en la ecuación (5) es un “pronosticador de pendiente” para (rectas tangentes a) la parábola y = x 2. Una vez que se conoce la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado, utilizamos la fórmula de punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta tangente. EJEMPLO 2 Con a = 1, el pronosticador de pendiente en la ecuación (5) da m = 2 para la pendiente de la recta tangente a y = x2 en el punto (1, 1). Por lo tanto, la ecuación de la recta es y − 1 = 2(x − 1);

es decir,

y = 2x − 1.

SECCIÓN 2.1

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 57

Con a = −3, la ecuación (5) da m = −6 para la pendiente de la recta tangente en el punto (−3, 9) y la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto es y − 9 = −6(x + 3);

es decir,

y = −6x − 9.

Z

En la figura 2.1.8 se grafican la parábola y = x2 y la recta tangente y = 2x − 1 que pasa por (1, 1). La relación entre la curva y su recta tangente es tal que si amplificamos el punto de tangencia, las amplificaciones sucesivas nos muestran una diferencia cada vez menor entre la curva y su recta tangente. Esto se aprecia en las figuras 2.1.9 a 2.1.11.  

YX



YX

  Y

Y     





X







FIGURA 2.1.8 Parábola y = x2 y su recta tangente en P (1, 1).



 X





FIGURA 2.1.9 Primera amplificación.

  YX



 Y

Y 



  



 

 X



 



FIGURA 2.1.10 Segunda amplificación.

 X

 

FIGURA 2.1.11 ¿Puede ver la diferencia?

OBSERVACIÓN En el ejemplo 1 procedimos como si el concepto de recta tangente a una curva fuera evidente. El significado real del resultado del pronosticador de pendiente, m = 2a en la ecuación (5) es: sin importar lo que quiera decir recta tangente a la parábola y = x2 en el punto P(a, a2), se trata sólo de una recta que pasa por P con pendiente m = 2a. Así, debemos definir la recta tangente a y = x2 en el punto P como la recta cuya ecuación de punto-pendiente es y − a2 = 2a(x − a). Las imágenes que aparecen en las figuras 2.1.8 a 2.1.11 apoyan nuestro postulado de que la definición es la correcta.

Los pronosticadores de pendientes más comunes El caso general para una recta tangente a la curva y = f (x) es un poco más complicado que el caso especial y = x2 del ejemplo 1. Dada la función f, suponga que queremos encontrar la pendiente de la recta L tangente a y = f (x) en el punto P(a, f (a)). Como se indica en la figura 2.1.12, siendo K la recta secante que pasa por el punto P y el punto cercano Q(a + h, f (a + h)) de la gráfica. La pendiente de esta recta secante es el cociente de diferencias M01 H

F .A C H/ F .A/ Y H X H

.CON H H /:



58

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo Y

,

Y

+

0ENDIENTEMA

1

1AH FAH YF X 0A F A

$YF AH FA $XH

$ YFAH FA 0

$ XH

YFX A

A

AH

X

X

AH

FIGURA 2.1.13 La pendiente de la recta tangente F .A C H/ F .A/ en (a, f (a)) es M.A/ H L¤M  H! H

FIGURA 2.1.12 Cuando h → 0, Q → P y la pendiente de K tiende a la pendiente de la recta tangente L.

Ahora forzaremos a Q para que se acerque al punto fijo P a lo largo de la curva y = f (x) haciendo que h tienda a cero. Nos preguntamos si mPQ tiende a algún valor límite m cuando h → 0. Si es así, escribimos F .A C H/ F .A/ M H L¤M H! H y concluimos que este número m es la pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto (a, f (a)). En realidad, la pendiente depende de a y podemos indicarlo escribiendo M A H L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ : H



Si expresamos el valor límite del lado derecho de la ecuación en términos de a, la ecuación (7) proporciona un pronosticador de pendientes para rectas tangentes a la curva y = f (x). En este caso, la recta tangente a la curva en el punto P(a, f (a)) está definida como la recta que pasa por P y tiene pendiente ma. Esta recta tangente aparece en la figura 2.1.13. En el capítulo 3 reconoceremos el hecho de que la pendiente ma, de alguna manera, se “deriva” de la función f llamando a este número la derivada de la función f en el punto a. Sin duda, la mayor parte del capítulo 3 se dedica a los métodos para calcular derivadas de varias funciones familiares. Muchos de estos métodos se basan en las técnicas de límites de las secciones 2.2 y 2.3, pero el caso de la función cuadrática es lo bastante sencillo para incluirlo aquí. Recuerde de la sección 1.2 que la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola abierta, ya sea hacia arriba o hacia abajo.

TEOREMA Parábolas y rectas tangentes Considere la parábola y = f (x) donde F .X/ H PX  C Q X C R



(con p ? 0). La recta tangente a esta parábola en el punto P(a, f (a)) tiene pendiente M A H  PA C Q:  Demostración La pendiente de la recta secante dada en (6) se puede simplificar como sigue:

F .A C H/ F .A/ T P.A C H/ C Q.A C H/ C R U T PA  C QA C R U H H H T P.A  C AH C H  / C Q.A C H/ C R U T PA  C QA C R U  PAH C PH  C QH H H ; H H

M 01 H

SECCIÓN 2.1

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 59

y por lo tanto M 0 1 H  PA C Q C PH:

Los números p, q y a son fijos, y cuando h → 0 el producto ph se acerca a cero, como se vio en el ejemplo 1. Así M A H L¤M M 0 1 H L¤M . PA C Q C PH/ H  PA C Q; H!

H!

X

como se mencionó en la ecuación (9).

OBSERVACIÓN 1 Así, la fórmula ma = 2pa + q nos proporciona un pronosticador de pendiente para la parábola con ecuación

Y H PX  C Q X C R:

Dados los coeficientes p, q, r y el número a, sólo necesitamos sustituirlos en esta fórmula pronosticadora para obtener la pendiente ma de la recta tangente a la parábola en el punto donde x = a. No es necesario repetir los pasos computacionales que anteriormente realizamos para obtener la fórmula del pronosticador de pendiente. OBSERVACIÓN 2

Si se reemplaza a con x se obtiene la función pronosticador de

pendiente M.X/ H  PX C Q:



Aquí, m es una función cuyo valor m(x) en x es la pendiente de la recta tangente a la parábola y = f (x) en el punto P(x, f (x)). Quizás el esquema visual F .X/ H

PX 

M.X/ H  PX Y

C QX

C R

C

C 

Q

le permita recordar con mayor facilidad este pronosticador de pendiente. YX

EJEMPLO 3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = 2x2 − 3x + 5 en el punto donde x = −1.

C C .  

X

FIGURA 2.1.14 Recta normal N desde el punto (3, 0) al punto (c, c2) en la parábola y = x2.

Solución Tenemos p = 2, q = −3, r = 5 y la coordenada y en nuestro punto es 2 · (−1)2 − 3 · (−1) + 5 = 10. La ecuación (10) nos proporciona el pronosticador de pendiente M.X/ H 
X C ./ H X ; de manera que la pendiente para la recta tangente a la parábola en el punto (−1, 10) es m(−1) = 4 · (−1) − 3 = −7. La ecuación punto-pendiente de la recta tangente es Y  H ./.X C /I ESTOES Y H X C : Z

Rectas normales

Y 2ECTANORMAL PENDIENTE M YFX

¿Cómo encontrar el punto P(c, c2) que está en la parábola y = x2 y es el más cercano al punto (3, 0)? En forma intuitiva, el segmento de recta N con puntos finales en (3, 0) y P debe ser perpendicular, o normal, a la recta tangente de la parábola en P (figura 2.1.14). Si la pendiente de la recta tangente es m, de acuerdo al teorema 2 del apéndice B, la pendiente de la recta normal es M. H

0C FC X 2ECTATANGENTE PENDIENTEM

FIGURA 2.1.15 Recta tangente y recta normal en el punto P en una curva.

 : M



(El teorema 2 nos dice que si dos rectas perpendiculares tienen pendientes diferentes de cero m1 y m2, entonces m1m2 = −1.) Precisando, la recta normal en el punto P de una curva donde la recta tangente tiene pendiente m está definida como la recta que pasa por P con pendiente mN = −1ym (figura 2.1.15). En consecuencia, el pronosticador de pendiente en (9) nos permite escribir las ecuaciones de las rectas normales a las parábolas en forma tan sencilla como las ecuaciones de las rectas tangentes.

60

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

EJEMPLO 4 En el ejemplo 3 encontramos que la recta tangente a la parábola y = 2x2 − 3x + 5 en el punto P(−1, 10) tiene pendiente −7. Por lo tanto, la pendiente de la recta normal a la parábola en P es mN = −1y(−7) = . Así, la ecuación de puntopendiente de la recta normal es Y  H  .X C /I X FT

 : 

Z

Problema del corral terminado

Y FT

Ahora aplicaremos nuestro nuevo conocimiento de la fórmula del pronosticador de pendiente para completar nuestro análisis del problema del corral para animales de la sección 1.1. En el ejemplo 9 encontramos que el área A del corral (vea la figura 2.1.16), dada como una función de la longitud de la base x, es

FT Y

FT X

0ARED

!.X/ H  .X X  / H  X  C X

FIGURA 2.1.16 Corral para animales.

Y 

ESTOES Y H  X C

0UNTOMÖSALTO   2ECTATANGENTE HORIZONTAL



≤ x ≤ 30. El problema consiste en encontrar el valor máximo de A(x) para x en para 0 − − el intervalo cerrado [0, 30]. Aceptemos como obvio —lo demostraremos en el capítulo 3— que el valor máximo de A(x) se encuentra en el punto más alto donde la recta tangente a la parábola y = A(x) es horizontal, como se indica en la figura 2.1.17. Pero la función A(x) en la ecuación (12) es cuadrática con p = − y q = 18 (compare (12) con (8)); por lo tanto, el pronosticador de pendiente en (10) implica que la pendiente de la recta tangente en un punto arbitrario (x, A(x)) de la parábola está dada por



M H M.X/ H  PX C Q H  X C :

Y!X 

Queremos saber cuándo m = 0 y encontramos que esto ocurre cuando 





FIGURA 2.1.17 Gráfica de y = A(x), 0 ≤ x ≤ 30. − −

 X C  H ;

X

es decir, cuando x = 15. De acuerdo con el resultado obtenido por los métodos algebraicos de la sección 1.2, encontramos que el área máxima del corral es !./ H  .
  / H 

.FT /:

Investigación numérica de las pendientes Teniendo una función f y un valor numérico específico de a. Utilizamos una calculadora para obtener el valor M H L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ H



de la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)). Simplemente, calculamos los valores de cociente de diferencias F .A C H/ F .A/ H



utilizando valores de h, diferentes de cero, cada vez más pequeños hasta que el valor numérico límite sea evidente. EJEMPLO 5 Encuentre mediante la investigación numérica (una aproximación a) la recta tangente a la gráfica de F .X/ H X C

en el punto (2, ).

 X



SECCIÓN 2.1

t

TEXAS INSTRUMENTS

t

TI-83

FIGURA 2.1.18 Calculadora preparada para calcular F .A C H/ F .A/ CON H  F .X/ H X C  X

H      # 

F . C H/ F ./ H      #  

FIGURA 2.1.21 Investigación numérica del límite en (13) con  F X H X C A H  X

TE X AISN

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 61

ST R U M E N T TI-83 S

38

FIGURA 2.1.19 Aproximación de F .A C H/ F .A/ L¤M H! H

3#)%.4)&)#ä%80!.$!",%

FIGURA 2.1.20 Calculadora preparada para calcular F .X C H/ F .X/  H

Solución La figura 2.1.18 muestra una calculadora TI preparada para calcular el cociente de diferencias de la ecuación (14) con la función f de la ecuación (15). Como indica la figura 2.1.19, los valores sucesivos de este cociente se calculan con instrucciones breves “de una línea”. La figura 2.1.20 muestra una calculadora HP preparada para calcular el mismo cociente; y la evaluación de la expresión 'M(2,0.0001)' proporciona el valor aproximado m ≈ 0.75001. De esta forma se obtiene la tabla que aparece en la figura 2.1.21, la cual sugiere que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto (2, ) es m = . Si es así, la recta tangente en ese punto tiene una ecuación punto-pendiente igual a Y

 

H  .X /I

ESTOES Y H  X C :

Nuestra investigación numérica no constituye una prueba rigurosa de que ésta es en realidad la recta tangente buscada, pero las figuras 2.1.22 y 2.1.23 que muestran las gráficas generadas por computadora de YHXC

 X

Y

YH

 X C 

constituyen una evidencia de que estamos en lo correcto. (¿Está de acuerdo?)

Z



  YX X

  Y

Y  

Y  X

 







X





FIGURA 2.1.22 La curva y su recta tangente (ejemplo 5).



 

 YX X

Y  X  X



FIGURA 2.1.23 La curva y su recta tangente amplificada cerca de (2, ).

2.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La recta que pasa por (a, a2) y (a + h, (a + h)2) tiene pendiente 2a + h. 2. La recta tangente a la gráfica f (x) = x2 en el punto (a, a2) tiene pendiente 2a.

62

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

3. La recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto (a, f (a)) tiene pendiente F .A C H/ F .A/ : H

4. La recta tangente a la parábola f (x) = px2 + qx + r en el punto (a, f (a)) tiene pendiente 2pa + q. 5. Si las rectas no verticales L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2, respectivamente, y L1 y L2 son perpendiculares, m1m2 = 1. 6. Toda recta horizontal tiene pendiente cero. 7. Para encontrar el punto más alto en la gráfica de Y H !.X/ H  X  C X encuentre en qué punto la recta tangente a la gráfica tiene pendiente cero. 8. El pronosticador de pendiente para !.X/ H  X  C X es m(x) = 2x + 18. 9. Una ecuación de la recta tangente a la gráfica de Y H X  X C  en el punto (−1, 10) es y = 3x − 7. 10. El ejemplo 5 muestra cómo encontrar el pronosticador de pendiente para la ecuación f (x) = x3.

2.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Cuál es la función pronosticador de pendiente para la recta con ecuación y = 17x − 21? 2. ¿Pueden tener la misma función pronosticador de pendiente dos parábolas diferentes con ecuaciones de la forma y = px2 + qx + r ? 3. El vértice de la parábola con ecuación y = px2 + qx + r es su punto más alto (si p < 0) o su punto más bajo (si p > 0). Como se muestra en la figura 2.1.17, es evidente que este vértice es el único punto de la parábola en el que la recta tangente es horizontal. ¿Es verdad —para cualquier curva dada y = f (x)— que un punto en la gráfica en el cual la recta tangente es horizontal será el punto más alto o el punto más bajo de la gráfica?

2.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 14, primero aplique la fórmula para el pronosticador de pendiente (10) de las funciones cuadráticas para encontrar la pendiente m(a) de la recta tangente a y = f (x) en el punto donde x = a. Después escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, f (2)).  F .X/    F .X/ H X   F .X/ H X  F .X/ H  X   F .X/ H X   F .X/ H  X  F .X/ H X  X C   F .X/ H  X X   F .X/ H X.X C /  F .X/ H X. X/ X   F .X/ H  .X C /  F .X/ H X   F .X/ H .X C / X  F .X/ H .XC/ .X/ En los problemas 15 a 24, encuentre todos los puntos de la curva y = f (x) en los cuales la recta tangente es horizontal.  Y H  X   Y H X X    Y H X X C   Y H X  C X  X   Y H X. X/  Y H X   Y H .X C /.X /  Y H .X / X   Y H X X   Y H   

En los problemas 25 a 35, use la fórmula del pronosticador de pendiente para las funciones cuadráticas según la necesite. En los problemas 25 a 27 escriba las ecuaciones tanto de la recta tangente como de la recta normal a la curva y = f (x) en el punto P dado.  Y H X   0.; /  Y H  X X   0.; /  Y H X  C X  0.; /

28. Pruebe que la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (x0, y0) interseca el eje x en el punto (x0/2, 0). Vea la figura 2.1.24. Y YX

X Y X

  

X

FIGURA 2.1.24 Parábola y recta tangente del problema 28.

SECCIÓN 2.1

29. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s, t segundos después su altura es y(t) = 96t − 16t2 pies. Determine la altura máxima que alcanza la pelota calculando el punto en la parábola y(t) = 96t − 16t2 en el que la recta tangente es horizontal. 30. De acuerdo con el problema 40 de la sección 1.1, el área de un rectángulo con base de longitud x y perímetro de 100 es A(x) = x(50 − x). Encuentre el área máxima posible de este rectángulo encontrando el punto en la parábola A = x(50 − x) en el cual la recta tangente es horizontal. 31. Encuentre el valor máximo posible del producto de dos números positivos cuya suma es 50. 32. Suponga que se dispara un proyectil con un ángulo de 45° respecto a la horizontal. Su posición p inicial es el origen del plano xy y su velocidad inicial es 100  ft/s (figura 2.1.25). Su trayectoria será la parte de la parábola y = x − (xy25)2 donde y 0. a) ¿Qué tan lejos viaja el proyectil (en sentido horizontal) antes de chocar con el suelo? b) ¿Cuál es la altura máxima, respecto al suelo, que alcanza el proyectil?

Rectas tangentes y el pronosticador de pendientes 63

punto (3, 0). Ahora debemos encontrar ese punto. (Sugerencia: dibuje una figura similar a la figura 2.1.26. La ecuación cúbica que debe obtener tiene una solución que es evidente por inspección.) Sea P(a, f (a)) un punto fijo en la gráfica de y = f (x). Si h > 0, entonces Q(a + h, f (a + h)) está a la derecha de P y R(a − h, f (a − h)) está a la izquierda de P. ¿Al observar la figura 2.1.27 parece factible —para h > 0 y h muy pequeña— que la pendiente M 21 H

F .A C H/ F .A H/  H .M 01 C M 20 / H 

es general y específicamente una buena aproximación a la pendiente m de la recta tangente a la gráfica en el punto P? En particular, “el cociente de diferencias simétrico” mRQ es generalmente una mejor aproximación a m que el cociente de diferencias estándar por la derecha M01 H

F .A C H/ F .A/ H

o el cociente de diferencias por la izquierda Y X YX 

M20 H





X

FIGURA 2.1.25 Trayectoria del proyectil del problema 32.

F .A/ F .A H/ : H

En los problemas 36 a 48, use una calculadora o computadora para investigar numéricamente la pendiente m de las rectas tangentes a la gráfica dada en el punto P(a, f (a)), calculando tanto mPQ como mRQ para h = 0.1, 0.01, 0.001,… Verifique el valor obtenido de m dibujando tanto la gráfica de y = f (x) como la recta tangente encontrada. Y

33. Una de las dos rectas que pasan por el punto (3, 0) y son tangentes a la parábola y = x2 es el eje x. Encuentre una ecuación para la otra recta. (Sugerencia: primero encuentre el valor del número a mostrado en la figura 2.1.26.)

YF X

1AH FAH

Y

A H A A

 

0A F A

2A H FA H

YX

A

AH

X

FIGURA 2.1.27 Tres aproximaciones diferentes para la pendiente de la recta tangente. X

FIGURA 2.1.26 Las dos rectas tangentes a la parábola del problema 33.

34. Escriba las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2, 5) y que son tangentes a la parábola y = 4x − x2. (Sugerencia: dibuje una figura similar a la figura 2.1.26.) 35. En los problemas 3 y 4 nos preguntamos —sin responder— cómo localizar el punto en la gráfica y = x2 más cercano al

 F .X/ H X   A H  

 F .X/ H X  A H  p  F .X/ H X A H    A H  X  F .X/ H SEN  X A H 

 F .X/ H

  F .X/ H SEN  X A H  p  F .X/ H  X   A H 

 F .X/ H X   A H  p  F .X/ H X A H    F .X/ H  A H  X  F .X/ H COS X A H   F .X/ H COS X A H   p  F .X/ H  X   A H 

CAPÍTULO 2

64

Introducción al cálculo

2.1 INVESTIGACIÓN: aproximaciones numéricas a la pendiente 

YFX



X Y

Y 

0



X Y







X



FIGURA 2.1.18 Puntos en ambos lados de P.



En cada uno de los problemas siguientes, sabemos que la pendiente m de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto fijo P(a, f (a)) es un entero o bien el recíproco de un entero de un solo dígito. Use este hecho para determinar m numéricamente usando un dispositivo de gráficas (calculadora o computadora) en el que pueda “obtener” las coordenadas xy de un punto seleccionado en la gráfica. Suponga que hace una amplificación en el punto P, y que en el k-ésimo registra las coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) de dos puntos localizados a ambos lados de P (como se muestra en la figura 2.1.28). Ahora puede obtener el valor aproximado de m calculando el valor del cociente de diferencias Y Y Y H MK H : X X X Después de suficientes amplificaciones, es obvio a qué valor racional se acercan las pendientes m1, m2, . . .  F .X/ H X   0 H 0.; / M./ H  p  F .X/ H X 0 H 0.; / M./ H    F .X/ H  0 H 0.; =/ M./ H  X   F .X/ H   0 H 0.; =/ M./ H  X p  F .X/ H X   0 H 0.; / M./ H  p    F .X/ H SEN  0 H 0.;  =/ M./ H   X

2.2 CONCEPTO DE LÍMITE En la sección 2.1 se definió la pendiente m de una recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(a, f (a)) como M H L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ : H



La gráfica que originó esta definición reaparece en la figura 2.2.1, con a + h renombrado como x (así que h = x − a). Vemos que x se acerca a a mientras h tiende a 0, entonces la ecuación (1) se escribe como M H L¤M

X!A

F .X/ F .A/ : X A

Y



YF X

1X F X F X FA FAH FA 0A FA X AH A

XAH

FIGURA 2.2.1 La pendiente m en P(a, f (a)) se define F .X/ F .A/ como sigue: M H L¤M  X!A X A

X

SECCIÓN 2.2

Concepto de límite

65

El cálculo de m equivale a determinar el límite, cuando x tiende a a de la función G.X/ H

F .X/ F .A/ : X A



Para desarrollar un método general para calcular estos límites, necesitamos investigar con más detalle el significado de la expresión L¤M F .X/ H , :



X!A

Leemos esto como “el límite de f (x) cuando x tiende a a es L”. Algunas veces podemos escribir la expresión (4) en forma más concisa F .X/ ! ,

CUANDO

X ! A:

No es necesario que la función f esté definida en el punto x = a para poder analizar el límite de f en a. El valor real de f (a) —si existe— es irrelevante. Basta con que f (x) esté definido para todos los puntos distintos a a en alguna vecindad de a, esto es, para toda x H a en un intervalo abierto que contenga a a. Ésta es, pues, la situación para la función en la ecuación (3), la cual está definida excepto en a (donde el denominador es cero). El siguiente párrafo presenta el significado de la expresión (4) en un lenguaje intuitivo. Y

YFX

La idea del límite Decimos que el número L es el límite de f (x) cuando x tiende a a siempre que podamos hacer que el número f (x) esté tan cercano a L como se desee, simplemente eligiendo x lo suficientemente cercano, aunque no igual, al número a.

X FX

,

A , A

X

X

FIGURA 2.2.2 Interpretación gráfica del concepto de límite.

Esto significa que f (x) tiende a acercarse cada vez más a L cuando x está cada vez más cerca de a. Una vez que decidimos qué tan cercano a L queremos que esté f (x), es necesario que f (x) esté tan cerca de L para toda x lo suficientemente cercana (pero no igual) a a. La figura 2.2.2 muestra una interpretación gráfica del concepto de límite. Cuando x tiende a a (por cualquier lado), el punto (x, f (x)) en la gráfica y = f (x) tenderá al punto (a, L). En esta sección exploramos la idea del límite a través de ejemplos específicos, principalmente. Una definición precisa del límite aparece en la sección 2.3. X   X! X C  Investigación Ésta es una investigación (más que una solución) porque los cálculos numéricos sugieren sólidamente el valor de un límite, pero no establecen ese valor con certeza. La tabla en la figura 2.2.3 da los valores de X  ; F .X/ H X C correctos a seis decimales, para valores de x que tienden a 3 (pero no son iguales a 3). La primera y tercera columnas de la tabla muestran los valores de x que tienden a 3 tanto por la izquierda como por la derecha. Ahora examinamos la tabla —lea hacia abajo la columna de x, porque hacia abajo es la dirección de la tabla cuando “tiende a”—, y observará qué sucede con los valores correspondientes de f (x). Los datos sugieren en forma clara que

EJEMPLO 1

Investigue el valor de L¤M

L¤M

X!

X   H : X C 

Z

OBSERVACIÓN 1 La gráfica de f (x) = (x − 1)y(x + 2) en la figura 2.2.4 refuerza la idea de que f (x) está cerca de  cuando x está cerca de 3. Para un refuerzo adicional, use una calculadora o computadora para amplificar el punto en la gráfica donde x = 3.

66

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

X

X  X C

X

X  X C

     # 

     # 

     # 

     # 



Y X  X  Y Y



X



 





 X







FIGURA 2.2.4 Límite en el ejemplo 1.

FIGURA 2.2.3 Investigación del límite del ejemplo 1.

OBSERVACIÓN 2 Note que no sólo se sustituyó el valor de x = 3 en la función f (x) = (x − 1)y(x + 2) para obtener el valor aparente de  = 0.4 del límite. Aunque esta sustitución produciría la respuesta correcta en este caso específico, en muchos límites produce respuestas incorrectas, o bien, ninguna respuesta. (Vea los ejemplos 2 y 3 y los problemas 19 a 36 y 47 a 56.)

EJEMPLO 2

Investigue el valor de L¤M

X!

X   X C X 

Investigación Los datos numéricos que aparecen en la figura 2.2.5 sugieren que L¤M

X!

X

X

      # 

 X  H :  X CX  

X  CX 

      # 

X

Z

X

      # 

X  CX 

      # 

FIGURA 2.2.5 Investigación del límite del ejemplo 2.

OBSERVACIÓN



La función F .X/ H

   Y Y

Y

X  XX 

no está definida en x = 2, por lo que no podemos simplemente sustituir 2 en lugar de x. Pero si hacemos



G.X/ H 

         X

FIGURA 2.2.6 Límite del ejemplo 2.

X  X C X 

X  X C X   

SI X H ; SI X H ;

entonces g(x) está definida en x = 2 (y corresponde a f (x) en otra parte). ¿Es claro que f y g deben tener el mismo límite en x = 2? La figura 2.2.6 muestra la gráfica de y = g(x), incluyendo el punto aislado (2, 1.2).

SECCIÓN 2.2

p T       # 

T C   T

      # 

FIGURA 2.2.7 Investigación del límite en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3

Concepto de límite

67

p T C   Investigue el valor de L¤M  T! T

Investigación Aquí no es posible adivinar sustituyendo t = 0 porque la fracción p T C   G.T/ H T no está definida cuando t = 0, pero los datos numéricos que aparecen en la figura 2.2.7 indican que p  T C   H : L¤M T! T  Podemos intentar corroborar este resultado gráficamente haciendo amplificaciones en  ). La gráfica que aparece en la figura 2.2.8 no contradice el límite inel punto (1,  dicado, pero resulta poco convincente ya que “va demasiado lejos” y sugiere (¡erró para t H 0. El problema es que la escala en el eje y es muy neamente!) que g(t) =  burda. La amplificación mostrada en la figura 2.2.9 sí parece validar el valor del límite  . Z de  





Y



T  T y

Y 

 



Y







T  T





 T









FIGURAp2.2.8 Gráfica de T C   G.T/ H PARA T  T C   Y C 



 T



FIGURAp2.2.9 Gráfica de T C   G.T/ H PARA  T : Y :



T

C 

OBSERVACIÓN Si se divide cada número de la segunda columna entre 10,000, ¿se puede esperar que p T C   H  _&ALSO
L¤M T! T

De hecho, el valor de este límite (como constatará en el ejemplo 13) es exactamente 10−5 = 0.00001, no cero. Este hecho constituye una advertencia de que las investigaciones numéricas de los límites no son concluyentes. La investigación numérica del ejemplo 3 está incompleta porque la tabla de la figura 2.2.7 muestra valores de la función g(t) en un solo lado del punto t = 0. Pero para que L¤MX!A F .X/ H , , es necesario que f (x) tienda a L cuando x tiende a a tanto por la izquierda como por la derecha. Si f (x) se acerca a valores diferentes cuando x tiende a a por lados diferentes, el límx → a f (x) no existe. En la sección 2.3 se estudian más ampliamente los límites de un solo lado. EJEMPLO 4

Investigue L¤M F .X/, dado X!

F .X/ H

X  H  jXj

SI X > ; SI X < :

68

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo Y

 X



FIGURA 2.2.10 Gráfica de X F .X/ H (ejemplo 4). jXj

En el ejemplo 5, el valor obtenido al sustituir x = a en F (x) para encontrar límx → a F (x) es incorrecto. EJEMPLO 5

Y

& 

Solución A raíz de la gráfica de f mostrada en la figura 2.2.10, resulta evidente que f (x) → 1 cuando x → 0 por la derecha y que f (x) → −1 cuando x → 0 por la izquierda. En particular, existen valores positivos de x tan cercanos a cero como se desee tales que f (x) = 1 y valores negativos de x igualmente cercanos a cero tales que f (x) = −1. No podemos hacer f (x) tan cercana como quisiéramos a un solo valor L con sólo escoger valores de x lo suficientemente cercanos a cero. Por lo tanto, X no existe. Z L¤M X! jXj

Evalúe L¤M &.X/, donde X!

&.X/ H

X

FIGURA 2.2.11 Gráfica de la función F del ejemplo 5.

 SI X H ;  SI X H :

La gráfica de F se muestra en la figura 2.2.11

Solución El hecho de que F (x) = 1 para todo valor de x H 0 en cualquier vecindad de cero implica que L¤M &.X/ H :

X!

Observe, sin embargo, que ahí el valor del límite en x = 0 no es igual al valor de la Z función F (0) = 0.

Leyes de los límites Las investigaciones numéricas como las de los ejemplos 1, 2 y 3 nos dan una idea intuitiva de los límites y suelen sugerir los valores correctos del límite, pero la mayoría de los cálculos de los límites no se basan en las estimaciones numéricas meramente sugestivas (e imprecisas) ni en la aplicación directa (pero difícil) de la definición del límite. En cambio, esos cálculos se realizan en forma mucho más sencilla y natural con la ayuda de las leyes de los límites que se darán a continuación. Estas “leyes” son en realidad teoremas cuyas demostraciones (basadas en la definición precisa del límite) se incluyen en el apéndice D.

Ley de la constante Si f (x) ≡ C, donde C es una constante [por lo que f (x) es una función constante], entonces L¤M F .X/ H L¤M # H #:  X!A

X!A

Ley de la suma Si los límites L¤M F .X/ H ,

X!A

Y

L¤M G.X/ H -

X!A

existen, entonces L¤M T F .X/  G.X/U H

X!A

L¤M F .X/  L¤M G.X/ H ,  -:

X!A

X!A



(El límite de una suma es la suma de los límites; el límite de una diferencia es la diferencia de los límites.)

SECCIÓN 2.2

Concepto de límite

69

Ley del producto Si los límites L¤M F .X/ H ,

Y

X!A

L¤M G.X/ H -

X!A

existen, entonces L¤M T F .X/G.X/U H

X!A

L¤M F .X/

X!A

L¤M G.X/ H , -:

X!A



(El límite de un producto es el producto de los límites.)

Ley del cociente Si los límites L¤M F .X/ H ,

Y

X!A

L¤M G.X/ H -

X!A

existen y además M H 0, entonces L¤M

X!A

L¤M F .X/ F .X/ , X!A H H : G.X/ L¤M G.X/ -



X!A

(El límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.)

Ley de la raíz Si n es un entero positivo y si a > 0 para valores pares de n, entonces p p L¤M N X H N A: X!A



El caso de n = 1 de la ley de la raíz es obvio: L¤M X H A:



X!A

Los ejemplos 6 y 7 muestran cómo se pueden usar las leyes de los límites para evaluar límites de funciones polinomiales y racionales. EJEMPLO 6 L¤M .X  C X C / H

X!

H

L¤M X  C

X!

L¤M X

X!



L¤M X C

X!

C  L¤M X C X!

L¤M 

X!

L¤M  H  C 
 C  H :

X!

Z

EJEMPLO 7 L¤M

X!

L¤M .X C / X C  X! H X  C X C  L¤M .X  C X C / X!

H

 
C H :  C 
 C  

Z

NOTA En los ejemplos 6 y 7 se aplicaron sistemáticamente las leyes de los límites

hasta que se sustituyó el límx→3 x por 3 en el paso final. Para determinar el límite de un cociente de polinomios, debemos verificar, antes del paso final, que el límite del denominador es diferente de cero. Si el límite es cero, es posible que el límite del cociente no exista. EJEMPLO 8

Investigue el L¤M

X!

  .X /

70

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

Y Y

 X   Y, 

, Y, 

Solución Como límx →1 (x − 1)2 = 0, no podemos aplicar las ley del cociente. Sin embargo, se puede hacer 1y(x − 1)2 arbitrariamente grande eligiendo x suficientemente cercana a 1. Entonces, 1y(x − 1)2 no tiende a ningún número (finito) L cuando x tiende a 1. Por lo tanto, el límite en este ejemplo no existe. Observará la razón geométrica si examina la gráfica de y = 1y(x − 1)2 en la figura 2.2.12. Cuando x → 1, el punto correspondiente (x, y) asciende por la curva acercándose a la recta vertical x = 1. Debe salir de la franja indicada entre las dos rectas horizontales x = L −  y x = L +  que contienen el límite L propuesto. Así, el punto (x, y) no tiende al punto (1, L) cuando Z x → 1.

X X

FIGURA 2.2.12 Gráfica de  (ejemplo 8). YH .X /

EJEMPLO 9

Investigue el L¤M

X!

X   X C X 

Solución No podemos aplicar en forma directa la ley del cociente (como hicimos en el ejemplo 7) porque el denominador tiende a cero cuando x tiende a 2. Si el numerador se acercara a algún otro número diferente de cero cuando x → 2, el límite no existiría (como en el ejemplo 8). Pero, en este caso, el numerador tiende a cero, y existe la posibilidad de que un factor en el numerador se elimine con el mismo factor en el denominador, resolviendo el problema del cero en el denominador. Así, L¤M

X!

X  .X /.X C / H L¤M  X! X CX  .X /.X C /  X C H : H L¤M X! X C  

Podemos cancelar el factor x − 2 porque es diferente de cero: x H 2 cuando evaluamos el límite cuando x tiende a 2. Más aún, esto corrobora el límite numérico de 0.8 que se Z obtuvo en el ejemplo 2.

Sustitución de límites Es muy tentador escribir L¤M

X!

X C  H H

L¤M .X  C /

X!

./ C  H

p

 H :



Pero, ¿es posible “mover el límite dentro del radical” en la ecuación (11)? Para analizar este problema, escribimos F .X/ H

p

X

Y G.X/ H X  C :

La función que aparece en la ecuación (11) es la función compuesta F .G.X// H

G.X/ H

X  C :

(Recuerde que la expresión en el lado izquierdo se lee “f de g de x”). Por lo que nuestra duda es si L¤M F .G.X// H F L¤M G.X/ :

X!A

X!A

La siguiente ley de los límites lo corrobora, siempre que la “función exterior” f cumpla cierta condición: si es así, el límite de la función compuesta f (g(x)) cuando x → a se puede encontrar sustituyendo en la función f el límite de g(x) cuando x → a.

SECCIÓN 2.2

Concepto de límite

71

Ley de sustitución Límites de composiciones Suponga que YQUE L¤M F .X/ H F .,/: L¤M G.X/ H , X!A

X!,

Entonces L¤M F .G.X// H F

X!A

L¤M G.X/ H F .,/:

X!A



La condición bajo la cual la ecuación (12) se cumple es que el límite de la función exterior f no sólo exista cuando x = L, sino que sea igual al valor “esperado” de f, a saber, f (L). En particular, como p p L¤M .X  C / H  Y L¤M X H  H ; X!

X!

esta condición se satisface en la ecuación (11). Así, los cálculos mostrados resultan válidos. En esta sección únicamente se analiza el siguiente caso especial de la ley de sustitución. Con f (x) = x1yn, donde n es un entero positivo, la ecuación (12) toma la forma p L¤M N G.X/ H N L¤M G.X/;  X!A

X!A

bajo el supuesto de que el límite de g(x) existe cuando x → a (y es positiva si n es par). Con g(x) = xm, donde m es un entero positivo, la ecuación (13) a su vez da L¤M X M=N H A M=N ;

X!A



con la condición de que a > 0 si n es par. Las ecuaciones (13) y (14) se pueden considerar como la ley de la raíz generalizada. El ejemplo 10 ilustra el uso de estos casos especiales de la ley de sustitución. EJEMPLO 10 L¤M

X!



p p  X  C  X H



p L¤M .X = C  X /

X!

p = L¤M X = C L¤M  X X! X! p = = H 
 C   p  H . C /= H  H :

H

;USANDOLAECUACI˜N = ;USANDOLALEYDELASUMA= ;USANDOLAECUACI˜N =

Z

Funciones pronosticadoras de pendientes El análisis de los límites se inició con la pendiente M A H L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ H



de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto (a, f (a)). Las rectas tangentes a y = f (x) tienen pendientes diferentes en diferentes puntos. Así, si reemplazamos a con x en la ecuación (15), obtenemos una nueva función definida por M.X/ H L¤M

H!

F .X C H/ F .X/ : H



La función m puede entenderse como un “pronosticador de pendientes” para las rectas tangentes a la gráfica y = f (x). Es una nueva función derivada de la función original f (x); en el capítulo 3 la llamaremos la derivada de f.

72

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

 YX



EJEMPLO 11 En la sección 2.1 vimos que la recta tangente a la gráfica y = px2 + qx + r en el punto donde x = a tiene pendiente ma = 2pa + q. Por ello, la función pronosticador de pendiente para la función cuadrática

Y 

F .X/ H PX  C Q X C R



M.X/ H  PX C Q:



ESLAFUNCI˜NLINEAL







YXX 



 X





FIGURA 2.2.13 La parábola y = x2 + 4x − 12 y su pronosticador de pendiente m(x) = 2x + 4.

La figura 2.2.13 ilustra el caso p = 1, q = 4, r = −12. Conviene mencionar que la intersección con el eje x donde m(x) = 0 corresponde al punto de la parábola y = f (x) Z donde la recta tangente es horizontal. La definición del pronosticador de pendiente en la ecuación (16) nos dice que debemos seguir los siguientes pasos. 1. Escribir la definición de m(x). 2. Sustituir en esta definición la fórmula de la función f dada. 3. Hacer las simplificaciones algebraicas necesarias hasta que se pueda realizar el paso 4. 4. Determinar el valor del límite cuando h → 0. Note que, al realizar estos cálculos, debe considerar a x como una constante, pues es h la variable en este proceso de cuatro pasos. Encuentre la función pronosticadora de pendiente para la función  F .X/ H X C X que se investigó numéricamente en el ejemplo 5 de la sección 2.1. EJEMPLO 12

Solución Los dos primeros pasos de la lista anterior llevan a   X CHC XC F .X C H/ F .X/ X CH X H L¤M : M.X/ H L¤M H! H! H H Se cancelan los dos valores de x en el numerador y se simplifica algebraicamente, encontrando primero el común denominador del numerador:   HC X CH X M.X/ H L¤M H! H H.X C H/X C X .X C H/ H L¤M H! H.X C H/X H.X C H/X H H L¤M : H! H.X C H/X Ahora podemos dividir el numerador y el denominador entre h (ya que h H 0) y finalmente aplicar las leyes de suma, producto y cociente para evaluar el límite cuando h → 0: H.X C H/X H M.X/ H L¤M H! H.X C H/X .X C H/X  X   H H  : H L¤M  H! .X C H/X X X Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a  YHXC X en el punto (2, ) es m(2) =  (con lo que se confirma el resultado del ejemplo 5 de la Z sección 2.1).

SECCIÓN 2.2

Concepto de límite

73

El ejemplo 13 ilustra un procedimiento algebraico que se usa con frecuencia para “preparar” las funciones antes de tomar los límites. Este procedimiento se aplica cuando hay raíces presentes y se parece al cómputo sencillo p p C    p Hp p
p p p     C  p p p p D  C  H H :   EJEMPLO 13 Encuentre la función pronosticadora de pendiente para la función f (x) p = X.

Solución

p

p X CH X :  H! H Para preparar la fracción antes de evaluar el límite multiplicamos el numerador y el p p denominador por el conjugado del numerador X C H + X : p p p p X CH X X CH C X
p M.X/ H L¤M p H! H X CH C X .X C H/ X H L¤M p p H! H. X C H C X /  H L¤M p p : H! X CH C X Entonces  M.X/ H p :   X M.X/ H L¤M

(En el paso final se usaron las leyes de suma, cociente y raíz; no sólo se sustituyó 0 en Z lugar de h.) Observe que si igualamos los lados derechos de las ecuaciones (19) y (20) y tomamos x = 25, obtenemos el límite del ejemplo 3: p   C H  H : L¤M H! H  (La t en el ejemplo 3 se reemplazó por h aquí.) Si dividimos ambos lados entre 10000 obtenemos p  C H   H H :; L¤M H! H  como se aseguró en la observación que sigue al ejemplo 3.

2.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSOyVERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que se da la función f junto con el punto P(a, f (a)) sobre su gráfica. Entonces, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P es F .X/ F .A/ : G.X/ H X A 2. Suponga que se da la función f junto con el punto P(a, f (a)) sobre su gráfica. De este modo, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P es el valor del límite cuando x tiende a a, de la función g(x) definida en el punto anterior.

74 CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

3. Decir que el L¤M G.X/ H , significa que g(x) se puede hacer arbitrariamente cerX!A

cano al número L con sólo asegurarnos de que x está suficientemente cercano (pero no igual) al número a.  L¤M X  H  X!

X  ENTONCESL¤M G.X/ H G./ X! X C X  X  3I F .X/ H ENTONCES L¤M F .X/ NOEXISTEPORQUE F ./ NOESTÖDEFINIDA X! jXj  3I G.X/ H

 3I &.X/ H

 SI X H  ENTONCES L¤M &.X/ H  X!  SI X H 

 3IL¤M F .X/ H , Y L¤M G.X/ H - ENTONCES L¤M F .X/
G.X/ H ,
- X!A

X!A

X!A

 3IL¤M F .X/ H , Y L¤M G.X/ H - ENTONCES L¤M X!A

X!A

X!A

 $ELASLEYESDELOSL¤MITESSEDEDUCEQUEL¤M

X!

, F .X/ H  G.X/ -

 X  H 

2.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Las leyes de suma, producto y cociente implican que si los límites Y

L¤M F .X/

X!A

L¤M G.X/



G.X/U



X!A

existen, entonces el límite L¤M T F .X/

X!A

también existe, donde el símbolo  denota cualquier operación +, −, ×, ÷ (para el caso de la división suponemos que límx→a g(x) H 0). ¿Puede proporcionar ejemplos —para los cuatro casos— de funciones tales que ninguno de los límites en (21) existan, pero que aun así el límite en (22) sí exista? Será útil que revise los ejemplos de los límites que no existen en esta sección. 2. ¿Puede producir ejemplos de funciones f y g tales que para ambas L¤M G.X/ H B

X!A

Y

L¤M F .X/ H C

X!B

existan, pero L¤M F .G.X// H F

X!A

L¤M G.X/ 

X!A

Si es así, ¿por qué no contradice la ley de sustitución de los límites?

2.2 PROBLEMAS Aplique las leyes de los límites de esta sección para evaluar los límites en los problemas 1 a 18. Justifique cada paso citando la ley de límites adecuada.  L¤M .X  C X /

.X  C / X! .X  / p  L¤M X C 

 L¤M .X  X  C /

 L¤M .X  /=

 L¤M .X  /.X  C X /

 L¤M

X!

X!

X!

X!

X!

Z!

 L¤M .X  X C /.X  C X C / X!

 L¤M

X! X 

 L¤M

Z = p Z Z

 L¤M

H!

X C CX C

T C T! T  C 

 L¤M

 L¤M

X!

.H / 

X C .X /

.Z  C Z C / Z! .Z  C / p  L¤M  Y  L¤M

Y!

T C  T 

 L¤M

T! 

 L¤M T  C T  T!

 L¤M

T!

 L¤M

Y!



.T C /

Y  C Y C  Y 

=

SECCIÓN 2.2

En los problemas 19 a 28, observe que el numerador y el denominador tienen un factor algebraico común (como en el ejemplo 9). Use este hecho para auxiliarse al evaluar los límites dados. X C T   L¤M   L¤M X! X X  T! T   X CX  Y    L¤M  L¤M  X! X X C  Y!= Y  C Y C  T  C T C  T! T  .Z C /  L¤M  Z! Z  X   L¤M  X! X   L¤M

X  X! X  X  T  T  L¤M  T! T  Y  C   L¤M  Y! Y   L¤M

En los problemas 29 a 36, evalúe los límites que existen.        L¤M  C T  L¤M X X! X  T! T p X   X  L¤M p  L¤M X! X!  X X  p  T C    L¤M  L¤M p T! H! H T  CH p p  X  CX X  L¤M  L¤M p X!  X! X X En los problemas 37 a 46, use los cuatro pasos descritos en los ejemplos 12 y 13 para encontrar una función pronosticador de pendientes para las funciones f (x) dadas. Escriba la ecuación para la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto donde x = 2.   F .X/ H X   F .X/ H X    F .X/ H   F .X/ H X X C  X  F .X/ H  F .X/ H X  X     F .X/ H p  F .X/ H X  C X X C p X  F .X/ H  F .X/ H X C  X C En los problemas 47 a 56, el valor real del límite dado límx→a f (x) es un número racional que es una razón entre dos enteros de un solo dígito. Obtenga estos límites con base en una investigación numérica en la cual debe calcular f (x) para x = a ± 0.1, x = a ± 0.05, x = a ± 0.01, x = a ± 0.005, y así sucesivamente. Use otros valores similares de x tan cerca de a como desee. . C X/  X   L¤M  L¤M X! X! X  X p X C X =   L¤M  L¤M X! X! X  X    . C X/ . X/  L¤M  L¤M  X! X X! . C X/  X SEN X  COS X  L¤M  L¤M X! X! X X X SEN X  X  L¤M  L¤M  C X! X! jXj X

Concepto de límite

75

57. En contraste con los límites con valor racional de los problemas 47 a 56, el valor del límite L¤M . C X/=X

X!

es el famoso número irracional e (del capítulo 3), el cual, con una aproximación de tres decimales, es e ≈ 2.718. Investigue numéricamente este límite para aproximar el valor de e con exactitud de cinco decimales. Corrobore gráficamente este resultado haciendo una amplificación en la ordenada y de la curva y = (1 + x)1yx. 58. Verifique gráficamente el límite L¤M

X!

SEN X X

del problema 53 haciendo una amplificación en la ordenada y de la curva y = (sen x)yx. 59. Investigue el límite L¤M

X!

X TAN X X

tanto numérica como gráficamente. Determine el valor con exactitud de cuatro decimales. 60. El valor de L¤M

X!

SEN X TAN X

es la razón de dos números enteros de un solo dígito. Determine este valor tanto numérica como gráficamente. 61. Calcule el valor de F .X/ H SEN

para X H   

 

 X

: : : ¿Qué valor daría para L¤M SEN

X!

  X

Ahora calcule f (x) para X H     : : : ¿Qué se puede concluir ahora? 62. Para investigar el límite de f (x) = sen x + 10−5 cos x cuando x → 0, programe su calculadora o su computadora para que los resultados tengan exactamente cuatro decimales. Después de calcular f (x) con x = 0.1, 0.001, 0.00001, 0.0000001,…, ¿qué concluye? (Su respuesta dependerá de cómo funcione la calculadora utilizada.) Haga una amplificación en la ordenada y de la curva y = f (x) para mostrar que el valor del límite es diferente de cero. ¿Cuál es este valor? 63. Investigue numérica o gráficamente (o ambas) el valor del límite L¤M LOG

X!

 jXj

=

:

El valor real de este límite es cero, por lo que entenderá que no siempre puede confiar en una calculadora o en una computadora.

76 CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

corroboran el hecho de que L = ln 10, el valor producido por la tecla ,. de su calculadora? b) Demuestre que la función pronosticador de pendientes para rectas tangentes a la gráfica y = 10x es m(x) = L · 10x. Corrobore este resultado usando una calculadora o una computadora para graficar y = 10x y las rectas tangentes pronosticadas en varios puntos diferentes.

64. a) Muestre que la pendiente de la recta tangente a la gráfica y = 10x en el punto (0, 1) es el número H  : H! H

, H L¤M

Investigue el límite numérica y gráficamente. ¿Sus resultados

2.2 INVESTIGACIÓN: límites, pendientes y logaritmos 

Generalice los resultados del problema 64 de esta sección. Primero refiérase a la figura 2.2.14. Después suponga que a es una constante positiva. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = ax en el punto (0, 1) es el número

YAX



AH  :  H! H (Observe que la notación de la función se usa en la ecuación (1) para hacer énfasis en la dependencia de la pendiente respecto a la base constante a.) Ahora elija al azar un par de números enteros positivos a y b e investigue los valores numéricos de L(a), L(b) y L(ab). ¿Son estos resultados congruentes con el hecho de que ,.AB/ H ,.A/ C ,.B/; 



,.A/ H L¤M

Y 

 



 Y,A X







 X





en analogía con la ley de los logaritmos LOG AB H LOG A C LOG B

FIGURA 2.2.14 Gráfica de y = a x y su recta tangente en el punto (0, 1).



En este punto, la conexión entre las ecuaciones (2) y (3) resulta un enigma y no una explicación. El misterio se explicará en la sección 3.8, en la cual estudiaremos los logaritmos naturales. Por ahora, use la tecla ,. de su calculadora para encontrar ln a, ln b y ln ab; compare estos valores con los obtenidos previamente para L(a), L(b) y L(ab). También puede dar seguimiento a estas investigaciones utilizando un sistema algebraico en la computadora. Úselo para intentar evaluar el límite de la ecuación (1) simbólicamente, y luego compare el resultado obtenido con sus resultados numéricos.

2.3 MÁS CONSIDERACIONES RESPECTO A LOS LÍMITES Para investigar los límites de las funciones trigonométricas, comencemos con la figura 2.3.1, que muestra un ángulo θ con su vértice en el origen, su lado inicial sobre el lado positivo del eje x y su lado terminal intersecando la circunferencia unitaria en el punto P. Por definición de las funciones seno y coseno, las coordenadas de P son P(cos θ, sen θ). A partir de la observación geométrica observamos que cuando θ → 0, el punto P(cos θ, sen θ) tiende al punto R(1, 0). De aquí que cos θ → 1 y sen θ → 0 cuando θ → 0 desde los valores positivos. Una imagen similar da el mismo resultado para los valores negativos de θ, por lo tanto,

Y XY

0COS Q SEN Q

Q 2 

FIGURA 2.3.1 Ángulo θ.

X

L¤M COS  H 

 !

Y

L¤M SEN  H :

 !



Las ecuaciones en (1) nos dicen simplemente que los límites de las funciones cos θ y sen θ cuando θ → 0 son iguales a los valores respectivos en θ = 0: cos 0 = 1 y sen 0 = 0. El límite del cociente (sen θ)yθ cuando θ → 0 tiene un papel especial en cálculo de funciones trigonométricas. Por ejemplo, se necesita para encontrar las pendientes de las rectas tangentes a las gráficas trigonométricas como y = cos x y y = sen x. Observe que el valor del cociente (sen θ)yθ no está definido cuando θ = 0. (¿Por qué?) Una calculadora establecida en el modo de radianes proporciona la evidencia numérica que aparece en la figura 2.3.2. Esta tabla sugiere que el límite de (sen θ)yθ es 1 cuando θ → 0. Esta conclusión está apoyada por la gráfica de y = (sen x)yx mostrada en la figura 2.3.3, donde se observa que el punto (x, y) en la curva está cerca de (0, 1) cuando x está cerca de cero. Más adelante, en esta sección, proporcionamos la prueba de los siguientes resultados.

SECCIÓN 2.3



SEN  

: : : : : : : :: : # 

       :: : # 

Más consideraciones respecto a los límites 77

 

  YSENX X

Y 







FIGURA 2.3.2 Los datos numéricos SEN  sugieren que L¤M H  ! 



 X

FIGURA 2.3.3 Y H





SEN X para x ± 0. X

TEOREMA 1 El límite trigonométrico básico SEN X H : L¤M X! X



Igual que en los ejemplos 1 y 2, muchos otros límites trigonométricos se pueden reducir al del teorema 1. EJEMPLO 1

Muestre que  COS X H : X! X



L¤M

Solución Multiplicamos el numerador y el denominador de la ecuación (3) por el “conjugado” 1 + cos x del numerador 1 − cos x. Luego aplicamos la identidad 1 − cos2 x = sen2 x. Esto da  COS X  COS X  C COS X SEN X H L¤M
H L¤M X! X! X! X. C COS X/ X X  C COS X  SEN X SEN X H L¤M L¤M H
H : X! X X!  C COS X C L¤M

En este último paso se usaron todos los límites de las ecuaciones (1) y (2). EJEMPLO 2

Evalúe el L¤M

X!

Z

TAN X  X

Solución TAN X TAN X TAN  H  L¤M H  L¤M X! X! X  !  X SEN  H  L¤M  !  COS  SEN   H  L¤M L¤M  !   ! COS   H 

H :  L¤M

. H X/ PORQUETAN  H

SEN  COS 

PORLALEYDELOSL¤MITES PARAELPRODUCTO

Hacemos uso de que tan θ = (sen θ)y(cos θ) así como algunos de los límites de las Z ecuaciones (1) y (2).

CAPÍTULO 2

78

X

Introducción al cálculo

      

El ejemplo 3 constituye una advertencia: los resultados de una investigación numérica pueden ser engañosos, a menos que se interpreten cuidadosamente.

 X

SEN       

EJEMPLO 3 Los datos numéricos mostrados en la tabla de la figura 2.3.4 sugieren que el límite  L¤M SEN  X! X tiene el valor cero. Pero como se observa en la gráfica de y = sen(πyx) (para x H 0), que se muestra en la figura 2.3.5, el valor de sen(πyx) oscila infinitamente entre +1 y −1 cuando x → 0. Sin duda, este hecho se deduce de la periodicidad de la función seno, porque πyx aumenta sin límite cuando x → 0. Por lo tanto, sen(πyx) no puede tender a cero (ni a otro número) cuando x → 0. Por lo tanto, el límite en (4) no existe. Podemos explicar los resultados potencialmente engañosos tabulados en la figura 2.3.4 de la siguiente manera: ocurre que cada valor de x que aparece es de la forma 1yn, el recíproco de un entero. Por lo tanto,   H SEN N H  SEN H SEN X =N

FIGURA 2.3.4 ¿Cree que  L¤M SEN H  %JEMPLO   X! X

YSENPX



Y



para todo entero n diferente de cero. Con una selección diferente de “valores de prueba” para x, habríamos obtenido los resultados mostrados en la figura 2.3.6, los cuales inZ mediatamente sugieren que el límite en (4) no existe.







 X





FIGURA 2.3.5 Gráfica de  Y H SEN muestra oscilaciones X infinitas cuando x → 0 (ejemplo 3).

X            

SEN

La ley de compresión de los límites Una propiedad final de los límites que será necesario estudiar es la ley de compresión (también conocida como “teorema sándwich”). Se relaciona con el hecho de que al tomar los límites se conservan las desigualdades entre las funciones. La figura 2.3.7 ilustra cómo y por qué funciona la ley de compresión y cómo obtuvo su nombre. La idea es que g(x) está atrapada entre f (x) y h(x) cerca de a; tanto f (x) como h(x) tienden al mismo límite L, entonces g(x) debe también tender a L. Una prueba formal de la ley de compresión se encuentra en el apéndice D.

 X

C

Ley de compresión ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x H a en alguna vecindad de a y también Suponga que f (x) − − que L¤M F .X/ H , H L¤M H.X/:

 C 

X!A

C 

X!A

Entonces L¤M G.X/ H ,

X!A

FIGURA 2.3.6 Verifique los resultados de la segunda columna (ejemplo 3).

también se cumple.

Y

EJEMPLO 4 Las figuras 2.3.8 y 2.3.9 muestran dos vistas de la gráfica de la función g definida para x H 0 por

YHX

 G.X/ H X SEN : X

YGX

, YF X A

X

FIGURA 2.3.7 Cómo funciona la ley de compresión.

Como en el ejemplo 3, sen(1yx) oscila infinitamente entre +1 y −1 cuando x → 0. Por consiguiente, la gráfica y = g(x) oscila de lado a lado entre las rectas y = +x y y = ≤ 1 para toda x H 0, −x. Dado que |sen(1yx)| − jXj

X SEN

 X

CjXj

SECCIÓN 2.3

Más consideraciones respecto a los límites 79 

 Y X



 YXSENX

Y 

Y 









YX

Y X

YX



 X









YXSEN X



 X





FIGURA 2.3.9 Gráfica amplificada cerca del origen (ejemplo 4).

FIGURA 2.3.8 Gráfica de  G.X/ H X SEN PARA X H  X %JEMPLO  

para toda x H 0. Más aún, ±|x | → 0 cuando x → 0, entonces con f (x) = −|x| y h(x) = +| x|, se deduce de la ley de compresión de los límites que L¤M X SEN

X!

 H : X

 Z

¿Por qué el límite en la ecuación (5) no sigue de la ley de los límites para el producto con f (x) = x y g(x) = sen(1yx)?

PREGUNTA

Límites laterales En el ejemplo 4 de la sección 2.2 se examinó la función

Y

F .X/ H

 X



FIGURA 2.3.10 Gráfica de X F .X/ H de nuevo. jXj

X  H  jXj

SI X > I SI X < :

La gráfica de y = f (x) se muestra en la figura 2.3.10. Afirmamos que el límite de f (x) cuando x → 0 no existe porque f (x) tiende a +1 cuando x tiende a cero por la derecha, mientras que f (x) → −1 cuando x tiende a cero por la izquierda. Una forma natural para describir esta situación es decir que para x = 0 el límite por la derecha de f (x) es +1 y el límite por la izquierda de f (x) es −1. Aquí definimos e investigamos este tipo de límites de un solo lado. Sus definiciones se establecen en el lenguaje informal usado en la sección 2.2 para describir la “idea de límite”. Para definir el límite por la derecha de f (x) cuando x = a, suponemos que f está definida en un intervalo abierto inmediatamente a la derecha de a. Para definir el límite por la izquierda, debemos suponer que f está definida en un intervalo abierto inmediatamente a la izquierda de a.

Límite por la derecha de una función Suponga que f está definida en el intervalo (a, c) inmediatamente a la derecha de a. Decimos que el número L es el límite por la derecha de f (x) cuando x tiende a a (por la derecha), y escribimos L¤M F .X/ H , ;

X!A C



siempre que se pueda hacer el número f (x) tan cercano a L como se desee con sólo escoger el punto x en (a, c) suficientemente cerca de a. Podemos describir el límite por la derecha en la ecuación (6) diciendo que f (x) → L cuando x → a+; esto es, cuando x tiende a a por la derecha. El símbolo a+ denota el lado derecho o “positivo” del número a (que puede ser positivo, negativo o cero).

CAPÍTULO 2

80

Introducción al cálculo

Por ejemplo, en la figura 2.3.10, vemos que jXj H C L¤M X!C X

Y , YFX A

X A



porque | x |yx es igual a +1 para toda x a la derecha de cero. Vea la figura 2.3.11a) para tener una idea más general de la interpretación geométrica del límite por la derecha.

Límite por la izquierda de una función Suponga que f está definida en el intervalo (c, a) inmediatamente a la izquierda de a. Decimos que el número L es el límite por la izquierda de f (x) cuando x tiende a a (por la izquierda), y escribimos  L¤M F .X/ H , ;

Y , YFX

X!A

A

X

siempre que se pueda hacer el número f (x) tan cercano a L como se desee con sólo escoger el punto x en (c, a) suficientemente cerca de a.

B

FIGURA 2.3.11 a) El límite por la derecha de f (x) es L. b) El límite por la izquierda de f (x) es L.

Describimos el límite por la izquierda en la ecuación (8) diciendo que f (x) → L cuando x → a−; esto es, cuando x tiende a a por la izquierda. El símbolo a− denota el lado izquierdo o “negativo” del número a. Por ejemplo, en la figura 2.3.10 observamos que jXj H   L¤M X! X porque | x |yx es igual a −1 para toda x a la izquierda de cero. Vea la figura 2.3.11b) para tener una idea general de la interpretación geométrica del límite por la izquierda. En el ejemplo 4 de la sección 2.2 se argumentó (en esencia) que, como los límites en las ecuaciones (7) y (9) no son iguales, el límite por los dos lados correspondiente jXj L¤M X! X no existe. En forma general, el teorema 2 (siguiente) se deduce de una consideración cuidadosa de las definiciones de los límites involucrados.

TEOREMA 2 Límites por un lado y límites por dos lados Suponga que la función f está definida para x H a en la vecindad de un punto a. El límite por dos lados L¤M F .X/ X!A

existe y es igual al número L si, y sólo si, los límites laterales L¤M F .X/ Y L¤M F .X/

Y 

X!A C



X!A

existen y son iguales a L.

 

  















FIGURA 2.3.12 Gráfica de la función entero mayor f (x) = [[x]] (ejemplo 5).

 X

El teorema 2 es especialmente útil para demostrar que ciertos límites (por dos lados) no existen, comprobando que el límite por la derecha y el límite por la izquierda no son iguales uno al otro. EJEMPLO 5 La gráfica de la función del mayor entero f (x) = [[x]] se muestra en la figura 2.3.12. Es evidente que si a no es un entero, L¤M TTXUU H L¤M TTXUU H L¤M TTXUU H TTAUU: X!A C

X!A

Pero si a = n, un entero, entonces L¤M TTXUU H N  X!N

X!A

Y L¤M TTXUU H N: X!N C

Como los límites por la izquierda y por la derecha nos son iguales, se deduce del teoZ rema 2 que el límite de f (x) = [[x]] no existe cuando x tiende a un entero n.

SECCIÓN 2.3

Más consideraciones respecto a los límites 81

De acuerdo con la ley de la raíz de la sección 2.2, p p L¤M X H A SI A > : X!A p Pero el límite de f (x) = X cuando x → 0− no está definido porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Entonces f no está definida en todo intervalo abierto que contenga cero. Lo que podemos decir en el caso de a = 0 es que p L¤M X H ; EJEMPLO 6

X!C

y que el límite por la izquierda L¤M

p

X!

X

no existe.

Z

A cada una de las leyes de límites de la sección 2.2 corresponden dos leyes de límites laterales, una versión para el lado derecho y otra para el lado izquierdo. Aplique estas leyes para límites de un lado de la misma forma en que aplica las leyes para límites por dos lados en la evaluación de los límites. EJEMPLO 7

Y

La figura 2.3.13 muestra la gráfica de la función f definida por F .X/ H

X

SI X

 X SEN X

SI X > :

I

Claramente, L¤M F .X/ H 

X

Y

X!

L¤M F .X/ H 

X!C

por una versión de un lado de la ley de compresión (como en el ejemplo 4). Por lo tanto, del teorema 2 se deduce que L¤M F .X/ H :

Z

X!

FIGURA 2.3.13 y = f (x) (ejemplo 7).

EJEMPLO 8 tramos que L¤M

Después de aplicar las leyes de límites de un lado apropiadas, encon-

X!

X C  X C

L¤M X 

 X

H

X! 

L¤M .X C /

X!

H

C

L¤M . X  /

X!

p   C H : C 

Observe que el límite de dos lados en 3 no está definido porque nida cuando x > 3.

 X  no está defiZ

Existencia de las rectas tangentes Recordemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en el punto P(a, f (a)) está definida como M H L¤M

X!A

F .X/ F .A/ X A



siempre que el límite (de dos lados) exista. En este caso una ecuación de la recta tangente a la gráfica y = f (x) en P(a, f (a)) es Y F .A/ H M.X A/:

Si el límite (10) no existe, decimos que la curva y = f (x) no tiene recta tangente en el punto P. El siguiente ejemplo proporciona quizás el caso más sencillo de una función cuya gráfica presenta una recta tangente en cualquier lado excepto en un punto aislado.

82

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

EJEMPLO 9

Y

Muestre que la gráfica y = | x | no tiene recta tangente en el origen.

Solución La figura 2.3.14 muestra la gráfica de la función f (x) = |x |. El ángulo abrupto en (0, 0) hace que sea intuitivamente claro que no puede haber una recta tangente ahí; es seguro que ninguna recta puede ser una buena aproximación a la forma de la gráfica en el origen. Para verificar esta observación intuitiva, note que cuando a = 0 tenemos

Y\X\

jHj F .A C H/ F .A/  SI H < ; H H C SI H > : H H

X

FIGURA 2.3.14 La gráfica de f (x) = | x| tiene un punto esquina en (0, 0).

Así, el límite por la izquierda del cociente es −1, mientras que el límite por la derecha es +1. Por lo tanto, el límite por los dos lados en (10) no existe, de manera que la gráZ fica y = | x| no tiene una recta tangente en el origen, donde a = 0. PREGUNTA ¿Es claro en la figura 2.3.14 que para f (x) = |x | y a H 0, el valor de la “pendiente límite” en (10) está dado por

MH

 SI A < I C SI A > 

De aquí se deduce (y es evidente en la figura 2.3.14) que la recta y = x es tangente a la gráfica y = |x | en cualquier punto de la gráfica a la derecha del origen y que la recta y = −x es la recta tangente en cualquier punto de la gráfica a la izquierda del origen.

Límites infinitos En el ejemplo 8 de la sección 2.2 se investigó la función f (x) = 1y(x − 1)2; la gráfica de f se muestra en la figura 2.3.15. El valor de f (x) crece sin límite (es decir, en algún momento excede cualquier número preasignado) cuando x tiende a 1 ya sea por la derecha o por la izquierda. Esta situación se puede escribir   H C1 H L¤M ;  L¤M  C X! .X / X! .X /

Y

Y

 X  

y decimos que cada uno de estos límites por un lado son iguales a “más infinito”. X

X

PRECAUCIÓN

La expresión L¤M

X!C

FIGURA 2.3.15 Gráfica de la función  F .X/ H  .X /

Y

Y

 X X

FIGURA 2.3.16 Gráfica de la función  F .X/ H  X

 H C1 .X /



no significa que exista un “número real infinito” denotado como +∞: ¡no existe! Tampoco quiere decir que el límite en el lado izquierdo de la ecuación (12) existe: ¡no existe! Más bien, la ecuación (12) es únicamente una manera conveniente de decir por qué el límite por la derecha en la ecuación (12) no existe: porque la cantidad 1y(x − 1)2 crece sin límite cuando x → 1+. Con condiciones similares se puede escribir  L¤M H C1  X! .X / a pesar del hecho de que el límite (de dos lados) en la ecuación (13) no existe. La expresión en la ecuación (13) es únicamente una forma conveniente para decir que el límite en esa ecuación no existe porque la cantidad 1y(x − 1)2 aumenta sin límite cuando x → 1 desde cualquier lado. Ahora considere la función f (x) = 1yx, cuya gráfica se muestra en la figura 2.3.16. Esta función crece sin límite cuando x tiende a cero por la derecha pero decrece sin límite —se vuelve menor que cualquier número negativo preasignado— cuando x tiende a cero por la izquierda. Por lo tanto, escribimos   H 1 Y L¤M H C1:  L¤M C X! X X! X

SECCIÓN 2.3

Más consideraciones respecto a los límites 83

No existe una forma breve para expresar el límite de dos lados en este caso. Lo único que se puede decir es que  NOEXISTE L¤M X! X Analice el comportamiento de la función X C  F .X/ H X  cerca del punto x = 1, donde el límite de f (x) no existe. EJEMPLO 10

Solución Primero observamos el comportamiento de f (x) justo a la derecha del número 1. Si x es mayor que 1 pero cercano a 1, 2x + 1 es cercano a 3 y x − 1 es un número positivo pequeño. En este caso (2x +1)y(x − 1) es un número positivo grande, y cuánto más cercano está x a 1, mayor será este valor positivo del cociente. Para estas x, f (x) se incrementa sin límite cuando x tiende a 1 por la derecha. Es decir, X C  H C1;  L¤M X!C X  como lo sugieren los datos de la figura 2.3.17.



Y

 Y

X X  Y



X



 X





FIGURA 2.3.18 Gráfica de X C   F .X/ H X 

    Y

X C  X 

X

X C  X 

    :: : # 

    :: : # C1

    :: : # 

    :: : # 1

X C  FIGURA 2.3.17 Comportamiento de F .X/ H X  para x cerca de 1 (ejemplo 10).







X

YLOGX









      5      X

FIGURA 2.3.19 Gráfica de F .X/ H LOG X

Si, por el contrario, x es menor que 1 pero todavía cercana a 1, 2x + 1 todavía es cercano a 3 y x − 1 es un número negativo cercano a cero. En este caso (2x +1)y(x − 1) es un número negativo grande (numéricamente), y disminuye sin límite cuando x → 1−. Así, se puede concluir que X C  H 1:  L¤M X! X  Los resultados en las ecuaciones (15) y (16) proporcionan una descripción concisa del comportamiento de f (x) = (2x +1)y(x − 1) cerca del punto x = 1. (Vea la figura 2.3.18.) Por último, para ser congruentes con el teorema 2 sobre los límites de uno y dos lados, no podemos escribir X C  H 1: _%RROR
L¤M X! X  Sin embargo, ¿sería correcto escribir X C  L¤M H C1 Z X! X  EJEMPLO 11 La gráfica de f (x) = log10 x se muestra en la figura 2.3.19. De la gráfica es claro que L¤M LOG X H 1: X!C

Pero el límite por la izquierda de f (x), cuando x = 0, no existe porque el log10 x no está ≤ 0. Z definido para x −

CAPÍTULO 2

84

     Y

Introducción al cálculo

EJEMPLO 12 que

X

Y PARAX

X

Y PARAX

Observe la gráfica de y = 2x que aparece en la figura 1.4.10 y observe

 H 1 IMPLICAQUE L¤M =X H  X X! t (porque 2 → 0 cuando t → −∞), mientras que  H 1 IMPLICAQUE L¤M =X H 1 L¤M X!C X X!C t (porque 2 → +∞ cuando t → +∞). Estos límites de un lado de 21yx en x = 0 se ilusZ tran en la figura 2.3.20. L¤M

X!













           X

FIGURA 2.3.20 Gráfica de f (x) = 21yx.

Límite trigonométrico básico Ahora se proporciona una demostración geométrica de que SEN  H :  ! 



L¤M

Demostración La figura 2.3.21 muestra el ángulo θ, los triángulos OPQ y ORS, el sector circular OPR que contiene al triángulo OPQ y está contenido por el triángulo ORS. Entonces

Y XY

área (OPQ) < área (sector OPR) < área (ORS). 0

TANQ

SEN Q /

Q

1 COSQ

En términos de θ, esto significa   SEN   SEN  COS  <  < TAN  H :     COS 

3

2

FIGURA 2.3.21 Éste es un auxiliar para la demostración del límite trigonométrico básico.

X

Ahora se usa la fórmula estándar del área del triángulo para obtener el área de OPQ y ORS. También aplicamos el hecho de que el área de un sector circular en una circunferencia de radio r es A =  r 2θ si el sector está subtendido por un ángulo central θ radianes; aquí, r = 1. Si 0 < θ < πy2, entonces podemos dividir cada miembro de la última desigualdad entre  sen θ para obtener COS  <

  < : SEN  COS 

Tomamos los recíprocos, lo cual invierte las desigualdades:  SEN  < : COS  <  COS  Ahora aplicamos la ley de compresión de los límites con F ./ H COS  ;

G. / H

SEN  ; 

Y

H./ H

 : COS 

Como es evidente de la ecuación (1) (al principio de esta sección) que f (θ) y h(θ) tienden a 1 cuando θ → 0+, también lo hace g(θ) = (sen θ)yθ. Este argumento geométrico muestra que (sen θ)yθ → 1 para valores positivos de θ que se acerquen a cero. Pero se deduce el mismo resultado para valores negativos de θ, porque sen (−θ) = −sen θ. Con esto se demuestra la ecuación (17). X

Definición precisa de límite Cuando se dice que f (x) tiende la valor límite L cuando x tiende a a, esto implica que el comportamiento de la variable x controla el comportamiento de f (x). Cuando x tiende a a, fuerza el valor de f (x) a acercarse a L. En la sección 2.2 se dijo que el límx → a f (x) = L siempre que podamos hacer que f (x) sea tan cercana a L como deseamos simplemente eligiendo x suficientemente cerca de a (aunque no igual a a). Pero, ¿qué tan cerca es “suficientemente cerca”? Podemos decir qué tan cercano a L queremos a f (x) si establecemos una tolerancia de error. De este modo, la pregunta

SECCIÓN 2.3

Más consideraciones respecto a los límites 85

es qué tan cerca de a debe estar x para forzar que la diferencia numérica | f (x) − L | —la discrepancia entre f (x) y L— sea menor que la tolerancia de error deseada. Por ejemplo: • ¿Qué tan cerca de a debe estar x para garantizar que | f (x) − L| < 0.1? • ¿Qué tan cerca de a debe estar x para garantizar que | f (x) − L| < 0.01? • ¿Qué tan cerca de a debe estar x para garantizar que | f (x) − L| < 0.001? Para cualquier tolerancia de error dada —sin importar que tan pequeña sea— necesitamos determinar qué tan cerca de a (sin ser igual a a) debe estar la variable x para satisfacer la tolerancia de error. EJEMPLO 13 Suponga que a = 2 y f (x) = 5x − 3. Podemos usar fácilmente las leyes de los límites para demostrar que el límx →2 (5x − 3) = 7, por lo que L = 7. Pero mejor comencemos de nuevo. Primero observamos que j F .X/ ,j H j.X / j H jX j H 
jX j:

Entonces |(5x − 3) − 7| es siempre 5 veces |x − 2|, por lo que • Si | x − 2 | < 0.02, entonces | 5x − 10 | = 5 · | x − 2 | < 5 · (0.02) = 0.1 • Si | x − 2 | < 0.002, entonces | 5x − 10 | = 5 · | x − 2 | < 5 · (0.002) = 0.01 • Si | x − 2 | < 0.0002, entonces | 5x − 10| = 5 · | x − 2| < 5 · (0.0002) = 0.001 En forma general, sólo necesitamos dividir la tolerancia de error dada  > 0 entre 5 para obtener la “variancia” en x que funciona: 3I jX j <



ENTONCES j.X / j H 
jX j < 




H



Así, podemos forzar que f (x) = 5x − 3 esté a menos de  de L = 7 simplemente haciendo que x esté a menos de y5 de a = 2. En este ejemplo no afecta que x = 2 también —en ese caso |(5x − 3) − 7| = 0— pero incluimos el requisito de que x H 2 escribiendo 0 < |x − 2| < y5. Por último, si escribimos δ = y5 para esta variancia en x que fuerza una discrepancia aceptable en f (x) = 5x − 3, podemos concluir a partir de (18) que j.X / j

PARATODAXTALQUE  < jX j < :

 Z

El significado exacto del límite se debatió vigorosamente —algunas veces con rudeza— durante los siglos xvii y xviii. La condición en (19) ilustra la definición precisa del límite que fue formulada finalmente por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) y es la definición aceptada hasta ahora.

DEFINICIÓN Límite Suponga que f (x) está definida en un intervalo abierto que contiene el punto a (excepto posiblemente no en a mismo). Así, decimos que el número L es el límite de f (x) cuando x tiende a a, y se puede escribir L¤M F .X/ H , X!A

considerando que se satisface el siguiente criterio: dado cualquier número  > 0, exista un número correspondiente δ > 0 tal que j F .X/ ,j

PARATODAXTALQUE  < jX Aj < :



La condición en (20) puede rescribirse en la forma

3I  < jX Aj <  ENTONCES j F .X/ ,j o de manera aún más sencilla, en la forma  < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j F .X/ ,j



86

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo Y

YFX XA D

XA D

, 

Y, 

,

, 

Y, 

A D

A

A D

X

FIGURA 2.3.22 Ilustración geométrica de la definición del límite.

La figura 2.3.22 ilustra esta definición, misma que por obvias razones se conoce como la definición “épsilon-delta” de los límites. Los puntos en la gráfica de y = f (x) que satisfacen la desigualdad | f (x) − L| <  son los que están entre las líneas horizontales y = L −  y y = L + . Los puntos en esta gráfica que satisfacen la desigualdad |x − a| < δ son los que están entre las líneas verticales x = a − δ y x = a + δ. En consecuencia, la definición de límite implica que límx →a f (x) = L si, y sólo si, la siguiente afirmación es cierta: Suponga que las dos líneas horizontales y = L −  y y = L +  (con  > 0) están dadas. Es posible elegir dos líneas verticales x = a − δ y x = a + δ (con δ > 0) de manera que todos los puntos (con x H a) en la gráfica de y = f (x) que están entre las dos líneas verticales también están entre las dos líneas horizontales. La figura 2.3.22 sugiere que cuanto más cercanas estén las dos líneas horizontales, más cerca estarán las dos líneas verticales. Esto es precisamente lo que significa “forzar a f (x) cerca de L haciendo que x esté más cerca de a”. La aplicación de la definición épsilon-delta de los límites para establecer un límite suele ser un proceso de dos pasos: • Dado  > 0, primero analizamos la primera desigualdad | f (x) − L | <  en (20) para estimar o deducir el valor de δ > 0 que sirve. • Luego tratamos de probar que este valor de δ sirve, —esto es, probar que 0 < | x − a| < δ implica que | f (x) − L | < . EJEMPLO 14

Use la definición épsilon-delta de límite para demostrar que L¤M .X / H :

X!

Solución El análisis de la primera desigualdad en (20) consiste en observar que toma la forma j.X / j H jX j H 
jX j

lo cual se reduce a |x − 3 | < y13. Esto nos lleva a suponer —con base en evidencia circunstancial sólida— que el valor δ = y13 servirá. Para probarlo, sólo necesitamos notar que si δ = y13, entonces  < jX j < 

IMPLICAQUE

j.X / j H 
jX j < 




H

Entonces 0 < | x − 3| < δ implica que |(13x − 29) − 10| < , como se deseaba. Z

SECCIÓN 2.3

EJEMPLO 15  0.

Más consideraciones respecto a los límites 87

p Use la definición épsilon-delta de límite para probar que límx → 0  X

Solución El análisis de la primera desigualdad en (20) consiste en observar que toma la forma p p  X  H  X H  jXj lo cual se simplifica a | x | < 3. Esto nos lleva a suponer —con base en evidencia circunstancial sólida— que el valor δ = 3 servirá. Para probarlo, necesitamos sólo notar que si δ = 3, entonces p p    H  < jX j <  IMPLICAQUE X  H  jXj < p Entonces 0 < | x − 0| < δ implica que j  X j < , como se deseaba Z Dado un valor de  > 0, con frecuencia es más difícil adivinar un valor de δ que funcione, que probar que sirve; vea los problemas 75-84 y el proyecto de esta sección para adquirir más práctica. En el apéndice D se usa la definición épsilon-delta de límites para establecer en forma más rigurosa las leyes de los límites.

2.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. SEN X H   L¤M X! X   COS X  L¤M H H  X! X  TAN Y TAN Y  L¤M H L¤M H TAN  Y! Y! Y Y 4. Si x es cualquier número real, entonces jXj X jXj X  3I F .X/ H ENTONCESL¤M F .X/ H  Y L¤M F .X/ H  jXj X!C X! 6. Si G.X/ H TTXUU (la función entero mayor). Entonces L¤M G.X/ no existe porque el X!

límite por la izquierda de g(x) en x = 3 no es igual que el límite por la derecha de g(x) en x = 3.

7. No existe una recta tangente a la gráfica de f (x) = | x | en (0, 0).   L¤M H  X! X   L¤M  NOEXISTE X! X   L¤M  H C1 X! X

2.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Hemos interpretado la expresión límx → a f (x) = L como “f (x) tiende a estar cada vez más cerca de L cuando x se acerca cada vez más a a”. ¿Qué significaría “f (x) se acerca de manera estable a L cuando x se acerca de manera estable a a”? Precisando, algo parecido a “f (x) está todavía más cerca de L cuando x está aún más cerca de a” (que todavía no es suficientemente preciso). ¿Se deduce esto de la afirmación límx → a f (x) = L? Puede ayudar que pensemos en la función oscilatoria del ejemplo 4. 2. Formule definiciones épsilon-delta precisas para los límites de un lado, así como una definición M-delta para el límite infinito límx → a f (x) = +∞. Esta última definición debe involucrar la desigualdad f (x) > M; ilustre el resultado con una figura similar a la figura 2.3.22, pero que sólo presente una línea horizontal.

88

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

2.3 PROBLEMAS Encuentre los límites trigonométricos en los problemas 1 a 24. Si dispone de una calculadora graficadora o una computadora con capacidad de graficar, verifique que la evidencia gráfica apoye sus respuestas.   ! SEN   COS  L¤M  !  T L¤M T! .SENT/ T SENX L¤M X! X SEN X L¤M p X! X

 L¤M    

X  SEN X! X   COS X  L¤M X! SEN X

 L¤M

 L¤M X SEC X CSC X X!

 COS   !  SEN  TAN Z  L¤M Z! SENZ

 L¤M

 L¤M X COT X X!

 L¤M T!

 T SEN  T 

SEN   !  TAN  L¤M !  SEN.  / L¤M !  SENZ L¤M Z! Z COS Z  COS X L¤M X! X

 L¤M    

.SEN/ !   COS  TAN X L¤M X! TAN X SEN  L¤M !  SEN   L¤M !  TAN X L¤M X! X X TAN X L¤M X! SENX SEN X L¤M X! SEN X

 L¤M      

Use la ley de compresión de los límites para encontrar los límites en los problemas 25 a 28. También ilustre cada uno de estos límites graficando las funciones f, g y h (con la notación de la ley de compresión) en la misma pantalla.  L¤M X  COS X X!

  L¤M X  COS p  X! X

 X! X p   L¤M  X SEN X! X  L¤M X  SEN

Use las leyes de los límites de un lado para encontrar los límites en los problemas 29 a 48 o para determinar que no existen. p  L¤M . X/  L¤M . C X = / C X! X!C p p  L¤M X   L¤M  X X!

 L¤M

X!C

X!

X 

 X

 L¤M

X!C

 L¤M

X. X/

 L¤M X 

 L¤M

X X 



X!

X!C

X  X! jX j p X  X C   L¤M C X! X   L¤M

X!



L¤M

X!C

X

 X X

 X  L¤M p X!C  X 

 L¤M

X!C

X  X  X C 

 L¤M

X jX j

 L¤M

X jX j

 L¤M

 X X

 L¤M

X X jXj

X!C

X!C

 L¤M

X!C

X!

X!

. X/ X



L¤M

X!

CX . C X/

Para cada una de las funciones en los problemas 49 a 58 hay exactamente un punto donde los límites por la derecha y por la izquierda de f (x) no existen. Describa (como en el ejemplo 10) el comportamiento de f (x) para x cerca de a.    F .X/ H  F .X/ H X  X X  X   F .X/ H  F .X/ H X C X   X  F .X/ H  F .X/ H X C .X / j Xj X C  F .X/ H  F .X/ H  . X/ X C X C  X  X   F .X/ H   F .X/ H  X X X C  En los problemas 59 y 60, encuentre los límites por la izquierda y por la derecha de f (x) en a = 2. ¿Existe el límite de dos lados de f ? Bosqueje la gráfica de y = f (x). X   F .X/ H jX j X  X C   F .X/ H jX j En los problemas 61 a 68 haga lo siguiente: a) Dibuje la gráfica de la función f dada. b) Para cada entero n, evalúe los límites de un lado L¤M F .X/ Y L¤M F .X/ C X!N

X!N

en términos de n. c) Determine los valores de a para los cuales límx→a f (x) existe.  SI X NOESUNENTERO  F .X/ H  C ./X SI X ESUNENTERO  F .X/ H

X 

SI X NOESUNENTERO SI X ESUNENTERO

 F .X/ HTT XUU  F .X/ H ./TTXUU  F .X/ H X TTXUU

 

X   F .X/ H TTXUU C TTXUU TTXUU SI X H   F .X/ H X  SI X H   69. Si G.X/ H TTXUU el valor de x redondeado a un decimal,  realice la gráfica de g y determine los valores de a para que el L¤M G.X/ exista.  F .X/ H

X!A

SECCIÓN 2.3

76. L¤M .X / H  X! p 77. L¤MC X H  Sugerencia: primero formule una definición

70. La función signo sgn(x) está definida como X SI X H  SGN.X/ H jXj  SI X H 

X!

épsilon-delta precisa de los límites por la derecha.

Use la función signo para definir dos funciones f y g cuyos límites cuando x → 0 no existen, pero tales que A L¤M T F .X/ C G.X/U S¤EXISTE

78. L¤M X  H  X!

79. L¤M X  H  Sugerencia: observe que X!

X!

B L¤M F .X/
G.X/ X!

jX  j H jX C j
jX j:

S¤EXISTE

Luego analice que si acordamos seleccionar δ < 1, entonces |x − 2| < δ implicará que |x + 2| < 5. (¿Por qué?) Luego demuestre que funciona elegir δ como el menor de los dos números 1 y y5.

71. Sea F .X/ H

X 



SI X ESRACIONAL SI X ESIRRACIONAL

Use la ley de compresión de los límites para demostrar que el L¤M F .X/  f (0)  0.

80. L¤M .X  X / H  X!

X!

F .X/ H

  C =X

Luego analice que si acordamos seleccionar δ < 1, entonces |x − 7| < δ implicará que |x + 2| < 10. (¿Por qué?)

0. Luego determine si L¤M F .X/ existe.

81. L¤M .X  X / H  Sugerencia: escriba

X!

X!

En los problemas 73 y 74, examine primero el valor de f (x) en intervalos de la forma   0, se puede ilustrar el límite, límx→a f (x) = L, resolviendo las ecuaciones f (x) = L ±  gráfica o numéricamente para los valores indicados de x1 a la izquierda de a tales que f (x1) = L −  y x2 a la derecha de a tales que f (x2) = L + . Si se elige δ > 0 más pequeña que cualquiera de las dos distancias indicadas δ1 = a − x1 y δ2 = x2 − a, la figura sugiere que  < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j F .X/ ,j



Debe comprender que una demostración real de que límx→a f (x) = L debe demostrar que, dado cualquier  > 0, el que sea, existe una δ > 0 que sirve para esta , lo que significa que la implicación (21) se cumple. Hacerlo para un solo valor de  no constituye una prueba, pero hacerlo para varios valores sucesivamente menores de  resultará instructivo y quizá convincente. Suponga, por ejemplo, que F .X/ H X  C X  C X C ;

A H ;

Y

, H :

Así, para un valor particular fijo de  > 0, puede usar un sistema algebraico en una

90

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo Y

YFX

, 



A ,

,

 , 

D

D

XA D

X

A XA D 

FIGURA 2.3.23 Búsqueda gráfica de δ = mín(δ1, δ2).

calculadora o computadora para resolver numéricamente las ecuaciones X  C X  C X C  H 

Y

X  C X  C X C  H  C

para obtener las soluciones x1 y x2 cerca de 3. Con  = 1,  = 0.2,  = 0.04, debe llegar a los siguientes resultados.

  

X

X







  

  

  

  

  

En la última columna, se eligió cada valor de δ (por seguridad) un poco más pequeña que δ1 o δ2, para asegurar que sirve con el valor correspondiente de . Puede intentar un valor mucho más pequeño como  = 0.001 para encontrar el valor correspondiente de δ que funcione. Posteriormente realice una investigación similar para “verificar” numéricamente un límite polinomial de su propia elección.

2.4 CONCEPTO DE CONTINUIDAD Se observa una diferencia drástica entre las gráficas de las figuras 2.4.1 y 2.4.2. La figura 2.4.1 intenta sugerir que la gráfica y = f (x) puede trazarse con un movimiento continuo de la pluma —sin saltos— de izquierda a derecha. Pero en la figura 2.4.2 se produce un salto repentino en x = a. El concepto de continuidad aísla la propiedad que la función f de la figura 2.4.1 posee, pero que la función g de la figura 2.4.2 no tiene. Debemos primero definir continuidad de una función en un punto. Y

Y YFX YGX X

A

FIGURA 2.4.1 Gráfica continua.

FIGURA 2.4.2 Gráfica discontinua.

X

SECCIÓN 2.4

Concepto de continuidad

91

DEFINICIÓN Continuidad en un punto Suponga que la función f está definida en la vecindad de a. Se dice que f es continua en a siempre que límx→a f (x) exista y, más aún, el valor del límite es f (a). En otras palabras, f es continua en a si  L¤M F .X/ H F .A/: X!A

Brevemente, la continuidad de f en a significa lo siguiente: El límite de f en a es igual al valor de f ahí. Otra forma de decirlo es: el límite de f en a es el valor “esperado”; el valor que se asignaría si se conocieran los valores de f para x H a en la vecindad de a y si además se supiera que f es “predecible”. De otro modo, la continuidad de f en a significa que cuando x está cerca de a, f (x) está cerca de f (a). El análisis de la definición de continuidad muestra que para que sea continua en el punto a, la función f debe satisfacer las tres condiciones siguientes:



Y 

1. La función f debe estar definida en a [de manera que f (a) existe]. 2. El límite de f (x) cuando x tiende a a debe existir. 3. Los números en las condiciones 1 y 2 deben ser iguales, es decir,

FX X 





 X

L¤M F .X/ H F .A/:



X!A

FIGURA 2.4.3 La función f (x) = 1y(x − 2) tiene una discontinuidad infinita en x = 2 (ejemplo 1).

Si cualquiera de estas condiciones no se satisface, f no es continua en a. Los ejemplos 1 a 3 ilustran estas tres posibilidades de discontinuidades en un punto. Si la función f no es continua en a, se dice que es discontinua ahí, o que a es una discontinuidad de f. Intuitivamente, una discontinuidad de f es un punto donde la gráfica de f tiene un “hueco” o un “salto” de algún tipo. EJEMPLO 1

Y   X   NOESTÖENLAGRÖFICA

FIGURA 2.4.4 La función g tiene una discontinuidad finita de salto en x = 0 (ejemplo 2).



Como f no está definida en el punto x = 2, no es continua en ese punto. Sin embargo, Z f tiene lo que podemos llamar una discontinuidad infinita en x = 2. EJEMPLO 2

YHX Y 

 

La figura 2.4.4 muestra la gráfica de la función g definida por C SI X I G.X/ H SGN.X/ H  SI X < :

Los límites por la izquierda y por la derecha en x = 0 no son iguales, g(x) no tiene límite cuando x → 0. En consecuencia, la función g no es continua en x = 0; tiene lo Z que podemos llamar una discontinuidad finita de salto en ese punto. EJEMPLO 3



La figura 2.4.3 muestra la gráfica de la función f definida por  PARA X H : F .X/ H X 

La figura 2.4.5 muestra la gráfica de la función h definida por SEN X SI X H I H.X/ H X  SI X H :

En la sección 2.3 vimos que



SEN X H ; X! X

L¤M H.X/ H L¤M





X!



 X





FIGURA 2.4.5 El punto (0, 0) es parte de la gráfica; el punto (0, 1) no lo es (ejemplo 3).

mientras que h(0) = 0, vemos que el límite y el valor de h en x = 0 no son iguales. Así, la función h no es continua en ese punto. Cuando x se mueve de los valores negativos a los positivos pasando por x =0, el valor de h(x) salta de “cerca de 1” a cero y de Z regreso.

92

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

La discontinuidad en el origen en el ejemplo 3 es un caso de una discontinuidad removible. El punto a donde la función f es discontinua se llama discontinuidad removible siempre que exista una función F tal que • F (x) = f (x) para toda x H a en el dominio de definición de f, y • Esta nueva función F es continua en a. La función original f puede estar o no definida en a, pero en cualquier caso las gráficas de f y F serán diferentes sólo en x = a. En ocasiones es más sencillo hablar de la versión “anterior” y “nueva” de la misma función f. De este modo, decimos que una discontinuidad removible es aquella que puede removerse con una definición apropiada —o, si es necesario, una redefinición— de la función en ese único punto. OBSERVACIÓN La discontinuidad en el origen de la función h en el ejemplo 3 es removible. La razón es que si cambiamos el valor original h(0) = 0 a h(0) = 1, entonces SEN X H  H H./: L¤M H.X/ H L¤M X! H! X

de manera que ahora h es una función continua en x = 0. En contraste, las discontinuidades de la función de diente de sierra f en el siguiente ejemplo no son removibles, porque presentan saltos o huecos reales que obviamente no pueden eliminarse simplemente cambiando los valores de f en esas discontinuidades. EJEMPLO 4

Y

La figura 2.4.6 muestra la gráfica de la función f definida por f (x) = x − [[x]].

X

FIGURA 2.4.6 La “función de diente de sierra” del ejemplo 4.

Como antes, [[x]] es el mayor entero menor o igual que x. Si x = n, un entero, entonces, [[n]] = n, y f (n) = 0. En un intervalo abierto (n, n + 1), la gráfica de f es lineal y tiene pendiente 1. Debe ser claro que f es • Continua en x si x no es un entero; • Discontinua en cada punto entero en el eje x.

Z

Combinaciones de funciones continuas A menudo nos interesan más las funciones que son continuas. Suponga que la función f está definida en un intervalo abierto o en una unión de intervalos abiertos. Decimos sencillamente que f es continua si es continua en cada punto de su dominio de definición. Se deduce directamente de las leyes de los límites de la sección 2.2 que cualquier múltiplo constante, suma, diferencia o producto de funciones continuas es continuo. Esto es, si c es una constante y las funciones f y g son continuas en a, también lo son las funciones cf,

f + g,

f−g

y

f·g

Por ejemplo, si f y g son continuas en a, el L¤M T F .X/ C G.X/U H

X!A

L¤M F .X/ C

X!A

L¤M G.X/ H F .A/ C G.A/;

X!A

de donde concluimos que la suma de f + g también es continua en a. EJEMPLO 5 Como f (x) = x y las funciones de valor constante son claramente continuas en todo su curso, se deduce que la función polinomial cúbica f (x) = x3 − 3x2 + 1 = x · x · x + (−3) · x · x + 1 es continua en todas partes. En forma similar podemos generalizar que toda función polinomial p (x) = bn x n + bn −1x n −1 + · · · + b1x + b0

Z

SECCIÓN 2.4

Concepto de continuidad

93

es continua en cada punto de la recta real. En forma breve, cualquier polinomio es continuo en todo su curso. Si p(x) y q(x) son polinomios, la ley de los cocientes de límites y la continuidad de los polinomios implican que L¤M

X!A



Y 

L¤M P.X/ P.X/ P.A/ X!A H H Q.X/ L¤M Q.X/ Q.A/ X!A

siempre que q(a) H 0. Así, toda función racional YX  

F .X/ H





 X



FIGURA 2.4.7 La función f (x) = 1y(x − 2)2 tiene una discontinuidad infinita en x = 2.

P.X/ Q.X/



es continua donde quiera que esté definida —esto es, en todos los puntos donde el polinomio del denominador no sea cero—. En forma más general, el cociente de cualesquiera dos funciones continuas es continuo en cualquier punto donde el denominador sea diferente de cero. En un punto x = a donde el denominador de la ecuación (2) es cero, q(a) = 0, existen dos posibilidades: • Si p(a) H 0, entonces f tiene una discontinuidad infinita (como en las figuras 2.4.3 y 2.4.7) en x = a. • De otra manera, f puede tener una discontinuidad removible en x = a. EJEMPLO 6

Suponga que F .X/ H

Y&X



 

X  ; X  X C 



Se factoriza el denominador: x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Esto muestra que f no está definida en x = 1 y x = 2. Así, la función racional definida en la ecuación (3) es continua, excepto en esos dos puntos. Como la cancelación da

Y 

F .X/ H

X

 X  H X C  X 

excepto en el punto x = 2, la nueva función





 X

&.X/ H



FIGURA 2.4.8 En el ejemplo 6, la gráfica y = F (x) consiste en la gráfica y = f (x) con el punto (2, 1) agregado.

 X 



concuerda con f (x) si x H 2, pero es continua en x = 2 también, donde F (2) = 1. Entonces f tiene una discontinuidad removible en x = 2; la discontinuidad en x = 1 no es Z removible. (Vea la figura 2.4.8.)

Continuidad de funciones trigonométricas Al inicio de la sección 2.3 observamos que L¤M COS X H 

X!

Y

L¤M SEN X H : X!



Como cos 0 = 1 y sen 0 = 0, las funciones seno y coseno son continuas en x = 0 por definición. Pero este hecho implica que son continuas en todos lados.

TEOREMA 1 Continuidad del seno y el coseno Las funciones f (x) = sen x y g(x) = cos x son funciones continuas de x en la recta real completa.

94

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

Demostración Daremos sólo la demostración para sen x; la prueba para cos x es similar. (Vea el problema 67.) Queremos demostrar que límx→a sen x = sen a para todo número real a. Si escribimos x = a + h, de modo que h = x − a, entonces h → 0 cuando x → a. Así sólo debemos demostrar que

L¤M SEN.A C H/ H SEN A:

H!

Pero la fórmula de la suma para la función seno lleva a L¤M SEN.A C H/ H L¤M .SEN A COS H C COS A SEN H/

H!

H!

H .SEN A/ L¤M COS H C .COS A/ L¤M SEN H H!

H!

H SEN A

como se quería; se usaron los límites de la ecuación (5) en el último paso. OBSERVACIÓN

X

Se deduce que la función TAN X H

SEN X COS X



es continua excepto donde cos x = 0 —esto es, cuando x es un entero impar múltiplo de πy2—. Como se ilustra en la figura 2.4.9, tan x tiene una discontinuidad infinita en cada uno de esos puntos.



YTAN X

 Y 



P 

P 

P 









X







FIGURA 2.4.9 La función tan x tiene discontinuidades infinitas en x = ±πy2, ±3πy2, . . .

Composición de funciones continuas Recuerde de la sección 1.4 que la composición de dos funciones f y g es la función h = f  g definida por h(x) = f (g(x)) para toda x en el dominio de g tal que u = g(x) está en el dominio de f. El teorema 2 implica que las funciones construidas mediante composiciones de funciones continuas son también continuas.

TEOREMA 2 Continuidad de composiciones La composición de dos funciones continuas es continua. Con mayor precisión, si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces f  g es continua en a.

SECCIÓN 2.4

Concepto de continuidad

95

Demostración La continuidad de g en a significa que g(x) → g(a) cuando x → a, y la continuidad de f en g(a) implica que f (x) → f (g(a)) cuando x → g(a). Entonces, la ley de sustitución de los límites (sección 2.2) lleva a

L¤M F .G.X// H F L¤M G.X/ H F .G.A//;

X!A

X!A

X

como se quería. Recuerde de la ley de la raíz en la sección 2.2 que p p L¤M N X H N A X!A

con las condiciones de que n sea un entero y a > 0 si n es par. Así, la función de raíz p N n-ésima F .X/ H X es continua en todo su curso si n es impar; f es continua para x > 0 si n es par. Se pueden combinar estos resultados con el teorema 2. Así, vemos que la raíz de una función continua es continua donde quiera que esté definida. Esto es, la composición p H.X/ H N G.X/ H ;G.X/==N p de F .X/ H N X y la funciónpg(x) es continua en a si g lo es, suponiendo que g(a) > 0 si n es par (de manera que N G.A/ está definida). EJEMPLO 7

Demuestre que la función F .X/ H

X   X C X C 

=

es continua en toda la recta real.

Solución Observe primero que el denominador

 

x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 nunca es cero, porque su valor más pequeño (cuando x = −1) es 02 + 1 = 1. Así, la función racional X  R .X/ H  X C X C 

  

 Y  



está definida y es continua en todas partes. De aquí se deduce del teorema 2 y de la continuidad de la función raíz cúbica que

 





X



FIGURA 2.4.10 Gráfica = X  YH   X C X C 



F .X/ H ;R .X/== H





;R .X/=

es continua en todas partes, como lo sugiere la gráfica en la figura 2.4.10, donde vemos un punto alto aparentemente cerca del punto (−1, 4) y el punto (7, 0) donde la curva Z toca el eje x. EJEMPLO 8 a) La función exponencial f (x) = 2x es continua en todo su curso y, por lo tanto, también lo es la combinación h(x) = 2sen x de f y la función seno. Observe la figura 2.4.11, donde se ve que los puntos alto y bajo de la gráfica de y = 2sen x corresponden a los puntos alto y bajo de la gráfica de y = sen x. b) Por el contrario, la función tangente, tan x, tiene discontinuidades infinitas en los múltiplos impares de πy2 (como se muestra en la figura 2.4.9), y vemos las discontinuidades correspondientes en la composición h(x) =2tan x cuando observamos la gráfica de la figura 2.4.12. Estas discontinuidades son interesantes ya que, si a es un múltiplo entero impar de πy2, L¤M H.X/ H L¤M TAN X H C1;

X!A

X!A

mientras que L¤M H.X/ H L¤M TAN X H :

X!A C

X!A C

Z

96

CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo 



YTAN X

YSEN X



 Y

Y



 



P

P



P X

P

FIGURA 2.4.11 La función h(x) = 2sen x es continua en todas partes.



P

P

P



P X

P

P

FIGURA 2.4.12 La función h(x) = 2tan x tiene discontinuidades infinitas.

La función h(x) = 2tan x del ejemplo 8b) ilustra el concepto de continuidad de un lado. Es conveniente decir que la función f es • continua por la izquierda en a si SI L¤M H F .A/ y es X!A

• continua por la derecha en a si A SI L¤M H F .A/ X!A C

Suponga que definimos la “función aumentada” H como H(x) = 2tan x, a menos que x sea un múltiplo entero impar a de πy2, en cuyo caso H(a) = 0. Deducimos, a partir del ejemplo 8b), que H es continua por la derecha en a, pero no es continua por la izquierda en a. Desde luego, una función es automáticamente continua en un punto si es continua en ese punto por ambos lados. p Hemos observado que la funciónpf (x) = X es continua para x > 0. Sin embargo, f no es continua en x = 0 porque X no está definida para x < 0, p p p de manera que L¤M X no existe. No obstante, L¤M X H  H  por lo que la X!C p X!C función f es continua por la derecha en 0. Así, X es continua por la derecha donde está definida sólo a la derecha. p Así, en ocasiones se dice —por un pequeño “abuso de terminología”— que la función X es continua donde quiera que esté definida. OBSERVACIÓN

Funciones continuas en intervalos cerrados X FT

Y FT

FT Y

Un problema aplicado suele involucrar funciones cuyo dominio es un intervalo cerrado. Por ejemplo, en el problema del corral para animales de la sección 1.1, encontramos que el área A del corral rectangular de la figura 2.4.13 se expresó como función de la longitud de su base x como ! H F .X/ H  X. X/:

FT X

FIGURA 2.4.13 El corral para animales.

0ARED

Esta fórmula para f no tiene sentido para toda x. Únicamente los valores en el intervalo cerrado [0, 30] corresponden a rectángulos reales, por lo que sólo esos valores son pertinentes para el problema del corral. Se dice que la función f definida en un intervalo cerrado [a, b] es continua en [a, b] siempre que • f sea continua en cada punto del intervalo (a, b), • f sea continua por la derecha en el punto terminal izquierdo a, y • f sea continua por la izquierda en el punto terminal derecho b. Las dos últimas condiciones implican que, en cada punto terminal, el valor de la función sea igual a su límite desde dentro del intervalo. Por ejemplo, todo p polinomio es X es continua continuo en todo intervalo cerrado. La función raíz cuadrada f (x) = p p por la derecha en cero porque el L¤MX!C X H  H   Por lo tanto, f es continua en el intervalo cerrado [0, 1] aun cuando f no está definida para x < 0.

SECCIÓN 2.4

Concepto de continuidad

97

Las funciones continuas definidas en intervalos cerrados tienen propiedades muy especiales. Por ejemplo, todas las funciones de este tipo tienen la propiedad del valor intermedio del teorema 3. (Ofrecemos una demostración de este teorema en el apéndice E.) Anteriormente sugerimos que la continuidad de una función está relacionada con la posibilidad de trazar la gráfica sin levantar la pluma del papel. El teorema 3, el teorema del valor intermedio, expresa este hecho con precisión.

TEOREMA 3 Propiedad del valor intermedio Suponga que la función f es continua en un intervalo cerrado [a, b]. De este modo, f (x) toma todos los valores intermedios entre f (a) y f (b). Esto es, si K es cualquier número entre f (a) y f (b), existe al menos un número c en (a, b) tal que f (c) = K. La figura 2.4.14 presenta la gráfica de una función continua f típica cuyo dominio es el intervalo cerrado [a, b]. El número K se localiza en el eje y, en algún lugar entre f (a) y f (b). En la figura f (a) < f (b), pero eso no es importante. La línea horizontal que pasa por K debe cruzar la gráfica de f en algún punto, la coordenada x del punto donde la gráfica y la línea horizontal se cruzan da el valor c. El número c es aquel cuya existencia está garantizada por la propiedad del valor intermedio de la función continua f. Y YF X FB Y+ FA

A

C

B

FIGURA 2.4.14 La función continua f toma el valor intermedio K en x = c. Y

Así, el teorema del valor intermedio implica que cada línea horizontal en el eje y entre f (a) y f (b) debe cruzar la gráfica de la función continua f en algún punto. Ésta es una forma de decir que la gráfica no tiene huecos o saltos, lo cual sugiere que la idea de poder trazar esta gráfica sin levantar la pluma del papel es apropiada.

  Y    

FIGURA 2.4.15 Esta función discontinua no tiene la propiedad del valor intermedio (ejemplo 9).

X

EJEMPLO 9

La función discontinua definida en [−1, 1] como F .X/ H

 

SI X < ; SI X 

no adquiere el valor intermedio . Vea la figura 2.4.15.

Z

Soluciones de ecuaciones Una aplicación importante del teorema del valor intermedio es la verificación de la existencia de soluciones de las ecuaciones de la forma F .X/ H :



EJEMPLO 10 Es posible intentar obtener gráficamente el número haciendo una amplificación en la intersección de la parábola y = x2 − 2 con el eje x

98
 

  

 


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YX 

8

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 X C X   < X <   F .X/ H  X  p   G.T/ H  T   T  p  H.Z/ H .Z /. Z/  Z  X   < X <    F .X/ H COS X p  G.T/ H   SEN T   < T <   En los problemas 15 a 36, diga dónde es continua la función dada. Recuerde que cuando el dominio de una función no se especifica, es el conjunto de todos los números reales para los cuales tiene sentido la fórmula de la función. p   F .X/ H X C  X  G.X/ H X  C X    F .X/ H  F .T/ H X C T    F .X/ H   G.Z/ H  X C Z  X  X C X C   F .X/ H  H.X/ H jX j X C   p X C  F .T/ H   C T   F .X/ H X  p X C  &.U/ H   U   F .X/ H  X  p   F .Z/ H  Z   F .X/ H  X X  F .X/ H p

X  X

 F .X/ H

 X  X

SEN X X   F .X/ H SEN X

 COS  p  F .X/ H SEN X

 F .X/ H

 G./ H

 F .X/ H SEN jXj

  '.U/ H p  C COS U

En los problemas 37 a 48, encuentre los puntos donde la función dada no está definida y por consiguiente no es continua. Para cada uno de esos puntos a, diga si es o no una discontinuidad removible. X T  F .X/ H  F .T/ H  .X C / T  X  UC  F .X/ H   '.U/ H  X  U U jX j   H.X/ H  F .X/ H  jXj .X / X   F .X/ H jX j X  C X C   G.X/ H X C X SI X <   F .X/ H  SI X >  X  F .X/ H

X C X

SI X <  SI X > 

 C X  SI X <   F .X/ H SEN X SI X >  X  COS X SI X <   F .X/ H X SI X >  X

En los problemas 49 a 52, encuentre un valor de la constante c de manera que la función f (x) sea continua para toda x. X CC SI X < ;  F .X/ H  X  SI X   F .X/ H

X C C C X

 F .X/ H

C X  .X C/

 F .X/ H

C X  C SEN X

SI X ; SI X >  SI X < ; SI X  SI X ; SI X > 

En los problemas 53 a 58, aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas para demostrar que la ecuación dada tiene una solución en el intervalo dado.

SECCIÓN 2.4

     

X   H  EN T; U X  C X C  H  EN T; U X  X  C  H  EN T; U X  H  EN T; U X  C X  H  EN T; U X  X  C  H  EN T; U

71. La figura 2.4.21 sugiere que la ecuación x = cos x tiene una solución en el intervalo (0, πy2). Use el teorema del valor intermedio para demostrar que eso es cierto. Después use su calculadora para encontrar esa solución con exactitud de dos decimales.  

En los problemas 59 a 60, demuestre que las ecuaciones dadas tienen tres raíces distintivas calculando los valores del lado izquierdo en x = −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3 y luego aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas en intervalos cerrados adecuados.  X  X C  H 

Y







64.

65.

66. 67.

68. 69.

70.





 X







FIGURA 2.4.21 Gráficas de las ecuaciones y = x y y = cos x (problema 71).

3.T/ H 
.:/TTTUU :

63.

YCOSX





61. Suponga que acepta un nuevo trabajo (tiempo t = 0) con un salario anual de $25,000 y la promesa de un aumento de 6% al final de cada año de trabajo. Explique por qué su salario en miles de dólares después de t años está dado por la fórmula

62.

YX



 X  X  C  H 

Grafique esta función para los primeros cinco años y comente su continuidad. Suponga que acepta el mismo trabajo del problema 61, pero con la promesa de un aumento de 1.5% al final de cada trimestre. a) Escriba la fórmula para su salario (en miles de dólares) después de t años. b) Grafique la función de este nuevo salario y comente su continuidad. c) ¿Cuál es la mejor oferta, el salario prometido en el problema 61 o el de este problema? Suponga que f y g son dos funciones, ambas continuas en el intervalo [a, b] y tales que f (a) = g(b) = p y f (b) = g(a) = q donde p q. Dibuje las gráficas típicas de esas funciones. Luego aplique el teorema del valor intermedio a la función h(x) = f (x) − g(x) para mostrar que f (c) = g(c) en algún punto c de (a, b). Suponga que hoy sale de su casa en Estes Park, CO, a la 1 p.m. y maneja a Grand Lake, llegando a las 2 p.m. Mañana sale de su destino en Grand Lake a la 1 p.m. y regresa por el mismo camino y llega a su casa a las 2 p.m. Use el problema 63 como sugerencia para demostrar que en algún instante entre la 1 y las 2 p.m. estará exactamente en el mismo punto del camino ambos días. ¿Qué debe suponer respecto a las funciones que describen su posición como funciones del tiempo cada día? Aplique la propiedad del valor intermedio de funciones continuas para demostrar que todo número positivo a tiene una raíz cuadrada. Esto es, dado a > 0, pruebe que existe un número r tal que r 2 = a. Aplique la propiedad del valor intermedio para demostrar que todo número real tiene una raíz cúbica. Muestre que la función coseno es continua en el conjunto de todos los números reales. (Sugerencia: altere la prueba del teorema 1 de la continuidad de la función seno.) Determine dónde es continua la función f (x) = x + [[x]]. Suponga que f (x) = 0 si x es un número racional, mientras que f (x) = 1 si x es irracional. Pruebe que f es discontinua en todo número real. Suponga que f (x) = 0 si x es un número racional, mientras que f (x) = x 2 si x es irracional. Pruebe que f es continua sólo en el punto x = 0.

Concepto de continuidad 101

72. La figura 2.4.22 sugiere que la ecuación x = −5 cos x tiene al menos tres soluciones distintas. Use el teorema del valor intermedio para demostrar que eso es cierto. Luego use su calculadora para encontrar las soluciones con exactitud de dos decimales.  

YX

  Y









Y COSX



         X

FIGURA 2.4.22 Gráficas de las ecuaciones y = x y y = −5 cos x (problema 72).

Investigue la continuidad de cada una de las funciones definidas en los problemas 73 a 78. Para cada discontinuidad, determine si las funciones dadas son continuas por la derecha o continuas por la izquierda. Use una calculadora graficadora o una computadora si lo considera útil.  F .X/ H =X SI X H  F ./ H  

 F .X/ H =X SI X H  F ./ H    F .X/ H SI X H  F ./ H   C =X   F .X/ H SI X H  F ./ H   C =X    F .X/ H DONDETENGASENTIDO  C TAN X F .X/ H  DEOTRAMANERA   F .X/ H DONDETENGASENTIDO  C = SEN X F .X/ H  DEOTRAMANERA

102 CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

CAPÍTULO 2: REPASO Comprensión: conceptos y definiciones Consulte las páginas listadas para revisar los conceptos y definiciones del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 2.1 Relación entre rectas secantes y rectas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cociente de diferencias de una función f en el punto x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Pendiente de una recta tangente como límite de cociente de diferencias. . . . . . . . . . . . . 58 Fórmula de la pendiente de la recta tangente en un punto de una parábola . . . . . . . . . . . 58-59 Relación entre las rectas tangente y normal a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Pendiente en (a, f (a)) como un límite cuando h → 0 o bien x → a . . . . . . . . . . . . . . . . 64 La idea del límite de f (x) cuando x → a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Leyes de límites para constantes, suma, producto, cociente y raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . 68-69 Ley de sustitución y límites de composiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Procesos de cuatro pasos para encontrar funciones pronosticadoras de pendientes . . . . 72 2.3 Límite trigonométrico básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ley de compresión de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Limites por la izquierda y por la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79-80 Relación entre límites de un lado y de dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Existencia de las rectas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Límites infinitos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Definición precisa del límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4 Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Discontinuidades removibles de las funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Continuidad de combinaciones, funciones polinomiales y racionales . . . . . . . . . . . . . . . 93 Continuidad de funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Continuidad de composiciones de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Continuidad de una función en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Propiedad del valor intermedio de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Soluciones de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 2.1 Encontrar la ecuación de la recta tangente a una parábola en un punto . . . . . . . . . . . . . . 9, 11 Encontrar el (los) punto(s) de una curva donde la recta tangente es horizontal. . . . . . . . 17, 21 Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a una curva . . . . . . . . . . . . 25, 27 Resolver problemas aplicados encontrando los puntos altos en la parábola . . . . . . . . . . 29, 31 Investigar numéricamente la pendiente de una recta tangente en un punto . . . . . . . . . . . 37, 41, 45 2.2 Usar las leyes de límites para evaluar los límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7, 11 Encontrar límites de cocientes después de la simplificación algebraica . . . . . . . . . . . . . 21, 25, 31, 35 Usar el proceso de cuatro pasos para encontrar funciones pronosticadoras de pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 41, 45 Investigar los límites numéricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 49, 55 2.3 Usar las leyes de los límites para evaluar límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 9, 11, 13, 25 Usar las leyes de los límites de un lado para evaluar límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 35, 39, 43, 45 Determinar el comportamiento donde los límites de un lado no existen . . . . . . . . . . . . . 49, 51, 55 Usar la definición precisa para establecer un límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 79 2.4 Usar las leyes de límites para establecer la continuidad de las funciones . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 9, 11, 13 Determinar dónde es continua una función dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 21, 23, 25, 31 Determinar si una discontinuidad es removible o no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39, 43, 45, 47 Aplicar la propiedad del valor intermedio para localizar soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 55 Investigar numéricamente la continuidad en un punto dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73, 75

Capítulo 2

Problemas diversos

103

PROBLEMAS DIVERSOS Aplique las leyes de los límites para evaluar los límites en los problemas 1 a 40 o para demostrar que el límite indicado no existe, según sea apropiado.  L¤M .X  X C /  L¤M . X C X  / X!

X!

 L¤M . X  /

 L¤M .X  C X /

 C X  L¤M X!  X 

X  L¤M  X! X X 

X!

 L¤M

X!

X!

X  X

 L¤M

X! X 

T  C T C  T!  T

X X  X! X C X 

 L¤M

 L¤M

 L¤M .X  /=

X!

/



X C  X  p X C  L¤M X! X 

 L¤M

 L¤M

X!

 L¤M

X!

 L¤M p C X!

 L¤M

X!C

 L¤M

X!C

 L¤M

X!

  C X X C

X!

X!C



 

X  jX j  X

X C .X /

 L¤M

X!C

X  X C

X  X  C X 

 L¤M X

X

X 

X j Xj

L¤M

X C jX C j

 L¤M

X 

 L¤M

X .X C /

 L¤M

X X 



X!

X!

X!

X!

 F .X/ H  C X 

 F .X/ H X X 

 F .X/ H X  C X 

 F .X/ H  X X 

 F .X/ H .X /.X /

 F .X/ H

 F .X/ H

 X   L¤M  C X! X X C 

 F .X/ H

SEN X SEN X

X!

 L¤M

X p SEN X

 L¤M

 COS X X 

X!C

X!

SEC X TAN X X! X

 L¤M

61.

TAN X X! X

62.

 L¤M

TAN X TAN X

63.

 L¤M

 COS X X

64.

X!

X!

 L¤M X  COT X CSC X X!

 L¤M X  COT X X!

 X

 F .X/ H

X X C

En los problemas 57 a 60, explique por qué cada función es continua donde está definida por la fórmula dada. Para cada punto donde f no está definida por la fórmula, diga si se puede asignar un valor a f (a) de manera que f se vuelva continua en a.

X C  L¤M X! .X /

 L¤M

 X C 

X C X  54. Encuentre la fórmula pronosticadora de pendientes para la gráfica f (x) = 3x − x2 + |2x + 3| en los puntos donde existe la recta tangente. Encuentre el punto (o puntos) donde la recta tangente no existe. Dibuje la gráfica de f. 55. Encuentre las ecuaciones de dos rectas que pasan por (3, 4) y son tangentes a la parábola y = x2. (Sugerencia: siendo (a, a2) uno de los puntos de tangencia, primero despeje a.) 56. Escriba una ecuación para la circunferencia con centro (2, 3) que es tangente a la recta con ecuación x + y + 3 = 0.

 F .X/ H

 L¤M

 F .X/ H

 F .X/ H

X   L¤M  X! X X C 

SEN X X! X



 F .X/ H X X 

 X

 F .X/ H X

X  L¤M X!C X 

 L¤M

X X  

En los problemas 47 a 53, use el “proceso de cuatro pasos” de la sección 2.3 para encontrar la fórmula pronosticadora de pendientes para la gráfica y = f (x).  F .X/ H X  C X

X  C  X

 L¤M

X!

p

X C CX 

En los problemas 41 a 46, aplique su conocimiento de rectas tangentes a parábolas (sección 2.1) para escribir la fórmula pronosticadora de pendientes para la curva dada y = f (x). Luego escriba la ecuación de la recta tangente a y = f (x) en el punto (1, f (1)).

65.

X  X

 F .X/ H

X . X/

X  X C X   F .X/ H   X C X  X  Aplique la propiedad del valor intermedio de funciones continuas para demostrar que la ecuación x 5 + x = 1 tiene solución. Aplique la propiedad del valor intermedio de funciones continuas para demostrar que la ecuación x 3 − 4x 2 + 1 = 0 tiene tres soluciones diferentes. Demuestre que hay un número x entre 0 y πy2 tal que x = cos x. Demuestre que hay un número x entre πy2 y π tal que tan x = −x. (Sugerencia: primero bosqueje las gráficas de y = tan x y y = −x.) Encuentre cuántas rectas que pasan por el punto .;  / son normales a la gráfica y = x2 y encuentre la pendiente de cada una de ellas. (Sugerencia: la ecuación cúbica que debe encontrar tiene una raíz evidente por inspección.)

104 CAPÍTULO 2

Introducción al cálculo

66. Una circunferencia de radio r se deja caer dentro de la parábola y = x2. Si r es muy grande, la circunferencia no caerá hasta el fondo; si r es suficientemente pequeño, la circunferencia tocará la parábola en su vértice (0, 0). (Vea la figura 2.PD.1.) Encuentre el valor más grande de r para que la circunferencia toque el vértice de la parábola. YX

FIGURA 2.PD.1 Si la circunferencia es muy grande, no puede tocar el fondo de la parábola (problema 66).

La derivada

I

saac Newton nació en un pueblo de campesinos ingleses el día de Navidad de 1642, tres meses después de la muerte de su padre. Cuando tenía tres años, su madre se casó de nuevo y lo dejó al cuidado de su abuela. Nada de lo que se sabe sobre su niñez y sus primeros años de escuela podría indicar que su vida y su Isaac Newton (1642-1727) trabajo serían cruciales para la historia de la humanidad. Debido a la influencia de un tío que intuía el potencial oculto del joven Isaac, Newton ingresó a Cambridge University en 1661. Durante 1665 y 1666, cuando Cambridge estuvo cerrada a causa de la peste bubónica que arrasó Europa, vivió en su pueblo natal. Fue entonces cuando estableció los fundamentos de los tres grandes logros de su carrera científica: la invención del cálculo, el descubrimiento del espectro de colores en la luz y la teoría de la gravitación. Más tarde escribió al respecto: “en esos días estaba en lo mejor de mi época de invenciones y me importaban las matemáticas y la filosofía más que en cualquier otra época”. De hecho, durante sus treinta se dedicó más a experimentos de química humeante (e incluso de alquimia) que a investigaciones matemáticas serias. En 1687, siendo profesor de matemáticas en Cambridge, Newton escribió Principia Mathematica, quizás el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En él aplicó conceptos de cálculo para explorar los acontecimientos del universo, incluyendo los movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que un estudiante afirmó: “Ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni nadie más entiende”. Pero, también, le dio tal fama a Newton que cuando murió, en 1727, fue enterrado junto con las grandes figuras de su país en la Abadía de Westminster con tal pompa que el filósofo francés Voltaire observó: “He visto a un profesor de matemáticas . . . enterrado como un rey que ha hecho el bien para sus súbditos”.

3 Poco después de su graduación en Cambridge en 1665, Newton descubrió un nuevo método para resolver ecuaciones de la forma f (x) = 0. A diferencia de los métodos especiales como la fórmula cuadrática, que se aplica sólo a ecuaciones de cierta forma, el método de Newton se usa para aproximar soluciones numéricas de casi cualquier ecuación. En la sección 3.10 se presenta una formulación iterativa del método de Newton que es especialmente adaptable a las calculadoras y computadoras. Se describe la forma en que la combinación del método de Newton, con las modernas gráficas en computadora, ha generado impresionantes imágenes de fractales asociadas con la ciencia del caos. Las imágenes siguientes son el resultado de la aplicación de una versión con números complejos del método de Newton a la sencilla ecuación x3 + 1 = 0.

105

106 CAPÍTULO 3

La derivada

3.1 LA DERIVADA Y LAS TASAS DE CAMBIO En la sección 2.1 se vio que la recta tangente a la curva y  f (x) (figura 3.1.1) en el punto P(a, f (a)) tiene pendiente F .A C H/ F .A/  M H M.A/ H L¤M H! H

y = f(x)

y

Pendiente m = f'(a) (a f(a))

a

x

FIGURA 3.1.1 Motivación geométrica para la definición de la derivada. Y

siempre que este límite exista. Igual que en las fórmulas para predecir la pendiente de la sección 2.2, se obtiene una nueva función f 9 —la derivada de la función original f— cuando sustituimos la variable independiente x en lugar de la constante a en (1).

DEFINICIÓN Derivada La derivada de la función f es la función f 9 definida por F .X C H/ F .X/ F .X/ H L¤M H! H para toda x para la que este límite exista.

Es importante comprender que cuando se evalúa el límite en (2), x se mantiene fija mientras h se acerca a cero. Cuando se tiene un interés específico en el valor f 9(a) de la derivada f 9 en el número x  a, algunas veces reescribimos la ecuación (2) en la forma

Y FX 1X FX F AH F A F X F A

0A FA

F .A/ H L¤M

H!

HX A A

XAH

FIGURA 3.1.2 Notación en la ecuación (3).



X

F .A C H/ F .A/ F .X/ F .A/ H L¤M : X!A H X A



El segundo límite en la ecuación (3) se obtiene del primero al escribir x  a + h, h  x − a, y observando que x → a cuando h → 0 (figura 3.1.2). La afirmación de que estos límites equivalentes existen se abrevia como “f 9(a) existe”. En este caso decimos que la función f es derivable en x  a. El proceso de encontrar la derivada f 9 se llama derivación de f. De cualquier manera que se encuentre, f 9 predice la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de y  f (x) de la función original f (figura 3.1.1).

La derivada como pronosticador de la pendiente La pendiente m de la recta tangente a la gráfica y  f (x) en el punto (a, f (a)) donde x  a es m  f 9(a) (4) La aplicación de la fórmula de punto-pendiente da y − f (a)  f 9(a) · (x − a)

(5)

como ecuación de esta recta tangente. Para derivar una función dada f mediante la evaluación directa del límite en la ecuación (3) se necesita realizar estos cuatro pasos: 1. 2. 3. 4.

Escribir la definición en la ecuación (2) de la derivada. Sustituir las expresiones f (x + h) y f (x) como lo determine la función particular f. Simplificar el resultado por métodos algebraicos hasta donde sea posible. Aplicar las leyes de límites adecuadas para, finalmente, evaluar el límite.

En la sección 2.2 se usó este “proceso de cuatro pasos” para calcular varias funciones pronosticadoras de pendientes, es decir, derivadas. Los cálculos de los límites de los ejemplos 12 y 13 en esa sección, donde encontramos las derivadas de las funciones p  Y F .X/ C X F .X/ H X C X

SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 107

ilustran las técnicas de simplificación algebraica que con frecuencia son útiles al evaluar las derivadas directamente de la definición en la ecuación (2). EJEMPLO 1 Para empezar, aplique la definición de la derivada directamente para derivar la función x . f (x) = x +3 Después encuentre la recta tangente a la gráfica de f en el origen, donde f (0)  0.

Solución Los pasos 1 y 2 resultan en X CH X F .X C H/ F .X/ .X C H/ C  X C  H L¤M F .X/ H L¤M : H! H! H H

Después, la simplificación algebraica sugerida por el común denominador AD BC A C AD BC B D H BD H H H HBD QUELLEVAA .X C H/.X C / X.X C H C / H! H.X C H C /.X C / H  D L¤M H L¤M H! H.X C H C /.X C / H! .X C H C /.X C /  : H L¤M .X C H C / L¤M .X C /

3

F .X/ H L¤M

2

y= x 3

1 y 0 −1 −2

y=

−3 −3

−2

H!

x x+3

−1

H!

Y así encontramos que 0 x

1

2

3

FIGURA 3.1.3 Recta tangente y   x a la curva y  xy(x + 3) en el origen.

= ( px 2 ) + (q x) + r ↓ ↓ ↓ m(x) = 2( px) + q + 0 y

FIGURA 3.1.4 Construcción término a término de la función para predecir la pendiente m(x)  2px + q para una parábola y  px 2 + qx + r. Note que el exponente 2 en el término cuadrático px 2 baja como coeficiente —dando el término lineal 2px— mientras que el término lineal qx simplemente da la constante q y el término constante r sólo “desaparece”.

f  (x) =

3 3 . = (x + 3)(x + 3) (x + 3)2

Al sustituir a  0, f (0)  0 y f 9(0)   en la ecuación (5) se obtiene la ecuación y   x de la recta tangente a la gráfica y  xy(x + 3) en el origen (0, 0) (figura Z 3.1.3). Aun cuando la función f es bastante sencilla, este proceso de cuatro pasos para calcular f 9 directamente de la definición de derivada resulta lento. Además, el paso 3 requiere bastante ingenio y el proceso es repetitivo . Para evitar el tedio, necesitamos un método rápido, sencillo y corto para calcular f 9(x). Ese nuevo método es el tema de este capítulo: el desarrollo de métodos sistemáticos (“reglas”) para derivar las funciones que ocurren con más frecuencia. Esas funciones incluyen polinomios, funciones racionales, las funciones trigonométricas sen x y cos x, o las combinaciones de estas funciones. Una vez establecidas estas reglas de derivación general, las aplicaremos formalmente, casi de forma mecánica, para calcular derivadas. Sólo rara vez será necesario volver a la definición de derivada. La figura 3.1.4 ilustra la función de pronóstico de pendiente para una parábola que se mostró en la ecuación (10) de la sección 2.1. Dicho en el lenguaje de las derivadas, éste es un ejemplo de una “regla de derivación”.

REGLA Derivación de funciones cuadráticas La derivada de la función cuadrática F .X/ H AX  C BX C C



F .X/ H AX C B:



ESLAFUNCI˜NLINEAL

108 CAPÍTULO 3

La derivada

Observe que esta regla funciona del mismo modo sin importar si denotamos los coeficientes por a, b y c como en las ecuaciones (6) y (7), o por p, q y r como en la figura 3.1.4. Resulta esclarecedor derivar la fórmula de derivación en (7) directamente de la definición de derivada: F .X C H/ F .X/ H TA.X C H/ C B.X C H/ C CU TAX  C BX C CU H L¤M H! H .AX  C AHX C AH  C BX C BH C C/ .AX  C BX C C/ H L¤M H! H AHX C AH  C BH H L¤M H! H H L¤M .AX C AH C B/:

F .X/ H L¤M

H!

H!

Por lo tanto

f  (x) = 2ax + b.

Una vez que conocemos esta regla, ya no necesitamos aplicar la definición de la derivada para derivar una función cuadrática.

60 50 40 30 20 y, y' 10 0 −10 −20 −30 −40 −5

EJEMPLO 2 a) Si f (x)  3x2 − 4x + 5, podemos aplicar la ecuación (7) para escribir la derivada inmediatamente, sin realizar el proceso de cuatro pasos: y = 3x2 − 4x + 5

f  (x) = 2 · (3x) + (−4) = 6x − 4.

La figura 3.1.5 compara la gráfica de f con la de su derivada f 9. b) De manera similar, si g(t)  2t − 5t 2, entonces y decrece y' < 0

g  (t) = (2) + 2 · (−5t) = 2 − 10t.

y crece y' > 0

y' = 6x − 4 0 x

5

FIGURA 3.1.5 Observe que la curva y  f (x) cae (de izquierda a derecha) cuando la derivada f 9(x) es negativa, y sube cuando la derivada es positiva.

Z

No hay diferencia si el nombre de la función cambia o si se usa x o t para la variable independiente. Esta flexibilidad es valiosa; en general, es esta adaptabilidad la que hace que las matemáticas se puedan aplicar a casi todas las ramas del conocimiento humano. En cualquier caso, debe aprender todas las reglas de derivación en una forma independiente de la notación que se use para establecerlas. En las secciones 3.2 a 3.4 se desarrollan reglas de derivación adicionales. Sin embargo, primero debemos introducir una nueva notación y una nueva interpretación de la derivada.

Notación diferencial Una notación alternativa importante para la derivada se origina en la antigua costumbre de escribir x en lugar de h (porque h  x es un incremento de x) y y = f (x + x) − f (x) para el cambio (o incremento) que resulta en y. La pendiente de la recta secante K de la figura 3.1.6 es f (x + x) − f (x) y = , m sec = x x y la pendiente de la recta tangente es MH

DY H L¤M X! DX

Y : X



De este modo, si y  f (x), a menudo escribimos DY H F .X/ DX



SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 109

Y 2ECTA SECANTE+

1

$Y 0

YFX

$X

X

&)'52!  /RIGENDELANOTACI˜NDY=DX

(Las llamadas diferenciales dy y dx se analizan cuidadosamante en el capítulo 4.) Los símbolos f 9(x) y dyydx para la derivada de una función y  f (x) se usan casi indistintamente en matemáticas y sus aplicaciones, de manera que debe familiarizarse con ambas versiones de la notación. También debe saber que dyydx es un solo símbolo que representa la derivada; no es un cociente de dos cantidades separadas: dy y dx. EJEMPLO 2 (continuación) Si y  ax2 + bx + c, entonces la derivada en la ecuación (7) en notación diferencial toma la forma dy = 2ax + b. dx

En consecuencia, SI

Y H X  X C ;

SI Z H T T  ;

ENTONCES

ENTONCES

DY H X I DX

DZ H  T: DT

Z

La letra d en la notación dyydx significa “diferencial”. Ya sea que se escriba dyydx o dzydt, la variable dependiente aparece “arriba” y la independiente “abajo”.

Tasas de cambio La derivada de una función sirve para predecir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de esa función. Ahora analizaremos la interpretación igualmente importante de la derivada de una función como tasa de cambio de la función respecto a la variable independiente. Comenzamos con la tasa de cambio instantánea de una función cuya variable independiente es el tiempo t. Suponga que Q es una cantidad que varía con el tiempo t, y escriba Q  f (t) para el valor de Q en el tiempo t. Por ejemplo, Q es • • • • • •

El tamaño de una población (canguros, personas o bacterias). El número de dólares en una cuenta de banco. El volumen de un globo que se está inflando. La cantidad de agua en una presa con flujo de entrada y salida variable. La cantidad de producto químico producido en una reacción. La distancia recorrida t horas después de comenzar un viaje. El cambio en Q del tiempo t al tiempo t + t es el incremento Q = f (t + t) − f (t).

110 CAPÍTULO 3

La derivada

La tasa de cambio promedio de Q (por unidad de tiempo) es, por definición, la razón del cambio Q en Q entre el cambio t en t. De este modo es el cociente F .T C 1 H T

T/ F .T/ T



ilustrado en la figura 3.1.7. Q

Pendiente: Q

ΔQ Δt

(t + Δt, f (t + Δt)) ΔQ = f (t + Δt) − f(t) (el cambio en Q)

(t, f (t)) Δt (el cambio en t) t

t + Δt

t

Q = f(t) dQ Pendiente: , dt tasa de cambio instantánea de Q en t

(t, f (t))

Q = f (t)

FIGURA 3.1.7 La tasa de cambio promedio como pendiente.

Definimos la tasa de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta tasa promedio cuando t → 0. Esto es, la tasa de cambio instantánea de Q es

FIGURA 3.1.8 Relación entre la recta tangente en (t, f (t)) y la tasa de cambio instantánea de f en t.

L¤M

T!

dQ > 0: curva que sube dt

Q creciente

t

T/ F .T/ : T



Pero el límite en el lado derecho de la ecuación (11) es simplemente la derivada f 9(t). Así, vemos que la tasa de cambio instantánea de Q  f (t) es la derivada dQ = f  (t). (12) dt

Q Pendiente

1 F .T C C L¤M T! T

t

FIGURA 3.1.9 Cantidad creciente: derivada positiva.

Interpretando de manera intuitiva el concepto de tasa de cambio, piense en el punto P(t, f (t)) moviéndose sobre la gráfica de la función Q  f (t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve en la curva. Pero suponga súbitamente, en el instante t, que el punto P comienza a seguir una trayectoria recta (como una partícula giratoria que de pronto se suelta de su cuerda). Así, la nueva trayectoria de P sería como en la figura 3.1.8. La curva punteada corresponde al comportamiento “planeado originalmente” de Q (antes de que P decidiera volar por la recta). Pero la trayectoria recta de P (con pendiente constante) corresponde a la cantidad Q “cambiando a una tasa constante”. Como la recta es tangente a la gráfica Q  f (t), podemos interpretar dQydt como la tasa de cambio instantánea de la cantidad Q en el instante t: La tasa de cambio instantánea de Q  f (t) en el tiempo t es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva Q  f (t) en el punto (t, f (t)).

Q Pendiente

dQ < 0: curva que baja dt

Q decreciente t t

FIGURA 3.1.10 Cantidad decreciente: pendiente negativa.

Podemos obtener conclusiones adicionales importantes. Ya que una pendiente positiva corresponde a una recta tangente que sube y una pendiente negativa a una recta tangente que baja (como en las figuras 3.1.9 y 3.1.10), decimos que D1 > I 1 ESCRECIENTEENELTIEMPOTSI DT  D1 1 ESDECRECIENTEENELTIEMPOTSI < : DT NOTA El significado de la frase “Q  f (t) es creciente en (o durante) el intervalo de tiempo de t  a a t  b” es intuitivamente clara. Las expresiones en (13) proporcionan una forma de precisar lo que significa “Q  f (t) es creciente en el tiempo t ”, es decir, en el instante t. Note que el hecho de que una función sea creciente en algún instante

SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 111

no necesariamente implica que continúa creciendo en todo el intervalo de tiempo; esta cuestión se analiza en la sección 4.3. EJEMPLO 3 El tanque cilíndrico de la figura 3.1.11 tiene un eje vertical e inicialmente contiene 600 galones de agua. Se vacía en 60 minutos después que se abre un drenaje en su base. Suponga que el drenaje está abierto en el tiempo t  0. Suponga también que el volumen V de agua restante en el tanque después de t minutos es V (t) = 16 (60 − t)2 = 600 − 20t + 16 t 2 Volumen V(t)

Tasa V'(t)

FIGURA 3.1.11 Tanque con drenaje del ejemplo 3.

galones. Encuentre la tasa instantánea a la que el agua fluye fuera del tanque en el tiempo t  15 (min) y en el tiempo t  45 (min). También encuentre la tasa promedio a la que el agua fluye durante media hora del tiempo t  15 al t  45.

Solución La tasa de cambio instantánea en el volumen V(t) de agua en el tanque está dada por la derivada dV = −20 + 13 t. dt En los instantes t  15 y t  45 obtenemos 6 ./ H  C

 


 H 

6 ./ H  C

 


 H :

Y

Las unidades son galones por minutos (galymin). El hecho de que V 9(15) y V 9(45) sean negativos es congruente con la observación de que V es una función decreciente de t (cuando t aumenta, V disminuye). Una manera de indicar esto es decir que después de 15 min, el agua fluye hacia afuera del tanque a 15 galymin; después de 45 min, el agua fluye hacia afuera a 5 galymin. La tasa de cambio instantánea de V en t  15 es −15 galymin y la tasa de cambio instantánea de V en t  45 es −5 galymin. Pudimos haber pronosticado las unidades, porque Vyt es una razón de galones entre minutos y, por lo tanto, su límite V 9(t)  dVydt debe expresarse en las mismas unidades. Durante el intervalo de longitud t  30 min del tiempo t  15 al tiempo t  45, la tasa de cambio promedio en el volumen V(t) es V (45) − V (15) V = t 45 − 15 1 (60 − 45)2 − 16 (60 − 15)2 −300 = . = 6 45 − 15 30 Cada numerador en la última ecuación está medido en galones —esto es más evidente al examinar el segundo numerador— y cada denominador está medido en minutos. Así, la razón en la última fracción es una razón de galones a minutos, de manera que la tasa de cambio promedio del volumen V del agua en el tanque es −10 galymin. Así, la tasa promedio de flujo de agua hacia afuera del tanque durante este intervalo de media Z hora es 10 galymin. Nuestros ejemplos de funciones hasta ahora se han restringidos a las descripciones de fórmulas o verbales. Los científicos e ingenieros con frecuencia trabajan con tablas de valores obtenidos de la observación o de los experimentos. El ejemplo 4 muestra cómo se estima la tasa de cambio instantánea de estas funciones tabuladas. EJEMPLO 4 La tabla en la figura 3.1.12 proporciona la población P de Estados Unidos (en millones) en el siglo xix en intervalos de 10 años. Estime la tasa de crecimiento instantáneo de la población.

Solución Tomamos t  0 (año) en 1800, entonces t  50 corresponde al año 1850. En la figura 3.1.13 se graficaron los datos y se agregó un trazo manual de una curva que se ajusta a estos datos. Se espera que este ajuste de curva a los datos sea una buena aproximación a la gráfica verdadera de la función desconocida P  f (t). La tasa de cambio instantánea

112 CAPÍTULO 3

La derivada

T

!®O

          

          

0OBLACI˜NDE%5! MILLONES           

P (millones) 80 60 40 (50, 23.2) 20

1800

FIGURA 3.1.12 Datos para el ejemplo 4.

36 50

1850

1900

t (año)

FIGURA 3.1.13 Curva suave que se ajusta bien a los datos de la figura 3.1.12 (ejemplo 4).

dPydt en 1850 es, pues, la pendiente de la recta tangente al punto (50, 23.2). Dibujamos la tangente de manera tan exacta como sea posible por inspección visual y luego medimos la base y la altura del triángulo en la figura 3.1.13. De esta manera se aproxima la pendiente de la tangente en t  50 como dP 36 ≈ = 0.72 dt 50

millones de personas por año (en 1850). Aunque no había un censo nacional en 1851, suponemos que la población de Estados Unidos era de 23.2 + 0.7  23.9 millones, Z aproximadamente.

Velocidad y aceleración x= 0

x = f (t)

FIGURA 3.1.14 La partícula en movimiento está en el punto x  f (t) en el tiempo t.

Suponga que una partícula se mueve en una recta horizontal, con su localización x en el tiempo t dada por su función de posición x  f (t). De este modo, hacemos de la línea de movimiento el eje coordenado con un origen y una dirección positiva; f (t) es sólo la coordenada x de la partícula en movimiento en el tiempo t (figura 3.1.14). Piense en el intervalo de tiempo de t a t + t. La partícula se mueve de la posición f (t) a la posición f (t + t) en este intervalo. Su desplazamiento es el incremento x = f (t + t) − f (t).

Calculamos la velocidad promedio de la partícula durante este intervalo de tiempo tal como calcularíamos la velocidad promedio durante un viaje prolongado en auto: dividimos la distancia entre el tiempo para obtener una velocidad promedio en millas (o kilómetros) por hora. En este caso dividimos el desplazamiento de la partícula entre el tiempo transcurrido para obtener la velocidad promedio GH

X F .T C H T

T/ F .T/ : T



(La barra sobre la letra es un símbolo estándar para denotar un promedio de algún tipo.) Definimos la velocidad instantánea v de la partícula en el tiempo t como el límite de la velocidad promedio G cuando t → 0. Esto es, G H L¤M

T!

X F .T C H L¤M T! T

T/ F .T/ : T



SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 113

Reconocemos el límite en el lado derecho de la ecuación (15): es la definición de la derivada de f en el tiempo t. Por lo tanto, la velocidad de la partícula en movimiento en el tiempo t es GH

DX H F .T/: DT



De aquí que la velocidad es la tasa de cambio instantáneo de la posición. La velocidad de una partícula en movimiento puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se mueve en dirección positiva o negativa en la línea de movimiento. Definimos la rapidez de la partícula como el valor absoluto |v| de la velocidad. EJEMPLO 5 La figura 3.1.15 muestra un auto que se mueve en el eje x (horizontal). Suponga que su posición (en pies) en el tiempo t (en segundos) está dada por x(t) = 5t 2 + 100.

=0 0

= 100

x = 100

x = 600

x (ft)

FIGURA 3.1.15 Auto del ejemplo 5.

Así pues, su velocidad en el tiempo t es v(t) = x  (t) = 10t. y = y(t)

y=0

Tiempo t

Dado que x(0)  100 y v(0)  0, el auto inicia en el tiempo t  0 a partir del reposo (v(0)  0)) en el punto x  100. Sustituyendo t  10, se ve que x(10)  600 y v(10)  100, por lo que después de 10 s el auto ha recorrido 500 ft (desde su punto de inicio x Z  100), y su rapidez es entonces 100yftys.

Nivel del suelo

FIGURA 3.1.16 Movimiento vertical con función de posición y (t ).

y

y creciente dy = >0 dt

y decreciente dy = 0 (figura 3.1.17). El movimiento hacia abajo con y decreciente corresponde a la velocidad negativa, v < 0. El caso del movimiento vertical bajo la influencia de la constante de la gravedad es de interés especial. Si una partícula se lanza hacia arriba desde una altura inicial y0 (ft) sobre el nivel del suelo en el tiempo t  0 (s) y con velocidad inicial v0 (ftys) donde la resistencia del aire es despreciable, entonces su altura y (en pies sobre el nivel de suelo) en el tiempo t está dada por una fórmula conocida en física, Y.T/ H  GT  C G T C Y :

FIGURA 3.1.17 Movimiento hacia arriba y movimiento hacia abajo.



Aquí, g denota la aceleración debida a la fuerza de la gravedad. Cerca de la superficie de la tierra, g es casi constante, de manera que supondremos que es justo una constante y, en la superficie de la tierra, g ≈32 ftys2 o g ≈ 9.8 mys2. Si derivamos y respecto al tiempo t, obtenemos la velocidad de la partícula en el tiempo t: G.T/ H

DY H GT C G : DT



114 CAPÍTULO 3

La derivada

La aceleración de la partícula se definió como la tasa de cambio instantánea (derivada) de su velocidad: AH Y



Su intuición debe decirle que un cuerpo proyectado hacia arriba de esta manera llegará a su altura máxima en el instante en que su velocidad es cero; cuando v(t)  0. (Veremos en la sección 3.5 por qué esto es cierto.)

T Y 

EJEMPLO 6 Encuentre la altura máxima alcanzada por una pelota que se lanza hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial v0  + 96 ftys. Además encuentre la velocidad con la que impacta el suelo al regresar.

)MPACTO T Y 

)NICIO T Y  

DG H G: DT

Solución Para comenzar a resolver un problema de movimiento como éste, bosquejamos un diagrama como la figura 3.1.18, indicando los datos dados y los que no se conocen en los tiempos en cuestión. Aquí nos centramos en el tiempo t  0 cuando la pelota deja el suelo ( y  0), el tiempo desconocido en que llega a su altura máxima con velocidad v  0 y el tiempo desconocido en que regresa al suelo. Comenzamos por sustituir y0  0, v0  96 y g  32 en la ecuación (17). Así, la altura de la pelota en el tiempo t (mientras permanezca arriba) está dada por

FIGURA 3.1.18 Datos de la pelota del ejemplo 6.

y(t) = −16t 2 + 96t.

La derivada da su velocidad en el tiempo t, v(t) = y  (t) = −32t + 96

 V T Y TT

 Y V

(vea la figura 3.1.19). La pelota logra su altura máxima cuando v  0; es decir, cuando v(t) = −32t + 96 = 0.

 

Y CREC V











Esto ocurre cuando t  3 (s). Sustituyendo t  3 en la función de la altura y(t) se obtiene la altura máxima de la pelota,

Y DEC V

T



YMÖX H Y./ H 
./ C 
./ H  



FIGURA 3.1.19 Note que la pelota sube cuando su velocidad v > 0, cae cuando v < 0 y está en lo mas alto cuando v  0.

FT :

La pelota regresa al suelo cuando y(t)  0. La ecuación y(t) = −16t 2 + 96t = −16t (t − 6) = 0

tiene dos soluciones t  0 y t  6. De aquí que la pelota regrese al suelo en el tiempo t  6. La velocidad con la que impacta el suelo es v(t) = (−32)(6) + 96 = −96

(ft/s).

Z

Otras tasas de cambio La derivada de cualquier función —no sólo una función del tiempo— se interpreta como su tasa de cambio instantánea respecto a la variable independiente. Si y  f (x), entonces la tasa de cambio promedio de y (por unidad de cambio en x) en el intervalo [x, x + x] es el cociente Y F .X C H X

X/ F .X/ : X

La tasa de cambio instantánea de y respecto a x es el límite, cuando x → 0, de la tasa de cambio promedio. De aquí que la tasa de cambio instantánea de y respecto a x es L¤M

X!

Y DY H H F .X/: X DX



SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 115

El ejemplo 7 ilustra el hecho de que una variable independiente algunas veces se expresa como dos funciones diferentes de dos variables independientes diferentes. Las derivadas de estas funciones son las tasas de cambio de la variable dependiente respecto a las dos variables independientes.

Δx

x

Δx

EJEMPLO 7 El área de un cuadrado con lado de longitud x centímetros es A  x2, de manera que la derivada de A respecto a x, dA = 2x, dx

A = x2

(21)

es la tasa de cambio del área A respecto a x. (Vea los cálculos en la figura 3.1.20.) Las unidades de dAydx son centímetros cuadrados por centímetro. Ahora suponga que la longitud del lado aumenta con el tiempo: x  5t, donde el tiempo t se mide en segundos. De este modo, el área del cuadrado en el tiempo t es

x

A = (5t)2 = 25t 2 . FIGURA 3.1.20 Cuadrado del ejemplo 7.

La derivada de A respecto a t es

A + A = (x + x)2 ;

dA = 2 · 25t = 50t; dt

A = 2xx + (x)2 ; A = 2x + x; x dA = 2x. dx

(22)

ésta es la tasa de cambio de A respecto al tiempo t, con unidades de centímetros cuadrados por segundo. Por ejemplo, cuando t  10 (y x  50), los valores de las dos derivadas de A en las ecuaciones (21) y (22) son  d A  = 2 · 50 = 100 d x x=50

(cm2 /cm)

 d A  = 50 · 10 = 500 dt t=10

(cm2 /s).

y

Así, A crece a una tasa de 100 cm2 por cm de aumento en x, y a la tasa de 500 cm2 por Z segundo de aumento en t.

     Y    







La notación dAydt para la derivada tiene el inconveniente menor de no proporcionar un “lugar” para sustituir un valor particular de t, como t  10. Las últimas líneas del ejemplo 7 ilustran cómo vencer esta dificultad. Así como decimos si la cantidad Q(t) es creciente o decreciente en el tiempo t  a —según si Q 9(a) > 0 o Q 9(a) < 0— también podemos hablar de la función y  f (x) como una función creciente o decreciente de x. Pensando en las rectas tangentes que suben con pendientes positivas, y que bajan con pendientes negativas, decimos en analogía con (13) que

YFX





X

YFgX  

FIGURA 3.1.21 Correspondencia entre la gráfica de la función y  f (x) y la derivada de la gráfica y  f 9(x).



y es creciente en el punto x  a

si f 9(a) > 0;

y es decreciente en el punto x  a

si f 9(a) < 0.

EJEMPLO 8 La figura 3.1.21 muestra las gráficas y  f (x) de una función y y  f 9(x) de su derivada. Observe que • y  f (x) tiene una tangente horizontal en los puntos en que f 9(x)  0; • f (x) es creciente en los intervalos abiertos donde f 9(x) > 0, y • f (x) es decreciente en los intervalos abiertos donde f 9(x) < 0.

Z

116 CAPÍTULO 3

La derivada

3.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La derivada de la función f es la función f 9 con la regla F .X C H/ F .X/ F .X/ H L¤M H! H para los valores de x para los que existe el límite. 2. Si f 9(a) existe, hay una recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f (a)), y su pendiente es f 9(a). 3. Si p, q y r son constantes y f (x)  px2 + qx + r, entonces f 9(x)  2px + q. dy 4. Si y  f (x), es aceptable escribir como notación alternativa para f 9(x); es dx dy  f 9(x). decir, si y  f (x), entonces dx 5. Si Q  Q(t) es una función del tiempo t, la tasa de cambio promedio de Q en el Q(t + t) − Q(t) . intervalo de tiempo [t, t + t] es t 6. Si Q  Q(x) es una función de x, entonces la tasa de cambio instantánea de Q 1.X C H/ 1.X/ respecto a x es 1 .X/ H L¤M  H! H 7. Si una partícula se mueve en línea recta con posición x(t) en el tiempo t y velocidad v(t) en el tiempo t, entonces v9(t)  x(t). 8. Si una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t) en el tiempo t, entonces su aceleración a(t) en el tiempo t está definida por a(t)  v9(t). 9. Si Q  f (t) es una función del tiempo t, entonces Q es creciente en el instante t si f 9(t) > 0. 10. Si y  f (x) es una función de x, entonces y es decreciente en x si ocurre que f 9(x) < 0.

3.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. La línea de la pendiente en la figura 3.1.5 parece tangente a la parábola. ¿Lo es? Si no, ¿de qué manera sencilla puede alterar la ecuación de la parábola —sin cambiar su recta pendiente— para asegurar que la recta sea tangente a la parábola alterada? 2. Cuando se lanza una pelota hacia arriba, parece quedar suspendida en el aire en la cúspide de su trayectoria por un periodo breve. ¿Lo está? 3. Un policía lo detiene alegando que no hizo el alto debido de frente a la señal indicada. Usted argumenta que cuando frenaba, su velocidad era cero en cierto instante antes de quitar el pie del freno y proceder a cruzar la calle. El policía contesta que usted nunca hizo alto total; que está seguro de que su velocidad no fue de cero ni por una centésima de segundo. ¿Cuál es la causa del desacuerdo? Explíquelo con tal claridad que un juez le condone la multa. 4. La pelota del ejemplo 6 tomó el mismo tiempo en elevarse del suelo a su punto más alto que en caer. ¿Siempre ocurre esto para una pelota gobernada por las ecuaciones (17) y (18) de esta sección? Sugerencia: en lugar de usar demasiada álgebra, piense en la simetría de la parábola en la figura 3.1.19.

3.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, encuentre la derivada indicada usando la regla de derivación en las ecuaciones (6) y (7): Si

f (x)  ax2 + bx + c,

entonces

f 9(x)  2ax + b.

 F .X/ H X  ENCUENTRE F .X/  G.T/ H  T   ENCUENTRE G .T/  H.Z/ H Z. Z/ ENCUENTRE H .Z/

SECCIÓN 3.1

La derivada y las tasas de cambio 117

 F .X/ H  X ENCUENTRE F .X/

32. Figura 3.1.24

33. Figura 3.1.25

 Y H X  C X  ENCUENTRE DY=D X

     Y 













 4    Y 













 X H T T   ENCUENTRE D X=DT  Z H U  U ENCUENTRE DZ=DU  G H Y. Y/ ENCUENTRE DG=DY  X H Y  C Y C  ENCUENTRE D X=DY

En los problemas 11 a 20, aplique la definición de la derivada (como en el ejemplo 1) para encontrar f 9(x). 11. f (x) = 2x − 1

12. f (x) = 2 − 3x

13. f (x) = x 2 + 5

14. f (x) = 3 − 2x 2 1 3−x

15. f (x) =

1 2x + 1

16. f (x) =

17. f (x) =

√ 2x + 1

18. f (x) = √

x 1 − 2x

20. f (x) =



FIGURA 3.1.24

 U H T  C T ENCUENTRE DU=DT

19. f (x) =

 X

1 x +1

En los problemas 21 a 25, se da la función de posición x  f (t) de una partícula que se mueve en una recta horizontal. Encuentre su localización x cuando su velocidad v es cero. 21. x = 100 − 16t 2

22. x = −16t 2 + 160t + 25

23. x = −16t 2 + 80t − 1

24. x = 100t 2 + 50

34. Figura 3.1.26

35. Figura 3.1.27

     Y 













5 4 3 2 1 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 −5

 X

25. x = 100 − 20t − 5t 2

     y 













0 X



0 x

5

 X



FIGURA 3.1.27



FIGURA 3.1.28a)

En los problemas 26 a 29, se da la altura y(t) (en pies t segundos después) de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba. Encuentre la altura máxima que alcanza la pelota.

     Y 













FIGURA 3.1.28b)      Y 













En los problemas 30 a 35 (figuras 3.1.22 a 3.1.27), dé la correspondencia de la gráfica dada de la función f con la de su derivada, que aparece entre las trazadas en la figura 3.1.28, incisos a) a f).

     Y 













30. Figura 3.1.22

FIGURA 3.1.28c)

FIGURA 3.1.28d)

     y 













     y 













26. y = −16t 2 + 160t

27. y = −16t 2 + 64t

28. y = −16t 2 + 128t + 25

29. y = −16t 2 + 96t + 50

     Y 













FIGURA 3.1.22

 X

31. Figura 3.1.23



5 4 3 2 1 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 −5

FIGURA 3.1.23

0 x

5

0 X

0 X

FIGURA 3.1.28e)



FIGURA 3.1.25

FIGURA 3.1.26

x +1 x −1

0 X





0 X

 X

FIGURA 3.1.28f)





118 CAPÍTULO 3

La derivada

36. La temperatura C en grados Celsius está dada en términos de la temperatura F en grados Fahrenheit por C = 59 (F − 32). Encuentre la tasa de cambio de C respecto a F y la tasa de cambio de F respecto a C. 37. Encuentre la tasa de cambio del área A de un círculo respecto a su circunferencia C. 38. Una piedra que se arroja a un estanque en el tiempo t  0 causa una onda circular que se mueve alejándose del punto de impacto a 5 m/s. ¿A qué tasa (en metros cuadrados por segundo) está aumentando el área dentro del círculo cuando t  10? 39. Un auto viaja a 100 ft/s cuando el conductor frena (x  0, t  0). La función de posición del auto derrapando es x(t)  100t − 5t 2. ¿Qué tan lejos y por cuánto tiempo derrapa el auto antes de detenerse? 40. Una cubeta que contiene 10 galones de agua desarrolla una fuga en el tiempo t  0, y el volumen V de agua en ella t segundos después está dado por   t 2 V (t) = 10 1 − 100

hasta que se vacía en el tiempo t  100. a) ¿A qué tasa sale el agua de la cubeta justo después que ha pasado 1 minuto? b) ¿Cuándo es la tasa de cambio instantánea de V igual a la tasa de cambio promedio de V entre t  0 y t  100? 41. Una población de ardillas listadas se traslada a una nueva región en el tiempo t  0. En el tiempo t (en meses), la población llega a P(t) = 100[1 + (0.3)t + (0.04)t 2 ].

a) ¿Cuánto tiempo tomó que esta población duplicara su tamaño original P(0)? b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la población cuando P  200? 42. Los siguientes datos describen el crecimiento de la población P (en miles) de la ciudad de Gotham durante un periodo de 10 años. Use el método gráfico del ejemplo 4 para estimar esta tasa de crecimiento en 1989. !®O













0













43. Los siguientes datos proporcionan la distancia x en pies recorridos por un auto acelerando (que inicia en reposo en el tiempo t  0) en los primeros t segundos. Use el método grá-

fico del ejemplo 4 para estimar la rapidez (en miles por hora) cuando t  20 y de nuevo cuando t  40. T















X















En los problemas 44 a 49, use el hecho (probado en la sección 3.2) de que la derivada de y  ax3 + bx2 + cx + d es dyydx  3ax2 + 2bx + c. 44. Pruebe que la tasa de cambio del volumen V de un cubo respecto a la longitud x de su arista es igual a la mitad del área A de la superficie del cubo (figura 3.1.29). 45. Demuestre que la tasa de cambio del volumen V de una esfera respecto a su radio R es igual al área S de su superficie (figura 3.1.30). 46. La altura h de cierto cilindro cuya altura cambia es siempre el doble de su radio r. Demuestre que la tasa de cambio de su volumen V respecto a r es igual al área S de su superficie total (figura 3.1.31). 47. Un globo esférico con un radio inicial r de 5 pulgadas tiene una fuga de aire que comienza en el tiempo t  0, y su radio t segundos después es r  (60 − t)y12 in. ¿A qué tasa (en pulgadas cúbicas por segundo) está escapando el aire del globo cuando t  30? 48. El volumen V (en litros) de 3 gramos de CO2 a 27°C está dado en términos de su presión (en atmósferas) por la fórmula V  1.68yp. ¿Cuál es la tasa de cambio de V respecto a p cuando p  2 (atm)? (Sugerencia: utilice la evidencia de que la derivada de f (x)  cyx es f 9(x)  −cyx2 si c es una constante; puede saberlo usando la definición de la derivada.) 49. Conforme una bola de nieve con radio de 12 cm se derrite, su radio decrece a una tasa constante. Comienza a derretirse cuando t  0 (h) y tarda 12 h en desaparecer. a) ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen cuando t  6? b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio del volumen de t  3 a t  9? 50. Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba en el tiempo t  0 (s) con velocidad inicial de 96 ft/s y altura inicial de 112 ft tiene función de altura y(t)  −16t 2 + 96t + 112. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿Cuándo y con qué rapidez de impacto llega la pelota al suelo? 51. Una nave especial que se prepara para hacer contacto en el planeta Gzyx tiene una altura y (metros) al tiempo t (segundos) dada por 100 − 100t +25t 2. ¿En que momento y a qué velocidad se posa en el suelo del planeta?

R

h

X r X

X

FIGURA 3.1.29 Cubo del problema 44; volumen V  x3, área de superficie S  6x2.

FIGURA 3.1.30 Esfera del problema 45; volumen V = 43 πr 3 , área de superficie S  4πr 2.

FIGURA 3.1.31 Cilindro del problema 46; volumen V  πr2h, área de superficie S  2πr2 + 2πrh.

SECCIÓN 3.2

52. La población (en miles) de la ciudad de Metrópolis está dada por P(t) = 100[1 + (0.04)t + (0.003)t 2 ],

con t en años y con t  0 correspondiente a 1980. a) ¿Cuál es la tasa de cambio de P en 1986? b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio P de 1983 a 1988? 53. Suponga que durante la década de 1990 la población P de una ciudad pequeña está dada por P(t) = 10 + t − 0.1t 2 + 0.006t 3

(con t en años y P en miles). Tomando t  0 como el 1 de enero de 1990, encuentre el o los tiempos durante los noventa en los que la tasa de cambio instantánea de esta población fue igual a la tasa de cambio promedio para toda la década. (Use las fórmulas de diferenciación dadas en las instrucciones de los problemas 44-49.) Los problemas 54 a 60 se refieren a derivadas por la izquierda y por la derecha de f en a que están definidas por F .A/ C L¤M

F .A C H/ F .A/ H

F C .A/ H L¤M

F .A C H/ F .A/ ; H

H!

Y H!C

(suponiendo que estos límites existen). Entonces f9(a) existe si y sólo si ambas derivadas por la izquierda y por la derecha existen y f 9_(a)  f 9+(a).

Reglas básicas de derivación

119

54. a) Encuentre f 9_(0) y f 9+(0) dada f (x)  |x|. b) La función f (x)  |12x − 101| es derivable excepto en un punto. ¿Cuál es este punto y cuáles son los valores de sus derivadas por la izquierda y por la derecha de f ahí? 55. Bosqueje la gráfica de la función f dada y determine si es derivable en x  0: A F .X/ H

X X

B F .X/ H

X X 

SI X < ; SI X I SI X < ; SI X :

56. Investigue si es derivable la función f definida por F .X/ H

X C  X X

SI X < ; 

SI X

:

57. Investigue si es derivable la función f definida por F .X/ H

 C X X  X  X C 

SI X < ; SI X :

58. Bosqueje la gráfica de la función f (x)  x · |x| y muestre que es derivable en todos lados. ¿Puede escribir una sola fórmula (de una parte) que dé el valor de f 9(x) para x > 0 y x < 0? 59. Bosqueje una gráfica de la función f (x)  x + |x|. Después investigue si es derivable. Encuentre la derivada f 9(x) donde exista; encuentre las derivadas por cada lado en los puntos donde f 9(x) no existe. 60. Repita el problema 59, pero con la función f (x)  x · (x + | x|).

3.2 REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN En este punto iniciamos el desarrollo sistemático de las reglas formales para encontrar la derivada f 9 de la función f : F .X/ H L¤M

H!

F .X C H/ F .X/ : H



Será útil una notación alternativa para las derivadas. Cuando interpretamos la derivada en la sección 3.1 como una tasa de cambio, encontramos ventajoso emplear la notación de variable dependiente-independiente. F

y = f (x),

x = h,

y = f (x + x) − f (x).

(2)

Esto llevó a la “notación diferencial”. DY H L¤M X! DX

$X

$X FX F gX

FIGURA 3.2.1 La “máquina de derivación” Dx .

Y F .X C H L¤M X! X

X/ F .X/ X



para la derivada. Cuando use esta notación, recuerde que el símbolo dyydx es simplemente otra notación para la derivada f 9(x): no es el cociente de las dos cantidades separadas dy y dx. En ocasiones, se usa una tercera notación para la derivada f 9(x); es Dx f (x). Con ella, piense en Dx como una “máquina” que opera sobre la función f para producir su derivada Dx f respecto a x (figura 3.2.1). Así podemos escribir la derivada 3x2 de y  f (x)  x3 en cualquiera de las tres formas: f  (x) =

dy = Dx x 3 = 3x 2 . dx

120 CAPÍTULO 3

La derivada

Estas tres notaciones para la derivada —la notación de función f 9(x), la notación diferencial dyydx y la notación del operador Dx f (x)— se usan de manera indistinta al escribir matemáticas y ciencias, por lo que debe familiarizarse con las tres.

Derivada de una constante Y

YC

0ENDIENTECERO

X

FIGURA 3.2.2 La derivada de una función de valor constante es cero (teorema 1).

La primera regla de derivación dice que la derivada de una función constante es idéntica a cero. La geometría pone en evidencia este resultado, porque la gráfica de una función constante es una recta horizontal que es su propia tangente, con pendiente cero en cada punto (figura 3.2.2).

TEOREMA 1 Derivada de una constante Si f (x)  c (una constante) para toda x, entonces f 9(x)  0 para toda x. es decir, DC H $X C H :  DX Demostración Como f (x + h)  f (x)  c, se ve que

F .X/ H L¤M

H!

F .X C H/ F .X/ CC  H L¤M H L¤M H : H! H! H H H

X

Regla de la potencia Como motivación para la siguiente regla, considere la siguiente lista de derivadas que ya aparecieron en el libro (o como problemas). Las primeras dos son casos especiales de la fórmula Dx (ax 2 + bx + c)  2ax + b. $X X H  $X X  H X H 
X  $X X  H 
X    H $X X  H  H 
X  X X

PROBLEMA SECCI˜N

  H $X X  H  H 
X  X X

PROBLEMA SECCI˜N

$X $X

PROBLEMA SECCI˜N

p   $X X H $X X = H p H
X =   X

EJEMPLO SECCI˜N

Cada una de estas fórmulas se ajusta al sencillo patrón $X X N H NX N ;



donde el exponente n se coloca antes de la variable y en el exponente se disminuye en 1. Así, parece que los blancos en el patrón Dx x =

x

−1

se pueden llenar con cualquier entero que se desee, o incluso con la fracción 12. Pero la ecuación (5) —inferida de la lista anterior de derivadas— es todavía una conjetura. De cualquier forma, muchos descubrimientos en matemáticas se han hecho detectando esos patrones y luego probando que se cumplen de manera universal. Más adelante se verá que la fórmula en la ecuación (5), llamada regla de la potencia, es válida para todos lo números reales n. En este momento damos una prueba sólo para el caso en que el exponente es un entero positivo.

SECCIÓN 3.2

Reglas básicas de derivación

121

TEOREMA 2 Regla de la potencia para un entero positivo n Si n es un entero positivo y f (x)  x n, entonces F .X/ H NX N :



Demostración Para un entero positivo n, es sencillo verificar la identidad

bn − a n = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + bn−3 a 2 + · · · + ba n−2 + a n−1 )

mediante la multiplicación. Así, si b H a, entonces bn − a n = bn−1 + bn−2 a + bn−3 a 2 + · · · + ba n−2 + a n−1 . b−a

Dado que cada uno de los n términos en el lado derecho se acercan a a n−1 cuando b → a, esto nos dice que L¤M

B!A

BN A N H NA N BA

por varias leyes de los límites. Sea b  x + h y a  x, de manera que h  b − a. Entonces h → 0 cuando b → a, y por ello .X C H/N X N H NX N : H! H

F .X/ H L¤M



X

Esto establece el teorema 2.

No es necesario usar siempre los mismos símbolos x y n para la variable independiente y el exponente en la regla de la potencia. Por ejemplo $T T M H MT M

Y

$Z Z K H KZ K :

Si está perfectamente claro cuál es la variable independiente, se elimina el subíndice de Dx (o Dt o Dz), como en el ejemplo 1. EJEMPLO 1

Dx 7 = 7x 6 ,

Dt 17 = 17t 16 ,

Dz 100 = 100z 99 .

Z

Derivada de una combinación lineal Para usar la regla de la potencia para derivar polinomios, debemos saber cómo derivar combinaciones lineales. Una combinación lineal de las funciones f y g es una función de la forma af + bg donde a y b son constantes. Se deduce de las leyes de suma y producto para límites que L¤M TA F .X/ C BG.X/U H A L¤M F .X/ C B L¤M G.X/

X!C

X!C

X!C



siempre y cuando los dos límites del lado derecho de la ecuación (8) existan. La fórmula en (8) se llama propiedad de linealidad de la operación límite. Implica una propiedad de linealidad análoga para la derivación.

TEOREMA 3 Derivada de una combinación lineal Si f y g son funciones derivables y a y b son números reales fijos, entonces $X TA F .X/ C BG.X/U H AT$X F .X/U C BT$X G.X/U:



Con u  f (x) y v  g(x), esto toma la forma D.AU C BG/ DU DG HA CB : DX DX DX



122 CAPÍTULO 3

La derivada

Demostración La propiedad de linealidad de los límites da de inmediato

TA F .X C H/ C BG.X C H/U TA F .X/ C BG.X/U H F .X C H/ F .X/ G.X C H/ G.X/ C B L¤M H A L¤M H! H! H H H AT$X F .X/T C BU$X G.X/U;

$X TA F .X/ C BG.X/U H L¤M

H!

X

como se quería. Ahora tomamos a  c y b  0, de la ecuación (9). El resultado es $X TC F .X/U H C$X F .X/I



D.CU/ DU HC ; DX DX



DEOTRAMANERA

De este modo la derivada de un múltiplo constante de una función es el mismo múltiplo constante de la derivada. EJEMPLO 2 A $X .X  / H 
X  H X   B 3I F .Z/ C Z  ENTONCES F .Z/ H Z   D .U  / H U   C DU

Ahora tomamos a  b  1 de la ecuación (9). Encontramos que $X T F .X/ C G.X/U H T$X F .X/U C T$X G.X/U:



%NNOTACI˜NDIFERENCIAL DU DG D.U C G/ H C : DX DX DX



Así, la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas. De manera similar, para las diferencias se tiene du dv d(u − v) = − . dx dx dx

(12)

Es sencillo ver que estas reglas se generalizan a sumas y restas de más de dos funciones. Por ejemplo, la aplicación repetida de la ecuación (11) a la suma de un número finito de funciones derivables da du 1 du 2 du n d(u 1 + u 2 + · · · + u n ) = + + ··· + . dx dx dx dx

(13)

OBSERVACIÓN La ecuación (13) dice que al derivar una suma de términos, simplemente derivamos cada término y luego sumamos los resultados.

EJEMPLO 3 $X . C X C X  X  / H  C 
 C 
X  
X  H  C X  X  :

Z

SECCIÓN 3.2

Reglas básicas de derivación

123

Derivada de un polinomio Cuando se aplican las ecuaciones (10) y (13) y la regla de la potencia al polinomio p(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0

(y con ello derivamos cada término), se encuentra la derivada tan rápido como podamos escribirla: P .X/ H NAN X N C .N /AN X N C


C A X  C A X C A :



Así, se vuelve casi rutinario escribir una ecuación para la recta tangente a la gráfica de un polinomio. EJEMPLO 4 Escriba una ecuación para la recta que es tangente a la gráfica de y  2x3 − 7x2 + 3x + 4 en el punto (1, 2).

30 20

y = 2x3 − 7x2 + 3x + 4

10 y

Solución Calculamos la derivada como en la ecuación (14): dy = 2 · 3x 2 − 7 · 2x + 3 + 0 = 6x 2 − 14x + 3. dx Sustituimos x  1 en dyydx y encontramos que la pendiente de la recta tangente en (1, 2) es m  −5. Por lo tanto, la ecuación de punto-pendiente de la recta tangente es

(1, 2)

0 −10

y = −5x + 7

y − 2 = −5(x − 1);

−20 −30 −4 −3 −2 −1

0 x

1

2

3

FIGURA 3.2.3 Gráfica y  2x 3 − 7x 2 + 3x + 4 y su recta tangente y  −5x + 7 en el punto (1, 2).

4

es decir, y = −5x + 7.

Una imagen generada con calculadora o computadora como la figura 3.2.3 proporciona una evidencia visual que sugiere la validez de este cálculo de la recta tanZ gente. EJEMPLO 5 El volumen V (en centímetros cúbicos) de una muestra dada de agua varía con el cambio de temperatura T. Para T entre 0°C y 30°C, la relación está dada casi con precisión por la fórmula V = V0 [1 − (6.427 × 10−5 )T + (8.505 × 10−6 )T 2 − (6.790 × 10−8 )T 3 ],

donde V0 es el volumen de la muestra de agua (no hielo) a 0°C. Suponga que V0  105 cm3. Encuentre el volumen y la tasa de cambio del volumen respecto a la temperatura cuando T  20°C.

Solución Sustituyendo V0  105  100,000 en la fórmula del volumen dada se obtiene V (T ) = 100,000 − (6.427)T + (0.8505)T 2 − (0.00679)T 3 .

Después, sustituyendo T  20 se tiene V(20) ≈ 100,157.34, de manera que la muestra se expande en cerca de 157 cm3 si se calienta de 0°C a 20°C. La tasa de cambio del volumen V respecto a la temperatura T está dada por dV = −6.427 + (1.7010)T − (0.02037)T 2 , dT y al sustituir T  20 se obtiene  d V  ≈ 19.45 (cm3 /◦ C). dT T =20

Así, debemos esperar que el volumen de la muestra de agua aumente un poco más de 19 cm3 si se calienta 1°C de 20°C a 21°C. De hecho, la sustitución directa en la fórmula original del volumen da V (21) − V (20) ≈ 19.88.

124 CAPÍTULO 3

La derivada

Por último, observamos que la tasa promedio de cambio en V respecto a T en el inter≤ T ≤ 20.5 centrada en T  20 es valo 19.5 − − V (20.5) − V (19.5) V = ≈ 19.44 T 20.5 − 19.5

(cm3 /◦ C),

que es muy cercana a la derivada dVydT en T  20.

Z

Regla del producto y regla del cociente Sería natural llegar a la conjetura de que la derivada de un producto f (x)g(x) es el producto de las derivadas. Esto es ¡falso! Por ejemplo, si f (x)  g(x)  x, entonces Dx [ f (x)g(x)] = Dx x 2 = 2x.

Pero [Dx f (x)] · [Dx g(x)] = (Dx x) · (Dx x) = 1 · 1 = 1.

En general, la derivada de un producto no es simplemente el producto de las derivadas. El teorema 4 nos dice qué es.

TEOREMA 4 Regla del producto Si f y g son derivables en x, entonces fg es derivable en x, y $X T F .X/G.X/U H F .X/G.X/ C F .X/G .X/:



Con u  f (x) y v g(x), esta regla del producto toma la forma D.UG/ DG DU HU CG : DX DX DX



Cuando está claro cuál es la variable independiente, podemos escribir la regla del producto en forma todavía más corta .UG/ H U G C UG :



Demostración Utilizamos un dispositivo para “sumar y restar”.

$X T F .X/G.X/U H L¤M

H!

F .X C H/G.X C H/ F .X/G.X/ H

H L¤M

F .X C H/G.X C H/ F .X/G.X C H/ C F .X/G.X C H/ F .X/G.X/ H

H L¤M

F .X C H/G.X C H/ F .X/G.X C H/ F .X/G.X C H/ F .X/G.X/ C L¤M H! H H

H!

H!

H

L¤M

H!

F .X C H/ F .X/ H

L¤M G.X C H/ C F .X/ L¤M

H!

H F .X/G.X/ C F .X/G .X/:

H!

G.X C H/ G.X/ H

X

En esta prueba se usan la ley de la suma y la ley del producto para límites, las definiciones de f 9(x) y g9(x), y el hecho de que L¤M G.X C H/ C G.X/:

H!

Esta última ecuación se cumple porque g es derivable y por lo tanto continua en x (como se verá en el teorema 2 de la sección 3.4). En palabras, la regla del producto dice que la derivada del producto de dos funciones se forma multiplicando la derivada de cada una por la otra y luego sumando los resultados.

SECCIÓN 3.2

EJEMPLO 6

Reglas básicas de derivación

125

Encuentre la derivada de f (x) = (1 − 4x 3 )(3x 2 − 5x + 2)

sin multiplicar primero los dos factores.

Solución Dx [(1 − 4x 3 )(3x 2 − 5x + 2)] = [Dx (1 − 4x 3 )](3x 2 − 5x + 2) + (1 − 4x 3 )[Dx (3x 2 − 5x + 2)] = (−12x 2 )(3x 2 − 5x + 2) + (1 − 4x 3 )(6x − 5) = −60x 4 + 80x 3 − 24x 2 + 6x − 5.

Z

Podemos aplicar la regla del producto repetidas veces para encontrar la derivada de un producto de tres o más funciones derivables u1, u2, . . . , un de x. Por ejemplo, D[u 1 u 2 u 3 ] = (u 1 u 2 ) u 3 + (u 1 u 2 )u 3 = (u 1 u 2 + u 1 u 2 )u 3 + u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 + u 1 u 2 u 3 + u 1 u 2 u 3 .

Observe que la derivada de cada factor en el producto original se multiplica por los otros dos factores y luego se suman los tres productos obtenidos. Éste es, sin duda, el resultado general: D(u 1 u 2 · · · u n ) = u 1 u 2 u 3 · · · u n−1 u n + u 1 u 2 u 3 · · · u n−1 u n + · · · + u 1 u 2 u 3 · · · u n−1 u n ,

(16)

donde la suma en la ecuación (16) tiene un término que corresponde a cada uno de los n factores en el producto u1u2 · · · un. Es sencillo establecer esta regla del producto extendida (vea el problema 62) un paso a la vez —con n  4, luego con n  5, etcétera. El siguiente resultado nos dice cómo encontrar la derivada del recíproco de una función si conocemos la derivada de la función en sí.

TEOREMA Regla del recíproco Si f es derivable en x y f (x) H 0, entonces $X

F .X/  : H F .X/ T F .X/U



Con u  f (x), la regla del recíproco toma la forma D DX

 U

H

 DU :
U D X



Si no hay duda de cuál es la variable independiente, se escribe  U

H

U : U



Demostración Igual que en la demostración del teorema 4, se usan las leyes de lími-

tes, la definición de la derivada y el hecho de que una función es continua siempre que sea derivable (por el teorema 2 de la sección 3.4). Más aún, observe que f (x + h) H 0 para h cercana a cero porque f (x) H 0 y f es continua en x. (Vea el problema 16 del apéndice D.) Por lo tanto, $X

  H L¤M H! H F .X/ H L¤M

H!

  F .X C H/ F .X/  F .X C H/ F .X/

H L¤M

H!

L¤M

H!

F .X/ F .X C H/ H F .X C H/ F .X/

F .X C H/ F .X/ H

H

F .X/ :X T F .X/U

126 CAPÍTULO 3

La derivada

EJEMPLO 7

Con f (x)  x 2 + 1 en la ecuación (17), se obtiene   Dx (x 2 + 1) 1 2x = − Dx =− 2 . 2 2 2 x +1 (x + 1) (x + 1)2

Ahora combinamos la regla del recíproco con la regla de la potencia para exponentes enteros positivos con el fin de establecer la regla de la potencia para exponentes enteros negativos.

TEOREMA 5 Regla de la potencia para enteros negativos n Si n es un entero negativo, entonces Dx x n  nx n−1. Demostración Sea m  −n, de manera que m es un entero positivo. Si x H 0 aplicamos la regla del recíproco con f (x)  x m H 0 y f 9(x)  mx m−1 (esto último por la regla de la

potencia con exponente entero positivo). Esto da   1 Dx (x m ) mx m−1 = − = − = (−m)x −m−1 = nx n−1 . Dx x n = Dx 2 2m m xm x (x ) Y así se establece que la regla del teorema 5 se cumple precisamente dónde la función X que se quiere derivar está definida, es decir, cuando x H 0. EJEMPLO 8  4    5x − 6x + 7 = Dx 52 x 2 − 3x −1 + 72 x −2 Dx 2 2x = 52 (2x) − 3(−x −2 ) + 72 (−2x −3 ) = 5x +

3 7 − 3. 2 x x

La clave en este caso fue “dividir” antes de derivar.

Z

Ahora aplicamos la regla del producto y la regla del recíproco para obtener la regla de la derivación del cociente de dos funciones.

TEOREMA 6 Regla del cociente Si f y g son derivables en x y g(x) H 0, entonces fyg es derivable en x y F .X/G.X/ F .X/G .X/ F .X/ $X H : G.X/ TG.X/U



Con u  f (x) y v  g(x), esta regla toma la forma DG DU U G D U H DX  DX  DX G G Si está claro cuál es la variable independiente, podemos escribir la regla del cociente en la forma U G UG U H :  G G Demostración Se aplica la regla del producto a la factorización 1 f (x) = f (x) · . g(x) g(x)

Esto da Dx



   1 f (x) 1 = [Dx f (x)] · + f (x) · Dx g(x) g(x) g(x)   f  (x) g  (x) f  (x)g(x) − f (x)g  (x) = . + f (x) · − = g(x) [g(x)]2 [g(x)]2

X

SECCIÓN 3.2

Reglas básicas de derivación

127

Observe que el numerador en la ecuación (18) no es la derivada del producto de f y g. El signo menos significa que el orden de los términos en el numerador es importante. EJEMPLO 9

Encuentre z 9(t)  dzydt si z está dada por z=

2

Solución Aquí, las primas denotan derivadas respecto a t. Con t (en lugar de x) como variable independiente, la regla del cociente da

1

(1 − t 3 ) (1 + t 4 ) − (1 − t 3 )(1 + t 4 ) dz = dt (1 + t 4 )2

z(t) z

0 −1 −2 −5

1 − t3 . 1 + t4

=

z'(t)

0 t

FIGURA 3.2.4 Gráfica de la función z(t) del ejemplo 9 y su derivada z 9(t).

5

(−3t 2 )(1 + t 4 ) − (1 − t 3 )(4t 3 ) t 6 − 4t 3 − 3t 2 = . (1 + t 4 )2 (1 + t 4 )2

La figura 3.2.4 muestra las gráficas generadas en computadora de la función z(t) y su derivada z 9(t). Observe que z(t) es creciente en los intervalos donde z 9(t) es positiva y decreciente en los intervalos donde z 9(t) es negativa (lo que corrobora nuestro cálculo de la derivada). Una gráfica de computadora o calculadora de una función y su supuesZ ta derivada suele revelar un error si ha habido alguno.

3.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si y  f (x), entonces tres notaciones aceptables para indicar la derivada de f son DY Y $X F .X/ F .X/ DX 3 2. Dx (x −3/2 ) = − x −1/2 . 2 3. Dx (16x 6 ) = 22x 5 . 4. Si f (x)  2x3 − 7x2 + 3x + 4, entonces f 9(x)  6x2 − 14x + 3 + 4. dy = 2x · (x 3 − 1) + 3x 2 · (x 2 + 1). 5. Si Y H Y.X/ H .X  C /
.X  / entonces dx 1 − t3 6. Si z = z(t) = , entonces 1 + t4 dz (−3t 2 ) · (1 + t 4 ) − (1 − t 3 ) · (4t 3 ) = . dt (1 + t 4 )2 7. Si Dx (sen x)  cos x, entonces Dz (sen z)  cos z. 8. Si Dx (sen x)  cos x, entonces Dx (x sen x)  x cos x + sen x. SEN X 9. Si Dx (sen x)  cos x, entonces $X H  X 10. Si u y v son funciones derivables de x, entonces la afirmación du dv d(u + v) = + dx dx dx es correcta en términos tanto matemáticos como de notación.

3.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Los teoremas 2 y 5 en esta sección implican que la regla de la potencia Dx x n = nx n−1 se cumple siempre que el entero n sea diferente de cero. ¿Se cumple también si n  0? ¿Puede pensar en una función algebraica sencilla cuya derivada sea una constante diferente de cero y múltiplo de 1yx ?

128 CAPÍTULO 3

La derivada

2. Pareciera que el ejemplo 1 y el análisis anterior implican que la regla de la potencia se cumple en la forma muy general D[lo que sea]n  n[lo que sea]n−1; más precisamente Dx[ f (x)]n  n[ f (x)]n−1. ¿Es esto falso o verdadero? Cuando enfrenta una pregunta como ésta, no sólo responda. ¡Verifíque su respuesta! Pruebe la conjetura con opciones específicas para n y f (x); quizá n  7 y f (x)  x11. ¿Cuáles son las opciones más sencillas que puede usar para resolver este asunto?

3.2 PROBLEMAS Aplique las reglas de derivación de esta sección para encontrar las derivadas de las funciones en los problemas 1 a 40. 1. f (x) = 3x 2 − x + 5

2. g(t) = 1 − 3t 2 − 2t 4

3. f (x) = (2x + 3)(3x − 2)

4. g(x) = (2x 2 − 1)(x 3 + 2)

6. g(t) = (4t − 7)2 1 f (y) = y(2y − 1)(2y + 1) 8. f (x) = 4x 4 − 2 x 1 1 1 − 10. f (t) = g(x) = x +1 x −1 4 − t2 3 1 h(x) = 2 12. f (x) = 2 x +x +1 1− x g(t) = (t 2 + 1)(t 3 + t 2 + 1)

5. h(x) = (x + 1)3 7. 9. 11. 13.

14. f (x) = (2x 3 − 3)(17x 4 − 6x + 2) 1 1 − 2 15. g(z) = 2z 3z 2x 3 − 3x 2 + 4x − 5 16. f (x) = x2 2 17. g(y) = 2y(3y − 1)(y 2 + 2y + 3) x −4 x2 + 4 t −1 g(t) = 2 t + 2t + 1 1 u(x) = (x + 2)2 1 v(t) = (t − 1)3 2x 3 + x 2 − 3x + 17 h(x) = 2x − 5 3x g(x) = 3 x + 7x − 5 1 f (t) =   1 2 t+ t 2 1 − 2 x x g(x) = 2 3 − 4 3 x x 1 3 x − 2 x +1 f (x) = 1 4 x + 2 x +1 h(x) = x 3 − 6x 5 + 32 x −4 + 12

18. f (x) = 19. 20. 21. 22. 23. 24.

25.

26.

27.

28. x(t) =

2

4 3 − 2 −5 t t

29. y(x) =

5 − 4x 2 + x 5 x3

31. y(x) = 3x −

1 4x 2

33. y(x) =

x x +1 + x −1 3x

35. y(x) =

x 3 − 4x + 5 x2 + 9

37. y(x) =

39. y(x) =

30. u(x) =

2x − 3x 2 + 2x 4 5x 2

32. f (z) =

1 z(z 2 + 2z + 2)

1 1 − 4t −2   3 36. w(z) = z 2 2z 3 − 4 4z 34. u(t) =

2x 2

38. z(t) =

4 3x − 4 5x x2 x +1

4 (t 2 − 3)2

40. h(w) =

w + 10 w2

En los problemas 41 a 50, escriba una ecuación de la recta tangente a la curva y  f (x) en el punto P sobre la curva dado. Exprese la respuesta en la forma ax + by  c. 41. y = x 3 ; P(2, 8) 43. y =

42. y = 3x 2 − 4; P(1, −1)

1 ; P(2, 1) x −1

44. y = 2x −

1 ; P(0.5, −1) x

45. y = x 3 + 3x 2 − 4x − 5; P(1, −5)  46. y =

1 1 − 2 x x

−1 ; P(2, 4)

47. y =

3 4 − 3 ; P(−1, 7) x2 x

48. y =

3x − 2 ; P(2, 0.5) 3x + 2

49. y = 50. y =

x2

3x 2 ; P(−1, 3) +x +1

6 ; P(2, −2) 1 − x2

51. Aplique la fórmula en el ejemplo 5 para responder las siguientes dos preguntas. a) Si 1000 cm3 de agua a 0°C se calientan, inicialmente ¿se expanden o contraen? b) ¿Cuál es la tasa (en cm3/°C) a la que inicialmente se contrae o expande? 52. El peso de Susan en libras está dado por la fórmula W  (2 × 109)yR2, donde R es su distancia en millas al centro de la Tierra. ¿Cuál es la tasa de cambio de W respecto a R cuando R  3960 mi? Si Susan sube una montaña, comenzando en el nivel del mar, ¿a qué tasa en onzas por milla (vertical) decrece inicialmente su peso?

SECCIÓN 3.2

53. El tanque cónico mostrado en la figura 3.2.5 tiene radio de 160 cm y altura de 800 cm. El agua corre hace afuera del tanque por un pequeño agujero en la punta del tanque. Cuando la altura del agua h en el tanque es 600 cm, ¿cuál es la tasa de cambio en su volumen V respecto a h?

Reglas básicas de derivación

129

62. a) Primero escriba u1u2u3u4  (u1u2u3)u4 para verificar la ecuación (16) para n  4. b) Después escriba u1u2u3u4u5  (u1u2u3u4)u5 y aplique el resultado del inciso a) para verificar la ecuación (16) para n  5. 63. Aplique la ecuación (16) para demostrar que Dx ([ f (x)]n ) = n[ f (x)]n−1 · f  (x)

120

si n es un entero positivo y f 9(x) existe. 64. Use el resultado del problema 63 para calcular Dx[(x2 + x + 1)100]. 65. Use el resultado del problema 63 para encontrar g9(x) dado g(x)  (x3 − 17x + 35)17. 66. Encuentre constantes a, b, c y d tales que la gráfica de f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

600

tiene rectas horizontales tangentes a los puntos (0, 1) y (1, 0). En relación con los problemas 67 a 71, las figuras 3.2.8 a 3.2.11 muestran las curvas y=

FIGURA 3.2.5 Tanque con fuga del problema 53.

para n  0, 1, 2 y 3.

54. Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la recta que es tangente a la curva y  x3 + x2 + x en el punto (1, 3) (figura 3.2.6). 20 10

(1, 5)

y 0

0

y = x3 (a, a3)

−4 −4

−2

0 x

2

0.4 y

4

FIGURA 3.2.6 Recta tangente del problema 54.

−2

−1

0 x

1

2

FIGURA 3.2.7 Recta tangente del problema 55.

55. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (1, 5) y es tangente a la curva y  x 3. [Sugerencia: denote por (a, a3 ) el punto de tangencia, como se indica en la figura 3.2.7. Encuentre por inspección pequeñas soluciones enteras de la ecuación cúbica obtenida en a.] 56. Encuentre dos rectas que pasan por el punto (2, 8) que sean tangentes a la curva y  x 3. [Vea la sugerencia para el problema 55.] 57. Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la curva y  x 2 en dos puntos diferentes. 58. Encuentre dos rectas con pendiente −2 que sean tangentes a la curva y  1yx. ≥ 2 un entero fijo pero no especificado. Encuentre la 59. Sea n − intersección con el eje x de la recta que es tangente a la curva y  x n en el punto P(x0 , y0 ). 60. Demuestre que la curva y  x 5 + 2x no tiene tangentes horizontales. ¿Cuál es la pendiente más pequeña que puede tener una recta tangente a esta curva? 61. Aplique la ecuación (16) con n  3 y u1  u2  u3  f (x) para demostrar que Dx ([ f (x)]3 ) = 3[ f (x)]2 · f  (x).

0

−0.8

−2 −2

−1

0 x

−4

2

1

FIGURA 3.2.8 Gráfica de 1 y= . 1 + x2

−2

2 y = x2/(1 + x2)

1

y 0

−1

−1 −2

0 x

2

2

4

−2 −2

4

FIGURA 3.2.10 Gráfica de x2 y= . 1 + x2

y = x3/(1 + x2)

1

y 0

−4

0 x

FIGURA 3.2.9 Gráfica de x y= . 1 + x2

2

−2

y = x/(1 + x2)

−0.4

y

−10 −20

0.8

y = 1/(1 + x2)

1

−1

4

(1, 3)

2

y 0

8

y = x3 + x2 + x

xn 1 + x2

−1

0 x

1

2

FIGURA 3.2.11 Gráfica de x3 y= . 1 + x2

67. Demuestre que para n  0 y n  2, la curva tiene sólo un punto donde la recta tangente es horizontal (figuras 3.2.8 y 3.2.10). 68. Cuando n  1, existen dos puntos en la curva donde la recta tangente es horizontal (figura 3.2.9). Encuéntrelos. ≥ 3, (0, 0) es el único punto sobre la 69. Demuestre que para n − gráfica de xn 1 + x2 en el que la recta tangente es horizontal (figura 3.2.11). y=

130 CAPÍTULO 3

La derivada

70. La figura 3.2.12 muestra la gráfica de la derivada f 9(x) de la función f (x) =

x3 . 1 + x2

Parece que hay dos puntos en la gráfica de y  f (x) en los que la recta tangente tiene pendiente 1. Encuéntrelos. 71. Parece que en la figura 3.2.12 hay tres puntos en la curva de y  f 9(x) en los que la recta tangente es horizontal. Encuéntrelos. 1001

2

V = V(T)

y = Dxx3/(1 + x2) 1 V

y

1000 (Tm, Vm)

0

−1

−4

−2

0 x

2

FIGURA 3.2.12 Gráfica x3

de de y = Dx 1 + x2 los problemas 70 y 71.

4

999 0

5

V = 1000 V = Vm

10 T

15

mínimo Vm  V(Tm ) ocurre a una temperatura crítica Tm ≈ 4 (°C). Dado que la recta tangente a la gráfica de V es horizontal en el punto (Tm , Vm ) encuentre: a) los valores numéricos de Tm y Vm y b) la temperatura T1 ≈ 8 (°C) a la que el volumen de la muestra es exactamente 1000 cm3 de nuevo. Nota: debido a que el agua que está un poco más tibia que el punto de congelación de 0°C es un poco más densa que el agua a 0°C, el agua más tibia se va al fondo como en un lago que se enfría para congelarse. Pero el hielo es menos denso, de manera que flota en la superficie. En consecuencia, el hielo de la superficie atrapa el agua más tibia en el fondo del lago, que de otra manera se congelaría como un sólido. Este fenómeno es el causante de la supervivencia y evolución de las formas de vida que soportan el agua fría pero no el agua congelada. En los problemas 73 a 78, dibuje la gráfica de la función dada f y determine dónde es derivable. Recuerde la definición de derivadas de un lado en el problema 54 de la sección 3.1, igual que el hecho de que f  (a) existe si y sólo si f − (a) = f + (a).

20

FIGURA 3.2.13 Gráfica de temperatura-volumen del problema 72.

 F .X/ H jX  j  F .X/ H

 C X   C X X

 F .X/ H

72. Gran parte de la vida en la Tierra (como la conocemos) depende de manera crucial en la variación de la densidad del agua con la temperatura. Considere una muestra con volumen exacto de 1000 cm3 cuando se mide precisamente a 0°C. La figura 3.2.13 muestra una gráfica de su función de volumen V(T ) según la fórmula en el ejemplo 5. La sorpresa es que, cuando la temperatura aumenta, la muestra inicialmente se contrae en lugar de expandirse en volumen. Es evidente que un volumen

 F .X/ H

 F .X/ H

 F .X/ H X  C jX  j 

SI X < ; SI X





SI X < ;    SI X  X  SI X < ; X X SI X   . X/ X  X C 

SI X < ; SI X



3.3 REGLA DE LA CADENA En la sección 3.2 vimos cómo derivar potencias de variables independientes, pero con frecuencia necesitamos derivar potencias de funciones más generales (o incluso desconocidas). Por ejemplo, suponga que y  u3

(1)

donde u es a su vez una función de x. De este modo, la regla del producto extendido [ecuación (16) en la sección 3.2] lleva a dy = Dx u 3 = Dx (u · u · u) = u  · u · u + u · u  · u + u · u · u  dx

donde u9  duydx. Después de simplificar términos, encontramos que dy du = 3u 2 u  = 3u 2 . dx dx

(2)

¿Se sorprendió al ver que la derivada de u3 no es simplemente 3u2, lo que podría esperar en analogía con la fórmula correcta Dx x3  3x2? Hay un factor adicional duydx, cuya presencia parece más natural si derivamos y en la ecuación (1) respecto a u y escribimos dy = 3u 2 . du

SECCIÓN 3.3

Regla de la cadena

131

Así, la fórmula de la derivada en (2) toma la forma DY DY DU H
: DX DU D X



La ecuación (3), la regla de la cadena, se cumple para cualesquiera dos funciones derivables y  f (u) y u  g(x). La fórmula en la ecuación (2) es sencillamente el caso especial de (3) con f (u)  u 3. EJEMPLO 1

Si y = (3x 2 + 5)17 ,

tal vez no sea práctico escribir la expansión binomial de la potencia 17 de 3x 2 + 5 antes de derivar. El comando Expand en un sistema algebraico de computadora típico proporciona un polinomio en x que tiene 18 términos, algunos de los cuales tienen coeficientes de 15 dígitos: (3x 2 + 5)17 = 762939453125 + 7781982421875x 2 + · · · + 186911613281250x 18 + · · · + 129140163x 34 .

(Cada elipsis sustituye siete términos omitidos.) Pero si sencillamente escribimos Y H U 

U H X  C ;

CON

ENTONCES DY H U  DU

Y

DU H X: DX

Por lo tanto, la regla de la cadena lleva a dy dy du = · = 17u 16 · 6x dx du d x = 17(3x 2 + 5)16 · 6x = 102x(3x 2 + 5)16 .

Z

La fórmula en (3) es tal que, una vez aprendida, es poco probable que se olvide. Aunque dyydu y duydx no son fracciones —son sólo símbolos que representan las derivadas f 9(u) y g9(x)— es casi como si fueran fracciones, donde du en el primer factor cancela du en el segundo factor: DY DU DY DY DU
H H :
DU D X DX DU D X

;_CANCELACI˜NINVÖLIDA
=

Pero debe darse cuenta que esta “cancelación” no prueba la regla de cadena más que si cancelamos las dos copias del símbolo d y probaría que DY Y DY H H : DX X DX XBARRILESDEPETR˜LEO 0ROCESO ULITROSDEGASOLINA 0ROCESO YGRAMOSDEPETROQU¤MICOS

FIGURA 3.3.1 Refinería de dos procesos (ejemplo 2).

;_UNDISPARATE
=

De cualquier modo, es una excelente manera de recordar la regla de la cadena. Estas manipulaciones con las diferenciales son tan sugerentes (aun cuando no sean válidas) que jugaron un papel importante en los primeros desarrollos del cálculo en los siglos xvii y xviii. Muchas fórmulas se produjeron así (y más tarde se demostró que eran válidas), lo mismo que muchas otras incorrectas. EJEMPLO 2 Para dar una interpretación física de la regla de la cadena, imagine una refinería que primero produce u litros de gasolina a partir de x barriles de petróleo. Después, en un segundo proceso, la refinería fabrica y gramos de petroquímicos comerciales a partir de u litros de gasolina. (Los dos procesos se ilustran en la figura 3.3.1.) Entonces y es una función de u y u es una función de x, de manera que el

132 CAPÍTULO 3

La derivada

producto final y también es una función de la entrada x. Considere las unidades en las que se miden las derivadas de estas funciones. DY G V DU ,

GRAMOSDEPETROQU¤MICO PORLITRODEGASOLINA

, DU V D X BARRIL

LITROSDEGASOLINA PORBARRILDEPETR˜LEO

G DY V D X BARRIL

GRAMOSDEPETROQU¤MICO PORBARRILDEPETR˜LEO

Cuando incluimos las unidades en la ecuación de la regla de la cadena DY DU DY H
; DX DU D X OBTENEMOS DY G H D X BARRIL

DY G
DU , =

= DU , D X BARRIL

H

DY DU
DU D X

G : BARRIL

La cancelación de unidades a la mano parece confirmar la validez de la regla de la cadena (al menos en esta aplicación). Por ejemplo, si obtenemos 3 g de petroquímico por litro de gasolina y 75 L de gasolina por barril de petróleo, ¿cómo podríamos dejar Z de obtener 225  3 · 75 g de petroquímico por barril de petróleo?

La regla de la cadena en notación de funciones Aunque la ecuación (3) es una afirmación memorable de la regla de la cadena en notación diferencial, tiene la desventaja de no especificar los valores de las variables en las que se evalúa la derivada. Este problema se resuelve usando la notación de funciones para las derivadas. Escribimos y = f (u),

u = g(x)

y = h(x) = f (g(x)).

Entonces du = g  (x), dx

dy = h  (x), dx

y dy = f  (u) = f  (g(x)). du

Al sustituir estas derivadas en la fórmula de la regla de la cadena dy du dy = · dx du d x

(3)

H .X/ H F .G.X//
G .X/:



se reescribe en la forma

Esta versión de la regla de la cadena da la derivada de la composición h  f g definida en términos de sus derivadas.

TEOREMA 1 Regla de la cadena Suponga que g es derivable en x y que f es derivable en g(x). Así, la composición h  f g definida por h(x)  f (g(x)) es derivable en x y su derivada es H .X/ H F .G/X//
G .X/: 

SECCIÓN 3.3

Regla de la cadena

133

OBSERVACIÓN La regla de la cadena en (4) muestra que la derivada de la composición h  f g es un producto de las derivadas de f y g. Note, sin embargo, que estas dos derivadas se evalúan en puntos diferentes. La derivada g9 de la función interior se evalúa en x, mientras que la derivada f 9 de la función exterior se evalúa en g(x) (y no en el mismo punto x).

EJEMPLO 3 En el ejemplo 1 se aplicó la forma diferencial de la regla de la cadena para derivar la función h(x)  (3x 2 + 5)17. Para aplicar la forma funcional de la regla de la cadena en (4), primero debemos identificar la función exterior f (x)  x17,

f 9(x)  17x16,

para la cual

y su función interior g(x)  3x 2 + 5,

g9(x)  6x.

para la cual

Por lo tanto, h  (x) = f  (g(x)) · g  (x) = f  (3x 2 + 5) · (3x 2 + 5) = 17(3x 2 + 5)16 · 6x = 102x(3x 2 + 5)16 .

Z

Demostración de la regla de la cadena Para describir la demostración de la regla de la cadena, suponga que nos dan una función derivable y  f (u) y u  g(x), y queremos calcular la derivada DY H L¤M X! DX

Y F .G.X C H L¤M X! X

X// F .G.X// : X



La forma diferencial de la regla de la cadena sugiere la factorización y u y = x u x

(6)

donde u = g(x + x) − g(x) y y = f (u + u) − f (u).

Para x fija, la factorización en la ecuación (6) es válida si g9(x) H 0, porque G .X/ H

DU H L¤M X! DX

U X



implica que u H 0 si x H 0 es suficientemente pequeña; si es así, entonces u  (uyx). x es el producto de números diferentes de cero. Pero el hecho de que g sea derivable, y por lo tanto continua, en el punto x (vea el teorema 2 de la sección 3.4) implica que U H G.X C X/ G.X/ !  CUANDO X ! : La ley de límites para el producto da DY H L¤M X! DX

Y
U

U X

H

L¤M

U!

Y U




L¤M

X!

U X

H

DY DU
: DU D X

Con esto demostramos que Dx [ f (g(x))]  f 9(g(x)) · g9(x) en cualquier punto x en el que g9(x) H 0. Pero si g9(x) H 0, entonces es absolutamente posible que u sea cero para alguno o todos los valores diferentes de cero de x al acercarse a cero, en cuyo caso la factorización en (6) no es válida. Así, nuestra prueba de la regla de la cadena está incompleta. En la sección 4.2 se da una demostración que no requiere la suposición de que g9(x) H 0.

134 CAPÍTULO 3

La derivada

Regla de la potencia generalizada Si sustituimos g(x)  u y g9(x)  duydx en la ecuación (4) con h9(x)  Dx f (g(x))  Dx f (u), obtenemos la forma híbrida $X T F .U/U H F .U/


DU DX



de la regla de la cadena que con frecuencia es la forma más útil para realizar los cálculos. Recuerde que el subíndice x en Dx especifica que la derivada de f (u) se toma respecto a x, no respecto a u. Establecemos f (u)  u n en la ecuación (7), donde n es un entero. Como f 9(u)  n−1 nu , obtenemos $X U N H NU N

DU ; DX



la versión de la regla de la cadena de la regla de potencia. Dado que u  g(x) es una función derivable, la ecuación (8) implica que $X TG.X/UN H NTG.X/UN
$X TG.X/U:



[Si n − 1 < 0, debemos agregar la condición de que g(x) H 0 para que el lado derecho de la ecuación (9) tenga sentido.] Nos referimos a esta versión de la regla de la cadena de la regla de potencia como la regla de la potencia generalizada. OBSERVACIÓN Podemos interpretar la forma del operador en (9) como la descripción del procedimiento de la regla de la cadena en el que trabajamos de afuera hacia adentro, derivando primero la función exterior y luego la interior. Este procedimiento afuera-adentro se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4

Para derivar y=

(2x 3

1 , − x + 7)2

primero escribimos y = (2x 3 − x + 7)−2

para aplicar la regla de potencia generalizada, ecuación (9), con n  −2. Esto da DY H ./.X  X C /
$X .X  X C / DX DERIVADADELA FUNCI˜NEXTERIOR

H ./.X  X C /
.X  / H

. X  / : .X  X C /

DERIVADADELA FUNCI˜NINTERIOR

EJEMPLO 5

Z

Encuentre la derivada de la función   z−1 5 h(z) = . z+1

Solución La clave para aplicar la regla de potencia generalizada es observar de qué es una potencia la función dada. En este caso h(z)  u5,

donde

UH

Z ; ZC

SECCIÓN 3.3

Regla de la cadena

135

y z, no x, es la variable independiente. Así, aplicamos primero la ecuación (8) y luego la regla del cociente para obtener     z−1 z−1 4  4 du Dz =5 h (z) = 5u dz z+1 z+1   z − 1 4 (1)(z + 1) − (z − 1)(1) · =5 z+1 (z + 1)2   z−1 4 2 10(z − 1)4 =5 · = . Z z+1 (z + 1)2 (z + 1)6 La importancia de la regla de la cadena va más allá de la derivación de una función de potencia ilustrada en los ejemplos 1, 4 y 5. En secciones posteriores aprenderemos cómo derivar las funciones exponencial, logarítmica y las trigonométricas. Cada vez que aprendemos una nueva fórmula de derivación —para la derivada f 9(x) de una nueva función f (x)— la fórmula en la ecuación (7) proporciona de inmediato la versión de la regla de la cadena de esa fórmula. $X F .U/ H F .U/$X U:

El paso de la regla de potencia Dx x n  nx n−1 a la regla de potencia generalizada Dx u n  nu n−1 Dxu es nuestro primer caso de este fenómeno general.

Aplicaciones de la tasa de cambio Suponga que la cantidad física o geométrica p depende de la cantidad q, que a su vez depende del tiempo t. De esta forma, la variable dependiente p es una función de ambas, la variable intermedia q y la variable independiente t. Así, las derivadas que aparecen en la fórmula de la regla de la cadena d p dq dp = dt dq dt

son tasas de cambio (igual que en la sección 3.1) de estas variables una respecto a otra. Por ejemplo, suponga que se infla y desinfla un globo esférico. Así, su volumen V y su radio r cambian con el tiempo t, y d V dr dV = . dt dr dt r

Recuerde que una derivada positiva indica una cantidad creciente y una derivada negativa indica una cantidad decreciente.

FIGURA 3.3.2 Globo esférico con volumen V = 43 πr 3 .

EJEMPLO 6 Un globo esférico se infla y desinfla (figura 3.3.2). El radio r del globo aumenta a una tasa de 0.2 cm/s cuando r  5 cm. ¿A qué tasa está aumentando el volumen V del globo en ese instante?

Solución Dado drydt  0.2 cm/s cuando r  5 cm, queremos encontrar d Vydt en ese instante. Debido a que el volumen del globo es V = 43 πr 3 ,

se ve que d Vydr  4πr 2. Por lo tanto, la regla de la cadena da dV dr d V dr = · = 4πr 2 = 4π(5)2 (0.2) ≈ 62.83 dt dr dt dt

en el instante en que r  5 cm.

(cm3 /s) Z

136 CAPÍTULO 3

La derivada

En el ejemplo 6 no fue necesario conocer r en forma explícita como una función de t. Pero suponga que nos dicen que después de t segundos, el radio (en centímetros) de un globo que se infla es r  3 + (0.2) t (hasta que el globo reviente). De esta forma, el volumen de este globo es   t 3 4 4 , V = πr 3 = π 3 + 3 3 5 de manera que d Vyd t está dado en forma explícita como una función de t por      4 t 2 1 4 t 2 dV = π(3) 3 + = π 3+ . dt 3 5 5 5 5 EJEMPLO 7 Imagine una gota de lluvia esférica que cae a través del vapor en el aire. Suponga que el vapor se adhiere a la superficie de la gota de tal manera que la tasa de tiempo de la masa aumentada M de la gota es proporcional al área de la superficie S en la gota. Si el radio inicial de la gota es, de hecho, cero y es r  1 mm después de 20 s, ¿cuándo se tiene un radio de 3mm?

Solución Sabemos que dM = k S, dt donde k es alguna constante que depende las condiciones atmosféricas. Ahora - H  R 

Y

(10)

3 H R  ;

donde ρ denota la densidad del agua. La sustitución de la regla de la cadena da como resultado   d 43 πρr 3 dr dM dr d M dr = · = · = 4πρr 2 · dt dr dt dr dt dt y k S  k · 4πr 2 en la ecuación (10) lleva a R 

DR H  KR  ; DT

DEMANERAQUE

DR K H ; DT  una constante. Así, el radio de la gota crece a una tasa constante. Si toma 20 s para que Z r crezca a 1 mm, tomará 1 min que crezca a 3 mm.

3.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La regla de la cadena expresa en la forma du dv du = · . dt dv dt 2. La regla de la cadena expresa en la forma Dx [ f (g(x))] = f  (g(x)) · g  (x). 3. La regla de la potencia generalizada establece que Dx [ f (x)]m = m[ f (x)]m−1 · f  (x) si m es un entero y el lado derecho en la última ecuación está definido. 4. De acuerdo con la regla de la potencia generalizada, $X .X C / H .X C /  5. Si h = f ◦ g, entonces h  (x) = f  (g(x)) · g  (x). DY 6. Si Y H Y.X/H .X  X C / entonces H./.X X C /
.X / DX       x −1 4 x −1 x −1 5  · Dx . , entonces h (x) = 5 7. Si h(x) = x +1 x +1 x +1

SECCIÓN 3.3

Regla de la cadena

137

8. Dado: Dx (sen x)  cos x, entonces Dx (sen x)5  5(sen x)4 cos x. 9. Dado: Dx (sen x)  cos x, entonces Dx [sen(x5)]  5x4 cos(x5). du 10. Si u = u(x) = (x 3 + x 2 )7 entonces = 7(3x 2 + 2x)6 . dx

3.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Como participante en un programa de concursos de matemáticas, se le pide que calcule el valor F9(7) para la composición F  f  g. No conoce las funciones f y g, pero puede hacer exactamente tres preguntas referentes a los valores numéricos de esas funciones y/o sus derivadas en puntos específicos. ¿Cuáles son las tres preguntas que debe hacer? 2. Escriba la fórmula de la regla de la cadena en la forma de notación de funciones en el problema 63 para la composición F  f  g  h de tres funciones. ¿Qué datos numéricos se necesitan ahora para calcular el valor numérico de F9(7)?

3.3 PROBLEMAS Encuentre dyydx en los problemas 1 a 12. 1. y = (3x + 4)5 2. y = (2 − 5x)3 1 1 4. y = 3. y = 3x − 2 (2x + 1)3 5. y = (x 2 + 3x + 4)3 6. y = (7 − 2x 3 )−4 4 7 7. y = (2 − x) (3 + x) 8. y = (x + x 2 )5 (1 + x 3 )2 x +2 (1 − x 2 )3 9. y = 10. y = 3 (3x − 4) (4 + 5x + 6x 2 )2 3 4 11. y = [1 + (1 + x) ] 12. y = [x + (x + x 2 )−3 ]−5 En los problemas 13 a 20, exprese la derivada dyydx en términos de x sin rescribir primero y como función de x.   Y H .U C / Y UH  X    Y H Y U H X C   U U U H .X /  Y H . C U  / Y   Y H U  Y UH X   UH   Y H U. U/ Y X X U Y UH  Y H UC X C  UH   Y H U  .U U  / Y X U   Y H Y UHX  X .U C / En los problemas 21 a 26, identifique una función u de x, y un entero n 1 tal que f (x)  u n. Después calcule f 9(x). 1 21. f (x) = (2x − x 2 )3 22. f (x) = 2 + 5x 3 1 23. f (x) = 24. f (x) = (x 2 − 4x + 1)3 (1 − x 2 )4   x +1 7 (x 2 + x + 1)4 25. f (x) = 26. f (x) = x −1 (x + 1)4 Obtenga la derivada de las funciones dadas en los problemas 27 a 36.

27. g(y) = y + (2y − 3)5   1 3 29. F(s) = s − 2 s   1 2 2 30. G(t) = t + 1 + t

28. h(z) = z 2 (z 2 + 4)3

31. f (u) = (1 + u)3 (1 + u 2 )4 32. g(w) = (w2 − 3w + 4)(w + 4)5   −2  1 −1 33. h(v) = v − 1 − v   1 1 1 −4 + 2 + 3 34. p(t) = t t t 1 35. F(z) = (3 − 4z + 5z 5 )10 36. G(x) = {1 + [x + (x 2 + x 3 )4 ]5 }6

En los problemas 37 a 44, se puede encontrar dyydx de dos maneras: mediante la regla de la cadena, y otra sin usarla. Utilice ambas técnicas para encontrar dyydx y luego compare los resultados (¡deben ser iguales!).  −1 1 3 4 12 37. y = (x ) = x 38. y = x = x 39. y = (x 2 − 1)2 = x 4 − 2x 2 + 1 40. y = (1 − x)3 = 1 − 3x + 3x 2 − x 3 41. y = (x + 1)4 = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 1 42. y = (x + 1)−2 = 2 x + 2x + 1 1 43. y = (x 2 + 1)−1 = 2 x +1 44. y = (x 2 + 1)2 = (x 2 + 1)(x 2 + 1)

Veremos en la sección 3.7 que Dx [sen x]  cos x (siempre que x esté medido en radianes). Use este hecho y la regla de la cadena para encontrar las derivadas de las funciones en los problemas 45 a 48.  F .X/ H SEN.X  /  G.T/ H .SEN T/  G.Z/ H .SEN Z/

 K.U/ H SEN. C SEN U/

138 CAPÍTULO 3

La derivada

49. Una piedra que se lanza a un lago crea una onda circular que se expande (figura 3.3.3). Suponga que el radio del círculo crece a una tasa de 2 in/s. ¿A qué tasa está aumentando su área cuando el radio es 10 in?

FIGURA 3.3.3 Onda circular que se expande en el lago (problema 49).

50. El área de un círculo disminuye a una tasa de 2π cm2/s. ¿A qué tasa disminuye el radio del círculo cuando su área es 75π cm2? 51. Cada arista x de un cuadrado crece a una tasa de 2 in/s. ¿A qué tasa aumenta su área A cuando cada arista mide 10 in? 52. Cada lado de un triángulo equilátero crece a 2 cm/s (figura 3.3.4). ¿A qué tasa aumenta el área del triángulo cuando cada lado tiene 10 cm?

x

x h=?

1 x 2

1 x 2

FIGURA 3.3.4 Triángulo del problema 52 con área A = 12 xh.

53. Un bloque cúbico de hielo se derrite de tal manera que cada arista disminuye en forma estable 2 pulgadas cada hora. ¿A qué tasa está disminuyendo su volumen cuando cada arista mide 10 pulgadas? 54. Encuentre f 9(−1), dado que f (y)  h(g(y)), h(2)  55, g(−1)  2, h9(2)  −1 y g9(−1)  7. 55. Dados G(t)  f (h(t)), h(1)  4, f 9(4)  3 y h9(1)  −6, encuentre G9(1).

56. Suponga que f (0)  0 y que f 9(0)  1. Calcule la derivada de f ( f ( f (x))) en x  0. 57. Se está bombeando aire a un globo esférico de manera tal que el radio r crece a una tasa de drydt  1 cm/s. ¿Cuál es la tasa de incremento en el tiempo, en centímetros cúbicos por segundo, del volumen del globo cuando r  10 cm? 58. Suponga que el aire se bombea en el globo del problema 57 a una tasa constante de 200π cm3/s. ¿Cuál es la tasa de aumento en el tiempo del radio r cuando r  5 cm? 59. El aire se escapa de un globo esférico a una tasa constante de 300π cm3/s. ¿Cuál es el radio del globo cuando este radio disminuye a una tasa de 3 cm/s? 60. Una bola de granizo pierde masa al derretirse de manera uniforme en su superficie mientras cae. En cierto momento, su radio es 2 cm y su volumen disminuye a una tasa de 0.1 cm3/s. ¿Qué tan rápido decrece su radio en ese momento? 61. Una bola de nieve esférica se derrite de tal forma que la tasa de disminución de su volumen es proporcional al área de su superficie. A las 10 am su volumen es 500 in3 y a las 11 am es 250 in3. ¿Cuándo acaba de derretirse la bola de nieve? (Vea el ejemplo 7.) 62. Un bloque cúbico de hielo con aristas de 20 in de largo comienza a derretirse a las 8 am. En adelante, cada arista decrece a una tasa constante y cada una tiene 8 in de largo a las 4 pm. ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen del bloque a las 12 pm? 63. Suponga que u es una función de v, que v es una función de w, que w es una función de x, y que todas estas funciones son derivables. Explique por qué se deduce de la regla de la cadena que du dv dw du = · · . dx dv dw d x 64. Sea f una función derivable tal que f (1)  1. Si F(x) = f (x n ) y G(x) = [ f (x)]n (donde n es un entero fijo), demuestre que F (1)  G (1) y que F 9(1)  G9(1). Recuerde del ejemplo 13 de la sección 2.2 que √  1 Dx x = √ . 2 x Use (sólo) este hecho y la regla de la cadena para calcular la derivada de cada función dada en los problemas 65 a 68. √ 65. h(x) = x + 4 66. h(x) = x 3/2 √ 67. h(x) = (x 2 + 4)3/2 68. h(x) = |x| = x 2

3.4 DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS En la sección 3.3 vimos que la regla de la cadena lleva a la fórmula de derivación Dx u n = nu n−1

du dx

(1)

si u  f (x) es una función derivable y el exponente n es un entero. Veremos en el teorema 1 de esta sección que la regla de la potencia generalizada se cumple no sólo cuando el exponente es un entero, sino también cuando es un número racional r  pyq (donde p y q son enteros y q H 0). Recuerde que las potencias racionales están definidas en términos de raíces enteras y potencias como sigue: √ √ p q u p/q = u p = q u .

SECCIÓN 3.4

Derivadas de funciones algebraicas

139

Considere primero el caso de una potencia racional de la variable independiente x: y  x pyq,

(2)

donde p y q son enteros con q positivo. En los√problemas 72 a 75 se ilustra la prueba de que la derivada de la función raíz f (x) = q x está dada por   1 1 Dx x 1/q = x (1/q)−1 = x −(q−1)/q q q

(3)

para x > 0; en esencia, la misma prueba funciona para x < 0 si q es impar (de manera que no se tenga una raíz de un número negativo). De este modo, la regla de la potencia —que se estableció en la sección 3.2 sólo para exponentes enteros— también se cumple si el exponente de x es el recíproco de un entero positivo. En consecuencia, se aplica la ecuación (1) con n  p y u  x1yq para derivar la potencia racional de x en (2):   p Dx x p/q = Dx x 1/q   p−1   = p x 1/q · Dx x 1/q  p−1 1 (1/q)−1  = p x 1/q · x q p ( p/q)−(1/q)+(1/q)−1 = x ; q

por lo tanto,  p Dx x p/q = x ( p/q)−1 . q

Así, se ha demostrado que la regla de la potencia $X X R H R X R 



se cumple si el exponente r  pyq es un número racional (sujeto a las condiciones establecidas antes). Al usar la ecuación (4) podemos derivar una función “radical” sencilla (o “raíz”) rescribiéndola primero como una potencia con exponente fraccionario. EJEMPLO √ 1  1 1 a) Dx x = Dx x 1/2 = x −1/2 = √ . 2 2 x √ 3√ dy 3 1/2 x. = x = b) Si y = x 3 , entonces dx 2 2 1 2 2 c) Si g(t) = √ = t −2/3 , entonces g  (t) = − t −5/3 = − √ Z . 3 2 3 5 3 t 3 t ≥ 0 para que OBSERVACIÓN En los incisos a) y b) del ejemplo 1 es necesario que x −  x esté definida. En el inciso a) también es necesario que x H 0; si x  0, entonces la fórmula

2 y' =

y

1 2 x

1

y=

x

Dx 0

0

0.5

1 x

1.5

FIGURA 3.4.1 Gráficas de √ 1 f (x) = x y f  (x) = √ . 2 x

2

√ 1 x = √ 2 x

tendría una división entre cero. La figura 3.4.1 muestra las gráficas de la función √ f (x)   x y su derivada f  (x) = 1/(2 x) para x > 0. Observe que f  (x) → ∞ cuanx no es derivable en x  0. do x → 0+, lo que resalta más el hecho de que f (x)  

140

CAPÍTULO 3

La derivada

Regla de la potencia generalizada Para contar con una forma más general de la regla de la potencia, sea y  ur donde u es una función derivable de x y r  pyq es racional. Así, dy = r u r −1 du

por la ecuación (4), entonces la regla de la cadena da dy du dy du = · = r u r −1 . dx du d x dx

Así, $X U R H R U R 

DU ; DX



que es la regla de la potencia generalizada para exponentes racionales.

TEOREMA 1 Regla de la potencia generalizada Si r es un número racional, entonces $X T F .X/UR H R T F .X/UR 
F .X/ siempre que la función f sea derivable y el lado derecho esté definido.

Que el lado derecho de la ecuación (6) esté “definido” significa que f 9(x) existe, no hay división entre cero y no aparece una raíz par de un número negativo.

3

y = 4 − x2

2

EJEMPLO 2 Dx

1



−2 −3 −3

 4 − x 2 = Dx (4 − x 2 )1/2 = 12 (4 − x 2 )−1/2 · Dx (4 − x 2 ) = 12 (4 − x 2 )−1/2 · (−2x);

y 0 −1



y' = −

−2

x 4 − x2 −1

Dx 0 x

1

FIGURAp 3.4.2 Gráficas de F .X/ H  X  Y X F .X/ H p   X

2

3



x 4 − x2 = −√ 4 − x2

(7)

excepto en x  ±2 (división entre cero) o cuando |x | > 2 (raíz cuadrada de un número negativo). De esta forma, la ecuación (7) se cumple si −2 < x < 2. Al escribir las derivadas de funciones algebraicas, es común omitir estas limitaciones a menos que sean pertinentes por algún propósito específico. Pero observe en la figura 3.4.2 que √ si f (x) = 4 − x 2 entonces f 9(x) → +∞ cuando x → −2+ y f 9(x) → − ∞ cuando Z x → +2−. Una plantilla para la aplicación de la regla de la potencia generalizada es Dx ([∗ ∗ ∗]n ) = n[∗ ∗ ∗]n−1 Dx [∗ ∗ ∗],

donde ∗ ∗ ∗ representa una función de x y (como sabemos) n puede ser un entero o una fracción (cociente de enteros). Pero para derivar la potencia de una función, debemos reconocer primero qué función está elevada a qué potencia. De manera que para derivar una función que contiene raíces (o radicales), primero se “prepara” para aplicar la regla de la cadena generalizada rescribiéndola como una función de potencia con exponente fraccionario. Los ejemplos 3, 5 y 6 ilustran esta técnica. EJEMPLO 3

p  Si Y H  X  p ENTONCES  X Y H X = X = ;

SECCIÓN 3.4

Derivadas de funciones algebraicas

de manera que     1 −4/3 15 1/2 2 −4/3 15 √ 3 1/2 2 dy −2· − x = =5· x x + x = x+ √ . 3 4 dx 2 3 2 3 2 3 x EJEMPLO 4

141

Z

Con f (x)  3 − 5x y r  7, la regla de la potencia generalizada lleva a Dx [(3 − 5x)7 ] = 7(3 − 5x)6 Dx (3 − 5x) = 7(3 − 5x)6 (−5) = −35(3 − 5x)6 .

EJEMPLO 5

Z

Con f (x)  2x2 − 3x + 5 y r  12, la regla de la potencia generalizada da

Dx 2x 2 − 3x + 5 = Dx (2x 2 − 3x + 5)1/2 1 = (2x 2 − 3x + 5)−1/2 Dx (2x 2 − 3x + 5) 2 4x − 3 . = √ 2 2x 2 − 3x + 5

EJEMPLO 6

Si

Z

 10 3 x = 5t + (3t − 1)4

entonces la ecuación (5) con u  5t + (3t − 1)4y3 y con la variable independiente t se obtiene du dx = 10u 9 · dt dt  9  = 10 5t + (3t − 1)4/3 · Dt 5t + (3t − 1)4/3 9   = 10 5t + (3t − 1)4/3 · Dt (5t) + Dt (3t − 1)4/3 9   = 10 5t + (3t − 1)4/3 · 5 + 43 (3t − 1)1/3 · 3 ; 9   dx = 10 5t + (3t − 1)4/3 · 5 + 4(3t − 1)1/3 . Z dt El ejemplo 6 ilustra el hecho de que aplicamos la regla de la cadena (regla de la potencia generalizada) trabajando de afuera hacia adentro. En cada paso la derivada de la función exterior se multiplica por la derivada de la función interior. Continuamos hasta que no quede “función interior” sin derivar. ¿Le recuerda este proceso la acción de mondar una cebolla, una capa a la vez, hasta que llega al corazón?

Funciones derivables y rectas tangentes verticales Mientras los polinomios y las funciones racionales son tanto continuos como derivables donde están definidos, las funciones algebraicas simples pueden ser continuas en puntos donde sus derivadas no existen.

y

EJEMPLO 7

Si f (x) = |x| =

f (x) = |x |

x2

denota la función valor absoluto, entonces para x H 0 encontramos que x

FIGURA 3.4.3 Gráfica de f (x)  |x|.

√

X X  H F .X/ H $X .X  /= H  .X  /= .X/ H p H  C jXj X

SI X < ; SI X > :

Así, f es derivable en todos los puntos excepto tal vez en el origen x  0, De hecho, la gráfica de f (x)  | x | en la figura 3.4.3 deja claro que el cociente de diferencias jXj F .X/ F ./ H X  X

CAPÍTULO 3

142

La derivada

tiene límite por la izquierda igual a −1 y límite por la derecha igual a +1 en x  0. Así, la función valor absoluto no es derivable en el punto aislado x  0, donde la gráfica y  | x | tiene un “punto esquina” en lugar de una recta tangente. (¿Puede pensar en funZ ciones continuas cuyas gráficas tengan un número infinito de puntos esquina?) EJEMPLO 8

y

La figura 3.4.4 muestra la gráfica de la función raíz cúbica √ y = 3 x = x 1/3 ,

y = x1/3

e ilustra otra manera en la que una función puede no ser derivable en un punto aislado. Su derivada, 1 1 dy = x −2/3 = √ , 3 2 dx 3 3 x

x

crece sin límite cuando x → 0 pero no existe en x  0. Por lo tanto, la definición de recta tangente no es válida en esta gráfica en (0, 0). De cualquier manera, por la figura parece adecuado ver la recta vertical x  0 como la tangente a la curva y  x1y3 en el Z punto (0, 0).

FIGURA 3.4.4 Gráfica de la función raíz cúbica.

DEFINICIÓN Recta tangente vertical La curva y  f (x) tiene una recta tangente vertical en el punto (a, f (a)) siempre que f sea continua en a y F .X/ ! C1

y

( 12 , 12 ) y = x 1 − x2

(−1, 0)

(1, 0) x

(−

1 , 1 − ) 2 2



Así, la gráfica de la función continua f (x)  x1y3 del ejemplo 8 tiene una recta tangente vertical en el origen, aun cuando f no es derivable en x  0. Observe que el requisito de que f sea continua en x  a implica que f (a) debe estar definida. De este modo, no tendría sentido preguntar acerca de una recta tangente (vertical o no) a la curva y  1yx en x  0. Si f está definida (y es derivable) sólo en un lado de x  a, la ecuación (8) significa que | f 9(x)| → +∞ cuando x se acerca a a por ese lado. EJEMPLO 9

FIGURA 3.4.5 Gráfica de √ f (x) = x 1 − x 2 , −1  x  1 (ejemplo 9).

CUANDO X ! A:

Encuentre los puntos en la curva

y = f (x) = x 1 − x 2 , −1  x  1,

en los que la recta tangente es horizontal o vertical.

Solución cadena:

Derivamos usando primero la regla del producto y luego la regla de la x (1 − x 2 )−1/2 (−2x) 2 1 − 2x 2 . = (1 − x 2 )−1/2 [(1 − x 2 ) − x 2 ] = √ 1 − x2

f  (x) = (1 − x 2 )1/2 +

1.5 (0, 1)

1 y 0.5 0 −0.5 −2

−1

0 x

1

FIGURA √ 3.4.6 Gráfica de 5 y = 1 − x 2 con una cúspide en (0, 1).

2

Ahora f 9(x)  √ 0 sólo cuando el numerador 1−2x 2 es cero —es decir, cuando x  ±1/ —. = ±1/2, la curvap tiene una recta tangente horizontal en cada uno de Como f (±1/ 2) p los dos puntos .= ; =/ Y .= ; =/ √ También observamos que el denominador 1 − x 2 tiende a cero cuando x → + −1 y cuando x → +1−. Debido a que f (±1)  0, vemos que la curva tiene una recta tangente vertical en cada uno de los dos puntos (1, 0) y (−1, 0). La gráfica de f se Z muestra en la figura 3.4.5. √ 5 EJEMPLO 10 La figura 3.4.6 muestra la gráfica de la función f (x) = 1 − x 2 , que parece tener una “cúspide” pronunciada (en lugar de una esquina) en el punto (0, 1). Como el valor absoluto de la derivadae f  (x) = − 25 x −3/5 tiende a +∞ cuando x → 0, Z la curva y  f (x) tiene una recta tangente vertical en ese punto.

SECCIÓN 3.4

Derivadas de funciones algebraicas

143

Los ejemplos anteriores muestran que una función es continua sin ser derivable; el siguiente teorema dice que la función es continua siempre que sea derivable. Así, que una función sea derivable es una condición más fuerte que la continuidad.

TEOREMA 2 La derivación implica continuidad Suponga que una función f está definida en una vecindad de a. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. Demostración Dado que f 9(a) existe, la ley del producto de los límites da

L¤M T F .X/ F .A/U H L¤M .X A/


X!A

X!A

H L¤M .X A/ X!A

F .X/ F .A/ X A F .X/ F .A/ L¤M X!A X A

H 
F .A/ H :

Entonces L¤M F .X/ H F .A/ de manera que f es continua en a. X!A

X

3.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. p  3I F .X/ H X ENTONCES F .X/ H  X =   $X TX = U H  X = 

3. Suponga que r es un número racional y que f es una función derivable de x. Entonces Dx [ f (x)]r = r [ f (x)]r −1 · f  (x). √ 4. Dx 4 − x 2 = 12 (4 − x 2 )−1/2 . 5. Si f es continua en x  a y | f 9(x)| → +∞ cuando x → a, entonces la gráfica de f tiene una recta tangente vertical en el punto (a, f (a)). √ 6. Si f (x) = x 1 − x 2 , entonces la gráfica de f tiene rectas tangentes verticales en los dos puntos (1, 0) y (−1, 0). 7. Si f es continua en x  a, entonces f 9(a) existe. 8. Si f 9(a) existe, entonces f es continua en x  a. 9. Si g (x)  | x − 1|+2 entonces g es continua en todas partes pero no es derivable en un número infinito de puntos. 1 10. Si h(x) = , entonces la gráfica de h tiene una recta tangente vertical en (0, 0). x

3.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. a) ¿Puede definir una función que es continua en todas partes y tiene un “punto esquina” en cada punto entero x  n, pero es derivable en todos los otros puntos de la recta real? b) ¿Puede definir una función que es continua en todas partes y tiene una tangente vertical en cada punto entero x  n, pero es derivable en todos los otros puntos de la recta real? 2. Suponga que la función f tiene la siguiente propiedad: todo punto x en la recta real está en algún intervalo cerrado [a, b] donde la gráfica de f es una semicircunferencia que tiene este intervalo como diámetro. Dibuje una gráfica típica de esta función. Analice si f es continua y derivable. Nota: el conjunto de todos los puntos terminales de los intervalos cerrados mencionados puede (o no) ser el conjunto de todos los enteros en la recta real.

144 CAPÍTULO 3

La derivada

3. En la pregunta 2, pudo haber supuesto que cada punto terminal del intervalo [a, b] está exactamente en dos de las semicircunferencias, uno a la derecha y otro a la izquierda. ¿Puede pensar en una función g cuya gráfica consiste completamente en semicircunferencias, pero no satisface esta condición de “dos semicircunferencias”? Si es así, analice si g es derivable. Sugerencia: la construcción de g puede (o no) incluir el conjunto {1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . . } de recíprocos de los enteros positivos. 4. Suponga que la función f es continua en todas partes. ¿En cuántos puntos sospecha que f puede no ser derivable? ¿Cuál es la peor función de este tipo en la que puede pensar?

3.4 PROBLEMAS Obtenga la derivada de las funciones dadas en los problemas 1 a 44. √ √ 2 3 3 1. f (x) = 4 x 5 + √ 2. g(t) = 9 t 4 − √ 3 x t √ 1 4. h(z) = √ 3. f (x) = 2x + 1 3 7 − 6z 2 6−x 7 + 2u − 3u 4 5. f (x) = √ 6. φ(u) = √ 3 x u2 7. f (x) = (2x + 3)3/2

8. g(x) = (3x + 4)4/3

9. f (x) = (3 − 2x 2 )−3/2 √ 11. f (x) = x 3 + 1

10. f (y) = (4 − 3y 3 )−2/3 1 12. g(z) = 4 (z + 3)2 t 14. f (t) = √ 1 + t4  1 16. g(t) = 3t 5

√ 13. f (x) = 2x 2 + 1 15. f (t) =

√ 2t 3

17. f (x) = (2x 2 − x + 7)3/2 18. g(z) = (3z 2 − 4)97 1 19. g(x) = (x − 2x 3 )4/3 20. f (t) = [t 2 + (1 + t)4 ]5 √ 21. f (x) = x 1 − x 2  2x + 1 22. g(x) = x −1 t2 + 1 23. f (t) = t2 − 1   y + 1 17 24. h(y) = y−1   1 3 25. f (x) = x − x 26. g(z) = √ 27. 28. 29. 30.

z2

1 + z2 √ v+1 f (v) = v  5/3 x h(x) = 1 + x2 √ f (x) = 3 1 − x 2

√ g(x) = x + x

31. f (x) = x(3 − 4x)1/2

t − (1 + t 2 )1/2 t2 33. f (x) = (1 − x 2 )(2x + 4)1/3 32. g(t) =

34. f (x) = (1 − x)1/2 (2 − x)1/3   1 2 2 35. g(t) = 1 + (3t + 1)1/2 t 36. f (x) = x(1 + 2x + 3x 2 )10 37. f (x) =

2x − 1 (3x + 4)5

38. h(z) = (z − 1)4 (z + 1)6 39. f (x) =

(2x + 1)1/2 (3x + 4)1/3

40. f (x) = (1 − 3x 4 )5 (4 − x)1/3 √ √ 1+y+ 1−y

41. h(y) = 3 y5

√ 42. f (x) = 1 − 3 x

√ 43. g(t) = t + t + t  1 44. f (x) = x 3 1 − 2 x +1

Para cada curva dada en los problemas 45 a 50, encuentre todos los puntos en la gráfica donde la recta tangente es horizontal o vertical. √ 45. y = x 2/3 46. y = x 4 − x 2 47. y = x 1/2 − x 3/2 49. y = √

x 1 − x2

48. y = √

1

9 − x2

50. y = (1 − x 2 )(4 − x 2 )

En los problemas 51 a 56, escriba una ecuación para la recta tangente a la curva dada y  f (x) en el punto indicado P. Después ilustre su resultado con una calculadora graficadora o computadora, trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. p  Y H  X ENELPUNTO 0DONDE X H  p  Y H   X ENELPUNTO 0DONDE X H  p   Y H  X  ENELPUNTO 0DONDE X H  p  Y H   X ENELPUNTO 0DONDE X H  p  Y H X  X ENELPUNTO 0DONDE X H  p  Y H . X/ X ENELPUNTO 0DONDE X H 

SECCIÓN 3.4

En los problemas 57 a 62, dé la correspondencia entre la gráfica y  f (x) de una función y la gráfica y  f 9(x) de su derivada, entre las mostradas en las figuras 3.4.13a) a 3.4.13f ). 57. Figura 3.4.7

Derivadas de funciones algebraicas

2

2

1

1

y 0

y 0

−1

−1

58. Figura 3.4.8 2

2 y = x2/3 1

1

y 0

y 0

−1

−1

−2 −2

−2 −2

y = x1 /3

−2 −2

−1

0 x

1

−2 −2

2

FIGURA 3.4.13c)

−1

0 x

FIGURA 3.4.7 y = (problema 57).

1

2

−1

0 x

FIGURA 3.4.8 y = (problema 58).

x 2/3

59. Figura 3.4.9

1

2

y = 1 − x2/3

y 0

y 0

−1

−1 −1

0 x

1

2

−2 −2

−1

1

FIGURA 3.4.9 y = 1 − x 2/3 (problema 59).

√ FIGURA 3.4.10 y = x 2 − x (problema 60).

61. Figura 3.4.11

62. Figura 3.4.12

3

1

2

y 0 −1

−3 −2

−1

0 x

1

FIGURA 3.4.13e)

0 x

0 x

2

y 0

y=x 2−x

−1

2

2

−2

1

1

1

2

1

0 x

1

x 1/3

60. Figura 3.4.10

2

−1

FIGURA 3.4.13d)

3

−2 −2

145

2

1

−2 −2

2

−1

FIGURA 3.4.13f )

63. El periodo de oscilación P (en segundos) de un péndulo √ simple de longitud L (en pies) está dado por P = 2π L/g, 2 donde g  32 ft/s . Encuentre la tasa de cambio de P respecto a L cuando P  2. 64. Encuentre la tasa de cambio del volumen V = 43 πr 3 de una esfera de radio r respecto al área de su superficie A  4πr 2 cuando r  10. 65. Encuentre dos puntos en la circunferencia x2 + y2  1 en los cuales la pendiente de la recta tangente es −2 (figura 3.4.14).

y = x 4 − x2

2

y

1 y 0

y 0

x2 + y2 = 1

y = (1 − x2)2 x2/3

−1 −2 −3 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x

FIGURA 3.4.11 y  √ x 4 − x 2 (problema 61).

−1 −2

x

−1

0 x

1

2

FIGURA 3.4.12 y p . X  / X = (problema 62).

3

2

FIGURA 3.4.14 Las dos rectas tangentes del problema 65.

2 1

1 y 0

y 0

−1

−1

−2 −3 −2

−1

0 x

FIGURA 3.4.13a)

1

2

−2 −2

−1

FIGURA 3.4.13b)

0 x

1

2

66. Encuentre dos puntos en la circunferencia x 2 + y 2  1 en los cuales la pendiente de la recta tangente es 3. 67. Encuentre una recta que pasa por el punto P (18, 0) y es normal a la recta tangente a la parábola y  x 2 en algún punto Q(a, a 2) (vea la figura 3.4.15). (Sugerencia: obtendrá una ecuación cúbica en la variable desconocida a. Encuentre por inspección una raíz entera pequeña r. El polinomio cúbico es entonces el producto de a − r y un polinomio cuadrático; puede encontrarlo dividiendo el polinomio cúbico entre a − r.)

146

CAPÍTULO 3

La derivada y

12 20

4

P

y = x2

3

8

(0, 2.5)

x

O

y 1

Q

0

P

0 0

y = x2/3

2

y = x2

y 4

y 10

P

10 x

x2 + y2 = a2

0

−4 −5

20

FIGURA 3.4.15 Tangente y normal del problema 67.

0

5

−1

10

x

FIGURA 3.4.16 Las tres rectas normales del problema 68.

68. Encuentre tres rectas diferentes que pasan por el punto P(3, 10) y son normales a la parábola y  x2 (figura 3.4.16). (Vea la sugerencia del problema 67. Este problema requiere ayuda de la calculadora.) 69. Encuentre dos rectas distintas que pasan por P(0, 52 ) y son normales a la curva y  x2y3 (figura 3.4.17). 70. Verifique que la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2  a 2 en el punto P es perpendicular al radio OP (figura 3.4.18). 71. Considere la ecuación cúbica x3  3x + 8. Si derivamos cada lado respecto a x, obtenemos 3x2  3, que tiene dos soluciones x  1 y x  −1. Pero ninguna de éstas es una solución de la ecuación cúbica original. ¿Qué está mal? ¿Por qué al derivar ambos lados de la ecuación cúbica obtenemos un resultado inválido? La deducción de la regla de la potencia generalizada Dx u r = R U R 
$X U (para r  pyq, un número racional) proporcionada en esta sección depende de la suposición de que la función raíz q-ésima F .X/ H X =Q  3I A >  y q es un entero positivo, entonces la derivada de f está dada por F .A/ H L¤M

X!A

X =Q A =Q X A



siempre que este límite exista. Los problemas 72 a 75 ilustran la

−2

0 x

2

FIGURA 3.4.17 Las dos rectas normales del problema 69.

FIGURA 3.4.18 Circunferencia, radio y recta tangente del problema 70.

evaluación de este límite usando la identidad algebraica S Q T Q H .S T/ .S Q C S Q T C


C ST Q C T Q / :



Q T£RMINOS

Por ejemplo, con s  x1yq y t  a1yq esta identidad lleva q  2, 3 y 5) a las fórmulas    x − a = x 1/2 − a 1/2 x 1/2 + a 1/2 ,    x − a = x 1/3 − a 1/3 x 2/3 + x 1/3 a 1/3 + a 2/3 , y   x − a = x 1/5 − a 1/5 x 4/5 + x 3/5 a 1/5  + x 2/5 a 2/5 + x 1/5 a 3/5 + a 4/5 .

(con (11) (12)

(13)

72. Sustituya (11) en el denominador de (9) para demostrar que Dx x 1/2 = 12 x −1/2 para x > 0. 73. Sustituya (12) en el denominador de (9) para demostrar que Dx x 1/3 = 13 x −2/3 para x > 0. 74. Sustituya (13) en el denominador de (9) para demostrar que Dx x 1/5 = 15 x −4/5 para x > 0. 75. Por último, explique cómo la ecuación (10) se aplica en el caso general para probar que 1 Dx x 1/q = x −(q−1)/q q si x > 0 y q es un entero positivo.

3.5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES EN INTERVALOS CERRADOS X FT

Y FT

FT Y

FT X

0ARED

FIGURA 3.5.1 Corral para animales

En las aplicaciones, con frecuencia es necesario encontrar valores máximos (más grandes) o mínimos (más pequeños) que alcanza una cantidad específica. El problema del corral planteado en la sección 1.1 es un ejemplo sencillo pero típico de un problema de máximos y mínimos. Se investigó el corral mostrado en la figura 3.5.1, con el costo de dólares indicado por pie para sus cuatro lados. Mostramos que si se asignaban $180 a los materiales para su construcción, y su área A  f (x) está dada por la longitud de su base x por f (x) = 35 x(30 − x),

0  x  30.

(1)

De esta forma, la pregunta del área más grande posible del corral para animales es equivalente al problema de encontrar el valor máximo que logra la función f (x)  35 x (30 − x) en el intervalo cerrado [0, 30].

SECCIÓN 3.5

Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados 147

DEFINICIÓN Valores máximo y mínimo Si c está en el intervalo cerrado [a, b], entonces f (c) se llama valor mínimo de ≤ f (x) para toda x en [a, b]. De manera similar, si d está en f (x) en [a, b] si f (c) − ≥ f (x) para [a, b], entonces f (d) se llama valor máximo de f (x) en [a, b] si f (d) − toda x en [a, b]. Así, si f (c) es el valor mínimo y f (d) es el valor máximo de f (x) en [a, b], entonces (2) f (c)  f (x)  f (d) para toda x en [a, b] y, por lo tanto, f (x) no adquiere un valor menor que f (c) o mayor que f (d ). En términos geométricos, (c, f (c)) es un punto bajo y (d, f (d )) es un punto ≤ x ≤ b, como se ilustra en las figuras 3.5.2 y 3.5.3. alto en la curva y  f (x), a − − Y

Y

0UNTOALTO

0UNTOALTO

FD

FB

0UNTO BAJO

0UNTO BAJO F C A

FA

C

D

FIGURA 3.5.2 f (c) es el valor mínimo y f (d ) es el valor máximo de f (x) en [a, b].

B X

A

B

X

FIGURA 3.5.3 Los valores máximo y mínimo pueden ocurrir en los extremos de un intervalo. Aquí f (a) es el valor mínimo y f (b) es el valor máximo de f (x) en [a, b].

El teorema 1 (demostrado en el apéndice E) dice que una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] alcanza un valor mínimo f (c) y un valor máximo f (d ), de manera que las desigualdades en (2) se cumplen: la curva y  f (x) en [a, b] tiene tanto un punto bajo como un punto alto.

TEOREMA 1 Propiedad del valor máximo y mínimo Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existen números c y d en [a, b] tales que f (c) es el valor mínimo, y f (d) es el valor máximo, de f en [a, b]. Y 

FX X



FIGURA 3.5.4 Gráfica de la función del ejemplo 1.

X

En suma, una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado alcanza tanto un valor mínimo como un valor máximo en puntos del intervalo. Así, se ve que es la continuidad de la función 3 f (x) = x(30 − x) 5 en el intervalo cerrado [0, 30] lo que garantiza que exista el valor máximo de f y que lo adquiera en algún punto del intervalo [0, 30]. Suponga que la función f está definida en el intervalo I. Los ejemplos 1 y 2 muestran que ya sea que f no es continua o que I no es cerrado, entonces f no toma los valores máximo y mínimo en puntos de I. De esta forma, ambas hipótesis en el teorema 1 son necesarias. ≤ x < 1, de EJEMPLO 1 Sea f (x)  2x una función continua definida sólo para 0 − manera que su dominio de definición no es un intervalo cerrado. A partir de la gráfica mostrada en la figura 3.5.4, es claro que f llega a su valor mínimo 0 en x  0, pero f (x)  2x no llega a su valor máximo en ningún punto de [0, 1). El único candidato posible Z para un valor máximo sería 2 en x  1, pero f (1) no está definida.

148

CAPÍTULO 3

La derivada

EJEMPLO 2

Y

La función f definida en el intervalo cerrado [0, 1] con la fórmula F .X/ H

FX 

SI  < X

;

SI X H 

no es continua en [0, 1] porque límx→0+ (1yx) no existe (figura 3.5.5). Esta función sí alcanza su valor mínimo de 1 en x  0 y también en x  1, pero no llega a su valor máximo en [0, 1] porque 1yx puede hacerse arbitrariamente grande eligiendo x positiva Z y muy cercana a cero.

 X

 



 X 

Como una variación del ejemplo 2, la función g (x)  1yx con dominio en el intervalo abierto (0, 1) no llega al máximo ni al mínimo ahí. X



FIGURA 3.5.5 Gráfica de la función del ejemplo 2.

Y

-ÖXIMOLOCAL

X -¤NIMOLOCAL

FIGURA 3.5.6 Valores extremos locales.

Máximos y mínimos locales Una vez que sabemos que la función continua f alcanza sus valores máximo o mínimo en un intervalo cerrado [a, b], la pregunta que queda es: ¿exactamente dónde se localizan estos valores? Resolvimos el problema del corral en la sección 2.1 con base en la siguiente suposición que surge de la geometría: la función f (x)  35 x(30 − x) llega a su valor máximo en [0, 30] en un punto interior de ese intervalo, un punto en el que la recta tangente es horizontal. Los teoremas 2 y 3 de esta sección proporcionan una base rigurosa para el método que se usó. ≤ f (c) Decimos que el valor f (c) es un valor máximo local de la función f si f (x) − para toda x suficientemente cercana a c. De manera más precisa, si esta desigualdad se cumple para toda x que está al mismo tiempo en el dominio de f y en algún intervalo abierto que contiene a c, entonces f (c) es un máximo local de f. De igual manera, se ≥ f (c) para toda x sufidice que el valor f (c) es un valor mínimo local de f si f (x) − cientemente cercana a c. Como lo muestra la figura 3.5.6, un máximo local es un punto tal que ningún otro punto cercano de la gráfica es más alto, y un mínimo local es tal que ningún otro punto cercano en la gráfica es más bajo. Un extremo local de f es un valor de f que es un máximo local o un mínimo local.

TEOREMA 2 Máximos y mínimos locales Suponga que f es derivable en c y está definida en un intervalo abierto que contiene a c. Si f (c) es un valor máximo local o bien un valor mínimo local de f, entonces f 9(c)  0. Así, un extremo local de una función derivable en un intervalo abierto ocurre sólo en un punto donde la derivada es cero y, por lo tanto, donde la recta tangente a la gráfica es horizontal. Demostración del teorema 2 Suponga, por ejemplo, que f (c) es un valor máximo local de f. La suposición de que f 9(c) existe significa que los límites por la derecha y por la izquierda

F .C C H/ F .C/ H existen y son iguales a f 9(c). Si h > 0, entonces L¤M

H!C

Y

L¤M

H!

F .C C H/ F .C/ H

f (c + h) − f (c)  0, h

≥ f (c + h) para todos los valores positivos de h. Así, por la versión de un porque f (c) − lado de la ley de compresión para límites (sección 2.3), esa desigualdad se conserva cuando tomamos el límite cuando h → 0. De este modo, encontramos que F .C/ H L¤M

H!C

F .C C H/ F .C/ H

L¤M  H :

H!C

SECCIÓN 3.5

Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados 149

De manera similar, en el caso de h < 0, encontramos que f (c + h) − f (c)  0. h

Y

YX

Por lo tanto, F .C/ H L¤M

X

H!

F .C C H/ F .C/ H

L¤M  H :

H!

≤ 0 y f 9(c) ≥ 0 ocurren las dos, concluimos que f 9(c)  0. Esto estaDado que f 9(c) − − blece el teorema 2. X El inverso del teorema 2 es falso. Esto es, el hecho de que f 9(c)  0 no es suficiente para implicar que f (c) es un mínimo local. Por ejemplo, considere la función f (x)  x3. Su derivada f 9(x)  3x2 es cero en x  0. Pero al observar su gráfica (figura 3.5.7), se ve que f (0) no es un extremo local de f.

ADVERTENCIA FIGURA 3.5.7 No hay valor extremo en x  0 aun cuando la derivada es cero.

Así, la ecuación f 9(c)  0 es una condición necesaria para que f (c) sea un valor máximo o mínimo local para una función f que es derivable en un intervalo abierto que contiene a c, pero no es una condición suficiente. La razón: f 9(x) puede ser cero en puntos diferentes al máximo o mínimo local. Se dan condiciones suficientes para los máximos y mínimos locales en el capítulo 4.

Método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado

Y -ÖXIMOGLOBAL ,OCAL NO GLOBAL X ,OCAL NO GLOBAL -¤NIMOGLOBAL

FIGURA 3.5.8 Algunos extremos son globales, otros son sólo locales.

En la mayor parte de los problemas de optimización, estamos menos interesados en los extremos locales (como tales) que en los valores máximo y mínimo absolutos o globales para una función continua dada. Si f es una función con dominio D, f (c) se llama ≥ f (x) para toda valor máximo absoluto, o valor máximo global, de f en D si f (c) − x en D. Para abreviar, f (c) es el valor más grande de f en D. Debe quedar claro cómo se define el mínimo global de f. La figura 3.5.8 ilustra algunos extremos locales y globales. Por otro lado, todo extremo global es, por supuesto, también local. Además, la gráfica muestra extremos locales que no son globales. El teorema 3 dice que los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función continua f en el intervalo cerrado [a, b] ocurren ya sea en uno de los puntos terminales a o b o en un punto crítico de f. El número c en el dominio de f se llama punto crítico de f si ocurre uno de los siguientes: • f 9(c)  0, o • f 9(c) no existe.

TEOREMA 3 Máximos y mínimos absolutos Suponga que f (c) es el valor máximo absoluto (o mínimo absoluto) de la función continua f en el intervalo cerrado [a, b]. Así, c es un punto crítico de f o bien uno de los puntos terminales a y b. Demostración Este resultado se deriva casi automáticamente del teorema 2. Si c no

es un punto terminal de [a, b], entonces f (c) es un extremo local de f en el intervalo abierto (a, b). En este caso, el teorema 2 implica que f 9(c)  0, siempre que f sea derivable en c. X Como consecuencia del teorema 3, podemos encontrar los valores máximo y mínimo (absolutos) de la función f en el intervalo cerrado [a, b] como sigue: 1. Localice los puntos críticos de f : es decir, los puntos donde f 9(x)  0 y los puntos donde f 9(x) no existe. 2. Enumere los valores de x que dan extremos posibles de f : los dos puntos terminales a y b y los puntos críticos que están en [a, b]. 3. Evalúe f (x) en cada punto de esta lista de extremos posibles. 4. Inspeccione estos valores de f (x) para ver cuál es el menor y cuál el mayor.

150 CAPÍTULO 3

La derivada

El más grande de los valores en el paso 4 es el máximo absoluto de f ; el más pequeño es el mínimo absoluto. Este procedimiento se conoce como método de máximomínimo en un intervalo cerrado. EJEMPLO 3 Para el análisis final del problema del corral, aplicaremos el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado para encontrar los valores máximo y mínimo de la función derivable f (x) = 35 x(30 − x) = 35 (30x − x 2 )

en el intervalo cerrado [0, 30].

Solución La derivada de f es F .X/ H  . X/;

que es cero sólo en el punto x  15 en [0, 30]. Incluyendo los puntos terminales, la lista de los únicos valores de x que llevan a extremos de f consiste en 0, 15 y 30. Evaluamos f en cada uno: F ./ H ;

M¤NIMOABSOLUTO

F ./ H ;

MÖXIMOABSOLUTO

F ./ H :

M¤NIMOABSOLUTO

Así, el valor máximo de f (x) en [0, 30] es 135 (que ocurre en x  15) y el valor mínimo Z absoluto es 0 (que ocurre en x  0 y en x  30). EJEMPLO 4

Encuentre los valores máximo y mínimo de f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 15

en el intervalo cerrado [0, 3].

Solución La derivada de f es f  (x) = 6x 2 − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1).

De manera que los puntos críticos de f son las soluciones de la ecuación 6(x − 2)(x + 1) = 0

y los números c para los que f 9(c) no existe. No hay puntos de este tipo, los puntos críticos de f ocurren en x  −1 y x  2. El primero no está en el dominio de f y lo descartamos, entonces el único punto crítico de f en [0, 3] es x  2. Al incluir los dos puntos extremos, la lista de todos los valores de x que lleva a un valor máximo o mínimo posible de f consiste en 0, 2 y 3. Evaluamos la función f en cada uno: F ./ H ;

MÖXIMOABSOLUTO

F ./ H ;

M¤NIMOABSOLUTO

F ./ H :

Por lo tanto, el valor máximo de f en [0, 3] es f (0)  15 y su valor mínimo es f (2)  −5. Z

Si en el ejemplo 4 hubiéramos buscado los valores máximo y mínimo de f (x) en el intervalo [−2, 3] (en lugar del intervalo [0, 3]), entonces habríamos incluido ambos puntos críticos x  −1 y x  2 en la lista de posibilidades. Los valores de f resultantes habrían sido F ./ H ; F ./ H ;

MÖXIMOABSOLUTO

F ./ H ;

M¤NIMOABSOLUTO

F ./ H :

SECCIÓN 3.5

La figura 3.5.9 muestra la curva y  f (x) y la gráfica de su derivada. Observe las líneas punteadas que unen los puntos altos y bajos en y  f (x) con las abscisas x de dyydx  f 9(x). La figura ilustra el hecho de que:

    

Los puntos críticos de una función derivable f (x) son los ceros de su derivada f 9(x).

YFX

 Y

De acuerdo con este principio, podemos aproximar un punto crítico de f gráficamente “amplificando” un cero de f 9. En el ejemplo 4, la función f era derivable en todas partes. Los ejemplos 5 y 6 ilustran el caso de un extremo en un punto crítico donde la función no es derivable.

  



YFgX









Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados 151





EJEMPLO 5 Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f (x)  3 − |x − 2 | en el intervalo [1, 4].

X

FIGURA 3.5.9 Los puntos críticos de la función derivable f (x) son los ceros de f 9(x).

≤ 2, entonces x − 2 ≤ 0, de manera que Solución Si x − − f (x) = 3 − (2 − x) = x + 1. ≥ 2, entonces x − 2 ≥ 0, de modo que Si x − − f (x) = 3 − (x − 2) = 5 − x.

Y  

 

YFX  \X \  X   

En consecuencia, la gráfica de f se ve como la mostrada en la figura 3.5.10. El único punto crítico de f en [1, 4] es el punto x  2, porque f 9(x) toma sólo los dos valores +1 y −1 (y nunca es cero), y f 9(2) no existe. (¿Por qué?) La evaluación de f en este punto crítico y en los dos puntos terminales da F ./ H ;

 



  







F ./ H ;

MÖXIMOABSOLUTO

F ./ H :

M¤NIMOABSOLUTO

Z

X

FIGURA 3.5.10 Gráfica de la función del ejemplo 5.

EJEMPLO 6

Encuentre los valores máximo y mínimo de f (x) = 5x 2/3 − x 5/3

en el intervalo cerrado [−1, 4].

Solución La derivada de f lleva a f  (x) =

10 −1/3 5 2/3 5 −1/3 5(2 − x) x − x = x (2 − x) = . 3 3 3 3x 1/3

Entonces f tiene dos puntos críticos en el intervalo: x  2, donde f 9(x)  0 y x  0, donde f 9(x) no existe (la gráfica de f tiene una tangente vertical en (0, 0)). Al evaluar f en estos dos puntos críticos y los dos puntos terminales obtenemos

  

FX X X

F ./ H 

M¤NIMOABSOLUTO

f (4) = 5 · 42/3 − 45/3 ≈ 2.52.

Así, el valor máximo f (−1)  6 ocurre en un punto terminal. El valor mínimo f (0)  0 Z ocurre en un punto en que f no es derivable.







MÖXIMOABSOLUTO

f (2) = 5 · 22/3 − 25/3 ≈ 4.76,

Y   

F ./ H ;

 

 





FIGURA 3.5.11 Gráfica de la función del ejemplo 6.

X

Con una calculadora o computadora con capacidad de graficar, verifique que la gráfica de la función f del ejemplo 6 es la mostrada en la figura 3.5.11. Pero en el caso usual de una función continua que sólo tiene un número finito de puntos críticos en un intervalo cerrado dado, el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado es suficiente para determinar sus valores máximo y mínimo sin requerir un conocimiento detallado de la gráfica de la función.

152 CAPÍTULO 3

La derivada

EJEMPLO 7 

f (x) = 4x 4 − 11x 2 − 5x − 3

YFX



Y

La figura 3.5.12 muestra las gráficas de la función

y su derivada



f  (x) = 16x 3 − 22x − 5



en la ventana −3  x  3, −30  y  30. Es evidente que el valor máximo de f (x) en el intervalo cerrado [−2, 2] es el valor en el punto terminal izquierdo f (−2)  27. El punto más bajo en la gráfica y  f (x) y el cero correspondiente de su derivada dyydx  f 9(x) están marcados con un cuadro punteado en la figura. Para encontrar este punto más bajo con precisión necesitaríamos resolver la ecuación cúbica 16x3 − 22x − 5  0. Pero el punto más bajo aproximado también se puede localizar usando una calculadora o computadora para amplificar los puntos más cercanos. Si tratamos de amplificar el punto más bajo cambiando el “rango de factores” o las “razones de aspecto” de la ventana, obtenemos una imagen como en la figura 3.5.13. Aquí, la gráfica amplificada se confunde con su recta tangente horizontal en el punto más bajo, de manera que es imposible medir un valor exacto de la coordenada x del punto crítico. En consecuencia, es mucho más efectivo amplificar el cero correspondiente de la derivada f 9(x). Podemos localizar el punto crítico indicado con mucha mayor precisión. Así, se ve en la figura 3.5.14 que el valor mínimo aproximado que logra f (x) en Z [−2, 2] es f (1.273) ≈ −16.686.









YFgX





 X



FIGURA 3.5.12 Gráficas de y  f (x) y y  f 9(x).











 Y 

YFX

YFgX

Y 





    X

FIGURA 3.5.13 Amplificación en el mínimo mostrado en la figura 3.5.12.



 X



FIGURA 3.5.14 Amplificación más clara en el cero de f 9(x) mostrado en la figura 3.5.12.

3.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. ≥ f (x) para toda x en el intervalo [a, b], entonces f (c) es el valor mínimo 1. Si f (c) − de f en [a, b]. 2. Si f es continua en [a, b], entonces f tiene un valor mínimo en [a, b]. ≥ f (x) para toda x tanto en el dominio de f como en algún intervalo 3. Si f (c) − abierto I, entonces se dice que f (x) es un valor máximo local de f. 4. Todo extremo local de la función f ocurre en un punto donde f 9(x)  0. 5. Si f (c) es un extremo local de la función f, entonces f 9(c)  0 o bien f 9(c) no existe. 6. Si f (c) es un extremo local de la función f y c no es un punto terminal del dominio de f, entonces f 9(c)  0 o bien f 9(c) no existe. ≥ f (x) para todo número x en el domino D de la función f, entonces f (c) 7. Si f (c) − se llama valor máximo global (o valor máximo absoluto) de f en D. 8. El valor máximo absoluto de f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 15 en [0, 3] es f (0)  15. 9. El valor máximo absoluto de f (x) = 3 − |x − 2| en el intervalo [1, 4] es f (4)  1.

SECCIÓN 3.5

Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados

153

10. Si f (p) y f (q) son ambos valores mínimos absolutos de f en su dominio, entonces f (p)  f (q).

3.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. En cada uno de los cinco casos siguientes, bosqueje una gráfica posible (si la hay) de f. a) f tiene un solo punto crítico c pero no tiene mínimo local ni máximo local en el intervalo abierto (a, b). Analice la posibilidad de que f no sea derivable en c y la posibilidad de que lo sea. b) f tiene dos puntos críticos pero un solo extremo local en (a, b). c) f tiene tanto un máximo local como un mínimo local, pero sólo un punto crítico en (a, b). d) f tiene exactamente un máximo local, exactamente un mínimo local y exactamente tres puntos críticos en (a, b). e) f tiene tres máximos locales, pero sólo un mínimo local en (a, b). 2. ¿Puede dar un ejemplo de un polinomio de grado impar que no tenga valores máximo local ni mínimo local? ¿Puede dar un ejemplo de un polinomio de grado par que no tenga valores máximo absoluto ni mínimo absoluto? 3. Suponga que ha localizado un punto en la gráfica de una función derivable donde ocurre un extremo local. Suponga que cambia la ventana de este punto con una calculadora o computadora de gráficas, amplificando en cada paso por el mismo factor en la dirección x y en la dirección y. ¿Debe verse siempre la gráfica como una recta horizontal (como en la figura 3.5.13) después de amplificar suficientemente cerca de esta manera?

3.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, establezca si la función dada logra un valor máximo o un valor mínimo (o ambos) en el intervalo dado. [Sugerencia: comience por dibujar la gráfica de la función.] 1. f (x) = 1 − x; 2. f (x) = 2x + 1;

[−1, 1) [−1, 1)

3. f (x) = |x| ; (−1, 1) 1 4. f (x) = √ ; (0, 1] x 5. f (x) = |x − 2| ; (1, 4] 6. f (x) = 5 − x 2 ;

[−1, 2)

7. f (x) = x 3 + 1; [−1, 1] 1 8. f (x) = 2 ; (−∞, ∞) x +1 1 9. f (x) = ; [2, 3] x(1 − x) 1 10. f (x) = ; (0, 1) x(1 − x)

En los problemas 11 a 40, encuentre los valores máximo y mínimo alcanzados por la función dada en el intervalo cerrado indicado. 11. f (x) = 3x − 2;

[−2, 3]

12. f (x) = 4 − 3x;

[−1, 5]

13. h(x) = 4 − x 2 ;

[1, 3]

14. f (x) = x 2 + 3;

[0, 5]

15. g(x) = (x − 1) ;

[−1, 4]

2

16. h(x) = x + 4x + 7;

[−3, 0]

2

17. f (x) = x − 3x;

[−2, 4]

3

18. g(x) = 2x 3 − 9x 2 + 12x;

[0, 4]

4 ; [1, 4] x 16 20. f (x) = x 2 + ; [1, 3] x 21. f (x) = 3 − 2x; [−1, 1] 19. h(x) = x +

22. f (x) = x 2 − 4x + 3;

[0, 2]

23. f (x) = 5 − 12x − 9x ;

[−1, 1]

2

24. f (x) = 2x − 4x + 7; 2

[0, 2]

25. f (x) = x − 3x − 9x + 5; 3

[−2, 4]

2

26. f (x) = x + x;

[−1, 2]

3

27. f (x) = 3x − 5x ; 5

[−2, 2]

3

28. f (x) = |2x − 3| ;

[1, 2]

29. f (x) = 5 + |7 − 3x| ;

[1, 5]

30. f (x) = |x + 1| + |x − 1| ;

[−2, 2]

31. f (x) = 50x − 105x + 72x; 3

32. f (x) = 2x +

2

1 ; 2x

[1, 4]

[0, 1]

154 CAPÍTULO 3

33. f (x) =

x ; x +1

34. f (x) =

x ; x2 + 1

La derivada

49. Figura 3.5.18.

[0, 3] [0, 3]

50. Figura 3.5.19.









Y 

Y 





1−x ; [−2, 5] x2 + 3 √ 36. f (x) = 2 − 3 x; [−1, 8] √ 37. f (x) = x 1 − x 2 ; [−1, 1] √ 38. f (x) = x 4 − x 2 ; [0, 2]

FIGURA 3.5.18

FIGURA 3.5.19

39. f (x) = x(2 − x)1/3 ;

[1, 3]

51. Figura 3.5.20.

52. Figura 3.5.21.

40. f (x) = x 1/2 − x 3/2 ;

[0, 4]

35. f (x) =







41. Suponga que f (x)  Ax + B es una función lineal y que A 0. Explique por qué los valores máximo y mínimo de f en un intervalo cerrado [a, b] deben ocurrir en los puntos terminales del intervalo. 42. Suponga que f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), y que f 9(x) nunca es cero en los puntos del intervalo (a, b). Explique por qué los valores máximo y mínimo de f deben ocurrir en los puntos terminales del intervalo [a, b]. 43. Explique por qué todo número real es un punto crítico de la función entero mayoxr F .X/ H TTXUU 44. Demuestre que toda función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c

(a = 0)

tiene exactamente un punto crítico en la recta real. 45. Explique por qué la función polinomial cúbica







Y 

Y 











Y 

Y 











FIGURA 3.5.16

 X











Y 

Y 





FIGURA 3.5.17

 X

 X





A

 X



B









Y 

Y 











 X





C







 X



D









Y 

Y 









 X



FIGURA 3.5.21









48. Figura 3.5.17. 

 X

FIGURA 3.5.20

(a = 0)

En los problemas 47 a 52, dé la correspondencia de la gráfica de la función dada con la gráfica de su derivada f 9entre las presentadas en las figuras 3.5.15 incisos a) a f).



 X







puede tener dos, uno o ningún punto crítico en la recta real. Proporcione ejemplos que ilustren cada uno de los tres casos. 46. Defina f (x) como la distancia de x al entero más cercano. ¿Cuáles son los puntos críticos de f ?

47. Figura 3.5.16.









f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

 X

 X E

FIGURA 3.5.15





 X F



SECCIÓN 3.5

En los problemas 53 a 60, encuentre una buena aproximación a los valores máximo y mínimo de la función dada en el intervalo cerrado indicado amplificando los ceros de la derivada. 53. f (x) = x 3 + 3x 2 − 7x + 10; [−2, 2] 54. f (x) = x 3 + 3x 2 − 7x + 10; [−4, 2] 55. f (x) = x 4 − 3x 3 + 7x − 5; [−3, 3]

Máximos y mínimos de funciones en intervalos cerrados

56. f (x) = x 4 − 5x 3 + 17x − 5; 57. f (x) = x − 5x + 17x − 5; 4

3

[−3, 3] [0, 2]

58. f (x) = x − 5x − 15x + 17x + 23x;

[−1, 1]

59. f (x) = x − 5x − 15x + 17x + 23x;

[−3, 3]

60. f (x) = x − 5x − 15x + 17x + 23x;

[0, 10]

5 5 5

4 4 4

3 3 3

155

2 2 2

3.5 INVESTIGACIÓN: ¿cuándo es más estable su taza de café? Su auto no tiene portavasos, de manera que debe colocar su taza llena de café en el asiento del pasajero a su lado cuando sale por la mañana. La amarga experiencia le ha enseñado que su taza está menos estable —y más propensa a derramarse— cuando está completamente llena, pero se vuelve más estable conforme bebe el café y con ello baja el nivel del líquido. Ahora está listo para aplicar cálculo al análisis de este fenómeno. La figura 3.5.22 muestra una taza parcialmente llena de café. Supondremos que está más estable cuando la centroide de la tasa más el café está en lo más bajo. La centroide de un cilindro sólido o de un cascarón cilíndrico es su centro geométrico, y la ordenada Y de la centroide de un cuerpo compuesto por varias piezas con masas m 1, m 2 y m 3 que tienen centroides respectivas con ordenadas y1, y2 y y3 están dadas por 4

y=

m 1 y1 + m 2 y2 + m 3 y3 . m1 + m2 + m3

(1)

3UPERFICIEDELCAF£

( Y 2

"

FIGURA 3.5.22 Taza llena parcialmente de café a una profundidad y.

Esta fórmula significa que Y es un promedio de las coordenadas y1, y 2 y y 3 de las centroides individuales, cada una ponderada por su masa correspondiente. El modelo simplificado de la taza de café mostrada en la figura 3.5.22 consiste en lo siguiente: • una superficie lateral que es un cascarón cilíndrico con altura H, radio interior R y grosor T, y • una base que es un cilindro sólido con radio R + T y altura B. La taza está llena parcialmente de café a una profundidad y y densidad 1 gycm3. Por ejemplo, tomamos H  8, R  3, T  0.5 y B  1 (todas la unidades están en centímetros). Suponiendo también que la densidad del material de la taza en sí es δ  1 gycm3, aplicamos la ecuación (1) para derivar la función f (y) =

87 + 4y 2 , 34 + 8y

0y8

(2)

lo que da la ordenada Y  f ( y) de la centroide de la taza más el café como función de la profundidad y del café en la taza. La figura 3.5.23 muestra la gráfica de la función f. Parece que la centroide está en lo más bajo cuando y  2, es decir, cuando el café llena algo así como un cuarto de la taza. Para encontrar cuándo f 9(y)  0, puede obtener la derivada de la función en (2) y simplificar para llegar a

Y    

f  (y) =

 

2(4y 2 + 34y − 87) . (4y + 17)2

(3)

 







Y

FIGURA 3.5.23 Altura de la centroide f (y) como función de la profundidad del café.

Así, sólo necesita resolver una ecuación cuadrática para ver dónde es cero el nume√ rador: cuando y = 14 (−17 ± 7 13). La solución positiva da la profundidad óptima y ≈ 2.0597 cm de café en la taza, un poco más de un cuarto de la altura de la taza H  8 cm. Realice este análisis con su taza favorita. Mida sus dimensiones físicas H, R, T y B. ¿Cómo determina la densidad aproximada δ de su material?

156 CAPÍTULO 3

La derivada

3.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN APLICADA Esta sección se dedica a problemas de máximos y mínimos aplicados (como el problema del corral de la sección 1.1) para los cuales se usa el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado de la sección 3.5. Cuando enfrentamos estos problemas, existe un paso inicial importante: debemos determinar la cantidad que se debe maximizar o minimizar. Esta cantidad será la variable dependiente en el análisis del problema. Después, la variable dependiente debe expresarse como función de una variable independiente, que “controla” los valores de la variable dependiente. Si el dominio de los valores de la variable independiente —los que son pertinentes para el problema aplicado— es un intervalo cerrado, entonces se procede con el método mencionado. Este plan de ataque se resume en los siguientes pasos: 1. Encuentre la cantidad a maximizar o minimizar. Esta cantidad, que debe describir en palabras o frases cortas y etiquetar con una letra descriptiva, será la variable dependiente. Como es una variable dependiente, depende de algo más; esa cantidad será la variable independiente. Aquí, llamamos a la variable independiente, x. 2. Exprese la variable dependiente como función de la variable independiente. Utilice la información del problema para escribir la variable dependiente como función de x. Siempre dibuje una figura y etiquete las variables; en general, ésta es la mejor manera de encontrar la relación entre las variables dependiente e independiente. Use variables auxiliares si ayudan, pero no demasiadas, ya que posteriormente tendrá que eliminarlas. Debe expresar la variable dependiente como función de una sola variable independiente x y varias constantes antes de poder calcular las derivadas. Encuentre el dominio de esta función al igual que su fórmula. Fuerce el dominio a un intervalo cerrado y acotado si es posible; si el dominio natural es un intervalo abierto, adjunte los puntos terminales si es posible. 3. Aplique cálculo para encontrar los puntos críticos. Calcule la derivada f 9 de la función f que encontró en el paso 2. Use la derivada para encontrar los puntos críticos, donde f 9(x)  0 y donde f 9(x) no existe. Si f es derivable en todas partes, su único punto crítico ocurre cuando f 9(x)  0. 4. Identifique los extremos. Evalúe f en cada punto crítico en su dominio y en los dos puntos terminales. Los valores que obtenga le dirán cuál es el máximo absoluto y cuál es el mínimo absoluto. Por supuesto, uno de ellos o ambos ocurren en más de un punto. 5. Conteste la pregunta planteada en el problema original. En otras palabras, interprete sus resultados. La respuesta al problema original es distinta al valor más grande (más pequeño) de f. Dé una respuesta precisa a la pregunta específica original. Observe cómo seguimos este proceso de cinco pasos en el ejemplo 1. EJEMPLO 1 Un granjero tiene 200 yardas (yd) de barda para construir tres lados de un corral rectangular; una pared existente, larga y recta, formará el cuarto lado. ¿Qué dimensiones maximizarán el área del corral? Y

X

¬REA!XY

X

Solución Se desea maximizar el área A del corral mostrado en la figura 3.6.1. Para obtener una fórmula para la variable dependiente A, observe que el área del rectángulo es el producto de la base por la altura. Así, sea x la longitud de cada uno de los dos lados del corral perpendiculares a la pared. También denotamos por y la longitud del lado paralelo a la pared. De esta forma, el área del rectángulo está dada por la fórmula A  xy.

0ARED

FIGURA 3.6.1 Corral rectangular del ejemplo 1.

Ahora, necesitamos escribir A como función ya sea de x o de y. Como se usarán 200 yd de barda, 2x + y  200,

de manera que

y  200 − 2x

(1)

SECCIÓN 3.6

Problemas de optimización aplicada

157

(Elegimos expresar y en términos de x simplemente porque el álgebra es un poco más sencilla.) Después, sustituimos este valor de y en la fórmula A  xy para obtener A(x) = x(200 − 2x) = 200x − 2x 2 . X

X

(2)

Esta ecuación expresa la variable dependiente A como función de la variable independiente x. Antes de seguir adelante, debemos encontrar el dominio de la función A. Está claro de la figura 3.6.2 que 0 < x < 100. Pero para aplicar el método de máximomínimo en un intervalo cerrado necesitamos un intervalo cerrado. En este ejemplo, podemos adjuntar los puntos terminales a (0, 100) para tener el intervalo cerrado [0, 100]. Los valores x  0 y x  100 corresponden a corrales “degenerados” de área cero. Como cero no puede ser un valor máximo de A, no se incurre en un daño al ampliar el dominio de la función A. Ahora calculamos la derivada de la función A en la ecuación (2): dA = 200 − 4x. dx Dado que A es derivable, sus únicos puntos críticos ocurren cuando dA = 0; dx es decir, cuando

Y



FIGURA 3.6.2 Relación en la ecuación (1) entre x y y (ejemplo 1).

200 − 4x  0. Por lo tanto, x  50 es el único punto crítico en el intervalo (0, 100). Al incluir los puntos terminales, los valores extremos de A ocurren sólo en x  0, 50 y 100. Evaluamos A en cada uno: !./ H ;

YD

YD

YD

YD

!./ H ;

MÖXIMOABSOLUTO

!./ H : 0ARED

FIGURA 3.6.3 Corral con área máxima del ejemplo 1.

EJEMPLO 2 Una pieza de metal rectangular tiene 5 ft de ancho y 8 ft de largo. Deben cortarse cuadrados iguales de sus cuatro esquinas. La pieza de metal resultante debe doblarse y soldarse para formar una caja sin tapa (figura 3.6.4). ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja con el mayor volumen posible?

,¤NEASDECORTE X ,¤NEASDEDOBLEZ

nX X

nX

X

X

X nX

nX

FIGURA 3.6.4 Para hacer la caja del ejemplo 2.

X

Así, el área máxima es A(50)  5000 (yd2). De la ecuación (1) encontramos que y  100 cuando x  50. Por lo tanto, para que el corral tenga el área máxima, cada lado perpendicular a la pared debe medir 50 yd de largo y el lado paralelo a la pared debe Z tener 100 yd de largo (figura 3.6.3).

X 

FIGURA 3.6.5 Ancho de 5 ft de la hoja de metal (ejemplo 2).

Solución La cantidad que se desea maximizar —la variable dependiente— es el volumen V de la caja construida. La forma y, por ende, el volumen de la caja están determinados por la longitud x de la arista de cada cuadrado que se elimina de las esquinas. De esta forma, x es la elección natural para la variable independiente. Para escribir el volumen V como función de x, observe que la caja terminada tendrá altura x y su base medirá 8 − 2x ft por 5 − 2x ft. Así, su volumen está dado por V (x) = x(5 − 2x)(8 − 2x) = 4x 3 − 26x 2 + 40x.

El procedimiento descrito en este ejemplo producirá una caja real sólo si 0 < x < 2.5 (figura 3.6.5). Pero definimos el dominio como el intervalo cerrado [0, 2.5] para asegurar que existe el máximoV(x) y usar el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado. Los valores x  0 y x  2.5 corresponden a las cajas “degeneradas” con volumen cero, por lo que adjuntar estos puntos a (0, 2.5) no afectará la localización del máximo absoluto ni su valor. Ahora calculamos la derivada de V: V  (x) = 12x 2 − 52x + 40 = 4(3x − 10)(x − 1).

Los únicos puntos críticos de la función derivable V ocurren cuando

158 CAPÍTULO 3

La derivada

V  (x) = 0;

es decir, donde 4(3x − 10)(x − 1) = 0.

Las soluciones de esta ecuación son x  1 y x = 10 . Descartamos la última porque no 3 está en el dominio [0, 2.5] de V. Examinamos estos valores de V: 6 ./ H ; 6 ./ H ;

FT

FT

FT

FIGURA 3.6.6 Caja con volumen máximo del ejemplo 2.

MÖXIMOABSOLUTO

6 .:/ H :

Por lo tanto, el valor máximo de V(x) en [0, 2.5] es V(1)  18. La respuesta a la pregunta planteada es: los cuadrados que se cortan de las esquinas deben tener longitud 1 ft por lado cada uno. La caja que se obtiene medirá 6 ft por 3 ft por 1 ft, y su volumen Z será 18 ft3 (figura 3.6.6). Para la siguiente aplicación del método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado, consideremos un problema típico en administración de negocios. Suponga que deben fabricarse x unidades de discos de computadora a un costo total de C(x) dólares. Hacemos la sencilla (pero no siempre válida) suposición de que la función de costo C(x) es la suma de dos términos: • un término constante a que representa el costo fijo de adquirir y mantener las instalaciones de producción (costos generales), y • un término variable que representa el costo adicional de fabricar x unidades, por ejemplo, a b dólares cada una. Entonces el costo total es la suma del costo fijo y el costo adicional, de manera que la función de costo C(x) está dada por C(x)  a + bx.

(3)

También suponemos que el número de unidades que se pueden vender (y por lo tanto se fabricarán) es una función lineal del precio de venta p, de modo que x  m − np donde m y n son constantes positivas. El signo menos indica que un aumento en el precio de venta daría como resultado una disminución en las ventas. Si despejamos p en la última ecuación, obtenemos la función de precio p(x)  A − Bx

(4)

(A y B también son constantes). La cantidad a maximizar es la ganancia, dada aquí por la función de ganancia P(x), que es igual a los ingresos por ventas menos los costos de producción. Entonces P(x)  xp(x) − C(x).

(5)

EJEMPLO 3 Suponga que el costo de publicar un libro pequeño es $10,000 para preparar la corrida (anual) de la prensa más $8 por cada libro impreso. El editor vendió 7000 ejemplares el año pasado a $13 cada uno, pero las ventas bajaron a 5000 copias este año cuando subió el precio a $15 por libro. Suponga que se pueden imprimir hasta 10,000 ejemplares en una sola corrida de prensa. ¿Cuántos ejemplares deben imprimirse y cuál debe ser el precio de venta de cada uno para maximizar la ganancia anual de este libro?

Solución La variable dependiente que se desea maximizar es la ganancia P. Como variable independiente elegimos el número x de ejemplares que se imprimirán; ade≤ x ≤ 10,000. La información de costo dada implica entonces que más, 0 − − C(x)  10,000 + 8x.

SECCIÓN 3.6

Problemas de optimización aplicada

159

Ahora sustituimos en la ecuación (4) los datos x  7000 cuando p  13 lo mismo que los datos x  5000 cuando p  15. Obtenemos las ecuaciones A − 7000B  13,

A − 5000B  15.

Cuando resolvemos estas ecuaciones simultáneas, encontramos que A  20 y B  0.001. Así, la función de precio es x , p(x) = 20 − 1000 y, por lo tanto, la función de ganancia es   x − (10,000 + 8x). P(x) = x 20 − 1000 Al expandir y simplificar términos obtenemos P(x) = 12x −

x2 − 10,000, 1000

0  x  10,000.

Ahora dP x = 12 − , dx 500 y los únicos puntos críticos de la función derivable P ocurren cuando dP = 0; dx es decir, cuando x = 0; x = 12 · 500 = 6000. 12 − 500 Verificamos P para este valor de x lo mismo que los valores de P(x) en los puntos terminales para encontrar la ganancia máxima: 0./ H ;; 0./ H ;;

MÖXIMOABSOLUTO

0.;/ H ;:

Por lo tanto, la ganancia anual máxima posible de $26,000 es el resultado de imprimir 6000 ejemplares del libro. Cada uno debe venderse en $14, porque 6000 Z = 14. p(6000) = 20 − 1000 EJEMPLO 4 Debemos diseñar una lata cilíndrica con radio r y altura h. La tapa y la base deben ser de cobre, que costará 2¢/in2. El lado curvo debe ser de aluminio, cuyo costo será 1¢/in2. Buscamos las dimensiones que maximizarán el volumen de la lata. La única restricción es que el costo total de la lata sea 300π¢.

`IN

`IN

H

Solución Tenemos que maximizar el volumen V de la lata, que se puede calcular si conocemos su radio r y su altura h (figura 3.6.7). Con estas dimensiones, encontramos que V = πr 2 h,

R

FIGURA 3.6.7 Lata cilíndrica del ejemplo 4.

(6)

pero necesitamos expresar V como función solamente de r (o como función sólo de h). Tanto la tapa circular como la base de la lata tienen área πr 2 in2, de manera que el área de cobre que se usará es 2πr 2 y su costo es 4πr 2 centavos. El área del lado curvo de la lata es 2πrh in2, y ésta es el área de aluminio usada, con costos de 2πrh centavos. Obtenemos el costo total de la lata sumando el costo del cobre al costo del aluminio. Esta suma debe ser 300π¢ y por lo tanto 4πr 2 + 2πr h = 300π.

(7)

160 CAPÍTULO 3

La derivada

Eliminamos h en la ecuación (6) despejándola de la ecuación (7): h=

1 300π − 4πr 2 = (150 − 2r 2 ). 2πr r

(8)

Entonces 1 V = V (r ) = (πr 2 ) (150 − 2r 2 ) = 2π(75r − r 3 ). (9) r 2 Para determinar el dominio de V, observamos en la ecuación (7) √ √ que 4πr < 75 para la lata deseada; con r  75 = 5 3, obtenemos 300π, de manera que r <  una lata degenerada con altura h  0. Con r  0, no obtenemos un valor para h en la ecuación (8) y por lo tanto ninguna lata, pero de todas maneras V(r) es continua en r  0. En consecuencia, podemos tomar el intervalo cerrado [0, 5 3] como el dominio de V. Al calcular la derivada tenemos V  (r ) = 2π(75 − 3r 2 ) = 6π(25 − r 2 ).

Como V(r) es un polinomio, V 9(r) existe para todos los valores de r, de manera que obtenemos todos los puntos críticos resolviendo la ecuación V  (r ) = 0;

es decir, 6π(25 − r 2 ) = 0.



Descartamos la solución −5, ya que no está en el dominio de V. Así, obtenemos el único punto crítico r  5 en [0, 5 3]. Ahora bien 6 ./ H ; 6 ./ H ; p 6   H :



MÖXIMOABSOLUTO

La lata de volumen máximo tiene radio r  5 in y la ecuación (8) da su altura h  20 Z in. La figura 3.6.8 muestra esta lata.

FIGURA 3.6.8 Lata de volumen máximo del ejemplo 4.

EJEMPLO 5 (problema del aserradero) Suponga que necesita cortar una viga con sección transversal rectangular máxima a partir de un tronco circular de radio 1 ft. (Éste es el problema geométrico de encontrar el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un círculo de radio 1.) ¿Cuáles son la forma y el área de la sección transversal de esta viga?

2ADIO Y

Y

X

X

FIGURA 3.6.9 Problema del aserradero (ejemplo 5).

Solución Sean x y y la mitad de la base y la mitad de la altura, respectivamente, del rectángulo inscrito (figura 3.6.9). Aplique el teorema de Pitágoras al pequeño triángulo rectángulo de la figura. Esto lleva a la ecuación

y = 1 − x 2. de manera que x2 + y2  1, El área del rectángulo inscrito es A  (2x)(2y)  4xy. Ahora podemos expresar A como una función sólo de x:

A(x) = 4x 1 − x 2 . el dominio práctico de definición de A es (0, 1), y no hay problema (y sí gran ventaja) en adjuntar los puntos terminales o extremos, de manera que tomamos [0, 1] como el dominio. Luego dA 4 − 8x 2 = 4 · (1 − x 2 )1/2 + 2x(1 − x 2 )−1/2 (−2x) = . dx (1 − x 2 )1/2

Se observa que A 9(1) no existe, pero esto no causa complicación debido a que la derivable en los puntos extremos no se supone en el teorema 3 de la sección 3.5. Por lo cual debemos resolver la ecuación A (x) = 0;

SECCIÓN 3.6

Problemas de optimización aplicada

161

es decir, 4 − 8x 2 = 0. √ 1 − x2

Una fracción es cero cuando su numerador es cero y su denominador no lo es, así, A9(x)  0 cuando 4 − 8x2  0. Se encuentra, pues, que el único punto crítico de A en el p p p intervalo abierto (0, 1) es X H = H    Y X H Y H   Evaluamos A aquí en los dos puntos terminales para encontrar que !./ H ; p !   H ;

MÖXIMOABSOLUTO

!./ H :

Por lo tanto, la viga con sección transversal rectangular de área máxima es cuadrada, Z con lados de longitud  2 ft y con área de sección transversal de 2 ft2. 



En el problema 43 le preguntamos cómo maximizar el área total de la sección transversal de los cuatro tablones que pueden cortarse de las cuatro piezas de tronco que quedan después de cortar la viga cuadrada (figura 3.6.10). Debe siempre verificar la factibilidad de sus respuestas. En el ejemplo 5, el área de la sección transversal del tronco del cual se corta la viga es π ≈ 3.14 ft2. La viga de área de sección transversal máxima, 2 ft2, usa un poco menos de 64% del tronco. Esto es factible. Si la fracción hubiera sido 3%, en extremo ineficiente, o 98%, demasiado optimista, tendría que haber buscado un error aritmético, algebraico, de cálculo o lógico (igual que si la fracción hubiera sido −14% o 150%). Verifique la factibilidad de los resultados de los ejemplo 1 a 4. Factibilidad

FIGURA 3.6.10 Corte cuatro vigas más después de cortar la viga grande.

Otra manera de verificar las respuestas es usar un análisis de dimensiones. Trabaje los problemas con constantes no especificadas en lugar de números. En el ejemplo 5, sería una buena práctica encontrar la viga de sección transversal rectangular que se puede cortar de un tronco de radio R en lugar de radio de 1 pie. Siempre puede sustituir el valor dado R  1 al concluir la solución. Una solución breve a este problema es la siguiente:

Dimensiones

Dimensiones de la viga: base 2x, altura 2y. Área de la viga: A  4xy. Dibuje el radio del tronco desde su centro a una esquina de la viga rectangular, como en la figura 3.6.11. Este radio tiene longitud R, y el teorema de Pitágoras da

y = R2 − x 2. x 2 + y2 = R2;

2

Y X

FIGURA 3.6.11 Tronco con radio R.

162 CAPÍTULO 3

La derivada

Área de la viga:

A(x) = 4x R 2 − x 2 ,

0  x  R.

4R 2 − 8x 2 A (x) = 4(R 2 − x 2 )1/2 + 2x(R 2 − x 2 )−1/2 (−2x) = √ . R2 − x 2 ¬REA!2

2 

2 

FIGURA 3.6.12 Cuadrado inscrito con área de sección transversal máxima.

A9(x) no existe cuando x  R, pero ése es un punto terminal; lo verificaremos por separado. √ A9(x)  0 cuando x  12 R 2 (ignoramos la raíz negativa; no está en el dominio de A). !./ H ; p MÖXIMOABSOLUTO !  2  H 2  ; !.2/ H :

La figura 3.6.12 muestra las dimensiones del rectángulo inscrito de área máxima. Ahora verifique la precisión dimensional de los resultados. El valor de x que maximiza A es una longitud (R) multiplicada por una constante numérica (sin dimen√ sión) pura ( 12 2), de manera que x tiene dimensiones de longitud, que es correcto; si hubiera sido diferente, sería necesario buscar el error. Más aún, el área de sección transversal máxima de la viga es 2R2, el producto de un número puro y el cuadrado de una longitud, por lo que tiene dimensiones de área. Esto también es correcto. EJEMPLO 6 Considere la reflexión de un rayo de luz en un espejo M como en la figura 3.6.13, que muestra el rayo que viaja del punto A al punto B vía la reflexión en M en el punto P. Suponga que la localización del punto de reflexión es tal que se minimizará la distancia total d1 + d2 recorrida por el rayo de luz. Ésta es una aplicación del principio del menor tiempo de Fermat para la propagación de la luz. El problema es encontrar P.

! "

D

D

A

B

A

B

X !g

-

C X 0

C

"g

FIGURA 3.6.13 Reflexión en P de un rayo de luz en un espejo M (ejemplo 6).

Solución Baje perpendiculares de A y B al plano del espejo M. Denote los pies de estas perpendiculares por A9 y B9 (figura 3.6.13). Sean a, b, c y x las longitudes de los segmentos AA9, BB9, A9B9 y A9P, respectivamente. Así, c − x es la longitud del segmento PB9. Por el teorema de Pitágoras, la distancia que se quiere minimizar es



(10) d1 + d2 = f (x) = a 2 + x 2 + b2 + (c − x)2 . Podemos seleccionar como dominio de f el intervalo [0, c], porque el mínimo de f ocurre en algún lugar dentro del él. (Para ver por qué, examine la figura que obtiene si x no está en ese intervalo.) Entonces x (c − x)(−1) +

. (11) f  (x) = √ 2 2 a +x b2 + (c − x)2 Al reconocer las distancias d1 y d2 en los denominadores en (11), se ve que x c−x f  (x) = − . d1 d2

(12)

En consecuencia, cualquier tangente horizontal a la gráfica de f debe ocurrir sobre el punto x determinado por la ecuación c−x x = . (13) d1 d2 En ese punto, cos α  cos β, donde α es el ángulo de incidencia del rayo de luz y cos β es el ángulo del rayo reflejado (figura 3.6.13). Ambos, α y β, están entre 0 y πy2, y encontramos que α  β. En resumen, el punto P debe estar localizado de modo que el ángulo de incidencia sea igual al ángulo de reflexión, un principio conocido de Z física.

SECCIÓN 3.6

Problemas de optimización aplicada

163

Los cálculos en el ejemplo 6 tienen una interpretación alternativa interesante, aunque algo fantasiosa. La figura 3.6.14 ilustra un comedero de animales de 200 ft de largo con un bebedero a lo largo de una orilla y contenedores de alimento en la orilla adyacente. Una vaca entra por la reja en el punto A, a 90 ft del agua. Camina directo al punto P, bebe y luego camina hacia el alimento en el punto B, ubicado a 60 ft del bebedero. Si la vaca supiera cálculo, ¿qué punto P en el bebedero elegiría para minimizar la distancia total que camina? ! #ONTENEDORDEALIMENTO "   0 "EBEDERO nX

X

FIGURA 3.6.14 Comedero de animales.

Al comparar las figuras 3.6.13 y 3.6.14, se ve que el problema de la vaca es minimizar la función de distancia f en la ecuación (10) con los valores numéricos a  90, b  60 y c  200. Sustituimos estos valores y D H

A C X 

Y

D H

B H .C X/

en la ecuación (13), obtenemos x 200 − x =

. √ 8100 + x 2 3600 + (200 − x)2 Elevamos al cuadrado ambos lados, eliminamos fracciones y simplificamos. El resultado es x 2 [3600 + (200 − x)2 ] = (200 − x)2 (8100 + x 2 ); 3600x 2 = 8100(200 − x)2 ; (¿Por qué?) 60x = 90(200 − x); 150x = 18,000; x = 120. Así, la vaca debe ir directamente al punto P localizado a 120 ft a lo largo del bebedero. Estos ejemplos indican que el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado se aplica a una amplia variedad de problemas. Sin duda, problemas de optimización aplicada tan diferentes como rayos de luz y vacas tienen en esencia modelos matemáticos idénticos. Ésta es sólo una ilustración del poder de la generalidad que explota el cálculo de manera tan efectiva.

3.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El área máxima del corral del ejemplo 1 es 5000 yardas cuadradas. 2. El área máxima del corral del ejemplo 1 ocurre cuando el lado paralelo a la pared tiene longitud de 100 yardas. 3. El dominio de la función de volumen en el ejemplo 2 se determina por el hecho de que ni la longitud ni la anchura ni la altura de la caja pueden ser negativas. 4. En el ejemplo 4 trabajamos bastante para obtener el intervalo cerrado [0, 5 3] para el dominio de la función V porque no teníamos nada mejor que hacer. 5. En el ejemplo 5 la función del área A(x) no es derivable en el punto terminal x  1 de su dominio, entonces la función del área no tiene extremo ahí.

164 CAPÍTULO 3

La derivada

6. Es factible que cuando el rectángulo de área más grande posible se inscribe en un círculo, el rectángulo ocupe 3% del área del círculo. 7. Es razonable que cuando el rectángulo de área más grande posible se inscribe en un círculo de radio R, el área del rectángulo sea 2R ft. 8. La luz viaja del punto A al punto B de manera que minimiza el tiempo total para llegar de A a B. 9. Para resolver un problema aplicado de máximo-mínimo, es sensato comenzar por identificar la cantidad que se quiere maximizar o minimizar. √ 10. Para resolver una ecuación como 8 − x 2 = x, es sensato comenzar por elevar al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz.

3.6 CONCEPTOS, PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Cómo decide cuál es la variable dependiente en un problema de optimización? ¿Y la variable independiente? Analice las diferencias en los papeles que desempeñan las variables dependiente e independiente en un problema de optimización. 2. Analice las diferencias entre los siguientes conceptos: • Una relación entre dos o más variables que describe un problema aplicado. • Una fórmula que da la variable dependiente en términos de las otras variables. • Una función que expresa la variable dependiente en términos de una variable independiente. Describa y compare los papeles que tienen las relaciones, fórmulas y funciones en los problemas de optimización típicos.

3.6 PROBLEMAS 1. Encuentre dos números reales positivos x y y tales que su suma sea 50 y su producto tan grande como sea posible. 2. Encuentre el área máxima posible de un rectángulo con perímetro de 200 m. 3. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vértice en el origen, uno en el lado positivo del eje x, otro en el lado positivo del eje y y el cuarto en el primer cuadrante sobre la recta con ecuación 2x + y  100 (figura 3.6.15). ¿Cuál es el área máxima posible de este rectángulo?

5. Una caja rectangular tiene una base cuadrada con aristas de por lo menos 1 in de largo. No tiene tapa y el área total de sus cinco lados es 300 in2 (figura 3.6.16). ¿Cuál es el volumen máximo posible de esta caja?

Y

Y

X

X

FIGURA 3.6.16 Caja con base cuadrada y volumen V = x2y (problemas 5, 17 y 20.) X Y XY X

FIGURA 3.6.15 Rectángulo del problema 3.

4. Un granjero tiene 600 m de barda que usará para rodear un corral rectangular adyacente a una pared existente. Usará la pared como un lado del corral y la barda disponible para los otros tres lados. ¿Cuál es el área máxima que puede rodear de esta manera?

6. Si x está en el intervalo [0, 1], entonces x − x2 no es negativo. ¿Cuál es el valor máximo que x − x2 puede tener en ese intervalo? En otras palabras, ¿cuál es cantidad más grande por la que un número real puede exceder a su cuadrado? 7. La suma de dos números positivos es 48. ¿Cuál es el valor más pequeño posible de la suma de sus cuadrados? 8. Un rectángulo de perímetro fijo 36 se rota sobre uno de sus lados, barriendo una figura con la forma de un cilindro circular (figura 3.6.17). ¿Cuál es el volumen máximo posible de ese cilindro?

SECCIÓN 3.6

Problemas de optimización aplicada

165

Y Y X H

X Y

R X

FIGURA 3.6.17 Rectángulo y cilindro del problema 8.

FIGURA 3.6.20 Rectángulo del problema 16.

9. La suma de dos números reales no negativos es 10. Encuentre el valor más pequeño posible de la suma de sus cubos. 10. Suponga que la fuerza de una viga rectangular es proporcional al producto del ancho y el cuadrado de la altura de su sección transversal. ¿Qué forma debe tener el corte a partir de un tronco cilíndrico de radio r para lograr la mayor fuerza posible? 11. Un granjero tiene 600 yardas de barda con las cuales quiere construir un corral rectangular. Parte de la barda se usará para construir dos bardas divisorias a intervalos iguales, ambas paralelas a los mismos dos lados del corral (figura 3.6.18). ¿Cuál es el área total máxima posible de este corral?

Y

Y

Y

Y

X

FIGURA 3.6.18 Corral dividido del problema 11.

X X

12. Encuentre el volumen máximo posible de un cilindro circular recto si el área de su superficie total —incluyendo ambas tapas circulares— es 150π. 13. Encuentre el área máxima posible de un rectángulo con diagonales de longitud 16. 14. Un rectángulo tiene un línea fija L que va de un vértice al punto medio de uno de los lados opuestos (figura 3.6.19). ¿Cual es el área máxima posible de este rectángulo?

,

17. Una caja rectangular tiene base cuadrada con aristas de por lo menos 1 cm de largo. El área de su superficie total es 600 cm2. ¿Cuál es el volumen más grande posible que puede tener esta caja? 18. Debe hacer una lata cilíndrica con base pero sin tapa a partir de una hoja de metal de 300π in2. No debe desperdiciar metal; ordene una pieza circular de cualquier tamaño para la base y cualquier pieza rectangular adecuada para convertirla en el lado curvo siempre y cuando se cumplan las condiciones dadas. ¿Cuál es el volumen máximo posible de esta lata? 19. Tres cuadrados grandes de aluminio, cada uno con lados de 1 m de largo, tienen cuatro pequeños cuadrados iguales recortados en las esquinas. Los doce cuadrados que resultan deben ser del mismo tamaño (figura 3.6.21). Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se sueldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadros pequeños se usan para hacer cubos. ¿Cómo debe hacer esto para maximizar el volumen total de las cinco cajas?

Y 

X

FIGURA 3.6.19 Rectángulo del problema 14.

15. El volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T entre 0°C y 30°C se aproxima bien por V = 999.87 − (0.06426)T + (0.0085043)T 2 − (0.0000679)T 3 .

¿A qué temperatura tiene el agua su densidad máxima? 16. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo con una base que está sobre el eje x y dos vértices superiores que están en la gráfica de la ecuación y  4 − x2 (figura 3.6.20)?

M

X X

M

FIGURA 3.6.21 Uno de los tres cuadrados de 1 m del problema 19.

20. Suponga que debe formar una caja rectangular con base cuadrada con dos materiales diferentes. El material para la tapa y cuatro lados de la caja cuesta $1/ft2; el material para la base cuesta $2/ft2. Encuentre las dimensiones de la caja con el mayor volumen posible si sólo puede gastar $144 en el material para hacerla. 21. Una pieza de alambre de 80 in de largo se corta en dos piezas cuando mucho. Cada pieza se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe hacer esto para minimizar la suma de las áreas de los cuadrados? ¿Y para maximizarla? 22. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos piezas. Con una se forma un círculo, con la otra un cuadrado. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del cuadrado y el círculo? ¿Y para minimizarla? 23. Una granjera tiene 600 m de barda con la que planea rodear un pastizal adyacente a un muro largo. Planea colocar un lado paralelo al muro, y dos para cerrar de la barda al muro,

166 CAPÍTULO 3

La derivada

colocará un cuarto lado (perpendicular al muro) para dividir el pastizal en dos partes iguales. ¿Cuál es el área máxima que puede rodear? 24. El gerente de un zoológico necesita agregar un corral exterior rectangular a una casa de animales con una muesca en una esquina, como se muestra en la figura 3.6.22. Si dispone de 85 m de barda nueva, ¿cuáles son las dimensiones del corral que maximizan su área? No se usará barda donde está el muro de la casa de animales.

investigación de mercado revela que 40 personas menos irán en tren por cada 5¢ de incremento en la tarifa y 40 más por cada disminución de 5¢. ¿Qué tarifa debe cobrarse para obtener el ingreso más alto posible? 32. Encuentre la forma del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio R (figura 3.6.23). Muestre que la razón de la altura del cilindro a su radio es  2 y que la razón del volumen de la esfera a la del cilindro máximo es  3.

#ASADEANIMALES

H 

2 R

M M

.UEVABARDA

FIGURA 3.6.22 Corral rectangular del problema 24.

25. Suponga que una oficina de correos sólo acepta paquetes para envío si la suma de la longitud y el cincho (perímetro de la sección transversal) es cuando mucho de 100 in. ¿Cuál es el volumen máximo de una caja rectangular que se puede enviar? 26. Repita el problema 25, pero use un paquete cilíndrico; su sección transversal es circular. 27. Una imprenta tiene ocho prensas, cada una imprime 3600 copias por hora. Cuesta $5.00 cada preparación para una corrida de prensa y 10 + 6n dólares hacer n pasadas durante 1 hora. ¿Cuántas pasadas debe usar para imprimir 50,000 copias de un cartel de la manera más rentable? 28. Un agricultor quiere contratar trabajadores para recoger 900 bushels de frijol. Cada trabajador recoge 5 bushels por hora y gana $1.00 por bushel. El agricultor también debe pagar un supervisor a $10 por hora mientras que se realiza la cosecha; además, tiene diversos gastos que suman $8 por hora. ¿Cuántos trabajadores debe contratar para minimizar el costo total? ¿Cuál será el costo por bushel recogido? 29. Los costos de calentar y enfriar cierta casa aislada son $500/ ≤ 10 pulgadas de aislante, los costos son año, pero con x − 1000y(2 + x) dólares/año. Cuesta $150 por pulgada (de grueso) el aislante instalado. ¿Cuántas pulgadas de aislante deben instalarse para minimizar el costo total (inicial más anual) en un periodo de 10 años? ¿Cuál será el ahorro anual obtenido con este aislamiento óptimo? 30. Una concesionaria vende 5000 burritos cada noche de juego a 50¢ cada uno. Cuando subió el precio a 70¢ cada uno las ventas bajaron a 4000 por noche. Suponga una relación lineal entre el precio y las ventas. Si tiene un costo fijo de $1000 por noche y cada burrito le cuesta 25¢, ¿qué precio maximizará su ganancia por noche? 31. Un tren suburbano lleva 600 pasajeros cada día de un suburbio a la ciudad. Cuesta $1.50 por persona subir al tren. Una

FIGURA 3.6.23 Esfera y cilindro del problema 32.

33. Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de radio R y altura H (figura 3.6.24).

( H

R

2

FIGURA 3.6.24 Cono y cilindro del problema 33.

34. La figura 3.6.25 muestra un círculo de radio 1 en el que se inscribió un trapezoide. El más largo de los lados paralelos del trapezoide coincide con el diámetro del círculo. ¿Cuál es el área máxima posible de este trapezoide? (Sugerencia: una cantidad positiva se maximiza cuando se maximiza su cuadrado.) X





FIGURA 3.6.25 Círculo y trapezoide del problema 34.

35. Demuestre que el rectángulo de perímetro máximo que se puede inscribir en un círculo es un cuadrado.

SECCIÓN 3.6

36. Encuentre las dimensiones del rectángulo (con lados paralelos a los ejes coordenados) de área máxima que se puede inscribir en la elipse con ecuación y2 x2 + =1 25 9

(figura 3.6.26). Y   X Y

 

Problemas de optimización aplicada

167

45. Una pequeña isla está a dos kilómetros de la costa de un gran lago. Una mujer desde la isla rema su lancha a 10 km/h yendo a una velocidad de 20 km/h. Si rema al punto más cercano de la costa, llegará a 6 km del pueblo costeño. ¿Hacia dónde debe remar para llegar al pueblo lo más rápido posible con la combinación de remar y caminar? 46. Una fábrica está localizada en la orilla de un río recto que tiene 2000 m de ancho. En la orilla opuesta, pero 4500 m río abajo, hay una central eléctrica que surte de energía a la fábrica. Suponga que cuesta el triple por metro tender un cable abajo del agua que tenderlo por el aire. ¿Qué trayectoria debe seguir un cable que conecte la central eléctrica con la fábrica para minimizar el costo de tender el cable? 47. Una compañía tiene plantas localizadas (en un sistema coordenado apropiado) en los puntos A(0, 1), B(0, −1) y C(3, 0) (figura 3.6.29). La compañía planea construir un centro de distribución en el punto P(x, 0). ¿Qué valor de x minimiza la suma de las distancias de P a A, B y C? Y

FIGURA 3.6.26 Elipse y rectángulo del problema 36.

37. Un cono circular recto de radio r y altura h tiene altura incli√ nada L = r 2 + h 2 . ¿Cuál es el volumen máximo posible de un cono con altura inclinada 10? 38. Dos postes verticales separados por 10 ft tienen ambos 10 ft de altura. Encuentre la longitud de la cuerda más corta que puede llegar de la punta de un poste a un punto en el suelo entre ellos y luego a la punta del otro poste. 39. La suma de dos números reales negativos es 16. Encuentre el valor máximo posible y el valor mínimo posible de la suma de sus raíces cúbicas. 40. Un cable recto de 60 cm de largo se dobla en forma de L. ¿Cuál es la distancia más corta posible entre las dos terminales del cable doblado? 41. ¿Cuál es la distancia más corta posible de un punto en la parábola y  x2 al punto (0, 1)? √ 42. Existe exactamente un punto en la gráfica de y  3 3x − 4 que está más cerca del origen. Encuentre este punto. (Sugerencia: vea la figura 3.6.27 y resuelva la ecuación que obtenga por inspección.)   Y















 X



FIGURA 3.6.27 Curva del problema 42.

! 0

X "

FIGURA 3.6.29 Localizaciones para el problema 47.

48. La luz viaja a una velocidad c en el aire y a un paso más lento v en el agua. (La constante c es aproximadamente 3 × 1010 cm/s; la razón n  cyv, conocida como índice de refracción, depende del color de la luz pero se aproxima a 1.33 para el agua.) La figura 3.6.30 muestra la trayectoria de un rayo de luz que viaja del punto A en el aire al punto B en el agua, con lo que parece ser un cambio de dirección cuando el rayo cruza la interfase agua-aire. a) Escriba el tiempo T requerido para que el rayo viaje de A a B en términos de la variable x y las constantes a, b, c, s y v, todas ellas definidas o mostradas en la figura. b) Muestre que la ecuación T 9(x)  0 para minimizar T es equivalente a la condición SEN  C H H N: SEN G Ésta es la ley de Snell: la razón de los senos de los ángulos de incidencia y refracción es igual al índice de refracción.



!



FIGURA 3.6.28 Rectángulo y triángulo equilátero del problema 44.

43. Encuentre las dimensiones que maximizan el área de la sección transversal de los cuatro tablones que se pueden cortar de las cuatro piezas del tronco circular del ejemplo 5 (las piezas que quedan después de cortar una viga cuadrada del tronco). 44. Encuentre el área máxima de un rectángulo inscrito en un triángulo equilátero con lados de longitud 1, como en la figura 3.6.28.

#

A 0

A S X

!IRE 1 !GUA

X

B

B "

FIGURA 3.6.30 La ley de Snell da la trayectoria de la luz refractada (problema 48).

168 CAPÍTULO 3

La derivada

52. Su hermano tiene seis piezas de madera para hacer el marco del papalote que se muestra en la figura 3.6.32. Ya cortó las cuatro piezas exteriores con las longitudes indicadas. ¿De qué longitud deben ser los soportes interiores para maximizar el área del papalote?

Refracción de la luz en la interfase aire-agua









FIGURA 3.6.32 Marco del papalote (problema 52).

49. Las matemáticas de la ley de Snell (problema 48) se aplican a situaciones diferentes a la refracción de la luz. La figura 3.6.31 muestra una falla geológica este-oeste que separa dos ciudades en los puntos A y B. Suponga que A está a a millas al norte de la falla, B está a b millas al sur de la falla y a L millas al este de A. Queremos construir una carretera de A a B. Debido a las diferencias en el terreno, el costo de construcción es C1 (en millones de dólares por milla) al norte de la falla y C2 al sur de ella. ¿Dónde debe colocarse el punto P para minimizar el costo total de la construcción? a) Usando la notación en la figura, muestre que el costo se minimiza cuando C1 sen θ1  C2 sen θ2. b) Tome a  b  C1  1, C2  2 y L  4. Muestre que la ecuación en el inciso a) es equivalente a f (x) = 3x 4 − 24x 3 + 51x 2 − 32x + 64 = 0.

Para aproximar la solución deseada de esta ecuación, calcule f (0), f (1), f (2), f (3) y f (4). Debe encontrar que f (3) > 0 > f (4). Interpole entre f (3) y f (4) para aproximar la raíz deseada de esta ecuación.

Los problemas 53 a 55 manejan métodos alternativos para construir una tienda de campaña. 53. La figura 3.6.33 muestra una pieza de lona cuadrada de 20 por 20 ft para una tienda. La tropa A de las guías debe cortar piezas de sus cuatro esquinas como se indica, para que las cuatro solapas triangulares se puedan doblar hacia arriba para formar la tienda como pirámide con base cuadrada. ¿Cómo debe hacerse para maximizar el volumen de la tienda? Sea A el área de la base de la tienda y h la altura. Con x como se indica en la figura, muestre que 6 H  !H de la tienda está dado por √ V (x) = 43 x 2 100 − 20x,

0  x  5.

Maximice V graficando V(x) y V 9(x) y amplificando en el cero de V 9(x).

! H

X A

Q

 X , X

7

% X

 X

0

B

Q "

FIGURA 3.6.31 Construcción de una carretera de A a B (problema 49).

50. La suma de los volúmenes de dos cubos es 2000 in3. ¿Cuánto deben medir sus aristas x y y para maximizar la suma de las áreas de sus superficies? ¿Y para minimizarla? 51. La suma de las áreas de las superficies de un cubo y una esfera es 1000 in2. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para minimizar la suma de sus volúmenes? ¿Y para maximizarla?

X

FIGURA 3.6.33 Lona cuadrada, primer intento.

54. La tropa B de las guías debe hacer una tienda en forma de pirámide con base cuadrada a partir de una lona similar de 20 por 20 ft, pero de la manera indicada en la figura 3.6.34. Con x como se indica en la figura, muestre que el volumen de la tienda está dado por √ V (x) = 23 x 2 200 − 20x, 0  x  10. Maximice el volumen gráficamente como en el problema 53.

SECCIÓN 3.7

Derivadas de funciones trigonométricas

169

61. La figura 3.6.35 muestra un triángulo acotado por los ejes coordenados no negativos y la recta tangente a la curva y  1y(1 + x2) en el punto del primer cuadrante (x, y). ¿Es evidente que el área A(x) de este triángulo es muy grande cuando x > 0 está muy cerca de cero? Pero su tarea es encontrar los valores máximo y mínimo de A para 12  x  2. Será conveniente usar un sistema algebraico de computadora, tanto para encontrar A(x) como para resolver la ecuación de sexto grado que ha de encontrar.

X

FIGURA 3.6.34 Lona cuadrada, segundo intento.

Y

55. Resuelva los problemas 53 y 54 analíticamente para verificar que el volumen máximo en el problema 54 es exactamente 2 2 veces el volumen máximo en el problema 53. ¡Vale la pena pensar antes de hacer una tienda de campaña!

Y

Los problemas 56 y 57 manejan cajas rectangulares con base cuadrada. Se dice que estas cajas son cerradas si tienen ambas tapas (cuadradas) arriba y abajo (además de los cuatro lados verticales); son abiertas si tienen base pero no tapa. 56. Demuestre que, entre todas las cajas rectangulares con base cuadrada cerradas con área de superficie total fija dada, la que tiene el volumen máximo es un cubo. 57. Demuestre que, entre todas las cajas rectangulares con base cuadrada abiertas con área de superficie total fija dada, la que tiene el volumen máximo tiene altura igual a la mitad de la longitud de las aristas de su base. Los problemas 58 a 60 manejan cilindros circulares rectos. Se dice que estas “latas” son cerradas si tienen tapa y base (circulares) (igual que un lado curvo), y abiertas, si tienen base pero no tapa. 58. Demuestre que, entre todas las latas cilíndricas cerradas con área de superficie total fija dada, la que tiene el volumen máximo tiene altura igual al diámetro de su base. 59. Demuestre que, entre todas las latas cilíndricas abiertas con área de superficie total fija dada, la que tiene el volumen máximo tiene altura igual al radio de su base. 60. Suponga que la superficie de la base y el lado curvo de una lata de refresco tienen el mismo grueso. Pero, para que la tapa no se desgarre al abrirla, debe ser tres veces más gruesa que la base. Demuestre que, entre todas las latas de refresco hechas con una cantidad de material total fija (incluyendo la tapa con triple grueso), la que tiene el volumen máximo tiene altura aproximada a dos veces el diámetro. (Quizás a esto se debe que las latas de refresco se vean un poco más altas que las de sopa o vegetales.) Sugerencia: para simplificar los cálculos, suponga que la cantidad de material usada para hacer una lata de radio interior r, altura interior h y grueso t (excepto la tapa que tiene grueso 3t), es π r 2 t + 2π rht + 3π r 2 t. Esto será bastante exacto si t es muy pequeña en comparación con r y h.

 X

X Y

X

FIGURA 3.6.35 Triángulo acotado por los ejes coordenados y la recta 1 tangente a la curva y = . 1 + x2

62. La figura 3.6.36 muestra un parque de una milla cuadrada en el centro de Villabuena. Una compañía de luz local debe tender una línea de energía de la esquina noroeste A del parque a la esquina sureste B. Para preservar la belleza del parque, sólo pueden tenderse líneas subterráneas a través de él, pero se permiten líneas aéreas en los límites del parque. La compañía de luz planea construir una línea aérea a una distancia x por la orilla oeste del parque, luego desde la punta más al sur de esta línea continuará directo al punto B. Si las líneas aéreas cuestan $40 mil por milla y las subterráneas $100 mil por milla, ¿cómo debe tender la línea la compañía para minimizar su costo total? ! X

"

FIGURA 3.6.36 Parque de una milla cuadrada en el centro de Villabuena.

3.7 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En esta sección comenzamos el estudio del cálculo de funciones trigonométricas, centrándonos primero en las funciones seno y coseno. Las definiciones de las propiedades elementales de las funciones trigonométricas se repasan en el apéndice C.

170 CAPÍTULO 3

La derivada

Cuando escribimos sen θ (o cos θ ), nos referimos al seno (o coseno) de un ángulo de θ radianes (rad). Recuerde la relación fundamental entre la medida en radianes y la medida en grados de los ángulos:  RADIANES H  GRADOS: 2ADIANES

'RADOS

 = = = = = = =  =  

           

FIGURA 3.7.1 Algunas conversiones entre radianes y grados.



Al dividir ambos lados de esta ecuación entre π y 180, respectivamente, y abreviar las unidades, obtenemos las relaciones de conversión  RAD H

 GRADOS 

Y

 GRADO H

 RAD: 

La figura 3.7.1 muestra las conversiones de radianes-grados para algunos ángulos que ocurren con frecuencia. Las derivadas de las funciones seno y coseno dependen de los límites SEN   COS  H ; L¤M L¤M H   !   !  que se establecieron en la sección 2.3. Las fórmulas adicionales COS.X C Y/ H COS X COS Y SEN X SENY;  SEN.X C Y/ H SEN X COS Y C COS X SEN Y también se necesitan.

TEOREMA 1 Derivadas de senos y cosenos Las funciones f (x)  sen x y g(x)  cos x son derivables para toda x, y Dx sen x  cos x, Dx cos x  − sen x.

(4) (5)

Demostración Para derivar f (x)  sen x, comenzamos con la definición de la derivada, F .X C H/ F .X/ SEN.X C H/ SEN X H L¤M F .X/ H L¤M : H! H! H H Después aplicamos la fórmula de la suma para el seno y las leyes de los límites para obtener .SEN X COS H C SEN H COS X/ SEN X F .X/ H L¤M H! H

H L¤M .COS X/

SEN H  COS H .SEN X/ H H

H .COS X/ L¤M

SEN H H

H!

H!

.SEN X/ L¤M

H!

 COS H : H

Los límites en la ecuación (2) ahora llevan a F .X/ H .COS X/./ .SEN X/./ H COS X; que prueba la ecuación (4). La demostración de la ecuación (5) es similar. (Vea el problema 72.) X Los ejemplos 1 a 4 ilustran la aplicación de las ecuaciones (4) y (5) junto con las fórmulas generales de diferenciación de las secciones 3.2, 3.3 y 3.4 para diferenciar combinaciones distintas de funciones trigonométricas y otras. EJEMPLO 1

La regla del producto produce $X .X  SEN X/ H .$X X  /.SEN X/ C .X  /.$X SEN X/ H X SEN X C X  COS X:

Z

SECCIÓN 3.7

EJEMPLO 2

Derivadas de funciones trigonométricas

COS X , la regla del cociente da  SEN X DY .$X COS X/. SEN X/ .COS X/T$X . SEN X/U H DX . SEN X/ . SEN X/. SEN X/ .COS X/. COS X/ H . SEN X/ SEN X C SEN X C COS X SEN X C  H H I . SEN X/ . SEN X/  DY H : DX  SEN X

171

Si Y H

Z

EJEMPLO 3 Si x  cos3 t y u  cos t, de manera que x  u3, la regla de la cadena produce DX D X DU H H .U  /. SEN T/ H . COS T/. SEN T/ H  COS T SEN T: Z DT DU DT EJEMPLO 4

Si g(t)  (2 − 3 cos t)3y2, la regla de la cadena lleva a G .T/ H  .  COS T/= $T .  COS T/ H  .  COS T/= . SEN T/ H  .  COS T/= SEN T:

Z

EJEMPLO 5 Escriba una ecuación de la recta tangente a la curva y  cos2 x en el punto P sobre la gráfica donde x  0.5. Las aproximaciones son aceptables.

Solución La ordenada de P es y(0.5)  (cos 0.5)2 ≈ (o,8776)2 ≈ 0.7702.

 YCOS X 

DY H  COS X SEN X; DX

0 

la pendiente de la recta tangente en P es Y



MH

 Y X







 X



FIGURA 3.7.2 Curva y = cos2 x y su recta tangente en el punto P donde x = 0.5.

DY DX

H .COS :/.SEN :/  :: XH:

De esta forma, la fórmula de punto-pendiente da la ecuación (aproximada) 

y − 0.7702 = −(0.8415)(x − 0.5);

es decir, y  −(0.8415)x + 1.1909, es la ecuación deseada de la recta tangente en P. La figura 3.7.2 ilustra el resultado de verificar estos cálculos graficando tanto la curva Z y  cos2 x como la recta con esta ecuación.

Funciones trigonométricas restantes Es sencillo derivar las otras cuatro funciones trigonométricas, porque pueden expresarse en términos de las funciones seno y coseno: TAN X H SEC X H

SEN X ; COS X  ; COS X

COS X ; SEN X  CSC X H : SEN X COT X H



Cada una de estas fórmulas es válida excepto donde se encuentra cero en el denominador. Así, tan x y sec x no están definidas cuando x es un múltiplo entero impar de πy2, y cot x y csc x no están definidas cuando x es un múltiplo entero de π. Las gráficas de las seis funciones trigonométricas aparecen en la figura 3.7.3. Ahí se muestra el seno y su recíproco, la cosecante, en el mismo plano coordenado; también se presenta el par del coseno y la secante, pero la tangente y la cotangente se muestran por separado.

172 CAPÍTULO 3

  

P  

Y

YCSCX

P

P 

P 









  

La derivada

P

YSENX P

P

X

YSECX YCOSX P

P

P

X

P

Y

P

Como ejercicio (problema 71), debe obtener las fórmulas de derivación en las ecuaciones (8) a (10) del teorema 2.

P 

P 









   

.$X SEN X/.COS X/ .SEN X/.$X COS X/ .COS X/ COS X C SEN X  .COS X/.COS X/ .SEN X/. SEN X/ H H I H   COS X COS X COS X $X TAN X H SEC X:

TEOREMA 2 Derivadas de las funciones trigonométricas Las funciones f (x)  tan x, g(x)  cot x, p(x)  sec x y q(x)  csc x son derivables en todas partes donde estén definidas y

A

   

DEMANERAQUE $X TAN X H

Y









Las funciones en la ecuación (6) se pueden derivar usando la regla del cociente y las derivadas de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, SEN X ; TAN X H COS X

P P P 

P

YTANX

YCOTX









P

P

P

X





  

$X COT X H CSC X; $X SEC X H SEC X TAN X; $X CSC X H CSC X COT X:

X

Y

$X TAN X H SEC X;

Los patrones en las fórmulas del teorema 2 y las ecuaciones (4) y (5) facilitan poder recordarlas. Las fórmulas en las ecuaciones (5), (8) y (10) son los “análogos de las cofunciones” de las ecuaciones (4), (7) y (9), respectivamente. Observe que las fórmulas de las derivadas para las tres cofunciones son las que tienen signos menos. EJEMPLO 6

B

FIGURA 3.7.3 Gráficas de las seis funciones trigonométricas.

Dx (x tan x) = (Dx x)(tan x) + (x)(Dx tan x) = (1)(tan x) + (x)(sec2 x) = tan x + x sec2 x. Dt (cot3 t) = Dt (cot t)3 = 3(cot t)2 Dt cot t = 3(cot t)2 (−csc2 t) = −3 csc2 t cot2 t. √   √    (Dz sec z) z − (sec z) Dz z sec z = Dz √ √ 2 z z √    (sec z)(tan z) z − (sec z) 12 z −1/2 = z = 12 z −3/2 (2z tan z − 1) sec z.

Z

Fórmulas de la regla de la cadena Recuerde de la ecuación (7) en la sección 3.3 que la regla de la cadena da $X TG.U/U H G .U/

DU DX



para la derivada de la composición g(u(x)) de las funciones derivables g y u. Esta fórmula proporciona la versión de la regla de la cadena de cada nueva fórmula derivable que aprendemos.

SECCIÓN 3.7

Derivadas de funciones trigonométricas

173

Si aplicamos la ecuación (11) primero con g(u)  sen u, luego con g(u)  cos u, y así sucesivamente, obtenemos las versiones de la regla de la cadena para las fórmulas de diferenciación trigonométrica. $X SEN U H .COS U/

DU ; DX

$X COS U H . SEN U/ $X TAN U H .SEC U/



DU ; DX



DU ; DX

$X COT U H . CSC U/



DU ; DX

$X SEC U H .SEC U TAN U/

DU ; DX

$X CSC U H . CSC U COT U/

DU : DX

  

Vale la pena mencionar los casos en los que u  kx (donde k es una constante). Por ejemplo, $X SEN KX H K COS KX

Y

$X COS KX H K SEN KX:



Las fórmulas en (18) proporcionan una explicación de por qué la medida en radianes es más adecuada que la medida en grados. Porque de la ecuación (1) se deduce que un ángulo x medido en grados tiene medida equivalente de πxy180 grados, el “seno de un ángulo de x grados” es una función nueva y diferente con la fórmula X ; SEN X  H SEN  expresado en el lado derecho en términos de la función seno estándar (medido en radianes). Así, la primera fórmula en (18) lleva a X  COS ; $X SEN X  H   DEMANERAQUE $X SEN X   .:/ COS X  :

La necesidad de usar el valor aproximado 0.01745 aquí —y sin duda su mera presencia— es una razón por la que se usan radianes en lugar de grados en el cálculo de las funciones trigonométricas: cuando trabajamos con radianes, no son necesarias esas aproximaciones. EJEMPLO 7

Si y  2 sen 10t + 3cosπt, entonces DY H  COS T  SEN  T: DT

Z

EJEMPLO 8 $X .SEN X COS X/ H T$X .SEN X/ U.COS X/ C .SEN X/T$X .COS X/ U H .SEN X/.$X SEN X/
.COS X/ C .SEN X/
.COS X/ .$X COS X/ H .SEN X/. COS X/.COS X/ C .SEN X/. COS X/. SEN X/ H  SEN X COS X COS X  SEN X SEN X COS X:

Z

174 CAPÍTULO 3

La derivada

p Obtenga la derivada de f (x)  cos X . p p Si u  X , entonces duydx  1y(2 X/, de manera que la ecuación (13)

EJEMPLO 9

Solución da

$X COS

 YCOS Y

X

 Y SEN X X









X





FIGURA p 3.7.4 Curva y  cos X y el múltiplo p pconstante Y H . SEN X/= X de su derivada.



p

DU DX p p  SEN X H SEN X p H p :  X  X

X H $X COS U H . SEN U/

De otra forma, podemos realizar este cálculo sin introducir la variable auxiliar u: p p p p SEN X $X COS X H SEN X
$X X H p :  X p En la figura 3.7.4 se graficaron las dos curvas y  y(x)  cos X y el múltiplo constante (para mostrar la escala vertical con más claridad) p  SEN X Y H Y .X/ H p X de su derivada. Observe la correspondencia en esta figura entre los máximos locales y p los mínimos de la función y(x)  cos X y los ceros de su derivada y9(x) (que son los Z mismos que los ceros de 4y9(x)). EJEMPLO 10

Obtenga la derivada de 

Y H SEN .X /= H SEN.X /= :

Solución En este caso, y  u2, donde u  sen (2x − 1)3y2, entonces DY DU H U H  SEN.X /=
$X SEN.X /= DX DX H  SEN.X /= COS.X /=
$X .X /= H  SEN.X /=

COS.X /=

H .X /= SEN.X /=

 .X 

/=


COS.X /= :

Z

EJEMPLO 11 $X TAN X  H .SEC X  /
$X .X  / H X  SEC X  : $T COT T H $T .COT T/ H .COT T/
$T .COT T/ H . COT T/. CSC T/
$T .T/ H  CSC T COT T: p p SEC Y TAN Y p p p p : $ Y SEC Y H SEC Y TAN Y
$ Y Y H p  Y p $Z CSC Z H $Z .CSC Z/= H  .CSC Z/=
$Z .CSC Z/ p H  .CSC Z/= .CSC Z COT Z/ H  .COT Z/ CSC Z:

Z

Los ejemplos 12 y 13 ilustran las aplicaciones de las funciones trigonométricas a problemas de tasa de cambio y de máximo-mínimo. EJEMPLO 12 Se lanza un cohete verticalmente y se rastrea en una estación de radar localizada en la Tierra a 5 millas de la plataforma de lanzamiento. Suponga que el ángulo de elevación θ de la línea de visión al cohete aumenta 3° por segundo cuando θ  60°. ¿Cuál es la velocidad del cohete en este instante?

SECCIÓN 3.7

Derivadas de funciones trigonométricas

175

Solución Primero convertimos los datos dados de grados a radianes. Como hay πy180 radianes en 1°, la tasa de incremento de θ se convierte en π 3π = 180 60

(rad/s)

en el instante en que θ=

π 60π = 180 3

(rad).

De la figura 3.7.5 se ve que la altura y (en millas) del cohete es y  5 tan θ. Así, su velocidad es dy dθ dθ dy = · = 5(sec2 θ ) . dt dθ dt dt

Como sec(πy3)  2 (figura 3.7.6), la velocidad del cohete es π π dy = 5 · 22 · = dt 60 3

(mi/s),

alrededor de 3770 mi/h, en el instante en que θ  60°.

Z



Y

Q



P 

MI



FIGURA 3.7.5 Seguimiento de cohete en ascenso (ejemplo 12).

FIGURA 3.7.6 π sec = 2 (ejemplo 12). 3

EJEMPLO 13 Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio R (figura 3.7.7). ¿Cuál es le área máxima posible de este rectángulo? 2

Y

Q X

FIGURA 3.7.7 Rectángulo del ejemplo 13.

Solución Si denotamos la longitud de la mitad de la base del rectángulo por x y su altura por y, entonces su área A  2xy. En la figura 3.7.7 se ve que el triángulo rectángulo tiene hipotenusa R, el radio del círculo. De manera que x  R cos θ

y

y  R sen θ.

(19)

Cada valor de θ entre 0 y πy2 corresponde a un rectángulo inscrito posible. Los valores θ  0 y θ  πy2 dan rectángulos degenerados. Sustituimos los datos de la ecuación (19) en la fórmula A  2xy para obtener el área ! H !./ H .2 COS /.2 SEN  / H 2  COS  SEN 



como función de θ en el intervalo cerrado [0, πy2]. Para encontrar los puntos críticos, derivamos: D! H 2  . SEN  SEN  C COS  COS  / H 2  .COS  SEN /: D

176 CAPÍTULO 3

La derivada

Dado que dAydθ siempre existe, tenemos puntos críticos sólo si COS  SEN  H I SEN  H COS  I TAN  H I TAN  H :

El único valor de θ en [0, πy2] tal que tan θ  ±1 es θ  πy4. Después de evaluar A(θ) en cada uno de los valores posibles θ  0, θ  πy4 y θ  πy2 (los puntos terminales y los puntos críticos), encontramos que !./ H ; !

 

 H 2  p 

!

 

H :

 p 

H 2 ;

MÖXIMOABSOLUTO

Así, el rectángulo inscrito más grande tiene área R2, y sus dimensiones son 2x  R  2 Z y y  Ry 2.

3.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Dx (sen x)  cos x. Si g(x)  cos x, entonces g9(x)  sen x. Dx (x2 sen x)  2x sen x + x2 cos x. Si g(t)  (2 − 3 cos t)3y2, entonces G .T/ H  .  COS T/=  dy Si y  y(x)  tan x, entonces = sec2 x. dx La notación sec2 x significa sec(x2). Dx (sec x) = sec x tan x. Si u  u(x) es derivable, entonces Dx [sec(u(x))] = [sec(u(x))] · [tan(u(x))] · u  (x).

9. Si A(θ)  2 cos θ sen θ en el intervalo I  [0, π], entonces A tiene un valor máximo global en I. 10. Una manera sencilla de demostrar que f (x)  sen x es continua para toda x es observar que f 9(x)  cos x existe para toda x.

3.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Se dice que la función f es par si f (−x)  f (x) para toda x, y es impar si f (−x)  −f (x) para toda x. Por ejemplo, la función de potencia f (x)  x n es par si n es un entero par, pero es impar si n es un entero impar. ¿Cómo determina si una función es par o impar sólo viendo su gráfica? ¿Cuáles de las seis funciones trigonométricas son pares y cuáles son impares? 2. Dé un ejemplo de una función (cuyo dominio sea el conjunto de todos los números reales) que no es par ni impar. Encuentre todas las funciones que son tanto pares como impares. 3. Las seis funciones trigonométricas tienen periodo 2π, esto significa que f (x + 2π)  f (x) para toda x. ¿Qué funciones trigonométricas tienen periodo π? Determine el valor de la constante k si la función f (t)  A cos kt + B sen kt modela:

SECCIÓN 3.7

Derivadas de funciones trigonométricas

177

• La altura de la marea en cierta costa; con t en horas, los valores de f (t) se repiten periódicamente cada 12 h 25 min. • El promedio mensual de lluvia en cierta localidad; con t en meses, los valores de f (t) se repiten periódicamente cada 12 meses. • El promedio diario de temperatura en cierta localidad; con t en días, los valores de f (t) se repiten periódicamente cada 365 días. 4. Considere las funciones trigonométricas sen x, tan x, sec x y sus cofunciones, ¿cuál es el patrón de los signos de sus derivadas? Establezca una sola oración corta que diga cuáles de las seis fórmulas de derivadas incluyen signos menos y cuáles no.

3.7 PROBLEMAS Derive las funciones dadas en los problemas 1 a 20. 



 F .X/ H  SEN X  F .X/ H X COS X SEN X  F .X/ H X

 F .X/ H  COS X p  F .X/ H X SEN X COS X  F .X/ H p X

 F .X/ H SEN X COS X

 F .X/ H COS X SEN  X

 G.T/ H . COS T/  G.T/ H . C SEN T/  SEN T  G.T/ H  G.T/ H SEN T C COS T  C COS T  F .X/ H X SEN X X  COS X  F .X/ H X

=

COS X X

=

SEN X

 F .X/ H COS X SEN X  G.T/ H T  SEN  T  G.T/ H .COS T C COS T/=

 F .X/ H COS X SEN X p T COS T   G.T/ H  SEN T C SEN  T

 G.T/ H

p

X



 Y H X COS.X /  Y H SEN X COS X COS X SEN X  Y H SEN  X  p  Y H SEN  X  Y H

 Y H X SEN X  p p  Y H X SEN X p  Y H X.X COS X/  Y H COS.SEN X  /

41. x = tan t

43. x = (tan t)7 45. x = t tan 5t √ √ 47. x = t sec t   1 49. x = csc 2 t 7

 X H T  TAN T 

 X H SEC.SEN T/

 X H COT.SEC T/

SEN T SEC T p  X H  C COT T

SEC T  C TAN T p  X H CSC T

 X H

 X H

En los problemas 61 a 64, escriba una ecuación de la recta que es tangente a la curva dada y  f (x) en el punto P con la coordenada x dada. Después verifique la factibilidad de su resultado graficando en la misma pantalla tanto la curva dada como la recta que encontró.  Y H X COS XI

 Y H COS XI

X H

X  TAN I  

X H

 Y H

X H =

 X SEN  I  

X H

 Y H COS X

 Y H X  SEN X

 Y H SEN X COS X

 Y H

 Y H COS X  p  Y H COS   X

69. La figura 3.7.8 muestra la gráfica y  x − 2 cos x y dos rectas con pendiente 1 ambas tangentes a esta gráfica. Escriba ecuaciones para estas dos rectas.

 Y H X  COS

 X

En los problemas 65 a 68, encuentre todos los puntos en la curva dada y  f (x) donde la recta tangente es horizontal.

 Y H .SEN X COS X/ p p  Y H X SEN X C X p  Y H SEN. C SEN X/

42. x = sec t

  SEN X C  COS X 

  Y

Encuentre dxydt en los problemas 41 a 60. 7

 X H SEC T TAN T

COS X X  Y H SEN  X  X  Y H SEN X p  Y H COS X  Y H



SEC T TAN T

 X H T SEC T CSC T

 Y H

Encuentre dyydx en los problemas 21 a 40.  Y H SEN 

 X H

 YX COSX

7

44. x = (sec 2t)7 sec t 5 46. x = t √ √ 48. x = sec t tan t   1 50. x = cot √ t









 X



FIGURA 3.7.8 Curva y = x – 2 cos x y dos rectas tangentes cada una con pendiente 1.



178 CAPÍTULO 3

La derivada

70. La figura 3.7.9 muestra la gráfica  C SEN X YH  C SEN X y sus rectas tangentes horizontales. Escriba ecuaciones de las dos rectas.    Y

 

Y

 





 X

75. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto a 2 millas al oeste de un observador en el suelo. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando el ángulo de elevación (desde la horizontal) de la línea de visión del observador es 50° y aumenta 5° por segundo? 76. Un avión que vuela a una altitud de 25,000 ft tiene un indicador defectuoso de velocidad en el aire. Para determinar su velocidad, el piloto mira un punto fijo en el suelo. En el momento en que el ángulo de depresión (con la horizontal) de su línea de visión es 65°, observa que su ángulo está aumentando 1.5° por segundo (figura 3.7.12). ¿Cuál es la velocidad del avión?

SENX SENX



X

Q



 FT

FIGURA 3.7.9 Curva  C SEN X y sus dos YH  C SEN X rectas tangentes horizontales.

3UELO

71. Deduzca las fórmulas de derivación en las ecuaciones (8) a (10). 72. Use la definición de la derivada para mostrar directamente que g9(x)  −sen x si g(x)  cos x. 73. Si un proyectil se lanza desde el nivel del suelo con una velocidad inicial v0 y ángulo de inclinación α y si se puede ignorar la resistencia del aire, entonces su recorrido —la distancia horizontal que viaja— es   G SEN  COS  2H   (figura 3.7.10). ¿Qué valor de α maximiza R?

FIGURA 3.7.12 Avión del problema 76.

77. Un observador en el suelo ve un avión que se aproxima volando a velocidad constante a una altitud de 20,000 ft. Desde su punto de visión, el ángulo de elevación del avión aumenta 0.5° por segundo cuando el ángulo es 60°. ¿Cuál es la velocidad del avión? 78. Encuentre el área A más grande posible inscrita en la circunferencia unitaria x2 + y2  1 maximizando A como una función del ángulo θ indicado en la figura 3.7.13. Y



X Y

Q A

X

3UELO 2

FIGURA 3.7.10 Proyectil del problema 73.

XY

74. Un globo climático que se eleva verticalmente es observado desde un punto en el suelo a 300 ft del punto directamente abajo del globo (figura 3.7.11). ¿A qué tasa sube el globo cuando el ángulo entre el suelo y la línea de visión del observador es 45° y aumenta 1° por segundo?

FIGURA 3.7.13 Rectángulo inscrito en círculo unitario (problema 78).

79. Debe hacerse una canaleta para agua a partir de una tira larga de aluminio de 6 ft de ancho doblando hacia arriba un ángulo θ tiras de 2 ft de ancho en cada lado (figura 3.7.14). ¿Cuál es el ángulo θ que maximiza el área de la sección transversal, y con ello el volumen, de la canaleta? Y  

Q

3UELO 

FIGURA 3.7.11 Globo climático del problema 74.

Q 

Q

FIGURA 3.7.14 Canaleta para agua del problema 79.

SECCIÓN 3.7

80. Un trozo de césped con forma circular y 20 m de radio está rodeado por un andén, y se pondrá una lámpara en lo alto de un poste en el centro del círculo. ¿A qué altura debe colocarse la lámpara para que ilumine lo más posible el andén? La intensidad de iluminación I de una superficie está dada por I  (k sen θ)yD2, donde D es la distancia de la fuente de luz a la superficie, θ es el ángulo al que la luz llega a la superficie y k es una constante positiva. 81. Encuentre el volumen mínimo posible V de un cono en el que se inscribe una esfera de radio R dado. Minimice V como una función del ángulo θ indicado en la figura 3.7.15.

Derivadas de funciones trigonométricas

179

P

Q 

FIGURA 3.7.17 Trapezoide inscrito en un semicírculo (problema 83).

84. Un leñador debe cortar una viga a partir de un tronco circular con 30 cm de diámetro de manera que la sección cruzada sea como la mostrada en la figura 3.7.18. La viga es simétrica con sólo dos ángulos internos diferentes α y β. Demuestre que la sección cruzada es máxima cuando es un hexágono regular, con lados y ángulos (correspondientes a α  β  2πy3) iguales. Note que α + 2β  2π. (¿Por qué?)

2

B Q

B

A

82. Una hoja de papel rectangular larga tiene 20 cm de ancho. La esquina inferior derecha se dobla por el pliegue mostrado en la figura 3.7.16, de manera que la esquina sólo toque el lado izquierdo de la hoja. ¿Cómo debe hacerse esto para tener un pliegue o doblez tan corto como sea posible?

A B

FIGURA 3.7.15 Para encontrar el cono más pequeño que contiene una esfera fija (problema 81).

B

FIGURA 3.7.18 Viga hexagonal cortada de un tronco circular (problema 84).

85. Considere un arco circular de longitud s con sus puntos terminales en el eje x (figura 3.7.19). Demuestre que el área A acotada por este arco y el eje x es máxima cuando el arco circular tiene la forma de un semicírculo. [Sugerencia: exprese A en términos del ángulo θ subtendido por el arco desde el centro del círculo, como se muestra en la figura 3.7.19. Demuestre que A es máxima cuando θ  π.] Y

Q



!RCOCIRCULAR DELONGITUDS

Q

X $OBLEZ 2ADIOR



FIGURA 3.7.16 Doble una hoja de papel; logre un doblez de longitud mínima (problema 82).

83. Encuentre el área A máxima posible de un trapezoide inscrito en un semicírculo de radio 1, como se ilustra en la figura 3.7.17. Comience por expresar A como función del ángulo θ indicado.

Q

2ADIOR

FIGURA 3.7.19 Para encontrar el área máxima acotada por el arco circular y su cuerda (problema 85).

86. Una senderista comienza en el punto P en un sendero recto y quiere llegar a una cabaña en el bosque que está a 2 km del punto Q, que está a 3 km de P por el sendero (figura 3.7.20). Desea minimizar el tiempo requerido para llegar a la cabaña. ¿Qué distancia debe caminar por el sendero antes de cambiar su dirección hacia la cabaña por el bosque? [Sugerencia: use

180 CAPÍTULO 3

La derivada

el ángulo θ entre el sendero y el camino que tome por el bosque como la variable independiente.]

88. Sea F .X/ H

#ABA®A "OSQUE 0



Q



FIGURA 3.7.20 Para encontrar la trayectoria más rápida a la cabaña en el bosque (problema 86).

87. Muestre que la función (graficada en la figura 3.7.21) X SEN 

 X



 Y



SI X H 



SI X H 



(vea el ejemplo 4 en la sección 2.3) no es derivable en x  0. [Sugerencia: demuestre que sea z  1 o z  −1, existen valores arbitrariamente pequeños de h tales que [ f (h) − f (0)]yh  z. Después use la definición de derivada.]

YX SEN X

 

 X





FIGURA 3.7.22 Gráfica de  Y H X  SEN (problema 88). X s 

YX

Y X

YX 

 Y

SI X H 

1



F .X/ H

SI X H 

(la gráfica de f aparece en las figuras 3.7.22 y 3.7.23). Aplique la definición de derivada para demostrar que f es derivable en x  0 y que f 9(0)  0.



3ENDERO

 X

X  SEN

YX SEN X

 Y 







YXSEN X





 X



Y X





FIGURA 3.7.21 Gráfica de  Y H X SEN CERCADE X H  X

 X



FIGURA 3.7.23 Gráfica de la figura 3.7.22 amplificada (problema 88).

3.8 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Hasta ahora, nos hemos concentrado en las funciones algebraicas y trigonométricas. Las funciones exponencial y logarítmica completan la lista de las llamadas funciones elementales que son más importantes en las aplicaciones del cálculo.

Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f (x)  ax

(1)

donde a > 0. Observe que el exponente x es la variable en este caso; el número a, llamado base, es una constante. Por lo tanto, • una función exponencial f (x)  a x es una constante elevada a una potencia variable, mientras que • la función de potencia p(x)  x k es una variable elevada a una potencia constante.

SECCIÓN 3.8

Funciones exponencial y logarítmica

181

En álgebra elemental una potencia racional del número positivo a se define en término de raíces enteras y potencias. Si n es un entero positivo, entonces an  a · a · a · · · a

(n factores)

y a −n =

1 . an

Después aprendemos que si r  pyq donde p y q son enteros (con q positivo), entonces la potencia racional a r está definida por √ √ p q a p/q = a p = q a . Luego se establecen las siguientes leyes de exponentes para todos los exponentes racionales r y s: A R CS A R

H AR
A S ;  H ; AR

.A R /S

H A R
S ;

.AB/R

H A R
BR :

(2)

Más aún, recuerde que A H 

(3)

para todo número real positivo a. El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que las aplicaciones con frecuencia usan exponentes irracionales igual que exponentes racionales. EJEMPLO 1 Considere una población de bacterias P(t) que comienza (en el tiempo t  0) con población inicial P(0)  1 (millón) y se duplica cada hora de ahí en adelante. La población creciente está en intervalos de 1 hora en la siguiente tabla: T











0











HORAS MILLONES

Es evidente que P(n)  2 n si n es un entero. Ahora hagamos la suposición factible de que la población crece con el mismo factor en cualesquiera dos intervalos de tiempo de la misma longitud; por ejemplo, si crece 10% en cualquier intervalo de 8 minutos, por lo cual crece 10% en cualquier otro intervalo de 8 minutos. Si q es un entero positivo y k denota el factor por el cual se incrementa la población durante un intervalo de tiempo de longitud t  1yq, entonces la población está dada en intervalos sucesivos de longitud 1yq según la siguiente tabla. T

 Q

 Q

 Q






Q H Q

0

K

K

K






KQ H 

0ORQU£

Por lo tanto, vemos que k  2 1yq. Si p es otro entero positivo, durante pyq horas la población P aumentará p veces por el factor k  2 1yq, y se deduce que P( p/q) = k p = (21/q ) p = 2 p/q .

Así, la población de bacterias después de r horas está dada (en millones) por P(t)  2 t si el exponente t es un número racional. Pero como el tiempo no está restringido a ≥ 0. Z valores racionales, debemos sin duda concluir que P(t)  2 t para toda t −

182 CAPÍTULO 3

La derivada

Investigación ¿Qué queremos decir por una expresión con un exponente racional √ como 2 2 o 2 π? Para encontrar el valor de 2 π, podemos trabajar con aproximaciones

T

T



       # 

       # 

decimales finitas (racionales) al número irracional π  3.1415926. . . Por ejemplo, una calculadora da √ 31  10 23.1 = 231/10 = 2 ≈ 8.5742. Los valores aproximados mostrados en la tabla de la figura 3.8.1 indican que la población de bacterias en el ejemplo 1 después de π horas es P(π ) ≈ 8.8250

Debido a que cualquier número racional se aproxima arbitrariamente cerca por números racionales, la investigación anterior sugiere que el valor de a x —con exponente irracional x y una base fija a > 0— se puede ver como un límite de la forma

FIGURA 3.8.1 Investigación de 2 π.

A X H L¤M A R R !X

     Y      







 X



Así, a r < a s siempre que 0 < r < s, por lo que la función exponencial f (x)  a x con a > 1 es sin duda una función creciente si se usan sólo valores positivos racionales. Una calculadora graficadora o computadora grafica sólo un número finito de puntos (x, a x), pero la curva graficada en la figura 3.8.2 se ve conectada porque estos puntos se trazan muy cercanos para distinguirlos a simple vista. Por el contrario, la gráfica de la figura 3.8.3 se muestra con una curva punteada para sugerir que está densamente llena de pequeños agujeros que corresponden a los puntos que faltan (x, a x) para los cuales x es irracional. En la sección 6.7 se usará el cálculo para demostrar que estos agujeros se pueden llenar para obtener la gráfica de una función creciente continua f con las siguientes propiedades:

Y   

• f (x) está definida para todo número real x; • f (r)  a r si r es irracional; y • las leyes de los exponentes en (2) se cumplen para exponentes irracionales y racionales.

X

YA AAQU¤ 











a r < a r · a s−r = a r +(s−r ) = a s .



FIGURA 3.8.2 Gráfica de y  2 x.



R RACIONAL :

Sin duda, cuando se precisa el significado de límite en (4), proporciona una manera de definir así como de calcular valores de la función exponencial f (x)  a x para toda x. En una calculadora, la tecla ∧ (algunas veces y x ) suele usarse para calcular valores de funciones exponenciales. Por ejemplo, la figura 3.8.2 muestra el resultado de graficar la función definida por y = 2∧x. Vemos la gráfica que sube en forma estable (de izquierda a derecha) de una función que tiene valores positivos para toda x. Por supuesto, si r y s son números racionales positivos con r < s y a > 1, entonces vemos primero que a s−r > 1 (¿por que?) y luego que

YX



(millones).



FIGURA 3.8.3 La gráfica de y  a x tiene “agujeros” si sólo se usan valores racionales de x.

X

Por lo tanto, escribimos f (x)  a x para toda x y llamamos a f la función exponencial con base a. Como se ilustra en la figura 3.8.4, la función exponencial f (x)  a x con a > 1 crece rápidamente cuando x > 0 crece, y las gráficas de y  a x se ven cualitativamente similares para valores diferentes de la base a siempre que a > 1. La tasa de incremento pronunciada de a x para x positiva y creciente es una característica de las funciones exponenciales. Las figuras 3.8.5 y 3.8.6 comparan las gráficas de la función exponencial y  2 x y la función cuadrática y  x 2.

Derivadas de la función exponencial Para calcular la derivada de la función exponencial f (x)  a x, comenzamos con la definición de la derivada y luego usamos la primera ley de exponentes en la ecuación (2) para simplificar.

SECCIÓN 3.8



Y

A

     Y      



A A



A

 







X

FIGURA 3.8.4 y  a x para a  2, 3, 5, 10.

Funciones exponencial y logarítmica 183      Y       



  YX YX





 X







YX

YX 



X







FIGURA 3.8.6 Pero aquí se ve que 2 x crece mucho más rápido que x 2.

FIGURA 3.8.5 Aquí las gráficas y  2 x y y  x 2 se parecen para x >2.

Esto da F .X C H/ F .X/ A XCH A X H L¤M H! H! H H AX AH A X H L¤M PORLASLEYESDEEXPONENTES H! H AH  H A X L¤M PORQUE A X ES hCONSTANTEv RESPECTOA H : H! H

F .X/ H L¤M

Con la suposición de que f (x)  a x es derivable, se deduce que el límite AH  H! H



M.A/ H L¤M

existe. Aunque su valor m(a) depende de a, el límite es una constante en lo que se refiere a x. Así, encontramos que la derivada de a x es un múltiplo constante de a x en sí mismo: Dx a x = m(a) · a x .

(6)

Como a  1, se ve de la ecuación (6) que la constante m(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y  a x en el punto (0, 1), donde x  0. Los datos numéricos mostrados en la figura 3.8.7 sugieren que m(2) ≈ 0.693 y que m(3) ≈ 1.099. Las rectas tangentes con estas pendientes se muestran en la figura 3.8.8. Así, parece que 0

H

H  H

H  H

   

   

   

$X X  .:/
X

Y

Y

$X X  ../
X :



Y

FIGURA 3.8.7 Investigación de valores de m (2) y m (3).

YX

YX

0ENDIENTEz

0ENDIENTEz

 

 

X A

X B

FIGURA 3.8.8 Gráficas a) y  2 y b) y  3 . x

x

184 CAPÍTULO 3

La derivada

Nos gustaría evitar de alguna manera factores numéricos poco prácticos como los de la ecuación (7). Parece factible que el valor m(a) definido en la ecuación (5) sea una función continua de a. Si es así, como m(2) < 1 y m(3) > 1, el teorema del valor medio implica que m(e)  1 (exactamente) para algún número e entre 2 y 3. Si usamos este número particular e como la base, deducimos de la ecuación (6) que la derivada de la función exponencial obtenida f (x)  e x es $X E X H E X :



Así, la función e x es su propia derivada. La función f (x)  e x se llama función exponencial natural. Su gráfica se muestra en la figura 3.8.9. Y

YE X

N

C

 N

N

0ENDIENTE

       

 

X

FIGURA 3.8.9 Grafica y  e x.

    

FIGURA 3.8.10 Estimación numérica del número e.

Se verá en la sección 4.9 que el número e está dado por el límite E H L¤M

N!1

C

 N

N

:

Investiguemos ese límite numéricamente. Con una calculadora obtenemos los valores en la tabla de la figura 3.8.10. La evidencia sugiere (pero no demuestra) que e ≈ 2.718 con tres decimales. Este número e es uno de los más importantes en las matemáticas de los números. Se sabe que es irracional; su valor exacto con 15 decimales es e ≈ 2.71828 1828 459045.

La regla de la cadena en la ecuación (8) es la fórmula de derivación $X EU H EU

DU DX

donde u denota una función derivable de x. En particular, $X EKX H KEKX

si k es una constante. Por ejemplo, Dx e−x = −e−x y Dx e2x = 2e2x . EJEMPLO 2 a) Si f (x)  x 2 e −x, la regla del producto da f  (x) = (Dx x 2 )e−x + x 2 (Dx e−x ) = (2x)e−x + x 2 (−e−x ) = (2x − x 2 )e−x .



SECCIÓN 3.8 

b) Si y =



YXE X

Y 













X







 

FIGURA 3.8.11 Gráfica del ejemplo 3.

Funciones exponencial y logarítmica 185

e2x , entonces la regla del cociente da 2x + 1 (Dx e2x )(2x + 1) − (e2x )Dx (2x + 1) dy = dx (2x + 1)2 (2e2x )(2x + 1) − (e2x )(2) 4xe2x = = . (2x + 1)2 (2x + 1)2

Z

EJEMPLO 3 La figura 3.8.11 ilustra un bosquejo de computadora de la gráfica de f (x)  x 2 e −x. Encuentre las coordenadas del punto máximo local indicado en la curva, en el primer cuadrante.

Solución El cálculo en el inciso a) del ejemplo 2 da f 9(x)  0 cuando (2x − x 2 )e−x =

x(2 − x) = 0, ex

de manera que sólo los puntos críticos de f están en x  0 y x  2. Por lo tanto, el punto Z crítico indicado en el primer cuadrante es (2, f (2))  (2, 4e −2 ) ≈ (2, 0.5413). X

Logaritmos y funciones inversas En cursos anteriores a cálculo, la función logaritmo base a, log a x se introduce como el “opuesto” de la función exponencial f (x)  a x con base a > 1. Esto es, log a x es la potencia a la que debe elevarse a para obtener x. Entonces Y H LOGA X

F FX

SIYS˜LOSI

A Y H X:



Con a  10, éste es el logaritmo común base 10, log10 x. EJEMPLO 4

G

X

LOG  H 

DEBIDOAQUE  H  I

LOG .:/ H 

DEBIDOAQUE

: H  I

LOG  H 

DEBIDOAQUE

 H  I

LOG  H 

DEBIDOAQUE

 H  :

Z

Si y  loga x, entonces a  x > 0. Por lo tanto se deduce que y

X

A LOGA X H X

A

LOGA .A Y / H Y:

B

Y

Así, las funciones exponencial y logarítmica base a son opuestas naturales, en el sentido de que cada una deshace el resultado de aplicar la otra. Aplique las dos en sucesión —en cualquier orden— y volverá a donde comenzó (figura 3.8.12). El ejemplo 5 ofrece pares de funciones conocidas que son inversas una de la otra.

G GX

EJEMPLO 5 Los siguientes son algunos pares de funciones inversas: a) f (x)  x + 1 y g(x)  x− 1. F

X

FIGURA 3.8.12 Funciones inversas f y g. Cada una anula el efecto de la otra.

Sumar 1 y restar 1 son operaciones inversas; realizar cualquiera anula a la otra. Ahora, duplicar y dividir en dos son operaciones inversas: x g(x) = . b) f (x)  2x y 2 Una función puede ser su propio inverso: 1 1 c) f (x) = y Z g(x) = . x x

186 CAPÍTULO 3

La derivada

Igual que f (x)  a x y g(x)  log a x, cada par f y g de las funciones dadas en el ejemplo 5 tiene la propiedad de que f (g(x))  x

y

g (f (x))  x

(12)

para todos los valores de x en los dominios g y f, respectivamente. Por ejemplo, las funciones f (x)  x + 1 y g(x)  x − 1 en el inciso a) del ejemplo están definidos para toda x, y es sencillo verificar que f (g(x)) = g(x) + 1 = (x − 1) + 1 = x y g( f (x)) = f (x) − 1 = (x + 1) − 1 = x para todo número real x.

YF X

Y

DEFINICIÓN Funciones inversas La dos funciones f y g son funciones inversas, o son inversas una de la otra, siempre que • el recorrido de valores de cada función sea el dominio de definición de la otra, y • las relaciones en (12) se cumplan para toda x en los dominios de g y f, respectivamente

YF  X

Los dos ejemplos siguientes ilustran el hecho de que se requiere ser cuidadoso cuando se especifican los dominios de definición de las funciones f y g para asegurar que se satisface la condición en (12).

YX 

X Y

X Y

X

FIGURA 3.8.13 La función f (x)  x 2 y sus restricciones f− y f+.

Y

YX X



Y X



Y

X

YX

FIGURA 3.8.14 La función √ f (x)  x 3 tiene la inversa g(y) = 3 y definida para toda y.

EJEMPLO 6 La función f (x)  x 2 está definida para toda x y su recorrido es el conjunto de todos los números reales no negativos y; por lo cual escribimos f : (−∞, +∞) → [0, +∞). Como se indica en la figura 3.8.13, es un hecho conocido que cada número √ √ positivo y tiene dos raíces cuadradas diferentes, g+ (y) = + y y g− (y) = − y. (Recuerde que el símbolo  y sin el adorno del un signo siempre denota la raíz cua√ drada no negativa de y.) La función raíz cuadrada positiva g+ (y) = + y está definida ≥ 0, como lo está g− (y), y son inversos de las dos funciones diferentes que para toda y − elevan al cuadrado ≥0 f + : [0, +∞) −→ [0, +∞) definida por f+(x)  x 2 para toda x − y ≤ 0. f − : (−∞, 0] −→ [0, +∞) definida por f−(x)  x 2 para toda x − 2 (Las funciones f+ y f− se obtienen “restringiendo” la función f (x)  x al lado no negativo del eje x y al lado no positivo del eje x, respectivamente.) Por ejemplo, √ √ ≥0 f − (g− (x)) = (− x)2 = ( x)2 = x para toda x − y  √ ≤ 0. g− ( f − (x)) = − x 2 = − (−x)2 = −(−x) = x para toda x − Así, las funciones f− y g− son funciones inversas. Debe verificar de manera similar que Z las funciones f+ y g+ son funciones inversas. √ EJEMPLO 7 En contraste con el ejemplo 6, las funciones f (x)  x 3 y g(x)  3 x son funciones inversas definidas para toda x. La diferencia es que cualquier número real x —sea positivo, negativo o cero— tiene una y sólo una raíz cúbica (como se indica en Z la figura 3.8.14). Debido a que a x > 0 para toda x (como se ve en la figura 3.8.15), se deduce que loga x está definida sólo para x > 0. Como x y y en a y  x lleva a y  a x, se deduce de la ecuación (10) que la gráfica de y  log a x es la reflexión en la recta y  x de la gráfica y  a x y por lo tanto tiene la pendiente mostrada en la figura 3.8.15. Dado que a 0  1, concluimos que LOGA  H ; de manera que las intercepciones (o intersecciones con los ejes) en la figura son independientes de la elección de a.

SECCIÓN 3.8

Funciones exponencial y logarítmica

187

Y YAX 

YX

 





XAY Y YLOGA X 



X









FIGURA 3.8.15 La gráfica de x  a x es la gráfica de la función inversa log a x de la función exponencial a x. Aquí se muestra el caso a > 1.

Usamos la relación inversa-función entre log a x y a x para deducir, de las leyes de exponentes en la ecuación (2), las siguientes leyes de logaritmos: LOGA X Y X LOGA Y

H LOGA X C LOGA Y; H LOGA X LOGA Y;

 X LOGA X Y LOGA

H LOGA X; H

Y LOGA X:



Estas leyes se verifican en la sección 6.7.

Derivadas de las funciones inversas Nuestro interés en los pares inversa-función surge del siguiente principio general: cuando conocemos la derivada de cualquiera de dos funciones inversas, podemos usar la relación inversa-función entre ellas para descubrir la derivada de la otra. El teorema 1 suele demostrarse en un curso avanzado de cálculo.

TEOREMA 1 Derivación de una función inversa Suponga que la función derivable f está definida en el intervalo abierto I y que f 9(x) > 0 para toda x en I. De este modo, f tiene una función inversa g, la función g es derivable y   G .X/ H F .G.X// para toda x en el dominio de g. NOTA 1 El teorema 1 también es cierto cuando la condición f 9(x) > 0 se sustituye con la condición f 9(x) < 0. Si suponemos que g es derivable, entonces derivamos la fórmula en la ecuación (14) derivando respecto a x cada lado de la relación inversafunción

f (g(x))  x. Cuando derivamos cada lado, usando el hecho de que esta relación es en realidad una identidad en algún intervalo y aplicando la regla de la cadena en el lado izquierdo, el resultado es f  (g(x)) · g  (x) = 1.

Al despejar g9(x) de esta ecuación, el resultado es la ecuación (14).

188 CAPÍTULO 3

La derivada

Para que la función f en el teorema 1 tenga función inversa g, es necesario (y suficiente) que, para cada y en el recorrido de f, exista exactamente una x en el dominio de f tal que f (x)  y. (Podemos, pues, definir g(y)  x.) La figura 3.8.14 indica que esto se cumple para la función cúbica f (x)  x 3 del ejemplo 7. Por el contrario, vemos en la figura 3.8.13 que a cada y > 0 en el recorrido de la función cuadrada f (x)  x 2 del ejemplo 6, corresponden dos valores diferentes de x, las raíces cuadradas positiva y negativa de y. Ésta es la razón por la que la función cuadrada f : (−∞, +∞) → [0, +∞) no tiene (una sola) función inversa. La gráfica de f es toda la parábola en la figura. Las “mitades” derecha e izquierda de la parábola son las gráficas con las restricciones f+ y f− con funciones inversas g+ y g−, respectivamente. NOTA 2

NOTA 3 Es sencillo recordar la ecuación (14) en notación diferencial. Escribimos x  f (y) y y  g(x). Entonces dyydx  g9(x) y dxydy  f 9( y). La ecuación (14) se convierte en la fórmula al parecer inevitable 1 dy = . (15) dx dx dy

Al usar la ecuación (15) es importante recordar que dyydx debe evaluarse en x, pero dxydy se calcula con el valor correspondiente de y, a saber, y  g(x). EJEMPLO 8 En la sección 3.4 se verificó la regla de la potencia Dx x r  rx r−1 para valores racionales del exponente r. Pero ahí necesitábamos conocer por adelantado Dx x 1yq  (1yq)x (1yq)−1 para todo entero positivo q. Ahora observamos que la función de potencia f (x)  x q, x > 0 sin duda tiene una derivada positiva: f  (x) = q x q−1 para √ x > 0. Por lo tanto, el teorema 1 implica que su función inversa g(x) = x 1/q = q x existe y tiene derivada Dx x 1/q = g  (x) =

1 f  (g(x))

1 1 1 =  = x (1/q)−1 , q−1 = 1−(1/q) qx q q x 1/q

como se deseaba. De otra manera, pudimos usar el enfoque del comentario 1 y simplemente escribir la identidad (x 1yq) q  x. Después, la derivación usando la regla de la cadena en el lado izquierdo (y Dx x ≡ 1 en la derecha) da la ecuación Z q(x 1/q )q−1 · Dx x 1/q = 1, de modo que podemos despejar Dx x 1yq.

Logaritmo natural La función exponencial natural f (x)  e x está definida para toda x y f 9(x)  e x > 0. Si f es la función inversa que en consecuencia está garantizada por el teorema 1 en esta sección, entonces f (g(x))  e g(x)  x. Así, g(x) es “la potencia a la cual debe elevarse e para obtener x” y, por lo tanto, es simplemente la función logaritmo con base e: g(x)  log e x. La función g se llama función logaritmo natural. Es común denotarla (en las teclas de calculadoras, por ejemplo) por el símbolo especial ln: LN X H LOGE X

   Y 



E





ELN X H X











X





Como e x > 0 para toda x, se concluye que ln x está definida sólo para x > 0. La gráfica y  ln x se muestra en la figura 3.8.16 y parece crecer muy despacio cuando x es grande. Observamos que ln 1  0, de manera que la gráfica cruza al eje x en x  1, y que ln e  1 (porque ln e  log e e  1). Las relaciones inversa-función entre f (x)  e x y g(x)  ln x son las siguientes:

YLNX



.X > /



FIGURA 3.8.16 Gráfica de la función logaritmo natural.



PARATODA X > 

A

Y LN.E X / H X

PARATODA X:

B

SECCIÓN 3.8

Funciones exponencial y logarítmica 189

Derivadas de las funciones logarítmicas Para derivar la función logaritmo natural, podemos aplicar la ecuación (14) del teorema 1 (con f (x)  e x y g(x)  ln x) y escribir 1 1 1 1 =  = ln x = . g  (x) =  f (g(x)) f (ln x) e x De otra forma, podemos comenzar con la ecuación (17a) y derivar ambos lados respecto a x, como sigue: $X ELN X H $X XI ELN X
$X LN X H  X
$X LN X H :

PORLAECUACI˜N CON U H LN X I

Por lo tanto, encontramos por cualquier camino que la derivada g 9(x)  Dx ln x de la función logaritmo natural está dada por $X LN X H

 X



para x > 0. Así, ln x es la función que hasta ahora faltaba cuya derivada es x−1  1yx. Igual que con las exponenciales, la derivada de una función logaritmo con base diferente a e incluye un factor numérico inconveniente. Por ejemplo, el problema 74 muestra que 0.4343 . (19) Dx log10 x ≈ x La comparación entre las ecuaciones (18) y (19) ilustra de qué forma la base e de los logaritmos es “natural”. La figura 3.8.17 muestra la gráfica de la función ln x . f (x) = x Encuentre las coordenadas del punto crítico sobre la curva en el primer cuadrante. EJEMPLO 9

  Y

Y LNX X













X



FIGURA 3.8.17 Gráfica del ejemplo 9.





Solución La ecuación (18) y la regla del cociente dan 1 · x − (ln x) · 1 (D 1 − ln x ln x)(x) − (ln x)(D x) x x x = = . f  (x) = 2 2 x x x2 Así, el único punto crítico de f ocurre cuando ln x  1; es decir, cuando x  e. El punto Z crítico indicado en la figura 3.8.17 es (e, 1ye) ≈ (2.718, 0.328). La versión de la regla de la cadena en la ecuación (18) es $X LN U H

 DU U
H ; U DX U



donde u es una función de valores positivos de x y u9 denota u9(x). Si u(x) tiene valores negativos, la función ln |u| está definida siempre que u sea diferente de cero, de manera que Dx ln |u| =

1 d|u| du · · |u| du d x

por la ecuación (20) con |u| en lugar de u. Pero de la gráfica ya familiar de la función valor absoluto se ve que jUj DjUj  SI U < ; H H C SI U > : DU U

190 CAPÍTULO 3

La derivada

Por lo tanto, se concluye que

Y YLN\X\



Y



 X

$X LN jUj H



  

 DU
U DX



siempre que la función derivable u(x) sea diferente de cero. En particular, 





X



$X LN jXj H





FIGURA 3.8.18 La función f (x)  ln | x| y su derivada f 9(x)  1yx.

 X



si x H 0 (vea la figura 3.8.18). EJEMPLO 10 Con u  1 + x 2 como la “función interior” en la ecuación (20), obtenemos 2x u = Dx ln(1 + x 2 ) = . Z u 1 + x2 EJEMPLO 11

Encuentre la derivada de y =

√ 1 + ln x.

Solución Ahora u  1 + ln x es la función interior, de manera que 1 dy = (1 + ln x)−1/2 · Dx (1 + ln x) dx 2 1 1 1 Z . = (1 + ln x)−1/2 · = √ 2 x 2x 1 + ln x  2x + 3 EJEMPLO 12 Encuentre la derivada de y = ln . 4x + 5 Solución Si derivamos inmediatamente, nos encontraremos aplicando la regla del cociente para derivar la fracción dentro de la raíz. (¡Inténtelo!) Es más sencillo aplicar las leyes de logaritmos para simplificar la función dada antes de derivarla:   1 2x + 3 1/2 1 2x + 3 = [ln(2x + 3) − ln(4x + 5)]. = ln y = ln 4x + 5 2 4x + 5 2 Entonces   1 2 4 1 2 1 dy Z = − = − =− 2 . dx 2 2x + 3 4x + 5 2x + 3 4x + 5 8x + 22x + 15

Derivación logarítmica Es más conveniente encontrar las derivadas de ciertas funciones derivando primero sus logaritmos. Este proceso —llamado derivación logarítmica— involucra los siguientes pasos 1. Dado: 2. Tome logaritmos naturales; después simplifique, usando las leyes de logaritmos: 1 3. Derive respecto a x: y

y = f (x)

ln y = ln f (x) dy · = Dx [ln f (x)] dx dy 4. Multiplique ambos lados por y  f (x): = f (x)Dx [ln f (x)] dx NOTA Si f (x) no tiene valores positivos en todas partes, los pasos 1 y 2 deben sustituirse con y  | f (x)| y ln y  ln | f (x)|, respectivamente. La derivación en el paso 3 lleva al resultado dyydx  f (x)Dx [ln| f (x)|] en el paso 4. En la práctica, necesitamos no preocuparnos demasiado por el signo de f (x), porque el aspecto de lo que parece ser el logaritmo de una cantidad negativa indicará el hecho de que deben usarse valores absolutos.

SECCIÓN 3.8

EJEMPLO 13

Funciones exponencial y logarítmica

191

Encuentre dyydx, dada  (x 2 + 1)3 y=  . 3 (x 3 + 1)4

Solución Las leyes de logaritmos dan ln y = ln

(x 2 + 1)3/2 3 4 = ln(x 2 + 1) − ln(x 3 + 1). (x 3 + 1)4/3 2 3

La derivación respecto a x da 1 dy 3 2x 4 3x 2 3x 4x 2 · = · 2 − · 3 = 2 − 3 . y dx 2 x +1 3 x +1 x +1 x +1

Por último, para despejar dyydx multiplicamos ambos lados por y=

(x 2 + 1)3/2 , (x 3 + 1)4/3

y obtenemos dy = dx

EJEMPLO 14



3x 4x 2 − 3 2 x +1 x +1

 ·

(x 2 + 1)3/2 . (x 3 + 1)4/3

Z

Encuentre dyydx, dada y  x x + 1 para x > 0.

Solución Si y  x x + 1, entonces ln y = ln(x x+1 ) = (x + 1) ln x;   1 dy 1 1 · = (1)(ln x) + (x + 1) = 1 + + ln x. y dx x x

Multiplicando por y  x x + 1 se obtiene   1 dy = 1 + + ln x x x+1 . dx x

Z

3.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. Una función exponencial tiene la forma f (x)  a x donde a es una constante. Si r y s son números racionales y a > 0, entonces (a r ) s  a r + s. Si a > 0, entonces f (x)  a x es una función creciente Si a > 0 y f (x)  a x, entonces f 9(x)  xa x − 1. Dx (e x ) = e x . Dx (x 2 e−x ) = 2xe−x − x 2 e−x . Una función puede ser su propio inverso. Si a > 0, entonces y  log a x si y sólo si x  a x. 1 9. Dx (ln x) = . x ln x 10. El punto más alto en la gráfica de f (x) = tiene coordenadas (e, e −1). x 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

192 CAPÍTULO 3

La derivada

3.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. El ejemplo 5 da tres pares de funciones inversas. Enumere algunos otros pares de funciones inversas f y g. En cada caso especifique los dominios de f y g, y verifique que f y g sean en realidad funciones inversas. 2. Suponga que n es un entero positivo. Analice (como en los ejemplos 6 y 7)√la pregunta de si una función de potencia f (x)  x n y la función raíz g(x) = n x son funciones inversas definidas para toda x. ¿De qué manera depende la situación de si n es par o impar? Analice raíces n-ésimas negativas y positivas si es necesario. Especifique el dominio de definición de cada función que mencione y verifique todas las afirmaciones que haga. 3. Dibuje una gráfica en forma de campana de la función f (x) =

1 . 1 + x2

Explique por qué f (que está definida para toda x) no tiene función inversa, pero sus restricciones f+ y f− a los lados positivo y negativo del eje x sí tienen funciones inversas g+ y g− (usando notación similar a la del ejemplo 6). Encuentre fórmulas para g+(x) y g−(x) y especifique el dominio de definición de cada una de estas funciones inversas. 4. Restrinja el dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas sen x, cos x, tan x, cot x, sec x y csc x a los puntos en el intervalo 0 < x < π donde están definidas. Consulte las gráficas de la figura 3.7.3 si necesita, determine cuáles de ellas tienen funciones inversas. Conteste la misma pregunta si ahora los dominios se restringen al intervalo 0 < x < πy2.

3.8 PROBLEMAS Encuentre la derivada de las funciones en los problemas 1 a 38. 1. f (x) = e2x 2. f (x) = e3x−1 3. f (x) = e x

2

5. f (x) = e1/x 7. g(t) = te

√

4. f (x) = e4−x 2

6. f (x) = x 2 e x

t

9. g(t) = (t 2 − 1)e−t  G.T/ H ECOS T 1 − e−t 13. g(t) = t 1−x 15. f (x) = ex 17. f (x) = e

3

ex

3

8. g(t) = (e2t + e3t )7 √ 10. g(t) = et − e−t  F .X/ H XESEN X 14. f (x) = e−1/x √

√

16. f (x) = e x + e− x √ 18. f (x) = e2x + e−2x

 F .X/ H SEN.E X /

 F .X/ H COS.E X C EX /

21. f (x) = ln(3x − 1) √ 23. f (x) = ln 1 + 2x p  F .X/ H LN  X  X

22. f (x) = ln(4 − x 2 )

27. f (x) = cos(ln x) 1 29. f (x) = ln x  √  31. f (x) = ln x x 2 + 1

28. f (x) = (ln x)3

32. g(t) = t 3/2 ln(t + 1)

 F .X/ H LN.COS X/

 F .X/ H LN. SEN X/

 F .T/ H T  LN.COS T/

 F .X/ H SEN.LN X/ √ 38. g(t) = t[cos(ln t)]2

37. g(t) = t (ln t)

2

24. f (x) = ln[(1 + x)2 ]  F .X/ H LN.SEN  X/

30. f (x) = ln(ln x)

En los problemas 39 a 46, aplique las leyes de logaritmos para simplificar la función dada antes de encontrar su derivada.  1−x 3 2 4 39. f (x) = ln[(2x + 1) (x − 4) ] 40. f (x) = ln 1+x  √ 2 4−x 4x − 7 41. f (x) = ln 42. f (x) = ln 9 + x2 (3x − 2)3 x +1 1 44. f (x) = x 2 ln 43. f (x) = ln x −1 2x + 1 √ t2 x +1 45. g(t) = ln 2 46. f (x) = ln t +1 (x − 1)3 En los problemas 47 a 58, encuentre dyydx mediante derivación logarítmica. 47. y = 2x 48. y = x x 49. y = x ln x 50. y = (1 + x)1/x √ x 51. y = (ln x) 52. y = (3 + 2x )x 2 3/2 (1 + x ) 53. y = 54. y = (x + 1)x (1 + x 3 )4/3   1 x 2 x2 55. y = (x + 1) 56. y = 1 + x p p X  Y H X  Y H X SEN X En los problemas 59 a 62, escriba una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto indicado.  Y H XEX ENELPUNTO .; E /  Y H EX COS X ENELPUNTO .; /

SECCIÓN 3.8

 N 69. Si sustituimos n  10 k en E H L¤M  C , obtenemos el N!1 N límite

 Y H X  LN X ENELPUNTO .; / LN X  Y H  ENELPUNTO .E; E / X

En los problemas 63 y 64, obtenga la derivada de la función f (x) dada varias veces sucesivas. Después dé una fórmula probable para el resultado después de n derivaciones. 63. f (x) = e2x

64. f (x) = xe x

65. La figura 3.8.19 muestra la gráfica de la función f (x)  e −xy6 sen x, junto con las gráficas de sus “curvas envolventes” y  e −xy6 y y  −e −xy6. Encuentre el primer punto máximo local y el primer punto mínimo local en la gráfica de f para x > 0. 

Y

 Y E X

 

X





FIGURA 3.8.19 Gráfica para los problemas 65 y 66.

66. Encuentre los primeros dos puntos de tangencia de la curva y  e −xy6 sen x con las dos curvas envolventes mostradas en la figura 3.8.19. ¿Son éstos los mismos que los dos puntos extremos locales encontrados en el problema 65? 67. Encuentre gráficamente las coordenadas (con tres decimales correctos) del punto de intersección de las gráficas y  e x y y  x 10 indicado en la figura 3.8.20.      Y      

 C K 

E H L¤M

K!1

K

que “converge” con mayor rapidez. Usando una calculadora o computadora, sustituya k  1, 2, 3, . . . , 8 para descubrir que e ≈ 2.71828 con precisión de cinco decimales. 70. Suponga que u y v son funciones derivables de x. Demuestre mediante derivación logarítmica que Dx (u v ) = v(u v−1 )

du dv + (u v ln u) . dx dx

Interprete los dos términos de la derecha en relación con el caso especial en que a) u es una constante, b) v es una constante. 71. Suponga que y  uvwypqr, donde u, v, w, p, q y r son funciones de x derivables diferentes de cero. Demuestre mediante derivación logarítmica que

YE XSENX YE X



Funciones exponencial y logarítmica 193

dy = dx  1 du 1 dv 1 dw 1 dp 1 dq 1 dr y· + + − − − . u dx v dx w dx p dx q dx r dx

¿Es obvia la generalización (para un número finito arbitrario de factores en el numerador y denominador)? 72. Demuestre que el número log2 3 es irracional. [Sugerencia: suponga lo contrario, que log2 3  pyq donde p y q son enteros positivos; luego exprese la consecuencia de esta suposición en forma exponencial. ¿En qué circunstancias una potencia entera de 2 puede ser igual a una potencia entera de 3?] 73. La tecla log en la calculadora típica denota el logaritmo base 10, f (x)  log10 x. a) Use la definición de derivada para demostrar que F ./ H L¤M LOG . C H/= H : H!

YX

b) Investigue el límite en a) numéricamente para demostrar que f 9(1) ≈ 0.4343. 74. El objetivo de este problema es derivar la función logaritmo base 10 del problema 73. a) Primero use la fórmula conocida para Dx e u para demostrar que Dx10 x = 10 x ln 10. b) Concluya de la regla de la cadena que

YEX





 X





FIGURA 3.8.20 Comparación de y  e x y y  x 10.

68. Vea el problema 67. Determine una ventana que revele un segundo punto de intersección (con x > 10) de las gráficas y  e x y y  x 10. Después determine gráficamente los primeros tres dígitos de la solución más grande x para la ecuación e x  x 10 (escriba esta solución en la forma p.qr × 10 k ).

Dx 10u = 10u (ln 10)

du . dx

c) Sustituya u  log10 x en la función identidad inversa 10log10 x  x y luego aplique la derivación usando el resultado del inciso b) para concluir que $X LOG X H

 :  ; X LN  X

congruente con el resultado (para x  1) del problema 73.

194 CAPÍTULO 3

La derivada

3.8 INVESTIGACIÓN: descubra usted mismo el número e Investigue el valor de e aproximando el valor de a tal que A

M.A/

  #

  #

E "

 "

 

 

AH  H : H! H

M.A/ H L¤M

Debe usar sólo la tecnología disponible para calcular (con valores fijos adecuados de a) valores de la función φ(h)  (a h − 1)yh con h suficientemente pequeño que pueda reconocer (con la precisión apropiada) el valor del límite. Por ejemplo, si calcula φ(h) con a  2 y con a  3 para h  0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … , debe encontrar que m(2) ≈ 0.6931 < 1

mientras que

m(3) ≈ 1.0986 > 1.

Se deduce que el misterioso número e, para el que m(e)  1, está en algún punto entre 2 y 3. La interpolación lineal de valores de m(2) ≈ 0.6931 y m(3) ≈ 1.0986 sugiere que e ≈ 2.7 o e ≈ 2.8 con precisión de un decimal. Investigue los valores de m(2.7) y m(2.8) para verificar los elementos de la figura 3.8.21. Continúe de esta manera para acercarse al número e. No se detenga hasta que esté convencido de que e ≈ 2.718 con precisión de 3 decimales.

FIGURA 3.8.21 Se cierra en el número e.

3.9 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y TASAS RELACIONADAS Una fórmula como y  x 3 sen x define y “explícitamente” como una función de x. La mayoría de las funciones que hemos estudiado han estado definidas de manera explícita. Sin embargo, una función también se define “implícitamente” por una ecuación de la que se despeja y en términos de x. Sin duda, veremos que una sola ecuación que relaciona dos variables x y y define de manera implícita dos o más funciones diferentes de x.

Y Y X

X

x − y2  0

Y X

FIGURA 3.9.1 La ecuación x − y 2  0 define de forma √ implícita xy las dos funciones f (x)  √ g(x)  − x .

Y

EJEMPLO 1 a) Cuando resolvemos la ecuación

Y  X

despejando y  ±  x , obtenemos dos función explícitas √ √ g(x) = − x f (x) = x y que se dice que están definidas implícitamente por la ecuación original. Las grá≥ 0— son las ramas superior ficas de estas funciones —ambas definidas para x − e inferior de la parábola mostrada (en dos tonos distintos) en la figura 3.9.1. La parábola completa es la gráfica de la ecuación x − y 2  0 (o x  y 2) pero no es la gráfica de una sola función. b) De manera similar, la ecuación x 2 + y 2  100 define de manera implícita las dos funciones continuas   g(x) = − 100 − x 2 f (x) = 100 − x 2 y

X

Y  X

FIGURA 3.9.2 La ecuación x 2 + y 2  100 define de manera implícita√ las dos funciones f (x) = 100 − x 2 y √ g(x) = − 100 − x 2 .

≤ x ≤ 10— que corresponden a las soluciones y  —ambas definidas para −10 − √ − ± 100 − x 2 para y en términos de x. Las gráficas de f y g son las semicircunferencias superior e inferior de la circunferencia completa x 2 + y 2  100 (mostraZ da en diferentes tonos en la figura 3.9.2). Mientras que las ecuaciones x − y 2  0 y x 2 + y 2  100 se resuelven con facilidad para obtener y en términos de x, es difícil resolver una ecuación como x 3 + y 3  3xy o bien como sen(x + 2y)  2x cos y para resolver una función implícitamente definida y(x). Aún así, es posible obtener la derivada dyydx sin primero expresar y en términos de x. Para esto se usa la regla de la cadena y otras reglas de derivación básicas para derivar ambos lados de la ecuación dada respecto a x (pensamos en x como la variable independiente, aunque se pueden invertir los papeles de x y y). Podemos

SECCIÓN 3.9

Derivación implícita y tasas relacionadas 195

despejar de la ecuación obtenida la derivada y9(x)  dyydx de la función definida de manera implícita y(x). Este proceso se llama derivación implícita. En los ejemplos y problemas de esta sección, procedemos con la suposición de que nuestras funciones definidas implícitamente de hecho existen y son derivables en casi todos los puntos de sus dominios. (Las funciones con las gráficas mostradas en la figura 3.9.2 no son derivables en los puntos extremos de sus dominios.) EJEMPLO 2 Use derivación implícita para encontrar la derivada de una función derivable y  f (x) implícitamente definida por la ecuación x 2 + y 2  100.

Solución La ecuación x 2 + y 2  100 puede verse como una identidad que implícitamente define y  y(x) como una función de x. Como x 2 + [ y(x)] 2 es entonces una función de x, tiene la misma derivada que la función constante 100 en el lado derecho de la identidad. Así, podemos derivar ambos lados de la identidad x 2 + y 2  100 respecto a x y luego igualar los resultados. Obtenemos 2x + 2y

dy = 0. dx

En este paso, es esencial recordar que y es una función de x, de manera que la regla de la cadena lleva a Dx (y 2 ) = 2y Dx y. Después despejamos dy x =− . dx y

(1)

Le sorprenderá ver una fórmula para dyydx que contiene tanto x como y, pero esa fórmula es tan útil como una que contiene sólo x. Por ejemplo, la fórmula en la ecuación (1) nos dice que la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2  100 en el punto (6, 8) es 3 6 dy =− =− . d x (6,8) 8 4 La circunferencia y esta recta se muestran en la figura 3.9.3.

Z

Y

0ENDIENTEM

 

 

X

FIGURA 3.9.3 Circunferencia x 2 + y 2  100 y la recta tangente en el punto (6, 8).

NOTA

√ Si despejamos y = ± 100 − x 2 en el ejemplo 1, entonces −x x dy = √ =− , 2 dx y ± 100 − x

de acuerdo con la ecuación √(1) da al mismo tiempo las derivadas de √ (1). Así, la ecuación ambas funciones y = + 100 − x 2 y y = − 100 − x 2 implícitamente definidas por la ecuación x2 + y2  100.

196 CAPÍTULO 3

La derivada

EJEMPLO 3

La folia de Descartes es la gráfica de la ecuación x 3 + y 3  3xy

Y  XY 

  





 XY 



 X



(2)

Esta curva fue primero propuesta por René Descartes como reto a Pierre de Fermat (1601-1665) para encontrar la recta tangente en un punto arbitrario. El proyecto de esta sección nos dice cómo construir la figura 3.9.4. Indica que en el segundo y cuarto cuadrante los puntos en la gráfica para los cuales |x | y | y | son grandes y muy cercanos a la recta x + y + 1  0. En el primer cuadrante se ve un lazo con la forma de una hoja de laurel, de ahí el nombre de folia. (¿Puede ver directamente de la ecuación (2) que el tercer cuadrante no contiene puntos de la folia?) Aquí queremos encontrar la respuesta de Fermat como la pendiente típica de una recta tangente a la folia de Descartes.

Solución La ecuación (2) es una ecuación cúbica en x, y vemos en la figura 3.9.4 tres ramas diferentes de la gráfica en un intervalo a la derecha del origen. Cuando pedimos a un sistema algebraico de computadora que resuelva la ecuación para estas funciones implícitamente definidas de x, produce tres expresiones diferentes. La más sencilla es

 13 2x y= −4x 3 + 4 x 6 − 4x 3 +  . √ 3 2 −4x 3 + 4 x 6 − 4x 3







FIGURA 3.9.4 Recta tangente y asíntota aparente de la curva x 3 + y 3  3xy.

(Resulta que esta fórmula describe la parte superior del lazo en la figura 3.9.4.) Con seguridad no confiaría en que la derivación explícita de esta expresión encontrara la pendiente de una recta tangente a la folia. Por fortuna está disponible la alternativa de la derivación implícita. Sólo necesitamos derivar cada lado de la ecuación (2) respecto a x, recordando que y es una función de x. De esta forma, usamos la regla de la cadena para derivar y 3 y la regla del producto para derivar 3xy. Esto lleva a 3x 2 + 3y 2

dy dy = 3y + 3x . dx dx

Ahora podemos simplificar coeficientes (los involucrados en dyydx y los que no) y despejar la derivada: (3y 2 − 3x)

Por ejemplo, en el punto P 

dy = 3y − 3x 2 ; dx dy y − x2 = 2 . dx y −x

 , 32 de la folia, la pendiente de la recta tangente es  2 3 − 32 dy 2   =  3 2 3 = −1. dx 3,3 −

3 2

2 2

 

Y  X 

Y 





(3)

2

2

Este resultado concuerda con nuestra intuición acerca de la figura, porque la simetría evidente de la folia alrededor de la recta y  x sugiere que la recta tangente en P debe tener pendiente −1. La ecuación de esta tangente es   y − 32 = − x − 32 ; es decir, x + y  3



  

 X



FIGURA 3.9.5 Curva sen(x + 2y)  2x cos y y su tangente en el origen.



Z



EJEMPLO 4

La figura 3.9.5 muestra un trazo de computadora de la ecuación SEN.X C Y/ H X COS Y:



Escriba la ecuación de la recta tangente a esta curva en el origen (0, 0).

Solución Cuando derivamos cada lado en (4) respecto a la variable independiente x, viendo a y como una función de x, obtenemos TCOS.X C Y/U
 C 

DY DX

H  COS Y .X SEN Y/

DY : DX



SECCIÓN 3.9

Derivación implícita y tasas relacionadas 197

Podemos simplificar coeficientes y despejar la derivada dyydx. Pero como necesitamos la pendiente y9(0) en el origen, en su lugar sustituimos x  y  0 en la ecuación (5). Observe que cos(0)  1 y sen(0)  0, obtenemos la ecuación 1 + 2y 9(0)  2, de lo cual vemos que y9(0)  La recta tangente resultante y  12x graficada en la Z figura 3.9.5 “parece correcta”, y esto corrobora los resultados de los cálculos. 1 2.

Tasas relacionadas Un problema de tasas relacionadas involucra dos cantidades o más que varían con el tiempo y una ecuación que expresa algunas relaciones entre estas cantidades. En general, se conocen los valores de esas cantidades en algún instante dado, junto con todas las tasas de cambio en el tiempo, menos una. El problema suele ser encontrar la tasa de cambio en el tiempo que no se conoce, en cierto instante especificado en el problema. La derivación implícita, respecto al tiempo t, de la ecuación que relaciona las cantidades dadas, producirá una ecuación que relaciona las tasas de cambio de las cantidades dadas. Ésta es la clave para resolver un problema de tasas relacionadas. EJEMPLO 5 Suponga que x(t) y y(t) son las coordenadas x y y en el tiempo t de un punto que se mueve alrededor de una circunferencia con ecuación x2 + y2  25.

(6)

Se usará la regla de la cadena para derivar ambos lados de esta ecuación respecto al tiempo t. Esto produce la ecuación 2x

dy dx + 2y = 0. dt dt

(7)

Si los valores de x, y y dxydt se conocen en cierto instante t, la ecuación (7) se resuelve para obtener el valor de dyydt. No es necesario conocer x y y como funciones de t. Si duda, es común en los problemas de tasas relacionadas que se tenga información insuficiente para expresar x y y como funciones de t. Por ejemplo, suponga que nos dan x  3, y  4 y dxydt  12 en cierto instante. Sustituyendo estos valores en la ecuación (7) se tiene 2 · 3 · 12 + 2 · 4 ·

dy = 0, dt

de manera que encontramos que dyydt  −9 en ese mismo instante.

Z

EJEMPLO 6 Se da seguimiento por radar a un cohete que se lanza verticalmente. El radar está localizado en el suelo a 3 millas del lugar de lanzamiento. ¿Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en que su distancia del radar es 5 millas y esta distancia aumenta a una tasa de 5000 mi/h?

Solución La figura 3.9.6 ilustra esta situación. Denotamos la altitud del cohete (en millas) por y y su distancia a la estación del radar por z. Se sabe que dz = 5000 cuando z  5. dt Queremos encontrar dyydt (en millas por hora) en este instante. Se aplica el teorema de Pitágoras a la derecha del triángulo en la figura para obtener Y C  D Z

como una relación entre y y z. De aquí vemos que y  4 cuando z  5. La derivación implícita da entonces dz dy = 2z . 2y dt dt

198 CAPÍTULO 3

La derivada

DY DT

Z

Y



FIGURA 3.9.6 Cohete del ejemplo 6.

Sustituimos los datos y  4, z  5 y dzydt  5000. Con ello encontramos que dy = 6250 dt

(mi/h)

en el instante en cuestión.

Z

El ejemplo 6 ilustra los pasos siguientes en la solución de un problema típico de tasas relacionadas, del tipo que involucra una situación geométrica: 1. Dibuje un diagrama y etiquete como variables las diferentes cantidades cambiantes que contiene el problema. 2. Registre los valores de las variables y sus tasas de cambio, según se proporcionen en el problema. 3. Utilice el diagrama para determinar una ecuación que relacione las variables importantes en el problema. 4. Aplique, en esta ecuación, derivación implícita respecto al tiempo t. 5. Sustituya los datos numéricos en la ecuación resultante y luego despeje la variable desconocida. El error más común que hay que evitar es la sustitución prematura de los datos dados antes de la derivación implícita. Si hubiéramos sustituido z  5 al inicio del ejemplo 5, la ecuación habría sido y2 + 9  25, y la derivación implícita habría dado el resultado absurdo dyydt  0. ADVERTENCIA

En el ejemplo 7 se usan triángulos semejantes (en lugar del teorema de Pitágoras) para descubrir la relación entre las variables. EJEMPLO 7 Un hombre de 6 ft de alto camina con una velocidad de 8 ft/s alejándose de un poste de luz de la calle de 18 ft de alto. ¿Qué tan rápido se mueve la punta de su sombra en el suelo cuando está a 100 ft del poste de luz?

Solución Sea x la distancia del hombre medida desde el poste y z la distancia de la punta de su sombra a la base del poste (figura 3.9.7). Aunque x y z son funciones de valores positivos en el tiempo t, no intentamos encontrar fórmulas explícitas para ninguna. Se sabe que dxydt  8 (en pies por segundo); queremos encontrar dzydt cuando x  100 (ft). Igualamos las razones de los lados correspondientes de los dos triángulos semejantes de la figura 3.9.7 y encontramos que z−x z = . 18 6

SECCIÓN 3.9

Derivación implícita y tasas relacionadas 199

FT FT 3OMBRA Z X

X Z

FIGURA 3.9.7 Sombra que se mueve del ejemplo 7.

Se deduce que 2z = 3x,

y la derivación implícita da 2

dz dx =3 . dt dt

Sustituimos dxydt  8 y encontramos que dz 3 dx 3 = · = · 8 = 12. dt 2 dt 2

De manera que la punta de la sombra se mueve a 12 ft/s.

Z

El ejemplo 7 es un poco inusual en el sentido de que la respuesta es independiente de la distancia del hombre al poste, el valor dado x  100 es superfluo porque la punta de la sombra se mueve a velocidad constante. El ejemplo 8 es un problema de tasas relacionadas con dos relaciones entre las variables, que no es tan raro. EJEMPLO 8 Dos estaciones de radar A y B, con B a 6 km al este de A, siguen la trayectoria de un barco. En cierto instante, el barco está a 5 km de A y esta distancia aumenta a una tasa de 28 km/h. En el mismo tiempo, el barco también está a 5 km de B, pero esta distancia aumenta a sólo 4 km/h. ¿Dónde está el barco, qué tan rápido se mueve y en qué dirección se mueve?

Solución Con las distancias indicadas en la figura 3.9.8, encontramos —de nuevo con la ayuda del teorema de Pitágoras— que

"ARCO

X  C Y H U U

%STACI˜N DERADAR !

Y

X

 X

%STACI˜N DERADAR "

FIGURA 3.9.8 Estaciones de radar que siguen un barco (ejemplo 8).

Y

. X/ C Y  H G  :



Damos los siguientes datos: u  v  5, duydt  28 y dvydt  4 en el instante en cuestión. Como el barco está a la misma distancia de A y B, es claro que x  3. Así, y  4. Así, el barco está 3 km al este y 4 km al norte de A. Con derivación implícita de las dos ecuaciones en (8), obtenemos X Y . X/

DX DY DU C Y H U DT DT DT DY DG DX C Y H G : DT DT DT

Cuando sustituimos los datos numéricos dados y los datos deducidos, tenemos que DX DY DX DY  C H  Y  C H : DT DT DT DT Es sencillo resolver estas ecuaciones: dxydt  dyydt  20. Por lo tanto, el barco navega al noroeste a una velocidad de  √ 202 + 202 = 20 2 (km/h) (¡si la figura es correcta!) un espejo a lo largo de la recta AB reflejará otro barco, 3 km km/h. al este y 4 km al sur de A, que navega al sureste a una velocidad de 20

200

CAPÍTULO 3

La derivada

¿La lección? Las figuras son importantes, útiles y con frecuencia esenciales, pero potencialmente engañosas. Evite dar cosas por hecho cuando dibuje una figura. En este ejemplo no habría un problema real, ya que cada estación de radar podría determinar Z si el barco estaba al norte o al sur.

3.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. x dy = . 1. Si x2 + y2  100 entonces dx y 2. Pierre de Fermat retó a René Descartes a encontrar la recta tangente a la gráfica de la folia x2 + y3  3xy en un punto arbitrario. 3. En un triángulo rectángulo con lados cortos a y b e hipotenusa c, (a + b)2  c2. 4. Si dos triángulos tienen lados correspondientes paralelos, los triángulos son semejantes. 5. En un problema de tasas relacionadas, se usa el hecho de que los cambios en cantidades relacionadas están en sí relacionados. 6. Sólo una función está implícitamente definida por la ecuación x2 + y2  100. 7. Suponga que x  x(t) y y  y(t) son dos funciones de t tales que x2 + y2  25 (para toda t). Si x  3, y  4 y x9(t)  12, entonces y9(t)  −9. 8. Si x3 + y3  3xy, entonces $X .X  / H X  Y $ Y .Y  / H Y   dy 9. Si x3 + y3  3xy, entonces Dx (3x y) = 3x + 3y. dx 10. Folia es la palabra en latín para hoja.

3.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS

p 1. Lapfigura 3.9.1 muestra las gráficas de las dos funciones f (x)  X y g(x)  2 − X que están definidas implícitamente por la ecuación x − y  0. Ambas f y ≥ 0. ¿Puede pensar en una función discontinua y  h(x) g son continuas para x − que satisfaga esta misma ecuación? 2. ¿Cuántas funciones continuas diferentes de x (con el mismo dominio de definición) están implícitamente definidas por una ecuación cuadrática dada en x y y? ¿Por una ecuación cúbica dada? ¿Por una ecuación de cuarto grado? ¿Cuántas funciones discontinuas? 3. ¿Cuántas funciones continuas diferentes de x están definidas por las siguientes ecuaciones? B X  C Y  H  C X  C Y  H  A X  C Y  C  H 

4. ¿Cuántas funciones continuas diferentes de x están definidas por la ecuación trascendente sen y  x?

3.9 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, primero encuentre la derivada dyydx por derivación implícita. Después resuelva la ecuación original explícitamente despejando y en términos de x y derive para encontrar dyydx. Por último, verifique que sus dos resultados sean los mismos sustituyendo la expresión explícita de y(x) en la forma implícita de la derivada. 1. x 2 − y 2 = 1 2. x y = 1 3. 16x 2 + 25y 2 = 400

4. x 3 + y 3 = 1

En los problemas 5 a 14, encuentre dyydx por derivación implícita. √ √ 6. x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 48 5. x + y = 1

7. x 2/3 + y 2/3 = 1

8. (x − 1)y 2 = x + 1

9. x 2 (x − y) = y 2 (x + y)

10. x 5 + y 5 = 5x 2 y 2

 X SEN Y C Y SEN X H 

 COS.X C Y/ H SEN X SEN Y

13. 2x + 3e = e

14. x y = e−x y

y

x+y

En los problemas 15 a 28, use derivación implícita para encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto dado. 15. x 2 + y 2 = 25; 16. x y = −8;

(3, −4)

(4, −2)

SECCIÓN 3.9

17. x 2 y = x + 2; 18. x

1/4

+y

1/4

(2, 1)

= 4;

Derivación implícita y tasas relacionadas 201

28. y 2 = x 2 (x + 7);

(figura 3.9.12)

(16, 16)

19. x y 2 + x 2 y = 2; (1, −2) 1 1 + = 1; (1, 1) 20. x +1 y+1 21. 12(x 2 + y 2 ) = 25x y;

(3, −2)

23. 2e−x + e y = 3e x−y ;

(0, 0)

 Y

25. x 2/3 + y 2/3 = 5;





(3, 2)

24. x y = 6e2x−3y ;

  



(3, 4)

22. x 2 + x y + y 2 = 7;



(8, 1)

(F(figura 3.9.9)



 X





29. La curva x3 + y3  9xy es similar en forma y apariencia a la folia de Descartes en la figura 3.9.4. Encuentre a) la ecuación de su recta tangente en el punto (2, 4) y b) la ecuación de su recta tangente con pendiente −1. 30. a) Factorice el lado izquierdo de la ecuación

   



2x 2 − 5x y + 2y 2 = 0







 X





FIGURA 3.9.9 Problema 25.

26. x 2 − x y + y 2 = 19;

(3, −2)

     Y 













(figura 3.9.10)

 



 X





FIGURA 3.9.10 Problemas 26.

27. (x 2 + y 2 )2 = 50x y;

(2, 4)

(figura 3.9.11)

    

para demostrar que su gráfica consiste en dos líneas rectas que pasan por el origen. Por lo cual la derivada y9(x) tiene sólo dos valores numéricos (las pendientes de estas dos rectas). b) Calcule dyydx por derivación implícita de la ecuación en el inciso a). Verifique que la expresión que obtuvo de la pendiente adecuada para cada una de las rectas en el inciso a). 31. Encuentre todos los puntos en la gráfica de x2 + y2  4x + 4y donde la recta tangente es horizontal. 32. Encuentre los puntos del primer cuadrante de la folia del ejemplo 3 donde la recta tangente es horizontal (dyydx  0) o bien vertical (donde dxydy  1y(dyydx)  0). 33. La figura 3.9.13 muestra la gráfica de la ecuación x  ye y. Demuestre primero que la derivación explícita para encontrar dxydy y la derivación implícita para encontrar dyydx llevan a resultados congruentes. Después encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto a) (0, 0); b) (e, 1).      Y 













E  XYEY





X







FIGURA 3.9.13 Curva x  ye y y su recta tangente en el origen.

Y 











FIGURA 3.9.12 Problema 28.



Y

(−3, 6)





 X





FIGURA 3.9.11 Problema 27.



34. a) Encuentre los puntos en la curva x  ye y de la figura 3.9.13 en los que la recta tangente es vertical (dxydy  0). b) ¿Existe un punto en la curva en el que la recta tangente sea horizontal? c) Demuestre que x → 0 y dyydx → −∞. d) Demuestre que y → +∞ y dyydx → 0 cuando x → +∞.

202

CAPÍTULO 3

La derivada

35. La gráfica en la figura 3.9.14 es una lemniscata con ecuación (x 2 + y 2)2 = x 2 + y 2. Encuentre por derivación implícita los cuatro puntos en la lemniscata donde la recta tangente es horizontal. Después encuentre los dos puntos en los que la recta tangente es vertical, esto es, donde dxydy  1y(dyydx)  0.

y diminuye a una tasa de 3 ft/s, ¿a qué tasa disminuye el radio r de la superficie del agua?

Y 

XY X Y R X

Y

FIGURA 3.9.17 Tanque esférico del problema 38.

FIGURA 3.9.14 La lemniscata del problema 35.

36. Se recolecta el agua de un boque de hielo con base cuadrada (figura 3.9.15). El agua se produce porque el hielo se está derritiendo de manera que disminuye cada arista de la base del bloque a 2 in/h mientras que la altura del bloque disminuye a 3 in/h. ¿Cuál es la tasa de flujo de agua en el recipiente de recolección cuando la base tiene aristas con longitud de 20 in y la altura del bloque es 15 in? Suponga, simplificando, que el agua y el hielo tienen la misma densidad.

Y

X

X

FIGURA 3.9.15 Bloque de hielo del problema 36.

37. Se está vaciando arena por una tolva con una tasa de 10 ft3/s. La arena forma una pila cónica cuya altura es siempre el doble de su radio (figura 3.9.16) ¿A qué tasa aumenta el radio de la pila cuando su altura es 5 ft?

39. Una mancha de petróleo circular de grosor uniforme es resultado de un derrame de 1 m3 de petróleo. El grosor de la mancha disminuye a una tasa de 0.1 cm/h. ¿A qué tasa está aumentando el radio de la mancha cuando ese radio mide 8 m? 40. Suponga que un avestruz de 5 ft de altura camina a una velocidad de 4 ft/s directamente hacia un poste de luz con 10 ft de altura. ¿Qué tan rápido se mueve la punta de su sombra en el suelo? ¿A qué tasa disminuye la longitud de la sombra del avestruz? 41. El ancho de un rectángulo es la mitad de su largo. ¿A qué tasa disminuye el área cuando el ancho es 10 cm y decrece a 0.5 cm/s? 42. ¿A qué tasa aumenta el área de un triángulo equilátero si su base tiene 10 cm de largo y aumenta a 0.5 cm/s? 43. Un globo de gas se está llenando a una tasa de 100π cm3 de gas por segundo. ¿A qué tasa aumenta el radio del globo cuando tiene 10 cm? 44. El volumen V (en pulgadas cúbicas) y la presión p (en libras por pulgada cuadrada) de cierto gas satisface la ecuación pV  1000. ¿A qué tasa cambia el volumen de la muestra si la presión es 100 lb/in2 y está aumentando a una tasa de 2 lb/in2 por segundo? 45. La figura 3.9.18 muestra un papalote en el aire a una altitud de 400 ft. El aire empuja horizontalmente al papalote a una tasa de 10 ft/s alejándolo de la persona que sostiene la cuerda en el nivel del suelo. ¿A qué tasa se está soltando la cuerda cuando ya se han tendido 500 ft de ella? (Suponga que la cuerda forma una línea recta.) FTS

HR FT

R

FIGURA 3.9.16 Pila cónica de arena del problema 37 con volumen V = 13 πr 2 h.

38. Suponga que se vacía agua desde un tanque esférico de radio 10 ft (figura 3.9.17). Si la profundidad del agua en el tanque es 5 ft

3UELO

FIGURA 3.9.18 Papalote del problema 45.

46. Un globo climático se eleva verticalmente y se observa desde un punto en el suelo a 300 ft del punto directamente abajo del globo. ¿A qué tasa se eleva el globo cuando el ángulo

SECCIÓN 3.9

entre el suelo y la línea de visión del observador es 45° y está aumentando a 1° por segundo? 47. Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 3 mi y una velocidad de 480 mi/h pasa justo arriba de un observador en el suelo. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia del observador al avión 30 s más tarde? 48. La figura 3.9.19 muestra un tanque esférico de radio a parcialmente lleno de agua. La profundidad máxima del agua en el tanque —fórmula que puede derivar después de estudiar el capítulo 6— es V   πy2 (3a − y). Suponga que se drena el agua de un tanque esférico con radio 5 ft a una tasa de 100 gal/min. Encuentre la tasa a la que disminuye la profundidad del agua cuando a) y  7 (ft); b) y  3 (ft). [Nota: un galón de agua ocupa un volumen aproximado de 0.1337 ft3.] .IVELDEAGUA A Y

FIGURA 3.9.19 Tanque esférico con agua del problema 48.

49. Repita el problema 48, pero use un tanque seimiesférico, plano por la parte superior, con radio de 10 ft. 50. Una piscina tiene 50 ft de largo y 20 ft de ancho. Su profundidad varía de manera uniforme desde 2 ft en su parte menos profunda hasta 12 ft en lo más hondo (figura 3.9.20). Suponga que se llena a una tasa de 1000 gal/min. ¿A qué tasa está aumentando la profundidad en la parte honda cuando la profundidad ahí es 6 ft? [Nota: un galón de agua ocupa un volumen aproximado de 0.1337 ft3.] FT FT .IVELDEAGUA

FT Y

FIGURA 3.9.20 Sección transversal de la piscina del problema 50.

51. Una escalera de 41 ft de largo recargada en una pared vertical comienza a resbalarse. La parte alta se desliza por la pared mientras se mueven las patas por el suelo en una velocidad constante de 4 ft/s. ¿Qué tan rápido se mueve la parte de arriba cuando está a 9 ft del suelo? 52. La base de un rectángulo aumenta a 4 cm/s mientras su altura diminuye a 3 cm/s. ¿A qué tasa cambia el área cuando la base tiene 20 cm y su altura es 12 cm? 53. La altura de un cono disminuye a 3 cm/s mientras que su radio aumenta a 2 cm/s. Cuando el radio tiene 4 cm y la altura, 6 cm, ¿está aumentando o disminuyendo el volumen del cono? ¿A qué tasa cambia el volumen? 54. Un cuadrado se está expandiendo. Cuando cada lado mide 10 in, su área está aumentando a 120 in2/s. ¿A qué tasa cambia la longitud de cada lado?

Derivación implícita y tasas relacionadas 203

55. Un cohete se lanza verticalmente y se rastrea desde una estación de radar a nivel del suelo a 4 millas de la plataforma de lanzamiento. ¿Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en que su distancia al radar es 5 millas y aumenta a una tasa de 3600 mi/h? 56. Dos caminos rectos se cruzan con ángulos rectos. A las 10 am un auto pasa por la intersección con dirección al este a 30 mi/h. A las 11 am un camión que va al norte a 40 mi/h pasa por la intersección. Suponga que los dos vehículos mantienen las velocidades y direcciones dadas. ¿A qué tasa se están alejando a la 1 pm? 57. Una escalera de 10 ft está recargada en una pared. Las patas comienzan a deslizarse separándose de la pared a una velocidad de 1 mi/h. a) Encuentre la tasa a la que la parte alta de la escalera se mueven cuando está a 4 ft del suelo. Si la parte alta mantiene contacto con la pared, encuentre la velocidad a la que se mueve cuando está b) 1 in arriba del suelo; c) 1 mm arriba del suelo. ¿Confía en sus respuestas? La clave de la paradoja aparente es que cuando la parte alta de la escalera está alrededor de 1.65 ft de altura, se separa de la pared y luego se desliza separándose de ella. 58. Dos barcos navegan hacia una pequeña isla. Uno, la Pinta, está al este y navega hacia el oeste a 15 mi/h. El otro barco, la Niña, está al norte y navega hacia el sur a 20 mi/h. En cierto momento, la Pinta está a 30 millas de la isla y la Niña a 40 millas. ¿A qué tasa se acercan los barcos entre sí en ese momento? 59. En el tiempo t  0, un jet militar de un motor vuela hacia el este a 12 mi/min. A la misma altitud y 208 millas directamente enfrente del jet militar, todavía en el tiempo t  0, un avión comercial vuela hacia el norte a 8 mi/min. ¿Cuándo están lo más cerca los dos aviones? ¿Cuál es la distancia mínima entre ellos? 60. Un barco con una cadena de ancla larga está anclado a 11 brazas de agua. La cadena del ancla se enrolla a una tasa de 10 brazas/min, haciendo que el barco se mueva hacia el punto directamente arriba del punto de anclaje. La escobén —armella de contacto entre el barco y la cadena del ancla— está a 1 braza arriba del nivel del agua. ¿A qué velocidad se mueve el barco cuando hay exactamente 13 brazas de cadena todavía afuera? 61. Un tanque de agua tiene forma de cono con eje vertical y vértice hacia abajo. El radio del tanque tiene 3 ft y la altura es 5 ft. Al principio el tanque está lleno de agua, pero en el tiempo t  0 (en segundos), se abre un pequeño agujero en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque baja a 3 ft, el agua está saliendo a 2 ft3/s. ¿A qué tasa, en ft por segundo, baja el nivel del agua en ese momento? 62. Un tanque esférico con radio de 10 ft se llena con agua a una tasa de 200 gal/min. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando la profundidad máxima de agua en el tanque es de 5 ft? Vea la fórmula y la nota del problema 48. 63. Una cubeta de agua tiene forma de cono truncado con 2 ft de altura, radio de la base de 6 in y radio de la parte superior de 12 in. El agua se escapa de la cubeta a razón de 10 in3/min. ¿A qué tasa disminuye el nivel del agua cuando su profundidad es 1 ft?

204

CAPÍTULO 3

La derivada

[Nota: el volumen V de un cono truncado con altura h y radios de las bases a y b es V =

πh 2 (a + ab + b2 ). 3

La figura 3.9.21 muestra un cono de este tipo.]

B

H

A

FIGURA 3.9.21 El volumen de este cono truncado está dado en el problema 63.

64. Suponga que las estaciones de radar A y B del ejemplo 8 están ahora a 12.6 km de distancia. En cierto momento, un barco se encuentra a 10.4 km de A y esta distancia aumenta a 19.2 km/h. En el mismo instante, su distancia de B es 5 km y disminuye a 0.6 km/h. Encuentre la localización, velocidad y dirección de movimiento del barco. 65. Un avión sube con un ángulo de 45° y pasa directamente sobre una estación de radar terrestre a una altitud de 1 milla. Una

lectura posterior muestra que la distancia del radar al avión es 5 millas y aumenta a 7 mi/h. ¿Cuál es la velocidad del avión en ese momento (en millas por hora)? [Sugerencia: es útil la ley de los cosenos, vea el apéndice C.] 66. El tanque de agua del problema 62 está completamente lleno cuando se quita el tapón en el vértice. De acuerdo con la ley p de Torricelli, el agua sale de tal manera que dVydt  −k Y , donde V es el volumen de agua en el tanque y k es una constante empírica positiva. a) Encuentre dyydt como función de la profundidad y. b) Encuentre la profundidad del agua cuando el nivel baja lo menos rápido posible. (Deberá calcular la derivada de dyydt respecto a y.) 67. Una persona con 6 ft de altura camina a 5 ft/s en la orilla de un camino con 30 ft de ancho. En la otra orilla del camino hay una luz en lo alto de un poste de 18 ft. ¿Qué tan rápido aumenta la longitud de su sombra (en el suelo horizontal) cuando la persona está a 40 ft del punto directamente enfrente del poste en el camino? 68. La unidad de radar del oficial de una patrulla de caminos está estacionada atrás de un anuncio espectacular a 200 ft de una recta larga en la carretera 17. En la carretera, a 200 ft del punto más cercano a la patrulla, está una caja de llamadas de emergencia. El oficial dirige el radar a la caja. Una camioneta pasa la caja y, en ese momento, la unidad de radar indica que la distancia entre el oficial y la camioneta aumenta a una tasa de 45 mi/h, es decir, 66 ft/s. El límite de velocidad indicado es 55 mi/h. ¿Tiene una razón el oficial para detener al conductor de la camioneta?

3.9 INVESTIGACIÓN: construcción de una folia de Descartes Las gráficas en computadora con frecuencia requieren muchas matemáticas y se usaron muchas para construir gran parte de las figuras en este libro. Para entender una manera de construir la figura 3.9.4, utilice un sistema algebraico de computadora para resolver la ecuación x3 + y3  3xy despejando y en términos de x. Verifique que las tres expresiones obtenidas definan tres funciones diferentes f, g y h cuyas gráficas son las tres ramas de la curva con diferentes colores de la figura 3.9.22. Investigue los dominios de definición y las gráficas de estas funciones para verificar que embonan precisamente como se muestra en la figura. Y  YGX



YFX









 X

YHX



FIGURA 3.9.22 La ecuación x 3 + y 3  3xy define implícitamente tres funciones f, g y h.

3.10 APROXIMACIONES SUCESIVAS Y MÉTODO DE NEWTON La solución de ecuaciones ha sido una tarea central de las matemáticas. Hace más de dos milenios, los matemáticos de la antigua Babilonia descubrieron el método de “completar cuadrados”, que llevó a la fórmula cuadrática de la solución exacta de cualquier

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

205

ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c  0. A principios del siglo xvi, varios matemáticos italianos (Cardan, del Ferro, Ferrari y Tartaglia) descubrieron fórmulas para las soluciones exactas de ecuaciones de tercero y cuarto grado. (Debido a que son complicadas, estas fórmulas se usan muy poco, excepto en sistemas algebraicos computacionales.) En 1824, un brillante joven matemático noruego, Niels Henrik Abel* (1802-1829), publicó una prueba de que no existe una fórmula general que dé la solución de una ecuación polinomial arbitraria de grado 5 (o mayor) en términos de combinaciones algebraicas de sus coeficientes. Así, la solución exacta (para todas sus raíces) de una ecuación como f (x) = x 5 − 3x 3 + x 2 − 23x + 19 = 0

(1)

es bastante difícil o incluso —en términos prácticos— imposible de encontrar. En tal caso es necesario recurrir a métodos aproximados. Por ejemplo, la gráfica de y  f (x) en la figura 3.10.1 indica que la ecuación (1) tiene tres soluciones reales (y, por lo tanto, también dos soluciones complejas). El rec≤ x ≤ 1, −5 ≤ y ≤ 5 encierra una de estas soluciones. Si usamos tángulo indicado 0.5 − − − − este rectángulo como la nueva “ventana” con una computadora o calculadora de gráficas, vemos que esta solución está cerca de 0.8 (figura 3.10.2). Unas cuantas amplificaciones más dan mayor precisión, mostrando que la solución aproximada es 0.801. 

YFX



 Y

YFX

 Y















 X

FIGURA 3.10.1 Gráfica de y  f (x) en la ecuación (1).









X

FIGURA 3.10.2 Amplificación de la figura 3.10.1 cerca de la solución.

Los métodos gráficos sirven para aproximaciones con tres o cuatro decimales. Se verá un método analítico desarrollado por Isaac Newton que proporciona rápidamente aproximaciones mucho más exactas.

Iteración y el método de la raíz cuadrada de Babilonia Qué significa resolver una ecuación incluso tan sencilla como x2 − 2  0

(2)

es una pregunta abierta. La solución exacta positiva es x  . Pero el número es irracional y por lo tanto no se puede expresar como un decimal que termina o se repite. Así, si por solución entendemos un valor decimal exacto de x, aun la ecuación (2) se resuelve sólo aproximadamente. En la antigua Babilonia diseñaron una √ manera efectiva de generar una secuencia de aproximaciones cada vez mejores para A, la raíz cuadrada de un número positivo dado A. El siguiente es el método babilónico √ de la raíz cuadrada: comenzamos con A. Para de , podemos suponer x0  1.5. una primera suposición x0 para el valor √ Si x0 es muy grande, esto es, si x0 > A, entonces √ A A < √ = A, x0 A *

La historia completa de los asombrosos logros de Abel durante su breve vida se encuentra en la lectura amena de su biografía Niels Henrik Abel, escrita por Oystein Ore (The University of Minnesota and Chelsea Publishing Company, 1974).

206

CAPÍTULO 3

La derivada

√ de manera que Ayx0 es una estimación demasiado pequeña de A. De igual forma, si √ < A), entonces Ayx0 es una estimación demasiado grande x0 es √ muy pequeño (si x0√ de A; es decir, Ayx0 > A. √ Así, en cada caso uno de los dos números x0 y Ayx0 es una subestimación de A y la otra es una sobreestimación. La idea babilónica era que debíamos obtener una me√ jor estimación de A y promediando x0 y Ayx0. Esto lleva a una mejor aproximación   1 A (3) x1 = x0 + 2 x0 √ de A. Pero, ¿por qué no repetir este proceso? Podemos promediar x1 y Ayx1 para obtener una segunda aproximación x2, promediar x2 y Ayx2 para obtener x3, y así sucesivamente. Al repetir este proceso, generamos una sucesión de números x1 ,

x2 ,

x3 ,

x4 ,

...

√ que podemos esperar consistirá en aproximaciones cada vez mejores de A. En especial, una vez calculada la n-ésima aproximación xn, calculamos la siguiente mediante la fórmula iterativa XNC H

 ! XN C   XN



√ En otras palabras, introducimos cada aproximación de A en el lado derecho de la ecuación (4) para calcular la siguiente aproximación. Éste es un proceso iterativo (las palabras iteración e iterativo se derivan del latín iterare, “arar de nuevo”). Suponga que encontramos que después de un número suficiente de pasos ocurre en esta iteración que xn+1 ≈ xn con la precisión del número de decimales que estamos conservando en los cálculos, entonces la ecuación (4) da    1  2 1 A xn + = xn ≈ xn+1 = xn + A , 2 xn 2xn

de manera que 2xn2 ≈ xn2 + A, y, por lo tanto, xn2 ≈ A con cierto grado de precisión. EJEMPLO 1 Con A  2 comenzamos con una suposición burda x0  1 para el valor √ de A. De esta forma, las aproximaciones sucesivas de la fórmula en (4) llevan a x1 = x2 = x3 = x4 =

  2 3 1 1+ = = 1.5, 2 1 2   2 17 1 3 + = ≈ 1.416666667, 2 2 3/2 12   2 577 1 17 + = ≈ 1.414215686, 2 12 17/12 408   2 665857 1 577 + = ≈ 1.414213562, 2 408 577/408 470832

redondeando los resultados a nueve decimales. Ocurre que x4 da nueve decimales.

exacto en los Z

La iteración babilónica definida en la ecuación √ (4) es un método para generar una sucesión de aproximaciones a la raíz positiva r  A de una ecuación específica x 2 − A  0. Ahora se verá un método que da una sucesión de aproximaciones para ecuaciones más generales.

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

207

Método de Newton El método de Newton es un método iterativo para generar una sucesión x1, x2, x3, . . . , de aproximaciones a una solución r de una ecuación dada escrita en la forma general F .X/ H 



Esperamos que esta sucesión de aproximaciones “converja” a la raíz r en el sentido de la siguiente definición.

DEFINICIÓN Convergencia de las aproximaciones Decimos que la sucesión de aproximaciones x1, x2, x3, . . . , converge al número r siempre que podamos hacer que xn sea tan cercano a r como queramos simplemente eligiendo n suficientemente grande. De modo más preciso, para cualquier  > 0 ≥ N. dada, existe un entero positivo N tal que | xn − r | <  para toda n − Por el lado práctico, esta convergencia significa, como se ilustra en el ejemplo 1, que para cualquier entero positivo k, xn y r serán iguales hasta k decimales o más una vez que n es suficientemente grande. La idea es que comenzamos con una suposición inicial x0 que se aproxima de manera burda a la solución r de la ecuación f (x)  0. Esta suposición inicial puede obtenerse, por ejemplo, por inspección de la gráfica de y  f (x), quizás obtenida con una computadora o calculador de gráficas. Se usa x0 para calcular una aproximación x1, se usa x1 para calcular una mejor aproximación x2, se usa x2 para calcular una aproximación todavía mejor x3, etcétera. El paso general del proceso es el siguiente. Habiendo llegado a la n-ésima aproximación xn, se usa la recta tangente en (xn, f (xn)) para construir la siguiente aproximación xn+1 para la solución r como sigue: comenzamos en el punto xn en el eje x. Nos movemos verticalmente arriba (o abajo) al punto (xn, f (xn)) sobre la curva y  f (x). Luego seguimos la recta tangente L hasta el punto donde L cruza al eje x (figura 3.10.3). Ese punto será xn+1. Y YF X

,

XN F XN

R

XN

XN

X

FIGURA 3.10.3 Geometría de la fórmula del método de Newton.

La fórmula para xn+1 es la siguiente. Se obtiene calculando la pendiente de la recta L de dos maneras: de la derivada y de la definición de la pendiente. Entonces f (xn ) − 0 f  (xn ) = , xn − xn+1 y despejamos con facilidad XNC H XN

F .XN /  F .XN /



La ecuación es la fórmula iterativa del método de Newton, llamado así porque alrededor de 1669 Newton introdujo un procedimiento algebraico (en lugar de la construcción geométrica ilustrada en la figura 3.10.3) que es equivalente al uso iterativo de la

CAPÍTULO 3

208

La derivada

ecuación (6). El primer ejemplo de Newton fue la ecuación cúbica x3 − 2x − 5  0, para la cual encontró la raíz r ≈ 2.0946 (como se pide al lector en el problema 18). Suponga que queremos aplicar el método de Newton para resolver la ecuación F .X/ H 



con precisión de k decimales (k dígitos a la derecha del punto decimal correctos o redondeados correctamente). Recuerde que una ecuación debe escribirse con precisión en la forma de la ecuación (7) con el fin de usar la fórmula de la ecuación (6). Si llegamos al punto en una iteración en la que x n y x n+1 son iguales en k decimales, se deduce que f (xn ) f (xn ) ; 0≈−  ; f (xn ) ≈ 0. xn ≈ xn+1 = xn −  f (xn ) f (xn ) Así, encontramos una raíz aproximada xn ≈ xn+1 de la ecuación (7). En la práctica, pues, conservamos k decimales en nuestros cálculos y seguimos hasta que xn ≈ xn+1 con este grado de precisión. (No consideramos aquí la posibilidad de errores de redondeo, tema importante en análisis numérico.) EJEMPLO 2 decimales.

Use el método de Newton para encontrar

con precisión de nueve

Solución De manera más general, considere la raíz cuadrada del número positivo A como la raíz positiva de la ecuación f (x) = x 2 − A = 0.

Como f 9(x)  2x, la ecuación (6) da la fórmula iterativa   xn2 − A 1 A xn + . xn+1 = xn − = 2xn 2 xn

X

 X

X

Por lo tanto, se dedujo la fórmula iterativa babilónica como un caso especial del método de Newton. La aplicación de la ecuación (8) con A  2 lleva, por lo tanto, justo a los valores de x1, x2, x3 y x4 que calculamos en el ejemplo 1, y después de realizar otra iteración encontramos que   1 2 x4 + ≈ 1.414213562, x5 = 2 x4 que está de acuerdo con x4 en nueve decimales. La convergencia tan rápida en este caso es una característica importante del método de Newton. Como regla general (con alguZ nas excepciones), cada iteración duplica el número de decimales de precisión.



FIGURA 3.10.4 Caja del ejemplo 3.

EJEMPLO 3 La figura 3.10.4 muestra una caja abierta construida según el método del ejemplo 2 en la sección 3.6. Comenzamos con una hoja de metal rectangular de 7 por 11 in. Cortamos cuadrados con lado x en cada una de las cuatro esquinas y luego doblamos las pestañas resultantes para obtener una caja rectangular con volumen V (x) = x(7 − 2x)(11 − 2x)

YX XX  

Y

(8)

= 4x 3 − 36x 2 + 77x,

0  x  3.5.

(9)

En la sección 3.6 se buscaba el volumen máximo posible de esta caja. Aquí, en su lugar, queremos encontrar el (los) valor(es) de x que lleven a la caja con volumen de 40 in3; se encontrará x resolviendo la ecuación



V (x) = 4x 3 − 36x 2 + 77x = 40.

 

 X

FIGURA 3.10.5 Gráfica de f (x) en la ecuación (10) del ejemplo 3.



Para despejar x de esta ecuación, primero escribimos una ecuación de la forma dada en la ecuación (7): f (x) = 4x 3 − 36x 2 + 77x − 40 = 0.

(10)

La figura 3.10.5 muestra la gráfica de f. Se observan tres soluciones: una raíz r1 entre 0 y 1, una raíz r2 un poco mayor que 2 y una raíz r3 un poco mayor que 6. Como f  (x) = 12x 2 − 72x + 77,

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

la fórmula iterativa de Newton en la ecuación (6) toma la forma f (xn ) xn+1 = xn −  f (xn ) 4x 3 − 36xn2 + 77xn − 40 = xn − n . 12xn2 − 72xn + 77

209

(11)

Comenzando con el valor inicial supuesto x0  1 (porque es razonablemente cercano a r1), la ecuación (11) da 4 · 13 − 36 · 12 + 77 · 1 − 40 ≈ 0.7059, 12 · 12 − 72 · 1 + 77 x 2 ≈ 0.7736, x3 ≈ 0.7780, x4 ≈ 0.7780. x1 = 1 −

Así, obtenemos la raíz r1 ≈ 0.7780, conservando sólo cuatro decimales. Si hubiéramos comenzado con una suposición inicial distinta, la secuencia de las iteraciones de Newton pudo bien converger a otra raíz de la ecuación f (x)  0. La solución aproximada obtenida depende, por lo tanto, de la suposición inicial. Por ejemplo, con x0  2 y luego con x0  6, la iteración en la ecuación (11) produce las dos sucesiones: x0 = 2 x0 = 6 x1 ≈ 6.1299 x1 ≈ 2.1053 x2 ≈ 6.1228 x2 ≈ 2.0993 x3 ≈ 6.1227 x3 ≈ 2.0992 x4 ≈ 6.1227 x4 ≈ 2.0992

 YX Y COSX Y







 X



FIGURA 3.10.6 Solución de la ecuación x = 12 cos x (ejemplo 4).

Así, las otras dos raíces de la ecuación (10) son r2 ≈ 2.0992 y r3 ≈ 6.1277. Con x  r1 ≈ 0.7780, la caja de la figura 3.10.4 tiene dimensiones aproximadas de 9.4440 por 5.4440 por 0.7780 in. Con x  r2 ≈ 2.0992, las dimensiones aproximadas son 6.8016 in por 2.8016 por 2.0992 in. Pero la tercera raíz r3 ≈ 6.1227 no lleva a una caja que sea físicamente factible. (¿Por qué no?) De esta forma, los dos valores de Z x que dan cajas con volumen de 40 in3 son x ≈ 0.7780 y x ≈ 2.0992. EJEMPLO 4

La figura 3.10.6 indica que la ecuación x=

1 2

cos x

(12)

tiene una solución r cerca de 0.5. Para aplicar el método de Newton para aproximar r, rescribimos la ecuación (12) en la forma f (x) = 2x − cos x = 0.

     Y 













Como f 9(x)  2 + sen x, la fórmula iterativa del método de Newton es YLNX



XNC H XN

XN COS XN :  C SEN XN

Comenzando con x0  0.5 y conservando cinco decimales, esta fórmula da x1 ≈ 0.45063, YSENX 



     X

FIGURA 3.10.7 Gráficas de y  3 sen x y y  ln x.

x2 ≈ 0.45018,

Así, la raíz es 0.45018 con cinco decimales. EJEMPLO 5

x3 ≈ 0.45018. Z

La figura 3.10.7 indica que la ecuación 3 sen x  ln x

tiene cinco o bien seis soluciones positivas. Para aproximar mejor la solución más pequeña r ≈ 3, aplicamos el método de Newton con  F .X/ H  SEN X LN X; F .X/ H  COS X : X

210 CAPÍTULO 3

La derivada

Por lo tanto, la fórmula iterativa del método de Newton es  SEN XN LN XN : XNC H XN  COS XN .=XN / Cuando comenzamos con x0  3 y conservamos cinco decimales, esta fórmula da x1 ≈ 2.79558, x2 ≈ 2.79225, x3 ≈ 2.79225. Así, r ≈ 2.79225 con cinco decimales. En el problema 42 pedimos al lector que enZ cuentre el resto de las soluciones indicadas en la figura 3.10.7. EJEMPLO 6 En el método de Newton “la demostración está en el budín”. Si funciona, es obvio que así es, y todo está bien. Cuando el método de Newton falla, lo hace de manera espectacular. Por ejemplo, suponga que queremos resolver la ecuación x 1/3 = 0. En este caso r  0 es la única solución. La fórmula iterativa en la ecuación (6) se convierte en xn+1 = xn −

(xn )1/3 = xn − 3xn = −2xn . 1 (x )−2/3 3 n

Si comenzamos con x 0  1, el método de Newton da x 1  −2, x 2  +4, x 3  −8 y así sucesivamente. La figura 3.10.8 indica por qué nuestras “aproximaciones” no Z convergen. Y

YX







X

FIGURA 3.10.8 Una falla del método de Newton.

Cuando el método de Newton falla, una gráfica indicará la razón. Así, el uso de un método alternativo como la tabulación repetida o las amplificaciones sucesivas será adecuado.

Método de Newton con calculadoras o computadoras Con las calculadoras o computadoras que acepten funciones definidas por el usuario, es muy sencillo preparar y aplicar el método de Newton repetidas veces. Es útil interpretar la iteración de Newton f (xn ) xn+1 = xn −  f (xn ) como sigue. Habiendo definido primero las funciones f y f 9, definimos la “función iteración” f (x) g(x) = x −  . f (x) De esta forma, el método de Newton es equivalente al siguiente procedimiento. Comenzamos con una estimación inicial x0 de la solución de la ecuación f (x)  0. Calculamos las aproximaciones sucesivas x1, x2, x3, . . . hasta llegar a la solución exacta mediante la iteración xn+1 = g(xn ). Es decir, aplicamos la función g a cada aproximación para obtener la siguiente.

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

211

La figura 3.10.9 muestra una calculadora graficadora TI preparada para resolver la ecuación f (x) = x 3 − 3x 2 + 1 = 0. Sólo necesitamos almacenar la estimación inicial, 0.5 → x, y luego introducir varias veces el comando y3 → x, como se indica en la figura 3.10.10. 4%8!3).3425-%.43 4) 

T

FIGURA 3.10.9 Preparación para resolver la ecuación x 3 − 3x 2 + 1  0.

4%8!3).3425-%.43 4) 

FIGURA 3.10.10 Solución de la ecuación x 3 − 3x 2 + 1  0.

T 38

3#)%.4)&)#ä%80!.$!",%

FIGURA 3.10.11 Preparación para resolver la ecuación x 3 − 3x 2 + 1  0.

La figura 3.10.11 muestra una calculadora HP preparada para realizar la misma iteración. Las funciones F(X), D(X) (en lugar de f 9(x)) y G(X) se definen oprimiendo la tecla DEFINE . Sólo es necesario introducir (con ENTER ) la estimación inicial x0 y oprimir la tecla G cada vez para generar las iteraciones sucesivas deseadas. Con los programas Maple o Mathematica puede definir las funciones f y g y luego introducir cada vez el comando x  g(x), como se muestra en el figura 3.10.12. #OMANDOEN-ATHEMATICA F;X = H X^  X^  C  G;X = H X F;X=F ;X= X H  X H G;X= X H G;X= X H G;X= X H G;X=

#OMANDOEN-APLE F  H X > X^    X ^  C  G  H X > X FX $F X  X  H  X  H GX  X  H GX  X  H GX  X  H GX 

2ESULTADO

    

FIGURA 3.10.12 Implementación del método de Newton con Mathematica y Maple.

Método de Newton y gráficas por computadora El método de Newton y algunas técnicas iterativas similares se usan con frecuencia para generar “patrones de fractales” con colores vivos en los que se repiten las mismas estructuras, o similares, en escalas cada vez más pequeñas en niveles más altos sucesivos de amplificación. Para describir una manera en que esto se puede hacer, sustituimos los números reales en nuestros cálculos del método de Newton con número complejos. Ilustramos esta idea con la ecuación cúbica f (x) = x 3 − 3x 2 + 1 = 0.

(13)

En la sección de investigación pedimos que aproxime las tres soluciones r1 ≈ −0.53, r2 ≈ 0.65, r3 ≈ 2.88 de esta ecuación Primero, √ recuerde que un número complejo es un número de la forma a + bi, donde i  −1, de manera que i 2  −1. Los números reales a y b se llaman la parte real y la parte imaginaria, respectivamente, de a + bi. Los números complejos se suman, multiplican y dividen como si fueran binomios, “simplificando” las partes real e imaginaria igual que en los cálculos. (3 + 4i) + (5 − 7i) = (3 + 5) + (4 − 7)i = 8 − 3i, (2 + 5i)(3 − 4i) = 2(3 − 4i) + 5i(3 − 4i) = 6 − 8i + 15i − 20i 2 = 26 + 7i,

212 CAPÍTULO 3

La derivada

y 2 + 5i 3 − 4i 26 + 7i 26 + 7i 2 + 5i = · = = 1.04 + (0.28)i. = 2 3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i 9 − 16i 25

El uso del conjugado 3 − 4i del denominador 3 + 4i en el último cálculo es una técnica muy común para escribir fracciones complejas en la forma estándar a + bi. (El conjugado de x + yi es x − yi; se deduce que el conjugado de x − yi es x + yi.) Ahora sustituimos el número complejo z  x + iy en el polinomio cúbico f (z) = z 3 − 3z 2 + 1

de la ecuación (13) y en su derivada f  (z) = 3z 2 − 6z. Encontramos que f (z) = (x + i y)3 − 3(x + i y)2 + 1 = (x 3 − 3x y 2 − 3x 2 + 3y 2 + 1) + (3x 2 y − y 3 − 6x y)i

y

(14)

f  (z) = 3(x + i y)2 − 6(x + i y) = (3x 2 − 3y 2 − 6x) + (6x y − 6y)i.

(15)

En consecuencia, nada evita que apliquemos el método de Newton a la ecuación (13) con números complejos. Comenzando con un complejo inicial supuesto z 0  x 0 + i y0 , podemos sustituir las ecuaciones (14) y (15) en la fórmula iterativa de Newton f (z n ) (16) z n+1 = z n −  f (z n ) para generar la sucesión compleja {zn}, que ya puede converger a la solución (real) de la ecuación (13). Con esta preparación, podemos ahora explicar cómo se generó la figura 3.10.13. Se programó una computadora para realizar la iteración de Newton repetidas veces, comenzando con muchos miles de hipótesis iniciales z 0  x 0 + i y0 que “llenan” el rec≤ x ≤ 4, −2.25 ≤ y ≤ 2.25 en el plano complejo. Al punto inicial z0  x0 tángulo −2 − − − − + iy0 se le asignó un código de color de acuerdo a la raíz (si la hay) a la que corresponde la secuencia {zn} converge: Color z0 verde si {zn} converge a la raíz r1 ≈ −0.53; Color z0 rojo si {zn} converge a la raíz r2 ≈ 0.65; Color z0 amarillo si {zn} converge a la raíz r3 ≈ 2.88.

FIGURA 3.10.13 −2  x  4, −2.25  y  2.25.

De este modo usamos diferentes colores para distinguir diferentes “valles de atracción de Newton” para la ecuación que estamos investigando. No es de sorprender que aparezca una región roja que contiene a la raíz r2 en medio de la figura 3.10.13, separando la región verde a la izquierda que contiene a la raíz r1 y la región amarilla a la derecha que contiene a r3. Pero ¿por qué sobresalen lóbulos amarillos de la región verde hacia la roja y lóbulos verdes de la región amarilla hacia la roja? Para ver qué ocurre cerca de estos lóbulos, generamos algunas amplificaciones.

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

213

≤ x ≤ 2.4, −0.3 La figura 3.10.14 muestra una amplificación del rectángulo 1.6 − − ≤ y ≤ 0.3 que contiene el lóbulo verde que se ve en la figura 3.10.13. La figura 3.10.15 − − ≤ x ≤ 1.68, −0.015 ≤ y ≤ 0.015) y la figura 3.10.16 (1.648 ≤ x ≤ 1.650, (1.64 − − − − − − ≤ y ≤ 0.00075) son mayores amplificaciones. El rectángulo mostrado en la −0.00075 − − figura 3.10.16 corresponde a menos de una millonésima de una pulgada cuadrada de la figura 3.10.13.

FIGURA 3.10.14 1.6  x  2.4, −0.3  y  0.3.

FIGURA 3.10.15 1.64  x  1.68 −0.015  y  0.015.

FIGURA 3.10.16 1.648  x  1.650, −0.00075  y  0.00075.

En cada nivel de amplificación, cada lóbulo verde tiene lóbulos amarillos más pequeños que salen hacia la región roja que lo rodea, y cada uno de estos lóbulos amarillos tiene lóbulos verdes todavía más pequeños que salen de ello, en un proceso sin fin (igual que las proverbiales diminutas pulgas que son mordidas por pulgas más pequeñas, en un proceso sin fin). La figura 3.10.17 muestra los valles de Newton para la ecuación polinomial de grado 12 f (x) = x 12 − 14x 10 + 183x 8 − 612x 6 − 2209x 4 − 35374x 2 + 38025 = 0, que tiene como soluciones los doce números complejos 1, 1 ± 2i, − 1, −1 ± 2i, 3, 3 ± 2i, − 3, −3 ± 2i.

(17)

Se usaron doce colores diferentes para distinguir los valles de Newton de estas doce soluciones de la ecuación (17). Donde parece que la frontera común del fractal separa los valles de diferentes colores, está decorada con “flores” como la que se ve en el centro de la figura 3.10.17, que se amplía en la figura 3.10.18. Cada una de estas flores tiene “hojas” (en los diez colores restantes). Cada hoja tiene “brotes”como los mostrados en la figura 3.10.19. Cada brote está rodeado de flores que tiene hojas que tienen brotes que están rodeados con flores, y así sucesivamente, hasta el infinito.

FIGURA 3.10.17 Valles de Newton para el polinomio de grado 12.

FIGURA 3.10.18 Flor en el centro de la figura 3.10.17.

FIGURA 3.10.19 Brote en un pétalo de la flor de la figura 3.10.18.

3.10 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Neils Henrik Abel vivió a principios del siglo xix.

214

CAPÍTULO 3

La derivada

2. En el método de la raíz cuadrada de Babilonia para aproximar . comenzando con la primera aproximación x0  1 se llega a la segunda aproximación x1  1.5. 3. Para usar el método de Newton para resolver una ecuación en (la variable) x, primero rescribimos la ecuación en la forma f (x)  0. 4. La fórmula usada en el método de Newton se puede derivar con la ayuda de la figura 3.10.3. 5. La fórmula iterativa del método de Newton es XNC H XN C

F .XN / F .XN /

PARA N

:

6. Una aplicación del método de Newton para aproximar usando la aproxima. ción x0  32 lleva a x1    7. Suponga que usa el método de Newton para aproximar una solución de la ecuación f (x)  0 y encuentra que las aproximaciones xn y xn+1 son iguales en 100 decimales. Puede estar bastante seguro de que cualquiera de las dos es una excelente aproximación de la solución de f (x)  0. 8. La solución positiva más pequeña de 4x 3 − 36x 2 + 77x − 40  0 se aproxima por 0.7780. 9. La solución positiva más grande de 4x 3 − 36x 2 + 77x − 40  0 se aproxima por 6.1227. 10. La única solución positiva de 2x  cos x se aproxima por 0.45018.

3.10 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. El ejemplo 1 en esta sección ilustra el uso de la iteración babilónica para aproximar la raíz cuadrada de un número positivo A, comenzando con una suposición inicial x0. ¿En qué se afecta el número de iteraciones requeridas para una precisión de seis decimales al elegir x0 muy cercano a cero o muy grande? ¿Parece que el número de decimales de precisión más o menos se duplica con cada iteración? ¿Qué pasa si se usa una estimación inicial negativa? ¿Qué pasa si A misma es negativa? 2. La regla general —de que cada iteración del método de Newton suele duplicar el número de decimales de precisión— no se cumple cuando el método se usa para aproximar la solución r de f (x)  0 si r también es un punto crítico de f. Investigue la “tasa de convergencia” a la raíz si: a) f (x)  (x − 2)2, de manera que r  2 es una raíz doble; b) f (x)  (x − 1)2y3, de manera que la gráfica tiene una cúspide y una tangente vertical en r  1. 3. Considere la función exótica f (x)  x 2 sen (1yx) [con f (0)  0] del problema 88 de la sección 3.7. Investigue qué ocurre cuando usa un sistema algebraico de computadora para intentar aproximar la raíz r  0 iterando g(x)  x − f (x)yf 9(x). Intente una variedad de estimaciones iniciales diferentes de cero y explique los resultados.

3.10 PROBLEMAS En los problemas 1 a 20, use el método de Newton para encontrar la solución de la ecuación dada f (x)  0 en el intervalo indicado [a, b] con precisión de cuatro decimales. Puede elegir la estimación inicial con base en una calculadora con gráficas o interpolando entre los valores de f (a) y f (b).

7. x 6 + 7x 2 − 4 = 0;

[−1, 0]

8. x + 3x + 2x = 10; 3

[1, 2]

2

9. x − cos x = 0;

[0, 2]

 X  SEN X H I

T:; :U

PARAENCONTRARLARA¤ZCUADRADA POSITIVADE   X  H I T; U PARAENCONTRARLARA¤ZC¢BICADE  X   H I T; U PARAENCONTRARLARA¤ZQUINTADE  X =  H I T; U PARAENCONTRAR Y

 X SEN X H I 12. 5x + cos x = 5;

T; U [0, 1]

13. x 5 + x 4 = 100;

[2, 3]

5. x 2 + 3x − 1 = 0;

[0, 1]

15. x + tan x = 0;

[2, 3]

6. x 3 + 4x − 1 = 0;

[0, 1]

16. x + tan x = 0;

[11, 12]

 X   H I T; U

14. x 5 + 2x 4 + 4x = 5;

[0, 1]

SECCIÓN 3.10

17. 18. 19. 20.

x − e−x = 0; [0, 1] x 3 − 2x − 5 = 0; [2, 3] (ejemplo del propio Newton) e x + x − 2 = 0; [0, 1] e−x − ln x = 0; [1, 2]

21. a) Demuestre que el método de Newton aplicado a la ecuación x3 − a  0 lleva a la fórmula   1 a 2xn + 2 xn+1 = 3 xn para aproximar la√raíz cúbica de a. b) Use esta fórmula para encontrar 3 2 con precisión de cinco decimales. 22. a) Demuestre que el método de Newton lleva a la fórmula   1 a (k − 1)xn + xn+1 = k (xn )k−1 para aproximar la raíz k-ésima del número positivo a. √ b) Use esta fórmula para encontrar 10 100 con cinco decimales correctos. 23. La ecuación (12) tiene una forma especial x  G(x), donde G(x)  12 cos x. Para una ecuación de este tipo, la fórmula iterativa xn+1  G(xn) produce una sucesión de aproximaciones que algunas veces converge a una raíz. En el caso de la ecuación (12), esta fórmula de sustitución repetida es simplemente xn+1 = 12 cos xn . Comience que x0  0.5 como en el ejemplo 4 y conserve cinco decimales en sus cálculos de la solución de la ecuación (12). [Verificación: debe encontrar que x8 ≈ 0.45018.] 24. La ecuación x 4  x + 1 tiene una solución entre x  1 y x  2. Use la estimación inicial x0  1.5 y el método de sustitución repetida (vea el problema 23) para descubrir que una de las soluciones aproximadas de esta ecuación es 1.220744. Itere usando la fórmula xn+1 = (xn + 1)1/4 .

Después compare el resultado con lo que ocurre cuando itera usando la fórmula xn+1 = (xn )4 − 1.

25. La ecuación x 3 − 3x 2 + 1  0 tiene una solución entre x  0 y x  1. Para aplicar el método de sustitución repetida (vea el problema 23) a esta ecuación, puede escribirla ya sea en la forma x =3−

1 x2

o en la forma x = (3x 2 − 1)1/3 .

Si comienza con x0  0.5 con la esperanza de encontrar una solución cercana (aproximadamente 0.6527) de la ecuación original usando cada una de las fórmulas iterativas anteriores, observará algunas desventajas del método. Describa qué es lo que no funciona. 26. Muestre que el método de Newton aplicado a la ecuación 1 −a =0 x lleva a la fórmula iterativa xn+1 = 2xn − a(xn )2

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

215

y por lo tanto proporciona un método para aproximar el recíproco 1ya sin realizar divisiones. Tal método es útil porque, en casi todas las computadoras de alta velocidad, la operación de división lleva más tiempo que incluso varias sumas y multiplicaciones. 27. Pruebe que la ecuación x 5 + x  1 tiene exactamente una solución real. Luego use el método de Newton para encontrarla con cuatro decimales correctos. En los problemas 28 a 30, use el método de Newton para encontrar todas las raíces reales de la ecuación dada con cuatro dígitos correctos a la derecha del punto decimal. [Sugerencia: para determinar el número de raíces y su localización aproximada, grafique el lado izquierdo y el derecho de cada ecuación y observe dónde se cruzan.]  X  H COS X

 X H  SEN X

− 15 x

30. cos x = (Existen exactamente tres soluciones, como lo indica la figura 3.10.20.) Y

YCOSX X

Y X 

FIGURA 3.10.20 Solución de la ecuación en el problema 30.

31. Pruebe que la ecuación x 7 − 3x 3 + 1  0 tiene al menos una solución. Después use el método de Newton para encontrar una solución con tres decimales de precisión. √ 3 32. Use el método de Newton para aproximar 5 con cuatro decimales de precisión. 33. Use el método de Newton para encontrar el valor de x para el que x 3  cos x. 34. Use el método de Newton para encontrar el valor positivo más pequeño de x para el que x  tan x. 35. En el problema 49 de la sección 3.6, se trató de minimizar el costo de construir una carretera entre dos puntos en lados opuestos de una falla geológica. Este problema llevó a la ecuación f (x) = 3x 4 − 24x 3 + 51x 2 − 32x + 64 = 0.

Use el método de Newton para encontrar, con cuatro decimales de precisión, la raíz de esta ecuación que está en el intervalo [3, 4]. 36. La luna del planeta Gzyx tiene una órbita elíptica con excentricidad 0.5 y su periodo de revolución alrededor del planeta es 100 días. Si la luna está en la posición (a, 0) cuando t  0 (figura 3.10.21) el ángulo central después de t días está dado por la ecuación de Kepler T  H  SEN :   Use el método de Newton para despejar θ cuando t  17 (días). Tome θ0  1.5 (rad) y calcule las primeras dos aproximaciones θ1 y θ2. Exprese θ2 también en grados.

216

CAPÍTULO 3

La derivada

Por último, use el método de Newton para encontrar primero los valores posibles de t y luego los de w, con precisión de cuatro decimales.

 A  ,UNA A 

Q

0LANETA A EN   





Y

X 

FIGURA 3.10.21 Órbita elíptica del problema 36.

37. Un gran problema de Arquímedes fue usar un plano para cortar una esfera en dos segmentos con volúmenes según una razón (preasignada). Arquímedes demostró que el volumen de un segmento con altura h de una esfera de radio a es V  1 π h 2 (3a − h). Si un plano a una distancia x del centro de 3 una esfera con radio 1 corta a la esfera en dos segmentos, uno con el doble del volumen del otro, demuestre que 3x3 − 9x + 2  0. Después use el método de Newton para encontrar x con cuatro decimales correctos. 38. La ecuación f (x)  x3 − 4x + 1  0 tiene tres raíces distintas. Aproxime sus localizaciones evaluando f en x  −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3. Luego use el método de Newton para aproximar cada una de las tres raíces con cuatro decimales correctos. 39. La ecuación x + tan x  0 es importante en varias aplicaciones, como el estudio de la difusión del calor. Tiene una sucesión de raíces positivas α1, α2, α3, … con la raíz n-ésima un poco mayor que (n − 0.5)π. Use el método de Newton para comparar α1 y α2 con precisión de tres decimales. 40. Investigue la ecuación cúbica 4x 3 − 42x 2 − 19x − 28 = 0. Tal vez observe en una gráfica que sólo tiene una solución real. Encuéntrela (con cuatro decimales correctos). Primero intente la estimación inicial x0  0; prepárese para unas 25 iteraciones por lo menos. Después intente las estimaciones iniciales x0  10 y x0  100. 41. Una escalera de 15 ft y otra de 20 ft están recargadas en direcciones opuestas contra las paredes verticales de un corredor (figura 3.10.22). Las escaleras se cruzan a una altura de 5 ft. Debe encontrar el ancho w del corredor. Primero, sean x y y las alturas en la pared, de las puntas de las escaleras y u y v las longitudes mostradas en la figura, de manera que w  u + v. Use triángulos semejantes para demostrar que   u v x =5 1+ , y =5 1+ . v u Después aplique el teorema de Pitágoras para probar que t  uyv satisface la ecuación t 4 + 2t 3 + 7t 2 − 2t − 1 = 0.

U

FIGURA 3.10.22. Cruce de las escaleras del problema 41.

42. Utilice el método de Newton para encontrar las soluciones positivas restantes de la ecuación 3 sen x  ln x del ejemplo 5 (figura 3.10.7). Haga lo necesario para determinar si existe o no una solución cerca de x  20. 43. El asunto del asteroide esférico en el problema 49 de la sección 1.4 lleva a la ecuación (100 + θ) cos θ  100, donde R  1000yθ es el radio del asteroide y es evidente del contexto que 0 < θ < πy2. Use el método de Newton para resolver este problema. 44. Éste es el conocido “problema de las vías de tren”. Considere una vía de tren de 1 milla construida sin los espacios de expansión usuales entre vías consecutivas. Cada riel de la vía es, de hecho, un riel de acero de una milla de largo. Suponga que un aumento de 20°C en la temperatura aumenta —por expansión térmica del acero— un pie la longitud de este riel. Además, suponga que las terminales de la vía están fijas, de manera el riel se “levanta” en forma de arco circular con ángulo central 2θ y radio R (figura 3.10.23). Encuentre la altura x que resulta (en el punto medio) del riel levantado.

CURVO 2IEL 2IELRECTO

X

2

Q

Q

FIGURA 3.10.23 Riel levantado del problema 44

SECCIÓN 3.10

Aproximaciones sucesivas y método de Newton

217

3.10 INVESTIGACIÓN: ¿cuánto se hunde una pelota que flota? La figura 3.10.24 muestra una pelota grande de corcho con radio a  1. Si la densidad de la pelota ρ es un cuarto de la del agua, ρ  , entonces la ley de Arquímedes de flotabilidad implica que la pelota flota de modo que se sumerge sólo un cuarto de su volumen total. Como el volumen de la pelota es 4πy3, se deduce que el volumen de la parte de la pelota abajo de la superficie del agua está dado por π 1 4π 4π = · = . 3 4 3 3

V =ρ·

(1)



nX R

3UPERFICIEDELAGUA

X

FIGURA 3.10.24 Pelota de corcho flotando

La forma de la parte sumergida de la pelota es un segmento esférico con tapa plana. El volumen de un segmento esférico con radio de la tapa r y profundidad h  x (como en la figura 3.10.24) está dado por la fórmula V =

πx (3r 2 + x 2 ). 6

(2)

Esta fórmula también se debe a Arquímedes y se cumple para cualquier profundidad x, ya sea que el segmento esférico sea menor o mayor que un hemisferio. Por ejemplo, observe que con r  0 y x  2a se obtiene V = 43 πa 3 , el volumen de una esfera completa con radio a. Para hacer una investigación preliminar, proceda como sigue para encontrar la profundidad x a la que se hunde la pelota. Iguale las dos expresiones de V en las ecuaciones (1) y (2) y use el triángulo rectángulo de la figura 3.10.24 para eliminar r. Encontrará que x debe ser la solución de la ecuación cúbica f (x) = x 3 − 3x 2 + 1 = 0.

Como indica la gráfica y  f (x) en la figura 3.10.25, esta ecuación tiene tres soluciones reales, una en (−1, 0), una en (0, 1) y otra en (2, 3). La solución entre 0 y 1 da la profundidad real x a la que se sumerge la pelota (¿por qué?). Encuentre x aplicando el método Newton.

 

(3)

YX X

Y 

Para su propia pelota flotante que investiga, su densidad ρ en la ecuación (1) está dada por

Su investigación



ρ=







 X



FIGURA 3.10.25 Gráfica de la ecuación de la pelota de corcho.



10 + k 20

donde k denota el último dígito diferente de cero en la suma de los últimos cuatro dígitos de su credencial de estudiante. Su objetivo es encontrar la profundidad a la que se sumerge esta pelota en el agua. Comience por obtener la ecuación cúbica que necesita resolver, explicando cada paso con cuidado. Después encuentre todas sus soluciones con al menos cuatro decimales correctos. Incluya en su trabajo un bosquejo de la pelota esférica con la superficie del agua localizada con precisión (a escala) en la posición correspondiente a su resultado para la profundidad deseada.

218

CAPÍTULO 3

La derivada

CAPÍTULO 3: REPASO Comprensión: conceptos y definiciones Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos y definiciones del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 3.1 Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 La derivada como pronosticador de la pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Notación diferencial para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tasa de cambio promedio e instantánea de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109-110, 114 Función de posición: velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112-114 3.2 Notación de operador para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Regla de la potencia: Dx x n  nx n−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 126, 139 Linealidad de la derivación: $X .AU C BG/ H AU C BG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Derivada de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Regla del producto: $X .UG/ H U G C UG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Regla del recíproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 U G UG U Regla del cociente: $X H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 G G 3.3 Regla de la cadena en notación diferencial: si y  u(x) entonces DY H DY
DU . . . . . . 131 DX DU D X Regla de la cadena en notación funcional: $X F .G.X// H F .G.X//G .X/. . . . . . . . . . . . . 132 DU Regla de la potencia generalizada: $X U N H NU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 140 DX 3.4 Definición de recta tangente vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Continuidad de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.5 Valor máximo y mínimo de una función en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Propiedad del valor máximo-mínimo de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Condición necesaria f 9(x)  0 para un valor extremo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Valor extremo local y global (absoluto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-149 Definición de punto crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149-150 3.6 Pasos en la solución de un problema aplicado de máximo-mínimo. . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.7 Derivadas de seno y coseno: Dx sen x  cos x, Dx cos x  − sen x. . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Derivadas de tangente y cotangente: Dx tan x  sec 2 x, Dx cot x  − csc 2 x . . . . . . . . . 172 Derivadas de secante y cosecante: Dx sec x  sec x tan x, Dx csc x  − csc x cot x . . . . 172 Formas de la regla de la cadena para diferenciar funciones trigonométricas. . . . . . . . . . 173 3.8 Función exponencial general a x y leyes de exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180-181 El número e ≈ 2.71828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Función exponencial natural e x; su derivada De x  e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Regla de la cadena para la derivada exponencial: Dxe u  e u Dx u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Función logaritmo general loga x y leyes de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 187 Pares de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Diferenciación de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187  Función logaritmo natural ln x; su derivada $X LN X H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188-189 X  DU . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Regla de la cadena para la derivada logarítmica: $X LN jUj H U DX Proceso de diferenciación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.9 Funciones definidas implícitamente y diferenciación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194-195 Problemas de tasas relacionadas y derivadas de funciones relacionadas . . . . . . . . . . . . . 197 3.10 Iteración y método babilónico de la raíz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205-206 Convergencia de las aproximaciones a una solución de la ecuación f (x)  0 . . . . . . . . . 207 F .XN / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Fórmula iterativa del método de Newton: XNC H XN F .XN /

Capítulo 3

Problemas diversos 219

CAPÍTULO 3: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 31. Usar una regla de derivación para derivar funciones cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 9 Aplicar la definición de derivada para encontrar f 9(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 17, 19 Encontrar cuándo es cero la velocidad de una partícula en movimiento . . . . . . . . . . . . . 25, 29, 39 Corresponder la gráfica de una función y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33 Calcular la tasa de crecimiento de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 53 Calcular las tasas de cambio en situaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47, 49 3.2 Aplicar las reglas de derivación general para encontrar derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 9, 11, 15, 19, 21, 27, 35 Encontrar rectas tangentes a las gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 45, 49 Calcular tasas de cambio en situaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 53 3.3 Usar la regla de la cadena para derivar funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 9, 13, 15, 23, 25, 29, 33, 35 Calcular tasas de cambio en situaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 51, 53, 57, 59 3.4 Usar las reglas para derivar funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 9, 13, 17, 21, 23, 29, 35, 41 Encontrar rectas tangentes a gráficas de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 49, 53 Corresponder la gráfica de una función y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 59 3.5 Encontrar valores máximo y mínimo de una función definida en un intervalo cerrado. . 5, 7, 11, 15, 19, 25, 33, 35, 37 Corresponder la gráfica de una función y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 51 3.6 Resolver problemas aplicados de máximo-mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 11, 17, 21, 23, 27, 31, 33, 45 3.7 Calcular derivadas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 9, 13, 15, 21, 27, 35, 39, 45, 47, 51, 53 Encontrar rectas tangentes a gráficas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 65 Resolver problemas trigonométricos de tasas de cambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 77 Resolver problemas trigonométricos de máximo-mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 81, 83 3.8 Calcular derivadas de las funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 29, 31, 33 Aplicar las leyes de logaritmos antes de derivar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 41 Encontrar una derivada por derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 51 Encontrar rectas tangentes a gráficas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 61 3.9 Encontrar derivadas y rectas tangentes por derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 15, 21, 25 Resolver problemas aplicados de tasas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39, 41, 43, 45, 47, 51, 53, 55, 61 3.10 Aplicar el método de Newton para encontrar una solución de una ecuación. . . . . . . . . . 3, 5, 9, 15, 17, 27, 33

PROBLEMAS DIVERSOS Encuentre dyydx en los problemas 1 a 35. 3 1. y = x 2 + 2 2. y 2 = x 2 x √ 1 3. y = x + √ 4. y = (x 2 + 4x)5/2 3 x 5. y = (x − 1)7 (3x + 2)9  Y H X 9. x y = 9

 X 



6. y =

x4 + x2 x2 + x + 1

 Y H X  SEN X

1 10. y = 5x 6

 Y H



 Y H

.X  X/    Y H DONDE U H  CU  C X

p 

X C 

p 

X 

p = p  X  H SEN  Y  Y H X C  X p  Y H X  X  p UC  Y H ; DONDE U H X C  U  Y H SEN. COS X/  X  Y  H X C Y p p  Y H  C SEN X  Y H X H X C X

220

CAPÍTULO 3

La derivada

X C SEN X X  C COS X  X  C Y  H X Y

 Y H

 Y H . C U/ ;



DONDE U H

 Y H COS .SEN  X/

p 

XC

p 

YH

 . C X/

 Y H

SEN  X  C COS X

p  p   Y H  C X    X COS X  Y H p SEN X  X  X  Y C X Y  Y  H   Y H E X COS X  Y HT  C . C E X /= U=  Y H EX SEN X p X X   Y H .E C E /  Y H COS   C LN X

Encuentre las derivadas de las funciones definidas en los problemas 36 a 45.  F .X/ H COS. EX /  F .X/ H SEN  .EX /  F .X/ H E X COS X  F .X/ H LN.X C EX /  F .X/ H EX SEN X

 G.T/ H LN TET



 G.T/ H .ET LN T/  G.T/ H SEN.ET / COS.ET /  C ET  C X  G.T/ H  F .X/ H X E  ET En los problemas 46 a 51, encuentre dyydx por derivación implícita.  XE Y H Y  SEN.E X Y / H X x y xy 48. e + e = e 49. x = ye y 50. e x−y = x y 51. x ln y = x + y

En los problemas 52 a 57, encuentre dyydx por derivación logarítmica.  √ (3 − x 2 )1/2 52. y = (x 2 − 4) 2x + 1 53. y = 4 (x + 1)1/4 1/3  (x + 1)(x + 2) 54. y = (x 2 + 1)(x 2 + 2) √ √ √ 55. y = x + 1 3 x + 2 4 x + 3 x 57. y = (ln x)ln x , x > 1 56. y = x (e ) En los problemas 58 a 61, escriba una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. X C  Y H I .; /  X H SEN YI .; =/ X  60. x 2 − 3x y + 2y 2 = 0; (2, 1) 61. y 3 = x 2 + x; (0, 0) 62. Si una vasija semiesférica con radio de 1 ft se llena con agua a una profundidad de x pulgadas, entonces el volumen de agua en la vasija es  6 H .X  X  / IN  :  Si el agua fluye hacia afuera por un agujero en el fondo de la vasija a una tasa de 36π in3/s, ¿qué tan rápido disminuye x cuando x  6 in? 63. La arena que cae forma una pila cónica. Su altura h siempre es igual al doble de su radio r mientras que los dos aumentan. Si la arena cae a la pila con una tasa de 25π ft3/min, ¿qué tan rápido aumenta r cuando r  5 ft?

Encuentre los límites en los problemas 64 a 69. X TAN X  L¤M  L¤M X COT X X! X! SEN X SEN X  L¤M X  CSC X COT X  L¤M X! SEN X X! p     L¤M X SEN  L¤M X SEN  C X! X! X X En los problemas 70 a 75, identifique dos funciones f y g tales que h(x)  f (g(x)). Después aplique la regla de la cadena para encontrar h9(x). √ 1 71. h(x) = √ 70. h(x) = 3 x + x 4 2 x + 25

 x 73. h(x) = 3 (x − 1)5 72. h(x) = x2 + 1 (x + 1)10 74. h(x) = 75. h(x) = cos(x 2 + 1) (x − 1)10 76. El periodo T de oscilación (en segundos) de√un péndulo simple de longitud L (en pies) está dado por 2π L/32. ¿Cuál es la tasa de cambio de T respecto a L cuando L  4 ft? 77. ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen V = 43 πr 3 de una esfera respecto al área de sus superficie A  4πr 2? 78. ¿Cuál es una ecuación de la recta que pasa por (1, 0) que es tangente a la gráfica de h(x) = x +

1 x

en un punto del primer cuadrante? 79. Se lanza un cohete verticalmente hacia arriba desde un punto a 3 millas al oeste de un observador en el suelo. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando el ángulo de elevación (con la horizontal) de la línea de visión del observador al cohete es 60° y aumenta 6° por segundo? 80. Un campo petrolero tiene 20 pozos que han estado produciendo 4000 barriles de petróleo por día. Para cada nuevo pozo que se perfora, la producción diaria de cada pozo disminuye 5 barriles. ¿Cuántos pozos nuevos deben perforarse para maximizar la producción diaria total del campo petrolero? 81. Un triángulo está inscrito en un círculo de radio R. Un lado del triángulo coincide con un diámetro del círculo. En términos de R, ¿cuál es el área máxima posible de este triángulo? 82. Cinco piezas rectangulares de metal miden 210 por 336 cm. Debe cortarse cuadrados iguales en todas las esquinas y las cinco piezas en forma de cruz deben doblarse y soldarse para formar cinco cajas sin tapa. Los 20 pequeños cuadrados deben ensamblarse en grupos de cuatro para formar cuadrados más grandes, y estos cinco cuadros deben ensamblarse para formar una caja cúbica sin tapa. ¿Cuál es el volumen total máximo posible de las seis cajas construidas de esta manera? 83. Una masa de arcilla con volumen V forma dos esferas. ¿Para qué distribución de la arcilla es máxima el área total de la superficie de las dos esferas? ¿Y mínima? 84. Un triángulo rectángulo tiene catetos de longitud 3 m y 4 m. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo inscrito en el triángulo de la manera obvia; esto es, con una esquina en el ángulo recto, dos lados adyacentes del rectángulo sobre los catetos del triángulo, y la esquina opuesta en la hipotenusa?

Capítulo 3

85. ¿Cuál es el volumen máximo posible de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio R? 86. Un granjero tiene 400 ft de barda con la cual va a construir un corral rectangular. Usará parte (o toda) de una pared existente de 100 ft de largo como parte del perímetro del corral. ¿Cuál es el área máxima que puede rodear? 87. En un modelo sencillo de propagación de una enfermedad contagiosa entre los miembros de una población de M personas, la incidencia de la enfermedad, medida como el número de casos nuevos por día, está dada en términos del número x de individuos ya infectados por R(x) = kx(M − x) = k M x − kx 2 ,

donde k es una constante positiva. ¿Cuántos individuos en la población están infectados cuando la incidencia R es la mayor? 88. Tres lados de un trapezoide tienen longitud L, una constante. ¿Cuál debe ser la longitud del cuarto lado para que el trapezoide tenga área máxima? 89. Una caja sin tapa debe tener una base del doble de largo que su ancho y el área de la superficie total de la caja debe ser 54 ft2. ¿Cuál es el volumen máximo posible de esta caja? 90. Un pequeño cono circular recto está inscrito en uno más grande (figura 3.PD.1). El cono grande tiene radio fijo R y altura fija H. ¿Cuál es la fracción mayor del volumen del cono grande que puede ocupar el cono pequeño? 2

(

FIGURA 3.PD.1 Cono pequeño inscrito en un cono más grande (problema 90).

91. Dos vértices de un trapezoide están en (−2, 0) y (2, 0) y los ≥ 0. otros dos están en la semicircunferencia x2 + y2  4, y − ¿Cuál es el área máxima posible del trapezoide? [Nota: el área del trapezoide con bases b1 y b2, y altura h es A  h(b1 + b2)y2.] 92. Suponga que f es una función derivable definida en toda la recta real R y que la gráfica de f contiene un punto Q(x, y) más cercano al punto P(x0, y0) fuera de la gráfica. Demuestre que f  (x) = −

x − x0 y − y0

en Q. Concluya que el segmento PQ es perpendicular a la recta tangente a la curva en Q. [Sugerencia: minimice el cuadrado de la distancia PQ.]

Problemas diversos

221

93. Use el resultado del problema 92 para demostrar que la distancia mínima del punto (x0, y0) al punto de la recta Ax + By + C  0 es |Ax0 + By0 + C| . √ A2 + B 2

94. Debe construirse una pista de atletismo con forma de dos carriles paralelos iguales conectados por semicircunferencias en cada lado (figura 3.PD.2). La longitud de la pista, una vuelta, debe ser justo 4 km. ¿Cuál debe ser su diseño si se quiere maximizar el área rectangular dentro de ella?

FIGURA 3.PD.2 Diseño de la pista de atletismo que maximiza el área rectangular (problema 94).

95. Dos pueblos se localizan cerca de una costa recta de un lago. Sus distancias más cercanas a puntos en la costa son 1 milla y 2 millas, respectivamente, y estos puntos en la costa están a 6 millas. ¿Dónde debe localizarse un muelle de pesca para minimizar la distancia total de pavimento necesario para construir un camino recto de cada pueblo al muelle? 96. Una senderista se encuentra en un bosque a 2 km de una carretera larga y recta. Quiere caminar a su cabaña, que está a 10 km dentro del bosque y a 2 km de la carretera (figura 3.PD.3). Camina a un paso de 8 km/h en la carretera pero sólo a 3 km/h en el bosque. Decide caminar primero a la carretera, después por la carretera y luego por el bosque hasta su cabaña. ¿Qué ángulo θ (mostrado en la figura) minimiza el tiempo total requerido por la senderista para llegar a su cabaña? ¿Cuánto tiempo ahorra si se compara con la ruta directa por el bosque? 

3ENDERISTA 

Q

#ABA®A

"OSQUE

Q #ARRETERA

FIGURA 3.PD.3 Ruta más rápida a la cabaña de la senderista (problema 96.)

97. Cuando se dispara una flecha desde el origen con velocidad inicial v y ángulo de inclinación inicial α (con el eje x, que representa el suelo), su trayectoria es la curva y = mx −

16 (1 + m 2 )x 2 , v2

donde m  tan α. a) Encuentre la altura máxima alcanzada por la flecha en términos de m y v. b) ¿Para qué valor de m (y por ende, para qué α) la flecha viaja la mayor distancia?

222

CAPÍTULO 3

La derivada

98. Se dispara un proyectil con velocidad inicial v y ángulo de elevación θ desde la base de un plano inclinado a 45° respecto a la horizontal (figura 3.PD.4). El alcance del proyectil, medido en este plano inclinado, está dado por p G  2H .COS  SEN  COS /: 

Newton para aproximar α1 y α2 con tres decimales de precisión. 115. Critique la siguiente “demostración” de 3  2. Comience por escribir x3 = x · x2 = x2 + x2 + · · · + x2

(x sumandos).

Derive para obtener

¿Cuál es el valor de θ que maximiza R?

3x 2 = 2x + 2x + · · · + 2x

(todavía x sumandos).

Entonces 3x  2x , por lo tanto, 3  2. 2

2

Si sustituimos z  x + h en la definición de derivada, el resultado es Q



2

F .X/ H L¤M Z!X

.IVELDELSUELO

FIGURA 3.PD.4 Proyectil disparado hacia una pendiente (problema 98).

En los problemas 99 a 110, use el método de Newton para encontrar la solución de la ecuación dada f (x)  0 en el intervalo indicado [a, b] con cuatro decimales correctos. 99. x 2 − 7  0; [2, 3] (para encontrar la raíz cuadrada positiva de 7) 3 100. x − 3  0; [1, 2] (para encontrar la raíz cúbica de 3) 101. x 5 − 75  0; [2, 3] (para encontrar la raíz quinta de 75) 102. x 4y3 − 10  0; [5, 6] (para aproximar 103y4) 103. x 3 − 3x − 1 = 0; [−1, 0]

Use esta fórmula en los problemas 116 y 117, junto con la fórmula a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b2 )

para factorizar la diferencia de cubos. 116. Demuestre que $X X = H L¤M Z!X

 X SEN X C  H I T; U 110. 5x − cos x + 5 = 0; [−1, 0] 111. Encuentre la profundidad a la que se sumerge en el agua una pelota de madera con radio 2 ft si su densidad es un tercio de la del agua. Una fórmula útil aparece en el problema 37 de la sección 3.10. 112. La ecuación x2 + 1  0 no tiene soluciones reales. Intente encontrar una solución usando el método de Newton y anote sus resultados. Utilice la estimación inicial x0  2. 113. Al principio de la sección 3.10, se mencionó la ecuación de quinto grado x 5 − 3x 3 + x 2 − 23x + 19 = 0;

su gráfica aparece en la figura 3.10.1. La gráfica deja claro que esta ecuación tiene exactamente tres soluciones reales. Encuentre todas, con precisión de cuatro decimales, aplicando el método de Newton. 114. La ecuación 1 tan x = x

tiene una sucesión α1, α2, α3, . . . de raíces positivas, con αn un poco más grande que (n − 1)π. Utilice el método de

Z = X =  H X = : ZX 

[Sugerencia: factorice el numerador como una diferencia de cubos y el denominador como una diferencia de cuadrados.] 117. Demuestre que

104. x 3 − 4x − 1 = 0; [−1, 0]  EX SEN X H I T; U 106. cos x − ln x = 0; [0, 2] 107. x + cos x = 0; [−2, 0]  X  C SEN X H I T:; :U

F .Z/ F .X/ : ZX

$X X = H L¤M Z!X

118.

119.

120.

121.

122.

Z = X =  H X = : ZX 

[Sugerencia: factorice el numerador como una diferencia de cuadrados y el denominador como una diferencia de cubos.] Un bloque rectangular con base cuadrada se comprime de manera que su altura y disminuye a una tasa de 2 cm/min mientras que su volumen permanece constante. ¿A qué tasa aumenta la arista x de su base cuando x  30 cm y y  20 cm? Se infla un globo esférico con una tasa constante de 10 in3/s. ¿A qué tasa aumenta el área de la superficie del globo cuando su radio es 5 in? Una escalera de 10 ft de largo está recargada contra un muro. Si la base de la escalera se desliza separándose del muro a una tasa constante de 1 mi/h, ¿qué tan rápido (en millas por hora) se mueve la parte superior cuando está a 0.01 ft arriba del suelo? Un tanque de agua con forma de cono invertido, eje vertical y vértice hacia abajo, tiene un radio superior de 5 ft y altura de 10 ft. El agua fluye fuera del tanque por un agujero en el vértice a una tasa de 50 ft3/min. ¿Cuál es la tasa de cambio en el tiempo de la profundidad en el instante en que el nivel del agua es 6 ft? El avión A vuela al oeste hacia un aeropuerto a una altitud de 2 mi. El avión B vuela al sur hacia el mismo aeropuerto a una altitud de 3 mi. Cuando ambos aviones están a 2 mi (distancia al suelo) del aeropuerto, la velocidad del avión A es 500 mi/h y la distancia entre los dos aviones está disminuyendo a 600 mi/h. ¿Cuál es la velocidad del avión B?

Capítulo 3

123. Un tanque de agua tiene una forma tal que el volumen de agua en el tanque es V  2y 3y2 in3 cuando su profundidad p es y pulgadas. Si el agua fluye a una tasa de 3 Y in3/min, ¿a qué tasa disminuye el nivel del agua en el tanque? ¿Cuál es la aplicación práctica de un tanque de agua como éste? 124. Se vacía agua en el tanque cónico del problema 121 a una tasa de 50 ft3/min y sale por agujero en el vértice a una tasa p de 10 Y ft3/min, donde y es la profundidad del agua en el tanque. a) ¿A qué tasa aumenta el nivel del agua cuando tiene 5 ft de profundidad? b) Suponga que al inicio el tanque está vacío. Se vacía agua en él a 25 ft3/min y el agua

Problemas diversos

223

p continua saliendo a 10 Y ft3/min. ¿Cuál es la profundidad máxima que alcanza el agua?

125. Sea L una recta que pasa por el punto fijo P(x0, y0) y es tangente a la parábola y  x 2 en el punto Q(a, a2). a) Demuestre que a2 − 2ax0 + y0  0. b) Aplique la fórmula cuadrática para demostrar que si y0 < (x0)2 (es decir, si P está debajo de la parábola), entonces existen dos valores posibles para a y dos rectas que pasan por P y son tangentes a la parábola. c) De manera similar, demuestre que si y0 > (x0)2 (P está arriba de la parábola), entonces ninguna recta que pasa por P es tangente a la parábola.

4

Aplicaciones adicionales de la derivada

G

ottfried Wilhelm Leibniz ingresó a la Universidad de Leipzig cuando tenía 15 años, estudió filosofía y leyes, se graduó a los 17 y recibió su doctorado en filosofía a los 21 años. Al terminar su trabajo académico, Leibniz entró al servicio político y gubernamental del electorado de Mainz (Alemania). No comenzó el estudio seG. W. Leibniz (1646-1716) rio de las matemáticas sino hasta 1672 (cuando tenía 26 años) cuando fue enviado a París en una misión diplomática. Durante los cuatro años siguientes creó las características principales del cálculo. Por este trabajo se le recuerda (al igual que a Newton) como el codescubridor del tema. Los descubrimientos de Newton surgieron un poco antes (a fines de la década de 1660) pero los de Leibniz se publicaron primero, comenzando en 1684. A pesar de la innecesaria discusión entre los seguidores de ambos que duró más de un siglo, ahora es evidente que los descubrimientos fueron independientes. Durante su vida, Leibniz buscó un lenguaje universal que incorporara la notación y terminología que darían a todas las personas preparadas los poderes del razonamiento claro y correcto en todos los temas. Pero sólo en matemáticas logró en gran medida esta meta. Su notación diferencial en el cálculo es indiscutiblemente el mejor ejemplo de un sistema de notación seleccionado para reflejar a la perfección operaciones y procesos respecto al tema. Sin duda, puede decirse que la notación de Leibniz en el cálculo pone al alcance de estudiantes ordinarios los problemas que una vez requirieron el ingenio de Arquímedes o de Newton. Por esta razón, el enfoque de Leibniz al cálculo dominó durante el siglo xviii, aunque el enfoque

un poco diferente de Newton se acerca más a nuestra comprensión moderna del tema. El origen de la notación diferencial fue un triángulo rectángulo infinitesimal con catetos d x y d y y la hipotenusa como un pequeño segmento de la curva y  f (x). Leibniz más tarde describió el momento en que visualizó este “triángulo característico” como una ráfaga de luz que dio inicio a su cálculo. De hecho, algunas veces se refirió a su cálculo como “mi método del triángulo característico”.

YF X DY DX

Triángulo característico de Leibniz

El siguiente extracto muestra los primeros párrafos del primer artículo publicado por Leibniz (en el Acta Eruditorum, en 1684) en el que apareció por primera vez la notación diferencial. En la quinta línea del segundo párrafo, la regla para la diferenciación del producto se expresa como d (xv)  x d v + v d x.

225

226

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

4.1 INTRODUCCIÓN En el capítulo 3 se estudió cómo derivar una amplia variedad de funciones algebraicas y trigonométricas. Se vio que las derivadas tienen aplicaciones tan diversas como en problemas de máximo y mínimo, de tasas relacionadas y en la solución de ecuaciones por el método de Newton. Todas las aplicaciones adicionales que se analizan en este capítulo dependen de una sola pregunta fundamental. Suponga que y  f (x) es una función derivable en el intervalo cerrado [a, b] de longitud x  b − a. De este modo, el incremento y en el valor de f (x) cuando x cambia de x  a a x  b  a + x es y  f (b) − f (a).

(1)

La pregunta es: ¿cuál es la relación del incremento y con la derivada —la tasa de cambio— de la función f en los puntos del intervalo [a, b]? En la sección 4.2 se da una respuesta aproximada. Si la función conserva en todo el intervalo la tasa de cambio f 9(a) que tenía en x  a, entonces el cambio en su valor sería f 9(a)(b − a)  f 9(a) x. Esta observación sugiere la aproximación tentativa y ≈ f 9(a) x.

(2)

El teorema del valor medio en la sección 4.3 proporciona una respuesta precisa a la pregunta anterior. Este teorema implica que el incremento exacto está dado por y  f 9(c) x

(3)

para algún número c en (a, b). El teorema del valor medio es el resultado teórico central del cálculo diferencial y es además la clave a muchas otras aplicaciones de las derivadas.

4.2 INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y APROXIMACIÓN LINEAL Y

Algunas veces necesitamos una estimación sencilla y rápida del cambio en f (x) como resultado de un cambio dado en x. Escribimos y en lugar de f (x) y suponemos que el cambio en la variable independiente es el incremento x, de manera que x cambia de su valor original al nuevo valor x + x. El cambio en el valor de y es el incremento y, calculado restando el nuevo valor de y menos su valor anterior:

YFX F X$X $Y

y  f (x + x) − f (x).

F X $X X

X$X

FIGURA 4.2.1 Incrementos x y y.

X

(1)

Los incrementos x y y se representan geométricamente en la figura 4.2.1. Ahora comparamos el incremento real y con el cambio que ocurriría en el valor de y si continuara cambiando a una tasa fija f 9(x) mientras el valor de la variable independiente cambia de x a x + x. Este cambio hipotético en y es la diferencial dy  f 9(x) x.

(2)

Como muestra la figura 4.2.2, d y es el cambio en la altura de un punto que se mueve por la recta tangente en el punto (x, f (x)) en lugar de por la curva y  f (x). Piense que x está fijo. De este modo, la ecuación (2) muestra que la diferencial d y es una función lineal del incremento x. Por esto, d y se llama aproximación lineal del incremento y. Se puede aproximar f (x + x) sustituyendo d y en lugar de y. f (x + x)  y + y ≈ y + d y. Como y  f (x) y d y  f 9(x) x, esto da la fórmula de la aproximación lineal f (x + x) ≈ f (x) + f 9(x) x.

(3)

SECCIÓN 4.2

Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 227

Y YF X

2ECTATANGENTE ENX F X

Y$Y YDY DY

$Y

Y $X X

X$X

X

FIGURA 4.2.2 Estimación d y del incremento real y.

El punto es que esta aproximación es “buena”, al menos cuando x es relativamente pequeña. Si se combinan la ecuaciones (1), (2) y (3), se ve que Y  F .X

X H DY:



Así, la diferencial d y  f 9(x) x es una buena aproximación del incremento y  f (x + x) − f (x). Si sustituimos x con a en la ecuación (3), obtenemos la aproximación

Y YFX

f (a + x) ≈ f (a) + f  (a) x.

(5)

Si ahora escribimos x  x − a, de manera que x  a + x, el resultado es A FA

YF A FgA X A

F .X/  F .A/ C F .A/
.X A/:



Debido a que el lado derecho X

A

,.X/ H F .A/ C F .A/
.X A/

FIGURA 4.2.3 La gráfica de la aproximación lineal pp L(x) = f (a) + f  (a) · (x − a) es la recta tangente a y  f (x) en el punto (a, f (a)).

       Y     Y X  

 

Y

 



en la ecuación (6) es una función lineal de x, recibe el nombre de aproximación lineal L (x) para la función f (x) cerca del punto x  a. Como se ilustra en la figura 4.2.3, la gráfica y  L (x) es la recta tangente a la gráfica y  f (x) en el punto (a, f (a)). √ EJEMPLO 1 Encuentre la aproximación lineal a la función f (x) = 1 + x cerca del punto a  0.

X DY

Solución Observe que f (0)  1 y que

$Y

f  (x) =

$X

1 1 , (1 + x)−1/2 = √ 2 2 1+x

de manera que f 9(0)  12. Así, la ecuación (6) con a  0 lleva a X





FIGURA√4.2.4 Función f (x) = 1 + x y su aproximación lineal L(x) = 1 + 12 x cerca de a  0.

f (x) ≈ f (0) + f  (0) · (x − 0) = 1 + 12 x = L(x).

De esta forma, la aproximación lineal buscada es √

1 + x ≈ 1 + 12 x.

(8)

La√figura 4.2.4 ilustra la aproximación cerca de x  0 de la función no lineal f (x) = 1 + x mediante su aproximación lineal L(x) = 1 + 12 x. Z

228

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Es evidente en la figura 4.2.4 que el valor de la√aproximación lineal L (x)  1 + 12 x es más cercana al valor real de la función f (x) = 1 + x cuando x está cerca de a  0. Por ejemplo, los valores aproximados p :   C  .:/ H : CON X H : EN 

IMPORTANTE

Y

p :   C  .:/ H :

CON X H : EN 

son exactos con dos y tres decimales (redondeados), respectivamente. Pero √ 3 ≈ 1 + 12 · 2 = 2, √ usando x  2, es una aproximación muy pobre para 3 ≈ 1.732. √ La aproximación 1 + x ≈ 1 + 12 x es un caso especial de la aproximación (1 + x)k ≈ 1 + kx

(9)

(k es una constante, x está cerca de cero), una aproximación con numerosas aplicaciones. La deducción de (9) es similar a la del ejemplo 1. (Vea el problema 39.) EJEMPLO 2 que

Use la fórmula de la aproximación lineal para aproximar (122)2y3. Note  2 (125)2/3 = (125)1/3 = 52 = 25.

Solución Debemos aproximar un valor específico de x 2y3, de manera que la estrategia es aplicar la ecuación (6) con f (x)  x 2y3. Primero se observa que f  (x) = 23 x −1/3 . Se selecciona a  125, porque se conocen los valores exactos F ./ H ./= H 

Y

F ./ H  ./= H

 

ya que 125 está relativamente cerca de 122. Entonces, la aproximación lineal en (6) a f (x)  x 2y3 cerca de a  125 toma la forma F .X/  F ./ C F ./
.X /I ESDECIR X =   C

 .X 

/:

#ON X H  SEOBTIENE ./=   C

 ./ 

H ::

De esta manera (122)2y3 es aproximadamente 24.6. El valor real de (122)2y3 es alrededor de 24.5984, de manera que la fórmula en (6) da una aproximación bastante buena en este caso. Z

$X 

X

FIGURA 4.2.5 Vasija del ejemplo 3.

EJEMPLO 3 Una vasija hemisférica de radio 10 in se llena con agua a una profundidad de x pulgadas. El volumen V de agua en la vasija (en pulgadas cúbicas) está dado por la fórmula π V = (30x 2 − x 3 ) (10) 3 (figura 4.2.5). (Obtendrá esta fórmula al estudiar el capítulo 6.) Suponga que mide la profundidad del agua en la vasija y es 5 in con un error de medición máximo posible de 1 16 in. Estime el error máximo en el volumen calculado de agua en la vasija.

Solución El error en el volumen calculado V (5) es la diferencia V = V (x) − V (5) entre el volumen real V (x) y el volumen calculado. No se conoce la profundidad x del agua en la vasija. Únicamente sabemos que la diferencia x  x − 5

SECCIÓN 4.2

Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 229

entre la profundidad real y la medida es numéricamente, cuando mucho, 1  16 . Como la ecuación (10) lleva a V  (x) =

1 16

in.: |x|

π (60x − 3x 2 ) = π(20x − x 2 ), 3

la aproximación lineal 6  D 6 H 6 .

X

EN X H  PROPORCIONA 6  .
 

X H 

X:

 1 Con la práctica común al escribir x = ± 16 en lugar de  tiene   1 V ≈ (75π ) ± 16 ≈ ±14.73 (in.3 ).

X

 , 

se ob-

La fórmula en la ecuación (10) da el volumen calculado V (5) ≈ 654.50 in3, pero ahora Z se observa que esto puede tener un error de casi 15 in3 en cualquier dirección.

Errores absoluto y relativo El error absoluto en una medida o valor aproximado se define como lo que queda cuando se resta el valor verdadero menos el valor aproximado. Así, “valor real  valor aproximado + error”. El error relativo es la razón del error absoluto al valor verdadero, ERROR hVALORRELATIVO H ;v VALOR y puede estar dado como una fracción numérica o como un porcentaje del valor. EJEMPLO 4

En el ejemplo 3, un error relativo en la profundidad medida x de 1 x = 16 = 0.0125 = 1.25% x 5

lleva a un error relativo en el volumen estimado de dV 14.73 ≈ ≈ 0.0225 = 2.25%. V 654.50

La relación entre estos dos errores relativos es de interés. Las fórmulas para dV y V en el ejemplo 3 proporcionan π(20x − x 2 ) x dV 3(20 − x) x = 1 · . = 2 3 V 30 − x x π(30x − x ) 3

Cuando x  5, se obtiene dV x = (1.80) . V x

Así, para aproximar el volumen del agua en la vasija con un error relativo de cuando mucho 0.5%, por ejemplo, es necesario medir la profundidad con un error relativo de cuando mucho (0.5%)y1.8, es decir, con un error menor que 0.3%. Z

230

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Error en una aproximación lineal Ahora considere la cuestión de la diferencia entre los valores de una función f (x) y es su aproximación lineal L (x) cerca del punto x  a. Si se hace x  x − a y se escribe Y H F .X/;

F .A C

X/ H F .A/ C

Y;

Y ,.X/ H F .A/ C F .A/


X H F .A/ C DY;

se deduce que el error en la aproximación lineal está dado por f (x) − L(x) = y − dy,

como se ilustra en la figura 4.2.6. Se puede observar en la figura que, cuanto más pequeña sea x, más cercanos están los puntos correspondientes en la curva y  f (x) y su recta tangente y  L (x). Debido a que la ecuación (11) implica que la diferencia en las alturas de dos puntos de éstos es igual a y − d y, la figura sugiere que y − d y se acerca a cero cuando x → 0. Pero algo más es cierto: la diferencia

Y

ERROR $Y

y − dy = f (a + x) − f (a) − f  (a) x

DYFgA $X

(12)

es una función de x que es pequeña incluso en comparación con x. Para ver por qué, se escribe

$X

A

(11)

A$X

FIGURA 4.2.6 Error y − dy en la aproximación lineal dy ≈ f  (a) x = dy.

X

F .A C Y DY H X

X/ H

X/ F .A/ F .A/ X

YSEOBSERVAQUE L¤M

X!

X/ H F .A/ F .A/ H :

En consecuencia, el error Y DY H

X/


X



en la aproximación lineal d y  f 9(a) x al incremento real y es el producto de dos cantidades; ambas se acercan a cero cuando x → 0. Si x es “muy pequeño” (de manera que (x) también es “muy pequeño”) entonces podemos describir su producto en (13) como “mucho muy pequeño”. En este caso podremos finalmente rescribir la ecuación (13) en la forma F .A C

X/ F .A/ H F .A

XC

X/


X;



que expresa el incremento real y  f (a + x) − f (a) como la suma de la (muy pequeña) diferencial d y  f 9(a) x y el muy pequeño error (x)·x en esta diferencial. EJEMPLO 5

Si y  f (x)  x3, entonces los cálculos sencillos (con x  x − a) dan Y H F .A C H .A C

X/ F .A/ X/ A  H A 

X C A. X/ C . X/

Y DY H F .A

X H A 

X:

!S¤ Y DY H A. X/ C . X/ :

Si a  1 y x  0.1, por ejemplo, estas fórmulas llevan a y  0.331,

d y  0.3

y

y − d y  0.031,

ilustrando así la pequeñez del error y − d y en la aproximación lineal en comparación con los valores de y y d y. Z

SECCIÓN 4.2

Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 231

El ejemplo 6 indica cómo podemos usar algunas veces una calculadora graficadora o computadora para especificar cuánta precisión tiene una aproximación lineal, en términos de su exactitud en todo el intervalo que contiene el punto x  a. En situaciones concretas, con frecuencia se deseará determinar un intervalo tal que la aproximación lineal proporcione una precisión específica en todo él. 

EJEMPLO 6 

Y



Y

X 

Y

 

X

 X 

X 

Y











Y

X 



Y

 



Y

 X 



Y



X 



       X

FIGURA √ 4.2.8 La función f (x)  1 + x en un intervalo menor −0.6 < x < 0.9.

Solución La exactitud dentro de 0.1 significa que las dos funciones en (15) difieren en menos de 0.1: p  C X  C  X < :; QUEESEQUIVALENTEA p

FIGURA √ 4.2.7 La función f (x)  1 + x en el intervalo −1 < x < 1.5.



(15)

del ejemplo 1 tiene una exactitud dentro de 0.1.

 







Encuentre el intervalo en el que la aproximación lineal √ 1 + x ≈ 1 + 12 x

 C X : <  C  X <

p

 C X C ::

Así, deseamos que la gráfica de la aproximación √ lineal y  1 + 12 x se encuentre entre las dos curvas obtenidas al correr la gráfica y  1 + x verticalmente arriba y abajo una cantidad de 0.1. La figura 4.2.7 muestra las gráficas de todas estas curvas en el intervalo −1 < x < 1.5. Se marcaron los puntos en los que la aproximación √ lineal y  1 + 12x queda fuera de la banda de 0.2 de ancho alrededor de la gráfica y  1 + x y se observa que es necesario un intervalo menor alrededor de x  0 para confinar la aproximación lineal dentro del rango deseado. Sin duda, la amplificación mostrada en la figura 4.2.8 indica que la aproximación en (15) es exacta dentro de 0.1 para toda x en el intervalo −0.6 < x < 0.9. Z

Diferenciales La fórmula para la aproximación lineal en (3) con frecuencia se escribe con d x en lugar de x: F .X C D X/  F .X/ C F .X/ D X:



En este caso, d x es una variable independiente, llamada la diferencial de x, y x es fija. De este modo, las diferenciales de x y y se definen como d x  x

y

d y  f 9(x) x  f 9(x) d x.

(17)

De esta definición se deduce de inmediato que

DY DX

FIGURA 4.2.9 Pendiente de la recta tangente como la razón de los infinitesimales dy y dx.

f  (x) d x dy = = f  (x), dx dx y coincide totalmente con la notación que se ha usado. De hecho, Leibniz originó la notación diferencial al visualizar incrementos “infinitesimales” d x y d y (figura 4.2.9), donde su razón d yyd x es la pendiente de la recta tangente. La clave del descubrimiento independiente de Leibniz del cálculo diferencial en la década de 1670 fue su entendimiento de que si d x y d y son suficientemente pequeños, entonces el segmento de la curva y  f (x) y el segmento de recta que une (x, y) con (x + d x, y + d y) son virtualmente indistinguibles. Esta concepto se ilustra con las amplificaciones sucesivas en las figuras 4.2.10 a 4.2.12 de la curva y  x2 cerca del punto (1, 1). La notación diferencial proporciona una manera conveniente de escribir las fórmulas de derivadas. Suponga que z  f (u), de modo que d z  f 9(u) du. Para elecciones específicas de la función f, se obtienen las fórmulas D.U N / H NU N DU; D.SEN U/ H .COS U/ DU; D.EU / H EU DU;

232

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada





 YX





Y

Y 





X



DY

DY



DX



 Y 

DY



YX

YX







FIGURA 4.2.10 d x = 1.

DX

DX 



 X









X

FIGURA 4.2.12 d x =

FIGURA 4.2.11 d x = 13 .





1 10 .

y así sucesivamente. De este modo, podemos escribir las reglas de diferenciación en la forma diferencial sin tener que identificar la variable independiente. Las reglas de suma, producto y cociente toman las respectivas formas D.U C G/ H DU C DG; D.UG/ H U DG C G DU; Y G DU U DG U H : G G Si z  f (u) y u  g (x), podemos sustituir du  g9(x) d x en la fórmula d z  f 9(u) du. Esto proporciona D

dz = f  (g(x)) · g  (x) d x.

Ésta es la forma diferencial de la regla de la cadena Dx f (g(x)) = f  (g(x)) · g  (x).

Así, la regla de la cadena se muestra aquí como si fuera el resultado de manipulaciones mecánicas de la notación diferencial. Esta compatibilidad con la regla de la cadena es una razón de la extraordinaria utilidad de la notación diferencial en cálculo. EJEMPLO 7 p A 3I Y H X  X = ENTONCES DY H X  X D X B 3I U H SEN T COS T ENTONCES DU H . SEN T COS T C  SEN T/ DT H  SEN T DT

(usando la identidad trigonométrica sen 2t  2 sen t cos t). c) Si w  zez, entonces dw = (1 · e z + z · e z ) dz = (1 + z)e z dz.

Z

Demostración de la regla de la cadena Ahora usamos el conocimiento del error en las aproximaciones lineales para demostrar la regla de la cadena para la composición f  g que no requiere la suposición g9(x) H 0, que sí fue necesaria en la sección 3.3. Aquí suponemos sólo la existencia de las derivadas g9(a) y f 9(b) (donde b  g (a)) de las funciones u  g (x) y y  f (g (x))  f (u). Si escribimos U H G.A C

X/ G.A/

Y

Y H F .B C

U/ F .B/;

entonces la ecuación (14) en esta sección —con g en lugar de f— proporciona   u = g  (a) x + 1 · x = g  (a) + 1 x

(18)

SECCIÓN 4.2

Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 233

donde 1 → 0 cuando x → 0. Una segunda aplicación de la ecuación (14), esta vez con u en lugar de x, proporciona   y = f  (b) u + 2 · u = f  (b) + 2 u     (19) = f  (g(a)) + 2 · g  (a) + 1 x donde 2 → 0 cuando u → 0, y por ende cuando x → 0 (porque la ecuación (18) muestra que u → 0 cuando x → 0). Por último, cuando se divide entre x en la ecuación (19) y luego se toma el límite cuando x → 0, se obtiene Y DY H L¤M H L¤M F .G.A// C 
G .A/ C  H F .G.A//
G .A/: X! X! DX X Así, se ha demostrado que la fórmula de la regla de la cadena Dx [ f (g(x))] = f  (g(x)) · g  (x)se cumple en x  a.

4.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que y  f (x) y que x es un incremento en x. Por lo tanto, por definición, y  f (x + x) − f (x). 2. Si y  f (x) y x es un incremento en x, entonces, por definición, d y  f 9(x) x. 3. Si y  f (x) y x es un incremento en x, entonces la fórmula de la aproximación lineal establece que f (x + x) ≈ f (x) + f 9(x)x. √ √ 4. La aproximación lineal de f (x)  1 + x cerca del punto a  0 es 1 + x ≈ 1 + x. 5. En el ejemplo 2 se encontró que (122)2y3  24.6. 6. El error en la aproximación lineal L (x)  f (x) + f 9(a) x a la función f cerca del punto x  a es f (x) − L (x)  y − d y. 7. d (un)  nun−1. 8. d (sen u)  (cos u) du. 9. d (uv)  udv + vd u. 10. Si w  w(z)  zez, entonces dw  (1 + z)ez d z.

4.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Use las ecuaciones (11)-(13) de esta sección para demostrar que la función lineal L (x) f (a) + f 9(a) · (x − a) de x satisface la condición F .X/ ,.X/ H :  X A 2. Cualquier función lineal L (x)  mx + b que satisface la ecuación (20) se llama una linealización de la función f (x) en el punto x  a. ¿Puede una función tener dos linealizaciones diferentes en el mismo punto? 3. ¿Puede una función tener una linealización (como en la pregunta 2) en un punto donde no es derivable? L¤M

X!A

4.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 16, escriba d y en términos de x y d x. 1. y = 3x 2 −

4 x2

√ 3. y = x − 4 − x 3

√ 3 2. y = 2 x − √ 3 x 1 4. y = √ x− x

 Y H X  .X /=  Y H X.X  C /=  Y H COS

p

X

 Y H SEN X COS X

X X    Y H  .X /=  Y H

 Y H X  SEN X  Y H COS X

234 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

SEN X X   Y H  X SEN X

 Y H X  EX

 Y H

 Y H

H

LN X X

R

En los problemas 17 a 24, encuentre —como en el ejemplo 1— la aproximación lineal L (x) a la función dada f (x) cerca del punto a  0.  F .X/ H

 X

CX

 F .X/ H . C X/  F .X/ H . X/



 F .X/ H p

 F .X/ H . X/ =

 F .X/ H EX

 F .X/ H SEN X

 F .X/ H LN. C X/

En los problemas 25 a 34, use —como en el ejemplo 1— una aproximación lineal L (x) a una función adecuada f (x), con un valor apropiado de a, para estimar el número dado. p p      p p       =

 =

 COS 

 SEN 

 E=

 LN

 

En los problemas 35 a 38, calcule la diferencial de cada lado de la ecuación dada, con x y y como variables dependientes (como si ambas fueran funciones de una tercera variable no especificada). Luego despeje d yyd x. 35. x 2 + y 2 = 1

36. xe y = 1

37. x 3 + y 3 = 3x y

38. x ln y = 1

39. Suponiendo que Dx x = kx k−1 para cualquier constante real k (que se establecerá en el capítulo 6), deduzca la fórmula de la aproximación lineal (1 + x)k ≈ 1 + kx para x cerca de cero. En los problemas 40 a 47, use aproximaciones lineales para estimar el cambio en la cantidad dada. 40. La circunferencia de un círculo, si su radio aumenta de 10 a 10.5 in. 41. El área de un cuadrado, si la longitud de su lado disminuye de 10 a 9.8 in. 42. El área de la superficie de una esfera, si su radio aumenta de 5 a 5.2 in (figura 4.2.13). k

R

R

FIGURA 4.2.13 Esfera del problema 42: área A  4πr2, volumen V = 43 πr 3 .

H

FIGURA 4.2.14 Cilindro del problema 43: volumen V  πr 2h.

43. El volumen de un cilindro, si ambos, su altura y su radio, disminuyen de 15 a 14.7 cm (figura 4.2.14). 44. El volumen de la pila de arena cónica de la figura 4.2.15, si su radio es 14 in y su altura aumenta de 7 a 7.1 in.

FIGURA 4.2.15 Pila de arena cónica del problema 44: volumen V = 13 πr 2 h.

45. El alcance 2 H  G  SEN  de un proyectil disparado con un ángulo de inclinación θ  45°, si su velocidad inicial v aumenta de 80 a 81 ft/s. 46. El alcance 2 H  G  SEN  de un proyectil disparado con una velocidad inicial v  80 ft/s, si su ángulo de inclinación θ aumenta de 60 a 61°. 47. Los watts W  RI2 de un reflector con resistencia R  10 ohms, si la corriente I aumenta de 3 a 3.1 amperes. 48. El radio ecuatorial de la Tierra es aproximadamente 3960 mi. Suponga que se envuelve un cable ceñidamente alrededor de la Tierra por el ecuador. Aproximadamente, ¿cuánto debe estirarse este cable si debe dar la vuelta sobre postes que están 10 pies por encima del suelo? Utilice una fórmula de aproximación lineal. 49. Se mide el radio de una pelota esférica como 10 pulgadas, con un error máximo de 161 in. ¿Cuál es el error máximo resultante en su volumen calculado? 50. ¿Con qué precisión debe medirse el radio de la pelota del problema 49 para asegurar un error máximo de 1 in3 en su volumen calculado? 51. El radio de un domo hemisférico se mide como 100 m, con un error máximo de 1 cm (figura 4.2.16). ¿Cuál es el error máximo resultante en el área de su superficie calculada?

R

FIGURA 4.2.16 Domo hemisférico del problema 51: área de la superficie curva A  2πr2.

52. ¿Con qué precisión debe medirse el radio del domo hemisférico para asegurar un error de cuando mucho 0.01% en el área de su superficie calculada? En los problemas 53 a 60, se da una función f (x) y un punto x  a. Determine gráficamente un intervalo abierto I centrado en a de manera que la función f (x) y su aproximación lineal L (x) difieran en menos de un valor  dado en cada punto de I.  F .X/ H X  A H  H : p  F .X/ H X A H  H :   F .X/ H A H  H : X p H :  F .X/ H  X A H  H :  F .X/ H SEN X A H  X  F .X/ H E A H  H : H :  F .X/ H SEN X A H =  F .X/ H TAN X A H = H :

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio

235

4.3 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO El significado del signo de la primera derivada de una función es sencillo pero crucial: f (x) es creciente en el intervalo donde f 9(x) > 0; f (x) es decreciente en intervalo donde f 9(x) < 0. Geométricamente, esto significa que cuando f 9(x) > 0, la gráfica de la y  f (x) sube de izquierda a derecha. Cuando f 9(x) < 0, la gráfica baja. Se pueden aclarar los términos creciente y decreciente como sigue.

DEFINICIÓN Funciones crecientes y decrecientes La función f es creciente en el intervalo I  (a, b) siempre que f (x1) < f (x2) para todos los pares de números x1 y x2 en I para los que x1 < x2. La función f es decreciente en I siempre que f (x1) > f (x2) para todos los pares de números x1 y x2 para los que x1 < x2. La figura 4.3.1 ilustra esta definición. Dicho en forma breve, la función f es creciente en I  (a, b) si los valores de f (x) aumentan cuando x crece [figura 4.3.1a)]; f es decreciente en I si los valores de f (x) disminuyen cuando x crece [figura 4.3.1b)].

FCRECIENTE ENA B FX A

X

F X Y X

B



FDECRECIENTE ENA B



A

YX

 FX

A

X

FX

X

B

FIGURA 4.3.1 a) Una función creciente y b) una función decreciente.

 B









X

FIGURA 4.3.2 f (x)  x2 es decreciente para x < 0 y creciente para x > 0.

EJEMPLO 1 Como se ilustra en la figura 4.3.2, la sencilla función f (x)  x2 es decreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en el intervalo (0, +∞). Esto se deduce de inmediato del hecho elemental de que u2 < v2 si 0 < u < v. Debido a que f 9(x)  2x, observamos en seguida que f 9(x) < 0 en el intervalo (−∞, 0) y que f 9(x) > 0 en el intervalo (0, +∞). Pero para funciones más generales, se necesita el teorema del valor medio de esta sección para establecer la relación precisa entre el signo de la derivada de una función y su comportamiento creciente o decreciente. Z OBSERVACIÓN Hablamos de una función como creciente o decreciente en un intervalo, no en un punto. De cualquier manera, si consideramos el signo de f 9, la derivada de f, en un solo punto, obtenemos un panorama intuitivo útil del significado del signo

CAPÍTULO 4

236

Aplicaciones adicionales de la derivada

de la derivada. Esto se debe a que la derivada f 9(x) es la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f (x)) en la gráfica de f. Si f 9(x) > 0, entonces la recta tangente tiene pendiente positiva. Por lo tanto, sube al movernos de izquierda a derecha. De manera intuitiva, una tangente que sube parecería corresponder a una gráfica que sube y por ello a una función creciente. De modo similar, esperamos ver una gráfica que baja cuando f 9(x) es negativa (figura 4.3.3). Precaución: para determinar si una función f es creciente o decreciente, debemos examinar el signo de f 9 en todo el intervalo, no sólo en un punto. (Vea el problema 59.) X FgX  'RÖFICAQUESUBEENELPUNTOX A

Teorema del valor medio Aunque los dibujos de gráficas que suben y bajan son sugerentes, no proporcionan una prueba del significado del signo de la derivada. Para establecer rigurosamente la relación entre una gráfica que sube y baja y el signo de la derivada de la función graficada, es necesario el teorema del valor medio, que se establecerá más adelante en esta sección. Este teorema es la herramienta teórica principal del cálculo diferencial y se verá que tiene aplicaciones valiosas.

X FgX  'RÖFICAQUEBAJAENELPUNTOX B

FIGURA 4.3.3 a) Gráfica que sube en x y b) gráfica que baja en x.

Una pregunta Como introducción al teorema del valor medio, proponemos la siguiente pregunta. Suponga que P y Q son dos puntos en la superficie del mar, con Q en general al este de P (figura 4.3.4). ¿Es posible que un barco se traslade de P a Q navegando hacia el este, y nunca (ni por un segundo) navegando en la dirección exacta de P a Q? Esto es, podemos navegar de P a Q siguiendo una línea instantánea de movimiento que nunca sea paralela a la línea PQ?

1

El teorema del valor medio responde esta pregunta: no. Siempre habrá al menos un instante en que el barco vaya en dirección paralela a la línea PQ, sin importar qué trayectoria tome. Dicho en otras palabras: sea la trayectoria de un barco la gráfica de una función derivable y  f (x) con puntos terminales P (a, f (a)) y Q (b, f (b)). De este modo, decimos que debe haber algún punto en esta gráfica en el que la recta tangente (correspondiente a la línea instantánea de movimiento) a la curva es paralela a la línea PQ que une los puntos terminales de la curva. Ésta es una interpretación geométrica del teorema del valor medio.

X

Formulación geométrica La pendiente de la recta tangente en el punto (c, f (c)) (figu-

Y

0

ra 4.3.5) es f 9(c), mientras que la pendiente de la recta PQ es

FIGURA 4.3.4 ¿Puede navegar de P a Q, pero nunca (ni por un segundo) navegar en la dirección PQ (la dirección de la flecha)?

f (b) − f (a) . b−a

Podemos pensar en este cociente como el valor promedio (o media) de la pendiente de la curva y  f (x) en el intervalo [a, b]. El teorema del valor medio garantiza que existe un punto c en (a, b) para el que la recta tangente a y  f (x) en (c, f (c)) es sin duda paralela a la recta PQ. En el lenguaje de álgebra, existe un número c en (a, b) tal que Y 1B FB

F .C/ H

YF X

0ENDIENTEFgC 0A FA

C

X

FIGURA 4.3.5 El problema del barco en terminología matemática.

F .B/ F .A/ : BA



Un resultado preliminar Primero se establece un “lema” para agilizar la demostración del teorema del valor medio. Este teorema se llama teorema de Rolle, en honor de Michel Rolle (1652-1719), quien lo descubrió en 1690. En su juventud, Rolle estudió el incipiente tema de cálculo, aunque más tarde renunció a él. Argumentaba que el tema se basaba en falacias lógicas y ahora es recordado por el único teorema que lleva su nombre. Es paradójico que su teorema tenga un papel tan importante en las demostraciones rigurosas de varios teoremas de cálculo.

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio

237

Y FgC 

A

C

B

X

TEOREMA DE ROLLE Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable en su interior (a, b). Si f (a)  0  f (b), entonces existe algún número c en (a, b) tal que f 9(c)  0. La figura 4.3.6 ilustra el primer caso en la siguiente demostración del teorema de Rolle. La idea de la prueba es: suponga que la gráfica suave y  f (x) comienza en x  a a una altura de cero y termina en x  b a una altura de cero: si sube, debe bajar, y en donde deja de subir y comienza a bajar, su recta tangente debe ser horizontal. Por lo tanto, la derivada es cero en ese punto.

FIGURA 4.3.6 La idea de la demostración del teorema de Rolle.

Como f es continua en [a, b], debe lograr tanto un valor máximo como un valor mínimo en [a, b] (por la propiedad del valor máximo de la sección 3.5). Si f tiene valores positivos, considere su valor máximo f (c). Ahora c no es un punto terminal de [a, b] porque f (a)  0 y f (b)  0. Por lo tanto, c es un punto de (a, b). Pero sabemos que f es derivable en c. Así, del teorema 2 de la sección 3.5, se deduce que f 9(c)  0. De manera similar, si f tiene valores negativos, podemos considerar su valor mínimo f (c) y concluir igual que antes que f 9(c)  0. Si f no tiene valores positivos o negativos, entonces f es idénticamente igual a cero en [a, b], y se deduce que f 9(c)  0 para toda c en (a, b). Así, observamos que la conclusión del teorema de Rolle está justificada en todos los casos. X Una consecuencia importante del teorema de Rolle es que entre cada par de ceros de una función derivable, existe al menos un punto en el que la recta tangente es horizontal. Algunos dibujos posibles de la situación se indican en la figura 4.3.7.

Demostración del teorema de Rolle X

X

X

FIGURA 4.3.7 La existencia de la recta tangente horizontal es una consecuencia del teorema de Rolle.



Y

EJEMPLO 2 Suponga que f (x)  x1y2 − x3y2 en [0, 1]. Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.

YX X



Solución Observe que f es continua en [0, 1] y derivable en (0, 1). Como el término x1y2 está presente, f no es derivable en x  0, pero es irrelevante. Además, f (0)  0  f (1), de manera que se cumplen todas las hipótesis del teorema de Rolle. Por último, f  (x) = 12 x −1/2 − 32 x 1/2 = 12 x −1/2 (1 − 3x), de modo que f 9(c)  0 para c  . La figura 4.3.8 muestra una gráfica precisa de f en [0, 1], incluyendo c y la recta tangente horizontal. Z



C







EJEMPLO 3 Suponga que f (x)  1 − x2y3 en [−1, 1]. De este modo, f satisface las hipótesis del teorema de Rolle excepto por el hecho de que f 9(0) no existe. Es claro de la gráfica de f que no existe un punto donde la recta tangente sea horizontal (figura 4.3.9). Sin duda, 2 2 f  (x) = − x −1/3 = − √ , 3 33x



X

FIGURA 4.3.8 Número c del ejemplo 2. 

de manera que f 9(x) H 0 para x H 0, y vemos que | f 9(x)| → ∞ cuando x → 0. Así, la gráfica de f tiene una recta tangente vertical —y no una horizontal— en el punto (0, 1). De esta manera, la conclusión del teorema de Rolle —como la de cualquier teorema— puede no cumplirse si alguna de las hipótesis no se satisface. Z Ahora podemos establecer formalmente y demostrar el teorema del valor medio.

 Y X Y  







 X



FIGURA 4.3.9 Función f (x)  1 − x2y3 del ejemplo 3.



Teorema del valor medio Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). De esta forma, F .B/ F .A/ H F .C/
.B A/  para algún número c en (a, b).

238

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Debido a que la ecuación (2) es equivalente a la ecuación (1), la conclusión del teorema del valor medio es que debe existir al menos un punto en la curva y  f (x) en el que la recta tangente es paralela a la recta que une sus puntos terminales P (a, f (a)) y Q (b, f (b)).

COMENTARIO

Y

1B F B

F X

0A FA A

X

B

X

FIGURA 4.3.10 Construcción de la función auxiliar φ.

Consideramos la función auxiliar φ sugerida en la figura 4.3.10. El valor de φ(x) es, por definición, la diferencia en la altura vertical por encima de x entre el punto (x, f (x)) en la curva y el punto correspondiente en la recta PQ. Parece que un punto en la curva y  f (x) donde la recta tangente es paralela a PQ corresponde a un máximo o un mínimo de φ. También es evidente que φ(a)  0  φ(b), de modo que se puede aplicar el teorema de Rolle a la función φ en [a, b]. De esta forma, nuestro plan para probar el teorema del valor medio es el siguiente: primero, obtenemos una fórmula para la función φ. Segundo, localizamos el punto c tal que φ9(c)  0. Por último, demostramos que este número c es exactamente el número necesario para satisfacer la conclusión del teorema del valor medio en la ecuación (2).

Motivación para la demostración del teorema del valor medio

Demostración del teorema del valor medio

Debido a que la línea PQ pasa por

P (a, f (a)) y tiene pendiente f (b) − f (a) , b−a la fórmula de punto pendiente para la ecuación de una recta proporciona la siguiente ecuación para PQ: m=

y  yrecta  f (a) + m(x − a). Así, φ(x)  ycurva − yrecta  f (x) − f (a) − m(x − a). Puede verificar por sustitución directa que φ(a)  0  φ(b). Además, como φ es continua en [a, b] y derivable en (a, b), se puede aplicar el teorema de Rolle. Así, existe un punto c en algún lugar del intervalo abierto (a, b) donde φ9(c)  0. Pero φ  (x) = f  (x) − m = f  (x) −

f (b) − f (a) . b−a

Como φ9(c)  0, se concluye que 0 = f  (c) −

f (b) − f (a) . b−a

Es decir, f (b) − f (a) = f  (c) · (b − a).

X La demostración del teorema del valor medio es una aplicación del teorema de Rolle, mientras que el teorema de Rolle es el caso especial del teorema del valor medio en el que f (a)  0  f (b).

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio

239

EJEMPLO 4 Suponga que manejamos de Kristiansand, Noruega, a Oslo —una distancia de casi 350 km— en 4 h, del tiempo t  0 al tiempo t  4. Si f (t) denota la distancia recorrida en el tiempo t, y suponiendo que f es una función derivable. El teorema del valor medio implica que  H F ./ F ./ H F .C/
. / H  F .C/ YPORLOTANTOQUE F .C/ H

 

H :

en algún instante c en (0, 4). Pero f 9(c) es nuestra velocidad instantánea en el tiempo t  c, y 87.5 km/h es nuestra velocidad promedio del viaje. De este modo, el teorema del valor medio implica que debemos tener una velocidad instantánea de exactamente 87.5 km/h al menos una vez durante el viaje. Z El argumento en el ejemplo 4 es bastante general —durante cualquier viaje, la velocidad instantánea en algún punto debe ser igual a la velocidad promedio para todo el viaje—. Por ejemplo, se deduce que las dos casetas de cobro están a 70 millas y maneja entre las dos en exactamente 1 hora, de tal manera que en algún instante debe viajar con exceso de velocidad respecto al límite de 65 mi/h. La policía del estado de Pensylvania ha levantado infracciones de exceso de velocidad en la autopista ¡apoyada justo en esa evidencia!

Consecuencias del teorema del valor medio La primera de tres consecuencias importantes del teorema del valor medio es el inverso no trivial del hecho trivial de que la derivada de una función constante es idénticamente cero. Esto es, probamos que no puede haber una función exótica que no es constante pero que tiene derivada idéntica a cero. En los corolarios 1 a 3 se supone, igual que en el teorema de Rolle y el teorema del valor medio, que f y g son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y derivables en (a, b).

COROLARIO 1 Funciones con derivada cero Si f 9(x) ≡ 0 en (a, b) (es decir, f 9(x)  0 para toda x en (a, b)), entonces f es una función constante en [a, b]. En otras palabras, existe una constante C tal que f (x) ≡ C. Demostración Aplique el teorema del valor medio a la función f en el intervalo [a, x],

donde x es un punto fijo pero arbitrario del intervalo (a, b]. Encontramos que f (x) − f (a) = f  (c) · (x − a)

para algún número c entre a y x. Pero f 9(x) es siempre cero en el intervalo (a, b), de manera que f 9(c)  0. Por lo cual f (x) − f (a)  0 y por lo tanto f (x)  f (a). Pero esta última ecuación es cierta para toda x en (a, b]. Así, f (x)  f (a) para toda x en (a, b] y, de hecho, para toda x en [a, b]. Es decir, f (x) tiene el valor constante C  f (a). Esto establece el corolario 1. X El corolario 1 suele aplicarse en una forma distinta pero equivalente, que establecemos y probamos a continuación.

COROLARIO 2 Funciones con derivadas iguales Suponga que f 9(x)  g9(x) para toda x en el intervalo abierto (a, b). De este modo, f y g difieren por una constante en [a, b]. Esto es, existe una constante K tal que f (x)  g (x) + K para toda x en [a, b]. Demostración Dadas las hipótesis, sea h (x)  f (x) − g (x). Por lo cual,

h9(x)  f 9(x) − g9(x)  0

240

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

para toda x en (a, b). De manera que, por el corolario 1, h (x) es una constante K en [a, b]. Esto es, f (x) − g (x)  K para toda x en [a, b]; por lo tanto, f (x) = g(x) + K

X

para toda x en [a, b]. Esto establece el corolario 2. EJEMPLO 5

Si f 9(x)  6e2x y f (0)  7, ¿cuál es la función f (x)?

Solución Debido a que Dx (e2x ) = 2e2x , observamos enseguida que una función con derivada g9(x)  6e2x es g(x) = 3e2x .

Así, el corolario 2 implica que existe una constante K tal que f (x) = g(x) + K = 3e2x + K

en un intervalo dado [a, b] que contiene a cero. Pero podemos encontrar el valor de K sustituyendo x  0: f (0) = 3e0 + K ; 7 = 3 · 1 + K;

de modo que K  4. Así, la función f está definida por f (x) = 3e2x + 4.

Z

La siguiente consecuencia del teorema del valor medio verifica las observaciones acerca de las funciones crecientes y decrecientes con las que se abrió esta sección.

COROLARIO 3 Funciones crecientes y decrecientes Si f 9(x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es una función creciente en [a, b]. Si f 9(x) < 0 para toda x en (a, b), entonces f es una función decreciente en [a, b]. Demostración Suponga, por ejemplo, que f 9(x) > 0 para toda x en (a, b). Debemos demostrar lo siguiente: si u y v son puntos en [a, b] con u < v, entonces f (u) < f (v). Aplicamos el teorema del valor medio a f, pero en el intervalo cerrado [u, v]. Esto es legítimo porque [u, v] está contenido en [a, b], de modo que f satisface las hipótesis del teorema del valor medio en [u, v] lo mismo que en [a, b]. El resultado es que

f (v) − f (u) = f  (c) · (v − u)

para algún número c en (u, v). Debido a que v > u y como, por hipótesis, f 9(c) > 0, se deduce que F .G/ F .U/ > I

ESDECIR

F .U/ < F .G/;

lo que se quería demostrar. La demostración es similar en el caso de que f 9(x) sea negativa en (a, b). X El significado del corolario 3 se resume en la figura 4.3.11. La figura 4.3.12 muestra una gráfica y  f (x) etiquetada de acuerdo con esta correspondencia entre el signo de la derivada f 9(x) y el comportamiento creciente o decreciente de la función f (x). EJEMPLO 6 ciente?

¿Dónde es creciente la función f (x)  x2 − 4x + 5, y dónde es decre-

Solución La derivada de f es f 9(x)  2x − 4. Es claro que f 9(x) > 0 si x > 2, mientras que f 9(x) < 0 si x < 2. Por lo tanto, f es decreciente en (−∞, 2) y creciente en (2, +∞), como se ve en la figura 4.3.13. Z

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio Y

FgPOSITIVA F CRECIENTE

241

FgNEGATIVA F DECRECIENTE

X

F .X/

F .X/

.EGATIVA 0OSITIVA

$ECRECIENTE #RECIENTE

FIGURA 4.3.11

Corolario 3.

FIGURA 4.3.12

EJEMPLO 7 lución real.

 YX X Y

FgPOSITIVA F CRECIENTE

Significado del signo de f 9(x).

Demuestre que la ecuación e x + x − 2  0 tiene exactamente una so-

Solución Una solución para la ecuación dada será un cero de la función f (x) = e x + x − 2.



Ahora f (0)  − 1 < 0 mientras que f (1)  e − 1 > 0. Como f es continua (en todos lados), la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas garantiza entonces que f (x) tiene al menos un cero x0 en el intervalo (0, 1). Vemos este cero en la figura 4.3.14, pero no podemos concluir únicamente a partir de la evidencia gráfica que no hay otro cero en algún lado (tal vez fuera de la ventana de la gráfica). Para probar que no hay otro cero, se observa que f es una función creciente en toda la recta real. Esto es consecuencia del corolario 3 y el hecho de que

 

 

 X

FIGURA 4.3.13 ejemplo 6.



Parábola del

f  (x) = e x + 1 > 1 > 0

porque e x > 0 para toda x. Así, se deduce de la definición de función creciente que si x < x0, entonces f (x) < f (x0)  0, mientras que si x > x0, entonces f (x) > f (x0)  0. Por lo tanto, x0 es el único cero de f (x) y es la única solución real de la ecuación e x + x − 2  0. Z

    Y







EJEMPLO 8

f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5

YEXX 



es creciente y aquéllos en los que es decreciente.





 

Determine los intervalos abiertos en el eje x en los que la función



FIGURA 4.3.14 y  e x + x − 2.

 X

Gráfica







Solución La derivada de f es f  (x) = 12x 3 − 12x 2 − 24x = 12x(x 2 − x − 2) = 12x(x + 1)(x − 2).

(3)

Los puntos críticos x  −1, 0 y 2 separan el eje x en cuatro intervalos abiertos (−∞, −1), (−1, 0), (0, 2) y (2, +∞) (figura 4.3.15). La derivada f 9(x) no cambia de signo dentro de esos intervalos, porque • El factor x + 1 en la ecuación (3) cambia de signo sólo en x  −1, • El factor 12x cambia de signo sólo en x  0, y • El factor x − 2 cambia de signo sólo en x  2. X  X X 

X

X

X X 

FIGURA 4.3.15 Signos de x + 1 y x − 2 (ejemplo 8).

X X 

242

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

La figura 4.3.15 indica los signos de x + 1 y x − 2 en cada uno de los cuatro intervalos. Se ilustran dos métodos diferentes para determinar el signo de f 9(x) en cada intervalo. Método 1 La segunda, tercera y cuarta columnas de la siguiente tabla registran los signos de los factores en la ecuación (3) en cada uno de los cuatro intervalos de la primera columna. Los signos de f 9(x) mostrados en la quinta columna son los obtenidos por la multiplicación. La sexta columna da el comportamiento creciente o decreciente de f en los cuatro intervalos. )NTERVALO

X C

X

X 

F .X/

F

.1; / .; / .; / .; C1/

C C C

C C

C

C C

$ECRECIENTE #RECIENTE $ECRECIENTE #RECIENTE

Método 2 Como la derivada f 9(x) no cambia de signo dentro de los intervalos, es necesario calcular su valor en un solo punto en cada intervalo. Cualquiera que sea el signo en ese punto, ese signo es el de f 9(x) en todo ese intervalo.

%N .1; /V %N .; /V %N .; /V %N .; C1/V

F ./ H  < I F .:/ H : > I F ./ H  < I F ./ H  > I

F F F F

ES DECRECIENTE ES CRECIENTE ES DECRECIENTE ES CRECIENTE

El segundo método es especialmente conveniente si la derivada es complicada, pero se dispone de calculadoras adecuadas para calcular sus valores. Por último, observe que los resultados obtenidos en cada método son consistentes con la gráfica de y  f (x) mostrada en la figura 4.3.16. Z YX

 



YSENX

  Y



Y 

  



  











P

X

FIGURA 4.3.16 Puntos críticos del polinomio del ejemplo 8.

FIGURA 4.3.17

 X

P

x y sen x (ejemplo 9).

EJEMPLO 9 La gráfica de la figura 4.3.17 sugiere que sen x < x para toda x > 0. Para demostrar esto, es suficiente demostrar que la diferencia H.X/ H F .X/ G.X/ H X SEN X

de las funciones f (x)  x y g (x)  sen x son de valores positivos para x > 0. Pero h  (x) = 1 − cos x > 0

para toda x en el intervalo (0, 2π), donde cos x < 1. De esta forma, el corolario 3 implica que h es una función creciente en el intervalo cerrado [0, 2π]. Como h (0) − 0, se

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio

243

≤ 2π. Pero si x > 2π, entonces ciertamente deduce que h (x) > 0 si 0 < x − H.X/ H X SEN X >  SEN X > 

≤ 1 para toda x. De esta forma se ha demostrado que ya que | sen x| − X SEN X H H.X/ > ;

y por ende que x > sen x para toda x > 0. (¿Puede decir por qué de esto se deduce que x < sen x para toda x < 0?) Z

4.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Por definición, la función f es creciente en el intervalo I  (a, b) si f 9(x) > 0 para toda x en I. 2. El teorema del valor medio implica que si la función f es derivable en (a, b) y continua en a y en b, entonces la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)) es paralela a alguna recta tangente a la gráfica de f. 3. El teorema del valor medio establece que f (b) − f (a) = f  (c). b−a

4. Si f 9(x)  0 para toda x en (a, b), entonces f (x)  0 para toda x en (a, b). 5. Si f 9(x)  g9(x) para toda x en (a, b), entonces existe una constante C tal que f (x)  g (x) + C para toda x en (a, b). 6. Una consecuencia del teorema del valor medio es que si f 9(x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en (a, b). 7. Si f (x)  x2 − 4x + 5, entonces f es creciente en (−∞, 2) y decreciente en (2, +∞). 8. Si f (x)  3x4 − 4x3 − 12x2 + 5, entonces f es creciente en (−1, 0) y en (2, +∞), decreciente en (−∞, −1) y en (0, 2). 9. Si x > 0 entonces sen x < x. 10. Si f 9(x) < 0 para toda x en (a, b) entonces f es decreciente en (a, b).

4.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Con frecuencia se dice que “todo lo que sube tiene que bajar”. ¿Puede traducir este dicho popular en una afirmación matemática? ¿Se deduce de los resultados en esta sección? 2. Suponga que f 9(x) > 0 para toda x en el intervalo abierto (a, b). ¿Por qué se deduce que existe una función inversa g tal que g ( f (x))  x para toda x en (a, b)? ¿Cuál es el dominio de definición de g? 3. Como continuación de la pregunta 2, explique por qué se deduce de los resultados en esta sección que la función f (x)  e x tiene una función inversa (g (x)  ln x) que está definida para x > 0. 4. ¿Por qué no se deduce de los resultados de esta sección que la función f (x)  sen x tiene una función inversa g tal que g ( f (x))  x para toda x? Determine un intervalo cerrado máximo I que contenga al origen de manera que ahí exista una función g tal que g ( f (x))  x para toda x en I. ¿Su función g concuerda con la función sen−1 de su calculadora? 5. Repita la pregunta 4, pero con a) f (x)  tan x; b) f (x)  cos x.

CAPÍTULO 4

244

Aplicaciones adicionales de la derivada

4.3 PROBLEMAS Para las funciones en los problemas 1 a 6, primero determine (como en el ejemplo 8) los intervalos abiertos en el eje x en los que cada función es creciente y en los que es decreciente. Después use esta información para dar la correspondencia con su gráfica, una de las seis mostradas en la figura 4.3.18. 







Y 

Y 









 X

A









B









Y 

Y 





 X









C

 X



 F .X/ H X







Y 

Y 













E

 X





 X







T; U

[1, 3]

[−1, 1]

33. f (x) = 3x + 6x − 5; [−2, 1] √ 34. f (x) = x − 1 ; [2, 5] 2



 X



2. f (x) = x 2 − 2x − 1

3. f (x) = x 2 + 4x + 1

4. f (x) = 14 x 3 − 3x



5. f (x) = 13 x 3 − 12 x 2 − 2x + 1 6. f (x) = 2x − 16 x 2 − 19 x 3

En los problemas 7 a 10 se proporciona la derivada f 9(x) y el valor f (0). Use el método del ejemplo 5 para encontrar la función f (x). √ 7. f  (x) = 4x; f (0) = 5 8. f  (x) = 3 x ; f (0) = 4 f (1) = 1 10. f (x) = 6e

−3x

; f (0) = 3

En los problemas 11 a 24, determine (como en el ejemplo 8) los intervalos abiertos en el eje x en los que la función es creciente, al igual que aquéllos en los que es decreciente. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, dibuje la gráfica y  f (x) para saber si concuerda con sus resultados. 11. f (x) = 3x + 2

12. f (x) = 4 − 5x

13. f (x) = 8 − 2x 2

14. f (x) = 4x 2 + 8x + 13

15. f (x) = 6x − 2x 2

16. f (x) = x 3 − 12x + 17

17. f (x) = x 4 − 2x 2 + 1

T;  U

[0, 1]

32. f (x) = x 3 ;

F



=

30. f (x) = 1 − (2 − x)2/3 ; 31. f (x) = xe ;

1. f (x) = 4 − x 2

1 9. f (x) = 2 ; x

X

x

FIGURA 4.3.18 Problemas 1 a 6.



=

En los problemas 32 a 36, demuestre que la función f dada satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado, y encuentre todos los números c en ese intervalo que satisfacen la conclusión del teorema.





T; U

En los problemas 29 a 31, demuestre que la función dada f no satisface la conclusión del teorema de Rolle en el intervalo indicado. ¿Cuál de las hipótesis no lo satisface? 29. f (x) = 1 − |x|; [−1, 1]

D



En los problemas 25 a 28, muestre que la función dada satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado [a, b], y encuentre todos los números x en (a, b) que satisfacen la conclusión de ese teorema.  F .X/ H X  X T; U  F .X/ H  SEN X COS XI





 F .X/ H X  EX LN X  F .X/ H PARA X >  X

 F .X/ H X  X  





 F .X/ H XEX=  F .X/ H .X / EX





X ;.OTA F .X/ NOCAMBIADESIGNOEN X H  X C zPORQUE= p  F .X/ H X  C X  X   F .X/ H X X  C   F .X/ H

35. f (x) = (x − 1)2/3 ; [1, 2] 1 36. f (x) = x + ; [2, 3] x

En los problemas 37 a 40, demuestre que la función f dada no satisface las hipótesis ni la conclusión del teorema del valor medio en el intervalo indicado.  F .X/ H jX j T; U  F .X/ H  C jX j  F .X/ H TTXUU  F .X/ H X

=

T; U

FUNCI˜NDELENTEROMAYOR  

T; U

T; U

En los problemas 41 a 44, demuestre que la ecuación dada tiene exactamente una solución en el intervalo indicado.  X  C X  H   E

X

H X 

 X LN X H 

T; U

T; U T; U

 SEN X H X 

T; U

45. Un auto viaja por un camino rural con límite de velocidad de 70 mi/h. A las 3:00 pm su odómetro (que mide la distancia recorrida) señala 8075 mi; a las 3:18 pm 8100 mi. Pruebe que el conductor violaba el límite de velocidad en algún instante entre las 3:00 y las 3:18 pm.

SECCIÓN 4.3

Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio

46. Suponga que el velocímetro de un auto marca 50 mi/h a las 3:25 pm y 65 mi/h a las 3:35 pm. Pruebe que en algún instante en este intervalo de 10 minutos la aceleración del auto era exactamente 90 mi/h2. 47. Los puntos A y B en la autopista I-80 en Nebraska están a 60 mi de distancia. Dos autos pasan el punto A a las 9:00 am y el punto B a las 10:00 am. Demuestre que en algún instante entre las 9:00 y las 10:00 am los dos autos son conducidos a la misma velocidad. (Sugerencia: considere la diferencia h (t)  f (t) − g (t) entre las funciones de posición de los dos autos.) 48. Demuestre que la función f (x)  x2y3 no satisface las hipótesis del teorema del valor medio en [−1, 27] pero de todas maneras existe un número c en (−1, 27) tal que f (27) − f (−1) f  (c) = . 27 − (−1)

a) Demuestre que g9(0)  12 > 0. b) Dibuje la gráfica de g cerca de x  0. ¿Es creciente g en algún intervalo abierto que contiene a x  0? [Respuesta: no.] 60. Suponga que f es creciente en todo intervalo cerrado [a, b] siempre que 2 ≤ − a < b. Pruebe que f es creciente en el intervalo abierto no acotado (2, +∞). Note que el principio que acaba de descubrir se utilizó de manera implícita en el ejemplo 6 de esta sección. Aproximaciones Los problemas 61 a 64 ilustran el uso del teorema del valor medio para aproximar valores numéricos de las funciones. 61. Use el método del ejemplo 9 con f (x)  cos x y g (x)  1 − 12 x2 para demostrar que cos x > 1 − 12 x 2

para toda x > 0 (figura 4.3.19).

49. Pruebe que la función f (x) = (1 + x)

50.

51.

52.

53.

54. 55.

56. 57.

58. 59.

245

3/2

−

3 x 2

−1

es creciente en (0, + ∞). Explique cuidadosamente cómo puede concluir que



(1 + x)3/2 > 1 + 32 x



para toda x > 0. Suponga que f 9 es una función constante en el intervalo [a, b]. Demuestre que f debe ser una función lineal (una función cuya gráfica es una recta). Suponga que f 9(x) es un polinomio de grado n − 1 en el intervalo [a, b]. Pruebe que f (x) debe ser un polinomio de grado n en [a, b]. Suponga que existen k puntos diferentes de [a, b] en los que la función derivable f desaparece (es cero). Demuestre que f 9 debe desaparecer en al menos k − 1 puntos de [a, b]. √ a) Aplique el teorema del valor medio a f (x) = x en [100, 101] para demostrar que √ 1 101 = 10 + √ 2 c para algún número c en (100, √ 101). b) Demuestre que si 100 < c < 101, entonces 10 < c < 10.5, y use este √ hecho para concluir a partir del inciso a) que 10.0475 < 101 < 10.0500. Demuestre que la ecuación x7 + x 5 + x 3 + 1  0 tiene exactamente una solución real. a) Demuestre que D x tan2 x  D x sec2 x en el intervalo abierto (−πy2, πy2). b) Concluya que existe una constante C tal que tan2 x  sec2 x + C para toda x en (−πy2, πy2). Después evalúe C. Explique por qué el teorema del valor medio no se aplica a la función f (x)  |x | en el intervalo [−1, 2]. Suponga que la función f es derivable en el intervalo [−1, 2] y que f (−1)  −1 y f (2)  5. Demuestre que existe un punto en la gráfica de f en el que la recta tangente es paralela a la recta con ecuación y  2x. Sea f (x) = x 4 − x 3 + 7x 2 + 3x − 11. Pruebe que la gráfica de f tiene al menos una recta tangente horizontal. Defina la función g como sigue:  X C X  SEN SI X ; X G.X/ H   SI X H :



YX YGX



YCOSX

Y 

Y 







YSENX

 YGX

  X





FIGURA 4.3.19 cos x y g(x) = 1 − 12 x 2 (problema 61).







 X





FIGURA 4.3.20 x, sen x y g(x) = x − 16 x 3 (problema 62).

62. a) Use el método del ejemplo 9 y el resultado del problema 61 para demostrar que sen x > x − 16 x 3 para toda x > 0 (figura 4.3.20). b) Use los resultados del ejemplo 9 y el inciso a) para calcular el seno de un ángulo de 5° con precisión de tres decimales. 63. a) Utilice el resultado del problema 62a) para demostrar que cos x < 1 − 12 x 2 +

1 4 x 24

para toda x > 0. b) Use los resultados del problema 61 y el inciso a) para calcular el coseno de un ángulo de 10° con exactitud de tres decimales. 64. Sea x2 x3 xn − + · · · + (−1)n pn (x) = 1 − x + 2! 3! n! para cada entero positivo n. a) Use el método del ejemplo 9 para demostrar que e−x > p1(x)  1 − x para toda x > 0. b) Use el resultado del inciso a) para demostrar que e−x < p2 (x) = 1 − x + 12 x 2 para toda x > 0. c) Utilice el resultado del inciso b) para demostrar que e−x > p3 (x) = 1 − x + 12 x 2 − 16 x 3 para toda x > 0. d) Continúe un paso a la vez de manera similar hasta que demuestre que p7 (x) < e−x < p8 (x) para toda x < 0. Por último, sustituya x  1 en esta desigualdad para demostrar que e ≈ 2.718 con exactitud de tres decimales.

246

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

4.4 PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA Y SUS APLICACIONES En la sección 3.5 se analizaron los valores máximo y mínimo de una función definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Ahora considere los valores extremos de funciones definidas en dominios más generales, incluyendo intervalos abiertos o no acotados al igual que intervalos cerrados y acotados. La distinción entre extremos absolutos y locales es importante aquí. Sea c un punto del dominio D de la función f. Entonces recuerde de la sección 3.5 que f (c) es ≥ f (x) para toda x en D, el valor máximo absoluto de f (x) en D siempre que f (c) − mientras que el valor f (c) es un valor máximo local de f (x) si es el valor máximo de f (x) en algún intervalo abierto que contiene a c. De manera parecida, f (c) es el valor ≤ f (x) para toda x en D; f (c) es un mínimo absoluto de f (x) en D siempre que f (c) − valor mínimo local de f (x) si es el valor mínimo de f (x) en algún intervalo abierto que contiene a c. De esta forma, el valor máximo local es uno que es tan grande o mayor que cualquier valor cercano de f (x), y el valor mínimo local es uno que es tan pequeño o menor que cualquier valor cercano. La figura 4.4.1 muestra un ejemplo típico de una función que no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto. Pero cada uno de los dos extremos locales mostrados ahí es un valor extremo (absoluto) en un intervalo abierto suficientemente pequeño.

Y -ÖXIMO

-¤NIMO

X

FIGURA 4.4.1 Los extremos locales son extremos absolutos en intervalos suficientemente pequeños.

OBSERVACIÓN Los valores extremos absolutos en ocasiones se llaman valores extremos globales y los valores extremos locales algunas veces reciben el nombre de valores extremos relativos.

El teorema 2 de la sección 3.5 dice que cualquier extremo de una función derivable f en un intervalo abierto I debe ocurrir en un punto crítico donde la derivada es cero: f 9(x)  0. Pero el solo hecho de que f 9(c)  0 no implica, por sí mismo, que el valor crítico f (c) sea un valor extremos de f. Las figuras 4.4.2 a 4.4.5 ilustran las diferentes posibilidades de la naturaleza de f (c): que sea un valor máximo o mínimo global o ninguno de los dos.

Una prueba para extremos locales Lo que necesitamos es una manera de probar si, en el punto crítico x  c, el valor f (c) es en realidad un máximo o un mínimo de f (x), ya sea local o global. La figura 4.4.6 muestra cómo se puede desarrollar una prueba así. Suponga que la función f es continua en c y que c es un punto interior del dominio de f; es decir, f está definida en algún intervalo abierto que contiene a c. Si f es decreciente hacia la izquierda de c y creciente a la derecha de c, entonces f (c) debe ser un valor mínimo local de f (x). Pero si f es 

 





  

YX

Y 

 



 X



FIGURA 4.4.2 Gráfica de f (x)  x2 + 3. El valor mínimo local f (0)  3 también es un valor mínimo global de f (x).

YX



Y X  





 

Y 

Y 





 

  

 Y

YX X X





 X



 

 

FIGURA 4.4.3 Gráfica de f (x)  4 − (x − 1)2. El valor máximo local f (x)  4 también es un valor máximo global de f (x).





X



FIGURA 4.4.4 Gráfica de f (x)  x3 − 3x2 − 9x. Claramente, el valor mínimo local f (3)  −27 no es un valor mínimo global. De manera similar, el valor máximo local f (−1)  5 no es un valor máximo global.





 X



FIGURA 4.4.5 Gráfica de f (x)  x3 + 2. El valor crítico f (0)  2 no es un valor extremo local ni global de f (x).

SECCIÓN 4.4 Y

Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones 247

Y

Y F CRECIENTE FgX 

F DECRECIENTE FgX  A

F DECRECIENTE FgX 

F CRECIENTE FgX 

F CRECIENTE FgX 

F CRECIENTE FgX  C

B

X

A

-¤NIMO

C

B

X

A

-ÖXIMO

C

B

X

.INGUNO

FIGURA 4.4.6 Prueba de la primera derivada.

creciente justo a la izquierda de c y decreciente justo a su derecha, entonces f (c) debe ser un máximo local. Si f es creciente hacia ambos lados o decreciente hacia ambos lados, entonces f (c) no será un valor máximo ni un valor mínimo de f (x). Más aún, sabemos por el corolario 2 de la sección 4.3 que el signo de la derivada f 9(x) determina si f (x) es decreciente o creciente. • f (x) es decreciente donde f 9(x) < 0; • f (x) es creciente donde f 9(x) > 0. En la siguiente prueba para extremos locales, se dice que , A !LA IZQUIERDA DEC

C

2 !LA B DERECHA DEC

FIGURA 4.4.7 Intervalos abiertos a la izquierda y a la derecha del punto c.

• f 9(x) < 0 a la izquierda de c si f 9(x) < 0 en algún intervalo (a, c) de números inmediatamente a la izquierda de c, y que • f 9(x) > 0 a la derecha de c si f 9(x) > 0 en algún intervalo (c, b) de números inmediatamente a la derecha de c, y así sucesivamente. (Vea la figura 4.4.7.) El teorema 1 indica cómo usar los signos de f 9(x) a la derecha y a la izquierda del punto c para determinar si f (x) tiene un valor máximo o mínimo local en x  c.

TEOREMA 1 Prueba de la primera derivada para extremos locales Suponga que la función f es continua en el intervalo I y también derivable ahí excepto tal vez en el punto interior c de I. 1. Si f 9(x) < 0 a la izquierda de c y f 9(x) > 0 a la derecha de c, entonces f (c) es un valor mínimo local de f (x) en I. 2. Si f 9(x) > 0 a la izquierda de c y f 9(x) < 0 a la derecha de c, entonces f (c) es un valor máximo local de f (x) en I. 3. Si f 9(x) > 0 a la izquierda de c y a la derecha de c, o si f 9(x) < 0 a la izquierda de c y a la derecha de c, entonces f (c) no es un valor máximo ni mínimo de f (x). f (c) es un extremo local si la primera derivada f 9(x) cambia de signo cuando x aumenta pasando por c, y la dirección de este cambio de signo determina si f (c) es un máximo o un mínimo local. Una buena manera de recordar la prueba de la primera derivada para extremos locales es visualizar la figura 4.4.6.

COMENTARIO

Demostración Se demostrará sólo la parte 1; las otras dos tienen demostraciones

similares. Suponga que se cumplen las hipótesis del teorema 1: que f es continua en el intervalo I, que c es un punto interior de I y que f es derivable en I excepto tal vez en x  c. Por lo que existen dos intervalos (a, c) y (c, b), cada uno contenido por completo en I, tales que f 9(x) < 0 en (a, c) y f 9(x) > 0 en (c, b). Suponga que x está en (a, b). Así, deben considerarse tres casos. Primero, si x < c, entonces x está en (a, c) y f es decreciente en (a, c], de manera que f (x) > f (c). Segundo, si x > c, entonces x está en (c, b) y f es creciente en [c, b), de modo que

248

CAPÍTULO 4 FDEC

Aplicaciones adicionales de la derivada

de nuevo f (x) > f (c). Por último, si x  c, entonces f (x)  f (c). Así, para cada x en (a, b), f (x) f (c). Por lo tanto, por definición, f (c) es un valor mínimo local de f (x). X

FCRE

La idea de esta demostración se ilustra en la figura 4.4.8. La gráfica a) muestra f decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha, por lo que debe haber un mínimo local en x  c. La gráfica b) muestra f creciente a la izquierda de c y decreciente a la derecha, por lo que f (c) es un valor máximo local de f (x). En la gráfica c), la derivada tiene el mismo signo en cada lado de c, y por ello no puede un extremo de ningún tipo en x  c.

C A

FCRE

FDEC

OBSERVACIÓN Las figuras 4.4.9 a 4.4.13 ilustran casos en los que se aplica el teorema 1, donde el intervalo I es toda la recta real R. En las figuras 4.4.9 a 4.4.11, c  0 es un punto crítico porque f 9(0)0. En las figuras 4.4.12 y 4.4.13, c  0 es un punto crítico porque f 9(0) no existe.

C

Clasificación de los puntos críticos

B

FDEC

Suponga que ya encontró los puntos críticos de una función. Podemos intentar clasificarlos —como máximo local, mínimo local o ninguno— aplicando la prueba de la primera derivada a cada punto. El ejemplo 1 ilustra un procedimiento que se puede usar.

FDEC

EJEMPLO 1

Encuentre y clasifique los puntos críticos de la función f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 36x + 7.

C C

Solución La derivada es

FIGURA 4.4.8 Los tres casos en la prueba de la primera derivada.

f  (x) = 6x 2 − 6x − 36 = 6(x + 2)(x − 3),

(1)

de manera que los puntos críticos [donde f 9(x) 0] son x  −2 y x  3. Estos dos puntos críticos dividen al eje x en tres intervalos abiertos (−∞, −2), (−2, 3) y (3, +∞).



YX

 Y









Y





Y

Y X



















 X







FIGURA 4.4.9 f (x)  x2, f 9(x)  2x, mínimo local en x  0.



 X





FIGURA 4.4.10 f (x)  −x2, f 9(x)  −2x, máximo local en x  0.

  Y



Y













YX









 X



FIGURA 4.4.12 f (x)  x2y3, f 9(x)   x−1y3, mínimo local en x  0.



 X





FIGURA 4.4.11 f (x)  −x3, f 9(x)  −3x2, no hay extremo local en x  0.

 YX

Y X





 X



FIGURA 4.4.13 f (x)  x1y3, f 9(x)   x−2y3, no hay extremo local en x  0.



SECCIÓN 4.4

Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones 249

La derivada f 9(x) no puede cambiar de signo en ninguno de estos intervalos. Una razón es que el factor x + 2 en la ecuación (1) cambia de signo sólo en x  −2, mientras que el factor x − 3 cambia de signo sólo en 3 (figura 4.4.14). Igual que en el ejemplo 8 de la sección 4.3, se ilustran aquí dos métodos para determinar los signos de f 9(x) en los intervalos (−∞, −2), (−2, 3) y (3, +∞). X  X

X X 

X  X

FIGURA 4.4.14 Signos de x + 2 y x − 3 (ejemplo 1).

La segunda y tercera columnas de la siguiente tabla registran (figura 4.4.14) los signos de los factores x + 2 y x − 3 en la ecuación (1) en los tres intervalos dados en la primera columna. Los signos de f 9(x) en la cuarta columna se obtienen mediante la multiplicación.

Método 1

)NTERVALO

X C

X 

F .X/

.1; /





C

.; /

C





.; C1/

C

C

C

Método 2 Como la derivada f 9(x) no cambia de signo dentro de ninguno de los tres intervalos debemos calcular su valor sólo en un punto de cada uno.

En (−∞, −2): En (−2, 3): En (3, +∞): 

FgX 

YFX  Y

f 9(−3)  36 > 0; f 9(0)  −36 < 0; f 9(4)  36 > 0;

F CRECIENTE X 





f 9 es positiva; f 9 es negativa; f 9 es positiva.

FgX  F DECRECIENTE

FgX  F CRECIENTE X





FIGURA 4.4.15 Los tres intervalos del ejemplo 1.







 X

FIGURA 4.4.16 y  f (x) (ejemplo 1).





La figura 4.4.15 resume la información de los signos de f 9(x). Debido a que f 9(x) es positiva a la izquierda y negativa a la derecha del punto crítico x  −2, la prueba de la primera derivada implica que f (−2)  51 es un valor máximo local. Como f 9(x) es negativa a la izquierda y positiva a la derecha de x  3, se deduce que f (3)  − 74 es un valor mínimo local. La gráfica de y  f (x) en la figura 4.4.16 confirma esta clasificación de los puntos críticos x  −2 y x  3. Z

Problemas de máximos y mínimos en intervalos abiertos En la sección 3.6 se analizaron problema aplicados de máximos y mínimos en los que los valores de la variable dependiente están dados por una función definida en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, algunas veces la función f que describe la variable que se quiere maximizar (o minimizar) está definida en un intervalo abierto (a, b), quizás un intervalo abierto no acotado como (1, +∞) o (−∞, +∞) y no podemos “cerrar” el intervalo adjuntando los puntos terminales. En general, la razón es que | f (x) | → +∞ cuando x se acerca a a o b. Pero si f tiene un solo punto crítico en (a, b), entonces la prueba de la primera derivada puede indicar que f (c) es el valor extremo deseado e incluso puede determinar si es un máximo o un mínimo de f (x).

CAPÍTULO 4

250

Aplicaciones adicionales de la derivada

La figura 4.4.17 muestra la gráfica de la función 2 ln x , f (x) = x que está definida en el intervalo abierto (0, +∞). Como 2 2 1 2 f  (x) = · − 2 · ln x = 2 (1 − ln x), x x x x existe un único punto crítico en x  e. Observe que EJEMPLO 2



 E E



Y

Y LNX X

 











X







• Si x < e, entonces ln x < 1, de modo que f 9(x) > 0 si x < e; • Si x > e, entonces ln x > 1, de modo que f 9(x) < 0 si x > e. Por lo tanto, la prueba de la primera derivada implica que f (e)  2ye es un valor máximo local de f. Sin duda, como f es creciente si 0 < x < e y decreciente si x > e, se deduce que 2ye es el valor máximo absoluto de f. Z

FIGURA 4.4.17 Gráfica de 2 ln x . y= x

EJEMPLO 3

Encuentre el valor mínimo (absoluto) de  PARA  < X < C1: F .X/ H X C X

Solución La derivada es f  (x) = 1 −

Y FgX 

F

YX

  g X

 X

(2)

Las raíces de la ecuación x2 − 4 =0 x2 son x  −2 y x  2. Pero x  −2 no está en el intervalo abierto (0, +∞), por lo que tenemos que considerar sólo el punto crítico x  2. Observamos inmediatamente, en la ecuación (2) que f  (x) =

 

X



• f 9(x) < 0 a la izquierda de x  2 (porque x2 < 4 ahí) y • f 9(x) > 0 a la derecha de x  2 (porque x2 > 4 ahí). Por lo tanto, la prueba de la primera derivada implica que f (2)  4 es un valor mínimo local. Observamos también que f (x) → +∞ cuando x → 0+ o bien cuando x → +∞. Así, la gráfica de f debe parecerse a la figura 4.4.18 y vemos que f (2)  4 de hecho es el valor mínimo absoluto de f (x) en todo el intervalo (0, +∞). Z

FIGURA 4.4.18 Gráfica de la función del ejemplo 3.

P R

,ADO

H

EJEMPLO 4 Fabrique una lata cilíndrica con volumen de 125 in3 (cerca de 2 L) cortando su tapa y su base de cuadrados de metal y formando su lado curvo doblando una hoja rectangular de metal de manera que se ajuste a las tapas. ¿Qué radio r y altura h de la lata minimizarán la cantidad total de material requerido para el rectángulo y los dos cuadrados?

Solución Suponga que las esquinas cortadas de los cuadrados, mostrados en la figura 4.4.19, se desperdician, pero no hay otro desperdicio. Como lo muestra la figura, el área de la cantidad total de hoja de metal requerida es

R 4APA

4 x2 − 4 = . x2 x2

R H

"ASE

A = 8r 2 + 2πr h.

El volumen de la lata resultante es entonces V = πr 2 h = 125,

FIGURA 4.4.19 Partes para hacer la lata cilíndrica del ejemplo 4.

por lo que h  125y(πr2). Así, A está dada como una función de r por A(r ) = 8r 2 + 2πr ·

125 250 = 8r 2 + , πr 2 r

0 < r < +∞.

El dominio de A es el intervalo abierto no acotado (0, +∞) porque r puede tener cualquier valor positivo, entonces A(r) está definida para todo número r en (0, +∞).

SECCIÓN 4.4

Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones 251

Pero A(r) → +∞ cuando r → 0+ y cuando r → +∞. Por ello no podemos usar el método de máximo-mínimo en un intervalo cerrado. Pero podemos usar la prueba de la primera derivada. La derivada de A(r) es   16 125 250 dA = 16r − 2 = 2 r 3 − . (3) dr r r 8 Así, el único punto crítico en (0, +∞) es donde r 3  125 ; es decir, 8  r = 3 125 = 52 = 2.5. 8 Observamos inmediatamente, en la ecuación (3) que • dAydr < 0 a la izquierda de r  52 , porque r 3 < 125 ahí, y 8 125 3 • dAydr > 0 a la derecha, donde r > 8 . !

!gR  !g 

R



!R R 



 R R

 

FIGURA 4.4.20 Gráfica de la función del ejemplo 4.

Por lo tanto, la prueba de la primera derivada implica que un valor mínimo local de A(r) en (0, +∞) es  2   5 250 5 =8· + 5 = 150. A 2 2 2 Considerando que A(r) → +∞ cuando r → 0+ y cuando r → +∞, observamos que la gráfica de A(r) en (0, +∞) se ve como la figura 4.4.20. Esto corrobora el hecho de que A(52)  150 es el valor mínimo absoluto de A(r). Por lo tanto, minimizamos la cantidad de material requerido para hacer una lata con radio r  2.5 in y altura 20 125 = ≈ 6.37 (in). h= 2 π(2.5) π La cantidad total de material usado es 150 in2.

Z

EJEMPLO 5 Encuentre la longitud de la varilla más larga que puede transportarse horizontalmente dando la vuelta a la esquina de una habitación de 2 m de ancho hacia otra de 4 m de ancho.

 ,

Q  ,





Q

FIGURA 4.4.21 Para dar la vuelta a una esquina con una varilla (ejemplo 5).

Sólución Se busca la longitud mínima L  L1 + L2 de la varilla que se transporta por la esquina de la figura 4.4.21. Vemos de los dos triángulos semejantes en la figura que   H SEN  Y H COS ; , , DEMANERAQUE ,  H  CSC  Y ,  H  SEC : Por lo cual la longitud L  L1 + L2 de la varilla está dada por la función θ como L(θ ) = 4 csc θ + 2 sec θ

Y



P 

YTANX



Q

FIGURA 4.4.22 y  tan x (ejemplo 5).

P 

X

en el intervalo abierto (0, πy2). Note que L (θ) → +∞ cuando θ → 0+ o bien cuando θ → (πy2)−. (¿Por qué?) La derivada de L (θ) es D, H  CSC  COT  C  SEC  TAN  D  COS   SEN   SEN  COS  H  C H COS  SEN  SEN  COS  H

. COS  /.TAN  /

: SEN  Así, dLydθ  0 exactamente cuando √ 3 tan θ = 2, de manera que



θ ≈ 0.90

(rad).

Ahora vemos de la ecuación (4) y la gráfica de la función tangente (figura 4.4.22) que

252

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

• dLydθ < 0 a la izquierda de θ ≈ 0.90, donde tan θ < • dLydθ > 0 a la derecha, donde tan3 θ > 2.

√ 3

2, por lo que tan3 θ < 2, y

Así, la gráfica de L se parece a la figura 4.4.23. Esto significa que el valor mínimo absoluto de L —y por ende la longitud máxima de la varilla en cuestión— mide alrededor de L(0.90) = 4 csc(0.90) + 2 sec(0.90),

aproximadamente 8.32 m.

,

El método que usamos en los ejemplos 3 a 5 para establecer extremos absolutos ilustra la siguiente versión global de la prueba de la primera derivada.

D,  DQ D,  DQ



 

Z

P 

FIGURA 4.4.23 Gráfica de L(θ) (ejemplo 5).

Q

TEOREMA 2 Prueba de la primera derivada para extremos globales Suponga que f está definida en un intervalo abierto I, ya sea acotado o no acotado, y que f es derivable en cada punto de I excepto tal vez en el punto crítico único c donde la función es continua. 1. Si f 9(x) < 0 para toda x en I con x < c y f 9(x) > 0 para toda x en I con x > c, entonces f (c) es el valor mínimo absoluto de f (x) en I. 2. Si f 9(x) > 0 para toda x en I con x < c y f 9(x) < 0 para toda x en I con x > c, entonces f (c) es el valor máximo absoluto de f (x) en I. La prueba de este teorema es en esencia la misma que la del teorema 1. OBSERVACIÓN Cuando la función f (x) tiene sólo un punto crítico c en un intervalo abierto I, puede aplicarse el teorema 2 para decirnos ya sea que f (c) es el mínimo absoluto o que es el máximo absoluto de f (x) en I. Pero es una buena práctica verificar su conclusión dibujando la gráfica como hicimos en los ejemplos 3 a 5.

4.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que la función f es continua en el intervalo I y también derivable ahí excepto tal vez en el punto interior c de I. Si f 9(x) < 0 a la izquierda de c y f 9(x) > 0 a la derecha de c, entonces f (c) es un valor mínimo local de f (x) en I. 2. Suponga que la función f es continua en el intervalo I y también derivable ahí excepto tal vez en el punto interior c de I. Si f 9(x) > 0 tanto a la izquierda como a la derecha de c, entonces f (c) no es un extremo de f. 3. Si f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 36x + 7, entonces f 9(x) no puede cambiar de signo en el intervalo (−2, 3). 4. Si f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 36x + 7, entonces f (3) es un valor máximo local de f. 5. Si f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 36x + 7, entonces f tiene dos puntos críticos. 4 6. El valor máximo absoluto de f (x) = x + , 0 < x < +∞, es f (2)  4. x 7. La varilla más larga que puede ser transportada horizontalmente de un pasillo de 4 metros de ancho por una esquina a un pasillo perpendicular de 2 metros mide 4 + 2  6 metros. 8. Suponga que f está definida en un intervalo abierto I y es derivable en cada punto de I excepto tal vez en el punto crítico c, donde f es continua. Si f 9(x) > 0 para toda x en I con x < c y f 9(x) < 0 para toda x en I con x > c, entonces f (c) es el valor máximo absoluto de f en I. 9. Suponga que f está definida en un intervalo abierto I y es derivable en cada punto de I excepto tal vez en el punto crítico c, donde f es continua. Si f 9(x) < 0 para toda x en I con x < c y f 9(x) > 0 para toda x en I con x > c, entonces f (c) es el valor mínimo absoluto de f en I.

SECCIÓN 4.4

Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones

253

10. La prueba de la primera derivada no se puede aplicar a la función g(x)  |x| en el intervalo [−1, 2].

4.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la función f es continua en toda la recta real R. Bosqueje una posible gráfica —si la hay— de f en cada uno de los tres casos siguientes. a) f tiene dos puntos críticos a y b pero ninguno es un mínimo local o un máximo local en cualquier lado. Analice por separado las distintas posibilidades en cuanto a si f es o no derivable en a y/o b. b) f tiene tres puntos críticos pero sólo un extremo local. c) f tiene tres mínimos locales pero sólo un máximo local. 2. Suponga que f es un polinomio cúbico con el primer coeficiente positivo. Enumere las posibilidades —con una gráfica típica— para el número de clases de puntos críticos de f. 3. Analice la pregunta 2 para un polinomio de cuarto grado. 4. Analice la pregunta 2 para un polinomio de quinto grado. 5. ¿Puede demostrar que la función f debe tener un valor mínimo absoluto si f es un polinomio de grado par con primer coeficiente positivo? 6. ¿Es posible demostrar que la función f debe tener un valor mínimo absoluto si L¤M F .X/ H L¤M F .X/ H C1

X!A C

X!B

y f es continua en el intervalo abierto (a, b)?

4.4 PROBLEMAS Aplique la prueba de la primera derivada para clasificar los puntos críticos de las funciones en los problemas 1 a 16 (máximo o mínimo, no extremo, local o global). Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, trace y  f (x) para ver si la apariencia de la gráfica corresponde a su clasificación de los puntos críticos.  F .X/ H X  X C  







 F .X/ H X X C 



 F .X/ H X  EXX 

 F .X/ H X X  

 F .X/ H X X C 

 F .X/ H X X C X C   F .X/ H X  C X  X C   F .X/ H  C X C X  X   F .X/ H  X





 F .X/ H X X   F .X/ H X C X

 F .X/ H X  X   F .X/ H X  C

 X

 F .X/ H XEX

En los problemas 17 a 26, encuentre y clasifique los puntos críticos de la función dada en el intervalo abierto indicado. Será útil construir una tabla de signos como en el ejemplo 1. 

 F .X/ H SEN X

.; /

 F .X/ H COS X

.; /  F .X/ H COS X

 F .X/ H SEN X X COS X

.; /

 F .X/ H COS X C X SEN X

.; /

.; /

En los problemas 27 a 50, que son aplicaciones de máximos y mínimos, utilice la prueba de la primera derivada para verificar su respuesta. 27. Determine dos números reales con diferencia 20 y producto mínimo posible. 28. Un hoja de metal rectangular larga debe convertirse en una canaleta para lluvia doblando dos lados hacia arriba con ángulos rectos con la tira central (figura 4.4.24). La sección cruzada rectangular de la canaleta debe tener 18 in2. Encuentre el ancho mínimo posible de la hoja de metal.



 F .X/ H X  EX=  F .X/ H .X C / EX=  LN X  F .X/ H PARA X >  X

 F .X/ H SEN  X

LN X  .; / X LN. C X/  F .X/ H  .; / CX  F .X/ H E X SEN X .; /  F .X/ H

.; / .; /

!IN

FIGURA 4.2.24 Sección cruzada rectangular de la canaleta del problema 28.

29. Encuentre el punto (x, y) en la recta 2x + y  3 más cercana al punto (3, 2).

254

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

30. Debe construir una caja rectangular con volumen 576 in3 y con el doble de largo que ancho en su base (figura 4.4.25). Encuentre las dimensiones de la caja que minimizan su área de superficie total

X

X

FIGURA 4.4.25 Caja del problema 30.

31. Repita el problema 30, pero use una caja rectangular abierta por arriba con volumen de 972 in3. 32. Una olla cilíndrica sin tapa debe tener un volumen de 125 in3. ¿Qué dimensiones minimizan la cantidad total de material usado para hacer esta olla (figura 4.4.26)? Ignore el grosor del material y el desperdicio posible.

41. ¿Qué punto o puntos en la curva y  x2 están más cerca del punto (0, 2)? [Sugerencia: el cuadrado de la distancia se minimiza justo cuando se minimiza la distancia misma.] 42. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto contenido por completo en el primer cuadrante, tangente a la gráfica de y  1yx y con puntos terminales en los ejes coordenados? 43. Un rectángulo tiene un área de 64 cm2. Dibuje una recta de una esquina del rectángulo al punto medio de uno de los dos lados más distantes. ¿Cuál es la longitud mínima posible de esta recta? 44. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 in3 y la forma de un cilindro con base plana y tapa hemisférica (figura 4.4.27). Ignore el grosor del material de la lata y encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad total de material necesario para construirla. 

!P R  

!BASE P R  !LADOP RH H R

FIGURA 4.4.26 Olla cilíndrica de los problemas 32, 33, 38 y 39.

33. Una olla cilíndrica sin tapa debe tener un volumen de 250 cm3 (figura 4.4.26). El material para la base de la olla cuesta 4¢/cm2; el de su lado curvo cuesta 2¢/cm2. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total de esta olla? 34. Encuentre el punto (x, y) en la parábola y  4 − x2 más cercana al punto (3, 4). [Sugerencia: la ecuación cúbica que debe obtener tiene un entero pequeño como una de sus raíces. Sugerencia: minimice el cuadrado de la distancia.] 35. Demuestre que el rectángulo con área 100 y perímetro mínimo es un cuadrado. 36. Demuestre que el sólido rectangular con base cuadrada, volumen 1000 y área de superficie total mínima es un cubo. 37. Una caja con base cuadrada sin tapa debe tener un volumen de 62.5 in3. Ignore el grosor del material usado para hacer la caja y encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material que se requiere. 38. Necesita una lata de aluminio con forma de cilindro circular recto, con volumen de 16π cm3 (figura 4.4.26). ¿Qué radio r y altura h minimizan su área de superficie total (incluyendo la tapa y la base)? 39. El metal usado para hacer la tapa y la base de una lata cilíndrica (figura 4.4.26) cuesta 4¢/in2; el metal usado para los lados cuesta 2¢/in2. El volumen de la lata debe ser exactamente 100 in3. ¿Qué dimensiones de la lata minimizan su costo total? 40. Cada página de un libro contiene 30 in2 de impresión y cada página debe tener 2 in de márgenes arriba y abajo y 1 in de margen en cada lado. ¿Cuál es el área mínima posible de esta página?



 H R

X

FIGURA 4.4.27 Lata de aceite del problema 44.

FIGURA 4.4.28 Vuelta a una esquina con una varilla (problema 45).

45. Encuentre la longitud exacta L de la varilla más larga que puede dar la vuelta horizontalmente por una esquina de un corredor de 2 m de ancho a otro de 4 m de ancho. Haga esto minimizando la longitud de la varilla de la figura 4.4.28, obteniendo el mínimo del cuadrado de la longitud como función de x. 46. Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegará desde el suelo, sobre una barda con 8 pies de alto hasta la pared de un edificio que está 1 pie atrás de la barda. Es decir, minimice la longitud L  L1 + L2 mostrada en la figura 4.4.29.

,

Y

,

 "ARDA



X

3UELO

FIGURA 4.4.29 Escalera del problema 46.

47. Una esfera con radio fijo a está inscrita en una pirámide con base cuadrada de manera que la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de sus cuatro lados. Demuestre que el volumen mínimo posible de la pirámide es 8yπ multiplicado por el volumen

SECCIÓN 4.4

de la esfera. [Sugerencia: use los dos triángulos rectángulos en la figura 4.4.30 para demostrar que el volumen de la pirámide es 4a 2 y 2 . V = V (y) = 3(y − 2a)

Es sencillo hacer esto con ayuda del ángulo θ y sin la fórmula para tan(θy2).] No olvide el dominio de V (y).

Y

Q A A

Q

FIGURA 4.4.30 Sección cruzada (o corte transversal) que pasa por los centros de la esfera y la pirámide del problema 47.

48. Dos discotecas ruidosas, una cuatro veces más ruidosa que la otra, están localizadas en lados opuestos de una cuadra de 1000 pies de largo. ¿Cuál es el punto menos ruidoso de la cuadra entre las dos discotecas? La intensidad del ruido en un punto lejos de su fuente es proporcional al volumen e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. 49. Una tienda de campaña con piso y volumen fijo V debe tener la forma de una pirámide con base cuadrada y lados congruentes (figura 4.4.31). ¿Qué altura y y orilla de la base 2x minimizan el área de superficie total (incluyendo el piso)?

Y

Z

X

FIGURA 4.4.31 Tienda de campaña del problema 49.

Prueba de la primera derivada y sus aplicaciones

255

50. Suponga que la distancia del edificio a la pared del problema 46 es a y que la altura de la barda es b. Demuestre que la longitud mínima de la escalera es , M¤N H A = C B=

=

Los problemas 51 y 52 tratan de cajas rectangulares con base cuadrada. Se dice que la caja es cerrada si tiene base y tapa (lo mismo que los cuatro lados verticales), y abierta si tiene base pero no tapa. (Los problema 51 a 55 son, en cierto sentido, “paralelos” a los problemas 56 a 60 de la sección 3.6. Compare los problemas correspondientes para asegurar que entiende la diferencia; uno será un problema de máximo-mínimo en un intervalo cerrado y el otro un problema de máximo-mínimo en un intervalo abierto.) 51. Demuestre que, entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y volumen fijo dado, la que tiene área de superficie total mínima es un cubo. 52. Demuestre que, entre todas las cajas rectangulares abiertas con bases cuadradas y volumen fijo dado, la que tiene área de superficie total mínima tiene altura igual a la mitad de la longitud de la arista de su base. Los problemas 53 a 55 manejan latas con forma de cilindros circulares rectos. Se dice que esta lata es cerrada si tiene base y tapa circulares (también el lado curvo), y es abierta si tiene base pero no tapa. 53. Demuestre que, entre todas las latas cilíndricas cerradas con volumen fijo dado, la que tiene área de superficie total mínima tiene altura igual al diámetro de la base. 54. Demuestre que, entre todas las latas cilíndricas abiertas con volumen fijo dado, la que tiene área de superficie total mínima tiene la altura igual al radio de la base. 55. Suponga que la base y el lado curvo de una lata de refresco pueden tener el mismo grueso. Pero la tapa tiene tres veces el grueso de la base para evitar que se rasgue al abrirla. Demuestre que, entre todas estas latas con volumen fijo dado, la que requiere la menor cantidad (volumen) de material para hacerla —incluyendo la tapa más gruesa— tiene altura del doble del diámetro de la base. Quizás es por esto que las latas de refresco se ven un poco más altas que las de vegetales o de sopa. 56. Suponga que desea construir una caja rectangular cerrada con base cuadrada y volumen fijo V. Cada una de las seis caras de la caja —base, tapa y cuatro lados verticales— cuesta a centavos por pulgada cuadrada, y pegar las 12 aristas cuesta b centavos por pulgada. ¿Qué forma debe tener esta caja para minimizar su costo total? [Sugerencia: demuestre que los puntos críticos de la función de costo son las raíces de cierta ecuación de cuarto grado que pueda resolver usando un sistema algebraico de computadora. Podría incluso resolverla a mano: comience por agrupar los dos términos de grado más alto.]

4.4 INVESTIGACIÓN: construcción de una caja de dulces con tapa Un fabricante de dulces desea empacar caramelos agridulces en cajas cada una con un volumen fijo V. Cada caja debe ser rectangular abierta con base cuadrada de longitud del borde x (véase la figura 4.4.32). Además la caja debe tener una tapa rectangular con borde de 2 pulgadas. La caja con tapa de hecho consiste en dos cajas rectangulares abiertas: la caja de x por x por y con altura y 2 (in) y la caja de x por x por 2 (que se ajusta apenas a la caja). Su trabajo como ingeniero de diseño de la compañía es determinar

256

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

las dimensiones x y y que minimiza el costo total de las dos cajas abiertas que forma una caja de dulces con tapa. Suponga que debe hacerse usando un atractivo cartón forrado de papel aluminio que cuesta $1 por pie cuadrado y que el volumen de la caja debe ser V  400 + 50n pulgadas cúbicas. (Para su diseño personal, elija un entero n entre 1 y 10.)





Y

H

X

X

R

FIGURA 4.4.32 Caja de dulces con base cuadrada y tapa.

FIGURA 4.4.33 Caja de dulces cilíndrica con tapa.

Su siguiente tarea es diseñar una caja cilíndrica con tapa como se indica en la figura 4.4.33. Ahora la propia caja y su tapa son cilindros circulares, pero todo lo demás es igual que en el problema anterior: borde de 2 in. $1 por pie cuadrado de cartón forrado con papel aluminio y volumen V  400 + 50n. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de costo mínimo? ¿Qué es menos cotoso para fabricar, la caja rectangular óptima con tapa o la caja óptima con tapa en forma de cilindro?

4.5 TRAZO DE CURVAS SENCILLAS Podemos construir una gráfica con exactitud razonable de la función polinomial F .X/ H AN X N C AN X N C


C A X  C A X C A



integrando la siguiente información. 1. Los puntos críticos de f; es decir, los puntos en la gráfica conde la recta tangente es horizontal, o sea f 9(x)  0. 2. El comportamiento creciente o decreciente de f; es decir, los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. 3. El comportamiento de f “al” infinito; esto es, el comportamiento de f cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Con frecuencia, la misma información es la clave para entender la estructura de una gráfica trazada con calculadora o computadora.

Comportamiento al infinito Para llevar a cabo el punto 3, escribimos f (x) en la forma   a1 an−1 a0 + · · · + n−1 + n . f (x) = x n an + x x x Con esto concluimos que el comportamiento de f (x) cuando x → ±∞ se parece mucho al de su primer término an x n, porque todos los términos que tienen potencias de x en el denominador se acercan a cero cuando x → ±∞. En particular si an > 0, entonces L¤M F .X/ H C1;

X!1



lo que significa que f (x) crece sin límite cuando x → +∞. Además L¤M F .X/ H

X!1

C1 1

SI N ESPAR SI N ESIMPAR



SECCIÓN 4.5

Trazo de curvas sencillas 257

Si an < 0, simplemente se invierten los signos en los lados derechos de las ecuaciones (2) y (3). Se deduce que la gráfica de cualquier función polinomial (no constante) exhibe uno de los cuatro “comportamientos cuando x → ±∞” que se ilustran en la figura 4.5.1. Y

Y



 



 











 X



 A .OROESTE NORESTESINES PARYAN













Y



 X

Y   







B 3UROESTE SURESTESINES PARYAN















 X





 C 3UROESTE NORESTESINES IMPARYAN











 X

D .OROESTE SURESTESINES IMPARYAN

FIGURA 4.5.1 Comportamiento de las gráficas polinomiales cuando x → ±∞.

Puntos críticos Todo polinomio, como f (x) en la ecuación (1), es derivable en todas partes. De este modo, los puntos críticos de f (x) son las raíces de la ecuación polinomial f 9(x)  0; es decir, las soluciones de nan x n−1 + (n − 1)an−1 x n−2 + · · · + 2a2 x + a1 = 0.

(4)

Algunas veces podemos encontrar todas las soluciones reales de una ecuación como ésta factorizando, pero más a menudo recurrimos a métodos numéricos con ayuda de una calculadora o computadora.

Comportamiento creciente o decreciente X C C

C

CK 

CK

FIGURA 4.5.2 Los ceros de f 9(x) dividen al eje x en intervalos en los que f 9(x) no cambia de signo.

Suponga que de alguna manera encontramos todas las soluciones reales c1, c2, . . . , ck de la ecuación (4). De modo que estas soluciones son los puntos críticos de f. Si se arreglan en orden creciente, como en la figura 4.5.2, dividen al eje x en un número finito de intervalos abiertos (−∞, c1 ),

(c1 , c2 ),

(c2 , c3 ),

... ,

(ck−1 , ck ),

(ck , +∞)

que también aparece en la figura. La propiedad del valor intermedio aplicada a f 9(x) nos dice que f 9(x) puede cambiar de signo sólo en los puntos críticos de f, entonces f 9(x) tiene nada más un signo en cada uno de estos intervalos abiertos. Es común que f 9(x) sea negativa en algunos intervalos y positiva en otros. Más aún, es fácil encontrar el signo de f 9(x) en cualquiera de estos intervalos I, con sólo sustituir cualquier número conveniente de I en f 9(x). Una vez que conocemos el signo de f 9(x) en cada uno de estos intervalos, sabemos dónde f es creciente y dónde es decreciente. Después aplicamos la prueba de la primera derivada para encontrar cuál de los valores críticos son máximos locales, cuáles son mínimos locales y cuáles no los son, a saber, los lugares en que la recta tangente es horizontal. Con esta información, el conocimiento del comportamiento de f cuando x → ±∞, y el hecho de que f es continua, podemos bosquejar su gráfica. Trazamos los puntos críticos (ci, f (ci)) y los conectamos con una curva suave que es congruente con nuestros datos.

258

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

También puede ser útil graficar la intercepción y (0, f (0)) y cualquier intercepción x que sea sencillo hallar. Pero recomendamos (hasta que se introduzcan los puntos de inflexión en la sección 4.6) que grafique sólo estos puntos —puntos críticos e intercepciones— y confíe para el resto en el comportamiento creciente y decreciente de f. EJEMPLO 1

Bosqueje la gráfica de f (x)  x3 − 27x.

Solución Como el primer término es x3, se ve que L¤M F .X/ H C1

Y

X!C1

L¤M F .X/ H 1:

X!1

4ODAV¤AMÖS PUESTOQUE F .X/ H X   H .X C /.X /;



vemos que los puntos críticos donde f 9(x)  0 son x  −3 y x  3. Los puntos correspondientes en la gráfica de f son (−3, 54) y (3, −54). Los puntos críticos dividen al eje x en tres intervalos abiertos (−∞, −3), (−3, 3) y (3, +∞) (figura 4.5.3). FgX 

X 

FX CRECIENTE F  

X

FgX  FX DECRECIENTE

FgX 

F X CRECIENTE F   

FIGURA 4.5.3 Los tres intervalos abiertos del ejemplo 1.

Para determinar el comportamiento creciente o decreciente de f en estos intervalos, sustituimos un número de cada intervalo en la derivada en la ecuación (5): %N .1; /V

F ./ H ./././ H  > I

F ESCRECIENTE

%N .; /V

F ./ H ./././ H  < I

F ESDECRECIENTE

%N .; C1/V

F ./ H ./././ H  > I

F ESCRECIENTE

Graficamos los puntos críticos y las intercepciones (0, 0), (3  3 , 0) y (−3  3 , 0). Luego usamos la información de dónde la función f es creciente o decreciente para conectar los puntos con una curva suave. Al recordar que hay tangentes horizontales en los dos puntos críticos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 4.5.4. Y    -ÖXIMOLOCAL 



         

          INTERCEPCI˜NX









  INTERCEPCI˜NX  INTERCEPCI˜NY





   INTERCEPCI˜NX

YX X

   -¤NIMOLOCAL

FIGURA 4.5.4 Gráfica de la función del ejemplo 1.

X

SECCIÓN 4.5

Trazo de curvas sencillas 259

En la figura se usan signos más y menos para marcar el signo de f 9(x) en cada intervalo. Esto deja claro que (−3, 54) es un máximo local y que (3, −54) es un mínimo local. Los límites que encontramos al principio muestran que ninguno de los dos es global Z EJEMPLO 2

Bosqueje la gráfica de f (x) = 8x 5 − 5x 4 − 20x 3 .

Solución Dado que f  (x) = 40x 4 − 20x 3 − 60x 2 = 20x 2 (x + 1)(2x − 3),

(6)

los puntos críticos donde f 9(x)  0 son x  −1, x  0 y x  Estos tres puntos críticos dividen el eje x en los cuatro intervalos abiertos mostrados en la figura 4.5.5.  . 

X 

X 

X

FgX 

FgX 

FgX 

FgX 

FX CRECIENTE

FX DECRECIENTE

FX DECRECIENTE

FX CRECIENTE

FIGURA 4.5.5 Los cuatro intervalos abiertos del ejemplo 2.

Esta vez determinamos el comportamiento decreciente o creciente de f registrando los signos de los factores en la ecuación (6) en cada subintervalo mostrado en la figura 4.5.5. De esta manera se obtiene la siguiente tabla: )NTERVALO

X C

X 

X 

F .X/

.1; /



C



C

#RECIENTE

.; /

C

C





$ECRECIENTE

C

C





$ECRECIENTE

C

C

C

C

#RECIENTE

;

 

 ; C1 

F

Los puntos en la gráfica que corresponden a los puntos críticos son (−1, 7), (0, 0) y (1.5, −32.0625). Escribimos f (x) en la forma f (x) = x 3 (8x 2 − 5x − 20)

con el fin de usar la fórmula cuadrática para encontrar las intercepciones x. Los resultados son (−1.30, 0), (1.92, 0) (las abscisas son sólo aproximaciones), y el origen (0, 0). Este último es también la intercepción y. Aplicamos la prueba de la primera derivada al comportamiento creciente o decreciente mostrado en la tabla. Se deduce que (−1, 7) es un máximo local, (1.5, −32.0625) es un mínimo local y (0, 0) no es ninguno de los Z dos. La gráfica se parece a la que muestra la figura 4.5.6. En el ejemplo 3, la función no es un polinomio. Sin embargo, los métodos de esta sección son suficientes para bosquejar su gráfica. EJEMPLO 3

Dibuje la gráfica de f (x) = x 2/3 (x 2 − 2x − 6) = x 8/3 − 2x 5/3 − 6x 2/3 .

Solución La derivada de f es f  (x) = 83 x 5/3 −

10 2/3 x 3

−

12 −1/3 x 3

= 23 x −1/3 (4x 2 − 5x − 6) =

2(4x + 3)(x − 2) . 3x 1/3

(7)

La recta tangente es horizontal en los dos puntos críticos x  − y x  2, donde el numerador en la última fracción de la ecuación (7) es cero (y el denominador no lo es).

260

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada Y YX X  X



   -ÖXIMOLOCAL

4ANGENTE HORIZONTAL  



  





















 X



  





   -¤NIMOLOCAL

FIGURA 4.5.6 Gráfica de la función del ejemplo 2.

Todavía más, debido a la presencia del factor x1y3 en el denominador, | f 9(x) | → +∞ cuando x → 0. Así, x  0 (un punto crítico porque f no es derivable ahí) es un punto en el que la tangente es vertical. Estos tres puntos críticos dividen el eje x en los cuatro intervalos abiertos mostrados en la figura 4.5.7. X 

X

X

FgX 

FgX 

FgX 

FgX 

FX DECRECIENTE

FX CRECIENTE

FX DECRECIENTE

F X CRECIENTE



F  z  F 

F z 

FIGURA 4.5.7 Los cuatro intervalos abiertos del ejemplo 3.

Determinamos el comportamiento creciente o decreciente de f sustituyendo un número del intervalo en f 9(x) (ecuación 7). %N 1;  V %N  ;  V

F ./ H

F

 H


././ < I 
./ 
.C/  


=

> I

F ES DECRECIENTE

F ES CRECIENTE

%N .; / V

F ./ H


.C/./ < I 
.C/

F ES DECRECIENTE

%N .; C1/ V

F ./ H


.C/.C/ > I 
.C/=

F ES CRECIENTE

Los tres puntos críticos x  , x  0 y x  2 dan los puntos (−0.75, −3.25), (0, 0) y (2, −9.52) en la gráfica (usando aproximaciones si es apropiado).

SECCIÓN 4.5

Trazo de curvas sencillas 261

La prueba de la primera derivada ahora muestra mínimos locales en (−0.75, −3.25) y (2, −9.52); hay un máximo local en (0, 0). Aunque f 9(0) no existe, la función f es continua en todas partes (porque involucra sólo potencias enteras positivas de x). Se usa la fórmula cuadrática para encontrar las intercepciones x. Además del ori7 , 0) y (1+  7 , 0). Después gen, ocurren donde x2 − 2x − 6  0, y se localizan en (1−  se trazan las aproximaciones (−1.65, 0) y (3.65, 0). Por último, se observa que f (x) → +∞ cuando x → ±∞. De esta forma, la gráfica tiene la forma mostrada en la figura 4.4.8. Z Y 

YXX X 



  -ÖXIMOLOCAL TANGENTEVERTICAL





        -¤NIMOLOCAL





X   



-¤NIMOLOCAL  



FIGURA 4.5.8 La técnica es efectiva para funciones no polinomiales, como en el ejemplo 3.

Bosquejo de curvas y solución de ecuaciones Una aplicación importante de las técnicas de bosquejo de curvas es la solución de una ecuación de la forma f (x)  0.

(8)

Las soluciones reales (al contrario de las complejas) de esta ecuación son simplemente las intercepciones x de la gráfica de y  f (x). Así, si se bosqueja la gráfica con exactitud razonable —ya sea “a mano” o con calculadora o computadora— podemos recabar información acerca del número de soluciones reales de la ecuación (8) al igual que su localización aproximada. Por ejemplo, las figuras 4.5.9 a 4.5.11 muestran las gráficas de los polinomios cúbicos en los lados izquierdos de las ecuaciones x 3 − 3x + 1 = 0,

(9)

x − 3x + 2 = 0,

(10)

x − 3x + 3 = 0.

(11)

3 3

Note que los polinomios difieren sólo en sus términos constantes.

 



 

YX X

YX X



Y 

Y 

Y 

















FIGURA 4.5.9

 X





y  x3 − 3x + 1.





FIGURA 4.5.10

YX X

 X





y  x3 − 3x + 2.





 X





FIGURA 4.5.11 y  x3 − 3x + 3.

262

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

En la figura 4.5.9 se observa claramente que la ecuación (9) tiene tres soluciones reales, una en cada uno de los intervalos [−2, −1], [0, 1] y [1, 2]. Estas soluciones pueden aproximarse gráficamente por amplificación sucesiva o analíticamente por el método de Newton. (Como se ha mencionado, incluso existen fórmulas —fórmula de Cardano— para la solución exacta de una ecuación cúbica arbitraria, pero son poco manejables y casi no se usan, excepto en programas algebraicos de computadora. Por ejemplo, estas fórmulas llevan (vía sistemas de computadora) a las expresiones p = p =  C I   C I  C ; X H   p = p =  C I   C I  S ;  X H   Y p = p =  C I   C I  C X H   para las tres soluciones de la ecuación (9). A pesar de la apariencia del número imagi    en estas tres expresiones, la figura 4.5.9 —con sus tres intercepciones nario i  −1 x— indica que las tres soluciones se simplifican en números reales ordinarios). Parece en la figura 4.5.10 que la ecuación (10) tiene las dos soluciones reales x  1 y x  −2. Una vez que verificamos que x  1 es una solución, entonces se deduce del teorema del factor de álgebra que x − 1 es un factor de x3 − 3x + 2. El otro factor se puede encontrar con la división (larga o sintética) de x3 − 3x + 2 entre x − 1; el cociente es x2 + x − 2. Vemos que x 3 − 3x + 2 = (x − 1)(x 2 + x − 2) = (x − 1)2 (x + 2). Así, x  1 es una “raíz doble” y x  −2 es una “raíz simple” de la ecuación (10), lo que da cuenta de las tres soluciones que debe tener una ecuación cúbica. En la figura 4.5.11 observamos que la ecuación (11) sólo tiene una solución real. Está dada aproximadamente por x ≈ −2.1038. El problema 55 pide que divida x3 − 3x + 3 entre x + 2.0138 para obtener una factorización de la forma (13) x 3 − 3x + 3 ≈ (x + 2.1038)(x 2 + bx + c). La ecuación cuadrática x2 + bx + c  0 tiene dos soluciones complejas conjugadas, que son las otras dos soluciones de la ecuación (12).

Gráficas con calculadora o computadora      Y 













Con una calculadora que grafique o una computadora se puede construir la gráfica de una función dada con unas cuantas teclas. No obstante, el punto de vista de esta sección puede ser útil para analizar y comprender lo que se ve en la pantalla. EJEMPLO 4 función

La figura 4.5.12 muestra una gráfica generada en computadora de la f (x) = x 4 − 5x 2 + x + 2.





 X





FIGURA 4.5.12 y  x4 − 5x2 + x + 2.



(14)

Se observan los tres puntos críticos que separan el eje x en dos intervalos en los que la función crece y dos en los que decrece. Para encontrar estos puntos críticos, es necesario resolver la ecuación cúbica (15) f  (x) = 4x 3 − 10x + 1 = 0. Con este propósito graficamos la derivada f 9(x) y amplificamos sus soluciones, o usar el método de Newton para aproximar estas soluciones con precisión, o simplemente usamos el comando “resolver” en la calculadora o computadora. Las soluciones aproximadas de la ecuación (15) encontradas son −1.6289, 0.1004 y 1.5285. Los valores numéricos correspondientes de y obtenidos por sustitución en la ecuación (14) son −5.8554, 2.0501 y −2.6947. Así, los puntos críticos que observamos en la gráfica de la figura 4.5.12 son (−1.6289, −5.8554), (0.1004, 2.0501) y (1.5285, −2.6947). La función f es

SECCIÓN 4.5

Trazo de curvas sencillas 263

decreciente en los intervalos −∞ < x < −1.6289 y 0.1004 < x < 1.5285, y es creciente en los intervalos −1.6289 < x < 0.1004 y 1.5285 < x < ∞. Z

4.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si f (x)  x3 −27x, entonces L¤M F .X/ H C1 X!1 2. Si f (x)  x3 −27x, entonces L¤M F .X/ H C1 X!1

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Si f (x)  x3 −27x, entonces f es creciente en el intervalo (−3, 3). Si f (x)  8x5 − 5x4 − 20x3, entonces f es decreciente en (−1, 0). Si f (x)  8x5 − 5x4 − 20x3, entonces f es decreciente en (0, 1.5). Si f (x)  x2y3(x2 − 2x − 6), entonces f es creciente en (0, 2). Si f (x)  x2y3(x2 − 2x − 6), entonces f tiene un mínimo local en (0, 0). Todo máximo local de la función f es también un máximo absoluto de f. Las fórmulas de Cardano son fórmulas para la solución de la ecuación cúbica. La ecuación x3 − 3x + 2  0 tiene exactamente dos soluciones reales.

4.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS ≤ k ≤ n. 1. Suponga que n es un entero positivo y que k es un entero tal que 0 − − ¿Existe siempre un polinomio de grado n cuya gráfica tiene exactamente k ceros reales? Si no es así, ¿cuáles son las excepciones? 2. Suponga que f (x) es un polinomio de grado n cuya gráfica tiene p mínimos locales y q máximos locales. Explique por qué p + q < n. Analice cualquier otra restricción necesaria sobre p y q. Por ejemplo, si n  4, ¿es posible que p  3 y q  0? Si n  5, ¿es posible que p  3 y q  1? Justifique sus respuestas. 3. Alguien asegura que “las gráficas de cualesquiera dos polinomios de grado n con el mismo término de grado mayor parecen iguales en esencia cuando se grafican en una ventana con vista suficientemente grande”. ¿En qué medida es esta afirmación razonable? Comience por probarla con dos polinomios de grado 4 ambos con primer término x4. ¿Necesita ajustar la escala x, la escala y o ambas, para que las gráficas casi coincidan?

4.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, use el comportamiento “al infinito” para dar la correspondencia entre la función dada y su gráfica en la figura 4.5.13.

3. f (x) = − 13 x 5 − 3x 2 + 3x + 2

1. f (x) = x 3 − 5x + 2

4. f (x) = − 13 x 6 + 2x 5 − 3x 4 + 12 x + 5

2. f (x) = x 4 − 3x 2 + x − 2

















Y 

Y 

Y 

Y 















A



 X



 B

FIGURA 4.5.13 Problemas 1 a 4.









 X





 C



 X





 D



 X





264

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

En los problemas 5 a 14 se proporciona una función y  f (x) y su gráfica generada por computadora. Encuentre tanto los puntos críticos como los intervalos donde f (x) es creciente o decreciente.  Y H X  X  FIGURA  Y H  C X X  FIGURA      Y 















 X





FIGURA 4.5.14 Problema 5.

     Y 











         X

FIGURA 4.5.15 Problema 6.

 Y H X  X  C X  FIGURA  Y H X  X  C X   FIGURA s      Y 











  

 X





 Y H  C X X  X  FIGURA

16. f (x) = 5 − 8x − 2x 2

FIGURA 4.5.16 Problema 7.

FIGURA 4.5.17 Problema 8.





 X







FIGURA 4.5.18 Problema 9.

    Y 









  





FIGURA 4.5.20 Problema 11.

20. f (x) = x 3 + 6x 2 + 9x 21. f (x) = x 3 + 3x 2 + 9x 22. f (x) = x 3 − 27x 23. f (x) = (x − 1)2 (x + 2)2 24. f (x) = (x − 2)2 (2x + 3)2 √ √ 25. f (x) = 3 x − x x

32. f (x) = 6 − 5x − 6x 2 33. f (x) = 2x 3 + 3x 2 − 12x  X







FIGURA 4.5.19 Problema 10.



19. f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x

29. f (x) = x 4 − 8x 2 + 7 1 30. f (x) = x 31. f (x) = 2x 2 − 3x − 9

 Y H X  X  C X  C  FIGURA

 X

18. f (x) = x 3 + 3x

28. f (x) = x 4 + 4x 3

 Y H X  X  C X FIGURA

    Y 









  

17. f (x) = x 3 − 12x

27. f (x) = 3x 5 − 5x 3

 Y H  C X  X  X  FIGURA



FIGURA 4.5.23 Problema 14.

26. f (x) = x 2/3 (5 − x)



 Y H X C X X C  FIGURA

    Y 









  

 X

En los problemas 15 a 48, encuentre los intervalos en los que la función f es creciente y en los que es decreciente. Bosqueje la gráfica de y  f (x) y etiquete los máximos y mínimos locales. Debe también identificar los extremos locales. 15. f (x) = 3x 2 − 6x + 5

     Y 











         X



FIGURA 4.5.22 Problema 13.

 Y H X  X  X C  FIGURA

     Y 











         X

    Y 











34. f (x) = x 3 + 4x 35. f (x) = 50x 3 − 105x 2 + 72x 36. f (x) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 37. f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 8 38. f (x) = x 4 − 2x 2 + 1 39. f (x) = 3x 5 − 20x 3

    Y 









         X

46. f (x) = x 2/3 (x 2 − 16)

FIGURA 4.5.21 Problema 12.

47. f (x) = x(x − 1)2/3

40. f (x) = 3x 5 − 25x 3 + 60x 41. f (x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x 42. f (x) = x 4 − 4x 3 43. f (x) = 8x 4 − x 8 44. f (x) = 1 − x 1/3 45. f (x) = x 1/3 (4 − x) 48. f (x) = x 1/3 (2 − x)2/3

SECCIÓN 4.5

En los problemas 49 a 54 se proporcionan los valores de la función f (x) en sus puntos críticos, junto con la gráfica y  f 9(x) de su derivada. Utilice esta información para elaborar un bosquejo de la gráfica y  f (x) de la función.

57. La gráfica generada por computadora en la figura 4.5.30 muestra cómo se ve la curva y = [x(x − 1)(2x − 1)]2

en cualquier escala “razonable” con unidades enteras de medida en el eje y. Utilice los métodos de esta sección para demostrar que la gráfica en realidad tiene la apariencia mostrada en la figura 4.5.31 (los valores en p el eje y están en milésimos), con puntos críticos 0, ,  (3 ±  ) y 1.

 F ./ H  F ./ H  FIGURA  F ./ H  F ./ H  FIGURA 





Y



YFgX



Y











 X



FIGURA 4.5.24 y  f 9(x) del problema 49.

Y





 X





FIGURA 4.5.25 y  f 9(x) del problema 50.

 



X



FIGURA 4.5.30 La gráfica y = [x(x − 1)(2x − 1)]2 en una “escala razonable” (problema 57).











 X





FIGURA 4.5.31 Gráfica y = [x(x − 1)(2x − 1)]2 en una escala más fina: −0.005  y  0.005 (problema 57).





YFgX

 

YF gX

 Y















 X





FIGURA 4.5.26 y  f 9(x) del problema 51.





 X





FIGURA 4.5.27 y  f 9(x) del problema 52.

 F ./ H  F ./ H  F ./ H  FIGURA  F ./ H  F ./ H  F ./ H  F ./ H  FIGURA   YFgX

 Y

Y





 F ./ H  F ./ H  F ./ H  FIGURA







 F ./ H  F ./ H  FIGURA

Y

s 



















YFgX





Trazo de curvas sencillas 265



Y



YFgX









 X



FIGURA 4.5.28 y  f 9(x) del problema 53.









 X





FIGURA 4.5.29 y  f 9(x) del problema 54.

55. a) Verifique la solución aproximada x ≈ −2.0138 de la ecuación (11), b) divida x3 − 3x + 3 entre x + 2.1038 para obtener la factorización en la ecuación (13). c) Use el cociente obtenido en el inciso b) para encontrar el par de soluciones (aproximadas) complejas conjugadas de la ecuación (11). 56. Explique por qué las figuras 4.5.9 y 4.5.10 implican que la ecuación cúbica x3 − 3x + q  0 tiene exactamente una solución real si | q | > 2 pero tiene tres soluciones reales distintas si |q | < 2. ¿Cuál es la situación si q  −2?

58. Utilice un sistema algebraico de computadora para verificar que las tres expresiones x1, x2 y x3 en la ecuación (12) son, sin duda, soluciones reales distintas de la ecuación (9). En los problemas 59 y 60 necesitará utilizar una calculadora con gráficas o un sistema algebraico de computadora. Si encuentra que es necesario resolver varias ecuaciones, puede usar una calculadora graficadora o un comando “resolver” en un sistema algebraico de computadora. 59. Demuestre primero que, en una escala “razonable” con unidades de medida enteras en el eje y, la gráfica del polinomio  4 f (x) = 16 x(9x − 5)(x − 1) se parece mucho a la gráfica mostrada en la figura 4.5.30, con una sección que se ve plana. Después produzca un trazo que revele la estructura verdadera de la gráfica, como en la figura 4.5.31. Por último, encuentre las coordenadas aproximadas de los puntos máximo y mínimo locales de la gráfica. 60. Este problema se refiere a la sugerencia factible de que dos polinomios con esencialmente los mismos coeficientes deben tener en esencia las mismas raíces. a) No obstante, demuestre que la ecuación de cuarto grado f (x) = x 4 − 55x 3 + 505x 2 + 11000x − 110000 = 0

tiene cuatro soluciones reales distintas, mientras que la ecuación “similar” g(x) = x 4 − 55x 3 + 506x 2 + 11000x − 110000 = 0

tiene sólo dos soluciones reales distintas (y dos soluciones complejas conjugadas). b) Sea h (x)  f (x) + x2. Note que si   0, entonces h (x)  f (x), y si   1 entonces h (x)  g (x). Investigue la cuestión de dónde —entre   0 y   1— tiene lugar la transición de cuatro soluciones reales de h (x)  0 a sólo dos soluciones reales.

266

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

4.6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y CONCAVIDAD En la sección 4.3 se observó que el signo de la primera derivada f 9 de una función derivable f indica si la gráfica de f sube o baja. Ahora veremos que el signo de la segunda derivada de f, la derivada de f 9, indica en qué sentido se dobla la curva y  f (x), hacia arriba o hacia abajo.

Derivadas de orden superior La segunda derivada de f es la derivada de f 9; se denota por f 0 y su valor en x es F .X/ H $X . F .X// H $X .$X F .X// H $X F .X/:

(El superíndice 2 no es un exponente sino sólo una indicación de que el operador D x debe aplicarse dos veces.) La derivada de f 0 es la tercera derivada f - de f, y F .X/ H $X . F .X// H $X $X F .X/ H $X F .X/:

La tercera derivada también se denota por f (3). De manera más general, el resultado de comenzar con la función f y derivarla n veces sucesivas es la n-ésima derivada f (n) de f, con f (n)(x)  D xn f (x). Si y  f (x), entonces las primeras n derivadas se escriben en notación del operador como Dx2 y,

Dx y,

Dx3 y,

... ,

Dxn y,

y  (x),

... ,

y (n) (x),

en notación de función como y  (x),

y  (x),

y en notación diferencial como dy , dx

d2 y , dx2

d3 y , dx3

dn y . dxn

... ,

La historia del uso curioso de superíndices en notación diferencial para derivadas más altas involucra la metamorfosis   d dy (d)2 y d2 y d dy → → → . dx dx dx dx (d x)2 dx2 EJEMPLO 1

Encuentre las cuatro primeras derivadas de f (x) = 2x 3 +

1 + 16x 7/2 . x2

Solución Escriba f (x) = 2x 3 + x −2 + 16x 7/2 .

Entonces 2 + 56x 5/2 , x3 6 f  (x) = 12x + 6x −4 + 140x 3/2 = 12x + 4 + 140x 3/2 , x √ 24 f  (x) = 12 − 24x −5 + 210x 1/2 = 12 − 5 + 210 x, x f  (x) = 6x 2 − 2x −3 + 56x 5/2 = 6x 2 −

y f (4) (x) = 120x −6 + 105x −1/2 =

120 105 +√ . x6 x

Z

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad 267

El ejemplo 2 muestra cómo encontrar derivadas más altas de funciones definidas implícitamente. EJEMPLO 2 Encuentre la segunda derivada y 0(x) de una función y(x) que está definida implícitamente por la ecuación x 2 − x y + y 2 = 9.

Solución Una primera derivación implícita de la ecuación dada respecto a x da DY DY X Y X H Y H ; DX DX O Y X DY H : DX Y X Obtenemos d2yyd x2 derivando de manera implícita, de nuevo respecto a x, usando la regla del cociente. Después, sustituimos la expresión encontrada para d yyd x: DY DY  .Y X/ .Y X/    D Y Y X DX DX H $X H DX Y X .Y X/ Y X DY X Y Y Y X D X H H : .Y X/ .Y X/ X

$EESTAFORMA .X  X Y C Y  / D Y H : DX .Y X/

Ahora sustituimos la ecuación original, x2 − xy + y2  9, para hacer una simplificación final: 54 d2 y =− . 2 dx (2y − x)3 La simplificación final casi inesperada siempre está disponible cuando la ecuación original es simétrica en x y y. Z

El signo de la segunda derivada Ahora se investigará la importancia del signo de la segunda derivada. Si f 0(x) > 0 en el intervalo I, entonces la primera derivada f 9 es una función creciente en I, porque su derivada f 0(x) es positiva. Así, al revisar la gráfica de y  f (x) de izquierda a derecha, se observa que la recta tangente cambia de dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj (figura 4.6.1). Esta situación se describe diciendo que la curva y  f (x) da vuelta hacia arriba. Note que una curva puede dar vuelta hacia arriba sin elevarse, como en la figura 4.6.2. Y Y

YF X YFX

X

FIGURA 4.6.1 La gráfica da vuelta hacia arriba.

X

FIGURA 4.6.2 Otra gráfica que da vuelta hacia arriba.

CAPÍTULO 4

268

Aplicaciones adicionales de la derivada

Si f 0(x) < 0 en el intervalo I, entonces la primera derivada f 9 es decreciente en I, de manera que la tangente cambia dirección en sentido de las manecillas del reloj cuando x crece. En este caso se dice que la curva y  f (x) da vuelta hacia abajo. Las figuras 4.6.3 y 4.6.4 muestran dos maneras en que esto sucede. Los dos casos se resumen en la tabla de la figura 4.6.5. Y

Y

YF X X

F .X/

Y H F .X/

.EGATIVA 0OSITIVA

$AVUELTAHACIAABAJO $AVUELTAHACIAARRIBA

YFX X

FIGURA 4.6.4 Otra gráfica que da vuelta hacia abajo.

FIGURA 4.6.3 Una gráfica que da vuelta hacia abajo.

EJEMPLO 3

YX X



La figura 4.6.6 muestra la gráfica de la función F .X/ H X  X  C :

FX 



FIGURA 4.6.5 Significado del signo de f 0(x) en un intervalo.

 

#OMO

Y 

F .X/ H X  X

FX 



Y

F .X/ H X  H .X /;

observamos que







 X



f 0(x) < 0 f 0(x) > 0



FIGURA 4.6.6 Gráfica y  x3 − 3x2 + 3 (ejemplo 3).

para para

x < 1, x > 1.

Observe en la figura que la curva da vuelta hacia abajo en (−∞, 1), pero gira hacia arriba en (1, + ∞), congruente con las correspondencias en la figura 4.6.5. Z

Prueba de la segunda derivada

Y YFX X

X

FIGURA 4.6.7 Aunque f 9(0)  0, f (0) no es un extremo.

En la sección 3.5 aprendimos que un extremo local de una función derivable f puede ocurrir sólo en un punto crítico donde f 9(c)  0, de manera que la recta tangente en el punto (c, f (c)) en la curva y  f (x) es horizontal. Pero el ejemplo, f (x)  x3, para el que x  0 es un punto crítico pero no un extremo (figura 4.6.7) muestra que la condición necesaria f 9(c)  0 no es una condición suficiente de la que se puede concluir que f (c) es un valor extremo de la función f. Ahora suponga no sólo que f 9(c)  0, sino que la curva y  f (x) gira hacia arriba en algún intervalo abierto que contiene el punto crítico x  c. Es evidente, basándonos en el análisis de la figura 4.6.8a), que f (c)  0 es un valor mínimo local. De manera similar, f (c) es un valor máximo local si f 9(c)  0 mientras que y  f (x) gira hacia abajo en algún intervalo abierto que contiene a c [figura 4.6.8b)], pero el signo de la segunda derivada f 0(x) nos dice si y  f (x) gira hacia arriba o hacia abajo y por lo tanto proporciona una condición suficiente para tener un extremo local.

TEOREMA 1 Prueba de la segunda derivada Suponga que la función f es dos veces derivable en el intervalo abierto I que contiene al punto crítico c en el cual f 9(c)  0. Por lo tanto 1. Si f 0(x) > 0 en I, entonces f (c) es el valor mínimo de f (x) en I. 2. Si f 0(x) < 0 en I, entonces f (c) es el valor máximo de f (x) en I.

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad

Y

Y

YF X

A

269

C

YF X

X B

C

X

FIGURA 4.6.8 Prueba de la segunda derivada (teorema 1). a) f 0(x) > 0; la tangente cambia de dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj; la gráfica gira hacia arriba; mínimo local en x  c. b) f 0(x) < 0; tangente cambia de dirección en sentido de las manecillas del reloj; la gráfica gira hacia abajo; máximo local en x  c.

Demostración Probaremos sólo la primera parte. Si f 0(x) > 0 en I, entonces se dedu-

ce que la primera derivada f 9 es una función creciente en I. Como f 9(c)  0, se puede concluir que f 9(x) < 0 para x < c en I y que f 9(x) > 0 para x > c en I. En consecuencia, la prueba de la primera derivada de la sección 4.4 implica que f (c) es el valor mínimo de f (x) en I. X F .X/

F .C/

0OSITIVA .EGATIVA

-¤NIMO -ÖXIMO

FIGURA 4.6.9 Significado del signo de f 0(x) en un intervalo que contiene al punto crítico c.

Y F X X 

X F ˆUNM¤NIMOLOCAL Y F ˆUNMÖXIMOLOCAL X

F X  X  Y

F X X 

X F ˆNIMÖXIMO NIM¤NIMO

FIGURA 4.6.10 No hay una conclusión posible si f 9(c)  0  f 0(c).

Más que memorizar las condiciones en las partes 1 y 2 del teorema 1 (resumido en la figura 4.6.9), es más sencillo y confiable recordar la prueba de la segunda derivada si se visualizan las rectas tangentes cambiando dirección continuamente.

OBSERVACIÓN 1

OBSERVACIÓN 2 El teorema 1 implica que la función f tiene un mínimo local en el punto crítico c si f 0(x) > 0 en algún intervalo abierto alrededor de c, y tiene un máximo local si f 0(x) < 0 cerca de c. Pero la hipótesis sobre f 0(x) en el teorema 1 es global en el sentido de que se supone que f 0(x) tiene el mismo signo en todos los puntos del intervalo abierto I que contiene el punto crítico c. Existe una versión estrictamente local de la prueba de la segunda derivada que se refiere sólo al signo de f 0(c) en el punto crítico c (en lugar de en todo el intervalo abierto). De acuerdo con el problema 90, si f 9(c)  0, entonces f (c) es un valor mínimo de f si f 0(c) > 0 y un máximo local si f 0(c) < 0.

La prueba de la segunda derivada no dice nada de lo que ocurre si f 0(c)  0 en el punto crítico c. Considere tres funciones f (x)  x4, f (x)  −x4 y f (x)  x3. Para cada una, f 9(0)  0 y f 0(0)  0. Pero sus gráficas, mostradas en la figura 4.6.10, demuestran que puede pasar cualquier cosa en ese punto: máximo, mínimo o ninguno de los dos. OBSERVACIÓN 3

Suponga que se quiere maximizar o minimizar la función f en el intervalo abierto I, y encuentra que f tiene sólo un punto crítico en I, un número c en el que f 9(c)  0. Si f 0(x) tiene el mismo signo en todos los puntos de I, entonces el teorema 1 implica que f (c) es un extremo absoluto de f en I, un mínimo si f 0(x) > 0 y un máximo si f 0(x) < 0. Esta interpretación absoluta de la prueba de la segunda derivada puede ser útil en problemas aplicados de máximo-mínimo en un intervalo abierto. OBSERVACIÓN 4

EJEMPLO 3 (continuación) para la cual

Considere de nuevo la función f (x)  x3 − 3x2 + 3,

F .X/ H X.X /

Y

F .X/ H .X /.

Por lo que f tiene dos puntos críticos x  0 y x  2, como lo marca la figura 4.6.6. Debido a que f 0(x) < 0 para x cerca de cero, la prueba de la segunda derivada implica que f (0)  3 es un valor máximo local de f, y como f 0(x) > 0 para x cerca de 2, se deduce que f (2)  −1 es un valor mínimo local. Z EJEMPLO 4 Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene volumen de 500 cm3. Encuentre las dimensiones que minimizan el área total A de la base y los cuatro lados.

270 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Solución Denotamos por x la longitud de la arista de la base cuadrada y por y la altura de la caja (figura 4.6.11). El volumen de la caja es Y

X

X

FIGURA 4.6.11 Caja sin tapa del ejemplo 4.

V = x 2 y = 500,

(1)

y el área total de la base y los cuatro lados es A = x 2 + 4x y.

(2)

Al despejar y  500yx2 de la ecuación (1) y sustituir esto en la ecuación (2), obtenemos la función de área A(x) = x 2 +

2000 , x

0 < x < +∞.

El dominio de A es el intervalo abierto no acotado (0, + ∞) porque x puede tomar cualquier valor positivo; para que el volumen de la caja sea 500, simplemente se elige y  500yx2. Pero x no puede ser cero o negativa. La primera derivada de A(x) es A (x) = 2x −

2000 2(x 3 − 1000) = . x2 x2

(3)

La ecuación A9(x)  0 lleva a x3  1000, de manera que el único punto crítico de A en (0, + ∞) es x  10. Para investigar este punto crítico, calculamos la segunda derivada. A (x) = 2 +

4000 . x3

(4)

Puesto que está claro que A0(x) > 0 en (0, + ∞), se deduce de la prueba de la segunda derivada y la observación 4 que A(10)  300 es el valor mínimo absoluto de A(x) en (0, + ∞). Por último, como y  500yx2, y  5 cuando x  10. Por lo tanto, este mínimo absoluto corresponde a una caja con base de 10 por 10 cm y altura 5 cm. Z

Concavidad y puntos de inflexión Una comparación de la figura 4.6.1 con la 4.6.3 sugiere que la pregunta de si la curva y  f (x) gira hacia arriba o hacia abajo tiene una relación cercana con la pregunta de si está arriba o abajo de sus rectas tangentes. La última pregunta se refiere a la importante propiedad de concavidad.

DEFINICIÓN Concavidad Suponga que la función f es derivable en el punto a y que L es la recta tangente a la gráfica y  f (x) en el punto (a, f (a)). Así, se dice que la función f (o su gráfica) es 1. Cóncava hacia arriba en a si, en algún intervalo abierto que contiene a a, la gráfica de f está arriba de L. 2. Cóncava hacia abajo en a si, en algún intervalo abierto que contiene a a, la gráfica de f está abajo de L. La figura 4.6.12a) muestra una gráfica que es cóncava hacia arriba en (a, f (a)). La figura 4.6.12b) muestra una gráfica que es cóncava hacia abajo en (a, f (a)). El teorema 2 establece la conexión entre la concavidad y el signo de la segunda derivada. Esta conexión es la sugerida por el análisis respecto a los giros de las gráficas.

TEOREMA 2 Prueba de concavidad Suponga que la función f es derivable dos veces en el intervalo abierto I. 1. Si f 0(x) > 0 en I, entonces f es cóncava hacia arriba en cada punto de I. 2. Si f 0(x) < 0 en I, entonces f es cóncava hacia abajo en cada punto de I.

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad 271

Y YF X , A F A

X

A

A Y

A F A , YF X X

A

B

FIGURA 4.6.12 a) En x  a, f es cóncava hacia arriba. b) En x  a, f es cóncava hacia abajo.

Al final de esta sección se demuestra el teorema 2 basándonos en la prueba de la segunda derivada. El significado del signo de la primera derivada no debe confundirse con el significado del signo de la segunda derivada. Las posibilidades ilustradas en las figuras 4.6.13 a 4.6.16 muestran que los signos de f 9 y f 0 son independientes entre sí.

NOTA

Y

Y

X

FIGURA 4.6.13 f 9(x) > 0, f creciente; f 0(x) > 0, f cóncava hacia arriba.

X

FIGURA 4.6.14 f 9(x) > 0, f creciente; f 0(x) < 0, f cóncava hacia abajo.

Y

Y

X

FIGURA 4.6.15 f 9(x) < 0, f decreciente; f 0(x) > 0, f cóncava hacia arriba.

X

FIGURA 4.6.16 f 9(x) < 0, f decreciente; f 0(x) < 0, f cóncava hacia abajo.

EJEMPLO 3 (continuación otra vez) Para la función f (x)  x3 − 3x2 + 3, la segunda derivada cambia su signo de positivo a negativo en el punto x  1. Observe en la figura 4.6.6 que el punto correspondiente (1, 1) en la gráfica de f es donde la curva deja de girar hacia abajo para girar hacia arriba. Z

272 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Observe que la prueba de concavidad en el teorema 2 no se refiere al caso en que f 0(x)  0. Un punto donde la segunda derivada es cero puede o no ser un punto en el que la función cambia de cóncava hacia arriba en un lado a cóncava hacia abajo en el otro. Pero un punto como (1, 1) en la figura 4.6.6, donde la concavidad no cambia de esta manera, se llama punto de inflexión de la gráfica de f. Con mayor precisión, el punto x  a donde f es continua es un punto de inflexión de la función f siempre que f sea cóncava hacia arriba en un lado de x  a y cóncava hacia abajo en el otro lado. Nos referimos al punto (a, f (a)) como un punto de inflexión de la gráfica de f.

TEOREMA 3 Prueba de punto de inflexión Suponga que la función f es continua y f 0 existe en un intervalo abierto que contiene al punto a. De esta forma, a es un punto de inflexión de f siempre que f 0(x) < 0 en un lado de a y f 0(x) > 0 en el otro lado. El hecho de que el punto donde la segunda derivada cambia de signo sea un punto de inflexión se deduce del teorema 2 y la definición de un punto de inflexión. OBSERVACIÓN

En el punto de inflexión mismo, ocurre ya sea

• f 0(a)  0, o bien • f 0(a) no existe. Así, encontramos puntos de inflexión de f examinando los puntos críticos de f 9. Algunas posibilidades se indican en la figura 4.6.17. Marcamos los intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo por pequeñas conchas que abren hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Y FA Y FgA 

4ANGENTE VERTICAL 0UNTODE INFLEXI˜N

0UNTOESQUINAQUE TAMBI£NESPUNTODEINFLEXI˜N

FA Y FgA x

  E 



X

 YX X  E X

FIGURA 4.6.17 Algunos puntos de inflexión

Y   E 



EJEMPLO 5 La figura 4.6.18 muestra la gráfica de f (x)  (2x2 − 3x − 1)e−x. Se marcaron dos puntos de inflexión evidentes. Encuentre sus coordenadas.













 X



FIGURA 4.6.18 Gráfica de y  (2x2 − 3x − 1)e−x (ejemplo 5).







Solución Calculamos F .X/ H .X /EX .X  X /EX H .X  C X /EX Y F .X/ H .X C /EX .X  C X /EX H .X  X C /EX :

Debido a que e−x nunca es cero, se deduce que f 0(x)  0 sólo cuando 2x 2 − 11x + 9 = (2x − 9)(x − 1) = 0

es decir, cuando x  1 o bien x  92 . Nada más en estos dos puntos puede f 0(x) cambiar

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad

273

de signo. Pero F ./ H  > ; F ./ H EX < ; Y F ./ H E > :

Por lo tanto, se deduce que F .X/ > 

SI

X < ;

F .X/ < 

SI

 < X <  ;

F .X/ > 

SI

 

Y < X:

De esta forma, la gráfica de f (x)  (2x2 − 3x − 1)e−x tiene puntos de inflexión en x  1 y en x  92 . Estos puntos, marcados en la gráfica de la figura 4.6.18, tienen coordenaZ das (1, −2e−1) y ( 92 , 26e−9y2).

Puntos de inflexión y bosquejo de curvas Sea la función f dos veces derivable para toda x. Igual que los puntos críticos donde f 9(x)  0 dividen al eje x en intervalos abiertos en los que f 9(x) no cambia de signo, los puntos de inflexión posibles donde f 0(x)  0 dividen el eje x en intervalos abiertos en los que f 0(x) no cambia de signo. En cada uno de estos intervalos, la curva y  f (x) gira hacia abajo [ f 0(x) < 0] o hacia arriba [ f 0(x) > 0]. Podemos determinar el signo de f 0(x) en cada intervalo de dos maneras: 1. Evaluando f 0(x) en un punto típico de cada intervalo. El signo de f 0(x) en ese punto específico es el signo de f 0(x) en todo el intervalo. 2. Construyendo una tabla de signos de los factores de f 0(x). Por lo cual, el signo de f 0(x) en cada intervalo se puede deducir de la tabla. Éstos son los mismos dos métodos que usamos en las secciones 4.4 y 4.5 para determinar el signo de f 9(x). Se usará el primer método en el ejemplo 6 y el segundo en el ejemplo 7. EJEMPLO 6 Bosqueje la gráfica de f (x)  8x5 − 5x4 − 20x3, indique los extremos locales, los puntos de inflexión y la estructura cóncava.

Solución Bosquejamos esta curva en el ejemplo 2 de la sección 4.5; vea la gráfica en la figura 4.5.6. En ese ejemplo encontramos que la primera derivada es f  (x) = 40x 4 − 20x 3 − 60x 2 = 20x 2 (x + 1)(2x − 3),

de manera que los puntos críticos son x  −1, x  0 y x  32 . La segunda derivada es f  (x) = 160x 3 − 60x 2 − 120x = 20x(8x 2 − 3x − 6).

Cuando calculamos f 0(x) en cada punto crítico, encontramos que F ./ H  < ;

F ./ H ;

Y

F

 

H  > :

La continuidad de f 0 asegura que f 0(x) < 0 cerca del punto crítico x  −1 y que f 0(x) > 0 cerca del punto crítico x  32 . Así, la prueba de la segunda derivada expresa que f tiene un máximo local en x  −1 y un mínimo local en x  32 . No se puede determinar con la prueba de la segunda derivada el comportamiento de f en x  0. Como f 0(x) existe en todos lados, los puntos de inflexión posibles son las soluciones de la ecuación F .X/ H I

ESDECIR

X.X  X / H :

274

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Es claro que una solución es x  0. Para encontrar las otras dos, usamos la fórmula cuadrática para resolver la ecuación X  X  H : %STOPROPORCIONA XH

 



p

 ;

De manera que x ≈ 1.07 y x ≈ −0.70 son los puntos de inflexión posibles junto con x  0. Estos tres puntos de inflexión posibles dividen al eje x en los intervalos indicados en la figura 4.6.19. Se verifica el signo de f 0(x) en cada uno. %N %N %N %N

.1; :/ V .:; / V .; :/ V .:; C1/ V

F ./ F  F ./ F ./

H H H H

X 

 < I  > I  < I  > I

F F F F

X

X

FX 

FX 

ESC˜NCAVAHACIAABAJO ESC˜NCAVAHACIAARRIBA ESC˜NCAVAHACIAABAJO ESC˜NCAVAHACIAARRIBA

FX 

FX 

6UELTAHACIAABAJO 6UELTAHACIAARRIBA 6UELTAHACIAABAJO 6UELTAHACIAARRIBA

FIGURA 4.6.19 Intervalos de concavidad del ejemplo 6.

Se observa que la dirección de la concavidad de f cambia en cada uno de los tres puntos x ≈ −0.70, x  0 y x ≈ 1.07. Estos tres puntos son sin duda puntos de inflexión. Esta información se muestra en la gráfica de f trazada en la figura 4.6.20. Z Y YX X  X 

-ÖXIMOLOCAL  



4ANGENTEHORIZONTAL PUNTODEINFLEXI˜N    

   







X

0UNTODEINFLEXI˜N   







0UNTODEINFLEXI˜N  

-¤NIMOLOCAL  

FIGURA 4.6.20 Gráfica de la función de le ejemplo 6.

EJEMPLO 7 Bosqueje la gráfica de f (x)  4x1y3 + x4y3. Indique los extremos locales, los puntos de inflexión y la estructura cóncava.

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad

275

Solución Primero f  (x) =

4 −2/3 4 1/3 4(x + 1) + x = , x 3 3 3x 2/3

de manera que los puntos críticos son x  −1 (donde la recta tangente es horizontal) y x  0 (donde es vertical). Luego, 8 4 4(x − 2) , f  (x) = − x −5/3 + x −2/3 = 9 9 9x 5/3

de que modo los puntos de inflexión posibles son x  2 (donde f 0(x)  0) y x  0 (donde f 0(x) no existe). Para determinar dónde f es creciente y dónde es decreciente, se construye la siguiente tabla. )NTERVALO

X C

X =

F .X/

F

.1; / .; / .; C1/

C C

C C C

C C

$ECRECIENTE #RECIENTE #RECIENTE

Así, f es decreciente cuando x < −1 y creciente cuando x > −1 (figura 4.6.21a)). X 

X

FgX 

FgX 

FgX 

FDECRECIENTE

FCRECIENTE

FCRECIENTE A

X

X

FX 

FX 

FX 

6UELTAHACIAARRIBA

6UELTAHACIAABAJO

6UELTAHACIAARRIBA

B

FIGURA 4.6.21 a) Intervalos de f creciente y decreciente del ejemplo 7. b) Intervalos de concavidad del ejemplo 7.

Para determinar la concavidad de f, se construye una tabla para encontrar el signo de f 0(x) en cada uno de los intervalos separados por los ceros. )NTERVALO

X =

X 

F .X/

F

.1; / .; / .; C1/

C C

C

C C

#˜NCAVAHACIAARRIBA #˜NCAVAHACIAABAJO #˜NCAVAHACIAARRIBA

La tabla muestra que f es cóncava hacia abajo en (0, 2) y cóncava hacia arriba para x < 0 y x > 2 (figura 4.6.21b)). Observe que f (x) → +∞ cuando x → ±∞ y marcamos con signos más los intervalos en el eje x donde f es creciente, signos menos donde es decreciente, conchas hacia arriba donde f es cóncava hacia arriba y conchas hacia abajo donde f es cóncava hacia abajo. Trazamos (al menos aproximamos) los puntos de la gráfica de f que corresponden a los ceros y las discontinuidades de f 9 y f 0; éstos son (−1, −3), √ 3 (0, 0) y (2, 6 2 ). Por último, utilizamos toda esta información para dibujar la curva suave mostrada en la figura 4.6.22. Z

276

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada Y YXX 

  0UNTODEINFLEXI˜N









   -¤NIMOLOCAL



      4ANGENTEVERTICAL INTERCEPCI˜NXYY PUNTODEINFLEXI˜N



X

FIGURA 4.6.22 Gráfica de la función del ejemplo 7.

EJEMPLO 8 La gráfica de la ecuación x2 − xy + y2  9 es la elipse rotada que se muestra en la figura 4.6.23. En el ejemplo 2 se observó que si la función y(x) está definida en forma implícita por la ecuación, entonces dy y − 2x = . dx 2y − x

Y 



  

X XYY 





Y



X 

Así, y  2x en cualquier punto crítico (x, y) en el que y9(x)  0. Sustituyendo y√ 2x √ 2 2 ( 3 , 2 3 )y − xy + y  9 enseguida se obtienen los dos puntos en √ la ecuación x √ (− 3 , −2 3 ) marcados en la figura 4.6.23. También observamos que

 X







  

54 d2 y =− . 2 dx (2y − x)3



FIGURA 4.6.23 La elipse x 2 − x y + y 2 = 9 es cóncava hacia abajo en los puntos arriba de la recta y   x y cóncava hacia abajo en los puntos debajo de ella.

Se deduce que y 0(x) < 0 cuando 2y − x > 0, de manera que la gráfica es cóncava hacia abajo en cualquier punto (x, y) en el que 2y > x; esto es, en los puntos arriba de la recta y  12x. De manera similar, y 0(x) > 0 cuando 2y − x < 0, y la gráfica es cóncava en cualquier punto (x, y) en el que 2y < x; esto es, en los puntos abajo de la recta y  12x. (Vea la figura 4.6.23.) Z Demostración del teorema 2 Se probará sólo la primera parte, la demostración de la segunda es similar. Dado un punto fijo a del intervalo abierto I donde f 0(x) > 0, deseamos demostrar que la gráfica y  f (x) está arriba de la recta tangente en (a, f (a)). La recta tangente en cuestión tiene la ecuación

Y

y = T (x) = f (a) + f  (a) · (x − a).

GX FX 4X YFX

Considere la función auxiliar g(x) = f (x) − T (x) A F A Y4X A

X

FIGURA 4.6.24 Ilustración de la demostración del teorema 2.

X

(5) (6)

ilustrada en la figura 4.6.24. Observe primero que g(a)  g9(a)  0, de modo que x  a es un punto crítico de g. Más aún, la ecuación (5) implica que T 9(x) ≡ f 9(a) y que T 0(x) ≡ 0, entonces g  (x) = f  (x) − T  (x) = f  (x) > 0 en cada punto de I. Por lo tanto, la prueba de la segunda derivada implica que g(a)  0 es un valor mínimo de g(x)  f (x) − T(x) en I. Se deduce que la curva y  f (x) está arriba de la recta tangente y  T(x). X

4.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La segunda derivada de la función f es f is Dx ( f  (x)). 120 105 1 2. Si f (x) = 2x 3 + 2 + 16x 7/2 , entonces f (4) (x) = 6 + √ . x x x

SECCIÓN 4.6

Derivadas de orden superior y concavidad 277

54 d2 y = . 2 dx (2y − x)3 Si f 0(x) > 0 en (a, b), entonces la gráfica de f da vuelta hacia abajo en (a, b). Suponga que la función f es dos veces derivable en el intervalo abierto I que contiene al punto c en el que f 9(c)  0. Si f 0(x) < 0 en I, entonces f (c) es el valor máximo de f (x) en I. Si f 0(x) > 0 en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a, b). Suponga que la función f es continua y que f 0 existe en un intervalo abierto que contiene al punto a. Entonces a es un punto de inflexión de f siempre que f 0(x) < 0 en un lado de a y f 0(x) > 0 en el otro lado. La gráfica de f (x) = 8x 5 − 5x 4 − 20x 3 tiene exactamente tres puntos de inflexión. La gráfica de f (x) = 4x 1/3 − x 4/3 tiene tanto una tangente vertical como un punto de inflexión en (0, 0). La gráfica de f (x) = 4x 1/3 − x 4/3 es cóncava hacia abajo en (0, 2).

3. Si x2 − xy + y2  9, entonces 4. 5.

6. 7.

8. 9. 10.

4.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la función f es derivable en el punto x  c donde f 0(c)  0. ¿Se deduce necesariamente que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de y  f (x)? 2. Suponga que la función f es derivable excepto en el punto x  c, donde la gráfica de y  f (x) tiene una recta tangente vertical. ¿Se deduce necesariamente que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de y  f (x)? ≤ k ≤ n − 2. 3. Suponga que n es un entero positivo y que k es un entero tal que 0 − − ¿Existe siempre un polinomio de grado n que tenga exactamente k puntos de inflexión? Justifique su respuesta. 4. ¿Puede la gráfica de una función tener más puntos de inflexión que puntos críticos? Justifique su respuesta.

4.6 PROBLEMAS Calcule las primeras tres derivadas de las funciones dadas en los problemas 1 a 15.  F .X/ H X  X  C X    F .X/ H X  C X = X   F .X/ H .X / p  G.T/ H T  C T C 

p

X

EZ  H.Z/ H p Z  F .X/ H COS X 

 F .X/ H X COS X



  C H X Y

 SEN Y H X Y

 SEN  X C COS Y H 

En los problemas 23 a 30, encuentre las coordenadas exactas de los puntos de inflexión y los puntos críticos marcados en la gráfica dada.

 H.Y/ H 

Y YC

24. La gráfica de f (x) = 2x 3 − 9x 2 − 108x + 200 (figura 4.6.26) 

 G.T/ H T  LN T

 

 F .X/ H SEN X Y

 F .X/ H SEN X COS X SEN X  F .X/ H X

En los problemas 16 a 22, calcule dyydx y d 2yydx 2, suponiendo que y está definida implícitamente como una función de x por la ecuación dada. 16. x 2 + y 2 = 4

 Y  C X  C X H 

23. La gráfica de f (x) = x 3 − 3x 2 − 45x (figura 4.6.25).

 G.T/ H .T /= p  F .X/ H X X C   F .X/ H  C

 X = C Y = H 

17. x 2 + x y + y 2 = 3

 Y

















 X



FIGURA 4.6.25 Gráfica de f (x) = x 3 − 3x 2 − 45x (problema 23).







 X



FIGURA 4.6.26 Gráfica de f (x) = 2x 3 − 9x 2 − 108x + 200 (problema 24).



278 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

25. La gráfica de f (x )  4x 3 − 6x 2 − 189x + 137 (figura 4.6.27)

 F .X/ H COS X EN .=; =/

26. La gráfica de f (x )  −40x − 171x + 2550x + 4150 (figura 4.6.28)

 F .X/ H TAN X EN .=; =/

3

2

s

Y











Y



 F .X/ H COS X EN .=; =/









 F .X/ H SEC X EN .=; =/

 F .X/ H SEN  X EN .; /





 X







FIGURA 4.6.27 Gráfica de f ( x)  4x 3 − 6x 2 − 189x + 137 (problema 25).



 X





FIGURA 4.6.28 Gráfica de f (x)  −40x 3 − 171x 2 + 2550x + 4150 (problema 26).

− 237 (figura 4.6.29) 27. La gráfica de f (x) = 28. La gráfica de f (x) = x 4 − 10x 3 − 250 (figura 4.6.30) x4

− 54x 2

Y

Y







 X









FIGURA 4.6.29 Gráfica de f (x) = x 4 − 54x 2 − 237 (problema 27).



 X



FIGURA 4.6.30 Gráfica de f (x) = x 4 − 10x 3 − 250 (problema 28).

− 20x 4



s

 

Y 

54. Problema 30

55. Problema 31

56. Problema 32

57. Problema 33

58. Problema 36

59. Problema 37

60. Problema 38

63. f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 3







53. Problema 29

61. Problema 39 62. Problema 40 Bosqueje las gráficas de las funciones en los problemas 63 a 76, indicando todos los puntos críticos y puntos de inflexión. Aplique la prueba de la segunda derivada en cada punto crítico. Muestre la estructura cóncava correcta e indique el comportamiento de f (x) cuando x → ±∞.



Y





+ 1000 (figura 4.6.31) 29. La gráfica de f (x) = 30. La gráfica de f (x) = 3x 5 − 160x 3 (figura 4.6.32) 3x 5

 F .X/ H .X  X /EX

En los problemas 51 a 62, trabaje de nuevo el problema indicado de la sección 4.4, ahora usando la prueba de la segunda derivada para verificar que encontró el valor máximo o mínimo absoluto deseado. 51. Problema 27 52. Problema 28





 F .X/ H .X  X/EX

 F .X/ H XEX





 F .X/ H .X /EX



 X





FIGURA 4.6.31 Gráfica de f (x) = 3x 5 − 20x 4 + 1000 (problema 29).





64. f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 5



 X





FIGURA 4.6.32 Gráfica de f (x) = 3x 5 − 160x 3 (problema 30).

65. f (x) = 6 + 8x 2 − x 4

67. f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 − 1

Aplique la prueba de la segunda derivada para encontrar los máximos y mínimos locales de las funciones dadas en los problemas 31 a 50, y aplique la prueba del punto de inflexión para encontrar todos los puntos de inflexión.

68. f (x) = 3x 5 − 25x 3 + 60x

 F .X/ H X  X C   F .X/ H X  X C 

70. f (x) = (x − 1)2 (x + 2)3

 F .X/ H XEX  F .X/ H X  C X  F .X/ H X  .X /  F .X/ H SEN X EN.;  /

 F .X/ H  X X   F .X/ H X  X  LN X  F .X/ H X  F .X/ H X  X   F .X/ H X  .X C /

66. f (x) = 3x 5 − 5x 3

69. f (x) = x 3 (x − 1)4

71. f (x) = 1 + x 1/3

72. f (x) = 2 − (x − 3)1/3

√ 73. f (x) = (x + 3) x

74. f (x) = x 2/3 (5 − 2x)

√ 75. f (x) = (4 − x) 3 x

76. f (x) = x 1/3 (6 − x)2/3

SECCIÓN 4.6

En los problemas 77 a 82 se muestra la gráfica de una función f (x). Proporcione la correspondencia con la gráfica de su segunda derivada f 0(x) en la figura 4.6.33. 







Y 

Y 













 X

A







Derivadas de orden superior y concavidad

81. Vea la figura 4.6.38.

82. Vea la figura 4.6.39.









Y 

Y 











B

 X





279





 X





FIGURA 4.6.38





 X





FIGURA 4.6.39

83. a) Demuestre que la n-ésima derivada de f (x)  x n es 







Y 

Y 













 X

C













Y 

Y 















D



 X

E

f (n) (x) ≡ n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.









F

 X

 X









FIGURA 4.6.33

77. Vea la figura 4.6.34.

78. Vea la figura 4.6.35.









Y 

Y 













 X









 X



FIGURA 4.6.34

FIGURA 4.6.35

79. Vea la figura 4.6.36.

80. Vea la figura 4.6.37.









Y 

Y 













 X

FIGURA 4.6.36









b) Concluya que si f (x) es un polinomio de grado n, entonces f (k) (x) ≡ 0 si k > n. 84. a) Calcule las primeras cuatro derivadas de f (x)  sen x. b) Explique por qué se deduce que $XNC SEN X H $XN SEN X si n es un entero positivo. 85. Suponga que z  g(y) y que y  f (x). Demuestre que   d2z d 2 z dy 2 dz d 2 y · = + . dx2 dy 2 d x dy d x 2 86. Pruebe que la gráfica de un polinomio cuadrático no tiene puntos de inflexión. 87. Pruebe que la gráfica de un polinomio cúbico tiene exactamente un punto de inflexión. 88. Pruebe que la gráfica de una función polinomial de grado 4 tiene ya sea ningún punto de inflexión o exactamente dos puntos de inflexión. 89. Suponga que la presión p (en atmósferas), el volumen V (en centímetros cúbicos) y la temperatura T (en grados kelvin) de n moles de dióxido de carbono (CO2) satisfacen la ecuación de Van der Waals   n2a p + 2 (V − nb) = n RT, V donde a, b y R son constantes empíricas. El siguiente experimento se llevó a cabo para encontrar los calores de estas constantes. Un mol de CO2 se comprimió a una temperatura constante T  304 K. Los datos de las mediciones de presiónvolumen (pV) se graficaron como en la figura 4.6.40, donde la curva pV muestra un punto de inflexión que coincide con la tangente horizontal en V  128.1, p  72.8. Utilice esta información para calcular a, b y R. [Sugerencia: despeje p de la ecuación de Van der Waals y luego calcule dpydV y d2pydV2.] P  

6



 X

FIGURA 4.6.37





FIGURA 4.6.40 Un problema que involucra la ecuación de Van der Waals.

280

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

que es un punto crítico y un punto de inflexión. No obstante, esta curva “tiene dos ondulaciones como debe ser en una buena cúbica”, Encuéntrelas; en particular busque los extremos locales y el punto (o puntos) de inflexión en esta curva. Luego dibuje una gráfica que exhiba claramente todos estos puntos; marque y etiquete cada uno de ellos.

90. Suponga que la función f es derivable en un intervalo abierto que contiene al punto c en el que f 9(c)  0 y que la segunda derivada F .C/ H L¤M

H!

F .C C H/ F .C/ F .C C H/ H L¤M H! H H

existe. a) Primero suponga que f 0(c) > 0. Razone que f 9(c+h) y h tienen el mismo signo si h 0 es suficientemente pequeña. Aplique la prueba de la primera derivada para demostrar en este caso que f (c) es un valor mínimo local de f. b) Demuestre de manera similar que f (c) es un valor máximo local de f si f 0(c) < 0.

92. La figura 4.6.42 muestra la gráfica de

Los problemas 91 y 92 requieren usar una calculadora con gráficas o un sistema algebraico de computadora. Cualquier ecuación que necesite resolver puede hacerlo gráficamente o usando un comando “resolver”. 91. La figura 4.6.41 muestra la gráfica de la ecuación cúbica y = 1000x 3 − 3051x 2 + 3102x + 1050

en una escala con x medido en unidades y y en decenas de miles. La gráfica parece exhibir un solo punto cerca de (1,2000)

     Y 











y = [x(1 − x)(9x − 7)(4x − 1)]4

en una escala con x y y ambas medidas en unidades. A primera vista parece que hay un máximo local cerca de x  12, con “partes lisas” a lo largo del eje x a la izquierda y a la derecha, pero ningún polinomio no constante puede tener “partes lisas” donde y  0 en un intervalo abierto del eje x. (¿Por qué no?) De hecho, esta gráfica tiene siete extremos ≤ x ≤ 1. locales y seis puntos de inflexión en el intervalo 0 − − Encuentre las coordenadas aproximadas de los tres puntos, luego dibuje la gráfica en una escala que evidencie todos estos puntos.

s

   Y  







 X











 X





FIGURA 4.6.42 Gráfica del problema 92.

FIGURA 4.6.41 Gráfica cúbica del problema 91.

4.7 BOSQUEJO DE CURVAS Y ASÍNTOTAS Ahora extendemos el concepto de límite para incluir límites infinitos y límites al infinito. Esta extensión agregará una herramienta poderosa a nuestro arsenal de técnicas para bosquejar curvas, la noción de una asíntota a una curva, una línea recta a la que la curva llega arbitrariamente cerca en un sentido que pronto precisaremos. Recuerde que en la sección 2.3 vimos que f (x) crece sin límite, o se convierte en infinita, cuando x se acerca a a, y escribimos L¤M F .X/ H C1;

X!A



siempre y cuando f (x) puede hacerse arbitrariamente grande eligiendo x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). La afirmación de que f (x) decrece sin límite, o se convierte en negativamente infinita, cuando x → a, escrito L¤M F .X/ H 1;

X!A

tiene una definición análoga.



SECCIÓN 4.7

EJEMPLO 1

Bosquejo de curvas y asíntotas 281

Es evidente que  H C1 X! .X C / L¤M

porque, cuando x → −2, (x + 2)2 es positiva y se acerca a cero. (Vea la figura 4.7.1.) Por el contrario, X H 1 L¤M X! .X C / porque, cuando x → −2, el denominador (x + 2)2 todavía es positivo y se acerca a cero, pero el numerador x es negativo. (Vea la figura 4.7.2.) Así, cuando x está muy cerca de −2, se tiene en xy(x + 2)2 un número negativo cercano a −2 dividido entre un número positivo muy pequeño. Así, el cociente se convierte en un número negativo de magnitud muy grande Z  Y



 X 

X 





Y 

Y  Y



X X 

 X 









X











1 → ∞ cuando (x + 2)2 x → −2, y la recta x  −2 es una asíntota vertical.





X







x → −∞ (x + 2)2 cuando x → −2, y la recta x  −2 es una asíntota vertical.

FIGURA 4.7.1

FIGURA 4.7.2

También son válidas las versiones de un lado de las ecuaciones (1) y (2). Por ejemplo, si n es un entero positivo impar, entonces es evidente que L¤M

X!

     Y 













Y

X 

 H 1 .X C /N

Y

L¤M

X!C

 H C1; .X C /N

porque (x + 2)n es negativo cuando x está a la izquierda de −2 y positivo cuando x está a la derecha de −2. El caso n  3 se ilustra en la figura 4.7.3.

 X 

Asíntotas verticales Las líneas verticales en x  −2 en las figuras 4.7.1 a 4.7.3 son ejemplos de asíntotas verticales asociadas con límites infinitos. La recta x  a es una asíntota vertical de la curva y  f (x) siempre que





X





1 tiene (x + 2)3 límites de un lado infinitos cuando x → −2, y la recta x  −2 es una asíntota vertical. FIGURA 4.7.3

L¤M F .X/ H 1

A

L¤M F .X/ H 1

B

X!A



O X!A C

o ambos. Es usual que los límites de los lados, y no sólo de uno, sean infinitos. Si es así, se escribe L¤M F .X/ H 1:

X!A

C

282

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Y

X

X

FIGURA 4.7.4 Una asíntota vertical “sólo del lado derecho”.

Y

La geometría de una asíntota vertical se ilustra en las gráficas 4.7.1 a 4.7.3. En cada caso, cuando x → −2 y f (x) → ±∞, el punto (x, f (x)) en la curva se acerca a la asíntota vertical x  −2 y la forma y dirección de la curva se aproximan cada vez mejor por la asíntota. La figura 4.7.4 muestra la gráfica de una función cuyo límite por la izquierda es cero en x  1, pero el límite por la derecha ahí es +∞, lo que explica por qué la recta x  1 es una asíntota vertical para esta gráfica. El límite por la derecha en la figura 4.7.5 ni siquiera existe, pero dado que el límite por la izquierda en x  1 es −∞, la recta vertical x  1 de nuevo es una asíntota vertical. Es usual que una asíntota vertical aparezca en el caso de una función racional f (x)  p(x)yq(x) en el punto x  a donde q(a)  0 pero p(a) H 0. (Vea los ejemplos 4 a 8 en esta sección.)

Límites al infinito En la sección 4.5 se analizaron los límites al infinito en relación con el comportamiento de un polinomio cuando x → ±∞. También existe lo que se llama un límite finito al infinito. Se dice que f (x) se acerca al número L cuando x crece sin límite y se escribe

X

L¤M F .X/ H ,

X!C1

X



siempre que | f (x) − L | se pueda hacer arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con sólo elegir x suficientemente grande. Esto es, dado  > 0, existe M > 0 tal que x>M

| f (x) − L | < .

implica que

(5)

La afirmación FIGURA 4.7.5 El comportamiento de la gráfica a la izquierda produce la asíntota vertical.

L¤M F .X/ H ,

X!1

tiene una definición parecida, simplemente se sustituye la condición x > M con la condición x < −M. Los análogos para límites al infinito de las leyes de los límites de la sección 2.2 se cumplen, incluyendo, en particular, las leyes de suma, producto y cociente. Además, no es difícil demostrar que si L¤M F .X/ H ,

Y

X!C1

L¤M G.X/ H 1;

X!C1

entonces F .X/ H : G.X/

L¤M

X!C1

Se deduce de este resultado que L¤M

X!C1

 H XK



para cualquier número racional positivo k que se elija. Al usar la ecuación (6) y las leyes de los límites, es sencillo evaluar los límites al infinito de funciones racionales. El método general es: primero divida cada término del numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en cualquiera de los términos. Luego aplique las leyes de los límites. EJEMPLO 2

Encuentre L¤M F .X/

X!C1

SI

F .X/ H

X  X : X  C X  

SECCIÓN 4.7

Solución entre x3:

Bosquejo de curvas y asíntotas

283

Comenzamos por dividir cada término del numerador y el denominador

X  X H L¤M L¤M X!C1 X  C X   X!C1

 C

L¤M

X!C1

H

L¤M

   X X 

 X

   X X

C

X!C1

 X

H

  H : C 

El mismo cálculo pero con x → −∞, también proporciona el resultado L¤M F .X/ H

X!1

EJEMPLO 3

 : 

Z

p p Encuentre L¤M . X C A X / X!C1

Solución Usamos la técnica conocida de “divide y multiplica” con el conjugado de √ √ x +a − x: p p p p p p X CA C X L¤M X C A X H L¤M X CA X
p p X!C1 X!C1 X CA C X H L¤M p X!C1

A p H : X CA C X

Z

Asíntotas horizontales En términos geométricos, la afirmación L¤M F .X/ H , X!C1

significa que el punto (x, f (x)) en la curva y  f (x) se acerca a la recta horizontal y  L cuando x → +∞. En particular, con los números M y  de la condición en la ecuación (5), la parte de la curva para la que x > M está entre la rectas horizontales y  L −  y y  L +  (figura 4.7.6). Por lo tanto, se dice que la recta y  L es una asíntota horizontal de la curva y  f (x) si ocurre cualquiera de L¤M F .X/ H ,

X!C1

O

L¤M F .X/ H , :

X!1

Y

YFX

Y,  Y, Y,  -

FIGURA 4.7.6 Geometría de la definición de asíntota horizontal.

X

CAPÍTULO 4

284

Aplicaciones adicionales de la derivada

EJEMPLO 4 La figura 4.7.7 muestra la gráfica de la función f (x)  4e2xy(1 + ex )2. Después de dividir numerador y denominador entre e2x, encontramos que

  Y



f (x) =

Y  Y



EX EX 

cuando x → +∞. Así, la curva y = 4e2x /(1 + e x )2 tiene la recta y  4 como asíntota horizontal. Z

 







 X

4e2x 4 = −x → 4 x 2 (1 + e ) (e + 1)2







FIGURA 4.7.7 Gráfica de 4e2x . y= (1 + e x )2

EJEMPLO 5 La figura 4.7.8 muestra la gráfica de la función f (x)  e−xy5 sen 2x. ≤ 1 para toda x y e−x/5 = 1/(e x/5 ) → 0 cuando x → +∞, la ley de Como | sen 2x | − compresión de los límites implica que e−xy5 sen 2x → 0 cuando x → + ∞. Por lo cual, Z la curva y  e−xy5 sen 2x tiene el eje x, y  0, como asíntota horizontal. EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de f (x)  xy(x − 2). Indique cualquier asíntota vertical.



Solución Primero observe que x  2 es una asíntota vertical porque | f (x)| → + ∞ cuando x → 2. Además,

YE XSENX YE X

Y



L¤M



X!1



Y E X

 

X H L¤M X  X!1



 X





   X

H

 H : 

De manera que la recta y  1 es una asíntota horizontal. Las primeras dos derivadas de f son

FIGURA 4.7.8 Gráfica de y  e−xy5 sen 2x.

F .X/ H

 .X /

Y

 : .X /

F .X/ H

Ninguna de la dos, f 9(x) o f 0(x), es cero en ninguna parte, de modo que la función f no tiene puntos críticos ni puntos de inflexión. Como f 9(x) < 0 para x H 2, se ve que f (x) es decreciente en los intervalos abiertos (−∞, 2) y (2, +∞). Y como f 0(x) < 0 para x < 2 y f 0(x) > 0 para x > 2, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (−∞, 2) y cóncava hacia arriba en (2, +∞). La gráfica de f se ilustra en la figura 4.7.9. Z Y

!S¤NTOTA HORIZONTAL Y

Y

X X 

X !S¤NTOTAVERTICAL X

FIGURA 4.7.9 Gráfica para el ejemplo 6.

EJEMPLO 7

Se examinará de nuevo la función x f (x) = (x + 2)2

SECCIÓN 4.7

 Y

Y

X X 

X L¤M H L¤M X!1 .X C / X!1













 X





x →0 (x + 2)2 cuando x → 0, de modo que el eje x, y  0, es una asíntota horizontal. FIGURA 4.7.10

285

cuya gráfica se mostró en la figura 4.7.2. Observamos que

   



Bosquejo de curvas y asíntotas



 X  C X



H ;

por lo que el eje x, y  0, es una asíntota horizontal de la gráfica y  f (x). Debemos cambiar la ventana para ver con claridad el comportamiento de esta curva para x > 0. En la ventana −10 < x < 40, −0.25 < y < 0.25 de la figura 4.7.10 observamos que f (x) parece llegar a un valor máximo local cerca del punto donde x  2 antes de acercarse a cero cuando x → ∞. Sin duda, después de derivar f y simplificar el resultado, vemos que f  (x) =

2−x , (x + 2)3

y el punto máximo indicado en la curva es (2, 18). La segunda derivada de f es f  (x) =

2(x − 4) , (x + 2)4

y se deduce que el punto de inflexión aparente en la figura 4.7.10 está en (4, 19).

Z

Estrategia para dibujar curvas Las técnicas de bosquejo de curvas de las secciones 4.5 y 4.6, junto con las de esta sección, se pueden resumir como una lista de pasos. Si sigue estos pasos, no en forma rígida, obtendrá un bosquejo preciso cualitativamente de la gráfica de una función dada f. 1. Resuelva la ecuación f 9(x)  0 y encuentre también los puntos donde f 9(x) no existe. Esto proporciona los puntos críticos de f. Observe si la recta tangente es horizontal, vertical o no existe en cada punto crítico. 2. Determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. 3. Resuelva la ecuación f 0(x)  0 y también encuentre los puntos donde f 0(x) no existe. Estos puntos son los puntos de inflexión posibles de la gráfica. 4. Determine los intervalos en los que la gráfica de f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. 5. Encuentre las intercepciones y y las intercepciones x (si las hay) de la gráfica. 6. Localice y etiquete los puntos críticos, los puntos de inflexión posibles y las intercepciones. 7. Determine las asíntotas (si las hay), discontinuidades (si las hay) y especialmente el comportamiento de f (x) y f 9(x) cerca de las discontinuidades de f. También determine el comportamiento de f (x) cuando x → +∞ y cuando x → −∞. 8. Por último, una los puntos trazados con una curva que sea congruente con la información que reunió. Recuerde que los puntos esquina son inusuales y que las sección rectas de la gráfica son todavía menos frecuentes. Puede seguir estos pasos en cualquier orden conveniente y omitir cualquiera que presente dificultades para calcularlo. Muchos problemas requieren menos de los ocho pasos, vea el ejemplo 6; pero el ejemplo 8 los requiere todos. EJEMPLO 8

Bosqueje la gráfica de f (x) =

2 + x − x2 . (x − 1)2

Solución Observamos de inmediato que L¤M F .X/ H C1;

X!

286

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

porque el numerador tiende a 2 cuando x → 1 y el denominador tiende a cero en valores positivos. Así, la recta x  1 es una asíntota vertical. Además,   C    C X X X X H L¤M H ; L¤M X!1 .X / X!1    X de manera que la línea x  −1 es una asíntota horizontal (en las dos direcciones, positiva y negativa). Ahora aplicamos la regla del cociente y simplificamos para encontrar que f  (x) =

x −5 . (x − 1)3

Así, el único punto crítico en el dominio de f es x  5; trazamos el punto (5, f (5))  (5, −98) en un plano coordenado conveniente y marcamos la tangente horizontal ahí. Para determinar el comportamiento creciente o decreciente de f, usamos el punto crítico x  5 y el punto x  1 (donde f 9 no está definida) para dividir el eje x en intervalos abiertos. La siguiente tabla muestra los resultados. )NTERVALO

.X /

X 

F .X/

F

.1; / .; / .; C1/

C C

C

C C

#RECIENTE $ECRECIENTE #RECIENTE

Después de algunas simplificaciones, encontramos que la segunda derivada es f  (x) =

2(7 − x) . (x − 1)4

El único punto de inflexión posible es en x  7, que corresponde al punto (7, −10 ) en 9 la gráfica. Usamos ambos, x  7 y x  1 (donde f 0 no está definida) para separar el eje x en intervalos abiertos. La estructura cóncava de la gráfica se puede obtener con la ayuda de la siguiente tabla. )NTERVALO

.X /

X

F .X/

F

.1; / .; / .; C1/

C C C

C C

C C

#˜NCAVAHACIAARRIBA #˜NCAVAHACIAARRIBA #˜NCAVAHACIAABAJO

La intercepción y de f es (0, 2) y la ecuación 2 + x − x2  0 proporciona inmediatamente las intercepciones en x (−1, 0) y (2, 0). Graficamos estas intercepciones, dibujamos las asíntotas y por último trazamos la gráfica con la ayuda de dos tablas; la información que proporcionan ahora está simbolizada a lo largo del eje x en la figura 4.7.11. Z

Asíntotas inclinadas No todas las asíntotas son horizontales o verticales, algunas son inclinadas. La recta no vertical y  mx + b es una asíntota para la curva y  f (x) siempre que L¤M ; F .X/ .MX C B/= H 

A

L¤M ; F .X/ .MX C B/= H 

B

X!C1

OBIEN X!1

(o ambos). Estas condiciones significan que cuando x → +∞ o cuando x → −∞ (o ambos), la distancia vertical del punto (x, f (x)) en la curva al punto (x, mx + b) en la recta tiende a cero.

SECCIÓN 4.7

Bosquejo de curvas y asíntotas 287

Y

 Y X X X 

  INTERCEPCI˜NY    INTERCEPCI˜NX 





  INTERCEPCI˜NX 









 

X AS¤NTOTA VERTICAL

M¤NIMO LOCAL YGLOBAL





      X Y AS¤NTOTAHORIZONTAL

   PUNTO DEINFLEXI˜N

FIGURA 4.7.11 Para obtener la gráfica del ejemplo 8.

Suponga que f (x)  p (x)yq (x) es una función racional para la que el grado de p (x) es mayor en 1 que el grado de q(x). Por lo tanto, por la división larga de p(x) entre q (x) encontramos que f (x) tiene la forma f (x)  mx + b + g(x) donde m H 0 y L¤M G.X/ H :

X!1

Así, la recta no vertical y  mx + b es una asíntota de la gráfica de y  f (x). Este tipo de asíntota se llama asíntota inclinada. EJEMPLO 9

Bosqueje la gráfica de f (x) =

x2 + x − 1 . x −1

Solución La división larga sugerida toma la forma que se muestra a continuación X C X  / X C X  X X X  X   !S¤ F .X/ H X C  C

 : X 

De manera que y  x + 2 es una asíntota inclinada de la curva. Además, L¤M j F .X/j H C1;

X!

por lo que x  1 es una asíntota vertical. Las primeras dos derivadas de f son f  (x) = 1 −

1 x(x − 2) = (x − 1)2 (x − 1)2

CAPÍTULO 4

288

Aplicaciones adicionales de la derivada

y f  (x) =

2 . (x − 1)3

Se deduce que f tiene puntos críticos en x  0 y en x  2 pero no tiene puntos de inflexión. El signo de f 9 expresa que f es creciente en (−∞, 0) y en (2, +∞), y decreciente en (0, 1) y en (1, 2). Un examen de f 0(x) revela que f es cóncava hacia abajo en (−∞, 1) y cóncava hacia arriba en (1, +∞). En particular, f (0)  1 es un valor máximo local y f (2)  5 es un valor mínimo local. La gráfica de f se ve como la de la figura 4.7.12. Z Y

YX AS¤NTOTA

  MÖXIMOLOCAL INTERCEPCI˜NY

  M¤NIMOLOCAL

XAS¤NTOTAVERTICAL

X  Y X X  X 



FIGURA 4.7.12 Una función con asíntota inclinada y  x + 2 (ejemplo 9).

  Y

Para graficar con calculadora/computadora

 







 X



FIGURA 4.7.13 y 

x 4 − 5x 2 − 5x + 7 . 2x 3 − 2x + 1

En lugar de usar los conceptos de cálculo para construir una gráfica desde cero, podemos tomar otro camino. Esto es, podemos comenzar con una gráfica trazada en una calculadora o computadora y luego usar una calculadora para analizar la gráfica y refinar lo que de ella comprendemos. En las secciones 1.3 y 1.4 estudiamos el hecho de que una gráfica de calculadora o computadora algunas veces puede estar incompleta o dar una idea equivocada, pero ahora podemos utilizar el cálculo —y en particular los valores de los puntos críticos y los puntos de inflexión— para asegurar que la gráfica generada por la máquina exhibe todas las características importantes. De hecho, con el graficado y las técnicas de solución automática podemos investigar gráficas de funciones que serían muy complicadas sin una calculadora o computadora. EJEMPLO 10 función

La figura 4.7.13 muestra una gráfica generada en computadora de la

x 4 − 5x 2 − 5x + 7 . (8) 2x 3 − 2x + 1 Es probable que tenga una asíntota vertical en algún lado cerca de x  −1. Para probar esta hipótesis, es necesario saber dónde es cero el denominador en (8). La gráfica de este denominador, mostrada en la figura 4.7.14, indica que la ecuación 2x3 − 2x + 1  0 tiene nada más una solución real cerca de x  −1.2. Podemos amplificar la gráfica para mostrar que la asíntota vertical correspondiente está todavía más cerca de x  −1.19, y un comando 3OLVE en una calculadora o computadora lleva a la solución x ≈ −1.1915 con precisión de cuatro decimales. Al observar que el grado del numerador en (8) excede el del denominador, encontramos con la división larga que f (x) =

     YX X  Y 









 



 X

FIGURA 4.7.14 Gráfica del denominador en (8).





−4x 2 − 11 x +7 1 2 x+ . 2 2x 3 − 2x + 1 De este modo, la gráfica y  f (x) tiene una asíntota inclinada y  12 x (figura 4.7.15). f (x) =

SECCIÓN 4.7

f  (x) =



Y

2x 6 + 4x 4 + 24x 3 − 32x 2 − 10x + 9 . (2x 3 − 2x + 1)2

(9)

Los puntos críticos de f (x) son los ceros del numerador de f 9(x), junto con el cero del denominador que lleva a la asíntota vertical. La gráfica del numerador, mostrada en la figura 4.7.16, indica que la ecuación

  X 







289

Para investigar los puntos críticos de f (x), calculamos la derivada



Y

Bosquejo de curvas y asíntotas

2x 6 + 4x 4 + 24x 3 − 32x 2 − 10x + 9 = 0







X



tiene cuatro ceros reales, cerca de los puntos x  −2.3, −0.6, 0.5 y 1.1. Podemos simplificar cada una de estas soluciones, o usar el comando 3OLVE de una calculadora o computadora para obtener las aproximaciones x ≈ −2.3440, −0.5775, 0.4673 y 1.0864 que concuerdan con la estructura general de la gráfica mostrada en la figura 4.7.13, donde son evidentes cuatro puntos críticos con rectas tangentes horizontales. El punto crítico a la izquierda x ≈ −2.3440 merece un examen más detallado. En la figura 4.7.15 parece probable que esté a la izquierda del punto donde la rama izquierda de la gráfica y  f (x) cruza la asíntota inclinada y  12x. La amplificación mostrada en la figura 4.7.17 apoya esta observación. Por último, un examen de la gráfica original y  f (x) en la figura 4.7.13 sugiere la localización aproximada de los tres puntos de inflexión en el primer cuadrante. Pero si la gráfica debe acercarse a la asíntota inclinada cuando x → −∞, entonces la figura 4.7.17 sugiere la presencia de un cuarto punto de inflexión en algún lugar a la izquierda del punto crítico más a la izquierda. (¿Por qué?) Para investigar esta posibilidad, calculamos la segunda derivada



FIGURA 4.7.15 Ahora vemos ambas, la asíntota vertical y la asíntota inclinada y   x.

   

 Y











   

f  (x) =

 X









FIGURA 4.7.16 Gráfica del numerador en (9).

2(−16x 6 − 66x 5 + 120x 4 + 34x 3 − 18x 2 − 42x + 13) . (2x 3 − 2x + 1)3

(10)

Los puntos de inflexión de y  f (x) tienen coordenadas x dadas por los ceros del numerador en (10). La gráfica de este numerador, mostrada en la figura 4.7.18, indica que la ecuación 2(−16x 6 − 66x 5 + 120x 4 + 34x 3 − 18x 2 − 42x + 13) = 0

Tiene cuatro soluciones reales, una negativa cerca de −5.5 y las tres soluciones positivas entre 0 y 2 que corresponden a los puntos de inflexión del primer cuadrante visualmente aparentes en la figura 4.7.13. Podemos amplificar cerca de cada una de estas soluciones o usar el comando 3OLVE una calculadora o computadora para obtener las aproximaciones −5.4303, 0.3152, 0.6503 y 1.3937. La vista más completa de la figura 4.7.19 nos convence de que hemos encontrado todos los puntos de inflexión de y  f (x). En particular, vemos que y  f (x) es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto de inflexión x ≈ −5.4303, donde el denominador en (10) es negativo (¿por qué?), y es cóncava hacia abajo justo a su derecha (congruente con los que vemos en la figura 4.7.17).

 Y

 X 

 Y







YFX



 X



FIGURA 4.7.17 Cerca del punto crítico más a la izquierda.



     Y 















s

  Y

  







 X







FIGURA 4.7.18 Gráfica del numerador en (10).









 X







FIGURA 4.7.19 Vista más completa de la gráfica del numerador en (10).

290

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

Este análisis exhaustivo de la gráfica de la función f en la ecuación (8) implica cierta cantidad de trabajo manual —sólo para calcular y simplificar las derivadas en (9) y (10) a menos que usemos un sistema algebraico de computadora para esta tarea— pero sería todo un reto sin el uso de una calculadora o computadora con gráficas. Z

4.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si la función f crece sin límite cuando x → a, entonces L¤M F .X/ H C1 X!A

X H C1 2. L¤M X! .X C / 1 tiene una asíntota vertical con ecuación x  1. x −1  X  X 4. L¤M H    X!1 X C X   5. La recta y  L es una asíntota horizontal de f (x) si L¤M F .X/ H C1 X!, x 6. La gráfica de f (x) = no tiene asíntotas horizontales. (x + 2)2

3. La gráfica de f (x) =

2 + x − x2 x −5 , entonces f  (x) = . 2 (x − 1) (x − 1)3 8. La gráfica de x2 + x − 1 f (x) = x −1 tiene sólo una asíntota vertical y exactamente dos en un extremo. x2 + x − 1 2 9. Si f (x) = , entonces f  (x) = . x −1 (x − 1)3 10. Una gráfica no puede tener ambas, una asíntota vertical y una asíntota inclinada.

7. Si f (x) =

4.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Puede bosquejar la gráfica de una función que tiene dos puntos críticos distintos que no están separados por un punto de inflexión? ¿Existe tal función? 2. ¿La gráfica de un polinomio siempre tiene un punto de inflexión? ¿O depende de si el grado del polinomio es par o impar? Comience por analizar los casos separados n  2, 3, 4 y 5. 3. ¿Puede tener la gráfica de un polinomio una asíntota? ¿La gráfica de una función racional tiene siempre una asíntota horizontal? Justifique sus respuestas. 4. ¿Qué puede decir de los grados del numerador y el denominador de una función racional que tiene una asíntota horizontal? ¿Qué puede decir de los grados del numerador y el denominador de una función racional que tiene una asíntota inclinada?

4.7 PROBLEMAS Investigue los límites en los problemas 1 a 16. X X!C1 X C  X C X   L¤M X! X  X    L¤M X!C1 X  X 

L¤M

X C  X!1 X   X X   L¤M X! X   C EX  L¤M X!C1  C E X 

L¤M

 L¤M

X!

X  C X C  .X C /

X   L¤M p X! X  

L¤M

X!1

p   X CX







L¤M

X  X C  X  C X  

L¤M

X C  p XX X

L¤M

EX C  SEN X . C EX /

X!C1

X!C1

X!C1

SECCIÓN 4.7

 

L¤M

X!C1

L¤M

X!1

p 

X  X X C 



X  C X X



L¤M

X!1

L¤M

X!1

X  X C  X 

X

X  X

Aplique sus conocimientos de límites y asíntotas para proporcionar la correspondencia de cada función en los problemas 17 a 28 con su gráfica con asíntotas en una de doce partes de la figura 4.7.20. 1 1−x

17. f (x) =

1 x −1

18. f (x) =

19. f (x) =

1 (x − 1)2

20. f (x) = −

1 (1 − x)2

1 1 − x2 x 24. f (x) = 1 − x2

1 x2 − 1 x 23. f (x) = 2 x −1

22. f (x) =

21. f (x) =

25. f (x) =

x x −1

26. f (x) =

27. f (x) =

x2 x −1

28. f (x) =

Y 



 X

A

30. f (x) =

31. f (x) =

3 (x + 2)2

32. f (x) = −

33. f (x) =

1 (2x − 3)3

34. f (x) =

  Y 













B





Y 

Y 





 X









 X









 X









 X





C

  Y 





 X

D







 X

E

 F













Y 

Y 

Y 

















G

 X





 H





 X



 I





Y 

Y 





 Y 





 J



 X





 K

FIGURA 4.7.20 Problemas 17 a 28.

x3 −1

x2

2 x −3





x2 −1

x2

29. f (x) =

Y 



291

Bosqueje a mano la gráfica de cada función en los problemas 29 a 54. Identifique y etiquete todos los extremos, puntos de inflexión, intercepciones y asíntotas. Muestre claramente la estructura cóncava lo mismo que el comportamiento de la gráfica para |x| grande y para x cerca de cualesquiera discontinuidades de la función.





Bosquejo de curvas y asíntotas

 X



 L

 X



4 5−x 4 (3 − x)2

x +1 x −1

292

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

x2 +1 1 37. f (x) = 2 x −9 35. f (x) =

x2

1 +x −6 1 41. f (x) = x + x 39. f (x) =

x2

x2 x −1 1 45. f (x) = (x − 1)2 43. f (x) =

x

e ex + 1 1 49. f (x) = 2 x −x −2 47. f (x) =

51. f (x) =

x −4 x 2

x3 − 4 53. f (x) = x2

2x +1 x 38. f (x) = 4 − x2 36. f (x) =

40. f (x) =

x2

2x 2 + 1 x 2 − 2x

42. f (x) = 2x + e−x

59. f (x) =

En los problemas 61 a 68, comience con una gráfica generada con calculadora o computadora de la curva y  f (x). Luego utilice una calculadora o computadora para localizar con precisión las asíntotas verticales y los puntos críticos y de inflexión de f (x). Por último, use una calculadora o computadora para producir las gráficas que despliegan las características más importantes de la curva, incluyendo cualesquiera asíntotas verticales, horizontales e inclinadas.

2x 3 − 5x 2 + 4x x 2 − 2x + 1 1 46. f (x) = (1 + e x )2

61. f (x) =

1 e x + e−x 1 50. f (x) = (x − 1)(x + 1)2

44. f (x) =

x2 − 3x 2 + 1

62. f (x) =

63. f (x) =

x 4 − 4x + 5 x 3 − 3x 2 + 5

64. f (x) =

x 4 − 4x + 1 2x 3 − 3x + 2

65. f (x) =

x 5 − 4x 2 + 1 2x 4 − 3x + 2

66. f (x) =

x 5 − 4x 3 + 2 2x 4 − 5x + 5

67. f (x) =

x 6 − 4x 3 + 5x 2x 5 − 5x 3 + 5

68. f (x) =

2x 6 − 5x 4 + 6 3x 5 − 5x 4 + 4

48. f (x) =

52. f (x) =

−x

e −e e x + e−x x

x2 + 1 54. f (x) = x −2

En los problemas 55 a 60, puede determinar por inspección las intercepciones x así como las asíntotas vertical y horizontal de la curva y  f (x). Primero bosqueje la gráfica a mano usando esta información y sin calcular las derivadas. Luego utilice una calculadora o computadora para localizar con precisión los puntos críticos y de inflexión de f (x). Por último, use una calculadora o computadora para producir las gráficas y desplegar las características importantes de la curva. 55. f (x) =

(x + 1)(x − 3) x 2 (x − 2)

56. f (x) =

(x + 1)2 (x − 3) x 2 (x − 4)

57. f (x) =

(x + 1)2 (x − 3) x 3 (x − 2)

58. f (x) =

(x + 1)2 (x − 3)2 x 3 (x − 2)

(x + 1)(x − 3)4 (x + 1)2 (x − 3)2 60. f (x) = 3 2 x (x − 2) x 3 (x − 2)3

x3

x3

x2 − 3x 2 + 5

69. Suponga que f (x) = x 2 +

2 . x

Observe que L¤M T F .X/ X  U H ;

X!1

de manera que la curva y  f (x) se acerca a la parábola y  x2 cuando x → ±∞. Use esta observación para hacer un bosquejo preciso de la gráfica de f. 70. Use el método del problema 69 para hacer un bosquejo preciso de la gráfica de f (x) = x 3 −

12 . x −1

4.7 INVESTIGACIÓN: localización de puntos especiales en curvas exóticas Las investigaciones descritas aquí manejan curvas bastante exóticas con puntos críticos y de inflexión que no son claramente visibles en sus gráficas si se trazan a escala “natural”. La razón es que se requieren diferentes escalas en los ejes x y y para entender su comportamiento, poco usual en cuestión. En ambas investigaciones debe comenzar con una gráfica que pueda generar con una calculadora o computadora y luego analizar la curva —localizando con precisión los puntos críticos y de inflexión— con el fin de trazar gráficas adicionales que demuestren con claridad todas las características de la curva. Elija de antemano un entero de un dígito n (quizás el último dígito diferente de cero del número de su credencial de estudiante). Su tarea es analizar la estructura de la curva

Investigación A

y = x 7 + 5x 6 − 11x 5 − 21x 4 + 31x 3 − 57x 2 − (101 + 2n)x + (89 − 3n).

Encuentre los puntos mínimo y máximo locales y el punto de inflexión (o puntos) en esta curva, dando sus coordenadas con precisión de cuatro decimales. Para desplegar todos estos puntos, tal vez tenga que producir gráficas separadas con escalas diferentes, que muestren partes distintas de esta curva. Al final, utilice toda la información para obtener un trazo cuidadoso a mano (no a escala) que despliegue todos los puntos máximos, mínimos y de inflexión con sus coordenadas (aproximadas) etiquetadas.

SECCIÓN 4.8

Investigación B

Formas indeterminadas y la regla de l’Hôpital 293

Explore los detalles de la gráfica de la función

f (x) = − 1,234,567,890 + 2,695,140,459x 2 + 605,435,400x 3 − 411,401,250x 4 − 60,600,000x 5 + 25,000,000x 6 .

La gráfica y  f (x) se muestra en la figura 4.7.21. A primera vista, parece que tenemos sólo tres puntos críticos, un mínimo local cerca del origen y dos puntos críticos que también son puntos de inflexión, así como dos puntos de inflexión más que no son puntos críticos. Aclare este asunto. ¿Cuántos puntos de cada uno hay en realidad? Encuentre y exhiba todos en una gráfica; su gráfica debe ser un bosquejo a mano limpio y no necesita tener una escala. 

s

  Y   





 X



FIGURA 4.7.21 Vista completa de la investigación B.

4.8 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HÔPITAL Una forma indeterminada es cierto tipo de expresión con un límite que no es evidente por inspección. Existen varios tipos de formas indeterminadas. Si L¤M F .X/ H  H L¤M G.X/;

X!A

X!A

entonces se dice que el cociente f (x)yg(x) tiene la forma indeterminada 0y0 en x  a (o cuando x → a). Por ejemplo, para derivar las funciones trigonométricas (sección 3.7), necesitamos saber que SEN X H :  L¤M X! X    Y  

  Y SENX X





         X

FIGURA 4.8.1 Evidencia visual de que el cociente (sen x)yx está cerca de 1 cuando x está cerca de cero.

La figura 4.8.1 corrobora el hecho de que (sen x)yx es cercano a 1 cuando x está cerca de cero. El cociente (sen x)yx en la ecuación (1) tiene la forma indeterminada 0y0 en x  0 porque las funciones f (x)  sen x y g(x)  x ambas tienden a cero cuando x → 0. Así, la ley del cociente de límites no se puede usar para evaluar este límite. Necesitamos un argumento geométrico especial (vea la sección 2.3) para encontrar el límite en la ecuación (1). Algo similar pasa cuando calculamos la derivada, porque el cociente f (x) − f (a) , x −a

cuyo límite cuando x → a es la derivada f 9(a), tiene la forma indeterminada 0y0 en x  a. Algunas veces podemos encontrar el límite de una forma indeterminada realizando una manipulación o construcción algebraica especial, como en los primeros cálculos de las derivadas. Sin embargo, suele ser más conveniente aplicar una regla que apareció en el primer libro de cálculo publicado, el del Marqués de l’Hôpital, en 1696. L’Hôpital fue un noble francés que contrató a un matemático suizo, John Bernoulli, como su maestro de cálculo y la “regla de l’Hôpital” es en realidad el trabajo de Bernoulli.

294

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

TEOREMA 1 Regla de l’Hôpital Suponga que las funciones f y g son derivables y que g9(x) es diferente de cero en alguna vecindad del punto a (excepto tal vez en a). Suponga también que L¤M F .X/ H  H L¤M G.X/:

X!A

X!A

$EESTAFORMA L¤M

X!A

F .X/ F .X/ H L¤M ; X!A G.X/ G .X/



siempre que el límite de la derecha existe (como un número real finito) o es + ∞ o − ∞. En esencia, la regla de l’Hopital dice que si f (x)yg(x) tiene forma indeterminada 0y0 en x  a, entonces —sujeto a algunas restricciones moderadas— este cociente tiene el mismo límite en x  a que el cociente f 9(x)yg9(x) de las derivadas. La demostración de la regla de l’Hôpital se ve al final de esta sección.

    Y

 

EX   X! SENX Solución La fracción cuyo límite se busca tiene la forma indeterminada 0y0 en x  0. Es claro que el numerador y denominador son derivables en alguna vecindad de x  0, y la derivada del denominador es sin duda diferente de cero si la vecindad es suficientemente pequeña (específicamente, si |x | < πy4). Por lo tanto, la regla de l’Hôpital se aplica y

EJEMPLO 1

 

X Y E  SENX







  

 X





FIGURA 4.8.2 Evidencia visual de EX  que el cociente está cerca SEN X  de  cuando x está cerca de 0.



Encuentre L¤M

E  EX  EX H L¤M H H X! SEN X X!  COS X  COS   x ya que (por continuidad) ambos e y cos 2x tienden a 1 cuando x → 0. La figura 4.8.2 corrobora este límite. Z L¤M

Si el cociente f 9(x)yg9(x) es en sí indeterminado, entonces la regla de l’Hôpital se aplica una segunda (o tercera, . . .) vez, como en el ejemplo 2. Sin embargo, cuando se aplica la regla repetidas veces, deben verificarse las condiciones para poderla aplicar en cada etapa. EJEMPLO 2

Encuentre L¤M

X!

 X C LN X   C COS  X

Solución   C  X C LN X X H L¤M L¤M X!  C COS  X X!  SEN  X X  H L¤M X!  X SEN  X H L¤M

X!

TODAV¤ADELAFORMA SIMPLIFICACI˜NALGEBRAICA

  SEN  X C   X COS  X

REGLADEL(¹PITALOTRAVEZ

 PORINSPECCI˜N   Dado que el último límite existe, también existen los anteriores; la existencia del último límite en la ecuación (2) implica la existencia del primero. Z H

Cuando es necesario aplicar la regla de l’Hôpital varias veces, sólo debe seguir derivando el numerador y el denominador por separado hasta que al menos uno de ellos tenga un límite finito diferente de cero. En ese punto puede reconocer el límite del cociente por inspección, como en el paso final del ejemplo 2. EJEMPLO 3

Encuentre L¤M

X!

SEN X : X C X

SECCIÓN 4.8

Formas indeterminadas y la regla de l’Hôpital 295

Solución Si simplemente aplicamos la regla de l’Hôpital dos veces sucesivas, el resultado es un cálculo incorrecto SEN X COS X L¤M H L¤M X! X C X  X!  C X SEN X H : _%RROR
H L¤M X!  La respuesta es incorrecta porque (cos x)y(1 + 2x) no es una forma indeterminada. Así, la regla de l’Hôpital no se puede aplicar. El cálculo correcto es L¤M

X!

L¤M COS X SEN X COS X  X! H L¤M H H H :  X!  C X XCX L¤M . C X/ 

Z

X!

El punto del ejemplo 3 es expresar una advertencia: verifique las hipótesis de la regla de l’Hôpital antes de aplicarla. Es una sobresimplifacación decir que la regla de l’Hôpital funciona cuando se necesita y no funciona cuando no es necesaria, pero hay una gran verdad en esta afirmación.

Formas indeterminadas con ∞ La regla de l’Hôpital tiene algunas variaciones. Además del hecho de que permite que el límite en la ecuación (2) sea infinito, el número real a en la regla de l’Hôpital puede sustituirse por +∞ o por −∞. Por ejemplo L¤M

X!1

F .X/ F .X/ H L¤M X!1 G.X/ G .X/



siempre que se satisfagan las otras hipótesis en algún intervalo de la forma (c, +∞). En particular, para usar la ecuación (3), primero debemos verificar que L¤M F .X/ H  H L¤M G.X/

X!1

X!1

y que el límite del lado derecho en la ecuación (3) existe. La prueba de esta versión de la regla de l’Hôpital se describe en el problema 70. La regla de l’Hôpital también se usa cuando f (x)yg(x) tiene una forma indeterminada ∞y∞. Esto significa que L¤M F .X/ ESCUANDO C1 O 1

Y 

X!A



Y



LNX Y LNX

 





L¤M G.X/

X!A



X





FIGURA 4.8.3 La gráfica ln 2x = tiene la asíntota y= ln x vertical x  1 y la asíntota horizontal y  1.

ESCUANDO C1 O 1:

La demostración de esta extensión de la regla es compleja y se omite aquí. [Encuentra una prueba (por ejemplo) en A. E Taylor y W. R Mann, Advanced Calculus, 3a. ed. (Nueva York: John Wiley, 1983), p. 107.] Las formas indeterminadas de un lado existen y podemos hablar de una forma 0y0 o una forma ∞y∞ cuando x → a− o bien cuando x → a+. EJEMPLO 4 La figura 4.8.3 muestra una gráfica generada en computadora de la función ln 2x . (4) f (x) = ln x La asíntota vertical x  1 se explica (sin usar la regla de l’Hôpital) por los hechos siguientes: • el numerador ln 2x es positivo en x  1, mientras que • el denominador ln x tiende a cero a través de valores negativos cuando x → 1− y se acerca a cero a través de valores positivos cuando x → 1+.

296

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada YE X

Y

G U YLNX 

La conocida gráfica de y  ln x (figura 4.8.4) recuerda que ln x → −∞ cuando x → 0+ y que ln x → +∞ cuando x → +∞. En consecuencia, se ve que la función f en la ecuación (4) tiene la forma indeterminada ∞y∞, tanto cuando x → 0+ como cuando x → +∞. Así, la regla de l’Hôpital da

U G 

 LN X X H L¤M  H  H L¤M L¤M X!C LN X X!C  X!C X

X

YX

Y  LN X X L¤M H L¤M H L¤M  H : X!C1 LN X X!C1  X!C1 X

FIGURA 4.8.4 Las gráficas y  e x y y  ln x son reflexiones una de otra respecto a la recta y  x.

El hecho de que L¤M

X!C

LN X H LN X

explica por qué la gráfica en la figura 4.8.3 parece “comenzar” en el punto (0, 1). Y el hecho de que L¤M

X!1

LN X H LN X

explica la asíntota horizontal y  1 que se ve en la figura 4.8.3.

Z

Orden de magnitud de ex y ln x Debido a que Dx e x  e x (para toda x) y Dx ln x  1yx (para toda x > 0), las funciones ln x y e x son crecientes siempre que estén definidas. Si n es un entero y x > n, se deduce que e x > e n > 2 n, y por ende que L¤M E X H C1:

X!C1



De manera similar, si x > 2n, entonces ln x > ln 2n  n ln 2, y por lo tanto L¤M LN X H C1

X!C1



también. Pero las gráficas de la figura 4.8.4 sugiere que cuando x → +∞, e x → +∞ mucho más rápido que ln x → +∞. Sin duda, la regla del l’Hôpital lleva a L¤M

X!C1

EX EX H L¤M H L¤M XE X H C1: X!C1  X!C1 LN X X

Así, cuando x es grande y positiva, e x es mucho más grande que ln x y el cociente e xy(ln x) es grande positivo. Esta observación parece relacionarse a los hechos siguientes: • La segunda derivada Dx2 e x = e x > 0 para toda x, de manera que la curva y  e x es cóncava hacia arriba, y se inclina cada vez más cuando x crece. • En contraste, Dx2 ln x = −1/x 2 < 0 para toda x > 0, de manera que la curva y  ln x es cóncava hacia abajo y se inclina cada vez más cuando x crece.

SECCIÓN 4.8 Y

Formas indeterminadas y la regla de l’Hôpital 297

EJEMPLO 5 Explique las características principales de la gráfica de la función f (x)  x2 e−x mostrada en la figura 4.8.5.



Solución La función f (x)  x 2ye x tiene la forma indeterminada ∞y∞ cuando x → +∞. Por lo cual la asíntota horizontal y  0 se explica por las dos aplicaciones de la regla de l’Hôpital:

 Y

 





X EX 

X

X X  H L¤M X H L¤M X H : X!1 E X!1 E EX

L¤M

X!1

FIGURA 4.8.5 La gráfica y  x2 e−x tiene dos extremos locales, dos puntos de inflexión y la asíntota horizontal y  0.



Los dos extremos locales que vemos en la figura son el resultado de que la derivada f  (x) = 2x · e−x − x 2 · e−x = (2x − x 2 )e−x = x(2 − x)e−x

tiene dos ceros x  0 y x  2. La segunda derivada es f  (x) = (2 − 2x) · e−x − (2x − x 2 ) · e−x = (x 2 − 4x + 2)e−x ,

y las dos soluciones x  2 ± de la ecuación cuadrática x 2 − 4x + 2  0 proporcionan dos puntos de inflexión visibles en la figura 4.8.5. Z La función exponencial es notable por su tasa de crecimiento tan rápida cuando x crece. De hecho, e x crece con mayor rapidez cuando x → +∞ que cualquier potencia fija de x. Así, el límite en (7) es un caso especial del hecho de que L¤M

XK H EX



EX H C1 XK



X!1

O DEOTRAMANERA L¤M

X!1

para cualquier número real fijo k > 0. Por ejemplo, si k  n, es un entero positivo, entonces las aplicaciones sucesivas de la regla de l’Hôpital dan L¤M

X!1

XN NX N N.N /X N H L¤M H L¤M X!1 X!1 EX EX EX H


H L¤M

X!1

N.N /


X N.N /



 H L¤M H : X!1 EX EX

En el problema 61 se pide que considere valores positivos no enteros de k. La tabla en la figura 4.8.6 ilustra el caso k  5 de la ecuación (8). Aunque ambas x 5 → +∞ y e x → +∞ cuando x → +∞, observamos que e x crece con mucha mayor rapidez que x 5 de modo que x 5ye x → 0. X

X

EX

X  =E X

    

:   :   :   :   :   # 1

:   :   :   :   :   # 1

:   :   :   :   :   # 1

FIGURA 4.8.6 Órdenes de magnitud de x5 y e x.

CAPÍTULO 4

298

Aplicaciones adicionales de la derivada

EJEMPLO 6

Y 

Explique las características principales de la gráfica de la función ln x f (x) = √ x

Y LNX •X



mostrada en la figura 4.8.7. 







X



p Solución La función f (x)  (ln x)y X tiene la forma indeterminada ∞y∞ cuando x → +∞. Una sola aplicación de la regla de l’Hôpital lleva a



 X  p

LN X L¤M p H L¤M X!1 X!1 X

FIGURA 4.8.7 La gráfica y  (ln x)y•X tiene un máximo local, un punto de inflexión y la asíntota horizontal y  0.

 H L¤M p H ; X!1 X



 X

y entonces la gráfica tiene la asíntota horizontal y  0. El máximo local que vemos en la figura es resultado del hecho de que la derivada ln x 1√ x − √ x 2 x f  (x) = x

=

2 − ln x 2x 3/2

tiene el cero x  e2. El punto de inflexión que observamos corresponde al cero x  e8y3 de la segunda derivada   1 − · 2x 3/2 − (2 − ln x) 3x 1/2 −8 + 3 ln x f  (x) = x = . Z 3 4x 4x 5/2 En contraste con la función exponencial, la función logaritmo natural es notable por su tasa de crecimiento muy lenta cuando x crece. En el problema 62 debe generalizar el resultado en la ecuación (10) demostrando que

  

L¤M

YLNX

X!C1

LN X H XK



Y 

YX

• ln x crece más despacio que cualquier potencia (positiva) de x, mientras que • e x crece más rápido que cualquier potencia de x.





si k > 0. Así,

         X

FIGURA 4.8.8 Comparación de y  ln x con y  x1y10.

La figura 4.8.8 sugiere a los incautos que ln x es mayor que (en lugar de menor que) x 1y10 cuando x es grande positiva. Pero la ecuación (11) implica que la gráfica de y  x 1y10 debe en algún punto alcanzar y cruzar de nuevo la gráfica de y  ln x. (Vea el problema 74.) OBSERVACIÓN

Demostración de la regla de l’Hôpital Suponga que las funciones f y g del teorema 1 no sólo son derivables sino que tienen derivadas continuas cerca de x  a y que g9(a) ± 0. Entonces L¤M

X!A

L¤M F .X/ F .A/ F .X/ X!A H H G .X/ L¤M G .X/ G .A/



X!A

por la ley del cociente de límites. En este caso, la regla de l’Hôpital en la ecuación (12) se reduce al límite L¤M

X!A

F .X/ F .A/ H ; G.X/ G .A/



que es una forma débil de la regla. De hecho, es esta forma débil la que se utiliza en las aplicaciones de un solo paso de la regla de l’Hôpital.

SECCIÓN 4.8

EJEMPLO 7

Formas indeterminadas y la regla de l’Hôpital 299

En el ejemplo 1 teníamos F .X/ H E X ;

G.X/ H SENX

DEMANERAQUE F .X/ H E X ;

G .X/ H  COS X;

y g9(0)  2 H 0. Con a  0, la ecuación (13) da entonces F ./  EX  F .X/ H L¤M H H : L¤M X! SENX X! G.X/ G ./ 

Z

TEOREMA 2 Forma débil de la regla de l’Hopital Suponga que las funciones f y g son derivables en x  a, que F .A/ H  H G.A/; y que g9(a) H 0. Entonces L¤M

X!A

F .A/ F .X/ H : G.X/ G .A/



Demostración Comenzamos con el lado derecho de la ecuación (13) y trabajamos

hacia el lado izquierdo. F .A/ H G .A/

F .X/ F .A/ X A G.X/ G.A/ L¤M X!A X A

L¤M

X!A

Y 0ENDIENTE FgA GgA 0GT FT

/

H L¤M

X!A

FT 0ENDIENTE GT X

H L¤M

F .X/ F .A/ G.X/ G.A/

H L¤M

F .X/ G.X/

X!A

FIGURA 4.8.9 Suponga que el punto P (g(t), f (t)) traza una curva continua que pasa por el origen O cuando t  a. Entonces la recta secante OP se acerca a la recta tangente en O cuando t→ a, de modo que su pendiente f (t)yg(t) tiende a la pendiente f 9(a)yg9(a) de la recta tangente en O.

F .X/ F .A/ X A G.X/ G.A/ X A

X!A

[porque f (a)  0  g(a)].

DEFINICI˜NDELADERIVADA

LEYDELCOCIENTEDEL¤MITES

SIMPLIFICACI˜NALGEBRAICA

X

La figura 4.8.9 ilustra el significado y la demostración del teorema 2. El apéndice H incluye una demostración de la forma fuerte de la regla de l’Hôpital, la forma enunciada en el teorema 1.

4.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. f (x) tiene la forma inde1. Si L¤M F .X/ H  H L¤M G.X/ entonces se dice que X!A X!A g(x)  terminada en x  a.  SEN X EX    L¤M H   L¤M H H  X! X! SENX X  EX   SEN X H   L¤M H   L¤M X! SENX X! X C X   LN X LN X 1  L¤M H   L¤M p H H  X!1 LN X X!1 1 X

300

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

LN X   L¤M p H L¤M p H  X!1 X!1 X X

 L¤M

X!

 X C LN X NOEXISTE  C COS  X

10. Si f y g son derivables en x  a, f (a)  0 g(a) y g 9(a) H 0, entonces L¤M

X!A

F .A/ F .X/ H : G.X/ G .A/

4.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS En las siguientes preguntas, piense en las funciones dadas f y g como una tortuga y una liebre en una carrera hacia el infinito cuando x → +∞. ¿Cuál es la tortuga y cuál la liebre?  F .X/ H X  Y G.X/ H X   F .X/ H X = Y G.X/ H X = EX  F .X/ H X  LN X Y G.X/ H  X  F .X/ H E X Y G.X/ ESUNPOLINOMIO  F .X/ H LN X Y G.X/ ESUNPOLINOMIO

4.8 PROBLEMAS Encuentre los límites en los problemas 1 a 48. X  X  X   L¤M X!1 X  C X SEN X  L¤M X! X X  L¤M X! SEN X EX X  L¤M X! X U TAN U L¤M U!  COS U LN X L¤M p X!1  X

X  X  EX  L¤M X! X p  COS X L¤M X!C X  COS X L¤M X! X  C COS Z L¤M Z!=  SEN Z X TAN X L¤M X! X ER L¤M R !1 .R C /

 L¤M

 L¤M





X!

    

LN.X / X! X  E X C EX   L¤M X! X SEN X

 L¤M

SEN X X! TAN X X   L¤M  X! X 

 L¤M

X C SEN X X C COS X X  L¤M X! X  p X  L¤M p X!1 X  X LN. C X/ L¤M X! X E X X  X  L¤M X! X

X!1

    



T C T!1 T LN T TAN X  L¤M X!.=/ LN.COS X/

 L¤M



 L¤M







X!1

  

E X EX X! X X  L¤M X! X   p X C  L¤M X!1 X X L¤M X!1 X p X C X L¤M p X!1 X   LN.LN X/ L¤M X!1 X LN X SEN X TAN X L¤M X! X

 L¤M

  

 E X EX X! X  X   L¤M X!= TAN X X  COS  X  L¤M X! X  p LN X  L¤M p  X!C LN X

EX EX X! X SEC X  L¤M X!= TAN X X SEN  X  L¤M X!= X  

 L¤M

 L¤M

X!

EXP.X  /  X! X SEN X p   C X   L¤M X! X p p  CX  X  L¤M X! X  L¤M

LN. C X  /  L¤M X X! E COS X

LN. C X/ LN. X  / p  C X   L¤M X! X p p  C X  C X  L¤M X! X  L¤M

 L¤M

X!=

 L¤M

X!

 TAN X X 

X  X   X  X 

Bosqueje las gráficas de las curvas en los problemas 49 a 60. Aunque use una calculadora graficadora o computadora, aplique la regla de l’Hôpital cuando sea necesario para verificar el comportamiento aparente de la curva cuando x tiende a un punto donde la función tiene una forma indeterminada. SEN  X X SEN X  Y H X   COS X  Y H X X  Y H XE

SEN  X X COS X  Y H X  X SEN X  Y H X p X  Y H E X

 Y H

p

 Y H XE LN X  Y H X

 Y H

X

 Y H X  EX LN X  Y H p p XC X

61. Demuestre que L¤M

X!1

XK H  si k es un numero real positivo. EX

SECCIÓN 4.9

LN X 62. Demuestre que L¤M H  si k es un número real posiX!1 X K tivo. 63. Suponga que n es un entero positivo fijo mayor que 1. Demuestre que la curva y  x n e −x tiene un solo máximo local y un solo punto de inflexión para x > 0, y además tiene el eje x como asíntota. 64. Suponga que k es un número real positivo arbitrario. Demuestre que la curva y  x−k ln x tiene un solo máximo local y un solo punto de inflexión para x > 0, y además tiene el eje x como asíntota. 1 65. Sustituya y = en la ecuación (11) para demostrar que x L¤M X K LN X H  C

L¤M

X!1

.LN X/N H : X

donde k es una constante. Bosqueje una gráfica típica de C(t) para t ≥ − 0. Luego demuestre que la concentración de contaminante máxima que ocurre en el pueblo es

67. Suponga que f 9(x) es continua. Demuestre que L¤M

H!

F .X C H/ F .X H/ H F .X/: H

#MÖX H

L¤M

! X

 : E

73. a) Si f (x)  x n e−x (donde n es un entero positivo fijo) es la función del problema 63, demuestre que el valor máximo de n −n f (x) para x ≥ − 0 es f (n)  n e . b) Concluya, a partir de que f (n − 1) y f (n + 1) son ambas menores que f (n), que     1 n 1 −n 1+ < e < 1− . n n

El cociente de la diferencia simétrica en el lado izquierdo se usa (con h muy pequeña) para aproximar numéricamente la derivada y resulta ser una mejor aproximación que el cociente de la diferencia de un lado [ f (x + h) − f (x)]yh. 68. Suponga que f 0(x) es continua. Demuestre que H!

F .X/ &.T/ & .T/ F .X/ H L¤M H L¤M H L¤M ; C C X!1 T! '.T/ T! ' .T/ G.X/ G .X/

usando la regla de l’Hôpital para el caso a  0. 71. Demuestre sin usar la regla de l’Hôpital que X X L¤M H C1: X!1 E Entonces la función f (x)  xx crece aún más rápido que la función exponencial ex cuando x → +∞. 72. Si una planta química libera una cantidad A de un contaminante a un canal en el tiempo t  0, entonces la concentración de contaminante que hay en el agua en el tiempo t para un pueblo canal abajo que está a una distancia fija x0 es   x2 A exp − 0 C(t) = √ 4kt πkt

si k es un número real positivo. 66. Demuestre que si n es cualquier entero, entonces X!1

301

Después demuestre que

X!

L¤M

Más formas indeterminadas

F .X C H/  F .X/ C F .X H/ H F .X/: H

Sustituya n  1,000,000 para probar que e  2.71828 con exactitud de cinco decimales. 74. a) Aproxime numéricamente la solución x1 de la ecuación ln x  x1y10 que se indica en la figura 4.8.8. b) Use una calculadora o computadora para trazar las gráficas de y  ln x y y  x1y10 en una ventana que muestre una segunda solución x2 de la ecuación ln x  x1y10. Luego aproxime numéricamente x2. Sugerencia: trace las gráficas en intervalos sucesivos de la forma [10n, 10n+1] donde n  1, 2, 3, . . . Para cuando localice x2 puede tener la sensación de “ir con audacia donde nadie ha ido antes”.

El cociente de la segunda diferencia en el lado izquierdo se usa (con h muy pequeña) para aproximar numéricamente la segunda derivada. 69. En su libro de cálculo de 1696, l’Hôpital utilizó un límite similar p p X X   X L¤M X!  X = para ilustrar su regla. Evalúe este límite. 70. Establezca la versión 0y0 de la regla de l’Hopital para el caso a  ∞. Sugerencia: haga F(t)  f (1yt) y G(t)  g(1yt).

4.9 MÁS FORMAS INDETERMINADAS Vimos, en la sección 4.8, que la regla de l’Hôpital se aplica a las formas indeterminadas 0y0 e ∞y∞. Existen otras formas indeterminadas; aunque la regla de l’Hôpital no se aplica directamente a estas otras formas, puede ser posible convertirlas en la forma 0y0 o en la forma ∞y∞. Si es así, tal vez se pueda aplicar la regla de l’Hôpital. Suponga que L¤M F .X/ H 

X!A

Y

L¤M G.X/ H 1:

X!A

Entonces se dice que el producto f (x) · g(x) tiene la forma indeterminada 0 · ∞ en x  a (o cuando x → a). Para encontrar el límite de f (x) · g(x) en x  a, podemos cambiar el problema a una de las formas 0y0 o ∞y∞ de esta manera:

CAPÍTULO 4

302

Aplicaciones adicionales de la derivada

F .X/
G.X/ H

G.X/ F .X/ H : =G.X/ =F .X/

Ahora se puede aplicar la regla de l’Hôpital si sus otras hipótesis se satisfacen, como se ilustra en el ejemplo 1. EJEMPLO 1

X   X C

Encuentre L¤M X LN X!1

Solución Se trata de la forma indeterminada 0 · ∞, por lo que escribimos X  L¤M X LN X!1 X C

LN H L¤M

X!1

X  X C :  X

El límite del lado derecho tiene la forma 0y0, de manera que aplicamos la regla de l’Hôpital. Primero observe que X  X C

$X LN

 : X 

H

!S¤

L¤M X LN

X!1

X  X C

H L¤M

X!1





X

H L¤M

X!1



 Y 





    X

X

X  H L¤M X   X!1

Y  YXLN

X  X



          X

FIGURA 4.9.1 Corroboración visual del límite del ejemplo 1.

 H :    X

!S¤ LACURVA Y H X LN

X  ; X C

X > ;

tiene la recta y  −2 como asíntota horizontal cuando x → +∞. (Vea la figura 4.9.1.) Z Además, tiene la recta x  1 como asíntota vertical cuando x → 1+. (¿Por qué?) Si L¤M F .X/ H C1 H L¤M G.X/;

X!A

X!A

entonces se dice que f (x) − g(x) tiene la forma indeterminada ∞ − ∞ cuando x → a. Para evaluar L¤M T F .X/ G.X/U;

X!A

intentamos convertir, mediante manipulación algebraica, f (x) − g(x) en una forma del tipo 0y0 o ∞y∞ de manera que sea posible aplicar la regla de l’Hôpital. Si f (x) o g(x) se expresa como una fracción, algunas veces se logra encontrando un denominador común. Sin embargo, en la mayor parte de los casos se requieren métodos más refinados. El ejemplo 2 ilustra la técnica de encontrar el denominador común. El ejemplo 3 muestra una técnica de factorización que puede ser efectiva.

SECCIÓN 4.9

Más formas indeterminadas

303

EJEMPLO 2 L¤M

X!

  X SEN X

H L¤M

.SEN X/ X X SEN X

FORMA =

H L¤M

.COS X/  SEN X C X COS X

TODAV¤A =

H L¤M

SEN X H :  COS X X SEN X

X!

X!

X!

Z

EJEMPLO 3 L¤M

X!C1

X  C X X H L¤M X

C

X!C1

  X

FORMA1


  X AHORAFORMA=  X  =  C X  X   X    H :   C X C

H L¤M

X!C1

     Y  







 

Y

Y

 

H L¤M

X!C1

XX X

H L¤M

X!C1





X







FIGURA 4.9.2 Corroboración visual del límite del ejemplo 3.

√ Así, la curva y = x 2 + 3x − x, x > 0, tiene la recta y  32 como una asíntota horizontal cuando x → +∞. (Vea la figura 4.9.2.) Z

Formas indeterminadas 00, ∞0 y 1∞ Suponga que debemos encontrar el límite de una cantidad Y H T F .X/UG.X/ ;

donde los límites de f y g cuando x → a son tales que se produce una de las formas indeterminadas 00, ∞0 y 1∞. Primero calculamos el logaritmo natural LN Y H LN T F .X/UG.X/ H G.X/ LN F .X/:

Para cada una de las tres formas indeterminadas mencionadas, g(x) ln f (x) tiene la forma 0 · ∞, de modo que podemos usar los métodos anteriores para encontrar L  L¤M ln y (suponiendo que f (x) > 0 cerca de x  a, de forma que y > 0). Entonces X!A

L¤M ; F .X/=G.X/ H L¤M Y H L¤M EXP.LN Y/ H EXP L¤M LN Y H E , ;

X!A

X!A

X!A

X!A

porque la función exponencial es continua. De este modo, tenemos los siguientes cuatro pasos para encontrar el límite de [ f (x)] g(x) cuando x → a: 1. Realice y  [ f (x)] g(x). 2. Simplifique ln y  g(x) ln f (x). 3. Evalúe , H L¤M LN Y X!A

4. Concluya que L¤M ; F .X/=G.X/ H E ,  X!A

CAPÍTULO 4

304

Aplicaciones adicionales de la derivada

    z  Y E  Y     YCOSX X   

    X

EJEMPLO 4



Encuentre L¤M .COS X/=X  X!

Solución Tenemos la forma indeterminada 1∞. Si hacemos y = (cos x)1/x , entonces  ln cos x 2 . ln y = ln (cos x)1/x = x2 Cuando x → 0, cos x → 1, y entonces ln cos x → 0; ahora tenemos la forma indeterminada 0y0. Por lo tanto dos aplicaciones de la regla de l’Hôpital dan 2

LN COS X .SEN X/=.COS X/ TAN X H L¤M H L¤M X! X! X X X SEC X  H : H L¤M X!  

FORMA=

L¤M LN Y H L¤M







FIGURA 4.9.3 Corroboración visual del límite del ejemplo 4.

X!

X!

En consecuencia, como sugiere la figura 4.9.3,   L¤M .COS X/=X H E= H p : X! E

EJEMPLO 5

Z

Encuentre L¤M X TAN X  X!C

Solución Tenemos la forma indeterminada 00. Si y  x tan x, entonces

     Y      

ln y = (tan x)(ln x) =

Ahora tenemos la forma indeterminada ∞y∞, y la regla de l’Hôpital lleva a

YXTANX





X



ln x . cot x



FIGURA 4.9.4 Corroboración visual del límite del ejemplo 5.

 LN X SEN X X H L¤M H L¤M L¤M LN Y H L¤M X X!C X!C COT X X!C CSC X X!C SEN X .SEN X/ H ./
 H : H L¤M X X!C

Por lo tanto, L¤MX!C X TAN X H E H  La gráfica de la curva y  x tan x, 0 < x < πy2 en la figura 4.9.4 proporciona la corroboración de este límite. También observamos un mínimo local en la curva cerca de x  0.4. (Vea el problema 45.) Z Aunque a0  1 para cualquier constante a diferente de cero, la forma 00 es indeterminada; el límite no necesariamente es 1 (vea el problema 52). Pero la forma 0∞ no es indeterminada, su límite es cero. Por ejemplo, L¤M X =X H :

Y

X!C

YE



Y 

 X



El número e como límite

X

  X

FIGURA  4.9.5  La gráfica 1 x tiene la asíntota y = 1+ x horizontal y  e.

La figura 4.9.5 muestra la gráfica de la función   1 x f (x) = 1 + x

(1)

para x > 0. La gráfica parece comenzar en el punto (0, 1) y acercarse a una asíntota horizontal cuando x → +∞. Observe que f (x) tiene la forma indeterminada ∞0 cuando x → 0+ y tiene la forma indeterminada 1∞ cuando x → +∞. En cada caso, la estrategia es calcular el límite de ln f (x):

L¤M LN  C

 X

X

H L¤M X
LN  C

 X

LN  C H L¤M

 X

 X

:

SECCIÓN 4.9

Más formas indeterminadas

305

El último límite tiene la forma indeterminada ∞y∞ cuando x → 0+ y tiene la forma indeterminada 0y0 cuando x → +∞. En cada caso, podemos aplicar la regla de l’Hôpital para obtener   
X X   CUANDO X ! C ; X  C .=X/ H H L¤M H L¤M L¤M LN  C   CUANDO X ! C1: X X C  X !S¤ ENCONTRAMOSQUE  X H E H  L¤M  C X X!C YQUE  X H E H E:  L¤M  C X!C1 X El último límite muestra que la asíntota horizontal en la figura 4.9.5 es la recta y  e. Si escribimos x  n (un entero positivo) en la ecuación (2), obtenemos el conocido límite E H L¤M

N!1

C

N

 N



;

que puede usarse para aproximar el número e. En el problema 44 se pide que use la regla de l’Hôpital de manera parecida para derivar la expresión de límite más general E X H L¤M  C N!1

X N

N



para la función exponencial. El límite en (3) se puede aproximar con una calculadora rudimentaria sustituyendo n  2 k (una potencia de 2) para obtener K     

 C K 

K

         

FIGURA 4.9.6 Aproximación del número e.

E H L¤M

K!1

 C K 

K

K

H L¤M  

donde v  1 + (1y2k). Por lo cual (ν 2 )2 = ν 4 ,

(ν 4 )2 = ν 8 ,



K!1

(ν 8 )2 = ν 16 ,

... ,





k−1 2

ν2

k

= ν2 .

k

Por lo tanto, debemos obtener el valor [1 + (1/2k )]2 si introducimos v  1 + (1y2k) y luego oprimimos la tecla x2 , k veces sucesivas. (Intente esto con su calculadora. ¿Puede ver cómo y por qué el proceso puede fallar si k es demasiado grande?) Los elementos de la tabla en la figura 4.9.6 se calcularon usando una computadora de alta precisión (no una simple calculadora). Indican que e  2.71828 1828 con precisión de nueve decimales.

4.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. X  X  H 1
 H   L¤M X LN H   L¤M X LN X!1 X!1 X C X C   X  C X X H 11 H  H   L¤M  L¤M X!1 X! X SEN X   X  C X X H   L¤M .COS X/=X H 1 H   L¤M X!1 X!      L¤M .COS X/=X H E=   L¤M .COS X/=X H  X! X!   L¤M X TAN X H  H   L¤M X TAN X H  X!C

X!C

306

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

4.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Enumere las siete formas indeterminadas estudiadas en las secciones 4.8 y 4.9. Ilustre cada una con un ejemplo propio. 2. Explique en sus palabras por qué 0∞ y 0−∞ no son formas indeterminadas. 3. Suponga que alguien asegura que “el cálculo es meramente el estudio de formas indeterminadas”. Con base en lo aprendido hasta ahora, ¿qué argumento daría (en pro o en contra) de esta aseveración?

4.9 PROBLEMAS Encuentre los límites en los problemas 1 a 34.  L¤M X COT X

 L¤M

X!

X!

 L¤M

 COT X X

X!

 L¤M .SEN X/.LN SEN X/

 L¤M X  CSC X

 L¤M EX LN X

 L¤M X.E=X /

 L¤M

X!C

 L¤M

X!C

 L¤M .X SEN X/ EXP.X /

X  CX  X  p p  L¤M X C X X

X!C

X!1

 L¤M

  X LN. C X/

 L¤M

X C X

X!

X!1 

 L¤M

X!1

X X

X  C X C  X

 L¤M X X X!C

 L¤M

X  X C 

X

 L¤M X SEN X

 L¤M



 X

X

 L¤M .LN X/=X

X!C

X!1

X!1

     Y      





FIGURA 4.9.7

X!1

X





X!C

 p  X  X  

X  X  C  X

Las figuras 4.9.7 a 4.9.9 ilustran las gráficas de algunas funciones definidas para x > 0 en los problemas 35 a 42. En cada uno de estos problemas: a) Primero use su calculadora graficadora o computadora para trazar la función f (x) dada con un intervalo en x suficiente para sugerir su comportamiento cuando x → 0+ y cuando x → +∞. b) Después aplique la regla de l’Hôpital como sea necesario para certificar este comportamiento sospechado cerca de cero y de +∞. c) Por último, estime gráfica y/o numéricamente el valor máxi≥ 0. Si es posible, encuentre el mo alcanzado por f (x) para x − valor máximo exacto.

X!1

  X X E 

 L¤M

X!=

 L¤M .X /LN X



X!1

  p SEN X X

 L¤M

X!

 L¤M



X!

X!C

 L¤M .TAN X SEC X/

X!

  X  LN.X /

X!=

 L¤M .X / CSC X

 L¤M .SEN X/SEC X

COS

 L¤M X =.X/

 L¤M .TAN X/.COS X/

X!C

X!C

X!C

X!1

 L¤M X LN X

 L¤M

X!1

X!C

X!

 L¤M . C X/=.X/

 X  L¤M .X C SEN X/X  L¤M

X!1

=X 

X

 X C   L¤M LN X! X X C  X!

SEN X X

/

 F .X/ H X =X  F .X/ H .X  /=X

 F .X/ H X .=X  F .X/ H X X

 F .X/ H . C X  /=X

 F .X/ H  C

 F .X/ H .X C SEN X/=X

 F .X/ H E=X



 X

X

.COS X/

     Y      

Use la regla del l’Hôpital para establecer los límites en los problemas 43 y 44. X N  L¤M . C HX/= H H E X  L¤M  C H EX N!1 H! N    Y    





FIGURA 4.9.8

X















FIGURA 4.9.9

X







SECCIÓN 4.9

45. Estime gráfica o numéricamente la localización del punto mínimo local en la gráfica y  x tan x mostrada en la figura 4.9.4. 46. Sea n un entero positivo fijo y sea p(x) el polinomio p(x) = x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + · · · + an−1 x + an ;

los números a1, a2, . . . , an son número reales fijos. Pruebe que A L¤M ; P.X/==N X H : X!1 N 47. Como se verá en el problema 52 de la sección 7.6, el área de la superficie de la elipsoide obtenida al rotar la elipse y2 x2 + =1 a2 b2

(a > b > 0)

alrededor del eje x es ! H AB

donde c = trar que

A B C SEN  A C

C A

;

√ a 2 − b2 . Use la regla de l’Hôpital para demosL¤M ! H A  ;

B!A

el área de la superficie de la esfera de radio a. 48. La cantidad A0 se invierte en una cuenta que gana interés a ≤ 1 compuesto n veces cada año, entonces una tasa anual r − la cantidad A en la cuenta después de t años está dada por   r nt A = A0 1 + . n a) Demuestre que A es una función creciente de n (con r y t fijas). De este modo, el banco que compone con mayor frecuencia para más interés. b) Use la regla de l’Hôpital para demostrar que L¤M !.N/ H !  ER T :

N!1

Ésta es la cantidad después de t años si el banco paga interés compuesto “continuamente”. El “rendimiento anual” es el valor de este límite en el caso t  1. c) Si un banco anuncia un interés anual de 8% compuesto continuamente, ¿cuál es el rendimiento anual? 49. La gráfica de la función f (x)  |ln x |1yx para x > 0 y determine su comportamiento cuando x → 0+ y cuando x → +∞. Estime gráfica y/o numéricamente las localizaciones de cualesquiera puntos críticos o puntos de inflexión en la gráfica de f.

Más formas indeterminadas

307

50. Grafique la función f (x) = | ln x|1/| ln x| para x > 0 y determine su comportamiento cuando x → 0+, cuando x → +∞ y cuando x se acerca a 1 por cualquier lado. 51. Grafique la función f (x) = | ln x|| ln x| para x > 0 y determine su comportamiento cuando x → 0+, cuando x → +∞ y cuando x se acerca a 1 por cualquier lado. Explore gráficamente (amplificando) y simbólicamente (por derivación) la cuestión de si f es derivable en x  1. 52. Sea α un número real fijo. a) Evalúe (en términos de α) la forma indeterminada 00 L¤M EXP

X!

X 

 X

:

(Observe que no se necesita la regla de l’Hôpital.) La forma indeterminada 00 puede tener como límite cualquier número real positivo. Explique por qué. b) ¿Puede ser cero el límite de una forma indeterminada 00, negativo o infinito? Explique por qué sí o por qué no. 53. Bosqueje la gráfica de la función f (x)  (1 + x)1yx para ≥ −1, x 0. Explique por qué puede aproximar el númex− ro e amplificando la intercepción y aparente de esta gráfica. Hágalo, con precisión de cinco decimales. 54. Este problema explora el hecho de que una pelota de plomo choca contra el suelo con mayor velocidad que una pluma cuando ambos se dejan caer al mismo tiempo desde lo alto de un edificio. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad hacia abajo v, se demostrará en el capítulo 8 que después de t segundos la velocidad de un cuerpo que cae con masa m está dada por  mg  v(t) = 1 − e−kt/m k donde g es la aceleración de la gravedad conocida y k denota un coeficiente de resistencia del aire constante. a) Observe que MG : L¤M G.T/ H T!1 K Así, la velocidad de un cuerpo tiende a un límite finito después de caer durante un tiempo suficientemente largo. b) Note que L¤M G.T/ H :

M!

En consecuencia, un cuerpo ligero “como pluma” cae muy despacio por el aire. c) Demuestre que L¤M G.T/ H GT H L¤M G.T/;

M!1

K!C

la velocidad del cuerpo después de t segundos cuando no hay resistencia del aire. Así, un cuerpo muy pesado tiende a caer casi igual que cuando no hay resistencia del aire.

308

CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

CAPÍTULO 4: REPASO Comprensión: conceptos y definiciones, resultados Consulte las páginas indicadas para revisar los conceptos, definiciones y fórmulas de este capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 4.2 Incremento y y la diferencial dy de una función y  f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Fórmula de la aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Aproximación lineal de f (x) cerca del punto x  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Error absoluto y relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Error y − dy en la aproximación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Reglas de diferenciación y funciones decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231-232 4.3 Funciones crecientes y funciones decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Interpretación geométrica del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Enunciado y demostración del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237-238 Funciones constantes y derivadas cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Funciones con derivadas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Importancia del signo de la primera derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235, 240 4.4 Distinción entre extremo local (o relativo) y global (o absoluto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Prueba de la primera derivada para extremos locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Problemas de máximo-mínimo en intervalo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Prueba de la primera derivada para extremos globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 4.5 Pasos para graficar polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Comportamiento al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Puntos críticos y comportamiento creciente/decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.6 Segunda derivada y derivadas más altas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Importancia de los signos de la segunda derivada vuelta hacia arriba y vuelta hacia abajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267-268 Prueba de la segunda derivada para extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Definición de concavidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Prueba de concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Definición de puntos de inflexión y prueba de puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Uso de puntos de inflexión para bosquejar curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 4.7 Límites infinitos de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Asíntotas verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Límites al infinito, esto es, cuando x → ±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Asíntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Estrategia para dibujar curvas, uso de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Asíntotas inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4.8 Regla de l’Hôpital y la forma indeterminada 0y0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293-294 Forma indeterminada ∞y∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Orden de magnitud de las funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296-298 4.9 Formas indeterminadas 0 · ∞ y ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301-302 Formas indeterminadas 00, ∞0 y 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 El número e como un límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Capítulo 4

Problemas diversos

309

CAPÍTULO 4: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas indicados en cada sección para practicar los métodos y técnicas de este capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 4.2 Calcular diferenciales de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9, 13 Encontrar aproximaciones lineales a funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 23 Calcular aproximaciones lineales numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 31, 33 Aplicar diferenciales en situaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 43, 49 4.3 Usar comportamiento creciente-decreciente para dar la correspondencia entre funciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Determinar intervalos creciente-decrecientes de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13, 19, 21 Verificar hipótesis y conclusiones del teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 31 Verificar hipótesis y conclusiones del teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35 4.4 Usar la prueba de la primera derivada para clasificar puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 13, 21, 23 Resolver problemas aplicados de optimización en intervalo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33, 35, 41, 45 4.5 Usar el comportamiento al infinito para asociar funciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Encontrar puntos críticos y comportamiento creciente-decreciente. . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 11 Bosquejar gráficas de polinomios dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 19, 23, 27 4.6 Calcular derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 13, 17 Encontrar puntos críticos y de inflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27 Aplicar pruebas de la segunda derivada y puntos de inflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35, 47 Usar concavidad y puntos críticos y de inflexión para graficar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 67, 75 Asociar gráficas de funciones y de sus segundas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 79 4.7 Investigar límites infinitos y límites al infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 9 Usar asíntotas para asociar funciones y sus gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21, 25 Bosquejar gráficas con puntos extremos, de inflexión y asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 39, 43, 47, 49 4.8 Aplicar la regla de l’Hôpital a formas 0y0 y ∞y∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9, 13, 19, 25, 29, 33 4.9 Aplicar la regla de l’Hôpital a formas 0 · ∞ y ∞ − ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 7, 9, 13, 17 Aplicar la regla de l’Hôpital a formas 00, ∞0 y 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 31

PROBLEMAS DIVERSOS En los problemas 1 a 6, escriba dy en términos de dx y x. p  Y H .X X  /=  Y H X  X  C  X C  Y H  Y H SEN X  X  p X  Y H X  COS X  Y H SEN X En los problemas 7 a 16, estime el número indicado por aproximación lineal. p   .OTEQUE  H    :  .:/ .OTE QUE  H  p    .OTE QUE  H  p p       p  =    p p       En los problemas 17 a 22, estime por aproximación lineal el cambio indicado en la cantidad indicada. 17. El volumen V  s3 de un cubo, si la longitud de su lado s aumenta de 5 a 5.1 in. 18. El área A  πr 2 de un círculo, si su radio r disminuye de 10 a 9.8 cm.

19. El volumen V  43 πr 3 de una esfera, si su radio r aumenta de 5 a 5.1 cm. 20. El volumen V  1000yp in3 de gas, si la presión p disminuye de 100 a 99 lb/in2. √ 21. El periodo de oscilación T  2π L/32 de un péndulo, si su longitud aumenta de 2 pies a 2 pies 1 pulgada. (El tiempo T está en segundos y L en pies.) 22. La vida útil L  1030yE13 de un foco con voltaje aplicado de E volts (V), si el voltaje aumenta de 110 V a 111 V. Compare su resultado con el cambio exacto en la función L. Si el teorema del valor medio se aplica a la función f en un intervalo [a, b], asegura la existencia de una solución c en el intervalo (a, b) de la ecuación f  (c) =

f (b) − f (a) . b−a

En los problemas 23 a 28 se dan una función f y un intervalo [a, b]. Verifique que las hipótesis del teorema del valor medio se satisfacen para f en [a, b]. Después use la ecuación dada para encontrar el valor del número c. 1 ; [1, 3] x 24. f (x) = x 3 + x − 4; [−2, 3]

23. f (x) = x −

310 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

25. f (x) = x 3 ; [−1, 2] 27. f (x) = 11 x 5 ; [−1, 2] 5

26. f (x) = x 3 ; [−2, 1] √ 28. f (x) = x; [0, 4]

Bosqueje las gráficas de las funciones en los problemas 29 a 33. Indique el máximo y el mínimo local de cada función y los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Muestre la estructura cóncava de la gráfica e identifique todos los puntos de inflexión. 29. f (x) = x 2 − 6x + 4 30. f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 36x √ 31. f (x) = 3x 5 − 5x 3 + 60x 32. f (x) = (3 − x) x √ 33. f (x) = (1 − x) 3 x 34. Demuestre que la ecuación x5 + x  5 tiene exactamente una solución real. Calcule las primeras tres derivadas de las funciones en los problemas 35 a 44. 35. f (x) = x 3 − 2x 36. f (x) = (x + 1)100 √ 1 1 37. g(t) = − 38. h(y) = 3y − 1 t 2t + 1 1 3/2 39. f (t) = 2t − 3t 4/3 40. g(x) = 2 x +9 √ t +2 3 41. h(t) = 42. f (z) = 3 z + √ 5 t −2 z √ 8 43. g(x) = 3 5 − 4x 44. g(t) = (3 − t)3/2 En los problemas 45 a 52, calcule dyydx y dy2ydx2 con la suposición de que y está definida implícitamente como una función de x por la ecuación dada.  X = C Y = H   X  X Y C Y  H  p   Y Y C  H X  SEN X Y H X Y    X  C X Y  H   X C Y H X Y C     Y Y H X Y  .X  Y  / H X Y Bosqueje las gráficas de las funciones en los problemas 53 a 72, indique todos los puntos críticos, puntos de inflexión y asíntotas. Muestre la estructura cóncava claramente.  F .X/ H X  X  F .X/ H X  X  p    F .X/ H X X  F .X/ H X X  p X   F .X/ H  F .X/ H X   X X C X X C   F .X/ H   F .X/ H  X  X X  X X   F .X/ H   F .X/ H  X X  X   F .X/ H X  X   F .X/ H X  X  X  F .X/ H   F .X/ H X  X X   F .X/ H  C X  X  X  F .X/ H  NOTE QUE  C X .X /.X C / F .X/ H .X  C /

69. f (x) = x 3 − 3x 71.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

70. f (x) = x 4 − 12x 2 1 1 f (x) = x 3 + x 2 − 5x + 3 72. f (x) = + 2 x x La función 1 f (x) = 2 x + 2x + 2 tiene un valor máximo, y sólo uno. Encuéntrelo. Debe fabricar una olla cilíndrica, sin tapa, con un volumen de 1 ft3. La parte cilíndrica de la olla debe ser de aluminio, la base de cobre. El cobre es cinco veces más costoso que el aluminio. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total de la olla? Debe hacer una caja rectangular sin tapa con volumen de 4500 cm3. Si su base es rectangular tiene el lado largo del doble que el corto, ¿qué dimensiones minimizan el área total de la base y los cuatro lados? Fabrique una caja rectangular pequeña con volumen de 324 in3. Su base es cuadrada y cuesta el doble (por pulgada cuadrada) que la tapa y los cuatro lados. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del material necesario para hacer esta caja? Fabrique una caja pequeña rectangular con un volumen de 400 in3. Su base es un rectángulo con el lado largo del doble que el corto. La base cuesta 7¢/in2; la tapa y los cuatro lados cuestan 5¢/in2. ¿Qué dimensiones minimizan el costo de la caja? Suponga que f (x) es un polinomio cúbico con exactamente tres ceros reales. Pruebe que los dos ceros de f 9(x) son reales y diferentes. Suponga que cuesta 1 + (0.0003)v3y2 dólares por milla operar un camión a v millas por hora. Si hay costos adicionales (como el sueldo del conductor) de 10 dólares/hora, ¿cuál es la velocidad que minimiza el costo total de un viaje de 1000 millas? Los números a1, a2, . . . , an son fijos. Encuentre una fórmula sencilla para el número x tal que la suma de los cuadrados de las distancias de x a n números fijos es tan pequeña como sea posible. Bosqueje la curva y2  x(x − 1)(x − 2), demostrando que consiste en dos partes —una acotada y la otra no acotada— y tiene dos tangentes horizontales, tres tangentes verticales, y dos puntos de inflexión. [Sugerencia: note que la curva es simétrica respecto al eje x. Comience por determinar los intervalos en los que el producto x(x − 1) (x −2) es positivo. Calcule dyydx y d2yydx2 por derivación implícita.] La granjera Rogers quiere poner una barda en una parcela rectangular con área de 2400 ft2. También quiere usar barda adicional para construir una división interna paralela a dos de las secciones externas (figura 4.PD.1). ¿Cuál es la longitud total mínima de barda que requiere ese proyecto? Verifique que su respuesta es un mínimo local.

YQUE F .X/ H

X.X  / : .X  C /

FIGURA 4.PD.1 Barda del problema 82.

Capítulo 4

83. El granjero Simmons quiere bardar una parcela rectangular que tiene área de 1800 ft2. También quiere colocar dos bardas adicionales como divisores internos, ambas paralelas a las mismas dos secciones externas (figura 4.PD.2). ¿Cuál es la longitud total mínima de barda que requiere este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo global.

Problemas diversos 311

un entero positivo fijo pero no especificado). ¿Cuál es el área de la superficie mínima posible de esta caja? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 93. La gráfica de f (x)  x1y3(1 − x)2y3 se muestra en la figura 4.PD.3. Recordará que en la sección 4.7 vimos que esta gráfica tiene una asíntota inclinada con ecuación y  mx + b siempre que L¤M T F .X/ .MX C B/U H  X!C1

OQUE L¤M T F .X/ .MX C B/U H :

X!1

FIGURA 4.PD.2 Barda del problema 83.

84. La granjera Taylor quiere bardar una parcela rectangular con área de 2250 m2. También quiere usar barda adicional para construir tres divisores internos, todos paralelos a las mismas dos secciones externas. ¿Cuál es la longitud total mínima de barda que requiere este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 85. El granjero Upshaw quiere una barda alrededor de una parcela rectangular con área de A ft2. También desea utilizar barda adicional para construir n (un entero positivo fijo pero no especificado) divisores internos, todos paralelos a las mismas dos secciones externas. ¿Cuál es la longitud total mínima de barda que requiere este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 86. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto que está en el primer cuadrante con sus puntos terminales en los ejes coordenados y también es tangente a la gráfica de y  1yx2? Verifique que su respuesta es un mínimo global. 87. Se forma un triángulo rectángulo en el primer cuadrante con un segmento de recta que es tangente a la gráfica de y  1yx2 y cuyos puntos terminales están en los ejes coordenados. ¿Existe un área máxima posible de tal triángulo? ¿Existe una mínima? Justifique sus respuestas. 88. Un triángulo rectángulo se forma en el primer cuadrante con un segmento de recta que es tangente a la gráfica de y  1yx y cuyos puntos terminales están en los ejes coordenados. ¿Existe un área máxima posible de tal triángulo? ¿Existe una mínima? Justifique sus respuestas. 89. Una caja rectangular (con tapa) debe tener un volumen de 288 in3, y el lado largo de su base debe ser exactamente tres veces el lado corto. ¿Cuál es el área de la superficie mínima posible de esta caja? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 90. Una caja rectangular (con tapa) debe tener un volumen de 800 in3, y el lado largo de su base debe ser cuatro veces el lado corto. ¿Cuál es el área de la superficie mínima posible de esta caja? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 91. Una caja rectangular (con tapa) debe tener un volumen de 225 cm3, y el lado largo de su base debe ser cinco veces el lado corto. ¿Cuál es el área de la superficie mínima posible de esta caja? Verifique que su respuesta es el mínimo global. 92. Una caja rectangular (con tapa) debe tener un volumen V, y el lado largo de su base debe ser n veces el lado corto (n es

(Los valores de m y b pueden ser muy diferentes en los dos casos x → +∞ y x → −∞.) La gráfica aquí parece tener este tipo de asíntota cuando x → +∞. Encuentre m evaluando F .X/ : L¤M X!C1 X Después encuentre b evaluando L¤M T F .X/ MXU: X!C1

Por último, encuentre m y b para el caso en que x → −∞. Y  









X





FIGURA 4.PD.3 Gráfica de y  f (x) del problema 93.

94. Usted se encuentra en el extremo sur de un lago circular de radio 1 mi. Su plan es nadar en línea recta a otro punto de la orilla, luego correr al punto extremo norte. Usted corre dos veces más rápido de lo que nada. ¿Qué ruta le dará el tiempo mínimo requerido para su traslado? Encuentre los límites en los problemas 95 a 109. X  X   C COS X  L¤M X! .X / TAN T SEN T  L¤M T! T  L¤M .COT X/ LN. C X/

SEN X X X SEN X  L¤M X! X LN.LN X/  L¤M X!1 LN X  L¤M .E=X / TAN X

 L¤M

 L¤M

X!

X!

X!C

X!

 L¤M

X!

 L¤M

X!1

  X  COS X X X 

 L¤M

X!1

p

 L¤M X =X X!1

X  L¤M .EX X/=X

X!1

 L¤M T EXP.X  /U=X

X X  X C X C

X!1



312 CAPÍTULO 4

Aplicaciones adicionales de la derivada

 X E [Sugerencia: haga u  1yx y tome X!1 X el límite cuando u → 0+.] 110. De acuerdo con el problema 53 de la sección 7.6, el área de la superficie de la elipsoide obtenida al rotar alrededor del eje x la elipse con ecuación  2  2 x y + =1 (0 < a < b) a b

109. L¤M X

C

es

 A = 2πab

  a b+c b + ln , a c a

√ donde c = b2 − a 2 . Use la regla del l’Hopital para demostrar que L¤M ! H A  ; B!A

el área de la superficie de la esfera de radio a.

5

La integral

A

rquímedes de Siracusa fue el matemático más grande de los tiempos antiguos, desde el siglo v a.C. hasta el siglo ii d.C., cuando la semilla de las matemáticas modernas germinó en las comunidades griegas localizadas principalmente en las costas del mar Mediterráneo. En su tiempo fue famoso debido a sus invenciones mecániArquímedes (287-212 a.C.) cas —el llamado tornillo de Arquímedes para bombear agua, instrumentos de poleas y palancas (“denme un punto de apoyo y moveré al mundo”), un planetario que duplicaba el movimiento de los cuerpos celestes con tanta precisión que ilustraba los eclipses de Sol y de la Luna y máquinas de guerra que aterrorizaron a los soldados romanos en el sitio de Siracusa, durante el cual mataron a Arquímedes—. Pero se dice que para Arquímedes todos estos inventos eran solamente “juegos divertidos de geometría” y sus escritos estaban dedicados a investigaciones matemáticas. Arquímedes realizó muchos cálculos de áreas y volúmenes, que ahora usan cálculo integral: desde áreas de círculos, esferas y segmentos de secciones cónicas hasta volúmenes de conos, esferas, elipsoides y paraboloides. Anteriormente, Euclides había demostrado, en sus Elementos, que el área A de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio r, es decir, A  πr 2, para alguna constante de proporcionalidad π. Pero fue Arquímedes quien encontró en forma precisa el valor numérico de π, demostrando que se encuentra entre el valor 3 17, memorizado por los estudiantes de las escuelas elementales y su cota inferior 3 10 . 71 Euclides también demostró que el volumen V de una esfera de radio r está dado por V  μr 3 (μ constante), pero Arquímedes descubrió (y demostró) que μ  4πy3. Tam-

bién descubrió las fórmulas ahora tan familiares de volumen V  πr 2h y V   πr 2h para el cilindro y el cono, respectivamente, con base en el radio r y la altura h. Por mucho tiempo se pensó que Arquímedes no había descubierto originalmente sus fórmulas de áreas y volúmenes por medio de los argumentos basados en límites que utilizó para establecerlas en forma rigurosa. En 1906, un tratado de Arquímedes titulado El método fue redescubierto, por accidente, después de haber estado perdido desde tiempos antiguos. En él se describe el “método de descubrimiento” basado en el uso de infinitesimales, como los que se utilizaron durante la invención y exploración del cálculo en los siglos VII y VIII. Para que se recordaran sus fórmulas de la esfera y el cilindro, Arquímedes pidió que en la lápida de su tumba se grabara una esfera inscrita en un cilindro. Si la altura del cilindro es h  2r, ¿puede verificar que las áreas totales AC y AE del cilindro y la esfera, y sus volúmenes VC y VE están relacionados por las fórmulas de Arquímedes ! % H  ! #

Y

6% H  6# 

Así, los volúmenes y las áreas de la esfera y el cilindro tienen la misma razón 2 : 3.

H

R

313

314 CAPÍTULO 5

La integral

5.1 INTRODUCCIÓN Y 0ENDIENTE M YFX 0X F X

X

X

FIGURA 5.1.1 El problema de la recta tangente motivó el cálculo diferencial.

En los capítulos 1 a 4 estudiamos cálculo diferencial, que es una de las dos ramas estrechamente relacionadas del cálculo. El cálculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recuerde que la motivación original de la derivada fue el problema de definir qué significa que una línea recta sea tangente a la gráfica de una función y calcular las pendientes de esas rectas (figura 5.1.1). En contraste, la importancia de la derivada es el resultado de sus aplicaciones a diversos problemas que, a primera vista, parecen no relacionarse con las rectas tangentes. El cálculo integral está basado en el concepto de la integral. La definición de la integral está motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x dentro de un intervalo cerrado dado [a, b]. El área de la región R en la figura 5.1.2 está dada por la integral de f de a a b, y denotada por el símbolo  b f (x) d x. (1) a

Y

YFX

2 ¬REA! A

B

X

FIGURA 5.1.2 El problema del área motivó el cálculo integral.

Pero la integral, como la derivada, es importante por sus aplicaciones en muchos problemas que podrían parecer no relacionados con su motivación original; problemas que involucran movimiento y velocidad, crecimiento de población, volúmenes, longitudes de arcos, áreas y centros de gravedad, entre otros. El teorema principal de este capítulo es el teorema fundamental del cálculo y aparece en la sección 5.6. Proporciona una conexión vital entre las operaciones de diferenciación e integración al ofrecer un método efectivo para calcular los valores de las integrales. Resulta que, para poder utilizar este teorema para evaluar la integral en (1), debemos encontrar no la derivada de la función f (x) sino más bien una nueva función F(x) cuya derivada es f (x): F 9(x)  f (x)

(2)

Así, necesitamos una “derivación en reversa”. Por lo tanto, comenzaremos en la sección 5.2 con una investigación de la antiderivación.

5.2 ANTIDERIVADAS Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer gran parte de las leyes y principios científicos. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton sostiene que la razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio que lo rodea (figura 5.2.1). Esto es, D4 H K.4 !/; DT



donde k es una constante positiva y A, que se supone constante, es la temperatura que lo rodea. En forma similar, la tasa de cambio de la población P con tasas de nacimiento y muerte constantes es proporcional al tamaño de la población: dP = kP dt

(k constante).

(2)

La ley de Torricelli de drenaje (figura 5.2.2) implica que la tasa de cambio de la profundidad y del agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de y; esto es, dy √ = −k y dt

(k constante).

(3)

Los modelos matemáticos de situaciones reales con frecuencia involucran ecuaciones que contienen derivadas de funciones desconocidas. Éstas, incluyendo las ecuaciones (1) a (3), se llaman ecuaciones diferenciales.

SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

315

4EMPERATURA! 6OLUMEN6

Y

4EMPERATURA4

FIGURA 5.2.1 La ley de enfriamiento de Newton (ecuación (1)) describe el enfriamiento de una roca caliente en agua fría.

FIGURA 5.2.2 La ley del drenaje de Torricelli (ecuación (3)) describe la salida de agua de un tanque cilíndrico.

Antiderivadas El tipo más sencillo de ecuación diferencial tiene la forma DY H F .X/; DX



donde f es una función dada (conocida) y la función y(x) no se conoce. El proceso de encontrar una función a partir de su derivada es el opuesto a la derivación por lo que se llama antiderivación. Si podemos encontrar una función y(x) cuya derivada es f (x), y9(x)  f (x) por lo tanto decimos que y (x) es la antiderivada de f (x).

DEFINICIÓN Antiderivada Una antiderivada de la función f es una función F tal que F 9(x)  f (x) siempre que f (x) esté definida. La tabla en la figura 5.2.3 muestra algunos ejemplos de funciones, cada una apareada con su antiderivada. La figura 5.2.4 ilustra las operaciones de derivación y antiderivación, comenzando con la misma función f y trabajando en direcciones opuestas. La figura 5.2.5 muestra la derivación “deshaciendo” el resultado de la antiderivación —la derivada de la antiderivada de f (x) es la función original f (x). !NTIDERIVADA &X

!NTIDERIVACI˜N

&UNCI˜N F .X/

!NTIDERIVADA &.X/

 X X COS X SENX

X X   X  SENX  COS X

FIGURA 5.2.3 Algunas antiderivadas.

&UNCI˜N FX

$ERIVACI˜N

$ERIVADA F gX

FIGURA 5.2.4 La derivación y la antiderivación son opuestas.

&X

!NTIDERIVACI˜N

$ERIVACI˜N

FX

FIGURA 5.2.5 La derivación deshace el resultado de la antiderivación.

316 CAPÍTULO 5

La integral

EJEMPLO 1 Dada la función f (x)  3x 2, F(x)  x 3 es una antiderivada de f (x), como también lo son las funciones G (x)  x 3 + 17,

H (x)  x 3 + π,

K (x)  x 3 −

y

.

En efecto, J(x)  x + C es una antiderivada de f (x)  3x para cualquier elección de la constante C. Z 3

2

Por lo tanto, una sola función tiene muchas antiderivadas, mientras que una función tiene sólo una derivada. Si F (x) es una derivada de f (x), también lo es F (x) + C para cualquier constante C. La inversa de esta declaración es más aguda: si F (x) es una antiderivada de f (x) en el intervalo I, por lo que toda antiderivada de f (x) en I es de la forma F (x) + C. Esto se deduce directamente del corolario 2 del teorema del valor medio en la sección 4.3, según el cual dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren sólo por una constante en ese intervalo. Las gráficas de dos antiderivadas F (x) + C1 y F (x) + C2 de la misma función f (x) en el mismo intervalo I son “paralelas” en el sentido que se aprecia en las figuras 5.2.6 a 5.2.8. Ahí observamos que la constante C es la distancia vertical entre las curvas y  F (x) y y  F (x) + C para cada x en I. Ésta es la interpretación geométrica del teorema 1. 





#

Y 

#







#   X

FIGURA 5.2.6 Gráfica de y  x 2 + C para distintos valores de C.

Y 

#



#  YX#

  



# 

# 



#

YSENX#

#

# Y 



#

# 

YX#



















# 



# 



 X





FIGURA 5.2.7 Gráfica de y  x 3 + C para distintos valores de C.





 X





FIGURA 5.2.8 Gráfica de y  sen x + C para distintos valores de C.

TEOREMA 1 La antiderivada más general Si F 9(x)  f (x) en cada punto de un intervalo abierto I, entonces cada antiderivada G de f en I tiene la forma G(x)  F(x) + C (5) donde C es una constante. Si F es cualquier antiderivada de f en el intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I tiene la forma F (x) + C, como establece la ecuación (5). La colección de todas las antiderivadas de la función f (x) se llama integral indefinida de f respecto a x y se denota por  f (x) d x. Según el teorema 1, se puede escribir F .X/ D X H &.X/ C #;

donde F (x) es cualquier antiderivada particular de f (x). Por lo tanto, F .X/ D X H &.X/ C # si y sólo si F 9(x)  f (x).



SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

317

El símbolo de la integral ∫ se escribe como una S mayúscula alargada. De hecho, es una S medieval, usada por Leibniz como una abreviatura a la palabra en latín summa (“suma”). Nosotros pensamos en la combinación ∫ . . . d x como un solo símbolo; y llenamos el “espacio” con la fórmula de la función cuya antiderivada buscamos. Podemos considerar el diferencial d x como la especificación de la variable independiente x tanto en la función f (x) como en sus antiderivadas. EJEMPLO 2

Los valores en la figura 5.2.3 llevan a las integrales indefinidas  D X H X C #; X D X H X  C #; X  D X H  X  C #; COS X D X H SEN X C #;

Y SEN X D X H

 

COS X C #:

Verifique cada fórmula derivando el lado derecho. Sin duda, ésta es una forma segura de probar cualquier antiderivación: para verificar que F (x) es una antiderivada de f (x), calcule F9(x) para ver si obtiene o no f (x). Por ejemplo, la derivación D x(−12 cos 2x + C )  −12 (−2 sen 2x) + 0  sen 2x Z

es suficiente para verificar la quinta fórmula de este ejemplo.

El diferencial d x en la ecuación (6) especifica que la variable independiente es x. Pero podemos describir una antiderivación específica en términos de cualquier variable independiente que sea conveniente. Por ejemplo, las integrales indefinidas T  DT H T  C #;

Y  DY H Y  H #;

Y

U  DU H U  C #

significan exactamente lo mismo que  3x 2 d x = x 3 + C.

Uso de las fórmulas de integrales Cada fórmula de derivación proporciona de inmediato —“invirtiendo” la derivación— una fórmula correspondiente a la integral indefinida. Las ahora familiares derivadas de potencias de funciones y funciones trigonométricas y exponenciales proporcionan las fórmulas que se muestran en el teorema 2.

TEOREMA 2

Algunas fórmulas de integrales X KC C # .SI K KC  COS KX D X H SEN KX C #; K  SEN KX D X H COS KX C #; K  SEC KX D X H TAN KX C #; K XK DX H

/;

(7) (8) (9) (10)

318 CAPÍTULO 5

La integral

 CSC KX D X H COT KX C #; K  SEC KX TAN KX D X H SEC KX C #; K  CSC KX COT KX D X H CSC KX C #; K

Y

EKX D X H

 KX E C #: K

(11) (12) (13) (14)

El caso k  −1 excluido en la ecuación (7) corresponde al hecho de que D x [ln x]  1yx si x > 0, entonces

OBSERVACIÓN 1

 D X H LN X C # X

.X > /:

OBSERVACIÓN 2 Asegúrese de entender por qué hay un signo menos en la ecuación (9), ¡pero no lo hay en la ecuación (8)!

Recuerde que la operación de derivación es lineal, que significa que $X ;C&.X/= H C& .X/

DONDE C ESUNACONSTANTE

Y $X ;&.X/  '.X/= H & .X/  ' .X/:

Por lo que, usando la notación de la antiderivación, se deduce que C F .X/ D X H C

F .X/ D X

.C ESUNACONSTANTE



Y F .X/ D X 

; F .X/  G.X/= D X H

G.X/ D X



Se pueden resumir estas dos ecuaciones diciendo que la antiderivación es lineal. Esencialmente, antiderivamos una suma de funciones con la antiderivación individual de cada una de ellas. Esto es, antiderivación por términos (o término-a-término). Lo que es más, un coeficiente constante en cualquiera de esos términos simplemente “se acarrea” en la antiderivación. EJEMPLO 3

Encuentre

 

√

4 x +3 x − 2 x 3

 d x.

Solución Como se hizo en derivación, preparamos la antiderivación escribiendo las raíces y los recíprocos como potencias con exponentes fraccionarios o negativos. Así p  X C  X  X H

X DX C 

DX H

X  C X = X  D X

X = D X 

X X  X = C
 
C#    p   H X  C X X C C #:  X H

X  D X

;CONLASECUACIONES Y = ;CONLAECUACION =

SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

319

Sólo hay una “+ C ” porque la prueba infalible verifica que 14 x 4 + 2x 3y 2 + 4x − 1 es una antiderivada específica. De tal manera que cualquier otra antiderivada difiere de ésta sólo por una constante C. Z EJEMPLO 4 . COS T C  SEN T C ET / DT H H H

 

COS T DT C   

SEN T C   COS T C   

ET DT ;CONLASECUACIONES Y =

SEN T DT C 

SEN T COS T C

 T E 

 T E 

C # ;CONLASECUACIONES  Y =

C #:

Z

La ecuación (7) es la regla de potencias “al revés”. La regla de potencia generalizada invertida es U K DU H

U KC C# KC

.SI K

/;



DONDE U H G.X/

EJEMPLO 5

Y

DU H G .X/ D X:

Con u  x + 5 (por lo que d u  d x), la ecuación (17) resulta en   10 (x + 5) d x = u 10 du =

1 11 u 11

+C =

1 (x 11

+ 5)11 + C.

Observe que, después de sustituir u  x + 5 e integrar respecto a u, el paso final es expresar la antiderivada resultante en términos de la variable original x. Z EJEMPLO 6

Se desea encontrar



20 d x. (4 − 5x)3

Se planea usar la ecuación (17) con u  4 − 5x, pero debemos poner el diferencial d u − 5d x en acción. La “regla del multiplicador-constante” de la ecuación (15) permite que se haga esto:  D X H  . X/ D X . X/  . X/ . D X/ H  H 

U  DU

.U H  X; DU H  D X/

H 


U  C# 

;%CUACI˜N CONKH =



!S¤   DX H C #:  . X/ . X/

El paso clave ocurre en (18). De hecho, multiplicamos por la constante −5 dentro de la integral y lo compensamos dividiendo entre −5 fuera de ella. Al final fue necesario sustituir u con 4 − 5x para expresar la antiderivada en términos de la variable original x. Z

320

CAPÍTULO 5

La integral

Ecuaciones diferenciales muy sencillas La técnica de antiderivación se usa con frecuencia para resolver ecuaciones diferenciales de la forma especial DY H F .X/ DX



en la cual la variable dependiente y no aparece en el lado derecho. Resolver la ecuación diferencial en (19) significa encontrar una función y(x) que satisfaga la ecuación (19): una función cuya derivada sea la función dada f (x). Por lo tanto, la solución general de la ecuación (19) es la integral indefinida Y.X/ H

F .X/ D X C #



de la función f (x). EJEMPLO 7

La solución general de la ecuación diferencial DY H X  DX

ESTÖDADAPOR Y.X/ H

X  D X H X  C #:

Z

Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (19) puede aparecer junto con una condición inicial, una condición de la forma y(x0 ) = y0 .

(21)

Esta condición especifica el valor y  y0 que debe tener la función solución y(x) en x  x0. Una vez que se ha encontrado la solución general de la ecuación (20), se puede determinar el valor de la constante C sustituyendo la información y  y0 cuando x  x0. Con el valor específico de C, la ecuación (20) da la solución particular de la ecuación diferencial en (19) que satisface las condiciones iniciales de la ecuación (21). La combinación DY H F .X/; DX



Y.X / H Y



de una ecuación diferencial con condiciones iniciales se llama problema de valor inicial.



#

Y

EJEMPLO 8

#



#  # 



# 



YXX# X





FIGURA 5.2.9 Solución general de y  x 2 + 3x + C de la ecuación diferencial (22) (ejemplo 8).

Resuelva el problema de valor inicial dy = 2x + 3, y(1) = 2. dx

(23)

Solución Por la ecuación (20), la solución general de la ecuación diferencial d yyd x  2x + 3 está dada por  y(x) = (2x + 3) d x = x 2 + 3x + C. La figura 5.2.9 muestra la gráfica de y  x 2 + 3x + C para varios valores de C. La solución particular que buscamos corresponde a la curva en esa figura que pasa por el punto (1, 2), satisfaciendo con ello la condición inicial y(1)  (1) 2 + 3 · (1) + C  2. Se deduce que 4 + C  2, por lo tanto C  −2. Así, la solución particular deseada está dada por y(x) = x 2 + 3x − 2.

Z

SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

321

OBSERVACIÓN El método usado en el ejemplo 8 puede describirse como “integrar ambos lados de una ecuación diferencial” respecto a x:     dy d x = (2x + 3) d x; dx

y(x) = x 2 + 3x + C.

Movimiento rectilíneo X XT 

0OSICI˜NEN ELTIEMPOT

FIGURA 5.2.10 Función de posición x(t) de una partícula moviéndose en el eje x.

La antiderivación nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento de una partícula (o “masa puntual”) en términos de las fuerzas que actúan sobre ella. Si la partícula se mueve con un movimiento rectilíneo por una recta —como el eje x— bajo la influencia de una fuerza dada (tal vez variable), entonces (como en la sección 3.1) el movimiento de la partícula se describe por la función de posición X H X.T/;



que da la coordenada x en el tiempo t (figura 5.2.10). La velocidad v(t) de la partícula es la derivada en el tiempo de su función de la posición, G.T/ H

DX ; DT



y su aceleración a(t) es la derivada en el tiempo de su velocidad: A.T/ H

X X

4IEMPOT VELOCIDADXg 



En una situación típica se da la siguiente información (figura 5.2.11):

X 

DX DG H : DT DT



FIGURA 5.2.11 Datos iniciales para el movimiento lineal.

A.T/

LAACELERACI˜NDELAPART¤CULA

X./ H X

POSICI˜NINICIAL

G./ H G

VELOCIDADINICIAL



En principio, podemos proceder como sigue para encontrar la función de posición x(t) de la partícula. Primero resolvemos el problema del valor inicial dv = a(t), v(0) = v0 (28) dt para obtener la función de velocidad v (t). Conociendo v (t), resolvemos el problema del valor inicial dx = v(t), dt

x(0) = x0

(29)

para obtener la función de posición x (t) de la partícula. De esa forma determinamos x (t) a partir de la aceleración y los datos iniciales dados en la ecuación (27) resolviendo dos problemas sucesivos de valor inicial. Para esto podemos utilizar las versiones de integrales G.T/ H

A.T/ DT



X.T/ H

G.T/ DT



Y

de las fórmulas de derivadas en (25) y (26), recordando que cada antiderivación involucra una constante arbitraria.

322

CAPÍTULO 5

La integral

EJEMPLO 9 Una partícula inicia en reposo (esto es, con velocidad inicial cero) en el punto x  10 y se mueve por el eje x con una función de aceleración a(t)  12t. Encuentre la función de posición x(t) resultante.

Solución Primero resolvemos el problema de valor inicial dv = a(t) = 12t, v(0) = 0 dt para encontrar la función de velocidad v(t). Usando la ecuación (30) obtenemos   v(t) = a(t) dt = 12t dt = 6t 2 + C1 . (Escribimos C1 porque anticipamos la aparición de una segunda constante al integrar de nuevo para encontrar x(t).) Así, sustituyendo los datos iniciales t  0, v  0 tenemos 0  6 · 0 2 + C1  C1 y se deduce que v (t)  6t 2. Luego resolvemos el problema de valor inicial dx = v(t) = 6t 2 , dt

x(0) = 10

para obtener x (t). Usando la ecuación (31) obtenemos   x(t) = v(t) dt = 6t 2 dt = 2t 3 + C2 . Ahora, sustituyendo los datos iniciales t  0, x  10 tenemos 10  2 · 0 3 + C 2  C 2 de manera que la función de posición de la partícula es x(t) = 2t 3 + 10.

Z

Aceleración constante La solución de los problemas de valor inicial en las ecuaciones (28) y (29) es más sencilla cuando la aceleración dada a es constante. Iniciamos con dv = a (a es una constante) dt y al antiderivar G.T/ H

A DT:

$EMANERAQUE G.T/ H AT C # :



Para evaluar la constante C1, se sustituye el valor v(0)  v0; esto deriva en v0 = a · 0 + C1 = C1 . Por lo tanto, la ecuación (32) es ahora G.T/ H AT C G :



Como x9(t)  v(t), una segunda antiderivación resulta en  x(t) = v(t) dt  = (at + v0 ) dt; x(t) = 12 at 2 + v0 t + C2 .

(34)

SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

323

Ahora, sustituyendo el valor inicial x(0)  x0, tenemos x0  1y2 a · (0) 2 + v0 · (0) + C 2  C 2 en la ecuación (34). Así, la función de la posición de la partícula es X.T/ H  AT  C G T C X :



Las ecuaciones (33) y (35) sólo son válidas en el caso de aceleración a constante. No se aplican a problemas en los que la aceleración varía.

ADVERTENCIA

EJEMPLO 10 Las marcas de derrape de un auto indican que los frenos se aplicaron a fondo una distancia de 160 pies antes de detenerse. Suponga que el auto en este problema tiene una desaceleración constante de 20 ft/s 2 en las condiciones del derrape. ¿Qué tan rápido viajaba el automóvil cuando se aplicaron los frenos por primera vez?

Solución La introducción de un sistema de coordenadas conveniente con frecuencia es crucial para resolver con éxito un problema físico. En este caso, tomamos el eje x con el lado positivo en la dirección de movimiento del auto. Elegimos el origen de forma que x0  0 cuando t  0, tiempo en que se aplican los frenos (figura 5.2.12). En este sistema de coordenadas, la velocidad del automóvil v(t) es una función decreciente en el tiempo t (en segundos), entonces su aceleración es a  −20 (ft/s 2) y no a  +20. Comenzando con la ecuación de la aceleración constante dv = −20. dt

$ESACELERACI˜NCONSTANTE A  X )NICIOT X  

!LTOX 

FIGURA 5.2.12 Marcas de derrape de 160 pies de largo (ejemplo 10).

La antiderivación como en la ecuación (30) da  v(t) = (−20) dt = −20t + C1 . Aun cuando la velocidad inicial se desconoce y no está dada, los datos iniciales t  0, v  v0 llevan a C1  v0. Por lo que la función de la velocidad del auto es v(t) = −20t + v0 .

(36)

Una segunda antiderivación, como en la ecuación (31), da  x(t) = (−20t + v0 ) dt = −10t 2 + v0 t + C2 . Sustituyendo los datos iniciales t  0, x0  0 se tiene C2  0, por lo tanto, la función de la posición del auto es x(t) = −10t 2 + v0 t.

(37)

El hecho de que las marcas de derrape tengan 160 ft de largo nos dicen que x  160 cuando el auto se detiene, esto es, x  160

cuando

v  0.

324

CAPÍTULO 5

La integral

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de velocidad y posición [ecuaciones (36) y (37)] se obtienen dos ecuaciones simultáneas −20t + v0  0,

−10t 2 + v0t  160.

Despejamos v0 y t de estas ecuaciones para encontrar la velocidad inicial v0 y la duración t del derrape del automóvil. Si multiplicamos la primera ecuación por −t y sumamos el resultado a la segunda ecuación, encontramos que 10t 2  160, de donde t  4 cuando el auto logra detenerse. Se deduce que la velocidad del auto era v0  20 · 4  80 (ft/s). o alrededor de 55 mi/h, cuando se aplicaron por primera vez los frenos.

Z

Movimiento vertical con aceleración gravitacional constante

Fotografía estroboscópica de una pelota cayendo con aceleración constante debida a la gravedad.

Y

0OSICI˜N ENELTIEMPOT

Una aplicación común de las ecuaciones (33) y (35) se relaciona con el movimiento vertical cerca de la superficie de la Tierra. Una partícula en ese movimiento está sujeta a una aceleración hacia abajo, que es casi exactamente constante si están involucradas sólo pequeñas distancias verticales. La magnitud aproximada de esta constante que se denota por g es 32 ft/s 2 o 9.8 m/s 2. (Si requiere un valor más exacto utilice 32.17 ft/s 2 en el sistema inglés o 9.807 m/s 2 en el sistema decimal.) Si despreciamos la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración ocasionada por la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento. Como aquí se maneja el movimiento vertical, es natural que seleccionemos el eje y como el sistema de coordenadas para la posición de la partícula y coloquemos el “nivel del suelo” en y  0 (figura 5.2.13). Si elegimos la dirección hacia arriba como la dirección positiva, el efecto de la gravedad sobre la partícula hará decrecer su altura y decrecer su velocidad v  d yyd t. Así, la aceleración de la partícula es

YT

AH

DG H G H  DT

.FTS /:

Las ecuaciones (33) y (35) se convierten en 3UELO Y

FIGURA 5.2.13 Función de posición y(t) de una partícula en movimiento vertical.

G.T/ H T C G



Y.T/ H T  C G T C Y



Y

En este caso, y0 es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en pies por segundo y el tiempo t está medido en segundos. 6ALORES POSITIVOS HACIA ARRIBA

EJEMPLO 11 Suponga que un dardo se dispara hacia arriba con una ballesta colocada a nivel del suelo y que impacta el suelo 20 s después. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire, encuentre la velocidad inicial del dardo y la altura máxima que alcanzó.

Y

AT  G

T Y Y   

3UELO

FIGURA 5.2.14 Dardo disparado hacia arriba con una ballesta (ejemplo 11).

Solución Utilizamos el sistema de coordenadas ilustrado en la figura 5.2.14, con el nivel del suelo en y  0, el dardo disparado en el tiempo t  0 (en segundos) y la dirección positiva hacia arriba. Las unidades del eje y son pies. Se da y  0 en t  20. No tenemos información de la velocidad inicial v0. Pero podemos usar las ecuaciones (38) y (39) porque se estableció un sistema de coordenadas en el cual la aceleración debida a la gravedad actúa en la dirección negativa. Así, y (t)  −16t 2 + v0 t + y0  −16t 2 + v0 t y

v(t)  −32 t + v0.

SECCIÓN 5.2

Antiderivadas y problemas de valor inicial

325

Usando la información de y  0 en t  20 en la primera ecuación 0  −16 · 20 2 + 20v0 y así

v0  16 · 20  320

(ft/s).

Para encontrar la altura máxima del dardo, maximizamos y(t) encontrando el valor de t donde la derivada es cero. En otras palabras, el dardo alcanza la altura máxima cuando su velocidad es cero: dy = −32t + v0 = 0, dt

entonces en la altura máxima, t  v0y32  10. En ese tiempo el dardo alcanza la altura máxima de ymáx  y(10)  −16 · 10 2 + 320 · 10  1600 (ft). El resultado parece ser contrario a la experiencia empírica, lo que sugiere que no siempre se puede despreciar la resistencia del aire, en particular en problemas que involucran largas jornadas con altas velocidades. Z

5.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La ley de drenaje de Torricelli implica que la tasa de cambio de la profundidad y p del agua en un tanque que se drena es proporcional a Y . 2. Si F 9(x)  f (x), entonces F se llama una antiderivada de f.  3. 2x d x = x 2 + C   4. Si c es una constante, entonces c f (x) d x = c f (x) d x.  1 (x + 5)10 d x = (x + 5)11 + C. 5. 11  6. k H −1; entonces x k d x = x k+1 + C. 7. La solución general de una ecuación diferencial dy = 3x 2 dx

es y(x)  x 3 + C. 8. La solución del problema con valor inicial dy = 2x + 3, dx

y(1) = 2

es y(x)  x 2 + 3x + 2. 9. La solución del problema con valor inicial dv = 12t, dt

v(0) = 0

es v (t)  6t 2. 10. Si una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t) y aceleración consdv tante a, entonces  a. dt

CAPÍTULO 5

326

La integral

5.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Enumere las características correspondientes de las gráficas de una función f y su antiderivada F. Por lo tanto, describa una estrategia según la cual —dado un dibujo con las gráficas de f y F— determine cuál es cuál. Aplique su estrategia a las siguientes gráficas, donde h es tanto la derivada como la antiderivada de g. 1. Figura 5.2.15 Y

2. Figura 5.2.16 Y

G

G

H X

X H

FIGURA 5.2.15

FIGURA 5.2.16

3. Figura 5.2.17

4. Figura 5.2.18 Y

Y H

H

G X

X G

FIGURA 5.2.17

FIGURA 5.2.18

5.2 PROBLEMAS Evalúe las integrales indefinidas en los problemas 1 a 30.   1. (3x 2 + 2x + 1) d x 2. (3t 4 + 5t − 6) dt     1 3. (1 − 2x 2 + 3x 3 ) d x 4. − 2 dt t       √ 3 5 3/2 5/2 5. + 2x − 1 d x 6. x − − x dx x3 x4      3 1/2  2 3 7. t + 7 dt 8. − dx 2 x 3/4 x 2/3    √   √ 4 1 3 9. x2 + √ x − d x 10. 2x dx √ 4 x x5     1 5 5 12. 11. (4x 3 − 4x + 6) d x t − 2 dt 4 t   1 13. 7e x/7 d x dx 14. 7x   15. (x + 1)4 d x 16. (t + 1)10 dt   √ 1 17. d x 18. z + 1 dz (x − 10)7   √ √ 3 19. x (1 − x)2 d x 20. x (x + 1)3 d x  21.  23.

2x 4 − 3x 3 + 5 dx 7x 2 (9t + 11)5 dt

EX C EX D X

 

. COS X  SEN X/ D X



. COS  X C  SEN  X/ D X



. COS T C COS T/ DT



. SEN  T  SEN T/ DT

(3x + 4)2 dx √ x  1 24. dz (3z + 10)7



DX

31. Verifique por derivación que las fórmulas de integrales SEN X COS X D X H

 

SEN  X C #

Y SEN X COS X D X H  COS X C #

son ambas válidas. Concilie estos resultados en apariencia diferentes. ¿Cuál es la relación entre las constantes C1 y C2? 32. Demuestre que las funciones obviamente diferentes



22.

E X C EX



& .X/ H

 X

Y

& .X/ H

X X

son ambas antiderivadas de f (x)  1y(1 − x) 2. ¿Cuál es la relación entre F1(x) y F2 (x)?

SECCIÓN 5.2

33. Use las identidades  COS X SEN  X H 

53. Figura 5.2.19 Y

 C COS X COS X H 

para encontrar las antiderivadas SEN  X DX

Y

COS X D X:

34. a) Para empezar, explique por qué ∫ sec 2 x d x  tan x + C. b) Luego use la identidad 1 + tan 2 x  sec 2 x para encontrar la antiderivada  tan2 x d x. Resuelva los problemas de valor inicial en los problemas 35 a 46. 35.

dy = 2x + 1; y(0) = 3 dx

dy = (x − 2)3 ; y(2) = 1 36. dx 37.

√ dy = x ; y(4) = 0 dx

38.

1 dy = 2 ; y(1) = 5 dx x

39.

1 dy ; y(2) = −1 = √ dx x +2

√ dy 40. = x + 9; y(−4) = 0 dx 41.

2 dy = 3x 3 + 2 ; y(1) = 1 dx x

42.

3 dy = x 4 − 3x + 3 ; y(1) = −1 dx x

dy = (x − 1)3 ; y(0) = 2 dx √ dy 44. = x + 5; y(4) = −3 dx 43.

45.

dy = 6e2x ; y(0) = 10 dx

46.

3 dy = ; y(1) = 7 dx x

En los problemas 47 a 52, una partícula se mueve en el eje x con función de aceleración a(t), posición inicial x (0) y velocidad inicial v(0) dadas. Encuentre la función de posición x (t) de la partícula.      

Antiderivadas y problemas de valor inicial

     V       





54. Figura 5.2.20

T







FIGURA 5.2.19 Gráfica de la función de velocidad v(t) del problema 53.

55. Figura 5.2.21      V       





     V       





T







FIGURA 5.2.20 Gráfica de la función de velocidad v(t) del problema 54.

56. Figura 5.2.22

T







FIGURA 5.2.21 Gráfica de la función de velocidad v(t) del problema 55.

     V       





T







FIGURA 5.2.22 Gráfica de la función de velocidad v(t) del problema 56.

Los problemas 57 a 73 tratan del movimiento vertical cerca de la superficie de la Tierra (la resistencia del aire se considera despreciable). Use g  32 ft/s 2 como la magnitud de la aceleración de la gravedad. 57. Se lanza una pelota hacia arriba con velocidad inicial de 96 ft/s. ¿Qué tan alto llega y cuánto tiempo permanece en el aire? 58. Cuando Alex lanza una canica directamente hacia arriba con una honda, la canica alcanza una altura de 400 pies. ¿Cuál es la velocidad inicial de la canica? 59. Laura tira una piedra a un pozo; llega al fondo 3 segundos después. ¿Cuál es la profundidad del pozo? 60. Fran lanza una piedra directamente hacia arriba cerca de un árbol (figura 5.2.23). La piedra se eleva hasta la altura del árbol y luego cae al suelo; permanece en el aire durante 4 s. ¿Cuál es la altura del árbol?

A.T/ H T  X./ H  G./ H  A.T/ H  T X./ H  G./ H  A.T/ H T   X./ H  G./ H  p A.T/ H  T  X./ H  G./ H  A.T/ H SEN T X./ H  G./ H  A.T/ H  COS T X./ H  G./ H 

En los problemas 53 a 56, una partícula inicia en el origen y viaja por el eje x con la función de velocidad v(t) cuya gráfica se muestra en las figuras 5.2.19 a 5.2.22. Bosqueje la gráfica de la función de posición x(t) para 0  t  10.

327

H

FIGURA 5.2.23 Árbol del problema 60.

328

CAPÍTULO 5

La integral

61. Mickey lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 48 ft/s desde el techo de un edificio de 160 ft de altura. La pelota pronto cae al suelo en la base del edificio (figura 5.2.24). ¿Cuánto tiempo permanece en el aire y con qué velocidad choca con el suelo?

71.

72. Y

73.

74. Y

FIGURA 5.2.24 Edificio del problema 61.

62. Una pelota se deja caer desde el techo de un edificio de 576 pies de altura. ¿Con qué velocidad se debe lanzar una segunda pelota directamente hacia abajo 3 s después para que las dos lleguen al suelo al mismo tiempo? 63. Una pelota se deja caer desde la parte más alta del Empire State, a 960 pies sobre el nivel de la calle 34. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar a la calle y cuál es su velocidad cuando lo hace? 64. Lynda lanza una flecha directamente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 320 ft/s. a) ¿A qué altura está la flecha después de 3 segundos? b) ¿En qué momento la flecha estará exactamente a una altura de 1200 ft sobre el nivel del suelo? c) ¿Cuántos segundos después de ser lanzada chocará con el suelo? 65. Bill lanza una piedra directamente hacia arriba desde el suelo. La piedra alcanza una altura máxima de 225 pies. ¿Cuál fue la velocidad inicial? 66. Sydney deja caer una piedra en un pozo de agua cuya superficie se encuentra 98 m por debajo del suelo. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie del agua? ¿Qué tan rápido se mueve cuando penetra la superficie del agua? 67. Gloria deja caer una pelota de tenis desde el techo de un edificio de 400 pies de altura. ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad choca contra el suelo? 68. Kosmo lanza una pelota de béisbol directamente hacia abajo desde el techo de un edificio alto. La velocidad inicial de la pelota es 25 ft/s. La pelota choca contra el suelo con una velocidad de 153 ft/s. ¿Cuál es la altura del edificio? 69. Se lanza una pelota desde el suelo directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 160 ft/s. ¿Qué altura máxima alcanzará la pelota? 70. Carolyn deja caer una bolsa de arena desde el techo de un edificio alto de h pies de altura. Al mismo tiempo Jon lanza una pelota hacia arriba desde el suelo desde un punto directamente debajo de la bolsa de arena. ¿Con qué velocidad (inicial) debe lanzar la pelota para que encuentre a la bolsa

75.

76.

de arena a medio camino, donde ambas tienen una altura de hy2? Kelly lanza una pelota de béisbol directamente hacia abajo con una velocidad inicial de 40 ft/s desde la parte más alta del monumento a Washington (555 ft de altura). ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad choca contra éste? Se deja caer una piedra desde una altura inicial de h pies por encima del suelo. Muestre √ que la velocidad con que la piedra choca con el suelo es 2gh . Una bomba se deja caer desde un globo que flota a una altitud de 800 ft. Justo abajo del globo se lanza un proyectil directamente hacia arriba contra la bomba exactamente 2 s después de que ésta fue arrojada. ¿Cuál es la velocidad inicial con que debe lanzarse el proyectil para que choque con la bomba a una altura exacta de 400 ft? Los frenos de un automóvil se aplican cuando el auto se mueve a una velocidad de 60 mi/h (exactamente 88 ft/s). Los frenos proporcionan una desaceleración de 40 ft/s 2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse? Un auto viaja a 60 mi/h (exactamente 88 ft/s), patina 176 ft después de que se aplican los frenos. La desaceleración producida por los frenos es constante. ¿Cuál es su valor? Una nave espacial viaja en caída libre hacia la superficie de la Luna con una velocidad de 1000 mi/h. Sus retrocohetes, al ser disparados, proporcionan una desaceleración de 20000 mi/h 2. ¿A qué altura de la superficie deben encender los retrocohetes los astronautas para asegurar un “alunizaje suave” (v  0 al impacto)? (Vea la figura 5.2.25.) Ignore el efecto del campo gravitacional de la luna.

A

V

3UPERFICIELUNAR

FIGURA 5.2.25 La nave espacial del problema 76.

77. a) ¿Con qué velocidad inicial v0 se debe lanzar una pelota para que alcance una altura máxima de 144 ft? b) Ahora suponga que lanza la pelota con la misma velocidad inicial v0 en la luna, donde la aceleración gravitacional en su superficie es de 5.2 ft/s 2. ¿A qué altura subirá la pelota y cuánto tiempo permanecerá en vuelo? 78. En la novela de Arthur C. Clark Los vientos del Sol (1963) se describe a Diana, una nave espacial propulsada por el viento solar. Su vela aluminizada de 2 mi 2 le permite una aceleración de (0.001)g  0.032 ft/s 2. Si Diana inicia en posición de reposo y viaja en línea recta, calcule la distancia x recorrida (en millas) y su velocidad v (en mi/h) después de 1 minuto, 1 hora y 1 día. 79. Un chofer involucrado en un accidente insiste que su velocidad era sólo de 25 mi/h. Cuando la policía probó su automóvil, encontraron que cuando se aplican los frenos a 25 mi/h, derrapaba sólo 45 ft antes de detenerse. La marca de derrape en la escena del accidente medía 210 ft. Suponiendo la misma (constante) desaceleración, calcule la velocidad a la que se movía el auto antes del accidente.

SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

329

5.3 CÁLCULOS ELEMENTALES DE ÁREA Las integrales indefinidas de la sección 5.2 son el resultado del concepto de la antiderivación. El tipo más fundamental de integrales es el mencionado en la sección 5.1, asociada con el concepto de área. Se le llama integral definida o simplemente la integral. Sorprendentemente, los conceptos de área y antiderivación, que son bastante diferentes, tienen una relación muy cercana y profunda. Este hecho, descubierto y explorado por Newton y Leibniz en el siglo xvii es la razón de que se use la misma palabra, integral, en ambos contextos.

Concepto de área El primer contacto que todos tenemos con el concepto de área es la fórmula A  bh, la cual nos da el área de un rectángulo como el producto de la longitud de su base b por su altura h. Luego aprendimos que el área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura. Esto es posible porque cualquier triángulo se puede dividir en dos triángulos rectángulos, y todo triángulo rectángulo es exactamente la mitad del rectángulo (figura 5.3.1).

H

B

FIGURA 5.3.1 Es sencillo entender la fórmula del área de un triángulo, A   bh, con la ayuda de esta figura.

FIGURA 5.3.2 Cualquier polígono se puede representar como la unión de triángulos que no se traslapan.

Dada la fórmula A  12 bh para el área de un triángulo, se puede —en principio— encontrar el área de cualquier figura poligonal (región plana limitada por una “curva” cerrada formada por un número finito de segmentos de recta). La razón es que cualquier figura poligonal puede dividirse en triángulos que no se sobreponen (figura 5.3.2) y el área de la figura poligonal es, pues, la suma de las áreas de esos triángulos. Esta forma de estimar las áreas se remonta miles de años hasta las civilizaciones antiguas de Egipto y Babilonia. Los griegos antiguos comenzaron la investigación de las áreas de figuras curvilíneas en los siglos iv y v a.C. Dada una región plana R cuya área buscaban, trabajaron con un polígono P inscrito en R (figura 5.3.3) junto con un polígono Q circunscrito a R (figura 5.3.4). Si los polígonos P y Q tienen un número suficiente de lados, todos pequeños, entonces parecerá que sus áreas a(P) y a(Q) son una aproximación cercana al área de la región R. Es más, es posible controlar el error: vemos que a(P) < a(R) < a(Q)

(1)

porque R contiene al polígono P pero está contenido por el polígono Q. 2

0

A

2

0

1

B

FIGURA 5.3.3 a) Un polígono P de seis lados inscrito en R; b) un polígono inscrito P de muchos lados aproxima más de cerca el área de R.

1 2

2

A

B

FIGURA 5.3.4 a) Un polígono Q de seis lados circunscrito en R; b) un polígono inscrito Q de muchos lados aproxima mejor el área de R.

330

CAPÍTULO 5

La integral

Las desigualdades en (1) engloban el área deseada a(R). Suponga, por ejemplo, que los cálculos basados en disecciones triangulares (como en la figura 5.3.2) dan a(P)  7.341 y a(Q)  7.343. Así, la desigualdad que resulta 7.341 < a(R) < 7.343, da a(R) ≈ 7.34, con una precisión de dos decimales. El objetivo principal es describir una técnica sistemática con la cual aproximar el área de una región curvilínea apropiada usando áreas poligonales fáciles de calcular.

Áreas bajo gráficas Considere el tipo de región que está determinada por una función continua de valores positivos f definida en el intervalo [a, b]. Suponga que se desea calcular el área A de la región R que está bajo la curva y  f (x) y sobre el eje x en el intervalo [a, b] (figura 5.3.5). La región R está limitada por la izquierda con una línea vertical x  a y por la derecha con la línea vertical x  b.

YFX YFX

¬REA!DELAREGI˜N2 A

B X

FIGURA 5.3.5 El área bajo la curva y  f (x) desde x  a hasta x  b.

A

B

X

FIGURA 5.3.6 Franjas verticales determinadas por la subdivisión de [a, b] en subintervalos de igual longitud.

Dividimos el intervalo de la base [a, b] en subintervalos, todos de la misma longitud. Arriba de cada subintervalo hay una franja vertical (figura 5.3.6) y el área A es la suma de las áreas de estas franjas. En cada subintervalo de la base construimos un rectángulo que aproxime la franja vertical correspondiente. Se puede elegir un rectángulo “inscrito” o “circunscrito” (ambas posibilidades aparecen en la figura 5.3.6), o incluso un rectángulo intermedio entre esos dos. Estos rectángulos forman un polígono que aproxima la región R y por lo tanto la suma de las áreas de estos rectángulos aproxima el área A buscada. Por ejemplo, suponga que queremos aproximar el área A de la región R que está abajo de la parábola y  x 2 y arriba del eje x en el intervalo [0, 3]. Las gráficas de computadora de la figura 5.3.7 nos muestran sucesivamente • • • •

5 rectángulos inscritos y 5 rectángulos circunscritos; 10 rectángulos inscritos y 10 rectángulos circunscritos; 20 rectángulos inscritos y 20 rectángulos circunscritos; 40 rectángulos inscritos y 40 rectángulos circunscritos;

Cada colección de rectángulos inscritos da una subestimación de A, mientras que cada colección de rectángulos circunscritos da una sobreestimación de A. Los “triángulos curvilíneos” (por los que los polígonos rectangulares de la figura 5.3.7 se quedan cortos o sobrepasan la región R) constituyen los errores en estas estimaciones. Mientras más rectángulos se usen más precisa es la aproximación. Por lo tanto, para aproximar exactamente el área de una región como R, necesitamos una forma de calcular y sumar las áreas de colecciones de rectángulos como los que se muestran en la figura 5.3.7. EJEMPLO 1 En la figura 5.3.7, R es la región que está bajo la gráfica de f (x)  x 2 y arriba del intervalo [0, 3]. Calcule la subestimación y la sobreestimación de área A de R usando 5 rectángulos, cada uno de 35 de ancho. Luego repita los cálculos usando 10 3 de ancho. rectángulos, cada uno de 10

SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

)NSCRITOS

#IRCUNSCRITOS

Y

A

Y













 X

Y

B











 X

Y



 X





 X





 X





 X

Y













 X

Y

D

 Y



C

331

Y













 X

FIGURA 5.3.7 a) Cinco rectángulos inscritos y circunscritos; b) 10 rectángulos inscritos y circunscritos; c) 20 rectángulos inscritos y circunscritos; d) 40 rectángulos inscritos y circunscritos.



 

 

 

 



FIGURA 5.3.8 Cinco subintervalos, cada uno de longitud  (ejemplo 1).

Solución Primero suponga que se usan n  5 rectángulos. Sea ! 5 la subestimación y A 5 la sobreestimación obtenidas usando 5 rectángulos con base en las 5 subdivisiones de longitud 35 (figura 5.3.8). En la figura 5.3.7a) se aprecia que la altura de los 5 rectángulos inscritos (el primero de los cuales es degenerado, su altura es cero) son los valores de la función f (x)  x 2 en los 5 extremos izquierdos 0,    Y   Como la  base de cada rectángulo tiene una longitud 35, se tiene   2  2  2  2  A 5 = 35 · (0)2 + 35 + 65 + 95 + 12 5   3 9 36 81 144 = 5 · 0 + 25 + 25 + 25 + 25 = 6.48. La altura de los 5 rectángulos circunscritos son los valores de f (x)  x 2 en los 5

CAPÍTULO 5

332

La integral

extremos derechos    A5 =

3 5

=

3 5

 

y 3, por lo que la sobreestimación correspondiente es  2  2  2  2  2  · 35 + 65 + 95 + 12 + 15 5 5  9 = 11.88. · 25 + 36 + 81 + 144 + 225 25 25 25 25

Éstas son aproximaciones burdas al área real A. Basados únicamente en esta información, la mejor estimación de A puede ser el promedio de las subestimaciones y las sobreestimaciones: 6.48 + 11.88 A 5 +A 5 = = 9.18. 2 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIGURA 5.3.9 Diez subintervalos,  (ejemplo 1). cada uno de longitud 



Veamos ahora si duplicar el número de intervalos a n  10 aumenta la precisión en forma significativa. De la figura 5.3.7b) se aprecia que la altura de los 10 rectángulos inscritos son los valores de la función f (x)  x 2 en los 10 extremos izquierdos 0,         Y  de los intervalos que aparecen en la figura 5.3.9. La          3 , de modo que los resultados de la base de cada rectángulo tiene una longitud de 10 subestimación son   3 2  6 2  9 2  12 2 3 · (0)2 + 10 + 10 + 10 + 10 A 10 = 10  2  18 2  21 2  24 2  27 2  + 15 + 10 + 10 + 10 + 10 10   3 9 36 81 · 0 + 100 + 100 + 100 + 144 + 225 + 324 + 441 + 576 + 729 = 10 100 100 100 100 100 100 =

7695 1000

= 7.695.

En forma similar, la suma de las áreas de los 10 rectángulos circunscritos de la figura 5.3.7b) es la sobreestimación  2  2  2  2  2 3 3 6 9 A 10 = 10 · 10 + 10 + 10 + 12 + 15 10 10  2  21 2  24 2  27 2  30 2  + 18 + 10 + 10 + 10 + 10 10 =

10395 1000

= 10.395.

En este punto, la mejor estimación del área A real es el promedio 7.695 + 10.395 A 10 +A 10 = = 9.045. 2 2

Z

Se usó una computadora para obtener las subestimaciones y sobreestimaciones más refinadas del área A bajo la gráfica y  x 2 sobre [0, 3], con 20, 40, 80, 160 y finalmente 320 rectángulos. Los resultados (redondeados a cuatro decimales) aparecen en la figura 5.3.10. Los valores promedio, en la columna final de la tabla, sugieren que A ≈ 9. .¢MERODE RECTÖNGULOS

3UBESTIMACI˜N

      

      

3OBREESTIMACI˜N       

0ROMEDIO       

FIGURA 5.3.10 Estimación del área bajo y  x 2 sobre [0, 3].

SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

333

Notación de suma Para obtener un cálculo más conveniente de las estimaciones del área, como en el ejemplo n 1, necesitamos una notación concisa para la suma de muchos números. El símai se usa para abreviar la suma de los n números a1, a2, a3, . . . , an : bolo i=1 N

AI H A C A C A C


C AN 



IH

El símbolo a la izquierda —la letra griega sigma mayúscula (por S, de “suma”)— especifica la suma de los términos ai cuando el índice de la suma i toma los valores enteros sucesivos de 1 a n. Por ejemplo, la suma de los cuadrados de los primeros 10 enteros positivos es 10

i 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 i=1

= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385.

El símbolo que se utilice para el índice de la suma no es relevante: 10 10 10



i2 = k2 = r 2 = 385. i=1

r =1

k=1

EJEMPLO 2 

.K C / H  C  C  C  C  C  C  H ; KH 

N H  C  C  C  C  C  H ; NH

Y  JH

./ JC H J

 

C

 



 

C

 

H

 

Z

 ::

Las reglas sencillas de la suma N

N

CAI H C IH

AI



IH

Y N

N

.AI C BI / H IH

N

AI

C

IH

BI



IH

son fáciles de comprobar extendiendo la suma completa. Observe ahora que si ai  a (una constante) para i  1, 2, . . . , n, de la ecuación (4) se tiene N

N

N

.A C BI / H IH

AC IH

N

BI H

A C A C


C A

IH

N T£RMINOS

C

BI ; IH

YPORLOTANTO N

N

.A C BI / H NA C IH

BI : IH



334 CAPÍTULO 5

La integral

En particular, N

 H N



IH

La suma de los n primeros enteros positivos elevados a la k-ésima potencia, n

i k = 1k + 2k + 3k + · · · + n k ,

i=1

suele aparecer en el cálculo de áreas. Los valores de esta suma para k  1, 2 y 3 están dados en las siguientes fórmulas (vea los problemas 43 y 44): N

N.N C / H  N  C  N; 



N.N C /.N C / H  N  C  N  C  N; 



N  .N C / H  N  C  N  C  N  : 



IH IH

N

I H IH

N

I H IH

EJEMPLO 3 La suma de los 10 primeros enteros positivos está dada por la ecuación (7) con n  10: 1 + 2 + 3 + · · · + 10 =

10

i=

i=1

10 · 11 = 55. 2

Las sumas de sus cuadrados y cubos están dadas por las ecuaciones (8) y (9): 

 C  C  C


C  H

I H



 H  

I H


 H : 

IH

Y 

 C  C  C


C  H IH

EJEMPLO 4

Z

Considere la suma 10

(7i 2 − 5i) = 2 + 18 + 48 + · · · + 522 + 650. i=1

Usando las reglas en las ecuaciones (3) y (4), así como las ecuaciones (7) y (8), encontramos que 10 10 10



(7i 2 − 5i) = 7 i2 − 5 i i=1

i=1

i=1

10 · 11 10 · 11 · 21 − 5· = 2420. =7· 6 2

Z

SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

335

EJEMPLO 5 Usamos la ecuación (8) para simplificar la evaluación de la suma para !10 en el ejemplo 1, como sigue: A 10 =

3 10

·

 2 0 10

+

 3 2 10

+

 6 2 10

+ ··· +

 27 2  10

=

3 10

9

 3 2 10

i2

i=0

=

3 10

·

 3 2  2 · 1 + 22 + 32 + · · · + 92 = 10

9  3 3

10

i2

i=1

27 9 · 10 · 19 7695 = · = = 7.695. 1000 6 1000

EJEMPLO 6

Z

Evalúe el límite L¤M

N!C1

 C  C  C


C N : N

Solución Usando la ecuación (7), se obtiene L¤M

N!C1

 C  C  C


C N H L¤M N!C1 N H L¤M

N!C1

 N.N 

C /

N  NC  H L¤M C N!C1  N N

H

porque el término 1y(2n) tiene límite cero cuando n → +∞.

 ; 

Z

Suma de áreas La figura 5.3.11 muestra la región R que está bajo la curva de la función creciente f de valores positivos y sobre el intervalo [a, b]. Para aproximar el área A de R, se eligió un entero fijo n y se subdividió el intervalo [a, b] en n subintervalos [x0, x1],

[x2, x3],

[x2, x3],

... ,

[xn−1, xn ].

todos con la misma longitud x =

b−a . n

(10)

En cada subintervalo se construyó un rectángulo inscrito y uno circunscrito. Y

YF X

FB FA

$X AX

X

X

X

XN  XNB

X

FIGURA 5.3.11 Área bajo y  f (x) sobre el intervalo [a, b].

Como se indica en la figura 5.3.12, el rectángulo inscrito sobre el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] tiene altura f (xi−1), mientras que el i-ésimo rectángulo circunscrito tiene una altura f (xi). Como la base de cada rectángulo tiene longitud x, las áreas de los rectángulos son f (xi−1) x

y

f (xi) x.

(11)

336

CAPÍTULO 5

La integral Y

YFX

FXI

FXI 

$X XI  XI

AX

XNB

X

FIGURA 5.3.12 Rectángulos inscritos y circunscritos en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ].

respectivamente. Sumando las áreas de los rectángulos inscritos para i  1, 2, 3, . . . , n, se obtiene la subestimación n

An = f (xi−1 ) x (12) i=1

del área real A. De manera similar, la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la sobrestimación n

An = f (xi ) x. (13) i=1

La desigualdad ! n

!n lleva así a

A

n

f (xi−1 ) x  A 

i=1

n

f (xi ) x.

(14)

i=1

Las desigualdades en (14) deben invertirse si f (x) es decreciente (en lugar de creciente) en [a, b]. (¿Por qué?)

Áreas como límites Una ilustración como la figura 5.3.7 sugiere que si el número n de subintervalos es muy grande, entonces x es pequeño y las áreas ! n y An de los polígonos inscritos y circunscritos van a diferir muy poco. Por lo cual ambas serán muy cercanas al área real A de la región R. También se puede ver esto porque, si f es creciente o decreciente en el intervalo completo [a, b], entonces los pequeños rectángulos en la figura 5.3.11 (que representan la diferencia entre A n y !n) pueden agruparse en una “columna” como la del lado derecho de la figura. Se deduce que | A n − ! n|  | f (b) − f (a)| x

(15)

Pero x  (b − a)yn → 0 cuando n → ∞. Así, la diferencia entre las sumas del lado izquierdo y las sumas del lado derecho en (14) se acerca a cero cuando n → ∞, mientras que A no cambia cuando n → ∞. Por consiguiente, el área de la región R está dada por N

! H L¤M

N!1

N

F .XI IH

X H L¤M

N!1

F .XI

X



IH

El significado de estos límites es que se puede encontrar A con cualquier precisión deseada calculando cualquiera de las sumas en la ecuación (16) con un número n suficientemente grande de subintervalos. Al aplicar la ecuación (16), recuerde que XH

BA N



SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

337

También observe que XI H A D I



X

para i  0, 1, 2, . . . , n, porque xi está a i “pasos” de longitud x a la derecha de x 0  a. EJEMPLO 7 Ahora podemos calcular el área que aproximamos en el ejemplo 1 —el área de la región bajo la gráfica f (x)  x 2 sobre el intervalo [0, 3]—. Si se divide [0, 3] en n subintervalos de la misma longitud, las ecuaciones (17) y (18) resultan en XH

 N

Y

XI H  C I


I  H N N

para i  0, 1, 2, . . . , n. Por lo tanto, n

i=1

  n n  n



27

3i 2 3 2 = 3 f (xi ) x = (xi ) x = i 2. n n n i=1 i=1 i=1

Así, la ecuación (8) para i 2 lleva a     n

27 1 3 1 2 1 1 1 1 f (xi ) x = 3 n + n + n = 27 + + . n 3 2 6 3 2n 6n 2 i=1 Tomando el límite cuando n → ∞, la ecuación (16) da    C C   N N

! H L¤M  N!1

H ;

como los términos 1y(2n) y 1y(6n 2) se acercan a cero cuando n → ∞. Por lo que lo inferido a partir de los datos de la figura 5.3.10 era correcto: A  9 exactamente. Z EJEMPLO 8 Y

Encuentre el área bajo la curva de f (x)  100 − 3x 2 de x  1 a x  5.

Solución Como se observa en la figura 5.3.13, la suma f (xi) x da el área del polígono inscrito. Con a  1 y b  5, las ecuaciones (17) y (18) llevan a

 

XH 







FIGURA 5.3.13 La región del ejemplo 8.

 X

 N

XI H  C I


Y

 I HC : N N

0ORCONSIGUIENTE N

N

F .XI

XH

IH

 
 C IH N

H

 IH

 H N

I  I  N N

N

   N IH

 
N  N N  H  N H

I N



 N  N

N

 I  N IH

N

I IH

    N C N    N  : N

     N C N C N   

[Aplicamos las ecuaciones (6) a (8).] En consecuencia, el segundo límite de la ecuación (16) resulta en ! H L¤M

N!1

para el área buscada.



  N N

H 

Z

338

CAPÍTULO 5



La integral

Nota histórica: El número π

AN

En la antigüedad, los matemáticos inscribían o circunscribían triángulos en lugar de rectángulos en sus aproximaciones de áreas. En el siglo iii a.C., Arquímedes, el gran matemático de su tiempo, usó esta aproximación para derivar su famosa estimación

0N

223 71

AN



1N

FIGURA 5.3.14 Estimación de π usando polígonos regulares inscritos y circunscritos y el círculo unitario.

N

A.0N /

A.1 N /

          

          

          

FIGURA 5.3.15 Datos para la estimación de π (redondeados a seis decimales).

= 3 10 < π < 3 17 = 71

22 . 7

Como el área de un círculo de radio r es π r 2, el número π puede definirse como el área de un círculo unitario de radio r  1. Para aproximar π, pues, aproximaremos el área del círculo unitario. Sean Pn y Q n polígonos regulares de n lados, con Pn inscrito en el círculo unitario y Q n circunscrito a él (figura 5.3.14). Como ambos polígonos son regulares, todos sus lados y ángulos son iguales, por lo que necesitamos encontrar el área de sólo uno de los triángulos trazados al construir Pn y uno de los del trazo de Q n. Sea αn el ángulo central subtendido por la mitad de uno de los lados del polígono. El ángulo αn es el mismo sin importar si trabajamos con Pn o Q n. En grados, 180◦ 360◦ = . αn = 2n n Podemos leer varias dimensiones y proporciones de la figura 5.3.14. Por ejemplo, se ve que el área a(Pn )  An de Pn está dada por  N N   ! N H A.0N / H N

SEN N COS N H SEN N H SEN    N YQUEELÖREADE1NES ! N H A.1 N / H N



  TAN N H N TAN  N

:



Sustituimos algunos valores de n en las ecuaciones (19) y (20) para obtener los valores que aparecen en la tabla de la figura 5.3.15. Como ! n π A n para toda n, se puede ver que π ≈ 3.14159 con cinco decimales. El razonamiento de Arquímedes no era circular: utilizó un método directo para calcular los senos y cosenos de las ecuaciones (19) y (20) que no depende del conocimiento a priori del valor de π.∗

5.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Al principio de la sección 5.3 se demostró que el área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura. 2. En el ejemplo 1 se proporcionó evidencia que sugiere que el área entre la gráfica de f (x)  x 2 y el eje x para 0 x 3 es 9. 



I  H 

3.

 JH N

IH N

5.

 H N IH



./ JC   H  J  IH

IH

N.N C /  

7. L¤M  C  C  C


C N H  N!1 N 8. En el ejemplo 7 se dio una demostración de que el área de la región del ejemplo 1 es exactamente 9. ∗

Vea el capítulo 2 de The Historical Development of the Calculus de C. H. Edwards, Jr. (Nueva York: Springer-Verlag, 1979).

SECCIÓN 5.3

Cálculos elementales de área

339

  0, existe un entero N tal que ! n y A n difieren de A por menos de  si n > N.

5.3 PROBLEMAS Escriba cada una de las sumas en los problemas 1 a 8 en notación extendida. 5 6 √



1. 3i 2. 2i

3.

i=1

i=1

5

6

j=1

5.

7.

1 j +1

4.

6

1 k2 k=1 5

(2 j − 1)

j=1

6.

6

(−1)k+1 k=1

xn

8.

n=1

5

k2

32 + 16 + 243 81 √ √ √ √ √ 16. 1 + 2 + 3 + 2 + 5 + 6 + 7 + 2 2 + 3 x2 x3 x 10 17. x + + + ··· + 2 3 10 3 5 7 x x x 19 x + − + ··· − 18. x − 3 5 7 19

15.

21.

23.

10. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 11. 1 + 12. 1 + 13. 14.

1 2 1 3

+ −

1 2 1 4

+

1 4 1 9

+

+ +

1 3 1 9

+ +

1 + 15 4 1 + 251 16

1 1 1 + 16 + 321 + 64 8 1 1 1 − 81 + 243 27

4 9

√

+

8 27

i=1

n=1

9. 1 + 4 + 9 + 16 + 25

+

Use las ecuaciones (6) a (9) para encontrar las sumas de los problemas 19 a 28. 10 8



19. (4i − 3) 20. (5 − 2 j)

(−1)n+1 x 2n−1

Escriba las sumas de los problemas 9 a 18 en notación compacta de la suma.

2 3

25.

27.

10

j=1

(3i 2 + 1)

22.

6

i=1

k=1

8

5

(r − 1)(r + 2)

24.

r =1

i=1

6

10

(i 3 − i 2 )

26.

i=1

k=1

100

100

i=1

i2

28.

i=1

(2k − 3k 2 ) (i 3 − 3i + 2) (2k − 1)2 i3

340 CAPÍTULO 5

La integral

Use el método del ejemplo 6 para evaluar los límites en los problemas 29 y 30. 





43. Derive la ecuación (7) sumando las ecuaciones N

I H  C  C  C


C N



 C  C  C


C N N!1 N    C  C  C


C N   L¤M N!1 N  L¤M

IH

Y N

I H N C .N / C .N /


C  C :

Use las ecuaciones (6) a (9) para deducir fórmulas concisas en términos de n para las sumas de los problemas 31 y 32. n n



31. (2i − 1) 32. (2i − 1)2 i=1

i=1

En los problemas 33 a 42, sea R la región bajo la curva y  f (x) sobre el intervalo [a, b] en el eje x. Use el método del ejemplo 1 para calcular tanto la subestimación !n como la sobrestimación ! n del área A de R, con base en una división de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud x  (b − a)yn.    

F .X/ H X EN T; U N H  F .X/ H X EN T; U N H  F .X/ H X C  EN T; U N H  F .X/ H  X EN T; U N H  FIGURA Y 

IH

44. Escriba las n ecuaciones obtenidas al sustituir los valores k  1, 2, 3, . . . , n en la identidad (k + 1) 3 − k 3  3k 2 + 3k + 1. Sume las n ecuaciones y use esta suma para deducir la ecuación (8) a partir de la ecuación (7). En los problemas 45 a 50, primero calcule (en términos de n) la suma n

f (xi ) x i=1

para aproximar el área A de la región bajo y  f (x) sobre el intervalo [a, b]. Luego encuentre el valor exacto de A (como en los ejemplos 7 y 8) tomando el límite cuando n → ∞.  F .X/ H X EN T; U  F .X/ H X  EN T; U   F .X/ H X EN T; U  F .X/ H X C  EN T; U  F .X/ H  X EN T; U  F .X/ H  X  EN T; U 51. Igual que en la figura 5.3.19, la región bajo la gráfica de f (x)  hxyb para 0 x b es un triángulo con base b y altura h. Use la ecuación (7) para verificar —con la notación de la ecuación (16)— que

  

N

 X



L¤M

N!1

FIGURA 5.3.16 Problema 36. 

 F .X/ H X EN T; U N H   F .X/ H X  EN T; U N H   F .X/ H  X  EN T; U N H  FIGURA

de acuerdo con la fórmula conocida del área de un triángulo. Y B H Y

Y

X H  BH;

F .XI IH

R

HX B

P N /

H 

P N R

 B 

 X



FIGURA 5.3.17 Problema 39. 

 F .X/ H  X EN T; U N H   F .X/ H X  EN T; U N H  p  F .X/ H X EN T; U N H  FIGURA Y   







FIGURA 5.3.18 Problema 42.

 X

X

FIGURA 5.3.19 Problema 51.

FIGURA 5.3.20 Problema 52.

En los problemas, 52 y 53, A denota el área y C la circunferencia de un círculo de radio r, y An y Cn denotan el área y perímetro, respectivamente, de un polígono regular de n lados inscrito en dicho círculo. 52. La figura 5.3.20 muestra un lado de un polígono de n lados que subtiende un ángulo 2πyn en el centro O del círculo. Demuestre que    : !N H NR  SEN COS YQUE #N H NR SEN N N N 53. Deduzca la fórmula A  12rC tomando el límite de AnyCn cuando n → ∞. Luego, suponiendo que A  πr 2, deduzca que C  2πr. Por lo tanto, la fórmula de la circunferencia de un círculo se obtiene a partir de la fórmula del área del círculo.

SECCIÓN 5.4

Sumas de Riemann y la integral

341

5.4 SUMAS DE RIEMANN Y LA INTEGRAL Suponga que f es una función positiva y creciente definida en un conjunto de números reales que incluyen el intervalo [a, b]. En la sección 5.3 se usaron rectángulos inscritos y circunscritos para establecer las sumas N

N

F .XI

X

Y

F .XI

X



IH

IH

que aproximan el área A bajo la curva y  f (x) entre x  a y x  b. Recuerde que la notación de la ecuación (1) se basa en una división del intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud x  (b − a)yn, y que [xi−1, xi ] corresponde al i-ésimo subintervalo. Las sumas de aproximación de la ecuación (1) son ambas de la forma N

F .XI

X;



IH

donde XI denota un elemento de i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] (figura 5.4.1). Las sumas de la forma en (2) aparecen como aproximaciones en una amplia gama de aplicaciones y constituyen la base para la definición de la integral. Del análisis del área en la sección 5.3 surge la idea de definir la integral de f de a a b como un tipo de límite, cuando x → 0, de sumas como la que aparece en (2). El objetivo es comenzar con una función f general y definir un número real I calculable (la integral de f ) que —en el caso especial en que f es continua y de valores positivos en [a, b]— será igual al área bajo la curva de y  f (x). YFX

AX

X

X

X

X

XI  XI

XI

XN

XNB

EJEX

FIGURA 5.4.1 La suma de Riemann en la ecuación (2) como una suma de áreas de rectángulos.

Sumas de Riemann Comenzamos con una función f definida en [a, b] que no necesariamente es continua o de valores positivos. Una partición P de [a, b] es una colección de subintervalos [x0, x1],

[x1, x2],

[x2, x3],

…,

[xn−1, xn]

de [a, b] tal que a  x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn−1 < xn  b,

XI 

(

XI

XI

FIGURA 5.4.2 Punto seleccionado X I en el i-ésimo intervalo [xi−1, xi ].

como se ve en la figura 5.4.1. Escribimos xi  xi − xi−1 para la longitud del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. Para obtener una suma como la de (2), se necesita un punto XI en el i-ésimo subintervalo para cada i, 1 i n. Una colección de puntos S = {x1 , x2 , x3 , . . . , xn }

con XI en [xi−1, xi ] para cada i (figura 5.4.2) se llama una selección para la partición P.

342 CAPÍTULO 5

La integral

DEFINICIÓN Suma de Riemann Sea f una función definida en el intervalo [a, b]. Si P es una partición de [a, b] y S es una selección de P, entonces la suma de Riemann para f determinada por P y S es N

2H

F .XI

XI :



IH

También se dice que la suma de Riemann está asociada con la partición P. El matemático alemán G. F. B. Riemann (1826-1866) proporcionó una definición rigurosa de la integral. Varios tipos especiales de “sumas de Riemann” aparecieron en los cálculos de área y volumen desde los tiempos de Arquímedes, pero fue Riemann quien estableció la definición anterior en su generalización completa. El punto XI en la ecuación (3) es simplemente un punto seleccionado del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. Esto es, puede ser cualquier punto de ese intervalo. Pero cuando calculamos las sumas de Riemann, generalmente se eligen los puntos de la selección S en alguna forma sistemática, como se muestra en la figura 5.4.3. Ahí se muestran diferentes sumas de Riemann para la función f (x)  2x 3 − 6x 2 + 5 en el intervalo [0, 3]. La figura 5.4.3a) muestra rectángulos asociados con la suma de punto extremo izquierdo. N

2 IZQUIERDO H

F .XI

X



IH

en la cual cada XI se elige como xi−1, el punto extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi] de longitud x  (b − a)yn. La figura 5.4.3b) muestra rectángulos

Y  

  X



 A

Y  

  X



 B

Y  

  X



 C

FIGURA 5.4.3 Sumas de Reimann para f (x)  2x 3 − 6x 2 + 5 en [0, 3]: a) suma de punto extremo izquierdo; b) suma de punto extremo derecho; c) suma de punto medio.

SECCIÓN 5.4

Sumas de Riemann y la integral

343

asociados con la suma de punto extremo derecho. N

2 DERECHO H

F .XI

X



IH

donde cada XI se elige como xi, el punto extremo derecho de [xi−1, xi]. En cada figura algunos rectángulos están inscritos y otros circunscritos. La figura 5.4.3c) muestra rectángulos asociados con la suma de punto medio. N

2 ENMEDIO H

F .M I

X



IH

ENLACUAL

XI C XI ;  el punto medio del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi]. Las líneas punteadas en la figura 5.4.3c) representan las ordenadas de f en esos puntos medios. XI H M I H

EJEMPLO 1 En el ejemplo 1 de la sección 5.3 se calcularon las sumas de los extremos izquierdos y derechos para f (x)  x 2 en [0, 3] con n  10 subintervalos. Ahora se hará de una forma más precisa, usando la notación compacta de la suma, y también se calculará la suma análoga de puntos medios. La figura 5.4.4 muestra un rectángulo típico de aproximación para cada una de estas sumas. Con a  0, b  3 y x  3 , encontramos que el punto de la i-ésima subdivisión es (b − a)yn  10 xi = a + i · x =

3 i. 10

Y

Y

Y

YX

YX

XI  XI 

X

YX

X

XI  XI 

A

XI  XI 

B

X

C

FIGURA 5.4.4 Ejemplo 1: a) caso X I  xi−1; b) caso X I  xi; c) caso X I  mi. MI XI 

 I  

 I  

 XI  I

FIGURA 5.4.5 El i-ésimo subintervalo del ejemplo 1.

El i-ésimo subintervalo y también su punto medio   1 3i − 3 3i 3 xi−1 + xi mi = = + = (2i − 1), 2 2 10 10 20 aparecen en la figura 5.4.5. Con XI  xi−1  extremos izquierdos de la ecuación (4), N

2 IZQUIERDO H

3 (i 10



F .XI IH

 .I 

XH

/

− 1), se obtiene la suma de puntos 

 

IH

H

 


 C  C  C


C 

H

 

H :

;USANDOLAECUACI˜N DELASECCI˜N=

344

CAPÍTULO 5

La integral 3 Con XI  xi  10 i, se obtiene la suma de puntos extremos derechos de la ecuación (5),

Y

N



2 DERECHO H





P 

P 





X



P A

F .XI

XH

 

IH

IH

H

 


. C  C  C


C  /

H

 

H :

;USANDOLAECUACI˜N DELASECCI˜N=

 Por último, con XI  mi   (2i − 1), se obtiene la suma de puntos medios de la ecuación (6), N



2 ENMEDIO H

Y

  I 

H



F .M I IH  

 .I 

XH

/



 

IH 


 C  C  C


C  C  H

 

H ::

La suma de los puntos medios es mucho más cercana que cualquiera de las sumas de puntos extremos al valor real 9 (del área bajo la gráfica y  x 2 sobre [0, 3]) que se encontró en el ejemplo 7 de la sección 5.3. Z



P 

P 





X



P B

EJEMPLO 2 La figura 5.4.6 muestra las sumas de Riemann para f (x)  sen x en [0, π] con n  3 subintervalos: [0, πy3], [πy3, 2πy3] y [2πy3, π] de longitud x  πy3 y con puntos medios πy6, πy2, 5πy6. La suma de puntos extremos izquierdos es N

2 IZQUIERDA H . X/


Y

  
SEN  C SEN C SEN    p   H  :: 

F .XI / H IH

p p    C H
C   



Claramente se observa en la figura que la suma de puntos extremos derechos tiene el mismo valor. La suma de puntos medios correspondiente es



P 

P 





X



P C

FIGURA 5.4.6 Aproximación del área bajo y  sen x en [0, π] (ejemplo 2): a) suma de puntos extremos izquierdos; b) suma de puntos extremos derechos; c) suma de puntos medios.

2 ENMEDIO H

   
SEN C SEN C SEN    

H




  CC  

H

  :: 

(Pronto se podrá demostrar que el área bajo un arco de la curva del seno es exactamente 2.) Z

La integral como un límite En el caso de una función f que tiene tanto valores positivos como negativos en [a, b], es necesario considerar los signos indicados en la figura 5.4.7 cuando se interpreta geométricamente la suma de Riemann de la ecuación (3). En cada subintervalo [xi−1, xi ], se tiene un rectángulo con ancho xi y “altura” f (XI ). Si f (XI ) > 0, entonces este rectángulo está arriba del eje x; si f (XI ) < 0, está abajo del eje x. La suma de Riemann R es, Y YF X

X I  AX

 X

 X







XI  XI



XN  XNB







 X I F X I

FIGURA 5.4.7 Una representación geométrica de la suma de Riemann en la ecuación (3).

X

SECCIÓN 5.4

Sumas de Riemann y la integral

345

pues, la suma de las áreas con signo de esos rectángulos —esto es, la suma de las áreas de los rectángulos que están arriba del eje x menos la suma de las áreas de aquellos que están abajo del eje x. Si los anchos xi de esos rectángulos son todos muy pequeños, entonces, es evidente que la suma de Riemann R correspondiente será muy cercana al área de x  a a x  b bajo y  f (x) y arriba del eje x, menos el área que está arriba de la gráfica y debajo del eje x. Esto sugiere que la integral de f de a a b se puede definir al tomar el límite de las sumas de Riemann cuando los anchos xi se acercan todos a cero. N

) H L¤M

XI !

F .XI

XI :



IH

La definición formal de la integral se obtiene diciendo precisamente lo que significa que ese límite exista. La norma de la partición P es la mayor de las longitudes xi  xi − xi−1 de los subintervalos en P y se denota por |P |. Brevemente, la ecuación (7) significa que si | P| es suficientemente pequeña, entonces todas las sumas de Riemann asociadas con la partición P están cerca del número I.

DEFINICIÓN Integral definida La integral definida de la función f de a a b es el número N

) H L¤M

j0j!

F .XI

XI ;



IH

siempre y cuando este límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La ecuación (8) significa que, para cada número  > 0, existe un número δ > 0 tal que N

)

F .XI

XI

IH

para toda suma de Riemann asociada con la partición P de [a, b] para la cual |P| < δ. La notación acostumbrada para la integral de f de a a b, obtenida por matemático y filósofo alemán G. W. Leibniz, es N

B

) H

F .X/ D X H L¤M

j0j!

A

YFX

F X DX A

X

B

FIGURA 5.4.8 Origen de la notación de Leibniz para la integral.

F .XI

XI 



IH

Si se considera I como el área abajo de y  f (x) de a a b. Leibniz primero pensó en una franja angosta con altura f (x) y un ancho “infinitesimalmente pequeño” d x (como aparece en la figura 5.4.8), de manera que el área sería el producto f (x) d x. Él consideraba la integral como la suma de las áreas de esas franjas y denotó esa suma con la letra S (de suma) mayúscula alargada que aparece como el signo de integral en la ecuación (9). Se verá que esta notación de la integral no sólo es muy sugestiva, sino que también es extremadamente útil en la manipulación de las integrales. Los números a y b se llaman límite inferior y límite superior respectivamente, y son los puntos extremos del intervalo de integración. A la función f (x) que aparece entre el signo de la integral y d x se le llama integrando. El símbolo d x que sigue al integrando en la ecuación (9) debe, por ahora, pensarse simplemente como una indicación de cuál es la variable independiente. Igual que el índice en las sumas compactas, la variable independiente x es una “variable ficticia” —puede sustituirse por cualquier otra variable sin afectar el significado de la ecuación (9)—. Si f es integrable en [a, b], se puede escribir  b  b  b f (x) d x = f (t) dt = f (u) du. a

a

a

La definición dada para la integral definida sólo se aplica si a < b, pero es conveniente incluir también los casos a  b y a > b. La integral está definida en

346 CAPÍTULO 5

La integral

estos casos como sigue: A

F .X/ D X H 



A

Y B

A

F .X/ D X H A

F .X/ D X;



B

siempre que la integral del lado derecho exista. Así, al intercambiar los límites de integración cambia el signo de la integral. Así como no todas las funciones son derivables, no todas las funciones son integrables. Suponga que c es un punto en [a, b] tal que f (x) → +∞ cuando x → c. Si [xk−1, xk ] es el subintervalo de la partición P que contiene a c, entonces la suma de Riemann en la ecuación (3) puede ser arbitrariamente grande si se elige XK suficientemente cerca de c. Sin embargo, para nuestros fines, sólo necesitamos saber que toda función continua es integrable. El siguiente teorema se demuestra en el apéndice G.

TEOREMA 1 Existencia de la integral Si la función f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Aunque se omiten los detalles, no es difícil demostrar que la definición de la integral puede reformularse en términos de sucesiones de sumas de Riemann, como sigue.

TEOREMA 2 La integral como un límite de una sucesión La función f es integrable en [a, b] con integral I si y sólo si L¤M 2N H )



N!1

para toda sucesión {Rn}∞ 1 de sumas de Riemann asociadas con la sucesión de particiones {Pn}∞ 1 de [a, b] tal que | Pn | → 0 cuando x → +∞.

Cálculos de la suma de Riemann La reformulación de la definición de la integral en el teorema 2 es útil porque es más fácil visualizar una sucesión de sumas de Riemann que visualizar la vasta totalidad de todas las sumas de Riemann posibles. En el caso de una función continua f (que se sabe que es integrable por el teorema 1), es posible simplificar aún más si se usan sólo sumas de Riemann asociadas con particiones que consisten en subintervalos de la misma longitud x1 = x2 = · · · = xn =

b−a = x. n

Esta partición de [a, b] en subintervalos de la misma longitud se llama una partición regular de [a, b]. Cualquier suma de Riemann asociada con una partición regular se puede escribir en la forma N

F .XI

X;



IH

donde la ausencia de un subíndice en x significa que la suma está asociada con una partición regular. En este caso las condiciones | P| → 0, x → 0 y n → +∞ son

SECCIÓN 5.4

Sumas de Riemann y la integral

347

equivalentes, por lo que la integral de una función continua se puede definir simplemente como N

N

B

F .X/ D X H L¤M

F .XI /

N!1

A

F .XI /

X H L¤M

X!

IH

X



IH

En consecuencia, de aquí en adelante se usarán sólo particiones regulares; los subintervalos tienen longitud y los puntos extremos están dados por BA N

XH

Y

XI H A C I




X

para i  0, 1, 2, 3, . . . , n. Si se selecciona XI  xi la ecuación (14) queda como N

B

F .X/ D X H L¤M

N!1

A

F .XI 

4

Use sumas de Riemann para evaluar

EJEMPLO 3

X



IH

(x 3 − 2x) d x.

0

Solución Con a  0 y b  4 en (15), tenemos x  4yn y xi  4iyn. Así, 

N

N

.X  X/ D X H L¤M

N!1



H L¤M

N!1

H L¤M

N!1

F .XI

N!1

IH N

 N

I N

X H L¤M

IH





I N




 N



IH

 N

I I N N N

I IH

 N

N

I : IH

Ahora usamos las ecuaciones (7) y (9) de la sección 5.3 para convertir cada una de las dos últimas sumas a su forma cerrada: 

.X  X/ D X H L¤M

N!1



H L¤M

N!1

H L¤M

N!1



 N  .N C /  N.N C / 

 N  N    .N C / .N C / N N   C

 N



  C

I

.X  X/ D X H   H :

Z



EJEMPLO 4

 N



b

x d x (donde a < b).

Use sumas de Riemann para evaluar a

Solución Con f (x)  x y XI  xi (vea la figura 5.4.9), las ecuaciones (15) y (16) llevan a N

B

X D X H L¤M A

N!1

N

F .XI

X H L¤M

N!1

IH

.A C I
IH N

N

H L¤M

N!1

H L¤M

N!1

.A

X/

C

X/

.A

X/
N C

I IH

IH

X/


N.N C / 

X

X

348 CAPÍTULO 5

La integral Y

YX

FXI XI

AX

XI  XI

BXN X

$X

FIGURA 5.4.9 Cálculo del área bajo y  x de x  a a x  b.

cuando se usan las ecuaciones (6) y (7) de la sección 5.3 para convertir las sumas a su forma cerrada. Sustituyendo x  (b − a)yn se tiene B

X D X H L¤M A

N!1

A


BA
NC N

BA N






N.N C / 

  A.B A/ C .B A/  C  N    H A.B A/ C .B A/ H .B A/ A C B A      H .B A/
.B C A/ H .B A  /:   H L¤M

N!1

Y YX 

A

B

X

9SEENCUENTRAFINALMENTEQUE B

X DX H A

b



Z

Si 0 < a < b, entonces A = a x d x es el área del trapezoide mostrado en la figura 5.4.9. La ecuación (17) implica que _ A  (b − a) · 12(a + b)  w · h , _ donde w  b − a es el ancho y h  12(a + b) es la altura promedio del trapezoide. OBSERVACIÓN 1

FIGURA 5.4.10 Ejemplo 4 con a < 0 < b.

Y YX

Las figuras 5.4.10 y 5.4.11 muestran dos casos diferentes del ejemplo 4. En cada caso la ecuación (17) coincide con la suma de las áreas con signo indicadas. El signo menos en la figura 5.4.10 representa el hecho de que el área abajo del eje x se mide con un número negativo. El signo menos en la figura 5.4.11 significa que el área del triángulo sobre [0, a] se resta del área del triángulo sobre [0, b] para obtener el área del trapezoide.

OBSERVACIÓN 2

A

    B A :  

B

FIGURA 5.4.11 Ejemplo 4 con 0 < a < b.

X

Las fórmulas para las sumas en las ecuaciones (6) a (9) de la sección 5.3 bastan para la integración de polinomios de bajo grado, pero las integrales de otras funciones requieren de otros dispositivos (o un sistema de álgebra para computadora) para la conversión de las sumas de Riemann a su forma cerrada cuyos límites se puedan evaluar.  2 e x d x. EJEMPLO 5 Use sumas de Riemann para evaluar 0

SECCIÓN 5.4

Sumas de Riemann y la integral

349

Solución Con x  2yn y xi  i · x  2iyn obtenemos 

N

N

E X D X H L¤M

N!1



F .XI IH

EI=N


X H L¤M

N!1

IH

 N

 =N E C E=N C E=N C


C EN=N H L¤M N!1 N E=N H L¤M  C E=N C E=N C


C E.N/=N N!1 N R  C R C R  C


C R N H L¤M N!1 N donde r  e 2yn. Para convertir la última suma a su forma cerrada se usa la fórmula rn − 1 , (18) r −1 lo cual se comprueba fácilmente multiplicando el lado izquierdo por el denominador de la derecha. Esto da 1 + r + r 2 + · · · + r n−1 =



R R N 
N!1 N R  =N E  .E / E
=N H H L¤M : N!1 N E  L¤M N
. E=N /

E X D X H L¤M





N!1

El límite en el denominador tiene la forma indeterminada ∞ · 0 cuando n → +∞. Se evalúa usando la regla de l’Hôpital de la sección 4.9:  E=N ;AHORALAFORMAINDETERMINADA=  N!1 N  
E=N N H L¤M E=N H : H L¤M  N!1 N!1  N

L¤M N
. E=N / H L¤M

N!1

Sustituyendo este límite en la ecuación (19) finalmente tenemos  2 e x d x = e2 − 1.

Z

0

5.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Una partición P de [a, b] es una colección de subintervalos [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn] de [a, b] tales que a  x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn  b. 2. Si P es una partición de [a, b], entonces una selección S para P es una colección de puntos S  { X , X , X , . . . , XN } tales que xi−1 XI xi para 1 i n. 3. Si f es una función definida en [a, b], P es una partición de [a, b] y S es una selección para P (con la misma notación que las preguntas 1 y 2), entonces la suma de Riemann para f determinada por P y S es n  f (xi )(xi − xi−1 ). R= i=1

350

CAPÍTULO 5

La integral

4. La suma de puntos medios con n  10 subintervalos para f (x)  x 2 en [0, 3] es 8.9775. 5. La suma de puntos medios para f (x)  sen x con n  3 subintervalos de [0, π] 2π . es 3 6. La norma | P | de la partición P  {x0, x1, x2, . . . , xn} es el valor máximo de xi  xi − xi−1 para 1 i n. 7. Suponga que f es una función definida en [a, b]. En la notación de las preguntas 1, 2 y 6, la integral definida de f de a a b es N

) H L¤M

j0j!

F .XI

XI

IH

siempre y cuando el límite exista.



8. Una notación común para la integral definida de f de a a b es  b 9. Si f es continua en [a, b], entonces f (x) d x existe. a  b 1 1 10. El ejemplo 4 demuestra que x d x = b2 − a 2 . 2 2 a

b

f (x) d x.

a

5.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Explique por qué se espera generalmente que la suma de los puntos  b medios de la ecuación (6) sea una aproximación más exacta al valor real de a f (x) d x que la suma de puntos extremos izquierdos en la ecuación (4) o de puntos extremos derechos en la ecuación (5). 2. El resultado del ejemplo 4, con a  0 y los problemas 49 y 50 dice que B

X DX D 

  B ; 

B

X DX H



B

  B ; 

Y

X DX H



  B 

si b > 0. Suponiendo que el patrón se conserva (lo hace), ¿cuál esperaría que b fuera el valor de a x n d x con n > 0 y 0 < a < b? Explique cómo toma en cuenta el límite inferior diferente de cero de a.   3. El ejemplo 5 y el problema 56 implica que  E X D X H E  Y  E X D X H E  Pensando en área bajo la curva y  e x, ¿cuál esperaría  b x que fuera el valor de 5 x ? ¿Cuál es su conjetura respecto al valor de e d x a e d x con 0 < a < b? 2

5.4 PROBLEMAS

N

En los problemas 1 a 10, exprese el límite dado como una integral definida en el intervalo indicado [a, b]. Suponga que [xi−1, xi ] denota el i-ésimo subintervalo de una subdivisión de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud x  (b − a)yn y que mi   (xi−1 + xi ) es el punto medio del subintervalo.

 L¤M

N!1

N!1

X

EN

N!1

N!1

IH

X

EN

T; U

IH

N!1

X

EN

N!1

IH

T; U

  C MI

X

EN

T; U

.COS XI

X

EN

T; =U

.SEN M I

X

EN

T; =U

IH

IH N

XI XI C  IH

IH

 L¤M

T; U

N N!1

EN

N

XI C 

 L¤M

X

p

 L¤M

N N!1

 XI

N

. XI

 L¤M

T; U

IH

 L¤M

T; U

X

N

N N!1

EN

N

.XI 

 L¤M

MI

IH

 L¤M

N

 L¤M

p

X

EN

T; U

EXI X

 L¤M

N!1

IH

EN

T; U

SECCIÓN 5.4

En los problemas 11 a 20, calcule la suma de Riemann n  f (xi ) x i=1

para la función indicada y una partición regular del intervalo dado en n subintervalos. Use XI  xi , el punto extremo derecho del i-ésimo intervalo [xi−1, xi ].

N

F .XI

X

IH

para una partición regular del intervalo de integración dado.  2  4 43. x2 dx 44. x3 dx 

0



3

(2x + 1) d x

45.

(3x + 1) d x

47.

(4 − 3x) d x 1

2

53. Suponga que f (x) ≡ c, una constante. Use sumas de Riemann para probar que  b

[Sugerencia: primero considere el caso a < b.] 54. Suponga que la función f está definida en el intervalo [0, 1] como sigue  SI  < X ; F .X/ H X  SI X H : 1 Demuestre que la integral 0 f (x) d x no existe. [Sugerencia: muestre que, sin importar qué sea n, el primer término en la n f (xi ) x se puede hacer arbitrariasuma de Riemann i=1 mente grande con la elección del primer punto seleccionado XI .] ¿Por qué esto no contradice al teorema 1? 55. Suponga que la función f está definida en el intervalo [0, 1] como sigue  SI X ESRACIONAL; F .X/ H  SI X ESIRRACIONAL: 1 demuestre que la integral 0 f (x) d x no existe. [Sugerencia: muestre que, sin importar qué sea n, la suma de Riemann  n  i=1 f (x i ) x tiene valor 0 para una posible selección de { XI }, pero valor 1 para otra posible selección.] ¿Por qué esto no contradice al teorema 1? Use el método del ejemplo 5 para verificar los resultados de los problemas 56 a 58.   X







 0RIMERODEMUESTREQUE

4



(x − x) d x

SEN X D X H L¤M

N!1



  B 



SEN KH

K : N



 X D X H B 

Explique por qué este cálculo prueba que  b b2 − a 2 x dx = . 2 a

N

Use este hecho y la regla de l’Hôpital para demostrar finalmente que SEN X D X H :



si b > 0. 51. Sea f (x)  x, y sea {x0, x1, x2, . . . , xn} una partición arbitraria de un intervalo cerrado [a, b]. Para cada i (1 i n), sea XI  (xi−1 + xi)y2. Demuestre que n  1 1 xi xi = b2 − a 2 . 2 2 i=1

 N

Un sistema de álgebra para computadora reporta que N K  SEN H COT : N N KH

si b > 0. 50. Demuestre con el método del ejemplo 4 que B



E DX H E E 



49. Demuestre con el método del ejemplo 4 que X DX H

EX D X H  E 





0

B



E X D X H E 



3

48.

0

a

 5



3

a

0

46.

0



52. Suponga que f es una función continua en [a, b] y que k es una constante. Use sumas de Riemann para probar que  b  b k f (x) d x = k f (x) d x.

a

21. a 30. Repita los problemas 11 a 20, excepto que XI  xi−1, el punto extremo izquierdo. 31. a 40. Repita los problemas 11 a 20, excepto que XI  (xi−1 + xi)y2, el punto medio del i-ésimo intervalo. 41. Trabaje el problema 13 con XI  (3xi−1 + 2xi )y5. 42. Trabaje el problema 14 con XI  (xi−1 + 2xi )y3. En los problemas 43 a 48 evalúe la integral dada calculando N!1

351

c d x = c(b − a).

 F .X/ H X  EN T; U N H   F .X/ H X  EN T; U N H    F .X/ H EN T; U N H  X p  F .X/ H X EN T; U N H   F .X/ H X C  EN T; U N H   F .X/ H X  C X EN T; U N H   F .X/ H X  X EN T; U N H  p  F .X/ H  C  X EN T; U N H   F .X/ H COS X EN T; U N H   F .X/ H LN X EN T; U N H 

L¤M

Sumas de Riemann y la integral



En los problemas 60 a 62, verifique el resultado dado como sigue: use un sistema algebraico para computadora primero para establecer la suma de Riemann apropiada, luego simplificar la suma y finalmente evaluar el límite cuando n → +∞. B

E X D X H EB EA 

 A B

SEN X D X H COS A COS B

 A B

COS X D X H SEN B SEN A

 A

352

CAPÍTULO 5

La integral

5.4 INVESTIGACIÓN: sumas de Riemann en calculadora/computadora Suponga que desea aproximar la integral  b

f (x) d x

a

numéricamente usando la suma de puntos medios. Si x  (b − a)yn y   1 1 1 x m i = xi − x = (a + i · x) − x = a + i − 2 2 2 es el punto medio del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ], entonces la selección XI  mi de la ecuación (14) da N

B

F .X/ D X H L¤M

N!1

A

F .M I

X:

IH

Muchas calculadoras y sistemas algebraicos de computadora incluyen el comando Sum, que se usa para calcular con facilidad y rapidez la suma de puntos medios con valores cada vez más grandes de n. Una práctica común es comenzar con quizá n  50 subintervalos y después calcular la suma de puntos medios duplicando sucesivamente el número de subintervalos; esto es, con n  50, 100, 200, . . . , hasta que las sumas sucesivas den el mismo valor con el número de decimales de exactitud deseados. En el material del manual de proyectos para esta investigación se ilustra este procedimiento usando una calculadora con gráficas y sistemas algebraicos de computadora típicos. Realice las siguientes investigaciones. 1. Aproximar la integral 

2

e x d x = e2 − 1 ≈ 6.3891

0

del ejemplo 5 con precisión de cuatro decimales. 2. Aproximar la integral 

SEN X D X H  H :

Y



del ejemplo 59 con precisión de cuatro decimales. 3. Primero explique por qué la figura 5.4.12 y la fórmula del área A  π r 2 para un círculo de radio r implican que  1  4 1 − x 2 d x = π.

Y  X

0 

FIGURA 5.4.12 Investigación 3.

X

Luego utilice sumas de puntos medios para aproximar esta integral y, con ello, el valor numérico de π. Comience con n  50 subintervalos, luego duplique sucesivamente el valor de n. ¿Qué tan grande debe ser n para obtener la aproximación conocida con cuatro decimales de π ≈ 3.1416?

5.5 EVALUACIÓN DE INTEGRALES La evaluación de integrales usando sumas de Riemann, como en la sección 5.4, es tediosa y tardada. Por fortuna, rara vez será necesario evaluar una integral de esta manera. En 1666, Isaac Newton, cuando aún era estudiante en la Universidad de Cambridge, descubrió una forma mucho más eficiente para evaluar una integral. Unos años después, Gottfried Wilhelm Leibniz, trabajando con una aproximación diferente, descubrió este método en forma independiente.

SECCIÓN 5.5

Evaluación de integrales

353

La idea central de Newton fue que para evaluar el número

Y

B

F .X/ D X; YF X

A

debemos primero introducir la función A(x) definida como sigue X

!.X/ H !X A

$ ! F X X X $ X B

F .T/ DT:



A

EJEX

FIGURA 5.5.1 Función de área A(x).

La variable independiente x aparece como el límite superior de la integral en la ecuación (1); la variable ficticia t se usa en el integrando sólo para evitar confusión. Si f es continua de valores positivos y x > a, entonces A(x) es el área bajo la curva y  f (x) sobre el intervalo [a, x] (figura 5.5.1). En la figura 5.5.1 es claro que A(x) crece cuando x aumenta. Cuando x aumenta x, A crece el área A de la franja angosta que se ve en la figura 5.5.1 con base [x, x + x]. Si x es muy pequeño, entonces el área de la franja es muy cercana al área f (x) x de un rectángulo con base [x, x + x] y altura f (x). Por lo cual !  F .X/:  X Lo que es más, la figura hace factible que se obtenga la igualdad en el límite cuando x → 0: D! ! H L¤M H F .X/: X! DX X %STOES !  F .X

XI



! .X/ H F .X/

y la derivada de la función de área A(x) es la función de altura de la curva f (x). En otras palabras, la ecuación (3) implica que A(x) es una antiderivada de f (x). La figura 5.5.2 muestra una interpretación física de la ecuación (3). Un rodillo para pintar deposita una capa de 1 mm de grueso de pintura para cubrir la región bajo la curva y  f (t). El rodillo tiene longitud ajustable; mientras gira con una velocidad de 1 mm/s de izquierda a derecha, un extremo traza el eje x y el otro la curva y  f (t). En cualquier tiempo t, el volumen V de pintura que el rodillo ha depositado es igual al área de la región pintada: V  A(t) (mm 3). La ecuación (3) nos da D6 H ! .T/ H F .T/: DT Por lo tanto, la tasa instantánea a la que el rodillo deposita la pintura es igual a la longitud actual del rodillo. Y

Y

F T



A X T

FIGURA 5.5.2 Rodillo de pintura de longitud ajustable.

354

CAPÍTULO 5

La integral

Teorema de evaluación La ecuación (3) implica que la función de área A(x) definida en la ecuación (1) e ilustrada en la figura 5.5.1 es una antiderivada de una función dada f (x). Ahora suponga que G (x) es cualquier otra antiderivada de f (x) —tal vez una encontrada con el método de la sección 5.2. Así, 

!.X/ H '.X/ C #

porque (por el segundo corolario del teorema del valor medio) dos antiderivadas de la misma función (en un intervalo) pueden diferir sólo en una constante. Además, A

!.A/ H

F .T/ DT H 



A

Y B

!.B/ H

B

F .T/ DT H A

F .X/ D X



A

por la ecuación (1). Por lo tanto se deduce que B

F .X/ D X H !.B/ !.A/ H T'.B/ C #U T'.A/ C #U; A

YAS¤ B



F .X/ D X H '.B/ '.A/ A

Nuestro análisis intuitivo nos lleva al enunciado del teorema 1.

TEOREMA 1 Evaluación de integrales Si G es una antiderivada de la función continua f en el intervalo [a, b], entonces B

F .X/ D X H '.B/ '.A/:



A

En la sección 5.6 se cubrirán los detalles del análisis anterior, dando una prueba rigurosa del teorema 1 (que es parte del teorema fundamental del cálculo). Ahora nos concentraremos en las aplicaciones computacionales del teorema. Es costumbre abreviar la diferencia G(b) − G(a) como ;'.X/=AB por lo que el teorema 1 implica que B

B

F .X/ D X H '.X/ A

H '.B/ '.A/



A

si G es cualquier antiderivada de la función continua f en el intervalo [a, b]. Por lo tanto, si se puede encontrar una antiderivada G de f, se podrá evaluar rápidamente la integral sin recurrir a las complicaciones de los límites de las sumas de Riemann. Si G (x)  f (x) entonces (igual que en la sección 5.2) se puede escribir F .X/ D X H '.X/ C #



para la integral indefinida de f. Con la integral indefinida ∫ f (x) d x en lugar de la antiderivada G(x), la ecuación (8) toma la forma B

B

F .X/ D X H A

F .X/ D X

:



A

Ésta es la conexión entre la integral indefinida y la integral definida a la cual se hizo referencia en las primeras secciones del capítulo 5.

SECCIÓN 5.5

EJEMPLO 1

Evaluación de integrales

355

Dado que XN DX H

X NC C# NC

XN DX H

X NC NC

.SI N

/;

SEDEDUCEQUE B A

SI N

B

BNC A NC NC

H A

 0OREJEMPLO 



X DX H



  X 

H 

 




 


 H :

Compare la rapidez para obtener el resultado con los complejos cálculos del ejemplo 7 de la sección 5.3. Z EJEMPLO 2

Dado que COS X D X H SEN X C #;

SEDEDUCEQUE B

B

COS X D X H SEN X

H SEN B SEN A:

A

A

$EMANERASIMILAR B

B

SEN X D X H

COS X

A

H COS A COS B: A

En particular, como se mencionó en el ejemplo 2 de la sección 5.4, 



SEN X D X H

COS X



H .COS / .COS / H .C/ ./ H : 

Z

EJEMPLO 3 



X DX H

 

  X 

H 

 

H

 : 



X X =  D X H X  X = X



H : 





.X C / D X H

 =

SEN X D X H   

 .X 

C /

H  =

 COS X



 


. / H :

H  .COS  COS / H :



EX D X H

 X E 



H  .E /:

No se han dado los detalles de cómo se encontraron las antiderivadas, pero puede (y debe) verificar cada uno de estos resultados mostrando que las derivadas de la función dentro de los paréntesis de evaluación en el lado derecho son iguales a los integrandos en el izquierdo. En el ejemplo 4 se mostrarán los detalles. Z  5 √ 3x + 1 d x. EJEMPLO 4 Evalúe 1

356

CAPÍTULO 5

La integral

Solución Aplicamos la forma generalizada de la regla de potencia de la antiderivada, U K DU H CON K H

 

U KC C# KC

.K

/;

Y U H X C ;

DU H  D X:

%STODA .X C /= D X H

 

H

 

.X C /= . D X/ H


U =  

 

U = DU

C # H  .X C /= C #

para la integral indefinida, por lo que se sigue de la ecuación (10) que 

p



X C  D X H



 .X 

C // 

H  .= / / H  .  / H

 : 

Z

Si la derivada F (x) de la función F (x) es continua, entonces el teorema de evaluación, con F (x) en lugar de f (x) y F (x) en lugar de G (x), proporciona B

B

& .X/ D X H &.X/ A

H &.B/ &.A/:



A

El ejemplo siguiente muestra una aplicación inmediata. EJEMPLO 5 Suponga que el tamaño inicial de una población animal P(t) es P (0)  100 y que su tasa de crecimiento después de t meses está dada por P (t)  10 + t + (0.06)t 2. ¿Cuál es la población después de 10 meses?

Solución Por la ecuación (11), sabemos que  10  10  P(10) − P(0) = P (t) dt = [10 + t + (0.06)t 2 ] dt 0 0

10 3 1 2 = 170. = 10t + 2 t + (0.02)t 0

Así, P (10)  100 + 170  270 individuos. EJEMPLO 6

Z

Evalúe N

L¤M

N!1

IH

I N

reconociendo este límite como el valor de una integral.

Solución Si escribimos

  n n    1 2i 2i , = 2 n n n i=1 i=1

se puede reconocer que se tiene una suma de Riemann para la función f (x)  2x asociada con una partición del intervalo [0, 1] en n subintervalos de igual longitud. El

SECCIÓN 5.5

Evaluación de integrales

357

i-ésimo punto de la subdivisión es xi  iyn y x  1yn. Por lo que a partir de la definición de la integral y del teorema de evaluación se tiene que N

L¤M

N!1

IH

N

I H L¤M N  N!1

N

XI

X H L¤M

N!1

IH



F .XI

X

IH



F .X/ D X H

H

X D X:





0ORCONSIGUIENTE N

L¤M

N!1

IH

I H X N



H :

Z



Propiedades básicas de las integrales Los problemas 59 a 62 describen demostraciones básicas de las propiedades de las integrales que se establecerán a continuación. Se supone de ahora en adelante que cada función mencionada es integrable en [a, b].

Integral de una constante Y B

C D X H C.B A/: A

YC

C

Esta propiedad es intuitivamente obvia porque el área representada por la integral es simplemente un rectángulo con base b − a y altura c (figura 5.5.3).

B

°A CDX A

B

X

Propiedad de la constante múltiple B

B

C F .X/ D X H C

FIGURA 5.5.3 La integral de una constante es el área de un rectángulo.

A

F .X/ D X: A

Por lo tanto, una constante se puede mover “a través” del signo de integral. Por ejemplo, =

=

=

 SENX D X H  

SEN X D X H  COS X 

H : 

Propiedad de la suma B

B

; F .X/ C G.X/= D X H A

B

F .X/ D X C A

G.X/ D X: A

Si las funciones f y g son ambas integrables en [a, b], entonces la integral de su suma es igual a la suma de sus integrales. Este hecho permite una estrategia de “divide y vencerás” para calcular las integrales:   p  p X X  X C COS DX H  X DX C COS D X        X H  = C : H X = C  SEN    La figura 5.5.4 ilustra geométricamente la propiedad de la suma de integrales. La prueba de la propiedad de la suma ilustra una aproximación con sumas de Riemann que se adapta a todas las propiedades que se discutirán aquí. Pensemos en una partición del intervalo [a, b] en subintervalos todos de la misma longitud x. Si las

358

CAPÍTULO 5

La integral Y YFX GX

B

GX

°A GX DX

F X

°A

A

B

YFX

FX DX

X

X

B

FIGURA 5.5.4 Integral de la suma de dos funciones con valores positivos.

funciones f, g y f + g son integrables, entonces el teorema 2 en la sección 5.4 da N

B

F .XI / C G.XI /

; F .X/ C G.X/= D X H L¤M

X!

A

X

IH N

N

F .XI

H L¤M

X!

XC

IH

G.XI

N

H

N

F .XI

L¤M

X!

X

IH

X C

IH

B

L¤M

X!

G.XI

X

IH

B

H

F .X/ D X C A

G.X/ D X: A

YFX

°A

C

°C

FX DX

A

B

Propiedad de la unión de intervalos Si a < c < b, entonces

FX DX

B

C

B

X

FIGURA 5.5.5 Cómo funciona la propiedad de la unión de intervalos.

C

A

F .X/ D X C A

F .X/ D X: C

La figura 5.5.5 indica la factibilidad de la propiedad de la unión de intervalos. EJEMPLO 7

Si f (x)  2 | x |, entonces F .X/ H

X X

SI X SI X

; :

La gráfica de f se muestra en la figura 5.5.6. Una antiderivada de f (x) no es evidente, pero la propiedad de la unión de intervalos permite dividir la integral de f en [−1, 3] en dos integrales sencillas de calcular:

Y

X Y

X 

Y



3 −1



B

F .X/ D X H



2 |x| d x =

0

−1

 (−2x) d x +

=

X

FIGURA 5.5.6 Área bajo la gráfica de y  2| x | sobre [−1, 3].



−x

0



2 −1

3

(2x) d x

0

3

+ x2

= [0 − (−1)] + [9 − 0] = 10. 0

¿Concuerda este resultado con la figura 5.5.6? EJEMPLO 8

Evalúe la integral

 

jCOS X SEN Xj D X

Z

SECCIÓN 5.5

 Y



YCOSX SENX



P 

P 





 





 X









jCOS X SEN Xj D X

FIGURA 5.5.7 y  cos x − sen x.

 =

=

.COS X SEN X/ D X C

H

 

P 

=



C COS X SEN X

C SEN X C COS X



P 



 

p

=

=

p p H C  . C / C  C   p p p p     C . C /     p H  :  

p

.COS X SEN X/ D X =

=





=

H SEN X C COS X

Y\COSX SENX\



Y



.SEN X COS X/ D X C

 

359

Solución La figura 5.5.7 muestra la gráfica de la función f (x)  cos x − sen x y la figura 5.5.8 muestra la gráfica de su valor absoluto | f (x)|  |cos x − sen x| que se desea integrar. Vemos directamente que f (x)  0 en x  πy4 y x  5πy4, entonces COS X SEN X SI  X < =; j F .X/j H SEN X COS X SI = X < =; COS X SEN X SI = X : Aplicando la propiedad de la unión de intervalos se tiene

  

Evaluación de integrales

 



 





 X







Propiedades de comparación 1) Si f (x) g (x) para toda x en [a, b], entonces

FIGURA 5.5.8 y  | cos x − sen x|.

B

B

F .X/ D X

G.X/ D X:

A

2) Si m

Y

f (x)

A

M para toda x en [a, b], entonces B

M.B A/

F .X/ D X

-.B A/:

A

-

YF X M A

B A

X

La primera propiedad de comparación dice que la función mayor tiene la integral más grande. La factibilidad de la segunda propiedad de comparación se muestra en la figura 5.5.9. Observe que m y M no necesariamente tienen que ser los valores mínimo y máximo de f (x) en [a, b ].

B

La figura 5.5.10 muestra las gráficas

EJEMPLO 9

FIGURA 5.5.9 Factibilidad de la segunda propiedad de comparación.

YH

p CX;

YH

C

p

X ;

Y

Y H : C .:/X;

SEPUEDEVERQUE 

p YX YX

 

 X

FIGURA 5.5.10 Citas para la  √ gráfica de f (x) = 1 + x.

C

p

X

: C .:/X



p X para x en [0, 1] implica que para x en [0, efecto, el hecho de que x  1]. En √ √ 1 + x ahí. La gráfica y  1.2 + (0.3)x que está arriba de y  1 + x   √ 1 + x fue descubierta empíricamente usando una calculadora con gráficas. De cualquier forma, las desigualdades en (12) y la primera propiedad de comparación de las integrales implican que

YX Y 

CX





p  C X DX

C



p



X DX



T: C .:/XU D XI 

ENTONCES   . 



C X/=

C 



p



X DX

.:/X C .:/X 

H :: 

360

CAPÍTULO 5

La integral

Como  (2 3y 2 − 1) ≈ 1.2190, finalmente se obtiene  1 √ 1.21  1 + x d x  1.35.

(13)

0

1 √ Resulta que (al usar el método de la sección 5.9) el valor real de la 0 1 + x d x es 1.29 redondeado a dos decimales, bastante cercano al promedio 1.28 de las cotas superior e inferior en (13). Z

Las propiedades de las integrales empleadas se usan aquí con frecuencia en operaciones de cálculo y se emplearán en la prueba del teorema fundamental del cálculo de la sección 5.6.

5.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. X

F .T/ DT ENTONCES ! .X/ H F .T/

 3I !.X/ H A

B

F .X/ D X H '.B/ '.A/

 3I ' .X/ H F .X/ PARA X ENTA; BU ENTONCES A 



X DX H



 . / H  

B



COS X D X H SEN A SEN B A 



X DX H



   B

 3I & ES CONTINUA EN TA; BU ENTONCES

& .X/ D X H &.B/ &.A/ A

 3I F Y G SON INTEGRALES EN TA; BU ENTONCES B

B

T F .X/ C G.X/U D X H A

B

F .X/ D X C

G.X/ D X:

A

A

8. Si f es integrable en [a, b] y a < c < b, entonces  c  b  b f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x. a

a

c

p



j COS X SEN Xj D X H    1 √ 1 + x d x  1.35. 10. 1.21 

9.



0

5.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b]. Explique la diferencia entre las funciones y h definidas para t en [a, b] por B

T

F .X/ D X

G.T/ H A

Y

H.T/ H

F .X/ D X: A

¿Cuál es la diferencia entre sus derivadas g (t) y h (t)?

SECCIÓN 5.5

Evaluación de integrales

361

2. ¿Cuál es la relación entre las integrales B

B

F .X/ D X

Y

j F .X/j D X

A

A

¿Cuál es la diferencia entre sus valores absolutos? Analice los siguientes casos por separado: a) f tiene valores positivos en el intervalo [a, b]; b) f tiene valores negativos en el intervalo [a, b]; c) f tiene valores tanto positivos como negativos en el intervalo [a, b].

5.5 PROBLEMAS Aplique el teorema de evaluación de integrales para evaluar los problemas 1 a 36. 

p p X  C  X C   X D X

  



 DX X

  

 

 DX X

 

X  . C X/ D X



.X  X  / D X







   

 

.X C / D X 

X C  DX X



X  D X



.X  C X C / D X  

X  D X 



X



X

=

DX







.X / D X 



 





.X C / D X







.X C / D X 



 

 DX .X C /



C



p

X





X = D X

 

 L¤M

N!1



 L¤M

N!1





p



T DT





  

 

DU U



 DU: U  DX X

  =

X



.E / D X





COS X D X 

/



SEN X COS X D X







SEN X D X



SEN  X COS X D X



 

X X  D X



En los problemas 49 a 54, use las propiedades de las integrales para establecer cada desigualdad sin evaluar las integrales involucradas.  1  1 √ 49. 1  1 + x2 dx  1 + x dx 0 2

√ 1 + x dx 

1

1 √ dx  1+ x

50. 1

X SEN DX 

3UGERENCIA #OMPLETEELCUADRADO



 COS  T DT



COS X D X

 X  D X 

 =

 jXj D X 











 



. jXj/ D X

 









p ET DT

/BSERVELAABREVIATURADE

 DT T

jX j D X





 



j Xj D X

 

IH

I  SEN N N

b En los problemas 43 a 48, se da una integral a f (x) d x. Primero bosqueje la gráfica y  f (x) en el intervalo [a, b]. Luego, interpretando la integral como el área de una región, evalúela usando fórmulas conocidas de áreas para rectángulos, triángulos y círculos.

.E X EX / D X



IH

I N

 C  C  C


C N N  C   C  C


C N   L¤M N!1 N p p p p  C  C  C


C N  L¤M p N!1 N N





DX

sec2 2t dt

0

En los problemas 37 a 42, evalúe los límites dados reconociendo primero las sumas indicadas como una suma de Riemann asociada con una partición regular de [0, 1] y luego evaluando la integral correspondiente. N I   L¤M  N!1 N N IH

N

 =

π/8

36.

N!1



 p DX X



πx dx 4

 L¤M

X DX







p









0







cos

N

 

.X X / D X



2



 

 35.

 51.

0

0



2

 √ 1 + x 3 d x  10

1



1 0

1 dx 1 + x2

CAPÍTULO 5

362

La integral



 

 DX   CX  p SEN X D X

 

(cuyo valor exacto se sabe que es ln 2 ≈ 0.693).

 DX  C X





=

  



 DX  C COS X

 

=

=

COS X D X 

 X

 Y

En los problemas 55 a 58, use la segunda propiedad de comparación de integrales para estimar —dando un límite inferior y un límite superior como en el problema 54— el valor de la integral dada.      DX  p DX  C X  C X   

Y







   

 C  SEN  X D X





X







FIGURA 5.5.11 Cotas para la 1 gráfica de f (x) = . x



59. Use las sumas de Riemann —como en la prueba de la propiedad de la suma de integrales— para establecer la propiedad de la constante múltiple. 60. Use las sumas de Riemann para establecer la primera propiedad de comparación de integrales. 61. Deduzca la segunda propiedad de comparación de las integrales a partir de la primera propiedad de comparación. 62. Use sucesiones de sumas de Riemann para establecer la propiedad de unión de intervalos de la integral. Observe que si 2N y 2N son sumas de Riemann para f en el intervalo [a, c] y [c, b], respectivamente, entonces Rn  2N + 2N es una suma de Riemann para f en [a, b]. 63. Suponga que un tanque contiene inicialmente 1000 gal de agua y que la tasa de cambio de su volumen después de drenar el tanque durante t minutos es V (t)  (0.8)t − 40 (en galones por minuto). ¿Cuánta agua contiene el tanque después de drenarlo por media hora? 64. Suponga que la población de Juneau en 1970 era de 125 (en miles) y que su tasa de crecimiento t años después era P (t)  8 + (0.5) t + (0.03)t 2 (en miles por año). ¿Cuál era su población en 1990? 65. La figura 5.5.11 muestra la gráfica f (x)  1yx en el intervalo [1, 2], la recta que une sus puntos extremos (1, 1) y (2, 12), y su recta tangente en el punto (, ). Use esta construcción para evaluar la integral  2 1 dx x 1

  



66. La figura 5.5.12 muestra la gráfica de f (x)  1y(1 + x 2) en el intervalo [0, 1], la recta y  L (x) que une sus extremos (0, 1) y (1, 12), y la recta y  L (x) + 0.07. Primero grafique f (x) − L (x) para verificar que esta última recta está arriba de y  f (x) en el intervalo [0, 1]. Luego utilice esta construcción para estimar el valor de la integral  

 DX  C X

(cuyo valor exacto se sabe que es  π ≈ 0.785). 

Y,X  Y



 X

 Y,X Y

   







X







FIGURA 5.5.12 Cotas para la  gráfica de F .X/ H   C X

5.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Solemos atribuir a Newton y Leibniz la invención del cálculo, en la última parte del siglo xvii. En realidad, otros ya habían calculado áreas, en esencia, equivalentes a integrales, y pendientes de rectas tangentes, equivalentes a derivadas. Sin embargo, el gran logro de Newton y Leibniz fue el descubrimiento y la explotación computacional de la relación inversa entre derivación e integración. Esta relación está incorporada al teorema fundamental del cálculo. Una parte de este teorema es el teorema de evaluación de la sección 5.5. Para evaluar B

F .X/ D X; A

es suficiente con encontrar una antiderivada de f en [a, b]. La otra parte del teorema fundamental dice que usualmente es posible hacerlo. Al menos en teoría, toda función continua tiene una antiderivada.

SECCIÓN 5.6

Teorema fundamental del cálculo

363

Valor promedio de una función El concepto de valor promedio de una función es útil para probar el teorema fundamental y tiene numerosas aplicaciones importantes en sí mismo. El promedio ordinario (aritmético) de n números dados a1, a2, . . . , an se define como AH

 A C A C


C AN H N N

N

AI :



IH

Pero una función f definida en un intervalo tiene generalmente una infinidad de valores f (x), por lo que no podemos simplemente dividir la suma de todos esos valores entre el número de ellos para encontrar el valor promedio de f (x). Para introducir la notación apropiada se analizará un promedio de temperaturas. EJEMPLO 1 Sea T la temperatura medida durante un día de 24 horas en un lugar dado, expresada por la función T  f (t), 0

t

24

(con el reloj de 24 horas caminando de t  0 una media noche a t  24 a la siguiente media noche). Así, por ejemplo, las temperaturas f (1), f (2), . . . , f (24) se toman en intervalos de 1 hora durante el día. Se define la temperatura promedio 4 para el día como el promedio (ordinario aritmético) de las temperaturas cada hora: 24 1  T = f (ti ), 24 i=1 donde ti  i. Si se subdivide el día en n subintervalos iguales en lugar de los 24 intervalos de 1 hora, se obtendrá un promedio más general 4 H

 N

N

F .TI /: IH

Cuanto más grande sea n, más cerca se espera que esté 4 del valor “verdadero” de la temperatura promedio del día. Así, es factible definir la temperatura promedio verdadera haciendo que n crezca sin límite. Esto da 4 H L¤M

N!1

N

 N

F .TI /: IH

El lado derecho se parece a una suma de Riemann y es posible convertirla en una si se introduce el factor b−a , t = n donde a  0 y b  24. Por lo tanto 4 H L¤M

N!1

H L¤M

N!1

H

N

 N
N BA  BA

 L¤M B A N!1

F .TI /
IH

N

F .TI /
IH N

F .TI

BA N

BA N TH

IH

 BA

B

F .T/ DT: A

!S¤ 4 H

 



F .T/ DT





suponiendo que f es continua; así las sumas de Riemann convergen a la integral cuando n → ∞. Z

CAPÍTULO 5

364

La integral

El resultado final de la ecuación (2) es la integral de la función dividida entre la longitud del intervalo. El ejemplo 1 motiva la siguiente definición:

DEFINICIÓN Valor promedio de una función Suponga que la función f es integrable en [a, b]. Así, el valor promedio Y de y  f (x) para x en el intervalo [a, b] es  BA

YH

B

F .X/ D X:



A

Se puede rescribir (3) en la forma B

F .X/ D X H Y
.B A/:



A

Si f tiene valores positivos en [a, b], la ecuación (4) implica que el área bajo y  f (x) sobre [a, b] es igual al área de un rectángulo cuya base tiene longitud b − a y altura Y (figura 5.6.1). Y YF X

Y

A

X

B

X

FIGURA 5.6.1 Rectángulo que representa el valor promedio Y de una función.

EJEMPLO 2

El valor promedio de f (x)  x 2 para x en [0, 2] es 1 y= 2

2



1 1 3 2 4 x x dx = = . 2 3 3 0 2

0

Z

EJEMPLO 3 En Atenas, Georgia (EUA), la temperatura media diaria, en grados Fahrenheit t meses después del 15 de julio, se aproxima por

 

4 H  C  COS

4FT

4 

4

T H F .T/: 



Encuentre la temperatura promedio entre septiembre 15 (t  2) y diciembre 15 (t  5).

 



Solución La ecuación (3) da 



 T

FIGURA 5.6.2 La temperatura T  f (t) del ejemplo 3.



4 H

H

 



 C  COS 

T 
  SEN T C   

T 

DT



  &: 

La figura 5.6.2 muestra la gráfica de T  f (t) y T ≡ 57. ¿Puede ver que la ecuación (4) implica que las dos regiones casi triangulares en la figura tienen áreas iguales? Z

SECCIÓN 5.6

Teorema fundamental del cálculo

365

El teorema 1 dice que cualquier función continua en un intervalo cerrado adquiere su valor promedio en algún punto del intervalo.

TEOREMA 1 Teorema del valor promedio Si f es continua en [a, b], entonces F .X/ H

B

 BA

F .X/ D X



A

para algún número X en [a, b]. Demostración Sea m  f (c) el valor mínimo de f (x) en [a, b] y sea M  f (d ) el valor máximo en ella. Así, por la propiedad de comparación de la sección 5.5,

1 m = f (c)  y = b−a



b

f (x) d x  f (d) = M.

a

Como f es continua, se puede aplicar la propiedad del valor intermedio. El número Y está entre los dos valores de m y M de f, y en consecuencia, Y mismo debe ser un valor de f. En particular, Y  f ( X) para algún número X entre a y b. Esto produce la ecuación (6). X OBSERVACIÓN Mientras que y denota el valor promedio de la función y  f (x), el punto x, donde f toma este valor promedio, en general, no es en sí un valor promedio de x.

EJEMPLO 4 Si v (t) denota la función velocidad de un auto deportivo que acelera durante el intervalo a t b, entonces la velocidad promedio del auto está dada por

v=

1 b−a



b

v(t) dt.

a

El teorema del valor promedio implica que G  v(T ) para algún número T en [a, b]. Por lo tanto, T es un instante durante el cual la velocidad instantánea del auto es igual a su velocidad promedio en todo el intervalo de tiempo. Z

Teorema fundamental Se establece el teorema fundamental del cálculo en dos partes. La primera parte es el hecho de que toda función que es continua en un intervalo I tiene una antiderivada en I. En particular, una antiderivada de f se puede obtener integrando f de cierta manera. Intuitivamente, en el caso f (x) > 0, dejamos que F (x) denote el área bajo la gráfica de f desde un punto fijo a de I a x, un punto en I con x > a. Se debe probar que F (x)  f (x). En la figura 5.6.3 se muestra la construcción de la función F. De manera más precisa, se define la función F como

Y

YFX

FT X

&X A

&.X/ H X

T XH

FIGURA 5.6.3 La función de área F es una antiderivada de f.

X

F .T/ DT; A

donde la variable ficticia t se usa en la integral para evitar confusión con el límite superior x. La prueba de que F (x)  f (x) será independiente de la suposición es que x > a.

366

CAPÍTULO 5

La integral

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Suponga que f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Parte 1: Si la función F está definida en [a, b] por X

&.X/ H

F .T/ DT;



A

entonces F es una antiderivada de f. Es decir, F (x)  f (x) para x en [a, b]. Parte 2: Si G es una antiderivada de f en [a, b], entonces B

B

F .X/ D X H '.X/ A

H!



De la definición de la derivada,

Demostración de la parte 1

& .X/ H L¤M

H '.B/ '.A/: A

&.X C H/ &.X/  H L¤M H! H H

XCH

X

F .T/ DT A

F .T/ DT : A

0ERO XCH

X

XCH

F .T/ DT H A

F .T/ DT C A

F .T/ DT X

por la propiedad de la unión de intervalos de la sección 5.5. Por lo tanto, & .X/ H L¤M

H!

 H

XCH

F .T/ DT: X

El teorema del valor promedio dice que  1 x+h f (t) dt = f t h x para algún número T en [x, x + h]. Finalmente, observe que T → x cuando h → 0. Como f es continua, se puede ver que & .X/ H L¤M

H!

 H

XCH

F .T/ DT H L¤M F T H L¤M F T H F .X/: H!

X

T!X

Así, la función F en la ecuación (7) es, sin duda, una antiderivada de f. X

T

XH

4OPE

#UENTA

2ONDANA

#ABLE

FIGURA 5.6.4 La cuenta en T atrapada entre la rondana en x + h y el tope en x.

X

OBSERVACIÓN La figura 5.6.4 indica por qué T se debe acercar a x cuando h → 0. Mientras la rondana en x + h se acerca al tope fijo en x la cuenta t entre ellas no tiene a dónde ir.

Ahora se aplica la parte 1 para demostrar el teorema de evaluación de la sección 5.5. Si G es cualquier antiderivada de f, entonces —porque G y la función F de la parte 1 son ambas antiderivadas de f en el intervalo [a, b]— sabemos que

Demostración de la parte 2

G (x)  F (x) + C en [a, b] por alguna constante C. Para evaluar C, se sustituye x  a y se obtiene C  G (a) − F (a)  G (a) porque

 F(a) =

a

f (t) dt = 0.

a

Por lo tanto G (x)  F (x) + G (a). En otras palabras, F (x)  G (x) − G (a)

SECCIÓN 5.6

Teorema fundamental del cálculo

para toda x en [a, b]. Con x  b se tiene



G(b) − G(a) = F(b) =

b

367

f (x) d x,

a

X

como se estableció en la ecuación (8).

Algunas veces el teorema fundamental del cálculo se interpreta diciendo que la derivación y la integración son procesos inversos. La parte 1 se puede escribir en la forma X

D DX

F .T/ DT

H F .X/



A

si f es una función continua en un intervalo abierto que contiene a a y x. Esto es, si primero integramos la función f (con límite superior de integración x variable) y luego derivamos respecto a x, el resultado es la función f de nuevo. Por lo tanto, la derivación “cancela” el efecto de la integración de funciones continuas. Más aún, la parte 2 del teorema fundamental se puede escribir en la forma X



' .T/ DT H '.X/ '.A/ A

si suponemos que G  es continua. Si es así, esta ecuación significa que si primero derivamos la función G y luego integramos el resultado de a a x, este resultado puede diferir de la función original G, en el peor caso, por la constante G (a). Esto significa que la integración “cancela” el efecto de la derivación cuando a se elige de forma que G (a)  0.



Aplicaciones computacionales



Los ejemplos 1 a 4 de la sección 5.5 ilustran el uso de la parte 2 del teorema fundamental en la evaluación de integrales. Aparecen ejemplos adicionales en los problemas de fin de sección en ésta y en la sección 5.7. El ejemplo 5 ilustra la necesidad de dividir una integral en una suma de integrales cuando su integrando tiene fórmulas de antiderivadas distintas en diferentes intervalos.

2 Y 



YFX







 X





EJEMPLO 5

La figura 5.6.5 muestra la gráfica de la función f definida por F .X/ H

FIGURA 5.6.5 Región del ejemplo 5.

COS X  X

SI X SI X

 

Encuentre el área A de la región R acotada arriba por la gráfica de y  f (x) y abajo por el eje x.

Solución Las intercepciones x mostradas en la figura son x  −1 (donde 1 − x 2  0 y x < 0) y x  πy2 (donde cos x  0 y x > 0). Así, YX X X



=

!H 

 Y 



 H X X 

2  2



EJEMPLO 6

 

COS X D X 

=

C SEN X 

=

. X  / D X C H 

  CH :  

Z

La figura 5.6.6 muestra la gráfica de f (x)  x 3 − x 2 − 6x.







F .X/ D X H



 X



FIGURA 5.6.6 Gráfica de y  x 3 − x 2 − 6x del ejemplo 6.



Encuentre el área A de la región completa R acotada por la gráfica de f y el eje x.

Solución La región R consiste en dos regiones R1 y R2 y se extiende de x  −2 a x  3. El área de R1 es

0  0 3 2 2 1 4 1 3 A1 = (x − x − 6x) d x = 4 x − 3 x − 3x = 16 . 3 −2

−2

368

CAPÍTULO 5

La integral

Pero en el intervalo (0, 3), la función f (x) tiene valores negativos, de manera que para obtener el área (positiva) A2 de R2, se debe integrar primero el negativo de f :

3  3 3 2 2 1 4 1 3 A2 = (−x + x + 6x) d x = − 4 x + 3 x + 3x = 63 . 4



0



2

2 Y 

En consecuencia, el área de la región R completa es A = A1 + A 2 =





Y¦X X X¦









0

 X



FIGURA 5.6.7 Gráfica de y  | x 3 − x 2 − 6x | del ejemplo 6.

+

16 3

63 4

=

253 12

≈ 21.08.

De hecho, se integró el valor absoluto de f (x):  3 | f (x)| d x A= 



=

−2 0 −2



3

(x 3 − x 2 − 6x) d x +

(−x 3 + x 2 + 6x) d x =

0

253 . 12

Compare la gráfica de y  | f (x)| en la figura 5.6.7 con la de y  f (x) en la figura 5.6.6   Z EJEMPLO 7

Evalúe



2 −1

|x 3 − x| d x.

Solución Observamos que x 3 − x 0 en [−1, 0], que x 3 − x x 3 − x 0 en [1, 2]. Por lo cual se puede escribir 



jX  Xj D X H





.X  X/ D X C





H

 

C

 

 X 

   X 

C 

C 

.X  X/ D X



   X 

H



.X X  / D X C

0 en [0, 1], y que



H

 X   



C 

  X 

 X 

H ::



Z

La parte 1 del teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de una integral respecto a su límite superior es igual al valor del integrando en el límite superior. Por ejemplo, si X

Y.X/ H

T  SEN T DT;



ENTONCES

DY H X  SEN X: DX El ejemplo 8 es un poco más complicado, ya que el límite superior de la integral es una función no trivial de la variable independiente.

EJEMPLO 8

Encuentre h (x) dado X

H.X/ H

T  SEN T DT:



Solución Sea y  h(x) y u  x 2. Entonces U

YH

T  SEN T DT;



DEMANERAQUE

DY H U  SEN U DU por el teorema fundamental del cálculo. Así, la regla de la cadena da DY DU DY H
H .U  SEN U/.X/ H X  SEN X  : H .X/ H DX DU D X

Z

SECCIÓN 5.6

Teorema fundamental del cálculo

369

Problemas de valor inicial Observe que si

X

Y.X/ H

F .T/ DT;



A

entonces y (a)  0. Por lo tanto, y(x) es una solución del problema de valor inicial DY H F .X/; Y.A/ H :  DX Para obtener al solución del problema de valor inicial DY H F .X/ DX

Y.A/ H B;



sólo es necesario sumar el valor inicial deseado: X

Y.X/ H B C

F .T/ DT:



A

EJEMPLO 9

Exprese en forma de integral la solución del problema de valor inicial dy = sec x, y(2) = 3. dx

Solución Con a  2 y b  3, la ecuación 14 resulta en  x sec t dt. y(x) = 3 + 2

Con el conocimiento actual, no se puede antiderivar sec t, pero para un valor particular de x la integral en la ecuación (16), se puede aproximar usando sumas de Riemann. Por ejemplo, con x  4 una calculadora con una tecla INTEGRATE nos proporciona  4 sec t dt ≈ −2.5121. 2

Y el valor de la solución en la ecuación (16) en x  4 es y(4) ≈ 3 − 2.5121  0.4879.

Z

5.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si f es integrable en [a, b], su valor promedio ahí es  b 1 y= f (x) d x. b−a a 2. El valor promedio de f (x)  x 2 en [0, 2] es . 3. Si f es continua en [a, b] con valor promedio y ahí, entonces Y  f ( X) para algún número X [a, b]. 4. Si v (t) denota la velocidad —que se supone continua— de un auto viajando en línea recta durante el intervalo de tiempo a t b, entonces la velocidad promedio del auto en ese intervalo es  b 1 v= v(t) dt. b−a a 5. El teorema fundamental del cálculo implica que si f es continua en [a, b], entonces f tiene una antiderivada ahí.

370

CAPÍTULO 5

La integral

6. Si f es continua en [a, b] y

 F(x) =

x

f (t) dt,

a

entonces F (x)  f (x). 7. El teorema fundamental del cálculo implica que si f es continua en [a, b] y G   f ahí, entonces  b f (x) d x = G(b) − G(a). a

8. El área acotada por la gráfica de f (x)  x 3 − x 2 − 6x y el eje x es   jX  Xj D X H     X

 3I H.X/ H

253 . 12

T  SEN T DT ENTONCES H .X/ H X  SEN X



5.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Cualquier función definida en un intervalo cerrado tiene un valor promedio ahí? 2. Suponga que la función f definida en un intervalo cerrado [a, b] tiene un valor promedio ahí. ¿Es necesario que f tome este valor promedio? Muestre que es así o dé un ejemplo donde muestre que no lo es. 3. Analice la validez de la afirmación que dice que el teorema fundamental del cálculo simplemente establece que “toda función es la derivada de su integral y la integral de su derivada”. ¿Dice esto el teorema fundamental del cálculo? ¿Dice más que eso? 4. Suponga que una partícula que se mueve en el eje x tiene la posición x  f (t) y velocidad v  f (t) en el tiempo t. Interprete los valores de las integrales B

B

F .T/ DT

Y

A

j F .T/j DT A

en términos de el cambio de posición de la partícula y la distancia que viaja. ¿Cuál es la diferencia?

5.6 PROBLEMAS En los problemas 1 a 12 encuentre el valor promedio de las funciones dadas en los intervalos especificados.  F .X/ H X   T; U p  G.X/ H X  T; U p  H.X/ H X  X  C   F .X/ H X

T; U

 G.X/ H X

T; U

 H.X/ H X  

T; U

 F .X/ H X  

T; U





 

.X  C / D X







T; U





T; U

X X C  DX p  X

 

SEN X COS X D X  

jXj D X

T











EX D X







 

 G.X/ H SEN X T

 G.T/ H E 

T; =U

X



p

jX  j D X



=



SEN X D X 

 

 





EX  DX EX





 T



X DX



T; U

DX p X  T  DT T









Evalúe las integrales de los problemas 13 a 28.  3 d x (aquí d x representa 1 d x.) 13. −1



.Y  / DY 

 G.X/ H X =  T; U p  F .X/ H X C   T; U  F .X/ H SEN X





 DX X 

 DX X

DT

SECCIÓN 5.6

Teorema fundamental del cálculo

En los problemas 29 a 32, la gráfica de f y el eje x dividen el plano xy en varias regiones, algunas de las cuales están acotadas. Encuentre el área total de las regiones acotadas en cada problema.  F .X/ H  X  SI X  F .X/ H  X  SI X  FIGURA  F .X/ H .=/ SEN X EN T; =U T=; U FIGURA Y X

Y X

YP SENX

YXP X



39. La figura 5.6.13 muestra una sección transversal a una distancia y del vértice de un cono con radio de la base 1 y altura 2. Encuentre el área promedio de la sección transversal para 0 y 2.

Y 







 X













X

FIGURA 5.6.8 Problema 29.

 F .X/ H X  X

FIGURA 5.6.9 Problema 30. Y

FIGURA

 F .X/ H X  X  X



FIGURA

YX X



X

FIGURA 5.6.12 Esfera del problema 38.



Y 

R

F .X/ H X. X/ EN

 



371

R YX X X





 Y 

Y

FIGURA 5.6.13 Cono del problema 39.













 X





FIGURA 5.6.10 Problema 31.



 X



FIGURA 5.6.11 Problema 32.

33. Rosanne deja caer una pelota desde una altura de 400 pies. Encuentre la altura promedio de la pelota y su velocidad promedio entre el tiempo en que comienza a caer y el tiempo en que choca con el suelo. 34. Encuentre el valor promedio de una población animal P(t)  100 + 10t + (0.02) t 2 en el intervalo de tiempo [0, 10]. 35. Suponga que un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 min en vaciarse y que después de t minutos, la cantidad de agua que queda en el tanque es V (t )  50(10 − t) 2 litros. ¿Cuál es la cantidad de agua promedio en el tanque durante el tiempo en que se vacía? 36. Cierto día, la temperatura t horas después de media noche era 4 .T/ H  C  SEN

 .T / : 

¿Cuál era la temperatura promedio entre medio día y las 6 pm? 37. Suponga que una barra calentada se coloca en el intervalo 0 x 10. Si la temperatura en algunos puntos de la barra está dada por T (x)  4x (10 − x), ¿cuál es la temperatura promedio de la barra? 38. La figura 5.6.12 muestra una sección transversal a una distancia x del centro de una esfera de radio 1. Encuentre el área promedio de la sección transversal para 0 x 1.

40. Un auto deportivo inicia en reposo (x  0, t  0) y experimenta una aceleración constante x0(t)  a durante T segundos. Encuentre en términos de a y T, a) su velocidad final y promedio y b) su posición final y promedio. 41. a) La figura 5.6.14 muestra un triángulo inscrito en la región que está entre el eje x y la curva y  9 − x 2. Exprese el área de este triángulo como una función A(x) de la coordenada x de su vértice superior P. b) Encuentre el área promedio ! de A(x) para x en el intervalo [−3, 3]. c) Dibuje un triángulo como en la figura 5.6.14 que tenga el área ! encontrada en el inciso b). ¿Cuántos triángulos diferentes como ese hay? Y 0X Y Y X

X

FIGURA 5.6.14 Triángulo típico del problema 41.

42. a) La figura 5.6.15 muestra un rectángulo inscrito en la región del primer cuadrante que está entre el eje x y la recta y  10 − x. Exprese el área de este rectángulo como una función A(x) de la coordenada x de su vértice P en la recta. b) Encuentre el área promedio ! de A(x) para x en el intervalo [0, 10]. c) Dibuje un rectángulo como el de la figura 5.6.15 que tenga el área A encontrada en el inciso b). ¿Cuántos rectángulos diferentes como ese hay?

372

CAPÍTULO 5

La integral Y

X

SEN X

 T  DT

 F .X/ H

 F .X/ H



XY

SEN T DT  X  C

SEN X

.T  C / DT

 F .X/ H

 F .X/ H



0X Y



DT T

EX

LN. C T  / DT

 F .X/ H 

Use integrales (como en el ejemplo 9) para resolver los problemas de valor inicial de los problemas 61 a 64. 1 dy = , y(1) = 0 61. dx x

X

FIGURA 5.6.15 Rectángulo típico del problema 42.

43. a) La figura 5.6.16 muestra un rectángulo inscrito en p la región semicircular que está entre el eje x y la gráfica Y H  X   Exprese el área de este rectángulo como una función A(x) de la coordenada x de su vértice P en la recta. b) Encuentre el área promedio ! de A(x) para x en el intervalo [0, 4]. c) Dibuje un rectángulo como el de la figura 5.6.16 que tenga el área ! encontrada en el inciso b). ¿Cuántos rectángulos diferentes hay? Y

dy π 1 , y(1) = = dx 1 + x2 4 √ dy 63. = 1 + x 2 , y(5) = 10 dx 62.

64.

dy = tan x, dx

y(1) = 2

65. El teorema fundamental del cálculo parece decir que 

1

Y  X −1

0X Y

en aparente contradicción con el hecho de que 1yx 2 es siempre positivo. ¿Qué está mal aquí? 66. Pruebe que la tasa de cambio promedio

X

FIGURA 5.6.16 Rectángulo típico del problema 43.

44. Repita el problema 43 en el caso que el rectángulo tenga dos 2 vértices en el eje x y dos p en la parábola y  16 − x (en lugar del semicírculo Y H  X  ). Tal vez tenga que usar una calculadora o computadora para encontrar la base del rectángulo cuya área es el área promedio ! de A(x) para x en [0, 4]. En los problemas 45 a 49, aplique el teorema fundamental del cálculo para encontrar la derivada de las funciones dadas.  x  t  45. f (x) = (t 2 + 1)17 dt 46. g(t) = x 2 + 25 d x −1 0  z  x √ 1 3 47. h(z) = dt u − 1 du 48. A(x) = t 2 1  10 (et − e−t ) dt 49. f (x) = x

En los problemas 50 a 53, G (x) es la integral de la función dada f (t) en el intervalo especificado de la forma [a, x], x > a. Aplique la parte 1 del teorema fundamental del cálculo para encontrar G (x). p T  F .T/ H   T; XU  F .T/ H T C   T; XU T C p  F .T/ H SEN  T T; XU  F .T/ H T  C   T; XU En los problemas 54 a 60, obtenga la diferencial de la función escribiendo primero f (x) en la forma g (u), donde u denota el límite superior de integración. X

X

 C T  DT

 F .X/ H 

SEN T  DT

 F .X/ H 



1 1 dx = − = −2, x2 x −1

f (b) − f (a) b−a

de la función derivable f en [a, b] es igual al valor promedio de su derivada en [a, b]. 67. La gráfica y  f (x), 0 x 10 aparece en la figura 5.6.17. Sea  x g(x) = f (t) dt. 0

a) Encuentre los valores g (0), g (2), g (4), g (6), g (8) y g (10). b) Encuentre los intervalos en los cuales g (x) crece y aquellos en los que decrece. c) Encuentre los valores máximo y mínimo globales de g (x) para 0 x 10. d) Dibuje una gráfica de y  g (x).      Y 









 

YFX





X





FIGURA 5.6.17 Problema 67.



SECCIÓN 5.7

68. Repita el problema 67, usando ahora la gráfica de la función f mostrada en la figura 5.6.18.

Integración por sustitución

373

 

     Y 









 

Y





YFX

YXSENX

 





 X







FIGURA 5.6.19 Problema 69. 



X







FIGURA 5.6.18 Problema 68.

69. La figura 5.6.19 muestra la gráfica de la función f (x)  x sen x en el intervalo [0, 4π]. Sea  g(x) =

70. Repita el problema 69, pero ahora use la función SEN X F .X/ H X en el intervalo [0, 4π] (como se muestra en la figura 5.6.20). Tome f (0)  1 porque (sen x)yx → 1 cuando x → 0.      Y 











x

f (t) dt. 0

a) Encuentre los valores de x donde g (x) tiene valores máximos y mínimos locales en el intervalo [0, 4π]. b) ¿Dónde toma g (x) sus valores máximo y mínimo globales en [0, 4π]? c) ¿Qué puntos en la gráfica y  f (x) corresponden a los puntos de inflexión en la gráfica y  g (x)? d) Bosqueje una gráfica de y  g (x).

Y SENX X







 X







FIGURA 5.6.20 Problema 70.

5.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN El teorema fundamental del cálculo en la forma B

B

F .X/ D X H

F .X/ D X

A

 A

implica que podemos evaluar con facilidad la integral definida de la izquierda si encontramos la integral indefinida (es decir, la antiderivada) de la derecha. Ahora se discutirá un poderoso método de antiderivación que puede ser una “regla de la cadena al revés”. Este método es una generalización de la “regla de potencias generalizada invertida”. U N DU H

U NC C# NC

.N



/

que se introdujo en la sección 5.2. La ecuación (2) es una forma abreviada de la fórmula TG.X/UN G .X/ D X H

TG.X/UNC C# NC

.N

/



que resulta cuando escribimos u  g (x),

d u  g (x) d x.

Al aplicar la ecuación (2) a una integral dada, debemos ser capaces de visualizar el integrando como el producto de una potencia de una función derivable g (x) y su derivada g (x).

374

CAPÍTULO 5

La integral

EJEMPLO 1

Con u  2x + 1,

vemos que



d u  2d x,

 (2x + 1) · 2 d x =

u 5 du =

5

1 u6 + C = (2x + 1)6 + C. 6 6

Z

EJEMPLO 2 A

X  C X  D X H

. C X  /=
X D X U = DU

H H

U =  

.U H  C X  ;

DU H X D X/

C # H  . C X  /= C #:

b) De manera similar, pero con u  1 + e x y d u  e x d x, se tiene   √ 1 ex dx = √ √ du = 2 u + C u 1 + ex √ = 2 1 + e x + C. Z La ecuación (3) es el caso especial f (u)  u n de la fórmula de integrales general F .G.X//
G .X/ D X H

F .U/ DU



El lado derecho de la ecuación (4) se obtiene cuando se hacen las sustituciones formales U H G.X/;

DU H G .X/ D X

en el lado izquierdo. Una de las bellezas de la notación diferencial es que la ecuación (4) no sólo es factible, sino que es, de hecho, verdadera, entendiendo que se sustituirá u por g (x) después de calcular la integración indefinida en el lado derecho de la ecuación (4). Sin duda, la ecuación (4) es sólo una versión de la integral indefinida de la regla de la cadena. Pero si F (x)  f (x), entonces D xF(g (x))  F (g (x)) · g (x)  f (g (x)) · g (x) por la regla de la cadena, entonces    F  (g(x)) · g  (x) d x = F(g(x)) + C f (g(x)) · g (x) d x = = F(u) + C [u = g(x)]  = f (u) du.

La ecuación (4) es la base para una técnica poderosa de integración indefinida por sustitución. Puede ser muy útil cuando se reconoce que la función del integrando es de la forma f (g (x)) · g (x). EJEMPLO 3

Encuentre



 x 2 x 3 + 9 d x.

SECCIÓN 5.7

Integración por sustitución

375

Solución Observe que x 2 es, por un factor constante, la derivada de x 3 + 9. Por lo tanto, podemos sustituir U H X  C ;

DU H X  D X:



El factor constante 3 puede obtenerse si se compensa multiplicando la integral por  . Esto proporciona     1 1 (x 3 + 9)1/2 · 3x 2 d x = u 1/2 du x2 x3 + 9 dx = 3 3 1 u 3/2 2 2 = · 3 + C = u 3/2 + C = (x 3 + 9)3/2 + C. 3 9 9 2 Una forma alternativa para llevar a cabo las sustituciones en (5) es manipular d u  3x 2 d x

para obtener

y entonces escribimos   3 1/2 (x + 9) d x = u 1/2 ·

x 2 d x  1y3 d u, 

1 3

du =

1 3

u 1/2 du,

terminando los cálculos como antes.

Z

Vale la pena mencionar los tres pasos siguientes utilizados en la solución del ejemplo 3: • La diferencial d x junto con el resto del integrando se “transforma” o reemplaza, en términos de u y d u. • Una vez que se integra, se suma la constante C de integración. • Una nueva sustitución es necesaria para escribir la respuesta en términos de la variable original x.

Sustitución de integrales trigonométricas y exponenciales Ahora sabemos que toda fórmula de derivación proporciona —después del proceso “al revés”— una fórmula de antiderivación correspondiente. Las fórmulas conocidas para las derivadas de las seis funciones trigonométricas proporcionan las siguientes fórmulas de integral indefinida: COS U DU H SEN U C #



SEN U DU H COS U C #



SEC U DU H TAN U C #



CSC U DU H COT U C #



SEC U TAN U DU H SEC U C #



CSC U COT U DU H CSC U C #



376

CAPÍTULO 5

La integral

Además, las fórmulas D x [e x]  e x y D x [ln | x |]  1yx ( para x H 0) proporcionan las fórmulas de integrales EU DU H EU C #

 DU H LN jUj C # U

PARA U





 

Cualquiera de estas fórmulas puede aparecer como la integral de la sustitución con u adecuada en una integral dada.



f (u) d u que se obtiene

EJEMPLO 4 SEN.X C / D X H H

.SEN U/
 

 

DU

.U H X C ;

DU H  D X/

SEN U DU H  COS U C #

H  COS.X C / C #:

Z

EJEMPLO 5 X COS.X  / D X H 

.COS X  /
X D X .COS U/


H H

 

 

.U H X  ;

DU

COS U DU H

 

SEN U C # H

DU H X D X/  

SEN.X  / C #:

Z

EJEMPLO 6 SEC X D X H H

EJEMPLO 7

.SEC U/
 

 

DU

TAN U C # H

 

.U H X;

DU H  D X/

TAN X C #:

Z

Evaluar  SEN X COS X D X:

Solución Ninguna de las integrales en las ecuaciones (6) a (11) parece “adecuada”, pero la sustitución u  sen x,

d u  cos x d x

proporciona  SEN X COS X D X H 

Sea p U H  C X  H  C X = ;

U  DU H 


 U C # H SEN X C #:  

EJEMPLO 8

DEMANERAQUE

DU H

 = p X DX H X D X:  

0ORLOTANTO LAECUACI˜N LLEVAA p p p  X EXP  C X  D X H EU
 DU H EU C # H  EXP  C X  C #:

Z

SECCIÓN 5.7

Integración por sustitución

377

Más aún, si x > 0 entonces u  | u | > 0 y la ecuación (13) proporciona √   √   2 3 x du = 2 ln u + C = 2 ln 1 + x 3 + C. dx = √ u 1 + x3

Z

Sustitución en integrales definidas El método de integración por sustitución se usa en las integrales definidas igual que en las integrales indefinidas. Sólo requiere un paso adicional: la evaluación de la antiderivada final en los límites de integración originales. EJEMPLO 9 

La sustitución empleada en el ejemplo 3 proporciona

X X C  DX H

U =




 

.U H X  C ;

DU

DU H X  D X/



H

 

 = U 

H

 

.X  C /=

RESUSTITUIR 

H  . / H :

Los límites sobre u se dejaron en “blanco” antes porque no se calcularon —no había necesidad de conocerlos, ya que se planeaba resustituir u en términos de la variable original x antes de usar los límites originales de integración. Algunas veces es más conveniente determinar los límites de integración respecto a la nueva variable u. Con la sustitución u  x 3 + 9, d u  3x 2 d x, se puede ver que • u  9 cuando x  0 (límite inferior); • u  36 cuando x  3 (límite superior) Usando estos límites en u (en lugar de resustituir de términos de x) se tiene  36  3   36 2 1/2 1 1 2 3/2 3 x x + 9 dx = 3 u du = 3 3 u = 42. 0

9

Z

9

El teorema 1 dice que la forma “natural” de transformar los límites de una integral bajo una sustitución u, como la que se hizo, es la forma correcta.

TEOREMA 1 Integración definida por sustitución Suponga que la función g tiene una derivada continua en [a, b] y que f es continua en el intervalo g ([a, b]). Sea u  g (x). En este caso B

G.B/

F .G.X//
G .X/ D X H A

F .U/ DU:



G.A/

OBSERVACIÓN De esta forma obtenemos los nuevos límites sobre u aplicando la función de sustitución u  g (x) a los límites anteriores sobre x. Así:

• El nuevo límite inferior es g (a), y • El nuevo límite superior es g (b), sin importar que g (b) sea mayor que g (a) o no. Demostración del teorema 1 Se elige una antiderivada F de f, tal como F   f. Así,

por la regla de la cadena, D x [F (g (x))]  F (g (x)) · g (x)  f (g (x)) · g (x).

378

CAPÍTULO 5

La integral

Por lo tanto, 

 b f (g(x)) · g  (x) d x = F(g(x)) = F(g(b)) − F(g(a))

b

a



g(b)

a



= F(u)

=

g(b)

f (u) du.

g(a)

u=g(a)

Observe que se utilizó el teorema fundamental para obtener la primera y la última igualdad de este argumento. X Que sea más sencillo aplicar el teorema 1 y transformar a los nuevos límites de u o resustituir u  g (x) y usar los límites anteriores de x depende del problema específico que se resuelve. Los ejemplos 10 y 11 ilustran la técnica de transformación a los nuevos límites. EJEMPLO 10

Evaluar 

5 3

x dx . (30 − x 2 )2

Solución Observe que 30 − x 2 es diferente de cero en [3, 5], por lo que el integrando es continuo ahí. Se sustituye u  30 − x 2,

d u  −2x d x,

y se observa que Si x  3, entonces u  21 (límite inferior); Si x  5, entonces u  5 (límite superior). Nuestra sustitución nos proporciona  

 5 1  5 − 2 du 1 5 1 1 8 1 1 x dx − + = . = =− − =− 2 )2 2 (30 − x u 2 u 2 5 21 105 3 21 21 EJEMPLO 11

Z

Evaluar = 

COS T DT:  C SEN T

Solución Si se sustituye u  1+ sen 2t,

d u  2 cos 2t d t.

por lo que

Entonces u  1 cuando t  0 y u  2 cuando t  πy4. Por lo que la ecuación (13) da = 

COS T DT H  C SEN T

 

H

 

H

 

 

 DU U 

LN U 

LN   ::

Z

5.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La sustitución u  2x + 1, d u  2 d x transforma .X C /
 D X

EN

U  DU:

SECCIÓN 5.7

Integración por sustitución

379

2. La sustitución u  1 + x 2, d u  2x d x transforma X  C X  D X

U = DU:

EN

3. La sustitución u  x 3 + 9, d u  3x 2 d x transforma X X C  DX

U = DU:

EN

4. La sustitución u  3x + 4, d u  3 d x transforma  SEN.X C / D X EN SEN U DU:   X COS.X  / D X H SEN.X  / C #  SEC X D X H TAN X C #   7. Una buena manera de evaluar  SEN X COS X D X

es usar la sustitución u  sen x, d u  cos x d x. 8. La sustitución u  x 3 + 9 proporciona   3  1 3 1/2 2 3 x x + 9 dx = u du. 3 0 0 9. Suponga que la función g tiene una derivada continua en [a, b] y que f es continua en el conjunto g ([a, b]). Sea u  g (x). Por lo cual B

G.B/

F .G.X//
G .X/ D X H A 

 

F .U/ DU: G.A/

  X DX H   . X /  U



 

5.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. En el teorema 1, la función g es continua en el intervalo [a, b]. Dé un ejemplo en el cual el conjunto del recorrido g ([a, b]) no sea sólo el intervalo cerrado con extremos g (a) y g (b). Luego seleccione una función no trivial f que sea continua en g ([a, b]) y verifique que la ecuación (4) se cumpla. 2. Suponga que la función g es continua en el intervalo [a, b]. Use las propiedades de las funciones continuas establecidas en las secciones 2.4 y 3.5 para probar que el conjunto del recorrido g ([a, b]) es un intervalo cerrado. 3. Analice las posibles ventajas y desventajas de transformar los nuevos límites de u al evaluar una integral definida por sustitución. Tal vez pueda dar un ejemplo en el que esto simplifique los cálculos y otro en el que no.

5.7 PROBLEMAS 11. En los problemas 1 a 10, use la sustitución indicada para evaluar la integral dada.  1. (3x − 5)17 d x; u = 3x − 5  2.  3.

X

D XI

U H X  



p 



SEN X D XI

U H X U H KX

X  

1 d x; (4x + 7)6

u = 4x + 7



COS KX D XI

 x x 2 + 9 d x;

u = x2 + 9



X SEN.X  / D XI

U H X 

380

CAPÍTULO 5



E X p D XI X

La integral

p

UH

p

 

. COS X/ SEN X D XI



COS X D XI  C  SEN X



.X C / D X 



. X/ D X DX



p



SEN. X C / D X



X C 

SEC  TAN  D

p  C X p D X ;3UGERENCIAINTENTE U H  C X = p X p T T C  DT ;3UGERENCIAINTENTE U H T C =



U H  COS X

  

U H  C  SEN X

 

Evalúe las integrales indefinidas en los problemas 11 a 50. 

X X C  DX



X



. X/ D X



p X C  D X





p

SEN X COS X D X

 



T T SEN DT 

  =

. C  SEN /= COS  D 

;3UGERENCIAINTENTEU H  C  SEN = =

SEC

 

X DX 

=

CSC X D X



=

SEN X COS X D X



DX . X/ T COS DT 



=



ESEN X COS X D X



;3UGERENCIAINTENTEU H SEN X=





EX D X



X  EX

   

 



XE X D X

 DX

p



X EX

p



 X

DX

 DX X   .LN X/ D X X X C EX DX X  C EX

 

.E X C EX / D X

X X  DX



T . T  / DT





X  X  D X





X X C  DX





X  COS.X  / D X



XEX D X



 DX X C   DX X LN X

p

T DT

T  C  X DX p  X C 



T SEC .T  / DT



X DX  C X SEN  Z COS Z DZ



COS X SEN X D X



TAN  SEC  D  SEC  TAN  D p p COS X D X ;3UGERENCIAINTENTE U H X  = p X DX  .X  C X C / .X C / D X p p  X C X

 



.X C / D X X C DX      .X C X C / X C X C  X C E X  DX  .X C E X C / Evalúe las integrales definidas de los problemas 51 a 64. 

 

DT .T C /





DX

p 

X C 

 

 C LN X D X ;3UGERENCIAINTENTEU H  C LN X= X   =X  E DX 3UGERENCIAINTENTEU H   X X  p p  SEN X COS X DX p X   =

Use las identidades de medio ángulo  C COS   COS  COS  H Y SEN   H   para evaluar las integrales de los problemas 65 a 68. SEN  X D X







COS X D X





SEN  T DT

COS T DT







Use la identidad 1 + tan 2 θ  sec 2 θ para evaluar las integrales de los problemas 69 y 70. =



TAN X D X

TAN T DT

 

71. Sustituya sen 3 x  (sen x) (1 — cos 2 x) para demostrar que SEN X D X H  %VAL¢E

COS X COS X C #:

 

=

COS X D X 

con el método del problema 71. 73. Sustituya primero u  sen θ y luego u  cos θ para obtener SEN  COS  D H

 

SEN   C # H  COS  C # :

Concilie los resultados. ¿Cuál es la relación entre las constantes C1 y C2? Sugerencia: compare (en la misma pantalla) las gráficas de F .X/ H

 

SEN  

Y

G.X/ H  COS :

SECCIÓN 5.7

74. Sustituya primero u  tan θ y luego u  sec θ para obtener  sec2 θ tan θ dθ = 12 tan2 θ + C1 = 12 sec2 θ + C2 .

Integración por sustitución Y YF X

Concilie los resultados. ¿Cuál es la relación entre las constantes C1 y C2? Sugerencia: compare (en la misma pantalla) las gráficas de F .X/ H

 

TAN 

Y

G.X/ H

 

X

SEC :

75. a) Verifique por diferenciación que  x dx = + C1 . 2 (1 − x) 1−x

FIGURA 5.7.2 La gráfica de la función y  f (x) es invariante bajo reflexiones sucesivas en ambos ejes.

b) Sustituya u  1 − x para demostrar que  dx 1 + C2 . = (1 − x)2 1−x c) Concilie los resultados de los incisos a) y b). Sugerencia: compare (en la misma pantalla) las gráficas de X  F .X/ H Y G.X/ H : X X 76. a) Sustituya u  x 2 y aplique el inciso a) del problema 75 para demostrar que  x2 x dx = + C1 . (1 − x 2 )2 2(1 − x 2 ) b) Sustituya u  1 − x 2 para demostrar que  x dx 1 + C2 . = (1 − x 2 )2 2(1 − x 2 ) c) Concilie los resultados de los incisos a) y b). Sugerencia: compare (en la misma pantalla) las gráficas de X  F .X/ H Y G.X/ H : . X  / . X  / Los problemas 77 y 78 se relacionan a funciones pares e impares. Una función par f es una función tal que f (−x)  f (x) para toda x. Esto significa que la gráfica de y  f (x) es simétrica respecto a su reflexión en el eje y ( figura 5.7.1). Los ejemplos de funciones pares incluyen f (x)  cos x, 1, x 2, x 4 y x 6. Una función impar es una función f tal que f (−x)  −f (x) para toda x. Esto significa que la gráfica de la función y  f (x) es simétrica primero respecto al eje y, y luego respecto al eje x (figura 5.7.2). Los ejemplos de funciones impares incluyen f (x)  sen x, x, x 3 y x 5. Piense en estas reflexiones con la función coseno (par) (en la figura 5.7.3) y la función seno (impar) (en la figura 5.7.4). Y

Y

Y YSEN X

YCOSX X

FIGURA 5.7.3 La función coseno es par.

X

FIGURA 5.7.4 La función seno es impar.

77. Vea la figura 5.7.5. Si la función continua f es impar, sustituya u  −x en la integral 

A

F .X/ D X

PARADEMOSTRARQUE

F .X/ D X H : A

A

Y

YF X 

A A X

FIGURA 5.7.5 Las áreas se cancelan cuando f es impar (problema 77).

78. Vea la figura 5.7.6. Si la función continua f es par, use el método del problema 77 para demostrar que  a  a f (x) d x = 2 f (x) d x. −a

0

Y YFX 

A

 A X

FIGURA 5.7.6 Las áreas se suman cuando f es par (problema 78).

YFX

X

FIGURA 5.7.1 La gráfica de la función par y  f (x) es invariante bajo una reflexión en el eje y.

381

En los problemas 79 y 80, use los resultados de los problemas 77 y 78 para justificar el valor de las integrales dadas sin hacer cálculos extensos. √   1  3 x 17 79. tan x + − x cos x d x = 0. (1 + x 2 )7 −1

382

CAPÍTULO 5

La integral 



X  X  SEN X C X   C X  D X H  X 

 

H 

83. a) Verifique por derivación que 



81. Suponga que f es continua en todas partes y que k es una constante. Demuestre que  b+k  b f (x + k) d x = f (x) d x. a

ueu du = (u − 1)eu + C.

b) Use el inciso a) para demostrar que

a+k

En el caso en que k > 0 y f (x) > 0, ilustre esta fórmula con un bosquejo que muestre dos regiones con bases [a, b] y [a + k, b + k]. ¿Por qué es factible que estas dos regiones tengan áreas iguales? 82. Suponga que f es continua en todas partes y que k es una constante. Demuestre que  kb  b f (x) d x = k f (kx) d x. ka

a

En caso de que k > 1 y f (x) > 0, ilustre esta fórmula con un dibujo que muestre dos regiones con bases [a, b] y [ka, kb]. ¿Por qué es factible que el área de una de estas regiones sea k veces el área de la otra?



1

e

√

x

d x = 2.

0

84. a) Verifique por derivación que U SEN U DU H SEN U U COS U C #:

b) Use el inciso a) para demostrar que 

SEN

p

X D X H :



5.8 ÁREAS DE REGIONES DEL PLANO En la sección 5.3 se estudió el área bajo la gráfica de una función continua f con valores positivos en un intervalo [a, b]. Este análisis motivó la definición, en la sección 5.4, de la integral de f de a a b como el límite de la sumas de Riemann. Un resultado importante fue que B

!H



F .X/ D X; A

por definición. Ahora se considerará el problema de encontrar las áreas de regiones más generales en el plano coordenado. Regiones como las que aparecen en la figura 5.8.1 pueden estar acotadas por la gráfica de dos (o más) funciones diferentes. Y

Y

Y

Y

Y  X

YX Y

X

 X 

Y X

Y\X\

YX X

Y  X

X X

Y X

FIGURA 5.8.1 Regiones planas acotadas por pares de curvas.

Sean f y g funciones continuas tales que f (x) g (x) para toda x en el intervalo [a, b]. Nos interesa el área A de la región R en la figura 5.8.2, que está entre las gráficas de y  f (x) y y  g (x) para x en [a, b]. Entonces R está acotada por • la curva y  f (x), el límite superior de R, por • la curva y  g (x), el límite inferior de R y por • las rectas verticales x  a y x  b (si es necesario). Para aproximar A, se considera una partición de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud x  (b − a)yn. Si Ai denota el área de la región entre las gráficas de f y g sobre el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi] y XI es el número seleccionado en el subintervalo (todo esto para i  1, 2, 3,…, n), entonces Ai es aproximadamente igual al área de un rectángulo con altura f ( XI ) − g ( XI ) y ancho x (figura 5.8.3).

SECCIÓN 5.8

Áreas de regiones del plano

383

Y

Y

FX( I YFX

( FX( I GXI

YFX 2

GX( I

YGX

YGX

$X

XI  A

X

B

AX X

FIGURA 5.8.2 Una región entre dos gráficas.

XI

X( I

X

X

XN  XNB

FIGURA 5.8.3 Una partición de [a, b] divide R en franjas verticales que se pueden aproximar con franjas rectangulares.

%NTONCES ! I  T F .XI / G.XI /U XI DEMANERAQUE

N

N

!I 

!H

T F .XI / G.XI /U X:

IH

IH

Si se introduce la función altura h(x)  f (x) − g (x) y se observa que A se aproxima por una suma de Riemann para h(x) asociada con la partición de [a, b]: n  h(xi ) x. A≈ i=1

Tanto la intuición como el razonamiento sugieren que esta aproximación se hace arbitrariamente precisa si se elige n suficientemente grande (y por consiguiente x  (b − a)yn suficientemente pequeño). Se puede concluir que N

! H L¤M

X!

Y

Y  X

B

H.XI

XH

B

H.X/ D X H A

IH

T F .X/ G.X/U D X: A

Como este análisis se basa en conceptos intuitivos más que en una definición precisa del área, no constituye una prueba de esta fórmula de área. Sin embargo, sí proporciona una justificación de la siguiente definición del área en cuestión.

 

X

DEFINICIÓN Área entre dos curvas Sean f y g continuas con f (x) g (x) para toda x en [a, b]. Entonces el área A de la región acotada entre las curvas y  f (x) y y  g (x) y las rectas verticales x  a y x  b es

  YX

B



X

X

T F .X/ G.X/U D X:

!H



A

FIGURA 5.8.4 Región del ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Encuentre el área de la región acotada por las rectas y  x y x  2, y por la curva y  1yx 2 (figura 5.8.4).

Solución Ahora la curva superior es y  f (x)  x, la curva inferior es y  g (x)  1yx 2, a  1 y b  2. La recta vertical x  2 se “necesita” (para formar la frontera derecha de

CAPÍTULO 5

384

La integral

Y A

B X 2

la región), mientras que x  1 no se necesita. La ecuación (2) da 





  2 1 1 1 2 1 2 1 x + − + 1 = 1. x − 2 dx = A= = 2+ x 2 x 1 2 2 1

Z

La ecuación (1) es un caso especial de la ecuación (2) en la que g (x) es idénticamente igual a cero en [a, b]. Pero si f (x) ≡ 0 y g (x) 0 en [a, b], entonces la ecuación (2) se reduce a

YGX

B

!H

B

G.X/ D XI

ESDECIR

G.X/ D X H !:

A

5.8.5 La integral FIGURA b g(x) d x proporciona el negativo a del área geométrica para una región que está bajo el eje x.

A

En este caso la región R está abajo del eje x (figura 5.8.5) por lo que la integral de a a b de una función con valores negativos es el negativo del área de la región acotada por la gráfica, el eje x y las rectas verticales x  a y x  b. De manera más general, considere una función continua f cuya gráfica cruza el eje x en un número finito de puntos c1, c2, c3, . . . , ck entre a y b (figura 5.8.6). Se escribe B

C

C

F .X/ D X H A

F .X/ D X C A

B

F .X/ D X C


C

F .X/ D X: CK

C

!S¤VEMOSQUE B

F .X/ D X A

es el área bajo la curva y  f (x) y arriba del eje x menos el área arriba de y  f (x) y abajo del eje x. Y

YFX C





A

C

B





CK

X

b FIGURA 5.8.6 La integral a f (x) d x calcula el área arriba del eje x menos el área abajo del eje x.

La siguiente forma heurística (sugestiva, aunque no rigurosa) de presentar una integral como la ecuación (2) es útil. Considere la franja vertical de área que está sobre el intervalo [x, x + d x ], que aparece sombreada en la figura 5.8.7, donde se escribió

Y YSUPFX

ysup  f (x) y yinf  g (x) para las curvas de la frontera superior e inferior. Se considera la longitud d x del intervalo [x, x + d x] tan pequeña como para ver esta franja como un rectángulo con ancho d x y altura ysup − yinf . Su área es entonces

YSUP YINF

YINFGX A

X

XDX

dA  ( ysup − yinf) d x. B

X

FIGURA 5.8.7 Aproximación heurística (sugestiva pero no rigurosa) para establecer las integrales de área.

Piense ahora en la región sobre [a, b] que está entre ysup  f (x) y yinf  g (x) como formada por muchas franjas verticales. Se puede ver su área como la suma de las áreas  de estas franjas rectangulares. Si se escribe por suma, se tiene la fórmula B

!H

D! H

.YSUP YINF / D X: A

Este enfoque heurístico evita la notación de subíndices asociada con las sumas de Riemann. De cualquier manera, no es y no debe ser vista como una derivación completa de la última fórmula. Debe usarse sólo como un dispositivo conveniente para recordar. Por ejemplo, en las figuras que acompañan muchos ejemplos, se mostrará una franja de ancho d x como un auxiliar visual para establecer que se estableció la integral correcta.

SECCIÓN 5.8

Áreas de regiones del plano

385

EJEMPLO 2 Encuentre el área A de la región R acotadas por la recta y  x y la parábola y  6 − x 2.

Solución La región R aparece en la figura 5.8.8. Se usa la ecuación (2) y tomamos f (x)  6 − x 2 y g (x)  x. Los límites a y b serán las coordenadas x de los dos puntos de intersección de la recta y la parábola: el primer paso es encontrar a y b y para hacerlo, se igualan f (x) y g (x) y se resuelve la ecuación para obtener x:

Y YSUP X

x 2 + x − 6  0;

x  6 − x 2;

(x − 2)(x + 3)  0;

2

A

DX B

YINFX

FIGURA 5.8.8 La región R del ejemplo 2.

X

x  −3, 2.

Así, a  −3 y b  2, de manera que la ecuación (2) proporciona  2  2 2 1 3 1 2 A= (6 − x − x) d x = 6x − 3 x − 2 x

−3

= 6·2−

1 3

· 23 −

·2

1 2

2

−3



− 6 · (−3) −

· (−3)3 −

1 3

1 2

· (−3)2 =

125 . 6

Z

Subdivisión de las regiones antes de integrar El ejemplo 3 muestra que algunas veces es necesario subdividir una región antes de aplicar la ecuación (2) porque la fórmula para la curva de la frontera superior o inferior (o ambas) suele cambiar en algún punto entre x  a y x  b. EJEMPLO 3 y 2  8 − x.

Encuentre el área de la región R acotada por la recta y  12 x y la parábola

Solución La región R aparece sombreada en la figura 5.8.9. Los puntos de interp H   X y luego sección (−8, −4) y (4, 2) se encuentran igualando Y H  X YY p despejando x. El límite inferior de R está dado por YINF H  X EN T; U Pero el límite superior de R está dado por p YSUP H  X EN T; U; YSUP H C  X EN T; U: Por tanto, debemos dividir R en dos regiones R1 y R2, como se indica en la figura 5.8.9. La ecuación (2) da  4   8  √ √ 1 A= x + 8 − x d x + 2 8 − x dx 2 −8

4

 = =

1 2 x 4

 16 4

−

−

2 (8 3

− x)



 64

16 3

−

4

3/2 −8

−

4



128 3

+ −



8 4 (8 3



+ 0+

− x)

32 3

3/2 4

= 36.

Y

Z

Y  X

Y X  

YSUP  X  

YSUP

  

 X 

2

2

YINF  X

FIGURA 5.8.9 En el ejemplo 3, se subdivide la región R en dos regiones R1 y R2.

X

386

CAPÍTULO 5

La integral

Determinación del área integrando respecto a y La región del ejemplo 3 parece más sencilla si se considera que está acotada por funciones de y en lugar de por gráficas de funciones de x. La figura 5.8.10 muestra una región R limitada por las curvas x  f ( y) y x  g ( y), con f ( y) g ( y) para y en [c, d ] y las rectas horizontales y  c y y  d. Para aproximar el área A de R, comenzamos Y XGY XF Y

YND YN  2 Y( I

YI YI 

$Y

Y Y YC ( F Y( I G YI

X

FIGURA 5.8.10 Encuentre el área usando la integral respecto a y.

con una partición de [c, d ] en n subintervalos de la misma longitud y  (d − c)yn. Seleccionamos el punto yi en el i-ésimo subintervalo [ yi−1, yi] para cada i (1 i n). La franja horizontal de R que está frente a [ yi−1, yi ] se aproxima por el rectángulo con ancho y (medido verticalmente) y altura f ( yi) − g ( yi) (medido horizontalmente). Por lo tanto, n 

A≈ f (yi ) − g(yi ) y. i=1

Reconocer esta suma como una suma de Riemann para la integral  d [ f (y) − g(y)] dy c

motiva la siguiente definición.

DEFINICIÓN Área entre dos curvas Sean f y g funciones continuas de y con f ( y) g ( y) para y en [c, d ]. Entonces, el área A de la región acotada por las curvas x  f ( y) y x  g ( y) y por las rectas horizontales y  c y y  d es D

!H

; F .Y/ G.Y/= DY:



C

En un curso más avanzado se probaría que las ecuaciones (2) y (3) proporcionan la misma área A para una región que se puede describir tanto en la forma mostrada en la figura 5.8.2 como en la forma dada en la figura 5.8.10. Escribimos xderecha  f ( y)

y

xizquierda  g ( y)

SECCIÓN 5.8

Áreas de regiones del plano

387

para las curvas frontera derecha e izquierda, respectivamente, de la región en la figura 5.8.10. Así, la ecuación (3) toma la forma D

!H

TXDERECHA XIZQUERDA U DY: C

La comparación de los ejemplos 3 y 4 ilustra las ventajas de escoger la variable de integración “correcta”, la que facilita los cálculos. Integre respecto a y para encontrar el área de la región R del ejemplo 3.

EJEMPLO 4

Solución Se observa en la figura 5.8.11 que se puede usar la ecuación (3) con xderecha  f ( y)  8 − y 2 y xizquierda  g ( y)  2y para y en [−4, 2]. Esto da  A=

2

2  2 1 3 [(8 − y ) − 2y] dy = 8y − 3 y − y = 36. 2

−4

Z

−4

Y

 

X X IZQUIERDAY

X DERECHA Y

  

FIGURA 5.8.11 Nuevo cálculo del área del ejemplo 3 (ejemplo 4).

Use el cálculo para derivar la fórmula del área A  πr 2 de un círculo

EJEMPLO 5 de radio r.

Solución El punto es que la fórmula A  πr 2, aunque familiar, requiere una prueba, ya que no es evidente en sí misma. Comenzamos con la definición (como se sugirió en la sección 5.3) del famoso número π como el área del círculo unitario x 2 + y 2  1. Esto implica que 

1 0

 π 1 − x2 dx = , 4

(4)

(vea la figura √ 5.8.12) a pesar del hecho de que no hay una manera inmediata u obvia de antiderivar 1 − x 2 para poder evaluar explícitamente la integral en la ecuación (4). Ponemos ahora la atención en el círculo general de radio r que aparece en la figura 5.8.13. Se aplica la ecuación (1) al primer cuadrante y luego se multiplica por 4. Así, el área total A del círculo está dada por R

R

R  X  D X H R

!H 

 

X DX R



R  U  DU

H R 

H R 


3USTITUCI˜N U H

X ; X H R U; D X H R DU R

 : 

Se aplicó la ecuación (4) —con u en lugar de x— para obtener la fórmula A  πr 2, como se deseaba. Z

CAPÍTULO 5

388

La integral Y

 R

 

Y Y R X

Y  X Y

Y   DX

X

DX

FIGURA 5.8.12 El número π es cuatro veces el área sombreada.

Y

FIGURA 5.8.13 El área sombreada se expresa como una integral.

EJEMPLO 6 Aproxime el área A del primer cuadrante de la región mostrada en la figura 5.8.14. Esta área está acotada por las curvas

 

R  X

X X 

YH

 Y 

X  .X C /=

Y

YH

X : 

Solución Para encontrar las coordenadas exactas del punto de intersección en el primer cuadrante de la figura 5.8.14, se debe resolver la ecuación

  







Y

  X 

 X



FIGURA 5.8.14 Región del ejemplo 6.





x2 7x . = (x 2 + 1)3/2 3

Podemos comenzar cancelando x, luego haciendo una multiplicación cruzada y elevando al cuadrado ambos lados. El resultado, como puede verificarlo, se simplifica a la ecuación x 8 + 3x 6 + 3x 4 + x 2 − 441  0. Ahora puede ver por qué se pidió el área aproximada. Aunque es poco práctico resolver esta ecuación de grado ocho con exactitud, se puede usar una calculadora con gráficas o una computadora para amplificar el punto de intersección buscado que se muestra en la figura 5.8.14. De esta forma encontramos que x ≈ 1.963 es la coordenada x aproximada. (También pudimos haber usado el método de Newton o una calculadora con solución de raíces.) Ahora se puede encontrar la aproximación deseada del área.

 1.963 7x x2 dx − A≈ (x 2 + 1)3/2 3 0  1.963  1.963 2 7x x = d x. dx − 2 + 1)3/2 (x 3 0 0 Si se sustituye u  x 2 + 1, d u  2x d x para evaluar la primera integral se tiene  1.963 x3 −7 − A≈ √ ≈ −4.018 − (−7) = 2.982. 9 0 x2 + 1

Z

5.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si f y g son continuas y f (x) g (x) para x en [a, b], entonces el área de la región acotada por las curvas y  f (x) y y  g (x) y las rectas verticales x  a y x  b es  b [ f (x) − g(x)] d x. A= a

SECCIÓN 5.8

Áreas de regiones del plano

389

2. Si g es continua en [a, b] y g (x) < 0 para x en [a, b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de g y el eje x para a x b es  b A=− g(x) d x. a

3. El área de la región limitada por las rectas y  x y x  2 y la curva Y H 

!H

X 

 X

 es X

D X H :

4. El área de la región acotada por la recta y  x y la parábola y  6 − x 2 es  2 125 A= . (6 − x 2 − x) d x = 6 −3 5. El área de la región R acotada por la recta y  12 x y la parábola y 2  8 − x es  2

A= (8 − y 2 ) − 2y dy = 36. −4

6. Use la ecuación (2) para encontrar el área de la región R de la pregunta 5, es necesario subdividir R en dos regiones y evaluar dos integrales definidas. 7. Suponga que f y g son funciones continuas en [c, d ] con f ( y) g ( y) para y en [c, d ]. Por lo tanto, el área de la región acotada por las curvas x  f ( y) y x  g ( y) y las líneas horizontales y  c y y  d es  d A= [ f (y) − g(y)] dy. c



1

8. 4

 1 − x2 dx = π.

0



9. El área del círculo de radio r es A =

r

 r 2 − x 2 d x.

0

10. En la sección 5.8 se probó que las ecuaciones (2) y (3) proporcionan el mismo valor para el área de una región plana R dada.

5.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS El concepto de área no es evidente por sí mismo, y el área de un conjunto de planos debe definirse antes de poder calcularla. El área de una región acotada por curvas se puede definir en término de áreas de polígonos inscritos y circunscritos. Se dice que la región R tiene un área A —y se escribe a(R)  A— siempre que, dado cualquier número  > 0 (no importa qué tan pequeño), existen un polígono P contenido en R y un polígono Q conteniendo a R tales que A −  < a(P)

a(Q) < A + .

Las áreas poligonales a(P) y a(Q) están definidas como sumas de áreas no superpuestas de triángulos y/o rectángulos. Si para alguna  > 0 no existen esos polígonos P y Q, entonces R no tiene área. (¡De hecho existen conjuntos de planos cuyas áreas no están definidas!) 1. Suponga que la función f es continua y con valores positivos en el intervalo [a, b]. Sea R la región del plano acotada arriba por la gráfica de y  f (x), abajo por el eje x y a los lados por las líneas x  a y x  b. Use el hecho de que f es integrable y la observación de que cualquier suma de Riemann es el área de un polígono para probar que el área A de R existe y está dada por  b f (x) d x. A= a

Sugerencia: piense en los valores máximo y mínimo de f (x) en un intervalo típico de una partición de [a, b].

390

CAPÍTULO 5

La integral

2. Suponga que la función f está definida en el intervalo [0, 1] como sigue F .X/ H

 

SI X ESRACIONAL SI X ESIRRACIONAL

Sea R la región plana que consiste en todos aquellos puntos (x, y) tales que 0 x 1 y 0 y f (x). Demuestre que R no tiene área. Observe que si P está contenido en R, entonces P es “degenerado”, por lo que tiene área a (P )  0. Observe también que a (Q ) 1 si el polígono Q contiene a R.

5.8 PROBLEMAS Encuentre las áreas de las regiones que se muestran en los problemas 1 a 10. 1. (Vea la figura 5.8.15.)

5. (Vea la figura 5.8.19.) Y Y X

Y Y X

YX Y

X X

FIGURA 5.8.15 Problema 1.

FIGURA 5.8.19 Problema 5.

6. (Vea la figura 5.8.20.) Y

2. (Vea la figura 5.8.16.)

YX X

Y Y X

X

X Y 

YX X

FIGURA 5.8.16 Problema 2.

FIGURA 5.8.20 Problema 6.

3. (Vea la figura 5.8.17.)

7. (Vea la figura 5.8.21.)

Y

Y Y X X

X

YX X

YX 

FIGURA 5.8.17 Problema 3.

FIGURA 5.8.21 Problema 7.

4. (Vea la figura 5.8.18.)

8. (Vea la figura 5.8.22.)

Y

Y Y X

X Y X YX X

FIGURA 5.8.18 Problema 4.

X

FIGURA 5.8.22 Problema 8.

SECCIÓN 5.8

9. (Vea la figura 5.8.23.) Y Y

YX X

X

FIGURA 5.8.23 Problema 9.

10. (Vea la figura 5.8.24.) Y

YX

X YX X

FIGURA 5.8.24 Problema 10.

Encuentre las áreas de las regiones descritas en los problemas 11 a 20. 11. La región R acotada abajo por la gráfica de y  x 3 y arriba por la gráfica de y  x en el intervalo [0, 1]. 12. La región R entre la gráfica de y  1y(x + 1) 2 y el eje x en el intervalo [1, 3]. 13. La región R acotada arriba por la gráfica de y  x 3 y abajo por la gráfica de y  x 4 en el intervalo [0, 1]. 14. La región R acotada arriba por la gráfica de y  x 2 y abajo por la línea horizontal y  −1 en el intervalo [−1, 2]. 15. La región R acotada arriba por la gráfica de y  1y(x + 1) y abajo por el eje x en el intervalo [0, 2]. 16. La región R acotada arriba por la gráfica de y  4x − x 2 y abajo por el eje x. 17. La región R acotada a la izquierda por la gráfica de x  y 2 y a la derecha por la línea vertical x  4. 18. La región R entre las gráficas de y  x 4 − 4 y y  3x 2. 19. La región R entre las gráficas de x  8 − y 2 y x  y 2 − 8. 20. La región R entre las gráficas de y  x 1y 3 y y  x 3. En los problemas 21 a 40, bosqueje la región acotada por las curvas dadas y encuentre sus áreas. 21. y  x 2, y  2x. 22. y  x 2, y  8 − x 2. 23. x  y 2, x  25. 24. x  y 2, x  32 − y 2. 25. y  x 2, y  2x + 3. 26. y  x 2, y  2x + 8.

Áreas de regiones del plano

391

27. x  y 2, x  y + 6. 28. x  y 2, x  8 − 2y. 29. y  cos x, y  sen x, 0 x πy4. 30. y  cos x, y  sen x, −3πy4 x 0. 31. x  4y 2, x + 12y + 5  0. 32. y  x 2, y  3 + 5x − x 2. 33. x  3y 2, x  12y − y 2 − 5. 34. y  x 2, y  4(x − 1) 2. 35. y  x + 1, y  1y(x + 1), 0 x 1. 36. y  x + 1, y  e−x, x  1. 37. y  ex, y  e−x, x  1. 38. y  1y(x + 1), y  1y(10x + 1), x  10. 2 39. y = xe−x , y  0, x  1. 40. y  8y(x + 2), x + y  4. En los problemas 41 y 42, primero use una calculadora o computadora para graficar las curvas dadas y  f (x) y y  g (x). Debe poder encontrar las coordenadas de los puntos de intersección que serán evidentes en sus figuras. Por último, encuentre el área de la región acotada por las dos curvas. Los problemas 43 y 44 son similares, excepto que las curvas acotan dos regiones; encuentre la suma de las áreas de las dos regiones. 41. y  x 2 − x, y  1 − x 3. 42. y  x 3 − x, y  1 − x 4. 43. y  x 2, y  x 3 − 2x. 44. y  x 3, y  2x 3 + x 2 − 2x. 45. Evalúe 

3 −3

 (4x + 5) 9 − x 2 d x

escribiendo esta integral como la suma de dos integrales e interpretando una de ellas en términos de un área (circular) conocida. 46. Evalúe 

3

 x 81 − x 4 d x

0

haciendo una sustitución de la forma u  x p (elija p) y luego interpretando los resultados en términos de un área conocida. 47. La elipse x 2ya 2 + y 2yb 2  1 se muestra en la figura 5.8.25. Use el método del ejemplo 5 para demostrar que el área de la región que envuelve es A  π ab, una agradable generalización de la fórmula del área del círculo. Y

X Y   A B X

FIGURA 5.8.25 Elipse del problema 47.

392

CAPÍTULO 5

La integral

48. La figura 5.8.26 muestra un segmento parabólico acotado por la parábola y  x 2 y la recta y  1. En el siglo iii a.C., Arquímedes demostró que el área de un segmento parabólico es cuatro tercios el área del triángulo ABC, donde AB es la “base” del segmento parabólico y C es su vértice (como en la figura 5.8.26). Verifique esto para el segmento parabólico indicado.

donde h  (b − a)y2 y m  (a + b)y2. [Sugerencia: con una traslación horizontal de esta región, se puede suponer que a  −h, m  0 y b  h.] Las curvas definidas en los problemas 53 y 54 incluyen los lazos que aparecen en las figuras 5.8.29 y 5.8.30. Encuentre el área de la región limitada por cada uno de los lazos. 54. y 2  x 2(x + 3). 53. y 2  x(5 − x) 2.

Y !  

    Y 











" 

Y YX

X

# 

FIGURA 5.8.26 Segmento parabólico del problema 48.

49. Sean A y B los puntos de intersección de la parábola y  x 2 y la recta y  x + 2, y sea C un punto en la parábola donde la recta tangente es paralela a la gráfica de y  x + 2. Demuestre que el área del segmento parabólico cortado de la parábola por la recta (figura 5.8.27) es cuatro tercios el área del triángulo ABC. Y YX

YX

"







X







FIGURA 5.8.29 Región del problema 53.



    Y 



  Y XX





         X

FIGURA 5.8.30 Región del problema 54.

En los problemas 55 a 58 use una calculadora (gráfica u otra) para aproximar los puntos de intersección de las dos curvas dadas. Luego integre para encontrar (aproximadamente) el área acotada por esas curvas.  Y H X  Y H COS X  Y H X  X Y H SENX  Y H X   Y H

  C X

 Y H X   Y H X X 

59. Encuentre un número k > 0 tal que el área limitada por las curvas y  x 2 y y  k − x 2 es 72. 60. Encuentre un número k > 0 tal que la recta y  k divide la región entre la parábola y  100 − x 2 y el eje x en dos regiones con áreas iguales.

! # X

FIGURA 5.8.27 Segmento parabólico del problema 49.

50. Encuentre el área de la región R no acotada que aparece sombreada en la figura 5.8.28; véala como el límite cuando b → ∞ de la región limitada por y  1yx 2, y  0, x  1 y x  b > 1. Y Y  X

2 

YX X 

B

X

FIGURA 5.8.28 Región no acotada del problema 50.

51. Encuentre el área total de las regiones acotadas por el eje x y la curva y  2x 3 − 2x 2 − 12x. 52. Suponga que la función cuadrática f (x)  px 2 + qx + r nunca es negativa en [a, b]. Demuestre que el área bajo la gráfica de f de a a b es A   h[ f (a) + 4f (m) + f (b)],

En los problemas 61 a 63 las gráficas y  f (x) y y  g (x) de las funciones dadas f y g acotan dos regiones R1 y R2, como se muestra en las figuras 5.8.31 a 5.8.33. Encuentre la suma a de las áreas A1  a(R1) y A2  a(R2) de esas dos regiones. Si es posible, obtenga el valor exacto de A, si no, dé una aproximación muy precisa. Puede usar una calculadora o un sistema algebraico de computadora para encontrar los puntos de intersección de las dos gráficas y hacer las integraciones requeridas para calcular A. 61. f (x)  x y g (x)  x(x − 4) 2. Aquí debe encontrar A sin usar calculadora o computadora. 62. f (x)  x 2 y g (x)  x(x − 4) 2. Aquí puede resolver a mano las intersecciones, pero probablemente querrá usar la calculadora o computadora para las integraciones. 63. f (x)  (x − 2) 2 y g (x)  x(x − 4) 2. Aquí deberá aproximar numéricamente las coordenadas de los puntos de intersección al igual que el valor de A. En los problemas 64 a 67 puede utilizar una calculadora o sistema algebraico de computadora como en los problemas 61 a 63. 64. Aproxime numéricamente el área de la región que se encuentra bajo la curva y  3 − 2x + 5 ln x y sobre el eje x. 65. Aproxime numéricamente el área de la región acotada por las curvas y  10 ln x y y  (x − 5) 2.

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

393



 YGX



Y 



YFX

Y 

2

Y YGX

YFX













 



X





FIGURA 5.8.32 Regiones del problema 62.

66. Aproxime numéricamente el área de la región acotada por las curvas y  e x y y  10(1 + 5x − x 2).







X

X

FIGURA 5.8.31 Regiones del problema 61.

YGX 2

2 



2

2

2

 

YFX

FIGURA 5.8.33 Regiones del problema 63.

67. Aproxime numéricamente el área de la región acotada por las curvas y  e−xy 2 y y  x 4 − 6x 2 − 2x + 4.

5.9 INTEGRACIÓN NUMÉRICA El teorema fundamental del cálculo,  b  b f (x) d x = G(x) , a

a

se usa para evaluar una integral sólo si se puede encontrar una fórmula conveniente para la antiderivada G de f. Pero hay funciones simples con antiderivadas que no son funciones elementales. Una función elemental es una que se puede expresar en términos de funciones polinomiales, trigonométricas, exponenciales o logarítmicas por medio de combinaciones finitas de sumas, diferencias, productos, cocientes, raíces y composición de funciones. El problema es que esas funciones elementales pueden tener antiderivadas no 2 elementales. Por ejemplo, se sabe que la función elemental f (x) = e−x no tiene antiderivada elemental. En consecuencia, no se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo para evaluar una integral como 



EX D X:



Se analizará el uso de sumas de Riemann para aproximar numéricamente integrales que no pueden evaluarse con exactitud de manera conveniente, ya sea que involucren o no funciones no elementales. Dada una función continua f en [a, b] con una integral que debe aproximarse, considere la partición de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud x  (b − a)yn. Así, el valor de cualquier suma de Riemann de la forma n  f (xi ) x (1) S= i=1

b puede tomarse como una aproximación al valor de la integral a f (x) d x. Con XI  xi−1 y con XI  xi en la ecuación (1), se obtiene la aproximación de punto extremo izquierdo Ln y la aproximación de punto extremo derecho Rn para la b integral definida a f (x) d x asociada con la partición de [a, b] en n subintervalos de igual longitud. Por lo cual N

,N H

F .XI IH

X



394

CAPÍTULO 5

La integral

y N

2N H

F .XI

X:



IH

Se puede simplificar la notación de Ln y Rn escribiendo yi para f (xi) (figura 5.9.1). Y

YF X

Y

AX

Y

YN

Y YI

X

X

XI

YN 

XN 

XNB

X

FIGURA 5.9.1 yi  f (xi).

DEFINICIÓN Aproximaciones de punto extremo La aproximación de punto extremo izquierdo Ln y la aproximación de punto B extremo derecho Rn para A F .X/ D X con x  (b − a)yn son Ln  (x)( y0 + y1 + y2 + … + yn—1)

(2)

Rn  (x)( y1 + y2 + y3 + … + yn).

(3)

y

En el ejemplo 1 de la sección 5.3 se calcularon las aproximaciones de punto extremo izquierdo y punto extremo derecho de la integral 

X DX H 





con n  5 y n  10. La tabla de la figura 5.9.2 muestra los valores de Ln y Rn con valores más grandes de n. N

,N

2N

      

      

      

 ., N 

C 2N /

      

FIGURA 5.9.2 Aproximaciones de punto extremo izquierdo y punto extremo derecho de la integral de la ecuación (4).

La última columna de la tabla proporciona el promedio de las sumas de puntos extremos Ln y Rn. Es evidente que (para un valor dado de n) este promedio es una aproximación a la integral considerablemente más precisa que cualquiera de las aproximaciones de cada lado por sí mismas.

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

395

Aproximación trapezoidal y del punto medio El promedio Tn  (Ln + Rn)y2 de las aproximaciones de puntos extremos izquierdo y b derecho se llama aproximación trapezoidal de a f (x) d x asociada con la partición de [a, b] en n subintervalos de igual longitud. Se puede escribir completa como 1 (L n + Rn ) 2 n x  [ f (xi−1 ) + f (xi )] = 2 i=1

Tn =

=

x {[ f (x0 ) + f (x1 )] + [ f (x1 ) + f (x2 )] + [ f (x2 ) + f (x3 )] + · · · 2 + [ f (xn−2 ) + f (xn−1 )] + [ f (xn−1 ) + f (xn )]};

es decir, 4N H

X F .X/ C  F .X/ C  F .X/ C


C  F .XN/ C  F .XN/ C F .XN / : 



Observe el patrón de los coeficiente 1-2-2- · · · -2-2-1

DEFINICIÓN Aproximación trapezoidal La aproximación trapezoidal de B

F .X/ D X

CON

A

XH

BA N

ES

Y

4N H FXI

F XI 

XI 

$X

XI

FIGURA 5.9.3 Área del trapezoide es [ f (xi−1) + f (xi)]x.

X

X .Y C Y C Y C


C YN C YN C YN / : 



La figura 5.9.3 muestra por qué se llama así la aproximación trapezoidal. Los puntos de la partición x0, x1, x2, . . . xn se usan para construir trapezoides desde el eje x hasta la gráfica de la función f. El trapezoide del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi] tienen altura x y sus bases paralelas tienen anchos f (xi−1) y f (xi). Por lo cual su área es  x x  f (xi−1 ) + f (xi ) = (yi−1 + yi ). 2 2

Al comparar esto con la ecuación (6) se ve que Tn es realmente la suma de las áreas de los n trapezoides mostrados en la figura 5.9.4.

FXI FXI 

A

$X

XI  XI

B

FIGURA 5.9.4 Geometría de la aproximación trapezoidal.

EJEMPLO 1 Calcule la aproximación trapezoidal de la integral de la ecuación (4) con n  6 y x  0.5.

396

CAPÍTULO 5

La integral

Solución Los trapezoides en la figura 5.9.5 indican por qué T6 debe ser una aproximación mucho mejor que cualquiera de las aproximaciones de puntos extremos L6 o R6. La tabla de la figura 5.9.6 muestra los valores de f (x)  x 2 que se requieren para calcular T6. Los coeficientes 1-2-2- · · · -2-2-1 aparecen en la última columna. Usando la ecuación (6) se tiene T6 =

0.5 [1 · (0) + 2 · (0.25) + 2 · (1) 2 + 2 · (2.25) + 2 · (4) + 2 · (6.25) + 1 · (9)]

= 9.125

Z

(comparado con el valor real 9). Y













X



FIGURA 5.9.5 Área bajo y  x (ejemplo 1). 2

I

XI

F .XI / H XI

#OEFICIENTES

      

      

      

      

FIGURA 5.9.6 Datos para el ejemplo 1.

b Otra útil aproximación a a f (x) d x es la aproximación del punto medio Mn. Ésta es la suma de Riemann obtenida seleccionando el punto XI en [xi−1, xi] como su punto medio mi  (xi−1+ xi)y2. Por lo tanto, N

-N H

F .M I

XH

X/ ; F .M  / C F .M  / C


C F .M N /= :



IH

Como m1 es el punto medio de [x0, x1], algunas veces es conveniente escribir y1y2 para f (m1), y3y2 para f (m2) y así sucesivamente (figura 5.9.7). Y

YFX

Y

AX

M

X

Y

M

X

YN 

XI  MI

XI

XN  MN

XNB

X

FIGURA 5.9.7 Las ordenadas usadas en la aproximación del punto medio.

SECCIÓN 5.9

Integración numérica 397

DEFINICIÓN Aproximación del punto medio La aproximación del punto medio a B

F .X/ D X

CON

XH

A

BA N

ES -N H

EJEMPLO 2

X/ Y= C Y= C Y= C


C YN.=/ :



La figura 5.9.8 ilustra la aproximación del punto medio a la integral  3 x2 dx = 9 0

del ejemplo 1, con n  6 y x  0.5, y la tabla de la figura 5.9.9 muestra los valores de f (x)  x 2 necesarios para calcular M6. Usando la ecuación (7) se obtiene M6 = (0.5) [1 · (0.0625) + 1 · (0.5625) + 1 · (1.5625) + 1 · (3.0625) + 1 · (5.0625) + 1 · (7.5625)] = 8.9375.

Z

Y YX





















X

FIGURA 5.9.8 Rectángulos del punto medio que aproximan el área bajo y  x 2 (ejemplo 2).

EJEMPLO 3

  YSENX X

 X



FIGURA 5.9.10 Gráfica de la función SEN X (ejemplo 3). F .X/ H X

#OEFICIENTES

     

     

     

     



Recordando de la sección 2.3 que X!



F .M I /

La figura 5.9.10 muestra la gráfica de la función SEN X : F .X/ H X

L¤M



MI

FIGURA 5.9.9 Datos para el ejemplo 2.

Y  

I

SEN X H : X

Entonces se define f (0)  1; así, no habrá dificultad en x  0, aun cuando el numerador y el denominador en la ecuación (8) son cero. Sucede que la función f (x) no tiene antiderivada elemental, por lo que el teorema fundamental del cálculo no se puede aplicar para evaluar la integral 

) H 

SEN X D X: X



Pero este tipo de integrales son importantes para el diseño preciso de lentes fotográficas (entre otras aplicaciones), de modo que existe una motivación fuerte para recurrir la aproximación numérica de su valor.

398

CAPÍTULO 5

La integral

Con n  10 y x  0.1, la aproximación trapezoidal es SEN : : SEN : C

C
 : : SEN : SEN : SEN : C


C 
C
I C
: : : 4  :: 4 H

La aproximación de punto medio correspondiente es SEN : SEN : SEN : C
C
C


: : : SEN : SEN : C 
C
I : :  ::

- H .:/ 


-

El valor real de la integral de la ecuación (9) es I ≈ 0.94608 (con exactitud de cinco decimales). Tanto T10 como M10 dieron el valor correcto 0.946 redondeado a tres decimales. Pero • T10 subestimó I por aproximadamente 0.00025, mientras que • M10 sobreestimó I por aproximadamente 0.00013. Así, se tiene un ejemplo donde la aproximación del punto medio es de cierta forma más precisa que la aproximación trapezoidal. Z

Aproximación de Simpson La aproximación del punto medio Mn de la ecuación (7) se llama algunas veces aproximación de la recta tangente, porque el área del rectángulo con base [xi−1, xi] y altura f (mi) es también el área de otra figura de aproximación. Como se muestra en la figura 5.9.11, se dibuja un segmento tangente a la gráfica de f en el punto (mi , f (mi)) y se usa este segmento como un lado de un trapezoide (algo similar al método de aproximación trapezoidal). El trapezoide y el rectángulo mencionados tienen la misma área, por lo que el valor de Mn es la suma de las áreas de los trapezoides como el de la figura 5.9.11. El área del trapezoide asociado con la aproximación del punto medio es generalmente más cercano al valor verdadero de  xi f (x) d x xi−1

que el área de los trapezoides asociados con la aproximación trapezoidal, como en el ejemplo 3. La figura 5.9.12 muestra esto también, en cuanto a que %%4 YF X

YF X

XI 

MI

XI

X

FIGURA 5.9.11 Aproximación del punto medio (o tangente).

XI 

XI

FIGURA 5.9.12 Comparación del error de la aproximación del punto medio EM con el error de la aproximación trapezoidal ET.

X

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

399

el error del punto medio EM (arriba de la curva en esta figura) es generalmente menor que el error trapezoidal ET (abajo de la curva en esta figura). La figura 5.9.12 muestra también que si y  f (x) es cóncava hacia abajo, por lo cual Mn será una sobreestib mación y Tn una subestimación de a f (x) d x. Si la gráfica es cóncava hacia arriba, entonces la situación se invierte. Estas observaciones originaron la consideración de un promedio ponderado de Mn y Tn, donde se da a Mn una ponderación o peso mayor que a Tn para mejorar las estimaciones numéricas de la integral definida. En particular, el promedio ponderado 3N H  .-N C 4N / H  -N C  4N



b se llama aproximación de Simpson de a f (x) d x. La razón del subíndice 2n es que S2n se asocia con una partición de [a, b] en un número par, 2n de subintervalos de igual longitud con los puntos extremos

a  x0 < x1 < x2 < · · · < x2n−2 < x2n−1 < x2n  b. Las aproximaciones del punto medio y trapezoidal asociadas con los n subintervalos [x0, x2],

[x2, x4],

[x4, x6],

...,

[x2n−4, x2n−2],

[x2n−2, x2n],

todos con la misma longitud 2x, pueden rescribirse en sus respectivas formas Mn  (2x)( y1 + y3 + y5 + · · · + y2n−1) y

2 x )( y0 + 2y2 + 2y4 + · · · + 2y2n−2 + y2n) 2 Si se sustituyen estas fórmulas para Mn y Tn en la ecuación (10) se encuentra —después de un poco de álgebra— que

Tn  (

3N H

X .Y C Y C Y C Y C Y C


C YN C YN C YN /: 



Para ser congruentes con las otras fórmulas de aproximación, se debe rescribir la ecuación (11) con n (en lugar de 2n) para denotar el número total de subintervalos usados.

DEFINICIÓN Aproximación de Simpson B La aproximación de Simpson de A F .X/ D X con x  (b − a)yn, asociada con una partición de [a, b] en un número n par de subintervalos de igual longitud es la suma Sn definida como X 3N H  .Y C Y C Y C Y C Y C


C YN C YN C YN /:  OBSERVACIÓN Note que el patrón 1-4-2-4-2- · · · -2-4-2-4-1 en los coeficientes de la aproximación de Simpson. Este patrón es simétrico (y termina en 2-4-1), como se muestra, si y sólo si n es par.

EJEMPLO 4

La aproximación de Simpson (con n  6 y x  0.5) de la integral  3 x2 dx = 9 0

de los ejemplos 1 y 2 es : T
./ C 
.:/ C 
./ C 
.:/  C 
./ C 
.:/ C 
./ UI 3 H  EXACTAMENTE  3 H

CAPÍTULO 5

La integral

El problema 29 explica por qué la aproximación de Simpson de esta integral en particular es exacta en lugar de sólo una buena aproximación. Z La aproximación de Simpson (con n  10 y x  0.1) de la integral

EJEMPLO 5

 

SEN X DX X

DELEJEMPLOES SEN : SEN : : SEN : C
C
C



C
 : : : SEN : SEN : SEN : C
C
I C 
: : :  :;

3 H

3

Z

la cual es exacta con los cinco decimales mostrados.

Los ejemplos 4 y 5 ilustran la mayor precisión de la aproximación de Simpson en comparación con las aproximaciones del punto medio y trapezoidal. Los métodos numéricos de esta sección son particularmente útiles para aproximar integrales de funciones que están disponibles nada más en forma gráfica o tabular. Éste frecuentemente es el caso con funciones derivadas de datos empíricos o de mediciones experimentales. EJEMPLO 6 Suponga que la gráfica en la figura 5.9.13 muestra la velocidad v(t) registrada por instrumentos a bordo de un submarino viajando bajo el casquete polar directamente hacia el polo norte. Use la aproximación trapezoidal y la aproximación B de Simpson para estimar la distancia S H A G.T/ DT recorrida por el submarino durante el periodo de 10 horas de t  0 a t  10.  6ELOCIDAD MI H

400























 

4IEMPOTH

FIGURA 5.9.13 Gráfica de la velocidad del submarino del ejemplo 6.

Solución De la gráfica pueden leerse los siguientes datos: T























H

G























MIH

Usando la aproximación trapezoidal con n  10 y x  1, se obtiene 

SH

G.T/ DT 

P C  C  C  C  C  C  C  C / C U   T C . H : MI :

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

401

Usando la aproximación de Simpson con 2n  10 y x  1, se obtiene  10 s= v(t) dt 0

≈

1 [12 3

+ 4 · 14 + 2 · 17 + 4 · 21 + 2 · 22 + 4 · 21 + 2 · 15 + 4 · 11 + 2 · 11 + 4 · 14 + 17]

= 161

(mi)

como estimación de la distancia viajada por el submarino durante el periodo de 10 horas. Z

Aproximaciones parabólicas Aunque se ha definido la aproximación de Simpson S2n como el promedio ponderado de las aproximaciones del punto medio y trapezoidal, la aproximación de Simpson tiene una interpretación importante en términos de la aproximación parabólica a la curva y  f (x). Iniciamos con la partición de [a, b] en 2n subintervalos de igual longitud de x cada uno, definimos la función parabólica pi(x)  Ai + Bix + Cix 2 en [x2i−2, x2i] como sigue: se eligen los coeficientes Ai, Bi y Ci de manera que pi(x) coincida con f (x) en los tres puntos x2i−2, x2i−1 y x2i (figura 5.9.14). Esto se puede hacer resolviendo las tres ecuaciones Ai + Bix2i−2 + Ci(x2i−2) 2  f (x2i−2), Ai + Bix2i−1 + Ci(x2i−1) 2  f (x2i−1), Ai + Bix2i + Ci(x2i) 2  f (x2i) para las tres incógnitas Ai, Bi y Ci. Un cálculo algebraico de rutina (pero tedioso) —vea el problema 52 de la sección 5.8— muestra que  x2i x (y2i−2 + 4y2i−1 + y2i ). pi (x) d x = 3 x2i−2 b Se puede aproximar a f (x) d x sustituyendo f (x) con pi(x) en el intervalo [x2i−2, x2i] para i  1, 2, 3, . . . , n. Esto proporciona  b n  x2i n  x2i   f (x) d x = f (x) d x ≈ pi (x) d x a

i=1

x2i−2

i=1

x2i−2

n  x (y2i−2 + 4y2i−1 + y2i ) = 3 i=1

=

x (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · · + 4y2n−3 + 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ). 3 Y YF X YPI X

XI 

XI 

XI

FIGURA 5.9.14 Aproximación parabólica y  pi(x) de y  f (x) en [x2i−2, x2i].

X

402

CAPÍTULO 5

La integral

Así, la aproximación parabólica descrita da como resultado la aproximación de Simpb son S2n de a f (x) d x.

Estimaciones de error La aproximación trapezoidal, la aproximación del punto medio y la aproximación de Simpson se usan ampliamente en integración numérica, y hay estimaciones de error que se usan para predecir el error máximo posible de una aproximación en particular. El error trapezoidal ETn, el error del punto medio EMn y el error de Simpson ESn se definen por las ecuaciones B

F .X/ D X H 4N C % 4N ;



F .X/ D X H -N C % -N ;



A B A

Y B

F .X/ D X H 3N C % 3N

N PAR 



A

Observe que cada una de estas fórmulas es de la forma  b f (x) d x  [aproximación] + [error]. a

El valor absoluto |ETn| es la diferencia entre el valor de la integral y la aproximación trapezoidal con n subintervalos (y lo mismo para |EMn| y |ESn|). Los teoremas 1 y 2 se demuestran en libros de texto de análisis numérico.

TEOREMA 1 Estimación del error trapezoidal y del punto medio Suponga que la segunda derivada f  es continua en [a, b] y que | f (x)| K2 para a x b. Así, j% 4N j

+  .B A/ N 



j% -N j

+  .B A/ : N 



Y

OBSERVACIÓN Al comparar (16) y (17), vemos que el pronóstico máximo del error del punto medio es la mitad del error trapezoidal pronosticado. Ésta es la razón por la cual el peso de Mn es el doble del peso de Tn cuando se calcula la aproximación de Simpson usando la fórmula S2n   Mn +  Tn de la ecuación (10).

TEOREMA 2 Estimación del error de Simpson Suponga que la cuarta derivada f ( 4) es continua en [a, b] y que | f ( 4)(x)| a x b. Si n es par, entonces +  .B A/ j% 3N j : N 

K4 para 

El factor n 4 en (18) —comparado con n 2 en (16) y (17)— explica la mayor precisión que suele tener la aproximación de Simpson. Por ejemplo, si n  10, entonces n 2  100, pero n 4  10000, de modo que el denominador en la fórmula de la aproximación de Simpson es mucho mayor. OBSERVACIÓN

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

403

EJEMPLO 7 Como D x [ln x]  1yx, se deduce que el logaritmo natural del número 2 (dado en forma aproximada por la tecla ,. de la calculadora) es el valor de la integral

Y

 Y  X

1

° 

2





X

que aparece en la figura 5.9.15. Estime los errores de las aproximaciones trapezoidal, del punto medio y de Simpson para esta integral usando n  10 subintervalos. (El valor real de ln 2 es aproximadamente 0.693147.)

DXLN



 2 1 d x = ln x = ln 2 − ln 1 = ln 2 x 1

X

Solución Con f (x)  1yx calculamos

FIGURA 5.9.15 El número ln 2 como un área.

f  (x) = −

1 , x2

f  (x) =

2 x3

f  (x) = −

6 , x4

f (4) (x) =

24 . x5

Los valores máximos de todas estas derivadas para 1 x 2 ocurren en x  1, por lo que podemos tomar K2  2 y K4  24 en las ecuaciones (16), (17) y (18). De las ecuaciones (16) y (17) vemos que j% 4 j


  : 


Y


  :: 


j% - j



Por lo que podemos esperar que tanto la aproximación trapezoidal T10 como la aproximación del punto medio M10 proporcionen una precisión de al menos dos decimales. De la ecuación (18) vemos que |E S10 | 

24 · 15 ≈ 0.000013, 180 · 104

(20)

y esperaríamos que la aproximación de Simpson sea precisa en al menos cuatro decimales. Cuando calculamos estas aproximaciones, encontramos que 4 H

: 

- H .:/

      C C C C


C C  : : : : 

 :;

     C C C


C C : : : : :

 :;

Y 3 H

: 

      C C C C


C C  : : : : 

 ::

Se deduce que los errores de estas aproximaciones (comparadas con el valor real ln 2 ≈ 0.693147) son ET10 ≈ −0.000624,

EM10 ≈ 0.000312

y

ES10 ≈ 0.000003.

Al comparar los errores reales con los errores máximos pronosticados en (19) y (20) vemos que las aproximaciones fueron más precisas de lo que se predecía; de hecho, M10 es correcta en tres decimales y S10 en cinco. Es bastante común en la integración numérica que las aproximaciones trapezoidal, del punto medio y de Simpson sean en cierta forma más precisas que los “peores casos” de estimaciones proporcionados por los teoremas 1 y 2. Z

404

CAPÍTULO 5

La integral

5.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. OBSERVACIÓN En estas diez preguntas, f representa una función integrable en el intervalo [a, b], n es un entero positivo, P es una partición de en n subintervalos de igual longitud x  (b − a)yn y los puntos extremos de los subintervalos son x0, x1, x2, . . . , xn. El punto medio del subintervalo [xi−1, xi ] es

MI D

XI C XI H XI.=/ ; 

yq  f (xq) para q  0, 12, 1, 32, 2, …, n y B

F .X/ D X:

) H A

1. El teorema fundamental del cálculo no se puede usar para evaluar  

SEN X D X: X

2. La aproximación de punto extremo izquierdo de I es L n =

f (xi )xi .

i=1

3. La aproximación trapezoidal de I es Tn =

n 

x (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + · · · + 2yn−1 + yn ). 2

4. Si f (x) es continua en [a, b] y | f (x)| K2 para toda x en [a, b], entonces el error en la aproximación trapezoidal de I no puede exceder K 2 (b − a)3 . 12n 2

5. La aproximación del punto medio de I es Mn = (x) · (y1/2 + y3/2 + y5/2 + · · · + yn−(1/2) ).

6. La aproximación de Simpson de I es S2n 

  Mn

+

 T.  n

7. Si n es par, la aproximación de Simpson de I es x (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · · + 2yn−2 + 4yn−1 + yn ). 3  3 8. La aproximación de Simpson de x 2 d x con n  6 es Sn =

0

S6 =

1 1 · (0)2 + 4 · (0.5)2 + 2 · (1)2 + 4 · (1.5)2 6  + 2 · (2)2 + 4 · (2.5)2 + 1 · (3)2 = 9.

9. Si f (4) es continua en [a, b] y | f ( 4) (x)| K4 para toda x en [a, b], entonces el error en la aproximación de Simpson de I no puede exceder K 4 (b − a)5 . 180n 4  x 10. En la sección 5.9 se afirmó que G(x)  1 + t 7 dt es no elemental. 0

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

405

5.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que f es una función creciente en [a, b]. ¿Cuál es mayor, la suma del lado izquierdo o la suma del lado derecho, cada una con n subintervalos? ¿Qué ocurre si f es una función decreciente? Dibuje bosquejos que muestren ambos casos. 2. Suponga que la gráfica de y  f (x) es cóncava hacia arriba en [a, b]. ¿Cuál es mayor, la suma del punto medio o la suma trapezoidal, cada una con n subintervalos? ¿Qué ocurre si la gráfica es cóncava hacia abajo? Dibuje bosquejos que muestren ambos casos. 3. Explique por qué no se puede establecer una suma de Simpson comenzando con una partición de [a, b] en un número no impar de subintervalos. ¿Qué sale mal si se trata de hacerlo?

5.9 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, calcule la aproximación trapezoidal Tn de la integral dada y compare Tn con el valor exacto de la integral. Utilice el número de subintervalos n indicados y redondee sus resultados a dos decimales. 



donde f es la función tabulada dada. 21. X

X DX

NH

X  D X N H 



 

p



X D X

NH





 =

















F .X/





A H :



 D X X

NH

X





: H B

F .X/







AH





























COS X D X

NH





SEN X D X N H  

7. a 12. Calcule la aproximación del punto medio de las integrales en los problemas 1 a 6, usando el número de subintervalos indicado. En cada caso compare Mn con el valor exacto de la integral. En los problemas 13 a 20, calcule tanto la aproximación trapezoidal Tn como la aproximación de Simpson Sn a las integrales dadas. Use el número de subintervalos indicado y redondee las respuestas a cuatro decimales. En los problemas 13 a 16, compare también las aproximaciones con el valor exacto de la integral.     D X N H  X  D X N H     X   p  EX D X N H    C X D X N H  

 

 C X  D X



NH

22. X F .X/

X







 H B

F .X/









23. La figura 5.9.16 muestra la tasa de flujo de agua (en litros por minuto) medida que entra a un tanque durante un periodo de 10 minutos. Usando 10 subintervalos en cada caso, estime el total de agua que fluye al tanque usando a) una aproximación trapezoidal y b) una aproximación de Simpson.



 



 D X N H   C X p   C LN X D X N H 

 

 

X

E  D X X

N H 

[Nota: haga el integrando del problema 20 continuo suponiendo que su valor en x  0 es su límite ahí, EX  H :U L¤M X! X En los problemas 21 y 22, calcule a) la aproximación trapezoidal y b) la aproximación de Simpson a B

F .X/ D X; A



&LUJODEAGUA,MIN





























 

4IEMPOMIN

FIGURA 5.9.16 La gráfica del flujo de agua del problema 23.

406

CAPÍTULO 5

La integral

24. La figura 5.9.17 muestra la temperatura diaria promedio registrada durante diciembre en Big Frog, California. Con 10 subintervalos en cada caso, estime la temperatura promedio durante el mes usando a) una aproximación trapezoidal y b) una aproximación de Simpson.

4EMPERATURAo#





















$¤AS

FIGURA 5.9.17 Gráfica de la temperatura para el problema 24.

25. La figura 5.9.18 muestra un terreno con medidas en pies. Un topógrafo ha medido su ancho w cada 50 pies (los valores de x se muestran en la figura) con los siguientes resultados. X















H















X













H













Los problemas 27 y 28 están relacionados a la integral  2 1 dx ln 2 = x 1 del ejemplo 7. 27. Use la estimación del error trapezoidal para determinar qué tan grande debe ser n para garantizar que Tn difiere de ln 2 cuando mucho en 0.0005. 28. Use la estimación del error de Simpson para determinar qué tan grande debe ser n para garantizar que Sn difiere de ln 2 cuando mucho en 0.000005. 29. Deduzca lo siguiente a partir de la estimación del error para la aproximación de Simpson: si p(x) es un polinomio de grado cuando mucho 3, la aproximación de Simpson con n  2 subintervalos proporciona el valor exacto de la integral  b p(x) d x. a

30. Utilice el resultado del ejemplo 29 para calcular (sin integración explícita) el área de la región que se muestra en la figura 5.9.19. [Respuesta: 1331y216.] Y

  

YX X

   Y X X W

W

W

W

W

W

W

W

W

W W

FIGURA 5.9.19 Región del problema 30.

X











X

FIGURA 5.9.18 Terreno del problema 25.

Use a) la aproximación trapezoidal y b) la aproximación de Simpson para estimar el área total (en acres) de la propiedad. [Nota: Un acre  4840 yd 2.] 26. Como el número e es la base de los logaritmos naturales, se deduce que  e 1 d x = 1. 1 x Aproxime las integrales : 

 DX X

:

Y 

 DX X

con la precisión suficiente para demostrar que 2.7 < e < 2.8.

31. Mientras que el promedio ponderado con cuidado en (10) de las aproximaciones del punto medio Mn y trapezoidal Tn proporciona la aproximación de Simpson S2n, muestre que el mismo promedio ponderado proporciona la aproximación trapezoidal con el doble de intervalos; esto es, 12 (Mn + Tn)  T2n. 32. La figura 5.9.20 muestra un péndulo de longitud L. Si el péndulo se suelta del reposo con un ángulo α respecto a la vertical, entonces oscila de un lado a otro con periodo T (para una oscilación completa) dado por 4 H

, G

= 

  K  SEN  X

D X;

donde k  sen (αy2). Si L  1 m y g  9.8 m/s 2, use la aproximación de Simpson con n  10 subintervalos para calcular el periodo de oscilación del péndulo si el ángulo inicial es a) 10°; b) 50°.

SECCIÓN 5.9

Integración numérica

407

34. Aproxime el número e como sigue: primero aplique la aproximación de Simpson con n  2 subintervalos a la integral  1 ex d x = e − 1 Q

0

,

M

FIGURA 5.9.20 Péndulo del problema 32.

33. Observe en el ejemplo 7 que las aproximaciones del punto medio y trapezoidal dan subestimaciones y sobreestimacio2 nes, respectivamente, del valor 1 (1/x) d x = ln 2. Demuestre que éste es un fenómeno general. Es decir, si f (x) y f (x) son ambas positivas para a x b, entonces  Mn <

b

f (x) d x < Tn , a

mientras que si f (x) es positiva pero f (x) es negativa para a x b entonces la desigualdad se invierte.

√ para obtener la aproximación 5e − 4 e − 7 ≈ 0. Luego resuélvala para obtener el valor aproximado resultante de e. 35. De acuerdo con el teorema de los números primos, planteado por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1792 (cuando tenía 15 años) pero no se demostró hasta 1896 (en forma independiente por Jacques Hadamard y C. J. de la Vallée Poussin), el número de números primos entre los enteros positivos a y b > a está dado por una aproximación cercana de la integral B A

 D X: LN X

Las aproximaciones del punto medio y trapezoidal proporcionan subestimaciones y sobreestimaciones del valor de la integral. (¿Por qué?) Calcule estas estimaciones con a  90000 y b  100000. El número real de números primos en este intervalo es 879.

5.9 INVESTIGACIÓN: aproximación trapezoidal y aproximación de Simpson En el material del manual de proyectos para la investigación de la sección 5.4 se ilustran comandos de calculadora y sistemas algebraicos de computadora que se usan para calcular las sumas de Riemann Ln — aproximación de extremo izquierdo, Rn — aproximación de extremo derecho y Mn — aproximación del punto medio. basados en una división de [a, b] en n subintervalos de igual longitud, para aproximar la integral  b f (x) d x. (1) a

Las sumas de Riemann Ln, Rn y Mn bastan, a su vez, para calcular las sumas trapezoidal y de Simpson de esta sección. En particular, la aproximación trapezoidal está dada —usando la ecuación (5) de esta sección— por Tn  12(Ln + Rn).

(2)

Una vez que se conocen estas sumas, la aproximación de Simpson basada en una subdivisión de [a, b] en 2n subintervalos de igual longitud está dada —usando la ecuación (10) de esta sección— por Sn   (2Mny2 + Tny2)  (Lny2 + 4Mny2 + Rny2).

(3)

Por lo cual éste es un esquema práctico para aproximar con precisión la integral en (1). Comience con un valor seleccionado de n, como n  5 y calcule las sumas de Riemann L5, R5 y M5. Luego utilice la ecuación (3) para calcular la aproximación de Simpson S10. Después, duplique el valor de n y calcule de igual forma L10, R10 y M10, y por último S20. Una estrategia típica es continuar de esta forma, siempre duplicando el valor utilizado de n para el siguiente ciclo de cálculos hasta que dos aproximaciones de Simpson sucesivas correspondan a la precisión con el número de decimales deseados.

408

CAPÍTULO 5

La integral

Investigación A De acuerdo con el ejemplo 7, el logaritmo natural (correspondiente a la tecla ,. , en algunos casos, o a la tecla ,/' de su calculadora) del número 2 es el valor de la integral  2 1 d x. ln 2 = 1 x

El valor de ln 2 correcto a 15 decimales es ln 2 ≈ 0.69314 71805 59945. Vea cuántos lugares decimales correctos puede obtener, en un tiempo razonable, usando el procedimiento de aproximación de Simpson. Investigación B En la sección 6.8 se estudiará la función tangente inversa y  arctan x ( y es el ángulo entre −πy2 y πy2 tal que tan y  x). Ahí se verá que la derivada de y  arctan x es  DY H : DX  C X

%STOIMPLICAQUE  

 D X H ARCTAN X  C X



H ARCTAN  ARCTAN  H 

 : 

Se deduce que el número π es el valor de la integral  1 4 π= d x. 2 0 1+x El valor de π con 15 decimales es π ≈ 3.14159 26535 89793. Vea cuántos lugares decimales correctos puede obtener, en un tiempo razonable, mediante el procedimiento de aproximación de Simpson. Investigación C

Tome f (x)  4y(1 + x 2) como el integrando de la integral  

 DX H   C X

de la investigación B; puede resultar un poco largo calcular y luego maximizar manualmente las derivadas f (x) y f ( 4)(x) necesarias para aplicar las estimaciones de error de los teoremas 1 y 2 de esta sección. En su lugar, un sistema algebraico para computadora proporciona F .X/ H

.X  / . C X  /

Y

F ./ .X/ H

.X  X  C / : . C X  /

Las figuras 5.9.21 y 5.9.22 muestran las gráficas de estas dos derivadas en el intervalo [0, 1]. De estas gráficas es claro que cada una de las derivadas obtiene su valor máximo absoluto en el extremo izquierdo x  0. Así, puede tomar K2  8

y

K4  96

en los teoremas 1 y 2. Utilice esta información para determinar qué tan grande debe ser el entero n para que: 1. |EMn| < 5 3 10− 6, con lo que la aproximación del punto medio dará el número π con una precisión de cinco decimales; 2. |ESn| < 5 3 10− 1 1, con lo que la aproximación de Simpson Sn dará el número π con una precisión de diez decimales; 3. La aproximación de Simpson Sn dará el número π con una precisión de quince decimales.

Capítulo 5      Y 











YFggX







X





FIGURA 5.9.21 Gráfica de la segunda derivada de 4 f (x) = . 1 + x2



     Y 

 YF  X







   

X



Repaso





FIGURA 5.9.22 Gráfica de la cuarta derivada de f (x) =

4 . 1 + x2

CAPÍTULO 5: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones, resultados Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos y definiciones del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 5.2 Antiderivación y antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Integrales indefinidas y la antiderivada más general de una función . . . . . . . . . 316 Fórmulas de integrales correspondientes a derivadas comunes . . . . . . . . . . . . . 317-318 Ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Movimiento rectilíneo: velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Problemas de aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-323 Movimiento vertical con aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3 Concepto de área y áreas bajo la curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329-330 Notación de suma compacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Sumas de áreas y áreas como límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335-336 5.4 Aproximación de áreas con sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341-342 Definición de la integral definida; la integral como límite. . . . . . . . . . . . . . . . . 344-345 Existencia de la integral de una función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 La integral como límite de una sucesión de sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . 346 N

B

F .X/ D X H L¤M

Particiones regulares y

N!1

A B

5.5

Evaluación de integrales

F .XI

X . . . . . . . . . . . . . . . . . 346-347

IH

F .X/ D X  G(b) − G(a) donde G  D− 1 f. . . . . . 354

A

5.6

5.7

5.8 5.9

Propiedades generales de las integrales (incluyendo linealidad de la integración) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357-359 Valor promedio de una función en un intervalo cerrado (definición). . . . . . . . . 364 Teorema del valor promedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Teorema fundamental del cálculo (ambas partes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 La “regla de potencias generalizada invertida” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Método de integración por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Fórmulas de sustitución trigonométrica y exponencial/logarítmica. . . . . . . . . . 375-376 Sustitución en integrales definidas; cambio de límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Área entre y  f (x) y y  g (x) por integración respecto a x . . . . . . . . . . . . . . . 383 Área entre x  f ( y) y x  g ( y) por integración respecto a y. . . . . . . . . . . . . . . 386 Aproximaciones de punto extremo derecho y punto extremo izquierdo . . . . . . 394 Aproximación trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Aproximación del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Aproximación de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Estimación de error para las aproximaciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

409

410 CAPÍTULO 5

La integral

CAPÍTULO 5: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 5.2 Evaluación de integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 21, 25, 27 Solución de problemas de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 37, 45, 51 Solución de problemas de movimiento rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 61, 65, 75 5.3 Uso de la notación de suma compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 9, 15 Uso de las fórmulas para sumas de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21, 29 Cálculo de sobre y subestimaciones de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 39 Cálculo del límite de sumas para encontrar el área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47 5.4 Expresión de los límites de las sumas de Riemann como integrales definidas . . . . . . . . 1, 3 Establecimiento de sumas de Riemann para áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 27, 37 Evaluación de integrales como límite de sumas de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 45 5.5 Uso del teorema de evaluación para evaluar integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 9, 21, 23, 25, 31 Reconocimiento del límite de una suma de Riemann como una integral definida. . . . . . 39, 41 Evaluación de una integral reconociéndola como un área simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47 5.6 Cálculo de valores promedio de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 11 Uso del teorema fundamental de cálculo para evaluar integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17, 19, 23, 27 Problemas aplicados relacionados con integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35, 37 Aplicación de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 51, 57 5.7 Evaluación de integrales por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 7, 13, . . . , 61 5.8 Cálculo del área de una región acotada por dos curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9, . . . , 37 5.9 Cálculo de aproximaciones numéricas de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 5, . . . , 19

PROBLEMAS DIVERSOS Encuentre las integrales indefinidas en los problemas 1 a 24. En los problemas 13 a 24, utilice la sustitución indicada.



X  X C  DX X p p  X C X DX



. X/ D X



 

 DX .X C / p   C X D X 

p





X . C X / D X



X   C X  D X

 

U H X



SEN  X COS X D X

U H SEN X



p



p



X  COS X  D X

U H X 



X.X C / D X

U H X H



X.X  C / D X



X  COS X  D X

U H X



p X  X D X

U HX



X C X  D X .X  C X  / p

 X C  X C

p p

X X



D X

U HC



D X

UH

p

U H X C 

 



X  X DX p

X   C X  D X

DX



X C 



X  C X 

DX



. COS X  SEN X/ D X





 SEN  X COS X D X



X 

D X  C X X C  D X p X C X

U H X C X U H X U H X C X

X

p

X

Capítulo 5

Resuelva los problemas de valor inicial de 25 a 30. dy = 3x 2 + 2x; y(0) = 5 25. dx √ dy = 3 x; y(4) = 20 26. dx dy = (2x + 1)5 ; y(0) = 2 27. dx dy 2 28. ; y(4) = 3 = √ dx x +5 dy 1 29. = √ ; y(1) = 1 3 dx x dy = 1 − cos x; y(0) = 0 30. dx 31. Cuando se aplican a fondo los frenos, cierto automóvil tiene una desaceleración constante de 22 ft/s 2. Si su velocidad inicial es 90 mi/h, ¿cuánto tiempo tardará en detenerse? ¿Cuántos pies recorrerá durante ese tiempo? 32. En la novela de Hal Clement, Mission of Gravity (Misión de gravedad ), la acción se desarrolla en las regiones polares del planeta Mesklin, donde la aceleración de la gravedad es 22500 ft/s 2. Una piedra se deja caer cerca del polo norte de Mesklin desde una altura de 450 ft. ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? ¿Con qué velocidad alcanza la piedra el suelo? 33. Un auto viaja por el eje x en dirección positiva. En el tiempo t  0 se aplican a fondo los frenos y el auto experimenta una desaceleración constante de 40 ft/s 2 mientras derrapa. El auto derrapa 180 ft antes de detenerse. ¿Cuál era su velocidad inicial? 34. Si un auto inicia en reposo con aceleración de 8 ft/s 2, ¿qué distancia habrá recorrido cuando alcanza una velocidad de 60 mi/h? 35. En el planeta Zorg, una pelota se deja caer desde una altura de 20 ft y choca contra el piso 2 s después. Si la pelota se deja caer desde la parte alta de un edificio de 200 ft en Zorg, ¿cuánto tiempo tardará en llegar el suelo? ¿Con qué velocidad llegará? 36. Suponga que puede lanzar una pelota desde la superficie de la Tierra hasta una altura máxima de 144 ft. a) ¿Qué tan alto la podría tirar en el planeta del problema 35? b) ¿Qué tan alto la podría tirar en las regiones polares de Mesklin? (Vea el problema 32.) 37. Imagine que un automóvil derrapa 44 pies si su velocidad es 30 mi/h cuando se aplican los frenos. Si suponemos una desaceleración constante, ¿que tan lejos derrapará si su velocidad es 60 mi/h cuando se aplican los frenos? 38. La gráfica de la velocidad de un modelo de cohete disparado en el tiempo t  0 se muestra en la figura 5.PD.1. a) ¿En qué tiempo se acaba el combustible? b) ¿En qué tiempo se abre el paracaídas? c) ¿En qué tiempo llega el cohete a su altura máxima? d) ¿En qué tiempo aterriza? e) ¿Qué altura alcanzó el cohete? f ) ¿Qué tan alto era el poste donde aterrizó?









KH

IH 



.N /





NH

NH

N

X

 L¤M

N!1

IH N

I

XI

N!1

T; U

IH N

 C .XI /

 XI

 L¤M

N!1

X

 C  C  C


C N  N 

L¤M

N!1

expresando este límite como una integral sobre [0, 1]. 47. Use las sumas de Riemann para demostrar que si f (x) ≡ c (una constante), entonces  b f (x) d x = c(b − a). a

48. Use las sumas de Riemann para probar que si f es continua en [a, b] y f (x) 0 para toda x en [a, b], entonces  b f (x) d x  0. a

49. Use la propiedad de comparación de las integrales (sección 5.5) para demostrar que  b f (x) d x > 0 a

si f es una función continua con f (x) > 0 en [a, b]. Evalúe las integrales en los problemas 50 a 63. 

. X  / D X

 

p C  X p X

 

 





DX



DT . T/



X  X DX



T C  DT p T C T







=





TS

FIGURA 5.PD.1 Gráfica de la velocidad del cohete del problema 38.

T; U

IH

 %VAL¢E





N 

T; U

T.XI / XI U X

 L¤M





SEN

En los problemas 43 a 45, encuentre la suma de Riemann dada, asociada con una partición regular del intervalo indicado [a, b]. Primero exprésela como una integral de a a b; luego evalúe la integral.





  K KH







411

Encuentre las sumas en los problemas 39 a 42.



FT S

Problemas diversos

 



 U

SEN T DT p COS T 



 DU U

 

p  X p X   X DX X  p p X COS X X D X   SEN DT T T p  U

DU   C U = p   C T DT p T  p X   DX X

DX

412 CAPÍTULO 5

La integral

Encuentre las áreas de las regiones planas acotadas por las curvas dadas en los problemas 64 a 70. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.

y = x 3 , x = −1, y = 1 y = x 4, y = x 5 y 2 = x, 3y 2 = x + 6 y = x 4, y = 2 − x 2 y = x 4 , y = 2x 2 − 1 y = (x − 2)2 , y = 10 − 5x y = x 2/3 , y = 2 − x 2

77. Calcule la aproximación del punto medio y la aproximación trapezoidal de  2 1 dx 2 1 x +x con n  5 subintervalos. Luego explique por qué el valor exacto de la integral está en medio de las dos aproximaciones. En los problemas 78 a 80, sea {x0 , x1, x2 , . . . , xn} una partición de [a, b], donde a < b. 78. Para i  1, 2, 3, . . . , n, defina XI por

71. Evalúe la integral 

2



( XI ) 2  [(xi−1) 2 + xi−1 xi + (xi) 2]. 2x − x 2 d x

0

interpretándola como el área de una región. 72. Evalúe la integral  5 6x − 5 − x 2 d x

Demuestre primero que xi−1 < XI < xi. Luego use la identidad algebraica (c − d )(c 2 + cd + d 2)  c 3 − d 3 para demostrar que N

.XI /

1

XI H

 .B 

A  /:

IH

interpretándola como el área de una región. 73. Encuentre una función f tal que  x x2 = 1 + 1 + [ f (t)]2 dt 1

para toda x > 1. [Sugerencia: derive ambos lados de la ecuación con la ayuda del teorema fundamental de cálculo.] 74. Muestre que G (x)  φ(h(x)) · h (x) si  h(x) G(x) = φ(t) dt. a

75. Use las aproximaciones de punto extremo derecho y punto extremo izquierdo para estimar  1 1 + x2 dx 0

con un error que no exceda 0.05. 76. Calcule las aproximaciones trapezoidal y de Simpson de 

π

√

1 − cos x d x

0

con seis subintervalos. Para comparar, use la identidad de medio ángulo apropiada para calcular el valor exacto de la integral.

Explique por qué este cálculo prueba que  b x 2 d x = 13 (b3 − a 3 ). a

√

79. Sea XI  xi−1 xi para i  1, 2, 3, . . . , n y suponga que 0 < a < b. Demuestre que n  1 xi 1 = − .  2 (x ) a b i i=1

Luego explique por qué este cálculo prueba que  b 1 1 dx = − . 2 x a b a 80. Suponga que 0 < a < b. Defina   2 (xi )3/2 − (xi−1 )3/2 3  xi = . xi − xi−1 Primero demuestre que xi−1 < XI < xi. Luego use esta selección para la partición dada y pruebe que  b

 √ x d x = 23 b3/2 − a 3/2 . a

6

Aplicaciones de la integral

E

l concepto general de integración proviene de los cálculos de área y volumen de los tiempos antiguos, pero las integrales usadas por Newton y Leibniz no estaban definidas con precisión suficiente para entenderlas en su totalidad. Le debemos al matemático alemán G. F. Bernhard Riemann la definición moderna G. F. B. Riemann (1826-1866) que utiliza las “sumas de Riemann”. Hijo de un ministro protestante, Riemann estudió teología y filosofía en la Universidad de Göttingen hasta que obtuvo el permiso de su padre para concentrarse en las matemáticas. Se trasladó a la Universidad de Berlín, donde en 1851 obtuvo el doctorado. El trabajo que realizó durante la siguiente década justifica su lugar en la corta lista de los matemáticos más profundos y creativos de todos los tiempos. En 1862 cayó gravemente enfermo. Nunca se recuperó del todo y murió prematuramente, en 1866, a la edad de 39 años. Las investigaciones de Riemann fueron tan diversas como profundas, cubriendo desde los conceptos básicos de las funciones y las integrales hasta áreas como la geometría diferencial no euclidiana y la distribución de los números primos. Recuerde que el entero positivo p es primo si no se puede factorizar en enteros menores. En un famoso trabajo de 1859, Riemann analizó la aproximación  π(x) ≈ 2

x

dt = li(x) ln t

≤ x (donde ln x depara el número π (x) de esos primos p − nota el logaritmo natural de x). Existe una extraordinaria correspondencia entre el valor de π (x) y la aproximación “integral logarítmica” li(x): X ;; ;; ;; ;;; LI.X/ ; ; ;; ;; .X/ ; ; ;; ;; ERROR : : : :

Treinta años después de la muerte de Riemann, sus ideas finalmente condujeron a la demostración de que el porcentaje de error en la aproximación li(x) de π (x) tiende a 0 cuando x → ∞. En su tesis de 1851, Riemann introdujo una forma geométrica para comprender funciones de “valores múltip ples” como la función raíz cuadrada con dos valores ± X . La siguiente gráfica ilustra la función raíz cúbica. Para cada número complejo z  x + iy en un disco unitario ≤ 1, las tres raíces cúbicas (complejas) de z se x2 + y2 − grafican directamente por encima de z. Cada raíz se grafica con una altura igual a su parte real y con un color determinado por su parte imaginaria. El resultado es la “superficie de Riemann” de la función raíz cúbica.    n n 



 Y

n

n n n X







413

414 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

6.1 APROXIMACIONES POR SUMAS DE RIEMANN En la sección 5.4 se definió la integral de la función f en el intervalo [a, b] como un límite de sumas de Riemann. Específicamente, sea el intervalo [a, b] dividido en n subintervalos, todos con la misma longitud x  (b − a)yn (figura 6.1.1). De este modo, una selección de números X , X , X , . . . , XN en ese subintervalo ( XI es un punto en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]) produce una suma de Riemann n  f (xi ) x (1) i=1

cuyo valor se aproxima a la integral de f en [a, b]. El valor de la integral es el valor límite (si existe) de esas sumas cuando la longitud x del subintervalo se acerca a cero. Esto es, n

b

f (x) d x  lím

f (xi

x→0

a

x.

(2)

i1

La amplia utilización de las integrales definidas es debida a que muchas cantidades geométricas y físicas se pueden aproximar arbitrariamente cerca con sumas de Riemann. Estas aproximaciones nos conducen a las fórmulas de integrales para el cálculo de estas cantidades. X AX

X X

X X

XN

XI

X { XI  XI { XN  XNB

FIGURA 6.1.1 Una división (o partición) de [a, b] en n subintervalos con la misma longitud.

Por ejemplo, suponga que f (x) es de valores positivos en [a, b] y que el objetivo —como en la sección 5.3— es calcular el área A de la región que se localiza bajo la gráfica de y  f (x) en el intervalo [a, b]. Comenzando con la subdivisión (o partición) de [a, b] indicada en la figura 6.1.1, sea Ai el área de la “franja” vertical que está bajo y  f (x) en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. Así, como se ilustra en la figura 6.1.2, las “áreas de las franjas” A2,

A1,

...,

An

se suman para obtener el área total A: A=

n 

A i .

(3)

i=1

Y YF X

$ ! $!

AX

X

X

$!N

XI  XI

XN  XNB

X

XI

FIGURA 6.1.2 Aproximación de un área por una suma de Riemann.

SECCIÓN 6.1

Aproximaciones por sumas de Riemann 415

Pero la i-ésima franja se aproxima por un rectángulo con base [xi−1, xi ] y altura f ( XI ), entonces el área se puede aproximar por A i ≈ f (xi ) x. (4) Después de sustituir la ecuación (4) en la ecuación (3), parece que el área total A bajo la gráfica de f está dada aproximadamente por N

!

F .XI / X:



IH

Observe que la suma de la aproximación en el lado derecho es una suma de Riemann para f en [a, b]. Aún más, 1. Es intuitivamente evidente que la suma de Riemann en (5) se acerca al valor real de A cuando n → +∞ (lo que fuerza x → 0); b 2. Por la definición de la integral, esta suma de Riemann se acerca a a f (x) d x cuando n → +∞. Estas observaciones justifican la definición del área A mediante la fórmula B

!H

F .X/ D X:



A

Otras cantidades como integrales La justificación de la fórmula del área en la ecuación (6) ilustra un importante método general para establecer las fórmulas de integrales. Suponga que se desea calcular cierta cantidad Q que está asociada con un intervalo [a, b] de forma que los subintervalos de [a, b] correspondan a porciones específicas de Q (como la porción del área que se encuentra arriba de un subintervalo dado). De este modo, una subdivisión de [a, b] en n subintervalos produce las porciones Q1,

Q2,

cuya suma es la cantidad Q=

Qn ,

...,

n 

Q i .

(7)

i=1

Ahora suponga que encontramos una función f tal que la i-ésima porción Qi está dada aproximadamente por (8) Q i ≈ f (xi ) x ≤ i ≤ n) para un punto seleccionado XI del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] (para cada i, 1 − − de [a, b]. Por lo que, sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (7), se obtiene la aproximación de la suma de Riemann N

1

F .XI / X



IH

análoga a la aproximación de la ecuación (5). La suma en el lado derecho de la ecuación (9) es una suma de Riemann que se aproxima a la integral B

F .X/ D X

CUANDO

N ! C1:

A

Si también es evidente —por ejemplo, por razones geométricas y físicas— que esta suma de Riemann se acerca a la cantidad Q cuando n → +∞, entonces la ecuación (9) justifica que se establezca la fórmula de la integral B

1H

F .X/ D X: A



416 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Debido a que resulta sencillo calcular el lado derecho de la ecuación (10) (por el teorema fundamental del cálculo), se obtiene una forma práctica para encontrar el valor numérico exacto de la cantidad Q. Además del área, las siguientes son algunas de las cantidades que se calculan usando fórmulas de integrales como la ecuación (10). (La variable x se sustituye con t donde sea apropiado.) • La masa de una barra delgada de densidad variable tendida a lo largo del inter≤ x ≤ b. valo a − − • La ganancia de una compañía entre el tiempo t  a y el tiempo t  b. • El número de personas en una ciudad que contraen cierta enfermedad entre el tiempo t  a y el tiempo t  b. • La distancia recorrida por una partícula en movimiento durante el intervalo de ≤ t ≤ b. tiempo a − − ≤ t ≤ b. • El volumen de agua que entra a un tanque durante el tiempo a − − • El trabajo realizado por una fuerza variable para mover una partícula desde el punto x  a hasta el punto x  b. En cada caso es evidente que un subintervalo de [a, b] determina una porción específica Q de la cantidad total Q que corresponde al intervalo completo [a, b]. La pregunta es: ¿qué función f debe integrarse de a a b? Los ejemplos 1 a 3 aclaran el proceso de encontrar la función f necesaria para aproximar la porción Qi de la cantidad Q que corresponde al subintervalo [xi−1, xi ]. Una aproximación de la forma Q i ≈ f (xi ) x (8) que lleva a la fórmula de la integral deseada  b Q= f (x) d x. (10) a

La integral en la ecuación (10) es el resultado de la suma en la ecuación (9) cuando se hacen las siguientes sustituciones: N

B

SECONVIERTEEN XI

SECONVIERTEEN X; X

 T LITROSS

FIGURA 6.1.3 Tanque del ejemplo 1.

; A

IH

Y

SECONVIERTEEN D X:

EJEMPLO 1 Suponga que se bombea agua al tanque inicialmente vacío de la figura 6.1.3. La tasa de flujo del agua hacia el tanque en el tiempo t (en segundos) es 50 − t litros (L) por segundo. ¿Cuánta agua fluye dentro del tanque durante los primeros 30 s?

Solución Se desea calcular la cantidad Q de agua que fluye al tanque durante el intervalo [0, 30]. Piense en una subdivisión de [0, 30] en n subintervalos, todos de la misma longitud t  30yn. Ahora se elige un punto TI en el i-ésimo subintervalo [ti−1, ti ]. Si el subintervalo es muy corto, entonces la tasa del flujo de agua entre el tiempo ti−1 y el tiempo ti se mantiene en aproximadamente 50 − TI litros por segundo; por lo que la cantidad Qi de agua en litros que fluye dentro del tanque durante este subintervalo de tiempo se obtiene en forma aproximada al multiplicar la tasa de flujo en litros por segundo por la duración del flujo en segundos: LITROS . TI /
T T SEGUNDOSU; SEGUNDO YAS¤ 1 I  . TI / T LITROS  Por lo tanto, la cantidad total Q que se busca está dada en forma aproximada por N

1H

N

1I  IH

. TI / T IH

LITROS 

SECCIÓN 6.1

Aproximaciones por sumas de Riemann

417

Reconocemos que la suma de la derecha es una suma de Riemann, y —lo más importante— observamos que es la suma de Riemann para la función f (t)  50 − t. Así concluimos que N



1 H L¤M

N!1

. TI

X

XI

X

FIGURA 6.1.4 Barra de 20 cm de largo del ejemplo 2.

X

. T/ DT 

IH

 H T T   $X

TH



H 

LITROS :

Z



EJEMPLO 2 La figura 6.1.4 muestra una barra delgada de 20 cm de largo. Su densidad (lineal) en el punto x es 15 + 2x gramos de masa por centímetro de longitud de la barra (g/cm). La densidad de la barra varía de 15 g/cm en el extremo izquierdo x  0 a 55 g/cm en el extremo derecho x  20. Encuentre la masa total M de la barra.

Solución Piense en una subdivisión [0, 20] en n subdivisiones de longitud x  20yn cada una. La figura 6.1.4 muestra un trozo pequeño de la barra que corresponde al i-ésimo subintervalo típico [xi−1, xi ]. Si XI es, digamos, el punto medio de [xi−1, xi ], entonces la masa Mi de este pequeño trozo se obtiene multiplicando su densidad en gramos por centímetro por su longitud en centímetros: . C XI /

GRAMOS
T X CENT¤METROSU: CENT¤METRO

%STOES -I  . C XI / X

GRAMOS 

Por lo tanto, la masa total M de la barra completa está dada aproximadamente por M=

n 

Mi ≈

i=1

n  (15 + 2xi ) x. i=1

Reconocemos la suma de Riemann en el lado derecho, como en el ejemplo 1, aunque ahora para la función f (x)  15 + 2x en el intervalo [0, 20]. Así, podemos concluir que N



- H L¤M

N!1

. C XI

XH

H X C X 

 

. C X/ D X 

IH

H 

G :

Z

La clave para establecer una fórmula de integral como en los ejemplos 1 y 2 es reconocer la integral definida que corresponde a una aproximación de la suma de Riemann dada para la cantidad que se quiere calcular. EJEMPLO 3

Calcule Q si N

XI EXP XI

1 H L¤M

N!1

X;

IH

donde x0, x1, x2, . . . , xn son los puntos terminales de una partición del intervalo [1, 2] en n subintervalos, todos con la misma longitud x  1yn.

Solución Reconocemos la suma dada como una suma de Riemann (con XI  xi ) para la integral de f (x)  2x exp(−x 2)  XEX . Por lo que  2   2 2 2 2xe−x d x = −e−x = −e−4 + e−1 ≈ 0.3496. Q= Z 1

1

418 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Distancia y velocidad Considere una partícula que viaja a lo largo del eje x con posición x (t) y velocidad v  x (t) en el tiempo t. Suponga que inicia su movimiento en el tiempo t  a y termina en el tiempo t  b. Si integramos la velocidad, obtenemos  b  b  b v(t) dt = x  (t) dt = x(t) = x(b) − x(a)

F T

S°

B

A

T DT

a

TB T

TA

(usando el teorema fundamental del cálculo). Como la partícula tiene una posición inicial x (a) y una posición final x (b), observamos que la integral

FIGURA 6.1.5 La ecuación (11) significa que la distancia (neta) recorrida es igual al área (con signo) bajo la curva de velocidad.

B

SH

TA

 TB T

G.T/ DT H X.B/ X.A/



A

XgT 

a

a

FIGURA 6.1.6 Curva de velocidad de una partícula que primero viaja hacia adelante, después hacia atrás y luego otra vez hacia adelante.

de su velocidad proporciona el desplazamiento o distancia neta s recorrida por la partícula. (Vea la figura 6.1.5.) La función velocidad v(t)  x (t) tiene tanto valores positivos como negativos, como se ve en la figura 6.1.6. De este modo, las distancias subsecuentes (v > 0) y las distancias precedentes (v < 0) se cancelan parcial o incluso totalmente cuando calculamos la distancia neta en la ecuación (11). Pero suponga que queremos calcular la distancia total S recorrida, independiente de la dirección. Podemos empezar con una partición de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud t  (b − a)yn y establecer la aproximación n  S≈ |v(ti )| t. (12) i=1

Aquí |v(TI )| es la rapidez —independiente de la dirección— de la partícula en un punto típico TI del i-ésimo subintervalo [ti−1, ti ], entonces |v(TI )|t es la distancia aproximada viajada durante ese intervalo de tiempo. La aproximación en (12) es una suma de Riemann para la integral que proporciona la distancia total recorrida: B

3H

jG.T/j DT



A

En resumen, se tiene que: • La distancia neta s recorrida por la partícula es la integral de su velocidad v (con signo), mientras que • La distancia total S recorrida por la partícula es la integral de su rapidez (sin signo) |v| de la partícula. La integral en (13) se calcula integrando por separado los subintervalos donde v es positiva y aquéllos donde v es negativa y luego sumando los valores absolutos de los resultados. Éste es justo el mismo procedimiento usado para encontrar el área entre la gráfica de una función y el eje x cuando la función tenía valores positivos y negativos. 

EJEMPLO 4 Suponga que la velocidad de una partícula en movimiento es v(t)  t 2 − 11t + 24 (ft/s). Encuentre tanto la distancia neta s como la distancia total S que recorre entre los tiempos t  0 y t  10 (s).

   V 

VT T

 







 





T







FIGURA 6.1.7 Gráfica de la función de velocidad del ejemplo 4.

Solución Para la distancia neta, usamos la ecuación (11) y encontramos que  10  10 1 3 11 2 2 (t − 11t + 24) dt = t − t + 24t s= 3 2 0 0 1000 1100 70 = − + 240 = (ft). 3 2 3 Para encontrar la distancia total recorrida, observamos en la gráfica de v(t) de la figura ≤ t < 3, v(t) < 0 si 6.1.7 [o de la factorización v(t)  (t − 3)(t − 8)] que v(t) > 0 si 0 −

SECCIÓN 6.1

Aproximaciones por sumas de Riemann

419

≤ 10. Por la ecuación (13), debemos integrar el valor 3 < t < 8, y v(t) > 0 si 8 < t − absoluto |v(t)| graficado en la figura 6.1.8. Entonces 3 1 3 11 2 63 t − t + 24t = , (t − 11t + 24) dt = 3 2 2 0 0  8  8 1 11 125 , (−t 2 + 11t − 24) dt = − t 3 + t 2 − 24t = 3 2 6 3 3 



2

  

\V\\T T\

V  

y









10







3



1 3 11 2 t − t + 24t (t − 11t + 24) dt = 3 2

10 =

2







T







FIGURA 6.1.8 Gráfica de la función valor absoluto de la velocidad en el ejemplo 4.

8

8

38 . 3

125 38 De este modo, la partícula recorre 63 2 ft hacia adelante, 6 ft hacia atrás y finalmente 3 ft 63 125 38 hacia adelante, con una distancia total recorrida S = 2 + 6 + 3 = 65 ft. Z

Flujo de fluidos en tuberías circulares R

X

X

,

FIGURA 6.1.9 Flujo del fluido en una tubería de radio r y longitud L.

Considere el flujo de un fluido en una tubería circular de radio r. Debido a la fricción con las paredes de la tubería, la velocidad v del fluido tiende a ser mayor en el centro de la tubería y disminuir con la distancia x del centro (figura 6.1.9). Por lo tanto, se escribe v(x) para la velocidad (en unidades como cm/s) a la distancia x. Se quiere calcular la tasa de flujo total F (en unidades tales como cm3/s). La figura 6.1.10 muestra la sección transversal de la tubería circular de radio r dividida en anillos anulares con forma de rondanas, círculos concéntricos cuyos radios son los puntos x0  0, x1, x2 , . . . , xn  r de una subdivisión del intervalo en x [0, r] en n subintervalos todos con la misma longitud x  ryn. El i-ésimo anillo anular corresponde al i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] y está limitado por los círculos de radio xi−1 y xi. Para calcular su área Ai , pensemos en cortar este anillo y estirarlo en una franja de ancho x, como se muestra en la figura 6.1.11. Las longitudes del borde superior e inferior de esta franja son simplemente las circunferencias 2π xi−1 y 2π xi de los dos círculos que limitan el anillo original. Si x i = 12 (xi−1 + xi ) denota el “radio promedio” de este anillo anular —de manera que 2π x i es la longitud promedio de la tira estirada— se deduce que A i ≈ 2π x i x.

(14)

Si se piensa que la velocidad promedio del fluido fluyendo a través del i-ésimo anillo anular se aproxima con precisión por v(x i ), entonces el volumen que fluye a través de él en una unidad de tiempo es aproximadamente una concha cilíndrica con área de la base Ai y altura v(x i ). Por lo que la tasa de flujo Fi del fluido a través del anillo anular se puede aproximar por Fi ≈ v(x i ) A i ≈ 2π x i v(x i ) x. $!I

R /

X PXI  XI XI 

PXI $X

FIGURA 6.1.10 Sección transversal circular dividida en anillos anulares.

FIGURA 6.1.11 Un anillo anular “estirado”.

420

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Sumando los flujos a través de los n anillos anulares que forman la sección transversal completa de la tubería, se obtiene la aproximación n n   F= Fi ≈ 2π x i v(x i ) x. i=1

i=1

Por último, entendemos esta aproximación como una suma de Riemann (con xi = x i ) para la integral  r F= 2π xv(x) d x, (15) 0

lo que nos proporciona la tasa de flujo total F de fluido dentro de la tubería. EJEMPLO 5 Si la velocidad del flujo de fluido es exactamente 1 en cada punto de la tubería, entonces el volumen de fluido que corre a través de una sección transversal circular de radio r y área A en 1 segundo es un cilindro de volumen A · 1  A. Entonces F  A en este caso. Sustituyendo v(x) ≡ 1 en la ecuación (15) se tiene  r r  A= 2π x d x = π x 2 = πr 2 . 0

0

Como la ecuación (15) se obtuvo usando únicamente la fórmula C  2π r para la circunferencia del círculo —y no su fórmula del área— ésta es una derivación nueva e Z independiente de la fórmula A  π r 2 para el área de un círculo de radio r. EJEMPLO 6 De acuerdo con la ley de flujo laminar —descubierta por el médico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840— la función de la velocidad para un flujo de fluido en una tubería de longitud L y radio r es P (r 2 − x 2 ), (16) v(x) = 4ν L donde ν es la viscosidad del fluido y P es la diferencia de presión en los dos extremos del tubo. Observe que esta fórmula da v  0 en la pared del tubo, donde x  r. Sustituyendo esta función de velocidad en la ecuación (15) se obtiene  r P (r 2 − x 2 ) d x 2π x · F= 4ν L 0  r  πP r 2 x4 π P r 2x2 3 = − (r x − x ) d x = ; 2ν L 0 2ν L 2 4 x=0 π Pr 4 π P r4 · = . (17) 2ν L 4 8ν L La fórmula en (17) se conoce como la ley de Poiseuille para flujo de fluido laminar en una tubería circular. Con una tasa dada de PyL de la diferencia de presión por longitud, la tasa√de flujo es proporcional a la cuarta potencia del radio r del tubo. Por ejemplo, Z como 4 2 ≈ 1.19, un aumento de 20% en r más que duplica la tasa de flujo F. F=

Tasas de flujo y salida cardiaca La determinación de las tasas de flujo en tuberías o arroyos tiene importantes aplicaciones que abarcan la ingeniería, estudios ambientales y procedimientos médicos. Una técnica común requiere la inyección de una cantidad A conocida de colorante u otro marcador en el flujo en el tiempo t  0, seguirlo con mediciones en intervalos periódicos de la concentración del colorante mediante una sonda en un punto fijo corriente abajo. Suponga que todo el colorante ha pasado la sonda en el tiempo t  T. Subdivida el intervalo [0, T ] en n intervalos de tiempo, todos de la misma duración t  Tyn. Si la concentración c (t) del colorante en la corriente se mide en los tiempos t1, t2, . . . , tn , entonces se puede estimar la cantidad de colorante que pasa por la sonda durante el subintervalo de tiempo [ti−1, ti ] . Si la tasa (desconocida) de flujo constante es F, entonces

SECCIÓN 6.1

Aproximaciones por sumas de Riemann

421

el volumen de fluido Vi que pasa por la sonda durante el subintervalo de tiempo es Vi  Ft. Puede entenderlo mejor si piensa en las unidades típicas: &

CM SEGUNDO

 . T SEGUNDOS/ H

6I CM :

La cantidad Ai (en mg, por ejemplo) del colorante en este volumen de fluido está dada por cantidad (mg)  concentración

MG CM

 volumen (cm 3).

Si usamos la concentración medida c (ti ) como la concentración aproximada en el intervalo [ti−1, ti ], se obtiene A i ≈ c(ti ) Vi = c(ti ) · F t = F · c(ti ) t.

Como la cantidad total A de colorante inyectado pasa por la sonda en el tiempo t  T, sumamos las cantidades individuales Ai para i  1, 2, . . . , n y obtenemos A=

n 

A i ≈ F ·

i=1

n 

c(ti ) t

i=1

(usando el hecho de que la tasa de flujo F es constante). Por último, se reconoce una suma de Riemann en la derecha y se concluye que  T A=F c(t) dt. 0

Así, la tasa del flujo antes desconocida está dada por A

F=

T

,

(18)

c(t) dt 0

en términos de la cantidad conocida A del colorante inyectado y la concentración c (t) que se midió en los tiempos t  t1, t2, . . . , tn. Por lo tanto, estimamos F sustituyendo en la ecuación (18) la aproximación de la suma de Riemann  T n  c(t) dt ≈ c(ti ) t 0

T

C.T/

T

C.T/













































FIGURA 6.1.12 Datos de la concentración de colorante del ejemplo 7.

i=1

o por la aproximación de Simpson de la integral. En medicina, el término salida cardiaca se utiliza para describir la tasa de flujo de sangre bombeada por el corazón a través de la aorta. Una salida cardiaca típica para un hombre de 70 kg permanece en el rango de 5 a 7 litros por minuto (L/min). Un marcador colorante se inyecta en el corazón (o en una vena que va al corazón) y se mide la concentración mediante lecturas en una sonda colocada en la aorta a la salida del corazón. EJEMPLO 7 La tabla en la figura 6.1.12 contiene las lecturas de la concentración (en mg/L) tomadas con una sonda en la aorta a intervalos de 2 segundos después de inyectar 6 mg de colorante en el corazón del paciente que se está tratando. Aproxime la salida cardiaca del paciente.

Solución Se tiene A  6, T  20 y t  2, con t en segundos. Con una aproximación de Simpson se tiene  20 2 c(t) dt ≈ [0 + 4 · (1.93) + 2 · (8.17) + 4 · (9.00) + 2 · (6.34) + 4 · (3.65) 3 0 + 2 · (1.84) + 4 · (0.88) + 2 · (0.39) + 4 · (0.15) + 0] ≈ 63.95.

422

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Por consiguiente, la fórmula en (18) proporciona A 6 F =  20 ≈ 0.0938 ≈ 63.95 c(t) dt

(L/s),

0

Z

aproximadamente 5.63 L/min, para la salida cardiaca del paciente.

6.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si

n 

f (xi ) x

i=1

es una suma de Riemann para la función continua f en el intervalo [a, b], entonces esta suma tiende a  b

f (x) d x

a

cuando x → 0. 2. Si la función f es continua y positiva en [a, b] y R es una región entre la gráfica ≤ x ≤ b, entonces el área de R está definida como de f y el eje x para a − −  b f (x) d x. A= a

3. En el ejemplo 1, una subdivisión del intervalo de tiempo [0, 30] en n subintervalos, todos de la misma longitud, implica que cada uno de esos subintervalos tiene longitud t  30yn. 4. Continuando con el ejemplo 1, si TI es un punto en el i-ésimo subintervalo [ti−1, ti ], entonces la tasa de flujo de agua durante este intervalo es aproximadamente 50 − TI litros por segundo. 5. Continuando con el ejemplo 1, la cantidad de agua Qi que fluye al tanque durante el intervalo de tiempo [ti−1, ti ] es aproximadamente (50 − TI ) t. 6. Continuando con el ejemplo 1, la cantidad total de agua que fluye al tanque del tiempo t  0 al tiempo t  30 es aproximadamente n  (50 − ti ) t. i=1

7. Concluyendo el ejemplo 1, la cantidad total de agua que fluyó al tanque del tiempo t  0 al tiempo t 30 es exactamente 

1H 

 . T/ DT H T T  



H 

LITROS 



8. La fórmula A  π r 2 para el área de un círculo de radio r se puede derivar de la fórmula para su circunferencia C  2π r. 9. Si una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t) en el tiempo t, entonces la distancia neta recorrida desde el tiempo t  a hasta el tiempo t  b > a es  b s= v(t) dt. a

10. Si una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t) en el tiempo t, entonces la distancia total recorrida desde el tiempo t  a hasta el tiempo t  b > a es  b |v(t)| dt. a

SECCIÓN 6.1

Aproximaciones por sumas de Riemann

423

6.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa en sus palabras —con un mínimo de palabrería de libro de cálculo y un máximo de comprensión personal— el proceso para utilizar la aproximación con sumas para establecer una fórmula de integral para usarla al calcular una cantidad especificada. 2. Continúe con el proceso descrito en el punto 1 para desarrollar una fórmula de integral que corresponda a una aplicación que se encuentra en un libro de ciencia, ingeniería, economía o medicina. (El desarrollo que puede encontrar en ellos puede ser superficial; hágalo con más cuidado, como en esta sección.)

6.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, XI denota un punto seleccionado y mi el punto medio del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] de una partición del intervalo indicado [a, b] en n subintervalos cada uno de longitud x. Evalúe el límite dado calculando el valor de la integral relacionada apropiada. N

 L¤M

N!1

XI

A H  B H 

N IH

N!1

A H  B H 

.SEN  XI

X

A H  B H 

IH N

.XI / 

 L¤M

N!1

X

A H  B H 

IH N

 L¤M

N!1

X

A H  B H 

IH N

 L¤M

N!1

.XI / C 

XI

IH

 XI

X

A H  B H 

.X/ H X. X/ X  A H  B H  .X/ H  SEN  En los problemas 19 a 30, calcule tanto la distancia neta como la distancia total recorrida entre el tiempo t  a y el tiempo t  b por una partícula que se mueve en una línea con la función de velocidad dada v  f (t).  G H  A H  B H   G H T C 

A H  B H 

 G H T 

A H  B H 

 G H jT j

A H  B H 



 G H T 

N

EM I

 L¤M

N!1

X

A H  B H 

 G H T

IH N

 L¤M

N!1

M I C 

 L¤M

N!1

IH N

A H  B H 

X 

A H  B H 

 XI F .XI

X

 G H T T C 

A H  B H 

IH N

N!1

T F .XI /U

X A H  B H 

IH N

 C T F .XI /U

 L¤M

N!1

X

A H  B H 

IH N

M I  C T F .M I /U

 L¤M

N!1

IH

X

   A H  B H  A H  B H  A H  B H



N

 L¤M

 G H SEN T

A H : B H 

 G H SEN T C COS T

X A H  B H 

La notación en los problemas 11 a 14 es la misma que para los problemas 1 a 10. Exprese el límite dado como una integral que contiene a la función f . N!1

  T

 G H COS T

IH

 L¤M

A H  B H 

 G H COS T

MI  MI C  M I EM I

 L¤M

N!1

X

IH N

.X/ H  X

 A H  B H 

X  .XI /

N

 L¤M

.X/ H  X

 A H  B H   A H  B H 

IH

 L¤M

N!1

X

En los problemas 15 a 18, una barra que coincide con el intervalo [a, b] en el eje x (unidades en centímetros), tiene la función de densidad ρ (x) especificada, que proporciona su densidad (en gramos por centímetro) en el punto x. Encuentre la masa M de la barra.

A H  B H 



A H  B H  A H  B H 



 G H T T C T

A H  B H 

En los problemas 31 a 34, utilice una calculadora o una computadora para aproximar tanto la distancia neta como la distancia total recorrida por una partícula con la función de velocidad v(t) durante el intervalo de tiempo [a, b] indicado. Comience graficando v  v(t) para estimar los intervalos donde v(t) > 0 y donde v(t) < 0. Después, puede integrar numéricamente si su calculadora o computadora tiene esa posibilidad.  G.T/ H T  T C  A H  B H   G.T/ H T  T  C 

A H  B H 

 G.T/ H T SEN T COS T A H  B H  p  G.T/ H SEN T C T COS T A H  B H 

424

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

35. Suponga que el disco circular de la figura 6.1.10 tiene una densidad de masa de ρ (x) (en gramos por centímetro cuadrado) a una distancia x desde el origen. El anillo angular de las figuras 6.1.10 y 6.1.11 tiene una densidad aproximada de ρ (XI ) en cada punto. Concluya que la masa M del disco de radio r está dada por  r M= 2π xρ(x) d x. 0

En los problemas 36 y 37, utilice los resultados del problema 35 para encontrar la masa de un disco circular con radio r y función de densidad ρ dados. 36. r = 10, ρ(x) = x 37. r = 5, ρ(x) = 25 − x 2 38. Si se lanza una partícula directamente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 160 ft/s, entonces su velocidad después de t segundos es v  −32t + 160 ft por segundo y alcanza su máxima altura cuando t  5 s ( y v  0). Utilice la ecuación (11) para calcular su altura máxima. Verifique su respuesta con los métodos de la sección 5.2. 39. Suponga que la tasa de flujo de agua que entra a un tanque, inicialmente vacío, es 100 − 3t galones por minuto en el tiempo t (en minutos). ¿Cuánta agua fluye al tanque durante el intervalo de t  10 a t  20 min? 40. Suponga que la tasa de nacimientos en Calgary, t años después de 1970, era 16 + t miles de nacimientos por año. Establezca y evalúe la integral apropiada para calcular el número total de nacimientos que ocurrieron entre 1970 y 1990. 41. Suponga que la ciudad del problema 40 tiene una tasa de defunciones de 5 +  t miles por año t años después de 1970. Si la población de la ciudad en 1970 era 375,000 habitantes, ¿cuál era su población en 1990? Considere tanto nacimientos como fallecimientos. 42. El promedio de lluvia diaria en Sioux City es r (t) pulgadas ≤ por día en el tiempo t (en días), 0 ≤ − t − 365. Comience con una partición del intervalo [0, 365] y obtenga la fórmula  365 R= r (t) dt 0

para el promedio total de lluvia anual R. 43. Considere que el promedio de lluvia diaria del problema 46 es ahora 2π t , r (t) = a − b cos 365 donde a y b son constantes que debe determinar. Si el valor de r (t) el 1 de enero (t  0) es 0.1 in y el valor de r (t) en julio 1 (t  182.5) es 0.3 in, ¿cuál es el promedio total de lluvia en esa localidad? 44. Suponga que la tasa de flujo de agua que entra a un tanque es r (t) litros por minuto en el tiempo t (en minutos). Use el método del ejemplo 1 para obtener la fórmula  b Q= r (t) dt a

para la cantidad de agua que fluye al tanque entre los tiempos t  a y t  b. 45. Evalúe p p p p    C  C   C


C  N L¤M N!1 N = para encontrar una función f tal que el límite es igual a  1 f (x) d x. 0

46. En este problema se debe obtener la fórmula para el volumen V  π r 3 para una pelota esférica de radio r, suponiendo que conoce la fórmula del área de la superficie S  4π r 2 de una esfera de radio r. Suponga que se deduce que el volumen de una capa esférica delgada de radio r y grosor t (figura 6.1.13) está dada aproximadamente por V ≈ S · t  4π r 2t. Divida la pelota esférica en capas (cascarones o cáscaras) concéntricas esféricas, en forma similar a los anillos anulares concéntricos de la figura 6.1.10. Interprete la suma de los volúmenes de estas capas esféricas como una suma de Riemann. T

R

FIGURA 6.1.13 Una capa esférica delgada de espesor t y radio interior r (problema 46).

47. Una pelota esférica tiene radio de 1 ft y, a una distancia x de su centro, tiene densidad de 100(1 + x) lb/ft 3. Utilice las sumas de Riemann para encontrar una función f (x) tal que el peso de la pelota es  1 W = f (x) d x 0

(en libras). Posteriormente calcule W evaluando la integral. [Sugerencia: dada una partición 0  x0 < x1 < x2 < . . . < xn  1 de [0, 1], estime el peso Wi de la capa esférica ≤ xi−1 ≤ − x − xi de la pelota.] 48. Encuentre la tasa de flujo F en un tubo circular de radio r si la velocidad del fluido a una distancia x del centro del tubo está dada por πx . v(x) = k cos 2r Puede utilizar la fórmula U COS U DU H U SEN U C COS U C # 49. Poiseuille descubrió su ley del flujo de fluidos mientras realizaba investigaciones del flujo de la sangre en venas y arterias del cuerpo humano. Con una tasa dada de flujo fija F a través de un vaso sanguíneo con una longitud específica L, la ley de Poiseuille en la ecuación (17) muestra que una disminución en el radio r requiere un incremento en la presión de la sangre P. Es por ello que la hipertensión —alta presión sanguínea— suele ser resultado de la constricción de las arterias. Construya una tabla en la cual la primera columna proporcione el porcentaje de disminución del radio de una arteria (en incrementos de 5% entre 0% y 25%) y la segunda columna muestre el porcentaje de incremento resultante de la presión sanguínea. 50. Encuentre la salida cardiaca (en L/min) si una inyección de 4 mg de colorante en el corazón del paciente proporciona una función de la concentración en la aorta c (t)  40te−t ≤ para 0 ≤ (segundos). Se puede utilizar la fórmula − t − 10  ueu du = (u − 1)eu + C.

SECCIÓN 6.2

T

C.T/

T

C.T/













































425

52. La figura 6.1.15 muestra la gráfica de la función de concentración c (t) registrada por una sonda en la aorta, conectada a una graficadora, después de inyectar 5.5 mg de colorante al corazón de un paciente en cirugía. Aproxime la salida cardiaca del paciente.

  C T MG,

51. La tabla en la figura 6.1.14 muestra las lecturas de la concentración (en mg/L) tomadas por una sonda en la aorta en intervalos de 1 segundo después de inyectar 4.5 mg de colorante al corazón del paciente en cirugía. Aproxime la salida cardiaca del paciente.

Volúmenes con el método de secciones transversales

    









TS

FIGURA 6.1.15 Gráfica de la concentración c (t) del problema 52.

FIGURA 6.1.14 Datos de la concentración del colorante para el problema 51.

6.2 VOLÚMENES CON EL MÉTODO DE SECCIONES TRANSVERSALES Ahora usaremos integrales para calcular los volúmenes de ciertos sólidos o regiones en el espacio. Comenzamos con la idea intuitiva del volumen como una medida de los sólidos, en forma análoga al área como medida de una región plana. En particular, se supone que cualquier región sólida acotada R con una expresión sencilla tiene un volumen medido por un número no negativo v(R) tal que

2

• Si R consiste en dos piezas no traslapadas, entonces v(R) es la suma de sus volúmenes; • Dos sólidos diferentes tienen el mismo volumen si tienen el mismo tamaño y la misma forma.

2X

X

A

X

B

FIGURA 6.2.1 R x es la sección transversal de R en el plano perpendicular al eje x en x.

El método de la sección transversal es una forma de calcular el volumen de un sólido que está descrito en términos de secciones transversales (o capas) en planos perpendiculares a una línea de referencia fija (como los ejes x o y). Por ejemplo, la figura 6.2.1 muestra un sólido R con volumen V  v(R) que se encuentra junto al intervalo [a, b] en el eje x . Esto es, un plano perpendicular al eje x interseca al sólido si y sólo si este plano encuentra al eje x en un punto de [a, b]. Sea R x la intersección de R con el plano perpendicular que encuentra al eje x en el punto x de [a, b]. Se llama R x a la sección transversal (plana) del sólido en x.

Volúmenes de cilindros La situación es en especial sencilla si todas las secciones transversales de R son congruentes entre sí y son traslaciones paralelas una de la otra. En este caso R se llama cilindro con bases Ra y Rb y altura h  b − a. Si Ra y Rb son discos circulares, entonces R es el cilindro circular común. Recordemos que la fórmula para el volumen de un cilindro circular con altura h, base circular con radio r y área A  π r 2 es V  π r 2 h  A h. La figura 6.2.2 muestra varios cilindros (generales) con bases de varias formas. El método de la sección transversal está basado en el hecho de que el volumen V para cualquier cilindro —circular o no— es igual a la altura del cilindro por el área A de su base. V  Ah

(volumen de un cilindro).

(1)

426

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral ¬REA!

¬REA!

¬REA!

H

H

H

FIGURA 6.2.2 Cualquier cilindro con altura h y área de su base A tiene volumen V  Ah.

Volúmenes más generales El volumen de un sólido más general, como el de la figura 6.2.1, se puede aproximar utilizando cilindros. Para cada x en [a, b], sea A(x) el área de la sección transversal Rx del sólido R: A(x)  área (R x).

(2)

Supondremos que la forma de R es lo suficientemente sencilla para que la función de área de la sección transversal A sea continua ( y por lo tanto integrable). Para establecer una fórmula de integral para el volumen V  v(R), iniciamos con la partición de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud x  (b − a)yn. Sea Ri el trozo o la rebanada del sólido R localizada en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] (figura 6.2.3). Si se denota por Vi  v(Ri ) al volumen de esta i-ésima rebanada, entonces n  V = Vi . i=1

Para aproximar Vi , se selecciona un punto típico XI en [xi−1, xi ] y se considera al cilindro Ci cuya altura es x y cuya base es la sección transversal 2XI de R en XI . La figura 6.2.4 sugiere que si x es pequeña, entonces v(Ci) es una buena aproximación de Vi  v(Ri ): Vi ≈ v(Ci)  área (Rxi ) · x  A( XI ) x, una consecuencia de la ecuación (1) con A  A( XI ) y h  x. Posteriormente, se suman los volúmenes de estas aproximaciones cilíndricas para i  1, 2, 3, . . . , n. Se encuentra que n n   V = Vi ≈ A(xi ) x. i=1

i=1

Se reconoce  b la suma aproximada del lado derecho como una suma de Riemann que tiende a a A(x) d x cuando n → +∞. Esto justifica la siguiente definición del volumen de un sólido R en términos del área de su sección transversal A(x). y

y Ri

Ci

R

R

$x a

xi 

$x xi

b

x

FIGURA 6.2.3 Los planos a través de los puntos de partición x0, x1, x2, . . . , xn dividen el sólido R en capas R1, R2, . . . , Rn.

a

xi  xi( xi

b

x

FIGURA 6.2.4 La rebanada Ri se aproxima mediante el cilindro Ci con volumen A(X I ) x.

SECCIÓN 6.2

Volúmenes con el método de secciones transversales

427

DEFINICIÓN Volúmenes por secciones transversales Si un sólido R está situado al lado del intervalo [a, b] en el eje x y tiene una función de área de la sección transversal A(x) continua, entonces su volumen V  v(R) es B

6 H

!.X/ D X:



A

!X

B

La ecuación (3) se conoce como el principio de Cavalieri, en honor del matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), quien en forma sistemática explotó el hecho de que el volumen de un sólido se determina por las áreas de sus secciones transversales perpendiculares a una recta de referencia dada.

B

S

X S

X

XH

X

A

S

X

B X

H B

FIGURA 6.2.5 Pirámide de base cuadrada del problema 1.

EJEMPLO 1 La figura 6.2.5a) muestra una pirámide de base cuadrada orientada de manera que su altura h corresponde al intervalo [0, h] en el eje x. Su base es un cuadrado b por b y cada sección transversal perpendicular al eje x es también un cuadrado. Para encontrar el área de las secciones transversales s por s en x, se igualan las razones de alto a largo en los triángulos semejantes de la figura 6.2.5b): B B S H ; ENTONCES S H X: X H H 0ORLOTANTO B !.X/ H S  H  X  ; H y la ecuación (3) —con [0, h] como intervalo de integración— proporcionan x=h  2  h  h 2 b x3 1 b 2 V = A(x) d x = x dx = 2 · = b2 h. 2 h 3 x=0 3 0 0 h Donde A  b 2 denota el área de la base. El resultado toma la forma V   Ah Z

para el volumen de la pirámide.

Secciones transversales perpendiculares al eje y y d

y

En el caso de un sólido R localizado al lado del intervalo [c, d ] en el eje y, denotamos por A( y) el área de la sección transversal Ry del sólido en el plano perpendicular al eje y en el punto y de [c, d ] (figura 6.2.6). Un análisis similar, comenzando con la partición de [c, d ] proporciona la fórmula

3ECCIØNª TRANSVERSALªRy CONªÈREAªAy

D

R

6 H

!.Y/ DY



C

c x

FIGURA 6.2.6 A( y) es el área de la sección transversal Ry en el plano perpendicular al eje y en el punto y.

Sólidos de revolución Un caso especialmente importante de la ecuación (3) proporciona el volumen de un sólido de revolución. Por ejemplo, considere el sólido R que se obtiene al rotar alrede≥ 0. dor del eje x la región bajo la gráfica de y  f (x) en el intervalo [a, b], donde f (x) − Esta región y el sólido resultante se muestran en la figura 6.2.7 Cómo el sólido R se obtiene por revolución, cada sección transversal de R en x es un disco circular de radio f (x). La función del área de la sección transversal es entonces A(x)  π y 2  π [ f (x)] 2, por lo que la ecuación (3) lleva a B

6 H A

B

 Y D X H

 T F .X/U D X

A

para el volumen de un sólido de revolución alrededor del eje x.



428

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y

Y

A

FX X B

YFX

X

A

X

B

X

!X PYP;FX =

A

B

FIGURA 6.2.7 a) Una región para la cual se puede determinar el volumen de un b) sólido de revolución alrededor del eje x.

En la expresión π y 2d x, la diferencial d x indica que la variable independiente es x. Debemos expresar la variable dependiente y en términos de x para poder realizar la integración indicada. NOTA

EJEMPLO 2 La figura 6.2.8 muestra la región que se encuentra bajo la parábola y 2  x y arriba del eje x en el intervalo [0, 2]. Encuentre el volumen del paraboloide sólido (figura 6.2.9) que se obtiene al rotar esta región alrededor del eje x. Y

Y Y 

XY

X

Y

DX



X

FIGURA 6.2.8 Región parabólica del ejemplo 2.

FIGURA 6.2.9 Paraboloide sólido del ejemplo 2.

Solución Como y 2  x en la parábola, la función del área de la sección transversal de la ecuación (5) dada en términos de x es A(x)  π y 2  π x. Por lo que de inmediato la integración proporciona  2 2  V = π x d x = 12 π x 2 = 2π. 0

0

Z

EJEMPLO 3 Use el método de las secciones transversales para verificar la fórmula conocida V   π R 3 del volumen de una esfera de radio R.

Solución Consideremos la esfera como un sólido de revolución que se obtiene girando la región semicircular plana que aparece en la figura 6.2.10 alrededor del eje x. Ésta es la región acotada arriba por el semicírculo y = R 2 − x 2 , −R  x  R y abajo por el intervalo [−R, R] del eje x. Para utilizar la ecuación (5) tomamos F .X/ H

2 X ;

A H 2;

Y B H 2:

SECCIÓN 6.2

Volúmenes con el método de secciones transversales

429

Y

Y Y

Y 2 X

X

DX

DX

X

B

A

FIGURA 6.2.10 a) Una región semicircular que rotamos b) para generar la esfera (ejemplo 3). y d

Esto proporciona

y

 V =

x = gy

R

−R

2

π R2 − x 2 d x = π

 R = π R 2 x − 13 x 3 = 43 π R 3 .

c

FIGURA 6.2.11 Una región localizada entre el eje y y la curva x  g ( y), c ≤ y ≤ d, se rota alrededor − − del eje y.

r r, h

 TG.Y/U DY



C

En la expresión π x 2 d y, la diferencial d y indica que la variable independiente es y. Así, debemos expresar la variable dependiente x en términos de y antes de integrar. NOTA

FIGURA 6.2.12 Generación de un cono por rotación (ejemplo 4).

R

Z

(compárela con (5)) para el volumen de un sólido de revolución alrededor del eje y. x

Y

D

 X  DY H

C

dy ry h

(R 2 − x 2 ) d x

La figura 6.2.11 muestra un sólido de revolución alrededor del eje y. La región que rota ≤ y ≤ d (así como por las rectas y  c y está acotada por el eje y y la curva x  g ( y), c − − y  d ). En este caso, la sección transversal circular horizontal tiene radio x y por lo tanto el área de la sección transversal en y es π x 2, donde x  g ( y). La función de área de la sección transversal es A( y)  π [ g ( y)] 2. Con esto se obtiene la fórmula D

x

−R

Revolución alrededor del eje y

6 H h

R

−R

x

y



EJEMPLO 4 Use el método de la sección transversal para verificar la fórmula conocida del volumen de un cono circular recto V   π r 2h con base de radio r y altura h.

R H

Solución La figura 6.2.12 describe el cono como un sólido de revolución obtenido al girar, alrededor del eje y, el triángulo con vértices (0, 0), (0, h) y (r, h). Los triángulos semejantes en la figura 6.2.13 llevan a la ecuación xyy  ryh, por lo que el radio de la sección transversal circular perpendicular al eje y en el punto y es x  r yyh. Entonces la ecuación (6), con g ( y)  r yyh proporciona

X H Y

 V =

b

a

X

FIGURA 6.2.13 Para encontrar el radio x de la sección transversal circular (ejemplo 4).

πr 2 = 2 h

 A(y) dy =

b

 π x 2 dy =

a



h 0

y 2 dy =

h

π

0

ry h

2 dy

1 2 1 πr h = A h, 3 3

donde A  π r 2 es el área de la base del cono.

Z

430

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Revolución de la región entre dos curvas Algunas veces es necesario calcular el volumen de un sólido generado al rotar una región ≥ g (x) ≥ 0 para x en el interplana que se encuentra entre dos curvas. Suponga que f (x) − − valo [a, b] y que el sólido R se genera al girar, alrededor del eje x, la región entre y  f (x) y y  g (x). De este modo, la sección transversal en x es un anillo anular (o rondana) acotada por dos círculos (figura 6.2.14). El anillo tiene un radio interior rint  g (x) y un radio exterior rext  f (x), por lo que la fórmula del área de la sección transversal en x es A(x)  π (rext ) 2 − π(rint ) 2  π [( ysup ) 2 − ( yinf ) 2]  π{[ f (x)] 2 − [g (x)] 2}, donde se escribió ysup  f (x) y yinf  g (x) para las curvas superior e inferior de la región plana. Así, la ecuación (3) lleva a B

6 H

B

 T.YSUP / .YINF / U D X H

A

 T F .X/U TG.X/U D X



A

para el volumen V del sólido. YFX GX FX YGX A

X

B

A

y

B

FIGURA 6.2.14 a) La región entre dos gráficas positivas b) rota alrededor del eje x. Las secciones transversales son anillos anulares.

 ª

≥ g ( y) ≥ 0 para c ≤ y ≤ d, entonces el volumen del En forma similar, si f ( y) − − − − sólido obtenido al girar alrededor del eje y la región entre la curva a la derecha xder  f ( y) y la curva a la izquierda xizq  g ( y) es

yªªx

yªªx D

6 H x

FIGURA 6.2.15 Región plana del ejemplo 5.

 ª yINFx



H

x



D

 T F .Y/U TG.Y/U DY:



C

EJEMPLO 5 Considere el plano que se muestra en la figura 6.2.15, acotado por las curvas y 2  x y y  x 3, las cuales se intersecan en los puntos (0, 0) y (1, 1). Si la región se rota alrededor del eje x (figura 6.2.16), entonces la ecuación (7) con p YSUP H X; YINF H X  ES   p  6 H  X .X  / D X H .X X  / D X

y ySUPª x

C

 T.XDER/ .XIZQ/ U DY H

x

  X 





H

  

para el volumen de revolución. Si la misma región se rota alrededor del eje y (figura 6.2.17), entonces cada sector circular perpendicular al eje y es un anillo anular con radio exterior xder  y 1y 3 y radio interior xizq  y 2. De donde la ecuación (8) proporciona el volumen de revolución generado por esta región como  1  1 

2   π y 1/3 − (y 2 )2 dy = π y 2/3 − y 4 dy V = 0

FIGURA 6.2.16 Revolución alrededor del eje x (ejemplo 5).

   X  

=π



3 5/3 y 5

−

1 1 5 y 5 0

0

=

2 π. 5

Z

SECCIÓN 6.2

Volúmenes con el método de secciones transversales

431

y  ª

xIZQª y

y xDERª y

x

FIGURA 6.2.17 Revolución alrededor del eje y (ejemplo 5).

EJEMPLO 6 Suponga que la región plana del ejemplo 5 (figura 6.2.15) rota alrededor de la línea vertical x  −1 (figura 6.2.18). Cada sección transversal del sólido resultante es un anillo anular con radio exterior rext  1 + xder  1 + y 1y 3 y radio interior rint  1 + xizq  1 + y 2. y

xª  rEXTª ªy rINTª ªy

 yª x

 ª yª x

y

x

FIGURA 6.2.18 Anillo anular del ejemplo 6.

El área de esa sección transversal es

2 

A(y) = π 1 + y 1/3 − π(1 + y 2 )2 = π 2y 1/3 + y 2/3 − 2y 2 − y 4 , por lo que el volumen del sólido de revolución resultante es  1 

π 2y 1/3 + y 2/3 − 2y 2 − y 4 dy V = 0

=π



3 4/3 y 2

+ 35 y 5/3 − 23 y 3 − 15 y 5

1 0

=

37 π. 30

Z

EJEMPLO 7 Encuentre el volumen de la cuña que se corta de un cilindro circular con radio unitario y altura unitaria por un plano que pasa por un diámetro de la base del cilindro y por un punto de la circunferencia en la parte superior.

FIGURA 6.2.19 La cuña y el cilindro del ejemplo 7.

Solución El cilindro y la cuña se muestran en la figura 6.2.19. Para formar una cuña como ésta, llene un vaso cilíndrico con sidra y bébalo despacio, inclinando la base mientras bebe, hasta que el fondo del vaso es visible; la sidra que queda forma la cuña. Elegimos como línea de referencia y eje x la recta que pasa por el “borde de la cuña”, el diámetro original de la base del cilindro. Puede verificar con triángulos semejantes que cada sección transversal de la cuña perpendicular al diámetro es un

432

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

triángulo rectángulo isósceles. Uno de esos triángulos se ilustra en la figura 6.2.20. Denotamos por y a la base y altura iguales de este triángulo. Para determinar la función de área de la sección transversal A(x), debemos expresar y en términos de x. La figura 6.2.21 muestra la base circular unitaria del cilindro original. Aplicamos el√teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo en esta figura y encontramos que y = 1 − x 2 . Entonces !.X/ H  Y  H  . X  /; Y

DEMANERAQUELAECUACI˜N PROPORCIONA

X



6 H



!.X/ D X H   

Y

H 

X

FIGURA 6.2.20 Una sección transversal de la cuña; un triángulo isósceles (ejemplo 7).





 X

PORSIMETR¤A

 . 

X  / D X H X  X 

 

H

 

Z

para el volumen de la cuña.

Es un hábito útil verificar la factibilidad de las respuestas cuando es necesario. Por ejemplo, se puede comparar un sólido dado con otro cuyo volumen se conoce. Debido a que el volumen del cilindro original del ejemplo 7 es π, encontramos que la cuña ocupa la fracción

COMENTARIO

 6CU®A H    6CILINDRO 

Y 

!.X/ D X 

X

del volumen del cilindro. Una mirada a la figura 6.2.19 indica que esto es factible. Un error en los cálculos podría haber dado una respuesta poco creíble. FIGURA 6.2.21 Base del cilindro del ejemplo 7.

NOTA HISTÓRICA La cuña del ejemplo 7 tiene una larga historia. Su volumen fue calculado por primera vez en el siglo tercero a.C. por Arquímedes, quien también desarrolló la fórmula para el volumen V   π r 3 para la esfera de radio r. Su trabajo con la cuña se encontró en un manuscrito descubierto en 1906 después de haber estado perdido durante siglos. Arquímedes utilizó el método exhaustivo para volumen, similar al estudiado para las áreas en la sección 5.3. Vea más información en las páginas 73 y 74 de C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979).

6.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El volumen de cualquier cilindro es el producto de su altura y el área de su base. 2. Si el sólido R se localiza al lado del eje x en el intervalo [a, b] y tiene una función de área de la sección transversal A(x), entonces el volumen de R es  b A(x) d x. V = a

≤ x ≤ b y S es la región que se 3. Si f es continua y con valores positivos para a − − encuentra entre la gráfica de f y el eje x para x en [a, b], entonces el volumen generado por la rotación de S alrededor del eje x es  b π [ f (x)]2 d x. V = a

4. Si el sólido R se localiza al lado del eje y en el intervalo [c, d ] y tiene función de área de la sección transversal A( y), entonces el volumen de R es  d V = A(y) dy. c

SECCIÓN 6.2

Volúmenes con el método de secciones transversales

433

≤ y ≤ d y S es la región que 5. Si x  g ( y) es continua y con valores positivos en c − − se encuentra entre la gráfica de g y el eje y para y en [c, d ], el volumen generado por la rotación de S alrededor del eje y es  d π [g(y)]2 dy. V = c

6. En el ejemplo 3 se demostró que el volumen de una esfera de radio r es  π r 3. ≤ g (x) ≤ f (x) para a ≤ x ≤ b y que f y g son continuas en [a, b]. 7. Suponga que 0 − − − − Sea S la región que se encuentra entre las gráficas f y g para x en [a, b]. Entonces el volumen del sólido generado por la rotación de S alrededor del eje x es  b V = π [ f (x) − g(x)]2 d x. a

≤ g ( y) ≤ f ( y) para c ≤ y ≤ d y que f y g son continuas en [c, d ]. 8. Suponga que 0 − − − − Sea S la región que se encuentra entre las gráficas x  f ( y) y x  g ( y) para y en [c, d ]. Entonces el volumen del sólido generado por la rotación de S alrededor del eje y es  d

 π [ f (y)]2 − π [g(y)]2 dy. V = c

9. Las secciones transversales de la cuña del ejemplo 7 perpendiculares al eje y son triángulos isósceles. 10. El volumen de la cuña del ejemplo 7 fue calculado por Arquímedes en el siglo iii a.C.

6.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que las secciones transversales de un sólido perpendicular a dos ejes no paralelos son discos circulares. ¿Es este sólido necesariamente una esfera sólida? 2. Proporcione su propio ejemplo de un sólido cuyo volumen se pueda calcular mediante dos integrales esencialmente diferentes (que surgen de secciones transversales perpendiculares a ejes no paralelos). Demuestre que ambas integrales producen el mismo resultado para este sólido. 3. La pregunta 2 señala la necesidad de una definición para el volumen que no esté basada en secciones transversales perpendiculares a un eje en particular. Formule una definición posible basada en la colección de bloques rectangulares no traslapados que contienen y están contenidos por un sólido. (Consulte la definición de área dada en el análisis de conceptos al final de la sección 5.8.)

6.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 24, encuentre el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.  Y H X  Y H  X H   Y H

p

X Y H  X H 

Y

Y

ELEJEX ELEJEX

 Y H X  Y H  X H  S˜LOELPRIMERCUADRANTE  ELEJEY FIGURA  Y H =X Y H  X H : X H 

ELEJEX FIGURA

X

FIGURA 6.2.22 Problema 3.

X

FIGURA 6.2.23 Problema 4.

434 CAPÍTULO 6

   

Y Y Y Y

Aplicaciones de la integral

H  X EN T; U X H  Y H  ELEJEX H  X  Y H  ELEJEX H X  X H Y   ELEJEX FIGURA H X  Y H X LAL¤NEA X H  FIGURA

Y

En los problemas 25 a 30, encuentre el volumen obtenido al rotar la región R alrededor del eje x. Se pueden usar las identidades trigonométricas COS X H

Y

X

FIGURA 6.2.24 Problema 7.

X

FIGURA 6.2.25 Problema 8.

  Y H p Y H  X H  X H  ELEJEX X  X H Y  X H Y C  ELEJEY  Y H  X  Y H  ELEJEX FIGURA  Y H X X  Y H   X   ELEJEX FIGURA Y

Y

X

FIGURA 6.2.26 Problema 11.

       

X

FIGURA 6.2.27 Problema 12.

 C COS X 

 COS X 

como auxiliares para evaluar algunas de las integrales. 25. R es la región entre la gráfica y  sen x y el eje x para ≤ 0≤ − x − π. 26. R es la región entre la gráfica y  cos ( π x) y el eje x para ≤ −1 ≤ − x − 1. 27. R es la región entre las curvas y  sen x y y  cos x para ≤ 0≤ − x − πy4. 28. R es la región entre x  −πy3 y x  πy3 que está limitada por las curvas y  cos x y y  1y2. 29. R está acotada por la curva y  tan x y las rectas y  0 y x  πy4. 30. R está acotada por la curva y  tan x y las rectas x  0 y y  1. En los problemas 31 a 34, primero utilice una calculadora o computadora para aproximar (gráficamente o de otra manera) los puntos de intersección de las dos curvas dadas. Sea R la región limitada por estas curvas. Integre para aproximar el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región R alrededor del eje x.  Y H X  C  Y H X   Y H X  Y H X C    Y H X Y H COS X  Y H SEN X Y H .X / 35. La región R que se muestra en la figura 6.2.30 está limitada por las parábolas y 2  2(x − 3) y y 2  x. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje x. Y

Y H  X  Y H  ELEJEY Y H E X Y H  X H  X H  ELEJEX Y H  X  Y H  ELEJEY FIGURA Y H  X  Y H  LAL¤NEAVERTICAL X H  Y H X X  Y H   X   LAL¤NEAHORIZONTAL D  Y H E X Y H EX X H  ELEJEX Y H  X H  Y H X   ELEJEY X H  Y  X H  Y H  S˜LOELPRIMERCUADRANTE  ELEJEX FIGURA Y

Y SEN  X H

X

FIGURA 6.2.30 Región del problema 35.

36. Encuentre el volumen del elipsoide generado al rotar alrededor del eje x la región limitada por la elipse con ecuación  x 2  y 2 + =1 a b

Y

(figura 6.2.31). X

X

FIGURA 6.2.28 Problema 15.

   

Y Y Y Y



FIGURA 6.2.29 Problema 20.

Y

Y X   A B X



H X X H Y  LAL¤NEA Y H  H X  Y H  X   LAL¤NEA Y H  H X  X H Y   LAL¤NEA X H  H EX Y H  X H  ELEJE Y H 

FIGURA 6.2.31 Elipse de los problemas 36 y 37.

SECCIÓN 6.2

37. Repita el problema 36, pero rote la región elíptica alrededor del eje y. 38. a) Encuentre el volumen de un sólido no acotado generado al rotar la región no acotada de la figura 6.2.32 alrededor del eje x. Ésta es la región entre la gráfica de y  e−x y el eje x para x ≥ − 1. [Método: calcule el volumen desde x  1 hasta x  b, donde b > 1. Luego encuentre el límite de √ este volumen cuando b → +∞.] b) ¿Qué pasa si y = 1/ x ? Y

Volúmenes con el método de secciones transversales

435

44. Una pirámide tiene altura h y base rectangular con área A. Demuestre que su volumen es V   A h. [Sugerencia: observe que cada sección transversal paralela a la base es un rectángulo.] 45. Repita el problema 44, pero ahora con base triangular con área A. 46. Encuentre el volumen que queda después de perforar un agujero, de radio 3, a través de una esfera sólida de radio 5 (figura 6.2.36).

YE X X

X

FIGURA 6.2.32 Región plana no acotada del problema 38.

39. Un observatorio (figura 6.2.33) tiene la forma de un sólido cuya base es un disco circular con diámetro AB de longitud 2a (figura 6.2.34). Encuentre el volumen de este sólido si cada sección transversal perpendicular a AB es un cuadrado.

A

!

FIGURA 6.2.36 Esfera con agujero del problema 46.

47. Los ejes de dos cilindros horizontales, ambos con radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen de su sólido de intersección (figuras 6.2.37 y 6.2.38, donde a  1). ¿Es evidente que cada sección transversal horizontal es un cuadrado? "  Y

FIGURA 6.2.33 Observatorio del problema 39.

FIGURA 6.2.34 Base circular del observatorio (problema 39).

40. La base de cierto sólido es un disco circular con diámetro AB de longitud 2a. Encuentre el volumen del sólido si cada sección transversal perpendicular a AB es un semicírculo. 41. La base de cierto sólido es un disco circular con diámetro AB de longitud 2a. Encuentre el volumen del sólido si cada sección transversal perpendicular a AB es un triángulo equilátero. 42. La base de cierto sólido es la región en el plano x y limitado por las parábolas y  x 2 y x  y 2. Encuentre el volumen de este sólido si cada sección transversal perpendicular al eje x es un cuadrado con su base en el plano x y. 43. El paraboloide generado al rotar alrededor del eje x la región ≤ bajo la parábola y 2  2 p x, 0 ≤ − x − h, se muestra en la figura 6.2.35. Demuestre que el volumen del paraboloide es la mitad del volumen del cilindro que lo circunscribe también mostrado en la figura. y



 

Z 



 X

 

FIGURA 6.2.37 Cilindros que se intersecan del problema 47. X

 Y 

 



yªpx

Z 

r x

 h

FIGURA 6.2.35 Paraboloide y cilindro del problema 43.

FIGURA 6.2.38 Sólido de intersección (problema 47).

436

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y

48. La figura 6.2.39 muestra un “segmento esférico” con altura h que se corta de una esfera de radio r con un plano horizontal. Muestre que este volumen es V   πh 2 (3r − h).

2

R

H 

H

X

H 

FIGURA 6.2.41 Región del problema 51. R

FIGURA 6.2.39 Segmento esférico (problema 48).

49. Un sólido con forma de dona, llamado toro (figura 6.2.40), se genera rotando alrededor del eje y el disco circular (x − b) 2 + 2 y2 ≤ − a centrado en el punto (b, 0), donde 0 < a < b. Demuestre que el volumen de este toro es V  2π 2a 2b. [Sugerencia: observe que cada sección transversal perpendicular al eje y es un anillo anular, y recuerde que  a a 2 − y 2 dy = 14 πa 2 0

porque la integral representa el área de un cuarto del círculo de radio a.]

52. El clepsidra o reloj de agua Considere un tanque de agua cuya superficie lateral se genera al rotar la curva y  k x 4 alrededor del eje y (k es una constante positiva). a) Calcule V (y), el volumen de agua del tanque en función de su profundidad y. b) Suponga que el agua del tanque sale por un pequeño orificio en su base. Use la regla de la cadena y la ley del drenaje de Torricelli [ecuación (3) de la sección 5.2] para demostrar que el nivel del agua en el tanque sale a una tasa constante. ¿Cómo se puede usar este tanque como un reloj? 53. Un contratista desea licitar para el trabajo de nivelar una colina de 60 pies de altura. Remover el material de la colina tiene un costo de $3.30yyd 3. La siguiente tabla, basada en datos del topógrafo, muestra las áreas de las secciones transversales horizontales de la colina con intervalos de 10 ft de altura. Use a) la aproximación trapezoidal y b) la aproximación de Simpson para estimar el costo total del trabajo. Redondee los resultados a los cien dólares más cercanos. !LTURA X FT ¬REA FT

FIGURA 6.2.40 Toro del problema 49.

50. La cima de una colina es 100 ft más alta que el terreno circundante, y cada sección transversal horizontal de la colina es circular. La siguiente tabla proporciona el radio r (en pies) para valores seleccionados de la altura h (en pies) arriba del terreno circundante. Use la aproximación de Simpson para estimar el volumen de la colina. H











R











51. Barril de vino de Newton Considere un barril con la forma del sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo la parábola y = R − kx 2 ,

− 12 h  x 

1 h 2

(figura 6.2.41). a) Demuestre que el radio de cada extremo del barril es r  R − δ, donde 4δ  kh 2. b) Luego demuestre que el volumen del barril es 

V = 13 π h 2R 2 + r 2 − 25 δ 2 .





























54. El agua se evapora de una vasija abierta con una tasa que es proporcional a la superficie del agua. Demuestre que no importa cuál sea la forma de la vasija, el nivel del agua bajará a una tasa constante. 55. Un frustrum (cono truncado) de un cono circular tiene una altura h y un volumen V. Su base es un disco circular con radio R y su parte superior un disco con radio r (figura 6.2.42). Utilice el método de secciones transversales para demostrar que V = 13 π h(r 2 + r R + R 2 ). R H 2

FIGURA 6.2.42 Un frustrum de un cono (problema 55).

56. Encuentre el volumen del sólido de intersección de dos esferas de radio a, si el centro de una cae en la superficie de la otra. 57. Encuentre el volumen de intersección de dos esferas de radios a y b (con b < a) si el centro de la esfera menor está en la superficie de la mayor.

SECCIÓN 6.3

58. En el siglo iii a.C., Arquímedes consideró la esfera de radio r como un sólido de revolución al obtener su famosa fórmula del volumen V  π r 3. La diferencia principal entre su método y el empleado en esta sección es que él utilizó cónicas truncadas en lugar de cilindros circulares (figura 6.2.43). La figura 6.2.44 muestra el sólido aproximado que se obtiene al girar alrededor del eje x el arco poligonal P0 P1 P2 . . . Pn donde Pi denota al punto (xi, f (xi)) en la curva y  f (x). La rebanada aproximada que corresponde al i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ] es la cónica truncada (frustrum) con sombra diferente en la figura 6.2.44. La fórmula del volumen del

Volúmenes por el método de capas cilíndricas

437

problema 55 proporciona la “aproximación del frustrum” n   π [ f (xi−1 )]2 + f (xi−1 ) f (xi ) + [ f (xi )]2 x. V ≈ 3 i=1 Utilice la continuidad de f para demostrar que esta aproximación tiende (cuando n → +∞) a la misma fórmula del volumen  b V = π [ f (x)]2 d x a

que se obtuvo usando el método de las secciones transversales. Y

y

0

y fx

0I 

FXI  0I

FXI YF X

0N XI 

x

FIGURA 6.2.43 Uso de cilindros para aproximar un sólido de revolución.

XI

X

FIGURA 6.2.44 Uso de cónicas truncadas para aproximar un sólido de revolución.

6.3 VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS El método de secciones transversales de la sección 6.2 es una técnica de aproximar un sólido apilando franjas delgadas o capas. En el caso de un sólido de revolución, estas capas son discos circulares o anillos anulares. El método de capas cilíndricas (llamadas también cascaroneas o cáscaras) es una segunda forma de calcular los volúmenes de sólidos de revolución. Es una técnica para aproximar un sólido de revolución mediante una colección de capas cilíndricas rectas y frecuentemente lleva a cálculos más simples que con el método de secciones transversales.

Volumen de una capa cilíndrica Una capa cilíndrica es una región limitada por dos cilindros circulares concéntricos de la misma altura h. Si, como en la figura 6.3.1, el cilindro interior tiene radio r1 y el exterior tiene un radio r2 , entonces r  (r1 + r2 )y2 es el radio promedio de la capa cilíndrica y t  r2 − r1 es su espesor. Se puede obtener el volumen de la capa cilíndrica restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:

R R

T

R

H

FIGURA 6.3.1 Una capa cilíndrica.

V = πr22 h − πr12 h = 2π

r1 + r2 (r2 − r1 )h = 2πr th. 2

(1)

En otras palabras, el volumen de la capa es el producto de 2π, su radio promedio, su espesor y su altura. Por lo que el volumen de una capa muy delgada se aproxima bien multiplicando el área de la superficie curva por su espesor.

Volúmenes más generales Ahora se desea calcular el volumen V de revolución generado al rotar alrededor del eje y la región bajo y  f (x) de x  a a x  b. Si suponemos, como lo indica la figura ≤ a < b y que f (x) es continua y no negativa en [a, b]. El sólido se pa6.3.2a), que 0 − recerá al que se muestra en la figura 6.3.2b).

438

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y

Y

YFX

YF X

A

B

A

X

A

X

B

B Y

Y YF X

YFX

XI FXI

$X

FXI A

C

XI 

B XI

X

B

XI

D

X

A

FIGURA 6.3.2 Un sólido de revolución —observe el hueco en su centro— y una manera de aproximarlo con capas cilíndricas anidadas.

Para encontrar V, comenzamos con una partición de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud x  (b − a)yn. Sea X i el punto medio del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. Considere el rectángulo en el plano xy con base [xi−1, xi ] y altura f ( X i). La figura 6.3.2c) muestra la capa cilíndrica que se obtiene al rotar este rectángulo alrededor del eje y. Esta capa cilíndrica se aproxima al sólido con volumen Vi que se obtiene al rotar la región abajo de y  f (x) y en [xi−1, xi ]. La ecuación (1) proporciona Vi ≈ 2π x i f (x i ) x.

Sumamos los volúmenes de las n capas cilíndricas determinadas por la partición de [a, b]. Esta suma debe aproximarse a V porque —como sugiere la figura 6.3.2d)— la unión de esas capas se aproxima físicamente al sólido de revolución. De esta forma se obtiene la aproximación n n   Vi ≈ 2π x i f (x i ) x. V = i=1

i=1

Esta aproximación al volumen V es una suma de Riemann que tiende a la integral  b 2π x f (x) d x cuando x → 0, a

con lo que parece que el volumen del sólido de revolución está dado por B

6 H

 X F .X/ D X:



A

Un análisis completo requiere una demostración de que esta fórmula proporciona el mismo volumen que el definido por el método de secciones transversales en la sección 6.2. (Vea el apéndice G.) Es más confiable aprender cómo establecer las fórmulas de integrales que simplemente memorizarlas. Un mecanismo heurístico útil (sugerente pero no riguroso) para establecer la ecuación (2) es la imagen de una franja de área rectangular muy delgada, como muestra la figura 6.3.3. Cuando esta franja rota alrededor del eje y, produce

SECCIÓN 6.3

Volúmenes por el método de capas cilíndricas

439

dx

Y x

dx YF X FX

fx

fx

P x A

X

DX

B

X

FIGURA 6.3.3 Un mecanismo heurístico para establecer la ecuación (2).

FIGURA 6.3.4 Capa cilíndrica con grosor infinitesimal.

FIGURA 6.3.5 Capa cilíndrica infinitesimal, aplanada

una capa cilíndrica delgada de radio x, altura y  f (x) y espesor d x (figura 6.3.4). Entonces, si su volumen se denota por d V, podemos escribir d V = 2π x · f (x) · d x = 2π x f (x) d x.

Es fácil recordar esto si se  visualiza la figura 6.3.5. Pensamos en V = d V como una suma de muchos de estos volúmenes, anidados en forma concéntrica alrededor del eje de revolución y formando el sólido mismo. Se puede escribir  b  b V = 2π x y d x = 2π x f (x) d x. a

a

No olvide expresar y ( y cualquier otra variable dependiente) en términos de la variable independiente x (identificada aquí por la diferencial d x) antes de integrar. y

yªªxª ªx

x





x

EJEMPLO 1 Encuentre el volumen V del sólido generado al girar alrededor del eje y la región bajo y  3x 2 − x 3 de x  0 a x  3 (figura 6.3.6).

Solución En este caso sería poco práctico usar el método de secciones transversales, porque una sección transversal perpendicular al eje y es un anillo anular, pero encontrar sus radios interior y exterior requiere resolver la ecuación y  3x 2 − x 3 para x en términos de y. Preferimos evitar esta tarea complicada y la ecuación (2) nos proporciona una alternativa: tomamos f (x)  3x 2 − x 3, a  0 y b  3. De inmediato se tiene que  3  3 2 3 2π x(3x − x ) d x = 2π (3x 3 − x 4 ) d x V = 0

FIGURA 6.3.6 Región del ejemplo 1: girándola alrededor del eje y.

= 2π



3 4 x 4

− 15 x 5

3 0

0

=

243 π. 10

Z

EJEMPLO 2 Encuentre el volumen que queda después de perforar un agujero circular de radio a por el centro de una esfera sólida de radio b > a (figura 6.3.7).

Solución Suponemos que la esfera de radio b fue generada al girar la mitad del disco circular x 2 + y 2  b 2 alrededor del eje y, y consideramos que el agujero es vertical con su línea central que coincide con el eje y. La mitad superior del sólido en cuestión se genera rotando alrededor del √ eje y la región sombreada en la figura 6.3.8. Ésta es la región bajo la gráfica de y = b2 − x 2 ( y arriba del eje x) de x  a a x  b. El volumen de la esfera con agujero completa es entonces el doble de la mitad superior, y la ecuación (2) proporciona B

6 D A

B

 X.B X  /= D X H   .B X  /= ; A

DEMANERAQUE 6 H  .B A  /= :

Z

440

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y A

Y

Y X

Y B X

X H

H 

B

DX A

FIGURA 6.3.7 Esfera con agujero del ejemplo 2.

X

B 

FIGURA 6.3.8 Sección transversal media de la esfera con agujero (ejemplo 2).

Una forma de verificar la respuesta es probándola en algunos casos extremos. Si a  0 y b  r, que corresponde a no hacer un agujero en la esfera de radio r, entonces el resultado se reduce al volumen V  π r 3 de la esfera completa. Si a  b, que corresponde a hacer un agujero tan grande como la esfera, entonces V  0, esto también es correcto.

Y

YFX F X GX

!

Rotación de la región entre dos curvas

YGX X A

DX X

B

X

FIGURA 6.3.9 La región A entre las gráficas f y g en [a, b] se rotará alrededor del eje y.

Ahora sea A la región entre las curvas y  f (x) y y  g (x) en el intervalo [a, b], donde ≤ a < b y g (x) ≤ f (x) para x en [a, b]. Una región como ésta aparece en la figura 0− − 6.3.9. Cuando se gira S alrededor del eje y, se genera un sólido de revolución. Suponga que se desea encontrar el volumen V del sólido. Un desarrollo similar al de la ecuación (2) lleva a la aproximación V ≈

n 

2π x i [ f (x i ) − g(x i )] x,

i=1

de la cual se puede concluir que B

6 H

 XT F .X/ G.X/U D X



A

Y

!S¤

D ! XGY

B

6 H

XFY

 XTYSUP YINF U D X;



A

FY GY Y DY Y C X

FIGURA 6.3.10 La región A se rota alrededor del eje x.

donde ysup  f (x) y yinf  g (x). El método de capas cilíndricas es también una forma efectiva de calcular volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje x. La figura 6.3.10 muestra la región ≤ y ≤ d y por las rectas horizonA acotada por las curvas x  f ( y) y x  g ( y) para c − − tales y  c y y  d. Sea V el volumen obtenido al rotar la región A alrededor del eje x. Para calcular V, se inicia con la partición de [c, d ] en n subintervalos, todos de la misma longitud y  (d − c)yn. Sea Yi el punto medio del i-ésimo subintervalo [ Yi−1, yi ] de la partición. Entonces el volumen de la capa cilíndrica con radio promedio Yi , altura f ( Yi ) − g ( Yi ) y espesor y es Vi = 2πy i [ f ( y i ) − g( y i )] y.

SECCIÓN 6.3

Volúmenes por el método de capas cilíndricas

441

Sumamos los volúmenes de estas capas cilíndricas y obtenemos la aproximación V ≈

n 

2πy i [ f ( y i ) − g( y i )] y.

i=1

Reconocemos el lado derecho como una suma de Riemann para una integral respecto a y desde c hasta d y concluimos que el volumen del sólido de revolución está dado por D

Y

6 H



 YT F .Y/ G.Y/U DY: C

 

!S¤

YX

D

6 H

YX

X

NOTA

y ySUP

donde xder  f ( y ) y xizq  g ( y ). Para usar las ecuaciones (3 ) y (4 ), el integrando debe expresarse en términos de la variable de integración especificada por la diferencial.

FIGURA 6.3.11 Región del ejemplo 3.

ªª



 YTXDER XIZQ U DY; C

x

yINFª x

EJEMPLO 3 Considere la región en el primer cuadrante acotada por las curvas y 2  x y y  x 3 (figura 6.3.11). Utilice el método de capas cilíndricas para calcular el volumen del sólido que se obtiene al rotar esta región primero alrededor del eje y y luego alrededor del eje x.

Solución Es mejor utilizar capas cilíndricas, como en las figuras 6.3.12 y 6.3.13, en lugar de memorizar las fórmulas, para establecer las integrales apropiadas. Así, el volumen de revolución alrededor del eje y (figura 6.3.12) está dado por

dx



x 

x

FIGURA 6.3.12 Rotación alrededor del eje y (ejemplo 3).



 X.YSUP YINF / D X H

6 H 

 X

p

X X DX

 

H

 X = X  D X H 



 = X 

 X 

 

H  :

El volumen de revolución alrededor del eje x (figura 6.3.13) está dado por y 



xIZQª y

6 H



 Y.XDER XIZQ / DY H 

xDERª y

 

H 

y

 Y Y = Y  DY

 Y = Y  DY H 

 = Y 

 Y 

 

H

 : 

Las respuestas son las mismas, desde luego, que las obtenidas con el método de secciones transversales del ejemplo 5 de la sección 6.2. Z x

dy

FIGURA 6.3.13 Rotación alrededor del eje x (ejemplo 3).

EJEMPLO 4 Suponga que la región del ejemplo 3 rota alrededor de la recta vertical x  −1 (figura 6.3.14). Entonces el elemento de área p D ! H .YSUP YINF / D X H X X DX se gira alrededor de un círculo de radio r  1 + x. Así, el volumen de la capa cilíndrica resultante es

 d V = 2πr d A = 2π(1 + x) x 1/2 − x 3 d x

 = 2π x 1/2 + x 3/2 − x 3 − x 4 d x.

442

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y



X YSUP YINF

X

X X

DX X

X 

X



FIGURA 6.3.14 Rotación alrededor de la línea x  −1 (ejemplo 4).

El volumen del sólido de revolución resultante es entonces  1 

V = 2π x 1/2 + x 3/2 − x 3 − x 4 d x 0

= 2π



2 3/2 x 3

+ 25 x 5/2 − 14 x 4 − 15 x 5

1 0

=

37 π, 30

como se encontró usando el método de secciones transversales en el ejemplo 6 de la sección 6.2. Z Se observa finalmente que el método de capas cilíndricas se puede resumir con la fórmula heurística   2πr dA, V = 

donde d A denota el área de una franja infinitesimal que se rota alrededor de un círculo de radio r para generar una capa cilíndrica delgada. Los asteriscos indican que necesita encontrar los límites de integración.

6.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El volumen de la capa cilíndrica de la figura 6.3.1 es 2πr th dondee r es el radio promedio, t el espesor y h la altura. ≤ a ≤ x ≤ b y que S es 2. Suponga que f es continua y con valores positivos para 0 − − − la región que se encuentra entre la gráfica de f y el eje x para x en [a, b]. Si S rota alrededor del eje y, entonces el volumen del sólido así generado es  b V = 2π x f (x) d x. a

3. El volumen que queda después de hacer un agujero circular de radio a en el centro de una esfera sólida de radio b > a es  π(b 2 − a 2) 3y 2. ≤ a < b, que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) para x en [a, b] y que f y g son 4. Suponga que 0 − − − ≤ x ≤ b. Si continuas en [a, b]. Sea A la región entre las gráficas de f y g para a − − A rota alrededor del eje y, entonces el volumen del sólido generado es  b V = 2π x [ f (x) − g(x)] d x. a

≤ c ≤ y ≤ d y que S 5. Suponga que f es continua y con valores positivos para 0 − − − es la región que se encuentra entre la gráfica de x  f ( y ) y el eje y para y en [c, d ]. Si S rota alrededor del eje x, entonces el volumen del sólido generado es  d V = 2π y f (y) dy. c

SECCIÓN 6.3

Volúmenes por el método de capas cilíndricas

443

≤ c < d, que 0 ≤ g ( y) ≤ f ( y) para y en [c, d ] y que f y g son 6. Suponga que 0 − − − ≤ y ≤ d. Si continuas en [c, d ]. Sea A la región entre las gráficas de f y g para c − − A rota alrededor del eje x, entonces el volumen del sólido generado es  d 2π y [ f (y) − g(y)] dy. A= c

7. Si la región de la figura 6.3.11 rota alrededor del eje x o alrededor del eje y, el volumen generado es el mismo para cualquier rotación. 8. Se probó en la sección 6.3 que el método de secciones transversales produce el mismo volumen para un sólido de revolución dado que el método de capas cilíndricas. 9. El método de secciones transversales siempre nos lleva a integrales más sencillas que el método de capas cilíndricas. p 10. En el ejemplo 4 el elemento de área d A  ( X − x 3 ) d x está rotado alrededor de un círculo de radio 1 + x.

6.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS En la investigación del sólido de revolución mostrado en la figura 6.3.2, Vi denota la parte del volumen completo V que se obtiene al rotar sólo la franja que está debajo de la gráfica y  f (x) en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. Argumentamos que Vi se aproximaba por Vi ≈ 2π x i f (x i ) x. 1. Explique por qué la continuidad de la función f implica que Vi = 2π x i f (xi ) x exactamente para algún punto XI en el i-ésimo subintervalo. 2. Entonces el volumen V del sólido de revolución completo está dado exactamente por n n   V = Vi = 2π x i f (xi ) x i=1

=

n 

i=1

2π xi f (xi ) x +

i=1

n 

2π(x i − xi ) f (xi ) x.

(5)

i=1

Explique por qué la continuidad de f ahora implica que la última suma en (5) tiende a cero cuando n → +∞. Explique por qué esto implica que  b V = 2π x f (x) d x. a

6.3 PROBLEMAS En los problemas 1 a 28, utilice el método de capas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje indicado la región acotada por las curvas dadas.  Y H X  Y H  X H  ELEJEY  X H Y  X H 

Y

ELEJEY



 Y H  X Y H   Y H X  Y H  

Y

ELEJEY FIGURA

ELEJEY FIGURA 

 Y H X Y H  X   X H  Y  X H 

ELEJEY ELEJEX

X

FIGURA 6.3.15 Problema 3.

X

FIGURA 6.3.16 Problema 4.

444

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

 X H Y X C Y H  Y H  

 Y H X Y H X 

≤ 27. y  sen (x 2) y y  −sen (x 2) para 0 ≤ −x− ra 6.3.22)

ELEJEX FIGURA

LAL¤NEA Y H 



 Y H X Y H X

ELEJEY



ELEJEY FIGURA

 Y H X X Y H 

π; el eje y (figu-

Y

ELEJEX



 Y H X X Y H 

√

YSENX

Y X Y Y SENX

X

X

FIGURA 6.3.22 Problema 27.

FIGURA 6.3.17 Problema 7.

 X H Y  Y  X H 

FIGURA 6.3.18 Problema 11.

 Y H

LARECTA Y H  FIGURA

 Y H X X  Y H 



X

 

 X H  Y  X H  Y H   Y H X X  Y H  FIGURA

 

X

Y

ELEJEY Y

 

ELEJEX

 

LARECTA X H 

Y

 Y H  X H  X H  X

LAL¤NEA X H 

En los problemas 29 a 34, primero utilice una calculadora o computadora para aproximar (gráficamente o de otra manera) los puntos de intersección de las dos curvas dadas. Sea R la región limitada por estas curvas. Integre para aproximar el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región R alrededor del eje y. En los problemas 31 a 34 será útil la fórmula integral U COS U DU H COS U C U SEN U C #;

la cual puede verificar derivando el lado derecho.

X

X

FIGURA 6.3.19 Problema 12.

 Y H X  Y H  X H 

FIGURA 6.3.20 Problema 15.

ELEJEY FIGURA

Y

 Y H X  C  EJEY  Y H X 

FIGURA 6.3.21 Problema 16. 

 Y H X Y H  X H 

LARECTA X H 

 Y H X  Y H  X H 

ELEJEX



 Y H X Y H  X H  X H 

LARECTA X H 



 Y H X Y H X 

X

 

ELEJEY

 Y H X  Y H X 

X

 

ELEJEX



 Y H X Y H X 

X

 

LAL¤NEA Y H 

 Y H X  Y H X  X   LAL¤NEA X H    Y H  Y H  X H  X H  ELEJEY X   Y H EX Y H  X H  X H  ELEJEY   Y H Y H  X H  X H  ELEJEY  C X

2ESTÖALADERECHADEL

Y H X 

 Y H COS X

Y H X

 Y H COS X

Y H .X /

 Y H COS X

Y H X  X C 

 Y H  COS X XH

X

Y H X X 

Y H COS X

2ESTÖENTREXH Y

35. Verifique la fórmula para el volumen de un cono circular recto usando el método de capas cilíndricas. Aplique el método a la figura generada al rotar la región triangular con vértices (0, 0), (r, 0) y (0, h) alrededor del eje y. 36. Utilice el método de capas cilíndricas para calcular el volumen del paraboloide del problema 43 de la sección 6.2. 37. Utilice el método de capas cilíndricas para encontrar el volumen del elipsoide que se obtiene al rotar la región elíptica acotada por la gráfica de la ecuación  x 2  y 2 + =1 a b alrededor del eje y. 38. Utilice el método de capas cilíndricas para obtener la fórmula dada en el problema 48 de la sección 6.2 para el volumen del segmento esférico. 39. Utilice el método de capas cilíndricas para calcular el volumen del toro en el problema 49 de la sección 6.2. [Sugerencia: sustituya u por x − b en la integral dada por la fórmula en la ecuación (2).]

SECCIÓN 6.3

40. a) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas y  x 2 y y  x + 2 alrededor de la recta x  −2. b) Repita el inciso a), pero rote la región alrededor de la recta x  3. 41. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar el disco 2 circular x 2 + y 2 ≤ − a alrededor de la recta vertical x  a. 42. a) Verifique derivando que  xe x d x = (x − 1)e x + C. b) Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y el área debajo de y  e x desde x  0 a x  1. 43. En el ejemplo 2 se encontró que el volumen que quedaba después de perforar un agujero de radio a por el centro de una esfera de radio b > a es V = 43 π(b2 − a 2 )3/2 .

a) Exprese el volumen V de esta fórmula sin usar el radio a del agujero; en su lugar utilice la altura h del agujero. [Sugerencia: use el triángulo rectángulo de la figura 6.3.8.] b) ¿Qué sobresale de la respuesta en el inciso a)? 44. La región plana R está acotada arriba y a la derecha por la gráfica y  25 − x 2, a la izquierda por el eje y y abajo por el eje x. Al rotar R alrededor del eje y se genera un paraboloide. Luego se perfora a través del paraboloide un agujero vertical con radio 3 y centro en el eje y. Encuentre el volumen del sólido que queda usando a) el método de secciones transversales y b) el método de capas cilíndricas. 45. El lazo de la curva y 2  x(5 − x) 2 limita la región que se ve en la figura 6.3.23. Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al rotar esta región alrededor a) del eje x; b) el eje y; c) la recta x  5. 46. El lazo de la curva y 2  x 2 (x + 3) limita la región que se observa en la figura 6.3.24. Encuentre el volumen del sólido

Volúmenes por el método de capas cilíndricas

445

que se obtiene al rotar esta región alrededor a) del eje x; b) el eje y; c) la recta x  −3. Sugerencia: si es útil, sustituya u  x + 3 antes de integrar. 







YX X 



YXX







Y 

Y 



















   















X

FIGURA 6.3.23 Región del problema 45.

 X









FIGURA 6.3.24 Región del problema 46.

47. La figura 6.3.25 muestra un baño para pájaros de concreto cuya forma se obtiene al rotar alrededor del eje y la región que se encuentra entre las curvas Y HC

X X  

Y

YH

X : 

a) Calcule el volumen de concreto usado para construir este baño para pájaros. b) Calcule el volumen de agua que puede contener cuando está lleno.

FIGURA 6.3.25 Baño para pájaros del problema 47.

6.3 INVESTIGACIÓN: ¡diseñe su propio anillo! Este proyecto trata del anillo de bodas de oro confeccionado a la medida que se muestra en la figura 6.3.26. Su forma se obtiene al rotar la región A de la figura 6.3.27 alrededor del eje vertical mostrado. El anillo de boda resultante tiene • radio interior R, • espesor mínimo T, y • ancho W. La frontera curva de la región A es un arco de un círculo cuyo centro se encuentra en el eje de revolución. Para un anillo de boda típico R puede tener valores entre 6 y 12 mm, T puede ser de 0.5 a 1.5 mm y W puede ser de 4 a 10 mm. Cuando un cliente pregunta por el precio de un anillo de boda sólo proporciona las dimensiones R, T y W, por lo que el joyero debe calcular el volumen del anillo deseado para saber la cantidad de oro que requiere al hacerlo. Utilice los métodos de esta sección para demostrar que el volumen V está dado por la fórmula V =

πW (W 2 + 12RT + 6T 2 ). 6

(1)

446

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

2

%JEDE REVOLUCI˜N

FIGURA 6.3.26 Anillo de boda.

!

7

4

FIGURA 6.3.27 Sección transversal del anillo de boda.

Si todas las dimensiones se dan en milímetros, entonces las unidades de V son milímetros cúbicos. (Hay 1000 mm3 en 1 cm3.) Suponga que el joyero planea cobrar $1000 por onza troy de aleación (90% oro, 10% plata) usada para hacer el anillo. (La ganancia por la venta, cubriendo el tiempo del joyero y los costos generales de hacer el anillo, es bastante importante porque el precio del oro generalmente está a menos de $400/oz y el de la plata por debajo de $6/oz.) El radio interior R del anillo de boda se obtiene midiendo el dedo del cliente (en milímetros; hay exactamente 25.4 mm por pulgada). Suponga que el joyero hace todos los anillos con T  1 (mm). Entonces, para un costo aceptable C dado (en dólares), el cliente necesita saber cuál es el ancho W máximo del anillo que él o ella puede comprar. Mida su propio dedo para determinar R (se puede medir la circunferencia C con un pedazo de hilo y luego dividirla entre 2π). Determine el costo que está dispuesto a pagar C en el rango de $100 a $500. Utilice la ecuación (1) con T  1 para encontrar el ancho W del anillo que costará C dólares (a $1000/oz). Necesita saber que la densidad de la aleación oro-plata es 18.4 g/cm3 y que 1 libra contiene 12 onzas troy y 453.59 g. Utilice una calculadora con funciones de graficado o una con una tecla SOLVE para resolver la ecuación cúbica para W obtenida.

Investigación

6.4 LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Y

FX ¦X¦

X

Y

Si usted planea recorrer el sendero de los Apalaches, es conveniente conocer la longitud de ese trayecto curvo para saber qué equipo llevar. Se investigará cómo encontrar la longitud de una trayectoria curva y el concepto estrechamente relacionado con el área de una superficie curva. Un arco suave es la gráfica de una función suave definida en un intervalo cerrado; una función suave f en [a, b] es una función cuya derivada f  es continua en [a, b]. La continuidad de f  descarta la posibilidad de puntos esquina ( puntos en los que la dirección de la recta tangente cambia bruscamente) en la gráfica de f. Las gráficas de f (x)  | x| y g (x)  x 2y 3 mostradas en la figura 6.4.1 no son suaves porque ambas tienen un punto esquina en el origen.

GX X

Longitud de una curva X

FIGURA 6.4.1 Gráficas con puntos esquina.

Para investigar la longitud de un arco suave, comenzamos con la longitud de un segmento de recta, que es simplemente la distancia entre sus puntos terminales. Entonces, dada una función suave C, nos hacemos la siguiente pregunta: si C fuera un alambre delgado y lo enderezáramos sin estirarlo, ¿qué tan largo resultaría? La respuesta es lo que llamamos la longitud de C. Para aproximar la longitud s del arco suave C, se puede inscribir en C un arco poligonal —uno formado por segmentos de recta— y luego calcular la longitud del arco poligonal. Continuamos como sigue, con la suposición de que C es la gráfica de una función suave f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Considere una partición de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud x. Sea Pi el punto (xi, f (xi))

SECCIÓN 6.4

Longitud de arco y área de la superficie de revolución

447

en el arco C correspondiente al punto xi de la i-ésima subdivisión. El arco poligonal “inscrito en C ” es la unión de los segmentos de recta P0 P1, P1 P2, P2 P3, . . . , Pn−1 Pn. De manera que la aproximación a la longitud s de C es n  |Pi−1 Pi | , (1) s≈ i=1

la suma de estos segmentos de recta (figura 6.4.2). El plan es tomar el límite de esta suma cuando n → ∞: se quiere evaluar N

S H L¤M

N!1

j0I 0I j: IH

Y

0I

# Y FX

0I 

XI  XI( XI

A

X

B

FIGURA 6.4.2 Un arco poligonal inscrito en la curva suave C.

La longitud de un segmento típico Pi−1 Pi es |Pi−1 Pi | = [(xi − xi−1 )2 + ( f (xi ) − f (xi−1 ))2 ]1/2 .

Aplicamos el teorema del valor medio a la función f en el intervalo [xi−1, xi ] y concluimos la existencia de un punto XI en este intervalo tal que F .XI / F .XI / H F .XI /
.XI XI /: 0ORLOQUE F .XI / F .XI / XI XI

j0I 0I j H  C H

 C F .XI /



 =


.XI XI /

X;

donde x  xi − xi−1. Luego sustituimos esta expresión para |Pi−1Pi | en la ecuación (1) y obtenemos la aproximación n    2 s≈ 1 + f  (xi x. i=1

Ésta es una suma de Riemann para la función  C T F .X/U en [a, b], y por lo tanto —como f 9 es continua— esta suma se aproxima a la integral  b 1 + [ f  (x)]2 d x a

cuando x → 0. Pero nuestra aproximación debe tender, también, a la longitud real de s cuando x → 0. Por esto se puede definir la longitud s del arco suave C como B

SH A

B

 C ; F .X/= D X H

C A

DY DX



D X



448

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 1 Encuentre la longitud de la llamada parábola semicúbica (en realidad no es una parábola) y  x 3y 2 en [0, 5] (figura 6.4.3).

Y

Solución Primero se calcula el integrando de la ecuación (2):

YX





1+

dy dx

2 =

 2 

1 + 32 x 1/2 = 1 + 94 x = 12 (4 + 9x)1/2 .

Por lo que la longitud del arco y  x 3y 2 en el intervalo [0, 5] es X



X

FIGURA 6.4.3 Parábola semicúbica del ejemplo 1.

5

s= 0

1 (4 2

+ 9x)1/2 d x =



1 (4 27

+ 9x)3/2

5 0

=

≈ 12.41.

335 27

√ Para verificar la factibilidad, los puntos extremos del arco son (0, 0) √ y (5, 5 5), de modo que el segmento de recta entre estos dos puntos tiene longitud 5 6 ≈ 12.25. Esto es, como debía esperarse, un poco menor que la longitud del arco calculada. Z

EJEMPLO 2 Un fabricante necesita hacer láminas de metal acanaladas de 36 in de ancho con secciones transversales con la forma de la curva YH

 

SEN  X;



X



(figura 6.4.4). ¿Qué ancho deben tener las láminas planas originales para que el fabricante produzca las láminas acanaladas?











FIGURA 6.4.4 Lámina de metal acanalada con la forma de y   sen πx (ejemplo 2).

Solución Si F .X/ H

 

SEN  X;

F .X/ H   COS  X:

ENTONCES

Así, la ecuación (2) proporciona la longitud de arco de la gráfica de f en [0, 36]:  36   1

2

2 s= 1 + 12 π cos2 π x d x = 36 1 + 12 π cos2 π x d x. 0

0

Estas integrales no se pueden evaluar en términos de funciones elementales. Debido a ello, no es posible aplicar el teorema fundamental del cálculo. Se estima su valor con la ayuda de la aproximación de Simpson (sección 5.9). Usando para ambas n  6 y n  12 subintervalos se encuentra que 

1 0



2 1 + 12 π cos2 π x d x ≈ 1.46

pulgadas. Por lo tanto el fabricante debe usar láminas de metal de ancho aproximado 36 · 1.46 ≈ 52.6 pulgadas. Z

Longitud de arco integrando respecto a y En el caso de un arco suave dado como una gráfica x  g ( y) para y en [c, d ], un análisis similar comenzando con una subdivisión de [c, d ] lleva a la fórmula D

SH C

D

 C ;G .Y/= DY H

C C

DX DY



DY



SECCIÓN 6.4

Longitud de arco y área de la superficie de revolución

449

para su longitud. Se calcula la longitud de una curva mucho más general, como una circunferencia, dividiéndola en un número finito de arcos suaves y aplicando a cada uno de estos arcos ya sea la ecuación (1) o la ecuación (2), según se requiera. EJEMPLO 3



 



Y

X  Y   Y

 

  

 







X







FIGURA 6.4.5 Curva del ejemplo 3 (aunque se puede calcular su longitud sin siquiera visualizarla).

Encuentre la longitud s de la curva (figura 6.4.5) 1 1 , 1  y  2. x = y3 + 6 2y

Solución Como y es la variable independiente natural, se usa la fórmula de la longitud de arco de la ecuación (3). Primero calculamos   2 1 1 2 1 2 1 1 dx y − 2 = 1 + y4 − + 4 =1+ 1+ dy 2 2y 4 2 4y  2 1 1 1 1 2 1 y + 2 . = y4 + + 4 = 4 2 4y 2 2y Así, podemos “eliminar el radical” en la ecuación (3):   2  2  d dx 1 1 2 1+ dy = y + 2 dy s= dy 2 2y c 1   1 2 17 1 3 y − . = = 6 2y 1 12

Z

Un mecanismo simbólico #

1XDX YDY

DS

DY

0X Y DX S 0

FIGURA 6.4.6 Desarrollo heurístico de la fórmula de la longitud de arco.

Existe un mecanismo simbólico conveniente cuando se trata de recordar tanto la ecuación (2) como la (3) simultáneamente. Pensamos en dos puntos cercanos P(x, y) y Q(x + d x, y + d y) en el arco suave C y denotamos por d s la longitud del arco que une P y Q. Imagine que P y Q están tan cerca uno del otro que d s es, para cualquier propósito práctico, igual a la longitud del segmento de recta PQ. Aplicando el teorema de Pitágoras al pequeño triángulo en la figura 6.4.6 se obtiene  (4) ds = (d x)2 + (dy)2   2 dy dx (4 ) = 1+ dx   2 dx = 1+ dy. (4 ) dy Pensando en la longitud completa s de C como la suma de los pequeños segmentos como d s, escribimos  s=



ds.

(5)



Entonces la sustitución formal (simbólica) de las expresiones en las ecuaciones (4) y (4) por d s en la ecuación (5) lleva a las ecuaciones (2) y (3); quedando por determinar sólo los límites de integración.

Conos y cónicas truncadas Una superficie de revolución es una superficie que se obtiene al rotar un arco o una curva alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano que el arco. Las superficies de un cilindro o de una esfera y la superficie curva de un cono son ejemplos importantes de superficies de revolución. El enfoque básico para encontrar el área de una superficie como ésta es el siguiente: primero inscribimos un arco poligonal en la curva que se va a rotar. Después examinamos el área de la superficie generada al rotar el arco poligonal como una

450

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

aproximación a la superficie generada al girar la curva original. Como una superficie generada al rotar un arco poligonal alrededor de un eje consiste de conos truncados, se puede calcular su área de una manera relativamente sencilla. Esta aproximación al área de la superficie fue descubierta por Arquímedes, quien utilizó este método para establecer la fórmula A  4 π r 2 para el área de la superficie de una esfera de radio r. Se necesitará la fórmula A = 2πr L (6)

R

,

R

FIGURA 6.4.7 Cono truncado (frustrum); la altura inclinada es L.

para el área de la superficie curva de una cónica truncada con radio promedio R   (r + r2) y altura inclinada L (figura 6.4.7). La ecuación (6) se deduce de la fórmula  1 A = πr L (7) del área de una superficie cónica con radio de la base r y altura inclinada L (figura 6.4.8). Es fácil obtener la ecuación (7) si se “desenrolla” la superficie cónica como un sector de un círculo de radio L, ya que el área de este sector es 2πr · π L 2 = πr L . A= 2π L

!LTURAINCLINADARADIO ,

,

R

,ONGITUDDEARCOPR

FIGURA 6.4.8 Área de la superficie de un cono. Corte a lo largo de L y luego desenróllelo como un sector circular.

, R

,,,

,

R

FIGURA 6.4.9 Obtención de la ecuación (6).

Para obtener la ecuación (6) a partir de la ecuación (7), pensamos en el cono truncado como la sección inferior de un cono con altura inclinada L 2  L + L 1 (figura 4.6.9). Restando el área de la sección cónica superior de la del cono completo se obtiene A = πr2 L 2 − πr1 L 1 = πr2 (L + L 1 ) − πr1 L 1 = π(r2 − r1 )L 1 + πr2 L para el área de cono truncado. Pero los triángulos rectángulos semejantes en la figura 6.4.9 llevan a la proporción r2 r2 r1 = = , L1 L2 L + L1 de donde se encuentra que (r2 − r1) L 1  r 1 L. Así, el área del cono truncado es A = πr1 L + πr2 L = 2πr L , donde R   (r1 + r2). Y con esto verificamos la ecuación (6).

Áreas de superficies de revolución Suponga que la superficie S tiene un área A y se genera al rotar alrededor del eje x el arco ≤ x ≤ b; suponga también que f (x) nunca es negativa en [a, b]. Para suave y  f (x), a − − aproximar A iniciamos con la división de [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x. Igual que en el análisis de la longitud de arco que llevó a la ecuación (2), sea Pi el punto (xi , f (xi )) en el arco. Entonces, como antes, el segmento de recta Pi−1 Pi tiene longitud   2 L i = |Pi−1 Pi | = 1 + f  (xi ) x para algún punto XI en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ].

SECCIÓN 6.4

Longitud de arco y área de la superficie de revolución

451

El cono truncado obtenido al rotar el segmento Pi−1 Pi alrededor del eje x tiene altura inclinada Li y, como se aprecia en la figura 6.4.10, radio promedio   r i = 12 f (xi−1 ) + f (xi ) . Debido a que R i está entre los valores de f (xi−1) y f (xi ), la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas (sección 2.4) conduce a un punto XI  en [xi−1, xi ] tal que R i  f (XI ). A partir de la ecuación (6), sabemos que el área de este cono truncado es,   2  2πr i L i = 2π f (xi ) 1 + f  (xi ) x. Y 0I 0I 

FXI 

RI

FXI

XI

XI  X I

XI

X

0UNTOMEDIO

FIGURA 6.4.10 Aproximación al área de la superficie de revolución mediante la superficie de un cono truncado.

Sumamos las áreas de estos conos truncados para i  1, 2, 3, . . . , n. Esto proporciona la aproximación A ≈

n 



2π f (xi )

 2 1 + f  (xi ) x.

i=1

Si XI y XI  fueran el mismo punto en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ], entonces esta aproximación sería una suma de Riemann para la integral 

b

 2π f (x) 1 + [ f  (x)]2 d x.

a

Aun cuando los números XI y XI  en general no son iguales, de todas maneras (por un resultado en el apéndice G) se deduce que la aproximación tiende a la integral anterior cuando x → 0. Intuitivamente, esto es fácil de creer, ya que cuando x → 0, la diferencia entre XI y XI  también tiende a cero. Por lo tanto podemos definir el área A de la superficie generada al rotar alrede≤ x ≤ b, por la fórmula dor del eje x el arco suave y  f (x), a − −

Y DS

B

 F .X/  C T F .X/U D X

!H



A

Y X

 Si escribimos y en lugar de f (x) y d s en lugar de 1 + (dy/d x)2 d x, como en la ecuación (4), se puede abreviar la ecuación (8) como B

!H

 Y DS

.EJEX/:



A

FIGURA 6.4.11 El pequeño arco d s genera una cinta con circunferencia 2πy cuando se rota alrededor del eje x.

Esta fórmula abreviada se recuerda en forma conveniente si se piensa en d A  2π y d s como el área de un cono truncado angosto obtenido al rotar un pequeño arco d s alrededor del eje x en un círculo de radio y (figura 6.4.11).

452

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 4 La figura 6.4.12 muestra la superficie con forma de cuerno generada ≤ x ≤ 2 alrededor del eje x. Encuentre el área de la superficie al rotar la curva y  x 3, 0 − − de revolución.



Solución Sustituyendo y  x 3 y   ds = 1 + [y  (x)]2 d x = 1 + 9x 4 d x

Y 

en la ecuación (9), obtenemos













X

!H





 X  . C X  /= D X

HAGA U H  C X 



FIGURA 6.4.12 El “cuerno” generado al rotar la curva y  x 3, 0 ≤ x ≤ 2, alrededor del eje x. − −

H

 . C X  /= 



H 

 =   :: 

Z

Si el arco suave que se rota alrededor del eje x está ahora dado por x  g ( y), ≤ y ≤ d, entonces la aproximación basada en una subdivisión de [c, d ] lleva a la c− − fórmula del área D

 Y  C TG .Y/U DY

!H



C

 Podemos obtener la ecuación (10) sustituyendo la fórmula ds = 1 + (d x/dy)2 dy de la ecuación (4 ) en la fórmula abreviada en la ecuación (9) para el área de superficie de revolución y luego reemplazando a y b con los límites de integración correctos.

y ds

Rotación alrededor del eje y

x

Ahora consideraremos la superficie generada al rotar un arco suave alrededor del eje y en lugar de alrededor del eje x. En la figura 6.4.13 observamos que el radio promedio del cono truncado angosto que se obtiene al rotar un arco muy pequeño d s es ahora x en lugar de y. Esto sugiere la fórmula abreviada x B

!H

FIGURA 6.4.13 El pequeño arco d s genera una cinta con circunferencia 2πx cuando se rota alrededor del eje y.

 X DS

.EJEY /



A

para el área de la superficie de revolución alrededor del eje y. Si el arco  suave está dado ≤ x ≤ b, entonces la sustitución simbólica ds = 1 + (dy/d x)2 d x por y  f (x), a − − proporciona B

!H

y

 X  C ; F .X/= D X



A

ªªªªª ª 

≤ y ≤ d, entonces la sustituPero si el arco suave se presenta en la forma x  g ( y), c −  − ción simbólica de ds = 1 + (d x/dy)2 dy en la ecuación (11) proporciona D

G.Y/  C TG .Y/U DY

!H

yªªx



C



FIGURA 6.4.14 Paraboloide del ejemplo 5.

x

Las ecuaciones (12) y (13) se pueden verificar usando aproximaciones similares a las que llevaron a la ecuación (8). EJEMPLO 5 Encuentre el área del paraboloide que se ilustra en la figura 6.4.14, que ≤x≤ , alrededor del eje y. se genera al rotar el arco y  x 2, 0 − −

SECCIÓN 6.4

Longitud de arco y área de la superficie de revolución

453

Solución Siguiendo la sugerencia que precede este ejemplo, obtenemos   2    b dy A= 2π x ds = 2π x 1 + dx dx  a  √2  = 2π x 1 + (2x)2 d x 0 √

 = 0

2

√2  π 13 π = (1 + 4x 2 )1/2 · 8x d x = (1 + 4x 2 )3/2 π. 4 6 3 0

Z

RESUMEN DEL ÁREA DE SUPERFICIE En conclusión, tenemos cuatro fórmulas para las áreas de las superficies de revolución, las cuales se resumen en la tabla de la figura 6.4.15. Decidir cuál de estas fórmulas es apropiada para calcular el área de una superficie dada depende de dos factores: 1. Si la curva suave que genera la superficie se presenta en la forma y  f (x) o en la forma x  g ( y), y 2. Si el arco se rota alrededor del eje x o alrededor del eje y. %JEDEROTACI˜N EJEX Y H F .X/ A X B $ESCRIPCI˜N DELACURVA#

X H G.Y/ C Y D

EJEY

B

B

 F .X/  C T F .X/U D X



A

 X  C T F .X/U D X



G.Y/  C TG .Y/U DY



A D

D

 Y  C TG .Y/U DY



C

C

FIGURA 6.4.15 Fórmulas de área para superficies de revolución.

Memorizar las cuatro fórmulas de esta tabla es innecesario. Se sugiere en su lugar memorizar las fórmulas abreviadas de las ecuaciones (9) y (11) junto con las figuras 6.4.11 y 6.4.13 y hacer la sustitución Y H F .X/;

DS H

C

DY DX

X H G.Y/;

DS H

C

DX DY



DX

OLASUSTITUCI˜N 

DY;

dependiendo de si el arco suave se presenta como función de x o como función de y. Es útil observar que estas cuatro fórmulas de área de superficie tienen la forma  A=



2πr ds,

(14)



donde r es el radio del círculo alrededor del cual rota el elemento de longitud de arco d s. Igual que en las secciones anteriores, le advertimos que es necesario identificar la variable independiente examinando el diferencial y expresar cada variable dependiente en términos de la variable independiente antes de antiderivar. Esto es, ya sea que exprese todo, incluyendo d s, en términos de x ( y d x) o todo en términos de y ( y d y).

454

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

La decisión de cuál fórmula abreviada —ecuación (9) o ecuación (11)— debe usar está determinada por el eje de revolución. Por el contrario, la decisión de si la variable de integración debe ser x o y se basa sólo en la forma en que se da el arco suave: como función de x o como función de y. En algunos problemas se puede utilizar cualquiera, x o y, como variables de integración, pero suele ser más sencillo evaluar la integral si hace la elección correcta. La experiencia es muy útil. Ahora, repita el ejemplo 5 con la variable independiente y.

6.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La longitud de la parte de la curva seno mostrada en la figura se puede aproximar en forma precisa sumando las longitudes de las cuerdas inscritas (como las que se muestran en la figura). Y   











X





2. Si f 9 es continua en [a, b], entonces la longitud de su gráfica está definida por  b L= 1 + [ f  (x)]2 d x. a

3. Si f 9 es continua en [a, b], entonces la integral definida en la pregunta 2 existe. ≤ y ≤ d, entonces la longitud de su gráfica es 4. Si x  g (t) y g9 es continua para c − −  d L= 1 + [g  (y)]2 dy. c

5. En la sección 6.4 se probó que si tanto la fórmula de la pregunta 2 como la fórmula de la pregunta 4 se pueden usar para encontrar la longitud de una gráfica, entonces los resultados son iguales. 6. La superficie curva de la cónica truncada en la figura 6.4.7 es 2πr L donde L es la altura inclinada y R es el radio promedio de sus dos bases. ≤ x ≤ b y la gráfica de y  f (x) 7. Si f  es continua, f (x) es positiva para a − − ≤ x ≤ b) se rota alrededor del eje x, entonces el área de superficie de revolu(a − − ción así generada es  b  2π f (x) 1 + [ f  (x)]2 d x. A= a

≤ a ≤ x ≤ b y la gráfica de y  f (x) 8. Si f 9 es continua, f (x) es positiva para 0 − − − ≤ x ≤ b) se rota alrededor del eje y, entonces el área de superficie de revolu(a − − ción así generada es  b  2π x 1 + [ f  (x)]2 d x. A= a

9. El área de superficie para la superficie mostrada en la figura 6.4.12 es aproximadamente 203.04. 10. El área de superficie del paraboloide mostrado en la figura 6.4.14 es exactamente   

SECCIÓN 6.4

Longitud de arco y área de la superficie de revolución

455

6.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Con frecuencia un concepto se enriquece cuando se estudia desde diferentes perspectivas. 1. Demuestre que el método de la longitud de arco de esta sección proporciona  1/√2 1 dx C =8 √ 1 − x2 0 para la circunferencia de un círculo unitario x 2 + y 2  1. En la sección 6.8 se verá que  $X SEN X H p ;  X donde y  sen− 1 x denota el ángulo en [−πy2, πy2] tal que sen y  x. Concluya que # H  SEN



p = 

X

  H : 

H



2. Suponga que Pn es el perímetro de un polígono regular con n costados inscrito en el círculo unitario. Suponga que el límite P  límn → ∞ Pn existe (así es). ¿Puede concluir de la definición de la integral como un límite de sumas de Riemann que P  C (la circunferencia del círculo de la pregunta 1)? 3. ¿Puede probar que el límite P  límn → ∞ Pn de la pregunta 2 existe? ¿Puede demostrar que si Qm es el perímetro de un polígono regular con m costados circunscrito en un círculo unitario, entonces Pn < Qm? ¿Comprende que esto implica que hay un límite en cuánto a qué tan grande puede ser Pn? 4. El problema 52 en la sección 5.3 implica que el perímetro Pn de la pregunta 2 está dado por  0N H N SEN : N Use la regla de l’Hôpital para demostrar que P  límn → ∞ Pn  2π.

6.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, establezca y simplifique la integral que da la longitud del arco suave dado. No evalúe la integral. 1. y = x 2 , 0  x  1 2. y = x 5/2 , 1  x  3 3. y = 2x 3 − 3x 2 , 0  x  2 4. y = x 4/3 , −1  x  1 5. y = 1 − x 2 , 0  x  100 6. x = 4y − y 2 , 0  y  1 7. x = y 4 , −1  y  2 8. y = e x , 0  x  1 9. y = ln x, 1  x  2 10. y = ln(cos x), 0  x  π/4 En los problemas 11 a 20, establezca y simplifique la integral del área de superficie de revolución generada por la rotación del arco suave dado alrededor del eje indicado. No evalúe la integral.  Y H X   X  ELEJEX  Y H X   X  ELEJEY  Y H X X   X  ELEJEX  Y H X   X  LARECTA Y H 

 Y H X 



X



LARECTA X H 



X





 Y H X X

ELEJEX

 Y H LN.X  /  X  ELEJEY p  Y H X  X  ELEJEY  Y H LN.X C /  Y H X

=





 X

X 



LARECTA X H 

LARECTA Y H 

Encuentre las longitudes de los arcos suaves en los problemas 21 a 28.  Y H  .X  C /= DE X H  A X H   X H  .Y /= DE Y H  A Y H    X C    X H Y  C   Y H

 DE X H  A X H  X  DE Y H  A Y H  Y 

 X  Y X  H  DE ;  A ;    X Y Y  H  DE

 ; 

A

 ; 

 Y H  .E X C EX / DE X H  A X H  Y H  X  LN X DE X H  A X H 

456

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

En los problemas 29 a 35, encuentre el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva dada alrededor del eje indicado. p  Y H X  X  ELEJEX  Y H X   X  ELEJEX    Y H X  C  X  ELEJEY  X     X H Y  C   Y  ELEJEX  Y  Y  H X 

X



 Y H  .E X C EX /  

 

 Y H X LN X 

43. En la figura 6.4.18 se encuentra una zona esférica de altura h (se obtiene cortando una esfera con dos planos paralelos que la intersecan). Demuestre que el área de la superficie de esta zona es A  2π r h, donde r es el radio de la esfera y h (la altura de la zona) es la distancia entre los dos planos. Observe que A depende sólo de la altura de la zona y no de la localización específica de los dos planos relativa a la esfera.

ELEJEY X X

 

ELEJEX

R

H

ELEJEY

36. Demuestre que la longitud de arco de la curva y  sen x es igual a la mitad de la circunferencia de la elipse 2x 2 + y 2  2. [Sugerencia: sustituya x  cos θ en la integral de longitud de arco para la elipse.] 37. Use la aproximación de Simpson con n  6 subintervalos para estimar la longitud del arco del problema 36. 38. Use la aproximación de Simpson con n  10 subintervalos para estimar la longitud de la parábola y  x 2 de x  0 a x  1. 39. Verifique la ecuación (6) para el área de la superficie curva de una cónica truncada. Piense en la cónica truncada como si hubiera sido generada al rotar alrededor del eje y el segmento de recta de (r1, 0) a (r2, h). 40. Considerando una esfera de radio r como una superficie de revolución, obtenga la fórmula A  4π r 2 para el área de su superficie. 41. Encuentre la longitud total del astroide que se muestra en la figura 6.4.16. La ecuación de esta gráfica es x 2y 3 + y 2y 3  1.

FIGURA 6.4.18 Zona esférica del problema 43.

44. La figura 6.4.19 muestra un lazo de la curva 32y 2  x 2(4 − x 2). Encuentre el área de la superficie generada al girar este lazo alrededor del eje x.   Y

YX X





 



Y



X







FIGURA 6.4.19 Lazo del problema 44. X Y  X

45. La figura 6.4.20 muestra el cable de un puente colgante. El cable tiene la forma de una parábola con ecuación y  kx 2. El puente tiene un claro total de 2S y la altura del cable (relativa a su punto más bajo) en cada extremo es H. Demuestre que la longitud total del cable está dada por  S 4H 2 L=2 1 + 4 x 2 d x. S 0 Y

FIGURA 6.4.16 Astroide del problema 41.

42. Encuentre el área de la superficie generada al rotar el astroide del problema 41 alrededor del eje y (figura 6.4.17).

3

3

(

( X

FIGURA 6.4.20 Cable de soporte de un puente colgante.

FIGURA 6.4.17 Superficie del problema 42.

46. Ingenieros italianos han propuesto un puente colgante de un solo tramo sobre el estrecho de Messina (8 km de ancho) entre Italia y Sicilia. El plan incluye torres de suspensión con 380 m de altura en cada extremo. Utilice la integral del problema 45 para aproximar la longitud L de los cables de suspensión parabólicos del puente propuesto. Suponiendo que las dimensiones son exactas, use la aproximación de Simpson para estimar la integral con suficiente precisión para determinar L al metro más cercano.

SECCIÓN 6.5

Fuerza y trabajo

457

6.5 FUERZA Y TRABAJO El concepto de trabajo se introdujo para medir el efecto acumulado de una fuerza al mover un cuerpo de una posición a otra. En el caso más sencillo, una partícula se mueve en una línea recta por la acción de una fuerza constante. El trabajo realizado por una fuerza como esa se define como el producto de la fuerza por la distancia en la cual actúa. Así, si la fuerza constante tiene una magnitud F y la partícula se mueve una distancia d, entonces el trabajo realizado por esta fuerza está dado por 7 H &
D:  .FUERZA M

FIGURA 6.5.1 Una fuerza de 50 N hace un trabajo de 500 N·m al empujar la caja 10 m.



EJEMPLO 1 Si una fuerza constante horizontal de 50 newtons (N) se aplica para empujar una caja pesada una distancia de 10 metros sobre un piso áspero (figura 6.5.1), entonces el trabajo realizado por la fuerza es W  50 · 10  500 newtons-metro (N·m). Observe las unidades; por la definición de trabajo, sus unidades son siempre el producto de unidades de fuerza por unidades de distancia. En otro ejemplo, para levantar un peso de 75 lb una distancia de 5 ft, se debe aplicar una fuerza constante de 75 lb. El trabajo realizado por esta fuerza es W  75 · 5  375 Z

pies-libra (ft·lb).

Trabajo realizado por una fuerza variable &X A

X

B

FIGURA 6.5.2 Una fuerza variable F(x) empuja a una partícula de a a b.

&XI( XI 

XI(

Ahora se usará la integral para generalizar la definición de trabajo en el caso en que una fuerza variable mueve a una partícula a lo largo de una línea recta. Dada una función de fuerza F (x) definida en cada punto x de un segmento de recta [a, b], se quiere definir el trabajo W realizado por esta fuerza variable al empujar la partícula del punto x  a al punto x  b (figura 6.5.2). Comenzamos con la partición usual de [a, b] en n subintervalos, todos de la ≤ i ≤ n), sea XI un punto arbitrario en misma longitud x  (b − a)yn. Para cada i (1 − − el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi ]. La idea clave es aproximar el trabajo real Wi realizado por la fuerza variable F(x) al mover la partícula de xi−1 a xi por el trabajo F( XI )x (fuerza × distancia) realizado al mover la partícula una distancia x de xi−1 a xi (figura 6.5.3). Por lo tanto Wi ≈ F(xi ) x.

XI

FIGURA 6.5.3 La fuerza constante &.XI / actúa en el i-ésimo subintervalo.

(2)

Aproximamos el trabajo total W sumando de i  1 a i  n: W =

n 

Wi ≈

i=1

n 

F(xi ) x.

(3)

i=1

Pero la suma final en (3) es una suma de Riemann para F(x) en el intervalo [a, b], y cuando n → +∞ (y x → 0). Esas sumas tienden a la integral de F(x) de x  a a x  b. Por lo tanto, éste es un motivo para definir el trabajo W realizado por la fuerza F(x) al mover la partícula de x  a a x  b como B

7 H

&.X/ D X:



A

La siguiente es una forma heurística para establecer la ecuación (4) que ayuda a obtener las integrales en los problemas de trabajo. Suponga que d x es un número tan pequeño que el valor de F (x) no cambia de manera apreciable en el pequeño intervalo de x a x + d x. De este modo, el trabajo realizado por la fuerza F al mover una partícula de x a x + d x debe ser muy cercano a d W  F(x) d x.

458

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

La propiedad aditiva natural del trabajo implica entonces que se puede obtener el trabajo total W sumando todos los pequeños elementos de trabajo:  b   dW = F(x) d x. W = 

a

Resortes elásticos Considere un resorte con el extremo izquierdo fijo y el extremo derecho libre para moverse a lo largo del eje x. Si se supone que el extremo derecho se encuentra en el origen x  0 cuando el resorte tiene su longitud natural, esto es, cuando está en su posición de reposo, no está comprimido ni estirado por fuerzas externas. De acuerdo con la ley de Hooke para resortes elásticos, la fuerza F (x) que se debe aplicar al resorte para mantener su extremo derecho en el punto x es proporcional al desplazamiento x de su extremo derecho desde su posición de reposo. Esto es, &.X/ H KX;



donde k es una constante positiva. La constante k, llamada constante del resorte, es una característica del resorte específico que se estudia. La figura 6.5.4 muestra el arreglo de uno de esos resortes a lo largo del eje x. El extremo derecho del resorte se mantiene en la posición x en el eje x por una fuerza F (x). La figura muestra la situación para x > 0, de manera que el resorte se encuentra estirado. La fuerza que el resorte ejerce en su lado derecho está dirigida hacia la izquierda, entonces —como lo indica la figura— la fuerza externa F (x) debe actuar hacia la derecha. La derecha es la dirección positiva en este caso, por lo que F (x) debe ser un número positivo. Como x y F (x) tienen el mismo signo, entonces k también es positiva. Puede verificar que k también es positiva en el caso de x < 0.

X

X ,ONGITUD NATURAL, X X

&UERZAEXTERNA&X X

%STIRAMIENTOX

FIGURA 6.5.4 El estiramiento x es proporcional a la fuerza F aplicada.

El trabajo en física es diferente que el trabajo en fisiología. En este momento el levantador de pesas no está realizando un trabajo desde el punto de vista físico porque está manteniendo las pesas sin movimiento.

EJEMPLO 2 Suponga que un resorte tiene una longitud natural de 1 ft y que se requiere una fuerza de 10 lb para comprimirlo a una longitud de 6 in. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirar el resorte de su longitud natural a una longitud total de 2 ft?

Solución Para mover el extremo libre desde x  0 (la posición con longitud natural) hasta x  1 (estirado a 1 ft), se debe aplicar una fuerza F(x) determinada por la ley de Hooke. Sabemos que F  −10 (lb) cuando x  −0.5 (ft), por la ecuación (5), F  k x implica que la constante del resorte es k  20 (lb/ft). Así, F (x)  20x, y entonces

SECCIÓN 6.5

Fuerza y trabajo

459

—usando la ecuación (4)— encontramos que el trabajo realizado para estirar este resorte en la forma dada es  1

1 Z 20x d x = 10x 2 = 10 (ft·lb). W = 0

0

Trabajo realizado contra de la gravedad De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo para mantenerlo a una distancia r del centro de la Tierra es inversamente pro≥ R, el radio de la Tierra). En otras palabras, si F (r) es la fuerza porcional a r 2 (si r − para mantenerlo quieto, entonces k F(r ) = 2 (6) r para alguna constante positiva k. El valor de esta fuerza en la superficie de la Tierra, donde r  R ≈ 4000 mi (aproximadamente 6370 km), se llama peso del cuerpo. Dado el peso F(R) de un cuerpo en particular, se puede obtener el valor de k usando la ecuación (6): k  R 2 · F( R ). El trabajo que se debe realizar para levantar el cuerpo en dirección vertical desde la superficie hasta una distancia R1 > R al centro de la Tierra es entonces  R1 k W = dr. (7) r2 R Si la distancia se mide en millas y la fuerza en libras, esta integral da el trabajo en millas-libras. Ésta es una unidad poco convencional para el trabajo. Se multiplicará el resultado por 5280 (ft/mi) para convertirlo en pies-libras

3AT£LITE

2ADIO MI

!LTITUD MI

FIGURA 6.5.5 Satélite en órbita a 1000 mi por encima de la superficie de la Tierra (ejemplo 3).

EJEMPLO 3 (lanzamiento de satélites) ¿Cuánto trabajo se debe realizar para levantar un satélite de 1000 lb en forma vertical desde la superficie de la Tierra hasta una órbita 1000 mi arriba de la superficie? Vea la figura 6.5.5 y utilice R  4000 (mi) como radio de la Tierra.

Solución Debido a que F  1000 (lb) cuando r  R  4000 (mi), con la ecuación (6) se obtiene que k  4000 2 · 1000  16 × 10 9 (mi 2 ·lb). Entonces, por la ecuación (7), el trabajo realizado es    5000 k 5000 k W = dr = − 2 r 4000 4000 r

 1 1 = (16 × 109 ) · 4000 − 5000 = 8 × 105

(mi·lb).

Multiplicamos por 5280 (ft/mi) y escribimos la respuesta como 4.224 × 109 = 4,224,000,000 (ft·lb). Z También podríamos expresar la respuesta del ejemplo 3 en términos de la potencia que debe desarrollar el cohete que lo lanza. La potencia es la tasa a la cual se hace el trabajo. Por ejemplo 1 caballo de fuerza (hp) se define como 33,000 ft·lb/min. Si al ascenso a la órbita tarda 15 min y sólo 2% de la potencia generada por el cohete es efectiva para levantar el satélite (el resto se usa para levantar el cohete y su combustible), podemos convertir la respuesta del ejemplo 3 en caballos de fuerza. La potencia promedio que debe producir el motor del cohete durante los 15 minutos de ascenso es 50 · (4.224 × 109 ) ≈ 427,000 (hp). 15 · 33,000 El factor de 50 en el numerador corresponde a 2% de “eficiencia” del cohete: la potencia total debe multiplicarse por 1y(0.02)  50. P=

460

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Trabajo realizado para llenar un tanque Y ¬READE LASECCI˜N TRANSVERSAL !Y

B

Y

A

3UELO X

FIGURA 6.5.6 Un tanque elevado.

Los ejemplos 2 y 3 son aplicaciones de la ecuación (4) para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable para mover una partícula cierta distancia. Otro tipo común de problemas trabajo-fuerza tiene que ver con la suma del trabajo hecho por fuerzas constantes que actúan a lo largo de diferentes distancias. Por ejemplo, considere el problema de bombear un fluido desde el nivel del suelo (donde y  0) hasta un tanque arriba del nivel del suelo (figura 6.5.6). Es conveniente pensar que el llenado del tanque se hace por capas delgadas horizontales de fluido, cada una de ellas levantada del suelo hasta su posición final dentro del tanque. No importa cómo se comporte el fluido durante el llenado del tanque, esta forma sencilla de pensamiento respecto al proceso proporciona una forma de calcular el trabajo realizado en el proceso de llenado. Pero cuando pensamos en esta forma de llenado, debemos considerar que las diferentes capas de fluido se deben levantar a diferentes alturas para llegar a su posición final dentro del tanque. Suponga que la parte baja del tanque se encuentra a una altura y  a y que su parte superior está a una altura y  b > a. Sea A( y) el área de la sección transversal del tanque a una altura y. Considere una partición de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud y. De este modo, el volumen de la rebanada horizontal (figura 6.5.7) del tanque que corresponde al i-ésimo subintervalo [ yi−1, yi ] es  yi A(y) dy = A(yi ) y Vi = yi−1

Y ¬READELASECCI˜NTRANSVERSAL! YI YI YI 

YI $Y .IVELDELSUELO X

FIGURA 6.5.7 Una rebanada de fluido horizontal delgada con volumen V  A(Y I ) y. Cada partícula de esta rebanada debe levantarse (desde el suelo en y  0) una distancia entre yi−1 y y i.

para algún número YI en [ yi−1, yi ]; ésta es una consecuencia del teorema del valor promedio para integrales (sección 5.6). Si ρ es la densidad del fluido (por ejemplo en libras por pie cúbico), entonces la fuerza requerida para levantar esta rebanada del suelo a su posición final en el tanque es simplemente el peso (constante) de la rebanada: Fi  ρ Vi  ρA( YI ) y. Pero, ¿qué hay de la distancia a lo largo de la cual debe actuar la fuerza? El fluido del ejemplo debe levantarse desde el piso hasta el nivel del subintervalo [ yi−1, yi ], por lo que cada partícula del fluido se levanta al menos la distancia yi−1 y cuando mucho una distancia yi (recuerde, el fluido inicia su recorrido en el nivel del suelo, donde y  0). Así, el trabajo Wi necesario para levantar la i-ésima rebanada de fluido satisface las desigualdades ≤ Wi ≤ Fi yi ; Fi yi−1 − − esto es, ρyi−1 A(yi ) y  Wi  ρyi A(yi ) y. Ahora sumamos  estas desigualdades para i  1, 2, 3, . . . , n y encontramos que el trabajo total W = Wi satisface las desigualdades n n    ρyi−1 A(yi ) y  W  ρyi A(yi ) y. i=1

i−1

Si los tres puntos yi−1, yi y YI de [ yi−1, yi ] fueran el mismo, entonces las dos últimas sumas serían sumas de Riemann para la función f ( y)  ρ y A( y) en [a, b]. Aunque los tres puntos no son el mismo, todavía se puede deducir —de un resultado dado en el apéndice G— que ambas sumas tienden a B

Y !.Y/ DY

CUANDO

Y ! :

A

La fórmula de compresión de los límites da la fórmula B

7 H

Y !.Y/ DY



A

Éste es el trabajo realizado al bombear un fluido de densidad ρ desde el suelo hasta un tanque que tiene un área de sección transversal A( y) y que se localiza entre las alturas y  a y y  b arriba del suelo.

SECCIÓN 6.5

Fuerza y trabajo

461

Una forma heurística rápida para establecer la ecuación (8), y muchas variantes de ella, es pensar en una rebanada horizontal delgada de fluido con volumen d V  A ( y )d y y peso ρ d V  ρ A(y)d y. El trabajo requerido para levantar esa rebanada una distancia y es D 7 H Y
 D 6 H Y !.Y/ DY; PORLOQUEELTRABAJOTOTALREQUERIDOPARARELLENARELTANQUEES B

D7 H

7 H

Y !.Y/ DY; A

ya que las capas horizontales se encuentran entre y  a y y  b. EJEMPLO 4 Suponga que se llevó 20 años construir la gran pirámide de Keops en Giza, Egipto. La pirámide tiene 500 ft de altura y una base cuadrada cuyos costados tienen una longitud de los costados de 750 ft. Suponga también que la pirámide está hecha con roca de una densidad ρ  120 lb/ft 3. Finalmente, suponga que cada trabajador realizaba 160 ft·lb/h de trabajo al levantar las rocas desde el nivel del suelo hasta su posición final en la pirámide y que trabajó 12 h diarias durante 330 días/año. ¿Cuántos trabajadores construyeron la pirámide?

Solución Suponga que se usó una fuerza de trabajo constante durante los 20 años que llevó la construcción. Piense que la pirámide está hecha de capas horizontales delgadas de roca, cada capa levantada (como una rebanada de líquido) desde el nivel del suelo hasta la altura final, por lo que se puede emplear la ecuación (8) para calcular el trabajo W requerido. La figura 6.5.8 muestra una sección transversal vertical de la pirámide. La sección transversal horizontal a una altura y es un cuadrado con costados de longitud s. De los triángulos semejantes en la figura 6.5.8 se ve que

La gran pirámide de Keops.

S 500 Y H ; 750 500 Y

de manera que S H

3 .500 Y/: 2

Así, el área de la sección transversal en la altura y es A(y) = 94 (500 − y)2 .

 Y

La ecuación (8) proporciona S

 W =

Y

500

0



X

120 · y · 94 (500 − y)2 dy



= 270

500

(250,000y − 1000y 2 + y 3 ) dy

0

FIGURA 6.5.8 Sección transversal vertical de la pirámide de Keops.

= 270 125,000y 2 −

1000 3 y 3

+ 14 y 4

500 0

,

entonces W ≈ 1.406 × 1012 ft·lb. Como cada trabajador realiza 160 · 12 · 330 · 20 ≈ 1.267 × 107

ft·lb

de trabajo, la construcción de la pirámide —con nuestras suposiciones— habría requerido 1.406 × 1012 ≈ 111,000 1.267 × 107

trabajadores.

Z

462

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Vaciado de un tanque Suponga ahora que el tanque de la figura 6.5.9 ya está lleno con un líquido que tiene densidad ρ lb/ft 3, y se quiere bombear este líquido desde el tanque a un nivel y  h más arriba que la parte alta del tanque. Imaginamos la rebanada horizontal delgada de líquido a la altura y. Si su espesor es d y, entonces su volumen es d V  A(y) d y y su peso es ρ d V  ρ A(y) d y. Esta rebanada debe levantarse una distancia h − y, por lo que el trabajo realizado para levantar esta rebanada es D 7 H .H Y/ D 6 H .H Y/!.Y/ DY:

De ahí que la cantidad total del trabajo realizado con todo el líquido originalmente en el tanque es B

7 H



.H Y/!.Y/ DY. A

El problema 14 pide utilizar las sumas de Riemann para obtener esta integral. Y

H

H Y 4ANQUE

B Y

¬READELASECCI˜N TRANSVERSAL!Y A

3UELO X

FIGURA 6.5.9 Bombeo de líquido desde un tanque a un nivel más alto. Y 

 Y

EJEMPLO 5 Un tanque cilíndrico de 3 ft de radio y 10 ft de altura está en el suelo sobre uno de sus costados. Si el tanque está lleno de gasolina con un peso total de 40 lb/ft 3, ¿cuánto trabajo es necesario para bombear toda esa gasolina a un punto que está 5 ft arriba de la parte superior del tanque?

Y Y Y  W 



Y 3UELOY 

FIGURA 6.5.10 Vista por un extremo del tanque cilíndrico del ejemplo 5.

Solución La figura 6.5.10 muestra una vista desde un extremo del tanque. Para aprovechar su simetría circular, elegimos y  0 en el centro de la sección circular vertical, entonces el tanque se encuentra entre y  −3 y y  3. La sección trasversal horizontal del tanque en el eje y es un rectángulo con largo de 10 ft y ancho w. Del triángulo rectángulo en la figura 6.5.10 vemos que 1 H 2

H

9 Y2;

de manera que el área de esta sección transversal es !.Y/ H 10H H 20 9 Y 2 :

Esta sección transversal debe levantarse desde su posición inicial y a la posición final 5 + 3  8, por lo que debe levantarse un distancia de 8 − y. Así, la ecuación (9), con ρ  40, a  −3 y b  3 lleva a

SECCIÓN 6.5

 W =

3

−3

Fuerza y trabajo

463

 40 · (8 − y) · 20 9 − y 2 dy 

= 6400

3

−3



 9−

y2

dy − 800

3 −3

 y 9 − y 2 dy.

Trabajamos las dos integrales por separado. Primero,  

Y  Y  DY H  . Y  /=

 

H :

0OSTERIORMENTE 

 Y  DY H  
 H  ;



porque la integral es simplemente el área de un semicírculo de radio 3. De esta forma, W = 6400 · 92 π = 28800π,

Z

aproximadamente 90,478 ft·lb.

OBSERVACIÓN Como en el ejemplo 5, en los problemas puede usar cuando sea necesario la integral  a a 2 − x 2 d x = 14 πa 2 , (10) 0

que corresponde al área de un cuarto de círculo de radio a.

Fuerza ejercida por un líquido La presión p a la profundidad h en un líquido es la fuerza por unidad de área ejercida por el líquido a esa profundidad. La presión está dada por p  ρ h,

(11)

donde ρ es la densidad (peso) del líquido. Por ejemplo, a una profundidad de 10 ft en agua para la cual ρ  62.4 lb/ft 3, la presión es 62.4 · 10  624 lb/ft 3. Así, si una placa plana delgada con un área de 5 ft 2 se suspende en posición horizontal a una profundidad de 10 ft bajo el agua, el agua ejerce una fuerza hacia abajo de 624 · 5  3120 lb en la cara superior de la placa y una fuerza igual hacia arriba en la cara inferior. Es importante recordar que a una profundidad dada en un líquido, la presión es la misma en todas las direcciones. Pero si esta placa plana se sumerge en el líquido en posición vertical, entonces la presión en las caras no es constante, porque, de acuerdo con la ecuación (11), la presión se incrementa con la profundidad. En consecuencia, la fuerza total ejercida en una placa vertical debe calcularse por integración. Considere una placa plana delgada vertical sumergida en un líquido de densidad ρ (figura 6.5.11). La superficie del líquido está en la recta y  c y la placa se encuentra ≤ y ≤ b. El ancho de la placa en la profundidad c − y colocada entre el intervalo a − − es alguna función de y, la cual se puede denotar por w( y). Para calcular la fuerza total F ejercida por el líquido en cualquier cara de esta placa, comencemos con una partición de [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud y y sea YI el punto medio del subintervalo [ yi−1, yi ]. La franja horizontal de la placa opuesta al i-ésimo subintervalo se aproxima por un rectángulo de ancho w ( YI ), altura y y su profundidad promedio en el líquido es c − YI . Así, la fuerza Fi ejercida por el líquido en esta franja horizontal está dada aproximadamente por &I  .C YI /H.YI

Y:



La fuerza total en la placa completa está dada aproximadamente por N

&H

N

&I  IH1

.C YI /H.YI IH1

Y:

464

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y YCSUPERFICIEDELL¤QUIDO C Y

B Y

WY

A

X

FIGURA 6.5.11 Una placa delgada suspendida verticalmente en un líquido.

Obtenemos el valor exacto de F tomando el límite de estas sumas de Riemann cuando y → 0: B

&H



.C Y/H.Y/ DY. A

EJEMPLO 6 Un tanque cilíndrico de 8 ft de diámetro se encuentra en el suelo sobre uno de sus costados y contiene, hasta la mitad, aceite con densidad ρ  75 lb/ft 3. Encuentre la fuerza total ejercida por el aceite en un extremo del tanque. Y

XY

Y

X



DY W 

FIGURA 6.5.12 Vista desde un extremo del tanque del ejemplo 6.

Solución Colocamos el eje y, como se muestra en la figura 6.5.12, para que del acei≤ y ≤ 0. Del triángulo te llegue al nivel y  0. El aceite se encuentra en el intervalo −4 − − rectángulo en la figura vemos que el ancho del aceite a una profundidad −y (y por ende donde se localiza y) es H.Y/ H 2 16 Y 2 : Entonces, la ecuación (13) da 0

75.Y/ 2 16 Y 2 DY H 75

&H 4

2 .16 3

Y 2 /3=2

0 4

H 3200

(lb):

6.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La ecuación (1) de la sección 6.5 se usa en el caso de una fuerza constante F y una distancia constante d. 2. El trabajo se mide en unidades como newton-metros o pies-libras.

SECCIÓN 6.5

Fuerza y trabajo

465

3. En el caso de una partícula que se movió de x  a a x  b por una fuerza variable F(x), el trabajo se define como  b F(x) d x. W = a

4. La ley de Hooke se expresa en la forma F(x)  kx donde k es una constante positiva. 5. La constante del resorte del ejemplo 2 en la sección 6.5 es k  20 lb/ft. 6. El trabajo para conseguir levantar un cuerpo verticalmente desde la superficie de la Tierra (de radio R) a una distancia R1 > R desde el centro de la Tierra es  R1 k W = dr r2 R donde k es una constante. 7. El trabajo W realizado al bombear un fluido de densidad ρ desde el suelo hasta un tanque que tiene un área de sección transversal horizontal A( y) y que se localiza entre las alturas y  a y y  b > a arriba del suelo es  b W = ρy A(y) dy. a

8. El trabajo utilizado para construir la gran pirámide de Keops en Giza se calculó en el ejemplo 4 y es aproximadamente 1.406 × 10 1 2 ft·lb. 9. La presión p a una profundidad h en un líquido es p  ρ h donde ρ es la densidad (peso) del líquido. 10. La fuerza ejercida por el aceite en un extremo del tanque del ejemplo 6 es 3200 lb.

6.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que levanta un gran peso sobre su cabeza y lo deja caer de nuevo al suelo. Un observador dice que no realizó un trabajo porque el peso está de nuevo en su posición original. Usted no está de acuerdo ¿Quien está en lo correcto? 2. Considere un tanque de agua con la forma de un sólido de revolución alrededor de su eje vertical. La fórmula del trabajo en la ecuación (8) se obtuvo analizando capas horizontales. ¿Es posible utilizar capas cilíndricas para obtener una fórmula de integral que se pueda utilizar para calcular el trabajo requerido para llenar el tanque?

6.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 5, encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x) al mover una partícula a lo largo del eje x de x  a a x  b.  &.X/ H 10;

A H 2, B H 1

 &.X/ H 3X 1; A H 1, B H 5 10  &.X/ H 2 ; A H 1, B H 10 X p  &.X/ H 3 X; A H 0, B H 4  &.X/ H sen  X;

A H 1, B H 1

6. Un resorte tiene una longitud natural de 1 m y se requiere una fuerza de 10 N para mantenerlo estirado con una longitud de 2 m. ¿Cuánto trabajo se realiza al comprimir este resorte de su longitud natural a una longitud de 60 cm? 7. Un resorte tiene una longitud natural de 2 ft y se requiere una fuerza de 15 lb para mantenerlo comprimido con una longitud de 18 in. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirar este resorte de su longitud natural a una longitud de 3 ft?

8. Aplique la ecuación (4) para calcular la cantidad de trabajo efectuado al levantar un peso de 100 lb a una altura de 10 ft, suponiendo que este trabajo se hace en contra de la fuerza de gravedad constante. 9. Calcule la cantidad de trabajo (en pies-libras) realizado al levantar un peso de 1000 lb desde una órbita de 1000 mi por encima de la superficie de la Tierra hasta unas 2000 millas por encima de la superficie de la Tierra. Use el valor de k dado en el ejemplo 3. 10. Un tanque cilíndrico con radio de 5 ft y altura de 10 ft está colocado en el suelo y su eje es vertical. Use la ecuación (8) para calcular la cantidad de trabajo realizado al llenar este tanque con agua bombeada desde el nivel del suelo. (Use ρ  62.4 lb/ft 3 para la densidad del agua.) 11. Un tanque cónico se encuentra sobre su base, la cual se encuentra a nivel del suelo y su eje es vertical. El tanque tiene un radio de 5 ft y una altura de 10 ft (figura 6.5.13). Calcule el trabajo efectuado al llenar este tanque con agua (ρ  62.4 lb/ft 3) bombeada desde el nivel del suelo.

466

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y  Y R

Y 

X

FIGURA 6.5.13 Tanque cónico del problema 11.

12. Repita el problema 11, pero ahora con un tanque que está de cabeza. Su vértice está a nivel del piso y su base se encuentra 10 ft arriba del suelo. 13. Un tanque cuyo punto más bajo se encuentra a 10 ft arriba del suelo tiene forma de una taza obtenida de la parábola ≤ x 2  5y, −5 ≤ − x − 5, alrededor del eje y (figura 6.5.14). Las unidades de los ejes coordenados están dadas en pies. ¿Cuánto trabajo se realiza al llenar este tanque con aceite de densidad de 50 lb/ft 3 si el aceite se bombea desde el suelo? Y

X Y X 

FIGURA 6.5.15 Tanque de gasolina del problema 16.

b) Recuerde que 1 hp equivale a 33,000 ft·lb/min. Para entender la relación de conversión eléctrica, 1 kW (1000 W) es lo mismo que 1.341 hp. El costo de la electricidad generada por una compañía es típicamente alrededor de 7.2¢/kWh. Suponga que el motor en la bomba de gasolina tiene una eficiencia de 30%. ¿Cuánto cuesta bombear toda la gasolina de este tanque a los automóviles? 17. Considere un tanque esférico de agua con radio de 10 ft cuyo centro se encuentra a 50 ft arriba del suelo. ¿Cuánto trabajo se requiere para llenar este tanque con agua desde el nivel del suelo? [Sugerencia: tal vez se simplifiquen sus cálculos si toma y  0 en el centro del tanque y piensa que cada rebanada horizontal de agua debe levantarse cierta distancia.] 18. Un tanque hemisférico de radio 10 ft tiene su costado plano en la cima de una torre de 60 ft de alto (figura 6.5.16). ¿Cuánto trabajo se requiere para llenar este tanque con aceite de densidad 50 lb/ft 3 si se debe bombear desde el nivel del suelo?

3UELO

FIGURA 6.5.14 Tanque con forma de taza del problema 13.

Y X Y

14. Suponga que el tanque de la figura 6.5.9 se llena con un fluido de densidad ρ y que todo este fluido debe bombearse desde el nivel y  h por encima de la tapa del tanque. Use sumas de Riemann, como en la obtención de la ecuación (8) para obtener la fórmula  W =

X



3UELO

b

ρ(h − y)A(y) dy a

para el trabajo requerido para llenarlo. 15. Utilice la fórmula del problema 14 para encontrar la cantidad de trabajo realizado al bombear el agua del tanque en el problema 10 a una altura 5ft por encima de la parte alta del tanque. 16. En una gasolinera, la gasolina se almacena en un tanque cilíndrico enterrado de costado, con la parte más alta del tanque a una profundidad de 5 ft por debajo de la superficie. El tanque tiene radio de 6 ft y largo de 10 ft. La densidad de la gasolina es 45 lb/ft 3. Suponga que el tapón para la gasolina de cada automóvil se encuentra a una altura de 2 ft arriba del suelo (figura 6.5.15). a) ¿Cuánto trabajo se efectúa para vaciar toda la gasolina del tanque, originalmente lleno, en los automóviles?

FIGURA 6.5.16 Tanque hemisférico del problema 18.

19. Se extrae agua de un pozo a 100 ft de profundidad usando una cubeta con una capacidad de 100 lb de agua. La cubeta sube a una tasa de 2 ft/s, pero tiene un agujero en el fondo por el cual el agua sale a una tasa de 0.5 lb/s. ¿Cuánto trabajo se realiza para sacar la cubeta hasta la parte alta del pozo? No considere el peso de la cubeta ni el peso de la cuerda y tampoco considere el trabajo para vencer la fricción. [Sugerencia: tome y  0 en el nivel de la superficie del agua dentro del pozo, de manera que, y  100 ft al nivel del suelo. Sea {y0, y1, y2, . . . , yn} una partición de [0, 100] en n subintervalos de igual longitud. Estime la cantidad de trabajo Wi requerido para subir la cubeta de yi−1 a yi. Luego establezca la suma W = Wi y proceda a la integral apropiada haciendo que n → +∞.]

SECCIÓN 6.5

20. Una cuerda de 100 ft de largo y peso de 0.25 lb por pie cuelga de un edificio muy alto. ¿Cuánto trabajo se requiere para subir la cuerda hasta la parte alta del edificio? 21. Suponga que se tapa el agujero de la cubeta del problema 19. ¿Cuánto trabajo se realiza para subir la cubeta reparada, llena de agua, hasta la superficie usando la cuerda del problema 20? Ignore la fricción y el peso de la cubeta, pero tome en cuenta el peso de la cuerda. 22. Considere un volumen V de gas en un cilindro equipado con un pistón en un extremo, donde la presión p del gas es una función p(V ) de su volumen (figura 6.5.17). Sea A el área de la cara del pistón. La fuerza ejercida por el gas en el cilindro es F  pA. Suponga que el gas se expande del volumen V1 al volumen V2. Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza F está dada por  V2 W = p(V ) d V. V1

[Sugerencia: Si x es la longitud del cilindro (de su extremo fijo a la cara del pistón), entonces F  A · p(Ax). Aplique la ecuación (4) y sustituya V  Ax en la integral que resulta.]

6 X

FIGURA 6.5.17 Cilindro equipado con un pistón (problema 22).

23. La presión p y el volumen V del vapor en un pequeño motor de vapor satisface la condición pV 1.4  c (donde c es una constante). En un ciclo, el vapor se expande de un volumen V1  50 in 3 a V2  500 in 3 con una presión inicial de 200 lb/in 2. Utilice la fórmula del problema 22 para calcular el trabajo, en pies-libras, realizado por el motor en cada ciclo como este. 24. Un tanque hemisférico con radio de 60 descansa en su base plana y tiene la parte curva hacia arriba. Si se llena con alcohol de densidad 40 lb/ft 3. ¿Cuánto trabajo se realiza al bombear todo el alcohol al nivel de la parte superior del tanque? 25. Un tanque tiene la forma que se obtiene al rotar alrededor del ≤ eje y la gráfica de y  x 4, 0 ≤ − x − 1. El tanque está inicialmente lleno de aceite con densidad de 60 lb/ft 3. Las unidades de los ejes coordenados están en pies. ¿Cuánto trabajo se realizar al bombear todo el aceite al nivel superior del tanque? 26. Un tanque cilíndrico de radio 3 ft y longitud de 20 ft está colocado de costado sobre suelo horizontal. La gasolina que pesa 40 lb/ft 3 está al nivel del suelo y se debe bombear dentro del tanque. Encuentre el trabajo requerido para llenar el tanque. 27. La base de un tanque de almacenamiento esférico de radio 12 ft está al nivel del suelo. Encuentre la cantidad de trabajo realizado al llenar el tanque con aceite de densidad 50 lb/ft 3 si todo el aceite está originalmente al nivel del suelo. 28. Un mono con un peso de 20 lb está unido a una cadena con un peso de 0.5 lb por pie (lineal). El otro extremo de la cadena se encuentra unido al techo de la jaula del mono a 40 ft de alto (figura 6.5.18). Encuentre la cantidad de trabajo que realiza el mono para subir su cadena hasta el techo.

Fuerza y trabajo

467

FT

FT

FIGURA 6.5.18 Mono del problema 28.

29. Tom vuela una cometa a una altura de 500 ft arriba del suelo. Suponga que la cuerda de la cometa pesa  oz por pie (lineal) y se encuentra estirada formando una línea recta a un ángulo de 45° respecto al suelo. ¿Cuánto trabajo realiza el viento para levantar la cuerda desde el nivel del suelo hasta su posición de vuelo? 30. El centro de un tanque esférico de radio R está a una distancia de H > R arriba del suelo. Un líquido con densidad ρ se encuentra a nivel del suelo. Demuestre que el trabajo requerido para bombear este líquido dentro del tanque inicialmente vacío es el mismo que para levantar el tanque lleno la distancia H (ignore el peso del tanque mismo). 31. Una canaleta de 10 ft de largo tiene una sección transversal cuadrada de 2 ft de ancho. Si la canaleta está llena de agua (densidad ρ  62.4 lb/ft 3), encuentre la fuerza ejercida por el agua en un extremo de ella. 32. Repita el problema 31 para una canaleta cuya sección transversal es un triángulo equilátero con costados de 2 ft de largo. 33. Repita el problema 31 para una canaleta cuya sección transversal es un trapezoide de 3 ft de alto, 2 ft de ancho en la base y 4 ft de ancho en la parte superior. 34. Encuentre la fuerza en un extremo del tanque cilíndrico del ejemplo 5 si el tanque se llena con aceite con una densidad 50 lb/ft 3. Recuerde que  a a 2 − y 2 dy = 14 πa 2 , 0

porque la integral representa el área de un cuarto de círculo de radio a. En los problemas 35 a 38, se describe una compuerta en la cara vertical de una presa. Encuentre la fuerza total del agua sobre esa compuerta si se encuentra a 10 ft abajo de la superficie del agua. 35. Un cuadrado con costados de 5 ft cuya parte superior es paralela a la superficie del agua. 36. Un círculo con radio de 3 ft. 37. Un triángulo isósceles de 5 ft de alto y 8 ft de ancho en la parte alta. 38. Un semicírculo de radio 4 ft cuya parte alta es el diámetro (también paralela a la superficie del agua). 39. Suponga que la presa de la figura 6.5.19 es L  200 ft de largo y T  30 ft de ancho en su base. Encuentre la fuerza del agua en la presa si el agua tiene 100 ft de profundidad y el costado inclinado de la presa está del costado del agua.

468

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

$

40. El baño para pájaros de concreto del problema 47 en la sección 6.3 se obtiene al rotar alrededor del eje y la región que se encuentra entre las curvas X2 X4 X4 Y H1C y YH 5 500 10000 (con x y y en pulgadas). Cuando se coloca en su base el baño para pájaros se encuentra a 40 in por encima del suelo. ¿Cuánto trabajo (en ft·lb) se realiza para llenarlo con agua que se levanta desde el nivel del suelo? Si es necesario, utilice un sistema de álgebra para computadora o tablas de integrales para resolver el problema.

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FIGURA 6.5.19 Vista del modelo de una presa (problema 39).

6.6 CENTROIDES DE REGIONES PLANAS Y CURVAS De acuerdo con la ley de la palanca, dos masas m1 y m 2 en costados opuestos y a las distancias respectivas d1 y d2 del punto de apoyo o fulcro de una palanca se encontrarán en equilibrio siempre que m1d1  m2 d2. (Vea la figura 6.6.1.) Piense en el eje x como el lugar donde se encuentra un brazo de palanca (sin peso) el cual soporta varias masas puntuales y en el origen como el fulcro. La ley más general de la palanca establece que las masas (partículas) m0, m1, m2, . . . , mn con sus respectivas coordenadas x0 , x1, x2 , . . . x n estarán en equilibrio siempre que n  m i xi = m 0 x0 + m 1 x1 + m 2 x2 + · · · + m n xn = 0. (1)

M M D

D

&ULCRO

FIGURA 6.6.1 Ley de la palanca: los pesos están en equilibrio cuando m1d1  m2 d2.

i=0

Ahora considere masas arbitrarias m1, m 2, . . . , m n en los puntos x1, x 2, . . . , x n y a una sola partícula con masa n  m = m1 + m2 + · · · + mn = mi i=1

en la posición − X, la cual equilibra las n masas siempre que n  −mx + m i xi = 0; i=1

Y

es decir, siempre que M

XH M

MN M

Y

Y

YN

Y X

X

X

XN

FIGURA 6.6.2 Masas puntuales en el plano y sus brazos de momento respecto al eje x.

X

1 M

N

M I XI .



IH1

De esta forma, las n masas actúan en la palanca como una sola partícula n de masa m m i xi que localizada en el punto X. El punto X se llama centro de masa, y la suma i=1 aparece en la ecuación (2) se conoce como el momento del sistema de masas respecto al origen. Ahora considere un sistema de n partículas con masas m1, m2, . . . , mn localizadas en el plano (figura 6.6.2) en los puntos con coordenadas respectivas (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). En forma análoga al caso de una dimensión que se acaba de discutir, se define el momento My de este sistema de masas respecto al eje y y al momento Mx respecto al eje x por medio de las ecuaciones N

-Y H

N

M I XI

y

-X H

IH1

M I YI :



IH1

El centro de masa de este sistema de n partículas es el punto ( X, Y) con coordenadas definidas como XH

-Y M

y

YH

-X M



SECCIÓN 6.6

Centroides de regiones planas y curvas 469

donde m  m1 + m2 + . . . , + mn es la suma de todas las masas. Entonces (X, Y) es el punto donde una sola masa m tendría los mismos momentos que el sistema completo original, respecto a los dos ejes coordenados. En física elemental se demuestra que si el plano xy fuera una hoja de plástico rígido sin peso con las n partículas incrustadas, estaría balanceado (horizontalmente) sobre la punta de una aguja colocada en el punto (X, Y).

Láminas y placas delgadas Y

2

X

FIGURA 6.6.3 Una línea de simetría.

Si el número de las partículas consideradas aumenta mientras que sus masas disminuyen proporcionalmente, sus combinaciones se parecen cada vez más a una región plana con densidad variable. Definamos primero el centro de masa ( X, Y) y los momentos respecto a los ejes coordenados de una placa delgada o lámina, de densidad constante ρ, que ocupa una región R plana y acotada. Como ρ es constante, los números X y Y deben ser independientes del valor de ρ, por lo que se puede suponer que ρ  1 (por conveniencia) en las definiciones y cálculos. En este caso ( X, Y) se conoce como el centro de masa o centroide de la región plana R. Se definirán los momentos My (R) y Mx (R) de la región plana R respecto a los ejes coordenados, con ρ  1. Los momentos correspondientes para una lámina de densidad constante ρ H 1 serán ρ My (R) y ρ Mx (R). Las definiciones se basarán en dos principios físicos. El primero es bastante natural: si una región tiene una línea de simetría, como en la figura 6.6.3, el centroide está en esa línea.

Principio de simetría Si una región plana R es simétrica respecto a la línea L —esto es, si R se reproduce a sí misma cuando se rota el plano un ángulo de 180° respecto a la línea L— entonces el centroide de R (considerado como una lámina de densidad constante) se encuentra en L. Se verá que el segundo principio resulta muy útil para localizar los centroides de regiones que son uniones de regiones simples.

Propiedad aditiva de los momentos Si R es la unión de dos regiones no traslapadas S y T, entonces - Y .2/ H - Y .3/ C - Y .4 /

y

-X .2/ H -X .3/ C -X .4 /:



Por ejemplo, el principio de simetría implica que el centroide de un rectángulo es su centro geométrico: la intersección de las perpendiculares que bisecan sus costados. Se supone que los momentos de un rectángulo R con área A y centroide ( X, Y) son My (R)  A X y Mx (R)  A Y. Conociendo el centroide de un rectángulo, la estrategia será calcular los momentos de una región más general usando la propiedad aditiva de los momentos y las integrales, y por último, definir el centroide de una región más general en forma análoga a la ecuación (4).

Y

2 YFX

Fórmulas de integrales para centroides

X I

 FXI 

A

XI 

XI

XI

B

FIGURA 6.6.4 Localización del centroide de R por aproximación con rectángulos.

X

Suponga que la función f es continua y no negativa en [a, b] y suponga también que R ≤ x ≤ b. Comenzamos con una pares la región entre la gráfica de f y el eje x para a − − tición regular de [a, b] en n subintervalos de igual longitud x  (b − a)yn. Denote por XI al punto medio del i-ésimo subintervalo [xi−1, xi]. Como se aprecia en la figura 6.6.4, el rectángulo con base [xi−1, xi] y altura f ( XI ) tiene área f ( XI ) x y centroide ( XI ,  f ( XI )). Si Pn es la unión de estos rectángulos para i  1, 2, 3, . . . , n, entonces —como los momentos también son aditivos— los momentos del polígono rectangular Pn respecto al eje x y al eje y son M y (Pn ) =

n  i=1

xi · f (xi ) x

470 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

y Mx (Pn ) =

n  1 f (xi ) · f (xi ) x, 2 i=1

respectivamente. Se definen los momentos My(R) y Mx(R) de la región R en sí tomando los límites de My(Pn) y Mx(Pn) cuando x → 0. Como las anteriores son sumas de Riemann, sus límites se definen como las integrales B

- Y .2/ H

X F .X/ D X



1 [ F .X/]2 D X: 2



A

y B

-X .2/ H A

Por último, el centroide ( X, Y) de R se define como XH DONDE ! H

B A

- Y .2/ !

YH

Y

-X .2/ ; !



F .X/ D X ESELÖREADE2!S¤ XH

B

 !

X F .X/ D X



 ; F .X/= D X 



A

Y  !

YH

B A

son las coordenadas del centroide de la región bajo y  f (x) de x  a a x  b. Sabemos, a partir del principio de simetría, que el centroide de un disco circular es su centro. Pero el centroide de un semicírculo resulta más interesante. EJEMPLO 1 Encuentre el centroide de la mitad superior D de un disco circular con centro en (0, 0) y radio r. Y XYR Yr

Solución Por simetría, el centroide de D se√encuentra en el eje y, por lo que X  0. El disco semicircular se encuentra bajo y = r 2 − x 2 de x  −r a x  r, como se ve en la figura 6.6.5. Entonces la ecuación (7) conduce a R

-X .$/ H

$

R

R

R

FIGURA 6.6.5 Medio disco D del ejemplo 1.

X

 H 

  R

R X



DX

X .R X / D X H R X  R 



R



R

 H R : 

#OMO ! H  R  LASEGUNDAF˜RMULAEN DA YH

  R -X .$/ R H  H  .:/R:  !  R 

Así, el centroide de D es el punto (0, 4ry3π). Observe que el valor calculado para Y tiene dimensiones de longitud (ya que r es una longitud), como debía ser. Cualquier respuesta con otras dimensiones resulta sospechosa. ¿Piensa que estas coordenadas también son factibles? Z

SECCIÓN 6.6

EJEMPLO 2

Y

Encuentre el centroide del triángulo T con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).

Solución La figura 6.6.6 muestra el triángulo T. Observe primero que por simetría X  Y. La ecuación (6), con y  f (x)  1 − x, da    1 1 2 1 3 1 1 x − x x(1 − x) d x = = . M y (T ) = 2 3 6 0 0

 

4

Centroides de regiones planas y curvas 471

  X R

 

Así, por la primera ecuación en (8), M y (T ) = A

x=

Y X

FIGURA 6.6.6 Triángulo T del ejemplo 2.

1 6 1 2

1 . 3

=

Así, el centroide de T es ( ,  ).

Z

La propiedad aditiva de los momentos se usa para definir los momentos y los centroides de cualquier región plana que es la unión de un número finito de regiones no traslapadas con la forma de la mostrada en la figura 6.6.7. Por ejemplo, suponga que ≥ g (x) ≥ 0 en [a, b] y que R es la región entre las gráficas de y  f (x) y y  g (x) f (x) − − ≤ x ≤ b. Si R f y R g son las regiones bajo las gráficas de f y g respectivamente, para a − − entonces como los momentos son aditivos M y (R ) + M y (R g )  M y (R f ). Por lo tanto

Y

YFX

2

- Y .2/ H - Y .2 F / - Y .2G /

YGX

B

H

2G

B

X F .X/ D X A

A

B

X

XG.X/ D X A

PORLAECUACI˜N %NTONCES B

FIGURA 6.6.7 Región R entre y  f (x) y y  g (x).

- Y .2/ H

X
; F .X/ G.X/= D X:



A

$EMANERASIMILAR -X .2/ H -X .2 F / -X .2G / B

H A

 ; F .X/= D X 

B

 ;G.X/= D X 

A

PORLAECUACI˜N YPORLOTANTO B

-X .2/ H A

 ; F .X/= ;G.X/= D X: 



3EPUEDEDEFINIRELCENTROIDEDE2MEDIANTELASECUACIONESEN CON B

!H

T F .X/ G.X/U D X:



A

EJEMPLO 3 Sea R el rectángulo de la figura 6.6.8. Después de dos aplicaciones del principio de simetría, se concluye que el centroide es el punto (4, 2). Utilice las ecuaciones (11) y (12) para ver si llevan al mismo resultado. Con a  2, b  6, f (x) ≡ 3 y g (x) ≡ 1, se tiene  6 6 x(3 − 1) d x = x 2 = 32, M y (R) =

Y 

 

   



 

 

2

2





FIGURA 6.6.8 Rectángulo del ejemplo 3.



X

Mx (R) = 2

6

6 1 [(3)2 − (1)2 ] d x = 4x = 16. 2 2

Como el área de la región es A  4 · 2  8, usando la ecuación (8) encontramos que -Y 32 H H4 ! 8 justo como se esperaba. XH

y

YH

16 -X H H 2; ! 8

Z

472 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Un teorema interesante que relaciona centroides con volúmenes de revolución tiene el nombre del matemático griego que lo propuso en el siglo iii a.C.

PRIMER TEOREMA DE PAPPUS Volumen de revolución Suponga que la región plana R gira alrededor de un eje en su plano y por lo tanto genera un sólido de revolución con volumen V. Suponga que el eje no interseca el interior de R. Entonces V es el producto del área A de R por la distancia recorrida por el centroide de R durante una rotación completa. Demostración (Para el caso especial de una región con la forma que aparece en la ≤x≤by figura 6.6.9.) Ésta es la región entre las gráficas y  f (x) y y  g (x) para a − − se tomará el eje y como eje de rotación. Entonces, en una rotación completa alrededor del eje y, la distancia recorrida por el centroide de R es d  2π X. Usando el método de capas cilíndricas de la sección 6.3, el volumen del sólido generado es

Y YFX

2

B

6 H

2 X [ F .X/ G.X/] D X A

YGX

H 2 - Y .2/ H 2 X
!

A

X

B

FIGURA 6.6.9 Una región R entre las gráficas de dos funciones.

(por la ecuación (11)) (por la ecuación (8)),

y de esta forma V  d · A, como se esperaba.

X

EJEMPLO 4 Encuentre el volumen V de la esfera de radio r generada al rotar el semicírculo D del ejemplo 1 alrededor del eje x.

Solución El área de D es A   πr 2, y en el ejemplo 1 se encontró que Y  4ry3π. Por lo que con el teorema de Pappus se obtiene V = 2π y A = 2π ·

Z

EJEMPLO 5 Considere el disco circular de la figura 6.6.10, con radio a y centro en el punto (b, 0) donde 0 < a < b. Encuentre el volumen del toro sólido generado al rotar este disco alrededor del eje y.

Y A B

4 4r πr 2 · = πr 3 . 3π 2 3

X

FIGURA 6.6.10 Rotación del disco circular alrededor del eje y para producir un toro (ejemplo 5).

Solución El centroide del círculo es su centro (b, 0), por lo que X  b. Así, el centroide se mueve una vez alrededor del círculo de radio b y, por ende, una distancia d  2πb. En consecuencia V = d · A = 2π b · πa 2 = 2π 2 a 2 b. Observe que las dimensiones del resultado son correctas.

Z

Momentos y centroides de curvas Los momentos y centroides de curvas planas se definen de una forma muy similar a los métodos para regiones planas, por lo que este tema se presenta con menor detalle. Los momentos My (C ) y Mx (C ) de la curva plana C respecto a los ejes y y x, respectivamente, están definidos como - Y .#/ H

X DS

y

-X .#/ H

Y DS



(con los límites apropiados que se deben insertar cuando se evalúen las integrales). El centroide de C está definido como el punto con coordenadas XH

1 1 - Y .#/ H S S

X DS #

donde s es la longitud de arco de C.

y

YH

1 1 -X .#/ H S S

Y DS #



SECCIÓN 6.6

Centroides de regiones planas y curvas 473

El significado de las integrales en (14) y (15) es el mismo que para la notación de la sección 6.4. Esto es, d s es un símbolo que se debe sustituir (antes de evaluar las integrales) por DS H

DY DX

1C

2

DX

o por

DS H

1C

DX DY

2

DY;

dependiendo si C es un arco suave de la forma y  f (x) o uno de la forma x  g ( y). Por ≤ x ≤ b, entonces ejemplo, si C está descrita por y  f (x), a − − B

- Y .#/ H

X 1 C [ F .X/]2 D X



F .X/ 1 C [ F .X/]2 D X:



A

y B

-X .#/ H A

EJEMPLO 6 Sea J la mitad superior del círculo (no del disco) de radio r. Así, el arco J es la gráfica de  y = r 2 − x 2 , −r  x  r. Encuentre el centroide de J.

Solución Observe primero que M y (J )  0 por simetría. Ahora X DY H p ; 2 DX R X2 de manera que X2 R DX H p D X: 2 2 2 R X R X2 Así, la segunda fórmula en (14) lleva a R R R -X .* / H R2 X2 p DX H R D X H 2R 2 : 2 2 R X R R Como s  πr, las coordenadas del centroide de J son DS H

1C

- Y .* / -X .* / 2R 2 2R YH H0 y H H : S S R  La respuesta es dimensionalmente correcta. ¿Es factible? XH

Z

El primer teorema de Pappus tiene una analogía para áreas de superficie de revolución.

SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS Área de una superficie de revolución Suponga que una curva plana C gira alrededor de un eje en su plano que no cruza a C. De este modo, el área A de la superficie de revolución es igual al producto de la longitud de C por la distancia recorrida por el centroide de C. Demostración (Para el caso especial en que C es un arco suave descrito por y  f (x), ≤ x ≤ b, y el eje de revolución es el eje y.) La distancia recorrida por el centroide a− − de C es d  2π X . Sabemos, a partir de la ecuación (12) en la sección 6.4, el área de la superficie de revolución es B

!H

2 X 1 C [ F .X/]2 D X

A

H 2 - Y .#/ (ecuación (16)) H 2 XS H D
S (ecuación (15)),

como se deseaba.

X

474

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 7 Encuentre el área de la superficie A de la esfera de radio r generada al rotar alrededor del eje x el arco semicircular del ejemplo 6.

Solución Como ya se encontró que Y  2ryπ y se sabe que s  πr, el segundo teorema de Pappus da 2r · πr = 4πr 2 . A = 2π ys = 2π · π Z EJEMPLO 8

Encuentre el área de la superficie del toro del ejemplo 5.

Solución Ahora se piensa en rotar el círculo (no el disco) de radio a centrado en el punto (b, 0). Naturalmente, el centroide del círculo se encuentra en su centro (b, 0); esto se deduce del principio de simetría y se verifica en forma independiente con cálculos como los del ejemplo 6. De este modo, la distancia recorrida por el centroide es d  2πb. Como la circunferencia del círculo es S  2πa, por el segundo teorema de Pappus tenemos A  2πb · 2πa  4π 2 ab. De nuevo, observe que la respuesta es dimensionalmente correcta.

Z

6.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La ley de la palanca implica que dos masas iguales estarán en equilibrio si se colocan en costados opuestos y a distancias iguales del punto de apoyo de la palanca. 2. El centroide de un rectángulo es la intersección de sus diagonales. 3. Si Mx (R ) y My (R ) son los momentos de la región plana R con área A respecto a los ejes x y y, respectivamente, entonces las coordenadas ( X, Y) de su centroide están definidas por las fórmulas - Y .2/ -X .2/ : y XH YH ! ! 4. Si D es la mitad superior de un disco circular con centro en (0, 0) y radio r, entonces el centroide de D es el punto medio (0,  r) del radio vertical de D. 5. Si T es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), entonces el centroide es el punto (, ) que se encuentra a mitad del camino en sentido horizontal entre (0, 0) y (1, 0) y a mitad del camino en sentido vertical entre (0, 0) y (0, 1). 6. El matemático griego Pappus vivió en el mismo siglo que Arquímedes, el siglo iii a.C. 7. El volumen del toro es el producto del área de un círculo por la circunferencia de otro círculo. 8. Si C es una curva en el plano xy, entonces sus momentos Mx (C ) y My (C ) respecto a los ejes x y y (respectivamente) están definidos por las fórmulas -X .#/ H

X DS

y

- Y .#/ H

Y DS:

9. Si la curva J es la mitad superior del círculo con centro en (0, 0) y radio r, entonces el centroide de J es el punto (0, r) en el círculo que se encuentra a mitad del camino de un extremo de J al otro. 10. El área de la superficie de un toro es el producto de las áreas de dos círculos.

6.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. El ejemplo 6 muestra que el centroide de una curva no necesita ser un punto de la curva. ¿Debe ser el centroide de una región plana un punto de esa región? 2. ¿Cómo puede verificar que los resultados de los ejemplos 4 y 8 son factibles?

SECCIÓN 6.6

Centroides de regiones planas y curvas 475

6.6 PROBLEMAS En los problemas 1 a 18, encuentre el centroide de la región plana acotada por las curvas dadas.  X H 0, X H 4, Y H 0, Y H 6

Y

R H

 H

 X H 1, X H 3, Y H 2, Y H 4  X H 1, X H 3, Y H 2, Y H 4  X H 0, Y H 0, X C Y H 3

FIGURA 6.6.11 Trapezoide del problema 26.

 X H 0, Y H 0, X C 2Y H 4  Y H 0, Y H X, X C Y H 2  Y H 0, Y H X 2 , X H 2  Y H X 2 , Y H 9

 Y H 0, Y H X 2 4

 X H 2, X H 2, Y H 0, Y H X 2 C 1  Y H 4 X 2 , Y H 0

 Y H X 2 , Y H 18 X 2

 Y H 3X 2 , Y H 0, X H 1  X H Y 2 , Y H 0, X H 4 (ARRIBA del eje X)  Y H X, Y H 6 X 2

 Y H X 2 , Y 2 H X

 Y H X 2 , Y H X 3  Y H sen X (0

X

 ), Y H 0

19. Encuentre el centroide del primer cuadrante del disco circu2 lar x 2 + y 2 ≤ − r mediante cálculo directo, como en el ejemplo 1. 20. Aplique el primer teorema de Pappus para encontrar el cen2 troide del primer cuadrante del disco circular x 2 + y 2 ≤ −r . Utilice el hecho de que por simetría X  Y y que la rotación de este cuarto de disco respecto a cualquier eje coordenado produce un hemisferio sólido con volumen V   πr 3. 21. Encuentre el centroide del arco que consiste en el primer cuadrante del círculo x 2 + y 2  r 2 mediante cálculo directo, como en el ejemplo 6. 22. Aplique el segundo teorema de Pappus para encontrar el centroide del arco de un cuarto de círculo del problema 21. Observe que por simetría X  Y y que la rotación de este arco alrededor de cualquiera de los ejes coordenados genera un hemisferio con área de superficie A  2πr 2. 23. Demuestre por cálculos directos que el centroide del triángulo con vértices (0, 0), (r, 0) y (0, h) es el punto (ry3, hy3). Verifique que este punto se encuentra en la línea del vértice (0, 0) al punto medio del costado opuesto del triángulo y a dos tercios de la distancia del vértice a ese punto medio. 24. Aplique el primer teorema de Pappus y el resultado del problema 23 para verificar la fórmula V   πr 2h para el volumen del cono generado al rotar el triángulo alrededor del eje y. 25. Aplique el segundo teorema de Pappus para demostrar que la superficie√lateral del cono del problema 24 es A  πrL, donde L = r 2 + h 2 es la altura inclinada del cono. 26. a) Utilice las sumas de los momentos para encontrar el centroide del trapezoide que se muestra en la figura 6.6.11. b) Aplique el primer teorema de Pappus y el resultado del inciso a) para demostrar que el volumen del cono truncado generado al rotar el trapezoide alrededor del eje y es V =

R  X

 πh 2 r1 + r1 r2 + r22 . 3

27. Aplique el segundo teorema de Pappus para demostrar que el área de la superficie lateral de la cónica truncada del problema 26 es A  π(r1 + r2)L, donde  L = (r1 − r2 )2 + h 2 es la altura inclinada del cono truncado. 28. a) Aplique el segundo teorema de Pappus para verificar que la superficie curva de un cilindro circular recto con altura h y radio de la base r es A  2πrh. b) Explique cómo esta fórmula también se deduce del resultado del problema 27. 29. a) Utilice la sumas de los momentos para encontrar el centroide de la región plana que se muestra en la figura 6.6.12, que consiste en una región semicircular de radio a colocada en la parte superior de una región rectangular de ancho 2a y altura h. b) Posteriormente, aplique el primer teorema de Pappus para encontrar el volumen generado al rotar esta región alrededor del eje x. Y

B

 A 

A 

X

FIGURA 6.6.12 Región plana del problema 29.

30. a) Considere la región plana que se muestra en la figura 6.6.13, acotada por x 2  2py, x  0 y y  h  r 2y2p (p > 0). Demuestre que su área es A  2rhy3 y que la coordenada x de su centroide es X  3ry8. b) Utilice el teorema de Pappus y el resultado del inciso a) para demostrar que el volumen de la paraboloide de revolución con radio r y altura h es V   πr 2h. Y R H

XPY

X

FIGURA 6.6.13 Región del problema 30.

476 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

31. La figura 6.6.14 muestra un arco del círculo unitario x 2 + y 2  1 con ángulo central 2α y altura h  1 − cos α. Muestre que el centroide de este arco es el punto 0;

sen  

:

Y #

H

A A

une sus extremos. Pruebe que esto es cierto para valores pequeños de α demostrando que L¤M ! .D= H/ H = donde d denota la distancia del centroide C al punto más alto del arco circular (0, 1). 33. La región en el primer cuadrante acotada por las gráficas y  x y y  x 2 gira alrededor de la recta y  x. Encuentre primero el centroide de la región y luego encuentre el volumen de revolución así generado. 34. Sea R la región en el plano xy limitada por las curvas y  x m y y  x n, donde m y n son enteros positivos tales que m < n. Utilice un sistema algebraico de computadora para demostrar que el centroide .X; Y / de R tiene coordenadas XH

X

FIGURA 6.6.14 Arco circular del problema 31.

32. El centroide C mostrado en la figura 6.6.14 parece estar a un tercio de la distancia del arco a la cuerda horizontal que

.M C 1/.N C 1/ .M C 2/.N C 2/

y

YH

.M C 1/.N C 1/ : .2M C 1/.2N C 1/

Si visualiza (o grafica) la figura, ¿puede ver por qué es natural inferir que si m es suficientemente grande y n  m + 1, entonces el centroide .X; Y / no está dentro de R? Encuentre los valores específicos de m y n para los cuales el centroide de R no está dentro de R.

6.7 EL LOGARITMO NATURAL COMO UNA INTEGRAL La introducción de las funciones e x y ln x en la sección 3.8 fue informal y basada más en un concepto intuitivo que en una definición precisa de las exponenciales. Ahora se presenta una base sólida y un desarrollo cuidadoso de las funciones exponencial y logaritmo natural y sus propiedades. En más simple proporcionar la definición de la función logaritmo natural como punto de partida. Guiados por las propiedades de los logaritmos presentadas en la sección 3.8, se define ln x para x > 0 en forma tal que ln 1 H 0

$X ln X H

y

1 : X



Para hacer esto, recordemos la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (sección 5.6), de la cual se deduce que  x f (t) dt = f (x) (2) Dx a

si f es continua en un intervalo que contiene a a y x. Para que ln x satisfaga las ecuaciones en (1), tomamos a  1 y f (t)  1yt.

DEFINICIÓN El logaritmo natural El logaritmo natural ln x de un número positivo x se define como

Y

Y

X

 T

ln X H 1

LNX 

X

T

FIGURA 6.7.1 Función del logaritmo natural definida por medio de una integral.

1 DT: T



≤ 0. Geométricamente, el valor ln x del Observe que ln x no está definido para x − logaritmo natural de x es igual a: • El área bajo la gráfica de y  1yt desde t  1 a t  x si x > 1 (figura 6.7.1); • El negativo de esta área si 0 < x < 1; • Cero si x  1.

SECCIÓN 6.7

EJEMPLO 1

El logaritmo natural como una integral

477

El número 

2

ln 2 = 1

1 dt = t



2

1

1 dx x

es igual al área bajo la gráfica de y  1yx desde x  1 a x  2. Examinando los rectángulos inscritos y circunscritos en la figura 6.7.2, se observa de inmediato que  < LN  < : 

Se utiliza la aproximación de Simpson para estimar ln 2 en forma más precisa. La 1 partición regular de [1, 2] en n  10 subintervalos, cada uno con longitud x = 10 , 11 12 19 y con puntos extremos 1, 10 , 10 , . . . , 10 , 2 lleva a ln 2 =

1 10

3

 · 1+4·

10 10 +2· +4· 11 12 10 +4· +2· 16

10 10 10 +2· +4· 13 14 15 10 10 10 1 +2· +4· + ≈ 0.69315. 17 18 19 2

Esta aproximación tiene cinco decimales de exactitud ya que el valor real de ln 2 con seis decimales es 0.693147. Z Y YX



 



X



FIGURA 6.7.2 Uso de rectángulos para estimar ln 2.

La gráfica de y  ln x El hecho de que D x ln x  1yx se deduce de inmediato del teorema fundamental del cálculo en (2). Y por el teorema 2 de la sección 3.4, el hecho de que la función ln x es derivable para x > 0 implica que es continua para x > 0. Debido a que

Y

YLNX

$X ln X H  

X

1 >0 X

1 0, tenemos que ln x es una función creciente cuya gráfica es cóncava hacia abajo en todas partes (por el teorema 2 en la sección 4.6). Debido a que ln x es creciente se ve, a partir de que LN N H N LN  ! C1

FIGURA 6.7.3 Gráfica de la función logaritmo natural.

$X2 ln X H

y

LN N H N LN  ! 1

Y

cuando n → +∞, que lím ln X H C1

X!1

y

lím ln X H 1:

X!0C



Cuando se reúnen estos hechos, se observa que la gráfica de y  ln x tiene la forma conocida que aparece en la figura 6.7.3.

478 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

El número e

Y

Como ln x es una función creciente, la propiedad del valor intermedio para funciones continuas implica que la curva y  ln x cruza la línea horizontal y  1 sólo una vez. (Vea la figura 6.7.4.) La coordenada x del punto de intersección es el famoso número e ≈ 2.71828 que se introdujo en forma diferente en la sección 3.8.

 YLNX 

XE

X

DEFINICIÓN El número e El número e es el (único) número real tal que ln e  1. FIGURA 6.7.4 Aquí se expresa gráficamente el hecho que ln e  1.

     Y  Y E   YLNX           X

FIGURA 6.7.5 Amplificación del número e.

(5)

El número e se ha utilizado para denotar el número cuyo logaritmo natural es 1, desde que fue introducido por el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quien utilizó e por el nombre de “exponencial”. [Euler también popularizó el uso de π para el área (aproximadamente 3.14159) del círculo unitario así como el símbolo i para √ el número imaginario −1.] EJEMPLO 2 Con una calculadora de gráficas o una computadora puede amplificar la intersección de las gráficas y  ln x y y  1 para verificar los primeros decimales de ≤ x ≤ 2.72 y 0.99 ≤ y ≤ 1.01 de la figura 6.7.5 es e. Por ejemplo, la ventana de 2.71 − − − − suficiente para verificar que e ≈ 2.718 con tres decimales. Z

Leyes de los logaritmos Ahora se puede emplear la habilidad para derivar los logaritmos para establecer las leyes de los logaritmos.

TEOREMA 1 Leyes de los logaritmos Si x y y son números positivos y r es un número racional, entonces ln X Y H ln X C ln YI



ln

1 X

H ln XI



ln

X Y

H ln X ln YI



ln.X R / H R ln X:



La restricción de que r es racional se elimina más adelante en esta sección al estudiar las funciones exponenciales generales (las que tienen bases diferente de e). Demostración de la ecuación (6) Si en forma temporal se fija y, de manera que la variable independiente es x y y es una constante, entonces

Dx ln x y =

y 1 Dx (x y) = = = Dx ln x. xy xy x

Así, ln xy y ln x tienen la misma derivada respecto a x, por lo que se puede concluir que ln x y = ln x + C

para alguna constante C. Para evaluar C se sustituye x  1 en ambos costados de la última ecuación. El hecho de que ln 1  0 implica entonces que C  ln y, y esto es suficiente para establecer la ecuación (6). X

SECCIÓN 6.7

El logaritmo natural como una integral

479

Derivamos ln(1yx): −1  2 1 1 = x = − = Dx (− ln x). Dx ln 1 x x x De este modo ln (1yx) y − ln x tienen la misma derivada. Por lo tanto, la antiderivación da  1 ln = − ln x + C, x Demostración de la ecuación (7)

donde C es una constante. Si sustituimos x  1 en la última ecuación. Como ln 1  0 se deduce que C  0 y esto prueba la ecuación (7). X Demostración de la ecuación (8) Como xyy  x · (1yy), la ecuación (8) es un resultado inmediato de las ecuaciones (6) y (7). X Demostración de la ecuación (9)

Sabemos que Dx x r  r x r− 1, si r es un racional, de

manera que r x r −1 r = = Dx (r ln x). r x x La antiderivación proporciona entonces Dx (ln x r ) =

ln(x r ) = r ln x + C

para alguna constante C. Como antes, al sustituir x  1 obtenemos C  0, lo cual prueba la ecuación (9). Se demostrará más adelante en esta sección que la ecuación (9) es válida sea o no r un racional. X Las pruebas de las ecuaciones (6), (7) y (9) son muy similares: derivamos el lado izquierdo, aplicamos el hecho de que dos funciones con la misma derivada (en un intervalo) difieren por una constante C (en ese intervalo) y evaluamos C usando el hecho de que ln 1  0.

Logaritmos y datos experimentales Algunos datos empíricos se explican suponiendo que la variable dependiente observada es una función de potencia de la variable independiente x. En otras palabras, y se describe mediante un modelo matemático de la forma y  k x m, donde k y m son constantes. Si es así, la ley de los logaritmos implica que ln y  ln k + m ln x. Un investigador puede graficar los valores de ln y contra los valores de ln x. Si el modelo de función de potencia es válido, los datos que se obtienen estarán en una línea recta con pendiente m e intercepción y igual a ln k (figura 6.7.6). Esta técnica facilita saber si los datos 6ALORESDELNY

0ENDIENTEM

)NTERCEPCI˜NYLNK 6ALORESDELNX

FIGURA 6.7.6 Graficando los logaritmos de los datos puede revelar una relación escondida.

480

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

están o no en línea recta. Y si lo están, esta técnica permite medir la pendiente y la intercepción y (ordenada) de la recta y con ello encontrar los valores de k y m. EJEMPLO 3 (Movimiento planetario) La tabla en la figura 6.7.7 proporciona los periodos de revolución T y el semieje mayor a de las órbitas elípticas de los primeros seis planetas alrededor del Sol, junto con los logaritmos de estos números. Si se grafica ln T contra ln a, se observará de inmediato que los puntos resultantes están en una línea recta con pendiente m  . Por lo tanto, T y a satisfacen una ecuación de la forma T  ka 3y 2, entonces T 2  Ca 3. Esto significa que el cuadrado del periodo T es proporcional al cubo del semieje mayor a. Ésta es la tercera ley de movimiento planetario de Kepler, descubierta en forma empírica en 1619 por Johannes Kepler (1571-1630). Z 0LANETA

4 END¤AS

A EN KM

LN 4

LN A

-ERCURIO 6ENUS 4IERRA -ARTE *UPITER 3ATURNO

      

     

     

     

FIGURA 6.7.7 Datos del ejemplo 3.

La función exponencial natural Sabemos que la función logaritmo natural ln x es continua y creciente para x > 0 y que toma valores arbitrariamente grandes tanto positivos como negativos (debido a los límites de la ecuación (4)). Se deduce que ln x tiene una función inversa que está definida para toda x. Para entender esto, sea y cualquier número real (fijo). Si a y b son números positivos tales que ln a < y < ln b, la propiedad del valor intermedio proporciona un número x > 0, con x entre a y b, tal que ln x  y. debido a que ln x es una función creciente, sólo existe un número x tal que ln x  y (figura 6.7.8). Puesto que y determina en forma precisa sólo un valor de x, se ve que x es una función de y. Y

YLNX YLNX

XEXPY

X

FIGURA 6.7.8 Para obtener x  exp y, vaya directo de y a la gráfica y  ln x, y posteriormente hacia abajo (o arriba) hasta x.

Esta función x de y es la función inversa de la función logaritmo natural y se llama la función exponencial natural. Comúnmente se denota como exp (por “exponencial”), entonces x  exp y

siempre que

y  ln x.

Intercambiando x y y llegamos a la siguiente definición.

SECCIÓN 6.7

El logaritmo natural como una integral

481

DEFINICIÓN Función exponencial natural La función exponencial natural exp está definida para todas las x como sigue: exp x  y

si y sólo si

ln y  x.

(10)

Entonces exp x es simplemente el número (positivo) cuyo logaritmo natural es x. Una consecuencia inmediata de la ecuación (10) es ln.exp X/ H X

X



Y > 0.



para toda

y que exp.ln Y/ H Y

para toda

Como en el caso de las gráficas de y  a x y y  log a x que se estudiaron de manera informal en la sección 3.8, el hecho que exp x y ln x sean funciones inversas implica que las gráficas de y  exp x y y  ln x son reflexiones una de la otra respecto a la recta y  x. (Vea la figura 6.7.9.) Por lo tanto, la gráfica de la función exponencial se ve igual que la mostrada en la figura 6.7.10. En particular, exp x tiene valor positivo para toda x y exp 0 H 1;



lím exp X H C1;

X!1



y

lím exp X H 0:



X!1

Estos hechos se deducen de la ecuación ln 1  0 y los límites en (4). YEX

Y

Y YX YEXPX YLNX     X

 

X

FIGURA 6.7.9 Las gráficas y  e x y y  ln x son reflexiones una de otra respecto a la recta a 45° y  x.

FIGURA 6.7.10 Gráfica de la función exponencial natural, exp.

Exponenciales y potencias de e Recuerde que definimos el número e ≈ 2.71828 como el número cuyo logaritmo natural es 1. Si r es cualquier número racional, se obtiene que ln(e r )  r ln e  r. Pero la ecuación (10) implica que ln(e r )  r si y sólo si exp r  e r. Entonces exp x es igual a e x (e elevado a la potencia x) si x es un número racional. Por lo tanto se define e x para valores racionales e irracionales de x como E X H exp X:



Éste es el primer caso en que se explican las potencias con exponentes irracionales.

482

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

La ecuación (16) es la razón por la cual se llama a exp la función exponente natural. Con esta notación las ecuaciones (10) a (12) se convierten en EX H Y

si y sólo si

ln.E X / H X

ln Y H X,



X,



para toda

y Eln X H X

para toda

X > 0.



Para justificar la ecuación (16), debemos demostrar de manera rigurosa que las potencias de e satisfacen las leyes de los exponentes. Podemos hacer esto de inmediato.

TEOREMA 2 Leyes de los exponentes Si x y y son números reales y r es racional, entonces E X E Y H E XCY ;  EX H X ; E Y .E X /R H ER X :

  

Demostración Las leyes de los logaritmos y la ecuación (18) dan

ln(e x e y ) = ln(e x ) + ln(e y ) = x + y = ln(e x+y ).

De este modo, la ecuación (20) se deduce del hecho de que ln es una función creciente y por lo tanto es uno-a-uno, esto es, si x1 H x2, entonces ln x1 H ln x2. De manera similar,   ln [e x ]r = r ln(e x ) = r x = ln(er x ). La ecuación (22) se deduce de la misma forma. La demostración de la ecuación (21) es casi idéntica. Pero ahora nos damos cuenta que la restricción en la ecuación (22) de que r sea racional es innecesaria, esto es, la ecuación (e x) y  e x y es válida para todos los números reales x y y. X

Funciones exponenciales generales La función exponencial natural e x y la función logaritmo natural ln x con frecuencia se llaman funciones exponencial y logarítmica con base e. Ahora se definirán las funciones exponencial y logarítmica generales, con las formas a x y log a x, cuya base es el número positivo a H 1. Pero ahora es conveniente cambiar el orden del tratamiento, por lo que primero analizaremos la función exponencial general. Si r es un número racional, entonces por la ley de los exponentes en la ecuación (22) se tiene A R H .ELN A /R D ER LN A :

Por lo tanto, se definen las potencias arbitrarias (racional e irracional) de un número positivo a de la siguiente manera: A X H E X ln A para toda x. Así,

p

3

2

HE

p 2 ln 3



 E1:5537  4:7289

y .0:5/ H E ln.0:5/  E2:1776  8:8251:

Entonces f (x)  a x se llama la función exponencial con base a. Observe que a x > 0 para toda x y que a0  e0  1 para toda a > 0.

SECCIÓN 6.7

El logaritmo natural como una integral

483

Las leyes de los exponentes para las exponenciales generales se deducen directamente de la definición en la ecuación (23) y de las leyes de los exponentes para la función exponencial natural: A X A Y H A XCY



 AX



.A X / Y H A X Y



A X H Y

para toda x y y. Para demostrar la ecuación (24) escribimos a x a y = e x ln a e y ln a = e(x ln a)+(y ln a) = e(x+y) ln a = a x+y . Para obtener la ecuación (26), observe primero que de la ecuación (23) se tiene ln a x  x ln a. Entonces

 

YX

(a x ) y = e y ln(a

 Y

YX

 





X!1





 X







FIGURA 6.7.11 Si a > 1 entonces, L¤M A X H  L¤M A X H C1 X!1

X!1

 X

Y



X

 Y

= e x y ln a = a x y .

Esto se deduce para todos los números reales x y y, por lo que la restricción de que r sea racional en la fórmula (e x) r  e r x (ecuación (22)) ahora se elimina. Si a > 1, de modo que ln a > 0, entonces las ecuaciones (14) y (15) proporcionan inmediatamente los resultados L¤M A X H C1 Y L¤M A X H : 

YX



x)

Y

X!1

$EBIDOAQUE $X A X H $X .E X LN A / H .LN A/E X LN A H A X LN A



es positiva para toda x si a > 1, se observa que —en este caso— f (x)  a es una función creciente de x. De este modo, la gráfica y  a x es similar a la de la función exponencial natural y  e x, pero la inclinación relativa depende de la magnitud de a (figura 6.7.11). Si 0 < a < 1, entonces ln a < 0. En este caso, de la ecuación (28) se deduce que f (x)  a x es una función decreciente, y los valores de los dos límites en (27) se intercambian (figura 6.7.12). Ya sea que a > 1 o 0 < a < 1, se deduce de la ecuación (28) que f 99(x)  a x (ln a) 2 > 0 para toda x, por lo que las gráficas en ambas figuras 6.7.11 y 6.7.12 son cóncavas hacia arriba para toda x. x



Derivadas e integrales

 Y X 

Si u  u(x) es una función derivable de x, entonces la ecuación (28) combinada con la regla de la cadena proporciona





    

X







FIGURA 6.7.12 Si 0 < a < 1 entonces L¤M A X H C1

DU  DX



AU C # LN A



$X A U H .A U LN A/

 

,AF˜RMULAINTEGRALCORRESPONDIENTEES

X!1

L¤M A X H 

A U DU H

X!1

En lugar de usar las fórmulas generales, suele ser más sencillo basarse en la ecuación (23), como se puede ver en los ejemplos 4, 5 y 6. EJEMPLO 4

2

Para derivar f (x) = 3x , podemos escribir 2

2

3x = (eln 3 )x = e x

2 ln 3

.

Entonces 2

Dx 3x = Dx e x

2 ln 3

= ex

2 ln 3

2

Dx (x 2 ln 3) = 3x (ln 3)(2x).

Z

484

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral



Encuentre

EJEMPLO 5

√

10 √

x

d x.

x

√

Solución Primero se escribe 10 p

 p

X

X

E

DX H

EJEMPLO 6

= (eln 10 )

√

=e

x

√

x ln 10

. Entonces

X LN 

p

X

DX

EU DU LN 

H H

p

x

UH

p

LN  DU H p D X  X

X LN ;

p  EU C# H  X C #: LN  LN 

Z

La función P(t) = 3 · (1.07)t

describe una población que inicia con P(0)  3 (millones) de bacterias en el tiempo t  0 (h) e incrementa su número 7% cada hora. Después de 10 horas la población es 0.10/ H 3
.1:07/10  5:90

(millones),

es decir, la población casi se duplica. La derivada de P(t) es   P  (t) = Dt [3 · (1.07)t ] = 3 · Dt et ln(1.07) = 3 · [ln(1.07)]et ln(1.07) = 3(ln 1.07)(1.07)t ,

y en el tiempo t  10 la tasa de crecimiento de la población de bacterias es P  (10) = 3(ln 1.07)(1.07)10 ≈ 0.40

(millones por hora).

Z

Ya sea que el exponente r sea racional o no, la función de potencia general f (x) está definida ahora por x r

X R H ER ln X :

Ahora podemos probar la regla de potencia para la derivación para un exponente arbitrario (constante) como sigue: Dx x r = Dx (er ln x ) = er ln x Dx (r ln x) = x r ·

r = r x r −1 . x

Por ejemplo, sabemos que Dx x π = π x π−1 ≈ (3.14159)x 2.14159 .

Funciones logarítmicas generales Si a > 1, entonces la función exponencial general a x es continua y creciente para toda x y toma sólo valores positivos. Por lo tanto tiene una función inversa que está definida para toda x > 0. La función inversa de a x se llama la función logarítmica con base a y se denota como log a x. De este modo Y H logA X

si y sólo si

X H AY.

La función logarítmica con base e es la función logarítmica natural: loge x  ln x.



SECCIÓN 6.7

El logaritmo natural como una integral

485

Es fácil obtener las siguientes leyes de los logaritmos a partir de las leyes de los exponentes en las ecuaciones (24) a (26). logA X Y H logA X C logA Y, logA

1 X

H logA X,

logA X Y H Y logA X.

  

Estas fórmulas se cumplen para cualquier base positiva a H 1 y para todos los valores positivos de x y y; en la ecuación (34), y puede incluso ser negativa o cero. Los logaritmos en una base están relacionados con los logaritmos en otra base y esta relación se expresa fácilmente con la fórmula (loga b)(logb c) = loga c.

(35)

Esta fórmula se cumple para todos los valores de a, b y c para los cuales tenga sentido; esto es, las bases a y b son números positivos diferentes de 1 y c es positiva. La demostración de esta fórmula se bosqueja en el problema 39. La ecuación (35) debe recordarse con facilidad, como si se aplicara una ley oculta de cancelación. Si tomamos c  a en la ecuación (35), tenemos (loga b)(logb a) = 1,

(36)

la cual a su vez, con b  e, da ln a =

1 . loga e

(37)

Si sustituimos a con e, b con a y c con x en la ecuación (35) obtenemos .logE A/.logA X/ H logE X; de manera que logE X ln X H . logE A ln A

logA X H



En casi todas las calculadoras, la tecla ,/' corresponde al logaritmo común (base 10): log x  log10 x. Por el contrario, en muchos lenguajes de programación como BASIC y en algunos programas de álgebra simbólica, como Mathematica, sólo aparece el logaritmo natural en forma explícita [como LOG(X) (en BASIC) y como Log[x] (en Mathematica)]. Para obtener log10 x se escribe LOG(X)/LOG(10) y Log[10,x], respectivamente. Derivando ambos lados de la ecuación (38) tenemos $X logA X H

1 logA E H : X ln A X



Por ejemplo, $X log10 X H

0:4343 log10 E  : X X

Si combinamos la fórmula D x ln |x |  1yx (vea la ecuación (22) en la sección 3.8) y la ecuación (38) con u en lugar de x, la regla de la cadena proporciona $X logA jUj H

$X ln jUj 1 DU logA E DU H
H
ln A U ln A D X U DX

si u es una función derivable de x.



486

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 7 Dx log2



x2 + 1 =

(1.4427)x 1 1 log e Dx log2 (x 2 + 1) = · 2 2 · 2x ≈ . 2 2 x +1 x2 + 1

En el último paso se sustituye log2 e  1y(ln 2) ≈ 1y0.69315 ≈ 1.4427.

Z

6.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. X  DT PARA X >   0ORDEFINICI˜N LN X H  T  L¤M LN X H C1 Y L¤M LN X H  X!C1

X!C

  H SI X >  X LN X 4. La definición de la función exponencial natural dice que exp x  y si y sólo si ln y  x.  lím exp X H 1.  $EACUERDOCONELTEOREMADELASECCI˜N LN

X!1

6. Por definición, si a > 0 y x es un número real, entonces a x  e x ln a.  Si 0 < A < 1, entonces lím A X H 0. X!1

X

 $X A H XA

X1

U

U



.

A DU H A
ln A C #.

 $X log10 X H

log10 E . X

6.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Compare el enfoque “primero e x ” para exponenciales y logaritmos de la sección 3.8 con el enfoque “primero ln x” de esta sección. Bosqueje cada aproximación y señale las diferencias importantes. ¿Qué, si hay algo, no está totalmente definido en cada enfoque? ¿Cómo se introdujo el número e en cada enfoque? ¿En qué difiere la obtención de las fórmulas de derivación D x e x  e x y D x ln x  1yx en los dos enfoques? 2. Describa la forma en que se usaron las definiciones precisas de las funciones exponencial y logarítmica de esta sección para definir y derivar las funciones de potencia f (x)  x r (para valores tanto positivos como negativos de x y valores tanto racionales como irracionales del exponente r).

6.7 PROBLEMAS En los problemas 1 a 24, encuentre la derivada de la función f (x) dada. 2

1. f (x) = 10x 3x 3. f (x) = x 4 5. f (x) = 7cos x

2. f (x) = 21/x

7. f (x) = 2x

8. f (x) = log100 10x

√

x

9. f (x) = 2

ln x

11. f (x) = 17x 13. f (x) = 10

1/x

4. f (x) = log10 cos x 6. f (x) = 2x 3x

2

8x

10. f (x) = 7

√

12. f (x) = 2 x √ 2 14. f (x) = 3 1−x

15. f (x) = 22

x

17. f (x) = log3

√

16. f (x) = log2 x x2

+4

18. f (x) = log10 (e x )

19. f (x) = log3 (2x )

20. f (x) = log10 (log10 x)

21. f (x) = log2 (log3 x)

22. f (x) = π x + x π + π π

23. f (x) = exp(log10 x)

24. f (x) = π x

3

Evalúe las integrales dadas en los problemas 25 a 32.   2 2x 25. 3 dx 26. x · 10−x d x  27.

√

2 √



x

x

dx

28.

101/x dx x2

SECCIÓN 6.7

 x 2 7x

29.  31.

3 +1

 dx

1 dx x log10 x

30. 

log2 x dx x

(2x )3(2 ) d x x

32.

33. Se midieron el pulso cardiaco R (en latidos por minuto) y el peso (en libras) de varios mamíferos con los resultados que se encuentran en la figura 6.7.13. Utilice el método del ejemplo 3 para encontrar una relación entre los dos de la forma R  kW m. 7













2













FIGURA 6.7.13 Datos para el problema 33.

34. Durante la expansión adiabática de cierto gas diatómico, se midieron su volumen V (en litros) y su presión p (en atmósferas), con los resultados que se muestran en la figura 6.7.14. Utilice el método del ejemplo 3 para encontrar la relación entre V y p de la forma p  kV m. 6











P











El logaritmo natural como una integral

487

35. Encuentre el punto más alto de la curva f (x) = x · 2−x para x > 0. 36. Aproxime el área de la región del primer cuadrante acotada por las curvas y  2− x y y  (x − 1) 2. Uno de los puntos de intersección de estas dos curvas debe ser evidente, pero será necesario aproximar el otro punto. 37. Aproxime el volumen del sólido generado al rotar la región del problema 36 alrededor del eje x. 38. Aproxime el área del primer cuadrante para la región acotada por las curvas y  3 2− x y y  (3x − 4) 2. Será necesario aproximar los dos puntos de intersección de estas dos curvas. 39. Demuestre la ecuación (35). [Sugerencia: sea x  log a b, y  log b c y z  log a c. Luego demuestre que a z  a x y, y concluya que z  x y.] 40. Considere la función F .X/ H

1 1 C 21=X

para X

0:

Demuestre que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha de f (x) en x  0 existen pero no son iguales. 41. Encuentre d yyd x si y  log x 2.

FIGURA 6.7.14 Datos para el problema 34.

6.7 INVESTIGACIÓN: ecuaciones funcionales naturales Proporcione los detalles completos de las demostraciones de los hechos 1 y 2 descritos aquí. Hecho 1

Si f es una función continua tal que f (x + y)  f (x) + f (y)

(1)

para todos los números reales x y y, entonces f (x)  kx para alguna constante k. Sustituya t en lugar de y en la ecuación (1) y luego integre desde t  0 a t  y manteniendo a x constante:  y  y  y f (x + t) dt = f (x) dt + f (t) dt.

Descripción de la demostración

t=0

t=0

t=0

Luego sustituya u  u(t)  x + t, d u  d t en el lado izquierdo de la ecuación  y  x+y f (u) du = y · f (x) + f (t) dt, u=x

de donde se encuentra que  y · f (x) =

t=0

x+y t=0

 f (t) dt −

x t=0

 f (t) dt −

y

f (t) dt.

t=0

El lado derecho es simétrico en las variables x y y, por lo que al intercambiarlas se obtiene F .X/ F .Y/ Y
F .X/ H X
F .Y/; por lo que H X Y para toda x y y. Como x y y son independientes, se deduce que la función f (x)yx debe ser de valor constante y por consiguiente f (x)  kx para alguna constante k.

X

488

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Esta sutil demostración se debe a H. N. Shapiro, “A micronote on a functional equation”, Amer. Math. Monthly 80 (1973), p. 1041. Existen funciones discontinuas que satisfacen la ecuación (1). Pero se sabe que cualquiera de esas funciones debe ser realmente extraña —su gráfica debe intersecar cualquier disco circular en el plano x y—. ¿Puede ver que esto implica no sólo que una función como esa además de ser discontinua en todos los puntos también es no acotada cerca de cada punto? Hecho 2

Si f es una función continua con valores positivos tal que f (x + y)  f (x) · f ( y)

(2)

para todos los números reales x y y, entonces f (x)  e k x para alguna constante k. Descripción de la demostración Sea g (x)  ln(f (x)). Tomando logaritmos naturales en ambos lados de la ecuación (2) tenemos

g(x + y) = ln( f (x + y)) = ln( f (x) · f (y)) = ln( f (x)) + ln( f (y)) = g(x) + g(y).

Aplicando el hecho 1 ahora a g se tiene ln( f (x))  k x, por lo que f (x)  e k x.

X

Reto Utilice métodos similares para establecer el siguiente resultado: Hecho 3

Si f es una función continua tal que f (x y)  f (x) · f (y)

(3)

para todos los números reales positivos x y y, entonces f (x)  x k para alguna constante k.

6.8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS  YX



YEX

Y 

YLNX

Recuerde que se dijo que la función f era uno-a-uno en su dominio de definición D si, dado x1 y x2 en D, x1 H x2 implica que f (x1) H f (x2): “diferentes entradas producen diferentes resultados”. (Para probar que f es uno-a-uno, generalmente es más fácil probar la contraproposición; que si f (x1)  f (x2), entonces x1  x 2.) Lo que es importante aquí es que si f es uno-a-uno en su dominio de definición, entonces tiene una función inversa f − 1. Esta función inversa se define como f − 1(x)  y si y sólo si f (y)  x.





(1)

Por ejemplo, de la sección 3.8 estamos familiarizados con el par de funciones inversas





 X





FIGURA 6.8.1 Las gráficas y  e y y  ln x son reflexiones respecto a la recta y  x. x

f (x)  e x y f − 1(x)  ln x, Desde un punto de vista geométrico, la ecuación (1) implica que las gráficas y  f (x) y y  f − 1(x) son reflexiones una de la otra respecto a la recta a 45° y  x, como las gráficas conocidas y  e x y y  ln x en la figura 6.8.1.

SECCIÓN 6.8

Funciones trigonométricas inversas

489

Función tangente inversa Ahora se quieren definir las inversas de las funciones trigonométricas, comenzando con la función tangente inversa. Debemos, sin embargo, enfrentar el hecho de que las funciones trigonométricas son uno-a-uno porque el periodo de cada una de las seis funciones es π o 2π. Por ejemplo, tan x  1 si x es πy4 o πy4 más cualquier múltiplo entero de π. Estos múltiples valores de x, todos con tangente igual a 1, corresponden a múltiples puntos de intersección de la gráfica y  tan x y la línea horizontal y  1 en la figura 6.8.2. Y

Y

X

Y

 P 

 P 

P 

P 

P 

X

X

FIGURA 6.8.2 La función tangente toma cada valor real un número infinito de veces.

La figura 6.8.3 es la reflexión de la figura 6.8.2 respecto a la recta a 45° y  x. Las intersecciones múltiples de x  tan y y la línea x  1 indican que se debe hacer una selección para definir tan− 1 1. Esto es, no se puede definir y  tan− 1 x, la inversa de la función tangente diciendo simplemente que y es el número tal que tan y  x. Existen muchos de esos valores de y, y se debe especificar cuál de ellos se utilizará. (Observe que el símbolo −1 en la notación tan− 1 x no es un exponente, no significa (tan x)− 1.) Hacemos esto, restringiendo de manera adecuada el dominio de la función tangente. Como la función tangente es creciente en (−πy2, πy2) y su recorrido de valores es (−∞, +∞), para cada x en (−∞, +∞) existe un número y en (−πy2, πy2) tal que tan y  x. Esta observación lleva a la siguiente definición de la función tangente inversa (o arco tangente) con notación tan− 1 x o arctan x.

Y Y

FIGURA 6.8.3 El simple hecho de reflejar la gráfica de y  tan x respecto a la recta a 45° y  x no produce la gráfica de una función.

P 

DEFINICIÓN La función tangente inversa La función tangente inversa (o arco tangente) se define como:

YTAN X

y  tan− 1 x

X

Y

P 

FIGURA 6.8.4 La función tangente inversa tan− 1 x está definida para toda x.

si y sólo si

tan y  x

y

−πy2 < y < πy2

(2)

donde x es un número real arbitrario. Como la función tangente toma todos los valores reales, tan− 1 x está definida para todos los números reales x; tan− 1 x es ese número y en el intervalo (−πy2, πy2) cuya tangente es x. La gráfica de y  tan− 1 x es la reflexión de la gráfica de y  tan x, −πy2 < x < πy2, respecto a la recta y  x (figura 6.8.4). De la ecuación (2) se deduce que tan.tan1 X/ H X

para toda X

A

si =2 < X < =2:

B

y tan1 .tan X/ H X

490

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Como la derivada de tan x es positiva para toda x en el intervalo (−πy2, πy2), del teorema 1 de la sección 3.8 se deduce que tan− 1 x es derivable para toda x. Por lo tanto, se puede derivar ambos lados de la identidad en la ecuación (3a). Primero se escribe la identidad en la forma tan y  x. donde y  tan− 1 x. Entonces, derivando respecto a x se tiene .SEC Y/

DY H I DX DY    H H H :   DX SEC Y  C TAN Y  C X

!S¤ $X TAN X H

 ;  C X



YSIUESCUALQUIERFUNCI˜NDERIVABLEDEX ENTONCES $X TAN U H

 DU 
  C U DX



La definición de la función inversa de la cotangente es similar a la de la función inversa de la tangente, excepto que comenzamos con la restricción de la función cotangente al intervalo (0, π), donde es una función decreciente que toma todos los valores reales. Así, la función cotangente inversa (o arco cotangente) se define como y  cot− 1 x

si y sólo si

cot y  x

y

0 1),

la cual es conveniente para cálculos en calculadoras y computadoras. (Vea el problema 62.) Sin embargo, la definición de sec− 1 x es la misma que se usa en los sistemas algebraicos de computadora como Maple y Mathematica. (Vea el problema 61.)

494

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

La gráfica de y  sec− 1 x es la reflexión de la gráfica de y  sec x, restringida ≤ x < πy2 y πy2 < x ≤ π, respecto a la recta y  x adecuadamente a los intervalos 0 − − (figura 6.8.12). De la definición de la inversa de la secante se obtiene que

Y P

YSEC X

≥ 1, sec(sec− 1 x)  x si |x| −

(15a)

−1

sec (sec x)  x para x en [0, πy2) ∪ (πy2, π]





FIGURA 6.8.12 Gráfica de y  arcsec x  sec− 1 x.

X

(15b)

Siguiendo ahora los pasos conocidos, se encuentra D x sec− 1 x derivando ambos lados de la ecuación (15a) en la forma sec y  x, donde y  sec− 1 x. Esto lleva a .sec Y tan Y/

DY H 1; DX

de manera que 1 1 DY ; H H p DX sec Y tan Y X X 2 1 p porque TAN Y H  SEC Y  H  X   Para obtener el signo correcto en este caso, observe lo que sucede en los dos casos x > 1 y x < −1. En el primer caso, 0 < y < πy2 y tan y > 0, por lo que se selecciona el signo más. Si x < −1, entonces πy2 < y < π y tan y < 0, por lo que se selecciona el signo menos. De este modo DY 1 H p DX jXj X 2 1

.jXj > 1/.



Si u es una función derivable de x con valores que exceden 1 en magnitud, entonces, por la regla de la cadena, se obtiene $X sec1 U H

DU 1
. p 2 D X jUj U 1



EJEMPLO 3 La función f (x)  sec− 1 e x está definida si x > 0 porque entonces e x > 1. Así, por la ecuación (17), $X SEC E X H

 EX Hp p X X X jE j E  E 

porque |e x|  e x para toda x.

Z

La función inversa de la cosecante (o arco cosecante) es la inversa de la función y  csc x, donde x está restringida a la unión de los intervalos [−πy2, 0) y (0, πy2]. Así, y  csc− 1 x

si y sólo si

csc y  x

y

−πy2 < y < πy2

(18)

≥ 1. Su fórmula de la derivada, que se obtiene de manera similar a la de la donde |x| − función inversa de la secante, es $X CSC U H

DU 
: p  jUj U  D X



SECCIÓN 6.8

Funciones trigonométricas inversas

495

RESUMEN La tabla siguiente resume los dominios, rangos y derivadas de las seis funciones inversas trigonométricas.

&UNCI˜N

$OMINIODE DEFINICI˜N

2ANGODE VALORES

SEN X



X



=

Y

COS X



X







TAN X

1 < X < C1

= < Y < =

COT X

1 < X < C1

 1. Suponga que u < −1, sustituya x  −u en y  sec− 1 |u | y use la regla de la cadena d yyd u  (d yyd x)(d xyd u) para verificar (22 ). En los problemas 58 a 60, sustituya u  ax (suponiendo que a > 0) para obtener la fórmula integral dada.  U C # .U < A/  DU H SEN  p   A A U  

A U

 U  C # DU H TAN  CU A A

p

 U



A

DU H

U  SEC C# A A

.U > A/

498

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

61. Si f (x)  sec− 1 x los sistemas algebraicos de computadora Mathematica y Maple proporcionan f  (x) =



1

x2 1 −

1 x2

para la derivada de f. Compruebe cuidadosamente que (si x < −1 o bien x > 1) estos resultados son equivalentes a la fórmula de la derivada de sec− 1 x dada en esta sección. 62. Demuestre que $X SEC X H $X COS

 X

SI jXj > ;

YCONCLUYAQUE SEC X H COS

 X

SI jXj > :

Este hecho se puede utilizar para encontrar valores de arco secante en una calculadora que tiene una tecla para calcular la función arco coseno, normalmente llamada ).6 #/3 O #/3´  , pero no la tecla arco secante. 63. Algunos libros de cálculo definen la función inversa de la secante como la función g tal que y  g (x) si y sólo si sec y  x con y en [0, πy2) o bien en [π, 3πy2) (este último en lugar del intervalo (πy2, π] usado en este libro). En contraste con la figura 6.8.12, muestre que la gráfica de esta “función arco secante alterna” es como la que aparece en la figura 6.8.13. Posteriormente demuestre que su derivada está dada por 1 g  (x) = √ x x2 − 1

(sin valor absoluto en el lado derecho). P 





DX :  C X

70. Un edificio de 250 ft está equipado con un elevador externo. El elevador inicia en la parte más alta en t  0 y desciende a una velocidad constante de 25 ft/s. Usted observa el elevador desde una ventana que se encuentra a 100 ft del suelo en un edificio a 50 ft del elevador. ¿A qué altura parece que ve moverse el elevador a mayor velocidad? 71. Suponga que la función f está definida para toda x tal que |x| > 1 y tiene la propiedad que

f (x)  arcsec x + A f (x)  −arcsec x + B YGX X



FIGURA 6.8.13 Gráfica de la función inversa de la secante alterna del problema 63.

64. a) Deduzca de la fórmula de la suma para tangentes (problema 28 en el apéndice C) que arctan x + arctan y = arctan

A!1

para todas esas x. a) Explique por qué existen dos constantes A y B tales que

P

P 

A

L¤M

1 f  (x) = √ x x2 − 1

Y

YGX

65. Un anuncio espectacular que se construirá paralelo a una carretera tendrá 12 m de alto y su parte baja estará 4 m por encima del nivel de los ojos del conductor promedio. ¿Qué tan lejos de la carretera debe colocarse el espectacular para maximizar el ángulo vertical que subtiende en los ojos del conductor? 66. Utilice las funciones inversas trigonométricas para probar que el ángulo vertical subtendido por una pintura rectangular en la pared es mayor cuando se cuelga con su centro al nivel de los ojos del observador. 67. Demuestre que la circunferencia de un círculo de radio a es 2πa encontrando la longitud de su arco circular  y = a2 − x 2 p desde x  0 a X H A=  y luego multiplicado por 8. 68. Encuentre el volumen generado al girar alrededor del eje y el área bajo y  1y(1 + x 4) de x 0 a x  1. 69. La región no acotada R está limitada a la izquierda por el eje y, abajo por el eje x y arriba por la gráfica de y  1y(1 + x 2). Demuestre que el área R es finita evaluando

x+y 1 − xy

siempre que xy < 1. b) Aplique el inciso a) para demostrar que cada uno de los siguientes números es igual a πy4: I ARCTAN.  / C ARCTAN.  / II  ARCTAN.  / C ARCTAN.  / iii)   ARCTAN.  / ARCTAN.  / / IV  ARCTAN.  / ARCTAN.  

si x > 1; si x < −1.

b) Determine los valores de A y B tales que f (2)  1  f (−2). Luego esboce la gráfica de y  f (x). En varios lenguajes de cómputo la función arco tangente es la única función inversa trigonométrica que está programada directamente, por lo que es necesario expresar sen− 1 x y sec− 1 x en términos de tan− 1 x. En los problemas 72 y 73 verifique la identidad dada derivando ambos lados. ¿Qué más se debe hacer? X  SEN  X H TAN p   X p  A SEC X H TAN X   SI X >  p B SEC X H  TAN X   SI X < : En los problemas 74 a 76, calcule el valor absoluto máximo de f (x) para x > 0. Tal vez quiera comenzar localizando gráficamente el punto crítico pertinente. 74. f (x) = x −1/2 tan−1 x 76. f (x) = e−x/100 sec−1 x

75. f (x) = e−x/10 tan−1 x

SECCIÓN 6.9

Funciones hiperbólicas

499

6.9 FUNCIONES HIPERBÓLICAS El coseno hiperbólico y el seno hiperbólico del número real x se denotan como cosh x y senh x y están definidos como COSH X H

E X C EX 

Y

SENH X H

E X EX : 



Estas combinaciones específicas de exponenciales comunes son útiles en ciertas aplicaciones de cálculo y también pueden ayudar a evaluar algunas integrales. Las otras cuatro funciones hiperbólicas —tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas— se definen en términos de cosh x y senh x por analogía con la trigonometría: E X EX SENH X H X ; COSH X E C EX

COTH X H

E X C EX COSH X H X SENH X E EX

SECH X H

  H X ; COSH X E C EX

CSCH X H

  H X SENH X E EX

.X

/I



.X

/:



La terminología trigonométrica y la notación de estas funciones hiperbólicas surgen del hecho que estas funciones satisfacen una lista de identidades que, haciendo a un lado una diferencia de signo ocasional, son muy parecidas a las identidades trigonométricas conocidas:

Y

Q Q COS SEN XY

Q ¬REA 

TANH X H

  X

COSH X SENH X H I



 TANH X H SECH XI 





COTH X  H CSCH XI

FIGURA 6.9.1 Relaciones entre las funciones coseno y seno comunes con el círculo x 2 + y 2  1.



SENH.X C Y/ H SENH X COSH Y C COSH X SENH YI



COSH.X C Y/ H COSH X COSH Y C SENH X SENH YI



SENH X H  SENH X COSH XI COSH X H COSH X C SENH XI

 



COSH X H

 .COSH X 

C /I





 .COSH X 

/:



SENH X H

Las identidades en las ecuaciones (4), (7) y (8) se obtienen directamente de las definiciones de cosh x y senh x, como en el ejemplo 1.

Y

¬REA Q

EJEMPLO 1 Para establecer la “identidad fundamental” en la ecuación (4), simplemente sustituimos la definición de cosh x y senh x en el lado izquierdo y escribimos

COSH Q SENH Q

X

 

X  Y  

FIGURA 6.9.2 Relaciones de las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico con la hipérbola x 2 − y 2  1.

COSH X SENH X H  .E X C EX /  .E X EX / H  .EX C  C EX /  .EX  C EX / H :

Las otras identidades enumeradas pueden obtenerse de las ecuaciones (4), (7) y (8) de manera paralela a las desarrolladas para las identidades trigonométricas correspondientes. Z Las funciones trigonométricas algunas veces se llaman funciones circulares porque el punto (cos θ, sen θ) está en el círculo x 2 + y 2  1 para toda θ (figura 6.9.1). De manera similar, la identidad en (4) nos dice que el punto (cosh θ, senh θ) está en la hipérbola x 2 − y 2  1, y éste es el origen del nombre función hiperbólica (figura 6.9.2).

500

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral Y

Y

Y X

Y E 



X

Y E 



X



X

Y E 

X

X

X

Y E 





YTANHX C

YCOSHX B

YSENHX A Y

Y

Y





X

X

X





YCOTHX D

YSECHX E

YCSCHX F

FIGURA 6.9.3 Gráficas de las seis funciones hiperbólicas.

Es fácil construir las gráficas de y  cosh x y y  senh x. Sume (para cosh) o reste (para senh) las ordenadas de las gráficas de y   e x y y   e− x. Las otras cuatro funciones hiperbólicas se pueden construir dividiendo las ordenadas. Las gráficas de las seis funciones se muestran en la figura 6.9.3. Estas gráficas muestran notables diferencias entre las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas ordinarias. Ninguna de las funciones hiperbólicas es periódica. Sin embargo, tienen propiedades par-impar como las de las funciones circulares. Como el coseno y la secante, las funciones cosh y sech son pares porque cosh(−x)  cosh x

y

sech(−x)  sech x

para toda x. Las otras cuatro funciones hiperbólicas, como las funciones seno y tangente son impares: senh(−x)  −senh x,

tanh(−x)  −tanh x,

y así sucesivamente.

Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas Las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas son semejantes a las de las funciones trigonométricas, con ocasionales diferencias de signo. Por ejemplo, $X COSH X H $X

 X E 

C  EX H  E X  EX H SENH X:

SECCIÓN 6.9

Funciones hiperbólicas

501

Por medio de la regla de la cadena se obtiene $X COSH U H .SENH U/

DU DX



si u es una función derivable de x. Las otras cinco fórmulas de derivación son $X SENH U H .COSH U/

DU ; DX

$X TANH U H .SECH U/



DU ; DX

$X COTH U H . CSCH U/



DU ; DX



$X SECH U H . SECH U TANH U/

DU ; DX



$X CSCH U H . CSCH U COTH U/

DU : DX



La ecuación (14) se obtiene exactamente como se obtuvo la ecuación (13). Las ecuaciones (15) a (18) se obtienen a partir de las ecuaciones (13) y (14) con la ayuda de la regla de los cocientes y las identidades en las ecuaciones (5) y (6). Como se indica en el ejemplo 2, la derivación de las funciones hiperbólicas usando las ecuaciones (13) a (18) es muy similar a la derivación de las funciones trigonométricas. EJEMPLO 2 A B C D

$X COSH X H  SENHX $X SENH X H  SENH X COSH X $X .X TANH X/ H TANH X C X SECH X $X SECH.X  / H X SECH.X  / TANH.X  /

Z

Las versiones de las antiderivadas de las fórmulas de derivación en las ecuaciones (13) a (18) son las fórmulas integrales siguientes: SENH U DU H COSH U C #;



COSH U DU H SENH U C #;



SECH U DU H TANH U C #;



CSCH U DU H COTH U C #;



SECH U TANH U DU H SECH U C #;



CSCH U COTH U DU H CSCH U C #:



Las integrales en el ejemplo 3 ilustran el hecho de que las integrales hiperbólicas simples se pueden tratar casi de la misma forma que las integrales trigonométricas.

502

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 3 a) Con u  3x, se tiene COSH X D X H

 DU 

.COSH U/

H

 

SENH U C # H

 

SENH X C #:

b) Con u  senh x, se tiene U DU H  U  C # H

SENH X COSH X D X H

 

SENH X C #:

c) Usando la ecuación (12), se tiene que SENH X D X H

 .COSH X 

/ D X H

 

SENH X  X C #:

d) Finalmente, usando la ecuación (5), se tiene que 



TANH X D X H



. SECH X/ D X H X TANH X



 



H  TANH  H 

EE  H   ECE E C

 ::

Z

Funciones hiperbólicas inversas La figura 6.9.3 muestra que • • • •

las funciones senh x y tanh x son crecientes para toda x; las funciones coth x y csch x son decrecientes y están definidas para toda x H 0; ≥ 0; y la función cosh x es creciente en la mitad de la recta x − ≥ 0. la función sech x es decreciente en la mitad de la recta x −

Se deduce que cada una de las seis funciones hiperbólicas pueden “invertirse” en el dominio indicado donde son crecientes o decrecientes. Las funciones hiperbólicas inversas resultantes y sus dominios de definición se dan en la siguiente tabla: &UNCI˜NHIPERB˜LICAINVERSA SENH X COSH X TANH X COTH X SECH X CSCH X

EJEMPLO 4

$ElNIDAPARA 4ODAX X  jXj <  jXj >   



SI  < X



SI X







Cada una de estas identidades se puede establecer demostrando que los dos lados tienen la misma derivada y que tienen el mismo valor para cuando menos un valor de x en cada intervalo de sus respectivos dominios. Para establecer la identidad en (34), comenzamos derivando cada lado X C p   X C Hp H $X SENH X: $X LN X C X  C  H p   X C X C X C

EJEMPLO 6

%NTONCES SENH X H LN X C X  C  C #: p Pero senh− 1 (0)  0  ln(0 +  C  /: Esto implica que C  0 y esto establece la ecuación (34). No es tan sencillo demostrar que C  0 en las demostraciones de las ecuaciones (37) y (39); vea los problemas 64 y 65. Z

Utilizamos las ecuaciones (34) a (39) para calcular los valores de las funciones hiperbólicas inversas. Esto es conveniente si el repertorio de su calculadora no incluye las funciones hiperbólicas inversas o si está programando en un lenguaje como BASIC, muchas formas del cual no incluyen estas funciones.

Integrales que involucran funciones hiperbólicas inversas Las principales aplicaciones de las funciones inversas hiperbólicas son la evaluación de integrales algebraicas. Las fórmulas de derivación en las ecuaciones (28) a (33) pueden, en la forma usual, escribirse como las siguientes fórmulas de integrales: p

DU U C 

p

DU U 

H SENH U C #;



H COSH U C #;



DU H TANH U C #  U

SI jUj < 

A

DU H COTH U C #  U

SI jUj > 

B

SECCIÓN 6.9

DU H  U

Funciones hiperbólicas

505

CU C #; U

C

DU H SECH jUj C #; p U  U



p

DU

U  C U

 

LN

H CSCH jUj C #:



La diferencia entre los dos casos | u | < 1 y | u | > 1 en las ecuaciones (42a) y (42b) es resultado del hecho de que la inversa de la tangente hiperbólica está definida para | x| < 1, mientras que la inversa de la cotangente hiperbólica está definida para | x | > 1. La sustitución u  2x, d x   d u proporciona

EJEMPLO 7

p

DX X  

H

 

p

DU U C 

H

 SENH X C #: 

Z

EJEMPLO 8 = 

DX H TANH X  X H

= 

 CX LN  X

=

H 

 LN   :: 

Z

EJEMPLO 9  

  DX CX   H COTH X H LN   X  X     H LN LN  H LN   ::   

Z

6.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. E X EX   SENH X   TANH X H COSH X  $X COSH X H SENH X DU  $X SENH U H .COSH U/  DX  COSH X H



SECH U DU H TANH U C #

  SENH X X C #      $X SENH X H p  X    $X TANH X H  X p  SENH X H LN X C X  C  PARATODA X 



SENH X D X H



p

U

C

DU H SENH U C #

506

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

6.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Analice las diferencias y similitudes en los dominios y los rangos o recorridos de las seis funciones hiperbólicas inversas. 2. Comience con la gráfica de las seis funciones hiperbólicas de la figura 6.9.3, bosqueje las gráficas de las seis funciones hiperbólicas inversas. Posteriormente identifique los dominios y recorridos de cada una. 3. Analice la analogía entre las identidades trigonométricas (como cos 2 x + sen 2 x  1) y las identidades hiperbólicas (como cosh 2 x − senh 2 x  1).

6.9 PROBLEMAS Encuentre las derivadas de las funciones en los problemas 1 a 14. p  F .X/ H COSH.X /  F .X/ H SENH X   F .X/ H X  TANH  F .X/ H SECH EX X  F .X/ H COTH X  F .X/ H E

CSCH X

 F .X/ H LN SENH X  F .X/ H COSH LN X

 F .X/ H SEN.SENH X/ 

 F .X/ H SENH X   F .X/ H X C TANH X

 F .X/ H TAN .TANH X/ 

 F .X/ H SENH X  F .X/ H COSH X SENH  X

Evalúe las integrales en los problemas 15 a 28. COSH U DU p p SECH X TANH X DX p X



X SENH X  D X





TANH X D X





SENH  X COSH X D X



TANH X D X



SENH X DX COSH X





SENH X D X



COTH X CSCH X D X



SECH X D X

 

SENH X DX  C COSH X  DX X .E C EX /

SENH LN X DX X E X C EX DX E X EX

 

Encuentre las derivadas de las funciones en los problemas 29 a 38.  F .X/ H SENH  X p  F .X/ H TANH X   F .X/ H SECH X  F .X/ H .SENH  X/=  F .X/ H LN.TANH X/

 F .X/ H COSH .X  C / p  F .X/ H COTH X  C   F .X/ H CSCH E X  F .X/ H SENH  .LN X/   F .X/ H TANH X

Utilice las funciones hiperbólicas inversas para evaluar las integrales en los problemas 39 a 48. DX DY   p  X C Y   

 =

DX  X



 

DX  X

  

p

DX X 

X  EX DX p EX C   DX p  EX



p

DX

X X  C  X DX p X  COS X

 

 C SEN  X

DX

49. Aplique las definiciones en la ecuación (1) para probar la identidad de la ecuación (7). 50. Obtenga las identidades en las ecuaciones (5) y (6) a partir de la identidad en la ecuación (4). 51. Deduzca las identidades en las ecuaciones (10) y (11) de la identidad en la ecuación (8). 52. Suponga que A y B son constantes. Demuestre que la función x (t)  A cosh k t + B senh k t es una solución de la ecuación diferencial d2x = k 2 x(t). dt 2 53. Encuentre la longitud de la curva y  cosh x en el intervalo [0, a]. 54. Encuentre el volumen del sólido que se obtiene al rotar alrededor del eje x el área bajo la curva y  senh x de x  0 a x  π. 55. Demuestre que el área A(θ) del sector sombreado en la figura 6.9.2 es θy2. Esto corresponde al hecho de que el área del sector del círculo unitario entre el lado positivo del eje x y el radio al punto (cos θ, sen θ) es θy2. [Sugerencia: observe primero que COSH 

!./ H

 

X   D X:

COSH  SENH  

Luego utilice el teorema fundamental del cálculo para demostrar que A (θ)   para toda θ.] 56. Evalúe los siguientes límites SENH X COSH X  B L¤M TANH X C L¤M  A L¤M X!1 X!1 X! X EX 57. Utilice el método del ejemplo 4 para encontrar el valor numérico de senh− 1 1. 58. Aplique las ecuaciones (34) y (39) para verificar la identidad CSCH X H SENH 

 X

si x

0.

59. Establezca la fórmula para D x senh− 1 x en la ecuación (28). 60. Establezca la fórmula para D x sech− 1 x en la ecuación (32). 61. Demuestre la ecuación (36) derivando ambos lados.

SECCIÓN 6.9

62. Establezca la ecuación (34) resolviendo la ecuación X H SENH Y H

E Y EY 

para y en términos de x. 63. Establezca la ecuación (37) resolviendo la ecuación e y + e−y x = coth y = y e − e−y

para y en términos de x. 64. a) Obtenga la derivada en ambos lados de la ecuación (37) para demostrar que difieren en una constante C. b) Luego pruebe que C  0 usando la definición de coth x para mostrar que coth− 1 2   ln 3. 65. a) Obtenga la derivada en ambos lados de la ecuación (39) para demostrar que difieren en una constante C. b) Luego pruebe que C  0 usando pla definición de csch x para mostrar que csch− 1 1  ln(1 +  ). 66. Estime (gráfica o numéricamente) los puntos de intersección de las curvas y  x + 2 y y  cosh x. Posteriormente aproxime el área de la región acotada por estas dos curvas. En los problemas 67 y 68 encuentre primero que f (x) → 0 cuando x → +∞. Luego estime (gráfica o numéricamente) el valor máximo absoluto de f (x) para x > 0. Derive f (x) para verificar que se tiene un punto crítico apropiado.  F .X/ H EX TANH X

 F .X/ H EX SENH  X

Los problemas 69 y 70 manejan el cable colgado que aparece en la figura 6.9.4. Si el cable es flexible y tiene una densidad uniforme, se pueden usar principios elementales de física para

Funciones hiperbólicas

507

demostrar que la forma de su función y  y(x) satisface la ecuación diferencial

2 d2 y dy = k 1 + (45) dx2 dx donde k es una constante determinada por la densidad y la tensión del cable. Y  , (

, (

Y

0ANDEO( Y

X

FIGURA 6.9.4 Un cable flexible uniforme está suspendido entre dos puntos a la misma altura.

69. Verifique que la función y(x) = y0 +

1 (−1 + cosh kx) k

(46)

satisface la ecuación diferencial en (45) y también satisface las condiciones iniciales y(0)  y0, y9(0)  0. Una curva con esta forma se llama catenaria y proviene de la palabra en latín catena (cadena). 70. Una línea de alto voltaje se suspende entre dos torres de 50 ft separadas 200 ft. a) Si la línea oscila 20 ft en su parte media (donde x  0) —de modo que y0  30 (ft) en la ecuación (46)— estime gráficamente o numéricamente el valor del parámetro k. b) Luego aproxime la longitud total de la línea de alto voltaje.

508

CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

CAPÍTULO 6: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y fórmulas Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos, definiciones y fórmulas del capítulo que necesite comprender. Sección 6.1 Método general para establecer una fórmula integral para una cantidad por aproximación y luego reconocer esa aproximación como una suma de Riemann que corresponde a la integral deseada: si el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos con la misma longitud x  (b − a)yn y si XI denota un

Páginas

N

B

F .XI /

F .X/ D X H L¤M

punto en el i-ésimo subintervalo, entonces

X!

A

X . . . . . 414

IH

Sumas de Riemann aproximando otras cantidades definidas por integrales . . . . . . . . . . 415-416 B

Distancia neta recorrida como la integral de velocidad: S H

G.T/ DT . . . . . . . . . . . . . 418 A

B

jG.T/j DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Comparada con la distancia total recorrida: S H A

B

Flujo de un fluido con velocidad v(x) en un tubo circular & H

 XG.X/ D X . . . . . . . 420 A

6.2

B

Método de secciones transversales para calcular volúmenes 6 H

!.X/ D X A

donde A(x) denota el área de una rebanada con espesor infinitesimal d x. . . . . . . . . . . 427 Volumen de un sólido de revolución cuyas secciones transversales son discos: B

6 H

D

 Y  D X (alrededor del eje x) o 6 H

A

 X  DY (alrededor del eje y).. . . . . . 427, 429

C

Volumen de un sólido de revolución cuyas secciones transversales son anillos anulares: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 B

6 H A

6.3

  .YSUP YINF / DX O 6 H

D C

  .XDER XIZQ / DY 

Encontrar el volumen de un sólido de revolución por el método de capas cilíndricas

6 H

R D ! donde r denota el radio del círculo a través del cual

B

 X
Y D X (alrededor del eje y) o

rota el elemento de área dA. Así 6 H A

D

6 H

 Y
X DY ALREDEDORDELEJEX  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438-439 C

Volumen obtenido al rotar el área entre dos curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 B

6 H

D

 XTYSUP YINF U D X O 6 H A

6.4



Longitud de arco S H

 YTXDER XIZQ U DY  C

DS de una curva suave donde DS H

 C .DY=D X/ dx



si el arco está descrito por y  f (x), mientras que DS H

 C .DX=D Y / D Y

si está descrito por x  g (y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447-448 Mecanismo simbólico DS H

D X  C DY  H

C

DY DX



DX D

C

DX DY



D Y . . . 449

B

 Y DS  Y H F .X/ alrededor del eje x) . . . 451

Área de la superficie de revolución: 6 H A D

 X DS  X H G.Y/ alrededor del eje y) . . . 452

6 H C

Capítulo 6

Repaso

CAPÍTULO 6: REPASO (continuación) B

6.5

Trabajo 7 H

&.X/ D X realizado por una función de fuerza F(x) al mover A

una partícula paralela al eje x de x  a a x  b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Ley de Hooke y el trabajo realizado al estirar o comprimir un resorte elástico . . . . . . . . 458 Trabajo realizado en contra de la fuerza de gravedad variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 B

Trabajo 7 H

Y !.Y/ DY realizado al bombear un fluido de densidad ρ

A

del suelo a un tanque con área de sección transversal A( y) a una altura y . . . . . . . . . . 460 B

.H Y/!.Y/ DY realizado al bombear todo el fluido de su

Trabajo 7 H A

posición en el tanque a un nivel con altura h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 B

.C Y/H.Y/ DY ejercida por un líquido en la cara de una placa

Fuerza & H A

6.6

vertical sumergida con ancho w( y) a la profundidad y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464  B  B F .X/ D X del centroide X F .X/ D X Y Y H Las coordenadas X H ! A  ! A de la región bajo y  f (x) de x  a a x  b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Momentos de una región plana respecto a los ejes x y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Primer teorema de Pappus (volumen de revolución) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Momentos o centroides de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Segundo teorema de Pappus (área de la superficie de revolución). . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 X

6.7

Logaritmo natural LN X H

.=T/ DT de un número x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476



6.8

6.9

Definición del número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 Leyes de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 Definición de exp x  e x como la función inversa de ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Funciones exponenciales generales y sus derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482-483 Funciones logarítmicas generales y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484-485  DU . . . . . . . . . . . . . . 489-490 Función inversa de la tangente y su derivada $X TAN U H  C U D X  DU . . . . . . . . . . . . . . . . 491-492 Función inversa del seno y su derivada $X SEN U H p   U DX  DU . . . . . . . . . . . 493-494 Función inversa de la secante y su derivada $X SEC U H p  jUj U  D X Fórmulas de integrales correspondientes a las derivadas de las funciones inversas de seno, tangente y secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Definiciones de las seis funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Derivadas de las seis funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 Funciones inversas hiperbólicas y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502-503 Integrales con funciones inversas hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504-505

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 6.1 Reconocer la integral correspondiente al límite de una suma de Riemann . . . . . . . . . . . 1, 3, 5, 13 Calcular la distancia neta y total recorrida por una partícula en movimiento . . . . . . . . . 25,29 Usar integrales para calcular el flujo de agua y el crecimiento de la población. . . . . . . . 39, 41, 43

509

510 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

CAPÍTULO 6: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Sección Problemas 6.2 Calcular volúmenes con secciones transversales circulares (o discos) . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 11 Calcular volúmenes con secciones transversales como anillos anulares (o rondanas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 15, 17, 23 Calcular volúmenes con otras secciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 39, 45, 47 6.3 Calcular volúmenes usando capas cilíndricas centradas en el eje x . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 21 Calcular volúmenes usando capas cilíndricas centradas en el eje y . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 11 Calcular volúmenes usando capas cilíndricas centradas en otras rectas . . . . . . . . . . . . . 15, 17, 23 6.4 Establecer integrales de longitud de arco y calcular la longitud de arco . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 21, 23 Establecer y evaluar integrales de área de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 19, 29, 31 6.5 Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 9 Calcular el trabajo realizado al llenar o vaciar un tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13, 15, 17 Calcular la fuerza ejercida por un líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33 6.6 Encontrar los centroides de una región plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 9, 15, 19 Aplicar los teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 22, 24, 28 6.7 Calcular derivadas de funciones exponencial general y logarítmica general . . . . . . . . . . 1, 5, 7, 17, 19 Evaluar integrales que contienen exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 27, 31 6.8 Derivar funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 9, 19 Evaluar integrales que contienen funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33, 37, 39 6.9 Derivar funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 11 Evaluar integrales que contienen funciones hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17, 19 Derivar funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 31, 33 Evaluar integrales que contienen funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 41, 43

PROBLEMAS DIVERSOS En los problemas 1 a 3, encuentre las distancias neta y total recorridas, entre los tiempos t  a y t  b, por una partícula en movimiento a lo largo de una línea con la función de velocidad v  f (t) dada.  G H T  T  A H  B H   G H T   

A H  B H 

 G H  SEN  .T /

A H  B H

 

En los problemas 4 a 8, un sólido se extiende al lado del eje x de x  a a x  b, y su área de sección transversal en x es A(x). Encuentre su volumen.  !.X/ H X   A H  B H  p  !.X/ H X A H ; B H   !.X/ H X  

A H  B H  

 !.X/ H .X X  / A H  B H   !.X/ H X  

A H  B H 

9. Suponga que la lluvia inicia en el tiempo t  0 y que la tasa después de t horas es (t + 6)y12 pulgadas por hora. ¿Cuánta lluvia cayó durante las primeras 12 horas? 10. La base de cierto sólido es la región en el primer cuadrante acotada por las curvas y  x 3 y y  2x − x 2. Encuentre el volumen del sólido si cada sección transversal perpendicular al eje x es un cuadrado con un lado en la base del sólido.

11. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región del primer cuadrante del problema 10. 12. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por y  2x 4 y y  x 2 + 1 alrededor a) del eje x; b) del eje y. 13. Un alambre de cobre (densidad 8.5 g/cm3) tiene forma de una hélice que gira en espiral alrededor del eje x de x  0 a x  20. Cada sección transversal del alambre perpendicular al eje x es un disco circular de radio 0.25 cm. ¿Cuál es la masa total del alambre? 14. Obtenga la fórmula 6 H   H.R C R R C R / para el volumen de un cono truncado con altura h y bases con radios r1 y r2. 15. Suponga que el punto P se encuentra en una recta perpendicular al plano xy en el origen O, con |OP|  h. Considere el “cono elíptico” que consiste en todos los puntos en los segmentos de recta de P a los puntos en y dentro de la elipse con ecuación X A



C

Y B



H :

Demuestre que el volumen del cono elíptico es V   πabh. 16. La figura 6.PD.1 muestra la región R acotada por la elipse (xya) 2 + (yyb) 2  1 y por la recta x  a − h, donde 0 < h < a.

Capítulo 6

La rotación de R alrededor del eje x genera un “segmento de un elipsoide” de radio r, altura h y volumen V. Demuestre que R H

B .AH H  / A

YQUE 6 H

  A H R H :  A H

Y X A



Y B

 A  R

2

X

H XA H

FIGURA 6.PD.1 Un segmento de una elipse (problema 16).

17. La figura 6.PD.2 muestra la región R acotada por la hipérbola (xya) 2 − (yyb) 2  1 y por la recta x  a + h, donde h > 0. La rotación de R alrededor del eje x genera un “segmento de un hiperboloide” de radio r, altura h y volumen V. Demuestre que R H

B .AH C H  / A

YQUE 6 H

Y XAH A 

  A C H R H :  A C H

X  Y

 A B

R X

2

H

FIGURA 6.PD.2 Región R del problema 17.

En los problemas 18 a 20, la función f (x) es no negativa y continua para x ≥ − 1. Cuando la región bajo y  f (x) de x  1 a x  t gira alrededor del eje indicado, el volumen del sólido resultante es V (t). Encuentre la función f (x).   ELEJEX  6 .T/ H   T  6 .T/ H  T. C T/ U ELEJEX  6 .T/ H  T. C T  /= U

ELEJEY

21. Utilice la fórmula de integral U SEN U DU H SEN U U COS U C #

para encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y, la región del primer cuadrante acotada por y  x y y  sen ( πx). 22. Utilice el método de capas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x  −2, la región acotada por y  x 2 y y  x + 2. 23. Encuentre la longitud de la curva y   x 3 y 2 − x 1 y 2 de x  1 a x  4. 24. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva del problema 23 alrededor de a) el eje x; b) el eje y.

Problemas diversos

511

25. Encuentre la longitud de la curva X H  .Y = Y = / de y  1 a y  8. 26. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva del problema 25 alrededor de a) el eje x; b) el eje y. 27. Encuentre el área de la superficie generada al girar la curva del problema 23 alrededor de la recta x  1. ≤ 28. Si −r ≤ − a < b − r, entonces una “zona esférica” de “altura” h  b − a se genera al girar alrededor del eje x el arco circup ≤ lar Y H R  X  a ≤ − x − b. Demuestre que el área de esta zona esférica es A  2πrh, la misma que la de un cilindro de radio r y altura h. 29. Aplique el resultado del problema 28 para demostrar que el área de la superficie de una esfera de radio r es A  4πr 2. 30. Sea R la región acotada por las curvas y  2x 3 y y 2  4x. Encuentre los volúmenes de los sólidos obtenidos al rotar la región alrededor de a) el eje x; b) el eje y; c) la recta y  −1; d) la recta x  2. En cada caso utilice tanto el método de secciones transversales como el método de capas cilíndricas. 31. Encuentre la longitud natural L de un resorte si se requiere cinco veces el trabajo para estirarlo de una longitud de 2 ft a una de 5 ft, que el requerido para estirarlo de una longitud de 2 ft a una de 3 ft. 32. Una barra de acero con peso de 1000 lb cuelga de un cable de 50 ft que pesa 5 lb por pie lineal. ¿Cuánto trabajo se realiza al enrollar 25 ft del cable con un malacate? 33. Un tanque esférico de radio R (en pies) está inicialmente lleno de aceite con densidad ρ lb/ft 3. Encuentre el trabajo total realizado al bombear todo el aceite de la esfera a una altura de 2R arriba de la parte superior del tanque. 34. ¿Cuánto trabajo realiza una colonia de hormigas para construir un hormiguero cónico con altura y diámetro de 1 ft, utilizando arena inicialmente en el nivel del suelo y con una densidad de 150 lb/ft 3? 35. La atracción gravitacional abajo de la superficie de la Tierra es directamente proporcional a la distancia al centro de la Tierra. Suponga que se hace un agujero, con la forma de un cilindro recto de radio 1 ft, desde la superficie hasta el centro de la Tierra. Suponga que la tierra tiene un radio de 3960 mi y una densidad uniforme de 350 lb/ft 3. ¿Cuánto trabajo, en pies-libra, se realiza al levantar un peso de 1 lb desde el fondo de este agujero hasta la superficie? 36. ¿Cuánto trabajo se realizó al excavar el agujero del problema 35 —esto es, al levantar todo el material que el agujero contenía originalmente hasta la superficie de la Tierra? 37. Suponga que una presa con la forma de un trapezoide tiene 100 ft de alto, 300 ft de largo en su parte superior y 200 ft de largo en la base. Cuando el nivel del agua detrás de la presa alcanza la altura de la parte superior de la presa, ¿cuál es la fuerza total que el agua ejerce sobre la presa? 38. Suponga que una presa tiene las mismas longitudes en la parte superior y en la base que el problema 37 y la misma altura vertical de 100 ft, pero la cara hacia el agua está inclinada con un ángulo de 30° de la vertical. ¿Cuál es la fuerza total de la presión del agua sobre la presa? 39. Para c > 0, las gráficas de y  c 2x 2 y y  c limitan una región plana. Al rotar la región alrededor de la línea horizontal y  −1/c se forma un sólido. ¿Para qué valor de c es el volumen del sólido un máximo? ¿Para cuál un mínimo?

512 CAPÍTULO 6

Aplicaciones de la integral

Encuentre los centroides de las curvas en los problemas 40 a 43. 1 x5 + 40. y = , 1x 2 5 12x 3 1 y4 + 2, 1 y 2 41. x = 8 4y x 3/2 42. y = − x 1/2 , 1  x  4 3 3 43. x = (y 4/3 − 2y 2/3 ), 1  y  8 8 44. Encuentre el centroide de la región plana en el primer cuadrante que está acotada por las curvas y  x 3 y y  2x − x 2. 45. Encuentre el centroide de la región plana limitada por las curvas x  2y 4 y x  y 2 + 1. 46. Sea T un plano triangular con vértices (0, 0), (a, b) y (c, 0). Demuestre que el centroide de T es el punto de intersección de sus medianas. 47. Use el primer teorema de Pappus para encontrar la coordenada y del centroide de la mitad superior de la elipse x2 y2 + 2 = 1. 2 a b Use el hecho de que esta semielipse es A   π a b y el volumen de elipsoide que se genera al rotarla alrededor del eje x es V  π a b 2. 48. a) Use el primer teorema de Pappus para encontrar el centroide de la parte localizada en el primer cuadrante del anillo anular con círculos limitantes x 2 + y 2  a 2 y x 2 + y 2  b 2 con 0 < a < b. b) Demuestre que la posición en el límite del centroide cuando b → a es el centroide de cuarto de arco circular de radio a. 49. Sea T un triángulo en el primer cuadrante con un vértice en (0, 0) y el lado opuesto L, con longitud w uniendo los otros dos vértices (a, b) y (c, d ), donde a > c > 0 y d > b > 0. Sea A el área de T, y la coordenada Y del centroide de T, p la distancia perpendicular de (0, 0) a L, V el volumen generado al rotar T alrededor del eje x y S el área de la superficie generada al rotar L alrededor del eje x. Obtenga las siguientes fórmulas en el orden dado. B Y H  .B C D/ A ! H  .AD BC/ AD BC D P H C 6 H  .B D D/.AD BC/ H F 6 H  P3 E 3 H .B C D/H 50. Suponga que n es un entero positivo par. Sea J un polígono regular de n lados inscrito en el círculo de radio r centrado en el origen. Sea S el área de la superficie generada al rotar J alrededor de un diámetro del círculo que pasa por los dos vértices opuestos de J; sea V el volumen del sólido encerrado por esa superficie. Concluya del inciso f) del problema 49 que 1 π V = r cos · S. 3 n Arquímedes dedujo de este resultado que, si el área de la superficie de una esfera de radio r es 4πr 2, entonces su volumen es πr 3. Proporcione los detalles de este razonamiento. 51. Suponga que n es un entero positivo. Sea Rn la región acotada ≤ por las curvas y  x y y  xn para 0 ≤ − x − 1. Demuestre que la posición en el límite del centroide de Rn cuando n → +∞ es el centroide del triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1). ¿Por qué parece que esto es factible?

52. Sea la región R la unión entre el disco semicircular x 2 + ≥ y2 ≤ − 9, x − 0 y el cuadrado con vértices (1, 0), (−1, 0), (1, −2) y (−1, −2). a) Encuentre el centroide de R. b) Encuentre el volumen del sólido obtenido al rotar R alrededor de la recta y  −4. Evalúe las integrales indefinidas de los problemas 53 a 64. p DX X  DX   X  C X = X E X EX D X  DX   C X X  E X C EX 

SEN X DX  C COS X



 p

p





X

DX



X p EX  C EX D X



X X D X

  

E=X DX X  DX X.LN X/ p  C LN X D X X DX X = . C X = /

65. Un granero con capacidad de B bushels de grano se deteriora en forma tal que sólo B · 2−t y12 bushels podrán venderse después de t meses. Mientras tanto, el precio del grano se incrementa en forma lineal: después de t meses será  C  T dólares por bushel. ¿Después de cuántos meses se debe vender el grano para maximizar la ganancia obtenida? 66. Suponga que obtuvo un préstamo de $1000 a un interés anual de 10% compuesto en forma continua, para plantar árboles maderables en un terreno. Su compromiso es pagar el préstamo más los intereses, cuando corte y venda los árboles. Si puede vender los árboles cortados después de t años por p 800 exp.  T / dólares, ¿cuándo debe cortar los árboles para maximizar las ganancias? 67. Las muestras de sangre de 1000 estudiantes se analizarán en busca de cierta enfermedad que afecta 1% de la población. Cada análisis cuesta $5, por lo que costaría $5000 analizar las muestras individuales. Suponga que se hacen “lotes” de x muestras cada uno, combinando medias muestras individuales y estos lotes se analizan primero (por $5 cada uno). Sólo en el caso de que uno de estos lotes resulte positivo —la probabilidad de que esto suceda es 1 − (0.99) x— las x muestras usadas para formar ese lote se analizarán individualmente. a) Demuestre que el número total de análisis es  1000  (1)(0.99)x + (x + 1)(1 − (0.99)x ) f (x) = x 1000 = 1000 + − 1000 · (0.99)x x si x ≥ − 2. b) Demuestre que el valor de x que minimiza f (x) es una raíz de la ecuación (0.99)−x/2 . x= √ ln(100/99)

Ya que el denominador es aproximadamente 0.1, es conveniente resolver en su lugar la ecuación más simple x  10 · (0.99)− x y 2. c) A partir de los resultados en los incisos a) y b), calcule el costo mínimo (esperado) de este método de análisis combinado para probar las 1000 muestras originales. 68. Encuentre la longitud de la curva y   x 2 −  ln x de x  1 a x  e.

Capítulo 6

Obtenga la derivada de las funciones en los problemas 69 a 88. 

 F .X/ H SEN X  G.T/ H SEC T   F .X/ H SEN  .COS X/         



 F .X/ H TAN X  G.T/ H TAN ET  F .X/ H SENH  X  G.T/ H COSH T  H.U/ H TANH U   F .X/ H SEN   F .X/ H TAN X X p   F .X/ H ARCSEN X  F .X/ H X SEC X p F .X/ H TAN . C X  /  F .X/ H SEN   X  F .X/ H E X SENH E X  F .X/ H LN COSH X F .X/ H TANH X C SECH X p F .X/ H SENH  X   p F .X/ H COSH X  C  F .X/ H TANH . X  /

Evalúe las integrales de los problemas 89 a 108. DX DX   p  C X   X  DX DX   p   C X X X E X  DX  DX p  C X  EX    DX  DX p   C X   X COS X X  DX  DX  C X  C SEN  X   DX  DX  p p  X X  X X   DX   X  COSH X  D X p X E  p SENH X DX  SECH .X / D X  p X ARCTAN X   DX DX  p   CX X   X  DX  DX p p X C  X  C  109. Encuentre el volumen√generado al rotar alrededorpdel eje y la región bajo y = 1/ 1 − x 4 de x  0 a x  =  110. Encuentre el volumen√generado al rotar alrededor del eje y la región bajo y = 1/ x 4 + 1 de x  0 a x  1. 111. Use las ecuaciones (35) a (38) de la sección 6.9 para demostrar que   A COTH X H TANH X   B SECH X H COSH X

Problemas diversos

513

112. Demuestre que x99(t)  k 2x(t) si X.T/ H ! COSH KT C " SENHKT

donde A y B son constantes. Determine A y B si a) x(0)  1, x9(0)  0; b) x(0)  0, x9(0)  1. 113. Utilice el método de Newton para encontrar al menos la solución positiva de la ecuación cos x cosh x  1. Primero bosqueje las gráficas de y  cos x y y  sech x. 114. a) Verifique por derivación que SEC X D X H SENH  .TAN X/ C #:

b) De manera similar, demuestre que SECH X D X H TAN .SENH X/ C #:

115. La figura 6.PD.3 muestra las gráficas de f (x)  x 1y2, g (x)  ln x y h(x)  x 1y3 graficadas en el intervalo [0.2, 10]. Observe en la figura que la gráfica de f está siempre arriba de la gráfica de ln x, mientras que la gráfica de h se mueve hacia abajo de la gráfica de ln x. Pero como ln x aumenta con menor rapidez que cualquier potencia positiva de x, la gráfica de h eventualmente volverá a cruzar hacia arriba de la gráfica de ln x. Por último, es fácil creer que, para una selección adecuada de p entre 2 y 3, la gráfica de j(x)  x 1yp nunca cae por debajo de la gráfica de ln x pero baja lo suficiente para ser tangente a la gráfica de ln x en cierto punto. a) Demuestre que f (x) > ln x para toda x > 0 encontrando el valor mínimo global de f (x) − ln x en el intervalo (0, +∞). b) Utilice el método de Newton para encontrar el valor en el cual h(x) cruza la gráfica de ln x hacia arriba de ella (el valor de x no aparece en la figura 6.PD.3). c) Encuentre el valor de p para el cual la gráfica de j(x) es tangente a la gráfica de ln x en el punto (q, ln q). Y FX X

HX X GX LNX

FIGURA 6.PD.3 Las tres funciones del problema 115.

X

Técnicas de integración

E

l matemático más prolífico de toda la historia fue Leonhard Euler. Nació en 1707 en Basel, Suiza, hogar de la familia de matemáticos Bernoulli. Su padre prefería una carrera teológica para su hijo, pero el joven Euler aprendió matemáticas con John Bernoulli y encontró su verdadera vocación. Durante su vida, Euler publicó más de 500 libros y Leonhard Euler (1707-1783) trabajos. Su trabajo continuó sin descanso, aun después de haber perdido la vista, en 1766. Después de su muerte, en 1783, dejó más de 300 manuscritos adicionales cuya publicación continuó a paso firme por otro medio siglo. Una colección de sus trabajos llenaría aproximadamente 75 volúmenes de tamaño considerable. Ningún otro matemático premoderno tiene mayor influencia en el estudiante moderno de matemáticas, pues fue Euler quien dio forma a la notación y terminología que aún se usa en los cursos de preparatoria de álgebra, trigonometría y de cálculo. Su libro Introductio in Analysin Infinitorium (Introducción al análisis infinitesimal) es el libro de texto de matemáticas más antiguo cuya exposición (traducida del latín original) es accesible para un estudiante moderno. Las siguientes son algunas notaciones, ahora comunes, cuyo uso Euler popularizó y estandarizó: E A B C I F .X/ 

7

su Introductio, quien por primera vez basó el cálculo en el concepto de función. Sus tratados de cálculo de 1755 y 1768 proporcionan la fuente original para muchos de los contenidos y los métodos de los cursos y textos de cálculo de la actualidad. Descubrió tal cantidad de fórmulas estándar e identidades matemáticas que se hizo costumbre atribuir la fórmula al primer matemático después de Euler que la redescubrió, pero la identidad e ix  cos x + i sen x que relaciona las funciones exponenciales con las trigonométricas se conoce aún como la fórmula de Euler. Si se sustituye x  π se tiene la relación e iπ + 1  0, la cual vincula cinco de las constantes más importantes en matemáticas. La fotografía —parte de una página del capítulo VII de Introductio— muestra la primera vez que se publicó el número e ≈ 2.71828. Después de su definición como la suma de la serie infinita 1 ND

    D  C C C


C C


; NW W W NW

Euler da el valor numérico de e con una precisión de 23 decimales.

PARALABASEDELOSLOGARITMOSNATURALES PARALOSLADOSDELTRIÖNGULO!"# PARALARA¤ZCUADRADADE PARAELS¤MBOLODELASUMACOMPACTA PARALANOTACI˜NDEUNAFUNCI˜N PARAELÖREADELC¤RCULOUNITARIO

y las abreviaturas trigonométricas sen, cos, tang, cot, sec y cosec, que son muy cercanas a las actuales. Fue Euler, en

515

516 CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

7.1 INTRODUCCIÓN Se vio en el capítulo 6 que muchas cantidades geométricas y físicas se expresan como integrales definidas. El teorema fundamental del cálculo reduce el problema de calcular la integral definida B

F .X/ D X A

al de encontrar una antiderivada G(x) de f (x). Una vez que se logra, entonces B

B

F .X/ D X D '.X/

A

A

D '.B/ '.A/:

Hasta ahora hemos dependido principalmente de métodos de prueba y error para encontrar la antiderivada G(x) requerida. En algunos casos, el conocimiento de fórmulas elementales de derivadas, quizá con alguna simplificación sencilla, nos permite integrar una función dada. Este enfoque puede, sin embargo, ser insuficiente y requiere de mucho tiempo, en especial en vista del siguiente hecho sorprendente: algunas integrales que parecen sencillas, tales como 

EX D X;

SEN X D X; X

Y

 C X  D X;

no se pueden evaluar en términos de combinaciones finitas de funciones algebraicas conocidas o de funciones trascendentales elementales. Por ejemplo, la antiderivada X

( .X/ D



ET DT



2

de exp(−x ) no tiene una expresión finita en términos de funciones elementales. Sería inevitable que cualquier intento de encontrar una expresión así resultara poco satisfactorio. La presencia de tales integrales indica que no podemos esperar reducir la integración a un proceso rutinario como la derivación. De hecho, encontrar las antiderivadas es un arte; dominarlo depende de la experiencia y la práctica. Sin embargo, existen varias técnicas cuyo uso sistemático reduce en forma sustancial la dependencia en la suerte y en la intuición. Este capítulo maneja algunas de estas técnicas sistemáticas de integración.

7.2 TABLAS DE INTEGRALES Y SUSTITUCIONES SENCILLAS La integración es un asunto sencillo si se tiene una lista de fórmulas de integrales, una tabla de integrales, en la cual se puede localizar cualquier integral que se necesite evaluar. Pero la diversidad de integrales que se encuentran es tan grande que una tabla de integrales que las incluyera a todas sería impráctica. Es más sensato imprimir o memorizar una tabla corta de integrales, como las que se ven frecuentemente, y aprender técnicas con las cuales ampliar el ámbito de aplicación de estas tablas. Comenzamos con la lista de integrales de la figura 7.2.1 que conocemos de los capítulos anteriores. Cada fórmula es equivalente a una de las fórmulas de derivadas básicas. Una tabla con 113 fórmulas de integrales se muestra en los forros. Por ejemplo, el volumen de Standard Mathematical Tables and Formulae (Tablas y fórmulas matemáticas estándar), editado por Daniel Zwillinger y publicado por CRC Press, Inc (Boca Raton, Florida), contiene más de 700 fórmulas de integrales. Pero incluso esta tabla sólo contiene una pequeña fracción de las integrales que tal vez necesitemos evaluar. Por ello es necesario aprender técnicas para obtener nuevas fórmulas y para transformar una integral dada en otra que sea conocida o en una que aparezca en una tabla accesible.

SECCIÓN 7.2

U NC C # TN U DU D NC N

U 

DU D LN jUj C # U



EU DU D EU C #



COS U DU D SENU C #



SEN U DU D COS U C #



SEC U DU D TAN U C #



CSC U DU D COT U C #



SEC U TAN U DU D SEC U C #



CSC U COT U DU H CSC U C #



Tablas de integrales y sustituciones sencillas

517

La técnica principal es el método de sustitución, que ya consideramos en la sección 5.7. Recuerde que F .U/ DU H &.U/ C #; !S¤ F .G.X//
G .X/ D X H &.G/X// C #:

Así, con la sustitución

DU D SEN U C # p  U



DU D TAN U C #  C U



DU D SEC jUj C # p U U 



FIGURA 7.2.1 Una tabla corta de integrales.

d u  g (x) d x

u  g (x), se transforma la integral

F .G/X//
G .X/ D X ENLAINTEGRALMÖSSIMPLE

F .U/ DU:

El secreto para hacer esta simplificación es detectar la composición f (g (x)) en el integrando dado. Para que este integrando pueda convertirse en una función sólo de u, el factor restante debe ser un múltiplo constante de la derivada g (x) de la “función interior” g (x). En este caso, se sustituye f (g (x)) con f (u) más sencilla y g (x) d x con d u más sencilla. El capítulo 6 contiene numerosos ejemplos de este método de sustitución y los problemas al final de esta sección ofrecen la oportunidad para repasarlos.  . D LN X/ D X X Solución Debemos detectar tanto la función interior g (x) como su derivada g (x). Si elegimos g (x)  1 + ln x, entonces g (x)  1yx. Por lo que la integral es de la forma presentada arriba con f (u)  u 5, u  1 + ln x y d u  d xyx. Por lo tanto,

EJEMPLO 1

Encuentre

 . C LN X/ D X D X

U  DU D  U  C # D  . C LN X/ C #:

Z

X D X  C X Solución Aquí no es tan claro cuál es la función interior, pero observando la fórmula de la integral en la ecuación (11) (figura 7.2.1), intentamos la sustitución u  x 2, d u  2x d x. Aprovechando del factor x d x   d u que está disponible en el integrando se calcula como sigue

EJEMPLO 2

Encontrar

X DX D  C X

 

DU D  C U

 

TAN U C # D

 

TAN X  C #:

Note que la sustitución u  x 2 no hubiera sido útil si el integrando fuera 1y(1 + x 4) o Z x 2y(1 + x 4). El ejemplo 2 explica cómo hacer una sustitución que convierta una integral dada en otra que conocemos. Esto es un tipo de comparación de patrones. Es frecuente que una integral que no aparece en las tablas de integrales se transforme en una que sí esté usando las técnicas de este capítulo. En el ejemplo 3 se empleará una sustitución adecuada que permite igualar la integral dada con la fórmula de la integral estándar. A U U DU D SEN p    A A U

que es la fórmula (56) (en los forros).



U A  U  C #; 



518 CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

X

D X  X  Solución Como 25 − 16x 2 se puede igualar con a 2 − u 2 en la ecuación (13), tomamos a  5 y u  4x. Por lo tanto, d u  4 d x y d x   d u. Esto da

Encontrar

EJEMPLO 3

p

X  X 

p

DX D D

p

  U 

 U 




  DU D  

U   SEN   



U DU p  U 

U  U  C # 

X X  SEN  X  C #: Z    En la sección 7.6 se verá cómo obtener fórmulas de integrales como la de la ecuación (13). D

Sistemas de álgebra para computadora Sistemas como Derive, Maple y Mathematica tienen fórmulas de integrales almacenadas internamente y realizan sustituciones comparando patrones como las del ejemplo 3. Por ejemplo, el comando de Mathematica Integrate[ x∧2 / Sqrt[ 25 - 16 x∧2 ], x ]

y el comando en Maple int( x∧2 / sqrt(25 - 16*x∧2), x );

  Y

 TAN X 

 Y



 Y  TAN X 







 X

FIGURA 7.2.2 Las gráficas y H  TAN X  y

y H  TAN X  no concuerdan. ¿Cuál es la relación entre ellas?



lo mismo que el comando correspondiente en Derive, producen justamente el resultado encontrado en el ejemplo 3 (excepto que no suman la constante arbitraria de integración, que los sistemas algebraicos para computadora suelen omitir). Algunas veces los diferentes métodos (ya sea el manual, tablas o métodos de computadora) producen integrales que parecen distintas. Por ejemplo Derive y Maple llevan a la misma antiderivada  tan− 1 x 2 de xy(1 + x 4) que se encontró en el ejemplo 2, mientras que Mathematica proporciona la función − tan− 1 x− 2 como resultado. Naturalmente, nos preguntamos si  tan− 1 x 2 ≡ − tan− 1 x− 2. La figura 7.2.2 muestra que la respuesta es ¡no! En el problema 55 se pide reconciliar esta aparente diferencia entre las antiderivadas de la misma función. Tal vez se pregunte por qué, si los sistemas algebraicos para computadora hacen la comparación de patrones con las tablas de integrales almacenadas en la memoria, todavía debe aprender las técnicas de integración manual. Una respuesta es que un cálculo manual puede dar una integral en una forma más sencilla o más conveniente que el resultado de la computadora. Por ejemplo, un sistema algebraico para computadora proporciona un resultado de la forma  . C LN X/ D X D LN X C  .LN X/ C  .LN X/ C  .LN X/ C .LN X/ C  .LN X/  X que se ve mucho menos atractivo que el resultado manual (1 + ln x)6 del ejemplo 1. ¿Es obvia la relación entre los dos resultados? Vea el problema 54.

7.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas.  . C LN X/ D X es u  1 + ln x. 1. Una sustitución efectiva para evaluar X X 2. Una sustitución efectiva para evaluar D X es u  x 4.  C X X 3. Una sustitución efectiva para evaluar D X es u  4x y a  5. p  X 

SECCIÓN 7.2

Tablas de integrales y sustituciones sencillas

519

SEC U TAN U DU D SEC U C #

 

p



U U 

DU D SEC jUj C #

6. El procedimiento general para evaluar una integral de la forma F .G/X//
G .X/ D X

por sustitución es hacer u  g (x).  D X ES U H X   7. Una sustitución efectiva para evaluar   C X x 1 8. d x = tan−1 x + C. 4 1+x 2  9. Una antiderivada de . C LN X/ (respecto a x) es X 5 10 5 1 ln x + (ln x)2 + (ln x)3 + (ln x)4 + (ln x)5 + (ln x)6 . 2 3 2 6 1 1 10. tan−1 x 2 = − tan−1 x −2 . 2 2

7.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Como se ve al final de esta sección (y en los problemas 54 a 57), dos métodos diferentes producen las antiderivadas G (x) y H (x), bastante diferentes en apariencia, aun cuando se supone que son antiderivadas de la misma función f (x). Analice diferentes formas de reconciliar esas antiderivadas, como: 1. Calcular valores numéricos de G (x) y H (x) para valores seleccionados de x. ¿Qué puede concluir de esos resultados? 2. Usar una calculadora o computadora para graficar simultáneamente G (x) y H (x). ¿Qué significará que las dos gráficas no coincidan, pero se crucen en uno o más puntos aislados? 3. Graficar las derivadas G (x) y H (x) para ver si las gráficas coinciden. Si lo hacen, ¿se deduce que G (x) y H (x) son ambas antiderivadas de f (x)? 4. Usar una calculadora o computadora para calcular los valores numéricos de  b f (x) d x, G (b) − G (a) y H (b) − H (a) a

para valores seleccionados de a y b. ¿Qué se puede concluir de estos resultados? 5. Simplemente derivar G (x) y H (x). ¿Una simple mirada de los resultados permite solucionar el problema de inmediato?

7.2 PROBLEMAS Evalúe las integrales de los problemas 1 a 30.   



. X/ D X X  X   D X X DX X  C  p p COT Y CSC Y DY p Y p 



. C SEN / COS  D



SEN X DX  C COS X



E p

 DX . C X/



E

T DT  C T 



.LN T/ DT T



p



X SEC X  D X



 DT p  T 



EX DX  C EX



SEN.X C / D X



EX DX  C EX



EARCTAN X DX  C X

 

COT X



CSC X D X

p

XC

X C

DX

T  T 

DT

520

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración



X DX p  X





TAN X SEC X D X



   

COS  D  C SEN   p  C X DX p X  DT  . C T / ARCTAN T  DX p X E 

SEN  X COS X D X  DT  C T  SEC  D  C TAN 

 

T

 

=

T =

 DT

SEC X TAN X DX . C SEC X/= X DX EXP.X  / 

En los problemas 31 a 35, evalúe las integrales dadas realizando las sustituciones indicadas. p  X  X  D X U D X  X

D X



p

 

D X p X C  p  X X  D X



p 

X C X

X X C

D X

U D X C U D X C 

U D X C



 X  D X

&˜RMULA 



 C X  D X

&˜RMULA 

 

 D X &˜RMULA  p X  C  X D X &˜RMULA  p X  C  X D X &˜RMULA  p  C X 



X   X  D X



X  X  D X



E X  C EX D X



D X &˜RMULA   C .SEN p X/  SEN X X  D X &˜RMULA  X



COS X



 

EX D X &˜RMULA  p  C EX .LN X/  C .LN X/ D X &˜RMULA  X X  X   D X

&˜RMULA 

p p 51. La sustitución U H X  X H U D X H DU=. U/ parece llevar al resultado:  1  1 √ x 2 d x = 12 u du = 0. −1

1

¿Cree en este resultado? Si no cree en él, ¿por qué? 52. Use el hecho de que x 2 + 4x + 5  (x + 2) 2 + 1 para evaluar  1 d x. x 2 + 4x + 5 53. Use el hecho que 1 − (x − 1) 2  2x − x 2 para evaluar  1 d x. √ 2x − x 2 54. Use la expansión del binomio

U D X 

En los problemas 36 a 50, evalúe las integrales dadas. Primero haga las sustituciones que las transformen en una forma estándar. Las formas estándar con el número de la fórmula asignado se encuentran en los forros. Si tiene un sistema algebraico de computadora, compare y reconcilie (si es necesario) el resultado obtenido usando la fórmula de la tabla de integrales con el de la computadora.   D X &˜RMULA   C X   D X &˜RMULA    X 





&˜RMULA 

&˜RMULA  &˜RMULA 

(1 + t) 6  1 + 6t + 15t 2 + 20t 3 + 15t 4 + 6t 5 + t 6 para reconciliar el resultado del ejemplo 1 con los resultados de computadora dados al final de esta sección. ¿Son exactamente iguales los dos resultados? 55. Establezca la relación precisa entre las dos funciones  

tan− 1 x 2

y

−  tan− 1 x− 2

graficadas en la figura 7.2.2. ¿Son ambas realmente las antiderivadas de xy(1 + x 4)? 56. Con u  x y a  1, la fórmula (45), en los forros, da       x 2 + 1 d x = 12 x x 2 + 1 + 12 ln x + x 2 + 1, mientras que tanto Maple como Mathematica producen X  C  D X H  X X  C  C  SENH  X:

Consulte la sección 6.9 para reconciliar estos resultados. 57. De acuerdo con la fórmula (44) en las guardas del libro X  C  D X D '.X/ C # DONDE '.X/ D  X X  C  C  LN X C

X C  :

p X  C  D X H (X C# Pero otro libro de cálculo dice que donde  2  H (x) = 18 x + x 2 + 1      −2  . + 4 ln x + x 2 + 1 − x + x 2 + 1

¿Qué libro dice lo correcto? Use un sistema algebraico de computadora si lo desea.

SECCIÓN 7.3

Integración por partes

521

7.3 INTEGRACIÓN POR PARTES Una razón para transformar una integral dada en otra es facilitar su evaluación. Hay dos formas generales de lograrlo. Se vio la primera, integración por sustitución. La segunda es integración por partes. La fórmula de integración por partes es una consecuencia directa de la regla del producto para derivadas, $X .UG/ H G

DG DU CU : DX DX

Si se escribe esta fórmula en la forma u(x) v (x)  D x[u(x)v(x)] − v(x)u (x),

(1)

por lo que la antiderivación proporciona U.X/G .X/ D X H U.X/G.X/

G.X/U .X/ D X:



Ésta es la fórmula para integración por partes. Con d u  u (x) d x y d v  v (x) d x, la ecuación (2) se convierte en U DG H UG

G DU



Para aplicar la fórmula de integración por partes a una integral dada, primero debemos factorizar su integrando en dos “partes” u y d v, esta última incluye el diferencial d x. Intentamos elegir las partes de acuerdo con dos principios: 1. Es fácil encontrar la antiderivada v  ∫ d v. 2. Es más fácil calcular la nueva integral ∫ v d u que la original ∫ u d v. Una estrategia efectiva es escoger como d v el factor más complicado que se pueda integrar. Luego diferenciamos la otra parte u para encontrar d u. Comenzamos con dos ejemplos que tienen poca flexibilidad al elegir las partes u y d v. EJEMPLO 1



Encontrar

LN X D X (Vea la figura 7.3.1.)

Solución Aquí no hay alternativa contra la selección natural u  ln x y d v  d x. Es útil sistematizar el procedimiento de integración por partes escribiendo u, d v, d u y v en un arreglo rectangular como el siguiente:

   Y 

3EA

U H LN X Y DG H D X:  %NTONCES DU H D X Y G H X: X













X





FIGURA 7.3.1 Gráficas de las funciones ln x y x ln x − x del ejemplo 1. Si no reconoce alguna gráfica, pero observa que el cero de una corresponde a un punto crítico de la otra, ¿cuál concluiría que es la antiderivada?

La primera línea del arreglo especifica la elección de u y d v; la segunda línea se calcula a partir de la primera. La ecuación (3) queda LN X D X H X LN X

D X H X LN X X C #:

Z

La constante de integración sólo aparece en el último paso. Sabemos que una vez encontrada una antiderivada, podemos obtener cualquier otra sumando una constante C a la que se encontró.

OBSERVACIÓN 1

522

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Al calcular v  ∫ d v, normalmente tomamos la constante de integración como cero. Si hubiéramos escrito v  x + C1 en el ejemplo 1, la solución habría sido

OBSERVACIÓN 2

# DX X H X LN X C # LN X .X C # LN X/ C # H X LN X X C #

LN X D X H .X C # / LN X

C

como antes, e introducir la constante adicional C1 no tiene efecto. Encuentre

EJEMPLO 2

ARCSEN X D X:

Solución De nuevo, sólo hay una elección factible para u y d v: 3EA

U H ARCSEN X DX %NTONCES DU H p  X

Y DG H D X: Y

G H X:

La ecuación (3) da ARCSEN X D X H X ARCSEN X H X ARCSEN X C

Encuentre

EJEMPLO 3

X DX p  X  X  C #:

Z

XEX D X

Solución Ahora parece que tenemos cierta flexibilidad. Suponga que intentamos u  e−x,

dv  x dx

de manera que d u  −e−x d x,

v   x 2.

Con la integración por partes se tiene XEX D X H  X  EX C

X  EX D X:

 

La nueva integral a la derecha se ve más complicada que la del problema original a la izquierda. Por lo tanto, empezamos de nuevo 3EA U H X Y DG H EX D X: %NTONCES DU H D X Y G H EX :

La integración por partes proporciona así XEX D X H XEX C

EX D X H XEX EX C #:

Z

La integración por partes se puede aplicar tanto a las integrales definidas como a las indefinidas. Integramos la ecuación (1) de x  a a x  b y aplicamos el teorema fundamental del cálculo. Esto lleva a B

B

U.X/G .X/ D X H A

B

$X TU.X/G.X/U D X A

H U.X/G.X/

G.X/U .X/ D X A

B A

B



G.X/U .X/ D X: A

SECCIÓN 7.3

Integración por partes

523

Con la notación de la ecuación (3), esta ecuación se puede escribir como XHB

U DG H UG XHA

B A

XHB





G DU XHA

aunque no debemos olvidar que u y v son funciones de x. Por ejemplo, con u  x y d v  e−x d x, como en el ejemplo 3, se obtiene 

XEX D X H XEX



EJEMPLO 4

Encuentre

 



C

EX D X H E C EX



 

 H : E

X  EX D X

Solución Si elegimos u  x 2, entonces d u  2x d x, con esta selección reducimos el exponente de x. 3EA U H X Y DG H EX D X: %NTONCES DU H D X Y G H EX :



De este modo la integración por partes produce  Y

X  EX D X H X  EX C 



XEX D X;

Aplicamos la integración por partes una segunda vez a la integral del lado derecho y obtenemos el resultado



XEX D X H XEX EX













X









FIGURA 7.3.2 Gráficas de las funciones x 2e−x y −(x 2 + 2x + 2)e−x + 1. Si observa que el cero de una corresponde a un punto crítico de la otra, ¿puede concluir cuál es la antiderivada?

del ejemplo 3. La sustitución lleva a X  EX D X H X  EX XEX EX C # H .X  C X C /EX C #:

De hecho, se eliminó el factor original x 2 al integrar por partes dos veces seguidas. Vea la figura 7.3.2. Z EJEMPLO 5

Encuentre

EX SEN X D X

Solución Éste es otro ejemplo en el que tiene éxito la integración por partes repetida, pero con una peculiaridad: DG H EX D X: G H  EX :

3EA U H SEN X; %NTONCES DU H  COS X D X;

Por lo tanto EX SEN X D X H  EX SEN X

 

EX COS X D X:

A primera vista parece que se avanza poco. Es tan difícil resolver la integral del lado derecho como la del izquierdo. Si ignoramos esta objeción y aplicamos integración por partes a la nueva integral: 3EA U H COS X; %NTONCES DU H  SEN X D X;

DG H EX D X: G H  EX :

Encontramos que EX COS X D X H  EX COS X C

 

EX SEN X D X:

524

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Al sustituir este resultado en la ecuación previa descubrimos que EX SEN X D X H  EX SEN X  EX COS X

EX SEN X D X:

 

Por lo que regresamos a donde empezamos, ¿o no? De hecho, no, porque es posible resolver la última ecuación para la integral buscada. Si se suma la integral del lado derecho a ambos lados de la ecuación se tiene

   Y



ENTONCES



EX SEN X D X H





EX SEN X D X H  EX . SEN X  COS X/ C # ;

 





 X





FIGURA 7.3.3 Gráficas de las funciones e 2x sen 3x y  2x e (2 sen 3x − 3 cos 3x). Si observa que los ceros de una corresponden a los puntos críticos de la otra, ¿puede concluir cuál es la antiderivada?

 X E . SEN X 

 COS X/ C #:

Z

(Vea la figura 7.3.3.) EJEMPLO 6

Encuentre una fórmula de reducción para

SECN X D X

Solución La idea es que n es un entero positivo (grande) y que se quiere expresar la integral en términos de una potencia menor de sec x. La potencia de sec x más sencilla de integrar es sec 2 x, por lo que se procede como sigue: 3EA U H SECN X; DG H SEC X D X: G H TAN X: %NTONCES DU H .N / SECN X TAN X D X;

Esto proporciona SECN X D X H SECN X TAN X .N / H SECN X TAN X .N /

SECN X TAN X D X .SECN X/.SEC X / D X:

De donde SECN X D X H SECN X TAN X .N /

SECN X D X C .N /

SECN X D X:

Despejamos la integral original de esta ecuación y encontramos que SECN X D X H

N SECN X TAN X C N N

SECN X D X



Ésta es la fórmula de reducción buscada. Por ejemplo, si tomamos n  3 en esta fórmula se tiene SEC X D X H

 

SEC X TAN X C

 

SEC X D X

y por lo tanto SEC X D X H

 

SEC X TAN X C  LN jSEC X C TAN Xj C #



En el último paso se usó la fórmula de la integral SEC X D X H LN jSEC X C TAN Xj C #



SECCIÓN 7.3

Integración por partes

525

cuya derivación sistemática es engañosa (vea la sección 7.4) pero es sencillo verificarla por derivación: $X .LN j SEC X C TAN Xj/ H H

$X .SEC X C TAN X/ SEC X C TAN X .SEC X/.TAN X C SEC X/ SEC X TAN X C SEC X H H SEC X: SEC X C TAN X SEC X C TAN X

La razón para usar la fórmula de reducción de la ecuación (5) al integrar secn x es que —si n es un entero positivo— la aplicación repetida de la fórmula nos debe llevar ya sea a la ecuación (7) o a la integral elemental SEC X D X H TAN X C #:

EJEMPLO 7

Z

Con n  4 en la ecuación (5) se tiene SEC X D X H

 

SEC X TAN X C

SEC X D X

H

 

SEC X TAN X C  TAN X C #;

 



y con n  5 se tiene SEC X D X H

 

SEC X TAN X C

SEC X D X

H

 

SEC X TAN X C  SEC X TAN X C  LN jSEC X C TAN Xj C #;

 



Z

usando la ecuación (6) en el último paso.

7.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La fórmula general para integración por partes es

U DG H UG

G DU

2. La fórmula general para integración por partes es

U DG H UG C

G DU

3. Para usar la integración por partes para evaluar

LN X D X sea u  ln x y d v  d x.

4. Para usar integración por partes para evaluar d v  d x.

ARCSEN X D X sea u  arcsen x y

5. Para usar integración por partes para evaluar

XEX D X sea u  e−x y d v  x d x.

6. Para usar integración por partes para evaluar

XEX D X sea u  x y d v  e−x d x.







XEX D X H

XEX



 

 



C

EX D X



 XEX D X H   E

9. Para usar integración por partes para evaluar e−x y d v  x 2 d x. 10. Para derivar una fórmula de reducción para n

X  EX D X se inicia haciendo u  SECN X D X (donde n es un entero y

2), se inicia haciendo u  (sec x)n− 2 y d v  sec 2 x d x.

526

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

7.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS

1. Dada una integral f (x) d x, exprese en sus propias palabras y lo más brevemente posible, su estrategia para factorizar el integrando en un producto f (x) g (x)h(x) para que la separación en partes u  g (x), d v  h(x) d x sea efectiva al evaluar la integral. 2. Dé un ejemplo de una integral f (x) d x para la cual el integrando se pueda factorizar de al menos tres maneras diferentes, donde algunas pueden ser efectivas para lograr la integración y otras no.

7.3 PROBLEMAS Use integración por partes para calcular las integrales de los problemas 1 a 34. 

XEX D X



X  EX D X

39. R está acotada abajo por el eje x y arriba por la curva y  cos x, −πy2 x πy2.





T SEN T DT



T SEN T DT



X COS X D X



X LN X D X



X  LN X D X



EZ COS Z DZ

  

ARCTAN X D X p

Y LN Y DY

.LN T/ DT p

En los problemas 39 a 42, use el método de capas cilíndricas para calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor del eje y.

40. R está acotada abajo por el eje x y arriba por la curva y  sen x, 0 x π.



LN X DX X



X SEC X D X



T .LN T/ DT

41. R está acotada abajo por el eje x, a la derecha por la recta x  e y arriba por la curva y  ln x. 42. R está acotada abajo por el eje x, a la izquierda por el eje y, a la derecha por la recta x  1 y arriba por la curva y  e−x. En los problemas 43 a 45, primero estime gráfica o numéricamente los puntos de intersección de las dos curvas dadas, luego aproxime el volumen del sólido que se genera cuando la región limitada por estas dos curvas gira alrededor del eje y. 43. y  x 2 y y  cos x. 44. y  10x − x 2 y y  ex − 1.



X X C  DX



X  X DX



X X C  DX



SEN   D



CSC  D



SEN.LN T/ DT



X  ARCTAN X D X



LN. C X  / D X



SEC

X DX



X TAN



TAN

X DX



X  COS X D X

48. Use integración por partes para evaluar

Obtenga las fórmulas de reducción dadas en los problemas 49 a 54. En todas ellas, n denota un entero positivo con una condición lateral apropiada (como n 1 o n 2).

p p

p

45. y  x 2 − 2x y y  ln(x + 1). 46. Use integración por partes para evaluar

X DX



X CSC X D X



X ARCTAN X D X



X  COS X  D X



EX SEN X D X

X ARCTAN X D X;

con d v  2x d x, pero haga v  x 2 +1 en lugar de v  x 2. ¿Hay alguna razón por la que v no se pueda elegir de esta forma? 47. Use integración por partes para evaluar XE X COS X D X



X N EX D X H X N EX N

SEN X COS X D X

X N E X D X





LN X p DX X X



X DX . C X  /=



 N   X N EX D X H X N EX C  



X COSH X D X



E X COSH X D X



.LN X/N D X H X.LN X/N N



X N COS X D X H X N SEN X N SENN X D X H

En los problemas 35 a 38, primero haga una sustitución de la forma t  xk y luego integre por partes. 

X  SEN X  D X



X  COS X  D X





p EXP X D X



X  SEN X = D X





X N EX D X

.LN X/N D X X N SEN X D X

SEN N X COS X N C SEN N X D X N N N COSN X SEN X C COSN X D X COSN X D X H N N

SECCIÓN 7.3

Use la fórmula de reducción apropiada de la lista anterior para evaluar las integrales de los problemas 55 a 57. 



X  EX D X

 



X  EX D X

 

E





58. Aplique la fórmula de reducción del problema 53 para demostrar que para cada entero positivo n, =     N  SEN N X D X H





    N  Y =

SEN

527

64. La figura 7.3.4 muestra la región acotada por el eje x y la gráfica de y   x 2 sen x, 0 x π. Utilice las fórmulas (42) y (43) (en los forros) —obtenidas usando integración por partes— para encontrar a) el área de la región; b) el volumen obtenido al girar esta región alrededor del eje y.

.LN X/ D X



Integración por partes

NC



    N X DX H





:     N C 

59. Obtenga la fórmula LN.X C / D X H .X C / LN.X C / X C #

de tres maneras diferentes: a) sustituyendo u  x + 10 y aplicando el resultado del ejemplo 1; b) integrando por partes con u  ln(x + 10) y d v  d x, observando que X  H I X C  X C  y c) integrando por partes con u  ln(x + 10) y d v  d x, pero con v  x + 10. 60. Obtenga la fórmula X  TAN X D X H  .X  / TAN X −1

  X 

C  X C #

integrando por partes con u  tan x y v  − 1).  N X 61. Sea *N H  X E D X para cada entero n 0. a) Demuestre que   * H  YQUE *N H N *N E E para n 1. b) Deduzca por inducción matemática que NW N  *N H NW E KH KW  4 (x

para cada entero n 0. c) Explique por qué Jn → 0 cuando n → +∞. d) Concluya que N  E H L¤M : N!1 KW KH 62. Sean m y n enteros positivos. Obtenga la fórmula de reducción X MC N X M .LN X/N D X H .LN X/N X M .LN X/N D X: MC MC 63. Un indicador de un programa de álgebra simbólica afirma que un ingeniero trabajó tres semanas en la integral .K LN X X  C X  C B/ D X;

la cual está relacionada a la turbulencia en aplicaciones aeroespaciales. El indicador dice que el ingeniero nunca obtuvo la misma respuesta dos veces en esas tres semanas. Explique cómo se puede utilizar la fórmula de reducción del problema 62 para encontrar la integral del ingeniero (sin llegar a resolverla). ¿Puede detectar alguna razón por la que pudo haber tardado tres semanas?

Y½½ XSENX

 Y 

 







X

FIGURA 7.3.4 Región del problema 64.

65. El trompo mostrado en la figura 7.3.5 tiene la forma del sólido obtenido al girar la región del problema 64 alrededor del eje x. Encuentre el volumen de este trompo.

FIGURA 7.3.5 Trompo del problema 65.

66. Una partícula se pone en movimiento en el tiempo t  0 y se mueve a lo largo del eje x. a) Suponga que su aceleración en el tiempo t es a  100e−t. Demuestre que la partícula se mueve infinitamente lejos a la derecha del eje x. b) Suponga que su aceleración en el tiempo t es a  100(1 − t)e−t. Demuestre que la partícula nunca se mueve más allá de cierto punto a la derecha de su posición inicial y encuentre ese punto. Explique por qué la partícula “realmente” se detiene en ese punto. 67. Encuentre el área y la centroide de la región que está acotada por las curvas y  x 2 y y  2x para 2 x 4. 68. Para cada entero positivo k, sea =

)K H

SEN K X D X:



a) Demuestre que I2n I2n+1 I2n+2 para cada entero positivo n. b) Use el problema 58 para demostrar que )NC H : L¤M N!1 )N c) Concluya de los incisos a) y b) que )NC L¤M H : N!1 )N d) Concluya del inciso c) y del problema 58 que N N        L¤M








H : N!1       N  N C   Este resultado se suele escribir como el producto infinito        H







;        que fue descubierto por el matemático inglés John Wallis en 1655.

CAPÍTULO 7

528

Técnicas de integración

7.4 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Ahora se analizará la evaluación de algunas integrales en las cuales el integrando es una potencia de una función trigonométrica o el producto de dos de esas potencias. Estas integrales se encuentran entre las integrales trigonométricas más comunes en las aplicaciones del cálculo. Para evaluar las integrales SEN U DU

COS U DU

Y

que aparecen en numerosas aplicaciones, se usan las identidades de medio-ángulo SEN  H  . COS /; 

COS  H

 . 

 

C COS /

de las ecuaciones (11) y (10) del apéndice C. EJEMPLO 1



Solución



SEN X D X (Vea la figura 7.4.1.)

Encuentre

La identidad en la ecuación (1) —con 3x en lugar de θ— da SEN X D X H

 Y 

H



 .   

COS X/ D X

X  SEN X C # H

 .X 

SEN X/ C #:

Z

Para integrar tan 2 x y cot 2 x, se usan las identidades









X



 C TAN X H SEC X



FIGURA 7.4.1 Gráficas de las funciones sen 2 3x y   (6x − sen 6x) del ejemplo 1. ¿Los ceros de cuál corresponden a los puntos críticos de la otra? Entonces, ¿cuál es la antiderivada?

Y

 C COT X H CSC X



La primera de ellas se obtiene de la identidad fundamental sen 2 x + cos 2 x  1 después de dividir ambos lados entre cos 2 x. Para obtener la segunda fórmula en (3) se divide ambos lados de la identidad fundamental entre sen 2 x. EJEMPLO 2

Calcule la antiderivada

COT X D X

Solución Usando la segunda identidad en (3) con 3x en lugar de x, se tiene COT X D X H H

.CSC X / D X .CSC U /  DU

.U H X/

H  . COT U U/ C # H  COT X X C #:

Z

Integrales de productos de senos y cosenos Con la sustitución u  sen x, d u  cos x d x se tiene SEN X COS X D X H

U  DU H  U  C # H

 

SEN X C #:

Esta sustitución, o la sustitución similar u  cos x, d u  −sen x d x, se usan para evaluar integrales de la forma SENM X COSN X D X

en el primero de los dos casos:



SECCIÓN 7.4

Integrales trigonométricas

529

• Caso 1: al menos uno de los dos números m y n es un entero positivo impar. Si es así, el otro puede ser cualquier número real. • Caso 2: tanto m como n son enteros pares no negativos. Suponga, por ejemplo, que m  2k + 1 es un entero positivo impar. Entonces, se aísla un factor sen x y se usa la identidad sen 2 x  1 − cos 2 x para expresar los factores senm− 1x restantes en términos de cos x, como sigue: SENM X COSN X D X H H

SENM X COSN X SEN X D X H

.SEN X/K COSN X SEN X D X

. COS X/K COSN X SEN X D X:

Ahora con la sustitución u  cos x, d u  − sen x d x se tiene SENM X COSN X D X H

. U  /K U N DU:

El exponente k  (m − 1)y2 es un entero no negativo porque m es un entero positivo no par. Así, el factor (1 − u 2) k del integrando es un polinomio en la variable u, y por lo tanto es sencillo integrar su producto con u n. En esencia, este método consiste en extraer una copia de sen x (si m es impar) y luego convertir los senos en cosenos restantes. Si n en impar, entonces se puede extraer una copia de cos x y convertir los cosenos en senos restantes. EJEMPLO 3 A

SEN X COS X D X H H

. COS X/ COS X SEN X D X .U  U  / DU

.U H COS X/

H  U   U  C # H B

COS X D X H

 

COS X  COS X C #:

. SEN X/ COS X D X

H

. U  / DU

H

. U  C U  / DU H U  U  C  U  C #

.U H SEN X/

H SEN X  SEN X C  SEN X C #:

Z

En el caso 2 de la integral seno-coseno en (4), con m y n enteros pares no negativos, se usan las fórmulas de medio-ángulo en las ecuaciones (1) y (2) para obtener las mitades de las potencias pares de sen x y cos x. Si se repite el proceso con las potencias resultantes de cos 2x (si es necesario), se obtienen integrales que contienen potencias impares, y que se pueden manejar como en el caso 1. EJEMPLO 4

Usando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

SEN X COS X D X H

 . 

COS X/  . C COS X/ D X

H

 

. COS X/ D X H

H

 

. COS X/ D X H  X

 

En el tercer paso se utilizó la ecuación (2) con θ  2x.

  . C COS X/ D X  

SEN X C #:

Z

530

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

EJEMPLO 5 Ahora aplicamos la ecuación (2) primero con θ  3x y luego con θ  6x. COS X D X H



 . 

H

 

H

 

C COS X/ D X

. C  COS X C COS X/ D X  

H  X C

C  COS X C  COS X D X

 

SEN X C

 

SEN X C #:

Z

Integrales de productos de secantes y tangentes Para integrar tan x, se usa la sustitución u  cos x,

d u  −sen x d x

y se obtiene SEN X DX H COS X

TAN X D X H

 DU H LN jUj C #: U

Por lo tanto, TAN X D X H LN j COS Xj C # H LN j SEC Xj C #



En la ecuación (5) se usó el hecho de que | sec x |  1y| cos x |. En forma similar, COT X D X H LN jSEN Xj C # H LN jCSC Xj C #



La primera persona que integró sec x probablemente tardó mucho tiempo haciéndolo. Éste es uno de varios métodos. Primero se “prepara” la función para la integración:  COS X COS X H H :  COS X COS X  SEN X

SEC X H

Después se usa la identidad algebraica    ; C H CZ Z  Z

que puede verificar encontrando un denominador común a la izquierda. De manera similar se ve que  COS X 

 SEN X

H

COS X COS X C :  C SEN X  SEN X

Por consiguiente SEC X D X H

 

COS X COS X C  C SEN X  SEN X

DX

H  .LN j C SEN Xj LN j SEN Xj/ C #:

Es costumbre simplificar este resultado:  

LN

 C SEN X C# H  SEN X

 

LN

. C SEN X/

C#  SEN X . C SEN X/ =  C SEN X H LN C# C # H LN COS X COS X H LN j SEC X C TAN Xj C #:

SEC X D X H

SECCIÓN 7.4

Integrales trigonométricas

531

Después de verificar por derivación que SEC X D X H LN jSEC X C TAN Xj C #



siempre es posible “derivar” este resultado usando un truco sin motivación: SEC X D X H H

TAN X C SEC X DX SEC X C TAN X SEC X TAN X C SEC X D X H LN j SEC X C TAN Xj C #: SEC X C TAN X

.SEC X/

Una técnica parecida proporciona CSC X D X H LN jCSC X C COT Xj C #

EJEMPLO 6 =

SEC 



Con la sustitución u   x, d u   d x se tiene X DX H  

=

SEC U DU 

H  LN j SEC U C TAN Uj

= 

H  LN  C

p

  ::

Z

Una integral de la forma TANM X SECN X D X



puede evaluarse de modo rutinario en cualquiera de los dos casos siguientes: • Caso 1: m es un entero positivo impar. • Caso 2: n es un entero positivo par. En el caso 1, se extrae un factor sec x tan x para formar, junto con d x, la diferencial sec x tan x d x de sec x. Luego se usa la identidad tan 2 x  sec 2 x − 1 para convertir las otras potencias de tan x en potencias de sec x. Esto prepara el integrando para la sustitución u  sec x. EJEMPLO 7 TAN X SEC X D X H H

.SEC X / SEC X SEC X TAN X D X .U  U  / DU

H  U   U  C # H

.U H SEC X/  

SEC X  SEC X C #:

Z

Para evaluar la integral en (9) en el caso 2, se divide sec 2 x para formar, junto con d x la diferencial de tan x. Después se usa la identidad sec 2 x  1 + tan 2 x para convertir las demás potencias de sec x en potencias de tan x. Esto prepara al integrando para la sustitución u  tan x.

532

CAPÍTULO 7

     Y 













Técnicas de integración

EJEMPLO 8 Método 1. El uso de la forma secante-tangente sec 2 u  1 + tan 2 u de la identidad fundamental de trigonometría proporciona SEC X D X H



 X





FIGURA 7.4.2 Después del intento de evaluar ∫ sec 6 2x d x con los dos métodos del ejemplo 8, se utilizó una computadora para graficar las dos antiderivadas obtenidas. ¿Por qué esta figura indica la presencia de un error en los cálculos? ¿Cuál es la relación entre cualquier par de antiderivadas de una función dada?

     Y 













Método 2.

. C TAN X/ SEC X D X

H

 

. C TAN X/ . SEC X/ D X

H

 

. C U  / DU

H

 

. C U  C U  / DU H  U C  U  C

H

 

DU H  SEC X D X/

.U H TAN X;

TAN X C  TAN X C

 

  U 

C#

TAN X C #:



Como alternativa, se puede aplicar la fórmula de reducción SECN X D X H

N SECN X TAN X C N N

SECN X D X

de la sección 7.3, primero con n  6 y luego con n  4. Con esto se tiene SEC X D X H

 

SEC U DU

H

 

H

 

SEC U TAN U C

H

 

SEC X TAN X C

 

.U H X/

SEC U TAN U C  

SEC U DU

     

SEC U TAN U C

SEC U DU

 

SEC X TAN X C

 

TAN X C #:



Z

(Vea las figuras 7.4.2 y 7.4.3.) Métodos similares son efectivos con integrales de la forma CSCM X COTN X D X;



 X





FIGURA 7.4.3 Una vez que se encontró y corrigió el error cometido al principio, las dos antiderivadas en (10) y (11) se graficaron simultáneamente (cada una con C  0). La gráfica indica que las dos fórmulas de antiderivada son, de hecho, equivalentes.

porque las funciones cotangente y cosecante satisfacen fórmulas de derivación e identidades trigonométricas análogas: 1 + tan 2 x  sec 2 x,

D x tan x  sec 2 x,

D x sec x  sec x tan x

y 1 + cot 2 x  csc 2 x,

D x cot x  −csc 2 x,

D x csc x  −csc x cot x.

El método del caso 1 tiene éxito con la integral TANN X D X

sólo cuando n es un entero positivo impar, pero existe otro enfoque que funciona igualmente ya sea n par o impar. Se extrae el factor tan 2 x y se sustituye con sec 2 x − 1: TANN X D X H

.TANN X/.SEC X / D X

H

TANN X SEC X D X

TANN X D X:

Se integra lo que se puede y se encuentra que TANN X D X H

TANN X N

TANN X D X:



SECCIÓN 7.4

Integrales trigonométricas

533

La ecuación (12) es otro ejemplo de una fórmula de reducción. Al usarla de hecho se reduce el exponente original de n a n − 2. Si se aplica la ecuación (12) repetidas veces, en algún momento se obtendrá TAN X D X H

.SEC X / D X H TAN X X C #

O TAN X D X H LN jSEC Xj C #:

EJEMPLO 9

Dos aplicaciones de la ecuación (12) proporcionan TAN X D X H

 

TAN X

TAN X D X

H

 

TAN X

 TAN X 

H

 

TAN X

TAN X D X

 TAN X C TAN X X C #: 

Z

Por último, en el caso de una integral que contiene una mezcla inusual de funciones trigonométricas —tangentes y cosecantes, por ejemplo— expresar el integrando completamente en términos de senos y cosenos permitirá llegar a una expresión cuya integral sea sencilla.

7.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas.  COS     .X SEN X/ C # SEN X D X H   SEN X COS X D X H SEN X C # 

 SEN  H  

4. Para evaluar ∫ cos 5 x d x, se inicia sustituyendo cos 4 x con (1 − sen 2 x) 2. 

TAN X D X H LN j SEC Xj C #



TAN X SEC X D X H



SEC X D X H LN j SEC X C TAN Xj C #

 TAN X SEC X C # 

8. Si n es un entero y n



2, entonces N SECN X TAN X C SECN X D X: SECN X D X H N N  TAN X D X H TAN X C #  TAN X D X H .SEC X / D X 

7.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS En las preguntas siguientes, el término “integral trigonométrica” significa una integral de una potencia entera positiva de una función trigonométrica o una integral del producto de dos de esas potencias. 1. Describa los tipos de integrales trigonométricas que se pueden evaluar usando los métodos de esta sección. 2. Proporcione ejemplos de varias integrales trigonométricas que no pueden evaluarse con los métodos de esta sección.

534 CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

7.4 PROBLEMAS Evalúe las integrales de los problemas 1 a 44. 





SEN X D X



COS X D X



SEC

X DX 



TAN



TAN X D X



COT X D X



SEC X D X



CSC X D X



 DX CSC X



SEN  X COT X D X



SEN  X D X



SEN  X D X



SEN   COS  D



SEN  T COS T DT



COS X D X



SEN T DT COS T



SEN  X DX p COS X



SEN   COS  D



SEN  Z COS Z DZ



SEN = X COS X D X



SEN  X DX COS X



COS  D



SEC T DT



TAN X D X



X DX 

COT X D X



TAN  SEC  D



TAN X SEC X D X



COT X CSC X D X



CSC T DT



 

TAN  D SEC  TAN T DT p SEC T COT  D CSC 

 





SEN  X COS X D X

SEC T DT TAN T COT X DX CSC X  DX COS X







SEN  X D X



En los problemas 51 a 54, encuentre el volumen del sólido generado al girar la región R dada alrededor del eje x. 51. R está limitada por el eje x y la curva y  sen 2 x, 0 x π. 52. R es la región del problema 46. 53. R está acotada por y  2 y y  sec x para −πy3 x πy3. 54. R está acotada por y  4 cos x y y  sec x para −πy3 x πy3. 55. Sea R la región que se encuentra entre las curvas y  tan 2 x y y  sec 2 x para 0 x πy4. Encuentre: a) el área de la región R; b) el volumen del sólido obtenido cuando R gira alrededor del eje x. 56. Encuentre la longitud de la gráfica de y  ln (cos x) de x  0 a x  πy4. 57. Encuentre TAN X SEC X D X

de dos maneras diferentes. Luego demuestre que los dos resultados son equivalentes. 58. Encuentre COT X D X







En los problemas 49 y 50, primero grafique la función del integrando y trate de adivinar el valor de la integral. Luego verifique su estimación evaluando la integral con exactitud.

de dos maneras diferentes. Luego demuestre que los dos resultados son equivalentes. Los problemas 59 a 62 son aplicaciones de las identidades trigonométricas sen A sen B   [cos(A − B) − cos(A + B)]. sen A cos B   [sen(A − B) + sen(A + B)]. cos A cos B   [cos(A − B) + cos(A + B)].  %NCUENTRE

SEN X COS X D X



SEN   COS  D

 %NCUENTRE

SEN X SEN X D X COS X COS X D X



COS T DT



TAN X D X

 %NCUENTRE



COT T DT



TAN T SEC T DT

62. Suponga que m y n son enteros positivos con m muestre que



SEN  T COS= T DT



COT  CSC=  D



TAN X C SEN X DX SEC X



COT X C CSC X DX SEN X

En los problemas 45 a 48, encuentre el área de la región acotada por las dos curvas dadas. 45. El eje x y la curva y  sen 3 x, de x  0 a x  π. 46. y  cos 2 x y y  sen 2 x, de x  −πy4 a x  πy4. 47. y  sen x cos x y y  sen 2 x, de x  πy4 a x  π. 48. y  cos 3 x y y  sen 3 x, de x  πy4 a x  5πy4.

n. De-



SEN MX SEN NX D X H 

A  

COS MX SEN NX D X H 

B  

COS MX COS NX D X H 

C 

63. Sustituya sec x csc x  (sec 2 x)y(tan x) para obtener la fórmula SEC X CSC X D X H LN j TAN X j C #:

SECCIÓN 7.5

64. Demuestre que CSC X D

  SEN

 X 

COS

 X 

67. Demuestre primero que la fórmula de reducción en la ecuación (12) proporciona

;

TAN X D X H

luego aplique el resultado del problema 63 para obtener la fórmula X C #: CSC X D X H LN TAN  65. Sustituya x  demostrar que

 π

Funciones racionales y fracciones parciales 535

 

TAN X TAN X C X C #:

Luego compare este resultado con la supuesta antiderivada TAN X D X H

 .SEC 

X/.X COS X C X COS X  SEN X/

− u en la integral del problema 64 para

 X SEC X D X H LN COT  

obtenida con una versión de Mathematica. 68. Compare el resultado del ejemplo 9 con la integral

C #:

TAN X D X

66. Use las identidades trigonométricas apropiadas para deducir del resultado del problema 65 que dice que

obtenida con su sistema algebraico para computadora preferido.

SEC X D X H LN jSEC X C TAN Xj C #:

7.5 FUNCIONES RACIONALES Y FRACCIONES PARCIALES Se estudiarán ahora los métodos con los que se integra cualquier función racional en términos de funciones elementales. Recuerde que una función racional R(x) es una función que se puede expresar como el cociente de dos polinomios. Es decir, 2.X/ H

0.X/ 1.X/



donde P(x) y Q(x) son polinomios. El método de fracciones parciales es una técnica algebraica que descompone R(x) en una suma de términos: 2.X/ H

     Y 













0.X/ H P.X/ C & .X/ C & .X/ C


C &K .X/ 1.X/



donde p(x) es un polinomio y cada expresión Fi(x) es una expresión que se puede integrar con poca dificultad. EJEMPLO 1 que

Se puede verificar (encontrando el común denominador en la derecha) X   X  H C  :  X CX X X C



De lo que se deduce que



 X



FIGURA 7.5.1 Gráficas de la función f (x)  (x 3 − 1)y(x 3 + x) del ejemplo 1 y su integral indefinida con C  0. ¿Cuál es cuál?



X  DX H X C X



X   C   DX X X C X C

H X LN jXj C  LN.X  C / TAN X C #:

La clave para esta sencilla integración radica en encontrar la descomposición dada en la ecuación (3). La existencia de una descomposición como esa y la técnica para encontrarla constituyen el método de fracciones parciales. (Vea la figura 7.5.1.) Z De acuerdo con un teorema demostrado en álgebra avanzada, toda función racional se puede escribir en la forma de la ecuación (2) donde cada Fi(x) es una fracción ya sea de la forma ! .AX C B/N



536

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

o de la forma "X C # C BX C C/N



.AX 

(donde A, B, C, a, b y c son constantes). Aquí, el polinomio cuadrático ax 2 + bx + c es irreducible: no es el producto de factores lineales con coeficientes reales. Esto es lo mismo que decir que la ecuación ax 2 + bx + c  0 no tiene raíces reales, y la fórmula cuadrática dice que justamente así ocurre cuando su discriminante es negativo: b 2 − 4ac < 0. Las fracciones de la forma en (4) y (5) se llaman fracciones parciales, y la suma en la ecuación (2) se llama descomposición en fracciones parciales de R(x). Por lo cual la ecuación (3) nos da la descomposición en fracciones parciales de (x 3 − 1)y (x 3 + x). Una fracción parcial de la forma en (4) se puede integrar de inmediato, y en la sección 7.7 se verá cómo integrar a las fracciones de la forma en (5). El primer paso para encontrar la descomposición en fracciones parciales de R(x) es encontrar el polinomio p(x) de la ecuación (2). Sucede que p(x) ≡ 0 siempre que el grado del numerador P(x) sea menor que el del denominador Q(x); una función racional R(x)  P(x)yQ(x) como ésta se llama propia. Si R(x) no es propia, entonces p(x) se puede encontrar dividiendo P(x) entre Q(x), como en el ejemplo 2.      Y 













X C X C X  D X (Vea la figura 7.5.2.) X  C X C  Solución La división larga del numerador entre el denominador se puede realizar como sigue:

EJEMPLO 2

Encuentre

X C X C  / 

 X

FIGURA 7.5.2 Gráficas de la función f (x)  (x 3 + x 2 + x − 1)y (x 2 + 2x + 2) del ejemplo 2 y su integral indefinida con C  0. ¿Cuál es cuál?



X  P.X/ X C X C X  X  C X  C X X X  X  X  X C  R .X/

COCIENTE

RESIDUO

#OMOENARITM£TICASIMPLE hFRACCI˜N H COCIENTE C

RESIDUO :v DIVISOR

!S¤ X C X C X C X  H .X / C  ;  X C X C  X C X C  YPORLOTANTO X C X C X  DX H X  C X C 

X C

X

X C C X C 

DX

H  X  X C  LN.X  C X C / C #:

Z

Al usar la división larga como en el ejemplo 2, cualquier función racional R(x) se puede escribir como la suma de un polinomio p(x) y una fracción racional propia. 2.X/ H P.X/ C

R .X/ : 1.X/

Para integrar una función racional arbitraria, sólo se requiere encontrar la descomposición en fracciones parciales de una fracción racional propia. Para obtener una descomposición como ésta, el primer paso es factorizar el denominador Q(x) en un producto de factores lineales (los de la forma ax + b) y de factores cuadráticos irreducibles (los del tipo ax 2 + bx + c con b 2 − 4ac < 0). En teoría, esto siempre es posible, pero puede ser muy complicado en la práctica. Sin embargo, una

SECCIÓN 7.5

Funciones racionales y fracciones parciales 537

vez que se ha encontrado la factorización de Q (x), se puede obtener la descomposición en fracciones parciales por métodos algebraicos de rutina (que se describen a continuación). Cada factor lineal o cuadrático irreducible de Q(x) da lugar a una o más fracciones parciales de las formas en las ecuaciones (4) y (5).

Factores lineales Sea R(x)  P(x)yQ(x) una fracción racional propia y suponga que el factor lineal ax + b se encuentra n veces en la factorización completa de Q(x). Esto es, (ax + b)n es la potencia más alta de ax + b que divide “por igual” a Q(x). En este caso se dice que n es la multiplicidad del factor ax + b.

REGLA 1 Fracciones parciales de factor lineal La parte de la descomposición en fracciones parciales de R(x) que corresponde al factor lineal ax + b de multiplicidad n es una suma de n fracciones parciales, específicamente ! !N ! C C


C ;   AX C B .AX C B/ .AX C B/N donde A1, A2, . . . , An son constantes.

     Y 













Si todos los factores de Q(x) son lineales, entonces la descomposición en fracciones parciales de R(x) es una suma de expresiones como las de la ecuación (6). Esta situación es en especial sencilla si cada uno de estos factores no se repite, esto es, si cada uno tiene multiplicidad n  1. En este caso, la expresión en (6) se reduce a su primer término y la descomposición en fracciones parciales de R(x) es la suma de esos términos. Las soluciones en los ejemplos 3 y 4 muestran cómo se pueden determinar los numeradores constantes.  D X (Vea la figura 7.5.3.) .X C /.X / Solución Los factores lineales en el denominador son distintos, por lo que buscamos una descomposición en fracciones parciales de la forma

EJEMPLO 3  X



Encuentre

! "  D C ; .X C /.X / X C  X 

FIGURA 7.5.3 Gráficas de la función f (x)  5y[(2x + 1)(x − 2)] del ejemplo 3 y su integral indefinida con C  0. ¿Cuál es cuál?

Para encontrar las constantes A y B, multiplicamos ambos lados de esta identidad por el (común) denominador del lado izquierdo (2x + 1)(x − 2). El resultado es 5  A(x − 2) + B(2x + 1)  (A + 2B)x + (−2A + B).



Ahora se igualan los coeficientes de x y los coeficientes de 1 en el lado izquierdo y en el lado derecho de la ecuación. Esto nos da las ecuaciones



A + 2B  0, −2A + B  5, las cuales se resuelven fácilmente en A  −2, B  1. Así,

Y 

   D C ; .X C /.X / X C  X 



y por consiguiente





 X

FIGURA 7.5.4 Gráficas de la función f (x)  (4x 2 − 3x − 4)y (x 3 + x 2 − 2x) del ejemplo 4 y su integral indefinida con C  0. ¿Cuál es cuál?



 X  D X D LN jX C j C LN jX j C # D LN C #: .X C /.X / X C 

Z EJEMPLO 4

Encuentre

X  X  D X (Vea la figura 7.5.4.) X  C X  X

538

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Solución La función racional que se va a integrar es propia, por lo que de inmediato se factoriza su denominador: x 3 + x 2 − 2x  x(x 2 + x − 2)  x(x − 1)(x + 2). Tenemos tres factores lineales no repetidos, por lo que la descomposición en fracciones parciales tiene la forma ! " # X  X  D C C : X  C X  X X X  X C

Para encontrar las constantes A, B y C, se multiplican ambos lados de la ecuación por el denominador común x(x − 1)(x + 2) y se encuentra que 4x 2 − 3x − 4  A(x − 1)(x + 2) + B x(x + 2) + C x(x − 1).

(7)

Después se agrupan los coeficientes de la misma potencia de x a la derecha: 4x 2 − 3x − 4  (A + B + C)x 2 +(A + 2B − C)x + (−2A). Como dos polinomios son (idénticamente) iguales sólo si los coeficientes de las potencias de x correspondientes son iguales, se dice que A + B + C  4, A + 2B − C  −3, −2A  −4. Al resolver estas tres ecuaciones simultaneas se tiene A  2, B  −1 y C  3. Hay una forma alternativa para encontrar A, B y C que es especialmente efectiva cuando se tienen factores lineales no repetidos. Sustituimos los valores de x  0, x  1 y x  −2 (los ceros de los factores lineales del denominador) en la ecuación (7). Al sustituir x  0 en la ecuación (7) obtenemos −4  −2A, por lo que A  2. Al sustituir x  1 en la ecuación (7) tenemos −3  3B, o B  −1. Al sustituir x  −2 tenemos 18  6C, es decir C  3. Con estos valores, A 2, B  −1 y C  3, como sea que se obtengan, encontramos que X  X     DX D C DX   X C X X X X  X C D  LN jXj LN jX j C  LN jX C j C #:

Las leyes de los logaritmos permiten escribir esta antiderivada en una forma más compacta X  X  X  .X C / D X D LN C #: Z   X C X X X  X  X  D X X.X / Solución En este caso tenemos el factor lineal x de multiplicidad 1 pero también tenemos el factor lineal x − 1 de multiplicidad 3. De acuerdo con la regla 1, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

EJEMPLO 5

Encontrar

" # ! $ X  X  C D C C :   X.X / X X  .X / .X /

Para encontrar las constantes A, B, C y D se multiplican ambos lados de la ecuación por el común denominador x(x − 1) 3. Se encuentra que x 3 − 4x − 1  A(x − 1) 3 + Bx(x − 1) 2 + Cx(x − 1) + D x. Al expandir y simplificar los coeficientes de la misma potencia de x se tiene x 3 − 4x − 1  (A + B)x 3 + (−3A − 2B + C)x 2 + (3A + B − C + D)x − A.

SECCIÓN 7.5

Funciones racionales y fracciones parciales 539

Posteriormente igualamos los coeficientes con las mismas potencias de x en ambos lados de la ecuación. Obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas: A + B  1, −3A − 2B + C  0, 3A + B − C + D  −4, −A  −1. La última ecuación proporciona A  1, y de la primera ecuación B  0. Luego, la segunda ecuación proporciona C  3. Sustituyendo estos valores, en la tercera ecuación se tiene D  −4. Así X  X  DX D X.X /

   C DX  X .X / .X /   C C #: D LN jXj X  .X /

Z

Factores cuadráticos Suponga que R(x)  P(x)yQ(x) es una fracción racional propia y que el factor irreducible cuadrático ax 2 + bx + c se encuentra n veces en la factorización. Esto es, (ax 2 + bx + c)n es la potencia más alta de ax 2 + bx + c que divide completamente a Q(x). Como antes, llamamos a n la multiplicidad del factor cuadrático ax 2 + bx + c.

REGLA 2 Fracciones parciales con factores cuadráticos La parte de la descomposición en fracciones parciales de R(x) que corresponde al factor cuadrático irreducible ax 2 + bx + c de multiplicidad n es una suma de n fracciones parciales. Tiene la forma " X C # "N X C #N " X C # C C


C ;  AX  C BX C C .AX  C BX C C/ .AX  C BX C C/N donde B1, B2, . . . , Bn, C1, C2, . . . , y Cn son constantes. Si Q(x) tiene tanto factores lineales como factores cuadráticos irreducibles, la descomposición en fracciones parciales de R(x) es simplemente la suma de las expresiones de la forma en (6) que corresponden a los factores lineales más la suma de las expresiones de la forma en (8) que corresponden a los factores cuadráticos. En el caso de un factor cuadrático irreducible de multiplicidad n  1, la expresión en (8) se reduce a sólo el primer término. El caso más importante es el de un factor cuadrático no repetido de la suma de cuadrados de la forma x 2 + k 2 (donde k es una constante positiva). La fracción parcial correspondiente (Bx + C)y(x 2 + k 2) se integra con facilidad usando las fórmulas de integrales conocidas X

 X D X D LN.X  C K  / C #  CK 

X

X   D X D ARCTAN C #  CK K K

En la sección 7.7 se estudiará la integración de fracciones parciales más generales que involucran factores cuadráticos irreducibles. X  X  C X  D X X C X Solución El denominador x 4 + x 2  x 2(x 2 + 1) es el producto de un factor cuadrático irreducible y de un factor lineal repetido. La descomposición en fracciones

EJEMPLO 6

Encuentre

540

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

parciales del integrando toma la forma " X  X  C X  ! #X C $ : D C C  X C X X X X C

Al multiplicar ambos lados por x 4 + x 2 se tiene X  X  C X  H !X.X  C / C ".X  C / C .# X C $/X  H .! C #/X  C ." C $/X  C !X C ":

Como antes, igualamos los coeficientes de potencias iguales de x. Esto lleva a cuatro ecuaciones simultáneas ! C # H ; " C $ H ; ! H ; " H :

Es sencillo resolver estas ecuaciones: A  2, B  −1, C  3 y D  −2. Así, X  X  C X  DX D X C X

  X  C  DX X X X C

D  LN jXj C

  C X 

D  LN jXj D

  C LN.X  C /  TAN X C #: X 

X D X  X C 

DX C

X

Z

OBSERVACIÓN La solución numérica de los coeficientes de una descomposición en fracciones parciales con frecuencia es más tediosa que en los ejemplos 3 a 6. Los sistemas algebraicos de computadora hacen este trabajo en forma automática. Por ejemplo, si se escribe

f := (5*x^3 − 3*x^2 + 2*x −1)/(x^4 + x^2) luego, ya sea el comando de Mathematica Apart[ f ] o el comando de Maple, convert( f, parfrac, x ) rápidamente producen la descomposición en fracciones parciales encontradas en el ejemplo 6. La figura 7.5.5 muestra esta descomposición generada en una calculadora con gráficas.

FIGURA 7.5.5 Uso del comando expand en una calculadora TI-89 para producir la descomposición en fracciones parciales del ejemplo 6.

SECCIÓN 7.5

Funciones racionales y fracciones parciales 541

7.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. X  1. La descomposición en fracciones parciales de  ES X CX X   :  C  X X C X C X C X  es X  C X C  X C : X C  X C X C 

2. La descomposición en fracciones parciales de

X C X C X  D X D .X  C X  C X / LN.X  C X C / C # X  C X C   4. La descomposición en fracciones parciales de tiene la forma .X C /.X / " ! C X C  X  

(donde A y B son constantes).   D LN jX C j C LN jX j C # .X C /.X / X  X  6. La descomposición en fracciones parciales de tiene la forma X.X / " # $ ! C C C  X X  .X / .X / (donde A, B, C y D son constantes). 7. Si observamos la descomposición en fracciones parciales de una función racional dada, el número de fracciones parciales que vemos correspondientes a un factor lineal repetido en el denominador es exactamente igual a la multiplicidad de ese factor. X  X  C X  8. La descomposición en fracciones parciales de tiene la forma X C X # " ! C C  X C X X (donde A, B y C son constantes).  X   D X D ARCTAN C # X  C K K K   X X C X     D  LN jXj C C LN.X  C /  TAN X C # X C X X 

7.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que se conoce una factorización del polinomio Q(x) en dos o más factores lineales de la forma x − a. Explique por qué los métodos de esta sección bastan para integrar cualquier función racional de la forma f (x)  P(x)yQ(x). La integral F .X/ D X

¿será alguna vez una función racional? Si es así, dé un ejemplo que ilustre esta posibilidad.

542

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

2. Suponga que se conoce una factorización del polinomio Q(x) en dos o más factores cuadráticos de la forma x 2 + a 2. Explique por qué los métodos de esta sección bastan para integrar cualquier función racional de la forma f (x)  P(x)yQ(x). La integral  f (x) d x

¿será alguna vez una función racional? Si es así, proporcione un ejemplo que muestre esta posibilidad.

7.5 PROBLEMAS Encuentre las integrales de los problemas 1 a 36.   x3 x2 dx 2. dx 1. x +1 2x − 1   x 1 d x 4. dx 3. 2 2 x − 3x x + 4x   x3 1 d x 6. dx 5. x2 + x − 6 x2 + x − 6   1 1 dx 8. dx 7. 3 x + 4x (x + 1)(x 2 + 1)   1 x4 d x 10. dx 9. x2 + 4 (x 2 + 1)(x 2 + 4)   2x 3 − 1 x −1 dx 12. dx 11. x +1 x2 + 1   2 2x − 4 x + 2x dx 14. dx 13. (x + 1)2 x2 − x   x4 1 d x 16. dx 15. 2 2 x −4 x + 4x + 4   x +1 x + 10 dx dx 18. 17. 2x 2 + 5x − 3 x3 − x2   x2 + x x2 + 1 d x 20. dx 19. 3 2 3 x + 2x + x x − x 2 − 2x   2x 2 + 3 4x 3 − 7x d x 22. dx 21. x 4 − 5x 2 + 4 x 4 − 2x 2 + 1   x2 + x x2 d x 24. dx 23. (x + 2)3 (x 2 − 4)(x + 4)   6x 3 − 18x 1 dx 26. dx 25. 3 2 x +x (x − 1)(x 2 − 4)   4x 4 + x + 1 x +4 dx d x 28. 27. 3 x + 4x x5 + x4   

x x +2 2 29. d x 30. dx (x + 1)(x 2 + 1) x2 + 4   x2 x 2 − 10 d x 32. dx 31. 4 2 4 2x + 9x + 4 x −1   3 x2 + 4 x + x 2 + 2x + 3 d x 34. dx 33. x 4 + 5x 2 + 6 (x 2 + 1)2 (x 2 + 2)   4 2x 3 + 5x 2 − x + 3 x + 3x 2 − 4x + 5 dx d x 36. 35. (x − 1)2 (x 2 + 1) (x 2 + x − 2)2 En los problemas 37 a 40, haga una sustitución preliminar antes de usar el método de fracciones parciales para encontrar las integrales. e4t cos θ 37. dt 38. dθ 2 (e2t − 1)3 sen θ − senθ − 6

 39.



1 + ln t dt t (3 + 2 ln t)2

40.

tan3

sec2 t dt t + tan2 t

En los problemas 41 a 44, encuentre el área de la región R entre la curva y el eje x en el intervalo dado. x −9 41. y = 2 , 1x 2 x − 3x x +5 , 0x 2 42. y = 3 + 2x − x 2 43. y =

3x − 15 − 2x 2 , x 3 − 9x

44. y =

x 2 + 10x + 16 , x 3 + 8x 2 + 16x

1x 2 2x 5

En los problemas 45 a 48, encuentre el volumen del sólido obtenido al rotar la región R alrededor del eje y. 45. La región R del problema 41. 46. La región R del problema 42. 47. La región R del problema 43. 48. La región R del problema 44. En los problemas 49 y 50, encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor del eje x. 49. La región R del problema 41. 50. La región R del problema 42. 51. La región plana R mostrada en la figura 7.5.6 está acotada por la curva y2 =

1−x 2 x , 1+x

0  x  1.

Encuentre el volumen generado al rotar la región R alrededor del eje x. 

Y; X X =X

 Y





 

 X

FIGURA 7.5.6 Región del problema 51.



SECCIÓN 7.6

52. La figura 7.5.7 muestra la región R acotada por la curva y2 =

(1 − x)2 4 x , (1 + x)2

54. f (x) =

0  x  1. 55. f (x) =

Encuentre el volumen generado al rotar la región R alrededor: a) del eje x; b) del eje y.

56. f (x) =

 Y; X X =X

 Y



 

 X

543

16(2x 3 + 77x − 99) (x 2 + 10x + 21)2 (x 2

324(x 3 + 8) − x − 6)(x 2 + x − 20)2

500(4x 4 − 23x 2 + 16) (x 2 − 4)2 (x − 3)2

En los problemas 57 y 58, primero use un sistema algebraico de computadora para encontrar la descomposición en fracciones parciales de la integral dada. Luego proceda como en los problemas 53 a 56 para evaluar las integrales dadas, tanto manual como automáticamente.  2(54x 4 + 859x 2 − 581x + 85) 57. dx 5 18x − 21x 4 + 458x 3 − 526x 2 + 200x − 25  3750x 5 + 125x 4 − 9900x 3 − 495x 2 + 2x − 20 dx 58. 625x 6 − 2450x 4 − 199x 2 − 4





Sustitución trigonométrica

FIGURA 7.5.7 Región del problema 52.

En los problemas 53 a 56, escriba la forma general de la descomposición en fracciones parciales de la función racional f (x) dada (con coeficientes A, B, C, . . . por determinarse). Posteriormente use un sistema algebraico de computadora (como en la observación que sigue al problema 6) para encontrar los valores de los coeficientes en esta descomposición. Por último, encuentre la integral indefinida ∫ f (x) d x tanto manualmente como usando el sistema algebraico de computadora y resuelva cualquier discrepancia aparente entre los dos resultados. 98(x 3 − 50x + 100) 53. f (x) = 2 2 x (x − 12x + 35)

En los problemas 59 a 61, encuentre los valores de los coeficientes a, b y c (no todos cero) tales que la integral indefinida dada no incluya logaritmos y por consiguiente sea una función racional.  ax 2 + bx + c 59. dx x 2 (x − 1)  ax 2 + bx + c dx 60. x 3 (x − 1)2  ax 2 + bx + c dx 61. x 3 (x − 4)4

7.6 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA El método de sustitución trigonométrica puede ser muy efectivo para manejar integrales que contengan expresiones algebraicas como (a 2 − u 2) 1y2, (u 2 − a 2) 3y2, y 1y(a 2 + u 2) 2. Hay tres sustituciones trigonométricas básicas: 3ILAINTEGRAL CONTIENE

SUSTITUYA

YUSE LAIDENTIDAD

A U A C U U A

U D A SEN  U D A TAN  U D A SEC 

 SEN   D COS   C TAN  D SEC  SEC   D TAN 

La sustitución u  a sen θ, en forma más precisa, significa la sustitución trigonométrica inversa  U   H SEN ;  ; A   donde |u | a. Suponga por ejemplo, que una integral contiene la expresión (a 2 − u 2) 1y2. Y la sustitución queda A

Q A U

FIGURA 7.6.1 Triángulo de referencia para la sustitución u  a sen θ.

U

(a 2 − u 2) 1y2  (a 2 − a 2 sen 2 θ) 1y2  (a 2 cos 2 θ) 1y2  a cos θ. En el último paso elegimos la raíz cuadrada no negativa porque cos θ 0 para −πy2 θ πy2. Así, el factor problemático (a 2 − u 2) 1y2 se convierte en a cos θ mientras que d u  a cos θ dθ. Si la integral trigonométrica que se obtiene con la sustitución se puede evaluar con cualquiera de los métodos de este capítulo, el resultado generalmente involucra θ  sen− 1(uya) y funciones trigonométricas de θ. El paso final será expresar la respuesta en términos de la variable original. Para esto, los valores de las distintas funciones trigonométricas se pueden observar en el triángulo rectángulo de la figura 7.6.1, que contiene un ángulo θ tal que sen θ  uya (si u es negativo, entonces θ es negativo).

544

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Solución

X

D X donde |x|< 1.  X Aquí a  1 y u  x, de manera que sustituimos

EJEMPLO 1

p

Evaluar

x  sen θ,

d x  cos θ dθ.

Esto proporciona



X DX H p  X

SEN  COS 

H

SEN  D H

 SEN 

D

X

Q  X

H

FIGURA 7.6.2 Triángulo de referencia para la sustitución x  sen θ.

 

.SEN  /. COS  / D

COS  COS  C #:

La figura 7.6.2, en donde sen θ  x, nos recuerda que COS  H . SEN  /= H por lo que el resultado final en términos de x es p

X 

X

DX H

 . X  /= 

 X ;

 X  C #:

Z

El ejemplo 2 muestra el uso de la sustitución trigonométrica para encontrar integrales como las de las fórmulas (44) a (62) en los forros. p EJEMPLO 2 Encuentre A  U  DU donde |u| a.

Solución Con la sustitución u  a sen θ, d u  a cos θ dθ se obtiene A  U  DU H H

A  A  SEN  .A COS / D A  COS  D H  A 

. C COS / D

H  A   C  SEN  C # H  A  . C SEN  COS  / C #:

(Se usó la identidad sen 2θ  2 sen θ cos θ en el último paso.) En la figura 7.6.1 se observa que p U A U Y COS  H : SEN  H A A Por lo que p  U A U U   A  U  DU H A SEN C# C
 A A A A U U SEN C #: A U C   A Así, obtuvimos la fórmula (54) de los forros. H

AU U

Q A

FIGURA 7.6.3 Triángulo de referencia para la sustitución u  a tan θ.

Z

La sustitución u  a tan θ en una integral que contiene a 2 + u 2 significa la sustitución siguiente   U 0. Tomamos la raíz positiva en el último paso porque sec θ > 0 para −πy2 < θ < πy2. Los valores de las diferentes funciones trigonométricas de θ con esta sustitución se pueden leer en el triángulo rectángulo de la figura 7.6.3, que muestra un ángulo agudo θ [positivo o negativo] tal que tan θ  uya.

SECCIÓN 7.6



EJEMPLO 3

Encuentre

(4x 2

Sustitución trigonométrica

545

1 d x. + 9)2

Solución El factor 4x 2 + 9 corresponde a u 2 + a 2 con u  2x y a  3. Por lo que la sustitución u  a tan θ corresponde a x   tan θ,

2x  3 tan θ,

d x   sec 2 θ dθ.

Esto proporciona  

SEC  D . TAN  C /

 DX D  .X C / X  X

Q  XTANQ

FIGURA 7.6.4 Triángulo de referencia para el ejemplo 3.

SEC  D D . SEC /

D

 

D

 

COS  D D

 D SEC 

 

 . 

CSEN  COS  / C #:

(La integración en el último paso es la misma del ejemplo 2.) Como θ  tan− 1 (2xy3), del triángulo de la figura 7.6.4 se obtiene SEN  D p

X X 

C

;



COS  D p

X  C 

:

Por lo tanto 

    3 1 2x 1 −1 2x ·√ +C tan +√ dx = (4x 2 + 9)2 108 3 4x 2 + 9 4x 2 + 9   x 1 −1 2x tan + + C. = 108 3 18(4x 2 + 9)

Z

La sustitución u  a sec θ en una integral que contiene u 2 − a 2 significa la sustitución u θ = sec−1 , 0  θ  π, a

U U A

Q A

FIGURA 7.6.5 Triángulo de referencia para la sustitución u  a sec θ.

X X 

Q 

FIGURA 7.6.6 Triángulo de referencia para la sustitución x  5 sec θ.

donde |u|

a > 0 (por el dominio y rango de la función secante inversa). Por lo cual    u 2 − a 2 = a 2 sec2 θ − a 2 = a 2 tan2 θ = ±a tan θ.

Debemos tomar el signo positivo si u > a, de modo que 0 < θ < πy2 y tan θ > 0. Si u < −a, con los que πy2 < θ < π y tan θ < 0, tomamos el signo menos. En cualquier caso los valores de las varias funciones trigonométricas de θ se pueden leer en el triángulo rectángulo de la figura 7.6.5.  √ 2 x − 25 EJEMPLO 4 Encontrar d x, donde x > 5. x Solución Si sustituimos x  5 sec θ, d x  5 sec θ tan θ dθ, entonces   x 2 − 25 = 25(sec2 θ − 1) = 5 tan θ, como x > 5 implica que 0 < θ < πy2, de manera que tan θ > 0. Así, estas sustituciones proporcionan  √ 2  x − 25 5 tan θ dx = (5 sec θ tan θ ) dθ x 5 sec θ   2 = 5 tan θ dθ = 5 (sec2 θ − 1) dθ    −1 x 2 = 5 tan θ − 5θ + C = x − 25 − 5 sec + C. 5 La sustitución en el último paso se puede leer del triángulo de referencia de la figura 7.6.6. Z

546

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Las sustituciones hiperbólicas se usan de forma similar —y con el mismo efecto— que las sustituciones trigonométricas. Las tres sustituciones hiperbólicas básicas, que normalmente no se memorizan, se dan en la siguiente tabla como referencia. 3ILAINTEGRAL CONTIENE

YUSE LAIDENTIDAD

SUSTITUYA

A U A C U U A

 TANH  D SECH   C SENH   D COSH  COSH   D SENH  

U D A TANH  U D A SENH U D A COSH 



D X donde x > 1.  Solución Con el propósito de comparar, se evaluará la integral tanto con sustituciones trigonométricas como con sustituciones hiperbólicas. La sustitución trigonométrica  x = sec θ, d x = sec θ tan θ dθ, tan θ = x 2 − 1

Encuentre

EJEMPLO 5

p

X

da p

 X



SEC  TAN  D D SEC  D TAN  D LN j SEC  C TAN j C # ;ECUACI˜N  SECCI˜N =

DX D

D LN X C

X   C #:

Usando ahora la sustitución hiperbólica x  cosh θ, d x  senhθ dθ tenemos X  H

COSH   H SENH:

Tomamos la raíz cuadrada positiva porque x > 1 implica que θ  cosh− 1 x > 0 y, por lo tanto, que senh θ > 0. Por lo cual p

 X



DX H

SENH D H SENH

 D H  C # H COSH X C #:

Los dos resultados parecen diferentes, pero la ecuación (35) de la sección 6.9 muestra que son equivalentes. Z

7.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si una integral, respecto a u, contiene la expresión a 2 − u 2, la sustitución apropiada tendrá la forma u  a sen θ. 2. Si una integral, respecto a u, contiene la expresión a 2 + u 2, la sustitución apropiada tendrá la forma u  a sec θ. 3. Si una integral, respecto a u, contiene la expresión u 2 − a 2, la sustitución apropiada tendrá la forma u  a sec θ. X 4. Una sustitución efectiva para la evaluación de p D X es x  sen θ.  X  D X es x   tan θ. 5. Una sustitución efectiva para la evaluación de  .X C /  X  X TAN C #  DX H C     .X  Cp/ .X C / X   D X es x  5 sec θ. 7. Una sustitución efectiva para la evaluación de X   D X H LN X C X   C # p X 

SECCIÓN 7.6



p

 X

Sustitución trigonométrica

547

D X D COSH X C #

 10. Si una integral, respecto a u, contiene la expresión a 2 − u 2, la sustitución hiperbólica apropiada tendrá la forma u  a tanh θ.

7.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Para cada una de las tres sustituciones trigonométricas analizadas en esta sección describa —quizá con ejemplos— los tipos de integrales que se pueden evaluar con la sustitución. 2. Explique por qué estas sustituciones trigonométricas parecen no funcionar para la evaluación de integrales como  C X DX

Y

X   D X:

7.6 PROBLEMAS Use sustituciones trigonométricas para evaluar las integrales de los problemas 1 a 36.      

 DX  X   DX p X  X

p

X



 

p



p



p



p

  

C

X 

DX

 X  DX X   C X  X  X  X  C X

    

X



DX p  X   DX . C X  /=

p

X X  C 

DX p  C X  C X  D X

DX



X DX p  X 



X DX p  C X



. X  /= D X



 DX . X  /



 DX .X  C /



. C X  /= D X



p X   DX X

X

 DX . X  /  C X  D X X   DX X



.X 

 DX /=

X  DX X



p





X X  

X

p

DX

 X  

DX

.X  /= D X

Use sustituciones hiperbólicas para evaluar las integrales de los problemas 37 a 41. 

DX



X X  DX

p





DX



X  X DX

DX

DX  C X   DX . C X  /=

p



 DX p  X   DX p X  X  



DX  X   DX . X  /= p X  DX X p

p



X







 DX p  C X  p X  DX X





 C X DX

p

  C X 

DX

X  C X DX

42. Use el resultado del ejemplo 2 para demostrar que el área acotada por la elipse x2 y2 + 2 =1 2 a b

de la figura 7.6.7 está dada por A  πab (El caso especial b  a es la conocida fórmula del área del círculo A  πa 2.) Y  B

A  X

FIGURA 7.6.7 Elipse del problema 42.

548

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

43. Obtenga la fórmula A  a 2θ para el área del sector circular con radio a y ángulo central θ calculando y sumando las áreas del triángulo rectángulo OAC y la región ABC de la figura 7.6.8.

51. Encuentre el área de la superficie obtenida al rotar alrededor del eje x la curva y  sen x, 0 x π. (Vea la figura 7.6.11.)

Y #X Y

XYA

FIGURA 7.6.11 Balón de futbol americano con puntas del problema 51.

Q /

!X 

"

X

FIGURA 7.6.8 El sector circular del problema 43.

! H AB

44. Calcule la longitud del arco de la parábola y  x 2 en el intervalo [0, 1]. 45. Calcule el área de la superficie obtenida al rotar alrededor del eje x el arco parabólico del problema 44. 46. Demuestre que la longitud de arco de la curva senoide y  sen x es igual a la mitad de la circunferencia de la elipse x 2 + y 2  1. [Sugerencia: sustituya x  cos θ en la integral de la longitud de arco para la elipse.] (Vea la figura 7.6.9.) 

%LIPSE 3ENO

 Y 



 

52. Una elipsoide de revolución se obtiene al rotar la elipse x 2ya 2 + y 2yb 2  1 alrededor del eje x. Suponga que a > b. Muestre que el elipsoide tiene un área de superficie

 X

FIGURA 7.6.9 Dos arcos con la misma longitud (problema 46).

47. Calcule la longitud de arco de la curva y  ln x en el intervalo [1, 2]. 48. Calcule el área de la superficie obtenida al rotar alrededor del eje y la curva del problema 47.

A B C SEN  A C

C A

;

√ donde c = a 2 − b2 . Suponga que a ≈ b, de manera que c ≈ 0 y sen− 1 (cya) ≈ cya. Concluya que A ≈ 4πa 2. 53. Suponga que b > a para el elipsoide de revolución del problema 52. Muestre que en este caso el área de su superficie es    b a b+c A = 2πab + ln , a c a √ donde c = b2 − a 2 . Use el hecho de que ln(1 + x) ≈ x si x ≈ 0 y por ello concluya que A ≈ 4πa 2 si a ≈ b. 54. Se construirá un camino entre el punto (2, 1) y el punto (5, 3) siguiendo la trayectoria de la parábola √ y = −1 + 2 x − 1.

Calcule la longitud de este camino (las unidades de los ejes de coordenadas son millas). [Sugerencia: sustituya x  sec 2 θ en la integral de la longitud de arco.] √ 55. Suponga que el costo del camino del problema 54 es x millones de dólares por milla. Calcule el costo total del camino. 56. Una cometa vuela a una altura de 500 ft y a una distancia horizontal de 100 ft del joven que detiene la cuerda en el suelo. La cuerda de la cometa pesa 1y16 oz/ft y cuelga en la forma de una parábola y  x 2y20 que une al joven que detiene la cuerda en (0, 0) y la cometa en (100, 500) (figura 7.6.12). Calcule el trabajo (en libras-pie) realizado para levantar la cuerda de la cometa desde el piso hasta su posición actual.

FT

FIGURA 7.6.10 Toro del problema 49.

49. Un toro (vea la figura 7.6.10) se obtiene rotando alrededor del eje y el círculo (x − b) 2 + y 2  a 2 (0 < a

b).

Demuestre que la superficie del toro es 4π 2ab. √ 50. Encuentre el área bajo la curva y = 9 + x 2 en el intervalo [0, 4].

FT

FIGURA 7.6.12 Cuerda de la cometa del problema 56.

SECCIÓN 7.7

Integrales que contienen polinomios cuadráticos 549

7.7 INTEGRALES QUE CONTIENEN POLINOMIOS CUADRÁTICOS Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o potencias negativas de un polinomio cuadrático ax 2 + bx + c se pueden simplificar con el proceso de completar el cuadrado. Por ejemplo, x 2 + 2x + 2  (x + 1) 2 + 1, y luego con la sustitución u  x + 1, d u  d x proporciona   1 1 dx = du = tan−1 u + C = tan−1 (x + 1) + C. x 2 + 2x + 2 u2 + 1 En general, el objetivo es convertir ax 2 + bx + c en la suma o la diferencia de dos cuadrados (cualquier u 2 ± a 2 o a 2 − u 2) para que se pueda usar el método de sustitución trigonométrica. Para ver cómo funciona esto en la práctica, suponga primero que a  1, por lo que la cuadrática buscada tiene la forma x 2 + bx + c. La suma x 2 + bx de los dos primeros términos se puede completar a un cuadrado perfecto sumando b 2y4, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y luego restando b 2y4 del término constante c. Esto da     b2 b2 2 2 + c− x + bx + c = x + bx + 4 4  2  2 b b = x+ . + c− 2 4 Con u  x +  b, este resultado es de la forma u 2 + A 2 o u 2 − A 2, dependiendo del signo de c −  b 2. Si el coeficiente a de x 2 no es 1, primero lo factorizamos y luego procedemos como antes:   c b 2 2 . ax + bx + c = a x + x + a a  1 d x. EJEMPLO 1 Encuentre 2 9x + 6x + 5 Solución El primer paso es completar el cuadrado: 9x 2 + 6x + 5  9(x 2 +  x) + 5  9(x 2 +  x + 19 ) − 1 + 5  9(x + ) 2 + 4  (3x + 1) 2 + 2 2. De donde  DX D X  C X C 

 DX .X C / C   DU C

D

 

D

 

D

 

D

  TAN G C # D TAN  

D

 TAN 

U

 U 

G

  

C

.U D X C / DU

 DG C

X C  

G D  U

C #:

U 

C#

Z

550

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración



EJEMPLO 2

Encuentre

√

1 9 + 16x − 4x 2

d x.

Solución Primero completamos el cuadrado 9 + 16x − 4x 2  9 − 4(x 2 − 4x)  9 − 4(x 2 − 4x + 4) + 16  25 − 4(x − 2) 2. Por lo que  DX D p  C X X  D

  .X / 

 

D

 

D

 

DX



 .X 

DX /

 DU p  U SEN U C # D

U D  .X /  

SEN

 .X 

/ C #:

Una forma alternativa es hacer la sustitución trigonométrica 2(x − 2)  5 sen θ,

2d x  5 cos θ dθ

justo después de completar el cuadrado. Esto lleva a  DX D p  C X X 

  .X /  

DX

COS 

D   SEN     D D  C # D   .X /  C #: D ARCSEN   D

Z

Algunas integrales con expresiones cuadráticas se dividen en dos integrales más simples. Los ejemplos 3 y 4 muestran esta técnica.  2x + 3 d x. EJEMPLO 3 Encuentre 9x 2 + 6x + 5

Solución Como D x (9x 2 + 6x + 5)  18x + 6, ésta sería una integral más sencilla si el numerador 2x + 3 fuera un múltiplo constante de 18x + 6. La estrategia es escribir 2x + 3  A · (18x + 6) + B para poder dividir la integral dada en una suma de dos integrales, una de las cuales tiene numerador 18x + 6 en su integrando. Al igualar los coeficientes en 2x + 3  18Ax + (6A + B), se encuentra que A  y B  . De aquí que    2x + 3 1 18x + 6 7 1 d x = d x + d x. 2 2 2 9x + 6x + 5 9 9x + 6x + 5 3 9x + 6x + 5 1 9

La primera integral de la derecha es un logaritmo y la segunda está dada en el ejemplo 1. Así,    7 1 2x + 3 2 −1 3x + 1 + C. d x = ln(9x + 6x + 5) + tan 9x 2 + 6x + 5 9 18 2

SECCIÓN 7.7

Integrales que contienen polinomios cuadráticos 551

De otra manera, podemos primero completar el cuadrado del denominador. Con la sustitución u  3x + 1, x  (u − 1), d x   d u se tiene  2  (u − 1) + 3 1 2x + 3 3 dx = · du 2 (3x + 1) + 4 u2 + 4 3   2u 7 1 1 du + du = 2 2 9 u +4 9 u +4   u 7 1 tan−1 +C = ln(u 2 + 4) + 9 18 2   3x + 1 7 1 tan−1 + C. = ln(9x 2 + 6x + 5) + 9 18 2  2 + 6x d x dado |x − 1| < 2. EJEMPLO 4 Encuentre (3 + 2x − x 2 )2

Solución Como D x (3 + 2x − x 2)  2 − 2x primero escribimos    2 − 2x 1 2 + 6x d x = −3 dx + 8 d x. 2 2 2 2 (3 + 2x − x ) (3 + 2x − x ) (3 + 2x − x 2 )2 Después, con u  3 + 2x − x 2, d u  (2 − 2x) d x en la primera integral para obtener   du 3 3 2 − 2x d x = −3 = + C1 = + C1 . −3 (3 + 2x − x 2 )2 u2 u 3 + 2x − x 2 Por lo tanto, 

2 + 6x 3 dx = +8 2 2 (3 + 2x − x ) 3 + 2x − x 2



1 d x. (3 + 2x − x 2 )2

(1)

(Podemos eliminar la constante C1 porque puede absorberse en la constante C, que se obtendrá al evaluar la integral restante.) Para evaluar la integral restante, primero se completa el cuadrado 3 + 2x − x 2  4 − (x 2 − 2x + 1)  4 − (x − 1) 2. Como |x − 1| < 2, esto sugiere la sustitución x − 1  2 sen θ,

d x  2 cos θ dθ.

con la cual 3 + 2x − x 2  4 − 4 sen2 θ  4 cos2 θ. Esta sustitución proporciona 

 DX D  . C X X  / D



SEC  TAN  C

 

SEC  D

SEC  D

TSECCI˜N :; ECUACI˜N : ./U

SEC  TAN  C  LN jSEC  C TAN j C # X C X  C  LN p C #: D  C X X   C X X  D

X 

 

 COS  D D . COS  /

 



Q  X  X X

FIGURA 7.7.1 Triángulo de referencia para el ejemplo 4.

En el último paso leímos los valores de sec θ y tan θ en el triángulo rectángulo de la figura 7.7.1. Cuando se sustituye la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene el resultado     x +1 x +2 1  2 + 6x  + C. Z ln d x = + √   (3 + 2x − x 2 )2 3 + 2x − x 2 2 3 + 2x − x 2

552

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

El método del ejemplo 4 se puede usar para evaluar una integral de la forma !X C " D X C BX C C/N

.AX 



donde n es un entero positivo. Dividiendo una integral como esa en dos integrales más sencillas y completando el cuadrado en la expresión cuadrática del denominador, el problema de evaluar la integral en (3) se reduce a calcular .A 

 DU  U  /N



Si el signo del denominador en (4) es un signo más, entonces la sustitución u  a tan θ transforma la integral en una de la forma  cosm θ dθ. (Vea el problema 35.) Esta integral se puede manejar con los métodos de la sección 7.4 o usando la fórmula de reducción  K COSK  D COSK  D D COSK  SEN  C K K del problema 54 en la sección 7.3. Si el signo del denominador en la ecuación (4) es un signo menos, la sustitución u  a sen θ transforma esa integral en una de la forma  secm θ dθ. (Vea el problema 36.) Esta integral se puede evaluar con ayuda de la fórmula de reducción   1 k−2 seck θ dθ = seck−2 θ tan θ + seck−2 θ dθ k−1 k−1 [ecuación (5) de la sección 7.3].

7.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si se completa correctamente el cuadrado en la expresión x 2 + bx + c, debe ob    b2 b 2 + c− . tener x + 2 4  X C  C # 2. X  C X C  H TAN   3. X  C X C  H .X C / C   4.  C X X  H  .X / 

 D X 5. El ejemplo 2 proporciona dos maneras diferentes de evaluar p  C X X   2x + 3 d x. 6. Es imposible evaluar la integral 2 9x + 6x + 5  2 + 6x d x con la 7. En uno de los ejemplos de la sección 7.7, se evalúa (3 + 2x − x 2 )2 suposición de que |x − 1| < 2. 8. Si |x − 1| < 2, entonces     2 + 6x x +1 x −1 1   + C. dx = + ln  √  2 2 2 (3 + 2x − x ) 3 + 2x − x 2 3 + 2x − x 2

SECCIÓN 7.7

Integrales que contienen polinomios cuadráticos 553

9. Si n es un entero positivo, entonces la sustitución u  a tan θ transforma  DU .A  C U  /N

EN

COSM  D:

10. Si n es un entero positivo, entonces la sustitución u  a sen θ transforma  DU .A  U  /N

EN

SECM  D:

7.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la factorización del polinomio Q(x) produce dos o más factores cuadráticos. Explique por qué los métodos de esta sección son suficientes para integrar cualquier función racional de la forma f (x)  P(x)yQ(x). 2. ¿Es posible que la integral ∫ f (x) d x en la pregunta 1 sea alguna vez una función racional? Si es así, dé un ejemplo que ilustre esta posibilidad.

7.7 PROBLEMAS Evalúe las antiderivadas en los problemas 1 a 34.   2x + 5 1 dx 2. dx 1. x 2 + 4x + 5 x 2 + 4x + 5   x +1 5 − 3x dx 4. dx 3. x 2 + 4x + 5 (x 2 + 4x + 5)2   x +3 1 dx 6. dx 5. √ √ 2 3 − 2x − x 3 − 2x − x 2    1 dx 8. 7. x 3 − 2x − x 2 d x 4x 2 + 4x − 3    3x + 2 dx 10. 4x 2 + 4x − 3 d x 9. 4x 2 + 4x − 3   1 1 dx d x 12. 11. √ x 2 + 4x + 13 2x − x 2    1 d x 14. x 8 + 2x − x 2 d x 13. 3 + 2x − x 2   2x − 1 2x − 5 d x 16. dx 15. x 2 + 2x + 2 4x 2 + 4x − 15  x dx 17. √ 5 + 12x − 9x 2   18. (3x − 2) 9x 2 + 12x + 8 d x   19. (7 − 2x) 9 + 16x − 4x 2 d x  2x + 3 dx 20. √ x 2 + 2x + 5   x +4 x −1 21. d x 22. dx (6x − x 2 )3/2 (x 2 + 1)2   2x + 3 x3 23. d x 24. dx 2 2 (4x + 12x + 13) (1 − x 2 )4   3x − 1 3x − 1 dx d x 26. 25. 2 2 x +x +1 (x + x + 1)2   1 d x 28. (x − x 2 )3/2 d x 27. (x 2 − 4)2

 29.  31.  33.



x2 + 1 dx x3 + x2 + x

30.

2x 2 + 3 dx 4 x − 2x 2 + 1

32.

3x + 1 dx (x 2 + 2x + 5)2

34.

x2 + 2 dx (x 2 + 1)2



(x 2



x2 + 4 dx + 1)2 (x 2 + 2)

x 3 − 2x dx x 2 + 2x + 2

35. Muestre que la sustitución u  a tan θ da 

1 1 du = 2n−1 2 2 n (a + u ) a

 cos2n−2 θ dθ.

36. Muestre que la sustitución u  a sen θ da 

1 1 du = 2n−1 (a 2 − u 2 )n a

 sec2n−1 θ dθ.

En los problemas 37 a 39 la región R se encuentra entre la curva y  1y(x 2 − 2x + 5) y el eje x de x  0 a x  5. 37. Encuentre el área de la región R. 38. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y. 39. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x. En los problemas 40 a 42 la región R se encuentra entre la curva y  1y(4x 2 − 20x + 29) y el eje x de x  1 a x  4. 40. Encuentre el área de la región R. 41. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y. 42. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x. 43. Se le pide construir un camino que una las puntos (0, 0) y (3, 2) y siga la trayectoria del círculo con ecuación (4x + 4) 2 + (4y − 19) 2  377. Encuentre la longitud del camino. (Las unidades de los ejes coordenados son millas.)

554

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

44. Suponga que el camino del problema 43 (figura 7.7.2) cuesta 10y(1 + x) millones de dólares por milla. a) Calcule el costo total. b) Con el mismo costo por milla, calcule el costo total de un camino en línea recta de (0, 0) a (3, 2). ¡Debe encontrar que es más costoso que el camino circular más largo! Y  











X

FIGURA 7.7.2 De acuerdo con el problema 44, el camino del arco circular es menos costoso que el camino recto más corto.

En los problemas 45 a 47, factorice el denominador primero encontrando por inspección una raíz r del denominador y luego usando la división larga entre x − r. Por último, utilice el método de fracciones parciales como ayuda para encontrar las antiderivadas indicadas.   3x + 2 1 45. d x 46. dx x3 + x2 − 2 x3 + 8  4 x + 2x 2 dx 47. x3 − 1 48. a) Encuentre las constantes a y b tales que x 4 + 1  (x 2 + ax + 1)(x 2 + bx + 1). b) Pruebe que  1 2 x +1 π dx = √ . 4 2 2 0 x +1 [Sugerencia: si u y v son números positivos y uv  1, entonces arctan u + arctan v  π.] 4 49. Factorice x + x 2 + 1 con ayuda de las ideas sugeridas en el problema 48. Luego evalúe  2x 3 + 3x d x. x4 + x2 + 1

50. Evalúe la integral para demostrar que  1 16(x − 1) d x = π. 4 − 2x 3 + 4x − 4 x 0 Esta integral (de hecho) fue utilizada por D. Bailey, P. Borwein y S. Plouffe como punto de inicio en la reciente determinación del dígito 10 milmillonésimo hexagesimal del número π (es un 9). [Sugerencia: utilice la división larga para verificar que x 2 − 2 es un factor del denominador y encontrar el otro factor.] En los problemas 51 a 54, escriba la forma general de la descomposición en fracciones parciales de la función racional f (x) dada (sin llegar a determinar los coeficientes A, B, C, . . .). Luego use un sistema algebraico de computadora (como en la observación que sigue al ejemplo 6 de la sección 7.5) para encontrar el valor numérico de los coeficientes en la descomposición. Por último, encuentre la integral indefinida ∫ f (x) d x tanto a mano como con el sistema algebraico de computadora y resuelva cualquier discrepancia aparente entre los dos resultados.  7x 4 + 28x 3 + 50x 2 + 67x + 23 51. dx (x − 1)(x 2 + 2x + 2)2  35 + 84x + 55x 2 − x 3 + 5x 4 − 4x 5 dx 52. (x 2 + 1)2 (x 2 + 6x + 10)  32x 5 + 16x 4 + 19x 3 − 98x 2 − 107x − 15 dx 53. (x 2 − 2x − 15)(4x 2 + 4x + 5)2  63x 5 + 302x 4 + 480x 3 + 376x 2 − 240x − 300 dx 54. (x 2 + 6x + 10)2 (4x 2 + 4x + 5)2 En los problemas 55 a 58, encuentre los valores de los coeficientes a, b, c y d (no todos cero) tales que la integral indefinida dada no contiene logaritmos o tangentes inversas y por consiguiente es una función racional.  ax + b 55. dx 2 (x + 4x + 5)2  ax 2 + bx + c dx 56. (x 2 + 4x + 5)2  ax 2 + bx + c dx 57. (x 2 + 2x + 2)(x 2 + 4x + 5)  ax 3 + bx 2 + cx + d 58. dx (x 2 + 4x + 5)3

7.8 INTEGRALES IMPROPIAS Para demostrar la existencia de las integrales definidas, nos hemos basado hasta ahora en la existencia del teorema dado en la sección 5.4. Éste es el teorema que garantiza la existencia de la integral definida  b

f (x) d x

a

siempre y cuando la función f sea continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Sin embargo, algunas aplicaciones de cálculo llevan naturalmente a la formulación de integrales en las cuales ya sea 1. El intervalo de integración no está acotado; tiene una de las formas [a, +∞),

(−∞, a],

o

(−∞, +∞);

o bien

SECCIÓN 7.8

Integrales impropias 555

2. El integrando tiene una discontinuidad infinita en algún punto c en el intervalo [a, b]; L¤M F .X/ H 1:

X!C

Un ejemplo del caso 1 es la integral  ∞ 1

1 d x. x2

Una interpretación geométrica de esta integral es el área de la región no acotada (sombreada en la figura 7.8.1) que queda entre la curva y  1yx 2 y el eje x, y a la derecha de la línea vertical x  1. Un ejemplo del caso 2 es la integral  1 1 √ d x. x 0 Esta integral se puede interpretar como el área p de la región no acotada (sombreada en la figura 7.8.2) que está bajo la curva y  1y X de x  0 a x  1. Y

Y

Y

 X

X FIGURA 7.8.1 El área sombreada no se puede medir usando las técnicas anteriores

X

X

X

FIGURA 7.8.2 Otra área que debe medirse con una integral impropia.

Estas integrales se llaman integrales impropias. La interpretación natural de una integral impropia es el área de una región no acotada. Es quizá sorprendente que un área como ésta pueda ser a pesar de todo finita, y aquí veremos cómo encontrar esas áreas —esto es, cómo evaluar las integrales impropias. Para entender por qué las integrales impropias requieren un cuidado especial, considere la integral  1 1 d x. 2 x −1

Y

Esta integral es impropia porque su integrando f (x)  1yx 2 es no acotado cuando x → 0, y por ello f no es continua en x  0. Si se hubiera aplicado el teorema fundamental del cálculo sin reflexionar se hubiera obtenido    1 1 1 1 (¡Error!) dx = − = (−1) − (+1) = −2. 2 x −1 −1 x

Y  X



Y  X



FIGURA 7.8.3 Área bajo y  1yx 2, −1 ≤ x ≤ 1. − −

X

Es obvio que la respuesta negativa es incorrecta, porque el área que aparece en la figura 7.8.3 está arriba del eje x y por lo tanto la integral no puede ser negativa. Este ejemplo simple resalta que no se pueden ignorar las hipótesis —función continua e intervalo cerrado acotado— del teorema fundamental del cálculo.

556

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Límites infinitos de integración Suponga que la función f es continua y no negativa en el intervalo no acotado [a, +∞). Así, para cualquier punto fijo t > a, el área A(t) de la región bajo y  f (x) de x  a a x  t (sombreada en la figura 7.8.4) está dada por la integral definida (ordinaria)  t A(t) = f (x) d x.

Y

a

Suponga ahora que t → +∞ y se encuentra que el límite de A(t) existe. Así, observamos este límite como el área de la región no acotada que está bajo la curva y  f (x) y de [a, +∞). Para f continua en [a, +∞), es posible definir

YF X

!T XA

XT

FIGURA 7.8.4 El área sombreada A(t) existe siempre que f sea continua.

1

X

T

F .X/ D X D L¤M



F .X/ D X

T!1 A

A

siempre y cuando este límite exista (como un número finito real). Si este límite existe, se dice que la integral impropia de la izquierda converge; si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge. Si f (x) es no negativa en [a, +∞) entonces el límite en la ecuación (1) existe o es infinito y en el último caso se escribe  ∞ f (x) d x = +∞ a

y se dice que la integral impropia diverge a infinito. Si la función f tiene valores tanto positivos como negativos en [a, +∞), entonces la integral impropia puede divergir por oscilación —esto es, sin divergir a infinito—. T 1 Esto ocurre con  SEN X D X porque es fácil verificar que  SEN X D X es cero si t es un múltiplo entero par de π pero es 2 si t es un múltiplo entero impar de π. Por lo cual, T  SEN X D X oscila entre 0 y 2 cuando t → +∞ y por lo tanto el límite en la ecuación (1) no existe. Se puede manejar un límite de integración inferior infinito de manera similar: definimos B

B

F .X/ D X D L¤M

T!1 T

1



F .X/ D X

siempre y cuando el límite exista. Si la función f es continua en toda la recta real, definimos 1

C

1

F .X/ D X D 1

F .X/ D X C 1

F .X/ D X



C

para cualquier elección conveniente de c, siempre y cuando ambas integrales impropias en el lado derecho converjan. Observe que la integral de la izquierda en la ecuación (3) no necesariamente es igual a T

L¤M

T!1 T

F .X/ D X:

(Vea el problema 52.) No importa qué valor de c se usa en la ecuación (3), porque si c < d, entonces  ∞  c  d  ∞  c f (x) d x + f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x + f (x) d x −∞

c

−∞ d

 =

−∞



d

c ∞

f (x) d x +

f (x) d x,

d

con la suposición de que todos los límites involucrados existen. EJEMPLO 1

Investigue las integrales impropias 1    D X Y B D X p A  X  X  1

SECCIÓN 7.8

Integrales impropias 557

Solución 1

Y

A 

Y



T

 D X D L¤M T!1 X

T

  D X D L¤M  T!1 X X



 C  D  T

D L¤M

T!1



Así, la integral impropia converge y ésta es el área de la región sombreada en la figura 7.8.1.

 

 X



X

B 1

 D X D L¤M p T!1 X

FIGURA 7.8.5 Región no acotada representada por la integral impropia del ejemplo 1b).





DX X  p   X D L¤M p

T

D L¤M

T!1

T!1

T

p   T  D C1:

Así, la segunda integral impropia de este ejemplo diverge a +∞ (figura 7.8.5).  ∞ 1 d x. EJEMPLO 2 Investigue la integral impropia 2 −∞ 1 + x Solución Al escoger c  0 en la ecuación (3) se tiene Y

1 1

 Y X

 DX D  C X

 1



D L¤M

S!1 S

X

D L¤M

S!1

FIGURA 7.8.6 Área medida para la integral del ejemplo 2.

1

 DX C  C X



 DX  C X

 D X C L¤M T!1  C X 

TAN X

S

C L¤M

T!1

T 

 DX  C X

TAN X

T 

D L¤M . TAN S/ C L¤M .TAN T/ D S!1

Z

T!1

  C D :  

La región sombreada en la figura 7.8.6 es una interpretación geométrica de la integral en el ejemplo 2. Z

Integrandos infinitos Suponga que la función f es continua y no negativa en [a, b) pero que f (x) → +∞ cuando x → b−. La gráfica de una función como ésta aparece en la figura 7.8.7. El área A(t) de la región que está abajo de y  f (x) de x  a a x  t < b es el valor de la integral (normal) definida

Y



YFX

A(t) =

t

f (x) d x.

a

XA

XT XB X

Si el límite de A(t) existe cuando t → b−, entonces este límite puede verse como el área de la región (no acotada) bajo y  f (x) de x  a a x  b. Para f continua en [a, b) definimos entonces B

FIGURA 7.8.7 Una integral impropia del segundo tipo: f (x) → ∞ mientras x → b−.

T

F .X/ D X D L¤M A

T!B

F .X/ D X



A

siempre que el límite exista (como un número finito), en cuyo caso decimos que la integral de la izquierda converge; si el límite no existe, se dice que la integral diverge. Si B

T

F .X/ D X D L¤M A

T!B

F .X/ D X D 1; A

entonces se dice que la integral impropia diverge a infinito.

CAPÍTULO 7

558

Técnicas de integración

Si f es continua en (a, b] pero el límite de f (x) cuando x → a+ es infinito, entonces se define B

B

F .X/ D X D L¤M

T!A C

A

F .X/ D X



T

siempre que el límite exista. Si f es continua en todo punto de [a, b] excepto en el punto c en (a, b) y uno o ambos límites de un sólo lado de f en c son infinitos, entonces se define B

C

F .X/ D X D A

B

F .X/ D X C A

F .X/ D X



C

siempre que las integrales impropias de la derecha converjan. EJEMPLO 3 Investigue las integrales impropias     D X: B p DX Y A  X   .X /

Solución p a) El integrando 1y X se hace infinito cuando x → 0+, entonces  

 p D X D L¤M T!C X

 p DX X T p p  D L¤M  X D L¤M   T D :

Y

T!C

Y

 X  



 



s



T!C

T

Así, el área de la región no acotada que aparece en la figura 7.8.2 es 2. b) Ahora el integrando se hace infinito cuando x se acerca al punto extremo del lado derecho, de manera que X







FIGURA 7.8.8 Región no acotada representada por la integral impropia del ejemplo 3b).

X

 D X H L¤M .X / T!

T

 DX   .X / T  H L¤M X   T!  H C1: H L¤M  T  T!

Por lo tanto, esta integral impropia diverge a infinito (figura 7.8.8). Se deduce que la integral impropia  3  2  3 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 2 1 (x − 2) 1 (x − 2) 2 (x − 2) también diverge porque no convergen las dos integrales impropias del lado derecho. (Se puede verificar que la segunda también diverge a +∞.) Z EJEMPLO 4

Investigue la integral impropia  2 1 d x. 2/3 0 (2x − 1)

Solución Esta integral impropia corresponde a la región sombreada en la figura 7.8.9. El integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto c   dentro del intervalo de integración, y así escribimos  1/2  2  2 1 1 1 dx = dx + dx 2/3 2/3 2/3 (2x − 1) 0 (2x − 1) 0 1/2 (2x − 1)

SECCIÓN 7.8

Integrales impropias 559

Y

 X  

Y

 

  

 





X



FIGURA 7.8.9 Región del ejemplo 4.

y se investigan por separado las dos integrales impropias de la derecha. Encontramos que = 

T

 D X D L¤M .X /= T!.=/ D D

 DX .X /=



 .X 

L¤M

T!.=/

L¤M  T!.=/

/=

.T /

=

T 

./= D  ;

y  =



 D X D L¤M .X /= T!.=/C D D

 DX .X /=

T

 .X 

L¤M

T!.=/C

L¤M  T!.=/C

=



/=

 T

.T /= D

p   : 

Por lo tanto 

2 0

√ 1 3

3 d x = 3 . 1 + 2 (2x − 1)2/3

Z

Funciones especiales e integrales impropias Las funciones especiales en matemáticas avanzadas con frecuencia se definen por medio de integrales impropias. Un ejemplo importante es la función gamma (t) que el prolífico matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) introdujo para interpolar valores de la función factorial

 

YXE X

 Y

n!  1 · 2 · 3· . . . (n − 1) · n.

   

YXE X

YXE X YE X

La función gamma está definida para todos los números reales t > 0 por la integral impropia

 

1

           X

FIGURA 7.8.10 Gráficas y  x t− 1 e −x para t  1, 2, 3, 4.

T/ D

X T EX D X





Por lo cual, para un número positivo fijo t, el valor (t) es el área bajo la curva y  x t−1 e −x de x  0 a ∞ (figura 7.8.10). Resulta que la integral impropia en (7) converge para toda t > 0. Los siguientes ejemplos tratan de ilustrar los casos t  1 y t  2.

CAPÍTULO 7

560

Técnicas de integración

EJEMPLO 5

Si t  1, entonces 1

/ H

B!1 



H L¤M

B!1

B

EX D X H L¤M EX

B

EX D X

H L¤M . EB / H : B!1



Si t  2, la integración por partes con u  x, d v  e−x d x lleva a 1

/ H

B!1 



H L¤M

B!1

B

XEX D X H L¤M XEX

B 

B

C  1

H L¤M . BEB / C B!1

XEX D X EX D X

EX D X H  C  H 



Z

también.

Como 0!  1 por definición y 1!  1, el ejemplo 5 se puede interpretar para afirmar que (1)  0! y (2)  1!. En forma más general, resulta —vea los problemas 47 y 48— que 

N C / H N


para cada entero no negativo n. Pero recuerde, la función gamma está definida para todos los números reales positivos. En el problema 57 le pedimos demostrar que

 

 

1

H



EX D X







La figura 7.8.11 muestra la gráfica y = e−x en comparación con y  e −x para x 2 Como e−x < e−x para x > 1 y la integral impropia  ∞ e−x d x 2

Y   YE X



0

YE X 





0.

2



X



FIGURA 7.8.11 Gráficas de 2 y  e −x y y = e−x .





converge como en el ejemplo 5, es factible que el área bajo y = e−x para x 0 sea finita y por lo tanto que la integral p impropia en (9) converja también. En efecto, se verá en la sección 13.4 que  / H  

Velocidad de escape Se vio en la sección 6.5 cómo calcular el trabajo Wr requerido para levantar un cuerpo de masa m desde la superficie del planeta de masa M y radio R a una distancia r > R desde el centro del planeta. De acuerdo con la ecuación (7) en esa sección con k  GMm, la respuesta es  r G Mm Wr = d x. x2 R De manera que el trabajo requerido para mover la masa m “infinitamente lejos” del planeta es 1 ' -M R ' -M ' -M 7 D L¤M 7R D D X D L¤M D :  R !1 R !1 X X 2 2 2 EJEMPLO 6 Suponga que una masa se lanza con una velocidad v directamente hacia arriba desde la superficie del planeta, como en la novela de Julio Verne De la Tierra a la Luna (1865), en la cual se dispara la nave espacial desde un inmenso cañón. La energía cinética inicial  mv 2 de la masa está disponible para realizar este trabajo (al convertirse en energía potencial). De la ecuación G Mm 1 2 mv = , 2 R

SECCIÓN 7.8

se encuentra que

 v=

Integrales impropias 561

2G M . R

Sustituyendo los valores numéricos de las constantes G, M y R se tiene un valor v ≈ 11.2 km/s (como 25,000 mi/h) para la velocidad de escape desde la Tierra. Z

Valor presente de una perpetuidad Considere una anualidad perpetua, con la cual usted y sus descendientes (y los de ellos, hasta el infinito) recibirán A dólares anuales. La pregunta que proponemos es: ¿cuál es el valor de mercado de una anualidad como esa? ¿Cuánto debe pagar para comprarla? EJEMPLO 7 Si el interés es de composición continua a una tasa anual r, entonces un dólar depositado en una cuenta de ahorros crecerá a e rt dólares en t años. Así, e −rt dólares depositados ahora producirán $1 después de t años. En consecuencia, el valor presente de la cantidad que usted (y sus herederos) recibirán entre el tiempo t  0 (el presente) y el tiempo t  T > 0 se define como  T PT = A e−r t dt. 0

De este modo, el valor presente de una anualidad perpetua es 1

0 D L¤M 04 D 4 !1

! ER T DT D L¤M

4 !1





! R T E R

4

D 

! : R

Es decir, A  rP. Por ejemplo, con una tasa de interés anual de 8% (r  0.08), puede comprar una perpetuidad por P  ($50,000)y(0.08)  $625,000 que le pagará (y a sus descendientes) una suma anual de $50,000 para siempre. Z

Integrales en estadística y probabilidad La figura 7.8.12 muestra la famosa curva en forma de campana con ecuación Y

 Y D p EXP  X  : 

   







 X

FIGURA 7.8.12 Curva en forma de    campana Y H p E  X  

El problema 63 proporciona el valor  ∞

1 exp − 12 x 2 d x = 1. √ 2π −∞

(10)

De esta manera, el área de la región bajo la curva en forma de campana —con “colas infinitas” extendiéndose en ambas direcciones— es exactamente 1. Con integración numérica (usando, por ejemplo, la aproximación de Simpson) se puede verificar que  p 

 

EXP  X  D X  :; Y

 p 

 

 p 

 

EXP  X  D X  :;

EXP  X  D X  ::



Se deduce que: • Sólo un poco más de dos tercios del área bajo la curva en forma de campana están entre x  −1 y x  1; • Casi 95.5% del área está entre x  −2 y x  2, y • Casi 99.75% del área total está entre x  −3 y x  3.

562

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

La curva con forma de campana se usa al describir la distribución de de una amplia variedad de atributos típicos de miembros individuales de grandes poblaciones. Muchos de estos atributos —como la altura, el peso, el coeficiente intelectual o calificación del SAT de un estudiante— se distribuyen entre los miembros de una población de una manera que tiene tanto aspectos aleatorios como aspectos sistemáticos. Por ejemplo, sea X(s) la altura del estudiante universitario hombre s. Por lo cual, X es una función de valores reales definida en un conjunto S de todos los estudiantes universitarios hombres. En estadística, una función de valores reales definida en un conjunto de población se llama variable aleatoria en S. Dada una variable aleatoria X definida en un conjunto S y dos números a y b, nos podemos preguntar cuál es la fracción o proporción P{a X(s) b} de elementos s del conjunto S tal que los valores X(s) se encuentran entre a y b (inclusive). Esta fracción también se conoce como la probabilidad P{a X(s) b} de que X(s) esté en [a, b]. Una variable aleatoria normal X con un valor de la media μ y desviación estándar σ es una variable tal que 8 .S/  

0 A

 B Dp 

si a < b. Puede verificar fácilmente que 8 .S/  A B SIYS˜LOSI  entonces la ecuación (12) es equivalente a 0f C A

8 .S/

B A

EXP  X  D X

 C A

  C B g D p 

B A

8 .S/

 C B;

EXP  X  D X:







El siguiente ejemplo revela el significado de los parámetros μ y σ. EJEMPLO 8 Si tomamos a  0 y b  +∞ en las ecuaciones (13) y (14), observamos que  ∞

1 1 P{μ  X (s) < +∞} = √ exp − 12 x 2 d x = 2 2π 0 (usando (10) y la simetría de la gráfica de la figura 7.8.12). Por lo tanto, el valor X(s) es mayor o igual que el valor de la media μ para la mitad de los elementos del conjunto S. Si tomamos a  −1 y b  1, vemos que  1

1 exp − 12 x 2 d x ≈ 0.6827 P{μ − σ  X (s)  μ + σ } = √ 2π −1 (usando (11)). Así, el valor X(s) queda dentro de una desviación estándar σ del valor de la media μ para un poco más de dos tercios de los elementos de S. De manera similar,  2

1 exp − 12 x 2 d x ≈ 0.9545, P{μ − 2σ  X (s)  μ + 2σ } = √ 2π −2 por lo que el valor X(s) cae dentro de dos desviaciones estándar del valor de la media para más de 95% de los elementos de S. Z Los valores numéricos de las integrales en (12) y (14) suelen calcularse usando los valores de la función especial  ERF.X/ D p 

X

EXP T  D X





(erf es la “función de error”), la cual está tabulada en manuales de matemáticas y se incluye en la mayoría de los sistemas algebraicos para computadora. El problema 64 pide que demuestre que  p 

U 

EXP  X  D X D

 U ERF p :  



SECCIÓN 7.8

Integrales impropias 563

EJEMPLO 9 La forma de calificar el examen de aptitud académica (SAT) ha cambiado en los últimos años, por lo que ahora el mismo desempeño recibe una calificación más alta que antes. Este examen fue diseñado originalmente para que la calificación del SAT en matemáticas X(s) de un aspirante a la universidad s fuera (teóricamente) una variable aleatoria con media μ  500 y desviación estándar σ  100. a) En este caso, ¿que porcentaje de estudiantes examinados recibe una calificación de 750 o mayor? b) ¿Qué porcentaje recibirán calificaciones menores de 350?

Solución a) Si se escribe μ + aσ  500 + 100a  750, se encuentra que a  2.5. Así, la proporción de estudiantes con calificaciones de al menos 750 —esto es, 750 X(s) < +∞— está dada (con b  +∞) por 0f

1  8 .S/ < C1g D p EXP  X  D X ; USANDO  =  : 1 :   EXP  X  D X p EXP  X  D X Dp     :   ; USANDO  = D ERF p      . :/ D : 

(usando la aproximación erf (2.5y ) ≈ 0.98758 dada por un sistema algebraico de computadora). De esta manera, alrededor de 0.62% de todos los estudiantes examinados —menos de uno en cien— obtendrá calificaciones de al menos 750 (con el sistema original de calificación). b) Si se escribe μ + bσ  500 + 100b  350, encontramos que b  −1.5. La proporción de estudiantes con calificaciones de menos de 350 —esto es, −∞ < X(s) 350— está dada (con a  −∞) por 0f1 < 8 .S/

 g D p 

: 1

EXP  X  D X

; USANDO  =

1  Dp EXP  X  D X ; PORSIMETR¤A=  : 1 :   EXP  X  D X p EXP  X  D X Dp     :   ; USANDO  = D ERF p      . :/  : 

(con la aproximación erf (1.5y ) ≈ 0.86639 dada por un sistema algebraico para computadora). Así, alrededor de 6.68% de todos los estudiantes examinados —cerca de uno en quince— obtendrá una calificación de 350 o menos. Z

Muestreo aleatorio Un evento binario es uno con dos resultados posibles que ocurren con probabilidades p y q  1 − p, respectivamente. Los ejemplos incluyen: • Lanzar una moneda con resultados posibles “águila” o “sol”. • Encuestar la preferencia de un votante seleccionado en forma aleatoria, que puede ser demócrata o republicano (en Estados Unidos). • Probar la calidad de un componente electrónico elegido al azar entre los componentes de un envío que puede ser defectuoso o no ser defectuoso.

564

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

Dado un evento binario particular, el resultado de realizar el evento N veces —como lanzar la moneda N veces— se llama una muestra de N eventos (o una muestra de tamaño N). Dada una muestra de N eventos s, X(s) corresponde al número de “éxitos” en los resultados con probabilidad p. Por ejemplo, si s consiste en lanzar la moneda N veces, entonces X(s) puede denotar el número de “águilas” obtenido. Así, X es una variable aleatoria definida en un conjunto S de todas las muestras de N eventos. Si el tamaño de la muestra N es grande, entonces el teorema del límite central de la teoría de probabilidad avanzada implica que X se puede aproximar muy cerca por una variable aleatoria cuyo valor de la media y desviación estándar están dados por  H .P

Y

 H

. PQ:



La probabilidad de que el número de “éxitos” esté entre μ + aσ y μ + bσ está dada aproximadamente por  b

1 exp − 12 x 2 d x. (18) P{μ + aσ  X (s)  μ + bσ } ≈ √ 2π a Es una práctica común en estadística suponer la igualdad en (18) si N > 30. EJEMPLO 10 Suponga que una moneda no cargada (una con p  q  ) se lanza N  400 veces. a) Calcule la probabilidad aproximada de que el número de “águilas” obtenidas esté entre 185 y 215. b) Calcule la probabilidad aproximada de que el número sea mayor de 230.

Solución Primero observe que por la ecuación (17), la media y la desviación estándar de X(s) son  H . P H 


 

H 

Y

 H

. PQ H




 




 

H :

a) Si escribimos μ + aσ  200 + 10a  185 y μ + bσ  200 + 10b  215, se encuentra que a  −1.5 y b  1.5. Por lo que la probabilidad de que el número de “águilas” esté en el intervalo [185, 215] es 0f

:  g  p EXP  X  D X ; USANDO  =  : :  EXP  X  D X ; PORSIMETR¤A= D
p   :  ; USANDO  = D 
ERF p    : ; SISTEMAALGEBRAICODECOMPUTADORA=

8 .S/

En lenguaje común, la probabilidad de obtener entre 185 y 215 “águilas” en 400 lanzamientos de una moneda perfecta es alrededor de 87%, que es algo así como 7 veces de 8. b) Si escribimos μ + aσ  200 + 10a  230, se obtiene a  3. Así, la probabilidad de que el número de “águilas” sea al menos 230 (es decir, 230 X(s) < +∞) está dada (con b  +∞) por 0f

1  8 .S/ < C1g  p EXP  X  D X ; USANDO  =   1    EXP  X  D X p EXP  X  D X Hp        H ERF p ; USANDO  =      . :/ H : 

SECCIÓN 7.8

Integrales impropias 565

(usando el valor erf (3y ) ≈ 0.99730 dado por un sistema algebraico de computadora). Por lo tanto, hay menos de dos oportunidades en mil de obtener al menos 230 “águilas” en 400 lanzamientos de una moneda no cargada. Z OBSERVACIÓN Las respuestas con decimales calculadas en el ejemplo 10 son sólo aproximaciones burdas, aunque las conclusiones finales —“7 veces de 8” en el inciso a) y “dos en mil” del inciso b)— son correctas. Una razón es que (18) es, después de todo, sólo una aproximación cuya precisión no se analizó. Aún más, como debido a que la cuenta de los lanzamientos de moneda es discreta en lugar de continua, se puede argumentar que el inciso a) debería calcularse como P{184.5 X(s) 215.5} en lugar de P{185 X(s) 215}, y en forma similar “extender con medios enteros” el inciso b). Estos aspectos se estudian en los cursos de estadística.

7.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas.  ∞ 1 d x es un ejemplo de una integral impropia. 1. 2 x 1  1 1 2. √ d x no es una integral impropia. x 0    1 1 1 1 d x = − = (−1) − (+1) = −2. 3. 2 x −1 −1 x T

4. Si f (x) es no negativa en [a, +∞) y el L¤M T!1  ∞ f (x) d x = +∞.

F .X/ D X no existe, entonces A

a T

1

F .X/ D X H L¤M

5. Si el límite existe, entonces

F .X/ D X

T!1 A

A

6. Si f es continua en la totalidad de la recta real, entonces —por definición—  ∞  c  ∞ f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x −∞

−∞

c

para cualquier c convenientemente escogida, siempre y cuando las dos integrales impropias en el lado derecho existan. 7. Si f es continua en [a, b), entonces —por definición— B

T

F .X/ D X H L¤M A

T!B

F .X/ D X A

siempre y cuando el límite de la derecha exista.    p D X H  X     p D X NOEXISTE X   ∞ x t−1 e−x d x. 10. La función gamma está definida por (t)  0

7.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Enumere todas las integrales impropias que se estudiaron en esta sección. Para cada tipo, dé ejemplos de integrales impropias convergentes y de integrales impropias divergentes.

566

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

2. Analice e ilustre con ejemplos la diferencia entre “divergencia al infinito” y “divergencia por oscilación”. 3. Analice la relación entre las integrales impropias y las áreas de regiones no acotadas en el plano.

7.8 PROBLEMAS Determine si las integrales impropias de los problemas 1 a 38 convergen o no. Evalúe las que converjan. 1 1    DX  p DX = X X X   

 

 p DX X X  1  DX X C  1

 

 DX .X /=





 DX . X/=   DX  1 .X C /

  





  



 

1

E.XC/ D X

 

p

E X p DX X

 DX X C   DX p X    DX   .X /   DX p X 1   DX =  .X C / 1 X DX  C /= .X 1 p





 DX p  X  1  DX p  X   1 X DX  1 X C 

 

XE 1

DX



XEX D X

 

1 1

 DX  C X



COS X D X



 1



LN X DX X  1  DX X.LN X/  = COS X DX p SEN X 

  



 

0

En los problemas 43 a 46, encuentre todos los valores de números reales de k para los cuales la integral impropia dada converge. Evalúe la integral para esos valores de k.  1  ∞ 1 1 43. d x 44. dx k k x x 0 1  1  ∞ 1 45. x k ln x d x 46. dx x(ln x)k 0 1 47. Comience con la definición de la función gamma en la ecuación (7), e integre por partes para demostrar que

(x + 1)  x(x) para todo número positivo real x. 48. Explique cómo aplicar el resultado del problema 47 n veces sucesivas para demostrar que si n es un entero positivo, entonces (n + 1)  n!(1)  n! Los problemas 49 a 51 tienen que ver con el cuerno de Gabriel, la superficie que se obtiene al rotar la curva y  1yx, x 1, alrededor del eje x (figura 7.8.13). Y

X DX  C X SEN  X D X

 DX X LN X  1 LN X DX X  = SEN X DX .COS X/=  

LN X D X

 

42.

LN X DX X

Y

 X

X X

1







0

0 ∞

1 dx x2 + x4 1 dx 2/3 x + x 4/3



 1



41.

∞

40.

jXjEX D X







0 ∞



E DX 1 1

1



39.

1 dx x + x2 1 dx 1/2 x + x 3/2

X



 1

∞

 X





X DX X 



1



DX

1







X =











LN X DX X

1

EX COS X D X

 

En los problemas 39 a 42, la integral dada es impropia porque el intervalo de integración no está acotado y porque el integrando no está acotado cerca de cero. Investigue su convergencia expresándola como una suma de dos integrales —una de 0 a 1 y la otra de 1 a ∞—. Evalúe las integrales que converjan.

FIGURA 7.8.13 Cuerno de Gabriel (problemas 49 a 51).

49. Demuestre que el área bajo la curva y  1yx, x 1, es infinita. 50. Demuestre que el volumen de revolución envuelto por el cuerno de Gabriel es finito y calcúlelo. 51. Demuestre que el área de la superficie del cuerno de Gabriel es infinita. [Sugerencia: sea At el área superficial de x  1 a x  t > 1. Pruebe que At > 2π ln t.] En cualquier caso, la implicación es que es posible llenar el cuerno de Gabriel con una cantidad finita de pintura (problema 50), pero una cantidad finita de pintura no alcanza para pintar su superficie.

SECCIÓN 7.8

52. Demuestre que

58. Dado que 1 1

CX DX  C X

T T!1

T

∞

e−x d x = 2

0

diverge, pero que L¤M



CX D X D :  C X

53. Use la sustitución x  e −u y el hecho que (n + 1)  n! (problema 48) para probar que si m y n son enteros positivos fijos pero arbitrarios, entonces  1 n!(−1)n x m (ln x)n d x = . (m + 1)n+1 0 54. Considere una anualidad perpetua mediante la que pagará a usted y a sus descendientes una tasa de 10 + t miles de dólares por año después de t años. De esa forma recibirá $20,000 dentro de 10 años y sus descendientes recibirán $110,000 dentro de 100 años y así sucesivamente. Suponga una tasa de interés constante de 10%, demuestre que el valor presente de la perpetuidad es  ∞ P= (10 + t)e−t/10 dt,

56. Una barra de densidad lineal δ (vea el problema 55) ocupa el eje y completo. Un punto de masa m se localiza en (a, 0) en el eje x, como se ve en la figura 7.8.14. Demuestre que la atracción gravitacional total (horizontal) que la barra ejerce en m es  ∞ Gmδ cos θ 2Gmδ F= , dy = 2 r a −∞ donde r 2  a 2 + y 2 y cos θ  ayr.

1 2

√

π,

encuentre el volumen del sólido no acotado que se obtiene al rotar alrededor del eje x una región no acotada R entre el eje 2 x y la curva y = e−x para x 0. 59. Encuentre el volumen del sólido no acotado que se obtiene rotando alrededor del eje y la región R del problema 58. 60. Recuerde del problema 47 que dice que (x +1)  x(x) si x > 0. Suponga que n es un entero positivo. Use la ecuación (9) para establecer que

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) √  n + 12 = π. 2n 61. a) Suponga que k > 1. Use integración por partes para demostrar que  ∞  k − 1 ∞ k−2 x k exp(−x 2 ) d x = x exp(−x 2 ) d x. 2 0 0 b) Suponga que n es un entero positivo. Pruebe que    ∞ 1 n x n−1 exp(−x 2 ) d x =  . 2 2 0

0

y luego evalúe esta integral impropia. 55. Una barra uniforme “seminfinita” ocupa el lado no negativo del eje x (x 0) y tiene una densidad lineal δ; esto es, un segmento de longitud d x tiene una masa δ d x. Demuestre que la fuerza de atracción gravitacional que la barra ejerce sobre un punto de masa m en (−a, 0) es  ∞ Gmδ Gmδ F= dx = . (a + x)2 a 0

Integrales impropias 567

62. Suponga que gana la lotería de Florida y decide usar parte de sus ganancias para comprar una anualidad perpetua que le pagará a usted y a sus descendientes $10,000 por año (para siempre). Suponga que tiene una tasa de interés anual de 6%, ¿cuál sería el precio justo que la compañía de seguros pudiera cobrar por esta anualidad? 63. Deduzca la ecuación (10) en esta sección a partir del valor  ∞ √ exp(−t 2 ) dt = π −∞

establecido en la sección 14.4. 64. Deduzca la ecuación (16) de esta sección a partir de la ecuación (15). En los problemas 65 a 70, determine el valor de k usando una calculadora o computadora para evaluar  b f (x) d x 0

para valores sucesivos cada vez más grandes de b. Continúe hasta que tenga certeza de que el valor de cuatro decimales de k es un entero.

Y DY

1

X  EX D X H K

  1

 Y



D&

1

 Q A



M A 

X

FIGURA 7.8.14 Atracción gravitacional ejercida sobre masa puntual por una barra infinita (problema 56).

57. Verifique la ecuación (9) sustituyendo x  u en la integral que define el valor de (). 2

1

 

 SEN X DX H X K   DX H p X C  K  LN   EX DX H X K

1

EXP.X  / COS X D X H

  1

SEN.X  / D X H

 

 K

 

p  KE

568

CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

71. Suponga que el valor del coeficiente intelectual (CI) de los estudiantes de preparatoria constituye una variable aleatoria normal con media de 100 y desviación estándar de 15. a) Calcule el porcentaje de estudiantes que tienen un IQ entre 90 y 110 inclusive. b) Calcule el porcentaje de los que tienen un IQ de 125 o mayor. 72. Suponga que la altura de los hombres adultos en Estados Unidos constituye una variable aleatoria normal con media de 69 pulgadas y desviación estándar de 3 pulgadas. a) Calcule el porcentaje de hombres adultos cuyas alturas están entre 67 y 72 pulgadas. b) Calcule el porcentaje de los que midan 76 pulgadas o más. 73. Suponga que la moneda no cargada del ejemplo 10 se lanza N  900 veces. a) Calcule la probabilidad de que el número de “águilas” obtenido esté entre 425 y 475. b) Calcule la probabilidad de obtener 500 o más “águilas”. 74. Suponga que una moneda cargada con probabilidad de p  0.6 para “águila” y q  0.4 para “sol” se lanza 600 veces. a) Calcule la probabilidad de que el número de “águilas” obtenido esté entre 345 y 375. b) Calcule la probabilidad de obtener menos de 350 “águilas”.

75. Un estudiante adivina al azar la respuesta de una prueba con 50 preguntas falso o verdadero. a) ¿Cuál es la probabilidad de que pase el examen (60% o más de respuestas correctas)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una C o una mejor calificación (70% o más de respuestas correctas)? 76. Una máquina imprime tarjetas de circuitos de las cuales 1% son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más tableros de circuitos, dentro de una muestra de 500, resulten defectuosos? 77. Suponga que 55% de los votantes registrados en una población metropolitana favorecen al candidato demócrata para alcalde. Si se hace una encuesta aleatoria a 750 votantes registrados ¿cuál es la probabilidad de que entre 41% y 49% estén a favor del candidato republicano? 78. Sea  ∞ (ln x)n In = d x. x2 1 Demuestre que (n + 1)In  In+1 para cada entero n cluya que In  n! si n es un entero positivo.

0. Con-

CAPÍTULO 7 RESUMEN-ESTRATEGIAS DE INTEGRACIÓN Cuando se enfrenta al problema de evaluar una integral, debe decidir primero cuál de los diferentes métodos de este capítulo debe usar. Existen sólo dos métodos generales de integración: • Integración pos sustitución (sección 7.2) e • Integración por partes (sección 7.3). Éstas son, respectivamente, las analogías a la regla de la cadena y a la regla del producto para derivación. Para empezar, observe la integral para saber si se puede detectar una sustitución que la transformaría en una integral elemental conocida o en una que sea probable encontrar en una tabla de integrales. En el caso de una integral  f (x)g(x) d x, de un producto desconocido de dos funciones, una de los cuales es fácilmente diferenciable y la otra es fácilmente integrable, lo indicado es intentar integrar por partes. Más allá de estos dos métodos generales, este capítulo tiene que ver con diversos métodos especiales. En el caso de una integral que es obviamente trigonométrica, ∫ trig (x) d x, el método de “extracción” de la sección 7.4 puede ser efectivo. Recuerde que las fórmulas de reducción [como la ecuación (5) y los problemas 53 y 54 de la sección 7.3] están disponibles para la integración de potencias enteras de una sola función trigonométrica. Cualquier integral de una función racional, es decir, una integral de la forma  p(x) d x, q(x) donde el integrando es un cociente de polinomios, se puede evaluar por el método de fracciones parciales (sección 7.5). Si el grado del numerador no es menor que el grado del denominador —esto es, si la función racional no es propia— primero utilice la división larga para expresarla como la suma de un polinomio (fácilmente integrable) y una fracción racional propia. Luego descomponga esta última en fracciones parciales. Las fracciones parciales correspondientes a factores lineales se integran fácilmente y aquellas que corresponden a factores cuadráticos irreducibles pueden integrarse completando cuadrados y mediante la sustitución trigonométrica (si es necesario). Como se explicó en la sección 7.7, las integrales trigonométricas que resultan siempre pueden evaluarse.

Capítulo 7

Resumen

569

√ En el caso de una integral que contiene ax 2 + bx + c, primero complete el cuadrado (sección 7.7) y luego racionalice la integral con las sustituciones trigonométricas apropiadas (sección 7.6). Esto lo llevará a una integral trigonométrica. Algunas sustituciones especiales adicionales se introducirán en los problemas adicionales que siguen. Sobresale entre ellas la sustitución θ u = tan , 2

la cual transforma cualquier integral ∫ R(sen θ, cos θ) dθ de una función racional de sen θ y cos θ en una integral de una función racional de u. La última integral se puede evaluar con el método de fracciones parciales. Un comentario final: los sistemas algebraicos para computadora se usan cada vez más para evaluar integrales como las que se han estudiado en este capítulo. Sin embargo, la disponibilidad de esos sistemas no es una panacea. Por ejemplo, es muy probable que un sistema para computadora no pueda hacer nada con la integral   (1 + ln x) 1 + (x ln x)2 d x. Pero tal vez observó que la sustitución u  x ln x,

d u  (1 + ln x) d x

transforma esa integral en la integral   1 + u 2 du, que es susceptible a las sustituciones trigonométricas (y se puede encontrar en casi cualquier tabla de integrales). Así, el factor humano continúa siendo —afortunadamente— esencial.

570 CAPÍTULO 7

Técnicas de integración

CAPÍTULO 7: REPASO Comprensión: conceptos y técnicas Consulte las páginas listadas para revisar los conceptos y métodos del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 7.2 Método básico de integración por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 Identificación de características y uso de tablas de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 7.3

7.4 7.5

7.6

7.7

7.8

La fórmula

U DG H UG

G DU para integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

Estrategia para elegir las “partes” u y d v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Integración por partes con integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 Integración usando una fórmula de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Técnicas para integrales de productos de senos y cosenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528-529 Técnicas para integrales de productos de secantes y tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Concepto de fracciones parciales y descomposición de una función racional R(x)  P(x)yQ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 División larga (si es necesaria) para obtener R(x)  p(x) + r(x)yQ(x) donde r(x)yQ(x) es una fracción propia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 La descomposición en fracciones parciales de Q(x) tiene sólo factores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 Descomposición en fracciones parciales en el caso de factores cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 La sustitución trigonométrica u  a sen θ en una integral con a 2 − u 2 . . . . . . . . . . . . . 543 La sustitución trigonométrica u  a tan θ en una integral con a 2 + u 2 . . . . . . . . . . . . . . 544 La sustitución trigonométrica u  a sec θ en una integral con u 2 − a 2 . . . . . . . . . . . . . . 545 Técnica de completar cuadrados para expresar polinomios cuadráticos irreducibles como una suma o diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 !X C B D X . . . . . . . . . . . . . . 550-551 Técnicas de divide y vencerás para la integral  .AX C BX C C/N Integrales impropias con límites infinitos de integración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Integrales impropias con integrando infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557-558 Integrales de probabilidad y la curva en forma de campana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561-562 Muestreo aleatorio y eventos binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563-564

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enlistados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 7.2 Integración con el método de sustitución elemental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9, 13, 21, 25 Integración usando tablas de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39, 43 7.3 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 7, 9, 15, 29, 31 Derivación de fórmulas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 53 7.4 Evaluación de integrales seno-coseno por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 11, 13, 15, 19 Evaluación de integrales secante-tangente por sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7, 23, 27, 31 7.5 Evaluación de integrales racionales con sólo fracciones parciales lineales . . . . . . . . . . . 1, 5, 13, 17, 19 Evaluación de integrales racionales con fracciones parciales cuadráticas . . . . . . . . . . . . 27, 29, 31, 35 7.6 Evaluación de integrales usando la sustitución u  a sen θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 13, 25 Evaluación de integrales usando la sustitución u  a tan θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15, 21, 23 Evaluación de integrales usando la sustitución u  a sec θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 29, 31, 33 7.7 Evaluación de integrales que involucran polinomios cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 9, 21, 23, 27 7.8 Prueba y evaluación de integrales con límites de infinitos de integración . . . . . . . . . . . . 1, 5, 7, 11, 15 Prueba y evaluación de integrales con integrandos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9, 13, 19

Capítulo 7

Problemas diversos

571

PROBLEMAS DIVERSOS Evalúe las integrales en los problemas 1 a 100.   p D X ;3UGERENCIAHAGAXHU= . C X/ X 

 

SEC T DT  C TAN T CSC X COT X DX  C CSC X



SEN X SEC X D X



TAN  D COS 

  

CSC X D X



X TAN X D X



X  COS X D X



X  X DX



X DX p  C X   DX X X C  X C  DX X  X C 





DX



p



.COS X/  SEN  X D X 

   

X

C

X C X C  DX



X C  DX  X C X DX X C  p X D X ;3UGERENCIAHAGAXHU= CX COS X COS X DX DX   COS X  SEN X X



X  EX D X





ARCSEN X DX X



X  DX



X  X DX



X X X  D X



LN. C X/ D X



X SEC X D X





X C  DX





X X  D X



 

SEC X TAN X D X



X  TAN X D X



X.LN X/ D X



DX X  C X X DX p X X  X DX .X C / X  X C  DX X C   X C X C  DX .X C /

   

E X  C EX D X 

DX p X X  X  C X C  DX X  C X 

TAN X SEC X D X

   

p





DX p  X



SEN  ! COS ! D!

XE X DX  C EX 





 C X = D X ;3UGERENCIA3EAXHU= X = .ARCSEN X/ DX p  X  D X ;3UGERENCIA3EAXHU= X =  C X =





X DX  X  X DX  .X C X C / X = D X ;3UGERENCIAHAGAXHU= = X C X = SEC X  D  DX  C COS  TAN X

X  X  C X  X  X C  DX .X  / X .LN X/ D X DX  X  C X  C 

TAN Z DZ





X  X C  DX .X  C /.X C /



TAN X DX LN.COS X/

X DX p  X X  DX X X SEC X TAN X DX SEC X C SEC X



=







X  C X C  DX X C X

   



X  DX  X C X C  EX DX EX  X  C X  C  DX .X C / X  C X  C X C  DX X  C X  C  X X  DX p  C SEN X DX SEC X



  

COS X DX p SEN X p SEN X D X

X  X  DX X  X  X C  COS X DX SEN  X  SEN X C  SEC X DX  TAN X C  TAN X C 



SEN X COS X D X



LN.X  C X/ D X



 DX  C X =

X = p



SEN X DX SEN X p  C SEN T DT



SEC T DT  TAN T



LN.X  C X C / D X



E X SEN  .E X / D X



p



DX p X X X 



X = LN X D X p EXP SEN X DX p .SEC X/ SEN X





    

ARCTAN X DX X X DX .X  C / X C  DX .X  C /=  C SEN  X DX SEC X CSC X XE X SEN X D X



 

 C COS T DT

X X

X  EX

 

=

DX

DX

572 CAPÍTULO 7

    

Técnicas de integración

p ARCTAN X DX  LN  C X D X  .X / X C   DX DX  p p  C X X  EX  X D X ;3UGERENCIAHAGAUHX= .X / p p X = TAN X D X  ARCSEC X D X X

 X DX  C X

101. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva y  cosh x, 0 x 1, alrededor del eje x. 102. Encuentre la longitud de la curva y  e −x, 0 x 1. 103. a) Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva y  e−x, 0 x t, alrededor del eje x. b) Encuentre L¤MT!1 ! T  104. a) Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva y  1yx, 1 x t, alrededor del eje x. b) Encuentre L¤MT!1 ! T  105. Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva √ y = x 2 − 1, 1  x  2, xalrededor del eje x.  A $ERIVELAF˜RMULADEREDUCCI˜N X M .LN X/N D X H

 X MC .LN X/N MC N X M .LN X/N D X: MC

E

B %VAL¢E  X  .LN X/ D X  $ERIVELAF˜RMULADEREDUCCI˜N  SEN M X COSNC X SEN M X COSN X D X H MCN M C SEN M X COSN X D X: MCN

108. Use la fórmula de reducción del problema 107 aquí y del problema 54 en la sección 7.3 para evaluar =

112. Encuentre la longitud de la curva y   x 5y 4, 0 x 1. 113. Encuentre la longitud de la curva y   x 3y4, 1 x 4. 114. Un tanque inicialmente vacío, tiene la forma de un cono cuyo eje es vertical. Su vértice está abajo; el cono tiene 9 ft de hondo y radio superior mide 4.5 ft. Comenzando en el tiempo t  0, se vierte agua en el tanque a razón de 50 ft 3/min. Al mismo tiempo, sale el agua por un agujep ro en el fondo del tanque a una tasa de 10 Y ft cúbicos por minuto, donde y es la profundidad de agua en el tanque. (Esto es congruente con la ley de vaciado Torricelli.) ¿Cuanto tiempo tarda el tanque en llenarse? 115. a) Evaluar  D X:  C E X C EX

b) Explique por qué la sustitución en el inciso a) basta para integrar cualquier función racional de ex. 116. a) La ecuación x 3 + x + 1  0 tiene al menos una raíz real r. Use el método de Newton para encontrarla con una precisión de dos decimales. b) Use la división larga para encontrar (aproximadamente) el factor cuadrático irreducible de x 3 + x + 1. c) Use la factorización encontrada en el inciso b) para evaluar (aproximadamente)  

117. Evaluar

 D X: CX C

X

 D X  C EX

118. La integral  C X  DX H C X  /

X  .

X C X  DX .X  C X  /

requiere resolver 11 ecuaciones con 11 incógnitas si usa el método de fracciones parciales para evaluarla. Use la sustitución u  x 4 + x 2 para una evaluación más sencilla. 119. Evaluar p

SEN  X COS X D X:

TAN  D:



109. Encuentre el área acotada por la curva y 2  x 5 (2 − x), 0 x 2. [Sugerencia: sustituya x  2 sen 2 θ; luego use el resultado del problema 58 de la sección 7.3.]  $EMUESTREQUE   T . T/ < DT  C T  YQUE    T . T/ DT H :   C T    %VAL¢E 

T  . T/ DTI 

luego aplique los resultados del problema 110 para concluir que     0. Este cálculo verifica que la función y (x) = x7 es una solución (en el intervalo x > 0) de la ecuación diferencial 7y dy = . (5) dx x Puede verificar de manera parecida que y (x) = Cx7 satisface la ecuación (5) para cualquier valor de la constante C. Z

Cuando una solución de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria C, se llama solución general de la ecuación. Una solución general de hecho describe una colección infinita de soluciones particulares de la ecuación diferencial, porque las diferentes elecciones de C llevan a diferentes soluciones de la ecuación. Así, las elecciones C = 11 y C = 23 en el ejemplo 1 dan las dos soluciones particulares y1(x) = 11x7 y y2(x) = 23x7. La primera satisface el problema de valor inicial dy 7y = , y(1) = 11, dx x mientras que y2(x) satisface la condición inicial y (1) = 23.

SECCIÓN 8.1

Ecuaciones y modelos sencillos

577

Ecuaciones con una variable faltante Si la variable dependiente y no aparece de manera explícita en el lado derecho de (3), entonces la ecuación diferencial se reduce a la forma DY D F .X/ DX



donde f es una función dada de x. Como se observó en la sección 5.2, la solución de una ecuación diferencial de esta forma simple se reduce a la integración:   y(x) = y  (x) d x = f (x) d x + C.  Si la integral indefinida F (x) = f (x) d x se puede evaluar, entonces y (x) = F (x) + C es una solución general de la ecuación (6). Por ejemplo, una solución general de la ecuación diferencial d yyd x = 21x 6 está dada por  y(x) = 21x 6 d x = 3x 7 + C.

Por otro lado, si la variable independiente x no aparece explícitamente en el lado derecho de (3), entonces la ecuación diferencial se reduce a la forma DY H G.Y/ DX



que implica que y (x) = g ( y (x)) si y (x) es una solución. Para resolver la ecuación (7), dividimos ambos lados entre g ( y (x)) y posteriormente integramos respecto a x: Y .X/ DX H  D X; G.Y/X//  DY D X C #: G.Y/

;SUSTITUYA Y D Y.X/ DY H Y .X/ D X= 

Si la integral indefinida

 G(y) =

1 dy g(y)

en (8) se puede evaluar, entonces podemos llamar a la ecuación que se obtiene G(y) = x + C

(9)

una solución implícita de la ecuación (7), se pueda o no despejar y explícitamente como función de x. OBSERVACIÓN Note que la ecuación (8) es el resultado formal de la ecuación diferencial en (7) si primero dividimos ambos lados entre g ( y) y multiplicamos por d x para “separar las variables”,

1 dy = d x, g(y)

y luego integrar cada lado respecto a su “propia” variable, y en el lado izquierdo y x en el derecho. EJEMPLO 2

Resuelva el problema de valor inicial dy = y2, dx

y(0) = 2.

(10)

578 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales



Solución Para separar las variables en las ecuaciones (8) y (9), escribimos   1 1 dy = d x; − = x + C. 2 y y



Ésta es una solución general implícita de la que obtenemos la solución general explícita  



Y.X/ H

Y 



Encontramos C sustituyendo los valores iniciales x = 0, y = 2. Esto proporciona C = −, de manera que la solución particular buscada para el problema de valor inicial en (10) es









 : X C#





 X







y(x) = −

FIGURA 8.1.1 Curvas de solución de la ecuación diferencial y  = y 2.

1 x−

1 2

=

2 . 1 − 2x

La gráfica de esta solución, que pasa por el punto (0, 2), se resalta en la figura 8.1.1. Z La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama curva de solución de la ecuación. La figura 8.1.1 muestra una variedad de curvas de solución de la ecuación diferencial d yyd x = y 2 del ejemplo 2. Parece que estas curvas de solución llenan el plano x y. Sin duda, dado cualquier punto fijo (a, b) del plano con b H 0, sustituimos x = a y y = b en la ecuación (11) y despejamos C para obtener la curva de solución que pasa por este punto. El eje x también es una curva de solución de la ecuación diferencial. (¿Por qué?)

Ecuación de crecimiento natural Con x (t) en lugar de P (t) en la ecuación (1), se tiene la ecuación diferencial DX D K X DT



que sirve como modelo matemático para una gama extraordinariamente amplia de fenómenos naturales. Es sencillo resolverla si primero “separamos las variables” y luego integramos: dx = k dt; x   dx = k dt; x ln x = k t + C.

Aplicamos la función exponencial en ambos lados de la última ecuación para despejar x; x = eln x = ek t+C = ek t eC = A ek t .

Aquí, A = eC es una constante que sigue indeterminada. Pero vemos que A es simplemente el valor x 0 = x (0) de x (t) cuando t = 0 y por lo tanto A = x 0.

TEOREMA 1 Ecuación de crecimiento natural La solución del problema de valor inicial DX D K X; X./ D X DT ES X.T/ D X EK T :





SECCIÓN 8.1

Ecuaciones y modelos sencillos

579

En consecuencia, la ecuación (12) se llama ecuación de crecimiento exponencial, o ecuación de crecimiento natural. Observamos, a partir la ecuación (14) que, con x 0 > 0, la solución x (t) es una función creciente si k > 0 y decreciente si k < 0. (La situación k < 0 en ocasiones se llama decaimiento exponencial ). Estos dos casos se ilustran en las figuras 8.1.2 y 8.1.3, respectivamente. El resto de esta sección estudia ejemplos de fenómenos naturales para los que esta ecuación diferencial sirve de modelo matemático. X

X

XX E KT K

X XXE K T K

X T

FIGURA 8.1.2 Solución de la ecuación de crecimiento exponencial para k > 0.

T

FIGURA 8.1.3 Solución de la ecuación de crecimiento exponencial —de hecho, de decaimiento— para el caso k < 0.

Crecimiento de la población Cuando comparamos las ecuaciones (1), (12) y (14), observamos que la población P (t) con tasa de crecimiento proporcional a su tamaño está dada por 0.T/ H 0 EK T



donde P0 = P (0). Si t se mide en años, entonces la constante de proporcionalidad k en (15) se llama tasa de crecimiento anual, que puede ser positiva, negativa o cero. Si k está cerca de cero, entonces este valor es bastante cercano al porcentaje de crecimiento (o decrecimiento) anual de la población. EJEMPLO 3 Según los datos publicados en www.census.gov, la población total mundial alcanzó los 6 mil millones de personas a mediados de 1999, y crecía a una tasa cercana de 212 mil personas cada día. Suponiendo que el crecimiento natural de la población a esta tasa continúa, queremos responder a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual k? b) ¿Cuál será la población del mundo para la mitad del siglo xxi? c) ¿Cuánto tiempo tomará que la población del mundo aumente diez veces, llegando a los 60 mil millones que algunos demógrafos piensan que es el número máximo que el planeta puede alimentar?

Solución a) Medimos la población del mundo P (t) en miles de millones y el tiempo en años. Tomamos t = 0 como mediados de 1999, de manera que P0 = 6. El hecho de que P (t) aumenta en 212,000 o 0.000212 miles de millones de personas por día en el tiempo t = 0 significa que 0 ./ H .:/.:/  :

miles de millones por año. De la ecuación de crecimiento natural d Pyd t = k P con t = 0 obtenemos KH

: 0 ./   :: 0./ 

580

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Así, la población del mundo crecía a una tasa promedio de 1.29% anual a mediados de 1999. Este valor de k proporciona la función de población mundial 0.T/ H 0 EK T H E.:/T :

b) Con t = 51 obtenemos el pronóstico 0./ H E.:/./  :

(miles de millones) para la población mundial a mediados de 2050, de modo que la población casi se duplicará en los 51 años siguientes a 1999. c) La población mundial llegará a 60 mil millones cuando LN   ;  H E.:/T I ESDECIR CUANDO T H : Z

o sea, en el año 2177.

OBSERVACIÓN En realidad, se espera que la tasa de crecimiento de la población mundial disminuya ligeramente durante el siguiente medio siglo y el mejor pronóstico actual para la población en 2050 es “únicamente” de 9.1 miles de millones. Pero no se puede esperar que un sencillo modelo matemático refleje con precisión la complejidad del mundo real.

Decaimiento radioactivo y datación por radiocarbono Considere una muestra de material que contiene N(t) átomos de cierto isótopo radioactivo en el tiempo t. Muchos experimentos confirman que una fracción constante de estos átomos radioactivos decaerá de manera espontánea (en átomos de otro elemento u otro isótopo del mismo elemento) durante cada unidad de tiempo dada. En consecuencia, la muestra se comporta exactamente como una población con una tasa de muerte constante y sin nacimientos. Para escribir un modelo para N(t) utilizamos la ecuación (1) con N en lugar de P y con −k en lugar de k (por lo que k > 0 corresponde a un número decreciente de átomos). Así, obtenemos la ecuación diferencial D. H K .  DT



A partir de la solución (14) de la ecuación (12), con −k en lugar de k, concluimos que . .T/ H . EK T



donde N0 = N(0), el número de átomos radioactivos del isótopo original presentes en la muestra en el tiempo t = 0. El valor de la constante de decaimiento k depende del isótopo específico que se maneje. Si k es grande, entonces el isótopo decae con rapidez. Si k es cercano a cero, el isótopo decae lentamente y por ello puede ser un factor bastante persistente en su entorno. La constante de decaimiento k frecuentemente se especifica en términos de otro parámetro empírico que es más conveniente, la media vida del isótopo. La media vida τ de una muestra de un isótopo radioactivo es el tiempo requerido por la mitad de esa muestra para decaer. Para encontrar la relación entre k y τ, se establece T H

Y

. H  .

ENLAECUACI˜N DEMANERAQUE  .  

H . EK :



Cuando despejamos τ, encontramos que H

LN   K



SECCIÓN 8.1

Ecuaciones y modelos sencillos

581

Observe que el concepto de vida media es significativo; el valor de τ depende sólo de k y por ello depende sólo del isótopo específico involucrado. No depende de la cantidad de isótopos presentes. El método de datación por radiocarbono se basa en el hecho de que el isótopo de carbono radioactivo 14 C (carbono 14) tiene un promedio de vida conocida de alrededor de 5700 años. La materia orgánica viviente conserva un nivel constante de 14 C “respirando” aire (o consumiendo materia orgánica que lo hace). Pero el aire contiene 14 C junto con el isótopo de 12 C de carbono, que es mucho más estable, en su mayor parte en el gas CO2. De esta forma, todos los organismos vivos conservan el mismo porcentaje de 14 C que el aire, porque los procesos orgánicos parecen no distinguir entre los dos isótopos. Pero cuando un organismo muere, deja de metabolizar carbono y el proceso de decaimiento radioactivo comienza a agotar su contenido de 14 C. La fracción de 14 C en el aire permanece prácticamente constante porque los rayos cósmicos siguen generando nuevo 14 C por el bombardeo de átomos de nitrógeno en la atmósfera superior, y esta generación ha alcanzado por mucho tiempo su estado estable con la pérdida de 14 C a través del decaimiento radioactivo. EJEMPLO 4 Un espécimen de carbón vegetal encontrado en Stonehenge contiene 63% del 14 C contenido en una muestra de carbón vegetal actual. ¿Cuál es la edad de la muestra de Stonehenge?

Solución Tomamos t = 0 (en años) como el tiempo de la muerte del árbol de que se obtuvo el carbón de Stonehenge. De la ecuación (18), sabemos que  . H . EK ;   DEMODOQUE

LN  LN  H  ::   Nos proporcionan N = (0.63)N0 en el presente, por lo que resolvemos la ecuación .:/. H . EK T KH

con este valor de k. Encontramos que LN.:/   A®OS : T H : Por lo tanto, la muestra tiene alrededor de 3800 años. Si se conecta de alguna manera con los constructores de Stonehenge, nuestros cálculos sugieren que este observatorio, monumento o templo —lo que haya sido— data de casi 1800 a.C. Z EJEMPLO 5 De acuerdo con una teoría cosmológica, había cantidades iguales de isótopos de uranio 235U y 238U en la creación del universo durante la “explosión teórica”. En el presente hay 137.7 átomos de 238U por cada átomo de 235U. Usando los promedios de vida conocidos 4.51 miles de millones de años para 238U, 0.71 miles de millones de años para 235U, calcule la edad del universo.

Solución Sean N8 (t) y N5 (t) los números de átomos de 238U y 235U, respectivamente, en el tiempo t, en miles de millones de años después de la creación del universo. Así, . .T/ H . EK T Y . .T/ H . ECT ; donde N0 es el número inicial de átomos de cada isótopo. Además, LN  LN  Y CH ; KH : : una consecuencia de la ecuación (19). Dividimos la ecuación de N8 entre la ecuación de N5 y encontramos que cuando t posee el valor correspondiente a “ahora”, . H E.CK/T : : H .

582

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Por último, despejamos t de esta ecuación: LN.:/ TH  ::   LN  : : Así, estimamos la edad del universo en alrededor de 6 mil millones de años, que es, burdamente, igual a las estimaciones recientes de 10 a 15 mil millones de años (basadas en observaciones astronómicas de la tasa de expansión del universo). Z

Más modelos de crecimiento y decaimiento natural Considere una cuenta de ahorro que se abre con un depósito inicial de A0 dólares y que gana intereses a una tasa de interés anual r. Si en el tiempo t hay A(t) dólares en la cuenta y se trata de interés compuesto crece continuamente a un ritmo de t + t, esto significa que r A(t) t dólares de intereses se suman a la cuenta en ese momento. Entonces !.T C T/ H !.T/ C R !.T / T; YAS¤ ! !.T C T/ !.T/ H H R!.T/: T T La composición continua del interés es el resultado de tomar el límite cuando t → 0, de modo que Interés compuesto continuamente

D! H R !: DT



Ésta es la ecuación de crecimiento exponencial con solución !.T/ H !  ER T 



EJEMPLO 6 Si A0 = $1000 se invierten a una tasa de interés anual de 6% compuesto continuamente, entonces r = 0.06 y la ecuación (21) da !./ H E.:/./ H : para el valor de la inversión después de un año. Así, la tasa de interés anual efectiva es 6.184%. Debido a esto, si el interés se compone con mayor frecuencia, más rápidamente crece el ahorro, pero los comerciales de los bancos tienden a exagerar esta ventaja. Por ejemplo, 6% compuesto cada mes multiplica su inversión en : H : C  al final de cada mes, de forma que una inversión inicial de $1000 crecería en un año a ./.:/ H :; sólo 16¢ menos que en el caso de la composición continua.

Z

Eliminación de droga La cantidad A(t) de cierta droga en la corriente sanguínea del ser humano, medida por el exceso en el nivel natural de la droga en la sangre, típicamente declina a una tasa proporcional a esa cantidad en exceso. Es decir, D! H !; DEMANERAQUE !.T/ H !  ET :  DT El parámetro λ se llama constante de eliminación de la droga, y T = 1yλ se llama tiempo de eliminación.

EJEMPLO 7 El tiempo de eliminación del alcohol varía de una persona a otra. Si el “tiempo para estar sobrio” T = 1yλ para una persona es 2.5 h, ¿cuánto tiempo tomará que la concentración en exceso de alcohol en su corriente sanguínea se reduzca de 0.10% a 0.02%?

SECCIÓN 8.1

Ecuaciones y modelos sencillos

583

Solución Suponemos que la concentración normal en la sangre es cero, de modo que cualquier cantidad es una cantidad en exceso. En este problema tenemos λ = 1y2.5 = 0.4 y la ecuación (22) da : H .:/E.:/T : $EESTEMODO T H

LN.:/  : :

H :

Z

Disminución en ventas De acuerdo con los estudios de mercado, si se suspende la publicidad de un producto específico y otras condiciones del mercado —como el número y promoción de productos competidores, sus precios, etcétera— permanecen sin cambio, entonces las ventas del producto sin publicidad declinarán a una tasa proporcional en cualquier tiempo t a las ventas actuales S. Esto es,

D3 H 3; DEMANERAQUE 3.T/ H 3 ET : DT Aquí, S0 denota el valor inicial de las ventas, que tomamos como ventas al final del mes de publicidad. Si tomamos un mes como la unidad de tiempo t, entonces S(t) proporciona el número de productos vendidos t meses después de suspender la publicidad y λ puede llamarse constante de decaimiento de ventas. Lingüística Considere una lista básica de N0 palabras en uso en un lenguaje dado en el tiempo t = 0. Sea N(t) el número de estas palabras que todavía se usan en el tiempo t, las que no han desaparecido del lenguaje ni han sido sustituidas. Según una teoría de lingüística, la tasa de disminución de N es proporcional a N. Es decir,

D. H . ; DEMANERAQUE . .T/ H . ET : DT Si t se mide en milenios (como es común en lingüística), entonces k = e−λ es la fracción de palabras en la lista original que sobrevivió 1000 años.

Ley de Torricelli Suponga que un tanque de agua tiene un agujero con área a en su base y que el agua se drena por el agujero. Denote por y (t) la profundidad (en pies) del agua en el tanque en el tiempo t (en segundos) y por V (t) el volumen de agua (en pies cúbicos) en el tanque en ese tiempo. Es factible —y cierto en condiciones ideales— que la velocidad de la corriente del agua que sale por el agujero sea

Y

DY

¬REA !Y

GH Y ¬REAA DT

X

GY

.G   FTS /;

que es la velocidad que tomaría una gota de agua al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. Ésta es la ley de drenaje de Torricelli. Como se indica en la figura 8.1.4, la cantidad de agua que sale por el agujero en la base durante un intervalo corto d t es igual al cilindro con área de la base a y altura v d t. Así, el cambio resultante d V en el volumen de agua en el tanque está dado por D 6 H AG DT H A GY DT:

FIGURA 8.1.4 Obtención de la ley de Torricelli.





Pero si A( y) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque en la altura y arriba del agujero, entonces D 6 H !.Y/ DY;



como es usual. Al comparar las ecuaciones (24) y (25), vemos que y (t) satisface la ecuación diferencial !.Y/

DY H A GY: DT



584

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

En algunas aplicaciones, ésta es una forma muy conveniente de usar la ley de Torricelli. En otras situaciones puede ser preferible trabajar con la ecuación diferencial en (24) en la forma D6 H A GY DT



o, si el área del agujero en la base se desconoce, la forma D6 p H C Y; DT Y

FIGURA 8.1.5 Un tanque de agua cilíndrico tiene área de sección transversal constante.

TANQUEGENERAL



donde C H A G es una constante positiva. Los tanques de agua cilíndricos son comunes (figura 8.1.5). En este caso, la función de área de la sección transversal en la ecuación (26) es constante: A( y) ≡ A. En consecuencia, la ecuación (26) se reduce a la ecuación diferencial simple DY p H K Y DT

TANQUECIL¤NDRICO



donde K H .A=!/ G es una constante positiva que con frecuencia se determina a partir de los datos de drenaje del tanque (en lugar del conocimiento de las áreas a y A). EJEMPLO 8 El agua en un tanque cilíndrico tiene 10 pies de profundidad al mediodía. A la 1:00 pm tiene 5 pies de profundidad. ¿Cuándo se vaciará el tanque?

Solución Si escribimos la ecuación (29) en la forma DY  H K; p
Y DT ENTONCESLAINTEGRACI˜NLLEVAA p  Y H K T C #: p Sustituyendo los datos iniciales y = 10 cuando t = 0 (mediodía) se obtiene # H   de manera que p p  Y H K T C  : 

Después los datos adicionales y = 5 cuando t = 1 (1:00 pm) obtenemos p p si sustituimos K H     Sustituyendo este valor en la ecuación (30) y dividiendo entre 2 tenemos p p p p YH   T C :  Por último, el tanque está vacío cuando y = 0 en la ecuación (31), y por ende cuando p  THp p  :;   como 3 h 25 min. Entonces observamos que —mientras una estimación natural (pero inexperta y equivocada) pudo haber sido las 2:00 pm (una hora más para los 5 ft restantes de agua que drenar)— de hecho el tanque no queda vacío hasta cerca de las 3:25 pm. Use la ecuación (31) para demostrar que la profundidad real del agua en el tanque a las 2:00 pm es alrededor de 1.72 ft, y la profundidad a las 3:00 pm es cerca de 2 pulgadas, por lo que ¡toma como 25 minutos para drenar las últimas 2 pulgadas en el Z tanque! EJEMPLO 9 Un tanque hemisférico tiene radio superior de 4 ft y, en el tiempo t = 0, está lleno de agua. En ese momento un agujero circular con diámetro 1 in se abre en la parte inferior del tanque. ¿Cuánto tiempo toma drenar toda el agua del tanque?

SECCIÓN 8.1

 Y



.Y Y  /

Y

DY H  DT

Y = Y = DY H

FIGURA 8.1.6 Vaciado de un tanque hemisférico.

585

Solución A partir del triángulo rectángulo en la figura 8.1.6, observamos que !.Y/ H R  H  T . Y/ U H .Y Y  /: Con g = 32 ft/s2, la ecuación (26) toma la forma

R

&LUJODEAGUA

Ecuaciones y modelos sencillos

  YI   DT C #I 

  =  = Y Y H T C #:    Ahora y (0) = 4, de manera que #H

 


=

 


= H

 : 

El tanque está vacío cuando y = 0, es decir, cuando T H 


 

 

S ;

alrededor de 35 min 50 s. Entonces tarda un poco menos de 36 minutos en vaciarse el tanque. Z

8.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Una condición inicial para una ecuación diferencial con variable independiente x debe especificar el valor de la solución cuando x = 0. 2. Una ecuación diferencial dada por lo común tiene sólo una solución. 3. Por “separación de variables”, el problema de resolver una ecuación diferencial en la que falta la variable independiente siempre se puede reducir al problema de evaluar una integral. 4. Una sola ecuación diferencial puede tener muchas curvas de solución diferentes. 5. Una solución de una ecuación de crecimiento natural d xyd t = k x (con k > 0) puede o no incluir funciones exponenciales. 6. Es razonable esperar que la población del mundo se duplique entre los años 2000 y 2010. 7. La media vida de una muestra de un isótopo radioactivo es la mitad del tiempo requerido para que la muestra decaiga. 8. El método de datación por radiocarbono implica la suposición de que todos los organismos vivos conservan el mismo porcentaje del isótopo radioactivo de carbono que se encuentra en el aire. 9. Si una cuenta de ahorros gana interés compuesto continuamente, entonces la cantidad en la cuenta en el tiempo t se describe por una función exponencial de t. 10. La ley de Torricelli implica que, para el drenado de cualquier tanque con un agujero abierto en su parte inferior, la tasa de tiempo de disminución de la prop fundidad y del agua es proporcional a Y .

8.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Las curvas de solución de la ecuación de crecimiento natural d yyd x = k y (con k constante) ¿llenan completamente el plano x y? p 2. Las curvas de solución de la ecuación diferencial d yyd x = k Y (con k constante) ¿llenan completamente el plano x y? 3. ¿Se puede resolver la ecuación diferencial d yyd x = x y simplemente integrando ambos lados respecto a x ? Justifique su respuesta.

586

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

8.1 PROBLEMAS En cada uno de los problemas 1 a 10, primero encuentre una solución general de la ecuación diferencial dada. Después encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial dada. dy dy 1. = 2y, y(1) = 3 2. = −3y, y(5) = −10 dx dx dy dy 7 3. 4. = 2y 2 , y(7) = 3 = , y(0) = 6 dx dx y dy dy √ 5. = 2 y, y(0) = 9 = 6y 2/3 , y(1) = 8 6. dx dx dy dy 7. = 1 + y, y(0) = 5 8. = (2 + y)2 , y(5) = 3 dx dx dy dy 9. 10. = e−y , y(0) = 2 = 2 sec y, y(0) = 0 dx dx

23. Crecimiento de población En cierto cultivo de bacterias, el número de éstas aumenta seis veces en 10 horas. Suponiendo un crecimiento natural, ¿cuánto tiempo toma que su número se duplique?

En los problemas 11 a 15, se describe una función y = g (x) por una propiedad geométrica de su gráfica. Escriba una ecuación diferencial de la forma d yyd x = F ( x, y) cuya solución es la función g. 11. La pendiente de la gráfica de g en el punto ( x, y) es la suma de x y y. 12. La recta tangente a la gráfica de g en el punto ( x, y) interseca el eje x en el punto ( xy2, 0). 13. Toda recta normal a la gráfica de g pasa por el punto (0, 1). 14. La gráfica de g es normal a toda curva de la forma y = k x 2 (k es una constante) donde se encuentran. 15. La recta tangente a la gráfica de g en el punto ( x, y) pasa por el punto (−y, x ). En los problemas 16 a 20, escriba —a la manera de las ecuaciones (1) y (2) de esta sección— una ecuación diferencial que sea un modelo matemático para la situación descrita. 16. La tasa de cambio en el tiempo de la población P = P (t) es proporcional a la raíz cuadrada de P. 17. La tasa de cambio en el tiempo de la velocidad v = v (t) de un barco de motor que bordea la costa es proporcional al cuadrado de v. 18. La aceleración d vyd x de un Lamborghini es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del auto. 19. En una ciudad que tiene una población fija P de personas, la tasa de cambio en el tiempo del número N de personas que han escuchado cierto rumor es proporcional al número de los que todavía no lo han hecho. 20. En una ciudad con una población fija P de personas, la tasa de cambio en el tiempo del número N de esas personas infectadas con cierta enfermedad contagiosa es proporcional al producto del número que tiene el mal y el número de personas que no lo tiene. 21. Interés compuesto continuamente Suponga que se depositan $1000 en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual compuesto continuamente. ¿A qué tasa (en dólares por año) gana interés después de 5 años? ¿Y después de 20 años? 22. Crecimiento de la población Coopersville tenía una población de 25,000 en 1970 y una población de 30,000 en 1980. Suponga que esta población seguirá con un crecimiento exponencial a una tasa constante. ¿Qué población pueden esperar los planificadores de la ciudad en el año 2010?

26. Interés compuesto continuamente Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó $5000 en una cuenta de ahorros que paga 6% anual de interés continuo. Los pagos de interés se acumulan. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta cuando el niño ingrese a la universidad, al cumplir 18?

24. Datación por radiocarbono El carbono extraído de un cráneo antiguo desenterrado recientemente contenía sólo un sexto del 14 C radioactivo comparado con un hueso actual. ¿De cuándo data el cráneo? 25. Datación por radiocarbono El carbono tomado de una reliquia que supuestamente es del año 30 a.C. contenía 4.6 × 1010 átomos de 14 C por gramo. El carbono extraído de un espécimen actual de la misma sustancia contenía 5.0 × 1010 átomos de 14 C por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión respecto a su autenticidad?

27. Interés compuesto continuamente Usted descubre en el ático un libro que debió entregarse en la biblioteca hace mucho y por el que su abuelo tenía una multa de 30¢ hace exactamente 100 años. Si la multa crece exponencialmente a una tasa anual de 5% interés continuo, ¿cuánto tendría que pagar si decidiera regresar el libro hoy? 28. Eliminación de drogas El pentobarbital de sodio anestesia a un perro cuando su torrente sanguíneo contiene al menos 45 mg de esta sustancia por kilo de peso del perro. Suponga que el pentobarbital de sodio se elimina de manera exponencial de la sangre del perro, con una media vida de 5 h. ¿Qué dosis única debe administrarse para anestesiar un perro de 50 k durante una hora? 29. Declinación de ventas Moonbeam Motors cesó la publicidad de su unidad deportiva. La compañía planea reanudar la publicidad cuando las ventas hayan declinado a 75% de su tasa inicial. Si después de una semana sin publicidad las ventas declinan a 95% de su tasa inicial, ¿cuándo estima la compañía reanudar la campaña? 30. Lingüística El idioma inglés evoluciona de forma tal que 77% de todas las palabras desaparecen (o se sustituyen) cada 100 años. De la lista básica de palabras usadas por Chauser en 1400 d.C., ¿qué porcentaje encontrará en uso hoy? 31. Decaimiento radioactivo La vida media del cobalto radioactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear dejó el nivel de radiación por cobalto en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para que la habite un ser humano. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región sea habitable de nuevo? (Ignore la presencia probable de otras sustancias radioactivas.) 32. Decaimiento radioactivo Suponga que un depósito mineral poco común formado durante un antiguo cataclismo —como la colisión de un meteorito con la Tierra— originalmente contenía el isótopo de uranio 238U (que tiene una vida media de 4.51 × 109 años) pero ningún isótopo de plomo 207 Pb, el producto final del decaimiento radioactivo de 238U. Si la razón de átomos 238U a átomos 207Pb en el depósito mineral hoy es 0.9, ¿cuándo ocurrió el cataclismo?

SECCIÓN 8.1

33. Una población de bacterias P (t) experimenta un número de crecimiento natural de 49 a las 12:00 pm. a) Suponga que hay 294 bacterias a la 1:00 pm. Escriba una fórmula que dé P (t) después de t horas. b) ¿Cuántas bacterias hay a la 1:40 pm? c) ¿A qué hora —al minuto más cercano— habrá 20 mil bacterias? 34. La cantidad A(t) de contaminantes atmosféricos en cierto valle entre montañas satisface la ecuación de crecimiento natural y se triplica cada 7.5 años. a) Si la cantidad inicial es 10 uc (“unidades de contaminantes”), escriba una fórmula para A(t) que proporcione la cantidad (en uc) presente después de t años. b) ¿Cuál será la cantidad de contaminantes presentes en la atmósfera del valle después de 5 años? c) Si es peligroso seguir en el valle cuando los contaminantes lleguen a 100 uc, ¿cuánto tiempo tardará esto en ocurrir? 35. Un accidente en una planta de energía nuclear ha contaminado el área que la rodea con material radioactivo que experimenta decaimiento natural. La cantidad inicial de este material es 15 us (“unidades seguras”) y 5 meses después hay 10 us. a) Escriba una fórmula que proporcione la cantidad residual A(t) de material radioactivo (en us) después de t meses. b) ¿Qué cantidad de material radioactivo permanecerá después de 8 meses? c) ¿Cuánto tiempo —número total de meses o fracción— pasará hasta que A(t) = 1 (us), de manera que sea seguro regresar al área? 36. Existen ahora 3300 diferentes familias de lenguajes humanos en el mundo. Suponga que todos éstos se derivan de un solo lenguaje original y que una familia de lenguaje evoluciona en 1.5 familias de lenguaje cada 6 mil años. ¿Hace cuánto tiempo aproximadamente se hablaba el lenguaje humano original único? 37. Hace miles de años los ancestros de los nativos americanos cruzaron el estrecho de Bering desde Asia y entraron al hemisferio occidental. Desde entonces, se han dispersado por Norteamérica y Sudamérica. El lenguaje único que hablaban los nativos americanos tiene una sola división en muchas familias de lenguajes. Suponga (como en el problema 36) que el número de estas familias de lenguajes se ha multiplicado por 1.5 cada 6000 años. Hay ahora 150 familias de lenguajes nativos americanos en el hemisferio occidental. ¿Hace cuanto tiempo, aproximadamente, llegaron los ancestros de los nativos americanos actuales? 38. En 1998 había 40 millones de usuarios de Internet en el mundo y este número se duplicaba cada 100 días. Suponiendo que esa tasa de crecimiento continuara, ¿cuánto tiempo pasará hasta que los 6 mil millones de seres humanos del mundo usen Internet? 39. Un tanque con forma cilíndrica vertical contiene agua con profundidad de 9 ft (figura 8.1.7). Se retira un tapón en la base en el tiempo t = 0 (t en horas). Después de 1 h la profundidad baja a 4 ft. ¿Cuánto tiempo tomará drenar toda el agua de este tanque?

Ecuaciones y modelos sencillos

40. Suponga que el tanque del problema 39 tiene un radio de 3 ft y que el agujero en su base es circular con radio de 1 in. ¿Cuánto tiempo tomará drenar toda el agua, que tenía profundidad inicial de 9 ft? 41. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto con su eje vertical y su vértice abajo. El tanque tiene 16 ft de alto y 5 ft en el radio superior. En el tiempo t = 0, se retira un tapón en el vértice y el tanque, lleno al inicio comienza a drenar. Después de 1 h el agua en el tanque tiene 9 ft de profundidad. ¿Cuándo quedará vacío el tanque (figura 8.1.8)?



R  Y

FIGURA 8.1.8 Tanque cónico del problema 41.

42. Suponga que un tanque cilíndrico (eje vertical) contiene V0 litros de agua y se drena por un agujero en la base en T minutos. Use la ley de Torricelli para demostrar que el volumen de agua en el tanque después de t T minutos es V (t) = V0[1 − (tyT )]2. 43. La forma de un tanque de agua se obtiene al rotar la curva y = x 4y3 alrededor del eje y (las unidades en los ejes coordenados son en pies). Se retira un tapón en la base a las 12 pm, cuando la profundidad del agua en el tanque es 12 ft. A la 1 pm la profundidad del agua es 6 ft. ¿Cuándo quedará vacío? 44. La forma de un tanque de agua se obtiene al rotar la parábola y = x 2 alrededor del eje y (las unidades en los ejes coordenados son en pies; vea la figura 8.1.9). La profundidad del agua es 4 ft a las 12 pm; en ese momento, se retira un tapón de un agujero circular abajo del tanque. A la 1 pm el nivel del agua es 1 ft. a) Encuentre la profundidad del agua y (t) después de t horas. b) ¿Cuándo quedará vacío el tanque? c) ¿Cuál es el radio del agujero circular abajo del tanque? Y  

R

X

 Y

Y

YX

X

FIGURA 8.1.7 Tanque cilíndrico del problema 39.

587

FIGURA 8.1.9 Tanque del problema 44.

588

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales Y

45. Un tanque cilíndrico con 5 ft de largo y 3 ft de radio se coloca en su eje horizontal. Si se abre un agujero circular de radio 1 in y el tanque tiene originalmente la mitad de xileno, ¿cuánto tiempo tomará drenar el líquido por completo? 46. Un tanque esférico de radio 25 cm está lleno de mercurio cuando se abre abajo un agujero circular con radio de 5 mm. ¿Cuánto tiempo pasará antes de drenar todo el mercurio?

FT

YFX O XGY

FT X

Y

47. Clepsidra o reloj de agua Debe diseñar un reloj de agua de 12 h con las dimensiones mostradas en la figura 8.1.10, y la forma de la superficie obtenida al rotar la curva y = f (x) alrededor del eje y. ¿Qué ecuación debe tener esta curva y qué radio el agujero de abajo para que el nivel del agua descienda a una tasa constante de 4 in/h?

X

FIGURA 8.1.10 Clepsidra del problema 47.

8.2 CAMPOS DE PENDIENTES Y EL MÉTODO DE EULER Considere una ecuación diferencial de la forma d yyd x = F ( x, y), donde F ( x, y) contiene ambas variables x y y. Para resolverla, podríamos pensar en integrar los dos  lados respecto a x, y escribir y (x) = F ( x, y (x)) d x + C. Desafortunadamente, esto no proporciona una solución de la ecuación diferencial porque la integral incluye la propia función desconocida y (x). De hecho, no existe un procedimiento directo con el cual se resuelva de manera explícita una ecuación diferencial general. Sin duda, las soluciones de esas ecuaciones diferenciales que se ven sencillas como d yyd x = x 2 + y 2 no se pueden expresar en términos de las funciones elementales estudiadas en cálculo. De todas formas, los métodos gráfico y numérico de esta sección se usan para construir soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales que bastarán en muchas situaciones prácticas.

Campos de pendientes y soluciones gráficas Y

X Y X Y

X

X Y

FIGURA 8.2.1 Una curva de solución para la ecuación diferencial y  = x − y junto con las rectas tangentes que tienen • pendiente m1 = x1 − y1 en el punto ( x1, y1); • pendiente m2 = x 2 − y2 en el punto ( x 2, y2); • pendiente m3 = x 3 − y3 en el punto ( x 3, y3).

Existe una manera geométrica sencilla de pensar en las soluciones de una ecuación diferencial dada d yyd x = F ( x, y). En cada punto ( x, y) del plano x y en el que está definida F, el valor de F ( x, y) determina una pendiente m = y  (x) = F ( x, y). Una solución de la ecuación diferencial es simplemente una función cuya gráfica tiene esta “pendiente correcta” en cada punto por el que pasa. De aquí que una curva de solución de la ecuación diferencial d yyd x = F ( x, y), o sea la gráfica de una solución de esta ecuación, es sólo una curva en el plano x y cuya recta tangente en cada punto ( x, y) tiene pendiente m = F ( x, y). Por ejemplo, la figura 8.2.1 muestra una curva de solución de la ecuación diferencial d yyd x = x − y junto con las rectas tangentes en tres puntos típicos. Este punto de vista geométrico sugiere un método gráfico para construir soluciones aproximadas de la ecuación diferencial d yyd x = F ( x, y). Por cada colección representativa de puntos ( x, y) en el plano, dibujamos un segmento de recta corto que tiene la pendiente adecuada m = F ( x, y). Todos estos segmentos de recta constituyen un campo de pendientes (o campo de direcciones) para la ecuación d yyd x = F ( x, y). Esta pendiente sugiere visualmente la forma general de las curvas de solución de la ecuación diferencial. Por cada punto debe pasar una curva de solución de tal manera que su recta tangente sea casi paralela a los segmentos de recta cercanos del campo de pendientes. Comenzando con cualquier punto inicial (a, b), intentamos un bosquejo a mano de la curva de solución que abre su camino en el campo de pendientes, siguiendo los segmentos de recta visibles tan cerca como sea posible. EJEMPLO 1 Construya un campo de pendientes para la ecuación diferencial d yyd x = x − y y úselo para bosquejar una curva de solución que pasa por el punto (−4, 4).

Solución La figura 8.2.2 muestra una tabla de pendientes para la ecuación dada. La pendiente numérica m = x − y aparece en la intersección del renglón x horizontal y

SECCIÓN 8.2

X

Y

´ ´ ´ ´     

Campos de pendientes y el método de Euler

´

´

´

´











        

´        

´ ´       

´ ´ ´      

´ ´ ´ ´     

´ ´ ´ ´ ´    

´ ´ ´ ´ ´ ´   

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´  

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 

FIGURA 8.2.2 Valores de la pendiente y  = x − y para −4

x, y

589

4.

la columna y vertical de la tabla. Si inspecciona el patrón de diagonales de arriba a la izquierda a abajo a la derecha en esta tabla, observará que fue sencillo y rápido construirla. (Por supuesto, una función F ( x, y) más compleja en el lado derecho de la ecuación diferencial requerirá cálculos más complicados.) La figura 8.2.3 muestra el campo de pendientes correspondiente; la figura 8.2.4 ilustra una curva de solución que pasa por el punto (−4, 4) de manera que sigue este campo de pendientes lo más cerca posible. En cada punto la curva de solución parece tener la dirección indicada por los Z segmentos de recta cercanos del campo de pendientes. 

Y 





 X



FIGURA 8.2.3 Campo de pendientes para y  = x − y correspondiente a la tabla de pendientes de la figura 8.2.2.     Y 









         X

FIGURA 8.2.5 Campo de pendientes y curvas de solución típicas para y  = x − y.

     Y 













  

 X



FIGURA 8.2.4 Curva de solución que pasa por (−4, 4).

Es tedioso construir a mano los 81 segmentos de pendientes en la figura 8.2.3. Por fortuna, muchos sistemas algebraicos de computadora incluyen comandos para una construcción rápida del campo de pendientes con tantos segmentos de recta como se desee; estos comandos se ilustran en el material del proyecto de esta sección. Cuantos más segmentos de recta se incluyen, mayor es la exactitud con que se pueden ver y bosquejar las curvas de solución. La figura 8.2.4 muestra un campo de pendientes “más fino” para la ecuación diferencial d yyd x = x − y del ejemplo 1, junto con las curvas de solución típicas que cruzan este campo de pendientes. Si observa con cuidado la figura 8.2.5, detectará una curva de solución que parece ser ¡una línea recta! Por supuesto, podrá comprobar que la función lineal y = x − 1 es una solución de la ecuación diferencial d yyd x = x − y, y parece probable que las otras curvas de solución se acerquen a esta recta como una asíntota cuando x → +∞. Esta inferencia ilustra el hecho de que un campo de pendientes puede sugerir información tangible acerca de las soluciones que no son del todo evidentes a partir de la ecuación diferencial. Rastreando la curva de solución apropiada en esta figura, ¿puede inferir que y (3) ≈ 2 si y (x) es la solución del problema de valor inicial d yyd x = x − y, y (−4) = 4? Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso del campo de pendientes para descubrir información útil de situaciones físicas que se modelan por ecuaciones diferenciales. El ejemplo 2 se basa en el hecho de que una pelota de béisbol que se mueve por el aire a una velocidad moderada v (menos que unos 300 ft/s) encuentra resistencia

590

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

del aire, que es aproximadamente proporcional a la magnitud de v. Si la pelota se lanza directo hacia abajo desde lo alto de un edificio o desde un helicóptero suspendido en el aire, experimenta tanto la aceleración de la gravedad hacia abajo como una aceleración hacia arriba debida a la resistencia del aire. Si el eje y se dirige hacia abajo, entonces la velocidad de la pelota es v = d yyd x y su aceleración gravitacional g = 32 ft/s2 son ambas positivas, mientras que la aceleración debida a la resistencia del aire es negativa. Así, su aceleración total tiene la forma dv = g − kv. (1) dt Un valor típico de la constante de proporcionalidad de la resistencia del aire puede ser k = 0.16. EJEMPLO 2 Suponga que lanza una pelota de béisbol directo hacia abajo desde un helicóptero suspendido a una altitud de 3000 ft. La pregunta es si alguien, estando de pie en el suelo directamente abajo, puede atraparla. Para estimar la velocidad con que la pelota llegará al suelo, utilice el sistema algebraico de su computadora para construir un campo de pendientes para la ecuación diferencial dv = 32 − (0.16)v. (2) dt El resultado se muestra en la figura 8.2.6, junto con varias curvas de solución correspondientes a diferentes valores de la velocidad inicial v (0) con que puede lanzar la pelota hacia abajo. Note que todas estas curvas de solución parecen acercarse a la recta horizontal v = 200 como una asíntota. Esto significa que, como sea que la lance, la pelota debe acercarse a la velocidad limitante v = 200 ft/s en lugar de acelerar indefinidamente (como lo haría en ausencia de resistencia del aire). El hecho útil de que 60 mi/h es la misma velocidad que 88 ft/s nos lleva a mi ft 60 mi/h ≈ 136.36 . v = 200 × s 88 ft/s h Un receptor acostumbrado a pelotas rápidas a 100 mi/h quizá tuviera alguna oportunidad de atrapar esta pelota. Z   V   







T







FIGURA 8.2.6 Campo de pendientes y curvas de solución típicas de v  = 32 − 0.16v.

OBSERVACIÓN Si la velocidad inicial de la pelota es v (0) = 200, entonces la ecuación (2) proporciona v (0) = 32 − (0.16) · (200) = 0, de manera que la pelota no experimenta una aceleración inicial. Su velocidad, por lo tanto, permanece sin cambio y así, v (t) ≡ 200 es una “solución de equilibrio” constante de la ecuación diferencial. Si la velocidad inicial es mayor que 200, entonces la aceleración inicial dada en la ecuación (2) es negativa, de manera que la pelota viaja más lento conforme cae. Pero si la velocidad inicial es menor que 200, entonces la aceleración inicial dada en (2) es positiva y la pelota aumenta su velocidad mientras cae. Por lo tanto, parece razonable que, debido a la resistencia del aire, la pelota se acercará a la velocidad limitante de 200 ft/s, independientemente de su velocidad inicial. Tal vez quiera verificar que, en ausencia de resistencia del aire, esta pelota llegaría al suelo a más de 300 mi/h.

SECCIÓN 8.2

Campos de pendientes y el método de Euler

591

En la sección 8.5 se analizará con detalle la ecuación diferencial logística D0 H K 0.- 0/ DT



que con frecuencia se utiliza para modelar una población que habita un entorno con capacidad de contención M. Esto significa que M es la población máxima que este entorno puede sostener a largo plazo (en términos de disponibilidad de comida y espacio, por ejemplo). EJEMPLO 3 Si tomamos k = 0.0004 y M = 150, entonces la ecuación logística en (3) toma la forma dP = (0.0004)P · (150 − P) = (0.06)P − (0.0004)P 2 . (4) dt El término positivo (0.06)P en el lado derecho en (4) corresponde al crecimiento natural a una tasa anual de 6% (con t medido en años). El término negativo −(0.0004)P 2 representa la inhibición del crecimiento debida a los recursos limitados del entorno. La figura 8.2.7 muestra un campo de pendientes para la ecuación (4) junto con varias curvas de solución que corresponden a diferentes valores posibles de la población inicial P (0). Observe que todas estas curvas de solución se acercan a la recta horizontal P = 150 como una asíntota. Esto significa que, sin importar cuál sea la población inicial, Z la población P (t) se acerca a la población limitante P = 150 cuando t → +∞.    0    





 T





FIGURA 8.2.7 Campo de pendientes y curvas de solución típicas de P  = 0.06P − 0.0004P 2.

OBSERVACIÓN Si la población inicial es P (0) = 150, entonces la ecuación (4) proporciona

P  (0) = (0.0004)(150) · (150 − 150) = 0,

de manera que la población no experimenta un cambio inicial (instantáneo). Por lo tanto, permanece estable y con ello P (t) ≡ 150 es una “solución de equilibrio” constante de la ecuación diferencial en (4). Si la población inicial es mayor que 150, entonces la tasa de cambio inicial dada por (4) es negativa por lo que la población comienza a disminuir de inmediato. Pero si la población inicial es menor que 150 (pero positiva), entonces la tasa inicial de cambio dada en (4) es positiva, de manera que la población comienza de inmediato a aumentar. Debido a ello, parece razonable que la población se acerque al valor limitante de 150 cualquiera que sea la población inicial (positiva).

Método de Euler y soluciones numéricas Una graficadora (o plotter) antigua de computadora, una que usa plumas de tinta para dibujar curvas mecánicamente, se programa para dibujar una curva de solución que comienza en el punto ( x 0, y0) y transcurre por el campo de pendientes de una ecuación diferencial dada d yyd x = F ( x, y). El procedimiento que lleva a cabo la graficadora se describe como sigue. • La pluma comienza en el punto inicial ( x 0, y0 ) y se mueve una distancia minúscula por el segmento de pendiente que pasa por ( x 0, y0 ). Esto la lleva al punto ( x1, y1).

592

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

• En ( x1, y1) la pluma cambia de dirección y ahora se mueve una pequeña distancia por el segmento de pendiente que pasa por el nuevo punto de inicio ( x1, y1). Esto la lleva al punto de inicio ( x 2, y2). • En ( x 2, y2) la pluma cambia de dirección y ahora se mueve una pequeña distancia por el segmento de pendiente que pasa por ( x 2, y2). Esto la lleva al siguiente punto de inicio ( x 3, y3).

Y

#URVADESOLUCI˜N

X Y X Y

X Y

X Y X

FIGURA 8.2.8 Las primeras etapas de la aproximación de una curva de solución.

La figura 8.2.8 ilustra el resultado de continuar de esta manera, mediante una sucesión de pasos discretos en línea recta de un punto de inicio al siguiente. En esta figura se observa una curva poligonal que consiste en segmentos que conectan los puntos sucesivos ( x 0, y0), ( x1, y1), ( x 2, y2), ( x 3, y3), . . . Ahora, suponga que cada “pequeña distancia” que recorre la pluma por el segmento de pendiente, antes de la corrección del curso que la lleva por un nuevo segmento de pendiente, es tan pequeño que a simple vista no se distinguen los segmentos de recta individuales que constituyen la curva poligonal. De esta forma, la curva poligonal obtenida aparece como una curva de solución suave, continua de la ecuación diferencial. Sin duda, esto es (en esencia) la manera en que se generaron en computador las curvas de solución en las figuras de este capítulo. Euler no tenía una impresora graficadora (era el siglo xviii), y su idea fue hacer todo esto numéricamente en lugar de hacerlo mediante gráficas. Para aproximar la solución del problema de valor inicial DY H &.X; Y/; DX

XN YN PENDIENTE &XN YN

XN YN

H

H–&XN YN

XN YN

FIGURA 8.2.9 El paso de ( xn, yn) a ( xn+1, yn+1).



Y.X / H Y

primero elegimos un tamaño de paso (horizontal) fijo h para usarlo al dar cada paso de un punto al siguiente. Suponga que comenzamos en el punto inicial ( x 0, y0) y, después de n pasos llegamos al punto ( xn, yn). El paso de ( xn, yn) al siguiente punto ( xn+1, yn+1) se ilustra en la figura 8.2.9. La pendiente del segmento de dirección que pasa por ( xn, yn) es m = F ( xn, yn). Así, el cambio horizontal de tamaño h de xn a xn+1 corresponde a un cambio vertical de tamaño m · h = h · F ( xn, yn) de yn a yn+1. Por lo tanto, las coordenadas del nuevo punto ( xn+1, yn+1) están dadas en términos de las coordenadas anteriores por XNC H XN C H;

YNC H YN C H
&.XN ; YN /



Dado el valor inicial del problema en (5), el método de Euler con un tamaño de paso h consiste en comenzar en el punto inicial ( x 0, y0) y aplicar las fórmulas X H X C H; X H X C H; X H X C H; :: :

Y H Y C H
&.X ; Y /I Y H Y C H
&.X ; Y /I Y H Y C H
&.X ; Y /I :: :



para calcular los puntos sucesivos ( x1, y1), ( x 2, y2), ( x 3, y3), . . . en una curva de solución aproximada. Pero por lo común no dibujamos la aproximación poligonal correspondiente. En su lugar, el resultado numérico de aplicar el método de Euler es la sucesión de aproximaciones Y ;

Y ;

Y ;

::: ;

YN ;

:::

ALOSVALORESVERDADEROS Y.X /;

Y.X /;

Y.X /;

::: ;

Y.XN /;

:::

en los puntos x1, x 2, x 3, . . . , xn, . . . de la solución exacta (aunque desconocida) del problema de valor inicial. Estos resultados se presentan en la forma de tabla de valores aproximados de la solución deseada.

SECCIÓN 8.2

Campos de pendientes y el método de Euler

593

EJEMPLO 4 a) Aplique el método de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial 1 dy = x + y, dx 5

y(0) = −3,

(8)

con tamaño de paso h = 1 en el intervalo [0, 5]. b) Repita el inciso a), pero use un tamaño de paso h = 0.2 en el intervalo [0, 1].

Solución a) Con x 0 = 0, y0 = −3, F ( x, y) = x +  y y h = 1, la ecuación en (7) lleva a los valores aproximados Y H Y C H
X C  Y H ./ C 
 C  ./ H :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C 
 C  .:/ H :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C 
 C  .:/ H :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C 
 C  .:/ H :; Y Y H Y C H
X C  Y H .:/ C 
 C  .:/ H :

en los puntos x1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 y x 5 = 5. Observe que el resultado de cada cálculo se usa en el siguiente. La tabla de valores aproximados que se obtiene se muestra enseguida. X YAPROX















:

:

:

:

:

La figura 8.2.10 muestra la gráfica de esta aproximación, junto con las gráficas de las aproximaciones de Euler obtenidas con tamaños de pasos h = 1, h = 0.2 y h = 0.05. La solución exacta es la curva más alta de la figura. Se observa que el tamaño de paso decreciente aumenta la exactitud, pero con cualquier tamaño de paso, la exactitud disminuye al alejarse del punto inicial. 

3OLUCI˜NEXACTA 

Y  H H

 H













X

FIGURA 8.2.10 Gráficas de aproximaciones de Euler con tamaños de paso h = 1, h = 0.2 y h = 0.05.



594

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

b) Comenzamos de nuevo con x 0 = 0, y0 = 3, F ( x, y) = x +  y y h = 0.2. Las ecuaciones en (7) llevan a los valores aproximados Y H Y C H
X C  Y H ./ C .:/
 C  ./ H :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C .:/
: C  .:/  :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C .:/
: C  .:/  :; Y H Y C H
X C  Y H .:/ C .:/
: C  .:/  :; Y H Y C H
X C

Y

 Y  

H .:/ C .:/
: C  .:/  :

en los puntos x1 = 0.2, x 2 = 0.4, x 3 = 0.6, x 4 = 0.8 y x 5 = 1. La tabla de valores que se obtiene es la siguiente. X YAPROX



:

:

:

:





:

:

:

:

:

Una alta exactitud con el método de Euler suele requerir un tamaño de paso muy pequeño y por ende un número más grande de pasos de los que sería razonable realizar a mano. El material del proyecto de esta sección contiene programas para calculadora y computadora para automatizar el método de Euler. Uno de estos programas se utilizó para calcular los elementos de la tabla 8.2.11. Vemos que 500 pasos de Euler (con tamaño de paso h = 0.002) de x = 0 a x = 1 llevan Z a los valores con errores que no exceden 0.001.

X

YAPROX CON H H :

YAPROX CON H H :

YAPROX CON H H :

6ALOR REALDEY

     

     

     

     

     

FIGURA 8.2.11 Aproximaciones de Euler con tamaños de paso h = 0.2, h = 0.02 y h = 0.002.

EJEMPLO 5 Suponga que la pelota de béisbol del ejemplo 2 únicamente se deja caer (en lugar de lanzarse hacia abajo) desde el helicóptero. Entonces su velocidad v (t) después de t segundos satisface el problema de valor inicial dv = 32 − (0.16)v, dt

v(0) = 0.

(9)

Utilizamos el método de Euler con h = 1 para registrar la velocidad creciente de la pelota a intervalos de 1 segundo para los primeros 10 segundos de la caída. Con t0 = 0, v0 = 0,

SECCIÓN 8.2

Campos de pendientes y el método de Euler

595

F (t, v) = 32 − (0.16)v, y h = 1, las ecuaciones en (7) llevan a los valores aproximados G G G G G

H G C H
T .:/G U H ./ C 
T .:/./U H ; H G C H
T .:/G U H ./ C 
T .:/./U H :; H G C H
T .:/G U H .:/ C 
T .:/.:/U  :; H G C H
T .:/G U H .:/ C 
T .:/.:/U  :; Y H G C H
T .:/G U H .:/ C 
T .:/.:/U  ::

Continuando de esta manera, completamos la columna de valores de v correspondiente a h = 1 en la tabla de la figura 8.2.12. (Se redondeó la velocidad al pie por segundo más cercano). Los valores correspondientes a h = 0.1 se calcularon usando una computadora y observamos que son exactos dentro de 1 ft/s. Note también que después de 10 segundos la pelota que cae ha logrado cerca de 80% de su velocidad limitante de 200 ft/s. Z

T

GAPROX CON H H 

GAPROX CON H H :

6ALOR REALDEG

         

         

         

         

FIGURA 8.2.12 Aproximaciones de Euler en el ejemplo 5 con tamaños de paso h = 1 y h = 0.1.

Existencia y unicidad Igual que con una ecuación algebraica, un problema de valor inicial puede tener lo mismo varias soluciones diferentes que ninguna. En consecuencia, antes de hablar de “la” solución de un problema de valor inicial dado, es necesario saber si tiene una y sólo una solución. El siguiente teorema se analiza en cursos y libros de texto de ecuaciones diferenciales. (Por ejemplo, vea la sección 1.3 de Edwards y Penney, Differential Equations: Computing and Modeling, 3a. edición, Upper Saddle River, NJ.: Prentice Hall, 2004).

TEOREMA Existencia y unicidad de las soluciones El problema de valor inicial DY H &.X; Y/; Y.A/ H B DX tiene una y sólo una solución definida en algún intervalo en x abierto que contiene el punto x = a siempre que ambas, la función F y su derivada parcial ∂ Fy∂ y sean continuas en y cerca del punto (a, b) en el plano x y. La continuidad y las derivadas parciales de funciones de dos variables se definen y analizan en el capítulo 12. Brevemente, la continuidad de F en (a, b) significa que el valor de F (a, b) está definido y que el valor F ( x, y) está cerca de F (a, b) si el punto ( x, y) está cerca de (a, b). La derivada parcial ∂ Fy∂ y denota la derivada de la expresión F ( x, y) respecto a la variable y, donde x se considera una constante. Para muchas aplicaciones subsecuentes en este capítulo, será suficiente saber que las hipótesis del teorema anterior se satisfacen en todas partes si F ( x, y) es un polinomio en las variables x y y. Los dos ejemplos siguientes ilustran qué puede ocurrir si las hipótesis del teorema no se satisfacen.

596

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

El problema de valor inicial 1 dy = , y(0) = 0 dx x no tiene solución, porque ninguna solución y (x) = ln | x | + C de la ecuación diferencial d yyd x = 1yx está definida para x = 0. La razón de que esta no existencia no contradiga el teorema es que la función F ( x, y) = 1yx no está definida y, por ello, no es continua en el punto (0, 0) en el plano x y. Z EJEMPLO 6

Verifique por sustitución directa que el problema de valor inicial dy √ = 2 y, y(0) = 0 dx tiene dos soluciones diferentes y1(x) = x 2 y y2(x) ≡ 0 para x > 0. La razón por la que esta falta de unicidad no contradice el teorema es que la derivada parcial ∂ Fy∂ y = p p p Dy (2 Y ) = 1y Y de la función F ( x, y) = 2 Y no está definida y, por ende, no es continua en el punto (0,0) en el plano x y. Z EJEMPLO 7

8.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Dada una curva de solución de la ecuación diferencial d yyd x = F ( x, y), su recta tangente en cada punto ( x 0, y0) tiene pendiente F ( x 0, y0). 2. Dados la curva de solución y el campo de pendientes de la ecuación diferencial d yyd x = F ( x, y), la curva de solución es tangente a cada segmento de recta que toca del campo de pendientes. 3. La ecuación diferencial d yyd x = x − y tiene una curva de solución que es una línea recta. 4. La pelota de béisbol del ejemplo 2 se acelera indefinidamente por la influencia de la gravedad y va cada vez más rápido hasta que choca con el suelo. 5. Las curvas de solución de la ecuación diferencial d vyd t = 32 − 0.16t parecen tener todas la misma asíntota horizontal cuando t → +∞. 6. Si P1(t) y P2(t) son soluciones de la ecuación diferencial logística d Pyd t = 0.06P − 0.004P 2 que corresponden a diferentes poblaciones iniciales (positivas), entonces P1(t) y P2(t) tienden a valores limitantes diferentes cuando t → +∞. 7. Euler fue la primera persona que utilizó una calculadora electrónica para resolver ecuaciones diferenciales. 8. Cuando se usa el método de Euler para aproximar la solución de un problema de valor inicial, los pasos sucesivos tomados tienen todos el mismo tamaño de paso h. 9. El método de Euler produce una sucesión de valores verdaderos yn = y ( xn) de la solución particular y (x) que satisface la condición inicial y0 = y ( x 0). 10. Cuando se usa el método de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial del ejemplo 4, la exactitud de la aproximación aumenta cuando disminuye el tamaño de paso.

8.2 CONCEPTOS: PROBLEMAS Y ANÁLISIS 1. Compare las ventajas de las aproximaciones gráfica y numérica para las soluciones de ecuaciones diferenciales. 2. ¿Para qué fines la gráfica de una o más soluciones proporciona información más útil que una tabla de valores, y para qué fines es preferible la tabla? 3. Cerca del final de esta sección se proporcionaron ejemplos sencillos de la falta de existencia y unicidad de las soluciones a problemas de valor inicial. Proporcione dos o tres ejemplos similares propios.

SECCIÓN 8.2

Campos de pendientes y el método de Euler

597

8.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, se proporciona el campo de pendientes de la ecuación diferencial indicada, junto con una o más curvas de solución. Bosqueje curvas de solución probables que pasan por los puntos adicionales marcados en cada campo de pendientes. (Existen varios métodos: fotocopie el campo de pendientes y dibuje sus curvas de solución en otro color. Otro método consiste en utilizar un programa de álgebra para computadora y construir e imprimir el campo de pendientes dado.) DY  H Y SEN X FIGURA DX DY H X C Y FIGURA  DX 











Y 

Y 













 

 X







FIGURA 8.2.13











Y 

Y 













 

 X







FIGURA 8.2.15





 

 X















Y 

Y 













 

FIGURA 8.2.17

 

 X







 X







FIGURA 

 X















Y 

Y 









 

 X











 

 X







 X







FIGURA 8.2.20













Y 

Y 









 

FIGURA 8.2.21

FIGURA









FIGURA 8.2.16

DY H YX C  DX DY H X YC  DX



DY H X  Y  FIGURA  DX DY H X  C SEN Y FIGURA  DX

DY H Y SEN X FIGURA DX DY  H X Y FIGURA DX 



FIGURA 8.2.19











FIGURA 8.2.14



DY H SEN X C SEN Y FIGURA DX DY  H X  Y FIGURA DX



 

FIGURA 8.2.18

 X











 

FIGURA 8.2.22

En los problemas 11 a 20, se proporciona un problema de valor inicial y su solución exacta y (x). Aplique el método de Euler dos veces para aproximar esta solución en el intervalo [0,  ], primero con tamaño de paso h = 0.25; después con tamaño de paso h = 0.1. Compare los valores con tres decimales de las dos aproximaciones en x =  con el valor y () de la solución exacta. dy 11. = −y, y(0) = 2; y(x) = 2e−x dx 1 1 dy = 2y, y(0) = ; y(x) = e2x 12. dx 2 2 dy = y + 1, y(0) = 1; y(x) = 2e x − 1 13. dx dy = x − y, y(0) = 1; y(x) = 2e−x + x − 1 14. dx dy = y − x − 1, y(0) = 1; y(x) = 2 + x − e x 15. dx dy = −2x y, y(0) = 2; y(x) = 2 exp(−x 2 ) 16. dx dy 17. = −3x 2 y, y(0) = 3; y(x) = 3 exp(−x 3 ) dx dy 18. = e−y , y(0) = 0; y(x) = ln(x + 1) dx   1 x +π dy = (1 + y 2 ), y(0) = 1; y(x) = tan 19. dx 4 4

598

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

dy 1 = 2x y 2 , y(0) = 1; y(x) = dx 1 − x2 En los problemas 21 y 22, primero utilice el método del ejemplo 1 para construir un campo de pendientes para la ecuación diferencial dada. Posteriormente bosqueje la curva de solución correspondiente a la condición inicial dada. Por último, utilice esta curva de solución para estimar el valor deseado de la solución y (x). dy 21. = x + y, y(0) = 0; y(−4) = ? dx dy = y − x, y(4) = 0; y(−4) = ? 22. dx Los problemas 23 y 24 son parecidos a los problemas 21 y 22, pero ahora utilice un sistema algebraico de computadora para graficar e imprimir un campo de pendientes para la ecuación diferencial dada. Si lo desea (y sabe cómo), verifique su curva de solución dibujada a mano graficándola con la computadora. dy 23. = x 2 + y 2 − 1, y(0) = 0; y(2) = ? dx dy 1 24. = x + y 2 , y(−2) = 0; y(2) = ? dx 2 25. Usted salta del helicóptero del ejemplo 2 y su paracaídas se abre de inmediato. Ahora k = 1.6 en la ecuación (1), de manera que su velocidad hacia abajo satisface el problema de valor inicial dv = 32 − (1.6)v, v(0) = 0. dt Para investigar sus posibilidades de sobrevivir, construya un campo de pendientes para esta ecuación diferencial y bosqueje la curva de solución adecuada. ¿Cuál será su velocidad limitante? ¿Servirá de algo un pajar en un lugar estratégico? ¿Cuánto tiempo le tomará llegar a 95% de su velocidad limitante? 26. Suponga que la población de venados P (t) en un pequeño bosque satisface la ecuación logística dP = (0.0225)P − (0.0003)P 2 . dt Construya un campo de pendientes y una curva de solución adecuada para responder las siguientes preguntas: si hay 25 venados en el tiempo t = 0 y t se mide en meses, ¿cuánto tardará en duplicarse la población de venados? ¿Cuál será la población de venados limitante? 27. Utilice el método de Euler con una calculadora programable o un sistema de computadora para encontrar las soluciones deseadas en el problema 23. Comience con un tamaño de paso h = 0.1 y posteriormente utilice tamaños sucesivos más pequeños h = 0.01, h = 0.001, . . . , hasta que las soluciones sucesivas en x = 2 sean iguales con dos decimales. 28. Utilice el método de Euler con una calculadora programable o un sistema de computadora para encontrar la solución deseada en el problema 24. Comience con tamaño de paso h = 0.1 y luego utilice tamaños sucesivos más menores h = 0.01, h = 0.001, . . . , hasta que las soluciones aproximadas sucesivas en x = 2 sean iguales con dos decimales. 20.

Los problemas 29 a 32, ilustran el hecho de que, si las hipótesis del teorema citado cerca del final de esta sección no se satisfacen, entonces el problema de valor inicial d yyd x = F ( x, y), y (a) = b puede no tener solución, un número finito de soluciones o un número infinito de soluciones. 29. Demuestre que en el intervalo [0, π], las funciones y1(x) ≡ 1 y y2(x) = cos x ambas satisfacen el problema de valor inicial dy  + 1 − y 2 = 0, dx

y(0) = 1.

¿Por qué este hecho no contradice el teorema de existenciaunicidad citado en esta sección? Explique su respuesta con cuidado. 30. Encuentre, por inspección, dos soluciones diferentes del problema de valor inicial dy = 3y 2/3 , dx

y(0) = 0.

¿Por qué la existencia de soluciones diferentes no contradice el teorema de existencia-unicidad de esta sección? 31. Utilice la figura 8.2.23 como una sugerencia para demostrar que el problema de valor inicial dy = 3y 2/3 , dx

y(−1) = −1

tiene un número infinito de soluciones. ¿Por qué esto no contradice el teorema de existencia-unicidad de esta sección? Y YX A 

A

X

   YX

FIGURA 8.2.23 Sugerencia para el problema 31.

32. Verifique que k es una constante, entonces la función y (x) = k x satisface la ecuación diferencial x (d yyd x ) = y. Entonces concluya que el problema de valor inicial x

dy = y, dx

y(0) = 0

tiene un número infinito de soluciones en cualquier intervalo abierto que contenga a x = 0.

8.2 INVESTIGACIONES: campos de pendientes con ayuda de la computadora y el método de Euler El manual del proyecto ilustra el uso de Maple, Mathematica y MATLAB para construir campos de pendientes y curvas de solución para una ecuación diferencial dada. Utilice su sistema para realizar la siguiente investigación.

SECCIÓN 8.3

Ecuaciones separables y aplicaciones

599

Grafique un campo de direcciones y las curvas de solución típicas para la ecuación diferencial d yyd x = sen( x − y), pero con una ventana más grande que la de la figura 8.2.24. Con −10 x 10, −10 y 10, por ejemplo, deben verse varias curvas de solución que son líneas rectas aparentes. a) Sustituya y = a x + b en la ecuación diferencial para determinar cuáles son los coeficientes a y b que proporcionan una solución. b) Quizá su sistema de álgebra en su computadora proporcione la solución general   −1 x − 2 + C . y(x) = x − 2 tan x −C Investigación

FIGURA 8.2.24 Campo de direcciones y curvas de solución para y  = sen( x − y) generado por una calculadora TI-89 con gráficas.

¿Puede determinar un valor de la constante arbitraria C que lleve a la solución lineal y (x) = x −  π determinada por la condición inicial y ( π) = 0? (Verifíquelo.)

Investigación de números famosos El manual del proyecto ilustra las rutinas de Maple, Mathematica y MATLAB para la implementación del método de Euler. Los problemas que siguen describen los números e ≈ 2.71828, ln 2 ≈ 0.69315 y π ≈ 3.14159 como valores particulares de las soluciones a ciertos problemas de valor inicial. En cada caso, aplique el método de Euler con n = 50, 100, 200, . . . subintervalos (duplicando n cada vez). ¿Cuántos subintervalos se necesitan para obtener, dos veces sucesivas, el valor correcto del número meta redondeado a tres decimales? 1. El número e = y (1), donde y (x) es la solución del problema de valor inicial d yyd x = y, y (0) = 1. 2. El número ln 2 = y (2), donde y (x) es la solución del problema de valor inicial d yyd x = 1yx, y (1) = 0. 3. El número π = y (1), donde y (x) es la solución al problema de valor inicial 4 dy = , dx 1 + x2

y(0) = 0.

También explique cuál es el punto en cada uno de estos problemas, por qué el número famoso indicado es, de hecho, la solución.

8.3 ECUACIONES SEPARABLES Y APLICACIONES En la sección 8.1 se vio que una solución general de una ecuación diferencial d yyd x = R( x, y) se escribe en términos de integrales ya sea que la variable independiente x o la variable dependiente y falte en la expresión R( x, y) en el lado derecho. El método que utilizamos también puede ser útil si R( x, y) se expresa como el producto de una función g (x) de x y una función h ( y) de y. En este caso la ecuación diferencial toma la forma dy = g(x)h(y). dx

(1)

Se dice que esta ecuación diferencial es separable porque, después de la multiplicación formal de ambos lados por d x y d y por f ( y) = 1yh( y), toma la forma simbólica F .Y/ DY H G.X/ D X



en la que las variables x y y (y sus respectivas diferenciales d x y d y) se separan en lados opuestos de la ecuación. La ecuación (2) es literalmente una ecuación que relaciona diferenciales, una “ecuación diferencial”, pero tomamos la ecuación (2) como la notación concisa para la ecuación de la “derivada” más familiar f (y)

dy = g(x), dx

(3)

y abusamos de la terminología un poco al referirnos a la ecuación (3) también como una ecuación diferencial.

600

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

El proceso de rescribir la ecuación (1) en la forma en (2) se llama separación de variables. Entonces es tentador encontrar una solución de (1) simplemente integrando cada lado en (2) respecto a su “propia” variable: F .Y/ DY H

G.X/ D X



Sin duda, si se pueden encontrar las antiderivadas F ( y) = d x, entonces la ecuación que se obtiene



f ( y) d y y G(x) =



g (x)

&.Y/ H '.X/ C #



proporciona una solución implícita de la ecuación (3). Es decir, cualquier función diferenciable y (x) definida implícitamente por (5) es una solución (explícita) real de la ecuación (3). Para verificar esta afirmación, suponga que y = y (x) satisface la ecuación (5) para algún valor fijo de la constante arbitraria C. Entonces la derivación de cada lado lleva a $X T&.Y.X//U H $X T'.X/ C #UI ;USANDOLAREGLADELACADENA= & .Y.X//
Y .X/ H ' .X/ DY F .Y.X// H G.X/ ;PORQUE & H F Y ' H G=: DX Entonces y (x), sin duda, satisface la ecuación diferencial en (3). EJEMPLO 1 a) Resuelva la ecuación diferencial d yyd x = −6x y con la condición inicial y (0) = 7. b) Repita con la condición inicial y (0) = −4.

Solución a) La separación de variables proporciona  DY H X D X: Y ,AINTEGRACI˜NLUEGOLLEVAA  DY H .X/ D XI Y LN jYj H X  C #:



La condición inicial y (0) = 7 indica una solución de valores positivos, de modo que sustituimos |y | con y en la solución implícita en (6). Esto proporciona LN Y H X  C #;

DEMANERAQUE

Y.X/ H EX

 C#



H E# EX :

Luego sustituyendo x = 0 y y = 7 se obtiene C = ln 7, y la solución particular deseada es 2

2

y(x) = eln 7 e−3x = 7e−3x .

b) Comenzando con la ecuación (6), observamos que la condición inicial y (0) = −4 indica una solución de valores negativos, por lo que sustituimos | y | con −y en la solución implícita ahí. Esto proporciona LN.Y/ H X  C #;

DEMANERAQUE

Y.X/ H EX

 C#



H E# EX :

Luego, sustituyendo x = 0, y = −4 se tiene C = ln 4, por lo que la solución particular deseada es 2

2

y(x) = −eln 4 e−3x = −4e−3x .

Z

SECCIÓN 8.3

Ecuaciones separables y aplicaciones

601

OBSERVACIÓN 1 Un enfoque alternativo en el ejemplo 1 sería resolver la ecuación (6) despejando

Y  





jYj H E# EX H "EX ;

DEMANERAQUE



Y.X/ H "EX :

La constante B = eC es necesariamente positiva. (¿Por qué?) A pesar de esto, podemos acomodar valores tanto positivos como negativos de y escribiendo A = ±B (y con ello absorbiendo el signo en el coeficiente A). Esto proporciona la solución general



YX E X

YX y

y(x) = A e−3x

X

2

(7)

de la ecuación diferencial d yyd x = −6x y. Los valores A = 7 y A = −4 proporcionan las dos soluciones particulares encontradas en los incisos a) y b) del ejemplo 1. Las gráficas de ambas soluciones se muestran en la figura 8.3.1.



YX  E X

 

FIGURA 8.3.1 Tres soluciones diferentes de la ecuación diferencial dy = −6x y. dx

El valor A = 0 en la ecuación (7) proporciona la solución trivial y (x) ≡ 0 de la ecuación diferencial d yyd x = −6x y. Examine la solución

OBSERVACIÓN 2

ln |y| = −3x 2 + C

(6)

obtenida por el método de separación de variables, que requiere que y H 0 para dividir ambos lados de la ecuación diferencial entre y. ¿Comprende que ningún valor de C en la ecuación (6) lleva a la solución trivial y (x) ≡ 0? Esta observación ilustra el hecho de que las soluciones de valores constantes de una ecuación diferencial se pueden “perder” cuando separamos variables. Esto es, si y = y0 es una raíz de la ecuación h ( y) = 0, entonces la solución de valores constantes y (x) ≡ y0 de la ecuación diferencial d yyd x = g (x)h ( y) puede no satisfacer la nueva ecuación diferencial obtenida después de dividir entre h ( y). Por lo tanto, es importante notar de antemano cualquiera de estas soluciones de una ecuación diferencial separable. EJEMPLO 2 Encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial d yyd x = 6 x ( y − 1)2y3. # 

# # 

Y

# Y X

# 

Solución Es obvio que intentamos dividir ambos lados entre el factor ( y − 1)2y3 para separar las variables. Pero primero observamos que ( y − 1)2y3 = 0 cuando y (x) ≡ 1, y que la última es una solución de la ecuación diferencial dada. Dejando de lado esta solución trivial por ahora, procedemos a la separación de variables y la integración. Esto lleva a   1 dy = 2x d x; 3(y − 1)2/3 (y − 1)1/3 = x 2 + C. Resolvemos esta solución implícita de la solución general y(x) = 1 + (x 2 + C)3 .

FIGURA 8.3.2 Curvas de solución de la ecuación diferencial dy = 6x(y − 1)2/3 correspondientes dx a diferentes valores de C en la ecuación (8).

(8)

Los valores positivos de la constante arbitraria C proporcionan las curvas de solución que están arriba de la recta y = 1 (vea la figura 8.3.2) y los valores negativos de C llevan a las que bajan de esta línea. El valor C = 0 proporciona la solución y (x) = 1 + x 6, en lugar de la llamada solución “singular” y(x) ≡ 1. Aparentemente, la última solución se perdió cuando se separaron las variables. (Vea las preguntas 1 a 3 al final de esta sección.) Z EJEMPLO 3

Resuelva el problema de valor inicial 4 − 2x dy = 2 , dx 3y − 5

y(1) = 3.

(9)

Solución Procedemos a separar variables e integrar. Esto proporciona   2 (3y − 5) dy = (4 − 2x) d x; y 3 − 5y = 4x − x 2 + C.

(10)

602

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Si sustituimos x = 1 y y = 3 en la solución implícita en la ecuación (10), encontramos que C = 9. De este modo, la solución particular deseada y (x) está definida implícitamente por la ecuación



 

y 3 − 5y = 4x − x 2 + 9.

#



La gráfica de esta ecuación, generada por el comando de graficar el contorno en un sistema algebraico de computadora, es la curva de solución de arriba mostrada en la figura 8.3.3. (Vea la pregunta 4 al final de esta sección.) Z

Y  #



Enfriamiento y calentamiento



 



 X







FIGURA 8.3.3 Curvas de solución de la ecuación diferencial dy 4 − 2x correspondientes a = 2 dx 3y − 5 diferentes valores de C en la ecuación (10).

4EMPERATURA!

4EMPERATURA4

FIGURA 8.3.4 La ley de enfriamiento de Newton, ecuación (11), describe el enfriamiento de una roca caliente en el agua.

De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton (o calentamiento), la tasa de cambio en el tiempo de la temperatura u (t) de un cuerpo inmerso en un medio con temperatura constante A (figura 8.3.4) es proporcional a la diferencia de temperaturas u − A. Se deduce que DU H K.U !/ DT



donde la constante de proporcionalidad k es positiva. Note que si u > A entonces duyd t < 0, de manera que el cuerpo se está enfriando, pero si u < A entonces duyd t > 0 por lo que la temperatura u está aumentando. EJEMPLO 4 Una trozo de carne de 4 libras, inicialmente a 50°F, se coloca en un horno a 375° a las 5:00 pm. A las 6:15 pm la temperatura de la carne es 125°F. ¿Cuándo estará lista para servirla a término medio inglés (a 150°F)?

Solución Con A = 375, la ecuación (11) proporciona du = −k(u − 375) = k(375 − u). dt Mientras la carne se cocina, su temperatura satisface la desigualdad u < 375. Una vez observado esto, separamos las variables e integramos:   1 du = k dt; 375 − u −ln(375 − u) = k t + C; 375 − u = e−(k t+C ) = Be−k t donde B = e−C. Luego, u (0) = 50 implica que B = 375 − 50 = 325, de manera que u(t) = 375 − 325e−k t .

También sabemos  que u = 125 cuando t = 75. Sustituyendo estos valores se obtiene 1 ln 250 ≈ 0.003498. Por último resolvemos la ecuación 150 = 375 − 325e−kt k = − 75 325 despejando   ln 225 ln 225 325 325 t =− ≈− ≈ 105.12 k 0.003498 minutos. Éste es el tiempo total de horneado para la carne. Debido a que se colocó en el horno a las 5:00 pm, debe sacarse alrededor de las 6:45 pm. Z

Ecuaciones diferenciales lineales La ecuación diferencial DX H AX C B DT



es lineal en la variable dependiente x (y su derivada) si los coeficientes a y b no incluyen a x. El caso general en el que a y b involucran a la variable independiente t se analiza en la sección 8.4.

SECCIÓN 8.3

Ecuaciones separables y aplicaciones

603

La ecuación (12) es separable si a y b son constantes (con a H 0). Al separar las variables e integrar, se obtiene A D X H A DTI AX C B LN jAX C Bj H AT C #: 3EDEDUCEQUE AX C B H E# EAT H + EAT : Si se proporciona una condición inicial x (0) = x 0, observamos inmediatamente que K = a x 0 + b, de manera que AX C B H .AX C B/EAT : 0OR¢LTIMO OBTENEMOSLASOLUCI˜N B X.T/ H X EAT C .EAT / A



del problema de valor inicial d xyd t = a x + b, x (0) = x 0. Los ejemplos restantes en esta sección ilustran las numerosas aplicaciones de la solución en (13) de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Considere la población nacional P (t) con tasas constantes de nacimiento y muerte β y δ (en nacimientos o muertes por año por unidad de población). Si también existe una tasa constante neta de inmigración de I personas que entran al país cada año, entonces P satisface la ecuación diferencial lineal dP = kP + I (14) dt donde k = β − δ. De acuerdo con la ecuación (13) con P, k e I en lugar de x, a y b, la solución de la ecuación (14) para la que P (0) = P0 es I P(t) = P0 ek t + (ek t − 1). (15) k El primer término en el lado derecho es el efecto neto después de t años de crecimiento natural de población mediante nacimientos y muertes. El segundo término representa el efecto de la inmigración. Crecimiento de población con inmigración

EJEMPLO 5 En el año 2000 la población de Estados Unidos era aproximadamente P0 = 280 millones y ocurrían alrededor de 14.6 nacimientos y 8.6 muertes por cada mil habitantes cada año. Además, una inmigración neta hacia el país a una tasa cercana a 960 mil personas por año. Examinaremos los efectos de estas tasas de nacimiento, muerte e inmigración, suponiendo que se mantienen constantes por los 20 años siguientes. Con 8.6 14.6 = 0.0146, δ= = 0.0086, k = β − δ = 0.006, β= 1000 1000 e I = 0.96 (contando millones de personas en cada caso), la ecuación diferencial en (14) toma la forma D0 H .:/0 C :: DT Su solución, dada por (15) con P0 = 280, es 0.T/ H E.:/T C  E.:/T  :

El pronóstico de población para el año 2020 es P (20) ≈ 336.1 millones. Del incremento en la población de Estados Unidos en los 20 años del pronóstico de 336.1 − 280 = 56.1 millones la cantidad debida a la tasa de 0.6% de crecimiento natural (como si no hubiera inmigrantes) es E.:/./   :

MILLONES

604

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

y la cantidad restante debida finalmente a la inmigración es  E.:/./   :

MILLONES 

Z

Considere una cuenta de ahorros que contiene A0 dólares al inicio y gana interés a una tasa anual r compuesta continuamente (como en la sección 8.1). Ahora suponga que se agregan depósitos a esta cuenta a una tasa de Q dólares por año. Para simplificar el modelo matemático, suponemos que estos depósitos se hacen en forma continua en lugar de (por ejemplo) mensualmente. Podemos entonces ver la cantidad A(t) en la cuenta en el tiempo t como una “población” de dólares, con una tasa de crecimiento (anual) natural r y como la “inmigración” (depósitos) a una tasa de Q dólares anuales. Entonces con sólo cambiar la notación en las ecuaciones (14) y (15), obtenemos la ecuación diferencial

Cuenta de ahorros con depósitos continuos

D! H R ! C 1; DT



que tiene la solución !.T/ H !  ER T C

1 RT .E /: R



EJEMPLO 6 Suponga que desea arreglar, en el momento de su nacimiento, que su hija tenga $100,000 disponibles para sus gastos de universidad cuando tenga 18 años. Planea hacer depósitos frecuentes, pequeños —en esencia continuos— en un fondo mutuo a la tasa de Q dólares por año. Este fondo acumulará 9% de interés anual compuesto continuamente. ¿Cuánto debe valer Q para lograr su meta?

Solución Con A0 = 0 y r = 0.09, queremos el valor de Q para que la ecuación (17) lleve al resultado !./ H : Esto es, debemos encontrar Q tal que 1 .:/./  H E  : : Cuando resolvemos esta ecuación encontramos que Q ≈ 2220.53. Así, debe depositar $2220.53 cada año, o alrededor de $185.04 por mes, para tener $100,000 en el fondo después de 18 años. Tal vez quiera verificar que el total de sus depósitos será $39,969.50 y el interés total acumulado será $60,030.50. (También debe recordar que tendrá que pagar impuestos sobre el ingreso por interés que promedia más o menos Z $3335 anuales.) Difusión de información y propagación de enfermedades Sea N(t) el número de personas (en una población fija P ) que en el tiempo t han oído cierta noticia difundida por los medios masivos. En ciertas condiciones comunes, la tasa de incremento de N en el tiempo será proporcional al número de personas que todavía no oyen la noticia. Entonces D. H K.0 . /:  DT Si N(0) = 0, la solución de la ecuación (18) es

. .T/ H 0
. EK T /:



Si se conocen P y algún valor posterior N(t1), podemos despejar k y con ello determinar N(t) para toda t. El problema 35 ilustra esta situación. Las enfermedades infecciosas se propagan de diferentes formas. Se puede construir un modelo sencillo con la suposición de que algunas enfermedades infecciosas se propagan igual que la información: en una población fija P, la tasa de incremento del número N(t) de personas infectadas con la enfermedad es proporcional al número P − N que todavía no se infecta. Entonces N satisface la ecuación diferencial en (18). Vea algunas aplicaciones en los problemas 39 y 40.

SECCIÓN 8.3

Ecuaciones separables y aplicaciones

605

8.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La ecuación diferencial d yyd x = R ( x, y) es separable si la expresión R ( x, y) en el lado derecho se puede expresar como un producto de una función de x y una función de y. 2. El problema de resolver una ecuación diferencial separable siempre se puede reducir (separando las variables) a un problema de evaluar integrales indefinidas. 3. Cuando resolvemos una ecuación diferencial separable por separación de variables, la solución general obtenida siempre “incluye” todas las soluciones particulares posibles de la ecuación diferenciable. (Es decir, toda solución particular corresponde a alguna opción específica de la constante arbitraria C de la solución general.) 4. La ecuación diferencial d yyd x = 6x ( y − 1)2y3 del ejemplo 2 tiene una solución singular que se “pierde” al separar las variables. (Esto es, la ecuación diferencial dada tiene una solución particular que no corresponde a una opción de la constante arbitraria C en la solución general que se obtiene por separación de variables.) 5. La separación de variables lleva a una solución general explícita y (x) de la ecuación diferencial d yyd x = (4 − 2x )y(3y2 − 5) del ejemplo 3. 6. La ley de enfriamiento de Newton implica que, si un cuerpo se coloca en un medio con temperatura constante, entonces la tasa de cambio en el tiempo de la temperatura u (t) del cuerpo es proporcional a u mismo. 7. La función de temperatura u (t) de la carne del ejemplo 4 es una función lineal de t. 8. La ecuación diferencial d xyd t = a x + b es lineal si a y b son constantes. 9. La ecuación diferencial d xyd t = a x + b es lineal siempre que a y b sean ambas funciones lineales de x y t. 10. En una ecuación diferencial d xyd t = a x + b, los coeficientes a y b pueden incluir a la variable independiente t.

8.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y DISCUSIÓN Las preguntas 1 a 3 se refieren a la solución general y (x) = 1 + ( x 2 + C )3 de la ecuación diferencial d yyd x = 6x ( y − 1)2y3 analizada en el ejemplo 2. 1. ¿Existe un valor de la constante arbitraria C que lleva a la solución de valores constantes y (x) ≡ 1? 2. ¿Todo punto del plano x y está en precisamente una curva de solución de la forma y (x) = 1 + ( x 2 + C )3 ? (Vea la figura 8.3.2.) 3. Encuentre dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial, tales que ambas satisfacen la condición inicial y (1) = 1. ¿Puede demostrar que la curva completa de la solución singular y ≡ 1 consiste en puntos en los que la ecuación diferencial tiene dos soluciones diferentes? Si es así, ¿por qué este hecho no contradice el teorema de existencia-unicidad estudiado en la sección 8.1? 4. Examine las curvas de solución de la ecuación diferencial 4 − 2x dy = 2 dx 3y − 5

mostradas en la figura 8.3.3. a) Explique por qué la solución satisface la condición inicial y (0) = 0 está definida en el intervalo 0 x 4 pero no en el intervalo −2 x 6. b) Explique por qué la solución que satisface la condición inicial y (1) = 3 está definida en el intervalo −1 x 5 pero no en el intervalo −3 x 7.

606

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

8.3 PROBLEMAS Encuentre las soluciones generales (implícitas si es necesario, explícitas si es posible) de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 10. DY DY p H X Y H X Y    DX DX DY DY H X  Y H .X Y/=   DX DX p DY DY   H X Y  H X  .Y / DX DX p DY C X DY X C X  H  H p DX C Y DX Y C Y 

X C  DY H   DX X .Y C /



DY .X  /Y  H   DX X .Y /

Resuelva los problemas de valor inicial en los problemas 11 a 20. DY DY p H Y  ; Y./ H  H Y; Y./ H    DX DX DY   DY  H  ; Y./ H  H  ; Y./ H   DX Y DX X Y DY X DY  H X Y  ; Y./ H  H ; Y./ H   DX DX Y X DY H ; Y./ H   DX Y DY H X  C X C ; Y./ H   Y  DX DY  H X  Y  Y  ; Y./ H  DX DY  H X Y  .X  C /; Y./ H  DX En los problemas 21 a 30, utilice el método de la derivación de la ecuación (13), en lugar de la ecuación en sí, para encontrar la solución del problema de valor inicial dado. DY DY H Y C I Y./ H   H  YI Y./ H   DX DX DY  H Y I Y./ H  DX  Y DY H I Y./ H   DX   DX  H .X /I X./ H  DT DX  H  XI X./ H  DT DX  H .X C /I X./ H  DT DX  H  XI X./ H  DT DG  H . G/I G./ H  DT DG  H . G/I G./ H  DT 31. Zembla tiene una población de 1.5 millones en 1990. Suponga que la población de este país tiene un crecimiento continuo a una tasa anual de 4% y que Zembla absorbe 50,000 inmigrantes por año. ¿Cuál será su población en el año 2010?

32. Cuando un pastel se saca del horno, su temperatura es 210°F. El pastel se deja enfriar a temperatura ambiente, que es 70°F. Después de 30 min la temperatura del pastel es 140°F. ¿Cuándo será 100°F? 33. Se hacen pagos continuos sobre una hipoteca cuya cantidad original es P0 dólares a una tasa constante de c dólares por mes. Sea P (t) el saldo (cantidad que todavía se debe) después de t meses y sea r la tasa de interés mensual pagada por quien hipotecó. (Por ejemplo, r = 0.06y12 = 0.005 si la tasa de interés anual es 6%.) Obtenga la ecuación diferencial

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

dP = rP − c, P(0) = P0 . dt Su primo debe pagar un préstamo para un auto de $3600 continuamente durante un periodo de 36 meses. Aplique el resultado del problema 33 para determinar los pagos mensuales requeridos si la tasa de interés anual es a) 12%; b) 18%. Se ha esparcido el rumor de que la feniltylamina en el agua potable comenzó a esparcirse en una ciudad con una población de 100,000. En una semana, 10,000 personas habían escuchado este rumor. Suponiendo que la tasa de incremento en el número de personas que han escuchado el rumor es proporcional al número de personas que todavía no lo oyen, ¿cuánto tiempo tomará que la mitad de la población de esta ciudad haya escuchado el rumor? Trabaje otra vez en el ejemplo 5 suponiendo que nuevas condiciones, efectivas en el año 2000, dan como resultado 17 nacimientos y 7 muertes por año por millar de personas, al igual que una tasa de inmigración de 1.5 millones de personas por año. Usted quiere ser millonario pero no puede confiar en ganar la lotería. ¿Cuánto dinero necesitaría invertir cada mes —de hecho, continuamente— en una cuenta de inversión que paga una tasa de interés anual de 10%, compuesto continuamente, con el fin de que la cuenta tenga $5 millones después de 30 años? Justo antes de medio día se encuentra el cuerpo de la víctima de un supuesto homicidio en una habitación con temperatura constante de 70°F. A las 12 pm la temperatura del cuerpo es de 80°F y a la 1 pm es de 75°F. Suponga que la temperatura del cuerpo a la hora de la muerte era 98.6°F y que se ha enfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton. ¿Cuál fue la hora de la muerte? Pottstown tiene una población fija de 10,000 personas. El 1 de enero, 1000 personas tienen influenza; el 1 de abril, 2000 personas lo tienen. Suponga que la tasa de incremento en el número N(t) que tienen influenza es proporcional al número que no lo tiene. ¿Cuántas personas tendrán influenza el 1 de octubre? Sea x (t) el número de personas en Athenas, Georgia, con población de 100,000 habitantes, que tiene la gripe de Tokio. La tasa de cambio de x (t) es proporcional al número de personas que todavía no tienen la enfermedad. Suponga que 20,000 tienen gripe el 1 de marzo y que 60,000 la tienen el 16 de marzo. a) Establezca y resuelva una ecuación diferencial para encontrar x (t). b) ¿En qué fecha el número de personas contagiadas alcanzará 80,000? c) ¿Qué pasa a largo plazo? Una mañana, muy temprano, comenzó a nevar a una tasa constante. A las 7 am el quitanieve comienza a limpiar el camino. A las 8 am había recorrido 2 millas, pero le llevó dos horas más (hasta las 10 am) quitar la nieve de otras 2 millas de camino. a) Sea t = 0 cuando comenzó a nevar y sea x (t)

SECCIÓN 8.4

la distancia recorrida por el quitanieve en el tiempo t. Suponiendo que el quitanieve limpia la nieve del camino a una tasa constante (digamos, en pies cúbicos por hora), demuestre que k

dx 1 = dt t

donde k es una constante. b) ¿A qué hora comenzó a nevar? (Respuesta: 6 am.) 42. Un quitanieve sale a las 7 am como en el problema 41. Suponga ahora que a las 8 am ha recorrido 4 millas y que a las 9 am se ha movido otras 3 millas. ¿A qué hora comenzó a nevar? Éste es un problema de quitanieve más difícil porque ahora debe resolverse numéricamente una ecuación trascendente para encontrar el valor de k. (Respuesta: 4:27 am.) 43. La catenaria Suponga que un cable flexible uniforme se suspende entre dos puntos (± L , H ) a alturas iguales localizadas simétricamente en cada lado del eje y (figura 8.3.5). Se usan los principios de física para demostrar que la forma y = y (x) del cable colgante satisface la ecuación diferencial   2 d 2y dy a 2 = 1+ , dx dx

Ecuaciones lineales y aplicaciones

607

x = 0 y que y (0) = 0. Sustituya v = d yyd x en esta ecuación diferencial de segundo orden para demostrar que se convierte en la ecuación de primer orden  dv a = 1 + v2 . dx Resuelva esta ecuación diferencial despejando y (x) = v (x) = senh( xya). Luego integre para obtener la función de forma   x y(x) = a cosh +C a de cable colgante. Esta curva se llama catenaria, de la palabra en latín para cadena. Y  , (

, ( #OMBAMIENTO  ( Y Y X

donde la constante a = Tyρ es la razón de la tensión T del cable en su punto más bajo entre su densidad ρ (constante) lineal. Observe que el punto más bajo del cable ocurre donde

FIGURA 8.3.5 Un cable flexible uniforme suspendido entre dos puntos a alturas iguales.

8.4 ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma DY C 0.X/
Y H 1.X/ DX



donde P (x) y Q (x) son funciones dadas de x. Si los “coeficientes” P y Q de hecho son constantes, entonces la ecuación diferencial es separable y se puede resolver como en la sección 8.3. En esta sección analizamos el caso general de coeficientes variables. Mostraremos cómo multiplicar cada lado en (1) por una función seleccionada apropiada ρ (x) de modo que cada lado de la ecuación resultante se pueda integrar y con ello eliminar el término de la derivada desconocido d yyd x. Esta función ρ (x), que al multiplicar por ella hace posible integrar la ecuación, se llama factor de integración para la ecuación diferencial. El siguiente ejemplo indica cómo ocurre esto. EJEMPLO 1

La ecuación diferencial x3

dy + x 2 y = 2x 3 + 1 dx

no es de la forma en (1). Pero la división de ambos lados entre x 3 da la ecuación lineal 1 1 dy + y = 2 + 3, dx x x

(2)

que es de la forma en (1), con P (x) = 1yx y Q (x) = 2 + (1yx )3. Por la razón que sea, multiplicamos ambos lados en (2) por el factor ρ (x) = x. El resultado es x

1 dy + y = 2x + 2 . dx x

608

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Ahora reconocemos el lado izquierdo como la derivada Dx (x · y)  x y  + y del producto x · y. De esta forma, la última ecuación se puede escribir como sigue: 1 Dx (x · y) = 2x + 2 . x Ahora integramos ambos lados respecto a x. Una integral indefinida de la derivada en la izquierda es simplemente el producto x · y. Debido a que las integrales de los dos lados difieren en una constante, la integración da    1 1 x·y= 2x + 2 d x = x 2 − + C. x x Por último, dividimos entre x para despejar y y con ello obtener la solución general 1 C y(x) = x − 2 + x x Z

de la ecuación diferencial lineal en (2).

El factor de integración crucial ρ (x) = x en el ejemplo 1 simplemente parece que fue “sacado de la manga”. Ahora demostraremos que el factor de integración dado por .X/ H EXP

0.X/ D X



siempre afecta la solución de la ecuación lineal y  + P (x)y = Q (x). Observe que, en el ejemplo 1 donde P (x) = 1yx, la ecuación (3) da   1 d x = eln x = x, ρ(x) = exp x y así es como se obtiene en realidad el factor de integración ρ (x) = x del ejemplo 1; en realidad no “se sacó de la manga”. En general, comenzamos con la ecuación lineal y  + P y = Q y multiplicamos ambos lados por el factor de integración ρ (x) en la ecuación (3). El resultado es E

0.X/ D X

DY C 0.X/E DX

0.X/ D X

Y H 1.X/E

0.X/ D X

:



$EBIDOAQUE $X

0.X/ D X H 0.X/;

el lado izquierdo de la ecuación (4) es la derivada del producto y (x) · e ∫ P ( x ) d x, de manera que la ecuación (4) es equivalente a

   Dx y(x) · e P(x) d x = Q(x)e P(x) d x . Integrando ambos lados de esta ecuación se obtiene 

  P(x) d x y(x)e = Q(x)e P(x) d x d x + C. Por último, despejando y, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden en (1):  

  Q(x)e P(x) d x d x + C . (5) y(x) = e− P(x) d x No hay necesidad de memorizar esta fórmula. En un problema específico suele ser más sencillo usar el método por el cual se desarrolló la fórmula. Esto es, para resolver una ecuación escrita en la forma en (1) con las funciones de coeficientes P (x) y Q (x) explícitas, debe realizar los siguientes pasos.

SECCIÓN 8.4

Ecuaciones lineales y aplicaciones

609

Método: solución de ecuaciones lineales de primer orden 1. Comience por calcular el factor de integración .X/ H E 0.X/ D X  2. Luego multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por ρ (x). 3. Reconozca el lado izquierdo de la ecuación resultante como la derivada de un producto: $X T.X/Y.X/U H .X/1.X/: 4. Por último, integre esta ecuación para obtener .X/Y.X/ H

.X/1.X/ D X C #;

después despeje y para obtener la solución general de la ecuación diferencial original. Dada una condición inicial y ( x 0) = y0, puede (como es usual) sustituir x = x 0 y y = y0 en la solución general y despejar C, que proporciona la solución particular que satisface la condición inicial.

OBSERVACIÓN 1

El factor de integración ρ (x) se determina sólo dentro de una constante multiplicativa. Si sustituimos

OBSERVACIÓN 2

0.X/ D X

CON

0.X/ D X C +

en la ecuación (3), el resultado es 

ρ(x) = e K +

P(x) d x

= eK e



P(x) d x

.

Pero el factor constante e K no afecta el resultado de multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial en (1) por ρ (x). Así, podemos elegir para P (x) d x cualquier antiderivada conveniente de P (x). EJEMPLO 2

Resuelva el problema de valor inicial 11 −x/3 dy −y= e , dx 8

Solución Tenemos 0.X/   Y 1.X/ H tegración es ρ(x) = e



y(0) = 0.  X= E 

(−1) d x

de manera que el factor de in-

= e−x .

Multiplicando ambos lados de la ecuación dada por e−x se obtiene e−x

11 −4x/3 dy − e−x y = e , dx 8

(6)

que reconocemos como 11 −4x/3 d −x . (e y) = e dx 8

Entonces la integración respecto a x proporciona  11 −4x/3 33 −x e e y= d x = − e−4x/3 + C, 8 32 y luego la multiplicación por e x proporciona la solución general y(x) = Ce x −

33 −x/3 . e 32

(7)

610 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales



# #

 # Y 

#  



# 



# 





X







FIGURA 8.4.1 Curvas de solución de la ecuación diferencial  X= DY YH E correspondientes DX  a diferentes valores de C en la ecuación (7).

Sustituyendo x = y = 0 se obtiene # H  por lo que la solución particular deseada es   X  X=  X E E E EX= : Y.X/ H H Z    OBSERVACIÓN La figura 8.4.1 muestra algunas curvas de solución típicas para la ecuación (6), incluyendo la que pasa por el origen. Note que algunas soluciones crecen con rapidez en la dirección positiva cuando x crece, mientras que otras crecen con rapidez en la dirección negativa. Este comportamiento de una curva de solución dada está determinado por su condición inicial y (0) = y0. Los dos tipos de comportamiento en el ejemplo 2 están separados por la solución particular  Y.X/ H EX=   3I Y >  para la que C = 0 en la ecuación (7), así, Y H  entonces C > 0 en   x la ecuación (7), de modo que el término e llegará a dominar el comportamiento de entonces C < 0, por y (x), y por ello y (x) → +∞ cuando x → +∞. Pero si y0 < −   lo que ambos términos en y (x) son negativos y, por lo tanto, y (x) → −∞ cuando x → es crítica en el sentido de que las soluciones +∞. Así, la condición inicial y0 = −   en el eje y crecen en la dirección positiva en tanto que comienza por encima de −   crecen en la dirección negativa cuando que las soluciones que empiezan debajo de −   x → +∞. La interpretación de un modelo matemático frecuentemente gira en torno a encontrar tal condición crítica que separa un tipo de comportamiento de una solución de otro tipo de comportamiento. EJEMPLO 3

Encuentre una solución general de DY C X Y H X: .X  C / DX



Solución Después de dividir ambos lados de la ecuación entre x 2 + 1, reconocemos el resultado 3x 6x dy + 2 y= 2 dx x +1 x +1 como una ecuación lineal de primer orden con P (x) = 3xy( x 2 + 1) y Q (x) = 6xy ( x 2 + 1). La multiplicación por el factor de integración X D X H EXP  LN.X  C / H .X  C /= .X/ H EXP  X C LLEVAA .X  C /= YPORLOTANTO

 #

$X .X  C /= Y H X.X  C /= :



La integración posteriormente proporciona  2 3/2 6x(x 2 + 1)1/2 d x = 2(x 2 + 1)3/2 + C. (x + 1) y =

Y  

Multiplicando ambos lados por ( x 2 + 1)−3y2 se tiene la solución general

# 



   

DY C X.X  C /= Y H X.X  C /= ; DX

Y.X/ H  C #.X  C /= :  X









FIGURA 8.4.2 Curvas de solución de la ecuación diferencial dy + 3x y = 6x (x 2 + 1) dx correspondientes a diferentes valores de C en la ecuación (9).

 Z

OBSERVACIÓN La figura 8.4.2 muestra algunas curvas de solución típicas para la ecuación (8). Note que cuando x → +∞, todas las otras soluciones se acercan a la curva de solución constante y (x) ≡ 2 que corresponde a C = 0 en la ecuación (9). Esta solución constante se puede describir como una solución de equilibrio de la ecuación diferencial, porque y (0) = 2 implica que y (x) = 2 para toda x (y así el valor de la solución permanece por siempre donde comenzó).

SECCIÓN 8.4

Ecuaciones lineales y aplicaciones

611

El método visto más de cerca El desarrollo anterior de la solución en la ecuación (5) de la ecuación lineal de primer orden y  + Py = Q requiere un examen más detallado. Suponga que las funciones de coeficientes P (x) y Q (x) son continuas en el intervalo abierto I (tal vez no acotado). Entonces las antiderivadas 0.X/ D X

Y

1.X/E

0.X/ D X

DX

existen en I. Nuestro desarrollo de la ecuación (5) muestra que si y = y (x) es una solución de la ecuación (1) en I, entonces y (x) está dada por la fórmula en (5) para alguna opción de la constante C. Inversamente, puede verificar por sustitución directa que la función y (x) dada en la ecuación (5) satisface la ecuación (1). Por último, dado un punto x 0 de I y cualquier número y0, existe, como se observó antes, un valor único de C tal que y ( x 0) = y0. En consecuencia, hemos probado el siguiente teorema de existencia-unicidad.

TEOREMA 1 La ecuación lineal de primer orden Si las funciones P (x) y Q (x) son continuas en el intervalo abierto I que contiene al punto x 0, entonces el problema de valor inicial DY C 0.X/Y H 1.X/; Y.X / H Y  DX tiene una solución única y (x) en I, dada por la fórmula en (5) con un valor apropiado de C. El teorema 1 proporciona una solución en todo el intervalo I para una ecuación diferencial lineal, al contrario del teorema de existencia-unicidad mencionado en el último párrafo de la sección 8.2. Ese teorema garantiza sólo una solución en un intervalo J tal vez más pequeño.

OBSERVACIÓN 1

OBSERVACIÓN 2 El teorema 1 dice que toda solución de la ecuación (1) está incluida en la solución general dada en la ecuación (5). Así, una ecuación diferencial lineal de primer orden no tiene una “solución singular” que no esté incluida en la solución general.

El valor apropiado de la constante C en la ecuación (5), como se necesita para resolver el problema de valor inicial en (10), se selecciona “automáticamente” escribiendo   x P(t) dt , ρ(x) = exp

OBSERVACIÓN 3

x0



y(x) =

1 y0 + ρ(x)



x



(11)

ρ(t)Q(t) dt .

x0

Los límites indicados x 0 y x producen una elección de integrales indefinidas en la ecuación (5) que garantiza de antemano que ρ ( x 0) = 1 y que y ( x 0) = y0 (cuando se puede verificar directamente con la sustitución de x = x 0 en las ecuaciones en (11)). EJEMPLO 4

Resuelva el problema de valor inicial DY X C X Y H SENX; Y./ H Y : DX



Solución La división entre x 2 da la ecuación lineal de primer orden DY  SENX C YH  DX X X 2 en la que P (x) = 1yx y Q (x) = (sen x)yx . Con x 0 = 1 el factor de integración en

612 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

(11) es

X

.X/ H EXP 

 DT T

H EXP.LN X/ H X;

por lo que la solución particular deseada está dada por X  SENT DT : Y.X/ H Y C X T 



De acuerdo con el teorema 1, esta solución está definida en todo el lado positivo del eje x. Z

 

 

OBSERVACIÓN Por lo común una integral como la de la ecuación (13) puede (para un valor de x dado) ser necesario aproximarla numéricamente, usando la aproximación de Simpson, por ejemplo—, para encontrar el valor de y (x) de la solución en x. Pero la integral sirve perfectamente bien para definir la función y (x). Por ejemplo, usando un sistema algebraico de computadora, se puede usar el comando de Maple

Y 







 

y := (1/x)*(1 + int(sin(t)/t, t=1..x));



         X

FIGURA 8.4.3 Curvas de solución de la ecuación diferencial DY X C X Y H SENX correspondiente DX a diferentes valores de y0 en la ecuación (13).

o el comando de Mathematica y = (1/x)*(1 + Integrate[Sin[t]/t, { t, 1, x } ]);

para definir la solución particular con y (1) = 1, luego graficar esta solución de la manera usual. La figura 8.4.3 muestra las curvas de solución graficadas de esta manera con valores iniciales y (1) = y0 que va de y0 = −2 a y0 = 2. Parece que en cada curva de solución, y (x) → 0 cuando x → +∞.

Problemas de mezclas Como una primera aplicación de las ecuaciones lineales de primer orden, consideramos un tanque que contiene una solución, una mezcla de soluto y disolvente, como sal disuelta en agua. Existe un flujo hacia adentro y uno hacia afuera y queremos calcular la cantidad x (t) de soluto en el tanque en el tiempo t, dada la cantidad x (0) = x 0 en el tiempo t = 0. Suponga que la solución con una concentración de ce gramos de soluto por litro de solución fluye al tanque a una tasa constante de re litros por segundo y que la solución en el tanque —manteniéndola bien mezclada revolviendo— sale a una tasa constante de rs litros por segundo. Para establecer la ecuación diferencial para x (t), estimamos el cambio x en x durante el breve intervalo de tiempo [ t, t + t ]. La cantidad de soluto que entra al tanque durante t segundos es re ce t gramos. Para verificar esto, observe que la cancelación de unidades en LITROS GRAMOS RE  CE  . T SEGUNDOS/ SEGUNDO LITRO %NTRADARE,S CEGM,

#ANTIDAD XT 6OLUMEN6T #ONCENTRACI˜NCST  6X 3ALIDA RS,S CSGM,

FIGURA 8.4.4 Problema de mezcla en un tanque.

da una cantidad medida en gramos. La cantidad de soluto que fluye fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo depende de la concentración cs (t) de soluto en la solución en el tiempo t. Pero como se observa en la figura 8.4.4, cs (t) = x (t)yV (t), donde V (t) denota el volumen (no constante a menos que re = rs ) de solución en el tanque en tiempo t. Entonces x = {gramos de entrada} − {gramos de salida} ≈ re ce t − rs cs t.

(14)

Ahora dividimos entre t:

X  RECE RS CS : T Por último, tomamos el límite cuando t → 0; si todas las funciones involucradas son continuas y x (t) es derivable, entonces el error en esta aproximación también tiende a cero y obtenemos la ecuación diferencial DX H RECE RS CS ; DT



SECCIÓN 8.4

Ecuaciones lineales y aplicaciones

en la que re , ce y rs son constantes, pero cs denota la variable concentración X.T/ CS .T/ H 6 .T/

613



de soluto en el tanque en el tiempo t. Así, la cantidad x (t) de solución en el tanque satisface la ecuación diferencial RS DX H RECE X:  DT 6 Si V0 = V (0), entonces V (t) = V0 + (re − rs ) t, de manera que la ecuación (17) es una ecuación diferencial lineal de primer orden para la cantidad x (t) de soluto en el tanque en el tiempo t. OBSERVACIÓN La ecuación (17) no es una que deba aprender de memoria. Es el proceso usado para obtener esa ecuación (examen del comportamiento del sistema en un periodo corto [t, t + t]) lo que debe empeñarse en comprender, porque es una herramienta útil para obtener toda clase de ecuaciones diferenciales. OBSERVACIÓN Al desarrollar la ecuación (17) usamos unidades de g/L masa/volumen por conveniencia. Cualquier otro sistema de unidades consistente se puede usar para medir cantidades de soluto y volúmenes de solución. En el siguiente ejemplo medimos ambos en kilómetros cúbicos.

EJEMPLO 5 Suponga que el lago Erie tiene un volumen de 480 km3 y que sus tasas de flujo de entrada (desde el lago Huron) y salida (hacia el lago Ontario) son ambas 350 km3 por año. Suponga que en el tiempo t = 0 (en años), la concentración de contaminantes en el lago Erie, causada por contaminación industrial en el pasado que ahora se reglamentó que cesara, es cinco veces la del lago Huron. Si el flujo de salida del lago Erie de aquí en adelante es agua del lago perfectamente mezclada, ¿cuánto tardará en reducirse la concentración de contaminación en el lago Erie al doble que la del lago Huron?

Solución Aquí el “tanque de mezclado” es el lago Erie y x (t) denota el volumen de contaminantes en el lago después de t años. Si c denota la constante (aunque desconocida) de la concentración de contaminantes en el lago Huron, entonces la concentración inicial de contaminantes en el lago Erie es 5c. Resumiendo la información dada, tenemos V = 480 (km3), re = rs = r = 350 (km3/año), ce = c (concentración de contaminantes en lago Huron) y x 0 = x (0) = 5cV. La pregunta es: ¿cuándo es x (t) = 2c V ? Con esta notación, la ecuación (17) es la ecuación separable r dx = r c − x, (18) dt V lo que rescribimos en la forma lineal de primer orden dx + px = q (19) dt con coeficientes constantes p = ryV, q = r c y factor de integración ρ = e pt. Puede ya sea resolver esta ecuación directamente o aplicar la fórmula en (11). Esto último proporciona      t q pt − pt pt − pt x0 + x0 + (e − 1) qe dt = e x(t) = e p 0   r c  r t/V −1 ; e = e−r t/V 5cV + r/V x(t) = cV + 4cV e−r t/V .

(20)

614 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

De esta forma, para encontrar x (t) = 2cV, necesitamos sólo resolver la ecuación 2cV = cV + 4cV e−r t/V ,

que se simplifica a 4e−r tyV = 1, después de la cancelación de cV:  6 LN  H LN   : R 

TH

A®OS 

Z

EJEMPLO 6 Un tanque de 120 gal contiene inicialmente 90 lb de sal disuelta en 90 gal de agua. La salmuera que contiene 2 lb/gal de sal fluye al tanque a una tasa de 4 gal/min, y la mezcla final fluye en su salida a una tasa de 3 gal/min. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando está lleno?

Solución La característica interesante en este ejemplo es que, debido a las tasas diferentes de entrada y salida, el volumen de salmuera en el tanque aumenta de forma estable con V (t) = 90 + t galones. El cambio x en la cantidad x de sal en el tanque del tiempo t al tiempo t + t está dado por   x t, x ≈ 4 · 2 · t − 3 · 90 + t y la ecuación diferencial que modela este ejemplo es dx 3 + x = 8. dt 90 + t

Un factor de integración es



ρ(x) = exp

3 dt 90 + t

 = e3 ln(90+t) = (90 + t)3 ,

que proporciona Dt [(90 + t)3 x] = 8 · (90 + t)3 ; (90 + t)3 x = 2(90 + t)4 + C.

Sustituyendo x (0) = 90 se tiene C = −(90)4, de modo que la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t es x(t) = 2 · (90 + t) −

904 . (90 + t)3

El tanque está lleno después de 30 min, y cuando t = 30, tenemos x(30) = 2 · (90 + 30) −

904 ≈ 202 1203

(lb)

Z

de sal en el tanque.

Movimiento con resistencia En la sección 8.2 exploramos las soluciones gráficas y numéricas de la ecuación diferencial DG H G KG DT



que satisface la velocidad hacia abajo v de una pelota que se deja caer desde un helicóptero suspendido y que en adelante la afectan la gravedad y la resistencia del aire proporcional a v. Ahora exploramos soluciones simbólicas de problemas similares.

SECCIÓN 8.4

Y &2 M

.OTA&2ACT¢AHACIAARRIBACUANDO ELCUERPOVACAYENDO M &UERZANETA&&2&'

&'

.IVELDELSUELO X

FIGURA 8.4.5 Movimiento vertical con resistencia del aire.

Ecuaciones lineales y aplicaciones

615

Suponga que una pelota se lanza al aire directo hacia arriba. Establecemos un sistema de coordenadas con el eje y dirigido hacia arriba y con y = 0 en el nivel del piso. Como se ilustra en la figura 8.4.5, la pelota de masa m recibe la acción de la fuerza de la gravedad FG = −mg (negativa porque tiene dirección hacia abajo) y de la fuerza de resistencia del aire FR. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la pelota, entonces (22) FR = −Rv donde R > 0 es una constante de proporcionalidad. Observe que el signo menos indica correctamente que la fuerza actúa hacia abajo (FR < 0) cuando el movimiento es hacia arriba (v > 0) y actúa hacia arriba (FR > 0) cuando el movimiento es hacia abajo (v < 0). Por la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza total F = FG + FR es igual a la aceleración ma = m (d vyd t) de la pelota, y por lo tanto dv = −mg − Rv. dt La división entre la masa m de la pelota lleva a la ecuación m

DG H G KG DT

(23)



donde k = Rym > 0 y g ≈ 32 ft/s2 (o 9.8 m/s2). (Debe verificar que si el eje y positivo se dirigiera hacia abajo y no hacia arriba; entonces esta derivación llevaría a la ecuación (21) con un solo signo cambiado en el lado derecho.) EJEMPLO 7 Suponga que la pelota de la sección 8.2 (con k = 0.16 en unidades inglesas) se lanza hacia arriba desde el suelo, quizá con una máquina lanzadora, con una velocidad inicial de 160 ft/s. Encuentre a) la altura máxima que alcanza; b) su tiempo de ascenso hasta esa altura y su tiempo de descenso al suelo; c) la velocidad con que choca con el suelo. Antes de proceder con la solución, consideramos (a fin de hacer una comparación posterior) el caso en que no hay resistencia del aire. Con k = 0 en la ecuación (24), calculamos de inmediato DG H ; G H T C ; Y YH G DT H T  C T DT (con v0 = 160 y y0 = 0) como en la sección 5.2. La pelota llega a su altura máxima cuando v = −32t + 160 = 0, o sea cuando t = 5 (s). Entonces la máxima altura es y (5) = 400 (ft). Choca con el suelo después de 10 segundos, con una velocidad v (10) = −160 ft/s (la misma velocidad con la que fue lanzada).

Solución Si rescribimos la ecuación (24) en la forma dv + (0.16)v = −32, dt observamos que se tiene una ecuación diferencial lineal con factor de integración ρ(t) = e



(0.16) dt

= e(0.16)t .

Después de multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por ρ (t) e integrar, obtenemos dv + (0.16)e(0.16)t v = −32e(0.16)t ; e(0.16)t dt  Dt e(0.16)t v = −32e(0.16)t ;    (0.16)t v= −32e(0.16)t dt = −200e(0.16)t + C1 . e

616 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Sustituyendo t = 0, v = 160 se tiene C1 = 360, de manera que después de t segundos la velocidad de la pelota es  (25) v(t) = e−(0.16)t −200e(0.16)t + 360 = −200 + 360e−(0.16)t . Una antiderivación sencilla proporciona    y = v dt = −200 + 360e−(0.16)t dt = −200t − 2250e−(0.16)t + C2 .

Y   

Por último, al sustituir t = 0, y = 0 se tiene C2 = 2250, de modo que la altura de la pelota después de t segundos en el aire es  (26) y(t) = −200t + 2250 1 − e−(0.16)t .

   

















FIGURA 8.4.6 Gráfica de la función de altura y (t) de la pelota.

T

La figura 8.4.6 muestra la gráfica de y (t). A primera vista, la resistencia del aire redujo la altura máxima de la pelota de 400 ft a menos de 300 ft, y su tiempo total en el aire de 10 s a un poco más de 8 s: a) La pelota lleva a su pico cuando y (t) = v (t) = −200 + 360e−(0.16)t = 0, de manera que su tiempo de ascenso es ln(360/200) ≈ 3.67 (s). t= 0.16 Así, su máxima altura en el aire está dada por la ecuación (26) como y (3.67) ≈ 265.27 ft. b) La pelota regresa al suelo cuando Y.T/ H I

ESDECIR CUANDO

T C   E.=/T H :

Usando el método de Newton, o el comando Solve en un sistema algebraico de calculadora o computadora, encontramos que t ≈ 8.24 s. Así, el tiempo de descenso de la pelota (de su pico o cúspide al suelo) es aproximadamente 8.24 − 3.67 = 4.57 s. Note que este tiempo de descenso es un poco mayor que su tiempo de ascenso, como lo sabe todo receptor de las ligas mayores. c) Por último, la velocidad con que la pelota choca con el suelo está dada por la ecuación (25) como v (8.24) ≈ −103.68 ft/s. Note que la velocidad de impacto de la pelota es considerablemente menor que su velocidad inicial de lanzamiento de Z 160 ft/s. OBSERVACIÓN Suponga que en lugar de chocar con el suelo, la pelota del ejemplo 7 cae en un agujero virtualmente sin fondo (como un tiro de mina profundo). Note que la ecuación (25) implica que no cae con velocidad uniformemente creciente —como lo haría en el vacío— sino que se acerca a su velocidad limitante de 200 ft/s (como se observó gráfica y numéricamente en la sección 8.2). Este fenómeno se analiza de manera más general en el problema 43. Explica por qué en ocasiones leemos de alguien cuyo paracaídas no abrió por completo pero sobrevivió (quizá con la ayuda de un pajar en un lugar conveniente).

8.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si P (x) y Q (x) son funciones lineales de x, entonces la ecuación diferencial d yyd x + P (x)y = Q (x) es lineal. 2. Si P ( y) y Q ( y) son funciones lineales de y, entonces la ecuación diferencial d yyd x + P ( y )y = Q ( y ) es lineal. 3. Existe una fórmula explícita que da un factor de integración ρ (x) para la ecuación diferencial d yyd x + P (x)y = Q (x) en términos de las funciones P (x) y Q (x). 4. Si dos personas calculan los dos factores de integración ρ1(x) y ρ2(x) para la misma ecuación diferencial y los dos supuestos factores de integración no son absolutamente idénticos, entonces una de las personas cometió un error.

SECCIÓN 8.4

Ecuaciones lineales y aplicaciones

617

5. Si y (x) es una solución de la ecuación diferencial dy − y = 11 e−x/3 8 dx del ejemplo 2, entonces | y (x)| → ∞ cuando x → + ∞. 6. Si y (x) es una solución de la ecuación diferencial dy (x 2 + 1) + 3x y = 6x dx del ejemplo 3, entonces y (x) → 2 cuando x → + ∞. 7. Si las funciones P (x) y Q (x) son continuas para toda x, entonces el problema de valor inicial dy + P(x)y = Q(x), y(x0 ) = y0 dx tiene una solución que está definida para toda x. 8. Toda ecuación diferencial lineal tiene tanto una solución general como al menos una solución particular que no está incluida en la solución general. 9. En la ecuación diferencial DX H RECE RS CS DT que se desarrolló en la subsección Problemas de mezclas, la variable dependiente x (t) representa la concentración de soluto en el tanque en el tiempo t. 10. En la ecuación diferencial dv = −g − kv dt que se desarrolló en la subsección de Movimiento con resistencia, la variable dependiente v (t) representa la velocidad hacia abajo de un cuerpo al caer sujeto a la gravedad y la resistencia del aire proporcional a la velocidad.

8.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Escriba varias ecuaciones diferenciales que sean lineales pero no separables. 2. Escriba varias ecuaciones diferenciales que sean lineales y separables. Compare sus soluciones por separación de variables con sus soluciones utilizando el método de esta sección. ¿Son idénticas las dos soluciones generales en cada caso? Si no, reconcilie los dos resultados. En general, ¿un método parece más fácil que el otro? ¿Depende esto de la ecuación diferencial de que se trate? 3. Considere el movimiento hacia arriba y hacia abajo de una pelota sujeta a la gravedad y a una fuerza FR = −Rv p de la resistencia del aire que es proporcional a alguna potencia p H 1 de la velocidad. ¿El resultado de la ecuación diferencial —análogo a (24)— es todavía lineal? Si no lo es, ¿puede pensar en un valor de p para el que pueda resolver despejando la función de velocidad v (t)?

8.4 PROBLEMAS Encuentre las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 20. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente. dy + y = 2, 1. dx

y(0) = 0

2.

dy − 2y = 3e2x , dx

3.

dy + 3y = 2xe−3x dx

y(0) = 0

4. 5. 6. 7. 8.

dy 2 − 2x y = e x dx dy + 2y = 3x, y(1) = 5 x dx dy x + 5y = 7x 2 , y(2) = 5 dx √ dy 2x + y = 10 x dx dy 3x + y = 12x dx

618 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

dy − y = x, y(1) = 7 dx dy − 3y = 9x 3 2x dx dy x + y = 3x y, y(1) = 0 dx dy + 3y = 2x 5 , y(2) = 1 x dx dy + y = e x , y(0) = 1 dx dy − 3y = x 3 , y(1) = 10 x dx dy + 2x y = x, y(0) = −2 dx dy = (1 − y) cos x, y(π ) = 2 dx dy + y = cos x, y(0) = 1 (1 + x) dx dy = 2y + x 3 cos x x dx dy + y cot x = cos x dx dy = 1 + x + y + x y, y(0) = 0 dx

9. x 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

entra al tanque a una tasa de 5 gal/s y la salmuera bien mezclada en el tanque sale a una tasa de 3 gal/s. ¿Cuánta sal habrá en el tanque cuando esté lleno con salmuera? 28. Considere la cascada de dos tanques mostrada en la figura 8.4.7, con V1 = 100 (gal) y V2 = 200 (gal), los volúmenes de salmuera en los dos tanques. Cada tanque también contiene al inicio 50 lb de sal. Las tres tasas de flujo indicadas en la figura son cada una de 5 gal/min, con agua pura que entra al tanque 1. a) Encuentre la cantidad x (t) de sal en el tanque 1 en el tiempo t. b) Suponga que y (t) es la cantidad de sal en el tanque 2 en el tiempo t. Demuestre primero que dy 5x 5y = − , dt 100 200

luego obtenga y (t), usando la función x (t) encontrada en el inciso a). c) Por último, encuentre la cantidad máxima de sal que hubo en el tanque 2.

4ANQUE 6OLUMEN6 #ANTIDADX

4ANQUE 6OLUMEN6 #ANTIDADY

21. Exprese la solución general de d yyd x = 1 + 2x y en términos de la función de error  x 2 2 erf(x) = √ e−t dt. π 0 22. Exprese la solución del problema de valor inicial dy = y + 2x cos x, y(1) = 0 2x dx como una integral, como en el ejemplo 4. 23. Un tanque contiene 1000 L de una solución que consiste en 100 kg de sal disuelta en agua. Se bombea al tanque agua pura a una tasa de 5 L/s, y la mezcla —mantenida uniforme revolviendo— se bombea fuera del tanque a la misma tasa. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que queden sólo 10 kg de sal en el tanque? 24. Considere una presa con un volumen de 8 mil millones de pies cúbicos (ft3) y una concentración de contaminantes inicial de 0.25%. Hay un flujo de entrada diario de 500 millones de ft3 de agua con una concentración de contaminantes de 0.05% y uno de salida igual de agua bien mezclada de la presa. ¿Cuánto tiempo tomará reducir la concentración de contaminantes en la presa a 0.10%? 25. Trabaje de nuevo el ejemplo 5 para el caso del lago Ontario. Las únicas diferencias son que este lago tiene un volumen de 1640 km3 y una tasa de flujo de entrada-salida de 410 km3/año. 26. Un tanque en un inicio contiene 60 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 1 lb de sal por galón entra al tanque a 2 gal/min, y la solución (bien mezclada) sale del tanque a 3 gal/min; así, el tanque queda vacío después de exactamente 1 h. a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque después de t minutos. b) ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que hubo en el tanque? 27. Un tanque de 400 gal contiene en un inicio 100 gal de salmuera con 50 lb de sal. Salmuera con 1 lb de sal por galón

FIGURA 8.4.7 Cascada de dos tanques.

29. Una mujer de 30 años acepta un puesto de ingeniería con salario inicial de $30,000 (dólares) anuales. Su salario S (t) aumenta exponencialmente con S (t) = 30ety20 mil dólares después de t años. Mientras, 12% de su salario se deposita continuamente en una cuenta para el retiro, que acumula interés a una tasa continua anual de 6%. a) Estime A en términos de t para obtener la ecuación diferencial que satisface la cantidad A(t) en su cuenta de retiro después de t años. b) Calcule A(40), la cantidad disponible para su retiro a los 70 años. 30. Suponga que un granizo que cae con densidad δ = 1 tiene en reposo un radio despreciable r = 0. En adelante su radio es r = kt (k es una constante) conforme crece por acumulación durante su caída. Establezca y resuelva el problema de valor inicial d (mv) = mg, dt

v(0) = 0,

donde m es la variable de masa del granizo, v = d yyd t es su velocidad y el eje y positivo está dirigido hacia abajo. Entonces demuestre que d vyd t = gy4. Así, el granizo cae como si tuviera sólo un cuarto de la influencia de la gravedad. 31. La aceleración de un Maserati es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad de este auto deportivo. Si esta máquina puede acelerar desde el reposo a 100 km/h en 10 s, ¿cuánto tiempo tarda en acelerar del reposo a 200 km/h?

SECCIÓN 8.5

32. Suponga que un cuerpo se mueve en un medio resistente con resistencia proporcional a su velocidad v, de manera que d vyd t = −kv. a) Demuestre que su velocidad y posición en el tiempo t están dadas por v(t) = v0 e−k t

y

 x(t) = x0 +

33.

34.

35.

36.

 v0 (1 − e−k t ). k

b) Concluya que el cuerpo viaja sólo una distancia finita y encuentre esa distancia. Suponga que un barco de motor se mueve a 40 ft/s cuando su motor, súbitamente, se detiene y que 10 s más tarde ha disminuido su velocidad a 20 ft/s. Suponga, como en el problema 32, que la resistencia que encuentra al costear es proporcional a su velocidad. ¿Qué tan lejos bordeará la costa el barco en total? Considere un cuerpo que se mueve horizontalmente por un medio cuya resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad v, de modo que d vyd t = −kv2. Demuestre que v0 v(t) = 1 + v0 k t y que 1 x(t) = x0 + ln(1 + v0 k t). k Note que, al contrario del resultado del problema 32, x (t) → +∞ cuando t → +∞. Suponiendo una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad (como en el problema 34), ¿qué tan lejos bordea la costa el barco de motor del problema 33 en el primer minuto después que se detiene su motor? Suponga que un cuerpo que se mueve con velocidad v encuentra resistencia de la forma d vyd t = −kv3y2. Demuestre que 4v0 v(t) =  √ 2 k t v0 + 2 y que x(t) = x0 +

  2√ 2 v0 1 − √ . k k t v0 + 2

Concluya que bajo una resistencia de potencia  un barco bordea la costa sólo una distancia finita antes de detenerse. 37. Suponga que un auto arranca del reposo, su motor proporciona una aceleración de 10ft/s2, mientras que la resistencia del aire proporciona 0.1 ft/s2 de desaceleración por cada pie por segundo de velocidad del auto. a) Encuentre la velocidad máxima (limitante) posible del auto. b) Encuentre el tiempo que tarda el auto en alcanzar 90% de su velocidad limitante y qué tan lejos llega al hacerlo. 38. Trabaje de nuevo ambos incisos del problema 37, con la diferencia de que la desaceleración debida a la resistencia del aire ahora es (0.001)v2 ft/s2 cuando la velocidad del auto es v pies por segundo.

Modelos de población

619

39. Un barco de motor pesa 32,000 lb y su motor proporciona un impulso de 5000 lb. Suponga que la resistencia del agua es 100 libras por cada pie por segundo de velocidad v del barco. Entonces dv 1000 = 5000 − 100v. dt Si el barco comienza en reposo, ¿cuál es la velocidad máxima que puede lograr? 40. Se propone disponer de los desperdicios nucleares —en tambores con peso W = 640 lb y volumen de 8 ft3— dejándolos caer en el océano (v0 = 0). La ecuación de fuerza para un tambor que cae en el agua es dv m = −W + B + FR , dt donde la fuerza flotante B es igual al peso (a 62.5 lb/ft3) del volumen de agua desplazada por el tambor (principio de Arquímedes) y FR es la fuerza de resistencia del agua, encontrada empíricamente como 1 lb por cada pie por segundo de velocidad del tambor. Si es probable que los tambores exploten por un impacto mayor que 75 ft/s, ¿cuál es la profundidad máxima a la que pueden dejarse caer en el océano sin peligro de que exploten? 41. Trabaje de nuevo en el ejemplo 7, pero para una catapulta para la que v  = −9.8 −0.04v (unidades métricas) lanzada hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 49 m/s. 42. Considere de nuevo la pelota de los ejemplos 2 y 5 en la sección 8.2, que se deja caer desde un helicóptero suspendido a una altura de 3000 pies. a) Resuelva el problema de valor inicial dv = 32 − (0.16)v, v(0) = 0 dt para encontrar su velocidad v (t) después de t segundos. b) Demuestre que la velocidad limitante de la pelota es justo 200 ft/s. c) Encuentre el tiempo de descenso de la pelota al suelo. 43. Resuelva el problema general de velocidad inicial d vyd t = −g − kv, v (0) = v0 para un proyectil que se mueve en una línea vertical sujeto a la gravedad y a la resistencia del aire. Demuestre que g v(t) = v0 e−kt + (e−kt − 1). k Concluya que el proyectil se acerca a la velocidad terminal limitante dada por G G H L¤M G.T/ H : T!1 K 44. Una mujer salta de un avión a una altitud de 10,000 ft y avanza en caída libre durante 20 s, luego abre su paracaídas. ¿Cuánto tardará en llegar al suelo? Suponga una resistencia del aire lineal de k pies por segundo por segundo, tomando k = 0.15 sin paracaídas y k = 1.5 con paracaídas. (Sugerencia: primero determine la altura y velocidad en el momento en que abre el paracaídas.)

8.5 MODELOS DE POBLACIÓN En la sección 8.1 se introdujo la ecuación diferencial exponencial d Pyd t = k P, con solución P (t) = P0ek t, como modelo matemático para el crecimiento popular de la población que ocurre como resultado de tasas constantes de nacimiento y muerte. Aquí presentaremos un modelo de población más general que sirve para las tasas de

620

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

nacimiento y muerte que no necesariamente son constantes. Sin embargo, como antes, la función de población P (t) será una aproximación continua de la población real, que por supuesto crece en incrementos enteros. Suponga que la población cambia sólo por la ocurrencia de nacimientos o muertes, no hay inmigración o emigración fuera del país o del entorno que se estudia. Es costumbre registrar el crecimiento o decrecimiento de una población en términos de sus funciones de tasa de nacimiento y tasa de muertes definidas como sigue: • β (t) es el número de nacimientos por unidad de población por unidad de tiempo en el tiempo t; • δ (t) es el número de muertes por unidad de población por unidad de tiempo en el tiempo t. De este modo, los números de nacimientos y muertes que ocurren durante el pequeño intervalo de tiempo [t, t + t] están dados (aproximadamente) por nacimientos:

β (t) · P(t) · t;

muertes:

δ (t) · P(t) · t.

Así, el cambio P en la población durante el intervalo de tiempo [t, t + t] de longitud t es P = {nacimientos} − {muertes} ≈ β (t) · P(t) · t − δ (t) · P(t) · t, de manera que 0  T .T/ .T/U
0.T/: T El error en esta aproximación debe acercarse a cero cuando t → 0, por lo que, tomando el límite, obtenemos la ecuación diferencial D0 H . /
0 DT



en la que escribimos β = β(t), δ = δ(t) y P = P (t) por brevedad. La ecuación (1) es la ecuación de población general. Si β y δ son constantes, la ecuación (1) se reduce a la ecuación de crecimiento natural con k = β − δ. Pero también incluye la posibilidad de que β y δ sean funciones variables de t. Las tasas de nacimiento y muerte no necesitan conocerse de antemano; pueden bien depender de la función desconocida P (t). EJEMPLO 1 Suponga que una población de cocodrilos tiene 100 de ellos en un inicio, y que su tasa de muerte es δ = 0 (de modo que ninguno de los cocodrilos ha muerto). Si la tasa de nacimiento es β = (0.0005)P, y por eso la tasa aumenta cuando la población lo hace, entonces la ecuación (1) proporciona el problema de valor inicial dP P(0) = 100 = (0.0005)P 2 , dt (con t en años). Después de separar las variables obtenemos   1 d P = (0.0005) dt; P2 1 − = (0.0005)t + C. P Sustituyendo t = 0, P = 100 da C = −1y100, y luego resolvemos despejando 2000 . P(t) = 20 − t Por ejemplo, P (10) = 2000y10 = 200, por lo que después de 10 años la población de cocodrilos se duplica. Pero vemos que P (t) → +∞ cuando t → 20, de manera que una “explosión de población” real ocurre en 20 años. Sin duda, el campo de direcciones y las curvas de solución mostrados en la figura 8.5.1 indican que siempre ocurre una explosión de población, no importa el tamaño de la población (positiva) inicial P (0) = P0. En particular, parece que la población siempre se convierte en no acotada en un periodo finito. Z

SECCIÓN 8.5

Modelos de población

621

   0  

   





T







FIGURA 8.5.1 Campo de direcciones y curvas de solución para la ecuación d Pyd t = (0.0005)P2 en el ejemplo 1.

Poblaciones acotadas y la ecuación logística En situaciones tan diversas como la población humana de una nación y una población de moscas de fruta en un contenedor cerrado, con frecuencia se observa que la tasa de nacimiento decrece cuando la población en sí crece. Las razones pueden ir de un aumento en la sofisticación científica y cultural hasta la disponibilidad de comida y espacio. Suponga, por ejemplo, que la tasa de nacimiento β es una función lineal decreciente del tamaño de la población P, de modo que β = β0 − β1P donde β0 y β1 son constantes positivas. Si la tasa de muerte δ = δ0 permanece constante, entonces la ecuación (1) toma la forma D0 H .   0  /0I DT ESDECIR D0 H A 0 B 0 DT



donde a = β0 − δ0 y b = β1. Si los coeficientes a y b son ambos positivos, entonces la ecuación (2) se llama ecuación logística. Para el propósito de relacionar el comportamiento de la población P (t) con los valores de los parámetros en la ecuación, es útil rescribir la ecuación logística en la forma D0 H K 0.- 0/ DT



donde k = b y M = ayb son constantes. EJEMPLO 2 En el ejemplo 3 de la sección 8.2 se exploró gráficamente una población modelada por la ecuación logística dP = (0.0004)P · (150 − P) = (0.06)P − (0.0004)P 2 . (4) dt Para resolver esta ecuación diferencial simbólicamente, separamos las variables e integramos. Obtenemos  D 0 H .:/ DTI 0. 0/  

  C 0  0

D0 H

.:/ DT

;FRACCIONESPARCIALES=

LN j0j LN j 0j H .:/T C #I 0 H E# E.:/T H "E.:/T  0

;DONDE " H E# =:

CAPÍTULO 8

622

Ecuaciones diferenciales

Si sustituimos t = 0 y P = P0 en esta última ecuación, encontramos que B = P0y(150 − P0). Así,

0 

P P0 e(0.06)t = . 150 − P 150 − P0

0

   

Por último, es sencillo resolver esta última ecuación y obtener la población 0

  







P(t) =

T

FIGURA 8.5.2 Curvas de solución típicas para la ecuación logística P  = 0.06P − 0.0004P 2.

150P0 P0 + (150 − P0 )e−(0.06)t

(5)

en el tiempo t en términos de la población inicial P0 = P (0). La figura 8.5.2 muestra varias curvas de solución correspondientes a diferentes valores de la población inicial de P0 = 20 a P0 = 300. Note que todas estas curvas de solución se acercan a la línea horizontal P = 150 como una asíntota. Sin duda, debe poder ver directamente de la ecuaZ ción (5) que P (t) → 150 cuando t → +∞, sin importar el valor inicial P0 > 0.

Poblaciones limitadas y capacidad de contención La población limitante finita descubierta en el ejemplo 2 es característica de las poblaciones logísticas. En el problema 31 se pide que use el método de solución del ejemplo 2 para demostrar que la solución del problema logístico de valor inicial D0 H K 0.- 0/; DT

0./ H 0



ES 0.T/ H

- 0  0 C .- 0 /EK -T



Las poblaciones reales tienen valores positivos. Si P0 = M entonces (7) se reduce a la población en equilibrio (de valor constante) que no cambia P (T) ≡ M. De otra manera, el comportamiento de una población logística depende de si 0 < P0 < M o P0 > M. Si 0 < P0 < M vemos en las ecuaciones (6) y (7) que P (t) > 0 y 0.T/ H

- 0 - 0 - 0 < H H -: K -T 0 C .- 0 /E 0 C fN¢MEROPOSITIVOg 0

Pero si P0 > M, entonces observamos en las ecuaciones (6) y (7) que P (t) < 0 y 0.T/ H

En cada caso, el “número positivo” o “número negativo” en el denominador tiene un valor absoluto menor que P0 y, debido al factor exponencial, tiende a cero cuando t → +∞. Se deduce que

0

-

- 0 - 0 - 0 > H H -: K -T 0 C .- 0 /E 0 C fN¢MERONEGATIVOg 0

0-

L¤M 0.T/ H

T!1

0- T

FIGURA 8.5.3 Curvas de solución típicas para la ecuación logística P  = k P (M − P). Cada curva de solución que comienza abajo de la recta P = My2 tiene un punto de inflexión en esta recta. (Vea el problema 33).

- 0 H -: 0 C 



La población que satisface la ecuación logística no crece sin límite como una población con crecimiento natural modelada por la ecuación exponencial d Pyd t = kP. En su lugar, tiene a la población limitante finita M cuando t → +∞. Como lo ilustran las curvas de solución típicas de la ecuación logística mostradas en la figura 8.5.3, la población P (t) aumenta en forma estable y tiende a M desde abajo si 0 < P0 < M, pero disminuye de manera estable y tiende a M desde arriba si P0 > M. Algunas veces M recibe el nombre de capacidad de contención del entorno, considerando que es la población máxima que el entorno es capaz de sostener en el largo plazo.

SECCIÓN 8.5

Modelos de población

623

EJEMPLO 3 Suponga que en 1885 la población de cierto país era 50 millones y crecía a la tasa de 750,000 personas por año en ese tiempo. Suponga también que en 1940 su población era 100 millones y crecía a la tasa de 1 millón por año. Suponga que esta población satisface la ecuación logística. Determine tanto la población limitante M como el pronóstico de población para el año 2000.

Solución que

Sustituimos los dos pares de datos dados en la ecuación (6) y encontramos : H K.- /

Y : H K.- /:

Resolvemos simultáneamente y obtenemos M = 200 y k = 0.0001. Entonces la población limitante del país en cuestión es 200 millones. Con estos valores de M y k, y con t = 0 correspondiente al año 1940 (en que P0 = 100), encontramos que, según la ecuación (7), la población en el año 2000 será P(60) =

200 · 100 , 100 + (200 − 100)e−(0.0001)(200)(60)

Z

alrededor de 153.7 millones de personas.

NOTA HISTÓRICA La ecuación logística fue introducida (alrededor de 1840) como un modelo posible para el crecimiento de la población humana por el matemático y demógrafo belga P. F. Verhulst (1804-1849). En los ejemplos 4 y 5 comparamos el crecimiento natural y el modelo logístico en cuanto a su ajuste los datos del censo para la población de Estados Unidos en el siglo xix.

EJEMPLO 4 La población de Estados Unidos en 1800 era 5.308 millones y en 1900 era 76.212 millones. Si tomamos P0 = 5.308 (con t = 0 en 1800) en el modelo de crecimiento natural P (t) = P0er t y sustituimos t = 100, P = 76.212, encontramos que : H :ER ;

DEMANERAQUE

RH

:  LN  ::  :

Así, nuestro modelo de crecimiento natural para la población de Estados Unidos durante el siglo xix es P(t) = (5.308)e(0.026643)t (9) (con t en años y P en millones). Como e0.026643 ≈ 1.02700, el crecimiento promedio de la población entre 1800 y 1900 fue alrededor de 2.7% por año. Esta tasa de crecimiento no se sostuvo durante el siglo xx. Mientras que la ecuación (9) pronostica P (150) ≈ 288.780 y P (200) ≈ 1094.240 (más de mil millones), la población real de Estados Unidos en el año 2000 era “sólo” cerca de 280 millones. Z EJEMPLO 5 La población de Estados Unidos en 1850 era 23.192 millones. Si tomamos P0 = 5.308 y sustituimos los pares de datos t = 50, P = 23.192 (para 1850) y t = 100, P = 76.212 (para 1900) en la fórmula del modelo logístico en la ecuación (7), obtenemos las dos ecuaciones (5.308)M = 23.192, 5.308 + (M − 5.308)e−50k M (10) (5.308)M = 76.212 5.308 + (M − 5.308)e−100k M en dos incógnitas k y M. Un sistema algebraico de computadora proporciona la solución aproximada k = 0.000167716, M = 188.121 de las ecuaciones simultáneas en (10). Sustituyendo estos valores en la ecuación (7) se tiene el modelo logístico 998.546 , (11) P(t) = 5.308 + (182.813)e−(0.031551)t

624

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

que está de acuerdo con los datos de población de Estados Unidos para 1850 y 1900. Predice P (150) = 144.354, una aproximación bastante buena a la población real de Estados Unidos en 1950 de 151.326 millones. De cualquier manera, para el año 2000, la población de Estados Unidos había excedido por mucho la población limitante de 188.121 millones pronosticados por la ecuación (11). Z La moraleja de los ejemplos 4 y 5 es simplemente que no se puede esperar demasiado de modelos que se basan en información severamente limitada (como un par de datos). Gran parte de la ciencia de la estadística está dedicada a analizar grandes “conjuntos de datos” para formular modelos matemáticos útiles (y quizá confiables).

Más aplicaciones de la ecuación logística Ahora se describirán algunas situaciones que ilustran la variedad de circunstancias en las que la ecuación logística es un modelo matemático satisfactorio. 1. Situación de un entorno limitado. Cierto medio ambiente puede sostener una población de cuando mucho M individuos. Así, es razonable esperar que la tasa de crecimiento β − δ (las tasas de nacimiento y muerte combinadas) sea proporcional a M − P, porque podemos pensar en M − P como el potencial para la expansión futura. Así, β − δ = k(M − P), de manera que dP = (β − δ)P = k P(M − P). dt El ejemplo clásico de una situación ambiental limitada es la población de la mosca de la fruta en un contenedor cerrado. 2. Situación de competencia. Si la tasa de nacimientos β es constante pero la tasa de muertes δ es proporcional a P, de modo que δ = α P, entonces dP = (β − α P)P = k P(M − P). dt Esto puede ser una hipótesis de trabajo razonable en un estudio de una población caníbal, en la que todas las muertes son resultado de encuentros causales entre individuos. Por supuesto, no es usual que la competencia entre los individuos sea tan mortal, ni sus efectos tan inmediatos y decisivos. 3. Situación de proporción conjunta. Sea P (t) el número de individuos en una población susceptible al tamaño constante M que están infectados con cierta enfermedad incurable y contagiosa. La enfermedad se propaga por encuentros al azar. Entonces P (t) debe ser proporcional al producto del número P de individuos que tiene la enfermedad y el número M − P de aquellos que no la tienen, y por lo tanto, d Pyd t = k P (M − P). De nuevo descubrimos que el modelo matemático es la ecuación logística. La descripción matemática de la propagación de un rumor en una población de M individuos es idéntica. EJEMPLO 6 Suponga que en el tiempo t = 0 (semanas), 10 mil personas en una ciudad con población M = 100 mil han escuchado cierto rumor. Después de 1 semana el número P (t) de quienes han escuchado el rumor aumentó a P (1) = 20 mil. Suponiendo que P (t) satisface una ecuación logística, ¿cuándo habrá escuchado el rumor el 80% de la población de la ciudad?

Solución Al sustituir P0 = 10 y M = 100 (miles) en la ecuación (7) obtenemos 1000 P(t) = . (12) 10 + 90e−100kt Después sustituimos t = 1, P = 20 y tenemos la ecuación 1000 20 = 10 + 90e−100k que es sencillo resolver:    KH LN  :: EK H ; DEMODOQUE   

SECCIÓN 8.5

Modelos de población

625

Con P (t) = 80, la ecuación (12) toma la forma 1000 , 80 = 10 + 90e−100k t de donde despejamos e−100kt = el rumor cuando t=

1 . 36

Se deduce que 80% de la población ha escuchado

ln 36 ln 36 = ≈ 4.42, 100k ln(9/4)

Z

es decir, después de unas cuatro semanas y tres días.

Explosión o extinción Considere una población P (t) de animales no sofisticados que dependen sólo de encuentros aleatorios entre hembras y machos para reproducirse. Es razonable esperar que esos encuentros ocurran a una tasa proporcional al producto del número Py2 de machos y el número Py2 de hembras, y por ello a una tasa proporcional a P 2. Suponemos que los nacimientos ocurren a una tasa k P 2 (por unidad de tiempo, con k constante). Entonces la tasa de nacimientos (en nacimientos por unidad de tiempo por unidad de población) está dada por β = k P. Si la tasa de muerte δ es constante, la ecuación de población general en (1) lleva a la ecuación diferencial D0 H K 0   0 H K 0.0 - / DT



(donde M = δyk > 0) como un modelo matemático de la población. Observe que el lado derecho en la ecuación (13) es el negativo del lado derecho en la ecuación logística en (3). Veremos que la constante M es ahora una población umbral, con la forma en que la población se comporta en el futuro dependiendo de si la población inicial P0 sea menor o mayor que M. EJEMPLO 7

Considere una población animal P (t) modelada por la ecuación dP = (0.0004)P · (P − 150) = (0.0004)P 2 − (0.06)P. dt

(14)

Queremos encontrar P (t) en los siguientes dos casos: a) P (0) = 200; b) P (0) = 100.

Solución Para resolver la ecuación en (14), separamos las variables e integramos. Obtenemos  D0 H 0.0 /

 

  D0 H 0 0 

.:/ DTI .:/ DT

;FRACCIONESPARCIALES=

LN j0j LN j0 j H .:/T C #I 0 H E# E.:/T H "E.:/T 0 

;DONDE " H E# =



a) Sustituyendo t = 0 y P = 200 en (15) proporciona B = 4. Con este valor de B resolvemos la ecuación (15) y obtenemos P(t) =

600e−(0.06)t . 4e−(0.06)t − 1

(16)

Note que cuando t aumenta y se acerca a T = (ln 4)y(0.06) ≈ 23.105, el denominador positivo en la derecha de (16) disminuye y tiende a cero. En consecuencia P (t) → +∞ cuando t → T −. Ésta es una situación catastrófica, una explosión real de población.

626

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

b) Sustituyendo t = 0 y P = 100 en (15) se tiene B = −2. Con este valor de B resolvemos la ecuación (15): 300 300e−(0.06)t = . (17) P(t) = −(0.06)t 2e +1 2 + e(0.06)t Observe que cuando t crece sin límite, el denominador positivo en la derecha de (17) tiende a +∞. En consecuencia P (t) → 0 cuando t → +∞. Ésta es una situación (con el tiempo) de extinción. Z Así, la población en el ejemplo 7 explota o es una especie en peligro de extinción, dependiendo de si su tamaño inicial excede el umbral de población M = 150. Una aproximación a este fenómeno se observa algunas veces en poblaciones de animales como la población de cocodrilos en ciertas áreas del sur de Estados Unidos. La figura 8.5.4 muestra curvas de solución típicas que ilustran las dos posibilidades para una población P (t) que satisface la ecuación (13). Si P0 = M (¡exactamente!), entonces la población permanece constante. Pero esta situación de equilibrio es muy inestable. Si P0 excede a M, no importa si es por muy poco, entonces P (t) crece con rapidez sin límite, mientras que si la población inicial (positiva) es menor que M (aunque sea muy poco), entonces disminuye —más despacio— y tiende a cero cuando t → +∞.

0

-

0-

T

FIGURA 8.5.4 Curvas de solución típicas para la ecuación de explosiónextinción P  = k P (P − M).

Poblaciones depredador-presa Considere las dos ecuaciones diferenciales DX H PX AX Y; DT



DY H QY C BX Y DT



con coeficientes positivos a, b, p y q. En ecología este sistema de ecuaciones simultáneas se usa con frecuencia para modelar una población de presas (como conejos) y una población de depredadores (como zorros) que ocupan el mismo entorno. Por lo común, hay abastecimiento de comida suficiente para alimentar a la presa, mientras que el depredador se alimenta de la presa, y con ello impide el crecimiento de la población de presas y promueve el crecimiento de la población de depredadores. Observe que si a fuera cero en la ecuación (18) se reduciría a la ecuación de crecimiento natural d xyd t = px, y esto implicaría que la población de presas x (t) aumentaría sin límite cuando t → +∞. Por otro lado, si b fuera cero, entonces la ecuación (19) se reduciría a la ecuación de decaimiento natural d yyd x = −qy, y esto implicaría que la población de depredadores y (t) decaería y desaparecería cuando t → +∞. Si a y b son positivos, entonces el término negativo −a x y en (18) representa una disminución en la tasa de crecimiento de la presa debida a una “interacción” con el depredador que pone en peligro su vida, mientras que el término positivo bx y en (19) representa una disminución concomitante en la tasa de decaimiento de los depredadores (que prosperan a costa de la presa). Si los coeficientes en las ecuaciones (18) y (19) son todos positivos, entonces en general es imposible despejar x y y de manera explícita como funciones elementales de la variable tiempo t. Pero si pensamos en y como una función de x, entonces la regla de la cadena en la forma DY D X DY H DT D X DT LLEVAA DY=DT QY C BX Y DY H H :  DX D X=DT PX AX Y En el problema 34 se le pide que separe las variables en la ecuación (20) para obtener la solución general implícita x q y p = Cebx eay

(21)

SECCIÓN 8.5

Y 1    

0 1

X Y

0

      X

FIGURA 8.5.5 Curva de solución depredador-presa típica.

Modelos de población

627

de la ecuación (20). El valor de la constante arbitraria C se puede determinar por sustitución de valores numéricos específicos de los coeficientes a, b, p y q junto con los valores iniciales x 0 = x (0) y y0 = y (0) de las dos poblaciones. La grafica de la ecuación (21) es típicamente una curva cerrada con forma oval en el primer cuadrante del plano x y. Por ejemplo, con los valores a = 0.0003, b = 0.0002, p = 0.08 y q = 0.07 de los coeficientes y con poblaciones iniciales x 0 = 800 conejos y y0 = 75 zorros, el comando de graficación implícita de un sistema algebraico de computadora genera la curva de solución mostrada en la figura 8.5.5. Podemos “amplificar” los puntos a la izquierda y a la derecha, P1 y P2 en la curva graficando en una ventana más pequeña apropiada. Por supuesto, también podemos amplificar en los puntos más alto y más bajo Q1 y Q2. Al hacerlo determinamos las coordenadas aproximadas P1(50, 267), P2(1146, 267), Q1(350, 45) y Q2(350, 820) de estos puntos extremos en la curva de solución. Un análisis más detallado de las ecuaciones (18) y (19) revela que el punto ( x (t), y (t)) cruza la curva de solución varias veces en dirección contraria a las manecillas del reloj cuando avanza el tiempo t. En consecuencia, si comenzamos con x 0 = 800 conejos y y0 = 75 zorros, entonces: • Los números de conejos y zorros aumentan inicialmente hasta que hay 1146 conejos y 267 zorros (en P2); • Posteriormente el número de conejos disminuye y el número de zorros sigue en aumento hasta que hay 350 conejos y 820 zorros (en Q2); • Los números de conejos y zorros disminuyen hasta que hay 50 conejos y 267 zorros (en P1); • El número de conejos aumenta y el número de zorros continúa disminuyendo hasta que hay 350 conejos y 45 zorros (en Q1); • Por último, los números de conejos y de zorros crecen hasta que hay 800 conejos y 75 zorros. Este proceso de variación cíclica de la población de conejos y zorros continúa indefinidamente. En particular, vemos que el número de conejos oscila entre 50 y 1146, mientras que el número de zorros oscila entre 45 y 820. Este modelo clásico de una situación depredador-presa fue desarrollado en 1920 por el matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) con el propósito de analizar las variaciones cíclicas observadas en poblaciones de tiburones y peces de alimento en el mar Adriático. Vale la pena resaltar la demora de la población depredadora respecto a la población presa. Un análisis similar (pero más complejo) puede ayudar a explicar —e incluso predecir— el retraso en el progreso económico de una nación después de ciertas políticas fiscales de su gobierno.

8.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. En la ecuación general de población d Pyd t = ( β − δ) P, la tasa de nacimientos β y la tasa de muertes δ deben ser constantes. 2. Si una población P (t) de roedores satisface la ecuación diferencial d Pyd t = 0.0005P 2 del ejemplo 1 y su población inicial P (0) = P0 es positiva, entonces siempre ocurre una explosión de población. 3. Una ecuación logística es una de la forma dP = a P2 − b P dt

donde los coeficientes a y b son ambos positivos. 4. Si P (t) satisface la ecuación logística dP = 0.06P − 0.0004P 2 dt

628

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

5.

6. 7.

8.

9.

10.

del ejemplo 2 y su población inicial P (0) = P0 es positiva, entonces P (t) → 250 cuando t → +∞. Si P (t) satisface el problema de valor inicial dP = k P(M − P), P(0) = P0 dt con k, M y P0 positivas, entonces P (t) → M cuando t → +∞. Durante el siglo xx, la población de Estados Unidos continuó creciendo a una tasa promedio anual de 2.7% que experimentó durante el siglo xix. Ahora, a principios del siglo xxi, la población de Estados Unidos todavía satisface la ecuación logística dP 998.546 = dt 5.308 + 182.813e−0.031551t que está determinada por los datos de población del país para 1850 y 1900. Si P (t) satisface el problema de valor inicial dP = k P(P − M), P(0) = P0 dt con k, M y P0 todos positivos, entonces P (t) → 0 cuando t → +∞ si P0 > M, mientras que P (t) aumenta ilimitadamente si P0 < M. Si una población de conejos x (t) y una población de zorros y (t) satisface las ecuaciones de depredador-presa dy dx = 0.08x − 0.0003x y, = −0.07x + 0.0002x y dt dt y comienzan con poblaciones iniciales x (0) = 800 y y (0) = 75, entonces ambas poblaciones permanecen positivas y en menos de 1500 para siempre (así, ninguna población experimenta extinción o explosión). P. R. Verhulst era un matemático italiano del siglo xix, Vito Volterra era un matemático y demógrafo belga del siglo xviii.

8.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa las características generales de poblaciones que se modelan con la ecuación diferencial d Pyd t = kP (M − P) con k > 0 y M > 0. ¿De qué manera dependen las soluciones del valor de la población inicial P (0) = P0? 2. Describa las características generales de poblaciones que se modelan con la ecuación diferencial d Pyd t = kP (P − M) con k > 0 y M > 0. ¿De qué manera dependen las soluciones del valor de la población inicial P (0) = P0? 3. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre las situaciones en las preguntas 1 y 2? Distinga los papeles que tiene la población crítica M en los dos casos. 4. Explique los comportamientos de las poblaciones de conejos y zorros comenzando en los puntos P1, P2, Q1 y Q2 en la figura 8.5.5; realice esto calculando los signos de las derivadas d xyd t y d yyd t en estos puntos.

8.5 PROBLEMAS Use fracciones parciales para resolver los problemas de valor inicial en los problemas 1 a 8. dx 1. = x − x 2 , x(0) = 2 dt dx 2. = 10x − x 2 , x(0) = 1 dt dx = 1 − x 2 , x(0) = 3 3. dt

4.

dx = 9 − 4x 2 , dt

5.

dx = 3x(5 − x), dt

x(0) = 8

6.

dx = 3x(x − 5), dt

x(0) = 2

7.

dx = 4x(7 − x), dt

x(0) = 11

x(0) = 0

SECCIÓN 8.5

dx = 7x(x − 13), x(0) = 17 dt 9. La tasa de cambio en el tiempo de una población de conejos P es proporcional a la raíz cuadrada de P. En el tiempo t = 0 (en meses) la población tiene 100 conejos y crece a una tasa de 20 conejos por mes. ¿Cuántos conejos habrá un año después? 10. Suponga que la población de peces P (t) en un lago fue atacada por una enfermedad en el tiempo t = 0, con el resultado de que los peces dejaron de reproducirse (la tasa de nacimientos era β = 0) y la tasa de muertes δ (muertes por √ semana por pez) era, de ahí en adelante, proporcional a 1/ P . Si había, al inicio, 900 peces en el lago y quedaban 441 después de 6 semanas, ¿cuánto tiempo tomó que todos los peces en el lago murieran? 11. Suponga que cuando cierto lago se abastece con peces, las tasas de nacimiento √ y muerte, β y δ, son ambas inversamente proporcionales a P . a) Demuestre que   2 P(t) = 12 k t − P0 8.

12.

13.

14. 15.

16.

17.

donde k es una constante. b) Si P0 = 100 y después de 6 meses hay 169 peces en el lago, ¿cuántos habrá después de un año? La tasa de cambio en el tiempo de una población de cocodrilos P en un pantano es proporcional al cuadrado de P. El pantano contenía una docena de cocodrilos en 1988, dos docenas en 1998. ¿Cuándo habrá cuatro docenas de cocodrilos en el pantano? ¿Qué pasará en adelante? Considere una especie prolífica de conejos cuyas tasas de nacimiento y muerte, β y δ, son cada una proporcional a la población de conejos P = P (t), con β > δ. a) Demuestre que P0 P(t) = 1 − k P0 t donde k es una constante. Note que P (t) → +∞ cuando t → 1y(kP0). Esto es una catástrofe o explosión. b) Suponga que P0 = 6 y que hay nueve conejos después de diez meses. ¿Cuándo ocurre la catástrofe? Repita el inciso a) del problema 13 en el caso β < δ. ¿Ahora qué le pasa a la población de conejos a largo plazo? Suponga que la población P (t) (en millones) de Ruritania satisface la ecuación diferencial D0 H K
0
. 0/ K CONSTANTE  DT Su población en 1940 era 100 millones y crecía a una tasa de 1 millón por año. Pronostique la población de este país en el año 2000. Suponga que una comunidad contiene 15000 personas que son susceptibles al síndrome de Michaud, una enfermedad contagiosa. En el tiempo t = 0 el número N (t) de personas que han desarrollado el síndrome de Michaud es 5000 y crece a una tasa de 500 por día. Suponga que N  (t) es proporcional al producto del número que tiene la enfermedad y el número que no la tiene. ¿Cuánto tiempo tomará que otras 5000 personas desarrollen el síndrome de Michaud? Mientras la sal KNO3 se disuelve en metanol, el número x (t) de gramos de sal en la solución después de t segundos satisface la ecuación diferencial dx = (0.8)x − (0.004)x 2 . dt

Modelos de población

629

a) Si x = 50 cuando t = 0, ¿cuánto tardarán otros 50 g de sal en disolverse? b) ¿Cuál es la cantidad máxima de sal que se disolverá en el metanol? 18. Una población P (t) (t en meses) de ardillas satisface la ecuación diferencial D0 H .:/0  K 0 DT

K CONSTANTE 

Si P (0) = 100 y P (0) = 8, ¿cuánto tardará esta población en duplicarse a 200 ardillas? 19. Considere una población animal P (t) (t en años) que satisface la ecuación diferencial D0 H K 0  .:/0 DT

K CONSTANTE 

Suponga que P (0) = 200 y que P (0) = 2. a) ¿Cuándo es P = 1000? b) ¿Cuándo ocurrirá la catástrofe para esta población? 20. Suponga que el número x (t) (t en meses) de cocodrilos en un pantano satisface la ecuación diferencial dx = (0.0001)x 2 − (0.01)x. dt

21.

22.

23.

24.

a) Si al inicio hay 25 cocodrilos, resuelva esta ecuación para determinar qué ocurre con esta población a largo plazo. b) Repita el inciso a), pero use 150 cocodrilos en el inicio. Considere una población P (t) que satisface la ecuación logística d Pyd t = a P − b P 2, donde B = a P es la tasa en el tiempo a la que ocurren los nacimientos y D = b P 2 es la tasa a la que ocurren las muertes. Si la población inicial es P (0) = P0 y están ocurriendo B0 nacimientos por mes y D0 muertes por mes en el tiempo t = 0, demuestre que la población limitante es M = B0 P0yD0. Considere una población de conejos P (t) que satisface la ecuación logística como en el problema 21. Si la población inicial es 120 conejos y hay 8 nacimientos por mes y 6 muertes por mes en el tiempo t = 0, ¿cuántos meses tardará P (t) en llegar a 95% de su población limitante M ? Considere una población de conejos P (t) que satisface la ecuación logística como en el problema 21. Si la población inicial es 240 conejos y hay 9 nacimientos por mes y 12 muertes por mes en el tiempo t = 0, ¿cuántos meses tomará que P (t) alcance 105% de su población limitante M ? Considere una población P (t) que satisface la ecuación de explosión-extinción dP = a P 2 − b P, dt

donde B = a P 2 es la tasa en el tiempo a la que ocurren los nacimientos y D = b P es la tasa a la que ocurren las muertes. Si la población inicial es P (0) = P0 y ocurren B0 nacimientos por mes y D0 muertes por mes en el tiempo t = 0, demuestre que el umbral para la población es M = D0 P0yB0. 25. Considere una población de cocodrilos P (t) que satisface la ecuación de extinción/explosión como en el problema 24. Si la población inicial es 100 cocodrilos y hay 10 nacimientos por mes y 9 muertes por mes en tiempo t = 0, ¿cuántos meses se necesitan para que P (t) alcance 10 veces la población umbral M ?

630

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

26. Considere una población de cocodrilos P (t) que satisface la ecuación de extinción/explosión como en el problema 24. Si la población inicial es 110 cocodrilos y hay 11 nacimientos por mes y 12 muertes por mes en el tiempo t = 0, ¿cuántos meses tomará que P (t) llegue a 10% de la población umbral M ? 27. Suponga que en el tiempo t = 0, la mitad de una población “logística” de 100,000 personas ha oído cierto rumor, y que el número de los que lo han oído aumenta a una tasa de 1000 personas por día. ¿Cuánto tardará este rumor en propagarse a 80% de la población? (Sugerencia: encuentre el valor de k por sustitución de P (0) y P (0) en la ecuación logística en (3).) 28. Los datos de la tabla en la figura 8.5.6 están dados para cierta población P (t) que satisface la ecuación logística en (3). a) ¿Cuál es la población limitante M? (Sugerencia: use la aproximación P  (t) ≈

P(t + h) − P(t − h) 2h

con h = 1 para estimar valores de P (t) cuando P = 25.00 y cuando P = 47.54. Luego sustituya estos valores en la ecuación logística y despeje k y M.) b) Use los valores de k y M encontrados en el inciso a) para determinar cuándo P = 75. (Sugerencia: tome t = 0 como correspondiente al año 1925.) !®O

0 MILLONES

   :: :

   :: :

  

  

P(t) =

M P0 P0 + (M − P0 )ek Mt

que satisface la condición inicial P (0) = P0 para la ecuación explosión/extinción en (13). b) ¿Cómo se comporta esta solución (cuando t crece) si el valor inicial P0 es negativo? 33. Si P (t) satisface la ecuación logística en (3), utilice la regla de la cadena para demostrar que   P  (t) = 2k 2 P · P − 12 M · (P − M). Concluya que 0 .T/ >  SI < 0 <  -I

FIGURA 8.5.6 Datos de población para el problema 28.

0 .T/ H  SI 0 H  -I

0 .T/ <  SI  - < 0 < -I Y 0 .T/ >  SI 0 > -:

29. Durante el periodo de 1790 a 1930, la población de Estados Unidos P (t) (t en años) creció de 3.9 millones a 123.2 millones. En todo este periodo, P (t) permanece cerca de la solución del problema del valor inicial dP = (0.03135)P − (0.0001489)P 2 , dt

a) ¿Qué población predice esta ecuación logística en 1930? b) ¿Qué población limitante predice esta ecuación? c) ¿Ha continuado esta ecuación logística desde 1930 representando con exactitud el modelo de población de Estados Unidos? [Este problema se basa en un cálculo hecho por Verhulst, quien en 1845 utilizó los datos de población de 1790-1840 para predecir con exactitud la población de Estados Unidos hasta el año 1930 (periodo muy posterior a su propia muerte, por supuesto)]. 30. Considere dos poblaciones P1(t) y P2(t), las cuales satisfacen la ecuación logística con la misma población limitante M, pero con diferentes valores de k1 y k2 de la constante k en la ecuación (3). Suponga que k1 < k2 . ¿Qué población se acerca más rápido a M? Puede razonar geométricamente si examina los campos de pendientes (en especial si dispone del software adecuado), simbólicamente si analiza la solución dada en la ecuación (7) o numéricamente si sustituye valores sucesivos de t. 31. a) Derive la solución dada en la ecuación (7) para el problema logístico de valor inicial en (6). b) ¿Cómo se comporta esta solución (cuando t crece) si el valor inicial P0 es negativo? 32. a) Derive la solución

P(0) = 3.9.

En particular, se deduce que cualquier curva de solución que cruza la línea horizontal P =  M tiene un punto de inflexión donde cruza esa línea y, por lo tanto, se parece a una de las curvas inferiores en forma de S en la figura 8.5.3. 34. Derive la solución en la ecuación (21) de la ecuación diferencial separable en (20).

8.5 INVESTIGACIÓN: ecuaciones de depredador-presa y su propio coto de caza Usted es dueño de un coto arbolado que originalmente abasteció con zorros F0 y conejos R0. Las siguientes ecuaciones modelan lo números R (t) de conejos y F (t) de zorros t meses después. dR = (0.01) p R − (0.0001)aR F, dt dF = −(0.01)q F + (0.0001)bR F dt donde p y q son los dos dígitos más grandes (con p < q), y a y b los dos dígitos más pequeños diferentes de cero (con a < b) del número de su credencial de estudiante.

SECCIÓN 8.6

Ecuaciones lineales de segundo orden 631

Los números de zorros y conejos oscilarán periódicamente, como en la situación ilustrada en la figura 8.5.5. Elija sus números iniciales F0 de zorros y R0 de conejos —tal vez varios cientos de cada uno— de manera que la curva de solución que resulte en el plano RF sea una curva cerrada excéntrica. (La excentricidad puede aumentar si comienza con un número relativamente grande de conejos y relativamente pequeño de zorros, como lo haría de manera natural cualquier administrador de coto.) Su tarea es determinar el número máximo y mínimo de conejos y zorros que se observarán en su coto. Utilice la capacidad de graficado de una calculadora o de un sistema algebraico de computadora para amplificar los puntos más a la derecha, izquierda, arriba o abajo de la curva de solución con suficiente precisión para determinar sus coordenadas con exactitud del entero más cercano.

8.6 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden es una que involucra la segunda derivada y  (y quizá también la primera derivada y ) de la variable dependiente y. Se llama lineal siempre que sea lineal en la función desconocida y (x) y sus derivadas. Así, una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la forma !.X/

D Y DY C ".X/ C #.X/Y H &.X/  DX DX



donde los coeficientes A (x), B (x), C (x) y F (x) son funciones continuas dadas de la variable independiente en un intervalo abierto I donde podemos esperar determinar una solución. Una solución de (1) es simplemente una función y = y (x) que satisface la ecuación diferencial en todo punto del intervalo I. Las funciones en los coeficientes en (1) no tienen que ser lineales en x. Entonces la ecuación de segundo orden  √  e x y  + (cos x)y  + 1 + x y = tan−1 x es lineal aun cuando los coeficientes son funciones no lineales de x. Por el contrario, las ecuaciones Y H YY

Y Y C .Y / C Y  H 

son no lineales, porque aparecen productos y potencias de y o sus derivadas en cada una. En esta sección restringimos la atención al caso en que F (x) ≡ 0 en la ecuación (1). Se dice que esta ecuación lineal es homogénea. Entonces una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea es de la forma !.X/

D Y DY C ".X/ C #.X/Y H   DX DX



Las ecuaciones lineales homogéneas tienen la característica útil de que podemos construir nuevas soluciones formando combinaciones lineales de soluciones conocidas. En particular, cualquier combinación lineal y = c1 y1 + c2 y2 de dos soluciones conocidas y1 y y2 de la ecuación (2) es otra solución de la ecuación diferencial.

TEOREMA 1 Combinaciones lineales de soluciones Suponga que las dos funciones y1 y y2 son ambas soluciones de la ecuación lineal homogénea en (2) y que c1 y c2 son constantes. De este modo, la nueva función y definida por Y.X/ H C Y .X/ C C Y .X/

también satisface la ecuación (2).

632

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Demostración El hecho de que y1 y y2 sean ambas soluciones de la ecuación (2)

significa que !Y C "Y C # Y H 

Y

!Y C "Y C # Y H :

Se deduce (usan la linealidad de la derivación) que Ay  + By  + C y = A(c1 y1 + c2 y2 ) + B(c1 y1 + c2 y2 ) + C(c1 y1 + c2 y2 ) = A(c1 y1 + c2 y2 ) + B(c1 y1 + c2 y2 ) + C(c1 y1 + c2 y2 ) = c1 (Ay1 + By1 + C y1 ) + c2 (Ay2 + By2 + C y2 ) = c1 · 0 + c2 · 0 = 0.

Así, hemos verificado que la combinación lineal y = c1 y1 + c2 y2 también es una solución de la ecuación (2). X El teorema 1 implica que cualquier múltiplo constante cy de la solución y también es una solución de la ecuación diferencial; elija c2 = 0. Pero no vemos y y cy como soluciones “realmente diferentes”. Las dos soluciones y1 y y2 se llaman independientes siempre que ninguna sea un múltiplo constante de la otra. Siempre podemos determinar si dos soluciones dadas y1 y y2 son independientes observando si cualquiera de los dos cocientes y1yy2 o y2yy1 son constantes. Por ejemplo, es evidente que los siguientes pares de funciones son independientes: X

Y

X I

EX

Y

EX I

COS X

Y SEN X:

El teorema 1 proporciona una manera de resolver problemas de valor inicial formando combinaciones lineales de soluciones independientes. EJEMPLO 1 a) Verifique que y1(x) = x 2 y y2(x) = x−3 son soluciones independientes (para x > 0) de la ecuación lineal homogénea x 2 y  + 2x y  − 6y = 0.

b) Encuentre una solución que satisfaga las dos condiciones iniciales y (1) = 10 y y (1) = 5

Solución Para el inciso a), calculamos de inmediato X  Y C X Y Y H X 
 C X
X 
X  H . C  /X  H  Y X  Y C X Y Y H X 
X  C X
.X  / 
X  H .  /X  H :

Entonces ambas y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial dada. Como ningún cociente, y1yy2 = x 5 o y2yy1 = x−5 es constante, se deduce que estas dos soluciones son independientes. Para resolver el inciso b), observamos que (por el teorema 1) la combinación lineal y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = c1 x 2 + c2 x −3 también es una solución ( para cualquier opción de las constantes c1 y c2 ). Cuando se imponen las condiciones iniciales dadas en esta nueva solución y su derivada y (x) = 2c1 x − 3c2 x −4, obtenemos las ecuaciones C C C H 

Y C C H :

Resolvemos estas ecuaciones —por ejemplo, sustituyendo c1 = 10 − c2 de la primera ecuación en la segunda— y obtenemos c1 = 7 y c2 = 3. En consecuencia, una solución del problema de valor inicial X  Y C X Y Y H ; ES Y.X/ H X  C X  

Y./ H ;

Y ./ H 

Z

SECCIÓN 8.6

Ecuaciones lineales de segundo orden 633

El primer coeficiente de la función A(x) = x 2 en la ecuación diferencial del ejemplo 1 desaparece en x = 0. En cualquier intervalo donde la función A(x) es diferente de cero, dividimos entre A(x) para escribir la ecuación homogénea Ay  + By  + Cy = 0 en la forma DY D Y C 0.X/ C 1.X/Y H   DX DX



Una clave para resolver ecuaciones homogéneas de segundo orden es el hecho de que toda solución de esa ecuación es una combinación lineal de cualesquiera dos soluciones independientes dadas. A diferencia del teorema 1, el teorema que sigue no es elemental, por lo que su demostración se omite.

TEOREMA 2 Soluciones generales Suponga que y1 y y2 son soluciones independientes de la ecuación lineal homogénea en (3) en un intervalo I donde las funciones coeficientes P (x) y Q (x) son continuas. Si y es cualquier solución de la ecuación en este intervalo, entonces existen constantes c1 y c2 tales que Y.X/ H C Y .X/ C C Y .X/ para toda x en I. Como resultado del teorema 2, conocemos todas las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal homogénea una vez que conocemos tan sólo dos soluciones independientes y1 y y2. Por esta razón, podemos llamar a y = c1 y1 + c2 y2 la solución general de la ecuación diferencial; no existe otra solución de la ecuación. Por ejemplo, y (x) = c1 x 2 + c2 x−3 es la solución general (para x > 0) de la ecuación diferencial del ejemplo 1, y ninguna otra función de esta forma puede satisfacer la ecuación. Debido a que la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden incluye dos constantes arbitrarias, podemos esperar satisfacer dos condiciones iniciales seleccionando de manera adecuada los valores de c1 y c2. Por esto un problema de valor inicial lineal de segundo orden suele tomar la forma !Y C "Y C # Y H &;

Y.A/ H B ;

Y .A/ H B



con dos condiciones iniciales que especifican valores de la solución y y su derivada y  en el mismo punto x = a. Un teorema general de existencia-unicidad asegura que un problema de valor inicial de la forma en (4) tiene exactamente una solución en un intervalo donde las funciones coeficiente son continuas y A(x) es diferente de cero. Por ejemplo, las funciones coeficiente en la ecuación diferencial del ejemplo 1 son todas continuas y A(x) = x 2 es diferente de cero para x > 0. Por lo tanto, la única solución para x > 0 del problema de valor inicial x 2 y  + 2x y  − 6y = 0,

y(1) = 10,

y  (1) = 5

es la solución y (x) = 7x 2 + 3x−3 que encontramos en el inciso b) del ejemplo 1.

Ecuaciones con coeficientes constantes En la sección 8.4 se observó que la solución general de una ecuación de primer orden lineal está dada por una fórmula integral explícita que involucra los coeficientes de la ecuación. Por el contrario, esto está muy lejos de la verdad para las ecuaciones lineales de segundo orden. Puede ser una tarea formidable encontrar las dos soluciones independientes que se necesitan para construir una solución general de una ecuación de segundo orden homogénea dada. Por ejemplo, la solución general de la ecuación diferencial 6y  + 2x y  − x 2y = 0, que se parece, superficialmente, a la ecuación del ejemplo 1, no puede expresarse simplemente en términos de las funciones elementales familiares. Esta dificultad, de alguna manera, surge de los coeficientes variables en la última ecuación.

634 CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Por fortuna, es posible resolver de manera explícita una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea de la forma A

D Y DY CB C CY H   DX DX



con coeficientes constantes a, b y c. Veremos en la sección 8.7 que esas ecuaciones diferenciales tienen aplicaciones físicas importantes. Para construir la solución general y = c1 y1 + c2 y2 de la ecuación diferencial AY C BY C CY H 



con a H 0, necesitamos encontrar dos soluciones particulares independientes y1 y y2. La idea central es encontrar una forma factible de una solución posible de la ecuación (6). Debido a que, si r es una constante, Dx (erx ) es una constante múltiple de y (x) = e rx, se deduce que y  y y  tendrán esa forma también. Sin duda, la sustitución de y (x) = e rx, y (x) = re rx y y  = r 2e rx en la ecuación (6) lleva a la ecuación ar 2 er x + br er x + cer x = (ar 2 + br + c)er x = 0.

Debido a que erx nunca es cero, el producto (ar 2 + br + c)e rx es cero exactamente cuando AR  C BR C C H 



Ésta es una ecuación cuadrática simple que podemos resolver para encontrar el valor (o valores) de r tales que y = e rx es una solución de la ecuación (6). La ecuación (7) se llama ecuación característica (o ecuación auxiliar) de la ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea ay  + by  + cy = 0. Podemos resolverla por varias técnicas; la fórmula cuadrática conocida proporciona las soluciones √ −b ± b2 − 4ac , r1 , r2 = 2a en la que las dos opciones posibles de signo llevan a dos raíces r1 y r 2. Si b2 − 4ac > 0, entonces ambas son reales y las dos posibilidades r1 y r 2 para el valor de r llevan a dos soluciones independientes y1 = e r1 x y y2 = e r2 x de la ecuación diferencial en (6). (¿Observa por qué ninguna es un múltiplo constante de la otra?) Recuerde que una vez encontradas dos soluciones independientes, se han encontrado todas. Los ejemplos 2 a 4 ilustran cómo proceder si r1 y r 2 son distintas y reales. Queda por estudiar cómo proceder si b2 − 4ac es cero o negativa.

CASO 1 Raíces reales distintas Suponga que la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea lineal ay  + by  + cy = 0 tiene raíces reales distintas r1 y r 2. Entonces una solución general de esta ecuación diferencial es Y.X/ H C ER X C C ER X :



En este caso, la solución de la ecuación diferencial se reduce al asunto sencillo de resolver la ecuación cuadrática. EJEMPLO 2

Resuelva la ecuación diferencial 3y  + 7y  + 2y = 0.

Solución Podemos resolver la ecuación característica 3r 2 + 7r + 2 = 0 factorizando: 3r 2 + 7r + 2 = (3r + 1)(r + 2) = 0.

SECCIÓN 8.6

Ecuaciones lineales de segundo orden 635

Las raíces r1 = − 13 y r 2 = −2 son reales y distintas. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial —dada en (8)— es y(x) = c1 e−x/3 + c2 e−2x .

Z

OBSERVACIÓN Una ecuación diferencial de primer orden por lo común tiene sólo una curva de solución que pasa por un punto inicial dado (a, b) y, por lo tanto, sólo una recta tangente que pasa por ese punto inicial es tangente a la curva de solución de la ecuación. Por el contrario, la figura 8.6.1 ilustra el hecho de que una ecuación diferencial de segundo orden en general tiene un número infinito de curvas de solución que pasan por un punto dado (a, b0); una por cada valor (real) de la pendiente inicial y (a) = b1. Es decir, cada línea recta no vertical que pasa por (a, b0) es tangente a alguna curva de solución. La figura 8.6.1 muestra varias curvas de solución de la ecuación diferencial 3y  + 7y  + 2y = 0 todas con el mismo valor inicial y (0) = 1; la figura 8.6.2 muestra varias curvas de solución, todas con la misma pendiente inicial y (0) = 1. Y

Y  

Yg  Y 

  Yg 

 



 



 C 



 X







 X

Y  



Y 

Yg  



FIGURA 8.6.2 Soluciones de 3y  + 7y  + 2y = 0 con la misma pendiente inicial y (0) = 1 pero con diferentes valores iniciales que van de y (0) = −9 a y (0) = 9.

C 





FIGURA 8.6.1 Soluciones de 3y  + 7y  + 2y = 0 con el mismo valor inicial y (0) = 1 pero diferentes valores de la pendiente inicial que van de y (0) = −9 a y (0) = 9.

Y

C



C 

X C 





FIGURA 8.6.3 Soluciones y (x) = 1 + c2e2x/5 de 5y  − 2y  = 0 con diferentes valores de c2, que van de c2 = −3 a c2 = 3.

EJEMPLO 3

Resuelva la ecuación diferencial 5y  − 2y  = 0.

Solución Aquí el coeficiente de y en la ecuación diferencial es cero, correspondiente al término constante en su ecuación característica: 5r 2 − 2r = 0. La factorización   5r 2 − 2r = r (5r − 2) = 5r r − 25 = 0 revela la raíces reales distintas r1 = 0 y r 2 = 25 . Debido a que e r1 x = e0·x = e0 = 1, la solución general de la ecuación dada es y(x) = c1 + c2 e2x/5 .

Como se ilustra en la figura 8.6.3, las curvas de solución con un valor dado de c1 y diferentes valores de c2 tienen todas la recta y = c1 como una asíntota cuando x → −∞. Z EJEMPLO 4

Resuelva la ecuación diferencial y  − 4y = 0.

Solución Ahora el coeficiente de y  en la ecuación diferencial es cero, por lo que el coeficiente de r es cero en su ecuación característica: r 2 − 4 = 0. La factorización r 2 − 4 = (r + 2)(r − 2) revela las raíces r1 = −2 y r 2 = 2 y así obtenemos la solución general y(x) = c1 e−2x + c2 e2x .

Pero se puede verificar (derivando y3 y y4 dos veces cada una) que y3(x) = cosh 2x y y4(x) = senh 2x también son soluciones independientes de la ecuación diferencial y  − 4y = 0. Por lo tanto, Y.X/ H C COSH X C C SENH X

636

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

es otra solución general de la misma ecuación diferencial. Así, no hay unicidad en la forma de una solución general dada; cualesquiera dos pares de soluciones independientes de la misma ecuación diferencial de segundo orden homogénea lineal, proporciona dos expresiones diferentes para la solución general. Más aún, las gráficas de las dos funciones en un par de éstos parecen muy diferentes de las del otro par. La figura 8.6.4 muestra las gráficas de las cuatro soluciones e−2x, e2x, cosh 2x y senh 2x de y − 4y = 0. Z

Y COSHX

E X

EX    

  





 X

 SENHX



OBSERVACIÓN Debido a que cosh 2x y senh 2x son soluciones de la ecuación diferencial lineal y  − 4y = 0 con solución general y (x) = c1e−2x + c2e2x, se deduce del teorema 2 que cada una de las funciones cosh 2x y senh 2x se puede expresar como una combinación lineal de las funciones e−2x y e2x. Por supuesto, esto no es una sorpresa puesto que



FIGURA 8.6.4 Cuatro soluciones diferentes de la ecuación y  − 4y = 0.

COSH X H  EX C  EX

Y SENH X H

 X  X E E 

por las definiciones de las funciones seno y coseno hiperbólicos (sección 6.9). Si b2 − 4ac = 0, entonces la ecuación característica ar 2 + br + c = 0 tiene raíces iguales (y necesariamente reales) r1 = r 2 = −by(2a). Así, primero obtenemos sólo una solución y1 (x) = er1 x de la ecuación diferencial correspondiente. En este caso el problema restante consiste en producir la segunda solución independiente “que falta” de la ecuación diferencial. Una raíz doble r = r1 ocurre sólo si la ecuación característica se factoriza como   ar 2 + br + c = a(r − r1 )2 = a r 2 − 2r1r + r12 = 0. La ecuación diferencial correspondiente es entonces un múltiplo constante de la ecuación y  − 2r1 y  + r12 y = 0.

Pero es sencillo verificar (y debe hacerlo) que y2 = xe r1 x es una segunda solución de la ecuación diferencial. Es obvio que las soluciones y1(x) = e r1 x y y2(x) = xe r1 x son independientes y, por lo tanto, permiten escribir una solución general de la ecuación diferencial dada.

CASO 2 Raíces reales iguales Suponga que la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea lineal ay  + by  + cy = 0 tiene raíces reales r1 = r 2. Entonces una solución general de esta ecuación diferencial es Y.X/ H C ER X C C XER X H .C C C X/ER X :

EJEMPLO 5



Resuelva el problema de valor inicial 4y  + 12y  + 9y = 0,

y(0) = 4,

y  (0) = −3.

Solución La ecuación característica 4r 2 + 12r + 9 = (2r + 3)2 = 0

de la ecuación diferencial dada tiene raíces reales iguales r1 = r2 = − 32 . Así, la solución general —según la proporciona la ecuación (9)— es y(x) = c1 e−3x/2 + c2 xe−3x/2 .

La derivación proporciona y  (x) = − 32 c1 e−3x/2 + c2 e−3x/2 − 32 c2 xe−3x/2 .

SECCIÓN 8.6

Ecuaciones lineales de segundo orden 637

Por lo tanto, las condiciones iniciales dadas llevan a las ecuaciones simultáneas y(0) = 

y (0) =

Y



+ c2 = −3,

que implican que c1 = 4 y c2 = 3. Así, la solución del problema de valor inicial dado es

 

= 4,

c1 − 32 c1

y(x) = 4e−3x/2 + 3xe−3x/2 = (4 + 3x)e−3x/2 .

C C

 C 



 X





FIGURA 8.6.5 Soluciones y (x) = (c1 + 3x)e−3x/2 de 4y  + 12y  + 9y = 0 con valores diferentes de c1 que van de c1 = −4 a c1 = 4.

Esta solución particular de la ecuación diferencial se ilustra en la figura 8.6.5, junto Z con algunas otras de la forma y(x) = c1 e−3x/2 + 3xe−3x/2 .

Raíces complejas Si b2 − 4ac < 0, entonces la solución de la ecuación característica ar 2 + br + c = 0 usando la fórmula cuadrática proporciona p B  ./
.AC B / B  B AC H H P  IQ RH A A DONDE p p AC B B QH ; Y I H : PH ; A A Así, obtenemos un par de raíces conjugadas complejas. Pero, ¿qué significa y = erx cuando r es un número complejo? La respuesta surge de la fórmula de Euler EI H COS  C I SEN 



que se analiza con detalle en la sección 10.4. Si r = p + iq, entonces definimos la exponencial compleja erx (para x real) escribiendo ER X H E. PCIQ/X H E PXCIQ X H E PX EIQ X ; DEMANERAQUE

ER X H E PX .COS Q X C I SEN Q X/;



usando la fórmula de Euler con θ = qx. Como se definió en la ecuación (11), la exponencial erx es una función de valores complejos de la variable real x. Se obtiene la derivada de esta función derivando por separado sus partes real e imaginaria. Esto es, $X .ER X / H $X .E PX COS Q X/ C I $X .E PX SEN Q X/ H . PE PX COS Q X QE PX SEN Q X/ C I. PE PX SEN Q X C QE PX COS Q X/ H . P C IQ/ E PX COS Q X C IE PX SEN Q X/ H R ER X :

Así, Dx er x = r er x cuando r es compleja, exactamente como cuando r es real. Esta derivación común es la base para el hecho de que y = erx es una solución de la ecuación diferencial lineal homogénea ay  + by  + cy = 0 precisamente cuando r es una raíz de la ecuación característica asociada ar 2 + br + c = 0. En el caso de raíces complejas r1, r 2 = p ± qi, obtenemos la solución general de valores complejos y(x) = C1 er1 x + C2 er2 x ,

que podemos escribir como

AS¤

Y.X/ H # E. PCIQ/X C # E. PIQ/X H # E PX .COS Q X C I SEN Q X/ C # E PX .COS Q X I SEN Q X/ H .# C # /E PX COS Q X C I.# # /E PX SEN Q XI Y.X/ H C E PX COS Q X C C E PX SEN Q X

638

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

donde c1 = C1 + C2 y c2 = i(C1 − C2). En la última línea se expresó la solución y (x) como una combinación lineal de las funciones de valores reales epx cos qx y epx sen qx. De este modo, las raíces conjugadas p ± iq de la ecuación característica llevan a las soluciones de valores reales independientes y1 = epx cos qx y y2 = epx sen qx de la ecuación diferencial.

CASO 3 Raíces complejas conjugadas Suponga que la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea lineal ay  + by  + cy = 0 tiene raíces complejas conjugadas p ± iq (con q H 0). Entonces una solución general de la ecuación diferencial es Y.X/ H E PX .C COS Q X C C SEN Q X/:



La ecuación característica r 2 + 4 = 0 de la ecuación diferencial

EJEMPLO 6

y  + 4y = 0

tiene raíces complejas conjugadas ±2i. Con p = 0 y q = 2 en la ecuación (12) obtenemos la solución general Y.X/ H C COS X C C SEN X:

Las figuras 8.6.6 y 8.6.7 muestran algunas curvas de solución típicas. Cada una tiene la forma de la gráfica de un múltiplo constante de seno

o coseno de 2x. La figura 8.6.6 ilustra el efecto de variar la amplitud conjunta c = c12 + c22 de las constantes c1 y c2. La figura 8.6.7 ilustra el efecto de variar su razón. Z Y 

Y 

C  

 











 X

 C

FIGURA 8.6.6 Soluciones y( x) = c(3 cos 2x + 4 sen 2x) de y  + 4y = 0 con diferentes valores de c que van de c = −3 a c = 3.

EJEMPLO 7











X

FIGURA 8.6.7 Soluciones de y1 = 5 cos 2x, y2 = 5 sen 2x, y3 = 3 cos 2x + 4 sen 2x y y4 = −4 cos 2x + 3 sen 2x de y  + 4y = 0. ¿Puede determinar cuál pertenece a cuál?

Resuelva el problema de valor inicial 9y  + 6y  + 325y = 0,

y(0) = 12,

y (0) = 50.

Solución Las raíces de la ecuación característica 9r 2 + 6r + 325 = 0 están dadas por  √ −6 ± 6 −324 1 −6 ± (6)2 − 4 · 9 · 325 = = − ± 6i. r= 2·9 18 3 Por lo tanto la solución general es Y.X/ H EX= .C COS X C C SEN X/:

SECCIÓN 8.6

Ecuaciones lineales de segundo orden 639

Su derivada es Y .X/ H  EX= .C COS X C C SEN X/ C EX= .C COS X C SEN X/:

Cuando imponemos las condiciones iniciales dadas, obtenemos las ecuaciones simultáneas y(0) = 

y (0) =

= 12,

c1 − 13 c1

+ 6c2 = 50

con soluciones c1 = 12, c2 = 9. Así, la solución del problema de valor inicial dado es Y.X/ H EX= . COS X C  SEN X/:

La gráfica de esa solución se muestra en la figura 8.6.8. Vale la pena resaltar que y (x) → 0 cuando x → +∞. Z Y 

YE X

 















X

Y E X

FIGURA 8.6.8 La solución y (x) = e−xy3(12 cos 6x + 9 sen 6x) del problema de valor inicial en el ejemplo 7 oscila entre las “curvas envolventes” y = +15e−xy3 y y = −15e−xy3.

8.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si A(x), B(x), C(x) y F (x) son funciones lineales de x, entonces la ecuación diferencial A(x)y  + B(x)y  + C(x)y = F (x) es lineal. 2. Si A( y), B( y), C( y) y F ( y) son funciones lineales de y, entonces la ecuación diferencial A( y)y  + B( y)y  + C( y)y = F ( y) es lineal. 3. Una ecuación diferencial de segundo orden de la forma y  = P(x)y  + Q(x)y es homogénea. 4. Si ambas, y1(x) y y2(x) son soluciones de la misma ecuación diferencial de segundo orden homogénea, entonces su suma y1(x) + y2(x) también es una solución de la ecuación. 5. Las dos soluciones de una ecuación diferencial se llaman independientes siempre que cada una sea un múltiplo constantes de la otra. 6. El teorema 2 en esta sección implica que un problema de valor inicial lineal de segundo orden de la forma Ay  + By  + Cy = F,

y(a) = b

típicamente tiene una solución única. 7. Si a, b y c son constantes con a H 0, entonces la ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea lineal ay  + by  + cy = 0 es una ecuación cuadrática. 8. Si a, b y c son constantes con a H 0, y ambas raíces de su ecuación característica son reales, entonces la solución general de la ecuación ay  + by  + cy = 0 es una combinación lineal de funciones exponenciales.

640

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

9. Si a, b y c son constantes con a H 0, y ambas raíces de su ecuación característica no son reales, entonces la solución general de la ecuación diferencial ay  + by  + cy = 0 es una combinación lineal de funciones seno y coseno. 10. La fórmula de Euler expresa la exponencial e i θ con exponente imaginario como una combinación lineal A cos θ + B sen θ con coeficientes reales A y B.

8.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Complete los elementos en la siguiente tabla para resumir los diferentes casos para las soluciones de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes ay  + by  + cy = 0. 2A¤CESDE AR  C BR C C D 

3OLUCI˜NGENERAL

2. Para cada caso en la pregunta 1, proporcione su propio ejemplo de una de esas ecuaciones diferenciales y su solución general, de preferencia una con coeficientes enteros grandes e interesantes. (Sugerencia: comience con las raíces numéricas r1 y r 2 y trabaje hacia atrás para construir la ecuación diferencial correspondiente.) 3. Demuestre que la función y (x) = | x−3 | es una solución para x H 0 de la ecuación diferencial x 2y  + 2x y  − 6y = 0 del ejemplo 1. ¿Es y (x) una combinación lineal de las soluciones independientes y1(x) = x 2 y y2(x) = x−3 de esta ecuación? Si no, entonces ¿por qué este hecho no contradice el teorema 2?

8.6 PROBLEMAS Encuentre las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 14. 1. y  − 7y  + 10y = 0 2. y  + 2y  − 15y = 0   4. 12y  + 13y  + 3y = 0 3. 4y − 4y − 3y = 0 6. 4y  − 4y  − 19y = 0 5. y  + 4y  + y = 0   7. 4y + 12y + 9y = 0 8. 9y  − 30y  + 25y = 0 9. 25y  − 20y  + 4y = 0 10. 49y  + 126y  + 81y = 0 11. y  + 6y  + 13y = 0 12. y  − 10y  + 74y = 0 13. 9y  + 6y  + 226y = 0 14. 9y  + 90y  + 226y = 0 Resuelva los problemas de valor inicial en los problemas 15 a 26. 15. 2y  − 11y  + 12y = 0; y(0) = 5, y  (0) = 15 16. y  − 2y  − 35y = 0; y(0) = 12, y  (0) = 0 17. y  − 18y  + 77y = 0; y(0) = 4, y  (0) = 8 18. 12y  − y  − 6y = 0; y(0) = 2, y  (0) = 10 19. y  + 22y  + 121y = 0; y(0) = 2, y  (0) = −25 20. 9y  + 42y  + 49y = 0; y(0) = 6, y  (0) = −11 21. y  + 25y = 0; y(0) = 7, y  (0) = 10 22. 9y  + 100y = 0; y(0) = 99, y  (0) = 100

23. y  + 4y  + 20y = 0; 

y(0) = 9,

y  (0) = 10



24. y + 10y + 106y = 0;

y(0) = 11,

y  (0) = −10

25. 4y  + 4y  + 101y = 0;

y(0) = 10,

y  (0) = 25

26. 100y  + 20y  + 10001y = 0;

y(0) = 30,

y  (0) = −33

Cada uno de los problemas 27 a 34 proporciona una solución general de una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes. Encuentre esa ecuación.  Y.X/ H C C C EX  Y.X/ H C EX C C EX  Y.X/ H C EX C C XEX  Y.X/ H C EX C C EX  Y.X/ H C C C X

p p  Y.X/ H E X C EXP X  C C EXP X  X X  Y.X/ H EX C COS C C SEN    Y.X/ H EX= .C COS X C C SEN X/

35. Dada la ecuación diferencial y  + 25y = 0. a) Demuestre que esta ecuación tiene un número infinito de soluciones diferentes y (x) tales que y (0) = y (π) = 0. b) Demuestre que esta ecuación no tiene soluciones triviales y (x) tales que y (0) = y (3) = 0. 36. Suponga que y (x) es una solución de la ecuación ay  + by  + cy = 0 y que a, b y c son todos positivos. Demuestre que y (x) → 0 cuando x → ±∞.

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas

641

8.7 VIBRACIONES MECÁNICAS

M

K

Muchos fenómenos naturales exhiben ya sea un crecimiento o un decaimiento estable o bien oscilaciones periódicas (fluctuaciones). Los fenómenos de crecimiento estable suelen modelarse mediante ecuaciones diferenciales de primer orden (como en la sección 8.5), mientras que los fenómenos periódicos y las vibraciones se modelan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. El movimiento de una masa sujeta a un resorte es un ejemplo relativamente sencillo de las vibraciones que ocurren en sistemas mecánicos más complejos. Para muchos sistemas, el análisis de estas vibraciones es un problema en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (sección 8.6). Considere un cuerpo con masa m fijado a una terminal de un resorte ordinario que resiste tanto la compresión como el estiramiento; la otra terminal del resorte está asegurada a una estructura fija, como se muestra en la figura 8.7.1. Suponga que el cuerpo está en reposo en un plano horizontal sin fricción, de manera que puede moverse sólo adelante y atrás con la compresión y estiramiento del resorte. Denote por x la distancia del cuerpo a su posición de equilibrio (su posición cuando el resorte no está estirado). Tomamos x > 0 cuando el resorte está estirado y por ende x < 0 cuando está comprimido. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza restauradora FS que ejerce el resorte sobre la masa es proporcional a la distancia x que experimenta el resorte cuando se ha estirado o comprimido. Como esto es lo mismo que el desplazamiento x de la masa m desde su punto de equilibrio, se deduce que FS = −k x. (1)

C

X 0OSICI˜NDE EQUILIBRIO

FIGURA 8.7.1 Sistema masa-resorte-émbolo.

La constante positiva de proporcionalidad k se llama constante del resorte. Observe que FS y x tiene signos opuestos: FS < 0 cuando x > 0, FS > 0 cuando x < 0. La figura 8.7.1 muestra la masa sujeta a un émbolo, un dispositivo que, como el amortiguador, proporciona una fuerza dirigida opuesta a la dirección instantánea del movimiento de la masa m. Suponemos que el émbolo está diseñado de manera que su fuerza FR es proporcional a la velocidad v = d xyd t de la masa; es decir, que dx (2) FR = −cv = −c . dt La constante positiva c es la constante de amortiguamiento del émbolo. De modo más general, podemos entender la ecuación (2) como la especificación de las fuerzas de fricción en nuestro sistema (incluyendo la resistencia del aire al movimiento de la masa). Si además de las fuerzas FS y FR , la masa está sujeta a una fuerza externa FE = F (t), entonces la fuerza total que actúa sobre la masa es FT = FS + FR + FE . Usando la segunda ley de Newton en la forma d2x FT = ma = m 2 = mx  , dt obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden lineal MX C CX C KX H &.T/

2ESORTESIN ESTIRAR %QUILIBRIO ESTÖTICO

S Y

M Y 3ISTEMA ENMOVIMIENTO

FIGURA 8.7.2 Masa suspendida verticalmente de un resorte.

M



que gobierna el movimiento de la masa. Como ejemplo alternativo, podríamos fijar la masa a la terminal inferior de un resorte suspendido verticalmente desde un soporte, como en la figura 8.7.2. En este caso, el peso W = mg de la masa estiraría el resorte una distancia s0 determinada por la ecuación (1) con FS = −W y x = s0 . Esto es, mg = ks0 , de manera que s0 = mg/k. Esto proporciona la posición de equilibrio estática de la masa. Si y denota el desplazamiento de la masa en movimiento, medido hacia abajo desde su posición de equilibrio estático, entonces “le pedimos” (en el problema 23) que demuestre que y = y (t) satisface la ecuación (3); en especial, que my  + cy  + ky = F(t)

si incluimos el amortiguamiento y las fuerzas externas.

(4)

642

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

Movimiento libre no amortiguado Si no hay fuerzas externas actuando sobre el resorte, entonces F (t) ≡ 0 en la ecuación (3) y llamamos libre al movimiento resultante. Así, la ecuación homogénea 

MX C CX C KX H 

describe el movimiento libre de una masa en un resorte amortiguado sin fuerza externa aplicada. Si tenemos sólo una masa en un resorte, sin amortiguamiento ni fuerza externa, entonces c = 0, también, y la ecuación (5) se reduce a la ecuación 

MX C KX H 

que modela el movimiento libre no amortiguado. Es conveniente rescribir la ecuación (6) en la forma X C ! X H 



DONDE K M

! H



es la frecuencia natural de vibración de la masa en el resorte. [La letra griega ω (omega) a menudo se usa para denotar la frecuencia]. EJEMPLO 1 Un cuerpo con masa m =  kilogramos (kg) se fija al extremo de un resorte que está estirado 2 metros (m) por una fuerza de 100 newtons (N). Este cuerpo está desplazado medio metro a la derecha (de su posición de equilibrio cuando el resorte no está estirado) y luego se libera del reposo. Describa el movimiento que resulta.

Solución La constante del resorte es k = 100y2 = 50 (N/m), por lo que la función de posición x (t) del cuerpo satisface el problema de valor inicial 1  x 2

+ 50x = 0;

x(0) = 12 ,

x  (0) = 0.

(9)

La ecuación diferencial equivalente x  + 100x = 0 tiene ecuación característica: r 2 + 100 = 0 con raíces r = ±10i. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (9) y su derivada son X.T/ H ! COS T C " SEN T

Y

X .T/ H ! SEN T C " COS T:

(Escribimos A y B para los coeficientes sólo para evitar los subíndices.) Las condiciones iniciales inmediatamente proporciona A =  y B = 0. Así, la función de posición del cuerpo es x(t) =

1 2

cos 10t.

Esta función describe una oscilación de un lado a otro entre la posición a la derecha x =  (cuando t = 0, πy5, 2πy5, . . . ) y su posición a la izquierda x = − (cuando t = πy10, 3πy10, 5πy10, . . . ). Z La solución general de la ecuación (7) es X.T/ H ! COS ! T C " SEN ! T: #

"

A

Para analizar el movimiento descrito por esta solución, se eligen constantes C y α tales que ! " ; Y SEN  H ;  # # como se indica en la figura 8.7.3. Note que, aunque tan α = B/A, el ángulo α no está dado por la rama principal de la función tangente inversa (que proporciona valores sólo en el intervalo −πy2 < x < πy2). En su lugar, α es el ángulo entre 0 y 2π cuyo #H

!

FIGURA 8.7.3 Ángulo α.



! C "  ;

COS  H

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas

643

coseno y seno tienen los signos dados en (11), donde A o B o ambas pueden ser negativas. Así, H

SI TAN ."!/   C TAN ."!/ SI  C TAN ."!/ SI

! > ; " >  PRIMERCUADRANTE ! <  SEGUNDOOTERCERCUADRANTE ! > ; " <  CUARTOCUADRANTE

donde tan−1 (B/A) es el ángulo en (−πy2, πy2) proporcionado por una calculadora o computadora. En cualquier caso, de (10) y (11) obtenemos X.T/ H #

! " COS ! T C SEN ! T # #

H #.COS  COS ! T C SEN  SEN ! T/:

Con la ayuda de la fórmula adicional del coseno, encontramos que 

X.T/ H # COS.! T /:

La masa oscila de un lado a otro alrededor de su posición de equilibrio con #;

&RECUENCIACIRCULAR

! ;

¬NGULODEFASE

:

Y

Este movimiento se llama movimiento armónico simple. Una gráfica típica de x (t) se muestra en la figura 8.7.4. Si el tiempo t se mide en segundos, la frecuencia circular ω0 tiene dimensiones de radianes por segundo (rad/s). El periodo del movimiento es el tiempo requerido para que el sistema complete una oscilación completa, de manera que está dado por

X XT #COSW W T A A

#

!MPLITUD

T A W

 !



!  H 4 



4 H SEGUNDOSSUFRECUENCIAES

# P W

FIGURA 8.7.4 Movimiento armónico simple.

H

en hertz (Hz), que mide el número de ciclos completos por segundo. Note que la frecuencia se mide en ciclos por segundo, mientras que la frecuencia circular tiene dimensiones en radianes por segundo. Si la posición inicial x (0) = x 0 y la velocidad inicial x (0) = v0 de la masa están dadas, primero determine los valores de los coeficientes A y B en la ecuación (10), posteriormente encuentre la amplitud C y el ángulo de fase α realizando las transformaciones de x (t) en la forma de la ecuación (12), como se indicó antes. EJEMPLO 2 Suponga que la masa m =  (kg) del ejemplo 1 se fija al mismo resorte con la constante de Hooke k = 50 (N/m). Pero ahora se pone en movimiento con una posición inicial x (0) =  (m) y velocidad inicial x (0) = −10 (m/s). (Entonces la masa se desplaza a la derecha y se mueve a la izquierda en el tiempo t = 0.) Encuentre la función de posición del cuerpo al igual que la amplitud, frecuencia, periodo de oscilación y ángulo de fase de su movimiento.

Solución Con m =  y k = 50, la ecuación (6) lleva a  x  + 50x = 0; es decir, x  + 100x = 0. En consecuencia, sabemos, a partir de la ecuación (8), que la frecuencia circular será √ ω0 = 100 = 10 (rad/s). Así, el cuerpo oscilará con 10 ≈ 1.59 Hz frecuencia: 2π

CAPÍTULO 8

644

Ecuaciones diferenciales

y 2π ≈ 0.63 10

periodo:

s.

Ahora imponemos las condiciones iniciales x (0) = 0.5 y x (0) = −10 en la solución general x (t) = A cos 10t + B sen 10t, y se deduce que A = 0.5 y B = −1. De manera que la función de posición de cuerpo es X.T/ H

 

COS T SEN T:

Así, la amplitud de movimiento es

√  1 2 C= + (−1)2 = 12 5 ≈ 1.12 (m). 2 Para encontrar el ángulo de fase, se utiliza la fórmula de suma del coseno para escribir p p     X.T/ H COS.T /: p COS T p SEN T H     Entonces requerimos  COS  H p >  

 Y SEN  H p < : 

Por esto α es el ángulo en el cuarto cuadrante  √ 2 5 −1 5 α = 2π − tan ≈ 5.1760 (rad). √ 1 5 5 En la forma en que se han hecho explícitos la amplitud y el ángulo de fase, la función de posición es √ 5 cos(10t − 5.1760). x(t) ≈ Z 2

Movimiento libre amortiguado Suponemos ahora que c > 0 en la ecuación (5) y consideramos el movimiento amortiguado de una masa en un resorte (todavía sin fuerzas externas). La ecuación característica de la ecuación diferencial mx  + cx  + k x = 0 tiene raíces √ −c ± c2 − 4km . (15) r= 2m Por lo tanto, el tipo de movimiento que ocurre depende de si c2 > 4km (raíces reales distintas), c2 = 4km (raíces reales iguales) o c2 < 4km (raíces conjugadas complejas).

 X X 

c2 > 4km. Debido a que c es relativamente grande en este caso, se maneja una resistencia fuerte en comparación con un resorte relativamente débil (o una masa pequeña). En este caso, la ecuación (15) proporciona raíces reales distintas negativas r1 = −p1 y r 2 = −p2 (donde p1 y p2 > 0). De esta forma, la función de posición tiene la forma

Caso de sobreamortiguamiento



T

FIGURA 8.7.5 Movimiento sobreamortiguado. x (t) = c1er1t + c2er2t con r1 < 0 y r 2 < 0. Las curvas de solución se graficaron con la misma posición inicial x 0 y diferentes velocidades iniciales.

x(t) = c1 e− p1 t + c2 e− p2 t .

(16)

Es evidente que x (t) → 0 cuando t → +∞ y entonces la masa m se establece en su posición de equilibrio sin oscilar. Esto es, cualquier oscilación existente se amortigua. (Vea el problema 36.) La figura 8.7.5 muestra algunas gráficas típicas de la función de posición en este caso sobreamortiguado.

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas

645

c2 = 4km. En este caso, la ecuación (15) proporciona raíces reales iguales r = −p = −cy(2m) < 0. La función de posición, por lo tanto, tiene la forma

Caso con amortiguamiento crítico

x(t) = (c1 + c2 t)e− pt .

(17)

La figura 8.7.6 muestra algunas gráficas típicas de la función de posición en este caso de amortiguamiento crítico. El amortiguamiento es sólo suficientemente grande para amortiguar cualquier oscilación que pueda haber, pero incluso una pequeña disminución nos lleva al caso restante, el que muestra el comportamiento más drástico.

 X X

Caso subamortiguado



c2 < 4km. Ahora la ecuación (15) proporciona raíces conju-

gadas complejas r= 

T

FIGURA 8.7.6 Movimiento con amortiguamiento crítico. x (t)  (c1 + c2 t)e−pt con p > 0. Las curvas de solución se graficaron con la misma posición inicial x 0 y velocidades iniciales diferentes.

−c ±



c −(4km − c2 ) =− ±i 2m 2m

k − m



c 2m

2 .

Escribimos PH

C M

Y ! H

! P 

 

(recordando de (8) la frecuencia circular no amortiguada ω0 = k/m ). De esta forma, las raíces conjugadas complejas de la ecuación característica son r = − p ±iω1, de manera que la solución de mx  + cx  + k x = 0 es X.T/ H E PT .! COS ! T C " SEN ! T/ H #E PT

" ! COS ! T C SEN ! T # #

 donde C = A2 + B 2 . Utilizando la forma de suma de cosenos, se deduce que x (t) puede escribirse en la forma X.T/ H #E PT COS.! T /

A W

X#E PTCOS W T A X#E PT

similar a la ecuación (12), con " ! ; Y SEN  H : # # La solución en (19) representa oscilaciones amortiguadas exponencialmente del cuerpo alrededor de su posición de equilibrio. La gráfica de x (t) está entre las curvas x = −Ce −pt y x = Ce −pt y las toca cuando ω1t − α es un múltiplo entero de π. El movimiento no es en realidad periódico, pero de todas maneras es útil llamar a ω1 su frecuencia circular, T1 = 2πyω1 su seudoperiodo de oscilación, y Ce −pt su amplitud variable en el tiempo. La mayoría de estas cantidades se muestran en la gráfica típica del movimiento subamortiguado mostrada en la figura 8.7.7. Observe que de la ecuación (18) en este caso ω1 es menor que la frecuencia circular no amortiguada ω0, por lo que T1 es mayor que el periodo T de oscilación de la misma masa sin amortiguamiento en el mismo resorte. Así, la acción del émbolo tiene al menos tres efectos: #H

X  X #E PT

4  

P W

T

FIGURA 8.7.7 Oscilaciones subamortiguadas: x (t)  Ce−pt cos (ω1t − α).



! C "  ;

COS  H

1. Amortigua exponencialmente las oscilaciones, de acuerdo con la amplitud que varía en el tiempo. 2. Hace más lento el movimiento; es decir, el émbolo disminuye la frecuencia del movimiento. 3. Retrasa el movimiento al aumentar el ángulo de fase α en la ecuación (19); compare los ángulos de fase en los ejemplos 2 y 3. EJEMPLO 3 La masa y resorte del ejemplo 2 ahora se fijan también a un émbolo que proporciona 6 N de resistencia por cada metro por segundo de velocidad. La masa se pone en movimiento con la misma posición inicial x (0) =  (m) y la misma velocidad inicial x (0) = −10 (m/s). Encuentre la función de posición de la masa al igual que su nueva frecuencia de oscilación, su seudoperiodo y el ángulo de fase de su movimiento.

CAPÍTULO 8

646

Ecuaciones diferenciales

Solución En lugar de memorizar las diferentes fórmulas proporcionadas en el análisis anterior, es una mejor práctica en un caso particular establecer la ecuación diferencial y luego resolverla directamente. Recuerde que m =  y k = 50; ahora proporcionan c = 6 en unidades métricas. Así, la ecuación (3) es  x  + 6x  + 50x = 0; es decir, X C X C X H :

Las raíces de la ecuación característica r 2 + 12r + 100 = 0 son p     R ; R H H   I;  DEMANERAQUELASOLUCI˜NGENERALES X.T/ H ET.! COS T C " SEN T/:



La nueva frecuencia circular es ω1 = 8 (rad/s) y el seudoperiodo y la nueva frecuencia son 4 H

  : S 

Y   H  : (Z 4 

(en contraste con 0.63 s y 1.59 Hz, respectivamente, en el caso no amortiguado). De la ecuación (20) calculamos X .T/ H ET .! SEN T C " COS T/ ET .! COS T C " SEN T/:

Las condiciones iniciales, por lo tanto, producen las ecuaciones X./ H ! H PORLOQUE! H

 

 

Y

X ./ H ! C " H ;

Y " H   !S¤ X.T/ H ET

 

COS T  SEN T ;

YENTONCESCON #H TENEMOS

  

C

  

H

 

p



p  T   E X.T/ H p COS T p SEN T :   

2EQUERIMOS   COS  H p >  Y SEN  H p < ;  

X 

de manera que α es el ángulo en el cuarto cuadrante



 H  TAN 











FIGURA 8.7.8 Gráfica de la función de posición en la ecuación (21).

T

 

 : RAD :

En resumen, la función de posición de la masa oscilante está dada aproximadamente por p  T E COS.T :/: X.T/ H   La figura 8.7.8 muestra la gráfica de esta función de posición. Aunque las oscilaciones en teoría ocurren indefinidamente, observamos que —desde el punto de vista práctico— de hecho están amortiguadas después de más o menos un segundo. Z

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas

647

Oscilaciones forzadas Las masas en resortes en sistemas mecánicos con frecuencia están sujetas a fuerzas externas periódicas. Un ejemplo típico sería un auto conducido de bajada en un camino con oscilaciones periódicas. La masa es el auto en sí; el émbolo y el resorte consisten en la suspensión (amortiguadores y muelles en espiral). El camino proporciona la fuerza externa y el conductor siente el movimiento periódico del auto. Si incluimos en la ecuación (3) una fuerza externa periódica F (t) = F0 cos ω t con amplitud F0 y frecuencia circular ω, obtenemos la ecuación diferencial no homogénea MX C CX C KX H & COS !T



En la sección 8.6 resolvimos sólo ecuaciones diferenciales homogéneas, pero una ecuación no homogénea de la forma especial en (22) con frecuencia se puede resolver por un método de “conjetura astuta”. Como las derivadas de senos y cosenos de ω t son de nuevo senos y cosenos de ω t, es razonable adivinar que la ecuación (22) puede tener una solución particular de la forma X P .T/ H ! COS !T C " SEN !T



Si es así, podemos descubrir los valores de A y B sustituyendo (23) en lugar de x en la ecuación (22) y luego agrupando los coeficientes de cos ω t y sen ω t. Ahora, sea xc(t) la solución general —que tiene constantes arbitrarias c1 y c2 — de la ecuación (libre de fuerza) asociada mx  + c x + k x = 0. De esta forma, la suma X.T/ H XC .T/ C X P .T/



será la solución general de la ecuación (22), porque encontramos que MX C CX C KX H M.XC C X P / C C.XC C X P / C K.XC C X P / H .MXC C CXC C KXC / C .MX P C CX P C KX P / H  C & COS !T H & COS !T:

En resumen, la solución general de la ecuación no homogénea en (22) es la suma de la solución particular xp y la solución general xc de la ecuación homogénea asociada. Por último, podemos imponer condiciones iniciales dadas sobre x (t) para determinar valores numéricos de las constantes c1 y c2 que aparecen en xc. Los ejemplos 4 y 5 ilustran este procedimiento. EJEMPLO 4 Suponga que m = 1, c = 0, k = 9, F0 = 80 y ω = 5, de manera que la ecuación diferencial no homogénea en (22) es X C X H  COS T:



Encuentre x (t) si x (0) = x (0) = 0.

Solución La ecuación diferencial homogénea asociada x  + 9x = 0 tiene la solución general XC .T/ H C COS T C C SEN T: La solución particular dada por (23) con ω = 5 toma la forma xp(t) = A cos 5t + B sen 5t. Sustituyendo xp en lugar de x en la ecuación no homogénea en (25) se tiene .! COS T " SEN T/ C .! COS T C " SEN T/ H  COS T:

Cuando agrupamos y comparamos los coeficientes de cos 5t y sen 5t en los dos lados de esta ecuación, vemos que −16A = 80 y −16B = 0. En consecuencia A = −5 y B = 0, por lo que la solución particular es xp(t) = −5 cos 5t. La solución general x (t) = xc(t) + xp(t) en (24) es por lo tanto X.T/ H C COS T C C SEN T  COS T:

CAPÍTULO 8

648

X

Ecuaciones diferenciales

Por último, aplicamos las condiciones iniciales dadas x (0) = x (0) = 0 a x (t) y su derivada 0ERIODOP



X .T/ H C SEN T C C COS T C  SEN T:



Con esto obtenemos x (0) = c1 − 5 = 0 y x (0) = 3c2 = 0, de manera que c1 = 5 y c2 = 0. Esto proporciona la solución buscada P

P

P T





FIGURA 8.7.9 La función de respuesta x (t) = 5 cos 3t − 5 cos 5t en el ejemplo 4.

X.T/ H  COS T  COS T

del problema de valor inicial original. Como lo indica la figura 8.7.9, el periodo de x (t) es el mínimo común múltiplo entero 2π de los periodos 2πy3 y 2πy5 de los dos términos del coseno. Z OBSERVACIÓN Suponga que la frecuencia ω de la fuerza externa F (t) = 80 cos ω t en el ejemplo 4 era igual a la frecuencia natural ω0 = 3 del sistema resorte-masa. Entonces al sustituir la “solución prueba” xp(t) = A cos 3t + B sen 3t en la ecuación diferencial no homogénea, llegaríamos a la ecuación contradictoria 0 = 80 cos 3t. (Verifique esto.) Entonces no hubiéramos podido determinar A y B de esta manera. El caso en que la frecuencia natural y la frecuencia externa son iguales lleva al fenómeno de resonancia, con oscilaciones de amplitud cada vez más grande. (Vea el problema 37.) Este fenómeno no ocurre cuando está presente un amortiguamiento diferente de cero, como en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Suponga que m = 1, c = 2, k = 26, F0 = 82 y ω = 4, de modo que la ecuación diferencial no homogénea en (22) es X C X C X H  COS T:





Encuentre x (t) si x (0) = 6 y x (0) = 0.

Solución La ecuación diferencial homogénea asociada x  + 2x  + 26x = 0 tiene ecuación característica R  C R C  H .R C / C  H 

con raíces conjugadas complejas r = − 1 ± 5i. Así, su solución general es XC .T/ H ET .C COS T C C SEN T/:

La solución particular dada en (23) con ω = 4 es xp(t) = A cos 4t + B sen 4t. Cuando sustituimos esta solución prueba en la ecuación no homogénea en (26), agrupamos términos semejantes e igualamos los coeficientes de cos 4t y sen 4t, obtenemos las ecuaciones ! C " H ; ! C " H 

con solución A = 5, B = 4. Esto proporciona la solución particular X P .T/ H  COS T C  SEN T

de la ecuación (26). La solución general x (t) = xc(t) + xp(t) en (24) es entonces X.T/ H ET .C COS T C C SEN T/ C  COS T C  SEN T:

Por último, aplicamos las condiciones iniciales dadas x (0) = 6 y x (0) = 0 a x (t) y su derivada X .T/ H ET .C COS T C C SEN T/ C ET .C SEN T C C COS T/  SEN T C  COS T:

De aquí obtenemos las ecuaciones simultáneas X./ H C C  H ; X ./ H C C C C  H 

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas

649

con solución c1 = 1, c2 = −3. Estos coeficientes dan la solución deseada X.T/ H ET .COS T  SEN T/ C  COS T C  SEN T



Z

del problema de valor inicial. OBSERVACIÓN

La solución en (27) es la suma de una solución transitoria XTR .T/ H ET .COS T  SEN T/

(llamada así porque desaparece cuando t → +∞) y la solución periódica estable XSP .T/ H  COS T C  SEN T p   H  p COS T C p SEN T  

H

p   COS T TAN 

que representa un movimiento en el que la masa continua oscilando perpetuamente con p amplitud constante  y frecuencia circular ω = 4. La figura 8.7.10 muestra las gráficas de solución x (t) = xtr(t) + xsp(t) del problema de valor inicial X C X C X H  COS TI

X./ H X ;

X ./ H 



para las diferentes posiciones iniciales x 0 = −20, −10, 0, 10 y 20. Aquí observamos claramente lo que significa que solución transitoria xtr(t) “desaparezca con el paso del tiempo”, dejando sólo la solución periódica xsp(t). Sin duda, como xtr(t) → 0 exponencialmente, en unos cuantos ciclos las gráficas de la solución completa x (t) y la solución periódica estable xsp(t) son virtualmente indistinguibles. X  X

 XSPT











T



X 



FIGURA 8.7.10 Soluciones del problema de valor inicial en (28) con x 0 = −20, −10, 0, 10, 20, y la solución periódica estable xsp(t).

650

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

8.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Los fenómenos periódicos suelen modelarse por ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que los fenómenos de crecimiento estable se modelan por ecuaciones de segundo orden. 2. Si una masa en movimiento está sujeta a un resorte, entonces la ley de Hooke implica que la fuerza ejercida sobre la masa por el resorte es proporcional a la velocidad de la masa. 3. Suponga que una masa en movimiento está fija a un resorte y a un émbolo (o amortiguador), además actúa sobre ella una fuerza externa separada del resorte o el émbolo. La función de posición x (t) de la masa satisface una ecuación diferencial de la forma mx  + cx  + k x = 0. 4. Si una masa en movimiento está fija a un resorte, pero no está sujeta a amortiguamiento ni fuerzas externas, entonces la función de posición x (t) de la masa es una combinación lineal de una función seno y una función coseno. 5. Si una masa en movimiento libre no amortiguado tiene función de posición x (t) = A cos ω0 t p + B sen ω0 t, entonces la amplitud de sus oscilaciones de un lado a otro es igual a ! C "   6. Si una masa en movimiento libre no amortiguado tiene función de posición x (t) = A cos ω0 t + B sen ω0 t con A y B ambas positivas, entonces x (t) se puede escribir en la forma x (t) = C cos (ω t − α) donde el ángulo de fase α es un ángulo en el segundo cuadrante. 7. Si una masa se mueve en movimiento armónico simple con frecuencia circular ω0 (en radianes por segundo), entonces el número T de segundos requeridos para   completar una oscilación completa está dado por 4 H ! 8. Suponga que una masa fijada tanto a un resorte como a un émbolo está en movimiento libre no amortiguado. Así, su función de posición se escribe en la forma x (t) = Ce pt cos (ω1 t − α), donde la frecuencia circular ω1 es menor que la frecuencia circular natural ω0 de oscilaciones de la misma masa en el mismo resorte sin amortiguamiento. 9. Si xp(t) es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea mx  + cx  + k x = F0 cos ω t y xc(t) es la solución general de la ecuación homogénea asociada mx  + cx  + k x = 0, entonces la suma x (t) = xc(t) + xp(t) es una solución general de la ecuación no homogénea original desplegada arriba. 10. Suponga que una masa fijada a un resorte y a un émbolo experimenta oscilaciones periódicas con amortiguamiento forzado. De esta forma, su función de posición x (t) es una suma x (t) = xtr(t) + xsp(t) de una solución periódica estable xsp(t) y una solución transitoria xtr(t) que desaparece cuando t → +∞.

8.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS En cada una de las preguntas 1 a 4, describa las diferencias entre las variedades indicadas de movimiento de una masa sujetada a un resorte. 1. 2. 3. 4.

Movimiento libre amortiguado y no amortiguado. Movimiento libre sobreamortiguado y subamortiguado. Movimiento forzado amortiguado y no amortiguado. Movimiento forzado transitorio y periódico estable.

SECCIÓN 8.7

Vibraciones mecánicas 651

8.7 PROBLEMAS Los problemas 1 a 4 se refieren a movimiento libre no amortiguado de una masa m en un resorte con constante k de Hooke (del resorte). Suponga que la masa se pone en movimiento con una posición inicial x (0) = x 0 y velocidad inicial x (0) = v0. Escriba la función de posición de la masa en la forma x (t) = C cos (ω0 t − α).  M H  K H  X H  G H   M H  K H 

X H  G H 

 M H  K H 

X H  G H 

 M H  K H 

X H  G H 

Los problemas 5 a 10 se refieren al movimiento libre amortiguado de una masa m que está fijada a un resorte con constante k de Hooke y a un émbolo con constante de amortiguamiento c. Suponga que la masa se pone en movimiento con posición inicial x (0) = x 0 y velocidad inicial x (0) = v0. Encuentre la función de posición x (t) de la masa. Determine si el movimiento resultante es sobreamortiguado, con amortiguamiento crítico o subamortiguado; en el último caso, escriba la función de posición en la forma x (t) = Ce−pt cos (ω1t − α).  M H  C H  K H  X H  G H   M H  C H  K H  X H  G H   M H  C H  K H  X H  G H   M H  C H  K H  X H  G H 

22. Un cuerpo con masa de 250 g se fija al final de un resorte estirado 25 cm por una fuerza de 9 N. En el tiempo t = 0, el cuerpo se jala 1 m a la derecha, estirando el resorte y se pone en movimiento con una velocidad inicial de 5 m/s a la izquierda. a) Encuentre x (t) en la forma C cos(ω0 t + α). b) Encuentre la amplitud y el periodo de movimiento del cuerpo. 23. Desarrolle la ecuación (4) describiendo el movimiento de la masa sujetada en la terminal inferior de un resorte suspendido verticalmente. (Sugerencia: primero denote por x (t) el desplazamiento de la masa abajo de la posición sin estirar del resorte; establezca la ecuación diferencial para x. Luego sustituya y = x − x 0 en esta ecuación diferencial.) 24. Considere una boya cilíndrica flotante con radio r, altura h y densidad uniforme ρ 0.5 (recuerde que la densidad del agua es 1 g/cm3). La boya está inicialmente suspendida en reposo con su base en la superficie del agua y se suelta en el tiempo t = 0. En adelante actúan sobre ella dos fuerzas: una fuerza gravitacional hacia abajo igual a su peso mg = ρπr 2hg y una fuerza de flotación hacia arriba igual al peso πr 2xg del agua desplazada, donde x = x (t) es la profundidad de la base de la boya abajo de la superficie en el tiempo t (figura 8.7.11). Concluya que la boya experimenta un movimiento armónico simple alrededorpde su posición de equilibrio xe = ρ h con periodo P H  H=G Calcule p y la amplitud del movimiento si ρ = 0.5 g/cm3, h = 200 cm y g = 980 cm/s2.

 M H  C H  K H  X H  G H   M H  C H  K H  X H  G H 

Los problemas de valor inicial en los problemas 11 a 14 describen un movimiento forzado no amortiguado de una masa en un resorte. Exprese la función de posición x (t) como la suma de dos oscilaciones (como en el ejemplo 4). En lo que sigue las primas denotan derivadas respecto a t.  X C X H  COS T X./ H X ./ H   X C X H  SEN T

H

3UPERFICIE DELAGUA X

X./ H X ./ H 

 X C X H  SEN T  X C X H  COS T

R

X./ H  X ./ H  X./ H  X ./ H 

En los problemas 15 a 18, encuentre la solución periódica estable de la ecuación diferencial dada. Si se dan condiciones iniciales, encuentre también la solución transitoria.  X C X C X H  COS T  X C X C X H  COS T  X C X C X H  COS T

X./ H X ./ H 

 X CX CX H  COS T C SEN T

X./ H  X ./ H 

19. Determine el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple de una masa de 4 kg al final de un resorte con constante de resorte de 16 N/m. 20. Determine el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple de un cuerpo de masa 0.75 kg al final de un resorte con constante de resorte 48 N/m. 21. Una masa de 3 kg se fija a la terminal de un resorte estirado 20 cm por una fuerza de 15 N. Se pone en movimiento con una posición inicial x 0 = 0 y velocidad inicial v0 = −10 m/s. Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante.

FIGURA 8.7.11 Boya del problema 24.

25. Una boya cilíndrica que pesa 100 lb (es decir, con masa m = 3.125 slugs en unidades ft-lb-s o fps) flota en el agua con su eje vertical (como en el problema 24). Cuando la sumergen un poco y la sueltan, oscila de arriba a abajo cuatro veces cada 10 s. Suponga que la fricción es despreciable. Encuentre el radio de la boya. 26. Suponga que la Tierra es una esfera sólida de densidad uniforme, con masa M y radio R = 3960 (mi). Para una partícula de masa m dentro de la tierra a una distancia r del centro de la misma, la fuerza gravitacional que atrae a m hacia el centro es Fr = −GMr m/r 2, donde Mr es la masa de la parte de la Tierra dentro de la esfera de radio r. a) Demuestre que Fr = −GMmr/R3. b) Ahora suponga que se perfora un pequeño agujero justo por el centro de la Tierra, conectando dos puntos antípodas de su superficie. Una partícula de masa m se deja caer en el tiempo t = 0 por el agujero con velocidad inicial igual a cero; sea r (t) su distancia al centro de la Tierra en el tiempo t (figura 8.7.12). Concluya por la segunda ley de Newton y el inciso a) que r (t) = −k2r (t), donde k2 = GM/R3 = g/R. c) Tome g = 32.2 ft/s2, y concluya del inciso b) que la

652

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

partícula experimenta un movimiento armónico simple de un lado a otro entre los extremos del agujero, con un periodo cercano a los 84 minutos. d) Busque (o bien obtenga) el periodo de un satélite que apenas rozara la superficie de la Tierra; compárelo con el resultado del inciso c). ¿Cómo explica esta coincidencia?, de hecho, ¿es una coincidencia? e) ¿Con qué velocidad (en millas por hora) pasa la partícula por el centro de la Tierra? f ) Busque (o bien obtenga) la velocidad orbital de un satélite que apenas rozara la superficie de la Tierra; compárela con el resultado del inciso e). ¿Cómo explica la coincidencia?, de hecho, ¿es una coincidencia?

M

&2

R 2

FIGURA 8.7.12 Una masa m que cae por una agujero que pasa por el centro de la Tierra (problema 26).

27. Suponga que la masa en el sistema libre masa-resorte-émbolo con m = 10, c = 9 y k = 2 se pone en movimiento con x (0) = 0 y x (0) = 5. a) Encuentre la función de posición x (t) y muestre que su gráfica se ve como se indica en la figura 8.7.13. b) Encuentre qué tan lejos se mueve a la derecha antes de comenzar su regreso al origen.     X

 X 



 



 T





FIGURA 8.7.14 Función de posición x (t) para el problema 28.

29. Un peso de 12 lb (masa m = 0.375 slugs en unidades fps) está sujeto a un resorte vertical suspendido que se estira 6 in y a un émbolo que proporciona 3 lb de resistencia por cada pie por segundo de velocidad. a) Si el peso se jala 1 pie abajo de su posición de equilibrio estático y luego se suelta desde el reposo en el tiempo t = 0, encuentre su función de posición x (t). b) Encuentre la frecuencia, la amplitud variable en el tiempo y el ángulo de fase del movimiento. 30. Este problema se refiere a un modelo muy simplificado de un auto con un peso de 3200 lb (masa m = 100 slugs en unidades fps). Suponga que el sistema de suspensión actúa como un solo resorte y sus amortiguadores como un solo émbolo, de manera que su vibración vertical satisface la ecuación (4) con los valores apropiados de los coeficientes. a) Encuentre el coeficiente de rigidez k del resorte si el auto experimenta vibraciones libres a 80 ciclos por minuto (ciclos/min) cuando sus amortiguadores se desconectan. b) Con los amortiguadores conectados el auto se pone en vibración con una frecuencia de 78 ciclos/min. ¿Después de cuánto tiempo la amplitud variable en el tiempo será 1% de su valor inicial? Los problemas 31 a 36 tratan de vibraciones libres amortiguadas de un sistema masa-resorte-émbolo cuya función de posición satisface la ecuación mx  + cx  + k x = 0. La masa se pone en movimiento con una posición inicial x (0) = x 0 y velocidad p inicial x (0) = v0. Recuerde la notación p = cy(2m) y ! H K=M en las ecuaciones (18) y (8), respectivamente. El sistema tiene amortiguamiento crítico o sobreamortiguamiento según se especifica en cada problema. 31. (Amortiguamiento crítico) Demuestre en este caso que X.T/ H .X C G T C PX T/E PT :

 











 T





FIGURA 8.7.13 Función de posición x (t) para el problema 27.

28. Suponga que la masa en un sistema libre masa-resorte-émbolo con m = 25, c= 10 y k = 226 se pone en movimiento con x (0) = 20 y x (0) = 41. a) Encuentre la función de posición x (t) y muestre que esta gráfica se ve como en la figura 8.7.14. b) Encuentre el seudoperiodo de las oscilaciones y las ecuaciones de la “curvas envolventes” mostradas con líneas punteadas en la figura.

32. (Amortiguamiento crítico) Deduzca del problema 31 que la masa pasa por x = 0 en algún instante t > 0 si y sólo si x 0 y v0 + px 0 tienen el mismo signo. 33. (Amortiguamiento crítico) Deduzca del problema 31 que x (t) tiene un máximo o mínimo local en algún instante t > 0 si y sólo si v0 y v0 + px 0 tiene el mismo signo. 34. (Sobreamortiguado) Demuestre en este caso que  T.G R X /ER T .G R X /ER T U; X.T/ H  DONDE R ; R H P 

P  ! Y H .R R /= > 

35. (Sobreamortiguado) Si x 0 = 0, deduzca del problema 34 que G X.T/ H E PT SENH T:

Capítulo 8

36. (Sobreamortiguado) Pruebe que en este caso la masa puede pasar por su posición de equilibrio x = 0 cuando mucho una vez. 37. Considere el sistema masa-resorte del ejemplo 4, excepto con una fuerza externa F (t) = 60 cos 3t que tiene frecuencia ω igual a la frecuencia natural ω0 = 3 del sistema. Entonces la función de posición de la masa satisface la ecuación diferencial x  + 9x = 60 cos 3t. a) Demuestre que esta ecuación diferencial no homogénea no tiene solución de la forma x (t) = A cos 3t + B sen 3t. (Como se sugirió en el texto, intente encontrar una y observe qué pasa.) b) Verifique que xp(t) = 10t sen 3t es una solución particular de x  + 9x = 60 cos 3t. La gráfica de xp(t), mostrada en la figura 8.7.15 indica que cualquier solución x(t) = c1 cos 3t + c2 sen 3t + 10t sen 3t de esta ecuación exhibe oscilaciones de magnitud no acotada cuando t → +∞.

Repaso

X XT

  P

P

P

P

 P

T





X T

FIGURA 8.7.15 La solución de resonancia xp(t) = 10t sen 3t de la ecuación diferencial x  + 9x = 60 cos 3t oscila entre las rectas x = −10t y x = +10t.

CAPÍTULO 8: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y métodos Consulte las páginas indicadas para repasar los conceptos, definiciones y métodos de este capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 8.1 Condiciones iniciales y el problema de valor inicial y  = F ( x, y), y (a) = b . . . . . . . . . . 576 Soluciones general y particular de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 Solución de la ecuación y  = F ( x, y) si falta x o y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 Ecuación exponencial x  = k x y aplicaciones a crecimiento natural . . . . . . . . . . . . . . . . 578-579 Decaimiento radioactivo y datación por radiocarbono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580-581 Ley de Torricelli y tanques que se drenan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583-584 8.2 Campos de pendientes y curvas de solución aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 Método de Euler y soluciones numéricas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 8.3 Ecuaciones diferenciales separables y separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599-600 Ley de enfriamiento de Newton y la ecuación u  = k (A − u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 La ecuación lineal con coeficientes constantes x  = a x + b y aplicaciones . . . . . . . . . . 602-603 8.4 Ecuación de primer orden lineal y  + P (x)y = Q (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 El factor de integración .X/ H EXP 0.X/ D X para una ecuación lineal. . . . . . . . . . . 608 Pasos para la solución de una ecuación de primer orden lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 Existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación de primer orden lineal . . . . . . 611 Problemas de mezclas y la ecuación x  = rent cent − rsal csal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Movimiento con resistencia proporcional a la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614-615 8.5 Ecuación de población general P  = (β − δ)P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 Poblaciones acotadas y la ecuación logística P  = kP (M − P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 Poblaciones limitantes y capacidad de contención. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Ecuación de explosión-extinción P  = kP (P − M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 Poblaciones depredador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 8.6 Ecuación de segundo orden lineal Ay  + By  + Cy = F; homogénea si F ≡ 0 . . . . . . . . 631 Soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 Solución general y = c1 y1 + c2 y2 de una ecuación lineal homogénea . . . . . . . . . . . . . . 633 Ecuación característica ar 2 + br + c = 0 de la ec. dif. ay  + by  + cy = 0 . . . . . . . . . . 634 La solución general Y.X/ H C ER X C C ER X en el caso de raíces distintas . . . . . . . . . . . . 634 La solución general Y.X/ H .C C C X/ER X en el caso de raíces iguales . . . . . . . . . . . . . 636 La solución general Y.X/ H E PX .C COS Q X C C SEN Q X/ en el caso de raíces conjugadas complejas r = p ± qi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 8.7 Sistema amortiguado masa-resorte-émbolo y la ecuación mx  + cx  + kx = F(t) . . . . . 641 Movimiento libre no amortiguado con c = F = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

653

654

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

CAPÍTULO 8: REPASO (continuación) Comprensión: conceptos, definiciones y métodos (continuación) Páginas Amplitud, frecuencia, y ángulo de fase para el movimiento armónico simple . . . . . . . . 643 Movimiento libre amortiguado (sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644-645 Oscilaciones forzadas y resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647-648 Soluciones periódicas estable y transitoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas indicados en cada sección para practicar los métodos y técnicas que necesite perfeccionar. Sección Problemas 8.1 Encontrar soluciones general y particular de ecuaciones diferenciales sencillas. . . . . . . 5,7 Escribir ecuaciones diferenciales de una función descrita geométricamente. . . . . . . . . . 11 Resolver problemas de crecimiento y decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 25, 27, 29 Resolver problemas de drenaje de tanques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 41 8.2 Bosquejar curvas de solución con un campo de pendientes dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 21 Aplicar el método de Euler para aproximar numéricamente una solución . . . . . . . . . . . 11, 15 8.3 Encontrar soluciones generales de ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5 Resolver ecuaciones separables con condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 23, 29 Resolver problemas aplicados con ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 37, 39 8.4 Resolver ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 11, 15 Resolver problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27 Resolver problemas de movimiento con resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33, 37 8.5 Usar fracciones parciales para resolver ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 5, 7 Resolver problemas logísticos y de explosión-extinción de población . . . . . . . . . . . . . . 11, 15, 17, 19, 25 8.6 Resolver ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes. . . . . . . . . . 1, 7, 11 8.7 Resolver problemas de vibración libre masa-resorte-émbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7 Resolver problemas de vibración forzados masa-resorte-émbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15 Resolver problemas de vibración aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21, 25, 29

PROBLEMAS DIVERSOS En los problemas 1 a 26, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente. DY H X C COS X Y./ H   DX p DY   H  X C p  Y./ H  DX X DY H .Y C /  DX p DY  H YC DX DY H X  Y   Y./ H   DX DY p  H  X Y Y./ H  DX DY H  X  Y  DX p DY  X Y H DX DY  H Y  COS X Y./ H  DX

DY p H Y SEN X Y./ H  DX p Y  X DY H   p DX X  Y p Y.X C / DY H p  DX X.Y C / 

DY H DX DY H X Y  C Y  X  DX DY Y C X  H X Y DX DY H Y X Y  C X  DX DY H X  Y C X  DX DY H  C X  C Y C X  Y DX DY C Y H X  EX DX

 X  C Y X      

Capítulo 8

 X  Y  C X 

DY H Y  DX

DY C Y H X = DX DY C .X /Y H  .X  / DX DY H Y X  Y  C X = DX DY H X C  Y C .X C / DX DY H EX C Y DX DY YCX H EX DX

   

Cada ecuación diferencial en los problemas 27 y 28 es tanto separable como lineal. Obtenga y reconcilie las dos soluciones generales encontradas por los dos métodos indicados. DY  H .Y C /X  DX X Y C X DY H  DX X C  Resuelva los problemas de valor inicial en 29 y 30. DX H X  C X C  X./ H   DT DX  H X  C X  X./ H  DT 31. Decaimiento radioactivo Cierta roca de la Luna contiene el mismo número de átomos de potasio y de argón. Suponga que todo el argón está presente debido al decaimiento radioactivo del potasio (su vida media es alrededor de 1.28 × 109 años) y que 1 de cada 9 desintegraciones de átomos de potasio da un átomo de argón. ¿Cuál es la edad de la roca, medida desde el tiempo que contenía sólo potasio? 32. Ley de enfriamiento de Newton Si un cuerpo se enfría en un medio con temperatura constante A, entonces, de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton (sección 8.3), la tasa de cambio de la temperatura T del cuerpo es proporcional a T − A. Planeamos enfriar una jarra de leche inicialmente a 25°C poniéndola en el porche de la casa, donde la temperatura es 0°C. Si la temperatura de la leche baja a 15°C después de 20 min, ¿cuándo estará a 5°C? 33. Cuando se disuelve azúcar en agua, la cantidad A de azúcar que queda sin disolver después de t minutos satisface la ecuación diferencial dAyd t = − kA (k > 0). Si 25% del azúcar se disuelve en 1 min, ¿cuánto tiempo toma disolver la mitad del azúcar? 34. La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros abajo de la superficie de un lago satisface la ecuación diferencial dIyd x = −(1.4)I. a) ¿A qué profundidad hay una intensidad de la mitad de la intensidad I0 en la superficie (donde x = 0)? b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de 10 m (como fracción de I0)? c) ¿A qué profundidad la intensidad será 1% de su valor en la superficie? 35. La presión barométrica p (en pulgadas de mercurio) a una altitud de x millas arriba del nivel del mar satisface la ecuación diferencial dpyd x = −(0.2)p con la condición inicial p(0) = 29.92. a) Calcule la presión barométrica a 10,000 ft y

655

otra vez a 30,000 ft. b) Sin acondicionamiento previo, pocas personas pueden sobrevivir cuando la presión baja a menos de 15 in de mercurio. ¿Qué tan alto es eso? c) La montaña más alta en Norte América es Mt. McKinley, en Denali National Park, Alaska, EUA. ¿Cuál es la presión atmosférica en esta cima, aproximadamente a 20,320 ft arriba del nivel del mar?

 X 

Problemas diversos

36. Un accidente en una planta de energía nuclear ha dejado los alrededores contaminados con un elemento radioactivo que decae a una tasa proporcional a su cantidad actual A(t). El nivel inicial de radiación es 10 veces la cantidad máxima S que es segura y 100 días después todavía es 7 veces esa cantidad. a) Establezca y resuelva una ecuación diferencial para encontrar A(t). b) ¿Cuánto tiempo (al día más cercano después del accidente original) pasará antes de que sea seguro para las personas regresar al área? 37. Suponga que un accidente nuclear quedó confinado a una sola habitación de un laboratorio de investigación nuclear pero dejó esa habitación contaminada con polonio-210, cuya media vida es 140 días. Si la contaminación de la habitación es cinco veces la cantidad segura para la exposición humana a largo plazo, ¿cuánto tiempo deben esperar los trabajadores del laboratorio antes de entrar para descontaminarla? 38. Suponga que el presupuesto nacional del gobierno es 2 billones de dólares, pero sólo se recolectan 1.85 billones en impuestos cada año (por lo que el déficit actual es 150 mil millones por año). Suponga también que tanto el presupuesto anual como los ingresos por impuestos aumentan exponencialmente. Si los ingresos aumentan 3% anual, ¿qué incremento en el porcentaje anual del presupuesto nacional dará un presupuesto balanceado dentro de siete años? Elija un enfoque simbólico o uno gráfico (en cuyo caso debe determinar la tasa de incremento del presupuesto de manera que las gráficas de presupuesto y de ingresos se crucen en siete años desde ahora). Resuelva los problemas de valor inicial en 39 a 44. Las primas denotan derivadas respecto a x.      

Y Y C Y H  Y./ H  Y ./ H  Y Y Y H  Y./ H  Y ./ H  Y C Y C Y H  Y./ H  Y ./ H  Y Y C Y H  Y./ H  Y ./ H  Y C Y C Y H  Y./ H  Y ./ H  Y C Y C Y H  Y./ H  Y ./ H 

45. a) En 1979, la microcomputadora típica contenía miles de transistores. Suponiendo un crecimiento natural a una tasa anual r, escriba una fórmula que dé el número N(t) de transistores en una microcomputadora típica t años más tarde. b) En 1993, el CPU de una microcomputadora típica contenía 3.1 millones de transistores. Encuentre la tasa de crecimiento anual r del inciso a), expresada como un porcentaje. c) A la tasa que encontró en el inciso b), ¿cuántos meses se requieren para duplicar el número de transistores en una microcomputadora típica? d) Suponiendo que la tasa de los incisos b) y c) permanecen constantes, ¿cuántos transistores (redondeado al millón más cercano) contenía la microcomputadora típica en 2001? 46. Los dinosaurios se extinguieron en la Era Cretácea, hace alrededor de 70 millones de años. Suponga que encuentra un

656

CAPÍTULO 8

Ecuaciones diferenciales

hueso de dinosaurio que contiene exactamente un átomo de 14 C. Obtenga una subestimación razonable del peso del dinosaurio. Necesitará buscar el número de Avogadro y quizá leer acerca de qué indica. 47. Suponga que la población de peces P (t) en un lago es atacada por una enfermedad en el tiempo t = 0, con el resultado de que p D0 H K 0 K >  DT de ahí en adelante. Si hubiera inicialmente 900 peces en el lago y sólo quedaran 441 después de 6 semanas, ¿cuánto tiempo tomará para que todos los peces en el lago mueran? 48. Pruebe que la solución del problema de valor inicial p D0 0./ H 0 0 >  H K 0; DT ESTÖDADAPOR 0.T/ H

 KT 

C

0



:

49. Suponga que la población de Fremont satisface la ecuación diferencial del problema 48. a) Si P = 100,000 en 1970 y P = 121,000 en 1980, ¿cuál será la población en 2000? b) ¿Cuándo llegará la población a 200,000? 50. La población P (t) de cierto grupo de conejos satisface el problema de valor inicial D0 H K 0 ; DT

0./ H 0 ;

DONDE K ESUNACONSTANTEPOSITIVA/BTENGALASOLUCI˜N 0.T/ H

0 :  K 0 T

51. En el problema 50, suponga que P0 = 2 y que hay 4 conejos después de 3 meses. ¿Qué ocurre en los siguientes 3 meses? 52. Suponga que un barco de motor viaja a v0 = 40 ft/s cuando el motor se detiene en el tiempo t = 0. En adelante su desaceleración (debida a la resistencia del agua) está dada por d vyd t − kv 2 donde k es una constante positiva. a) Resuelva esta ecuación diferencial para demostrar que la velocidad del barco en el tiempo t > 0 es G.T/ H

  C KT

pies por segundo. b) Si la velocidad del barco después de 10 s es 20 ft/s, ¿cuánto tarda (desde que se detuvo el motor) el barco en disminuir su velocidad a 5 ft/s? 53. Suponga que la población de peces P (t) en un lago es atacada por una enfermedad en el tiempo t = 0, con el resultado de que p D0 H  0 DT

en adelante. El tiempo t se mide en semanas. Inicialmente hay P0 = 900 peces en el lago. ¿Cuánto tiempo es necesario para que todos los peces mueran? 54. Un auto de carreras que resbala por una superficie nivelada desacelera por las fuerzas de fricción proporcionales a su ve-

locidad. Suponga que desacelera inicialmente a 2 m/s 2 y que recorre una distancia total de 1800 m. ¿Cuál es su velocidad inicial? (Vea el problema 32 de la sección 8.4.) 55. Una hipoteca sobre una casa por $120,000 debe pagarse continuamente en un periodo de 25 años. Aplique el resultado del problema 33 en la sección 8.3 para determinar los pagos mensuales si la tasa de interés anual, compuesta continuamente, es a) 8%; b) 12%. 56. Una lancha de motor pesa 32000 lb y su motor proporciona un impulso de 5000 lb. Suponga que la resistencia del agua es 100 lb por cada pie por segundo de velocidad de la lancha. Entonces la velocidad v (t) (en ft/s) de la lancha en el tiempo t (en segundos) satisface la ecuación diferencial 

DG H  G: DT

Encuentre la velocidad máxima que puede alcanzar la lancha si comienza desde el reposo. 57. La temperatura de mi congelador es −16°C y la temperatura de la habitación es la constante 20°C. Una noche, a las 11 pm hay un corte en la energía eléctrica debido a una tormenta de hielo. A las 6 am de la mañana siguiente veo que la temperatura en el congelador es −10°C. ¿A qué hora la temperatura del congelador llegará al valor crítico de 0°C si la energía eléctrica no se restablece? 58. Suponga que la acción de los fluorocarbonados agota el ozono en la atmósfera superior 0.25% cada año, de manera que la cantidad A de ozono en la atmósfera satisface la ecuación diferencial D!  H ! DT 

T EN A®OS :

a) ¿Qué porcentaje de la cantidad original A0 de la capa de ozono quedará dentro de 25 años? b) ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad de ozono en la atmósfera superior se reduzca a la mitad de su cantidad inicial? 59. Un auto en reposo comienza su viaje por un camino recto y nivelado. Su motor proporciona una aceleración constante de a pies por segundo. La resistencia del aire y la fricción de camino causan una desaceleración de ρ pies por segundo por cada pie por segundo de velocidad v del auto. a) Demuestre que la velocidad del auto después de t segundos es G.T/ H

A . ET /: 

b) Si a = 17.6 ft/s 2 y ρ = 0.1, encuentre v cuando t = 10 s y encuentre la velocidad limitante del auto cuando t → +∞. (Dé cada respuesta en millas por hora y en pies por segundo.) 60. Inmediatamente después de un accidente en una planta de energía nuclear, el nivel de radiación era 10 veces el límite seguro. Después de 6 meses bajó a 9 veces el límite seguro. Suponiendo decaimiento exponencial, ¿cuánto tiempo (en años) después del accidente bajarán los niveles de radiación al límite seguro? 61. Un ingeniero de 22 años acepta un puesto con un salario inicial de $30,000/año. Su salario anual S aumenta exponencialmente, con 3.T/ H E.:/T

Capítulo 8

miles de dólares después de t años. Mientras tanto, deposita 12% de su salario continuamente en una cuenta de retiro que acumula interés a una tasa anual de 6% compuesto continuamente. a) Estime A en términos de t para obtener esta ecuación para la cantidad A(t) en su cuenta de retiro en el tiempo t: D! .:/! H .:/E.:/T : DT

b) Resuelva esta ecuación con la condición inicial A(0) = 0 y posteriormente calcule A(40), la cantidad disponible para su retiro a la edad de 62. 62. Un tumor se puede entender como una población P de células que se multiplican. Se sabe que la “tasa de nacimiento” β de las células en un tumor disminuye exponencialmente con el tiempo, de modo que β(t) = β0e−αt (donde α y β0 son constantes positivas), y entonces D0 H  ET 0; DT

657

tiene una solución única para t 0 que satisface las condiciones iniciales dadas x (0) = x 0, x (0) = v0. Así, el movimiento futuro de un sistema ideal masa-resorte-émbolo está completamente determinado por la ecuación diferencial y las condiciones iniciales. Por supuesto, en un sistema físico real es imposible medir los parámetros m, c y k precisamente. Los problemas 64 a 67 exploran la incertidumbre resultante al pronosticar el comportamiento futuro de un sistema físico. 64. Suponga que m = 1, c = 2 y k = 1. Demuestre que la solución de la ecuación (1) con x (0) = 0 y x (0) = 1 es X .T/ H TET :

65. Suponga que m = 1 y c = 2 pero k = 1 − 10−2n. Demuestre que la solución de la ecuación (1) con x (0) = 0 y x (0) = 1 es X .T/ H N ET SENH  N T:

0./ H 0 :

66. Suponga que m = 1 y c = 2 pero que k = 1 + 10−2n. Demuestre que la solución de la ecuación (1) con x (0) = 0 y x (0) = 1 es

2ESUELVAESTEPROBLEMADEVALORINICIALPARAOBTENER 0.T/ H 0 EXP

Problemas diversos

 . ET / : 

X .T/ H N ET SEN  N T:

Observe que P (t) se acerca a la población limitante finita P0 exp (β0yα) cuando t → +∞. 63. Para el tumor del problema 62, suponga que en el tiempo t = 0 hay P0 = 106 células y que P (t) es creciente a la tasa de 3 × 105 células por mes. Después de 6 meses el tumor se ha duplicado (en tamaño y en número de células). Resuelva numéricamente para obtener α, luego encuentre la población limitante del tumor. Ecuaciones diferenciales y determinismo Dada una masa m, un émbolo constante c y una constante de resorte k, la ecuación diferencial MX C CX C KX H 



67. Mientras que las gráficas de x1(t) y x 2(t) se parecen a las mostradas en las figuras 8.7.5 y 8.7.6, la gráfica de x 3(t) exhibe oscilaciones amortiguadas como las que se ilustran en la figura 8.7.7, pero con un seudoperiodo muy largo. De cualquier manera, demuestre que para cada t > 0 fija es cierto que L¤M X .T/ H L¤M X .T/ H X .T/:

N!1

N!1

Concluya que en un intervalo de tiempo finito dado las tres soluciones están de acuerdo, para propósitos “prácticos”, si n es suficientemente grande.

9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

P

ierre de Fermat ejemplifica la distinguida tradición de los grandes aficionados a las matemáticas. Igual que su contemporáneo René Descartes, recibió educación de abogado. Pero a diferencia de él, Fermat realmente fungió como tal y sirvió en el parlamento regional. Sin embargo, todo su tiempo liPierre de Fermat (1601-1665) bre lo dedicó a las matemáticas y a otras búsquedas intelectuales, como el estudio de antiguos manuscritos griegos. En el margen de uno de esos manuscritos (del matemático griego Diophantus) fue encontrada una nota escrita a mano que desde entonces es un enigma. Fermat asegura que para ningún entero n > 2 existen enteros positivos x, y y z tales que x n + y n = z n. Por ejemplo, aunque 152 + 82 = 172, la suma de dos cubos (de enteros positivos) no puede ser un cubo. “He encontrado una demostración admirable de esto”, escribió Fermat, “pero este margen es demasiado angosto para contenerla”. A pesar de la publicación de bastantes demostraciones incorrectas, el “último teorema de Fermat” quedó sin demostración durante tres siglos y medio. Hasta que en una conferencia, en junio de 1993, el matemático británico Andrew Wiles, de la Universidad de Princeton, anunció una larga y compleja prueba del último teorema de Fermat. Aunque la demostración original sufría de algunas lagunas, éstas se completaron y los expertos en el área están de acuerdo en que la última conjetura de Fermat es, en sí, un teorema. Descartes y Fermat compartieron el descubrimiento de la geometría analítica. Pero mientras Descartes usaba métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas

(vea el inicio del capítulo 1), Fermat se concentraba en la investigación de curvas geométricas definidas por ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, introdujo los métodos de traslación y rotación de este capítulo (y el capítulo 11) para demostrar que la gráfica de una ecuación de la forma Ax 2 + Bx y + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es, en general, una sección cónica. La mayor parte de su trabajo matemático permaneció sin publicar mientras vivió, pero contiene numerosos cálculos de rectas tangentes (derivadas) y áreas (integrales). La fotografía de colores brillantes del lado izquierdo más adelante es un ejemplo del siglo xx de un objeto geométrico definido mediante operaciones algebraicas. Comenzando con el punto P (a, b) en el plano x y, interpretamos P como el número complejo c = a + bi y definimos la sucesión {zn} de puntos en el plano complejo iterativa (como en la sección 3.10) por las ecuaciones Z  H C;

Z NC H Z N C C

.PARA N

/:

Si esta sucesión de puntos queda circunscrita dentro de la circunferencia x 2 + y2 = 4 para toda n, entonces el punto original P (a, b) tiene color negro. De otra manera, el color asignado a P se determina por la velocidad con que esta sucesión se “escapa” del disco circular, descubierto en 1980 por el matemático francés Benoit Mendelbrot.

El objeto en la figura de la derecha es un subconjunto del de la izquierda.

659

660

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

9.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y LAS SECCIONES CÓNICAS La geometría analítica plana, un tema central de este capítulo, es el uso del álgebra y el cálculo para estudiar las propiedades de las curvas en el plano x y. Los antiguos griegos usaron el razonamiento deductivo y los métodos de la geometría axiomática de Euclides para estudiar rectas, círculos y secciones cónicas (parábolas, elipses e hipérbolas). Las propiedades de las secciones cónicas han tenido un papel importante en diversas aplicaciones científicas desde el siglo xvii, cuando Kepler descubrió —y Newton explicó— el hecho de que las órbitas de los planetas y otros cuerpos del sistema solar eran secciones cónicas. Los matemáticos franceses Descartes y Fermat, trabajando casi de manera independiente el uno del otro, dieron comienzo a la geometría analítica en 1637. La idea central de la geometría analítica es la correspondencia entre una ecuación F ( x, y) = 0 y su lugar geométrico (típicamente una curva), el conjunto de todos esos puntos ( x, y) en el plano con coordenadas que satisfacen esta ecuación. Una idea central de la geometría analítica es la siguiente: dado un lugar geométrico o curva, sus propiedades se pueden obtener algebraica o analíticamente a partir de la ecuación que la define F ( x, y) = 0. Por ejemplo, suponga que la ecuación de una curva dada resulta ser la ecuación lineal ! X C "Y H #





X Y

donde A, B y C son constantes con B H 0. Esta ecuación se puede escribir en la forma

  

y = mx + b,

Y  Y X

donde m = −A/B y b = C/B. Pero la ecuación (2) es la ecuación ordenada-pendiente de la recta con pendiente m y ordenada b. De este modo, la curva dada es esta recta. Se usa este enfoque en el ejemplo 1 para demostrar que un lugar geométrico específico es una recta en particular.

 



 



(2)



X

EJEMPLO 1 Demuestre que el conjunto de todos los puntos equidistantes a los puntos (1, 1) y (5, 3) es la bisectriz perpendicular del segmento de recta que une estos dos puntos.

FIGURA 9.1.1 Bisectriz perpendicular del ejemplo 1.

Solución El punto típico P ( x, y) en la figura 9.1.1 está a la misma distancia de (1, 1) que de (5, 3), si y sólo si (x − 1)2 + (y − 1)2 = (x − 5)2 + (y − 3)2 ; x 2 − 2x + 1 + y 2 − 2y + 1 = x 2 − 10x + 25 + y 2 − 6y + 9; 2x + y = 8; y = −2x + 8.

(3)

R

Así, el lugar geométrico dado es la línea recta en la ecuación (3), cuya pendiente es −2. La recta que pasa por (1, 1) y (5, 3) tiene ecuación

H K

y − 1 = 12 (x − 1)

X Y Y

X

FIGURA 9.1.2 Circunferencia con centro (h, k) y radio r.

(4)

por lo que tiene pendiente . Como el producto de las pendientes de estas dos rectas es −1, se deduce (del teorema 2 en el apéndice B) que las rectas son perpendiculares. Si resolvemos las ecuaciones (3) y (4) simultáneamente, encontramos que su intersección es, sin duda, el punto medio (3, 2) del segmento de recta dado. De este modo, el lugar geométrico descrito es la bisectriz perpendicular de este segmento de recta. Z La circunferencia mostrada en la figura 9.1.2 tiene centro (h, k) y radio r, y puede describirse geométricamente como el conjunto o lugar de todos los puntos P ( x, y) cuya distancia a (h, k) es r. La fórmula de la distancia proporciona .X H/ C .Y K/ H R 



SECCIÓN 9.1

Geometría analítica y las secciones cónicas

661

como ecuación de esta circunferencia. En particular, si h = k = 0, la ecuación (5) toma la forma sencilla x 2 + y2 = r 2

(6)

A partir de esta ecuación, entendemos, sin más referencia a la definición de la circunferencia, que una circunferencia con centro en el origen tiene las siguientes propiedades de simetría: • Simetría respecto al eje x: la ecuación de la curva no cambia cuando y se sustituye por −y. • Simetría respecto al eje y: la ecuación de la curva no cambia cuando x se sustituye por −x. • Simetría respecto al origen: la ecuación de la curva no cambia cuando x se sustituye por −x y y se sustituye por −y. • Simetría respecto a la recta y = x: la ecuación de la curva no cambia cuando x y y se intercambian. La relación entre las ecuaciones (5) y (6) es una ilustración del principio de traslación establecido formalmente en la sección 1.2. Imagine una traslación (o “deslizamiento”) del plano que mueve cada punto ( x, y) a la nueva posición ( x + h, y + k). Con esta traslación, una curva C se mueve a una nueva posición. Es sencillo obtener la ecuación de la nueva curva trasladada a partir de la ecuación anterior —sólo sustituimos x con x − h y y con y − k. Inversamente, reconocemos una circunferencia trasladada a partir de su ecuación: cualquier ecuación de la forma X  C Y  C ! X C "Y C # H 



se puede escribir en la forma ( x − h)2 + ( y − k)2 = p completando cuadrados, como en el ejemplo 3 de la sección 1.2. Así, la gráfica de la ecuación (7) es una circunferencia (si p > 0), un solo punto (si p = 0) o ningún punto (si p < 0). Se usa este enfoque en el ejemplo 2 para descubrir que el lugar geométrico descrito es una circunferencia en particular. EJEMPLO 2 Determine el lugar geométrico de un punto P ( x, y) si su distancia |AP| de A(7, 1) es dos veces su distancia |BP| de B(1, 4).

Y

Solución Los puntos A, B y P aparecen en la figura 9.1.3, junto con una curva que pasa por P y representa el lugar geométrico dado. A partir de

0X Y

j!0j H j"0j

" 

PORQUE j!0j H j"0j

SEOBTIENENLAECUACI˜N

!  X

FIGURA 9.1.3 Lugar geométrico del ejemplo 2.

.X / C .Y / H T.X / C .Y / U: $EESTEMODO X  C Y  C X Y C  H I X  C Y  C X Y H I .X C / C .Y / H :

Así, el lugar geométrico es una circunferencia con centro en (−1, 5) y radio r = √ 2 5.

√ 20 = Z

662

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Secciones cónicas 'ENERADOR

Las secciones cónicas se llaman así porque son las curvas formadas por un plano que interseca un cono. El cono usado es un cono circular recto con dos cubiertas que se extienden al infinito en ambas direcciones (figura 9.1.4). Existen tres tipos de secciones cónicas, como se ilustra en la figura 9.1.5. Si el plano cortante es paralelo a algún generador del cono (una línea que, al girar alrededor de su eje, forma el cono), entonces la curva de intersección es una parábola. Si el plano no es paralelo a un generador, la curva de intersección es una sola curva cerrada —una elipse— o una hipérbola con dos ramas.

'ENERADORES

#UBIERTA SUPERIOR

6£RTICE

#UBIERTA INFERIOR

%JE

FIGURA 9.1.4 Cono con dos cubiertas.

%LIPSE

0ARÖBOLA

(IP£RBOLA

FIGURA 9.1.5 Secciones cónicas

En el apéndice J se usan los métodos de geometría analítica de tres dimensiones para demostrar que si se establece un sistema de coordenadas x y apropiado en el plano que interseca, entonces las ecuaciones de las tres secciones cónicas toman la siguiente forma: 0ARÖBOLA

,

1nP Y

Y  H KXI



%LIPSE

Y X C H I A B



(IP£RBOLA

Y X H : A B



En la sección 9.6 se estudian estas secciones cónicas con base en las definiciones en dos dimensiones; no requieren la referencia tridimensional del cono y el plano de intersección. El ejemplo 3 ilustra un enfoque de este tipo para las secciones cónicas.

Y

EJEMPLO 3 Sea e un número positivo dado (no debe confundirse con la base del logaritmo natural; en el contexto de las secciones cónicas, e representa la excentricidad ). Determine el lugar geométrico de un punto P ( x, y) si su distancia al punto fijo F ( p, 0) es e veces su distancia a la recta vertical L cuya ecuación es x = −p (figura 9.1.6).

0X Y

Solución Sea PQ la perpendicular de P a la recta L. Así, la condición &P 

j0&j H Ej01j

X

TOMALAFORMAANAL¤TICA .X P/ C Y  H EjX . P/j:

X P

FIGURA 9.1.6 Lugar geométrico del ejemplo 3.

%SDECIR .X   PX C P  / C Y  H E .X  C  PX C P  /; DEMANERAQUE X  . E /  P. C E /X C Y  H P  . E /:



SECCIÓN 9.1

• Caso 1:

Geometría analítica y las secciones cónicas

663

e = 1. La ecuación (11) se reduce a y2 = 4px.

(12)

Al comparar con la ecuación (8) vemos que el lugar geométrico de P es una parábola si e = 1. • Caso 2: e < 1. Al dividir ambos lados de la ecuación (11) entre 1 − e2, se obtiene 1 + e2 y2 x+ = − p2 . 2 1−e 1 − e2 Ahora completamos el cuadrado en x. El resultado es    2 2 2 1 + e2 y2 1 + e x− p· + = p2 − 1 = a2. 1 − e2 1 − e2 1 − e2 x2 − 2p ·

Y

Esta ecuación tiene la forma Y .X H/ C  H ;  A B H  X P

FIGURA 9.1.7 Elipse: e < 1 (ejemplo 3).

X



DONDE  C E Y B H A  . E /:   E Cuando se comparan las ecuaciones (9) y (13), se observa que si e < 1, el lugar geométrico de P es una elipse con (0, 0) trasladado a (h, 0), como se ilustra en la figura 9.1.7. • Caso 3: e > 1. En este caso, la ecuación (11) se reduce a una versión trasladada de la ecuación (10), por lo que el lugar geométrico de P es una hipérbola. Los detalles, que son similares al caso 2, se dejan para el problema 35. H H CP


Así, el lugar geométrico en el ejemplo 3 es una parábola si e = 1, una elipse si e < 1 y una hipérbola si e > 1. El número e se llama excentricidad de la sección cónica. El punto F ( p, 0) se conoce como el foco en el caso de la parábola. La figura 9.1.8 muestra la parábola del caso 1; la figura 9.1.9 ilustra la hipérbola del caso 3. Z Y

Y

&P 

XnP

FIGURA 9.1.8 Parábola: e = 1 (caso 1).

X

&P 

X

XnP

FIGURA 9.1.9 Hipérbola: e > 1 (caso 3).

Si comenzamos con las ecuaciones (8) a (10), obtenemos las características generales de las tres secciones cónicas mostradas en las figuras 9.1.7 a 9.1.9. Por ejemplo, en este caso, la parábola de la ecuación (8) con k > 0, la curva pasa por el origen, x 0 en cada punto de la curva, y → ±∞, cuando x → ∞, y la gráfica es simétrica respecto al eje x (porque la curva no cambia cuando y se sustituye por −y). En el caso de la elipse de la ecuación (9), la gráfica debe ser simétrica respecto a ambos ejes coordenados. En cada punto ( x, y) de la gráfica, tenemos |x | a y |y| b. La gráfica interseca los ejes en cuatro puntos (±a, 0) y (0, ±b). Por último, la hipérbola de la ecuación (10), o su forma alternativa b 2 x − a2 y=± a

664

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

es simétrica respecto a ambos ejes coordenados. Se une con el eje x en dos puntos (±a, 0) y tiene una rama que consiste en dos puntos con x a y tiene otra rama donde x −a. Además, | y | → ∞ cuando | x | → ∞.

9.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Descartes y Fermat iniciaron el estudio de la geometría analítica en 1937. 2. El conjunto de todos los puntos en el plano equidistantes de los puntos (1, 1) y (5, 3) es la bisectriz perpendicular del segmento de recta que une (1, 1) con (5, 3). 3. Si la ecuación de una curva plana no cambia cuando x se sustituye por −x, la curva es simétrica respecto al eje x. 4. Dados los puntos A(7, 1) y B(1, 4) en el plano, el lugar geométrico de los puntos P ( x, y) tales que |AP| = 2 · |BP| es una recta que pasa entre A y B. 5. Una sección cónica está formada por la intersección de dos conos. 6. Con la elección adecuada de los ejes x y y, toda hipérbola plana tiene una ecuación de la forma y2 x2 + = 1 a2 b2

7. 8. 9. 10.

donde a y b son constantes. Una elipse es una sección cónica con excentricidad e = 1. Toda sección cónica no degenerada es una parábola o una hipérbola. Una circunferencia es una sección cónica. Si una sección cónica tiene excentricidad e = 1, entonces es una circunferencia.

9.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Tal vez desee usar una aplicación de gráficas implícitas de un sistema de álgebra en una computadora para investigar las siguientes preguntas. 1. La gráfica de la ecuación x 2 − y2 = 0 consiste en dos rectas x − y = 0 y x + y = 0 que pasan por el origen. ¿Cuál es la gráfica de la ecuación x n − y n = 0? ¿Depende de si el entero n es par o impar? Explique sus respuestas. 2. ¿En qué difieren las gráficas de las ecuaciones x 3 + y3 = 1 y x 4 + y4 = 1, y la de la circunferencia unitaria x 2 + y2 = 1 (y entre ellas)? ¿Cómo cambia la gráfica de la ecuación x n + y n = 1 cuando el entero positivo n crece cada vez más? Analice la posibilidad de un “conjunto limitante” cuando n → +∞. ¿Dependen estas preguntas de si n es par o impar? 3. La gráfica de la ecuación x 2 − y2 = 1 es una hipérbola. Analice (como en la pregunta 2) la gráfica de la ecuación x n − y n = 1.

9.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, escriba una ecuación de la recta especificada. 1. La recta que pasa por (1, −2) y es paralela a la recta con ecuación x + 2y = 5 2. La recta que pasa por (−3, 2) y es perpendicular a la recta con ecuación 3x − 4y = 7 3. La recta tangente a la circunferencia x 2 + y2 = 25 en el punto (3, −4) 4. La recta tangente a la curva y2 = x + 3 en el punto (6, − 3)

5. La recta perpendicular a la curva x 2 + 2y2 = 6 en el punto (2, −1) 6. La bisectriz perpendicular del segmento de recta con puntos terminales (−3, 2) y (5, −4) En los problemas 7 a 16, encuentre el centro y el radio de la circunferencia descrita en la ecuación dada. 7. x 2 + 2x + y 2 = 4 9. x 2 + y 2 − 4x + 6y = 3 11. 4x 2 + 4y 2 − 4x = 3

8. x 2 + y 2 − 4y = 5 10. x 2 + y 2 + 8x − 6y = 0 12. 4x 2 + 4y 2 + 12y = 7

SECCIÓN 9.2

13. 2x 2 + 2y 2 − 2x + 6y = 13 14. 9x 2 + 9y 2 − 12x = 5 15. 9x 2 + 9y 2 + 6x − 24y = 19 16. 36x 2 + 36y 2 − 48x − 108y = 47

En los problemas 17 a 20, demuestre que la gráfica de una ecuación dada consiste en un solo punto o bien en ningún punto. 17. x 2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0 18. 2x 2 + 2y 2 + 6x + 2y + 5 = 0 19. x 2 + y 2 − 6x − 10y + 84 = 0 20. 9x 2 + 9y 2 − 6x − 6y + 11 = 0

En los problemas 21 a 24, escriba la ecuación de la circunferencia especificada. 21. La circunferencia con centro (−1, −2) que pasa por el punto (2, 3) 22. La circunferencia con centro (2, −2) y es tangente a la recta y=x+4 23. La circunferencia con centro (6, 6) y es tangente a la recta y = 2x − 4 24. La circunferencia que pasa por los puntos (4, 6), (−2, −2) y (5, −1)

Coordenadas polares

665

25. El punto P ( x, y) es equidistante a los dos puntos (3, 2) y (7, 4). 26. La distancia de P al punto (−2, 1) es la mitad de la distancia de P al punto (4, −2). 27. El punto P está tres veces más lejos del punto (−3, 2) que del punto (5, 10). 28. La distancia de P a la recta x = −3 es igual a su distancia del punto (3, 0). 29. La suma de las distancias de P a los puntos (4, 0) y (−4, 0) es 10. 30. La suma de las distancias de P a los puntos (0, 3) y (0, −3) es 10. 31. Encuentre todas las rectas que pasan por el punto (2, 1) y son tangentes a la parábola y = x 2. 32. Encuentre todas las rectas que pasan por el punto (−1, 2) normales a la parábola y = x 2. 33. Encuentre todas las rectas normales a la curva x y = 4 y al mismo tiempo son paralelas a la recta y = 4x. 34. Encuentre todas las rectas que son tangentes a la curva y = x 3 y también son paralelas a la recta 3x − y = 5. 35. Suponga que e > 1. Demuestre que la ecuación (11) de esta sección se puede escribir en la forma (x − h)2 y2 − 2 = 1, 2 a b demostrando con ello que su gráfica es una hipérbola. Encuentre a, b y h en términos de p y e.

En los problemas 25 a 30, obtenga la ecuación del conjunto de todos los puntos P ( x, y) que satisfacen la condición dada. Después bosqueje la gráfica de la ecuación.

9.2 COORDENADAS POLARES Una manera familiar de localizar un punto en el plano coordenado es especificando sus coordenadas rectangulares ( x, y); es decir, dando su abscisa x y su ordenada y respecto a ejes perpendiculares dados. En algunos problemas es más conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas polares. Las coordenadas polares dan su posición relativa a un punto de referencia fijo O (el polo) y un rayo (el eje polar) que inicia en O. Por conveniencia, comenzamos con un sistema de coordenadas x y dado y luego tomamos el origen como el polo y la parte no negativa del eje x como el eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P con coordenadas polares r y θ, escritas como el par ordenado (r, θ) se localiza como sigue. Primero se encuentra el lado terminal del ángulo θ, dado en radianes, donde θ se mide al contrario de las manecillas del reloj (si θ > 0) desde el eje x (el eje polar) como su lado inicial. Si r 0, entonces P está en el lado terminal de este ángulo a una distancia r del origen. Si r < 0, entonces P está en el rayo opuesto al lado terminal a una distancia |r| = −r > 0 del polo (figura 9.2.1). La coordenada radial r se puede describir como la distancia dirigida de P al polo a lo largo del lado terminal del ángulo θ. Así, Y

Y

0 R

Q

Q X

X R

\R\

R

0

FIGURA 9.2.1 Diferencia entre los dos casos r > 0 y r < 0.

666

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Y

si r es positivo, el punto P está en el mismo cuadrante que θ, mientras que si r es negativa, entonces P está en el cuadrante opuesto. Si r = 0, el ángulo θ no afecta; las coordenadas polares (0, θ) representan el origen sin importar cuál sea la coordenada angular θ. El origen o polo es el único punto para el que r = 0.

0 R

Q X

Q P

FIGURA 9.2.2 Las coordenadas polares (r, θ) y (−r, θ + π) representan el mismo punto P (ejemplo 1).

EJEMPLO 1 Las coordenadas polares difieren de las coordenadas rectangulares en que cualquier punto tiene más de una representación en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas polares (r, θ) y (−r, θ + π) representan el mismo punto P, como se muestra en la figura 9.2.2. De manera más general, este punto P tiene coordenadas polares (r, θ + nπ) para cualquier entero par n y las coordenadas (−r, θ + nπ) para cualquier entero impar n. De este modo, los pares de coordenadas polares ;

 ; 

;

 ; 

;

 ; 

Y

;

 

representan todas √ el mismo punto P en la figura 9.23. (Las coordenadas rectangulares Z de P son (1, 3 ).)

Y 0 

Para convertir coordenadas polares en rectangulares, se usan las relaciones básicas X H R COS ;



P 

P 

X



Y H R SEN 



que se leen del triángulo rectángulo en la figura 9.2.4. Al convertir en dirección opuesta se tiene R  H X  C Y;

TAN  H

Y X

SI X





Se requiere cierto cuidado al hacer la elección correcta de θ en la fórmula tan θ = yyx. Si x > 0, entonces ( x, y) está en el primero o en el cuarto cuadrante, entonces −πy2 < θ < πy2, que es el recorrido de la función tangente inversa. Así, si x > 0, θ = arctan( yyx ). Pero si x < 0, entonces ( x, y) está en el segundo o tercer cuadrante. En este caso, el ángulo θ apropiado es θ = π + arctan( yyx ). En cualquier caso, los signos de x y y en las ecuaciones (1) con r > 0 indican el cuadrante en el que está θ.

0g

FIGURA 9.2.3 El punto P del ejemplo 1 se puede escribir de varias formas distintas cuando se usan coordenadas polares. Y

Ecuaciones en coordenadas polares R

Y

Q 0OLO

X %JEPOLAR

X

FIGURA 9.2.4 En esta figura se leen las ecuaciones (1) y (2) y las conversiones entre coordenadas polares y rectangulares

Algunas curvas tienen ecuaciones más sencillas en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares; ésta es una razón importante de la utilidad de las coordenadas polares. La gráfica de una ecuación en variables con coordenadas polares r y θ es el conjunto de todos los puntos P tales que P tiene un par de coordenadas polares (r, θ) que satisfacen la ecuación dada. La gráfica de una ecuación polar r = f (θ) se puede construir calculando la tabla de valores de r contra θ y luego localizando los puntos correspondientes (r, θ) en papel de coordenadas polares. EJEMPLO 2 Una razón de la importancia de las coordenadas polares es que muchos problemas reales incluyen circunferencias y la ecuación en coordenadas polares (o ecuación polar) de una circunferencia con centro (0, 0) y radio a > 0 (figura 9.2.5) es muy sencilla: r=a (3)

Y

A X

Observe que si comenzamos con la ecuación en coordenadas rectangulares x 2 + y2 = a2 de esta circunferencia y la transformamos usando la relación en (2), obtenemos la ecuación en coordenadas polares r 2 = a2. De ahí la ecuación (3) se obtiene tomando raíces cuadradas. Z EJEMPLO 3

FIGURA 9.2.5 Circunferencia r = a con centro en el origen (ejemplo 2).

Construya la gráfica en coordenadas polares de la ecuación r = 2 sen θ.

Solución La figura 9.2.6 muestra una tabla de valores de r como función de θ. Los puntos correspondientes (r, θ) se graficaron en la figura 9.2.7, usando rayos en múltiplos de πy6 y circunferencias (con centro en el polo) de radios 1 y 2 para localizar

SECCIÓN 9.2



667

Y

R

 = = = = =  = = = = = 

Coordenadas polares

             DATOSREDONDEADOS

Q  P Q  P

Q  P RSEN Q

Q  P

Q  P

Q 

Q P R

Q P

X

R

Q  P

Q  P

Q  P

Q  P Q  P

FIGURA 9.2.6 Valores de r = 2 sen θ (ejemplo 3).

FIGURA 9.2.7 Gráfica de la ecuación polar r = 2 sen θ (ejemplo 3).

estos puntos. Una inspección visual de la curva suave que conecta estos puntos sugiere que es una circunferencia de radio 1. Suponga por el momento que así es. Vea que el punto P (r, θ) se mueve una vez alrededor de esta circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj cuando θ aumenta de 0 a π y luego se mueve alrededor de la circunferencia una segunda vez cuando θ aumenta de π a 2π. Esto se debe a los valores negativos de r para θ entre π y 2π dan —en este ejemplo— los mismos puntos geométricos que los valores positivos de r para θ entre 0 y π. (¿Por qué?) Z La verificación de que la gráfica de r = 2 sen θ es la circunferencia indicada ilustra el procedimiento general para cambiar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa, usando las relaciones en (1) y (2). Y

EJEMPLO 4 Para transformar la ecuación r = 2 sen θ del ejemplo 3 en coordenadas rectangulares, primero multiplicamos ambos lados por r para obtener

RSEN Q

r 2 = 2r sen θ.

 

RCOSQ

Las ecuaciones (1) y (2) ahora proporcionan x 2 + y2 = 2y.

X

 

Por último, después de completar el cuadrado en y, tenemos x 2 + ( y − 1)2 = 1, FIGURA 9.2.8 Gráficas de las circunferencias cuyas ecuaciones aparecen en (4) con a = 1.

la ecuación en coordenadas rectangulares (o ecuación rectangular) de una circunferencia cuyo centro es (0, 1) y tiene radio 1. Z De manera más general, las gráficas de las ecuaciones

Y

R H A SEN  R

Q X

C XC

FIGURA 9.2.9 Modo de hallar la ecuación polar de la recta vertical x = c.

Y R H A COS 



son circunferencias de radio a centradas, respectivamente, en los puntos (0, a) y (a, 0). Esto se ilustra (con a = 1) en la figura 9.2.8. Al sustituir las ecuaciones dadas en (1), podemos transformar la ecuación rectangular a x + by = c de una línea recta en ar cos θ + br sen θ = c. Sean a = 1 y b = 0. Así vemos que la ecuación polar de la recta vertical x = c es r = c sec θ, como se dedujo directamente de la figura 9.2.9.

CAPÍTULO 9

668

Coordenadas polares y curvas paramétricas

EJEMPLO 5

Dibuje una gráfica de la ecuación polar r = 2 + 2 sen θ.

Solución Si revisamos la segunda columna de la tabla en la figura 9.2.6 y sumamos 2 mentalmente a cada elemento de r, vemos que Y

RSEN Q

X

• • • •

r aumenta de 2 a 4 cuando θ aumenta de 0 a πy2; r disminuye de 4 a 2 cuando θ aumenta de πy2 a π; r disminuye de 2 a 0 cuando θ aumenta de π a 3πy2; r aumenta de 0 a 2 cuando θ aumenta de 3πy2 a 2π.

Esta información sugiere que la gráfica se parece a la curva mostrada en la figura 9.2.10. Esta gráfica en forma de corazón se llama cardioide. Las gráficas de las ecuaciones R H A.  SEN  /

FIGURA 9.2.10 Cardioide (ejemplo 5).

son todas cardioides, difieren sólo en tamaño (determinado por a), eje de simetría (horizontal o vertical) y la dirección en la que señala la cúspide en el polo. Z EJEMPLO 6

R







P 



 P Q

P 

P 





FIGURA 9.2.11 Gráfica en coordenadas rectangulares de r = 2 cos 2θ como función de θ. Las porciones numeradas de la gráfica corresponden a las porciones numeradas de la gráfica en coordenadas polares de la figura 9.2.12.

Y P 





X  P 

 



FIGURA 9.2.12 Rosa de cuatro pétalos (ejemplo 6).

P 

Dibuje la gráfica de la ecuación r = 2 cos 2θ.

Solución En lugar de construir una tabla de valores de r como función de θ y luego graficar los puntos individuales, comencemos con una gráfica en coordenadas rectangulares de r como función de θ. En la figura 9.2.11, observamos que r = 0 si θ es un múltiplo entero impar de πy4, y que r es alternadamente positivo y negativo en intervalos sucesivos de longitud πy2 de un múltiplo entero impar de πy4 al siguiente. Ahora pensemos en cómo cambia r cuando θ aumenta. Comience con θ = 0. Como θ aumenta de 0 a πy4, r disminuye su valor de 2 a 0, entonces dibujamos la primera porción (etiquetada “1”) de la curva polar en la figura 9.2.12. Cuando θ aumenta de πy4 a 3πy4, r primero disminuye de 0 a −2 y luego aumenta de −2 a 0. Como r ahora es negativa, dibujamos la segunda y tercera poción (etiquetadas “2” y “3”) de la curva en el tercero y cuarto cuadrantes (en lugar de en el primero y segundo cuadrantes) en la figura 9.2.12. Si continuamos de esta manera, dibujamos las porciones cuatro a ocho de la curva polar, con las porciones donde r es negativa en cuadrantes opuestos a aquéllos en que está θ. Las flechas en la curva polar obtenida en la figura 9.2.12 indican la dirección del movimiento del punto P (r, θ) por la curva cuando θ crece. La gráfica completa consiste en cuatro lazos, donde cada uno de ellos comienza y termina Z en el polo. La curva en el ejemplo 6 se llama rosa de cuatro pétalos. Las ecuaciones r = a cos nθ y r = a sen nθ representan “rosas” con 2n “pétalos”, o lazos, si n es par y n 2, pero con n lazos si n es impar y n 3. La rosa de cuatro pétalos exhibe varios tipos de simetría. Las siguientes son algunas condiciones suficientes para la simetría en coordenadas polares:

RCOSQ P  



Y R H A.  COS  /

• Para la simetría respecto al eje x: la ecuación no cambia cuando θ se sustituye con −θ. • Para la simetría respecto al eje y: la ecuación no cambia cuando θ se sustituye con π − θ. • Para la simetría respecto al origen: la ecuación no cambia cuando r se sustituye con −r. Como cos 2θ = cos(−2θ) = cos 2(π − θ), la ecuación r = 2 cos 2θ de la rosa de cuatro pétalos satisface las primeras dos condiciones de simetría, y por lo tanto su gráfica es simétrica respecto a los ejes x y y. De esta forma, también es simétrica alrededor del origen. De cualquier manera, esta ecuación no satisface la tercera condición, la de simetría respecto al origen. Esto ilustra que aunque las condiciones dadas son suficientes para las simetrías descritas, no son condiciones necesarias.

SECCIÓN 9.2

EJEMPLO 7

Coordenadas polares

669

La figura 9.2.13 muestra la lemniscata con ecuación

r 2 = −4 sen 2θ. Para entender por qué tiene lazos sólo en el segundo y cuarto cuadrantes, examinamos una tabla de signos de los valores de −4 sen 2θ.  <  <

%JEPOLAR

  



 SEN 

 <  < 

.EGATIVO

 <  < 

0OSITIVO

  

 <  < 

.EGATIVO

<  < 

 <  < 

0OSITIVO

b. La trayectoria de un punto fijo en la circunferencia del círculo rodante se llama hipocicloide (figura 9.4.15). P comienza su movimiento en A(a, 0), sea t el ángulo AOC, donde O es el centro del círculo más grande y C es el centro del círculo rodante. Demuestre que las coordenadas de P están dadas por las ecuaciones paramétricas AB T ; B AB Y H .A B/ SEN T B SEN T : B

X H .A B/ COS T C B COS

Y

# B T /

0

!A  X

A

0 RA Q

Q

%JEPOLAR

AQ

FIGURA 9.4.16 El segmento PQ es tangente a la espiral (como resultado de Arquímedes; vea el problema 37).

38. a) Deduzca de la ecuación (6) que si t no es un entero múltiplo de 2π, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto correspondiente a la cicloide es cot (ty2). b) Concluya que en la cúspide de la cicloide donde t es un entero múltiplo de 2π, la cicloide tiene una recta tangente vertical. 39. Una loxodroma es una curva r = f (θ) tal que la recta tangente en P y el radio OP en la figura 9.4.10 forman un ángulo constante. Use la ecuación (14) para probar que toda loxodroma es de la forma r = Aek θ, donde A y k son constantes. Así, toda loxodroma es una espiral logarítmica similar a la considerada en el ejemplo 9. 40. Una curva está descrita en coordenadas polares por r = f (θ) donde f es continua. Si f (α) = 0, entonces el origen es el punto de la curva correspondiente a θ = α. Deduzca de la parametrización x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sen θ que la recta tangente a la curva en este punto forma un ángulo α con el eje x positivo. Por ejemplo, la cardioide r = f (θ) = 1 − sen θ mostrada en la figura 9.4.17 es tangente al eje y en el origen. Y, sin duda, f (πy2) = 0. El eje y es la recta θ = α = πy2. Y R SEN Q

FIGURA 9.4.15 Hipocicloide del problema 34.

X

35. Si b = ay4 en el problema 34, demuestre que la ecuación paramétrica de la hipocicloide se reduce a X H A COS T;

Y H A SEN  T:

36. a) Pruebe que la hipocicloide del problema 35 es la gráfica de la ecuación X = C Y = H A = :

b) Encuentre todos los puntos de esta hipocicloide donde su recta tangente es horizontal o vertical y encuentre los intervalos en los que es cóncava hacia arriba y aquéllos en que es cóncava hacia abajo. c) Bosqueje la hipocicloide. 37. Considere un punto P en la espiral de Arquímedes, la curva mostrada en la figura 9.4.16 con ecuación polar r = a θ. Arquímedes consideraba que la trayectoria de P estaba compuesta por dos movimientos, uno con velocidad a alejándose

FIGURA 9.4.17 Cardioide del problema 40.

41. Use la técnica del problema 30 para parametrizar el lazo del primer cuadrante de la curva con forma de folio x 5 + y5 = 5 x 2 y2. 42. Un segmento de recta de longitud 2a tiene un punto terminal restringido a estar en el eje x y el otro punto terminal restringido al eje y, pero estos puntos terminales son libres de moverse en esos ejes. Cuando lo hacen, su punto medio barre un lugar geométrico en el plano x y. Obtenga una ecuación en coordenadas rectangulares de este lugar geométrico e identifique esta curva.

SECCIÓN 9.4

Curvas paramétricas 689

 X H Y  Y  C Y

En los problemas 43 a 46, investigue (como en el ejemplo 7) la curva dada y construya un bosquejo que muestre todos los puntos críticos y los puntos de inflexión en ella.  X H Y  Y  C 

 X  H Y  Y  C   X  H Y  Y  C Y

9.4 INVESTIGACIÓN: trocoides Una trocoide se traza con un punto P en un rayo de círculo de radio a cuando rueda en el eje x. Si la distancia de P al centro del círculo rodante es b > 0, demuestre que la trocoide se describe mediante las ecuaciones paramétricas X H AT B SEN T;

Y H A B COS T:

Y 0 

P

P

P

P

P

 P

X

FIGURA 9.4.18 La trocoide con a = 2 y b = 4.

Observe que la trocoide es la cicloide conocida si b = a. Se permite la posibilidad de que b > a. la figura 9.4.18 muestra la trocoide con a = 2 y b = 4. Experimente con diferentes valores de a y b. ¿Qué determina si la trocoide tiene lazos, cúspides o ninguno de los dos?

FIGURA 9.4.19 La hipotrocoide con a = 10, b = 2, c = 4.

Hipotrocoides Una hipotrocoide es una hipocicloide (problema 34) como una trocoide es una cicloide. De este forma, una hipotrocoide se traza con un punto P en un rayo de un círculo de radio b cuando rueda por dentro de un círculo de radio a. Si la distancia de P del centro del círculo rodante es c > 0, demuestre que la hipotrocoide está descrita por las ecuaciones paramétricas

0

X H .A B/ COS T C C COS

AB T ; B

Y H .A B/ SEN T C SEN

AB T : B

Observe que la hipotrocoide es una hipocicloide si c = b. Una hipotrocoide se puede ver de varias maneras distintas. Las figuras 9.4.19 y 9.4.20 ilustran dos posibilidades. Experimente con diferentes valores de a, b y c. ¿Qué determina si la hipotrocoide tiene lazos, cúspides o ninguno de los dos? ¿Si hay lazos, qué determina cuántos hay? ¿Se repite siempre una hipotrocoide después de un número finito de vueltas alrededor del origen? ¿Qué pasa si a es un entero pero b es un número irracional?

FIGURA 9.4.20 La hipotrocoide con a = 10, b = 4, c = 2.

0

Epitrocoides Una epitrocoide se genera de la misma manera que una hipotrocoide, excepto que el círculo pequeño rueda por fuera del círculo grande. Con la misma notación, demuestre que la epitrocoide está descrita por las ecuaciones paramétricas X H .A C B/ COS T C COS

FIGURA 9.4.21 La epitrocoide con a = 10, b = 2, c = 2.

ACB T ; B

Y H .A C B/ SENT C SEN

AHB T : B

Si b = c, de manera que el punto P está en el borde del círculo rodante, entonces la epitrocoide es una epicicloide (ilustrada en la figura 9.4.21). Experimente con valores diferentes de a, b y c, para investigar, en el caso de las epitrocoides, las mismas preguntas propuestas para las hipotrocoides.

CAPÍTULO 9

690

Coordenadas polares y curvas paramétricas

9.5 CÁLCULO DE INTEGRALES CON CURVAS PARAMÉTRICAS En el capítulo 6 se estudió el cálculo de una variedad de cantidades geométricas asociadas con la gráfica y = f ( x ) de una función no negativa en el intervalo [a, b]. Se incluyó lo siguiente. 

%LÖREABAJOLACURVA B

Y D X:

!H



A 

%LVOLUMENDEREVOLUCI˜NALREDEDORDELEJEX B

 Y  D X:

6X H

A

A 

%LVOLUMENDEREVOLUCI˜NALREDEDORDELEJEY B

6Y H

 X Y D X:

B

A 

,ALONGITUDDEARCODELACURVA S

SH

B

 

 C .DY=D X/ D X:

DS H



A

%LÖREADELASUPERFICIEDEREVOLUCI˜NALREDEDORDELEJEX B

3X H

DS

 Y DS:



%LÖREADELASUPERFICIEDEREVOLUCI˜NALREDEDORDELEJEY B

DX

FIGURA 9.5.1 Casi un triángulo rectángulo para d x y d y muy cercanos a cero. Y

3Y H

 X DS:

B

XHA

Sustituimos y = f ( x ) en cada una de estas integrales antes de integrar de x = a a x = b. Ahora deseamos calcular las mismas cantidades para una curva paramétrica suave

T B

X H F .T/;

Y H G.T/;



T





Las integrales de área, volumen, longitud de arco y superficie en las ecuaciones (1) a (4) se pueden evaluar para hacer la sustitución formal

T A

X H F .T/; A A

B

DS H

F T CRECIENTE

T B

DS H

B FT DECRECIENTE

FIGURA 9.5.2 Trazo de una curva parametrizada: a) f (t) creciente; b) f (t) decreciente.

DY H G .T/ DT;

Y



T F .T/U C TG .T/U DT:

El “triángulo rectángulo” infinitesimal de la figura 9.5.1 sirve como dispositivo conveniente para recordar la última sustitución para d s. El teorema de Pitágoras lleva posteriormente a la manipulación simbólica

T A

A

Y H G.T/;

D X H F .T/ DT;

X

Y

B

A

XHA

DY

X

DX

C

DY 

H

DX DT



C

DY DT



DT H

T F .T/U C TG .T/U DT



Simplifica el análisis suponer que la gráfica de la curva paramétrica en la ecuación (5) se parece a la figura 9.5.2, en la que y = g (t) 0 y x = f (t) es creciente en el intervalo entero α t β, o decreciente ahí. Las dos partes de la figura 9.5.2 ilustran dos posibilidades, ya sea que cuando t crece la curva se trace en la dirección x positiva de izquierda a derecha, o en la dirección x negativa de derecha a izquierda. Tomar en cuenta esta dirección de movimiento y cómo depende de qué integral se desea calcular.

SECCIÓN 9.5

Cálculo de integrales con curvas paramétricas

691

CASO 1 Área y volumen de revolución Para evaluar las integrales en (1) y (2), que incluyen d x, integramos ya sea de t = α a t = β o bien de t = β a t = α, donde la elección adecuada de los límites para t es la que corresponde a recorrer la curva en la dirección positiva de x, de izquierda a derecha. En particular,

!H

G.T/ F .T/ DT

SI F ./ < F . /

G.T/ F .T/ DT

SI F . / < F ./



MIENTRASQUE 

!H

La validez de este método para evaluar las integrales en las ecuaciones (1) y (2) se deduce del teorema 1 de la sección 5.7, sobre integración y sustitución. CASO 2 Longitud de arco y área de superficie Para evaluar las integrales en (3) y (4), que incluyen ds en lugar de d x, integramos de t = α a t = β sin importar la dirección del movimiento por la curva. Para entender por qué, recuerde de la ecuación (4) de la sección 9.4 que d yyd x = g (t)yf (t) si f (t) H 0 en [α, β]. Así, B

SH

C A

F  .B/



DY DX

DX H

G .T/ F .T/

C

F  .A/



F .T/ DT:

Suponiendo que f (t) > 0 si f (α) = a y f (β ) = b, mientras que f (t) < 0 si f (α) = b y f (β ) = a, se deduce en cualquier caso que

SH

C 



G .T/ F .T/

j F .T/j DT;

YAS¤



DX DT

T F .T/U C TG .T/U DT H

SH 





C

DY DT



DT



Esta fórmula, obtenida con la suposición de que f (t) H 0 en [α, β], puede tomarse como la definición de longitud de arco para una curva paramétrica suave arbitraria. De manera similar, el área de una superficie de revolución está definida para curvas paramétricas suaves como el resultado de primero sustituir (6) en la ecuación (4a) o (4b) y luego integrar de t = α a t = β. EJEMPLO 1 Use la parametrización x = a cos t, y = a sen t (0 t 2π) de la circunferencia con centro en (0, 0) y radio a para encontrar a) el área A del círculo; b) el volumen V de la esfera obtenida con la revolución del círculo alrededor del eje x, y c) el área de la superficie S de esta esfera.

Solución a) La dirección de izquierda a derecha en la cuarta parte de la circunferencia mostrada en la figura 9.5.3 es de t = πy2 a t = 0, y d x = −a sen t d t. Por lo tanto, la ecuación (1) y la multiplicación por 4 dan

Y





!H

T P 

Y DX H 

.A SEN T/.A SEN T/ DT

TH= =

H A  T XA

FIGURA 9.5.3 Cuarta parte de la circunferencia del ejemplo 1.

=



X

H A  T

=

SEN T DT H A 

. COS T/ DT 

 SENT 

=

H A 


 H A  

692

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

para obtener una derivación más de la fórmula A = π a2 del área de un círculo de radio a. b) Para calcular el volumen de la esfera, se aplica la ecuación (2a) y se duplica para obtener 

 Y D X

6 H TH=  =

H A

=

.A SEN T/ .A SEN T DT/ H A 

H

=

 COS T C COS T 



. COS T/ SEN T DT



H 

  A : 

c) Para encontrar el área de la superficie de la esfera, se calcula primero la longitud de arco diferencial .A SEN T/ C .A COS T/ DT H A DT

DS H

de la curva parametrizada. Luego la ecuación (4a) ofrece =

3H

=

 Y DS H  TH

.A SEN T/
A DT 

=

H A 

SEN T DT H A  COS T



= 

H A  :

Por supuesto, los resultados del ejemplo 1 son conocidos. Por el contrario, el ejemplo 2 requiere los métodos de esta sección. EJEMPLO 2 Encuentre el área bajo la curva, y la longitud de arco del arco cicloide de la figura 9.5.4. Sus ecuaciones paramétricas son X H A.T SEN T/; Y H A. COS T/;  T :

Y

P A X

FIGURA 9.5.4 Arco cicloide del ejemplo 2.

Solución Como d x = a (1 − cos t ) d t y la dirección de izquierda a derecha por la curva es de t = 0 a t = 2π, la ecuación (1) proporciona 

Y DX

!H TH 

H



A. COS T/
A. COS T/ DT H A 



. COS T/ DT



para el área. Ahora usamos la identidad de mitades de ángulo  COS T H  SEN

T 

y una consecuencia del problema 58 de la sección 7.3: 

SENN U DU H 




N    




:    N

Por consiguiente obtenemos 

! H A 

SEN



T 



DT H A 

SEN U DU



UH

T 

  H A


H A    para el área bajo uno de los arcos de la cicloide. La diferencial de la longitud de arco es 

A  . COS T/ C .A SEN T/ DT T DT; H A . COS T/ DT H A SEN 

DS H

SECCIÓN 9.5

Cálculo de integrales con curvas paramétricas

693

de manera que la ecuación (3) da 

SH 

T A SEN DT H 

T 

A COS



H A 

Z

por la longitud de un arco de la cicloide.

Coordenadas polares paramétricas Suponga que una curva paramétrica está determinada si se dan sus coordenadas polares R H R .T/;

 H  .T/;



T



como función del parámetro t. En este caso, esta curva se describe en coordenadas rectangulares por las ecuaciones paramétricas X.T/ H R .T/ COS .T/;

Y.T/ H R .T/ SEN .T/;



T



con x y y como funciones de t. La última ecuación paramétrica puede entonces usarse en las fórmulas de la integral en las ecuaciones (1) a (4). Para calcular d s, primero se calculan las derivadas DR D DX H .COS  / .R SEN / ; DT DT DT

DY DR D H .SEN  / C .R COS  / : DT DT DT

Después de sustituir estas expresiones para d xyd t y d yyd t en la ecuación (8) y efectuar simplificaciones algebraicas, se encuentra que la diferencial de la longitud de arco en coordenadas polares paramétricas es DR

DS

DS H

RDQ

DR DT



C R



D DT

DT:



En el caso de una curva con la ecuación explícita en coordenadas polares r = f (θ), se usa el propio θ como parámetro. Así, la ecuación (9) toma la forma más sencilla

DQ

R

DS H /

FIGURA 9.5.5 Triángulo diferencial en coordenadas polares.

DR D





C R  D 

La fórmula DS H .DR / C .R D / equivalente a la ecuación (9), es fácil de recordar con la ayuda del pequeño “casi triángulo” mostrado en la figura 9.5.5. EJEMPLO 3 Encuentre el perímetro (longitud de arco) s de la cardioide con ecuación polar r = 1 + cos θ (figura 9.5.6). Encuentre también el área de la superficie S generada por la cardioide de revolución alrededor del eje x.

Y

Solución Como drydθ = − sen θ, la ecuación (10) y la identidad X

 C COS  H  COS

RCOS Q

 



DAN FIGURA 9.5.6 Cardioide del ejemplo 3.

DS H H

. SEN / C . C COS  / D H  COS

  D H  COS  

D:

. C COS / D

694

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Entonces d s = 2 cos (θy2) dθ en la mitad superior de la cardioide, donde 0 así cos (θy2) 0. Por lo tanto 

SH 

   COS D H  SEN  

θ

π, y



H : 

El área de la superficie de revolución alrededor del eje x (figura 9.5.7) está dada por 

3H

 Y DS H 



.R SEN / DS H

H H

 

H  

FIGURA 9.5.7 Superficie generada por la cardioide de revolución alrededor del eje x.

. C COS /.SEN /
 COS

COS

    SEN D H  COS    



H 

 D 

 ; 

usando la identidad SEN H  SEN

  COS  

Z

al igual que la identidad en la ecuación (11).

9.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. OBSERVACIÓN En las preguntas siguientes, suponga que x = f (t), y = g (t), α t β determina una curva paramétrica suave C en el plano x y; más aún, suponga también que g (t) 0 y que f (t ) es ya sea creciente para α t β o decreciente para α t β. Sea R la región acotada por arriba por C, abajo del eje x, y que tiene lados paralelos al eje y.

1. El área de R está dada por ! H

G.T/ F .T/ DT

SI

F ./ < F . /:



2. Si f (β) < f (α) en la pregunta 1, entonces los límites de integración deben inver β tirse. [ f  (t)]2 + [g  (t)]2 dt sin importar si 3. La longitud de C está dada por s = α f (α) < f (β) o f (β) < f (α). 4. Si f (t) = a (t − sen t) y g (t) = a (1 − cos t) para 0 t 2π, de manera que C es el “primer” arco de una cicloide generada por un círculo de radio a, entonces el 

área acotada por C y el eje x es ! H A 

. COS T/ DT:



5. El valor de la integral en la pregunta 4 es 8a. 6. Si r = r (t), θ = θ(t), α t β determina una curva paramétrica suave C en coordenadas polares, entonces la diferencial de la longitud de arco para C está dada por    2  dr dθ 2 + r dt. ds = dt dt 7. Si r = f (θ) determina la curva paramétrica suave C en coordenadas polares, enDR D 8. La longitud de la cardioide con ecuación polar r = 1 + cos θ es  π θ s=2 2 cos dθ. 2 0

tonces la diferencial de la longitud de arco para C es DS H



C R  D:

SECCIÓN 9.5

Cálculo de integrales con curvas paramétricas

695

9. El área de la superficie generada por la rotación de la cardioide de la pregunta 8 alrededor del eje x es 

3 H 

COS



  SEN D:  

10. El volumen de una esfera de radio a está dado por =

6 H A 

. COS T/ SENT DT 



9.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Si la circunferencia de radio a se parametriza por x = a cos t, y = a sen t como en el ejemplo 1, explique detalladamente por qué la integral 





Y DX H TH

Y DX C

Y DX

TH

TH

no proporciona el área correcta del círculo. Relacione las dos integrales de la derecha con las mitades superior e inferior del círculo. 2. Si la circunferencia de radio a se parametriza por x = a sen πt, y = a cos πt, explique detalladamente por qué la integral 

=

Y DX H TH

=



Y DX C TH

Y DX C

Y DX

TH=

TH=

sí proporciona el área correcta. Relacione las tres integrales de la derecha con las partes adecuadas del área circular.

9.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, encuentre el área de la región que está entre la curva paramétrica dada y el eje x.  X H T  Y H T  C   T   X H ET Y H ET 

 T 

 X H COS T Y H SEN T

 T

T

 X H  T Y H E  T

 X H COS T Y H E 

LN 

 T

 X H  ET Y H T C 



En los problemas 7 a 10, encuentre el volumen obtenido al girar alrededor del eje x la región descrita en el problema dado.  0ROBLEMA  0ROBLEMA  0ROBLEMA

 0ROBLEMA

En los problemas 11 a 16, encuentre la longitud de arco de la curva dada.  X H T Y H  T = 

 T



  T 

 T



 X H

YH

  T  

 X H SEN T COS T Y H SEN T C COS T  X H ET SEN T Y H ET COS T  R H E

=

 R H 



 









 T

 X H T C  Y H T  C T

 R H E

  T

 X H T Y H T C   T





  

T

  



En los problemas 17 a 22, encuentre el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada alrededor del eje indicado. p  X H  T Y H  T  T  ELEJEX

 T



 R H  SEN 



 T

p  X H T  C T  Y H  T

 

 

  

 T







ELEJEX

ELEJEY 

ELEJEY

ELEJEX

ELEJEY

23. Encuentre el volumen generado al girar alrededor del eje x la región bajo la curva del arco cicloidal del ejemplo 2. 24. Encuentre el área de la superficie generada al girar alrededor del eje x el arco cicloidal del ejemplo 2. 25. Use la parametrización x = a cos t, y = b sen t para encontrar: a) el área acotada por la elipse x 2ya2 + y2yb2 = 1; b) el volumen de la elipsoide generada por la revolución de la elipse alrededor del eje x. 26. Encuentre el área acotada por el lazo de la curva paramétrica x = t 2, y = t 3 − 3t del problema 25 de la sección 9.4. 27. Use la parametrización x = t cos t, y = t sen t de la espiral de Arquímedes para encontrar la longitud de arco de la primera vuelta completa de esta espiral (correspondiente a 0 t 2π). 28. La circunferencia ( x − b)2 + y2 = a2 con radio a< b y centro (b, 0) se puede parametrizar por X H B C A COS T;

Y H A SEN T;

 T

:

Encuentre el área de la superficie del anillo obtenido al girar esta circunferencia alrededor del eje y (figura 9.5.8).

696

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas Y

34. Encuentre la longitud de arco del lazo de la curva del problema 33. 35. Encuentre el volumen del sólido obtenido al rotar alrededor del eje x el lazo de la figura 9.5.10. 36. Encuentre el área de la superficie de revolución generada por la rotación el lazo de la figura 9.5.10 alrededor del eje x. 37. a) Respecto al problema 30 y la figura 9.4.14 en la sección 9.4, muestre que la longitud de arco del lazo de la curva folio de Descartes que está en el primer cuadrante es p   C T  T  T  C T  C T  SH DT: . C T  / 

FIGURA 9.5.8 Anillo del problema 28.

29. El astroide (hipocicloide con cuatro cúspides) tiene la ecuación x 2/3 + y2/3 = a2y3 (figura 9.4.15) y la parametrización X H A COS T;

Y H A SEN  T;

 T

:

Encuentre el área de la región acotada por el astroide. 30. Encuentre la longitud total del astroide del problema 29. 31. Encuentre el área de la superficie obtenida al girar el astroide del problema 29 alrededor del eje x. 32. Encuentre el área de la superficie generada por la revolución de la lemniscata r 2 = 2a2 cos 2θ alrededor del eje y (figura 9.5.9). [Sugerencia: use la ecuación (10); note que r dr = −2a2 sen 2θ dθ.] Y

b) Use una calculadora programable o una computadora para aproximar su longitud. 38. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación alrededor p del eje y del arco cicloide del ejemplo 2. [Sugerencia: X  = x sólo si x 0.] 39. Encuentre el volumen generado al girar alrededor del eje y la región bajo la curva del arco cicloidal del ejemplo 2. 40. Suponga que después de enrollar una cuerda en sentido de las manecillas del reloj alrededor de un círculo de radio a, su punta libre está en el punto A(a, 0). (Vea la figura 9.5.11.) Ahora la cuerda se desenrolla, siempre estirándola de manera que la porción TP es tangente al círculo en T. El lugar geométrico de la punta libre P de la cuerda se denomina la involuta del círculo. a) Muestre que las ecuaciones paramétricas de la involuta (en términos del ángulo t de la figura 9.5.11) son X H A.COS T C T SEN T/;

Y H A.SEN T T COS T/:

b) Encuentre la longitud de la involuta de t = 0 a t = π. Y

4

FIGURA 9.5.9 Superficie generada al rotar la lemniscata del problema 32 alrededor del eje y.

33. La figura 9.5.10 muestra la gráfica de la curva paramétrica p X H T  ; Y H T  T  : La región sombreada está acotada por la parte de la curva para la que −3 t 3. Encuentre su área. Y

X

FIGURA 9.5.10 Curva paramétrica de los problemas 33 a 36.

T "

0 !

X

FIGURA 9.5.11 Involuta de un círculo.

41. Suponga que el círculo del problema 40 es un tanque de agua y que la “cuerda” es una soga de longitud π a. Está anclada en el punto B opuesto a A. La figura 9.5.12 describe el área total en que puede pastar una vaca atada a la punta libre de la soga. Encuentre esta área total. (Los tres arcos etiquetados en la figura representan, respectivamente, una involuta APQ generada cuando la vaca desenrolla la soga en dirección contraria a las manecillas del reloj, un semicírculo QR de radio π a con centro en B y una involuta RSA generada cuando la vaca enrolla la soga alrededor del tanque en dirección contraria a las manecillas del reloj de B a A. Estos tres arcos forman una curva cerrada que se parece a una cardioide y la vaca puede llegar a cualquier punto dentro de esta curva y fuera del círculo original.)

SECCIÓN 9.5

Cálculo de integrales con curvas paramétricas

697

Y

1

0 Y

"

!

3

X

2 X

FIGURA 9.5.12 Área en la cual puede pastar la vaca del problema 41.

42. Ahora suponga que la soga del problema anterior tiene longitud 2πa y está anclada en el punto A antes de enrollarla completamente alrededor del tanque. Encuentre el área total donde puede pastar la vaca. La figura 9.5.13 muestra una involuta APQ, un semicírculo QR de radio 2πa centrado en A y una involuta RSA. La vaca puede llegar a cualquier punto dentro de la curva exterior y fuera del círculo original.

2

Y

3 0

!

FIGURA 9.5.14 Curva R H COS.   / del problema 49.

50. Encuentre la longitud de arco total de la curva en ocho x = sen t, y = sen 2t de la figura 9.4.13. 51. Encuentre el área de la superficie total y el volumen generados rotando alrededor del eje x la curva en ocho del problema 50. 52. Encuentre el área de la superficie total y el volumen generados rotando alrededor del eje y la curva en ocho del problema 50. 53. Encuentre la longitud de arco total de la curva Lissajous x = cos 3t, y = sen 5t, de la figura 9.4.4. 54. Encuentre la longitud de arco total de la epitrocoide x = 8 cos t − 5 cos 4t, y = 8 sen t − 5 sen 4t de la figura 9.5.15. Y

1 X X

FIGURA 9.5.13 Área en la cual puede pastar la vaca del problema 42.

En los problemas 43 al 54, use una calculadora graficadora o una computadora que contenga un sistema algebraico adecuado y aproxime, por integración numérica, la cantidad deseada si no es posible calcularla exactamente. 43. Encuentre la longitud de arco total de la rosa de tres pétalos r = 3 sen 3θ de la figura 9.3.12. 44. Encuentre la superficie total generada al rotar alrededor del eje y la rosa de tres pétalos del problema 43. 45. Encuentre la longitud total de la rosa de cuatro pétalos r = 2 cos 2θ de la figura 9.2.12. 46. Encuentre el área de la superficie total generada al rotar alrededor del eje x la rosa de cuatro pétalos del problema 45. 47. Encuentre la longitud de arco total del caracol (ambos lazos) r = 5 + 9 cos θ de la figura 9.2.25. 48. Encuentre el área de la superficie total generada al rotar alrededor del eje x el caracol del problema 47. 49. Encuentre la longitud de arco total (los siete lazos) de la curva polar R H COS.  / de la figura 9.5.14.

FIGURA 9.5.15 Epitrocoide del problema 54.

55. Cuando diseñaba un ejercicio para el laboratorio de computación para sus estudiantes de cálculo, Frank A. Farris, de Santa Clara University, descubrió una hermosa curva con la parametrización X.T/ H COS T C  COS T C  SEN T; Y.T/ H SEN T C  SEN T C  COS T:

Para obtener información sobre lo que representan estas ecuaciones, consulte su artículo “Wheels on Wheels on Wheels —Surprising Symmetry”, en el número de junio de 1996 de Mathematics Magazine. Grafique estas ecuaciones para que pueda disfrutar de esta extraordinaria figura, después integre numéricamente la longitud aproximada de su gráfica. ¿Qué tipo de simetría tiene? ¿Es esto predecible a partir de los coeficientes de t en las ecuaciones paramétricas?

698

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

9.5 INVESTIGACIONES: órbitas lunares y pistas de carreras Las investigaciones en este proyecto requieren el uso de las técnicas de integración numérica (con una calculadora o computadora) para aproximar la integral de longitud de arco paramétrica B

TX .T/U C TY .T/U DT:

SH



A

Considere la elipse con ecuación Y X C H A B

y excentricidad H

.A > B/



 .B=A/  Sustituya la parametrización

x = a cos t,

y = b sen t

(3)

en la ecuación (1) para demostrar que el perímetro de la elipse está dado por la integral elíptica =

P H A





COS T DT:





Se sabe que esta integral es no elemental si 0 <  < 1. Una aproximación común sencilla a ella es P  .! C 2/;  DONDE A  C B  2H ! H .A C B/ Y   denotan la media aritmética y la media de raíz cuadrada, respectivamente, de los semiejes a y b de la elipse. A manera de preparación, considere la elipse cuyos semiejes mayor y menor a y b son, respectivamente, los dígitos mayor y menor diferentes de cero del número de su credencial de estudiante. Para esta elipse, compare la estimación de la longitud de arco dadas por (5) y por la evaluación numérica de la integral en (4).

Investigación A

Si se ignora el efecto de perturbación del Sol y los planetas diferentes a la Tierra, la órbita de la Luna es casi una elipse perfecta con la Tierra en un foco. Suponga que esta elipse tiene un semieje mayor a = 384,403 km (exactamente) y excentricidad  = 0.0549 (exactamente). Aproxime el perímetro p de esta elipse [usando la ecuación (4)] al metro más cercano. Investigación B

Investigación C Suponga que está diseñando una pista de carreras elíptica. Seleccione los semiejes para su pista de manera que el perímetro mida entre media milla y dos millas. Su tarea es construir una tabla con columnas de tiempo y rapidez que un observador pueda usar para determinar la rapidez promedio de un auto dado cuando da la vuelta a la pista. El observador toma el tiempo de un circuito del auto en la pista y localiza su tiempo para la vuelta completa en la primera columna de la tabla. La cifra correspondiente en la segunda columna da la rapidez promedio del auto (en millas por hora) para ese circuito de la pista. Su informe debe incluir una tabla conveniente para usarla de esta forma y que pueda venderla con éxito a los espectadores que asisten a las carreras.

9.6 SECCIONES CÓNICAS Y APLICACIONES Ahora analizaremos más detalladamente los tres tipos de secciones cónicas —parábolas, elipses e hipérbolas— que se introdujeron en la sección 9.1.

Parábola El caso e = 1 del ejemplo 3 en la sección 9.1 es la causa de esta definición formal.

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

699

DEFINICIÓN Parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos P en el plano que son equidistantes a un punto fijo F (llamado foco de la parábola) y una recta fija L (llamada directriz de la parábola) que no contiene a F. Si el foco de la parábola es F ( p, 0) y su directriz es la recta vertical x = −p, p > 0, entonces de la ecuación (12) de la sección 9.1 se deduce que la ecuación de esta parábola es Y  H  PX



Cuando se sustituye x por −x tanto en la ecuación como en el análisis que le precede, se obtiene la ecuación de la parábola cuyo foco es (−p, 0) y cuya directriz es la recta vertical x = p. La nueva parábola tiene la ecuación Y  H  PX



Las dos parábolas se muestran en la figura 9.6.1. También se pueden intercambiar x y y en la ecuación (1). Con ello se obtiene la ecuación cuyo foco es (0, p) y cuya directriz es la recta horizontal y = −p. Esta parábola se abre hacia arriba, como en la figura 9.6.2a); esta ecuación es X  H  PY



Y

Y X

&P 

& P

YPX

X P

XPY X A

Y P A Y

Y YP X

X

& P 

& P Y PX

XP

B

FIGURA 9.6.1 Dos parábolas con directrices verticales.

X PY

B

FIGURA 9.6.2 Dos parábolas con directrices horizontales; a) se abre hacia arriba; b) se abre hacia abajo.

700

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Por último, se sustituye y por −y en la ecuación (3). Esto da la ecuación X  H  PY



de la parábola que abre hacia abajo, con foco (0, −p) y directriz y = p, como en la figura 9.6.2b). Cada una de las parábolas estudiadas hasta ahora es simétrica alrededor de los ejes coordenados. La recta alrededor de la cual una parábola es simétrica se llama eje de la parábola. El punto de una parábola a mitad del camino entre su foco y su directriz se llama vértice de la parábola. El vértice de cada parábola que se observó en conexión con las ecuaciones (1) a (4) es el origen (0, 0). EJEMPLO 1

Determine el foco, directriz, eje y vértice de la parábola x 2 = 12y.

Solución Escribimos la ecuación dada como x 2 = 4 · (3y). Esta forma coincide con la ecuación (3) para p = 3. De esta forma, el foco de la parábola dada es (0, 3) y su directriz es la línea horizontal y = −3. El eje y es el eje de simetría y la parábola abre hacia arriba desde su vértice en el origen. Z

Y

Suponga que comenzamos con la parábola de la ecuación (1) y la trasladamos de manera que su vértice se mueve al punto (h, k). Así, la parábola trasladada tiene la ecuación

&PH K H K

YK

X PH

FIGURA 9.6.3 Una traslación de la parábola y 2 = 4p x.

X

.Y K/ H  P.X H/

A

La nueva parábola tiene foco F (p + h, k) y su directriz es la recta vertical x = −p + h (figura 9.6.3). Su eje es la recta horizontal y = k. Obtenemos las traslaciones de las otras tres parábolas en las ecuaciones (2) a (4) de la misma manera. Si el vértice se mueve del origen al punto (h, k), entonces las tres ecuaciones toman las formas: .Y K/ H  P.X H/; .X H/ H  P.Y K/;

A Y

.X H/ H  P.Y K/:

A A

,ASECUACIONESA YA TIENENLAFORMAGENERAL Y C ! X C " Y C # D 

.!

/;



MIENTRASQUELASECUACIONESA YA TOMANLAFORMAGENERAL X C ! X C " Y C # H 

."

/



Lo significativo de las ecuaciones (5) y (6) es lo que tienen en común: ambas son lineales en una de las variables coordenadas y cuadráticas en la otra. De hecho, se puede reducir cualquiera de estas ecuaciones a una de las formas estándar en las ecuaciones (1a) a (4a) completando el cuadrado en la variable coordenada que es cuadrática. Esto significa que la gráfica de cualquier ecuación de la forma de las ecuaciones (5) o (6) es una parábola. Las características de la parábola se pueden entender en la forma estándar de su ecuación, como en el ejemplo 2. EJEMPLO 2

Determine la gráfica de la ecuación Y  X Y C  H :

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

701

Solución Esta ecuación es lineal en x y cuadrática en y. Dividimos entre el coeficiente de y2 y luego reunimos en un lado de la ecuación todos los términos en y:

Y

Y  Y H X  :

Después completamos el cuadrado en la variable y y encontramos que

   

Y  Y C

Y 

 

H X

 

C

 

H X C  H .X C /:

El paso final es escribir en la forma 4p ( x − h) los términos en el lado derecho que incluyen a x: X

Y

  

H


 


.X C /:

Esta ecuación tiene la forma de la ecuación (1a) con p = , h = −1 y k = . Así, la gráfica es una parábola que abre a la derecha desde su vértice en (−1, ). Su foco está en (−, ), su directriz es la recta vertical x = − y su eje es la línea vertical y = . Se muestra en la figura 9.6.4. Z

FIGURA 9.6.4 Parábola del ejemplo 2.

Aplicaciones de las parábolas Y 1A B

A

A A X

C 

FIGURA 9.6.5 Propiedad de reflexión de la parábola: α = β.

La parábola y2 = 4 px ( p > 0) se muestra en la figura 9.6.5 junto con un rayo de luz que llega viajando hacia la izquierda y paralelo al eje x. Este rayo de luz choca con la parábola en el punto Q (a, b) y se refleja hacia el eje x, al cual encuentra en el punto (c, 0). El ángulo de reflexión del rayo debe ser igual a su ángulo de incidencia, por lo que estos dos ángulos —medidos respecto a la recta tangente L en Q— se etiquetan con α en la figura. El ángulo vertical al ángulo de incidencia también es igual a α. Así, como el rayo entrante es paralelo al eje x, el ángulo que el rayo reflejado forma con el eje x en (c, 0) es 2α. Usando los puntos Q y (c, 0) para calcular la pendiente del rayo de luz reflejado, encontramos que  TAN  B H TAN  H : AC  TAN  (La segunda igualdad se deduce de una identidad trigonométrica en el problema 28 del apéndice C.) El ángulo α se relaciona con la pendiente de la recta tangente L en Q. Para encontrar esta pendiente comenzamos con p Y H  PX H . PX/= YCALCULAMOS DY P / H : DX X Así, la pendiente de L es tanto tan α como d yyd x evaluado en (a, b); es decir, TAN  H

P A

/

:

0ORLOTANTO P p  PA  TAN  B B A H H H ; H P AC  TAN  A P A P  A p porque B H  PA De aquí, se obtiene que c = p. La sorpresa es que c es independiente de a y b y sólo depende de la ecuación y2 = 4px de la parábola. Debido a esto, todos los rayos de luz entrantes paralelos al eje x se reflejan al punto F ( p, 0). A esto se debe que F se llame foco de la parábola. Esta propiedad de reflexión de la parábola se explota en el diseño de espejos parabólicos. Un espejo así tiene la forma de la superficie obtenida al rotar la parábola alrededor de su eje de simetría. De este modo, la luz de los rayos entrantes paralelos al eje x se enfocará en F, como se muestra en la figura 9.6.6. La propiedad de reflexión también se puede usar al revés: los rayos emitidos desde el foco se reflejan como un rayo paralelo al eje x, y mantiene con ello un intenso rayo de luz. Más aún, 

&OCO&

0ARÖBOLA

FIGURE 9.6.6 Los rayos incidentes paralelos al eje se reflejan a través del foco.

CAPÍTULO 9

702

Coordenadas polares y curvas paramétricas

las aplicaciones no se limitan a rayos de luz; los espejos parabólicos se usan en telescopio visuales y de radio, antenas de radar, luces de búsqueda, luces de auto, sistemas de micrófonos, estaciones satélite y dispositivos solares de calefacción. Galileo descubrió a principios del siglo xvii que la trayectoria de un proyectil disparado con un arma es una parábola (con la suposición de que puede ignorarse la resistencia del aire y que la aceleración de la gravedad es constante). Suponga que un proyectil se dispara con una velocidad inicial v0 en el tiempo t = 0 desde el origen con un ángulo de inclinación α con el eje horizontal x. Así, la velocidad inicial del proyectil se separa en dos componentes GX H G COS  Y GY H G SEN ;

Y



A 0UNTODEDISPARO

3UELO

X

FIGURA 9.6.7 Resolución de la velocidad inicial v0 en sus componentes horizontal y vertical.

como se indica en la figura 9.6.7. El hecho de que el proyectil continúa moviéndose horizontalmente con una velocidad constante v0 x , junto con la ecuación (34) de la sección 5.2, implica que sus coordenadas x y y después de t segundos son X H .G COS /T;  Y H  GT  C .G SEN /T:



Al sustituir t = xy (v0 cos α) de la ecuación (7) en la ecuación (8) y luego completar el cuadrado, se puede obtener (como en el problema 70) una ecuación de la forma Y



Y - H  P X  2 : 2 -

!QU¤ -H



G SEN  G





es la altura máxima alcanzada por el proyectil y

A 2

2

X

FIGURA 9.6.8 Trayectoria del proyectil que muestra su altura máxima M y su rango R.

2H

G SEN  G



es su rango, la distancia horizontal que recorrerá el proyectil antes de regresar al suelo. De este modo, la trayectoria es la parábola mostrada en la figura 9.6.8.

Elipse Una elipse es una sección cónica con excentricidad e menor que 1, como en el ejemplo 3 de la sección 9.1.

DEFINICIÓN Elipse Suponga que e < 1 y sean F un punto fijo y L una recta fija que no contiene a F. La elipse con excentricidad e, foco F y directriz L es el conjunto de todos los puntos tales que la distancia |PF| es e veces la distancia (perpendicular) de P a la recta L. Y

C ,X  E 0X Y

&C 

La ecuación de la elipse es en particular sencilla si F es el punto (c, 0) en el eje x y L es la recta vertical x = cye2. El caso c > 0 se muestra en la figura 9.6.9. Si Q es el punto (cye2, y), entonces PQ es la perpendicular de P ( x, y) a L. La condición |PF| = e|PQ| ofrece entonces

C 1 Y E





.X C/ C Y  H E X

X

C E



I

C I E C   H . E /: E E

X  CX C C C Y  H E X  CX C

FIGURA 9.6.9 Elipse: foco F, directriz L, excentricidad e.

X  . E / C Y  H C !S¤

X  . E / C Y  H A  . E /;

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

703

donde C AH  E



Se dividen ambos lados de la siguiente ecuación entre a2(1 − e2) y se obtiene Y X C  H :  A A . E /

Por último, con la ayuda del hecho que e < 1, se puede hacer B H A  . E / H A  C :



De este modo, la ecuación de la elipse con foco (c, 0) y directriz x = cye2 = aye toma la forma sencilla Y X C H  A B



En la ecuación (14) se ve que esta elipse es simétrica alrededor de los dos ejes coordenados. Sus intercepciones con el eje x son (±a, 0) y sus intercepciones con el eje y son (0, ±b). Los puntos (±a, 0) se llaman vértices de la elipse y el segmento de recta que los une se llama eje mayor. El segmento de recta que une (0, b) y (0, −b) se llama eje menor [note en la ecuación (13) que b < a]. La forma alternativa A  H B C C



de la ecuación (13) es la relación de Pitágoras para el triángulo rectángulo de la figura 9.6.10. Sin duda, la visualización de este triángulo es una manera excelente de recordar la ecuación (15). Los números a y b son las longitudes de semiejes mayor y menor, respectivamente. Y

Y

, ,

 B A

B

&C 

 B

FIGURA 9.6.10 Partes de una elipse.

E

E

1

A  C

E

0

1

 A 

FIGURA 9.6.12 Relación entre la excentricidad de una elipse y su forma.

,

X

& C  A X E \0&\E\01\ Y \0&\E\01\

X

&C  A X E

FIGURA 9.6.11 La elipse como una sección cónica: dos focos, dos directrices.

Como a = cye, la directriz de la elipse en la ecuación (14) es x = aye. Si en su lugar hubiéramos comenzado con el foco (−c, 0) y la directriz x = −aye, de todas formas habríamos obtenido la ecuación (14), ya que sólo los cuadrados de a y c están involucrados en su deducción. De este modo, la elipse en la ecuación (14) tiene dos focos, (c, 0) y (−c, 0), y dos directrices x = aye y x = −aye (figura 9.6.11). Cuanto más grande sea la excentricidad e < 1, más alargada será la elipse. (Recuerde que e = 1 es la excentricidad de todas las parábolas.) Pero si e = 0, entonces la ecuación (13) proporciona b = a, de manera que la ecuación (14) se reduce a la ecuación de una circunferencia de radio a. Así, una circunferencia es una elipse de excentricidad cero. Compare los tres casos mostrados en la figura 9.6.12.

704

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Encuentre una ecuación de la elipse con focos (±3, 0) y vértices (±5, 0).

Y

EJEMPLO 3

 

Solución Nos dan c = 3 y a = 5, por lo que la ecuación (13) da b = 4. Entonces de la ecuación (14) se tiene Y X C H   como la ecuación buscada. Esta elipse se muestra en la figura 9.6.13. Z

  X

  X Y    

FIGURA 9.6.13 Elipse del ejemplo 3.

Y  A

& C

A C

B

B 

X

Si los dos focos de una elipse están en el eje y, como F1(0, c) y F2(0, −c), entonces la ecuación de la elipse es X Y C H ;  B A y todavía se cumple a2 = b2 + c2, como en la ecuación (15). Pero ahora el eje mayor de longitud 2a es vertical y el eje menor de longitud 2b es horizontal. La deducción de la ecuación (16) es similar a la desarrollada para la ecuación (14); vea el problema 79. La figura 9.6.14 muestra el caso de una elipse cuyo eje mayor es vertical. Los vértices de esa elipse están en (0, ±a); siempre son los puntos terminales del eje mayor. En la práctica existe muy poca confusión entre las ecuaciones (14) y (16). La ecuación o los datos dados aclararán si el eje mayor de la elipse es horizontal o vertical. Utilice únicamente la ecuación para leer las intercepciones de la elipse. Las dos intercepciones que están más lejanas del origen son los puntos terminales del eje mayor, las otras dos son los puntos terminales del eje menor. Los dos focos están en el eje mayor, cada uno a una distancia c del centro de la elipse, el cual será el origen si la ecuación de la elipse tiene una de las formas de las ecuaciones (14) o (16). EJEMPLO 4

&

Bosqueje la gráfica de la ecuación X Y C H :  

FIGURA 9.6.14 Una elipse con el eje mayor vertical.

Solución Las intercepciones x son (±4, 0); las intercepciones y son (0, ±5). Así, el eje mayor es vertical. Tomamos a = 5 y b = 4 en la ecuación (15) y encontramos que c = 3. Los focos están en (0, ±3). Así, esta elipse tiene la apariencia de la que se muestra en la figura 9.6.15. Z

Y

Cualquier ecuación de la forma

 

! X  C # Y  C $X C % Y C & H ;

 

 

X

  X Y    

FIGURA 9.6.15 Elipse del ejemplo 4.



en la cual los coeficientes A y C de las variables al cuadrado son ambos diferentes de cero y tienen el mismo signo, se puede reducir a la forma ! .X H/ C #.Y K/ H '

completando cuadrados en x y y. Podemos suponer que A y C son ambos positivos. De este modo, si G < 0, no existen puntos que satisfagan la ecuación (17), y la gráfica es el conjunto vacío. Si G = 0, entonces existe exactamente un punto en el lugar geométrico, el punto (h, k). Y si G > 0, se dividen ambos lados de la última ecuación entre G y se obtiene una ecuación que se parece a una de estas dos: .Y K/ .X H/ C H ; A B

A

.Y K/ .X H/ C H :  B A

B

¿Cuál ecuación debe elegir? Seleccione la que sea congruente con la condición a b > 0. Por último, observe que cualquiera de las ecuaciones en (18) es la ecuación de una

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

705

elipse trasladada. Así, fuera de los casos excepcionales que ya se observaron, la gráfica de la ecuación (17) es una elipse si AC > 0. EJEMPLO 5

Determine la gráfica de la ecuación X  C Y  X C Y C  H :

Y

X

  

 

.X  X/ C .Y  C Y/ H I





Solución Se reúnen los términos en x y los términos en y y se completan cuadrados. Esto nos ofrece .X  X C / C .Y  C Y C / H I

  



.X / .Y C / C H :  

  

Por lo tanto, la ecuación dada es la de una p elipse trasladada con centro en (2, −3). p Su semieje horizontal tiene longitud A H  y su semieje menor p tiene longitud La distancia del centro a cada foco es C H  y la excentriciB H  (figura 9.6.16). p Z dad es E H C=A H =

FIGURE 9.6.16 La elipse del ejemplo 5.

Aplicaciones de las elipses EJEMPLO 6 La órbita de la Tierra es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La distancia máxima del planeta al centro del Sol es 94.56 millones de millas y su distancia mínima es 91.44 millones de millas. ¿Cuáles son los semiejes mayor y menor de la órbita de la Tierra y cuál es su excentricidad?

Solución Como lo muestra la figura 9.6.17, tenemos A C C H : 0ERIHELIO 3OL !FELIO

A

C

Y

A C H :;

con unidades en millones de millas. Concluimos de estas ecuaciones que a = 93.00, c = 1.56 y entonces que .:/ .:/  :

BH

millones de millas. Por último, FIGURA 9.6.17 La órbita de la Tierra con su excentricidad exagerada (ejemplo 6).

EH

: C H  :; A :

un número relativamente cercano a cero. Esto significa que la órbita de la Tierra es casi circular. De hecho, los semiejes mayor y menor son tan cercanos en tamaño, en una escala usual, que la órbita de la Tierra parecería una circunferencia perfecta. Pero la diferencia entre el movimiento circular uniforme y el movimiento real de la Tierra tiene ciertos aspectos importantes, que incluyen los hechos de que el Sol está 1.56 millones Z de millas fuera de centro y que la velocidad orbital de la Tierra no es constante. EJEMPLO 7 Uno de los cometas más famosos es el cometa Halley, llamado así en honor a Edmund Halley (1656-1742), un discípulo de Newton. Estudiando los registros de las trayectorias de cometas anteriores, Halley dedujo que el cometa de 1682 era el mismo que se había visto en 1607, 1531, 1456 y 1066 (un augurio en la batalla de Hastings). En 1682, Halley predijo que este cometa regresaría en 1759, en 1835 y en 1910; y, por supuesto, acertó. El periodo del cometa Halley es de alrededor de 76 años, aunque puede variar un par de años en cualquier dirección debido a las perturbaciones de su órbita ocasionadas por el planeta Júpiter. La órbita del cometa Halley es una elipse con el Sol en un foco. En términos de unidades astronómicas (1 UA es la distancia media de la Tierra al Sol), los semiejes mayor y menor de esta órbita elíptica son 18.09 UA y 4.56 UA, respectivamente. ¿Cuáles son las distancias máxima y mínima del Sol al cometa Halley?

CAPÍTULO 9

706

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Solución Los datos son que a = 18.09 (todas las distancias están en unidades astronómicas) y b = 4.56, de manera que

2ECTATANGENTE 0

AB 

B A &

&

FIGURA 9.6.18 Propiedad de reflexión: α = β.

FIGURA 9.6.19 Una manera de dibujar una elipse.

C H .:/ .:/  :: De esta forma, la distancia máxima del cometa al Sol es a + c ≈ 35.60 UA, y su distancia mínima es a − c ≈ 0.58 UA. La excentricidad de su órbita es : C  :; EH  A : una órbita muy excéntrica (pero vea el problema 77). Z

La propiedad de reflexión de la elipse establece que la recta tangente en un punto P de una elipse forma ángulos iguales con las dos líneas PF1 y PF2 de P a los dos focos de la elipse (figura 9.6.18). Esta propiedad es la base del fenómeno de la “galería de los secretos”, que se ha observado en el llamado pasillo de los secretos en el Senado de Estados Unidos. Suponga que el techo de un salón grande tiene forma de medio elipsoide, obtenida al rotar una elipse alrededor de su eje mayor. Las ondas de sonido, igual que las ondas de luz, se reflejan con ángulos de incidencia y reflexión iguales. Así, si dos diplomáticos tienen una conversación en voz baja cerca de uno de los focos de la superficie elipsoidal, un reportero parado cerca del otro foco —tal vez a 50 pies— quizá pueda oír su conversación aun cuando resulte inaudible para otros en el mismo salón. Algunas mesas de billar se fabrican con forma de elipse. Los focos de estas mesas están expresamente marcados para conveniencia de los entusiastas de esta forma inusual de jugar billar. Una aplicación más seria de la propiedad de reflexión de las elipses es el tratamiento no quirúrgico de cálculos en los riñones llamado litroticia de ondas de choque. Un reflector elipsoidal con un transductor (transmisor de energía) en uno de los focos se coloca fuera del cuerpo del paciente de manera que el cálculo renal se localice en el otro foco. La piedra se pulveriza por las ondas reflejadas que emanan del transductor. (Puede encontrar más detalles en COMAP Newletter 20, noviembre, 1986.) Una definición alternativa de la elipse con focos F1 y F2 y eje mayor de longitud 2a es la siguiente: es el lugar geométrico de un punto P tal que la suma de las distancias |PF1| y |PF2| es la constante 2a. (Vea el problema 82.) Este hecho proporciona una manera conveniente de dibujar la elipse usando dos tachuelas colocadas en los focos F1 y F2, un hilo de longitud 2a y un lápiz (figura 9.6.19).

Hipérbola Una hipérbola es una sección cónica definida de la misma manera que la elipse, excepto que la excentricidad e de la hipérbola es mayor que 1.

Y

DEFINICIÓN Hipérbola Suponga que e > 1 y sean F un punto fijo y L una recta fija que no contiene a F. De este modo, la hipérbola con excentricidad e, foco F y directriz L es el conjunto de todos los puntos tales que la distancia |PF| es e veces la distancia (perpendicular) de P a L.

, C 1 Y E





0X Y

&C  X

C E

FIGURA 9.6.20 Definición de la hipérbola.

X

Igual que con la elipse, la ecuación de una hipérbola es más sencilla si F es el punto (c, 0) en el eje x y L es la recta vertical x = cye2. La figura 9.6.20 muestra el caso c > 0. Si Q es el punto (cye2, y), entonces PQ es la perpendicular de P ( x, y) a L. La condición |PF| = e|PQ| da .X C/ C Y  H E X

C E



I C I E C H  .E /: E

X  CX C C C Y  H E X  CX C .E /X  Y  H C 

 E

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

707

Entonces .E /X  Y  H A  .E /;

donde C AH  E



Si se dividen ambos lados de la penúltima ecuación entre a2(e2 − 1), se obtiene x2 y2 = 1. − 2 2 2 a a (e − 1)

Para simplificar esta ecuación se hace (20) b2 = a 2 (e2 − 1) = c2 − a 2 . Esto se puede hacer porque e > 1. De modo que la ecuación de la hipérbola con foco (c, 0) y directriz x = cye2 = aye toma la forma Y X H  A B



El signo menos en el lado izquierdo es la única diferencia entre la ecuación de una hipérbola y la de una elipse. Por supuesto, la ecuación (20) también difiere de la relación b2 = a 2 (1 − e2 ) = a 2 − c2

para el caso de la elipse. Es claro que la hipérbola de la ecuación (21) es simétrica alrededor de ambos ejes coordenados y tiene intercepciones x (±a, 0). Pero no tiene intercepciones y. Si se rescribe la ecuación (21) en la forma b 2 y=± x − a2, (22) a se ve que existen puntos en la gráfica sólo si | x | a. La hipérbola tiene dos ramas, como se muestra en la figura 9.6.21. También se observa, en la ecuación (22) que |y | → ∞ cuando | x | → ∞.

B C A  A  A 

&C 

X

A X E

FIGURA 9.6.21 Una hipérbola tiene dos ramas.

Las intercepciones x, V1(−a, 0) y V2(a, 0), son los vértices de la hipérbola y el segmento de recta que los une es su eje transversal (figura 9.6.22). El segmento de recta que une W1(0, −b) y W2(0, b) es su eje conjugado. La forma alternativa C H A  C B



de la ecuación (20) es la relación de Pitágoras para el triángulo rectángulo mostrado en la figura 9.6.22.

708

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas Y

B Y X A

Y

B YX A

A Y X B

%JE TRANSVERSAL 7 B

& C

B

& C 

6 A

B

C 6 A 

6A 

A

X

&C 

A

C

A YX B

X 6 A

%JE CONJUGADO

7 B X Y

 A B

& C

Y X

 A B

FIGURA 9.6.22 Partes de una hipérbola.

FIGURA 9.6.23 la hipérbola de la ecuación (25) tiene directrices horizontales.

Las rectas y = ±bxya que pasan por el centro (0, 0) y los vértices opuestos del rectángulo en la figura 9.6.22 son las asíntotas de la dos ramas de la hipérbola en ambas direcciones. Esto es, si Y H

BX A

Y

Y H

B A

X  A;

ENTONCES L¤M .Y Y / H  H L¤M .Y .Y //:

X!1

X!1



Para verificar el primer límite (por ejemplo), observe que p p  A X C X X X  A B B L¤M X X  A  H L¤M
p X!1 A X!1 A X C X  A  A B H L¤M
H : p X!1 A X C X  A Igual que en el caso de la elipse, la hipérbola con foco (c, 0) y la directriz x = aye también tiene foco (−c, 0) y directriz x = −aye (figura 9.6.22). Como c = ae por la ecuación (19), los focos (±ae, 0) y las directrices x = ±aye toman las mismas formas en términos de a y e para ambas, la hipérbola (e > 1) y la elipse (e < 1). Si se intercambian x y y en la ecuación (21), se obtiene Y X H  A B



Esta hipérbola tiene focos en (0, ±c). Los focos, lo mismo que el eje transversal de esta hipérbola, están en el eje y. Sus asíntotas son y = ±a xyb y su gráfica en general se parece a ilustrada en la figura 9.6.23. Cuando se estudió la elipse, se vio que su orientación —el eje mayor horizontal o vertical— está determinada por los tamaños relativos de a y b. En el caso de la hipérbola, la situación es diferente porque los tamaños relativos de a y b no afectan: influyen sólo en las pendientes de las asíntotas. La dirección en la que se abre la hipérbola —horizontal como en la figura 9.6.22 o vertical como en la figura 9.6.23— está determinada por los signos de los términos que contienen x 2 y y2.

SECCIÓN 9.6

EJEMPLO 8

Secciones cónicas y aplicaciones

709

Bosqueje la gráfica de la hipérbola con ecuación X Y H :  

Solución Ésta es una ecuación de la forma en (25), de manera que la hipérbola se abre en sentido vertical. Como a = 3 y b = 4, se encuentra que c = 5 usando la ecuación (23): c2 = a2 + b2. Así, los dos vértices son (0, ±3), los focos son los puntos (0, ±5) y las asíntotas son las dos rectas y = ±3xy4. Esta hipérbola aparece en la figura 9.6.24. Z Y

&  6 

 YX 

X 6 

 Y X 

& 

Y X

  

FIGURA 9.6.24 Hipérbola del ejemplo 8.

EJEMPLO 9 y = ±4xy3.

Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos (±10, 0) y asíntotas

Solución Dado que c = 10, se tiene A  C B H 

 B H : A 

Y

Entonces b = 8 y a = 6, y la ecuación estándar de la hipérbola es Y X H :  

Z

Como se observó, cualquier ecuación de la forma ! X  C # Y  C $X C % Y C & H 



con ambos coeficientes A y C diferentes de cero se puede reducir a la forma ! .X H/ C ".Y K/ H '

completando cuadrados en x y y. Ahora suponga que los coeficientes A y C de los términos cuadráticos tienen signos opuestos. Por ejemplo, suponga que A = p2 y B = −q2. La última ecuación se convierte en P  .X H/ Q  .Y K/ H ':



Si G = 0, entonces la factorización de la diferencia de cuadrados en el lado izquierdo lleva a las ecuaciones P.X H/ C Q.Y K/ H 

Y

P.X H/ Q.Y K/ H 

710 CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

de las dos rectas que pasan por (h, k) con pendientes m = ± pyq. Si G H 0, la división de la ecuación (27) entre G da una ecuación que se ve como .Y K/ .X H/ H A B

.SI ' > /

.Y K/ .X H/ H A B

.SI ' < /

OBIEN COMO

De esta forma, si AC < 0 en la ecuación (26), la gráfica es un par de rectas que se cruzan o una hipérbola. EJEMPLO 10

Determine la gráfica de la ecuación X  Y  X C Y H :

Solución Se reúnen los términos en x y los términos en y, y luego se completa el cuadrado en cada variable. Se encuentra que .X / .Y / H ; DEMANERAQUE .Y / .X / H :  

De este modo, la gráfica es una hipérbola p con un eje transversal y centro (2, 1). Como a = 2 y b = 3, se encuentra que C H p  Los vértices de la hipérbola son (0, 1) y (4, 1), y sus focos son los puntos .  ; / Sus asíntotas son las dos rectas Y  H   .X /;

traslaciones de las asíntotas y = ±3xy2 de la hipérbola  X   Y  H  La figura 9.6.25 muestra la gráfica de la hipérbola trasladada. Z

Y

X Y X Y

   

 

X

 Y X  

 Y  X  

FIGURA 9.6.25 Hipérbola del ejemplo 10, una traslación de la hipérbola x 2/4 − y2/9  1.

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

711

Aplicaciones de las hipérbolas La propiedad de reflexión de la hipérbola toma la misma forma que en la elipse. Si P es un punto en la hipérbola, entonces las dos rectas PF1 y PF2 de P a los dos focos forman ángulos iguales con la recta tangente en P. En la figura 9.6.26 esto significa que α = β. 2AYODELUZ

B

0

A

&

0

B &

2ECTA TANGENTE

&

A

&

AB 

FIGURA 9.6.26 Propiedad de reflexión de la hipérbola.

FIGURA 9.6.27 Forma en que refleja un espejo hiperbólico un rayo dirigido a uno de sus focos: α = β de nuevo.

Para una aplicación importante de esta propiedad de reflexión, considere un espejo que tiene la forma de una rama de una hipérbola y es reflejante en su superficie exterior (convexa). Un rayo de luz incidente dirigido a uno de sus focos se reflejará hacia el otro foco (figura 9.6.27). La figura 9.6.28 indica el diseño de un telescopio reflejante que usa las propiedades de reflexión de la parábola y la hipérbola. Los rayos paralelos de luz que entran primero son reflejados por la parábola hacia su foco en F. Luego son interceptados por un espejo hiperbólico auxiliar con focos en E y F y de ahí se refleja al lente ocular localizado en E.

2AYOSDELUZPARALELOS QUEENTRAN %

&FOCOCOM¢NDELA PARÖBOLAYLAHIP£RBOLA %SPEJOAUXILIAR

%SPEJOPRINCIPAL

FIGURA 9.6.28 Un tipo de telescopio reflejante: espejo principal parabólico, espejo auxiliar hiperbólico.

El ejemplo 11 ilustra cómo se usan las hipérbolas para determinar las posiciones de un barco en el mar. EJEMPLO 11 Un barco está ubicado en el mar Labrador en el punto A y se dirige al este de Wesleyville, en la larga línea costera norte-sur de Newfoundland. Se transmiten señales de radio simultáneas desde las estaciones de radio en A y el punto B, St. Jones, que está en la costa a 200 km al sur de A. El barco recibe la señal de A 500 microsegundos (μs) antes de los que recibe la señal de B. Suponga que la velocidad de las señales de radio es 300 m/μs. ¿A qué distancia de la costa está el barco?

712 CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Solución La figura 9.6.29 presenta un diagrama de la situación. La diferencia entre las distancias al barco en S desde A y B es

Y 3

X

! 

"ARCO

X

 

" 

j3"j j3!j H 
 H ;

metros; es decir, 150 km. De esta forma (deduciéndolo a partir del problema 88), el barco está en una hipérbola con focos A y B, con 2a = |SB| − |SA|. De la figura 9.6.29 se deduce que c = 100, de manera que a =  · 150 = 75, y así p B H C A  H   H  : En el sistema de coordenadas de la figura 9.6.29, la hipérbola tiene ecuación

#OSTA

X Y H :  


FIGURA 9.6.29 Un problema de navegación (ejemplo 11).

Se sustituye y = 100 porque el barco está al este de A. De este modo, se encuentra que  : KM Z la distancia del barco a la costa es X H  

Cónicas en coordenadas polares Y

$IRECTRIZ P

1

0 Q

R Q X

/

#˜NICA

Con el fin de investigar las órbitas de satélites —como planetas o cometas que se mueven en órbitas alrededor del Sol o lunas naturales o artificiales que se mueven en órbitas de un planeta— se necesitan las ecuaciones de las secciones cónicas en coordenadas polares. Además, encontramos que las tres secciones cónicas tienen la misma ecuación general en coordenadas polares. Para obtener la ecuación polar de una sección cónica, suponga que su foco es el origen O y que su directriz es la recta vertical x = −p (con p > 0). En la notación de la figura 9.6.30, el hecho de que |OP| = e|PQ| nos hace suponer que r = e(p + r cos θ ). La solución a esta ecuación despejando r lleva a

X P

FIGURA 9.6.30 Una sección cónica: |OP| = e|PQ|.

RH

PE :  E COS 

Si la directriz es la recta vertical x = +p > 0 a la derecha del origen, entonces un cálculo similar da el mismo resultado, excepto con un cambio de signo en el denominador.

Ecuación en coordenadas polares de una sección cónica La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e, foco O y directriz x = ± p es PE :  RH   E COS  R

R

FIGURA 9.6.31 Radio máximo PE y radio mínimo E PE de la elipse. R H CE

R H

La figura 9.6.31 muestra una elipse con concentricidad e < 1 y directriz x = −p. Sus vértices corresponden a θ = 0 y θ = π, cuando los valores máximos y mínimos de los radios r0 y r1 ocurren. Se deduce por tanto que el largo 2a en su eje mayor es A H R C R H

PE  PE PE C H : E CE  E

La multiplicación cruzada proporciona la relación PE H A. E /;



y sustituyendo en (28) se obtiene la ecuación RH

A. E /   E COS 

de una elipse con excentricidad e y semieje mayor a.



SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

713

Bosqueje la gráfica de la ecuación

EJEMPLO 12

RH

 :   COS 

Solución Primero dividimos el numerador y denominador entre 5 y encontramos que Y

  

/

R

 

  COS Q

  X

RH

Entonces E H

 

Y PE H

  La 

:

ecuación (29) implica que a = 5. Por último, c = ae = 3 y BH

FIGURA 9.6.32 Elipse del ejemplo 12.



   COS  

A  C H :

De manera que tenemos una elipse con semieje mayor a = 5, semieje menor b = 4 y centro en (3, 0) en coordenadas cartesianas. La elipse se muestra en la figura 9.6.32. Z OBSERVACIÓN 1 La forma de límite de la ecuación (30) cuando e → 0 es la ecuación r = a de una circunferencia. Dado que p → ∞ cuando e → 0 con a fija en la ecuación (29), se puede entender cualquier circunferencia como una elipse con excentricidad cero y directriz en infinito. OBSERVACIÓN 2 Si comenzamos con una elipse con excentricidad e < 1 y directriz x = −p, entonces la forma de límite de la ecuación (30) cuando e → 1− es la ecuación P  RH  COS 

de una parábola. Por ejemplo, la figura 9.6.33 muestra una parábola y una elipse de excentricidad e = 0.99, ambas con directriz p = −1. Observe que las dos curvas parecen casi coincidir cerca del origen donde 30° < θ < 330°. Este tipo de aproximación de una elipse por una parábola es útil al estudiar los cometas con órbitas elípticas de alta excentricidad. Y

X

FIGURA 9.6.33 La parábola R H

:   y la elipse R H  : COS   COS 

EJEMPLO 13 Se sabe que cierto cometa tiene una órbita elíptica altamente excéntrica con el Sol en un foco. Dos observaciones sucesivas al acercarse el cometa al Sol dieron las medidas r = 6 UA cuando θ = 60° y r = 2 UA cuando θ = 90° (relativo a un sistema de coordenadas polares fijo). Estime la posición del cometa en su punto más cercano al Sol.

Solución Como la órbita elíptica es altamente excéntrica, se supone que cerca del Sol se puede aproximar bien por una parábola. Se desconoce el ángulo θ = α del eje, pero un bosquejo preliminar indica que α será menor que el ángulo inicial de observación; así 0 < α < πy3. Usando el sistema de coordenadas polares con este eje polar desconocido y la variable angular φ = θ − α (figura 9.6.34), la ecuación en (31) de la parábola toma la forma P P H :  RH  COS   COS. /

714 CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

Y

El vértice de una parábola es su punto más cercano a su foco (problema 65), por lo que la distancia mínima del cometa al Sol será r = py2 cuando θ = π + α. Nuestro problema, entonces, es determinar los valores de p y α. Al sustituir los datos observados en la ecuación (32) se llega a las dos ecuaciones P P Y H :  H  COS.= /  COS.= /

#OMETA

,AELIMINACI˜NDEPPROPORCIONA F

  COS

A

3OL

FIGURA 9.6.34 Cometa del ejemplo 13.

X

   H   COS  I  

p    COS  C SEN  H   SEN :   0ORLOTANTO NECESITAMOSRESOLVERLA¢NICAECUACI˜N p  COS  C    SEN   H :

Una calculadora o computadora ofrece la raíz aproximada α = 0.3956 ≈ 22.67°. Así, la segunda ecuación en (33) proporciona p = 2(1 − sen α) ≈ 1.2293 (UA). Como 1 unidad astronómica es alrededor de 93 millones de millas, lo más cerca del Sol que llega el Z cometa es alrededor de  p = (0.5)(1.2293)(93) ≈ 57.16 millones de millas.

9.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. En esta sección, una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos en el plano equidistantes a un punto fijo F y a una recta fija L que no contiene a F. 2. Si una parábola tiene foco F ( p, 0) y directriz la recta vertical x = −p (donde p > 0), entonces su ecuación es y2 = 4 p x. 3. Los rayos de luz entrantes paralelos al eje x de un espejo parabólico se reflejarán de manera que todos pasan por su foco. 4. En esta sección aparece la siguiente definición: suponga que e < 1, y sea F un punto fijo y L una recta fija que no contiene a F. De esta forma, la elipse con excentricidad e, foco F y directriz L es el conjunto de todos los puntos P tales que la distancia |PF| es e veces la distancia (perpendicular) de P a L. 5. Si F es el punto (c, 0) y L es la recta vertical x = cye2, entonces la elipse con foco F y directriz L tiene por ecuación y2 x2 + =1 a2 b2

donde a = cye y b2 = a2 − c2. 6. La ecuación (13) implica que una elipse de excentricidad cero es una circunferencia. 7. Una hipérbola se define de la misma manera que una elipse, excepto que la excentricidad e de una hipérbola es mayor que 1. 8. La hipérbola con foco F (c, 0) y directriz la recta vertical x = cye 2 tiene ecuación y2 x2 − =1 a2 b2

donde a = cye y b2 = c2 − a2. 9. La hipérbola con la ecuación de la pregunta 8 tiene dos asíntotas con ecuaciones y = bxya y y = −bxya. 10. Si comenzamos con una elipse que tiene excentricidad e < 1 y directriz x = −p, entonces, la forma de límite de su ecuación polar cuando e → 1− es la ecuación de una parábola.

SECCIÓN 9.6

Secciones cónicas y aplicaciones

715

9.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Resuma las definiciones y construcciones alternativas de la parábola, la elipse y la hipérbola. 2. Compare las propiedades de reflexión de los tres tipos de secciones cónicas. 3. Resuma las aplicaciones de las secciones cónicas. Tal vez desee consultar una enciclopedia o investigar en Internet.

9.6 PROBLEMAS En los problemas 1 a 5, encuentre la ecuación y bosqueje la gráfica de la parábola con vértice V y foco F. 1. V (0, 0), F(3, 0)

32. Foco (−3, 0) y (−3, 4), eje menor 6 33. Foco (−2, 2) y (4, 2) excentricidad 

2. V (0, 0), F(0, −2)

Bosqueje las gráficas de las ecuaciones en los problemas 34 a 38. Indique centros, foco y longitudes de los ejes.

3. V (2, 3), F(2, 1)

 X  C Y  H 

4. V (−1, −1), F(−3, −1)

 X  C Y  H 

5. V (2, 3), F(0, 3)

 X  C X  H X

En los problemas 6 a 10, encuentre la ecuación y bosqueje la gráfica de la parábola con el foco y la directriz dados. 6. F(1, 2), x = −1 7. F(0, −3), y = 0 8. F(1, −1), x = 3 9. F(0, 0), y = −2 10. F(−2, 1), x = −4

En los problemas 11 a 18, bosqueje la parábola con las ecuaciones dadas. Muestre y etiquete su vértice, foco, ejes y directriz. 11. y 2 = 12x 12. x 2 = −8y 13. y 2 = −6x 14. x 2 = 7y 15. x 2 − 4x − 4y = 0 16. y 2 − 2x + 6y + 15 = 0 17. 4x 2 + 4x + 4y + 13 = 0 18. 4y 2 − 12y + 9x = 0

En los problemas 19 a 33, encuentre una ecuación de la elipse especificada. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Vértices (±4, 0) y (0, ±5) Foco (±5, 0) semieje mayor 13 Foco (0, ±8), semieje mayor 17 Centro (0, 0), eje mayor vertical 12, eje menor 8 Foco (±3, 0), excentricidad  Foco (0, ±4), excentricidad  Centro (0, 0), eje mayor horizontal 20, excentricidad  Centro (0, 0), eje menor horizontal 10, excentricidad  Foco (±2, 0), directrices x = ±8 Foco (0, ±4), directrices y = ±9 Centro (2, 3), eje horizontal 8, eje vertical 4 Centro (1, −2), eje mayor horizontal 8, excentricidad  Foco (−2, 1) y (4, 1), eje mayor 10

 X  C Y  Y C  H   X  C Y  C X Y C  H 

En los problemas 39 a 52, encuentre una ecuación de la hipérbola descrita. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

Foco (±4, 0), vértices (±1, 0) Foco (0, ±3), vértices (0, ±2) Foco (±5, 0), asíntotas y = ±3xy4 Vértices (±3, 0), asíntotas y = ±3xy4 Vértices (0, ±5), asíntotas y = ±x Vértices (±3, 0), excentricidad E H  Foco (0, ±6), excentricidad e = 2 Vértices (±4, 0) y pasa por (8, 3) Foco (±4, 0), directrices x = ±1 Foco (0, ±9), directrices y = ±4 Centro (2, 2), eje transversal horizontal de longitud 6, excentricidad e = 2 50. Centro (−1, 3), vértices (−4, 3) y (2, 3), foco (−6, 3) y (4, 3) 51. Centro (1, −2), vértices (1, 1) y (1, −5), asíntotas 3x − 2y = 7 y 3x + 2y = −1 52. Foco (8, −1), asíntotas 3x − 4y = 13 y 3x + 4y = 5 Bosqueje las gráficas de las ecuaciones dadas en los problemas 53 a 58; indique centros, focos y asíntotas. 53. x 2 − y 2 − 2x + 4y = 4 54. x 2 − 2y 2 + 4x = 0 55. y 2 − 3x 2 − 6y = 0 56. x 2 − y 2 − 2x + 6y = 9 57. 9x 2 − 4y 2 + 18x + 8y = 31 58. 4y 2 − 9x 2 − 18x − 8y = 41

En cada uno de los problemas 59 a 64, identifique y bosqueje la sección cónica con la ecuación polar dada. 6 6 59. r = 60. r = 1 + cos θ 1 + 2 cos θ

716 CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

  COS    R H  SEN 

   COS    R H  C  COS 

 R H

 R H

65. Pruebe que el punto de la parábola y2 = 4p x más cercano a su foco es su vértice. 66. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene un eje vertical y pasa por los puntos (2, 3), (4, 3) y (6, −5). 67. Demuestre que una ecuación de la recta tangente a la parábola y2 = 4p x en el punto ( x 0, y0) es 2 px − y0 y + 2 px0 = 0.

Concluya que la recta tangente interseca al eje x en el punto (−x 0, 0). Este hecho proporciona un método rápido para construir una recta tangente a una parábola en un punto dado. 68. La órbita de un cometa es unapparábola con el Sol en su foco. Cuando el cometa está a   millones de millas del Sol, la recta del Sol al cometa hace un ángulo de 45° con el eje de la parábola (figura 9.6.35). ¿Cuál será la distancia mínima entre el cometa y el Sol? [Sugerencia: escriba la ecuación de la parábola con el origen en el foco, luego use el resultado del problema 65.] # #OMETA

3



3OL

75. El libro Elements of Differencial and Integral Calculus de William Granville, Percey Smith y William Longley (Ginn and Company: Boston, 1929) ofrece una lista p depvariasp“curvas de referencia”; la curva con ecuación X C Y H A se llama parábola. Verifique que la curva en cuestión de hecho es una parábola, o demuestre que no lo es. 76. La edición de 1992 de la guía de estudio para el examen nacional actuarial tiene un problema similar al siguiente: todo punto en la curva plana K es equidistante del punto (−1, −1) y la recta x + y = 1 y K tiene ecuación x 2 + Bx y + C y 2 + Dx + E y + F = 0.

¿Cuál es el valor de D : −2, 2, 4, 6 u 8? 77. a) La órbita del cometa Kahoutek es una elipse de excentricidad extrema e = 0.999925; el Sol está en uno de los focos de esta elipse. La distancia mínima entre el Sol y Kahoutek es 0.13 ua. ¿Cuál es la distancia máxima entre Kahoutek y el Sol? b) La órbita del cometa Hyakutake es una elipse de excentricidad extrema e = 0.999643856; el Sol está en uno de sus focos. La distancia mínima entre el Sol y Hyakutake es 0.2300232 ua. ¿Cuál es la distancia máxima entre Hyakutake y el Sol? 78. La órbita del planeta Mercurio es una elipse de excentricidad e = 0.206. Sus distancias máxima y mínima del sol son 0.467 y 0.307 ua, respectivamente. ¿Cuáles son los semiejes mayor y menor de la órbita de Mercurio? ¿La expresión “casi circular” describe con exactitud la órbita de Mercurio? 79. Deduzca la ecuación (16) para una elipse cuyos focos están en el eje y. 80. Demuestre que la recta tangente a la elipse x2 y2 + 2 =1 2 a b

en el punto P ( x 0, y0) de la elipse tiene ecuación FIGURA 9.6.35 Cometa del problema 68 en una órbita parabólica alrededor del Sol.

69. Suponga que el ángulo del problema 68 aumenta de 45° a 90° en 3 días. ¿Cuánto tiempo más se requerirá para que el cometa llegue a su punto más cercano al Sol? Suponga que el segmento de recta del Sol al cometa barre el área a una velocidad constante (segunda ley de Kepler). 70. Use las ecuaciones (7) y (8) para deducir la ecuación (9) con los valores M y R dados en las ecuaciones (10) y (11). 71. Deduzca de la ecuación (11) que, dada una velocidad inicial fija v0, el rango máximo del proyectil es 2MÖX H G =G y se logra cuando α = 45°. En los problemas 72 a 74, suponga que se dispara un proyectil con velocidad inicial v0 = 50 m/s desde el origen y a un ángulo de inclinación α. Use g = 9.8 m/s2. 72. Si α = 45°, encuentre el rango del proyectil y la altura máxima que logra. 73. Para qué valor o valores de α es el rango R = 125 m? 74. Encuentre el rango del proyectil y el tiempo que permanece arriba del suelo si a) α = 30°; b) α = 60°.

Y Y X X C  H :  A B

81. Use el resultado del problema 80 para establecer las propiedades de reflexión de la elipse. [Sugerencia: sea m la pendiente de la recta normal a la elipse en P ( x 0, y0) y sean m1 y m2 las pendientes de las rectas PF1 y PF2, respectivamente, de P a los dos focos F1 y F2 de la elipse. Demuestre que m2 − m m − m1 = ; 1 + m1m 1 + m2m

después use la identidad para tan(A − B).] 82. Dados F1(−c, 0) y F2(c, 0) con a > c > 0, pruebe que la elipse x2 y2 + 2 =1 2 a b

(con b2 = a2 − c2) es el lugar geométrico de los puntos P tales que |PF1| + |PF2| = 2a. 83. Encuentre la ecuación de la elipse con ejes horizontal y vertical y que pasa por los puntos (−1, 0), (3, 0), (0, 2) y (0, −2). 84. Deduzca una ecuación para la elipse con focos (3, −3) y (−3, 3) y eje mayor de longitud 10. Note que los focos de esta elipse están en una recta que no es vertical ni horizontal.

Capítulo 9

85. Demuestre que la gráfica de la ecuación 2

2

x y − =1 15 − c c − 6 es a) una hipérbola con focos (±3, 0) si 6 < c < 15 y b) una elipse si c < 6. c) Identifique la gráfica en el caso c > 15. 86. Establezca que la recta tangente a la hipérbola x2 y2 − 2 =1 2 a b en el punto P ( x 0, y0) tiene ecuación x0 x y0 y − 2 = 1. 2 a b 87. Use el resultado del problema 86 para establecer la propiedad de reflexión de la hipérbola. (Vea la sugerencia del problema 81.) √ 88. Suponga que 0 < a < c, y sea b = c2 − a 2 . Demuestre que la hipérbola x 2ya2 − y2yb2 = 1 es el lugar geométrico de un punto P tal que la diferencia entre las distancias |PF1| y |PF2| es igual a 2a (F1 y F2 son los focos de la hipérbola). 89. p Obtenga p una ecuación para la hipérbola con vértices (±3y ; = / y focos (±5, ±5). Use la definición de diferencia de una hipérbola implicada en el problema 88. 90. Dos estaciones de señales de radio A y B están en una línea este-oeste, donde A está 100 millas al oeste de B. Un avión vuela al oeste en una línea 50 millas al norte de la línea AB. Se envían señales de radio (viajando a 980 ft/μs) al mismo tiempo desde A y B y la enviada desde B lleva al avión 400 μs antes que la enviada desde A. ¿En dónde está el avión? 91. Dos estaciones de señales de radio se localizan igual que en el problema 90 y trasmiten señales que viajan a la misma velocidad. Pero ahora sólo sabemos que el avión está en algún

92.

93.

94.

95.

96.

Repaso

717

lugar al norte de la línea AB, que la señal desde B llega 400 μs antes que la enviada desde A, y que la señal desde A y reflejada por el avión tarda un total de 600 μs en llegar a B. ¿Dónde está el avión? Un cometa tiene órbita parabólica con el Sol en un foco. Cuando el cometa está a 150 millones de millas del Sol, la línea Sol-cometa forma un ángulo de 45° con el eje de la parábola. ¿Cuál será la distancia mínima entre el cometa y el Sol? Un satélite tiene un órbita elíptica con el centro de la Tierra (tome su radio como 4000 millas) en un foco. El punto más bajo de su órbita está 500 millas por encima del polo norte, y el más alto, 5000 millas por encima del polo sur. ¿Cuál es la altura del satélite sobre la superficie terrestre cuando cruza el plano del ecuador? Encuentre el acercamiento más cercano al Sol del cometa del ejemplo 13 de esta sección; suponga que r = 2.5 ua cuando θ = 45° y r = 1 ua cuando θ = 90°. Una elipse tiene semieje mayor a y semieje menor b. Use la ecuación en coordenadas polares de una elipse para obtener la fórmula A = πab para esta área. La órbita de cierto cometa que se acerca al Sol es la parábola r=

1 . 1 − cos θ

Las unidades de r están en unidades astronómicas. Suponga que el cometa tarda 15 días en viajar de la posición θ = 60° a la posición θ = 90° ¿Cuánto tiempo más requerirá para llegar a su punto más cercano al Sol? Suponga que el radio del Sol al cometa barre el área a una tasa constante mientras el cometa se mueve (segunda ley del movimiento de Kepler).

CAPÍTULO 9: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y fórmulas Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos, definiciones y fórmulas del capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 9.1 Parábola, elipse e hipérbola como secciones planas de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 Excentricidad y focos de una sección cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 9.2 Coordenadas polares en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 Conversión entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 666 Ecuaciones de curvas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 9.3 Cálculo de áreas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674-676 9.4 Curvas planas paramétricas, ecuaciones paramétricas yparametrización . . . . . . . . . . . . 680 La cicloide x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 Y .T/ DY H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 Rectas tangentes a curvas paramétricas DX X .T/ 9.5 Cálculo de área, volumen, longitud de arco y superficie paramétricas . . . . . . . . . . . . . . 690-691 Coordenadas polares paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 9.6 Definición foco-directriz de una parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 Definición foco-directriz de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Definición foco-directriz de una hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Cónicas en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

718 CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

CAPÍTULO 9: REPASO (continuación) Resumen breve de las propiedades de secciones cónicas

La parábola con foco ( p, 0) y directriz x = −p tiene excentricidad e = 1 y ecuación y 2 = 4p x. La tabla compara las propiedades de una elipse y una hipérbola, cada una con focos (±c, 0) y eje mayor de longitud 2a. %LIPSE

(IP£RBOLA

C  A

%XCENTRICIDAD

Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 9.1 Escribir la ecuación de recta descrita geométricamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Reconocer una circunferencia a partir de su ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Escribir la ecuación de la circunferencia especificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Escribir la ecuación de un lugar geométrico descrito en una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 27, 29 9.2 Conversión entre ecuaciones rectangulares y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 11, 13, 29, 31 Escribir ecuaciones rectangulares y polares de curvas geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 25 Dibujar la gráfica de una ecuación polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 43, 47 Encontrar los puntos de intersección de dos curvas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.3 Encontrar el área acotada por una curva polar dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 15 Encontrar el área de una región acotada por dos curvas polares dadas . . . . . . . . . . . . . . 25, 29, 35 9.4 Bosquejar curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 13 Encontrar rectas tangentes a curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 19, 25 9.5 Encontrar áreas acotadas por curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Encontrar longitudes de arco de curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13 Encontrar volúmenes y áreas de superficie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 19, 23, 25 9.6 Escribir una ecuación de una parábola descrita geométricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Escribir una ecuación de una elipse descrita geométricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 29 Escribir una ecuación de una hipérbola descrita geométricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 41, 45 Dibujar la gráfica de una sección cónica dada su ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 37, 57 Identificar la sección cónica dada su ecuación polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 63

PROBLEMAS DIVERSOS Bosqueje las gráficas de las ecuaciones en los problemas 1 a 30. En los problemas 1 a 18 si la gráfica es una sección cónica, etiquete su centro, focos y vértices. 1. x 2 + y 2 − 2x − 2y = 2

2. x 2 + y 2 = x + y

3. x + y − 6x + 2y + 9 = 0

4. y = 4(x + y)

2

2

5. x 2 = 8x − 2y − 20

2

6. x 2 + 2y 2 − 2x + 8y + 8 = 0 7. 9x 2 + 4y 2 = 36x 8. x 2 − y 2 = 2x − 2y − 1 9. y 2 − 2x 2 = 4x + 2y + 3 10. 9y 2 − 4x 2 = 8x + 18y + 31 11. x 2 + 2y 2 = 4x + 4y − 12

Capítulo 9

 R H SEN  .=/

 Y  Y C X C  H  



 .X X C / H .Y C /  .X  /.Y  / H   X  X C Y  Y C  H   .X / C .Y / H   .X  X C Y  Y C /.X C Y/ H   X H Y  C Y C 

 R SEN   H COS 

 R H  COS    R H SEN  C COS   R H  CSC 

 R H .COS  /

 R  H  COS 

 R  H 

 R H   SEN    R H  C COS 

 COS  C SEN  H 

  R H  C COS    R H   COS 

En los problemas 31 a 38, encuentre el área de la región descrita. 31. Dentro de ambas, r = 2 sen θ y r = 2 cos θ 32. Dentro de r 2 = 4 cos θ 33. Dentro de r = 3 − 2 sen θ y fuera de r = 4 34. Dentro de r 2 = 2 sen 2θ y fuera de r = 2 sen θ p 35. Dentro de r = 2 sen 2θ y fuera de R H  36. Dentro de r = 3 cos θ y fuera de r = 1 + cos θ 37. Dentro de r = 1 + cos θ y fuera de r = cos θ 38. Entre los lazos de r = 1 − 2 sen θ En los problemas 39 a 43, elimine el parámetro y bosqueje la curva.  X H T   Y H T  C   X H COSH T Y H SENH T  X H  C COS T Y H  SEN T  X H COS T 

 X H  C T

YHT

Y H SEN  T

 X H  SEN T Y H  COS T T

 X H E

YHE 

 R H  

 H =

 R H  C SEN 

T H =

T H

 H =

En los problemas 49 a 52, encuentre el área de la región entre la curva dada y el eje x.  X H T C  Y H T  C   T   X H ET

Y H ET 

 T



 X H  SEN T Y H  COS T

 T

=

 X H COSH T

 T



Y H SENH T

En los problemas 53 a 57, encuentre la longitud de arco de la curva dada.  X H T  Y H T    T   X H LN.COS T/

Y H T   X H T Y H T C  T  R H SEN     

 T

=

 T





En los problemas 58 a 62, encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva dada alrededor del eje x.  X H T  C  Y H T  T  p T  C   T   X H  T Y H  T  R H COS   R H E=      X H ET COS T Y H ET SEN T  T = 63. Considere el círculo rodante de radio a que se usó para generar la cicloide del ejemplo 5 de la sección 9.4. Suponga que este círculo es el borde de un disco y sea Q un punto en este disco a una distancia b < a del centro. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva trazada por Q cuando el círculo rueda por eje x. Suponga que Q comienza en el punto (0, a − b). Dibuje esa curva, llamada trocoide. 64. Si el círculo más pequeño del problema 34 de la sección 9.4 rueda alrededor del exterior del círculo más grande, la trayectoria del punto P se llama epicicloide. Demuestre que tiene ecuaciones paramétricas X H .A C B/ COS T B COS Y H .A C B/ SEN T B SEN

ACB T ; B ACB T : B

65. Suponga que b = a en el problema 64. Demuestre que la epicicloide es entonces la cardioide r = 2a(1 − cos θ) trasladada a unidades a la derecha. 66. Encuentre el área de la superficie generada por la lemniscata r 2 = 2a2 cos 2 θ al rotar alrededor del eje x. 67. Encuentre el volumen generado al rotar alrededor del eje y el área bajo la cicloide. X H A.T SEN T/;



En los problemas 44 a 48, escriba una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.  X H T  Y H T   T H  T

 

Problemas diversos 719

Y H A. COS T/;

 T

:

68. Demuestre que la longitud de un arco de la hipocicloide del problema 34 de la sección 9.4 es s = 8b(a − b)ya. 69. Encuentre una ecuación en coordenadas polares de la circunferencia que pasa por el origen y tiene centro en el punto con coordenadas polares (p, α). 70. Encuentre una ecuación simple de la parábola cuyo foco es el origen y cuya directriz es la recta y = x + 4. Recuerde del problema diverso 93 del capítulo 3 que la distancia de un punto ( x 0, y0) a la recta con ecuación Ax + By + C = 0 es |A x0 + By0 + C| . √ A2 + B 2

71. Un diámetro de una elipse es una cuerda que pasa por su centro. Encuentre las longitudes máxima y mínima de los diámetros de la elipse con ecuación x2 y2 + 2 = 1. 2 a b 72. Use cálculo para probar que la elipse del problema 71 es normal a los ejes coordenados en cada uno de sus cuatro vértices. 73. El arco parabólico de un puente tiene ancho de la base b y altura h en su centro. Escriba esta ecuación, eligiendo el origen en el suelo en el extremo izquierdo del arco.

720

CAPÍTULO 9

Coordenadas polares y curvas paramétricas

74. Use los métodos de cálculo para encontrar los puntos de la elipse y2 x2 + 2 =1 2 a b más cercanos y más lejanos a) al centro (0, 0); b) al foco (c, 0). 75. Considere un segmento de recta QR que contiene el punto P tal que |QP| = a y |PR| = b. Suponga que Q se restringe a moverse en el eje y, mientras que R debe permanecer en el eje x. Demuestre que el lugar geométrico de P es una elipse. 76. Suponga que a > 0 y que F1 y F2 son dos puntos fijos en el plano con |F1F2| > 2a. Imagine un punto P que se mueve de tal manera que |PF2| = 2a + |PF1|. Demuestre que el lugar geométrico de P es una rama de una hipérbola con focos F1 y F2. Luego —como consecuencia— explique cómo construir puntos en una hipérbola dibujando circunferencias apropiadas centradas en sus focos. 77. Sean Q1 y Q2 dos puntos en la parábola y2 = 4px. Sea P el punto de la parábola en el que la recta tangente es paralela a Q1Q2. Pruebe que la recta horizontal que pasa por P bisecta al segmento Q1Q2. 78. Determine el lugar geométrico de un punto P al que el producto de sus distancias a dos puntos fijos F1(−a, 0) y F2(a, 0) es a2. 79. Encuentre la excentricidad de la sección cónica con ecuación 3x 2 − y2 + 12x + 9 = 0. 80. Encuentre el área acotada por el lazo de la estrofoide r = sec θ − 2 cos θ mostrado en la figura 9.PD.1.

Y     

X XY !S¤NTOTA

FIGURA 9.PD.1 Estrofoide del problema 80.

XYXY

FIGURA 9.PD.2 Folio de Descartes x 3 + y3 = 3x y (problema 81).

81. Encuentre el área acotada por el lazo del folio de Descartes con ecuación x 3 + y3 = 3x y mostrado en la figura 9.PD.2. (Sugerencia: cambie a coordenadas polares y luego sustituya u = tan θ para evaluar la integral del área.) 82. Use el método del problema 81 para encontrar el área acotada por el lazo en el primer cuadrante de la curva x 5 + y5 = 5x 2y2 (similar al folio del problema 81). 83. La gráfica de una sección cónica en el plano x y tiene intercepciones en (5, 0), (−5, 0), (0, 4) y (0, −4). Deduzca toda la información que pueda acerca de esta cónica. ¿Puede determinar si es una parábola, una hipérbola o una elipse? ¿Qué pasa si también sabe que la gráfica de esta cónica es normal al eje y en el punto (0, 4)?

Series infinitas

E

n un día frío de enero de 1913, el eminente matemático de Cambridge, el profesor G. H. Hardy, recibió una carta de un asistente de 25 años del departamento de contabilidad en una oficina de gobierno en Madras, India. Su autor, Srinivasa Ramanujan, que no tenía educación universitaria, quien admitió haber reprobado, relataba que “después de dejar la escuela Srinivasa Ramanujan he dedicado todo el tiempo (1887-1920) libre del que he dispuesto a trabajar en matemáticas. . . No recorrí el curso convencional normal. . . pero estoy forjando un nuevo camino para mí mismo”. Después seguían diez páginas que contenían, en una escritura impecable, alrededor de 50 fórmulas; la mayoría eran integrales y series infinitas que Ramanujan había descubierto y pedía a Hardy consejo respecto a si tenían algún valor. Las fórmulas eran de una apariencia tan exótica y poco probable que Hardy al principio sospechó un engaño, pero él y su colega J. E. Littlewood pronto se dieron cuenta de que estaban viendo el trabajo de un extraordinario genio matemático. Así comenzó uno de los episodios más románticos en la historia de las matemáticas. En abril de 1914, Ramanujan llegó a Inglaterra, siendo un matemático autodidacta, pobre y amateur llamado a colaborar como un igual con los matemáticos profesionales más reconocidos de la época. Durante los tres años siguientes fluyó de su pluma un raudal de descubrimientos extraordinarios. Pero en 1917 cayó seriamente enfermo, en apariencia de tuberculosis. Al año siguiente regresó a India para intentar recuperar su salud, cosa que nunca ocurrió y murió en 1920 a la edad de 32 años. Hasta el final de su vida trabajó febrilmente para registrar sus últimos descubrimientos. Dejó cuadernos en donde describía trabajos cuya terminación ocupó a matemáticos prominentes durante todo el siglo xx. Con la posible excepción de Euler, nadie antes o desde entonces ha exhibido el virtuosismo de Ramanujan

10 con las series infinitas. Un ejemplo de sus descubrimientos es la serie infinita p 1  .N/W . C N/  H
;   NH .NW/ N cuyo primer término lleva a la conocida aproximación π ≈ 3.14159, y cada término adicional da a π cerca de ocho cifras decimales más de exactitud. Por ejemplo, sólo se necesitan cuatro términos de la serie de Ramanujan para calcular la aproximación con 30 decimales   :      que es suficiente para casi cualquier aplicación “práctica” imaginable; si el universo fuera una esfera con un radio de 10 mil millones de años luz, este valor de π daría a su circunferencia una exactitud al centésimo más cercano de una pulgada. Pero en años recientes las ideas de Ramanujan se han usado para calcular el valor de π con precisión de mil millones de decimales. Sin duda, esos cálculos colosales de π se usan para verificar la precisión de las nuevas supercomputadoras.

Una página típica de la carta de Ramanujan a Hardy, enumerando fórmulas que el primero había descubierto, pero sin pistas para probarlas o derivarlas.

721

722

CAPÍTULO 10

Series infinitas

10.1 INTRODUCCIÓN

   

 

 



En el siglo v a.C., el filósofo griego Zenon propuso la siguiente paradoja: para que un corredor recorra una distancia dada, debe primero recorrer la mitad del camino, después la mitad de la distancia que le queda, después la mitad de la distancia que le queda, y así ad infinitum. Pero, afirmaba Zenon, es claramente imposible que el corredor logre un número infinito de estos recorridos en un periodo finito, de manera que el movimiento de un punto a otro es imposible. La paradoja de Zenon sugiere la subdivisión infinita de [0, 1] indicada en la figura 10.1.1. Existe un subintervalo de longitud 1/2n para cada entero n  1, 2, 3, . . . Si la longitud del subintervalo es la suma de las longitudes de los subintervalos en los que está dividido, entonces parecería que



FIGURA 10.1.1 Subdivisión de un intervalo para ilustrar la paradoja de Zenon.

H

     C C C C


C N C


;     

con un número infinito de términos que de alguna manera suman 1. Pero la suma infinita formal  C  C  C


C N C




de todos los enteros positivos parece no tener sentido, y no parece que la suma sea algún valor (finito). La pregunta es: ¿Qué quiere decir la suma de una colección infinita de números? Este capítulo explora las condiciones en las cuales una suma infinita A C A C A C


C AN C


;

conocida como serie infinita, tiene sentido. Se estudian métodos para calcular la suma de una serie infinita y las aplicaciones del álgebra y el cálculo de series infinitas, que son importantes en ciencias y matemáticas porque muchas funciones surgen de la manera más natural en la forma de series infinitas, o bien tienen representaciones de series infinitas (como la serie de Taylor de la sección 10.4) que son útiles para cálculos numéricos.

10.2 SUCESIONES INFINITAS Una sucesión infinita de números reales es una lista ordenada, sin fin A ; A ; A ; A ; : : : ; AN ; ANC ; : : :



de números. Que esta lista esté ordenada implica que tiene un primer término a1, un segundo término a2, un tercero a3 y así sucesivamente. Que la sucesión no termine, o sea infinita, implica que (para toda n) el n-ésimo término an tiene un sucesor an+1. Por lo tanto, como se indica por los tres puntos suspensivos al final de (1), una sucesión infinita nunca termina y —a pesar de que escribimos explícitamente sólo un número finito de términos— en realidad tiene un número infinito de términos. La notación concisa para la sucesión infinita en (1) es fAN g1 NH ;

fAN g1  ;

OSIMPLEMENTE fAN g



Con frecuencia una sucesión infinita {an} de números se puede describir “toda completa” mediante una sola función f que proporciona los términos consecutivos de la sucesión como valores ordenados de una función: AN H F .N/

PARA N H ; ; ; : : : :



Así, an  f (n) es simplemente una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión. Inversamente, si la sucesión {an} está dada de antemano, podemos ver (3) como la definición de la función f que tiene el conjunto de enteros positivos como su dominio de definición. En general, usaremos la notación de subíndices an más que la notación de función f (n).

SECCIÓN 10.2

Sucesiones infinitas 723

EJEMPLO 1 La siguiente tabla muestra varias sucesiones infinitas. Cada una se describe de tres maneras: en la notación concisa {an} de (2), escribiendo la fórmula como en (3) para su n-ésimo término y en la notación de lista extendida como en (1). Observe que n no necesita comenzar con el valor inicial 1.  N

1

AN H 

 1 N  p N  SEN C

N 

    ; ; ; ;


; ;


   N

 N

 N p AN H N  AN H

1  1

AN H SEN

 N 1 ./ 

N 

    ; ; ;


; N


    p p p p p ; ; ; ; : : : ; N ; : : : ;

; ; ; ; : : : ; SEN

AN H  C ./N

N ;::: 

; ; ; ; : : : ;  C ./N ; : : :

Z

Algunas veces es inconveniente o imposible proporcionar una fórmula explícita para el n-ésimo término de una sucesión dada. El siguiente ejemplo ilustra cómo pueden definirse estas sucesiones de otra manera. EJEMPLO 2

Proporcionamos aquí los diez primeros términos de cada sucesión.

a) La sucesión de enteros primos (los enteros positivos n que tiene precisamente dos divisores, 1 y n con n > 1): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . b) La sucesión cuyo n-ésimo término es el n-ésimo dígito decimal del conocido número π  3.14159265358979323846. . . : 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, . . . c) La sucesión de Fibonacci {Fn}, que se puede definir por & H ;

& H ;

Y

&NC H &N C &N

PARA N

:

Así, cada término después del segundo es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Éste es un ejemplo de una sucesión definida como recursiva, en la que cada término (después de unos cuantos) está dada por una fórmula que incluye a sus predecesores. El matemático italiano del siglo xiii, Fibonacci, propuso la siguiente pregunta: si comenzamos con un solo par de conejos que tengan a un nuevo par después de dos meses, ya que cada nuevo par hace lo mismo, ¿cuántos pares de conejos tendremos después de n meses? Vea los problemas 55 y 56. d) Si la cantidad A0  100 dólares se invierte en una cuenta de ahorros que proporciona 10% de interés compuesto cada año, entonces la cantidad An en la cuenta al final de n años está definida (para n 1) por la fórmula iterativa An  (1.10)An−1 (redondeada al centavo más cercano) en términos de la cantidad anterior: 110.00, 121.00, 133.10, 146.41, 161.05, 177.16, 194.87, 214.36, 235.79,259.37, . . .

Z

724

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Límites de sucesiones El límite de una sucesión se define casi de la misma manera que el límite de una función normal (sección 2.2).

DEFINICIÓN Límite de una sucesión Decimos que la sucesión {an} converge al número real L, o tiene el límite L, y escribimos L¤M AN H , ;



N!1

siempre que an se pueda aproximar a L cuanto queramos con sólo elegir n suficientemente grande. Es decir, dado cualquier número  > 0, existe un entero N tal que |an − L| < 

para toda n

N.

(5)

Si la sucesión {an} no converge, entonces decimos que {an} diverge.

Y

Y, , Y,  .

    

X

N

FIGURA 10.2.1 El punto {n, an} se acerca a la recta y  L cuando n → +∞.

La figura 10.2.1 ilustra con geometría la definición de límite de una sucesión. Como

AN ,

, 

,

FIGURA 10.2.2 La desigualdad |an − L| <  significa que an está en algún punto entre L −  y L + .

jAN ,j

SIGNIFICAQUE

,

AN < , C

la condición en (5) significa que si n N, entonces el punto (n, an) está entre las líneas horizontales y  L −  y y  L + . De otra manera, si n N, entonces el número an está entre el punto L −  y L +  en la recta real (figura 10.2.2). EJEMPLO 3 Suponga que debemos establecer de manera rigurosa el hecho intuitivo de que la sucesión f=Ng1  converge a cero L¤M

N!1

 H : N



Como L  0 en este caso, sólo necesitamos convencernos de que a cada número positivo  corresponde un entero N tal que  N

FIGURA 10.2.3 Si N > entonces  <

 .





 N

 .

  H N N 

 

yn

N,

SI

N

.:

Pero evidentemente es suficiente con elegir cualquier entero fijo N > 1/. Entonces n N implica de inmediato que   ; N . como se deseaba (figura 10.2.3).

Z

SECCIÓN 10.2

Sucesiones infinitas 725

EJEMPLO 4 a) La sucesión {(−1)n} diverge porque sus términos sucesivos “oscilan” entre los dos valores +1 y −1. Así, (−1)n no puede acercarse a un solo valor cuando n → ∞. b) Los términos de la sucesión {n2} aumentan sin límite cuando n → ∞. Así, la sucesión {n2} diverge. En este caso, también podemos decir que {n2} diverge a infinito. Z

Uso de las leyes de límites Las leyes de límites en la sección 2.2 para los límites de funciones tienen analogías naturales con los límites de sucesiones. Sus demostraciones se basan en técnicas similares a las usadas en el apéndice D.

TEOREMA 1 Si los límites

Leyes de límites para sucesiones L¤M AN H !

N!1

Y

L¤M BN H "

N!1

existen (de manera que A y B son números reales), entonces  L¤M CAN H C ! C CUALQUIERN¢MEROREAL  N!1

 

L¤M .AN C BN / H ! C "

N!1

L¤M AN BN H !"

N!1

! AN H  BN " En la parte 4 debemos suponer que B H 0 (de manera que bn H 0 para todos los valores de n suficientemente grandes). 

L¤M

N!1

TEOREMA 2 Leyes de sustitución para sucesiones Si L¤M an  A la función f es continua en x  A, entonces N!1 L¤M F .AN / H F .!/: N!1

TEOREMA 3 Ley de compresión para sucesiones Si an bn cn para toda n y L¤M AN H , H L¤M CN ; N!1

N!1

entonces L¤M bn  L también. N!1

Estos teoremas se usan para calcular los límites de muchas sucesiones de manera formal, sin recurrir a la definición. Por ejemplo, la ecuación (6) y la ley del producto de límites llevan a  L¤M K H   N!1 N para todo entero positivo k. EJEMPLO 5 La ecuación (7) y las leyes de los límites proporcionan (después de dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de n que esté presente) N   H L¤M L¤M  N!1 N   N!1   N L¤M    N!1 H H : H Z  
  L¤M  
L¤M  N!1 N!1 N

CAPÍTULO 10

726

Series infinitas

COS N H  N Solución Esto se deduce de la ley de compresión y del hecho de que 1/n → 0 cuando n → ∞, porque

EJEMPLO 6 Y 

Demuestre que L¤M

N!1



















 X





FIGURA 10.2.4 Puntos (n, (cos n)/n) para n  1, 2, . . . , 30.

 N

COS N N

 N

Z

para todo entero positivo n.

Con una calculadora de gráficas típica (en modo de gráfica de puntos o “dot plot mode”) o en un sistema algebraico de computadora (usando la característica “list plot”), podemos graficar los puntos (n, an) en el plano xy que corresponde a una sucesión dada {an}. La figura 10.2.4 muestra esos puntos para la sucesión del ejemplo 6 y proporciona evidencia visual de su convergencia a cero. p EJEMPLO 7 Demuestre que si a > 0, entonces L¤MN!1 N A H  OBSERVACIÓN

Solución Aplicamos la ley de sustitución con f (x)  a x, an  1/n y A  0. Como 1/n → 0 cuando n → ∞ y f es continua en x  0, esto da L¤M A =N H L¤M F .=N/ H F ./ H A  H :

N!1

EJEMPLO 8

Z

N!1

Las leyes de los límites y la continuidad de f (x) 

p

X en x  4 llevan a

⎛

⎞1/2   √ N  ⎜ N ⎟ ⎟ = 4 = 2. H⎜ L¤M ⎝N!1  ⎠ NC H N

L¤M

N!1

EJEMPLO 9

Z

Demuestre que si | r | < 1, entonces L¤MN!1 R N H 

Solución Como |r n|  |(−r)n|, podemos suponer que 0 < r < 1. Entonces 1/r  1 + a para algunos números a > 0, de manera que la fórmula binomial proporciona  H . C A/N H  C NA C fT£RMINOSPOSITIVOSg >  C NAI RN  :  < RN <  C NA Ahora 1/(1 + na) → 0 cuando n → ∞. Por lo tanto, la ley de compresión implica que Z r n → 0 cuando n → ∞. La figura 10.2.5 muestra la gráfica de una función f tal que L¤MX!1 F .X/ H , . Si la sucesión {an} está definida por la fórmula an  f (n) para cada entero positivo n, entonces todos los puntos (n, f (n)) están en la gráfica de y  f (x). Así, se deduce de la definición de límite de una función que L¤MN!1 AN H , también.

TEOREMA 4 Límites de funciones y sucesiones Si an  f (n) para cada entero positivo n, entonces L¤M F .X/ H ,

X!1

IMPLICAQUE

L¤M AN H , :

N!1



El inverso de la afirmación en (8) en general es falso. Por ejemplo, tome f (x)  sen πx y, para cada entero positivo n, sea an  f (n)  sen nπ. Entonces sen nπ ≡ 0, pero sen nx oscila entre 1 y −1, de manera que L¤M AN H L¤M SEN N H;

N!1

N!1

L¤M F .X/ H L¤M SEN  X

X!1

X!1

PERO

NOEXISTE

SECCIÓN 10.2

Sucesiones infinitas 727

Y  A  A

Y, N AN ,

Y,

 A

Y,  x

    

N

X

FIGURA 10.2.5 Si L¤M f (x)  L y an  f (n), N !1

entonces L¤M an  L. N !1

Debido a (8) podemos usar la regla de l’Hôpital para sucesiones: si an  f (n), bn  g(n) y f (x)/g(x) tiene la forma indeterminada ∞/∞ cuando x → ∞, entonces L¤M

N!1

AN F .X/ F .X/ H L¤M ; H L¤M X!1 G.X/ X!1 G .X/ BN



siempre que f y g satisfagan las otras hipótesis de la regla de l’Hôpital, incluyendo la suposición importante de que el límite del lado derecho existe. LN N H  N!1 N Solución La función (ln x)/x está definida para toda x 1 y está de acuerdo con la sucesión dada {(ln n)/n} cuando x  n, un entero positivo. Como (ln x)/x tiene la forma indeterminada ∞/∞ cuando x → ∞, la regla de l’Hôpital da

EJEMPLO 10

Demuestre que L¤M

 LN N LN X H L¤M H L¤M X H : L¤M N!1 N X!1 X X!1 

EJEMPLO 11

Demuestre que L¤M

N!1

p N

Z

N H 

Solución Primero observamos que LN

p LN N N N H LN N =N H ! N

CUANDO N ! 1;

por el ejemplo 10. Por la ley de sustitución con f (x)  e x, esto da L¤M N =N H L¤M EXP LN N / N H E H :

N!1

N!1

Z

N   N!1 EN Solución Aplicamos la regla de l’Hôpital repetidas veces, aunque debemos tener cuidado de verificar en cada paso intermedio que todavía tenemos una forma indeterminada. Así, encontramos que

EJEMPLO 12

Encuentre L¤M

N  X  X  X  H L¤M H L¤M H L¤M H L¤M H : N X X X N!1 E X!1 E X!1 E X!1 E X!1 EX L¤M

Z

728

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Sucesiones monótonas acotadas El conjunto de todos los números racionales tiene por sí mismo todas las propiedades algebraicas elementales conocidas del sistema completo de números reales. Para garantizar la existencia de los números irracionales, debemos suponer además una “propiedad de integridad” de los números reales. De otra manera, la recta real puede tener “agujeros” donde debían estar los números irracionales. Una manera de establecer esta propiedad de integridad es en términos de la convergencia de un tipo importante de sucesiones, una sucesión monótona acotada. Se dice que la sucesión fAN g1  es creciente si A

A

A






AN






y decreciente si A

A

A






AN




:

La sucesión {an} es monótona ya sea si es creciente o decreciente. La sucesión {an} es acotada si existe un número M tal que |an| M para toda n. La siguiente aseveración puede tomarse como axioma para el sistema de números reales.

Propiedad de una sucesión monótona acotada Toda sucesión infinita monótona acotada converge; es decir, tiene un límite finito. Suponga, por ejemplo, que la sucesión creciente fAN g1  está acotada por arriba por un número M, lo que quiere decir que an M para toda n 1. Como la sucesión también está acotada por abajo (por a1, por ejemplo), la propiedad de la sucesión monótona acotada implica que L¤M AN H !

PARAALG¢NN¢MEROREAL !

N!1

-;

como en la figura 10.2.6a). Si la sucesión creciente {an} no está acotada por arriba, entonces se deduce que L¤M AN H C1 N!1

como en la figura 10.2.6b). (Vea el problema 52.) La figura 10.2.7 ilustra la gráfica de una sucesión creciente acotada típica con las alturas de los puntos (n, an ) que suben en forma estable hacia A. Y ! A

A

A

A A !

-

A x A

A

A

A

A

A A

B

X

FIGURA 10.2.6 a) Si la sucesión creciente {an} está acotada por arriba por M, entonces sus términos se “apilan”en algún punto A M. b) Si la sucesión es no acotada, entonces sus términos “siguen creciendo” y diverge a infinito.

EJEMPLO 13

FIGURA 10.2.7 Gráfica de una sucesión creciente acotada con límite A.

Investigue la sucesión {an} definida de manera recursiva por p A H ; ANC H  C AN PARA N :



Solución Los primeros cuatro términos de esa sucesión son p ;

C

p

;

C

C

p

;

C

C

C

p

:



SECCIÓN 10.2

Sucesiones infinitas 729

Si la sucesión {an} converge, entonces su límite A parecería ser la interpretación natural de la expresión infinita C

C

C

p

 C


:

Una calculadora proporciona 2.449, 2.907, 2.984 y 2.997 como aproximaciones de los términos en (11). Esto sugiere que la sucesión puede estar acotada arriba por M  3. Sin duda, si suponemos que un término en particular an satisface la desigualdad an < 3, entonces se deduce que p ANC H  C AN <  C  H I es decir, también an+1 < 3. ¿Puede ver que esto implica que todos los términos de la sucesión son menores que 3? (Si hubiera un primer término no menor que 3, entonces su predecesor sería menor que 3 y habría una contradicción. Ésta es una “demostración por inducción matemática”.) A fin de aplicar la propiedad de la sucesión monótona acotada para concluir que la sucesión {an} converge, queda demostrar que se trata de una sucesión creciente. Pero .ANC / .AN / H . C AN / .AN / C . C AN /. AN / > 

porque an < 3. Como todos los términos de la sucesión son positivos (¿por qué?), se deduce que an+1 > an para toda n 1, como se deseaba. Ahora que sabemos que el límite A de la sucesión {an} existe, podemos escribir p ! H L¤M ANC H L¤M  C AN D  C !;

Y 

N!1

N!1

y así, A  6 + A. Las raíces de esta ecuación cuadrática son −2 y 3. Dado que A > 0 (¿por qué?), concluimos que A  L¤M an  3, por lo cual 2

 

N!1

 









FIGURA 10.2.8 Gráfica de la sucesión del ejemplo 13.

C

 X

C

C

p

 C


H :



La gráfica de la figura 10.2.8 de los diez primeros términos de la sucesión {an} muestra que la convergencia a este límite es bastante rápida. Z Para indicar que la propiedad de la sucesión monótona acotada tiene que ver con la “propiedad de integridad” de los números reales, en el problema 63 p describimos una demostración, usando esta propiedad, de la existencia del número . En los problemas 61 y 62, describimos una demostración de la equivalencia de la propiedad de la sucesión monótona acotada y otra afirmación común de la integridad del sistema de números reales: la propiedad de la cota superior menor.

10.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Según la sección 10.2, ;

    ; ; ;


; ; :::    N

es un ejemplo de una sucesión. 2. La sucesión de Fibonacci es un ejemplo de una sucesión definida en forma recursiva. 3. La sucesión {an} tiene límite L siempre que, para todo número  > 0, exista un entero N tal que | an − L | <  para toda

n

N.

730

CAPÍTULO 10

Series infinitas

 %NLASECCI˜NSEPRUEBARIGUROSAMENTEQUE L¤M

N!1

 H : N

 ,ASUCESI˜N f./N g NOTIENEL¤MITE  3I L¤M AN H ! Y L¤M BN H " ENTONCES N!1

N!1

L¤M .AN C BN / H ! C ":

N!1

 3I L¤M AN H ! Y F ESCONTINUAEN X H ! ENTONCES N!1

L¤M F .AN / H F .!/:

N!1

 3I jR j <  ENTONCES L¤M R N H  N!1

 3I AN H F .N/ PARACADAENTEROPOSITIVON ENTONCES L¤M AN H ,

N!1

IMPLICAQUE

L¤M F .X/ H , :

X!1

 4ODASUCESI˜NMON˜TONAACOTADADIVERGE

10.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Puede una sucesión fAN g1  converger a dos números diferentes? 2. Suponga que se sabe que cada intervalo abierto que contiene el punto L contiene todos excepto un número finito de miembros de la sucesión fAN g1  . ¿Implican éstos que L¤M an  L? N!1

3. Suponga que la sucesión fAN g1  se obtiene intercalando los miembros de dos sucesiones infinitas convergentes f PN g1 Y fQN g1    ¿Se puede deducir que la suce1 sión fAN g también converge?

10.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 8, encuentre un patrón en la sucesión con términos dados a1, a2, a3, a4 y (suponiendo que continúa como se indica) escriba una fórmula para el término general an de la sucesión.      : : :      : : : 

       



       

:::

:::

     : : : 

     : : :

       

:::

     : : :

En los problemas 9 a 42, determine si la sucesión {an} converge o no, y encuentre su límite si converge. N  N  AN H  AN H N   C N   N NC N  AN H  A H N N  C N  N  C   AN H  C

 N 

 AN H  C ./  AN H

p  C ./N N  N 

SEN  N p N  AN H N SEN N

 AN H

N

 AN H  

N

 C ./N  AN H p N SEN N  AN H N  AN H

 C COS N N

 AN H N COS  N

 AN H  .SEN N/=N LN N  AN H p N .LN N/  AN H N TAN N  AN H N N C   AN H EN  N  AN H  C N N N  AN H NC p N  AN H NC

 AN H COS  N LN N  AN H LN N  N

 AN H N SEN  AN H

N

EN= SENH N  AN H COSH N  AN H .N C /=N  AN H .:/=N  AN H 

 N

N

=N

 AN H

 N

 AN H

 N  C N

 AN H ./N .N  C /=N N

 AN H

 N 



p N

N

En los problemas 43 a 50, investigue la sucesión dada {an} numérica o gráficamente. Formule una conjetura razonable para el valor de su límite. Luego aplique las leyes de los límites para verificar que su conjetura haya sido correcta.

SECCIÓN 10.2

 AN H  AN H

N N C 

 AN H

=

N  C  N  C N

N  N  CN   AN H N SEN N N   AN H  SEN  N C   AN H

p N

 AN H E=

 AN H  TAN

N C  N 

N N 

51. Pruebe que si L¤M an  A 0, entonces la sucesión {(−1)n N!1 an }diverge. 52. Pruebe que si la sucesión creciente {an} no está acotada, entonces L¤M an  +∞. (En realidad, es cuestión de expresar N!1

con precisión qué significa esto.) 53. Suponga que A > 0. Dado x1 0 y por lo demás es arbitrario, defina la sucesión {xn} de manera recursiva por  ! XNC H
XN C SI N :  XN p Demuestre que si L  L¤M xn existe, entonces , H  ! N!1

54. Suponga que A es un número real fijo. Dado x1 0 y por lo demás arbitrario, defina la sucesión {xn} de manera recursiva por  ! XNC H
XN C SI N :  .XN / p Pruebe que si L  L¤M x n existe, entonces , H  !  N!1

55. a) Suponga que cada par de conejos recién nacidos se vuelve productivo después de dos meses, y en adelante tiene un nuevo par de conejos cada mes. Si comenzamos con un solo par de conejos recién nacidos, denote por Fn el número total de pares de conejos que tenemos después de n meses. Explique con cuidado por qué {Fn} es la sucesión de Fibonacci del ejemplo 2. b) Si, por otro lado, cada par de conejos recién nacidos se vuelve productivo después de tres meses, denote por {Gn} el número de pares de conejos que tendremos después de n meses. Ofrezca una definición recursiva de la sucesión {Gn} y calcule los primeros diez términos. 56. Sea {Fn} la sucesión de Fibonacci del ejemplo 2 y suponga que &NC  H L¤M N!1 &N p existe. (Sí existe.) Demuestre que  H  . C /. (Sugerencia: escriba an  Fn/Fn−1 y demuestre que an+1  1 + (1/an).) 57. Defina la sucesión {an} de manera recursiva como sigue: A H I

ANC D  .AN C /

PARA N

:

a) Pruebe por inducción sobre n que an < 4 para cada n y que {an} es una sucesión creciente. b) Encuentre el límite de esta sucesión.

Sucesiones infinitas 731

58. Investigue, como en el ejemplo 13, la sucesión {an} que está definida de manera recursiva por p A H ; ANC H  C AN PARA N : En particular, demuestre que C

C

C

p

 C


H :

Verifique los resultados establecidos en los problemas 59 y 60. 

 C

 C

 C



 C

 C

 C

p p

 C


H   C


H 

Los problemas 61 y 62 manejan la propiedad de los números reales de la menor cota superior: si el conjunto no vacío S de números reales tiene una cota superior, entonces S tiene una cota superior menor. El número M es una cota superior para el conjunto S si x M para toda x en S. La cota superior L de S es un cota superior menor para S si ningún número menor que L es una cota superior para S. Es fácil demostrar que si el conjunto S tiene cotas superiores menores L1 y L2, entonces L1  L 2; en otras palabras, si existe una cota superior menor para un conjunto, entonces es única. 61. Pruebe que la propiedad de la menor cota superior implica la propiedad de la sucesión monótona acotada. (Sugerencia: si {an} es una sucesión creciente acotada y A es la menor cota superior del conjunto {an : n 1} de los términos de la sucesión, podemos probar que A  L¤M a n.) N!1 62. Pruebe que la propiedad de una sucesión monótona acotada implica la propiedad de la menor cota superior. (Sugerencia: para cada entero positivo n, sea an el menor múltiplo entero de 1/10 n que es una cota superior del conjunto S. Demuestre que {an} es una sucesión decreciente acotada y luego que A  L¤M a n es una menor cota superior para S.) N!1 63. Para cada entero positivo n, sea an el múltiplo entero más  a) Demuestre que {an} es grande de 1/10 n tal que AN una sucesión creciente acotada, de manera que A  L¤M a n N!1 existe. b) Pruebe que si A2 > 2, entonces AN >  para n suficientemente grande. c) Demuestre que si A2 < 2, entonces AN < " para algún número B < 2 y toda n suficientemente grande. d) Concluya que A2  2. 64. Investigue la sucesión {an}, donde p AN H N C  C N : Necesitará una computadora o una calculadora programable para descubrir qué es extraordinario respecto a esta sucesión.

10.2 INVESTIGACIÓN: radicales anidados y fracciones continuas Ésta es una investigación de la relación p Q C P Q C P Q C P Q C


H P C

Q



Q

PC PC

Q P C




732

CAPÍTULO 10

Series infinitas

donde p y q son positivos. No sólo nos preguntamos si es posible que esta ecuación sea cierta, sino también qué significa. En las dos siguientes exploraciones numéricas puede (por ejemplo) tomar p y q como los dos últimos dígitos diferentes de cero de su credencial de estudiante. Exploración 1

Defina la sucesión infinita {an} de manera recursiva por p p Y ANC D Q C PAN PARA N : A D Q



Utilice una calculadora o computadora para aproximar numéricamente suficientes términos de esta sucesión para determinar si parece converger. Suponiendo que así es, escriba primero varios términos simbólicamente y concluya que A  L¤M a n es una N!1

interpretación natural del radical anidado en el lado izquierdo de (1). Por último, tome el límite de la fórmula recursiva en (2) para demostrar que A es la solución positiva de la ecuación cuadrática x2 − px − q  0. ¿Lleva la fórmula cuadrática a un resultado congruente con su evidencia numérica? Exploración 2

Defina la sucesión infinita {bn} de manera recursiva por Q B D P Y BNC D P C PARA N : BN



Utilice una calculadora o computadora para aproximar suficientes términos de esta sucesión para determinar si converge o no. Suponiendo que lo hace, escriba los primeros términos simbólicamente y concluya que B  L¤M b n es una interpretación N!1

natural de la fracción continuada en el lado derecho de (1). Por último, tome el límite de la fórmula recursiva en (3) para demostrar que B también es la solución positiva de la ecuación cuadrática x2 − px − q  0. Concluya con esto que la ecuación (1) es sin duda verdadera.

10.3 SERIES INFINITAS Y CONVERGENCIA Una serie infinita es una expresión de la forma 1

AN D A C A C A C


C AN C


;



ND

donde {an} es una sucesión infinita de números reales. El número an se llama n-ésimo término de la serie. El símbolo 1 ND AN es simplemente una forma abreviada de escribir el lado derecho de la ecuación (1). En esta sección descubriremos qué quiere decir la suma de una serie infinita. EJEMPLO 1

Considere la serie infinita 1

N

3UMADELOSN PRIMEROST£RMINOS

    

    

FIGURA 10.3.1 Suma de términos en la serie infinita del ejemplo 1.

ND

      C


C N C


D C C C N      



que se mencionó en la sección 10.1; su n-ésimo término es an  1/2n. Aunque no podemos literalmente sumar un número infinito de términos, podemos sumar cualquier número finito de los términos en (2). Por ejemplo, la suma de los primeros cinco términos es       C C C C H H ::      

Podríamos sumar otros cinco términos, luego cinco más, etcétera. La tabla de la figura 10.3.1 muestra qué ocurre. Parece que las sumas se acercan cada vez más a 1 conforme agregamos términos. Si en realidad esto es así, entonces es natural decir que la suma de (toda) la serie infinita en (2) es 1, y escribir 1 ND

      C


C N C


H : D C C C N      

Z

SECCIÓN 10.3

Series infinitas y convergencia 733

Motivados por el ejemplo 1, introducimos las sumas parciales de la serie infinita general en (1). La n-ésima suma parcial Sn de la serie es la suma de sus n primeros términos: N

3N H A C A C A C


C AN H

AK 



KH

Así cada serie infinita tiene no sólo una sucesión infinita de términos, sino también una infinita sucesión de sumas parciales S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , donde 3 H A ; 3 H A C A ; 3 H A C A C A ; :: : 3 H A C A C A C A C A C A C A C A C A C A ;

etcétera. Definimos la suma de las series infinitas como el límite de su sucesión de sumas parciales, siempre que este límite exista.

DEFINICIÓN Suma de una serie infinita Decimos que la serie infinita 1

AN converge (o es convergente)

con suma S si el límite de su sucesión de sumas parciales, 3 H L¤M 3N ;



N!1

existe (y es finito). De otra manera, decimos que la serie diverge (o es divergente). Si una serie diverge, entonces no tiene suma. De esta forma, la suma de una serie infinita es un límite de sumas finitas, 1

3H

.

AN H L¤M

. !1

NH

AN NH

si este límite existe. EJEMPLO 1 (continuación) Demuestre que la serie 1

 

NH

N

H

    C C C C


   

converge. Después encuentre su suma.

Solución Las primeras cuatro sumas parciales son 3 H

 ; 

3 H

 ; 

3 H

 ; 

Y

3 H

 : 

Es probable que Sn  (2n − 1)/2n, y sin duda es fácil deducir esto por inducción porque 3NC H 3N C

 NC

D

N   NC  C  NC  C H H : N NC NC NC

Entonces la suma de la serie dada es  N  H L¤M  N N N!1 N!1  

3 H L¤M 3N H L¤M N!1

H :

734 CAPÍTULO 10

Series infinitas

La gráfica de la figura 10.3.2 ilustra la convergencia de las sumas parciales al número 1. Z

Y         

EJEMPLO 2

Demuestre que la serie 1

./NC H   C   C


NH







 X

FIGURA 10.3.2 Gráfica de las primeras 20 sumas parciales de la serie infinita del ejemplo 1.

diverge.

Solución La sucesión de las sumas parciales de esta serie es 1, 0, 1, 0, 1, . . . , Z

que no tiene límite. Por lo tanto la serie diverge. EJEMPLO 3

Demuestre que la serie infinita 1 NH

 N.N C /

converge. Luego encuentre su suma.

Solución Necesitamos una fórmula para la n-ésima suma parcial Sn, de manera que podamos evaluar su límite cuando n → ∞. Para encontrar esta fórmula, comenzamos con la observación de que el n-ésimo término de la serie es AN H

   H : N.N C / N NC

(En casos más complicados, como los de los problemas 50 a 55, esta descomposición se puede obtener por el método de fracciones parciales.) Se deduce que la suma de los primeros n términos de la serie dada es 3N H 

 

C

   

  C


C   N  H : H NC NC C

      N NC

C

!S¤ 1 NH

 N H L¤M H : N.N C / N!1 N C 

Z

La suma para Sn en el ejemplo 3, llamada suma telescópica, proporciona una manera de encontrar las sumas de ciertas series. Las series de los ejemplos 1 y 2 son ejemplos de un tipo de serie más común y más importante, la serie geométrica.

DEFINICIÓN Serie geométrica Se dice que la serie 1 NH AN es una serie geométrica si cada término después del primero es un múltiplo fijo del término inmediato anterior. Esto es, existe un número r, llamado razón de la serie, tal que an + 1  ran

para toda n

0.

SECCIÓN 10.3

Series infinitas y convergencia 735

Si escribimos a  a0 para el término constante inicial, entonces a1  ar, a2  ar 2, a3  ar 3, etcétera. Entonces toda serie geométrica toma la forma 1

A C AR C AR  C AR  C


H

AR N 



NH

Observe que la suma comienza en n  0 (en lugar de en n  1). Por ello es conveniente entender la suma 3N H A. C R C R  C R  C


C R N /

de los primeros n + 1 términos como la n-ésima suma parcial de la serie. EJEMPLO 4

La serie infinita 1 NH

    H  C C C


C N C


N   

es una serie geométrica cuyo primer término es a  2 y cuya razón es r  .

Z

TEOREMA 1 Suma de una serie geométrica Si |r| < 1, entonces la serie geométrica en la ecuación 5 converge y su suma es 1

AR N H

3H NH

Si |r|

A : R



1 a H 0, entonces la serie geométrica diverge.

Demostración Si r  1, entonces Sn  (n + 1)a, de modo que la serie ciertamente diverge si a H 0. Si r  − 1 y a H 0, entonces la serie diverge por un argumento como el del ejemplo 2. Así, podemos suponer que | r | H 1. En este caso, se deduce la identidad elemental  R NC  C R C R C R C


C RN H R si multiplicamos cada lado por 1 − r. Entonces la n-ésima suma parcial de la serie geométrica es

R NC  R R

3N H A. C R C R  C R  C


C R N / H A

:

Si | r | < 1, entonces r n+1 → 0 cuando n → ∞, por el ejemplo 9 de la sección 10.2. En este caso, la serie geométrica converge a Y

3 H L¤M A




N!1



H

A : R

Pero si |r | > 1, entonces L¤M r n+1 no existe, de modo que L¤M Sn no existe. Esto lo N!1 N!1 establece el teorema. X

 

EJEMPLO 5

Con a  1 y r  −, encontramos que

 

 R NC R R















X

FIGURA 10.3.3 Gráfica de la primera docena de sumas parciales de la serie infinita del ejemplo 5.

   C C


H   

1

NH

 

N

H

  H :    

La gráfica de la figura 10.3.3 muestra las sumas parciales de esta serie acercándose a Z su suma  de forma alternada por arriba y por abajo. 1

EJEMPLO 6

Determine si la serie infinita NH

N converge o no. N

736

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Solución Si escribimos esta serie en la forma 1 NH

    N H C C C C


N      H

    C C


C C    

H

 

1 NH

 

N

;

la reconocemos como una serie geométrica con primer término a   y razón r  . Puesto que r > 1, la segunda parte del teorema 1 implica que esta serie diverge. Z El teorema 2 implica que las operaciones de suma y multiplicación por una constante se puede llevar a cabo término a término en el caso de series convergentes. Como la suma de una serie infinita es el límite de su sucesión de sumas parciales, este teorema se deduce de inmediato de las leyes de los límites para sucesiones (teorema 1 de la sección 10.2).

TEOREMA 2 Suma y multiplicación término a término Si las series A  an y B  bn convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series (an + bn) y can también convergen, con sumas 1. (an + bn)  A + B; 2. can  cA. La serie geométrica en la ecuación (6) puede usarse para encontrar el número racional representado por un decimal de periodo infinito dado. EJEMPLO 7 :


H

      C C C


H C C


C       1

H NH

 

 

N

H

 



 

  
H :   

H

En una situación más complicada, necesitamos usar el álgebra por términos del teorema 2:     C C  C  C


        C   C  C  C


H    

:


H

H

  C  

1 NH

 

N

H

  C  

   

      C
H C H : H      

Esta técnica se puede usar para demostrar que todo decimal de periodo infinito representa un número racional. En p consecuencia, las expansiones decimales de los números irracionales como π, e y  deben ser no repetitivas al igual que infinitas. Inversamente, si p y q son enteros con q H 0, entonces la división larga de p entre q lleva a una expansión decimal repetida para el número racional p/q, porque esas divisiones dan en cada etapa sólo q residuos diferentes posibles. Z EJEMPLO 8 Suponga que Paul y Mary lanzan un dado legal de seis caras tomando turnos hasta que uno de ellos gana al obtener el primer “seis”. Si Paul lanza primero, calcule la probabilidad de que gane el juego.

SECCIÓN 10.3

Series infinitas y convergencia

737

Solución Como el dado es legal (no está cargado), la probabilidad de que Paul obtenga un “seis” en el primer turno es . La probabilidad de que obtenga el primer “seis” 



de juego en el segundo turno es   , el producto de la probabilidad  de que ni Paul ni Mary lance “seis” en el primer turno y la probabilidad  de que Paul lance “seis” en el segundo turno. La probabilidad p de que Paul obtenga el primer “seis” en el juego es la suma de sus probabilidades de obtenerlo en el primer turno, en el segundo turno, en el tercero, y así sucesivamente. Por lo tanto  C 

PH

 



  

 

H

 C 

D

 
   

 

C



H



 

C

 



 

C






C




  
H :   

Puesto que tiene la ventaja de lanzar primero, Paul tiene más que la probabilidad de  de obtener el primer “seis” y con ello de ganar el juego. Z El teorema 3 con frecuencia es útil para demostrar que una serie dada no converge.

TEOREMA 3 Si ocurre que

Prueba del n-ésimo término para divergencia L¤M AN

N!1



o bien que este límite no existe, entonces la serie infinita

an diverge.

Queremos probar, bajo la hipótesis establecida, que la serie an diverge. Es suficiente con demostrar que si la serie an converge, entonces L¤M an  0. Así, N!1 suponga que an converge con suma S  L¤M S n, donde

Demostración

N!1

3N H A C A C A C


C AN

es la n-ésima suma parcial de la serie. Dado que an  Sn − Sn−1, L¤M AN H L¤M .3N 3N / H

N!1

N!1

L¤M 3N

N!1

En consecuencia, si L¤M an H 0, entonces la serie N!1

L¤M 3N H 3 3 H :

N!1

an diverge.

X

Es importante recordar también la contraposición de la prueba de an converge con suma S, endivergencia del n-ésimo término: si la serie infinita tonces la sucesión {an} de sus términos converge a 0. Así, tenemos dos sucesiones asociadas con una sola serie infinita an: su sucesión de términos {an} y su sucesión {Sn} de sumas parciales. Y (suponiendo que la serie converge a S ) estas dos sucesiones en general tienen límites diferentes: OBSERVACIÓN

L¤M AN H 

N!1

EJEMPLO 9

Y

L¤M 3N H 3:

N!1

La serie 1

./N N  H   C   C 


NH

diverge porque L¤M an no existe, mientras que la serie N!1

1 NH

N     H C C C C


N C     

738

CAPÍTULO 10

Series infinitas

diverge porque L¤M

N!1

ADVERTENCIA

 N H N C  

:

Z

El inverso del teorema 3 ¡es falso! La condición L¤M AN H 

N!1

es necesaria pero no suficiente para garantizar la convergencia de la serie 1

AN : NH

Es decir, una serie puede satisfacer la condición an → 0 cuando n → ∞ y de toda formas ser divergente. Un ejemplo importante de una serie divergente con términos que tienden a cero es la serie armónica 1

     H  C C C C C


: N    

ND



TEOREMA 4 La serie armónica diverge. Demostración El n-ésimo término de la serie armónica en (7) es an  1/n, y la figura 10.3.4 muestra la gráfica de la función relacionada f (x)  1/x en el intervalo 1 x n + 1. Para cada entero k, 1 < k n, construimos un rectángulo sobre el intervalo [k, k + 1] con altura f (k)  1/k. Todos estos rectángulos tienen base de longitud 1, y sus alturas respectivas son los términos sucesivos 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n de la serie armónica. De este modo, la suma de sus áreas es la n-ésima suma parcial

3N H  C

    C C C


C    N

de la serie. Como estos rectángulos circunscriben el área bajo la curva y  1/x de x  1 a x  n + 1, observamos que Sn debe exceder esta área. Esto es, NC

3N > 

 D X D LN X X

NC 

H LN.N C /:

Pero ln(n + 1) toma valores positivos arbitrariamente grandes cuando n crece. Como Sn > ln(n + 1), se deduce que las sumas parciales de la serie armónica también toman valores positivos arbitrariamente grandes. Ahora, los términos de la serie armónica son positivos, de manera que su sucesión de sumas parciales es creciente. Por lo tanto, podemos concluir que Sn → +∞ cuando n → +∞, y por ende que la serie armónica diverge X Y Y

 X

   





¬REA

¬REA



 

N N x

FIGURA 10.3.4 Idea de la prueba del teorema 4.

N N ¬REAN

X

SECCIÓN 10.3

Series infinitas y convergencia 739

Si la sucesión de sumas parciales de la serie an diverge a infinito, entonces decimos que la serie diverge a infinito, y escribimos 1

AN H 1: NH

La serie (−1)n+1 del ejemplo 2 es una serie divergente pero no diverge a infinito. En el siglo xix era común decir que esas series eran divergentes por oscilación; hoy sólo decimos que divergen. Nuestra demostración del teorema 4 muestra que 1 NC

 H 1: N

Pero las sumas parciales de la serie armónica divergen al infinito muy lentamente. Si NA denota el entero más pequeño tal que .! NH

 N

!;

entonces con la ayuda de una calculadora programable puede verificar que N5  83. Con la ayuda de una computadora y los refinamientos en las estimaciones como las de la demostración del teorema 4, se puede demostrar que . H ;; . H ;;; .  :   ; .  :  



Y :

Así, sería necesario sumar más de 250 mil millones de términos de la serie armónica para obtener una suma parcial mayor que 20. En este punto cada término de unos cuantos que siguen sería aproximadamente 0.000000004  4 × 10−9. El número de términos que debe sumar para llegar a 1000 es mucho mayor que el número estimado de partículas elementales en todo el universo (1080). Si disfruta manejar esos números grandes, vea el artículo “Partial sums of infinite series, and how they grow”, de R. P. Boas, Jr., en American Mathematical Monthly 84, 1977, pp. 237-248. El teorema 5 dice que si dos series infinitas tienen los mismos términos de algún punto en adelante, entonces ambas series convergen o ambas divergen. La demostración se requiere en el problema 63.

TEOREMA 5 Series de un punto en adelante son iguales Si existe un entero positivo k tal que an  bn para toda n > k, entonces las series an y bn convergen o bien ambas divergen. De ahí que, un número finito de términos pueden cambiarse, eliminarse o agregarse a una serie infinita sin alterar su convergencia o divergencia (aunque la suma de una serie convergente en general cambiará por esas alteraciones). En particular, tomando bn  0 para n k y bn  an para n > k vemos que la serie 1

AN H A C A C A C


C AK C AKC C


NH

YLASERIE 1

AN H AKC C AKC C AKC C AKC C


NHKC

que se obtiene al eliminar los primeros k términos, las dos convergen o las dos divergen.

740 CAPÍTULO 10

Series infinitas

10.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. De acuerdo con la sección 10.3, una serie infinita es una expresión de la forma 1

AN H A C A C A C


C AN C


: NH

2. La primera parte del ejemplo 1 presenta una prueba rigurosa de que 1 NH

      H C C C C


C N C


H : N      

3. La n-ésima suma parcial de la serie 1

N

AK

ES

3N H

KH

AK H A C A C A C


C AN : KH

1

AK es

4. La suma de la serie infinita KH

N

3 H L¤M 3N H L¤M N!1

N!1

AK KH

siempre que el límite exista. 5. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·  0. 1  6. La suma de la serie es 1. N.N C / NH 7. Si una serie es geométrica con razón r, primer término a y | r | < 1, entonces su A  suma es R 1

AN diverge.

8. Si L¤M AN es no cero o no existe, entonces N!1 1

9. Si NH

NH

 diverge. N 1

10. Si L¤M AN H  ENTONCES N!1

AN, converge. NH

10.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Es posible obtener una serie infinita convergente intercalando los términos de dos series divergentes? 2. Suponga que una serie infinita tiene la propiedad de que, dado cualquier número positivo, todos excepto un número finito de términos de la serie son positivos y menores que este número. ¿Se deduce que esta serie converge? ¿Qué pasa si es cierto que, dado cualquier número positivo, todas excepto un número finito de las sumas parciales de la serie son mayores que este número? ¿Se puede deducir entonces que esta serie diverge? 3. ¿Puede determinar si una serie infinita dada converge o diverge con sólo calcular un número suficientemente grande de sumas parciales? 4. ¿Se puede determinar la suma —con exactitud de un número fijo de decimales— de una serie geométrica con sólo calcular un número suficientemente grande de sumas parciales?

SECCIÓN 10.3

Series infinitas y convergencia

741

10.3 PROBLEMAS En los problemas 1 a 37, determine si la serie infinita dada converge o diverge. Si converge, encuentre su suma.      C C C


C N C


     C E C E C E C


C EN C


  C  C  C  C


C .N / C


    Cp Cp C


C p C


  N        C   C 


C ./N C


 N   C





C   C          C C C C


C N C


      N   C C C C


C N C


        C .:/ C .:/ C .:/ C


C .:/N C


   C


C p C


  C p C p  N N   1

 NH 1 NH 1



p



 NH N

 E

./N



1

./N N NC

1

 NH 1

N



NH 1

 NH

NH 1

N N C 

 NH

1

.



N

 /



NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH

NH

E 

N

1

 NH N

 

1

 NH N

C C N

1

N

N




 C 
 N  

N



N  N  C 

NH 1

N

 

   

NH 1 NH 1



C  E

 N  N



En los problemas 44 a 49, encuentre el conjunto de todos los valores de x para los que la serie dada es una serie geométrica convergente, después exprese la suma de la serie como una función de x. 1 1 X N  .X/N   NH NH 1

1

.X /N



NH

X X C 

1

 NH

1

1



 N.N C /



NH

X  

N

X  X  C 

N

NH 1 NH

 N  N   N 

En los problemas 56 a 60, use un sistema algebraico de computadora para encontrar la descomposición en fracciones parciales del término general, luego aplique el método de los problemas 50 a 55 para sumar la serie. 1

 

NH 1

N

N

NC N

LN



NH N

 C  N C N N p N



En los problemas 50 a 55, exprese la n-ésima suma parcial de la serie infinita como una suma telescópica (como en el ejemplo 3) y con ello encuentre la suma de la serie si converge. 1 1       C N  N  N NH NH



 

 :   : : :

 :   : : :

1



 NH

N  C 

1

N C   N .N C /



 N.N C /.N C /



1

NH 1 NH

N  C N  N.N C /.N  /  N.N C /.N C /.N C /

N N  C 

SEN N 



.ARCSEN /N

61. Demuestre: si an diverge y c es una constante diferente de cero, entonces can diverge. 62. Suponga que an converge y que bn diverge. Demuestre que (an + bn) diverge. 63. Sean Sn y Tn las sumas parciales de an y bn, respectivamente. Suponga que k es un entero fijo positivo y que an  bn para toda n k. Demuestre que Sn − Tn  Sk − Tk para toda n > k. Con esto demuestra el teorema 5.

NH

NH 1

.ARCTAN /N



 :   : : :

NH

1

TANN 



D :


H 

1

NH

1

C :


H  



  N N  p N LN.N C /

p NH 1

B :


H  

NH

N N N

NH 1

N

A :


H  

En los problemas 39 a 43, encuentre el número racional representado por los decimales periódicos dados.  :  : : :  :  : : :

N

E 

1 N

38. Use el método del ejemplo 7 para verificar que

ARCTAN N NH

 3UGERENCIA IMITELADEMOSTRACI˜NDELTEOREMA N LN N NH PARAPROBARLADIVERGENCIA

N

742 CAPÍTULO 10

Series infinitas

64. Una pelota tiene un coeficiente de rebote r < 1 si, cuando se deja caer desde una altura h, rebota hasta una altura rh (figura 10.3.5). Suponga que esa pelota se deja caer desde la altura inicial a y luego rebota un número infinito de veces. Utilice una serie geométrica para demostrar que la distancia total arriba y abajo que recorre en todos sus rebotes es CR $HA
: R Observe que D es finito. !LTURAINICIALH !LTURARH !LTURARH

68. Paul y Mary lanzan una moneda no cargada tomando turnos hasta que uno de ellos gana el juego al obtener “cara”. Calcule para cada uno la probabilidad de ganar el juego. 69. Peter, Paul y Mary lanzan una moneda no cargada tomando turnos hasta que uno de ellos gana al obtener la primera “cara”. Calcule para cada uno la probabilidad de ganar el juego. Verifique su respuesta comprobando que la suma de las tres probabilidades es 1. 70. Peter, Paul y Mary lanzan un dado no cargado tomando turnos hasta que uno de ellos gana obteniendo el primer “seis”. Calcule para cada uno la probabilidad de ganar el juego. Verifique su respuesta comprobando que la suma de las tres probabilidades es 1. 71. Una hoja de cierto tipo de vidrio refleja la mitad de la luz que incide en él, absorbe un cuarto y transmite un cuarto. Una ventana está hecha con dos hojas de este vidrio separadas por un espacio pequeño (figura 10.3.6). ¿Qué fracción de la luz incidente I se transmite por la doble ventana?

x

)

FIGURA 10.3.5 Rebotes sucesivos de la pelota de los problemas 64 y 65.

)

65. Una pelota con coeficiente de rebote r  0.64 (vea el problema 64) se deja caer desde una altura inicial a  4 ft. Utilice una serie geométrica para calcular el tiempo total requerido para que complete su número infinito de rebotes. El tiempo requerido para que una pelota caiga h pies (desde el reposo) p es H=G segundos, donde g  32 ft/s2. 66. Suponga que el gobierno gasta mil millones de dólares y que cada receptor de una fracción de esta riqueza gasta 90% de los dólares que él o ella recibe. A su vez, los receptores secundarios gastan 90% de los dólares que reciben, y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero se gasta en total desde la inyección original de mil millones en la economía? 67. Un tanque contiene en un inicio una masa de aire M0. Cada aspiración de una bomba de vacío elimina 5% de aire en el contenedor. Calcule: a) la masa Mn de aire que queda en el tanque después de n aspiraciones de la bomba, b) L¤M Mn. N!1

) )

)  

)  

)  

)   (OJA EXTERIOR

)   (OJA INTERIOR

FIGURA 10.3.6 La doble ventana del problema 71.

72. Critique la siguiente evaluación de la suma de una serie infinita: Sea x  1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − · · · . Entonces 2x  2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64 + · · · . Sume las ecuaciones para obtener 3x  1. Así, x   , y “por lo tanto” 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − · · ·   .

10.3 INVESTIGACIÓN: suma numérica y la serie geométrica Con una calculadora moderna o una computadora, el cálculo de las sumas parciales de una serie infinita —históricamente una tarea tediosa y tardada— ahora es (por lo común) un asunto sencillo. Las calculadoras con gráficas y los sistemas algebraicos de computadora suelen incluir un comando como #ALCULADORA4) -APLE -ATHEMATICA

SUMSEQA K K  N SUM AK K  N 3UM; A;K= [ K  N ] =

para calcular la n-ésima suma parcial de la serie infinita 1 KH AK cuyo k-ésimo término se denota por a(k). Por ejemplo, podemos verificar numéricamente el hecho de que 1 KH

 

K

H

 

calculando rápidamente las primeras siete sumas parciales 1.0000, 1.2000, 1.2400,

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

743

1.2480, 1.2496, 1.2499 y 1.2500. Aunque no es concluyente, esta evidencia numérica es tranquilizadora. Investigación A

Calcule las sumas parciales de la serie geométrica 1

RN NH

con r  0.2, 0.5, 0.75, 0.9 y 0.99. Para cada valor de r, calcule las sumas parciales Sn con n  10, 20, 30, . . . , continuando hasta que dos resultados sucesivos sean iguales a cuatro o cinco decimales. (Para r  0.9 y 0.99 tal vez decida usar n  100, 200, 300, . . .) ¿Cuál es la dependencia de la tasa de convergencia aparente del valor de r (medido por el número de términos requeridos para la precisión deseada)? Investigación B La evidencia arqueológica indica que los antiguos etruscos (antes de los romanos) jugaban dados usando unos con forma de dodecaedro con doce caras pentagonales numeradas de 1 a 12 (figura 10.3.7). Podríamos simular ese dado sacando una carta al azar de una baraja de 12 cartas numeradas de 1 a 12. Aquí, pensemos en una baraja con k cartas numeradas de 1 a k. Para trabajar con su propio valor personal de k, comience con el dígito mayor en la suma de los dígitos del número de su credencial de estudiante. Éste es su valor de k a menos que este dígito sea menor que 5, en cuyo caso lo restará de 10 para obtener su valor de k.

FIGURA 10.3.7 Dodecaedro de 12 lados.

a) John y Mary sacan alternados una carta de la baraja de k cartas. El primero en sacar un as —carta con el número 1— gana. Suponga que John va primero. Use la fórmula para la suma de una serie geométrica para calcular la probabilidad (como un número racional y como un decimal con cuatro cifras) J de que John gane, y de manera similar la probabilidad M de que Mary gane. Verifique que J + M  1. b) Ahora John, Mary y Paul sacan caras por turnos de la baraja de k cartas. Calcule por separado sus respectivas probabilidades de ganar, dado que John va primero y Mary en segundo lugar. Verifique que J + M + P  1.

10.4 SERIES DE TAYLOR Y POLINOMIOS DE TAYLOR Las series infinitas que estudiamos en la sección 10.3 tienen términos constantes y la suma de esas series (suponiendo que convergen) es un número. Por el contrario, gran parte de la importancia práctica de las series infinitas se deriva del hecho de que muchas funciones tienen representaciones útiles como series infinitas con términos variables. Y 3X

3X



 H X

 Y



  X









X



 3X

FIGURA 10.4.1 Gráficas de las sumas parciales S1(x), S2(x) y S3(x) de 1  XN H la series de potencias  X NH del ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Si escribimos r  x para la razón en una serie geométrica, entonces el teorema 1 de la sección 10.3 ofrece la representación de la serie infinita 1

XN H  C X C X C X C






NH

de la función f (x)  1/(1 − x). Esto es, para cada número fijo x con |x | < 1, la serie infinita en (1) converge al número 1/(1 − x). La n-ésima suma parcial 3N .X/ H  C X C X  C X  C


C X N



de la serie geométrica en (1) es ahora un polinomio de grado n que aproxima la función f (x)  1/(1 − x). La convergencia de la serie infinita para | x | < 1 sugiere que la aproximación    C X C X C X C


C XN  X debe entonces ser precisa si n es suficientemente grande. La figura 10.4.1 muestra las gráficas de 1/(1 − x) y las tres aproximaciones S1(x), S2(x) y S3(x). Parece que las aproximaciones son más precisas cuando n es grande y cuando x está cerca de cero. Z

744 CAPÍTULO 10

Series infinitas

La aproximación en (3) se puede usar para calcular los cocientes numéricos con una calculadora que sólo tiene las teclas +, −, × (pero no la tecla de ÷). Por ejemplo, :   H H :   :  :  .:/T C .:/ C .:/ C


C .:/ U  .:/.:/I AS¤   :;  redondeado a cuatro decimales. Ésta es una ilustración sencilla del uso de la aproximación polinomial para los cálculos numéricos. OBSERVACIÓN

Las definiciones de las distintas funciones trascendentes elementales dejan poco claro cómo calcular sus valores con precisión, excepto en unos cuantos puntos aislados. Por ejemplo, X  DT .X > / LN X H  T por definición, de manera que es evidente que ln 1  0, pero ningún otro valor de ln x es obvio. La función exponencial natural es el inverso de ln x, por lo que es claro que e0  1, pero no está claro cómopcalcular e x para x H 0. Sin duda, aun cuando una expresión que parece sencilla como X no es calculable (con precisión en un número finito de pasos) a menos que suceda que x sea el cuadrado de un número racional. Pero es fácil calcular cualquier valor de un polinomio 0.X/ H C C C X C C X  C


C CN X N

con coeficientes conocidos c0, c1, c2, . . . , cn (igual que en la observación de la sección anterior, sólo se requieren suma y multiplicación ). Una meta de esta sección es usar el hecho de que los valores de un polinomio se pueden calcular directamente para ayudar a obtener valores aproximados de funciones como ln x y e x.

Aproximación polinomial Y YFX

YFA FgA X A

Suponga que queremos calcular (o al menos aproximar) un valor específico f (x0) de una función dada f. Sería suficiente encontrar un polinomio P(x) con una gráfica que sea muy cercana a la de f en algún intervalo que contiene a x0, ya que en ese caso podríamos usar el valor de P(x0) como una aproximación al valor de f (x0). Una vez que sabemos cómo encontrar ese polinomio de aproximación P(x), la siguiente cuestión sería con qué exactitud aproxima P(x0) el valor deseado de f (x0). El ejemplo más sencillo de aproximación polinomial es la aproximación lineal F .X/  F .A/ C F .A/.X A/ obtenida al escribir x  x − a en la fórmula de aproximación lineal en la ecuación (3) de la sección 4.2. La gráfica del polinomio de primer grado

A

X

FIGURA 10.4.2 La recta tangente en (a, f (a)) es la aproximación lineal para y  f (x) cerca de a.

0 .X/ H F .A/ C F .A/.X A/



es la recta tangente a la curva y  f (x) en el punto (a, f (a)); vea la figura 10.4.2. Este polinomio de primer grado está de acuerdo con f y con su primera derivada en x  a. Esto es, 0 .A/ H F .A/ Y 0 .A/ H F .A/: EJEMPLO 2 Suponga que f (x)  ln x y que a  1. Entonces f (1)  0 y f (1)  1, de manera que P1(x)  x − 1. Así, esperamos que ln x ≈ x − 1 para x cercana a 1. Con x  1.1, encontramos que 0 .:/ H :;

MIENTRASQUE

El error en esta aproximación es alrededor de 5%.

LN.:/  ::

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

745

Para aproximar mejor ln x cerca de x  1, encontremos un polinomio de segundo grado 0 .X/ H C C C X C C X 

que no sólo tenga el mismo valor y la misma primera derivada, como ocurre con f en x  1, sino también la misma segunda derivada: 0 (1)  f (1)  −1. Para satisfacer estas condiciones, debemos tener 0 ./ H C C C C C H ; Y 0 ./ H C C C H ; 0 ./ H C H :

Al resolver estas ecuaciones, encontramos que c0  −, c1  2, c2  −, de modo que 0 .X/ H  C X  X  :

Con x  1.1 encontramos que P2(1.1)  0.0950, que tiene exactitud de tres decimales porque ln(1.1) ≈ 0.0953. La gráfica de y  P2(x) es una parábola que pasa por (1, 0) con el mismo valor, pendiente y curvatura ahí que y  ln x (figura 10.4.3), Z Y YX 

YLNX 

 

 

X

  Y X X  

FIGURA 10.4.3 Las aproximaciones lineal y parabólica a y  ln x cerca del punto (1, 0) (ejemplo 2).

La recta tangente y la parábola usadas en los cálculos del ejemplo 2 ilustran un enfoque general a una aproximación polinomial. Para aproximar la función f (x) cerca de x  a, buscamos un polinomio de grado n 0N .X/ H C C C X C C X  C


C CN X N

tal que su valor en a y los valores de sus primeras n derivadas en a sean los mismos que los valores correspondientes de f. Es decir, requerimos que 0N .A/ H F .A/; 0N .A/ H F .A/; 0N .A/ H F .A/; :: :



0N.N/ .A/ C F .N/ .A/:

Podemos usar estas n + 1 condiciones para evaluar los valores de los n + 1 coeficientes c0, c1, c2, . . . , cn. Sin embargo, el álgebra involucrada es mucho más sencilla si comenzamos con Pn(x) expresada como un polinomio de grado n en potencias de x − a en lugar de en potencias de x: 0N .X/ C C C C .X A/ C C .X A/ C


C CN .X A/N :

Luego, sustituyendo x  a en la ecuación (6), obtenemos c0  Pn (a)  f (a)



746 CAPÍTULO 10

Series infinitas

por la primera condición en la ecuación (5). Sustituimos x  a en 0N .X/ H C C C .X A/ C C .X A/ C


C NCN .X A/N YTENEMOS

C H 0N .A/ H F .A/

por la segunda condición en la ecuación (5). Después sustituimos x  a en 0N .X/ H C C 
C .X A/ C


C N.N /CN .X A/N PARAOBTENER C H 0N .A/ H F .A/ DEMANERAQUE C H

 

F .A/:

Continuamos este proceso para encontrar c3, c4, . . . , cn. En general, el término constante en la k-ésima derivada P (k) n (x) es k!ck, porque es la k-ésima derivada del término de grado k, bk(x − a)k en Pn(x): 0N.K/ .X/ H KWCK C fPOTENCIASDE X Ag:

(Recuerde que k!  1 · 2 · 3 · · · (k − 1) · k denota el factorial del entero positivo k, y se lee “k factorial”.) Así, cuando sustituimos x  a en P(k) n (x), encontramos que KWCK H 0N.K/ .A/ H F .K/ .A/

y por lo tanto que CK H

F .K/ .A/ KW



para k  1, 2, 3, . . . , n. Sin duda, la ecuación (7) se cumple también para k  0 si usamos la convención universal de que 0!  1 y acordamos que la derivada cero-ésima g(0) de la función g es sólo g misma. Con estas convenciones, nuestros cálculos establecen el siguiente teorema.

TEOREMA 1 Polinomio de Taylor de grado n Suponga que las primeras n derivadas de la función f (x) existen en x  a. Sea Pn(x) el polinomio de grado n N F .K/ .A/ .X A/K 0N .X/ H KW KH  F .A/ F .N/ .A/  N .X A/ C


C .X A/ : H F .A/ C F .A/.X A/ C W NW De esta forma, los valores de Pn(x) y sus primeras n derivadas están de acuerdo, en x  a, con los valores de f y sus primeras n derivadas ahí. Esto es, las ecuaciones en (5) se cumplen todas. El polinomio en la ecuación (8) se llama polinomio de grado n de la función f en el punto x  a. Observe que Pn(x) es un polinomio de potencias x − a en lugar de potencias de x. Para usar Pn(x) de manera efectiva para la aproximación de f (x) cerca de a, debemos ser capaces de calcular el valor de f (a) y los valores de sus derivadas f (a), f (a), etcétera, hasta f (n)(a). La recta y  P1(x) es simplemente la recta tangente a la curva y  f (x) en el punto (a, f (a)). Así, y  f (x) y y  P1(x) tienen la misma pendiente en este punto. Ahora recuerde, de la sección 4.6, que la segunda derivada mide la manera en que la curva y  f (x) se dobla cuando pasa por (a, f (a)). Por eso, llamamos a f (a) la “concavidad” de y  f (x) en (a, f (a)). Así, como 0 (a)  f (a), se deduce que y  P2(x) tiene el mismo valor, la misma pendiente y la misma concavidad en (a, f (a)) que y  f (x). Más aún, P3(x) y f (x) también tendrán la misma tasa de cambio de la concavidad en (a, f (a)). Estas observaciones sugieren que cuanto más grande es n, más de cerca aproximará el polinomio de Taylor de grado n a f (x) para x cerca de a.

SECCIÓN 10.4

EJEMPLO 3

Series de Taylor y polinomios de Taylor

747

Encuentre el polinomio de Taylor de grado n de f (x)  ln x en a  1.

Solución Las primeras derivadas de f (x)  ln x son F .X/ H

 ; X

F .X/ H

 ; X

F ./ .X/ H

 ; X

F ./ .X/ H

W ; X

F ./ .X/ H

W : X

El patrón es claramente: F .K/ .X/ H ./K

.K /W XK

PARA K

:

Entonces f (k) (1)  (−1)k−1(k − 1)!, de manera que la ecuación (8) da    ./N .X /N : 0N .X/ H .X / .X / C .X / .X / C


C    N

Y 

0X

Con n  2 obtenemos el polinomio cuadrático

0X

0 .X/ H .X /  .X / H  X  C X  ;



el mismo que en el ejemplo 2. Con el polinomio de Taylor de grado 3

YLNX













0 .X/ H .X /  .X / C  .X /

X



podemos ir un paso más allá en la aproximación de ln(1.1)  0.095310179. . . ≈ 0.0953. El valor

0X



0 .:/ H .:/  .:/ C  .:/  :  : FIGURA 10.4.4 Primeros tres polinomios de Taylor para aproximar f (x)  ln x cerca de x  1.

tiene exactitud de cuatro decimales (redondeado). En la figura 10.4.4 vemos que, si el grado es más alto y x está más cerca de 1, la aproximación ln x ≈ Pn(x) parece ser más exacta. Z En el caso común a  0, el polinomio de Taylor de grado n en la ecuación (8) se reduce a 0N .X/ C F ./ C F ./X C

Y

0X

  

 0X 

X XN X C C


C : W W NW

Z

Los primeros polinomios de Taylor para la función exponencial natural en a  0 son entonces 0 .X/ H ; 0 .X/ H  C X; 0 .X/ H  C X C  X  ;









0X

Encuentre el polinomio de Taylor de grado n para f (x)  e x en a  0.

0N .X/ C  C X C







Solución Éste es el polinomio de Taylor más fácil de calcular, porque f (k)(x)  e x para toda k 0. Entonces f (k)(0)  1 para toda k 0, de manera que la ecuación (9) da

YEX



EJEMPLO 4

F ./  F .N/ ./ N X C


C X  W N!



FIGURA 10.4.5 Primeros tres polinomios de Taylor para aproximar f (x)  e x cerca de x  0.

X

0 .X/ H  C X C  X  C  X  ; 0 .X/ H  C X C  X  C  X  C 0 .X/ H  C X C  X  C  X  C

  X ;      X C  X : 

La figura 10.4.5 muestra las gráficas de P1(x), P2(x) y P3(x). La tabla de la figura 10.4.6 muestra cómo se aproximan estos polinomios a f (x)  e x para x  0.1 y para x  0.5. Al menos para estos dos valores de x, cuanto más cerca está x de a  0, más rápidamente parece Pn(x) acercarse a f (x) cuando n crece.

748 CAPÍTULO 10

Series infinitas

X D : N

0N .X/

EX

E X 0N .X/

    

    

    

    

X D : N

0N .X/

EX

E X 0N .X/

     

     

     

     

FIGURA 10.4.6 Aproximación de y  e x con polinomios de Taylor en a  0.

Fórmula de Taylor La cercanía con la que el polinomio Pn(x) se aproxima a la función f (x) se mide por la diferencia 2 N .X/ H F .X/ 0N .X/; PARALACUAL F .X/ H 0N .X/ C 2 N .X/



Esta diferencia Rn(x) se llama residuo de grado n para f (x) en x  a. Es el error cometido si el valor f (x) se sustituye con la aproximación Pn(x). El teorema que nos permite estimar el error, o residuo, Rn(x) se llama fórmula de Taylor, por Brook Taylor (1685-1731), un seguidor de Newton que introdujo los polinomios de Taylor en un artículo publicado en 1715. La expresión particular para Rn(x) que damos a continuación se llama forma de Lagrange para el residuo porque apareció primero en 1797 en un libro escrito por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

TEOREMA 2 Fórmula de Taylor Suponga que la derivada (n + 1) de la función f existe en un intervalo que contiene los puntos a y b. De esta forma F .A/ .B A/ F .B/ H F .A/ C F .A/.B A/ C W F ./ .A/ F .N/ .A/ F .NC/ .Z/ C .B A/ C


C .B A/N C .B A/NC W NW .N C /W  para algún número z entre a y b. OBSERVACIÓN

Con n  0, la ecuación (11) se reduce a la ecuación F .B/ D F .A/ C F .Z/.B A/;

la conclusión del teorema del valor medio (sección 4.3). Así, la fórmula de Taylor es una generalización de mayor alcance del teorema del valor medio del cálculo diferencial.

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

749

Una demostración de la fórmula de Taylor está dada en el apéndice I. Si sustituimos b con x en la ecuación (11), obtenemos la fórmula de Taylor de grado n con residuo en x  a. F .A/ F ./ .A/ .X A/ C .X A/ W !

F .X/ H F .A/ C F .A/.X A/ C

C


C

F .N/ .A/ F .NC/ .Z/ .X A/N C .X A/NC ; NW .N C /W



donde z es algún número entre a y x. Así, el término del residuo de grado n es 2 N .X/ H

F .NC/ .Z/ .X A/NC .N C /W



que es fácil de recordar; es el mismo que el último término de Pn+1(x), excepto que f (n+1)(a) se sustituye con f (n+1)(z). EJEMPLO 3 (continuación)

Para estimar la exactitud de la aproximación ln 1.1 ≈ 0.095333,

sustituimos x  1 en la fórmula .K /W XK para la k-ésima derivada de f (x)  ln x y obtenemos F .K/ .X/ H ./K

F .K/ ./ C ./K .K /W:

Así, la fórmula de Taylor de grado 3 con residuo en x  1 es   W LN X H .X / .X / C .X / .X /   WZ  con z entre a  1 y x. Con x  1.1 esto da LN.:/  :

.:/ ; Z 

donde 1 < z < 1.1. El valor z  1 da la magnitud más grande posible (0.1)4/4  0.000025 del término del residuo. Se deduce que 0.095308 < ln(1.1) < 0.095334, de manera que concluimos que ln(1.1)  0.0953 con cuatro decimales de precisión.

Z

Series de Taylor Si la función f tiene derivadas de todos los órdenes, entonces podemos escribir la fórmula de Taylor (ecuación (11)) con cualquier grado n que se desee. Por lo común, el valor de z en el residuo de Taylor en la ecuación (13) no se conoce. De cualquier modo, algunas veces podemos usar (13) para demostrar que el residuo tiende a cero cuando n → +∞: L¤M 2 N .X/ H   N!1

para algún valor f ijo de x en particular. Entonces, la ecuación (10) proporciona N

F .X/ H L¤M ;0N .X/ C 2 N .X/= H L¤M 0N .X/ H L¤M N!1

N!1

N!1

KH

F .K/ .A/ .X A/K I KW

es decir, 1

F .X/ H KH

F .K/ .A/ .X A/K : KW



750

CAPÍTULO 10

Series infinitas

La serie infinita 1 NH

F .A/ F .N/ .A/ .X A/N H F .A/ C F .A/.X A/ C .X A/ NW W C


C

F .N/ .A/ .X A/N C


NW



se llama serie de Taylor de la función f en x  a. Sus sumas parciales son los polinomios de Taylor sucesivos de f en x  a. Podemos escribir la serie de Taylor de una función f sin saber si converge. Pero si el límite en la ecuación (14) se puede establecer, entonces se deduce como en la ecuación (15) que la serie de Taylor en la ecuación (16) en realidad converge a f (x). Si es así, entonces podemos aproximar el valor de f (x) con suficiente exactitud calculando el valor de un polinomio de Taylor para f con grado suficientemente alto. EJEMPLO 5 En el ejemplo 4 observamos que si f (x)  e x, entonces f (k)(x)  e x para toda k 0. Entonces la fórmula de Taylor F .X/ H F ./ C F ./X C

F ./  F .N/ ./ N F .NC/ .Z/ NC X C


C X C X W NW .N C /W

EN A H  DA X XN E Z X NC X C C


C C  W W NW .N C /W para alguna z entre 0 y x. Si x y por ende z son negativos entonces e z < 1, mientras que e z < e x si ambos son positivos. Así, el término del residuo Rn(x) satisface las desigualdades jXjNC SI X < ;  < j2 N .X/j < .N C /W EX H  C X C

 < j2 N .X/j <

E X X NC .N C /W

SI X > :

Por lo tanto, el hecho de que XN H  N!1 NW para toda x (vea el problema 55) implica que L¤M R n (x)  0 para toda x. Esto significa L¤M

N!1

que la serie de Taylor para e x converge a e x para toda x, y podemos escribir 1

EX H NH

X X X XN HCX C C C C


 NW W W W



La serie en la ecuación (19) es la más famosa y la más importante de las series de Taylor. Con x  1, la ecuación (19) da una serie numérica 1

EH NH

     H  C C C C C


NW W W W W



para el propio número e. La décima y la vigésima sumas parciales de esta serie dan las aproximaciones     : E   C C C


C W W W Y     :   ; E   C C C


C W W W las cuales, ambas, tienen precisión al número de decimales mostrados. Z

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

751

EJEMPLO 6 Para encontrar la serie de Taylor en a  0 para f (x)  cos x, primero calculamos las derivadas F .X/ H COS X;

F .X/ H SEN X;

F .X/ H COS X; F

./

.X/ H COS X; :: :

F .N/ .X/ H ./N COS X;

F

./

.X/ H SEN X;

F

./

.X/ D SEN X; :: :

F .NC/ .X/ H NC SEN X;

Se deduce que F .N/ ./ H ./N

PERO

F .NC/ ./ H ;

de modo que los polinomios de Taylor y las series de Taylor para f (x)  cos x incluyen sólo términos de grado par. La fórmula de Taylor de grado 2 para cos x en a  0 es COS X H 

X X X N COS Z C


C ./N C ./NC X NC ; W W .N/W .N C /W

donde z está entre 0 y x. Puesto que |cos z | 1 para toda z, se deduce de la ecuación (18) que el término del residuo tiende a cero cuando n → ∞ para toda x. Así, la serie de Taylor deseada de f (x)  cos x en a  0 converge a cos x para toda x, de manera que escribimos 1

COS X H NH

./N X N X X X H C C


: .N/W W W W



Z En el problema 41 le pedíamos que demostrara de manera similar a las series de Taylor para a  0 de f (x) sen x es 1

SEN X H NH

X X X ./N X NC HX C C


: .N C /W W W W



Las figuras 10.4.7 y 10.4.8 ilustran las aproximaciones cada vez mejores a cos x y sen x que obtenemos usando más y más términos de la serie en las ecuaciones (21) y (22). Y

N

N

 





YCOSX P

P

N

P

N

Y

N

X

N N

FIGURA 10.4.7 Aproximación de cos x con polinomios de Taylor de grado n.

N

N

 





YSENX P

P

N

X

P

N

N

FIGURA 10.4.8 Aproximación de sen x con polinomios de Taylor de grado n.

El caso a  0 de la serie de Taylor en (16) se llama serie de Maclaurin de la función f (x). 1 NH

F ./  F ./ ./  F .N/ ./ N X H F ./ H F ./X C X C X C


: NW W W



752

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Colin Maclaurin (1698-1746) fue un matemático escocés que usó esta serie como una herramienta básica en un libro de cálculo que publicó en 1742. Las tres series de Maclaurin 1

EX H NH 1

COS X H NH 1

SEN X H NH

X X X XN HCX C C C C


; NW W W W ./N X N X X X H C C


; .N/W W W W

 Y

X X X ./N X NC HX C C


.N C /W W W W

 

(que en realidad fueron descubiertas por Newton) soportan un cuidadoso examen y comparación. Observe que: • Los términos en la serie par del coseno son los términos de grado par en la serie exponencial pero con signos alternos. • Los términos en la serie impar del seno son los términos de grado impar en la serie exponencial pero con signos alternos. Las ecuaciones (19), (21) y (22) son identidades que se cumplen para todos los valores de x. En consecuencia, la nueva serie se puede obtener por sustitución, como en los ejemplos 7 y 8. EJEMPLO 7

Sustituyendo x  −t 2 en la ecuación (19) se llega a 

ET H  T  C

EJEMPLO 8

T T T N C


C ./N C


: W W NW

Z

Sustituyendo x  2t en la ecuación (22) se tiene     T C


: SENT H T T  C T    

Z

Fórmula de Euler La suma de una serie infinita por

cn con términos complejos cn  an + ibn está definida 1

1

CN H NH

1

AN H I NH

BN NH

siempre que las dos series infinitas de términos reales en el lado derecho converjan, en cuyo caso decimos que la serie de términos complejos en el lado izquierdo converge. Se puede demostrar que la serie exponencial en (19) converge siempre que el número x se sustituya con un número complejo z  x + i y. En consecuencia, la función exponencial e z se puede definir (para argumentos complejos al igual que reales) mediante la serie 1

EZ H NH

Z Z Z ZN HCZC C C C


: NW W W W

Si sustituimos el número imaginario puro z  iθ (con θ real), obtenemos 1

EI H NH

.I/ .I/ .I/ .I /N H  C I C C C C


NW W W W

  I    I  C C


W W W W     H  C


CI  C


W W W W H  C I

;

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

753

usando los hechos de que i2  −1, i3  −i, i4  1, etcétera. Reconocemos la serie de Maclaurin para cos θ y sen θ en el lado derecho y concluimos que EI H COS  C I SEN 

para todo número real θ. Ésta es la conocida fórmula de Euler. Por ejemplo, con θ  π da e i π  cos π + i sen π  −1, y de ahí la extraordinaria relación eiπ + 1  0 que asocia los cinco números especiales más importantes en matemáticas: 0, 1, i, π y e.

El número π En la sección 5.3 describimos cómo usó Arquímedes los polígonos inscritos en y circunscritos al círculo unitario para demostrar que   <  <    Con la ayuda de las  computadoras electrónicas, se ha calculado π hasta con más de mil millones de decimales. Ahora describiremos algunos métodos que se han usado en esas computadoras. [Para leer una crónica de la perenne fascinación de la humanidad con el número π, vea Peter Beckmann, A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971.] Comenzamos con la identidad algebraica elemental ./K X K  H  X C X  X  C


C ./K X K C ; CX CX



que se puede verificar multiplicando ambos lados por 1 + x. Sustituimos t 2 en lugar de x y n + 1 en lugar de k y encontramos  ./NC T NC    N N H  T C T T C


C ./ T C :  C T  C T

Como Dt tan−1 t  1/(1 + t 2 ), integrando ambos lados de esta última ecuación de t  0 a t  x tenemos TAN X H X

X X NC X X C C


C ./N C 2NC ;    N C 



DONDE X

j2NC j H 

T NC DX  C T

X

T NC D X H



jXjNC : N C 



Esta estimación del error deja claro que L¤M 2 N H 

N!1

si |x |

1. Así obtenemos la serie de Taylor para la función tangente inversa: 1

./N

TAN X H NH

X X X X NC HX C C


; N C    



válido para −1 x 1. Si sustituimos x  1 en la ecuación (27), obtenemos la serie de Leibniz     H  C C


:    

Aunque es una serie elegante, no es una manera efectiva de calcular π. Pero la estimación del error en la ecuación (26) muestra que podemos usar (25) para calcular tan−1 x si | x| es pequeña. Por ejemplo, si x  , entonces el hecho de que   : < : 


754

CAPÍTULO 10

Series infinitas

implica (usando n  3) que la aproximación TAN

 



 



    

C

    



    

tiene exactitud de seis decimales. Los cálculos precisos de la tangente inversa llevan a cálculos precisos del número π. Por ejemplo, podemos usar la fórmula de la suma para la función tangente para demostrar (problema 52) que   H  TAN  

TAN

 : 



En 1706, John Machin usó la ecuación (28) para calcular los primeros 100 decimales del número π. (En el problema 54 se pide que la use para demostrar que π  3.14159 para cinco decimales.) En 1844, la calculadora mental con velocidad de la luz, Zacharias Dase de Alemania calculó los primeros 200 decimales de π, usando la fórmula relacionada

NOTA HISTÓRICA

  H TAN  

C TAN

 

C TAN

 : 



Es posible que disfrutara verificando esta fórmula. (Vea el problema 53.) En un cálculo reciente de 1 millón de decimales de π se usó la fórmula   H  TAN  

C  TAN

 

 TAN

 : 

Para ver el desarrollo de esta fórmula y otras similares, con un análisis de los cálculos del número π, consulte el artículo “An algorithm for the calculation of π” de George Miel en el American Mathematical Monthly 86, 1979, pp. 694-697. Aunque pocas aplicaciones prácticas requieren más de diez o doce decimales de π, estos cálculos proporcionan una evidencia sorprendente del poder de la fórmula de Taylor. Más aún, el número π sigue siendo un reto para el ingenio humano y para la exactitud y eficiencia de las computadoras modernas. Puede encontrar un recuento de la manera en que las investigaciones del genio matemático de India Srinivasa Ramanujan (1887-1920) llevaron recientemente al cálculo de más de mil millones de decimales de π en el artículo “Ramanujan and pi”, Johnathan M. Borwein y Peter B. Borwein, Scientific American, febrero de 1988, pp. 112-117.

10.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas.  H  C X C X C X C


C XN X 2. Si f es derivable en x  a y x está cerca de a, entonces

1.

F .X/  F .A/ C F .A/.X A/:

3. El polinomio de Taylor de grado n de f (x)  ln x en a  1 es    ./N 0N .X/ H .X / .X / C .X / .X / C


C .X /N :    N 4. El polinomio de Taylor de grado 3 de f (x)  e x en a  0 es   0 .X/ H  C X C X  C X  :   5. La fórmula de Taylor de grado 3 con residuo en x  1 proporciona 0.0953083 < ln(1.1) < 0.0953334.

SECCIÓN 10.4

Series de Taylor y polinomios de Taylor

755

6. Para todo número real x, X X X C C C


: W W W

EX H  C X C

7. Para todo número real x, COS X H 

X X X C C


: W W W

8. Para todo número real x, SEN X H X

9. Si −1

x

X X X C C


: W W W

1, entonces TAN X H X

X X X C C


:   

10. La fórmula de Euler implica que eπi  1.

10.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que tomamos la fórmula de Euler e i θ  cos θ + i sen θ como punto de partida y definimos la exponencial e z  e x + i y como sigue: E Z H E X EI Y H E X .COS Y C I SEN Y/:

¿Puede probar basado en esto que e z + w  e zew si z  x + i y y w  u + iv son números complejos? 2. ¿Puede usar la definición de e z en la pregunta 1 para probar que Dx e k x  ke k x si k  a + bi es una constante compleja y x es una variable real?

10.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, encuentre la fórmula de Taylor para la función f dada en a  0. Encuentre ambos, el polinomio de Taylor Pn(x) del grado indicado n y el término del residuo Rn(x).  F .X/ H EX I N H   F .X/ H SEN XI

NH

 F .X/ H COS XI N H    F .X/ H I NH X p  F .X/ H  C XI N H   F .X/ H LN. C X/I  F .X/ H TAN XI

NH NH

 F .X/ H SEN XI

NH

 F .X/ H X  X  C X I

A H ; N H 

 F .X/ H SEN XI A H =; N H   F .X/ H X = I A H ; N H   I A H ; N H   F .X/ H p X

 F .X/ H EX

 F .X/ H EXP.X  / X  F .X/ H SEN 

 F .X/ H SEN X NH

En los problemas 11 a 20, encuentre el polinomio de Taylor con residuo para los valores dados de a y n.  F .X/ H E X I A H ; N H   F .X/ H COS XI

A H =; N H 

 F .X/ H COS XI

En los problemas 21 a 28, encuentre la serie de Maclaurin de la función f dada sustituyendo en una de las series conocidas de las ecuaciones (19), (21) y (22).  F .X/ H EX  F .X/ H EX

NH

 F .X/ H ARCTAN XI

 F .X/ H TAN XI

A H =; N H 

 F .X/ H SEN XI A H =; N H  p  F .X/ H XI A H ; N H   I A H ; N H   F .X/ H .X /

 F .X/ H SEN X   F .X/ H SEN  X H  . COS X/

En los problemas 29 a 40, encuentre la serie de Taylor [ecuación (16)] de la función dada en el punto a indicado.  F .X/ H LN. C X/I A H    F .X/ H I AH X  F .X/ H EX I A H   F .X/ H SEN XI

A H =

756

CAPÍTULO 10

Series infinitas

 F .X/ H EX  F .X/ H COS X   F .X/ H CX  ,AFUNCI˜N

 F .X/ H LN XI A H   F .X/ H EX I A H   F .X/ H COS XI A H =   F .X/ H I AH . X/   F .X/ H I A H  X  F .X/ H COS XI A H =  F .X/ H SEN XI A H = p  F .X/ H  C XI A H 

1

1 NH

X N .N/W

X X X ./N X N H C C


.N/W W W W NH p se define reemplazando x con X en la serie de Maclaurin para cos x. Bosqueje las sumas parciales de la serie para verificar gráficamente que f (x) está de acuerdo con la función g(x) definida por p COS X SI X ; G.X/ H p COSH jXj SI X < : F .X/ H

41. Obtenga, como en el ejemplo 6, la serie de Taylor en la ecuación (22) de f (x)  sen x en a  0. 42. Si se garantiza que es válido derivar las series de Taylor del seno y el coseno término a término, use estas series para verificar que Dx cos x  − sen x y Dx sen x  cos x. 43. Utilice las fórmulas de derivación Dx senh x  cosh x y Dx cosh x  senh x para obtener la serie de Maclaurin COSH X H

 F .X/ H SEN X  F .X/ H LN. C X/   F .X/ H  X

1

Y

SENH X H NH

X NC .N C /W

para las funciones de seno y coseno hiperbólicos. ¿Cuál es su relación con la serie de Maclaurin de las funciones de seno y coseno ordinarias? 44. Obtenga la serie de Maclaurin establecida en el problema 43 sustituyendo la serie de Maclaurin conocida para la función exponencial en las definiciones E X EX E X C EX Y SENH X H COSH X H   de las funciones hiperbólicas. Los comandos de suma dados para varios sistemas algebraicos de computadora en la investigación de la sección 10.3 se pueden usar para calcular los polinomios de Taylor con eficiencia. Por ejemplo, cuando se programan las definiciones para la calculadora con gráficas de TI Y1 = sin(x) Y2 = sum(seq((-1)∧N*X∧(2N+1)/ (2N+1)!,N,0,6))

el resultado es la figura 10.4.9, que muestra que el polinomio de Taylor de grado 13, P13(x) aproxima sen x bastante cerca si −3π/2 < x < 3π/2 pero no fuera de este intervalo. Al graficar varios polinomios de Taylor sucesivos de una función f (x) simultáneamente, podemos visualizar la manera en que se aproximan a la función. Haga esto para cada función dada en los problemas 45 a 50. Y

0X YSENX



P

P 

X



52. Comenzando con  H TAN .  / use la fórmula de suma TAN.! C "/ H

para demostrar respectivamente que a) TAN  H   b) tan 4α     c) TAN .= / H   Por último, demuestre que el  inciso c) implica la ecuación (28). 53. Aplique la fórmula de la adición de la función tangente, para verificar la ecuación 29. 54. Toda persona joven merece sentir la emoción, sólo una vez, de calcular personalmente los primeros decimales del número π. La naturaleza en apariencia aleatoria de esa expansión decimal exige una explicación; ¿cómo se determinan los dígitos 3.14159 26535 89793. . .? Una respuesta parcial la obtiene si establece su calculadora para que despliegue nueve decimales. Luego sume suficientes términos de la serie de arco-tangente en (27) con X H  para calcular arctan.  / con precisión de nueve decimales. Posteriormente, calcule el valor de arc / de manera similar. Para terminar, sustituya estos retan.  sultados numéricos en la ecuación (28) y despeje π. ¿Cuántos decimales precisos obtuvo? 55. Demuestre que XN H L¤M N!1 NW si x es un número real. [Sugerencia: elija un entero k tal que k > | 2x| y haga L  | x|k/k!. Después demuestre que jXjN , < NK NW 

si n > k.] 56. Suponga que 0 < x

1. Integre ambos lados de la identidad

 ./NC T NC H  T C T  T  C


C ./N T N C CT CT

de t  0 a t  x para demostrar que LN. C X/ H X

X NC X X C


C ./N C 2 N;   NC

donde L¤M Rn  0. Con esto concluya que N!1

FIGURA 10.4.9 Gráficas de y  sen x y su polinomio de Taylor de grado 13, P13 (x).

TAN ! C TAN "  TAN ! TAN "

1

./NC

LN. C X/ H NH

si 0 < x

1.

XN N

SECCIÓN 10.5

57. Critique la siguiente “demostración” de que 2  1. Sustituyendo x  1 en el resultado del problema 56 se llega a que LN  H   C   C


: 3I 3 HC

 

C

 

C

 

y luego que LN

si 0  

C

 

C

 

C

 

757

X X N X CX H H XC C C


 X N IMPAR N  

C


;

ENTONCES LN  H 3 


Prueba de la integral

C


H 3 3 H :

Así, 2  eln 2  e0  1 58. Deduzca del resultado del problema 56 primero que 1 X X XN H X


LN. X/ H N   NH

x

1.

59. Aproxime el número ln 2 ≈ 0.69315 primero por sustitución de x  1 en la serie de Maclaurin del problema 56, y luego sustituyendo x   (¿por qué?) en la segunda serie del problema 58. ¿Cuál enfoque parece requerir menos términos para llevar al valor de ln 2 con exactitud de un número dado de decimales?

10.4 INVESTIGACIÓN: cálculo de logaritmos en una isla desierta Usted está varado de por vida en una isla desierta con sólo una calculadora básica que no calcula logaritmos naturales. Para que la ciencia moderna siga su curso en esta miserable isla, debe usar la serie infinita para ln[(1 + x)/(1 − x)] en el problema 58 para producir una simple tabla de logaritmos (digamos, con cinco decimales de precisión), con valores de ln x al menos para x  1, 2, 3, . . . , 9 y 10. La manera más directa puede ser usar la serie para ln[(x + 1)/(1 − x)] para calcular primero ln 2, ln 3, ln 5 y ln 7. Después use la ley de logaritmos ln xy  ln x + ln y para obtener los elementos de la tabla con la simple suma de logaritmos ya calculados. Desafortunadamente, los valores más grandes de x dan como resultado series que convergen con mayor lentitud. Ahorre tiempo y trabajo ejerciendo cierto ingenio: calcule desde el principio unos cuatro logaritmos diferentes con los que pueda construir el resto. Por ejemplo, si conoce ln 2 y ln 1.25 entonces ln 10  ln 1.25 + 3 ln 2. (¿Por qué?) Sea tan ingenioso como quiera. ¿Puede completar la tabla de diez logaritmos calculando directamente (mediante las series) menos de cuatro logaritmos para comenzar? Para terminar, calcule de alguna manera (desde el principio y con exactitud de cinco decimales redondeados) el logaritmo natural ln ( pq.rs), donde p, q, r y s denotan los últimos dígitos diferentes de cero del número de su credencial de estudiante.

10.5 PRUEBA DE LA INTEGRAL Una serie de Taylor (como en la sección 10.4) es un tipo especial de serie infinita con términos variables. Vimos que la fórmula de Taylor puede usarse algunas veces —como en el caso de la serie exponencial, del seno y del coseno— para establecer la convergencia de esas series. Pero dada una serie infinita an con términos constantes, es la excepción y no la regla cuando una sencilla fórmula para la n-ésima suma parcial de esa serie se puede encontrar y usar directamente para determinar si la serie converge o diverge. Sin embargo, existen varias pruebas de convergencia que usan los términos de una serie infinita en lugar de sus sumas parciales. Estas pruebas, cuando tienen éxito, nos dicen si una serie converge o no. Una vez que sabemos que la serie an converge, otro asunto es encontrar su suma S. Puede ser necesario aproximar S sumando un número suficiente de términos; en este caso necesitamos saber cuántos términos se requieren para la exactitud deseada. Aquí y en la sección 10.6, concentramos nuestra atención en series de términos positivos; es decir, series con términos que son todos positivos. Si an > 0 para toda n, entonces S1 < S2 < S3 < · · · < Sn < · · · , de manera que la sucesión {Sn} de sumas parciales es creciente. Aquí sólo hay dos posibilidades. Si la sucesión {Sn} es acotada —existe un número M tal que Sn < M para toda n— entonces la propiedad de una sucesión monótona acotada (sección 10.2) implica que S  L¤M S n existe, de modo que la serie an converge. De otra manera, N!1

diverge a infinito (por el problema 52 de la sección 10.2).

758

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Una alternativa similar se cumple para las integrales impropias. Suponga que la función f es continua y de valores positivos para x 1. De esta manera se deduce (del problema 51) que la integral impropia 1

B

F .X/ D X H L¤M

F .X/ D X

B!1 





o bien converge (el límite es un número real) o diverge al infinito (el límite es +∞). Esta analogía entre series de términos positivos e integrales impropias de funciones positivas es la clave para la prueba de la integral. Comparamos el comportamiento de la serie an con el de la integral impropia en la ecuación (1), donde f es una función elegida adecuadamente. [Entre otras cosas, requerimos que f (n)  an para toda n.]

TEOREMA 1 Prueba de la integral Suponga que an es una serie de términos positivos y que f es una función de valores positivos, decreciente, continua para toda x 1. Si f (n)  an para todos los enteros n 1, entonces la serie y la integral impropia 1

1

AN

Y

F .X/ D X 

NH

ambas convergen o bien ambas divergen. Demostración Puesto que f es una función decreciente, el polígono rectangular con área

3N H A C A C A C


C AN

mostrado en la figura 10.5.1 contiene la región bajo y  f (x) de x  1 a x  n + 1. Entonces NC

F .X/ D X

3N :





De manera similar, el polígono rectangular con área 3N A H A C A C A C


C AN

mostrada en la figura 10.5.2 está contenido en la región bajo y  f (x) de x  1 a x  n. Así, N

3N A

F .X/ D X:





Y

Y

YFX

YFX

A



A



A

A 

A 

A 

A 



AN N N

FIGURA 10.5.1 Subestimación de las sumas parciales con la integral.

X



A



A 

A 

AN 

N  N

FIGURA 10.5.2 Sobrestimación de las sumas parciales con la integral.

X

SECCIÓN 10.5

Suponga primero que la integral impropia +∞). Entonces

1 

Prueba de la integral

759

F .X/ D X diverge (necesariamente a

NC

F .X/ D X H C1;

L¤M

N!1 

por lo que se deduce de (2) que L¤M Sn  +∞ también, y con ello la serie infinita an N!1 diverge igualmente. 1 Ahora suponga que, en cambio, la integral impropia  F .X/ D X converge y tiene un valor (finito) I. Entonces (3) implica que N

3N

A C

F .X/ D X

A C );



de modo que la sucesión creciente {Sn} está acotada. Así, la serie infinita 1

AN H L¤M 3N NH

N!1

converge también. Así, hemos demostrado que la serie infinita y la integral impropia convergen o divergen ambas. X EJEMPLO 1 Usamos una versión de la prueba de la integral para demostrar en la sección 10.3 que la serie armónica 1 NH

    H  C C C C


N   

diverge. Utilizar esta prueba como la establece el teorema 1 es un poco más sencillo. Notamos que f (x)  1/x es positiva, continua y decreciente para x 1 y que f (n)  1/n para cada entero positivo n. Ahora 1 

 D X H L¤M B!1 X

B 

 D X H L¤M LN X B!1 X

B 

H L¤M .LN B LN / H C1: B!1

Entonces la integral impropia diverge y, por lo tanto, también lo hace la serie armónica. Z La serie armónica es el caso de p  1 de la serie p 1 NH

    H  C P C P C


C P C


: P N   N



El hecho de si la serie p converge o diverge depende del valor de p. EJEMPLO 2

Demuestre que la serie p converge si p > 1 pero diverge si 0 < p

1.

Solución El caso p  1 ya se estableció en el ejemplo 1. Si p > 0 pero p H 1, la función f (x)  1/x p satisface las condiciones de la prueba de la integral y 1 

 D X H L¤M B!1 XP

B

  D X H L¤M P B!1 . P /X P  X   H L¤M  P : B!1 P  B

B 

3I P >  ENTONCES 1 

  < 1; DX H P X P

de manera que la integral y la serie convergen las dos. Pero si 0< p < 1, entonces 1   .B P / H 1; D X H L¤M P B!1 X  P  y en este caso la integral y la serie divergen ambas.

X

760 CAPÍTULO 10

Series infinitas

Como ejemplos específicos, la serie 1 NH

    H  C  C  C


C  C


 N   N

converge ( p  2 > 1), mientras que la serie 1 NH

    p H  C p C p C


C p C


N N  

diverge ( p   1). Ahora suponga que la serie de términos positivos an converge por la prueba de la integral y que deseamos aproximar su suma con un número suficientemente grande de sus términos iniciales. La diferencia entre la suma S de la serie y su n-ésima suma parcial Sn es el residuo 2 N H 3 3N H ANC C ANC C ANC C


:



Este residuo es el error cometido cuando se estima la suma usando en su lugar la suma parcial Sn.

TEOREMA 2 Estimación del residuo con la prueba de la integral Suponga que la serie infinita y la integral impropia 1

1

AN

Y

F .X/ D X 

NH

satisfacen las hipótesis de la prueba de la integral, y suponga que además ambos convergen. Entonces 1

1

F .X/ D X

2N

F .X/ D X;

NC



N

donde Rn es el residuo dado en la ecuación (5). Y

Demostración

Observamos en la figura 10.5.3 que KC

K

F .X/ D X

AK

F .X/ D X

K

YFX

AK

K

para k  n + 1, n + 2, . . . Sumamos estas desigualdades para todos esos valores de k y el resultado es la desigualdad en (6), porque 1

2N H

AK

AK ; KHNC

K  K K

X

1

KC

1

F .X/ D X H FIGURA 10.5.3 Estimación del residuo de la prueba de la integral.

F .X/ D X;

KHNC K

NC

y 1

K

1

F .X/ D X H KHNC K

F .X/ D X: N

X

Si sustituimos Rn  S − Sn, entonces se deduce de (6) que la suma de S de la serie satisface la desigualdad 1

3N H

1

F .X/ D X NC

3

3N C

F .X/ D X N



SECCIÓN 10.5

Prueba de la integral

761

Si se conoce la n-ésima suma parcial Sn y la diferencia NC

F .X/ D X N

entre las dos integrales es pequeña, entonces (7) proporciona una estimación precisa de la suma S de la serie infinita. EJEMPLO 3 Veremos en la sección 10.8 que la suma exacta de la serie p con p  2 es π 2/6, que da la bella fórmula     H  C  C  C  C


:      Utilice esta serie para aproximar el número π aplicando la estimación del residuo de la prueba de la integral primero con n  50 y luego con n  200.

Solución Es evidente que si tomamos f (x)  1/x2 en la estimación del residuo. Como 1  B     D X H L¤M H L¤M H ;  B!1 B!1 X X N B N N N la ecuación (7) proporciona     3N C 3N C ; NC  N DONDE    3N H  C  C  C


C    N es la n-ésima suma parcial de la serie en (8). Después de multiplicar por 6 y tomar la raíz cuadrada, (9) ofrece la desigualdad  3N C

 NC



 3N C

 : N



Podría sumar los primeros 50 términos en (8) uno por uno en unos cuantos minutos usando una calculadora sencilla de cuatro funciones, pero este tipo de aritmética es precisamente la tarea para la que se diseñaron las calculadoras y los sistemas algebraicos de las computadoras modernas. Una instrucción de una línea como el comando de calculadora sum(seq(1/n∧2,n,1,50)) proporciona 

3 H NH

  :: N

De este modo, para ilustrar esto, si usamos (9) en lugar de (10), calculamos    < < : C I     : < < :I  : <  < :: Por último, redondeando hacia abajo en el lado izquierdo y hacia arriba en el derecho (¿por qué?), concluimos que 3.1414 < π < 3.1418. El promedio de estas dos cotas es la aproximación tradicional de cuatro decimales π ≈ 3.1416. La suma parcial 200 de la serie en (8) es : C



3 H NH

  :: N

Sustituyendo esta suma y n  200 en (10) obtenemos 3.14158081 < π < 3.14160457. Esto prueba que π ≈ 3.1416 redondeado con cuatro decimales de precisión

Z

762 CAPÍTULO 10

Series infinitas

EJEMPLO 4

Demuestre que la serie 1 N H

 N.LN N/



converge y determine cuántos términos necesitaría sumar para encontrar su suma con exactitud de 0.01. Esto es, ¿qué tan grande debe ser n para que el residuo satisfaga la desigualdad Rn < 0.01?

Solución Comenzamos la suma en n  2 porque ln 1  0. Sea f (x)  1/[x(ln x)2]. Por lo tanto 1 N

  D X H L¤M  B!1 X.LN X/ LN X

B

H L¤M N

B!1

  LN N LN B

H

 : LN N

La sustitución de n  2 muestra que la serie en (11) converge (por la prueba de la integral). Nuestros cálculos y la desigualdad de la derecha en (6) ahora da Rn < 1/(ln n), de manea que necesitamos  :I LN N I N E  :   : LN N Una computadora que pueda calcular mil millones (109) de términos por segundo requeriría alrededor de 8.5 × 1026 años —mucho más que el tiempo de vida esperado del universo— para sumar esta cantidad de términos. Pero usted puede verificar que la exactitud a un solo decimal —es decir, Rn < 0.05— únicamente requeriría alrededor de n  4.85 × 108 (menos de 500 millones) de términos, lo cual está dentro de las posibilidades de una computadora personal poderosa. Z

10.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La prueba de la integral es una prueba para determinar si una serie de términos positivos converge o diverge. 2. La prueba de la integral se puede usar para demostrar que la serie armónica 1  diverge. N NH 1  3. La serie p converge si p > 1. NP NH 1  p converge. 4. La serie N NH 5. La estimación del residuo de la prueba de la integral se usa en la sección 10.5 para demostrar que 3.14158081 < π < 3.14160457. 1  diverge. 6. La N.LN N/ NH 1

7. La prueba de la integral demuestra que la serie NH 1

8. La prueba de la integral demuestra que la serie 9. La serie p diverge si 0 < p 1. 10. El ejemplo 3 demuestra que

NH

./NC diverge. N ./NC converge. N

    H  C  C  C  C


:    

SECCIÓN 10.5

Prueba de la integral

763

10.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Cuál puede ser el significado de decir que una serie infinita converge con mayor lentitud que otra? ¿Quizá que deben sumarse más términos de una que de la otra para que el residuo Rn sea menor que un error predeterminado? Si es así, compare las tasas a las que las series n−2, n−3/2, n−4/3, . . . , n−101/100, . . . , convergen. 2. ¿Puede usar series infinitas como las dadas en la pregunta 1 para ilustrar la aseveración de que, no importa qué tan lento converja una serie infinita, existe otra que converge aún más despacio? 3. ¿Se le ocurre una manera en que las series infinitas convergentes de la pregunta 1 se parezcan cada vez más a la serie armónica divergente n−1? Analice la posibilidad de que dos series infinitas se parezcan entre sí tan cercanamente como se quiera, pero que una converja y la otra diverja.

10.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 30, utilice la prueba de la integral para probar la convergencia de la serie dada. 1

 NH

N

1



p NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH

NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH

1

 NH 1

  N C



 N LN N



NH 1 NH 1

 N



N EN



LN N N



N  N C



NH 1 NH 1 NH

N EN   .N C /=



 N.N C /

NH

 N

NH 1

N N  C 



 p N LN N



NH 1 NH 1

 N  C 



N N  C N  C 



ARCTAN N N C 



NH 1 NH 1 NH

NH

SEN N N





1

 N  NC N N

 CN

NH 1

1



N EN

LN



NH

 C SEN N N

LN N N

1



1

En los problemas 35 a 38, determine los valores de p para los que la serie dada converge. 1 1  N   N  C / P P .N NH NH

1

N C  N  C N C 

NH



NH

NC

LN  C 1





1



1

N C

En los problemas 31 a 34, explique por qué la prueba de la integral no se aplica a la serie dada. 1 1 ./N  EN SEN N  N NH NH

NC N

=N N N .N  C /=  N.LN N/

NH

 N.LN N/ P

1

 NH

 N.LN N/ ;LN.LN N/= P

En los problemas 39 a 42, encuentre el entero positivo menor n tal que el residuo Rn en el teorema 2 es menor que E. 1 1    I % H :  I % H :  N N NH NH 1

 NH

 I N

1

% H :

 NH

 I N

% H   

En los problemas 43 a 46, encuentre la suma de la serie dada con la precisión al número k de decimales indicado. Comience por encontrar el valor más pequeño de n tal que el residuo satisface la desigualdad Rn < 5 × 10−(k+1). Después utilice una calculadora para calcular la suma parcial Sn y redondee correctamente. 1 1     K H    KH =  N N NH NH 1

  N

1

  N

NC N C 



 .N C /

En los problemas 47 y 48, use un sistema algebraico de computadora (si es necesario) para determinar los valores de p para los cuales converge la serie infinita dada. 1 1 LN N    P LN N N P NH NH

 N.LN N/TLN.LN N/U

NH

KH

 NH

KH

764 CAPÍTULO 10

Series infinitas

49. Deduzca de las desigualdades en (2) y (3) con la función f (x)  1/ x que LN N

C

   C C


C   N

 C LN N

para n  1, 2, 3, . . . Si una computadora suma 1 millón de términos de la serie armónica por segundo, ¿cuánto tiempo tomará que la suma parcial llegue a 50? 50. a) Sea CN H  C

N!1

NC

 DX X

cn

C

N!1

   C C


C LN N   N

 : se conoce como la constante de Euler. 51. Suponga que la función f es continua y de valores positivos para x 1. Sea N

BN H

F .X/ D X 

   C C


C LN N   N

para n  1, 2, 3, . . . Deduzca del problema 49 que 0 para toda n. b) Observe que

N

H L¤M CN H L¤M

para n  1, 2, 3, . . . a) Suponga que la sucesión creciente {bn} está acotada, de manera que B  L¤M bn existe. DeN!1 muestre que

1

1

F .X/ D X H ":

 : NC



b) Pruebe que si la sucesión {bn} no está acotada, entonces 1

Concluya que la sucesión {cn} es decreciente. Por lo tanto la sucesión {cn} converge. El número

F .X/ D X H C1: 

10.5 INVESTIGACIÓN: el número π, de una vez por todas Cuando sustituimos el parámetro p en la serie p 1/n p con la variable x, obtenemos una de las funciones trascendentes más importantes en las matemáticas avanzadas, la función zeta de Riemann 1

 .X/ H NH

    H  C X C X C X C


: NX   

Podemos sustituir un número complejo x  a + bi en la función zeta. Ahora que el último teorema de Fermat está demostrado, la más famosa conjetura sin resolver en matemáticas es la hipótesis de Riemann: que ζ (a + bi)  0 implica que a   ; es decir, que la parte real de los únicos ceros complejos de la función zeta de Riemann es . (El más pequeño de estos ejemplos es aproximadamente  + 14.13475i.) La realidad de la hipótesis de Riemann tendrá implicaciones profundas en la teoría de números, incluyendo información acerca de la distribución de los números primos. OBSERVACIÓN

En los problemas 1 a 4, use el valor dado de la función zeta y la estimación del residuo de la prueba de la integral (como en el ejemplo 3 de esta sección) con el valor dado de n para determinar la exactitud del valor del número π con este método. Sabiendo que π ≈ 3.14159 26535 89793 23846, escriba cada respuesta final en la forma π ≈ 3.abcde . . . , dando precisamente esos dígitos que son correctos o están correctamente redondeados.  CON N H       ./ H CON N H  

  ./ H

 CON N H       ./ H CON N H     ./ H

5. Por último, utilice uno de los cuatro problemas anteriores y su propia elección cuidadosa de n para demostrar que π ≈ 3.141592654 con todos los dígitos correctos o correctamente redondeados. Euler demostró que si n es par entonces ζ(n) es un racional múltiplo de π n (como en los casos n  2, 4, 6, 8 citados antes). Como cualquier potencia entera de π es irracional, se deduce que el número ζ(n) es irracional si n es par. Pero se sabía poco acerca de ζ(n) para n impar antes de 1978, cuando Roger Apéry probó que ζ(3) es

SECCIÓN 10.6

Pruebas de comparación para series de términos positivos 765

irracional. En la sección 7.7 de Andrews, Askey y Roy, Special Functions (Cambridge Univ. Press, 1999), los autores demostraron que existen sucesiones infinitas {An} y {Bn} de enteros tales que  < j! N C " N  ./j < 


 

N

para cada enero n 1. ¿Puede explicar por qué esto implica que ζ(3) es irracional? (Suponga lo contrario, que ζ(3)  p/q es racional.)

10.6 PRUEBAS DE COMPARACIÓN PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Con la prueba de la integral intentamos determinar si una serie infinita converge o no comparándola con una integral impropia. Los métodos de esta sección incluyen la comparación de términos de la serie de términos positivos an con los de otra serie de términos positivos bn cuya convergencia o divergencia se conoce. Ya hemos desarrollado dos familias de series de referencia para el papel de la serie conocida bn; éstas son la serie geométrica de la sección 10.3 y la serie p de la sección 10.5. Se adaptaron bien a nuestros fines porque es sencillo determinar su convergencia o divergencia. Recuerde que la serie geométrica r n converge si | r | < 1 y diverge si | r | 1, y que la serie p 1/n p converge si p > 1 y diverge si 0 < p 1. Sean an y bn dos series de términos positivos. Entonces decimos que la serie bn domina a la serie an siempre que a bn para toda n. El teorema 1 dice que la serie de términos positivos convergen si está dominada por una serie convergente y diverge si está dominada por una serie divergente de términos positivos.

TEOREMA 1 Prueba por comparación Suponga que an y bn son series de términos positivos. De esta manera 1. 2.

an converge si bn converge y an bn para toda n; an diverge si bn diverge y an bn para toda n.

Demostración Denote la n-ésima suma parcial de las series an y bn por Sn y Tn , respectivamente. Entonces, {Sn} y {Tn} son sucesiones crecientes. Para probar la parte 1, suponga que bn converge de manera que T  L¤M Tn existe (T es un número real). N!1

Entonces el hecho de que an bn para toda n implica que Sn Tn T para toda n. Así, la sucesión {Sn} de sumas parciales de an es acotada y creciente y por lo tanto converge, así que la an converge. La parte 2 es sólo otra manera de establecer la parte 1. Si la serie an convergiera, entonces el hecho de que an domina bn implicaría —por la parte 1, con an y bn intercambiadas— que bn converge. Pero bn diverge, por lo que se deduce que an debe también divergir. X Por el teorema 5 de la sección 10.3 sabemos que la convergencia o divergencia de una serie infinita no se ve afectada por la inserción u omisión de un número finito de términos. En consecuencia, las condiciones an bn y an bn en las dos partes de la prueba de comparación realmente necesitan mantenerse sólo para toda n k, donde k es algún entero positivo fijo. Así, podemos decir que la serie de términos positivos an converge si está “finalmente dominada” por la serie de términos positivos convergente bn. EJEMPLO 1

Como   <  N.N C /.N C / N

para toda n

1, la serie 1 NH

    H C C C


N.N C /.N C / 

 

 



766 CAPÍTULO 10

Series infinitas

está dominada por la serie 1/n3, la cual es una serie p convergente con p  3. Ambas son series de términos positivos, y por ello la serie 1/[n(n + 1)(n + 2)] converge por la parte 1 de la prueba por comparación. Z EJEMPLO 2

Como   >p p N  N

para toda n

1, la serie de términos positivos 1 NH

    H  C p C p C p C


p N    

domina a la serie 1 NH

  p Hp N 

1 NH

 : N =

Pero 1/n1/2 es una serie p divergente con p  , y un múltiplo constante diferente de cero de una serie divergente diverge. p De manera que la parte 2 de la prueba por Z comparación implica que la serie = N  también diverge. EJEMPLO 3

Pruebe la convergencia de la serie 1 NH

    H  C C C C


NW W W W

Solución Observamos primero que si n

1, entonces

NW H N.N /.N /




 






 ELMISMON¢MERODEFACTORES 

es decir, n!

2n−1 para n

1. Entonces  NW

 N

PARA N

;

de manera que la serie 1 NH

 NW

1

ESTÖDOMINADAPORLASERIE

C NH

 N

1

HC NH

 ; N

que es una serie geométrica convergente (después del primer término). Ambas son series de términos positivos, y por la prueba por comparación la serie dada converge. Vimos en la sección 10.4 que la suma de la serie es el número e, de modo que E HC

    C C C


C C


: W W W NW

Sin duda, esa serie proporciona quizá la manera más senilla de demostrar que e ≈ 2.71828 1828 459045 23536.

Z

SECCIÓN 10.6

Pruebas de comparación para series de términos positivos 767

Comparación límite de términos Suponga que an es una serie de términos positivos tal que an → 0 cuando n → +∞. Entonces, respecto a la prueba de divergencia del n-ésimo término en la sección 10.3, an tiene menos oportunidad de converger. ¿Cómo elegimos una serie de la serie términos positivos adecuada bn con la cual compararla? Una buena idea es expresar bn como una función sencilla de n, más sencilla que an pero tal que an y bn tienden a cero a la misma tasa cuando n → +∞. Si la fórmula para an es una fracción, podemos tratar de descartar todo menos los términos de magnitud más grande en el numerador y denominador para formar bn. Por ejemplo, si AN H

N  C N p ; N C N

p entonces razonamos que n es pequeña en comparación con 3n2, y que N es pequeña en comparación con n4, cuando n es bastante grande. Esto sugiere que elijamos bn  3n2/ n4  3/n2. La serie 3/n2 converge ( p  2), pero cuando intentamos comparar an y bn, encontramos an bn (en lugar de an bn). En consecuencia, la prueba de comparación implica que an en sí converge. El teorema 2 proporciona una manera conveniente de manejar ese tipo de situaciones.

TEOREMA 2 Prueba de comparación de límite Suponga que an y bn son series de términos positivos. Si el límite AN , H L¤M N!1 BN existe y 0 < L < +∞, entonces ambas series convergen o ambas divergen. Elija dos número positivos fijos P y Q tales que P < L < Q. Entonces P < an/bn < Q para n suficientemente grande y por ello

Demostración

0BN < AN < 1BN

para todos los valores grandes de n. Si bn converge, entonces an en algún moQbn  Q bn, de manera mento quedará dominada por la serie convergente an también converge. Si que la parte 1 de la prueba de comparación implica que bn diverge, entonces an en algún momento domina a la serie divergente Pbn  P bn, de modo que la parte 2 de la prueba de comparación implica que an también diverge. Así, la convergencia de cualquiera de las dos series implica la convergencia de la otra. X EJEMPLO 4

Con AN H

N  C N p N C N

Y

BN H

 N

(motivado por el análisis anterior del teorema 2), encontramos que  C AN N  C N  N H : L¤M H L¤M  p H L¤M  N!1 BN N!1 N C N!1 N  C = N 2 Debido a que 1/n es una serie p convergente ( p  2), la prueba de comparación de límite nos dice que la serie 1 N  C N p N C N NH Z

también converge. 1

EJEMPLO 5

Prueba de convergencia: NH

  N C LN N

768 CAPÍTULO 10

Series infinitas

Solución Como L¤M (ln n)/n  0 (por la regla de l’Hôpital), ln n es muy pequeño N!1 en comparación con 2n cuando n es grande. Por lo tanto, tomamos an  1/(2n + ln n) e ignoramos el coeficiente constante 2, tomamos bn  1/n. Entonces encontramos que  AN N  H : H L¤M L¤M H L¤M LN N N!1 BN N!1 N C LN N N!1  C N 1/n 

Como la serie armónica bién diverge.

bn diverge, se deduce que la serie dada

an tamZ

Es importante recordar que si L  L¤M (an/bn) es ya sea cero o infinito, entonces N!1 la prueba de comparación del límite no se aplica. (Vea en el problema 52 un análisis de qué conclusiones se pueden obtener algunas veces en estos casos.) Observe, por ejemplo, que si an  1/n2 y bn  1/n, entonces L¤M (an/bn)  0. Pero en este caso N!1 an converge, mientras que bn diverge.

Estimación de residuos Suponga que 0 an bn para toda n y sabemos que bn converge, de manera que la prueba por comparación implica que an también converge. Escribimos s  an y S  bn. Si se dispone de una estimación numérica para el residuo 2 N H 3 3N H BNC C BNC C




en la serie dominante

bn, entonces podemos usarla para estimar el residuo RN H S SN H ANC C ANC C




en la serie an. La razón es que 0 an bn (para toda n) implica que 0 rn Rn. Podemos aplicar este hecho si, por ejemplo, hemos usado la estimación del residuo de la prueba de la integral para calcular una cota superior para Rn, la cual es, entonces una cota superior también para rn. EJEMPLO 6

La serie 1

1

AN H NH

NH

N

 p C N

converge porque está dominada por la serie p convergente 1

1

BN H NH

NH

 : N

Por lo tanto, se deduce por la estimación del residuo de la prueba de la integral (sección 10.5) que 1

2N

 < RN

N

  D X H L¤M   B!1 X X

B

H N

 : N 

Ahora, una calculadora da 

S H NH

N

 p  : C N

Se deduce que 0.680284

s

Y

2

 H :: 


0.680334. En particular, 1 NH

redondeado a cuatro decimales.

 p  : N C N

Z

SECCIÓN 10.6

Pruebas de comparación para series de términos positivos 769

Reacomodo y agrupamiento Cerramos el análisis de las series de términos positivos con la observación de que la suma de una serie convergente de términos positivos no se altera al agrupar o reacomodar sus términos. Por ejemplo, sea an una serie de términos positivos convergente y considere ∞  bn = (a1 + a2 + a3 ) + a4 + (a5 + a6 ) + · · · . n=1

Esto es, la nueva serie tiene términos b1 = a1 + a2 + a3 , b2 = a 4 , b3 = a 5 + a 6 , etcétera. Así, toda suma parcial Tn de bn es igual a alguna suma parcial Sn de an. Como {Sn} es una sucesión creciente con límite S  an, se deduce con facilidad que {Tn} es una sucesión creciente con el mismo límite. Así, bn  S también. El argumento es más sutil si los términos de an se “mueven de lugar”, como en ∞  bn = a1 + a2 + a4 + a3 + a6 + a8 + a5 + a10 + a12 + · · · , n=1

pero se cumple la misma conclusión: cualquier arreglo de una serie de términos positivos convergente también converge y lo hace a la misma suma. De manera similar, es fácil probar que cualquier agrupamiento o reacomodo de una serie de términos positivos divergente también diverge. Pero todas estas observaciones fallan en el caso de una serie infinita con términos tanto positivos como negativos. Por ejemplo, la serie (−1)n diverge, pero tiene el agrupamiento (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0. Se deduce del problema 56 de la sección 10.4 que 1 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + − · · · , 2 3 4 5 pero el reacomodo 1 1 1 1 1 1 1 1 − + ··· 1+ − + + − + + 3 2 5 7 4 9 11 6 converge en su lugar a  ln 2. Esta serie para ln 2 tiene incluso reacomodos que convergen a cero y otros que divergen a +∞. (Vea el problema 64 de la sección 10.7.)

10.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La prueba de comparación es una prueba de convergencia para series de términos positivos. 2. Se dice que la serie de términos positivos an domina a la serie de términos positivos bn siempre que an bn para toda n. ∞  1 3. La serie converge. n(n + 1)(n + 2) n=1 ∞ ∞   1 1 √ domina a la serie 4. La serie √ . 2n − 1 2n n=1 n=1 5. Suponga que an y bn son series de términos positivos. Si AN , H L¤M N!1 BN existe y 0 < L < +∞, entonces ambas series convergen o bien ambas divergen.

770 CAPÍTULO 10

Series infinitas ∞ 

1 converge. 2n + ln n n=1 7. Cualquier reacomodo de una serie de términos positivos convergente también converge, y a la misma suma. ∞  (−1)n tiene un reacomodo que converge. 8. La serie divergente

6. La serie

n=1

9. La serie

∞  n=1

n3

1 √ converge. + n

10. La suma de la serie en la pregunta 9 es aproximadamente 0.6803.

10.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Puede dar un ejemplo de un par de series infinitas de términos positivos an y bn tales que L¤M (an/bn)  0 y a) ambas series convergen; b) ambas diverN!1 gen; c) una converge y la otra diverge? 2. ¿Puede dar un ejemplo de dos series infinitas de términos positivos convergentes an y bn tales que L¤M (an/bn)  1 pero ninguna serie domine a la otra? N!1

3. ¿Puede dar un ejemplo de dos series infinitas de términos positivos an y bn tales que ambas convergen o ambas divergen, pero el L¤M (an/bn) no existe? N!1

10.6 PROBLEMAS Utilice las pruebas de comparación para determinar si la serie infinita en los problemas 1 a 36 converge o diverge. 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH

  N CNC  p NC N   C N N  N 

1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH



p N  C  p N N C N

NH 1

 NH 1

 NH

 NH 1

 NH 1

 NH 1

 NH

 NH 1

 NH 1



SEN  N N C 



NH 1 NH 1

N

NC N C N N

 LN N

LN N N

 NH 1

 NH 1

 NH 1



SEN .=N/ N

N C  N C   N C N =

 NH

NH 1

 NH 1

 NH

N  N C  N N N C 

1

 NH 1

 NH

1

 LN N

1



1

1





1

p N C 



  C N



 N LN N COS N N  N C N 

p N C N

ARCTAN N N E=N N

NH 1 NH

1

LN N EN



N = N C 



 p C N



NH 1 NH 1 NH

 N
N N C  EN .N C /

1



N  N 
N



 C SEN N N



p  NH

.N C /N N NC SEN N N

N C  N  C N

1 NH

 N  C 

LN N N

3UGERENCIA L¤M  C N!1

 N

N

H E:



En los problemas 37 a 40, calcule la suma de los diez primeros términos de la serie, después estime el error al usar esta suma parcial para aproximar la suma de la serie. ∞ ∞   1 1 38. 37. 2 +1 n +1 n 3 n=1 n=1 39.

∞  cos2 n n=1

n2

40.

∞  n=2

1 (n + 1)(ln n)2

En los problemas 41 a 44, primero determine el entero n más pequeño tal que el residuo satisface la desigualdad Rn < 0.005. Después use una calculadora o computadora para aproximar la suma de la serie con exactitud de dos decimales. ∞ ∞   1 n 42. 41. 3 n + 1 (n + 1)2n n=1 n=1

SECCIÓN 10.7

43.

∞  cos4 n n=1

n4

44.

∞ 

1

n=1

n 2+(1/n)

Series alternas y convergencia absoluta

771

51. Use el resultado del problema 50 en la sección 10.5 para demostrar que la serie

45. Demuestre que si an es una serie de términos positivos convergente, entonces la serie sen(an) también converge. 46. a) Demuestre que ln n < n1/8 para todos los valores suficientemente grandes de n. b) Explique por qué el inciso a) demuestra que la serie 1/(ln n)8 diverge. an es una serie de términos positivos 47. Demuestre que si convergente, entonces (an/n) converge. 48. Suponga que an es una serie de términos positivos convergente y que {cn} es una sucesión de números positivos con límite cero. Demuestre que an cn converge. 49. Utilice el resultado del problema 48 para demostrar que si an y bn son series de términos positivos convergentes, entonces anbn converge. 50. Demuestre que la serie ∞  1 1 + 2 + 3 + ··· + n n=1

∞  n=1

1 1 1 1 1 + + + ··· + 2 3 n

diverge. 52. Adapte la demostración de la prueba de comparación del límite para demostrar los dos resultados siguientes. a) Suponga que an y bn son series de términos positivos y que bn converge. Si , H L¤M

N!1

AN H ; BN

entonces an converge. b) Suponga que an y series de términos positivos y que bn diverge. Si , H L¤M

N!1

entonces

converge.

bn son

AN H C1; BN

an diverge.

10.7 SERIES ALTERNAS Y CONVERGENCIA ABSOLUTA En las secciones 10.5 y 10.6 se consideraron sólo series con términos positivos. Ahora consideraremos series infinitas que contienen términos tanto positivos como negativos. Un ejemplo importante es una serie en la que los términos son positivos y negativos en forma alternada. Una serie alterna es una serie infinita de la forma 1

./NC AN H A A C A A C A






NH

o de la forma alterna

1 N NH ./ AN donde ∞  (−1)n+1 n=1

y la serie geométrica

n

an > 0 para toda n. Por ejemplo, la serie armónica =1−

1 1 1 1 + − + − ··· 2 3 4 5

 ∞   1 1 n 1 1 1 − ··· − =1− + − + 2 2 4 8 16 n=0

son ambas series alternas. El teorema 1 demuestra que estas dos series convergen porque la secuencia de los valores absolutos de sus términos es decreciente y tiene límite cero.

TEOREMA 1 Prueba de series alternas Si las series alternas o alternadas de la ecuación (1) satisfacen estas dos condiciones  AN ANC >  PARATODANY  L¤M AN H  N!1

entonces las series infinitas convergen. Demostración Primero considere las sumas parciales con numeración par S2, S4, S6, . . . , S2n, . . . Se puede escribir S2n  (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · +(a2n −1 − a2n ). Como ak − ak+1 0 para toda k, la sucesión {S2n} es creciente. Además, puesto que S2n  a1 − (a2 − a3) − · · · − (a2n −2 − a2n −1) − a2n ,

772 CAPÍTULO 10

Series infinitas

S2n a1 para toda n. De este modo la sucesión creciente {S2n} está acotada por arriba. Entonces el límite 3 H L¤M 3N N!1

existe por la propiedad de la sucesión monótona acotada de la sección 10.2. Sólo queda verificar que las sumas parciales con numeración impar S1, S3, S5, . . . también convergen a S. Pero S2n+1  S2n + a2n+1 y el L¤MN!1 ANC H  de manera que 3

3

3 3

L¤M 3NC H

3 3

L¤M 3N C

N!1

3

N!1

L¤M ANC H 3:

N!1

Así el L¤MN!1 3N H 3 y por lo tanto la serie en la ecuación (1) converge. FIGURA 10.7.1 Las sumas parciales pares {S2n} aumentan y las sumas parciales impares {S2n+1} disminuyen.

La figura 10.7.1 ilustra la manera en que las sumas parciales de una serie alterna convergente (con el primer término positivo) aproximan su suma S, donde las sumas parciales pares {S2n} tienden a S por abajo y las sumas parciales impares {S2n+1} tienden a S por arriba. EJEMPLO 1

Y      













 X

FIGURA 10.7.2 Gráfica de las primeras 14 sumas parciales de la serie alterna en el ejemplo 1.

X

La serie ∞  (−1)n+1 1 1 1 1 = 1 − + − + − ··· 2n − 1 3 5 7 9 n=1

satisface las condiciones del teorema 1 y por lo tanto converge. La prueba de la serie alterna no indica la suma de esta serie, pero en la sección 10.4 vimos que la suma es π/4. La gráfica en la figura 10.7.2 de las sumas parciales de esta serie ilustra la convergencia típica de una serie alterna, donde las sumas parciales tienden a la suma en forma alternada desde arriba y desde abajo. Z EJEMPLO 2 La serie ∞  2 3 4 5 (−1)n+1 n = 1 − + − + − ··· 2n − 1 3 5 7 9 n=1 es una serie alterna y al expandirla se puede verificar que n(2n + 1) > (n + 1)(2n − 1), de donde se deduce que an =

para toda n

n+1 n > = an+1 2n − 1 2n + 1

1. Pero L¤M AN H

N!1

 H ; 

de modo que la prueba de la serie alterna no se aplica. (Este hecho por sí solo no implica que la serie en cuestión no diverge, muchas series en las secciones 10.5 y 10.6 convergen aun cuando la prueba de las series alternas no se puede aplicar. Pero la serie de este ejemplo diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término.) Z Si una serie converge con la prueba de las series alternas, entonces el teorema 2 indica cómo aproximar estas sumas con cualquier grado de precisión deseado —si tiene una computadora lo suficientemente rápida para sumar un número grande de términos.

TEOREMA 2 Estimación del residuo de una serie alterna Suponga que la serie (–1)n+1an satisface las condiciones de la prueba de las series alternas y por lo tanto converge. Sea S la suma de la serie. Denote por Rn  S – Sn el error al reemplazar S con la n-ésima suma parcial Sn de la serie. Entonces este residuo Rn tiene el mismo signo que el siguiente término (–1)n+2 an+1 de la serie y 

j2 N j < ANC :



SECCIÓN 10.7

Series alternas y convergencia absoluta 773

En particular, la suma S de una serie alterna convergente está entre cualquier par de sumas parciales consecutivas. Esto se obtiene de la prueba del teorema 1, donde vimos que {S2n} es una sucesión creciente y que {S2n+1} es una sucesión decreciente, donde ambas convergen a S. Las desigualdades resultantes A N

S2n−1 > S > S2n = S2n−1 − a2n

3 3 N

A N

3 N

3 N 

FIGURA 10.7.3 Ilustración de la prueba de la estimación del residuo de series alternadas.

y S2n < S < S2n+1 = S2n + a2n+1

(vea la figura 10.7.3) implican la desigualdad en (2). La desigualdad en (2) significa lo siguiente. Suponga que se tiene una serie alterna que satisface las condiciones del teorema 2 y tiene suma S. Por lo tanto, si S se sustituye con la suma parcial Sn, el error es numéricamente menor que el primer término an+1 no retenido y tiene el mismo signo que el primer término rechazado. Importante: esta estimación del error no se aplica a otros tipos de series. OBSERVACIÓN

EJEMPLO 3

Se vio en la sección 10.4 que ex =

∞  xn n! n=0

para toda x y con ello (con x  −1) que 1 1 1 1 = e−1 = 1 − 1 + − + − · · · . e 2! 3! 4!

Use esta serie alterna para calcular e−1 con precisión de cuatro decimales.

Solución Para obtener la precisión de cuatro decimales, queremos que el error sea menor que la mitad de una unidad en el cuarto decimal. Así, queremos |R n | <

1  0.00005. (n + 1)!

Si usamos una calculadora para obtener los recíprocos de los factoriales de varios de los primeros enteros encontramos que el menor valor de n para el que se cumple esta desigualdad es n  7. Entonces e−1 = 1 −

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + R7 ≈ 0.367857 + R7 . 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

(Confiando en una “regla corta de +2”, calculamos seis decimales ya que se quiere una precisión de cuatro decimales en la respuesta final.) Ahora el primer término rechazado 1/8! es positivo, de modo que la desigualdad (2) nos da 0 < R7 <

1 < 0.000025. 8!

Por lo tanto, S7 ≈ 0.367857 < e−1 < S7 + 0.000025 ≈ 0.367882.

Las dos cotas se pueden redondear a e−1 ≈ 0.3679. Aunque esta aproximación tiene exactitud de cuatro decimales, su recíproco e = 1/e−1 ≈ 1/(0.3679) ≈ 2.7181 ≈ 2.718

proporciona el número e con una precisión de sólo tres decimales (ya que e ≈ 2.7183). Z

774 CAPÍTULO 10

Series infinitas

Convergencia absoluta La serie ∞  (−1)n+1 1 1 1 1 = 1 − + − + − ··· n 2 3 4 5 n=1

converge, pero si sólo sustituimos cada término con su valor absoluto, obtenemos la serie divergente 1 1 1 1 1 + + + + + ··· . 2 3 4 5 Por el contrario, la serie convergente ∞  (−1)n 2 1 1 1 = 1 − + − + ··· = n 2 2 4 8 3 n=0 tiene la propiedad de que la serie de términos positivos asociada 1+

1 1 1 + + + ··· = 2 2 4 8

también converge. El teorema 3 dice que si una serie de términos positivos converge, podemos insertar signos menos al frente de cualquiera de los términos —por ejemplo, uno si y otro no— y la serie resultante también converge.

TEOREMA 3 La convergencia absoluta implica convergencia Si la serie |an| converge, entonces la serie an también converge.

Demostración

Suponga que la serie

|an | converge. Observe que

0  an + |an |  2|an |

para toda n. Sea bn  an + |an |. Entonces, a partir de la prueba de comparación se tiene que la serie de términos positivos bn converge, porque ésta está dominada por las series convergentes 2|an |. Es sencillo verificar también que la diferencia por términos de dos series convergentes también converge. Por lo que la serie     (bn − |an |) = bn − |an | an = X

convergen.

Así, tenemos otra prueba de convergencia, una que no está limitada a series de términos positivos ni a series alternas: dada la serie an, pruebe la convergencia de la serie |an |. Si esta última converge, también la primera converge. (¡Pero el inverso no es válido!) Este fenómeno nos lleva a establecer la siguiente definición.

DEFINICIÓN Convergencia absoluta Se dice que la serie an converge de manera absoluta (y se llama absolutamente convergente) siempre que la serie jAN j H jA j C jA j C jA j C


C jAN j C




converja. Con esto explicamos el título del teorema 3 y podemos rescribirlo como sigue: si una serie converge absolutamente, entonces converge. Los dos ejemplos que preceden al teorema 3 muestran que una serie puede converger absolutamente o no hacerlo: 1−

1 1 1 1 + − + − ··· 2 4 8 16

SECCIÓN 10.7

Series alternas y convergencia absoluta 775

es una serie absolutamente convergente porque la serie geométrica 1+

1 1 1 1 + + + + ··· 2 4 8 16

converge, mientras que la serie armónica alterna 1−

1 1 1 1 + − + − ··· 2 3 4 5

es una serie que, aunque converge, no es absolutamente convergente. Se dice que una serie que converge, pero no converge absolutamente, converge condicionalmente. En consecuencia, los términos convergencia absoluta, convergencia condicional y divergencia al mismo tiempo incluyen todos los casos y son mutuamente excluyentes: una serie numérica dada pertenece exactamente a una de estas tres clases. Existen algunas ventajas en la aplicación del teorema 3 porque al aplicarlo probamos la convergencia de la serie de términos positivos |an | —y tenemos una variedad de pruebas, como la prueba de comparación o la prueba de la integral, diseñadas para usarse con series de términos positivos. Observe también que la convergencia absoluta de la serie an significa que una serie diferente |an | converge y en general las dos sumas serán diferentes. Por ejemplo, con an  (−)n, la fórmula para la suma de la serie geométrica proporciona  ∞ ∞    1 n 1 3  1 = , − an = = 3 4 1 − −3 n=0 n=0 mientras que ∞  n=0

EJEMPLO 4

|an | =

∞  n  1 n=0

3

=

1 1−

1 3

=

3 . 2

Analice la convergencia de la serie ∞  cos n cos 2 cos 3 + + ··· . = cos 1 + 2 n 4 9 n=1

Solución Sea an  (cos n)/n2. Entonces |an | =

| cos n| 1  2 n2 n

para toda n 1. Por lo tanto, la serie de términos positivos |an | converge por la (1/n2). prueba de comparación, por estar dominada por la serie p convergente Entonces la serie dada es absolutamente convergente y por lo tanto converge por el teorema 3. Z Una razón de la importancia de la convergencia absoluta es el hecho (demostrado en cálculo avanzado) de que los términos de una serie absolutamente convergente se pueden reagrupar o reacomodar sin cambiar la suma de las series. Como se sugirió al final de la sección 10.6, esto no se cumple para las series condicionalmente convergentes.

Prueba de la razón y prueba de la raíz Nuestras dos pruebas de convergencia siguientes involucran una forma de medir la tasa de crecimiento o decrecimiento de la sucesión {an} de términos de una serie para determinar si an converge absolutamente o diverge.

776 CAPÍTULO 10

Series infinitas

TEOREMA 4 Prueba de la razón Suponga que el límite ANC AN

 H L¤M

N!1

existe o es infinito. Entonces la serie infinita



an de términos diferentes de cero

1. Converge absolutamente si ρ < 1; 2. Diverge si ρ > 1. Si ρ  1, la prueba de la razón no es concluyente. Demostración Si ρ < 1, elegimos un número (fijo) r con ρ < r < 1. Entonces la ecuación (3) implica la existencia de un entero N tal que |an+1| r|an | para toda n N. Se deduce que

|a N +1 |  r |a N |, |a N +2 |  r |a N +1 |  r 2 |a N |, |a N +3 |  r |a N +2 |  r 3 |a N |,

y en general que R K jA . j

jA . CK j

PARA K

:

Así, la serie jA . j C jA . C j C jA . C j C




está dominada por la serie geométrica |a N |(1 + r + r 2 + r 3 + · · · ),

y esta última converge porque |r | < 1. Entonces la serie |an | converge, por lo que la serie an converge absolutamente. Si ρ > 1 entonces la ecuación (3) implica la existencia de un entero N tal que |an+1| > |an | para toda n N. Se deduce que |an | > |aN | > 0 para toda n > N. Entonces la sucesión {an} no tiende a cero cuando n → +∞ y, en consecuencia, por la prueba X de divergencia del n-ésimo término, la serie an diverge. Para ver que an puede ser convergente o divergente si ρ  1, considere la serie divergente (1/n) y la serie convergente (1/n2). Puede verificar que para ambas series, el valor del cociente ρ es 1. EJEMPLO 5

Considere la serie ∞  (−1)n 2n n=1

n!

= −2 +

4 8 16 − + − ··· . 2! 3! 4!

Por lo cual

 H L¤M

N!1

ANC H L¤M N!1 AN

./NC NC .N C /! ./N N N!

Como ρ < 1, la serie converge absolutamente. EJEMPLO 6

Pruebe la convergencia:

∞  n . n 2 n=1

H L¤M

N!1

 H : NC

Z

SECCIÓN 10.7

Series alternas y convergencia absoluta

777

Solución Tenemos

 H L¤M

N!1

ANC AN

NC NC NC  H L¤M H L¤M H : N!1 N!1 N  N N 

Como ρ < 1, esta serie converge (absolutamente). Pruebe la convergencia:

EJEMPLO 7

Solución Ahora tenemos

 H L¤M

N!1

ANC H L¤M N!1 AN

Z

∞  3n . n2 n=1

NC .N C /

H L¤M

N N

N!1

N  H : .N C /

En este caso ρ > 1, por lo que esta serie diverge.

Z

TEOREMA 5 Prueba de la raíz Suponga que el límite  H L¤M

N

N!1

existe o es infinito. Entonces la serie infinita

jAN j



an

1. Converge absolutamente si ρ < 1; 2. Diverge si ρ > 1. Si ρ  1, la prueba de la raíz no es concluyente. Si ρ < 1, escoja un número (fijo) r tal que ρ < r < 1. Entonces |an |1/n < r y así |an| < r n, para n suficientemente grande. Entonces la serie |an| está evenr n. Por lo tanto |an| tualmente dominada por la serie geométrica convergente converge y la serie an converge absolutamente. Si ρ > 1, entonces |an |1/n > 1 y así |an | > 1 para n suficientemente grande. Por lo que la prueba de divergencia del n-ésimo término implica que la serie an diverge. X Demostración

La prueba de la razón es en general más sencilla de aplicar que la prueba de la raíz y por esto suele ser la primera que se intenta. Pero hay algunas series para las cuales la prueba de la raíz tiene éxito mientras que la prueba de la razón falla, como en el ejemplo 8. EJEMPLO 8

Considere la serie ∞  1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ··· . n = n+(−1) 2 2 1 8 4 32 16 n=0

Como an+1/an  2 si n es par, mientras que an+1/an   si n es impar. Por lo que el límite requerido por la prueba de la razón no existe. Pero L¤M jAN j=N H L¤M

N!1

N!1

 NC./N

=N

H L¤M

N!1

   H ;  ./N =N 

por lo que la serie dada converge por la prueba de la raíz. (Su convergencia también se obtiene del hecho que es un reacomodo de la serie geométrica convergente de términos Z positivos 1/2n.)

778 CAPÍTULO 10

Series infinitas

10.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Una serie alterna es una de la forma ∞ ∞   (−1)n an , (−1)n+1 an o de la forma n=1

n=1

donde an > 0 para toda n. 2. Si an

an+1 > 0 para toda n y L¤M AN H  entonces N!1

∞  (−1)n+1 an converge. n=1

2 3 4 5 3. La serie 1 − + − + − · · · converge. 3 5 7 9 1 1 1 1 1 1 4. La serie 1 + − − + + − − · · · diverge por la prueba de series al2 3 4 5 6 7 ternas. ∞ ∞   an converge absolutamente si |an | converge. 5. Se dice que la serie n=1

n=1

6. Si una serie converge absolutamente, entonces converge. ∞  (−1)n+1 2n converge por la prueba de la razón. 7. La serie n! n=1 8. Suponga que  H L¤M jAN j=N existe o es infinito. Entonces la serie an conN!1 verge absolutamente si ρ < 1 y diverge si ρ > 1. 9. Existen algunas series para las cuales la prueba de la razón falla mientras que la prueba de la raíz tiene éxito. 1 1 1 1 10. La serie 1 − + − + − · · · es condicionalmente convergente. 2 3 4 5

10.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿Puede dar un ejemplo de una serie alterna divergente (−1)n+1an tal que L¤M an  0? Según la prueba de las series alternas establecida en el teorema 1 de N!1

esta sección, ¿cómo puede existir un ejemplo de éstos? 2. Proporcione su propio ejemplo de una serie infinita para la que ambos, an y |an |, convergen pero tienen sumas diferentes, las cuales puede calcular. ¿Qué puede concluir respecto a esta serie si an y |an | tienen la misma suma? 3. ¿Puede dar un ejemplo de una serie de términos positivos condicionalmente convergente? ¿Por qué sí o por qué no?

10.7 PROBLEMAS 1

Determine si ocurre que las series alternas en los problemas 1 a 20 convergen o divergen. ∞  (−1)n+1 1. n2 n=1

∞  (−1)n+1 2. √ n2 + 1 n=1

∞  (−1)n n 3. 3n + 2 n=1

∞  (−1)n n 4. 3n 2 + 2 n=1

5.

7.

∞  (−1)n+1 n √ n2 + 2 n=1

6.

∞  (−1)n+1 n ln n n=2

8.

 NH 1

 NH 1

 NH

∞  (−1)n+1 n 2 √ n5 + 5 n=1



∞  (−1)n ln n √ n n=1





./N N p N C 



 N =

SEN

1

./N SEN NH 1 NH

1

./N N N

./NC p N 

N
NH 1

NH 1

N 



 N



NH

 

N 

NC

NC

COS N N =

1

./N N SEN NH 1

 NH

.:/NC N

 N

SECCIÓN 10.7

19.

∞  (−1)n+1 √ n n n=1

20.

∞  (−1)n+1 n! (2n)! n=1

Determine si las series en los problemas 21 a 42 convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen. ∞ ∞   (−1)n+1 1 21. 22. n 2 2 n +1 n=1 n=1 ∞  (−1)n ln n n n=1   ∞  10 n 25. n n=1

23.

27. 29.

∞  (−10)n n! n=0 ∞ 



(−1)n+1

n=1

 ∞   ln n n 31. n n=1 33.

∞ 

(−1)n

√

n n+1

24.

∞  1 n n n=1

n+1−

√  n

∞  (−1)n+1 n! nn n=1

30.

∞  n!n 2 (2n)! n=1

32.

∞  (−1)n 23n 7n n=0

n=0

∞ 

n·

 3 n 4

n=1

35.

∞    n  1 ln n n=1

36.

∞  (n!)2 (2n)! n=0

37.

∞  (−1)n+1 3n n(2n + 1) n=1

38.

∞  (−1)n+1 arctan n n n=1

39.

∞  n=1

40.

∞ 

(−1)n+1 n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) (−1)n+1

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)

∞  (n + 2)! 41. 3n (n!)2 n=1

42.

∞  (−1)n+1 n n 3n 2 n=1

En los problemas 43 a 48, sume el número indicado de términos iniciales de las series alternas dadas. Luego aplique la estimación del residuo de la serie alterna para estimar el error al aproximar la suma de la serie con esta suma parcial. Por último, aproxime la suma de la serie, escribiendo precisamente el número de decimales que están garantizados como correctos (después de redondear). 1

 NH 1

 NH 1

 NH

1

NC

./ N

 T£RMINOS

 NH 1

./NC  T£RMINOS N!



./NC  T£RMINOS N



NH 1 NH

1 NH

./NC  DECIMALES N

 COS  H

./N  DECIMALES .N/W

NH 1

 SEN   H NH 1

./ N

./N  .N C /W 

./NC  T£RMINOS NN ./NC  T£RMINOS N

 DECIMALES

En los problemas 55 y 56, demuestre que las series alternas indicadas (−1)n+1 an satisfacen la condición de que an → 0 cuando n → +∞, pero aún así divergen. Diga por qué la prueba de la serie alterna no se aplica. Puede resultar ilustrativo graficar las primeras 10 o 20 sumas parciales.  SI N ESIMPAR N  AN H  SI N ES PAR N  p SI N ESIMPAR N  AN H  SI N ESPAR N 57. Ofrezca un ejemplo de un par de series convergentes an y bn tales que anbn diverge. 58. Demuestre que |an| diverge si la serie an diverge. 59. Demuestre que AN H L¤M N!1 NW (para cualquier número real a) aplicando la prueba de la razón para demostrar que la serie infinita an/n! converge. 60. a) Suponga que r es un número (fijo) tal que |r| < 1. Use la N prueba de la razón para probar que la serie 1 NH NR converge. Denote su suma por S. b) Demuestre que ∞  (1 − r )S = rn. n=1

Muestre cómo se puede concluir que ∞  r nr n = . (1 − r )2 n=0 61. Sean N

 T£RMINOS

NC

./NC  DECIMALES N
N

NC

En los problemas 49 a 54, sume los términos suficientes (diga cuántos) para aproximar la suma de la serie escribiendo la suma redondeada al número indicado de decimales correctos. 1 ./NC   DECIMALES N NH 

NH 1

./N  DECIMALES NWN

NH

28.

34.

1

 LN.:/ H

∞  3n 26. n!n n=1

n

  p H E

Series alternas y convergencia absoluta 779

(N H KH

 K

N

Y

3N H KH

./KC K

las n-ésimas sumas parciales de la serie armónica y de la serie armónica alterna, respectivamente. a) Demuestre que S2n  H2n − Hn para toda n 1. b) El problema 50 de la sección 10.5 dice que el L¤M .(N LN N/ H N!1

(donde γ ≈ 0.57722 denota la constante de Euler). Explique por qué se deduce que L¤M .(N LN N/ H : N!1

c) Concluya de los incisos a) y b) que L¤MN!1 3N H LN  Entonces 1 1 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + − + · · · . 2 3 4 5 6

780

CAPÍTULO 10

Series infinitas

62. Suponga que an es una serie infinita condicionalmente convergente. Para cada n, sea ANC H

AN C jAN j 

Y

AN H

AN jAN j : 

a) Explique por qué a+ n consiste de los términos positivos consiste de los términos negativos de de an y por qué a− n an. b) Dado un número real r, demuestre que algún rean acomodo de la serie condicionalmente convergente converge a r. Sugerencia: si r es positivo, por ejemplo, comience con la primera suma parcial de la serie positiva a+ n que excede r. Posteriormente, sume la cantidad necesaria de términos de la serie negativa a− n de manera que la suma acumulada sea menor que r. Luego sume los términos necesarios de la serie positiva de modo que la suma acumulada sea mayor que r y continúe de la misma forma para definir el reacomodo deseado. ¿Por qué se deduce que esta serie infinita reacomodada converge a r? 63. Use el método del problema 62 para escribir la primera docena de términos de un reacomodo de la serie armónica alterna (problema 61) que converge a 1 en lugar de a ln 2.

64. Describa una forma de rearreglar los términos de una serie armónica alterna para obtener: a) una serie reacomodada que converge a −2; b) una serie reacomodada que diverge a +∞. 65. Éste es otro rearreglo de la serie armónica alterna del problema 61: 1− +

1 1 1 1 − − − 2 4 6 8 1 1 1 1 1 − − − − 3 10 12 14 16 +

1 1 1 1 1 − − − − 5 18 20 22 24 +

1 1 1 1 1 − − − − + ··· . 7 26 28 30 32

Utilice una computadora para obtener evidencia respecto al valor de su suma.

10.8 SERIES DE POTENCIAS La representación más importante de funciones con series infinitas son aquellas cuyos términos son múltiplos constantes de potencias enteras (sucesivas) de la variable independiente x, es decir, series que parecen “polinomios infinitos”. Por ejemplo, se analizaron en la sección 10.4 la serie geométrica 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · (|x| < 1) (1) 1−x y las series de Taylor ∞  x2 x3 x4 xn =1+x + + + + ··· , (2) ex = n! 2! 3! 4! n=0 1

COS X H NH 1

SEN X H NH

X X X ./N X N H C C


; .N/W W W W

Y

./N X NC X X X HX C C


: .N C /W W W W

 

Ahí utilizamos la fórmula de Taylor para demostrar que las series en las ecuaciones (2) a (4) convergen, para toda x, a las funciones e x, cos x y sen x, respectivamente. Ahora se investigará la convergencia de una “serie de potencias” sin conocer de antemano la función a la cual converge (si la hay). Todas las series infinitas en las ecuaciones (1) a (4) tienen la forma 1

AN X N H A C A X C A X  C


C AN X N C






NH

con coeficientes constantes a0, a1, a2, . . . Una serie infinita de esta forma se llama serie de potencias de x. Para que los términos iniciales de los dos lados de la ecuación (5) concuerden, se adopta la convención de que x0  1 aun cuando x  0.

Convergencia de las series de potencias Las sumas parciales de la serie de potencias en (5) son los polinomios s1(x)  a0 + a1x,

s2(x)  a0 + a1x + a2x2,

s3(x)  a0 + a1x + a2x2 + a3x3,

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

781

y así sucesivamente. La n-ésima suma parcial es un polinomio de grado n. Cuando nos preguntamos dónde converge la serie de potencias, se buscan los valores de x para los cuales el límite S.X/ H L¤M SN .X/ N!1

existe. La suma s(x) de una serie de potencias es entonces una función de x que está definida siempre que la serie converge. Es obvio que la serie de potencias en (5) converge cuando x  0. En general, convergerá para algunos valores de x diferentes de cero y divergirá para otros. Dada la forma en que las potencias de x están involucradas, la prueba del cociente de la sección 10.7 es en particular efectiva para determinar los valores de x para los cuales una serie de potencias dada converge. Suponga que el límite  H L¤M

N!1

ANC AN



existe. Este es el límite que se necesita si queremos aplicar la prueba de la razón a la serie an de constantes. Para aplicar la prueba del cociente a la serie de potencias de la ecuación (5), escribimos un  an x n y calculamos el límite L¤M

N!1

U NC ANC X NC H L¤M H  jXj : N!1 UN AN X N



Si ρ  0, entonces an x n converge absolutamente para toda x. Si ρ  +∞, entonces an x n diverge para toda x H 0. Si ρ es un número positivo real, vemos de la ecuación (7) que an x n converge absolutamente para toda x tal que ρ · |x | < 1, es decir, cuando jXj < 2 H

AN  H L¤M  N!1 ANC 



En este caso la prueba de la razón también implica que an x n diverge si | x| > R pero no es concluyente cuando x  ±R. Con esto probamos el teorema 1, con la hipótesis adicional de que el límite en la ecuación (6) existe. En los problemas 69 y 70 se describe una demostración que no requiere esta hipótesis adicional.

TEOREMA 1 Convergencia de la serie de potencias Si an x n es una serie de potencias, entonces se tiene que 1. La serie converge absolutamente para toda x o 2. La serie converge sólo cuando x  0 o 3. Existe un número R > 0 tal que an x n converge absolutamente si |x| < R y diverge si | x | > R. El número R del caso 3 se llama radio de convergencia de la serie de potencias an x n. Se escribe R  ∞ en el caso 1 y R  0 en el caso 2. El conjunto de todos los números reales x para los cuales la serie converge se llama su intervalo de convergencia (figura 10.8.1); z#ONVERGE z$IVERGE

2 3ERIE DIVERGE

z#ONVERGE z$IVERGE 

2

3ERIE CONVERGE

FIGURA 10.8.1 Intervalo de convergencia si 0 < R  L¤M

N!1

3ERIE DIVERGE

AN < 1 ANC

782

CAPÍTULO 10

Series infinitas

observe que este conjunto es un intervalo. Si 0 < R < ∞, entonces el intervalo de convergencia es uno de los intervalos (−R, R),

(−R, R],

[−R, R)

o

[−R, R].

Cuando sustituimos cualquiera de los puntos extremos x  ±R en la serie anx n, se obtiene una serie infinita con términos constantes cuya convergencia debemos determinar por separado. Como se trata de series numéricas, las pruebas iniciales en este capítulo son apropiadas. EJEMPLO 1

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie ∞  n=1

xn . n · 3n

Solución Con un  x n/(n · 3n) encontramos que

L¤M

N!1

U NC H L¤M N!1 UN

X NC .N C /
NC

H L¤M

XN N
N

N!1

jXj N jXj H : .N C / 

Ahora | x |/3 < 1 siempre que | x |< 3, por lo que la prueba de la razón implica que la serie dada converge absolutamente si | x | < 3 y diverge si |x | > 3. Cuando x  3, se tiene la serie armónica divergente (1/n), y cuando x  −3, se tiene la serie alterna convergente (−1)n /n. Por lo que el intervalo de convergencia de la serie de potencias dada es [−3, 3). Observamos claramente en la figura 10.8.2 la diferencia entre la convergencia en x  −3 y la divergencia en x  +3. Y 3X

3X



Y3X



 3X





X 

X

X

FIGURA 10.8.2 Gráficas de las sumas parciales S4(x), S6(x) y S10(x) de la serie de potencias ∞  xn S(x) = del ejemplo 1. Se aprecia la convergencia en x  −3, pero aparentemente S(x) → ∞ n · 3n n=1 cuando x tiende a +3, donde la serie diverge armónicamente.

EJEMPLO 2

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∞  (−2)n x n 2x 4x 2 8x 3 16x 4 =1− + − + − ··· . (2n)! 2! 4! 6! 8! n=0

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

783

Solución Con un  (−2)nx n/(2n)! encontramos que

L¤M

N!1

U NC H L¤M N!1 UN

./NC X NC .N C /W

H L¤M

N N

N!1

./ X .N/W

jXj H .N C /.N C /

para toda x [usando el hecho de que (2n + 2)!  (2n)!(2n + 1)(2n + 2)]. Ya que la prueba de la razón implica que la serie de potencias converge para toda x y por lo tanto su intervalo de convergencia es (−∞, +∞), toda la recta real. Z √ OBSERVACIÓN La serie de potencias del ejemplo 2 resulta después de sustituir 2x por x en la serie de Taylor para cos x [ecuación (3)]. Pero sólo √ para x > 0 la suma S(x) de la serie exhibe el carácter oscilatorio de la función cos 2x (figura 10.8.3). Para x < 0√la serie de potencias converge a una función muy diferente (y no oscilatoria) cosh |2x|.

Y 3X

3X









X

YCOS X

 3X

3X

FIGURA 10.8.3 Gráfica de las sumas parciales S5(x), S10(x), S15(x) y S20(x) de la serie de poten∞  √ (−2x)n cias S(x) = del ejemplo 2, la cual converge a cos 2x para x > 0. (2n)! n=0

EJEMPLO 3

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie

∞ n=1

nn x n .

Solución Con un  nnx n se encuentra que L¤M

N!1

 U NC .N C /NC X NC H L¤M H L¤M .N C /  C N N N!1 N!1 UN N X N

N

jXj H C1

para toda x H 0, porque L¤M

N!1

C

 N

N

H E:

Así, la serie dada diverge para toda x H 0 y su intervalo de convergencia consiste de sólo un punto x  0. Z EJEMPLO 4 Utilice la prueba de la razón para verificar que la serie de Taylor para cos x en la ecuación (3) converge para toda x.

784

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Solución Con un  (−1)nx2n/(2n)! se encuentra que

L¤M

N!1

U NC H L¤M N!1 UN

./NC X NC .N C /W

H L¤M

N!1

./N X N .N/W

X H .N C /.N C /

Z

para toda x, por lo que la serie converge para toda x.

IMPORTANTE En el ejemplo 4, la prueba de la razón sólo dice que la serie para cos x converge a algún número, no necesariamente el número en particular de cos x. El argumento de la sección 10.4, usando la fórmula de Taylor como residuo, se requiere para establecer que la suma de la serie es realmente cos x.

Series de potencias en potencias de x – c Una serie infinita de la forma 1

AN .X C/N H A C A .X C/ C A .X C/ C


;



NH

donde c es una constante, se llama serie de potencias de x − c. Por el mismo razonamiento que se usó en el teorema 1, sustituyendo x n con (x − c)n en todas partes, concluimos que 1. La serie en la ecuación (9) converge absolutamente para toda x o 2. La serie converge sólo cuando x − c  0, es decir, cuando x  c o 3. Existe un número R > 0 tal que la serie en la ecuación (9) converge absolutamente si |x − c | < R y diverge si | x − c |> R. Como en el caso de una serie de potencias con c  0, el número R se llama el radio de convergencia de la serie y el intervalo de convergencia de la serie an(x − c)n es el conjunto de todos los números x para los cuales converge (figura 10.8.4). Como antes, cuando 0 < R < ∞, la convergencia de la serie en los puntos extremos x  c − R y x  c + R de sus intervalos de convergencia se deben verificar por separado. z#ONVERGE z$IVERGE C 2 3ERIE DIVERGE

z#ONVERGE z$IVERGE C

C2

3ERIE CONVERGE

3ERIE DIVERGE

FIGURA 10.8.4 Intervalo de ∞ n n=0 an (x − c) .

convergencia de

EJEMPLO 5

Determine el intervalo de convergencia de la serie ∞  (−1)n (x − 2)n . n · 4n n=1

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

785

Solución Hacemos un  (−1)n(x − 2)n/(n · 4n). Entonces

L¤M

N!1

U NC UN

./NC .X /NC .N C /
NC H L¤M ./N .X /N N!1 N
N jX j N jX j
H : H L¤M N!1  NC 

Así, la serie dada converge cuando | x − 2 | < 4, entonces el radio de convergencia es R  4. Como c  2, la serie converge cuando −2 < x < 6 y diverge si x < −2 o x > 6. Cuando x  −2, la serie se reduce a la serie armónica divergente y cuando x  6 se reduce a la serie alterna convergente (−1)n/n. Entonces el intervalo de convergencia de la serie de potencias dada es (−2, 6]. Z

Representación de funciones con series de potencias Las series de potencias son una herramienta importante al calcular (o aproximar) valores de funciones. Suponga que la serie an x n converge al valor f (x); esto es F .X/ H A C A X C A X  C


C AN X N C




para cada x en el intervalo de convergencia de la serie de potencias. Entonces llamamos an x n una representación con serie de potencias de f (x). Por ejemplo, la serie a geométrica x n en la ecuación (1) es una representación de serie de potencias de la función f (x)  1/(1 − x) en el intervalo (−1, 1). En la sección 10.4 estudiamos que a menudo se puede usar la fórmula de Taylor con residuo para encontrar una representación con serie de potencias de una función dada. Recuerde que la fórmula de Taylor de grado n para f (x) en x  a es f (x) = f (a) + f  (a)(x − a) + + ··· +

f  (a) f (3) (a) (x − a)2 + (x − a)3 2! 3!

f (n) (a) (x − a)n + R n (x). n!

(10)

El residuo Rn(x) está dado por R n (x) =

f (n+1) (z) (x − a)n+1 , (n + 1)!

donde z es algún número entre a y x. Si hacemos n → +∞ en la ecuación (10) y sustituimos a con c, obtenemos el teorema 2.

TEOREMA 2 Representación con series de Taylor Suponga que la función f tiene derivadas de todos los órdenes en algún intervalo que contiene a c y también que L¤M 2 N .X/ H 

N!1



PARACADAXENESEINTERVALO$EESTAMANERA 1

F .X/ H NH

PARACADAXENELINTERVALO

F .N/ .C/ .X C/N NW



786

CAPÍTULO 10

Series infinitas

La serie de potencias en la ecuación (12) es la serie de Taylor de la función f en x  c (o en potencias de x − c, o con centro c). Si c  0, se obtiene la serie de potencias 1

F .X/ H NH

F .N/ ./ N F ./  X C


X H F ./ C F ./X C W NW



conocida como la serie Maclaurin de f. Las series de potencia en las ecuaciones (2) a (4) son las series de Maclaurin de las funciones e x, cos x y sen x, respectivamente. EJEMPLO 6 Se pueden construir nuevas series de potencias de las antiguas. Por ejemplo, si reemplazamos x con −x en la serie de Maclaurin para e x, obtenemos x3 x2 xn − + · · · + (−1)n + ··· . 2! 3! n! Ahora sumamos las series para e x y e−x y dividimos entre 2. Así se obtiene   1 x2 x3 x4 e x + e−x = 1+x + + + + ··· cosh x = 2 2 2! 3! 4!   1 x2 x3 x4 + 1−x + − + − ··· , 2 2! 3! 4! entonces e−x = 1 − x +

COSH X H  C

X X X C C C


: W W W

SENH X H X C

X X X C C C


: W W W

$EMANERASIMILAR

Observe el fuerte parecido con las ecuaciones (3) y (4), las series de cos x y sen x, respectivamente. Después de sustituir x con −x 2 en la serie de e x, obtenemos ∞  x6 x4 x 2n 2 = 1 − x2 + − + ··· . (−1)n e−x = n! 2! 3! n=0 Como esta serie de potencias converge a exp(−x 2) para toda x, debe ser la serie de Maclaurin para exp(−x 2). (Vea el problema 66.) Piense lo tedioso que resultaría calcular las derivadas de exp(−x 2) necesarias para escribir la serie de Maclaurin directamente de la ecuación (13). Z EJEMPLO 7 Algunas veces una función se define originalmente mediante una serie de potencias. Una de las “funciones trascendentes altas” más importantes en matemáticas aplicadas es la función de Bessel J0(x) de orden cero definida por ∞  x4 x6 x2 (−1)n x 2n + − + ··· . J0 (x) = = 1 − 22n (n!)2 4 64 2304 n=0 Únicamente aparecen los términos de grado par, por lo que al escribir un  (−1)n x2n/ [22n(n!)2] para el n-ésimo término de esta serie (sin contar su término constante). Entonces el ./NC X NC U NC X NC T.N C /WU L¤M H L¤M H L¤M H N N N!1 N!1 N!1 .N C / UN ./ X N .NW/ para toda x, por lo que la prueba de la razón implica que J0(x) está definida en toda la recta real. Las series para J0(x) se parecen algo a la serie del coseno, pero la gráfica de

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

787

J0(x) muestra oscilaciones amortiguadas (figura 10.8.5). Las funciones de Bessel son importantes en aplicaciones como la distribución de la temperatura en una tubería cilíndrica de vapor y en la distribución de neutrones térmicos en un reactor nuclear circular. Z Y 0X

0X 

Y*X





X

 0X

0X

FIGURA 10.8.5 Gráficas de la función de Bessel J0(x) y sus polinomios de Taylor P8(x), P14(x), P24(x) y P30(x).

La serie Binomial El ejemplo 8 da una de las series más famosas y útiles, la serie Binomial, que fue descubierta por Newton en los años 1660. Es la generalización a la serie infinita del teorema del binomio (finito) de álgebra elemental. EJEMPLO 8 Suponga que α es un número real diferente de cero. Demuestre que la serie de Maclaurin de f (x)  (1 + x)α es 1

. C X/ H  C NH

. /. /


. N C / N X NW

H  C X C

. /  . /. /  X C X C


: W W



También determine el intervalo de convergencia de esta serie binomial.

Solución Para obtener esta serie, simplemente se enumeran todas las derivadas de f (x)  (1 + x)α, incluyendo su derivada “cero”: F .X/ H . C X/ F .X/ H . C X/ F .X/ H . /. C X/ F ./ .X/ H . /. /. C X/ ; :: : F .N/ .X/ H . /. /


. N C /. C X/N : %NTONCES F .N/ ./ H . /. /


. N C /:

Si sustituimos este valor de f (n)(0) en la fórmula de la serie de Maclaurin en la ecuación (13), obtenemos la serie binomial en la ecuación (14). Para determinar el intervalo de convergencia de la serie binomial hacemos un =

α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1) n x . n!

788

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Encontramos que el

L¤M

N!1

U NC H L¤M N!1 UN H L¤M

N!1

. /. /


. N/X NC .N C /W . /. /


. N C /X N NW . N/X H jXj: NC

Así, la prueba de la razón muestra que la serie binomial converge absolutamente si | x | < 1 y diverge si | x | > 1. Su convergencia en los puntos extremos x  ±1 depende del valor de α; no analizaremos este problema. El problema 67 describe una demostraZ ción de que la suma de la serie binomial es en realidad (1 + x)α si | x | < 1. Si α  k, un entero positivo, entonces el coeficiente de x n es cero para n > k y la serie binomial se reduce a la fórmula binomial K

. C X/K H NH

KW XN NW.K N/W

De otra manera la ecuación (14) es una serie infinita. Por ejemplo, con α  , obtenemos √

  1  1  3  − 12 2 −2 −2 3 x + 2 x 1+x =1+ x + 3!  1  32! 5   11! −2 −2 −2 4 x + ··· + 2 4! 1 3 5 4 = 1 + 12 x − 18 x 2 + 16 x − 128 x + ··· . 1 2

 1  2

(15)

Si sustituimos x con −x y tomamos α  −, obtenemos la serie  1  3  − 12 −2 −2 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n =1+ (−x) + (−x)2 + · · · + x + ··· , √ 1! 2! n! · 2n 1−x 1

la cual en la notación de suma breve toma la forma √

1 1−x

=1+

∞  1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n x . 2 · 4 · 6 · · · (2n) n=1

(16)

Esta serie será útil en el ejemplo 12 y en el problema 68.

Derivación e integración de series de potencias Algunas veces no es conveniente calcular las derivadas repetidas de una función para encontrar su serie de Taylor. Un método alternativo es encontrar una nueva serie de potencias derivando e integrando una serie de potencias conocida. Suponga que se conoce la serie de potencias que representa la función f (x). Entonces el teorema 3 (su demostración se deja para cálculo avanzado) implica que la función f (x) se puede obtener derivando por separado los términos individuales de su serie de potencias. Es decir, la serie de potencias que se obtiene derivando cada término converge a la derivada f (x). De manera similar, la integral de una función se puede obtener integrando por separado cada término de su serie de potencias.

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

789

TEOREMA 3 Derivación e integración por términos Suponga que la función f está representada por una serie de potencias 1

AN X N H A C A X C A X  C A X  C




F .X/ H NH

CONRADIODECONVERGENCIA2DIFERENTEDECERO!S¤ FESDERIVABLEENn2 2 Y 1

NAN X N H A C A X C A X  C A X  C


:

F .X/ H



NH

!DEMÖS 1

X

F .T/ DT H 

NH

AN X NC H A X C  A X  C  A X  C


NC



para cada x en (–R, R). Más aún, las series de potencias de las ecuaciones (17) y (18) tienen el mismo radio de convergencia R. Aunque omitimos la demostración del teorema 3, observamos que el radio de convergencia de la serie en la ecuación (17) es

OBSERVACIÓN 1

2 H L¤M

N!1

NAN H .N C /ANC

L¤M

N!1

N NC




L¤M

N!1

AN ANC

H L¤M

N!1

AN : ANC

Así, por la ecuación (8), la serie de potencias para f (x) y la serie de potencias para f (x) tienen el mismo radio de convergencia (suponiendo que el límite anterior existe). El teorema 3 tiene una consecuencia importante: si ambas series de potencia an x n y bn x n convergen y, para toda x con | x | < R (R > 0), an x n  bn x n, entonces an  bn para toda n. En particular, la serie de Taylor de una función es su representación única con serie de potencias (si existe). (Vea el problema 66.) OBSERVACIÓN 2

EJEMPLO 9

La derivación por términos de la serie geométrica para f (x) =

lleva a 1 = Dx (1 − x)2



1 1−x

1 1−x

 = Dx (1 + x + x 2 + x 3 + · · · )

= 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + · · · .

Entonces ∞ ∞   1 n−1 = nx = (n + 1)x n . (1 − x)2 n=1 n=0

La serie converge para 1/(1 − x)2 si −1 < x < 1. EJEMPLO 10 tiene

Z

Sustituyendo x con −t en la serie geométrica del ejemplo 9 se ob1 = 1 − t + t 2 − t 3 + · · · + (−1)n t n + · · · . 1+t

Como Dt ln(1 + t)  1/(1 + t), integrando por términos de t  0 a t  x tenemos

x 1 dt ln(1 + x) = 1 + t 0

x (1 − t + t 2 − · · · + (−1)n t n + · · · ) dt; = 0

790

CAPÍTULO 10

Series infinitas

   ./NC N X C


LN. C X/ H X X  C X  X  C


C    N



si |x | < 1.

Z

EJEMPLO 11 Encuentre una serie de potencias que represente a la función arco tangente.

Solución Como Dt tan−1 t  1/(1 + t 2), la integración por términos de la serie geométrica 1 = 1 − t2 + t4 − t6 + t8 − · · · 1 + t2

da −1

tan

x=

x

0

1 dt = 1 + t2



x

(1 − t 2 + t 4 − t 6 + t 8 − · · · ) dt

0

si x está en el intervalo (−1, 1) donde la serie geométrica converge. Por lo tanto 1

TAN X H NH

./NC X N H X  X  C  X   X  C  X 


N 



si −1 < x < 1. La figura 10.8.6 ilustra tanto la convergencia de la serie de potencias dentro de este intervalo como la divergencia fuera de él. Z Y

N

N

YTAN X P 

X

P

N

N

X 

X

FIGURA 10.8.6 Las gráficas de los polinomios de Taylor de grados n  3, 5, 7 y 9 ilustran la convergencia dentro del intervalo −1 < x < 1 y la divergencia fuera de este intervalo.

EJEMPLO 12 seno.

Encuentre la representación con serie de potencias de la función arco

Solución Primero sustituimos t 2 por x en la ecuación (16). Esto lleva a ∞  1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 2n 1 =1+ t √ 2 2 · 4 · 6 · · · (2n) 1−t n=1

SECCIÓN 10.8

Series de potencias

791

p si | t| < 1. Como $T SEN T D =  T  la integración por términos de esta serie de t  0 a t  x da X

SEN X H 

1  




.N / X NC
DT H X C p 




.N/ N C   T NH



si |x | < 1. El problema 68 muestra cómo utilizar esta serie para derivar la serie 1 1 1 1 π2 = 1 + 2 + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· , 6 2 3 4 n que se utilizó el ejemplo 3 de la sección 10.5 para aproximar el número π.

Z

10.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Una serie de potencias de x tiene la forma a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · · + an x n + · · · . ANC , existe. Si ρ  0, N!1 AN entonces la serie de la pregunta 1 converge absolutamente para toda x. Si ρ  +∞, entonces la serie diverge para toda x H 0, Si 0 < ρ < +∞, entonces la serie converge absolutamente para toda x tal que ρ · | x |< 1. ∞  xn es [−3, 3). 3. El intervalo de convergencia de la serie n · 3n n=1

2. Dada la serie de la pregunta 1, suponga que  H L¤M

4. La serie

∞ 

n n x n converge para toda x H 0.

n=1

5. La prueba de la razón demuestra que la serie de Taylor para cos x converge sólo en aquellos valores de x para los cuales −1 < x < 1. x2 x4 x6 + + + ···. 2! 4! 6! 7. Si α es un número real diferente de cero, entonces

6. cosh x = 1 +

(1 + x)α = 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ··· 2! 3!

y esta serie binomial converge absolutamente si −1 < x < 1. 8. Si f (x)  a0 + a1x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · · y esta serie tiene radio de convergencia R, entonces f es derivable en (−R, R) y f  (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 a 2 + 4a4 x 3 + · · · . 1 1 1 9. ln x = x + x 2 + x 3 + x 4 + · · · si −1 < x < 1. 2 3 4 ∞  1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) x 2n+1 · si −1 < x < 1. 10. sen−1 x  x + 2 · 4 · 6 · · · (2n) 2n + 1 n=1

10.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que comienza con las series de Maclaurin de las funciones del seno y del coseno como sus definiciones. ¿Cuántas de las propiedades familiares del cos x y sen x —como sus derivadas y fórmulas para la suma— puede establecer usando sólo estas series?

792

CAPÍTULO 10

Series infinitas

2. Utilice las series de Maclaurin para las funciones seno y coseno y las series hiperbólicas correspondientes del ejemplo 6 para explorar la relación entre las funciones pares trig i x y trigh x, donde trig indica una de las funciones trigonométricas cos/sen/tan y trigh indica las funciones hiperbólicas correspondientes.

10.8 PROBLEMAS Encuentre el intervalo de convergencia para cada serie de potencias dada en los problemas 1 a 30. 1.

∞ 

nx n

2.

n=1 ∞  nx n 3. 2n n=1

5.

∞ 

∞  (−1)n x n 4. n 1/2 5n n=1 ∞  (−1)n x n 6. nn n=1

n!x n

n=1

7.

∞  3n x n n3 n=1

8.

∞  (−4)n x n √ 2n + 1 n=1

10.

∞  n2 x n 3n − 1 n=1

∞  (−1)n nx n 11. 2n (n + 1)3 n=1

12.

∞  n 10 x n 10n n=1

∞  (ln n)x n 13. 3n n=1

∞  (−1)n 4n x n 14. n ln n n=2

9.

∞ 

∞  xn √ n n=1

(−1)n n 1/2 (2x)n

n=1

15.

∞ 

(5x − 3)n

16.

n=0

17.

∞  n=1 1

 NH 1

 NH

2 (x − 3) n2 n

∞  (2x − 1)n n 4 + 16 n=1

n






.N C / N X .OPRUEBELOSPUNTOSEXTREMOS NW NH LASERIEDIVERGEENELLOS ∞ ∞ 3 n   n (x + 1) (−1)n+1 (x − 2)n 21. 22. n 3 n2 n=1 n=1

∞ 

x (2

n)

n=0

29.

∞  n=1

(−1)n x n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)

∞  1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n x 30. 2 · 5 · 8 · · · (3n − 1) n=1

 F .X/ H SEN.X  /  F .X/ H COS X H  . C COS X/ p  F .X/ H   X  F .X/ H . C X  /=   F .X/ H . C X/  F .X/ H p  C X LN. C X/ X ARCTAN X  F .X/ H  F .X/ H X X

En los problemas 43 a 48 encuentre la serie de potencias que representa a la función dada f (x) usando integración por términos. X

SEN T  DT

 F .X/ H



EXP.T / DT

24.

∞  (−1)n+1 10n (x − 10)n n! n=1

∞  (−1)n+1 26. (x − 2)n n · 10n n=1 n ∞  2  x +1 28. 5 n=0

X

ARCTAN T DT T

 F .X/ H 

 F .X/ H 

 TANH

SEN T DT T

 X



X

 F .X/ H



 EXP.T  / DT T X

XH 

1

27.

  C X X  F .X/ H  X

 F .X/ H

 F .X/ H X  EX

X

.N/W N X NW

∞  n! 25. (x − 5)n 2n n=1

X X



NW N X .OPRUEBELOSPUNTOSEXTREMOSLASERIE NN DIVERGEENELLOS

∞  (3 − x)n n3 n=1

 F .X/ H

 F .X/ H



23.

En los problemas 31 a 42, use las series de potencias establecidas en esta sección para encontrar una serie de potencias que represente la función dada. Luego determine el radio de convergencia de la serie obtenida.

 DT  T

N Comenzando con la serie geométrica 1 NH X como en el ejemplo 9, derive por términos para encontrar las sumas ( para | x | < 1) de las series de potencias dadas en los problemas 49 a 51.

49.

∞ 

nx n

50.

n=1

∞ 

n(n − 1)x n

51.

n=1

∞ 

n2 x n

n=1

52. Utilice las series de potencias de los problemas anteriores para sumar las siguientes series numéricas 1 NH

N N

1

Y NH

N : N

53. Verifique derivando cada término de las series de Maclaurin que la función exponencial y  e x satisface la ecuación diferencial dy/dx  y. (Como la serie exponencial se obtiene naturalmente como una serie de potencias que es su propia derivada por términos.) 54. Verifique derivando cada término de sus series de Maclaurin que la función seno, y  sen x, y la función coseno, y  cos x, ambas satisfacen la ecuación diferencial d2 y + y = 0. dx2

SECCIÓN 10.8

55. Verifique derivando por términos las series del seno y el coseno hiperbólicos del ejemplo 6 que cada una de las funciones cosh x y senh x es la derivada de la otra y que cada una satisface la ecuación diferencial y  − y  0. 56. En matemáticas elementales se ven varias definiciones (¡algunas circulares!) de las funciones trigonométricas. Una aproximación a un fundamento riguroso para estas funciones es comenzar por definir cos x y sen x por medio de sus series de Maclaurin. Por ejemplo, si nunca ha oído hablar del seno, el coseno o el número π, podemos definir la función ∞  (−1)n−1 x 2n−1 S(x) = (2n − 1)! n=1 y verificar usando la prueba de la razón que esta serie converge para toda x. Utilice un sistema algebraico de computadora para graficar las sumas parciales sn (x) de grado alto de esta serie. ¿Parecería que la función S(x) tiene un cero en un lugar cercano al número 3? Resuelva numéricamente la ecuación sn (x)  0 ( para algunos valores grandes de n) para verificar que este último cero positivo de la función seno es aproximadamente 3.14159 (es decir, el famoso número π hace una nueva aparición). 57. La función de Bessel de orden 1 está definida por ∞  x x3 x5 (−1)n x 2n+1 J1 (x) = = − + − ··· . 2n+1 2 n!(n + 1)! 2 16 384 n=0 Verifique que esta serie converge para toda x y que la derivada de la función de Bessel de orden cero está dada por * .X/ H *.X/. ¿Son las gráficas de la figura 10.8.7 congruentes con este hecho? 

Y*X

 Y









 X



793

61. Primero utilice la serie del seno para encontrar la serie de Taylor de f (x)  (sen x)/x. Posteriormente use una calculadora con gráficas o computadora para ilustrar la aproximación de f (x) por sus polinomios de Taylor con centro a  0. 62. Primero encuentre la serie de Taylor de la función X

G.X/ H 

SEN T DT: T

Luego determine dónde converge esta serie. Por último, use una calculadora con gráficas o una computadora para ilustrar la aproximación de g(x) por sus polinomios de Taylor con centro a  0. 63. Deduzca de la serie arco tangente (ejemplo 11) que   ∞ 6  (−1)n 1 n π= √ . 3 n=0 2n + 1 3 Luego use esta serie alterna para demostrar que π  3.14 con precisión de dos decimales. 64. Sustituya la serie de Maclaurin para sen x y suponga la validez de la integración por términos de la serie resultante para derivar la fórmula 1

ET SEN XT DT H 

X  C X

.jXj < /:

Utilice el hecho de la sección 7.8 que

∞ t n e−t dt = (n + 1) = n!. 0

65. a) Deduzca de la serie de Maclaurin para et que ∞  1 (−1)n (x ln x)n . = x x n! n=0 b) Suponga que es válida la integración por términos de la serie en el inciso a), utilice la fórmula de la integral del problema 53 en la sección 7.8 para concluir que

1 ∞  1 1 d x = . x n n 0 x n=1

Y*X



Series de potencias



FIGURA 10.8.7 Gráficas de las funciones de Bessel J0(x) y J1(x). Observe que sus ceros están intercalados, como los ceros de las funciones coseno y seno.

58. Verifique con integración por términos que

x J0 (x) d x = x J1 (x) + C. 59. La ecuación de Bessel de orden n es la ecuación diferencial de segundo orden x 2 y  + x y  + (x 2 − n 2 )y = 0.

Verifique con derivación por términos que y  J0(x) satisface la ecuación de Bessel de orden cero. 60. Verifique que y  J1(x) satisface la ecuación de Bessel de orden 1 (problema 59).

66. Suponga que f (x) está representada por la serie de potencias ∞  an x n n=0

para toda x en algún intervalo abierto centrado en x  0. Muestre por derivación repetida de la serie, sustituyendo x  0 después de cada derivación, que an  f (n)(0)/n! para toda n 0. Así, la única serie de potencias en x que representa una función en y cerca de x  0 es su serie se Maclaurin. 67. a) Considere la serie binomial f (x) =

∞  α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1) n x , n! n=0

que converge (a algo) si | x| < 1. Calcule la derivada f (x) derivando cada término y demuestre que satisface la ecuación diferencial (1 + x) f (x)  αf (x). b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) para obtener f (x)  C(1 + x)α para alguna constante C. Por último, muestre que C  1. Entonces la serie binomial converge a (1 + x)α si |x| < 1.

794

CAPÍTULO 10

Series infinitas

68. a) Demuestre por integración directa que  

Utilice esta información y los incisos a) y c) para demostrar que ∞  1 π2 = . n2 6 n=1

 ARCSEN X DX H : p   X

69. Pruebe que si la serie de potencias an x n converge para algún x  x0 0, entonces converge absolutamente para toda x tal que |x| < |x 0 |. [Sugerencia: concluya del hecho de que el L¤MN!1 AN XN H  que |an x n| |x/x0 |n para toda n suficientemente grande. Así la serie |an x n| en algún punto estará dominada por la serie geométrica |x/x0 |n, que converge si | x| < | x 0 |.] 70. Suponga que la serie de potencias an x n converge para algunos pero no todos los valores de x diferentes de cero. Sea S un conjunto de números reales para los cuales la serie converge absolutamente. a) Concluya del problema 69 que el conjunto S está acotado por arriba. b) Haga λ el límite superior mínimo del conjunto S. (Observe el problema 61 de la sección 10.2.) Demuestre que an x n converge absolutamente si |x| < λ y diverge si | x| > λ. Explique por qué esto prueba el teorema 1 sin la hipótesis adicional de que L¤MN!1 jANC =AN j existe.

b) Use el resultado del problema 58 de la sección 7.3 para demostrar que

1 2 · 4 · 6 · · · (2n) x 2n+1 dx = . √ 2 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) 1−x 0 c) Sustituya la serie del ejemplo 10 para arcsen x en la integral del inciso a); luego use la integral del inciso b) para integrar por términos. Concluya que  

   ARCSEN X DX H  C  C  C  C


: p     X 

d) Observe que ∞ ∞ ∞    1 1 1 = + . 2 2 2 n (2n − 1) (2n) n=1 n=1 n=1

10.9 CÁLCULOS CON SERIES DE POTENCIAS Las series de potencias se utilizan con frecuencia para aproximar los valores numéricos de funciones y de integrales. Series de potencias alternas (como las series de seno y coseno) son en especial comunes y útiles. Recuerde la estimación del residuo (o “error”) de las series alternas del teorema 2 de la sección 10.7. Esto se aplica a las series alternas convergentes (−1)n+1an cuyos términos son decrecientes (o sea an > an+1 para cada n). Si escribimos 1

./KC AK H .A A C A


 AN / C %



KH

entonces E  ∓ an+1 ± an+2 ∓ an+3 ± · · · es el error cuando se trunca la serie, los términos que siguen a (−1)n+1an simplemente se cortan y eliminan, y la suma parcial del n-ésimo término se usa en lugar del valor real de la suma de la serie completa. La estimación del residuo nos dice que el error E tiene el mismo signo que el primer término que no se retuvo y es menor en magnitud que este primer término no considerado; esto es |E| < an+1. Utilice los primeros cuatro términos de la serie binomial √ 1 3 5 4 1 + x = 1 + 12 x − 18 x 2 + 16 x − 128 x + ··· √ para estimar el número 105 y para estimar la precisión de la aproximación.

EJEMPLO 1

(2)

Solución Si x > 0 entonces la serie binomial es, después del primer término, una serie alterna. Primero, para tener un patrón similar en el lado izquierdo de la ecuación (2), escribimos  √ √ √ 5 105 = 100 + 5 = 10 1 + 100 = 10 1 + 0.05. Entonces con x  0.05 la serie en (2) proporciona √ 105 = 10 1 + 12 (0.05) − 18 (0.05)2 +

1 (0.05)3 16

+E

≈ 10 [1.02469531 + E ] = 10.2469531 + 10E. √ Observe que el error 10E en la aproximación 105 ≈ 10.2469531 es 10 veces el error de la propia serie truncada. Se deduce de la estimación del residuo que E es negativa y que |10E| < 10 ·

5 (0.05)4 128

≈ 0.0000024.

SECCIÓN 10.9

Cálculos con series de potencias

795

Por lo tanto, √ 10.2469531 − 0.0000024 = 10.2469507 < 105 < 10.2469531, √ de donde 105 ≈ 10.24695 redondeada con precisión de cinco decimales.

Z

OBSERVACIÓN Suponga que se hubiera pedido por anticipado que se aproximara √ 105 con una precisión de cinco decimales. Una forma conveniente de hacer esto es continuar escribiendo los términos de la serie hasta que ya se sabe que son demasiado pequeños en magnitud para afectar al quinto decimal. Una buena regla corta es usar dos decimales más que los requeridos en la respuesta final. Entonces utilizamos siete decimales en este caso para obtener

√

105 = 10 · (1 + 0.05)1/2 ≈ 10 · (1 + 0.025 − 0.00031 25 + 0.00000 78 − 0.00000 02 + · · · ) ≈ 10.246951 ≈ 10.24695.

EJEMPLO 2 La figura 10.9.1 muestra la gráfica de la función f (x)  (sen x)/x. Aproxime (con precisión de tres decimales) el área

 



Y SENX X

Y  



P

P

!H 

SEN X DX H  X

 

SEN X DX X



de la región sombreada que se encuentra bajo el “arco principal” de x  −π a π.

Solución Cuando sustituimos la serie de Taylor para sen x en la ecuación (3) e integramos por términos, tenemos

         X

  1 x3 x5 x7 A=2 x− + − + · · · dx 3! 5! 7! 0 x 

π x4 x6 x2 + − + · · · dx 1− =2 3! 5! 7! 0  π x3 x5 x7 =2 x− + − + ··· , 3!3 5!5 7!7 0

FIGURA 10.9.1 Gráfica de SEN X del ejemplo 2. YH X

π

y así A = 2π −

2π 5 2π 7 2π 9 2π 11 2π 3 + − + − + ··· . 3!3 5!5 7!7 9!9 11!11

Siguiendo la “regla corta de 2 más” y reteniendo cinco decimales, obtenemos A  6.28319 − 3.44514 + 1.02007 − 0.17122 + 0.01825 − 0.00134 + 0.00007 − . . . La suma de los primeros seis términos da A ≈ 3.70381. Como estamos sumando una serie alterna, el error de esta aproximación es positivo y menor que el siguiente término 0.00007. Despreciando un posible redondeo en el último decimal, se puede concluir que 3.70381 < A < 3.70388. De esta manera, A ≈ 3.704 redondeada a tres decimales de precisión. Z

El álgebra de las series de potencias El teorema 1, que establecimos sin demostración, implica que las series de potencias se pueden sumar y multiplicar como si fueran polinomios. El fundamento es la agrupación de coeficientes de potencias iguales de x.

796

CAPÍTULO 10

Series infinitas

TEOREMA 1 Suma y multiplicación de series de potencias Sean an x n y bn x n dos series de potencias con radios de convergencia diferentes de cero. Por lo cual 1

1

1

AN X N C NH

BN X N H NH

.AN C BN /X N



NH

Y 1

1

AN X N NH

1

BN X N

CN X N

H

NH

NH

H A B C .A B C A B /X C .A B C A B C A B /X  C


;



CN H A BN C A BN C A BN C


C AN B C AN B :



DONDE

Las series en las ecuaciones (4) y (5) convergen para cualquier x que esté en el interior de los intervalos de convergencia tanto de an x n como de bn x n. Entonces si an x n y bn x n son las series de potencias que representan a las funciones f (x) y g(x), respectivamente, entonces la serie de potencias del producto cn x n encontrada con la “multiplicación normal” y la agrupación de términos es una serie de potencias que representa a la función producto f (x)g(x). Este hecho se puede usar también para dividir una serie de potencias entre otra, siempre que se sepa que el cociente tiene una representación de serie de potencias. EJEMPLO 3 Suponga que la función tangente tiene una representación con serie de potencias tan x  an x n (si la tiene). Utilice la serie de Maclaurin del sen x y cos x para encontrar a0, a1, a2 y a3.

Solución Multiplicamos las series para obtener sen x = tan x cos x



x4 x2 + − ··· = (a0 + a1 x + a2 x + a3 x + · · · ) 1 − 2 24 2



3

.

Si multiplicamos cada término en el primer factor por cada término en el segundo factor y luego agrupamos los coeficientes de la misma potencia, el resultado es SEN X H A C A X C A  A X  C A  A X  C


: 0EROCOMO SEN X H X  X  C

  X 




;

la comparación de los coeficientes da las ecuaciones a0 = 0, = 1, a1 − 12 a0 + a2 = 0, − 12 a1 + a3 = − 16 . Así, encontramos que a0  0, a1  1, a2  0 y a3  . Entonces tan x = x + 13 x 3 + · · · .

Las cosas no siempre son lo que parecen a primera vista. Un sistema algebraico de computadora da la continuación tan x = x + 13 x 3 +

2 5 x 15

+

17 7 x 315

+

62 9 x 2835

+

1382 x 11 155,925

+ ···

(7)

de la serie tangente. Para la forma general del n-ésimo coeficiente, consulte Theory and Application of Infinite Series de K. Knopp (Nueva York; Hafner Press, 1971), p. 204.

SECCIÓN 10.9

Cálculos con series de potencias

797

También puede verificar que los primeros términos concuerdan con los que se obtienen al dividir la serie de Maclaurin del sen x entre la serie de Maclaurin del cos x:     Y3X 

P  Y 





 YTANX





     X

  X H X H X H


 

Y3X Y3X

Y3X

   X H X


X  X H  X


    P 





FIGURA 10.9.2 Gráficas de y  tan x y las primera cuatro sumas parciales de la serie de potencias en (7).

La figura 10.9.2 muestra la aproximación de la función tangente (en −π/2 < x < π/2) por las primeras cuatro sumas parciales polinomiales de orden impar correspondientes a los términos que aparecen en la ecuación (7). Es evidente que estas aproximaciones polinomiales tienen dificultad para “seguir” a tan x al acercarse a ±∞ cuando x → ± π/2. Z

Series de potencias y formas indeterminadas De acuerdo con el teorema 3 de la sección 10.8, una serie de potencias es derivable y por consiguiente continua dentro de su intervalo de convergencia. Se deduce que 1

AN .X C/N H A :

L¤M

X!C



NH

Los ejemplos 4 y 5 ilustran cómo utilizar esta sencilla observación para encontrar el límite de una forma indeterminada f (x)/g(x). La técnica es primero sustituir las series de potencias que representan a f (x) y g(x). SEN X ARCTAN X  X! X  LN. C X/ Las series de potencias de las ecuaciones (4), (19) y (20) de la sección 10.8

EJEMPLO 4

Solución proporciona

Encuentre L¤M

SEN X ARCTAN X H X  X  C H  X 

  X 

  X 




X  X  C  X 




C




Y X  LN. C X/ H X 
X  X  C  X  C


H X   X  C  X 


: %NTONCES     X  X C


SEN X ARCTAN X  H L¤M   X! X! X  X  C


X LN. C X/ 

L¤M

H L¤M

X!

 

  X C


  X C






H

 : 

LN X  X  Solución Primero reemplazamos x con x − 1 en la serie de potencias para ln(1 + x) usada en el ejemplo 4. [La ecuación (8) hace evidente que este método requiere que todas las series tengan centro c si tomamos los límites cuando x → c.] Esto proporciona

EJEMPLO 5

%NCUENTREEL L¤M

X!

LN X H .X /  .X / C  .X /


: 0ORLOTANTO L¤M

X!

.X /  .X / C  .X /


LN X H L¤M X  X! X   H L¤M   .X / C  .X /


H : X!

El método de los ejemplos 4 y 5 proporcionan una alternativa útil a la regla de l’Hôpital, en especial cuando la derivación repetida del numerador y denominador es inconveniente o muy tardada. (Vea los problemas 59 y 60.)

798

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Estimación del error numérica y gráficamente El siguiente ejemplo muestra cómo investigar la precisión en la aproximación mediante sumas parciales de una serie de potencias para un intervalo especificado de valores de x. La afirmación de que una aproximación dada tiene “precisión de p decimales” significará que su error E es numéricamente menor que la mitad de la unidad del p-ésimo decimal; esto es, que |E| < 0.5 × 10−p. Por ejemplo, una precisión de cuatro decimales significa que |E| < 0.00005. (Observe que p  4 es el número de ceros.) Sin embargo, debemos recordar que en algunos casos una precisión de la mitad de la unidad en el p-ésimo decimal puede redondearse “al lado equivocado” por lo que el resultado redondeado a p decimales puede tener un error de una unidad del p-ésimo decimal (como en el problema 12). EJEMPLO 6

Considere la aproximación polinomial

X X X N C


C ./NC W W .N /W obtenida al truncar la serie alterna de Taylor para la función seno. SEN X  X



a) ¿Qué tan precisa es la aproximación cúbica P3(x) ≈ x − x3/3! para ángulos de 0° a 10°? Utilice esta aproximación para estimar sen 10°. b) ¿Cuántos términos en (9) se necesitan para garantizar una precisión de seis decimales al calcular sen x para ángulos entre 0° y 45°? Use el polinomio correspondiente para aproximar sen 30° y sen 40°. c) ¿Para qué valores de x lleva la aproximación de grado cinco a una exactitud de cinco decimales?

Solución a) Desde luego, debemos poner x en radianes en (9), por lo que manejamos valores de x en el intervalo 0 x π/18. Para cualquiera de esas x, el error E es positivo (¿por qué?) y está acotado por la magnitud del siguiente término: (π/18)5 x5 ≈ 0.00000135 < 0.000005. |E| <  5! 5! Contamos cinco ceros a la derecha y tenemos una precisión de cinco decimales. Por ejemplo, sustituyendo x  π/18 en el polinomio cúbico P3(x), tenemos SEN  H SEN

 



 
 W

 



 :  ::

Esta aproximación con cinco decimales de sen 10° ≈ 0.17365 es correcta, ya que el valor real con siete decimales de sen 10° es 0.1736482 ≈ 0.17365. N

.=/NC .N C /W

    

    

FIGURA 10.9.3 Estimación del error en el ejemplo 6b).

Solución b) Para cualquier x en el intervalo 0 x π/4, el error E que se tiene al usar el valor del polinomio en (9) en lugar del valor real del sen x está acotado por el primer término que no se considera. |E| <

(π/4)2n+1 x 2n+1 .  (2n + 1)! (2n + 1)!

La tabla en la figura 10.9.3 muestra los valores calculados para n  1, 2, 3, . . . de este error máximo (redondeado a ocho decimales). Para la precisión de seis decimales queremos |E| < 0.0000005, de manera que vemos que n  4 es suficiente. Por lo tanto se utiliza el polinomio de Taylor de grado siete P7 (x) = x −

para aproximar sen x con 0 SEN  

x

x5 x7 x3 + − 3! 5! 7!

π/4. Con x  π/6 se tiene

.=/ .=/ .=/   C  :  ;  W W W 

(10)

SECCIÓN 10.9



X

 Y Y

799

como se esperaba. Sustituyendo x  2π/9 en (10) de modo similar obtenemos sen 40° ≈ 0.64278750, mientras que el valor real con ocho decimales del sen 40° es 0.64278761 ≈ 0.642788.

s  X 

Cálculos con series de potencias

X 


Solución c) La aproximación de grado cinco



X X C  W W ofrece una precisión de cinco decimales cuando x es tal que el error E satisface la desigualdad |x|7 |x|7 = |E| <  0.000005; 7! 5040 esto es, cuando |x | [(5040) · (0.000005)]1/7 ≈ 0.5911 (radianes). En grados, esto corresponde a ángulos entre −33.86° y +33.86°. En la figura 10.9.4 se tiene la gráfica de y  x7/7! dentro de la ventana −1 x 1, −0.00001 y 0.00001 la cual corrobora gráficamente este análisis —se ve claramente que x7/7! se queda entre −0.000005 y 0.000005 cuando x está entre −0.59 y 0.59. Z SEN X  0 .X/ H X









 X





FIGURA 10.9.4 Gráfica del error X máximo Y H del ejemplo 6c). W

EJEMPLO 7 Suponga ahora que se quiere aproximar f (x)  sen x con una precisión de tres decimales en el intervalo completo de 0° a 90°. Tiene sentido comenzar con una serie de Taylor centrada en el punto medio del intervalo x  π/4. Como la función f (x) y sus derivadas p sucesivas p pson senpx, cos x, −sen x, −cos x, etcétera, sus valores en X H = SON         etcétera. En consecuencia la serie de Taylor con residuo (sección 10.4) para f (x)  sen x centrada en x  π/4 toma la forma p      SEN X H X
C X   W 

j%.X/j H Y

 X P  


Y  Y







C




  X NW 

N

C %.X/



DONDE

s 



  X W 

 X P  




X





FIGURA 10.9.5 Comparación de errores en el ejemplo 7.

 F .NC/ .Z/ X .N C /W 

NC

  X .N C /W 

NC



para alguna z en el intervalo 0 x π/2. Observe que la serie de Taylor correspondiente no es alterna: si x > π/4 tiene más bien un patrón de signos “++−−++−−” pero se puede utilizar la estimación del residuo en (13). Para una precisión de tres decimales debemos elegir n tal que y  E(x) permanezca dentro de la ventana −0.0005 y 0.0005 en el intervalo completo 0 x π/2. Observando las gráficas de la figura 10.9.5, sabemos que esto es válido para n  5 pero no para n  4. La aproximación deseada es, por lo tanto, p         SEN X  X X
C X   W  W  C

  X W 



C

  X W 



:

Por ejemplo, sustituyendo x  0 tenemos sen 0° ≈ 0.00020 ≈ 0.000 como se deseaba y x  π/2 da sen 90° ≈ 1.00025 ≈ 1.000. Z

10.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. √ 1. Para usar la serie binomial para aproximar 105, primero se escribe √ √ √ 105 = 100 + 5 = 10 + 5.

800

CAPÍTULO 10

Series infinitas

2. El área de la región sombreada de la figura 10.9.1 es  COS X   SEN X DX H   !H H   :: X X    3. Si an x n y bn x n son series de potencias con radios de convergencia diferentes de cero, entonces     ∞ ∞ ∞    n n an x · bn x = an bn x n . n=0

n=0

n=0

4. La serie de Maclaurin para la función tangente es 1 1 1 tan x = x + x 3 + x 5 + x 7 + · · · . 3 5 7  SEN X ARCTAN X H   L¤M X! X  LN. C X/ LN  LN X LN   H H H   L¤M X! X    7. sen 10° ≈ 1.7365. 8. sen 40° ≈ 0.745113 (con seis decimales de exactitud). 9. Para aproximar sen x para x en el intervalo de 0° a 90°, es conveniente usar una serie de Taylor centrada en 45°, el punto medio del intervalo. 10. Las series de potencias algunas veces se utilizan para evaluar formas indeterminadas.

10.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa cómo puede usar la serie binomial (como en el ejemplo 1) para construir una tabla de raíces —quizá la raíz cuadrada, la raíz cúbica y la raíz cuarta de los primeros 100 enteros positivos. 2. Proporcione sus propios ejemplos de varias integrales cuyas aproximaciones numéricas usando series (como en el ejemplo 2) puedan ser útiles. 3. Proporcione sus propios ejemplos de varias formas indeterminadas cuyas aproximaciones numéricas usando series (como en los ejemplos 4 y 5) puedan ser útiles.

10.9 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, use una serie infinita para aproximar el número indicado con exactitud de tres decimales. p p        SEN.:/

 E

=  =

  =

 

ARCTAN X DX X LN. C X/ DX X  EX DX X



SEN X  D X  =



p 

  C X

DX

=

 C X DX

 







 =







EX D X



:

 TAN .:/  LN.:/    COS  SEN    SEN    COS  En los problemas 11 a 22, use series de potencias para aproximar el valor de las integrales dadas con precisión de cuatro decimales.   SEN X SEN X  DX  p DX X X   







 COS X DX X

=

 C X DX



p 

X  C X

DX

En los problemas 23 a 28 use series de potencias en lugar de la regla de l’Hôpital para evaluar los límites dados.  C X EX X SEN X  L¤M  L¤M  X! X! X COS X X  COS X E X EX X  L¤M  L¤M X X! X.E / X! X ARCTAN X   LN.X  /  L¤M  L¤M X! X X! X  SEN X En los problemas 29 a 32, calcule el número indicado con la precisión que se pide, usando la formula de Taylor para una función apropiada centrada en el punto dado x  a. 29. sen 80°; a  π/4, cuatro decimales 30. cos 35°; a  π/4, cuatro decimales 31. cos 47°; a  π/4, seis decimales 32. sen 58°; a  π/3, seis decimales

SECCIÓN 10.9

En los problemas 33 a 36, determine el número de decimales de precisión que proporciona la fórmula apropiada dada para | x | 0.1.  E X   C X C  X  C  X  C

801

47. Obtenga la serie geométrica que representa a 1/(1 − x) encontrando a0, a1, a2, · · · tales que (1 − x)(a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · · ) = 1.

48. Obtenga p los primeros cinco coeficientes de la serie binomial para  C X encontrando a0, a1, a2, a3 y a4 tales que

 SEN X  X  X  C  LN. C X/  p   C X  

 X  X  X  C  X  C  X  X 

  X 

Cálculos con series de potencias

 X 

(a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + · · · )2 = 1 + x.

37. Demuestre que la aproximación en el problema 33 proporciona el valor de ex con precisión de 0.001 si | x| 0.5. Luego √ calcule 3 e con exactitud de dos decimales. 38. ¿Para qué valores de x la aproximación sen x ≈ x −  x3 tiene precisión de cinco decimales? 39. a) Demuestre que los valores de la función coseno para ángulos entre 40° y 50° se puede calcular con precisión de cinco decimales usando la aproximación √        π 1 π 2 1 π 3 2 1− x − − x− x− cos x ≈ + . 2 4 2 4 6 4

49. Utilice el método del ejemplo 3 para encontrar los coeficientes a0, a1, a2, a3 y a4 de la serie sec x =

∞  1 an x n . = cos x n=0

50. Multiplique la serie geométrica para 1/(1 − x) y la serie para ln(1 − x) para demostrar que si |x| < 1, entonces     ln(1 − x) = −x − 1 + 12 x 2 − 1 + 12 + 13 x 3 1−x   − 1 + 12 + 13 + 14 x 4 − · · · .

51. Considere que se conoce la serie logarítmica b) Demuestre que esta aproximación da una precisión de ocho decimales para ángulos entre 44° y 46°. 40. Extienda la aproximación del problema 39 a una que proporcione los valores correctos de cos x a cinco decimales para ángulos entre 30° y 60°. En los problemas 41 a 44, use integración por términos de una serie de potencias adecuada para aproximar el área o volumen indicados con una precisión de dos decimales. 41. La figura 10.9.1 muestra la región que se encuentra entre la gráfica de y  (sen x)/x y el eje x desde x  −π a x  π. Sustituya sen2 x  (1 − cos 2x) para aproximar el volumen del sólido que se genera al rotar esta región alrededor del eje x. 42. Aproxime el área de la región que se encuentra entre la gráfica de y  (1 − cos x)/x2 y el eje x desde x  −2π a x  2π (figura 10.9.6). Y  COSX X

  Y

   







 X





FIGURA 10.9.6 Región del problema 42.

43. Aproxime el volumen del sólido generado al rotar la región del problema 42 alrededor del eje y. 44. Aproxime el volumen del sólido generado al rotar la región del problema 42 alrededor del eje x. 45. Derive la serie geométrica usando división larga de 1 entre 1 − x. 46. Obtenga la serie para tan x que aparece en el ejemplo 3 mediante la división larga de la serie de Maclaurin para el sen x entre la serie de Maclaurin para el cos x.

ln(1 + x) = x − 12 x 2 + 13 x 3 − 14 x 4 + · · · .

Encuentre los primeros cuatro coeficientes en la serie para ex encontrando a0, a1, a2 y a3 tales que 1 + x = eln(1+x) =

∞ 

n  an x − 12 x 2 + 13 x 3 − 14 x 4 + · · · .

n=0

Así es justo como se descubrió la primera vez (por Newton) la serie de potencias de ex. 52. Utilice el método del ejemplo 3 para demostrar que    X H  C X C X C


: SEN X  

53. Demuestre que la división larga de las series de potencias proporciona 2+x = 2 − x − x 2 + 2x 3 − x 4 − x 5 + 2x 6 1 + x + x2 − x 7 − x 8 + 2x 9 − x 10 − x 11 + · · · .

Demuestre también que el radio de convergencia de esta serie es R  1. 54. Utilice las series del problema 53 para aproximar a dos decimales el valor de la integral

1/2 x +2 d x. 2 x +x +1 0 Compare su estimación con el resultado exacto que da un sistema algebraico de computadora. Use las series de potencias del problema 53 para aproximar con precisión de dos decimales las integrales de los problemas 55 y 56. Compare sus estimaciones con los valores exactos obtenidos con un sistema algebraico de computadora.

1/2 1 55. dx 2 + x4 1 + x 0

1/2 1 56. dx 1 + x4 + x8 0

802

CAPÍTULO 10

Series infinitas

En los problemas 57 y 58, grafique la función dada y varios de sus polinomios de Taylor para los grados indicados. SEN X  GRADOS N H ; ; ; : : : :  F .X/ H X X SEN T  F .X/ H DT GRADOS N H ; ; ; : : : : T  59. Utilice series de potencias conocidas para evaluar SEN X TAN X L¤M  X! SEN  X TAN X 60. Sustituya series como X X X  C


   proporcionada por un sistema algebraico de computadora para evaluar SEN.TAN X/ TAN.SEN X/ L¤M : X! SEN  .TAN X/ TAN .SEN  X/ SEN.TAN X/ H X C

61. a) Primero utilice la parametrización x(t)  a cos t, y(t)  b sen t, 0 t 2π de la elipse (x/a)2 + (y/b)2  1 para demostrar que su perímetro (longitud de arco) p está dado por

π/2  p = 4a 1 −  2 cos2 t dt 0

 donde  = 1 − (b/a)2 es la excentricidad de la elipse. Esta, así llamada integral elíptica, no es elemental y debe resolverse por aproximación numérica. b) Use la serie binomial para expandir el integrando en la fórmula del perímetro del inciso a). Posteriormente integre por términos —usando la fórmula 113 de la tabla de integrales al final del libro— para demostrar que el perímetro de la elipse está dado en términos de su semieje mayor y la excentricidad por la serie de potencias   1 3 5 6 175 8 p = 2πa 1 −  2 −  4 −  −  − ··· . 4 64 256 16384

62. La media aritmética de los semiejes mayor y menor de la elipse del problema 61 es A  (a + b); su media de raíz

 √ cuadrada es R = 12 (a 2 + b2 ). Sustituya b = a 1 −  2 y utilice la serie binomial para obtener las ecuaciones   1 1 1 5 8  − ··· A = a 1 − 2 − 4 − 6 − 4 16 32 256

y

  1 1 1 6 5 8  −  − ··· . R = a 1 − 2 − 4 − 4 32 128 2048

Sucede algo extraordinario cuando se promedian estas dos series; demuestre que 1 (A + R) = 2   1 3 5 6 180 8 a 1 − 2 − 6 − 5  −  − ··· , 4 64 256 16384

y luego observe que los primeros cuatro términos de la serie dentro del paréntesis son los mismos que para la serie del perímetro de la elipse del problema 61b). Concluya que el perímetro p de la elipse está dado por p = π(A + R) +

5πa 8  + ··· . 8192

(14)

Si  es muy pequeño —como en una elipse casi circular— entonces la diferencia entre el valor exacto de p y la simple aproximación    p ≈ π(A + R) = π 12 (a + b) + 12 (a 2 + b2 ) es muy pequeña. Por ejemplo, suponga que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse con semieje mayor a exactamente de 238,857 millas de longitud y excentricidad exactamente de 0.0549. Utilice la ecuación (14) y un sistema algebraico de computadora con precisión aritmética extendida para encontrar el perímetro de la órbita de la Luna con precisión a la pulgada más cercana; dé su respuesta en el formato millas-pies-pulgadas.

10.9 INVESTIGACIÓN: cálculo de funciones trigonométricas en una isla desierta De nuevo (como en la investigación 10.4) está atrapado de por vida en una isla desierta con sólo una calculadora básica que no proporciona funciones trascendentes. Su tarea consiste en usar las series (alternas) del seno y el coseno para construir una tabla (con precisión de cinco decimales) que contenga los senos, cosenos y tangentes de ángulos de 0° a 90° en incrementos de 5°. Para comenzar, se pueden encontrar el seno, coseno y tangente de un ángulo de 45° del conocido triángulo rectángulo 1-1- . Luego puede encontrar los valores de estas funciones para un ángulo de 60° de un triángulo equilátero. Una vez que conoce todo respecto a los ángulos de 45° y 60°, puede utilizar las fórmulas para sumas de senos y cosenos sen(α ± β)  sen α cos β ± cos α sen β y cos(α ± β)  cos α cos β ∓ sen α sen β y/o formas equivalentes para encontrar el seno, coseno y tangente de ángulos como 15°, 30°, 75° y 90°. Pero con álgebra e identidades trigonométricas simples tal vez nunca encontrará el seno y coseno de un ángulo de 5°. Para esto necesitará usar las series de potencias

SECCIÓN 10.10

Solución de ecuaciones diferenciales con series 803

del seno y el coseno. Sumar suficientes términos (y algunos más) de forma que tenga resultados con una precisión de nueve decimales. Luego obtener todos los elementos de su tabla, redondeados a cinco decimales. Diga —honestamente— si sus elementos concuerdan con los valores que proporciona su calculadora real. Por último, explique qué estrategia usaría para completar una tabla de valores de funciones trigonométricas similar con ángulos en incrementos de 1° en lugar de 5°.

10.10 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON SERIES En la sección 8.6 se vio que resolviendo una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes se puede reducir al problema algebraico de encontrar las raíces de su ecuación característica. No hay un procedimiento simple o una rutina similar para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Incluso una ecuación de aspecto sencillo como y  − xy  0 no tiene una solución que se pueda expresar en términos de funciones elementales de cálculo. Una de las aplicaciones más importantes de las series de potencias es su uso para resolver ecuaciones diferenciales como éstas.

Método de serie de potencias El método de serie de potencias para resolver ecuaciones diferenciales consiste en sustituir la serie de potencias 1

CN X N H C C C X C C X  C C X  C




YH



NH

en la ecuación diferencial y luego intentar determinar cuáles deben ser los valores de los coeficientes c0, c1, c2, c3, . . . de manera que la serie en (1) realmente satisfaga la ecuación diferencial dada. A primera vista esto puede parecer un problema formidable, ya que tenemos un número infinito de incógnitas c0, c1, c2, c3, . . . que encontrar. Sin embargo, veremos que con frecuencia este método funciona. Cuando tiene éxito, obtenemos una representación con serie de potencias de una solución, al contrario de las soluciones de forma cerrada que resultan con las técnicas de solución que vimos en el capítulo 8. Antes de poder sustituir la serie en (1) en una ecuación diferencial, debemos saber qué sustituir por las derivadas y , y , . . . de la función desconocida y(x). Pero recuerde del teorema 3 de la sección 10.8 que la derivada de una serie de potencias se puede calcular con derivación por términos. Por lo que la primera y segunda derivadas de la serie en (1) están dadas por 1

NCN X N H C C C X C C X  C






N.N /CN X N H C C C X C C X  C


:



Y H NH

y 1

Y H NH

También, estas dos series tienen el mismo radio de convergencia que la serie original en (1). El proceso para determinar los coeficientes c0, c1, c2, c3, . . . en la serie de manera que ésta satisfaga una ecuación diferencial dada depende también de la siguiente consecuencia de la derivación por términos: si dos series de potencias representan la misma función en un intervalo abierto, entonces son series idénticas. Esto es, son la misma serie de potencias. (Vea el problema 66 de la sección 10.8.) En particular, si an x n ≡ 0 en un intervalo abierto, entonces se deduce que an  0 para toda n. Este hecho en ocasiones se llama principio de identidad de la serie de potencias.

804

CAPÍTULO 10

Series infinitas

EJEMPLO 1

Resuelva la ecuación y  + 2y  0.

Solución Sustituimos las series ∞  y= cn x n y

n=0

y obtenemos

∞ 

y =

ncn x n−1 + 2

n=1

∞ 

ncn x n−1 ,

n=1 ∞ 

cn x n = 0.

(4)

n=0

Para comparar los coeficientes, se necesita que el término general en cada suma sea el término que contiene x n. Para lograr esto, corremos el índice de la suma en la primera suma abreviada. Para entender cómo hacer esto, observe que ∞ ∞   ncn x n−1 = c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 + · · · = (n + 1)cn+1 x n . n=1

n=0

Así, podemos reemplazar n con n +1 si, al mismo tiempo, comenzamos a contar un paso antes; esto es, en n  0 en lugar de n  1. Esto es un corrimiento de +1 en el índice de la suma. El resultado de este corrimiento en la ecuación (4) es la identidad ∞ ∞   (n + 1)cn+1 x n + 2 cn x n = 0; n=0

es decir,

n=0

∞  [(n + 1)cn+1 + 2cn ]x n = 0. n=0

Si esta ecuación se cumple en algún intervalo, entonces del principio de identidad se deduce que (n + 1)cn+1 + 2cn  0 para toda n 0; en consecuencia, cn+1 = −

2cn n+1

(5)

para toda n 0. La ecuación (5) es una relación de recurrencia con la cual podemos calcular sucesivamente c1, c2, c3, . . . en términos de c0; esta última resultará ser la constante arbitraria que se espera encontrar en la solución general de una ecuación diferencial de primer orden. Con n  0, la ecuación (5) proporciona 2c0 . c1 = − 1 Con n  1, la ecuación (5) ofrece c2 = −

22 c0 22 c0 2c1 =+ = . 2 1·2 2!

Con n  2, la ecuación (5) ofrece 23 c0 23 c0 2c2 =− =− . 3 1·2·3 3! Para ahora, debe quedar claro que después de n de estos pasos tendremos 2n c0 , n  1. cn = (−1)n n! (Es fácil probar esto por inducción en n.) En consecuencia, la solución toma la forma ∞ ∞ ∞    2n c0 n (−2x)n x = c0 = c0 e−2x . y(x) = cn x n = (−1)n n! n! n=0 n=0 n=0 c3 = −

En el paso final usamos las series exponenciales conocidas para identificar la serie de potencia de la solución como la misma solución y(x)  c0e−2x que pudimos haber obtenido con el método de separación de variables. Z

SECCIÓN 10.10

Solución de ecuaciones diferenciales con series 805

Corrimiento del índice de la suma En la solución del ejemplo 1 escribimos ∞ ∞   ncn x n−1 = (n + 1)cn+1 x n n=1

(6)

n=0

corriendo +1 el índice de la suma en la serie de la de izquierda. Esto es, simultáneamente aumentamos 1 el índice de la suma (reemplazando n con n +1, n → n +1) y disminuimos 1 el punto de inicio, de n  1 a n  0, para obtener la serie de la derecha. Este procedimiento es válido porque cada serie infinita en (6) es simplemente una notación abreviada de la única serie c1 + 2c2 x + 3c3 x 2 + 4c4 x 3 + · · · .

(7)

De manera más general, podemos correr k unidades el índice de la suma en una serie infinita si al mismo tiempo aumentamos el índice de la suma en k (n → n + k) y disminuimos el punto de inicio k unidades. Por ejemplo, un corrimiento de +2 (n → n + 2) lleva a ∞ ∞   an x n−1 = an+2 x n+1 . n=3

n=1

Si k es negativo una “disminución de k” se interpreta como un incremento de −k  |k|. Entonces un corrimiento de −2 (n → n − 2) en el índice de la suma proporciona ∞ ∞   ncn x n−1 = (n − 2)cn−2 x n−3 ; n=1

n=3

hemos disminuido el índice de la suma en 2, pero aumentamos el punto de inicio en 2, de n  1 a n  3. Debe verificar que la suma en la derecha es sólo otra representación de la serie en (7). EJEMPLO 2

Resuelva la ecuación (x − 3)y  + 2y  0.

Solución Como antes, sustituimos ∞  y= cn x n

y

y =

(x − 3)

ncn x n−1

n=1

n=0

para obtener

∞ 

∞ 

ncn x n−1 + 2

n=1

∞ 

cn x n = 0,

n=0

de manera que ∞ 

ncn x n − 3

n=1

∞ 

ncn x n−1 + 2

n=1

∞ 

cn x n = 0.

n=0

En la primera suma podemos reemplazar n  1 con n  0 sin afectar la suma. En la segunda se hace un corrimiento de +1 del índice de la suma. Esto da como resultado ∞ ∞ ∞    ncn x n − 3 (n + 1)cn+1 x n + 2 cn x n = 0; n=0

n=0

n=0

es decir, ∞ 

ncn − 3(n + 1)cn+1 + 2cn x n = 0.

n=0

Por el principio de identidad se obtiene ncn − 3(n + 1)cn+1 + 2cn = 0,

806

CAPÍTULO 10

Series infinitas

de la cual se obtiene la relación recurrente CNC H

NC CN .N C /

PARA N

:

Aplicamos esta fórmula para n  0, n  1 y n  2 y encontramos que C H

 C ; 

C H

  C H  C ; 
 

Y

C H

  C H  C : 
 

Esto es prácticamente suficiente para que el patrón sea evidente; y no es difícil demostrar por inducción en n que CN H

NC C N

SI N

:

Así, la serie de potencias propuesta como solución es ∞  n+1 n y(x) = c0 x . 3n n=0

(8)

Su radio de convergencia es  H L¤M

N!1

CN CNC

.N C /=N N C  H L¤M H : N!1 .N C /=NC N!1 N C 

H L¤M

Entonces la serie en (8) converge si −3 < x < 3 y diverge si | x | > 3. En este ejemplo en particular podemos explicar por qué. Una solución elemental (obtenida por separación de variables) es y  1/(3 − x)2. Si derivamos por términos la serie geométrica 1 ∞ 3 1 xn 1 = = , x 3−x 3 n=0 3n 1− 3 se obtiene un múltiplo constante de la serie en (8). Entonces esta serie (con la constante arbitraria c0 escogida en forma apropiada) representa la solución y(x) =

1 (3 − x)2

en el intervalo −3 < x < 3 y la singularidad en x  3 es la razón por la que el radio de convergencia de la serie de potencias de la solución resultó ser ρ  3. Z EJEMPLO 3

Resuelva la ecuación x2y   y − x − 1.

Solución Hacemos las sustituciones usuales Y H CN X N Y Y H llevan a ∞ ∞   ncn x n−1 = −1 − x + cn x n , x2 n=1

NCN X N que

n=0

de modo que ∞  n=1

ncn x n+1 = −1 − x +

∞ 

cn x n .

n=0

Debido a la presencia de los dos términos −1 y −x en el lado derecho, se necesita separar los dos primeros términos c0 + c1x, de la serie en el lado derecho para compararla. Si también corremos −1 el índice de la suma de la izquierda (reemplace n  1 con n  2 y n con n − 1), obtenemos ∞ ∞   (n − 1)cn−1 x n = −1 − x + c0 + c1 x + cn x n . n=2

n=2

SECCIÓN 10.10

Solución de ecuaciones diferenciales con series 807

Como el lado izquierdo no contiene un término constante ni un término que contenga a x a la potencia uno, el principio de identidad proporciona c0  1, c1  1 y cn  (n − 1)cn−1 para n 2. Se deduce que c2 = 1 · c1 = 1!,

c3 = 2 · c2 = 2!,

c4 = 3 · c3 = 3!,

y en general, que CN H .N /W

PARA N

:

Por lo tanto se obtiene la serie de potencias y(x) = 1 + x +

∞  (n − 1)!x n . n=2

Pero el radio de convergencia de esta serie es  H L¤M

N!1

.N /W  H L¤M H ; N!1 N NW

por lo que la serie converge sólo para x  0. ¿Qué significa esto? Simplemente que la ecuación diferencial dada no tiene una solución con serie de potencias [convergente] cn x n. Este ejemplo sirve como una advertencia de que de la forma supuesta y  cn x n involucra una suposición que puede resultar el simple acto de escribir y  falsa. Z EJEMPLO 4

Resuelva la ecuación y + y  0.

Solución Si se supone una solución de la forma ∞  y= cn x n , n=0

se encuentra que 1

1

NCN X N

Y H NH

Y

N.N /CN X N :

Y H NH

Sustituyendo por y y y en la ecuación diferencial se tiene ∞ ∞   n(n − 1)cn x n−2 + cn x n = 0. n=2

n=0

Se hace un corrimiento de +2 en el índice de la primera suma (reemplace n  2 con n  0 y n con n +2). Esto proporciona ∞ ∞   (n + 2)(n + 1)cn+2 x n + cn x n = 0. n=0

n=0

La identidad (n + 2)(n + 1)cn+2 + cn  0 se obtiene del principio de identidad y con ella obtenemos la relación de recurrencia cn (9) cn+2 = − (n + 1)(n + 2) para n 0. Es evidente que esta fórmula determinará los coeficientes cn con subíndices pares en términos de c0 y los de subíndices impares en términos de c1; c0 y c1 no están predeterminados y entonces serán las dos constantes arbitrarias que se espera encontrar en la solución general de una ecuación se segundo orden. Cuando se aplica la relación de recurrencia en (9) con n  0, 2 y 4, se obtiene C C C Y C H : C H ; C H ; W W W Tomando n  1, 3 y 5, encontramos que C C C Y C H : C H ; C H ; W W W

808

CAPÍTULO 10

Series infinitas

De nuevo, el patrón es claro, usted deberá demostrar (por inducción) que k CK H

./K C .K/W

CKC H

Y

1,

./K C : .K C /W

Así, obtenemos la serie de potencias de la solución     x2 x3 x4 x6 x5 x7 + − + · · · + c1 x − + − + ··· ; y(x) = c0 1 − 2! 4! 6! 3! 5! 7! esto es, y(x)  c0 cos x + c1 sen x. Observe que en este caso no hay problema con el radio de convergencia; las series de Taylor para las funciones seno y coseno convergen para toda x. Z

Definición de funciones con series de potencias La solución del ejemplo 4 merece otro comentario. Suponga que no hemos escuchado de las funciones seno y coseno, mucho menos de las series de Taylor. Entonces tendríamos que descubrir las dos series de potencias de las soluciones ∞  (−1)n x 2n x2 x4 =1− + − ··· (10) C(x) = (2n)! 2! 4! n=0 y S(x) =

∞  (−1)n x 2n+1 n=0

(2n + 1)!

=x−

x3 x5 + − ··· 3! 5!

(11)

de la ecuación diferencial y + y  0. Es claro que C(0)  1 y que S(0)  0. Después de verificar que las dos series en (10) y (11) convergen para toda x, podemos derivarlas por términos y encontrar que # .X/ H 3.X/

Y

3 .X/ H #.X/:



En consecuencia C (0)  0 y S (0)  1. Por lo que con la ayuda del método de series de potencias (todo el tiempo sin conocimiento de las funciones seno y coseno), descubrimos que y  C(x) es la solución única de y + y  0 que satisface las condiciones iniciales y(0)  1 y y(0)  0, y que y  S(x) es la solución única que satisface las condiciones iniciales y(0)  0 y y(0)  1. De donde se deduce que C(x) y S(x) son linealmente independientes y —reconociendo la importancia de la ecuación diferencial y + y  0— podemos estar de acuerdo en llamar a C la función coseno y a S la función seno. Lo que es más, todas las propiedades usuales de estas funciones se pueden establecer usando sólo sus valores iniciales (en x  0) y sus derivadas en (12); no hay necesidad de referirse a triángulos o inclusive a ángulos. (¿Puede usar las series en (10) y en (11) para demostrar que [C(x)]2 + [S(x)]2  1 para toda x?) Esto demuestra que las funciones seno y coseno están totalmente determinadas por la ecuación diferencial y + y  0 de la cual son las soluciones naturales linealmente independientes. Las figuras 10.10.1 y 10.10.2 muestran cómo se revela el carácter geométrico de las gráficas de cos x y sen x en las gráficas de las aproximaciones con polinomios de Taylor que se obtienen truncando las series infinitas en (10) y (11). Esto de ninguna manera es una situación poco común. Muchas funciones especiales importantes en matemáticas se establecieron en primera instancia como soluciones por series de potencias de ecuaciones diferenciales y con ello en la práctica se definen por medio de estas series de potencias. El ejemplo 5 introduce de esta forma las funciones de Airy que aparecen en aplicaciones que van desde la propagación de ondas de radio hasta las vibraciones de átomos y moléculas.

SECCIÓN 10.10 Y

0X

0X

YCOSX P

P

0X

X

P

0X

0X

   P







P

X

P YSENX

0X 0X

FIGURA 10.10.1 Gráficas de cos x y sus aproximaciones por los polinomios de Taylor P6(x), P8(x), P14(x), P16(x), P22(x) y P24(x).

EJEMPLO 5

0X

Y

0X

  







Solución de ecuaciones diferenciales con series 809

0X

0X

0X

FIGURA 10.10.2 Gráficas de sen x y sus aproximaciones por los polinomios de Taylor P5(x), P7(x), P13(x), P15(x), P21(x) y P23(x).

Resuelva la ecuación de Airy y − xy  0.

Solución Sustituyendo como es costumbre y  cn x n y y  se tiene ∞ ∞   n(n − 1)cn x n−2 − cn x n+1 = 0. n=2

n(n − 1)cn x n−2

n=0

Un cambio de índices —reemplazando n con n + 2 en la primera suma y con n − 1 en la segunda— lleva a ∞ ∞   (n + 2)(n + 1)cn+2 x n − cn−1 x n = 0. n=0

n=1

Separando los términos correspondientes a n  0 en la primera suma y agrupando los términos restantes, obtenemos ∞ 

(n + 2)(n + 1)cn+2 − cn−1 x n = 0. 2c2 + n=1

El principio de identidad ahora da c2  0 —porque no hay otro término constante en el lado izquierdo— y la relación de recurrencia (n + 2)(n + 1)cn+2 − cn−1  0 para n 1. Sustituyendo n con n +1 obtenemos la relación de recurrencia cn (13) cn+3 = (n + 2)(n + 3) para n 0. Por lo que cada coeficiente (después de los primeros tres) depende de los tres anteriores. Entonces el hecho de que c2  0 implica que c2  c5  c8  · · ·  0. Comenzando con c0 como una constante arbitraria, aplicamos (13) con n  0, n  3 y n  6 por turno y calculamos C C C C C C H ; C H H ; Y C H H : C H 
  
  
  Comenzando con c1 como la segunda constante arbitraria, calculamos de manera similar C C C C C C H ; C H H ; Y C H H : C H 
  
  
  Cuando agrupamos los términos que contienen c0 y los que contienen c1, obtenemos la solución general     x6 x9 x7 x 10 x3 x4 + + + · · · + c1 x + + + + ··· y(x) = c0 1 + 6 180 12960 12 504 45360

810

CAPÍTULO 10

Series infinitas

de la ecuación de Airy con constantes arbitrarias c0 y c1. Vemos aquí las soluciones particulares independientes (¿por qué?) y1 (x) = 1 +

x3 x6 x9 + + + ··· 6 180 12960

y x7 x 10 x4 + + + ··· . 12 504 45360 Reconocer el patrón de los coeficientes no es tan sencillo como en el ejemplo 4, pero puede verificar que los términos coinciden con las fórmulas ∞  1 · 4 · · · (3k − 2) 3k x y1 (x) = 1 + (3k)! k=1 y2 (x) = x +

y y2 (x) = x +

∞  2 · 5 · · · (3k − 1)

(3k + 1)!

k=1

Las combinaciones especiales y1 (x) y2 (x) 2 −   Ai(x) = 32/3  3 31/3  13

y

Bi(x) =

x 3k+1 .

y1 (x)   1/6 3  23

+

y2 (x)   −1/6 3  13

—donde (x) denota la función gamma definida en la sección 7.8— son las funciones de Airy estándar, que aparecen en las tablas matemáticas y en los sistemas de álgebra para computadora. Sus gráficas, en la figura 10.10.3, exhiben el comportamiento oscilatorio para x < 0, pero Ai(x) decrece exponencialmente y Bi(x) aumenta exponencialmente cuando x → ∞. Z Y 

"IX

!IX



X





FIGURA 10.10.3 Gráficas de y  Ai(x) y y  Bi(x) de las funciones de Airy.

10.10 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El método de series de potencias consiste en sustituir una serie de potencias n general ∞ n=0 cn x en una ecuación diferencial dada y luego intentar determinar cuáles deben ser los valores de los coeficientes c0, c1, c2 , . . . para que la serie de potencias satisfaga en realidad la ecuación diferencial. 2. La derivada de la suma de una serie de potencias se obtiene derivando cada término de la serie. 3. Si dos series de potencias representan la misma función en un intervalo abierto, entonces ambas tienen precisamente los mismos coeficientes. ∞ n−1 n = ∞ 4. n=1 ncn x n=0 (n + 1)cn+1 x

SECCIÓN 10.10

Solución de ecuaciones diferenciales con series 811

5. La relación de recurrencia en la solución del ejemplo 1 expresa cn+1 en términos de n y cn. 6. Un corrimiento de +3 en el índice de la suma proporciona ∞ ∞   n−1 an x = an+3 x n+2 n=3

n=0

7. Toda ecuación diferencial tiene una solución de serie de potencias que converge en algún intervalo abierto no vacío. ∞ n  n−2 . 8. Si y = ∞ n=0 cn x entonces y = n=2 n(n − 1)cn x 9. La relación de recurrencia en la solución del ejemplo 4 expresa cn+1 en términos de n y cn. 10. Las funciones seno y coseno se pueden definir como soluciones particulares de la ecuación diferencial y  + y  0.

10.10 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la función exponencial E(x)  e x está definida como la solución del problema de valor inicial y   y, y(0)  1. Partiendo de esta definición, ¿qué propiedades de la función E(x) se pueden establecer? 2. Suponga que las funciones hiperbólicas Ch(x)  cosh x y Sh(x)  senh x se definen como las soluciones de la ecuación diferencial y   y que satisfacen las condiciones iniciales y(0) 1, y (0)  0 y y(0)  0, y (0)  1, respectivamente. Comenzando con estas definiciones, ¿qué propiedades de las funciones Ch(x) y Sh(x) se pueden establecer? ¿Puede descubrir una conexión entre estas funciones y la función E(x) de la pregunta 1?

10.10 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, encuentre la solución de series de potencias de las ecuaciones diferenciales dadas. Determine el radio de convergencia de la serie resultante y use su conocimiento de las series de Maclaurin y las series binomiales para identificar las series de solución en términos de funciones elementales conocidas. (Por supuesto, nadie le impide verificar su trabajo resolviendo la ecuación por los métodos del capítulo 8.) 1. y  = y 2. y  = 4y 3. 2y  + 3y = 0

4. y  + 2x y = 0

5. y  = x 2 y

6. (x − 2)y  + y = 0

7. (2x − 1)y  + 2y = 0

8. 2(x + 1)y  = y

9. (x − 1)y  + 2y = 0

10. 2(x − 1)y  = 3y

En los problemas 11 a 14, utilice el método del ejemplo 4 para encontrar las dos soluciones como series de potencias linealmente independientes de las ecuaciones diferenciales dadas. Determine el radio de convergencia de cada serie e identifique la solución general en términos de funciones elementales conocidas. 11. y  = y 12. y  = 4y 13. y  + 9y = 0

14. y  + y = x

Demuestre (como en el ejemplo 3) que el método de series de potencias falla y no produce una solución de serie de potencias de la forma y  cn x n para las ecuaciones diferenciales de los problemas 15 a 18.

En los problemas 19 a 22, primero obtenga la relación de recurrencia dando cn para n 2 en términos de c0 o c1 (o ambos). Luego aplique las condiciones iniciales dadas para encontrar los valores de c0 y c1. Después determine cn (en términos de n, como en el texto) y por último identifique la solución particular en términos de funciones elementales conocidas. 19. y  + 4y = 0; y(0) = 0, y  (0) = 3  y(0) = 2, y  (0) = 0 20. y − 4y = 0; y(0) = 0, y  (0) = 1 21. y  − 2y  + y = 0;   y(0) = 1, y  (0) = −2 22. y + y − 2y = 0; 23. Demuestre que la ecuación x2y + x2y + y  0 no tiene solución de serie de potencias de la forma y  cn x n. 24. Utilice el método de series de potencias para encontrar la solución ∞  x2 x4 x6 (−1)k x 2k J0 (x) = = 1 − + − + ··· 22k (k!)2 4 64 2304 k=0 de la ecuación de Bessel xy + y + xy  0. Explique por qué el método de series no proporciona una segunda solución independiente. 25. a) Demuestre que la solución del problema de valor inicial

y  1 + y2,

y(0)  0

15. x y  + y = 0

16. 2x y  = y

es y(x)  tan x. b) Como y(x)  tan x es una función impar con y(0)  1, su serie de Taylor es de la forma

17. x 2 y  + y = 0

18. x 3 y  = 2y

y  x + c3x3 + c5x5 + c7x7 + · · ·

812

CAPÍTULO 10

Series infinitas

Sustituya esta serie en y   1 + y2 e iguale las mismas potencias de x para obtener las siguientes relaciones: 3c3 = 1, 5c5 = 2c3 , 7c7 = 2c5 + (c3 )2 ,

9c9 = 2c7 + 2c3 c5 ,

11c11 = 2c9 + 2c3 c7 + (c5 ) . 2

c) Concluya que 2 5 17 7 1 3 x + x + x 3 15 315 62 9 1382 11 x + x + ··· . + 2835 155925

tan x = x +

CAPÍTULO 10: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y resultados Consulte las páginas indicadas para repasar los conceptos, definiciones y resultados de este capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 10.2 Conceptos de una sucesión infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 Definición del límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 Leyes de límites para sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 Límites de funciones, límites de sucesiones y regla de l’Hôpital para sucesiones. . . . . 726-727 Propiedad de la sucesión monótona acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 10.3 Concepto de una serie infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 Sumas parciales y la definición de la suma de una serie infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Fórmula de la suma de una serie geométrica  C X N con | x | < 1 . . . . . . . . . . . . . . 735 Suma por términos y multiplicación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Prueba del n-ésimo término para la divergencia de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 =N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 Divergencia de la serie armónica Series que a la larga son las mismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 10.4 Polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto x  a. . . . . . . . . . . . . . . . . 746 Fórmula del polinomio de Taylor de grado n de la función f en x  0 . . . . . . . . . . . . . 747 Fórmula de Taylor con residuo en x  a, el polinomio de grado n, Pn(x), en potencias de (x − a) y el término del residuo Rn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 Serie de Taylor de la función f en x  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 Series de Taylor de e x, cos x y sen x en x  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750-751 Series de Maclaurin de una función —sus series de Taylor en x  0 . . . . . . . . . . . . . . 751 Fórmula de Euler e i θ  cos θ + i sen θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 Serie de la tangente inversa y serie de Leibniz para π/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 10.5 Prueba de la integral para la convergencia de una serie con términos positivos . . . . . . 758 =N P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 Convergencia y divergencia de la serie p, Estimación del residuo de la prueba de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 10.6 Prueba de comparación de la convergencia de series con términos positivos . . . . . . . . 765 Prueba de comparación en el límite de la convergencia de series con términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 Reacomodo y agrupamiento de términos de series con términos positivos . . . . . . . . . . 769 10.7 Series alternas y la prueba de las series alternas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 Estimación del residuo de series alternas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 Convergencia absoluta y el hecho de que implica convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Prueba del cociente y prueba de la raíz para la convergencia de una serie . . . . . . . . . . 776-777 10.8 Convergencia de series de potencias; radios de convergencia e intervalo de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 Series de potencias en potencias de (x − c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 Representación de funciones con series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 Serie binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 Derivación e integración por términos de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 Series de potencias para ln x y tan−1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790 10.9 Uso de series de potencias para aproximar los valores de funciones e integrales . . . . . 794-795 Suma y producto de dos series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796 Uso de series de potencias para evaluar formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 10.10 Método de series de potencias para la solución de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . 803-804

Capítulo 10

Problemas diversos 813

CAPÍTULO 10: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas indicados en cada sección para practicar los métodos y técnicas de este capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 10.2 Reconocer del patrón de una sucesión infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5 Probar la convergencia de una sucesión infinita; encontrar sus límites de convergencia . . . 9, 11, 13, 15, 19, 29, 31 10.3 Usar series geométricas y probar la convergencia con la prueba del n-ésimo término . 7, 9, 13, 17, 21, 31 Encontrar el número racional representado por un decimal repetido dado . . . . . . . . . . 41 Determinar cuándo converge una serie geométrica que incluye a x. . . . . . . . . . . . . . . . 47 Encontrar la suma de una serie telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10.4 Encontrar el polinomio de Taylor de orden dado para una función dada. . . . . . . . . . . . 1, 3, 5 Encontrar un polinomio de Taylor con residuo, dados a y n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13 Usar series de Maclaurin conocidas para encontrar una serie de potencias deseada . . . 21, 25 Encontrar una serie de Taylor para una función dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 31, 35, 37 10.5 Probar la convergencia de una serie dada usando la prueba de la integral. . . . . . . . . . . 1, 3, 7, 21, 23, 25 10.6 Probar la convergencia de una serie dada usando la prueba de comparación . . . . . . . . 1, 3, 5, 11, 15, 17, 21 10.7 Determinar si una serie alterna converge o no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 9, 17 Probar la convergencia absoluta o condicional de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 25, 27, 29 Aplicar numéricamente la estimación del residuo de la prueba alterna . . . . . . . . . . . . . 43 10.8 Determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 5, 7, 15, 17, 25 Sustituir series de potencias conocidas para encontrar una serie de potencias deseada . . . 31, 33, 35, 41 Integrar por términos una serie de potencias dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 45 10.9 Usar series de potencias conocidas para aproximar una expresión numérica . . . . . . . . 1, 3 Usar series de potencias para aproximar una expresión numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15, 17 Usar series de potencias (en lugar de la regla de l’Hôpital) para evaluar límites. . . . . . 23, 25 Usar series de potencias para aproximar los valores de las funciones trascendentales . 29, 37 10.10 Encontrar la solución con series de potencias de una ecuación diferencial de primer orden 3, 5 Encontrar dos soluciones de series independientes de una ecuación de segundo orden 11, 13

PROBLEMAS DIVERSOS En los problemas 1 a 15, determine si la sucesión {an} converge o no y encuentre su límite si converge. N C  N   AN H   AN H N C N   AN H N SEN  N  AN H  .:/N p  C .:/N  C ./N N  AN H  AN H NC NC SEN N  AN H .LN N/=N  AN H N .LN N/  AN H ./SEN .N=/  AN H N  N EN   AN H SEN  AN H N N N C EN SENH N  N  AN H  C  AN H N N Determine si las series infinitas en los problemas 16 a 30 convergen o divergen. 1 1 .N  /W ./NC LN N   N N N NH NH 1 NH

N

N C N

NH

1

 NH

NW EN 

 N =

SEN

1

.=N



 N

/

1

 NH 1



NH 1

 NH 1

 NH

NH

./ =N



./NC N TC.=N/U



N SEN

 NH 1



1

N

1

NH

 AN H .N  C /=N



1



 N

NH 1 NH 1

 NH

./N N C  ./N N .LN N/ p p NC N N C N ./NC ARCTAN N p N  N.LN N/.LN LN N/

 N.LN N/.LN LN N/

Encuentre los intervalos de convergencia de las series de potencias en los problemas 31 a 40. 1 1 N X N .X/N   NW NC NH NH 1

 NH

.X /N N
N

1

 NH

.X /N N

814

35. 37. 39.

CAPÍTULO 10

Series infinitas

∞  (−1)n x n n=1 ∞  n=0 ∞  n=0

36.

−1

4n 2

2n

n!x 10n

∞  (2x − 1)n n2 + 1 n=0 ∞ 

50. Demuestre que el producto infinito (vea el problema 49) ∞  

n

x ln n n=2   ∞  1 n 1+ 40. (x − 1)n n n=1 38.

1 + (−1)n n x 2(n!)

n=1

n=1

43.

n=1

n=0

n!

44. Encuentre el número racional que tiene la expansión decimal repetida 2.7 1828 1828 1828 . . . 45. Proporcione un ejemplo de dos series numéricas convergentes an y bn tales que la serie anbn diverge. 46. Pruebe que si an es una serie convergente de términos positivos, entonces an2 converge. 47. Defina la sucesión {an} de manera recursiva como sigue: 1 a1 = 1; an+1 = 1 + 1 + an si n 1. El límite de la sucesión {an} es el valor de la fracción continuada 1 . 1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+ 2 + ··· p Suponiendo que existe ! H L¤MN!1 AN, pruebe que A  . 48. Sea f&N g1  la sucesión de Fibonacci del ejemplo 2 en la sección 10.2. a) Demuestre que 0 < Fn 2n para toda n 1 y con esto concluya que la serie de potencias ∞  F(x) = Fn x n n=1

converge si | x| < de manera que

 .

En los problemas 51 a 55, use series infinitas para aproximar los números indicados con precisión de tres decimales. √ 52. ln(1.2) 51. 5 1.5

0.5 

0.5 2 3 e−x d x 54. 1 + x4 dx 53. 0

55.

0

0 1

1−e x

−x

dx

56. Sustituya la serie de Maclaurin para sen x en la de ex para obtener esen x  1 + x + x2 −  x4 + · · · 57. Sustituya la serie de Maclaurin para el coseno y luego integre por términos para obtener la fórmula

x . 1 − x − x2

converge siempre que la serie infinita ∞  S= ln(1 + an ) n=1

converja, en cuyo caso el valor del producto infinito es, por definición, eS. Use la prueba de la integral para demostrar que  ∞   1 1+ n n=1

e−t cos 2xt dt = 2

√ π −x 2 e . 2

Utilice la fórmula de reducción

∞

2n −t 2

t e 0

2n − 1 dt = 2



∞

t 2n−2 e−t dt 2

0

que sale de la obtenida en el problema 50 de la sección 7.3. La validez de esta integración por términos impropia está sujeta a verificación. 58. Demuestre que −1

x= 0

x

∞  1 x 2n+1 dt = 1 − t2 2n + 1 n=0

si | x| < 1. 59. Demuestre que SENH  X H

n=1

∞ 0

tanh

49. Se dice que el producto infinito indicado por ∞  (1 + an ) = (1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 ) · · ·

diverge.

SENH   :    : 

b) Demuestre que (1 − x − x2)F(x)  x, F(x) =



converge y use la estimación del residuo de la prueba de la integral para aproximar su valor. Se sabe que el valor real de este producto infinito es

Encuentre el conjunto de todos los valores de x para los cuales las series en los problemas 41 a 43 convergen. ∞ ∞   41. (x − n)n 42. (ln x)n ∞  enx

1 1+ 2 n

X



DT  C T 




.N / X NC
./N H 




.N/ N C  NH p

 1

si | x| < 1. 60. Suponga que tan y  anyn. Determine a0, a1, a2 y a3 sustituyendo la serie tangente inversa [ecuación (27) de la sección 10.4] en la ecuación ∞  x = tan(tan−1 x) = an (tan−1 x)n . n=0

Capítulo 10

61. De acuerdo con la serie de Stirling, el valor de n! para n grande esta dado en una aproximación cercana por  n √ n n! ≈ 2π n eμ(n) , e

63. Demuestre como se indica que el número e es irracional. Primero suponga lo contrario, que e  p/q, donde p y q son enteros positivos. Observe que q > 1. Escriba p 1 1 1 1 = e = 1 + + + + ··· + + Rq , q 1! 2! 3! q!

donde 1 1 1 − + . 12n 360n 3 1260n 5

μ(n) =

Sustituya μ(n) en la serie de Maclaurin de e para demostrar que x

eμ(n) = 1 +

1 139 1 − + ··· . + 12n 288n 2 51840n 3

¿Puede demostrar que el siguiente término en la última serie es −571/(2,488,320n4)? 62. Defina

π/4 tann x d x T (n) =

Problemas diversos 815

donde 0 < Rq < 3/(q + 1)!. (¿Por qué?) Luego demuestre que al multiplicar ambos lados de esta ecuación por q! llegamos a la contradicción de que un lado del resultado es un entero pero el otro no lo es. 64. Evalúe el producto infinito (vea el problema 49) ∞  n=2

n2 n2 − 1

encontrando una fórmula explícita para

0

para n

k 

0. a) Demuestre por “reducción” de la integral que 1 − T (n) T (n + 2) = n+1

para n 0. b) Concluya que T(n) → 0 cuando n → ∞. c) Demuestre que T(0)  π/4 y que T(1)   ln 2. d) Demuestre por inducción en n que   1 π 1 1 T (2n) = (−1)n+1 1 − + − · · · ± − . 3 5 2n − 1 4

n=2

a0 +

π 1 1 1 1 − + − + ··· = . 3 5 7 4

1 2

+

1 3

−

1 4

+ · · · = ln 2.

1 a1 +

1 a2 +

1 a3 +

1 a4 + · · ·

p de . 66. Evalúe

g) Concluya de las partes b) y f ) que 1−

(k  2)

y luego tomando el límite cuando k → ∞. 65. Encuentre una representación de fracción continuada (vea el problema 47)

e) Concluya de los incisos b) y d) que

f ) Demuestre por inducción en n que   1 1 1 1 T (2n + 1) = (−1)n 1 − + − · · · ± − ln 2 . 2 2 3 n

n2 −1

n2

1+

1 2 1 1 2 1 1 2 1 − + + − + + − + + ··· . 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vectores, curvas y superficies en el espacio

L

os matemáticos y astrónomos griegos de la antigüedad desarrollaron un modelo matemático elaborado para explicar los complicados movimientos del Sol, la Luna y los seis planetas hasta entonces conocidos vistos desde la Tierra. Una combinación de movimientos circulares uniformes se usó para describir el movimiento de cada Johannes Kepler (1571-1630) cuerpo alrededor de la Tierra; si la Tierra se coloca arbitrariamente en el origen de las coordenadas, entonces cada cuerpo orbita la Tierra. En este sistema, era típico que un planeta P viajara uniformemente alrededor de una pequeña circunferencia (el epiciclo) con centro C, el cual a su vez viajaba uniformemente alrededor de una circunferencia centrada en la Tierra (etiquetada T en la figura mostrada abajo a la izquierda). Los radios de las circunferencias y las velocidades angulares de P y C se escogieron para tratar de igualar el movimiento observado de los planetas lo más cercano posible. Para lograr mayor precisión, se utilizaban “circunferencias secundarias en las circunferencias”. De hecho, en la teoría griega de epiciclos se requerían varias circunferencias para cada cuerpo, los cuales alcanzaron su forma definitiva en el Almagesto de Ptolomeo, en el siglo ii. En 1543, Copérnico alteró la idea de Ptolomeo colocando el centro de cada circunferencia primaria en el Sol

11

en lugar de la Tierra. Pero este cambio tenía mayor importancia filosófica que matemática. Su sistema heliocéntrico era todavía bastante complicado y aún requería muchas circunferencias secundarias además de estar lleno de imprecisiones al representar los movimientos de los cuerpos celestes. Fue Johannes Kepler quien finalmente se deshizo de todas esas circunferencias. Basándose en un detallado análisis de observaciones planetarias acumuladas por el astrónomo danés Tycho Brahe, Kepler elaboró sus tres famosas leyes de movimiento planetario, las cuales describen órbitas elípticas (en lugar de circulares) para los planetas alrededor del Sol (sección 11.6). Irónicamente, su meta original era probar que la colocación de Mercurio, Venus, la Tierra, Marte y Júpiter estaba determinada por cinco poliedros regulares como indica la figura abajo a la derecha, la cual apareció en su Mysterium Cosmographicum (1596). Este modelo del sistema solar muestra un cubo inscrito en la esfera que contiene la órbita de Saturno, y la esfera de la órbita de Júpiter está inscrita en este cubo. Un tetraedro (con cuatro caras triangulares) está inscrito en la esfera de Júpiter, y en ese tetraedro se inscribe la esfera de la órbita de Marte. Continuando con ese camino, las esferas de los tres planetas restantes entonces conocidos se intercalaban con los tres sólidos regulares restantes —el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (12 caras pentagonales) y el icosaedro (20 caras triangulares)—. Se dice que Kepler se sentía más orgulloso de sus cinco sólidos que de sus tres leyes.

0 #

4

La circunferencia pequeña es el epiciclo.

Modelo del sistema solar de Kepler con poliedros regulares.

817

818

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Newton, en su Principia Mathematica (1687) demostró que las leyes de Kepler se obtienen de los principios básicos de mecánica (F  ma, etcétera) y el inverso del cuadrado en la ley de gravitación universal. Su éxito al usar las matemáticas para explicar los fenómenos naturales (“Ahora demostraré la estructura de los sistemas del mundo”) inspiró la confianza en que el universo podía ser entendido y quizás aun controlado. Esta nueva confianza alteró permanentemente la percepción de la humanidad de sí misma y de su lugar en el esquema de las cosas. Newton utilizó en su Principia una poderosa, aunque ahora anticuada forma de cálculo geométrico. En la sección 11.6 se usará el cálculo moderno de funciones con valores vectoriales para indicar la relación entre las leyes de Newton y las leyes de Kepler.

11.1 VECTORES EN EL PLANO Una cantidad física como la longitud, temperatura o masa se pueden especificar en términos de un solo número real, su magnitud. Cantidades como éstas se llaman escalares. Otras cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad poseen tanto magnitud como dirección; estas cantidades se llaman cantidades vectoriales o simplemente vectores. Por ejemplo, para especificar la velocidad de un punto que se mueve en el plano coordenado, debemos dar tanto la tasa a la cual se mueve (su velocidad) como la dirección de ese movimiento. El vector velocidad del punto moviéndose incorpora ambas piezas de información: dirección y velocidad. Es conveniente representar este vector velocidad por una flecha, con su punto inicial localizado en la posición actual del punto que se mueve en su trayectoria (figura 11.1.1). Aunque la flecha, un segmento de recta con dirección, lleva toda la información deseada —la magnitud (la longitud del segmento) y su dirección— es una representación pictórica más que un objeto cuantitativo. La siguiente definición formal de un vector captura la esencia de la magnitud en combinación con la dirección.

Y V

X

FIGURA 11.1.1 Un vector velocidad se puede representar por una flecha.

DEFINICIÓN Vector Un vector v en el plano cartesiano es un par ordenado de números reales que tiene la forma a, b. Se escribe v  a, b y a y b se llaman componentes del vector v.

Y

2A B

!

0A B 1A B

V A B¯

/

X

FIGURA 11.1.2 El vector de posición v del punto P y otra representación ! de 1 2 de v.

El segmento de recta dirigido / 0 desde el origen O al punto P(a, b) es una representación geométrica del vector v. (Vea la figura 11.1.2.) Por esta razón, el vector v  a, b se llama el vector de posición del punto P(a, b). De hecho, la relación entre v  a, b y P(a, b) es tan cercana que en algunos contextos es conveniente confundirlos deliberadamente, es decir, considerar a v y P como el mismo objeto matemático. El segmento de recta dirigido desde el punto Q(a1, b1) al punto R(a2, b2) tiene la misma dirección y magnitud que el segmento de recta del origen O(0, 0) al punto P(a, b) con a  a2 − a1 y b  b2 − b1 (figura 11.1.2) y, en consecuencia, representan al mismo ! ! vector V D / 0 D 1 2  Con esta observación es sencillo encontrar las componentes de un vector con punto inicial arbitrario Q y punto terminal arbitrario R. OBSERVACIÓN Cuando se habla de vectores, comúnmente se usa el término escalar para referirnos a una cantidad numérica ordinaria, una que no es vector. En los libros impresos se utiliza el tipo negritas para distinguir los nombres de los vectores de los otros objetos matemáticos, como los escalares a y b que son las componentes del vector v  a, b. Al escribir a mano, una alternativa adecuada es colocar una flecha —o sólo una barra— sobre el símbolo que denota al vector. Así se puede escribir ! A; B O V A; B  No es necesario usar la flecha o la barra sobre un vector a, b V porque los paréntesis angulares lo identifican y no son necesarias.

Un segmento de recta dirigido tiene tanto longitud como dirección. La longitud del vector v  a, b se denota como v  |v| y se define como G D jVj D j A; B D

p A  C B 



SECCIÓN 11.1

Vectores en el plano 819

Se usa la notación v  |v| porque la longitud del vector es en varias formas análoga al valor absoluto de un número real (figura 11.1.3).

Y

EJEMPLO 1

0A B

G H j ;  H

\V\

\B\ X

\A\

FIGURA 11.1.3 Longitud v  |v| del vector v.

Y V A B¯

La longitud del vector v  1, −2 es

V A B¯

./ C ./ H

p

:

Z

El único vector con longitud cero es el vector cero con ambas componentes cero, denotado como 0  0, 0. El vector cero es único en el sentido de que no tiene dirección específica. Cualquier vector diferente de cero tiene una dirección especifi! cada; el vector representado por la flecha / 0 del origen O a otro punto P en el plano tiene una dirección especificada (por ejemplo) por elángulo en sentido contrario a las ! manecillas del reloj desde el lado positivo del eje x a / 0 . ! Lo importante del vector v  a, b representado por / 0 no es dónde se encuentra, ! sino qué tan largo es y en qué dirección apunta. Si el segmento de recta dirigida 1 2 ! con puntos extremos Q(a1, b1) y R(a2, b2) tiene la misma longitud y dirección que / 0 , ! entonces se dice que 1 2 representa al (o es una representación del) vector v (figura 11.1.2). De esta manera un solo vector tiene muchos representantes (figura 11.1.4).

Operaciones algebraicas con vectores V A B¯ 0A B V A B¯ X

Las operaciones de suma y multiplicación de números reales tienen analogías para los vectores. Se definirá cada una de estas operaciones de álgebra vectorial en términos de las componentes de los vectores y luego se dará una interpretación geométrica en términos de flechas.

V A B¯ V A B¯

FIGURA 11.1.4 Todas estas flechas representan al mismo vector v  a, b. 3 1

DEFINICIÓN Igualdad de vectores Los vectores u  u1, u2 y v  v1, v2 son iguales siempre que u1  v1 y u2  v2. En otras palabras, dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspon! ! dientes son iguales. Aún más, dos segmentos de recta dirigidos 0 1 y 2 3 representan el mismo vector siempre que los dos tengan la misma longitud y dirección. Éste será el caso ! ! si los segmentos 0 1 y 23 son lados opuestos de un paralelogramo (figura 11.1.5).

DEFINICIÓN Suma de vectores La suma u + v de dos vectores u  u1, u2 y v  v1, v2 es el vector 2

u + v  u1 + v1, u2 + v2

0

FIGURA 11.1.5 Los segmentos dirigidos paralelos representan vectores iguales.

(2)

De este modo, sumamos vectores sumando las componentes correspondientes; esto es, sumamos componente a componente. La interpretación geométrica de la suma de vectores es la ley de la suma del triángulo, ilustrada en la figura 11.1.6, donde las longitudes etiquetadas indican por qué esta interpretación es válida. Una interpretación equivalente se conoce como la ley del paralelogramo para la suma mostrada en la figura 11.1.7. Y

Y U

 U 

U  U    



UV

V

UV V

U

U U

U 

U U

X

FIGURA 11.1.6 La ley del triángulo es una interpretación geométrica de la suma de vectores.

X

FIGURA 11.1.7 Ley del paralelogramo para la suma de vectores.

820

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

EJEMPLO 2

La suma de los vectores u  4, 3 y v  −5, 2 es el vector UDV

; 

; 

 C ./;  C 

;  :

Z

Es natural escribir 2u  u + u. Pero si u  u1, u2, entonces U D U C U

U; U

U; U

U  ; U  :

Esto sugiere que la multiplicación de un vector por un escalar (número real) también está definida por componentes.

DEFINICIÓN Multiplicación de un vector por un escalar Si u  u1, u2 y c es un número real, entonces el múltiplo escalar cu es el vector CU Y

Y

CU  ; CU  :



Observe que

CU

jCUj D U

U X

X

C

C

.CU  / C .CU  / D jCj .U  / C .U  / D jCj
jUj:

Así, la longitud de |cu| es |c| veces la longitud de u. El negativo del vector u es el vector

CU

U D ./U

FIGURA 11.1.8 El vector c u puede tener la misma dirección de u o la dirección opuesta, dependiendo del signo de c.

con la misma longitud que u pero dirección opuesta. Se dice que dos vectores diferentes de cero u y v tienen • la misma dirección si u  cv para alguna c > 0; • direcciones opuestas si u  cv para alguna c < 0. La interpretación geométrica de la multiplicación escalar es que cu es el vector con longitud |c| · |u|, con la misma dirección que u si c > 0, pero con dirección opuesta si c < 0 (figura 11.1.8). La diferencia u − v de los vectores u  u1, u2 y v  v1, v2 está definida como

Y 1

U V D U C .V/

0

!

U

V



!

!

U V D /0 /1 D 10;

X U V

U  G  ; U  G :

Si pensamos en u1, u2 y v1, v2 como vectores de posición de los puntos P y Q, ! respectivamente, entonces u − v se puede representar por la flecha 1 0 de Q a P. Así, podemos escribir

U V10 V

V

U  ; U  ;

como se ilustra en la figura 11.1.9. EJEMPLO 3 Suponga que u  4, −3 y v  −2, 3. Encuentre |u| y los vectores u + v, u − v, 3u, −2v y 2u + 4v.

FIGURA 11.1.9 Interpretación geométrica de la diferencia u − v.

Solución jUj D

 C ./ D

p  D :

UCV

 C ./;  C 

;  :

UV

 ./;  

;  :

U V U C V


; 
./ 
./; 


;  : ;  :


 C 
./; 
./ C 


;  :

Z

SECCIÓN 11.1

Vectores en el plano 821

Las propiedades algebraicas conocidas para los números reales se pueden trasladar a las siguientes propiedades análogas de la suma de vectores y la multiplicación escalar. Sean a, b y c vectores y r y s números reales. Entonces 

A C B D B C A;



A C .B C C/ D .A C B/ C C;

 R .A C B/ D R A C R B; 

.R C S/A D R A C SA;



.R S/A D R .SA/ D S.R A/:



Verifique fácilmente estas identidades trabajando con sus componentes. Por ejemplo, si a  a1, a2 y b  b1, b2, entonces R .A C B/ D R A C B ; A C B R .A C B /; R .A C B / RA ; RA R B ; R B  RA C R B ; RA C R B

R A C R B:

La prueba de las otras cuatro identidades en (5) se deja como ejercicio.

Los vectores unitarios i y j Un vector unitario es un vector de longitud 1. Si a  a1, a2 H 0, entonces A UD jAj



es el vector unitario con la misma dirección que a, porque A jAj

jUj D



C

A jAj



D

 A  C A D : jAj 

Por ejemplo, si a  3, −4, entonces |a|  5. Por lo que  ;  es un vector unitario que tiene la misma dirección que a. Dos vectores unitarios en particular tienen un papel especial; éstos son los vectores

Y

I

  J I  

X

Y

J

;  :

El primero apunta en la dirección positiva del eje x; el segundo en la dirección positiva del eje y (figura 11.1.10). Juntos proporcionan una notación alterna útil para los vectores. Si a  a1, a2, entonces A

FIGURA 11.1.10 Los vectores i y j.

; 

A ; 

; A

A ; 

A ; 

A I C A J:



Así, todo vector en el plano es una combinación lineal de i y j. La utilidad de esta notación se basa en el hecho de que estas combinaciones lineales de i y j se pueden manipular como si fueran sumas ordinarias. Por ejemplo, si A D A I C A J

Y

B D B I C B J;

entonces A C B D .A I C A J/ C .B I C B J/ D .A C B /I C .A C B /J:

Además CA D C.A I C A J/ D .CA /I C .CA /J:

EJEMPLO 4 de i y j.

Suponga que a  2i − 3j y b  3i + 4j. Exprese 5a − 3b en términos

Solución A B D 
.I J/ 
.I C J/ D . /I C . /J D I J:

Z

CAPÍTULO 11

822

Vectores, curvas y superficies en el espacio

EJEMPLO 5 Cuando se grafican cuidadosamente a  8i + 5j y b  −11i + 17j (figura 11.1.11) parece que son perpendiculares. Determine si lo son o no.

 

1  



B A

Y 

B 0 



Solución Si los vectores a y b se consideran como vectores de posición de los puntos P(8, 5) y Q(−11, 17), su diferencia c  b − a  −19i + 12j representa el tercer ! lado 0 1 del triángulo OPQ (figura 11.1.11). De acuerdo con el teorema de Pitágoras, éste es un triángulo rectángulo con hipotenusa PQ si y sólo si |c|2  |a|2 + |b|2. Pero jCj D ./ C  D 

A







  

 X

MIENTRASQUE 





FIGURA 11.1.11 Los vectores a, b y b − a del ejemplo 5. Y A A

A J A J X

I AI

FIGURA 11.1.12 Resolución de a  a1, a2 en sus componentes horizontal y vertical.

jAj C jBj D T C  U C T./ C  U D :

Se deduce que los vectores a y b no son perpendiculares.

Z

La ecuación (7) expresa el vector a  a1, a2 como la suma de un vector horizontal a1i y un vector vertical a2 j, como se muestra en la figura 11.1.12. La descomposición o resolución de un vector en sus componentes horizontal y vertical es una técnica importante en el estudio de las cantidades vectoriales. Por ejemplo, una fuerza F se puede descomponer en sus componentes horizontal y vertical F1i y F2 j, respectivamente. El efecto físico de una sola fuerza F es la misma que el efecto combinado de las fuerzas separadas F1i y F2 j. (Ésta es una forma, verificable empíricamente, de la ley del paralelogramo para la suma de fuerzas.) Con esta descomposición, muchos problemas de dos dimensiones se pueden reducir a problemas de una dimensión, resolverlos y luego combinar los dos resultados (de nuevo con métodos vectoriales) para obtener la solución del problema original. EJEMPLO 6 Una pesa de 100 lb se suspende del techo mediante dos cables flexibles perpendiculares de igual longitud (figura 11.1.13). Encuentre la tensión (en libras) en cada cable.

Solución Cada cable está inclinado un ángulo de 45° con la horizontal, por lo que vemos, al calcular las componentes horizontal y vertical, que los vectores de fuerza de tensión T1 y T2 indicados están dados por 4

4 o LB

&

FIGURA 11.1.13 El peso suspendido del ejemplo 6.

T1  (T1 cos 45°)i + (T1 sen 45°)j y T2  (−T2 cos 45°)i + (T2 sen 45°)j, donde T1  |T1| y T2  |T2| son las fuerzas de tensión que se buscan. La fuerza hacia abajo de la gravedad que actúa sobre la pesa está dada por F  −100j. Para que la pesa esté en reposo, las tres fuerzas deben estar “balanceadas” de manera que T1 + T2 + F  0; esto es, [(T1 cos 45°)i + (T1 sen 45°)j] + [(−T2 cos 45°)i + (T2 sen 45°)j]  100j. Cuando igualamos las componentes de i en esta ecuación y por separado igualamos las componentes de j, se obtienen dos ecuaciones escalares T1 cos 45° − T2 cos 45°  0 y T1 sen 45° + T2 sen 45°  100. La primera ecuación escalar implica que T1  T2  T y luego la segunda lleva a ≈ 70.71 (libras) para la tensión en cada cable. Z T  100/(2 sen 45°)  50

11.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Un vector v en el plano cartesiano es un par ordenado de números reales de la forma a, b. p A; B ES jVj D A  C B  2. La longitud del vector V 3. Los dos vectores u  u1, u2 y v  v1, v2 son iguales siempre que u1  u2 y v1  v2.

SECCIÓN 11.1

Vectores en el plano 823

4. La suma de dos vectores u  u1, u2 y v  v1, v2 es el vector u + v  u1 + v1, u2 + v2. 5. Si u 4, −3 y v  −2, 3, entonces u − v  −6, 6. 6. Si r y s son escalares y a es un vector, entonces (r + s)a  ra + sa. A  7. Si a H 0, entonces un vector unitario con la misma dirección de a es U D jAj 8. Si a  2i − 3j y b  3i + 4j, entonces 5a − 3b  i + 27j. 9. Los vectores 8i + 5j y −11i + 17j son perpendiculares. 10. En la figura 11.1.13, la tensión T1 en el cable del lado derecho es 50 libras.

11.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Analice la relación entre un vector de dos dimensiones y un punto en el plano. 2. Proporcione varios ejemplos de cantidades que tengan tanto magnitud como dirección. Para cada uno, analice si esas cantidades se pueden sumar y cómo. 3. Si una persona tiene acciones de dos compañías, ¿cómo puede describir el valor de su portafolio mediante un vector de dos dimensiones? Si varias personas que son dueñas de acciones de esas dos compañías forman una sociedad, ¿el “vector valor” de la sociedad es igual a la suma de los vectores valor de los socios?

11.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, encuentre el vector v  a, b que está ! representado por el segmento de línea con dirección 23 . Luego ! esboce tanto 23 como el vector de posición del punto P(a, b).  2.; / 3.; /  2.; / 3.; /  2.; / 3.; /  2.; / 3.; / En los problemas 5 a 8, encuentre la suma w  u + v e ilústrela geométricamente.  U ;  V ;   U ;  V ;   U D I C J V H I J  U D I C J V H I En los problemas 9 a 16, encuentre |a|, |−2b|, |a − b|, a + b y 3a − 2b.  A ;  B ;   A ;  B ;   A ;  B ;   A H  ;  B D  ;   A H I C J B D I J  A D I J B D I J  A D I B D J  A D I J B D I C J En los problemas 17 a 20, encuentre un vector unitario u con la misma dirección que el vector dado a. Exprese u en términos de i y j. También encuentre un vector unitario v con la dirección opuesta a la de a.  A ;   A ;   A H I C J  A D I J En los problemas 21 a 24, encuentre el vector a expresado en ! términos de i y j, que está representado por la flecha 0 1 en el plano.  0 D .; / 1 H .; /  0 D .; / 1 D .; /

 0 D .; /

1 D .; /

 0 H .; /

1 D .; /

En los problemas 25 a 28, determine si los vectores a y b dados son perpendiculares o no.  A ;  B ;   A H J

B D I J

 A D I J  A D I C J

B H J C I B D I J

En los problemas 29 y 30, exprese i y j en términos de a y b.  A H I C J B H I C J  A D I J

B D I J

En los problemas 31 y 32, escriba c en la forma ra + sb donde r y s son escalares.  A D I C J B H I J C H I J  A H I C J

B D I C J

C H I C J

33. Encuentre un vector con la misma dirección que 5i − 7j y que tiene a) tres veces su longitud; b) un tercio de su longitud. 34. Encuentre un vector con la dirección opuesta de −3i + 5j y que tiene a) cuatro veces su longitud; b) un cuarto de su longitud. 35. Encuentre un vector de longitud 5 con a) la misma dirección que 7i − 3j; b) en la dirección opuesta a la de 8i + 5j. 36. ¿Para qué números c son perpendiculares los vectores c, 2 y c, −8? 37. ¿Para qué números c son perpendiculares los vectores 2ci − 4j y 3i + cj? 38. Dados los tres puntos A(2, 3), B(−5, 7) y C(1, −5), verifique ! ! por cálculo directo de los vectores y su suma que ! " + " # + ! # !  0.

824

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

En los problemas 39 a 42, proporcione una prueba con base en sus componentes de la propiedad indicada de álgebra vectorial. Tome a  a1, a2, b  b1, b2 y c  c1, c2 en todos los casos.     43.

A C .B C C/ H .A C B/ C C .R C S/A H R A C SA .R S/A D R .SA/ 3I A C B D A ENTONCES B D  Encuentre la tensión en cada cable del ejemplo 6 si el ángulo entre ellos es 120°. En los problemas 44 a 46 una pesa dada (medida en libras) está suspendida por dos cables como muestra la figura. Encuentre la tensión en cada cable. 44. o

o



FIGURA 11.1.14

45. o

o



FIGURA 11.1.15

46. F FT



FT



FIGURA 11.1.16

En los problemas 47 a 49, suponga el hecho siguiente: si un avión vuela con vector de velocidad va relativa al aire y la velocidad del viento es w, entonces el vector velocidad del avión respecto al suelo es vs  va + w (figura 11.1.17). El vector va se llama vector de velocidad aparente y el vector vs se llama vector de velocidad real. 47. Suponga que el viento sopla del noreste a 50 mi/h y que el piloto desea volar al este a 500 mi/h. ¿Cuál debe ser el vector de velocidad aparente del avión? 48. Repita el problema 47 cambiando volar al este por volar al oeste. 49. Repita el problema 47 en el caso de que el piloto desea volar al noroeste a 500 mi/h.

Y

W

VS VA

X

FIGURA 11.1.17 Vectores de los problemas 47 a 49 • Velocidad aparente: va • Velocidad del viento: w • Velocidad real: vs  va + w.

50. Dados cualesquiera tres puntos A, B y C en el plano, mues! ! ! tre que !" C "# C # ! H . [Sugerencia: dibuje el triángulo ABC.] 51. Si a y b son los vectores de posición de los puntos P y Q en el plano y M es un punto con vector de posición v  (a + b), muestre que M es el punto medio del segmento de recta PQ. ! ! ¿Basta con demostrar que los vectores 0 - y 1 - son iguales y opuestos? 52. En un triángulo ABC, sean M y N los puntos medios de AB ! ! y AC, respectivamente. Demuestre que - . H  "#  Concluya que el segmento de recta que une los puntos medios de los dos lados del triángulo es paralelo al tercer lado. ¿Cómo se relacionan sus longitudes? 53. Pruebe que las diagonales del paralelogramo ABCD se bisecan entre sí. [Sugerencia: si M y N son los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente, y O es el origen, ! ! demuestre que / - D / . = 54. Utilice vectores para probar que los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo. 55. La figura 11.1.18 muestra al vector a⊥ obtenido al rotar el vector a  a1i + a2 j un ángulo de 90° en dirección contraria a las manecillas del reloj. Demuestre que A? D A I C A J:

[Sugerencia: comience por escribir a  (r cos θ)i + (r sen θ)j.] A>

Y ƒ

R

A

Q X

FIGURA 11.1.18 Rotación de a 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj para obtener a⊥ (problema 55).

11.2 VECTORES EN TRES DIMENSIONES En los primeros diez capítulos se estudiaron muchos aspectos del cálculo de funciones de una variable. La geometría de esas funciones es bidimensional, ya que la gráfica de una función de una sola variable es una curva en el plano coordenado. La mayor parte de los capítulos restantes tienen que ver con el cálculo de funciones de varias (dos o más)

SECCIÓN 11.2

Z

Y

X

FIGURA 11.2.1 El sistema coordenado de mano derecha.

Z

PLANOXZ

Vectores en tres dimensiones

825

variables independientes. La geometría de funciones de dos variables es tridimensional porque las gráficas de esas funciones son generalmente superficies en el espacio. Las coordenadas rectangulares en el plano se pueden generalizar a coordenadas rectangulares en el espacio. Un punto en el espacio se determina dando su localización relativa a tres ejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O. Usualmente se dibujan los ejes x, y y z como se muestra en la figura 11.2.1, algunas veces con flechas para indicar la dirección positiva de cada eje; el lado positivo del eje x siempre se etiqueta con x y en forma similar los lados positivos de los ejes y y z. Con esta configuración de ejes, se dice que este sistema es de mano derecha: si mueve los dedos de la mano derecha en la dirección de una rotación desde el lado positivo del eje x al lado positivo del eje y, su pulgar apunta en la dirección positiva del eje z. Si los ejes x y y se intercambiaran, entonces el sistema coordenado sería de mano izquierda. Estos dos sistemas coordenados son diferentes en que es imposible llevar uno a coincidir con el otro utilizando únicamente rotaciones y traslaciones. Éste es el porqué las moléculas de alanina L y D que aparecen en la figura 11.2.2 son diferentes: se puede metabolizar una versión de mano izquierda (“levo”) de la molécula pero no la versión de mano derecha (“dextro”). En este libro se usará generalmente el sistema de coordenadas de mano derecha con los ejes en las figuras orientados como aparecen en la figura 11.2.1, pero los sistemas coordenados de mano izquierda se encuentran algunas veces en gráficas generados por computadora.

PLANOYZ

(

(

#

#

#(

#(

Y

PLANOXY

#//(

.(

X

FIGURA 11.2.3 Los planos coordenados en el espacio.

,  ALANINA

.(

#//( $  ALANINA

FIGURA 11.2.2 Los estereoisómeros del aminoácido alanina son física y biológicamente diferentes aun cuando tienen la misma fórmula molecular.

Los tres ejes de coordenadas tomados por pares determinan los tres planos coordenados (figura 11.2.3): • el plano xy (horizontal), donde z  0; • el plano yz (vertical), donde x  0 y • el plano xz (vertical), donde y  0. Se dice que el punto P en el espacio tiene coordenadas rectangulares (x, y, z) si • x es su distancia al plano yz, • y es su distancia al plano xz, y • z es su distancia al plano xy.

Z Y  DISTANCIA ALPLANOXZ X DISTANCIA ALPLANO 0 YZ

Y Z  DISTANCIA ALPLANOXY X

FIGURA 11.2.4 Localización del punto P en coordenadas rectangulares.

(Vea la figura 11.2.4.) En este caso podemos describir la localización de P con sólo llamarlo “el punto P(x, y, z)”. Existe una correspondencia uno a uno natural entre las tercias ordenadas (x, y, z) de números reales y los puntos P en el espacio; esta correspondencia se llama sistema coordenado rectangular en el espacio. En la figura 11.2.5 el punto P se localiza en el primer octante —la octava parte del espacio donde las tres coordenadas rectangulares son positivas. Si aplicamos el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos P1Q R y P1R P2 en la figura 11.2.6, tenemos j0 0 j H j2 0 j C j0 2j D j2 0 j C j1 2j C j0 1j D .X X / C .Y Y / C .Z  Z  / :

826

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio Z 0X Y Z

Z

\Z  Z\ 2X Y Z \X  X\

1X Y Z 0X Y Z

\Y  Y\

0X Y Z

Y Y

X

X

FIGURA 11.2.5 Se completa la caja para mostrar P con la ilusión de la tercera dimensión.

FIGURA 11.2.6 La distancia entre P1 y P2 es la longitud de la diagonal larga de la caja.

De esta forma la fórmula de la distancia para la distancia |P1P2| entre los puntos P1 y P2 es j0 0 j D

.X X / C .Y Y / C .Z  Z  / 

La distancia entre los puntos A(1, 3, −2) y B(4, −3, 1) es p j! "j D . / C . / C . C / H   ::



EJEMPLO 1

Z

Aplique la fórmula de la distancia de la ecuación (1) para demostrar que el punto medio M del segmento de recta que une P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es -

X C X Y C Y Z  C Z  ; ; :   



(Vea el problema 63.) La gráfica de una ecuación en tres variables x, y y z es el conjunto de todos los puntos en el espacio con coordenadas rectangulares que satisfacen la ecuación. En general, la gráfica de una ecuación en tres variables es una superficie bidimensional en R3 (espacio tridimensional con coordenadas rectangulares). EJEMPLO 2 Dado un punto fijo C(h, k, l) y un número r > 0, encuentre la ecuación de una esfera con radio r y centro C.

Z

Solución Por definición, la esfera es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) tales que la distancia P a C es r. Esto es, |CP|  r y entonces |CP|2  r 2. Por lo tanto

0X Y Z

(x − h)2 + ( y − k)2 + (z − l )2  r 2

R

(3) Z

#H K L

Vale la pena recordar la ecuación (3) como la ecuación de la esfera con radio r y centro C(h, k, l ) que aparece en la figura 11.2.7. Aún más, dada una ecuación de la forma X

FIGURA 11.2.7 La esfera con centro (h, k, l ) y radio r.

X  C Y  C Z  C ! X C "Y C # Z C $ D 

Y

podemos intentar —completando el cuadrado de cada variable— escribirla en la forma de la ecuación (3) y con ello demostrar que su gráfica es una esfera. EJEMPLO 3

Determine la gráfica de la ecuación x2 + y2 + z2 + 4x + 2y − 6z − 2  0.

SECCIÓN 11.2

Vectores en tres dimensiones

827

Solución Completamos el cuadrado de cada variable. La ecuación toma la forma .X  C X C / C .Y  C Y C / C .Z  Z C / D  C . C  C / D I

Z 0X Y Z

V

/

ESTOES

Por lo que la gráfica de la ecuación dada es la esfera con radio 4 y centro (−2, −1, 3). Z

Z

Y

X

Vectores en el espacio El análisis de los vectores en el espacio es paralelo al estudio en la sección 11.1 de los vectores en el plano. La diferencia es que los vectores en el espacio tienen tres compo! nentes en lugar de dos. El punto P(x, y, z) tiene vector de posición v  / 0  x, y, z, ! el cual se representa por el segmento de recta dirigido (o flecha) / 0 del origen O al punto P (así como por cualquier traslado paralelo de esta flecha; vea la figura 11.2.8). La fórmula de la distancia en (1) da

Y

X

.X C / C .Y C / C .Z / D  :

! FIGURA 11.2.8 La flecha /0 representa al vector de posición v  x, y, z.

Z

jVj D "

X  C Y C Z



para la longitud (o magnitud) del vector v  x, y, z. Dados dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) en el espacio, el segmento de recta ! dirigido ! " en la figura 11.2.9 representa el vector

!" !

V

Y

B A ; B A ; B A 

Su longitud es la distancia entre los dos puntos A y B:

X

!

FIGURA 11.1.9 La flecha !" representa el vector v  b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3.

!

jVj D j! " j D

Lo que significa que dos vectores en el espacio sean iguales es esencialmente lo mismo que en el caso de vectores de dos dimensiones: los vectores a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3 son iguales siempre que a1  b1, a2  b2 y a3  b3. Esto es, dos vectores son exactamente iguales cuando sus componentes correspondientes también lo son. Se define la suma y multiplicación escalar de los vectores tridimensionales de la misma manera que se hizo en la sección 11.1, tomando en cuenta que los vectores tienen ahora tres componentes en lugar de dos: la suma de los vectores a   a1, a2, a3 y b   b1, b2, b3 es el vector ACB

AB

B

A

FIGURA 11.2.10 Ley del paralelogramo para la suma de vectores.

.B A / D .B A / D .B A / :

A  C B ; A  C B ; A  C B  



Como a y b están en un plano (aunque no necesariamente el plano xy) si sus puntos iniciales coinciden, la suma de vectores tridimensionales obedece la misma ley del paralelogramo que en el caso de dos dimensiones (figura 11.2.10). Si c es un número real, entonces el múltiplo escalar ca es el vector CA

CA ; CA ; CA 



La longitud de ca es |c| veces la longitud de a y ca tiene la misma dirección que a si c > 0, pero una dirección opuesta si c < 0. Las siguientes propiedades algebraicas de la suma de vectores y la multiplicación escalar para los vectores tridimensionales se pueden establecer fácilmente, ya que siguen el cálculo por componentes, exactamente igual que la sección 11.1: A C B H B C A; A C .B C C/ D .A C B/ C C; R .A C B/ D R A C R B; .R C S/A D R A C SA; .R S/A D R .SA/ D S.R A/:



828

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

EJEMPLO 4

Si a  3, 4, 12 y b  −4, 3, 0, entonces ACB

 ;  C ;  C  ; ;  ; p jAj H  C  C  H  H ; 
; 
; 
 ; ;  / Y A  C ;  ;   ; /  : A B

Un vector unitario es un vector de longitud 1. Se puede expresar cualquier vector en el espacio (o vector espacial) en término de los tres vectores unitarios básicos

Z

I K

I

Z

J

X

FIGURA 11.2.11 Vectores unitarios básicos i, j y k.

Y

; ;  ;

J

; ;  ;

K

; ;  

Cuando se localizan con sus puntos iniciales en el origen, los tres vectores unitarios forman una tercia de mano derecha de vectores apuntando en las direcciones positivas de los tres ejes coordenados (figura 11.2.11). El vector en el espacio a  a1, a2, a3 se puede escribir como a  a1i + a2 j + a3k, una combinación lineal de los vectores unitarios básicos. Como en el caso de dos dimensiones, la utilidad de esta representación es que las operaciones algebraicas que incluyen vectores son más sencillas cuando se agrupan los coeficientes de i, j y k. EJEMPLO 5

Dados los vectores a  3, −4, 2 y b  5, 2, −7, escribimos a  3i −4j + 2k

y

b  5i + 2j − 7k

para calcular A C B H 
.I J C K/ C 
.I C J K/ D . C /I C . C /J C . /K ; ;  : H I J K

Z

El producto punto de dos vectores El producto punto de dos vectores a  a1i + a2 j + a3k

y

b  b1i + b2 j + b3k

es el número obtenido al multiplicar las componentes correspondientes de a y b y sumar los resultados. Esto es A
B H A B C A B C A B 



Así, el producto punto de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes correspondientes. En el caso de vectores en el plano a  a1, a2 y b  b1, b2, simplemente se ignora la tercera componente y se escribe a · b  a1b1 + a2b2. EJEMPLO 6 Para aplicar la definición al calcular el producto punto de dos vectores a  3, 4, 12 y b  −4, 3, 0 simplemente seguimos el patrón de la ecuación (8): a · b  (3)(−4) + (4)(3) +(12)(0)  −12 + 12 + 0  0. Y si c  4, 5, −3, entonces a · c  (3)(4) + (4)(5) + (12)(−3)  12 + 20 − 36  −4.

Z

El producto punto de dos vectores es un escalar —es decir, un número real común—. Por esto el producto punto también se conoce como producto escalar. El ejemplo 6 ilustra el hecho de que el producto escalar de dos vectores diferentes de cero (con longitud positiva) puede ser cero o incluso un número negativo.

IMPORTANTE

SECCIÓN 11.2

Vectores en tres dimensiones

829

Las siguientes propiedades del producto punto muestran que el producto punto de dos vectores se comporta en muchos sentidos en forma análoga al álgebra ordinaria de números reales. A
A H jAj; A
B H B
A; A
.B D C/ D A
B C A
C;



.R A/
B D R .A
B/ H A
.R B/:

Cada una de las propiedades en (9) se puede establecer trabajando con las componentes de los vectores involucrados. Por ejemplo, para establecer la segunda ecuación, suponga que a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3. Por lo tanto a · b  a1b1 + a2b2 + a3b3  b1a1 + b2a2 + b3a3  b · a.

Z

0 A Q

B

/

X

1 Y

Este desarrollo aclara que la ley conmutativa para el producto punto es una consecuencia de la ley conmutativa ab  ba para la multiplicación de números reales ordinarios. El ejemplo 6 muestra que es fácil aplicar la definición algebraica del producto punto en cálculos rutinarios. ¿Pero qué significa? La importancia y el significado del producto punto están en su interpretación geométrica. Sean los vectores a y b representados como vectores de posición por los seg! ! mentos dirigidos / 0 y / 1 respectivamente. Por lo tanto, el ángulo θ entre a y b es el ángulo en O del triángulo OPQ de la figura 11.2.12. Se dice que a y b son paralelos si θ  0 o si θ  π y que a y b son perpendiculares si θ  π/2. Por conveniencia, se considera al vector cero 0  0, 0, 0 al mismo tiempo paralelo y perpendicular a cualquier vector.

TEOREMA 1 Interpretación del producto punto Si θ es el ángulo entre los vectores a y b, entonces

FIGURA 11.2.12 Ángulo θ entre los vectores a y b.

a · b  |a| |b| cos θ.

(10)

Demostración Si a  0 o b  0, entonces la ecuación (10) se cumple de inmediato.

Si los vectores a y b son paralelos, entonces b  ta con t > 0 y θ  0 o bien t < 0 y θ  π. En cualquier caso, ambos lados de la ecuación (10) se reducen a t|a|2, de modo que llegamos a la conclusión del teorema 1. ! ! Si vamos al caso general en el cual los vectores a  / 0 y b  / 1 son diferentes de cero y no paralelos. Entonces !

j1 0 j D jA Bj D .A B/
.A B/ D A
A A
B B
A C B
B D jAj C jBj A
B: !

Pero c  |1 0 | es el lado del triángulo OPQ (figura 11.2.12) opuesto al ángulo θ incluido entre los lados a  |a| y b  |b|. De este modo la ley de los cosenos (apéndice M) da !

j1 0 j H C H A  C B AB COS  H jAj C jBj  jAj jBj COS : !

Por último, al comparar las dos expresiones para |1 0 |2 se obtiene la ecuación (10). X Este teorema dice que el ángulo θ entre dos vectores diferentes de cero a y b se puede encontrar usando la ecuación COS  D

A
B  jAj jBj



830

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Por ejemplo, dados los vectores a  8, 5 y b  −11, 17 del ejemplo 5 en la sección 11.1, calculamos COS  D

; 
;  ;  ; 

Dp

././ C ././ 

C



./

C



 Dp p :  

p p Se deduce que  H ARCCOS./  /  : RADIANES  : , con lo que otra vez se observa que los vectores a y b no son perpendiculares. En forma general, dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y sólo si forman un ángulo recto, de manera que θ  π/2. Por (11), esto a su vez ocurre si y sólo si a · b  0. Así, tenemos una forma de cálculo rápida para verificar la perpendicularidad de los vectores.

COROLARIO Prueba de la perpendicularidad de vectores Los dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y sólo si a · b  0. EJEMPLO 7 a) Para demostrar que los vectores planos a  8, 5 y b  −11, 17 del ejemplo 5 en la sección 11.1 no son perpendiculares, sólo es necesario calcular el producto punto a · b  −88 + 85  −3 y observar que este valor no es cero. b) Dados los vectores en el espacio a  8, 5, −1 y b −11, 17, −3 encontramos que a · b  (8)(−11) + (5)(17) + (−1)(−3)  −88 + 85 + 3  0. Z

Concluimos así que a y b son perpendiculares. #  

"  

"

EJEMPLO 8 Encuentre los ángulos mostrados en el triángulo de la figura 11.2.13 con vértices en A(2, −1, 0), B(5, −4, 3) y C(1, −3, 2). !

!

Solución Aplicamos la ecuación (11) con θ  ∠ A, a  ! "  3, −3, 3, y b  ! #  −1, −2, 2. Esto proporciona

# ! !  

! 

! D COS

FIGURA 11.2.13 Triángulo del ejemplo 8.

!

!"
!#

! !

j!" j j!# j

D COS p

 p  

D COS

; ; 
; ;  p p  

 : RAD  : :

De manera similar, !

" D COS

!

" !
"#

! !

j" ! j j"# j

 D COS p p  

D COS

; ; 
; ;  p p  

 : RAD  : :

Así, ∠C  180° − ∠A − ∠B ≈ 90°. Como comprobación, observamos que !

!

#!
#"

; ; 
; ; 

Por lo que el ángulo en C es, en realidad, un ángulo recto.

:

Z

Ángulos directores y proyecciones Los ángulos directores del vector a  a1, a2, a3 diferentes de cero son los ángulos α, β y γ que forma con los vectores i, j y k, respectivamente (figura 11.2.14). Los cosenos de estos ángulos se llaman cosenos directores del vector a.

SECCIÓN 11.2

Vectores en tres dimensiones

831

Si sustituimos b en la ecuación (11) con i, j y k uno a la vez, tenemos A
I A ; COS  H D jAj jIj jAj

Z

A G

COS D

A
J A ; H jAj jJj jAj

COS D

A A
K : D jAj jKj jAj

B

A

Y X

FIGURA 11.2.14 Ángulos directores del vector a.

Y



Es decir, los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario a/|a| con la misma dirección que a. En consecuencia cos2α + cos2 β + cos2 γ  1.

(13)

Encuentre los ángulos directores del vector a  2i + 3j − k. p Como jAj H  las ecuaciones en (12) dan

EJEMPLO 9

Solución

  H COS p  A

Q

COMPBA

A

Q

B

COMPBA

FIGURA 11.2.15 La componente de a a lo largo de b.

D COS

Y

B

 D COS p  : ;    : : p 

 : ;

Z

Algunas veces es necesario encontrar la componente de un vector a en la dirección de otro vector diferente de cero b. Piense que los dos vectores tienen su punto inicial en el mismo punto (figura 11.2.15). De esta forma, la componente (escalar) de a a lo largo de b, denotada por compb a, es numéricamente la longitud de la proyección perpendicular de a sobre la recta determinada por b. El número compb a es positivo si el ángulo θ entre a y b es agudo (por lo que a y b apuntan en la misma dirección general) y negativo si θ > π/2. Entonces compb a  |a| cos θ en cualquier caso. De esta forma la ecuación (10) da jAj jBj COS  A
B COMPB A D D :  jBj jBj No es necesario memorizar esta fórmula, porque —en la práctica— siempre es posible leer compb a  |a| cos θ de la figura y luego aplicar la ecuación (10) para eliminar cos θ. Observe que compb a es un escalar, no un vector. EJEMPLO 10 Dados a  4, −5, 3 y b  2, 1, −2, exprese a como la suma de un vector a paralelo a b y un vector a⊥ perpendicular a b.

A A>

B

A

Solución El método de solución está motivado por el diagrama de la figura 11.2.16. Tomamos A H .COMPB A/

FIGURA 11.2.16 Construcción de a y a⊥.

D

A
B B  D BD B  jBj  jBj

 ; ;  

   ; ; ;   

y A? D A A

      ; ; : ; ; D      

; ; 

En el diagrama se ve que la selección de a es factible, y deliberadamente elegimos a⊥ de forma que a  a + a⊥. Para verificar que el vector a es realmente paralelo a b, observamos que es un escalar múltiplo de b. Para verificar que a⊥ es perpendicular a b, se calcula el producto punto A?
B D

 



 



 

D :

De esta forma a y a⊥ tienen las propiedades requeridas.

Z

832

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Una aplicación importante de las componentes de los vectores es la definición y cálculo del trabajo. Recuerde que el trabajo W realizado por una fuerza constante F ejercida en la dirección de movimiento, al mover una partícula una distancia d, está dada por W  Fd. ¿Pero qué pasa si la fuerza es un vector constante F que apunta en alguna dirección distinta a la línea de movimiento, como cuando un niño jala un trineo en contra de la resistencia de la fricción (figura 11.2.17)? Suponga que F mueve ! una partícula a lo largo de un segmento de recta de P a Q, y sea D  0 1 el vector de desplazamiento del objeto resultante (figura 11.2.18). Entonces el trabajo W realizado por la fuerza F al mover el objeto a lo largo de la línea de P a Q es, por definición, el producto de la componente de F a lo largo de D y la distancia movida: W  (compDF)|D|.

(15)

Si usamos la ecuación (14) y sustituimos compDF  (F · D)/|D|, tenemos 

7 H &
$

para el trabajo realizado por la fuerza constante F al mover un objeto a lo largo del ! vector de desplazamiento D  0 1 . Esta fórmula es la generalización vectorial de la fórmula escalar del trabajo W  Fd. El trabajo se mide en pies-libra (ft·lb) si la distancia está medida en pies y la fuerza en libras. Si la distancia se presenta en metros (m) se usan newtons (N) para la fuerza y el trabajo se mide en joules (J). (Un joule es aproximadamente 0.7376 ft·lb.)

& 4RINEO

&

1

Q

2/3%"5$

,¤NEADEMOVIMIENTO

FIGURA 11.2.17 El vector de fuerza F es constante, pero actúa con un ángulo respecto a la línea de movimiento (ejemplo 10).

0

$ 01

FIGURA 11.2.18 Vector de fuerza F y vector de desplazamiento D en la ecuación (16).

EJEMPLO 11 Suponga que el vector fuerza en la figura 11.2.17 está inclinado en un ángulo de 30° respecto al suelo. Si el niño ejerce una fuerza constante de 20 lb, ¿qué tanto trabajo hace al jalar el trineo una distancia de una milla? p Solución Se proporciona |F|  20 (lb) y |D|  5280 (ft). Como cos 30°    de la ecuación (16) se obtiene p W  F · D  |F||D| cos 30°  (20)(5280)( ) ≈ 91452

(ft·lb).

Esto parece demasiado trabajo para un niño. Si el recorrido de una milla toma una hora, entonces el niño genera una potencia (trabajo por unidad de tiempo) a una tasa de (91452 ft·lb)/(3600 s) ≈ 25.4 ft·lb/s. Un caballo de fuerza (hp) está definido como  550 ft·lb/s, por lo que la “tasa de potencia” del niño es :=   hp. En comparación, un adulto con condición física promedio puede subir los 1760 escalones hasta el nivel del mirador de la torre CNN de Toronto en aproximadamente 30 minutos. El 29 de octubre de 1989, Brendan Keenoy de Toronto estableció el récord mundial para la subida de escaleras más rápida con un tiempo de 7 min 52 s. Suponiendo que subió una altura de 1122 ft y que pesaba 160 lb, generó un promedio de casi 0.7 hp en este Z intervalo de tiempo.

SECCIÓN 11.2

Vectores en tres dimensiones

833

11.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El sistema de coordenadas en la figura 11.2.3 es de mano izquierda. 2. El punto P(x, y, z) en la figura 11.2.5 está en el primer octante. 3. La distancia entre dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es .X X / C .Y Y / C .Z  Z  / :

4. La gráfica de la ecuación x2 + y2 + z2 + 4x + 2y − 6z − 2  0 es la esfera con radio 4 y centro (2, 1, −3). 5. Se dice que los dos vectores en el espacio a1, a2, a3 y b1, b2, b3 son iguales siempre que a1  a2  a3 y b1  b2  b3. p p 6. Si a  3, 4, 12 entonces jAj D  C  C  D  7. Si a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3, entonces el producto punto de a y b es A
B D A B C A B C A B :

8. Si a  3, 4, 12 y b  −4, 3, 0, entonces a · b  3 · (−4) + 4 · 3 + 12 · 0  0. 9. Si θ es el ángulo entre los vectores a y b, entonces a · b  |a||b| cos θ. 10. Los dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y sólo si a · b  0.

11.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Discuta la relación entre un vector tridimensional y un punto en el espacio. 2. ¿De qué manera el producto punto se parece al producto ordinario de dos números? ¿En que difieren los dos productos? 3. Analice la analogía entre el valor absoluto de un número y la longitud de un vector. 4. Proporcione un ejemplo de una situación del mundo real descrita por una tercia de números reales. En su ejemplo, ¿la suma de vectores y la multiplicación escalar tienen sentido?

11.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, encuentre a) 2a + b, b) 3a − 4b, c) a · b, d) |a − b| y e) a/|a|.  A ; ;  B ; ;   A

; ; 

 A D I C J C K

B

 A D I J C K  A D I J

; ; 

BDJK B D I C J K

B D J K

 A D I J C K B D I C J K

7. a 12. Encuentre, redondeado al grado más cercano, el ángulo entre los vectores a y b de los problemas 1 a 6. 13. a 18. Encuentre compa b y compb a para los vectores a y b de los problemas 1 a 6. En los problemas 19 a 24, escriba la ecuación de la esfera indicada. 19. Centro (3, 1, 2), radio 5 p 20. Centro (−2, 1, −5), radio  21. Un diámetro: el segmento que une (3, 5, −3) y (7, 3, 1) 22. Centro (4, 5, −2), pasa por el punto (1, 0, 0)

23. Centro (0, 0, 2), tangente al plano xy 24. Centro (3, −4, 3), tangente al plano xz En los problemas 25 a 28, encuentre el centro y el radio de la esfera con la ecuación dada.  X  C Y  C Z  C X Y D   X  C Y  C Z  X Y C Z C  D   X  C Y  C Z  Z  D   X  C Y  C Z  D X C Y C Z

En los problemas 29 a 38, describa la gráfica de la ecuación en términos geométricos, usando un lenguaje ordinario.  Z D 

 X H 

 Z D 

 X Y H 

 X YZ H 

 X  C Y  C Z  C  D 

 X  C Y  C Z  D 

 X  C Y  C Z  X C  H 

 X  C Y  C Z  X C Y C  D   X  C Y  D 

834 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Dos vectores son paralelos siempre que uno sea un múltiplo escalar del otro. Determine si los vectores a y b en los problemas 39 a 42 son paralelos o perpendiculares o ninguno de los dos.  A

; ; 

Y

B

; ; 

 A

; ; 

Y

B

; ; 

 A D I J C K

Y

B D I C J K

 A D I J C K

Y

B D I C J C K

En los problemas 43 y 44, determine si los tres puntos dados están en una línea recta o no.  0.; ; /  0.; ; /

1.; ; / 1.; ; /

2.; ; /

2.; ; /

En los problemas 45 a 48, encuentre (al grado más cercano) los tres ángulos del triángulo con los vértices dados.  !.; ; /

".; ; / #.; ; /

 !.; ; /

".; ; / #.; ; /

 !.; ; /

".; ; / #.; ; /

 !.; ; /

".; ; / #.; ; /

En los problemas 49 a 52, encuentre los ángulos directores del ! vector representado por 0 1 .  0.; ; /

1.; ; /

 0.; ; /

1.; ; /

 0.; ; /  0.; ; /

.

H MG A

FIGURA 11.2.19 Plano inclinado del problema 57.

58. Pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz: jA
Bj jAj jBj para todos los pares de vectores a y b. 59. Dados dos vectores arbitrarios a y b, pruebe que satisfacen la desigualdad del triángulo, jA C Bj jAj C jBj: [Sugerencia: eleve ambos lados al cuadrado.] 60. Pruebe que si a y b son dos vectores arbitrarios, entonces jA Bj jAj jBj:

61.

62.

63.

1.; ; /

1.; ; /

64.

En los problemas 53 y 54, encuentre el trabajo realizado por la fuerza F al mover una partícula en una línea recta de P a Q.  & D I K

0.; ; / 1.; ; /

 & D I J C K

0.; ; / 1.; ; /

55. Suponga que el vector fuerza en la figura 11.2.17 está inclinado en un ángulo de 40° respecto al suelo. Si el niño aplica una fuerza constante de 40 N, ¿cuánta energía calórica (en calorías) consume el niño al jalar el trineo una distancia de 1 km a lo largo del suelo? [Nota: 1 J de trabajo requiere un gasto de 0.239 calorías de energía.] 56. Un trineo de perros de 1000 lb tiene un coeficiente de fricción de 0.2, por lo que requiere una fuerza con componente horizontal de 200 lb para mantenerlo en movimiento con velocidad constante. Suponga que el arnés del equipo de perros está unido de modo que la fuerza de éste forma un ángulo de 5° con la horizontal. Si el trineo de perros jala el trineo con una velocidad de 10 mi/h, ¿cuánta potencia (en caballos de fuerza) generan los perros? [Nota: 1 hp es 550 ft·lb/s.] 57. Suponga que las componentes horizontal y vertical de los tres vectores que se muestran en la figura 11.2.19 están balanceadas (la suma de las componentes horizontales es cero, al igual que la suma de las componentes verticales). ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza constante F (paralela al plano inclinado) al jalar el peso mg hacia arriba por el plano inclinado hasta una altura vertical h?

&

65.

66.

[Sugerencia: escriba a  (a − b) + b; luego aplique la desigualdad del triángulo del problema 59.] Utilice el producto punto para construir un vector diferente de cero w  w1, w2, w3 perpendicular al vector u  1, 2, −3 y al vector v  2, 0, 1. El cubo unitario en el primer octante en el espacio tiene vértices opuestos O(0, 0, 0) y P(1, 1, 1). Encuentre el ángulo entre la arista del cubo en el eje x y la diagonal OP. Pruebe que el punto M dado en la ecuación (2) es realmente el punto medio del segmento P1P2. [Observación: debe probar tanto que M es equidistante de P1 y P2, como que M está en el segmento P1P2.] Dados dos vectores a y b, sea a  |a| y b  |b|. Pruebe que el vector .BA C AB/ CD .A C B/ biseca el ángulo entre a y b. Sean a, b y c tres vectores en el plano xy con a y b diferentes de cero y no paralelos. Demuestre que existen escalares α y β tales que c  αa + βb. [Sugerencia: comience por expresar a, b y c en términos de i, j y k.] Sea ax + by + c  0 la ecuación de la recta L en el plano xy con un vector normal n. Sea P0(x0, y0) un punto en esta recta y P1(x1, y1) un punto fuera de L. Pruebe que la distancia perpendicular desde P1 a L es !

jAX C BY C Cj jN
0 0 j DD : D p jNj A  C B 67. Dados dos puntos A(3, −2, 4) y B(5, 7, −1), escriba una ecuación en x, y y z que diga que el punto P(x, y, z) está a la misma distancia del punto A que del punto B. Luego simplifique esta ecuación y proporcione una descripción geométrica del conjunto de todos esos puntos P(x, y, z). 68. Dado el punto fijo A(1, 3, 5), el punto P(x, y, z), y el vector n  i − j + 2k, use el producto punto como ayuda para escri! bir una ecuación en x, y y z que diga lo siguiente: n y ! 0 son perpendiculares. Luego simplifique esta ecuación y proporcione una descripción geométrica de todos esos puntos P(x, y, z).

SECCIÓN 11.3

El producto cruz de vectores

69. Pruebe que los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 0) (1, 0, 1) y (0, 1, 1) son los vértices de un tetraedro regular p demostrando que cada una de las seis aristas tienen longitud . Luego utilice el producto punto para encontrar el ángulo entre cualquier par de aristas del tetraedro.

835

(

(

#

70. La molécula de metano CH4 está formada por cuatro átomos de hidrógeno en los vértices de un tetraedro regular y un átomo de carbono en el centro. (Figura 11.2.20). Suponga que los ejes y la escala se escogen de manera que el tetraedro coincida con el del problema 69, con su centro en .  ;  ;  / Encuentre el ángulo de enlace α entre las líneas del átomo de carbono a dos de los átomos de hidrógeno.

(

A

(

FIGURA 11.2.20 Ángulo de enlace α del metano en el problema 70.

11.3 EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES Con frecuencia necesitamos encontrar un vector que sea perpendicular a cada uno de los dos vectores a y b en el espacio. Una forma rutinaria de hacerlo está dada por el producto cruz a × b de los vectores a y b. Este producto de vectores no se parece al producto punto a · b puesto que a · b es un escalar mientras que a × b es un vector. Por esto a × b recibe el nombre de producto vectorial de los dos vectores a y b. El producto cruz (o producto vectorial) de los vectores a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3 se define algebraicamente por la fórmula



AB

B

AB

A B A B ; A B A B ; A B A B 



A

FIGURA 11.3.1 El producto cruz a × b es perpendicular a ambos, a y b.

Aunque esta fórmula parece poco motivadora, tiene una característica que la rescata: el producto a × b es perpendicular tanto a a como a b, como se observa en la figura 11.3.1.

TEOREMA 1 Perpendicularidad del producto cruz El producto cruz a × b es perpendicular tanto a a como a b. Demostración Se puede demostrar que a × b es perpendicular a a probando que el

producto punto de a y a × b es cero. Con las componentes como en la ecuación (1), se encuentra que A
.A  B/ D A .A B A B / D A .A B A B / C A .A B A B / D A A B A A B C A A B A A B C A A B A A B D :

Un cálculo similar demuestra que b · (a × b)  0 también, por lo que a × b es de igual forma perpendicular al vector b. X No es necesario memorizar la ecuación (1), porque existe la versión alternativa con determinantes que es más fácil recordar y utilizar. Recuerde que un determinante de orden 2 está definido como sigue: A B

A D A B A B : B



EJEMPLO 1  

 D 
 ./
 D : 

Z

Un determinante de orden 3 se define en términos de determinantes de orden 2: A B C

A B C

A B B H CA C C

B B A C C

B B C A C C

B : C



836

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Cada elemento ai del primer renglón se multiplica por el “subdeterminante” de 2 por 2 obtenido al eliminar el renglón y la columna donde se encuentra ai. Observe en la ecuación (3) que los signos de los ai están de acuerdo con el patrón del tablero de ajedrez C C C : C C La ecuación (3) es una expansión del determinante 3 por 3 usando el primer renglón. Pero se puede expandir usando cualquier renglón o cualquier columna. Por ejemplo la expansión usando su segunda columna es A A A B B A A A A B B B D A C B C : C C C C B B C C C En álgebra lineal se ha demostrado que todas estas expresiones producen el mismo valor del determinante. Aunque se puede expandir un determinante de orden 3 usando cualquier renglón o columna, aquí sólo usaremos la expansión del primer renglón, como en la ecuación (3) y el ejemplo 2. EJEMPLO 2        D
   

  
 

  C ./
 

 

D 
. / C ./
. C / D ./
. / D    D : Z La ecuación (1) para el producto cruz de los vectores a  a1i + a2 j + a3k y b  b1i + b2 j + b3k es equivalente a AB D

A B

A A I B B

A A JD B B

A K: B



Es fácil verificar esto al expandir los determinantes 2 por 2 en el lado derecho de esta ecuación y observar que resultan las tres componentes del lado derecho de la ecuación (1). A partir de la ecuación (4) se puede escribir

AB D

I A B

J A B

K A  B



El “determinante simbólico” en esta ecuación debe evaluarse por expansión del primer renglón, como en la ecuación (3) y como si fuera un determinante común con números reales como elementos. El resultado de esta expansión es el lado derecho de la ecuación (4). Las componentes del primer vector a en a × b forman el segundo renglón del determinante de 3 por 3, y las componentes del segundo vector b forman el tercer renglón. El orden de los vectores a y b es importante porque, como se verá más adelante, en general, a × b no es igual a b × a: el producto cruz no es conmutativo. La ecuación (5) para el producto cruz es la forma más conveniente para fines computacionales. EJEMPLO 3

Si a  3i − j + 2k y b  2i + 2j − k, entonces

I AB D  

J  

K   D  

  I  

  JC  

D . /I . /J C . .//K:

 K 

SECCIÓN 11.3

El producto cruz de vectores

837

De otra forma a × b  −3i + 7j + 8k. Se podría hacer una pausa para verificar (usando el producto punto) que el vector −3i + 7j + 8k es perpendicular a ambos, a y b. Z Si los vectores a y b comparten el mismo punto inicial, entonces el teorema 1 implica que a × b es perpendicular al plano determinado por a y b (figura 11.3.2). Existen dos direcciones posibles para a × b, pero si a × b H 0, entonces la tercia a, b, a × b es una tercia de mano derecha justo en el mismo sentido que la tercia i, j, k. Es decir, si el pulgar de su mano derecha apunta en la dirección de a × b, entonces sus dedos se doblan en la dirección de rotación (menor que 180°) de a a b. Una vez establecida la dirección de a × b se puede describir el producto cruz en términos completamente geométricos encontrando cuál es la longitud |a × b| del vector a × b. Esta longitud está dada por la fórmula



AB

A

Q

B

jA  Bj D jAj jBj .A
B/ :

FIGURA 11.3.2 Los vectores a, b, y a × b —en ese orden— forman una tercia de mano derecha.



Podemos verificar esta identidad vectorial en forma rutinaria (aunque tediosa) escribiendo a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3, calculando ambos lados de la ecuación (6) y encontrando que los resultados son iguales (problema 36).

Significado geométrico del producto cruz La ecuación (6) nos dice que es |a × b|, pero el teorema 2 revela el significado geométrico del producto cruz.

TEOREMA 2 Longitud del producto cruz Sea θ el ángulo entre los dos vectores no cero a y b (medidos para que 0 Entonces |a × b|  |a| |b| sen θ.

θ

π). (7)

Demostración Iniciando con la ecuación (6) y usando el hecho de que a · b  |a| |b| cos θ. Se tiene

jA  Bj D jAj jBj .A
B/ D jAj jBj .jAj jBj COS  / D jAj jBj . COS / D jAj jBj SEN :

Obtenemos la ecuación (7) después de tomar los valores positivos de las raíces cuadradas de ambos lados. (Ésta es la raíz correcta en el lado derecho porque sen θ 0 para X 0 θ π.)

COROLARIO Vectores paralelos Dos vectores no cero a y b son paralelos (θ  0 o θ  π) si y sólo si a × b  0. 3

2

\B\SEN Q

B

AA D A D A D 

Q 0

A

En particular, el producto cruz de cualquier vector con sí mismo es el vector cero. También la ecuación (1) nos muestra inmediatamente que el producto cruz de cualquier vector con el vector cero es el vector cero. Entonces

1

FIGURA 11.3.3 El área del paralelogramo PQRS es |a × b|.



para todo vector a. La ecuación (7) tiene una importante interpretación geométrica. Suponga que a y b están representados por los lados adyacentes de un paralelogramo PQRS con ! ! a  0 1 y b  0 3 (figura 11.3.3). Entonces el paralelogramo tiene una base de longitud |a| y altura |b| sen θ, por lo que su área es ! D jAj jBj SEN  D jA  Bj



CAPÍTULO 11

838

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Así, la longitud del producto cruz a × b es numéricamente igual que el área del paralelogramo determinado por a y b. Se deduce que el área del triángulo PQS en la figura 11.3.4, cuya área es la mitad del área del paralelogramo, es

3

 

B 1

FIGURA 11.3.4 El área de PQS es |a × b|.

!



La ecuación (10) proporciona una manera rápida para calcular el área de un triángulo —aun en el espacio— sin necesidad de encontrar los ángulos.

A 0

!

! D  jA  Bj D  j0 1  0 3 j:

EJEMPLO 4 C(7, −2, 4).

Solución

Encuentre el área del triángulo con vértices A(3, 0, −1), B(4, 2, 5) y

!

!

! "  1, 2, 6 y ! #  4, −2, 5, entonces I

J

! "  !# D  

 

!

!

K  D I C J K: 

Así, por la ecuación (10), el área del triángulo ABC es p   C  C ./ D    ::  Z

Z

Ahora sean u, v y w una tercia de mano derecha de vectores unitarios mutuamente perpendiculares. El ángulo entre cualquier par de ellos es θ  π/2, y |u|  |v|  |w|  1. De la ecuación (7) se obtiene que u × v  w. Si aplicamos esto a los vectores unitarios básicos (figura 11.3.5), tenemos



KIJ

I  J D K; J

Y

I

J  K D I;

Y

K  I D J

A

Pero

X

J  I D K;

FIGURA 11.3.5 Vectores unitarios básicos en el espacio.

K  J D I;

Y

I  K D J

B

Estas observaciones, junto con el hecho de que I  I D J  J D K  K D 

C

también se deduce directamente de la definición original del producto cruz [en la forma de la ecuación (5)]. Los productos en la ecuación (11a) se pueden recordar fácilmente en términos de la secuencia I;

J;

K;

I;

J;

K:

: :: :

El producto de cualquier par consecutivo de vectores unitarios, en el orden en que aparecen en la secuencia, es el siguiente en la secuencia. El producto cruz no es conmutativo: i × j H j × i. En realidad, es anticonmutativo: para dos vectores a y b cualesquiera, a × b  −(b × a). Ésta es la primera parte del teorema 3.

OBSERVACIÓN

TEOREMA 3 Propiedades algebraicas del producto cruz Si a, b y c son vectores y k es un número real, entonces     

A  B D .B  A/ .K A/  B D A  .K B/ D K.A  B/ A  .B C C/ D .A  B/ C .A  C/ A
.B  C/ D .A  B/
C A  .B  C/ D .A
C/B .A
B/C

    

SECCIÓN 11.3

El producto cruz de vectores

839

Las demostraciones de las ecuaciones (12) a (15) son aplicaciones directas de la definición del producto cruz en términos de componentes. Vea en el problema 33 un bosquejo de la demostración de la ecuación (16). Se pueden encontrar los productos cruz de vectores expresados en términos de los vectores unitarios básicos i, j y k mediante cálculos que se parecen mucho a los del álgebra común. Simplemente aplicamos las propiedades algebraicas resumidas en el teorema 3 junto con la relación en (11) para obtener los diversos productos de los tres vectores unitarios. Tenga cuidado conservar el orden de los factores, porque la multiplicación de vectores no es conmutativa, aunque es un hecho que no se debe dudar en usar la ecuación (12). EJEMPLO 5

(i − 2j + 3k) × (3i + 2j − 4k)

D .I  I/ C .I  J/ .I  K/ .J  I/ . J  J/ C .J  K/ C .K  I/ C .K  J/ .K  K/ D 
 C K 
.J/ 
.K/ 
 C I C J C 
.I/ 
 D I C J C K:

Z

Triple producto escalar Examinemos ahora el producto a · (b × c) que aparece en la ecuación (15). Esta expresión no tendría sentido si los paréntesis estuvieran alrededor de a · b, porque a · b es un escalar y no podemos formar el producto cruz de a · b con el vector c. Esto significa que podemos omitir los paréntesis —la expresión a · b × c no es ambigua— pero los conservamos por claridad adicional. El producto punto de los vectores a y b × c es un número real, llamado triple producto escalar de los vectores a, b y c. La ecuación (15) implica el hecho curioso de que podemos intercambiar las operaciones · (punto) y × (cruz) sin afectar el resultado de la operación: A
.B  C/ D .A  B/
C

para todos los vectores a, b y c. Para calcular el triple producto escalar en términos de componentes, escriba a  a1, a2, a3, b  b1, b2, b3 y c  c1, c2, c3. Entonces b × c  (b2c3 − b3c2)i − (b1c3 − b3c1)j + (b1c2 − b2c1)k, y a · (b × c)  a1(b2c3 − b3c2) − a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1). Pero la expresión de la derecha es el valor del determinante 3 por 3 A A
.B  C/ H B C

A B C

A B  C



Ésta es la forma más rápida para calcular el triple producto escalar. EJEMPLO 6

Si a  2i − 3k, b  i + j + k, y c  4j − k, entonces  A
.B  C/ H   H C


  

  

 

  
 

  C ./
 

H 
./ C ./
 H :

 

Z

840

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio



BC A H

Q

C B

FIGURA 11.3.6 El volumen del paralelepípedo es |a · (b × c)|.

La importancia del producto escalar triple en las aplicaciones depende de la siguiente interpretación geométrica. Sean a, b y c tres vectores con el mismo punto inicial. La figura 11.3.6 muestra el paralelepípedo que se forma con estos vectores; es decir, con las flechas que representan esos vectores como aristas adyacentes. Si los vectores a, b y c son coplanares (están en el mismo plano), entonces el paralelepípedo es degenerado y su volumen es cero. El teorema 4 se cumple sean o no coplanares los tres vectores, pero es más útil cuando no lo son.

TEOREMA 4 Producto escalar triple y volumen El volumen V del paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c es el valor absoluto del triple producto escalar a · (b × c); esto es V  |a · (b × c)|.

(18)

Demostración Si los tres vectores son coplanares, entonces a y b × c son perpen-

diculares por lo que V  |a · (b × c)| 0. Suponga ahora que no son coplanares. Por la ecuación (9) el área de la base (determinada por b y c) del paralelepípedo es A  |b × c|. Ahora sea α el ángulo agudo formado por a y el vector b × c que es perpendicular a la base. La altura del paralelepípedo es h  |a| cos α. Si θ es el ángulo entre los vectores a y b × c entonces θ  α o bien θ  π − α. Por lo que cos α  |cos θ|, de manera que V  Ah  |b × c||a| cos α  |a||b × c||cos θ|  |a · (b × c)|. X

Con lo que se verifica la ecuación (18).

EJEMPLO 7 La figura 11.3.7 muestra la pirámide OPQR y el paralelepípedo formado por los vectores

2

!

A D /0

!

B D /1

; ;  ;

!

Y C D /2

; ;  :

El volumen de la pirámide es V   Ah, donde h es la altura y el área A de su base OPQ es la mitad del área correspondiente a la base del paralelepípedo. Por lo tanto, se deduce de las ecuaciones (17) y (18) que el volumen V es un sexto del volumen del paralelepípedo

1

C

; ;  ;

B / A 0

FIGURA 11.3.7 Pirámide (y paralelepípedo) del ejemplo 7.

6 D

   jA q .B ˜ C/j D    

  

   D D :  

Z

EJEMPLO 8 Use el triple producto escalar para demostrar que los puntos A(1, −1, 2), B(2, 0, 1), C(3, 2, 0) y D(5, 4, −2) son coplanares. !

!

Solución Será suficiente con demostrar que los vectores ! "  1, 1, −1, ! #  ! 2, 3, −2 y ! $  4, 5, −4 son coplanares. Su triple producto escalar es   

    D 
./ 
 C ./
./ D ;  

de modo que el teorema 4 garantiza que el volumen del paralelepípedo determinado por estos vectores tiene volumen cero. Así, los cuatro puntos dados son coplanares. Z El producto cruz aparece frecuentemente en aplicaciones científicas. Por ejemplo, suponga que un cuerpo en el espacio puede rotar libremente alrededor de un punto fijo O. Si la fuerza F actúa en un punto P del cuerpo, esta fuerza causa que el cuerpo rote. Su efecto se mide con el vector torque τ definido por τ  r × F,

SECCIÓN 11.3

El producto cruz de vectores

841

!

donde  D / 0 la recta que pasa por O determinada por τ es el eje de rotación, y la longitud j j H jRj j&j SEN 

\&\SEN Q &

Q

0

R /

FIGURA 11.3.8 El vector torque τ es normal tanto a r como a F.

es el momento de la fuerza F alrededor de su eje (figura 11.3.8). Otra aplicación del producto cruz tiene que ver con la fuerza ejercida por una partícula cargada moviéndose en un campo magnético. Esta fuerza es importante en aceleradores de partículas, espectrómetros de masa y tubos de pantallas de televisión; el control de las trazas de los iones se logra con el ajuste entre los campos eléctricos y magnéticos. En estas circunstancias, la fuerza F de la partícula debida al campo magnético depende de tres cosas: la carga q de la partícula, su vector velocidad v y el vector de campo magnético B en la posición instantánea de la partícula. Resulta que F  (qv) × B.

11.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El producto cruz de los vectores a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3 se define como a × b  a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1. 2. El producto cruz a × b de a y b es perpendicular tanto a a como a b. 3. Si a  3i − j + 2k y b  2i + 2j − k, entonces a × b  −3i + 7j + 8k. 4. Sea θ el ángulo entre los vectores a y b medido de forma que 0 θ π. Entonces la longitud de a × b es |a × b|  |a||b| sen θ. 5. Los vectores diferentes de cero a y b son paralelos si y sólo si a × b  0. 6. Si a y b representan lados adyacentes del paralelogramo PQRS, de modo que ! ! a  0 1 y b  0 3 , entonces el área de P Q R S es |a × b|. 7. Si a y b son vectores en el espacio, entonces a × b  −(b × a). 8. Si a  a1, a2, a3, b  b1, b2, b3 y c  c1, c2, c3 son vectores en el espacio, entonces A A A A
.B  C/ H .A  B/
C H B B B : C C C

9. Si a, b y c son vectores en el espacio con el mismo punto inicial, entonces forman los lados de un paralelepípedo cuyo volumen es V  |a · (b × c)|. 10. El triple producto escalar se puede usar para demostrar que los puntos A(1, −1, 2), B(2, 0, 1), C(3, 2, 0) y D(5, 4, −2) son coplanares.

11.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. ¿De qué manera el producto cruz de dos vectores es semejante al producto ordinario de dos números? ¿En qué difieren los dos productos? 2. Analice las diferencias y las similitudes entre el producto punto y el producto cruz de dos vectores. 3. Un topógrafo mide la poligonal de un terreno localizando primero las coordenadas de los vértices del polígono que lo limita. Describa cómo puede el topógrafo utilizar el producto cruz para calcular el área del terreno.

842

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

11.3 PROBLEMAS Encuentre a × b en los problemas 1 a 4.  A ; ;  B ; ;   A

; ; 

B

 A H I J C K

; ; 

B D I C J C K

 A D I C J K

B D I J C K

En los problemas 5 y 6, encuentre el producto cruz de los vectores dados de dos dimensiones a  a1, a2 y b  b1, b2 primero “extendiéndolos” a vectores de tres dimensiones a  a1, a2, 0 y b  b1, b2, 0.  A ;  Y B ;   A H I C J

Y

B D I J

En los problemas 7 y 8, encuentre dos vectores unitarios diferentes u y v los cuales sean perpendiculares a los dos vectores dados a y b.  A ; ;  Y B ; ;   A D I C J C K

23. La figura 11.3.9 muestra la gráfica de un terreno poligonal con ángulos y longitudes medidos por un topógrafo. Primero encuentre las coordenadas de cada vértice. Luego utilice el producto vectorial [como en la ecuación (10)] para calcular el área del terreno.

Y

M  o

M

o  

FIGURA 11.3.9 Problema 23.

24. Repita el problema 23 con el terreno mostrado en la figura 11.3.10. g

B D I C J C K

9. Aplique la ecuación (5) para verificar las ecuaciones en (11a). 10. Aplique la ecuación (5) para verificar las ecuaciones en (11b). 11. Pruebe que el producto vectorial no es asociativo comparando a × (b × c) con (a × b) × c en el caso a  i, b  i + j y c  i + j + k. 12. Encuentre los vectores diferentes de cero a, b y c tales que a × b  a × c pero b c. 13. Suponga que los tres vectores a, b y c son mutuamente perpendiculares. Pruebe que a × (b × c)  0. 14. Encuentre el área del triángulo con vértices P(1, 1, 0), Q(1, 0, 1) y R(0, 1, 1). 15. Encuentre el área del triángulo con vértices P(1, 3, −2), Q(2, 4, 5) y R(−3, −2, 2). 16. Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacen! ! ! tes / 0 / 1 Y / 2 donde P, Q y R son los puntos dados en el problema 14. 17. a) Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adya! ! ! centes / 0 / 1 Y / 2 donde P, Q y R son los puntos dados en el problema 15. b) Encuentre el volumen de la pirámide con vértices O, P, Q y R. 18. Encuentre un vector unitario n perpendicular al plano que pase por los puntos P, Q y R del problema 15. Luego encuentre la distancia desde el origen a este plano calculando ! n · / 0. En los problemas 19 a 22, determine si los cuatro puntos dados A, B, C y D son o no coplanares. Si no, encuentre el volumen de la pirámide con esos cuatro puntos como sus vértices, dado que su volumen es un sexto del de un paralelepípedo formado por ! ! ! ! ", ! # y ! $.  !.; ; / ".; ; / #.; ; /Y$    !.; ; / ".; ; / #.; ; /Y $.; ; /

g o  

FIGURA 11.3.10 Problema 24.

25. Repita el problema 23 con la gráfica que aparece en la figura 11.3.11. [Sugerencia: primero divida el terreno en dos triángulos.] g o

o

g o o

g

 

FIGURA 11.3.11 Problema 25.

26. Repita el problema 23 con el terreno mostrado en la figura 11.3.12. M o o M

o o

 

M

 

FIGURA 11.3.12 Problema 26.

27. Aplique la ecuación (5) para verificar la ecuación (12), la anticonmutatividad del producto vectorial. 28. Aplique la ecuación (17) para verificar la identidad de los productos escalares triples de la ecuación (15). 29. Suponga que P y Q son puntos en una recta L en el espacio. Sea A un punto que no está en L (figura 11.3.13). a) Calcule con dos métodos el área del triángulo APQ para demostrar que la distancia perpendicular de A a la recta L es

 !.; ; / ".; ; / #.; ; /Y$    !.; ; / ".; ; / #.; ; /Y $.; ; /

o

!

DD

!

j! 0  !1 j !

j0 1 j

:

SECCIÓN 11.4

b) Utilice esta fórmula para calcular la distancia del punto (1, 0, 1) a la recta que pasa por los dos puntos P(2, 3, 1) y Q(−3, 1, 4). ,

1

32. Utilice el siguiente método para establecer que el triple producto escalar (a × b) × c es igual a (a · c)b − (b · c)a. a) Sea I un vector unitario en la dirección de a y sea J un vector unitario perpendicular a I y paralelo al plano de a y b. Sea K  I × J. Explique por qué existen escalares a1, b1, b2, c1, c2 y c3 tales que b  b1I + b2 J

a  a1I,

0

Líneas y planos en el espacio 843

y

c  c1I + c2 J + c3K.

b) Ahora demuestre que D

(a × b) × c  −a1b2c2I + a1b2c1J. !

FIGURA 11.3.13 Problema 29.

30. Suponga que A es un punto que no está en el plano determinado por los puntos P, Q y R. Calcule de dos formas el volumen de la pirámide APQR para demostrar que la distancia perpendicular de A a este plano es !

DD

!

!

j! 0
.!1  ! 2 /j !

!

j0 1  0 2 j

:

Utilice esta fórmula para calcular la distancia desde el punto (1, 0, 1) al plano que pasa por los puntos P(2, 3, 1), Q(3, −1, 4) y R(0, 0, 2). 31. Suponga que P1 y Q1 son dos puntos en la recta L1 y que P2 y Q2 son puntos en la recta L 2. Si las rectas L1 y L 2 no son paralelas, entonces la distancia más corta d entre ellas es la ! proyección de 0 0 en el vector n que es perpendicular tanto ! ! a 0 1  Y 0 1   Pruebe que !

DD

!

a × (b × c)  (a · c)b − (a · b)c [ésta es la ecuación (16)]. 34. Deduzca de las propiedades de ortogonalidad del producto vectorial que el vector (a × b) × (c × d) se puede escribir en la forma r1a + r2b y en la forma s1c + s2d. 35. Considere un triángulo en el plano xy que tiene vértices (x1, y1, 0), (x2, y2, 0) y (x3, y3, 0). Utilice el producto vectorial para probar que el área de este triángulo es la mitad del valor absoluto del determinante  X Y  X Y :  X Y 36. Dados los vectores a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3, verifique la ecuación (6), |a × b|2  |a|2|b|2 − (a · b)2,

!

j0 0
.0 1   0 1  /j !

c) Por último, sustituya I y J en términos de a y b. 33. Mediante la permutación de los vectores a, b y c deduzca del problema 32 que

!

j0 1   0 1  j

:

calculando cada lado en términos de las componentes de a y b.

11.4 LÍNEAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

,

Z 0 0 R

R

V

Y X

FIGURA 11.4.1 Para encontrar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P0 y es paralela al vector v.

Igual que en el plano, una línea recta en el espacio está determinada por cualquier par ! de puntos P0 y P1 que están en ella. Podemos escribir V H 0 0 —para decir que el ! segmento de recta con dirección 0 0 representa al vector v— para describir la “dirección de la recta”. Así, de forma alternativa, una recta en el espacio se puede especificar dando un punto P0 en ella y un vector [diferente de cero] v que determine la dirección de la recta. Para investigar las ecuaciones que describen a las rectas en el espacio, comencemos con una línea recta L que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela al vector v  ai + bj + ck (figura 11.4.1). De esta forma, otro punto P(x, y, z) está en la recta L ! si y sólo si los vectores v y 0 0 son paralelos, en cuyo caso !

0 0 D TV !



!

para algún número real t. Si r0  / 0 y r  / 0 son los vectores de posición de los ! puntos P0 y P1, respectivamente, entonces 0 0 D R R  Con lo que la ecuación (1) da la ecuación vectorial R D R C TV



que describe la recta L. Como se indica en la figura 11.4.1, r es el vector de posición de un punto arbitrario P en la recta L, y la ecuación (2) proporciona r en términos del parámetro t, el vector de posición r0 de un punto fijo P0 en L y del vector fijo v que determina la dirección de L.

844

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

El lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación (2) son iguales y cada lado es un vector. Entonces sus componentes correspondientes también son iguales. Cuando escribimos las ecuaciones resultantes, obtenemos una descripción escalar de la recta L. Como r0  x0, y0, z0 y r  x, y, z la ecuación (2) proporciona las tres ecuaciones escalares X D X C AT; , 0

V

Y D Y C BT;

Z D Z  C CT



Éstas son las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el punto (x0, y0, z0) y es paralela al vector v a, b, c. EJEMPLO 1 Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P1(1, 2, 2) y P2(3, −1, 3) de la figura 11.4.2.

0

Solución La recta L es paralela al vector !

FIGURA 11.4.2 Recta L del ejemplo 1.

V D 0 0 D .I J C K/ .I C J C K/ H I J C K;

por lo que obtenemos a  2, b  −3 y c  1. Con P1 como el punto fijo, con la ecuación (3) se tiene x  1 + 2t,

y  2 − 3t,

z2+t

como las ecuaciones paramétricas de L. En contraste, con P2 como el punto fijo y con el vector −2v  −4i + 6j − 2k (paralelo a v) como vector de dirección, con la ecuación (3) tenemos las ecuaciones paramétricas x  3 − 4t,

y  −1 + 6t,

z  3 − 2t.

Entonces, las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas. Dadas dos rectas paralelas L1 y L 2 con ecuaciones paramétricas

, ,

V V

V

x  x1 + a1t,

y  y1 + b1t,

z  z1 + c1t.

(4)

x  x2 + a2s,

y  y2 + b2s,

z  z2 + c2s.

(5)

y respectivamente, se puede apreciar a simple vista si L1 y L 2 son o no paralelas. Debido a que L1 es paralela a v1  a1, b1, c1 y L 2 es paralela a v2  a2, b2, c2, se sigue que las rectas L1 y L 2 son paralelas si y sólo si los vectores v1 y v2 son escalares múltiplos uno del otro (figura 11.4.3). Si las dos rectas no son paralelas, se podría intentar encontrar el punto de intersección resolviendo las ecuaciones simultáneas

V /

FIGURA 11.4.3 Rectas paralelas.

x1 + a1t  x2 + a2s V

, V

V / V

FIGURA 11.4.4 Rectas sesgadas.

Z

,

y

y1 + b1t  y2 + a2s

para obtener s y t. Si los valores de s y t también satisfacen la ecuación z1 + c1t  z2 + c2s, entonces tenemos el punto de intersección. Sus coordenadas rectangulares se pueden encontrar sustituyendo el valor resultante de t en la ecuación (4) [o el valor resultante de s en la ecuación (5)]. De otra manera, las rectas L1 y L 2 no se intersecan. Dos rectas no paralelas que no se intersecan en el espacio se llaman rectas sesgadas (figura 11.4.4). EJEMPLO 2

La recta L1 con ecuaciones paramétricas x  1 + 2t,

y  2 − 3t,

z2+t

pasa por el punto P1(1, 2, 2) (descubierto sustituyendo t  0) y es paralela al vector v1  2, −3, 1. La recta L 2 con ecuaciones paramétricas x  3 + 4t,

y  1 − 6t,

z  5 + 2t

pasa por el punto P2(3, 1, 5) y es paralela al vector v2  4, −6, 2. Como v2  2v1, vemos que L1 y L 2 son paralelas.

SECCIÓN 11.4

Líneas y planos en el espacio 845

¿Pero son L1 y L 2 realmente rectas diferentes, o tal vez estamos tratando con parametrizaciones diferentes de la misma recta? Para responder esta pregunta, observemos ! ; ;  no es un múltiplo de v1 y por lo tanto no es paralela a v1  2, que 00 −3, 1. Por lo tanto, el punto P2 no está en la línea L1 y por lo tanto las L1 y L 2 son en realidad distintas. Z Si todos los coeficientes a, b y c en (3) son diferentes de cero, entonces se puede eliminar el parámetro t. Simplemente despeje t de cada ecuación y luego establezca las expresiones resultantes iguales unas a otras. Esto da Y Y Z Z X X D D  A B C



Éstas se llaman ecuaciones simétricas de la recta L. Si uno o más de a o b o c son cero, significa que L está en un plano paralelo a uno de los planos coordenados y en este caso la recta no tiene ecuaciones simétricas. Por ejemplo, si c  0, entonces L está en el plano horizontal z  z0. Desde luego, es posible escribir ecuaciones para L que no incluyan el parámetro t; por ejemplo, si c  0, pero a y b son diferentes de cero, se puede describir a la recta L como el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen las ecuaciones Y Y X X H ; Z D Z; A B EJEMPLO 3 Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P0(3, 1, −2) y P1(4, −1, 1). Encuentre también los puntos en los cuales L interseca los tres planos coordenados. !

; ;  por lo que teneSolución La recta L es paralela al vector V D 0 0 mos a  1, b  −2 y c  3. Las ecuaciones en (3) dan las ecuaciones paramétricas

x  3 + t,

y  1 − 2t,

z  −2 + 3t

de L, y las ecuaciones en (6) dan las ecuaciones simétricas Y ZC X  D D :   

Para encontrar el punto en el que L cruza el plano xy, hacemos z  0 en las ecuaciones simétricas. Esto da X  Y  D D ;   

por lo que X D  ;  ; / Y Y D   Así, L encuentra al plano xy en el punto .    De manera similar, x  0 da (0, 7, −11) para el punto donde L encuentra al plano yz y Z y  0 da .  ; ;  / para la intersección con el plano xz.

Z N

Planos en el espacio 0 0

Y

X

FIGURA 11.4.5 Dado que n es normal a P, se deduce que n es normal ! a 0 0 para todos los puntos P en P.

Un plano P en el espacio está determinado por un punto P0(x0, y0, z0) por el cual pasa P y una recta que pasa por P0 que es normal a P. De manera alternativa, pueden darnos P0 en P y un vector n  a, b, c normal al plano P. El punto P(x, y, z) está en el ! plano P si y sólo si los vectores n y 0 0 son perpendiculares (figura 11.4.5), en cuyo ! ! caso N
0 0 D  Escribimos 0 0 D R R donde r y r0 son los vectores de posición ! ! R D / 0 y R D / 0 de los puntos P y P0, respectivamente. Entonces obtenemos la ecuación vectorial n · (r − r0)  0 del plano P.

(7)

CAPÍTULO 11

846

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Si sustituimos n  a, b, c, r  x, y, z y r0  x0, y0, z0 en la ecuación (7), obtenemos la ecuación escalar A.X X / C B.Y Y / C C.Z Z  / D 



del plano que pasa por P0(x0, y0, z0) con un vector normal n  a, b, c. EJEMPLO 4 Una ecuación del plano a través de P0(−1, 5, 2) con vector normal n  1, −3, 2 es 1 · (x + 1) + (−3) · ( y − 5) + 2 · (z − 2)  0; es decir, x − 3y + 2z  −12.

Z

Los coeficientes de x, y y z en la última ecuación son las componentes del vector normal. Esto ocurre siempre, porque podemos escribir la ecuación (8) en la forma

IMPORTANTE

AX C BY C CZ D D N

2



donde d  ax0 + by0 + cz0. Inversamente, toda ecuación lineal en x, y y z de la forma de la ecuación (9) representa un plano en el espacio siempre que los coeficientes a, b y c no sean todos cero. La razón es que si c H 0 (por ejemplo), entonces podemos escoger x0 y y0 arbitrariamente y resolver la ecuación ax0 + by0 + cz0  d para obtener z0. Con estos valores la ecuación (9) toma la forma ax + by + cz  ax0 + by0 + cz0;

0

1

esto es, a(x − x0) + b( y − y0) + c(z − z0)  0,

FIGURA 11.4.6 El vector normal n como un producto cruz (ejemplo 5).

de modo que esta ecuación representa el plano que pasa por (x0, y0, z0) con vector normal a, b, c. EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación del plano que pasa por los tres puntos P(2, 4, −3), Q(3, 7, −1) y R(4, 3, 0).

Solución Queremos usar la ecuación (8), por lo que primero necesitamos un vector n que es normal al plano buscado. Una forma sencilla para obtener un vector normal es usar el producto cruz. Sea I

J

N D 01  02 D  

 

!

!

!

K  D I C J K: 

!

Como 0 1 y 0 2 están en el plano, su producto cruz n es normal al plano (figura 11.4.6). Entonces el plano tiene ecuación FIGURA 11.4.7 Intersección de dos planos no paralelos en una línea recta.

11(x − 2) + ( y − 4) − 7(z + 3)  0. Después de simplificar, escribimos la ecuación como 11x + y − 7z  47.

N

M

Q

Se dice que dos planos con vectores normales n y m son paralelos siempre que n y m sean paralelos. De otra forma, los dos planos se encuentran en una línea recta (figura 11.4.7) y podemos encontrar el ángulo θ entre los vectores normales n y m (figura 11.4.8). Se define el ángulo entre los dos planos como θ o bien π − θ, cualquiera que sea un ángulo agudo. EJEMPLO 6

FIGURA 11.4.8 Vectores m y n normales a los planos P y Q, respectivamente.

Z

Encuentre el ángulo θ entre los planos con ecuaciones 2x + 3y −z  −3

y

4x + 5y + z  1.

Luego escriba la ecuación simétrica de su recta de intersección L.

SECCIÓN 11.4

Solución entonces

Líneas y planos en el espacio

847

Los vectores n  2, 3, −1 y m  4, 5, 1 son normales a los dos planos, COS  H

 N
M Dp p : jNj jMj  

p Por lo que  D COS .  /  :   Para determinar la línea de intersección L de los dos planos, necesitamos encontrar un punto P0 que esté en L. Esto se puede hacer sustituyendo un valor de x elegido arbitrariamente en las ecuaciones dadas de los planos y luego despejando y y z de las ecuaciones resultantes. Con x  1 obtenemos las ecuaciones  C Y Z D ;  C Y C Z D :

La solución común es y  −1, z  2. Por lo que el punto P0(1, −1, 2) está en la recta L. Ahora necesitamos un vector v paralelo a L. Los vectores n y m normales a los dos planos son también perpendiculares a L, entonces su producto cruz es paralelo a L. En forma alternativa podemos localizar otro punto P1 en L sustituyendo un segundo valor de x en las ecuaciones dadas para los planos y resolverlas para y y z, como antes. Con x  5 obtenemos las ecuaciones  C Y Z D ;  C Y C Z D ;

con solución común y  −4, z  1. Entonces el segundo punto P1(5, −4, 1) en L y por consiguiente el vector !

V D 0 0

; ; 

paralelo a L. De la ecuación (6) encontramos las ecuaciones de simetría YC Z X  D D   

de la línea de intersección de los dos planos dados.

Z

Por último, se puede observar que las ecuaciones simétricas de una recta L presentan la línea como la intersección de dos planos: podemos rescribir las ecuaciones en (6) en la forma B.X X / A.Y Y / D ; C.X X / A.Z Z  / D ;



C.Y Y / B.Z Z  / D :

Éstas son las ecuaciones de tres planos que se cruzan en la línea L. La primera tiene un vector normal b, −a, 0, un vector paralelo al plano xy. Por lo que el primer plano es perpendicular al plano xy. De manera similar, el segundo plano es perpendicular al plano xz y el tercero es perpendicular al plano yz. Las ecuaciones en (10) son las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela a v  a, b, c. A diferencia de la ecuación (6), estas ecuaciones tienen significado sin importar si todas las componentes a, b y c son o no diferentes de cero. Sin embargo, tienen una forma especial si una de las tres componentes es cero. Si, digamos, a  0, entonces las primeras dos ecuaciones en (10) toman la forma x  x0. La recta es entonces la intersección de dos planos x  x0 y c( y − y0)  b(z − z0). EJEMPLO 7 En el ejemplo 3 se vio que la línea L que pasa por el punto P0(3, 1, −2) y P1(4, −1, 1) tiene ecuaciones de simetría X  Y ZC D D :   

848

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Al rescribir estas ecuaciones como en (10), primero obtenemos las ecuaciones .X / D Y ; .X / D Z C ; .Y / D .Z C /



Z

y luego (después de simplificar) las ecuaciones



X C Y D ; X Z D ; Y C Z D 



X

Y

FIGURA 11.4.9 La línea L del ejemplo 7 es la intersección del plano P1 paralelo al eje z, el plano P2 paralelo al eje y y el plano P3 paralelo al eje x.

que representan a L como la intersección de los tres planos, cada uno de ellos paralelo a uno de los tres ejes coordenados en el espacio. La figura 11.4.9 muestra una gráfica por computadora de esos tres planos que se cruzan en la línea L. Z

11.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Las ecuaciones x  1 + 2t, y  2 − 3t, z  2 + t son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (1, 2, 2) y (3, −1, 3). 2. Las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio tienen la forma Y Y Z Z X X D D ; A B C 3. Dos rectas no paralelas y que no se intersecan en el espacio se llaman líneas sesgadas. 4. La recta que pasa por los puntos (3, 1, −2) y (4, −1, 1) es paralela al vector 1, −2, 3. 5. Es imposible determinar dónde encuentra una línea dada en el espacio los tres planos coordenados. 6. Cualquier plano en el espacio tiene una ecuación de la forma ax + by + cz  d donde los tres coeficientes a, b y c no todos son cero. 7. Si un vector en el espacio tiene un vector normal n  a, b, c, entonces tiene una ecuación cartesiana de la forma ax + by + cz  d. 8. Una ecuación para el plano que pasa por tres puntos (2, 4, −3), (3, 7, −1) y (4, 3, 0) es 11x + y −7z  46. 9. Si dos planos en el espacio tienen vectores normales n y m, entonces el ángulo entre esos dos planos es, por definición, el ángulo entre n y m. 10. Las ecuaciones 2x + y  7, 3x − z  11, 3y + 2z  −1 representan a cierta recta como la intersección de tres planos, cada uno de los cuales es paralelo a uno de los tres ejes coordenados en el espacio.

11.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. La figura 11.4.10 muestra la posible configuración de dos rectas L1 y L 2 en el plano xy. Obervamos que la intersección de L1 y L 2 consiste ya sea de un punto, ningún punto o un número infinito de puntos. Explique por qué esta observación geométrica implica que dos ecuaciones lineales a1x + b1y  c1 y a2x + b2y  c2 con dos incógnitas x y y pueden tener ya sea una solución simultánea (x, y), no tener solución o tener un número infinito de soluciones diferentes.

SECCIÓN 11.4 Y

Líneas y planos en el espacio 849

Y

,

Y

,,

,

,

,

X

X a) Dos rectas que se intersecan: una solución única.

b) Dos rectas paralelas: sin solución.

X c) Dos líneas coincidentes: un número infinito de soluciones.

FIGURA 11.4.10 a) Las rectas no paralelas L1 y L 2 se cruzan en un solo punto. b) Dos rectas paralelas distintas L1 y L 2 no tienen punto de intersección. c) Las líneas coincidentes L1 y L 2 tienen un número infinito de puntos en común.

En cada uno de los siguientes casos, describa en forma similar las posibles configuraciones y por lo tanto el número posible de puntos de intersección del número indicado de rectas o planos. Traduzca su conclusión geométrica en una expresión respecto al número posible de soluciones de un sistema de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. 2. Tres rectas en el plano. 3. Dos rectas en el espacio. 4. Tres planos en el espacio.

11.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P y es paralela al vector v.  0.; ; /

V D I C J C K

 0.; ; /

V D I C J C K

 0.; ; /

V D I K

 0.; ; /

V

; ; 

En los problemas 5 a 8, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P1 y P2.

En los problemas 15 a 20, determine si las dos rectas dadas L1 y L2 son paralelas, sesgadas o se cruzan. Si se cruzan, encuentre el punto de intersección.  ,   X  D  .Y C / D  .Z / ,    .X / D  .Y / D Z   ,   , 

 .X   .X 

/ D Y  D  .Z C / / D  .Y / D  .Z /

 ,   X H  C T ,   X D  C S

Y D  C T Y D  C S

Z H  C T Z D  C S

 0 .; ; /

0 .; ; /

 ,   X D  C T Y D  C T ,   X D  C S Y D  C S

 0 .; ; /

0 .; ; /

 0 .; ; /

0 .; ; /

 ,    .X / D  .Y C / D  .Z /  ,    .X / D  .Y / D  .Z /

 0 .; ; /

0 .; ; /

En los problemas 9 a 14, escriba las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta indicada. 9. Pasa por P(2, 3, −4) y es paralela a v  1, −1, −2.

 ,   X D  C T Y D  C T Z D  T ,   X D  C S Y D  C S Z D  S

En los problemas 21 a 24, escriba una ecuación para el plano con vector normal n que pasa por el punto P.  0.; ; / N ; ; 

10. Pasa por P(2, 5, −7) y Q(4, 3, 8).

 0.; ; /

N

11. Pasa por P(1, 1, 1) y es perpendicular al plano xy.

 0.; ; /

NDIK

12. Pasa por el origen y es perpendicular al plano con ecuación x + y + z  1. 13. Pasa por P(2, −3, 4) y es perpendicular al plano con ecuación 2x − y + 3z  4. 14. Pasa por P(2, −1, 5) y es paralela a la recta con ecuaciones paramétricas x  3t, y  2 + t, z  2 − t.

Z D  C T Z D  C S

; ; 

 0.; ; / N D J

En los problemas 25 a 32, escriba una ecuación del plano indicado. 25. Pasa por P(5, 7 −6) y es paralelo al plano xz. 26. Pasa por P(1, 0, −1) con vector normal n  2, 2, −1. 27. Pasa por P(10, 4, −3) con vector normal n  7, 11, 0.

850

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio !

28. Pasa por P(1, −3, 2) con vector normal n  / 0 29. Pasa por el origen y es paralelo al plano con ecuación 3x + 4y  z + 10 30. Pasa por P(5, 1, 4) y es paralelo al plano con ecuación x + y − 2z  0 31. Pasa por el origen y los puntos P(1, 1, 1) y Q(1, −1, 3) 32. Pasa por los puntos A(1, 0, −1), B(3, 3, 2) y C(4, 5, −1) En los problemas 33 y 34, escriba una ecuación de un plano que contiene tanto al punto P como a la línea L.  0.; ; / , V X D  T Y D  C T Z D  C T  0.; ; / , V X C  T Y D  C T Z D  T En los problemas 35 a 38, determine si la línea L y el plano P se cruzan o son paralelos. Si se cruzan encuentre el (los) punto(s) de intersección.  , X D  T Y D  C T Z D  C T P  X C Y C Z D   , X D  C T Y D  C T Z D  T P  X Y C Z D   , X D  C T Y D  T Z D  C T P  X C Y Z D   , X D  T Y D  T Z D  T P  X C Y Z D  En los problemas 39 a 42, encuentre el ángulo entre los planos con las ecuaciones dadas.  X D  Y X C Y C Z D   X Y C Z D  Y X C Y Z D   X Y Z D  Y X Y Z D   X C Y C Z D  Y X Y Z D  En los problemas 43 a 46, escriba tanto las ecuaciones paramétricas como las ecuaciones simétricas de la línea de intersección de los planos indicados. 43. Los planos del problema 39 44. Los planos del problema 40 45. Los planos del problema 41 46. Los planos del problema 42 47. Escriba las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por P(3, 3, 1) y es paralela a la línea del problema 46. 48. Encuentre una ecuación del plano que pasa por P(3, 3, 1) y es perpendicular a los planos x + y  2z y 2x + z  10. 49. Encuentre una ecuación del plano que pasa por (1, 1, 1) y que interseca al plano xy en la misma línea que lo hace el plano 3x + 2y − z  6. 50. Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 3, −2) y contiene la línea de intersección de los planos x − y + z  1 y x + y − z  1.

51. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos P(1, 0, −1) y Q(2, 1, 0) y es paralela a la línea de intersección de los planos x + y + z  5 y 3x − y  4. 52. Pruebe que las líneas x − 1  ( y + 1)  z − 2 y x − 2   ( y − 2)  (z − 4) se intersecan. Encuentre una ecuación  del [único] plano que contiene a ambas. 53. Pruebe que la línea de intersección de los planos x + 2y − z  2 y 3x + 2y + 2z  7 es paralela a la línea x  1 + 6t, y  3 − 5t, z  2 − 4t. Encuentre la ecuación del plano determinado por estas dos rectas. 54. Demuestre que la distancia perpendicular D del punto P0(x0, y0, z0) al plano ax + by + cz  d es $D

jAX C BY C CZ  Dj : p A  C B C C

[Sugerencia: la recta que pasa por P0 y es perpendicular al plano dado tiene ecuaciones paramétricas x  x0 + at, y  y0 + bt, z  z0 + ct. Sea P1(x1, y1, z1) un punto en esta recta, correspondiente a t  t1, en el cual interseca al plano dado. ! Despeje t1 y luego calcule $ D j0 0 j= En los problemas 55 y 56, utilice la fórmula del problema 54 para encontrar la distancia entre el punto y el plano dados. 55. El origen y el plano x + y + z  10 56. El punto P(5, 12, −13) y el plano con ecuación 3x + 4y + 5z  12 57. Pruebe que cualquier par de líneas sesgadas están en planos paralelos. 58. Use la fórmula del problema 54 para demostrar que la distancia perpendicular D entre dos planos paralelos ax + by + cz + d1  0 y ax + by + cz + d2  0 es jD D j $D p : A  C B C C

59. La línea L1 se describe por las ecuaciones x − 1  2y + 2,

z  4.

La línea L 2 pasa por los puntos P(2, 1, −3) y Q(0, 8, 4). a) Demuestre que L1 y L 2 son líneas sesgadas. b) Use los resultados de los problemas 57 y 58 para encontrar la distancia perpendicular entre L1 y L 2. 60. Encuentre la distancia más corta entre puntos de la recta L1 con ecuaciones paramétricas x  7 + 2t, y  11 − 5t, z  13 + 6t y la recta L 2 que es la intersección de los planos 3x − 2y + 4z  10 y 5x + 3y −2z  15.

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

851

11.5 CURVAS Y MOVIMIENTO EN EL ESPACIO En la sección 9.4 se estudiaron las curvas paramétricas en el plano. Ahora piense en un punto que se mueve a lo largo de una curva en un espacio tridimensional. Podemos describir los cambios de posición del punto mediante las ecuaciones paramétricas X D F .T/;

Y D G.T/;

Z D H.T/



que especifican sus coordenadas como funciones del tiempo t. Una curva paramétrica C en el espacio es (por definición) simplemente una tercia ( f, g, h) de tales funciones de coordenadas. Algunas veces es útil referirse en forma informal a C como la trayectoria en el espacio que traza un punto al moverse con estas funciones de coordenadas. Las curvas en el espacio muestran varios fenómenos nuevos interesantes que no se vieron con las curvas planas. EJEMPLO 1 La figura 11.5.1 muestra un nudo de trébol común en el espacio definido por las ecuaciones paramétricas FIGURA 11.5.1 Un nudo tubular cuya línea central es la curva paramétrica del ejemplo 1.

X.T/ D  C COS  T COS T;

Y.T/ D  C COS  T SEN T;

Z.T/ D SEN  T:

En realidad, para mejorar la apariencia tridimensional de la forma de la curva, se dibujó en la figura una superficie tubular delgada en cuya línea central se encuentra el nudo mismo. El punto de vista para el trazo de la computadora se escogió de manera que vemos la curva hacia abajo desde un punto en el lado positivo del eje z. Z EJEMPLO 2

La figura 11.5.2 muestra simultáneamente la circunferencia X.T/ D  COS T;

Y.T/ D  SENT;

Z.T/  

en el plano xy, la elipse X.T/ D  COS T;

Y.T/  ;

Z.T/ D  SENT

Y.T/ D  COS T;

Z.T/ D  SENT

en el plano xz, y la elipse X.T/  ;

en el plano yz. Nuevamente, se trazó un toro tubular delgado que tiene estas curvas cerradas como línea central. ¿Puede ver que cualquier par de estas curvas no están eslabonadas, pero que las tres juntas aparentemente no se pueden “separar”? Z   

Y 



X

 

 

   Z







FIGURA 11.5.2 Los anillos borromeanos del ejemplo 2.

852

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio Z

Z

4RAYECTORIA H£LICE

Y XY A

Y R X

X Y Z X

FIGURA 11.5.3 Vector de posición r  x, y, z de una partícula moviéndose en el espacio.

FIGURA 11.5.4 El punto del ejemplo 3 se mueve en una trayectoria helicoidal.

Funciones de valores vectoriales El cambio de posición de un punto moviéndose a lo largo de la curva paramétrica en (1) se puede describir mediante un vector de posición R.T/ D X.T/I C Y.T/J C Z.T/K

X.T/; Y.T/; Z.T/ ;



o simplemente r  xi + yj + zk  x, y, z cuyas componentes son las funciones de coordenadas del punto que se mueve (figura 11.5.3). La ecuación (2) define una función de valores vectoriales que asocia al vector r(t) con el número t. En el caso de una curva plana descrita por un vector de posición de dos dimensiones, podemos suprimir la tercera componente de la ecuación (2) y escribir r(t)  x(t)i + y(t)j  x(t), y(t). EJEMPLO 3

El vector de posición r(t)  i cos t + j sen t + tk

(3)

describe la hélice de la figura 11.5.4. Como x + y  cos t + sen t  1 para toda t, la proyección (x(t), y(t)) en el plano xy se mueve continuamente alrededor del círculo unitario. Mientras tanto, como z  t, el punto (cos t, sen t, t) se mueve continuamente hacia arriba en un cilindro vertical en el espacio que está arriba y debajo de la circunferencia x2 + y2  1 en el plano xy. La conocida forma de sacacorchos de la hélice se encuentra en todas partes desde los resortes espirales de un automóvil hasta la doble hélice del modelo molecular del ADN que lleva la información genética de las células vivas (figura 11.5.5). Z 2

2

2

2

Gran parte de los cálculos de funciones (ordinarias) de valores reales se aplican a las funciones de valores vectoriales. Para comenzar, el límite de una función de valores vectoriales r   f, g, h está definido como sigue: FIGURA 11.5.5 Las hélices enlazadas que modelan la molécula del ADN sirvieron de modelo para la torre ADN en Kings Park, Perth, Australia. Encontrará un relato fascinante del descubrimiento y el papel de la hélice como base genética de la vida misma en James D. Watson, The Double Helix (Nueva York: Atheneum, 1968).

L¤M R.T/ H L¤M F .T/; L¤M G.T/; L¤M H.T/

T!A

T!A

T!A

T!A

H I L¤M F .T/ C J L¤M G.T/ C K L¤M H.T/ ; T!A

T!A

T!A



siempre que los límites en las tres últimas expresiones existan. Por lo tanto, tomamos los límites de funciones de valores vectoriales tomando los límites de sus funciones componentes.

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

853

Se dice que r  r (t) es continuo en el número a siempre que

Y

L¤M R.T/ H R.A/

T!A

RTH RT

RTH RT H

RT

Esto equivale a decir que r es continuo en a si y sólo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en a. La derivada r(t) de la función de valor vectorial r(t) está definida casi exactamente como la derivada de una función con valor real. Específicamente,

RTH

R .T/ D L¤M

# X

FIGURA 11.5.6 Geometría de la derivada de una función de valores vectoriales.

Y

RT

T/ R.T/ ; T



siempre que este límite exista. Las figuras 11.5.6 y 11.5.7 sugieren correctamente que el vector derivada R .T/ H

DR H $T TR.T/U DT

será tangente a la curva C con vector de posición r(t). Por esta razón, llamamos a r(t) un vector tangente a la curva C en el punto P correspondiente siempre que r(t) exista y sea diferente de cero ahí. La recta tangente a C en ese punto P con vector de posición r(t) es entonces la recta que pasa por P determinada por r(t). Nuestro siguiente resultado implica el simple pero importante hecho de que el vector derivada r(t) se puede calcular mediante derivación por componentes de r(t) —esto es, derivando en forma separada las funciones componentes de r(t).

#

RaT

X

FIGURA 11.5.7 El vector derivada es tangente a la curva en el punto de evaluación.

R.T C

T!

TEOREMA 1 Suponga que

Derivación por componentes R.T/

F .T/; G.T/; H.T/

F .T/I C G.T/J C H.T/K;

donde f, g y h son funciones derivables. Por lo cual R .T/

F .T/; G .T/; H .T/

F .T/I C G .T/J C H .T/K:



Esto es, si r  xi + yj + zk, entonces DX DY DZ DR D IC J C K: DT DT DT DT Demostración Tomamos el límite dado en la ecuación (5) simplemente tomando los

límites de las componentes. Encontramos que R R.T C T/ R.T/ D L¤M T! T! T T F .T C T/I C G.T C T/J C H.T C T/K F .T/I G.T/J H.T/K D L¤M T! T F .T C T/ F .T/ G.T C T/ G.T/ I C L¤M J D L¤M T! T! T T H.T C T/ H.T/ C L¤M K T! T H F .T/I C G .T/J C H .T/K: X

R .T/ D L¤M

EJEMPLO 4 Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice C del ejemplo 3 en el punto P(−1, 0, π) donde t  π.

Solución Derivando por componentes r(t)  i cos t + j sen t + tk se obtiene r(t)  −i sen t + j cos t + k,

854

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

por lo que el vector tangente a C en P es r(π)  −j + k  0, −1, 1. Deducimos que las ecuaciones paramétricas de la ecuación de la recta tangente en P —con su propio vector de posición r(π) + t r(π)— son x  −1, y  −t, z  π + t. En particular, vemos que esta recta tangente se encuentra en el plano vertical x  −1. Z El teorema 2 dice que las fórmulas para calcular las derivadas de sumas y productos de funciones de valores vectoriales son formalmente similares a las de funciones de valores reales.

TEOREMA 2 Fórmulas de derivación Sean u(t) y v(t) funciones de valores vectoriales derivables. Sea h(t) una función de valores reales derivable y sea c un escalar (constante). Entonces 1. Dt[u(t) + v(t)]  u(t) + v(t), 2. Dt[cu(t)]  cu(t), 3. Dt[h(t)u(t)]  h(t)u(t) + h(t)u(t), 4. Dt[u(t) · v (t)]  u(t) · v(t) + u(t) · v(t) y 5. Dt[u(t) × v (t)]  u(t) × v(t) + u(t) × v(t). Demostración Se probará la parte (4) trabajando con vectores de dos dimensiones por sencillez y se dejarán las otras partes como ejercicios. Si

u(t)   f1(t), f2(t) entonces

y

v(t)  g1(t), g2(t),

u(t) · v(t)  f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t)

Así, la regla del producto para funciones ordinarias de valores reales proporciona

Y RgT

RT

$T TU.T/
V.T/U D $T T F  .T/G .T/ C F  .T/G .T/U H T F  .T/G .T/ C F  .T/G .T/U C T F  .T/G .T/ C F  .T/G .T/U D T F  .T/G .T/ C F  .T/G .T/U C U F  .T/G .T/ C F  .T/G .T/U H U .T/
V.T/ C U.T/
V .T/:

X

0

X

XYA

FIGURA 11.5.8 Vectores de posición y tangente para el círculo del ejemplo 5.

OBSERVACIÓN El orden de los factores en la parte (5) del teorema 2 debe conservarse porque el producto cruz no es conmutativo.

EJEMPLO 5 La trayectoria de la curva paramétrica r(t)  ai cos t + aj sen t es la circunferencia de radio a centrada en el origen en el plano xy. Como r(t) · r(t)  a2, una constante, la parte 4 del teorema 2 da D D   .A  / H TR.T/
R.T/U H R .T/
R.T/ C R.T/
R .T/ C R .T/
R.T/: DT DT  Como r (t) · r(t) ≡ 0, se ve que (consistente con la geometría elemental) el vector tangente r(t) es perpendicular al vector de posición r(t) en cualquier punto de la circunferencia (figura 11.5.8). Z

Vectores velocidad y aceleración Observando la figura 11.5.6 y la definición de r(t) en la ecuación (5), se observa que |r(t + t) − r(t)| es la distancia del punto con vector de posición r(t) al punto con vector de posición r(t + t). Se deduce que el cociente jR.T C T/ R.T/j T es la velocidad promedio de una partícula que se mueve de r(t) a r(t + t) en el tiempo t. En consecuencia, el límite en la ecuación (5) proporciona tanto la dirección de movimiento como la velocidad instantánea de una partícula moviéndose a lo largo de una curva con vector de posición r(t).

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

855

Por lo tanto, definimos el vector velocidad v(t) en el tiempo t de un punto que se mueve a lo largo de una curva con vector de posición r(t) como la derivada A

V.T/ D R .T/ D F .T/I C G .T/J C H .T/KI

usando la notación de derivadas VD

DX DY DZ DR D IC J C K: DT DT DT DT

B

Su vector de aceleración a(t) está dado por A

A.T/ D V .T/ D F .T/I C G .T/J C H .T/KI

de manera alternativa AD

DX DV D Y DZ D  I C  J C  K: DT DT DT DT

B

Así, para el movimiento en el plano o en el espacio, igual que el movimiento en una línea, velocidad es la derivada en el tiempo de la posición; aceleración es la derivada en el tiempo de la velocidad. La rapidez v(t) y la aceleración escalar a(t) de un punto moviéndose son las longitudes de sus respectivos vectores de velocidad y aceleración: 

G.T/ D jV.T/j D

DX DT

A.T/ D jA.T/j D

D X DT 

C

DY DT



C



DZ DT



y C

D Y DT 



C

D Z DT 



:



OBSERVACIÓN La aceleración escalar a |dv/dt| en general no es igual a la derivada dv/dt de la rapidez de un punto que se mueve. La diferencia entre las dos se estudiará en la sección 11.6.

Y

EJEMPLO 6 Una partícula que se mueve en el plano por la parábola y  x2 tiene un vector de posición r(t)  ti + t2 j. Encuentre los vectores de velocidad y aceleración y su rapidez y aceleración escalar en el instante t  2.

V A YX



Solución Ya que r(2)  2i + 4j, la localización de la partícula en el tiempo t  2 es (2, 4). Su vector velocidad y rapidez están dadas por

 

G.T/ D jV.T/j D  C T  ; p entonces v(2)  i + 4j (un vector) y G./ D  (un escalar). Su aceleración es a(t)  v(t)  2j (un vector constante), por lo que a  2j y a  |a|  2 (aceleración escalar) para toda t, incluyendo el instante en que t  2. La figura 11.5.9 muestra la trayectoria de la partícula con sus vectores de velocidad y aceleración, v(2) y a(2) correspondientes a su posición (2, 4) cuando t  2. Z V D I C TJ

X

FIGURA 11.5.9 Vectores de velocidad y aceleración en t  2 (ejemplo 6).

Y

EJEMPLO 7 Encuentre la velocidad, aceleración, rapidez y aceleración escalar de un punto P en movimiento, cuya trayectoria es la hélice con vector de posición r(t)  (a cos ωt)i + (a sen ωt)j + btk

(11)

856

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Solución La ecuación (11) es una generalización del vector de posición r(t)  i cos t + j sen t + tk de la hélice del ejemplo 3. Aquí x2 + y2  a2, por lo que la proyección xy (a cos ωt, a sen ωt) de P está en una circunferencia de radio a con centro en el origen. Esta proyección se mueve alrededor de la circunferencia con una velocidad angular ω (radianes por unidad de tiempo). Al mismo tiempo, el propio punto P también se mueve hacia arriba (si b > 0) en un cilindro vertical de radio a; la componente z de su velocidad es dz/dt  b. Excepto por el radio del cilindro, el trazo se ve igual que la figura 11.5.4. La derivada del vector de posición en (11) es el vector velocidad V.T/ D .A! SEN !T/I C .A! COS !T/J C B K:



Al derivar de nuevo se obtiene el vector aceleración A.T/ D .A! COS !T/I C .A! SEN !T/J D A! .I COS !T C J SEN !T/;



La rapidez del punto que se mueve es una constante, porque G.T/ D jV.T/j D

A  ! C B :

Observe que el vector aceleración es un vector horizontal de longitud aω2. Lo que es más, si se piensa en a(t) como unido a la partícula que se mueve en el tiempo t de la evaluación —de manera que el punto inicial de a(t) es el punto terminal de r(t)— entonces a(t) apunta directamente hacia el punto (0, 0, bt) en el eje z. Z OBSERVACIÓN La hélice del ejemplo 7 es una trayectoria típica de una partícula cargada en un campo magnético constante. Una partícula como esa debe satisfacer tanto la ley de Newton F  ma como la ley de la fuerza magnética F  (qv) × B mencionada en la sección 11.3. Así, sus vectores de velocidad y aceleración deben satisfacer la ecuación (qv) × B  ma (14)

Si el campo magnético constante es vertical, B  Bk, entonces, con el vector de velocidad de la ecuación (12) encontramos que I QV  " H Q A! SEN !T 

J A! COS !T 

K B D QA!".I COS !T C J SEN !T/: "

El vector de aceleración en la ecuación (13) proporciona M A D M A! .I COS !T C J SEN !T/:

Cuando comparamos los dos últimos resultados, observamos que la hélice del ejemplo 7 satisface la ecuación (14) siempre que Q" : QA!" H M A! I ESDECIR ! H M FIGURA 11.5.10 Un electrón girando en espiral en un tubo de rayos catódicos.

Por ejemplo, esta ecuación determinará la velocidad angular ω para la trayectoria helicoidal de electrones (q < 0) en un tubo de rayos catódicos colocado en un campo magnético constante paralelo al eje del tubo (figura 11.5.10).

Integración de funciones de valores vectoriales Las integrales de funciones de valores vectoriales se definen por analogía con la definición de la integral de una función de valores reales: N

B

R.T/ DT D L¤M A

T!

R.TI

T;

IH

donde TI es un punto del i-ésimo subintervalo de una división de [a, b] en n subintervalos, todos de igual longitud t  (b − a)/n

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

857

Si r(t)  f (t)i + g(t)j es continua en [a, b], entonces —Tomando límites por componentes— se obtiene N

B

R.T/ DT D L¤M

T!

A

R.TI

T

IH N

N

F .TI

H I L¤M

T!

T C J L¤M

T!

IH

G.TI

T :

ID

Esto proporciona el resultado B

B

R.T/ DT D I A

B

F .T/ DT C J A



G.T/ DT : A

Así, una función de valores vectoriales se puede integrar por componentes. La versión de tres dimensiones de la ecuación (15) se deriva de la misma forma, sólo que se incluyen las terceras componentes. Ahora suponga que R(t) es una antiderivada de r(t), lo que quiere decir que R(t)  r(t). Esto es, si R(t)  F(t)i + G(t)j, entonces 2 .T/ H & .T/I C ' .T/J D F .T/I C G.T/J D R.T/:

Entonces la integración por componentes proporciona B

B

R.T/ DT D I A

B

F .T/ DT C J

G.T/ DT D I &.T/

A

A

B A

C J '.T/

B A

D T&.B/I C '.B/JU T&.A/I C '.A/JU:

Así, el teorema fundamental del cálculo para funciones de valores vectoriales toma la forma B

B

R.T/ DT D 2.T/

A

A

D 2.B/ 2.A/;



donde R(t)  r(t) es continua en [a, b]. Las integrales indefinidas de funciones de valores vectoriales también se pueden calcular. Si R(t)  r(t), entonces toda antiderivada de r(t) es de la forma R(t) + C para algún vector constante C. Por lo tanto escribimos R.T/ DT D 2.T/ C #

SI 2 .T/ D R.T/;



con base en un cálculo por componentes similar al que llevó a la ecuación (16). Si r(t), v(t) y a(t) son los vectores de posición, velocidad y aceleración de un punto moviéndose en el espacio, entonces las derivadas vectoriales DR DV DT implican las integrales indefinidas

Y

DV DA DT

V.T/ D

A.T/ DT



R.T/ D

V.T/ DT:



Y

Estas dos integrales incluyen un vector constante de integración.

858

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

EJEMPLO 8 Suponga que un punto en movimiento tiene un vector de posición inicial r(0)  2i, vector de velocidad inicial v(0)  i − j y vector de aceleración a(t)  2i + 6t j. Encuentre su posición y velocidad en el tiempo t.

Solución La ecuación (18) proporciona V.T/ D

A.T/ DT D

.I C TJ/ DT D TI C T  J C # ;

Para evaluar el vector constante C1, sustituimos t  0 en esta ecuación y encontramos que v(0)  (0)i + (0)j + C1, entonces C1  v(0)  i − j. Así, el vector de velocidad del punto en movimiento en el tiempo t es v(t)  (2t i + 3t2j) + (i − j)  (2t + 1)i + (3t2 − 1)j. Una segunda integración, usando la ecuación (19), proporciona R.T/ D D

V.T/ DT T.T C /I C .T  /JU DT D .T  C T/I C .T  T/J C # ;

De nuevo sustituimos t  0 y encontramos que C2  r(0)  2i. Entonces r(t)  (t 2 + t)i + (t 3 − t)j + 2i  (t 2 + t + 2)i + (t 3 − t)j Z

es el vector de posición en el tiempo t.

La integración vectorial es la base para al menos un método de navegación. Cuando un submarino navega bajo la capa de hielo del Polo Norte, como en la figura 11.5.11 y por ello no puede utilizar métodos visuales ni de radio para determinar su posición, tiene una alternativa. Construir una combinación de giroscopio-acelerómetro muy sensible e instalarlo en el submarino. Este instrumento mide constantemente el vector de aceleración del submarino, comenzando en el tiempo t  0 cuando se conocen la posición r(0) y la velocidad v(0). Como v(t)  a(t), la ecuación (16) proporciona T

A.T/ DT D V.T/ 

T 

D V.T/ V./;

DEMANERAQUE

T

V.T/ D V./ C

A.T/ DT: 

Así, la velocidad en cualquier tiempo t 0 se conoce. En forma similar, como r(t)  v(t), una segunda integración proporciona T

V.T/ DT

R.T/ D R./ D 

para la posición del submarino en cualquier tiempo t 0. Las computadoras a bordo se pueden programar para llevar a cabo estas integraciones (tal vez usando la aproximación de Simpson) y proporcionar continuamente al capitán y la tripulación la posición y la velocidad (casi) exactas.

V Z

R

Y X

FIGURA 11.5.11 Un submarino abajo de la capa de hielo polar.

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

859

Movimiento de proyectiles Y 4RAYECTORIADE PROYECTIL

Suponga que un proyectil se lanza desde un punto (x0, y0), donde y0 denota su altura inicial arriba de la superficie de la Tierra. Sea α el ángulo de inclinación desde la horizontal de su vector de velocidad inicial v0 (figura 11.5.12). Así, su vector de posición inicial es R D X I C Y J;



A X Y

A

y de la figura 11.5.12 se puede ver que V D .G COS /I C .G SEN /J;

(ORIZONTAL .IVELDELSUELO X

FIGURA 11.5.12 Trayectoria de un proyectil lanzado con un ángulo α.

B

donde v0  |v0| es la velocidad inicial del proyectil. Suponemos que el movimiento tiene lugar suficientemente cerca de la superficie, por lo que podemos suponer que la Tierra es plana y la gravedad perfectamente uniforme. De esta forma, si también ignoramos la resistencia del aire, la aceleración del proyectil es AD

DV D GJ; DT

donde g ≈ 32 ft/s2 ≈ 9.8 m/s2. La antiderivación da v(t)  −gt j + C1. Hacemos t  0 en ambos lados de la última ecuación. Esto demuestra que C1  v0 (¡como se esperaba!) y por ello que V.T/ D

DR D GTJ C V : DT

Otra antiderivación proporciona R.T/ D  GT  J C V T C # :

Al sustituir t  0 se tiene C2  r0, por lo que el vector de posición del proyectil en el tiempo t es R.T/ D  GT  J C V T C R :



Las ecuaciones (20a) y (20b) ahora proporcionan r(t)  [(v0 cos α)t + x0]i + −  gt 2 + (v0 sen α)t + y0 j, por lo que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil son X.T/ D .G COS /T C X ; Y.T/ D

 GT 

C .G SEN /T C Y :

 

EJEMPLO 9 Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1600 ft para pasar directamente arriba de ganado atrapado en tierras rodeadas por nieve, para dejar caer heno que debe aterrizar ahí. La velocidad del avión es constante, 150 mi/h (220 ft/s). ¿A qué ángulo de visión φ (entre la horizontal y la línea directa al blanco) debe lanzarse la paca de heno para que caiga en el blanco?

Solución Vea la figura 11.5.13. Tomamos x0  0 donde se deja caer la paca de heno en el tiempo t  0. Entonces y0  1600 (ft), v0  220 (ft/s) y α 0. Las ecuaciones (22) y (23) toman la forma x(t)  220t,

y(t)  −16t2 + 1600.

De la segunda de estas ecuaciones encontramos que t  10 (s) cuando la paca llega al suelo (y  0). Por lo que su recorrido en distancia horizontal es x(10)  220 · 10  2200 (ft).

860

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio !VI˜N

F 0ACA 



FIGURA 11.5.13 Trayectoria de la paca de heno del ejemplo 9.

Entonces el ángulo de visión requerido es  D TAN

 

  :

Z

EJEMPLO 10 Una pelota se lanza al aire hacia el norte desde el origen en el espacio xyz (el plano xy representa el suelo y el lado positivo del eje y indica el norte). La velocidad inicial (vector) de la pelota es

Z

V D V./ D J C K:

Y .ORTE  X %STE

Un efecto de giro de la pelota causa una aceleración al este de 2 ft/s2 además de la aceleración de la gravedad. Entonces el vector de aceleración producido por la combinación de la gravedad y el giro es

FIGURA 11.5.14 Trayectoria de la pelota del ejemplo 10.

A.T/ H I K:

Primero encuentre el vector de velocidad v(t) de la pelota y su vector de posición r(t). Luego determine donde y con qué rapidez choca la pelota con el suelo (figura 11.5.14).

Solución Cuando antiderivamos a(t) obtenemos V.T/ D

A.T/ DT D

.I K/ DT D TI TK C # :

Sustituimos t  0 para encontrar C1  v0  80j + 80k, por lo que V.T/ D TI C J C . T/K:

Otra antiderivación produce R.T/ D

V.T/ DT D

TTI C J C . T/KU DT

H T  I C TJ C .T T  /K C # ;

y sustituyendo t  0 obtenemos C2  r(0)  0. Así, el vector de posición de la pelota es R.T/ D T  I C TJ C .T T  /K:

La pelota choca con el suelo cuando z  80t − 16t2  0; esto es cuando t  5. Entonces el vector de posición es R./ D  I C 
J D I C J;

SECCIÓN 11.5

Curvas y movimiento en el espacio

861

y la pelota recorre 25 ft al este y 400 ft al norte. Su vector de velocidad al impacto es V./ D 
I C J C . 
/K H I C J K;

por lo que su rapidez al chocar con el suelo es  C  C ./ ;

G./ D jV./j D

aproximadamente 113.58 ft/s. Como la pelota se lanzó con una rapidez inicial v0  p  C   : FTS su aceleración hacia el oeste ha incrementado un poco su rapidez terminal. Z

11.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La figura 11.5.1 muestra un nudo de trébol. 2. El vector de posición r(t)  i cos t + j sen t + tk describe una hélice. 3. Se dice que la función vector r  r(t) es continua en t  a siempre que L¤M R.T/ D R.A/ T!A

Si r(t)   f (t), g(t), h(t) es derivable, entonces r(t)   f (t), g(t), h(t). Si h y u son derivables, entonces Dt[h(t)u(t)]  h(t)u(t) + h(t)u(t). Si u y v son derivables, entonces Dt[u(t) · v(t)]  u(t) · v(t). Si r(t) es el vector de posición de un punto moviéndose en el plano o en el espacio, entonces su vector velocidad es v(t)  r(t). 8. El teorema fundamental del cálculo para funciones de valores vectoriales toma la forma

4. 5. 6. 7.

B

B

R.T/ DT D 2.T/ A

D 2.B/ 2.A/ A

donde R(t)  r(t). 2 9. Si una partícula se mueve en el plano con p vector de posición r(t)  ti + t j, entonces su rapidez en el tiempo t  2 es  10. Si r(t)  f (t)i + g(t)j es continua, entonces B

B

R.T/ DT D I A

B

F .T/ DT C J A

G.T/ DT : A

11.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS En las preguntas 1 a 3, sea f : R → R3 una función de valores vectoriales de una variable real t. En cada pregunta se pide una definición “libre de coordenadas”. Compare su definición con el cálculo o la definición por componentes correspondiente. ¿Está de acuerdo? 1. Ofrezca una definición de L¤M f (t) que no involucre las funciones componentes T!a de f. 2. Proporcione una definición de f (t) que no involucre las funciones componentes de f. 3. Ofrezca una definición de B

F.T/ DT A

que no involucre las funciones componentes de f.

CAPÍTULO 11

862

Vectores, curvas y superficies en el espacio

11.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, también asocie la curva definida ahí con su gráfica tridimensional de las figuras 11.5.15 a 11.5.18. Y  

Y





 R.T/ D . COS T/I C . SEN T/J TK  R.T/ D TI C . SEN T/J . COS T/K



Calcule las integrales en los problemas 17 a 20.





 R.T/ D ET I C ET J C ET K



=



 Z

Z 







 X



X



FIGURA 11.5.15 Y  

Y













Z 

Z 









  X

 

FIGURA 11.5.17

DT

V.T/ D T  I TJ

 U.T/

COS T; SEN T

 U





T; T ; T

V.T/

SEN T; COS T

COS T; SEN T; ET

V

En los problemas 25 a 34, se dan el vector de aceleración a(t), la posición inicial r0  r(0) y la velocidad inicial v0  v(0) de una partícula que se mueve en el espacio xyz. Encuentre su vector de posición r(t) en el tiempo t.  A H  R H I V H K  A D I

 X





R D J

 A.T/ D I K 

FIGURA 11.5.18

1. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x  t, y  sen 5t, z  cos 5t está en el cilindro circular y2 + z2  1 centrado a lo largo del eje x. 2. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x  sen t, y  cos t, z  cos 8t está en el cilindro circular vertical x2 + y2  1. 3. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x  t sen 6t, y  t cos 6t, z  t está en un cono Z D X  C Y  con su vértice en el origen y abierto hacia arriba. 4. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x  cos t sen 4t, y  sen t sen 4t, z  cos 4t está en la superficie de la esfera x2 + y 2 + z2  1. En los problemas 5 a 10, encuentre los valores de r(t) y r(t) para los valores dados de t.  R.T/ D I J T D   R.T/ H T  I T  J T D   R.T/ D ET I C ET J T D   R.T/ D I COS T C J SEN T T D =  R.T/ D I COS T C J SEN T T D =  R.T/ D I COS T C J SEN T T D  En los problemas 1 a 16, se proporciona el vector de posición r(t) de una partícula que se mueve en el espacio. Encuentre sus vectores de velocidad y aceleración así como su rapidez en el tiempo t.  R.T/ D TI C T  J C T  K  R.T/ D T  .I C J K/  R.T/ D TI C ET J C ET K





 U.T/ D TI C T  J



 



IET JTET



En los problemas 21 a 24, aplique el teorema 2 para calcular la derivada Dt[u(t) · v(t)].  U.T/ H TI J V.T/ D I TJ









FIGURA 11.5.16





T  . C T  /= I DT 







 I J DT T

 







E

.I SEN T C J COS T/ DT 

V D K R D 

 A.T/ D I J C K  A.T/ D J TK

R D I 

 A.T/ D TI J C T K 



 A.T/ D TI C T J C T K T

 A.T/ D TI C E J

V D J

R D I

V D J V D K

R D I C J R D I

R D I C J

 A.T/ D I COS T C J SEN T

R D J

 A.T/ D .I SEN T C J COS T/ C K V D I K

V D J K

V D J V D K V D I C K R D I C J

35. Las ecuaciones paramétricas de un punto en movimiento son x(t)  3 cos 2t, y(t)  3 sen 2t, z(t)  8t. Encuentre su velocidad, rapidez y aceleración en el tiempo t  7π/8. 36. Use las ecuaciones en el teorema 2 para calcular Dt[u(t) · v(t)] y Dt[u(t) × v(t)] 2 3 si u(t)  t, t , t  y v(t)  et, cos t, sen t. 37. Verifique la parte 5 del teorema 2 en especial el caso u(t)  0, 3, 4t y v(t)  5t, 0, −4. 38. Pruebe la parte 5 del teorema 2. 39. Un punto se mueve en una esfera con centro en el origen. Demuestre que su vector de velocidad es siempre tangente a la esfera. 40. Una partícula se mueve con rapidez constante a lo largo de una curva en el espacio. Demuestre que sus vectores de velocidad y aceleración son siempre perpendiculares. 41. Encuentre la altura máxima alcanzada por la pelota del ejemplo 10 y también su rapidez en esa altura.

SECCIÓN 11.5

42. El momento angular L(t) y el torque τ(t) de una partícula en movimiento de masa m con vector de posición r(t) están definidos como L(t)  r(t) × mv(t), τ(t)  r(t) × ma(t),  Demuestre que L (t)  τ(t). Se deduce que L(t) debe ser una constante si τ ≡ 0; ésta es la ley de conservación del momento angular. Los problemas 43 a 48 tratan de un proyectil disparado desde el origen (así, x0  y0  0) con velocidad inicial v0 y ángulo de inclinación inicial α. El alcance o rango del proyectil es la distancia horizontal que recorre antes de regresar al suelo. 43. Si α  45°, ¿qué valor de v0 da un alcance de 1 mi? 44. Si α  60° y el alcance es R  1 mi, ¿cuál es la altura máxima lograda por el proyectil? 45. Deduzca de las ecuaciones (22) y (23) el hecho que el rango es 2D

  G  

SEN  COS :

46. Dada la velocidad inicial v0, encuentre el ángulo α que maximiza el alcance. [Sugerencia: use el resultado del problema 45.] 47. Suponga que v0  160 (ft/s). Encuentre la altura máxima ymáx y el rango R del proyectil si a) α  30°; b) α  45°; c) α  60°. 48. El proyectil del problema 47 debe dispararse a un blanco a 600 ft de distancia y hay una colina de 300 ft de altura a mitad del camino entre el sitio de disparo y el blanco. ¿Con que ángulo de inclinación inicial se debe disparar el proyectil? 49. Un proyectil debe dispararse desde la orilla de un acantilado de 100 m a un blanco localizado a 1 km de la base del acantilado. ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del proyectil? (Use g  9.8 m/s2.) 50. Una bomba se deja caer (velocidad inicial cero) desde un helicóptero suspendido a una altura de 800 m. Un proyectil se dispara desde un punto en el suelo 800 m al oeste del punto directamente abajo del helicóptero. Se supone que el proyectil debe interceptar a la bomba a una altura exacta de 400 m. Si el proyectil se dispara al mismo tiempo que se deja caer la bomba, ¿cuáles deben ser su velocidad inicial y su ángulo de inclinación? 51. Suponga, de manera más realista, que el proyectil del problema 50 se dispara 1 s después de que se deja caer la bomba. ¿Cuáles deben ser su velocidad inicial y su ángulo de inclinación? 52. Un cañón de artillería con una velocidad de salida de 1000 ft/s se localiza en un acantilado de 500 ft de altura a la orilla del mar. ¿Con que ángulo (o ángulos) de inclinación se debe disparar un proyectil para dar en el blanco de un barco en el mar a 20,000 ft de la base del acantilado? 53. Suponga que las funciones de valores vectoriales u(t) y v(t) tienen límites cuando t → a. Demuestre: A L¤M.U.T/ C V.T// D L¤M U.T/ C L¤M V.T/ T!A

T!A

T!A

Curvas y movimiento en el espacio

55. Un punto se mueve con rapidez constante, lo que significa que su vector de velocidad satisface la condición |v|2  v · v  C (una constante). Derive esta relación para descubrir la relación entre la velocidad del punto en movimiento y los vectores de velocidad y aceleración. 56. Una partícula se mueve en una circunferencia cuyo centro está en el origen. Utilice el producto punto para demostrar que los vectores de posición y de velocidad del punto en movimiento son siempre perpendiculares. 57. Una partícula se mueve en la hipérbola x2 − y2  1 con vector de posición r(t)  i cosh ωt + j senh ωt (el número ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración a(t) satisface la ecuación a(t)  cr(t), donde c es una constante positiva. ¿Qué clase de fuerza externa producirá este tipo de movimiento? 58. Suponga que una partícula se mueve en la elipse X Y C D A B con vector de posición r(t)  ia cos ωt + jb sen ωt (ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración a satisface la ecuación a(t)  cr(t), donde c es una constante negativa. ¿A qué clase de fuerza externa F(t) corresponde este movimiento? 59. Un punto se mueve en un plano con un factor de aceleración constante a  aj. Pruebe que su trayectoria es una parábola o una línea recta. 60. Suponga que una partícula no está sujeta a una fuerza, de modo que su vector de aceleración a(t) es idénticamente cero. Pruebe que la partícula viaja a lo largo de una línea recta con velocidad constante (primera ley de movimiento de Newton). 61. Movimiento circular uniforme Considere una partícula que se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj en una circunferencia con centro (0, 0) y radio r a una velocidad angular constante de ω radianes por segundo (figura 11.5.19). Si su posición inicial es (r, 0), entonces su vector de posición es r(t)  i r cos ωt + j r sen ωt. a) Demuestre que el vector de velocidad de la partícula es tangente a la circunferencia y que su rapidez es v(t)  |v(t)|  rω. b) Demuestre que el vector aceleración a de la partícula tiene dirección opuesta a r y que a(t)  |a(t)| rω2. V

0RCOSW T RSENW T A

WT R 

B L¤M.U.T/
V.T// D L¤M U.T/
L¤M V.T/  T!A

T!A

T!A

54. Suponga que la función de valores vectoriales r(t) y la función de valores reales h(t) son ambas derivables. Deduzca la regla de la cadena para las funciones de valores vectoriales, Dt[r(h(t))]  h(t)r(h(t)), por componentes a partir de la regla de la cadena ordinaria.

863

FIGURA 11.5.19 Movimiento circular uniforme (problema 61).

864

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

62. Suponga que una partícula se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza central R  kr, donde k es una función escalar de x, y y z. Concluya que la trayectoria de la partícula está en un plano fijo que pasa por el origen. 63. Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 160 ft/s. La pelota experimenta una aceleración gravitacional hacia abajo de 32 ft/s2. Debido al efecto giratorio también experimenta una aceleración (horizontal) hacia el norte de 0.1 ft/s2; el aire no tiene afecto en su movimiento. ¿Qué tan al norte de su punto de lanzamiento, caerá la pelota al suelo? 64. Se golpea una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 96 ft/s y un ángulo de inclinación de 15° con el suelo, a lo largo de la línea de falta. Por su rotación, la pelota experimenta una aceleración horizontal de 2 ft/s2 perpendicular a la línea de falta; de otra manera el aire no tiene efecto alguno sobre su movimiento. Cuando la pelota llega al suelo, ¿qué tan lejos está de la línea de falta? 65. Un proyectil se dispara hacia el norte (en la dirección positiva del eje y) y al mar desde la parte alta de un acantilado de 384 ft de altura. El vector de velocidad inicial del proyectil es v0  200j + 160k. Además de la aceleración gravitacio-

nal hacia abajo (dirección negativa de z) de 32 ft/s2, experimenta en vuelo una aceleración al este (dirección positiva de x) de 2 ft/s2 debida a su giro. a) Encuentre los vectores de velocidad y posición del proyectil t segundos después de que se dispara. b) ¿Cuánto tiempo está el proyectil en el aire? c) ¿Dónde llega el proyectil al agua (z  0)? Proporcione la respuesta diciendo qué tan al norte dentro del mar y qué tan al este, a lo largo de la costa está su posición de impacto. d) ¿Cuál es la altura máxima del proyectil por encima del agua? 66. Un cañón dispara una bala con una velocidad de salida de 150 m/s. Cuando la bala está en el aire, experimenta una aceleración gravitacional hacia abajo (vertical) de 9.8 m/s2 y una aceleración de Coriolis hacia el este (horizontal) de 5 cm/s2; la resistencia del aire se puede ignorar. El blanco se encuentra a 1500 m hacia el norte y tanto el cañón como el blanco están al nivel del suelo. A mitad del camino entre ellos hay una colina de 600 m de altura. Diga exactamente cómo apuntar el cañón —rumbo de la brújula e inclinación respecto a la horizontal— para que la bala libre la colina e impacte el blanco.

11.5 INVESTIGACIÓN: ¿un lanzador de béisbol realmente lanza una curva? Y

FT -ONT¤CULO DELLANZADOR

0LATODE HOME

X

FIGURA 11.5.20 El eje x está dirigido al plato de “home”.

¿Se han preguntado alguna vez si en el béisbol realmente se lanza “una curva” o si esto es sólo una ilusión óptica? En este proyecto utilizaremos cálculo para aclarar el asunto. Suponga que el lanzador envía un pelota hacia “home” (a 60 ft de distancia, como en la figura 11.5.20) y le da una giro de S revoluciones por segundo en sentido contrario a las manecillas del reloj (visto desde arriba) alrededor de un eje vertical por el centro de la pelota. Este giro se describe con el vector de giro S dirigido a lo largo del eje de revolución en la dirección de la mano derecha y tiene una longitud S (figura 11.5.21). Se sabe, por estudios de aerodinámica, que este giro da lugar a diferencias de la presión del aire en los lados de la pelota hacia y alejándose de este giro. Los estudios también demostraron que esta diferencia de presión genera una aceleración de giro aS  cS × v

(1)

de la pelota (donde c es una constante empírica). La aceleración total de la pelota será entonces

3

a  (cS × v) − gk,

(2)

donde g ≈ 32 ft/s es la aceleración gravitacional. Se ignorará cualquier otro efecto debido a la resistencia del aire. Con el vector de giro S  Sk apuntando hacia arriba, como en la figura 11.5.21, demuestre primero que 2

V

FIGURA 11.5.21 Vectores de giro y de velocidad.

S × v  −Svyi + Svx j,

(3)

donde vx es la componente de v en la dirección x y vy es la componente de v en la dirección y. Para una pelota lanzada a lo largo del eje x, vx es mucho mayor que vy, por lo que la aproximación S × v  Svx j es suficientemente precisa para nuestros fines. Entonces podemos tomar el vector de aceleración de la pelota como a  cSvx j − gk.

(4)

Ahora suponga que el lanzador lanza la pelota desde la posición inicial x0  y0  0, z0  5 (ft), con el vector de velocidad inicial v0  120i − 2j + 4k

(5)

SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 865

(con las componentes en pies por segundo, entonces v0 ≈ 120 ft/s, aproximadamente rev/s. Un valor razonable de c es 82 mi/h) y con un giro de 3 D   c  0.005 ft/s2 por ft/s de velocidad y rev/s de giro, aunque el valor preciso depende de si el lanzador (accidentalmente, desde luego) raspó la pelota o le agregó alguna sustancia extraña. Demuestre primero que estos valores de los parámetros dan a  16j −32k para el vector de aceleración de la pelota. Luego integre dos veces sucesivas para obtener el vector de posición r(t)  x(t)i + y(t)j + z(t)k. Utilice sus resultados para llenar la siguiente tabla, dando la deflexión horizontal de la pelota lanzada y la altura z (arriba del suelo) en intervalos de un cuarto de segundo T S

X FT

Y FT

Z FT

: : :

  

  

  

Suponga que el bateador obtiene una “idea fija” del lanzamiento observando la pelota durante el primer cuarto de segundo y se prepara para batear. ¿Después de 0.25 s todavía se ve el lanzamiento directo al plato de “home” a una altura de 5 ft? ¿Qué pasa con la pelota durante el cuarto de segundo final de su aproximación al plato de “home”, después de que el bateador ha iniciado su movimiento con el bat? ¿Cuáles fueron las deflexiones horizontales y verticales de la pelota durante este breve periodo? ¿Cuál es su conclusión? ¿La pelota lanzada es realmente “curva” o no?

11.6 CURVATURA Y ACELERACIÓN La velocidad de un punto en movimiento está estrechamente relacionada con la longitud de arco de su trayectoria. La fórmula de longitud de arco para curvas paramétricas en el espacio (o curvas espaciales) es una generalización natural de la fórmula para curvas paramétricas planas [ecuación (8) de la sección 9.5]. La longitud de arco s a lo largo de una curva suave con vector de posición r(t)  f (t)i + g(t)j + h(t)k  xi + yj + zk

(1)

del punto r(a) al punto r(b) es, por definición, Z B

TX .T/U C TY .T/U C TZ .T/U DT

SD A B

4RAYECTORIA (£LICE

Y

H A



DX DT

C

FIGURA 11.6.1 Hélice del ejemplo 1.



C

DZ DT



DT:



De la ecuación (9) en la sección 11.5 se ve que el integrando es la velocidad v(t)  |r(t)| del punto en movimiento con vector de posición r(t), entonces B

XY A X

DY DT

SD



G.T/ DT: A

EJEMPLO 1 Encuentre la longitud de una vuelta (de t  0 a t  2π/ω) de la hélice que aparece en la figura 11.6.1. La hélice tiene ecuaciones paramétricas f (t)  a cos ωt,

y(t)  a sen ωt,

z(t)  bt.

866

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Solución En el ejemplo 7 de la sección 11.5 se encontró que G.T/ D

A  ! C B ;

Así, la ecuación (3) proporciona =!

A  ! C B DT D

SD 

 !

A  ! C B :

Por ejemplo, si a  b  ω  1, entonces s  2π , la cual es rencia del círculo en el plano xy donde la hélice se asienta.

veces la circunfeZ

Sea s(t) la longitud de arco a lo largo de una curva suave del punto inicial r(a) al punto variable r(t). Entonces, de la ecuación (3), obtenemos la función de longitud de arco s(t) de la curva: T

S.T/ D



G. / D: A

El teorema fundamental del cálculo proporciona DS D G: DT

Z

XS YS ZS S

Y



Así, la velocidad del punto en movimiento es la tasa de cambio en el tiempo de su función de longitud de arco. Si v(t) > 0 para toda t, se deduce que s(t) es una función creciente de t y por consiguiente tiene una función inversa t(s). Cuando se reemplaza t con t(s) en las ecuaciones paramétricas de la curva original, se obtiene la parametrización de la longitud de arco X D X.S/;

Y D Y.S/;

Z D Z.S/:

X

FIGURA 11.6.2 Curva parametrizada por la longitud de arco s.

Esto proporciona la posición del punto en movimiento como una función de la longitud de arco medida a lo largo de la curva desde su punto inicial. (Vea la figura 11.6.2.) EJEMPLO 2 Si tomamos a  5, b  12 y ω  1, para la hélice del ejemplo 1, entonces la fórmula de velocidad v  (a2ω2 + b2)1/2 proporciona p G D 
 C  D  D : Así, la ecuación (5) da ds/dt  13, de manera que s  13t, tomando s  0 cuando t  0 y con ello midiendo la longitud de arco desde el punto inicial natural (5, 0, 0). Cuando sustituimos t  s/13 y los valores numéricos para a, b y ω en las ecuaciones paramétricas originales de la hélice, obtenemos la parametrización de longitud de arco S S S Y.S/ D  SEN ; Z.S/ D X.S/ D  COS ;    de la hélice. Z

#URVATURA GRANDE

Curvatura de curvas planas

#URVATURA CERO

#URVATURA PEQUE®A

FIGURA 11.6.3 Idea intuitiva de la curvatura.

La palabra curvatura tiene un significado intuitivo que debemos precisar. La mayor parte de la gente está de acuerdo que una línea recta no se curva, mientras que una circunferencia de radio pequeño es más curva que una circunferencia de radio grande (figura 11.6.3). Este discernimiento puede basarse en una concepción de la curvatura como “la tasa de cambio de la dirección”. La dirección de una curva está determinada por su vector velocidad, por lo que puede esperarse que la idea de curvatura tenga que ver con la tasa a la que el vector velocidad da vuelta.

SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 867

Sea r(t)  x(t)i + y(t)j, a .

4

4.T/ D S RT RA X

FIGURA 11.6.4 Vector unitario tangente T.

V.T/ V.T/ D ; jV.T/j G.T/

3 1 0

FIGURA 11.6.5 La curvatura es grande en P y R, y pequeña en Q y S.

(6)



donde v(t)  |v(t)| es la rapidez. Ahora denote como φ el ángulo de inclinación de T, medido al contrario de las manecillas del reloj, desde el lado positivo del eje x (figura 11.6.4). Entonces T  i cos φ + j sen φ.

(8)

Podemos expresar el vector unitario tangente T de la ecuación (8) como una función de los parámetros de longitud de arco s indicados en la figura 11.6.4. Por lo cual, la tasa a la cual T da vuelta se mide por la derivada D 4 D D D4 D
D .I SEN  C J COS / :  DS D DS DS Observe que D4 D  D DS DS porque el vector dentro de los paréntesis en el lado derecho de la ecuación (9) es un vector unitario. La curvatura en un punto de una curva plana, denotado por κ (letra griega kapa, minúscula) está por lo tanto definida como D

2

b

el vector de posición de una curva plana derivable que es suave (lo que significa que el vector de velocidad v(t)  r(t) es diferente de cero). Así, el vector unitario tangente de la curva en el punto r(t) es el vector unitario

F

Y

t

D ; DS



el valor absoluto de la razón de cambio del ángulo φ respecto a la longitud de arco s. Definimos la curvatura κ en términos de dφ/ds en lugar de dφ/dt, porque esta última depende no sólo de la forma de la curva sino también de la velocidad del punto en movimiento r(t). Para una línea recta el ángulo φ es una constante, de modo que la curvatura dada por la ecuación (11) es cero. Si se imagina un punto moviéndose con una velocidad constante a lo largo de la curva, la curvatura es mayor en puntos donde φ cambia más rápidamente, como en los puntos P y R en la curva de la figura 11.6.5. La curvatura es menor en puntos como Q y S, donde los cambios en φ son menos rápidos. Necesitamos obtener una fórmula que sea efectiva para calcular la curvatura de una curva parámetrica plana suave x  x(t), y  y(t). Primeramente observe que DY Y .T/  D TAN D TAN DX X .T/ siempre que x(t) H 0. Por lo que Y X YX D D  C DT .X /

Y X



D

X Y X Y ; .X / C .Y /

donde las primas denotan derivadas respecto a t. Como v  ds/dt > 0, la ecuación (11) lleva a  D D D DT
D D D I DS DT DS G DT ENTONCES D

jX Y X Y j jX Y X Y j D :   = T.X / C .Y / U G



868

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

En un punto donde x(t)  0, sabemos que y(t) H 0, porque la curva es suave. Entonces obtendremos el mismo resultado si comenzamos con la ecuación φ  cot−1(x/y). Una curva y  f (x), descrita explícitamente, puede verse como una curva paramétrica x  x, y  f (x). Entonces x  1 y x  0, y la ecuación (12) —con x en lugar de t como parámetro— se convierte en D

jY j jD  Y/D X  j D : T C .Y / U= T C .DY=D X/ U=



EJEMPLO 3 Demuestre que la curvatura en cada punto de una circunferencia de radio a es κ  1/a.

Solución Con la parametrización conocida x  a cos t, y  a sen t de una circunferencia centrada en el origen, donde las primas denotan las derivadas respecto a t se tiene X D A SEN T; X D A COS T;

Y D A COS T; Y D A SEN T:

Con lo que la ecuación (12) proporciona D

j.A SEN T/.A SEN T/ .A COS T/.A COS T/j A  D  D :   = T.A SEN T/ C .A COS T/ U A A

De manera alternativa, pudimos usar la ecuación (13). En este caso, el punto de partida sería la ecuación x2 + y2  a2 de la misma circunferencia, y habríamos calculado y y Z y por derivación implícita. (Vea el problema 27.) De inmediato se deduce de las ecuaciones (8) y (9) que D4 D ; 4q DS de modo que el vector unitario tangente T y su vector derivada d T/ds son perpendiculares. Si |d T/ds| H 0, entonces el vector unitario N que señala la dirección de d T/ds se llama vector normal unitario principal de la curva. Como κ  |dφ/dt|  |d T/ds| por la ecuación (10) se deduce que D4 D .: DS

# .

R 4 0

/

FIGURA 11.6.6 La circunferencia osculadora, el radio de curvatura y el centro de curvatura.



Intuitivamente, N es el vector unitario normal a la curva que apunta en la dirección en que se dobla la curva. Suponga que P es un punto en una curva parametrizada en la cual κ H 0. Considere que la circunferencia que es tangente a la curva en P tiene la misma curvatura. El centro de la circunferencia se localiza en el lado cóncavo de la curva, esto es, en el lado hacia el que se dirige el vector unitario N. Esta circunferencia se llama osculada (o círculo de curvatura) de la curva en el punto dado porque toca ahí la curva en forma muy cercana. (Osculum es la palabra en latín para beso). Sea ρ el radio del círculo de ! curvatura y sea γ  / # el vector de posición de su centro C (figura 11.6.6). Entonces ρ se llama radio de curvatura de la curva en el punto P y γ se llama (vector) centro de curvatura de la curva en P. El ejemplo 3 implica que el radio de curvatura es   D ;  y el hecho de que |N|  1 implica que el vector de posición del centro de curvatura es

D R C .

!

.R H / 0 /:



EJEMPLO 4 Determine los vectores T y N, la curvatura κ y el centro de curvatura de la parábola y  x2 en el punto (1, 1).

SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 869

Solución Si se parametriza la parábola con x  t, y  t 2, entonces elpvector de posición es r(t)  t i + t 2j, por lo que v(t)  i + 2tj. La rapidez es G.T/ D  C T  y la ecuación (7) lleva a I C TJ V.T/ Dp 4.T/ D : G.T/  C T  Al sustituir t  1, encontramos que el vector unitario tangente a (1, 1) es   4 D p I C p J:  

Como la parábola es cóncava hacia arriba en (1, 1), el vector normal unitario principal es el vector unitario dirigido hacia arriba   . D p I C p J   que es perpendicular a T. (Observe que T · N  0.) Si y  x2, entonces dy/dx  2x y d 2y/dx2  2, de modo que la ecuación (13) da jY j  D H :  = T C .Y / U . C X  /=

Entonces en el punto (1, 1) se encuentra que la curvatura y el radio de curvatura son p    D p ; Y D   

Y YX



respectivamente. Luego, la ecuación (16) da el centro de curvatura como p      ; 

p ; p D ; :    

    

 

 











FIGURA 11.6.7 Circunferencias osculadoras para la parábola del ejemplo 4.

X

La ecuación de la circunferencia osculadora a la parábola en (1, 1) es, por lo tanto, .X C / C Y

  

D  D

 : 

La figura 11.6.7 muestra esta circunferencia osculadora grande en el punto (1, 1), así como las circunferencias osculadoras más pequeñas que son tangentes a la parábola en Z los puntos .; / .  ;  /Y.  ;  / ¿Es claro cuál de estas circunferencias es cuál?

Curvatura de curvas en el espacio Considere ahora una partícula que se mueve en el espacio con un vector de posición r(t) doblemente derivable. Suponga que el vector de velocidad v(t) nunca es cero. El vector tangente unitario en el tiempo t está definido, como antes, por V.T/ V.T/ D ;  4.T/ D jV.T/j G.T/ ENTONCES V D G4:



Definimos la curvatura de una curva plana como κ  |dφ/ds|, donde φ es el ángulo de inclinación de T con el lado positivo del eje x. Para una curva en el espacio, no hay un sólo ángulo que determina la dirección de T, de manera que adoptamos la siguiente aproximación (que lleva al mismo valor de curvatura cuando se aplica a una curva en el espacio que sucede que está contenida en el plano xy). Derivando la identidad T · T  1 respecto a la longitud de arco s obtenemos D4 D : 4q DS Se deduce que los vectores T y d T/ds son siempre perpendiculares.

870 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Entonces definimos la curvatura κ de la curva en el punto r(t) como .

D

4 RT

 D4 D4 D 4 DT D D : DS DT DS G DT



En un punto donde κ H 0, definimos el vector normal unitario principal como .D

 D4 D 4=DS H ; jD 4=DSj  DS



DEMANERAQUE

FIGURA 11.6.8 El vector normal unitario principal N señala la dirección en la que la curva se da vuelta.

D4 D .: DS



La ecuación (21) muestra que N tiene la misma dirección que d T/ds (figura 11.6.8) y la ecuación (20) muestra que N es un vector unitario. Debido a que la ecuación (21) es la misma que la (14), se ve que estas definiciones de κ y N están de acuerdo con las dadas antes en el caso de dos dimensiones. EJEMPLO 5 Calcule la curvatura κ de la hélice del ejemplo 1, la hélice con ecuaciones paramétricas x(t)  a cos ωt,

y(t)  a sen ωt,

z(t)  bt.

Solución En el ejemplo 7 de la sección 11.5, se calculó el vector de velocidad v  i(−aω sen ωt) + j(aω cos ωt) + bk y la rapidez G D jVj D

A  ! C B :

Así, la ecuación (17) proporciona el vector tangente unitario 4D

I.A! SEN !T/ C J.A! COS !T/ C BK V D : p G A  ! C B

0ORLOCUAL D4 I.A! COS !T/ C J.A! SEN !T/ ; D p DT A  ! C B

de modo que la ecuación (19) da D

 D4 A! D   G DT A ! C B

para la curvatura de la hélice. Observe que la hélice tiene una curvatura constante. También que, si b  0 (con lo que la hélice se reduce a una circunferencia de radio a en el plano xy), el resultado se reduce a κ  1/a, que está de acuerdo con el cálculo de la curvatura de la ciecunferencia en el ejemplo 3. Z

Componentes normal y tangencial de la aceleración Podemos aplicar la ecuación (21) para analizar el significado del vector de aceleración de una partícula que se mueve con un vector de velocidad v y una rapidez v. Entonces la ecuación (17) da v  vT, por lo que la aceleración de la partícula es AD

DG D4 DG D 4 DS DV D 4CG D 4CG : DT DT DT DT DS DT

Pero ds/dt  v, y la ecuación (21) da AD

DG 4 C G  .: DT



SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 871

Como T y N son los vectores unitarios tangente y normal a la curva, respectivamente, la ecuación (22) proporciona una descomposición del vector de aceleración un sus componentes tangente y normal a la trayectoria. La componente tangencial

A4 D DT

A4 D 4

DG DT

es la tasa de cambio de la rapidez de la partícula, mientras que la componente normal

A . A. K



A . D G  D



G 



mide la tasa de cambio de la dirección de movimiento. La descomposición a  aTT + aNN

FIGURA 11.6.9 Resolución del vector de aceleración a en sus componentes tangencial y normal.

(25)

se ilustra en la figura 11.6.9. Como aplicación de la ecuación (22) piense en un tren que se mueve a lo largo de una vía recta con una rapidez constante v, de modo que aT  0  aN (este último porque κ  0 para una recta). Suponga que en el tiempo t  0, el tren entra a una curva circular con radio ρ. En ese instante, el tren estará repentinamente sujeto a una aceleración normal de magnitud v2/ρ, proporcional al cuadrado de la rapidez del tren. Un pasajero en el tren experimentará un jalón hacia un lado. Si v es grande, la tensión puede ser suficientemente grande para dañar las vías o descarrilar el tren. Es justo por esta razón que las vías de ferrocarril no se construyen con curvas en forma de arcos de circunferencias sino con curvas de aproximación en las cuales la curvatura, y por ende la aceleración normal, se incrementan suavemente. EJEMPLO 6

Una partícula se mueve en el plano xy con ecuaciones paramétricas X.T/ D  T  ;

Y.T/ D  T  :

Encuentre las componentes tangencial y normal de su vector de aceleración cuando t  1.

Solución La trayectoria y los vectores N y T aparecen en la figura 11.6.10. N y T aparecen en el punto de evaluación, donde t  1. La partícula tiene vector de posición R.T/ D  T  I C  T  J

Y 4 .

y entonces la velocidad

  

V.T/ D TI C T  J:

Por ello la rapidez es X  T Y  T

G.T/ D X

FIGURA 11.6.10 Partícula en movimiento del ejemplo 6.

T  C T  ;

a partir de la cual calculamos A4 D

DG T C T  : Dp DT T  C T 

Entonces v  5 y A4 D  cuando t  1.  Para usar la ecuación (12) para calcular la curvatura en t  1, calculamos dx/dt  3t, dy/dt  4t 2, d 2x/dt 2  3 y d 2y/dt 2  8t. Entonces en t  1 tenemos H

jX Y X Y j j
 
j  D D :   G  

!S¤ A . D G  D

 


 H

 

cuando t  1. Como verificación (problema 28), podría calcular T y N cuando t  1 y verificar que  4 

C

 . 

D A D I C J:

Z

872 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Resta entender cómo calcular aT, aN y N en forma efectiva para una curva en el espacio. Sería preferible tener fórmulas que contengan explícitamente sólo los vectores r, v y a, Si calculamos el producto punto de v  vT con la aceleración a dada en la ecuación (22) y usamos los hechos de que T · T  1 y T · N  0, obtenemos V
A H G4


DG DG 4 C .G4/
.G  ./ H G : DT DT

3EDEDUCEQUE A4 H

V
A R .T/
R .T/ DG H H : DT G jR .T/j



De manera similar, al calcular el producto cruz de v  vT con cada lado de la ecuación (22), encontramos que DG V  A D G4  4 C .G4  G  ./ D G  .4  ./: DT Como κ y v son no negativas y como T × N es un vector unitario, podemos concluir que D

jV ˜ Aj jR .T/ ˜ R .T/j D : G jR .T/j



Ahora de la ecuación (24) tenemos que A. D

jR .T/ ˜ R .T/j : jR .T/j



Con frecuencia no es tan sencillo calcular la curvatura de una curva en el espacio directamente de la definición, como vimos en el caso de la hélice del ejemplo 5. En general es más conveniente utilizar la ecuación (27). Una vez calculados a, T, aT y aN podemos rescribir la ecuación (25) como .D

A A4 4 A.



para encontrar el vector normal unitario principal. EJEMPLO 7 Calcule T, N, κ, aT y aN en el punto .;  ;  / de una cúbica en espiral con ecuaciones paramétricas X.T/ D T;

Y.T/ D  T  ;

Z.T/ D  T  :

Solución Derivando el vector de posición R.T/ D T;  T  ;  T  SETIENE R .T/

; T; T 

Y

R .T/

; ; T :

Cuando sustituimos t  1, obtenemos V./

; ; 

p G./ D jV./j D  ; ;  A./

VELOCIDAD RAPIDEZ Y ACELERACI˜N

en el punto .;  ;  /. Así, la ecuación (26) proporciona la componente tangencial de la aceleración: p  Vq A A4 D D p D : G 

SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 873

Debido a que I V˜ A D   Y  

 

La componente normal de la aceleración es aN  κ v2  /

 X

; ;  ;

p p jV ˜ Aj   H H p  H :  G   #



K  

la ecuación (27) proporciona la curvatura:



Z  

J  



4D

0

 V D p ; ;  G 

. El vector unitario tangente es

ICJCK : p 

Por último, la ecuación (29) da





FIGURA 11.6.11 La circunferencia osculadora de la cúbica en espiral del ejemplo 7. Está graficada como la curva paramétrica con vector de posición ! R.T/ D /# .A COS T/. C .A SEN T/4

.D

 A A4 4 D p . ; ;  A. 

 ; ;  / D p 

; ; 

I C K p : 

La figura 11.6.11 muestra la cúbica pen espiral y su circunferencia osculadora en el punto P, cuyo radio es A D = D   y su centro C tiene un vector de posición !

!

/# D / 0 C A.

 ;  ;   

Z

Newton, Kepler y el sistema solar 0 0 0 0

¬REASIGUALES ENTIEMPOSIGUALES

FIGURA 11.6.12 La ley de Kepler implica que las áreas sombreadas son iguales si los tiempos en que el planeta recorre los segmentos de su órbita P1P2 y P3P4 son iguales.

Como se resumió al principio de este capítulo, la apreciación moderna de nuestro sistema solar se remonta a la formulación de Johannes Kepler (1571-1630) de las siguientes tres proposiciones, que ahora se conocen como las leyes de Kepler de movimiento planetario. 1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. 2. El vector radio desde el Sol a un planeta barre el área con una tasa constante. 3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita elíptica. La figura 11.6.12 ilustra la segunda ley de Kepler. Si un planeta recorre los tramos P1P2 y P3P4 de su órbita en tiempos iguales, entonces las áreas de los sectores elípticos sombreados SP1P2 y SP3P4 son iguales. Newton en su Principia Mathematica (1687), utilizó una poderosa, aunque ahora anticuada, forma de cálculo geométrico para demostrar que las leyes de Kepler se pueden obtener de los principios básicos de mecánica (F  ma, etcétera) y la ley del inverso del cuadrado de la atracción gravitacional. En lo que queda de la sección se utilizará el cálculo moderno de funciones con valores vectoriales para bosquejar la relación entre las leyes de Newton y las leyes de Kepler.

Componentes radial y transversal de la aceleración Y

UQ T UR T RT Q T

Para comenzar, se establecerá un sistema de coordenadas en el cual el Sol se localiza en el origen en el plano de movimiento de un planeta. Sean r  r(t) y θ  θ(t) las coordenadas polares del planeta en el tiempo t mientras orbita el Sol. Queremos primero separar los vectores de posición del planeta, de velocidad y aceleración r, v y a en sus componentes radial y transversal. Para hacerlo, introducimos en cada punto (r, θ) del plano (excepto en el origen) los vectores unitarios ur  i cos θ + j sen θ,

X

FIGURA 11.6.13 Vectores unitarios radial y transversal, ur y u θ.

u θ  −i sen θ + j cos θ.

(30)

Si sustituimos θ  θ(t), entonces ur y u θ se convierten en funciones de t. El vector unitario radial ur, siempre apunta directamente hacia afuera del origen; el vector unitario transversal u θ se obtiene de ur con una rotación de 90° al contrario de las manecillas del reloj (figura 11.6.13).

874 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

En el problema 66 se pide que se verifique, usando derivación por componentes de la ecuación (30), que D D DU  DU R  D U Y D U R : DT DT DT DT El vector de posición r apunta directamente afuera del origen y tiene longitud |r|  r, entonces R D R UR :



Derivando ambos lados de la ecuación (32) respecto a t se tiene DR DU R DR D UR CR : VD DT DT DT Usamos la primera ecuación en (31) y encontramos que el vector de velocidad del planeta es V D UR

D DR C R U: DT DT



Con esto hemos expresado la velocidad v en términos del vector radial ur y el vector transversal u θ. Derivamos ambos lados de la ecuación (33) y vemos que AD

D R DV DR DU R D UR  C DT DT DT DT

C

DR D D  D DU  U C R  U C R : DT DT DT DT DT

Después, usando las ecuaciones en (31) y reuniendo los coeficientes de ur y u θ (problema 67), se obtiene la descomposición AD

D R D R DT  DT



UR C

D  D R R DT DT

U



del vector de aceleración en sus componentes radial y transversal.

Planetas y satélites La clave del análisis de Newton fue la conexión entre su ley de atracción gravitacional y la segunda ley de Kepler del movimiento planetario. Suponga que comenzamos con la ley del inverso del cuadrado de la gravitación en su forma vectorial & D MA D

' -M UR ; R



donde M denota la masa del Sol y m la masa del planeta que orbita. Por lo que, además de (34), la aceleración del planeta está dada también por AD

 UR ; R



donde μ  GM. Igualamos las componentes transversales en la ecuación (34) y (36) y obtenemos  D D R
D : R DT DT Quitamos el factor 1/r, y antiderivamos ambos lados. Encontramos que R

D DH DT

H UNA CONSTANTE :



SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 875

Sabemos de la sección 9.3 que si A(t) denota el área barrida por el vector radial del planeta del tiempo 0 al tiempo t (figura 11.6.14), entonces

RT Q T

 .T/

!.T/ D  ./

!T

FIGURA 11.6.14 Área barrida por el vector radial.

1

Q X

/ XP

FIGURA 11.6.15 Elipse con excentricidad e |OP|/|PQ| en coordenadas polares.



  D R DT:  DT

H D! D : DT 

Y R

T

Ahora aplicamos el teorema fundamental del cálculo, que lleva a  D D! D R : DT  DT Cuando comparamos las ecuaciones (37) y (38) vemos que

R Q 

0

  R D D 





Como h/2 es una constante, desarrollamos la segunda ley de Kepler: el vector del radio del Sol al planeta barre áreas a una tasa constante. Ahora describimos el desarrollo de la ley de la gravitación de Newton a partir de la primera y segunda leyes de movimiento planetario de Kepler. La figura 11.6.15 muestra una elipse con excentricidad e y foco en el origen. La razón de definición |OP|  e|PQ| de esta elipse da r  e( p − r cos θ). Resolviendo esta ecuación se obtiene la ecuación en coordenadas polares PE  RD  C E COS  de una elipse con excentricidad e < 1 y directriz x  p. En el problema 64 le pedimos que demuestre, derivando dos veces y usando la regla de la cadena y la segunda ley de Kepler en la forma de la ecuación (37), que la ecuación (40) implica que D R H   D :    DT R R PE Ahora, si se cumple la segunda ley de Kepler en la forma de la ecuación (37), entonces la ecuación (34) da AD

D D R R DT  DT



UR



para el vector de aceleración del planeta. Por último, después de sustituir dθ/dt  h/r 2 de la ecuación (37) y la expresión en la ecuación (41) para d 2r/dt 2, encontramos (problema 65) que la ecuación (42) se puede simplificar a la forma H AD UR :  PER  Ésta es la ley del inverso del cuadrado de la gravitación en la forma de la ecuación (36) con μ  h2/pe. Ahora suponga que la órbita elíptica de un planeta alrededor del Sol tiene un semieje mayor a y un semieje menor b. Entonces la constante H PE D  que aparece en la ecuación (43) satisface las ecuaciones A  B B : PE D A. E / D A  D A A [Vea la ecuación (29) de la sección 9.6.] Igualamos estas dos expresiones para pe y encontramos que h2  μb2/a. Ahora, sea T el periodo de revolución del planeta, el tiempo requerido para completar una revolución completa de su órbita elíptica alrededor del Sol. Vemos, de la ecuación (39), que el área de la elipse limitada por esta órbita es ! D  H4 D AB y entonces   A  B   A  B : 4 D D H B =A

876 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Por lo tanto 4  D A;

*¢PITER

-ERCURIO

3OL

6ENUS

4IERRA -ARTE

FIGURA 11.6.16 Los planetas interiores del sistema solar (ejemplo 8).



donde la constante de proporcionalidad γ  4π2/μ  4π2/GM [compare las ecuaciones (35) y (36)] depende de la constante de gravitación G y la masa del Sol M. De esta forma se derivó la tercera ley de Kepler de movimiento planetario a partir de las primeras dos leyes y la ley de la atracción gravitacional de Newton. EJEMPLO 8 El periodo de revolución de Mercurio en su órbita elíptica alrededor del Sol es T  87.97 días, mientras que el de la Tierra es 365.26 días. Calcule el semieje mayor (en unidades astronómicas) de la órbita de Mercurio. Vea la figura 11.6.16

Solución El semieje mayor de la órbita de la Tierra es, por definición, 1 UA. Por lo que la ecuación (44) proporciona el valor de la constante γ  (365.26)2 (en días2/ UA2). Así, el semieje mayor de la órbita de Mercurio es AD

4

=

D

.:/ .:/

=

 :

5! :

Z

Hasta ahora hemos considerado sólo planetas en órbitas alrededor del Sol. Pero las leyes de Kepler y las ecuaciones en esta sección se pueden aplicar a cuerpos en órbitas alrededor de cualquier centro de masa común, mientras que se muevan únicamente bajo la influencia de sus atracciones gravitacionales. Como ejemplos se incluyen los satélites (artificiales o naturales) orbitando la Tierra y las lunas de Júpiter. EJEMPLO 9 Un satélite repetidor de comunicaciones se coloca en una órbita circular alrededor de la Tierra con un periodo de revolución de 24 h. Ésta es una órbita geosíncrona o geoestacionaria en la cual el satélite parece estar estacionado en el espacio. Suponga que la luna natural de la Tierra tiene un periodo de 27.32 días en una órbita circular con radio de 238,850 mi. ¿Cuál debe ser el radio de la órbita del satélite? (Vea la figura 11.6.7.)

FIGURA 11.6.17 Un satélite de comunicaciones en órbita alrededor de la Tierra (ejemplo 9).

Solución La ecuación (44) aplicada a la Luna lleva a (27.32)2  γ (238,850)3. Para el satélite estacionario que tiene un periodo T  1 (día), se tiene 12  γ r3, donde r es el radio de la órbita geosíncrona. Para eliminar γ, dividimos la segunda de estas ecuaciones entre la primera y encontramos que .;/ : R D .:/ Entonces r es aproximadamente 26,330 mi. El radio de la Tierra es aproximadamente 3960 mi, por lo que el satélite estará a aproximadamente 22,370 mi sobre la superficie. Z

11.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La longitud de arco s en una curva suave con vector de posición r(t)  x(t)i + y(t)j + z(t)k de r(a) a r(b) es, por definición B

TX .T/U C TY .T/U C TZ .T/U DT:

SD A

2. Si r(t)  x(t)i + y(t)j es el vector de posición de una curva plana suave con un vector de velocidad diferente de cero v(t)  r(t), entonces el vector unitario V.T/  tangente de la curva en el punto R.T/ IS 4.T/ D jV.T/j

SECCIÓN 11.6

Curvatura y aceleración 877

3. Si el vector unitario tangente de la pregunta 2 se expresa como una función de la D4 longitud de arco s, entonces la tasa a la que T gira se mide por la derivada  DS 4. Si φ es el ángulo de inclinación del vector tangente unitario de las preguntas 2 y 3 (respecto a la horizontal), entonces la curvatura de la curva plana de la pregunta D  2 está definida como  D DS 5. Una fórmula útil para la curvatura de la curva plana r(t)  x(t)i + y(t)j es jX Y X Y j D : = .X / C .Y / 6. Una partícula moviéndose en el espacio con vector de posición r, velocidad v, rapidez v y aceleración a tiene una componente tangencial de la aceleración aT  dv/dt y una componente normal de la aceleración aN  κv2. 7. Una fórmula útil para la curvatura de la curva en el espacio de la pregunta 6 es jR .T/ ˜ R .T/j D : jR .T/j 8. Kepler derivó sus leyes de movimiento planetario de la ley de gravitación universal de Newton. 9. La primera ley de Kepler implica que la órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en su centro. 10. La tercera ley de Kepler de movimiento planetario implica que el cuadrado de la distancia del planeta al Sol es proporcional al cubo de su periodo de revolución alrededor del Sol.

11.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. La curvatura de una curva plana está definida en la ecuación (11) y la curvatura de una curva en el espacio por la ecuación (19). ¿Estas dos fórmulas coinciden en el caso de una curva que se encuentra en el plano xy? Explique por qué. 2. Suponga que dos cuerpos se mueven únicamente según sus mutuas atracciones gravitacionales. Entonces cada uno se mueve en una órbita elíptica alrededor del otro. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas con la Tierra (en lugar del Sol) en el origen, la órbita del Sol es una elipse con la Tierra en uno de sus focos. ¿Cuál es realmente el centro del sistema solar? ¿Es ésta una pregunta matemática o filosófica?

11.6 PROBLEMAS  X D  COS T Y D  SEN T DONDE T D =  X D  COSH T Y D  SENH T DONDE T D 

Encuentre la longitud de arco para cada curva descrita en los problemas 1 a 6. 1. x  3 sen 2t, y  3 cos 2t, z  8t; de t  0 a t  π p 2. x  t, y  t2/ , z  t3/3, de t  0 a t 1 3. x  6et cos t, y6et sen t, z  17et; de t  0 a t  1 p 4. x  t2/2, y  ln t, z  t ; de t  1 a t  2 5. x  3t sen t, y  3t cos t, z  2t2; de t  0 a t  4/5 6. x  2et, y  e−t, z  2t; de t  0 a t  1

En los problemas 13 a 16, encuentre el punto o puntos de la curva dada donde la curvatura es máxima.  Y D E X  Y D LN X  X D  COS T Y D  SEN T  X Y D 

En los problemas 7 a 12, encuentre la curvatura de la curva dada en el punto indicado.

En las curvas planas de los problemas 17 a 21 encuentre los vectores unitarios tangente y normal en el punto indicado.

 Y D X  EN .; / 

 Y D X EN .; /  Y D COS X EN .; /  X D T  Y D T  C T C  DONDE T D 

   

Y X X X

D X  EN .; / D T  Y D T  EN .; / D  SEN T Y D  COS T DONDETD= D T SEN T Y D  COS T DONDETD=

878 CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

 X D COS T Y D SEN  T DONDE T D =

El vector de posición de una partícula que se mueve en el plano está dado en los problemas 22 a 26. Encuentre las componentes tangencial y normal del vector de aceleración.  R.T/ D I SEN  T C J COS T  R.T/ D .T C /I C .T  /J  R.T/ D I COSH T C J SENH T  R.T/ D IT COS T C JT SEN T  R.T/

50. Sustituya x  t, y  f (t) y z  0 en la ecuación (27) para verificar que la curvatura de la curva plana y  f (x) es .X/ D

51. Una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza que es siempre perpendicular a su dirección de movimiento. Demuestre que la rapidez de la partícula debe ser constante. 52. Deduzca de la ecuación (24) que (con a  |a|)

ET SEN T; ET COS T

27. Use la ecuación (13) para calcular la curvatura de la circunferencia con ecuación x2 + y2  a2. 28. Verifique la ecuación  4 C  . C I C J dada al final del ejemplo 6. En los problemas 29 a 31, encuentre la ecuación de la circunferencia osculadora para la curva plana dada en el punto indicado.  Y D  X  EN .; /  Y D E X EN .; /  X Y D  EN .; /

j F .X/j : T C . F .X// U=

D

A  .A4 / D G

.X .T// C .Y .T// .G .T// : .X .T// C .Y .T//

53. Aplique la fórmula del problema 52 para calcular la curvatura de la curva x(t)  cos t + t sen t,

54. La curva folio de Descartes con ecuación x3 + y3  3xy se muestra en la figura 11.6.18. Encuentre la curvatura y centro de curvatura para este folio en el punto .  ;  / Comience por calcular dy/dx y d 2y/dx 2 mediante derivación implícita. Y

Encuentre la curvatura κ de las curvas en el espacio con los vectores de posición dados en los problemas 32 a 36.  R.T/ D TI C .T /J C .T C /K  R.T/ D TI C J SEN T C K COS T  R.T/

T; T  ; T 

 R.T/

ET COS T; ET SEN T; ET

 R.T/ D IT SEN T C JT COS T C KT

37. a 41. Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración, aT y aN, para las curvas de los problemas 32 a 36, respectivamente. En los problemas 42 a 45, encuentre los vectores unitarios T y N para la curva dada en el punto indicado. 42. La curva del problema 34 en (1, 1, 1) 43. La curva del problema 33 en (0, 0, 1) 44. La curva del problema 3 en (6, 0, 17) 45. La curva del problema 35 en (1, 0, 1) 46. Encuentre T, N, aT y aN como funciones de t para la hélice del ejemplo 1. 47. Encuentre la parametrización de longitud de arco para la línea x(t)  2 + 4t, y(t)  1 − 12t, z(t)  3 + 3t en términos de la longitud de arco s medida desde el punto inicial (2, 1, 3). 48. Encuentre la parametrización de longitud de arco para la circunferencia x(t)  2 cos t, y(t)  2 sen t, z(t)  0 en términos de la longitud de arco s medida en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el punto inicial (2, 0, 0). 49. Encuentre la parametrización de longitud de arco para la hélice x(t)  3 cos t, y(t)  3 sen t, z(t)  4t en términos de la longitud de arco s medida desde el punto inicial (3, 0, 0).

y(t)  sen t − t cos t.

    

 







 X





FIGURA 11.6.18 Curva folio de Descartes (problema 54).

55. Determine las constantes A, B, C, D, E y F de manera que la curva y  Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F haga, simultáneamente, todo lo siguiente: • Una los dos puntos (0, 0) y (1, 1); • Tenga pendiente 0 en (0, 0) y pendiente 1 en (1, 1); • Tenga curvatura 0 tanto en (0, 0) como en (1, 1). La curva mencionada se muestra en la figura 11.6.19. ¿Por qué sería una buena curva para unir los rieles del ferrocarril que aparecen en la figura? Y

 

 

X

FIGURA 11.6.19 Conexión de los rieles del ferrocarril (problema 55).

SECCIÓN 11.7

56. Considere un cuerpo en una trayectoria elíptica con semiejes mayor y menor a y b y periodo de revolución T. a) Deduzca de la ecuación (33) que v  r(dθ/dt) cuando el cuerpo está más cerca y más lejos de sus focos. b) Luego aplique la segunda ley de Kepler para concluir que v  2πab/(rT ) en los puntos más cercanos y más lejanos del cuerpo. En los problemas 57 a 60, aplique la ecuación del inciso b) del problema 56 para calcular la rapidez (en millas por segundo) de los cuerpos dados en los puntos más cercanos y más lejanos de sus órbitas. Convierta 1 UA, el semieje mayor de la órbita de la Tierra en 92,956,000 mi. 57. Mercurio: a  0.387 UA, e  0.206, T  87.97 días 58. Tierra: e  0.0167, T  365.26 días 59. Luna de la Tierra: a  238,900 mi, e  0.055, T  27.32 días 60. Un satélite artificial: a  10,000 mi, e  0.5 61. Suponga que la Tierra es una esfera con radio de 3960 mi para encontrar la altitud sobre la superficie de la Tierra para un satélite en una órbita circular con un periodo de revolución de 2 h.

Cilindros y superficies cuadráticas 879

62. Dado que el periodo de Júpiter para su revolución (casi) circular alrededor del Sol es 11.86 años, calcule la distancia de Júpiter al Sol. 63. Suponga que un satélite de la Tierra en una órbita elíptica varía en altitud de 100 a 1000 mi sobre la superficie de la Tierra (que se supone esférica). Encuentre el periodo de revolución del satélite. 64. a) Comenzando con la ecuación polar de la elipse en la ecuación (40), aplique la regla de la cadena y la segunda ley de Kepler, en la forma dθ/dt  h/r2 para derivar r respecto a t y con ello demostrar que dr/dt  (h sen θ)/p. b) Derive otra vez para demostrar que d 2r/dt 2  (h2 cos θ)/( pr2). c) Derive la ecuación (41) despejando de la ecuación (40) para cos θ y sustituyendo el resultado en la fórmula del inciso b). 65. Derive la ecuación (43) sustituyendo las expresiones para dθ/dt y d 2r/dt 2 dadas por las ecuaciones (37) y (41), respectivamente, en la ecuación (42). 66. Derive ambas ecuaciones en (31) derivando las ecuaciones en (30). 67. Obtenga la ecuación (34) derivando la ecuación (33).

11.7 CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRÁTICAS Así como la gráfica de una ecuación f (x, y)  0 es por lo general una curva en el plano xy, la gráfica de una ecuación con tres variables es generalmente una superficie en el espacio. Una función F de tres variables asocia un número real F(x, y, z) con cada tercia ordenada (x, y, z) de números reales. La gráfica de la ecuación &.X; Y; Z/ D 



es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen esta ecuación. La gráfica de una ecuación de este tipo recibe el nombre de superficie. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + z2 − 1  0 es la conocida superficie de la esfera unitaria centrada en el origen. Pero observe que la gráfica de la ecuación (1) no siempre coincide con nuestra noción intuitiva de una superficie. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación (x2 + y2)( y2 + z2)(z2 + x2)  0 consiste en los puntos que están en los tres ejes coordenados en el espacio, porque • x2 + y2  0 implica que x  y  0 (el eje z); • y2 + z2  0 implica que y  z  0 (el eje x); • z2 + x2  0 implica que z  x  0 (el eje y). El cálculo avanzado proporciona la definición precisa de superficie así como el estudio de las condiciones suficientes para implicar que la gráfica de la ecuación (1) es realmente una superficie.

Planos y trazas El ejemplo más sencillo de una superficie es un plano con ecuación lineal Ax + By + Cz + D  0. En esta sección se estudian ejemplos de otras superficies sencillas que aparecen con frecuencia en el cálculo de variables múltiples. Para bosquejar una superficie S, en ocasiones es útil examinar sus intersecciones con varios planos. La traza de la superficie S en el plano P es la intersección de P y S. Por ejemplo, si S es una esfera, se puede verificar con métodos de geometría elemental que la traza de S en el plano P es una circunferencia (figura 11.7.1), siempre que P cruce la esfera y no sólo sea tangente a ella (problema 49). La figura 11.7.2

880

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio Z   

4RAZA # !

Y "

/ X 3

FIGURA 11.7.1 La intersección de una esfera S y el plano P es una circunferencia.

Z    XYZ XZ

  

FIGURA 11.7.2 Una esfera es una unión de circunferencias (y dos puntos).

ilustra las circunferencias de las trazas horizontales que (junto con los dos “puntos polares”) forman la esfera x2 + y2 + z2  25. Cuando queremos visualizar una superficie específica en el espacio, suele ser suficiente analizar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a ellos, como en el ejemplo 1.

YZ

      XY

Y

X

FIGURA 11.7.3 Trazas del plano 3x + 2y + 2z  6 en los planos coordenados (ejemplo 1).

EJEMPLO 1 Considere el plano con ecuación 3x + 2y + 2z  6. Para encontrar su traza en el eje xy hacemos z  0. La ecuación se reduce a la ecuación 3x + 2y  6 de una recta en el plano xy. De manera similar, con y  0 obtenemos la recta 3x + 2z  6 como la traza del plano dado en el plano xz. Para encontrar la traza en el plano yz, hacemos x  0 y obtenemos la recta y + z  3. La figura 11.7.3. muestra las porciones de estas tres trazas que se encuentran en el primer octante. Todas juntas dan una buena idea de cómo está situado el plano 3x + 2y + 2z  6 en el espacio. Z

Cilindros y generatrices Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. El conjunto de puntos en las rectas paralelas a L que intersecan a C se llama un cilindro. Estas rectas que forman al cilindro se llaman generatrices del cilindro.

Z   C X Y C

Y XY A X

FIGURA 11.7.4 Un cilindro circular recto.

EJEMPLO 2 La figura 11.7.4 muestra un cilindro vertical para el cual C es la circunferencia x2 + y2  a2 en el plano xy. La traza de este cilindro en cualquier plano horizontal z  c es una circunferencia con radio a y centro (0, 0, c) en el eje z. De esta manera el punto (x, y, z) está en el cilindro si y sólo si x2 + y2  a2. Por lo tanto, este cilindro es la gráfica de la ecuación x2 + y2  a2, una ecuación con tres variables, aunque la variable z técnicamente falta. El hecho de que la variable z no aparezca en forma explícita en la ecuación x2 + 2 y  a2 significa que dado cualquier punto (x0, y0, 0) en la circunferencia x2 + y2  a2 en el plano xy, el punto (x0, y0, z) está en el cilindro para cualquiera y todos los valores de z. El conjunto de todos esos puntos es la recta vertical que pasa por el punto (x0, y0, 0). Así, esta recta vertical es una generatriz del cilindro x2 + y2  a2. La figura 11.7.5 muestra el cilindro como la unión de sus generatrices. Z Un cilindro no necesita ser circular, esto es, la curva C puede ser una elipse, rectángulo o cualquier curva arbitraria. EJEMPLO 3 La figura 11.7.6 muestra las trazas horizontales y las generatrices verticales de un cilindro vertical que pasa por una curva C con forma de ocho en el plano Z xy (C tiene ecuaciones paramétricas x  sen t, y  sen 2t, 0 t 2π).

SECCIÓN 11.7

Cilindros y superficies cuadráticas 881

Z

X Y Z



Y

Z  

X Y 

 Y

X





FIGURA 11.7.5 Cilindro x2 + y2  a2; sus generatrices son paralelas al eje z.

 X





FIGURA 11.7.6 Cilindro vertical que pasa por la curva con forma de ocho x  sen t, y  sen 2t.

Si la curva C en el plano xy tiene la ecuación f (x, y)  0,

(2)

entonces el cilindro que pasa por C con generatrices verticales tiene la misma ecuación en el espacio. Esto es así porque el punto P(x, y, z) está en el cilindro si y sólo si el punto (x, y, 0) está en la curva C. De modo similar, la gráfica de una ecuación g(x, z)  0 es un cilindro con las generatrices paralelas al eje y y la gráfica de una ecuación h( y, z)  0 es un cilindro con las generatrices paralelas al eje x. De esta forma, la gráfica de una ecuación que incluye sólo dos de las tres variables coordenadas es siempre un cilindro; sus generatrices son paralelas al eje correspondiente a la variable faltante. EJEMPLO 4 La gráfica de la ecuación 4y2 + 9z2  36 es el cilindro elíptico que aparece en la figura 11.7.7. Sus generatrices son paralelas al eje x, y su traza en cada plano perpendicular al eje x es una elipse con semiejes de longitudes 3 y 2. Z EJEMPLO 5 La gráfica de la ecuación z  4 − x2 es el cilindro parabólico que aparece en la figura 11.7.8. Sus generatrices son paralelas al eje y y su traza en cualquier plano perpendicular al plano y es una parábola que es un traslado paralelo de la Z parábola z  4 − x2 en el plano xz.

X 



 Z



Z





  Y

Y 

FIGURA 11.7.7 Cilindro elíptico (ejemplo 4).

X

FIGURA 11.7.8 Cilindro parabólico z  4 − x2 (ejemplo 5).

CAPÍTULO 11

882

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Superficies de revolución Otra forma de utilizar una curva plana C para generar una superficie es girar la curva en el espacio alrededor de una recta L en su plano. Esto da una superficie de revolución con eje L. Por ejemplo, la figura 11.7.9 muestra la superficie generada al girar la curva f (x, y)  0 en el primer cuadrante del plano xy alrededor del plano x. Un punto típico P(x, y, z) está en esta superficie de revolución siempre que se encuentre en la circunferencia vertical (paralelo al plano yz) con centro R(x, 0, 0) y radio r tal que el punto Q(x, r, 0) está en la curva dada C, en cuyo caso f (x, r)  0. Como

Z

0X Y Z Y

2 X  

1 X R  #FX Y 

R D j2 1j D j2 0j D

y por consiguiente es necesario que F X;

X

Y  C Z  D :

Z XY Z

EJEMPLO 6 Escriba una ecuación del elipsoide de revolución que se obtiene al girar la elipse 4y2 + z2  4 alrededor del eje z (figura 11.7.10). Y

Solución Sustituimos y con X  C Y  en la ecuación dada. Esto lleva a 4x2 + 4y2 + Z z2  4 como una ecuación del elipsoide. EJEMPLO 7

X

Determine la gráfica de la ecuación z2  x2 + y2.

Solución Primero rescribimos la ecuación dada en la forma z  ± X  C Y  . De donde la superficie es simétrica respecto al plano xy, la mitad superior tiene la ecuación z  X  C Y  . Obtenemos esta última ecuación a partir de la ecuación simple z  y y sustituyendo y con X  C Y  . Así, obtenemos la parte superior de la superficie, rotando la recta z  y (para y 0) alrededor del eje z. La gráfica es el cono mostrado en la figura 11.7.11. Su mitad superior tiene la ecuación z  X  C Y  y su mitad inferior tiene la ecuación z  − X  C Y  . El cono completo z2  x2 + y2 se obtiene girando la recta completa z  y alrededor del eje z. Z

FIGURA 11.7.10 Elipsoide de revolución del ejemplo 6.

Z

ZXY 

Superficies cuádricas Y

Los conos, las esferas, los cilindros circulares y parabólicos y los elipsoides de revolución son todos superficies que son gráficas de ecuaciones de segundo grado en x, y y z. La gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables se llama una superficie cuádrica. En esta sección se estudian algunos casos importantes de la ecuación ! X  C "Y  C # Z  C $X C % Y C & Z C ( D :

FIGURA 11.7.11 Cono del ejemplo 7.



Ésta es, entonces, la ecuación de una superficie de revolución alrededor del eje x. Las ecuaciones de superficies de revolución alrededor de los otros ejes coordenados se obtienen en forma similar. Si la curva del primerp cuadrante f (x, y)  0 se gira ahora alrededor del eje y, entonces sustituimos x con X  C Z  para obtener la p ecuación f ( X  C Z  , y)  0 de la superficie de revolución que resulta. Si la curva g(y, z)  0 en el primer cuadrante del plano yz se gira alrededor del eje z, sustituimos y con X  C Y  . Así, la ecuación de la superficie de revolución alrededor del eje z es g( X  C Y  , z)  0. Estas afirmaciones se pueden verificar fácilmente con la ayuda de diagramas similares a la figura 11.7.9.

FIGURA 11.7.9 Superficie generada al rotar C alrededor del eje x. (Por claridad, sólo se muestra un cuarto de la superficie.)

X

Y C Z;



Ésta es una ecuación de segundo grado especial ya que no contiene términos que incluyan los productos xy, xz o yz. EJEMPLO 8

El elipsoide Y Z X C C D A B C



SECCIÓN 11.7

Cilindros y superficies cuadráticas

883

es simétrica respecto a los tres planos coordenados y tiene intercepciones (±a, 0, 0), (0, ±b, 0) y (0, 0, ±c) en los tres ejes coordenados. (No hay pérdida de generalidad al suponer que a, b y c son positivos.) Cada traza de este elipsoide en un plano paralelo a uno de los planos coordenados es ya sea un solo punto o una elipse. Por ejemplo, si −c < z0 < c, entonces la traza del elipsoide de (5) en el plano z  z0 tiene la ecuación Z  Y X C D  > ; A B C que es la ecuación de una elipse con semiejes .A=C/ C Z  Y .B=C/ C Z   La figura 11.7.12 muestra el elipsoide con los semiejes a, b y c etiquetados. La figura 11.7.13 muestra las elipses que son trazas en planos paralelos a los ejes coordenados. Z Z Z

C A

/

B Y Y

X X

FIGURA 11.7.12 Elipsoide del ejemplo 8.

Z

EJEMPLO 9

FIGURA 11.7.13 Trazas del Y Z X elipsoide  C  C  (ejemplo 8). A B C

El paraboloide elíptico Y Z X C D   A B C

Y



se muestra en la figura 11.7.14. Su traza horizontal z  z0 > 0 es la elipse p en el plano p x2/a2 + y2/b2  z0/c con semiejes A Z  =C Y B Z  =C Su traza en cualquier plano vertical es una parábola. Por ejemplo, su traza en el plano y  y0 tiene la ecuación x2/a2 + y02/b2  z/c, la cual se puede escribir en la forma z − z1  k(x − x1)2 tomando z1  cy02/b2 y x1  0. El paraboloide se abre hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0. Si a  b, entonces se dice que el paraboloide es circular. La figura 11.7.15 muestra las trazas de un paraboloide circular en planos paralelos a los planos xz y yz. Z

X

FIGURA 11.7.14 Paraboloide elíptico (ejemplo 9).

Z

EJEMPLO 10

El cono elíptico Y Z X C D A B C



aparece en la figura 11.7.16. Su traza en el eje horizontal z  z0 H 0 es una elipse con Z semiejes a|z0|/c y b|z0|/c. EJEMPLO 11 Y X

FIGURA 11.7.15 Trazas en forma de parábolas de un paraboloide circular (ejemplo 9).

El hiperboloide de una hoja con ecuación X Y Z C   D  A B C



se muestra en la figura 11.7.17. Sus trazas en el plano horizontal z  z0 es la elipse x2/a2 + y2/b2  1 + z02/c2 > 0. Su traza en un plano vertical es una hipérbola excepto cuando el plano vertical interseca el plano xy en una recta tangente a la elipse x2/a2 + y2/b2  1. En este caso especial, la traza es una hipérbola degenerada que consiste en

884

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Z

Z

Z

B A

Y

Y

X Y  Z   A B C

X X

X

FIGURA 11.7.16 Cono elíptico (ejemplo 10).

X Y  Z   A B C

FIGURA 11.7.17 Hiperboloide de una hoja (ejemplo 11).

FIGURA 11.7.18 Hiperboloide circular de una hoja (ejemplo 11). Sus trazas en los planos horizontales son círculos; sus trazas en los planos verticales son hipérbolas.

Z

dos rectas que se cruzan. La figura 11.7.18 muestra las trazas (en planos paralelos a los planos coordenados) de un hiperboloide circular (a  b) de una hoja. Las gráficas de las ecuaciones

C /

Z X Y C D B C A

Y Z X Y 

 C A B

X

son también hiperboloides de una hoja que abren a lo largo de los ejes x y y, respectivamente. Z

EJEMPLO 12 FIGURA 11.7.19 Hiperboloide de dos hojas (ejemplo 12).

X Z Y C D A C B

Y

El hiperboloide de dos hojas con ecuación X Y Z D C A B

Z



consiste en dos piezas u hojas separadas (figura 11.7.19). Las dos hojas abren en la dirección positiva y negativa del eje z y lo intersecan en los puntos (0, 0, ±c). La traza de este hiperboloide en un plano horizontal z  z0 con |z0| > c es la elipse Z  Y X C D  > : A B C Y

Su traza en cualquier plano vertical es una hipérbola no degenerada. La figura 11.7.20 muestra las trazas del hiperboloide circular de dos hojas. La gráfica de las ecuaciones

X

FIGURA 11.7.20 Hiperboloide circular de dos hojas (ejemplo 12). Sus trazas (no degeneradas) en los planos horizontales son circunferencias; sus trazas en planos verticales son hipérbolas.

Y Z X D A B C

Y

Y X Z D B A C

son también hiperboloides de dos hojas, que abren a lo largo de los ejes x y y, respectivamente. Cuando la ecuación de un hiperboloide se escribe en la forma estándar con +1 en el lado derecho [como en las ecuaciones (8) y (9)], el número de hojas es igual al número de términos negativos en el lado izquierdo. Z

SECCIÓN 11.7

Cilindros y superficies cuadráticas

Z

885

Z Y B

X A



Z C C

/

Y Y X

X

FIGURA 11.7.21 Un paraboloide hiperbólico es una superficie con forma de silla de montar (ejemplo 13).

EJEMPLO 13

FIGURA 11.7.22 Trazas verticales del paraboloide hiperbólico z  y2 − x2 (ejemplo 13).

El paraboloide hiperbólico

Z

X Z Y D   B A C

Y

X

FIGURA 11.7.23 Trazas horizontales del paraboloide hiperbólico z  y2 − x2 (ejemplo 13).

.C > /



tiene forma de silla de montar, como se indica en la figura 11.7.21. Su traza en el plano horizontal z  z0 es una hipérbola (o dos rectas que se cruzan si z0  0). Su traza en un plano vertical paralelo al plano xz es una parábola que abre hacia abajo, mientras que su traza en un plano vertical paralelo al plano yz es una parábola que abre hacia arriba. En particular, la traza del paraboloide hiperbólico en el plano xz es una parábola que abre hacia abajo desde el origen mientras que su traza en el plano yz es una parábola abierta hacia arriba desde el origen. Así, el origen se ve como un máximo local desde una dirección pero como un mínimo local desde la otra. Un punto como éste en una superficie se llama punto silla. La figura 11.7.22 muestra las trazas hiperbólicas en los planos verticales del paraboloide hiperbólico z  y2 − x2. La figura 11.7.23 muestra las trazas hiperbólicas en los planos horizontales. Z

11.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La gráfica de cualquier ecuación de la forma F(x, y, z)  0 es siempre una superficie de dos dimensiones en el espacio. 2. La gráfica en el espacio de una ecuación de la forma f (x, y)  0 es un “cilindro” consistente en rectas verticales que pasan por la curva f (x, y)  0 en el plano xy. 3. Si a > 0, entonces la gráfica en el espacio de la ecuación x2 + y2  a2 es un cilindro. 4. La gráfica en el espacio de 4y2 + 9z2  36 es un cilindro elíptico. 5. La gráfica de 4x2 + 4y2 + z2  4 es un elipsoide. 6. La gráfica de z2  x2 + y2 es un cono. Y Z X 7. La gráfica de la ecuación  C   D  es un hiperboloide de una hoja. A B C X Y Z 8. La gráfica de la ecuación    D  es un hiperboloide de una hoja. C A B  X Z Y 9. Si c > 0, entonces la gráfica de   D es un paraboloide hiperbólico. B A C 10. La gráfica en el espacio de la ecuación z  ax2 + by2 es un paraboloide elíptico si a y b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperbólico si esos dos coeficientes son ambos negativos.

886

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

11.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Las siguientes preguntas se relacionan con las gráficas posibles de la ecuación de segundo grado Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + H  0

(11)

1. ¿En qué condiciones de los coeficientes A, B y C es la gráfica a) un elipsoide; b) un paraboloide; c) un hiperboloide? 2. ¿En qué condiciones de los coeficientes es la gráfica un cono o un cilindro? 3. Además de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cuáles son las otras posibilidades para la gráfica de la ecuación en (11)? Dé un ejemplo que ilustre cada posibilidad.

11.7 PROBLEMAS Describa y bosqueje las gráficas de las ecuaciones dadas en los problemas 1 a 30.  X C Y C Z D   X C Y D   X  C Y  D 

 Y  D X  

 X Y D 

 Z H X  C Y 

 Z D X  C Y 

 X  C Y  D 

 Z D  X  Y 

 Y  C Z  D 

 Z D X  C Y 

 X D  C Y  C Z 

 Z  D .X  C Y  /

 Y  D X

 X  D Z C 

 X D  Z 

 X  C Y  D 

 X  C Z  D 

 X  D Y  C Z 

 X  Y  D Z

 X  C Y  C Z D 

 X D SEN Y



 X D Y Z



 X  C Y  C Z  D 

 X  C Y  Z  D 

 X  Y  Z  D 

 Y D X  C Z 

 Y  C X  Z  D 

 Y  X  Z  D 

 X  C Y  C Z  D 

En los problemas 31 a 40, proporcione la ecuación de la curva en uno de los planos coordenados. Escriba una ecuación para la superficie generada al girar esa curva alrededor del eje indicado. Luego haga un bosquejo de la superficie.  X D Z   ELEJEX  X  C Y  D   Y  Z  H   Z H  X    Y  D X  YZ D  

ELEJEZ



X Y

Y





ZXY









 Z Z 





  

FIGURA 11.7.24 La paraboloide y el cilindro parabólico del problema 50.

ELEJEZ

ZY

XYZ X

ELEJEX



Y

ELEJEY

ELEJEZ

 Z D EXP.X  /

En los problemas 41 a 48, describa las trazas de la superficie dada en los planos del tipo indicado. 41. x2 + 4y2  4; en planos horizontales (aquéllos paralelos al plano xy). 42. x2 + 4y2 + 4z2  4; en planos horizontales. 43. x2 + 4y2 + 4z2  4; en planos paralelos al plano yz. 44. z  4x2 + 9y2; en planos horizontales. 45. z  4x2 + 9y2; en planos paralelos al plano yz. 46. z  xy; en planos horizontales. 47. z  xy; en planos verticales que pasan por el eje z. 48. x2 − y2 + z2  1; en planos tanto horizontales como verticales paralelos a los ejes coordenados. 49. Pruebe que los triángulos OAC y OBC en la figura 11.7.1 son congruentes y por ello concluya que la traza de una esfera en un plano que la interseca es una circunferencia. 50. Pruebe que la proyección en el plano yz de la curva de intersección de las superficies x  1 − y2 y x  y2 + z2 es una elipse (figura 11.7.24).

X

 

FIGURA 11.7.25 El plano y el paraboloide del problema 51.

ELEJEZ

 .Y Z/ C Z D 

ELEJEZ

 ,ARECTA Z D X

ELEJEZ

 ,ARECTA Z D X

ELEJEX

51. Demuestre que la proyección en el plano xy de la intersección del plano z  y y el paraboloide z  x2 + y2 es una circunferencia (figura 11.7.25).

SECCIÓN 11.8

52. Pruebe que la proyección en el plano xz de la intersección de las paraboloides y  2x2 + 3z2 y y  5 − 3x2 − 2z2 es una circunferencia (figura 11.7.26). 53. Pruebe que la proyección en el plano xy de la intersección del plano x + y + z  1 y el elipsoide x2 + 4y2 + 4z2  4 es una elipse. 54. Demuestre que la curva de intersección del plano z  ky y el cilindro x2 + y2  1 es una elipse. [Sugerencia: introduzca las coordenadas uv en el plano z  ky de la siguiente forma: sea el eje u el eje x original y sea el eje v la línea z  ky, x  0.]

Coordenadas cilíndricas y esféricas 887

 Z 





 X



 

Y



FIGURA 11.7.26 Las dos paraboloides del problema 52.

11.8 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Las coordenadas rectangulares proporcionan sólo una de varias formas útiles para describir puntos, curvas y superficies en el espacio. Ahora se analizarán dos sistemas de coordenadas adicionales en el espacio tridimensional. Cada uno es una generalización de las coordenadas polares en el plano coordenado. Recuerde de la sección 9.2 que la relación entre las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas polares (r, θ) de un punto en el espacio está dada por

Y

0

X R

Y

X D R COS ;

Q

Y D R SEN 



X

Y FIGURA 11.8.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y polares en el plano xy.

R  D X  C Y;

TAN  D

Y X

SI X

;



Estas relaciones se pueden leer directamente del triángulo rectángulo en la figura 11.8.1.

Coordenadas cilíndricas Z

0R Q Z

Z

Q

Y

R

Las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) de un punto P en el espacio son un híbrido natural de sus coordenadas polares y rectangulares. Se usan las coordenadas polares (r, θ) de un punto en el plano con coordenadas rectangulares (x, y) y se usa la misma coordenada z como en las coordenadas rectangulares. (Las coordenadas cilíndricas de un punto P en el espacio se muestran en la figura 11.8.2.) Esto significa que es posible obtener relaciones entre las coordenadas rectangulares (x, y, z) de un punto P y sus coordenadas cilíndricas (r, θ, z) simplemente adjuntando la identidad z  z a las ecuaciones (1) y (2) X D R COS ;

1 X Y 

Y D R SEN ;

ZDZ



Y ; X

Z H Z:



X

FIGURA 11.8.2 Para encontrar las coordenadas cilíndricas del punto P.

Y R  D X  C Y;

TAN  D

Podemos usar estas ecuaciones para convertir las coordenadas rectangulares en cilíndricas y viceversa. EJEMPLO 1 a) Encuentre las coordenadas rectangulares del punto P que tiene coordenadas cilíndricas .;  ; / b) Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto Q que tiene coordenadas rectangulares (−2, 2, 5).

888

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Solución a) Aplicamos las ecuaciones en (3) para obtener X H  COS   D 
Y D  SEN

  

 

D ; p p H 
  D  ;

Z D :

√ Entonces el punto P tiene coordenadas rectangulares (2, −2 3 , 7). b) Observamos primero que el punto Q está en el segundo cuadrante del plano xy, aplicamos las ecuaciones en (4) y escribimos p R D ./ C  D  ;   D ; SO  D ; TAN  D   Z D : p Entonces el punto Q tiene coordenadas cilíndricas . ;  ; / Se puede sumar cualquier p entero múltiplo p de π a θ, por lo que otras coordenadas cilíndricas de Q ; / Y . ;  ; / Z son . ;  

Z

C  

 C  X

Y

FIGURA 11.8.3 Cilindro r  c.

La gráfica de una ecuación con r, θ y z es el conjunto de todos los puntos en el espacio que tienen coordenadas cilíndricas que satisfacen la ecuación. El nombre coordenadas cilíndricas se debe al hecho de que la gráfica en el espacio de la ecuación r  c (una constante) es un cilindro de radio c simétrico alrededor del eje z (figura 11.8.3). Las coordenadas cilíndricas son útiles para describir otras superficies que son simétricas alrededor del eje z. La ecuación en coordenadas rectangulares de una superficie de ese tipo suele incluir sólo a x y y en la combinación x2 + y2, la cual podemos sustituir con r2 para obtener la ecuación en coordenadas cilíndricas. EJEMPLO 2 a) La esfera x 2 + y 2 + z 2  a 2 tiene la ecuación en coordenadas cilíndricas r 2 + z 2  a 2. b) El cono z 2  x 2 + y 2 tiene la ecuación en coordenadas cilíndricas z 2  r 2. Tomando las raíces cuadradas, se tiene z  ± r y los dos signos dan (para r 0) las dos partes del cono (figura 11.8.4). c) El paraboloide z  x 2 + y 2 tiene la ecuación en coordenadas cilíndricas z  r 2 (figura 11.8.5). d) El elipsoide (x/3)2 + ( y/3)2 + (z/2)2  1 tiene coordenadas cilíndricas (r/3)2 + (z/2)2  1 (figura 11.8.6). Z Z ZR

Z

Y

ZR 

Z



R Q Z

Z



X Z R

Q

R Q 

X

FIGURA 11.8.4 Cono z 2  r 2.

FIGURA 11.8.5 Paraboloide z  r 2.

 Y

Y X

FIGURA 11.8.6 Elipsoide

R Z C D   

EJEMPLO 3 Bosqueje la región que está limitada por las dos superficies con coordenadas cilíndricas z  r 2 y z  8 − r 2.

SECCIÓN 11.8

 Y 







X 

 Z X Y

Z 

ZXY



FIGURA 11.8.7 Sólido del ejemplo 3.

Coordenadas cilíndricas y esféricas 889

Solución Si sustituimos r2  x2 + y2 en las ecuaciones dadas, se tienen las ecuaciones rectangulares conocidas z  x2 + y2 y z  8 − x2 − y2 que describen paraboloides abiertas hacia arriba desde (0, 0, 0) y hacia abajo desde (0, 0, 8), respectivamente. La figura 11.8.7 muestra una gráfica de computadora de la región en el espacio limitada abajo por el paraboloide z  x2 + y2 y arriba por el paraZ boloide z  8 − x2 − y2. OBSERVACIÓN Las relaciones x  r cos θ y y  r sen θ tienen un papel importante al graficar por computadora las figuras simétricas alrededor del eje z. Por ejemplo, el paraboloide z  8 − r 2 del ejemplo 3 se pueden graficar usando la sintaxis de los sistemas algebraicos de computadora como el comando de Maple PLOTD ;R COSQ R SINQ  R^= R

Q 0I 

OELCOMANDODE-ATHEMATICA

Z

0ARAMETRIC0LOT$; [R #OS;Q= R 3IN;Q=  R^] [R  ]

0  R F Q

F

R

F

/

Y

Q

R

[Q   0I] =

En cualquiera de los dos el paraboloide está descrito en forma paramétrica dando x, y y z en términos de r y θ.

Coordenadas esféricas 1

X

FIGURA 11.8.8 Para encontrar las coordenadas esféricas del punto P.

F C F  C

La figura 11.8.8 muestra las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) del punto P en el espacio. La primera coordenada esférica ρ es simplemente la distancia ρ  |OP| del origen O a P. La segunda coordenada esférica φ es el ángulo entre OP y el lado positivo del eje z. Así, siempre podemos elegir φ en el intervalo [0, π], aunque no está restringida a ese dominio. Por último, θ es el ángulo θ usado en las coordenadas cilíndricas. Esto es, θ es la coordenada angular de la proyección vertical Q de P en el plano xy. Así, siempre se puede escoger θ en el intervalo [0, 2π], aunque no está restringida a ese dominio. Los dos ángulos φ y θ siempre se miden en radianes. El nombre coordenadas esféricas se utiliza porque la ecuación ρ  c (c es una constante) es una esfera —con más precisión, una superficie esférica— de radio c centrada en el origen. La ecuación φ  c (una constante) describe (una parte de) un cono si 0 < c < π/2 o si π/2 < c < π (figura 11.8.9). La ecuación esférica del plano xy es φ  π/2. Del triángulo rectángulo OPQ en la figura 11.8.8 vemos que r  ρ sen φ

y

z  ρ cos φ.

(5)

Sin duda, es más fácil recordar estas ecuaciones visualizando el triángulo. Sustituir las ecuaciones en (5) en las ecuaciones en (3) lleva a X D  SEN  COS ; FIGURA 11.8.9 Las dos partes de un cono a 45°; φ  π/2 es la ecuación en coordenadas esféricas del plano xy.

Y D  SEN  SEN ;

Z H  COS :



Estas tres ecuaciones dan la relación entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas esféricas. La siguiente fórmula también es útil  D X  C Y C Z;



una consecuencia de la fórmula de distancia. Es importante observar en qué orden se escriben las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) de un punto P: primero la distancia ρ de P al origen, luego el ángulo φ hacia abajo del lado positivo del eje z, y al final el ángulo θ medido al contrario de las manecillas del reloj desde el lado positivo del eje x. Una ayuda mnemotécnica que puede ser útil es la siguiente: las consonantes de la palabra “refuta” nos recuerda, en orden, r de ro, f de fi y t de theta. Advertencia: algunos libros de física y matemáticas pueden utilizar un orden diferente o incluso otros símbolos.

890

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

Dadas las coordenadas rectangulares (x, y z) de un punto P, un método sistemático para encontrar las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) de P es el siguiente. Primero encontramos las coordenadas cilíndricas r y θ de P con la ayuda del triángulo en la figura 11.8.10a). Luego encontramos ρ y φ del triángulo en la figura 11.8.10b).

1

Z

R

Y

Q

EJEMPLO 4 a) Encuentre las coordenadas rectangulares del punto P que tiene coordenadas esféricas .;  ;   / b) Encuentre las coordenadas esféricas aproximadas del punto Q con coordenadas rectangulares (−3, −4, −12).

X /

Y

R

Q

1

X A R

Z

0

X D  SEN

0

Y D  SEN

F R

/

        

COS   D 


   




 D;  p   D 

p SEN   D 

 ; p p Z D  COS D 
  D  : p p Así el punto P tiene coordenadas rectangularesp(2, 2 , −4 ). b) Primero observe que R H ./ C ./ H  H  y que p  D ./ C ./ C ./ D  D :

R

Z

F

Solución a) Aplicamos las ecuaciones en (6) para escribir

Y 1

X B

,UEGO

FIGURA 11.8.10 Triángulos usados para encontrar las coordenadas esféricas.

 D COS

Z 

D COS

 

 :

RAD :

Finalmente, el punto (−3, −4) está en el tercer cuadrante del plano xy, entonces  D  C TAN

 

 :

RAD :

Por lo que las coordenadas esféricas aproximadas del punto Q son (13, 2.7468, 4.0689). Z EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas del paraboloide con ecuación en coordenadas rectangulares z  x2 + y2.

Z

R COS F

Solución Al sustituir z  ρ cos φ de las ecuaciones (5) y x2 + y2  r2  ρ2 sen2 φ de la ecuación (6), se obtiene ρ cos φ  ρ2 sen2 φ. Al cancelar ρ se tiene cos φ  ρ sen2 φ; es decir, ρ  csc φ cot φ es la ecuación del paraboloide en coordenadas esféricas. Obtenemos el paraboloide completo usando φ en el intervalo 0 < φ π/2. Observe que φ  π/2 proporciona el punto ρ  0 que de otra manera se habría perdido al cancelar ρ. Z EJEMPLO 6

  

Y

X

FIGURA 11.8.11 Esfera del ejemplo 6.

Determine la gráfica de la ecuación en coordenadas esféricas ρ  2 cos φ.

Solución Multiplicando por ρ tenemos ρ2  2ρ cos φ; entonces sustituyendo ρ2  x2 + y2 + z2 y z  ρ cos φ llegamos a x2 + y2 + z2  2z como la ecuación en coordenadas rectangulares de la gráfica. Completando el cuadrado en z tenemos x2 + y2 + (z − 1)2  1, de modo que la gráfica es una esfera con centro en (0, 0, 1) y radio 1. Es tangente al plano xy en el origen. Z

SECCIÓN 11.8

EJEMPLO 7 sen φ sen θ.

Coordenadas cilíndricas y esféricas

891

Determine la gráfica de la ecuación en coordenadas esféricas ρ 

Solución Primero multiplicamos cada lado por ρ y se obtiene ρ2  ρ sen φ sen θ. Luego usamos las ecuaciones (6) y (7) para encontrar que x2 + y2 + z 2  y. Ésta es una ecuación Z en coordenadas rectangulares de una esfera con centro en (0, , 0) y radio . OBSERVACIÓN Las relaciones en (6) se usan al graficar en una computadora superficies en coordenadas esféricas. Por ejemplo, la superficie esférica ρ  2 cos φ del ejemplo 6 se puede graficar usando la sintaxis de los sistemas algebraicos de computadora, como los comandos de Maple R   COSF 

PLOTD ;R SINF COSQ R SINF SINQ R COSF = F  0I Q   0I 

o los comandos de Mathematica R   #OS;F=

0ARAMETRIC0LOT$; [R 3IN;F= #OS;Q= R 3IN;F= 3IN;Q= R #OS;F=] [F  0I] [Q   0I] =

En cada caso la superficie esférica está descrita paramétricamente al dar x, y y z en términos de ρ, φ y θ. Z

Latitud y longitud

0OLONORTE ' 0

F A B

Q

Y

X

FIGURA 11.8.12 Relaciones entre la latitud, la longitud y las coordenadas esféricas.

El círculo máximo de una superficie esférica es un círculo formado por la intersección de la superficie con un plano que pasa por el centro de la esfera. Así, un círculo máximo de una superficie esférica es un círculo (en la superficie) que tiene el mismo radio que la esfera. Por lo tanto, un círculo máximo es el círculo con la circunferencia máxima posible que se tiene dentro la esfera. Es fácil ver que cualquier par de puntos en la superficie esférica están en un círculo máximo (determinado en forma única, a menos que los dos puntos se encuentren en los extremos de un diámetro de la esfera). En cálculo de variaciones, se demuestra que la distancia más corta entre esos puntos —medida sobre la superficie curva— es el más corto de los dos arcos del círculo máximo que los contiene. La sorpresa puede ser que la distancia más corta se encuentra usando el círculo más grande. Las coordenadas esféricas φ y θ tienen una relación estrecha con la latitud y la longitud de los puntos en la superficie de la Tierra. Suponga que la Tierra es una esfera con radio ρ  3960 mi. Comenzamos con el meridiano de Greenwich (un meridiano es un semicírculo mayor que conecta el polo norte con el polo sur) que pasa por Greenwich, Inglaterra, justo afuera de Londres. Éste es el punto marcado como G en la figura 11.8.12. Tomamos el eje z como una recta que pasa el polo norte y el eje x por el punto donde el meridiano de Greenwich interseca al ecuador. La latitud α y la longitud (oeste) β de un punto P en el hemisferio norte están dadas por las ecuaciones α  90° − φ°

y

β  360° − θ °

(8)

donde φ° y θ ° son las coordenadas esféricas angulares, medidas en grados, de P. (Esto es, φ° y θ ° denotan los equivalentes en grados de los ángulos φ y θ, respectivamente, los cuales se miden en radianes a menos que se especifique otra forma.) Así, la latitud α se mide hacia el norte desde el ecuador y la longitud β se mide hacia el oeste a partir del meridiano de Greenwich. EJEMPLO 8 Encuentre la distancia de círculo máximo entre Nueva York (latitud 40.75° norte, longitud 74° oeste) y Londres (latitud 51.5° norte, longitud 0°). (Vea la figura 11.8.13.)

Solución De las ecuaciones en (8) encontramos que φ° 49.25° y θ °  286°, para Nueva York mientras que φ°  38.5° y θ°  360° (o 0°) para Londres. Entonces las

892

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio Z 0OLONORTE

.UEVA9ORK ,ONDRES

A %CU

X

R DO

Y

-ERIDIANODE'REENWICH

FIGURA 11.8.13 Para encontrar la distancia por el círculo máximo entre Nueva York y Londres (ejemplo 8).

coordenadas esféricas de Nueva York son φ  (49.25/180)π, θ  (286/180)π, y las de Londres son φ  (38.5/180)π, θ  0. Con estos valores de φ y θ y con ρ  3960 (mi), las ecuaciones en (6) dan las coordenadas rectangulares aproximadas Nueva York

P1(826.90, −2883.74, 2584.93)

y Londres

P2(2465.16, 0.0, 3099.13). !

.UEVA9ORK

,ONDRES D

0

0

G /

FIGURA 11.8.14 Arco del círculo máximo entre Nueva York y Londres (ejemplo 8).

!

El ángulo γ entre los vectores de radios U D / 0 Y V D / 0 en la figura 11.8.14 satisface la ecuación U
V COS D jUj jVj :
: :
 C :
:  ::  ./ Esto es, γ es aproximadamente 0.875 (rad), por lo que la distancia entre Nueva York y Londres por el círculo máximo es cercana a d ≈ 3960 · 0.875  3465 alrededor de 5576 km.

(mi), Z

11.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Para convertir coordenadas cilíndricas en coordenadas rectangulares, se usan las ecuaciones x  r cos θ, y  r sen θ, z  z. 2. Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas, se usan las ecuaciones Y R  D X  C Y  ; TAN  D ; Z D Z: X 3. La esfera x 2 + y 2 + z 2  a2 tiene ecuación en coordenadas cilíndricas r 2 + z 2  a 2. 4. El cono z 2  x 2 + y 2 tiene ecuación en coordenadas cilíndricas z 2  r 2. 5. Para convertir coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares, use las ecuaciones x  ρ sen φ cos θ, y  ρ sen φ sen θ, z  ρ cos φ.

SECCIÓN 11.8

Coordenadas cilíndricas y esféricas 893

6. Otra relación entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas esféricas es ρ2  x2 + y2 + z2. 7. El punto P con coordenadas esféricas ;  ;   tiene coordenadas rectangulap res ;  ;   8. El paraboloide con ecuación en coordenadas rectangulares z  x2 + y2 tiene ecuación en coordenadas esféricas ρ  csc φ cot φ. 9. La gráfica de la ecuación en coordenadas esféricas ρ  2 cos φ es una esfera de radio 1. 10. La distancia por el círculo máximo entre Nueva York y Londres es aproximadamente de 3465 millas.

11.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Ofrezca varios ejemplos de superficies que es más fácil describir en coordenadas rectangulares que en coordenadas cilíndricas o esféricas. 2. Proporcione varios ejemplos de superficies que se describen de modo más sencillo en coordenadas cilíndricas que en coordenadas rectangulares o esféricas. 3. Ofrezca varios ejemplos de superficies que es más sencillo describir en coordenadas esféricas que en coordenadas rectangulares o cilíndricas.

11.8 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, encuentre las coordenadas rectangulares del punto con las coordenadas cilíndricas dadas.  ;  ; 

 ;  ; 

 ;  ; 

 ;  ; 

 ;  ; 

 ;  ; 

En los problemas 7 a 12, encuentre las coordenadas rectangulares del punto con las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) dadas.  .; ;  /  .; ; /   ;  ;    ;  ;   ;  ;  

 ;  ;  

En los problemas 13 a 22, encuentre las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto P con las coordenadas rectangulares dadas.  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; /  0.; ; / En los problemas 23 a 38, describa la gráfica de las ecuaciones dadas. (Se sobreentiende que las ecuaciones que incluyen r están en coordenadas cilíndricas y las que contienen ρ o φ están en coordenadas esféricas.)  R H    D =   H =   D    H =   D =   H =   D   Z  R  D   Z  C R  D   R H  COS    D  COS 

 R  R C  D 

    C  D 

 Z  H R 

   C  D 

En los problemas 39 a 44, convierta las ecuaciones dadas a coordenadas tanto cilíndricas como esféricas.  X  C Y  C Z  D   X  C Y  D X  X C Y C Z D   X C Y D   X  C Y  C Z  D X C Y C Z  Z D X  Y 

En los problemas 45 a 52, describa y bosqueje la superficie o el sólido descritos en las ecuaciones y/o desigualdades dadas.  R H   Z    H 

 

=

  H 

= 

=

  R





Z



  R





Z



  



  



  

=

 

=

 



53. La parábola z  x , y  0 gira alrededor del eje z. Escriba la ecuación en coordenadas cilíndricas de la superficie generada. 54. La parábola y2 − z 2  1, x  0 rota alrededor del eje z. Escriba la ecuación en coordenadas cilíndricas de la superficie generada. 2

2

894

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

55. Una esfera de radio 2 está centrada en el origen. Se perfora un agujero de radio 2 a través de la esfera, donde el eje del agujero coincide con el eje z. Describa la región sólida que queda (figura 11.8.15) en a) coordenadas cilíndricas; b) coordenadas esféricas.

denadas cilíndricas; c) coordenadas esféricas. d) Investigue el uso de una de estas descripciones en un sistema algebraico de computadora que grafique este toro con los valores seleccionados de a y b.

Z Y X

FIGURA 11.8.15 Esfera con agujero del problema 55.

56. Encuentre la distancia por el círculo máximo, en millas y kilómetros, entre Atlanta (latitud 33.75° norte, longitud 84.40° oeste) y San Francisco (latitud 37.78° norte, longitud 122.42° oeste). 57. Encuentre la distancia por el círculo máximo, en millas y kilómetros, entre Fairbanks (latitud 64.80° norte, longitud 147.85° oeste) y San Petersburgo, Rusia (latitud 59.91° norte, longitud 30.43° al este de Greenwich —como alternativa, longitud 329.57° oeste). 58. Como Fairbanks y San Petersburgo (vea el problema 57) están aproximadamente en la misma latitud, un avión podría volar de una ciudad a la otra volando arriba del paralelo 62 de latitud. Calcule con precisión la longitud de este viaje en millas y kilómetros. 59. Al volar por la ruta del círculo máximo entre Fairbanks y San Petersburgo (problema 57), ¿qué tan cerca del polo norte volará el avión, en kilómetros y millas? 60. El vértice de un cono circular de radio R y altura H está localizado en el origen y su eje coincide con el lado no negativo del eje z. Describa el cono sólido en coordenadas cilíndricas. 61. Describa el cono del problema 60 en coordenadas esféricas. 62. Al volar la ruta del círculo máximo entre Nueva York y Londres (ejemplo 8) el avión vuela generalmente con un rumbo inicial este-noreste. ¿En algún momento el avión vuela en una latitud mayor que la de Londres? [Sugerencia: exprese la coordenada z de la ruta del avión como función de x y luego maximice z.] 63. La figura 11.8.16 muestra el toro que se obtiene al rotar alrededor del eje z el círculo de radio b centrado en el punto (a, 0) en el plano yz. Escriba una ecuación sin radicales que describa este toro en a) coordenadas rectangulares; b) coor-

FIGURA 11.8.16 Toro del problema 63.

64. La esfera con salientes de la figura 11.8.17 es una representación exagerada de olas en la superficie de un planeta muy pequeño que está cubierto por un océano muy profundo. Estas esferas con salientes o abolladas pueden también, en forma más realista, usarse para modelar tumores. Utilice un sistema algebraico de computadora para graficar la superficie en coordenadas esféricas ρ  a + b cos mθ sen nφ con valores seleccionados para los números positivos a y b y los enteros positivos m y n. ¿De qué manera depende la superficie de los valores de estos cuatro parámetros?

FIGURA 11.8.17 Esfera con salientes del problema 64.

Capítulo 11

Repaso

895

CAPÍTULO 11: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y resultados Consulte las páginas enumeradas para revisar los conceptos, definiciones y resultados de este capítulo que necesite comprender. Sección Páginas 11.1 Vectores y cantidades escalares; definición de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818 Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 Multiplicación de un vector por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820 Propiedades algebraicas de los vectores (análogas a las de los números) . . . . . . . . . . . . 821 Vectores en el plano como combinaciones lineales de los vectores unitarios i y j. . . . . . 821 11.2 Sistema de coordenadas rectangulares xyz en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825 Ecuaciones de esferas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 Vectores en el espacio —definición, suma, multiplicación escalar y propiedades algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827 Vectores unitarios básicos i, j, k y combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 Producto punto (o escalar) de vectores y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 Interpretación del producto punto y prueba de perpendicularidad de los vectores . . . . . 829-830 Ángulos de dirección y proyecciones de vectores; aplicaciones de fuerza-trabajo . . . . . 830-832 11.3 Definición del producto cruz y su interpretación geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 El producto cruz como determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 Significado geométrico del producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837 Prueba del producto cruz para vectores paralelos y el área de un paralelogramo . . . . . . 837-838 Propiedades algebraicas del producto cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838 Triple producto escalar y el volumen del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839-840 11.4 Ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de líneas en el espacio . . . . . . . . . . . 843-845 Ecuaciones vectoriales y escalares de planos en el espacio; vectores normales a los planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845-846 Planos paralelos y ángulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 11.5 Curvas paramétricas en el espacio y funciones de valores vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . 851-852 Límites, continuidad y derivación por componentes de funciones vectoriales . . . . . . . . 852-853 Fórmulas de derivación para funciones de valores vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 Vectores de velocidad y aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 Integración de funciones de valores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856-857 Movimiento de proyectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 11.6 Longitud de arco para curvas en el espacio (como la integral de la rapidez). . . . . . . . . . 865 Curvatura de curvas planas y el vector tangente unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867 Vector normal unitario principal para las curvas en el plano y la circunferencia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 Curvatura de curvas en el espacio y el vector normal unitario principal . . . . . . . . . . . . . 870 Componentes normal y tangencial de la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 Componentes radial y transversal de la aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873-874 Leyes de Kepler y movimiento de planetas y satélites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874-875 11.7 Gráficas y superficies en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 Cilindros en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880-881 Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 Elipsoides, paraboloides, conos e hiperboloides y sus ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 883-885 11.8 Coordenadas cilíndricas en el espacio y ecuaciones con coordenadas cilíndricas. . . . . . 887-888 Coordenadas esféricas en el espacio y ecuaciones con coordenadas esféricas . . . . . . . . 889-890 Conversiones entre coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . 887, 889

896

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

CAPÍTULO 11: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Trabaje en los problemas enumerados de cada sección para practicar los métodos y técnicas del capítulo que necesite perfeccionar. Sección Problemas 11.1 Uso de diferentes notaciones de vectores y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7 Cálculo de sumas, diferencias y longitudes de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 13 Uso de los vectores unitarios i y j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21, 27, 35 Uso de vectores para resolver problemas aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47 11.2 Operaciones elementales con vectores en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3 Para encontrar las componentes y los ángulos entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9 Para escribir y usar ecuaciones de esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 27 Prueba de si los vectores son paralelos: cálculo de ángulos directores . . . . . . . . . . . . . . 41, 43, 49 Uso de vectores para calcular el trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 55 11.3 Cálculo del producto cruz de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7 Uso del producto cruz para calcular áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17, 21, 23 11.4 Para escribir ecuaciones de líneas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 9, 13 Determinando si dos vectores son paralelos o sesgados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17 Para escribir ecuaciones de planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27, 31, 33 Cálculo de ángulos entre planos y líneas de intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 45 11.5 Cálculo de vectores de velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 13, 35 Cálculo de integrales de funciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Integración de los vectores de aceleración y velocidad para encontrar los vectores de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Solución de problemas de proyectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 63 11.6 Cálculo de la longitud de arco de una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cálculo de curvatura de curvas planas y en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 11, 27, 33 Cálculo de los vectores unitarios tangente y normal a la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 19, 37 Cálculo de las componentes tangencial y normal de la aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 43 11.7 Reconocimiento y bosquejo de superficies cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9, 11, 17, 25, 29 Para encontrar las ecuaciones de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33 Descripción de trazas de superficies cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 45 11.8 Conversión entre coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9, 19 Descripción de gráficas de ecuaciones con coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . . . . 23, 27, 29, 31 Conversiones entre ecuaciones con coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas . 43, 53

PROBLEMAS DIVERSOS 1. Suponga que M es el punto medio del segmento PQ en el espacio y que A es otro punto. Demuestre que  ! ! .! 0 C !1 /:  2. Sean a y b dos vectores diferentes de cero. Defina B Y A? D A A : A H .COMPB A/ jBj Pruebe que a⊥ es perpendicular a b, 3. Sean P y Q dos puntos diferentes en el espacio. Demuestre que el punto R está en la recta que pasa por P y Q si y sólo si ! ! existen los números a y b tales que a + b  1 y / 2  a/ 0 ! + b/ 1 . Concluya que !

!- D

!

!

R.T/ H T / 0 C. T// 1

es una ecuación paramétrica de la recta.

4. Concluya de los resultados del problema 3 que los puntos P, Q y R son colineales si y sólo si existen los números a, b y c, ! ! no todos cero, tales que a + b + c  0 y a/ 0 + b/ 1 + ! c/ 2  0. 5. Sean P(x0, y0), Q(x1, y1) y R(x2, y2) puntos en el plano xy. Utilice el producto cruz para demostrar que el área del triángulo PQR es ! D  j.X X /.Y Y / .X X /.Y Y /j:

6. Escriba la ecuación simétrica y la ecuación paramétrica de la línea que pasa por P1(1, −1, 0) y es paralela a v  2, −1, 3. 7. Escriba la ecuación simétrica y la ecuación paramétrica de la línea que pasa por P1(1, −1, 2) y P2(3, 2, −1). 8. Escriba una ecuación del plano que pasa por P(3, −5, 1) con vector normal n  i + j.

Capítulo 11

9. Demuestre que las rectas con ecuaciones simétricas x − 1  2(y + 1)  3(z − 2) y x − 3  2( y − 1)  3(z + 1) son paralelas. Posteriormente escriba una ecuación para el plano que contiene a las dos rectas. 10. Las líneas L1 y L2 tienen ecuaciones simétricas X XI Y YI Z ZI D D AI BI CI para i  1, 2. Demuestre que L1 y L 2 son líneas sesgadas si y sólo si X X Y Y Z  Z  A B C : A B C 11. Dados los cuatro puntos A(2, 3, 2), B(4, 1, 0), C(−1, 2, 0) y D(5, 4, −2), encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos A y B y es paralelo a la recta que pasa por C y D. 12. Con los puntos A, B, C y D del problema 11, encuentre los puntos P en la línea AB y Q en la línea CD tales que la recta PQ es perpendicular tanto a AB como a CD. ¿Cuál es la distancia d perpendicular entre las rectas AB y CD? 13. Sea P0(x0, y0, z0) un punto en el plano con ecuación ax + by + cz + d  0. ! Proyectando / 0 en el vector normal n  a, b, c, demuestre que la distancia D del origen a este plano es jDj $D p : A  C B C C 14. Demuestre que la distancia D del punto P1(x1, y1, z1) al plano ax + by + cz + d  0 es igual a la distancia del origen al plano con ecuación a(x + x1) + b(y + y1) + c(z + z1) + d  0. De esta manera, concluya a partir del resultado del problema 13 que jAX C BY C CZ  C Dj $H : p A  C B C C 15. Encuentre la distancia perpendicular entre los planos paralelos 2x − y + 2z  4 y 2x − y + 2z  13. 16. Escriba una ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y es normal a la hélice x  t, y  t 2, z  t 3 en ese punto. 17. Sea ABC un triángulo isósceles con |AB|  |AC|. Sea M el punto medio de BC. Use el producto punto para demostrar que AM y BC son perpendiculares. 18. Utilice el producto punto para demostrar que las diagonales de un rombo (un paralelogramo con los cuatro lados de la misma longitud) son perpendiculares entre ellos. 19. La aceleración de cierta partícula es a  i sen t − j cos t. Suponga que la partícula inicia en el tiempo t  0 en el punto (0, 1) y tiene una velocidad inicial v0  −i. Demuestre que su trayectoria es una circunferencia. 20. Una partícula se mueve en un campo de fuerza central atractiva con una fuerza proporcional a la distancia desde el origen. Esto implica que el vector de aceleración de la partícula es a  −ω2r, donde r es el vector de posición de la partícula.

21.

22.

23.

24.

25.

Problemas diversos

897

Suponga que la posición inicial es r0  pi y la velocidad inicial es v0  qωj. Demuestre que la trayectoria de la partícula es la elipse con ecuación x2/p2 + y2/q2  1. [Sugerencia: si x(t)  −k2x(t) (donde k es una constante), entonces x(t)  A cos kt + B sen kt para algunas constantes A y B.] En el tiempo t  0 un blanco en el suelo está a 160 ft de un cañón y se mueve alejándose del este con una rapidez constante de 80 ft/s. Si la velocidad de la bala al salir del cañón es 320 ft/s, ¿con qué ángulo de elevación α se debe disparar para dar en el blanco en movimiento? Suponga que un cañón con una velocidad de salida v0 se localiza al pie de una colina con una pendiente de 30°. ¿Con qué ángulo de elevación (respecto a la horizontal) se debe disparar el cañón para maximizar el alcance medido hacia arriba de la colina? Una partícula se mueve en el espacio con ecuaciones paramétricas x  t, y  t 2, z   t 3/2. Encuentre la curvatura de su trayectoria y las componentes tangencial y normal de su aceleración cuando t  1. El plano osculador a una curva en el espacio en un punto P de esa curva es el plano que pasa por P y es paralelo a los vectores unitarios tangente y normal principal en P. Escriba una ecuación del plano osculador de la curva del problema 23 en el punto .; ;  / Demuestre que la ecuación del plano que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralelo a los vectores v1a1, b1, c1 y v2  a2, b2, c2 se puede escribir en la forma X X A A

Y Y B B

Z Z C D : C

26. Deduzca del problema 25 que la ecuación del plano osculador (problema 24) a la curva paramétrica r(t) en el punto r(t0) se puede escribir de la forma [R − r(t0)] · [r(t0) × r(t0)]  0, donde R  x, y, z. Observe primero que los vectores T y N son coplanares con r(t) y r(t). 27. Use los resultados del problema 26 para escribir una ecuación para el plano osculador a una cúbica en espiral (hélice) x  t, y  t 2, z  t 3 en el punto (1, 1, 1). 28. Una curva paramétrica en el espacio está descrita por las ecuaciones r  r(t), θ  θ(t), z  z(t) que proporcionan las coordenadas cilíndricas de una partícula que se mueve por la curva para a t b. Utilice las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares y las cilíndricas para demostrar que la longitud de arco de la curva es B

DR DT

SH A



D C R DT



C



DZ DT

=

DT:

29. Un punto se mueve en la esfera unitaria ρ  1 con sus coordenadas angulares esféricas en el tiempo t dadas por φ  φ(t), θ  θ(t), a t b. Utilice las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares y esféricas para demostrar que la longitud de arco de su trayectoria es B

SD A

D DT



C .SEN  /

D DT



=

DT:

898

CAPÍTULO 11

Vectores, curvas y superficies en el espacio

30. El producto vectorial B  T × N de los vectores unitarios tangente y normal principal son el vector unitario binormal B de la curva. a) Derive B · T  0 para demostrar que T es perpendicular a d B/ds. b) Derive B · B  1 para demostrar que B es perpendicular a d B/ds. c) Concluya a partir de los incisos a) y b) que d B/ds  −τN para algún número τ. Llamada la torsión de la curva, τ mide la cantidad que la curva se tuerce en cada punto en el espacio. 31. Demuestre que la torsión de la hélice del ejemplo 7 de la sección 11.5 es constante, mostrando que este valor es B! D   : A ! C B 32. Deduzca de la definición de torsión (problema 30) que τ ≡ 0 para cualquier curva en la que r(t) está en un plano fijo. 33. Escriba una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie esférica con radio 1 y centro x  0  y, z  1. 34. Sea C una circunferencia en el plano yz con radio 1 y centro en y  1, z  0. Escriba las ecuaciones de la superficie que se obtiene al girar C alrededor del eje z, en coordenadas tanto rectangulares como esféricas. 35. Sea C una curva en el plano yz con ecuación ( y2 + z2)2  2(z2 − y2). Escriba la ecuación, en coordenadas esféricas, de la superficie que se obtiene al rotar esta curva alrededor del eje z. Luego bosqueje esta superficie. [Sugerencia: recuerde que r 2  2 cos 2θ es la ecuación polar de una curva con forma de ocho.] 36. Sea A el área del paralelogramo PQRS en el espacio deter! ! minado por los vectores A D 0 1 Y B D 0 3  Sea A el área de la proyección perpendicular de PQRS en un plano que forma un ángulo agudo γ con el plano de PQRS. Suponiendo que A  A cos γ en una situación como esa (esto es verdad), pruebe que las áreas de las proyecciones perpendiculares de el paralelogramo PQRS en los tres planos coordenados son |i · (a × b)|, |j · (a × b)| y |k · (a × b)|. Concluya que el cuadrado del área de un paralelogramo en el espacio es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de sus proyecciones perpendiculares en los tres planos coordenados. 37. Tome a  a1, a2, a3 y b  b1, b2, b3 en el problema 36. Demuestre que ! H

A B



A A C B B



A A C B B



A : B

38. Suponga que y  f (x) es la gráfica de una función para la cual f  es continua, suponga también que la gráfica tiene un punto de inflexión en (a, f (a)). Pruebe que la curvatura de la gráfica en x  a es cero. 39. Encuentre los puntos de la curva y  sen x donde la curvatura es máxima y aquéllos donde es mínima. 40. El lado derecho de la hipérbola x2 − y2  1 se puede parametrizar por x(t)  cosh t, y(t)  senh t. Encuentre el punto donde la curvatura es mínima. 41. Encuentre los vectores N y T en el punto de la curva x(t)  t cos t, y(t)  t sen t que corresponde a t  π/2. 42. Encuentre los puntos en la elipse x2/a2 + y2/b2  1 (con a > b > 0) donde la curvatura es máxima y aquéllos en los que es mínima. 43. Suponga que la curva plana r  f (θ) está dada en coordenadas polares. Escriba r en lugar de f (θ) y r en lugar de f (θ). Demuestre que la curvatura está dada por H

jR  C .R / RR j : TR  C .R / U=

44. Utilice la fórmula en el problema 43 para calcular la curvatura κ(θ) en el punto (r, θ) de la espiral de Arquímedes con ecuación r  θ. Luego demuestre que κ(θ) → 0 cuando θ → +∞. 45. Una curva en la vía del ferrocarril debe unir dos tramos rectos de vía, uno que se extiende al oeste desde (−1, −1) y el otro que se extiende al este desde (1, 1). Determine A, B y C para que la curva y  Ax + Bx3 + Cx5 una (−1, −1) y (1, 1) y que la pendiente y la curvatura de esta curva sean cero en ambos extremos. 46. Un plano que pasa por el origen y no es paralelo a ninguno de los planos coordenados tiene una ecuación de la forma Ax + By + Cz  0 e interseca la superficie esférica x2 + y2 + z2  R2 en un círculo máximo. Encuentre el punto más alto en el círculo máximo; es decir, encuentre las coordenadas del punto que tiene la coordenada z más grande. 47. Suponga que un tetraedro en el espacio tiene un ángulo recto sólido en un vértice (como una esquina de un cubo). Suponga que A es el área del lado opuesto al ángulo recto sólido y que B, C y D son las áreas de los otros tres lados. a) Pruebe que A2  B2 + C2 + D2. b) ¿De qué famoso teorema es ésta la versión en tres dimensiones?

12

Diferenciación parcial

en el espacio, restringida a moverse sobre una superficie definida por una ecuación de la forma g(x, y, z)  0. En la sección 12.9 se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange al problema de maximizar una función f (x, y, z) sujeta a una “restricción” de la forma g(x, y, z)  0. Hoy día, este método tiene aplicaciones que abarcan la maximización del combustible que requiere una nave espacial para lograr la trayectoria deseada hasta la maximización de la productividad de una empresa comercial limitada por la disponibilidad de recursos financieros, naturales y de personal. Es frecuente que la visualización científica moderna utilice técnicas de graficación en computadora para presentar interpretaciones diferentes de los mismos datos de manera simultánea en una misma figura. La siguiente ilustración muestra tanto la gráfica de una superficie z  f (x, y) como un mapa de curvas de nivel que parecen encerrar puntos (x, y) que corresponden a fosos y picos en la superficie. En la sección 12.5 aprenderemos a localizar puntos máximos y mínimos con varias variables, como los que se aprecian en esta superficie.



 Z

J

oseph Louis Lagrange es recordado por sus grandes tratados sobre mecánica analítica y teoría de funciones, que resumieron gran parte de las matemáticas puras y aplicadas del siglo xviii. En dichos tratados —Mécanique analytique (1788), Théorie des fonctions analytiques (1797) y Leçons sur le calcul des fonctions (1806)— desarroJoseph Louis Lagrange lló y aplicó con amplitud el (1736-1813) cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables expresadas en términos de las coordenadas rectangulares x, y y z en el espacio tridimensional. Fueron escritos y publicados en París durante el último cuarto de siglo de la carrera de Lagrange, pero él creció y pasó sus primeros 30 años en Turín, Italia. El padre de Lagrange lo orientaba hacia el derecho, pero cuando éste cumplió 17 años decidió seguir una carrera en ciencia y matemáticas. Con base en su trabajo inicial sobre mecánica celeste (el análisis matemático de los movimientos de los planetas y satélites del sistema solar), Lagrange siguió en 1766 a Leonhard Euler como director de la Academia de Berlín, en Alemania. Lagrange consideraba su ambicioso trabajo sobre problemas de máximos y mínimos como su mejor obra de matemáticas. Este trabajo, que continuó durante toda su larga carrera, se remonta a una carta a Euler que Lagrange escribió en Turín cuando tenía sólo 19 años de edad. La carta bosquejaba un nuevo enfoque para cierta clase de problemas de optimización que comprendían el cálculo de variaciones. Un ejemplo común es el problema isoperimétrico, que pregunta cuál es la curva con una longitud de arco dada que encierra la región plana con la mayor superficie (respuesta: la circunferencia). En su Mécanique analytique, Lagrange aplicó su “método de los multiplicadores” para investigar el movimiento de una partícula



 





 Y 



 













X

899

900

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

12.1 INTRODUCCIÓN Aquí y en los capítulos 13 y 14 prestaremos atención al cálculo de funciones de más de una variable. Muchas funciones del mundo real dependen de dos o más variables. Por ejemplo: • En la química física se utiliza la ley de los gases ideales pV  n R T (donde n y R son constantes) para expresar cualquiera de las variables p (presión), V (volumen) y T (temperatura) como función de las otras dos. • La altitud sobre el nivel del mar de una localidad en particular de la superficie de la Tierra depende de su latitud y longitud. • Las utilidades de un fabricante depende de las ventas, los costos indirectos, el costo de la materia prima utilizada y, en muchos casos, de variables adicionales. • La cantidad de energía utilizable que un panel solar aprovecha depende de su eficiencia, el ángulo de inclinación respecto a los rayos solares, el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte y de otros factores. Z

X

Y

FIGURA 12.1.1 Una caja cuyo costo total se desea minimizar

Una aplicación común es aquella que requiere que se encuentre un valor extremo de una función de varias variables. Por ejemplo, suponga que se desea minimizar el costo por la fabricación de una caja rectangular que tenga un volumen de 48 ft3, dado que los lados del frente y posterior cuestan $1/ft2, las partes superior e inferior tienen un costo de $2/ft2, y sus dos extremos cuestan $3/ft2. La figura 12.1.1 muestra dicha caja con longitud igual a x, ancho de y, y altura de z. En las condiciones dadas su costo total será C  2xz + 4xy + 6yz

(dólares).

Pero x, y y z no son variables independientes porque la caja tiene un volumen fijo V  xyz  48. Si, por ejemplo, se elimina z de la primera fórmula por medio de la segunda, como z  48/(xy), el costo que se desea minimizar está dado por # D X Y C

  C : X Y

Debido a que ninguna de las variables x o y se puede expresar en términos de la otra, en este caso no es posible aplicar las técnicas para hallar máximos y mínimos con una sola variable que se estudiaron en el capítulo 3. Necesitamos nuevas técnicas de optimización aplicables a funciones de dos o más variables independientes. En la sección 12.5 volveremos a este problema. El problema de optimización es tan sólo un ejemplo. En este capítulo veremos que muchos de los componentes principales del cálculo diferencial con una sola variable —límites, derivadas y razón de cambio, cálculos con la regla de la cadena y técnicas para hallar máximos y mínimos— se generalizan a funciones de dos o más variables.

12.2 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Recuerde que en la sección 1.1 vimos que una función evaluada en los reales es una regla de correspondencia f que asocia un número real único con cada elemento de un conjunto D. Hasta este momento, el dominio D siempre ha sido un subconjunto de la recta de los reales para las funciones de una sola variable que hemos estudiado. Si D es un subconjunto del plano, entonces f es una función de dos variables —para la cual, dado un punto P de D, asociamos de manera natural a P con sus coordenadas rectangulares (x, y).

DEFINICIÓN Funciones de dos o tres variables Una función de dos variables, definida en el dominio D en el plano, es una regla f que asocia a cada punto (x, y) en D un número real único, denotado por f (x, y). Una función de tres variables, definida en el dominio D en el espacio, es una regla f que asocia a cada punto (x, y, z) en D un número real único f (x, y, z).

SECCIÓN 12.2

Funciones de varias variables

901

Es común definir una función f de dos (o tres) variables por medio de una fórmula que especifica f (x, y) en términos de x y y (o f (x, y, z) en términos de x, y y z). En caso de que el dominio D de f no se especifique en forma explícita, se toma como aquel que consiste en todos los puntos para los que la fórmula dada es significativa. EJEMPLO 1

El dominio de la función f con la fórmula F .X; Y/ H

 X  Y 

es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 25 − x 2 − y2 0, es decir, el círculo x 2 + y2 25 de radio 5 con centro en el origen. De manera similar, la función g definida como XCYCZ G.X; Y; Z/ H X  C Y C Z está definida en todos los puntos del espacio en los que x 2 + y2 + z2 > 0. Así, su dominio consiste en todos los puntos del espacio tridimensional R3 distintos del origen (0, 0, 0). Z Y

EJEMPLO 2

XY XY

Encuentre el dominio de definición de la función cuya fórmula es Y F .X; Y/ H :  X Y

También encuentre los puntos (x, y) en los que f (x, y)  ±1. X

FIGURA 12.2.1 El dominio de Y F .X; Y/ H (ejemplo 2). X Y

Solución Para que f (x, y) esté definida, el radicando x − y2 debe ser positivo —es decir, y2 < x. De esta forma, el dominio de f es el conjunto de puntos que quedan estrictamente a la derecha de la parábola x  y2. Este dominio está sombreado en la figura 12.2.1. La parábola en la figura aparece señalada con línea punteada para indicar que no está incluida en el dominio de f ; en la ecuación (1), cualquier punto para el que x  y2 implicaría una división entre cero. La función f (x, y) tiene el valor ±1 siempre que Y H I X Y es decir, cuando y2  x − y2, de modo que x  2y2. Así, f (x, y)  ±1 en cada punto de la parábola x  2y2 [distinto de su vértice (0, 0), que no queda incluido en el dominio de f ]. Esta parábola se indica con una curva continua en la figura 12.2.1. Z En una situación geométrica, física o económica, es común que una función resulte de expresar una variable descriptiva en términos de otras. Como se vio en la sección 12.1, el costo C de la caja que se describió está dado por la fórmula   C # D X Y C X Y en términos de la longitud, x y y de la caja. El valor C de esta función es una variable que depende de los valores de x y y. De ahí que llamemos a C la variable dependiente, en tanto que x y y son las variables independientes. Y si la temperatura T en el punto (x, y, z) en el espacio estuviera dada por cierta fórmula T  h(x, y, z), entonces la variable dependiente T sería función de las tres variables independientes x, y y z. Es posible definir una función de cuatro o más variables por medio de una fórmula que incluya el número apropiado de variables independientes. Por ejemplo, si una cantidad A de calor se libera en el origen en el espacio en t  0 en un medio con difusividad térmica k, entonces —en las condiciones apropiadas— la temperatura T en el punto (x, y, z) en el momento t > 0 está dada por la expresión 4 .X; Y; Z; T/ D

X  C Y C Z ! : EXP . K T/= K T

Si A y k son constantes, entonces esta fórmula proporciona la temperatura T como función de las cuatro variables independientes x, y, z y t.

902

CAPÍTULO 12

Z

Diferenciación parcial

Debe tomarse en cuenta que las diferencias principales entre el cálculo con una variable y el que se realiza con varias se hacen evidentes cuando se utilizan sólo dos variables independientes. Por ello, muchos de nuestros resultados se plantearán en términos de funciones de dos variables. La mayor parte de dichos resultados se generalizan con rapidez por analogía con el caso de tres o más variables independientes.

X Y F X Y

!LTURA F X Y

Gráficas y curvas de nivel $

X

Y X Y 

FIGURA 12.2.2 Es común que la gráfica de una función de dos variables sea una superficie “sobre” el dominio de la función.

Se visualiza la manera en que “opera” una función f de dos variables en términos de su gráfica. La gráfica de f es la de la ecuación z  f (x, y). De este modo, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos con coordenadas (x, y, z) en el espacio, que satisfacen la ecuación z  f (x, y), como se ilustra en la figura 12.2.2. Los planos y las superficies cuadráticas de las secciones 11.4 y 11.7 proporcionan ejemplos sencillos de gráficas de funciones de dos variables. EJEMPLO 3

Z   

Z  X  Y    Y

  

Dibuje la gráfica de la función F .X; Y/ H   X  Y

Solución A partir del estudio de la sección 11.4, sabemos que la gráfica de la ecuación Z H   X  Y es un plano, y se visualiza con el empleo de sus intersecciones con los ejes coordenados para graficar la parte que se encuentra en el primer octante del espacio. Es claro que z  2 si x  y  0. Asimismo, la ecuación proporciona y  6 si x  z  0 y x  4 si y  z  0. Por tanto, la gráfica se ve como lo muestra la figura 12.2.3. Z EJEMPLO 4 La gráfica de la función f (x, y)  x 2 + y2 es el paraboloide circular con el que estamos familiarizados, z  x 2 + y2 (ver sección 11.7), que aparece en la figura 12.2.4. Z EJEMPLO 5 Encuentre el dominio de definición de la función

X

FIGURA 12.2.3 Gráfica del plano del ejemplo 3.

G.X; Y/ H

 

 X  Y 



y dibuje su gráfica.

Solución La función g está definida en los lugares que cumplen con X  Y   —es decir, X  C  Y  — de manera que la ecuación (2) no involucre la raíz cuadrada de un número negativo. Así, el dominio de g es el conjunto de puntos en el plano xy que están sobre y dentro de la elipse X  C  Y  H  (ver figura 12.2.5). Si se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación Z D   X  Y  y se simplifica el resultado, se obtiene la ecuación X  C  Y  C Z  H  de un elipsoide con semiejes a  1, b  2 y c  1 (ver sección 11.7). Pero g(x, y) según se definió en la ecuación (2), es no negativa en cualquier lugar en el que esté definida, por lo que la gráfica de g es la mitad superior del elipsoide (ver figura 12.2.6). Z Z

Y  X  Y 

 /

Y







X





X

FIGURA 12.2.4 El paraboloide es la gráfica de la función f (x, y)  x 2 + y2.

X  



FIGURA 12.2.5 El dominio de la función G.X; Y/ H   X  Y  

Z

 





 Y





FIGURA 12.2.6 La grafica de la función g es la mitad superior del elipsoide.

SECCIÓN 12.2

Funciones de varias variables

903

La intersección del plano horizontal z  k con la superficie z  f (x, y) se denomina curva de contorno de altura k sobre la superficie (ver figura 12.2.7). La proyección vertical de esta curva de contorno en el plano xy es la curva de nivel f (x, y)  k de la función f. Así, una curva de nivel de f es tan sólo un conjunto en el plano xy en el que el valor de f (x, y) es constante. En un mapa topográfico, como el que se muestra en la figura 12.2.8, las curvas de nivel son las de altitud constante sobre el nivel del mar.

Z #URVADE CONTORNO

ZK





#URVADE NIVEL

X





/

3TORM0EAK 

Y







-OUNT,ADY7ASHINGTON

"OULDER&IELD



FIGURA 12.2.7 Curva de contorno y la curva de nivel correspondiente 4HE +EYHOLE

0EACOCK 0OOL

#HASM 6IEW #HASM,AKE

4HE 4ROUGH







,ONGS0EAK 

-ILLS'LACIER

3HIPS0ROW

+EYBOARD OFTHE7INDS

0AGODA-OUNTAIN

4HE ,OFT



FIGURA 12.2.8 Región cerca de Longs Peak, Parque Nacional de las Montañas Rocallosas, Colorado, que muestra líneas de contorno a intervalos de 200 pies.

Las curvas de nivel ofrecen una manera de representar en dos dimensiones una superficie tridimensional z  f (x, y), del mismo modo que el mapa en dos dimensiones que se ilustra en la figura 12.2.8 representa una cordillera en tres dimensiones. Esto se hace con el dibujo de curvas de nivel comunes de z  f (x, y) en el plano xy, para luego etiquetar cada una con el valor correspondiente (constante) de z. La figura 12.2.9 ilustra este proceso para una colina sencilla. EJEMPLO 6 La figura 12.2.10 muestra algunas curvas de contorno comunes sobre el paraboloide z  25 − x 2 − y2 . En la figura 12.2.11 se presentan las curvas de nivel correspondientes. Z 0IES  

Y

  

    

FIGURA 12.2.9 Curvas de contorno y curvas de nivel de una colina.

Z Z Z Z Z

     Z   

Z Z Z Z Z Y













X

FIGURA 12.2.10 Curvas de contorno sobre la superficie z = 25 − x 2 − y 2.

FIGURA 12.2.11 Curvas de nivel de la función f (x, y) = 25 − x 2 − y 2.

X

904

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial 

   

 

Z

Y 

       



Y













 X



X



FIGURA 12.2.12 Curvas de nivel de la función f (x, y) = y 2 − x 2.

EJEMPLO 7

FIGURA 12.2.13 Curvas de contorno sobre z = y 2 − x 2 (ejemplo 7).

Dibuje algunas curvas de nivel comunes para la función f (x, y)  y2 − x 2.

Solución Si k H 0, entonces la curva y2 − x 2  k es una hipérbola (ver sección 9.6) que se abre a lo largo del eje y si k > 0, a lo largo del eje x si k < 0. Si k  0 entonces se tiene la ecuación y2 − x 2  0, cuya gráfica consiste en las dos líneas rectas y  x y y  −x. La figura 12.2.12 muestra algunas de las curvas de nivel, cada una con la leyenda que corresponde al valor constante de z. La figura 12.2.13 muestra curvas de contorno sobre el paraboloide hiperbólico z  y2 − x 2 (ver sección 11.7). Observe que el punto silla en el origen del paraboloide corresponde al punto de intersección de las dos curvas de nivel y  x y y  −x en la figura 12.2.12. Z La gráfica de una función f (x, y, z) de tres variables no puede dibujarse en tres dimensiones, pero se visualizan con facilidad sus superficies de nivel de la forma f (x, y, z)  k. Por ejemplo, las superficies de nivel de la función f (x, y, z)  x 2 + y2 + z 2 son esferas (superficies esféricas) con centro en el origen. Así, las superficies de nivel de f son los conjuntos en el espacio en los que el valor f (x, y, z) es constante. Si la función f proporciona la temperatura en la ubicación (x, y) o (x, y, z), entonces sus curvas o superficies de nivel se denominan isotermas. Es común que un mapa climático incluya curvas de nivel de la presión atmosférica al nivel del suelo, llamadas isobaras. Aun si fuera posible elaborar la gráfica de una función de dos variables, sería tan complicada que la información acerca de ella (o la situación que describiera) sería confusa. Con frecuencia, las curvas de nivel ofrecen más información por sí mismas, como en los mapas climáticos. Por ejemplo, la figura 12.2.14 muestra curvas de nivel para el número de días al año en que se pronostica contaminación alta del aire en





   



 

 



 

    %SCALA  

0RON˜STICOPOTENCIAL DELOSD¤ASDEALTA CONTAMINACI˜NATMOSF£RICA

4OTALDAYS /VER n n n n n n n NONE

FIGURA 12.2.14 Pronóstico de los días de alta contaminación atmosférica en Estados Unidos (tomado de National Atlas of the United States, U.S. Department of the Interior, 1970).

SECCIÓN 12.2

905

diferentes lugares de Estados Unidos. La escala de esta figura no muestra variaciones locales ocasionadas por ciudades individuales, pero una mirada indica que el oeste de Colorado, el sur de Georgia y el centro de Illinois esperan el mismo número (10, en este caso) de días con mucha contaminación por año.

Z W  W

Funciones de varias variables

W  W W



EJEMPLO 8



La figura 12.2.15 muestra algunas superficies de nivel de la función F .X; Y; Z/ D X  C Y  Z  :



X

FIGURA 12.2.15 Algunas superficies de nivel de la función w  f (x, y, z)  x 2 + y2 − z2 (ejemplo 8).

Y

Si k > 0, entonces la gráfica x 2 + y2 − z2  k es un hiperboloide de una hoja, mientras que si k < 0, entonces es uno de dos hojas. El cono x 2 + y2 − z2  0 se encuentra entre estos dos tipos de hiperboloides. Z

Gráficas de computadora Muchos sistemas de cómputo tienen rutinas de graficación de contornos y superficies, como los comandos de Maple siguientes: plot3d(y∧2 - x∧2, x = -3..3, y = -3..3); with(plots):

contourplot(y∧2 - x∧2, x = -3..3, y = -3..3);

y los del paquete Mathematica Plot3D[ y∧2 - x∧2, {x,-3,3}, {y,-3,3} ] ContourPlot[ y∧2 - x∧2, {x,-3,3}, {y,-3,3} ]

para la función f (x, y)  y 2 − x 2 del ejemplo 7. EJEMPLO 9 La figura 12.2.16 muestra la gráfica y algunas curvas de contorno proyectadas de la función F .X; Y/ H .X  Y  / EXP.X  Y  /:

Observe los patrones de las curvas de nivel anidadas que indican “fosas” y “picos” en la superficie. En la figura 12.2.17, las curvas de nivel que corresponden a los contornos de la superficie por arriba del plano xy aparecen en color anaranjado, mientras que los que están por debajo de dicho plano se indican con gris claro. De esta manera es posible apreciar los picos y las fosas. Parece probable que la superficie tenga picos en los puntos (±1, 0) sobre el eje x en el plano xy, y fosas en los puntos (0, ±1) en el eje y. Debido a que f (x, ±x) ≡ 0, las dos rectas a 45° y  ±x que se observan en la figura 12.2.17 también son curvas de nivel; se intersecan en el punto (0, 0) en el plano que corresponde Z al punto silla o “paso” (como en un paso de montaña) sobre la superficie.

Z







 











Y 









  Y











 X







FIGURA 12.2.16 Gráfica y curvas de contorno 2 2 proyectadas de la función f (x, y) = (x 2 − y 2)e − x − y .









 X







FIGURA 12.2.17 Curvas de nivel para la función f (x, y) = 2 2 (x 2 − y 2)e − x − y .

En la sección 12.5 estudiaremos métodos analíticos para localizar con exactitud los puntos máximos y mínimos de funciones de dos variables, pero el ejemplo 9 indica que las curvas de nivel constituyen una herramienta valiosa para localizarlos en forma aproximada.

COMENTARIO

906

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

EJEMPLO 10

Z

La superficie Z D SEN

R

FIGURA 12.2.18 La curva z  sen r (Ejemplo 10)

Z

X  C Y



es simétrica respecto al eje z porque la ecuación (3) se reduce a z  sen r (ver figura 12.2.18) en términos de la coordenada radial R H X  C Y  que mide la distancia perpendicular a partir del eje z. La superficie z  sen r se obtiene girando la curva z  sen x alrededor del eje z. De ahí que sus curvas de nivel sean circunferencias con centro en el origen en el plano x y. Por ejemplo, si r es un múltiplo entero de π, z  0, pero z  ±1 si r es cualquier múltiplo entero de π/2. La figura 12.2.19 muestra las trazas de esta superficie en planos paralelos al plano yz. El “efecto sombrero” se obtuvo al graficar (x, y, z) para aquellos puntos que quedan dentro de cierta elipse en el plano xy. Z Dada una función arbitraria f (x, y), puede ser muy difícil dibujar a mano la superficie z  f (x, y). El ejemplo 11 ilustra algunas técnicas especiales que son útiles. En lo que resta de este capítulo se verán más técnicas para dibujar superficies.

Y

EJEMPLO 11

Investigue la gráfica de la función F .X; Y/ H  Y  C

X

FIGURA 12.2.19 La superficie tipo sombrero Z H SEN X  C Y  (ejemplo 10).

  Y 



  Y 

X :



Solución La clave característica de la ecuación (4) es que el lado derecho es la suma de una función de x y otra de y. Si se hace x  0 se obtiene la curva Z D  Y  C

  Y 



  Y 



en la que la superficie z  f (x, y) interseca al plano yz. Pero si en la ecuación 4 se hace y  y0, se obtiene

Z

  Y  

ZH

C

  Y  



  Y  

X I

ESDECIR ZK X

Z D K X ; X



que es la ecuación de una parábola en el plano xz. Entonces, la traza de z  f (x, y) en cada plano y  y0 es una parábola de la forma de la ecuación 6 (ver figura 12.2.20). Se utilizan las técnicas de la sección 4.5 para dibujar la curva de la ecuación 5. Al calcular la derivada de z respecto a y se obtiene      DZ H Y C Y  Y  D Y.Y  Y / D Y.Y C /.Y /: DY     

De ahí que los puntos críticos sean y  −3, y  0 y y  4. Los valores correspondientes de z son

FIGURA 12.2.20 Intersección de z  f (x, y) con el plano y  y0 (ejemplo 11).

F .; / H

Z

 

  



FIGURA 12.2.21 La curva     Z D  Y  C  Y  Y (ejemplo 11).

 :;

F .; / D 

Y

F .; / H

 

 ::

Debido a que z → −∞ cuando y → ±∞, se sigue con claridad que la gráfica de la ecuación (5) tiene la apariencia que se presenta en la figura 12.2.21. Ahora se observa el aspecto de la superficie z  f (x, y). Cada plano vertical y  y0 interseca la curva de la ecuación (5) en un solo punto, el cual es el vértice de una parábola que se abre hacia abajo, según la ecuación (6); esta parábola es la intersección del plano con la superficie. Así, la superficie z  f (x, y) se genera con la traslación del vértice de dicha parábola a lo largo de la curva





 

Y

Z H  Y  C

  Y 



  Y ; 

como se indica en la figura 12.2.22. La figura 12.2.23 muestra algunas curvas de contorno comunes sobre esa superficie. Indican que la superficie se asemeja a dos picos separados por un paso de montaña. La figura 12.2.24 corresponde a una gráfica de computadora de curvas de nivel de la función f (x, y). Las curvas de nivel anidadas que encierran los puntos / .; ;  / de la super(0, −3) y (0, 4) corresponden a los picos en el punto .; ;   y  ficie z  f (x, y). La curva de nivel en forma de ocho que pasa por (0, 0) marca el punto

SECCIÓN 12.2

Funciones de varias variables Y

907

Z  Z  Z Z

  Z Z Z

  Z

Z











X





 Z Z

Y

Y

X

X

FIGURA 12.2.22 Traza de las parábolas de z  f (x, y) (ejemplo 11).

FIGURA 12.2.23 Curvas de contorno sobre z  f (x, y) (ejemplo 11).

FIGURA 12.2.24 Curvas de nivel de la función F .X Y/ H  Y  C    Y



   Y

X  (ejemplo 11).

silla (o paso) que se observa en el origen sobre la superficie que se muestra en las figuras 12.2.22 y 12.2.23. Los valores extremos y puntos silla de las funciones de dos variables se estudian en las secciones 12.5 y 12.10. Z

12.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que la función f de dos variables está definida por una fórmula que da el valor f (x, y) en términos de x y y. Si el dominio D no se especifica en forma explícita, entonces se considera que D consiste en todos los puntos para los que la fórmula dada es significativa. 2. El dominio de la función f definido por la fórmula F .X; Y/ D

 X  Y 

es el conjunto de todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5. 3. Si el costo C(x, y) de una caja con longitud de base igual a x y altura y, está dado por   # D X Y C C ; X Y entonces C es una variable independiente y x y y son variables dependientes. 4. La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos en el espacio con coordenadas de la forma (x, y, f (x, y)). 5. La gráfica de la función F .X; Y/ H   X  Y es un plano. 6. La gráfica de la función G.X; Y/ H   X  Y  es un elipsoide. 7. Una curva de nivel de una función f de dos variables es precisamente lo mismo que una curva de contorno de f. 8. Si k es una constante, entonces la gráfica de la función x 2 + y2 − z2  k es un hiperboloide de una hoja, debido a que sólo hay un signo menos en el lado izquierdo de la ecuación.

908

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

9. El patrón de las curvas de nivel de una función f (x, y) se ve en esencia igual cerca de un punto (x, y) correspondiente a un “pico” de la superficie z  f (x, y), que cerca de un punto correspondiente a un punto silla o “paso”. En particular, en cualquier caso se ven las curvas de nivel encerrando al punto en cuestión. 10. Toda curva de nivel de la función      Y F .X; Y/ H Y  C Y X    es una curva cerrada que encierra al punto (0, −3) o al (0, 4).

12.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Resuma la relación entre las curvas de nivel de una función f (x, y) y los fosos, picos y pasos de la superficie z  f (x, y). En pocas palabras, ¿cómo se localizan los fosos, picos y pasos al ver una gráfica de las curvas de nivel? 2. Proporcione ejemplos de otros tipos de datos de su país susceptibles de presentarse en forma de un mapa de contornos (curvas de nivel) como el de la figura 12.2.14. 3. La función graficada en el ejemplo 11 es de la forma z  f (x) + g(y), la suma de funciones de una sola variable de las dos variables independientes x y y. Describa un modo de dibujar la gráfica de cualquier función como esa.

12.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 20, ofrezca el dominio más grande posible de definición de la función dada f.  F .X; Y/ D  X Y  F .X; Y/ H  F .X; Y/ D

 F .X; Y/ D

 X  C Y 

Y X

 F .X; Y/ D SEN .X  C Y  /

Z

X  C Y 

 F .X; Y/ D

 XY

 F .X; Y/ H

p p X C  Y

 F .X; Y/ D TAN

Y X

   





  Y     X





FIGURA 12.2.26 Gráfica  C SEN.X Y/ del problema 14. ZD X  C Y

 F .X; Y/ D

 F .X; Y/ D EXP.X  Y  /MMMMFIGURA

X

 F .X; Y; Z/ D

XY Y  Z X  Y

 F .X; Y; Z/ H EXP

X

 C Y C Z

 F .X; Y; Z/ H LN.X YZ/  F .X; Y; Z/ D LN.Z X  Y  /  F .X; Y; Z/ D SEN  . X  Y  Z  / FIGURA 12.2.25 Gráfica de la función del problema 9.

En los problemas 21 a 30, describa la gráfica de la función f.  F .X; Y/ H   F .X; Y/ D X  F .X; Y/ D X C Y





 F .X; Y/ D LN.X Y /

 F .X; Y/ D X  C Y   F .X; Y/ D

 F .X Y/ D LN.Y X/



 F .X; Y/ D   F .X; Y/ D  F .X; Y/ D

 X  Y

X  C Y

 F .X; Y/ D  X  Y 

X



Y

 F .X; Y/ D  Y 

X  C Y

 F .X; Y/ D  X  Y 

 C SEN X Y XY

 C SEN X Y  F .X; Y/ H  X C Y

 F .X; Y/ H

En los problemas 31 a 40, dibuje algunas curvas de nivel comunes de la función f. FIGURA

 F .X; Y/ D X Y

 F .X; Y/ H X  Y 

 F .X; Y/ D X  C Y 

 F .X; Y/ D Y X 

SECCIÓN 12.2

 F .X; Y/ D Y X  

 F .X; Y/ D X C Y X  F .X; Y/ D X  C Y  X C Y C   F .X; Y/ D EXP.X  Y  /   F .X; Y/ D  C X  C Y

En los problemas 41 a 46, describa las superficies de nivel de la función f.  F .X: Y; Z/ D X  C Y  Z  F .X; Y; Z/ D Z C

C

909

En los problemas 53 a 58, muestre las gráficas de seis funciones z  f (x, y). Las figuras 12.2.39 a 12.2.44 muestran gráficas de las curvas de nivel para las mismas funciones pero en otro orden: las curvas de nivel de cada figura corresponden a alturas de contornos espaciadas por igual sobre la superficie z  f (x, y). Relacione cada superficie con sus curvas de nivel.

 F .X; Y/ D Y COS X 

X

Funciones de varias variables

 Z D

  C X  C Y

jXj  jYj 

FIGURA

Z

Y

 F .X; Y; Z/ H X  C Y  C Z  X Y Z  F .X; Y; Z/ D Z  X  Y   F .X; Y; Z/ D X  C Y  X Y C   F .X; Y; Z/ D X  C Y  C 

X

En los problemas 47 a 52, la función f (x, y) es la suma de una función de x y otra de y. Por tanto, es posible utilizar el método del ejemplo 11 para elaborar un esquema de la superficie z  f (x, y). Relacione cada función con su gráfica en las figuras 12.2.27 a 12.2.32.   Z 





 

 X



    Y



&)'52! 

   Z 





Y

&)'52!  Z H jX j

 jYj

 Z D R  EXP.R  / COS FIGURA

  C X  C Y

  



jXj

 jYj



Z Y

 

 X



X

     Y

&)'52!  &)'52!  Z H R  EXP.R  / COS 

   Z   





  

jX j

        Y X

  Z 





 

 Z D COS

 X



&)'52! 

&)'52! 

 

 Z





   Z   



 

 

 X









 

 Y

&)'52! 

 jYj

; R

X  C Y

jXj  jYj 

FIGURA

Z

     Y

Y

&)'52!  Z H COS jX j  jYj  

    Y

 

 Z D X EXP.X  Y  /

&)'52! 

jXj  jY

X  C Y



FIGURA

Z

 F .X; Y/ H X  C Y   F .X; Y/ D X Y   F .X; Y/ D X  X C  Y  F .X; Y/ H X  Y   F .X; Y/ D X  C Y  Y   F .X; Y/ D Y  Y  Y C X 





X

 X

 

X

&)'52!  Z H X jX j  jYj 

Y

EXP.X 

Y  /

910 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

 Z H .X  C Y  / EXP.X  Y  / FIGURA

jXj : jYj :

Z Y

Y

Y X

&)'52!  Z H .X  C Y  / EXP.X  Y  / jX j : jYj :

 Z H X Y EXP  .X  C Y  / FIGURA

X

X

&)'52! 

&)'52! 

Y

Y

jXj : jYj :

Z

Y

X

&)'52!  Z H X Y EX P  .X  C Y  / jX j

: jYj

:

59. Use una computadora para investigar las superficies de la forma z  (ax + by) exp(−x 2 − y2). ¿Cómo dependen el número y ubicación de los picos y fosas aparentes de los valores de las constantes a y b? 60. Utilice una computadora para graficar la superficie z  (ax 2 + 2bxy + cy2) exp(−x 2 − y2) con diferentes valores de los parámetros a, b y c. Describa los tipos distintos de superficies que se obtienen de esa manera. ¿De qué modo dependen el número y localización de los picos y fosas aparentes de los valores de las constantes a, b y c? 61. Emplee una computadora para investigar las superficies de la forma z  r 2 exp(−r 2) sen nθ. ¿Cómo es la dependencia entre la cantidad y localización entre los picos y fosas aparentes y el valor el entero n? 62. Repita el problema 61 con superficies de la forma z  r 2 exp(−r 2) cos2 nθ.

X

X

&)'52! 

&)'52! 

Y

Y

X

&)'52! 

X

&)'52! 

12.3 LÍMITES Y CONTINUIDAD Se necesitan límites de funciones de varias variables por las mismas razones que eran necesarios para funciones de una sola variable —para poder hablar de continuidad, pendientes y tasas de cambio—. Tanto la definición como las propiedades básicas de los límites de funciones de varias variables en esencia son las mismas que se enunciaron en la sección 2.2 para funciones de una variable. Por sencillez, aquí se plantearán únicamente para funciones de dos variables x y y; para una función de tres variables debe reemplazarse la pareja (x, y) por la tripleta (x, y, z). Para una función f de dos variables, se pregunta el número (si hay alguno) al que tienden los valores de f (x, y) conforme (x, y) tiende al punto fijo (a, b) en el plano de coordenadas. Para una función f de tres variables se pide el número (si lo hay) al que tienden los valores f (x, y, z) conforme (x, y, z) tiende al punto fijo (a, b, c) en el espacio.

SECCIÓN 12.3

Límites y continuidad

911

EJEMPLO 1 Los datos numéricos de la tabla de la figura 12.3.1 sugieren que los valores de la función f (x, y)  xy tienden a 6 conforme x → 2 y y → 3 de manera simultánea —es decir, conforme (x, y) se aproxima al punto (2, 3). Por tanto, resulta natural escribir Z X Y H : L¤M .X;Y/!.;/

X

Y

F .X; Y/ D X Y REDONDEADO

      # 

      # 

      # 

FIGURA 12.3.1 Datos numéricos del ejemplo 1.

Ésta es nuestra idea intuitiva del límite de una función de dos variables. Decimos que el número L es el límite de la función f (x, y) conforme (x, y) se acerca al punto (a, b) y escribimos L¤M

.X;Y/!.A;B/

F .X; Y/ H ,



una vez demostrado que el número f (x, y) se acerca a L tanto como queramos con sólo elegir el punto (x, y) lo suficientemente próximo —pero no igual— al punto (a, b). Para precisar esta idea intuitiva debemos especificar qué tan cerca de L —digamos que dentro de la distancia  > 0— queremos que esté f (x, y), y después lo cercano que debe estar (a, b) al punto (x, y) a fin de lograr lo anterior. Consideramos que el punto (x, y) está cerca de (a, b), probado que se halla dentro de un pequeño disco circular (ver la figura 12.3.2) con centro en (a, b) y radio δ, donde δ es un número positivo pequeño. El punto (x, y) está dentro de este disco si y sólo si

Y

D A B

X

FIGURA 12.3.2 El disco circular con centro en (a, b) y radio δ.

.X A/ C .Y B/ < :  Esta observación sirve como motivación para conformar la definición formal, con dos condiciones adicionales. La primera es que definimos el límite de f (x, y) como (x, y) → (a, b) sólo con la condición de que el dominio de definición de f contenga puntos (x, y) H (a, b) que estén arbitrariamente cerca de (a, b) —es decir, dentro de todo disco de la clase que se muestra en la figura 12.3.2, y por tanto dentro de todas y cada una de las distancias positivas preasignadas a (a, b)—. Por ello, no hablamos del límite de f en un punto aislado de su dominio D. Por último, no requerimos que f esté definida en el punto (a, b) en sí, con lo que excluimos en forma deliberada la posibilidad de que (x, y)  (a, b).

DEFINICIÓN El límite de f (x, y) Decimos que el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, si se demuestra que para todo número  > 0 existe un número δ > 0 con la propiedad siguiente: si (x, y) es un punto del dominio de f tal que si <

.X A/ C .Y B/ < ;



j F .X; Y/ ,j



ENTONCESSESIGUEQUE

La desigualdad “adicional” 0 < ción (2) sirve para garantizar que (x, y) H (a, b). COMENTARIO

:

 (x − a)2 + (y − b)2 en la ecua-

912 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

EJEMPLO 2 La gráfica generada por computadora que aparece en la figura 12.3.3 sugiere que SEN.X  C Y  / L¤M D : .X;Y/!.;/ X  C Y

 Z



 

  X



Demuestre que esto es verdadero.

Solución Aquí, a  b  0 y L  1, en la definición de límite. Dado  > 0, se debe encontrar un valor δ > 0 tal que

Y



<

FIGURA 12.3.3 La gráfica SEN.X  C Y  / ZH del ejemplo 2. X C Y 

X  C Y < 

IMPLIQUEQUE

SEN.X  C Y  /  X  C Y

:

Pero el límite para una sola variable que nos es familiar SEN T L¤M D T! T implica la existencia de un número δ1 tal que  < jTj < 

IMPLICAQUE

SEN T  T

:

Cuando se sustituye t  x 2 + y2 se observa que  < jX  C Y  j < 

IMPLICAQUE

Por tanto, únicamente se necesita elegir  H <

X  C Y < 

SEN.X  C Y  /  X  C Y

:

p   De este modo

IMPLICAQUE

lo que (a su vez) implica que

 < jX  C Y  j <   D  ; SEN.X  C Y  /  X  C Y

;

Z

como se deseaba.

Continuidad y leyes de los límites Para evaluar los límites de funciones de varias variables es frecuente que nos basemos más en la continuidad que en la definición formal del límite. Decimos que f es continua en el punto (a, b) si existe f (a, b) y f (x, y) tiende a f (a, b) conforme (x, y) tiende a (a, b). Es decir L¤M

.X;Y/!.A;B/

F .X; Y/ D F .A; B/

Así, f es continua en (a, b) si está definida para este punto y su límite ahí es igual al valor que tiene en él, igual que en el caso de una función de una sola variable. Se dice que la función f es continua en el conjunto D si es continua en cada punto de D, de nuevo como en el caso de una variable única. Y

EJEMPLO 3 Sea D el disco circular que consiste en los puntos (x, y) tales que x 2 + y2 1 y sea f (x, y)  1 en cada punto de D (ver figura 12.3.4). Entonces, el límite de f (x, y) en cada punto de D es 1, por lo que f es continua en D. Pero sea que la función nueva g(x, y) esté definida en todo el plano R2 como sigue:

FX Y  GX Y  FX Y  GX Y 

  X

FIGURA 12.3.4 El disco circular del ejemplo 3.

G.X; Y/ D

F .X; Y/ 

SI .X; Y/ ESTÖEN$ ENOTROCASO

Entonces, g no es continua en R2. Por ejemplo, el límite de g(x, y) cuando (x, y) → (1, 0) no existe porque ahí existen dos puntos dentro de D arbitrariamente cercanos a (1, 0) en los que g tiene el valor de 1 y puntos fuera de D arbitrariamente cerca de (1, 0) en los que g tiene el valor de 0. Así, g(x, y) no tiende a un valor único cuando (x, y) → (1, 0). Debido a que g no tiene límite en (1, 0), no es continua en este punto. Z

SECCIÓN 12.3

Límites y continuidad

913

Las leyes de los límites de la sección 2.2 tienen analogías naturales para funciones de varias variables. Si L¤M

F .X; Y/ D ,

.X;Y/!.A;B/

Y

L¤M

.X;Y/!.A;B/

G.X; Y/ H -



entonces, la suma, producto y cociente de los límites son: L¤M

.X;Y/!.A;B/

; F .X; Y/ C G.X; Y/= H , C -



; F .X; Y/
G.X; Y/= H ,
-



L¤M

.X;Y/!.A;B/

L¤M

Y

Demuestre que

EJEMPLO 4

Solución sigue que

.X;Y/!.A;B/

, F .X; Y/ H G.X; Y/ L¤M

.X;Y/!.A;B/

SI -





X Y H AB

Se toma f (x, y)  x y g(x, y)  y. Por tanto, de la definición de límite se L¤M

.X;Y/!.A;B/

F .X; Y/ H A

Y

L¤M

.X;Y/!.A;B/

G.X; Y/ D B:

Así, la ley del producto ofrece L¤M

.X;Y/!.A;B/

XY D

L¤M

T F .X; Y/G.X; Y/U

.X;Y/!.A;B/

D

L¤M

.X;Y/!.A;B/

F .X; Y/

L¤M

.X;Y/!.A;B/

G.X; Y/ H AB:

Z

De manera más general, suponga que P(x, y) es un polinomio en las dos variables x y y. Es decir, que P(x, y) es la suma de múltiplos constantes de la forma xiyi donde los exponentes i y j son enteros no negativos. Así, P(x, y) se puede escribir en la forma siguiente: 0.X; Y/ H

CI J X IY J :

Las leyes de la suma y producto de los límites implican, entonces, que L¤M

.X;Y/!.A;B/

0.X; Y/ D H

L¤M

.X;Y/!.A;B/

CI J X IY J

L¤M

.X;Y/!.A;B/

L¤M X I

CI J X IY J L¤M Y J

H

CI J

H

CI J A I B J H 0.A; B/:

X!A

Y!B

Se sigue que todo polinomio en dos (o más) variables es una función continua en todo lugar. EJEMPLO 5 La función f (x, y)  2x4y2 − 7xy + 4x 2y3 − 5 es un polinomio, por lo que es posible encontrar su límite en cualquier punto (a, b) sólo con evaluar f (a, b). Por ejemplo, L¤M

.X;Y/!.;/

F .X; Y/ H F .; / D 
./ ./ 
././ C 
./ ./  D :

Z

914 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Igual que en el caso de una sola variable, cualquier composición de funciones continuas de variables múltiples también es una función continua. Por ejemplo, suponga que las funciones f y g son las dos continuas en (a, b) y que h es continua en el punto f (a, b), g(a, b). Entonces, la función compuesta ( .X; Y/ D H. F .X; Y/; G.X; Y//

también es continua en (a, b). En consecuencia, cualquier combinación finita que involucre sumas, productos, cocientes y composiciones de las funciones elementales que nos resultan familiares es continua, excepto tal vez en puntos en los que el denominador es igual a cero o donde la fórmula para la función carece de significado por alguna otra razón. Esta regla general es suficiente para la evaluación de la mayor parte de límites que habremos de encontrar. EJEMPLO 6 La función G.X; Y/ H SEN.X  C Y  / es la composición de la función continua sen t y la polinomial x 2 + y2, y por tanto es continua en todo lugar. De ahí que la función f definida por 8   < SEN.X C Y / AMENOSQUE X D Y D ; F .X; Y/ H X  C Y :  SI X D Y D es continua excepto tal vez en el origen (0, 0), donde el denominador se vuelve cero. Pero ya que en el ejemplo 2 vimos que L¤M

.X;Y/!.;/

F .X; Y/ H  H F .; /;

entonces f es continua también en el origen. Así, la función f es continua en cualquier sitio. Z Si

EJEMPLO 7

F .X; Y/ D E X Y SEN

p Y C X Y LN Y X; 

como e xy es la composición de funciones continuas, entonces ella misma es continua; sen  πy es continua por la misma razón; su producto es continuo debido a que cada una esp continua. Asimismo, y − x, un polinomio, es continua en todos los puntos; por p tanto,p Y X es continua si y x; LN Y X es continua si se demuestra que y > x; X Y LN Y X es el producto de funciones continuas si y > x. Y entonces, la suma p Y C X Y LN Y X F .X; Y/ D E X Y SEN  de funciones continuas si y > x es ella misma continua si y > x. Como f (x, y) es continua si y > x, se sigue que E X Y SEN

L¤M

.X;Y/!.;/

p Y C X Y LN Y X 

D F .; / D E
 C  LN  H E :

Z

Los ejemplos 8 y 9 ilustran técnicas que en ocasiones tienen éxito para manejar casos con denominadores que tienden a cero, en los cuales no es posible aplicar las técnicas de los ejemplos 5 a 7. Demuestre que

EJEMPLO 8

L¤M

.X;Y/!.;/

XY X

C Y

H 

Solución Sean (r, θ) las coordenadas polares del punto (x, y). Entonces, x  r cos θ y y  r sen θ, por lo que XY X

C

Y

H

.R COS /.R SEN / R  .COS  C SEN  /

D R COS  SEN 

PARA R >  :

SECCIÓN 12.3

Límites y continuidad

915

Como R D X  C Y  queda claro que r → 0 en tanto x y y tiendan a cero. Por tanto, se sigue que XY L¤M H L¤M R COS  SEN  D ;  R ! .X;Y/!.;/ X C Y



X 



ya que |cos θ sen θ| |cos θ| · |sen θ| 1 para todo valor de θ. Por tanto, si la función f está definida como 8 XY > < SI .X; Y/ .; /;  X C Y F .X; Y/ D > : SI X D Y D 



Z 



 Y





FIGURA 12.3.5 Gráfica de XY (ejemplo 8). ZD  X C Y

entonces se sigue que f es continua en el origen (0, 0). La figura 12.3.5 muestra la gráfica de z  f (x, y). Corrobora el límite de cero que se encontró en (0, 0). Cerca del origen, la gráfica recuerda el punto silla de un paraboloide hiperbólico (ver figura 12.2.13), pero no parece ser una silla suave y cómoda. Z EJEMPLO 9

Demuestre que L¤M

Y

.X;Y/!.;/ X 

YX M

no existe.

FX Y  AQU¤

FNOESTÖDEFINIDA ENELORIGEN

 

X FX Y  AQU¤

 

Y X M 

FIGURA 12.3.6 La función f del ejemplo 9 toma los valores tanto de + como de − en puntos arbitrariamente cercanos al origen.

   







Y     





 X



XY C Y



FIGURA 12.3.7 Gráfica de XY F .X; Y/ D  (ejemplo 9). X C Y

Z

Solución Nuestro plan consiste en demostrar que F .X; Y/ D X Y=.X  CY  / tiende a valores diferentes en tanto (x, y) se acerca a (0, 0) desde direcciones diferentes. Suponga que (x, y) se acerca a (0, 0) a lo largo de la línea recta con pendiente m y pasa por el origen. Sobre esta línea se tiene que y  mx, por lo que en ella, X
MX M F .X; Y/ D F .X; MX/ H  H   X CM X  C M si x H 0. Si se toma m  1 se observa que f (x, y)   en todos los puntos de la recta y  x distintos de (0, 0). Si se toma m  −1, entonces f (x, y)  −  en todos los puntos de la recta que no sean (0, 0). Así, f (x, y) tiende a dos valores diferentes conforme (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de esas dos rectas (ver figura 12.3.6). Así, f (x, y) no tiende a un solo valor conforme (x, y) tienda a (0, 0), lo que implica que el límite en cuestión no existe. La figura 12.3.7 muestra una gráfica generada por computadora de la función f (x, y)  xy/(x 2 + y2). Consiste en rayos lineales a lo largo de cada uno de los cuales la coordenada angular polar θ es constante. Para cada número z entre −  y  (inclusive), existen rayos a lo largo de los cuales f (x, y) tiene el valor constante z. Así, podemos hacer que f (x, y) tienda a cualquier número que queramos en el intervalo [− , ] si hacemos que (x, y) tienda a (0, 0) desde la dirección apropiada. También hay puntos a lo largo de los cuales (x, y) tiende a (0, 0), pero el límite de f (x, y) no existe (ver problema 53). COMENTARIO

A fin de que ,H

L¤M

.X;Y/!.A;B/

F .X; Y/

exista, f (x, y) debe tender a L para cualquiera y cada uno de los modos en que (x, y) tienda a (a, b). En el problema 51, se ofrece un ejemplo de una función f tal que f (x, y) → 0 cuando (x, y) → (0, 0) a lo largo de cualquier línea recta que pase por el origen, pero f (x, y) → 1 conforme (x, y) → (0, 0) a lo largo de la parábola y  x 2. Así, el método del ejemplo 9 no puede usarse para demostrar que un límite existe, sino sólo su inexistencia. Por fortuna, muchas aplicaciones importantes, inclusive aquellas que se estudiarán en el resto de este capítulo, sólo involucran funciones que no presentan un comportamiento tan extraño como el de las funciones de los problemas 51 a 53.

916 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Funciones de tres variables o más Hasta este momento hemos estudiado en forma explícita únicamente funciones de dos variables, pero los conceptos de límites y continuidad se generalizan de manera directa a funciones de tres variables o más. Una función f de n variables asigna un solo número real f (x1, x2, . . . , xn) a un conjunto (x1, x2, . . . , xn) de números reales. Por ejemplo, la función f podría asignar a cuatro números (x, y, z, t) la temperatura u  f (x, y, z, t) en el momento t y en el punto (x, y, z) del espacio tridimensional. Así como el espacio tridimensional R3 es el conjunto de todas las tripletas (x1, x2, x3) de números reales, el espacio n-dimensional Rn es el conjunto de todos los arreglos de n números reales. Así, la función de temperatura mencionada anteriormente está definida en el espacio de cuatro dimensiones, R4. Por tanto, escribimos f : R4 → R, con el tiempo t en el papel de la cuarta dimensión (pero sin las implicaciones tan imaginativas que a veces tiene en la ciencia ficción). Es práctica común identificar los arreglos de n (x1, x2, . . . , xn) con el vector x  x1, x2, . . . , xn —si se considera cada notación tan sólo como una forma de especificar la misma lista ordenada x1, x2, . . . , xn de números reales—. Del mismo modo, también se puede considerar a Rn como el conjunto de todos los vectores n-dimensionales. Este punto de vista permite agregar puntos en las coordenadas en Rn como vectores de dimensión n, y de manera similar multiplicar puntos por escalares. Por analogía con las longitudes de vectores en R2 y R3, se define la longitud |x| del vector x en Rn como jXj H

X  C X  C




X N :

p Por ejemplo, el vector de cuatro dimensiones 5, −2, 4, 2 tiene longitud  C  C  C  p C  H  La función f : Rn → R puede verse como función de las n variables reales independientes x1, x2, . . . , xn, o como función del vector único n-dimensional x  x1, x2, . . . , xn. Así, es posible escribir f (x1, x2, . . . , xn) o f (x), lo que depende de cuál notación parezca más natural en una situación dada. Por ejemplo, con la notación vectorial, el concepto de límite toma la forma del enunciado para el que L¤M F .X/ D ,



X!A

si se prueba que, para todo número  > 0 existe un número correspondiente δ > 0 tal que j F .X/ ,j

SIEMPREQUE

 < jX Aj < 



Así, la función f es continua en el punto a  (a1, a2, . . . , an) si se demuestra que L¤M F .X/ H F .A/

X!A



Una característica atractiva de la notación vectorial es que los enunciados multidimensionales en (8), (9) y (10) toman precisamente las mismas formas que en el caso de las funciones de una sola variable, como lo hacen las leyes de los límites multidimensionales (ver las preguntas para análisis en esta sección).

12.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El enunciado L¤M.X;Y/!.A;B/ F .X; Y/ H , significa que para algún  > 0 hay un δ > 0 tal que  < .X A/ C .Y B/ <  IMPLICAQUE j F .X; Y/ ,j : 2. En el ejemplo 2, el límite de variable única L¤MT! .SEN T/=T H  se utilizó para demostrar que SEN.X  C Y  / L¤M D: .X;Y/!.;/ X  C Y

SECCIÓN 12.3

Límites y continuidad

917

3. Si la función f (x, y) es continua en el disco unitario D en el plano xy, entonces f es continua en todo el plano. 4. Las leyes de los límites de variable única de la sección 2.2 tienen analogías naturales para funciones de varias variables. 5. Las leyes de la suma y el producto se usan para demostrar que todo polinomio en dos o más variables es continuo en todos los lugares. 6. Si las funciones f, g y h son continuas en el punto (a, b), entonces se sigue que la función compuesta ( .X; Y/ D H. F .X; Y/; G.X; Y// también es continua en (a, b). 7. Un cociente de dos funciones f (x, y) y g(x, y) es continua en todos los lugares en que ambas son continuas. 8. En el ejemplo 8 se usan coordenadas polares para demostrar que XY L¤M D :  .X;Y/!.;/ X C Y 9. En el ejemplo 9 se demuestra que L¤M

.X;Y/!.;/

XY X  C Y

no existe, por medio de demostrar que f (x, y) tiende a valores diferentes conforme (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de líneas rectas diferentes que pasan por el origen. 10. Si f (x, y) tiende al mismo valor L conforme (x, y) tiende a (a, b) a lo largo de cualquier línea recta que pase por el punto (a, b), entonces se sigue que L¤M F .X; Y/ H , : .X;Y/!.A;B/

12.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Proporcione enunciados precisos de las leyes de los límites para funciones de tres o más variables valuadas en los reales. Explique por qué cualquier polinomio en tres o más variables es continuo en todo lugar. 2. Establezca con precisión el principio general de la continuidad de composiciones de funciones de variables múltiples continuas. Debe aplicarse, por ejemplo, a una función de cuatro variables, cada una de las cuales sea función de tres variables. 3. Explique cómo se aplica el razonamiento de los ejemplos 2 y 6 a la función F definida en cualquier parte de R3 excepto en el origen, por SEN.X  C Y  C Z  / : &.X; Y; Z/ D X  C Y C Z ¿Cuáles son sus conclusiones? 4. Dé ejemplos concretos de funciones del mundo real de cuatro o más variables.

12.3 PROBLEMAS Utilice las leyes de los límites y las consecuencias de la continuidad para evaluar los límites en los problemas 1 a 16.  L¤M . X  C X Y/ .X;Y/!.;/

   



L¤M

.X;Y/!.;/

L¤M

.X;Y/!.;/

L¤M

.X;Y/!.;/

L¤M

.X;Y/!.;/

 



.X X Y C Y / E

X Y

XCY  C XY  X CX CY

  

L¤M

 X  C XY

L¤M

LN  X  Y 

.X;Y/!.;/

.X;Y/!.;/

L¤M

.X;Y/!.;/

LN

 C X C Y Y  X

L¤M

E XCY COS.X C Y/

L¤M

COS.X  C Y  /  X  Y

.X;Y/!.;/

.X;Y/!.;/

918 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

X  C Y C Z .X;Y;Z/!.;;/  X Y Z .X C Y C Z/ LN X YZ  L¤M 

L¤M

.X;Y;Z/!.;;/

   

XY Z L¤M .X;Y;Z/!.;;/ COS X YZ XCYCZ L¤M .X;Y;Z/!.;;/ X  C Y  C Z   Z p L¤M X Y TAN .X;Y;Z/!.;;/  XY ARCSEN LIM .X;Y/!.;/ X  C Y

L¤M

 F .X; Y/ D X  Y  

En los problemas 21 a 30, encuentre el límite o demuestre que no existe.  XY  XY  L¤M  L¤M .X;Y/!.;/  C X Y .X;Y/!.;/  C X Y X YZ  L¤M .X;Y;Z/!.;;/ YZ C X Z C X Y YZ C X Z C X Y  L¤M .X;Y;Z/!.;;/  C X YZ  L¤M LN. C X  C Y  / .X;Y/!.;/

  

L¤M

L¤M

EXP

L¤M

ARCTAN

.X;Y/!.;/ .X;Y/!.;/

.X;Y/!.;/

.X;Y/!.;/

X

 C Y



 F .X; Y/ D LN.X C Y /  F .X; Y/ D TAN

  X D Y

 F .X; Y/ H TAN

 XCY

X YZ C Y C Z

ARCTAN

 X  C Y C Z

En los problemas 45 y 46, demuestre que el límite dado no existe, por medio de considerar puntos de la forma (x, 0, 0) o (0, y, 0) o (0, 0, z), que tienda al origen a lo largo de los ejes coordenados. XCYCZ X  C Y Z  L¤M  L¤M    .X;Y;Z/!.;;/ X C Y C Z .X;Y;Z/!.;;/ X  C Y  C Z  En los problemas 47 a 50, utilice una gráfica elaborada en computadora para explicar por qué no existe el límite dado. X  Y  X  Y  L¤M  L¤M .X;Y/!.;/ X  C Y  .X;Y/!.;/ X  C Y  L¤M

.X;Y/!.;/

XY  X C Y 



F .X; Y/ D

En los problemas 31 a 36, determine el conjunto de puntos más grande en el plano xy en el que la fórmula dada define una función continua. p  F .X; Y/ H X C Y  F .X; Y/ D SEN .X  C Y  / 

X  C Y

L¤M

.X;Y/!.;/

X  C X Y C Y  X  C X Y C Y

51. Sea

 C Y X

.X;Y/!.;/

X  C Y

si existe, evalúelo [vea la sugerencia para el problema 41]. En los problemas 43 y 44, investigue la existencia del límite dado efectuando la sustitución y  mx. X  Y X  Y  L¤M  L¤M .X;Y/!.;/ X  C Y  .X;Y/!.;/ X  C X  Y  C Y 



LN. X  Y  / COT.X  C Y  / X  C Y SEN.LN. C X C Y//

L¤M

SEN

L¤M

41. Determine si existe el

.X;Y;Z/!.;;/

 F .X; Y/ D X Y  





si existe, evalúelo. [Sugerencia: sustituya las coordenadas esféricas x  ρ sen φ cos θ y  ρ sen φ sen θ, z  ρ cos φ]. 42. Determine si existe el

 F .X; Y/ D X  C Y 

L¤M

.X;Y/!.;/

X  C Y .X  C Y  /=

.X;Y;Z/!.;;/ X 

 F .X; Y/ D X Y

.X;Y/!.;/

L¤M

L¤M

Evalúe los límites en los problemas 17 a 20 F .X C H; Y/ F .X; Y/ L¤M Y H! H F .X; Y C K/ F .X; Y/ : L¤M K! K





 F .X; Y/ D LN.X Y/

En los problemas 37 a 40, evalúe el límite por medio de hacer la sustitución en las coordenadas polares, (x, y)  (r cos θ, r sen θ), y utilizar el hecho de que r → 0 conforme (x, y) → (0, 0). X  Y X  Y  L¤M  L¤M .X;Y/!.;/ .X;Y/!.;/ X  C Y  X  C Y

X  Y : X  C Y

a) Demuestre que f (x, y) → 0 conforme (x, y) → (0, 0) a lo largo de todas y cada una de las líneas rectas que pasan por el origen. b) Demuestre que f (x, y) → 1 conforme (x, y) → (0, 0) a lo largo de la parábola y  x 2. Saque por conclusión que el límite de f (x, y) no existe cuando (x, y) → (0, 0). En la figura 12.3.8 se presenta la gráfica de f.

 Z 



 X

 



 Y



X  Y del X  C Y 2 problema 51; observe que la curva y  x , z  1.

FIGURA 12.3.8 La gráfica de Z D

SECCIÓN 12.4

52. Suponga que f (x, y)  (x − y)/(x3 − y) excepto en puntos de la curva y  x3, donde definimos que f (x, y) es 1. Demuestre que f no es continua en el punto (1, 1). Evalúe los límites de f (x, y) cuando (x, y) → (1, 1) a lo largo de la recta vertical x  1 y de la recta horizontal y  1. [Sugerencia: recuerde que a3 − b3  (a − b)(a2 + ab + b2)]. 53. Sea XY L¤M  .X;Y/!.;/ X C Y  el límite analizado en el ejemplo 9. Demuestre que cuando (x, y) → (0, 0) a lo largo de la espiral hiperbólica rθ  1, el límite de f (x, y) no existe. Analice la continuidad de las funciones definidas en los problemas 54 a 56. 8 < SEN X Y AMENOSQUE X Y H : XY  F .X; Y/ D 6ERFIGURA :    SI X Y H ;

Derivadas parciales

919

 Z 

 



 X



Y



FIGURA 12.3.9 Gráfica de Z D del problema 54.

SEN X Y XY

8 < SEN.X  Y  / AMENOSQUE X  D Y  ;  G.X; Y/ D X  Y :  SI X  H Y  : 8 < SEN X YZ AMENOSQUE X YZ D ;  H.X; Y; Z/ D X YZ :  SI X YZ D  :

12.4 DERIVADAS PARCIALES Recuerde que la derivada de la función de una sola variable u  g(x) se define como DU D L¤M X! DX

U ; X

donde u  g(x + h) − g(x) es el cambio en u que resulta del cambio h  x en x. Esta derivada se interpreta como la tasa de cambio simultánea de u respecto a x. Para una función z  f (x, y) de dos variables se necesita una comprensión similar de la tasa con que cambia z cuando x y y varían (una sola o en forma simultánea). Tomaremos el enfoque de divide y vencerás para explicar este concepto. Si x cambia en h  x pero y no se modifica, entonces el cambio que se genera en z es Z D F .X C H; Y/ F .X; Y/;

y la tasa de cambio instantáneo correspondiente para z es DZ D L¤M X! DX

Z : X



Por otro lado, si x no cambia pero y sí en la cantidad k  y, entonces el cambio que ocurre en z es Z D F .X; Y C K/ F .X; Y/;

y la tasa de cambio instantáneo que corresponde a z es DZ D L¤M Y! DY

Z : Y



Los límites de las ecuaciones (1) y (2) son las dos derivadas parciales de la función f (x, y) respecto a sus dos variables independientes x y y, respectivamente.

920

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

DEFINICIÓN Derivadas parciales Las derivadas parciales (respecto a x y respecto a y) de la función f (x, y) son las dos funciones definidas por F X .X; Y/ D L¤M

F .X C H; Y/ F .X; Y/ ; H



F Y .X; Y/ D L¤M

F .X; Y C K/ F .X; Y/ K



H!

K!

en los lugares donde existan estos límites. Observe que las ecuaciones (3) y (4) son tan sólo enunciados modificados de las ecuaciones (1) y (2). Igual que en el caso de las derivadas con una sola variable, existen varias formas alternas de escribir las derivadas parciales.

Notación de las derivadas parciales Si z  f (x, y), entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, respectivamente, en las formas siguientes: @ @Z @F D D F X .X; Y/ D F .X; Y/ D $X T F .X; Y/U D $  T F .X; Y/U; @X @X @X



@F @ @Z D D F Y .X; Y/ D F .X; Y/ D $ Y T F .X; Y/U D $  T F .X; Y/U: @Y @Y @Y



Los sistemas de álgebra por computadora por lo general emplean variantes de la “notación de operador” para las derivadas parciales, como DIFFFX Y X y $;F;X Y= X=en Maple y Mathematica, respectivamente. Observe que si se elimina el símbolo y en la ecuación (3), el resultado es el límite que define la derivada de variable única f (x). Esto significa que es posible calcular ∂ z/∂ x como una derivada “ordinaria” respecto a x tan sólo si durante el proceso de derivación se considera a y como una constante. De manera similar, ∂ z/∂ y se calcula como una derivada ordinaria si durante el proceso se toma y como la única variable y se trata a x como constante. En consecuencia, es raro que para calcular las derivadas parciales necesitemos evaluar de manera directa los límites en las ecuaciones (3) y (4). Lo común es que tan sólo apliquemos los resultados de derivación que nos son familiares para derivar f (x, y) respecto a cualquier variable independiente (x o y) mientras se mantiene a la otra variable como constante. En pocas palabras: • Para calcular ∂ f/∂ x, hay que tomar a y como constante y derivar respecto a x. • Para calcular ∂ f/∂ y, hay que tomar a x como constante y derivar respecto a y. EJEMPLO 1 Calcular las derivadas parciales, ∂ f/∂ x y ∂ f/∂ y, de la función f (x, y)  x 2 + 2xy2 − y3.

Solución Para obtener la derivada parcial de f respecto a x, se considera a y como una constante. Posteriormente se deriva de manera normal y se llega a @F D X C Y  : @X Cuando se toma a x como constante y se deriva respecto a y se obtiene @F H X Y Y  : Z @Y EJEMPLO 2

Encontrar ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y si z  (x 2 + y2)e −xy.

Solución Debido a que ∂ z/∂ x se calcula como si fuera una derivada ordinaria respecto

SECCIÓN 12.4

Derivadas parciales

921

a x, con y como constante, se utiliza la regla del producto. Esto ofrece @Z D .X/.EX Y / C .X  C Y  /.YEX Y / D .X X  Y Y  /EX Y : @X

Como x y y aparecen en forma simétrica en la expresión de z, si se intercambian x y y en la expresión para ∂ z/∂ x, se obtiene ∂ z/∂ y: @Z D .Y X Y  X  /EX Y : @Y

Este resultado debe comprobarse con la derivación respecto a y en forma directa, a fin de encontrar ∂ z/∂ y. Z

Tasas de cambio instantánea Para tener una intuición del significado de las derivadas parciales, se puede pensar que f (x, y) es la temperatura en el punto (x, y) del plano. Entonces, fx(x, y) es la tasa de cambio instantánea de la temperatura en (x, y) por unidad de incremento de x (con y constante). De manera similar, fy(x, y) es la tasa instantánea de cambio de la temperatura por cada unidad que se incremente en y (con x constante). En el ejemplo siguiente se demuestra que con la función de temperatura f (x, y)  x 2 + 2xy2 − y3 del ejemplo 1, la tasa de cambio de la temperatura en el punto (1, −1) es +4° por unidad de distancia en la dirección positiva de x, y −7° por unidad de distancia en la dirección positiva de y. EJEMPLO 3 Suponga que se calienta el plano xy y que su temperatura en el punto (x, y) está dada por la función f (x, y)  x 2 + 2xy2 − y3, cuyas derivadas parciales fx(x, y)  2x + 2y2 y fy(x, y)  4xy − 3y2 se calcularon en el ejemplo 1. Imagine también que la distancia se mide en millas y la temperatura en grados Celsius (°C). Entonces, en el punto (1, −1), una milla al oriente y una al sur del origen, la tasa de cambio de la temperatura (en grados por milla) en la dirección positiva de x (hacia el este), es F X .; / H 
./ C 
./ H 

GRADOMINUTO

y la tasa de cambio en la dirección positiva de y (hacia el norte) es F Y .; / D 

./ 
./ D 

GRADOMINUTO

 Así, si se comienza en el punto (1, −1) y se camina  millas hacia el oriente, se espera experimentar un incremento de temperatura de alrededor de 4 · (0.1)  0.4°C. Si en vez de ello se comienza en (1, −1) y se caminan 0.2 millas hacia el norte es de esperar un cambio en la temperatura de alrededor de (−7) · (0.2)  −1.4°C; es decir, una disminución de la temperatura de 1.4°C. Z

EJEMPLO 4 El volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 mole (mol) de un gas ideal está dado por 6 D

.:/4 ; P

donde p es la presión (en atmósferas) y T es la temperatura absoluta (en grados Kelvin, K, donde K  °C + 273). Encuentre las tasas de cambio del volumen de 1 mol de un gas ideal respecto a la presión y la temperatura cuando T  300 K y p  5 atm.

Solución Las derivadas parciales de V respecto a sus dos variables son .:/4 @6 D @P P

Y

: @6 D : @4 P

Con T  300 y p  5, se tienen los valores ∂V/∂p  −984.72 (cm3/atm) y ∂V/∂T  16.41 (cm3/K). Estas derivadas parciales nos permiten estimar el efecto que tiene sobre el

922

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

volumen V del gas un cambio pequeño de la temperatura o la presión, como sigue. Se dan T  300 y p  5, por lo que el volumen del gas en cuestión es .:/./ D : CM : 6 D  Es de esperarse un incremento de 1 atm en la presión (con T constante) para que el volumen del gas disminuya alrededor de 1 L (1000 cm3), ya que −984.72 ≈ −1000. Un aumento de 1 K (o 1 °C) en la temperatura incrementaría, con p mantenida constante, Z el volumen cerca de 16 cm3, ya que 16.41 ≈ 16.

Interpretación geométrica de las derivadas parciales Las derivadas parciales fx y fy son las pendientes de las líneas tangentes a ciertas curvas de la superficie z  f (x, y). La figura 12.4.1 ilustra la intersección de esta superficie con un plano vertical y  b paralelo al plano xz. A lo largo de la curva de intersección, la coordenada x varía pero la coordenada y es constante: y  b en cada punto porque la curva está contenida en el plano vertical y  b. Por tanto, una curva de intersección de z  f (x, y) con un plano vertical paralelo al plano xz se denomina curva x sobre la superficie. Z

0LANOYB

2ECTATANGENTE

3UPERFICIE ZFX Y 0

YB

ZFX Y

#URVA ZFX B

 Z 

Y



 Y



 

X



X

FIGURA 12.4.1 Plano vertical paralelo al plano xz que interseca la superficie z  f (x, y) en una curva x.

Z 2ECTATANGENTE $Z

A C

FIGURA 12.4.2 Curva x y su línea tangente en P.

La figura 12.4.2 muestra un punto P(a, b, c) en la superficie z  f (x, y), la curva x que pasa por P y la recta tangente a esta curva x en P. La figura 12.4.3 ilustra la proyección paralela del plano vertical y  b del plano xz. Podemos “ignorar” la presencia de y  b y considerar a z  f (x, b) una función de la variable única x. La pendiente de la recta tangente a la curva x original que pasa por P (ver figura 12.4.2) es igual a la pendiente de la recta tangente de la figura 12.4.3, pero de acuerdo con el cálculo con una variable con el que estamos familiarizados, esta pendiente está dada por la expresión

$X ZFX B

1A B 



L¤M

H!

F .A C H; B/ F .A; B/ D F X .A; B/: H

Así, el significado geométrico de fx es el siguiente: A 

FIGURA 12.4.3 Proyección en el plano xz de la curva x a través de la curva x que pasa por P(a, b, c), y su recta tangente.

X

Interpretación geométrica de ∂ f /∂ x El valor fx(x, b) es la pendiente de la recta tangente en P(a, b, c) de la curva x que se encuentra sobre la superficie z  f (x, y). Para investigar el significado geométrico de la derivación parcial respecto a y se procede en forma similar. La figura 12.4.4 ilustra la intersección con la superficie z  f (x, y) de un plano vertical x  a paralelo al plano yz. Ahora, la curva de intersección es una curva y sobre la que varía y pero x  a es constante. En la figura 12.4.5 se muestra esta curva y, z  f (a, y), y su recta tangente en P. La proyección de la tangente en el

SECCIÓN 12.4

Derivadas parciales

923

Z 0LANOXA #URVA ZFA Y XA

3UPERFICIE ZFX Y

ZFX Y

 Z 

Z 0

2ECTATANGENTE

2ECTATANGENTE Y

$Y





 Y



 

ZFA Y 1A B 

X

B 

X



FIGURA 12.4.4 Plano vertical paralelo al plano yz que interseca a la superficie z  f (x, y) en una curva y.

FIGURA 12.4.5 Curva y y su recta tangente en P.

Y

FIGURA 12.4.6 Proyección en el plano yz de la curva y que pasa por P(a, b, c), y su recta tangente.

plano yz (en la figura 12.4.6) tiene pendiente ∂ z/∂ y  fy(a, b). Así, se observa que el significado geométrico de fy es el siguiente:

0  Z 





$Z

B C

   Y

 X

Interpretación geométrica de ∂ f /∂ y El valor fy(a, b) es la pendiente de la recta tangente en P(a, b, c) de la curva y que está sobre la superficie z  f (x, y).



  



EJEMPLO 5 Suponga que la gráfica z  5xy exp(−x 2 −2y2) en la figura 12.4.7 representa un terreno con dos picos (colinas, en realidad) y dos fosos. Todas las distancias están expresadas en millas, z es la altitud sobre el punto (x, y) al nivel del mar en el plano xy. Por ejemplo, la altura del punto P que se ilustra es z(−1, −1)  5e−3 ≈ 0.2489 (mi), alrededor de 1314 pies sobre el nivel del mar. Se pregunta a qué tasa ascendemos si se comienza en el punto P(−1, −1, 0.2489) si nos dirigimos al este (dirección positiva de x) o al norte (dirección positiva de y). Si se calculan las dos derivadas parciales de z(x, y) se obtiene

FIGURA 12.4.7 Gráfica z  5xy exp(−x 2 −2y2).

@Z D Y. X  / EXP.X  Y  / @X

Y

@Z D X. Y  / EXP.X  Y  /: @Y

(El lector debe comprobar esto). Ahora, al sustituir x  y  −1, se obtiene A





FIGURA 12.4.8 Ángulo de ascenso en la dirección x.

@Z @X

D E  : .;/

Y

@Z @Y

H E  :: .;/

Las unidades están expresadas en millas por milla —es decir, la razón de ascenso para recorrer millas verticales por cada milla horizontal—, por lo que si caminamos hacia el este comenzamos a ascender con un ángulo de  D TAN .:/  :



alrededor de 13.98° (ver figura 12.4.8), pero si vamos hacia el norte, entonces lo hacemos con un ángulo de D TAN .:/  :

B

RAD ;

RAD ;



FIGURA 12.4.9 Ángulo de ascenso en la dirección y.

aproximadamente 36.75° (ver figura 12.4.9). ¿Parecen consistentes estos resultados con la figura 12.4.7? Z

924

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Planos tangentes a una superficie Las dos rectas tangentes que se ilustran en las figuras 12.4.2 y 12.4.5 determinan un plano único que contiene al punto P(a, b, f (a, b)). En la sección 12.8 se verá que si las derivadas parciales fx y fy son funciones continuas de x y y, entonces este plano contiene la recta tangente en P para toda curva suave sobre la superficie z  f (x, y) que pasa por P. Esto motiva la definición siguiente del plano tangente a la superficie en P.

DEFINICIÓN Plano tangente a z  f (x, y) Suponga que la función f (x, y) tiene derivadas parciales continuas sobre un disco circular con centro en el punto (a, b). Entonces, el plano tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P(a, b, f (a, b)) es el plano que pasa por P y que contiene las rectas tangentes a las dos curvas en el punto P Z D F .X; B/; Y D B .CURVAX/  y Z D F .A; Y/;

X DA

.CURVAY/:



Para encontrar una ecuación de este plano tangente en el punto P(a, b, c), donde c  f (a, b), hay que recordar lo que aprendimos en la sección 11.4, relativo a que un plano no vertical común en el espacio que pase por el punto P, tiene una ecuación de la forma ! .X A/ C ".Y B/ C #.Z C/ H 



donde C H 0. Si se resuelve para z − c se obtiene la ecuación Z C D P.X A/ D Q.Y B/



donde p  −A/C y q  −B/C. Este plano será tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P(a, b, c) si se prueba que la recta definida en la ecuación (10) con y  b es tangente a la curva x en la ecuación (7) y la recta definida en (10) con x  a es tangente a la curva y en la ecuación (8). Pero la sustitución de y  b reduce la ecuación (10) a Z C D P.X A/;

PORLOQUE

@Z D P; @X

y la sustitución de x  a reduce la ecuación (10) a Z C D Q.Y B/;

PORLOQUE

@Z D Q: @Y

Además, nuestro análisis de la interpretación geométrica de las derivadas parciales arrojó que @Z @X

H F X .A; B/ .A;B/

YQUE

@Z @Y

D F Y .A; B/ .A;B/

para las pendientes de las rectas que pasan por P y que son tangentes a la curva x y a la curva y, respectivamente. De este modo, debemos tener p  fx(a, b) y q  fy(a, b) con objeto de que el plano de la ecuación (10) sea tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P. Al sustituir los valores en la ecuación (10) se obtiene el resultado siguiente (con la suposición de que las derivadas parciales son continuas y que, en consecuencia, el plano tangente sí está definido).

El plano tangente a una superficie El plano tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P(a, b, f (a, b)) tiene la ecuación Z F .A; B/ D F X .A; B/.X A/ C F Y .A; B/.Y B/: 

SECCIÓN 12.4 Z

N

.ORMALALPLANO 0LANOTANGENTE

U

1X Y  X

Y

FIGURA 12.4.10 La superficie z  f (x, y), su plano tangente en P(x0, y0, z0) y el vector −n que es normal a ambos en el punto P.

 



@Z @Z ; ;   @X @Y



Observe que n es un vector que apunta hacia abajo (¿por qué?); su negativo −n es el vector que se dirige hacia arriba que se ilustra en la figura 12.4.10. EJEMPLO 6 Escriba una ecuación del plano tangente al paraboloide z  5 −2x 2 − y2 en el punto P(1, 1, 2).

Solución Si f (x, y)  5 −2x 2 − y2, entonces F Y .X; Y/ D YI F X .X; Y/ D X; F Y .; / D : F X .; / D ; Por tanto, la ecuación (11) proporciona Z  D .X / .Y / (cuando se simplifica, z  8 − 4x − 2y) como una ecuación del plano tangente al paraboloide en P. La gráfica de computadora que se muestra en la figura 12.4.11 corrobora este resultado. Z



0  

Z

Si por razones de variedad escribimos (x0, y0, z0) como las coordenadas de P, la ecuación (11) se escribe en la forma  F X .X ; Y /.X X / C F Y .X ; Y /.Y Y / C ./.Z Z  / D ;

N H F X .X ; Y /I C F Y .X ; Y /J K D 3UPERFICIE ZFX Y

Y

925

de lo que se observa (al consultar la ecuación (8) de la sección 11.4) que el plano tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P(x0, y0, z0) tiene el vector normal

0 V

Derivadas parciales

Funciones de tres o más variables Así como las funciones de dos variables, una función de tres o más tiene derivadas parciales respecto a cada una de sus variables independientes. La derivada parcial respecto a cada variable está definida como el límite del cociente de la diferencia que involucra los incrementos en la variable seleccionada. Por ejemplo, una función f (x, y, z) tiene tres derivadas parciales, que se definen como









X

@F F .X C H; Y; Z/ F .X; Y; Z/ D L¤M ; H! @X H



FIGURA 12.4.11 Paraboloide y plano tangente del ejemplo 6.

F .X; Y C H; Z/ F .X; Y; Z/ @F D L¤M ; H! @Y H Y



@F F .X; Y; Z C H/ F .X; Y; Z/ D L¤M : H! @Z H

Las derivadas parciales de las funciones con aún más variables se definen de manera análoga. Una función f (x1, x2, . . . , xn) de n variables tiene n derivadas parciales, una respecto a cada una de sus variables independientes. Los límites de los cocientes que corresponden a los de la ecuación (14) se escriben en forma más concisa si se utiliza notación vectorial, así: X ; X ; : : : ; XN : F .X/ D F .X ; X ; : : : ; XN / DONDE X Si ei  0, 0, . . . , 1, . . . , 0 es el vector unitario de n componentes con la i-ésima entrada igual a 1, entonces F .X C HEI / D F .X ; X ; : : : ; XI ; XI C H; XIC ; : : : ; XN /: Por lo tanto, la derivada parcial ∂ f/∂ xi  fxi  Di f  Dxi f de f respecto a la i-ésima variable xi está definida como @F F .X C HEI / F .X/  D L¤M H! @ XI H



926

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

El valor de ∂ f/∂ xi se interpreta como la tasa instantánea de cambio del valor de la función f (x) por unidad de cambio en la i-ésima variable, xi. Así como en el caso de dos variables independientes, cada una de dichas derivadas parciales se calcula con la derivada respecto a la variable seleccionada mientras se mantiene a las demás como constantes. EJEMPLO 7 Las cuatro derivadas parciales de la función g(x, y, u, v)  eux sen vy, son las siguientes: GX D UEUX SEN GY;

G Y D GEUX COS GY;

GU D XEUX SEN GY;

Y

GG D YEUX COS GY

Observe que estas derivadas parciales se obtienen al derivar euxsen vy respecto a las variables x, y, u y v una por una, y haciendo que las tres variables restantes permanezcan constantes. Z

Derivadas parciales de orden superior Las derivadas parciales de primer orden, fx y fy, son en sí mismas funciones de x y y, por lo que se pueden derivar respecto de x o de y. Las derivadas parciales de fx(x, y) y fy(x, y) se denominan derivadas parciales de segundo orden de f. Existen cuatro de ellas porque hay cuatro posibilidades en el orden de derivación: . F X /X D F X X D

@ @F @ FX D @X @X @X

D

@F ; @X

. F X /Y D FX Y D

@ @F @ FX D @Y @Y @X

D

@F ; @Y @X

. F Y /X D F YX D

@ FY @ @F D @X @X @Y

D

@F ; @X @Y

. F Y / Y H F YY D

@ FY @ @F D @Y @Y @Y

D

@F : @ Y

Si se escribe z  f (x, y), entonces se puede reemplazar cada ocurrencia del símbolo f por z. La función fxy es la derivada parcial de segundo orden de f respecto a x primero y después respecto a y; fyx es el resultado de derivar respecto a y primero y posteriormente respecto a x. Aunque fxy y fyx no son necesariamente iguales, en el cálculo avanzado se demuestra que estas dos derivadas parciales “mixtas” de segundo orden son iguales si ambas son continuas. Con más precisión, si fxy y fyx son continuas sobre un disco circular con centro en el punto (a, b), entonces

NOTA

F X Y .A; B/ D F YX .A; B/



Pero si las derivadas mixtas de segundo orden fxy y fyx sólo están definidas en (a, b) pero no son necesariamente continuas en este punto o cerca de él, entonces es posible por completo que fxy H fyx en (a, b) (ver problema 74). Debido a que la mayor parte de las funciones que nos interesan tienen derivadas parciales de segundo orden continuas en todo lugar para el que están definidas, será común tratar con sólo tres distintas derivadas parciales de segundo orden (fxx, fyy y fxy  fyx) en vez de con cuatro. De manera similar, si f (x, y, z) es una función de tres variables con derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces @F @F H ; @X @Y @Y @X

@F @F H ; @ X @Z @Z @ X

Y

@F @F H : @ Y @Z @Z @ Y

Las derivadas parciales de tercer orden y superiores se definen en forma similar, y no importa el orden en que se realicen, puesto que todas las involucradas son

SECCIÓN 12.4

Derivadas parciales

927

continuas. En tal caso, por ejemplo, las distintas derivadas parciales de tercer orden de la función z  f (x, y) son @ @F @F D ; FX X X D @X @X @X FX X Y D

@ @F @Y @X

D

@F ; @Y @X

F X YY D

@F @ @Y @Y @X

D

@F ; @ Y @ X

F YYY D

@ @F @ Y @ Y

D

@F : @ Y

Y

EJEMPLO 8 Demuestre que las derivadas parciales de tercer orden y mayores de la función f (x, y)  x 2 + 2xy2 − y3 son constantes.

Solución

Se obtiene que F X .X; Y/ H X C Y 

Y

F Y .X; Y/ D X Y Y  :

0ORTANTO F X X .X; Y/ D ;

Por último, F X X X .X; Y/ D ;

F X Y .X; Y/ D Y;

F X X Y .X; Y/ D ;

Y

F YY .X; Y/ D X Y:

F X YY .X; Y/ D ;

Y

F YYY .X; Y/ D :

La función f es un polinomio, por lo que todas sus derivadas parciales son polinomios y, por ello, son continuas en todo lugar. De ahí que no sea necesario calcular ninguna otra derivada parcial de tercer orden; cada una es igual a alguna de estas cuatro. Además, como las derivadas parciales de tercer orden son constantes, todas las derivadas Z parciales de orden superior de f son iguales a cero.

12.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Las derivadas parciales de la función f (x, y) están definidas por F .X; Y/ F .X C H; Y/ ; F X .X; Y/ H L¤M H! H F .X; Y/ F .X; Y C K/ F Y .X; Y/ D L¤M K! K en cualquier lugar en que existan estos límites. 2. La derivada parcial de f (x, y) respecto a cualquier variable independiente se calcula con la derivación respecto a esa variable mientras se mantiene como constantes a las demás variables independientes. 3. Dada z  (x 2 + y2)e−xy, es posible calcular ∂ z/∂ y si primero se calcula ∂ z/∂ x y después se intercambian x y y. 4. Si f (x, y) es la temperatura en el punto (x, y) del plano, entonces la derivada parcial fx(x, y) es la tasa de cambio instantáneo de la temperatura en el punto (x, y) por unidad de incremento de y (con x mantenida constante). 5. Si V  82.06T/p es el volumen de una muestra de gas en términos de su temperatura T y presión p, entonces ∂V/∂p es la tasa de cambio instantáneo del volumen de la muestra por unidad de incremento de la presión (con su temperatura mantenida constante).

928

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

6. El valor de la derivada parcial fx(a, b) es la pendiente de la recta tangente a una curva en la que y es constante y que pasa por el punto (a, b, f (a, b)) sobre la superficie z  f (x, y). 7. El valor de la derivada parcial fy(a, b) es la pendiente de una recta tangente a una curva sobre la que y se mantiene constante y que pasa por el punto (a, b, f (a, b)) sobre la superficie z  f (x, y). 8. Si la función f (x, y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el plano tangente a la superficie z  f (x, y) en el punto P(a, b, f (a, b)) contiene las líneas rectas que son tangentes a la curva x y a la curva y que pasan por el punto P sobre la superficie. @ F @ F son las derivadas parcia9. Las derivadas parciales de segundo orden  Y @ Y@ X @X les de ∂ f/∂ x respecto a las variables x y y, respectivamente. @ F @ F son continuas 10. Si las derivadas parciales mixtas de segundo orden Y @ X@ Y @ Y@ X sobre un disco circular con centro en el punto (a, b), entonces estas dos derivadas parciales de segundo orden tienen el mismo valor en dicho punto.

12.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Recuerde que la función valor absoluto f (x)  |x| es derivable, excepto únicamente en el punto x  0. ¿Puede definir una función análoga de dos variables —que tenga derivadas parciales excepto en un solo punto? 2. Suponga que la superficie z  f (x, y) tiene un pico o un foso (es decir, una elevación o una depresión) en el punto (a, b, c), en el que la superficie tiene un plano tangente. ¿Qué puede decir sobre este plano tangente? ¿Qué diría sobre los valores de las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b)? 3. ¿Una superficie z  f (x, y) tiene un pico o un foso en un punto en el que las derivadas parciales fx y fy no existen? Proporcione un ejemplo que ilustre su respuesta.

12.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 20, calcule las derivadas parciales de primer orden de cada función.

En los problemas 21 a 30, compruebe que zxy  zyx.  Z D X  X Y C Y 

 F .X; Y/ D X  X  Y C X  Y  X Y  C Y 

 Z D X  C X  Y Y  C X Y 

 F .X; Y/ D X SEN Y

 Z D X  EXP.Y  /

 Z D X YEX Y

 Z D LN.X C Y/

 Z H .X  C Y  /

X

 F .X; Y/ D E .COS Y SEN Y/  XY

 F .X; Y/ D E E XCY  F .X; Y/ D XY  F .X; Y/ D LN.X  C Y  /

 Z D E XY  F .X; Y/ D  X C Y  F .X; Y/ D .X Y/

X

COS Y

 Z D .X C Y/ SEC X Y

 F .X; Y; Z/ D X  Y  Z 

 Z D SEN X Y C TAN X Y  Z D X COSH.=Y / En los problemas 31 a 40, encuentre una ecuación del plano tangente a la superficie dada z  f (x, y) en el punto P que se indica.  Z D X  C Y   0 D .; ; /

 F .X; Y; Z/ D X  C Y  C Z 

 Z D

 F .X; Y/ D X Y

 F .X; Y/ D TAN X Y

 F .X; Y; Z/ D E X YZ  F .X; Y; Z/ D X  YZ  F .X; Y; Z/ D X  E Y LN Z





 X  Y   0 D .; ; / XY  0 H .; ; /  Z D SEN    Z D TAN X Y 0 D .; ; /   Z D X  Y   0 D .; ; /

 F .U; G/ D .U  C G  / EXP.U  G  / R  S  F .R; S/ D  R C S  F .U; G/ D EUG .COS UG C SEN UG/

 Z D X C Y

 F .U; G; H/ D UEG C GEH C HEU

 Z D X  Y  

 F .R; S; T/ D . R  S  T  /ER ST

 Z D X Y

0 D .; ; /

0 D .; ; /

 Z D EXP.X  Y  /  Z D

X  C Y

0 D .; ; /

0 D .; ; / 0 D .; ; /

SECCIÓN 12.4

Recuerde que para una función f (x, y) con derivadas parciales de segundo orden continuas, fxy  fyx. En los problemas 41 a 44 aplique este criterio para determinar si existe una función f (x, y) que tenga las derivadas parciales de primer orden que se dan. Si así fuera, trate de determinar una fórmula para dicha función f (x, y).  F X .X; Y/ D X Y  ; F Y .X; Y/ D X  Y   F X .X; Y/ D X Y C Y  ;

F Y .X; Y/ D X  C X Y

 F X .X; Y/ D COS .X Y/;

F Y .X; Y/ D SEN  .X Y/

 F X .X; Y/ D COS X SEN Y;

F Y .X; Y/ D SEN X COS Y

Las figuras 12.4.12 a 12.4.17 ilustran las gráficas de cierta función f (x, y) y sus derivadas parciales de primer orden y segundo. En los problemas 45 a 50, relacione la función o derivada parcial con su gráfica. Y

   Z













Y





@ U @U DK  @T @X

Demuestre que la función

satisface la ecuación del calor unidimensional para cualquier valor de la constante n. 56. La ecuación del calor bidimensional para una placa delgada y aislada es

 Z 

@U @ U @ U DK C  :  @T @X @Y





 X





Y







X

Y







Z 

Z 







X













satisface esta ecuación para cualquier valor de las constantes m y n. 57. Una cuerda se estira a lo largo del eje x, se fija en cada extremo y luego se sujeta a vibración. En física se demuestra que el desplazamiento y  y(x, t) del punto de la cuerda ubicado en x en el momento t, satisface la ecuación de onda unidimensional 



FIGURA 12.4.15





Y  





 Z

Z 





Demuestre que la función U D U.X; Y; T/ D EXP.TM  C N  UK T/ SEN MX COS NY





X



Y  







FIGURA 12.4.14











FIGURA 12.4.13









FIGURA 12.4.12

 @ Y  @ Y D A ; @X @T 

donde la constante a depende de la densidad y tensión de la cuerda. Demuestre que las funciones siguientes satisfacen la ecuación de onda unidimensional: a) y  sen(x + at); b) y  cosh(3[x − at]); c) y  sen k x cos k at (k es una constante). 58. Una función de temperatura de estado estable u  u(x, y) para una placa delgada y plana satisface la ecuación de Laplace. @ U @ U C H : @ Y @X





 X





FIGURA 12.4.16



KESUNACONSTANTE 

U D U.X; T/ D EXP.N  K T/ SEN NX





929

52. Suponga que z  e x+y. Compruebe que e x+y es el resultado de derivar z un número m de veces respecto a x, y después n veces respecto a y. 53. Sea f (x, y, z)  e x y z. Calcule las distintas derivadas parciales de segundo orden de f y la derivada parcial de tercer orden fxyz. 54. Suponga que g(x, y)  sen xy. Compruebe que gxy  gyx y que gxxy  gxyx  gyxx. 55. En física se demuestra que la temperatura u(x, t) en el momento t en el punto x de un cilindro largo y aislado, que se encuentre a lo largo del eje x, satisface la ecuación del calor unidimensional





Derivadas parciales

 X







FIGURA 12.4.17

Determine cuál de las funciones siguientes satisface la ecuación de Laplace: A U H LN

 F .X; Y/

 F X .X; Y/

 F Y .X; Y/

 F X X .X; Y/

 F X Y .X; Y/

 F YY .X; Y/

51. Compruebe que las derivadas parciales mixtas de segundo orden fxy y fyx son iguales si f (x, y)  xm ym, donde m y n son enteros positivos.

X  C Y 

B U H X  C Y   C U H ARCTAN.Y=X/ D U H EX SEN Y

59. Suponga que f y g son funciones de variable única derivable dos veces. Demuestre que y(x, t)  f (x + at) + g(x − at) satisface la ecuación de onda unidimensional del problema 57.

930

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

60. El campo del potencial eléctrico de una carga puntual q está definida (en las unidades apropiadas) por φ(x, y, z)  q/r, donde r  X  C Y  C Z   Demuestre que φ satisface la ecuación de Laplace tridimensional @  @  @  C  C  D :  @Z @X @Y

61. u(x, t) denota la temperatura subterránea a la profundidad x y en el momento t en un sitio en que la variación estacional de la temperatura superficial (x  0) está descrita por U.; T/ D 4 C A COS !T;

donde T0 es la temperatura superficial promedio anual, y la constante ω se escoge de modo que el periodo de u(0, t) sea de un año. Demuestre que la función

en la presión con T mantenida a 313 K. b) Calcule ∂V/∂T derivando la ecuación de van der Waals con p constante. Después estime el cambio en el volumen que resultaría de un aumento de 1 K en la temperatura con p conservada a 1 atm. 68. Una superficie mínima tiene el área superficial mínima de todas las superficies con la misma frontera. La figura 12.4.18 muestra la superficie mínima de Scherk, que tiene la ecuación Z D LN.COS X/ LN.COS Y/:

Una superficie mínima z  f (x, y) se conoce para satisfacer la ecuación diferencial parcial  C Z Y Z X X ZZ X Z Y Z X Y C  C Z X Z YY D :

Verifique esto en el caso de la superficie mínima de Scherk. Z

U.X; T/ D 4 C A EXP X !=K COS !T X !=K

satisface tanto la “condición de superficie” como la ecuación del calor unidimensional del problema 55. 62. La resistencia eléctrica agregada, R, de tres resistencias R1, R2 y R3, conectadas en paralelo, satisface la ecuación     D C C : 2 2 2 2

X

FIGURA 12.4.18 Superficie mínima de Scherk (problema 68).

Demuestre que @2 @2 @2 C C @ 2 @ 2 @ 2 D

Y

       C C  C C : 2 2 2 2  2  2 

63. La ley de los gases ideales pV  nRT (en la que n es el número de moles del gas y R es una constante), determina cada una de las tres variables p (presión), V (volumen) y T (temperatura) como función de las otras dos. Demuestre que @P @6 @4

D : @6 @4 @P

64. El cono z2  x 2 + y2 pasa por el origen. Demuestre esto con los métodos del cálculo. 65. Sólo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie

69. Se dice que la función z  f (x, y) es armónica si satisface la ecuación de Laplace zxx + zyy  0 (ver problema 58). Demuestre que cada una de las cuatro funciones siguientes es armónica: a) f1(x, y)  sen x senh (π − y); b) f2(x, y)  senh 2x sen 2y; c) f3(x, y)  sen 3x senh 3y; d) f4(x, y)  senh 4(π − x) sen 4y; 70. La figura 12.4.19 muestra la gráfica de la suma 

Z.X; Y/ D

de las cuatro funciones definidas en el problema 69. Explique por qué z(x, y) es una función armónica.

Z D X  C X Y C Y  X C Y Y

es horizontal. Encuéntrelo. 66. Demuestre que el plano tangente al paraboloide con ecuación z  x 2 + y2 en el punto (a, b, c) interseca al plano xy en la recta con ecuación 2ax + 2by  a2 + b2. Luego demuestre que esta recta es tangente al círculo cuya ecuación es 4x 2 + 4y2  a2 + b2. 67. De acuerdo con la ecuación de van der Waals, 1 mol de gas satisface la ecuación A P C  .6 B/ D .:/4 6 donde p, V y T son las del ejemplo 4. Para el dióxido de carbono, a  3.59 × 106 y b  42.7, y V es 25,600 cm3 cuando p es 1 atm y T  313 K. a) Calcule ∂V/∂p derivando la ecuación de van der Waals con T constante. Posteriormente estime el cambio en el volumen que resultaría de un incremento de 0.1 atm

F I .X; Y/ ID

 







X 

   Z



 



Z

3 FIX Y

I

FIGURA 12.4.19 La superficie z  f (x, y) del problema 70.



SECCIÓN 12.5

71. Usted se encuentra en el punto en que x  y  100 (pies) en la ladera de una colina cuya altitud (en pies sobre el nivel del mar) está dada por  Z D  C .X  X Y C Y  /;  con el eje positivo de las x al oriente, y el eje positivo de las y al norte. a) Si usted se dirigiera hacia el oriente, ¿inicialmente ascendería o descendería? ¿Con qué ángulo (en grados) respecto a la horizontal? b) Si se dirigiera al norte, ¿al inicio subiría o bajaría? ¿Con qué ángulo (en grados) respecto a la horizontal? 72. Responda las preguntas a) y b) del problema 71, excepto que ahora usted se halla en el punto en que x  150 y y  250 (pies) sobre la ladera de una colina cuya altitud (en pies sobre el nivel del mar) está dada por  Z D  C .X  X Y C Y  /:  73. La figura 12.3.7 muestra la gráfica de la función f definida por 8 XY < AMENOSQUE X D Y D ; F .X; Y/ D X  C Y  :  SI X D Y D 

Problemas de optimización con variables múltiples

931

74. La figura 12.4.20 ilustra la gráfica de la función g definida por 8   < X Y.X Y / AMENOSQUE X D Y D ;   G.X; Y/ D X CY :  SI X D Y D  a) Demuestre que las derivadas de primer orden gx y gy están definidas en todo lugar y son continuas excepto tal vez en el origen. b) Utilice coordenadas polares para demostrar que gx y gy son continuas también en (0, 0). c) Demuestre que todas las derivadas parciales de segundo orden de g están definidas y son continuas excepto quizás en el origen. d) Demuestre que las cuatro derivadas parciales de segundo orden de g existen en el origen, pero que gxy (0, 0) gyx (0, 0). e) Considere el comportamiento sobre líneas rectas para demostrar que ninguna de las cuatro derivadas parciales de segundo orden de g es continua en el origen. X

Z

a) Muestre que las primeras derivadas parciales fx y fy están definidas donde sea y son continuas excepto posiblemente en el origen. b) Considere la conducta sobre líneas rectas para demostrar que ni fx y fy son continuas en el origen. c) Muestre que las segundas derivadas parciales de f están definidas y continuas excepto posiblemente en el origen. d) Muestre que las segundas derivadas parciales fxx y fyy existen en el origen, pero no así las derivadas mezcladas fxy y fyx.

Y

FIGURA 12.4.20 Gráfica de X  Y X Y del problema 74. ZD X  C Y

12.5 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON VARIABLES MÚLTIPLES Las técnicas para hallar los máximos y mínimos de una sola variable que se estudiaron en la sección 3.5 se generalizan con facilidad a funciones de varias variables. Primero consideraremos una función f de dos variables. Suponga que nos interesan los valores extremos que alcanza f (x, y) sobre una región plana R que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva cerrada y sencilla (sin intersecciones) C (ver figura 12.5.1). Decimos que la función f alcanza su valor máximo, absoluto o global M sobre R en el punto (a, b) si se demuestra que

Y

$ A B

2

F .X; Y/

#

X

FIGURA 12.5.1 Región plana R limitada por la curva cerrada simple C, y un disco D contenido en R y con centro en el punto interior (a, b) de R.

- D F .A; B/

para todos los puntos (x, y) de R. De manera similar, f alcanza su valor mínimo, absoluto o global m en el punto (c, d ) de R si se demuestra que f (x, y) m  f (c, d ) para todos los puntos (x, y) de R. En palabras llanas, el máximo absoluto M, y el mínimo absoluto m, son los valores más grande y más pequeño (respectivamente) que alcanza f (x, y) en puntos del dominio R de f. El teorema 1, que se demuestra en cursos de cálculo avanzados, garantiza la existencia de los valores máximo y mínimo absolutos en muchas situaciones de interés práctico.

TEOREMA 1 Existencia de valores extremos Suponga que la función f es continua en la región R que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva cerrada sencilla C en el plano. Así, f tiene un valor máximo absoluto en cierto punto (a, b) de R y un valor mínimo absoluto en cierto punto (c, d ) de R. Nos interesa sobre todo el caso en que la función f alcanza su valor máximo (o mínimo) absoluto en un punto interior de R. El punto (a, b) de R se denomina punto

932

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

interior de R, si se demuestra que cierto disco circular con centro en (a, b) está por completo dentro de R (ver figura 12.5.1). Los puntos interiores de una región R del tipo descrito en el teorema 1 son precisamente aquellos que no están sobre la curva frontera C. Un valor extremo absoluto que la función alcance en un punto interior de R es por necesidad un valor extremo local. Decimos que f (a, b) es un valor máximo local de f (x, y) si se demuestra que es el valor máximo absoluto de f en cierto disco D con centro en (a, b) y que esté por completo dentro del dominio R. De manera similar, un valor mínimo local es un valor mínimo absoluto en un disco como el descrito. Así, un valor máximo (o mínimo) local, f (a, b), no es necesariamente el valor máximo (o mínimo) absoluto, pero es el más grande (o más pequeño) que f (x, y) adopta en puntos cerca de (a, b). EJEMPLO 1 La figura 12.5.2 muestra una gráfica generada por computadora de la función F .X; Y/ D .X / EX

 .YC/



 X 

X  Y  EX

graficada sobre el rectángulo R para el que −3 extremos, con leyendas, de f (x, y) se observa • • • •

x

 Y 

3 y −3

 E.XC/

y

 Y 

3. Al ver los valores

Un máximo local que no es un máximo absoluto. Un máximo local que también es un máximo absoluto. Un mínimo local que no es un mínimo absoluto. Un mínimo local que también es un mínimo absoluto.

Podemos pensar en los máximos locales de la gráfica como cumbres de montañas o “picos” y en los mínimos locales como valles o “fosas”. Z -ÖXIMOABSOLUTO

-ÖXIMOLOCAL

-¤NIMOLOCAL -¤NIMOABSOLUTO

FIGURA 12.5.2 Valores extremos locales comparados con extremos globales.

Encontrar los valores extremos locales Necesitamos un criterio que brinde una forma práctica de encontrar los valores extremos locales de funciones de dos (o más) variables. El resultado deseado —enunciado en el teorema 2— es análogo al criterio para una sola variable de la sección 3.5: si f (c) es un valor extremo local de la función, f, derivable de una sola variable, entonces x  c debe ser un punto crítico en el que f (c)  0. Suponga, por ejemplo, que f (a, b) es un valor máximo local que f (x, y) alcanza en el punto (a, b) donde existen ambas derivadas parciales fx y fy. Consideramos curvas de sección transversal planas verticales sobre la gráfica z  f (x, y) igual que cuando exploramos la interpretación geométrica de las derivadas parciales en la sección 12.4. Las curvas de sección transversal paralelas a los planos xz y yz son las gráficas (en dichos planos) de las funciones de variable única '.X/ D F .X; B/ Y ( .Y/ D F .A; Y/ cuyas derivadas son las parciales de f : F X .A; B/ D ' .A/

Y

F Y .A; B/ D ( .B/:



SECCIÓN 12.5

Problemas de optimización con variables múltiples

933

Debido a que f (a, b) es un valor máximo local de f (x, y), se sigue con facilidad que G(a) y H(b) son valores máximos locales de G(x) y H(y), respectivamente. Por tanto, el criterio para máximos y mínimos de una sola variable que se vio en la sección 3.5 implica que

Z

' .A/ D 

Y

( .B/ D :



Al combinar las ecuaciones (1) y (2) se concluye que F X .A; B/ D 

Y

F Y .A; B/ D :



En esencia, el mismo argumento lleva a la misma conclusión si f (a, b) es un valor mínimo local de f (x, y). Este análisis conduce al teorema 2.

Y X

TEOREMA 2 Condiciones necesarias para los valores extremos locales Suponga que f (x, y) tiene un valor máximo local o un valor mínimo local en el punto (a, b) y que existen las dos derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b). Entonces, (3) fx (a, b)  0  fy (a, b).

A FX Y XY M¤NIMOLOCALEN 

Z

Las ecuaciones en (3) implican que el plano tangente a la superficie z  f (x, y) debe ser horizontal en cualquier punto máximo local o mínimo local (a, b, f (a, b)), en analogía perfecta con el caso de una variable (en el que la recta tangente es horizontal en cualquier punto máximo o mínimo local de la gráfica de una función derivable). EJEMPLO 2

Considere las tres superficies familiares Z D F .X; Y/ D X  C Y  ; Z D G.X; Y/ D  X  Y  ;

Y



Z D H.X; Y/ D Y X

X B GX Y  X Y MÖXIMOLOCAL EN  Z

Y

X

C HX Y Y X PUNTOSILLAEN 

FIGURA 12.5.3 Donde ambas derivadas parciales son iguales a cero, puede haber un a) mínimo, b) máximo, o c) ninguno.

Y



que se muestran en la figura 12.5.3. En cada caso, ∂ z/∂ x  ±2x y ∂ z/∂ y  ±2y. Así, ambas derivadas parciales son iguales a cero en el origen (0, 0) (y solo ahí). Observando la figura queda claro que f (x, y)  x 2 + y2 tiene un mínimo local en (0, 0). En realidad, debido a que un cuadrado no es negativo, z  x 2 + y2 tiene un valor mínimo global 0 en (0, 0). En forma similar, g(x, y) tiene un valor máximo local (en realidad, global) en (0, 0), mientras que h(x, y) no tiene, ahí, ni un mínimo ni un máximo locales —el origen es un punto silla de h—. Este ejemplo ilustra que un punto (a, b) en el que @Z @Z DD @X @Y puede corresponder a un mínimo local, un máximo local, o a ninguno. Entonces, la condición necesaria planteada por la ecuación (3) no es suficiente para que exista un valor extremo local. Z EJEMPLO 3

Encuentre todos los puntos de la superficie Z D  Y  C

  Y 



  Y 

X

en los que el plano tangente es horizontal.

Solución Primero calculamos las derivadas parciales ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y: @Z D X; @X @Z D  Y C  Y   Y  @Y D  Y.Y  Y / D  Y.Y C /.Y /: A continuación se iguala a cero tanto ∂ z/∂ x como ∂ z/∂ y, lo que produce X D  Y  Y.Y C /.Y / D :

934 CAPÍTULO 12

Z  Y

   

Diferenciación parcial

La solución simultánea de estas ecuaciones conduce exactamente a tres puntos en los que ambas derivadas parciales son iguales a cero: (0, −3), (0, 0) y (0, 4). Los tres puntos correspondientes sobre la superficie en los que el plano tangente es horizontal ), (0, 0, 0) y (0, 4, 20 ). Estos tres puntos se indican en la gráfica de la son (0, −3, 99 32 3 superficie que se ilustra en la figura 12.5.4 (Recuerde que construimos esta superficie en el ejemplo 11 de la sección 12.2.) Z

    Y X Y  

  

    X

 

  Z



 





Y

FIGURA 12.5.4 Superficie del ejemplo 3.

Encontrar valores extremos globales El teorema 2 es una herramienta muy útil para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos que adopta una función continua f sobre una región R del tipo descrito en el teorema 1. Si f (a, b) es el valor máximo absoluto, por ejemplo, entonces (a, b) es bien un punto interior de R o un punto de la curva de frontera C. Si (a, b) es un punto interior y existen ambas derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b), entonces el teorema 2 implica que las dos derivadas parciales deben ser iguales a cero. Así, tenemos el resultado siguiente.

TEOREMA 3 Tipos de valores extremos absolutos Suponga que f es continua sobre la región plana R que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva C cerrada y sencilla. Si f (a, b) no es el valor máximo absoluto o el mínimo absoluto de f (x, y) sobre R, entonces (a, b) es cualquiera de los siguientes: 1. Un punto interior de R en el que @F @F H D ; @X @Y

2. Un punto interior de R donde no existen ambas derivadas parciales, o 3. Un punto de la curva C de frontera de R. Un punto (a, b) donde se cumple la condición (1) o la (2) se denomina punto crítico de la función f. Así, el teorema 3 afirma que cualquier valor extremo de la función continua f sobre la región plana R ocurre en un punto crítico interior o en un punto en la frontera. Observe la analogía con el teorema 3 de la sección 3.5, que implica que un valor extremo de una función de variable única f (x) sobre un intervalo I cerrado y limitado debe ocurrir bien en un punto crítico interior de I o en un punto extremo (punto frontera) de I.

Z

Como consecuencia del teorema 3, los valores máximo o mínimo absolutos de f (x, y) sobre R se encuentran como sigue:

MÉTODO F X Y  XY 2 Y X

FIGURA 12.5.5 Gráfica de la función del ejemplo 4.

1. Primero hay que localizar los puntos críticos interiores. 2. A continuación se encuentran los posibles valores extremos de f sobre la curva C de frontera. 3. Por último, se comparan los valores de f en los puntos hallados en los pasos 1 y 2. La técnica que se va a usar en el segundo paso dependerá de la naturaleza de la curva de frontera C, como se ilustra en los ejemplos 4 y 5. EJEMPLO 4 Sea F .X; Y/ D X  C Y  sobre la región R que consiste en los puntos sobre y dentro de la circunferencia x 2 + y2  1 en el plano xy. En la figura 12.5.5 se muestra la gráfica de f. Se observa que el valor mínimo, 0, de f ocurre en el origen (0, 0), donde no existe ninguna de las derivadas parciales fx y fy (¿por qué?), mientras que el valor máximo, 1, de f en R ocurre en cada uno de los puntos de la circunferencia de frontera. Z EJEMPLO 5

Encuentre los valores máximo y mínimo de la función F .X; Y/ D X Y X Y C 

en los puntos de la región triangular R en el plano xy con vértices en (0, 0), (2, 0) y (0, 4).

SECCIÓN 12.5

Problemas de optimización con variables múltiples

Solución La región R se muestra en la figura 12.5.6. Su “curva” C de frontera consiste en el segmento 0 x 2 sobre el eje x, el segmento 0 y 4 sobre el eje y, y la parte de la recta 2x + y  4 que queda en el primer cuadrante. Cualquier valor extremo interior debe ocurrir en un punto en que ambas derivadas

Y  

XY

@F D Y @X     

2

Y

@F D X  @Y

son igual a cero. De ahí que el único punto crítico interior sea (1, 1). A lo largo de la arista en que y  0:

 

la función f (x, y) toma la forma

.X/ D F .X; / D  X;  

935

 

X

FIGURA 12.5.6 Región triangular del ejemplo 5.



X

:

Debido a que α(x) es una función decreciente, sus valores extremos para 0 x 2 ocurren en los puntos extremos x  0 y x  2. Esto deja dos posibilidades para la ubicación de los valores extremos de f (x, y): el punto (0, 0) y el (2, 0). A lo largo de la arista en que x  0: la función f (x, y) toma la forma .Y/ H F .; Y/ D  Y;

Y



:

Los puntos extremos de este intervalo dejan a los puntos (0, 0) y (0, 4) como las posibles ubicaciones de los valores extremos de f (x, y). Sobre la arista de R en la que y  4 − 2x: hay que sustituir 4 −2x por y en la fórmula de f (x, y) y expresar f como función de una sola variable:

.X/ D X. X/ X . X/ C  D X  C X ;



X

:

Para encontrar los valores extremos de γ (x), primero se calcula

.X/ D X C I

γ (x)  0, donde x  . Así, cada valor extremo de γ (x) en [0, 2] debe ocurrir bien en el punto interior x   del intervalo [0, 2] o en uno de los puntos extremos x  0 y x  2. Esto deja a los puntos (0, 4), ( ,  ) y (2, 0) como posibles ubicaciones de los valores extremos de f (x, y). Al evaluar f en cada uno de los puntos encontrados se concluye lo siguiente: F .; / D ; F

  ;  



MÖXIMO



M¤NIMO

D :

F .; / D ; F .; / D ; F .; / D :

Así, el valor máximo de f (x, y) sobre la región R es f (0, 0)  3, y el valor mínimo es f (0, 4)  −1. Z Observe la terminología que se utilizó en esta sección. En el ejemplo 5, el valor máximo de f es 3, el máximo ocurre en el punto (0, 0) en el dominio de f, y el punto más alto sobre la gráfica de f es (0, 0, 3).

Puntos más alto y más bajo de las superficies En problemas de aplicación es frecuente que se sepa de antemano que el valor máximo (o mínimo) absoluto de f (x, y) sobre R ocurre en un punto interior de R en el que existen ambas derivadas parciales de f. En este importante caso, el teorema 3 afirma que es posible localizar todos los puntos posibles en los que podrían ocurrir el máximo (o mínimo) si se resuelven en forma simultánea las dos ecuaciones F X .X; Y/ D 

Y

F Y .X; Y/ D 



936

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Y

Z

X

FIGURA 12.5.7 La superficie z  x4 + y4 − x 2y2 se abre hacia arriba.

X

Si tenemos suerte, estas ecuaciones únicamente tendrán una solución simultánea (x, y) interior a R. Si así fuera, entonces esa solución debe ser donde se ubique el máximo (o mínimo) que se busca. Si encontramos que las ecuaciones (4) tienen varias soluciones simultáneas interiores a R, entonces tan sólo evaluamos f en cada solución a fin de determinar cuál produce el valor más grande (o más pequeño) de f (x, y) y por tanto es el punto máximo (o mínimo) que se busca. Este método se utiliza para encontrar el punto más bajo sobre una superficie z  f (x, y) que se abre hacia arriba, como la que se ilustra en la figura 12.5.7. Si R es un rectángulo suficientemente grande, entonces f (x, y) toma valores positivos grandes en todo lugar sobre la frontera de R, pero más pequeños en los puntos interiores. Se sigue que el valor mínimo de f (x, y) debe obtenerse en un punto interior de R. No es pertinente la pregunta acerca del punto más alto o más bajo de una superficie que se abra tanto hacia arriba como hacia abajo, como la que se ilustra en la figura 12.5.8. EJEMPLO 6

Encuentre el punto más alto sobre la superficie Z H F .X; Y/ H  X  C Y  X  Y  :



Solución Se observa que los términos negativos de cuarto grado en f (x, y) predominan claramente cuando |x| y/o |y| son grandes, por lo que la superficie z  f (x, y) se abre hacia abajo (ver figura 12.5.9). Para comprobar esta observación sacamos como factor a x4 + y4 y escribimos:

Z

F .X; Y/ D .X  C Y  / Y

FIGURA 12.5.8 La superficie z  x4 + y4 − 3x 2y2 se abre tanto hacia arriba como hacia abajo.

Y X

C Y   : C Y



A continuación, consideramos un punto fijo (x, y) y hacemos que m denote al más pequeño y M al más grande de los dos números |x| y |y|. De este modo,   X  X

Z

  X  X

C Y  C Y

M  C -  jXj C jYj D X  C Y M C - 

 -  C -  D :    C-

Por ejemplo, si cualquiera de |x| o |y| es mayor que M  10, entonces la fracción den , de donde tro de los corchetes en la ecuación (6) tiene un valor absoluto menor que  se sigue que f (x, y) < 0. Entonces, f (x, y) es negativa fuera del cuadrado grande R con vértices (±10, ±10) en el plano xy. Pero con toda certeza z  f (x, y) adopta valores positivos dentro de R, como f (1, 1)    . En consecuencia, el teorema 1 implica que f (x, y) tiene un valor máximo absoluto en algún punto interior de R, por lo que procederemos a encontrarlo. Como las derivadas parciales ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y existen en todo lugar, el teorema 3 implica que sólo se necesita resolver las ecuaciones ∂ z/∂ x  0 y ∂ z/∂ y  0 en la ecuación (4), es decir: @Z D X  X  D X  . X/ D ; @X @Z D Y  Y  D Y  . Y/ D : @Y

FIGURA 12.5.9 La superficie Z H  X  C Y  X  Y  se abre hacia abajo.

Si estas dos ecuaciones se satisfacen, entonces #UALQUIERA X D  O X D 

Y

CUALQUIERA Y D  O Y D :

Se sigue que ocurre cualquiera de lo siguiente: X D Y YD

O

X D Y YD

O

X D Y YD

O

X D Y Y D :

SECCIÓN 12.5

  

   

Problemas de optimización con variables múltiples

937

En consecuencia, sólo se necesita inspeccionar los valores Z.; / D ;

      

Z.; / D

D :   : : : ;

Z.; / D ; Z.; / H

Z

   

D :   : : : :

Así, el punto más alto sobre la superficie es ; ; la superficie se indican en la figura 12.5.10.

 



MÖXIMO

 Los cuatro puntos críticos sobre Z

Problemas de aplicación de máximos y mínimos El análisis de un problema de aplicación de máximos y mínimos con variables múltiples involucra los mismos pasos generales que se listaron al comienzo de la sección 3.6. Sin embargo, aquí se expresará la variable dependiente —la cantidad por maximizar o minimizar— como una función f (x, y) de dos variables independientes. Una vez que hayamos identificado la región apropiada en el plano xy como el dominio de f, los métodos de esta sección resultan aplicables. Es frecuente notar que se requiere un paso preliminar: si el dominio significativo de definición de f es una región no acotada, entonces primero restringimos a f a una región plana acotada R sobre la cual sabemos que ocurre el valor extremo que se busca. Este procedimiento es similar al que se usó en la sección 4.4 con problemas de máximos y mínimos de intervalo abierto.

Y X

FIGURA 12.5.10 Puntos críticos del ejemplo 6.

EJEMPLO 7 Encuentre el costo mínimo de una caja rectangular con volumen de 48 ft3, si el frente y la parte posterior cuestan $1/ft2, las partes superior e inferior cuestan $2/ft2, y los dos extremos cuestan $3/ft2. (Fue en la sección 12.1 donde analizamos por primera vez dicha caja.) En la figura 12.5.11 se ilustra dicha caja.

Z

Y

X

FIGURA 12.5.11 Caja cuyo costo total queremos minimizar (ejemplo 7).

Y

XYESGRANDESOBRE ESTOSDOSLADOS  ESGRANDEAQU¤ X

 ESGRANDEAQU¤ Y X

FIGURA 12.5.12 La función de costo C(x, y) del ejemplo 7 toma valores positivos grandes sobre la frontera del cuadrado.

Solución En la sección 12.1 encontramos que el costo C (en dólares) de esta caja estaba dado por la expresión   C #.X; Y/ D X Y C X Y en términos de su longitud x y ancho y. Sea R un cuadrado como el que se aprecia en la figura 12.5.12. Dos lados de R están tan cerca de los ejes coordenados que 288/x > 1000 sobre el lado más cercano al eje y, y 96/y > 1000 sobre el lado más cerca del eje x. Asimismo, el cuadrado es tan grande que 4xy > 1000 sobre los dos otros lados. Esto significa que C(x, y) > 1000 en todo punto (x, y) del primer cuadrante que queda sobre o fuera de la frontera del cuadrado R. Como C(x, y) adopta valores razonablemente pequeños, dentro de R (por ejemplo, C(1, 1)  388), está claro que el mínimo absoluto de C debe ocurrir en un punto interior de R. Así, aunque el dominio natural de la función de costo C(x, y) es todo el primer cuadrante, hemos tenido éxito en restringir su dominio a una región R de la clase en que es aplicable el teorema 3. Por tanto, resolvamos las ecuaciones simultáneas siguientes:  @# D Y  D ; @X X  @# D X  D : @Y Y Se multiplica la primera ecuación por x y la segunda por y (es frecuente que se requieran métodos ad hoc para resolver ecuaciones no lineales simultáneas). Este procedimiento ofrece   D X Y D ; X Y por lo que x  288y/96  3y. Se sustituye x  3y en la ecuación ∂C/∂ y  0 y se encuentra que  Y  D ; DEMODOQUE Y  D : Y

938

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

p Así, Y H   H  por lo que x  6. Por tanto, el costo mínimo de esta caja es C(6, 2)  144 (dólares). Como el volumen de la caja es V  xyz  48, su altura es z  48/(6 · 2)  4 cuando x  6 y y  2. Así, la caja óptima mide 6 pies de ancho, 2 pies de profundidad y 4 pies de alto. Z

Como comprobación, observe que las superficies más baratas (el frente y la parte posterior) son las más grandes, mientras que las áreas más caras (los lados) son los más pequeños.

COMENTARIO

Se ha visto que si fx (a, b)  0  fy (a, b), entonces f (a, b) puede ser un valor máximo, mínimo o ninguno de estos. En la sección 12.10 se analizan condiciones que bastan para distinguir entre un máximo local, un mínimo local y un punto silla sobre la superficie z  f (x, y). Estas condiciones involucran las derivadas de segundo orden de la función f.

Funciones de tres o más variables Los métodos de esta sección se generalizan con facilidad a funciones de tres variables o más. Por ejemplo, suponga que la función f (x, y, z) es continua sobre una región R en el espacio, acotada por una superficie cerrada S. De este modo (por analogía con el teorema 1), la función f tiene un valor máximo absoluto en cierto punto (a, b, c) de R (y también un valor mínimo absoluto en cierto punto de R). Si (a, b, c) es un punto interior de R en el que existen las derivadas parciales de f, entonces (por analogía con el teorema 3) se sigue que las tres desaparecen ahí: F X .A; B; C/ H F Y .A; B; C/ H F Z .A; B; C/ H 



Por tanto, trataríamos de encontrar este punto resolviendo las tres ecuaciones simultáneas F X .X; Y; Z/ H ;

F Y .X; Y; Z/ H ;

Y

F Z .X; Y; Z/ H 



para los tres valores desconocidos x  a, y  b y z  c. Así, un paso clave en el método de solución de un problema de valores extremos con tres variables en esencia es el mismo que en el método para resolver uno con dos variables —“igualar a cero las derivadas parciales y resolver las ecuaciones resultantes”—. Pero vea los problemas 68 a 70. El ejemplo 8 ilustra el método de la “recta que pasa por el punto” que en ocasiones se usa para demostrar que un punto (a, b, c) en el que las condiciones (8) se cumplen, no es un máximo local ni un mínimo local (el método también es aplicable a funciones de dos o de más de tres variables). EJEMPLO 8 Determine si la función f (x, y, z)  xy + yz − xz tiene algún valor extremo local.

Solución Las condiciones necesarias en (8) generan las ecuaciones F X .X; Y; Z/ H Y Z H ; F Y .X; Y; Z/ H X C Z H ; F Z .X; Y; Z/ H Y X H :

Se encuentra con facilidad que la solución de estas ecuaciones es x  y  z  0. Sobre la recta x  y  z que pasa por (0, 0, 0), la función f (x, y, z) se reduce a x 2, que es mínima en x  0. Pero sobre la recta x  −y  z se reduce a −3x 2, que es máxima cuando x  0. Así, f no tiene ni un máximo ni un mínimo locales en (0, 0, 0). Por tanto, no tiene valores extremos, locales ni globales. Z

SECCIÓN 12.5

Problemas de optimización con variables múltiples

939

12.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que la función f está definida sobre una región R en el plano xy, que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva cerrada sencilla C. Entonces, el teorema 1 de esta sección implica que f (x, y) tiene un valor máximo en cierto punto de R. 2. Cualquier valor extremo absoluto que adopte la función f (x, y) en un punto interior de su región de definición es necesariamente un valor extremo local de la función. 3. Cualquier valor extremo local que tome la función f (x, y) es necesariamente un valor extremo absoluto de la función. 4. Suponga que la función f (x, y) tiene un valor máximo local o uno mínimo local en un punto en que existen las dos derivadas parciales fx y fy. Así, ambas derivadas parciales tienen el valor de 0 en dicho punto. 5. Si fx(a, b)  fy(a, b)  0, entonces f (a, b) es bien un valor máximo local o uno mínimo local de la función f. 6. Suponga que la función f es continua sobre una región R en el plano xy que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva C cerrada y sencilla, y que existen las dos derivadas parciales fx y fy en todo punto interior de R. Si f (a, b) es el valor máximo absoluto de f (x, y) sobre R, entonces fx(a, b)  fy(a, b)  0 o (a, b) es un punto de la curva de frontera de R. 7. Suponga que la función f es continua sobre una región R en el plano xy que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva C cerrada y sencilla. De este modo, el valor mínimo absoluto de f (x, y) sobre R ocurre en un punto interior en el que no existen las derivadas parciales fx y fy. 8. Suponga que la función f es continua sobre una región R en el plano xy que consiste en los puntos sobre y dentro de una curva C cerrada y sencilla, y que las derivadas parciales fx y fy existen en todo punto interior de R. Si f no tiene puntos críticos en el interior de R, entonces el valor máximo absoluto de ésta ocurre en un punto de la curva C de frontera de R. 9. Suponga que la función f es continua y tiene derivadas parciales en todo lugar. Si f (x, y) es negativa en todo punto fuera del rectángulo R, pero la función tiene valores positivos dentro de R, entonces su valor máximo absoluto debe ocurrir en un punto crítico de R en el que sus dos derivadas parciales desaparecen. 10. El método de solución de un problema de valores extremos con tres variables en esencia es el mismo que el de otro con dos variables, excepto que hay tres “ecuaciones de derivadas parciales” por resolver (en lugar de dos).

12.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que la función f es continua en el disco D limitado por la circunferencia unitaria x 2 + y2  1. ¿Es posible que f (x, y) tenga sus valores tanto máximo como mínimo sobre D en puntos del exterior de la circunferencia? Ilustre su respuesta con un ejemplo. 2. Proporcione un ejemplo de función definida en todo punto del disco unitario D pero no tenga valor máximo en ningún punto de D. 3. Proporcione un ejemplo de función f definida sobre el disco unitario D que tenga su valor máximo en un punto interior en el que no existan las derivadas parciales de D. 4. ¿Cómo modificaría la prueba del teorema 2 para demostrar que las derivadas parciales de una función de tres variables desaparecen en un punto máximo o mínimo locales del interior? (Qué significa punto interior de una región del espacio?) ¿La prueba se aplica a la función H D F .X; Y; Z/ D X  C Y  C Z  

940

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

12.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 12, encuentre todos los puntos sobre la superficie dada z  f (x, y) en los que el plano tangente es horizontal.  Z D X Y C 

 Z D  X  Y 

Cada una de las superficies definidas en los problemas 13 a 22 se abre hacia abajo y tiene un punto más elevado, o se abre hacia arriba y tiene un punto más bajo. Encuentre el punto más alto o más bajo sobre la superficie z  f (x, y).

 Z D X Y C 

 Z D X  C Y  C X

 Z D X  X C Y  Y C 

 Z D X Y X  Y 

 Z D X  C Y  X C Y C   Z D  C X Y X  Y 

 Z D X X  C Y  Y 

 Z D X Y X  Y 

 Z D X  C X C Y 

 Z D X  X  X  C Y  Y

 Z D X  C Y  Y

 Z D X  C X C Y  Y  C  6ERFIGURA



X



 Z D X  C X  C Y  Y  C Y   Z D X  C X Y C Y    Z D  X Y C X  C Y 

 

 Z D EXP.X Y X  Y  /  Z D . C X  / EXP.X  Y  /



Z

En los problemas 23 a 28, encuentre los valores máximo y mínimo que tiene la función dada f (x, y) sobre la región plana dada R.



23. f (x, y)  x + 2y; R es el cuadrado con vértices en (±1, ±1). 



24. f (x, y)  x 2 + y2 − x; R es el cuadrado del problema 23.



 Y

25. f (x, y)  x 2 + y2 − 2x; R es la región triangular con vértices en (0, 0), (2, 0) y (0, 2).

FIGURA 12.5.13 La superficie del problema 9.

26. f (x, y)  x 2 + y2 − x − y; R es la región del problema 25.

  Z D  X C Y C X  C Y 

1.

28. f (x, y)  xy ; R es el disco circular x + y

3.

2

 Z D .X  C Y  / EXP.X  Y  / 6ERFIGURA X

  



27. f (x, y)  2xy; R es el disco circular x 2 + y2



 Y







En los problemas 29 a 34, se da la ecuación de un plano sobre la superficie. Encuentre el punto en el primer octante P(x, y, z) sobre la superficie que esté más cerca al punto fijo dado Q(x0, y0, z0). [Sugerencia: minimice el cuadrado de la distancia |PQ|2 como función de x y y].



29. El plano 12x + 4y + 3z  169 y el punto fijo Q(0, 0, 0) 30. El plano 2x + 2y + z  27 y el punto fijo Q(9, 9, 9) 31. El plano 2x + 3y + z  49 y el punto fijo Q(7, −7, 0) 32. La superficie xyz  8 y el punto fijo Q(0, 0, 0) 33. La superficie x 2y2z  4 y el punto fijo Q(0, 0, 0) 34. La superficie x4y8z2  8 y el punto fijo Q(0, 0, 0)

FIGURA 12.5.14 La superficie del problema 11.

 Z D X Y EXP  .X  C Y  /

2

  Z  



2

6ERFIGURA 

 Y



35. Encuentre el máximo producto posible de tres números positivos cuya suma sea 120. 36. Calcule el volumen máximo posible de una caja rectangular si la suma de las longitudes de sus 12 aristas es igual a 6 metros. 37. Determine las dimensiones de la caja cuyo volumen es 1000 in3 y que tenga el área superficial mínima. 38. Halle las dimensiones de la caja abierta por arriba con volumen de 4000 cm3 y cuyos cuatro lados, inferior y laterales, tengan un área total superficial mínima.



En los problemas 39 a 42, encuentre las dimensiones que minimicen el costo total del material necesario para construir la caja rectangular que se describe. Está cerrada (por arriba, abajo y por los cuatro lados) o abierta (por los cuatro lados y el fondo).

Z 







 X





FIGURA 12.5.15 La superficie del problema 12.

39. La caja ha de estar abierta por arriba, con un volumen de 600 in3. El material para su fondo cuesta 6¢/in2, y para los cuatro lados cuesta 5¢/in2.

SECCIÓN 12.5

40. La caja va a estar cerrada, con un volumen de 48 ft3. El material de la tapa y el fondo cuesta $3/ft2, y el de sus cuatro lados cuesta $4/ft2. 41. La caja estará cerrada y tendrá un volumen de 750 in3. El material para su tapa y fondo cuesta 3¢/in2, y de su frente y parte posterior 6¢/in2, y el material de sus dos extremos cuesta 9¢/in2. 42. La caja será un cajón cerrado para envíos con un volumen de 12 m3. El material para su fondo cuesta lo doble (por metro cuadrado) que el de su parte superior y sus cuatro lados. 43. Un edificio rectangular va a tener un volumen de 8000 ft3. Los costos por calefacción y enfriamiento serán de $2/ft2 para sus paredes superior, del frente y posterior, y de $4/ft2 por las de los dos extremos. ¿Qué dimensiones del edificio minimizarían dichos costos anuales? 44. Usted desea construir un acuario rectangular con un fondo de pizarra, que cuesta 28¢/in2. Los lados serán de vidrio, que cuestan 5¢/in2, y la parte superior será de acero inoxidable, que cuesta 2¢/in2. El volumen de este acuario será de 24,000 in3. ¿Cuáles son las dimensiones del que resulte más barato? 45. Una caja rectangular se halla inscrita en el primer octante con tres de sus lados en los planos coordenados, su vértice común en el origen y el vértice opuesto sobre el plano cuya ecuación es x + 3y + 7z  11. ¿Cuál es el volumen máximo posible de dicha caja? 46. Tres lados de una caja rectangular se encuentran en los planos coordenados, su vértice común está en el origen y el opuesto sobre el plano con la ecuación siguiente:

Problemas de optimización con variables múltiples

53. Encuentre el punto (x, y) en el plano para el que la suma de los cuadrados de sus distancias a (0, 1), (0, 0) y (2, 0) sea mínima. 54. Determine el punto (x, y) en el plano para el que la suma de los cuadrados de sus distancias a (a1, b1), (a2, b2) y (a3, b3) es mínima. 55. Una casa con estructura en forma de A va a tener un volumen fijo V. Sus paredes frontal y posterior tienen forma de triángulos isósceles paralelos e iguales y con bases horizontales. El techo consiste en dos rectángulos que conectan pares de los lados superiores de los triángulos. Para minimizar los costos de calefacción y enfriamiento, ha de minimizarse el área de la estructura en forma de A (excluido el piso). Describa la forma de la estructura en A que tenga el área mínima. 56. ¿Cuál es el volumen máximo posible de una caja rectangular cuya diagonal más grande tiene longitud L fija? 57. Un alambre de 120 cm de largo se ha de cortar en tres piezas o menos, cada una de las cuales se dobla para que adopte la forma de un cuadrado. ¿Cómo se debe hacer esto a fin de maximizar el área superficial total de los cubos? ¿Y para minimizarla? 58. Se debe dividir un bulto de volumen fijo V en tres piezas o menos, y dar a éstas la forma de un cubo. ¿Cómo debe hacerse esto con objeto de maximizar el área superficial total de los cubos? ¿Y para minimizarla? 59. Un rectángulo muy largo de placa metálica tiene un ancho L y se va a plegar para formar una canaleta pluvial (ver figura 12.5.16). Haga que su volumen sea máximo maximizando el área transversal que se muestra en la figura.

X Y Z C C D A B C

47.

48. 49.

50.

51.

52.

(a, b y c son constantes positivas). En términos de a, b y c, ¿cuál es el volumen máximo posible de dicha caja? Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular que aceptaría una oficina de correos para los envíos, si la suma de su longitud y circunferencia no debe exceder de 108 in. Repita el problema 47 para el caso de una caja cilíndrica —en forma de caja para sombreros o tubo postal ancho. Una caja rectangular cuya base está en el plano xy está inscrita bajo la gráfica del paraboloide z  1 − x 2 − y2, z 0. Encuentre el volumen máximo posible de la caja. [Sugerencia: suponga que los lados de la caja son paralelos a los planos coordinados verticales, y se sigue que la caja está colocada en forma simétrica alrededor de estos planos.] ¿Cuál es el volumen máximo posible de una caja rectangular inscrita en un hemisferio de radio R? Suponga que una cara de la caja se localiza en la base plana del hemisferio. Una boya tendrá la forma de cilindro circular recto cubierto en cada extremo por conos circulares rectos idénticos con el mismo radio que el cilindro. Encuentre el área superficial mínima posible de la boya, dado que tiene un volumen fijo V. Una ventana pentagonal tendrá la forma de un rectángulo coronado por un triángulo isósceles (con base horizontal, de modo que la ventana será simétrica respecto a su eje vertical), y el perímetro de la ventana será de 24 ft. ¿Cuáles son las dimensiones de una ventana como esa por la que entre la mayor cantidad de luz gracias a que tenga el área máxima?

941

X

Q

FIGURA 12.5.16 Sección transversal de la canaleta pluvial del problema 59.

60. Considere la función f (x, y)  ( y − x 2)( y − 3x 2). a) Demuestre que fx(0, 0)  0  fy(0, 0). b) Demuestre que para toda línea recta y  mx que pase por (0, 0), la función f (x, mx) tiene un mínimo local en x  0. c) Examine los valores de f en puntos de la parábola y  2x 2 para demostrar que f no tiene un mínimo local en (0, 0). Esto nos dice que no es posible utilizar el método de la recta que pasa por un punto, como en el ejemplo 8, para demostrar que un punto es un valor extremo local. 61. Suponga que Alpha, Inc., y Beta, Ltd., fabrican productos que compiten (pero no son idénticos), con las ventas semanales de cada uno, determinadas por el precio de venta del producto y el de su competidor. Suponga que Alpha establece un precio de venta de x dólares por unidad de su producto, en tanto que Beta fija un precio unitario de venta de y dólares. Una investigación de mercado muestra que la utilidad semanal que obtiene Alpha es 0.X/ D X  C X C X Y Y 

y la de Beta es 1.Y/ D Y  C Y C X Y X 

(ambas en miles de dólares). La notación peculiar surge del hecho de que x y y son las únicas variables bajo control de Alpha y Beta, respectivamente (si esto lo confunde, siéntase con libertad para escribir P(x, y) en lugar de P(x) y Q(x, y) en lugar de Q(y)). a) Suponga que los gerentes de ambas com-

942

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

pañías dominan el cálculo y que cada uno sabe que el otro lo domina, y que tienen sentido común. ¿Qué precio fijará cada gerente para maximizar la utilidad semanal de su compañía? b) Ahora suponga que los dos gerentes llegan a un acuerdo (legal o de otro tipo) con el que planean maximizar su utilidad semanal total. Ahora, ¿cuál debe ser el precio de venta de cada producto? (Suponemos que dividirán la utilidad resultante en forma equitativa, pero los detalles de este problema misterioso no vienen al caso.) 62. Tres compañías, —Ajax Products (AP), Behemoth Quicksilver (BQ) y Conglomerate Resources (CR)— elaboran productos en cantidades A, B y C, respectivamente. Las utilidades semanales que obtiene cada una, en miles de dólares, obedecen a las ecuaciones siguientes: !0 V 0 D ! !  ! "; "1 V

1 D " "  "#;

#2 V

2 D # #  !#:

F .X; Y/ D X  C BX  Y  C Y  :



66. Demuestre que la forma cuadrática f en (10) tiene un solo punto crítico en (0, 0), a menos que b  −1, en cuyo caso todos los puntos sobre cierto par de rectas que pasan por el origen es un punto crítico (ver la figura 12.5.17). Experimente con gráficas hechas con computadora para formular una conjetura acerca de la forma de la gráfica de f en cada uno de los dos casos b > −1 y b < −1.



a) Si cada empresa actúa en forma independiente a fin de maximizar su utilidad semanal, ¿de cuánto serán las utilidades? b) Si las empresas AP y CR se unen para maximizar su utilidad total mientras que BQ actúa sola, ¿qué efectos tendrá esto? Ofrezca una respuesta completa para este problema. Suponga que el hecho de la fusión de AP con CR es conocida por el director de BQ. 63. Una granjera está en posibilidad de criar ovejas, puercos y vacas. Tiene espacio para 80 ovejas o 120 puercos o 60 vacas, o cualquier combinación que use la misma cantidad de espacio; es decir, 8 ovejas usarían tanto espacio como 12 puercos o 6 vacas. Las utilidades anticipadas por animal son de $10 por oveja, $8 por puerco y $20 por cada cabeza de ganado. Las leyes estatales requieren que un granjero críe tantos puercos como ovejas y vacas combinadas. ¿Cómo maximizará su utilidad la granjera? Los problemas 64 y 65 utilizan la ecuación cuadrática de la forma f (x, y)  ax 2 + 2bx + cy 2.

Las figuras 12.5.7 y 12.5.8 ilustran (y los problemas 66 y 67 las utilizan) los casos en que B D  Y B D  (respectivamente) de la forma cuadrática especial

(9)

64. Demuestre que la cuadrática de la forma f en (9) sólo tiene un único punto crítico en (0, 0) a menos que ac − b2  0, en cuyo caso todo punto sobre cierta recta que pase por el origen es crítico. Experimente con gráficas elaboradas en computadora para formular una conjetura sobre la forma de la superficie z  f (x, y) en el caso excepcional en que ac − b2  0. ¿Puede fundamentar su conjetura? 65. Utilice un sistema de álgebra por computadora para graficar la forma cuadrática en (9) para varios valores diferentes de los coeficientes a, b y c, a fin de corroborar las dos conclusiones siguientes. a) Si ac − b2 > 0, entonces la gráfica de z  f (x, y) es un paraboloide hiperbólico, por lo que f tiene un valor máximo o uno mínimo en (0, 0). b) Si ac − b2 < 0, entonces la gráfica de z  f (x, y) es un paraboloide hiperbólico, por lo que f tiene un punto silla en (0, 0).

Z  Y X

FIGURA 12.5.17 Gráfica de la función f (x, y) x4 − x 2y2 + y4 que tiene puntos críticos sobre las rectas y  ± x.

67. Para demostrar que la forma cuadrática en (10) tiene un mínimo local en el origen si b > −1 y un punto silla si b < −1, sustituya x  r cos θ, y  r sen θ y escriba x4 + 2bx 2y2 + y4  r4 g(θ ). Después, encuentre los valores máximo y mínimo de g(θ ) para 0 θ 2π. 68. Encuentre los valores máximo y mínimo globales de F .X; Y; Z/ D X  X Y C Y  C YZ C Z  C :

¿Qué pasa en el punto o puntos en los que las tres derivadas parciales de f son simultáneamente iguales a cero? 69. Halle los valores máximo y mínimo globales de G.X; Y; Z/ D X  X  Y  C Y  C Z  C :

¿Qué ocurre en el punto o puntos en los que las tres derivadas parciales de g son simultáneamente iguales a cero? 70. El plano P con ecuación x + y + z  1 toca el primer octante en el triángulo T para el que x, y y z son no negativos. Encuentre el valor máximo de la expresión E  x − y + z sobre T. Es probable que proceda con la solución de la ecuación del plano P para z  1 − x − y y sustituya z en la expresión E a fin de obtener la cantidad h(x, y)  x − y + (1 − x − y) por maximizar. ¿Qué sucede en el punto o puntos en los que ambas derivadas parciales de h son simultáneamente iguales a cero?

12.6 INCREMENTOS Y APROXIMACIÓN LINEAL En la sección 4.2 usamos la diferencial d f  f (x) x para aproximar el incremento, o cambio real,  f  f (x + x) − f (x)

SECCIÓN 12.6

Incrementos y aproximación lineal

943

en el valor de una función de variable única que resulta del cambio x en la variable independiente. De este modo, f ≈ d f ; es decir, F .X C

X/ F .X/  F .X



X

Ahora se describe el uso de las derivadas parciales ∂ f/∂ x y ∂ f/∂ y para aproximar el incremento F D F .X C

X; Y C

Y/ F .X; Y/



en el valor de una función f (de dos variables) que resulta cuando sus dos variables independientes cambian en forma simultánea. Si sólo cambiara x y y se mantuviera constante, podríamos considerar temporalmente a f (x, y) como función sólo de x. Después, con fx(x, y) en el papel de f (x), la aproximación lineal de la ecuación (1) ofrecería F .X C

X; Y/ F .X; Y/  F X .X; Y

X



para el cambio en f que corresponde al cambio x en x. De manera similar, si sólo cambiara y y x permaneciera constante, entonces —al considerar en forma temporal a f (x, y) como función sólo de y— se obtendría F .X; Y C

Y/ F .X; Y/  F Y .X; Y

Y



para el cambio en f correspondiente al cambio y en y. Si tanto x como y cambiaran simultáneamente, se esperaría que la suma de las aproximaciones en (3) y (4) fueran una buena estimación del incremento resultante en el valor de f. Sobre esta base, se define la diferencial D F D F X .X; Y

X C F Y .X; Y

Y



de una función de dos variables independientes. La aproximación f ≈ d f lleva a la aproximación F .X C

X; Y C

Y/  F .X; Y/ C F X .X; Y

X C F Y .X; Y

Y



EJEMPLO 1 Encuentre la diferencial d f de la función f (x, y)  x 2 + 3xy − 2y2. Posteriormente, compare d f y el incremento real f cuando (x, y) cambia de P(3, 5) a Q(3.2, 4.9).

Solución La diferencial de f, como se da en la ecuación (5), es DF D

@F @X

XC

@F @Y

Y D .X C Y

X C .X Y

Y:

En el punto P(3, 5), esta diferencial es D F D .
 C 


X C .
 


Y D  X  Y:

Con x  0.2 y y  −0.1, correspondiente al cambio de P(3, 5) a Q(3.2, 4.9), se obtiene D F D 
.:/ 
.:/ D ::

El cambio real en el valor de f de P a Q es el incremento F D F .:; :/ F .; / D :  D :;

por lo que en este ejemplo la diferencial parece ser una buena aproximación al incremento. Z

944

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

En el punto fijo P(a, b), la diferencial D F D F X .A; B X C F Y .A; B

Y



es una función lineal de x y y; los coeficientes fx(a, b) y fy(a, b) en esta función lineal dependen de a y b. Así, la diferencial d f es una aproximación lineal al incremento real f. El teorema de la aproximación lineal (que se enuncia después, en esta sección) implica que si la función f tiene derivadas parciales continuas, entonces d f es una aproximación muy buena de f cuando los cambios x y y en x y y son suficientemente pequeños. La aproximación lineal F .A C

X; B C

Y/  F .A; B/ C F X .A; B

X C F Y .A; B

Y



se utiliza para estimar el valor de f (a, + x, b + y) cuando x y y son pequeños y se conocen los valores de f (a, b), fx(a, b) y fy(a, b). EJEMPLO 2 Utilice la aproximación lineal para estimar el valor de 
.:/ C .:/   , a  2 y b  3. Después es Solución Se comienza por hacer F .X; Y/pD X  C Yp fácil calcular el valor exacto de F .; / D 
 C  D  D  A continuación, X  Y @F @F D D Y ; @X @Y X  C Y  X  C Y 

PORLOQUE F X .; / D

 

Y

F Y .; / D  :

La ecuación (8) con x  0.02 y y  −0.03 proporciona 
.:/ C .:/ D F .:; :/  F .; / C F X .; /
.:/ C F Y .; /
.:/ DC

 


.:/

 


.:/ D ::

Z

El valor real con cuatro decimales es 5.0305.

Si z  f (x, y), es frecuente escribir dz en lugar de d f . Por ello, la diferencial de la variable dependiente z en el punto (a, b) es dz  fx(a, b) x + fy(a, b) y. En el punto arbitrario (x, y) la diferencial de z adopta la forma DZ D F X .X; Y

X C F Y .X; Y

Y:

Se escribe, con más sencillez DZ D

@Z @X

XC

@Z @Y

Y



En esta fórmula es costumbre escribir dx para x y dy para y. Cuando eso se hace, la ecuación (9) toma la forma siguiente: DZ D

@Z @Z DX C DY @X @Y



Cuando se usa esta notación, nos damos cuenta de que dx y dy no tienen la connotación de ser “infinitesimales” o siquiera pequeñas. La diferencial dz solo es una función lineal de las variables reales ordinarias dx y dy, función que da una aproximación lineal al cambio en z cuando x y y cambian en las cantidades dx y dy, respectivamente. EJEMPLO 3 En el ejemplo 4 de la sección 12.4 se consideró 1 mol de un gas ideal —con su volumen V en centímetros cúbicos dado en términos de su presión p en atmósferas y temperatura T en grados Kelvin, por la fórmula V  (82.06)T/p—. Aproxime el cambio de V cuando p se incrementa de 5 a 5.2 atmósferas y T aumenta de 300 K a 310 K.

SECCIÓN 12.6

Incrementos y aproximación lineal

945

Solución La diferencial de V  V( p, T) es D6 D

@6 :
4 @6 : DP C D4 D DP C D4:  @P @4 P P

Con p  5, T  300, dp  0.2 y dT  10, se calcula D6 D 

CM :

Esto indica que el gas disminuirá su volumen alrededor de 33 cm3. El cambio real es

   



:
 :
: C
  :  

6 D



:
 :
  : :  : : 

CM :

Z

Y 

EJEMPLO 4



El punto (1, 2) está sobre la curva cuya ecuación es F .X; Y/ D X  C Y  X Y D :











 X





(Ver figura 12.6.1). Aproxime la coordenada y del punto cercano (x, y) sobre dicha curva para el que x  1.2.



Solución El incremento entre f (1, 2)  0 y f (x, y)  0 sobre esta curva es f  0 ≈ d f, por lo que cuando se calculan las diferenciales en la ecuación (11), se obtiene

FIGURA 12.6.1 La curva del ejemplo 4.

DF D

     GY 











   



@F @F DX C DY H .X  Y/ D X C .Y  X/ DY D : @X @Y

Ahora, al sustituir x  1, y  2 y dx  0.2, se obtiene la ecuación (−4)(0.2) + (7) dy  0. De donde se sigue que dy  (0.8)/7 ≈ 0.114 ≈ 0.1. Esto deja a (1.2, 2.1) como las coordenadas aproximadas del punto cercano. Para comprobar la exactitud de esta aproximación se sustituye x  1.2 en la ecuación (11), con lo que se obtiene la ecuación 
.:/ C Y  
.:/Y D Y  Y C : D :

Las raíces de esta ecuación son las intersecciones de la curva que se muestra en la figura 12.6.2. Una calculadora o computadora con capacidad de resolver ecuaciones (o con el método de Newton) produce y ≈ 2.084 ≈ 2.1 como la solución cerca de y  2. Z

Yz

 Y





FIGURA 12.6.2 La gráfica de g( y)  y3 − 6y + 3.456.





Funciones de tres variables o más Los incrementos y diferenciales de funciones de más de dos variables se definen de manera similar. Una función w  f (x, y, z) tiene el incremento D

F D F .X C

X; Y C

Y; Z C

Z/ F .X; Y; Z/

y la diferencial DH D D F D

@F @X

XC

@F @Y

YC

@F @Z

ZI

es decir, DH D

@H @H @H DX C DY C DZ @X @Y @Z

si, como en la ecuación (10), se escribe dx para x, dy para y y dz para z. EJEMPLO 5 Usted construyó un cubo de metal que se supone tiene aristas con longitud de 100 mm, pero las mediciones de cada una de sus tres dimensiones x, y y z, pueden tener un error de hasta un milímetro. Use diferenciales para estimar el error máximo que se produce en el cálculo de su volumen V  xyz.

946

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Solución Se necesita aproximar el incremento 6 D 6 . D D X;  C DY;  D DZ/ 6 .; ; /

cuando los errores dx, dy y dz en x, y y z son máximos. La diferencial de V  xyz es D 6 D YZ D X C X Z DY C X Y DZ:

Cuando se sustituye x  y  z  100 y dx  ±1, dy  ±1 y dz  ±1, se obtiene D 6 D 

./ C 

./ C 

./ D :

Tal vez sorprenda que un error de sólo un milímetro en cada dimensión de un cubo pueda llegar a ocasionar un error de 30,000 mm3 en su volumen (para un cubo hecho de un metal precioso, un error de 30 cm3 en su volumen correspondería a una diferencia de cientos o miles de dólares en su costo). Z

Aproximación lineal y diferenciabilidad La notación vectorial simplifica la descripción de las aproximaciones diferenciales y lineales para funciones de varias variables. Sea f (x)  f (x1, x2, . . . , xn) una función de n variables evaluada en los reales. Si X D X ; X ; : : : ; XN

Y

H D H; H; : : : ; HN ;

entonces la fórmula de la aproximación lineal para f toma la forma F .X C H/  F .X/ C

@F @F @F H C H C


C HN @ X @ X @ XN



con un término para cada variable independiente. Se introduce el vector gradiente rF .X/ D $ F .X/; $ F .X/; : : : ; $N F .X/ D

@F @F @F ; ;::: ; @ X @ X @ XN



de la función f (x1, x2, . . . , xn) de n variables; sus elementos son las n derivadas parciales de primer orden de f (si se supone que existen). Esta función nueva evaluada en vectores se denomina gradiente de f y se denota con ∇ f (se pronuncia “del f ”). En la sección 12.8 se explora el significado del vector gradiente ∇ f ; aquí se usa sólo como notación para simplificar la fórmula (12). El producto punto (o escalar) de dos vectores n-dimensionales es, igual que para las dimensiones 2 y 3, la suma de los productos de los elementos correspondientes de los dos vectores. Es decir, si a  a1, a2, . . . , an y b  b1, b2, . . . , bn, entonces A
B D A B C A B C


C AN BN :

En consecuencia, la fórmula de aproximación lineal en (12) adopta la forma concisa F .X C H/  F .X/ C rF .X/
H



en analogía agradable con la aproximación original con una variable f (x + h) ≈ f (x) + f (x)h (aquí se escribe h para x). Como ∇ f (x) y h son vectores con n componentes, el producto punto en el lado derecho en (14) se define y produce rF .X/
H D $ F .X/H  C $ F .X/H  C


C $N F .X/H N ; lo que genera los términos lineales del lado derecho de (12). En analogía con el caso de dos variables en (5), la suma de los n términos lineales es la diferencial d f  ∇ f (x) · h de la función f de n variables reales. Con h  dx  dx1, dx2, . . . , dxn, esta diferencial toma la forma DF D

@F @F @F D X C D X C


C D XN @ X @ X @ XN

que generaliza la diferencial con dos dimensiones de la ecuación (10).

SECCIÓN 12.6

Incrementos y aproximación lineal

947

El vector gradiente ∇ f (x) se define en todos los lugares en que existen las derivadas parciales de primer orden de f. En el apéndice K se da una prueba del teorema de la aproximación lineal que se presenta a continuación. Este teorema asegura que (en efecto) si las derivadas parciales de f también son continuas, entonces la aproximación lineal en p (14) es una aproximación buena cuando jHj H H  C H  C


C H N es pequeña.

TEOREMA Aproximación lineal Suponga que la función f (x) de n variables tiene derivadas parciales de primer orden en una región que contiene el entorno |x − a| < r que consiste en todos los puntos x que se encuentran a una distancia menor que r desde el punto fijo a. Si a + h está en dicho entorno, entonces F .A C H/ D F .A/ C rF .A/
H C .H/
H  donde (h)  1(h), 2(h), . . . , n(h) es un vector tal que cada elemento i(h) tiende a cero cuando h → 0. COMENTARIO 1 Se dice que la función de variables múltiples es derivable continuamente en un punto, si se demuestra que sus derivadas parciales de primer orden no sólo existen sino que son continuas en ese punto. Así, la hipótesis del teorema de la aproximación lineal es que la función f es derivable continuamente en el entorno especificado del punto a. COMENTARIO 2

El producto punto .H/
H D  .H/H  C

 .H/H 

C


C

N .H/H N



en (15), es el error en la aproximación lineal —mide el grado en que la aproximación f (a + h) ≈ f (a) + ∇ f (a) · h falla en ser una igualdad—. La conclusión del teorema de aproximación lineal puede establecerse diciendo que si h es “muy pequeña”, entonces cada elemento i(h) de (h) también es muy pequeño. En este caso, cada sumando de (16) es producto de dos términos muy pequeños, por lo que se diría que el error (h) · h es “muy muy pequeño”. Ahora, dividamos la ecuación (16) entre |h|. Se observa que H H HN .H/
H D  .H/ C  .H/ C


C N .H/ !  jHj jHj jHj jHj



conforme h → 0. La razón es que, para cada i (l i n), HI  Y I .H/ !  jHj conforme h → 0. Por lo tanto, al dividir ambos lados entre |h| en la ecuación (15), se produce el límite L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ rF .A/
H D  jHj



con la suposición de que la función f es continuamente diferenciable cerca de a. La condición en la ecuación (18) es central para el estudio de la diferenciabilidad de funciones de variables múltiples. En realidad, se dice que la función valuada en los reales f (x) es derivable en el punto a si se demuestra que existe un vector constante c  c1, c2, . . . , cn tal que L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ C
H D  jHj



En efecto, esta definición significa que f es derivable en a si existe una función lineal c · h  c1h1 + c2h2 + · · · + cnhn (de los componentes de h) que se aproxima tanto al incremento f (a + h) − f (a) que el error es pequeño incluso en comparación con |h|. La Ecuación (18) implica que si f es continuamente derivable cerca de a,

948

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

entonces el vector gradiente ∇ f (a) es precisamente ese vector c (más aún, es el único de esa clase de vectores, como se ve en el problema 48). Así, una función es derivable si es derivable continuamente. Esto dice poco en el caso de una función de una sola variable, que se dice es derivable con sólo existir su derivada. En contraste, hasta este momento no hemos dicho nada acerca de la existencia de derivadas parciales de una función derivable de varias variables. El ejemplo que sigue aborda el caso para solo n  2 variables. EJEMPLO 6 Suponga que la función f (x, y) es derivable en el punto (a, b). Según la ecuación (19), esto significa que existe un vector constante c  c1, c2 tal que L¤M

F .A C H  ; B C H  / F .A; B/ .C H  C C H  /

.H  ;H  /!.;/

D :



H  C H 

Si h1  h y h2  0, entonces la ecuación (20) implica que L¤M

H!

F .A C H; B/ F .A; B/ C H D ; H

por lo que L¤M

H!

F .A C H; B/ F .A; B/ D C : H

Así, la derivada parcial fx(a, b) existe y es igual al primer elemento c1 de c. De manera similar, si se sustituye h1  0 y h2  h en (20) —hágalo usted— se encuentra que la Z derivada parcial fy(a, b) existe y es igual al segundo elemento c2 de c. El ejemplo 6 es el caso en que n  2 del teorema general acerca de que la derivabilidad en un punto implica la existencia de todas las derivadas parciales de primer orden en dicho punto. También se cumple que la derivabilidad implica continuidad (ver problema 47). En resumen, se tienen las implicaciones siguientes para una función f de varias variables: • Si f es continuamente derivable, entonces f es derivable. • Si f es derivable, entonces existen todas las derivadas parciales de f. • Si f es derivable, entonces f es continua. Los problemas 43 a 45 muestran que ninguna de estas implicaciones opera a la inversa para una función f de dos o más variables. Es decir, f puede tener derivadas parciales sin ser derivable, y puede ser derivable sin serlo continuamente. Además, f puede tener derivadas parciales sin ser continua (y viceversa). Así, la mera existencia de derivadas parciales —incluso de todas ellas— parece implicar mucho menos para una función de varias variables que para otra de una sola. Pero todas estas peculiaridades desaparecen en el caso de polinomios y funciones racionales de varias variables —que tienen derivadas parciales continuas en todos los lugares en que estén definidas.

12.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La diferencial d f  fx (a, b)x + fy (a, b)y es una aproximación lineal al incremento real  f  f (a + x, b + y) − f (a, b) que corresponde a cambios de x y y en las variables independientes. 2. La aproximación lineal f (a + x, b + y) ≈ f (a, b) + fx (a, b)x + fy (a, b)y se utiliza para estimar el valor de f (a + x, b + y) cuando x y y son pequeñas y se conocen los valores f (a, b), fx(a, b) y fy(a, b).

SECCIÓN 12.6

Incrementos y aproximación lineal

949

3. Para aproximar el valor numérico 
.:/ C .:/ puede usarse la fórmula de la aproximación lineal en la pregunta 2 con f (x, y)  X  C Y  , a  2, b  3 y x  0.02, y  −0.03. 4. Cuando se escribe la diferencial de z  f (x, y) en la forma @Z @Z DX C DY DZ H @X @Y

5.

6. 7.

8.

9. 10.

no implica necesariamente que dx y dy sean “infinitesimales”, y ni siguiera pequeñas. La diferencial dw de una función w  f (x, y, z) de tres variables se ve igual que la diferencial de una función de dos variables, excepto que tiene tres términos en lugar de dos. El vector gradiente ∇ f (x) de una función f (x1, x2, . . . , xn) de n variables es un vector con n componentes. La fórmula de la aproximación lineal para una función f (x) de n variables, donde x  (x1, x2, . . . , xn) se parece mucho a la fórmula de aproximación lineal para una función de una sola variable f (x), excepto que se reemplaza a x y a h con x y h, y con el vector gradiente ∇ f (x) en el papel de la derivada de una sola variable f (x). Si la función f valuada en los reales es continuamente derivable cerca del punto a, entonces existe un vector constante c tal que F .A C H/ F .A/ C
H D : L¤M H! jHj Si una función de n variables es derivable continuamente en un punto, entonces en éste existen todas sus derivadas parciales de primer orden. Las funciones de variables múltiples son continuas en todo lugar en que sean derivables.

12.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Compare el concepto de diferenciabilidad de funciones de una sola variable con el correspondiente a las de muchas. 2. Compare los papeles de la derivada de una función de variable única y el del vector gradiente de una función de varias variables. Por ejemplo, ¿cuál es el valor del vector gradiente en un punto máximo o mínimo local? 3. ¿Una superficie z  f (x, y) siempre tiene un plano tangente en el punto a donde f es derivable? Describa el modo en que este plano tangente aproxima la gráfica cerca del punto (a, f (a)).

12.6 PROBLEMAS En los problemas 1 a 16 encuentre la diferencial dw.  H D X  C X Y Y 

 H D EXP.X  Y  /

 C X  C Y X  H D ARCTAN Y

 H D X YE XCY

 H D LN.X  C Y  C Z  /

 H D SEN X YZ

 H D

 H D X Z  YX  C ZY 

 H D X YEUG

 H D X TAN YZ  H D EX YZ

 H D LN. C R S/ SCT  H D ST

 H D U  EXP.G  /  H D

 F .X; Y/ D

X  C Y 

0.; / 1.:; :/

 F .X; Y/ D

X  Y 

0.; / 1.:; :/

  F .X; Y/ D  0.; / 1.:; :/ CX CY p  F .X; Y; Z/ D X YZ  0.; ; / 1.:; :; :/  F .X; Y; Z/ D X  C Y  C Z   0.; ; / 1.:; :; :/ X YZ  F .X; Y; Z/ D  0.; ; / 1.:; :; :/ XCYCZ  F .X; Y; Z/ D EX YZ 

X  C Y C Z 

En los problemas 17 a 24, utilice el valor exacto f (P) y la diferencial d f para aproximar el valor f (Q).





 H D PQR EXP. P Q R /

0.; ; / 1.:; :; :/

 F .X; Y/ D .X Y/ COS  X Y

0 ;  1.:; :/

CAPÍTULO 12

950

Diferenciación parcial

En los problemas 25 a 32, utilice diferenciales para aproximar el número que se indica. p p    C  p p p        E: D EXP.: : / p    p   .:/ C .:/ C .:/

 



.:/ C 
.:/ C 
.:/

31. La coordenada y del punto P cerca de (1, 2) sobre la curva 2x3 + 2y3  9xy, si la coordenada x de P es 1.1. 32. La coordenada x del punto P cerca de (2, 4) sobre la curva 4x4 + 4y4  17x 2y2, si la coordenada y de P es 3.9.

lleva de una localidad en la que g es exactamente 32 ft/s2 a otra en la que g  32.2 ft/s2. 40. Dado el péndulo del problema 39, demuestre que el error relativo en la determinación de T es la mitad de la diferencia de los errores relativos al medir L y g, es decir,  D, DG D4 D : 4  , G

41. El rango de un proyectil disparado (en el vacío) con velocidad inicial v0 y ángulo de inclinación α a partir de la horizontal es 2 D  G SEN  Utilice diferenciales para aproximar el cambio en el rango si v0 aumenta de 400 a 410 ft/s y α se incrementa de 308 a 318. 42. Una viga horizontal está apoyada por ambos extremos y sujeta a una carga uniforme. La deflexión, o combadura, en su punto medio está dada por

33. Se miden la base y altura de un rectángulo y resultan ser de 10 cm y 15 cm, respectivamente, con un error posible de hasta 0.1 cm en cada medición. Use diferenciales para estimar el error máximo resultante en el cálculo del área del rectángulo.

3D

36. Las dimensiones de una caja rectangular cerrada se miden y son de 10 cm por 15 cm por 20 cm, pero hay un error posible de 0.1 cm en cada una. Emplee diferenciales para estimar el error máximo que resulta al calcular la superficie total de la caja. 37. Una topógrafa desea encontrar el área, en acres, de cierto terreno (un acre equivale a 43,560 ft2). Mide dos lados diferentes y encuentra que a  500 ft y b  700 ft, con un error posible de hasta 1 ft en cada medición. Mide el ángulo entre los dos lados y obtiene θ  30°, con un error posible de hasta 0.25°. El campo es triangular, por lo que su área está dada por ! D  AB SEN  Utilice diferenciales para estimar el error máximo que resulta, en acres, al calcular el área del terreno por medio de esta fórmula. 38. Emplee diferenciales para estimar el cambio en el volumen del gas del ejemplo 3 si su presión disminuye de 5 atm a 4.9 atm, y su temperatura baja de 300 K a 280 K. 39. El periodo de oscilación de un péndulo simple de longitud L está dada (aproximadamente) por la fórmula 4 D  ,=G  Estime el cambio en el periodo de un péndulo si su longitud pasa de 2 pies a 2 pies 1 pulg, y al mismo tiempo se



donde w y h son el ancho y alto, respectivamente, de la viga, y k es una constante que depende de la longitud y composición de la viga y la cantidad de carga. Demuestre que

34. Se mide el radio r de la base de un cilindro circular recto, así como su altura h, y resultan ser de 3 cm y 9 cm, respectivamente. Hay un error posible de 1 mm en cada medición. Use diferenciales para estimar el máximo error posible en el cálculo de lo siguiente: (a) volumen del cilindro, (b) superficie total del cilindro. 35. La medición del radio r y altura h de un cono circular recto son 5 in y 10 in, respectivamente. Hay un error posible de hasta  in en cada medición. Utilice diferenciales para estimar el error máximo resultante que podría haber al calcular el volumen del cono.

K ; HH 

D 3 D 3

43.

44.

45.

46.

  DH C DH : H H

Si S  1 in, cuando w  2 in, y h  4 in, aproxime la combadura cuando w  2.1 in y h  4.1 in. Compare su aproximación con el valor real que calcule con la ecuación (21). Sea la función f definida en todo el plano xy por f (x, y)  1 si x  y 0, mientras que f (x, y)  0 en otro caso. (a) Demuestre que f no es continua en (0, 0). (b) Demuestre que existen las dos derivadas parciales fx y fy en (0, 0). p p Demuestre que la función F .X; Y/ D .  X C  Y/ es continua y tiene derivadas parciales en el origen (0, 0), pero no es derivable ahí. Demuestre que la función f definida por f (x, y)  y2 + x3 sen(1/x) para x 0, y f (0, y)  y2, es derivable en (0, 0), pero no es continuamente derivable ahí debido a que fx(x, y) no es continua en (0, 0). Sea f (x) una función de la variable única x. Demuestre que la derivada ordinaria f (a) existe si y sólo si f es derivable en el sentido de la ecuación (19), lo que quiere decir que existe una constante c tal que L¤M

H!

F .A C H/ F .A/ CH D ; jHj

en cuyo caso f (a)  c. 47. Deducir, de la ecuación (19), que la función f es continua en todo lugar en que es derivable. 48. De la ecuación (19), deducir si la función de variables múltiples f (x) es derivable en a, después de que existen sus derivadas parciales de primer orden en a y están dadas por Di f (a)  ci para i  1, 2, . . . , n. Concluir con que el vector c  c1, c1, . . . , cn  en (19) es único.

SECCIÓN 12.7

Regla de la cadena para varias variables 951

12.7 REGLA DE LA CADENA PARA VARIAS VARIABLES La regla de la cadena para una variable expresa la derivada de una función compuesta f (g(t)) en términos de las derivadas de f y g: $T F .G.T// D F .G.T//
G .T/:



Con w  f (x) y x  g(t), la regla de la cadena implica que DH D X DH D : DT D X DT



La situación más sencilla de la regla de la cadena involucra una función w  f (x, y) en la que tanto x como y son funciones de la misma variable única t: x  g(t) y y  h(t). La función compuesta f (g(t), h(t)) es entonces una función de variable única de t, y el teorema 1 expresa su derivada en términos de las derivadas parciales de f y las derivadas ordinarias de g y h. Se acepta que la hipótesis enunciada se cumple en dominios apropiados tales como aquéllos en que la función compuesta está definida.

TEOREMA 1 La regla de la cadena Suponga que w  f (x, y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas y que x  g(t) y y  h(t) son funciones derivables. Entonces, w es una función derivable de t, y @H D X @H DY DH D
C
:  DT @ X DT @ Y DT Es común que la notación de variables de la ecuación (3) sea más útil que la de funciones. En cualquier caso, recuerde que las derivadas parciales de la ecuación (3) deben evaluarse en el punto (g(t), h(t)), por lo que en la notación de funciones de la ecuación (3) se obtiene $T T F .G.T/ H.T//U D F X .G.T/; H.T//
G .T/ C F Y .G.T/; H.T//
H .T/:



Al final de esta sección se incluye una prueba de la regla de la cadena. En general consiste en comenzar con la aproximación lineal 

@H @Y

@H @X

XC

@H @X

X @H C T @Y

Y

de la sección 12.6 y dividir entre t: T



Y : T

Después se toma el límite cuando t → 0 para obtener @H D X @H DY DH D
C
: DT @ X DT @ Y DT

EJEMPLO 1

Suponga que w  e x y, x  t 2 y y  t 3. Por lo tanto @H D XE YX ; @Y

@H D YE X Y ; @X

DX D T DT

Y

DY D T  : DT

Entonces, la ecuación (3) produce DH @H D X @H DY D
C
D .YE X Y /.T/ C .XE X Y /.T  / DT @ X DT @ Y DT 





D T  ET .T/ C T  ET .T  / D T  ET :

Z

952

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Si nuestro propósito no hubiera sido ilustrar la regla de la cadena con variables múltiples, habríamos obtenido el mismo resultado dw/d t  5t 4 exp t 5 con más facilidad al escribir

COMENTARIO

H D E X Y D E.T

 /.T  /

D ET



para después derivar w como una función de la variable única t. Pero este enfoque de variable única sólo es asequible si las funciones x(t) y y(t) se conocen en forma explícita. Sin embargo, en ocasiones se dispone únicamente los valores numéricos de x y y y/o sus tasas de cambio en un momento dado. En tales casos, la regla de la cadena con varias variables en (3) se utiliza para encontrar la tasa de cambio numérica de w en ese instante. EJEMPLO 2 La figura 12.7.1 muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r. Si su altura disminuye a 3 cm/h y su radio a 1 cm/h cuando r  15 cm y h  40 cm, ¿cuál es la tasa de cambio del volumen V del bloque en ese instante?

Solución Con V  πr 2h, la regla de la cadena ofrece D6 DH @ 6 DR @ 6 DH DR D C D R H C R  : DT DT @R DT @H DT DT

Al sustituir los valores numéricos dados de r  15, h  40, dr/dt  −1 y dh/dt  −3, se encuentra que D6 D ./././ C ./ ./ D   : DT

CM H :

Así, en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos de 6 litros por hora. Z FIGURA 12.7.1 El sol caliente funde un bloque cilíndrico de hielo (ejemplo 2).

6ARIABLE DEPENDIENTE

W

X

Y

T

En el contexto del teorema 1, hacemos referencia a w como la variable dependiente, a x y y como las variables intermedias y a t como la variable independiente. Después observamos que el lado derecho de la ecuación (3) tiene dos términos, uno para cada variable intermedia, como el lado derecho de la regla de la cadena para una sola variable en la ecuación (2). Si hubiera más de dos variables intermedias, entonces en el lado derecho habría un término por cada variable intermedia. Por ejemplo, si w  f (x, y, z) con x, y y z como función de t, entonces la regla de la cadena tiene la forma siguiente:

Z

6ARIABLES INTERMEDIAS 6ARIABLE INDEPENDIENTE

FIGURA 12.7.2 Niveles de las variables de la regla de la cadena.

DH @H D X @H DY @H DZ D
C
C
 DT @ X DT @ Y DT @Z DT



La prueba de la ecuación (5) en esencia es la misma que la de (3); requiere del teorema de aproximación lineal para tres variables en lugar de dos. Tal vez encuentre útil visualizar los tres tipos de variables —dependiente, intermedias e independiente— como si se encontraran en tres niveles diferentes, como se ilustra en la figura 12.7.2, con la variable dependiente en la parte superior y las independientes en la inferior. Cada variable depende entonces (directa o indirectamente) de las que estén por debajo de ella. EJEMPLO 3

Encuentre dw/d t si w  x 2 + ze y + sen xz y x  t, y  t2, z  t3.

Solución La ecuación (5) ofrece DH @H D X @H DY @H DZ D
C
C
DT @ X DT @ Y DT @Z DT D .X C Z COS X Z/./ C .ZE Y /.T/ C .E Y C X COS X Z/.T  / 

D T C .T  C T  /ET C T  COS T  :

Z

SECCIÓN 12.7

Regla de la cadena para varias variables 953

En el ejemplo 3 es posible comprobar el resultado de la regla de la cadena si primero se escribe w como función explícita de t y después se calcula la derivada ordinaria de w respecto a t con una sola variable.

Varias variables independientes Puede haber varias variables independientes, así como diversas variables intermedias. Por ejemplo, si w  f (x, y, z), donde x  g(u, v), y  h(u, v), k(u, v), de modo que H D F .X; Y; Z/ D F .G.U; G/; H.U; G/; K.U; G//;

entonces se tienen tres variables intermedias x, y y z, y dos independientes, u y v. En este caso sería necesario calcular las derivadas parciales ∂w/∂u, y ∂w/∂ v de la función compuesta. La regla general de la cadena en el teorema 2 implica que cada derivada parcial de la variable dependiente w está dada por una fórmula para la regla de la cadena como las que aparecen en la ecuación (3) o en la (5). La única diferencia es que las derivadas respecto a las variables independientes son derivadas parciales. Por ejemplo, @H @ X @H @ Y @H @Z @H D
C
C
 @U @ X @U @ Y @U @Z @U W

uW uX

uW uY

X

uW uZ Z

Y

uX uU

uY uU U

uY u uZ uU

uZ u

uX u

El “modelo molecular” que se aprecia en la figura 12.7.3 ilustra esta fórmula. El “átomo” en la parte superior representa la variable dependiente w. Los átomos en el siguiente nivel representan las variables intermedias x, y y z. Los átomos en la parte inferior representan las variables independientes u y v. Cada “enlace” en el modelo representa una derivada parcial que involucra las dos variables (los átomos unidos por el enlace). Por último, observe que la fórmula que se ofrece antes de este párrafo expresa ∂ w/∂ u como la suma de los productos de las derivadas parciales tomadas a lo largo de todas las trayectorias descendentes de w a u. En forma similar, la suma de los productos de las derivadas parciales por las trayectorias que descienden de w a v lleva a la fórmula correcta

FIGURA 12.7.3 Diagrama para w  w(x, y, z), donde x  x(u, v), y  y(u, v) y z  z(u, v).

@H @ X @H @ Y @H @Z @H D
C
C
 @G @ X @G @ Y @G @Z @G

El teorema 2 describe la situación más general.

TEOREMA 2 Regla general de la cadena Suponga que w es función de las variables x1, x2, . . . , xm y que cada una de éstas es función de las variables t1, t2, . . . , tn, Si todas estas funciones tienen derivadas parciales continuas de primer orden, entonces @H @ X @H @ X @H @ XM @H D
C
C


C
@TI @ X @TI @ X @TI @ XM @TI

para cada i, 1

i



n.

Así, en la ecuación (6) existe una fórmula para cada variable independiente t1, t2, . . . , tn, y el lado derecho de cada una de tales fórmulas contiene un término de regla de la cadena común para cada variable intermedia x1, x2, . . . , xm. EJEMPLO 4

Suponga que Z D F .U; G/;

U D X C Y;

G D X Y:

Dados los valores ∂ z/∂u,  3 y ∂ z/∂ v  −2 en el punto (u, v)  (3, 1), encuentre los valores ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y en el punto correspondiente (x, y)  (1, 1).

CAPÍTULO 12

954

Diferenciación parcial

Z

uZ uU

Solución La relación entre las variables se muestra en la figura 12.7.4. La regla de la cadena ofrece @Z @U @Z @G @Z D
C
D 
 C ./
 D  @X @U @ X @G @ X Y @Z @Z @U @Z @G D
C
D 
 C ./
./ D  @Y @U @ Y @G @ Y

uZ u

U

uU uY

uU uX

u uY

u uX

X

Y

en el punto indicado (x, y)  (1, 1).

FIGURA 12.7.4 Diagrama de z  z(u, v), donde u  u(x, y) y v  v(x, y) (ver ejemplo 4).

EJEMPLO 5 Sea w  f (x, y) , donde x y y están dadas en coordenadas polares por las ecuaciones x  r cos θ y y  r sen θ. Calcule @H @ H @H ; Y @R @ @R  en términos de r, θ y las derivadas parciales de w respecto a x y y (ver figura 12.7.5).

W

uW uX

uW uY

X

Y

uX uR R

uY uQ uY uR

Z

uX uQ

FIGURA 12.7.5 Diagrama para w  w(x, y), donde x  x(r, θ) y y  y(r, θ) (ejemplo 5).

Q

Solución Aquí, x y y son variables intermedias; las variables independientes son r y θ. En primer lugar, observe que @X @Y @X @Y D COS ; D SEN ; D R SEN  Y D R COS : @R @R @ @ Entonces @H @ X @H @ Y @H @H @H D
C
D COS  C SEN  A @R @ X @R @ Y @R @X @Y y @H @ X @H @ Y @H @H @H D
C
D R SEN  C R COS : @ @ X @ @ Y @ @X @Y

B

A continuación, @ @H @ @H @ H @H D D COS  C SEN   @R @R @R @R @ X @Y @H Y @HX COS  C SEN ; D @R @R donde wx  ∂w/∂ x y wy  ∂w/∂ y. Aplicamos la ecuación (7a) para calcular ∂wx/∂r y ∂wy/∂r, y obtenemos @ H D @R  D

@HX @ X @HX @ Y
C
@ X @R @ Y @R

COS  C

@ H @ H SEN  COS  C COS  C @X @ Y@ X

@H Y @ X @H Y @ Y
C
@ X @R @ Y @R

SEN 

@ H @ H COS  C SEN  SEN : @ X@ Y @ Y

Por último, ya que wyx  wxy se obtiene @ H @ H @ H @ H  COS  SEN  C D COS  C  SEN : @ Y @R  @X @ X@ Y



Z EJEMPLO 6 Suponga que w  f (u, v, x, y), donde u y v son funciones de x y y. Aquí, x y y juegan papeles duales, como variables intermedias y como variables independientes. La regla cadena se convierte en @ F @U @ F @G @ F @X @ F @Y @H D
C
C
C
@X @U @ X @G @ X @X @X @Y @X D

@ F @U @ F @G @F
C
C ; @U @ X @G @ X @X

SECCIÓN 12.7

porque ∂ x/∂ x  1 y ∂ x/∂ x  0. De manera similar,

W

uF uU

uF u

uF uX

U

@ F @U @ F @G @ F @H D
C
C : @Y @U @ Y @G @ Y @Y

uF uY

uU uX

u uY X

u uX

Regla de la cadena para varias variables 955

uU uY

Y

FIGURA 12.7.6 Diagrama para w  f (u, v, x, y), donde u  u(x, y) y v  v(x, y) (ejemplo 6).

Estos resultados son consistentes con las trayectorias de w a x y de w a y en el modelo molecular que se presenta en la figura 12.7.6. Z EJEMPLO 7 Considere una curva paramétrica x  x(t), y  y(t), z  z(t) que se localice sobre la superficie z  f (x, y) en el espacio. Recuerde que si 4D

D X DY DZ ; ; DT DT DT

Y

.D

@Z @Z ; ;  ; @X @Y

entonces T es tangente a la curva y N es normal a la superficie. Demuestre que T y N son perpendiculares en todo lugar.

Solución La regla de la cadena de la ecuación (3) enuncia que DZ @Z D X @Z DY D
C
: DT @ X DT @ Y DT Pero esta ecuación es equivalente a la ecuación vectorial D X DY DZ @Z @Z ; ; 
; ; D : @X @Y DT DT DT

Como N · T  0, por lo que N y T son perpendiculares.

Z

Derivación parcial implícita En ocasiones se necesita investigar una función z  g(x, y) que no está definida explícitamente por una fórmula sino que se da a z en términos de x y y, por lo que está definida de manera implícita por una ecuación de la forma F (x, y, z)  0. El teorema siguiente sobre una función implícita, que se demuestra en cálculo avanzado, garantiza la existencia y derivabilidad de tales funciones definidas implícitamente con ciertas hipótesis naturales.

TEOREMA 3 Teorema de la función implícita Suponga que la función F (x1, x2, . . . , xn, z) es derivable continuamente cerca del punto (a, b)  (a1, a2, . . . , an, b) en el que F (a, b)  0 y DzF (a, b) H 0. De este modo, existe una función derivable continuamente z  g(x1, x2, . . . , xn) tal que g(a)  b y F (x, g(x))  0 para x próxima a a. Además, la función g(x) está definida únicamente por la x cercana a a. En resumen, el teorema 3 implica que la ecuación F(x1, x2, . . . , xn, z)  0, define implícitamente una y solo una función derivable continuamente z  g(x1, x2, . . . , xn ) cerca de cualquier punto donde ∂F/∂ z H 0. Al saber que la función g existe y es derivable, podemos calcular sus derivadas parciales por diferenciación implícita de la ecuación dada F(x1, x2, . . . , xn , z)  0. Al derivar esta ecuación respecto a xi se obtiene @ & @ X @ & @ XI @ & @ XN @ & @Z

C


C
C


C
C H : @ X @ XI @ XI @ XI @ XN @ XI @Z @ XI



Pero ∂ xj/∂ xi  0 a menos que j  i, y ∂ xi/∂ xi  1, por lo que la ecuación (9) se reduce a la ecuación @ & @Z @& C H ;
@ XI @Z @ XI que (si se acepta que ∂F/∂ z H 0) se resuelve para obtener la fórmula &X @ &=@ XI @Z H I H @ XI @ &=@Z &Z



956

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

para la i-ésima derivada parcial de z  g(x1, x2, . . . , xn). En un ejemplo específico, por lo general es tan simple como derivar la ecuación dada F (x1, x2, . . . , xn, z)  0 como en (9), en lugar de aplicar la fórmula en (10). EJEMPLO 8

Y

La figura 12.7.7 muestra la gráfica de la ecuación &.X; Y/ D X  C Y  X Y D 

 &X Y 



 













 X



(la llamada folium de Descartes, que se analizó en el ejemplo 3 de la sección 3.9). Con n  1, x en lugar de x1 y y en lugar de z, el teorema de la función implícita implica que esta ecuación define de manera implícita a y como función de x, excepto tal vez donde



@& D Y  X D : @Y



Al sustituir y2  x en la ecuación (11) se demuestra que los únicos puntos sobre la curvapson el origen (0, 0), donde se intersecan las dos ramas de la curva y el punto p   ; / donde la figura presenta una recta tangente vertical. En cualquier otro punto sobre la curva es posible derivar respecto a x en la ecuación (11) para obtener

FIGURA 12.7.7 Gráfica de la ecuación F (x, y)  x3 + y3 − 3xy  0 (ejemplo 8)

@ & DX @ & DY DY
C
D .X  Y/
 C .Y  X/
D : @X DX @Y DX DX

Después se resuelve para la pendiente DY X Y D  Y X DX

de la recta tangente a la curva en cualquier punto en el que no hay una recta vertical tangente. Z EJEMPLO 9

Z

La figura 12.7.8 muestra la gráfica de la ecuación &.X; Y; Z/ D X  C Y  C Z  C X  Y  Z   D :

Y



Con n  2 y x y y en lugar de x1 y x2, el teorema de la función implícita implica que esta ecuación define implícitamente a z como función de x y y, excepto tal vez donde @& D Z  C X  Y  Z D Z.Z  C X  Y  / D : @Z X

FIGURA 12.7.8 Gráfica de la ecuación F (x, y, z)  x 4 + y 4 + z 4 + 4x 2 y 2 z 2 − 34  0 (ejemplo 9).

La derivada parcial es diferente de cero donde z H 0, por lo que se sigue que z está definida como función de x y y excepto en los puntos de la curva x 4 + y 4  34 en los que la superficie interseca al plano xy (donde z  0). En cualquier otro punto de la superficie se puede diferenciar respecto a x y y en (12) para obtener @Z @ & @X @ & @Y @ & @Z D
C
C
D .X  C X Y  Z  /
 C .Z  C X  Y  Z/
@X @X @X @Y @X @Z @ X

y @ & @Y @ & @Z @Z @ & @X
C
C
D .Y  C X  YZ  /
 C .Z  C X  Y  Z/
D : @X @Y @Y @Y @Z @ Y @Y

Luego se resuelve para X  C X Y  Z  @Z D  @X Z C X  Y  Z

Y

@Z Y  C X  YZ  D  : @Y Z C X  Y  Z

Por ejemplo, en el punto (2, 1, 1) de la superficie, se encuentra que @Z=@ X D  y ∂ z/∂ y  −1. De ahí que el plano tangente a la superficie en este punto tenga la ecuación Z  D  .X / C ./.Y /I

ESDECIR

X C Y C Z D :

Z

SECCIÓN 12.7

Regla de la cadena para varias variables 957

Forma matricial de la regla de la cadena El caso en que m  n  2 de la regla de la cadena corresponde al caso de dos variables intermedias (digamos x y y) que son funciones de dos variables independientes (digamos u y v), X D F .U; G/;

Y D G.U; G/:



Estas funciones describen una transformación T : → del plano coordenado   2UG de pares (u, v) al plano coordenado 2 X Y de pares (x, y). La imagen del punto (u, v) de 2UG es el punto T (u, v)  (f (u, v), g(u, v)  (x, y) de 2X Y. Entonces, la matriz de derivadas de la transformación T en el punto (u, v) es el arreglo de 2 × 2 3 2 @X @X 6 @U @G 7 7  4 .U; G/ D 6 4@Y @Y 5 2UG

@U

2X Y

@G

de derivadas parciales de las funciones componentes en (13) de la transformación T (todas evaluadas en el punto (u, v)). EJEMPLO 10 La transformación de coordenadas polares 4 V 2R ! 2X Y está definida por las ecuaciones que nos son familiares X D R COS ;

Su matriz de derivadas está dada por 2 @X 6 @R 4 .R; / D 6 4@Y @R

Y D R SEN :



3 @X @ 7 7 H COS  R SEN  : SEN  R COS  @Y 5 @



Ahora, suponga que la variable dependiente w es una función F (x, y) de las variables intermedias x y y, por lo que está dada por la función compuesta '.U; G/ D &.4 .U; G// D &.X.U; G/; Y.U; G//



de las variables independientes u y v (ver figura 12.7.9). Las matrices de derivadas & .X; Y/ D

@H @X

@H @Y

Y

' .U; G/

@H @U

@H @G



de F y G están definidas por analogía con (14) —en la que hay un solo renglón en cada matriz, que corresponde a la única variable dependiente w—. Quienes estén familiarizados con la multiplicación de matrices reconocerán que las dos reglas de la cadena @H @ X @H @ Y @H D C ; @U @ X @U @ Y @U

son las “componentes” de la matriz de una sola ecuación

W

uW uX

uW uY

' .U; G/ D & .X; Y/4 .U; G/I Y

X

uX u

uX uU

@H @H @ X @H @ Y D C @G @ X @G @ Y @G

uY uU

uY u

U

FIGURA 12.7.9 Diagrama para w  F(x, y) donde (x, y)  (x(u, v), y(u, v)  T (u, v).

A

es decir, 2

@H @U

@H @H D @G @X

@X @H 6 6 @U @Y 4@Y @U

3 @X @G 7 7: @Y 5 @G

B

Así, la regla de la cadena para la situación indicada en la figura 12.7.9 implica que la matriz de derivadas de la función compuesta G  F  T es el producto matricial Z G   F T .

958

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

EJEMPLO 11 Con la matriz de derivadas de coordenadas polares T (r, θ) en (16), la multiplicación de matrices según la ecuación (19b) es @H @H @H D @ @X @Y @H COS  C D @X

@H @R

COS  R SEN  SEN  R COS  @H SEN  @Y

R

@H @H SEN  C R COS  @X @Y

:

Las componentes de esta ecuación matricial son las fórmulas de la regla de la cadena escalar @H @H @H D COS  C SEN ; @R @X @Y

@H @H @H D R SEN  C R COS  @ @X @Y

Z

que se vieron en el ejemplo 5.

Aquí hemos analizado el caso de orden 2 × 2 de una formulación general con matrices de m × n de la regla de la cadena para variables múltiples. En los problemas 58 a 61 se verá el caso de orden 3 × 3 y su aplicación a coordenadas esféricas. Prueba de la regla de la cadena Dado que w  f (x, y) satisface la hipótesis del teorema 1, escogemos un punto t0 en el que se desea calcular dw/dt y escribimos

A D G.T /;

B D H.T /:

Sea X D G.T C

T/ G.T /;

Y D H.T C

T/ H.T /:

Entonces G.T C

T/ D A C

X

Y

H.T C

T/ D B C

Y:

Si D F .G.T C T/; H.T C T// F .G.T /; H.T // D F .A C X; B C Y/ F .A; B/;

entonces lo que se necesita calcular es DH D L¤M T! DT

T

:

El teorema de la aproximación lineal de la sección 12.6 ofrece D F X .A; B

X C F Y .A; B

YC



XC

Y;



donde 1 y 2 tienden a cero conforme x → 0 y y → 0. Se observa que tanto x como y tienden a cero cuando t → 0, porque existen ambas derivadas DX D L¤M T! DT

X T

D L¤M

F X .A; B/

Y

DY D L¤M T! DT

Y T

Por tanto, DH D L¤M T! DT D F X .A; B/

T

T!

X Y C F Y .A; B/ C T T



X C T



Y T

DX DY DX DY C F Y .A; B/ C
C
: DT DT DT DT

De ahí que @H D X @H DY DH D
C
: DT @ X DT @ Y DT

Así, hemos establecido la ecuación (3) con la escritura de ∂w/∂ x y ∂w/∂ y para las X derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) en la etapa final.

SECCIÓN 12.7

Regla de la cadena para varias variables 959

12.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si w  f (x, y) es una función derivable continuamente de x y y y x(t) y y(t) son funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y dw/dt es la suma de dos términos —uno que corresponde a cada una de las dos variables intermedias x y y. 2. Si w  f (x, y, z) es una función derivable continuamente de x, y y z, y x(t), y(t) y z(t) son funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y dw/dt es la suma de tres términos —uno que corresponde a cada una de las tres variables intermedias x, y y z. 3. En la terminología de la regla de la cadena que se emplea en esta sección, una variable dependiente es una función de variables independientes, cada una de las cuales a su vez es función de variables intermedias. 4. Si w = f (x1, x2, . . . , xm) es una función derivable continuamente de m variables y cada una de éstas es una función derivable continuamente de la variable independiente t, entonces w es una función derivable de t, y dw/dt es una suma de m términos —uno que corresponde a cada una de las m variables intermedias. 5. Si w es una función derivable de tres variables intermedias, cada una de las cuales es una función derivable de dos variables independientes, entonces el teorema 2 genera tres fórmulas de regla de la cadena que dan las derivadas parciales de w. 6. Si F (x, y) es una función derivable continuamente de x y y, entonces la gráfica de la ecuación F (x, y) = 0 coincide con la gráfica y = f (x) de una función de variable única en un entorno de cualquier punto donde la derivada parcial ∂F/∂ x es diferente de cero. 7. Si F (x, y, z) es una función derivable continuamente de tres variables, entonces la gráfica de la ecuación F (x, y, z) = 0 coincide con la gráfica z = f (x, y) de una función de dos variables en un entorno de cualquier punto donde la derivada parcial ∂F/∂ z es diferente de cero. 8. La matriz de derivadas F (u, v) de la función & V 2UG ! 2X Y es una matriz cuadrada de 2 columnas y 2 renglones. 9. La matriz de derivadas de la transformación de coordenadas polares 4 V 2R ! 2X Y tiene el determinante |T  (r, θ)| = r. 10. Suponga que las funciones G : R2 → R2 y F : R2 → R2 son derivables. Por lo tanto, la regla de la cadena para la composición H = F  G se lee igual que la regla de la cadena para la composición h = f  g de funciones derivables evaluadas con escalares, únicamente que con derivadas matriciales en lugar de derivadas ordinarias de una sola variable.

12.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Proporcione su propio ejemplo de una situación de función compuesta que ilustre la regla general de la cadena (teorema 2), pero con números diferentes de variables independientes, intermedias y dependientes de aquellos que se dieron en los ejemplos de esta sección. 2. Sea C un conjunto en el plano xy, R2. Llamamos a C curva suave si se prueba que cada uno de sus puntos tiene un entorno dentro del cual C coincide con la gráfica de una función derivable continuamente —sea y = f (x) o x = g (y). ¿En qué condiciones sobre la función F (x, y) el teorema de la función implícita implica que la gráfica de la ecuación F (x, y) = 0 es una curva suave? Explique su respuesta. 3. Sea S un conjunto en el plano xyz R3. Llamamos a S curva suave si se prueba que cada uno de sus puntos tiene un entorno dentro del cual S coincide con la gráfica de una función derivable continuamente —sea z = f (x, y) o x = g (y, z) o y = h (x, z). ¿En qué condiciones sobre la función F (x, y, z) el teorema de la función implícita implica que la gráfica de la ecuación F (x, y, z) = 0 es una curva suave? Explique su respuesta.

960

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

12.7 PROBLEMAS En los problemas 1 a 4, encuentre dw/dt con el uso tanto de la regla de la cadena como con la expresión de w en forma explícita como función de t antes de derivar. p  H D EXP.X  Y  / X D T Y D T   H D   U D COS T G D SEN T U C G  H D SEN X YZ X D T Y D T  Z D T   H D LN.U C G C Z/

U D COS T G D SEN  T Z D T 

En los problemas 5 a 8, encuentre ∂w/∂s y ∂w/∂t. p  H D LN.X  C Y  C Z  / X D S T Y D S C T Z D  ST  H D PQ SEN R  P D S C T Q D S T R D ST p  H D U  C G  C Z   U D ET SEN S G D ET COS S Z D ET  H D YZ C ZX C X Y

X D S T  Y D S C T  Z D ST 

En los problemas 9 a 12, encuentre ∂r/∂ x y ∂r/∂ y y ∂r/∂ z.  R D EUCGCH  U D YZ G D X Z H D X Y  R D UGH U  G  H   HDXCY

U D Y C Z G D X C Z

p  R D SEN. P=Q/ P D X Y  Z  Q D X C Y C Z Q S P  R D C C  P D E YZ Q D E X Z S D E X Y Q S P

En los problemas 13 a 18, escriba fórmulas para la regla de la cadena que proporcionen la derivada parcial de la variable dependiente p respecto a cada variable independiente.  P D F .X; Y/ X D X.U; G; H/ Y D Y.U; G; H/  P D F .X; Y; Z/

X D X.U; G/ Y D Y.U; G/ Z D Z.U; G/

 P D F .U; G; H/ U D U.X; Y; Z/ G D G.X; Y; Z/ H D H.X; Y; Z/  P D F .G; H/  P D F .H/

G D G.X; Y; Z; T/ H D H.X; Y; Z; T/ H D H.X; Y; Z; U; G/

 P D F .X; Y; U; G/ X D X.S; T/ Y D Y.S; T/ U D U.S; T/ G D G.S; T/

En los problemas 19 a 24, encuentre ∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y como funciones de x, y y z, si se supone que z  f (x, y) satisface la ecuación dada.  X = C Y = C Z = D   X  C Y  C Z  D X YZ  XE X Y C YE ZX C ZE X Y D   X  C X Y  C YZ D  Y Z X   C  C  H  A B C  X YZ D SEN.X C Y C Z/

 H D UG X Y

 X  C Y  C Z  D  



0.; ; /



 X C Y C Z H X YZ 



0.; ; /





 Z C .X C Y/Z C X C Y D 

0.; ; //

33. El sol funde un bloque rectangular de hielo. Cuando la altura del bloque es de 1 ft y la arista de su base cuadrada es de 2 ft, su altura disminuye a 2 in/h y la arista de su base a 3 in/h. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen V del bloque en ese instante? 34. Una caja rectangular tiene base cuadrada. Encuentre la razón a la que cambian su volumen y superficie si la arista de su base se incrementa 2 cm/min y su altura disminuye 3 cm/min en el instante en que cada dimensión es de 1 metro. 35. La arena que cae forma una pila cónica. Cuando la altura de la pila es de 5 ft y el radio de su base es de 2 ft, su altura se incrementa 0.4 ft/min y el radio de su base aumenta 0.7 ft/min. ¿A qué razón aumenta el volumen de la pila de arena en ese momento? 36. Un bloque rectangular tiene dimensiones de x  3 m, y  2 m y z  1 m. Si x y y aumentan 1 cm/min y 2 cm/min, respectivamente, mientras que z disminuye 2 cm/min, ¿el volumen y superficie del bloque están en aumento o disminución? ¿A qué razón lo hacen? 37. El volumen V (en centímetros cúbicos) y presión p (en atmósferas) de n moles de un gas ideal, satisfacen la ecuación pV  n R T, donde T es su temperatura (en grados Kelvin) y R  82.06. Suponga que una muestra del gas tiene un volumen de 10 L cuando la presión es de 2 atm y la temperatura es de 300°K. Si la presión aumenta 1 atm/min y la temperatura se incrementa 10°K/min, ¿el volumen de la muestra de gas está aumentando o disminuyendo? ¿A qué razón? 38. La resistencia agregada R de tres resistencias variables R1, R2 y R3 conectadas en paralelo satisface la ecuación armónica     C C : D 2 2 2 2

Suponga que R1 y R2 son de 100  y aumentan 1 /s, mientras que R3 es de 200  y disminuye 2 /s. En ese instante, ¿R se incrementa o disminuye, y a qué razón lo hace? 39. Suponga que x  (h, z) satisface la ecuación F(x, y, z)  0 y que Fx 0. Demuestre que @ &=@ Y @X D : @Y @ &=@ X

En los problemas 25 a 28, utilice el método del ejemplo 6 para encontrar ∂w/∂ x y ∂w/∂ y como funciones de x y y.  H D U  C G  C X  C Y   U D X Y G D X C Y p p p  H D UGX Y  U D X Y G D X C Y  H D X Y LN.U C G/

En los problemas 29 a 32, escriba una ecuación para  X  C Y  C Z  D  0.; ; /



 =



 =

U D .X C Y / G D .X C Y / X Y UD  GD  X C Y X C Y

40. Suponga que w  f (x, y), x  r cos θ y que y  r sen θ. Demuestre que @H @X



C

@H @Y



D

@H @R



C

 R

@H @



:

41. Suponga que w  f (u) y que u  x + y. Demuestre que ∂w/∂ x  ∂w/∂ y.

SECCIÓN 12.7

42. Suponga que w  f (u) y que u  x − y. Demuestre que ∂w/∂ x  −∂w/∂ y y que @ H @ H @ H D D : @ X@ Y @X @ Y

43. Suponga que w  f (x, y), donde x  u + v y y  u − v. Demuestre que @ H @ H @ H : D @U @G @X @ Y

@ H @ H @ H @ H @ H C  D C : C  @X @X @Y @ Y @U  @G 

@ H @ H @ H  @H  @ H C D C : C     @X @Y @R R @R R @ 

[Sugerencia: Primero encuentre ∂2w/∂ θ2 con el método del ejemplo 7. Después combine el resultado con las ecuaciones (7) y (8).] 46. Suponga que  R HD F T R A yR D

X  C Y  C Z   Demuestre que @ H @ H @ H  @ H C C  D  :   @X @Y @Z A @T

47. Suponga que w  f (r) y R D que

X  C Y  C Z   Demuestre

@ H @ H @ H D H  DH C C  D C :   @X @Y @Z DR  R DR

48. Suponga que w  f (u) + g(v), que u  x − at y que v  x + at. Demuestre que @ H @ H D A :  @T @X

49. Suponga que w  f (u, v) donde u  x + y, y que v  x − y. Demuestre que @H @H H @X @Y

@H @U



@H @G





:

50. Dada w  f (x, y), x  eu cos v, y y  eu sen v. Demuestre que @H @X



@H @Y

C



H EU

@H @U



C



@H @G

:

51. Suponga que w  f (x, y) y que hay una constante α tal que X H U COS  G SEN 

Y

Y H U SEN  C G COS :

Demuestre que @H @U



C

@H @G



H

@H @X



C

Demuestre que xwx + ywy  0. Suponga que la ecuación F(x, y, z)  0 define implícitamente las tres funciones z  f (x, y), y  g(x, z) y x  h(y, z). Para mantener el control de las diferentes derivadas parciales, utilice la notación

@H @Y



:

@Y @X @X @Y

45. Suponga que w  f (x, y), x  r cos θ y y  r sen θ. Demuestre que

961

52. Suponga que w  f (u), donde X  Y UH  : X C Y

@Z @X

44. Suponga que w  f (x, y) donde x  2u + v y y  u − v. Demuestre que 

Regla de la cadena para varias variables

H Y

H Z

H Z

@F ; @X

@Z @Y

@G ; @X

@Y @Z

@H ; @Y

@X @Z

H

@F ; @Y

A

H

@G ; @Z

B

H

@H ; @Z

C

X

X

Y

En pocas palabras, el símbolo general (∂w/∂ u)v denota la derivada de w respecto a u, donde w se considera función de las variables independientes u y v. 53. Con el empleo de la notación de las ecuaciones (20), demuestre que @Y @Z @X H : @ Y Z @Z X @ X Y [Sugerencia: Encuentre las tres derivadas parciales en el lado derecho en términos de Fx, Fy y Fz ]. 54. Compruebe el resultado del problema 53 para la ecuación &.X; Y; Z/ H X  C Y  C Z   H : 55. Compruebe el resultado del problema 53 (con p, V y T en lugar de x, y y z) para la ecuación &. P; 6; 4 / H P6 N 24 H  (n y R son constantes), que expresa la ley de los gases ideales. 56. Considere una cantidad dada de líquido cuya presión p, volumen V y temperatura T, satisfacen una “ecuación de estado” dada de la forma F(p, V, T)  0. La expansividad térmica α y la compresibilidad isotérmica β del líquido están definidas por  @6  @6 H Y H : 6 @4 6 @P Primero aplique el teorema 3 para calcular ∂V/∂p y ∂V/∂ T, y después para calcular ∂ p/∂V y ∂p/∂ T. De los resultados, deduzca que ∂ p/∂ T  α/β. 57. La expansividad térmica y la compresibilidad isotérmica del mercurio líquido son α  1.8 × 10−4 y β  3.9 × 10−6, respectivamente, en unidades de L-atm-°C. Suponga que el bulbo de un termómetro está lleno por completo con mercurio a 50°C. Si el bulbo no puede soportar una presión interna de más de 200 atm, ¿se puede calentar a 55°C sin que se rompa? Sugerencia: aplique el resultado del problema 56 para calcular el incremento en la presión con cada incremento de un grado de la temperatura. 58. Suponga que la transformación 4 V 2UGH ! 2X YZ está definida por las funciones x  x(u, v, w), y  y(u, v, w), z  z(u, v, w). Por lo tanto, su matriz de derivadas está definida por XU XG XH 4 .U; G; H/ H YU YG YH : ZU ZG ZH Calcule la matriz de derivadas de la transformación lineal definida por x  a1u + b1v + c1w, y  a2u + b2v + c2w, z  a3u + b3v + c3w.

962

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

59. Calcule la matriz de derivadas de la transformación en coordenadas esféricas T definida por x  ρ sen φ cos θ, y  ρ sen φ sen θ, z  ρ cos φ. 60. Suponga que q  F (x, y, z) con una matriz de derivadas de 1 × 3 F   [Fx Fy Fz ], y que (x, y, z)  (u, v, w), como en el

problema 58. Si G  F ◦ T, deduzca de la regla de la cadena según el teorema 2, que G   F  ◦ T  (producto matricial). 61. Si w  F (x, y, z), aplique los resultados de los problemas 59 y 60 para calcular con multiplicación de matrices las derivadas parciales de w respecto a las coordenadas esféricas ρ, φ y θ.

12.8 DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE La figura 12.8.1 muestra las temperaturas (en grados Fahrenheit) registradas en localidades de Estados Unidos a las 2:12 pm EDT, el jueves 12 de abril de 2001. Esta gráfica de la función de temperatura de ese país, T  f (x, y) tiene contornos “por color” —es decir, las localidades con la misma temperatura tienen el mismo color—. Si salimos de un aeropuerto y volamos hacia el este (en la dirección positiva del eje x), entonces la tasa de cambio de la temperatura (en grados por milla) que se observa inicialmente está dada por la derivada parcial ∂ T/∂ x  f x. Si volamos hacia el norte, entonces ∂ T/∂ y  f y ofrece la tasa de cambio inicial de la temperatura respecto de la distancia. Pero no necesitamos volar directamente hacia el oriente o el norte. La derivada direccional que se estudia en esta sección permite calcular la tasa de cambio de una función en cualquier dirección especificada.

FIGURA 12.8.1 Temperaturas actuales (°F) registradas a las 2:12 PM el 12 de abril de 2001.

Derivadas direccionales Recuerde que las derivadas parciales de primer orden de la función z  f (x, y) están definidas como F .X C H; Y/ F .X; Y/ F .X; Y C H/ F .X; Y/ Y F Y .X; Y/ H L¤M F X .X; Y/ H L¤M H! H! H H en todo lugar en que existan estos límites. Si escribimos x  x, y, entonces dichas derivadas parciales se describen en forma un poco más concisa como F .X C HI/ F .X/ F .X C HJ/ F .X/ ; F Y .X/ H L¤M  F X .X/ H L¤M H! H! H H donde i  1, 0 y j  0, 1, como es habitual. Así, fx y fy representan tasas de cambio de z respecto a la distancia en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Obtenemos la definición de la derivada direccional con la sustitución de i o j en (1), con un vector u especificado arbitrariamente.

DEFINICIÓN Derivada direccional La derivada direccional de la función f en el punto x en dirección del vector unitario u es F .X C HU/ F .X/  $U F .X/ H L¤M H! H si se prueba que este límite existe.

SECCIÓN 12.8

Derivadas direccionales y vector gradiente

963

La función f en la ecuación (2) puede ser una función de dos, tres o más variables. Al comparar las ecuaciones (1) y (2) se observa que las derivadas parciales de una función de dos variables x y y se escriben como F X .X; Y/ H $ I F .X; Y/ Z

U

F X H $ I F;

$S

X

FIGURA 12.8.2 El primer paso para calcular la tasa de cambio de f (x, y, z) en la dirección del vector unitario u.

F Y .X; Y/ H $ J F .X; Y/:

Así, fx y fy son, en realidad, las derivadas direccionales de f en las direcciones de los vectores unitarios i y j. De manera similar, si f es una función de las tres variables x, y y z, entonces sus derivadas parciales

1

0

Y

Y

F Y H $ J F;

Y

FZ H $ K F

son las derivadas direccionales de f en las direcciones de los tres vectores unitarios estándar en el espacio, i  1, 0, 0, j  0, 1, 0 y k  0, 0, 1. El límite en la ecuación (2) tendría sentido si u no fuera un vector unitario. Pero el significado de las derivadas direccionales es más fácil de entender cuando u es un vector unitario, y éste es el porqué definimos Du f (x) sólo cuando |u|  1. En la figura 12.8.2 el vector unitario u apunta en la dirección que va del punto fijo P (con vector de posición x) al punto Q (con vector de posición x + hu). Entonces H F .1/ F .0/ H F .X C HU/ F .X/

es el incremento en el valor de la función w  f (x, y, z) del punto P al punto Q. Si ! escribimos S H j0 1 j H H para la distancia de P a Q, el cociente S

H

F .1/ F .0/ !

01

H

F .X C HU/ F .X/ H

es la tasa promedio de cambio de w respecto a la distancia de P a Q. Por tanto, es natural que se considere al límite DH H L¤M S! DS

S

H L¤M

H!

F .X C HU/ F .X/ H $U F .X/ H



como la tasa instantánea de cambio de w en P respecto a la distancia en la dirección de P a Q. Ciertos libros de ciencias e ingeniería utilizan la notación DF DS

H $U F .0/; 0

o simplemente dw/ds, como en la ecuación (3), para la tasa instantánea de cambio de la función w  f (x, y, z) en el punto P, respecto a la distancia s en la dirección del vector unitario u.

Cálculo de las derivadas direccionales La ecuación (2) define la derivada direccional, pero, ¿cómo se calculan en realidad las derivadas direccionales? Para responder a esta pregunta, hay que recordar (como lo vimos en la ecuación (18) de la sección 12.6) que si la función f (x1, x2, . . . , xn) es derivable en x  x1, x1, . . . , xn , entonces sus derivadas parciales existen ahí; además, L¤M

H!

F .X C H/ F .X/ r F .X/ q H H jHj



donde ∇ f (x)  D1 f (x), D2 f (x), . . . , Dn f (x) es el vector gradiente de f en x. Si se sustituye h  hu, donde u es un vector unitario y h > 0 (de modo que |h|  h), entonces la ecuación (4) implica que F .X C H/ F .X/ r F .X/ q HU L¤M H! H H L¤M

H!

F .X C HU/ F .X/ r F .X/ q U H $U F .X/ r F .X/ q U H : H

964

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

En el último paso se utilizó la definición en (2) de la derivada direccional Du f (x) y el hecho de que x y u juegan el papel de constantes cuando h → 0. Esto proporciona el teorema siguiente.

TEOREMA 1 Cálculo de las derivadas direccionales Si la función f, valuada en los reales, es derivable en x, y u es un vector unitario, entonces la derivada direccional Du f (x) existe y está dada por $U F .X/ H r F .X/ q U:



Por ejemplo, si z  f (x, y) es una función de dos variables, de modo que r F .X; Y/ H F X .X; Y/; F Y .X; Y/ U

Y U

A; B ;

entonces la ecuación (5) ofrece $ A;B F .X; Y/ H F X .X; Y/; F Y .X; Y/ q A; B H A F X .X; Y/ C B F Y .X; Y/:

0

Q

FIGURA 12.8.3 Vector unitario u de la ecuación (7).



Si el vector unitario u forma un ángulo θ en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj en relación a la parte positiva del eje x (como se ilustra en la figura 12.8.3), entonces u  cos θ, sen θ, por lo que la ecuación (6) adopta la forma $U F .X; Y/ H F X .X; Y/ COS  C F Y .X; Y/ SEN  H

@H @H COS  C SEN : @X @Y



Si w  f (x, y, z) es una función de tres variables y u  a, b, c (un vector unitario), entonces, de manera similar, la ecuación (5) produce $ A;B;C F .X; Y; Z/ H A F X .X; Y; Z/ C B F Y .X; Y; Z/ C C F Z .X; Y; Z/:



EJEMPLO 1 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x, y) cerca de un aeropuerto está dada por F .X; Y/ H

 T X Y .:/X YU 

(con las distancias x y y medidas en kilómetros). Suponga que su avión despega del aeropuerto en la ubicación P(200, 200) y se dirige al noreste en la dirección especificada por el vector v  3, 4. ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observará?

Solución Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo con uno que sí lo sea y que esté en la misma dirección: UH

V ;    Hp H ; :   jVj    C

Ahora se utiliza la fórmula en (6), que produce $U F .X; Y/ H

 




 T .:/YU C 

 




 T .:/XU : 

Cuando se sustituye x  y  200, se encuentra que $U F .0/ H

 




 

C

 




 

H

 H :: 

Esta tasa instantánea de cambio de −0.1°C/km significa que se observará en un inicio una disminución de 0.1°C en la temperatura por cada kilómetro que se viaje.

SECCIÓN 12.8

Derivadas direccionales y vector gradiente

965

El vector gradiente En la sección 12.6 se introdujo de manera informal el vector gradiente como herramienta de notación para simplificar la expresión de ciertas fórmulas con varias variables. La mayor parte de lo que resta de esta sección se dedica a analizar el significado e interpretación geométrica de los vectores gradiente, sobre todo en dos y tres dimensiones. Comencemos con la definición formal.

DEFINICIÓN Vector gradiente El gradiente de la función derivable valuada en los reales, f : Rn → R es la función de variable vectorial ∇ f : Rn → Rn definida por r F .X/ H $ F .X/; $ F .X/; : : : ; $N F .X/ :



En particular, los vectores gradiente de funciones de dos y tres variables están dados (respectivamente) por r F .0/ H

@F @F IC J @X @Y

Y

r F .0/ H

@F @F @F IC JC KI @X @Y @Z



las derivadas parciales en la ecuación (10) han de evaluarse en el punto P. EJEMPLO 2 ofrece

Si f (x, y, z)  yz + sen xz + e x y, entonces la segunda fórmula en (10)

r F .X; Y; Z/ H .Z COS X Z C YE X Y /I C .Z C XE X Y /J C .Y C X COS X Z/K:

El valor de este vector gradiente en el punto (0, 7, 3) es r F .; ; / H .
 C 
/I C . C 
/J C . C 
/K H I C J C K: El teorema 1 dice que si la función f es derivable en x, y u es un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en x en la dirección de u está dada por $U F .X/ H r F .X/ q U:  La regla de la cadena tiene una forma similar a la del vector gradiente. Por ejemplo, suponga que la función derivable de variable vectorial R.T/ H X.T/I C Y.T/J C Z.Y/K es el vector de posición de una curva en R3, y que f (x, y, z) es una función derivable. De este modo, la composición F .R.T// H F .X.T/; Y.T/; Z.T// es una función derivable de t, y su derivada con la regla de la cadena (ordinaria) respecto a t es @ F DY @ F DZ @ F DX $T T F .R.T//U H $T T F .X.T/; Y.T/; Z.T//U H
C
C
: @ X DT @ Y DT @Z DT Aquí se reconoce el producto punto $T T F .R.T//U H r F .R.T// q R .T/



donde DX DY DZ DR H IC JC K DT DT DT DT es el vector velocidad de la curva paramétrica r(t). Si r(t) es una curva paramétrica suave con vector velocidad diferente de cero, v(t)  r (t), entonces v  vu, donde v  |v| es la velocidad de movimiento a lo largo de la curva y u  v/v es el vector unitario tangente a la curva (ver sección 11.6). Así, la ecuación (12) implica que R .T/ H

$T T F .R.T//U H r F .R.T//
R .T/ H r F .R.T//
GU H Gr F .R.T//
U;

966

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

por lo que, a su vez, $T T F .R.T//U H G $U F .R.T//:



Con w  f (r(t)) escribimos Du f (r(t))  dw/ds para la derivada de w respecto a la distancia (unitaria) a lo largo de la curva paramétrica, y v  ds/dt para la velocidad. De este modo, la ecuación (13) adopta la forma de la regla de la cadena natural DH DS DH H
: DT DS DT

EJEMPLO 3



En el ejemplo 1 se encontró que la función de temperatura H H F .X; Y/ H

 T X Y .:/X YU 

(con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros) tiene como derivada direccional a  DH # H $U F .0/ H : DS KM   ;  Si un avión sale en el punto P(200, 200) en dirección del vector unitario U   del aeropuerto en P y vuela en dirección de u con velocidad v  ds/dt  5 km/min, entonces, la ecuación (14) proporciona  DH DS # DH H
H : DT DS DT KM



KM MIN



H :

# : MIN

Así, se observa una tasa inicial de disminución de medio grado de temperatura por minuto. Z EJEMPLO 4 Ahora suponga que la función de temperatura del ejemplo 3 se reemplaza con H H F .X; Y; Z/ H

 T X Y .:/X YU Z: 

El término adicional −2z corresponde a una disminución de 2°C en la temperatura por kilómetro de altitud z. Suponga que un halcón está inmóvil en el aire, en el punto P(200, 200, 5) y sobre el aeropuerto desciende en forma súbita a la velocidad de 3 km/ min en la dirección especificada por el vector 3, 4, −12. ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea que experimenta el ave?

Solución El vector unitario en la dirección del vector 3, 4, −12 es   I C J K  I C J K: UH H        C  C ./ El vector gradiente de temperatura r F .X; Y; Z/ H

  T C .:/YUI T C .:/XU J K  

tiene el valor r F .0/ H

  I J K  

en la posición inicial del halcón, P(200, 200, 5). Por tanto, la tasa de cambio inicial de la temperatura para el ave respecto a la distancia es DH H $U F .0/ H r F .0/ q U DS    #     H  : : C C ./ H       KM

SECCIÓN 12.8

Derivadas direccionales y vector gradiente

967

Su velocidad es ds/dt  3 km/min, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura que experimenta el halcón es  # DH DS DH H
 : DT DS DT KM



KM MIN



H :

# : MIN

Así, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la tierra. Z

Interpretación del vector gradiente F

F

El vector gradiente ∇ f tiene una interpretación importante que involucra el máximo valor posible de la derivada direccional de la función f derivable en un punto P dado. Si φ es el ángulo entre ∇ f (P) y el vector unitario u (ver figura 12.8.4), entonces la ecuación (11) da $U F .0/ H r F .0/ q U H jr F .0/j jUj COS  H jr F .0/j COS 

U

0

FIGURA 12.8.4 Ángulo φ entre ∇ f y el vector unitario u.

porque |u|  1. El valor máximo posible de cos φ es 1, y esto sucede cuando φ  0. Esto es así cuando u es el vector unitario particular m  ∇ f ( P )/|∇ f ( P )| que apunta en dirección del vector gradiente ∇ f (P) mismo. En este caso, la fórmula anterior lleva a $M F .0/ H jr F .0/j;



por lo que el valor de la derivada direccional en esta dirección es igual a la longitud del vector gradiente. Este argumento establece el resultado siguiente.

TEOREMA 2 Significado del vector gradiente El valor máximo de la derivada direccional Du f ( P ) se obtiene cuando u es el vector unitario en la dirección del vector gradiente ∇ f ( P ); es decir, cuando u  ∇ f ( P )/|∇ f ( P )|. El valor de la derivada direccional máxima es |∇ f ( P )|, longitud del vector gradiente. Así, el vector gradiente ∇ f apunta en la dirección en la que la función f se incrementa con mayor rapidez, y su longitud es la tasa de aumento de f (respecto a la distancia) en esa dirección. Por ejemplo, si la función f ofrece la temperatura en el espacio, entonces el vector gradiente ∇ f ( P ) apunta en la dirección en la que un halcón en P debe volar inicialmente para calentarse lo más rápido posible. EJEMPLO 5

Recuerde que en el ejemplo 4 la función de temperatura es H H F .X; Y; Z/ H

 T X Y .:/X YU Z 

(con la distancia expresada en kilómetros y la temperatura en grados Celsius). ¿En qué dirección debe descender un halcón que comience en el punto P(200, 200, 5) a una altitud de 5 km, a fin de calentarse lo más rápido? ¿Qué tan rápido subirá su temperatura conforme el ave baje a una velocidad de 3 km/min? ¿Cuál será la dirección de la brújula y el ángulo de descenso conforme vuele en esa dirección particular?

Solución En el ejemplo 4 se calculó el valor r F .0/ H

  I J K  

del vector gradiente de f en el punto P(200, 200, 5). Según el teorema 2, el valor máximo DH H $M F .0/ H jr F .0/j H DS



 



C

 



C ./  :

968

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

(°C/km) de la derivada direccional de f en P se alcanza con el vector unitario MH . Y

La velocidad del halcón es ds/dt  3 km/min, por lo que la tasa temporal de cambio de la temperatura experimentada por el halcón es



7

   I J K r F .0/  I J K H : jr F .0/j :   :

X%

o 

3

FIGURA 12.8.5 Dirección de la brújula para la caída del halcón.

 DH # DH DS H
 : DT DS DT KM



KM MIN



H :

# : MIN

Así, el halcón al inicio se calienta a poco más de 6°C/min conforme desciende al suelo. La figura 12.8.5 muestra el vector en el tercer cuadrante, −10i −15j, que represen/  : ta la dirección (horizontal) en la brújula que lleva el halcón,  C TAN .   (alrededor de 56.31° al sureste). El halcón baja 360 metros en vertical por cada p  C  ≈ 18.028 metros de vuelo horizontal. Así, su ángulo de descenso (mediZ do a partir de la horizontal) es alrededor de tan−1(360/18.028) ≈ 87.13°.

El vector gradiente como vector normal Considere la gráfica de la ecuación &.X; Y; Z/ H ;



donde la función F es derivable continuamente. El teorema de la función implícita que se enunció en la sección 12.7 (teorema 3 de ésta) implica que cerca de cualquier punto P donde la derivada parcial ∂ F/∂ z sea diferente de cero, la ecuación (16) define a z en forma implícita como función f de x y de y derivable continuamente. Entonces, la gráfica F (x, y, z)  0 coincide —cerca de P— con la superficie z  f (x, y). De manera similar, la gráfica de la ecuación (16) coincide con la superficie de la forma x  g (y, z) cerca de cualquier punto en el que ∂ F/∂ x sea diferente de cero, y con la superficie y  h(x, z) cerca de cualquier punto en el que ∂ F/∂ y sea distinta de cero. En pocas palabras, la gráfica de F (x, y, z)  0 se parece a una superficie cerca de cualquier punto P en el que ∇F (P) H 0 (por lo que al menos una de las derivadas parciales de F no es igual a cero). El teorema siguiente implica que el vector gradiente ∇ F (P) es, entonces, normal a la superficie F (x, y, z)  0 en el punto P. &0 RaT R T

&X Y Z  0

TEOREMA 3 El vector gradiente como vector normal Suponga que F (x, y, z) es derivable continuamente, y sea P0(x0, y0, z0) un punto de la gráfica de la ecuación F (x, y, z)  0 en la que ∇F (P0) H 0. Si r(t) es una curva derivable en esta superficie, con r(t0)  x0, y0, z0 y r (t0) H 0, entonces ∇F (P0) · r (t0)  0.

FIGURA 12.8.6 El vector gradiente ∇ F es normal a toda curva en la superficie F (x, y, z)  0.

(17) 

Por lo que ∇F (P0) es perpendicular al vector tangente r (t0), como se indica en la figura 12.8.6. Demostración El enunciado de que r(t) está en la superficie F (x, y, z)  0 implica que F (r(t))  0 para toda t. De este modo,

 H $T &.R.T // H r&.R.T // q R .T / H r&.0 / q R .T /

según la regla de la cadena en la forma de la ecuación (12). Por tanto, los vectores X distintos de cero ∇F (P0) y r (t0) son perpendiculares. Como en P0 el vector gradiente ∇F (P0) es perpendicular a toda curva que pase por la superficie en P0, es un vector normal n a la superficie F (x, y, z)  0 en el punto P0: NH

@& @& @& IC JC K @X @Y @Z



SECCIÓN 12.8

Derivadas direccionales y vector gradiente

969

Si escribimos la ecuación explícita de la superficie z  f (x, y) en la forma de F (x, y, z)  f (x, y) − z  0, entonces @& @& @F @F @& IC JC KH IC J K: @X @Y @Z @X @Y

Así, la ecuación (18) concuerda con la definición de vector normal que se dio en la sección 12.4 (ecuación (13) de ésta). Si el vector tangente T a la curva es normal al vector n en el punto P, entonces T queda en el plano que pasa por P y que es normal a n. Si la función F es derivable continuamente, define al plano tangente a la superficie F (x, y, z)  0 en un punto P(a, b, c) en el que ∇F (P) H 0 sea el plano que pasa por P y que tiene al vector n normal que se da en la ecuación (18). Así, una ecuación de este plano tangente es &X .A; B; C/.X A/ C &Y .A; B; C/.Y B/ C &Z .A; B; C/.Z C/ H 



EJEMPLO 6 Escriba una ecuación del plano tangente al elipsoide 2x2 + 4y2 + z2  45 en el punto (2, −3, −1). 

Solución Si escribimos



Z Y

&.X; Y; Z/ H X  C Y  C Z  ;

X

&

6ECTOR TANGENTE

entonces F (x, y, z)  0 es una ecuación del elipsoide. Así, según el teorema 3, un vector normal a la superficie elipsoidal en (x, y, z) es ∇F (x, y, z)  4x, 8y, 2z, por lo que

#

r&.; ; / H I J K

' 



&

Z Y

X

es normal al elipsoide en (2, −3, −1). Entonces, la ecuación (19) ofrece la respuesta en la forma

'

.X / .Y C / .Z C / H I

es decir, 4x − 12y − z  45.

FIGURA 12.8.7 ∇F × ∇G es tangente a la curva C de la intersección.

Z

Si F y G son funciones de tres variables derivables continuamente, entonces la intersección de las superficies &.X; Y; Z/ H 

Y









 

X 

 , Z 

0

Y

'.X; Y; Z/ H 



por lo general será alguna clase de curva C en el espacio. Más precisamente, si P es un punto de C en el que los dos vectores gradientes ∇F (P) y ∇G (P) no son colineales, entonces una versión general con variables múltiples del teorema de la función implícita implica que cerca de P las ecuaciones en (20) pueden “resolverse para dos de las variables en términos de la tercera”. Esto significa que las dos ecuaciones definen implícitamente a x o a y como funciones de z, o a y y z como funciones de x, o a x y a z como funciones de y. En cualquier caso, C es una curva suave que pasa por P. Como esta curva se localiza en ambas superficies, su vector tangente en P es perpendicular a ambos vectores normales ∇F (P) y ∇G (P). Se concluye que el vector



4 H r&.0/ ˜ r '.0/



es tangente a P en la curva C de la intersección de las dos superficies F (x, y, z)  0 y G(x, y, z)  0 (ver figura 12.8.7). FIGURA 12.8.8 El punto P(1, −1, 2) sobre la curva de la intersección del paraboloide F (x, y, z)  0 y el elipsoide G(x, y, z)  0 del ejemplo 7, y la recta tangente L que pasa por P que es paralela al vector T  ∇F(P) × ∇G(P)  −14, −12, −4.

EJEMPLO 7

El punto P(1, −1, 2) queda tanto en el paraboloide &.X; Y; Z/ H X  C Y  Z H 

como en el elipsoide '.X; Y; Z/ H X  C Y  C Z   H :

Escriba una ecuación del plano que pasa por P y que es normal a la curva de la intersección de estas dos superficies (ver figura 12.8.8).

970 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Y

Solución En primer lugar se calcula r& X; Y; 

Y r'

En P(1, −1, 2) estos dos vectores son r&.; ; / ; ; 

Y r'.; ; /

X; Y; Z : ; ;  :

Entonces, un vector tangente en P a la curva de la intersección del paraboloide con el elipsoide es I J K ; ;  : 4 H r& ˜ r ' H      

X

FIGURA 12.8.9 Vectores gradiente y curvas de nivel para la función F (x, y)  x 2 − 7x y + 2y 2.

Un vector un poco más sencillo paralelo a T es n  7, 6, 2 y n también es normal al plano deseado que pasa por (1, −1, 2). Por tanto, una ecuación del plano es .X / C .Y C / C .Z / H I

es decir, 7x + 6y + 2z  5. Y &   ¯

Z

Un resultado análogo al teorema 3 se cumple en dos dimensiones (y en otras mayores). Si la función F de dos variables es derivable continuamente, entonces la gráfica de la ecuación F(x, y)  0 se parece a una curva suave C cerca de cada punto P en el que ∇F (P) H 0, y entonces el vector gradiente ∇F (P) es normal a C en P. En consecuencia, si se usa un sistema de álgebra por computadora para graficar cierto número de curvas de nivel y un “campo” de diferentes vectores gradiente de la función F (x, y), entonces (como se ilustra en la figura 12.8.9), el vector gradiente en cada punto es normal a la curva de nivel que pasa por ese punto.

X Y

 

X XY XY

EJEMPLO 8 Escriba una ecuación de la recta tangente en el punto (1, 2), a la curva folium de Descartes cuya ecuación es F(x, y)  2x3 + 2y3 − 9xy  0 (ver figura 12.8.10).

Solución El gradiente de F es FIGURA 12.8.10 La curva folium y su tangente (ejemplo 8).

r&.X; Y/ H .X  Y/I C .Y  X/J:

Por lo que un vector normal al folium en (1, 2) es ∇F (1, 2)  −12i + 15j. Por lo tanto, la recta tangente tiene la ecuación −12(x − 1) + 15( y − 2)  0. Simplificada, ésta es 4x − 5y + 6  0.

12.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La derivada direccional de la función f (x, y) en el punto (x, y) en dirección del vector unitario u  a, b está dada por F .X C AH; Y C BH/ F .X; Y/ $U F .X; Y/ H L¤M H! H si se demuestra que existe el límite. 2. Si w  f (x) es derivable, entonces la tasa de cambio instantánea de w respecto a la distancia s en dirección del vector unitario u está dada por dw/d s  Du f (x). 3. La derivada direccional de la función derivable f (x, y, z) en el punto x  x, y, z  en dirección del vector unitario u  a, b, c está dada por $U F .X/ H A F X .X/ C B F Y .X/ C C F Y .X/: 4. Suponga que la temperatura en el punto (x, y) cerca de un aeropuerto localizado en el punto P está dada por la función f (x, y). Si su avión despega del aeropuerto y se dirige hacia el noroeste en la dirección especificada por el vector v  3, 4, entonces la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observa es Dv f ( P).

SECCIÓN 12.8

Derivadas direccionales y vector gradiente

971

5. El gradiente de una función f derivable de variable real de una variable vectorial n-dimensional, involucra las derivadas parciales de f y es una función valuada con vectores de una variable real. 6. Si r(t) es una curva paramétrica suave con vector de velocidad v(t)  r (t), entonces Dt [ f (r(t))]  ∇ f (r(t)) · v(t). 7. Suponga que f : R3 → R es derivable en el punto P. Si u  ∇ f (P)/|∇ f (P)|, entonces el valor mínimo posible de la derivada direccional Du f (P) es |∇ f (P)|. 8. Suponga que la temperatura en el punto (x, y, z) está dada por la función f (x, y, z). Un halcón que esté inmóvil en el punto P se calentará lo más rápido si vuela en la dirección determinada por el vector gradiente ∇ f (P). 9. Suponga que F (x, y, z) es una función derivable continuamente, y que P es un punto sobre la superficie F (x, y, z)  0, donde ∇F (P) H 0. Si v es el vector velocidad en P de una curva suave sobre esta superficie, entonces los vectores ∇f (P) y v son perpendiculares. 10. Suponga que F (x, y, z) es una función derivable continuamente y que p  a, b, c es un punto sobre la superficie F (x, y, z)  0, donde ∇F (P) H 0. De este modo, la ecuación del plano tangente a esta superficie en el punto p se puede escribir en la forma ∇F (p) · ( x − p)  0, donde x   x, y, z .

12.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) proporcionan las pendientes (ascenso vertical por avance horizontal) de las rectas tangentes a la curva x, z  f (x, b) y la curva y, z  f (a, y) que pasan por el punto (a, b, f (a, b)) sobre la superficie z  f (x, y). ¿Cuál es la interpretación por analogía de la derivada direccional Du f (a, b)? 2. Suponga que tiene un mapa con las curvas de nivel de la función z  f (x, y) que describen una montaña que está escalando. ¿Cómo usaría las curvas de nivel para trazar una trayectoria de “ascenso más inclinado” desde su ubicación actual sobre la ladera de la montaña hacia la cumbre de esta? Ésta será una trayectoria en que cada punto sube lo más inclinado posible. ¿Su brújula dirigida hacia esa trayectoria de inclinación máxima siempre apuntaría hacia la cumbre de la montaña?

12.8 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, encuentre el vector gradiente ∇ f en el punto P indicado.  F .X; Y/ H X Y 0.; /  F .X; Y/ H X  Y   0.; /  F .X; Y/ H EXP.X  Y  / 0.; /  F .X; Y/ H SEN   X Y 0.; /  F .X; Y; Z/ H Y  Z    F .X; Y; Z/ H

0.; ; /

X  C Y C Z 

0.; ; / 0.; ; /



 F .X; Y; Z/ H X YZ C Z  0.; ; / p  F .X; Y; Z/ H  X YZ  0.; ; /  F .X; Y; Z/ H .X Y C Z/ 

 F .X; Y; Z/ H X Y C YZ C ZX 0.; ; / V ; ;  p  F .X; Y; Z/ H X YZ  0.; ; / V H I C J K  F .X; Y; Z/ H LN. C X  C Y  Z  / I J K

 F .X; Y; Z/ H E X SEN Y C E Y SEN Z C E Z SEN X 

 F .X; Y/ H X  X  Y C X Y  C Y   0.; / V H I C J H Y  F .X; Y/ H TAN  0.; / V H I C J X  F .X; Y/ H SEN X COS Y 0.=; =/ V ; 

 F .X; Y; Z/ H E X YZ 

0.; ; / V H J K  X  Y  Z  

 F .X; Y; Z/ H ; ; 

0.; ; / V H

0.; ; / V H

En los problemas 11 a 20, encuentre la derivada direccional de f en P en la dirección de v; es decir, encuentre V $U F .0/; DONDE U H : jVj

En los problemas 21 a 28, encuentre la derivada direccional máxima de f en P y la dirección en la que ocurre.  F .X; Y/ H X  C X Y C Y   0.; / Y  0.; /  F .X; Y/ H ARCTAN X  F .X; Y/ H LN.X  C Y  / 0.; /

 F .X; Y/ H X  C X Y C Y  

 F .X; Y/ H SEN.X Y/

 F .X; Y/ H E X SEN Y

0.; ; /

0.; / V

0.; =/ V

; 

; 





0.=; =/ 

 F .X; Y; Z/ H X C Y C Z 

0.; ; /

972 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

 F .X; Y; Z/ H EXP.X Y Z/

0.; ; /

X Y  Z   0.; ; / p  F .X; Y; Z/ H X C Y C Z  0.; ; /  F .X; Y; Z/ H

En los problemas 29 a 34, utilice el vector gradiente normal para escribir una ecuación de la recta (o plano) tangente a la curva dada (o superficie) en el punto P dado.  EXP. X  Y  / H  



 X C Y H 

0.; /

 X  C X Y C Y  H  



0.; /



0.; /

 X C Y C Z H 

0.; ; /

 X = C Y = C Z = H 

0.; ; /

 X YZ C X  Y  C Z  H 

0.; ; /

Las propiedades de los vectores gradiente listadas en los problemas 35 a 38 muestran la analogía cercana entre el operador gradiente, ∇, y el operador D para las derivadas de una variable. Compruebe cada uno de ellos, suponga que a y b son constantes y que u y v son funciones derivables de x y y.  r .AU C BG/ H ArU C BrG  r .UG/ H UrG C GrU U GrU UrG H SI G   r G G 38. Si n es un entero positivo, entonces ∇un  nun−1∇u. 39. Demuestre que el valor de una función f derivable disminuye con mayor rapidez en P en dirección del vector −∇ f (P), directamente opuesto al vector gradiente. 40. Suponga que f es una función de tres variables independientes x, y y z. Demuestre que Di f  f x, Dj f  f y y Dk f  f z . 41. Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la sección cónica A x 2 + B x y + Cy 2  D en el punto (x0, y0) es .! X /X C  ".Y X C X Y/ C .# Y /Y H $:

42. Demuestre que la ecuación del plano tangente a la superficie cuadrática A x 2 + B y 2 + Cz 2  D en el punto (x0, y0, z0) es .! X /X C ."Y /Y C .# Z  /Z H $:

43. Demuestre que una ecuación del plano tangente a la superficie cuadrática z  A x 2 + B y 2 en el punto (x0, y0, z0) es z − z0  2 A x0x + 2By0y. 44. Suponga que la temperatura en el punto (x, y, z) en el espacio, con distancia medida en kilómetros está dada por

46. Suponga que la temperatura w (en grados Celsius) en el punto (x, y) está dada por H H F .X; Y/ H  C .:/X  .:/Y  :

¿En cuál dirección u debe volar inicialmente un abejorro en el punto (40, 30) a fin de calentarse con más rapidez? Encuentre la derivada direccional Du f (40, 30) en esta dirección óptima u. 47. Suponga que la temperatura W (en grados Celsius) en el punto (x, y, z) en el espacio está dado por 7 H  C X YZ:

a) Encuentre la tasa de cambio de la temperatura respecto a la distancia en el punto P(3, 4, 1) en dirección del vector v  1, 2, 2 (las unidades de distancia en el espacio son pies). b) Encuentre la derivada direccional máxima DuW en el punto P(3, 4, 1) y la dirección u en la que ocurre el máximo. 48. Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x, y, z) en el espacio está dada por la fórmula 7 H  X  Y  Z  :

Las unidades de distancia en el espacio son metros. a) Encuentre la tasa de cambio de la temperatura en el punto P(3, −4, 5) en dirección del vector v  3i − 4j + 12k. b) ¿En qué dirección se incrementa W con más rapidez en P? ¿Cuál es el valor de la derivada direccional máxima en P? 49. Suponga que la altitud z (en millas sobre el nivel del mar) de cierta colina está descrita por la ecuación z  f (x, y), donde F .X; Y/ H

  .X X Y C Y  /: 

a) Escriba una ecuación (en la forma z  ax + by + c) del plano tangente a la colina en el punto P(2, 1, 0.4). b) Utilice ∇f (2, 1) para aproximar la altitud de la colina por arriba del punto (2, 2, 0.9) en el plano xy. Compare su resultado con la altitud real en este punto. 50. Encuentre una ecuación para el plano que sea tangente al paraboloide z  2x2 + 3y2 y, simultáneamente, paralelo al plano 4x − 3y − z  10. 51. El cono con ecuación z2  x2 + y2 y el plano con ecuación 2x + 3y + 4z + 2  0 se intersecan en una elipse. Escriba una ecuación del plano normal a esta elipse en el punto P(3, 4, −5) (ver figura 12.8.11).

H H F .X; Y; Z/ H  C X Y C X Z C YZ

(en grados Celsius). Encuentre la tasa de cambio (en grados Celsius por kilómetro) de la temperatura en el punto P(1, 2, 3) en la dirección del vector v  i + 2j − 2k. 45. Suponga que la función H H F .X; Y; Z/ H  C X Y C X Z C YZ

del problema 44 ofrece la temperatura en el punto (x, y, z) del espacio (en este problema, las unidades son kilómetros, grados Celsius y minutos). ¿Qué tasa de cambio (en grados Celsius por minuto) experimentará un halcón cuando vuela por P(1, 2, 3) a una velocidad de 2 km/min directamente hacia el punto Q(3, 4, 4)?

FIGURA 12.8.11 Cono y plano de los problemas 51 y 52.

SECCIÓN 12.9

52. Sabemos, a partir de la geometría, que los puntos más alto y más bajo de la elipse del problema 51 son aquéllos en los que su recta tangente es horizontal. Encuentre esos puntos. 53. Demuestre que la esfera x2 + y2 + z2  r 2 y el cono z2  a2x2 + b2y2 son ortogonales (es decir, tienen planos tangentes perpendiculares) en todos los puntos de su intersección (ver figura 12.8.12).

FIGURA 12.8.12 Corte del cono y la esfera del problema 53.

54. Suponga que P1 y P2 son planos tangentes al elipsoide circular x2 + y2 + 2z2  2 en los dos puntos P1 y P2 que tienen la misma coordenada z. Demuestre que P1 y P2 intersecan al eje z en el mismo punto. 55. Un plano tangente a la superficie xyz  1 en cierto punto en el primer octante corta una pirámide desde el primer octante. Demuestre que cualesquiera dos de tales pirámides tienen el mismo volumen. En los problemas 56 a 61, la función z  f (x, y) describe la forma de una colina; f (P) es la altitud de la colina por arriba del punto P(x, y) en el plano xy. Si se comienza en el punto (P, f (P)) de esta colina, entonces Du f (P) es su tasa de ascenso (subida por unidad de distancia horizontal) conforme avanza en la dirección horizontal u  ai + bj. Y el ángulo con el que sube mientras camina en esta dirección es γ  tan−1(Du f (P)), como se ilustra en la figura 12.8.13. 2EBANADADE ZFX Y

G

$U FX Y

 0X Y

U

FIGURA 12.8.13 Sección transversal de la parte de la gráfica por arriba de u (problemas 56 a 61).

56. Usted se encuentra en el punto (−100, −100, 430) sobre una colina que tiene la forma de la gráfica de z  500 − (0.003)x2 − (0.004)y2. con x, y y z dadas en pies. (a) ¿Cuál será su tasa de ascenso (subida por avance) si se dirige hacia el noroeste? ¿Con qué

Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

973

ángulo desde la horizontal estará subiendo? (b) Repita el inciso (a), excepto que ahora se dirige hacia el noreste. 57. Usted se halla en el punto (−100, −100, 430) sobre la colina del problema 56. ¿En qué dirección (es decir, hacia donde apunte la brújula) debe usted avanzar a fin de subir por el terreno más empinado? ¿Con qué ángulo respecto de la horizontal inicia la subida? 58. Repita el problema 56, excepto que ahora se encuentra en el punto P(100, 100, 500) sobre la colina descrita por  ZH :  C .:/X  C .:/Y  59. Repita el problema 57, pero comience en el punto P(100, 100, 500) de la colina del problema 58. 60. Usted está en el punto (30, 20, 5) sobre una colina que tiene la forma de la superficie X  C Y  Z H  EXP :  a) ¿En qué dirección (hacia dónde apunta la brújula) debe avanzar con objeto de subir por el terreno más inclinado? ¿Con qué ángulo respecto a la horizontal comienza el ascenso? b) Si en lugar de subir como en el inciso (a), usted se dirige directamente hacia el oeste (dirección negativa del eje de las x), entonces ¿con qué ángulo subiría al inicio? 61. a) Usted está en el punto en que x  y  100 (pies) sobre el flanco de una montaña cuya altitud (en pies sobre el nivel del mar) está dada por  ZH .X  X Y C Y  /;  con el eje x apuntando hacia el este y el eje y hacia el norte. Si usted se dirige hacia el noreste, ¿subirá o bajará? ¿Con qué ángulo (en grados) respecto a la horizontal? b) Si se dirige 30° al noreste, ¿ascenderá o descenderá? ¿Con qué ángulo (en grados) respecto a la horizontal? 62. Suponga que las dos superficies f (x, y, z)  0 y g(x, y, z)  0 pasan por el punto P en que existen ambos vectores gradiente, ∇ f (P) y ∇g(P). a) Demuestre que las dos superficies son tangentes en P si y sólo si ∇ f (P) × ∇g(P)  0. b) Demuestre que las dos superficies son ortogonales en P si y sólo si ∇ f (P) · ∇g(P)  0. 63. Suponga que los vectores u y v en un plano no son colineales, y que la función f (x, y) es derivable en P. Demuestre que los valores de las derivadas direccionales Du f (P) y Dv f (P) determinan el valor de la derivada direccional de f en P en cualquier otra dirección. p p 64. Demuestre que la función F .X; Y/ H .  X C  Y / es continua en el origen y tiene derivadas direccionales en todas direcciones ahí, pero no es derivable en el origen.

12.9 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Y OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA En la sección 12.5 se analizó el problema de encontrar los valores máximo y mínimo que tiene una función f (x, y) en los puntos de la región plana R, en el caso más simple en el que R consiste en puntos sobre y dentro de la curva cerrada C. Se vio que cualquier máximo o mínimo local en el interior de R ocurre en un punto en el que fx(x, y)  0  fy(x, y) o en un punto en el que f no es derivable (por lo general esto

974 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

último lo indica la falla de fx o no existe fy). Aquí se estudia el tema muy diferente de encontrar los valores máximo y mínimo de f en puntos de la curva C de frontera. Si la curva C es la gráfica de la ecuación g(x, y)  0, entonces nuestro objetivo es maximizar o minimizar la función f (x, y) sujeta a la restricción o condición lateral, G.X; Y/ H :  En principio se podría intentar resolver esta ecuación de restricción para y  φ(x) y después maximizar o minimizar la función f (x, φ(x)) de una sola variable por medio del método estándar de encontrar sus puntos críticos. Pero, ¿qué pasa si fuera impráctico o imposible resolver la ecuación (1) en forma explícita para y en términos de x? Un enfoque alternativo que no requiere que primero se resuelva esta ecuación es el método de los multiplicadores de Lagrange. Recibe su nombre por su descubridor, el matemático francés nacido en Italia Joseph Louis Lagrange (1736-1813). El método se basa en el teorema 1.

TEOREMA 1 Multiplicador de Lagrange (con una restricción) Sean f (x, y) y g(x, y) funciones derivables continuas. Si el valor máximo (o mínimo) de f (x, y) sujeto a la restricción G.X; Y/ H   ocurre en un punto P en el que ∇g(P) H 0, entonces r F .0/ H rG.0/  para cierta constante λ.

Y F 0 G 0

RT

Demostración Como ∇g(P) H 0, el teorema de la función implícita implica que la

RaT

0

GX Y 

X

FIGURA 12.9.1 Conclusión del teorema 1, ilustrada.

gráfica C de la ecuación de restricción g(x, y)  0 está de acuerdo cerca de P(x0, y0) con la gráfica de una función derivable continua de una sola variable —sea y  α(x) o x  β( y)—. Cualquier caso proporciona una curva paramétrica suave r(t) cuya imagen concuerda bastante P con C. Por ejemplo, en el caso y  α(x) definimos r(t)  t, α(t). Si r(t0)  x0, y0, entonces r (t0)  1, α (t0) H 0, como se indica en la figura 12.9.1. Si f (x, y) tiene su valor máximo (o mínimo) en C en P(x0, y0), entonces la función compuesta F(t)  f (r(t)) tiene su valor máximo (o mínimo) en t  t0, por lo que F  (t0)  0. Por tanto, & .T / H r F .R.T // q R .T / H r F .0/ q R .T / H   según la forma vectorial gradiente de la regla de la cadena de la ecuación (12) en la sección 12.8. Como r(t) está sobre la curva g(x, y)  0, la función compuesta G(t)  g(r(t)) valuada con constantes —G(t) ≡ 0— por lo que G (t) ≡ 0. De este modo ' .T / H rG.R.T // q R .T / H rG.0/ q R .T / H :



Las ecuaciones (3) y (4), cuando se toman juntas, implican que los dos vectores en el plano de dos dimensiones ∇f (P) y ∇g(P) son los dos perpendiculares al vector distinto de cero r (t0), y por ello son colineales. Debido a que ∇g(P) H 0, ahora se sigue que ∇f (P) debe ser un múltiplo escalar de ∇g(P), justo como se afirma en la ecuación (2). X

El método Veamos qué pasos hay que seguir para resolver un problema con el empleo del teorema 1 —el método de los multiplicadores de Lagrange—. En primer lugar se necesita identificar la cantidad z  f (x, y) por maximizar o minimizar, sujeta a la restricción g(x, y)  0. Después, la ecuación (1) y las dos componentes escalares de la ecuación (2) generan tres ecuaciones: 

G.X; Y/ H ; F X .X; Y/ H GX .X; Y/; F Y .X; Y/ H G Y .X; Y/:

Y

A B

SECCIÓN 12.9

Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

975

Así, se tienen tres ecuaciones que pueden resolverse para las tres incógnitas x, y y λ. Los puntos (x, y) que encontremos (si tenemos éxito) son las únicas ubicaciones posibles de los extremos de f sujeta a la restricción g(x, y)  0. Los valores de λ asociados, llamados multiplicadores de Lagrange, también pueden revelarse, pero es frecuente que no sean de mucho interés. Por último, se calcula el valor de f (x, y) en cada uno de los puntos solución (x, y) a fin de identificar sus valores máximo y mínimo. Debemos tener en mente la posibilidad adicional de que el máximo o mínimo (o ambos) de f tal vez ocurran en un punto donde gx (x, y)  0  gy (x, y). El método de los multiplicadores de Lagrange puede fallar para localizar estos puntos excepcionales, pero por lo general se pueden reconocer como puntos en los que la gráfica de g(x, y)  0 no es una curva suave. EJEMPLO 1 Encuentre los puntos de la hipérbola rectangular x y  1 que sean los más cercanos al origen (0, 0).

Solución Se necesita minimizar la distancia D H X  C Y  que hay del origen a un punto P(x, y) sobre la curva xy  1. Pero el álgebra es más sencilla si en lugar de eso se minimiza el cuadrado F .X; Y/ H X  C Y  Y

de esta distancia sujeta a la restricción

GX Y 

G.X; Y/ H X Y  H 







  





de que el punto P esté sobre la hipérbola. Debido a que

 



 FX Y -

@F H X; @X

X

@G H Y; @X

@G H X; @Y

las ecuaciones de los multiplicadores de Lagrange en (2a) y (2b) toman la forma X H Y;



FIGURA 12.9.2 La curva de nivel f (x, y)  M y la curva de restricción g(x, y)  0 son tangentes en un punto P donde tiene el valor máximo o mínimo.

@F H Y; Y @Y

Y H X:

Si se multiplica la primera de estas cantidades por x y la segunda por y, se concluye que X  H X Y H Y 

en P(x, y). Pero el hecho de que x y  1 > 0 implica que λ y y tienen el mismo signo. Entonces, el hecho de que x 2  y 2 implica que x  y. Al sustituir x y  1 se obtiene x 2  1, por lo que se sigue finalmente que x  y  1 o x  y  −1. Los dos resultados posibles (1, 1) y (−1, −1) están indicados en la figura 12.9.2. Z El ejemplo 1 ilustra una interpretación geométrica interesante del teorema 1. En la figura 12.9.2 se observa la curva de restricción g(x, y)  0 junto con curvas de nivel comunes de la función f (x, y). Como los vectores gradiente ∇f y ∇g son normales a las curvas de nivel de las funciones f y g, respectivamente, se sigue que las curvas f (x, y)  M y g(x, y)  0 son tangentes una con otra en el punto P en el que los dos vectores gradiente son colineales y f toma su valor máximo (o mínimo), M. En efecto, el criterio de los multiplicadores de Lagrange sirve para seleccionar, de entre las curvas de nivel de f, aquella que es tangente a la curva de restricción en P. Así, se observa en la figura 12.9.2 que la circunferencia x 2 + y 2  2 y la hipérbola x y  1 son, en realidad, tangentes a los dos puntos (1, 1) y (−1, −1) donde la distancia al cuadrado f (x, y)  x 2 + y 2 es mínima y está sujeta a la restricción g(x, y)  x y −1. COMENTARIO

EJEMPLO 2 En el problema del molino del ejemplo 5 en la sección 3.6, se maximizó la superficie de la sección transversal de un corte rectangular de un tronco circular. Ahora se considera el tronco elíptico de la figura 12.9.3, con semiejes de longitudes a  2 ft y b  1 ft. ¿Cuál es el área máxima de sección transversal de una viga rectangular, como se indica, a partir de este tronco elíptico?

976 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Solución El tronco está limitado por la elipse (x/2) 2 + y 2  1; es decir, x 2 + 4y 2  4. Por lo que según el sistema de coordenadas que se indica en la figura 12.9.3, queremos maximizar el área de la sección transversal

Y X Y

! H F .X; Y/ H X Y



G.X; Y/ H X  C Y   H :



X XY

FIGURA 12.9.3 Corte de una viga rectangular a partir de un tronco elíptico (ejemplo 2).

de la viga sujeta a la restricción

Porque @F @F H Y; H X @X @Y

Y

@G @G H X; H Y; @X @Y

Las ecuaciones (2a) y (2b) ofrecen Y H X;

X H Y:

Está claro que ni x  0 ni y  0 dan el área máxima, por lo que se resuelven estas dos ecuaciones con multiplicadores para X Y HH : X Y

Así, el máximo deseado es x2  4y2. Debido a que x2 + 4y2  4, se sigue que x2  4y2  2. Como se busca (ver figura p 12.9.3) un punto p (x, y) en el primer cuadrante que sea solución, se concluye que X H ; Yp H =p  proporcionan el área máxima posible de la sección transversal, ! MÖX H . /.= / H  ft2 de una viga rectangular cortada del tronco elíptico. Observe que esta área máxima de 4 ft2 es alrededor del 64% Z del área total de la sección transversal A  πab  2πft2 del tronco original. 2 Si consideramos los lapcondición p cuatro p cuadrantes, p entonces p px  los cuatro puntos .  ; =  / .  ; =  / .  ; =  / y 4y p  2 genera p .  ; =  / La función f (x, y)  4x y en la ecuación (5) tiene su valor máximo de +4 sobre la elipse x2 + 4y2  4 en el primero y tercero de estos puntos, y su valor mínimo de −4 en el segundo y cuarto puntos. El método de los multiplicadores de Lagrange localiza todos los puntos extremos globales de f (x, y) sobre la elipse.

COMENTARIO 2

En los problemas de aplicación de máximos y mínimos de la sección 3.6 era común comenzar con una fórmula como la ecuación (5) de esta sección, y expresar la cantidad por maximizar en términos de dos variables, por ejemplo x y y. Después se usaba alguna relación disponible como la ecuación (6) entre las variables x y y para eliminar una de ellas, como y. Por último se obtenía una función de una sola variable por medio de sustituir para y en términos de x en la fórmula original. Como en el ejemplo 2, el método de los multiplicadores de Lagrange nos libera de la necesidad de formular el problema en términos de una función de una sola variable, y con frecuencia conduce a un proceso de solución que es más sencillo y fácil en cuanto al álgebra.

Los multiplicadores de Lagrange en tres dimensiones Ahora suponga que f (x, y, z) y g(x, y, z) son funciones derivables continuamente y que se desea encontrar los puntos sobre la superficie G.X; Y; Z/ H 



en los que la función f (x, y, z) tiene sus valores máximo y mínimo. El teorema 1 se cumple precisamente como se ha establecido, sólo que con tres variables independientes en lugar de dos. Los detalles de esto se dejan para el problema 45, pero un argumento similar al de la demostración del teorema 1 demuestra que —en un punto P de f (x, y, z) máximo o mínimo sobre la superficie g (x, y, z)  0— los dos vectores gradiente ∇f (P) y ∇g(P) son ambos perpendiculares a cada curva suave sobre la

SECCIÓN 12.9 F0

Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

977

superficie que pasa por P. Entonces, ambos son normales a la superficie en P, y por tanto son colineales (ver figura 12.9.4). Como ∇g(P) H 0, se sigue que

G0

r F .0/ H rG.0/



para cierto escalar λ. Esta ecuación vectorial corresponde a tres ecuaciones escalares. Para encontrar las ubicaciones posibles de los extremos de f sujeta a la restricción g, se resuelven simultáneamente las cuatro ecuaciones

0 GX Y Z 

G.X; Y; Z/ H ;

FIGURA 12.9.4 La generalización natural del teorema 1 se cumple para funciones de tres variables.



F X .X; Y; Z/ H GX .X; Y; Z/;

A

F Y .X; Y; Z/ H G Y .X; Y; Z/;

B

F Z .X; Y; Z/ H GZ .X; Y; Z/

C

para las cuatro incógnitas x, y, z y λ. Si hay éxito se evalúa f (x, y, z) en cada uno de los puntos (x, y, z) de la solución para ver en cuál de ellos tiene sus valores máximo y mínimo. Por analogía con el caso de dos dimensiones, también se comprueban los puntos en los que la superficie g (x, y, z)  0 no es suave. Así, el método de los multiplicadores de Lagrange con una restricción en esencia es el mismo en tres dimensiones que en dos. EJEMPLO 3 Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en el elipsoide x 2/a 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2 +  1 con sus caras paralelas a los planos coordenados (ver figura 12.9.5).

Z

C

B Y

A 0X Y Z X

FIGURA 12.9.5 Caja rectangular 2x × 2y × 2z inscrita en un elipsoide con semiejes a, b y c. La caja en su conjunto está determinada por su vértice en el primer octante P(x, y, z).

Solución Sea P(x, y, z) el vértice de la caja que está en el primer octante (donde x, y y z son positivos). Queremos maximizar el volumen V (x, y, z)  8xyz, sujeto a la restricción Y Z X G.X; Y; Z/ H  C  C   H : A B C Las ecuaciones (8a), (8b) y (8c) ofrecen X Y Z YZ H  ; X Z H  ; X Y H  : A B C Parte del arte de las matemáticas está en detenerse un momento para encontrar una forma elegante de resolver un problema, en lugar de lanzarse de frente con métodos de fuerza bruta. Aquí, si se multiplica la primera ecuación por x, la segunda por y y la tercera por z, se llega a X Y Z H  H  H X YZ: A B C Ahora, λ H 0 porque (al máximo volumen) x, y y z son diferentes de cero. Concluimos entonces que Y Z X H H : A B C La suma de las tres expresiones es 1, porque esa es precisamente la condición de restricción en este problema. Así, cada una de estas tres expresiones es igual a . Como x, y y z son positivas, se tiene que A B C XHp ; YHp ; Y ZHp :    Por tanto, la caja de volumen máximo lo tiene de  6 H 6MÖX H p ABC:   Observe que esta respuesta es correcta dimensionalmente —el producto de tres longitudes a, b y c produce Pero como el volumen del elipsoide p un volumen—. p es 6 H  ABC y T=. /U=.=/ H =.  /  : se concluye que la caja 

978 CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

máxima ocupa sólo alrededor de 37% del volumen del elipsoide circunscrito. Considerando el resultado de 64% en el ejemplo 2, ¿consideraría usted plausible o sorprendente este resultado? Z

Problemas que tienen dos restricciones Suponga que deseamos encontrar los valores máximo y mínimo de la función f (x, y, z) en puntos de la curva de intersección de las dos superficies G.X; Y; Z/ H 

Y H.X; Y; Z/ H :



Éste es un problema de máximos y mínimos con dos restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange para tales situaciones se basa en el teorema 2.

TEOREMA 2 Multiplicadores de Lagrange (con dos restricciones) Suponga que f (x, y, z), g(x, y, z) y h(x, y, z) son funciones derivables continuamente. Si el valor máximo (o mínimo) de f (x, y, z) sujeto a las dos restricciones MAL NOR F

G.X; Y; Z/ H 

O 0LAN

RaT 0

#

r F .0/ H  rG.0/ C  r H.0/



para cierto par de constantes λ1 y λ2.

FIGURA 12.9.6 Relación entre los vectores gradiente en la prueba del teorema 2.

Con una versión apropiada del teorema de la función implícita, la curva C de la intersección de las dos superficies (ver figura 12.9.6) puede representarse cerca de P por medio de una curva paramétrica r(t) con un vector ! tangente r (t) diferente de cero. Sea t0 el valor de t tal que R.T / H / 0  Se calculan las derivadas en t0 de las funciones compuestas f (r(t)), g(r(t)) y h(r(t)). Se encuentra —exactamente como en la prueba del Teorema 1— que

Bosquejo de la demostración

r F .0/ q R .T / H ;

rG.0/ q R .T / H ;

Y

r H.0/ q R .T / H :

Estas tres ecuaciones implican que los tres vectores gradiente son perpendiculares a la curva C en el punto P y con ello están en un mismo plano, el que es normal a la curva C en el punto P. Ahora, ∇g(P) y ∇h(P) son diferentes de cero y no son paralelos, por lo que ∇f (P) es la suma de sus proyecciones en ∇g(P) y ∇h(P) (ver problema 65 de la sección 11.2). Como se ilustra en la figura 12.9.7, este hecho implica la ecuación (10).

F0

L  H0



ocurre en un punto P en el que los vectores ∇g(P) y ∇h(P) son diferentes de cero y no son paralelos, entonces

H

G

Y H.X; Y; Z/ H 

H0

L  G0 G0

FIGURA 12.9.7 Geometría de la ecuación ∇f (P)  λ1 ∇g(P) + λ2∇h(P).

En los ejemplos preferimos evitar los subíndices por medio de escribir λ y μ para los multiplicadores de Lagrange λ1 y λ2 en el enunciado del teorema 2. Las ecuaciones en (9) y las tres componentes escalares de la ecuación vectorial en (10) dan lugar a las cinco ecuaciones simultáneas G.X; Y; Z/ H ;

A

H.X; Y; Z/ H ;

B

F X .X; Y; Z/ H GX .X; Y; Z/ C H X .X; Y; Z/;

A

F Y .X; Y; Z/ H G Y .X; Y; Z/ C H Y .X; Y; Z/;

B

F Z .X; Y; Z/ H GZ .X; Y; Z/ C H Z .X; Y; Z/

C

en las cinco incógnitas x, y, z, λ y μ. EJEMPLO 4 El plano x + y + z  12 interseca al paraboloide z  x2 + y2 en una elipse (ver figura 12.9.8). Encuentre los puntos más alto y más bajo de dicha elipse.

SECCIÓN 12.9 X 



 0 

Z  

XYZ ZXY



 Y

979

Solución La altura del punto (x, y, z) es z, por lo que queremos encontrar los valores máximo y mínimo de F .X; Y; Z/ H Z 

0



Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

sujeta a las condiciones 

H.X; Y; Z/ H X  C Y  Z H :



y



FIGURA 12.9.8 Plano y paraboloide que se intersecan en la elipse del ejemplo 4.

G.X; Y; Z/ H X C Y C Z  H 

Las condiciones en (10a) a (10c) producen  H  C X;  H  C Y;

A B

 H  :

C

y Si μ fuera igual a cero, entonces la ecuación (14a) implicaría que λ  0, lo que contradiría la ecuación (14c). Entonces, μ H 0, con lo que las ecuaciones X H  H Y

implican que x  y. Al sustituir x  y en la ecuación (13) se obtiene z  2x 2, y la ecuación (12) produce X  C X  H I .X C /.X / D : Así, obtenemos las dos soluciones x  −3 y x  2. Como y  x y z  2x 2, los puntos correspondientes de la elipse son P1(2, 2, 8) y P2(−3, −3, 18). Está claro cuál es el más bajo y cuál es el más alto. Z

Más variables, más restricciones Muchos problemas prácticos de optimización con restricciones tienen más de tres variables y/o más de dos restricciones. Por ejemplo, el problema 48 es uno de geometría plana con cuatro variables independientes. Hay una forma general de la condición de los multiplicadores de Lagrange que se aplica a cualquiera de tales problemas, cualesquiera sean los números de variables y restricciones. Sólo se necesita adjuntar un término adicional al lado derecho en la ecuación (10) para cada restricción adicional. La condición resultante para maximizar o minimizar el valor f (x1, x2, . . . , xn) de una función de n variables sujeta a las k restricciones G .X ; X ; : : : ; XN / H ; G .X ; X ; : : : ; XN / H ; :: : GK .X ; X ; : : : ; XN / H 



r F .0/ H  r G .0/ C  r G .0/ C


C K r GK .0/



es

donde se escribe P (x1, x2, . . . , xn). Esta condición se cumple con las suposiciones de que las funciones f g1, g2, . . . , y gk son derivables continuamente cerca del punto óptimo P, y que —en el lenguaje del álgebra lineal— los vectores gradiente ∇g1(P), ∇g2(P), . . . , ∇gk(P), son linealmente independientes en Rn. La última hipótesis significa que uno de los k vectores se puede expresar como combinación lineal de los otros k − 1 vectores. El teorema correspondiente se enuncia y demuestra en el capítulo 11 de Edwards: Advanced Calculus of Several Variables (Nueva York: Dover Publications, 1994).

980

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Cada uno de los vectores gradiente en la ecuación (16) tiene n componentes. Cuando las n “ecuaciones de componente escalar” se combinan (problema 61) con las k ecuaciones escalares en (15), se obtienen las k + n ecuaciones escalares G .X ; X ; : : : ; XN / H ; : : : ; GK .X ; X ; : : : ; XN / H ; $ F .X ; X ; : : : ; XN / H  $ G .X ; X ; : : : ; XN / C


C K $ GK .X ; X ; : : : ; XN /; $ F .X ; X ; : : : ; XN / H  $ G .X ; X ; : : : ; XN / C


C K $ GK .X ; X ; : : : ; XN /; :: : $N F .X ; X ; : : : ; XN / H  $N G .X ; X ; : : : ; XN / C


C K $N GK .X ; X ; : : : ; XN /  para resolver las k + n incógnitas λ1, λ2, . . . , λk, x1, x2, . . . , xn. Por ejemplo, suponga que se pregunta la distancia mínima entre puntos P(x, y, z) y Q(u, v, w) sobre dos curvas diferentes en el espacio, cada una de las cuales se presenta como la intersección de dos superficies. Tenemos las seis coordenadas x, y, z, u, v y w de los dos puntos y las cuatro ecuaciones de restricción de las cuatro superficies dadas. Entonces, el sistema en (17) se vuelve un sistema de diez ecuaciones en las diez incógnitas x, y, z, u, v, w, λ1, λ2, λ3 y λ4. Vea el problema 65, en el que dos curvas son rectas dobladas en el espacio. Éste es un caso comparativamente sencillo, pero es seguro que querrá usar un sistema de álgebra por computadora para resolver el problema (vea el material para el proyecto manual para esta sección).

12.9 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que desea maximizar o minimizar la función f (x, y) sujeta a la restricción g(x, y)  0. Un enfoque sería tratar de resolver la ecuación de restricción g(x, y)  0 para y  φ(x) y después maximizar o minimizar la función de una sola variable f (x, φ(x)). 2. El teorema 1 implica que si f (x, y) y g(x, y) son funciones derivables continuas, entonces la función f (x, y) tiene un valor máximo sujeto a la restricción g(x, y)  0 en un punto P en el que ∇f (P)  λ∇g(P). 3. Sean f (x, y) y g(x, y) funciones derivables continuas. Si el valor máximo de f (x, y) está sujeto a la restricción g(x, y)  0 ocurre en un punto P en el que ∇g(P) no es igual a cero, entonces ∇g(P) es un múltiplo escalar de ∇f (P). 4. El método de los multiplicadores de Lagrange reduce el problema de encontrar los valores extremos de f (x, y) sujeta a la restricción g(x, y)  0, a otro problema de resolver tres ecuaciones con tres incógnitas. 5. El valor máximo de f (x, y) sujeto a la restricción g(x, y)  0 podría ocurrir en un punto en el que ∇g(P)  0, en cuyo caso el teorema 1 no se aplica y el método de los multiplicadores de Lagrange fallaría en localizar dicho valor máximo. 6. En el ejemplo 1, el problema de encontrar el (los) punto(s) de la hipérbola xy  1 cerca del origen se simplifica por medio de minimizar el cuadrado de la distancia de un punto de esta hipérbola al origen. 7. El teorema 1 se cumple con precisión como se enunció al principio de esta sección, excepto con funciones f (x, y, z) y g(x, y, z) de tres variables en lugar de dos. 8. El método de los multiplicadores de Lagrange reduce el problema de encontrar los valores extremos de f (x, y, z) sujetos a la restricción g(x, y, z)  0, a un problema de resolver cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. 9. El método de los multiplicadores de Lagrange reduce el problema de encontrar los valores extremos de f (x, y, z) sujeta a dos restricciones g(x, y, z)  0 y h(x, y, z)  0 a un problema de resolver cinco ecuaciones con cinco incógnitas. 10. Suponga que f : R6 → R y g : R6 → R4 son funciones derivables continuamente. Es decir, f y las cuatro funciones componentes g1, g2, g3, g4 de g son funciones

SECCIÓN 12.9

Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

981

valuadas en los reales de las seis variables reales x1, x2, x3, x4, x5, x6. Entonces el método de los multiplicadores de Lagrange reduce el problema de maximizar f (x) sujeto a la restricción g (x)  0, a un problema de resolver 10 ecuaciones con 10 incógnitas.

12.9 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Ofrezca ejemplos de funciones derivables continuamente f, g : R2 → R que satisfagan las condiciones en las preguntas 1 a 3. 1. f (x, y) tiene un valor mínimo pero no uno máximo sujeto a la restricción g(x, y)  0. 2. f (x, y) no tiene un valor máximo ni uno mínimo sujeto a la restricción g(x, y)  0. 3. f (x, y) tiene su valor máximo sujeto a la restricción g(x, y)  0 en un punto P en el que ∇f (P) H λ∇g(P) para cualquier λ (en vista del teorema 1, ¿cómo es posible esto?)

12.9 PROBLEMAS En los problemas 1 a 18, encuentre los valores máximo y mínimo —si los hubiera— de la función f dada sujeta a la restricción o restricciones que se den. 



 F .X; Y/ H X C Y

X CY H

 F .X; Y/ H X C Y





X C Y H 

 F .X; Y/ H X  Y  

X  C Y H 

 F .X; Y/ H X  C Y  

X C Y H 

X  C Y  H 

 F .X; Y/ H X Y 





 F .X; Y/ H X C Y  



X CY H



 F .X; Y; Z/ H X C Y C Z  

X C Y C Z H 

 F .X; Y; Z/ H X C Y C Z

X  C Y C Z H  X  C Y  C Z  H 

 F .X; Y; Z/ H X C Y C Z 

X C Y C Z H 

 F .X; Y; Z/ H X YZ

 F .X; Y; Z/ H X Y C Z 



26. Problema 34

27. Problema 35

28. Problema 36

29. Problema 37

30. Problema 38

31. Problema 39

32. Problema 40

33. Problema 41

34. Problema 42

35. Encuentre el punto o puntos de la superficie z  xy + 5 más cerca del origen. [Sugerencia: minimice el cuadrado de la distancia]. 36. Un triángulo con lados x, y y z tiene perímetro fijo 2s  x + y + z. Su área A está dada por la fórmula de Herón: !H

S.S A/.S B/.S C/:

X  C Y  C Z  H 

 F .X; Y; Z/ H X Y C Z  F .X; Y; Z/ H X  Y  Z  

25. Problema 33

Z H X  X Y C Y 

X  C Y  C Z  H 

 F .X; Y; Z/ H X C Y C Z  

X  C Y C Z H 

 F .X; Y; Z/ H X  C Y  CZ   X C Y CZ H  YXCYCZH  F .X; Y; Z/ H Z

X  C Y  H  YXCYCZH

 F .X; Y; Z/ H Z

X C Y C Z H  Y X  C Y H 

 F .X; Y; Z/ H X

X C Y C Z H  Y Y  C Z  H 

19. Encuentre el punto sobre la recta 3x + 4y  100 que esté más cerca del origen. Utilice los multiplicadores de Lagrange para minimizar el cuadrado de la distancia. 20. Una caja rectangular abierta por arriba ha de tener un volumen de 700 in3. El material para su fondo cuesta 7¢/in2 y para sus cuatro lados verticales cuesta 5 ¢/in2. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar cuáles son las dimensiones que minimizan el costo del material que se utilice para construir la caja. En los problemas 21 a 34, utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver el problema indicado de la sección 12.5. 21. Problema 29 22. Problema 30 23. Problema 31 24. Problema 32

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para demostrar que, entre todos los triángulos con el perímetro dado, el de área más grande es equilátero. [Sugerencia: considere maximizar A2 en lugar de A]. 37. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para demostrar que, de todos los triángulos inscritos en la circunferencia unitaria, el de mayor área es equilátero [Sugerencia: utilice la figura 12.9.9 y el hecho de que el área de un triángulo con lados a y b y el ángulo incluido θ está dada por la fórmula ! H  AB SEN  ].

B G A XY

FIGURA 12.9.9 Triángulo inscrito en una circunferencia (problema 37).

982

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

38. Encuentre los puntos sobre la elipse rotada x2 + xy + y2  3 que estén más cerca y más lejos del origen [Sugerencia: escriba las ecuaciones de los multiplicadores de Lagrange en la forma

40.

41.

42.

43. 44.

! H F .X; Y; Z; / H  X Y SEN 

sujeta a las restricciones x + y + z  P y

AX C BY H ; CX C DY H :

39.

48. La figura 12.9.12 muestra un triángulo general con lados x, y y z y perímetro fijo P. Maximice su área

Z  H X  C Y  X Y COS 

Estas ecuaciones tienen una solución que no es trivial sólo si ad − bc  0. Use este hecho para resolver primero para λ]. Utilice el método del problema 38 para encontrar los puntos de la hipérbola rotada x2 + 12xy + 6y2  130 que se encuentren más cerca del origen. Encuentre los puntos de la elipse 4x2 + 9y2  36 que estén más cerca del punto (1, 1) así como el punto o puntos más lejos de este. Determine los puntos más alto y más bajo sobre la elipse formada por la intersección del cilindro x2 + y2  1 y el plano 2x + y − z  4. Aplique el método del ejemplo 4 para encontrar los puntos más alto y más bajo sobre la elipse formada por la intersección del cono z2  x2 + y2 y el plano x + 2y + 3z  3. Encuentre los puntos sobre la elipse del problema 42 que estén más cerca del origen y los que estén más lejos de éste. La charola para hielos que se muestra en la figura 12.9.10 va a construirse con un material que cuesta 1¢in2. Minimice la función de costo f (x, y, z)  xy + 3xz  7yz sujeta a las restricciones de que cada uno de los 12 compartimientos debe tener sección transversal cuadrada y de que el volumen total ha de ser de 12 in3 (ignore las separaciones). Z

(ley de los cosenos). En particular, demuestre que el triángulo óptimo es equilátero (por medio de probar que x  y  z).

Z

Y

A X

FIGURA 12.9.12 Triángulo general con perímetro fijo P (problema 48).

49. La figura 12.9.13 muestra un hexágono con vértices (0, ±1) y (±x, ±y) inscrito en la circunferencia unitaria x2 + y2  1. Demuestre que su área es máxima cuando es un hexágono regular con lados y ángulos iguales. Y  X Y

X Y

X

 X Y

X Y

FIGURA 12.9.13 Hexágono inscrito del problema 49.

Y X

FIGURA 12.9.10 Charola para hielos del problema 44.

45. Demuestre el teorema 1 para funciones de tres variables por medio de demostrar que los dos vectores ∇f (P) y ∇g(P) son perpendiculares en P para toda curva sobre la superficie g(x, y, z)  0. 46. Encuentre las longitudes de los semiejes de la elipse del ejemplo 4. 47. La figura 12.9.11 muestra un triángulo rectángulo con lados x, y y z, y perímetro fijo P. Maximice su área ! H  X Y sujeta a las restricciones x + y + z  P y x2 + y2  z2. En particular, demuestre que dicho triángulo óptimo es isósceles (por medio de demostrar que x  y).

Y

Z

X

FIGURA 12.9.11 Triángulo rectángulo con perímetro fijo P (problema 47).

50. Cuando el hexágono de la figura 12.9.13 se gira alrededor del eje y, genera un sólido de revolución que consiste en un cilindro y dos conos (ver figura 12.9.14). ¿Cuál es el radio y altura del cilindro que maximizan el volumen de este sólido? X

Y

FIGURA 12.9.14 Sólido del problema 50.

En los problemas 51 a 58, considere el cuadrado de la distancia por maximizar o minimizar. Use el comando de solución numérica en un sistema de álgebra por computadora según sea necesario para resolver las ecuaciones apropiadas de los multiplicadores de Lagrange. 51. Encuentre los puntos de la parábola y  (x − 1)2 que estén más cerca del origen. 52. Determine los puntos de la elipse 4x 2 + 9y2  36 que estén más cerca y más lejos del punto (3, 2).

SECCIÓN 12.9

53. Encuentre el punto en el primer cuadrante de la curva xy  24 que esté más cerca del punto (1, 4). 54. Determine el punto de la superficie xyz  1 que sea el más cercano al punto (1, 2, 3). 55. Halle los puntos sobre la esfera con centro en (1, 2, 3) y radio igual a 6, que estén más cerca y más lejos del origen. 56. Encuentre los puntos del elipsoide 4x2 + 9y2 + z2  36 que estén más cerca y más lejos del origen. 57. Diga cuáles son los puntos de la elipse 4x2 + 9y2  36 más cerca y más lejos de la línea recta x + y  10. 58. Determine los puntos sobre el elipsoide 4x2 + 9y2 + z2  36 que estén más cerca y más lejos del plano 2x + 3y + z  10. 59. Halle el volumen máximo posible de una caja rectangular que tiene su base en el plano xy y sus vértices superiores sobre el paraboloide elíptico z  9 − x2 − 2y2. 60. El plano 4x + 9y + z  0 interseca al paraboloide hiperbólico z  2x2 + 3y2 en una elipse. Encuentre los puntos más alto y más bajo de esta elipse. 61. Explique cuidadosamente cómo resultan las ecuaciones (17) de aquéllas en (15) y (16). Si lo desea, considere sólo un caso especial que no sea trivial, como aquél en que n  4 y k  3. 62. a) Suponga que x1, x2, . . . , y xn son positivos. Demuestre que el valor mínimo de f (x)  x1 + x2 + · · · + xn sujeto a la restricción x1, x2 · · · xn  1 es n. b) Dados n números positivos a1, a2, . . . , an, sea AI XI H .A A


AN /=N para 1 i n y aplique el resultado del inciso (a) para deducir la desigualdad de la media aritmética-geométrica: p A C A C


C AN N : A A


AN N 63. La figura 12.9.15 muestra un foso de ancho a  10 ft, infestado de cocodrilos, y limitado por cada lado por una pared de altura b  6 ft. Unos soldados planean cruzar el foso por medio de subir una escalera colocada entre la pared más cercana según se indica, anclada al terreno por un bloque apropiado, y con el extremo superior directamente por encima de la pared alejada sobre el lado opuesto del pantano. Naturalmente, se preguntan cuál es la longitud mínima L de una escalera para que sirva para ese propósito. Éste es un caso particular del problema de minimizar la longitud de un segmento de recta en el plano uv que une los puntos P(x, 0) y Q(0, y) sobre los dos ejes coordenados, y que pasa por el punto dado en el primer cuadrante (a, b). Demuestre que L mín  (a2/3  b2/3)3/2 por medio de minimizar el cuadrado de la longitud f (x, y)  x2 + y2 sujeto a la restricción de que u  a y v  b satisfagan la ecuación uv u/x + v/y  1 de la recta que pasa por P y Q.

Multiplicadores de Lagrange y optimización restringida

983

#UERDA

%SCALERA

Y "LOQUE &OSO AFT

BFT

X

FIGURA 12.9.15 Foso infestado de cocodrilos del problema 63.

64. Una analogía de tres dimensiones del problema 63 bidimensional pregunta el área mínima A del triángulo en el espacio uvw con vértices P(x, 0, 0), Q(0, y, 0) y R(0, 0, z) sobre los tres ejes coordenados y que pasa por el punto dado en el primer octante (a, b, c). a) Primero deduzca del problema 51 de la Miscelánea del capítulo 11 que !  H  .X  Y  C X  Z  C Y  Z  / b) Si a  b  c  1, entonces, por simetría, x  y  z. p Demuestre en este caso que x  y  z  3, por lo que ! H   c) Plantee las ecuaciones de los multiplicadores de Lagrange para minimizar el cuadrado del área A2 sujeto a la restricción de que las coordenadas dadas (a, b, c) satisfacen la ecuación uvw u/x + v/y + w/z  1 del plano que pasa por los puntos P, Q y R. En general, estas ecuaciones no tienen solución conocida de forma cerrada. No obstante, es posible usar un sistema de álgebra por computadora (como en el proyecto manual para esta sección) para aproximar numéricamente el valor mínimo de A con valores numéricos dados de a, b y c. Primero demuestre que con a  b  c  1 se obtiene una aproximación adecuada del valor exacto hallado en el inciso (b). Después, repita el proceso con su propia selección de valores de a, b y c. [Nota: a este problema tridimensional lo motivó la investigación de la versión n-dimensional en el artículo de David Spring “Solution of a Calculus Problem on Minimal Volume”, en The American Mathematical Monthly (marzo de 2001, pp. 217-221), donde un sistema de Lagrange de n + 1 ecuaciones se reduce a una sola ecuación no lineal con una sola incógnita]. 65. Suponga que L1 es la recta de la intersección de los planos 2x + y + 2z  15 y x + 2y + 3z  30, y que L2 es la recta de la intersección de los planos x − y − 2z  15 y 3x − 2y − 3z  20. Encuentre los puntos P1 y P2 más cercanos sobre estas dos rectas dobladas. Utilice una computadora para resolver el sistema correspondiente de multiplicadores de Lagrange de 10 ecuaciones lineales con 10 incógnitas.

12.9 INVESTIGACIÓN: solución numérica de sistemas de multiplicadores de Lagrange Los problemas de multiplicadores de Lagrange en los ejemplos 1 a 4 de esta sección en ocasiones son poco comunes, en el sentido de que las ecuaciones se resuelven con exactitud y sin esfuerzo. Es frecuente que un problema de multiplicadores de Lagrange lleve a un sistema de ecuaciones que sólo se pueden resolver en forma numérica y aproximada. El material para el proyecto manual de esta sección brinda comandos comunes de un sistema algebraico por computadora para la solución numérica de tales sistemas, más el problema del foso con dos escaleras que genera un sistema de 12 ecuaciones no lineales con variables en siete coordenadas y cinco multiplicadores de Lagrange.

984

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

12.10 PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES En la sección 12.5 se vio que para que una función derivable f (x, y) tuviera un mínimo o un máximo locales en un punto crítico interior P(a, b) de su dominio, una condición necesaria era que P fuera un punto crítico de f —es decir, que F X .A; B/ H  H F Y .A; B/: Aquí se dan condiciones suficientes para garantizar que f tiene un extremo local en un punto crítico. El criterio establecido en el teorema 1 involucra las derivadas parciales de segundo orden de f en (a, b) y juega el papel de la prueba de la segunda derivada con una sola variable (ver sección 4.6) para funciones de dos variables. Para simplificar el enunciado de este resultado, se usan las abreviaturas siguientes: " H F X Y .A; B/; # H F YY .A; B/;  ! H F X X .A; B/; Y 

H ! # "  H F X X .A; B/ F YY .A; B/ F X Y .A; B/ :



Al final de esta sección se bosqueja una prueba del teorema 1.

TEOREMA 1 Prueba de la segunda derivada con dos variables Suponga que la función f (x, y) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un entorno del punto crítico (a, b) en el que todas las derivadas parciales de primer orden desaparecen. Sea que A, B, C y  estén definidas como en las ecuaciones (1) y (2). Entonces: • f (a, b) es un valor mínimo local de f si A > 0 y  > 0; • f (a, b) es un valor máximo local de f si A < 0 y  > 0; • f (a, b) no es un mínimo ni un máximo local de f si  < 0;

Z

Y X

FIGURA 12.10.1 El origen es un punto silla de la superficie cuya ecuación es z  x2 − y2.

Así, f tiene cualquiera de un máximo o un mínimo local en el punto crítico (a, b) si se demuestra que el discriminante   AC − B2 es positivo. En este caso, A  fxx (a, b) juega el papel de la segunda derivada de una función de variable única: hay un mínimo local en (a, b) si A > 0 y un máximo local si A < 0. Si  < 0, entonces f no tiene un máximo local ni un mínimo local en (a, b). En este caso, (a, b) se denomina punto silla de f, en alusión a la apariencia del paraboloide hiperbólico f (x, y)  x2 − y2 (ver figura 12.10.1), ejemplo común de este caso. El teorema 1 no responde la pregunta de qué sucede cuando   0. En este caso, falla la prueba de la segunda derivada con dos variables —no proporciona información—. Además, en dicho punto (a, b), puede pasar cualquier cosa, desde el mínimo local (global, en realidad) de f (x, y)  x4 + y4 en (0, 0) a la “silla de mono” del ejemplo 2. En el caso de una función f (x, y) con varios puntos críticos, se deben calcular las cantidades A, B, C y  por separado en cada punto crítico a fin de aplicar la prueba. EJEMPLO 1

Localice y clasifique los puntos críticos de F .X; Y/ H X X  X Y  :

Solución Esta función es un polinomio, por lo que todas sus derivadas parciales existen y son continuas en todo lugar. Cuando se igualan a cero sus primeras derivadas parciales (para localizar los puntos críticos de f ), se obtiene F X .X; Y/ H  X  Y  H 

Y F Y .X; Y/ H X Y H :

La segunda de estas ecuaciones implica que x o y deben ser cero; entonces, la primera implica que la otra debe ser ±1. Así, existen cuatro puntos críticos: (1, 0), (−1, 0), (0, 1) y (0, −1). Las derivadas parciales de segundo orden de f son ! H F X X .X; Y/ H X; " H F X Y .X; Y/ H Y; # H F YY .X; Y/ H X:

SECCIÓN 12.10

Puntos críticos de funciones de dos variables 985

0UNTO CR¤TICO

!

"

#

.; / .; / .; / .; /

   

   

   

4IPODE EXTREMO    

-ÖXIMOLOCAL -¤NIMOLOCAL 0UNTOSILLA 0UNTOSILLA

FIGURA 12.10.2 Análisis de los puntos críticos para la función del ejemplo 1.

De este modo,   36(x2 − y2 ) en cada uno de los puntos críticos. La tabla en la figura 12.10.2 resume la situación en estos, que se marcan en la gráfica de contornos de la figura 12.10.3. Cerca de los puntos (±1, 0) se ven contornos “como elipse” anidados que indican extremos locales (ver figura 12.10.4), y cerca de los puntos (0, ±1) se observan contornos “como hipérbolas” que señalan puntos silla (ver figura 12.10.5). La figura 12.10.6 muestra los puntos críticos en la gráfica de z  f (x, y).   

  

  

 

 

 Y

Y













         X

 

 

FIGURA 12.10.3 Curvas de nivel para la función del ejemplo 1.

 X



FIGURA 12.10.4 Curvas de nivel cerca del punto crítico (1, 0).

     Y      



 

 X



FIGURA 12.10.5 Curvas de nivel cerca del punto crítico (0, 1).

Z -ÖXIMOLOCAL   

X

Y 0UNTOSILLA    -¤NIMOLOCAL    

FIGURA 12.10.6 Gráfica de la función del ejemplo 1.

EJEMPLO 2

Encuentre y clasifique los puntos críticos de la función F .X; Y/ H X Y  X  Y  :

Solución Cuando se igualan a cero las derivadas parciales de primer orden, se obtienen las ecuaciones F X .X; Y/ H Y  X  H 

Y F Y .X; Y/ H X Y Y  H :

986

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Se sigue que X  H Y

Y Y.X Y  / H :

La primera de estas ecuaciones da x  ±y. Si x  y, la segunda ecuación implica que y  0 o y  1. Si x  −y, la segunda ecuación implica que y  0 o que y  −1. De este modo, hay tres puntos críticos: (0, 0), (1, 1) y (1, −1). Las derivadas parciales de segundo orden de f son ! H F X X .X; Y/ H X;

# H F YY .X; Y/ H X Y  :

" H F X Y .X; Y/ H Y;

Estas expresiones proporcionan los datos que se muestran en la tabla de la figura 12.10.7. La prueba del punto crítico falla en (0, 0), por lo que debemos encontrar otro modo de probar este punto.

FX Y XY X Y Y





   Z

0UNTO CR¤TICO

!

"

#

.; / .; / .; /

  

  

  

,APRUEBAFALLA -ÖXIMOLOCAL -¤NIMOLOCAL

Se observa que f (x, 0)  −2x3 y que f (0, y)  −3y4. Por tanto, conforme nos alejamos del origen en la: Dirección positiva de x Dirección negativa de x Dirección positiva de y Dirección negativa de y

 X

FIGURA 12.10.8 La silla de mono del ejemplo 2.

  

FIGURA 12.10.7 Análisis de los puntos críticos para la función del ejemplo 2.





4IPODE EXTREMO

f disminuye; f aumenta; f disminuye; f disminuye

En consecuencia, en el origen f no tiene un máximo ni un mínimo local. La gráfica de f se presenta en la figura 12.10.8. Si un mono se sentara en el origen y viera hacia la dirección negativa de las x, entonces las direcciones en las que f (x, y) decrecería dejarían lugar tanto para su cola como para que sus piernas colgaran. Esa es la razón por la que Z esta superficie particular recibe el nombre de silla de mono (ver figura 12.10.9) EJEMPLO 3

Encuentre y clasifique los puntos críticos de la función F .X; Y/ H  X  C  Y  X Y  C X  C Y  C :

Solución Cuando se igualan a cero las derivadas parciales de primer orden de f, se obtienen las ecuaciones F X .X; Y/ H  X  Y  C X H ;  FIGURA 12.10.9 El mono en su silla (ejemplo 2).

F Y .X; Y/ H Y  X Y C Y H ;



que no son fáciles de resolver como las correspondientes de los ejemplos 1 y 2. Pero si escribimos la ecuación (4) en la forma Y.Y  X C / H ;

se ve que y  0 o Y  H X : Si y  0, entonces la ecuación (3) se reduce a la ecuación   X 

C X H  X.X  C / H ;

cuya única solución es x  0. Así, un punto crítico de f es (0, 0). Si y H 0, se sustituye y2  4x − 2 en la ecuación (3) y se obtiene   X 

.X / C X H I

es decir,   X 

X C  H :



SECCIÓN 12.10

Puntos críticos de funciones de dos variables 987

Así, se necesita resolver la ecuación cúbica 

.X/ H X  X C  H :



La gráfica de φ(x) en la figura 12.10.10 muestra que esta ecuación tiene tres soluciones reales con valores aproximados de x ≈ −3, x ≈ 1 y x ≈ 3. Con el uso de técnicas gráficas o el método de Newton (sección 3.10) se obtienen los valores

Y 

X  :;









 X



FIGURA 12.10.10 Gráfica de φ(x)  x3 − 9x + 6 (ejemplo 3).



X  :;



X  :;



precisos con cuatro decimales. Los valores correspondientes para y están dados por la ecuación 5 por p Y H  X ;  pero el primer valor de x en (7) conduce a valores no reales para toda y. De este modo, los dos valores positivos de x en (7) agregan cuatro puntos críticos de f (x, y) al punto crítico (0, 0) ya encontrado. 0UNTO CR¤TICO X Y Z ! " # 4IPO









       -¤NIMO LOCAL

 :   :  : 0UNTO SILLA

 :   :  : 0UNTO SILLA

  :  :  : -¤NIMO LOCAL

  : :    : -¤NIMO LOCAL

FIGURA 12.10.11 Clasificación de los puntos críticos del ejemplo 3.

Estos cinco puntos críticos se listan en la tabla de la figura 12.10.11, así como los valores correspondientes de ! H F X X .X; Y/

H X  C ; 

" H F X Y .X; Y/ H Y; H ! # "

# H F YY .X; Y/H Y X C 

(redondeados a dos decimales) en cada uno de dichos puntos. Se observa que  > 0 y A > 0 en (0, 0) y en (2.5482, ±2.8874), por lo que estos puntos son mínimos locales. Pero  < 0 en (0.7057, ±0.9071), por lo que estos dos son puntos silla. El diagrama de curvas de nivel en la figura 12.10.12 muestra cómo se ajustan estos cinco puntos críticos. -¤NIMOLOCAL   -¤NIMOLOCAL  

 Z Z Z 

0UNTOSILLA   0UNTOSILLA  

Y 

 Z Z Z 

 Z 





-¤NIMOLOCAL  

 X





FIGURA 12.10.12 Curvas de nivel para la función del ejemplo 3.

988

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

Por último, se observa que el comportamiento de f (x, y) es aproximadamente de C  Y  cuando |x| o |y| es grande, por lo que la superficie z  f (x, y) debe abrirse hacia arriba y, por tanto, tiene un punto global bajo (pero no uno global alto). Al examinar los valores F .; / H  Y F .:; :/  :;

  X 

se observa que el valor mínimo global de f (x, y) es aproximadamente −3.5293.

Z

Demostración del teorema 1 Sucede que el comportamiento de la función f (x, y) cerca de su punto crítico (a, b) está determinado por el comportamiento cerca del origen (0, 0) de la forma cuadrática Q.H; K/ H ! H  C "HK C #K 



en h y k ( A, B y C se calculan como en la ecuación (1)). Si A H 0, entonces se comprueba con facilidad que  Q.H; K/ H T.! H C "K/ C K  U;  ! ya sea que se expanda el lado derecho en (10) o se complete el cuadrado en la ecuación (9). Las tres partes de la proposición siguiente corresponden a los tres casos en la conclusión del teorema 1.

PROPOSICIÓN Comportamiento de las formas cuadráticas 1. Si  > 0 y A > 0, entonces q (h, k) > 0 a menos que h y k sean las dos iguales a cero. 2. Si  > 0 y A < 0, entonces q (h, k) < 0 a menos que h y k sean las dos iguales a cero. 3. Si  < 0, entonces todo entorno de (0, 0) contiene puntos en los que q(h, k) > 0 y puntos en los que q(h, k) < 0. Las tres partes de esta proposición pueden visualizarse si se piensa en la gráfica de q como un paraboloide elíptico que se abre hacia arriba en la parte 1, como un paraboloide que se abre hacia abajo en la parte 2, y como un paraboloide hiperbólico con un punto silla en la parte 3.

AH BK n n X Y

A B

Demostración Las partes 1 y 2 de la proposición se siguen de inmediato al considerar los signos de la ecuación (10), ya que la cantidad entre los corchetes es positiva si  > 0 y h y k no son cero, en cuyo caso el signo de q (x, y) es el mismo que el signo de A. La parte 3 lleva a varios casos que dependen de los valores posibles de A, B y C. Si A  C  0 y   −B2 < 0, entonces q (h, k)  2 Bhk, por lo que la conclusión de la parte 3 se sigue de inmediato. Si B  0 y   AC < 0, entonces A y C tienen signos diferentes y Q(h, k)  Ah2 + Ck2, por lo que otra vez se sigue de inmediato la conclusión de la parte 3. Si B H 0 y A H 0, entonces los valores q (h, 0)  A h2 y q (h, −Ah/B)  k2/A tienen signos diferentes si  < 0, por lo que otra vez se llega a la conclusión de la parte X 3. El análisis de los casos restantes, en los que B H 0 y C H 0, es similar.

Ahora consideraremos el punto crítico (a, b) de la función f (x, y) del teorema 1. Dibuje un disco circular con centro en (a, b) como el de la figura 12.10.13. Como las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas, es posible hacer el radio de este disco  tan pequeño que la cantidad F X X .X; Y/ F YY .X; Y/ F X Y .X; Y/ tiene el mismo signo que la FIGURA 12.10.13 Disco circular con centro en el punto (a, b).



constante H F X X .A; B/ F YY .A; B/ F X Y .A; B/ en cada punto (x, y) del disco. Ahora consideremos la función g de variable única definida por G.T/ H F .A C TH; B C TK/ para 0

t

1. La aplicación de la fórmula de Taylor (sección 10.4) a g(t) da G./ H G./ C G ./ C  G . T /



SECCIÓN 12.10

Puntos críticos de funciones de dos variables 989

para cierto número T entre 0 y 1. Pero la regla de la cadena primero proporciona G .T/ H

@ F DY @ F DX C H H FX C K F Y ; @ X DT @ Y DT

y después @ @ DX DY .H F X C K F Y / C .H F X C K F Y / @X DT @Y DT   H H F X X C HK F X Y C K F YY ;

G .T/ H

donde las derivadas parciales indicadas de f van a evaluarse en el punto (x, y)  (a + th, b + tk). En consecuencia, g(0)  0 porque fx (a, b)  0  fy (a, b) y G . T / H ! H  C " HK C # K 



donde los coeficientes ! ; " Y # en esta forma cuadrática denotan los valores de las segundas derivadas fxx, fxy y fyy, (respectivamente) en el punto .X; Y/ H .A CTH; BCTK/ Como g(0)  f (a, b) y g(1)  f (a + h, b + k), las ecuaciones (11) y (12) implican que F .A C H; B C K/ H F .A; B/ C  .! H  C " HK C # K  /:  

Ahora, H ! # " tiene el mismo signo que   A C − B2 y si A H 0 podemos aceptar que el disco circular en la figura 12.10.13 es tan pequeño que ! tiene el mismo signo que A. Entonces, la forma cuadrática Q.H; K/ H ! H  C " HK C # K 

que aparece en la ecuación (13) presenta el mismo comportamiento que la forma cuadrática q(h, k) del la ecuación (9). Ahora se concluye el teorema 1 de la proposición sobre el comportamiento de las formas cuadráticas. Por ejemplo, si  y A son ambas positivas, entonces los valores q(h, k) y por tanto Q.H; K/ son positivos a menos que h y k sean ambos iguales a cero. Por tanto, la ecuación (13) da F .A C H; B C K/ H F .A; B/ C  Q.H; K/ > F .A; B/

en cada punto (a + h, b + k) —distinto de (a, b) mismo— del disco circular de la figura 12.10.13. Entonces, f (a, b) es un valor mínimo local en este primer caso del teorema 1. Los otros dos casos se siguen de argumentos similares.

12.10 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. El teorema 1 de esta sección se dirige a la clasificación de puntos críticos de funciones de dos o más variables independientes. 2. Sea (a, b) un punto crítico de la función f (x, y) cuyas derivadas parciales de segundo orden son continuas cerca de (a, b), y escribamos ! H F X X .A; B/;

3. 4. 5. 6.

" H F X Y .A; B/;

# H F YY .A; B

H !# " 

con el uso de la notación del teorema 1. Entonces, f (a, b) es un valor máximo local si  > 0, un valor mínimo local si  < 0. Con la hipótesis y notación de la pregunta 2, suponga que  > 0. Entonces f (a, b) es un valor máximo local si A > 0, un valor mínimo local si A < 0. Con la hipótesis y notación de la pregunta 2, suponga que  < 0. Entonces f (a, b) es un valor máximo local si A > 0, un valor mínimo local si A < 0. Con la hipótesis y notación de la pregunta 2, suponga que  H 0. Entonces f (a, b) es un valor extremo local si  < 0, un punto silla si  > 0. Con la hipótesis y notación de la pregunta 2, suponga que   0. Entonces se sigue que f (a, b) no es un valor mínimo ni máximo local.

990

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

7. Con la hipótesis y notación de la pregunta 2, suponga que A y C tienen signos diferentes. Entonces se sigue que f (a, b) no es un valor máximo local ni uno mínimo local. 8. El ejemplo 1 de esta sección ilustra los tres casos del teorema 1. 9. El ejemplo 2 de esta sección ilustra los tres casos del teorema 1. 10. El ejemplo 3 de esta sección ilustra la posibilidad de que haya un punto crítico cuyas características no queden determinadas por el teorema 1.

12.10 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Dé ejemplos sencillos de su autoría, diferentes de los que aparecen en esta sección, que ilustren las situaciones siguientes. 1. Los tres casos del teorema 1. 2. El hecho de que en un punto crítico en el que   A C − B2  0 pueda ocurrir un máximo o un mínimo, o ninguno de estos.

12.10 PROBLEMAS  F .X; Y/ H X Y X  Y 

Encuentre y clasifique los puntos críticos de las funciones en los problemas 1 a 22. Si dispone de un sistema algebraico por computadora, compruebe los resultados por medio de hacer gráficas de contornos como las que se aprecian en las figuras 12.10.14 a 12.10.17.  F .X; Y/ H X  C Y  C X Y C   F .X; Y/ H  C X Y X  Y   F .X; Y/ H X  Y  C X Y C   F .X; Y/ H X Y C X Y C   F .X; Y/ H X  C X Y C Y  C X Y C   F .X; Y/ H X  C X Y C Y  C X Y C   F .X; Y/ H X  C Y  C X Y C  FIGURA   F .X; Y/ H X  X Y C Y  Y  F .X; Y/ H X X  Y   F .X; Y/ H X Y X  Y   F .X; Y/ H X  C Y  X Y  F .X; Y/ H X  C X Y C Y   F .X; Y/ H X  C X Y C Y  X FIGURA  F .X; Y/ H X  C X Y C Y  C X  F .X; Y/ H X  C X Y C Y  C X Y  F .X; Y/ H X  C X Y C Y  X C Y  F .X; Y/ H X Y X  Y  FIGURA

X

FIGURA 12.10.14 Gráfica de contornos para el problema 7.

 F .X; Y/ H X  C Y  X  X Y

X

FIGURA 12.10.15 Gráfica de contornos para el problema 13.

FIGURA

 F .X; Y/ H X Y EXP.X  Y  /  F .X; Y/ H .X  C Y  / EXP.X  Y  /

En los problemas 23 a 25, primero demuestre que   fxx fyy − ( fxy)2 vale cero en el origen. Después clasifique este punto crítico por medio de visualizar la superficie z  f (x, y).  F .X; Y/ H X  C Y   F .X; Y/ H X  C Y   F .X; Y/ H EXP.X  Y  /

26. f (s, t) denota el cuadrado de la distancia entre un punto común de la recta x  t, y  t + 1, z  2t y un punto común de la recta x  2s, y  s − 1, z  s + 1. Demuestre que el punto crítico único de f es un mínimo local. Luego encuentre los puntos más cercanos sobre estas dos rectas dobladas. 27. f (x, y) denota el cuadrado de la distancia de (0, 0, 2) a un punto común de la superficie z  x y. Encuentre y clasifique los puntos críticos de f.

Y

Y

Y

 F .X; Y/ H X  X  C Y  X C 

Y

X

FIGURA 12.10.16 Gráfica de contornos para el problema 17.

X

FIGURA 12.10.17 Gráfica de contornos para el problema 20.

SECCIÓN 12.10

28. Demuestre que la superficie 







Z H .X C Y / EXP. X Y /

tiene dos picos de montaña unidos por dos cordilleras con un foso entre ellos. 29. Un alambre de 120 cm de largo se corta en tres trozos de longitudes x, y y 120 − x − y, y cada pieza se dobla para darle forma de un cuadrado. Sea que f (x, y) denote la suma de las áreas de dichos cuadrados. Demuestre que el único punto crítico de f es un mínimo local. Pero es seguro que es posible maximizar la suma de las áreas. Explique su respuesta. 30. Demuestre que la gráfica de la función  TX  

F .X; Y/ H X Y EXP

33. Repita el problema 32 con f (x, y)  4xy(x 2 − y 2). Demuestre que cerca del punto crítico (0, 0) la superficie z  f (x, y) califica como una “silla de perro” para un can que tenga una cola muy corta (ver figura 12.10.19). Z

X

C Y  U

tienen un punto silla pero no valores extremos locales. 31. Encuentre y clasifique los puntos críticos de la función X Y F .X; Y/ H SEN SEN :   32. Sea f (x, y)  x 3 − 3x y 2. a) Demuestre que su único punto crítico es (0, 0) y que   0 ahí. b) Con el análisis del comportamiento de x 3 − 3x y 2 sobre líneas rectas que pasen por el origen, demuestre que la superficie z  x 3 − 3x y 2 califica como una silla de mono (ver figura 12.10.18).

Puntos críticos de funciones de dos variables 991

Y

FIGURA 12.10.19 Silla de perro del problema 33.

34. Sea F .X; Y/ H

X Y.X  Y  / : X  C Y

Clasifique el comportamiento de f cerca del punto crítico (0, 0). En los problemas 35 a 39, utilice un programa de álgebra por computadora (como se ilustró en el material del proyecto para esta sección) para aproximar en forma numérica y clasificar puntos de la función dada.

Z

 F .X; Y/ H X  X  C Y  C X Y

X

 F .X; Y/ H X  C X  Y  X  F .X; Y/ H X  C X Y C Y  C X C   F .X; Y/ H X  C X Y Y  X C 

FIGURA 12.10.18 La silla de mono del problema 32.

 F .X; Y/ H X  C Y  X Y  Y 

12.10 INVESTIGACIÓN: exploraciones de los puntos críticos En el material para el proyecto manual, la función F .X; Y/ H  EXP X   X Y  Y  SEN X SEN Y



se utiliza para ilustrar técnicas de sistemas de álgebra por computadora para localizar y clasificar puntos críticos de funciones de dos variables, como sigue: • Primero, la gráfica de una superficie muestra el “panorama” que queremos investigar en detalle. En la figura 12.10.20 se observan dos picos y dos fosos, así como lo que en apariencia es un punto silla. • A continuación, una gráfica de contornos como la de la figura 12.10.21 revela la ubicación aproximada de cada uno de dichos puntos críticos. • Después se plantean las ecuaciones fx (x, y)  0 y fy (x, y)  0; se usa el comando solve de álgebra por computadora para aproximar los puntos críticos con exactitud —con la ubicación aproximada que se tiene de cada uno se hace un intento inicial para iniciar el cálculo.

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

   Z 





 Y 





  X





 Y





FIGURA 12.10.20 Gráfica de la función en la ecuación (1).



 X





FIGURA 12.10.21 Gráfica de contorno para la función en la ecuación (1).

• Por último, se calcula la información sobre las derivadas parciales de segundo orden que se necesita para aplicar el teorema 1 y clasificar cada punto crítico. Una gráfica de contornos en un entorno pequeño de un punto crítico (como las de las figuras 12.10.3 a 12.10.5) brinda una comprobación visual satisfactoria de nuestros resultados. Es posible seguir esta agenda para investigar una función tal como F .X; Y/ H .AX  C BX Y C CY  / EXP.X  Y  /



donde a, b y c son enteros seleccionados, o la función más exótica F .X; Y/ H  X  C Y  

X  EXP.X  Y  / C EXP..X / Y  / P 



donde p es un entero positivo pequeño. Con el signo positivo en la ecuación (3) es posible que vea media docena de puntos críticos, pero con el signo menos es de esperarse que vea más (como en la figura 12.10.22, en la que p  5 y parece haber cierta “acción” cerca del origen, además de los pares de fosos, picos y pasos más evidentes).



Z

992







  Y





 X

FIGURA 12.10.22 Gráfica de la función en la ecuación (3), con p  5 y el signo menos.

Capítulo 12

Repaso

993

CAPÍTULO 12: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y resultados Consulte las páginas de la lista para repasar los conceptos, definiciones y resultados de este capítulo que necesite usted entender. Sección Páginas 12.2 Funciones de dos o tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900 Variables dependientes e independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 Gráficas y curvas de nivel; curvas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902-903 12.3 Definición de límite de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 Continuidad y leyes de los límites para funciones de dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . 912-913 12.4 Derivación parcial y notación de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919-920 Derivadas parciales como tasas de cambio instantáneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921 Interpretación geométrica de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922-923 El plano tangente a la superficie z  f (x, y) —definición y ecuación . . . . . . . . . . . . . . 924 El vector normal n  Dx f, Dy f, −1 a la superficie z  f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925 Derivadas parciales de funciones de tres variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925 Derivadas parciales de orden superior y su notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926 12.5 Valores máximos y mínimos absolutos (o globales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 Existencia de valores extremos absolutos para funciones continuas sobre un disco . . . 931 Valores máximo y mínimo locales en un punto de definición interior. . . . . . . . . . . . . . 932 Condiciones necesarias fx  fy  0 para un extremo local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933 Puntos críticos y tipos de extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 Método para encontrar valores extremos absolutos de una función sobre una región . . 934 Puntos más alto y más bajo sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 Problemas de aplicación de máximos y mínimos para funciones de dos variables . . . . 937 Valores extremos de funciones de tres o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 12.6 El incremento  f  f (x + x, y + y) − f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943 La diferencial d f  fx (x, y)x + fy (x, y)y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943 La aproximación lineal f ≈ d f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 Incrementos y diferenciales para funciones de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945 El vector gradiente ∇ f  D1 f, D2 f, . . . , Dn f  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946 Aproximación lineal y diferenciabilidad para funciones de varias variables. . . . . . . . . 947 El hecho de que la diferenciabilidad continua implica diferenciabilidad . . . . . . . . . . . 948 12.7 Composiciones y variables dependientes, intermedias e independientes. . . . . . . . . . . . 952 @H @H @ X @H @ Y @H @Z . . 953 El prototipo de la fórmula de la regla de la cadena H C C @U @ X @U @ Y @U @Z @U La regla de la cadena general para funciones de variables múltiples. . . . . . . . . . . . . . . 953 Teorema de la función implícita: resolución de F(x, y, z)  0 para z  g (x, y). . . . . . . 955 Forma matricial de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 12.8 Definición de derivada direccional Du f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 La derivada direccional como tasa de cambio instantánea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963 Cálculo de derivadas direccionales: Du f (x)  ∇ f (x) · u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Regla de la cadena para el vector gradiente Dt [ f (r(t))]  ∇ f (r(t)) · r(t) y la DH DS DH DS H , donde t denota al tiempo y G H la velocidad. . . . . . . . . . 965 fórmula DT DS DT DT Significado geométrico del vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 El vector gradiente n  ∇F(x, y, z) como vector normal a ∇ F(x, y, z)  0. . . . . . . . . . 968 12.9 Multiplicadores de Lagrange y la condición ∇ f  λ∇ f para un valor extremo de f (x, y) sujeto a la restricción g (x, y)  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974 Multiplicadores de Lagrange para una función de tres variables y una restricción . . . . 976-977 El método de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones . . . . . . . . . . . . . . 979-980 12.10 El discriminante   fx x fy y − f 2x y y la prueba de la segunda derivada con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 Puntos silla para funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984

994

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

CAPÍTULO 12: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Resuelva los problemas listados en cada sección para practicar los métodos y técnicas en este capítulo que necesita para lograr su dominio. Sección Problemas 12.2 Encontrar dominios de definición de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 13, 15 Describir gráficas de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 29 Dibujar curvas de nivel de funciones de dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 37 Describir superficies de nivel de funciones de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Hacer coincidir funciones de dos variables y sus gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 55, 57 12.3 Aplicar las leyes de los límites para evaluar límites de funciones de varias variables. . 3, 7, 11, 13, 25, 29 Uso de coordenadas esféricas y polares para evaluar límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39, 41 12.4 Cálculo de derivadas parciales de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 13, 17, 19 Cálculo de derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 27 Encontrar planos tangentes a una superficie z  f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 39 Comprobar las soluciones sugeridas de ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . 55, 56, 57, 58 Uso de derivadas parciales para calcular la tasa de ascenso sobre una colina . . . . . . . . 71 12.5 Encontrar puntos sobre una superficie donde el plano tangente es horizontal. . . . . . . . 5, 11 Encontrar los puntos altos y bajos de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 21 Encontrar los valores extremos de una función sobre una región plana dada . . . . . . . . 23, 27 Resolver problemas de aplicación de máximos y mínimos con variables múltiples . . . 29, 39, 41, 45, 47, 57 12.6 Cálculo de diferenciales de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9 Uso de diferenciales para aproximar valores de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 23, 25, 29 Uso de diferenciales para estimar errores máximos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 35, 39, 41 12.7 Aplicación de la regla de la cadena para calcular derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . 3, 7, 9, 13, 15, 23, 25 Encontrar planos tangentes a superficies definidas en forma implícita . . . . . . . . . . . . . 29 Uso de la regla de la cadena para resolver problemas de tasa de cambio . . . . . . . . . . . 33, 35 12.8 Cálculo de vectores gradiente de funciones de variables múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9 Cálculo de derivadas direccionales de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . 11, 17 Encontrar la derivada direccional máxima en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 25 Uso del vector gradiente para encontrar rectas y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33 Uso de derivadas direccionales para resolver problemas de tasa de cambio . . . . . . . . . 45, 47, 49, 61 12.9 Uso de multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de máx-mín restringidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 9, 15 Uso de multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización . . . . . . 23, 31, 33, 39, 41 12.10 Encontrar y clasificar los puntos críticos de una función f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 5, 7, 11, 15, 19, 28

PROBLEMAS DIVERSOS 1. Use coordenadas polares para demostrar que L¤M

.X;Y/!.;/

X  Y H : X  C Y

2. Utilice coordenadas esféricas para demostrar que L¤M

.X;Y;Z/!.;;/

X  C Y Z H : X  C Y C Z

3. Suponga que G.X; Y/ H

XY X  C Y

si (x, y) (0, 0); definimos g(0, 0) como cero. Demuestre que g no es continua en (0, 0). 4. Calcule gx(0, 0) y gy(0, 0) para la función g del problema 3.

5. Encuentre una función f (x, y) tal que F X .X; Y/ H X Y  C E X SEN Y Y

F Y .X; Y/ H X  Y  C E X COS Y C :

6. Pruebe que no hay una función f con derivadas parciales de segundo orden continuas tales que fx (x, y)  6 x y 2 y fy (x, y)  8x 2y. 7. Encuentre el punto o puntos del paraboloide z  x 2 + y 2 en los que la recta normal pasa a través del punto (0, 0, 1). 8. Escriba una ecuación del plano tangente a la superficie SEN X Y C SEN YZ C SEN X Z H  en el punto (1, π/2, 0). 9. Pruebe que toda recta normal al cono con ecuación Z H X  C Y  interseca el eje z.

Capítulo 12

10. Demuestre que la función 

 X EXP KT  KT satisface la ecuación del calor unidimensional U.X; T/ H p

@ U @U H K : @T @X  X CY EXP  KT KT satisface la ecuación del calor bidimensional



U.X; Y; T/ H

14.

15.

16.

17.

H.X/

F .T/ DT: G.X/



13.

995

21. Encuentre todos los puntos sobre la superficie del elipsoide x 2 + 4y 2 + 9z 2  16 en los que la recta normal al punto pasa por el centro (0, 0, 0) del elipsoide. 22. Suponga que &.X/ H

11. Demuestre que la función

12.

Problemas diversos

@U @ U @ U C  : HK  @T @X @Y p Suponga que F .X; Y; Z/ H  X YZ a) Demuestre que las derivadas parciales fx, fy y fz existen todas en el origen. b) Demuestre que la derivada direccional Du f (0, 0, 0) existe si y sólo si el vector unitario u es una combinación lineal de dos de los vectores unitarios estándar i, j y k. Defina las derivadas parciales rx y ry de la función de la función valuada en vectores r(x, y)  i x + j y + k f (x, y) por derivación parcial de las componentes. Después demuestre que el vector rx × ry es normal a la superficie z  f (x, y). Una caja rectangular abierta por arriba ha de tener una superficie total de 300 cm2. Encuentre las dimensiones que maximicen su volumen. Construya un cajón rectangular para envíos con volumen de 60 ft3. Sus lados cuestan $1/ft2, su parte superior $2/ft2 y la inferior $3/ft2. ¿Qué dimensiones minimizarían el costo total de la caja? Una pirámide está acotada por los tres planos coordenados y por el plano tangente a la superficie x y z  1 en un punto en el primer octante. Encuentre el volumen de esta pirámide (si es independiente del punto de tangencia). Dos resistores tienen resistencias R1 y R2, respectivamente. Cuando se conectan en paralelo la resistencia total R del circuito resultante satisface la ecuación    H C : 2 2 2

Suponga que R1 y R2 se miden y son 300  y 600  (ohms) respectivamente, con un error máximo de 1% en cada medición. Utilice diferenciales para estimar el error máximo (en ohms) del valor calculado de R. 18. Considere un gas que satisface la ecuación de van der Waals (vea el problema 67 de la sección 12.4). Utilice diferenciales para estimar el cambio en su volumen si p aumenta de 1 atm a 1.1 atm y T disminuye de 313 K a 303 K. 19. Cada uno de los semiejes a, b y c de un elipsoide con volumen 6 H  ABC se mide con un error porcentual máximo de 1%. Use diferenciales para estimar el error porcentual máximo en el valor calculado de V. 20. Dos esferas tienen radios de a y b, y la distancia entre sus centros es c < a + b. Entonces, las esferas se encuentran en un círculo común. Sea P un punto sobre este círculo, y P1 y P2 los planos tangentes en P a las dos esferas. Encuentre el ángulo entre P1 y P2 en términos de a, b y c. [Sugerencia: recuerde que el ángulo entre dos planos es, por definición, el ángulo entre sus vectores normales].

Demuestre que & .X/ H F .H.X//H .X/ F .G.X//G .X/; G

[Sugerencia: escriba H H U F .T/ DT donde u  g(x) y v  h(x)]. 23. Suponga que a, b y c son vectores unitarios mutuamente perpendiculares en el espacio, y que f es una función de las tres variables independientes x, y y z. Demuestre que r F H A.$A F / C B.$ B F / C C.$C F / : 24. Sean R  cos θ, sen θ, 0 y Θ  −sen θ, cos θ, 0 los vectores unitarios en coordenadas polares. Dada f (x, y, z)  w(r, θ, z), demuestre que @H  @H $2 F H Y $1 F H : @R R @ Después saque la conclusión del problema 23 de que el vector gradiente está dado en coordenadas cilíndricas por medio de @H @H  @H rF H 1 C 2C K: @R R @ @Z 25. Suponga que usted está en el punto con coordenadas (−100, −100, 430) sobre una colina que tiene la forma de la gráfica de Z H  .:/X  .:/Y 

(en metros). ¿En qué dirección (horizontal) debe moverse a fin de conservar constante la altitud —es decir, para no subir ni bajar de la colina? 26. Suponga que la concentración de la sangre en el océano en el punto (x, y) está dado por F .X; Y/ H ! EXP.KTX  C Y  U/;

donde A y k son constantes positivas. Un tiburón siempre nada en dirección de ∇f. Demuestre que su trayectoria es una parábola y  cx 2. [Sugerencia: demuestre que la condición de que d x/d t, d y/d t es múltiplo de ∇f implica que  DY  DX H : X DT Y DT Después saque la antiderivada de esta ecuación.] 27. Considere un plano tangente a la superficie con ecuación x 2/3 + y 2/3 + z 2/3  1. Encuentre la suma de los cuadrados de las intersecciones x-, y- y z- de este plano. 28. Encuentre los puntos sobre la elipse x 2/a 2 + y 2/b 2  1 (con a b), donde la recta normal pasa por el origen. 29. Sea X  Y F .X; Y/ H  X C Y si (x, y) (0, 0) y se define f (0, 0) como 0. Primero demuestre que f es derivable en el origen. Después clasifique el origen como un punto crítico de f.

996

CAPÍTULO 12

Diferenciación parcial

30. Encuentre el punto de la superficie z  x y + 1 que esté más cerca del origen. 31. Use el método del problema 38 en la sección 12.9 para encontrar los semiejes de la elipse rotada X  C X Y C Y  H :

32. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para demostrar que la cuerda más larga de la esfera x 2 + y 2 + z 2  1 tiene longitud de 2. [Sugerencia: no se pierde generalidad si se supone que (1, 0, 0) es un punto extremo de la cuerda.] 33. Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange, la ley de los cosenos y la figura 12.9.9 para encontrar el triángulo de perímetro mínimo inscrito en la circunferencia unitaria. 34. Cuando una corriente I pasa por dos resistores, cuyas resistencias son R1 y R2, conectados en paralelo, se divide en dos corrientes I1 e I2 (con I  I1 + I2) en tal forma que se minimiza la pérdida total de energía 2 ) C 2 )  Exprese I1 e I2 en términos de R1, R2 e I. Después obtenga la fórmula en el problema 17. 35. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos de la elipse x 2 + 2y 2  1 que están más cerca y más lejos de la recta x + y  2. [Sugerencia: haga que f (x, y, u, v) denoten el cuadrado de la distancia entre el punto (x, y) de la elipse y el punto (u, v) de la recta.] 36. a) Demuestre que el máximo de F .X; Y; Z/ H X C Y C Z p en los puntos de la esfera X  C Y  C Z  H A  ES A   b) Concluya del resultado del inciso (a) que .X C Y C Z/

F .X; Y/ H X  C X Y C Y  X C  F .X; Y/ H X  X Y C Y  F .X; Y/ H X  Y C X Y  C X C Y F .X; Y/ H X  Y  . X Y/ F .X; Y/ H X  X  C Y  C Y C  F .X; Y/ H E X Y X Y F .X; Y/ H X  Y  C X  C Y  F .X; Y/ H .X Y/.X Y / F .X; Y/ H .X  C Y  / EXP.X  Y  /

51. Dados los puntos de los datos (xi, yi) para i  1, 2, . . . , n, la recta de mínimos cuadrados y  m x + b es aquella que se ajusta mejor a estos datos en el sentido siguiente. Sea di  yi − (m xi + b) la desviación del valor predicho m xi + b respecto al valor verdadero yi. Sea N

F .M; B/ H D C D C


C DN H

TYI .MXI C B/U IH

la suma de los cuadrados de las desviaciones. La recta de mínimos cuadrados es aquella que minimiza esta suma (ver figura 12.PD.1). Muestre como escoger m y b para minimizar f. [Nota: las únicas variables en este cálculo son m y b]. Y 0IXI YI

1N

DI

.X  C Y  C Z  /

para cualesquiera tres números x, y y z. 37. Generalice el método del problema 36 para demostrar que, para cualesquiera n números reales arbitrarios, x1, x2, . . . , y xn, X C X C


C XN N

        

0NXN YN

0X Y

1IXI MXI B

1

Y MX B 1 0X Y

X C X C


C XN : N

Así, la media aritmética de los números reales x1, x2, . . . , y xn no es mayor que su media cuadrática. 38. Encuentre los valores máximo y mínimo de f (x, y)  x y − x − y en puntos sobre y dentro del triángulo plano con vértices (0, 0), (0, 1) y (3, 0). 39. Encuentre los valores máximo y mínimo de f (x, y, z)  x 2 − yz en puntos de la esfera x 2 + y 2 + z 2  1. 40. Encuentre los valores máximo y mínimo de f (x, y)  x 2 y 2 en puntos de la elipse x 2 + 4y 2  24. Localice y clasifique los puntos críticos (máximos locales, mínimos locales, puntos silla y de otra clase, en los que el plano tangente es horizontal) de las funciones que se ofrecen en los problemas 41 a 50. 41. f (x, y)  x3y − 3xy + y2

X

FIGURA 12.PD.1 Ajuste de la mejor recta a los puntos de los datos (xi, yi), 1 i n (problema 51).

52. Sea f : R2n → R definida para (x, y) en R2n por N

F .X; Y/ H X4 Y H

XI YI : IH

Utilice los multiplicadores de Lagrange para demostrar que el valor máximo de f (x, y) sujeto a las restricciones |x|  1 y |y|  1 es igual a 1. Dados dos vectores cualesquiera a y b en R2, escriba x  a/|a| y y  b/|b| para concluir que A4 B

jAj jBj

(la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Integrales múltiples

L

os problemas geométricos relacionados con la medida —los que tratan con conceptos de longitud, área y volumen— se remontan a hace 40 siglos, al surgimiento de las civilizaciones en los valles fértiles de África y Asia, cuando se volvieron importantes asuntos como las superficies de los campos y los volúmenes de los granos. Esos probleHenri Lebesgue (1875-1941) mas condujeron en última instancia a la integral, que se utiliza para calcular (entre otras cosas) áreas y volúmenes de figuras curvilíneas. Pero sólo a principios del siglo veinte se resolvieron finalmente ciertas dificultades con la medida y la integración que habían durado mucho tiempo, sobre todo gracias al trabajo del matemático francés Henri Lebesgue. En su tesis que presentó en 1902 en la Sorbona, en París, Lebesgue investigó una definición nueva de la integral, que generalizaba la definición de Riemann. En esencia, para definir la integral de la función f de x = a a x = b, Lebesgue reemplazó la subdivisión de Riemann del intervalo [a, b] en subintervalos que no se traslapaban con una partición de [a, b] en conjuntos mensurables disjuntos F .XI / X, quedó reempla{Ei}. La suma de Riemann, zada así con una suma de la forma F .XI / M I donde mi es la medida del i-ésimo conjunto Ei y XI es un número en Ei. Para ver la ventaja de la “integral de Lebesgue”, considere el hecho de que existen funciones derivables cuyas derivadas no son integrables en el sentido de Riemann. Para una función de ese tipo no se cumple el teorema fundamental del cálculo en la forma B

F .X/ D X D F .B/ F .A/

13 Pero con esta definición nueva de la integral, Lebesgue demostró que una función derivada f  es integrable y que se cumple el teorema fundamental. De manera similar, la igualdad de las integrales dobles e iteradas (sección 13.1) se cumple únicamente con restricciones drásticas si se usa la definición de Riemann de las integrales múltiples, pero la de Lebesgue resuelve la dificultad. Por tales razones, la teoría de Lebesgue de la medida y la integración predomina en la investigación matemática moderna, tanto pura como aplicada. Por ejemplo, la integral de Lebesgue es básica para campos tan diversos como la probabilidad aplicada y la biología matemática, la teoría cuántica de átomos y núcleos y la teoría de la información y procesamiento de señales eléctricas en la tecnología moderna de la computación. La investigación en la sección 13.5 ilustra la aplicación de integrales múltiples a problemas concretos como el diseño óptimo de llantas de autos de carrera.

Podrían usarse integrales múltiples para determinar el mejor diseño de las ruedas de estos carros de juguete.

A

997

CAPÍTULO 13

998

Integrales múltiples

13.1 INTEGRALES DOBLES Z

ZF X Y Y

Este capítulo está dedicado a las integrales de funciones de dos o tres variables, las cuales se denominan integrales múltiples. Las aplicaciones de las integrales múltiples incluyen el cálculo de áreas, volúmenes, masas y superficies, en una gran variedad de situaciones que se pueden manejar con la integral simple de los capítulos 5 y 6. La clase más sencilla de integral múltiple es la integral doble F .X; Y/ D!

D

2

C

de una función continua f (x, y) sobre el rectángulo 2 H TA; BU  TC; DU H f.X; Y/ j A X

A 2

B; C

Y

Dg

en el plano xy (veremos que dA representa aquí un elemento diferencial de área A). Así como la definición de la integral sencilla surge del problema de calcular áreas, la definición de la integral doble está motivada por el problema del cálculo del volumen V de un sólido como el que se ilustra en la figura 13.1.1 —limitado por la gráfica z = f (x, y) de la función no negativa f sobre el rectángulo R en el plano. Para definir el valor

B X

FIGURA 13.1.1 Se usará una integral doble para calcular el volumen V.

F .X; Y/ D!

6 H 2

2I

Y

de dicha integral doble se comienza con una aproximación de V. El primer paso para obtener esta aproximación es construir una partición P de R en los subrectángulos R1, R2, . . . , Rk determinados por los puntos A H X < X < X <


< XM H B

D

C

2 XI( YI(

A

B X

FIGURA 13.1.2 Una partición P del rectángulo R.

DE TA; BU Y C H Y < Y < Y <


< YN H D

de [c, d ]. En la figura 13.1.2 se ilustra dicha partición de R en k = m n rectángulos. El orden en el que se etiqueten éstos no tiene importancia. A continuación se elige un punto arbitrario ( XI , YI ) del i-ésimo rectángulo Ri I Kg se para cada i (donde 1 i k). La colección de puntos 3 H f.XI ; YI / j  I K g Como una medición denomina una selección de la partición P H f 2 I j  del tamaño de los rectángulos de la partición P, se define su norma |P| como el valor máximo de las longitudes de las diagonales de los rectángulos {Ri}. Ahora, considere una columna rectangular que suba en forma recta desde el plano xy. Su base es el rectángulo Ri, y su altura es el valor f (XI , YI ) de f en el punto seleccionado (XI , YI ) de Ri. En la figura 13.1.3 se muestra una de dichas columnas. Si Ai denota el área de Ri, entonces el volumen de la i-ésima columna es f (XI , YI )Ai. La suma de los volúmenes de todas esas columnas (ver figura 13.1.4) es la suma de Riemann K

F .XI ; YI

!I;



IH

que es una aproximación al volumen V de la región sólida que se encuentra sobre el rectángulo R y bajo la gráfica z = f (x, y). Se esperaría determinar el volumen exacto V por medio de obtener el límite de la suma de Riemann en la ecuación (1) cuando la norma |P| de la partición P tiende a cero. Por tanto, definimos la integral doble de la función f sobre el rectángulo R como K

F .X; Y/ D! H L¤M 2

jP j!

F .XI ; YI

!I



IH

si se demuestra que este límite existe (en la sección 13.2 se explicará con más precisión el concepto de la existencia de este límite). Con técnicas de cálculo avanzadas se ha demostrado que el límite en la ecuación (2) existe si f es continua sobre R. Para motivar la

SECCIÓN 13.1 Z

Integrales dobles

999

Z ZFX Y

FXI YI

Y

Y

2

2

X

X

FIGURA 13.1.3 Aproximación del volumen bajo la superficie por medio de sumar los volúmenes de las columnas con bases rectangulares.

FIGURA 13.1.4 Columnas correspondientes a una partición del rectángulo R.

introducción de la suma de Riemann en la ecuación (1), se supone que f era no negativa en R, pero la ecuación (2) sirve para definir la integral doble sobre un rectángulo sea que f es no negativa o esté en el caso contrario. Y

EJEMPLO 1

Aproximar el valor de la integral .X  C X Y  / D!







 

 

2

2





2

2

2

2

 



 

FIGURA 13.1.5 La partición en el ejemplo 1.

2

X

sobre el rectángulo R = [1, 3] × [−2, 1], calculando la suma de Riemann en (1) para la partición que se ilustra en la figura 13.1.5, con el i-ésimo punto ( XI , YI ) seleccionado como el centro del i-ésimo rectángulo Ri (para cada i, 1 i 6).

Solución Cada uno de los seis rectángulos de la partición que se muestran en la figura 13.1.5 es un cuadrado unitario con área  Ai = 1. Por tanto, con f (x, y) = 4x 3 + 6xy 2, la suma de Riemann deseada es 

F .XI ; YI

! I H F .X ; Y

IH

!  C F .X ; Y

C F .X ; Y

!  C F .X ; Y

 ;  

 ;  

./ C F

 ;  

  ;  

./ C F

  ;  

./

 


C

H F

C F H

!  C F .X ; Y

 

./ C F

 ;  


C

 

./ C F
C

 


C

 

!

!  C F .X ; Y


C

!

./

 


 H :

!S¤ SEENCUENTRAQUE .X  C X Y  / D!  ; 2

pero nuestro cálculo no ofrece información acerca de la exactitud de esta aproximación. Z Los métodos de aproximación con una sola variable que se vieron en la sección 5.9 tienen analogías con las integrales dobles. En el ejemplo 1 calculamos la aproximación del punto medio para la integral doble.

OBSERVACIÓN 1

F .X; Y/ D! 2

CAPÍTULO 13

1000

Integrales múltiples

.¢MERO DE !PROXIMACI˜N SUBRECTÖNGULOS DELPUNTOMEDIO      

     

con el uso de una partición del rectángulo R en seis subrectángulos. La suma de Riemann que calculamos es la de los volúmenes de seis columnas o bloques rectangulares. Cada una de estas columnas tiene una base que consiste en uno de los subrectángulos en la figura 13.1.5 y una altura igual al valor de f ( XI , YI ) de la función en el punto medio de ese rectángulo. OBSERVACIÓN 2 Si se subdivide cada rectángulo de la figura 13.1.5 en cuatro rectángulos más pequeños e iguales entre sí, se obtiene una partición de R en 24 subrectángulos, y la suma de Riemann correspondiente es la del volumen de 24 columnas regulares con bases en esos subrectángulos. Suponga que se continúa de esta forma y en cada etapa se cuadriplica el número de subrectángulos (y de columnas rectangulares) y se utiliza una computadora para calcular en cada vez la suma de Riemann definida con la selección del centro de cada subrectángulo para calcular la altura de la columna rectangular correspondiente. Por lo tanto, se obtienen las aproximaciones de punto medio que se listan en la figura 13.1.6 para el volumen real V que se encuentra sobre el rectángulo R y bajo la superficie z = f (x, y) (ver figura 13.1.8). La figura 13.1.7 muestra las “aproximaciones con bloques rectangulares” a V que corresponden a particiones de R en 24, 96 y 384 subrectángulos. En el ejemplo 2 se verá (con mucha más facilidad) que el valor exacto de V está dado por

FIGURA 13.1.6 Aproximaciones del punto medio a la integral del ejemplo 1.

.X  C X Y  / D! H :

6 H 2

Z

Z

Z

Y 





 X





 







Y



 

 X

 

a) 24 bloques, V ≈ 307.50

Y

X

 

b) 96 bloques, V ≈ 310.88

 

c) 384 bloques, V ≈ 311.72

FIGURA 13.1.7 Aproximaciones con la suma del punto medio al volumen V bajo la superficie z = 4x

3

+ 6xy 2 con 24, 96 y 384 subrectángulos.

Integrales iteradas La evaluación directa del límite en la ecuación (2) por lo general es menos práctica que la evaluación directa del límite que se usó en la sección 5.4 para definir la integral con una sola variable. En la práctica, se deben calcular integrales dobles sobre rectángulos por medio de las integrales iteradas que aparecen en el teorema 1.

Z



 

  X

TEOREMA 1 Integrales dobles como integrales simples iteradas Suponga que f (x, y) es continua en el rectángulo R = [a, b] × [c, d ]. Por lo tanto,

Y



FIGURA 13.1.8 Superficie z = 4x 3 + 6xy 2 sobre el rectángulo R.

B

D

F .X; Y/ D! H 2

D

B

F .X; Y/ DY D X H A

C

F .X; Y/ D X DY: C



A

El teorema 1 dice la forma de calcular una integral doble por medio de dos integraciones sucesivas (o iteradas) con una sola variable, cada una de las cuales se calcula con el empleo del teorema fundamental del cálculo (si la función f tiene un comportamiento suficientemente bueno en R).

SECCIÓN 13.1

Integrales dobles 1001

Explicamos lo que significan los paréntesis en la integral iterada B

D

B

D

F .X; Y/ D Y D X H A

F .X; Y/ DY D X:

C

A



C

En primer lugar, mantenemos a x constante e integramos respecto de y, de y = c a y = d. El resultado de esta primera integración es la integral parcial de f respecto de y, que se denota D

F .X; Y/ DY; C

y únicamente es función de x. Después se integra esta última función respecto de x, de x = a a x = b. De manera similar, se calcula la integral iterada D

B

D

B

F .X; Y/ D X D Y H C

Y

Y X

Y 

FIGURA 13.1.9 Límites interiores de la primera integral iterada (ejemplo 2).

F .X; Y/ D X DY

A

C



A

primero integrando de a a b respecto de x (mientras se mantiene fija a y) y después integrando del resultado de c a d respecto de y. El orden de la integración (sea que se haga primero respecto de x y después respecto de y, o viceversa) está determinado por el orden en que aparecen las diferenciales dx y dy en las integrales iteradas en las ecuaciones (4) y (5). Casi siempre se trabaja “de adentro hacia fuera”. El teorema 1 garantiza que el valor obtenido es independiente del orden de integración siempre que se demuestre que f es continua sobre R. EJEMPLO 2 Calcule las integrales iteradas en las ecuaciones (4) y (5) para la función f (x, y) = 4x 3 + 6xy 2 sobre el rectángulo R = [1, 3] × [−2, 1].

Solución En la figura 13.1.9 se muestra el rectángulo R, donde el segmento vertical (sobre el que x es constante) corresponde a la integral interior en la ecuación (4). Sus puntos extremos quedan en las ordenadas y = −2 y y = 1 que, por tanto, son los límites de la integral interior. Así, la ecuación (4) proporciona 







.X  C X Y  / DY D X H



X  Y C X Y 

 

H

 YH

DX

T.X  C X/ .X  X/U D X

 

H

.X  C X/ D X



H X  C X 



H :

El segmento horizontal (sobre el que y es constante) en la figura 13.1.10 corresponde a la integral interior en la ecuación (5). Sus puntos extremos quedan en x = 1 y en x = 3 (los límites de integración para x), por lo que la ecuación (5) es

Y



X





.X  C X Y  / D X DY H



  

H X



 

X

H FIGURA 13.1.10 Límites interiores de la segunda integral iterada (ejemplo 2).

X  C X  Y 

 XH

DY

T. C Y  / . C Y  /U DY . C Y  / DY



H Y C Y 

 

H :

Z

Cuando observamos que las integrales dobles casi siempre se evalúan de adentro hacia fuera resulta evidente que los paréntesis que aparecen en los lados derechos de las ecuaciones (4) y (5) son innecesarios, por lo que en general se omiten, como en los

1002

CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

ejemplos 3 y 4. Cuando en el integrando aparecen dy dx, primero se integra respecto de y, mientras que la aparición de dx dy nos dice que hay que integrar primero respecto de x.

Y

Ver figura 13.1.11.

EJEMPLO 3 Y



P 

=



COS X COS Y DY D X H 

=

COS X SEN Y



YH



DX



X

XP Y

COS X D X H SEN X

H

X



 

Y

=



.E Y C SEN X/ D X D Y H



H :

Z



P 



 Y E C Y 

H

DY

 Y E C  DY 

Y

Y

XH

 

X

=

XE Y COS X

H

X



Ver figura 13.1.12

EJEMPLO 4 FIGURA 13.1.11 Ejemplo 3.



H 

 .E / C : 

Z

X

Integrales iteradas y secciones transversales FIGURA 13.1.12 Ejemplo 4

La relación entre las integrales iteradas y el método de las secciones transversales (para calcular volúmenes) se aclara con un bosquejo de la prueba del teorema 1 que se estudió en la sección 6.2. En primer lugar, la partición [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud x = (b − a)/n, y también la partición [c, d ] en n subintervalos iguales con longitud x = (d − c)/n, cada uno. Esto proporciona n2 rectángulos, cada uno de los cuales tiene un área A  x y. Escoja un punto XI en [xi−1, xi] para cada i = 1, . . . , n. Así, por cada j = 1, . . . , n, el teorema del valor medio para integrales sencillas (sección 5.6) da un punto YI J en [yj−1, yj] tal que YJ Y J

F .XI ; Y/ DY H F .XI ; YI J

Y:

Esto nos ofrece el punto seleccionado ( XI , YI J ) en el rectángulo [xi−1, xi] × [yj−1, yj]. Así, N

F .X; Y/ D!  2

N

F .XI ; YI J

N

!H

I; JH

F .XI ; YI J

Y

X

IH JH N

N

YJ

IH

JH

Y J

H N

D

H IH N

C

F .XI ; Y/ DY

! .XI

H IH

donde D

! .X/ H

F .X; Y/ DY: C

Además, la última es una suma de Riemann para la integral B

! .X/ D X; A

F .XI ; Y/ DY

X;

X

X

SECCIÓN 13.1

Integrales dobles 1003

por lo que el resultado de nuestro cálculo es N

F .X; Y/ D!  Z



ZFX Y Y

D C A

!X

X

2 B

D

!.X/ H

F .X; Y/ DY C

X B

D

! .X/ D X H

F .X; Y/ D Y D X:

A

A

C

Este bosquejo se puede convertir en una prueba completa del teorema 1 si se demuestra que las aproximaciones anteriores se convierten en igualdades cuando se obtienen límites cuando n → +∞. En el caso en que la función f es no negativa sobre R, la función A(x) que se introdujo aquí proporciona el área de la sección transversal vertical de R perpendicular al eje x (figura 13.1.13). Así, la integral iterada en la ecuación (4) expresa el volumen V como la integral de x = a a x = b de la función del área de la sección transversal. De manera similar, la integral iterada en la ecuación (5) expresa a V como la integral de y = c a y = d de la función B

X

FIGURA 13.1.13 El área de la sección transversal en x es

! .XI IH B

2

F .X; Y/ D X;

!.Y/ H A

que proporciona el área de la sección transversal vertical en un plano perpendicular al eje y [aunque pareciera apropiado usar aquí la notación A( y), observe que A(x) y A( y) ¡no son de ningún modo la misma función!].

13.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. f (x, y) d A está motivada por el problema de 1. La definición de la integral doble 2 calcular el volumen V del sólido que se encuentra bajo la gráfica z = f (x, y) de la función f no negativa y por encima del rectángulo R en el plano xy. 2. Dada una partición del rectángulo R en subrectángulos R1, R2, . . . , Rn, el volumen V de la pregunta 1 se aproxima con una suma de Riemann que tiene un término f ( XI , YI )Ai por cada uno de los subrectángulos de la partición. 3. La integral doble f (x, y) d A está definida como el límite de sumas de Riemann 2

cuando la norma de la partición tiende a cero (si se demuestra que el límite existe). 4. Suponga que la función f es continua sobre el rectángulo R. Por lo cual, f (x, y) f (x, y) d A existe. debe ser no negativa sobre R para garantizar que la integral 2

5. La suma de Riemann calculada en el ejemplo 1 es una aproximación del punto (4x 3 + 6 xy 2) d A. medio al valor de la integral doble 2 6. Las figuras 13.1.6 a 13.1.8 corroboran el hecho de que particiones con normas más pequeñas proporcionan por lo general aproximaciones más exactas de sumas de Riemann a una integral doble. 7. El teorema 1 implica que B

D

D

F .X; Y/ D Y A

C

B

DX H

F .X; Y/ D X C

DY

A

para cualquier función f (x, y) definida sobre el rectángulo R = [a, b] × [c, d ] en el plano xy. B D 8. En la integral iterada A C F .X; Y/ DY D X, el hecho de que dx aparezca fuera de los paréntesis grandes significa que hay que integrar primero respecto de x y posteriormente respecto de y. 9. En el ejemplo 2, ambos órdenes de la integración iterada ofrecen el mismo valor (4x 3 + 6 xy 2) d A del ejemplo 1. para la integral doble 2

10. Un bosquejo de la prueba del teorema 1 aparece en la subsección llamada integrales iteradas y secciones transversales. Esta prueba se basa en el método de las secciones transversales para calcular integrales con una sola variable.

1004 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

13.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa en forma más completa posible la analogía entre • una integral con una sola variable ) f (x) dx sobre un intervalo I = [a, b] y • una integral doble f (x, y) d A sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d ]. 2 Analice tanto las similitudes como las diferencias. 2. Escriba la suma de Riemann “doble” M

N

::: IH JH

que corresponde a la subdivisión de [a, b] y [c, d ] en m subintervalos con longitud x cada uno, y en n subintervalos con longitud y cada uno (respectivamente), M N junto con las selecciones XI IH Y Y J JH de puntos en dichos subintervalos. ¿Qué selecciones corresponderían a sumas de lado izquierdo, lado derecho y punto medio, para integrales de una sola variable? 3. ¿Puede describir una manera de generalizar la idea de aproximaciones trapezoidales a integrales de una sola variable, para aproximaciones de sumas dobles a integrales dobles? Piense en usar aproximaciones trapezoidales para las integrales de área de secciones transversales, que se estudiaron al final de esta sección.

13.1 PROBLEMAS 1. Aproxime la integral .X  C X Y  / D! 2

del ejemplo 1 con el uso de la partición que se aprecia en la figura 13.1.5, pero seleccione cada ( XI , YI ) como a) la esquina inferior izquierda del rectángulo Ri; b) la esquina superior derecha del rectángulo Ri. 2. Aproxime la integral .X  C X Y  / D! 2

como en el problema 1, pero seleccione cada ( XI , YI ) como a) la esquina superior izquierda del rectángulo Ri; b) la esquina inferior derecha del rectángulo Ri. En los problemas 3 a 8, calcule la suma de Riemann para F .X; Y/ D! 2

con el uso de la partición dada y la selección de puntos ( XI , YI ) para el rectángulo R. 3. f (x, y) = x + y; R = [0, 2] × [0, 2]; la partición P consiste en cuatro cuadrados unitarios; cada ( XI , YI ) es el punto central del i-ésimo rectángulo Ri. 4. f (x, y) = xy; R = [0, 2] × [0, 2]; la partición P consiste en cuatro cuadrados unitarios; cada ( XI , YI ) es el punto central del i-ésimo rectángulo Ri. 5. f (x, y) = x 2 − 2y; R = [2, 6] × [−1, 1]; la partición P consiste en cuatro rectángulos iguales de ancho x = 2 y altura y = 1; cada ( XI , YI ) es la esquina inferior izquierda del iésimo rectángulo Ri.

6. f (x, y) = x 2 + y 2; R = [0, 2] × [0, 3]; la partición P consiste en seis cuadrados unitarios; cada ( XI , YI ) es la esquina superior derecha del i-ésimo rectángulo Ri. 7. f (x, y) = sen x sen y; R = [0, π] × [0, π]; la partición P consiste en cuatro cuadrados iguales; cada ( XI , YI ) es el punto central del i-ésimo rectángulo Ri. 8. f (x, y) = sen 4xy; R = [0, 1] × [0, π]; la partición P consiste en seis rectángulos iguales de ancho X H  y altura Y H   cada ( XI , YI ) es el punto central del i-ésimo rectángulo Ri. En los problemas 9 y 10, haga que L, M y U denoten las sumas de Riemann calculadas para la función f dada y la partición P indicada, seleccionando las esquinas inferiores izquierdas, puntos medios y esquinas superiores derechas (respectivamente) de los rectángulos en P. Sin en realidad calcular ninguna de estas sumas de Riemann, acomódelas en orden de tamaño creciente. 9. f (x, y) = x 2 y 2; R = [1, 3] × [2, 5]; la partición P consiste en seis cuadrados unitarios. 10. F .X; Y/ H  X  Y  I 2 H T; U  T; U la partición P consiste en nueve cuadrados unitarios. Evalúe las integrales iteradas de los problemas 11 a 30. 





.X C Y/ D X D Y 

 



X  Y D X DY

 

 



.X Y/ D Y D X

 







X  Y  DY DX

 



SECCIÓN 13.1 





dada por las integrales iteradas en las ecuaciones (4) y (5) son en verdad iguales.

.X Y C X C Y/ D X D Y 

 

 F .X; Y/ H X Y Y  I



.X  Y  / D X D Y

 



.X Y  X  Y/ D Y D X



   

 F .X; Y/ H E XCY I 





.X Y X Y / D Y D X 



.SEN X COS Y/ D X D Y  =

=



XE Y D Y D X 





36. Suponga que f (x, y) = k es una función de valor constante y que R = [a, b] × [c, d ]. Use sumas de Riemann para demostrar que

 



X N Y N D X D Y H :

N!1

.COS X SEN Y/ D Y D X 



L¤M





2 H T; LN U  T; LN U

35. Demuestre que

 = =



2 H T; U  T; U

 F .X; Y/ H SEN X COS YI 2 H T;  U  T=; =U p  F .X; Y/ H X C YI 2 H T; U  T; U

 

Integrales dobles 1005

 



K D! H K.B A/.D C/:

X EY D X D Y

 

2

 



37. Utilice sumas de Riemann para demostrar, sin calcular el valor de la integral, que

E X SEN Y DY D X

 

 





E XCY D X D Y

  

.X Y C SEN X/ D X D Y  =

=



.Y / COS X D X DY 

 =

 E

  

 

E

SEN Y DX DY X  E  DY DX X Y     C DX DY X C YC 





 



Y X C Y X

p

X Y D X DY

 :



En los problemas 38 a 40 se mencionan las propiedades de integrales dobles que son ánalogas a las propiedades conocidas de integrales simples. En cada caso establezca la relación correspondiente entre las sumas de Riemann asociadas con una partición dada y la selección del rectángulo R.





SEN 













C F .X; Y/ D! H C 2

F .X; Y/ D! C ESUNACONSTANTE  2

T F .X; Y/ C G.X; Y/U D!

 2

F .X; Y/ D! C

H

DY DX

G.X; Y/ D!

2

 3I F .X; Y/

En los problemas 31 a 34, verifique que los valores de

2

G.X; Y/ ENCADAPUNTODE2 ENTONCES

F .X; Y/ D!

F .X; Y/ D!

2

G.X; Y/ D!:

2

2

13.1 INVESTIGACIÓN: sumas de punto medio que aproximan integrales dobles Y

$X

D 

U  U  U 



$Y

U  U  U 

C

A

U

U

U

B X

FIGURA 13.1.14 Puntos usados en la aproximación de punto medio.

Suponga que los intervalos [a, b] y [c, d ] se dividen en m subintervalos de longitud x y en n subintervalos de longitud y (respectivamente). Si ui y vj denotan los puntos medios del i-ésimo subintervalo de [a, b] y el j-ésimo subintervalo de [c, d ], respectivamente, entonces (ui, vj) es el punto medio del i j-ésimo subrectángulo [xi−1, xi ] × [yj−1, yj]. Así, se obtiene la aproximación con suma de punto medio M

N

3M N H

F .U I ; GJ IH JH

X

Y

F .X; Y/ D! 2

para la integral doble de la función f sobre el rectángulo R = [a, b] × [c, d ]. La figura 13.1.14 ilustra el caso en el que m = 3 y n = 2. En el material para el proyecto manual para esta investigación se ilustra el uso de sistemas de álgebra por computadora para calcular aproximaciones de sumas de punto medio con rapidez y eficiencia.

1006

CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

13.2 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

XI( YI( 2I

2

FIGURA 13.2.1 La partición rectangular de S produce una partición interior asociada (sombreada) de la región R.

Ahora queremos definir y calcular integrales dobles sobre regiones más generales que rectángulos. Sea la función f definida sobre la región plana R, y suponga que R está acotada, es decir, que se encuentra dentro de algún rectángulo S. Para definir la integral (doble) de f sobre R se comienza con una partición Q del rectángulo S en subrectángulos. Algunos de los rectángulos de Q quedarán por completo dentro de R, algunos fuera de ella y otros con una parte dentro y otra fuera. Se considera la colección P  {R1, R2, . . . , Rk} de todos aquellos rectángulos en Q que están por completo dentro de la región R. Esta colección P se denomina partición interna de la región R determinada por la partición Q del rectángulo S (ver figura 13.2.1). Por la norma |P| de la partición interior P se entiende la norma de la partición Q que determina P. Observe que |P | depende no sólo de P sino también de Q. Con el uso de la partición interior P de la región R, se procede del mismo modo que se hizo en la sección 13.1. Al escoger un punto arbitrario ( XI , YI ) en el i-ésimo rectángulo Ri de P para i = 1, 2, 3, . . . , k, se obtiene una selección para la partición interior P. Sea que Ai denote el área de Ri. Por lo tanto, esta selección ofrece la suma de Riemann K

F .XI ; YI

!I

IH

asociada con la partición interior P. En el caso en que f es no negativa sobre R, esta suma de Riemann aproxima el volumen de la región tridimensional que queda bajo la superficie z = f (x, y) y arriba de la región R en el plano xy. Por tanto, se define la integral doble de f sobre la región R tomando el límite de esta suma de Riemann cuando la norma |P | tiende a cero. Así, K

F .X; Y/ D! H L¤M

jP j!

2

F .XI ; YI

!I



IH

si se demuestra que este límite existe en el sentido de la definición siguiente.

DEFINICIÓN La integral doble La integral doble de la función f acotada sobre la región plana R es el número ) H

F .X; Y/ D! 2

si se demuestra que, para todo  > 0, existe un número δ > 0 tal que K

F .XI ; YI

!I )

IH

para toda partición interior P  {R1, R2, . . . , Rk} de R que tenga la norma |P| < δ y toda selección de puntos ( XI , YI ) en Ri (i  1, 2, . . . , k). Así, el significado del límite en la ecuación (1) es que la suma de Riemann se puede hacer arbitrariamente cercana al número F .X; Y/ D!

) H 2

con sólo escoger la norma de la partición interna P lo suficientemente pequeña. En este caso, se dice que la función f es integrable sobre la región R. OBSERVACIÓN Si R es un rectángulo y se elige S = R (de modo que una partición interior de R únicamente es una partición de R), entonces la definición anterior se reduce a la que ya se tenía de una integral doble sobre un rectángulo. En cálculo avanzado,

SECCIÓN 13.2

Integrales dobles sobre regiones más generales

1007

se demuestra que la integral doble de la función f sobre la región plana R acotada existe si f es continua sobre R y la frontera de R tiene un comportamiento razonablemente bueno. En particular, basta que la frontera de R consista en un número finito de elementos curvos suavizados sencillos cerrados (es decir, cada curva de frontera consista en un número finito de arcos suaves). En este texto restringiremos nuestra atención a integrales dobles de funciones definidas en tales regiones planas. Aproxime el valor de la integral

EJEMPLO 1

.X C Y/ D! 2

donde R es la subregión en el primer cuadrante limitado por el círculo unitario y los ejes coordenados. Hágalo con el cálculo de la suma en la ecuación (1) para la participación interior y la selección del punto medio que se indica en la figura 13.2.2(a). Y

Y

Y

































X



a) 8 cuadrados interiores con x = y = 





X





b) 41 cuadrados interiores con x = y = 







X

c) 183 cuadrados interiores con  x = y = 

 FIGURA 13.2.2 Particiones interiores del cuarto de círculo R con x = y = ,x = y = , y x = y =  .

N

.

3

































 





 





 





 



FIGURA 13.2.3 El número n de subintervalos en cada dirección, el número N de cuadrados pequeños en la partición interior, y la suma de Riemann aproximada correspondiente S.

Solución Las figuras muestran una partición del cuadrado unitario en 16 cuadrados más pequeños con lados cuya longitud es x = y = . La partición interior que usamos consiste en 8 cuadrados pequeños contenidos por completo dentro de la región de un cuarto de círculo R. Los puntos medios de estos cuadrados son los 8 puntos .  ;  / .  ;  / .  ;  / .  ;  / .  ;  / .  ;  / .  ;  / y (, ). La suma de Riemann correspondiente es 3 H F  ;  C F  ;  C F  ;  C F  ;    ;  

C F H

 

C

 

C C

   

C C

   

  ;  

C F    

C C

C C

   

  ;  

C F C C

   

C C

   

  ;  

C F

C

 

C

 




X

Y

 


 ;

PORLOQUE  H :  :: Z  OBSERVACIÓN En la figura 13.2.2 (a) comenzamos por dividir los intervalos unitarios sobre los ejes x y y en n = 4 subintervalos cada uno. Las figuras 13.2.2 (b) y 13.2.2 (c) muestran las particiones interiores que resultan cuando comenzamos con n = 8 y n = 16 subintervalos (respectivamente) en cada dirección. Suponga que continuamos de esta manera, duplicando el número n de subintervalos en cada dirección en cada etapa, y usamos una computadora para calcular en cada ocasión la suma de Riemann de punto medio correspondiente a la partición interior de la región del cuarto de círculo R. La figura 13.2.3 muestra las aproximaciones resultantes a la integral 3H

.X C Y/ D! I 2

CAPÍTULO 13

1008

Integrales múltiples

también se muestra el número total N de cuadrados interiores usados en cada etapa. En el problema 51 se pide demostrar (con el uso de un cálculo comparativamente sencillo con integrales iteradas) que el valor exacto de esta integral es  (por lo que la aproximación en el ejemplo 1 no es muy impresionante).

Y YYX

Evaluación de integrales dobles La evaluación explícita de las sumas de Riemann, como en el ejemplo 1, es pesada e ineficiente. Pero para ciertos tipos comunes de regiones es posible evaluar integrales dobles por medio de integrales iteradas en forma muy parecida a como se hace cuando la región es un rectángulo. La región plana R se denomina verticalmente sencilla si puede describirse por medio de desigualdades

2

YYX XA

XB

X

FIGURA 13.2.4 Región R sencilla vertical.

A

X

Y .X/

Y

Y .X/;



donde y1(x) y y2(x) son funciones continuas de x sobre [a, b]. Tales regiones aparecen en la figura 13.2.4. La región R se denomina horizontalmente simple si puede describirse con las desigualdades

Y

C YD

Y

D;

X .Y/

X

X .Y/;



donde x1(y) y x2(y) son funciones continuas de y sobre [c, d ]. La región en la figura 13.2.5 es horizontalmente simple. El teorema 1 nos explica cómo calcular una integral doble por medio de integración iterada sobre una región R que sea vertical u horizontalmente simple.

2

YC XXY

XXY

B;

X

TEOREMA 1 Evaluación de integrales dobles Suponga que f (x, y) es continua en la región R. Si R es verticalmente simple, la región dada en (2), entonces B

FIGURA 13.2.5 Región R horizontalmente simple.

Y .X/

F .X; Y/ D! H

F .X; Y/ D Y D X:

Y



Y .X/

A

2

Si R es la región horizontalmente simple dada en (3), entonces D

X .Y/

F .X; Y/ D! H

 

YX

F .X; Y/ D X D Y: C

2

2



X .Y/

El teorema 1 incluye al teorema 1 de la sección 13.1 como un caso especial (cuando R es un rectángulo), y puede demostrarse por generalización del argumento que se bosquejó ahí.

YX X

EJEMPLO 2

FIGURA 13.2.6 La región verticalmente simple del ejemplo 2.

Calcule en dos formas diferentes la integral X Y  D!; 2

Y

donde R es la región en el primer cuadrante limitada por las dos curvas y = y = x 3.  

XY

2

p

X y

Solución Antes de tratar de evaluar una integral doble, siempre dibuje la región R. Como se indicó en las figuras 13.2.6 y 13.2.7, la región R dada es tanto vertical como horizontalmente simple. El segmento vertical en la figura 13.2.6 con puntos extremos p sobre las curvas y = x 3 y y = X corresponde a integrar primero respecto de y:

XY

FIGURA 13.2.7 La región horizontalmente simple del ejemplo 2.





X

X Y D! H

X



2



H 

p

X





XY DY DX H 

p

  XY 

X

DX YHX 

    =   X X H : DX H     

SECCIÓN 13.2

Integrales dobles sobre regiones más generales

1009

Cuando se resuelven las ecuaciones x = y 2 y x = y 1/3 para x en términos de y, se p obtienen las ecuaciones y = X y y = x 3. El segmento horizontal en la figura 13.2.7 corresponde a integrar primero respecto a x: X Y D! H 

H 

DY XHY 

 =      Y Y DY H H :     

Z

Evalúe 2

XY

donde R es la región limitada por la parábola x = y 2 y la recta x + y = 2.

  X

Y X 2  

Y X

Solución La región R se indica en la figura 13.2.8, y es simple tanto horizontal como verticalmente. Si se deseara integrar primero respecto de y y después respecto de x, necesitaríamos evaluar dos integrales: 

F .X; Y/ D! H

p

X

p



F .X; Y/ D! H 

2

XY



X Y 2

H

X Y



X p

.X C Y  / D Y D X:

X

La razón es que la fórmula de la función y p = y2(x) que describe la “curva límite superior” de R cambia en el punto (1, 1), de y = X a la izquierda a y = 2 − x en la derecha. Pero, como se aprecia en la figura 13.2.9, cada segmento horizontal en R se extiende de x = y 2 en la izquierda a x = 2 − y en la derecha. Por tanto, al integrar primero respecto de x requiere que evaluemos sólo una integral iterada:

Y XY  



.X C Y  / D Y D X C

X



2

FIGURA 13.2.8 La región verticalmente simple del ejemplo 3.

XY

Y =

.X C Y  / D!;

XY

XY

   X Y 



Y

YX





XY DX DY H

Y



2

EJEMPLO 3

Y =





 

X

H

 

 

H

Y Y

.X C Y  / D X D Y Y

X  C X Y 

XHY 

DY

T. Y/ C . Y/Y  .Y  / Y  U DY . Y C Y  Y  Y  / DY



FIGURA 13.2.9 La región horizontalmente simple del ejemplo 3

H Y Y  C

    Y Y Y  



H 

 : 

Z

El ejemplo 3 demuestra que incluso cuando la región R es simple tanto vertical como horizontalmente, tal vez sea más fácil integrar en un orden que en el otro debido a la forma de R. Naturalmente, es preferible la ruta más fácil. La elección del orden de preferencia de la integración está influenciada también por la naturaleza de la función f (x, y). Quizá sea difícil —o incluso imposible— calcular una integral iterada dada, pero será fácil hacerlo después de invertir el orden de integración. El ejemplo 4 muestra que la clave para invertir el orden de integración es ésta: %NCONTRARYDIBUJARLAREGI˜N2CUYA INTEGRACI˜NDEBEEJECUTARSE

EJEMPLO 4

Evaluar  

 Y=



YE X D X D Y:

1010 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Solución No es posible integrar primero respecto de x, como se pide, ya que se sabe que exp(x 3) no tiene una antiderivada elemental. Por tanto, trataremos de evaluar la integral invirtiendo primero el orden de integración. Para hacerlo, se dibuja la región de integración especificada por los límites en la integral iterada dada. La región R está determinada por las desigualdades

Y

Y

 Y 

YX 2

Y X 

X



Y



Y

:

Así, todos los puntos (x, y) de R están entre las rectas horizontales y = 0 y y = 2, y entre las dos rectas x = y/2 y x = 1. Se dibujan las cuatro rectas y = 0, y = 2, x = y/2 y x = 1, y se encuentra que la región de integración es el triángulo sombreado que aparece en la figura 13.2.10. Al integrar primero respecto de y, de y1(x) ≡ 0 a y2(x) = 2x, se obtiene

X



X

Y

FIGURA 13.2.10 La región del ejemplo 4.









YE X D X D Y H

Y=



X 



H





YE X D Y D X H  

X  E X D X H



 X E 

  Y 



H XH

X



EX D X YH

 .E /: 

Z

Propiedades de las integrales dobles Esta sección concluye con la lista de algunas propiedades formales de las integrales dobles. Sea c una constante y f y g funciones continuas sobre una región R sobre la cual f (x, y) tiene un valor mínimo m y uno máximo M. Sea que a(R) denote el área de la región R. Si todas las integrales indicadas existen, entonces: C F .X; Y/ D! H C

F .X; Y/ D!;

2



2

T F .X; Y/ C G.X; Y/U D! H 2

F .X; Y/ D! C

G.X; Y/ D!;

2

2

M
A.2 /



2

F .X; Y/ D!

-
A.2 /;



2

2 2

F .X; Y/ D! H 2

FIGURA 13.2.11 Las regiones de la ecuación (9).

Y  X

 

2    X  Y

2

  XY X

  

 

FIGURA 13.2.12 La región R que no es simple, es la unión de regiones simples R1 y R2 que no se traslapan.

F .X; Y/ D!:



2

En la ecuación (9), R1 y R2 son únicamente dos regiones que no se traslapan (con interiores disjuntos) y cuya unión es R (ver figura 13.2.11). En los problemas 45 a 48 se piden demostraciones de las propiedades (6) a (9) para el caso especial en el que R es un rectángulo. La propiedad en la ecuación (9) permite evaluar integrales dobles sobre una región R que no es vertical ni horizontalmente simple. Sólo se necesita dividir R en un número finito de regiones simples R1, R2, . . . , Rn. Después se integra sobre cada una (convirtiendo cada integral doble en una iterada, como se hizo en los ejemplos de esta sección) y se suman los resultados.

Y   

F .X; Y/ D! C 2

EJEMPLO 5 Sea f una función integrable sobre la región R de la figura 13.2.12. Observe que no es simple, pero es la unión de las regiones R1 y R2, que son vertical y horizontalmente simples, respectivamente. Con el uso de las curvas que aparecen en la figura como límites y el orden apropiado de integración para cada región, se observa que F .X; Y/ D! H 2

F .X; Y/ D! C 2

F .X; Y/ D! 2

CX  =



H



CY 



Y 

F .X; Y/ D Y D X C 



F .X; Y/ D X D Y:

Z

SECCIÓN 13.2

Integrales dobles sobre regiones más generales

1011

13.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Dada una partición interior de la región plana R que consiste en rectángulos R1, f (x, y) d A se R2, . . . , Rn que están dentro de R, el valor de la integral doble 2 aproxima con la suma de Riemann que tiene un término f ( XI , YI )Ai para cada rectángulo de la partición interior. 2. La integral doble f (x, y) d A se define como el límite de sumas de Riemann 2 cuando la norma de la partición (interior) tiende a cero (si se demuestra que el límite existe). K 3. Si f es integrable, entonces la suma de Riemann IH F .XI ; YI !I puede haf (x, y) d A escocerse arbitrariamente cercana al valor de la integral doble 2 giendo una partición interna de R con una norma suficientemente pequeña. 4. La integral doble f (x, y) d A existe si se demuestra que f es continua sobre la 2 región R y la frontera de ésta consiste en un número finito de elementos curvos suaves, sencillos y cerrados. 5. La suma de Riemann calculada en el ejemplo 1 es una aproximación de punto medio al valor de la integral doble dada .X C Y/ D ! 2 6. Las figuras 13.2.2 y 13.2.3 corroboran el hecho de que las particiones (internas) con normas más pequeñas por lo general ofrecen aproximaciones de Riemann más exactas para una integral doble. 7. El teorema 1 implica que para cualquier función f (x, y) y cualquier región R en f (x, y) d A puede evaluarse por medio de una el plano xy, la integral doble 2 integración iterada en cualquier orden —ya sea que se integre primero respecto de x o respecto de y. 8. En el ejemplo 2, ambos órdenes de integración iterada proporcionan el mismo X Y  D ! valor para la integral doble dada 2 9. La evaluación de la integral doble .X C Y  / D ! del ejemplo 3 por medio 2 de una integración iterada en cualquier orden —primero respecto de x o primero respecto de y— involucraría más o menos la misma cantidad de cálculos.  YE X D ! del ejemplo 4 se evalúa con una integración iterada en 10. La integral 2 cualquier orden —primero respecto de x o primero respecto de y.

13.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Dibuje una región plana que sea a) simple tanto horizontal como verticalmente; b) simple horizontalmente pero no verticalmente; c) simple verticalmente pero no horizontalmente; d) ni horizontal ni verticalmente simple. 2. Dibuje varias regiones diferentes que no sean simples horizontal ni verticalmente, pero que se puedan subdividir en números diferentes de regiones que no se traslapen, cada una de las cuales sea simple horizontalmente o verticalmente. ¿Qué sucede con una región anular limitada por dos circunferencias concéntricas? 3. Construya varios ejemplos de integrales dobles que se evalúen con rapidez integrando en un orden pero no en el inverso.

13.2 PROBLEMAS



Para los problemas 1 a 14, evalúe las integrales iteradas. 

X





. C X/ D Y D X 



. C Y/ D Y D X 



.X C Y/ D X D Y 

X







Y

FIGURA

p



X



Y

.X C Y/ D X D Y 

Y

X

.X Y/ D Y D X



p



X Y DY D X

 

.X C Y/ D X D Y 

X





FIGURA

Y=









FIGURA

1012 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples Y

Y

YX YX

X

X

X

X

FIGURA 13.2.13 Problema 3.

FIGURA 13.2.14 Problema 4.

Y

Y



Y

YX X

X

  

FIGURA 13.2.16 Problema 8.

.X C Y/ D X D Y



.X C Y  / D X D Y 

Y



X



Y DY D X  

FIGURA E

Y

Y  C  D X D Y 

SEN X  D X D Y 

Y 

=

SEC X D X DY TAN Y



donde R es la región limitada por las dos curvas dadas. Antes de integrar, utilice una calculadora o computadora para aproximar (por medios gráficos o de otro tipo) las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas dadas.  Y H X  C ; Y H X 









X D!;

SEN X



 DX DY  C X

p



2





Y



FIGURA

E Y=X D Y D X





Y p

SEN Y DY DX Y



EX D X D Y 

En los problemas 35 a 40, encuentre el valor aproximado de

YC



X 

X 







X



.Y X/ D Y D X 



 DY DX



Y D X DY Y  



XX 



FIGURA



X



X



X DY D X



Y 





Y

p Y

XC



FIGURA 13.2.15 Problema 7.

.X / D Y D X X



 

X



X



YX



X  Y DY D X 

p





XY



21. f (x, y) = 1/y; R es el triángulo limitado por las rectas y = 1, x = e y y = x. 22. f (x, y) = xy; R es el cuarto de circunferencia en el primer cuadrante, limitado por x + y 2 = 1 y los ejes coordenados. 23. f (x, y) = 1 − x; R es el triángulo con vértices en (0, 0), (1, 1) y (−2, 1). 24. f (x, y) = 9 − y; R es el triángulo con vértices en (0, 0), (0, 9) y (3, 6). En los problemas 25 a 34, primero dibuje la región de integración, invierta el orden de esta operación, como se hizo en los ejemplos 3 y 4, y por último evalúe la integral que resulte.

=Y

EX Y D X D Y

 



Y Y

 Y H X  ;



 Y H X  ;

Y YSENX

 Y H X  ;  Y H X  ;

Y X

FIGURA 13.2.17 Problema 10.

 Y H X X; Y

X

FIGURA 13.2.18 Problema 12.

En los problemas 15 a 24, evalúe la integral de la función f (x, y) dada sobre la región plana dada R que se describe. 15. f (x, y) = x y; R está limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = 4. 16. f (x, y) = x 2; R está limitada por la parábola y = 2 − x 2 y la recta y = −4. 17. f (x, y) = x; R está limitada por las parábolas y = x 2 y y = 8 − x 2. 18. f (x, y) = y; R está limitada por las parábolas x = 1 − y 2 y x = y 2− 1. 19. f (x, y) = x; R está limitada por el eje x y la curva y = sen x, 0 x π. 20. f (x, y) = sen x; R está limitada por el eje x y la curva y = cos x, −π/2 x π/2.

  C X Y H X X 

YH

Y H COS X



YX  X

Y H X C

Y H SEN X

En los problemas 41al 44, la región R es el cuadrado con vértices en (±1, 0) y (0, ±1). Use la simetría de esta región respecto de los ejes a fin de reducir el trabajo de evaluar las integrales dadas. 

X D! 2

2

X Y D!

 2

X  D!



.X  C Y  / D!

 2

45. Use sumas de Riemann para demostrar la ecuación (6) para el caso en que R es un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. 46. Utilice integrales iteradas y propiedades familiares de integrales únicas para demostrar la ecuación (7) para el caso en el que R es un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. 47. Emplee sumas de Riemann para demostrar las desigualdades en las ecuaciones (8) para el caso en que R es un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados.

SECCIÓN 13.3

48. Use integrales iteradas y propiedades familiares para demostrar la ecuación (9) si R1 y R2 son rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados y la arista derecha de R1 es la arista izquierda de R2. 49. Emplee sumas de Riemann para demostrar que F .X; Y/ D!

G.X; Y/ D!

2

2

si f (x, y) g(x, y) en todo punto de la región R, que es un rectángulo con sus lados paralelos a los ejes coordenados. 50. Suponga que la función continua f es integrable sobre la región plana R y que sobre ella f tiene un valor mínimo m y uno máximo M. Suponga que R está conectada en el sentido siguiente: para dos puntos cualesquiera (x0, y0) y (x1, y1) de R, hay una curva paramétrica continua r(t) en R para la que r(0) = x0, y0 y r(1) = x1, y1 . Haga que a(R) denote el área de R y luego deduzca de (8) la propiedad del valor promedio de las integrales dobles: F .X; Y/ D! H F .X; Y/
A.2 / 2

Área y volumen por integración doble

1013

para cierto punto (X , Y) de R. [Sugerencia: Si m = f (x0, y0) y M = f (x1, y1), entonces puede aplicar la propiedad del valor intermedio de la función continua f (r(t))]. 51. Demuestre por integración iterada que el valor exacto de la integral en el ejemplo 1 es . En los problemas 52 y 53, aproxime primero (como en el ejemplo 1) la integral F .X; Y/ D! 2

de la función dada sobre la región R limitada por la circunferencia unitaria y los ejes coordenados en el primer cuadrante, pero —a diferencia del ejemplo 1— utilice una partición interna que resulte del uso de n = 5 subintervalos en cada dirección. Después utilice integrales iteradas para calcular el valor exacto de la integral doble.  F .X; Y/ H X Y  F .X; Y/ H X Y EXP.Y  /

13.3 ÁREA Y VOLUMEN POR INTEGRACIÓN DOBLE Nuestra definición de la integral doble F .X; Y/ D ! estuvo motivada en la sección 2 13.2 por el problema de calcular el volumen del sólido

Z ZFX Y Y

4 H f.X; Y; Z/ j .X; Y/ 2 2 Y 

Z

F .X; Y/g

que está bajo la superficie z = f (x, y) y arriba de la región R en el plano xy. Dicho sólido se muestra en la figura 13.3.1. A pesar de esta motivación geométrica, la definición real de la integral doble de sumas de Riemann no depende del concepto de volumen. Por tanto, invertiremos la situación y usaremos la integral doble para definir el volumen.

4 2

X

FIGURA 13.3.1 Región sólida T con lados verticales y base R en el plano xy.

DEFINICIÓN Volumen bajo z = f (x, y) Suponga que la función f es continua y no negativa sobre la región plana R acotada. De aquí que, el volumen V del sólido que está debajo de la superficie z = f (x, y) y arriba de la región R se define como 6 H

F .X; Y/ D!;



2

siempre que esta integral existe. Es de interés notar la relación entre esta definición y el enfoque de la sección transversal que se analizó en la sección 6.2. Si, por ejemplo, la región R es verticalmente simple, entonces la integral de volumen de la ecuación (1) adopta la forma siguiente B

Y .X/

Z D! H

6 H

F .X; Y/ D Y D X A

2

Y .X/

en términos de integrales iteradas. La integral interior Y .X/

! .X/ H

F .X; Y/ DY Y .X/

es igual al área de la región en el plano yz que se encuentra bajo la curva Z H F .X; Y/ XFIJA

1014 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples Z ZFX Y Z

YX ! FX Y DY YX YX

Y

¬REA!X

ZFX Y

X

YYX

X

Y

YX

YYX

FIGURA 13.3.2 Integral interior de la ecuación (1), como área de una región en el plano yz.

FIGURA 13.3.3 El área de la sección transY .X/

versal es ! H

F .X; Y/ DY Y .X/

y por arriba del intervalo y1(x) y y2(x) (ver figura 13.3.2). Pero ésta es la proyección de la sección transversal que se muestra en la figura 13.3.3. Por lo tanto, el valor de la integral interior es únicamente el área de la sección transversal de la región sólida T en un plano perpendicular al eje x. Así, B

6 H

! .X/ D X; A

Y

con lo que en este caso la ecuación (1) se reduce a que “el volumen es la integral del área de una sección transversal”.

Volumen por medio de integrales iteradas

YYX

Es común que una región tridimensional T esté descrita en términos de las superficies que la limitan. El primer paso para aplicar la ecuación (1) a fin de calcular el volumen V de dicha región es determinar la región R en el plano xy en la que se encuentra T. El segundo paso es determinar el orden apropiado de integración. Esto se hace del modo siguiente:

2 YYX A

B X

X

FIGURA 13.3.4 Región verticalmente simple.

Si toda recta vertical en el plano xy encuentra a R en un único segmento de recta (si acaso lo hace), entonces R es verticalmente simple, y se puede integrar primero respecto de y. Los límites sobre y serán las coordenadas y y1(x) y y2(x) de los puntos extremos de este segmento de recta (ver figura 13.3.4). Los límites sobre x serán los puntos extremos a y b del intervalo sobre el eje x sobre el que se proyecta R. Así, el teorema 1 de la sección 13.2 proporciona B

Y .X/

F .X; Y/ D! H

6 H

Y

F .X; Y/ D Y D X: A

2



Y .X/

D

En forma alternativa, XXY Y

Si toda recta horizontal en el plano xy encuentra a R en un único segmento de recta (si acaso lo hace), entonces R es horizontalmente simple, y se puede integrar primero respecto de x. En este caso,

2 XXY

D

6 H

C

2

X

FIGURA 13.3.5 Región horizontalmente simple.

X .Y/

F .X; Y/ D! H

F .X; Y/ D X D Y: C



X .Y/

Como se indica en la figura 13.3.5, x1( y) y x2( y) son las coordenadas x de los puntos extremos de este segmento de recta horizontal, y c y d son los puntos extremos del intervalo correspondiente sobre el eje y.

SECCIÓN 13.3

1015

EJEMPLO 1 El rectángulo R en el plano xy consiste en los puntos (x, y) para los que 0 x 2 y 0 y 1. Encuentre el volumen V del sólido que está bajo la superficie z = 1 + xy y arriba de R (ver la figura 13.3.6).

X

Y

Área y volumen por integración doble

Solución Aquí, f (x, y) = 1 + xy, por lo que la ecuación (1) produce 

Z

6 H



Z D! H

. C X Y/ D Y D X 

2 

 Y C X Y 

H 

 



   C X DX H X C X  

DX H 

YH



Z

H : 

El caso especial f (x, y) ≡ 1 en la ecuación (1) proporciona el área FIGURA 13.3.6 Sólido del ejemplo 1.

! H A.2 / H

 D! H

D!

2

Z

F  X Y

de la región plana R. En este caso, la región sólida T recuerda una meseta en el desierto (ver la figura 13.3.7) —un cilindro sólido con base R, de área A y altura igual a 1—. El volumen de dicho cilindro —no necesariamente circular— es el producto de su altura por el área de su base. En este caso, las integrales iteradas en las ecuaciones (2) y (3) se reducen a



B

YSUP

!H Y

D

 DY DX A

2



2

Y

XDER

!H

YINF

 D X D Y; C

XIZQ

respectivamente.

X

EJEMPLO 2 Con integración doble, calcule el área A de la región R en el plano xy limitada por la parábola y = x 2 – 2x y la recta y = x.

FIGURA 13.3.7 Meseta.

Solución Como se indica en la figura 13.3.8, la recta ysup = x, y la parábola yinf = x2 – 2x se intersecan en los puntos (0, 0) y (3, 3) (coordenadas que son fáciles de encontrar si se resuelve la ecuación ysup = yinf ). Por tanto,

Y

Y

SUP

 

X

B

YSUP

!H DY

YINF

A 

Y  

INF



X  X



 DY DX H Y

H 

X  X

 X YHX  X

X



DX H

 DY DX

.X X  / D X H



    X X  



H 

 : 

Z

X DX

FIGURA 13.3.8 Región R del ejemplo 2.

Z  

Y

ZX   X

EJEMPLO 3 Encuentre el volumen del sólido T con forma de cuña que se encuentra por arriba del plano xy, abajo del plano z = x y dentro del cilindro x 2 + y 2  4. Esta cuña se muestra en la figura 13.3.9.

Solución La base de la región R es un semicírculo de radio igual a 2, pero por simetría podemos integrar sobre el cuarto de círculo S que está en el primer cuadrante y luego multiplicar el resultado por 2. El dibujo del cuarto de círculo (ver figura 13.3.10) ayuda a establecer los límites de la integración. Podemos integrar en cualquier orden, pero si se hace primero respecto de x es un poco más sencillo calcular el volumen V: p p   Y     Y Z D! H  X D X DY H  DY X 6 H     XH 3 

H 

XY

FIGURA 13.3.9 Cuña del ejemplo 3.

. Y  / DY H Y

  Y 



H 

 : 

Como ejercicio, integre en el otro orden y compruebe que el resultado es el mismo. Z

1016 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples Z

Y

ZZX Y

4

ZZX Y

Y X

 

X Y X

X

 

Y

Y 2

X

FIGURA 13.3.10 Mitad de la base R de la cuña (ejemplo 3).

FIGURA 13.3.11 El sólido T tiene lados verticales y está limitado por superficies en sus partes superior e inferior.

Volumen entre dos superficies

Z

Ahora suponga que la región sólida T se encuentra por arriba de la región plana R, igual que antes, pero entre las superficies z  z1(x, y) y z  z2(x, y), donde z1 (x, y) z2 (x, y) para todo (x, y) en R (ver figura 13.3.11). De esta forma, el volumen V de T se obtiene restando el volumen bajo z  z1(x, y) del volumen bajo z  z2(x, y), por lo que

ZSUP

6 H

TZ  .X; Y/ Z  .X; Y/U D!:



2

#ONMÖSBREVEDAD .Z SUP Z INF / D!

6 H 2

donde zsup  z2(x, y) y zinf  z1(x, y) describen las superficies superior e inferior de T, respectivamente. Ésta es una generalización natural de la fórmula del área de la región plana entre las curvas y  z1(x) y y  z2(x) en el intervalo [a, b]. Además, como en dicha fórmula, la ecuación (5) es válida aun si z1(x, y), o tanto z1(x, y) como z2(x, y), son negativas en parte de la región R o en la totalidad de ésta.

ZINFY

   

   X

YX

Y X

  

Y

EJEMPLO 4 Encuentre el volumen V del sólido T limitado por los planos z  6 y z  2y, y por los cilindros parabólicos y  x 2 y y  2 − x 2. Este sólido se ilustra en la figura 13.3.12.

Solución Debido a que los cilindros parabólicos dados son perpendiculares al plano xy, el sólido T tiene lados verticales. Así, se considera que T se encuentra entre los planos zsup  6 y zinf  2y, y por arriba de la región R plana xy limitada por las parábolas y  x 2 y y  2 − x 2. Como se observa en la figura 13.3.13, estas parábolas se intersecan en los puntos (−1, 1) y (1, 1). Al integrar primero respecto de y (de otra manera se necesitarían dos integrales), se obtiene

FIGURA 13.3.12 El sólido T del ejemplo 4.

Y



Y X

6 H

.Z SUP Z INF / D! H 2 

  

 

H  

YX





FIGURA 13.3.13 Región R del ejemplo 4.

X

H



Y Y 

X  YHX 

DX

X  X

. Y/ D Y D X

PORSIMETR¤A

T
. X  / . X  / T TX  X  U D X

 

H 

 . X  / D X H  X X  



H 

 : 

Z

SECCIÓN 13.3

Área y volumen por integración doble

1017

13.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Mientras que la definición de la integral doble en la sección anterior no está motivada por el problema de calcular volúmenes de sólidos, en esta sección se define al volumen V del sólido que está bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la región R en el plano xy como el valor de la integral F .X; Y/ D !. 2 2. Si la región R de la pregunta 1 es verticalmente simple, entonces la integral de volumen V = F .X; Y/ D ! puede escribirse en la forma siguiente 2

B

6 H

Y .X/

!.X/ D X

DONDE

!.X/ H

F .X; Y/ DY: Y .X/

A

3. La descripción a x b, y1(x) y y2(x) de la región R lleva a evaluar la integral doble V = F .X; Y/ D ! integrando primero respecto de x y después respecto 2 de y. 4. La descripción x1( y) x x2( y), c y d de la región R lleva a evaluar la integral doble V = F .X; Y/ D ! integrando primero respecto de y y después respecto 2 de x. 5. Si R es el rectángulo en el plano xy definido por 0 x 2, 0 y 1, entonces el volumen del sólido que se encuentra bajo la superficie z = 1 + x y y sobre R se calcula por medio de una integración iterada en cualquier orden —integrar primero respecto de x o respecto de y. 6. Dada una región R en el plano xy, el problema de calcular el área A de R es equivalente al problema de calcular el volumen de cierto sólido que se encuentre arriba de R. 7. El área de la región R limitada por la parábola y = x 2 − 2x y la recta y = x en el plano xy se calcula sólo con una integración iterada en cualquier orden. 8. El volumen del sólido con forma de cuña T que está arriba del plano xy, abajo del plano z = x y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4 se evalúa con una integración iterada en cualquier orden. 9. Para que la fórmula 6 D

TZ  .X; Y/ Z  .X; Y/U D ! 2

ofrezca el volumen que se halla entre las superficies z = z1(x, y) y z = z2(x, y) y sobre la región R en el plano xy, es necesario que z1(x, y) y z2(x, y) sean no negativas sobre R. 10. El volumen del sólido limitado por los planos z = 6 y z = 2y y por los cilindros parabólicos y = x 2 y y = 2 − x 2 se calcula sólo con una integración iterada en cualquier orden.

13.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS Estas preguntas involucran “integrales capciosas”. En cada caso, la región R de integración es el disco unitario x 2 + y 2 1 en el plano xy, y la evaluación de la integral doble por medio de integrales únicas iteradas es tediosa. Pero usted debe ser capaz de evaluar la integral mentalmente, ya sea con la visualización del volumen representado por la integral o con el uso de la simetría (o de ambos modos). Hágalo.  X  Y  D!

 2



. X C Y/ D! 2

1018 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples





X  C Y  D!

2

X  C Y  D!

 2

. X  SEN X C Y  COS Y/ D!

 2

13.3 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, use integración doble para encontrar el área de la región en el plano xy limitado por las curvas dadas.  Y H X

Y H X

 Y H X

Y H X

 Y H X 

Y H X C 

FIGURA

Y H X X 

 Y H X C 

 Z D  C COS X C COS Y FIGURA 

FIGURA

Y

Y

X H  X D  Y D  Y D 

X 

ZCOSXCOSY 

Y



 Z

YX



YX

YX X  

YX 

X

FIGURA 13.3.14 Problema 3.

 Y H X  X

FIGURA 13.3.15 Problema 4.

 

 Y H X  C 

X C Y H  

 Y H .X /

Y H .X C / Y H X  



 Y H X C 

Y HX Y

FIGURA 13.3.18 Superficie del problema 14.

X



 Z H X C Y  Z H X C Y

YH

 Z H  C X C Y

YH FIGURA

 Z H X C Y

FIGURA YX

X H  Y H  X C Y H 

Y

X H  Y H  Y H X  p X H  Y H  X H Y

 Z H X  

Y H X  Y H 

 Z H Y  

X H Y X H 

 Z H X  C Y  

YX

X H  Y H  X C Y H 

X H  X H  Y H  Y H 

 Z H  C X  C Y  

Y H X Y H  X  Y H  X H  Y H  X

 Z H  X Y X YX 

Y X

FIGURA 13.3.16 Problema 7.

 Y H X  Y H X 

FIGURA 13.3.17 Problema 8.

Y H X YH

X

X Y H  PRIMERCUADRANTE

  C X

En los problemas 11 a 26, encuentre el volumen del sólido que se halla bajo la superficie z = f (x, y) y arriba de la región en el plano xy limitada por las curvas que se dan.  Z H  C X C Y X H  X H  Y H  Y H   Z H X C Y  Z H Y C E X 

X H  X H  Y H  Y H  X H  X H  Y H  Y H 

 Z H  C Y X  

Y H X  X H Y

 Z H X  C Y  

X H  Y H  X C Y H 

 Z H X C Y

Y H X  Y H X 

En los problemas 27 a 30, encuentre el volumen del sólido dado. 27. El sólido está limitado por los planos x = 0, y = 0 y z = 0, y 3x + 2y + z = 6. 28. Los sólidos están limitados por los planos y = 0, z = 0, y = 2x, y 4x + 2y + z = 8. 29. El sólido está bajo el hiperboloide z = xy y por arriba del triángulo en el plano xy con vértices en (1, 2), (1, 4) y (5, 2). 30. El sólido está bajo el paraboloide z = 25 − x 2 − y 2 y sobre el triángulo en el plano xy con vértices en (−3, −4), (−3, 4) y (5, 0).

SECCIÓN 13.3

En los problemas 31 a 34, primero plantee una integral iterada que dé el volumen del sólido dado. Después use algún sistema de álgebra por computadora (si dispone de él) para evaluar la integral. 31. El sólido está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1, arriba del plano xy y bajo el plano z = x + 1 (ver figura 13.3.19). Y

Z

Área y volumen por integración doble

1019

39. Halle el volumen de una esfera de radio a por medio de integración doble. 40. Utilice integración doble para hallar la fórmula V = V(a, b, c) para el volumen de un elipsoide con semiejes de longitudes a, b y c. 41. Determine el volumen del sólido limitado por el plano xy y sobre el paraboloide z = 25 − x 2 − y 2, evaluando una integral doble (ver figura 13.3.22).

ZX

X Z X Y Y





 

Z X Y





 

X

Z

Z 

 



XY

FIGURA 13.3.19 Sólido del problema 31.

 X

32. El sólido se halla sobre el plano xy y bajo el paraboloide z = 9 − x 2 − y 2. 33. El sólido está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4. 34. El sólido está dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 y sobre el paraboloide z = x 2 + y 2. 35. Utilice integración doble para encontrar el volumen del tetraedro en el primer octante y limitado por los planos coordenados y el plano cuya ecuación es X Y Z C C H A B C (ver figura 13.3.20). Los números a, b y c son constantes positivas.





Y



Z Y X   



 

C

X

ZXY

42. Encuentre el volumen del sólido limitado por los dos paraboloides z = x 2 − 2y 2 y z = 12 − 2x 2 −y 2 (ver figura 13.3.23). 43. Calcule el volumen que se retira cuando se corta un agujero cuadrado vertical cuya arista mide R directamente por el centro de un cilindro sólido horizontal y largo cuyo radio es R. 44. Obtenga el volumen del sólido limitado por las superficies z = x 2 + 3y 2 y z = 4 − y 2 (ver figura 13.3.24).

YZ

A



FIGURA 13.3.23 Sólido del problema 42.

FIGURA 13.3.22 Paraboloide sólido del problema 41.

Z Z

 Y



Z 

B

Y Y

FIGURA 13.3.20 Tetraedro del problema 35.

X

XY

FIGURA 13.3.21 Sólido del problema 37.

36. Suponga que h > a > 0. Demuestre que el volumen del sólido limitado por el cilindro x 2 + y 2 = a 2, el plano z = 0 y el plano z = x + h es V = π a 2 h. 37. Calcule el volumen de la parte que está en el primer octante, del sólido limitado por los cilindros x 2 + y 2 = 1 y y 2 + z 2 = 1 (ver figura 13.3.21). [Sugerencia: un orden de integración es considerablemente más fácil que el otro]. 38. Encuentre con integración doble el volumen del sólido limitado por las superficies y = sen x, y = − sen x, z = sen x, y z = − sen x para 0 x π. Para los problemas 39 a 45, consulte el capítulo 7 o la tabla de integrales en los forros a fin de encontrar las antiderivadas de expresiones tales como (a2 − x 2 )3/2.



ZXY

FIGURA 13.3.24 Sólido del problema 44.

45. Determine cuál es el volumen V del sólido T limitado por los cilindros parabólicos z = x 2, z = 2x 2, y = x 2 y y = 8 − x 2. En los problemas 46 y 47, use un sistema de álgebra por computadora para encontrar (en forma aproximada o exacta) el volumen del sólido que está bajo la superficie z  f (x, y) y sobre la región en el plano xy que está limitado por y  cos x y y  −cos x para −π/2 x π/2. 47. f (x, y) = cos y 46. f (x, y) = 4 − x 2 − y 2 48. Repita el problema 47, pero con f (x, y) = |sen x| cos x. También trate de aprovechar la simetría para evaluar manualmente la integral de volumen.

1020 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

En los problemas 49 a 51, se dan las ecuaciones de un plano y un paraboloide. Use un sistema de álgebra por computadora para evaluar la integral doble que proporcione el volumen del sólido limitado por las dos superficies. 49. z = 2x + 3 y z = x 2 + y 2 50. z = 4x = 4y y z = x 2 + y 2 − 1 51. 16x + 18y + z = 0 y z = 11 − 4x 2 − 9y 2 52. Suponga que se hace un agujero cuadrado cuyos lados miden 2, en forma simétrica y a través del centro de una esfera de radio igual a 2. Use un sistema de álgebra por computadora para calcular el volumen que se retira de ese modo. Demuestre que su resultado es (en forma exacta o aproximada) igual

al valor exacto 6 H

p p   C    TAN  : 

53. Suponga que se practica un agujero cuadrado cuyos lados miden 2, a través de una esfera de radio igual a 4 y fuera del centro de ésta. Sea S la sección transversal cuadrada del agujero en un plano ecuatorial de la esfera. El punto medio C de S está a una distancia de 2 del centro de la esfera, y el radio de la esfera que pasa a través de C es perpendicular a dos lados de S. Emplee un sistema de álgebra por computadora para demostrar que cuando se hace el agujero se retira alrededor de 10% del volumen total de la esfera.

13.4 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Y

Tal vez sea más fácil evaluar una integral doble después de transformarla de coordenadas rectangulares xy a coordenadas polares r θ. Es probable que éste sea el caso cuando la región R de integración sea un rectángulo polar. Un rectángulo polar es una región descrita en coordenadas polares por las desigualdades

RB 2

R

$R

$Q B A

A

RA X

FIGURA 13.4.1 Rectángulo polar.

R

B;





:

En la figura 13.4.1 se ilustra dicho rectángulo polar. Si a = 0, es un sector de un disco circular de radio b. Si 0 < a < b, α = 0 y β = 2π, es un anillo anular de radio interior igual a a y radio exterior de b. Como el área de un sector circular con radio r y ángulo central θ es  r 2θ, el área del rectángulo polar en (1) es ! H  B . /  A  . / H  .A C B/.A B/. / H R

Z



R

;



donde r = b – a, θ = β – α, y R =  (a + b) es el radio promedio del rectángulo polar. Suponga que se desea calcular el valor de la integral doble

ZFX Y

F .X; Y/ D!; 2

Y

B

X

A

RA

2 RB

FIGURA 13.4.2 Región sólida cuya base es el rectángulo polar R.

donde R es el rectángulo polar en (1). Es decir, se quiere obtener el volumen del sólido cuya base es R y que se encuentra debajo de la superficie z = f (x, y) (ver figura 13.4.2). En la sección 13.1 se definió la integral doble como el límite de sumas de Riemann con particiones que consisten en rectángulos ordinarios. También es posible definir la integral doble en términos de particiones polares, formadas por rectángulos polares. Se comienza con una partición A H R < R < R <


< RM H B

de [a, b] en m subintervalos que tienen todos la misma longitud r = (b – a)/m, y una partición  H  <  <  <


< N H de [α, β] en n subintervalos que tienen todos la misma longitud θ = (β – α)/n. Esto da la partición polar P de R en los k = mn rectángulos polares R1, R2, . . . , Rk indicados en la figura 13.4.3. La norma |P| de esta partición polar es la máxima de las longitudes de las diagonales de sus subrectángulos polares. Sea el punto central de Ri con coordenadas polares (RI , I ), donde RI es el radio promedio de Ri. De esta forma, las coordenadas rectangulares de este punto son XI = RI cos I y YI = RI sen I . Así, la suma de Riemann para la función f (x, y) asociada con la partición polar P es K

F .XI ; YI IH

!I;

SECCIÓN 13.4

Integrales dobles en coordenadas polares 1021

Y $Q Q $R 2I

RI Q QI

RB

2

B

RA

A

X

FIGURA 13.4.3 Partición polar del rectángulo polar R.

donde Ai = RI r θ es el área del rectángulo polar Ri [en parte esto es consecuencia de la ecuación (2)]. Cuando esta suma de Riemann se expresa en coordenadas polares se obtiene K

K

F .XI ; YI

!I H

IH

F .RI COS I ; RI SEN I / RI

R

IH K

G.RI ; I

H

R

;

IH

Y

donde g(r, θ) = r · f (r cos θ, r sen θ). Esta última suma es sólo una suma de Riemann para la integral doble

Q RDQ

D!



B



B

G.R; / DR D H

Q DQ

DR



F .R COS ; R SEN / R DR D;

A



A

por lo que, finalmente, se sigue que K

R

F .X; Y/ D! H L¤M

jP j!

2

Y

H

R



L¤M

 !

G.RI ; I IH



B

H

G.R; / DR D: 

A

B

F .X; Y/ D! H

Z X Y

R

%SDECIR

 

!I

K

X

FIGURA 13.4.4 Las dimensiones del rectángulo polar pequeño sugieren que su área es d A = dr · r dθ = r dr dθ.

F .XI ; YI IH

2

F .R COS ; R SEN / R DR D  



A



Así, transformamos de manera formal a coordenadas polares una integral doble sobre un rectángulo polar de la forma en (1) con la sustitución de

 Z

X H R COS ;

 

 X

 

FIGURA 13.4.5 Paraboloide del ejemplo 1.

Y H R SEN ;

D! H R DR D



y la inserción de los límites de integración apropiados sobre r y θ. En particular, observe la r “adicional” en el lado derecho de la ecuación (3). Usted la recuerda por la visualización del “rectángulo polar infinitesimal” de la figura 13.4.4, con “área” dA = r dr dθ. EJEMPLO 1 Encuentre el volumen V del sólido que se ilustra en la figura 13.4.5. Ésta es la figura que está limitada por el plano xy por abajo, y por arriba por el paraboloide z = 25 − x 2 − y 2.

1022 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Solución El paraboloide interseca el plano xy en la circunferencia x 2 + y 2 = 25. El volumen del sólido se calcula con integración sobre el cuarto de circunferencia que está en el primer cuadrante (ver figura 13.4.6) para después multiplicar el resultado por 4. Así, p

Y

R

X 



P Q Q 

6 H 

X

Q Q

R

No hay dificultad en realizar la integración respecto de y, pero entonces se enfrentan las integrales X   X  D X;

 X  D X;

FIGURA 13.4.6 Un cuarto del dominio de la integral del ejemplo 1.

. X  Y  / D Y D X:



. X  /= D X:

Y

En lugar de ello, transformemos la integral original a coordenadas polares. Como 25 − x 2 − y 2 = 25 − r 2 y debido a que el cuarto del disco circular en el primer cuadrante está descrito por  R ;   =;

Y

La ecuación (3) arroja el volumen =



6 H 

2

 =

RB

H 

B

. R  / R DR D

    R R  



D H 
R H

  
H :   

Z

RA

A

X

FIGURA 13.4.7 Partición interior polar de la región R.

Regiones más generales en coordenadas polares Si R es una región más general, entonces es posible transformar a coordenadas polares la doble integral F .X; Y/ D! 2

Y

expresándola como el límite de sumas de Riemann con “particiones interiores polares” de la clase que se indica en la figura 13.4.7. En lugar de dar la obtención detallada —que es una generalización de la obtención anterior de la ecuación (3)— sólo se dan los resultados en un caso especial que tiene importancia práctica. La figura 13.4.8 muestra una región R radialmente simple que consiste en aquellos puntos con coordenadas polares que satisfacen las desigualdades R . / R R ./:   ;

RR Q Q RR Q Q 2

Q

B A

X

En este caso, la fórmula

FIGURA 13.4.8 Región R radialmente simple.

RRQ

RDRDQ

B

A



RRQ X

REXTERIOR

6 H

Z R DR D 

FIGURA 13.4.9 Integración primero respecto de r y luego respecto de θ.



da la evaluación en coordenadas polares de una integral doble sobre R (con la suposición habitual de que las integrales indicadas existen). Obsérvese que primero se integra respecto de r, con los límites r1(θ) y r2(θ) como las coordenadas r de un segmento radial común en R (ver figura 13.4.8). La figura 13.4.9 muestra la forma en que es posible plantear de manera formal la integral iterada en el lado derecho de la ecuación (5). En primer lugar, se desliza radialmente un elemento de área común d A = r dr dθ, de r = r1(θ) a r = r2(θ). En segundo lugar, la banda resultante se gira de θ = α a θ = β para recorrer la región R. La ecuación (5) produce la fórmula del volumen

Y



F .R COS ; R SEN  / R DR D R . /



2



R . /

F .X; Y/ D! H



RINTERIOR

para el volumen V del sólido que está sobre la región R de la figura 13.4.8 y bajo la superficie z = f (x, y) = f (r cos θ, r sen θ).

SECCIÓN 13.4

Integrales dobles en coordenadas polares 1023

Observe que las ecuaciones (3) y (5) para evaluar una integral doble en coordenadas polares toman la forma F .X; Y/ D! H

F .R COS ; R SEN / R DR D 

2



3

El símbolo S en el lado derecho representa los límites apropiados sobre r y θ tales que la región R es recorrida en la forma en que se indica en la figura 13.4.9. Con f (x, y) ≡ 1, la ecuación (7) se reduce a la fórmula

Y REXTERIOR COSQ

! H A.2 / H

R DR D

RINTERIOR  Q

X 2

FIGURA 13.4.10 La región R del ejemplo 2.

para calcular el área a(R) de R con integración doble en coordenadas polares. Observe otra vez que el símbolo S se refiere no a una región nueva en el plano xy, sino a una descripción nueva —en términos de coordenadas polares— de la región original R. EJEMPLO 2 La figura 13.4.10 muestra la región R limitada en su interior por la circunferencia r = 1 y en el exterior por la curva conocida como “caracol de Pascal” r = 2 + cos θ. Al seguir del origen hacia afuera una recta radial común, se observa que rinterior = 1, y que rexterior = 2 + cos θ. Entonces, el área de R es

REXTERIOR

!H

R DR D RINTERIOR





Y





3

X  Y

R DR D 

H

 

 

SIMETR¤A

 



CCOS 

H

 T. C COS  /  U D 

. C  COS  C COS  / D

H 

Z 



H

 C  COS  C 







XYZ X

C

H







FIGURA 13.4.11 La esfera con un agujero descentrado (ejemplo 3).

Y Q RCOSQ

2 R Q  

  X

  D H :  

Los términos del coseno en la integral siguiente hasta la última no contribuyen en nada porque al integrarse producen términos de seno que valen cero en ambos límites de la integración. Z EJEMPLO 3 Encuentre el volumen de la región sólida que es interior tanto a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 de radio 2, como al cilindro (x− 1) 2 + y 2 = 1. Éste es el volumen de material retirado cuando se hace un agujero descentrado de radio igual a 1, tangente al diámetro y a través de una esfera de radio igual a 2 (ver figura 13.4.11).

Solución Es necesario integrar la función F .X; Y/ H  X  Y  sobre el disco R limitado por el círculo con centro en (1, 0) y radio igual a 1 (ver figura 13.4.12). El volumen V que se desea es el doble de la parte sobre el plano xy, por lo que  X  Y  D!:

6 H XY

2

X  Y

FIGURA 13.4.12 El círculo pequeño es el dominio R de la integral del ejemplo 3.

  C COS  D  

Pero esta integral sería muy difícil de evaluar en coordenadas rectangulares, por lo que la cambiamos a coordenadas polares. El círculo de radio 1 en la figura 13.4.12 nos es familiar desde la sección 9.2; su ecuación polar es r = 2 cos θ. Por tanto, la región R está descrita por las desigualdades 

R

 COS ;

=



=:

1024 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Únicamente debemos integrar la mitad superior de R, gracias a la simetría de la esfera con agujero. Esto involucra duplicar, en un momento posterior, la integral que escribamos. Por tanto —con la ecuación (5)— se encuentra que =

 COS 

 R  R DR D

6 H 

 =

 COS 

 . R  /= 

H 

D H R H

 

=

. SEN  / D:



Ahora se observa que de la fórmula (113) en los forros del libro, que =

SEN  D H



 ; 

por lo que 6 H

   




    ::  

H

Z

En el ejemplo 4 se usa una versión de coordenadas polares de la fórmula del volumen que nos es familiar 6 H

.Z SUP Z INF / D!: 2

X 



EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del sólido que tiene como límite superior el paraboloide z = 8 − r 2 y límite inferior el paraboloide z = r 2 (ver figura 13.4.13).





Z R



Solución La curva de intersección de los dos paraboloides se encuentra con la solución simultánea de las ecuaciones de las dos superficies. Se elimina z para obtener R  H  R I

Z 

ESDECIR R  H :

De ahí que el sólido esté sobre el disco circular plano D con descripción polar 0 por lo que el volumen del sólido es





ZR



 Y

6 H



$

 



FIGURA 13.4.13 Sólido del ejemplo 4.



H 

EJEMPLO 5 mostrar que



.Z SUP Z INF / D! H



r

2,

T. R  / R  U R DR D



 .R R  / DR D H  R  R  



H :

Z



Aquí se aplica una técnica estándar de coordenadas polares para de1



EX D X H



OBSERVACIÓN

p   



Esta integral impropia tan importante converge debido a que B 

B



EX D X

1

EX D X



EX D X H



(La primera desigualdad es válida porque E B 

es una función acotada y creciente de b.

X  

EX D X

EX PARA X

 : E ) Se sigue que

SECCIÓN 13.4 Y 



Solución Sea que Vb denote el volumen de la región que está debajo de la superficie   z = EX Y y arriba del cuadrado con vértices (±b, ±b) en el plano xy (ver figura 13.4.14). De esta forma,





X Y

ZE

B

Z

B

6B H



B

  X

EX

 Y 

B

DX DY H

B B



H

FIGURA 13.4.14 Superficie   Z H EX Y (ejemplo 5).

B



EX D X

B





ZE R



B!1

 B!1





 X

B

H

B

E

 Y 

X 





EX D X :



y arriba de todo el plano xy es 

DX

1

H

E



X 



H )  ;

DX



donde I denota el valor de la integral impropia en (9). Ahora se calcula V con otro método ‚—con el uso de coordenadas polares—.    Se toma el límite, cuando b → +∞, del volumen debajo de Z H EX Y H ER y arriba del disco circular con centro en (0, 0) y radio igual a b (ver figura 13.4.15). Este disco está descrito por  R B;    por lo que se obtiene B

6 H L¤M

Z





EX D X

H

B

B!1



EX D X DY

B



Se sigue que el volumen abajo de Z H EX



B



B

EY DY

6 H L¤M 6B H L¤M 



EY

B

B

Y

Integrales dobles en coordenadas polares 1025







R ER DR D H L¤M

B!1





  ER 

B

D R H





FIGURA 13.4.15 Superficie  Z H ER (ejemplo 5).

    EB D H L¤M   EB H : B!1   p Se igualan estos dos valores de V y se sigue que )  H  Por tanto, ) H   como se buscaba demostrar. Z H L¤M

B!1

13.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si la región R es un rectángulo polar —es decir, una región descrita en coordenadas polares por desigualdades de la forma a r b, α θ β— entonces es probable que la integral doble F .X; Y/ D ! sea más fácil de integrar después 2 de transformarla de coordenadas rectangulares xy a coordenadas polares rθ. 2. Si R es el rectángulo polar descrito por a r b, α θ β y g(r, θ) = r · f (r sen θ, r cos θ), entonces

B

F .X; Y/ D ! H 2

G.R; /DR D: 

A

3. Si la región R es un rectángulo polar, entonces es posible transformar la integral doble F .X; Y/ D ! a coordenadas polares de manera formal con las sustituciones 2 X H R COS ; Y H R SEN ; D ! H DR D y colocando los límites apropiados de la integración para r y θ. 4. Un “rectángulo polar infinitesimal”, correspondiente a los cambios dr y dθ en las variables en coordenadas polares, se visualiza como un rectángulo infinitesimal que tiene lados dr y rdθ, y por tanto tiene área infinitesimal dA = dr · rdθ = r dr dθ. 5. Si la región R en el plano xy está acotada por la circunferencia x 2 + y 2 = 25, entonces la integral doble . X  Y  / D ! se evalúa con facilidad por medio 2 de coordenadas rectangulares. 6. Si la región R en el plano xy está acotada por la circunferencia x 2 + y 2 = 25, entonces la integral doble . X  Y  / D ! se evalúa con facilidad por medio 2 de coordenadas polares.

1026 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

7. Suponga que la región R en el plano xy consiste en aquellos puntos con coordenadas polares que satisfacen las desigualdades r1(θ) r r2(θ), α θ β. De esta manera, la integral doble F .X; Y/ D ! se transforma en otra iterada 2 en coordenadas polares que se integra primero respecto de r y después respecto de θ. 8. El área A de la región descrita por las desigualdades en coordenadas polares en

R . /

la pregunta 7 está dada por ! H

R DR D  

R . /

9. En el ejemplo 3, el volumen de la región sólida que está dentro tanto de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 como del cilindro (x − 1)2 + y 2 = 1 se calcula con el uso de coordenadas polares debido a que la integral de volumen apropiada sería muy difícil de evaluar si se emplearan coordenadas rectangulares. 10. En la solución del ejemplo 5, el volumen V del sólido no acotado que está debajo   de la superficie z = EX Y y arriba de todo el plano xy se calcula dos veces —tanto con coordenadas rectangulares como con polares.

13.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa una región plana R tal que la evaluación de F D ! por medio de in2 tegración iterada sin subdividir la región R requeriría el uso de coordenadas rectangulares, y otra región tal que sería necesario emplear coordenadas polares. 2. ¿Puede describir una integral F D ! tal que R sea el cuadrado unitario 0 x 1, 2 0 y 1, pero que la integral se evalúe con mayor facilidad en coordenadas polares que en rectangulares? 3. ¿Puede describir una integral F D ! tal que R sea el disco unitario 0 r 1 2 pero que sea más fácil evaluar la integral en coordenadas rectangulares que en polares?

13.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 7, encuentre el área indicada por medio de integración doble en coordenadas polares. 1. El área limitada por la circunferencia r = 1 2. El área acotada por la circunferencia r = 3 sen θ 3. La superficie limitada por la cardioide r = 1 + cos θ (ver figura 13.4.16) 4. La superficie acotada por un lazo de r = 2 cos 2θ (ver figura 13.4.17) 5. El área dentro de los dos círculos, r = 1 y r = 2 sen θ 6. El área dentro de r = 2 + cos θ y fuera del círculo r = 2 7. La superficie dentro del lazo más pequeño de r = 1 − 2 sen θ (ver figura 13.4.18)

 

En los problemas 8 a 12, use integración doble en coordenadas polares para encontrar el volumen del sólido que está debajo de la superficie dada y arriba de la región plana R limitada por la curva dada.  Z H X  C Y   R H   Z H

 Z H X  C Y  

R H R H  COS 

 Z H  C X C Y

R H SEN 

 Z H A  X  Y  

R HA

 RCOSQ

X  C Y



 R SENQ













FIGURA 13.4.16 Cardioide del problema 3.



 RCOSQ

FIGURA 13.4.17 Rosa del problema 4.

FIGURA 13.4.18 Caracol de Pascal del problema 7.

SECCIÓN 13.4

En los problemas 13 a 18, evalúe la integral dada convirtiéndola primero a coordenadas polares. p  Y    D X D Y VERFIGURA  C Y  C X   p  X    D Y D X VERFIGURA  X  Y   p X 



.X  C Y  /= D Y D X

 

X DY DX X 

p

Y 

SEN.X  C Y  / D X D Y

 

 

p

XX 



 X







ZX





X   

XYZA

Z 

Z



Z XY   Y



 X

 

FIGURA 13.4.22 Cono de helado del problema 29.



 

Y 



1027

XY



FIGURA 13.4.21 Cuña del problema 26.





Integrales dobles en coordenadas polares

DY DX

C Y

VERFIGURA

Y

Y

XY YX X



X

FIGURA 13.4.19 Cuarto de círculo para los problemas 13 y 14.

X

FIGURA 13.4.20 Cuarto de círculo para el problema 18.

En los problemas 19 a 22, encuentre el volumen del sólido limitado en sus partes superior e inferior por las superficies z  z1(x, y) y z  z2(x, y), y está sobre la región plana R acotada por la curva dada r = g(θ).  Z H  Z H  C X C Y R H   Z H  C X Z H  C X  Z H  Z H  C X C Y  Z H  Z H  C X

29. Calcule el volumen del “cono de helado” limitado por la esfera x 2 + y 2 + z 2  a2 y el cono Z H X  C Y   Cuando a = 1, este sólido es el que se ilustra en la figura 13.4.22. 30. Determine el volumen limitado por el paraboloide z  r 2, el cilindro r  2a sen θ, y el plano z = 0. 31. Halle el volumen que está debajo del paraboloide z  r 2 y arriba de un lazo de la lemniscata cuya ecuación es r 2  2 sen 2θ. 32. Obtenga el volumen que se encuentra debajo tanto del cilindro x 2 + y 2  4 como del elipsoide 2x 2 + 2y 2 + z 2  18. 33. Si 0 < h < a, entonces el plano z = a – h corta un segmento esférico de altura h y radio b de la esfera x 2 + y 2 + z 2  a 2 (ver figura 13.4.23). a) Demuestre que b 2  2ah − h2. b) Demuestre que el volumen del segmento esférico es V   πh(3b 2 + h2). 34. Demuestre con el método del ejemplo 5 que 1 

1 

 . C

X

C

Y  /

DX DY H

 : 

35. Determine el volumen del toro sólido que se obtiene al hacer girar el disco r a alrededor de la recta x = b > a (ver figura 13.4.24). [Sugerencia: si se hace girar al elemento de área d A  r dr dθ alrededor de la recta, el volumen generado es V  2π(b − x)dA. Exprese todo en coordenadas polares]. ZA H

R H R H  SEN 

 Z 



R H  C COS 

Resuelva los problemas 23 a 32 con integración doble en coordenadas polares. 23. Con integración doble, encuentre el volumen de una esfera de radio a. 24. Determine el volumen del sólido limitado por los paraboloides z  12 − 2x 2 − y 2 y z  x 2 + 2y 2. 25. Suponga que h > a > 0. Demuestre que el volumen del sólido limitado por el cilindro x 2 + y 2  a2, el plano z = 0 y el plano z  x + h, es V  πa2h. 26. Calcule el volumen del sólido en forma de cuña descrito en el ejemplo 3 de la sección 13.3 (ver figura 13.4.21). 27. Encuentre el volumen acotado por los paraboloides z  x 2 + y 2 y z  4 − 3x 2 − 3y 2. 28. Halle el volumen limitado por los paraboloides z  x 2 + y 2 y z  2x 2 + 2y 2 − 1.

XYZA

FIGURA 13.4.23 Segmento esférico del problema 33.

 Y

 X

 



FIGURA 13.4.24 Toro del problema 35 (se ilustra el caso en que a = 1, b = 2).

En los problemas 36 a 40, use integrales dobles en coordenadas polares para encontrar los volúmenes de los sólidos indicados. 36. El sólido está arriba del plano z = −3 y bajo el paraboloide z  15 − 2x 2 − 2y 2. 37. El límite superior del sólido es el plano z  y + 4 y el inferior es el paraboloide z  x 2 + y 2 + y. 38. El sólido se localiza dentro del cilindro x 2 + y 2  4, arriba del plano xy y debajo del plano z = x + y + 3. 39. El sólido está limitado por los paraboloides elípticos z  x 2 + 2y 2 y z  12 − 2x 2 − y 2.

1028 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

40. El sólido está dentro del elipsoide 4x 2 + 4y 2 + z 2  80 y arriba del paraboloide z  2x 2 + 2y 2. 41. Determine el volumen que se retira al hacer un agujero circular de radio a < b en forma simétrica al centro de una esfera cuyo radio es b [compruebe que es alrededor del 35% del volumen de la esfera cuando a = 1 y b = 2]. 42. Suponga que un orificio circular con radio 1 se corta en el centro de una esfera de radio 4. El eje del agujero está a una distancia 2 del centro de la esfera. Utilice un sistema de álgebra por computadora para demostrar que el volumen del material eliminado es aproximadamente el 8% del volumen de la esfera.

43. Suponga que se hace un agujero hexagonal de manera simétrica a través del centro de una esfera de radio igual 2. La sección transversal del agujero es un hexágono unitario regular —un polígono de seis lados y ángulos iguales, con cada lado y “radio” igual a 1—. Use un sistema de álgebra por computadora para demostrar que el volumen del material removido es alrededor del 29% del volumen de la esfera [para dar al sistema algebraico de la computadora un funcionamiento más vigoroso, podría intentar con un agujero pentagonal (de cinco lados) o heptagonal (de siete lados), cada uno con “radio” igual a 1. Con un polígono unitario de 17 lados, el volumen del material removido es cerca del 34% del de la esfera, cerca de la cifra de 35% que se menciona en el problema 41].

13.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y

XI(

2I

2

YI(

X

En la sección 6.6 se analizó la masa m y el centroidexy ( X , Y ) de una región plana que corresponde a una placa delgada o lámina de densidad uniforme (constante). Este caso especial es tratable por el cálculo con el uso de integrales con una sola variable. No obstante, la integral doble proporciona el planteamiento apropiado para el caso general de una lámina con densidad variable que ocupa una región R acotada en el plano x y. Suponemos que la densidad de la lámina (en unidades de masa por unidad de área) en el punto (x, y) está dada por la función continua δ(x, y). Sea P = {R1, R2, . . . , Rn} una partición interior de R, y se elige un punto ( XI , YI ) en cada subrectángulo Ri (ver figura 13.5.1). Así, la masa de la parte de la lámina que ocupa Ri es aproximadamente δ( XI , YI )Ai, donde Ai denota el área a(Ri) de Ri. Así, la masa de toda la lámina está dada aproximadamente por N

FIGURA 13.5.1 Elemento de área Ai = a(Ri).

M

.XI ; YI

!I:

IH

Conforme la norma |P| de la partición interior P tiende a cero, esta suma de Riemann tiende a la integral doble correspondiente sobre R. Entonces, se define la masa m de la lámina por medio de la fórmula MH

.X; Y/ D!:



2

Brevemente, MH

 D! H 2

DM 2

en términos de la densidad δ y el elemento de masa DM H  D!: Las coordenadas (X , Y) del centroide, o centro de masa, de la lámina se definen

como XH

YH

 M  M

X.X; Y/ D!;



Y.X; Y/ D!:



2

2

Quizá prefiera recordar estas fórmulas como  XH X DM; M 2

YH

 M

Y DM: 2

SECCIÓN 13.5

Aplicaciones de las integrales dobles

1029

Así, X y Y son los valores promedio de x y y respecto de la masa en la región R. El centroide (X , Y) es el punto de la lámina en el que permanecería balanceada si se colocara sobre un picahielo (ver figura 13.5.2). Si la función densidad δ tiene el valor constante k > 0, entonces las coordenadas de X y de Y son independientes del valor específico de k (¿por qué?). En tal caso, por lo general se tomará δ ≡ 1 en nuestros cálculos. Además, en este caso, m tendrá el mismo valor numérico que el área A de R, y (X , Y) se denomina centroide de la región plana R. Por lo general, se deben calcular las tres integrales de las ecuaciones (1) a (3) a fin de encontrar el centroide de una lámina, pero en ocasiones se aprovecha el principio de simetría siguiente: si la región plana R (considerada como una lámina de densidad constante) es simétrica respecto a la recta L —es decir, si R es llevada sobre sí misma cuando el plano se gira un ángulo de 180° alrededor de la recta L— entonces el centroide de R queda sobre L (ver figura 13.5.3). Por ejemplo, el centroide de un rectángulo (ver figura 13.5.4) es el punto en el que coinciden los bisectores perpendiculares de sus lados, puesto que éstos también son ejes de simetría.

X Y

FIGURA 13.5.2 Lámina balanceada en su centroide.

,

0 1 # 2

FIGURA 13.5.3 Eje de simetría.

Y

# Y X

A 

En el caso de una función densidad, δ, que no sea constante, se requiere (por simetría) que δ —así como la región misma— sea simétrica respecto a la recta geométrica L de simetría. Es decir, se requiere que δ(P)  δ(Q) si (como se observa en la figura 13.5.3) los puntos P y Q se localizan en forma simétrica respecto a L. Entonces, el centroide de la lámina R queda sobre el eje L de simetría. EJEMPLO 1 Considere el disco semicircular de radio a que se muestra en la figura 13.5.5. Si tiene densidad constante δ ≡ 1, entonces su masa es m   πa2 (numéricamente igual a su área), y por simetría su centroide C(X , Y) queda sobre su eje y. De ahí que X = 0, y sólo se necesitaría calcular

FIGURA 13.5.5 Centroide de un disco semicircular (ejemplo 1).

YH Y

FIGURA 13.5.4 Centroide de un rectángulo.

YX YX

 M

Y DM 2

 A  .R SEN  / R DR D COORDENADASPOLARES  A   A   A  A   R H : COS  H

H     A A   

H

Así, el centroide de la lámina semicircular se localiza en el punto (0, 4a/3π). Observe que el valor calculado para Y tiene las dimensiones de la longitud (ya que a es una longitud), como debe ser. Cualquier respuesta con otras dimensiones sería sospechosa. Z





FIGURA 13.5.6 Lámina del ejemplo 2.

X

EJEMPLO 2 Una lámina ocupa la región acotada por la recta y  x + 2 y la parábola y  x 2 (ver figura 13.5.6). La densidad de la lámina en el punto P(x, y) es proporcional al cuadrado de la distancia de P a partir del eje y —así, δ(x, y)  k x 2 (donde k es una constante positiva)—. Encuentre la masa y centroide de la lámina.

1030 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Solución La recta y la parábola se intersecan en los dos puntos (−1, 1) y (2, 4), por lo que la ecuación (1) ofrece la masa 

XC

MH

X

 

HK



K X DY DX H K

XY



.X  C X  X  / D X H



XC YHX 

DX

 K: 

Por lo tanto, las ecuaciones (2) y (3) proporcionan XH H

YH

H



 K

X

 

 

XC

 

K X DY DX H

.X  C X  X  / D X H

 

 K

X

 

 

XC

K X  Y DY D X H



XC

XY

YHX 



DX

  
H I     



   X Y 



.X  C X  C X  X  / D X H



XC

DX YHX 

  
H :   

Así, la lámina de este ejemplo tiene una masa de 63k/20, y su centroide se localiza en / Z el punto .  ;   Y

EJEMPLO 3 Una lámina tiene la forma de un cuarto de círculo en el primer cuadrante, con radio a, como se ilustra en la figura 13.5.7. Su densidad es proporcional a la distancia al origen —es decir, su densidad en (x, y) es .X; Y/ H K X  C Y  H K R (donde k es una constante positiva)—. Encuentre su masa y centroide.

YX

Solución En primer lugar, hay que cambiar a coordenadas polares, ya que tanto la forma de la frontera de la lámina y la fórmula de su densidad sugieren que esto hará que los cálculos sean mucho más sencillos. La ecuación (1) hace que la masa sea

XYA X Y A

=

X

A

 D! H

MH

FIGURA 13.5.7 Cálculo de la masa y el centroide (ejemplo 3).



2 =

HK 

  R 

KR  DR D



A

=

HK 

R H

  K A  A D H :  

Por simetría de la lámina y su función de densidad, el centroide está sobre la recta y = x. Por tanto, la ecuación (3) proporciona XHYH

H

 M  A 

Y D! H 2 = 

=

 K A 

  R SEN  



A

A

D H R H

KR  SEN  DR D



 A
A  

=

SEN  D H 

A : 

Así, la lámina dada tiene una masa de k πa3; su centroide se localiza en el punto (3a/2π, 3a/2π). Z

SECCIÓN 13.5

Aplicaciones de las integrales dobles

1031

El volumen y el primer teorema de Pappus %JEDE REVOLUCI˜N

Ahora se ofrece una demostración más general del primer teorema de Pappus, que se analizó en la sección 6.6 desde el punto de vista de una sola variable. ¬REA!

PRIMER TEOREMA DE PAPPUS Volumen de revolución Suponga que una región plana R revoluciona alrededor de un eje en su plano (ver figura 13.5.8), lo que genera un sólido de revolución con volumen V. Suponga que el eje no interseca el interior de R. Así, el volumen

R #ENTROIDE

VA·d del sólido es el producto del área A de R por la distancia d recorrida por el centroide de R.

FIGURA 13.5.8 Un sólido de volumen V  A · d es generado por el área A conforme su centroide viaja la distancia d  2π r alrededor de una circunferencia de radio r.

Y DX

Y YFX X

FX GX

2 YGX A

X

X

B

FIGURA 13.5.10 Sólido de revolución que consiste en conchas cilíndricas.

FIGURA 13.5.9 Una región R entre las gráficas de dos funciones.

Demostración En la sección 6.6 se trató el caso especial de una región verticalmente

Y

X

A

simple de la forma que se ilustra en la figura 13.5.9 y el volumen de revolución correspondiente ilustrado en la figura 13.5.10. Simplificando, sea P  {R1, R2, . . . Rn} una partición interior de R, sea ( XI , YI ) el centro del rectángulo Ri, y que Ai denote el área de Ri. De esta forma, según la fórmula del volumen de una concha cilíndrica (ecuación 1) de la sección 6.3), el volumen obtenido al revolucionar el rectángulo Ri en un círculo de radio XI alrededor del eje y (por ejemplo) es Vi  2π XI Ai. Así, el volumen de todo el sólido de revolución está dado aproximadamente por N

Y

6 

N

6I H IH

 XI

!I:

IH

Aquí se observa una suma de Riemann que aproxima la integral Z

6 H

X D! H  !
2

FIGURA 13.5.11 Esfera de radio a generada al revolucionar una región semicircular de área A   πa2 alrededor de su diámetro sobre el eje x (ejemplo 4). El centroide del semicírculo se mueve a lo largo de un círculo cuyo perímetro es d  2π Y .

 !

X D! H  !
X 2

(con el empleo de la ecuación (2) y δ = 1). Pero d  2π X es la distancia recorrida por el centroide, por lo que se concluye que V  A · d, como se deseaba. X EJEMPLO 4 Encuentre el volumen V de la esfera de radio a que se genera al hacer girar la región semicircular D alrededor del eje x, del ejemplo 1. Ver la figura 13.5.11.

Solución El área de D es A   πa2, y en el ejemplo 1 se vio que Y  4a/3π. Así, el teorema de Pappus proporciona 6 H  Y ! H 


A A  
H A  :   

Z

1032 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

EJEMPLO 5 Considere el disco circular de la figura 13.5.12, con radio a y centro en el punto (b, 0) con 0 < a < b. Encuentre el volumen V del toro sólido generado al revolucionar este disco alrededor del eje y. Dicho toro se ilustra en la figura 13.4.24.

Y ¬REA!PA

X B

DPB

A

FIGURA 13.5.12 Rotación del disco circular alrededor del eje y para generar un toro (ejemplo 5).

Solución El centroide del círculo se localiza en su centro (b, 0), por lo que X = b. Así, el centroide es revolucionado a lo largo de la distancia d  2π b. En consecuencia, 6 H D
! H  B
A  H   A  B:

Z

Observe que este resultado es correcto en cuanto a las dimensiones.

El área superficial y el segundo teorema de Pappus Los centroides de curvas planas se definen por analogía con aquellos de regiones planas, por lo que este tema se presentará con menor detalle. Bastará que tratemos el caso de la densidad constante δ ≡ 1 (como el de un alambre delgado con masa unitaria por unidad de longitud). Entonces, el centroide ( X , Y) de la curva plana C está definido por las fórmulas  S

XH

X DS;

YH

#

 S

Y DS



#

donde s es la longitud de arco de C. El significado de las integrales en (4) es el de la notación usada en la sección 6.4. Es decir, ds es un símbolo por reemplazar (antes de evaluar la integral), ya sea con DS H

DY DX

C



DX

OCON

DS H

DX DY

C



DY;

lo que depende de si C es un arco suave de la forma y = f (x) u otro de la forma x = g(y). De manera alternativa, se puede tener DS H

DX DT

.D X/ C .DY/ H



DY DT

C



DT

si C está dada en forma paramétrica, como en la sección 9.5. EJEMPLO 6 Sea que J denote la mitad superior del círculo (no el disco) de radio a y centro en (0, 0), representado en forma paramétrica por

Y

X H A COS T; # Y

Y H A SEN T;



T

:

En la figura 13.5.13 se ilustra el arco J. Encuentre su centroide. A 

FIGURA 13.5.13 Arco semicircular del ejemplo 6.

X

Solución Primero observe que X = 0 por simetría. La longitud de arco de J es s = πa, el elemento de la longitud de arco es .A SEN T/ C .A COS T/ DT H A DT:

DS H

Así, la segunda fórmula en (4) produce YH

 A



.A SEN T/A DT H 

A COS T 

 

H

A : 

Por lo tanto, el centroide del arco semicircular se localiza en el punto (0, 2a/π) sobre el eje y. Observe que la respuesta es tanto plausible como correcta en cuanto a sus dimensiones. Z El primer teorema de Pappus tiene un análogo para la superficie de revolución.

SECCIÓN 13.5

Aplicaciones de las integrales dobles

1033

SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS Superficie de revolución Sea la curva plana C que revoluciona alrededor de un eje en su plano que no interseca la curva (excepto tal vez en sus extremos). Así, el área As·d de la superficie de revolución generada es igual al producto de la longitud s de C por la distancia d recorrida por el centroide de C. Demostración Sea C un arco suave parametrizado por x = f (t), y = g(t), a

t b. Si C está revolucionada alrededor del eje y (por ejemplo), entonces, según las ecuaciones (4) y (8) de la sección 9.5, la superficie de revolución que resulta está dada por B

!H

X DS H  S
THA

 S

B

X DS THA

H  S
X

DONDE DS H

; F .T/= C ;G .T/= DT

(con el uso de la primera ecuación en 4). Pero d  2π X es la distancia recorrida por el centroide, por lo que se aprecia que A  s · d, y con esto concluye la demostración. X EJEMPLO 7 Encuentre la superficie A de la esfera de radio a que se genera al revolucionar el arco semicircular del ejemplo 6 alrededor del eje x.

Solución Como se encontró que Y  2a/π y se sabe que s  π a, el segundo teorema de Pappus ofrece ! H  YS H 


EJEMPLO 8

A
A H A  : 

Z

Encuentre la superficie del toro del ejemplo 5.

Solución Ahora se considera que lo que revoluciona alrededor del eje y es el círculo (no el disco) de radio a con centro en el punto (b, 0). Por supuesto, el centroide del círculo se localiza en su centro (b, 0); esto se sigue del principio de simetría o se verifica con el uso de cálculos como los del ejemplo 6. Así, la distancia recorrida por el centroide es d  2π b. Como el perímetro del círculo es s  2π a, el segundo teorema de Pappus da ! H  B
A H   AB:

Z

Momentos de inercia Sea R una lámina plana y L una línea recta que puede estar o no en el plano xy. Por lo tanto, el momento de inercia I de R alrededor del eje L está definido por

Z

P  DM

) H



2

PR X

X Y

2

FIGURA 13.5.14 Lámina en el espacio en el plano xy.

Y

donde p = p(x, y) denota la distancia perpendicular a L desde el punto (x, y) de R. El caso más importante es aquel en que el eje de revolución es el eje z, de modo que P H R H X  C Y  (ver figura 13.5.14). En este caso se denomina a I  I0 momento polar de inercia de la lámina R. Así, el momento polar de inercia de R está definido por R  .X; Y/ D! H

) H 2

R  DM H 2

.X  C Y  / DM 2



1034 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Se sigue que ) H ) X C ) Y ; DONDE Y  DM H

)X H

Y

2



X   D!:



2

Y

W

R

Y   D!

X  DM H

)Y H

DM

2

X 2

FIGURA 13.5.15 Disco rotatorio.

2

Aquí, Ix es el momento de inercia de la lámina alrededor del eje x, e Iy es su momento de inercia alrededor del eje y. Una aplicación importante de los momentos de inercia involucra la energía cinética de la rotación. Considere un disco circular que revoluciona alrededor de su centro (el origen) con velocidad angular de ω radianes por segundo. Un elemento de masa dm a una distancia r del origen se mueve con velocidad (lineal) v = rω (ver figura 13.5.15). Por lo cual la energía cinética del elemento de masa es  .DM/G  

H  !R  DM:

Al sumar por integración sobre todo el disco, se encuentra que su energía cinética debido a la rotación con una velocidad angular ω es %# ROT H 2

R  DMI 2

ESDECIR

Y

%# ROT H  ) ! :

  X Y

    ! R DM H !  



Como la energía cinética lineal tiene la fórmula EC =  mv2, la ecuación (9) sugiere (en forma correcta) que el momento de inercia es la analogía rotacional de la masa.

XY

X

EJEMPLO 9 Calcule Ix para una lámina de densidad constante δ ≡ 1 que ocupa la región limitada por las curvas x  ±y4, −1 y 1 (ver figura 13.5.16).

Solución La ecuación (7) proporciona 

)X H

FIGURA 13.5.16 Lámina del ejemplo 9.



Y Y 



Y D X D Y H

X Y



XHY



DY H 



Y  DY H

 : 

Z

La región del ejemplo 9 se parece a la sección transversal de una viga tipo I. Se sabe que la rigidez, o resistencia a la flexión, de una viga horizontal es proporcional al momento de inercia de su sección transversal respecto a un eje horizontal a través del centroide de la sección transversal de la viga. Comparemos la viga tipo I con otra rectangular con igual altura, 2, y área similar

Y  



!H





X

Y Y 

 DX DY H

 : 

La sección transversal de dicha viga rectangular se ilustra en la figura 13.5.17. Su ancho es  y el momento de inercia de su sección transversal es 

=



=

)X H FIGURE 13.5.17 Una viga rectangular en comparación con la viga tipo I del ejemplo 9.

Y

 

 

de ,

Y D X D Y H

 : 

Como la razón de a es se observa que la viga tipo I es más del doble de fuerte que una rectangular con la misma superficie de sección transversal. A esta resistencia se debe que sea común que las vigas tipo I se usen en la construcción.

SECCIÓN 13.5

Aplicaciones de las integrales dobles

1035

EJEMPLO 10 Encuentre el momento polar de inercia de una lámina circular R de radio a y densidad δ constante concentrada en el origen.

Solución En coordenadas cartesianas, la lámina R ocupa la región plana x 2 + y 2 a 2; en coordenadas polares, esta región tiene la descripción mucho más sencilla 0 r a, 0 θ 2π. Así, la ecuación (6) ofrece 

R   D! H

) H



2

A

R  DR D H



 A  H MA  ;  

donde m = δ π a 2 es la masa de la lámina circular.

Z

Por último, el radio de giro rˆ de una lámina de masa m alrededor de un eje se define como ) ; M

RO H



donde I es el momento de inercia de la lámina alrededor de ese eje. Por ejemplo, el radio de giro xˆ y yˆ alrededor del eje y y el eje x, respectivamente, está dado por XO H Z

W

R X 2

FIGURA 13.5.18 Lámina plana que rota alrededor del eje z.

Y

)Y M

Y

YO H

)X ; M



Ahora, suponga que esta lámina se encuentra en la mitad derecha del plano x > 0 y es simétrica alrededor del eje x. Si representa la cara de una raqueta de tenis cuyo mango (de peso despreciable) se extiende a lo largo del eje x del origen a la cara, entonces el punto (xˆ, 0) es un candidato plausible para el “punto dulce” de la raqueta que da el impacto y control máximos (ver problema 56). La definición en la ecuación (10) está motivada por la consideración de una lámina plana R que gira con velocidad angular ω alrededor del eje z (ver figura 13.5.18). Entonces, la ecuación (10) produce ) H M RO  ;

por lo que se sigue de la ecuación (9) que la energía cinética de la lámina es %# H  M.OR !/ :

Así, la energía cinética de la lámina rotatoria es igual a la de una sola partícula de masa m que rota a la distancia rˆ del eje de revolución.

13.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que una lámina plana ocupa la región plana R en el plano xy y tiene una función de densidad continua δ(x, y). Si escribimos m  .X; Y/ D ! para la 2

masa de la lámina y dm  δ(x, y) d/A para su elemento de masa, entonces las coordenadas (X , Y) de su centroide están dadas por las fórmulas   XN H X DM Y YN H Y DM: M M 2 2 2. Si una lámina plana ocupa la región plana R en el plano xy y R es simétrica sobre la recta L, entonces el centroide de la lámina queda necesariamente sobre la recta L. 3. El resultado del ejemplo 1 se resume en que el centroide del disco semicircular uniforme que ocupa la región x 2 + y 2 a2, y 0, queda sobre su eje vertical de simetría, a la mitad de la distancia entre su base y en su punto más alto. 4. La lámina del ejemplo 2 ocupa la región R en el plano xy que está limitada por la recta y  x + 2 y la parábola y  x 2, y su centroide (X , Y) es un punto de R.

1036 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

5. Tanto la lámina del cuarto de círculo del ejemplo 3 como su función de densidad δ = kr son simétricas respecto de la recta y = x, por lo que su centroide queda necesariamente sobre esa misma recta. 6. El primer teorema de Pappus implica que, si una esfera sólida de radio a se genera al revolucionar un disco circular de radio a respecto de su eje x, entonces el volumen de la esfera es igual al área del círculo multiplicada por la distancia recorrida por el centro de éste. 7. El resultado del ejemplo 5 expresa el volumen de un toro como el producto de las áreas de dos círculos. 8. Si se escribe S H # DS para la longitud de una curva plana C, entonces las coordenadas (X , Y) de su centroide están dadas por las fórmulas XN H

 S

X DS #

Y

YN H

 S

Y DS: #

9. El segundo teorema de Pappus implica que, si una superficie esférica de radio a se genera al revolucionar un círculo de radio a respecto del eje y, entonces la superficie de la esfera es igual al perímetro del círculo multiplicado por la distancia recorrida por el centro de éste. 10. El resultado del ejemplo 8 expresa la superficie de un toro como el producto de los perímetros de dos círculos.

13.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Suponga que una lámina plana tiene un eje de simetría. ¿El centroide de la lámina debe quedar sobre dicho eje? 2. ¿El centroide de una curva plana queda sobre la curva? ¿El centroide de una región plana queda dentro de la región? Si no es así, dé contraejemplos.

13.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, encuentre el centroide de la región plana limitada por las curvas dadas. Suponga que la densidad es δ ≡ 1 para cada región.  X H  X H  Y H  Y H   X H  X H  Y H  Y H   X H  X H  Y H  Y H   X H  Y H  X C Y H   X H  Y H  X C Y H   Y H  Y H X X C Y H   Y H  Y H X  X H   Y H X  Y H   Y H  Y H X    X H  X H  Y H  Y H X  C  En los problemas 11 a 30, encuentre la masa y el centroide de la lámina plana con la forma y densidad que se indican.

15. Región cuyos límites son las parábolas y = x 2 y x = y 2, con δ(x, y) = x y 16. La región del problema 15, con δ(x, y) = x 2 + y 2 17. Región cuyos límites son las parábolas y = x 2 y y = 2 − x 2, con δ(x, y) = y 18. La región limitada por x = e, y = 0 y y = ln x, para 1 con δ(x, y) ≡ 1

x

19. Región que está acotada por y = 0 y y = sen x, para 0 x π, con δ(x, y) ≡ 1 20. La región limitada por y = 0, x = −1, x = 1 y y = exp(−x 2), con δ(x, y) = |xy| 21. Cuadrado con vértices (0, 0), (0, a), (a, a) y (a, 0), con δ(x, y) =x+y 22. Región triangular limitada por los ejes coordenados y la recta x + y = a (a > 0), con δ(x, y) = x 2 + y 2 23. Región limitada por y = x 2 y y = 4; δ(x, y) = y

11. Región triangular limitada por x = 0, y = 0 y x + y = 1, con δ(x, y) = xy

24. La región acotada por y = x 2 y y = 2x +3; δ(x, y) = x 2

12. Región triangular del problema 11, con δ(x, y) = x 2

26. Región semicircular x 2 + y 2

13. Región limitada por y = 0 y y = 4 − x , con δ(x, y) = y 2

14. Región acotada por x = 0 y x = 9 − y 2, con δ(x, y) = x 2

e,

25. Región del problema 19; δ(x, y) = x a 2, y

0; δ(x, y) = y

27. Región del problema 26; δ(x, y) = r (la coordenada polar radial)

SECCIÓN 13.5

28. La región limitada por la cardioide con ecuación polar r  1 + cos θ; δ(r, θ)  r (ver figura 13.5.19) 29. Región dentro del círculo r  2 sen θ y fuera del círculo r  1; δ(x, y)  y. 30. Región dentro del caracol de Pascal r  1 + 2 cos θ y fuera del círculo r  2; δ(r, θ)  r (ver figura 13.5.20)   



RCOSQ









RCOSQ





FIGURA 13.5.19 Cardioide del problema 28.

FIGURA 13.5.20 Caracol de Pascal del problema 30.

En los problemas 31 a 35, encuentre el momento polar de inercia I0 de la lámina que se indica. 31. La región limitada por el círculo r  a; δ(x, y)  r n, donde n es un entero positivo fijo 32. Lámina del problema 26 33. Disco limitado por r  2 cos θ; δ(x, y)  k (una constante positiva) 34. Lámina del problema 29 35. Región limitada por el lazo del lado derecho de la lemniscata r 2  cos 2θ; δ(x, y)  r 2 (ver figura 13.5.21)

Aplicaciones de las integrales dobles

1037

44. Aplique el segundo teorema de Pappus para encontrar el centroide del arco del cuarto de círculo del problema 43. Observe que X  Y (por simetría) y que la rotación de este arco alrededor de cualquiera de los ejes coordenados proporciona un hemisferio cuya superficie es A  2πr 2. 45. Demuestre por cálculo directo que el centroide del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (r, 0) y (0, h), es el punto (r/3, h/3). Verifique que este punto queda sobre la línea que va del vértice (0, 0) al punto medio del lado opuesto del triángulo y a dos tercios de la distancia que hay del vértice al punto medio. 46. Aplique el primer teorema de Pappus y el resultado del problema 45 para comprobar la fórmula V   πr 2 para el volumen del cono obtenido al revolucionar el triángulo alrededor del eje y. 47. Aplique el segundo teorema de Pappus para demostrar que la superficieplateral del cono del problema 46 es A  π r L, donde , H R  C H  es la altura inclinada del cono. 48. a) Encuentre el centroide del trapezoide que se ilustra en la figura 13.5.22. b) Aplique el primer teorema de Pappus y el resultado del inciso (a) para demostrar que el volumen del sólido cónico generado al revolucionar el trapezoide alrededor del eje y es H  6H R C R R C R :   Y R H

 H

R  X



FIGURA 13.5.22 Trapezoide del problema 48.  RCOSQ

49. Aplique el segundo teorema de Pappus para demostrar que la superficie lateral del sólido cónico del problema 48 es a  π(r1 + r2)L, donde ,H









FIGURA 13.5.21 Lemniscata del problema 35.

En los problemas 36 a 40, encuentre los radios de giro XO Y YO de la lámina indicada, alrededor de los ejes coordenados. 36. Lámina del problema 21 37. Lámina del problema 23 38. Lámina del problema 24 39. Lámina del problema 27 40. Lámina del problema 33 41. Encuentre el centroide del primer cuadrante del disco circular x 2 + y 2 r 2 con cálculo directo, como se hizo en el ejemplo 1. 42. Aplique el primer teorema de Pappus para hallar el centroide del primer cuadrante del disco circular x 2 + y 2 r 2. Utilice los hechos de que X  Y (por simetría) y que la revolución de este cuarto de disco alrededor de cualquiera de los ejes coordenados proporciona un hemisferio sólido con volumen V   πr 3. 43. Encuentre el centroide del arco que consiste en la porción en el primer cuadrante del círculo x 2 + y 2  r 2, con cálculo directo, como en el ejemplo 6.

.R R / C H 

es su altura inclinada. 50. a) Aplique el segundo teorema de Pappus para comprobar que el área de la superficie curvada de un cilindro circular recto de altura h y radio de su base igual a r, es A  2π r h. b) Explique cómo se sigue esto también a partir del resultado del problema 49. 51. a) Encuentre el centroide de la región plana que se ilustra en la figura 13.5.23, que consiste en una región semicircular de radio a que corona una región rectangular con ancho de 2a y altura b, cuya base está sobre el eje x. b) Después aplique el primer teorema de Pappus para hallar el volumen generado por la rotación de esta región alrededor del eje x. Y

B

 A 

A 

FIGURA 13.5.23 Región plana del problema 51a).

X

1038 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

52. a) Considere la región plana de la figura 13.5.24, limitada por x 2  2py, x  0 y y  h  r 2/2p ( p > 0). Demuestre que su área es ! H  R H y que la coordenada x de su centroide es X H  R  b) Utilice el teorema de Pappus y el resultado del inciso (a) para demostrar que el volumen de un paraboloide de revolución con radio r y altura h es 6 H  R  H 53. Una placa rectangular uniforme con longitud de base igual a a, altura b y masa m, tiene su centro en el origen. Demuestre que su momento polar de inercia es ) H  M.A  C B / 54. El centroide de una región plana uniforme está en (0, 0), y la región tiene una masa total de m. Demuestre que su momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano x y en el punto (x0, y0) es

56. Una raqueta consiste en una lámina uniforme que ocupa la región dentro del lazo del lado derecho de r 2  cos 2θ en el extremo de un mango (suponga que éste tiene una masa despreciable) correspondiente al intervalo −1 x 0 (ver figura 13.5.26). Encuentre el radio de giro de la raqueta alrededor de la recta x  −1. ¿Dónde se encuentra su punto dulce? En los problemas 57 a 60, encuentre la masa m y el centroide .X; Y / de la lámina plana que se indica, R. Puede usar un sistema de álgebra por computadora o las integrales del seno y el coseno de la fórmula (113) en la contraportada del libro. 57. R está limitada por el círculo cuya ecuación polar es r  2 sen θ y tiene función de densidad δ(x, y)  y 58. R está limitada por el círculo con ecuación polar r  2 sen θ y tiene función de densidad .X; Y/ H Y X  C Y  59. R es el disco semicircular limitado por el eje x y la mitad superior del círculo con ecuación polar r  2 cos θ y tiene función de densidad δ(x, y)  x 60. R es el disco semicircular limitado por el eje x y la mitad superior del círculo con ecuación polar r  2 cos θ y tiene función de densidad δ(x, y)  x 2y 2

) H ) C M X C Y :

55. Suponga que una lámina plana consiste en dos láminas que no se traslapan. Demuestre que su momento polar de inercia es la suma del de ambas. Use este hecho y los resultados de los problemas 53 y 54 para encontrar el momento polar de inercia de la lámina en forma de T de densidad constante δ  k > 0 que se ilustra en la figura 13.5.25. Y

Y

Y R H

     

XPY

    

X

FIGURA 13.5.24 Región del problema 52.

RCOSQ Q

X 

 

    

X

  X

FIGURA 13.5.25 Una lámina formada por dos más sencillas (problema 55).

FIGURA 13.5.26 Raqueta del problema 56.

13.5 INVESTIGACIÓN: diseño óptimo de las llantas de carros de carreras deslizantes Para ver en acción los momentos de inercia, suponga que su club está diseñando un carro de carreras sin motor para el evento anual de deslizamiento cuesta abajo. La elección de usted está entre ruedas sólidas, de bicicleta con rayos delgados o incluso ruedas esféricas sólidas (como rodamientos esféricos gigantes). ¿Cuáles ruedas harán que el carro de carreras corra más rápido? W A H

A

FIGURA 13.5.27 Objeto circular que rueda por un plano inclinado.

Imagine un experimento en el que deja rodar varios tipos de ruedas por un plano inclinado para ver cuál de ellas llega más rápido al final (ver la figura 13.5.27). Suponga que una rueda de radio a y masa M parte del reposo en la parte superior con energía potencial EP  Mgh y llega al final con velocidad angular w y velocidad (lineal) v  aw. Después (por la conservación de la energía), la energía potencial inicial de la rueda se ha transformado en la suma ECtr + ECrot de energía cinética de traslación ECtr   Mv2 y energía cinética rotacional  ) G  %# ROT H ) ! H ;   A 

SECCIÓN 13.6

Integrales triples 1039

una consecuencia de la ecuación (9) de esta sección. Así, ) G   -G  C :  A 

-GH H



Los problemas 1 a 8 exploran las implicaciones de esta fórmula. 1. Suponga que el momento (polar) de inercia de la rueda está dado por ) H K -A 



para cierta constante k (el ejemplo 10 da k   para una rueda en forma de disco sólido uniforme). Por lo tanto, de la ecuación (2) se deduce que GH : CK

GH



por lo que entre más pequeña sea k (y por tanto más pequeño el momento de inercia de la rueda), más rápido girará la rueda cuesta abajo. En los problemas 2 a 8, haga g  32 ft/s2 y suponga que la altura vertical del plano inclinado es h  100 ft. 2. ¿Por qué se sigue de la ecuación (4) que, cualquiera que sea el diseño de la rueda, la velocidad máxima que puede alcanzar una rueda circular en un plano inclinado es 80 ft/s (justo por debajo de 55 mi/h)? 3. Si la rueda es un disco sólido uniforme (como la de una carreta medieval de madera) con I0   Ma 2, ¿cuál es su velocidad v en la parte final del plano inclinado? 4. Responda el problema 3 si la rueda tiene la forma angosta de las que utilizan las bicicletas, con su masa, en efecto, concentrada a la distancia a de su centro. En este caso, I0  Ma 2 (¿por qué?). 5. Resuelva el problema 3 si la rueda tiene forma de anillo anular (o lavador) con radio exterior de a e interior de b. El ejemplo 3 y los problemas 41 y 42 en la sección 13.7 proporcionan los momentos de inercia que se necesitan en los problemas 6 a 8. En cada uno de éstos, encuentre la velocidad de la rueda cuando llega al final del plano inclinado. 6. La rueda es una esfera sólida uniforme de radio a. 7. La rueda es una concha esférica muy delgada, cuya masa está, en efecto, concentrada a la distancia a de su centro. 8. La rueda es una concha esférica con radio exterior de a e interior de b   a. Por último, ¿cuál es su conclusión? ¿Cuál es la forma de las ruedas que harían que el carro fuera el más veloz cuesta abajo?

13.6 INTEGRALES TRIPLES La definición de la integral triple es la versión tridimensional de la definición de la integral doble de la sección 13.2. Sea f (x, y, z) continua sobre la región T del espacio acotada, y suponga que se encuentra dentro del bloque rectangular R determinado por las desigualdades

Z 4I

A

X

4

Y

FIGURA 13.6.1 Un bloque pequeño en una partición interior de la región T del espacio acotada.

X

B;

C

Y

D;

Y

P

Z

Q:

Se divide [a, b] en subintervalos de longitud igual x, [c, d ] en subintervalos de longitud igual y, y [ p, q] en subintervalos de longitud igual z. Esto genera una partición de R en bloques rectangulares más pequeños (como se aprecia en la figura 13.6.1), cada uno es el volumen V  x y z. Sea P  {T1, T2, . . . , Tn} la colección de estos bloques más pequeños que están por completo dentro de T. Así, P se denomina una partición interior de la región T. La norma |P| de P es la longitud de una diagonal más

1040 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

larga de cualquiera de los bloques Ti. Si ( XI , YI , Z I ) es un punto seleccionado en forma arbitraria de Ti (para cada i  1, 2, . . . , n), entonces la suma de Riemann N

F .XI ; YI ; Z I

6

IH

es una aproximación a la integral triple de f sobre la región T. Por ejemplo, si T es un cuerpo sólido con función de densidad f, entonces dicha suma de Riemann aproxima su masa total. Se define la integral triple de f sobre T por medio de la ecuación N

F .X; Y; Z/ D 6 H L¤M

jP j!

4

F .XI ; YI ; Z I

6:



IH

En cálculo avanzado se demuestra que este límite de sumas de Riemann existe cuando la norma |P| tiende a cero, si se demuestra que f es continua sobre T y que la frontera de la región T se comporta razonablemente bien (por ejemplo, basta que la frontera de T consista en un número finito de superficies suaves). Igual que con las integrales dobles, lo común es que las integrales triples se calculen por medio de integrales iteradas. Si la región de integración es un bloque rectangular, como en el ejemplo 1, entonces es posible integrar en el orden que queramos. EJEMPLO 1 Si f (x, y, z)  x y + y z y T consiste en aquellos puntos (x, y, z) en el espacio que satisfacen las desigualdades

Z



  





Y

FIGURA 13.6.2 Bloque rectangular T del ejemplo 1, para el que −1 x 1, 2 y 3 y 0 z 1.

;



Y

;

Y



Z



(ver figura 13.6.2), entonces 

 X

X





F .X; Y; Z/ D 6 H

.X Y C YZ/ DZ DY D X 

4





 

H

X YZ C 







XY C

H 





H  

H 

  YZ 



DY DX ZH

 Y DY DX 

    XY C Y  



DX YH

     XC X C X DX H    



H 

 : 

Z

Las aplicaciones de las integrales dobles que se vieron en las secciones anteriores se generalizan de inmediato a las integrales triples. Si T es un cuerpo sólido con función de densidad δ(x, y, z), entonces su masa m está dada por MH

 D 6:



D6



4

El caso δ ≡ 1 proporciona el volumen 6 H 4

SECCIÓN 13.6

Integrales triples 1041

de T. Las coordenadas de su centroide son XH YH ZH

 M

X D 6;

A

4

 M

Y D 6;

Y

B

4

 M

Z D 6:

C

4

Los momentos de inercia de T alrededor de los tres ejes coordenados son .Y  C Z  / D 6;

)X H

A

4

.X  C Z  / D 6;

)Y H

Y

B

4

.X  C Y  / D 6:

)Z H

C

4

Integrales triples iteradas

Z ZSUPZX Y

Como ya se dijo, casi siempre se evalúan las integrales triples por medio de integración iterada única. Suponga que la región T con frontera de elementos suaves es z-simple: cada línea paralela al eje z interseca a T (si ocurre) en un solo segmento de recta. En efecto, esto significa que T puede describirse con las desigualdades Z  .X; Y/

Z

Z  .X; Y/

.X; Y/ EN 2;

donde R es la proyección vertical de T en el plano x y. Así, ZINFZX Y X

Z  .X;Y/

F .X; Y; Z/ D 6 H

Y

X Y

F .X; Y; Z/ DZ D!:

4

2



Z  .X;Y/

2

FIGURA 13.6.3 Obtención de los límites de integración para z.

En la ecuación (6), se toma d A  d x d y o d A  d y d x, lo que depende del orden preferido para integrar sobre el conjunto R. Los límites z1(x, y) y z2(x, y) son las coordenadas z de los puntos extremos del segmento de recta en que la recta vertical en (x, y) encuentra a T (ver figura 13.6.3). Si la región R tiene la descripción Y .X/

Y

Y .X/;

A

X

B;

entonces (al integrar al final respecto de x), B

Y .X/

Z  .X;Y/

F .X; Y; Z/ D 6 H 4

F .X; Y; Z/ DZ DY D X: A

Y .X/

Z  .X;Y/

Así, la integral triple se reduce en este caso a tres integrales únicas iteradas. Éstas pueden (en principio) evaluarse con el uso del teorema fundamental del cálculo. EJEMPLO 2 Encuentre la masa m de la pirámide T de la figura 13.6.4 si su función de densidad está dada por δ(x, y, z)  z.

Solución La región T está limitada por abajo por el plano x y z  0, y por arriba por el plano z  6 − 3x − 2y. Su base es la región plana R limitada por los ejes x y y

1042 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

y la recta y   (6 − 3x). Entonces, las ecuaciones (2) y (6) producen 

.X/=

XY

MH

Z



  

H

H



.X/=

 







.X/=





 

. X Y/ D Y D X H

 

 



. X/ D X H



  . X/  

Z X Y

 

DY DX ZH

 . X Y/ 



H XH

XY

  Z 

Z DZ DY D X H

.X/=

DX YH

 H : 

Se deja como ejercicio (problema 45) demostrar que las coordenadas del centroide (X , Y, Z ) de la pirámide están dadas por XH    Y

YH

2 Y   X

ZH

   X

FIGURA 13.6.4 La pirámide T del ejemplo 2; su base es el triángulo R en el plano x y.

Z ZZX Y 4

2

Y

   

 

.X/= 

 

X Z DZ DY D X H

 ; 

YZ DZ DY D X H

 ; 

Z  DZ DY D X H

 : 

 .X/=

 



XY

XY 

.X/= 

XY 

Z

Si el sólido T está limitado por las dos superficies z  z1(x, y) y z  z2(x, y) (como en la figura 13.6.5), entonces es posible encontrar la “región base” R en la ecuación (6) como sigue. Observe que la ecuación z1(x, y)  z2(x, y) determina un cilindro vertical (no necesariamente circular) que pasa a través de la curva de intersección de las dos superficies (¿por qué?). Este cilindro interseca el plano x y en la curva de frontera C de la región plana R. En esencia, la ecuación de la curva C se obtiene igualando las funciones de altura de las superficies que forman las partes superior e inferior de la región T del espacio. EJEMPLO 3 La figura 13.6.6 muestra el sólido T limitado en su parte superior por el plano z  y + 2, y en la inferior por el paraboloide z  x 2 + y 2. La ecuación X  C Y  H Y C I

ZZX Y

X

 

X C Y

ESDECIR

  

H

 

describe el círculo de frontera del disco R de radio igual a  y con centro en (0, ) en el plano x y (ver figura 13.6.7). Como este disco no está centrado en el origen, la integral YC

6 H

FIGURA 13.6.5 Para encontrar la frontera de R, se resuelve la ecuación z1(x, y) = z 2(x, y).

2

DZ D!

ZXY

 Y

ZHX  CY 

Y







 



 Z



 



  









 X





ZY



XYY



FIGURA 13.6.6 El sólido T del ejemplo 3.

FIGURA 13.6.7 Disco circular R del ejemplo 3.

X

SECCIÓN 13.6

Integrales triples 1043

de volumen es difícil de evaluar en forma directa. En el ejemplo 5 se calcula V con la integración en un orden diferente. Z

Z

ZZX Y 4

Podemos integrar primero respecto de x o de y, si la región del espacio T es x-simple o y-simple. Tales situaciones, así como aquéllas con un sólido z-simple, se ilustran en la figura 13.6.8. Por ejemplo, suponga que T es y-simple, de modo que tiene una descripción de la forma

ZZX Y

Y .X; Z/

Y

Y .X; Z/

.X; Z/ EN 2;

donde R es la proyección de T en el plano x z. Entonces X

2

Y .X;Z/

Y

F .X; Y; Z/ D 6 H

F .X; Y; Z/ DY D!;

4

A 4ESZ SIMPLE



Y .X;Z/

2

donde d A  d x d z o d A  d z d x y los límites y1(x, z) y y2(x, z) son la coordenadas y de los puntos extremos del segmento de recta en el que una línea paralela común al eje y interseca a T. Si T es x-simple, se obtiene

Z

YYX Z

X .Y;Z/

F .X; Y; Z/ D! H

2

F .X; Y; Z/ D X D!;

4

4



X .Y;Z/

2

donde d A  d y d z o d A  d z d y y R es la proyección de T en el plano y z.

YYX Z

EJEMPLO 4 Calcule con integración triple el volumen de la región T que está limitada por el cilindro parabólico x  y 2 y por los planos z  0 y x + z  1. Asimismo, encuentre el centroide de T dado que tiene densidad constante δ ≡ 1.

Y

X

B 4ESY SIMPLE

OBSERVACIÓN Los tres segmentos que aparecen en la figura 13.6.9 paralelos a los ejes coordenados, indican que la región T es a la vez x-simple, y-simple y z-simple. Por tanto, es posible integrar en cualquier orden que se desee, por lo que hay seis maneras de evaluar la integral. A continuación se presentan tres cálculos del volumen V de T.

Z

2

4

Z

Y

XXY Z

X

XXY Z C 4ESX SIMPLE

XATRÖSY

Y

ZSUP X YIZQ X

FIGURA 13.6.8 Sólidos que son a) z-simple, b) y-simple, y c) x-simple.

 

XFRENTE XATRÖSY  

YDERX XFRENTE Z

X

ZINF

Y

 n

X

FIGURA 13.6.9 La región T del ejemplo 4 es x-simple, y-simple y z-simple.

FIGURA 13.6.10 Proyección vertical de la región sólida T en el plano x y (ejemplo 4, solución 1).

Solución 1 La proyección de T en el plano x y es la región que se ilustra en la figura 13.6.10, limitada por x  y 2 y x  1. Por tanto, la ecuación (6) proporciona 



6 H

Y

 

H 

X





DZ D X DY H  

 X X 

Y

 



DY H  XHY 



. X/ D X D Y

  Y C Y  

DY H

 : 

1044 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Solución 2 La proyección de T en el plano x z es el triángulo limitado por los ejes coordenados y la recta x + z  1 (ver figura 13.6.11), por lo que la ecuación (7) da

Z



ZSUP X

p

X

6 H 

FIGURA 13.6.11 Proyección vertical de la región sólida T en el plano xz (ejemplo 4, solución 2).



X



p

X DZ D X



 : 



Solución 3 La proyección de T en el plano y z es la región limitada por el eje y y la parábola z  1 − y 2 (ver figura 13.6.12), por lo que la ecuación (8) produce Y 



Z

6 H 

D X DZ D Y;

Y



 y la evaluación de esta integral da 6 H   Ahora exploramos para el centroide de T. Como la región T es simétrica respecto del plano x z, su centroide queda en este plano, por lo que Y  0. Se calculan X y Z integrando primero con respecto de y:

Z Z Y

  

X

D Y DZ D X H 

.X = X = / D X H

X ZINF

 

H

 

X

p

Z

 XH 6

  Y

FIGURA 13.6.12 Proyección vertical de la región sólida T en el plano y z (ejemplo 4, solución 3).

4 

 

H

 X D6 H 



X



p

X





X DY DZ D X

p X



X = DZ D X H

X



 

.X = X = / D X H



 I 

DEMANERASIMILAR  ZH 6

4

 Z D6 H 

 

p

X

X

p



Z DY DZ D X H

X

 : 

Así, el centroide de T se localiza en el punto .  ; ;  /

Z

EJEMPLO 5 Encuentre el volumen del segmento oblicuo de un paraboloide limitado por el paraboloide z  x 2 + y 2 y el plano z  y + 2 (ver figura 13.6.13).

Solución La región dada T es z-simple, pero su proyección en el plano x y está limitada por la gráfica de la ecuación x 2 + y 2  y + 2, que es una circunferencia trasladada. Sería posible integrar primero respecto de z, pero tal vez otra elección lleve a una integral más sencilla. La región T también es x-simple, por lo que es posible integrar primero respecto de x. La proyección de T en el plano y z está limitada por la recta z  y + 2 y la parábola z  y 2, que se intersecan en los puntos (−1, 1) y (2, 4) (vea la figura 13.6.14). Los puntos extremos de un segmento de recta en T paralelo al eje x, tiene coordenadas x tales que X H  Z Y   Como T es simétrica respecto del plano y z, podemos integrar de x0aX H 

6 H  

H 

H

H

   

Z Y  y duplicar el resultado. Así, T tiene el volumen p ZY 

YC

Y

= = =

YC





 Z Y 

=



D X DZ D Y H 

 U 

=

YC



Y

Z Y  DZ DY

ZHY 

 

DU

COMPLETANDOELCUADRADOU H Y

DY H

. C Y Y  /= DY



=

COS  D

UH

 SEN  

 

SECCIÓN 13.6

Integrales triples 1045

Z

ZX Y 

Z

X FRENTE Z Y 

  ZY

X ATRÖS  Z Y 

  

X

ZY

ZY Y

Y

FIGURA 13.6.13 Segmento oblicuo de un paraboloide (ejemplo 5).

H

FIGURA 13.6.14 Proyección del segmento del paraboloide en el plano y z (ejemplo 5).

    



H :     

En la evaluación final se utilizó la simetría —al integrar de θ  0 a θ  π/2 y después duplicar— y luego la fórmula (113) (en la contraportada). Z

13.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La integral triple F .X; Y; Z/ D 6 de la función f sobre la región del espacio T 4 es un límite de sumas de Riemann cuando la malla de la partición interior correspondiente de T tiende a cero, y existe si se demuestra que f es continua sobre T y la frontera de T “se comporta razonablemente bien”. 2. Es común que las integrales triples (igual que las dobles) se calculen con el uso de integrales iteradas. 3. El volumen de la región del espacio T es la integral triple sobre T de la función de variable constante f (x, y, z) ≡ 1. 4. Suponga que un cuerpo sólido ocupa la región del espacio T y tiene una función de .X; Y; Z/ D 6 para la masa del densidad continua δ(x, y, z). Si escribimos M H 4 cuerpo y dm  δ(x, y, z) d V para su elemento de masa, entonces las coordenadas (X , Y, Z ) de su centroide están dadas por las fórmulas XN H

 M

X DM;

YN H

4

 M

Y DM;

ZN H

4

 M

Z DM: 4

5. Con el uso de la notación de la pregunta anterior, los momentos de inercia del cuerpo sólido alrededor de los tres ejes coordenados están dados por .X  C Y  / DM;

)X H 4

.Y  C Z  /DM;

)Y H 4

.Z  C Y  / DM:

)Z H 4

6. La descripción z1(x, y) z z 2(x, y) —para (x, y) en la región R del plano x y— de la región del espacio T lleva a una evaluación de la integral triple F .X; Y; Z/ D 6 4 por medio de integrar primero respecto de x y y y al final respecto de z.

1046 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

7. La descripción y1(x, z) y y 2(x, z) —para (x, z) en la región R del plano x z— de la región del espacio T lleva a una evaluación de la integral triple F .X; Y; Z/ D 6 4 por medio de integrar primero respecto de x y z y al final respecto de y. 8. La descripción x1( y, z) x x 2( y, z) —para ( y, z) en la región R del plano y z— de la región del espacio T lleva a una evaluación de la integral triple F .X; Y; Z/ D 6 por medio de integrar primero respecto de y y z y al final 4 respecto de x. 9. Sea V  dV el volumen de la región T del ejemplo 4, que está limitada por 4 el cilindro parabólico x  y 2 y los planos z  0 y x + z  1. Entonces, puede calcularse V por medio de integración iterada respecto de las tres variables x, y y z en el orden que se prefiera. 10. En el ejemplo 5, el volumen del sólido limitado por el paraboloide z  x 2 + y 2 y el plano z  y + 2 se calcula integrando primero respecto de z y después respecto de x y y.

13.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa una región T en el espacio tal que se pueda calcular su volumen con integración iterada en al menos tres órdenes diferentes —primero, integrar respecto de x en un orden y respecto de y en otro orden, y por último integrar primero respecto de z—. Después encuentre su volumen en cada una de estas tres formas. 2. a) Dé un ejemplo de región del espacio cuyo volumen se calcule con mayor facilidad si se integra primero respecto de x. b) Repita el inciso anterior, pero primero respecto de y. c) Resuelva de nuevo el inciso anterior, pero primero respecto de z.

13.6 PROBLEMAS Z X 

En los problemas 1 a 10, calcule el valor de la integral triple F .X; Y; Z/ D 6: 4

1. f (x, y, z)  x + y + z; T es la caja rectangular 0 x 2, 0 y 3, 0 z 1. 2. f (x, y, z)  x y sen z; T es el cubo 0 x π, 0 y π, 0 z π. 3. f (x, y, z)  x y z; T es el bloque rectangular −1 x 3, 0 y 2, −2 z 6. 4. f (x, y, z)  x + y + z; T es el bloque rectangular del problema 3. 5. f (x, y, z)  x 2; T es el tetraedro limitado por los planos coordenados y la parte del plano cuya ecuación es x + y + z  1 y está en el primer octante. 6. f (x, y, z)  2x + 3y; T es el tetraedro del problema 5 en el primer octante, sólo que el plano tiene la ecuación 2x + 3y + z  6. 7. f (x, y, z)  x y z; T está debajo de la superficie z  1 − x 2 y sobre el rectángulo −1 x 0, 0 y 2 en el plano x y. 8. f (x, y, z)  2y + z; T está bajo la superficie cuya ecuación es z  4 − y 2, y sobre el rectángulo −1 x 1, −2 y 2 en el plano x y. 9. f (x, y, z)  x + y; T es la región entre las superficies z  2 − x 2 y z  x 2 para 0 y 3 (ver figura 13.6.15). 10. f (x, y, z)  z; T es la región entre las superficies z  y 2 y z  8 − y 2, para −1 x 1.

 

Z 

 





 X

Y

  ZX



FIGURA 13.6.15 El sólido del problema 9.

En los problemas 11 a 20, dibuje el sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones dadas. Después encuentre su volumen por medio de integración triple. 11. 2x + 3y + z  6, x  0, y  0, z  0 12. z  y, y  x 2, y  4, z  0 (ver figura 13.6.16) Y 



 



X 



Y 

Z Z





ZY

YX 

FIGURA 13.6.16 Superficies del problema 12.

SECCIÓN 13.6

 Y C Z H  Y H  X  Y H  Z H   Z H X  C Y  Z H  X H  Y H  X C Y H   Z H  X  Y  Y H X  X H Y  Z H   X H Z  X H  Z  Y H  Y H   Z H X  Y C Z H  Y H  Z H   Z H  Y  Z H Y   X C Z H  X H  FIGURA Z Y 

X  Z 





 X



 



Y

ZY  

XZ

34. La densidad en P(x, y, z) del cubo en el primer octante con arista que mide a, que está paralelo a los planos coordenados, y vértices opuestos en (0, 0, 0) y (a, a, a), es proporcional al cuadrado de la distancia de P al origen. Encuentre las coordenadas del centroide de este cubo. 35. Determine el momento de inercia alrededor del eje z del cubo del problema 34. 36. El cubo limitado por los planos coordenados y los planos x  1, y  1 y z  1, tiene densidad δ  kz en el punto P(x, y, z) (k es una constante positiva). Encuentre su centroide. 37. Calcule el momento de inercia alrededor del eje z del cubo del problema 36. 38. Diga cuál es el momento de inercia alrededor de un diámetro de una esfera sólida de radio a. 39. Halle el centroide de la región en el primer octante que está dentro de los dos cilindros x 2 + z 2  1 y y 2 + z 2  1 (ver figuras 13.6.18 y 13.6.19).

FIGURA 13.6.17 Superficies del problema 18.

 Y H  X  Z  X H  Y H  Z H  X C Z H 

En los problemas 21 a 32, suponga que el sólido que se indica tiene densidad constante, δ ≡ 1. 21. Encuentre el centroide del sólido del problema 12. 22. Encuentre el centroide del hemisferio X  C Y C Z

2;

Z

Y



XZ

X



 

 Y H Z  Z H Y  X C Y C Z H  X H 

:

23. Encuentre el centroide del sólido del problema 17. 24. Determine el centroide del sólido limitado por z  1 − x 2, z  0, y  −1 y y  1. 25. Encuentre el centroide del sólido acotado por z  cos x, x  −π/2, x  π/2, y  0, z  0 y y + z  1. 26. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje z del sólido del problema 12. 27. Calcule el momento de inercia alrededor del eje y del sólido del problema 24. 28. Determine el momento de inercia alrededor del eje z del cilindro sólido x 2 + y 2 R 2, 0 z H. 29. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje z del sólido limitado por x + y + z  1, x  0, y  0 y z  0. 30. Halle el momento de inercia alrededor del eje z del cubo cuyos vértices son .  ; ;   / Y .  ; ;   / 31. Considere el paraboloide sólido limitado por z  x 2 + y 2 y el plano z  h > 0. Demuestre que su centroide se ubica sobre su eje de simetría, a dos tercios de la distancia de su “vértice” en (0, 0, 0) a su base. 32. Demuestre que el centroide de un cono circular recto se halla sobre el eje del cono y a tres cuartos de la distancia del vértice a su base. En los problemas 33 a 40, el sólido que se indica tiene densidad uniforme δ ≡ 1, a menos que se especifique otra cosa. 33. Para un cubo cuya arista mide a, encuentre el momento de inercia alrededor de uno de sus lados.

Integrales triples 1047

  

Y 



 

Z

Z 





  X



XZ

YZ

YZ

FIGURA 13.6.19 Sólido de intersección del problema 39.

FIGURA 13.6.18 Cilindros que se intersecan, problema 39.

40. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje z del sólido del problema 39. 41. Determine el volumen limitado por los paraboloides elípticos z  2x 2 + y 2 y z  12 − x 2 − 2y 2. Observe que este sólido proyecta un disco circular en el plano x y. 42. Calcule el volumen limitado por el paraboloide elíptico y  x 2 + 4z 2 y el plano y  2x + 3. 43. Encuentre el volumen del cono elíptico acotado por z  X  C Y  y el plano z  1 [sugerencia: primero integre respecto de x]. 44. Diga cuál es el volumen de la región limitada por el paraboloide x  y 2 + 2z 2 y el cilindro parabólico x  2 − y 2 (ver figura 13.6.20). X Y   Z

 

 Y

 

 XYZ



X

FIGURA 13.6.20 Superficies del problema 44.

45. Encuentre el centroide de la pirámide en el ejemplo 2, cuya densidad es δ(x, y, z)  z. 46. Determine el centroide del segmento parabólico (con densidad δ ≡ 1) del ejemplo 5.

1048 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Para los problemas 47 a 52, el valor promedio F de la función f (x, y, z) en los puntos de la región en el espacio definida por  F H F .X; Y; Z/ D 6 6 4 donde V es el volumen de T. Por ejemplo, si T es un sólido con densidad δ ≡ 1, entonces las coordenadas X , Y y Z de su centroide son los valores promedio de las “funciones coordenadas” x, y y z en los puntos de T. 47. Encuentre el valor promedio de la función de densidad δ(x, y, z)  z en puntos de la pirámide T del ejemplo 2. 48. Suponga que T es el cubo unitario en el primer octante con vértices opuestos diagonalmente (0, 0, 0) y (1, 1, 1). Encuentre el promedio de la “distancia cuadrada” f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 entre puntos de T y el origen. 49. Sea T el cubo del problema 48. Encuentre la distancia cuadrada promedio de puntos de T a su centroide. 50. Sea T el cubo del problema 48, pero con función de densidad δ(x, y, z)  x + y + z que varía en forma lineal de 0 en el origen

a 3 en el vértice opuesto de T. Encuentre el valor promedio  de la densidad de T. ¿Puede escoger el valor de  antes de evaluar la integral triple? 51. Encuentre la distancia cuadrada promedio que hay del origen a puntos de la pirámide del ejemplo 2. 52. Suponga que T es la pirámide del ejemplo 2, pero con función de densidad δ ≡ 1. Encuentre la distancia cuadrada promedio de puntos de T a su centroide. 53. Utilice un sistema de álgebra por computadora para encontrar la distancia promedio D que hay de puntos del cubo T del problema 48, al origen. Nota: sistemas diferentes de álgebra por computadora dan respuestas exactas en formas distintas. Quizá la forma más sencilla de la respuesta sea DH

p p     C  LN. C /  :; 

que se obtiene por reducción manual de un resultado de computadora.

13.6 INVESTIGACIÓN: paraboloide flotante de Arquímedes Arquímedes se interesó en los cuerpos flotantes y estudió la posible posición (ver figura 13.6.21) de un paraboloide circular recto de densidad uniforme, que flotara. Para un paraboloide que flota en “posición inclinada”, descubrió la manera de determinar su ángulo de inclinación en términos del volumen y centroide del “segmento oblicuo” del paraboloide que se halla bajo el nivel del agua. Los principios que introdujo para esta investigación (hace más de 22 siglos) aún son importantes en la arquitectura naval moderna.

.IVEL DELAGUA

6ERTICAL

)NCLINADO

3UMERGIDO ENFORMAPARCIAL

FIGURA 13.6.21 Modos en que un paraboloide sólido uniforme podría flotar.

Para su propio paraboloide personal que va a investigar, sea T la región sólida tridimensional cuyo límite inferior es el paraboloide z  x 2 + y 2, y el superior es el plano z  (b − a)y + ab, donde a y b son los dígitos distintos de cero más pequeño y más grande (respectivamente) de su matrícula de estudiante. (Si a  1 y b  2, entonces T es el sólido del ejemplo 5). En los problemas siguientes es posible evaluar las integrales triples ya sea a mano —consulte una tabla de integrales si lo desea— o con el empleo de un sistema de álgebra por computadora. 1. Encuentre el volumen V del paraboloide oblicuo sólido T. Haga un dibujo de T similar al de la figura 13.6.13. ¿Alcanza a ver que T es simétrico respecto del plano y z? Describa la región R en el plano y z que es la proyección vertical de T. Esta región plana determinará los límites z y los límites y de su integral triple (como en el ejemplo 5). 2. Encuentre las coordenadas (X , Y, Z ) del centroide C de T (suponga que T tiene densidad δ ≡ 1). 3. Encuentre las coordenadas del punto P en el que un plano paralelo al plano superior original z  (b − a) y + ab es tangente al paraboloide. Asimismo, encuentre las coordenadas del punto Q en el que una línea vertical que pase por P interseca el plano superior. De acuerdo con Arquímedes, el centroide C del problema 2

SECCIÓN 13.7

Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1049

debe quedar sobre la recta PQ a dos tercios de la distancia entre P y Q. ¿Ocurre así, de acuerdo con sus cálculos? (Compare con el problema 31 de esta sección).

13.7 INTEGRACIÓN EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Suponga que f (x, y, z) es una función continua definida sobre la región z-simple T, la cual —porque es z-simple— está descrita por Z  .X; Y/ Z Z  .X; Y/ PARA .X; Y/ EN 2 (donde R es la proyección de T en el plano x y, como es lo habitual). En la sección 13.6 se vio que Z  .X;Y/

F .X; Y; Z/ D 6 H

F .X; Y; Z/ DZ D!:

4



Z  .X;Y/

2

Si se describe la región R con mayor naturalidad en coordenadas polares que en rectangulares, entonces es probable que la integración sobre la región plana R sea más sencilla si se expresa en coordenadas polares. Primero se expresa la integral parcial interior de la ecuación (1) en términos de r y θ, escribiendo Z  .X;Y/

:  .R; /

F .X; Y; Z/ DZ H Z  .X;Y/

&.R; ; Z/ DZ;



:  .R; /

DONDE

Z

&.R; ; Z/ H F .R COS ; R SEN ; Z/

A

: I .R; / H Z I .R COS ; R SEN  /

B

Y Q Z:R

4

para i  1, 2. Al sustituir la ecuación (2) en la (1) con d A  r dr dθ (importante) se obtiene Z:R Q Y 4

2

X

:  .R; /

F .X; Y; Z/ D 6 H

&.R; ; Z/ DZ R DR D



:  .R; /

3

R Q

donde F, Z1 y Z2 son las funciones dadas en (3) y S representa los límites apropiados sobre r y θ necesarios para describir la región plana R en coordenadas polares (como se vio en la sección 13.4). Los límites sobre z son simplemente las coordenadas z (en términos de r y θ) de un segmento de recta común que une las superficies de frontera superior e inferior de T, como se indica en la figura 13.7.1. Así, la fórmula general para la integración triple en coordenadas cilíndricas es

FIGURA 13.7.1 Los límites sobre z en una integral triple en coordenadas cilíndricas están determinados por las superficies superior e inferior.

F .X; Y; Z/ D 6 H 4

Z



donde U no es una región en el espacio x y z, sino —como en la sección 13.4— una representación de los límites sobre z, r y θ apropiada para describir la región en el espacio T en coordenadas cilíndricas. Antes de integrar, se debe reemplazar las variables x y y con r cos θ y r sen θ, respectivamente, pero z se deja sin cambio. El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas

$Q

$Z

F .R COS ; R SEN ; Z/ R DZ DR D 5

D 6 H R DZ DR D R $R

Y R$Q Q

X

FIGURA 13.7.2 El volumen del bloque cilíndrico es V = R
RN
Z H RN Z R :

puede considerarse de manera informal como el producto de d z por el elemento de área en coordenadas polares d A  r dr dθ. Es una consecuencia de la fórmula V  R z r θ para el volumen del bloque cilíndrico en la figura 13.7.2. La integración en coordenadas cilíndricas es útil en particular para cálculos asociados con sólidos de revolución; ya que los límites de integración serán más sencillos, el sólido por lo general debe colocarse de modo que el eje de revolución sea el eje z.

1050 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

EJEMPLO 1 Encuentre el centroide de la porción T en el primer octante de la bola sólida limitada por la esfera r 2 + z 2  a 2. En la figura 13.7.3 se ilustra el sólido T.

Z

ZSUP A R

Solución El volumen del primer octante de la bola sólida es 6 H 
 A  H  A   Como X H Y H Z por simetría, sólo se necesita calcular p = A A  R    ZH Z D6 H Z R DZ DR D 6 A     4 H

Y ZINF

X

H

FIGURA 13.7.3 Primer octante de la esfera (ejemplo 1).

 A   A 

= 

A 

=

 R .A  R  / DR D 

     A R R  



A

D H R H

A   A
H :
 A   

Así, el centroide se localiza en el punto .  A;  A;  A/ Observe que la respuesta es tanto plausible como correcta en cuanto a sus dimensiones. Z

Z

EJEMPLO 2 Encuentre el volumen y centroide del sólido T limitado por el paraboloide z  b(x 2 + y 2) (b > 0) y el plano z  h (h>0).

ZH

Solución La figura 13.7.4 muestra claramente que el radio del círculo superior de T está dado por la ecuación z  b(x 2 + y 2)  br 2 y z  h. Esto ofrece A H H=B para el radio del círculo sobre el que se encuentra el sólido. Así, la ecuación (4), con f (x, y, z) ≡ 1, proporciona el volumen:

ZBR



Y

A

6 H



4

X

H 

FIGURA 13.7.4 Paraboloide del ejemplo 2.

#ENTROIDE H  H 



BR 



A

R DZ DR D H 

.HR BR  / DR D





    HA BA  

H

FIGURA 13.7.5 Volumen y centroide de un paraboloide circular recto en términos del cilindro circunscrito.

H

 H H A  H B 

H

 A  H  AH

 

A 

   H R B R   

    H A B A   

H

DR D

 H; 

otra vez se utiliza el hecho de que a 2  h/b. Por tanto, el centroide de T se localiza en el punto (0, 0,  h). De nuevo, esta respuesta es tanto plausible como correcta en cuanto a sus dimensiones. Z Los resultados del ejemplo 2 se resumen como sigue: el volumen de un paraboloide circular recto es la mitad del cilindro circunscrito (ver figura 13.7.5), y su centroide se halla sobre su eje de simetría a dos tercios de la distancia entre el “vértice” en (0, 0, 0) y su “base” circular en la parte superior.

Z 0X Y Z F

Integrales en coordenadas esféricas

R Q

Y

X

H

(debido a que a 2  h/b). Por simetría, el centroide de T se ubica sobre el eje z, por lo que todo lo que falta es calcular Z :  A H   ZH Z D6 H R Z DZ DR D 6 A  H   BR  4

A

FIGURA 13.7.6 Coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) del punto P.

A

D6 H

Cuando las superficies de frontera de la región T de integración son esferas, conos u otras superficies con descripciones sencillas en coordenadas esféricas, por lo general tiene ventajas transformar una integral triple sobre T en coordenadas esféricas. Hay que recordar, de la sección 11.8, que la relación entre las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) (que se ilustran en la figura 13.7.6) y las rectangulares (x, y, z) está dada por X H  SEN  COS ; Y H  SEN  SEN; Z H  COS : 

SECCIÓN 13.7

Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1051

Por ejemplo, suponga que T es el bloque esférico determinado por las desigualdades sencillas 



 H  C

;





 H  C

;





 H  C

:



Como lo indican las dimensiones señaladas en la figura 13.7.7, este bloque esférico es (si ρ, φ y θ son pequeñas) aproximadamente un bloque rectangular con dimensiones ρ, ρ1 φ y ρ1 sen φ2 θ. Así, su volumen es aproximadamente ρ21 sen φ2 ρ φ θ. Se puede demostrar (ver problema 19 de la sección 13.8) que el volumen exacto del bloque esférico descrito en (7) es 6 H O  SEN O





para ciertos números O y O tales que ρ1 < O < ρ2 y φ1 < O < φ2. Ahora suponga que hacemos la partición de los intervalos [ρ1, ρ2], [φ1, φ2] y [θ1, θ2] en n subintervalos de longitudes H

   N

  ; N

H

H

Y

   ; N

respectivamente. Esto produce una partición esférica P del bloque esférico T en k  n3 bloques esféricos más pequeños T1, T2, . . . , Tk; ver la figura 13.7.8. Según la ecuación (8), existe un punto .OI ; O I ; OI / del bloque esférico Ti tal que su volumen es Vi  OI SEN O I  La norma |P| de P es la longitud de la diagonal más larga de cualquiera de los bloques esféricos pequeños T1, T2, . . . , Tk. Si ( XI , YI , Z I ) son las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas esféricas .OI ; O I ; OI /, entonces la definición de la integral triple como límite de sumas de Riemann cuando la norma |P| tiende a cero, proporciona K

F .X; Y; Z/ D 6 H L¤M

jP j!

4

F .XI ; YI ; Z I

6I

IH  K

&.OI ; O I ; OI /OI SEN O I

H L¤M

jP j!

;



IH

Z

Z 4I $R

R $ F

F $F

F

F

R $ Q  R SEN F $ Q

R

Y

Y

Q $Q

X

X

R R SEN F

Q

R $ Q  R SEN F $ Q

FIGURA 13.7.7 El volumen del bloque esférico es

H  SEN  aproximadamente R



FIGURA 13.7.8 El bloque esférico T dividido en k bloques esféricos más pequeños.

1052 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

donde &.; ; / H F . SEN  COS ;  SEN  SEN ;  COS /



es el resultado de sustituir (6) en f (x, y, z). Pero la suma del lado derecho en la ecuación (9) es simplemente una suma de Riemann para la integral triple  

 



&.; ; /   SEN  D D D:



Por tanto, se sigue que 





F .X; Y; Z/ D 6 H 

4



&.; ; /   SEN  D D D





Así, transformamos la integral F .X; Y; Z/ D 6 4

a coordenadas esféricas con el reemplazo de las variables en coordenadas rectangulares x, y y z con sus expresiones en (6) en términos de las variables en coordenadas esféricas ρ, φ y θ. Además, escribimos D 6 H   SEN  D D D Z

REXTR F Q

para el elemento de volumen en coordenadas esféricas. Simplificando, es posible transformar la integral triple F .X; Y; Z/ D 6 4

en coordenadas esféricas siempre y cuando la región T sea centralmente simple —es decir, cuando tenga una descripción en coordenadas esféricas de la forma  .; /



 .; /;





 ;





 :



&.; ; /   SEN  D D D



Si es así, entonces RINTR  F Q





 .; /

F .X; Y; Z/ D 6 H Y X

FIGURA 13.7.9 Región centralmente simple.



4



 .; /

Los límites sobre ρ en la ecuación (13) son sólo las coordenadas ρ (en términos de φ y θ) de los puntos extremos de un segmento radial común que conecte las partes “interior” y “exterior” de la frontera de T (ver figura 13.7.9). Así, la fórmula general para la integración triple en coordenadas esféricas es F .X; Y; Z/ D 6 4

 F . SEN  COS ;  SEN  SEN ;  COS /   SEN  D D D;

H 5

donde, como antes, U no denota una región en el espacio x y z sino indica los límites sobre ρ, φ y θ apropiados para describir la región T en coordenadas esféricas. EJEMPLO 3 Una bola sólida T con densidad constante δ está limitada por la superficie esférica con ecuación ρ  a. Use coordenadas esféricas para calcular su volumen V y su momento de inercia Iz alrededor del eje z.

SECCIÓN 13.7

Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1053

Solución Los puntos de la bola T están descritos por las desigualdades   A;   ;   : En la ecuación (11) se hace f  F ≡ 1 y se obtiene 

6 H



4

H H



A

D6 H   A    A 





  SEN  D D D





SEN  D D 

 



COS 

H





  A 

D H

D H 

  A : 

La distancia del punto común (ρ, φ, θ) de la esfera al eje z es r  ρ sen θ, por lo que el momento de inercia de la esfera alrededor de ese eje es 

R  D 6 H

)Z H



4

H H



  A 



A



  SEN  D D D



SEN  D D

 

  A  





SEN  D H



    A 

H MA  ;   

 3  πa δ

donde m  es la masa de la bola (al evaluar la integral final, se usa simetría y la fórmula (113) de los forros del libro). La respuesta es correcta por sus dimensiones, ya que es el producto de la masa y el cuadrado de una distancia, y también es plausible porque implica que, para propósitos de la inercia rotacional, la esfera actúa como si su masa estuviera concentrada en alrededor del 63% de la distancia entre el eje y el p Z ecuador (porque )Z =M H = A  :  EJEMPLO 4 Encuentre el volumen y centroide del “cono de helado” uniforme C limitado por el cono φ  π/6 y la esfera ρ  2a cos φ de radio a. En la figura 13.7.10 se ilustran la esfera y la parte del cono dentro de ella.

Z

RACOS F

 F

Solución El cono de helado está descrito por las desigualdades  ;   A COS :   ;    Se utiliza la ecuación (13) para calcular su volumen y se obtiene

P 



=

A COS 

6 H 

Y

H X

FIGURA 13.7.10 El cono de helado del ejemplo 4 es la parte del cono que se encuentra dentro de la esfera.

H



  A 

  SEN  D D D

 



=

COS  SEN  D D

 =

   A COS   

H 

 A  : 

Ahora pasamos al centroide. Está claro que por simetría X  Y  0. También supondremos que C tiene la densidad δ ≡ 1, por lo que la masa de C es numéricamente la misma que su volumen. Debido a que z  ρ cos φ, la coordenada z del centroide de C es ZH H

 6 A 

Z D6 H #  

= 

 A 

 

= 

A COS 

  COS  SEN  D D D



COS  SEN  D D H

A  COS   

=

H 

A : 

A/ Entonces, el centroide del cono de helado se localiza en el punto .; ;  

Z

1054 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

13.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. La fórmula general para la integración triple en coordenadas cilíndricas es F .X; Y; Z/ D 6 H

&.R; ; Z/ DZ DR D;

4

2.

3.

4.

5.

6.

5

donde F (r, θ, z)  f (r cos θ, r sen θ, z) y U representa los límites sobre z, r y θ que resulten apropiados para describir la región del espacio T en coordenadas cilíndricas. Como ayuda para memorizar estos conceptos, el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas puede considerarse como el volumen de un bloque rectangular infinitesimal cuya altura es d z y la superficie de su base es el elemento de área en coordenadas polares d A  r d r d θ. El resultado del ejemplo 1 se resume diciendo que el centroide de la parte en el primer octante de la bola sólida de radio a (con centro en el origen) queda sobre la recta x  y  z, a tres octavos de la distancia del origen a la superficie esférica de la bola. El resultado del ejemplo 2 se resume con decir que el centroide de un paraboloide circular recto queda sobre su eje, a dos tercios de la distancia que hay entre su “base” circular plana y su superficie paraboloide curva. Como ayuda para memorizar estos conceptos, el elemento de volumen en coordenadas esféricas puede considerarse como el volumen de un bloque rectangular infinitesimal cuyas aristas tienen longitudes dρ, ρ d φ y ρ sen φ d θ. La fórmula general para la integración triple en coordenadas esféricas es F .X; Y; Z/ D 6 H 4

7.

8. 9. 10.

&.; ; / SEN  D D D; 5

donde F (ρ, φ, θ)  f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ ) y U representan los límites sobre ρ, φ y θ apropiados para describir la región del espacio T en coordenadas esféricas. La segunda parte del ejemplo 3 muestra que el momento de inercia (alrededor 2 del eje p z) de una bola esférica uniforme con radio a y masa m es Iz  mb , donde B H = A  :A El volumen del cono de helado del ejemplo 4 es más de la mitad del volumen de toda la esfera de radio a. El centroide del cono de helado del ejemplo 4 queda sobre su eje de simetría, a más de dos tercios de la distancia de su punta (o vértice) a su superficie esférica. Tanto en el ejemplo 3 como en el 4, el volumen del sólido uniforme pertinente es proporcional al cubo de la dimensión de su base a; tanto en el ejemplo 3 como en un cilindro de altura h  2a (problema 16), el momento de inercia del sólido uniforme pertinente es proporcional a la quinta potencia de a.

13.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Proporcione ejemplos de integrales triples que sean más fáciles de evaluar con el uso de (a) coordenadas cilíndricas, en lugar de rectangulares o esféricas; (b) coordenadas esféricas, en lugar de rectangulares o cilíndricas. 2. Describa una integral triple que se evalúe con mayor facilidad con el empleo de coordenadas cilíndricas y primero se integre respecto de θ. Después, evalúela. 3. Describa una integral triple que sea más fácil de evaluar con la utilización de coordenadas esféricas y se integre primero respecto de φ. Después, evalúela.

SECCIÓN 13.7

Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 1055

13.7 PROBLEMAS Resuelva los problemas 1 a 20 con integración triple en coordenadas cilíndricas. Suponga que todos los sólidos tienen densidad unitaria a menos que se especifique otra función de densidad. 1. Encuentre el volumen del sólido limitado en su parte superior por el plano z  4 y en la inferior por el paraboloide z  r 2. 2. Determine el centroide del sólido del problema 1. 3. Obtenga la fórmula del volumen de una esfera de radio a. 4. Calcule el momento de inercia alrededor del eje z de la esfera sólida del problema 3, dado que el eje z pasa a través de su centro. 5. Halle el volumen de la región que se encuentra dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2  4 y del cilindro x 2 + y 2  1. 6. Encuentre el centroide de la mitad de la región del problema 5 que se ubica sobre o arriba del plano x y. 7. Diga cuál es la masa del cilindro 0 r a, 0 z h, si su densidad en (x, y, z) es z. 8. Encuentre el centroide del cilindro del problema 7. 9. Obtenga el momento de inercia alrededor del eje z del cilindro del problema 7. 10. Calcule el volumen de la región que queda dentro tanto de la esfera x 2 + y 2 + z 2  4 como del cilindro x 2 + y 2 − 2x  0 (ver la figura 13.7.11). Y



XY X



  Z 



 XYZ

X

 

FIGURA 13.7.11 Esfera y cilindro del problema 10.

11. Encuentre el volumen y centroide de la región limitada por el plano z  0 y el paraboloide z  9 − x 2 − y 2. 12. Calcule el volumen y centroide de la región limitada por los paraboloides z  x 2 + y 2 y z  12 − 2x 2 − 2x 2. 13. Determine el volumen de la región limitada por los paraboloides z  2x 2 + y 2 y z  12 − x 2 − 2y 2. 14. Diga cuál es el volumen de la región acotada bajo el paraboloide z  x 2 + y 2 y sobre el plano z  2x (ver figura 13.7.12). X 



 

Y   

ZXY

 Z ZX 

FIGURA 13.7.12 Plano y paraboloide del problema 14.

15. Halle el volumen de la región limitada por arriba por la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2  2 y por abajo por el paraboloide z  x 2 + y 2 (ver figura 13.7.13).

Y





ZXY

  Z 





XYZ  X



FIGURA 13.7.13 Esfera y paraboloide del problema 15.

16. Un cilindro sólido homogéneo tiene masa m y radio a. Demuestre que su momento de inercia alrededor de su eje de simetría es  m a 2. 17. Calcule el momento de inercia I de un cilindro circular recto, sólido y homogéneo, alrededor de un diámetro de su base. Exprese I en términos del radio a, altura h y densidad (constante) δ del cilindro. 18. Diga cuál es el centroide de un cilindro circular recto sólido de radio a y altura h. 19. Determine el volumen de la región limitada por el plano z  1 y el cono z  r. 20. Demuestre que el centroide de un cono circular recto sólido y homogéneo queda sobre su eje a tres cuartos de la distancia que hay entre su vértice y su base. Resuelva los problemas 21 a 30 con integración triple en coordenadas esféricas. 21. Encuentre el centroide de un hemisferio sólido homogéneo de radio a. 22. Obtenga la masa y centroide del hemisferio sólido x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 0, si su densidad δ es proporcional a la distancia z desde su base —por lo que δ  kz (donde k es una constante positiva). 23. Resuelva el problema 19 con integración triple en coordenadas esféricas. 24. Solucione el problema 20 con integración triple en coordenadas esféricas. 25. Encuentre el volumen y centroide del sólido uniforme que está dentro de la esfera ρ  a y arriba del cono r  z. 26. Determine el momento de inercia Iz del sólido del problema 25. 27. Calcule el momento de inercia alrededor de una recta tangente a una esfera sólida homogénea de radio a y masa total m. 28. Una concha esférica de masa m está limitada por las esferas ρ  a y ρ  2a, y su función de densidad es δ  ρ 2. Encuentre su momento de inercia alrededor de un diámetro. 29. Describa la superficie ρ  2a sen φ, y calcule el volumen de la región que limita.

1056 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

30. Describa la superficie ρ  1 + cos φ y calcule el volumen de la región que limita. La figura 13.7.14 tal vez le sea de utilidad. 

Y

 



X

 



 Z 

R COS F

FIGURA 13.7.14 Superficie del problema 30.

31. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje x de la región que está dentro del cilindro r  a y la esfera ρ  2a. 32. Determine cuál es el momento de inercia alrededor del eje z del cono de helado del ejemplo 4. 33. Obtenga la masa y el centroide del cono de helado del ejemplo 4, si su densidad en (x, y, z) es δ(x, y, z)  z. 34. Determine el momento de inercia del cono de helado del problema 33 alrededor del eje z. 35. Suponga que una estrella gaseosa esférica de radio a tiene una función de densidad de δ  k(1 − ρ2/a2), por lo que su densidad varía de δ  k en su centro, a δ  0 en sus límites ρ  a. Demuestre que su masa es  de la de una estrella similar con densidad uniforme k. 36. Calcule el momento de inercia alrededor de un diámetro de la estrella esférica gaseosa del problema 35. 37. (a) Use coordenadas esféricas para evaluar la integral

respecto de un eje de simetría es ) H  MC donde m es la masa de la concha y B A  C H  : B A 43. Se perfora un agujero de radio a < b en forma simétrica a través del centro de una esfera sólida de radio b y densidad δ uniforme, lo que deja un “anillo” de masa m. Demuestre que el momento de inercia de este anillo respecto de su eje de simetría es ) H  M.A  CB / 44. Los tres cilindros de x 2 + y 2  1, x 2 + z 2  1 y y 2 + z 2  1, se intersecan como se ilustra en la figura 13.7.15(a); la figura 13.7.15(b) muestra una vista directa desde arriba, viendo hacia abajo a lo largo del eje z. Encuentre el volumen de la región que se localiza dentro de los tres cilindros.

FIGURA 13.7.15(a) Los tres cilindros que se intersecan, para el problema 44.

EXP.  / D 6 "

donde B es la bola sólida de radio a con centro en el origen. b) Haga que a → ∞ en el resultado del inciso (a) para demostrar que 1

1

1

1

1

1

EXP..X  C Y  C Z  /= / D X D Y DZ H  :

38. Utilice el método del problema 37 para demostrar que 1

1

1 



 =

.X C Y C Z / 1

1

1

 EXP.X  Y  Z  / D X D Y DZ H :

39. Encuentre la distancia promedio de puntos de una bola sólida de radio a a partir de su centro (la definición del valor promedio de una función precede al problema 47 de la sección 13.6). 40. Determine la distancia promedio de los puntos de una bola sólida de radio a a partir de un punto fijo en la frontera de ésta. Los problemas 41 y 42 ofrecen resultados que se necesitan en el proyecto de la sección 13.5. 41. Una concha esférica de radio a y espesor despreciable tiene densidad de área δ, por lo que su masa es m  4πδa2. Demuestre que su momento de inercia respecto de un eje de simetría es ) H  M A   42. Una concha esférica tiene radio interior a, radio exterior b y densidad uniforme δ. Demuestre que su momento de inercia

FIGURA 13.7.15(b) Vista de arriba hacia abajo, desde un punto elevado sobre el eje z.

45. La figura 13.7.16 muestra la esfera abollada con ecuación en coordenadas esféricas ρ  6 + 3 cos 3φ sen 5φ. Use un sistema de álgebra por computadora para encontrar el volumen de la región contenida por la esfera abollada.

Z

Y X

FIGURA 13.7.16 Esfera abollada para el problema 45.

SECCIÓN 13.8

46. La esfera abollada de la figura 13.7.16 parece ser algo simétrica. ¿Su centroide se encuentra en realidad en el origen? Un descubrimiento crucial que hizo Newton (demostrado en sus Principia Mathematica) fue que la atracción gravitacional de una esfera sólida uniforme (como un planeta ideal) es la misma que si toda la masa del planeta estuviera concentrada en su centro. Los problemas 47 y 48 se refieren a éste u otro hecho relacionado. 47. Considere una bola esférica homogénea de radio a centrada en el origen, con densidad δ y masa - H  A   Demuestre que la fuerza gravitacional F que ejerce esta bola sobre un punto cuya masa es m localizado en el punto (0, 0, c), donde c > a (ver figura 13.7.17), es la misma que si toda la masa de la bola estuviera concentrada en su centro (0, 0, 0). Es decir, demuestre que |F|  GMm/c2 [sugerencia: por simetría, suponga que la fuerza es vertical, de modo que F  Fzk. Plantee la integral  A  'M  COS   &Z H  SEN  D D D: H    Cambie la primera variable de integración de φ a w por medio de la ley de los cosenos: H H   C C C COS :

Entonces, 2w d w  2ρ c sen φ d φ y w cos α + ρ cos φ  c (¿por qué?)]. M

Z   C

Área de una superficie

1057

48. Ahora considere la concha esférica a r b, con densidad uniforme δ. Demuestre que la concha no ejerce fuerza neta sobre un punto de masa m localizado en (0, 0, c) dentro de ella —es decir, con |c| < a—. El cálculo será el mismo que el del problema 47, excepto por los límites de integración sobre ρ y w. 49. Si la Tierra fuera perfectamente esférica con radio R  6370 km, densidad uniforme δ y masa - H    2  entonces (de acuerdo con el ejemplo 3) su momento de inercia respecto de su eje polar sería ) H  -2  . Sin embargo, las mediciones de los satélites indican que en realidad ) H K -2 



donde k ≈ 0.371 < . La razón es que, en lugar de suponer un interior uniforme, un modelo más realista de la Tierra considera que tiene un núcleo denso cubierto por un manto más ligero con espesor de algunos miles de kilómetros (ver figura 13.7.18). La densidad del núcleo es δ1 ≈ 11 × 103 kg/m3 y la del manto es δ2 ≈ 5 × 103 kg/m3. a) Con este modelo de núcleo-manto, calcule la masa M de la Tierra y su momento polar de inercia I (use el problema 42) en términos del radio desconocido x del núcleo esférico. b) Sustituya en la ecuación (15) los valores que calculó para M e I y utilice un sistema de álgebra por computadora para resolver para x la ecuación que resulte.

C

A

W -ANTO

F

.¢CLEO

R

Y

X

SENDDD R F R F Q D6

FIGURA 13.7.18 Núcleo y manto de la Tierra.

FIGURA 13.7.17 El sistema del problema 47.

13.8 ÁREA DE UNA SUPERFICIE Hasta este momento, nuestro concepto de superficie ha sido la gráfica z  f (x, y) de una función de dos variables. Ocasionalmente hemos visto dicha superficie definida en forma implícita por una ecuación de la forma F(x, y, z)  0. Ahora queremos introducir el concepto más preciso de superficie paramétrica —analogía en dos dimensiones de una curva paramétrica. Una superficie paramétrica S es la imagen de una función o transformación r que está definida sobre una región R en el plano uv (ver figura 13.8.1) y tiene valores en el espacio x y z (ver figura 13.8.2). La imagen bajo r de cada punto (u, v) en R es el punto en el espacio x y z con vector de posición R.U; G/

X.U; G/; Y.U; G/; Z.U; G/ 



La superficie paramétrica S se denomina suave si las funciones componentes de r tiene derivadas parciales continuas respecto de u y v y, además, los vectores @Y @Z @X @R IC JC K  RU H XU ; YU ; Z U @U @U @U @U

1058 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples Z

U RU

2

3

Y U

X

FIGURA 13.8.1 La región uv sobre la que está definida la transformación r.

Q

y RG H

R Q Q 2

R

@R @G

FIGURA 13.8.2 Superficie paramétrica S en el espacio x y z.

XG ; YG ; Z G

@Y @Z @X IC JC K @G @G @G



son diferentes de cero y no paralelos en cada punto interior de R (compare esto con la definición de curva paramétrica suave r(t) en la sección 9.4). Las variables u y v se denominan parámetros de la superficie S, por analogía con el parámetro único t para una curva paramétrica. EJEMPLO 1 a) Se puede ver la gráfica z  f (x, y) de una función como una superficie paramétrica con parámetros x y y. En este caso, la transformación r del plano x y al espacio x y z tiene las funciones componentes

FIGURA 13.8.3 Rectángulo en el plano r θ; el dominio de la función z = g(r, θ) del ejemplo 1.

X H X; Z RCOSQ RSENQ GR Q Q Q Q 3

Y H Y;

Z H F .X; Y/:



b) De manera similar, una superficie dada en coordenadas cilíndricas por la gráfica de z  g(r, θ) puede verse como una superficie paramétrica con parámetros r y θ. La transformación r del plano rθ (ver figura 13.8.3) al espacio x y z (ver figura 13.8.4) está dada por X H R COS ;

Y H R SEN ;

Z H G.R; /:



c) Una superficie dada en coordenadas esféricas por ρ  h(φ, θ) como una superficie paramétrica con parámetros φ y θ, y la transformación correspondiente del plano φθ al espacio x y z está dada, entonces, por Y X RCOSQ RSEN  Q

FIGURA 13.8.4 Superficie en coordenadas cilíndricas en el espacio x y z (ejemplo 1).

UI$U I$ UI I$

Y H H.;  / SEN  SEN ;

Z H H.;  / COS : 

El concepto de superficie paramétrica permite tratar estos tres casos especiales, y muchos más, con las mismas técnicas. Z

Área de superficies paramétricas Ahora queremos definir el área de la superficie paramétrica suave general dada en la ecuación (1). Comenzamos con una partición interior de la región R —el dominio de r en el plano uv— en rectángulos R1, R2, . . . , Rn, cada uno con dimensiones u y v. Sea (ui, vi) la esquina inferior izquierda de Ri (como se aprecia en la figura 13.8.5). La imagen Si de Ri bajo r en general no será un rectángulo en el espacio x y z; se verá más como una figura curvilínea sobre la superficie de la imagen S, con r(ui, vi) como un “vértice” (ver figura 13.8.6). Sea Si que denote el área de esta figura curvilínea Si. Las curvas paramétricas r(u, vi) y r(ui, v) —con parámetros u y v, respectivamente— están sobre la superficie S y se encuentran en el punto r(ui, vi). En este punto de intersección, estas dos curvas tienen los vectores tangentes ru(ui, vi) y rv(ui, vi) que se ilustran en la figura 13.8.7. De ahí que su producto vectorial

2

2I UI I UI$U I U

FIGURA 13.8.5 El rectángulo Ri en el plano uv.

X H H.;  / SEN  COS ;

..U I ; GI / H RU .U I ; GI / ˜ RG .U I ; GI /

sea un vector normal a S en el punto r(ui, vi).



SECCIÓN 13.8

Área de una superficie

1059

Z

Z

Z .RUsR RUI I$ RUI I

3

R

R

0I RUI

RUI I

3I RUI$U I

3I

RU

RUI I

RU I

RUI$U I$ Y X

FIGURA 13.8.6 La imagen de Ri es una figura curvilínea.

RU

Y

Y X

X

FIGURA 13.8.7 El vector N normal a la superficie en r(ui, vi).

FIGURA 13.8.8 El área del paralelogramo Pi es una aproximación del área de la figura curvilínea Si.

Ahora, suponga que tanto u y v son pequeñas. De esta forma, el área Si de la figura curvilínea Si debe ser aproximadamente igual al área Pi del paralelogramo con lados ad yacentes ru(ui, vi)u y rv(ui, vi)v (ver figura 13.8.8). Pero el área de este paralelogramo es 0I H jRU .U I ; GI

U ˜ RG .U I ; GI

Gj H j..U I ; GI /j U

:

Esto significa que el área a(S) de la superficie S debe estar dada aproximadamente por N

N

3I 

A.3 / H IH

0I ; IH

ENTONCES N

j..U I ; GI /j U

A.3 / 

:

IH

Pero esta última es una suma de Riemann para la integral doble j..U; G/j DU DG: 2

Por tanto, nos vemos motivados para definir el área A de la superficie paramétrica suave S como ! H A.3/ H

j..U; G/j DU DG H 2

2

@R @R ˜ DU DG @U @G



El área de una superficie en coordenadas rectangulares En el caso de la superficie z  f (x, y) para (x, y) en la región R en el plano x y, las funciones componentes de r están dadas por las ecuaciones en (4) con parámetros x y y (en lugar de u y v). Así I J K @F @F @R @R @F   ˜ H J C K; .H @X H I @X @Y @X @Y @F   @Y por lo que la ecuación (8) adopta la forma especial ! H A.3/ H

C 2

@F @X



C

@F @Y



 C Z X C Z Y D X D Y

DX DY H 2



1060 CAPÍTULO 13

Y

  

Integrales múltiples

ZXY X  

EJEMPLO 2 Encuentre el área de la elipse cortada en el plano z  2x + 2y + 1 por el cilindro x 2 + y 2  1 (ver figura 13.8.9).

Solución Aquí, R es el círculo unitario en el plano x y con área



 D X D Y H ;



2

por lo que la ecuación (9) da el área de la elipse como

 Z 

 C Z X C Z Y D X D Y

!H 2

 XY

 C   C  D X D Y H

H 2

FIGURA 13.8.9 Cilindro y plano del ejemplo 2.

 D X D Y H :

Z

2

OBSERVACIÓN Las figuras generadas por computadora, tales como la de la figura 13.8.9, no podrían construirse con facilidad sin usar superficies paramétricas. Por ejemplo, el cilindro vertical en la figura 13.8.9 se generó con instrucciones para que la computadora graficara la superficie paramétrica definida sobre el rectángulo z θ −5 z 5 y 0 θ 2π por medio de

R.Z; /

COS ; SEN ; Z :

¿Está claro que la imagen de esta transformación es el cilindro x 2 + y 2  1, −5

z

5?

Área de la superficie en coordenadas cilíndricas Ahora considere una superficie z  g(r, θ) en coordenadas cilíndricas, parametrizada por las ecuaciones en (5) para (r, θ) en una región R del plano rθ. De aquí que el vector normal sea

.H

@R @R ˜ H @R @

I

J

COS 

SEN 

K @Z @R @Z @

R SEN  R COS 

Y

HI

 

@Z @Z @Z @Z SEN  R COS  J COS  C R SEN  C R K: @ @R @ @R

Después de algunas simplificaciones, se encuentra que



j.j H



@Z @R

R C R



C



@Z @

:

Z Z

Entonces, la ecuación (8) produce la fórmula

 ZR



R  C .R ZR / C .Z  / DR D

!H





2

 X



FIGURA 13.8.10 La parte del paraboloide z = r 2 dentro del cilindro r = 1 (ejemplo 3) es la misma que la parte bajo el plano z = 1 (¿por qué?)

para el área de la superficie en coordenadas cilíndricas. EJEMPLO 3 Encuentre el área de la superficie cortada del paraboloide z  r 2 por el cilindro r  1 (ver figura 13.8.10)

Solución La ecuación (10) ofrece un área 





R  C R 
.R / DR D H 

!H 

H 



 
. C R  /=  

R  C R  DR 



H 

 p     :: 

Z

SECCIÓN 13.8

Área de una superficie

1061

En el ejemplo 3 se obtendría el mismo resultado si se escribiera z  x 2 + y 2, usada en la ecuación (9), que proporciona

Z

 C X  C Y  D X D Y;

!H 2

Y

y después se cambiara a coordenadas polares. En el ejemplo 4 sería menos conveniente comenzar con coordenadas rectangulares. EJEMPLO 4 Encuentre el área de la rampa espiral z  θ, 0 r 1, 0 es la superficie superior del sólido que se ilustra en la figura 13.8.11.

X

θ

π. Esta

Solución La ecuación (10) ofrece el área

FIGURA 13.8.11 Rampa espiral del ejemplo 4.





R  C  DR D H

!H 



p  p  C LN  C  

 ::

Evitamos la sustitución trigonométrica empleando la tabla de integrales de la contraportada del libro. Z EJEMPLO 5 Encuentre el área del toro que se genera al revolucionar la circunferencia .X B/ C Z  H A 

. < A < B/

en el plano x z alrededor del eje z (ver figura 13.8.12).

FIGURA 13.8.12 Toro del ejemplo 5.

Solución Con la coordenada polar ordinaria θ y el ángulo ψ de la figura 13.8.13, el toro queda descrito por 0 θ 2π y 0 ψ 2π por las ecuaciones paramétricas X H R COS  H .B C A COS / COS ; Y H R SEN  H .B C A COS / SEN; Z H A SEN :

Z

RBACOS Y

Cuando se calcula N  rθ × rψ y simplifica, se encuentra que j.j H A.B C A COS /:

A

Y B

X

De ahí que la fórmula general para el área de la superficie, ecuación (8) queda 



A.B C A COS / D D

!H 

FIGURA 13.8.13 Circunferencia que genera el toro del ejemplo 5.



H A B

C A SEN

 

H   AB:

En la sección 13.5 se obtuvo el mismo resultado con ayuda del primer teorema de Pappus. Z

13.8 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Decir que la superficie paramétrica S definida por la función r desde el plano uv al espacio x y z es suave, sólo significa que las funciones componentes de r son derivables en forma continua. 2. La gráfica de la función z  f (x, y) en coordenadas rectangulares —o de una función z  g(r, θ) en coordenadas cilíndricas, o de una función ρ  h(φ, θ) en coordenadas esféricas— puede considerarse como una superficie paramétrica. 3. Dada una superficie paramétrica suave S parametrizada por la función r : R2uv → R3x y z, los dos vectores ∂ r/∂ u  ru(u, v) y ∂ r/∂ v  rv(u, v) son tangentes a la superficie S en el punto r(u, v). 4. Dados los dos vectores tangentes ru(u, v) y rv(u, v) definidos en la pregunta 3, el producto cruz de los vectores N(u, v)  ru(u, v) × rv(u, v) es perpendicular a la superficie S en el punto r(u, v).

1062 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

5. Si la parametrización r de la superficie paramétrica suave S está definida sobre la región R en el plano uv, entonces el área A de S está dada por jRU .U; G/ ˜ RG .U; G/j DU DG:

!H 2

6. Si la superficie paramétrica suave S es la gráfica de la función derivable continuamente z  f (x, y) para (x, y) en la región R en el plano x y, entonces el área A de S está dada por F X .X; Y/ C F Y .X; Y/ D X D Y:

!H 2

7. La imagen de la transformación r : R2zθ → R3x y z definida por R.Z; /

COS ; SEN ; Z

es un cilindro vertical de radio igual a 2. 8. Si la superficie paramétrica suave S es la gráfica en coordenadas cilíndricas de la función derivable continuamente z  g(r, θ) para (r, θ) en la región R en el plano r θ, entonces el área A de S está dada por R  . C GR .R; / / C G .R; / R DR D:

!H 2

9. Es más conveniente usar coordenadas rectangulares que cilíndricas para calcular el área de la superficie que el cilindro x 2 + y 2  1 corta del paraboloide z  x 2 + y 2. 10. En el ejemplo 5, el área de un toro se calcula con mucha facilidad con el empleo de coordenadas esféricas.

13.8 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Compare los cálculos del área de una esfera con el uso de coordenadas a) rectangulares; b) cilíndricas; c) esféricas (ver problema 18 de esta sección). 2. Se sabe que el volumen de una bola sólida de radio r es V(r)  πr 3 y que el área de su superficie esférica es S(r)  4πr 2. ¿Es coincidencia que V (r)  S(r)? Piense en una concha esférica delgada como en el “volumen como producto del espesor por el área”.

13.8 PROBLEMAS 1. Encuentre el área de la porción del plano z  x + 3y que está dentro del cilindro elíptico cuya ecuación es Y X C H :  

2. Determine el área de la región en el plano z  1 + 2x + 2y que se halla directamente sobre la región en el plano x y que está limitada por las parábolas y  x 2 y x  y 2. 3. Calcule el área de la parte de la superficie z  9 − x 2 − y 2 que está sobre el plano z  5. 4. Halle el área de la parte de la superficie 2z  x 2 que está directamente sobre el triángulo en el plano x y cuyos vértices son (0, 0), (1, 0) y (1, 1). 5. Obtenga el área de la superficie que es la gráfica de z  x + y 2 para 0 x 1, 0 y 2. 6. Diga cuál es el área de la parte de la superficie del problema

7. 8. 9. 10. 11. 12.

5 que se halla arriba del triángulo en el plano x y con vértices en (0, 0), (0, 1) y (1, 1). Por integración, obtenga el área de la parte del plano 2x + 3y + z  6 que está en el primer octante. Calcule el área de la elipse que es recortada del plano 2x + 3y + z  6 por el cilindro x 2 + y 2  2. Determine el área que es cortada de la superficie en forma de silla de montar z  x y por el cilindro x 2 + y 2  1. ¿Cuál es el área que el cilindro x2 + y2  4 recorta de la superficie z  x 2 − y 2? Encuentre el área de la parte del paraboloide z  16 − x 2 − y 2 que está sobre el plano x y. Demuestre con integración que el área de la superficie cónica z  br entre los planos z  0 y z  h p  ab está dada por A  πaI, donde L es la altura inclinada A  C H  y a es el radio de la base del cono.

SECCIÓN 13.8

13. Sea la parte del cilindro x 2 + y 2  a2 entre los planos z  0 y z  h parametrizados por x  a cos θ, y  a sen θ, z  z. Aplique la ecuación (8) para demostrar que el área de esta zona es A  2π ah. 14. Considere la zona meridional de la altura h  c − b que está sobre la esfera r 2 + z 2  a2 , entre los planos z  b y z  c, donde 0 b < c a. Aplique la ecuación (10) para demostrar que el área de esta zona es A  2π ah. 15. Obtenga el área de la parte del cilindro x 2 + z 2  a2 que está dentro del cilindro r 2  x 2 + z 2  a2. 16. Calcule el área de la parte de la esfera r 2 + z 2  a2 que está dentro del cilindro r  a sen θ. 17. a) Aplique la ecuación (8) para demostrar que el área de la superficie y  f (x, z), para (x, z) en la región R del plano x z, está dada por !H

@F @X

C 2



@F @Z

C



D X DZ:

b) Plantee y obtenga una fórmula similar para el área de la superficie x  f ( y, z) para ( y, z) en la región R del plano y z. 18. Suponga que R es una región en el plano φθ. Considere la parte de la esfera ρ  a que corresponde a (φ, θ) en R, parametrizada por las ecuaciones en (6) con h(φ, θ)  a. Aplique la ecuación (8) para demostrar que el área de esta parte de la esfera es A  SEN  D D:

!H 2

19. a) Considere el “rectángulo esférico” definido por  H A;





 H  C

;





 H  C

:

Aplique la fórmula del problema 18 y la propiedad del valor promedio (ver problema 50 en la sección 13.2) para demostrar que el área de este rectángulo esférico es A  a2 sen φ φ θ para cierto O en (φ1, φ2). b) Del resultado del inciso (a), concluya que el volumen del bloque esférico definido por    H  C ;    ;    ES 6 H

 

  SEN O

:

Por último, obtenga la ecuación (8) de la sección 13.7 con la aplicación del teorema del valor medio a la función f (ρ)  ρ 3 sobre el intervalo [ρ1, ρ2]. 20. Describa la superficie ρ  2a sen φ. ¿Por qué se denomina toro pinchado? Está parametrizado como en la ecuación (6) con h(φ, θ)  2a sen φ. Demuestre que su área es A  4π2 a2. La figura 13.8.14 puede ser de utilidad.

Área de una superficie

1063

21. La superficie de revolución obtenida cuando revoluciona la curva x  f (z), a z b, alrededor del eje z está parametrizada en términos de θ (0 θ 2π) y z (a z b) por x  f (z) cos θ, y  f (z) sen θ, z  z. De la ecuación (8), obtenga la fórmula del área de la superficie 

B

F .Z/  C T F .Z/U DZ D:

!H 

A

Esta fórmula concuerda con la de una superficie de revolución según se definió en la sección 6.4. 22. Aplique la fórmula del problema 18 en ambas partes de este problema. a) Compruebe la fórmula A  4π a2 para el área de una esfera de radio a. b) Encuentre el área de la parte de una esfera de radio a y centro en (0, 0, 0) que está dentro del cono φ  π/6. 23. Aplique el resultado del problema 21 para comprobar la fórmula A  2πr h para el área lateral de un cilindro circular recto de radio r y altura h. 24. Aplique la ecuación (9) para comprobar la fórmula A  2π r h para el área lateral del cilindro x 2 + z 2  r2, 0 y h de radio r y altura h. En los problemas 25 a 28, utilice un sistema de álgebra por computadora primero para graficar y después para aproximar (con exactitud de cuatro cifras decimales) el área de la parte de la superficie dada S que está sobre el cuadrado en el plano x y definido por a) −1 x 1; b) |x| + |y| 1. 25. S es el paraboloide z  x 2 + y 2 26. S es el cono Z H X  C Y  27. S es el hiperboloide z  1 + x y 28. S es la esfera x 2 + y 2 + z 2  4 En los problemas 29 a 32, se ofrece una parametrización de una superficie cuádrica. Use identidades tales como cos2 t + sen2 t  1 y cosh2 t − senh2  1 para identificar dichas superficies por medio de las ecuaciones de las superficies cuádricas listadas en la sección 11.7. Para corroboración visual utilice el comando de graficación paramétrica en un sistema de álgebra por computadora para obtener la imagen de cada superficie (con los valores numéricos seleccionados para los coeficientes a, b y c).  X H AU COS G Y H BU SEN G Z H CU    U   G   X H A SEN U COS G Y H B SEN U SEN G  U   G 

Z H C COS U

 X H A SENH U COS G; Y H B SENH U SEN G Z H C COSH U  U   G   X H A COSH U COS G; Y H B COSH U SEN G; Z H C SENHU  U   G 

33. Un elipsoide con semiejes a, b y c está definido por la parametrización X H A SEN  COS ; Y H B SEN  SEN ; Z H C COS 

FIGURA 13.8.14 Corte del toro pinchado del problema 20.

(0 φ π, 0 θ 2π) en términos de las coordenadas esféricas angulares φ y θ. Use un sistema de álgebra por computadora para aproximar (con exactitud de cuatro cifras decimales) el área del elipsoide con a  4, b  3 y c  2.

1064

CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

(donde 0 < a < b) en el plano x z. b) Utilice un sistema de álgebra por computadora para aproximar (con una exactitud de cuatro cifras decimales) el área del toro elíptico obtenido en el inciso a) con a  2, b  3 y c  1. c) También aproxime el perímetro de la elipse del inciso a). ¿Sus resultados son consistentes con el teorema de Pappus para el área de una superficie de revolución?

34. a) Generalice el ejemplo 5 para obtener las ecuaciones paramétricas X H .B C A COS / COS ; Y H .B C A COS / SEN ; Z H C SEN

(0 ψ 2π, 0 θ 2π) del “toro elíptico” obtenido al revolucionar alrededor del eje x la elipse (x − b)2/a2 + z2/c2  1

13.9 CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En las secciones anteriores se ha visto que es posible evaluar ciertas integrales múltiples transformándolas de coordenadas rectangulares a polares o esféricas. La técnica de cambio de sistemas de coordenadas para evaluar una integral múltiple es la analogía con variables múltiples de la sustitución en una integral con una variable. De la sección 5.7, recuerde que si x  g(u), entonces B

D

F .X/ D X H A

F .G.U// G .U/ DU;



C

donde a  g(c) y b  g(d ). El método de sustitución involucra un “cambio de variables” que se adapta a la evaluación de una integral dada. Suponga que queremos evaluar la integral doble &.X; Y/ D X D Y: 2

Un cambio de variables para esta integral está determinado por una transformación T derivable continuamente, del plano uv al plano x y —es decir, una función T que asocia al punto (u, v) un punto (x, y)  T(u, v) dado por ecuaciones de la forma

3

X H F .U; G/; U

Y CURVAU 2

CURVAG X

FIGURA 13.9.1 La transformación T convierte al rectángulo S en la figura curvilínea R.

Y H G.U; G/:



El punto (x, y) se denomina la imagen del punto (u, v) con la transformación T. Si no hay dos puntos diferentes en el plano uv que tengan el mismo punto imagen en el plano x y, entonces se dice que la transformación T es uno a uno. En este caso es posible resolver las ecuaciones en (2) para u y v en términos de x y y y así obtener las ecuaciones U H H.X; Y/; G H K.X; Y/  de la transformación inversa T −1 del plano x y al plano uv. Con frecuencia resulta conveniente visualizar la transformación T geométricamente en términos de sus curvas u y curvas v. Las curvas u de T son las imágenes en el plano x y de las rectas horizontales en el plano uv —en cada una de tales curvas el valor de u varía pero v es constante—. Las curvas v de T son las imágenes de las rectas verticales en el plano uv —en cada una de estas, el valor de v varía pero u permanece constante—. Observe que la imagen con T de un rectángulo limitado por rectas horizontales y verticales en el plano uv es una figura curvilínea acotada por curvas u y curvas v en el plano x y (ver figura 13.9.1). Si se conocen las ecuaciones en (3) de la transformación inversa, entonces podemos encontrar las curvas u y las curvas v con mucha facilidad por medio de plantear las ecuaciones y

k (x, y)  C1

(curva u en la que v  C1 es constante)

h (x, y)  C2

(curva v en la que v  C2 es constante).

EJEMPLO 1 Determine las curvas u y las curvas v de la transformación T cuya inversa T −1 está especificada por las ecuaciones u  x y, v  x 2 − y 2.

Solución Las curvas u son las hipérbolas x 2 − y 2  v  C1 (constante),

SECCIÓN 13.9

Y

CURVASG CONU

Cambio de variables en las integrales múltiples 1065

y las curvas v son las hipérbolas rectangulares CURVASG CONU

x y  u  C2 (constante). CURVASU CON

En la figura 13.9.2 se muestran estas dos familias de hipérbolas que nos resultan conocidas. Z

Cambio de variables en las integrales dobles

X

Ahora debemos describir el cambio de variables en una integral doble que corresponde a la transformación T especificada por las ecuaciones en (2). Sea la región R en el plano x y la imagen bajo T de la región S en el plano uv. Sea F(x, y) continua sobre R y sea {S1, S2, . . . , Sn} una partición interior de S en rectángulos cada uno de los cuales tiene dimensiones u por v. Cada rectángulo Si es transformado por T en una figura curvilínea Ri en el plano x y (ver figura 13.9.3). Las imágenes {R1, R2, . . . , Rn} bajo T de los rectángulos Si constituyen entonces una partición interna de la región R (aunque en figuras curvilíneas en lugar de rectángulos). Sea .U I ; GI / el punto en la esquina inferior izquierda de Si, y escribimos

FIGURA 13.9.2 Las curvas u y las curvas v del ejemplo 1.

.XI ; YI / H . F .U I ; GI / G.U I ; GI //

para su imagen bajo T. La curva u a través de .XI ; YI / tiene un vector velocidad

V

TU H I F U .U I ; GI / C JGU .U I ; GI / H 3I

y la curva v a través de .XI ; YI / tiene un vector velocidad

$

$U UI(

I

TG H I F G .U I ; GI / C JGG .U I ; GI / H

(

U

Y

0I T $

@Y @X IC J; @U @U

TU$U

Así, es posible aproximar la figura curvilínea Ri por medio de un paralelogramo Pi con lados que son “copias” de los vectores tu u y tv v. Estos lados y el paralelogramo de aproximación se ilustran en la figura 13.9.3. Nuestra estrategia es aproximar el área Ai de la figura curvilínea Ri con el área a(Pi) del paralelogramo Pi. Para calcular esta área de aproximación, hay que recordar de la sección 11.3 que el área de un paralelogramo determinado por dos vectores a y b es la longitud |a × b| de su producto cruz. Por tanto,

2I XI( YI(

@Y @X IC J: @G @G

! I  A.0I / H j.TU

U/ ˜ .TG

/j H jTU ˜ TG j U

:



Pero X

FIGURA 13.9.3 Efecto de la transformación T. Se estima el área de Ri = T(Si) con el cálculo del área del paralelogramo Pi.

I @X TU ˜ TG H @U @X @G

J @Y @U @Y @G

K

@X  H @U @Y @U 

@X @G K: @Y @G



El determinante de 2 × 2 en el lado derecho de la ecuación (5) se denomina Jacobiano de la transformación T : R2uv → R2x y, en honor del matemático alemán Carl Jacobi (1804-1851), quien fue el primero que investigó los cambios generales de variables en las integrales dobles.

DEFINICIÓN El Jacobiano El Jacobiano de la transformación derivable continuamente T : R2uv → R2x y es la función (de variable real) JT : R2uv → R definida por *4 .U; G/ H

XU .U; G/

XG .U; G/

YU .U; G/

YG .U; G/

:



1066 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

Otra notación común y sugerente en particular para el Jacobiano es *4 H

@.X; Y/ ; @.U; G/

donde el patrón de 2 × 2 nos recuerda que las dos variables dependientes x y y se derivan respecto de las variables independientes u y v. Recuerde que comenzamos con una partición interior {S1, S2, . . . , Sn} de la región S en el plano uv, con las imágenes de estos rectángulos que forman una partición curvilínea {R1, R2, . . . , Rn}de la región R  T(S) en el plano x y. Ahora, las ecuaciones (4) y (5) implican que el área Ai de Ri está dada aproximadamente por ! I  j*4 .U I ; GI /j U

en términos del valor absoluto del determinante Jacobiano y el área a(Si)  u v. Por tanto, cuando planteamos sumas de Riemann para aproximar integrales dobles, encontramos N

&.X; Y/ D X D Y  U

&.XI ; YI

!I

IH

2

3

N



&. F .U I ; GI / G.U I ; GI //j*4 .U I ; GI /j U IH

&o4DEFINIDOAQU¤



U

& . F .U; G/ G.U; G// j*4 .U; G/j DU DG: 3

4 F G

Este análisis es, en realidad, un bosquejo de una demostración del siguiente teorema general del cambio de variables. Para asegurar la existencia de las integrales dobles indicadas, aceptamos que las fronteras de ambas regiones R y S consisten en un número finito de elementos curvos suaves (ver figura 13.9.4).

Y

X Y

2

&DEFINIDOAQU¤ X

FIGURA 13.9.4 Dominios de F(x, y) y F(T (u, v) = F( f (x, y), g(x, y)).

TEOREMA 1 Cambio de variables Suponga que la transformación derivable continuamente T : R2uv → R2x y toma la región limitada S en el plano uv en la región limitada R en el plano x y, y es uno a uno del interior de S al interior de R. Si F(x, y) es continua sobre R, entonces &.X; Y/ D X D Y H 2

&.4 .U; G// j*4 .U; G/j DU DG:



3

Si escribimos G(u, v)  F(T(u, v) para el resultado de la sustitución de x(u, v) y y(u, v) para x y y en el integrando original F(x, y), entonces la fórmula para el cambio de variables en (7) toma la forma &.X; Y/ D X D Y H 2

'.U; G/ 3

@.X; Y/ DU DG @.U; G/



Así, se transforma de modo formal la integral &.X; Y/ D ! con el reemplazo de las 2 variables originales x y y por x(u, v) y y(u, v), respectivamente, y se escribe D! H

@.X; Y/ DU DG @.U; G/

para el elemento de área en términos de u y v.

SECCIÓN 13.9

Cambio de variables en las integrales múltiples 1067

Nótese la analogía entre la ecuación (8) y la fórmula para una variable en la ecuación (1). En realidad, si g (x) H 0 en [c, d ] y α denota el más pequeño y β el más grande de los dos límites c y d en la ecuación (1), entonces la ecuación (1) toma la forma B



F .X/ D X H

F .G.U// jG .U/j DU:

A

A



Así, en la ecuación (8) el Jacobiano juega el papel de la derivada g(u) en la ecuación (1). EJEMPLO 2 Suponga que la transformación T del plano r θ al plano x y está determinada por las ecuaciones polares X H F .R; / H R COS ;

Y H G.R; / H R SEN :

El Jacobiano de T es @.X; Y/ COS  R SEN  H H R > ; SEN  R COS  @.R;  /

por lo que la ecuación (8) se reduce a la fórmula familiar &.X; Y/ D X D Y H

&.R COS ; R SEN  / R DR D:

2

Z

3

F.X; Y/ DX DY , ¿cómo encontramos un Dada una integral doble particular 2 cambio provechoso de variables? Un enfoque estándar consiste en escoger una transformación T tal que la frontera de R consiste en curvas u y curvas v. En caso de que sea más conveniente expresar u y v en términos de x y y, primero se calcula en forma explícita ∂ (u, v)/∂ (x, y) y después se encuentra el Jacobiano necesario ∂ (x, y)/∂ (u, v) con la fórmula @.X; Y/ @.U; G/
H :  @.U; G/ @.X; Y/ La ecuación (9) es una consecuencia de la regla de la cadena (ver problema 18).

EJEMPLO 3 Suponga que R es la región plana de densidad unitaria limitada por las hipérbolas X Y H ; 

XY H 

Y

X  Y  H ;

X  Y  H :

Encuentre el momento polar de inercia .X  C Y  / D X D Y

) H

3

2

de esta región.

 

U

 X Y

Y

X Y

2 XY XY X

FIGURA 13.9.5 La transformación T y la región nueva S construida en el ejemplo 3.

Solución Las hipérbolas que limitan a R son curvas u y v si u  x y y v  x 2 − y 2, como en el ejemplo 1. Es más fácil escribir el integrando x 2 + y 2 en términos de u y v si primero se observa que U  C G  H X  Y  C .X  Y  / H .X  C Y  / ; p PORLOQUE X  C Y  H U  C G  !HORA @.U; G/ Y H X @.X; Y/

X H .X  C Y  /: Y

Así, la ecuación (9) ofrece @.X; Y/   : H H p @.U; G/ .X  C Y  /  U  C G  Ahora estamos listos para aplicar el teorema del cambio de variables, con las regiones S y R que se ilustran en la figura 13.9.5. Con F(x, y)  x 2 + y 2, la ecuación (8) proporciona

1068 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples 

.X  C Y  / D X D Y H

) H





2

 U  C G  p DU DG  U  C G 

 



 DU DG H : 

H 



Z

El ejemplo 4 está motivado por una aplicación importante. Considere un motor con un ciclo de operación que consiste en la expansión y compresión de gas en un pistón. Durante un ciclo, el punto ( p, V ), que da la presión y volumen del gas, traza una curva cerrada en el plano pV. Así, el trabajo hecho por el motor —se ignoran la fricción y otras pérdidas— es igual (en las unidades apropiadas) al área encerrada por esta curva, denominada diagrama indicador del motor. El diagrama indicador para un motor de Carnot ideal consiste en dos isotermas x y  a, x y  b y dos adiabáticas x yγ  c, x yγ  d, donde γ es la razón de capacidad calorífica del gas que trabaja en el pistón. Un valor común es γ  1.4. EJEMPLO 4 Encuentre el área de la región R limitada por las curvas x y 1, x y  3 y x y1.4  1, x y1.4  2 (ver figura 13.9.6).

Y

Solución Para forzar a las curvas dadas a ser curvas u y curvas v, se define nuestra transformación de cambio de variables por u  x y y v  x y1.4. Entonces,

XY XY

2

Y @.U; G/ H : @.X; Y/ Y

XY

XY

DEMODOQUE

.:/X Y :

H .:/X Y : H .:/G:

@.X; Y/  : : H H @.U; G/ @.U; G/[email protected]; Y/ G

X

FIGURA 13.9.6 Encontrar el área de la región R (ejemplo 4).

X

En consecuencia, el teorema de cambio de variables da la fórmula 

!H



 DX DY H 

2



: DU DG H  LN : G

Z

Cambio de variables en las integrales triples La fórmula del cambio de variables para integrales triples es similar a la ecuación (8). Suponga que S y R  T(S) son regiones que corresponden bajo la transformación derivable continuamente T : R3uvw → R3x y z. Entonces, el Jacobiano de T es el determinante @X @X @X @U @G @H @.X; Y; Z/ @Y @Y @Y *4 .U; G; H/ H H :  @.U; G; H/ @U @G @H @Z @Z @Z @U @G @H Así (con las suposiciones equivalentes a las establecidas en el teorema 1), la fórmula del cambio de variables para las integrales triples es &.X; Y; Z/ D X D Y DZ H 2

&.4 .U; G; H// j*4 .U; G; H/j DU DG DH



3

en analogía directa con la ecuación (7) para las integrales dobles. Es decir, @.X; Y; Z/ &.X; Y; Z/ D X D Y DZ H '.U; G; H/ DU DG DH; @.U; G; H/ 2 3



donde G(u, v, w)  F(T (u, v, w))  F(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) es la función que se obtiene de F(x, y, z) al expresar las variables originales x, y y z en términos de las variables nuevas u, v y w.

SECCIÓN 13.9

Cambio de variables en las integrales múltiples 1069

Si T es la transformación en coordenadas esféricas dada por

EJEMPLO 5

X H  SEN  COS ;

Y H  SEN  SEN ;

Z H  COS ;

entonces, el Jacobiano de T es SEN  COS  @.X; Y; Z/ H SEN  SEN  @.; ;  / COS 

 COS  COS   SEN  SEN   COS  SEN   SEN  COS  H   SEN :  SEN  

Así, la ecuación (11) se reduce a la fórmula familiar '.; ; /   SEN  D D D:

&.X; Y; Z/ D X D Y DZ H 2

3

El signo es correcto porque ρ2 sen φ

0 para φ en [0, π].

Z

EJEMPLO 6 Encuentre el volumen del toro sólido R obtenido al revolucionar alrededor del eje z el disco circular .X B/ C Z 

A;

 a > 0) es V  π abh. 15. Sea R la región en el primer cuadrante limitada por la curva x 4 + x 2y 2  y 2 y la recta y  x. Utilice coordenadas polares para evaluar

2

6. La doble integral 

14. Demuestre que el volumen del sólido limitado por el cilindro elíptico

1 X

EY DY DX Y

es una integral impropia importante sobre la región no acotada en el primer cuadrante, entre las rectas y  x y x  0. Suponga que es válido (lo es) invertir el orden de integración, evalúe esta integral primero respecto de x. Encuentre el volumen del sólido T que está bajo el paraboloide z  x 2 + y 2 y sobre el triángulo R en el plano x y con vértices en (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (2, 0, 0). Calcule por integración en coordenadas cilíndricas el volumen acotado por los paraboloides z  2x 2 + 2y 2 y z  48 − x 2 − y 2. Use integración en coordenadas esféricas para encontrar el volumen y centroide de la región sólida que se halla dentro de la esfera ρ  3, bajo el como φ  π/3 y arriba del plano φ  π/2. Determine el volumen del sólido acotado por los paraboloides elípticos z  x 2 + 3y 2 y z  8 − x 2 − 5y 2. Determine el volumen limitado por el paraboloide y  x 2 + 3z 2 y el cilindro parabólico y  4 − z 2. Encuentre el volumen de la región acotada por los cilindros parabólicos z  x 2, z  2 − x 2 y los planos y  0, y + z  4. Calcule el volumen de la región limitada por el cilindro elíptico y 2 + 4z 2  4 y los planos x  0, x  y + 2.

 D!: . C X  C Y  /

En los problemas 16 a 20, encuentre la masa y el centroide de una lámina plana con la forma dada y densidad δ. 16. La región limitada por y  x 2 y x  y 2; δ(x, y)  x 2 + y 2. 17. La región acotada por x  2y 2 y y 2  x − 4; δ(x, y)  y 2. 18. Región entre y  ln x y el eje x, sobre el intervalo 1 x 2; δ(x, y)  1/x. 19. Círculo limitado por r  2 cos θ; δ(r, θ)  k (una constante) 20. La región del problema 19; δ(r, θ)  r. 21. Utilice el primer teorema de Pappus para encontrar la coordenada y del centroide de la mitad superior de la elipse X Y C  H :  A B

Emplee los hechos de que el área de esta semielipse es A  π ab/2 y el volumen del elipsoide que genera cuando rota alrededor del eje x es V   π ab2. 22. a) Use el primer teorema de Pappus para hallar el centroide de la porción en el primer cuadrante del anillo anular con circunferencias de frontera x 2 + y 2  a2 y x 2 + y 2  b2 (donde 0 < a < b). b) Demuestre que la posición limitante de este centroide como b → a es el centroide de un arco de cuarto de círculo, según se vio en el problema 44 de la sección 13.5. 23. Determine el centroide de la región en el plano x y limitada por el eje x y la parábola y  4 − x 2.

1076 CAPÍTULO 13

Integrales múltiples

24. Diga cuál es el volumen del sólido que está bajo el cilindro parabólico z  x 2 y sobre el triángulo en el plano x y limitado por los ejes coordenados y la recta x + y  1. 25. Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del cono de helado limitado por arriba por la esfera x 2 + y 2 + z 2  5 y por abajo por el cono Z H  X  C Y   26. Calcule el volumen y centroide del cono de helado acotado por arriba por la esfera ρ  a y por abajo por el cono φ  π/3. 27. Un cono circular sólido homogéneo tiene masa M y radio de su base igual a a. Encuentre su momento de inercia alrededor de su eje de simetría. 28. Determine la masa del primer octante de la bola ρ a si su densidad en (x, y, z) es δ(x, y, z)  x y z. 29. Calcule el momento de inercia alrededor del eje x del elipsoide sólido homogéneo con densidad unitaria y superficie de frontera Y Z X C C H : A B C 30. Encuentre el volumen de la región en el primer octante limitada por la esfera ρ  a, el cilindro r  a, el plano z  a, el plano x z y el plano yx. 31. Encuentre el momento de inercia alrededor del eje z de la región homogénea con densidad unitaria que se encuentra tanto dentro de la esfera ρ  2 y del cilindro r  2 cos θ. En los problemas 32 a 34, se genera un volumen al revolucionar una región plana R alrededor de un eje. Para encontrar el volumen, plantee una integral doble sobre R haciendo revolucionar un elemento de área d A alrededor del eje indicado para que se genere un elemento de volumen dV. 32. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la región dentro del círculo r  2a cos θ. 33. Determine el volumen del sólido obtenido al revolucionar alrededor del eje x la región encerrada por la cardioide r  1 + cos θ. 34. ¿Cuál es el volumen del toro sólido que se genera al revolucionar el disco 0 r a alrededor de la recta x  −b, |b| a? 35. Suponga que el toro del problema 34 tiene densidad uniforme δ. Encuentre su momento de inercia alrededor de su eje natural de simetría. Los problemas 36 a 42 tratan de la distancia promedio. La distancia promedio D del punto (x0, y0) de los puntos de una región plana R con área A se define como  DH .X X / C .Y Y / D!: ! 2 La distancia promedio de un punto (x0, y0, z0) de los puntos de una región en el espacio se define por analogía. 36. Demuestre que la distancia promedio de los puntos de un disco de radio a, a su centro es 2a/3. 37. Demuestre que la distancia promedio de los puntos de un disco de radio a, a un punto fijo de su frontera es 32a/9π. 38. Un círculo de radio 1 está dentro de un círculo de radio 2 y es tangente a éste. Encuentre la distancia promedio del punto de tangencia de los puntos que están dentro de los dos círculos. 39. Demuestre que la distancia promedio de los puntos de una bola esférica de radio a, a su centro es 3a/4.

40. Demuestre que la distancia promedio de los puntos de una bola esférica de radio a desde un punto fijo sobre su superficie es 6a/5. 41. Una esfera de radio 1 está dentro de otra de radio 2 y es tangente a ésta. Encuentre la distancia promedio del punto de tangencia del conjunto de todos los puntos entre las dos esferas. 42. Un cono circular recto tiene radio R y altura H. Encuentre la distancia promedio de los puntos del cono a su vértice. 43. Calcule el área de la parte del paraboloide z  10 − r 2 que está entre los dos planos z  1 y z  6. 44. Encuentre el área de la parte de la superficie z  y 2 − x 2 que está dentro del cilindro x 2 + y 2  4. 45. Sea A el área de la zona sobre la esfera ρ  a entre los planos z  z1 y z  z2 (donde −a z1 < z2 a). Use la fórmula del problema 18 en la sección 13.8 para demostrar que A  2πah, donde h  z2 − z1. 46. Obtenga el área de la parte de la esfera ρ  2 que está dentro del cilindro x 2 + y 2  2x. 47. Se hace un agujero cuadrado con longitud de lado igual a 2, a través de un cono de altura 2 y radio de base igual a 2; la línea central del agujero es el eje de simetría del cono. Calcule el área de la superficie removida del cono. 48. Aproxime en forma numérica el área de la parte del cilindro parabólico 2z  x 2 que está dentro del cilindro x 2 + y 2  1. 49. Una “banqueta” de altura variable h(t) está sobre la curva plana (x(t), y(t)). Así, la banqueta tiene la parametrización x  x(t), y  y(t), z  z para a t b, 0 z h(t). Aplique la ecuación (8) de la sección 13.8 para demostrar que el área de la banqueta es B

H.T/

!H A



DX DT



C

DY DT



=

DZ DT:

50. Aplique la fórmula del problema 49 para calcular el área de la parte del cilindro r  a sen θ que está dentro de la esfera r 2 + z 2  a2. 51. Determine el momento polar de inercia de la región en el primer cuadrante de densidad constante δ limitada por las hipérbolas x y  1, x y  3 y x 2 + y 2  1, x 2 − y 2  4. 52. Sustituya u  x − y y v  x + y para evaluar EXP 2

XY D X D Y; XCY

donde R está limitada por los ejes coordenados y la recta x + y  1. 53. Utilice coordenadas elípticas x  aρ sen φ cos θ, y  bρ sen φ sen θ, z  cρ cos φ para encontrar la masa del elipsoide sólido X Y Z C  C   A B C



si su densidad en el punto (x, y, z) está dada por .X; Y; Z/ H 

X Y Z  :  A B C

Capítulo 13

54. Sea R la región en el primer cuadrante limitada por las leminiscatas r 2 = 3 cos 2θ, r 2 = 4 cos 2θ y r 2 = 3 sen 2θ, r 2 = 4 sen 2θ (ver figura 13.PD.1). Demuestre que su área es p    !H :  [Sugerencia: defina la transformación T del plano uv al plano r θ por r 2 = u1/2 cos 2θ, r 2 = v1/2 sen 2θ. Primero demuestre que R H

UG ; UCG

H

Problemas diversos 1077

a) Demuestre que el área total de las dos piezas cortadas de la esfera es  p    ARCSEN p D X: !H  X  Después, utilice la regla de Simpson para aproximar esta integral. b) (Difícil...) Demuestre que p el valor exacto de la [Sugerencia: integral en el inciso a) es A  4π(  − 1). p primero integre por partes, luego sustituya x   sen θ ].

U =  ARCTAN = :  G

Después demuestre que  @.R; / :U H @.U; G/ R .U C G/= FIGURA 13.PD.2 Corte de un agujero cuadrado a través de la esfera del problema 55.

Y RSENQ

56. Demuestre que el volumen encerrado por la superficie X = C Y = C Z = H A = RSENQ

ES 6 H

 A   

;3UGERENCIA SUSTITUYA Y H B SEN  =

57. Demuestre que el volumen encerrado por la superficie jXj= C jYj= C jZj= H A = X RCOSQ RCOSQ

FIGURA 13.PD.1 La región R del problema 54.

55. Se hace un agujero cuadrado de 2ppor 2 en forma simétrica a través de una esfera de radio  (ver figura 13.PD.2).

ES 6 H

 A 

;3UGERENCIA SUSTITUYA Y H B SEN  =

58. Encuentre el promedio del cuadrado de la distancia de puntos del elipsoide sólido (x/a)2 + (x/b)2 + (z/c)2 1 desde el origen. 59. Un cubo C cuya arista mide 1, gira alrededor de una recta que pasa a través de dos vértices opuestos, con lo que genera un sólido Spde revolución. Encuentre el volumen de S. (Respuesta: π/  ≈ 1.8138.)

Cálculo vectorial

E

s costumbre mencionar a Arquímedes, Newton y Carl Friedrich Gauss como los tres matemáticos más prominentes de la historia. Gauss fue un niño precoz que nació en una familia pobre y carente de instrucción. Aprendió a calcular antes de poder hablar y aprendió solo a leer antes de comenzar a asistir a la escuela en su nativa Brunswick, Alemania. A los C. F. Gauss (1777-1855) 14 años de edad ya estaba familiarizado con la geometría, álgebra y análisis elementales. A los 18, cuando ingresó a la Universidad de Gotinga, había descubierto en forma empírica el teorema de los números primos, que implica que el número de primos p entre 1 y n es alrededor de n/(ln n). Este teorema no se demostró de manera rigurosa hasta un siglo después. Durante su primer año en la universidad, Gauss descubrió condiciones para la construcción de polígonos regulares con regla y compás y demostró que un 17-gono es construible (éste fue el primer avance en esta área desde la construcción similar del pentágono regular en los Elementos de Euclides 2000 años antes). En 1801, Gauss publicó su gran tratado Disquisitiones arithmeticae, que resume la teoría de números de esa época y estableció el patrón de la investigación en ese campo para el siglo diecinueve. Este libro consolidó a Gauss como un matemático de talento poco común, pero fue otro evento el que le dio fama pública. El 1 de enero de 1801, fue observado el nuevo asteroide Ceres, pero un mes después desapareció tras el Sol. En las semanas siguientes, los astrónomos escudriñaron los cielos en vano en busca de la reaparición de Ceres. Fue Gauss quien desarrolló el método de aproximaciones por mínimos cuadrados para predecir la órbita futura del asteroide sobre la base de las observaciones con que se

14 contaba. Cuando Gauss terminó su largo cálculo, que duró tres meses, Ceres apareció en el lugar preciso que él había predicho. Todo esto hizo de Gauss un matemático y astrónomo famoso a la edad de 25 años. En 1807, Gauss fue nombrado director del observatorio astronómico de Gotinga, y ocupó ese cargo hasta su muerte. De ahí en adelante publicó trabajos sobre todo relacionados con las ciencias físicas, aunque sus obras inéditas demuestran que continuó su trabajo sobre teoría matemática, desde series infinitas y funciones especiales hasta geometría no euclidiana. Su trabajo acerca de la forma de la superficie de la Tierra estableció la nueva disciplina de la geometría diferencial y sus estudios sobre los campos magnético y gravitacional de la Tierra involucraron resultados como el teorema de la divergencia (sección 14.6). El concepto de espacio-tiempo curvo de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein se remonta al descubrimiento de la geometría no euclidiana y a las primeras investigaciones de Gauss acerca de la geometría diferencial. Una aplicación actual de la teoría de la relatividad es el estudio de los agujeros negros. Se piensa que el espacio se distorsiona con severidad en la vecindad de un agujero negro, debido a su inmensa atracción gravitatoria, y las matemáticas necesarias para analizar dicha situación comienzan con el cálculo vectorial, en el capítulo 14.

Ilustración de la masa en el vórtice de un agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea.

1079

1080 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

14.1 CAMPOS VECTORIALES Este capítulo está dedicado a un importante tema de las ciencias e ingeniería: el cálculo de campos vectoriales. Un campo vectorial sobre una región T en el espacio es una función de variable vectorial F que asocia con cada punto (x, y, z) T un vector &.X; Y; Z/ H I0.X; Y; Z/ C J1.X; Y; Z/ C K2.X; Y; Z/:



Resumiendo, el campo vectorial F se describe en términos de sus funciones componentes P, Q y R, si se escribe & H 0I C 1 J C 2 K

O

&

0; 1; 2 :

Observe que las componentes P, Q y R de una función vectorial son funciones escalares (de variable real). Un campo vectorial en el plano es similar, excepto que no se involucran componentes z ni coordenadas z. Así, un campo vectorial en la región plana R es una función F de variable vectorial que asocia un vector a cada punto (x, y) de R &.X; Y/ H I0.X; Y/ C J1.X; Y/ Y

&X Y X Y X



o, en breve, F  Pi + Qj o F  P, Q. Es útil visualizar un campo vectorial F dado. Una forma común de hacerlo es dibujando un conjunto de vectores comunes F(x, y), cada uno de los cuales está representado por una flecha de longitud |F(x, y)| y se localiza con (x, y) como su punto inicial. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 1. EJEMPLO 1

Describa el campo vectorial F (x, y)  xi + yj.

Solución Para cada punto (x, y) en el plano coordenado, F(x, y) es simplemente su vector de posición r. Apunta directamente hacia afuera del origen y tiene una longitud de j&.X; Y/j H jXI C YJj H

X  C Y  H R;

igual a la distancia desde el origen (x, y). La figura 14.1.1 muestra algunos vectores comunes que representan este campo vectorial. Z

FIGURA 14.1.1 El campo vectorial F(x, y)  xi + yj.

Entre los campos vectoriales más importantes debido a sus aplicaciones, se hallan los campos vectoriales de velocidad. Imagine el flujo estable de un fluido, como el agua de un río o el viento solar. Por f lujo estable queremos decir que el vector de velocidad v(x, y, z) del fluido que pasa a través de cada punto (x, y, z) es independiente del tiempo (aunque no necesariamente independiente de x, y y z), por lo que el patrón del flujo permanece constante. Por lo tanto, v(x, y, z) es el campo vectorial de la velocidad del movimiento del fluido. EJEMPLO 2 Suponga que el plano horizontal x y está cubierto por una lámina delgada de agua en movimiento giratorio (como en un remolino) alrededor del origen con velocidad angular constante de ω radianes por segundo en dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj. Describa el campo vectorial de la velocidad asociado.

Y

X

Solución En este caso se tiene un campo vectorial de dos dimensiones v(x, y). El agua se mueve en cada punto (x, y) con velocidad v  rω y en forma tangencial a la circunferencia de radio R H X  C Y   El campo vectorial V.X; Y/ H !.YI C XJ/

FIGURA 14.1.2 Campo vectorial de la velocidad v(x, y)  ω (−yi + xj), dibujado para ω  1 (ejemplo 2).



tiene longitud rω y apunta de manera general en dirección contra el movimiento de las manecillas del reloj, y V q R H !.YI C XJ/ q .XI C YJ/ H ;

por lo que v es tangente a la circunferencia mencionada. El campo de la velocidad determinado por la ecuación (3) está ilustrado en la figura 14.1.2. Z

SECCIÓN 14.1

Campos vectoriales

1081

Y

Y

X

X

FIGURA 14.1.3 Campo vectorial F  x i + y j.

FIGURA 14.1.4 Campo vectorial F  y i + x j.

OBSERVACIÓN La mayor parte de sistemas de álgebra por computadora tienen la posibilidad de graficar campos vectoriales. Por ejemplo, el comando de Maple fieldplot ( [x,y], x=-2..2, y=-2..2 ) o el de Mathematica PlotVectorField[ {x,y}, {x,-2,2}, {y,-2,2} ] genera una gráfica de computadora como la que se ilustra en la figura 14.1.3 del campo vectorial F  xi + yi del ejemplo 1. La computadora ha dado escala a los vectores a una longitud máxima fija, de modo que el tamaño de cada vector se grafica en forma proporcional al real. La figura 14.1.4 muestra una gráfica similar de computadora del campo vectorial F  −yi + xi del ejemplo 2.

En las aplicaciones físicas tienen igual importancia los campos de fuerza. Suponga que ciertas circunstancias (quizá de carácter gravitacional o eléctrico) ocasionan que una fuerza F(x, y, z) actúe sobre una partícula cuando está situada en el punto (x, y, z). Así, se tiene un campo de fuerzas F. El ejemplo 3 analiza lo que tal vez sea el campo de fuerza más común que perciben los seres humanos.

Y

X

EJEMPLO 3 Suponga que una masa M está fija en el origen en el espacio. Cuando una partícula de masa unitaria se coloca en el punto (x, y, z) distinto del origen, está sujeta a una fuerza F(x, y, z) de atracción gravitacional dirigida hacia la masa M en el origen. De acuerdo con la ley de Newton del inverso del cuadrado, la magnitud de F es F  G M/r 2, donde R H X  C Y  C Z  es la longitud del vector de posición r  xi + yi + zk. Se sigue, de inmediato, que &.X; Y; Z/ H

FIGURA 14.1.5 Campo de fuerzas del inverso del cuadrado (ejemplo 3).

KR ; R



donde k  G M, debido a que este vector tiene la magnitud y dirección correctas (hacia el origen, para F como múltiplo de −r). Se denomina campo de fuerza del inverso del cuadrado a uno que tenga la forma de la ecuación (4). Observe que F(x, y, z) no está definido en el origen y que |F| → +∞ cuando r → 0+. La figura 14.1.5 ilustra un campo de fuerza del inverso del cuadrado. Z

El campo vectorial gradiente En la sección 12.8 introdujimos el vector gradiente de la función derivable de variable real f (x, y, z). El vector ∇ f se define como sigue: rF H I

@F @F @F CJ CK  @X @Y @Z



Las derivadas parciales en el lado derecho de la ecuación (5) se evalúan en el punto (x, y, z). Así, ∇ f (x, y, z) es un campo vectorial: el campo vectorial gradiente de la función f y en ocasiones se denota como grad f. De acuerdo con el teorema 1 de la sección 12.8, el vector ∇ f (x, y, z) apunta en la dirección en la que se obtiene la máxima derivada direccional de f en (x, y, z). Por ejemplo, si f (x, y, z) es la temperatura en el punto (x, y, z) en el espacio, entonces hay que moverse en la dirección ∇ f (x, y, z) a fin de calentarse lo más rápido.

1082 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

En el caso de una función de dos variables escalares, f (x, y), se suprime la tercera componente de la ecuación (5), por lo que ∇ f   fx , f y  f x i + f y j define un campo vectorial plano. EJEMPLO 4 Con f (x, y)  x 2 − y 2, el campo vectorial gradiente ∇ f  2xi − 2yj que se muestra en la figura 14.1.6, recuerda la gráfica de contorno cerca de un punto silla. Z La notación de la ecuación (5) sugiere la expresión formal Y

r HI

X

FIGURA 14.1.6 El campo vectorial gradiente ∇ f  2x i − 2y j, del ejemplo 4.

@ @ @ CJ CK  @X @Y @Z



Resulta útil concebir a ∇ como un operador diferencial vectorial. Es decir, ∇ es la operación que cuando se aplica a una función escalar f produce su campo vectorial gradiente ∇ f. Esta operación se comporta en formas muy familiares e importantes como la operación Dx de derivación con una sola variable. Para un ejemplo familiar de este fenómeno, recuerde que en el capítulo 12 encontramos que los puntos críticos de una función de varias variables son aquéllos en los que ∇ f (x, y, z)  0 y en los que ∇ f (x, y, z) no existe. Como herramienta útil de cálculo, suponga que f y g son funciones y que a y b son constantes. Por lo tanto, de la ecuación (5) y de la linealidad de la derivación parcial, se sigue que r .A F C BG/ H A r F C B rG



Así, el operador gradiente es lineal. También satisface la regla del producto, como se demuestra en el ejemplo 5. EJEMPLO 5

Dadas las funciones derivables f (x, y, z) y g(x, y, z), demuestre que r . F G/ H F rG C G r F: 

Solución Aplicamos la definición en la ecuación (5) y la regla del producto para la derivación parcial. De este modo, @. F G/ @. F G/ @. F G/ CJ CK r . F G/ H I @X @Y @Z H I. F GX C G F X / C J. F G Y C G F Y / C K. F GZ C G F Z / H F
.IGX C JG Y C KGZ / C G
.I F X C J F Y C K F Z / H F rG C G r F; como se quería. Z

La divergencia de un campo vectorial Suponga que se proporciona la función de variable vectorial &.X; Y; Z/ H I0.X; Y; Z/ C J1.X; Y; Z/ C K2.X; Y; Z/ con funciones componentes derivables P, Q y R. Así, la divergencia de F es la función escalar div F definida como sigue: DIV & H r q & H

@1 @2 @0 C C  @X @Y @Z



Aquí, div es abreviatura de “divergencia”, y la notación alternativa ∇ · F es consistente con la expresión formal de ∇ de la ecuación (6). Es decir, @0 @1 @2 @ @ @
0; 1; 2 ; ; C C : rq &H @ X @ Y @Z @X @Y @Z En la sección 14.6 se verá que si v es el campo vectorial de la velocidad del movimiento de un fluido estable, entonces el valor de div v en el punto (x, y, z) es en esencia la tasa neta de masa que fluye por unidad de volumen con que está fluyendo (o diverge) desde el punto (x, y, z).

SECCIÓN 14.1

EJEMPLO 6

Campos vectoriales

1083

Si el campo vectorial F está dado por &.X; Y; Z/ H .XE Y /I H .Z SEN Y/J C .X Y LN Z/K;

entonces P(x, y, z)  xe y, Q(x, y, z)  z sen y, y R(x, y, z)  x y ln z. Y de la ecuación (9) se obtiene DIV & H

@ @ @ XY .XE Y / C .Z SEN Y/ C .X Y LN Z/ H E Y C Z COS Y C : @X @Y @Z Z

Por ejemplo, el valor de div F en el punto (−3, 0, 2) es r q &.; ; / H E C  COS  C  H :

Z

Las analogías de las ecuaciones (7) y (8) para la divergencia son las fórmulas r q .A& C B'/ H A r q & C B r q '



r q . F '/ H . F /.r q '/ C .r F / q ':



Y

En los problemas se pide comprobar estas fórmulas. Observe que la ecuación (11) —en la que f es una función escalar y G es un campo vectorial— es consistente en que f y ∇ · G son funciones escalares, mientras que ∇ f y G son campos vectoriales, por lo que la suma en el lado derecho tiene sentido (y es una función escalar).

Rizo de un campo vectorial El rizo del campo vectorial derivable F  P i + Q j + R k es el campo vectorial siguiente, que se abrevia como rizo F: I @ RIZO & H r  & H @X 0

J @ @Y 1

K @  @Z 2



Cuando se evalúa el determinante formal en la ecuación (12), se obtiene RIZO & H I

@0 @1 @1 @2 @0 @2 CJ CK : @Y @Z @Z @X @X @Y



Aunque tal vez deseara memorizar esta fórmula, recomendamos —porque en general es más sencillo— que en la práctica iguale y evalúe en forma directa el determinante de la ecuación (12). El ejemplo 7 muestra lo fácil que es esto. EJEMPLO 7

Para el campo vectorial F del ejemplo 6, la ecuación (12) lleva a I @ RIZO & H @X XE Y

J @ @Y Z SEN Y

K @ @Z X Y LN Z

H I.X LN Z SEN Y/ C J.Y LN Z/ C K.XE Y /:

En particular, el valor de rizo F en el punto (3, π/2, e) es r  &.; =; E/ H I   J E= K:

Z

En la sección 14.7 se verá que si v es el vector velocidad de un fluido en movimiento, entonces el valor del vector rizo v en el punto (x, y, z) (en el que el vector es diferente de cero), determina el eje respecto del cual (x, y, z) está girando (o hace torbellinos o “rizos”), así como la velocidad angular de la rotación.

1084 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Las analogías de las ecuaciones (10) y (11) para el rizo son las fórmulas r  .A& C B'/ H A.r  &/ C B.r  '/



Y r  . F '/ H . F /.r  '/ C .r F /  ' las que se pide comprobar en la sección de problemas.

EJEMPLO 8 muestre que



Si la función f (x, y, z) tiene derivadas parciales de segundo orden, derizo (grad f )  0.

Solución El cálculo directo lleva a I J K @ @ @ r  rF H @X @ Y @Z @F @F @F @X @ Y @Z HI

@F @F @F @F @F @F CJ CK : @ Y @Z @Z @ Y @Z @ X @ X @Z @X @Y @Y @X

0ORTANTO

r  rF H 

Z

debido a la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden.

14.1 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Un campo vectorial sobre R3 es sólo una función F : R3 → R3 que asocia a cada punto (x, y, z) un vector F(x, y, z). 2. El campo vectorial F(x, y)  x i + y j sobre R2 apunta directamente hacia afuera del origen y su longitud en cada punto (x, y) es igual a la distancia de dicho punto al origen. 3. Si ω > 0, entonces el campo vectorial v(x, y)  ω(−yi + xj) apunta en una dirección en contra del movimiento de las manecillas del reloj y tangente a la circunferencia que pasa por el punto (x, y). 4. Si k > 0, entonces el campo vectorial &.X; Y; Z/ H

K.XI C YJ C ZK/ R

(donde r  X  C Y  C Z  ) apunta directamente hacia afuera del origen, y su longitud en el punto (x, y, z) es inversamente proporcional a la distancia al origen. 5. El vector gradiente ∇ f de la función derivable f : R3 → R es el campo vectorial cuyas tres componentes son las derivadas parciales de primer orden de f. 6. La divergencia ∇ · F de la función derivable F : R3 → R3 es la suma de las derivadas parciales de primer orden de las tres funciones componentes de F. 7. La manera más sencilla de recordar la definición del rizo ∇ × F del campo vectorial F  Pi + Qi + Rk es memorizar la fórmula RIZO & H I

@2 @1 @Y @Z

CJ

@2 @0 @Z @X

CK

@0 @1 @X @Y

:

8. El gradiente∇, la divergencia ∇ · , y el rizo ∇ ×, son operadores lineales [recuerde que el operador L sobre funciones es lineal, si se demuestra que L(a f + bg)  aL( f ) + bL(g), si a y b son escalares y f y g están en el dominio de definición de L].

SECCIÓN 14.1

Campos vectoriales

1085

9. Cada uno de los operadores lineales ∇, ∇ · , y ∇ ×, satisface un tipo de “regla del producto” que recuerda formalmente la regla del producto D( f g)  f · (Dg) + (D f ) · g de la derivación. 10. Si la función f (x, y, z) tiene derivadas parciales de segundo orden, entonces el rizo de su campo vectorial gradiente desaparece en todo lugar.

14.1 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Describa la analogía entre los operadores diferenciales $H

D DX

Y rH I

@ @ CJ @X @Y

para funciones de una y dos variables (respectivamente). 2. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre la divergencia y el rizo de un campo vectorial?

14.1 PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, ilustre el campo vectorial dado F seleccionando algunos de sus vectores.  &.X; Y/ H I C J  &.X; Y/ H I J  &.X; Y/ H XI YJ  &.X; Y/ H I C XJ   =  &.X; Y/ H .X C Y / .XI C YJ/  &.X; Y/ H .X  C Y  /= .XI C YJ/  &.X; Y; Z/ H J C K  &.X; Y; Z/ H I C J K  &.X; Y; Z/ H XI YJ  &.X; Y; Z/ H XI C YJ C Z K Relacione los campos vectoriales del gradiente de las funciones en los problemas 11 a 14, con las gráficas generadas por computadora de las figuras 14.1.7 a 14.1.10. 









Y 









Y





 X





 &.X; Y; Z/ H XI YJ ZK  &.X; Y; Z/ H YZ I C X Z J C X YK  &.X; Y; Z/ H X  I C Y  J C Z  K  &.X; Y; Z/ H X Y  I C YZ  J C Z X  K  &.X; Y; Z/ H .X Y/I C .Y Z/J C .Z X/K  &.X; Y; Z/ H .Y  C Z  /I C .X  C Z  /J C .X  C Y  /K  &.X; Y; Z/ H .E X Z SEN Y/J C .E X Y COS Z/K  &.X; Y; Z/ H .X C SEN YZ/I C .Y C SEN X Z/J C .Z C SEN X Y/K  &.X; Y; Z/ H .X  EZ /I C .Y  LN X/J C .Z COSH Y/K

Aplique las definiciones de gradiente, divergencia y rizo, para establecer las identidades en los problemas 25 a 31, en los que a y b denotan constantes, f y g denotan funciones escalares derivables, y F y G denotan campos vectoriales derivables.  r.A F C BG/ H A r F C B rG



FIGURA 14.1.7

En los problemas 15 a 24, calcule la divergencia y el rizo del campo vectorial dado F.  &.X; Y; Z/ H XI C YJ C ZK



 X





FIGURA 14.1.8

 r
.A& C B'/ H A r
& C B r
'  r  .A& C B'/ H A.r  & / C B.r  '/  r
. F '/ H . F /.r
'/ C .r F /
'









Y 

Y









FIGURA 14.1.9

 X





 r







 r  . F '/ H . F /.r '/ C .r F /  ' F G

H

G r F F rG G

 r
.&  '/ H '
.r  & / &
.r  '/





 X





FIGURA 14.1.10

 F .X; Y/ H X Y  F .X; Y/ H X  C Y   F .X; Y/ H SEN  .X  C Y  /  F .X; Y/ H SEN  .Y  X  /

En los problemas 32 a 34, establezca las identidades planteadas, con la suposición de que las funciones escalares f y g y el campo vectorial F son dos veces continuamente derivables.  DIV.CURL & / H   DIV.r F G/ H F DIV.rG/ C G DIV.r F / C .r F /
.rG/  DIV.r F  rG/ H 

1086 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

R H R R  rR H R

Compruebe las identidades en los problemas 35 a 44, en las que a es un vector constante, r  x i + y j + z k, y r  |r|. Los problemas 37 y 38 implican que tanto la divergencia como el rizo de un campo vectorial del inverso del cuadrado se desvanecen en forma idéntica.  r
R H 

 r 

 r
.R R/ H R

Y r R H 

 r
.A  R/ H 

R H R R  H   r R R   r
.rR / H R

 r


R R

 r.LN R / H

Y r  .A  R/ H A

 r.R  / H R  R

14.2 INTEGRALES DE LÍNEA B

La integral de variable única A F .X/ D X puede describirse como una integral a lo largo del eje x. Ahora definimos integrales a lo largo de las curvas en el espacio (o en el plano). Tales integrales se denominan integrales de línea (aunque sería más apropiada la frase “integrales curvas”). Para motivar la definición de la integral de línea de la función f a lo largo de la curva suave C en el espacio con parametrización X H X.T/; Y H Y.T/; Z H Z.T/ 

Z

#

"

! Y X

FIGURA 14.2.1 Un alambre de densidad variable en forma de la curva suave C, de A (donde t  a) a B (donde t  b).

para a t b, imaginemos un alambre delgado con la forma C (ver figura 14.2.1). Suponga que f (x, y, z) denota la densidad del alambre en el punto (x, y, z), medido en unidades de masa por unidad de longitud —por ejemplo, gramos por centímetro—. Entonces, se espera calcular la masa total m del alambre curvo con algún tipo de integral de la función f. Para aproximar m se comienza con la partición A H T < T < T <


< TN < TN H B de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud t  (b − a)/n. Esta subdivisión de puntos de [a, b] produce, con la parametrización, una subdivisión física del alambre en segmentos cortos de curva (ver figura 14.2.2). Sea que Pi denote al punto (x(ti), y(ti), z(ti)), para i  0, 1, 2, . . . , n. Por lo cual los puntos P0, P1 . . . , Pn son los puntos de subdivisión de C. Z 0N  $S I #

0I 0I 

"0N

0 0 !0 Y X AT T

T

TI  TI

T

TN  BTN

TI(

FIGURA 14.2.2 La partición del intervalo [a, b] determina una partición relacionada de la curva C en arcos cortos.

Del estudio de la longitud de arco de las secciones 9.4 y 11.6, se sabe que la longitud de arco si del segmento C de Pi−1 a Pi es TI

SI H

TX .T/U C TY .T/U C TZ .T/U DT

TI

H

TX .TI /U C TY .TI /U C TZ .TI /U

T



SECCIÓN 14.2

Integrales de línea

1087

para cierto número TI en el intervalo [ti−1, ti]. Ésta es la consecuencia del teorema del valor promedio para las integrales de la sección 5.6. Denotemos x(TI ) con XI , y de manera similar definamos YI y Z I . Si se multiplica la densidad del alambre en el punto ( XI , YI , Z I ) por la longitud si del segmento de C que contiene a ese punto, se obtiene una estimación de la masa de ese segmento de C. Por tanto, después de sumar sobre todos los segmentos se tiene una estimación de la masa total m del alambre: N

F .X.TI /; Y.TI / Z.TI

M

SI :

IH

El límite de esta suma cuando t → 0 debe ser la masa real m. Ésta es nuestra motivación para la definición de la integral de línea de la función f a lo largo de la curva C, que se denota con F .X; Y; Z/ DS: #

DEFINICIÓN La integral de línea de una función a lo largo de una curva Suponga que la función f (x, y, z) está definida en cada punto de la curva suave C parametrizada como en (1). Así, la integral de línea de f a lo largo de C está definida por N

F .X; Y; Z/ DS H L¤M

T!

#

F .X.TI /; Y.TI / Z.TI

SI ;



IH

si este límite existe. OBSERVACIÓN Es posible demostrar que el límite en (3) siempre existe si la función f es continua en cada punto de C. Hay que recordar, de la sección 9.4, que la curva C es suave si las funciones componentes en su parametrización tienen derivadas continuas que nunca son igual a cero de manera simultánea.

Cuando se sustituye la ecuación (2) en la (3), se reconoce el resultado como el límite de una suma de Riemann. Por tanto, B

F .X.T/; Y.T/; Z.T// TX .T/U C TY .T/U C TZ .T/U DT

F .X; Y; Z/ DS H



A

#

Así, se puede evaluar la integral de línea # F .X; Y; Z/ DS si se expresa todo en términos del parámetro t, inclusive el elemento simbólico de la longitud de arco DS H

DX DT



C

DY DT



C

DZ DT



DT

En consecuencia, el lado derecho de la ecuación (4) se evalúa como una integral de variable única ordinaria respecto de la variable real t.

Integral de línea respecto de la longitud de arco Debido a la apariencia del elemento de longitud de arco d s en la ecuación (4), la integral de línea # F .X; Y; Z/ DS en ocasiones se denomina integral de línea de la función f respecto de la longitud de arco a lo largo de la curva C. Una curva C que se encuentre en el plano x y puede considerarse como una curva en el espacio para la que z [y z (t)] es igual a cero. En este caso, únicamente se elimina la variable z en la ecuación (4) y se escribe B

F .X.T/; Y.T// TX .T/U C TY .T/U DT

F .X; Y/ DS H #

A



1088 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial Z

F X Y #

X

Y DS

FIGURA 14.2.3 La banda vertical cuya base es d s y su altura f (x, y) tiene área d A  f (x, y)d s, por lo que toda la figura que tiene como base la curva C tiene por área:

!H

D! H

F .X; Y/ DS #

En el caso en que f se evalúe con valores positivos, la figura 14.2.3 ilustra una interpretación de la integral de línea en la ecuación (5) como el área de una “valla” cuya base es la curva C en el plano x y, con la altura de la valla por arriba del punto (x, y) dado por f (x, y). Y

EJEMPLO 1

Evalúe la integral de línea

T

X Y DS;

#

#

donde C es el cuarto de circunferencia en el primer cuadrante de radio igual a 1 parametrizado por x  cos t, y  sen t, 0 t π/2 (ver figura 14.2.4). T

FIGURA 14.2.4 El cuarto de circunferencia del ejemplo 1.

X

Solución Aquí, .SEN T/ C .COS T/ DT H DT;

DS H

por lo que la ecuación (5) arroja que =

X Y DS H

COS T SEN T DT H TH

#

 SEN T 

=

H 

 : 

Z

Ahora volvamos al alambre físico y denotemos su función densidad con δ(x, y, z). La masa de un elemento pequeño de longitud s es m  δ s, por lo que escribimos DM H .X; Y; Z/ DS

para su elemento (simbólico) de masa. Entonces, la masa m del alambre y su centroide (X , Y, Z ) se define como sigue: MH

DM H #

 YH M

 DS;

XH

#

 M

 ZH M

Y DM; #

X DM; #

 Z DM:

#

Observe la analogía con las ecuaciones (2) y (4) de la sección 13.6. El momento de inercia del alambre alrededor de un eje dado es P  DM;

) H



#

donde p  p(x, y, z) denota la distancia perpendicular desde el punto (x, y, z) del alambre al eje en cuestión.

SECCIÓN 14.2

Z

Integrales de línea

1089

EJEMPLO 2 Encuentre el centroide de un alambre que tiene una densidad δ  kz y forma de hélice C (ver figura 14.2.5) con parametrización

P    

X H  COS T;

Y H  SEN T;

Z H T;



T

:

Solución El elemento de masa del alambre es DM H  DS H KZ DS H K T . SEN T/ C . COS T/ C  DT H K T DT: #

Así, la fórmula en (6) es 

MH



#

XH

  

X

K T DT H K   I

 DS H  M

 K  

X DS H #



K T COS T DT 

   COS T C T SEN T H   :I       YH Y DS H K T SENT DT M # K   

Y

H

FIGURA 14.2.5 Alambre helicoidal del ejemplo 2. ¿El centroide (−1.22, 1.91, 8.38) está en el alambre?

   SEN T T COS T H  :I        ZH Z DS H K T  DT M # K   

H

H

   T  



  :: 

H 

Por tanto, el centroide del alambre se localiza cerca del punto (−1.22, 1.91, 8.38).

Z

Integrales de línea respecto de coordenadas variables Se obtiene una clase diferente de integral de línea si en la ecuación (3) se reemplaza si con: XI H X.TI / X.TI / H X .TI T: La integral de línea de f a lo largo de C respecto a x está definida como N

F .X; Y; Z/ D X H L¤M

F .X.TI /; Y.TI /; Z.TI

T!

#

XI :

IH

!S¤ B

F .X; Y; Z/ D X H

F .X.T/; Y.T/; Z.T//X .T/ DT

A

A

#

De manera similar, las integrales de línea de f a lo largo de C respecto a y y respecto a z están dadas por B

F .X; Y; Z/ DY H

F .X.T/; Y.T/; Z.T//Y .T/ DT

B

F .X.T/; Y.T/; Z.T//Z .T/ DT

C

A

#

Y B

F .X; Y; Z/ DZ H #

A

1090 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Es común que las tres integrales en (8) ocurran juntas. Si P, Q y R son funciones continuas de las variables x, y y z, entonces escribimos (en realidad, definimos) 0 D X C 1 DY C 2 DZ H #

0 DX C #

1 DY C #

2 DZ



#

OBSERVACIÓN Aunque bastaría escribir de manera natural # ( P d x + Q d y + R d z ) en el lado izquierdo de la ecuación (9), es costumbre omitir los paréntesis. En realidad, en el cálculo vectorial más avanzado, la forma diferencial P d x  Q d y + R d z se considera un solo objeto que “se sostiene” por sí mismo. Por ejemplo, se ven las abreviaturas ω  P d x + Q d y + R d z para la forma diferencial # ! para la integral de línea.

Las integrales de línea en las ecuaciones (8) y (9) se evalúan expresando x, y, z, d x, d y y d z en términos de t, según lo determine la parametrización apropiada de la curva C. El resultado es una integral ordinaria con una sola variable. Por ejemplo, si C es una curva plana parametrizada sobre el intervalo [a, b] por r (t)  x (t), y (t), entonces B

0 D X C 1 DY H

EJEMPLO 3

0.X.T/; Y.T//
X .T/ C 1.X.T/; Y.T//
Y .T/ DT: A

#

Evalúe la integral de línea Y D X C Z DY C X DZ; #

donde C es la curva paramétrica x  t, y  t 2, z  t 3, 0

t

1.

Solución Debido a que d x  d t, d y  2t d t, y d z  3t 2d t, la sustitución en términos de t produce 

Y D X C Z DY C X DZ H

T  DT C T  .T DT/ C T .T  DT/



#



H

.T  C T  C T  / DT H



      T C T C T   



H 

 : 

Z

FIGURA 14.2.6

F DS H #

F DS #

PERO

0 D X C 1 DY H #



0 D X C 1 DY #

La parametrización de una curva suave C dada, determina una orientación o “dirección positiva” a lo largo de la curva. Conforme el parámetro t se incrementa de t  a a t  b, el punto (x(t), y(t)) se mueve a lo largo de la curva desde su punto inicial A, a su punto terminal B. Ahora, piense en una curva −C con orientación opuesta. Esta curva nueva consiste en los mismos puntos que C, pero la parametrización de −C traza estos puntos en la dirección opuesta, del punto inicial B al punto terminal A (ver figura 14.2.6). Debido a que la diferencial de la longitud de arco DS H TX .T/U C TY .T/U C TZ .T/U DT siempre es positiva (la raíz cuadrada es positiva), el valor de la integral de línea respecto de la longitud de arco no se ve afectada por la inversión de la orientación. Es decir, F .X; Y; Z/ DS H #

F .X; Y; Z/ DS



#

Por el contrario, los signos de las derivadas x (t), y(t) y z(t) en las ecuaciones (8a), (8b) y (8c) cambian cuando se invierte la dirección de la parametrización, por lo que se sigue que 0 D X C 1 DY C 2 DZ H #

0 D X C 1 DY C 2 DZ #



SECCIÓN 14.2

Integrales de línea

1091

Así, al cambiar la orientación de la curva, cambia el signo de una integral de línea respecto de las variables coordenadas, pero el valor de ella respecto de la longitud de arco no se ve afectado. En el cálculo avanzado se demuestra que, para cualquier tipo de integral de línea, dos parametrizaciones uno a uno de la misma curva suave proporcionan el mismo valor si su orientación concuerda. Y " 

EJEMPLO 4 La parametrización x  1 + 8t, y  2 + 6t (0 t 1) del segmento de recta C de A(1, 2) a B(9, 8) en la figura 14.2.7, da d x  8d t, d y  6d t, y d s  10 d t. Por lo que se comprueba con facilidad que 

#

X Y DS H #

. C T/. C T/
 DT H  

#

Y

! 



Y D X C X DY H

X

T. C T/
 C . C T/
U DT H : 

#

FIGURA 14.2.7 Segmento de recta del ejemplo 4.

La parametrización x  9 − 4t, y  8 − 3t (0 t 2) del segmento orientado en contra, −C, de B(9, 8) a A(1, 2), da d x  −4d t, d y  −3d t y d s  5d t, y se comprueba con facilidad que 

X Y DS H

. T/. T/
 DT H ; 

#

mientras 

Y D X C X DY H

2 #

1

FIGURA 14.2.8 La curva C = C1 + C2, de P a R.

F .X; Y; Z/ DS H #

Y

Z

Si la curva C consiste en un número finito de curvas suaves unidas por puntos esquina consecutivos, entonces se dice que C es suave por segmentos. En tal caso, el valor de una integral de línea a lo largo de C se define como la suma de sus valores a lo largo de los segmentos suaves de C. Por ejemplo, con la curva suave por segmentos C  C1 + C2 de la figura 14.2.8, se obtiene

#

0

T. T/
./ C . T/
./U DT H : 

#

EJEMPLO 5

YX 

F .X; Y; Z/ DS H # C#

F .X; Y; Z/ DS C #

F .X; Y; Z/ DS: #

Evalúe la integral de línea Y D X C X DY

"  #

para cada una de estas tres curvas (ver figura 14.2.9):

#

C1 C2 C3

#

! 

1  # X

Segmento de línea recta en el plano, de A(1, 1) a B(2, 4); Trayectoria plana de A(1, 1) a B(2, 4) a lo largo de la parábola y  x 2; y Línea recta en el plano, de A(1, 1) a Q(2, 1) seguida por la línea recta de Q(2, 1) a B(2, 4).

Solución El segmento de línea recta C1 de A a B se parametriza con x  1 + t, y  1 + 3t, 0 t 1. Por tanto, 

FIGURA 14.2.9 Los tres arcos del ejemplo 5.

Y D X C X DY H

. C T/ DT C . C T/. DT/ 

#



. C T/ DT H

H 

 : 

1092 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

A continuación, el arco C2 de la parábola y  x 2, de A a B se “autoparametriza”: tiene la parametrización x  x, y  x 2, 1 x 2. Por tanto, 

Y D X C X DY H 

#



.X  /.D X/ C .X/.X D X/ H

X  D X H



 : 

Por último, a lo largo del segmento de línea recta de (1, 1) a (2, 1), se tiene y ≡ 1 y d y  0 (porque y es constante). A lo largo del segmento vertical de (2, 1) a (2, 4), se tiene que x ≡ 2 y d x  0. Así, 



Y D X C X DY H

T./.D X/ C .X/./U C XH

#

T.Y/./ C ./.DY/U YH





 DX C

H XH

 DY H :

Z

YH

El ejemplo 5 muestra que bien se pueden obtener valores diferentes para la integral de línea de A a B si se la evalúa a lo largo de curvas diferentes de A a B. Así, esta integral de línea es dependiente de la trayectoria. En la sección 14.3 se dará una condición suficiente para que la integral de línea 0 D X C 1 DY C 2 DZ #

tenga el mismo valor para todas las curvas C suaves o suaves por segmentos, de A a B, y por tanto para que la integral sea independiente de la trayectoria.

Integrales de línea y campos vectoriales Ahora suponga que F  P i + Q j + R k es un campo de fuerza definido sobre una región que contiene a la curva C del punto A al B. También suponga que C tiene una parametrización R.T/ H IX.T/ C JY.T/ C KZ.T/; T ENTA; BU; con un vector de velocidad diferente de cero VHI

DY DZ DX CJ CK : DT DT DT

La velocidad asociada con este vector de velocidad es G H jVj H

DX DT



C

DY DT



C



DZ DT

:

De la sección 11.6, recuerde que el vector unitario tangente a la curva C es 4H

V  DX DY DZ H IC JC K : G G DT DT DT

Queremos aproximar el trabajo W realizado por el campo de fuerzas F cuando una partícula se mueve a lo largo de la curva C, de A a B. Subdivida C como se indica en la figura 14.2.10. Piense que F mueve la partícula de Pi−1 a Pi, dos puntos consecutivos de la división de C. El trabajo Wi realizado es aproximadamente el producto de la distancia si de Pi−1 a Pi (medida a lo largo de C) por la componente tangencial F · T de la fuerza F en un punto cualquiera (x(TI ), y(TI ), z(TI )) entre Pi−1 y Pi. Así, 7I  &.X.TI /; Y.TI /; Z.TI //
4.TI

SI ;

por lo que el trabajo total W está dado aproximadamente por N

7 

&.X.TI /; Y.TI /; Z.TI //
4.TI IH

SI :

SECCIÓN 14.2

Integrales de línea

1093

0N  0N"

&

0I 0I 

4

0I

TI( TI( X Y Z T I( 0 0 0 0!

0I 

FIGURA 14.2.10 La componente de F a lo largo de C, de Pi−1 a Pi, es F · T.

Esta aproximación sugiere que definamos el trabajo W como 7 H

&
4 DS



#

Así, el trabajo es la integral respecto a la longitud de arco de la componente tangencial de la fuerza. De manera intuitiva se considera d W  F · T d s como el elemento infinitesimal de trabajo hecho por la componente tangencial F · T de la fuerza al mover la partícula a lo largo del elemento de longitud de arco d s. La integral de línea en la ecuación (12) es, entonces, la “suma” de todos estos elementos infinitesimales de trabajo. Se acostumbra escribir R H XI C YJ C Z K

Y DR H I D X C J DY C K DZ

De esta manera, T  v/|v|  v/v y d s  v d t (porque v  d s/d t). De ahí que V 4 DS H
G DT H V DT G DY DZ DX IC JC K DT H I D X C J DY C K DZ; DT DT DT

H PORLOQUE

4 DS H DR

Con esta notación, la ecuación (12) toma la forma 7 H

&
DR



#

que es común en los textos de ingeniería y física. Para evaluar la integral de línea en la ecuación (12) o (13), se expresa su integrando y límites de integración en términos del parámetro t, como es habitual. Así, 7 H

&
4 DS # B

H

.0I C 1 J C 2 K/
A B

0

H A

DY DZ  DX IC JC K G DT G DT DT DT

DY DZ DX C1 C2 DT DT DT

DT:

1094 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Por tanto, 7 H

0 D X C 1 DY C 2 DZ:



#

Este cálculo revela una relación importante entre los dos tipos de integrales de línea que se han definido aquí.

TEOREMA 1 Integrales de línea equivalentes Suponga que el campo vectorial F  Pi + Qj + Rk tiene funciones componentes continuas y que T es el vector unitario tangente a la curva suave C. Por lo cual & q 4 DS H

0 D X C 1 DY C 2 DZ:

#



#

OBSERVACIÓN Si la orientación de la curva C se invierte, el signo de la integral del lado derecho de la ecuación (15) cambia de acuerdo con la ecuación (11), mientras que el signo de la integral del lado izquierdo cambia porque T es reemplazada por −T.

EJEMPLO 6 El trabajo efectuado por el campo de fuerzas F  yi + zj + xk al mover una partícula de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) a lo largo del cubo deformado x  t, y  t 2, z  t 3, está dado por la integral de línea &
DR H

7 H #

&
4 DS H #

Y D X C Z DY C X DZ; #

y el valor de esta integral se calculó en el ejemplo 3. De ahí que 7 H

  

Z

EJEMPLO 7 Encuentre el trabajo realizado por el siguiente campo de fuerzas del inverso del cuadrado KR K.XI C YJ C Z K/ &.X; Y; Z/ H  H  R .X C Y  C Z  /= al mover una partícula a lo largo del segmento de línea recta C de (0, 4, 0) a (0, 4, 3).

Solución A lo largo de C se tiene que x  0, y  4 y z varía de 0 a 3. Por ello se escoge a z como el parámetro: x ≡ 0, y≡4 y z  z, 0 z 3. Como d x  0  d y, la ecuación (14) ofrece 7 H # 

H 

K.X D X C Y DY C Z DZ/ .X  C Y  C Z  // KZ DZ H . C Z  /=

p



K  C

Z

H 

K : 

Z

14.2 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que la curva en el espacio C está parametrizada por X H X.T/;

Y.T/ H Y.T/;

Z H Z.T/

para a t b. De esta manera, la integral de línea luarse si se hacen las sustituciones X H X.T/; Y H Y.T/; Z H Z.T/

Y DS H

y se integra respecto de t, de t  a a t  b.

#

F .X; Y; Z/ DS puede eva-

X .T/ C Y .T/ C Z .T/ DT

SECCIÓN 14.2

Integrales de línea

1095

2. Si un alambre en el espacio tiene función de densidad continua δ(x, y, z) y la forma de la curva C parametrizada, entonces la masa m del alambre es igual a la integral de la función δ(x, y, z) respecto de la longitud de arco a lo largo de C. 3. La coordenada x del alambre de la pregunta 2 es igual a la integral de la función x δ(x, y, z) respecto de la longitud de arco a lo largo de C. 4. El momento de inercia respecto del eje z del alambre de la pregunta 2 es igual a la integral de la función (x 2 + y 2)δ(x, y, z) respecto de la longitud de arco a lo largo de C. 5. La hélice con parametrización X H  COS T;

Y H  SEN T;

Z H T;



T



es simétrica respecto del eje z, por lo que las coordenadas x y y de su centroide están dadas por X  Y  0. 6. Suponga que la curva en el espacio C está parametrizada por x  x(t) y y  y(t), para a t b, y que P y Q son funciones continuas de x y de y. De este modo, la integral de línea # 0 D X C 1 DY se puede evaluar si se hacen las sustituciones X H X.T/;

Y H Y.T/

Y D X H X .T/ DT;

DY H Y .T/ DT

e intregrando respecto de t desde t = a hasta t = b. 7. Si cambia la orientación de la curva C, cambia el signo de la integral de línea # F .X; Y; Z/ DS respecto de la longitud de arco, pero no se modifica el signo de la integral # 0 D X C 1 DY C 2 DZ respecto de las variables de las coordenadas. 8. El trabajo W realizado por el campo de fuerza F al mover una partícula a lo largo de la curva suave parametrizada C, de su punto inicial A a su punto final B, está dado por la integral de línea 7 H # &
4 DS , donde T denota el vector unitario tangente a C. 9. Suponga que el campo vectorial F  Pi + Qj + Rk tiene funciones continuas compuestas y que T es el vector unitario tangente a la curva suave parametrizada C. Entonces &
4 DS H #

0 D X C 1 DY C 2 DZ: #

10. Si se invierte la orientación de la curva C, entonces cambia el signo de la integral del lado derecho de la fórmula de la pregunta 9, pero no el signo de la integral del lado izquierdo.

14.2 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Compare las definiciones de F DS Y F D X , donde C es una curva suave de # # integrales de línea. Explique por qué una depende de la orientación o dirección de integración a lo largo de la curva C y la otra no. 2. Explique la relación entre las integrales de línea &
4 DS #

Y

0 D X C 1 DY C 2 DZ: #

¿En qué forma depende cada una de la orientación de la curva C?

14.2 PROBLEMAS En los problemas 1 a 5, evalúe las integrales de línea F .X; Y/ DS; #

F .X; Y/ D X; Y #

F .X; Y/ DY

X H ET C  Y H ET   T

 F .X; Y/ H X Y

X H SEN T Y H COS T  T 

X H T Y H T  T

 F .X; Y/ H X Y

#

a lo largo de la curva paramétrica indicada.  F .X; Y/ H X  C Y   X H T  Y H T C   T  F .X; Y/ H X X H T Y H T   T 

 F .X; Y/ H X C Y



En los problemas 6 a 10, evalúe 

0.X; Y/ D X C 1.X; Y/ DY: #

LN  =

1096 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

6. P(x, y)  xy, Q(x, y)  x + y; C es la parte de la gráfica de y  x 2 de (−1, 1) a (2, 4) 7. P(x, y)  y 2, Q(x, y)  x; C es la parte de la gráfica de x  y 3 de (−1, 1) a (1, 1) √ √ 8. P(x, y) = y x, Q(x, y) = x x; C es la parte de la gráfica 2 3 de y  x de (1, 1) a (4, 8) 9. P(x, y)  x 2y, Q(x, y)  xy 3; C consiste en los segmentos de recta de (−1, 1) a (2, 1) y de (2, 1) a (2, 5) 10. P(x, y)  x + 2y, Q(x, y)  2x − y; C consiste en los segmentos de recta de (3, 2) a (3, −1) y de (3, −1) a (−2, −1) En los problemas 11 a 15, evalúe la integral de línea &
4 DS #

a lo largo de la trayectoria indicada C. 11. F(x, y, z)  zi + xj − yk; C está parametrizada por x  t, y  t 2, z  t 3, 0 t 1. 12. F(x, y, z)  yzi + xzj  xyk; C es el segmento de línea recta de (2, −1, 3) a (4, 2, −1). 13. F(x, y, z)  yi + xj + zk; x  sen t, y  cos t, z  2t, 0 t π. 14. F(x, y, z)  (2x + 3y)i + (3x + 2y)j + 3z 2k; C es la trayectoria de (0, 0, 0) a (4, 2, 3) que consiste en tres segmentos de recta paralelos al eje x, al y y al z, en ese orden. 15. F(x, y, z)  yz 2i + xz 2j + 2xyzk; C es la trayectoria de (−1, 2, −2) a (1, 5, 2) que consiste en tres segmentos de recta paralelos al eje x, al y y al z, en ese orden. En los problemas 16 a 18, evalúe F .X; Y; Z/ DS #

para la función dada f (x, y, z) y la trayectoria C dada. 16. f (x, y, z)  xyz; C es el segmento de línea recta de (1, −1, 2) a (3, 2, 5). 17. f (x, y, z)  2x + 9xy; C es la curva x  t, y  t 2, z  t 3, 0 t 1. 18. f (x, y, z)  xy; C es la hélice elíptica x  4 cos t, y  9 sen t, z  7t, 0 t 5π/2. 19. Encuentre el centroide de un alambre delgado uniforme con forma de semicírculo x 2 + y 2  a 2, a > 0, y 0. 20. Halle los momentos de inercia del alambre del problema 19 respecto de los ejes x y y. 21. Calcule la masa y el centroide de un alambre que tiene densidad constante δ  k y forma de la hélice x  3 cos t, y  3 sen t, z  4t, 0 t 2π.  22. Determine el momento de inercia Iz = C (x 2 + y 2 ) dm respecto del eje z del alambre helicoidal del problema 21. 23. Un alambre en forma de la parte de la circunferencia x 2 + y 2  a 2 que queda en el primer cuadrante tiene densidad δ  kxy en el punto (x, y). Encuentre su masa, centroide y momento de inercia respecto de cada uno de los ejes coordenados. 24. Un alambre tiene forma del arco x  t − sen t, y  1 − cos t (0 t 2π) de un cicloide C, con densidad constante δ(x, y)≡ k. Calcule su masa, centroide y momento de inercia Ix = C y 2 dm respecto del eje x. 25. Un alambre tiene forma del astroide (o hipocicloide) x  δ(x, y) cos 3 t, y  sen 3 t (0 t 2π), con densidad constante  ≡ k. Encuentre su momento de inercia I0 = C (x 2 + y 2 )dm respecto al origen.

La distancia promedio $ del punto fijo P a los puntos de la curva parametrizada C está definida por  $H $.X; Y/ DS S # donde s es la longitud de C y D(x, y) denota la distancia de P al punto variable (x, y) de C. En los problemas 26 a 31, calcule la distancia promedio, tan exacta como sea posible, con un medio que no sea un sistema de álgebra por computadora, para determinarla (en forma simbólica o, si es necesario, numérica). 26. Utilice la parametrización trigonométrica estándar de un círculo C de radio a para comprobar que la distancia promedio de los puntos de C a su centro es $  a. 27. Encuentre la distancia promedio (exacta) que hay del punto (a, 0) a los puntos del círculo de radio a con centro en el origen [Sugerencia: use la ley de los cosenos para encontrar D(x, y)]. 28. Determine la distancia promedio del origen a puntos del arco cicloide del problema 24. 29. Calcule la distancia promedio que hay del origen a puntos del astroide (o hipocicloide) del problema 25. 30. Obtenga la distancia promedio del origen a puntos de la hélice del problema 21. 31. La espiral parametrizada por x  e−t cos t, y  e−t sen t, comienza en (1, 0) cuando t  0, y se cierra en el origen cuanto t → ∞. Utilice integrales impropias para calcular la distancia promedio del origen a puntos de dicha espiral. 32. Determine cuál es el trabajo realizado por el campo de fuerza del inverso del cuadrado del ejemplo 7 al mover una partícula de (1, 0, 0) a (0, 3, 4). Primero integre a lo largo del segmento de recta de (1, 0, 0) a (5, 0, 0) y después a lo largo de una trayectoria sobre la esfera con ecuación x 2 + y 2 + z 2  25. La segunda integral es igual a cero en forma automática (¿por qué?). 33. Imagine un alambre de longitud infinita y cargado de manera uniforme que coincide con el eje z. La fuerza eléctrica que ejerce sobre una carga unitaria en el punto (x, y) (0, 0) en el plano x y es K.XI C YJ/ &.X; Y/ H : X  C Y

34.

35.

36.

37.

Encuentre el trabajo efectuado por F al mover una carga unitaria a lo largo del segmento de línea recta de (a) (1, 0) a (1, 1); (b) (1, 1) a (0, 1). Demuestre que si F es un campo de fuerza constante, entonces realiza un trabajo igual a cero sobre una partícula que se mueva una vez de manera uniforme en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario en el plano x y. Demuestre que si F  kr  k(xi + yj), entonces F realiza un trabajo igual a cero sobre una partícula que se mueva una vez de manera uniforme en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario en el plano x y. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerza F  −y i + x j al mover una partícula en contra del movimiento de las manecillas del reloj una vez alrededor del círculo unitario en el plano x y. Sea C una curva sobre la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2  1. Explique por qué el campo de fuerza del inverso del cuadrado del ejemplo 7 realiza un trabajo igual a cero al mover una partícula a lo largo de C.

SECCIÓN 14.3

El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria

1097

y que el tobogán contra incendios es una rampa (helicoidal) espiral que envuelve la torre una vez cada dos pisos. Use una integral de línea para calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza gravitacional F  −200k sobre una persona de 200 lb que se desliza por la rampa (sin fricción) desde la parte superior del edificio hasta el piso. 42. Una corriente eléctrica I en un alambre recto y largo genera un campo magnético B en el espacio que rodea al alambre. El vector B es tangente a cualquier círculo C con centro en el alambre y se encuentra en un plano perpendicular a éste. La ley de Ampere implica que

En los problemas 38 a 40, la curva dada C se une a los puntos P y Q en el plano x y. El punto P representa la parte superior de un edificio de diez pisos, y Q es un punto en el piso a 100 ft de la base de la construcción. Una persona de 150 lb se desliza sin fricción a lo largo de un tobogán en forma de la curva C de P a Q bajo la influencia de la fuerza gravitacional F  −150j. En cada problema, demuestre que F hace la misma cantidad de trabajo sobre la persona, W  15000 ft·lb, como si él o ella hubieran caído directo hacia el suelo. 38. C es el segmento de recta y  x de P(100, 100) a Q(0, 0). 39. C es el arco circular x  100 sen t, y  100 cos t, de P(0, 100) a Q(100, 0). 40. C es el arco parabólico arc y  x 2/100, de P(100, 100) a Q(0, 0). 41. Ahora suponga que el edificio de diez pisos que mide 100 ft de los problemas 38 a 40 es una torre circular con radio de 25 ft,

" q DR H ) #

donde μ es cierta constante electromagnética. Deduzca de esto que la magnitud B  |B| del campo magnético es proporcional a la corriente I e inversamente proporcional a la distancia r del alambre.

14.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL Y LA INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA El teorema fundamental del cálculo dice, en efecto, que la derivación y la integración son procesos inversos para funciones de una variable. En específico, la parte 2 del teorema fundamental en la sección 5.6 implica que B

' .T/ DT H '.B/ '.A/



A

si la derivada G  es continua sobre [a, b]. Aquí, el teorema 1 puede interpretarse como si se dijera que la “derivación del vector gradiente” y la “integración de línea” son, de manera similar, procesos inversos para funciones de variables múltiples.

TEOREMA 1 El teorema fundamental para integrales de línea Sea f una función de dos o tres variables, y sea C una curva suave parametrizada por la función de variable vectorial r(t) para a t b. Si f es continuamente derivable en cada punto de C, entonces

Z

r F
DR H F .R.B// F .R.A//:



#

Demostración Considere el caso de tres dimensiones f (x, y, z) que se ilustra en la figura 14.3.1. Entonces ∇ f  ∂ f/∂ x, ∂ f/∂ y, ∂ f/∂ z, por lo que el teorema 1 de la sección 14.2 produce

! " Y

r F
DR H

# #

# B

X

H

FIGURA 14.3.1 Trayectoria C del teorema 1.

A

@F @F @F DX C DY C DZ @X @Y @Z @ F DX @ F DY @ F DZ C C @ X DT @ Y DT @Z DT

DT:

Según la regla de la cadena para variables múltiples (sección 12.7), el integrando aquí es la derivada G (t) de la función compuesta G(t)  f (r(t))  f (x(t), y(t), z(t)). Por tanto, se sigue que B

r F
DR H #

' .T/ DT H '.B/ '.A/ SEG¢NLAECUACI˜N  A

H F .R.B// F .R.A//;

con lo que se estableció la ecuación (2), como se deseaba.

X

1098 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

OBSERVACIÓN Si escribimos A y B para los puntos extremos r(a) y r(b) de C, entonces la ecuación (2) toma la forma

r F
DR H F ."/ F .! /;



#

que es muy parecida a la ecuación (1). EJEMPLO 1

Si F .X; Y; Z/ H

K K ; H  R X C Y C Z

entonces un cálculo rápido demuestra que ∇ f  F es el campo de fuerza del inverso del cuadrado K.XI C YJ C ZK/ &.X; Y; Z/ H  .X C Y  C Z  /= del ejemplo 7 en la sección 14.2, donde calculamos directamente el trabajo W  k/20 realizado por el campo de fuerza F al mover la partícula a lo largo del segmento de línea recta del punto A(0, 4, 0) al punto B(0, 4, 3). En lugar de ello, al usar el teorema 1 se encuentra que el trabajo realizado por F al mover una partícula a lo largo de cualquier trayectoria de A a B (que no pase por el origen) está dado por 7 H

&
DR H

r F
DR

#

#

H F .; ; / F .; ; / H

K 



K 

H

SEG¢NLAECUACI˜N 

K : 

Z

Independencia de la trayectoria A continuación aplicamos el teorema fundamental de las integrales de línea para analizar la pregunta de si la integral &
4 DS H #

&
DR H #

0 D X C 1 DY C 2 DZ



#

(donde F  P, Q, R) tiene el mismo valor para dos curvas cualesquiera con los mismos puntos inicial y final.

DEFINICIÓN Independencia de trayectoria Se dice que la integral de línea en la ecuación (4) es independiente de la trayectoria en la región D si, dados dos puntos cualesquiera A y B de D, la integral tiene el mismo valor a lo largo de todo segmento de curva suave, o trayectoria, en D de A a B. En este caso se escribe "

&
4 DS H #

&
4 DS



!

porque el valor de la integral depende sólo de los puntos A y B, no de la elección particular de la trayectoria C que los une. Para una interpretación tangible de la independencia de la trayectoria, imagine que camina a lo largo de la curva C del punto A al B en el plano en el que sopla un viento con vector de velocidad w(x, y). Suponga que cuando estamos en (x, y), el viento ejerce una fuerza F  k w(x, y) sobre nosotros, k es una constante que depende de nuestro tamaño y forma (y tal vez también de otros factores). Por lo cual,

SECCIÓN 14.3

El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria

1099

según la ecuación (12) de la sección 14.2, la cantidad de trabajo que realiza el viento sobre nosotros mientras caminamos a lo largo de C, está dada por &
4 DS H K

7 H #

W
4 DS:



#

Ésta es la contribución que hace el viento a nuestro viaje de A a B. En este contexto, la pregunta de la independencia de la trayectoria es si el trabajo W del viento depende o no de cuál sea la trayectoria que elijamos para ir del punto A al B. EJEMPLO 2 Suponga que un viento estable sopla hacia el noreste con vector velocidad w  10i + 10j expresada en unidades de fps (pies por segundo); su velocidad ≈ 14 ft/s —alrededor de 10 mi/h—. Suponga que k  0.5, por lo que es |w|  10 el viento ejerce 0.5 lb de fuerza por cada pie por segundo de su velocidad. Entonces, F  5i + 5j, por lo que la ecuación (6) lleva a 7 H

; 
4 DS H #

 D X C  DY



#

para el trabajo que el viento realiza sobre nosotros cuando caminamos a lo largo de C. Por ejemplo, si C es la trayectoria rectilínea x  10t, y  10t (0 x 1) de (0, 0) a (10, 10), entonces la ecuación (7) ofrece 




 DT C 
 DT H 

7 H

 DT H 



  2 x ,0 en ft·lb de trabajo. O, si C es la trayectoria parabólica y  

x 10 desde el mismo punto inicial (0, 0) al mismo punto terminal (10, 10), entonces la ecuación (7) produce 

7 H 

  DX C 
X DX H 



. C X/ D X 

  H X C X  H    ft·lb de trabajo, igual que antes. Se debe observar que, del teorema 2 de esta sección, se sigue que la integral de línea de la ecuación (7) es independiente de la trayectoria, por lo que el viento realiza 100 ft·lb de trabajo a lo largo de cualquier trayectoria de (0, 0) a (10, 10). Z

EJEMPLO 3 Suponga que w  −2yi + 2xj. Este viento sopla en contra del movimiento de las manecillas del reloj alrededor del origen, como un huracán cuyo ojo se encontrara en (0, 0). Con k  0.5, como antes, F  −yi + xj, por lo que la integral del trabajo es

Y

W

7 H # W

W

  

#

 

&
4 DS H

Y D X C X DY:

#

X

Si caminamos de (10, 0) a (−10, 0) a lo largo de la trayectoria recta C1 a través del ojo del huracán, entonces el viento siempre es perpendicular a nuestro vector tangente unitario T (ver figura 14.3.2). Entonces F · T  0, de ahí que

W

FIGURA 14.3.2 Alrededor y a través del ojo del huracán (ejemplo 2).



#

7 H

&
4 DS H #

Y D X C X DY H : #

Pero si caminamos a lo largo de la trayectoria semicircular C2 mostrada en la figura 14.3.2, entonces w permanece tangente a nuestra trayectoria, de aquí que F · T  |F|  10 en cada punto. En este caso, 7 H

Y D X C X DY H #

&
4 DS H 
 H : #

El hecho de que obtengamos valores diferentes a lo largo de trayectorias distintas de (10, 0) a (−10, 0) demuestra que la integral de línea en la ecuación (8) no es independiente de la trayectoria. Z El teorema 2 nos dice si una integral de línea dada es o no independiente de la trayectoria.

1100 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

TEOREMA 2 Independencia de la trayectoria La integral de línea # &
4 DS del campo vectorial continuo F es independiente de la trayectoria en la región plana o del espacio D si y sólo si F  ∇ f para cierta función f definida sobre D. Demostración Suponga que F  ∇ f  ∂ f/∂ x, ∂ f/∂ y, ∂ f/∂ z y que C es un segmen-

to de curva suave de A a B en D, parametrizada como es habitual, con parámetro t en [a, b]. Así, el teorema fundamental en la forma de la ecuación (3) da &
4 DS H #

r F
4 DS H #

r F
DR H F ." / F .! /: #

Este resultado demuestra que el valor de la integral de línea sólo depende de los puntos A y B, por lo que es independiente de la elección de la trayectoria C particular. Esto demuestra la parte condicional del teorema 2. Para demostrar la parte que dice sólo si del teorema 2, supongamos que la integral de línea es independiente de la trayectoria en D. Elija un punto fijo A0  A0(x0, y0, z0) en D, y sea B  B(x, y, z) un punto arbitrario en D. Dada cualquier trayectoria C de A0 a B en D, definimos la función f por medio de la ecuación .X;Y;Z/

F .X; Y; Z/ H

&
4 DS H

&
4 DS:



.X ;Y ;Z  /

#

Debido a la hipótesis de independencia de la trayectoria, el valor resultante de f (x, y, z) sólo depende de (x, y, z) y no de la trayectoria particular C utilizada. Para comprobar que ∇ f  F, supongamos que F  Pi + Qj + Rk. Para demostrar que ∂ f/∂ x  P, escribimos .XCH;Y;Z/

F .X C H; Y; Z/ F .X; Y; Z/ H

.X;Y;Z/

&
4 DS

&
4 DS

.X ;Y ;Z  /

.X ;Y ;Z  /

.XCH;Y;Z/

&
4 DS:

H .X;Y;Z/

En la última integral, podemos tomar la trayectoria de integración como el segmento de recta parametrizado L de (x, y, z) a (x + h, y, z) definido por φ(t)  (x + th, y, z). De esta manera φ (t)  (h, 0, 0)  hi, por lo que el vector tangente unitario es T  i. Asimismo, d y  d z  0, por lo que d s  d x  h d t a lo largo de esta trayectoria. Por tanto, 

F .X C H; Y; Z/ F .X; Y; Z/ H

&
4 DS H ,

0..T//H DT 

H H 0..T // H H 0.X C TH; Y; Z/

para cierta T entre 0 y 1 (por el teorema del valor promedio para integrales con una sola variable, en la sección 5.6). Se sigue que F .X C H; Y; Z/ F .X; Y; Z/ @F H L¤M H L¤M 0.X C TH; Y; Z/ H 0.X; Y; Z/ H! H! @X H por la continuidad de P. De manera similar, se sigue que ∂ f/∂ y  Q y ∂ f/∂ z  R, por lo que ∇ f  F, como se desea. X Para una primera aplicación del teorema 2, considere el campo de fuerzas F  −yi + xj que corresponde al viento en contra del movimiento de las manecillas del reloj del ejemplo 3. Como la integral de línea # &
4 DS no es independiente de la trayectoria en ninguna región del plano que incluya o encierre al origen, se sigue que F no es el gradiente de ninguna función escalar f. Por el contrario, el campo de fuerzas F  5i + 5j que corresponde a un viento constante que sopla hacia el noreste, es obviamente el gradiente de la función f (x, y)  5x + 5y. Entonces, el teorema 2 implica que la integral de línea # &
4 DS es independiente de la trayectoria en todo el plano R2.

SECCIÓN 14.3

El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria

1101

En forma similar, el campo de fuerzas del inverso del cuadrado F(x, y, z)  kr/r 3 del ejemplo 1 es el gradiente de la función f (x, y, z)  −k/r (donde R H X  C Y  C Z   Así, el teorema 2 implica que la integral de línea # &
4 DS es independiente de la trayectoria en R3 menos el origen.

Campos vectoriales conservativos DEFINICIÓN Campos conservativos y funciones de potencial El campo vectorial F definido sobre una región D es conservativo si existe una función escalar f definida sobre D tal que & Hr F  en cada punto de D. En este caso, f recibe el nombre de función de potencial para el campo vectorial F. El caso del ejemplo 1 implica que f (x, y, z)  −k/r es una función de potencial para el campo de fuerza del inverso del cuadrado F(x, y, z)  k r/r 3 (donde R H X  C Y  C Z  ). OBSERVACIÓN En ciertas aplicaciones físicas la función escalar f se denomina función de potencial para el campo vectorial F si F  −∇ f.

Si se sabe que la integral de línea # &
4 DS es independiente de la trayectoria, entonces el teorema 2 garantiza que el campo vectorial F es conservativo y que la ecuación (9) genera una función de potencial f para F. En este caso —debido a que el valor de la integral no depende de la curva específica C de A a B— la ecuación (3) puede escribirse en la forma "

"

&
4 DS H !

r F
DR H F ." / F .! /



!

que es una reminiscencia fuerte del teorema fundamental ordinario. EJEMPLO 4

Encuentre una función de potencial para el campo vectorial conservativo &.X; Y/ H .X Y Y  /I C .Y C X  X Y  /J:



Solución Debido a que se da la información de que F es un campo conservativo, la integral de línea &
4 DS es independiente de la trayectoria, según el teorema 2. Entonces, se aplica la ecuación (9) para encontrar una función de potencial escalar f. Sea C la trayectoria en línea recta de A(0, 0) a B(x1, y1) parametrizada por x  x1t, y  y1t, 0 t 1. Entonces, la ecuación (9) produce "

F .X ; Y / H

&
4 DS ! "

H

.X Y Y  / D X C .Y C X  X Y  / DY

! 

H  

H 

X Y T  Y T  .X DT/ C Y T C X T  X Y T  .Y DT/ Y T C X Y T  X Y T  DT

H Y T  C X Y T  X Y T 

 

H Y C X Y X Y :

En este punto se eliminan los subíndices porque (x1, y1) es un punto arbitrario del plano. Así, se obtiene la función de potencial F .X; Y/ H Y  C X  Y X Y 

1102 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

para el campo vectorial F en la ecuación (12). Como comprobación, se deriva f y se obtiene @F H Y C X  X Y  : @Y

@F H X Y Y  ; @X

Z

Pero, ¿cómo se sabía por adelantado que el campo vectorial F en el ejemplo 4 era conservativo? La respuesta la proporciona el teorema 3; una demostración de este teorema se basa en el teorema de Green, que se plantea en la sección siguiente.

TEOREMA 3 Campos conservativos y funciones de potencial Suponga que el campo vectorial F  Pi + Qj es continuamente derivable en un rectángulo abierto R en el plano x y. Así, F es conservativo en R —y por ello tiene una función de potencial f (x, y) definida sobre R— si y sólo si en cada punto de R, @1 @0 H : @Y @X



Observe que el campo vectorial F en la ecuación (12), donde P(x, y)  6xy − y 3 y Q(x, y)  4y + 3x 2 − 3xy 2, satisface el criterio en la ecuación (13) porque @1 @0 H X Y  H : @Y @X

Cuando se satisface esta condición suficiente para la existencia de una función de potencial, el método ilustrado en el ejemplo 5 por lo general es una forma más fácil de encontrar una función de potencial que la evaluación de la integral de línea en la ecuación (9) —método utilizado en el ejemplo 4. EJEMPLO 5

Dada 0.X; Y/ H X Y Y 

Y 1.X; Y/ H Y C X  X Y  ;

observe que P y Q satisfacen la condición ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x. Encuentre una función de potencial f (x, y) tal que @F H X Y Y  @X

Y

@F H Y C X  X Y  : @Y



Solución Al integrar la primera de estas ecuaciones respecto a x se obtiene F .X; Y/ H X  Y X Y  C .Y/;



donde ξ( y) es una “función arbitraria” sólo de y; actúa como “constante de integración” respecto de x, ya que su derivada respecto de esta variable es igual a cero. A continuación se determina ξ( y) imponiendo la segunda condición en (14): @F H X  X Y  C  .Y/ H Y C X  X Y  : @Y

Se sigue que ξ ( y)  4y, por lo que ξ( y)  2y 2 + C. Cuando se hace C  0 y se sustituye el resultado en la ecuación (15), se obtiene la misma función de potencial F .X; Y/ H X  Y X Y  C Y 

que se encontró con métodos por completo diferentes en el ejemplo 4.

Z

SECCIÓN 14.3

El teorema fundamental y la independencia de la trayectoria

1103

Los campos vectoriales conservativos y la conservación de la energía Dado un campo de fuerzas conservativo F, en física se acostumbra introducir un signo menos y escribir F  −∇V. Por lo cual V(x, y, z) se denomina la energía potencial en el punto (x, y, z). Con f  −V en la ecuación (11) se tiene "

&
4 DS H 6 .! / 6 ." /;

7 H



!

y esto significa que el trabajo W realizado por F al mover una partícula de A a B es igual a la disminución de la energía potencial. A continuación se ofrece la razón de por qué se usa la expresión campo conservativo. Suponga que una partícula de masa m se mueve de A a B bajo la influencia de la fuerza conservativa F, con vector de posición r (t), a t b. Entonces, la ley de Newton F(r (t))  m r (t)  m v (t) con d r  r (t) d t  v(t) proporciona "

B

&
4 DS H !

M V .T/
V.T/ DT A B

  MTG.T/U M $T V.T/
V.T/ DT H  

H A

B

: A

Y con las abreviaturas vA para v(a) y vB para v(b), se observa que "

  M.G " / M.G ! / :    ! Al igualar los lados derechos de las ecuaciones (16) y (17) se obtiene la fórmula &
DR H

 M.G ! / 

C 6 .! / H  M.G " / C 6 ."/:



Ésta es la ley de la conservación de la energía mecánica para una partícula que se mueve bajo la influencia de un campo de fuerzas conservativo: su energía total —la suma de su energía cinética  MG  y su energía potencial V— permanece constante. EJEMPLO 6 Si se toma k  G M m en el cálculo del ejemplo 1, se observa que la fuerza gravitacional del inverso del cuadrado ' -M R &.X; Y; Z/ H R (que una masa M fija en el origen ejerce sobre una partícula de masa m) es el negativo del gradiente de la función de energía potencial ' -M : 6 .X; Y; Z/ H R De aquí que la ecuación (18) implica que la energía total de la masa de la partícula que se mueve con velocidad v a una distancia r del origen es la constante ' -M  % H MG  :  R Se sigue (por ejemplo) que si —por cualquier razón— la partícula se acerca al origen (r → 0), entonces su velocidad debe incrementarse sin límites (v → +∞). Z

14.3 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Si f es una función derivable continuamente sobre R3 y C es una curva en el espacio parametrizada con vector tangente unitario T, punto inicial A y punto terminal B, entonces r F q 4 DS H F ."/ F .!/: #

1104 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

2. Sea r  xi + yj + zk y r  |r|  tante), entonces

X  C Y  C Z   Si f (x, y, z)  k/r (k es cons-

KR : R La integral de línea # &
DR es independiente de la trayectoria en la región D si se cumple que # &
DR H # &
DR para dos segmentos cualesquiera de trayectorias suaves C1 y C2 en D que tengan los mismos puntos inicial y final. Si F  −yi + xj es un campo de fuerza correspondiente a un viento que sople contra el movimiento de las manecillas del reloj alrededor del origen, entonces la integral de línea # &
DR es independiente de la trayectoria en R2 menos el origen. Si r  xi + yj + zk, r  |r|  X  C Y  C Z  y F  k r/r 3 (con k constante) es un campo de fuerza del inverso del cuadrado, entonces la integral de línea es independiente de la trayectoria en R3 menos el origen. # &
DR Una función de variable escalar se denomina conservativa en una región si es el gradiente de algún campo vectorial definido en dicha región. Si F  Pi + Qj y ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x en cada punto del rectángulo R en el plano x y, entonces el campo vectorial F tiene una función potencial definida en R. El campo de fuerzas F  (6xy − y 3)i + (4y + 3x 2 − 3xy 2)j es conservativo sobre el plano x y. Dado un campo de fuerzas continuamente derivable F definido en el espacio, la ley de la conservación de la energía mecánica se cumple para una partícula de masa que se mueve bajo la influencia de este campo de fuerza. Una partícula de masa que se mueve en el espacio (menos el origen) bajo la influencia de un campo de fuerza del inverso del cuadrado satisface la ley de la conservación de la energía mecánica. rF H

3.

4.

5.

6. 7. 8. 9.

10.

14.3 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Dé varios ejemplos de integrales de línea que no sean independientes de la trayectoria. 2. Proporcione algunos ejemplos de un campo vectorial F y una trayectoria cerrada C tal que &
4 DS H : #

3. Dé ejemplos de campos vectoriales que no sean conservativos.

14.3 PROBLEMAS Determine si los campos vectoriales en los problemas 1 a 16 son conservativos. Encuentre funciones de potencial para aquellos que sí lo sean (hágalo por inspección o con el uso del método del ejemplo 5).  &.X; Y/ H .X C Y/I C .X C Y/J  &.X; Y/ H .X Y/I C .Y X/J  &.X; Y/ H .X  C Y  /I C .X Y C Y  /J  &.X; Y/ H .X Y  C X  /I C .X  Y C Y  /J  &.X; Y/ H .Y C SEN X/I C .X C COS Y/J  &.X; Y/ H .X  Y Y  /I C .X  X Y  /J Y  &.X; Y/ H X  C I C .Y  C LN X/J X  &.X; Y/ H . C YE X Y /I C .Y C XE X Y /J X C EY J  &.X; Y/ H .COS X C LN Y/I C Y XCY  &.X; Y/ H .X C ARCTAN Y/I C J  C Y  &.X; Y/ H .X COS Y C SEN Y/I C .Y COS X C SEN X/J

 &.X; Y/ H E XY ;.X Y C Y/I C .X Y C X/J=  &.X; Y/ H .X  Y  C Y  /I C .X  Y  C Y  C X Y  /J  &.X; Y/ H .E X SEN Y C TAN Y/I C .E X COS Y C X SEC Y/J  &.X; Y/ H

 &.X; Y/ H

Y  X  Y X

IC

X  Y  Cp  X Y Y

J

X = Y = Y = X = I C J X = Y = X = Y =

En los problemas 17 a 20, aplique el método del ejemplo 4 para encontrar una función de potencial para el campo vectorial indicado. 17. Campo vectorial del problema 3 18. Campo vectorial del problema 4 19. Campo vectorial del problema 13 20. Campo vectorial del problema 8

SECCIÓN 14.4

En los problemas 21 a 26, demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria en todo el plano x y, después calcule el valor de la integral de línea.

Teorema de Green

1105

no es independiente de la trayectoria. 34. Sea F(x, y, z)  yzi + (xz + y)j + (xy + 1)k. Defina la función f por medio de

.;/

.Y  C X Y/ D X C .X  C X Y/ DY



F .X; Y; Z/ H

.;/

&
4 DS; #

.;/

.X Y/ D X C .Y X/ DY

 .;/

.;/

XE Y D X H X  E Y DY

 .;/ .; /

donde C es el segmento de línea recta de (0, 0, 0) para (x, y, z). Determine f evaluando la integral de línea, después demuestre que ∇ f  F. 35. Sea f (x, y)  tan−1( y/x), que si x > 0 es igual al ángulo polar θ para el punto (x, y). a) Demuestre que

COS Y D X X SEN Y DY



& H rF H

.;/ .;/

.SEN Y C Y COS X/ D X C .SEN X C X COS Y/ DY

 .=;=/ .;/

.E Y C YE X / D X C .E X C XE Y / DY

 .;/

Encuentre una función de potencial para cada uno de los campos vectoriales conservativos en los problemas 27 a 29.  &.X; Y; Z/ H YZ I C X Z J C X YK  &.X; Y; Z/ H .X Y Z/I C .Y X/J C .Z X/K  &.X; Y; Z/ H .Y COS Z YZE X /IC.X COS Z ZE X /J.X Y SEN Z C YE X /K 30. Sea F(x, y)  (−yi + xj)/(x 2 + y 2) para x y y distintas de cero. Calcule los valores de & q 4 DS #

a lo largo de la mitad superior e inferior de la circunferencia x 2 + y 2  1 de (1, 0) a (−1, 0). ¿Hay una función f  f (x, y) definida para x y y distintas de cero tales que ∇f  F? ¿Por qué? 31. Demuestre que si el campo de fuerzas F  Pi + Qj es conservativo, entonces ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x. Demuestre que el campo de fuerzas del problema 30 satisface la condición ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x pero a pesar de ello no es conservativo. 32. Suponga que el campo de fuerza F  Pi + Qj + Rk es conservativo. Demuestre que @0 @1 @0 @2 @1 @2 H ; H ; Y H : @Y @X @Z @X @Z @Y 33. Aplique el teorema 2 y el resultado del problema 32 para demostrar que X Y D X C X  DY C Y  DZ #

YI C XJ : X  C Y

b) Suponga que A(x1, y1)  (r1, θ1) y B(x2, y2)  (r2, θ2) son dos puntos en la mitad derecha del plano x > 0 y que C es una curva suave de A a B. Explique por qué se sigue del teorema fundamental para las integrales de línea que &
4 DS H    c) Suponga que C1 es la mitad supe# rior del círculo unitario de (1, 0) a (−1, 0) y que C2 se reduce a la mitad, orientado también desde (1, 0) hasta (−1, 0). Demuestre que &
4 DS H 

MIENTRASQUE

#

&
4 DS H  #

¿Por qué esto no contradice el teorema fundamental? 36. Sea F  k r/r 3 el campo de fuerza del inverso del cuadrado del ejemplo 7 en la sección 14.2. Demuestre que el trabajo realizado por F al mover una partícula de un punto a la distancia r1 desde el origen, a otro punto a la distancia r2 del origen, está dado por 7 HK

  : R R

37. Suponga que un satélite terrestre con masa m  10000 kg sigue una órbita elíptica cuyos apogeo (punto más lejano) y perigeo (punto más cercano) están, respectivamente, a 11000 km y 9000 km del centro de la Tierra. Calcule el trabajo realizado contra el campo de la fuerza gravitacional de la Tierra F = −G M m r/r 3 al pasar del perigeo del apogeo. Use los valores M  5.97 × 1024 kg para la masa de la Tierra y G  6.67 × 10−11 N·m2/kg2 para la constante de la gravitación universal. 38. Calcule el trabajo que debe hacerse contra el campo gravitacional del Sol al transportar el satélite del problema 37 de la Tierra a Marte. Use los valores M  1.99 × 1030 kg para la masa del Sol, rE  1.50 × 108 km para la distancia del Sol a la Tierra, y rM  2.29 × 108 km para la distancia del Sol a Marte.

14.4 TEOREMA DE GREEN El teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva plana cerrada simple C con una integral doble ordinaria sobre la región plana R con frontera C [la curva C parametrizada por r : [a, b] → R2 se denomina cerrada si r(a)  r(b) y simple si no tiene “intersecciones consigo misma”]. Suponga que la curva C es suave por segmentos —consiste en un número finito de arcos paramétricos con vectores velocidad continuos diferentes de cero—. Entonces, C tiene un vector tangente unitario T en todo lugar excepto tal vez en cierto número finito de puntos esquina. La dirección a lo largo de C positiva o contra las manecillas del reloj, es aquella determinada por una

1106 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

parametrización r(t) de C tal que la región R permanece a la izquierda conforme el punto r(t) sigue la curva de frontera C. Es decir, el vector obtenido a partir del vector tangente unitario T por una rotación de 90° contra las manecillas del reloj siempre apunta hacia la región R(ver figura 14.4.1). Se dice que la curva C de frontera está orientada positivamente si está equipada con dicha parametrización. Así, el símbolo

4 #

)ZQUIERDA $ERECHA

0 D X C 1 DY

2

#

denota una integral de línea alrededor de C en la dirección positiva —es decir, con el uso de una parametrización consistente con la orientación positiva de la curva. El resultado siguiente apareció por primera vez (en una forma equivalente) en un folleto acerca de las aplicaciones de las matemáticas a la electricidad y magnetismo, publicado en una edición privada en 1828 por el físico matemático inglés y autodidacta, George Green (1793-1841).

FIGURA 14.4.1 Orientación positiva de la curva C: la región R dentro de C está a la izquierda del vector tangente unitario T.

TEOREMA DE GREEN Sea C una curva cerrada simple suave por segmentos orientada positivamente que limita la región R en el plano. Suponga que las funciones P(x, y) y Q(x, y) tienen derivadas parciales de primer orden continuas sobre R. Entonces @0 @1 @X @Y

0 D X C 1 DY H #

Y

D!:



Demostración En primer lugar se demostrará el caso en que la región R es simple tanto horizontalmente como verticalmente. Después se indicará cómo ampliar el resultado a regiones más generales. De la sección 13.2, recuerde que si R es simple verticalmente, entonces tiene una descripción de la forma g1(x) y g2(y), a x b. Entonces, la curva C de frontera es la unión de los cuatro arcos C1, C2, C3 y C4 de la figura 14.4.2, orientada positivamente según se indica ahí. Por tanto,

YGX # #

2

2

# # YGX

0 DX H #

A

B

X

FIGURA 14.4.2 La curva C de frontera es la unión de cuatro arcos C1, C2, C3 y C4.

0 DX C #

0 DX C

0 DX C

#

#

0 D X: #

Las integrales a lo largo tanto de C2 como de C4 son igual a cero porque sobre esas dos curvas x(t) es constante, por lo que d x  x(t) d t  0. De esta forma sólo es necesario calcular las integrales a lo largo de C1 y C3. El punto (x, g1(x)) sigue a C1 conforme x se incrementa de a a b, mientras que el punto (x, g2(x)) sigue a C3 conforme x disminuye de b a a. Así, B

0 DX H #

A

0.X; G .X// D X C A

0.X; G .X// D X B

B

B

G .X/

;0.X; G .X// 0.X; G .X//= D X H

H A

A

G .X/

@0 DY DX @Y

según el teorema fundamental del cálculo. De modo que 0 DX H #

2

@0 D!: @Y



En el problema 36 se pide que demuestre de manera similar que 1 DY H C #

2

@1 D! @X



si la región R es horizontalmente simple. Luego se obtiene la ecuación (1), la conclusión del teorema de Green, al sumar las ecuaciones (2) y (3). X

SECCIÓN 14.4

# 2 $ $ 2 #

FIGURA 14.4.3 Descomposición de la región R en dos regiones simples vertical y horizontalmente, utilizando un corte transversal.







Y

# [$ 

2

2

2

FIGURA 14.4.4. Es posible descomponer muchas regiones importantes en regiones simples si se usan uno o más cortes.

@0 @1 @X @Y

D!:

Cuando se agregan estas dos ecuaciones, el resultado es la ecuación (1), que es el teorema de Green para la región R, debido a que las dos integrales de línea a lo largo de D1 y D2 se cancelan. Esto ocurre porque D1 y D2 representan la misma curva con orientaciones opuestas, por lo que 0 D X C 1 DY H

2

1107

La demostración completa del teorema de Green para regiones más generales queda más allá del alcance de un texto elemental, pero la región común que aparece en la práctica se divide en regiones más pequeñas R1, R2, . . . , Rk que son simples tanto en lo vertical como en lo horizontal. Así, el teorema de Green para la región R se sigue del hecho de que se cumple para cada una de las regiones R1, R2, . . . , Rk (ver problema 37). Por ejemplo, es posible dividir la región R en forma de herradura de la figura 14.4.3 en dos regiones R1 y R2 que son simples en lo horizontal y vertical. También se subdivide la frontera C en concordancia y se escribe C1 ∪ D1 para la frontera de R1 y C2 ∪ D2 para la frontera de R2 (ver figura 14.4.3). Al aplicar el teorema de Green por separado a las regiones R1 y R2 se obtiene @0 @1 0 D X C 1 DY H D! @X @Y # [$ 2

0 D X C 1 DY H

2

Teorema de Green

$

0 D X C 1 DY $

según la ecuación (11) de la sección 14.2. Por tanto, se sigue que 0 D X C 1 DY H # [$  [# [$ 

0 D X C 1 DY H # [#

0 D X C 1 DY: #

De manera similar, es posible establecer el teorema de Green para la región que se ilustra en la figura 14.4.4 si se divide en las cuatro regiones simples que ahí se indican. EJEMPLO 1

Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea Y C

 C X  D X C .X C EARCTAN Y / DY;

#

donde C es la circunferencia orientada positivamente x 2 + y 2  4. p Solución Con 0.X; Y/ H Y C  C X  y Q(x, y)  5x + earctan y, se observa que @1 @0 H   H : @X @Y Como C limita a R, disco circular con área igual a 4π, el teorema de Green implica que la integral de línea dada es igual a  D! H 
 H :

Z

2

OBSERVACIÓN

Suponga que el campo de fuerza F está definido por

&.X; Y/ H Y C

 C X  I C .X C EARCTAN Y /J C 0.X; Y/ I C 1.X; Y/ J;

con el empleo de la notación del ejemplo 1. Entonces (como en la sección 14.2) el trabajo W realizado por el campo de fuerza F al mover una partícula contra el sentido del movimiento de las manecillas del reloj una vez alrededor del círculo C de radio 2, está dado por @0 @1 &
4 DS H 0 D X C 1 DY H D! H  D! H  7 H @ X @Y # # 2 2 como en el ejemplo 1.

1108 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

EJEMPLO 2

Y

Evalúe la integral de línea X Y D X C X  DY; #

donde C es la frontera orientada positivamente de la región R que se ilustra en la figura 14.4.5. Por su parte superior está limitada por la recta y  x y por la inferior por la parábola y  x 2 − 2x.

  YX 2 X

Solución Para evaluar la integral de línea en forma directa es necesario parametrizar por separado la recta y la parábola. En lugar de ello, se aplica el teorema de Green con P(x, y)  3x y, y Q(x, y)  2x 2, por lo que @1 @0 H X X H X: @X @Y

YX X

FIGURA 14.4.5 Región del ejemplo 2.

%NTONCES X Y D X C X  DY H

X D!

#

2 

H

X X  X

 

H 



X DY D X H

XY 

X YHX  X

 .X  X  / D X H X  X  



H 

DX

 : 

Z

En los ejemplos 1 y 2 se encontró que la integral doble es más fácil de evaluar directamente que la integral de línea. En ocasiones ocurre lo contrario. La consecuencia siguiente del teorema de Green ilustra la técnica de evaluar una integral doble 2 F .X; Y/ D! convirtiéndola en una integral de línea 0 D X C 1 DY: #

Para hacer esto debe ser posible encontrar funciones P(x, y) y Q(x, y) tales que @0 @1 H F .X; Y/: @X @Y

Igual que en la prueba del resultado siguiente, a veces esto es fácil.

COROLARIO DEL TEOREMA DE GREEN El área A de la región R limitada por la curva cerrada simple suave por segmentos, C, está dada por !H

 

Y D X C X DY H #

Y DX H #

X DY:



#

Demostración Con P(x, y)  −y, y Q(x, y) ≡ 0, el teorema de Green da



Y DX H

 D! H ! :

#

2

De manera similar, con P(x, y) ≡ 0 y Q(x, y)  x, se obtiene X DY H #

 D! H ! : 2

El tercer resultado se obtiene al promediar los lados izquierdo y derecho de las últimas dos ecuaciones. En forma alternativa, con P(x, y)  −y/2 y Q(x, y)  x/2, el teorema

SECCIÓN 14.4

Teorema de Green

1109

de Green da  

Y D X C X DY H #

2

  C D! H !:  

X

EJEMPLO 3 Aplique el corolario del teorema de Green para encontrar el área A de la región R limitada por la elipse x 2/a 2 + y 2/b 2  1.

#

Solución Con la parametrización x  a cos t y y  b sen t, 0 (4) da

#

t

2π, la ecuación



X DY H

!H

2

FIGURA 14.4.6 Región anular —la frontera consiste en dos curvas cerradas simples, una dentro de la otra.

# 2

H

 AB 



Z

. C COS T/ DT H AB: 

Con el empleo de la técnica de subdividir una región en otras más simples, el teorema de Green se extiende a regiones con fronteras que consisten en dos o más curvas cerradas simples. Por ejemplo, considere la región anular R de la figura 14.4.6, con frontera C que consiste en dos curvas cerradas simples C1 y C2. La dirección positiva a lo largo de C —aquélla para la que la región R siempre queda a la izquierda— es la que va contra el sentido de las manecillas del reloj en la curva exterior C1, pero a favor de ellas en la curva interior C2. Se divide R en dos regiones R1 y R2 con el uso de dos cortes, como se ilustra en la figura 14.4.7. Al aplicar el teorema de Green a cada una de dichas subregiones y observar que se cancelan las integrales de línea en direcciones opuestas a los cortes, se obtiene

2

#

.A COS T/.B COS T DT/ 

2

@0 @1 @X @Y

@0 @1 @X @Y

D! H 2

D! C 2

@0 @1 @X @Y

D!

2

H

.0 D X C 1 DY/ C #

FIGURA 14.4.7 Dos cortes convierten la región anular en la unión de dos regiones ordinarias R1 y R2, cada una limitada por una sola curva cerrada.

H

.0 D X C 1 DY/ #

0 D X C 1 DY: #

Con lo que se obtiene el teorema de Green para la región R dada. Lo que hace válida esta demostración es que las integrales de línea opuestas a lo largo de dos cortes se cancelan entre sí. Por supuesto, se puede usar cualquier número finito de cortes. EJEMPLO 4 Suponga que C es una curva cerrada simple suave por segmentos que encierra al origen (0, 0). Demuestre que

# #

A

Y D X C X DY H ; X  C Y

y también que esta integral vale cero si C no encierra al origen.

  #A

FIGURA 14.4.8 Use el círculo pequeño Ca si C encierra al origen (ejemplo 4).

Solución Con P(x, y)  −y/(x 2 + y 2) y Q(x, y)  x/(x 2 + y 2), un cálculo rápido da ∂ Q/∂ x − ∂ P/∂ y ≡ 0 cuando x y y no son iguales a cero. Si la región R limitada por C no contiene al origen, entonces P y Q y sus derivadas son continuas en R. De ahí que el teorema de Green implica que la integral en cuestión es igual a cero. Si C sí encierra al origen, entonces encerramos a éste en un círculo pequeño Ca de radio a tan pequeño que Ca quede por completo dentro de C (ver figura 14.4.8). Este círculo se parametriza con x  a cos t, y  a sen t, 0 t 2π. Entonces, el teorema de Green, aplicado a la región R entre C y Ca da

#

Y D X C X DY X  C Y

#A

Y D X C X DY H X  C Y

 D! H : 2

Z

1110 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

La razón del signo menos en el lado izquierdo es el hecho de que la orientación positiva de Ca respecto de la región R es a favor del movimiento de las manecillas del reloj (como lo indica la figura 14.4.8), mientras que la parametrización seleccionada determina una orientación contra el sentido de aquéllas. Por tanto, Y D X C X DY Y D X C X DY H   X CY X  C Y # #

IMPORTANTE

A



.A SEN T/.A SEN T DT/ C .A COS T/.A COS T DT/ .A COS T/ C .A SEN T/

H  

H

 DT H :

Z



OBSERVACIÓN El resultado del ejemplo 4 se interpreta en términos del ángulo de las coordenadas polares θ  arctan(y/x). Como Y D X C X DY ; D H X  C Y

la integral de línea del ejemplo 4 mide el cambio neto en θ conforme se va alrededor de la curva C una vez en dirección contraria al del movimiento de las manecillas del reloj. Este cambio neto es 2π si C encierra el origen, y cero en otro caso. Demostración del teorema 3 en la sección 14.3 Ahora daremos un enfoque para probar que si el campo vectorial F  Pi + Qj es continuamente derivable en un rectángulo abierto R en el plano x y, entonces F es conservativo en R si y sólo si ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x en cada punto de R. En primer lugar, suponga que F es conservativo en R. Así, existe una función f (x, y) definida sobre R tal que @F @F IC J H 0I C 1 J H & rF H @X @Y

en cada punto de R. Con lo que P  ∂ f/∂ x y Q  ∂ f/∂ y, de lo que se sigue que @0 @ H @Y @Y

@F @X

H

@F @F @ H H @Y @X @X @Y @X

@F @Y

H

@1 ; @X

como se deseaba. La igualdad del medio —donde se invierte el orden de la derivación parcial— se sigue de la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden de una función cuyas derivadas parciales de segundo orden son continuas. A continuación, para lo contrario, suponga que ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x en cada punto de R. Si podemos demostrar que las integrales de línea de F son independientes de la trayectoria en R, entonces se sigue del teorema 2 en la sección 14.3 que F es conservativa en R, como se quería. Por lo que se hará que C1 y C2 sean dos trayectorias suaves en R con el mismo punto inicial A y el mismo punto terminal B, y C  C1 ∪ (−C2) será la trayectoria cerrada C1 que se sigue primero de A a B, y después la inversa −C2 de B de regreso hacia A. Si C es una trayectoria cerrada simple (una sin puntos de cruce) y D es la región limitada por C, entonces el teorema de Green da &
4 DS H #

0 D X C 1 DY H #

$

@1 @0 @X @Y

D! H 

debido a la hipótesis de que ∂ P/∂ y  ∂ Q/∂ x. Pero entonces &
4 DS H #

&
4 DS C #

&
4 DS H #

&
4 DS #

Con lo que se concluye que &
4 DS H #

&
4 DS #

&
4 DS H : #

SECCIÓN 14.4

Teorema de Green

1111

para dos de tales trayectorias C1 y C2 que juntas forman una trayectoria simple cerrada. El caso más general en el que C tiene muchas intersecciones consigo misma se puede tratar por medio de descomponer C en muchas trayectorias simples cerradas. De esta manera, la integral de línea alrededor de cada una de éstas es igual a cero, por lo que se sigue por adición que &
4 DS H ; #

NI

( X ( I Y I

como era necesario para concluir que las integrales de línea de F son independientes de la trayectoria, por lo que F es conservativa. Una demostración completa requeriría analizar la posibilidad de que C tenga una infinidad de intersecciones consigo misma. X

VI

Q

La divergencia y flujo de un campo vectorial

$S I

2 #

FIGURA 14.4.9 El área del paralelogramo aproxima el movimiento del fluido a través de si por unidad de tiempo.

Ahora consideraremos el flujo estable de una capa delgada de fluido en el plano (quizá como el de una lámina de agua que se distribuye sobre el piso). Sea v(x, y) su campo vectorial de la velocidad y δ(x, y) la densidad del fluido en el punto (x, y). El término flujo estable significa que v y δ dependen solamente de x y y pero no del tiempo t. Queremos calcular la tasa a la que se mueve el fluido fuera de la región R limitada por una curva C simple cerrada y orientada positivamente (ver figura 14.4.9). Se busca la tasa neta de flujo de salida —el flujo real que sale menos el que entra. Sea si, un segmento corto de la curva C, y sea ( XI , YI ) un punto extremo de si. Entonces, el área de la porción del fluido que sale de R a través de si por unidad de tiempo es aproximadamente el área del paralelogramo que se ilustra en la figura 14.4.9. Éste es el paralelogramo formado por el segmento si y el vector vi  v( XI , YI ). Suponga que ni es el vector unitario normal a C en el punto ( XI , YI ), la normal que apunta fuera de R. Entonces, el área de este paralelogramo es .jVI j COS / SI H VI
NI

SI ;

donde θ es el ángulo entre ni y vi. Se multiplica esta área por la densidad δi  δ ( XI , YI ) y después se suman estos términos sobre los valores de i que corresponden a una subdivisión de toda la curva C. Esto proporciona la masa total (neta) de fluido que sale de R por unidad de tiempo; aproximadamente es

&LUJODESALIDA

N

N

I VI
NI

&LUJODEENTRADA

SI H

IH

&I
NI

SI ;

IH

donde F  δv. La integral de línea alrededor de C que esta suma aproxima se denomina el flujo del campo vectorial F a través de la curva C. Así, el flujo de F está dado por

FIGURA 14.4.10 EL flujo φ del campo vectorial F a través de la curva C es el flujo neto de salida menos el flujo neto de entrada.

H

&
N DS



#

donde n es el vector unitario exterior normal a C (ver figura 14.4.10). En el caso presente de fluido en movimiento con vector velocidad v, el flujo

de F  δv es la tasa a la que el fluido sale de R a través de la curva de frontera C, en unidades de masa por unidad de tiempo. Pero la misma terminología se utiliza para un campo vectorial arbitrario F  Mi + Nj. Por ejemplo, podemos hablar del flujo de un campo eléctrico o gravitacional a través de la curva C. De la figura 14.4.11, se observa que el vector unitario normal exterior n es igual a T × k. El vector unitario T tangente a la curva C es

Z

K Y

4 N4sK

X #

FIGURA 14.4.11 Cálculo del vector unitario exterior normal n a partir del vector unitario tangente T.

4H

DY  DX I CJ G DT DT

HI

DX DY CJ DS DS

porque v  d s/dt. Por tanto, N H 4˜ K H I

DX DY CJ DS DS

˜ K:

1112 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Pero i × k  −j, y j × k  i, por lo que se encuentra que DX DY J :  NHI DS DS Al sustituir la ecuación (6) en la integral de flujo de la ecuación (5) se obtiene DX DY J & s N DS H .-I C . J/ s I DS H . D X C - DY: DS DS # # # Al aplicar el teorema de Green a la última integral de línea con P  −N y Q  M, se llega a @. @C & s N DS H D!  @ X @Y # 2 para el flujo de F  Mi + Nj a través de C. La función escalar ∂ M/∂ x + ∂ N/∂ y que aparece en la ecuación (7) es la divergencia del campo vectorial bidimensional F  Mi + Nj según está definido en la sección 14.1, y se denota así: @. @C :  DIV & H r
& H @X @Y Cuando se sustituye la ecuación (8) en la (7) se obtiene la forma vectorial del teorema de Green: & s N DS H #

r s & D!



2

en el entendido de que n es el vector unitario exterior normal a C. Así, el flujo de un campo vectorial a través de una curva C simple cerrada positivamente orientada es igual a la integral doble de su divergencia sobre la región R limitada por C. Si el disco R con área a(R) está limitado por una circunferencia C orientada positivamente, con radio r y centro en ( x0, y0 ) (ver figura 14.4.12), entonces la propiedad del valor promedio de las integrales dobles (ver problema 50 en la sección 13.2) ofrece

2 X Y

#R

& s N DS H FIGURA 14.4.12 El disco circular R de radio r con centro en (x0, y0).

#R

r q & D! H Tr s &.X; Y /U
A.2 / 2

para algún punto (X , Y ) en R. Se supone que F es derivable continuamente, por lo que se sigue que r
&.X; Y / ! r
&.X ; Y / CUANDO .X; Y / ! .X ; Y /: Si primero dividimos ambos lados entre a(R)  πr 2 y después tomamos el límite cuando r → 0, se observa que

Y

r s &.X ; Y / H L¤M

R !

X #

FIGURA 14.4.13 El flujo &
N DS del campo vectorial F  yi + xj a través de la curva C es igual a cero.

 R 

& s N DS



#R

porque (X , Y) → (x0, y0) cuando r → 0. En el caso de nuestro fluido original en movimiento, con F  δv, la ecuación (10) implica que el valor de ∇ · F en (x0, y0) es una medida de la tasa con la que el fluido “diverge” desde el punto (x0, y0). EJEMPLO 5 El campo vectorial F  −yi + xj es el campo de velocidades de una rotación en estado estable contra el sentido del movimiento de las manecillas del reloj alrededor del origen. Demuestre que el flujo de F a través de cualquier curva simple cerrada C es igual a cero (ver figura 14.4.13).

Solución Esto se sigue de inmediato de la ecuación (9) porque @ @ .Y/ C .X/ H : rs & H @X @Y

Z

SECCIÓN 14.4

Teorema de Green

1113

14.4 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Sea C la curva de frontera suave parametrizada de una región plana R. De este modo, la dirección positiva a lo largo de C es la dirección determinada por una parametrización r tal que la región R permanece a la derecha conforme el punto r(t) sigue la curva de frontera C. 2. Dada una curva C orientada, cerrada y suave, en el plano, el símbolo 0 D X C 1 DY #

denota una integral de línea a lo largo o alrededor de C en la dirección positiva. 3. A fin de que se cumpla la conclusión del teorema de Green, @1 @0 0 D X C 1 DY H D! @ X @Y # 2 la curva de frontera C de la región R debe estar orientada positivamente. 4. El teorema de Green proporciona una evaluación simple de la integral de línea de apariencia complicada .Y C

 C X  / D X C .X C EARCTAN Y / DY

#

5.

6. 7. 8.

9.

10.

(donde C es la circunferencia orientada positivamente x 2 + y 2 = 4) con base en el hecho de que el integrando de la integral doble correspondiente es constante. El teorema de Green sirve para hacer una evaluación sencilla de una integral de línea alrededor de la curva C convirtiéndola en una integral más sencilla sobre la región R limitada por C, o para evaluar con más facilidad una integral doble sobre R convirtiéndola en una integral de línea más sencilla alrededor de C. El área A de la región plana R limitada por una curva C suave por segmentos, sencilla y cerrada, está dada por ! H # Y D X A fin de aplicar el teorema de Green, la frontera de la región R debe consistir en una sola curva C simple y cerrada. Suponga que R es una región anular limitada por dos circunferencias concéntricas. Entonces, la orientación positiva de la frontera de R corresponde a la dirección a favor del movimiento de las manecillas del reloj sobre la circunferencia que es la frontera exterior, y a la dirección contra dicho movimiento sobre el que constituye la frontera interior. Si C es una curva positivamente orientada, suave, simple y cerrada en el plano, entonces la integral de línea Y D X C X DY X  C Y # mide el cambio neto en la variable θ de la variable de la coordenada angular polar cuando la curva C es atravesada una vez en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj. Si la curva C positivamente orientada, suave, simple y cerrada, limita la región plana R y tiene al vector tangente unitario T, entonces la integral de línea # &
4 DS proporciona el flujo del campo vectorial F a través de C.

14.4 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. Dibuje varios ejemplos distintos de regiones planas limitadas por curvas de frontera múltiples. En cada caso indique cómo hacer cortes que dividan la región dada R en una unión de regiones más simples R1, R2, . . . , Rk , cada una de las cuales está limitada por una sola curva cerrada y simple, de modo que K

F .X; Y/ D! H 2

F .X; Y/ D! : IH

2I

1114 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

2. Dibuje varios ejemplos de trayectorias suaves y cerradas en el plano que tengan intersecciones consigo mismas. Señale en cada caso cómo descomponer la trayectoria dada que se interseca a sí misma C en trayectorias sencillas y cerradas C1, C2, . . . , Ck de modo que K

&
4 DS H

&
4 DS : IH

#

#I

14.4 PROBLEMAS En los problemas 1 a 12, aplique el teorema de Green para evaluar la integral

En los problemas 17 a 20, use el teorema de Green para calcular el trabajo

0 D X C 1 DY

7 H

#

&
4 DS #

alrededor de la curva C que se especifica, positivamente orientada y cerrada. 1. P(x, y) = x + y 2, Q(x, y) = y + x 2; C es el cuadrado con vértices en (±1, ±1). 2. P(x, y) = x 2 + y 2, Q(x, y) = −2xy; C es la frontera del triángulo limitado por las rectas x = 0, y = 0 y x + y = 1. 3. P(x, y) = y + e x, Q(x, y) = 2x 2 + cos y; C es la frontera del triángulo con vértices (0, 0), (1, 1) y (2, 0). 4. P(x, y) = x 2 − y 2, Q(x, y) = xy; C es la frontera de la región limitada por la recta y = x y la parábola y = x2. 5. P(x, y) = −y 2 + exp(e x), Q(x, y) = arctan y; C es la frontera de la región entre las parábolas y = x 2 y x = y 2. 6. P(x, y) = y , Q(x, y) = 2x − 3y; C es la circunferencia x + y 2 = 9. 2

realizado por el campo de fuerzas F dado al mover una partícula en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj una vez alrededor de la curva C indicada. 17. F = −2yi + 3xj y C es la elipse x 2/9 + y 2/4 = 1. 18. F = ( y 2 − x 2)i + 2xyj y C es la circunferencia x 2 + y 2 = 9. 19. F = 5x 2y3i + 7x 3y 2j y C es el triángulo con vértices en (0, 0), (3, 0) y (0, 6). 20. F = xy 2i + 3x 2yj y C es la frontera del disco semicircularplimitado por el eje x y el arco de circunferencia Y H  X   En los problemas 21 a 24, use el teorema de Green en la forma vectorial de la ecuación (9) para calcular el flujo hacia afuera H

7. P(x, y) = x − y, Q(x, y) = y; C es la frontera de la región entre el eje x y la gráfica de y = sen x, para 0 x π. 8. P(x, y) = e x sen y, Q(x, y) = e x cos y; C es el lazo del lado derecho de la gráfica de la ecuación polar r 2 = 4 cos θ. 9. P(x, y) = y 2, Q(x, y) = xy; C es la elipse con ecuación x 2/9 + y 2/4 = 1. 10. P(x, y) = y/(1 + x 2), Q(x, y) = arctan x; C es el óvalo con ecuación x 4 + y 4 = 1.

del campo vectorial dado a través de la curva C positivamente orientada y cerrada que se indica. 21. F = 2 x i + 3yj y C es la elipse del problema 17. 22. F = x 3i + y 3j y C es la circunferencia del problema 18. p 23. & H .X C  C Y  /IC.Y   C X  /J y C es el triángulo del problema 19. 24. F = (3xy 2 + 4x)i + (3x 2y − 4y)j y C es la curva cerrada del problema 20. 25. Suponga que f es una función escalar de x y de y derivable dos veces. Demuestre que

11. P(x, y) = xy, Q(x, y) = x 2; C es el lazo en el primer cuadrante de la gráfica de la ecuación polar r = sen 2θ. 12. P(x, y) = x 2, Q(x, y) = −y 2; C es la cardioide con ecuación polar r = 1 + cos θ. En los problemas 13 a 16, use el corolario del teorema de Green para encontrar el área de la región indicada. 13. El círculo limitado por x = a cos t, y = a sen t, 0

t

2π

14. La región entre el eje x y el arco de la cicloide con ecuaciones paramétricas x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t) 15. La región limitada por el astroide (o hipocicloide) con ecuaciones paramétricas x = cos 3 t, y = sen 3 t, 0 t 2π 16. La región entre las gráficas de y = x y y = x 2

3

&
N DS #

2

r  F H DIV.r F / H

@ F @ F C :  @X @Y

26. Demuestre que f (x, y) = ln(x 2 + y 2) satisface la ecuación de Laplace ∇ 2 f = 0, excepto en el punto (0, 0). 27. Suponga que f y g son funciones derivables dos veces. Demuestre que

r  . F G/ H F r  G C G r  F C  r F
r G: 28. Imagine que la función f (x, y) es continuamente derivable dos veces en la región R limitada por la curva C positivamente orientada suave por segmentos. Demuestre que

#

@F @F DY DX H @X @Y

r  F D X DY: 2

SECCIÓN 14.4

29. Sea R la región plana con área A encerrada por la curva C positivamente orientada suave por segmentos y simple. Use el teorema de Green para demostrar que las coordenadas del centroide de R son   XH X  DY; YH Y  D X: ! ! # # 30. Utilice el resultado del problema 29 para encontrar el centroide de a) una región semicircular de radio a; b) una región de un cuarto de círculo de radio a. 31. Suponga que una lámina en forma de la región del problema 29 tiene densidad constante δ. Demuestre que sus momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados son   )X H Y  D X: )Y H X  DY:   # # 32. Utilice el resultado del problema 31 para demostrar que el momento polar de inercia I0 = Ix + Iy de una lámina circular de radio a, con centro en el origen y densidad constante δ, es 2   Ma , donde M es la masa de la lámina. 33. El lazo de la hoja de Descartes (con ecuación x 3 + x 3 = 3xy) aparece en la figura 14.4.14. Aplique el corolario del teorema de Green (ecuación (4)) para encontrar el área de este lazo. [Sugerencia: haga y = tx para descubrir una parametrización del lazo. Para obtener el área de éste, utilice valores de t que estén en el intervalo [0, 1]. Esto proporciona la mitad del lazo que se halla bajo la recta y = x ].

1115

37. Suponga que la región acotada plana R está dividida en regiones que no se traslapan R1, R2, . . . , Rk. Si el teorema de Green, ecuación (1), se cumple para cada una de estas subregiones, explique por qué se sigue que también se cumple para R. Plantee con cuidado todas las suposiciones que necesite hacer. 38. a) Si C es el segmento de recta de (x1, y1) a (x2, y2), demuestre por evaluación directa de la integral de línea que X DY Y D X H X Y X Y : #

b) Sean (0, 0), (x1, y1) y (x2, y2) los vértices de un triángulo tomados en orden contra el movimiento de las manecillas del reloj. Deduzca del inciso a) y el teorema de Green que el área de este triángulo es A =  (x1y2 – x2 y1). 39. Utilice el resultado del problema 38 para encontrar el área de a) el triángulo equilátero con vértices (1, 0), (cos  π, sen     π), y (cos  π, sen  π); b) el pentágono regular con vértices (1, 0), (cos  π, sen  π), (cos  π, sen  π), (cos  π, sen  π) y (cos  π, sen  π). 40. Sea T una transformación uno a uno de la región S (con curva frontera J) en el plano uv a la región R (con curva frontera C) en el plano xy. Así, la fórmula del cambio de variables en la sección 13.9 implica que el área A de la región R está dada por @.X; Y/ DX DY H DU DG:  @.U; G/ 2 3 Establezca esta fórmula por medio de los pasos siguientes. a) Use la ecuación (4) para convertir el lado izquierdo de la ecuación (11) en una integral de línea alrededor de C. b) Use las funciones coordenadas x(u, v) y y(u, v) de la transformación T para convertir la integral de línea del inciso (a) en una integral de línea alrededor de J. c) Aplique el teorema de Green a la integral de línea del inciso b).

Y

XYXY

Teorema de Green

YX YTX

Y

  N N  

 X

FIGURA 14.4.14 Lazo del problema 33.

  

34. Determine el área limitada por un lazo de la curva x = sen 2t, y = sen t. 35. Sean f y g funciones con derivadas parciales continuas de segundo orden en la región R limitada por la curva C orientada positivamente, cerrada, simple y suave por segmentos. Aplique el teorema de Green en forma vectorial para demostrar que F r G
N DS H #

T F .r
r G/ C .r F /
.r G/U D! : 2

Fue esta fórmula y no el teorema de Green en sí el que apareció en su libro de 1828. 36. Concluya la prueba del caso simple del teorema de Green con la demostración directa de que @1 1 DY H D! @X # 2 si la región R es horizontalmente simple.

 

















X

FIGURA 14.4.15 Lazo de la hoja generalizado en el primer cuadrante.

41. La figura 14.4.15 muestra el lazo de la hoja de Descartes generalizado en el primer cuadrante, definido implícitamente por la ecuación X NC C Y NC H .N C /X N Y N  (donde n es un entero positivo). Su tarea aquí es calcular el área An de la región limitada por este lazo. Comience por sustituir y = tx para descubrir la parame trización .N C /T N .N C /T NC X H NC ; YH . T < 1/ T C T NC C  

1116 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Usted puede calcular An para n = 1, 2, 3, . . . ; debe llegar a que An = n +  (¿necesita un sistema de álgebra por computadora para esto?). Pero la integral impropia en la ecuación (14) debería darle la pauta. Compruebe su resultado con el cálculo (y posterior duplicación) del área de la mitad inferior del lazo indicado en la figura 14.4.15 —esto involucra únicamente a la integral de t = 0 a t = 1 (¿por qué?).

del lazo. Un sistema de álgebra por computadora es de utilidad para demostrar que con esta parametrización la fórmula del área en la ecuación (4) de esta sección genera 1

! N H .N C / 

NT N .N C /T N NC DT: NC  .T C / .T C / 

14.5 INTEGRALES DE SUPERFICIE Una integral de superficie es a las superficies en el espacio lo que una integral de línea (o “curva”) es a las curvas en el plano. Considere una lámina delgada y curva de metal con forma de la superficie S. Suponga que esta hoja tiene densidad variable, dada en el punto (x, y, z) por la función continua conocida f (x, y, z) en unidades tales como gramos por centímetro cuadrado de superficie. Queremos definir la integral de superficie F .X; Y; Z/ D 3 3

en forma tal que —al evaluarla— dé la masa total de la lámina metálica delgada. En caso en que f (x, y, z) ≡ 1, el valor numérico de la integral también debe ser igual al área de S. Como en la sección 13.8, se supone que S es una superficie paramétrica suave descrita por la función o transformación

2I

$ $U U I I

U

R.U; G/ Z

.U I I 0I

RU I I

3

X

FIGURA 14.5.1 Aproximación del área con paralelogramos.

Y

X.U; G/; Y.U; G/; Z.U; G/

XI C YJ C Z K

para (u, v) en una región D en el plano uv. Siempre supondremos que las funciones componentes de r tienen derivadas parciales continuas y que también los vectores RU H @R=@U y RG H @R=@G son diferentes de cero y no son paralelos en cada punto interior de D. Hay que recordar, de la sección 13.8, cómo calcular el área A de S. Se comenzaba con una partición interior de D que consistía en n rectángulos R1, R2, . . . , Rn , cada uno de tamaño u por v. Las imágenes bajo r de los rectángulos son las figuras curvilíneas que llenan la mayor parte o toda la superficie S, y estos elementos de S son en sí mismas aproximadas por paralelogramos Pi de la clase que se ilustra en la figura 14.5.1. Esto nos dio la aproximación N

!

N

j..U I ; GI /j U

3I H IH



IH

donde el vector I .H

@X @R @R  H @U @U @G @X @G

J

K

@Y @U @Y @G

@Z @U @Z @G



es normal a S en el punto r(u, v) y 3I H j..U I ; GI /j U es el área del paralelogramo Pi que es tangente a la superficie S en el punto r(ui, vi ). Si la superficie S también tiene función de densidad f (x, y, z), entonces es posible aproximar la masa total m de la superficie si primero se multiplica cada área de paralelogramo Si en la ecuación (1) por la densidad f (r(ui, vi)) en r(ui, vi ) y después se suman estas estimaciones sobre todos esos paralelogramos. De ese modo se obtiene la aproximación N

M

N

F .R.U I ; GI IH

F .R.U I ; GI // j..U I ; GI /j U

3I H IH



SECCIÓN 14.5

Integrales de superficie 1117

Esta aproximación es una suma de Riemann para la integral de superficie de la función f sobre la superficie S, y se denota así: F .X; Y; Z/ D 3 H 3

F .R.U; G// j..U; G/j DU DG $

H

F .R.U; G// $

@R @R DU DG:  @U @G



Para evaluar la integral de superficie 3 F .X; Y; Z/ D 3 simplemente se usa la parametrización r para expresar las variables x, y y z en términos de u y v, y se reemplaza de manera formal el elemento de área superficial dS por D 3 H ..U; G/j DU DG H

@R @R  DU DG @U @G



Al expandir el determinante del producto cruz en la ecuación (2), queda .H

@.Y; Z/ @.Z; X/ @.X; Y/ @R @R  H IC JC K @U @G @.U; G/ @.U; G/ @.U; G/



en la notación Jacobiana de la sección 13.9, por lo que la integral de superficie en la ecuación (4) toma la forma F .X; Y; Z/ D 3 3

F .X.U; G/; Y.U; G/; Z.U; G//

H $

@.Y; Z/ @.U; G/



C



@.Z; X/ @.U; G/

@.X; Y/ @.U; G/

C



DU DG: 

Esta fórmula convierte la integral de superficie en una integral doble ordinaria sobre la región D en el plano uv, y es análoga a la fórmula (ecuación (4) de la sección 14.2) B

F .X; Y; Z/ DS H

F .X.T/; Y.T/; Z.T// A

#

DX DT



DY DT

C



DZ DT

C



DT

que convierte una integral de línea en una sola integral ordinaria. En el caso especial e importante de una superficie S descrita como gráfica z = h(x, y) de una función h definida sobre la región D en el plano xy, se utilizan x y y (en lugar de u y v) como parámetros. Entonces, el elemento de área superficial adopta la forma D3 H

C

@H @X



C

@H @Y





DX DY

(como en la ecuación (9) de la sección 13.8). La integral de superficie de f sobre S está dada, entonces, por

F .X; Y; Z/ D 3 H 3

F .X; Y; H.X; Y//  C $

@H @X



C

@H @Y



D X D Y:



Los centroides y momentos de inercia de las superficies se calculan en gran medida del mismo modo que las curvas (ver sección 14.2), con el empleo de integrales de superficie en lugar de integrales de línea. Por ejemplo, suponga que la superficie S

1118 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

tiene densidad δ(x, y, z) en el punto (x, y, z) y masa total m. Por lo cual, la componente z de Z de su centroide y momento de inercia Iz respecto del eje z está dada por  M

ZH

Z .X; Y; Z/ D 3

Y

.X  C Y  / .X; Y; Z/ D 3:

)Z H

3

3

Encuentre el centroide de la superficie hemisférica de densidad unitaria

EJEMPLO 1

A X  Y ;

ZH

X  C Y

A:

Solución Por simetría X = 0 = Y. Un cálculo sencillo da ∂ z/∂ x = −x/z y ∂ z/∂ y = −y/z, por lo que la ecuación (8) toma la forma D3 H H

@Z @X

C





@Z @Y

C

DX DY H

C

X Z



C

Y Z



DX DY

A  X  C Y  C Z  D X D Y H D X D Y: Z Z

$EAH¤QUE ZH

 A 

Z
$

 A DX DY H Z A

 DX DY H $

A : 

Obsérvese que en el paso final D es un disco circular de radio a en el plano xy. Esto simplifica el cálculo de la última integral. Z EJEMPLO 2 Encuentre el momento de inercia respecto del eje z de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2  a 2, si supone que tiene densidad constante δ = k.

Solución La superficie esférica de radio a se parametriza con más facilidad en coordenadas esféricas: X H A SEN  COS ; Y H A SEN  SEN ; Z H A COS  para 0 por

φ

πy0

θ

2π. Entonces, la esfera S está definida en forma paramétrica

R.;  / H I A SEN  COS  C J A SEN  SEN  C K A COS :

De esta forma, como en el problema 18 de la sección 13.8, el elemento de área superficial es D3 H

@R @R  D D H A  SEN  D D: @ @

#OMO X  C Y  H A  SEN  COS  C A  SEN  SEN  H A  SEN ; SESIGUEQUE 

.X  C Y  /  D 3 H

)Z H



3 =

H 
KA 


K.A  SEN / A  SEN  D D



SEN  D H  K A 




H



 

PORLAF˜RMULADEINTEGRACI˜N

 
K A 
A  H M A  ;  

en el paso final se utilizó el hecho de que la masa de la superficie esférica con densidad k es m  4π k a 2. ¿Este resultado es tanto plausible como correcto en cuanto a las dimensiones? Z

SECCIÓN 14.5 Z N

Integrales de superficie 1119

Integrales de superficie respecto de los elementos coordenados

K

G

La integral de superficie 3 F .X; Y; Z/ D 3 es una integral respecto del área superficial, por lo que es análoga a la integral de línea # F .X; Y/ DS respecto de la longitud de arco. Un segundo tipo de integral de superficie de la forma

$0I

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY 3

Y X

$3I COS G

FIGURA 14.5.2 Determinación del área del paralelogramo proyectado.

es análogo a la integral de línea # 0 D X C 1 DY respecto de las variables coordenadas. La definición de la integral 3 2 D X DY por ejemplo —con R(x, y, z) como función escalar (en lugar de f ) y d x d y como elemento de área en el plano xy (en lugar del elemento de área dS sobre la superficie S)— está motivada por la sustitución del elemento de área Si = |N(ui, vi)| u v en la suma de Riemann en la ecuación (3) con el área Si cos γ de su proyección en el plano x y (ver figura 14.5.2). El resultado es la suma de Riemann N

2.R.U I ; GI // COS j..U I ; GI /j U



2.R.U; G// COS j..U; G/j DU DG:

IH

$



Para calcular el factor cos γ en la ecuación (10), consideremos el vector unitario normal . H I COS  C J COS C K COS  NH j.j con cosenos directores cos α, cos β y cos γ. Con la ecuación (6) encontramos que  @.Y; Z/ .
I H Y ENFORMASIMILAR COS  H N
I H j.j j.j @.U; G/ COS H

 @.Z; X/ ; j.j @.U; G/

COS H

 @.X; Y/ : j.j @.U; G/



Ahora, al sustituir cos γ en (10) se llega a la definición 2.X; Y; Z/ D X D Y H 3

2.X; Y; Z/ COS D 3 3

2.R.U; G//

H $

@.X; Y/ DU DG: @.U; G/



%NFORMASIMILAR SEDEFINE 0.X; Y; Z/ DY DZ H 3

0.X; Y; Z/ COS  D 3 3

0.R.U; G//

H $

@.Y; Z/ DU DG @.U; G/



Y 1.X; Y; Z/ DZ D X H 3

1.X; Y; Z/ COS D 3 3

1.R.U; G//

H $

@.Z; X/ DU DG: @.U; G/



En la ecuación (15), los símbolos z y x aparecen en orden alfabético invertido. Es importante escribirlos en el orden correcto, ya que

NOTA

@.X; Z/ XU H Z @.U; G/ U

XG ZU H ZG XU

@.Z; X/ ZG : H XG @.U; G/

1120 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Lo que implica que F .X; Y; Z/ D X DZ H 3

F .X; Y; Z/ DZ D X: 3

En una integral doble ordinaria, el orden en el que se escriben las diferenciales únicamente indica el orden de integración. En cambio, en una integral de superficie, indica el orden de aparición de las variables correspondientes en los Jacobianos en las ecuaciones (13) a (15). Es común que las tres integrales en las ecuaciones (13) a (15) ocurran juntas, y la integral general de superficie respecto de los elementos de área es la suma 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY 3

 .0 COS  C 1 COS C 2 COS / D 3I

H 3

ESDECIR 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY 3

H $

@.Z; X/ @.X; Y/ @.Y; Z/ C1 C2 0 DU DG: @.U; G/ @.U; G/ @.U; G/



La ecuación (17) da el procedimiento de evaluación para la integral de superficie en la ecuación (16): se sustituye para x, y y z y sus derivadas en términos de u y v, y después se integra sobre la región D apropiada en el plano uv. La relación entre las integrales de superficie respecto del área y de las áreas coordenadas es algo parecida a la fórmula &
4 DS H #

0 D X C 1 DY C 2 DZ #

que relaciona las integrales de línea respecto de la longitud de arco y respecto de las coordenadas. Dado el vector F = Pi + Qj + Rk, la ecuación (11) implica que &
N H 0 COS  C 1 COS C 2 COS ;



por lo que las ecuaciones en (12) producen &
N D3 H 3

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY



3

Sólo el signo de la integral de superficie del lado derecho de la ecuación (19) depende de la parametrización de S. El vector unitario normal en el lado izquierdo es el vector proporcionado por la parametrización de S con las ecuaciones en (12). En el caso de una superficie dada por z = h (x, y), con x y y usadas como parámetros u y v, éste será el normal superior, como se verá en el ejemplo 3. EJEMPLO 3 muestre que

Suponga que S es la superficie z = h (x, y), (x, y) en D. Después de-

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY H 3

0 $

@Z @Z 1 C 2 D X D Y; @X @Y

donde P, Q y R en la segunda integral se evalúan en (x, y, h (x, y)).



SECCIÓN 14.5

Integrales de superficie 1121

Solución Esto es simplemente cuestión de calcular los tres Jacobianos en la ecuación (17) con los parámetros x y y. Primero, se observa que ∂ x/∂ x = 1 = ∂ y/∂ y y que ∂ x/∂ y = 0 = ∂ y/∂ x. Por lo que @.Z; X/ ZX H XX @.X; Y/

@Z YY H ; ZY @X

@.Y; Z/ YX H ZX @.X; Y/

@Z ZY H ; XY @Y

Y @.X; Y/ XX H YX @.X; Y/

XY H : YY

Z

La ecuación (20) es una consecuencia inmediata.

El flujo de un campo vectorial Una de las aplicaciones más importantes de las integrales de superficie involucra el cálculo del flujo de un campo vectorial. Para definir el flujo del campo vectorial F a través de la superficie S se supone que S tiene un campo vectorial unitario normal n que varía de manera continua de un punto a otro de S. Esta condición excluye de nuestra consideración a las superficies con un solo lado (no orientables), tales como la banda de Möbius que se ilustra en la figura 14.5.3. Si S es una superficie de dos lados (orientable), entonces hay dos elecciones posibles para n. Por ejemplo, si S es una superficie cerrada (como un toro o esfera) que separa espacio, entonces se puede elegir n como el vector normal exterior (en cada punto de S) o el interior (ver figura 14.5.4). El vector normal unitario definido en la ecuación (11) puede ser el normal exterior o el interior; cuál de los dos sea depende de la forma en que se haya parametrizado S. NO NORMALEXTERIOR N N

N N

N NI NORMALINTERIOR

N

N

3 N

FIGURA 14.5.3 La banda de Möbius es un ejemplo de superficie con un solo lado.

FIGURA 14.5.4 Vectores normales interior y exterior para una superficie cerrada de dos lados.

Para definir el concepto de flujo, suponga que se nos proporciona el campo vectorial F, la superficie orientable S y un vector normal unitario continuo n sobre S. Entonces, en analogía con la ecuación (5) en la sección 14.4, se define el flujo  a través de S en la dirección de n por medio de Z

H

&

&
N D 3



3

N

3 A

Y

X

FIGURA 14.5.5 Hemisferio S del ejemplo 4.

Por ejemplo, si F = δv, donde v es el campo vectorial de la velocidad correspondiente al flujo estable en el espacio de un fluido con densidad δ, y n es el vector unitario normal exterior para una superficie cerrada S que limita la región T del espacio, entonces el flujo determinado por la ecuación (21) es la tasa neta de flujo de fluido hacia afuera de T a través de su superficie S de frontera, en unidades tales como gramos por segundo. EJEMPLO 4 Calcule el flujo 3 F · n d S, donde F = v0k y S es la superficie hemisférica de radio a con ecuación Z H A  X  Y  y con vector unitario normal exterior n (ver figura 14.5.5).

1122 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Solución Si pensamos en que F = v0 k es el campo vectorial de la velocidad de un fluido que se mueve hacia arriba con velocidad v0 constante, entonces el flujo en cuestión se interpreta como la tasa de flujo (en centímetros cúbicos por segundo, por ejemplo) del fluido a través de S. Para calcular este flujo, se observa que NH

XI C YJ C ZK X

C

Y

C

Z

H

 .XI C YJ C Z K/; A

0ORLOQUE G  &
N H G K
.XI C YJ C Z K/ H Z; A A ENTONCES &
N D3 H 3

3

G Z D 3: A

Si introducimos coordenadas esféricas z = a cos φ, d S  a 2 sen φ d φ d θ para la superficie hemisférica, se obtiene &
N D3 H 3

G A

 

=

.A COS /.A  SEN / D D

 =

H A  G

COS  SEN D H A  G



 SEN  

=

I 

AS¤ &
N D 3 H A  G : 3

Esta última cantidad es igual al flujo de F = v0 k a través del disco x 2 + y 2 a 2 de área πa2. Si pensamos en la región hemisférica T limitada por el hemisferio S y el disco circular D que constituye su base, no debe sorprender que la tasa de flujo de entrada de un fluido incompresible a través del disco D es igual a su tasa de flujo hacia afuera a través del hemisferio S. Z Z

EJEMPLO 5 Encuentre el flujo del campo vectorial F = xi + yj + 3k hacia afuera de la región T limitada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 4 (ver figura 14.5.6).

NK Z

3

ZXY

3 N

Solución Sea que S1 denote la tapa circular, que tiene vector unitario normal hacia afuera n1 = k. Sea S2 la parte parabólica de esta superficie, con vector unitario normal hacia afuera n2. El flujo a través de S1 es

N N

&
N D 3 H 3

Y

porque S1 es un disco circular de radio 2. A continuación, el cálculo en el ejemplo 3 da

X

FIGURA 14.5.6 Superficie del ejemplo 5.

 D 3 H  3

.H

@Z @Z ; ;  @X @Y

X;Y; 

para un vector normal al paraboloide z = x 2 + y 2. Así n = N/|N| es un vector unitario superior —y por tanto interior— normal a la superficie S2. Entonces, el vector normal unitario hacia afuera es n2 = −n = −N/|N|, opuesto a la dirección de N = −2x, −2y, 1.

SECCIÓN 14.5

Integrales de superficie 1123

Con parámetros (x, y) en el disco circular x 2 + y 2 4 en el plano xy, el elemento de área superficial es ds = |N| dx dy. Por tanto, el flujo hacia afuera a través de S2 es . j.j D X D Y &
N D 3 H &
N D3 H &
j.j 3 3 $ 



&
. DX DY H

H

X; Y; 


$

X; Y;  D X D Y

$

. X  Y  / D X D Y:

H $

En el disco D de radio 2 cambiamos a coordenadas polares —por lo que 3 − 2x 2 − 2y 2 = 3 − 2r 2 y dx dy = r dr dθ— y encontramos que 



&
N D 3 H 

3

.R  / R DR D H 



    R R  



H : 

De ahí que el flujo total de F fuera de T es 16π ≈ 50.27.

Z

Otra aplicación física es el flujo de calor, que en forma matemática es muy parecido al movimiento de un fluido. Suponga que un cuerpo tiene temperatura u = u(x, y, z) en el punto (x, y, z). Los experimentos indican que el flujo de calor en el cuerpo está descrito por el vector de flujo de calor Q H + r U



El número K —normalmente, pero no siempre, es una constante— es la conductividad calorífica del cuerpo. El vector q apunta en dirección del flujo de calor, y su longitud es la tasa de éste a través de un área unitaria normal a q. Esta tasa de flujo se mide en unidades tales como calorías por segundo por centímetro cuadrado. Si S es una superficie cerrada dentro del cuerpo que limita la región sólida T, y n denota al vector unitario hacia afuera normal a S, entonces Q
N D3 H 3

+ rU
N D3



3

es la tasa neta de flujo de calor (en calorías por segundo, por ejemplo) hacia afuera de la región T a través de su superficie de frontera S. EJEMPLO 6 Suponga que una bola sólida uniforme B de radio R tiene su centro en el origen (ver figura 14.5.7) y que la temperatura u adentro está dada por " X Y Z R

U.X; Y; Z/ H C.2  X  Y  Z  /:

Por lo que la temperatura de B es máxima en su centro e igual a cero en su frontera. Encuentre la tasa de flujo de calor a través de una esfera S de radio a < R con centro en el origen.

A

/ 3

FIGURA 14.5.7 Bola sólida B del ejemplo 6.

Solución Si se escribe r = xi + yj + zk para el vector de posición de un punto (x, y, z) de B, se halla que el vector de flujo de calor q en la ecuación (22) es Q H + r U H +
C.XI YJ ZK/ H + CR: Ahora, el vector unitario normal hacia afuera n en un punto (x, y, z) de la esfera S de radio a es n = r/|r| = r/a. Por tanto, Q
N H + C R
H + CA A porque n · r = a 2 en puntos de S. Así, el flujo de calor a través de la esfera S (con área A(S )  4π a 2 ) es + CA D 3 H + CA
A  H + CA  :

Q
N D3 H 3

3

Z

1124 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Otras aplicaciones del flujo involucran campos de fuerza distintos de los campos de flujo. Por ejemplo, suponga que F es el campo gravitacional de un grupo de masas fijas en el espacio, por lo que F(r) es la fuerza neta ejercida sobre una unidad de masa localizada en r. Entonces, la ley de Gauss del inverso del cuadrado para los campos gravitacionales dice que el flujo (hacia afuera) de F a través de la superficie cerrada S es &
N D 3 H  ' -

H



3

donde M es la masa total encerrada por S, y G es la constante de gravitación universal. La ley de Gauss también se aplica a los campos eléctricos que varían con el inverso del cuadrado. El campo eléctrico en r de una carga q localizada en el origen es E = qr/(4π 0|r|3), donde 0  8.85 × 10−12 en unidades del sistema mks (la carga expresada en coulombs). De esta manera, la ley de Gauss para los campos eléctricos dice que el flujo (hacia afuera) de E a través de la superficie cerrada S es 1 %
N D3 H  H 

3

donde Q es la carga neta (positivas menos negativas) encerrada por S.

14.5 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que S es una superficie paramétrica suave en R3 descrita por la función vectorial r(u, v) para (u,v) en una región en el plano uv. Entonces, el vector N(u, v)  ru(u, v) × rv(u, v) es normal a la superficie S en el punto r(u, v).  2. Para evaluar la integral de superficie f (x, y, z) d S primero se usa la parametriS zación x, y, z  r(u, v) de S para expresar las variables x, y y z en términos de u y v, después se reemplaza dS con du y dv, y por último se integra respecto de u y v. 3. El elemento de área superficial dS sobre una superficie suave con parametrización r(u, v) y campo vectorial normal correspondiente N = ru × rv está dado por D 3 H ..U; G/ DU DG: 4. Si la superficie S está descrita por una parametrización suave que da a las variables x, y y z en términos de u y v, entonces el campo vectorial normal N = ru × rv sobre S está dado en términos de Jacobianos por @.Y; Z/ @.X; Z/ @.X; Y/ .H IC JC K: @.U; G/ @.U; G/ @.U; G/ 5. Suponga que la superficie suave S en el espacio xyz está parametrizada por r(x, y)  x, y, h(x, y) para (x, y) en layregión plana xy, D. Por lo cual, para  evaluar la integral de superficie f (x, y, z) d S , sólo se necesita reemplazar priS d sustituir b mero z en el integrando por h(x, y),lluego dS por D3 H

@H @X



C

@H @Y



;

y por último integrar respecto de x y y. 6. Suponga que la superficie paramétrica suave S representa una lámina  metálica con función de densidad δ(x, y, z). Así, dicha lámina tiene masa m = S dm donde dm = δ (x, y, z) d S, y las coordenadas de su centroide (X , Y, Z ) están dadas por    XN H X DM; YN H Y DM; ZN H Z DM: M M M 3 3 3 A  de 7. El centroide de la superficie hemisférica Z H A  X  Y  ; X  C Y  densidad uniforme, se encuentra sobre su eje de simetría, a la mitad de la distancia entre el origen y su punto más elevado, sobre el eje z.

SECCIÓN 14.5

Integrales de superficie 1125

8. Suponga que S es una superficie paramétrica suave en R3 descrita por la función de variable vectorial r(u, v) y sea N = ru × rv el campo vectorial normal sobre S que está determinado por esta parametrización. Si n = N/|N| y F = P i + Q j + R k, entonces &
N D3 H 3

0 DY D X C 1 DZ D X C 2 D X DY: 3

9. Ninguna de las integrales de superficie que aparecen en la fórmula de la pregunta 8 dependen de la parametrización r de la superficie suave S. 10. La integral de superficie del lado derecho de la fórmula de la pregunta 8 se evalúa primero con el uso de la parametrización x, y, z = r(u, v) para expresar P(x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z) en términos de las variables u y v, para luego hacer las sustituciones @.Z; X/ @.X; Y/ @.Y; Z/ DU DG; DZ D X H DU DG; D X D Y H DU DG; DY DZ H @.U; G/ @.U; G/ @.U; G/ y por último integrar respecto de u y v.

14.5 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS

 1. Explique por qué una integral de la forma S f d S está definida aun si S es una superficie como la banda de Möbius, que se ilustra en la figura 14.5.3 —la cual no tiene un campo vectorial continuo unitario normal definido sobre la superficie completa. 2. Explique por qué el valor de una integral de superficie respecto al área no depende de la orientación —es decir, la dirección del vector normal N = ru × rv proporcionado por la parametrización de la superficie—, mientras que el valor de la integral de superficie respecto de los elementos de área coordenados sí dependen de la orientación de la superficie.

14.5 PROBLEMAS En los problemas 1 a 6, evalúe la integral de superficie ∫∫S f (x, y, z) d S. 1. f (x, y, z)  x + y; S es la parte del plano x + y + z  1 que se localiza en el primer octante. 2. f (x, y, z)  x y z; S es el triángulo con vértices en (3, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 6). 3. f (x, y, z)  y + z + 3; S es la parte del plano z  2x + 3y que está dentro del cilindro x 2 + y 2  9. 4. f (x, y, z)  z 2; S es la parte del cono z = X  C Y  que se ubica dentro del cilindro x 2 + y 2  4. 5. f (x, y, z)  xy + 1; S es la parte del paraboloide z  x 2 + y 2 que está en el interior del cilindro x 2 + y 2  4. 6. f (x, y, z)  (x 2 + y 2)z; S es el hemisferio z   X  Y: En los problemas 7 a 12, encuentre el momento de inercia ∫∫S (x 2 + y 2) d S de la superficie S dada, respecto del eje z. Suponga que S tiene densidad constante δ ≡ 1. 7. S es la parte del plano z  x + y dentro del cilindro x 2 + y 2  9. 8. S es la parte de la superficie z  xy que está dentro del cilindro x 2 + y 2  25. 9. S es la parte del cilindro x 2 + y 2  1 que se ubica entre los planos y  −1 y y  1. Como parámetros para el cilindro use y y la coordenada angular polar en el plano xz.

10. S es la parte del cono Z H X  C Y  entre los planos z  2 y z  5. 11. S es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2  25 que se localiza sobre el plano z  3. 12. S es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2  25 que está afuera del cilindro x 2 + y 2  9. En los problemas 13 a 18, evalúe la integral de superficie ∫∫S F · n d S, donde n es el vector unitario que apunta hacia arriba normal a la superficie dada S. 13. F  xi + yj; S es el hemisferio Z H  X  Y   14. F  xi + yj + z k; S es la parte del plano 2x + 2y + z  3 en el primer octante. 15. F  2yj + 2z k; S es la parte del plano z  3x + 2 dentro del cilindro x 2 + y 2  4. 16. F  z k es la mitad superior de la superficie esférica ρ  2 [Sugerencia: use coordenadas esféricas]. 17. F  yi + xj; S es la parte del cono z  r dentro del cilindro r  3. 18. F  2xi + 2yj + 3k; S es la parte del paraboloide z  4 − x 2 − y 2 que está sobre el plano xy. En los problemas 19 a 24, calcule el flujo hacia afuera del campo vectorial F a través de la superficie cerrada dada, S. 19. F  xi + 2yj + 3z k; S es la frontera del cubo unitario en el primer octante con vértices opuestos (0, 0, 0) y (1, 1, 1).

1126 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

20. F = 2xi − 3yj + z k; S es la frontera del hemisferio sólido 0 Z  X  Y  21. F = xi − yj; S es la frontera de la pirámide sólida en el primer octante limitada por los planos coordenados y 3x + 4y + z = 12. 22. F = 2xi + 2yj + 3k; S es la frontera del paraboloide sólido limitado por el plano xy y z = 4 − x 2 − y 2. 23. F = z 2k; S es la frontera del sólido limitado por los paraboloides z = x 2 + y 2 y z = 18 − x 2 − y 2. 24. F = x 2i + 2y 2j + 3z 2k; S es la frontera del sólido limitado por el cono Z H X  C Y  y el plano z = 3. 25. La parte de la superficie esférica ρ = a en el primer octante tiene densidad unitaria. Encuentre su centroide. 26. La superficie cónica z = r, r a, tiene densidad constante δ = k. Obtenga su centroide y su momento de inercia respecto del eje z. 27. El paraboloide z = r 2, r a, tiene densidad constante δ. Determine su centroide y momento de inercia alrededor del eje z. 28. Encuentre el centroide de la parte de la superficie esférica ρ = a que está dentro del cono r = z. 29. Halle el centroide de la parte de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 2x y sobre el plano xy. 30. Suponga que la superficie toroidal del ejemplo 5 de la sección 13.8 tiene densidad uniforme y masa total M. Demuestre que su momento de inercia respecto del eje z es  M(3a 2 + 2b 2). En los problemas 31 y 32, use una tabla de integrales o sistema de álgebra por computadora (si es necesario) para encontrar el momento de inercia respecto del eje z de la superficie S dada. Suponga que S tiene densidad constante δ ≡ 1. 31. S es la parte del cilindro parabólico z = 4 − y 2 que está dentro del cilindro rectangular −1 x 1, −2 y 2. 32. S es la parte del paraboloide z = 4 − x 2 − y 2 dentro del cilindro cuadrado −1 x 1, −1 y 1. 33. Sea S la superficie z = h(x, y) para (x, y) en la región D en el plano xy, y sea γ el ángulo entre k y el vector superior normal N a S. Demuestre que F .X; Y; Z/ D 3 H 3

F .X; Y; H.X; Y// SEC D X D Y: 3

En los problemas 37 a 39, plantee integrales que den el área y momento de inercia respecto del eje z de la superficie S dada (se supone que S tiene densidad constante δ ≡ 1). Use un sistema de álgebra por computadora —como se ilustra en el material del proyecto para esta sección— para evaluar las integrales, simbólicamente si es posible, o numéricamente si es necesario (con valores numéricos a = 4, b = 3 y c = 2 de los parámetros dados). 37. S es el paraboloide elíptico z = (x/a) 2 + (y/b) 2 con parametrización x = au cos v, y = bu sen v, z = u 2, 0 u c, 0 v 2π. 38. S es el elipsoide (x/a) 2 + ( y/b) 2 + (z/c) 2 = 1 con parametrización x = a sen u cos v, y = b sen u sen v, z = c cos u, 0 u π, 0 v 2π. 39. S es el hiperboloide (x/a) 2 + (y/b) 2 − z 2 = 1 con parametrización x = a cosh u cos v, y = b cosh u sen v, z = senh u, −c u c, 0 v 2π. Vea la figura 14.5.8, donde las curvas u son hipérbolas y las curvas v son elipses. Y

Z

X

FIGURA 14.5.8 Hiperboloide del problema 39.

40. La banda de Möbius en la figura 14.5.9 fue generada con la graficación de los puntos X H  C T COS   COS ;

Y H  C T COS   SEN ;

Z H T SEN  

para −1 t 1, 0 θ 2π. Esta banda de Möbius tiene un ancho igual a 2 y línea central circular con radio igual a 4. Plantee integrales que ofrezcan su área y momento de inercia (suponga densidad constante δ ≡ 1) respecto del eje z y use un sistema de álgebra por computadora para evaluarlas en forma numérica.

34. Encuentre una fórmula para 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY 3

análoga a la ecuación (20), pero para el caso de una superficie S descrita en forma explícita por x = h( y, z). 35. Una bola sólida uniforme tiene radio 5 y su temperatura u es proporcional al cuadrado de la distancia a su centro, con u = 100 en la frontera de la bola. Si la conductividad calorífica de ésta es K = 2, encuentre la tasa de flujo de calor a través de una esfera concéntrica de radio 3. 36. Un cilindro sólido uniforme tiene radio igual a 5 y altura de 10, y su temperatura u es proporcional al cuadrado de la distancia desde su eje vertical, con u = 100 en la frontera exterior curvada del cilindro. Si la conductividad calorífica de éste es K = 2, determine la tasa de flujo de calor a través de un cilindro concéntrico de radio 3 y altura 10.

FIGURA 14.5.9 Banda de Möbius del problema 40.

41. Considere un cascarón esférico delgado y homogéneo, S, de radio a y centro en el origen, con densidad δ y masa total M = 4πa 2δ. Una partícula de masa m se localiza en el punto (0, 0, c) con c > a. Use el método y notación del problema 41 de la sección 13.7 para demostrar que la fuerza de atracción gravitacional entre la partícula y el cascarón esférico es 'M ' -M &H D3 H : H C 3

SECCIÓN 14.6

Teorema de la divergencia

1127

14.5 INVESTIGACIÓN: las integrales de superficie y conos de la nariz de cohetes La figura 14.5.10 muestra el cono (curvado) de nariz S de altura h = 1, adherido a un cohete cilíndrico de radio r = 1 que se mueve hacia abajo con velocidad v a través del aire con densidad δ (o, de manera equivalente, el cohete está inmóvil y el aire fluye hacia arriba). En sus Principia Mathematica, Newton demostró que (con suposiciones plausibles) la fuerza de la resistencia del aire que experimenta el cohete está dada por F = 2πRδv2 por lo que es proporcional tanto a la densidad del aire como al cuadrado de su velocidad. El coeficiente de arrastre, R, está dado por la integral de superficie

Y

R

2H H

F F

3

N X

 

COS  D 3; 3

donde φ es el ángulo entre la normal unitaria n y la dirección del movimiento. Las integrales involucradas en los problemas 1 a 5 de este proyecto se reducen a integrales con una sola variable que usted debe ser capaz de resolver a mano. 1. Si la superficie S de la nariz del cono se obtiene al hacer girar la curva y = y (x), con y(0) = 0 y y(1) = 1, alrededor del eje y, use el hecho de que φ  dx/ds para demostrar que

V



FIGURA 14.5.10 Nariz del cono S de altura h y radio r.

2H 

2. 3. 4. 5.

Y

X D X:  C TY .X/U

Use esta integral para calcular el valor numérico de R en los casos particulares que siguen. y = x, por lo que S es un cono real con ángulo de 90° en el vértice. p y =   X  , por lo que S es un hemisferio. y = x 2, con lo que S es un paraboloide. Para el extremo cónico de nariz aplanada que se ilustra en la figura 14.5.11 (con r = h = 1), demuestre que 2 H COS   COS  SEN  C  SEN 

donde α es el ángulo indicado. Después demuestre que este coeficiente de arrastre es mínimo cuando tan 2α = 2.

R

Si compara sus resultados numéricos habrá de descubrir que

A

• el cono y el hemisferio ofrecen la misma resistencia; • el paraboloide ofrece menos resistencia que cualquiera; y • el extremo cónico aplanado óptimo ofrece aún ¡menos resistencia!

H

A X

FIGURA 14.5.11 Cono de nariz aplanado.

En un extraordinario tour de force, Newton determinó el cono de nariz con la mínima resistencia posible al aire, en el que se permite un extremo circular aplanado y una superficie de resolución curva que conecta éste con el cuerpo cilíndrico del cohete —ver C. Henry Edwards, “Newton’s Nose-Cone Problem”, The Mathematica Journal 7 (invierno de 1997), pp. 75-82.

14.6 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA El teorema de la divergencia es a las integrales de superficie lo que el teorema de Green es a las integrales de línea. Permite convertir una integral de superficie sobre una superficie cerrada en una integral triple sobre la región encerrada, o viceversa. El teorema de la divergencia también se conoce como teorema de Gauss, y en ciertos países de Europa oriental se lo llama teorema de Ostrogradski. El “príncipe de las matemáticas” alemán, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) lo utilizó para estudiar campos de fuerza del inverso del cuadrado; el ruso Michel Ostrogradski (1801-1862) lo empleó para analizar el flujo de calor. Ambos realizaron sus trabajos en la década de 1830.

1128 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

La superficie S se denomina suave por segmentos si consiste en un número finito de superficies paramétricas suaves. Se llama cerrada si es la frontera de una región de espacio encerrada. Por ejemplo, la frontera de un cubo es una superficie cerrada y suave por segmentos, igual que la frontera de una pirámide y la de un cilindro sólido.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Suponga que S es una superficie cerrada y suave por segmentos que limita la región del espacio T, y sea n el campo vectorial exterior unitario normal y continuo sobre cada segmento suave de S. Si el campo vectorial F es continuamente derivable sobre T, entonces &
N D3 H r
& D 6:  3

4

La ecuación (1) es una analogía tridimensional de la forma vectorial del teorema de Green, que vimos en la ecuación (9) de la sección 14.4: &
N DS H #

r
& D! ; 2

donde F es un campo vectorial en el plano, C es una curva suave por segmentos que limita la región plana R, y n es el vector exterior unitario normal a C. El lado izquierdo de la ecuación (1) es el flujo de F a través de S en la dirección del vector exterior unitario normal n. Hay que recordar, de la sección 14.1, que la divergencia ∇ · F del campo vectorial F = Pi + Q j + R k, en el caso tridimensional está dada por @1 @2 @0 C C :  DIV & H r
& H @X @Y @Z Si n está dada en términos de sus cosenos directores, como n = cos α, cos β, cos γ, entonces, según la ecuación (18) de la sección 14.5, el teorema de la divergencia puede escribirse en forma escalar: @1 @2 @0 C C .0 COS  C 1 COS C 2 COS / D 3 H D 6:  @ X @ Y @Z 3 4 Es mejor parametrizar S de modo que el vector normal dado por la parametrización es la normal exterior. De esta forma, es posible escribir la ecuación (3) por completo en forma cartesiana: 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY H 3

4

@0 @1 @2 C C @X @Y @Z

D6 



Debemos demostrar el teorema de la divergencia sólo para el caso en que la región T es simultáneamente simple en x, en y y en z. Esto garantiza que toda línea recta paralela a los ejes coordenados interseque a T, si lo hace, en un solo punto o un solo segmento de recta. Esto basta para obtener por separado las ecuaciones @0 D 6; 0 DY DZ H @X 3 4

Demostración parcial del teorema de la divergencia

1 DZ D X H 3

4

2 D X DY H 3

4

@1 D 6; @Y

Y



@2 D 6: @Z

Así, la suma de las ecuaciones (5) es la ecuación (4). Como T es simple en z, tiene la descripción Z  .X; Y/ Z Z  .X; Y/ para (x, y) en D, proyección de T en el plano xy. Como se observa en la figura 14.6.1, la superficie inferior z = z1(x, y) de T se denota con S1, la superficie superior z = z2 (x, y)

SECCIÓN 14.6

Teorema de la divergencia

1129

Z

N 3ZZX Y

N

3 N

N

X

3ZZX Y

$

Y

FIGURA 14.6.1 Región del espacio simple en z limitada por las superficies S1, S2 y S3.

con S2, y con S3 la superficie lateral entre S1 y S2. En el caso de ciertas superficies simples, tales como una esférica, no hay superficie S3 que considerar. Pero aun si la hubiera, 2 D X DY H

2 COS D 3 H ;

3



3

porque γ = 90° en cada punto del cilindro vertical S3. Sobre la superficie S2, el vector unitario superior normal correspondiente a la parametrización z = z2 (x, y) es el vector unitario exterior normal n dado, por lo que la ecuación (20) de la sección 14.5 produce 2 D X DY H

2 .X; Y; Z  .X; Y// D X D Y:

3



$

Pero en la superficie inferior S1, el vector unitario superior normal correspondiente a la parametrización z = z1 (x, y) es el vector interior normal −n, por lo que se debe invertir el signo. Así, 2 D X DY H

2 .X; Y; Z  .X; Y// D X D Y:

3



$

Se agregan las ecuaciones (6), (7) y (8). El resultado es que ;2.X; Y; Z  .X; Y// 2.X; Y; Z  .X; Y//= D X D Y

2 D X DY H 3

$ Z  .X;Y/

H $

Z  .X;Y/

@2 DZ D X D Y: @Z

0ORLOTANTO 2 D X DY H 3

4

@2 D 6: @Z

Ésta es la tercera ecuación en (5), y las otras dos se obtienen de la misma manera. X EJEMPLO 1 Sea S la superficie (con vector exterior unitario normal n) de la región T limitada por los planos z = 0, y = 0, y = 2, y el cilindro parabólico z = 1 – x 2 (ver figura 14.6.2). Aplique el teorema de la divergencia para calcular &
N D3 3

dado F = (x + cos y)i + (y + sen z)j + (z + ex)k.

1130 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial Z Z X

Y

X  Y

X

X

FIGURA 14.6.2 Región del ejemplo 1

Solución Sería muy largo evaluar directamente la integral de superficie. Pero F = 1 + 1 + 1 = 3, por lo que es posible aplicar con facilidad el teorema de la divergencia: &
N D3 H

DIV & D 6 H

3

 D 6:

4

4

Se estudia la figura 14.6.2 para hallar los límites de la integral de volumen, y se obtiene 

X 





&
N D3 H

 DZ DY D X H  

3





. X  / D X H :

Z



EJEMPLO 2 Sea S la superficie del cilindro sólido T limitado por los planos z = 0 y z = 3, y el cilindro x2 + y2 = 4. Calcule el flujo hacia el exterior &
N D3 3

dado F = (x 2 + y 2 + z 2)(xi + yj + zk).

Solución Si se denota con P, Q y R las funciones componentes del campo vectorial F, se encuentra que @0 H X
X C .X  C Y  C Z  /
 H X  C Y  C Z  : @X $EMANERASIMILAR @1 H Y  C Z  C X  @Y

@2 H Z  C X  C Y  ; @Z

Y

PORLOQUE DIV & H .X  C Y  C Z  /:

Por lo que el teorema de la divergencia produce .X  C Y  C Z  / D 6:

&
N D3 H 3

4

Se usan coordenadas cilíndricas para evaluar la integral triple y se obtiene 





&
N D3 H 3





 

H   

H  

.R  C Z  / R DZ DR D

 R Z C R Z 





DR ZH

.R  C R / DR H 

    R C R  



H : 

Z

SECCIÓN 14.6

Teorema de la divergencia

1131

EJEMPLO 3 Suponga que la región T en el espacio está limitada por la superficie S suave y cerrada, con una parametrización que proporciona el vector exterior unitario normal a S. Demuestre que el volumen V de T está dado por 6 H

 

X DY DZ C Y DZ D X C Z D X DY:



3

Solución La ecuación (9) se sigue de inmediato de la ecuación (4) si se toma P(x, y, z) = x, Q(x, y, z) = y y R(x, y, z) = z. Por ejemplo, si S es la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2  a 2 con volumen V, el área A, y el vector exterior unitario normal N

X Y Z ; ; ; A A A

COS ; COS ; COS

ENTONCES LAECUACI˜N PRODUCE 6 H H H

     

X DY DZ C Y DZ D X C Z D X DY 3

.X COS  C Y COS C Z COS / D 3 3

3

 X  C Y C Z D3 H A A 

 D3 H 3

 A !: 

El lector debe comprobar que este resultado es consistente con las fórmulas conocidas Z de V = π a 3 y A = 4π a 2. EJEMPLO 4 dada por

Demuestre que la divergencia del campo vectorial F en el punto P está

r
&.0/ H L¤M

R !

 G." R /

&
N D 3



3R

donde Sr es la esfera de radio r centrada en P y v(Br) = π r 3 es el volumen de la bola Br que la esfera delimita.

Solución El teorema de divergencia ofrece &
N D3 H 3R

r
& D 6: "R

Después se aplica la propiedad del valor promedio de las integrales triples, resultado análogo al de la integral doble del problema 50 en la sección 13.2. Esto produce r
& D 6 H Tr
&.0 /U
G." R / "R

para cierto punto 0 de Br. Se supone que F es continuamente derivable, por lo que se sigue que r
&.0 / ! r
&.0/ CUANDO 0 ! 0: La ecuación (10) se sigue después de dividir ambos lados entre v(Br) y después se obtiene el límite cuando r → 0. Z Por ejemplo, suponga que F = δv es el campo vectorial de un fluido en movimiento. La ecuación (10) se interpreta como si dijera que ∇ · F(P) es la tasa neta por unidad de volumen de esa masa de fluido que sale (o “diverge”) del punto P. Por esta razón, el punto P se denomina fuente si ∇ · F(P) > 0, y sumidero si ∇ · F(P) < 0. Al calor en un cuerpo conductor se le da un tratamiento matemático como si fuera un fluido que escapara del cuerpo. En los problemas varios al final del capítulo, del 25 al 27 se pide que se aplique el teorema de la divergencia para demostrar que si

1132 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

u = u(x, y, z, t) es la temperatura en el punto (x, y, z) en el momento t en un cuerpo a través del cual fluye calor, entonces la función u debe satisfacer la ecuación @ U @ U  @U @ U ; C C H
   @X @Y @Z K @T



donde k es una constante (la de difusión térmica del cuerpo). Ésta es una ecuación diferencial parcial denominada ecuación de calor. Si se dan tanto la temperatura inicial u(x, y, z, 0) como la que hay en la frontera del cuerpo, entonces sus temperaturas interiores en momentos posteriores se determinan por medio de la ecuación de calor. Una gran parte de las matemáticas aplicadas avanzadas consiste en técnicas para resolver dichas ecuaciones diferenciales parciales.

Regiones más generales y la ley de Gauss Z

Es posible establecer el teorema de la divergencia para regiones más generales subdividiendo T en regiones más simples, para las que se cumpla la demostración anterior. Por ejemplo, suponga que T es el cascarón entre las superficies esféricas concéntricas Sa y Sb, de radios a y b, con 0 < a < b. Los planos coordenados separan T en ocho regiones T1, T2, . . . , T8, cada uno con la forma que se ilustra en la figura 14.6.3. Sea que i denote la frontera de Ti y que ni sea el vector unitario exterior normal a i. Al aplicar el teorema de la divergencia a cada una de estas ocho regiones se obtiene

NI

NB NA Y



NI

r
& D6 H NI

X

r
& D6 IH

4

4I



&
NI D 3

H

FIGURA 14.6.3 Un octante del cascarón entre Sa y Sb.

IH

TEOREMADELADIVERGENCIA

I

H

&
NA D 3 C

&
N B D 3:

3A

3B

Aquí escribimos na para el vector interior normal sobre Sa, y nb para el exterior normal sobre Sb. La última desigualdad se cumple porque las integrales de superficie sobre las superficies de frontera interior (aquéllas en los planos coordenados) se cancelan por pares —ahí las normales están orientadas en forma opuesta—. Como la frontera S de T es la unión de las superficies esféricas Sa y Sb, ahora se sigue que r
& D6 H

&
N D 3:

4

N 3 3

N

FIGURA 14.6.4 Superficies anidadas cerradas S1 y S2.

3

Éste es el teorema de la divergencia para el cascarón esférico T. En forma similar, el teorema de la divergencia puede establecerse para una región T limitada por dos superficies suaves y cerradas S1 y S2 con S1 interior a S2, como se ilustra en la figura 14.6.4, donde n1 y n2 denotan los vectores unitarios que apuntan hacia afuera y son normales a las dos superficies. Así, la frontera S de T es la unión de S1 y S2, y el campo vectorial unitario exterior n normal a S consiste en −n1 sobre la superficie interior S1 y n2 sobre la superficie exterior S2 (ambos apuntan hacia afuera de T ). De ahí que el teorema de la divergencia adopte la forma r
& D6 H 4

&
N D3 H 3

&
N D 3 3

&
N D 3:



3

Por ejemplo, suponga que F = −G Mr/|r| 3 es el campo de fuerza gravitacional del inverso del cuadrado de una masa M localizada en el origen. De acuerdo con el problema 22, ∇ · F = 0, excepto en el origen. Si S es una superficie suave que encierra a M y Sa es una esfera pequeña de radio a dentro de S y que encierra a M, entonces, de la ecuación (12) se sigue que (con n que denota al vector unitario exterior normal sobre

SECCIÓN 14.6

Teorema de la divergencia

1133

cada superficie) &
N D3 H

&
N D3

3

3A



H 3A

'' -R R D3 H 
jRj jRj A

 D 3 H  ' -:



3A

Así, hemos establecido la ley de Gauss (ecuación 24) en la sección 14.5) para el caso especial de un solo punto de masa. El caso más general de un conjunto de puntos de masa dentro de S se establece al encerrar cada uno en una esfera pequeña. Si en la ecuación (13) reemplazamos la constante G M con Q/4π 0, obtenemos en forma similar la ley de Gauss 1 %
N D3 H  

3

para el campo eléctrico del inverso del cuadrado E = Qr/(4π 0 |r |3 de una carga Q que se encuentre dentro de S. Otra consecuencia impresionante del teorema de la divergencia es la ley de Arquímedes de la flotabilidad; vea el problema 21 de esta sección y el 22 de la sección 14.7.

14.6 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Suponga que S es una superficie cerrada suave que limita la región del espacio T. Si la superficie S tiene una parametrización r(u, v) cuyo campo vectorial normal correspondiente N = ru × rv está de acuerdo con el normal unitario exterior n, y F = Pi + Qj + Rk es un campo vectorial continuamente derivable sobre T, entonces r
& D3 H 4

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY: 3

2. En el ejemplo 1, el teorema de la divergencia se aplica para obtener una evaluación sencilla de la que de otro modo sería la complicada integral de superficie x 3 F · n d S, donde F = (x + cos y)i + (y + sen z)j + (z + e )k, con base en el hecho de que la divergencia ∇ · F es constante sobre la región dada del espacio T. 3. Si la región del espacio T está limitada por la superficie cerrada suave S con una parametrización que dé el vector unitario exterior normal, entonces el volumen V de T está dado por 6 H

X DY DZ H 3

Y DZ D X H 3

Z DY D X 3

4. La divergencia del campo vectorial F en el punto P es igual al límite  L¤M &
N D3 R ! 6R 3 R

donde Sr es la superficie y Vr es el volumen de una bola esférica de radio r con centro en P. 5. A fin de aplicar el teorema de la divergencia, la frontera de la región del espacio T debe consistir en una sola superficie S simple y cerrada. 6. Si F = −G Mr/|r|3 es el campo de fuerza gravitacional del inverso del cuadrado de un punto de masa M localizado en el origen, y S es una superficie suave, simple y cerrada que contiene al origen y tiene un vector unitario exterior normal n, entonces la ley de Gauss implica que  &
N D 3: - H  ' 3 7. La fórmula de la pregunta 6 se cumple si F es el campo de fuerza gravitacional de un conjunto finito de puntos de masa que se hallan dentro de la superficie S suave, simple y cerrada, y M es su masa total.

1134 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

8. Si E = Qr/(4π 0|r |3) es el campo eléctrico del inverso del cuadrado de una carga puntual Q localizada en el origen y S es una superficie suave, simple y cerrada que contiene al origen y tiene a n como vector unitario exterior normal, entonces la ley de Gauss implica que 1H

%
N D 3:

 3

9. La prueba del teorema de la divergencia que se da en el libro consiste en establecer por separado las tres ecuaciones siguientes para luego sumarlas @0 D 6; 0 DY DZ H @X 3 4 1 DZ D X H 3

4

2 D X DY H 3

4

@1 D 6; @Y

Y

@2 D 6: @Z

10. Sea que u(x, y, z, t) denote la temperatura en el momento t en el punto (x, y, z) en un cuerpo a través del cual fluye calor. Al tratar al calor en un cuerpo conductor como si fuera un fluido, el teorema de la divergencia se usa para obtener la ecuación del calor @ U @ U @ U  @U C C H
:    @X @Y @Z K @T

14.6 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. La tercera ecuación en (5) se establece en la “demostración del teorema de la divergencia” que se presenta en esta sección. ¿Qué cambios se requeriría hacer en la derivación para establecer las ecuaciones primera y segunda en (5)? 2. Sean S1 y S2 superficies suaves por segmentos en el espacio, con S1 en el interior de S2. ¿En qué condiciones sobre el campo vectorial F se concluye que &
N D3 H 3

&
N D 3 3

Si F = −k r/| r |3 es un campo de fuerza del inverso del cuadrado dirigido hacia el origen, ¿en qué condiciones sobre S1 y S2 se concluye que las dos integrales de flujo son iguales?

14.6 PROBLEMAS En los problemas 1 a 5, compruebe el teorema de la divergencia por cálculo directo tanto de la integral de superficie como de la integral triple de la ecuación (1). 1. F = xi + yj + zk; S es la superficie esférica con ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 1. 2. F = |r|r, donde r = xi + yj + zk; S es la superficie esférica con ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 9. 3. F = xi + yj + zk; S es la superficie del cubo limitado por los tres planos coordenados y los tres planos x = 2, y = 2 y z = 2. 4. F = xyi + yzj + xzk; S es la superficie del problema 3. 5. F = (x + y)i + (y + z)j + (z + x)k; S es la superficie del tetraedro limitado por los tres planos coordenados y el plano x + y + z = 1.

En los problemas  6 a 14, utilice el teorema de la divergencia para evaluar S F · n d S, donde n es el vector exterior unitario normal a la superficie S. 6. F = x 2i + y 2j + z 2k; S es la superficie del problema 3. 7. F = x 3i + y 3j + z 3k; S es la superficie de del cilindro limitado por x 2 + y 2 = 9, z = −1, y z = 4. 8. F = (x 2 + y 2)(xi + yj); S es la superficie de la región limitada por el plano z = 0 y el paraboloide z = 25 − x 2 − y 2. 9. F = (x 2 + e–yz)i + (y + sen x z)j + (cos x y)k; S es la superficie del problema 5. 10. F = (xy 2 + e–y sen z)i + (x 2y + e–x cos z)j + (tan–1 x y)k; S es la superficie de la región limitada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 9. 11. F = (x 2 + y 2 + z 2) (xi + yj + zk); S es la superficie del problema 8.

SECCIÓN 14.6

12. F = r/|r|, donde r = xi + yj + zk; S es la esfera ρ = 2 de radio 2 con centro en el origen. 13. F = xi + yj + 3k; S es la frontera de la región limitada por el paraboloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 4. 14. F = (x 3 + ez)i + x 2yj + (sen x y)k; S es la frontera de la región limitada por el cilindro parabólico z = 4 · x 2 y los planos y = 0, z = 0 y y + z = 5. 15. El Laplaciano de la función escalar f derivable dos veces definida como ∇ 2 f = div(grad f ) = ∇ · ∇ f. Demuestre que @ F @ F @ F rF H  C  C  : @X @Y @Z 16. Sea que ∂ f/∂ n = ∇ f · n denote la derivada direccional de la función escalar f en la dirección del vector n unitario exterior normal a la superficie S que limita a la región T. Demuestre que @F r  F D 6: D3 H @N 3 4 Utilice la notación de los problemas 15 a 16 en los problemas 17 a 19. 17. Suponga que ∇ 2 f ≡ 0 en la región T con superficie de frontera S. Demuestre que @F jr F j D 6: F D3 H @N 3 4

20. Suponga que f es una función escalar derivable definida sobre la región T del espacio, y que S es la frontera de T. Demuestre que

&.X; Y; Z/ H

&
N D 3; 3

24.

25.

26.

4

[Sugerencia: aplique el teorema de la divergencia a F = f a, donde a es un vector constante arbitrario. Nota: las integrales de funciones de variable vectorial se definen por medio de integración compuesta.] 21. Ley de Arquímedes de la flotabilidad Sea S la superficie de un cuerpo T sumergido en un fluido de densidad constante δ. Plantee coordenadas de modo que los valores positivos de z se midan hacia abajo a partir de la superficie. De esta forma, la presión a la profundidad z es p = δgz. La fuerza de flotación que el fluido ejerce sobre el cuerpo es "H

PN D 3: 3

R R : jR R j

Demuestre que div F = 0 excepto en el punto r0. 23. Aplique el teorema de la divergencia para calcular el flujo hacia afuera

r F D 6:

F N D3 H 3

1135

(¿Por qué?) Aplique el resultado del problema 20 para demostrar que B = −Wk, donde W es el peso del fluido desplazado por el cuerpo. Debido a que z se mide hacia abajo, el vector B está dirigido hacia arriba. 22. Sea r = x, y, z, sea r0 = x 0, y 0, z 0 un punto fijo, y suponga que

18. Aplique el teorema de la divergencia a F = f ∇ g para establecer la primera identidad de Green. @G D3 H F . F r  G C r F
r G/ D 6: @N 3 4 19. Intercambie f y g en la primera identidad de Green (problema 18) para establecer la segunda identidad de Green, @F @G D3 H G F . F r  G G r  F / D 6: @N @N 3 4

Teorema de la divergencia

27.

donde F = |r|r, r = xi + yj + zk, y S es la superficie del problema 8 [Sugerencia: integre en coordenadas cilíndricas, primero respecto de r y después respecto de z. Para la última integración, haga una sustitución trigonométrica y después consulte la ecuación (9) de la sección 7.4 para obtener la antiderivada de sec5 θ ]. Suponga que la ley de Gauss en la ecuación (13) se cumple para una bola sólida uniforme de masa M con centro en el origen. También suponga que por simetría la fuerza F que esta masa ejerce sobre una partícula exterior de masa unitaria está dirigida hacia el origen. Aplique la ley de Gauss con S como una esfera de radio r para demostrar que |F| = G M/r 2 en cada punto de S. Así, se sigue que la bola sólida actúa (en forma gravitacional) como una sola masa M puntual concentrada en su centro. Sea F el campo de fuerza gravitacional debido a una distribución de masa uniforme en el cascarón limitado por las superficies esféricas concéntricas ρ = a y ρ = b > a. Aplique la ley de Gauss en la ecuación (13) con S como la esfera ρ = r < a, para demostrar que F es igual a cero en todos los puntos interiores de este cascarón esférico. Considere una bola esférica sólida de radio a y densidad constante δ. Aplique la ley de Gauss para demostrar que la fuerza gravitacional sobre una partícula de masa unitaria localizada a la distancia r < a a partir del centro de la bola está dada por F = G Mr/r 2 , donde Mr = πδr 3 es la masa encerrada por una esfera de radio r. Así, la masa situada a una distancia mayor del centro de la bola no ejerce ninguna fuerza gravitacional neta sobre la partícula. Considere un conductor recto y vertical, de longitud infinita, con carga positiva uniforme de q coulombs por metro. Suponga, por simetría, que el vector de campo eléctrico E en cada punto del espacio es un vector radial horizontal dirigido hacia afuera del conductor. Aplique la ley de Gauss en la ecuación (14), con S como un cilindro que por eje tiene al conductor, para demostrar que |E| = q/(2π 0r). Así, la intensidad de campo eléctrico es inversamente proporcional a la distancia r del conductor.

1136 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

14.7 TEOREMA DE STOKES En la sección 14.4 se dio el teorema de Green, 0 D X C 1 DY H #

2

@1 @0 @X @Y

D! ;



en una forma vectorial que es equivalente a la versión bidimensional del teorema de la divergencia. Otra forma vectorial del teorema de Green involucra el rizo de un campo vectorial. Hay que recordar, de la sección 14.1, que si F = Pi + Qj + Rk es un campo vectorial, entonces el rizo de F es el campo vectorial dado por I J K @ @ @ RIZO & H r  & H @ X @ Y @Z 0 1 2 H

@2 @1 IC @Y @Z

@0 @2 JC @Z @X

@1 @0 K: @X @Y



La componente k de ∇ × F es el integrando de la integral doble en la ecuación (1). De la sección 14.2 sabemos que es posible escribir la integral de línea en la ecuación (1) como &
4 DS; #

donde T es el vector unitario dirigido positivamente que es tangente a C. En consecuencia, el teorema de Green se puede escribir en la forma &
4 DS H #

Z

N

4

N4 3

#

Y

X

FIGURA 14.7.1 Vectores, superficie y curva de frontera mencionados en el enunciado del teorema de Stokes.

.RIZO & /
K D! :



2

El teorema de Stokes es la generalización de la ecuación (3) que se obtiene al reemplazar la región plana R por una versión flexible de dos dimensiones: una superficie S orientada y limitada en el espacio tridimensional con frontera C que consiste en una o más curvas simples y cerradas en el espacio. Una superficie orientada es una superficie suave por segmentos S con campo vectorial n unitario escogido y normal, que es continuo (es decir, gira continuamente) en cada segmento suave de S. La orientación positiva de la frontera C de una superficie orientada S corresponde al vector unitario tangente T tal que n × T siempre apunta hacia S (ver figura 14.7.1). Compruebe que para una región plana con vector unitario normal k, la orientación positiva de su frontera exterior es en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada, acotada y suave por segmentos, en el espacio y con frontera C orientada positivamente, y un campo vectorial unitario normal n. Suponga que T es un campo vectorial unitario con orientación positiva tangente a C. Si el campo vectorial F es derivable continuamente en una región espacial que contiene a S, entonces &
4 DS H #

.RIZO & /
N D 3:



3

Así, el teorema de Stokes significa que la integral de línea alrededor de la curva de frontera de la componente tangencial de F es igual a la integral de superficie de la componente normal de rizo F. Compare las ecuaciones (3) y (4). Este resultado apareció por primera vez en forma pública como un problema planteado por George Stokes (1819-1903) en una convocatoria para un premio para los estudiantes de la Universidad de Cambridge, en 1854. Había sido enunciado en 1850 en una carta dirigida a Stokes por el físico William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907).

SECCIÓN 14.7

Teorema de Stokes

1137

En términos de las componentes de F = Pi + Qj + Rk y de las de rizo F, es posible replantear el teorema de Stokes —con ayuda de la ecuación (19) de la sección 14.5— en forma escalar 0 D X C 1 DY C 2 DZ #

H 3

@2 @1 @ Y @Z

DY DZ C

@0 @2 @Z @ X

DZ D X C

@1 @0 @X @Y

D X D Y:



Aquí, como es usual, la parametrización de S debe corresponder al vector unitario normal n dado. Para demostrar el teorema de Stokes sólo se necesita establecer la ecuación @0 @0 DZ D X DX DY 0 DX H  @Z @Y # 3 y las dos ecuaciones correspondientes que son las “componentes” de Q y R de la ecuación (5). De esta manera, la ecuación (5) en sí se sigue al sumar los tres resultados. Suponga primero que S es la gráfica de la función z = f (x, y), (x, y) en D, donde S tiene un vector superior unitario normal y D es una región en el plano xy limitada por la curva simple cerrada J (ver figura 14.7.2). Entonces

Demostración parcial Z ZFX Y

N

0 DX H #

0.X; Y; F .X; Y// D X *

#

P.X; Y/ D X

H

3

;DONDE P.X; Y/  0.X; Y; F .X; Y//=

*

H Y

$ X

*

FIGURA 14.7.2 La superficie S.

$

@P DX DY @Y

PORELTEOREMADE'REEN 

Ahora se utiliza la regla de la cadena para obtener ∂p/∂y y encontrar que @0 @ 0 @Z 0 DX H D X D Y: C @Y @Z @ Y # $



A continuación, se emplea la ecuación (20) de la sección 14.5: @Z @Z 1 C 2 D X D Y: 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY H 0 @X @Y 3 $ En esta ecuación se reemplaza P por 0, Q con ∂P/∂z, y R por −∂P/∂y. Esto proporciona @0 @0 @ 0 @Z @0 DZ D X DX DY H D X D Y:  @Z @Y @Z @ Y @Y 3 $ Por último, se comparan las ecuaciones (7) y (8) y se observa que se ha establecido la ecuación (6). Si podemos escribir la superficie S en las formas y = g(x, z) y x = h ( y, z), entonces es posible obtener de la misma manera las “componentes” Q y R de la ecuación (5). Esto demuestra el teorema de Stokes para el caso especial de una superficie S que se representa como una gráfica en las tres direcciones coordenadas. El teorema de Stokes, entonces, se puede extender a una superficie más general orientada por medio del método ya conocido de subdividirla en superficies más simples, en las que la demostración anterior se cumple para cada una. X EJEMPLO 1

Aplique el teorema de Stokes para evaluar &
4 DS: #

donde C es la elipse en la que el plano z = y + 3 interseca al cilindro x 2 + y 2  1. Oriente la elipse en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como se vio, y tome F(x, y, z) = 3zi + 5xj − 2yk.

1138 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

Solución El plano, cilindro y elipse aparecen en la figura 14.7.3. La orientación normal a la dada de C corresponde al vector hacia arriba unitario n = (−j + k)/ región elíptica S en el plano z = y + 3 limitado por C. Ahora

Z

  N

I @ RIZO & H @X

J @ @Y

K @ @Z

Z

X

Y

 ZY



H I C J C K;

PORLOQUE

#

 C  p  H : .RIZO & /
N H .I C J C K/
p .J C K/ H p  

Y

De ahí que por el teorema de Stokes, XY

&
4 DS H

X

#

FIGURA 14.7.3 Elipse del ejemplo 1.

p p  D 3 H 
ÖREA.3 / H ;

.RIZO & /
N D 3 H 3

3

ya que de la figura 14.7 se observa que S es una elipse con semiejes 1 y . área es π EJEMPLO 2

. Así, su Z

Aplique el teorema de Stokes para evaluar .r  & /
N D 3; 3

donde F = 3zi + 5xj − 3yk y S es la parte de la superficie parabólica z = x 2 + y 2 que se encuentra bajo el plano z = 4 y cuya orientación está dada por el vector unitario superior normal (ver figura 14.7.4).

Z Z N

# 3

XYZ

Solución Se parametriza el círculo de frontera C por medio de x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = 4, para 0 t 2π. Por lo cual, dx = −2 sen t dt, dy = −2 cos t dt y dz = 0. Por lo que el teorema de Stokes produce .r  &/
N D 3 H

Y

3

&
4 DS H #

Z D X C X DY Y DZ #



H

X



. SEN T DT/ C 
. COS T/. COS T DT/ C 
. SEN T/
 

FIGURA 14.7.4 Superficie parabólica del ejemplo 2.



H 

#R N 3R

FIGURA 14.7.5 Interpretación física del rizo de un campo vectorial.

. SEN T C  C  COS T/ DT 

H  COS T C T C  SEN T 0



. SEN T C  COS T/ DT H  

H :

Z

Así como el teorema de la divergencia lleva a una interpretación física de div F [ecuación (10) de la sección 14.6], el teorema de Stokes produce una interpretación física de rizo F. Sea Sr un disco circular de radio r y área a(Sr) = π r 2, con centro en el punto P en el espacio y perpendicular al vector unitario (fijo) n. Sea Cr el círculo de frontera orientado positivamente de Sr (ver figura 14.7.5). Entonces, el teorema de Stokes y la propiedad del valor promedio de las integrales dobles juntas dan &
4 DS H #R

.r  & /
N D 3 H A.3R /Tr  &.0 /U
N 3R

para cierto punto 0 de Sr. Se supone que F es derivable continuamente en P, por lo que se sigue que r  &.0 / ! r  &.0/

CUANDO 0 ! 0:

SECCIÓN 14.7

Teorema de Stokes

1139

Si primero se dividen ambos lados entre a(Sr) y luego se saca el límite cuando r → 0, se obtiene  Tr  &.0 /U
N H L¤M &
4 DS  R ! R  # R

La ecuación (9) tiene un significado físico natural. Suponga que F = δv, donde v es el campo vectorial de la velocidad del flujo de estado estable de un fluido con densidad constante δ. Entonces, el valor de la integral #/ H

&
4 DS



#

RIZO&

0

FIGURA 14.7.6 Interpretación de la rueda de paletas de rizo F.

mide la tasa de movimiento de una masa fluida alrededor de la curva C, por lo que se denomina circulación de F en torno a C. De la ecuación (9) se observa que #R / Tr  &.0 /U
N  R  si Cr es una circunferencia de radio r muy pequeño centrado en P y perpendicular a n. Si ha de ocurrir que ∇ × F(P) H 0, se sigue que (Cr) es máxima (para r fija y pequeña) cuando el vector unitario apunta en la dirección de ∇ × F(P). De ahí que la línea que pasa por P determinada por ∇ × F(P) es el eje respecto del cual el fluido cerca de P gira con más rapidez. Una rueda de paletas diminuta colocada en el fluido en P (ver figura 14.7.6) giraría lo más rápido si su eje quedara a lo largo de esta línea. Del número 32 de los problemas varios al final de este capítulo se sigue que |rizo F| = 2δω, para el caso de un fluido que gira de modo estable alrededor de un eje fijo con velocidad angular constante ω (en radianes por segundo). Así, ∇ × F(P) indica tanto la dirección como la tasa de rotación del fluido cerca de P. Debido a esta interpretación ciertos libros antiguos utilizan la notación “rot F” para el rizo, abreviatura que ha desaparecido del uso general. Si ∇ × F = 0 en todo lugar, entonces se dice que el movimiento del fluido y el campo vectorial F son irrotacionales. Una pajilla infinitesimal colocada en un fluido irrotacional sería trasladada en forma paralela a sí misma sin rotar. Un campo vectorial F definido sobre una región D conectada simplemente es irrotacional si y sólo si es conservativa, lo que a su vez se cumple si la integral de línea &
4 DS #

es independiente de la trayectoria en D (se dice que la región D está conectada simplemente si toda curva simple cerrada en D puede ser encogida de modo continuo hasta un punto mientras permanezca dentro de D. El interior de un toro es ejemplo de una región del espacio que no está conectada simplemente. Es verdad, aunque no es obvio, que cualquier curva suave por segmentos, simple y cerrada en una región D conectada simplemente, es la frontera de una superficie suave por segmentos suave y orientada en D).

TEOREMA 1 Campos conservativos e irrotacionales Sea F un campo vectorial con derivadas parciales de primer orden en una región D conectada simplemente en el espacio. Así, el campo vectorial F es irrotacional si y sólo si es conservativo; es decir, ∇ × F ≡ 0 en D si y sólo si F = ∇φ para cierta función escalar φ definida sobre D. Es fácil hacer la demostración completa de la parte que dice si en el teorema 1; por el ejemplo 8 de la sección 14.1, ∇ × (∇φ) = 0 para dos funciones escalares φ derivables dos veces. A continuación se presenta una descripción de cómo se podría demostrar la parte que dice sólo si del teorema 1. Suponga que F es irrotacional. Sea P0(x0, y0, z0) un punto fijo de D. Dado un punto arbitrario P(x, y, z) de D, conviene definir Bosquejo de demostración parcial

.X; Y; Z/ H

&
4 DS; #



1140 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

0X Y Z # 3 # 0X Y Z

donde C1 es una trayectoria en D de P0 a P. Pero debemos demostrar que cualquier otra trayectoria C2 de P0 a P daría el mismo valor para φ(x, y, z). Como lo sugiere la figura 14.7.7, suponemos que C1 y C2 se intersecan sólo en sus extremos. Sea C = C1 ∪ (–C2) la trayectoria cerrada que C1 sigue primero de P0 a P y después la trayectoria inversa −C2 de P hacia P0. Entonces, es posible demostrar que la curva cerrada C orientada limita una superficie orientada S contenida en D, por lo que el teorema de Stokes da

$

&
4 DS FIGURA 14.7.7 Dos trayectorias de P0 a P en la región D del espacio conectada simplemente.

#

&
4 DS H #

&
4 DS H #

.r  & /
N D 3 H  3

por la hipótesis de que ∇ × F ≡ 0. Esto demuestra que la integral de línea # F · T ds es independiente de la trayectoria, como se deseaba. En el problema 21 se pide que termine esta demostración por medio de probar que la función φ de la ecuación (11) es aquélla cuya existencia se propone en el teorema 1. Es decir, F = ∇φ. X EJEMPLO 3 Demuestre que el campo vectorial F = 3x 2 i + 5z 2 j + 10yzk es irrotacional. Después encuentre una función de potencial φ (x, y, z) tal que ∇φ = F.

Solución Para demostrar que F es irrotacional, se calcula I @ r & H @X X 

J @ @Y Z 

K @ H .Z Z/I H : @Z YZ

De ahí que el teorema 1 implica que F tiene una función de potencial φ. Se aplica la ecuación (11) para hallar φ de manera explícita. Si C1 es el segmento de línea recta de (0, 0, 0) a (u, v, w) parametrizado por x = ut, y = vt, z = wt para 0 t 1, entonces la ecuación (11) produce .U;G;H/

.U; G; H/ H

&
4 DS H # 

H

X  D X C Z  DY C YZ DZ

.;;/

.U  T  /.U DT/ C .H  T  /.G DT/ C .GTHT/.H DT/

TH 

H

.U  T  C GH  T  / DT H U  T  C GHT 

TH

 TH

;

YAS¤ .U; G; H/ H U  C GH  :

Pero como (u, v, w) es un punto arbitrario del espacio, hemos descubierto que φ(x, y, z) = x 2 + 5yz 2 es un potencial escalar para F. Como comprobación, observe que φx = 3x 2, Z φy = 5z 2 y φz = 10yz, por lo que ∇ φ = F, como se deseaba. Suponga que v es el campo de la velocidad de un fluido con flujo estable que es tanto irrotacional como incompresible —la densidad δ del fluido es constante—. Suponga que S es cualquier superficie cerrada que limite la región T. De esta manera, debido a la conservación de la masa, el flujo de v a través de S debe ser igual a cero; la masa de fluido dentro de S permanece constante. De ahí que el teorema de la divergencia dé

Aplicación

DIV V D 6 H 4

V
N D 3 H : 3

Debido a que esto se cumple para cualquier región T, del conocido argumento de la propiedad del valor promedio se sigue que div v = 0 en todo lugar. La función escalar φ

SECCIÓN 14.7

Teorema de Stokes

1141

proporcionada por el teorema 1, para la que v = ∇φ, se denomina potencial de velocidades del flujo. Se sustituye v = ∇φ en la ecuación div v = 0, con lo que se obtiene DIV.r / H

@  @  @  C C H : @X @ Y @Z 



Así, el potencial de velocidades φ del flujo de un fluido irrotacional e incompresible satisface la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace aparece en distintas y numerosas aplicaciones. Por ejemplo, considere un cuerpo caliente cuya función de temperatura u = u(x, y, z) sea independiente del tiempo t. Entonces, ∂u/∂t ≡ 0 en la ecuación del calor, la ecuación (11) de la sección 14.6 muestra que la función de “temperatura de estado estable” u(x, y, z) satisface la ecuación de Laplace @ U @ U @ U C C H :  @X @ Y @Z  Estos breves comentarios dan indicios de que las matemáticas de este capítulo constituyen el punto de arranque de la investigación en áreas tales como la acústica, la aerodinámica, el electromagnetismo, la meteorología y la oceanografía. En realidad, todo el tema del cálculo vectorial surgió históricamente de sus aplicaciones matemáticas y no de consideraciones matemáticas abstractas. La forma moderna del tema se debe principalmente a J. Willard Gibbs (1839-1903), el primer gran físico estadounidense, y el ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside (1850-1925).

14.7 GUÍA DE ESTUDIO FALSO/VERDADERO Señale si es falso o verdadero cada uno de los siguientes conceptos para verificar su lectura y repasar esta sección. Puede consultar las sugerencias proporcionadas en la sección de respuestas. 1. Una superficie S orientada en R3 es aquélla en conjunto con un campo vectorial unitario continuo normal elegido, n, y la orientación positiva de la frontera C de S corresponde a un vector unitario tangente T tal que T × n siempre apunta hacia S. 2. Sea S una superficie orientada con frontera C orientada positivamente. Si P, Q y R son funciones derivables continuamente de x, y y z, entonces el teorema de Stokes implica que @0 @0 DZ D X DX DY ; 0 DX H @Z @Y # 3 1 DY H #

3

2 DZ H #

3

@1 @1 DX DY DY DZ ; @X @Z

Y

@2 @2 DY DZ DZ D X : @Y @X

3. La demostración del teorema de Stokes que se indica en el texto consiste en obtener por separado las tres fórmulas de la pregunta 2 para después sumar los resultados. 4. En el ejemplo 1, el teorema de Stokes se aplica para obtener una evaluación sencilla de la integral de línea # F · T ds, donde F = 3zi + 5xj − 2yk y C es cierta curva elíptica en el espacio, con base en el hecho de que la componente normal del rizo ∇ × F es constante en la elipse plana S limitada por C. 5. Si n es un vector unitario y F es un campo vectorial continuamente derivable, entonces la componente de ∇ × F en el punto P que es paralelo a n es igual al límite  &
4 DS L¤M R ! !R #R donde Cr es la frontera y Ar es el área de un disco circular de radio r con centro en P y perpendicular a n.

1142 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

6. Si v es el campo vectorial de la velocidad del movimiento de un fluido en estado estable con densidad constante δ, entonces el valor de la integral # δv · T ds mide la tasa de flujo de la masa de fluido alrededor de la curva C. 7. Dado el movimiento del fluido descrito en la pregunta 6, una rueda de paletas diminuta colocada en el punto P giraría del modo más rápido si su eje de rotación estuviera perpendicular al vector de velocidad v en P. 8. Sea el campo vectorial F continuamente derivable en la región D conectada simplemente. Así, ∇ × F ≡ 0 en D si y sólo si la integral de línea # F · T ds es independiente de la trayectoria en D. 9. Sea el campo vectorial F continuamente derivable en la región D conectada simplemente. Entonces, ∇ × F ≡ 0 en D si y sólo si F es el gradiente de alguna función de variable escalar en D. 10. Sea el campo vectorial F continuamente derivable en la región D conectada simplemente. Si tanto ∇ × F ≡ 0 y ∇ · F ≡ 0 en D, entonces F es el gradiente de una función de variable escalar φ en D que satisface la ecuación de Laplace @  @  @  C C H : @X @ Y @Z 

14.7 CONCEPTOS: PREGUNTAS Y ANÁLISIS 1. La “componente” P de la ecuación (5) se estableció en la demostración parcial del teorema de Stokes incluida en esta sección. ¿Qué cambios se requeriría hacer en la derivación para establecer las “componentes” Q y R de la ecuación (5)? 2. Suponga que C1 y C2 son curvas suaves por segmentos cerradas en el espacio, cada uno es la frontera de un disco parametrizado suave por segmentos (entonces, ¿C1 y C2 necesariamente forman la frontera de algún anillo curvilíneo?). ¿En qué condiciones sobre el campo vectorial F se concluye que &
4 DS H #

&
4 DS #

14.7 PROBLEMAS En los problemas 1 a 5, use el teorema de Stokes para evaluar .RIZO & /
N D 3: 3

1. F = 3yi − 2xj + xyzk; S es la superficie hemisférica Z H  X  Y  con vector unitario superior normal. 2. F = 2yi + 3xj + e z k; S es la parte del paraboloide z = x 2 + y 2 debajo del plano z = 4, y con vector superior unitario normal. 3. F = xy, −2, arctan x 2; S es la parte del paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 arriba del plano xy y con vector superior unitario normal. 4. F = yzi + xzj + xyk; S es la parte del cilindro x 2 + y 2 = 1 entre los dos planos z = 1 y z = 3, y con vector exterior unitario normal. 5. F = yz, – xz, z 3; S es la parte del cono Z H X  C Y  entre los dos planos z = 1 y z = 3, y con vector superior unitario normal. En los problemas 6 a 10, use el teorema de Stokes para evalar &
4 DS: #

6. F = 3yi − 2xj + 3yk; C es la circunferencia x 2 + y = 9, z = 4 orientado en contra del movimiento de las manecillas del reloj vistas desde arriba. 7. F = 2zi + xj + 3yk; C es la elipse en la que el plano z = x encuentra al cilindro x 2 + y = 4, orientado en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj vistas desde arriba. 8. F = yi + zj + xk; C es la frontera del triángulo con vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0, 2, 2), orientado contra el movimiento de las manecillas del reloj vistas desde arriba. 9. F = y − x, x − z, x− y; C es la frontera de la parte del plano x + 2y + z = 2 que se encuentra en el primer octante, orientado en contra del sentido de las manecillas del reloj vistas desde arriba. 10. F = y 2 i + z 2 j + x 2 k; C es la intersección del plano z = y y el cilindro x 2 + y = 2y, orientado contra el sentido del movimiento de las manecillas del reloj vistas desde arriba. En los problemas 11 a 14, primero demuestre que el campo vectorial dado F es irrotacional; después aplique el método del ejemplo 3 para encontrar una función potencial φ = φ(x, y, z) para F.  & H .Y Z/I C .X C Z/J C .Y X/K  & H .Y  X Z  /I C X Y  J X  ZK

Capítulo 14

 & H .E Z Y SEN X/I C . COS X/J C . C XE Z /K 

 & H R R DONDE R H XI C YJ C ZK Y R H jRj

20. Suponga que S es una superficie cerrada que limita la región T. Demuestre que

15. Suponga que r = xi + yj + zk y que a es un vector constante. Demuestre que A r
.A  R/ H 

r  & D 6:

N  & D3 H 3

4

[Sugerencia: aplique el teorema de la divergencia a F × a, donde a es un vector constante arbitrario.]

B r  .A  R/ H A C r
T.R
R/AU H R
A

OBSERVACIÓN Las fórmulas en el problema 20, el teorema de la divergencia, y el problema 20 de la sección 14.6, todos siguen el patrón

D r  T.R
R/AU H .R  A/

16. Demuestre que

N

.RIZO & /
N D 3

.

r

/ D3 H

3

3

tiene el mismo valor para todas las superficies S orientadas que tienen la misma curva C de frontera orientada. 17. Suponga que S es una superficie cerrada. Demuestre de dos maneras diferentes que .RIZO &/
N D 3 H V

/ D 6;

donde  denota una multiplicación ordinaria, el producto punto o el producto vectorial, y dentro de los paréntesis se coloca una función escalar o función de variable vectorial, según sea lo apropiado.  21. Suponga que la integral de línea C F · T ds es independiente de la trayectoria. Si 0

a) con el uso del teorema de la divergencia, con T como la región limitada fuera por S, y b) con el empleo del teorema de Stokes, con la ayuda de una curva simple cerrada C sobre S. Las integrales de línea, integrales de superficie e integrales triples de funciones de variable vectorial, se definen por medio de integración por componentes. Dichas integrales aparecen en los problemas 18 a 20. 18. Suponga que C y S están descritas en el enunciado del teorema de Stokes y que φ es una función escalar. Demuestre que N  r D 3:

4 DS H

.X; Y; Z/ H

como en la ecuación (11), demuestre que ∇φ = F [Sugerencia: si L es el segmento de recta que va de (x, y, z) a (x+x, y, z), entonces XC X

.X C

X; Y; Z/ .X; Y; Z/ H

&
4 DS H ,

0 D XU: X

22. Sea T el cuerpo sumergido del problema 21 de la sección 14.6, con centroide  R H R D 6: 6 4

3

.A  R/
4 DS H A


&
4 DS 0

[Sugerencia: aplique el teorema de Stokes con F = φa, donde a es un vector constante arbitrario.] 19. Suponga que a y r son las del problema 15. Demuestre que #

.

4

3

#

Repaso 1143

N D 3: 3

El par respecto de r0 de la fuerza de flotación de Arquímedes B = −W k está dado por ,H

.R R /  .GZ N/ D 3: 3

(¿Por qué?) Aplique el resultado del problema 20 de esta sección para demostrar que L = 0. Se sigue que B actúa a lo largo de la recta vertical a través del centroide r0 del cuerpo sumergido (¿por qué?).

CAPÍTULO 14: REPASO Comprensión: conceptos, definiciones y resultados Consulte las páginas de la lista para repasar los conceptos, definiciones y resultados de este capítulo que necesite usted entender. Sección Páginas 14.1 Una función de variable vectorial F = P, Q, R como campo vectorial F = Pi + Qj + Rk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 @F @F @F El campo vectorial gradiente r F H I CJ C K de una función escalar f . . . . . 1081 @X @Y @Z @1 @2 @0 C C del campo vectorial F. . . . . . . . . . . . . 1082 La divergencia de r
& H @X @Y @Z La definición del determinante del rizo ∇ × F del campo vectorial F . . . . . . . . . . . . . 1083

1144 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

CAPÍTULO 14: REPASO (continuación) Comprensión: conceptos, definiciones y resultados (continuación) F .X; Y; Z/ DS de la función f a lo largo de la curva

14.2 La integral de línea #

paramétrica C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087 F .X; Y; Z/ DS como integral de línea respecto de la longitud

La integral de línea #

de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087 La masa y el centroide de una curva dadas como integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . 1088 0 D X C 1 DY C 2 DZ respecto a las variables coordenadas . . . 1089-1090

La integral de línea #

Orientación de una curva determinada por su parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 El trabajo 7 H

&
4 DS H #

&
DR realizado por el campo de fuerzas F a lo #

largo de la curva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 &
4 DS H

La equivalencia #

0 D X C 1 DY C 2 DZ de las integrales de línea . . . . 1094 #

14.3 El teorema fundamental del cálculo para las integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097 Definición de independencia de la trayectoria para las integrales de línea . . . . . . . . . . 1098 &
4 DS es independiente de la trayectoria si F es un campo vectorial

El hecho de que #

del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 Un campo vectorial conservativo F = ∇ f y su función potencial f . . . . . . . . . . . . . . . 1101 El hecho de que F = Pi + Qj es conservativo sobre un rectángulo si y sólo si Py = Qx . 1102 14.4 El enunciado y significado del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 Aplicación del teorema de Green para el cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 El flujo

H

&
N DS del campo vectorial F a través de la curva plana C . . . . . . . . . 1111 &
N DS H

La forma vectorial

r
F d A del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 1112

#

2

F .X; Y; Z/ D 3 respecto del área superficial 1117

14.5 Definición de la integral de superficie 3

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY respecto de los

La integral de superficie 3

elementos coordenados del área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119-1120 &
N D3 H

La equivalencia

0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY. . . . . . . . . . . . . . . 1120

3

El flujo

H

3

&
N D 3 del campo vectorial F a través de la superficie S . . . . . . . . . 1121 3

14.6 El enunciado y significado del teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128 &
N D3 H

La fórmula de la divergencia 3

r
& D 6 y su forma cartesiana . . 1128 4

La divergencia ∇ · F(P) como el flujo del campo vectorial F hacia afuera del punto P 1131 El teorema de la divergencia para regiones más generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132 14.7 El enunciado y significado del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136 &
4 DS H

La fórmula de Stokes #

.RIZO &/
N D 3 y su forma cartesiana (escalar) 1136-1137 3

El rizo de F en el punto P y la circulación de F respecto de curvas cerca de P. . . . . . . 1139 Campos conservativos e irrotacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139

Capítulo 14

Problemas diversos 1145

CAPÍTULO 14: REPASO (continuación) Objetivos: métodos y técnicas Resuelva los problemas listados en cada sección de este capítulo para practicar los métodos y técnicas que necesita para lograr su dominio. Sección Problemas 14.1 Dibujar vectores comunes en un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 9 Cálculo de la divergencia y rizo de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 19 Comprobar las identidades de los campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 28, 32, 36 14.2 Evaluar una integral de línea dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 7, 9, 11, 15 Calcular masas y centroides de conductores curvos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 21, 23 14.3 Encontrar una función de potencial para un campo vectorial conservativo . . . . . . . . . . 1, 5, 9, 29 Comprobar que una integral de línea es independiente de la trayectoria . . . . . . . . . . . . 21, 25 14.4 Evaluar una integral de línea dada con el uso del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . 1, 5, 9 Calcular el área de una región plana con el empleo del teorema de Green . . . . . . . . . . 13 Evaluar el trabajo realizado por un campo vectorial con la utilización del teorema de Green . 17, 19 Calcular una integral de flujo por medio del teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23 Con el teorema de Green, comprobar las fórmulas de integrales vectoriales . . . . . . . . 29, 31 14.5 Evaluar una integral de superficie dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 7, 11 Evaluar una integral de flujo dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 15, 21, 23 Encontrar el centroide de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 27 14.6 Comprobar la fórmula del teorema de la divergencia con cálculo directo . . . . . . . . . . . 1, 5 Evaluar una integral de flujo con el uso del teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 13 Emplear el teorema de la divergencia para comprobar las fórmulas de integrales vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 17, 18 14.7 Usar el teorema de Stokes para evaluar una integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3, 5 Con el teorema de Stokes, evaluar una integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9 Encontrar una función de potencial para un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Comprobar las fórmulas de integrales vectoriales con la utilización del teorema de Stokes . 16, 17, 18

PROBLEMAS DIVERSOS 1. Evalúe la integral de línea .X  C Y  / DS; #

donde C es el segmento de línea recta que va de (0, 0) a (3, 4). 2. Evalúe la integral de línea

5. Evalúe la integral de línea p p Z D X C X DY C Y  DZ; #

donde C es la curva x = t, y = t 3/2, z = t 2, 0 t 4. 6. Aplique el teorema 2 de la sección 14.3 para demostrar que la integral de línea Y  D X C X Y DY C Z DZ

Y  D X C X  DY; #

#

donde C es la parte de la gráfica de y = x 2 de (−1, 1) a (1, 1). 3. Evalúe la integral de línea

del punto fijo A al punto fijo B es independiente de la trayectoria C que va de A a B. 7. Aplique el teorema 2 de la sección 14.3 para demostrar que la integral de línea

&
4 DS;

X  Y D X C X Y  DY

#

donde F = xi + yj + zk y C es la curva x = e 2t, y = e t, z = e –t, 0 t ln 2. 4. Evalúe la integral de línea X YZ DS; #

donde C es la trayectoria de (1, 1, 2) a (2, 3, 6) que consiste en tres segmentos de línea recta, la primera de las cuales es paralela al eje x, la segunda paralela al eje y, y la tercera paralela al eje z.

#

no es independiente de la trayectoria C de (0, 0) a (1, 1). 8. Un conductor con la forma de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2, z = 0, tiene densidad constante y masa total M. Encuentre su momento de inercia respecto de a) el eje z; b) el eje x. 9. Un conductor en forma de la parábola y =  x 2, 0 x 2, tiene función densidad δ = x. Encuentre su masa y su momento de inercia respecto del eje y. 10. Determine el trabajo realizado por el campo de fuerza F = zi – xj + yk al mover una partícula de (1, 1, 1) a (2, 4, 8) a lo largo de la curva y = x 2, z = x 3.

1146 CAPÍTULO 14

Cálculo vectorial

11. Aplique el teorema de Green para evaluar la integral de línea

19. Sea T la frontera sólida limitada por los paraboloides Z H X  C Y 

X  Y D X C X Y  DY; #

donde C es la frontera de la región entre las dos curvas y = x 2 y y = 8 – x 2. 12. Evalúe la integral de línea X  DY; #

donde C es el cardioide con ecuación polar r = 1 + cos θ, aplicando primero el teorema de Green y cambiando después a coordenadas polares. 13. Sea C1 la circunferencia x 2 + y 2 = 1 y C2 la circunferencia (x – 1) 2 + y 2 = 9. Demuestre que si F = x 2 yi – xy 2j, entonces &
N DS H #

y suponga que F = xi + yj + zk. Encuentre por evaluación de las integrales de superficie el flujo hacia afuera de F a través de la frontera de T. 20. Dé una definición razonable —en términos de una integral de superficie— de la distancia promedio del punto P desde los puntos de la superficie S. Después demuestre que la distancia promedio de un punto fijo de una superficie esférica de radio a desde todos los puntos de la superficie, es  a. 21. Suponga que la superficie S es la gráfica de la ecuación x = g(y, z) para (y, z) en la región D del plano yz. Demuestre que 0 DY DZ C 1 DZ D X C 2 D X DY 3

&
N DS #

donde n es un vector exterior unitario en el plano. 14. a) Sea C el segmento de línea recta de (x1, y1) a (x2, y2). Demuestre que Y D X C X DY H X Y X Y :

Z H  X  Y  ;

Y

01

H $

F .X; Y; Z/ D 3 H

donde xn+1 = x1 y yn+1 = y1. 15. Suponga que la integral de línea ∫C P dx + Q dy es independiente de la trayectoria en la región plana D. Demuestre que 0 D X C 1 DY H  #

para toda curva C suave por segmentos, simple y cerrada, en D. 16. Use el teorema de Green para demostrar que 0 D X C 1 DY H  #

para toda curva C suave por segmentos, simple y cerrada, en la región plana D si y sólo si ∂ P/∂ y = ∂ Q/∂ x en cada punto de D. 17. Evalúe la integral de superficie 

F .X; G.X; Z/; Z/ SEC D X DZ;

3

$

donde SEC H  C .@ Y=@ X/ C .@ Y=@Z/  23. Sea T una región en el espacio con volumen V, superficie de frontera S, y centroide ( X , Y , Z ). Use el teorema de la divergencia para demostrar que ZH

 6

3

X  C Y C Z

A;

sin realizar en realidad una antiderivación.

:

+ r  U D 6:

2H "

26. El significado de la capacidad calorífica es que si u es pequeña, entonces se requieren (cu)V calorías de calor para elevar en u grados la temperatura del volumen V. Se sigue que la tasa con que el volumen V absorbe calor es c(∂u/∂t)V (¿por qué?) Concluya que la tasa del flujo de calor hacia B es

&
N D3 3

Z

Los problemas 25 a 27 bosquejan la obtención de la ecuación de calor para un cuerpo con temperatura u = u(x, y, z, t) en el punto (x, y, z) en el momento t. Denote con K y con c su conductividad y capacidad calorífica, respectivamente, y suponga que ambas son constantes, y sea k = K/c. Sea B una bola sólida pequeña dentro del cuerpo, y con S se denota la esfera de frontera de B. 25. Deduzca del teorema de la divergencia y la ecuación (23) de la sección 14.5, que la tasa de flujo de calor a través de S hacia B es

.X C Y C Z/ D 3;

donde S es la parte del paraboloide z = 2 – x 2 – y 2 que se encuentra sobre el plano xy. 18. Suponga que F = (x 2 + y 2 + z 2) (xi + yj + zk) y que S es la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = a 2 Evalúe

Z  D X D Y:

24. Aplique el resultado del problema 23 para encontrar el centroide del hemisferio sólido



3

DY DZ:

22. Suponga que la superficie S es la gráfica de la ecuación y = g(x, z) para (x, z) en la región D del plano xz. Demuestre que

#

b) Suponga que los vértices de un polígono son (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn , yn), denotados contra la dirección del movimiento de las manecillas del reloj alrededor del polígono. Aplique el resultado del inciso a) para demostrar que el área del polígono es  N !H .XI YIC XIC YI /;  IH

@X @X 2 @Y @Z

2H

C "

@U D 6: @T

Capítulo 14

27. Iguale los resultados de los problemas 25 y 26, aplique la propiedad del valor promedio de las integrales triples, y después obtenga el límite cuando el radio de la bola B tiende a cero. De ese modo, deberá obtener la ecuación de calor @U H K r  U: @T 28. Para una función de temperatura de estado estable (aquella que es independiente del tiempo t), la ecuación de calor se reduce a la ecuación de Laplace, @ U @ U @ U r  U H  C  C  H : @X @Y @Z a) Suponga que u1 y u2 son dos soluciones de la ecuación de Laplace en la región T y que u1 y u2 concuerdan sobre su superficie de frontera S. Aplique el problema 17 de la sección 14.6 a la función f = u1 − u2 para concluir que ∇f = 0 en cada punto de T. b) De los hechos de que ∇f = 0 en T y f ≡ 0 sobre S, concluya que f ≡ 0, por lo que u1 ≡ u2. Así, las temperaturas de estado estable dentro de una región están determinadas por los valores de temperatura de la frontera. 29. Suponga que r = xi + yj + zk y que φ(r) es una función escalar de r = |r|. Calcule A r.R / B DIV T.R /RU C RIZO T.R /RU 30. Sea S la mitad superior del toro obtenido al hacer girar alrededor del eje z la circunferencia ( y – a)2 + z2 = b2 (a > b > 0) en el plano yz, con un vector unitario superior normal. Describa cómo se subdivide S para establecer el teorema de Stokes para aquél. ¿Cómo están orientadas las dos circunferencias de frontera? 31. Explique por qué el método de la subdivisión no es suficiente para establecer el teorema de Stokes para la banda de Möbius de la figura 14.5.3.

Problemas diversos

1147

32. a) Suponga que un fluido o un cuerpo rígido gira con velocidad angular de ω radianes por segundo alrededor de la recta que pasa por el origen y está determinada por el vector unitario u. Demuestre que la velocidad del punto con vector de posición r es v = ω × r, donde ω = ωu es el vector de velocidad angular. Obsérvese que |v| = ω|r|sen θ, donde θ es el ángulo entre r y ω. b) Utilice el hecho de que v = ω × r, establecido en el inciso a), para demostrar que rizo v = 2ω. 33. Considere un fluido incompresible que se mueve por un espacio (no hay fuentes o sumideros) con densidad variable δ(x, y, z, t) y campo de velocidades v(x, y, z, t). Sea B una bola pequeña con radio r y superficie esférica S con centro en el punto (x0, y0, z0). Así, la cantidad de fluido dentro de S en el momento t es 1.T/ H

 D 6; "

y la derivación con el signo de integral lleva a 1 .T/ H "

@ D 6: @T

a) Considere un fluido que pasa a través de S para obtener 1 .T/ H

V
N D 3; 3

donde n es el vector unitario exterior normal S. Ahora aplique el teorema de la divergencia para convertir esto en una integral de volumen. b) Iguale las dos integrales de volumen para Q (t), aplique el teorema del valor medio para integrales, y por último obtenga los límites cuando r → 0 para obtener la ecuación de continuidad @ C r
.V/ H : @T

Apéndices APÉNDICE A: NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES Todos conocen ya los números reales. Son precisamente esos números que se usan en forma común en la mayor parte de las mediciones. La masa, la velocidad, la temperatura y la carga de un cuerpo se miden con números reales. Los números reales se pueden representar como expresiones decimales que terminan o no terminan; de hecho, cualquier número real tiene una expresión decimal no terminal porque a cualquier expresión terminal se le puede añadir un número infinito de ceros.  H : H : : : : :  #UALQUIERDECIMALREPETIDO COMOEN  H : : : : ; 

representa un número racional, uno que es el cociente o razón de dos enteros. Inversamente, cualquier número racional está representado por números decimales repetidos como los dos anteriores. Pero la expresión decimal de un número irracional (un número real que no es racional), como p  H : : : : O  H : : : : ; no termina y no se repite. La interpretación geométrica de los números reales como puntos en la recta real (o recta de los números reales) R también debe ser familiar. Cada número real está representado exclusivamente por un punto de R y cada punto de R representa precisamente un número real. Por convención, los números positivos se colocan a la derecha del cero y los números negativos a la izquierda, como se aprecia en la figura A.1.



 

P













x

x

FIGURA A.1 La recta real R.

Las siguientes propiedades de las desigualdades de números reales son fundamentales y se usan con frecuencia: 3I A < B Y B < C ENTONCES A < C 3I A < B ENTONCES A C C < B C C 3I A < B Y C >  ENTONCES AC < BC



3I A < B Y C <  ENTONCES AC > BC

Las dos últimas expresiones significan que una desigualdad se conserva cuando sus miembros se multiplican por un número positivo, pero se invierte cuando se multiplican por un número negativo.

A-1

A-2 APÉNDICES

VALOR ABSOLUTO La distancia (no negativa) a lo largo de la recta real entre el cero y cualquier número real a es el valor absoluto de a, escrito como |a|. jAj D

A A

SI A I SI A < :



La notación a 0 significa que a es ya sea mayor que cero o bien igual a cero. La ecuación (2) implica que |a| 0 para cualquier número real a y que |a|  0 si y sólo si a = 0. \ \



EJEMPLO 1

\\ 

jj H 



FIGURA A.2 El valor absoluto de un número real es simplemente su distancia al cero (ejemplo 1).

Como muestra la figura A.2, Y jj D :

Aún más, |0| = 0 y | − 2| = 2 − , esto último es cierto porque 2 > − 2 < 0 y por lo tanto p p p   D   H  :

. Entonces Z

Las siguientes propiedades de los valores absolutos se usan con frecuencia: p jAj H jAj D A  ; jABj D jAj jBj;  jAj A jAj; Y jAj < B SIYS˜LOSI B < A < B:

\B A\ O \A B\ A

B

FIGURA A.3 Distancia entre a y b.

La distancia entre los números reales a y b está definida como |a − b| (o |b − a|; no hay diferencia). Esta distancia es simplemente la longitud del segmento de la recta real R con puntos extremos a y b (figura A.3). Las propiedades de las desigualdades y de los valores absolutos en las ecuaciones (1) a (3) implican el importante teorema siguiente

TEOREMA 1 Desigualdad del triángulo Para todos los números reales a y b, jA C Bj

jAj C jBj:



Demostración Hay muchos casos que considerar, dependiendo de si los dos números a o b son positivos o negativos y cuál tiene el valor absoluto mayor. Si ambos son positivos, también a + b lo es; en este caso,

jA C Bj D A C B D jAj C jBj:



Si a > 0 pero b < 0 y |b| < |a|, entonces  < A C B < A; \B\ 

AB

\B\ A\A\

\A\\B\

FIGURA A.4 Desigualdad del triángulo con a > 0, b < 0 y |b| < |a|.

DEMANERAQUE jA C Bj H A C B < A D jAj < jAj C jBj;



como se ilustra en la figura A.4. Los otros casos son similares. En particular, vemos que la desigualdad del triángulo es en realidad una igualdad [como en la ecuación (5)] a menos que a y b tengan signos diferentes, en cuyo caso es estrictamente una desigualdad [como en la ecuación (6)]. X

APÉNDICE A A-3

INTERVALOS Suponga que S es un conjunto (o colección) de números reales. Es común describir a S con la notación 3 D fX V CONDICI˜Ng;

donde la “condición” es verdadera para aquellos números x en S y falsa para aquellos números x que no están en S. Los conjuntos de números reales más importantes en cálculo son los intervalos. Si a < b, entonces el intervalo abierto (a, b) está definido como el conjunto .A; B/ D fX V A < X < Bg

de números reales y el intervalo cerrado [a, b] es X

TA; BU D fX V A  

De esta manera, un intervalo cerrado contiene sus puntos extremos mientras que un intervalo abierto no los contiene. También usamos intervalos semiabiertos TA; B/ D fX V A

;  = ;    = ;  d

Bg:

X < Bg

Y

.A; BU H fX V A < X

Bg:

Así, el intervalo abierto (1, 3) es el conjunto de números reales x para los cuales 1 < x < 3, el intervalo cerrado [−1, 2] es el conjunto de números reales x para los cuales −1 x 2 y el intervalo semiabierto (−1, 2] es el conjunto de números reales x tales que −1 < x 2. En la figura A.5 se muestran ejemplos de estos intervalos así como de algunos intervalos no acotados que pueden ser de las formas siguientes

 d 

TA; C1/ D fX .1; AU D fX .A; C1/ H fX Y .1; A/ H fX

FIGURA A.5 Algunos ejemplos de intervalos de números reales.

V V V V

X Ag; X Ag; X > Ag; X < Ag:

Los símbolos +∞ y −∞, denotan “más infinito” y “menos infinito”. Son exclusivamente conveniencias de notación y no representan números reales: la recta real R no tiene “puntos extremos en infinito”. El uso de estos símbolos está motivado por las descripciones naturales y breves [π, +∞) y (−∞, 2) para los conjuntos fX V X

g

de todos los números reales x tales que x

Y fX V X < g

π y x < 2, respectivamente.

DESIGUALDADES El conjunto de soluciones de una desigualdad que contiene una variable x es por lo general un intervalo o una unión de intervalos, como en los siguientes ejemplos. El conjunto de soluciones de una de estas desigualdades es, simplemente, el conjunto de todos los números reales x que satisfacen la desigualdad. EJEMPLO 2

Resuelva la desigualdad 2x − 1 < 4x + 5.

Solución Usando las propiedades de las desigualdades dadas en (1), procedemos como si resolviéramos una ecuación en x: aislamos x en un solo lado de la desigualdad. Aquí comenzamos con X  < X C 

y deducimos que  < X D I  < XI  < X:

Entonces, el conjunto de soluciones es el intervalo no acotado (−3, +∞). EJEMPLO 3

Resuelva la desigualdad −13 < 1 − 4x

7.

Z

A-4 APÉNDICES

Solución Se simplifica la desigualdad de la forma siguiente:  <  X I  X  < I  X < I 

X <  :

Así, el conjunto de soluciones de la desigualdad dada es el intervalo semiabierto Z T  ;  / EJEMPLO 4

Resuelva la desigualdad |3 − 5x| < 2.

Solución De la cuarta propiedad de los valores absolutos en (3), vemos que la desigualdad dada es equivalente a −2 < 3 − 5x < 2. Simplificamos como en los dos ejemplos anteriores:  < X < I  

< X < :

Por lo que el conjunto de soluciones es el intervalo abierto EJEMPLO 5

 ; 



Z

Resuelva la desigualdad  < : jX j

Solución Normalmente es más conveniente comenzar eliminando el denominador que contiene la variable desconocida. En este caso multiplicamos cada término por la cantidad positiva |2x − 3| para obtener la desigualdad equivalente |2x − 3| > 5. De la última propiedad en (3) se tiene que esto es cierto si y sólo si 2x − 3 < −5

o

2x − 3 > 5.

Las soluciones de estas dos desigualdades son los intervalos abiertos (−∞, −1) y (4, +∞) respectivamente, por lo que el conjunto de soluciones para la desigualdad original consiste en todos los números x que están en cualquiera de esos dos intervalos abiertos. Z La unión de dos conjuntos S y T es el conjunto S ∪ T dado por S ∪ T = { x : ya sea x ∈ S o x ∈ T o ambos) Entonces el conjunto de soluciones del ejemplo 5 se puede escribir de la forma (−∞, −1) ∪ (4, +∞). EJEMPLO 6 Según la ley de Boyle, la presión p (en libras por pulgada cuadrada) y el volumen V (en pulgadas cúbicas) de cierto gas satisface la condición pV = 100. Suponga que 50 V 150. ¿Cuál es el rango de valores posibles de p?

Solución Si sustituimos V = 100/p en la desigualdad dada 50 V 150, obtenemos  :  P De donde ambos 

 P

Y

 P

Y

P

I

es decir, que ambos P



 : 

De donde la presión p debe estar en el intervalo cerrado T  ; U

Z

APÉNDICE A A-5

La intersección de dos conjuntos S y T es el conjunto S ∩ T definido como S ∩ T = {x : x ∈ S y x ∈ T}. Entonces la solución del ejemplo 6 es el conjunto (−∞, 2] ∩ [  , +∞) = [  , 2].

APÉNDICE A PROBLEMAS Simplifique las expresiones en los problemas 1 a 12, rescribiéndolas sin utilizar los símbolos de valor absoluto.  j j  jj C jj  :

 

 jj jj jj jj C jj p   

 j./. /j



 j./ j  

 

 jX j

 j j DADO X < 

 jX j C jX j

#ORRIENTE)AMPERES

DADO jX j < 

Resuelva las desigualdades en los problemas 13 a 31. Escriba cada conjunto de soluciones con la notación de intervalos.  X  <    X >   X  

 X C  

  X < 

  X > 

  < X C  < 

  X  

   X < 

  <  X < 

 j Xj < 

 jX C j 

 j Xj > 

  < jX j < 

  j Xj 





  X



 j Xj

38. La relación entre las temperaturas en grados Fahrenheit F y centígrados C está dada por F = 32 +  C. Si la temperatura de un cierto día va de una baja de 70°F a una alta de 90°F, ¿cuál es el intervalo de temperaturas en grados centígrados? 39. Un circuito eléctrico contiene una batería que proporciona E volts en serie con una resistencia de R ohms, como se muestra en la figura A.6. La corriente de I amperes que fluye en el circuito satisface la ley de Ohm, E = IR. Si E = 100 y 25 < R < 50, ¿Cual es el intervalo de valores posibles de I?



 > X C    0. [Sugerencia: de la factorización de x2 − x − 6 = (x − 3) (x + 2) concluya que las cantidades x − 3 y x + 2 son ambas positivas o ambas negativas. Considere los dos casos por separado para deducir que el conjunto de soluciones es (−∞, −2) ∪ (3, ∞).] Use el método del problema 32 para resolver las desigualdades de los problemas 33 a 36.  X  X  >   X  X C  <   X  X C  

 X

 X 

37. De acuerdo con la ley de Boyle, la presión p (en libras por pulgada cuadrada) y el volumen V (en pulgadas cúbicas) de cierto gas satisface la condición pV = 800. ¿Cuál es el rango de valores posibles de la presión dado que 100 V 200?

"ATER¤A %VOLTS

2ESISTENCIA 2OHMS

FIGURA A.6 Un circuito eléctrico simple.

40. El periodo T (en segundos) de un péndulo p simple con longitud L (en pies) está dado por 4 D  ,= Si 3 < L < 4, ¿cuál es el intervalo de valores posibles de T ? 41. Use las propiedades de las desigualdades en (1) para demostrar que la suma de dos números positivos es positiva. 42. Use las propiedades de las desigualdades de (1) para demostrar que el producto de dos números positivos es positivo. 43. Demuestre que el producto de dos números negativos es positivo y que el producto de un número positivo y un negativo es negativo. 44. Suponga que a < b y que a y b son tanto positivos como negativos. Demuestre que 1/a > 1/b. 45. Aplique la desigualdad del triángulo dos veces para demostrar que |a + b + c|

|a| + |b| + |c|

para números reales arbitrarios a, b y c. 46. Escriba a = (a − b) + b para deducir de la desigualdad del triángulo que |a| − |b|

|a − b|

para números reales arbitrarios a y b. 47. Deduzca de la definición en (2) que |a| < b si y sólo si −b < a < b.

A-6 APÉNDICES

APÉNDICE B: EL PLANO COORDENADO Y LÍNEAS RECTAS Y    













X







FIGURA B.1 Plano coordenado.

Y

Y

0X Y

X

X

FIGURA B.2 El punto P tiene coordenadas rectangulares (x1, y1).

" C

!

B

A #ÖNGULO RECTO

FIGURA B.3 Teorema de Pitágoras.

Imagine el plano de dos dimensiones de la geometría de Euclides, llano, sin rasgos distintivos. Coloque una copia de la recta real R, en forma horizontal con los números positivos a la derecha. Coloque otra copia de R perpendicular a la primera, con las dos rectas que se cruzan en el cero de cada una. La recta vertical deberá tener los números positivos arriba de la recta horizontal como en la figura B.1; entonces los números negativos están abajo de la horizontal. La línea horizontal se llama eje x y la línea vertical eje y. Con estos rasgos agregados, llamamos al plano el plano coordenado, porque ahora es posible localizar cualquier punto en él por medio de un par de números, llamados coordenadas del punto. Esto se hace como sigue: si P es un punto en el plano, trazamos perpendiculares de P a los ejes coordenados, como se ve en la figura B.2. Una perpendicular encuentra el eje x en la coordenada x (o abscisa) de P, marcada x1 en la figura B.2. La otra encuentra el eje y en la coordenada y (u ordenada) y1 de P. Este par de números (x1, y1), en ese orden, se llama el par de coordenadas de P, o simplemente las coordenadas de P. Para abreviar hablamos del “punto P(x1, y1)”. Este sistema de coordenadas se conoce como sistema coordenado rectangular, o sistema coordenado cartesiano (porque al iniciar la década de 1630, el matemático y filósofo francés René Descartes [1596-1650] popularizó su uso). Este plano, con las coordenadas asignadas así, se denota por R2 porque se usan dos copias de R para crearlo; también se conoce como plano cartesiano. Las coordenadas rectangulares son fáciles de usar porque P(x1, y1) y Q(x2, y2) corresponden al mismo punto si, y sólo si, x1 = x2 y y1 = y2. Así, cuando sabe que P y Q son dos puntos diferentes, puede concluir que P y Q tienen abscisas diferentes, ordenadas diferentes o ambas. El punto de simetría (0, 0), donde los dos ejes coordenados se cruzan, se conoce como el origen. Todos los puntos del eje x tienen coordenadas de la forma (x, 0). Aunque el número real x no es lo mismo que el punto con coordenadas (x, 0), existen situaciones en las que es conveniente pensar que son lo mismo. Comentarios similares se pueden hacer del punto (0, y) en el eje y. El concepto de distancia en el eje coordenado se basa en el teorema de Pitágoras: Si ABC es un triángulo rectángulo con su ángulo recto en el punto C, con hipotenusa de longitud c y las longitudes de los otros lados a y b (como en la figura B.3), entonces C H A  C B :  El inverso del teorema de Pitágoras también es cierto: si los tres lados de un triángulo satisfacen la relación de Pitágoras en la ecuación (1), entonces el ángulo opuesto al lado c debe ser un ángulo recto. La distancia d(P1, P2) entre los puntos P1 y P2 es, por definición, la longitud del segmento de recta que une a los puntos P1 y P2. La fórmula siguiente proporciona d(P1, P2) en términos de las coordenadas de los dos puntos.

Fórmula de la distancia La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es D.0 ; 0 / D

.X X / C .Y Y / :



Demostración Si x1 H x2 y y1 H y2, entonces la ecuación (2) se obtiene del teorema

de Pitágoras. Use el triángulo rectángulo con vértice P1, P2 y P3(x2, y1) mostrado en la figura B.4. Si x1 = x2 entonces P1 y P2 están en una línea vertical. En este caso D.0 ; 0 / D jY Y j D

.Y Y / :

Esto está de acuerdo con la ecuación (2) porque x1 = x2. El caso restante (y1 = y2) es similar. X EJEMPLO 1 Demuestre que el triángulo PQR con vértices P(1, 0), Q(5, 4) y R(−2, 3) es un triángulo rectángulo (figura B.5).

APÉNDICE B A-7 Y

Y 0 X Y

1  C

2    \Y Y\

0X Y \X X\

A B

0 X Y X

X

0  

FIGURA B.4 Utilice este triángulo para deducir la fórmula de la distancia.

FIGURA B.5 ¿Es éste un triángulo rectángulo (ejemplo 1)?

Solución La fórmula de distancia ofrece A  D TD.0; 1/U D . / C . / H ; B D TD.0; 2/U D . / C . / H ; 





Y



C D TD.1; 2/U D . / C . / D :

Como a2 + b2 = c2, el inverso del teorema de Pitágoras implica que RPQ es un ángulo recto. (El ángulo recto está en P porque P es el vértice opuesto al lado más largo, QR.) Z Otra aplicación de la fórmula de la distancia es una expresión para el punto medio M de la línea P1P2 con puntos terminales P1 y P2 (figura B.6). Recordemos de geometría que M es el punto (único) en el segmento de recta P1P2 que está a la misma distancia de P1 y de P2. La fórmula siguiente nos dice que las coordenadas de M son los promedios de las coordenadas correspondientes de P1 y P2.

Y 0

-

0 X

Fórmula del punto medio El punto medio del segmento de recta con puntos extremos en P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto M (X , Y) con coordenadas X D  .X C X / Y Y D  .Y C Y /:  Demostración Si sustituye las coordenadas de P1, M y P2 en la fórmula de la dis-

FIGURA B.6 Punto medio M.

tancia encuentra que d(P1, M) = d(P2, M). Todo lo que queda por demostrar es que el punto M se localiza en el segmento de recta P1P2. Hágalo y complete la demostración del problema 31. X

LÍNEAS RECTAS Y PENDIENTES Y

, 0 X Y %LEVACI˜N $YY Y

0X Y 2ECORRIDO $ XX X

X D X X

0 X Y X

FIGURA B.7 La pendiente de una línea recta.

Ahora queremos definir la pendiente de una recta, una medida de su tasa de crecimiento o decaimiento de izquierda a derecha. Dada una línea recta L no vertical en el plano coordenado, elija dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en L. Considere los incrementos x y y (leídos “delta x” y “delta y”) en las coordenadas x y y desde P1 y P2. Estos incrementos se definen como sigue: Y

Y D Y Y :



Los ingenieros (y otros) llaman a x el recorrido de P1 a P2 y a y la elevación de P1 a P2, como en la figura B.7. La pendiente m de la recta L no vertical está definida como la razón de la elevación al recorrido: MD

Y Y Y : D X X X



Ésta es también la definición de la pendiente de una recta en ingeniería civil (y en otras partes). En un libro de topografía es fácil que encuentre la ayuda para memorizar: hPENDIENTE D

ELEVACI˜N v: RECORRIDO

A-8 APÉNDICES Y 0 X Y

,

Y Y

0 X Y X X

0 X Y Y Y

0X Y X X

X

FIGURA B.8 El resultado del cálculo de la pendiente no depende de cuáles de los dos puntos en L se usan.

Recuerde que los lados correspondientes de triángulos semejantes (esto es, con ángulos iguales) tienen las mismas razones. Entonces, si P3(x3, y3) y P4(x4, y4) son otros dos puntos de L, entonces la semejanza de los triángulos en la figura B.8 implica que Y Y Y Y D : X X X X Por lo tanto, la pendiente m según se define en la ecuación (5) no depende de la elección particular de los puntos P1 y P2. Si la recta L es horizontal entonces y = 0. En este caso la ecuación (5) da m = 0. Si L es vertical, entonces x = 0 y la pendiente de L no está definida. Así, tenemos las siguientes afirmaciones: • Las rectas horizontales tienen pendiente cero. • Las rectas verticales no tienen pendiente definida. EJEMPLO 2 a) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, −2) y (−1, 4) es  ./   MD D D : ./    b) Los puntos (3, −2) y (7, −2) tienen la misma coordenada y. Por lo tanto, la recta que pasa por ellos es horizontal y por consiguiente tiene pendiente cero. c) Los puntos (3, −2) y (3, 4) tienen la misma coordenada x. Por ello la recta que pasa por ellos es vertical y su pendiente no está definida. Z

ECUACIONES DE LAS LÍNEAS RECTAS La meta inmediata es escribir la ecuación de una recta. Esto es, si L es una recta en el plano coordenado, queremos construir una oración matemática —una ecuación— acerca de los puntos (x, y) en el plano. Queremos que esta ecuación sea verdadera cuando (x, y) es un punto de L y falsa cuando (x, y) no es un punto de L. Es claro que esta ecuación involucra tanto a x como a y, así como algunas constantes numéricas determinadas por L misma. Para poder escribir esta ecuación, el concepto de la pendiente de L es esencial. Suponga que P(x0, y0) es un punto fijo en una recta no vertical L con pendiente m. Sea P(x, y) cualquier otro punto en L. Aplicamos la ecuación (5) con P y P0 en lugar de P1 y P2 y encontramos que Y Y MH I X X ESTOES Y Y D M.X X /:



APÉNDICE B A-9

Como el punto (x0, y0) satisface la ecuación (6), lo mismo que cualquier otro punto en L y como ningún otro punto en el plano lo puede hacer, la ecuación (6) es en realidad una ecuación para la recta L dada. En resumen, tenemos el siguiente resultado.

La ecuación punto-pendiente El punto P(x, y) se encuentra en la recta con pendiente m y pasa por el punto fijo (x0, y0) si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación Y Y D M.X X /:



La ecuación (6) se conoce como la ecuación punto-pendiente de L, en parte porque las coordenadas del punto (x0, y0) y la pendiente m de L se pueden leer directamente de esta ecuación. EJEMPLO 3 Escriba una ecuación para la recta L, que pasa por los puntos P1(1, −1) y P2(3, 5).

Solución La pendiente m de L se puede obtener de los dos puntos dados: MD

 ./ D : 

Cualquiera P1 o P2 se puede considerar el punto fijo. Usamos P1(1, −1). Luego, con la ayuda de la ecuación (6), la ecuación punto-pendiente de L es Y

Y C  D .X /: YMXB

,¤NEA0ENDIENTEM

Si la simplificación es apropiada, se puede escribir 3x − y = 4 o y = 3x − 4.

Z

La ecuación (6) se puede escribir de la forma Y D MX C B

 B LAINTERCEPCI˜NYESB X

FIGURA B.9 La recta con ecuación y = mx + b tiene una pendiente m e intercepta al eje y en b.



donde b = y0 − mx0 es una constante. Como y = b cuando x = 0, la intercepción y de L es el punto (0, b) mostrado en la figura B.9. Las ecuaciones (6) y (7) son formas diferentes de la ecuación de una recta.

La ecuación pendiente-intercepción El punto P(x, y) está en una línea con pendiente m e intercepción y en b si y sólo si las coordenadas de P satisfacen la ecuación Y D M X C B:



Quizá ya ha notado que las ecuaciones (6) y (7) se pueden escribir en la forma de la ecuación lineal general ! X C "Y D #;



donde A, B y C son constantes. Inversamente, si B H 0, la ecuación (8) se escribe en la forma de la ecuación (7) si se divide cada término por B. Por lo tanto, la ecuación (8) representa una recta cuya pendiente es el coeficiente de x después de despejar y de la ecuación. Si B = 0, la ecuación (8) se reduce a la ecuación de una recta vertical x = K (donde K es una constante). Si A = 0 y B H 0, la ecuación (8) se reduce a la ecuación de una recta horizontal y = H (donde H es una constante). Así, vemos que la ecuación (8) es siempre la ecuación de una recta a menos que A = B = 0. Inversamente, cualquier recta en el plano coordenado —incluso una vertical— tiene una ecuación de la forma de la ecuación (8).

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES Si la recta L no es horizontal, entonces debe cruzar el eje x. Así, su ángulo de inclinación es el ángulo φ medido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde eje x

A-10

APÉNDICES

Y

hasta L. Se deduce que 0° < φ < 180° si φ se mide en grados. La figura B.10 pone de manifiesto que este ángulo φ y la pendiente m de una línea no vertical están relacionados por la ecuación Y MD D TAN :  X Esto es cierto porque si φ es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces tan φ es el cociente del cateto opuesto a φ entre el cateto adyacente a φ. Su intuición le asegura correctamente que dos rectas son paralelas, si y sólo si tienen el mismo ángulo de inclinación. A partir de la ecuación (9) se deduce que dos rectas paralelas no verticales tienen la misma pendiente y que dos rectas con la misma pendiente deben ser paralelas. Esto completa la prueba del teorema 1.

, Y Y X Y 0ENDIENTEM   X X

$Y X Y

F $X

F X

TEOREMA 1 Pendientes de rectas paralelas Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, tienen la misma pendiente.

FIGURA B.10 ¿Cómo se relaciona el ángulo de inclinación φ con la pendiente m?

El teorema 1 también se puede demostrar sin usar la función tangente. Las dos rectas mostradas en la figura B.11 son paralelas, si y sólo si los dos triángulos rectángulos son semejantes, lo que es equivalente a que las pendientes de las rectas sean iguales. Y

EJEMPLO 4 Escriba una ecuación para la recta L que pasa por el punto P(3, −2) y es paralela a la recta L con ecuación x + 2y = 6.

Solución Al despejar y de la ecuación de L, obtenemos Y D  X C  De modo que L tiene pendiente M D   Como L tiene la misma pendiente, su ecuación puntopendiente es Y C  D  .X /I X

Y X Y

Y Y

Y Y

F

F X X

X X X Y

,

, X

FIGURA B.12 Ilustración de la demostración del teorema 2.

Z

TEOREMA 2 Pendientes de rectas perpendiculares Dos rectas L1 y L2 con pendientes respectivas m1 y m2, son perpendiculares si y sólo si M  M  D :  Es decir, la pendiente de cada una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra.

FIGURA B.11 Dos rectas paralelas.

X Y

o si prefiere, x + 2y = −1.

Demostración Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares y las pendientes de cada una existen, entonces ninguna de ellas es horizontal o vertical. Esta situación es parecida a la mostrada en la figura B.12, donde las dos rectas se encuentran en el punto (x0, y0). Es fácil observar que los dos triángulos rectángulos de la figura son semejantes, por lo que la igualdad de las razones de los lados correspondientes lleva a Y Y X X X X  M D D D D : X X Y Y Y Y M

De esta forma, la ecuación (10) se cumple si las dos rectas son perpendiculares. Este argumento se puede invertir para probar el inverso: que las dos rectas son perpendicuX lares si m1m2 = −1. EJEMPLO 5 Escriba una ecuación para la recta L que pasa por el punto P(3, −2) y es perpendicular a la recta L con ecuación x + 2y = 6.

Solución Como vimos en el ejemplo 4, la pendiente de L es M D   Por el teorema 2, la pendiente de L es m = −1/m = 2. Entonces la ecuación punto-pendiente de la recta L es Y C  D .X /I que equivale a 2x − y = 8.

Z

APÉNDICE B

A-11

Considerará conveniente recordar que el signo de la pendiente m de la recta L indica si la elevación es hacia arriba o hacia abajo al mover los ojos de izquierda a derecha. Si m > 0, el ángulo de inclinación φ de L es un ángulo agudo porque m = tan φ. En este caso, L “va hacia arriba” a la derecha. Si m < 0, entonces φ es obtuso por lo que L “va hacia abajo”. La figura B.13 muestra la geometría de estas observaciones. Y

Y

0ENDIENTE POSITIVA

0ENDIENTE NEGATIVA

F AGUDO

F OBTUSO X

X

FIGURA B.13 Pendientes positiva y negativa: su efecto en φ.

INVESTIGACIÓN GRÁFICA Muchos problemas matemáticos requieren la solución simultánea de un par de ecuaciones lineales de la forma A X C B Y D C ; A X C B Y D C :

4%8!3).3425-%.43 TI-83



La gráfica de estas dos ecuaciones es un par de líneas rectas en el plano xy. Si estas dos rectas no son paralelas, entonces deben de intersecarse en algún punto único cuyas coordenadas (x0, y0) constituyen la solución de (11). Esto es, x = x0 y y = y0 son los valores (únicos) de x y y para los cuales las dos ecuaciones en (11) son verdaderas. En álgebra elemental se estudiaron varios métodos de eliminación y sustitución para resolver sistemas lineales como el que tenemos en (11). El ejemplo 6 muestra una alternativa, el método gráfico que es útil cuando se dispone de una calculadora con gráficas o una computadora con programa para graficar.

t

EJEMPLO 6 Queremos investigar la solución simultánea de las ecuaciones lineales X Y D ; X C Y D : FIGURA B.14 Calculadora preparada para graficar las rectas en las ecuaciones (12) (ejemplo 6).

Muchas calculadoras con gráficas requieren primero obtener y de las ecuaciones: Y D . X/=./; Y D . X/=:

  Y 









 X

FIGURA B.15 −5 x 5, −5 y 5 (ejemplo 6).









La figura B.14 muestra una calculadora preparada para graficar las dos rectas representadas por las ecuaciones en (12) y la figura B.15 muestra los resultados en la ventana −5 x 5, −5 y 5. Antes de continuar, observe en la figura B.15 que en apariencia las dos rectas son perpendiculares. Pero sus pendienteas ./=./ D  Y ./= D  no son recíprocos negativos una de otra. Según el teorema 2 las dos rectas no son perpendiculares. Las figuras B.16, B.17 y B.18 muestran amplificaciones sucesivas producidas al “ampliar” sobre el punto de intersección de las dos rectas. El cuadro con línea punteada en cada figura es la ventana de observación de la siguiente. En la figura B.18, observamos que el punto de intersección está dado por la aproximación

A-12

APÉNDICES 









 





Y

Y

Y 



















FIGURA B.16 2 (ejemplo 6).

x





3, 1

y

X





2

 

 X

 

FIGURA B.17 2.75 x 2.85, 1.35 y 1.45 (ejemplo 6).

X  :;

       X

FIGURA B.18 2.80 x 2.81, 1.38 y 1.39 (ejemplo 6).

Y  :;



redondeados a tres decimales. Los resultados en (14) pueden verificarse igualando los lados derechos de (13) y despejando x. Esto proporciona x = 421/150 ≈ 2.8067. Sustituyendo el valor exacto de x en la ecuación (13) se tiene y = 83/60 ≈ 1.3833. El método gráfico ilustrado en el ejemplo 6 produce, por lo general, soluciones aproximadas que son lo suficientemente precisas para propósitos prácticos. Pero el método es especialmente útil cuando se tienen ecuaciones no lineales para las cuales Z las técnicas algebraicas de solución tal vez no estén disponibles.

APÉNDICE B PROBLEMAS Tres puntos A, B y C están en una misma recta, si y sólo si la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC. En los problemas 1 a 4, grafique los tres puntos y luego determine si están o no en la misma recta.  ! .; /; ".; /; #.; /  ! .; /;

".; /;

#.; /

 ! .; /;

".; /;

#.; /

 ! .; /;

".; /;

#.; /

22.

En los problemas 5 y 6, utilice el concepto de pendiente para demostrar que los cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo.  ! .; /; ".; /; #.; /; $.; /  ! .; /;

".; /;

#.; /;

".; /;

23. 24.

$.; /

En los problemas 7 y 8, demuestre que los tres puntos dados son los vértices de un triángulo rectángulo.  ! .; /; ".; /; #.; /  ! .; /;

16. 17. 18. 19. 20. 21.

25. 26.

#.; /

En los problemas 9 a 13, encuentre la pendiente m y la ordenada b de la recta con la ecuación dada. Luego dibuje la recta.  X D Y  X C Y D 

27.

 X Y C  D 

28.

 X C Y D 

 X D  Y

En los problemas 14 a 23, escriba una ecuación para la recta L descrita. 14. L es vertical y su intercepción x es 7. 15. L es horizontal y pasa por (3, −5).

29.

L tiene abscisa 2 y ordenada −3. L pasa por (2, −3) y (5, 3). L pasa por (−1, −4) y tiene pendiente . L pasa por (4, 2) y tiene ángulo de inclinación de 135°. L tiene pendiente 6 e intercepción y igual a 7. L pasa por (1, 5) y es paralela a la recta con ecuación 2x + y = 10. L pasa por (−2, 4) y es perpendicular a la recta con ecuación x + 2y = 17. L es la bisectriz perpendicular del segmento de recta con puntos extremos (−1, 2) y (3, 10). Encuentre la distancia perpendicular desde el punto (2, 1) a la recta con ecuación y = x +1. Encuentre la distancia perpendicular entre las rectas paralelas y = 5x + 1 y y = 5x + 9. Los puntos A(−1, 6), B(0, 0) y C(3, 1) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice? (¿Qué pasa si se omite la palabra consecutivos?) Pruebe que las diagonales del paralelogramo del problema 26 se bisecan entre ellas. Demuestre que los puntos A(−1, 2), B(3, −1), C(6, 3) y D(2, 6) son los vértices de un rombo —un paralelogramo con sus cuatro lados de la misma longitud—. Luego demuestre que las diagonales de este rombo son perpendiculares entre ellas. Los puntos A(2, 1), B(3, 5) y C(7, 3) son los vértices de un triángulo. Demuestre que las rectas que unen los puntos medios de AB y BC son paralelas a AC.

APÉNDICE C

30. La mediana de un triángulo es una recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Demuestre que las medianas del triángulo del problema 29 se intersecan en un solo punto. 31. Complete la demostración de la fórmula del punto medio en la ecuación (3). Es necesario demostrar que el punto M está en el segmento P1P2. Una forma de hacerlo es demostrar que la pendiente de MP1 es igual a la pendiente de MP2. 32. Sea P(x0, y0) un punto en una circunferencia con centro C(0, 0) y radio r. Recuerde que la recta tangente a la circunferencia en el punto P es perpendicular al radio CP. Demuestre que la ecuación de esta recta tangente es x0 x + y0 y = r2. 33. La temperatura Fahrenheit F y la temperatura absoluta K satisfacen una ecuación lineal. De hecho, K = 273.16 cuando F = 32 y K = 373.16 cuando F = 212. Exprese K en términos de F. ¿Cuál es el valor de F cuando K = 0? 34. La longitud L (en centímetros) de una barra de cobre es una función lineal de su temperatura en grados centígrados C. Si L = 124.942 cuando C = 20 y L = 125.134 cuando C = 110, exprese L en términos de C. 35. El dueño de una tienda de abarrotes deduce que puede vender 980 galones de leche cada semana a $1.69/galón y 1220 galones de leche cada semana a $1.49/galón. Suponga una relación lineal entre el precio y las ventas. ¿Cuántos galones esperaría vender cada semana a un precio de $1.56/galón? 36. La figura B.19 muestra las gráficas de las ecuaciones 17x − 10y = 57, 25x − 15y = 17. ¿Son paralelas estas dos rectas? Si no, encuentre su punto de intersección. Si dispone de un dispositivo de gráficas, encuentre la solución por aproximación gráfica y la solución exacta por métodos algebraicos.

A-13

  Y 









 X





FIGURA B.19 Rectas del problema 36.

En los problemas 37 a 46, utilice una calculadora con gráficas o una computadora para aproximar gráficamente la solución de las ecuaciones lineales dadas (con tres decimales correctos o correctamente redondeados). Luego compruebe sus resultados resolviendo los sistemas con el método algebraico exacto.  X C Y D   X C Y D  X C Y D  X Y D   X C Y D  X C Y D 

 X C Y D  X C Y D 

 X C Y H  X C Y H 

 X C Y D  X C Y D 

 X C Y H  X C Y H 

 X C Y D  X C Y D 

 X C Y H  X C Y H 



X C Y D  X C Y D 

47. Justifique la frase “ningún otro punto en el plano lo puede hacer” que sigue a la ecuación (6) la primera vez que se muestra. 48. La discusión de la ecuación lineal Ax + By = C en la ecuación (8) no incluye una descripción de la gráfica de esta ecuación en el caso A = B = 0. ¿Cuál es la gráfica en este caso?

APÉNDICE C: REVISIÓN DE TRIGONOMETRÍA HIP OPU

Q ADY

FIGURA C.1 Lados y ángulo θ de un triángulo rectángulo.

En trigonometría elemental, las seis funciones trigonométricas básicas del ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo están definidas como la relación entre pares de lados del triángulo. En la figura C.1, donde “ady” quiere decir “adyacente”, “opu” significa “opuesto” e “hip”, “hipotenusa”, COS  D

ADY ; HIP

HIP SEC  D ADY

SEN  D

OPU ; HIP

HIP CSC  D ; OPU

TAN  D

OPU ; ADY

ADY COT  D : OPU



Generalizamos estas definiciones a ángulos dirigidos de tamaño arbitrario de la siguiente forma. Suponga que el lado inicial del ángulo θ es el lado positivo del eje x de modo que su vértice está en el origen. El ángulo es dirigido si se especifica una dirección de rotación de su lado inicial a su lado terminal. Decimos que θ es un ángulo positivo si esta rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj y ángulo negativo si es en el sentido de las manecillas. Sea P(x, y) el punto en el cual el lado terminal de θ interseca a la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1. Entonces definimos Y COS  D X; SEN  D Y; TAN  D ; X    X SEC  D ; CSC  D ; COT  D : X Y Y

A-14 APÉNDICES Y

0 COS Q SEN Q 

SEN Q

Q

Q

X Y 

 

X

0COS Q SEN  Q

FIGURA C.2 Uso de la circunferencia unitaria para definir las funciones trigonométricas.

Suponemos que x H 0 en el caso de tan θ y sec θ, y que y H 0 en los casos de cot θ y csc θ. Si el ángulo θ es positivo y agudo, entonces resulta evidente de la figura C.2, que las definiciones en (2) concuerdan con las definiciones del triángulo rectángulo en (1) en términos de las coordenadas de P. Una mirada a la figura también muestra qué funciones son positivas para ángulos en los cuatro cuadrantes. La figura C.3 resume esta información. Aquí estudiaremos las dos funciones trigonométricas más básicas: el seno y el coseno. A partir de (2), observamos claramente que las otras cuatro funciones trigonométricas están definidas en términos de sen θ y cos θ por TAN  D

SEN  ; COS 

 ; COS 

SEC  D



 CSC  D : SEN 

COS  ; COT  D SEN 

Ahora, comparamos los ángulos θ y −θ en la figura C.4. Vemos que

Y 3ENO #OSECANTE

4ODAS

COS./ D COS 

X 4ANGENTE #OTANGENTE

#OSENO 3ECANTE

Y SEN. / D SEN :



Como x = cos θ y y = sen θ en (2), la ecuación de la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1 se convierte en la identidad fundamental de trigonometría,

0OSITIVOENLOSCUADRANTES QUESEMUESTRAN

COS  C SEN  D :

FIGURA C.3 Los signos de las funciones trigonométricas.



Al dividir cada término de esta identidad fundamental entre cos2 θ obtenemos la identidad  C TAN  D SEC :

Y

. /

De manera similar, al dividir los términos en (5) entre sen2 θ tenemos la identidad

0A B

 C COT  D CSC : Q

  X

Q

1 A B

FIGURA C.4 Efecto de sustituir θ con −θ en las funciones seno y coseno.

. /

(Vea el problema 9 de este apéndice.) En los problemas 41 y 42 se describe la obtención de las fórmulas de suma SEN. C / D SEN  COS C COS  SEN ; COS. C / D COS  COS SEN  SEN :

 

Con α = θ = β en las ecuaciones (6) y (7), se obtienen las fórmulas para ángulos dobles SEN  H  SEN  COS ; 



COS  D COS  SEN  

D  COS   

D   SEN ;

  A B

donde las ecuaciones (9a) y (9b) se obtienen de la ecuación (9), usando la identidad fundamental en la ecuación (5). Si se resuelven las ecuaciones (9a) para obtener cos2 θ y (9b) para obtener sen2 θ se tienen las fórmulas de medio ángulo COS  D  . C COS /; 

SEN  D

 . 

COS /:

Las ecuaciones (10) y (11) son importantes en especial en cálculo integral.

 

APÉNDICE C

A-15

MEDIDA EN RADIANES

2ADIO 

Q S

,ONGITUDDE ARCOS

X Y 

! D R 

FIGURA C.5 Medida en radianes de un ángulo.

2ADIANES

'RADOS

 = = = = = = =  =  

           

FIGURA C.6 Algunas conversiones radianes-grados.

SR Q 2ADIO R

En matemáticas elementales, con frecuencia los ángulos se miden en grados, con 360° en una revolución completa. En cálculo es más conveniente —y muchas veces esencial— medir los ángulos en radianes. La medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco que subtiende (o el arco de la rebanada) en el círculo unitario cuando el vértice del ángulo está en el centro del círculo (figura C.5). Recuerde que el área A y la circunferencia C de un círculo con radio r están dadas por las fórmulas

  Q !R 

Q

FIGURA C.7 Área de un sector y longitud de arco de un arco circular.

Y # D R;

donde el número irracional π es aproximadamente 3.14159. Debido a que la circunferencia de un círculo unitario es 2π y su ángulo central es 360°, se deduce que  RAD D  I  D  RAD  : RAD:  Usando la ecuación (12) se pueden hacer las conversiones entre radianes y grados y al contrario:     : ;  RAD D A   RAD  : RAD: B  D  La figura C.6 muestra las conversiones radianes-grados para algunos ángulos comunes. Ahora considere un ángulo de θ radianes en el centro de un círculo de radio r (figura C.7). Denote por s la longitud del arco subtendido por θ; sea A el área del sector circular limitado por este ángulo. Entonces las proporciones !  S H H  R R  dan las fórmulas S D R . EN RADIANES  Y ! D  R  

. EN RADIANES 



Las definiciones en (2) se refieren a las funciones trigonométricas de ángulos en lugar de las funciones trigonométricas de números. Suponga que t es un número real. Entonces el número sen t es, por definición, el seno de un ángulo de t radianes —recuerde que un ángulo positivo está dirigido en sentido contrario a las manecillas desde el lado positivo del eje x, mientras que un ángulo negativo está dirigido en el sentido de las manecillas—. En forma breve, sen t es el seno de un ángulo de t radianes. Las otras funciones trigonométricas del número t tienen definiciones similares. Por lo que, cuando se escribe sen t, cos t, etcétera, con t un número real, siempre se refiere a un ángulo de t radianes. Cuando es necesario referirse al seno de un ángulo de t grados, tenemos que escribir sen t°. Lo importante es que sen t y sen t° son funciones muy diferentes de la variable t. Por ejemplo, se obtiene SEN   : Y SEN  D : en una calculadora en el modo de grados. Pero cuando está en el modo de radianes se obtendrá SEN   : Y SEN   :; La relación entre las funciones sen t y sen t° es T :  SEN T  D SEN  Esta distinción se extiende inclusive a los lenguajes de programación. En FORTRAN, la función SIN es la función seno en radianes, y debe escribir sen t ° en la forma SIND(T). En BASIC debe escribir SIN(Pi*T/180) para obtener el valor correcto del seno de un ángulo de t grados.

A-16 APÉNDICES Y

YCOST

P

P

P

T

P

P

YSENT

FIGURA C.8 Periodicidad de las funciones seno y coseno.

Un ángulo de 2π rad corresponde a una revolución alrededor del círculo unitario. Esto implica que las funciones seno y coseno tienen periodo 2π, lo que significa que

Y

SEN.T C  / DSEN T; COS.T C  / D COS T:

P

P

X

P

A partir de la ecuación 16 se tiene SEN.T C N / D SEN T

Y

COS.T C N/ H COS T

Y

Y

P 



para cualquier entero n. Esta periodicidad de las funciones seno y coseno es evidente si observamos sus gráficas (figura C.8). Por las ecuaciones en (3), las otras funciones trigonométricas también deben ser periódicas, como lo muestran sus gráficas en las figuras C.9 y C.10.

A

P 



P 

Y

X

P 

P 

P

P

X

P

P 

P 

P 

X

B

FIGURA C.9 Gráficas de a) la función tangente y b) la función cotangente.

B

A

FIGURA C.10 Gráficas de a) la función secante y b) la función cosecante.

De las ecuaciones en (2) se tiene que 



SEN  D ;

P  

COS  D ; 



P  





P  

FIGURA C.11 Triángulos rectángulos conocidos.

 D ;   COS D ;  SEN

SEN  D ;  COS  D :

Las funciones trigonométricas de π/6, π/4 y π/3 (equivalentes en radianes a los ángulos de 30°, 45° y 60°, respectivamente) se leen fácilmente de los triángulos bien conocidos de la figura C.11. Por ejemplo, p     ; SEN D COS D D     p      ; Y SEN D COS D p D     p    : SEN D COS D   

APÉNDICE C

A-17

Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas para ángulos mayores de π/2, podemos usar su periodicidad y las identidades SEN.  / D  SEN ; COS.  / D COS  Y  TAN.  / D  TAN  (problemas 38, 39 y 40) así como identidades similares para las funciones cosecante, secante y cotangente. EJEMPLO 1  SEN   COS   TAN   SEN   COS   SEN 

H SEN H COS H TAN H SEN H COS H SEN H SEN

EJEMPLO 2

p    C H SEN H I        H COS H I       H TAN H I      C SEN H I         H COS H COS H I        C H SEN       H SEN H :   

Z

Encuentre la solución (si existe) de la ecuación SEN X  COS X C  D 

en el intervalo [0, π].

Solución Usando la identidad fundamental en la ecuación (5), sustituimos cos2 x = 1 − sen2 x en la ecuación dada para obtener SEN X . SEN X/ C  H I  SEN X  H I SEN X H   :

Como el sen x 0 para x en [0, π], sen x = − es imposible. Pero sen x =  para x = π/6 y para x = π − π/6 = 5π/6. Por lo que éstas son las soluciones de la ecuación dada en el intervalo [0, π]. Z

APÉNDICE C PROBLEMAS Exprese el valor en radianes para los ángulos de los problemas 1 a 5.      

 

 

En los problemas 6 a 10, exprese en grados los ángulos dados en radianes.      

  



 

 

En los problemas 11 a 14, evalúe las seis funciones trigonométricas de x en los valores dados.    X D  X D      X D  X D  

A-18

APÉNDICES

En los problemas 15 a 23, encuentre todas las soluciones de x para cada ecuación.  SEN X H 

 SEN X H 

 SEN X H 

 COS X D 

 COS X D 

 COS X D 

 TAN X D 

 TAN X D 

41. Los puntos A(cos θ, −sen θ), B(1, 0), C(cos φ, sen φ) y D(cos(θ + φ), sen(θ, + φ)) se muestran en la figura C.12; todos son puntos en el círculo unitario. Deduzca, a partir del hecho de que los segmentos de recta AC y BD tienen la misma longitud (ya que están subtendidos por el mismo ángulo central θ + φ) que cos(θ + φ) = cos θ cos φ − senθ sen φ.

 TAN X D 

24. Suponga que tan x =  y que sen x < 0. Encuentre los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de x. 25. Suponga que csc x = − y que cos x > 0. Encuentre los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de x. Deduzca las identidades en los problemas 26 y 27 a partir de la identidad fundamental

Y

$ #

Q F

cos2 θ + sen2 θ = 1

" X

Q !

y de las definiciones de las otras cuatro funciones trigonométricas.   C TAN  D SEC 

  C COT  D CSC 

28. Deduzca a partir de las fórmulas de suma del seno y el coseno, la fórmula de la suma para la tangente TAN.X C Y/ D

TAN X C TAN Y :  TAN X TAN Y

En los problemas 29 a 36, utilice el método del ejemplo 1 para encontrar los valores indicados.     SEN    SEN    SEN   SEN

    COS    COS    COS   COS

FIGURA C.12 Obtención de la fórmula de la suma para el coseno (problema 41).

42. a) Utilice los triángulos que se encuentran en la figura C.13 para deducir que SEN  C

 

D COS 

 SEN.   / D  SEN   COS.   / D COS   TAN.   / D  TAN 

 

D SEN :

b) Use los resultados del problema 41 y el inciso a) para obtener la fórmula de suma de la función seno. Y

37. Aplique las fórmulas de suma de las funciones seno, coseno y tangente (la última del problema 28) para demostrar que si 0 < θ < π/2, entonces   H SEN  A COS    H COS  B SEN    H TAN   C COT  El prefijo co- sirve para abreviar el adjetivo complementario, el cual describe dos ángulos cuya suma es π/2. Por ejemplo, π/6 y π/3 son ángulos complementarios, entonces a) implica que cos π/6 = sen π/3. Suponga que 0 < θ < π/2. Obtenga las identidades de los problemas 38 a 40.

Y COS  C

P  Q X

FIGURA C.13 Obtención de las identidades del problema 42.

En los problemas 43 a 48, encuentre todas las soluciones de las ecuaciones dadas que están en el intervalo [0, π].   SEN X COS X H    COS X C  SEN  X H    SEN  X COS X H 

 SEN  X H COS X   SEN  X C COS X H   COS   COS  H 

APÉNDICE D

A-19

APÉNDICE D: DEMOSTRACIONES DE LAS LEYES DE LOS LÍMITES Recuerde la definición de límite: L¤M&X H,

X!A

si dado  > 0, existe un número δ > 0 tal que  < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j&.X/ , j

:



Observe que primero se da el número . Después debe encontrarse un valor de δ > 0 tal que la implicación en (1) se cumpla. Para demostrar que F(x) → L cuando x → a, sólo hay que detener a la primera persona que vea pasar y pedirle que escoja al azar un número positivo . Después siempre se debe poder responder con un número positivo δ. Este número δ debe tener la propiedad de que la implicación en (1) se cumpla para él y el número dado . La única restricción para x es que  < jX Aj < ;

según se da en (1). Para hacer todo esto, será necesario proporcionar un método explícito —receta o fórmula— para producir un valor de δ que funcione para cada valor de . Como se demuestra en los ejemplos 1 a 3, el método dependerá de la función F particular que se estudie, así como de los valores de a y L. EJEMPLO 1

Solución

Demuestre que L¤MX H X!

Dado  > 0, se debe encontrar δ > 0 tal que j.X / /j

SI  < jX j < :

Ahora j.X / j D jX j D jX j; PORLOQUE  < jX j <

IMPLICAQUE j.X / j < 






D

Así, dado  > 0, basta escoger δ   /2. Esto ilustra la observación de que el número δ requerido por lo general es función del número dado . Z EJEMPLO 2

Solución

Demuestre que L¤MXC H X!

Dado  > 0, se debe encontrar δ > 0 tal que  < jX j < 

IMPLICAQUE j.X  C / j

:

!HORA j.X  C / j D jX  j D 
jX C j
jX j:

Por tanto, nuestro problema es demostrar que |x + 2| · |x − 2| se puede hacer tan pequeña como queramos al elegir x − 2 suficientemente chica. La idea es que |x + 2| no pueda ser demasiado grande si |x − 2| es muy pequeña. Por ejemplo, si |x − 2| < 1, entonces jX C j C j.X / C j

jX j C  < :

Así,  < jX j < 

IMPLICAQUE

j.X  C / j < 
jX j:

En consecuencia, se escogerá δ de modo que sea el más pequeño de 1 y /15. Entonces  < jX j < 

como se deseaba.

IMPLICAQUE

j.X  C / j < 




D

Z

A-20

APÉNDICES

EJEMPLO 3

Demuestre que L¤M

X!A

  D X A

SI A

:

Solución Para evitar complicaciones, sólo se considerará el caso en que a > 0 (el caso a < 0 es similar). Suponga que  > 0 está dado. Se debe encontrar un número δ tal que    < jX Aj <  IMPLICAQUE : X A !HORA  jX Aj AX  D H : X A AX AjXj

La idea es que 1/|x| no pueda ser demasiado grande si |x − a| es muy pequeña. Por ejemplo, si |x − a| < a/2 entonces a/2 < x < 3a/2. Por tanto   A < : jXj > ; PORLOQUE  jXj A En este caso, se seguiría que    < 
jX Aj A X A si |x − a| < a/2. Así, si se escoge que δ sea el mínimo de los dos valores a/2 y a2/2, entonces  A    < jX Aj <  IMPLICAQUE < 
H X A A  0ORTANTO L¤M

X!A

  D X A

SI A

;

Z

como se quería.

Ahora estamos listos para hacer las demostraciones de las leyes de los límites que se enunciaron en la sección 2.2.

Ley de la constante Si f (x) ≡ C, una constante, entonces L¤M F .X/ D L¤M # D #:

X!A

X!A

Demostración Como |C − C|  0, sólo se escoge δ  1, sin que importe el valor dado antes a  > 0. Entonces, si 0 < |x − a|< δ, es automático que |C − C| < . X

Ley de la suma 3I L¤M &.X/ D , Y L¤M '.X/ H - ENTONCES X!A

X!A

L¤M T&.X/ C '.X/U D , C -:

X!A

Demostración Sea que está dado  > 0. Como L es el límite de F(x) cuando x → a, existe un número δ1 > 0 tal que

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j&.X/ ,j <

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j'.X/ -j <

:  Como M es el límite de G(x) cuando x → a, existe un número δ2 > 0 tal que 

:

APÉNDICE D

A-21

Sea δ  min{δ1, δ2}. Así, 0 < |x − a|< δ implica que j.&.X/ C '.X// ., C -/j

j&.X/ ,j C j'.X/ -j <



C



H

0ORTANTO L¤M T&.X/ C '.X/U D , C -;

X!A

X

como se deseaba.

Ley de la multiplicación 3I L¤M &.X/ D , Y L¤M '.X/ D - ENTONCES X!A

X!A

L¤M T&.X/
'.X/U H ,
-:

X!A

Demostración Dado  > 0, se debe encontrar un número δ > 0 tal que

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j&.X/
'.X/ ,
-j

:

Pero primero, la desigualdad del triángulo proporciona el resultado j&.X/
'.X/ ,
-j D j&.X/
'.X/ ,
'.X/ C ,
'.X/ ,
-j j'.X/j
j&.X/ ,j C j,j
j'.X/ -j:



Como L¤M&X H,, existe δ1 > 0 tal que X!A

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j&.X/ ,j <

.j-j C /

:



:



Y como L¤M'X H- , existe δ2 > 0 tal que X!A

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j'.X/ -j <

.j,j C /

Además, hay un tercer número δ3 > 0 tal que IMPLICAQUE

 < jX Aj < 

j'.X/ -j < ;

lo que a su vez implica que j'.X/j < j-j C ;



Ahora se escoge δ  min{δ1, δ2, δ3}. Después se sustituyen (3), (4) y (5) en (2) y, por último, se observa que 0 < |x − a|< δ implica que j&.X/
'.X/ ,
-j < .j-j C /
<



C



.j-j C /

C j,j

.j,j C /

H

como se quería. El uso de |M| + 1 y |L| + 1 en los denominadores evita la dificultad técnica que surge si L o M son igual a cero. X

Ley de la sustitución 3I L¤M G.X/ D , Y L¤M F .X/ D F .,/ ENTONCES X!A

X!,

L¤M F .G.X// D F .,/:

X!A

A-22

APÉNDICES

Demostración Sea que está dado  > 0. Se debe encontrar un número δ > 0 tal que

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j F .G.X// F .,/j

:

Como f ( y) → f (L) cuando y → L, existe δ1 > 0 tal que  < jY ,j < 

IMPLICAQUE

j F .Y/ F .,/j

:



Asimismo, como g(x) → L cuando x → a es posible encontrar δ > 0 tal que  < jX Aj < 

IMPLICAQUE

jG.X/ ,j <  I

es decir, tal que jY ,j <  ;

Donde y  g(x). De la ecuación (6) se observa que 0 < |x − a|< δ implica que j F .G.X// F .,/j D j F .Y/ F .,/j

;

X

como se quería.

Ley del recíproco 3I L¤M G.X/ D , Y ,

 ENTONCES

X!A

  D : G.X/ ,

L¤M

X!A

Demostración Sea f (x)  1/x. Entonces, como se vio en el ejemplo 3,

L¤M F .X/ D L¤M

X!A

X!A

  D D F .,/: X ,

Así, la ley de la sustitución da el resultado L¤M

X!A

  D L¤M F .G.X// H F .,/ H ; G.X/ X!A ,

X

como se deseaba.

Ley del cociente 3I L¤M &.X/ D , Y L¤M '.X/ D X!A

 ENTONCES

X!A

L¤M

X!A

, &.X/ D : '.X/ -

Demostración De las leyes del producto y el recíproco se sigue de inmediato que

L¤M

X!A

 &.X/ D L¤M &.X/
H L¤M &.X/ X!A '.X/ X!A '.X/

L¤M

X!A

 '.X/

H,


,  D ; -

X

como se deseaba.

Ley de la compresión Suponga que f (x) g (x)

h (x) en cierto entorno eliminado de a, y que L¤M F .X/ D , D L¤M H.X/:

X!A

X!A

0ORLOTANTO L¤M G.X/ D , :

X!A

APÉNDICE F

A-23

Demostración Dado  > 0, se escoge δ1 > 0 y δ2 > 0 tal que

 < jX Aj < 

IMPLICAQUE

j F .X/ ,j

Y :  < jX Aj <  IMPLICAQUE jH.X/ ,j Sea δ = mín {δ1, δ2}. De esta forma, δ > 0. Además, si 0 < |x − a|< δ, entonces tanto f (x) como h(x) son puntos del intervalo abierto (L − , L + )>. Por tanto, ,

F .X/

G.X/

H.X/ < , C

0ORLOQUE  < jX Aj < 

IMPLICAQUE

jG.X/ ,j

;

X

según se deseaba.

APÉNDICE D PROBLEMAS En los problemas 1 a 10, aplique la definición de límite para establecer la igualdad dada.  L¤M X D A  L¤M X D  X!A

X!

 L¤M .X C / H 

 L¤M .X C / D 

 L¤M X  D 

 L¤M X  D A 

X!

X!

L¤M

X!A

14. Use la identidad algebraica X N AN H

X!A

X!

 L¤M .X  / H  X!

   L¤M  D  X!A X C  A C

   L¤M  D  X!A X A    L¤M p D p X!A A X

.X A/.X N C X N A C X N A  C


C XA N C A N /

SI A > 

para demostrar en forma directa de la definición de límite que L¤M X N H x n si n es un entero positivo. X!A

15. Aplique la identidad

11. Suponga que L¤M F .X/ D ,

X!A

Y

  D : F .X/ ,

p

L¤M F .X/ D -:

X

X!A

Aplique la definición de límite para demostrar que L  M. Así, el límite de la función f en x  a es único, en el caso que exista. 12. Suponga que C es una constante y que f (x) → L cuando x → a. Aplique la definición de límite para demostrar que L¤M #
F .X/ D #
, :

X!A

13. Suponga que L 0 y que f (x) → L cuando x → a. Use el método del ejemplo 3 y la definición de límite para demostrar directamente que

p jX Aj A D p p XC A

parapdemostrar p directamente de la definición de límite que L¤M X H A SI A >  X!A

16. Suponga que f (x) → f (a) > 0 cuando x → a. Demuestre que existe un entorno de a en el que f (x) > 0; es decir, demuestre que existe δ > 0 tal que jX Aj < 

IMPLICAQUE

F .X/ > :

APÉNDICE E: LA COMPLETEZ DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES A continuación se presenta un tratamiento autocontenido de las consecuencias de la completez del sistema de los números reales, lo que es relevante para este texto. Nuestro objetivo principal es demostrar los teoremas del valor medio y el del valor máximo. Comenzaremos con la propiedad de la cota superior más pequeña de los reales, que tomamos como un axioma.

DEFINICIÓN Cotas superior e inferior Se dice que el conjunto S de los números reales está acotado por arriba si existe un número b tal que x b para todo número x en S, y entonces el número b se llama cota superior de S. En forma similar, si hay un número a tal que x a para todo número x en S, entonces se dice que S está acotado por abajo, y a recibe el nombre de cota inferior de S.

A-24 APÉNDICES

DEFINICIÓN Cotas superior mínima e inferior máxima Se dice que el número λ es una cota superior mínima para el conjunto S de los números reales si: 1. λ es una cota superior de S, y 2. Si b es una cota superior de S, entonces λ b. En forma similar, se dice que γ es una cota inferior máxima de S si γ es una cota inferior de S y γ a para toda cota inferior a de S. Demuestre que si S tiene una cota superior mínima, λ, entonces es única. Es decir, demuestre que si λ y μ son cotas superiores mínimas para S, entonces λ  μ.

EJERCICIO

Es fácil demostrar que la cota inferior máxima, γ, de un conjunto S, si la hay, también es única. En este punto usted debe ofrecer ejemplos que ilustren que un conjunto con una cota superior mínima, λ, puede contener o no a λ, y que un enunciado similar es verdadero para la cota inferior máxima del conjunto. Ahora se enunciará el axioma de la completez del sistema de los números reales.

Axioma de la cota superior mínima Si el conjunto S no vacío de los números reales tiene una cota superior, entonces tiene una cota superior mínima. Al trabajar con el conjunto T que consiste en los números −x, donde x está en S, no es difícil demostrar la consecuencia que se sigue del axioma de la cota superior mínima: si el conjunto S no vacío de los números reales está acotado por abajo, entonces S tiene una cota inferior máxima. Debido a esta simetría, sólo se necesita un axioma, no dos; los resultados de las cotas superiores mínimas también se cumplen para las inferiores máximas, poniendo atención a las direcciones de las desigualdades. La restricción de que S no sea vacío es molesta pero necesaria. Si S es el conjunto “vacío” de los números reales, entonces 15 es una cota superior de S, pero S no tiene cota superior mínima porque 14, 13, 12, . . . , 0, −1, −2, . . . también son cotas superiores de S.

DEFINICIÓN Sucesiones no crecientes, no decrecientes y monótonas Se dice que la sucesión infinita x1, x2, x3, . . . xk , . . . es no decreciente si xn xn+1 para toda n 1. Esta sucesión es no creciente si xn xn+1 para toda n 1. Si la sucesión {xn} no es ni no creciente ni no decreciente, entonces se llama monótona. El teorema 1 proporciona la propiedad de la sucesión monótona acotada del conjunto de los números (hay que recordar que se afirma que un conjunto S de números reales es acotado si está contenido en un intervalo de la forma [a, b]).

TEOREMA 1 Sucesiones monótonas acotadas Toda sucesión monótona acotada de números reales converge. Demostración Suponga que la sucesión

S  {xn}  {x1, x2, x3, . . . , xk, . . . } es acotada y no decreciente. Según el axioma de la cota superior mínima, S tiene una cota superior mínima, λ. Afirmamos que λ es el límite de la sucesión {xn}. Considere un intervalo abierto con centro en λ —es decir, un intervalo de la forma I  (λ − , λ + ), donde  > 0. Algunos términos de la sucesión deben quedar dentro de I, además de λ − sería una cota superior para S, que es menor que su cota superior mínima, λ. Pero si xN está en I, entonces —como se trata de una sucesión no decreciente— xN xk λ para toda k N. Es decir, xk está en I para toda k N. Como  es un número positivo arbitrario, λ es —casi por definición— el límite de la sucesión {xn}. Así, se ha demostrado que una sucesión no decreciente acotada converge. Es posible dar una

APÉNDICE E

A-25

demostración similar para sucesiones no crecientes si se trabaja con la cota inferior máxima. X Por tanto, el axioma de la cota superior mínima implica la propiedad de sucesión monótona acotada de los números reales. Con un poco de esfuerzo se demuestra que las dos son equivalentes en cuanto a lógica. Es decir, si se toma como axioma la propiedad de la sucesión monótona acotada, entonces la propiedad de la cota superior mínima se sigue como teorema. La propiedad del intervalo anidado del teorema 2 también es equivalente a la de la cota superior mínima, pero se debe demostrar sólo que se sigue de la propiedad de la cota superior mínima, porque hemos elegido lo último como axioma fundamental de completez para el sistema de números reales.

TEOREMA 2 Propiedad del intervalo anidado de los números reales Suponga que I1, I2, I3, . . . , In, . . . es una sucesión de intervalos cerrados (por lo que In tiene la forma [an, bn] para todo entero positivo n) tal que 1. In contiene In+1 para todo n 2. L¤M .BN AN / H 

1, y

N!1

De esta forma, existe exactamente un número real c tal que c pertenece a In para toda n. Así, fCg D ) \ ) \ ) \


: Demostración A partir de la hipótesis (2) del teorema 2 queda claro que hay como

máximo un número c. La sucesión {an} de los extremos a la izquierda de los intervalos es una sucesión no decreciente acotada (por b1), por lo que tiene un límite a según la propiedad de la sucesión monótona acotada. En forma similar, la sucesión {bn} tiene un límite b. Como an bn para toda n, se sigue con facilidad que a b. Está claro que an a b bn para toda n 1, por lo que a y b pertenecen a cada intervalo In . Pero entonces, la hipótesis (2) del teorema 2 implica que a  b, y está muy claro que este valor común —llámese c— es el número que satisface la conclusión del teorema 2. X Ahora es posible utilizar estos resultados para demostrar varios teoremas importantes utilizados en el libro.

TEOREMA 3 Propiedad del valor medio de las funciones continuas Si la función f es continua en el intervalo [a, b] y f (a) < K < f (b), entonces K  f (c) para cierto número c en (a, b). Demostración Sea I1  [a, b]. Suponga que In ha sido definida para n 1. Se describe (por inducción) cómo definir In+1 y esto muestra en particular cómo definir I2, I3, etc. Sea an el extremo de la izquierda de In, bn el de la derecha, y mn su punto medio. Ahora hay tres casos por considerar: f (mn) > K, f (mn) < K, y f (mn)  K. Si f (mn) > K, entonces f (an) < K < f (mn ); en este caso, sea an+1  an , bn+1  mn y In+1  [an+1, bn+1]. Si f (mn) < K, entonces sea an+1  mn , bn+1  bn y In+1  [an+1, bn+1]. Si f (mn)  K, entonces simplemente hacemos c  mn y la prueba está terminada. De otro modo, en cada etapa se biseca In y se hace In+1 la mitad de In sobre la que f toma sus valores tanto mayores como menores de K. Es fácil demostrar que la sucesión {In} de intervalos satisface las hipótesis del teorema 2. Sea c el (único) número real común a todos los intervalos In. Se demostrará que f (c)  K, y con esto concluye la demostración. La sucesión {bn} tiene como límite a c, por lo que según la continuidad de f, la sucesión { f (bn)} tiene como límite a f (c). Pero f (bn) > K para toda n, por lo que el límite de { f (bn)} no puede ser menor de K; es decir, f (c) K. Al considerar la suceX sión {an}, se sigue que también f (c) K; por tanto, f (c)  K.

A-26

APÉNDICES

LEMA 1 Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada ahí. Demostración Suponga, para llegar a una contradicción, que f no está acotada en

I1  [a, b]. Biseque I1 y sea I2 cualquier mitad de I1 sobre la que f no esté acotada (si f no está acotada en ambas mitades, sea I2  I1). En general, sea In+1 una mitad de In sobre la que f no esté acotada. Otra vez, es fácil demostrar que la sucesión {In} de intervalos cerrados satisface las hipótesis del teorema 2. Sea c el número común a todos ellos. Como f es continua, existe un número  > 0 tal que f está acotada en el intervalo (c − , c + ). Pero para valores suficientemente grandes de n, In es un subconjunto de (c − , c + ). Esta contradicción demuestra que f debe estar acotada en [a, b]. X

TEOREMA 4 Propiedad del valor máximo de las funciones continuas Si la función f es continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que f (x) f (c) para toda x en [a, b]. Demostración Considere el conjunto S  { f (x) | a x b}. Según el lema 1, este conjunto está acotado, y con toda claridad no es vacío. Sea λ la cota superior mínima de S. Nuestra meta es demostrar que λ es un valor f (x) de f. Con I1  [a, b], se biseca I1, igual que antes. Obsérvese que λ es la cota superior mínima de los valores de f en al menos una de las dos mitades de I1; sea I2 esa mitad. Al haber definido In, sea In+1 la mitad de In sobre la que λ es la cota superior mínima de los valores de f. Sea c el número común a todos estos intervalos. Entonces se sigue, según la continuidad de f, en gran parte igual que en la demostración del teorema 3, X que f (c)  λ. Y está claro que f (x) λ para toda x en [a, b].

La técnica que se usa en estas demostraciones se denomina método de bisección. Ahora la usaremos una vez más para establecer la propiedad de Bolzano-Weierstrass del sistema de números reales.

DEFINICIÓN Punto límite Sea S un conjunto de números reales. Se dice que el número p es un punto límite de S si todo intervalo abierto que contiene a p también contiene a puntos de S diferentes de p. TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS Todo conjunto infinito acotado de números reales tiene un punto límite. Demostración Sea I0 un intervalo cerrado que contiene al conjunto infinito acotado S de números reales. Biseque a I0. Sea I1 uno de los medios intervalos cerrados resultantes de I0 que contiene muchos puntos, infinitos, de S. Si se ha escogido In, sea In+1 uno de los medios intervalos cerrados de In que contiene un infinito de puntos de S. Una aplicación del teorema 2 conduce a un número p común a todos los intervalos In. Si J es un intervalo abierto que contiene a p, entonces J contiene In para cierto valor suficientemente grande de n, por lo que contiene un infinito de puntos de S. Así, p es un punto límite de S. X

Nuestra meta final está a la vista: es posible demostrar que una sucesión de números reales converge si, y sólo si, es una sucesión de Cauchy.

DEFINICIÓN Sucesión de Cauchy Se dice que fAN g1  es una sucesión de Cauchy si para toda  > 0, existe un entero N tal que jAM AN j para toda m, n N.

APÉNDICE F

A-27

LEMA 2 Subsucesiones convergentes Toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente. Demostración Si {an} tiene sólo un número finito de valores, entonces la conclusión

del lema 2 se sigue con facilidad. Por tanto, la atención se centra en el caso en que {an} es un conjunto infinito. Es fácil demostrar que este conjunto también está acotado, por lo que se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass a fin de obtener un punto límite de {an}. Para todo entero k 1, sea an(k) un término de la sucesión {an} tal que  N.K C / > N.K/ PARATODA K  Y   jAN.K/ Pj <  K Después es fácil demostrar que {an(k)} es una subsucesión de {an} que converge a p. X

TEOREMA 6 Convergencia de las sucesiones de Cauchy Una sucesión de números reales converge si, y sólo si, es una sucesión de Cauchy. Demostración De la desigualdad del triángulo se sigue de inmediato que toda suce-

sión convergente es una sucesión de Cauchy. Así, suponga que la sucesión {an} es una sucesión de Cauchy. Elija N tal que jAM AN j <  si m, n N. Se sigue que si n N, entonces an está en el intervalo cerrado TA . ; A . CU Esto implica que la sucesión {an} está acotada, por lo que, según el lema 2, tiene una subsucesión convergente {an(k)}. Sea p el límite de esta subsucesión. Se afirma que {an} en sí converge a p. Dado  > 0, se escoge M tal que jAM AN j <

si m, n

 M. A continuación se elige K tal que n(K) jAN.+ / Pj <

0ORLOCUAL SI N



My

:

- jAN Pj

jAN AN.+ / j C jAN.+ / Pj

:

X

Por tanto, {an} converge a p, por definición.

APÉNDICE F: EXISTENCIA DE LA INTEGRAL Cuando Newton y Leibniz descubrieron los algoritmos computacionales básicos del cálculo en la segunda mitad del siglo diecisiete, abandonaron en gran parte el rigor lógico que había sido la característica del método griego de razonamiento. Por ejemplo, al calcular el área, A, bajo la curva y  f (x), Newton aceptó como algo obvio para la intuición que la función de área existía, y procedió a calcularla como la antiderivada de la función de altura, f (x). Leibniz consideró a A como una suma continua de elementos infinitesimales de área, cada una de la forma dA  f (x)dx, pero en la práctica calculó el área B

F .X/ D X

!H A

por antidiferenciación, igual que Newton —es decir, obtuvo B

! D $  F .X/ : A

A-28

APÉNDICES

La cuestión de la existencia de la función de área —una de las condiciones que debe satisfacer una función f a fin de que exista su integral— a primera vista no parece tener mucha importancia. Los matemáticos del siglo dieciocho se ocupaban (y quedaban satisfechos) sobre todo con las aplicaciones impresionantes del cálculo a la solución de problemas del mundo real, y no se concentraban en los fundamentos lógicos de la materia. El primer intento de obtener una definición precisa de la integral y una demostración de su existencia para funciones continuas, lo hizo el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Curiosamente, Cauchy recibió la educación de un ingeniero, y gran parte de sus investigaciones en matemáticas se dio en campos que hoy se consideran como orientados a las aplicaciones: hidrodinámica, ondas en medios elásticos, vibraciones de membranas elásticas, polarización de la luz, etcétera. Pero fue un investigador prolífico, y sus escritos cubren todo el espectro de las matemáticas, con ensayos ocasionales en campos casi sin relación alguna con ellas. Alrededor de 1824, Cauchy definió la integral de una función continua en forma que resulta familiar para nosotros, como el límite por la izquierda de aproximaciones: N

B

F .X/ D X D L¤M

X!

A

F .XI

X:

ID

Ésta es una clase de límite mucho más complicada que los que estudiamos en el capítulo 2. Cauchy no tenía muy clara la naturaleza del proceso de límite que involucraba esta ecuación, ni tampoco sobre el papel preciso que la hipótesis de la continuidad de f tenía respecto a que exista el límite. Una definición completa de la integral, como se dio en la sección 5.4, la produjo finalmente en la década de 1850 el matemático alemán Georg Bernhard Riemann. Riemann era uno de los estudiantes de Gauss, a quien buscó a su llegada a Gotinga, Alemania, con el propósito de estudiar teología cuando tenía 20 años y Gauss cerca de 70. Riemann pronto decidió estudiar matemáticas y se dio a conocer como uno de los matemáticos verdaderamente grandes del siglo diecinueve. Igual que a Cauchy, le interesaban en particular las aplicaciones de las matemáticas al mundo real; sus investigaciones ocurrían sobre todo en campos como la electricidad, calor, luz, acústica, dinámica de fluidos, y —como quizás infiera usted del hecho de que Wilhelm Weber tuvo una gran influencia en la educación de Riemann— magnetismo. Riemann también hizo contribuciones significativas a las matemáticas en sí, en particular en el campo del análisis complejo. A la fecha, permanece sin solución una conjetura suya importante que involucra a la función zeta: 1  ;   .S/ H S N ND Esta conjetura tiene consecuencias importantes en la teoría de la distribución de los números primos debido a que   ; PK donde el producto  se toma sobre todos los primos p [la función zeta está definida en la ecuación (1) para los números complejos s a la derecha de la recta vertical en x  1, y se extiende a otros números complejos por medio del requerimiento de que sea derivable]. Riemann murió de tuberculosis poco antes de su cumpleaños cuarenta. A continuación daremos una prueba de la existencia de la integral de una función continua, para lo que seguiremos el enfoque de Riemann. En específico, suponemos que la función f es continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Demostraremos que la integral definida .K/ D



B

F .X/ D X A

existe. Es decir, demostraremos la existencia de un número I que satisface la condición siguiente: para todo  > 0 existe un δ > 0 tal que para toda suma de Riemann, R, asociada con cualquier partición, P, con |P| < δ, j) 2j :

APÉNDICE F

A-29

(Hay que recordar que la norma |P| de la partición P es la longitud del subintervalo más grande en la partición.) En otras palabras, toda suma de Riemann asociada con cada partición suficientemente “fina” está cerca del número I. Si esto ocurre, entonces se dice que la integral definida B

F .X/ D X A

existe y que su valor es I. Ahora comienza la demostración. Suponga que f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Dado  > 0, necesitamos demostrar la existencia de un número δ > 0 tal que N

F .XI

)

XI



ID

para toda suma de Riemann asociada con cualquier partición P de [a, b] con |P| < δ. Dada una partición P de [a, b] en n subintervalos que no necesariamente tienen la misma longitud, sea pi un punto del subintervalo [xi−1, xi] en el que f tiene su valor mínimo f ( pi). De manera similar, sea f (qi) su valor máximo ahí. Estos números existen para toda i  1, 2, 3, . . . , n debido a la propiedad del valor máximo de las funciones continuas (teorema 4 del apéndice E). En lo que sigue, se denotarán las sumas de Riemann inferior y superior asociadas con P por medio de N

,.0/ D

F . PI

XI

A

F .QI

XI ;

A

ID

Y N

5 .0/ D ID

respectivamente. Así, el lema 1 resulta obvio.

LEMA 1 Para cualquier partición P de [a, b], L(P)

U(P).

Ahora, se necesita una definición. La partición P se denomina refinamiento de la partición P si cada subintervalo de P  está contenido en algún subintervalo de P. Es decir, P  se obtiene de P por medio de sumar más puntos de subdivisión a P.

LEMA 1 L(P)

L(P )

U(P )

U(P).

Demostración La desigualdad L(P )

(4)

U(P ) es una consecuencia del lema 1. Se demostrará que L(P) L(P ); la demostración de que U(P ) U(P) es similar. El refinamiento P  se obtiene de P con la suma de uno o más puntos de subdivisión a P. Por tanto, todo lo que se necesita demostrar es que la suma de Riemann L(P) no puede disminuir al sumar un solo punto de subdivisión. Así, supondremos que la partición P  se obtiene de P al dividir el k-ésimo subintervalo [xk−1, xk] de P en dos subintervalos [xk−1, z] y [z, xk] por medio del nuevo punto de subdivisión z. El único efecto resultante sobre la suma de Riemann correspondiente es reemplazar el término F . PK /
.XK XK / 

en L(P) con la suma de dos términos F .U/
.Z XK / C F .G/
.XK Z/;

A-30

APÉNDICES

donde f (u) es el mínimo de f sobre [xk−1, z] y f (v) es el mínimo de f sobre [z, xk]. Pero F . PK /

F .U/

Y

F . PK /

F .G/:

0ORLOQUE F .U/
.Z XK / C F .G/
.XK Z/

F . PK /
.Z XK / C F . PK /
.XK Z/ D F . PK /
.Z XK C XK Z/ D F . PK /
.XK XK /:

De modo que la sustitución de f (pk)·(xk − xk−1) no puede hacer que decrezca la suma L(P) en cuestión, y por ello L(P) L(P ). Como esto es todo lo que se necesita demostrar, hemos concluido la demostración del lema 2. X Para demostrar que para particiones suficientemente finas todas las sumas de Riemann están cerca de cierto número I, primero se debe dar una construcción de I. Esto se logra por medio del lema 3.

LEMA 3 Sea que Pn denota la partición regular de [a, b] en 2n subintervalos de igual longitud. Por lo tanto, existe el límite (secuencial)  ) D L¤M ,.0N / N!1

Demostración Comenzamos con la observación de que cada partición Pn+1 es un refinamiento de Pn, por lo que (por el lema 2)

,.0 /

,.0 /






,.0N /




:

Por tanto, {L(Pn)} es una sucesión no decreciente de números reales. Además, N

,.0N / D

N

F . PI

XI

-

ID

XI D -.B A/; I

donde M es el valor máximo de f sobre [a, b]. El teorema 1 del apéndice E garantiza que una sucesión monótona acotada de números reales debe converger. Así, el número ) D L¤M ,.0N / N!1

existe. Esto establece la ecuación (5) y la prueba del lema 3 está completa.

X

En el cálculo avanzado se demuestra que si f es continua sobre [a, b], entonces —para todo número  > 0— existe un número δ > 0 tal que j F .U/ F .G/j

para dos puntos cualesquiera u y v de [a, b] tales que jU Gj < :

Esta propiedad de una función se denomina continuidad uniforme de f sobre el intervalo [a, b]. Así, el teorema del cálculo avanzado que necesitamos utilizar establece que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en éste. OBSERVACIÓN El hecho de que f sea continua en [a, b] significa que para todo número u en el intervalo y todo  > 0, existe δ > 0 tal que si v es un número en el intervalo con |u − v| < δ, entonces | f (u) − f (v)| < . Pero la continuidad uniforme es una condición más estricta. Significa que dado  > 0, es posible encontrar no sólo un valor δ1 que “funcione” para u1, un valor δ2 que funcione para u2, etc, sino algo más: se puede encontrar un valor universal de δ > 0 que funcione para todos los valores de u en

APÉNDICE F

A-31

el intervalo. Esto no debe ser obvio cuando se observa la posibilidad de que δ1  1, δ2  , δ3  , etc. En cualquier caso, está claro que la continuidad uniforme de f sobre un intervalo implica la continuidad en éste. Recuerde que siempre tenemos una función continua f definida en el intervalo cerrado [a, b].

LEMA 4 Suponga que  > 0 está dado. Así, existe un número δ > 0 tal que si P es una partición de [a, b] con |P| < δ y P  es un refinamiento de P, entonces j2.0/ 2.0 /j <

  para dos sumas de Riemann cualesquiera R(P) asociadas con P y R(P ) asociada con P . Demostración Como f debe ser uniformemente continua sobre [a, b], existe un nú-

mero δ > 0 tal que si

jU Gj < ;

ENTONCES

j F .U/ F .G/j <

.B A/

:

Suponga que P es una partición de [a, b] con |P| < δ. Entonces N

N

j F .QI / F . PI /j XI <

j5 .0/ ,.0/j D ID

20 ,0

20a

XI H ID



:

Esto es válido porque |pi − qi| < δ, tanto para pi como para qi en el mismo subintervalo [xi−1, xi] de P y |P| < δ. Ahora, como se ilustra en la figura F.1, se sabe que L(P) y U(P) difieren en menos de /3. También se sabe que

!NCHOTOTALMENOS   50

FIGURA F.1 Parte de la demostración del lema 4.

.B A/

,.0/

2.0/

5 .0/

para toda suma de Riemann R(P) asociada con P. Pero ,.0/ ,.0 / 5 .0 / 5 .0/ según el lema 2, porque P  es un refinamiento de P; además, ,.0 /

2.0 /

5 .0 / 

para toda suma de Riemann R(P) asociada con P . Pero, como se aprecia en la figura F.1, ambos números R(P) y R(P ) están en el intervalo [L(P), U(P)] de longitud menor que /3, por lo que se sigue la ecuación (6). Esto concluye la demostración del lema 4. X

TEOREMA 1 Existencia de la integral Si f es continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existe la integral B

F .X/ D X A

Demostración Suponga que  > 0 está dado. Se debe demostrar la existencia de un

número δ > 0 tal que, para toda partición P de [a, b] con |P| < δ, se tiene j) 2.0/j ;

donde I es el número dado en el lema 3 y R(P) es una suma de Riemann arbitraria para f asociada con P. Se escoge el número δ proporcionado por el lema 4 tal que j2.0/ 2.0 /j < 

si |P| < δ y P es un refinamiento de P.



A-32

APÉNDICES

Según el lema 3, es posible escoger un entero N tan grande que j0. j < 

Y

j,.0. / ) j <

:   Dada una partición arbitraria P tal que |P| < δ, sea P  un refinamiento común tanto de P como de PN. Es posible obtener tal partición P , por ejemplo, con el uso de todos los puntos de subdivisión tanto de P como de PN para formar los subintervalos de [a, b] que constituyen P . Como P  es un refinamiento tanto de P como de PN y los dos son particiones que tienen una malla menor que δ, el lema 4 implica que j2.0/ 2.0 /j <

 Y j,.0. / 2.0 /j < :   Aquí, R(P) y R(P ) son sumas de Riemann (arbitrarias) asociadas con P y P  respectivamente. Dada una suma de Riemann arbitraria R(P) asociada con la partición P con malla menor que δ, se observa que j) 2.0/j D j) ,.0. / C ,.0. / 2.0 / C 2.0 / 2.0/j j) ,.0. /j C j,.0. / 2.0 /j C j2.0 / 2.0/j:

En la última suma, los dos últimos términos son menores que /3 por virtud de las desigualdades en (8). También se sabe, según (7), que el primer término es menor que /3. En consecuencia, j) 2.0/j

:

X

Esto establece el teorema 1.

Terminaremos con un ejemplo que demuestra que se requieren algunas de las hipótesis de continuidad (o tal vez alguna suposición más débil) para que exista la integral. EJEMPLO 1

Suponga que f está definida para 0 x 1, como sigue:  SI X ES IRRACIONAL F .X/ D  SI X ES RACIONAL

De esta forma, f no es continua en todos lados (¿por qué?) Dada una partición P de [0, 1], sea pi un punto racional y qi un punto irracional del i-ésimo intervalo de P para toda i, 1 i n. Igual que antes, f tiene su valor mínimo de 0 en cada pi, y su valor máximo de 1 en todo qi. Asimismo, N

,.0/ H

N

F . PI

XI D ;

MIENTRAS 5 .0/ D

ID

F .QI

XI D :

ID

Así, si escogemos   , entonces no hay un número I que esté dentro de  tanto en L(P) como de U(P), no importa cuán pequeña sea la malla de P. Se sigue que f no es integrable en [0, 1]. Z OBSERVACIÓN Éste no es el final de la historia de la integral. Las integrales de funciones muy discontinuas son importantes en muchas aplicaciones de la física, y cerca del comienzo del siglo veinte, algunos matemáticos, sobre todo Henri Lebesgue (1875-1941), desarrollaron integrales más poderosas. En particular, la integral de Lebesgue siempre existe cuando la integral de Riemann existe, y dan el mismo valor; pero la integral de Lebesgue es suficientemente poderosa para integrar funciones que incluso no son continuas en ninguna parte. Se reporta que 

F .X/ D X D  

para la función f del ejemplo 1. Otros matemáticos han desarrollado integrales con dominios mucho más generales que conjuntos de números reales o subconjuntos del plano o el espacio.

APÉNDICE G

A-33

APÉNDICE G: APROXIMACIONES Y SUMAS DE RIEMANN En el capítulo 6, nuestros varios intentos de calcular cierta cantidad Q nos llevaron a la siguiente situación. Al comenzar con una partición regular de un intervalo apropiado [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x, encontramos una aproximación An para Q, de la forma N

!N D

G.U I /H.GI

X;



ID

donde ui y vi son dos puntos (diferentes, por lo general) del í-ésimo subintervalo [xi−1, xi]. Por ejemplo, en nuestro análisis del área de la superficie de revolución que antecede a la ecuación (8) de la sección 6.4 encontramos la aproximación N

 F .U I /  C T F .GI /U

X



ID

del área de la superficie generada al hacer girar la curva y  f (x), a x b, alrededor del eje x (en la sección 6.4 escribimos XI para ui y XI para vi). Observe que la expresión en (2) es la misma que la del lado derecho de la ecuación (1); tome g(x)  2πf (x) y H.X/ D  C T F .X/U  En una situación así se observa que si ui y vi fueran el mismo punto XI de [xi−1, xi] para cada i (i  1, 2, 3, ..., n), entonces la aproximación en la ecuación (1) sería una suma de Riemann para la función g(x)h(x) sobre [a, b]. Esto nos lleva a sospechar que N

L¤M

X!

B

G.U I /H.GI

XD

G.X/H.X/ D X:



A

ID

En la sección 6.4 se aceptó la validez de la ecuación (3) y se concluyó de la aproximación en (2) que el área de la superficie de revolución debía definirse como N X!

B

 F .U I /  C T F .GI /U

! D L¤M

 F .X/  C T F .X/U D X:

XD A

ID

El teorema 1 garantiza que la ecuación (3) se cumple con restricciones suaves de las funciones g y h.

TEOREMA 1 Generalización de las sumas de Riemann Suponga que h y g son continuas en [a, b]. Entonces N

L¤M

X!

B

G.U I /H.GI

XD

G.X/H.X/ D X;



A

ID

donde ui y vi son puntos arbitrarios del i-ésimo subintervalo de una partición regular de [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x. Demostración Sea que M1 y M2 denoten los valores máximos en [a, b] de |g(x)| y

|h(x)|, respectivamente. Se observa que N

N

G.U I /H.GI

X D 2 N C 3N ;

DONDE

2N D

IH

G.GI /H.GI

X

ID

es una suma de Riemann que aproxima

B A

G.X/H.X/D X cuando x → 0, y

N

3N D

;G.U I / G.GI /= H.GI

X:

ID

Para demostrar la ecuación (3) es suficiente demostrar que Sn → 0 cuando x → 0. El teorema del valor medio da jG.U I / G.GI /j H jG .X I / j
jU I GI j - X;

;X I EN .U I ; GI /=

A-34 APÉNDICES

porque tanto ui como vi son puntos del intervalo [xi−1, xi] de longitud x. Así, N

N

j3N j

jG.U I / G.GI /j
jH.GI /j X ID

.-

X/
.-

X/

IH N

D .- -

X/

X D - - .B A

X;

ID

de lo que se sigue que Sn → 0 cuando x → 0, como se quería.

X

Como una aplicación del teorema 1, daremos una obtención rigurosa de la ecuación (2) de la sección 6.3, B

6 D

 X F .X/ D X;



A

para el volumen del sólido generado por la revolución alrededor del eje y de la región entre la gráfica de y  f (x) y el eje x, para a x b. Comenzamos con la partición regular usual de [a, b], sea que F .XI / y F .XI / denoten los valores mínimo y máximo de f en el i-ésimo subintervalo [xi−1, xi]. Denotemos con XI el punto medio de este subintervalo. De la figura G.1 se observa que la parte del sólido generado por la revolución de la región debajo de y  f (x), xi−1 x xi, contiene un cascarón cilíndrico con radio promedio XI , espesor x y altura F .XI /, y está contenido en otro cascarón cilíndrico con los mismos radio y espesor promedio, pero altura F .XI /. De ahí que el volumen Vi de esta parte del sólido satisface las desigualdades  XI F XI

X

6I

 XI F XI

X:

Estas desigualdades se suman para i  1, 2, 3, . . . , n y se encuentra que N

N

 XI F XI

X

6

 XI F XI

ID

X:

ID

Como el teorema 1 implica que las dos últimas sumas tienden a de la suma de los límites ahora implica la ecuación (4).

B A

 F .X/ D X la ley

Y

FXI

YF X

XI

FXIB

XI  XI

A

B

X

XI

FIGURA G.1 Estimación cuidadosa del volumen de un sólido de revolución alrededor del eje y.

Ocasionalmente se necesitará una generalización del teorema 1 que involucre la noción de una función continua F (x, y) de dos variables. Se dice que F es continua en el punto (x0, y0) si se demuestra que el valor F (x, y) se puede hacer arbitrariamente cercano a F (x0, y0) con sólo escoger el punto (x, y) suficientemente cerca de (x0, y0). En el capítulo 12 se estudió la continuidad de las funciones de dos variables. Aquí basta aceptar los hechos siguientes: si g(x) y h( y) son funciones continuas de las variables únicas x y y, respectivamente, entonces combinaciones sencillas tales como G.X/  H.Y/;

G.X/H.Y/;

Y

son funciones continuas de dos variables x y y.

TG.X/U C TH.Y/U

APÉNDICE H

A-35

Ahora, considere una partición regular de [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x, y sea que ui y vi denoten puntos arbitrarios del iésimo subintervalo [xi−1, xi]. El teorema 2 —omitimos la demostración— dice cómo encontrar el límite cuando x → 0, de una suma como N

&.U I ; GI

X:

ID

TEOREMA 2 Otra generalización Sea F (x, y) continua tanto para x como para y, ambas en el intervalo [a, b]. Entonces, en la notación del párrafo anterior, N

L¤M

X!

B

&.U I ; GI

XD

&.X; X/ D X;



A

ID

El teorema 1 es el caso especial F (x, y) = g(x)h(y) del teorema 2. Además, el integrando F (x, x) en el lado derecho de la ecuación (5) es tan sólo una función ordinaria de la variable única x. Como formalidad, la integral que corresponde a la suma en la ecuación (5) se obtiene con la sustitución del símbolo de suma con un signo de integral, el cambio tanto de ui y vi por x, el reemplazo de x por dx, y la inserción de los límites de integración correctos. Por ejemplo, si el intervalo [a, b] es [0, 4], entonces N X!



U I C GI

L¤M

X  C X  D X

XD 

ID



D

 . C X  /=   D : 



X. C X  /= D X D



 D ./= ./= 



APÉNDICE G PROBLEMAS En los problemas 1 a 7, ui y vi son puntos arbitrarios del i-ésimo subintervalo de una partición regular de [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x. Exprese el límite dado como una integral de a a b, y después calcule su valor. N

 L¤M

X!

U I GI

A H  B H 

X!

.U J C G J

X

A D  B D 

X

A H  B D =

N X!

SEN  U I C COS GI

X

A D  B D 

IH N

U K C GK

 L¤M

X!

JH

SEN U I COS GI IH

 L¤M

IH N

 L¤M

X!

X

N

 L¤M

X

A D  B D 

KD

N

U I  GI

 L¤M

X!

ID N

 L¤M

X!

ID

UI  C GI

X

A D  B D 

X

A D  B D 

8. Explique cómo se aplica el teorema 1 para demostrar que la ecuación (8) de la sección 6.4 se sigue del análisis que lo precede en dicha sección. 9. Use el teorema 1 para obtener la ecuación (10) de la sección 6.4.

APÉNDICE H: LA REGLA DE L’HÔPITAL Y EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY A continuación se da una prueba de la regla de l’Hopital, L¤M

X!A

F .X/ F .X/ D L¤M ; X!A G .X/ G.X/



con las hipótesis del teorema 1 de la sección 4.8. La demostración se basa en una generalización del teorema del valor medio que se debe al matemático francés Augustin Louis

A-36

APÉNDICES

Cauchy, quien usó esta generalización a principios del siglo diecinueve para hacer demostraciones rigurosas de varios resultados del cálculo que no se habían establecido con firmeza.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY Suponga que las funciones f y g son continuas en el intervalo cerrado y acotado [a, b], y derivables en (a, b). Entonces, existe un número c en (a, b) tal que  ; F .B/ F .A/= G .C/ D TG.B/ G.A/U F .C/: OBSERVACIÓN 1 Para ver que este teorema en verdad es una generalización del teorema (ordinario) del valor medio, se toma g(x)  x. Entonces, g(x) ≡ 1, y la conclusión de la ecuación (2) se reduce al hecho de que

F .B/ F .A/ D .B A/ F .C/

para cierto número c en (a, b). La ecuación (2) tiene una interpretación geométrica como la del teorema ordinario del valor medio. Pensemos en las ecuaciones x  g(t), y  f (t) como la descripción del movimiento de un punto P(x, y) que se mueve a lo largo de una curva C en el plano xy conforme t se incrementa de a a b (ver figura H.1). Es decir, P(x, y)  P(g(t) , f (t)) es la ubicación del punto P en el momento t. Con la suposición de que g(b) H g(a), la pendiente de la recta L que conecta los extremos de la curva C es

OBSERVACIÓN 2

MD

F .B/ F .A/ : G.B. G.A/



Pero si g(c) H 0, entonces la regla de la cadena ofrece DY=DT F .C/ DY D D DX D X=DT G .C/



para la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto (g(c), f (c)). Pero si g(b) H g(a) y g(c) H 0, entonces la ecuación (2) se puede escribir en la forma F .C/ F .B/ F .A/ D ; G.B/ G.A/ G .C/



por lo que las dos pendientes en las ecuaciones (3) y (4) son iguales. Así, el teorema del valor medio de Cauchy implica que (con nuestras suposiciones) hay un punto sobre la curva C donde la recta tangente es paralela a la recta que une los extremos de C. Esto es exactamente lo que dice el teorema (ordinario) del valor medio para una curva definida explícitamente y  f (x). Esta interpretación geométrica motiva la demostración siguiente del teorema del valor medio de Cauchy. Y 0ENDIENTE

G C FC

F aC GaC

X Y D

ƒ

GB FB

0ENDIENTE

,

FB F A GB GA

GA F A X

FIGURA H.1 Idea del teorema del valor medio de Cauchy.

APÉNDICE H

A-37

Demostración La recta L que pasa por los extremos de la curva en la figura H.1 tiene

la ecuación de pendiente Y F .A/ D

F .B/ F .A/ ;X G.A/= ; G.B/ G.A/

que se rescribe en la forma Ax + By + C  0, con ! D G.B/ F .A/; " D TG.B/ G.A/U; Y # D F .A/ ;G.B/ G.A/= G.A/ ; F .B/ F .A/= :



De acuerdo con el problema 93 de la sección de Problemas diversos del capítulo 3, la distancia (perpendicular) del punto (x0, y0) a la recta L es DD

j! X C "Y C #j : p ! C " 

La figura H.1 sugiere que el punto (g(c), f (c)) maximizará esta distancia d para puntos sobre la curva C. Por tanto, estamos motivados para definir la función auxiliar .T/ H ! G.T/ C " F .T/ C #;



con las constantes A, B y C según se definen en (6). Así, φ(t) en esencia es un múltiplo constante de la distancia de (g(t), f (t)) a la recta L en la figura H.1. Ahora, φ(a)  0  φ(b) (¿por qué?), por lo que el teorema de Rolle (ver sección 4.3) implica la existencia de un número c en (a, b) tal que  .C/ D ! G .C/ C " F .C/ D :



Se sustituyen los valores de A y B de la ecuación (6) en la (8) y se obtiene ; F .B/ F .A/= G .C/ ;G.B/ G.A/= F .C/ D :

Ésta es la misma que la ecuación (2) en la conclusión del teorema del valor medio de Cauchy, con lo que la prueba está completa. X Aunque las suposiciones de que g(b) H g(a) y g(c) H 0 fueron necesarias para nuestra interpretación geométrica del teorema, no se emplearon en su demostración —sólo como motivación para el método de prueba. NOTA

Suponga que f (x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0 en x  a. Argumentamos la continuidad de f y g para permitir la suposición de que f (a)  0  f (b). Es decir, tan sólo definimos f (a) y g(a) como iguales a cero en caso de que sus valores en x  a no se den de origen. Ahora restringimos nuestra atención a valores de x H a en un entorno fijo de a en el que tanto f como g son derivables. Elija uno de esos valores de x y manténgalo constante por un tiempo. Después aplique el teorema del valor medio de Cauchy en el intervalo [a, x] (si x < a, se usa el intervalo [x, a]). Se encuentra que hay un número z entre a y x que se comporta como lo hace c en la ecuación (2). Por tanto, de acuerdo con dicha ecuación, se obtiene DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE L'HÔPITAL

F .X/ F .A/ F .Z/ F .X/ D D : G.X/ G.X/ G.A/ G .Z/

Ahora z depende de x, pero está atrapada entre x y a, por lo que es forzada a tender hacia a cuando x → a. Se concluye que L¤M

X!A

F .X/ F .Z/ F .X/ D L¤M D L¤M ; Z!A X!A G.X/ G .Z/ G .X/

con la suposición de que existe el límite por la derecha. Así, hemos comprobado la regla de l’Hôpital en la forma de la ecuación (1). X

A-38

APÉNDICES

APÉNDICE I: DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE TAYLOR Se conocen varias demostraciones diferentes de la fórmula de Taylor (teorema 2 de la sección 10.4), pero ninguna de ellas parece estar suficientemente motivada —cada una requiere algún “truco” para comenzar—. El truco que emplearemos aquí (sugerido por C. R. MacCluer) es comenzar por introducir una función auxiliar F (x) definida como sigue: F .X/ .B X/ &.X/ H F .B/ F .X/ F .X/.B X/ W F .N/ .X/


 .B X/N + .B X/NC ; NW donde la constante K se escoge de modo que F (a)  0. Para saber que sí hay tal valor de k, se podría sustituir x  a en el lado derecho de la ecuación (1) y F (x)  F (a)  0 en el izquierdo y resolver después en forma rutinaria para K, pero no hay necesidad de hacer esto explícitamente. La ecuación (1) explica cómo F (b)  0. Por tanto, el teorema de Rolle (ver sección 4.3) implica que & .Z/ D   para cierto punto z del intervalo abierto (a, b) (con la suposición de que a < b). Para ver lo que significa la ecuación (2), derivamos ambos lados de la ecuación (1) y se observa lo siguiente: & .X/ D F .X/ C F .X/ F .X/.B X/  C F .X/.B X/ F ./ .X/.B X/ W  ./  F .X/.B X/ F ./ .X/.B X/ C W W   F .N/ .X/.B X/N F .NC/ .X/.B X/N C


C .N /W NW C .N C /+ .B X/N :

Con la inspección cuidadosa de este resultado, se observa que todos los términos, excepto los últimos dos, se cancelan por parejas. Así, la suma actúa como “telescopio” para proporcionar & .X/ D .N C /+ .B X/N

F .NC/ .X/ .B X/N : NW



De ahí que la ecuación (2) signifique que .N C /+ .B Z/N

F .NC/ .Z/ .B Z/N D : NW

En consecuencia, cancelamos (b − z)n y se resuelve para + D

F .NC/ .Z/ : .N C /W



Por último, regresamos a la ecuación (1) y sustituimos x  a, f (x)  0, y el valor de K dado en la ecuación (4). El resultado es la ecuación F .A/ .B A/ W F .N/ .A/ F .NC/ .Z/


.B A/N .B A/NC : NW .N C /W

 D F .B/ F .A/ F .A/.B A/

que es equivalente a la fórmula de Taylor deseada, la ecuación (11) de la sección 10.4. X

APÉNDICE J A-39

APÉNDICE J: LAS SECCIONES CÓNICAS COMO SECCIONES DE UN CONO Z

Z XY   



3ECCI˜N C˜NICA

F

La parábola, hipérbola y elipse que estudiamos en el capítulo 9 fueron introducidas por primera vez por los antiguos matemáticos griegos como secciones (trazas) planas de un cono circular recto. Aquí se demuestra que la intersección de un plano y un cono es, en realidad, una de las tres secciones cónicas definidas en el capítulo 9. La figura J.1 muestra el cono con ecuación Z D X  C Y  y su intersección con un plano P que pasa por el punto (0, 0, 1) y la recta x  c > 0 en el plano xy. Una ecuación de P es

Y

Z D

C U

XC

FIGURA J.1 Encontrar una ecuación para una sección cónica.

Una parábola si φ  45° Una elipse si φ < 45° Una hipérbola si φ > 45°

X Z

G

Z D G SEN  D p Z

(c  1) (c > 1) (c 1, y los coeficientes de u2 y v2 en la ecuación (4) son positivos, por lo que la curva es una elipse; vea la ecuación (17) de la sección 9.6. Por último, si φ > 45°, entonces c < 1, y los coeficientes de u2 y v2 en la ecuación (4) tienen signos opuestos, de modo que la curva es una hipérbola; vea la ecuación (26) de la sección 9.6.

A-40

APÉNDICES

APÉNDICE K: DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA APROXIMACIÓN LINEAL Con la hipótesis de la derivabilidad continua del teorema de la aproximación lineal enunciado en la sección 12.6, se desea demostrar que el incremento F D F .A C H/ F .A/ ESTÖDADOPOR F D rF .A/
H C .H/
H



donde (h)  1(h), 2(h), . . . , n(h) es un vector tal que cada elemento i(h) tiende a cero cuando h → 0 [observe el símbolo  para “incremento”, y el símbolo invertido ∇ para “gradiente” en el lado derecho de la ecuación (1)]. Para analizar el incremento f, damos el salto de a a a + h en n etapas separadas, en cada una de las cuales sólo se cambia una sola coordenada. Sea que ei denote el vector unitario de n dimensiones con 1 en la i-ésima posición, y escribimos A D A Y AI D AI C H I EI  PARA I D ; ; : : : ; N PORLOQUE AN D A C H %NTONCES F D F .AN / F .A / D T F .AN / F .AN /U C T F .AN / F .AN /U C


C T F .A / F .A /U C T F .A / F .A /UI ESDECIR N

F D

F .AI / F .AI / :



ID

El i-ésimo término de esta suma está dado por F .AI / F .AI / D F .A C H  ; : : : ; AI C H I ; AI C H I ; AIC ; : : : ; AN / F .A C H  ; : : : ; AI C H I ; AI ; AIC ; : : : ; AN / H GI ./ GI ./; donde la función derivable gi está definida por GI .T/ D F .A C H  ; : : : ; AI C H I ; AI C TH I ; AIC ; : : : ; AN /: Así, el teorema del valor medio produce F .AI / F .AI / D GI ./ GI ./ D GI . TI /. / D $I F .A C H  ; : : : ; AI C H I ; AI C TI H I ; AIC ; : : : ; AN /
H I D $I F .AI C TI H I EI /
H I para algunos TI entre 0 y 1. La sustitución en (2) proporciona N

F D

$I F .AI C TI H I EI /
H I ID N

D

T$I F .A/ C $I F .AI C TI H I EI / $I F .A/U
H I : ID

Por tanto, N

F D

;$I F .A/ C I .H/=
H I ID

D rF .A/
H C

I .H/; I .H/; : : :

; I .H/
H

DONDE I .H/

D $I F .AI D TI H I EI / $I F .A/ ! 

(por la continuidad de Di f en a) cuando h → 0 (y por tanto ai−1 → a por la ecuación (2))). Hemos establecido así la ecuación (1), con lo que la demostración está terminada. X

APÉNDICE M

A-41

APÉNDICE L: UNIDADES DE MEDIDA Y FACTORES DE CONVERSIÓN UNIDADES CIENTÍFICAS DEL SISTEMA MKS • Longitud en metros (m); masa en kilogramos (kg), tiempo en segundos (s) • Fuerza en newtons (N); una fuerza de 1 N es la que produce una aceleración de 1 m/s2 a una masa de 1 kg. • Trabajo en joules (J); 1 J es el trabajo que realiza una fuerza de 1 N cuando actúa a lo largo de una distancia de 1 m. • Potencia en watts (W); 1 W es 1 J/s.

UNIDADES DE INGENIERÍA DEL SISTEMA INGLÉS (FPS) • Longitud en pies (ft); fuerza en libras (lb), tiempo en segundos (s) • Masa en slugs; una fuerza de 1 lb es la que produce una aceleración de 1 ft/s2 a una masa de 1 slug. Una masa de m slugs en la superficie de la Tierra tiene un peso de w  mg libras (lb), donde g ≈ 32.17 ft/s2. • Trabajo en ft·lb, fuerza en ft·lb/s.

FACTORES DE CONVERSIÓN 1 in  2.54 cm  0.0254 m, 1 m ≈ 3.2808 ft 1 mi  5280 ft; 60 mi/h  88 ft/s 1 lb ≈ 4.4482 N; 1 slug ≈ 14.594 kg 1 hp  550 ft·lb/s ≈ 745.7 W • Aceleración de la gravedad: g ≈ 32.17 ft/s2 ≈ 9.807 m/s2 • Presión atmosférica: 1 atm es la presión que ejerce una columna de mercurio de 76 cm de altura; 1 atm ≈ 14.70 lb/in2 ≈ 1.013 × 105 N/m2 • Energía calorífica: 1 Btu ≈ 778 ft·lb ≈ 252 cal, 1 cal ≈ 4.184 J

APÉNDICE M: FÓRMULAS DEL ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA LEYES DE LOS EXPONENTES A M A N D A MCN ;

.A M /N D A MN ;

.AB/N D A N BN ;

en particular, A = D

p A:

A N D

 ; AN

Si a H 0, entonces A MN D

AM ; AN

Y

A  D :

FÓRMULA CUADRÁTICA La ecuación cuadrática AX  C BX C C D 

.A

tiene las soluciones XD

B 

p

B AC : A

/

A M=N D

p N M A 

A-42

APÉNDICES

FACTORIZACIÓN A  B D .A B/.A C B/ A  B D .A B/.A  C AB C B / A  B D .A B/.A  C A  B C AB C B / D .A B/.A C B/.A  C B / A  B D .A B/.A  C A  B C A  B C AB C B /

(El patrón continúa.) A  C B D .A C B/.A  AB C B / A  C B D .A C B/.A  A  B C A  B AB C B / A  C B D .A C B/.A  A  B C A  B A  B C A  B AB C B /

(El patrón continúa para exponentes impares.)

FÓRMULA DEL BINOMIO N.N / N  A B 
 N.N /.N / N  C A B C


C NABN C BN 



.A C B/N D A N C NA N B C

si n es un entero positivo.

ÁREA Y VOLUMEN En la figura M.1, los símbolos tienen los significados siguientes. A: área B: área de la base h: altura

b: longitud de la base C: circunferencia : longitud

r: radio V: volumen w: ancho

B H B

B

B

B

2ECTÖNGULO!BH

0ARALELOGRAMO!BH

R

H

H

H

 4RIÖNGULO ! BH 

4RAPECIO !

 

#¤RCULO #P R Y!P R

BB H

R H

H

H

H "

"

W

E

R

"

R

0ARALELEP¤PEDORECTANGULAR 6 EWH

0IRÖMIDE 6

 

"H

#ONOCIRCULARRECTO 6  P RH

 

"H

%SFERA

#ILINDROCIRCULARRECTO

P H"H 6R

FIGURA M.1 Formas geométricas básicas.

TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c, A  C B D C :

6

 P R Y ! P R 

APÉNDICE N

FÓRMULA DE TRIGONOMETRÍA SEN./ H SEN  COS./ H COS  

SEN  C COS  H  SEN  H  SEN  COS  COS  H COS  SEN  SEN. C / H SEN  COS C COS  SEN COS. C / H COS  COS SEN  SEN TAN  C TAN  TAN  TAN  COS   SEN H     C COS  COS H  

TAN. C / H

# B

Para un triángulo cualquiera (ver figura M.2):

A

,EYDELOSCOSENOS C H A  C B AB COS #: "

! C

,EYDELOSSENOS

FIGURA M.2 Triángulo cualquiera.

SEN " SEN# SEN ! H H : A B C

APÉNDICE N: EL ALFABETO GRIEGO ! "

% : (



  

ALFA BETA GAMMA DELTA £PSILON ZETA ETA THETA

) +

 

.

 

/

O

IOTA KAPPA LAMBDA MU NU XI OMICRON FI

0



4 7

 

8



RHO SIGMA TAU ¢PSILON FI CHI PSI OMEGA

A-43

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas La guía de estudios F/V de una sección no pretende dar una lista completa de los objetivos de aprendizaje de esa sección ni sugerir todos los conceptos que debe aprender al estudiarla. En realidad, las preguntas falso/verdadero se proporcionan como una ayuda para verificar la precisión de su lectura y su retención de conocimientos, y le ofrecen una guía sistemática que lo remite a las partes apropiadas de la sección si parece que requiere revisar con más detalle ciertos hechos y conceptos antes de intentar trabajar los problemas. Sugerimos que marque cada pregunta como verdadero o falso y posteriormente consulte las respuestas que se proporcionan. Si tiene respuestas incorrectas, entonces consulte las sugerencias para esos conceptos. La sugerencia de cada concepto lo llevará al lugar adecuado de cada sección para leer de nuevo y determinar cuál fue el error en su primer intento.

SECCIÓN 1.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 1.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. El siglo xviii inició el 1 de enero de 1701 y terminó el 31 de diciembre de 1800. 2. La definición de función está en la primera página de la sección 1.1. 3. La notación f (x) se explica en la definición de función. 4. Vea la subsección Dominios e intervalos. 5. Vea la ecuación (6). 6. Vea la figura 1.1.9. 7. Vea la subsección Dominios e intervalos. 8. Vea el párrafo que precede al ejemplo 3. 9. Vea la subsección Dominios e intervalos. No se confunda con la ecuación (6). 10. Lea el párrafo que concluye con la ecuación (10).

1. Lea el análisis de las figuras 1.3.3 y 1.3.4. 2. Vea el penúltimo párrafo de la subsección Funciones de potencia. 3. Vea la ecuación (4). 4. Vea el ejemplo 3. 5. Lea el primer párrafo de la subsección sobre Polinomios. 6. Lea la frase que incluye la ecuación (9). La palabra clave es polinomios. 7. Vea el segundo párrafo de la subsección Funciones algebraicas. 8. Vea el ejemplo 7. 9. Aplique la “prueba de la línea vertical” de la sección 1.2 a la figura 1.3.25. 10. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 1.

Respuestas:

Respuestas:

FVVFFFVVVV

FVVFFFVVVF

SECCIÓN 1.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 1.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Vea el ejemplo 1. Lea la afirmación que incluye la ecuación (1). Vea la solución del ejemplo 3. Vea la subsección Gráficas de funciones. Vea la subsección Gráficas de funciones. Estudie el ejemplo 7, luego examine la figura 1.2.11. Vea la solución del ejemplo 7. Lea la frase que incluye la ecuación (9). Vea las dos últimas frases del ejemplo 10. Lea la afirmación que sigue a la definición de x(t).

Respuestas:

VFVVVFVVVF

1. Vea la ecuación (2). 2. Examine la figura 1.4.2 o lea la afirmación que incluye la ecuación (6). 3. Lea la frase que incluye la ecuación (8). 4. Estudie el párrafo que sigue al ejemplo 3. 5. Vea el ejemplo 4. 6. Vea la figura 1.4.10. 7. Vea la ecuación (13). 8. Examine la tercera ecuación que se muestra en la subsección de Funciones logarítmicas. 9. Vea el ejemplo 11. 10. Vea el ejemplo 10. Respuestas:

VFVFFFVVFV A-45

A-46

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 1.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la subsección acerca de Los dos problemas fundamentales. 2. Vea la subsección de Los dos problemas fundamentales. 3. Vea la subsección acerca de La relación fundamental. 4. Lea el segundo párrafo de la subsección sobre Los dos problemas fundamentales. 5. ¿Es el eje y tangente a la gráfica de y  x 2 (figura 1.2.16) en el origen? 6. ¿Es el eje x tangente a la gráfica de y  cos2 x (figura 1.4.8)  en el punto ;   7. Lea el párrafo que sigue al enunciado del Problema de la tangente. 8. Lea el párrafo que sigue al enunciado del Problema del área. 9. Estudie el ejemplo 1. 10. Lea la subsección La relación fundamental. Respuestas:

VVVFFFVVFV

10. Lea Sustitución de límites, el párrafo que le sigue, la ecuación (11) y el material antes y después de ella. Respuestas:

FVVFFFFVFV

SECCIÓN 2.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el teorema 1. 2. Estudie el ejemplo 1; además, use su calculadora para eva luar   3. Vea el ejemplo 2 y utilice una calculadora (en modo de radianes) para evaluar tan 3. 4. Vea la ecuación (3) en el apéndice A. 5. Lea el párrafo inmediato anterior al teorema 2. 6. Estudie el ejemplo 5. 7. Vea el ejemplo 9. 8. Estudie el párrafo que incluye la ecuación (14). 9. Lea el párrafo que incluye las ecuaciones (11) y (12). 10. Lea el párrafo que incluye las ecuaciones (11) y (12). Respuestas:

VFFVVVVFVV

SECCIÓN 2.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la ecuación (2). 2. Lea la oración que incluye la ecuación (5). 3. Lea las dos afirmaciones que concluyen con la ecuación (7). No se salte los detalles. 4. Lea el teorema que concluye con la ecuación (9). 5. Lea las oraciones que siguen a la ecuación (11). 6. La respuesta está en la subsección Problema del corral terminado. 7. Estudie la subsección Problema del corral terminado. 8. La respuesta está en la subsección Problema del corral terminado. 9. Vea el ejemplo 4. 10. Vea el ejemplo 5.

SECCIÓN 2.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

Respuestas:

Respuestas:

VVFVFVVFFF

SECCIÓN 2.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea la definición de continuidad en un punto. 2. Lea el ejemplo 1. 3. La respuesta está implícita en el ejemplo 3; si no está claro, revise la definición de continuidad en un punto. 4. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 5. 5. Lea el segundo párrafo después del ejemplo 5. 6. Vea la definición de continuidad en un punto. 7. Lea el teorema 1. 8. Lea el teorema 2. 9. Estudie el segundo párrafo en la subsección Funciones continuas en intervalos cerrados. 10. Lea el teorema 3. VVVVVVVVVV

SECCIÓN 3.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea la frase completa que concluye con la ecuación (3).

1. Vea la definición que incluye la ecuación (2).

2. Lea la frase que concluye con la ecuación (3).

2. Estudie el párrafo que incluye las ecuaciones (4) y (5).

3. Lea el párrafo titulado Idea del límite.

3. Compare la figura 3.1.4 y el párrafo que incluye las ecuaciones (6) y (7).

4. Describa los valores de x3 cuando x es un número muy cercano a 2. Respuesta: “los valores de x3 son todos cercanos a . . .” 5. Estudie el ejemplo 2 y la observación que lo sigue; en forma alternativa, use una calculadora para evaluar g(2). 6. Estudie el ejemplo 4; si es necesario, revise de nuevo el ejemplo 2. 7. Vea el ejemplo 5. 8. Lea la ley del producto de límites en la subsección Leyes de los límites. 9. Lea cuidadosamente la ley del cociente en la subsección Leyes de los límites.

4. Vea la afirmación que termina con la ecuación (9). 5. Lea el párrafo que incluye la ecuación (10). 6. Estudie el párrafo que termina con la ecuación (12). Observe que decir que f (t)  t 2 es lo mismo que decir f (x)  x 2. 7. Vea la ecuación (16). 8. Vea la frase que termina con la ecuación (19). 9. Vea la ecuación (13). 10. Vea la ecuación (13). Observe que decir que f (t)  t 2 es lo mismo que decir f (x)  x 2. Respuestas:

VVVVVVFVVV

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-47

SECCIÓN 3.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 3.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Estudie los tres primeros párrafos de la sección 3.2. Observe: la pregunta 1 no es una “pregunta capciosa”. 2. Lea la frase que incluye a la ecuación (5), el resto del párrafo y el párrafo siguiente. 3. Vea el ejemplo 2. 4. Vea el ejemplo 4. 5. Aplique la ecuación (15) con f (x)  x 2 + 1 y g(x)  x3 − 1. 6. Vea el ejemplo 9. 7. Si f (x)  g(x), entonces f (z)  g(z). 8. Aplique la ecuación (15) con f (x)  x y g(x)  sen x. 9. Aplique la ecuación (18) con f (x)  sen x y g(x)  x. 10. Aplique la ecuación (9) con a  b  1.

Lea (y memorice) la primera definición en la sección 3.5. Vea el teorema 1. Vea el teorema 2. Vea el ejemplo 5. Vea el ejemplo 5. Lea (y memorice) el teorema 3. Lea el primer párrafo de la subsección Método de máximomínimo en un intervalo cerrado. 8. Vea el ejemplo 4. 9. Vea el ejemplo 5. 10. Lea el primer párrafo de la subsección Método de máximomínimo en un intervalo cerrado. Observe que si a b y a b, entonces a  b.

Respuestas:

Respuestas:

VFFFVVVVFV

SECCIÓN 3.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la ecuación (3). Recuerde que si f (x)  x 2, entonces f (z)  z2. 2. Vea la ecuación (4). 3. Vea la ecuación (9). 4. Aplique la ecuación (9) con g(x)  3x + 5 y n  17. 5. Vea la ecuación (4). 6. Si la respuesta no es exactamente correcta, entonces está equivocada. 7. Vea el ejemplo (5). 8. Aplique la regla de la potencia generalizada —ecuación (9)— con g(x)  sen x y n  5. 9. Aplique la regla de la cadena —ecuación (4)— con g(x)  x5 y f (x)  sen x. 10. Aplique la regla de la cadena con f (x)  x7 y g(x)  x3 + x 2. Respuestas:

VVVVVFVVVF

 6EALAECUACI˜N    C H


  H    6EAELTEOREMA   

FVVFFVVVFV

SECCIÓN 3.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Lea la conclusión de la solución en el ejemplo 1. Lea la conclusión de la solución en el ejemplo 1. Vea el ejemplo 2. Si V(r) es continua en su dominio 0 < r < +∞, ¿hay alguna garantía de que V tenga un valor máximo absoluto? ¿Los valores extremos de la función A(x) en el ejemplo 5 ocurren todos como puntos interiores? ¿Cual es el área de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 1? ¿El área de un rectángulo se mide en pies? ¿Pies cuadrados? o ¿pies cúbicos? Vea la afirmación del ejemplo 6. Examine el tercer párrafo de la sección 3.6. ¿Cómo se resolvió la ecuación complicada en el problema del comedero de animales?

Respuestas:

SECCIÓN 3.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

 !PLIQUELAECUACI˜N CON F .X/ H  X  Y R H

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

VVVFFFFVVV

SECCIÓN 3.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la ecuación (4). 2. Lea el enunciado del teorema 1. 3. Aplique la regla del producto para Dx[ f (x) · g(x)] con f (x)  x 2 y g(x)  sen x, o lea el ejemplo 1.  !PLIQUE LAREGLADELPRODUCTOPARA $T ; F .T/=R CON F .T/ H    COS T Y R H  

5. La definición de la recta tangente vertical sigue al ejemplo 8. 6. Vea el ejemplo 9. 7. Vea el ejemplo 10 y lea el párrafo siguiente. 8. Lea (y ¡memorice!) el teorema 2. 9. La gráfica de g(x)  |x − 1| + 2 es una traslación de la gráfica de la función valor absoluto (vea la figura 3.4.3) con el vértice trasladado del origen al punto (1, −2). 10. La definición de la recta tangente vertical se deduce del ejemplo 8. ¿Es h continua en x  0?

5. Lea (y memorice) el enunciado del teorema 2. 6. Una regla general respecto a las funciones trigonométricas es que (trig x)n se puede escribir en forma corta como trign x siempre que n −1. 7. Lea el enunciado del teorema 2. 8. Vea la ecuación (16). 9. ¿Es el producto de funciones continuas continuo por sí mismo? 10. Vea el teorema 2 de la sección 3.4.

Respuestas:

Respuestas:

VFVFVVFVFF

VFVFVFVVVV

A-48

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 3.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 4.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea la afirmación que incluye la ecuación (1).

1. Vea la ecuación (1) de la sección 4.2.

2. Vea la ecuación (2).

2. Vea la ecuación (2).



 

X

D

  X

3. Vea la ecuación (3). 4. Lea el ejemplo 1.

4. Vea la ecuación (6).

5. Observe que π

5. Vea la ecuación (8).

6. Estudie la subsección Error en la aproximación lineal.

6. Vea el ejemplo 2.

7. Examine las fórmulas enumeradas en la subsección Diferenciales.

7. Vea el ejemplo 5. 8. Vea la ecuación (10). 9. Vea la ecuación (18). 10. Vea el ejemplo 9. Respuestas:

VFFFVVVVVV

3.14; en su lugar, π ≈ 3.14.

8. Examine las fórmulas enumeradas en la subsección Diferenciales. 9. Examine las fórmulas enumeradas en la subsección Diferenciales. 10. Lea el ejemplo 7. Respuestas:

VVVFFVFVVV

SECCIÓN 3.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea el ejemplo 2. 2. Lea el enunciado del ejemplo 3. 3. Lea la solución del ejemplo 6, o vea la ecuación (1) del apéndice B, o busque el teorema de Pitágoras en el índice.

SECCIÓN 4.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la primera definición en la sección 4.3. 2. Encuentre la subsección Teorema del valor medio y estudie el párrafo titulado Formulación geométrica.

4. Examine el segundo párrafo de la solución del ejemplo 7.

3. Vea la declaración del teorema del valor medio dada en el texto. Observe que consiste en dos oraciones completas.

5. Lea el primer párrafo de la subsección Tasas relacionadas.

4. Estudie el primer corolario del teorema del valor medio.

6. Estudie el ejemplo 1b.

5. Lea el segundo corolario del teorema del valor medio.

7. Estudie el ejemplo 5.

6. Lea y memorice el tercer corolario del teorema del valor medio.

8. Examine la solución del ejemplo 3. 9. Examine la solución del ejemplo 3. 10. Lea la afirmación del ejemplo 3, o busque la palabra folium en un diccionario. Respuestas:

FFFVVFVFVV

SECCIÓN 3.10 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. El primer día del siglo xix fue el 1 de enero de 1801 y el último día del siglo xix fue el 31 de diciembre de 1900.

7. Vea el ejemplo 6. 8. Vea el ejemplo 8. 9. Estudie el ejemplo 9. 10. Revise el tercer corolario del teorema del valor medio. Respuestas:

FVFFVVFVVV

SECCIÓN 4.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea (y memorice) el teorema 1.

2. Vea el ejemplo 1.

2. Lea (y memorice) el teorema 1.

3. Lea la primera frase de la subsección Método de Newton.

3. Estudie el ejemplo 1.

4. Estudie el párrafo que termina con la ecuación (6). 5. Examine (y memorice) la ecuación (6). 6. Vea el ejemplo 2, luego el ejemplo 1. 7. Despeje xn+1 − xn de la ecuación (6). 8. Vea el ejemplo 3. 9. Vea el ejemplo 3.

4. Vea la conclusión del ejemplo 1. 5. Vea el ejemplo 1 o examine la figura 4.4.14. 6. Vea el ejemplo 3 o examine la figura 4.4.18. 7. Estudie el ejemplo 5. 8. Vea el teorema 2. 9. Vea el teorema 2.

10. Vea el ejemplo 4.

10. Observe que g es continua en [−1, 2] y diferenciable excepto en x  0.

Respuestas:

Respuestas:

VVVVFVVVVV

VVVFVFFVVF

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-49

SECCIÓN 4.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 4.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea el ejemplo 1 de la sección 4.5.

1. Estudie el primer párrafo de la sección 4.8.

2. Vea el ejemplo 1.

2. Vea la ecuación (1) o examine el teorema 1 de la sección 2.3, o vea su demostración en la penúltima subsección de la sección 2.3.

3. Vea el ejemplo 1 o examine la figura 4.5.3 o examine la figura 4.5.4. 4. Vea el ejemplo 2. 5. Vea el ejemplo 2. 6. Vea el ejemplo 3 o examine la figura 4.5.7 o examine la figura 4.5.8. 7. Vea el ejemplo 3 o examine la figura 4.5.7 o examine la figura 4.5.8. 8. Examine la figura 4.5.6 o la 4.5.8. Note que la afirmación “todos los osos hormigueros son vertebrados” no es lógicamente equivalente a la afirmación “todos los vertebrados son osos hormigueros”. 9. Lea el párrafo que sigue a la ecuación (11). 10. Lea el segundo párrafo después de la ecuación (11). Respuestas:

VFFVVFFFVV

SECCIÓN 4.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

3. Vea el ejemplo 1. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 3 no tienen sentido? 4. Vea el ejemplo 1. 5. Vea el ejemplo 3. 6. Vea el ejemplo 4. 7. Vea el ejemplo 6. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 7 no tienen sentido? 8. Vea el ejemplo 6. 9. Vea el ejemplo 2. 10. Aprenda el teorema 2 y úselo para responder la pregunta 10. Respuestas:

VVFVFVFVFV

SECCIÓN 4.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea el ejemplo 1. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 1 no tienen sentido?

1. Examine la primera ecuación mostrada en la sección 4.6.

2. Vea el ejemplo 1.

2. Vea el ejemplo 1.

3. Vea el ejemplo 2.

3. Vea el ejemplo 2.

4. Vea el ejemplo 3. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 4 no tienen sentido?

4. Lea el primer párrafo de la subsección El signo de la segunda derivada. 5. Lea (y memorice) el teorema 1. 6. Lea (y memorice) el teorema 2. 7. Vea el teorema 3. 8. Vea el ejemplo 6 o examine la figura 4.6.19 o la figura 4.6.20. 9. Vea el ejemplo 7 y examine la figura 4.6.22. 10. Vea el ejemplo 7 y examine las figuras 4.6.21b y 4.6.22. Respuestas:

VVFFVVVVVV

5. Vea el ejemplo 3. 6. Vea el ejemplo 4. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 6 no tienen sentido? 7. Vea el ejemplo 4. 8. Vea el ejemplo 4. 9. Vea el ejemplo 5. 10. Vea el ejemplo 5. ¿Qué dos igualdades en la pregunta 10 no tienen sentido? Respuestas:

FVVFVFFVVF

SECCIÓN 5.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 4.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la afirmación de la sección 4.7 que incluye la ecuación (1).

1. Lea la afirmación que incluye la ecuación (3) en la sección 5.2. 2. Vea la definición de antiderivada después de la ecuación (4).

2. Vea el ejemplo 1.

3. Estudie el ejemplo 2.

3. La respuesta está escondida en la solución del ejemplo 9.

4. Vea la ecuación (15).

4. Vea el ejemplo 2.

5. Vea el ejemplo 5 o trate la “prueba segura” mencionada en el ejemplo 2.

5. Estudie el primer párrafo de la subsección Asíntotas horizontales.

6. Lea (y memorice) el teorema 2.

6. Vea el ejemplo 7.

7. Estudie el ejemplo 7.

7. Vea el ejemplo 8.

8. Vea el ejemplo 8.

8. Vea el ejemplo 9.

9. Vea el ejemplo 9.

9. Vea el ejemplo 9. 10. Vea la figura 4.7.12.

10. Lea las primeras dos oraciones en la subsección Aceleración constante.

Respuestas:

Respuestas:

VFVFFFVFVF

VVVVVFVFVV

A-50

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 5.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 5.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea el primer párrafo de la subsección Concepto de área.

1. Memorice la definición que incluye la ecuación (3).

2. Observe que una primera aproximación del área es 9.18 y una aproximación más precisa es 9.045.

2. Vea el ejemplo 2.

3. Examine las ecuaciones que preceden el ejemplo 2.

3. Lea y aprenda el teorema 1.

4. Vea los últimos cálculos del ejemplo 2.

4. Vea el ejemplo 4.

5. Vea la ecuación (6).

5. Memorice la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.

6. Lea (y memorice) la ecuación (7).

6. Lea la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.

7. Vea el ejemplo 6.

7. Memorice la parte 2 del teorema fundamental del cálculo.

8. Lea la primera y última oraciones del ejemplo 7. 9. Lea el primer párrafo en la subsección Nota histórica: El número π.

8. Vea el ejemplo 6. 9. Vea el ejemplo 7.

10. Toda región considerada en la sección 5.3 tiene una frontera que se puede aproximar con gran precisión por una colección finita de segmentos de recta muy cortos; cualquier par de ellos se encuentran (si lo hacen) en un punto extremo común.

10. Vea el ejemplo 8.

Respuestas:

SECCIÓN 5.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

VVFVVVFVVF

Respuestas:

VFVVVVVVVF

1. Vea el ejemplo 1.

SECCIÓN 5.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la segunda afirmación en la subsección de Sumas de Riemann. 2. Lea la oración inmediatamente antes de la definición de suma de Riemann. 3. Lea (y memorice) la definición de suma de Riemann. 4. Estudie el ejemplo 1.

2. Vea el ejemplo 2. 3. Vea el ejemplo 3. 4. Vea el ejemplo 4. 5. Vea el ejemplo 5. 6. Vea el ejemplo 6.

5. Vea el ejemplo 2.

7. Vea el ejemplo 7.

6. Lea la segunda frase después de la ecuación (7).

8. Vea el ejemplo 9.

7. Vea la definición de la integral definida (ésta es la definición que incluye la ecuación (8)).

9. Lea (y memorice) el teorema 1.

8. Lea la afirmación que termina con la ecuación (9).

10. Vea el ejemplo 10.

9. Lea (y memorice) el teorema 1.

Respuestas:

VVFVFVVFVV

10. Vea el ejemplo 4; específicamente vea la ecuación (17). Respuestas:

VVVVVVVVVV

SECCIÓN 5.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 5.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Examine la ecuación (3) con mucho cuidado. 2. Lea la subsección Teorema de evaluación hasta la ecuación (7). 3. Vea el ejemplo 1. 4. Vea el ejemplo 2.

1. Vea la definición de área entre dos curvas (la definición que incluye la ecuación (2)). 2. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 1. 3. Vea el ejemplo 1. 4. Vea el ejemplo 2.

5. Vea el ejemplo 3.

5. Vea el ejemplo 4.

6. Lea la frase que termina con la ecuación (11).

6. Vea el ejemplo 3.

7. Lea respecto a las propiedades de la suma en la subsección Propiedades básicas de las integrales.

7. Vea la definición de área entre dos curvas (la definición que incluye la ecuación (3)).

8. Lea respecto a la propiedad de la unión de intervalos en la subsección Propiedades básicas de las integrales.

8. Vea la ecuación (4).

9. Vea el ejemplo 8.

9. Vea el ejemplo 5.

10. Vea el ejemplo 9.

10. Lea el párrafo que sigue a la ecuación (3).

Respuestas:

Respuestas:

FVVFVVVVVV

VVVVVVVVFF

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-51

SECCIÓN 5.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 6.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea el ejemplo 3.

1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1).

2. Vea la ecuación (2).

2. Estudie la afirmación que termina con la ecuación (2) y la siguiente.

3. Vea la definición de la aproximación trapezoidal que sigue a la ecuación (5). 4. Vea el teorema 1; específicamente, vea la ecuación (16) ahí. 5. Vea la ecuación (7). 6. Lea la frase que incluye a la ecuación (10). 7. Lea la definición de la aproximación de Simpson que sigue a la ecuación (11). 8. Estudie el ejemplo 4. 9. Lea el teorema 2.

3. Vea el ejemplo 2. 4. Vea la afirmación justo anterior a la ecuación (3) y la que sigue. 5. Use g(y) ≡ 0 en la ecuación (4). 6. Verifique si ésta es una situación cubierta por la ecuación (4). 7. ¡Vea el ejemplo 3! 8. Lea la afirmación que sigue a la ecuación (2). 9. Lea la primera oración en la solución del ejemplo 1.

10. El análisis de funciones no elementales en la sección 5.9 está en los primeros dos párrafos de la sección y en el ejemplo 3.

10. Lea las dos primeras afirmaciones del ejemplo 4.

Respuestas:

Respuestas:

VFVVVVVVVF

VVVVVVFFFV

SECCIÓN 6.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Regrese a la sección 5.4. Lea lo que significa que la función f sea integrable en el intervalo [a, b] (este término se especifica en la definición de integral definida, que sigue a la ecuación (7)). Posteriormente lea el enunciado del teorema 1 en la siguiente página. 2. Lea los dos párrafos consecutivos de la sección 6.1 que terminan con la ecuación (6). 3. Lea el primer párrafo de la solución del ejemplo 1.

SECCIÓN 6.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea los dos primeros párrafos en la subsección Longitud de una curva. 2. Vea la ecuación (2). 3. Lea el párrafo que termina con la ecuación (2). 4. Vea la ecuación (3).

5. Lea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 1.

5. Si esta prueba se puede encontrar en la sección 6.4, debe ser en la subsección Longitud de arco integrando con respecto a y o en la subsección Un mecanismo simbólico.

6. Lea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 1.

6. Lea la afirmación que incluye a la ecuación (6).

7. Lea las dos últimas oraciones de la solución del ejemplo 1.

7. Lea la afirmación que termina con la ecuación (8).

8. Estudie el ejemplo 5.

8. Vea la afirmación que termina con la ecuación (12).

9. Lea el primer párrafo de la subsección Distancia y velocidad.

9. Lea la solución del ejemplo 4.

10. Lea el segundo párrafo de la subsección Distancia y velocidad.

10. Lea la solución del ejemplo 5.

4. Lea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 1.

Respuestas:

Respuestas:

VVVVFVVVVV

VVVVVVVVVV

SECCIÓN 6.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la subsección de la sección 6.2 con título Volúmenes de cilindros.

SECCIÓN 6.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la afirmación que incluye a la ecuación (1).

2. Lea la definición de volumen por secciones transversales. Ésta es la definición que incluye a la ecuación (3).

2. Lea el ejemplo 1.

3. Estudie el párrafo que incluye a la ecuación (5).

4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5).

4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (4).

5. Estudie la solución del ejemplo 2.

5. Estudie el párrafo que incluye a la ecuación (6).

6. Lea la oración que termina con la ecuación (7).

6. ¿Realmente importa si el radio de la esfera se denota por r o por R o incluso por ξ?

7. Lea la afirmación que incluye a la ecuación (8) y la oración que sigue.

7. Examine la ecuación (7). ¿Es verdad que ( p − q)2  p2 − q2? 8. Vea la ecuación (8). 9. Lea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 7.

3. Lea la oración que termina con la ecuación (4).

8. Vea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 4. 9. Lea las dos primeras frases en la subsección Fuerza ejercida por un líquido.

10. Lea la Nota histórica al final de la sección 6.2

10. Estudie el ejemplo 6.

Respuestas:

Respuestas:

VVVVVVFVVV

VVVVVVVVVV

A-52

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 6.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 6.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Estudie la primera afirmación de la sección 6.6. 2. Lea la oración que sigue al enunciado de la propiedad aditiva de los momentos. 3. Vea la ecuación (8) en la sección 6.6. 4. Estudie el ejemplo 1. 5. Estudie el ejemplo 2. 6. Lea la oración que precede al enunciado del primer teorema de Pappus. 7. Estudie el ejemplo 5. 8. Vea la ecuación (14). 9. Estudie el ejemplo 6. 10. Estudie el ejemplo 8.

1. Vea la ecuación (1) de la sección 6.9, con la atención usual en los detalles importantes. 2. Vea la ecuación (2). 3. Lea la segunda oración en la subsección Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas. 4. Vea la ecuación (14). 5. Estudie y memorice las ecuaciones (19) a (24). Observe las analogías —exceptuando el signo menos— con las fórmulas para las integrales de las funciones trigonométricas correspondientes. 6. La respuesta aparece en algún lugar en la solución del ejemplo 3. 7. Examine las ecuaciones (28) a (33). Pregunte a su profesor si debe memorizarlas. 8. Examine las ecuaciones (28) a (33). Pregunte a su profesor si debe memorizarlas. 9. Examine las ecuaciones (34) a (39). Pregunte a su profesor si debe memorizarlas. 10. Examine las ecuaciones (40) a (44). Pregunte a su profesor si debe memorizarlas.

Respuestas:

VVFFFFVFFF

SECCIÓN 6.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Lea la definición que incluye a la ecuación (3). Vea la ecuación (4). Vea la ecuación (7). Estudie (y memorice) la definición que incluye la ecuación (10). Lea las ecuaciones (13), (14) y (15). Memorice la afirmación que incluye a la ecuación (23). Estudie el párrafo que incluye a las ecuaciones (27) y (28) y el siguiente. Vea la ecuación (28). Vea la ecuación (30). Vea la ecuación que aparece entre las ecuaciones (39) y (40).

Respuestas:

VFFVFVVFFV

Respuestas:

FVFVVVFVVV

SECCIÓN 7.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Estudie el ejemplo 1. 2. Vea el ejemplo 2. Tal vez quiera probar el efecto de la sustitución mencionada en la pregunta 2. 3. Vea el ejemplo 3. 4. Vea la figura 7.2.1.

SECCIÓN 6.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

5. Vea la figura 7.2.1.

1. Lea la primera oración de la sección 6.8. Tenga en mente que las dos declaraciones “Si Charlie es una vaca entonces Charlie come hierba” y “si Charlie como hierba entonces Charlie es una vaca” no son lógicamente equivalentes. Razón: se puede dar un ejemplo de Charlie donde una de estas declaraciones es cierta y la otra falsa.  2. De acuerdo con la figura 6.8.2, la gráfica G.X/ H debe TAN X tener una asíntota vertical en x  0. Examine la figura 6.8.4 a la luz de esta observación. 3. Vea la definición que incluye la ecuación (2), ponga atención en los detalles y compare las gráficas en las figuras 6.8.3 y 6.8.4. 4. Vea la ecuación (3a). 5. Lea (y memorice) la ecuación (4). 6. Lea la definición que incluye a la ecuación (8); asegúrese de que no haya detalles incorrectos en la pregunta 6. 7. Vea la ecuación (9a). 8. El detalle −1 < x < 1 que sigue a la ecuación (10) es redundante; la forma de la ecuación (10) implica esto. 9. Examine la ecuación (16). ¿Todos los detalles son los mismos que en la pregunta 9? 10. Lea y memorice las ecuaciones (20), (21) y (22).

6. Estudie el tercer párrafo de la sección 7.2.

Respuestas:

FFFVVVVVFV

7. Lea la última oración en la solución del ejemplo 2. 8. Estudie el ejemplo 2. 9. Lea el último párrafo del texto de la sección 7.2. 10. Lea el segundo párrafo en la subsección Sistemas algebraicos para computadora. Respuestas:

VFVFVVFFVF

SECCIÓN 7.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Vea la ecuación (3). Vea la ecuación (3). Vea el ejemplo 1. Vea el ejemplo 2. ¡Vea toda la solución del ejemplo 3! Vea la última mitad de la solución del ejemplo 3. Estudie el párrafo que precede al ejemplo 4. Lea la discusión que se encuentra antes del ejemplo 4. Vea el ejemplo 4. Vea el ejemplo 6.

Respuestas:

VFVVFVVVFV

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-53

SECCIÓN 7.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 7.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea la ecuación (1); como siempre, verifique todos los detalles. Examine también la última fórmula en los forros. Memorice las ecuaciones (10) y (11) del apéndice C. 2. Vea el ejemplo 1. 3. Vea el primer párrafo en la subsección Integrales de productos de senos y cosenos. 4. Vea el inciso b) del ejemplo 3. 5. Vea la ecuación (5). 6. Vea la ecuación (7). 7. Vea el ejemplo 7. 8. Vea la ecuación que aparece en el método 2 de la solución del ejemplo 8, o vea el ejemplo 6 de la sección 7.3 o la fórmula de integral (37) en los forros. 9. Vea la primera ecuación que aparece después de la ecuación (12). 10. Vea la primera ecuación que aparece después de la ecuación (12).

1. Examine la tercera ecuación que aparece en la sección 7.7.

Respuestas:

2. Compare la primera parte de la solución del ejemplo 1 con la ecuación de la pregunta 2. 3. Compare la primera parte de la solución del ejemplo 1 con la ecuación de la pregunta 2. 4. Estudie la primera parte de la solución del ejemplo 2. 5. Estudie la solución del ejemplo 2. 6. Revise la solución del ejemplo 3. 7. Vea el ejemplo 4. 8. La ecuación (2) contiene sólo parte de la antiderivada buscada en el ejemplo 4. 9. Vea la ecuación (4) y el párrafo que le sigue. 10. Lea el último párrafo de la ecuación 7.7. Respuestas:

VFVVVFVFVV

VVVVVVFVFV

SECCIÓN 7.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 7.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Estudie la sección 7.5 desde el principio hasta la ecuación (3) (ejemplo 1). 2. Vea el ejemplo 2. 3. Vea el ejemplo 2. 4. Vea la solución del ejemplo 3. 5. Examine y compare las dos últimas ecuaciones que aparecen en el ejemplo 3. 6. Lea el inicio de la solución del ejemplo 5. 7. Lea con cuidado el final de la solución del ejemplo 5. 8. Examine con cuidado el principio de la solución del ejemplo 6. 9. Vea las dos ecuaciones que se encuentran justo antes del ejemplo 6. 10. Vea la última ecuación que aparece en la solución del ejemplo 6. Respuestas:

VVFVFVFFVV

SECCIÓN 7.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Estudie el segundo párrafo de la sección 7.8. 2. Estudie el segundo párrafo de la sección 7.8. 3. Examine el cuarto párrafo de la sección 7.8. 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1). 5. Lea la oración que contiene la ecuación (1) y las dos anteriores. 6. Lea la afirmación que incluye la ecuación (3). 7. Estudie el primer párrafo de la subsección Integrandos infinitos 8. Vea el ejemplo 3. 9. Vea el ejemplo 3. 10. Vea la ecuación (7). Respuestas:

VFFVVVVVFV

SECCIÓN 8.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la oración en la sección 8.1 que incluye la ecuación (4). 2. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 1 en esta sección.

1. Inspeccione la tabla que sigue al primer párrafo de la sección 7.6. 2. Inspeccione la tabla que sigue al primer párrafo de la sección 7.6. 3. Inspeccione la tabla que sigue al primer párrafo de la sección 7.6. 4. Vea el ejemplo1. 5. Vea el ejemplo 3. 6. Estudie la solución del ejemplo 3. 7. Vea el ejemplo 4. 8. Vea la primera parte de la solución del ejemplo 5. 9. Vea la segunda parte de la solución del ejemplo 5. 10. Inspeccione la tabla que está antes del ejemplo 5.

10. Estudie los dos párrafos anteriores al ejemplo 8 y compare las ecuaciones (28) y (29).

Respuestas:

Respuestas:

VFVVVVVVV

3. Lea el párrafo que incluye las ecuaciones (7) y (8). 4. Lea el párrafo que sigue del ejemplo 2 y examine la figura 8.1.1. 5. Estudie el teorema 1 y el párrafo que sigue. 6. Estudie la solución del ejemplo 3, en especial el inciso b). 7. Lea el segundo párrafo de la subsección llamada Decaimiento radioactivo y datación con radiocarbón. 8. Estudie el párrafo que precede al ejemplo 4. 9. Estudie el párrafo anterior al ejemplo 6.

FFVVFFFVVF

A-54

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 8.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Estudie el primer párrafo de la subsección Campos de pendientes y soluciones gráficas. 2. Estudie los dos párrafos anteriores al ejemplo 1 de esta sección. 3. Examine la figura 8.2.5 y lea el párrafo que sigue al ejemplo 1 que hace referencia a esta figura. 4. Lea el párrafo que sigue a la ecuación (2). 5. Examine la figura 8.2.6 y lea el párrafo en el ejemplo 2 que hace referencia a esta figura. 6. Examine la figura 8.2.7 y lea el último párrafo del ejemplo 3. 7. Lea el párrafo que incluye la ecuación (5). 8. Estudie el párrafo que incluye la ecuación (7). 9. Estudie el párrafo anterior al ejemplo 4. 10. Examine la figura 8.2.10 y lea el párrafo en la solución del ejemplo 4 que hace referencia a esta figura. Respuestas:

VVVFVFFVFV

9. Lea las afirmaciones que incluyen las ecuaciones (15), (16) y (17). 10. Lea las afirmaciones que incluyen las ecuaciones (22), (23) y (24). Respuestas:

VFVFFVVFFF

SECCIÓN 8.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye la ecuación (1) en la sección 8.5. 2. Lea el último párrafo del ejemplo 1 y examine la figura 8.5.1. 3. Examine la ecuación (2) y lea el párrafo que incluye a la ecuación (3). 4. Lea el último párrafo del ejemplo 2 y examine la figura 8.5.2. 5. Lea los párrafos anterior y siguiente a la ecuación (8) y examine la figura 8.5.3. 6. Lea la conclusión del ejemplo 4.

SECCIÓN 8.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Lea el primer párrafo de esta sección. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (4) y (5). Estudie la observación 2 que sigue del ejemplo 1. Lea las afirmaciones que siguen a la ecuación (8) en la solución del ejemplo 2. Examine la ecuación (10) en la solución del ejemplo 3. Estudie el primer párrafo de la subsección Enfriamiento y calentamiento. En particular, examine la ecuación (11). Examine la expresión para u(t) obtenida en la solución del ejemplo 4. Lea el primer párrafo de la subsección Ecuaciones diferenciales lineales. Estudie cuidadosamente el primer párrafo de la subsección Ecuaciones diferenciales lineales. Estudie con cuidado el primer párrafo de la subsección Ecuaciones diferenciales lineales.

Respuestas:

VVFVFFFVFV

7. Lea la conclusión del ejemplo 5. 8. Lea el último párrafo de la subsección Explosión o extinción. 9. Examine la figura 8.5.5 y estudie el párrafo en la subsección con título Poblaciones predador-presa que se refiere a esta figura. 10. Lea el primer párrafo de la subsección Nota histórica y el último de la subsección Poblaciones predador-presa (o sólo inténtelo si considera que los nombres por sí mismos le proporcionan la pista adecuada). Respuestas:

FVFFVFFFVF

SECCIÓN 8.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo en la sección 8.6 que incluye a la ecuación (1). 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1). 3. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (2). 4. Estudie el enunciado del teorema 1 en esta sección.

SECCIÓN 8.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Estudie el primer párrafo de la sección 8.4. 2. Estudie el primer párrafo de esta sección. 3. Lea el párrafo que incluye la ecuación (3) y memorice esta fórmula. 4. Estudie la observación 2 que sigue al Método: solución de ecuaciones lineales de primer orden de 4 pasos establecido en esta sección. 5. Lea la observación que sigue a la solución del ejemplo 2 y examine la figura 8.4.1. 6. Lea la observación que sigue a la solución del ejemplo 3 y examine la figura 8.4.2. 7. Estudie el teorema 1 y la observación 1 que le sigue. 8. Lea la observación 2 que sigue al teorema 1.

5. Lea el párrafo que sigue a la demostración del teorema 1. 6. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (4) y examine la figura 8.6.1. 7. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7) y también el siguiente. 8. Estudie las declaraciones de los casos “raíces reales diferentes” y “raíces reales iguales” que incluyen las ecuaciones (8) y (9). También vea la solución del ejemplo 5. 9. Estudie la declaración del caso “raíces complejas conjugadas” que incluye la ecuación (12). Vea también la solución del ejemplo 7. 10. Estudie la afirmación de la fórmula de Euler en la frase que incluye a la ecuación (10). Respuestas:

VFVVFFVFFF

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-55

SECCIÓN 8.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el primer párrafo de la sección 8.7. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1).

SECCIÓN 9.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea (y memorice) la oración que termina con la ecuación (1).

3. Lea el primer párrafo de la subsección Movimiento libre no amortiguado.

2. Examine la primera ecuación que aparece en la solución del ejemplo 1.

4. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (6) y (7). Si es necesario, vea también la ecuación (10).

3. Examine la última ecuación que aparece en la solución del ejemplo 1.

5. Compare las ecuaciones (10), (11) y (12).

4. Vea el ejemplo 2.

6. Examine la figura 8.7.3 y considere los valores de α que aparecen en el texto después de la ecuación (11).

5. Vea el ejemplo 3.

7. Lea la frase que incluye a la ecuación (13).

7. Vea la ecuación (3).

8. Examine la ecuación (19) y estudie el párrafo siguiente (el que precede al ejemplo 3).

8. Vea el ejemplo 2.

9. Lea el párrafo que incluye las ecuaciones (22) a (24). 10. Estudie la observación que sigue al ejemplo 5 junto con el párrafo final en la sección 8.7. También revise la figura 8.7.10. Respuestas:

6. Vea el ejemplo 3.

9. Vea el ejemplo 2. 10. Vea el ejemplo 2. Respuestas:

VFVVVVVVVF

FFFVVFVVVV

SECCIÓN 9.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 9.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea la definición que incluye a la ecuación (1).

1. Lea el segundo párrafo de la sección 9.1.

2. Vea el ejemplo 1.

2. Estudie el ejemplo 1.

3. Lea el párrafo inmediatamente antes del ejemplo 2.

3. Lea (y memorice) las cuatro propiedades de simetría que siguen al ejemplo 6.

4. Vea el ejemplo 3.

4. Vea el ejemplo 2.

6. Vea el ejemplo 5.

5. Lea la primera frase de la subsección Secciones cónicas.

7. Vea el ejemplo 5.

6. Vea la ecuación (10).

8. Vea la Nota histórica que sigue al ejemplo 5.

7. Lea el último párrafo del ejemplo 3.

9. Lea el primer párrafo de la subsección Rectas tangentes a curvas paramétricas.

8. Lea el primer párrafo de la subsección Secciones cónicas. 9. Si (después de elegir de manera apropiada los ejes x y y) la ecuación del círculo se puede poner en la forma de la ecuación (9), entonces el círculo debe ser una elipse.

5. Vea el ejemplo 4.

10. Vea el ejemplo 6. Respuestas:

VVVVVVVVVV

10. Lea el último párrafo en el ejemplo 3. Respuestas:

FVFFFFFFVF

SECCIÓN 9.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Estudie el caso 1 que sigue a la ecuación (7).

SECCIÓN 9.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

2. Estudie el caso 1 que sigue a la ecuación (7).

1. Estudie el segundo párrafo de la sección 9.2.

3. Estudie el caso 2 que sigue a la ecuación (7).

2. Vea el ejemplo 1.

4. Vea el ejemplo 2.

3. Lea la oración que contiene a la ecuación (1). 4. Vea el ejemplo 4.

5. Un análisis dimensional sugiere fuertemente que el área debe ser proporcional a a2.

5. Vea el ejemplo 7.

6. Vea la ecuación (9).

6. Estudie el segundo párrafo después del final del ejemplo 6.

7. Vea la ecuación (10).

7. Vea el ejemplo 5.

8. Vea el ejemplo 3.

8. Vea el ejemplo 7.

9. Vea el ejemplo 3 y ponga especial atención en cada detalle de la pregunta 9.

9. Vea el ejemplo 8. 10. Vea el ejemplo 8.

10. Vea el ejemplo 1.

Respuestas:

Respuestas:

VVVVFVVVFV

VVVVFVVVFV

A-56

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 9.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 10.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea (y memorice) la primera definición de la sección 9.6. 2. Vea la frase que termina con la ecuación (1).

1. Pregúntese si esta igualdad se mantiene cuando n  1. O examine la ecuación (3).

3. Lea respecto a la propiedad de reflexión de la parábola en la subsección Aplicaciones de las parábolas.

2. Examine el segundo párrafo en la subsección Aproximaciones polinomiales.

4. Lea la primera definición en la subsección Elipse.

3. Vea el ejemplo 3.

5. Estudie el párrafo que sigue a la definición de la elipse y termina con la ecuación (14).

4. Examine el ejemplo 4 con atención especial en los detalles.

6. Si e  0 entonces la ecuación (13) implica que b2  a2. ¿Entonces qué forma toma la ecuación (14)?

5. Vea la continuación del ejemplo 3 (después de la ecuación (13)).

7. Lea la primera frase de la subsección Hipérbola.

6. Vea la ecuación (19).

8. Estudie el párrafo que sigue a la definición de la hipérbola y termina con la ecuación (21).

7. Vea la ecuación (21).

9. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (24). 10. Lea la segunda observación después del ejemplo 12. Respuestas:

VVVVVVVVVV

8. Vea la ecuación (22). 9. Lea la oración que contiene a la ecuación (27). 10. Lea la última frase de la subsección Fórmula de Euler. Respuestas:

FVVFVVVVVF

SECCIÓN 10.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la frase que incluye a la ecuación (1) y examine el ejemplo 1.

SECCIÓN 10.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

2. Vea el ejemplo 2.

1. Lea (y memorice) el enunciado del teorema 1.

3. Vea la definición del Límite de una sucesión con atención especial en los detalles de la ecuación (5).

2. Vea el ejemplo 1.

4. Vea el ejemplo 3.

4. Vea los “ejemplos específicos” que siguen al ejemplo 2.

5. Vea el ejemplo 4 y la declaración que sigue de inmediato a la ecuación (5).

5. Vea el ejemplo 3.

6. Estudie (y memorice) el enunciado del teorema 1.

3. Vea el ejemplo 2.

6. Vea el ejemplo 4.

7. Estudie (y memorice) el enunciado del teorema 2.

7. Lea el enunciado del teorema 1.

8. Vea el ejemplo 9.

8. Lea el enunciado del teorema 1.

9. Lea con cuidado el teorema 4 y el párrafo que sigue a su enunciado.

9. Vea el ejemplo 2.

10. Lea la Propiedad de una sucesión monótona acotada en la subsección Sucesiones monótonas acotadas y, si es necesario, la afirmación que sigue a la ecuación (5). Respuestas:

VVFFVVVVFF

SECCIÓN 10.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la primera oración de la sección 10.3. 2. Esta pregunta se refiere sólo al “ejemplo 1” y no al “ejemplo 1 (continuación)”.

10. Lea la primera oración del ejemplo 3. Respuestas:

VVVFVFFFVF

SECCIÓN 10.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la segunda oración de la sección 10.6 o examine el enunciado del teorema 1. 2. Estudie el párrafo que precede al enunciado del teorema 1. 3. Vea el ejemplo 1.

3. Estudie el párrafo que incluye a la ecuación (3).

4. Vea el ejemplo 2.

4. Lea (y memorice) la definición que incluye a la ecuación (4).

5. Lea (y memorice) el enunciado del teorema 2.

5. Vea el ejemplo 2 y la definición de diverge que sigue a la ecuación (4).

6. Vea el ejemplo 5.

6. Vea el ejemplo 3. 7. Vea el teorema 1.

7. Lea la última frase del primer párrafo de la subsección Reacomodo y agrupamiento.

8. Lea (y memorice) el teorema 3.

8. Lea el segundo párrafo de la subsección Reacomodo y agrupamiento.

9. Lea el teorema 4 y el párrafo anterior.

9. Vea el ejemplo 6.

10. Estudie el párrafo anterior al teorema 4.

10. Vea el ejemplo 6.

Respuestas:

Respuestas:

VFVVFVVVVF

VVVVVFVVVV

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-57

SECCIÓN 10.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 10.10 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea (y memorice) la oración que incluye a la ecuación (1).

1. Comience por leer la subsección Método de series de potencia.

2. Lea (y memorice) el enunciado del teorema 1. 3. Vea el ejemplo 2.

2. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (2) y (3) en esta sección.

4. Lea la afirmación que incluye a la ecuación (1) y el enunciado del teorema 1.

3. Estudie el párrafo anterior al ejemplo 1.

5. Lea la definición de convergencia absoluta (después del teorema 3).

5. Estudie la solución del ejemplo 1.

4. Estudie la solución del ejemplo 1.

6. Aprenda el enunciado del teorema 3.

6. Estudie el segundo párrafo de la subsección Corrimiento del índice de la suma.

7. Vea el ejemplo 5; lea y memorice el enunciado del teorema 4.

7. Estudie la conclusión de la solución del ejemplo 3.

8. Aprenda el enunciado del teorema 5. 9. La respuesta se encuentra justo después de la demostración de la prueba de la raíz. 10. Estudie el párrafo que sigue a la definición de convergencia absoluta. Respuestas:

8. Estudie la ecuación (4) y el principio de la solución del ejemplo 4. 9. Continúe la lectura de la solución del ejemplo 4. 10. Lea la parte de la subsección Definición de funciones con series de potencia que está antes del ejemplo 5. Respuestas:

VVVVVVFVFV

VVFFVVVVVV

SECCIÓN 11.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 10.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Verifique la definición en el cuarto párrafo de la sección 11.1.

1. Vea el párrafo que incluye a la ecuación (5).

2. Lea y memorice la frase que incluye a la ecuación (1).

2. Estudie el párrafo que incluye a las ecuaciones (6), (7) y (8).

3. Vea la primera definición en la subsección Operaciones algebraicas con vectores.

3. Vea el ejemplo 1.

4. Vea la segunda definición en la subsección Operaciones algebraicas con vectores.

4. Vea el ejemplo 3. 5. Vea el ejemplo 4. 6. Vea el ejemplo 6. 7. Vea el ejemplo 8. 8. Vea el teorema 3. 9. Vea el ejemplo 10. 10. Vea el ejemplo 12. Respuestas:

5. Vea el ejemplo 3. 6. Estudie las ecuaciones en (5). 7. Lea la oración que incluye a la ecuación (6). 8. Vea el ejemplo 4. 9. Vea el ejemplo 5. 10. Vea el ejemplo 6. Respuestas:

VVFVFVVFFV

VVVFFVVVFV

SECCIÓN 11.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea la figura 11.2.1.

SECCIÓN 10.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

2. Lea la parte del texto que se refiere a la figura 11.2.5.

1. Lea la primera oración de la solución del ejemplo 1.

3. Lea la oración que termina con la ecuación (1).

2. Vea el ejemplo 2.

4. Lea el ejemplo 3; ponga especial atención en la última oración de la solución.

3. Vea la ecuación (5). 4. Vea la ecuación (7). 5. Vea el ejemplo 4. 6. Vea el ejemplo 5. 7. Vea el inciso a) de la solución del ejemplo 6. 8. Vea el inciso b) de la solución del ejemplo 6. 9. Vea el ejemplo 7.

5. La definición de igualdad de vectores está entre las ecuaciones (4) y (5). 6. Vea el ejemplo 4. 7. Vea la ecuación (8). 8. Vea el ejemplo 6. 9. Lea (y memorice) el enunciado del teorema 1.

10. Vea los ejemplos 4 y 5.

10. Lea (y memorice) el corolario que está justo antes del ejemplo 7.

Respuestas:

Respuestas:

FFFFFFFFVV

FVVFFFVVVV

A-58

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 11.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 11.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea la ecuación (1) de la sección 11.3.

1. Vea las ecuaciones (1) y (2).

2. Lea y memorice el enunciado del teorema 1.

2. Lea la oración que contiene a la ecuación (7).

3. Vea el ejemplo 3.

3. Lea las dos oraciones que terminan con la ecuación (9).

4. Lea y memorice la declaración del teorema 2.

4. Vea la afirmación que contiene a la ecuación (11).

5. Vea el corolario del teorema 2 (justo después de la demostración).

5. Vea la oración que contiene a la ecuación (12).

6. Estudie el párrafo que incluye a las ecuaciones (9) y (10).

7. Vea la ecuación (27).

7. Estudie el enunciado del teorema 3. 8. Examine la ecuación (15) y el párrafo que contiene a la ecuación (17).

8. Newton nació en 1642 y su Principia Mathematica que contiene la ley del inverso del cuadrado de la gravitación se publicó en 1687. ¿Cuándo murió Kepler?

9. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 6 y el enunciado del teorema 4.

9. Lea la primera ley de Kepler en la subsección Newton, Kepler y el sistema solar.

10. Vea el ejemplo 8. Respuestas:

VVVVVVVVVV

6. Vea las ecuaciones (23) y (24).

10. Lea la tercera ley de Kepler en la subsección Newton, Kepler y el sistema solar. Respuestas:

SECCIÓN 11.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Vea el ejemplo 1. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (6). 3. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (4) y (5). 4. Vea el ejemplo 3. 5. Vea el ejemplo 3. 6. Estudie el párrafo que incluye a la ecuación (9). 7. Estudie el párrafo que incluye a la ecuación (8). 8. Vea el ejemplo 5. 9. Lea el párrafo después del ejemplo 5. 10. Vea el ejemplo 7. Respuestas:

VVVVFVVFFV

SECCIÓN 11.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

VVVVVVVFFF

SECCIÓN 11.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el primer párrafo de esta sección. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (2). 3. Vea el ejemplo 2. 4. Vea el ejemplo 4. 5. Vea el ejemplo 6. 6. Vea el ejemplo 7. 7. Vea el ejemplo 11. 8. Vea el ejemplo 12. 9. Vea el ejemplo 13. 10. Vea los ejemplos 9 y 13. Respuestas:

FVVVVVVFVF

SECCIÓN 11.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Vea el ejemplo 1.

1. Estudie el párrafo que incluye a las ecuaciones (3) y (4).

2. Vea el ejemplo 3.

2. Estudie el párrafo que incluye a las ecuaciones (3) y (4).

3. Estudie el párrafo que sigue a la ecuación (4).

3. Vea el ejemplo 2.

4. Vea el teorema 1.

4. Vea el ejemplo 2.

5. Vea el teorema 2.

5. Estudie el párrafo que contiene a las ecuaciones (6) y (7).

6. Vea el teorema 2.

6. Estudie el párrafo que contiene a las ecuaciones (6) y (7).

7. Vea la frase que contiene a la ecuación (7a).

7. Vea el ejemplo 4.

8. Vea la frase que contiene a la ecuación (16).

8. Vea el ejemplo 5.

9. Vea el ejemplo 6.

9. Vea el ejemplo 6.

10. Vea la ecuación (15).

10. Vea el ejemplo 8.

Respuestas:

Respuestas:

VVVVVFVVFV

VVVVVVFVVV

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-59

SECCIÓN 12.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 12.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea tanto la definición (de funciones de dos o tres variables) al principio de esta sección como el párrafo que sigue a esa definición. 2. Lea con cuidado el ejemplo 1. 3. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 2. 4. Estudie el primer párrafo de la subsección Gráficas y curvas de nivel. 5. Lea el ejemplo 3. 6. Lea el ejemplo 5. 7. Estudie las definiciones en el párrafo que sigue al ejemplo 5. 8. Lea el ejemplo 8. 9. Lea el ejemplo 9 y examine la figura 12.2.17. 10. Lea el ejemplo 11 y examine la figura 12.2.24.

1. Estudie la declaración del teorema 1. ¿Cuál es la hipótesis respecto a la función f ? 2. Lea el párrafo anterior al ejemplo 1. 3. Lea el párrafo anterior al ejemplo 1. 4. Lea el enunciado del teorema 2. 5. Lea el párrafo anterior al ejemplo 3. 6. Estudie el enunciado del teorema 3. 7. Lea el ejemplo 4. 8. Estudie el enunciado del teorema 3. 9. Estudie la solución del ejemplo 6. 10. Lea el primer párrafo de la subsección Funciones de tres o más variables.

Respuestas:

SECCIÓN 12.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

VFFVVFFFFF

SECCIÓN 12.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea la definición del límite de f (x, y) que aparece antes del ejemplo 2. 2. Lea el ejemplo 2. 3. Lea el ejemplo 3. 4. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (4) a (7). 5. Lea con cuidado los dos párrafos anteriores al ejemplo 5. 6. Lea con cuidado el párrafo que sigue al ejemplo 5. 7. Lea con cuidado el párrafo que sigue al ejemplo 5. 8. Lea el ejemplo 8. 9. Lea el ejemplo 9. 10. Lea el comentario que sigue al ejemplo 9. Respuestas:

FVFVVFFVVF

Respuestas:

FVFVFVVVVV

1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7) en esta sección. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (8). 3. Lea el ejemplo 2. 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (10). 5. Lea el primer párrafo de la subsección Funciones de tres o más variables. 6. Lea el primer párrafo de la subsección Aproximación lineal y propiedad diferenciable. 7. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (14). 8. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (18) y (19). 9. Lea el ejemplo 6 y el párrafo que le sigue. 10. Lea el párrafo que sigue al ejemplo 6. Respuestas:

VVVVVVVVVV

SECCIÓN 12.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 12.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. 2. 3. 4.

Lea el teorema 1 en esta sección. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). Lea el teorema 2 y suponga que n  1 de modo que sólo hay una variable independiente. Lea el teorema 2 y suponga que n  2 de modo que hay dos variables independientes. Lea el teorema 3 con n  1. ¿Es ésta la situación en el ejemplo 8? Lea el teorema 3 con n  2 y lea el análisis inicial del ejemplo 9. Lea el primer párrafo de la subsección Forma matricial de la regla de la cadena. Calcule el determinante de la matriz de 2 × 2 T (r, θ) en el ejemplo 10. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (19a).

1. Estudie la definición que incluye a las ecuaciones (3) y (4). 2. Estudie el párrafo que precede al ejemplo 1. 3. Estudie el ejemplo 2. 4. Lea el primer párrafo de la subsección Tasas de cambio instantáneas. 5. Lea el ejemplo 4. 6. Lea los dos párrafos que preceden al ejemplo 5. 7. Lea los dos párrafos que preceden al ejemplo 5. 8. Lea la definición en la subsección Planos tangentes a superficies. 9. Lea las definiciones de derivadas parciales que aparecen en el primer párrafo de la subsección Derivadas parciales de orden más alto. 10. Lea la nota que incluye a la ecuación (16).

10.

Respuestas:

Respuestas:

FVVFVVFVVV

5. 6. 7. 8. 9.

VVFVFFVVVV

A-60

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 12.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 13.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea la definición de la derivada direccional y sustituya x   x, y y u   a, b en la ecuación (2). 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (3). 3. Lea el teorema 1 y el párrafo que le sigue. 4. Lea el ejemplo 1. ¿Cuál es el papel que tiene el vector unitario u? 5. Lea la definición de vector gradiente incluyendo la ecuación (9). 6. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (13). 7. Lea con cuidado el teorema 2. 8. Lea el ejemplo 5 y el párrafo que le precede. 9. Lea el teorema 3 y su demostración. 10. Lea el párrafo anterior al ejemplo 6 y rescriba la ecuación (19) usando notación vectorial.

1. Lea los dos primeros párrafos de esta sección. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1) y quizás también los dos párrafos anteriores. 3. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (2). 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (2). 5. Lea el ejemplo 1 y la observación 1 que le sigue. 6. Examine las figuras 13.1.6-13.1.8 mientras lee la observación 2 que sigue al ejemplo 1. 7. Lea el teorema 1. ¿Cuál es la hipótesis respecto a la función f ? 8. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (4). 9. Lea el ejemplo 2. 10. Lea el primer párrafo de la subsección Integrales iteradas y secciones transversales.

Respuestas:

Respuestas:

VVVFVVFFVV

VVVFFVFVVV

SECCIÓN 132 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS SECCIÓN 12.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1). 2. Lea con cuidado el teorema 1. ¿Asegura la existencia de un valor máximo de f (x, y) sujeto a la restricción g(x, y)  0? ¿Cuál es la hipótesis respecto a la función g? 3. Lea con cuidado el teorema 1. ¿Qué sucede si el valor máximo de f (x, y) sujeto a la restricción g(x, y)  0 fuera un valor máximo absoluto y ocurriera en un punto P donde ∇ f (P)  0? ¿Puede ∇ g (P) ser un escalar múltiplo de ∇ f (P)? 4. Lea el primer párrafo de la subsección Método. 5. Lea el párrafo que está antes del ejemplo 1. 6. Verifique la definición de la función f (x, y) en la solución del ejemplo 1. 7. Lea el primer párrafo de la subsección Multiplicadores de Lagrange en tres dimensiones. 8. Lea la frase que precede al ejemplo 3 y que incluye a las ecuaciones (7) y (8abc). 9. Lea el párrafo que está antes del ejemplo 4. 10. Lea los dos últimos párrafos de esta sección. Respuestas:

VFFVVVVVVV

SECCIÓN 12.10 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Lea el teorema 1 de esta sección. Lea el teorema 1. Lea el teorema 1. Lea el teorema 1. Lea el teorema 1. Lea el análisis que sigue al enunciado del teorema 1. ¿Qué es el signo ? ¿Se puede aplicar el teorema 1? Lea el ejemplo 1. Lea el ejemplo 2. Lea el ejemplo 3.

Respuestas:

FFFFFFVVFF

1. Lea los dos primeros párrafos de esta sección. 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1). 3. Lea la definición formal de integral doble y el párrafo que le sigue. 4. Lea la nota que precede al ejemplo 1. 5. Lea la solución del ejemplo 1. ¿Cómo se selecciona el punto ( XI , YI ) en cada pequeño cuadrado de la partición interna de R? 6. Examine las figuras 13.2.2 y 13.2.3 mientras lee la observación que sigue al ejemplo 1. 7. Lea el teorema 1. ¿Cuál es la hipótesis respecto a la función f y a la región R? 8. Lea el ejemplo 2. 9. Lea el ejemplo 3. 10. Lea el ejemplo 4. Respuestas:

VVVVVVFVFF

SECCIÓN 13.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el primer párrafo de esta sección y la definición de volumen que le sigue. 2. Lea el párrafo que sigue a la definición del volumen al principio de esta sección. 3. Lea la afirmación que incluye a la ecuación (2). 4. Lea la afirmación que incluye a la ecuación (3). 5. ¿Cuál es el orden de integración en el ejemplo 1? ¿Puede invertirse sin problema? 6. Lea el párrafo entre los ejemplos 1 y 2. 7. ¿Cuál es el orden de integración en el ejemplo 2? Observe la figura 13.3.8 para determinar si una sola integral doble es suficiente si se invierte el orden de integración. 8. Lea el ejemplo 3. 9. Lea el párrafo que precede al ejemplo 4. 10. ¿Cuál es el orden de integración en el ejemplo 4? ¿Puede ser suficiente una sola integral doble si se invierte el orden de integración? Respuestas:

VVFFVVFVFF

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-61

SECCIÓN 13.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el primer párrafo de esta sección. 2. Lea el párrafo que concluye con la ecuación (3) y recuerde las expresiones para x y y en términos de r y θ. 3. Lea con cuidado el párrafo que incluye a la ecuación (4). 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (4) y examine la figura 13.4.4. 5. Lea el primer párrafo de la solución del ejemplo 1. 6. Lea el segundo párrafo de la solución del ejemplo 1. 7. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). 8. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (8). También vea el ejemplo 2. 9. Lea el ejemplo 3. 10. Lea el ejemplo 5. Respuestas:

VFFVFVVVVV

SECCIÓN 13.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). 3. Lea el ejemplo 1. 4. Lea el ejemplo 2 y el párrafo que lo sigue. 5. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (8). 6. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (10) y (11). 7. Lea el ejemplo 3. 8. Lea el ejemplo 4 y divida el volumen del cono de helado entre el volumen de la esfera. 9. Lea el ejemplo 4 y divida la coordenada z del centroide entre la distancia completa 2a desde el vértice del cono hasta su superficie esférica. 10. Lea los ejemplos 3 y 4 y la declaración del problema 16. Respuestas:

FVVFVFVFFV

SECCIÓN 13.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (1) a (3). 2. Estudie el párrafo anterior al ejemplo 1. Si la lámina es muy pesada en un lado de L y muy ligera en el otro, ¿diría que su función de densidad es simétrica respecto a L? 3. Vea el resultado final en el ejemplo 1. 4. Examine con cuidado el resultado del ejemplo 2. ¿Es claro que el punto (x, y) está en R si y sólo si −1 x 2 y x 2 y x + 2? 5. Lea tanto el ejemplo 3 como el párrafo anterior al ejemplo 1. 6. Lea con cuidado el enunciado del primer teorema de Pappus. ¿Se satisface la hipótesis si el disco circular está centrado en el origen? 7. Lea el ejemplo 5. 8. Lea el primer párrafo de la subsección Área de una superficie y segundo teorema de Pappus. 9. Lea con cuidado el enunciado del segundo teorema de Pappus. ¿Se satisface la hipótesis si el disco circular está centrado en el origen? 10. Lea el ejemplo 8. Respuestas:

VFFVVFFVFV

SECCIÓN 13.8 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (1) a (3). 2. Lea el ejemplo 1. 3. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7). 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7). 5. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (8). 6. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (9). 7. Lea la observación que sigue al ejemplo 2. 8. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (10). 9. Lea el ejemplo 3. 10. Lea el ejemplo 5. Respuestas:

FVVVVFFFFF

SECCIÓN 13.9 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (2) y (3).

SECCIÓN 13.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

2. Lea el ejemplo 1.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

3. Lea la ecuación (6) y el párrafo que está después.

Lea el párrafo que incluye a la ecuación (1). Lea el párrafo anterior al ejemplo 1. Lea la frase que incluye a la ecuación (3). Lea la frase que incluye a las ecuaciones (4abc). Lea la frase que incluye a las ecuaciones (5abc). Lea el párrafo que incluye a la ecuación (6). Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7). Lea el párrafo que incluye a la ecuación (8). Lea el ejemplo 4. Lea el ejemplo 5.

Respuestas:

VVVVFFFFVF

4. Lea el teorema 1 y examine con cuidado las ecuaciones (7) y (8). 5. Lea el párrafo que sigue al teorema 1. 6. Lea el ejemplo 2. 7. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (9). 8. Lea con cuidado el primer párrafo de la subsección Cambio de variables en integrales triples. 9. Compare las ecuaciones (11) y (12). 10. Lea el ejemplo 5. Respuestas:

VFVFVVVFVF

A-62

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas

SECCIÓN 14.1 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

SECCIÓN 14.4 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

1. Lea el primer párrafo de esta sección.

1. Lea el primer párrafo de esta sección.

2. Lea el ejemplo 1 y examine la figura 14.1.1.

2. Lea el primer párrafo de esta sección.

3. Lea el ejemplo 2 y examine la figura 14.1.2.

3. Estudie el enunciado del teorema de Green. ¿Cómo se afectará el valor de la integral # 0 D X C 1 DY si la orientación de la curva de frontera se invierte?

4. Lea el ejemplo 3 y examine la figura 14.1.5. 5. Lea el primer párrafo de la subsección Gradiente de un campo vectorial. 6. Lea el primer párrafo de la subsección Divergencia de un campo vectorial. 7. Lea el primer párrafo de la subsección Rotacional de un campo vectorial. 8. Examine las ecuaciones (7), (10) y (14).

5. Lea el párrafo que sigue del el ejemplo 2. 6. Lea con cuidado el enunciado del corolario del teorema de Green (precede al ejemplo 3). 7. Lea los dos párrafos que siguen al ejemplo 3. 8. Lea el ejemplo 4 y los dos párrafos que le siguen.

9. Examine las ecuaciones (8), (11) y (15).

9. Lea la observación que precede a la demostración dada en esta sección al teorema 3 de la sección 14.3.

10. Lea el ejemplo 8. Respuestas:

4. Lea el ejemplo 1.

VVFFVFFVVV

10. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5). Respuestas:

FVVVVFFFVF

SECCIÓN 14.2 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (4). 2. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (6).

SECCIÓN 14.5 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

3. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (6). 4. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (7).

1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (2).

5. Lea el ejemplo 2.

2. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (4) y (5).

6. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (8) y (9).

3. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5).

7. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (10) y (11).

4. Examine la ecuación (6).

8. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (12).

5. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (8) y (9).

9. Lea el teorema 1 de esta sección.

6. Lea el párrafo que está antes del ejemplo 1.

10. Lea la observación que sigue al teorema 1.

7. Lea el ejemplo 1.

Respuestas:

8. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (11) y (19).

VVFVFVFVVF

9. Lea el párrafo que precede al ejemplo 3.

SECCIÓN 14.3 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el teorema 1 y recuerde que r es una parametrización de C.

#

&
4 DS H

#

&
DR si

10. Lea el párrafo que incluye a las ecuaciones (13) a (17). Respuestas:

VFFFFVVVFV

2. Lea el ejemplo 1. ¿Hay alguna diferencia si escribimos −k en lugar de k? 3. Lea la definición de independencia de trayectoria.

SECCIÓN 14.6 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS

4. Lea el ejemplo 3 y el párrafo siguiente a la demostración del teorema 2.

1. Lea el enunciado del teorema de divergencia y el párrafo que incluye a la ecuación (4).

5. Lea el ejemplo 1 y el párrafo anterior a la subsección Campos vectoriales conservadores.

2. Lea la solución del ejemplo 1.

6. Lea la definición de campos conservadores y funciones potenciales. ¿Cuál es el gradiente de cuál?

4. Lea el ejemplo 4.

3. Lea la solución del ejemplo 3, pero con P  x y Q  R  0.

7. Lea el teorema 3 y la definición de campos conservadores y funciones potenciales.

5. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (12).

8. Lea el ejemplo 5 y recuerde la definición de un campo vectorial conservador.

7. Lea las dos oraciones que siguen a la ecuación (13).

9. Lea con cuidado el párrafo que incluye a las ecuaciones (17) y (18).

9. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (5).

6. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (13). 8. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (14).

10. Lea el ejemplo 6.

10. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (11).

Respuestas:

Respuestas:

VVVFVFVVFV

VVVVFVVVVV

Guía de estudios falso/verdadero: sugerencias y respuestas A-63

SECCIÓN 14.7 GUÍA DE ESTUDIO F/V: SUGERENCIAS 1. Lea el párrafo que está antes del enunciado del teorema de Stokes. 2. Lea el enunciado del teorema de Stokes en su forma escalar (ecuación (5)). 3. Lea la demostración parcial del teorema de Stokes. 4. Lea el ejemplo 1. 5. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (9).

6. 7. 8. 9. 10.

Lea el párrafo que incluye a la ecuación (10). Lea el párrafo que incluye a la ecuación (10). Lea el párrafo anterior a la declaración del teorema 1. Lea el teorema 1. Lea el párrafo que incluye a la ecuación (10).

Respuestas:

FVVVVVFVVV

Respuestas a los problemas impares 9. y − 5 = −2(x −1)

SECCIÓN 1.1 (página 10)   A  A

B A

   A  A C

C A = 

A B   C A 

  A D 

13. Centro (–1, –1), radio 2  D  A C

  C AC

 A D  O A D 

 A D  

11. Centro (2, 0), radio 2

D A 

 H

 AH C H 

 f; ; g

 f; g

15. Centro  ;  radio 1 17. Abre hacia arriba, vértice en (3, 0) 19. Abre hacia arriba, vértice en (–1, 3) 21. Abre hacia arriba, vértice en (–2, 3) 23. Circunferencia, centro (3, –4), radio 5

H A.A C H/

21. El conjunto R de todos los números reales 23. El conjunto R de todos los números reales

25. No hay puntos en la gráfica. 27. La gráfica es un segmento de línea recta que conecta los dos puntos (–1, 7) y (1, –3) (incluyendo esos dos puntos).

31. El conjunto R de todos los números reales

29. La gráfica es una parábola que abre hacia abajo, simétrica respecto p al eje y, con vértice en (0, 10) e intercepciones XD :

 T; U





 ; C1 

 1; 

p  #.!/ D   ! 

 .1; / [ .; C1/

 .1; / [ .; C1/

Y



Y 

! < C1

 #.&/ D  .& /

YX

& > :

 !.X/ D X  X  

X

  < X < C1 X   < R < C1  !.R / D R  C R

 X





X

Y

 X





X



Y



 #.X/ D X  C

 6 .X/ D X. X/ 

X





Y

Y

 Y X 

49. Perforar diez nuevos pozos. 51. Techo(x) = –Piso(–x)

  

X



X

 

 53. El conjunto de todos los enteros múltiplos de   55. Redondear4(x) =  Redondear(10000x)

 :

 :

 :

 :

 :





Y Y

Y

 X  

Y

SECCIÓN 1.2 (página 22)  Y D X  Y D 



X

 X

  

X

 Y D X   X C Y D  A-65

A-66

Respuestas a los problemas impares





Y Y

Y

  .:/
TT XUU

 #.X/ D

 X  

SI  < X SI  < X

 

#

Y  X

X

 

 

X



X 

 





Y



Y

Y\ X \

 





Y\ X \X

X

 











X



 6 .:/  : 6 ./  : , 

X

6 





Y



Y 





X

FX ;;X==











X













X



 .:; :/

 .:; :/

 .:; :/

  ;  

  FT

 

 F .X/ D TTXUU

 X.T/ D

 

T T 

X



T  T

P



83. x ≈ 14.45 ft o x ≈ 22.48 ft.



X 0, sea δ el mínimo de los dos números 1 y /5. 81. Dado  > 0, sea δ el mínimo de los dos números 1 y /29. 83. Caso 1: a  0. Vea el problema 78. Caso 2: a > 0. Dado  > 0, sea δ el mínimo de los dos números 1 y /(2a + 1). Caso 3: a < 0. Dado  > 0, sea δ el mínimo de los dos números 1 y /(2a − 1).

SECCIÓN 2.4 (página 100)









X



1. Si a es un número real, entonces L¤M F .X/ D L¤M .X  X  C /

X!A



X!A

L¤M X 

D

H L¤M 

67. Para todo número real a, f (x) → −1 cuando x → a:

L¤M X  C

X!A

X!A 

L¤M X

X!A

X!A 



L¤M 

X!A

L¤M 

X!A

L¤M X

X!A



C 

D A A  C  D F .A/:

Y

3. Comience con la ley de cocientes para límites.











5. Comience con la ley de sustitución para límites.

X



7. Use la ley de cocientes para límites y el teorema 1.



9. Use la ley de cocientes para límites. 11. Use la ley de sustitución para límites.



13. Use la ley de cocientes para límites y el teorema 1. 69. El límite de g(x) en x = a existe si, y sólo si, a no es un entero múltiplo de  . Si b es un entero múltiplo de  , entonces G.X/ ! B  CUANDO X ! B Y G.X/ ! B CUANDO X ! BC  Y

15. Continua en R, el conjunto de todos los números reales. 17. Continua en su dominio, (−∞, −3) ∪ (−3, +∞). 19. Continua en R. 21. Continua en su dominio, (−∞, 5) ∪ (5, +∞).

   

23. Continua en su dominio, (−∞, 2) ∪ (2, +∞). 25. Continua en su dominio, (−∞, 1) ∪ (1, +∞).

 







27. Continua en su dominio, (−∞, 0) ∪ (0,1) ∪ (1, +∞).

X



29. Continua en su dominio, (−2, 2).





31. Continua en su dominio, (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 33. Continua en su dominio, el conjunto de todos los números reales, excepto los enteros múltiplos de π/2.

 F .X/ !  CUANDO X !   F .X/ !  CUANDO X ! 

35. Continua en R. Y

37. Discontinuidad no removible en x = −3.



39. Discontinuidad no removible en x = −2, discontinuidad removible en x = 2.



41. Discontinuidad no removible en x = ±1. 43. Discontinuidad no removible en x = 17. 45. Discontinuidad removible en x = 0.







 $ADO

 SEA  D

 $ADO

 SEA  D



 





X

47. Discontinuidad removible en x = 0. 49. c = 4

51. c = 0

53. Aplique la propiedad del valor intermedio para funciones continuas a f (x) = x2 − 5 en [2, 3].

Respuestas a los problemas impares

55. Aplique la propiedad del valor intermedio para funciones continuas a f (x) = x3 − 3x2 + 1 en [0, 1]. 57. Aplique la propiedad del valor intermedio para funciones continuas a f (x) = x4 + 2x − 1 en [0, 1]. 59. Examine f (x) en los puntos terminales del intervalo [−3, −2], [0, 1] y [1, 2]. 61. Su salario después de que pasaron los t años será S(t) = 25 · (1.06)[[t]], con una discontinuidad en cada entero positivo en el dominio de S. Una gráfica:

A-71

CAPÍTULO 2 PROBLEMAS DIVERSOS (página 103)        

 



      

  

   

23. Este límite no existe. 25. +∞ (o “no existe”) 27. +∞ (o “no existe”)

3

29. –∞ (o “no existe”)



  









T







63. Es fácil ver que h(a) y h(b) tienen signos opuestos y que h es continua en [a, b]. Aplique el teorema del valor intermedio para funciones continuas a h. Gráficas típicas: A



B

 

    M.X/ D X Y D X C  M.X/ D X C  Y D X  M.X/ D X  Y D X  M.X/ D X C     M.X/ D  C  M.X/ D . X/ X p  M.X/ D  A D    .X /

57. Discontinuidad no removible en x = −1, discontinuidad removible en x = 1

63. Aplique el teorema del valor intermedio a g (x) = x − cos x en [0, π/2].

F P



 

61. Aplique el teorema del valor intermedio a f (x) = x5 + x −1 en [0, 1].

Q





 

59. Discontinuidad no removible en x = −3, discontinuidad removible en x = 1

G



   



65. Hay tres de esas líneas rectas; sus pendientes son  ,  y −  .













X

65. Dado a > 0, sea f (x) = x − a. Aplique el teorema del valor intermedio a f en el intervalo [0, a + 1]. 2

67. Para demostrar que L¤M COS X D COS A;

X!A

haga h = x – a, de modo que x = a + h. Luego use la fórmula para la suma de cosenos (de los apéndices).

SECCIÓN 3.1 (página 116)  F .X/   DY D X C   DX DX D Y C   DY  F .X/ D X

 H .Z/ D Z C  DZ  D U  DU  F .X/    .X C /   F .X/ D . X/  F .X/ D



69. Suponga a manera de contradicción que f tiene límite L en x = a, un número real arbitrario. Elija  =  y use el hecho de que toda vecindad de a contiene números racionales e irracionales y la definición formal de límite para obtener una contradicción.

21. x(0) = 100

23. x(2.5) = 99

25. x(−2) = 120

27. y(2) = 64 (ft)

71. 0.74

29. y(3) = 194 (ft)

31. Corresponde a la figura 3.1.28e)

33. Corresponde a la figura 3.1.28f) #  ! .#/ H 

35. Corresponde a la figura 3.1.28d)

73. Continua por la izquierda, pero no continua por la derecha en x = 0. 75. Continua por la izquierda, pero no continua por la derecha en x = 0. 77. Continua por la derecha, pero no continua por la izquierda en cada entero impar múltiplo de π/2.

 F .X/ D p

X C 

41. a. 2.5 meses;

  FT

b. 50 ardillas por mes

 S

A-72

Respuestas a los problemas impares

 G./   MIH  G./   MIH 

 H .X/ D .X C /

D6 D R  DR

 G .X/ D

 47. 6 ./ D (pulgadas cúbicas por segundo), de mane ra que el aire se escapa aproximadamente a 6.545 pulgadas cúbicas por segundo.  A 6 ./ D  CM H 

B  CM H

 F .Y/ D Y  

  .X / .X C /

 H .X/ D

X C  .X  C X C /

 G .T/ D T  C T  C T  C T

 G .Z/ D

 %N T D  S  Y ./ D  MS

 G .Y/ D Y  C Y  C Y  Y 

53. Razón de cambio promedio: 0.6 (miles por año).p La razón de cambio instantánea es 0.6 cuando T D .    /=  A F ./ D  F C ./ D 

 G .T/ D

T . C T/

 G .X/ D

Y 

 G .X/ D

 G .T/ D





X

X  C  C X /

X  X  C X .X /

 Y .X/ D  C

B F ./ D  D F C ./ Y 

 X 

 Y .X/ D

 Y .X/ D

 Y .X/ D

X  C X  X  .X  C /

 Y .X/ D

X  .X  / .X  /

 Y .X/ D

X.X C / .X C /



 .T /

.X 

 H .X/ D X  X  X 



 Z Z 

X  C X   X

X  C X  .X  X/

 X Y D 

 X C Y D 

 X Y D 

 X Y D 

 X C Y D 

a. Se contrae; b. –0.06427 cm3 por °C 14400π ≈ 45239 cm3 por cm y = 3x + 2 Suponga que la recta L es tangente en los dos puntos (a, a2) y (b, b2). Use la derivada para demostrar que b = a. N 59. La intercepción x es X  N

51. 53. 55. 57.





 F ./ D  D F C ./  F ./ D  F C ./ D  F .X/ D  C

X

 $T F .X/ U D F .X/ F .X/ F .X/ C F .X/ F .X/ F .X/ C F .X/ F .X/ F .X/

jXj  X

63. Sea U I .X/ D F .X/ PARA I N Así, el lado izquierdo de la ecuación (16) es $X T. F .X//N U. Ahora calcule y simplifique el lado derecho. 65. g(x) = 17(x3 −17x + 35)16 · (3x2 −17)   3I F .X/ D ENTONCES  C X

Y 



F .X/ D Y SI F .X/ D





X

X ENTONCES  C X F .X/ D

SECCIÓN 3.2 (página 128)  F .X/ D X 

 F .X/ D X C

X ; . C X  /

X : . C X  /

Así, sólo puede haber una tangente horizontal. Si n = 0 es tangente en (0, 1); si n = 2 entonces es tangente en el origen.

Respuestas a los problemas impares

69. Si n es un entero y n 3, entonces XN X N TN C .N /X  U $X D :  C X . C X  /

 

Ahora es fácil demostrar que la única tangente horizontal a la gráfica es tangente en el origen. p  p  .; /  ;  Y ; 

 

 F ./ D  Y





DY DX DY DX DY DX DY DX DY DX

D

X C  .X /

D T C . C X/ U . C X/ D

.X  C / X

D .X / T C .X / U H T. X  / X  . X  / U
.X  / D


D





X



A-73

 X  C X  X  X 

DY D DX X  .X  X  / C X  .X  X  / .X  /
.X  / D


D

 X  C X  X  X 

 U.X/ D X X  N D  F .X/ D .X X  / . X/



X . X  / X C .X C / N D  F .X/ D 
 U.X/ D X  .X /

 U.X/ D  X  N D  F .X/ D  F ./ D  Y 

 G .Y/ D  C .Y /  & .S/ D



 F .U/ D . C U/ . C U  / .U  C U C /





 H .G/ D

.G /.G  G C / G  . G/

 & .Z/ D

 Z  .Z  Z C /

 







X



 F ./ D 



Y 

 



  

 







SECCIÓN 3.3 (página 137) 

DY D .X C / DX



DY  D DX .X /

DY D .X  C X C / .X C / DX DY  D . X/ . C X/ . X/ . C X/ DX 

.S  S  C / S



X

DY D .X  /
X  D X  DX DY D .X  /
X D X  X DX DY D .X C / D X  C X  C X C  DX X DY D X.X  C / D  C  / DX .X   D   D F .X/ X COS.X / X COS X G .Z/ D .SEN Z/ .COS Z/ D  SEN  Z COS Z   IN S  IN S

53. Disminuyendo a 600 in3/h    : CM S

 ' ./ H   R H  CM p   61. Tiempo total para derretirse: 4 D p ≈ 4.8473 (h);    completamente derretida aproximadamente a las 2:50:50 pm del mismo día. DU DG DU DG DH DU D
D

 DX DG D X DG DH D X   H .X/ D p  X C  H .X/ D X X  C 

A-74 Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 3.4 (página 144)  F .X/ D X = X =

 F .X/ D p

 X C 

 = X  $X .X C /= D 
.X C /= X $X . X  /= D . X  /=  $X .X  C /= D .X  C /=
X   p p X  T  $T T =  D p $X .X  C /= D p X  C    $X .X  X C /= D .X / X  X C   .X  / $X .X X  /= D .X X  /=

 F .X/ D X =      

p 47. Hay una recta horizontal tangente a la gráfica en .  ;   / y una recta vertical tangente a la gráfica en (0, 0). 49. No hay rectas tangentes horizontales ni verticales 51. 2y = x + 4: Y 

 











 X C Y D 



 X  F .X/ D p  X  T C   F .T/ D  T  D

Y  =

.T  /.T/ .T  C /.T/
.T  /



T p .T  /= T  C 

 F .X/ D  X  F .G/ D

 X



C

   

 X





X . X  /=

 Y D X Y   

T  T  T  p T  T  C 



 X .X C /

Y =  Y 

T C .T C T = /=

 C





X

57. Corresponde a la figura 3.4.13d) 59. Corresponde a la figura 3.4.13b)

C Y/=  . Y/=  Y = T. C Y/= C . Y/= U Y = p p .Y /  C Y .Y C /  Y

 





 . 

 G .T/ D





 H .Y/

D


D



 





X C  F .X/ D .X C /= .X C /= Y =

X





 X X   F .X/ D .X C /=

D



GC p GC

. X/  F .X/ D p  X

 F .X/ D



G 

 $X . X  /= D

 G .T/ D

X



=


 C  .T C T = /=

 = T 

45. No hay tangentes horizontales, pero hay una recta vertical tangente a la gráfica en (0, 0).

61. Corresponde a la figura 3.4.13e)  63.  : (segundos por pie)  p p p p    ;   Y   ;   67. x + 4y = 18 69. 3x + 2y = 5 y 3x − 2y = 5 71. La derivación de ambos lados sólo tendría sentido si la ecuación algebraica expresara una identidad entre las dos funciones x3 y 3x + 8 (no lo hace).

Respuestas a los problemas impares

73. En F .A/ D L¤M

X!A

.X

=

X = A = la sustitución de x – a con X A A

=

/.X

=

CX

= =

A

CA

=

/

lleva a una cancelación útil. 75. El preámbulo a los problemas 72 a 75 implica que x – a se puede escribir como el producto de x1/q − a1/q y X .Q/=Q C X .Q/=Q A =Q C X .Q/=Q A =Q C


C X =Q A .Q/=Q C A .Q/=Q :

SECCIÓN 3.5 (página 153) En las respuestas a los problemas 1 a 39, se proporciona primero el máximo (si lo hay), luego el mínimo (si lo hay).             

F ./ D  NINGUNO  .INGUNO F ./ D  F ./ D  F ./ D   F ./ D  F ./ D   F ./ D  F ./ D  F ./ D   F ./ D  H./ D  H./ D   G./ D  G./ D  F ./ D  F ./ D F ./ H  H./ D H./ D  H./ D  F ./ D  F ./ H  F  D  F ./ D  F ./ D  F ./ D  F ./ D  F ./ D  F ./ D  F  D  F ./ D  F ./ D  F ./ D   F ./ D 

 F ./ D   F ./ D  p p  F   D   F  

D 

A-75

SECCIÓN 3.6 (página 164) 1. 25 y 25

3. 1250

7. 1152

9. 250

5. 500 (in3) 11. 11.250 (yd2)

13. 128 15. Aproximadamente 3.967°C 17. 1000 (cm3) 19. 0.25 (m3) (todos cubos, no cajas sin tapa) 21. Dos cuadros iguales producen el área total mínima 200; un solo cuadrado produce el área total máxima 400. 23. 30,000 (m2) 25. Aproximadamente 9259.259 in3 27. Cinco prensas p 29. El valor de x que minimiza es  C    Resultado: instalar 6 pulgadas de aislante para tener un ahorro anual de casi $285.

31. Cualquiera, ya sea $1.10 o $1.15 33. Radio  R, altura  H 35. R denota el radio [constante] del círculo. p      p 39. Máximo 4, mínimo   p   

45. Aplique la prueba del discriminante a la ecuación cuadrática f (x) = 0.

p 43. Cada tablón tiene longitud     : anp p p cho  .   /  : y área   C    0.673500. p 45. Debe remar a un punto que está a    : km del punto en la costa más cercano a la isla. p  %N 0   ; 

47. Corresponde a la figura 3.5.15c)

49. Aproximadamente 3.45246

 

 F

D 
=  : F ./ D 

41. Contraste los casos A = 0 y A 

0. 

43. f (x) = 0 si x no es un entero; f (x) no existe si x es un entero.

49. Corresponde a la figura 3.5.15d) 51. Corresponde a la figura 3.5.15a) En los problemas 53 a 59 se ignora el carácter y los valores de los puntos extremos. 53. Mínimo global con valor aproximado 6.828387610996 en p X D  C    :

51. Para p minimizar la suma, haga la esfera de radio  =. C / y la longitud de la arista del cubo del doble de esa cantidad. Para maximizar la suma, haga cero la longitud de la arista del cubo. 53. El volumen máximo es aproximadamente 95.406 (ft3).

55. Mínimo global con valor aproximado −8.669500829438 en X  :

55. En el problema p 53, x = 4 maximiza el volumen V1, y   En el problema 6 ./ D  54, x = 8 maximiza el vo p lumen V2, y 6 ./ D    

57. Máximo global con valor aproximado 8.976226903748 en X  :

57. p El volumen se maximiza cuando la longitud de la base es != y la altura es la mitad de ello.

59. Máximo global con valor aproximado 30.643243080334 en x ≈ −1.911336401963, mínimo local con valor aproximado −5.767229705222 en x ≈ −0.460141424682, máximo local con valor aproximado 21.047667292488 en x ≈ 0.967947424014.

59. p El volumen se maximiza cuando el radio del cilindro es !=./ y su altura es la misma. 61. El valor máximo global en [0.5, 2] es A(1) = 1 y el valor mínimo global es A(2) = 169/200 = 0.845.

A-76 Respuestas a los problemas impares

DX D ;SEC.SEN T/ TAN.SEN T/=
COS T DT DX D COS T SEN  T D COS T  DT

SECCIÓN 3.7 (página 177)



 F .X/ D  SEN X COS X  F .X/ D COS X X SEN X  F .X/ D

X COS X SEN X X



 F .X/ D COS X  SEN  X COS X

 CSC T DX D p DT   C COT T

 Y D X

 G .T/ D . C SEN T/
COS T

Y

SEN T COS T  G .T/ D .SEN T C COS T/

 

 F .X/ D X  SEN X X COS X C  SEN X



 F .X/ D  SEN X SEN X C  COS X COS X  G .T/ D T  SEN  T C T  SEN T COS T

   







.X COS X/ C X.X COS X/ . C SEN X/ DY D p DX  X

DY DX DX  DT DX  DT DX  DT 

DX DT

D XTSEN.SEN X  /U COS X 

   Y   

 P





X





65. En cada entero múltiplo de π/2 67. La recta tangente es horizontal en todos los puntos de la forma .N C  ;  / y en todos los puntos de la forma .N C  ;  / donde n es un entero. 69. y = x ± 2 71. Vea en el apéndice C diferentes identidades trigonométricas. SEN  X COS X COS X D SEN X SEN  X  D D CSC X; SEN  X  SEN X $X SEC X D $X D COS X COS X  SEN X D
D SEC X TAN X; COS X COS X $X COT X D $X

D T  SEC T  D  TAN T SEC T D T  TAN T C T  SEC T p p p p SEC T C T SEC T TAN T D p  T    D  CSC  COT  T T T

DX DT DX D  COT T SEC T TAN T  CSC T SEC T  DT DX  D T SEC T C SEC T CSC T T CSC T DT 

P P



DY D SEN X  C X  COS X  DX p p p DY SEN X C X COS X  D p DX  X



 Y D X  C

 SEN X SEN X C  COS X COS X D SEN  X



X



D  SEN X SEN X C  COS X COS X

D X SEN X COS X p DY COS  X  D p DX X





D X COS.X / X SEN.X /







  G .T/ D .COS T C COS T/=
. SEN T  SEN T/  p p DY SEN X COS X  D p DX X DY DX DY DX DY DX DY DX





Y  COS X D SEN X SEN  X  COS X D
D CSC X COT X: SEN X SEN X

$X CSC X D $X

73. α = π/4 75. Aproximadamente 0.4224 mi/s; esto es más o menos 1521 mi/h

Respuestas a los problemas impares

  : FTS es decir, alrededor de 158.67 mi/h    D = 

 Y D E X E

63. Parece que F



Y

F .K/ F ./ D : K

SECCIÓN 3.8 (página 192)  F .X/ D EX

 F .X/ D X EXP.X  /

   F .X/ D  EXP  X X

 C T = EXP.T = /  G .T/ D 

71. Como Y H LN U C LN G C LN H LN P LN Q LN R  DY
Y DX  DU  DG  DH  DP  DQ  DR D
C
C



; U DX G DX H DX P DX Q DX R DX

 G .T/ D

 F .X/ D

 X 

X   .X  X/   F .X/ D X.LN X/  F .X/ D

la generalización es obvia. 73. a) Si f (x) = log10 x, entonces se deduce de la definición de derivada y de las propiedades de los logaritmos que

 F .X/ D E X COS.E X /  F .X/ D

F ./ D L¤M LOG . C H/= H : H!

  C X

SEN.LN X/ X X  C   F .X/ D X.X  C /

b) Con h  ±0.0001 el valor de log10(1 + h)1/h es aproximadamente 0.4343.

 F .X/ D

SECCIÓN 3.9 (página 200) 

X X DY D D p DX Y X 



DY X D p DX   X 



Y DY D DX X



DY Y D DX X



DY X  X Y Y  D  DX Y C X Y C X 



E Y C X  DY D DX . E X /E Y

 Y C  D

 F .X/ D TAN X  F .T/ D T LN.COS T/ T  TAN T  G .T/ D . C LN T/ LN T X  C X   F .X/ D .X C /.X  /  F .X/ D

 .X /.X C /

X  F .X/ D  .X /.X  C /  G .T/ D

  T .T C /

DY DY X LN X LN X  D X LN  D DX DX X p  C .LN X/ LN.LN X/ DY D
.LN X/ X  DX X = LN X







 X

69. Los valores (redondeados) para k = 7 y k = 8 son 2.718281692545 y 2.718281814868.

 G .T/ D . SEN T/ EXP.COS T/ TET C ET  T ./E X . X/E X X   F .X/ D D .E X / EX



 

 G .T/ D . C T T  /ET

 F .X/ D E X EXP.E X /

.X/ D N EX 

67. x ≈ 1.118 y y ≈ 3.059:

87. Demuestre que si n es un entero positivo,   HD Y KD ; .N C / .N / ENTONCES Y

 Y D X 

65. El primer punto máximo ocurre donde x = arctan 6 y el primer punto mínimo ocurre donde x = π + arctan 6.

81.   2  ¡el doble del volumen de la esfera! p    S  . SEN /  !./ D  

F .H/ F ./ D H

.N/

A-77

.X X  X  /. C X  /= DY D DX . C X  /=

X  DY   D C X LN.X  C /
.X  C /X  DX X C p pX . C LN X/ X DY  D p DX  X



=

DY SEN Y C Y COS X C DX X COS Y C SEN X  .X / 

 X C Y D 

 Y  

 X D Y

 Y D X

 X C Y D 

 Y D X C 

 A Y D X C  

;  

p

 A Y D X

B Y

  D X  

 B X C E D EY

35. Los cuatro puntos donde jXj D dos puntos donde |x| = 1.

 

p

 Y jYj D

 

p

  los

A-78

Respuestas a los problemas impares

  : FTS     : MH    CM S

CAPÍTULO 3 PROBLEMAS DIVERSOS (página 219)



 : CMS

  MIH  49. a) Disminuye a  : FTMIN  b) disminuye a    : FTMIN   51. Se mueve hacia abajo a  : FTS  53. Aumenta a 16π (cm3/s) 55. 6000 (mi/h) p   : FTS como 2.29 57. a) Se mueve hacia abajo a   mi/h; b) se mueve hacia abajo a 
.:/   FTS  como 120 mi/h; c) se mueve hacia abajo a 
./   (ft/s), como 3048 mi/h. Los resultados en los incisos b) y c) no son factibles. p     : MI    : FTS    : (in/min) 63. Disminuye a  p 65.   mi/min; esto es, casi 424.26 mi/h 67. Aumenta a 2 ft/s

DY  D X  DX X



DY D .X / .X C / .X / DX



 DY D  X  DX X



Y  DY D D  DX X X

  FTS

 :

 :

 :

 :

 :

 :

 :

 A XN C  :  .XN /

23. x14 = 0.4501836113 = x15 (con 10 lugares) 25. La primera fórmula produce una raíz equivocada 2.879385,  . lo mismo que la segunda. Use X D p X 5 27. Sea f (x) = x + x −1. Use el teorema del valor intermedio para demostrar que hay al menos una solución de f (x) = 0; utilice el hecho de que f es creciente en R para demostrar que existe cuando mucho una solución real; con cuatro decimales, x = 0.7549.  Y  : :Y  X  :  :

 X  :

 :Y

 T  : H  : FT  2FT ALREDEDORDEMI


C

 X



X.X  C / DY D  DX .X C X  C /



 = DY D X C .X/= DX 



DY  D p p DX X C  X C



DY  X Y  .X C Y/Y D  D DX X Y  .X C Y/X



 DY D X C X C .X/= DX  C .X/=

=

=




 = = X C =  X

= =


C


 C .X/= 

 ;X 

:

El programa de álgebra simbólica Mathematica escribe esta respuesta sin exponentes fraccionarios como sigue: p  C p  X C p DY  X C X : D p DX  X C X C X

 :  XNC D



.X  / DY D DX .X  X/=

Nota: cuando aplicamos el método de Newton, usamos Mathematica con al menos 40 decimales en todos los cálculos; las respuestas que aparecen aquí son correctas o están correctamente redondeadas al número de decimales que se muestra. Sus respuestas pueden diferir en el último o últimos decimales dependiendo del equipo y programa que use.  :





SECCIÓN 3.10 (página 214)

 :

DY X =  D DX X =





DY Y D DX X



.X  C X  C X C / DY D 
DX .X C /



DY  C COS X D DX SEN  X



DY  SEN X SEN X C  COS X COS X D DX .SEN X/=

=

=




 SEN X COS X C  SEN X COS X C SEN  X . C COS X/

DY D E X .COS X SEN X/ DX E X DY D  DX . C E X /=  C . C E X /=





=

COS T C LN XU= SEN T C LN XU= DY D DX XT C LN XU=

Respuestas a los problemas impares

 F .X/ D EX SEN .EX / COS.EX /  F .X/ D E X .COS X  SEN X/  G .T/ D

 C T  T

 G .T/ D ET COS.ET / COS.ET / C ET SEN.ET / SEN.ET / ET  G .T/ D . ET /

. LN Y/Y Y DY D D DX XY XY X



DY X Y.X  C / X  C X D  D DX .X /.X  C / . X  /= .X  C /=



.X  C X C /Y DY D DX .X C /.X C /.X C /



 



 FTMIN  

 

X .X  C /=

 H .X/ D

 H .X/ D X SEN.X  C /



 .X /=  ! 

D6  D D! 

 81. R2   : (mi/s), más o menos 4524 mi/h  83. Para el área máxima de la superficie . 6  /= haga dos esferas iguales. Para el área mínima . 6  /= haga sólo una esfera.

79.

  2  p     :







  FT

93. Caso 1: A = 0 y B 0. Caso 2: A 0 y B = 0. Caso 3: A 0 y B 0 (éste es sobradamente el caso más largo y difícil). 95. El muelle se debe construir a dos millas del punto en la costa más cercano al primer pueblo.  

 A YMÖX D

 :

117. Comience como sigue: Z =X = D .Z =X = /.Z =CX = / y Z X D .Z = Z = /.Z = C Z = X = C X = / 

  : FTMIN 

123. 1 in/min —una tasa constante 125. Piense en a2 − 2ax0 + y0 = 0 como una ecuación cuadrática en la variable desconocida a. Use el discriminante para determinar el número de soluciones de esta ecuación.

  DY D X C  X

69. Use −1 sen u 1 para toda u y la ley de compresión para demostrar que el límite es cero.  H .X/ D

 :

SECCIÓN 4.2 (página 233)

DY  C LN.LN X/ D
.LN X/LN X DX X  X  

 :

115. No tenemos una fórmula para encontrar la derivada de la suma de un número variable de términos.

  IN  S

X  C X C  .X C /= .X C /= .X C /=

 X  

 :

113. Hay exactamente tres soluciones reales: sus aproximaciones son −2.722493355, 0.8012614801 y 2.309976541.





 :

111. Aproximadamente 1.547852572 ft

DX DY Y  D Y D E Y C YE Y Y ENTONCES D H DY D X E Y C YE Y YE C YX Y  X C XY

D

Nota: cuando aplicamos el método de Newton, usamos Mathematica con al menos 40 decimales en todos los cálculos; las respuestas que aparecen aquí son correctas o están correctamente redondeadas al número de decimales que se presenta. Sus respuestas pueden diferir en el último o los últimos decimales dependiendo del equipo y programa que use.  :

DY  YE YX COS.E X Y /  D DX XE X Y COS.E X Y / 

A-79

M G  B M D   D = .M  C /

DX

p X  C   X   DY D DX p   X

 .X  X/.X /= D X  p SEN X X  C  DX  DY D p D X  DY D .X  C /=  X

 DY D

 DY D . COS X  SEN  X/ D X X COS X SEN X  DY D DX X  X COS X C SEN X  DY D DX . X SEN X/  F .X/   C X  F .X/   X  F .X/   C X  F .X/  X p     ,.X/ D  C X ENTONCES    :   p     X ENTONCES   D :  ,.X/ D C        ,.X/ D X ENTONCES =   :    p p     C  C X ENTONCES COS    ,.X/D p       :  ,.X/ D X C  ENTONCES E:  : X DY D   X D X C Y DY D  ENTONCES DX Y  X  D X C Y  DY D Y D X C X DY ENTONCES  ,.X/ D  C KX

Y X DY D   DX Y X

A-80

Respuestas a los problemas impares

(0, 1), creciente si x > 1:

41. El área decrece alrededor de 4 pulgadas cuadradas. 43. El volumen decrece alrededor de    : cm3.  45. El rango aumenta cerca de 5 ft. 47. El wataje se incrementa alrededor de 6 watts.    : IN

   : M

 .:; :/

 .:; :/

 .:; :/

 .:; :/

Y 











X

SECCIÓN 4.3 (página 244) 1. Creciente si x < 0, decreciente si x > 0; corresponde a la gráfica c). 3. Decreciente si x < −2, creciente si x > −2; corresponde a la gráfica f ). 5. Creciente si x < −1, decreciente en (−1, 2); creciente si x > 2; corresponde a la gráfica d).   F .X/ D X  C   F .X/ D C  X

19. Decreciente si x < −2, creciente en (−2, 0), decreciente en (0, 1), creciente si x > 1: Y  

11. Creciente en R 13. Creciente si x < 0, decreciente si x > 0:











X

 Y     

















21. Creciente si x < 2, decreciente si x > 2: Y





X











X



15. Creciente si x < , decreciente si x > :

23. Decreciente en (0, 1), creciente en (1, 3), decreciente si x > 3: Y 

Y 

   





X 













X

25. f (0) = 0 = f (2), f  (x) = 2x −2x; c = 1 27. c = π/4 y c = 3π/4 17. Decreciente si x < −1, creciente en (−1, 0), decreciente en

 F ./ D E



29. f  (0) no existe.    C D  C D  

Respuestas a los problemas impares

37. La pendiente promedio es  , pero j F .X/j D  donde está definida.

SECCIÓN 4.4 (página 253) 1. Mínimo global en x = 2:

39. La pendiente promedio es 1, pero F .X/ D donde esté definida.

Y 

41. Si f (x) = x5 + 2x −3, entonces F .X/ > para toda x, de modo que la ecuación f (x) = 0 puede tener cuando mucho una solución en cualquier intervalo. Como f (1) = 0, la ecuación f (x) = 0 tiene exactamente una solución en [0, 1]. 43. Sea f (x) = −3 + x ln x. Demuestre que f (2) < 0 < f (4) (por lo que f (x) = 0 tiene al menos una solución en [2, 4]) y que f (x) > 0 en [2, 4] (por lo que f (x) = 0 tiene al menos una solución ahí). 45. Calcule la rapidez promedio del automóvil entre las 3:00 pm y las 3:18 pm, luego aplique el teorema del valor medio para la función de posición del automóvil.















X

3. Máximo local en x = 0, mínimo local en x = 2: Y 

47. Sea f (t) la distancia que recorrió el primer auto (iniciando en el punto A en el tiempo t = 0) y sea g(t) la función correspondiente al segundo auto. Aplique el teorema de Rolle a h(t) = f (t) − g(t).



49. Primero observe que F .X/ D  T. C X/= U 51. Puede suponer que F .X/ D AN X N C AN X N C


C A X C A DONDE AN  Construya un polinomio p(x) tal que p (x) = f (x). Concluya que f (x) = p(x) + C en [a, b].









X







X



53. Aplique el teorema del valor medio a f (x) en [100, 101]. 5. No hay puntos extremos: 55. c = −1 Y

57. Primero muestre que la pendiente promedio de la gráfica de f en [−1, 2] es 2.



59. Use la definición de derivada para demostrar que g(0) =  . Luego demuestre que g(x) toma valores cerca de − y cerca de  en cada subintervalo que contiene a x = 0. La gráfica:

 



Y 









7. Mínimo local en −2, máximo local en x = 5: 



Y

 X

 





 

61. Sea H.X/ D   X  COS X Calcule h(x) y use el resultado del ejemplo 9. 63. Sea K .X/ D   X  C  X  COS X Calcule K (x) y aplique el resultado del problema 61.















X





9. Mínimo global en x = −1, y en x = 1, máximo local

A-81

A-82

Respuestas a los problemas impares

en x = 0:

23. Máximo global en X D Y

p E La gráfica:

Y 















X

X









11. Máximo local en x = −3, mínimo local en x = 3: 25. Mínimo global en x = −π/4, máximo global en x = 3π/4

Y 

27. −10 y 10



29. (1, 1) 31. Base 9 in por 18 in, altura 6 in







33. Altura y diámetro ambos de 10π −1/3 ≈ 6.828 cm







 X



35. El perímetro se minimiza cuando los cuatro lados tienen una longitud de 10. 37. Base cuadrada de 5 in de lado, altura 2.5 in



39. Radio de la base (25/π)1/3 ≈ 1.9965 in, altura (1600/π)1/3 ≈ 7.9859 in (cuatro veces el radio de la base) p   =; =   CM p p =   C    C     : M



13. Máximo global en x =  : Y

47. Volumen mínimo de la pirámide:  A   razón del volumen de la pirámide más pequeña al volumen de la esfera: 8/π



49. Altura (6V )1/3, lado de la base .  6  /= 51. Lado de la base y altura iguales de V 1/3 



X



53. Radio de la base (V/2π)1/3, altura del doble 55. Suposición para simplificar: el volumen de material utilizado al hacer la lata se puede aproximar con precisión multiplicando el área de la tapa por su grueso, el área de la base por su grueso y el área de la superficie curvada por su grueso y luego sumando estos productos.



15. Mínimo global en x = −4, máximo local en x = 6:

SECCIÓN 4.5 (página 263)

Y 

1. Corresponde a c)



5. Punto crítico: A D   decreciente en (−∞, a), creciente en (a, +∞) 7. Puntos críticos: A D  B D  creciente en (−∞, a) y en (b, +∞), decreciente en (a, b)





3. Corresponde a d)

9. Puntos críticos: x = −3, x = 0 y x = 2; decreciente en (−∞, −3) y en (0, 2), creciente en (−3, 0) y en (2, +∞) 









X

17. Máximo global en x = π/2 19. Mínimo global en x = −π/2, máximo global en x = π/2 21. Mínimo global en x = −π, máximo global en x = π

11. Puntos críticos: x = −4, x = −2, x = 2, y x = 4; creciente en (−∞, −4), en (−2, 2) y en (4, +∞), decreciente en (−4, −2) y en (2, 4) 13. Puntos críticos: x = −4, x = −2, x = 0, x = 2 y x = 4; creciente en (−∞, −4), en (−2, 2) y en (4, +∞), decreciente en (−4, −2) y en (2, 4)

Respuestas a los problemas impares

15. Decreciente en (−∞, 1), creciente en (1, +∞); mínimo global en (1, 2): Y

A-83

23. Decreciente en (−∞, −2) y en (−  , 1), creciente en (−2, −  ) y en (1, +∞); mínimo global en (−2, 0) y en (1, 0), máximo local en .  ;  /  Y





   









X







17. Creciente en (−∞, −2) y en (2, +∞), decreciente en (−2, 2); máximo local en (−2, 16), mínimo local en (2, −16):





X



Y 







25. Creciente en (0, 1), decreciente en (1, +∞); mínimo local en (0, 0), máximo global en (1, 2):

Y 

















X











X











19. Creciente en (−∞, 1) y en (3, +∞), decreciente en (1, 3); máximo local en (1, 4), mínimo local en (3, 0):

27. Creciente en (−∞, −1) y en (1, +∞), decreciente en (−1, 1); máximo local en (−1, 2), mínimo local en (1, −2):

Y

Y

















X







X



21. Creciente en R = (−∞, +∞): no hay puntos extremos:

29. Decreciente en (−∞, −2) y en (0, 2), creciente en (−2, 0) y en (2, +∞); mínimo global en (−2, −9) y en (2, −9), máximo local en (0, 7):

Y

Y

  











 







X



















X

A-84

Respuestas a los problemas impares

31. Decreciente en (−∞,  ), creciente en ( , +∞); mínimo global en ( , −  ):

39. Creciente en (−∞, −2) y en (2, +∞), decreciente en (−2, 2); máximo local en (−2, 64), mínimo local en (2, −64): Y

Y







  















X





X













33. Creciente en (−∞, −2) y en (1, +∞), decreciente en (−2, 1); máximo local en (−2, 20), mínimo local en (1, −7):

41. Creciente en R = (−∞, +∞); no hay puntos extremos: Y 

Y 



























X





 X









35. Creciente en (−∞,  ) y en (  , +∞), decreciente en ( ,  );  máximo local en ( ,   ), mínimo local en (  , 16):

p p 43. Creciente en (−∞, − ) y en (0, ), decreciente en p p p (− , 0) y en ( , +∞); máximo global en (− , 16) y p en ( , 16), mínimo local en (0, 0): Y

Y



 













X







37. Decreciente en (−∞, −1) y en (0, 2), creciente en (−1, 0) y en (2, +∞); mínimo local en (−1, 3), máximo local en (0, 8), mínimo global en (2, −24):



X



45. Creciente en (−∞, 0) y en (0, 1) (es también correcto decir que f es creciente en (−∞, 1)), decreciente en (1, +∞); máximo global en (1, 3), tangente vertical en (0, 0):

Y

Y























X

















 X

Respuestas a los problemas impares

47. Creciente en (−∞, ) y en (1, +∞), decreciente en (, 1); máximo local donde x =  (la ordenada es alrededor de 0.3257), mínimo local en (1, 0): Y 

A-85

c) 1.0519017014 ± 0.5652358517i

p  $ECRECIENTESI X <  SI  .  / < X <  YSI p p  . C / < X <  CRECIENTESI  < X <  .  /  p SI  < X <  . C / YSI  < X M¤NIMOSGLOBALES;IGUA LES=CUANDO X D  X D  X D  MÖXIMOSLOCALES;IGUALES= p ENX D  .  /

59. Mínimos globales [iguales] en (0, 0), (, 0) y (1, 0); máximos locales muy cerca de los dos puntos (0.22925, 0.0000559441) y (0.807787, 0.0000119091). Gráficas a escalas diferentes:







X



Y

Y





 



49. Trace y = 2x 3 + 3x 2 − 36x − 3 para ver la gráfica:



Y





X











X

 

SECCIÓN 4.6 (página 277)









X





 F .X/ D X  X  C  F .X/ D X  X F .X/ H X   F .X/ D .X / F .X/ D .X / F .X/ D .X /





 G .T/ D .T /= G .T/ D .T /= G .T/ D .T /=

51. Trace y = −2x 3 − 3x 2 + 36x + 15 para ver la gráfica:

 H .Y/ D .YC/ H .Y/ D .YC/ H .Y/ D .YC/

Y

 G .T/ D T . C  LN T/ G .T/ D  C  LN T G .T/ D



 F .X/ D  COS X F .X/ D  SEN X F .X/ D  COS X













X

 F .X/ D COS X SEN  X F .X/ D  SENX COS X F .X/ D  SEN  X  COS X 





53. Trace y = 3x 4 − 8x 3 + 72x + 45 para ver la gráfica: Y

F .X/ D

X COS X SEN X ; X

F .X/ D

. X  / SEN X X COS X ; X

F .X/ D

. X  /X COS X C .X  / SEN X X



 Y .X/ D

X C Y  Y .X/ D X C Y .X C Y/

 Y .X/ D

X C  T.X C / C Y  U Y .X/ D Y  Y 

 Y .X/ D

Y Y  SEN Y C Y COS Y X Y Y .X/ D X COS Y .X COS Y/









 T



X



55. a) f (−2.1038034027) ≈ 7.58 × 10−9; b) factorización aproximada: f (x) ≈ [x + 2.1038034027] · [x 2 − (2.103803403)x + 1.4259887573].

23. Puntos críticos (−3, 81) y (5, −175); punto de inflexión (1, −47) 25. Puntos críticos (−3.5, 553.5) y (4.5, −470.5); punto de inflexión (0.5, 41.5) p p 27. Puntos críticos .; / . ; / Y . ; / punto de inflexión (−3, −168) y (3, −168)

A-86

Respuestas a los problemas impares

29. Puntos críticos (0, 1000) y .  ;  / (aproximadamente  (5.333, −2236.345679)); punto de inflexión (4, −1048) 31. Mínimo global en (2, 1); sin puntos de inflexión 33. Máximo local en (−1, 3), mínimo local en (1, −1); punto de inflexión: (0, 1) 35. Máximo global en (1, e−1); punto de inflexión: (2, 2e−2): Y 

51. −10 y 10

53. (1, 1)

55. 9 in de ancho, 18 in de largo, 6 in de alto p 57. Radio de =   cm, altura del doble 59. Base cuadrada con lado de 5 in, altura 2.5 in 61. Radio de (25/π)1/3 in, altura cuatro veces eso 63. Creciente para x < −1 y para x > 2, decreciente en (−1, 2), máximo local en (−1, 10), mínimo local en (2, −17); punto de inflexión: (0.5, −3.5):



Y 











X













X









37. Sin puntos críticos; punto de inflexión: (0, 0) 39. Mínimo global valor 0 en x = 0 y en px = 1; máximo local en (  ,  ); puntos de inflexión: . .   /;  / 41. Máximo global en (π/2, 1), mínimo global en (3π/2, −1); punto de inflexión: (π, 0) 43. Sin puntos críticos, sin puntos extremos; punto de inflexión: (0, 0) 45. Máximo global con valor 1 en x = 0 y en x = π; mínimo global en (π/2, 0); puntos de inflexión: (− π/4, 1/2), ( π/4, 1/2), (3π/4, 1/2) y (5π/4, 1/2) 47. Máximo global en (, 5e−3), punto de inflexión en (2, 10e−4):



65. Creciente para x < −2 y en (0, 2), de otra forma decreciente, máximo global en (−2, 22) y p en (2, 22), mínimo local en / (0, 6); puntos de inflexión .   ;   Y 

Y











X









 X











p 49. Mínimo p global en . ; :/ máximo local en . C ; :/ (ordenadas aproximadas): puntos de inflexión: (1, − 2e −1) y (5, − 14e −5):

67. Decreciente si x < −1 y en (0, 2), creciente de otra forma; mínimo local en (−1, −6), máximo local en (0, −1), mínimo global en (2, −33); hay dos puntos de inflexión: p p  .  .  /;  .   //

Y

Y























 X













X

Respuestas a los problemas impares

69. Creciente si x <  y si x > 1, de otra manera decreciente;  / mínimo local en (1, 0); punmáximo local en .  ;  tos de inflexión en (0,0) y en los dos puntos para los cuales p X D .  / Y

77. Corresponde a c) 79. Corresponde a b) 81. Corresponde a d) 83. Inciso a): el paso clave en una prueba por inducción es suponer que para algún entero k 1, f (k)(x) = k! si f (x) = x k; sea g(x) = x k+1 = x · f (x), aplique la regla del producto para calcular g(x), luego aplique la suposición inductiva a g(x).



85. Aplique la regla del producto a 

 B D 

X





71. Creciente para toda x, sin extremos; punto crítico, tangente vertical y punto de inflexión en (0, 1):

A-87

:

DZ DZ DY H
 DX DY D X

 6 P 6 D : A D 6  P  ;; 2 D   4

91. Máximo local en (1, 2101), mínimo local en (1.034, 2100.980348), punto de inflexión en (1.017, 2100.990174) (coordenadas exactas). Para ver con claridad estos puntos, grafique y = f (x) en el intervalo [0.96, 1.07]:

Y

Y 









 X









 X







73. Creciente en [0, +∞), mínimo global en (0, 0); punto de inflexión (1, 4): Y

SECCIÓN 4.7 (página 290)





 

 

 

 

 

 

 

15. +∞ (o “no existe”) 





X





75. Creciente si x < 1, decreciente si x > 1, punto crítico, punto de inflexión y tangente vertical en (0,p0), máximo global en (1, 3), punto de inflexión en .;    /

17. Corresponde a g)

19. Corresponde a a)

21. Corresponde a f )

23. Corresponde a j)

25. Corresponde a l)

27. Corresponde a k)

29. Sin puntos extremos o de inflexión, única intercepción (0, − ), asíntota vertical x = 3, asíntota horizontal (dos sentidos) y = 0:

Y

Y









 





X



 













X

A-88

Respuestas a los problemas impares

31. Sin puntos extremos o de inflexión, única intercepción (0,  ), asíntota vertical x = −2, asíntota horizontal (dos sentidos) y = 0: 

(dos sentidos) y = 0: Y 

Y 











X













X





33. Sin puntos extremos o de inflexión, única intercepción  ), asíntota vertical x = , asíntota horizontal (dos sen(0, − tidos) y = 0:

41. Máximo local en (−1, −2), mínimo local en (1, 2), sin puntos de inflexión o intercepciones, asíntota vertical x = 0, asíntota inclinada y = x: Y

Y



 







X



X









35. Mínimo globalpy única intercepción (0, 0), puntos de inflexión en .   ;  / asíntota horizontal y = 1:

43. Máximo local y única intercepción (0, 0), mínimo local en (2, 4), asíntota vertical x = 1, asíntota inclinada y = x +1:

Y

Y



 











37. Máximo local y única intercepción (0, − ), asíntotas verticales x = ±3, asíntota horizontal (dos sentidos) y = 0: Y

X



X







45. Sin puntos extremos o de inflexión, única intercepción (0, 1), asíntota vertical x = 1, asíntota horizontal (dos sentidos) y = 0:

 Y











X



 

39. Máximo local en .  ;  / única intercepción .;  / asíntotas verticales x = −3 y x = 2, asíntota horizontal





 X

Respuestas a los problemas impares

47. La gráfica es creciente en todos lados, cóncava hacia arriba para x < 0, cóncava hacia abajo para x > 0, sin puntos extremos ni de inflexión y única intercepción (0,  ), asíntota horizontal del lado derecho y = 1, asíntota horizontal del lado izquierdo y = 0: Y

A-89

55. Con todas las coordenadas aproximadas, hay mínimos locales en (−1.9095, −0.3132) y (1.3907, 3.2649) y un máximo local en (4.5188, 0.1630). Puntos de inflexión en (−2.8119, −0.2768) y (6.0623, 0.1449), una asíntota horizontal y = 0 y asíntotas verticales x = 0 y x = 2. La gráfica y dos acercamientos:



Y

















X

49. Máximo local y único extremo (  , − ), única intercepción (0, −  ), asíntotas verticales x = −1 y x = 2, asíntota horizontal (dos sentidos) y = 0:





Y

Y 



X





Y







X





















X

X





51. Únicas intercepciones (±2, 0), sin puntos de inflexión o extremos, asíntota vertical x = 0, asíntota inclinada y = x :

57. Asíntota horizontal y = 0, asíntotas verticales x = 0 y x = 2; mínimo local en (−2.8173, −0.1783) y (1.4695, 5.5444), máximos locales en (−1, 0) y (4.3478, 0.1998) y puntos de inflexión en (−4.3611, −0.1576), (−1.2569, −0.0434) y (5.7008, 0.1769) (los números con decimales son aproximaciones). La gráfica y dos acercamientos:

Y

Y











X







X





p 53. Única intercepción .   ; / máximo local (−2, −3), ningún otro extremo, sin puntos de inflexión, asíntota vertical x = 0, asíntota inclinada y = x: Y

Y





Y

X





 















X









X

59. Asíntota horizontal y = 0, asíntotas verticales x = 0 y x = 2; mínimos locales en (−2.6643, −0.2160), (1.2471, 14.1117) y (3, 0), máximos locales en (−1, 0) y (5.4172, 0.1296); hay puntos de inflexión en (−4.0562, −0.1900), (−1.2469, −0.0538), (3.3264, 0.0308) y (7.4969, 0.1147)

A-90

Respuestas a los problemas impares

− 0.1211), (0.6701, −1.6820) y (0.9649, −2.2501). (Los números con decimales son aproximaciones.):

(los números con decimales son aproximaciones). La gráfica y dos acercamientos:

Y  

 

















 Y





X





X





Y

X





 

 







X

67. La recta 2y = x es una asíntota inclinada en las direcciones positiva y negativa; no hay asíntota horizontal. Hay una asíntota vertical en x = −1.7277. Hay máximos locales en (−3.1594, −2.3665) y (1.3381, 1.7792), mínimos locales en (−0.5379, −0.3591) y (1.8786, 1.4388). Hay puntos de inflexión en (0, 0), (0.5324, 0.4805), (1.1607, 1.4294) y (1.4627, 1.6727). (Los números con decimales son aproximaciones.) La gráfica y un acercamiento:

61. El eje x es una asíntota horizontal: hay asíntotas verticales en x = −0.5321, x = 0.6527 y x = 2.8794. Hay un mínimo p local en (0, 0) y un máximo local en .  ; :/ No hay puntos de inflexión (los números con decimales son aproximaciones):

Y Y 















X



Y





X









Y 

63. La recta y = x + 3 es una asíntota inclinada tanto en la dirección positiva como en la negativa; no hay asíntota horizontal. Hay una asíntota vertical en x = −1.1038. Hay un máximo local en (−2.3562, −1.8292) y (2.3761, 18.5247), mínimos locales en (0.8212, 0.6146) y (5.0827, 11.0886). Hay puntos de inflexión en (1.9433, 11.3790) y (2.7040, 16.8013). (Los números con decimales son aproximaciones.) La gráfica y una vista más amplia:























 X



Y

Y 









X







X

69. La gráfica de f es decreciente para 0 < x < 1 y para x < 0,pcre ciente para x > 1. Es cóncava hacia arriba parapX <  y  también para x > 0, cóncava p hacia abajo para  < X <  La única intercepción es .  ; / éste también es el único punto de inflexión. Hay un mínimo local en (1, 3). El eje y es una asíntota vertical:







 X



65. La recta 2y = x es una asíntota inclinada tanto en la dirección positiva como en la negativa; no hay asíntota horizontal. Tampoco hay asíntotas verticales. Hay un máximo local en (0.2201, 0.6001), un mínimo local en (0.8222, −2.9690), y puntos de inflexión en (−2.2417, −1.2782), (−0.5946,

SECCIÓN 4.8 (página 300) 

 



 

 

 



 

 

 

 

 



 



 



 

Respuestas a los problemas impares



LN  LN 



 

 



 

 L¤M F .X/ D  L¤M X!1

X!1

A-91

F .X/ D 1

Y



 

 



 





 

X



 



 



 

 

SEN  X D  X! X



 L¤M

 L¤M F .X/ D  X!1

Y

Y  









X









X



X

 L¤M F .X/ D 1 Y L¤M F .X/ D  X!C

 L¤M

X!

X!1

Y

SEN X D  X 



 Y

 



X







61. Suponga que el resultado se cumple para n = k donde k es algún entero positivo fijo, luego aplique la regla de l’Hôpital a



L¤M

X!1

X KC : EX

63. Máximo global en (n, nne−n), puntos de inflexión en los dos puntos donde x2 − 2nx + n2 − n = 0. 65. Con y = 1/x tenemos

 COS X   L¤M D  X! X 

L¤M X K LN X D L¤M

X!C

Y

Y!1

LN Y D YK

L¤M

Y!1

 KY K

H :

67. Manteniendo x fija, aplique la regla de l’Hôpital a



L¤M

H!

F .X C H/ F .X H/ : H

69. 1 X E 71. Si x es grande, entonces >  E E









X

73. f (n − 1) < nne−n nos lleva a E < 

 N

N

etcétera.

Respuestas a los problemas impares

A-92

SECCIÓN 4.9 (página 306)

2.2361202715. Tres gráficas separadas: Y

 

 



 

 



 

Y 



 

  X



 1 OhNOEXISTEv 



 1 OhNOEXISTEv 

 

 

 



X

Y

  

 E

=

 :

 E

=

 :

 E  :

 

 1 OhNOEXISTEv

35. f (x) → 1 cuando x → +∞, f (x) → 0 cuando x → 0+; el máximo global es f (e) = e1/e ≈ 1.4446678610. La gráfica: Y

 X



41. f (x) → 1 cuando x → +∞, f (x) → 0 cuando x → 0+; el máximo global aproximado es f (1.2095994645) ≈ 1.8793598343. Tres gráficas separadas: Y 

Y  



 X

 









X



Y

 X

37. f (x) → 1 cuando x → +∞, f (x) → 0 cuando x → 0+; el máximo global es f (e) = e2/e ≈ 2.0870652286. Tres gráficas separadas:



Y

Y 













 X









X



 L¤M . C HX/= H H E X H!

X

 !PROXIMADAMENTE .:; :/ Y

49. f (x) → 1 cuando x → +∞, f (x) → +∞ cuando x → 0+; hay un mínimo global en (1, 0), un punto de inflexión con coordenadas aproximadas (0.8358706352, 0.1279267691), otro cerca de (1.1163905964, 0.1385765415) y uno más cerca de (8.9280076968, 1.0917274397) y un máximo local cerca de (5.8312001357, 1.1021470392). Cinco gráficas separadas:



Y

Y

 



 X 

+

39. f (x) → 1 cuando x → +∞ y cuando x → 0 ; el valor máximo global de f (x) ocurre en la solución de 2x2 = (1 + x2) ln(1 + x2) cerca de x = 2; es aproximadamente f (1.9802913004) ≈

 











X









X

Respuestas a los problemas impares Y



Y



 









X



 



 



 

H :

 :

 :

 :

H :



6  : )N



4 

 





X



6   CM

Y

A-93

p 

  : S   

=



 C H



29. Decreciente para x < 3, creciente para x > 3, cóncava hacia arriba en todos lados, mínimo global en (3, −5):

 C H 



 C H



Y   X

 

51. f (x) → +∞ cuando x → 0+ y cuando x → +∞; el valor mínimo global de f (x) es e−1/e y ocurre en x = e−1/e y en x = e1/e. Hay una cúspide en (1, 1) (| f’(x)| → +∞ cuando x → 1) y también hay un máximo local en (1, 1). Cuatro gráficas separadas:











X





Y

Y 





31. Creciente para toda x, puntos de inflexión en



 X





Y







X

p  p ;  ; .; /;    p  p Y ;  V  

Y





 X



Y 







  X







53. La gráfica bajo y = f (x) en el intervalo [−0.00001, 0.00001] muestra claramente que e ≈ 2.71828 con cinco decimales. El método gráfico es satisfactorio porque L¤M  C

X!

 X

X







X

D E:

Y

33. Creciente para x < , decreciente para x > , tangente vertical en (0, 0), máximo global en x = , puntos de inflexión donde x = 0 y donde x = −  .

Y

 



Y







 







 X













 X

CAPÍTULO 4 PROBLEMAS DIVERSOS (página 309)



 DY D  .X X  /= . X/ D X  DX .X / p p  DY D X COS X  X = SEN X D X



 DY D

 F .X/ D X   F .X/ D X Y F .X/  

X

A-94

Respuestas a los problemas impares

  ; .T C / T    G .T/ D  .T C / T

 G .T/ D

G .T/ D

  ; T .T C /

57. Creciente si x < 3, decreciente si x > 3; máximo global en (3, 3), intercepciones en (0, 0) y (4, 0), una tangente vertical y un punto de inflexión también en (4, 0) y un punto de inp flexión en .;   /

 =  = T T  

 F .T/ D T = T = F .T/ D

Y

 =  = T T       H .T/ D H .T/ D H .T/ D .T / .T / .T / F .T/ D





   G .X/ D G .X/ D . X/= . X/=  G .X/ D . X/= DY  Y Y = D  Y  D D DX X DX  X  DY D  p ;  DX .Y / X



X







=

59. Creciente si x < −2 y si −2 < x < 0, decreciente si 0 < x < 2 y si x > 2; máximo local en (0, −) ningún otro punto extremo, sin puntos de inflexión, sin intercepciones x; asíntotas verticales x = ±2 y asíntota horizontal y =1:

Y  Y  X = Y   D Y D DX X = .Y  / 

X Y D  Y DY  D D  DX X Y D X .X Y/



DY X Y D  DX X C  Y  Y .X/ D





Y



YTX  Y  C .X  C /Y  C X  U .X  C  Y  /

53. Mínimo global en (2, −48), cóncava p hacia arriba en todas partes, intercepciones en (0, 0) y .   ; /



X





Y 















X



p 55. Decreciente para X < A D   pcreciente para a < x < 0, decreciente para  < X < B D  ; creciente para x > b. Mínimo global en x = a y x = b, máximo local en p x = 0, puntos de inflexión donde X D    

61. Creciente si −4 < x < −1 y si −1 < x < 0, decreciente si x < −4, si 0 < x < 2 y si x > 2. Máximo local y única intercepción en (0, 0), mínimo local en .;  / asíntotas verticales x = −1 y x = 2, asíntota horizontal y = 2, punto de inflexión con coordenadas aproximadas (−6.107243, 1.801610). Dos gráficas:

Y

Y

 

Y















X







X











 X



63. Decreciente para x < 1, creciente para x > 1; cóncava hacia arriba para x < 0 y para x > , cóncava hacia abajo en (0,  ), mínimo global en (1, −1), puntos de inflexión en (0, 0) y en .  ;  /; sin asíntotas y f (x) → +∞ cuando x → +∞ 

Respuestas a los problemas impares

A-95

p .  ; /

y cuando x → −∞:

Y 

Y  









X





X







65. Creciente si x < −1 y si −1 < x < 0, decreciente si 0 < x < 1 y si x > 1; máximo local y única intercepción en (0, 0), sin puntos de inflexión, asíntotas verticales x = ±1, asíntota horizontal y = 1:

71. Creciente si X <  máximo local en .  ;  / decre ciente en .  ; / punto de inflexión en .  ;  mínimo /  local e intercepción en (1, 0), creciente si x > 1, otra intercepción en (−3, 0): Y  

Y  













X







X





67. Decreciente si x < 0 y si x > 4, creciente en (0, 4), mínimo local en (0, −10), punto de inflexión en (2, 6), máximo local en (4, 22); cuatro intercepciones en (−1.180140, 0), (−1.488872, 0), (0, −10), y (5.691268, 0) (los números con decimales son aproximaciones):

73. 75. 77.  81.

Valor máximo 1 = f (−1) Ancho 15 cm, largo 30 cm, alto 10 cm Ancho 5 in, largo 10 in, alto 8 in =  : MIH 
 p Dos tangentes horizontales, donde X D    y y ≈ ±0.6204; líneas tangentes verticales en las intercepciones x: 0, 1 y 2; puntos de inflexión donde x ≈ 2.4679 y y ≈ ±1.3019: Y 

Y  







X

 





X



69. Creciente si x < −1, máximo local en (−1, 2), decreciente en (−1, 1), punto de inflexión e intercepción en (0, 0), mínimo local en (1, −2), creciente si x > 1, intercepciones en

83. 240 ft p   !.N C / ft 87. Si x es la abscisa del punto de tangencia, entonces el área del triángulo es A(x) = 9/(4x), 0 < x < +∞, por lo que no es un área máxima ni un área mínima. 91. 270 cm2 89. 288 in2 93. En ambos casos m = 1 y b H  

Respuestas a los problemas impares

A-96



 



 



 

 

  T SI  T 

 X.T/ D

X

 1 OhNOEXISTEv

  X.T/ D T T   SI  T 





 C1 OhNOEXISTEv  E



E 



SECCIÓN 5.2 (página 326) 

   X  C X = X C #  

 T = C T C #



 = X X = C # 



    X X CX C#  

 X  C X  C X C #

 X  X  C X C #

 E X= C #



 .X C / C # 

  .X / C # 



 =  =  = X X C X C#   



       X X X C #  .T C / C #    



 X  X E E C#  



  SEN T C SEN T C #  

 SEN X C  COS X C # 



    X SEN X C # X C SEN X C #    

p

   Y.X/ D .X / C  

 Y.X/ D E

X

ND

 



 ND



 K



 N X N

 

        ;      ;  

MD

 M

   N  

  ;  

N

X



ID

















 T

I D .N C / C .N C / C


C .N C / N T£RMINOS

 






 



N

  ;     ;   

   X.T/ D T T  SI  T  



 KD



 G.T/ D  COS T X.T/ D T SEN T





N

  

   G.T/ D T  C  X.T/ D T  C T   

     C C C C     

     C C C C       X C X  C X  C X  C X 



C



  C

ND

 G.T/ D T  T  X.T/ D T  T  T

 X.T/ D T SI  T

SECCIÓN 5.3 (página 339)



   Y.X/ D X  X  C  

 Y.X/ D  X C  

 T



  FTS   S  FTS   FT p p   C    : S    : FTS     : FTS   FTS    A  FTS B MÖSOMENOSFTDEALTURASENVUELO  p    MIH  



   Y.X/ D X =  

 Y.X/ D X  C X C 



  C  C  C  C 

 $X  SEN  X C # D SEN X COS X D $X  COS X C #  # # D  





  FT  S   FT   S  FTS p p     : S    : FTS



N.N C /  ! CUANDON! C1  N   N  .N C / ! CUANDON! C1 N    N.N C /  ! CUANDON! C1 N
 N N   BH N.N C / ! BH CUANDON! C1
N   R !N L¤M D N!1 # N 

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 5.4 (página 350)

61. Sea







.X / D X

.X  C / D X





p



X DX





 =



H D B A;

 



SEN  X D X

 DX p CX



N

SEN A C ID



 D : 





 D : 





 D : 



  : 



 D : 



 D : 



  : 



 D : 



  : 

 





 D : 

 





  : 



 D :    : 

  : 

47. 30 B BI YXH 49. Elija XI H XI H N N XI C XI 51. Elija XI H  observe que xi = xi − xi−1 para cada  valor de i con significado. 53. Caso 1: a < b. Sea P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una partición de [a, b] y sea {XI } una selección para P. Observe que xi = xi − xi−1 para 1 i n. Inicie con la ecuación N

C D X D L¤M

N!1

C

XI

Y

XD

X

D CSC

H H  H A C H C SEN SEN N   N

SECCIÓN 5.5 (página 361) 

  :   D : 

  : 

  : 



 

 

 



  





 D : 

  :   

  .E /  : 

 LN   : 

   E E C  :  



 



  : 

 



 





 



 

 

43. 5; la región: Y 

N

F .XI

XI D :

ID

Luego demuestre que también hay selecciones para las cuales cualquier suma de Riemann como esa tiene valor cero. I  57. Siga el ejemplo 5, pero elija XI H XI H Y XH  N N K  Y XH  59. Seleccione XI H XI H N N

H : N

:

Si es así, es probable que necesite usar una de las identidades trigonométricas que preceden a los problemas 59 a 62 en la sección 7.4.

ID

y continúe expandiendo y simplificando el lado derecho. No olvide el caso 2. 55. Dada cualquier partición P, es posible hacer una selección {XI } con todas los XI irracionales. (Una explicación sigue a la solución del problema 69 de la sección 2.4 en el manual de soluciones del alumno). Demuestre que para cada selección como esa, se tiene

IH ; N

IH N

45. 12

B

XI D XI D A C

Su sistema algebraico para computadora debe producir un resultado similar a éste:

 D : 



A

A-97













X

A-98

Respuestas a los problemas impares

   la región:  Y

 

 



  : 







  

  : 



X









 LN   :

 H : 

 D : 



33. Altura promedio   : (ft), velocidad pro medio −80 ft/s     6 .T/ DT H  : ,   







.E /  : E



  

 

  : la región: 



Y

  





 

4 .X/ D X D  

  : 

  : 

!.Y/ DT D 

 A !.X/ H  X   c. dos; un triángulo:

X



B 

Y 





49. Primero demuestre que 

p

X



p

 C X

 C X SI  X   SI  X  p 51. Primero demuestre que  C X C X 53. Observe primero que sen t 1 para toda t.    

 

 

 DX CX COS X D X N

59. Paso clave: L¤M

X!







= 







 A !.X/ D X  X  





B





 X

  

c. dos rectángulos:

  C F .XI

X



Y N

X D L¤M C


IH

X!

F .XI



X

IH

61. Si f (x) M para toda x en [a, b], sea g(x) ≡ M y use la primera propiedad de comparación.





  C

6 .T/ DT H  GAL 

 0RIMERODEDUZCADELAFIGURAQUE

 X 

 X

X  









 F .X/ D .X  C /

     H : 

        : 

 ' .X/ D F .X/ D  F .X/ D  SEN X   F .X/ D

X C

X



X

 H .Z/ D .Z /= p  ' .X/ D F .X/ H X C 

 F .X/ D EX E X

SECCIÓN 5.6 (página 370)



X C   F .X/ D X SEN X  X

 Y.X/ D 

 DT T

Respuestas a los problemas impares X

 C T  DT

 Y.X/ D  C





65. El integrando no es continuo en [−1, 1]. 67. a) g(x) = x2 si 0 x 2; g(x) = 8x − x2 − 8 si 2 x 6; g(x) = 28 − 4x si 6 x 8; g(x) = x2 − 20x + 92 si 8 x 10; b) Creciente en (0, 4) y decreciente en (4, 10); máximo global en (4, 8), mínimo global en (10, −8). Una gráfica: Y 











 X

 SEN.X  / C # 

  EXP.X  / C # 

  COS X C # 



 TAN  C # 

  SEN.X = / C #



 .X C / C # 



 LN jX  C X C j C # 



  : 



  : 



  : 



 D : 

  :  p E  :  E 

 E   : 

69. a) x = 0, π, 2π, 3π y 4π. b) Máximo global en x = 3π, mínimo global en x = 4π. c) puntos de inflexión donde x ≈ 2.028757838, 4.913180439, 7.978665712 y 11.08553841. Una gráfica: Y

A-99

  X SEN X COS X C #  

  : 



 X C TAN X C #     3I SEN   C # D COS  C# ENTONCES # # D     Las dos gráficas:

 Y

  









 X

 





X





SECCIÓN 5.7 (página 379)         

 .X / C #   COS X C #   . COS X/ C #   . X/ C #   COS. X C / C #   EX C #   LN jX j C #   LN.X  C EX / C #   . X  /= C # 

        

  .X C /= C #   COS.X  / C #   .X C / C #   .X C /= C #   SEC  C #   EXP.X  / C #   .LN X/ C #    .X /= C #    .X C /= C # 



 X X H   SI X X X X

 Las dos gráficas:

Y  









 X







 /BSERVEQUE

A

F .X/ D X H A

F .X/ D X 

79. La función tangente es impar, el producto (o cociente) de una función impar y una función par es impar. 81. Sustituya u = x + k en la primera integral y simplifique. 83. Sustituya u = x1/2, x = u2 y dx = 2u du.

A-100 Respuestas a los problemas impares

3%##)Ê.PÕGINA 



 

  p    :  

  : LAREGI˜N 



 



 



 





Y





  

 LN   :



p     : 



   



  LAREGI˜N 

p









X

  LAREGI˜N Y 

Y 

 

 







X







X

X





  LAREGI˜N  

  LAREGI˜N  Y

Y 



 







X











  LAREGI˜N  

  LAREGI˜N  Y

Y  













X





X

Respuestas a los problemas impares



 LN  LAREGI˜N 



   C H  : LAREGI˜N    Y

Y 





  



 X





.E /  : LAREGI˜N E



  :  A

 ! H 

Y 



B  B .A X  /= D X H A A



 %LÖREADELSEGMENTOPARAB˜LICOES

 



   C H  :   



p    : 

 X





 X



A

A X  D X 

  

 !PROXIMADAMENTE : LAREGI˜N

E  : LAREGI˜N E

Y 

Y 

 



X





X



 !PROXIMADAMENTE : LAREGI˜N 

  LAREGI˜N 

Y 



Y





















X

 K H 



X

A-101

A-102 Respuestas a los problemas impares

61.

 ≈ 21.083333; las regiones: 

9. M3 ≈ 0.67; valor real: 13. 15.

Y 

17. 19. 



 

11. M3 ≈ 1.01; valor real: 1

  T4 = 8.75, = S4 = ≈ 8.67; valor real:   T4 ≈ 0.882604, S4 ≈ 0.864956; valor real: 1 − e−2 ≈ 0.864665 T6 ≈ 3.26, S6 ≈ 3.24; valor real aproximado: 3.24131 T8 ≈ 5.013970, S8 ≈ 5.019676; valor real aproximado: 5.02005 4 H : 3  :

  :  25. T12 = 91150 (pies cuadrados, cerca de 2.093 acres), S12 =  (pies cuadrados, cerca de 2.155 acres)  27. n = 19  4 H  3 H









X



63. Aproximadamente 25.3622616057; las regiones: Y

29. Si p(x) es un polinomio de grado cuando mucho tres, entonces p(4)(x) ≡ 0. 31. Expanda la suma Mn + Tn usando las definiciones. 33. Si f (x) > 0 en [a, b], entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba ahí; ahora examine la figura 5.9.11. No olvide el caso 2: f (x) < 0 en [a, b]. 35. La regla del punto medio proporciona aproximadamente 872.476; la regla del trapezoide da alrededor de 872.600. Observe que la gráfica de y = 1/(ln x) es cóncava hacia arriba para x > 0.

  





X





65. Aproximadamente 86.1489054767; la región:

CAPÍTULO 5 PROBLEMAS DIVERSOS (página 410)

Y 

   X  C X  C X  C #  



 



 . C X/= C # 



 . X/ C # 

 . C X  / C # 

  . X  /= C #  





X





67. Aproximadamente 16.8330174093; las regiones:



 . COS X C  SEN X/ C # 



 . C X  /= C # 





 SEN X  C # 





  . X/= . X/= C #  

Y 









X



 C X C #

 Y.X/ H

SECCIÓN 5.9 (página 405) 1. T4 = 8; valor real: 8 5. T3 ≈ 0.98; valor real: 1



 3. T5 ≈ 0.65; valor real:  7. M4 = 8; valor real: 8

  .X C / C  

 p C# C X

  .X C / C # 

 Y.X/ D X  C X  C   Y.X/ D

X =  

31. 6 (s); 369 (ft) 33. 120 (ft/s) p p 35. Tiempo de impacto:   (s); velocidad de impacto   (ft/s) 37. 176 (ft) 39. 1700 41. 2845  p = X DX D     

Respuestas a los problemas impares

33. Distancia neta: π; distancia total aproximada 4.26379

 p   



 X  C X  D X D

 

N

.X  /= C# X     :   :      :   :   p Una solución es F .X/ H X    Use n 5. L5 ≈ 1.10873, R5 ≈ 1.19157. El integrando es creciente en [0, 1], entonces el valor de la integral es 1.15015 ± 0.04142. Su valor real es

 3EA U D =X RESULTADO



73. 75.

N ID

 .XI /

 - H

N



XI D

XI

ID

 XI

 7 H       



 

 

  : E

 

 LN   : 

 

 C T F .X/U D X

 

 M = 1000 (gramos) 17. M H (gramos)  Distancia neta: −320; distancia total: 320 Distancia neta: −50; distancia total: 106.25 Distancia neta: 65; distancia total: 97 Distancia neta: 1; distancia total: 1  Distancia neta: 0; distancia total:   29. Distancia neta: ; distancia total: 65   31. Distancia neta: ; distancia total aproximada: 7.73330 

15. 19. 21. 23. 25. 27.

 

 



  LN   :

   



  

   : 



 

 



   : 

 



   : 



   : 



    : 



 



 . /  : 

 !PROXIMADAMENTE : C : H :  !PROXIMADAMENTE :



 X F .X/ D X



 

     

SECCIÓN 6.2 (página 433)

SECCIÓN 6.1 (página 423)  

  : LIBRAS 

51. Aproximadamente 7.035 litros por minuto

;

luego expanda el lado derecho.

  : 

  GAL   43. a = 0.2, b = 0.1; precipitación promedio: 73 pulgadas por año   

 ::

77. M5 ≈ 0.28667, T5 ≈ 0.28971. Ellos limitan el valor real de la integral porque la segunda derivada del integrando es positiva en [1, 2]. p 79. Demuestre que XI < XI XI < XI y que

X

ID



p  p  C LN  C  

 XI .XI

35. Masa total: aproximadamente

47. Demuestre que toda suma de Riemann es igual a c (b − a). 49. Si m es el valor del mínimo global de f (x) en [a, b], entonces m > 0. Ahora aplique la segunda propiedad de comparación. p p   =       X  C # X C = C #  X X     SEN X = C #  COS C #  T    . C U = / C #   



A-103

 

  A  B 

  A  

p    A  

 6OLUMENDELPARABOLOIDE  PH  

  A 

 6OLUMENDELBARRIL

 6OLUMENDELTORO   A  B H 

 2  C R    

 4  : Y 3  : ALACENTENAMÖSCERCANA  

B .A B/ A

Respuestas a los problemas impares

A-104

SECCIÓN 6.3 (página 443)  



                  

     :       :      :     :    .E /   :   E  !PROXIMADAMENTE :

 A 6 H

  H 

p     A  : B  :   p    : C    :  A   : B 

SECCIÓN 6.4 (página 455) 



 C X  D X



 C X  .X / D X







 C X  D X



 C Y  DY





 

C

 

 X

=

DX



  



 

  FT
LB

17. Con densidad del agua ρ = 62.4 lb/ft3: 4160000π ≈ 13069025 ft·lb   FT
LB   FT
LB  . = /  : FT
LB      : FT
LB    :   FT
LB p    : FT
LB    : LB  : LB   LB  !PROXIMADAMENTE :   LB

  LB

SECCIÓN 6.6 (página 475)





 X


X C DX X 

    D :   p     :   p      : 



  E   : E   : 

;



 ; 



  ;  



R R ;  



  ;  



R R ;  

 ! D 


R 

  ;  





 ! D 


  

  ;  

 X  C X C  D X



 .; /



. X/  C X  D X





 

   : FT
LB   : FT
LB      : FT
LB

 X   C X  D X







(  X  3

SECCIÓN 6.5 (página 465)

.X X  / X  X C  D X





 D X D : X =

 0RIMEROESTABLEZCAQUE Y.X/ H

 .; /









 





p

 :   FT
LB

 6 H   A  B

 6 H   A 



,D

 



 !PROXIMADAMENTE :   A B 

41. Evite el problema cuando x = 0 como sigue: sea  H Por lo tanto,

 

 !PROXIMADAMENTE :



  :  p p p   3 H  C   C   C    : 



;

 

R  C H

R C R 

T.R R / C H  U=

 A  C AB C B  6 D A.A  C AB C B / B C A  p    ; , a una distancia 33. El centroide está en del eje de    p rotación. El volumen es 6 D  =  Y D

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 6.7 (página 486)  F .X/ D X LN 

 

 F .X/ D

X

LN

 

 = X =  LN  X 

 F .X/ D X LN  X

 F .X/ D 
X
.LN /

 LN X . LN / X   F .X/ D  .=X LN / X X  F .X/ D  .X C / LN   F .X/ H

 F .X/ D

LN  LN 

 F .X/ H

 F .X/ H

EXP.LOG X/ X LN 



X C#  LN 



.X C/ C#  LN 

p

.LN X/ C#  LN     ; LN  =.LN / LN  

X

 



 



 

57. Suponga que u < −1 y sea x = −u; aplique la regla de la cadena. 59. La sustitución proporciona

 A

 D X  C X

61. En este caso x < −1, observe que −x > 0, de manera que .X/ H −x.

 6  :

65. 8 m

Y

XY

Y

Z

HB HCHA 

p A= 

67. La circunferencia es  

LN  DY H DX X.LN X/

A D X p A X 

      LAGRÖFICA  ! H  Y " H  C  

69. El área es

SECCIÓN 6.8 (página 497) 

X C #

 ARCTAN.X  / C # 

 ARCTAN.LN X/ C # 

p

 2  .:/
7 :

 A H C A H B Y B H C ENTONCES A 

 .X LN X/ LN 






 X C#  LN 

Z

 jX  j ARCSEC C#  

 ARCSEN.X / C # H  ARCSEN

 F .X/ H .COS X LN /
SEN X  F .X/ D



       

 

     

X   F .X/ H p  X    F .X/ D Xj LN Xj .LN X/  SEC X EX  F .X/ H p  F .X/ D p  EX  TAN X    F .X/ H p  F .X/ H p X X   X   F .X/ H . C X  /.ARCTAN X/  E X  F  F .X/ H .X/ H XT C .LN X/ U  C EX

Y 













 X

75. Aproximadamente (2.689220, 0.928343); la gráfica:

COS.ARCTAN X/   F .X/ D D  C X . C X  /=  F .X/ C

 X ARCTAN X . C X  /

 Y D  X       jXj  C#  ARCSEC  

A-105

Y 

p  X C Y D       ARCSEN X C # 



 ARCTAN.E X / C # 







 X

A-106 Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 6.9 (página 506)

CAPÍTULO 6 PROBLEMAS DIVERSOS (página 510)    .ETA  TOTAL        

 F .X/ D  SENH.X /   F .X/ H X TANH X

SECH



 X

 F .X/ D  COTH X CSCH X



 F .X/ D .CSCH X COTH X/ EXP.CSCH X/

 F .X/ D X COSH X  F .X/ D

H  ACH

  TANH X C # D EX SECH X C #      F .X/ D p  F .X/ D p . X/ X  C X  p X  SENH  X  F .X/ D p  F .X/ D p jXj X     C X



 ARCSENH 

 . X 

 TANH 

X

 

TANH

 X  SECH C#    SENH  .E X / C #

 

D

  LN  

.X  A  / D X A



  2 

  FT   FT
LB

  LB p 39. No hay un máximo; mínimo cuando C D        ; ;      B   ;   49. a) A es la suma del área de un triángulo y el área de un paralelogramo menos el área de otro triángulo. b) Use el resultado del problema 46. c) V = 2πY A. d) A = pw/2. e) S = 2πw(b + d )/2. f ) V = 2πY A de nuevo.



.N C / NC ; .N C / .N C /

  LN j Xj C #   :

 SECH .E X / C #

SENH X COSH Y C COSH X SENH Y SENH.X C Y/:

51. Primero sustituya y por x en la ecuación (8) de la sección. 53. senh a 55. Comience con la ecuación de A(θ), derive ambos lados respecto a θ, y luego simplifique. 57. Sea y = senh−1(1); use lapecuación (1) y la fórmula cuadrática p para despejar E Y D  C  donde SENH  ./ D LN. C / 67. Aquí, .EX EX / ; EX .EX C /

p  LN. C /  y por lo tanto f (x) = 0 cuando X D  0.440687.



 LN j C X X  j C #  p


 X C# LN  X  C# LN 

 LN. C COS X/ C # 

49. Expanda y simplifique

F .X/ D

ACH

p  C X

 #ENTROIDE

C#

B A

AB  Z DZ H

             29. Sustituya 2r por h en la fórmula obtenida en el problema 28.  F .X/ H

  COSH X  C #  X TANH X C #      SENH  X C #  SECH X C #      COTH X C # D CSCH X C #    LN. C COSH X/ C #

X  / TANH

 Y D X H A

 C SECH X .X C TANH X/

 



 6 H

 6 H





 F .X/ D

  IN

 

 F .X/ D .COSH X/ COS.SENH X/ 

 .ETA  TOTAL  



 . C E X /= C # 

65. ¡Vender de inmediato! 67. 90 lotes de 11 muestras y un lote de 10 muestras; costo total $978  F .X/ D p  F .X/ H  G .T/ D p



  G .T/ H p T T 

 X 

SEN X j SEN Xj 

T 



T >



 F .X/ D p X X    F .X/ H p p  X X  F .X/ D

X

X C X  C 

 

Respuestas a los problemas impares

 F .X/ D EX COSH E X C E X SENH E X X p jXj X  C  X  ARCSEN C#  X  C#  ARCSEN  

 F .X/   

  .X C /= .X C /= C #  



 X C  LN C#  X 

 F .X/ D

 SEN  X C # 

 ARCSEN.E X / C #  ARCTAN.X  / C #   ARCSEC.E X / C #

 ARCSEC jXj C #







  COSH

 .ARCTAN X/ C # 

p

 SENH  



X 

  X. C X  /= C LN.X C . C X  /= / C #      X X  C  LN X C X  C  C #   



X C# C#

  111. Use (en orden) las ecuaciones (36), (37), (35) y (38) de la sección 6.9. 113. Aproximadamente 4.7300407449; la dificultad está en demostrar que no hay una solución positiva más pequeña. Las dos gráficas:



Y 

  

51. 53.



 





X









SECCIÓN 7.2 (página 519)       

X

 ARCSEC.E / C # D ARCTAN

  X.X  /  X  C ARCSEN  

X 

C#

 X  E  C EX C LN E X C  C EX C #     X   ARCSEC.X  / C #    .LN X/T.LN X/ C U  C .LN X/   LN LN X C  C .LN X/ C #  p Sustitución ilegal: X D U  pero x < 0 para muchas x en [−1, 1]. arcsen(x − 1) + C    TAN X  H TAN X  SI X  ambas son an   4 tiderivadas de x/(1 + x ). p ' .X/ D ( .X/ D  C X  Y './ H ( ./ ENTONCES '.X/ HÊ( .X/ PARATODA X

SECCIÓN 7.3 (página 526)

115. c) p = e

 . X/ C #   .X  C /= C #   . C SEN  / C #   .LN T/ C #   ARCTAN.EX / C #   TAN X C #  p   H X H# 

A-107

   .X  /= C #    CSC

p

YC#

 EXP. COT X/ C #

  

 X  X  T COS T C SEN T C # XE E C #        X SEN X C COS X C #  X  LN X X C#      X ARCTAN X LN. C X  / C #   =  Y LN Y Y = C #  T .LN T/ T LN T C T C #    .X /.X C /= C #    .X C /= .X  / C #    CSC  COT  LN j CSC  C COT j C #       X ARCTAN X X  C LN.X  C / C #   

  ARCSEN.T/ C #    ARCSEN.X  / C # 



 ARCTAN .SEN / C #



 LN jARCTAN Tj C #

 X ARCSEC.X = / .X /= C #



 .X C / ARCTAN.X = / X = C # EX

 C#

    .X /= C .X /= C .X /= C #       .X C /= .X C /= C #  

 X COT X C LN jSEN Xj C #    X  SEN X  C COS X  C #     LN X  = = C # X X

A-108 Respuestas a los problemas impares

 X SENH X COSH X D #  .X  COS X  C SEN X  / C #  p p p   X EXP X  EXP X



C#

 . /  : .E C /  :   6  :  6  : 

 X XE COS X C   3EA U D X N Y



 SEN   C #    .SEC T/= C .COS T/= C #    SEN   C #    SEN  T C #  SEN T      COT T C COT T C T C #       .COS T/= C .COS T/= .COS T/= C #      SEN  X COS X C #   C       49. 0; la gráfica: 

 .X /E X SEN X C #  DG D E X D X

 3EA U D .LN X/N Y DG H D X  3EA U H .SEN X/N Y DG D SEN X D X   E  :   E  : ;SIC=

Y 



     C    LN    :  ! D  LN 





T  LN  C .LN / U  :; XN H . C  LN /.LN / YD

  LN   :   LN 



 X



p        :       A  B . /  :       COS X COS X C #  SEC X C #       SEN X C SEN X C #   

SECCIÓN 7.4 (página 534)            

X  .X SEN X COS X/ C #   TAN C #     LN j SEC Xj C #  LN j SEC X C TAN Xj C #     .X SEN X COS X/ C #  COS X COS X C #       SEN  SEN  C #     SEN  X SEN  X C SEN X C #    .COS X/= .COS X/= C #     COS Z C COS Z COS Z C #     .SEC X C COS X/ C #   TAN T C TAN T C #     CSC X LN j SEN Xj C #       SEC X SEC X C SEC X C #       COT T COT T COT T C #   

SECCIÓN 7.5 (página 542)    X  C#  LN X X C LN jX C j C #   X   .LN jX j LN jX j/ C #     LN jXj LN.X  C / C #   X  C#  X  X C  ARCTAN     X  LN jX C j C #  X C C# X C    LN jX j LN jX C j C #     LN jX j LN jX C j C #   C LN jXj C #  X C 

Respuestas a los problemas impares

 . LN jX j C LN jX j C LN jX C j C  LN jX C j/C#    C LN jX C j C #  X C  .X C / 



 X LN   X C

 LN jXj



C#

X   LN.X  C / C ARCTAN   

C#

   LN jX j C LN.X  C / C  ARCTAN X C #  .X /     T C# .E / .ET /  X C

  LN j C  LN Tj C C#  . C  LN T/

  LN   :   . LN   LN /  :   6 D . C  LN /  :  6 D . LN    LN /  :   6 D . D  LN /  :    6 D . C  LN /  :     LN jX j C  LN jX j  LN jXj C# X     LN jX j C LN jX j LN jX C j   X     C C# .X C /

X 

X  C X   p  C X  C # 

 LN.X  / LN jXj LN  C  X  C p  X  C X   LN C C#    

 X ARCSEN  



 X X CX C C  LN  . X  /  X X p p  X  C X  X  C X   C LN    



X    ARCSEC

     X X  X X   LN X C    X C#  p X   p p X  X C X   LN C# p X 

X  C ARCTAN C  LN jX j C  LN jX j  X  

 COSH

X 



C LN.X  C / C # 59. Escoja a = 0, b 0 (pero de otra manera arbitrario), y c = −b. 61. Elija a y b no ambas cero (pero de otra manera arbitrarias) y sea c = −(8a + 8b)/5.



  ARCSEN 

p

X 

X

  X 

C#





p X  X  C# 

C#

p  X C# X

p

C#

C# C#

X C# 



C#

X 

X  X  C # 

 X  C X  LN X C  C X  C #  p p X C  C X   X  C X  LN     X  p C#  C X

X 

 ARCSEN

 X  C #



 SENH 

SECCIÓN 7.6 (página 547)

X  C# X

 . C X  /=   . C X  /= C#

     D

    LN jX C j C LN.X  C / C ARCTAN X C #    p p   X  ARCTAN ARCTAN X  C #   p p   X   LN.X  C / C C# ARCTAN   



p  LN X C

A-109

X  C #

X  C# X

 X.X  H /  C X  SENH  X C #  43. El área A del sector OBC es !D

A  X A : ARCSEN   A

Ahora utilice el hecho de que x = a cos θ. p p     LN  C   :  p p p p  LN  C  LN  C  C LN  C    : 49. El área de la superficie es BCA

3 D A BA

X A

.X B/

Ahora sustituya x = b + a sen θ.

D X:

A-110

Respuestas a los problemas impares

 ! D 

p p  C LN. C  /  :

53. El área de la superficie es B A !D  A  C .B A  /X  D X: A  Observe que cuando B ! A C   (millones de dólares) 

C BCC C  A A



X  C X C   X C ARCTAN .X  C X C /  

37. La sustitución x = 1 + 2 tan u da ! H 39. La sustitución x = 1 + 2 tan u da 6 D

SECCIÓN 7.7 (página 553)   LN.X  C X C / C  ARCTAN.X C / C #  X C C#  ARCSEN    . X X  /=  ARCSEN 

X C 

X C p  X X  C #  p  X  C X  X   C# C LN p  LN    X  C X 

 X C ARCTAN  

43.  



C#

p    : MI ARCSEN La longitud es    LN jX j .X  C X C / C ARCTAN.X C / C #     X C LN jX j C LN.X  C X C /  p   X C  ARCTAN C C# p   p p       LN.X C X C / ARCTAN C#   X  C 

  LN jX jC

 LN.X  C X C /  ARCTAN.X C / C #





X   ARCSEN     ARCSEN  C





X  

  C X X  C #  C

p  .X /  C X X  

 . C X X  /= C # 

X  C# p  X X 

 C#  .X  C X C / p p     ARCTAN  LN.X  C X C / ;X C = C #     X X   C# por sustitución trigoC LN p   X  X  nométrica; X  X C LN C # por fracciones parciales (las  X  .X  / respuestas son iguales). p p    ARCTAN  LN jXj ;X C = C #   

  C   :: 

 C tan u da     :: ARCTAN 6 D  

X C   LN C#  X 



  

41. La sustitución X D

 ARCTAN.X C / C #



C#

X C X  LN C#  X  .X  /

 .X C / .X C / ARCTAN.X C/C C#  .X  C X C /

X C     LN jX j C LN jX C j ARCTAN    

X C   .X C / 
 C
 C#  X C X C   X C X C 

55. Seleccione a

0 y b = 2a para obtener

A C# .X  C X C/

57. La única solución es a = b = c = 0.

SECCIÓN 7.8 (página 566) 

p 

 C1

 C1 

 C1

 



 

 

 C1

17. No converge  .E /

27. No converge   LN 



 



 



 

29. +∞  

 

 1

39. La primera integral diverge; la segunda (de 1 a +∞) converge a ln 2.  41. Ambos convergen a    SI K <  diverge si k 1. 43. Converge a K

Respuestas a los problemas impares

45. Converge a

 si k > −1, diverge si k .K C /

−1.

47. Escriba la definición de (t + 1), integre por partes con u = x t y dv = e−x dx, y use el problema 61 de la sección 4.8. 1  D X  %LÖREAES ! D X  p 1 X C   %LÖREADELASUPERFICIEES 3 D  D X X  X    3USTITUYA T D p   

X  EX D X  :

 

67. 69. 71. 73. 75. 77.

Si b = 10240 entonces k ≈ 2.000176. Si b = 10 y si b = 100 entonces k ≈ 3.5449077018110321. a. Alrededor de 49.50%; b. alrededor de 4.78% a. Alrededor de 90.44%; b. alrededor de 0.04% a. Alrededor de 7.86%; b. alrededor de 0.23% Alrededor de 97.23%

CAPÍTULO 7 PROBLEMAS DIVERSOS (página 571)   ARCTAN

p

X C#

 LN j SEC Xj C # 

 

 

 SEC  C #    X C#    X  . X  /= . X  /= C #     X  C X  LN X C  C X  C #   p p    ARCTAN ;X = C #   p    X  ARCTAN p C LN.X  X C / C #     . C X  /= C # 

SEN X  ARCSEN 

X C X  ARCTAN.X C / C # C X C / 

.X 



 

TAN  C #



 

SEC X  SEC X C #

X T.LN X/ .LN X/ C .LN X/ U C #     E X  C EX C LN E X C  C EX C #  p X X   C C#  ARCSEC   X  

 LN jXj C  ARCTAN.X/ C #  .SEC X 

TAN X LN jSEC X C TAN Xj/ C #   LN jX C j  C # X   C LN.X  C X C /  C#  LN jX j C X  X CX C 

 X.LN X/ X.LN X/ C X.LN X/ X.LN X/ C X.LN X/ X LN X C X C # 

 .ARCSEN 



 

SEC Z C LN j COS Zj C #



 

ARCTAN.EXP.X  // C #

X/ C #

X C  EXP.X  / C #    ARCSEN X C LN   X  LN jXj C # X p   X.X  /  X  C  ARCSEN X C #



 X TAN X C LN j COS Xj 



A-111



  LN jX C j C C#  .X C /



 

  C# X C  .X C /   C#  LN.X  C / C ARCTAN X  .X  C / p  .X  X  / X   C #     LN jX C j C



 . 



 

C#



 LN jLN.COS X/j C #



 . C X/ LN. C X/ X C #   X X  C  C LN X C X  C  C #      ARCSEN.X / C .X / X X  C #   p p  X   X  C X C  LN p C#  XC 

LN jEX j C #



  

C SEN X/= C #

LN jSEC X C TAN Xj C # p p   SEN T C # SI COS T    SEN T C # SI COS T  p X C  X LN.X  C X C / X C  ARCTAN p   C LN.X  C X C / C #    ARCTAN X C LN jXj LN.X  C / C # X    LN.X  C / C C#  .X  C / X  C# p  X C 

A-112 Respuestas a los problemas impares

C SEN X/= C #



 . 



 X E .X 

 



SEN X X COS X C COS X/ C #

   ARCTAN X LN.X  C / LN jX j C# C .X /   X 

X   ARCSEN  



  C X X  C # 

   X C X  C X C  LN jX j C #  X  p p  X ARCSEC X X  C #   . C E E /  :  p p p  ! T D   C LN  C  ET  C ET LN ET C  C ET I p p ! D   C LN  C   :

C

  LN  C  

 LN  C 

 

 



 

p

C

 COS  SEN  C#

SECCIÓN 8.1 (página 586)

0ym

  X

 Y.X/ D EX

 Y.X/ H

 Y.X/ D .X C /

 Y.X/ H E X 

 Y.X/ D LN.X C E /

 :

  :     %LVALORDELAINTEGRALES  p p p p p        C LN  C    p E X C    ARCTAN C#  p  

 LN  C

 LN. C COS / C #

 

107. Suponga que m y n son enteros con n u = (sen x)m−1 y dv = (cos x)n sen x dx.

p

 . COS /   COS  LN  C  SEN  SEN  



p   



 C  COS  C#  C SEN  C COS 



DY DXCY DX



DY YX D DX YCX



X DY D DX Y



DG C KG  K >  CONSTANTE DT



D. D K.0 . / K >  CONSTANTE DT

2. Sea



 :

 LN. C EX / C # p p p   ARCTAN  C  TAN  C ARCTAN  C  TAN    p p C LN TAN   TAN  C  LN TAN  C  TAN  C  C # 

.X /= .X  C X  C X C / C # 

21. $119.35; $396.24 23. Aproximadamente 3 h 52 min 25. Entre 650 y 700 años de antigüedad 27. $44.52 29. Más o menos 39 días 31. Alrededor de 35 años 33. a. P(t) = 49 · 6 t;

b. 971;

c. 3:21 pm

T=

.X  /  C# .X  /=   .X  / X  C  C #   C X =  X C #   ARCTAN X

35. a. A(t) = 15 ·   b. aproximadamente 7.84; c. Después de más o menos 33.4 meses

 .X C /= C LN .X C /=  p = p C  ARCTAN .XC/ 

41. Más o menos 1 h 19 min

 

LN .X C /  

 C EX  

=

37. Hace más o menos 74000 años 39. Tres horas

43. 1:20 pm

=

C .X C / C  C # p   C  C EX C LN C# p   C  C EX SEN   C#  C COS 

45. Aproximadamente 6 min 3 s 47. y = 4x4; aproximadamente 0.02887 in

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 8.2 (página 597) 

Y

 











Y











 X

















 X















 X















 X

 X







 

        

























T

 Y



25. Su respuesta debe indicar que la velocidad límite es alrededor de 20 ft/s (si se puede sobrevivir) y el tiempo para alcanzar 19 ft/s es poco menos de dos segundos. Una solución exacta proporciona v(t) = 19 cuando t =  ln 20 ≈ 1.872333.









 Y













 









Y

Y







 













de Soluciones. 



A-113





 X







11. Aproximaciones a tres decimales: 1.125 y 1.181; valor real 1.213. 13. Aproximaciones a tres decimales: 2.125 y 2.221; valor real 2.297. 15. Aproximaciones a tres decimales: 0.938 y 0.889; valor real 0.851. 17. Aproximaciones a tres decimales: 2.859 y 2.737; valor real 2.647. 19. Aproximaciones a tres decimales: 1.267 y 1.278; valor real 1.287. 21. Su respuesta debe indicar que y(−4) ≈ 3; la solución exacta es y(−4) = 3 + e−4 ≈ 3.018316. 

27. Con h = 10−4 y h = 10−5 encontramos que y (2) ≈ 1.004 con tres decimales. 29. No hay garantía de unicidad porque $ Y .  Y  / no es continua en (0, 1). 31. Para a 0 fija, sea y(x) = x3 si x 0, y(x) = 0 si 0 x a, y y(x) = (x − a)3 si a x. Entonces y(x) es (para cada a) una solución del problema inicial dado. No hay contradicción porque la unicidad está garantizada sólo “cerca” del punto (−1, 1).

SECCIÓN 8.3 (página 606)  Y.X/ D  .X  C #/

 Y C Y = D X C X = C #  Y  C Y D X

 C# X

 Y.X/ H .X C /=

 Y



 Y.X/ H E X 

 



 X.T/ D  ET



 G.T/ H . ET /





 X





23. Su respuesta debe indicar que y(2) ≈ 1. El valor exacto es más cercano a 1.004. Vea detalles adicionales en el Manual

 # X

 Y.X/ H  C  .X  C #/

p  Y.X/ H  X 

  

 Y.X/ H

 X   Y.X/ H . X = /

 Y.X/ H

  C X X   Y.X/ H .EX C /   Y.X/ H

 X.T/ H ET 

31. Aproximadamente 4.87 millones 33. Justifique P(t + t) − P(t) ≈ rP(t)t − c t, divida ambos lados entre t y por último haga t → 0. 35. Después de alrededor de 46 días

A-114

Respuestas a los problemas impares

37. Más o menos $2183.15 por mes 39. Alrededor de 3679 41. A las 6:00 am



SECCIÓN 8.4 (página 617) X

23. 25. 27. 29.

X

 .X/ D E  Y.X/ H . E /  .X/ D EX  Y.X/ D EX .X  C # /  .X/ D X   Y.X/ D X C X   .X/ D X =  Y.X/ D X = C # X =  .X/ D X   Y.X/ H X C X LN X

SECCIÓN 8.6 (página 640)

 .X/ D XEX  Y.X/  

 Y.X/ D C EX C C EX

 .X/ D E X  Y.X/ D COSH X   EXP.X  /  .X/ D EXP.X  / Y.X/ D   C SEN X  .X/ H  C X Y.X/ H CX  .X/ D SEN X Y.X/ D # CSC X C D # CSC X  COS X COT X

 ERF.X/ C # 

 T D  LN  SEGUNDOS MÖSOMENOSMINS   LB

 A ! .T/ D TE.:/T E.:/T U B ;;: MENOS IMPUESTOS  LN   : S LN.=/

 G.T/ D



C

 Y.X/ D C EX= C C EX= p  X C C EXP   X

 Y.X/ D .C C C X/EX=  Y.X/ D .C C C X/EX=  Y.X/ D EX .C COS X C C SEN X/  Y.X/ D EX= C EX

p

  LN   : A®OS

 Y.X/ D C EXP

p

 Y.X/ D EX= .C COS X C C SEN X/

 SEN X 

 .X/ D EXP.X  / Y.X/ D TEXP.X  /U

 T D

 LN   : SEGUNDOS  B L¤M X.T/ D  T!1   A  LN  : A®OS B  LN   : A®OS  Aproximadamente 44.22 meses Aproximadamente 24.41 meses Poco menos de 35 días a) P(140) ≈ 127.008; b) Alrededor de 210.544 millones; c) En 2000, tenemos P ≈ 196.169, mientras que la población real es cercana a 281.422 millones.

 A

   FT LN 

  X./ H  LN   : FT T C 

 A  FTS B T D  LN   : S CASI : FT   FTS

41. Altura máxima: alrededor de 108.28 m; velocidad de impacto alrededor de 43.23 m/s G 43. Velocidad limitante G D K

 Y.X/ D EX EX  Y.X/ D . X/EX  Y.X/ H  COS X C  SEN X  Y.X/ D EX . COS X C  SEN X/  Y.X/ D EX= . COS X C  SEN X/  Y C Y D   Y C Y C Y D   Y D   Y C Y C Y D 

35. Solución general: y(x) = c1 cos 5x + c2 sen 5x. a) y(x) = c2 sen x es una solución para todo valor real de la constante c2; b) las dos “condiciones iniciales” (en realidad son condiciones de frontera) implican que c1 = c2 = 0.

SECCIÓN 8.7 (página 651)  X.T/ D  COS T TAN

 

 X.T/ H  COS T  TAN

SECCIÓN 8.5 (página 628)  X.T/ D

 X.T/ H ET ET  SOBREAMORTIGUADA

  ET

  ET 9. 484 conejos

 X.T/ D

11. a. 0.T/ H

 KT C 

13. a. 0.T/ H

0   K 0 T

15.

 X.T/ D

ET C  ET 

 X.T/ D

  ET

 X.T/ D . C T/ET  AMORTIGUAMIENTOCR¤TICO  X.T/ H ET . COS T C  SEN T/ I SUBAMORTIGUADA D ET COS T TAN    X.T/ D  COS T  COS T  X.T/ H  SEN T  SEN T



0

 



b. 256 pescados

b. 30 meses

  : millones  C E=

COS T C  SEN T  XSP .T/ H    D  COS T  C TAN   p   XSP .T/ H  SEN T COS T H  COS.T p  C TAN / T T XTR .T/ D E .COS T  SEN T/ D E  COS.T C TAN /  4 D  S  D = S

Respuestas a los problemas impares

21. Amplitud 2 m, frecuencia 5 rad/s, periodo 2π/5 s 23. Comience con MX C CX C KX D &.T/ C MGI

X./ D X ;

A-115

49. 169 mil en el año 2000; 200 mil por el 1 de junio, 2011 51. P(t) → +∞ cuando t → 6−

X ./ D G :

25. El radio es aproximadamente 3.8078 in 27. a) x(t) = 50(e−2t/5 − e−t/2); b) 4.096 29. a) La función de posición es

53. 20 semanas 55. A 8%, el pago mensual es $925.21; a 12% es $1262.87. 57. Alrededor de las 9:34 pm al día siguiente 59. v(10) ≈ 111.253 ft/s, más o menos 75.854 mi/h; la velocidad limitante es 176 ft/s, exactamente 120 mi/h. 61. b) Aproximadamente $1,308,283.30

p   : X.T/ D p ET COS T   

63. α ≈ 0.39148754; la población limitante es alrededor de 2.152 × 106 (celdas).

p b) p Frecuencia 4  rad/s, amplitud variable en el tiempo 2/  ft, ángulo de fase π/6. 37. a) Si x(t) = A cos 3t + B sen 3t, entonces x + 9x ≡ 0.

SECCIÓN 9.1 (página 664)  X C Y C  D   X Y D 

CAPÍTULO 8 PROBLEMAS DIVERSOS (página 654)  Y.X/ D X C SEN X

  Y.X/ D  X C#

  Y.X/ H  X

  Y.X/ D # X



=

  Y.X/ D  SEN X

 X C Y D 

7. Centro (−1, 0), radio

p 

9. Centro (2, −3), radio 4 11. Centro .  ; / radio 1 13. Centro .  ;  / radio 3 15. Centro .  ;  / radio 2

 Y  Y = H X  X = C #

17. El punto único (3, 2)

 ,INEAL Y.X/ D # X  C X  LN X

19. No hay puntos en la gráfica.

X  3EPARABLE Y.X/ H # EXP X

 .X C / C .Y C / D 

 ,INEAL Y.X/ H

# C LN X X

 ,INEAL Y.X/ D .X  C #/EX  ,INEAL Y.X/ D X = C # X  X =  3EPARABLE Y.X/ H  ÈX C # X = C 

25. Lineal: y(x) = (x + C)ex 27. Ambos métodos dan y(x) = −7 + C exp(x3). ET  29. X.T/ D  ET 31. Una antigüedad aproximada de 4.2521 × 109 años 33. Más o menos 2 min 25 s 35. a) Aproximadamente 20.4986 in; aproximadamente 9.604 in; b) aproximadamente 18,230 ft; c) alrededor de 13.86 in de mercurio 37. Poco más de 325 días  Y.X/ H EX= C EX=

 .X / C .Y / H

 

25. El lugar geométrico es la bisectriz perpendicular del segmento que une los dos puntos dados; su ecuación es 2x + y = 13. p 27. La circunferencia con centro (6, 11) y radio   29. El lugar geométrico tiene ecuación 9x2 + 25y2 = 225; es una elipse con centro en (0, 0), eje mayor horizontal de longitud 10, eje menor vertical de longitud 6 e intercepciones (±5, 0) y (0, ±3):  Y 











X





 Y.X/ D .X C /EX=  Y.X/ D EX= . COS X C SEN X/

45. a. N(t) = 29e r t; b. alrededor de 33.4%; c. alrededor de 24.9 meses; d. alrededor de 44.7 millones 47. 20 semanas

31. Hay dos líneas rectas como esas, con ecuaciones p Y  H    
.X / 33. Hay dos líneas rectas como esas, con ecuaciones y − 1 = 4(x − 4) y y + 1 = 4(x + 4).

A-116

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 9.2 (página 671)

43. Caracol, simétrica alrededor del eje y:

p p p p ;    B ;   C  ;    p p p p ;   F ;   G ;  D .; / E

 A

 

Y

   R H SEC  TAN 



  D TAN

 R D  SEC   R  D SEC  CSC   X  D Y  D 

 X  C Y  C X D 

 .X  C Y  / D Y 

 X D 

 R D  SEC   X D    XCYD  R D COS  C SEN    Y D X C  R D SEN  COS   R C  SEN  D  X  C Y  C Y D 

















X

45. Lemniscata colocada en el primer y tercer cuadrantes, simétricas respecto a las rectas y = x y y = −x y respecto al polo:

 R D .COS  C SEN / X  C Y  H X C Y 29. Corresponde a la figura 9.2.23.

31. Corresponde a la figura 9.2.24. Y

33. Corresponde a la figura 9.2.26. 

35. Corresponde a la figura 9.2.25. 37. Circunferencia, centro .  A;  B/ radio  A  C B 39. Circunferencia, centro (0, 1), radio 1, simétrica alrededor del eje x: Y

 X











X

47. Rosa de cuatro pétalos, simétrica respecto a ambos ejes coordenados, respecto a las dos rectas y = ±x y respecto al polo:

 Y 

41. Cardioide, cúspide en el origen (donde θ = π), simétrica alrededor del eje x:



Y 











 X

X



49. Rosa de tres pétalos, simétrica alrededor del eje x, sin cambio ante cualquier rotación respecto al origen de un múltiplo

Respuestas a los problemas impares

entero de 2π/3:

A-117

y (0, 0): Y  Y 





















X



X

X







51. Rosa de cinco pétalos, simétrica alrededor del eje y, sin cambio ante cualquier rotación respecto al origen de un múltiplo entero de 2π/5:

57. Los puntos de intersección son (0, 0), (2, π), p p   ; COS    Y p p    ; COS    V Y 



Y









  X



61. La ecuación polar se puede escribir en la forma r = ±a + b sen θ. Si |a| = |b| y ninguno es cero, entonces la gráfica es una cardioide. Si |a| |b| y ni a ni b es cero, entonces la gráfica es un caracol. Si ya sea a o b es cero y la otra no lo es, entonces la gráfica es una circunferencia. Si a = b = 0, entonces la gráfica consiste sólo en un polo.



53. El único punto de intersección tiene coordenadas (1, 0):

SECCIÓN 9.3 (página 678) 

Y

Y 





  X





 X





Y 





55. Los puntos de intersección son .  ;   / .  ;   / .;  /











X

A-118 Respuestas a los problemas impares



p  C    LAFIGURA  

Y 

Y

 

 



X

   

 



   

 



 X



  LAREGI˜N 



p      LAFIGURA 

Y 

Y

 



 X















  



  

X



 



p      LAFIGURA 

  LAREGI˜N

Y 

Y 

 







X









p







  



X

Respuestas a los problemas impares

p  C    LAFIGURA  

 Y  D X  

Y

Y 

















X











X









 Y D X  X C  

   LAFIGURA 

Y 

Y





 









X









X



 Y D X  X >  Y

 

 X

  

C Y

  

D   ÖREA  

     A ! D A  D     B ! D A    D   C 2 D ! !  D 3I N  A

 

 ENTONCES !N D

E

= 



B

  

 



N

A    D .N/

 .N/= E 

 E=

 !PROXIMADAMENTE :













X

 X  C Y  D 

3%##)Ê.PÕGINA

Y

 Y D X 

 Y







 





 X

















X

A-119

A-120

Respuestas a los problemas impares

 X  Y  D 

33. La pendiente de la recta que contiene a P0 y P es  H COS  ; SEN 

Y  





 X





y este también es el valor de dy/dx en el punto P. 35. Las identidades cos 3t = cos3 t − 3 sen2 t cos t y sen 3t = 3 sen t cos2 t − sen3 t serán muy útiles. T  T   X D YD  T < C1  CT  C T 43. Sin tangentes horizontales; tangentes verticales en (−3, 2) y (1, 0); punto de inflexión en (−1, 1):



Y

 X  C Y  D 

 Y











X













X





 Y D  X 

X



45. Tangentes horizontales en (0, −2.3077), (0, 1) y (0, 2.1433) (los números con decimales son aproximaciones); tangentes verticales en (−1.8559, 1.7321), (2.4324, −1.7321) y (1.5874, 0); puntos de inflexión en (−5.1505, −3.1103), (0, −2.3077), (2.0370, −1.0443), (1.5874, 0), (0, 1), (0, 2.1433) y (4.2661, 2.8565). Para observar la gráfica utilice un sistema algebraico de computadora para graficar las ecuaciones paramétricas x  (t 5 − 5t 3 + 4) 1/3, y  t con el rango (sugerido). : T :

 X D Y C  C˜NCAVAHACIAARRIBA

Y



  X C Y D   C˜NCAVAHACIAABAJO   D    D  25. Tangentes horizontales en (1, −2) y (1, 2); tangente vertical en (0, 0) y no hay recta tangente en (3, 0). p 27. Tangentes horizontales en  ;    y en (0, 0); tangente vertical en (2, 0). DY D Y H ET Y  H ET  ,ACURVA DX DX

 



 X H

P P 1 < M < C1 YH  M M







SECCIÓN 9.5 (página 695) 

 



 



  .E C / 



 









  p    







Y 



X



 =  = 

  



 

p  .E /  

 =  

   A 

X

Respuestas a los problemas impares

 A AB



B

 AB 

A-121

SECCIÓN 9.6 (página 715) 1. Abierta a la derecha; ecuación Y  H X

   C   C LN  C 

 C  

Y 



  A 



p      ,ALONGITUDES  :    A  

p



p     



  A 





X



p  T  C T  T  T  C T  C  DT .T  C /







3. Abierta hacia abajo; ecuación .X / H .Y /

    A 

Y 

 C  COS  D  :



 



p



  COS  D  :

 



p







X



 C  COS  D  :

 

 

   COS.  / D  :  

5. Abierta a la izquierda; ecuación .Y / H .X / Y

  A !PROXIMADAMENTE : B  





 COS T C  SEN  T DT  :



 



TX .T/U C TY .T/U DT  :

 ,ONGITUD ,ACURVA







X

Y

7. Abierta hacia abajo; ecuación X  D .Y C  / Y

 X













X

A-122

Respuestas a los problemas impares

en .  ;  / directriz Y D  

9. Abierta hacia arriba; x2 = 4( y + 1):

Y Y

 X



 











X







11. Abierta a la derecha, vértice en (0, 0), eje en el eje x, foco en (3, 0), directriz x = −3:

X 





X 



 Y 







C

Y 

C

Y p 

D





D



X Y C D  





X 

Y 

C



H

X Y C H   X   Y C  







X



Y



 

13. Abierta a la izquierda, vértice en (0, 0), eje en el eje x, foco en .  ; / directriz X D  





 X



Y





 



37. Centro (0, 4), focos ;  





p

 , ejes 6 y 4:

Y

X



 



15. Abierta hacia arriba, vértice en (2, −1), eje x = 2, foco en (2, 0), directriz y = −2:



Y 



 













X





17. Abierta hacia abajo, vértice en .  ; / eje X D  foco

H

X   .X / .Y / Y  C D   C H     p 35. Centro (0, 0), focos  ;  , ejes 12 y 8: 







Y X D   Y 





X 







D



X 

X



 



Y 



X Y D  

D

Respuestas a los problemas impares





X Y D   YC 





.X / .Y / H  



59. Parábola, abierta a la izquierda, vértice (3, 0), eje el eje x: Y 



X  

A-123

D 

p 53. Centro (1, 2), focos . ; / asíntotas y − 2 = ±(x − 1):









X

Y







61. Parábola, abierta a la derecha, vértice .  ; / eje el eje x: 

Y  









X





X





p

p

55. Centro (0, 3), focos .;    / asíntotas Y D   X   Y





63. Elipse, centro (0, 2), vértices en (0, 6) y (0, −2): Y





    



X





57. Centro (−1, 1), focos .    .X C /

p

; / asíntotas y − 1 =











X



 -INIMIZAR .X P/ C Y  DONDE X D Y  =. P/ 

Y

69. Alrededor de 16 h 38 min  -AXIMIZAR 2./ D .G SEN /=G

  















 X

73. Aproximadamente 14° 40 13 y 75° 19 47 75. Eleve al cuadrado dos veces la ecuación dada para eliminar los radicales, convierta a la forma polar, gire 45° sustituyendo θ con θ + (π/4) y al final regrese a coordenadas cartesianas. Debe reconocer la ecuación como la de una parábola. 77. a) Alrededor de 322 mil millones de millas; b) alrededor de 120 mil millones de millas 79. Con foco F (0, c) y directriz la recta L: y = c/e2 (0 < e < 1), comience con |PF| = e · |PL|, elimine los radicales, reemplace a2(1 − e2) con b2 y convierta la ecuación resultante en coordenadas cartesianas a la “forma estándar”.

A-124

Respuestas a los problemas impares

81. Consulte edmath.org/MATtours/ellipses/ellipses1.09.2.html. Y  .X / C D  83. La única solución es   85. c) En este caso no hay puntos en la gráfica.

7. Elipse, centro p (2, 0), vértices en (0, 0), (4, 0) (2, 3) y (2, −3), focos .;  / Y 

89. 16x 2 + 50xy + 16y 2  369 91. Si A está en (−50, 0) y B está en (50, 0), entonces la coordenada x del plano es aproximadamente 41.3395 (en millas).

 

93. 2000 mi 95. Comience con r  pe/(1 − e cos θ) y primero demuestre que el área de la elipse es 

!D 

DONDE









X





  R D H A  . E / )  

) D 



9. Hipérbola, centro (−1, 1), focos .;   p .;   /

 D: . E COS /

p /, vértices

Y 

Luego utilice la sustitución que se estudió después del problema 134 de los problemas diversos del capítulo 7.

 

CAPÍTULO 9 PROBLEMAS DIVERSOS (página 718)



1. Circunferencia, centro (1, 1), radio 2: Y





 X







 



X



11. No hay puntos en la gráfica. 13. Hipérbola, centro (1, 0), vértices (3, 0) y (−1, 0), focos p .  ; / Y 

3. Circunferencia, centro (3, −1), radio 1:



Y 



 X









X









5. Parábola, vértice (4, −2), foco (4, −17/8), abre hacia abajo:

15. Circunferencia, centro (4, 1), radio 1: Y 

Y 

 X 

 









 X

17. La gráfica consiste en la recta y = −x junto con el punto aislado (2, 2); no es una sección cónica.

Respuestas a los problemas impares

31.

19. Circunferencia, centro (−1, 0), radio 1:

   la figura:  Y

Y 







X









X





21. La recta con coordenadas cartesianas y  x + 1

p     la figura: 33. 

23. La recta horizontal y  3

Y 

25. Un par de óvalos tangentes que pasan por el origen; la figura es simétrica respecto al eje y:

 Y 





 X











X







35. 2; la figura:

27. Un caracol simétrico respecto al eje y:

Y

Y 



  









X





 



 X









29. Elipse, centro .  ; / semieje mayorphorizontal con longitud  , semieje menor con longitud   vértices (−4, 0), p .;    / y (  , 0), focos .  ; / y (0, 0):

37.

  la figura:  Y 

Y 



















X



39. La recta y  x + 2



X

A-125

A-126

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 10.2 (página 730)

41. La circunferencia con radio (2, 1) y radio 1:

 AN D N  PARA N

Y 



 AN D .N / 









X

43. La “parábola semicúbica” con ecuación cartesiana y2  (x − 1)3 : Y  





 X





p  Y D  X  

 X C  Y D  

 

 

p

 

 

 $IVERGE

 

 

 

 

 

 

 

 

 E



 E

 

 

 $IVERGE

 

 

 

 

63. Suponga que el círculo rueda a la derecha por un ángulo central θ. Entonces x  aθ − b sen θ, y  a − b cos θ. 65. Si la epicicloide se corre hacia la izquierda a unidades, sus ecuaciones son x  2a cos θ − a cos 2θ − a,

y  2a sen θ − a sen 2θ.

Ahora calcule y simplifique r 2  x 2 + y 2. 69. r  2p cos(θ − α)

67. 6π 3a3 71. Máximo 2a, mínimo 2b HX.B X/  Y D B

51. Para comenzar, suponga (sin pérdida de generalidad) que A > 0.  3EA , D L¤M XN  %NTONCES , D L¤M XNC  N!1



C

Y B

 

3. Diverge (la k-ésima suma parcial es k2). 5. Diverge (geométrica con razón −2). 7. 6 9. Diverge (geométrica con razón 1.01). 11. Diverge con la prueba del n-ésimo término. 13. Diverge (geométrica con razón −3/e). p   C  17. Diverge con la prueba del n-ésimo término. 



H 

 



E  E

 SEC  TAN  D D    . C TAN / 

83. Si " <  entonces la cónica es una elipse; si " >  es una hipérbola. Si " D  , la gráfica es una parábola degenerada: dos líneas paralelas. Si la gráfica es normal al eje y en el punto (0, 4), entonces la gráfica es la elipse con ecuación 

C

Y 

 



  

 



 

31. Diverge con la prueba del n-ésimo término. 33. Diverge (geométrica con razón tan 1 > 1).   

 E D 

X 



 X A

3.

57. b) 4

 $IVERGE GEOM£TRICACONRAZ˜N

 ,AELIPSETIENELAECUACI˜N



SECCIÓN 10.3 (página 741)

        p p p p p          C ARCSEN ARCSEN      p  .E C /      



  AN D  C ./ PARA N

55. b) G1  G2  G3  1; Gn +1  Gn + Gn−2  para n Verificación: G25  5896.



 ! D 

PARA N



N

N!1



=

 

 AN D N PARA N





D ;

KC

 $IVERGE DEMUESTREQUE 3K 



 

 #ONVERGEA



 D X > LN.LN.K C// X LN X

 

X SI  < X <  X



 

Respuestas a los problemas impares

 #ONVERGEA

1

X  SI  < X <  X

 





 

 

NH

TODAX

1

 CONSTANTEDE"EAVERBOCK 



./N N X N  %STAREPRESENTACI˜NESVÖLIDAPARA NW

 EX D

X   #ONVERGEA SI  < X <   X 



 

 SEN X H NH

1

 SEN.X  / D PARATODAX

ND

 : S

./N X NC  .N C /W

1

SI < X 1 ND 1

 LN X D

X  X  X  X  X  Z C C E PARAALG¢NN¢ME W W W W W ROZENTREYX X X X C SEN Z PARA ALG¢N N¢MERO Z ENTRE  COS X H  W W W YX p X X X X    C X H  C PARAALG¢N C    . C Z/= N¢MEROZENTREYX  EX D  X C





X X C . SEC Z TAN Z C  SEC Z TAN Z/ PARA  W ALG¢NN¢MEROZENTREYX

 TAN X H X C

 ARCSEN X H X C

X  . C Z  / PARAALG¢NN¢MEROZENTRE W. Z  /=

YX

E E E  E X D E C E.X / C .X / C .X / C .X / C    EZ .X / PARAALG¢NN¢MEROZENTREYX  p p          X X X  SEN X H C C          SEN Z X PARAALG¢NN¢MEROZENTRE=YX  

 1.

1, de otra manera, converge.

39. n > 10,000

41. n > 100

45. n

47. p > 1

15

43. n > 160,000

49. Respuesta descuidada: más de 604,414 siglos. Una respuesta más precisa: un poco más de 922,460 siglos. 51. Aplique el teorema 4 y el problema 52 de la sección 10.2.

9. Converge A  por la prueba de series alternas. 11. Converge por la prueba de series alternas. (La suma es aproximadamente −0.1782434556.) 13. Converge por la prueba de series alternas. (La suma es aproximadamente 0.711944418056.) 15. Converge por la prueba de series alternas. (La suma es más o menos −0.550796848134.) 17. Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término.

SECCIÓN 10.6 (página 770) 1. Converge: dominada por la serie p con p  2. 3. Diverge por la comparación de límites con la serie harmónica. 5. Converge: dominado por la serie geométrica con razón  . 7. Diverge por la comparación de límites con la serie harmónica. 9. Converge: dominada por la serie p con p   . 11. Converge: dominada por la serie p con p   . 13. Diverge por la comparación con la serie harmónica. 15. Converge: dominada por la serie p con p  2. 17. Converge: dominado por la serie geométrica con razón  . 19. Converge por comparación con la serie p con p  2. 21. Converge: dominada por la serie p con p   (entre otras). 23. Converge: dominada por la serie p con p  2.

 25. Converge: dominado por la serie geométrica con razón  E 27. Converge por comparación de límites con la serie p con p  .

29. Converge por comparación de límites con la serie p con p  . 31. Converge por comparación con la serie geométrica con razón  y por comparación de límites con la serie geométrica con razón  .

19. Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término. 21. Converge de manera absoluta por la prueba de la razón. (La suma es  .) 23. Converge por la prueba de series alternas, pero sólo en forma condicional por la prueba de la integral. (La suma es aproximadamente 0.159868903742.) 25. Converge en forma absoluta por la prueba de la razón. (La suma es aproximadamente 186.724948614024.) 27. Converge de manera absoluta por la prueba de la razón. (La suma es aproximadamente e−10 ≈ 0.00004539992976.) 29. Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término. 31. Converge en forma absoluta por la prueba la raíz. (La suma es aproximadamente 0.187967875056.) 33. Converge por la prueba de series alternas pero sólo en forma condicional por la prueba de comparación. (La suma aproximada es 0.760209625219.) 35. Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término. 37. Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término. 39. Converge de manera absoluta por la prueba de la razón. (La suma aproximada es 0.586781998767.) 41. Converge de modo absoluto por la prueba de la razón. (La suma es aproximadamente 2.807109464185.)

33. Converge por comparación con la serie p con p  2.

43. 0.9044; 0.005; 0.90

35. Diverge por la comparación de límites con la serie harmónica.

45. 0.6319; 0.0002; 0.632

37. S10 ≈ 0.981793 con error menor que 0.094882.

47. 0.6532; 0.08; 0.7

39. S10 ≈ 0.528870 con error menor que 0.1.

  ) 49. n  6; 0.947 (la suma es 

Respuestas a los problemas impares

A-130

51. n  5; 0.6065 53. n  4; 0.86603 55. La sucesión de términos no es monótona decreciente; la serie diverge por comparación con la serie harmónica.

1

./N X N 1 < X < C1 LASGRÖFICASDE .N C /W ND Y D F .X/ Y Y D 0K .X/ CON K D   

 F .X/ D

./N  3EA AN D BN D p  N   C

Y K 

           C C C C C C           

K



65. Converge a cero. 

SECCIÓN 10.8 (página 792)  .; /

 .; /

 T; U





  ;  



  ;  

 T; U

 .; /



  ;  

 .; /

 F .X/ D ND 1

 F .X/ D NH

 .1; C1/

./N N X NC  2 D C1 NW

1

 F .X/ D ND 1

 F .X/ D ND 1

 F .X/ D ND 1

 F .X/ D NH

X


 2 D  W

X. C X/ X   . X/ . X/  < X <   < X < 

 
 :  

     :   W






   SEN X DX   C  : X W W W

=

  ARCTAN X   D X    C      : X  
 
 


:

 LN. C X/   C  : DX  X  
 




X X 


W W

./N X NC  2 D C1 .N C /W
.N C /

./NC X N  2 D C1 NW
.N /

C

 SEN



./N X N 2D NC

./N X NC  2 D C1 NW
.N C /

/

     :   W




C





 

 SEN



 X 
 X 

 X  

 F .X/ D  X 
  W  W  W  


 X



I 2 D   W



 = H 
 C



./N X NC  2 D C1 .N C /W

 F .X/ D . C X/ D  X C 



K

   :  W
     C  :  TAN .:/     
 
 


 F .X/ H X C X  C X  C X  C X  C


I 2 H  1

X

SECCIÓN 10.9 (página 800)

 T; U

 T; U

F

 SEN.:/ 

  ;  

 T; U

 .; /





=



     EX C DX    X  W

 W

 W

   C  : W

 



EX D X  

 

=





    C C  :  W
 W
 W


 C X DX 



    C C    
 
 


 :  X X  


! CUANDO X ! C1        X X C


 W W W D   L¤M  X!  X X C C C


W W X X X C C


 D D   L¤M W W W X!  X X  C


W W  SEN   


W

 



 :

Respuestas a los problemas impares

p   .=/ .=/  C   W W  :

1

 COS   

NH

33. Precisión de seis decimales. 35. Precisión de cinco decimales. 37. e1/3 ≈ 1.39 39. a) |R3(x)| < 0.000002; b) |R3(x)| < 0.000000003  . / SEN  X . / . /  6 D  D X H C


X W W
 W
   :

 Y.X/ D A  C

 Y.X/ D A 

. / . / ./  COS X DX D C X W
 W
 W
 


 :

X   X   X  C C


W W W A SEN X D C COS X C C SEN XI D A COS X C  2 H C1

15. a0  0 y (n + 1)an  0 si n 1, de modo que y(x) ≡ 0. 17. a0  a1  0 y (n − 1)an−1 + an  0 para n 2, de modo que y (x) ≡ 0.   Y.X/ D SEN X  Y.X/ D XE X  23. c1  c2  0 y CN D SI N

57.

     DX D  C     CX CX  
 
 
   C 


 : 
 Y

K







19.

SECCIÓN 10.10 (página 811)

ND 1

 Y.X/ D A ND

 Y.X/ D A  C D A EXP

X 

N

D A EX=  2 D C1

 X  X
C W  W 

C

1

N X N D A  ND



 X W 



C




.X/N D ND

23. 25. 27. 29. 31.

X  2 D C1 

1

 Y.X/ D A

21.

XN D A E X  2 D C1 NW ./N NW

          X C X C X C X C X          X C X C


C  

 X C

1. 9. 13. 17.

X

K

 Y.X/ H A

 DEMANERAQUE Y.X/  

CAPÍTULO 10 PROBLEMAS DIVERSOS (página 813)



1

N CN N N C 

59. −1

K





 X   X  X  C C


W W W

C A X

 !PLIQUEELTEOREMAPARADETERMINAR2 =

X X X C C C


W W W

D A COSH X C A SENHXI 2 D C1



 A C.A A /X C.A A /X  C.A A /X  C.A A /X  C


D    A C A X C A A X  C A A X      D A A C A X  C


D          X C X C


 SEC X D  C X C        C X D A C A X C A A X  C A A C A X    C




A 2D . X/

X X X C C C

W W W

C A X C

 6 H 



.N C /X N D

 Y.X/ H A

A-131

A  2D  X 

33. 35.

1 3. 10 5. 0 7. 0 El límite no existe. 11. 0 +∞ (o “no existe”) 15. 1 Converge por la prueba de series alternas. (La suma es aproximadamente 0.080357603217.) Converge por la prueba de la razón. (La suma es aproximadamente 1.405253880284.) Converge por la prueba de la comparación y el teorema 3 de la sección 10.7. (La suma es aproximadamente 0.230836643803.) Diverge por la prueba de divergencia del n-ésimo término. Converge por la prueba de comparación. (La suma es aproximadamente 1.459973884376.) Converge por la prueba de series alternas. (La suma es aproximadamente 0.378868816198.) Diverge por la prueba de la integral. Converge por la prueba de la razón; la suma es e2x y el radio de convergencia es +∞. El intervalo de convergencia es [−2, 4). El intervalo de convergencia es [−1, 1].

A-132

Respuestas a los problemas impares

7. u + v  5i − 2j:

37. La serie converge sólo si x  0.

Y

39. La serie converge a cosh x en (−∞, +∞).



41. Diverge para toda x por la prueba de divergencia del n-ésimo término. 43. Converge para toda x a exp(e x ). −1/2

45. Sea an  bn  (−1) · n n

51. 1.084

U V

.

53. 0.461

55. 0.797

65. a0  2 y an  4 para toda n



SECCIÓN 11.1 (página 823) !

 V D 23



;  

 

Y

3



 





0



 X



1.

UV

p p      ;  ;  p p     ;  ;  p p p     I J I C J p    I J I C J     U D I J V D I C J         UD I C J V D I J     p

!

 A D 0 1 D J 

!

 A D 0 1 D I J

2

 A ? B



 A ? B

/ !

 V D 23







;   Y 

3

2

 X







Y

   



 COMPA B D

WUV





La única solución es c  0. T1  T2  100. T1 ≈ 71.971, T2 ≈ 96.121 (lb) Rumbo de la brújula 86°13, velocidad aproximada del aire 537 mi/h. 49. Rumbo de la brújula 320°43, velocidad aproximada del aire 502 mi/h.

37. 43. 45. 47.

p p   ; ;   ; ;       ; ;  p p  ; ;   ; ;       ; ;  p p  ; ;   ; ;       ; ; 

;  

U

 I D A C B Y J D A B    C D A C B      A I J B I J   p p     .I J/ B .I C J/  A  

SECCIÓN 11.2 (página 833)



0  W D U C V

X



 V

 X

 

p

  D   COMPB A D

 

p

    

 COMPA B D  D COMPB A p p   COMPA B D   COMPB A D    X  X C Y  Y C Z  Z D   X  X C Y  Y C Z  C Z C  D   X  C Y  C Z  Z D 

Respuestas a los problemas impares

25. Centro (−2, 3, 0), radio

p 

A-133

SECCIÓN 11.4 (página 849)

27. Centro (0, 0, 3), radio 5

 X H T Y H T Z H T

29. El plano xy

 X H T C  Y D  Z D T 

31. El plano que pasa por (0, 0, 10) paralelo al plano xy

 X D T Y D T Z D T

33. La unión de los tres planos coordenados

 X D T C  Y D  Z D T C 

35. El único punto (0, 0, 0)

9. Ecuaciones paramétricas x  t + 2, y  −t + 3, z  −2t − 4; ecuaciones simétricas

37. El único punto (3, −4, 0) 39. Paralelos (y no perpendiculares)

X  D Y C  D

41. Paralelos (y no perpendiculares) 43. Los puntos están en una recta.

11. Ecuaciones paramétricas x  1, y  1, z  t + 1; ecuaciones cartesianas x  1, y  1.

45. Los tres ángulos miden 60°. 

ZC : 

!   "   #   



   : D  :

13. Ecuaciones paramétricas x  2t + 2, y  −t − 3, z  3t + 4; ecuaciones simétricas

   :  : D 

X  Z D .Y C / D :  

53. 3 55. Aproximadamente 7323.385 cal

15. Las líneas se encuentran en (y sólo en) en punto (2, −1, 3).

57. W  mgh

17. L1 y L2 son rectas sesgadas.

59. Comience con |a + b|  (a + b) · (a + b) y expanda el lado derecho. 2

61. Cualquier múltiplo distinto de cero de w  −2, 7, 4 B C B C A C A C   H H A B A B A B A B

67. 2x + 9y − 5z  23; el plano que biseca AB y que es perpendicular a ese segmento 69. El ángulo entre cualquier par de lados es π/3.

19. L1 y L2 son paralelas y distintas. 21. x + 2y + 3z  0 23. x − z + 8  0 25. y  7 27. 7x + 11y  114 29. 3x + 4y − z  0 31. 2x − y − z  0 33. 2x − 7y + 17z  78

SECCIÓN 11.3 (página 842)  ; ; 

 I J C K

 ; ; 

    ; ; 

 A  .B  C/ D K

I C J D .A  B/  C

13. b × c es paralelo a a. p     A  19. Coplanar

B

 

21. No coplanar; volumen V  1

23. El área es aproximadamente 4395.6569291926 m2. 25. El área es aproximadamente 31271.643253 ft2. 29. a) Comience con la observación de que el área del triángulo ! en la figura 11.3.13 es  j0 1 j
D B D  : 31. Comience con la observación de que el vector perpendicular ! ! a ambas rectas es N D 0 1   0 1   33. Use la ecuación (12) y el resultado del problema 32. 35. Vea al análisis que sigue a la ecuación (3) en el texto.

35. L y P son paralelos y no tienen puntos en común. 37. Se encuentran en (y sólo en) el punto .  ;  ;  / p 39. El ángulo entre los planos es θ  arcos .=  / 41. El ángulo entre los planos es θ  0 porque los planos son paralelos. 43. Ecuaciones paramétricas x  10 , y  t , z  −10 − t, −∞ < t < +∞; ecuaciones cartesianas x  10, y  −10 − z 45. No hay línea de intersección porque los planos son paralelos. 47. Ecuaciones paramétricas x  3 , y  3 − t , z  1 + t, −∞ < t < +∞; ecuaciones cartesianas x  3 , z  4 − y. 49. 3x + 2y + z  6 51. 7x − 5y − 2z  9 53. x − 2y + 4z  3 p p       )NCISO B   

Respuestas a los problemas impares

A-134

SECCIÓN 11.5 (página 862)

SECCIÓN 11.6 (página 877)

1. Como y2 + z2  1 mientras x es arbitraria, la gráfica está en un cilindro de radio 1 con eje en el eje x. Una parte pequeña de la gráfica aparece en la figura 11.5.17.

   C  LN   :  

3. Como x2 + y2  t 2  z2, la gráfica está en un cono con eje en el eje z y ecuación z2  x2 + y2. Una parte pequeña de la gráfica aparece en la figura 11.5.16.

 ./ D  

 R ./ D  D R ./  R ./ D I J

R ./ D I C J

 V.T/ A.T/

 D   J  p ; T; T  G.T/ D  C T  C T  ; ; T

 V.T/

; ET ; ET ; G.T/ D

 R

 

Y

D I

Y

R

; ET ; ET

 C ET ; A.T/

 V.T/  SEN T;  COS T;  G.T/ D  SEN  T C  COS T C  D   COS T;  SEN T;  A.T/ p   p  ;   

 I 

  ; ; T

 R.T/

 R.T/

; T  ; T T 

 R.T/ H

    T C ; T  C T; T    

15. Máximo en (±5, 0), mínimo en (0, ±3). p p p p       ; ;  4./ H ; ../ D     p p     4.=/ D ;   p p    ; ..=/ H   p p p p     ; ;  4.=/ H ; ..=/ D    

 A4 D p

T  ; T; T 

 R.T/

 T COS T;  C T SEN T; T p p  V   D  ;  ;  ; G   D ; Y p p A   D  ;  ; 

 U.T/  V .T/ C U .T/  V.T/ ; T;  D $T TU.T/  V.T/U: p  !LTURA  FT RAPIDEZ D   : FTS p p  G H 
 H    : FTS p 47. a) Rango:   ft, altura máxima 100 pft. b) Rango: 800 ft, altura máxima 200 ft; c) Rango:   ft, altura máxima 300 ft p     : MS 

T 

C

A. D p



T  C  T C A. D p T C  

T T



C



   X  C Y  H  A  .X / C .Y / D   .T/   p  T  .T/ D  A4 H  H A . E  p T C T   C T  C T   A4 D p A. D p  C T  C T   C T  C T  p  T T C T C  A. D  A4 D p p T C  T C  p p    4./ D ; ;  ; ;  ../   p p p p p      ; ../ H  4./ D ; ; ; ;     



 

53. Primero suponga que u(t)  u1(t), u2(t) y v(t)  v1(t), v2(t). Será fácil generalizar su prueba a vectores con tres o más componentes.



55. Primero demuestre que Dt[v(t) · v(t)]  0. 57. Una fuerza repulsiva central con magnitud proporcional a la distancia al origen. 63. 5 ft al norte d) 784 ft

S S S ; Y.S/ D  ; Z.S/ D  C    S S S X.S/ D  COS ; Y.S/ D  SEN ; Z.S/D    /BSERVEQUE $T .V
V/ D  zPORQU£   .T/ D jTj Y D X  X  C X 

 X.S/ D  C

51. Ángulo de inclinación: aproximadamente 41°50 33.739224 ; velocidad inicial: aproximadamente 133.6459515485 m/s.

c) 2400 ft al norte, 144 ft al este;

T

  D

 R.T/

65. b) 12 s;

 

 ./ H  p   D  : 

p  LN ;  

 A4 D p

 

 

 .E /  :



57. 59. 61. 63. 65.

Aproximadamente 36.651 mi/s; 24.130 mi/s Aproximadamente 0.672 mi/s; 0.602 mi/s Más o menos 1065 mi arriba de la superficie de la Tierra. Aproximadamente 1 h 42 min 2.588 s Comience con la ecuación (42), sustituya las ecuaciones (37) y (41).

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 11.7 (página 886)  Y D  Y Z D  1. Plano con intercepciones X D 

A-135

9. Paraboloide circular, eje en el eje z, vértice en (0, 0, 4), abre hacia abajo: X

Y











   Z  

Z

 

 X



Y







3. Cilindro circular, radio 3, eje en el eje z: Y



11. Paraboloide circular, eje en el eje z, vértice en el origen, abre hacia arriba:





  

Z



Z



 

 Y



 X

 X



 

5. Un cilindro hiperbólico con generatrices paralelas al eje z y que encuentran al plano xy en la hipérbola con ecuación xy  4:



13. Las dos partes de un cono circular, eje en el eje z, vértice en el origen; parte superior: 

Y 

 

 Z



Z



 

 



X







Y



7. Paraboloide elíptico, eje: el eje z, vértice en el origen, abre hacia arriba:

X

 

15. Cilindro parabólico paralelo al eje y, abre hacia arriba, puntos más bajos los localizados en la línea z  −2, x  0:



Y 





 Z

Z

 











 Y

 X



 

X





A-136

Respuestas a los problemas impares

17. Cilindro elíptico paralelo al eje z, línea central el eje z:  Y



X









Z











 

Z



 Y



X







25. Hiperboloide de una hoja, eje: el eje z:  



19. Ambas partes de un cono elíptico, eje en el eje x, vértice en el origen:

 Z





 

 Z





27. Paraboloide elíptico, eje en el eje y no negativo, vértice en el origen:

 



X







Y

Y









21. Paraboloide abriendo hacia abajo, eje en el lado negativo del eje z, vértice en el origen:

Z

 







X



29. Hiperboloide de dos hojas, eje en el eje y, centro en el origen, intercepciones (0, ±6, 0):

 Z

 Y

 

 X









Y



 



 Z

23. Paraboloide hiperbólico, punto de silla en el origen; para verlo, ejecute el comando de Mathematica







 X



0ARAMETRIC0LOT$; [ YY ZZ Y Z ]

[ Y   ] [ Z   ] =

31. Ecuación: x  2(y2 + z2); paraboloide circular, abre hacia el

Respuestas a los problemas impares

recto con eje en el eje z y vértice en el origen:

lado positivo del eje x:

Y

  Z

A-137



X











 Z

 



  Y



X



 

33. Ecuación: x2 + y2 − z2  1; hiperboloide circular de una hoja con eje en el eje z: 

Y 

  Z



SECCIÓN 11.8 (página 893)



  X



35. Ecuación: 4x  y2 + z2; paraboloide circular, eje el lado positivo del eje x, vértice en el origen: 

Y 

 

Z

41. Las trazas en los planos horizontales son elipses con centros en el eje z y semiejes 2 y 1. 43. Las trazas en los planos x  a son círculos si |a| < 2, puntos sencillos si |a|  2, vacío si |a| > 2. 45. Las trazas en el plano x  a son una parábola abierta hacia arriba con vértice en (a, 0, 4a2). 47. Las trazas son generalmente parábolas: algunas abiertas hacia arriba, otras hacia abajo; gire la superficie de la figura 11.7.22 alrededor del eje z 45° para ver la superficie.



 

 .; ; /





p p ; ; 

 .; ; / p  ; ; 

Observe que un punto dado no tiene coordenadas cilíndricas o esféricas únicas. Es más, hay un número infinito de respuestas correctas a los problemas 13 a 22. Si se programan en una computadora las ecuaciones (3) y (6) de manera que convierta la respuesta a coordenadas rectangulares, sus respuestas serán casi siempre correctas.  #IL¤NDRICAS .; ; / ESF£RICAS .; ; / p p  #IL¤NDRICAS ; =;   ESF£RICAS ; =; = p p p    #IL¤NDRICAS ; =;   ESF£RICAS ; COS ;   p  #IL¤NDRICAS ; TAN  ;   ESF£RICAS ; COS  ; TAN



X

 .; ; / p  ; ; 

 

 #IL¤NDRICAS ; ARCTAN  ;   ESF£RICAS ; ARCSEN  ; ARCTAN 

37. Ecuación: z  exp(−x2 −y2):

23. Cilindro, radio 5, eje en el eje z 25. Plano vertical y  x 27. Cono circular z2  3x2 + 3y2 con eje en el eje z y vértice en el origen 29. Plano xy  %LIPSOIDECONCENTROENELORIGENEINTERCEPCIONES p p . ; ; / .;  ; / Y .; ; /

 

 



  

39. Ecuación: z2  4(x2 + y2); ambas partes de un cono circular

33. Cilindro circular, radio 2, eje en la recta vertical x  2, y  0 35. Dos cilindros circulares concéntricos con eje común el eje z y radios 1 y 3

A-138

Respuestas a los problemas impares

37. Dos paraboloides circulares congruentes, cada uno con eje en el eje z y vértice en el origen; uno abre hacia arriba y el otro hacia abajo. 39. Cilíndricas: r 2 + z 2  25; esféricas ρ  5 (la misma que la gráfica de ρ  ±5) 41. Cilíndricas: r cos θ + r sen θ + z  1; esféricas: ρ sen φ cos θ + ρ sen φ sen θ + ρ cos φ  1 43. Cilíndricas: r 2 + z 2  r cos θ + r sen θ + z; esféricas: ρ2  ρ sen φ cos θ + ρ sen φ sen θ + ρ cos φ (es válido cancelar ρ en ambos lados de la última ecuación). 45. La parte de un cilindro de radio 3 y línea central en el eje z que se encuentra entre los planos z  −1 y z  1:

53. z  r 2 p p  A  R  Z  R   R    B CSC    =  =   



57. Alrededor de 3821 mi (alrededor de 6149 km) 59. Un poco menos de 31 mi (50 km)   

2  C ( ;

 

;

 D ARCTAN

2 (

 A A  .X  C Y  / D .X  C Y  C Z  C A  B /  B .R A/ C Z  D B  C A SEN  H   C A  B

CAPÍTULO 11 PROBLEMAS DIVERSOS (página 896) !  ! !  ! ! ! ! ! 0 C !1 D !- 0 - C !- C - 1 H !-    !  !  /BSERVEQUE ! D 0 1  0 2    %CUACIONESPARAM£TRICAS



 Z









 X

Y

X D  C T; Y D  C T; Z D  T; 1 < T < C1;



ecuaciones simétricas 



47. La parte de la superficie esférica de radio 2 y centro en el origen que se encuentra entre los dos planos horizontales z  −1 y z  1:

YC Z X  D D :   

9. Ambas líneas son paralelas a u  6, 3, 2; el plano tiene ecuación cartesiana 13x − 22y − 6z  23. 11. x − y + 2z  3

19. El vector de posición r(t)  −sen t, cos t  traza la circunferencia de radio 1 con centro en (0, 0).

 Z

15. 3









 X

Y

21. Dos soluciones: α ≈ 0.033364 (alrededor de 1°5442) y α ≈ 1.291156 (alrededor de 73°5840)  ./ C  A4 ./ D  A . ./ D  25. Comience observando que v1 × v2 es normal al plano.

 

27. 3x − 3y + z  1



33. ρ  2 cos φ

35. ρ  2 cos 2φ: 2

49. El sólido está acotado arriba por el plano z  2, abajo por el plano z  −2, afuera por el cilindro de radio 3 con línea central en el eje z y adentro por el cilindro de radio 1 con línea central en el eje z. 51. El sólido es la región entre dos superficies esféricas concéntricas centradas en el origen, una de radio 3 y la otra de radio 5: Y 

 

X

Y

 





 

X  

Z 



 

Z



39. Mínimos en todos los enteros múltiplos de π, máximos en todos los enteros impares múltiplos de π/2

Respuestas a los problemas impares

 4 D p

 Y.X/ D

 

C

 .D p   C

; 

A-139

Y

; 

 

   X X C X   



SECCIÓN 12.2 (página 908)









1. El plano xy completo



X



3. El plano xy completo excepto por el origen (0, 0)



5. Todos los puntos del plano xy 7. Todos los puntos en y dentro del círculo unitario



9. El plano xy completo 11. La región arriba de la recta con ecuación y  x 13. Todos los puntos del plano xy que no están en cualquiera de los ejes coordenados 15. Todos los puntos en el plano xy que no están en las líneas rectas y  x o y  −x

35. Curvas con ecuaciones de la forma y  x3 + C (C es una constante): Y

17. Todos los puntos en el espacio diferentes al origen (0, 0, 0) 19. Todos los puntos del espacio estrictamente arriba del paraboloide z  x2 + y2



21. El plano horizontal a través de (0, 0, 10) 23. El plano con ecuación z  x + y X





25. Un paraboloide circular con eje el lado no negativo del eje z, abierto hacia arriba y vértice en el origen 27. La mitad superior de la superficie esférica con radio 2 y centro en (0, 0, 0)



29. La parte inferior de un cono circular con eje en el eje z y vértice en (0, 0, 10) 31. Líneas rectas de la forma x − y  c (donde c es una constante):



Y

37. Círculos centrados en el punto (2, 0): Y

  













 X







33. Elipses centradas en el origen con semiejes mayores en el eje x y semiejes menores en el eje y:













X

A-140

Respuestas a los problemas impares

39. Circunferencias centradas en el origen: Y 







 X



27. 29. 31. 33. 35. 37. 43. 47.

No existe; también es correcto indicar que el límite es +∞. 0. Todos los puntos (x, y) tales que y > −x Todos los puntos (x, y) tales que x2 + y2 > 1 Continua en todos los puntos (x, y) diferentes a (0, 0) 0 39. 0 41. 0 No existe 45. No existe No existe; la gráfica:



 



Z

41. Paraboloides circulares congruentes, todos con eje en el eje z y todos abiertos hacia arriba 43. Superficies esféricas centradas en el punto (2, 1, 3) 45. Las superficies de nivel de f son cilindros elípticos paralelos al eje z y centrados en la línea vertical que encuentra el plano xy en el punto (2, 1, 0). La elipse con la cual cada cilindro encuentra al plano xy tienen semieje mayor paralelo al eje x, semieje menor paralelo al eje y y el semieje mayor es el doble del semieje menor. 47. Corresponde a la figura 49. Corresponde a la figura 12.2.32 12.2.30 51. Corresponde a la figura 53. Corresponde a la figura 12.2.28 12.2.41 55. Corresponde a la figura 57. Corresponde a la figura 12.2.42 12.2.44 59. Si a y b no son ambos cero, entonces la superficie tiene una cavidad y un pico. Con a  2 y b  1:

 







 X

Y





49. No existe; la gráfica:



Z

  





Y



 X



55. Continua para todos los (x, y)  Z

SECCIÓN 12.4 (página 928) 







  X



Y





@F D E X .COS Y SEN Y/ @X



Y @F D @X .X Y/

  



X @F D  @X X C Y

    Y X   



@F D YX Y @X



61. Aparentemente n picos y n cavidades alternados rodean el origen.

SECCIÓN 12.3 (página 917)  

 E

 

 

 

 

 Y   X Y

 

 

@F D X  X  Y C X Y  Y  Y @X @F D X  C X  Y X Y  C Y   @Y

Y Y

Y

Y

@F H E X .COS Y C SEN Y/ @Y

X @F D  @Y .X Y/ @F Y  D  @Y X C Y

@F D X Y LN X @Y



@F D X Y  Z  ; @X

@F D X  Y  Z  ; @Y



@F D YZE X YZ ; @X

@F D X ZE X YZ ; @Y

Y Y

@F D X  Y  Z   @Z @F D X YE X YZ  @Z

Respuestas a los problemas impares

@F @F @F X EY D XE Y LN Z; D X  E Y LN Z; Y D  @X @Y @Z Z @F R S  R  S @F Y  D  D     @R .R C S / @S .R C S  / @F @F @F  Y D HEU CEG ; D UEG CEH ; D EU CGEH  @U @G @H  Z X .X; Y/ D X Y Z Y .X; Y/ D X C Y Z X Y .X; Y/ H  Z YX .X; Y/ D 

 YT .X; T/ D A F .X C AT/ AG .X AT/ YTT .X; T/ D A  F .X C AT/ C A  G .X AT/ YX .X; T/ D F .X C AT/ C G .X AT/; YX X .X; T/ D F .X C AT/ C G .X AT/



 U.; T/ D 4 C A E COS.!T / H 4 C A COS !T U T .X; T/ D A ! EXP X !=K SEN !T X !=K p p U X .X; T/ D A !=K EXP X !=K p  COS !T X !/K SEN !T X !/K ; A ! EXP X !=K SEN !T X !=K  U X X .X; T/ D K  .; ; /

 Z X .X; Y/ D X EXP.Y  / Z Y .X; Y/ D X  Y EXP.Y  / Z X Y .X; Y/ D X Y EXP.Y  / Z YX .X; Y/ D X Y EXP.Y  /  D Z Y .X; Y/ Y  Z X .X; Y/ D XCY  D Z YX .X; Y/ Z X Y .X; Y/ D .X C Y/

 A  A B C D

 Z X .X; Y/ D EX COS Y; Z Y .X; Y/ H EX SEN Y; Z X Y .X; Y/ D EX SEN Y; Z YX .X; Y/ D EX SEN Y

6   CM 

B

6  : CM

F X X .X; Y/ H SEN X SENH. Y/ D F YY .X; Y/ F X X .X; Y/ H  SENH X SEN Y D F YY .X; Y/ F X X .X; Y/ H  SEN X SENH Y D F YY .X; Y/ F X X .X; Y/ D  SENH . X/ SEN Y H F YY .X; Y/

71. a. Inicialmente descendente en 45°;



X   Z Y .X; Y/ D  SENH Y Y Y X X   Z X Y .X; Y/ D  SENH Z YX .X; Y/ D  SENH   Y Y Y Y

b. inicialmente ascendente en 45°

 Z X .X; Y/ D X COSH

:

SECCIÓN 12.5 (página 940)

 Z D X C Y 

 Z D 

1. No hay planos tangentes horizontales.

 Z D X Y 

 Z D  X C Y

3. (0, 0, 5)

7. (−2, 0, −4)

11. (±1, 0, 2e−1), (0, ±1, 3e−1) y (0, 0, 0)

 

 5NARESPUESTA F .X; Y/ D X Y

 F X Y .X; Y/ D X SEN X Y COS X Y D F YX .X; Y/  #ORRESPONDIENTESALA FIGURA

Y SEN X Y COS X Y

 #ORRESPONDIENTESALA FIGURA

 #ORRESPONDIENTESALA FIGURA M N

Y

D F YX .X; Y/

  X YZ

 F X X .X; Y; Z/ D Y Z E F X Y .X; Y; Z/ D F YX .X; Y; Z/ D .X YZ  C Z/E X YZ F X Z .X; Y; Z/ H F ZX .X; Y; Z/ D .Y C X Y  Z/E X YZ F YZ .X; Y; Z/ D F ZY .X; Y; Z/ D .X C X  YZ/E X YZ F YY .X; Y; Z/ D X  Z  E X YZ ; F ZZ .X; Y; Z/ D X  Y  E X YZ F X YZ .X; Y; Z/ D . C X YZ C X  Y  Z  /E X YZ  

5. (3, −1, −5)

9. (−2, 0, −7) y (−2, 1, −9)

 Z D X Y 

 F X Y .X; Y/ H MNX

A-141



 U T .X; T/ D N K EXP.N KT/ SEN NX U X .X; T/ D N EXP.N  KT/ COS NX Y U X X .X; T/ H N  EXP.N  KT/ SEN NX  )NCISOA  YT .X; T/ D A COS.X C AT/; YX .X; T/ D COS.X C AT/; YTT .X; T/ D A  SEN.X C AT/; YX X .X; T/ D SEN.X C AT/: )NCISOB  YT .X; T/ D A SENH..X AT//; YX .X; T/ D  SENH..X AT//; YTT .X; T/ D A  COSH..X AT//; YX X .X; T/ H  COSH..X AT//: )NCISOC  YT .X; T/ D KA SEN KX SEN KAT; YX .X; T/ D K COS KX COS KAT; YTT .X; T/ D K  A  SEN KX COS KAT; YX X .X; T/ D K  SEN KX COS KAT:

13. Punto más bajo (1, 1, 1) 15. Los puntos más altos (1, −1, 2) y (1, 1, 2) del mismo alto 17. Punto más bajo (2, 3, −50) 19. Los puntos más bajos (−4, 2, −16) y (4, −2, −16) a la misma altura 21. Punto más alto (1, −2, e5) 23. −3 y 3

25. −1 y 4

27. −1 y 1 31. (15, 5, 4)

29. (12, 4, 3) p p  ; ; 

35. 64,000

37. 10 × 10 × 10 in

39. Base de 10 por 10 in, altura 6 in 41. Base y tapa de 15 × 10 in, frente y reverso 15 × 5, lados 10 × 5 in 43. 40 ft de ancho (en el frente), 20 ft de fondo, 10 ft de alto     IN      = . 6  /=     ;   55. Base del frente 25/6 V 1/3, altura del frente la mitad de eso, fondo de la casa 21/3 V 1/3 57. Área máxima: haga un cuadrado. Área mínima: haga tres cuadrados iguales. p 59. Área máxima de la sección transversal  ,  

A-142

Respuestas a los problemas impares

 A X D

 

YD

  

B X D

 

YD

 

11. Aquí tenemos @R .Y C Z/ X Y  Z  X Y Z COS p D = @X X.X C Y C Z/ X C Y C Z

63. Criar 40 cerdos y 40 cabezas de ganado por unidad de terreno, pero no ovejas. 69. La función g no tiene extremos locales ni globales.

;

.X C Y C Z/ X Y  Z  X Y Z @R D COS p @Y Y.X C Y C Z/= X C Y C Z

;

SECCIÓN 12.6 (página 949) Y

 DH D .X C Y/ D X C .X Y  / DY  DH D

X D X C Y DY C

X

C

Y

X D X C Y DY C Z DZ  DH D X  C Y C Z  DH D TAN YZ D X C X Z SEC YZ DY C X Y SEC YZ DZ  DH D YZEX YZ D X X ZEX YZ DY X YEX YZ DZ  DH D U EXP.G  / DU U  G EXP.G  / DG  DH D

X D X C Y DY C Z DZ X  C Y C Z

 :

 :

   : 

 :

 :

 :



  : 

 :

 : 

  : 

p    : FT APROXIMADAMENTE   C  ACRES    :  p   :    C 

43. a. (x, y) → (0, 0) a lo largo de las líneas y  x y y  0; b. debe encontrar que fx(0, 0)  0  fy(0, 0).

SECCIÓN 12.7 (página 960) 



 ,ASF˜RMULASSON @ F @X @ F @Y @P D
C
; @U @ X @U @ Y @U @ F @X @ F @Y @P D
C
; Y @G @ X @G @ Y @G @ F @X @ F @Y @P D
C
: @H @ X @H @ Y @H  2ESPUESTA @P @ F @U @ F @G @ F @H D
C
C
; @X @U @ X @G @ X @H @ X @ F @U @ F @G @ F @H @P D
C
C
; @Y @U @ Y @G @ Y @H @ Y @ F @U @ F @G @ F @H @P D
C
C
: @Z @U @Z @G @Z @H @Z @P @H @H @P D F .H/
; D F .H/
;  @X @X @Y @Y @P @P @H @H D F .H/
; D F .H/
; Y @Z @Z @U @U @P @H H F .H/
 @G @G Z = Z = @Z @Z D = H =  @X X @Y Y E X Y C X YE X Y C YZE ZX C YZE X Y @Z D  @X X YE ZX C E X Y  XY ZX XY @Z X E C E C X ZE D @Y X YE ZX C E X Y @Z C X @Z C Y D  H  @X A Z @Y B Z @H @H D X D Y  @X @Y  2ESPUESTA

X  Y @H D @X .X  C Y  /= .X  C Y  /= C .X  C Y  /=

 @H @H D D  @S SCT @T

@H @H D  D ET @S @T @R D .Y C Z/ EXP.YZ C X Z C X Y/ @X @R D .X C Z/ EXP.YZ C X Z C X Y/ Y @Y @R D .X C Y/ EXP.YZ C X Z C X Y/ @Z

Y



DH H .T C / EXP.T  T/ DT

DH D T  COS T   DT 

@R X Y Z .X C Y C Z/ X Y  Z  COS p D = @Z Z.X C Y C Z/ X C Y C Z

Y D X X DY  DH D X  C Y

C

.X  C Y  /=

X  Y .X  C Y  /= C .X  C Y  /=

C Y LN . X  C Y  /= C .X  C Y  /= Y @H X Y  D   =  @Y .X C Y / .X C Y  /= C .X  C Y  /= C

.X 

C

Y  /=

.X 

X Y  C Y  /= C .X  C Y  /=

C X LN . X  C Y  /= C .X  C Y  /= :

:

Respuestas a los problemas impares

 X C Y C Z D 

 Z D X Y

  IN  H



 $ECRECIENTEEN

  : FT MIN 

 ,MIN  3EROMPERÖ 

SECCIÓN 12.8 (página 971)  ; 

 ; 

 ; ; 

 ; ;  p   

 ;  ;   p      p   Y ; 

  p   





p    Y ; ; 

 Y ;   p    Y ; ; 

 X C Y C 

 X Y C 

  GRADOSMIN   #FT 

B  ENLADIRECCI˜N ; ; 

49. a) z  0.3x + 0.2y − 0.4; b) aproximadamente 0.44 (valor real: 0.448) 51. x − 2y + z + 10  0 55. Cada una de esas pirámides tiene volumen 4.5. 57. Rumbo 36°5211.6 aproximadamente; hacia arriba con un ángulo de 45° 59. Rumbo 203°1154.9 aproximadamente; hacia arriba con un ángulo aproximado de 75°178.327 61. a) Descendente, ángulo de más o menos 8°258.1; b) Descendente, ángulo de más o menos 3°3739.2

29. Mínimo 10 × 10 × 10 in

31. 10 × 10 × 6 in 33. Frente 15 in de ancho y 5 in de alto, fondo 10 in 35. Dos puntos más cercanos: (2, −2, 1) y (−2, 2, 1) 39. (2, 3) y (−2, −3) p p ;  ;  C  p p p PUNTOMÖSBAJO  ;  ;    

 0UNTOMÖSALTO

p

 0UNTOMÖSCERCANO  

p p p  C   ;   C   ;   

;

PUNTOMÖSLEJANO p p p     C   ;   C   ;   C   ¬REAMÖXIMA

 5SEELHECHOQUE r. F .0// D rF .0/

p p ; ; 



27. Máximo 64,000



 X C Y C Z D 

 A

 .; ; /

A-143

 

;

p    0   .:/0 

 .:; :/ COORDENADASAPROXIMADAS  .; /  -ÖSCERCANO .:; :; :/ MÖSLEJANO .:; :; :/ COORDENADASAPROXIMADAS p  ;   p p   PUNTOMÖSLEJANO  ;  

 0UNTOMÖSCERCANO



 

p

 p  

 %LM¤NIMOES A = C B=

=



 .; ; / EN ,  Y .; ; / EN , 

SECCIÓN 12.9 (página 981)  -ÖXIMO

p p  M¤NIMO 

 -ÖXIMO  M¤NIMO 

SECCIÓN 12.10 (página 990) 1. Mínimo local (de hecho, global) en (−1, 2). Gráfica de contornos:

 -ÖXIMO  M¤NIMO     -ÖXIMO  M¤NIMO 

Y

 3INMÖXIMO M¤NIMO



 -ÖXIMO  M¤NIMO    -ÖXIMO M¤NIMO     3INMÖXIMO M¤NIMO  p p  -ÖXIMO  C  M¤NIMO    .; /

 .; ; /





 X





Respuestas a los problemas impares

A-144

3. Punto de silla en (− , − ). Gráfica de contornos:

de silla en (0, 0). Gráficas de contornos:

Y  





 X

















































13. Punto de silla en (−1, 1), mínimo local en (3, −3). Gráficas de contornos:



5. Mínimo local (de hecho, global) en (−3, 4). Gráfica de contornos: 





Y



 





































 

15. Mínimo local en (−5, 3), punto de silla en (0, −2). Gráficas de contornos:

  X

   





7. Máximo local en (−1, −1), punto de silla en (0, 0). Gráficas de contornos:















































































17. Máximo local (de hecho, global) en (−1, −2) y (1, 2), punto de silla en (0, 0). Gráficas de contornos:



9. Sin extremos; gráficas de contornos:





























































































11. Mínimo local (de hecho, global) en (−1, −1) y (1, 1) punto

19. Punto de silla en (−1, 0), mínimo local en (2, 0). Gráfica de

Respuestas a los problemas impares

A-145

39. Mínimo global en (3.625, −3.984) (los números con decimales son aproximaciones) y en (3.625, 3.984), punto de silla en (0, 0)

contornos:



CAPÍTULO 12 PROBLEMAS DIVERSOS (página 994) 1. Debe obtener r2 sen2 θ cos2 θ → 0 cuando r → 0.  G.; / CUANDO .X; Y/ ! .; / ALOLARGO  G.X; Y/ !  DELAL¤NEAYDX





















21. Punto de silla en (0, 0), máximo local (de hecho global) en p p p p (−  , −  ) y (  ,  ), mínimo local (de hecho p p p p global) en (  , −  ) y (−  ,  ). Gráfica de contornos:

U X X .X; Y; T/ D

X  KT X  C Y EXP : K  T  KT

13. Debe encontrar que RX  R Y



F X .X; Y/; F Y .X; Y/; 

rG.X; Y; Z/

DONDE G.X; Y; Z/ D Z F .X; Y/

  









5. f (x, y)  x2y3 + ex sen y + y + C (donde C es una constante arbitraria). 7. El origen y los puntos en el círculo formado por la intersección del paraboloide y el plano horizontal z  . 9. Debe encontrar que la normal al cono en (a, b, c) (extendida, si es necesario) pasa por el punto (0, 0, 2c). 11. Debe encontrar que













23. Mínimo global en (0, 0) 25. Máximo global en (0, 0) 27. Mínimo global con valor 3 en (−1, −1) y (1, 1), sin extremos en (0, 0) 29. El máximo global con valor 900 está en el límite del dominio. 31. Si x y y son ambos enteros pares, entonces hay un punto de silla en (x, y); si x y y son ambos enteros impares de la forma 4k + 1 o ambos de la forma 4k + 3 entonces hay un máximo global en (x, y); si x y y son enteros impares uno de los cuales es de la forma 4k + 1 y el otro es de la forma 4k + 3, entonces hay un mínimo global en (x, y). 33. Examine el comportamiento de f (x, y) en rectas de la forma y  mx. 35. Mínimo local en (1.532, 0) (los números con decimales son aproximaciones), punto de silla en (0.347, 0), mínimo global en (−1.879, 0) 37. Mínimo local (en realidad global) en (−1.879, 1.879) (los números con decimales son aproximaciones), punto de silla en (0.347, −0.347), mínimo local en (1.532, −1.532)

15. La base del cajón de embarque debe ser un cuadrado de 2 × 31/3 ≈ 2.884449914 ft por lado y una altura de 5 × 31/3 ≈ 7.21124785 ft. 17. La estimación del error es 2 . 19. El error máximo aproximado será 3%. 21. Los seis puntos (±4, 0, 0), (0, ±2, 0) y (0, 0, ±  ). 23. Primero renombre a, b y c (si es necesario) para que a, b, c formen una tercia de mano derecha y de esa forma a × b  c, etcétera. 25. Ya sea −4, 3 o 4, −3. 27. 1 29. El máximo global de f (x, y) es 0  f (0, 0). 31. Los semiejes tienen longitudes 1 y 2. 33. El mínimo ocurre cuando el triángulo está totalmente degenerado. Los tres vértices están todos localizados en el mismo punto de la circunferencia de un círculo. 35. Los puntos más cercano y más lejano son (respectivamente) p p ;   

Y



p p ;  :  

37. Sea n un entero positivo fijo y sea f (x1, x2, . . . , xn)  x1 + x2 + · · · + xn. Maximice esta función sujeta a la restricción G.X ; X ; : : : ; XN / D X C X C


C XN A  D 

donde a es un número real no negativo fijo pero de otra manera arbitrario.   -ÖXIMO  M¤NIMO 

Respuestas a los problemas impares

A-146

41. El teorema 1 de la sección 12.10 proporciona estos resultados: %N 0.; /  ! D  " D  # D  D  F .0/ D  M¤NIMOLOCAL ! D  " D  # D  D  F .1/ D  PUNTODESILLA

%N 1.; / p %N 2 ;   p ;   %N 3

47.

49. 51.

       





 



  E   

 

15. 0; la región:

! D  " D  # D  D  F .3/ D   PUNTODESILLA

Y 

! D  " D  # D  D  F .4 / D   M¤NIMOLOCAL

%N 4 .; /

43. 45.

! D  " D  # D  D  F .2/ D  PUNTODESILLA

SECCIÓN 13.2 (página 1011)

No hay extremos globales (examine f (x, y) en las rectas y  ±x). Punto de silla en (0, 0), mínimo local (no global) en (2, 2) Máximo local en (  ,  ), punto de silla en (0, 1), máximo local en todos los puntos del eje x para los cuales x < 0 o x > 1, mínimo local en todos los puntos del eje x para los cuales 0 < x < 1 y no hay extremos globales. Punto de silla en (0, 0), mínimo global en todos los puntos de la hipérbola con ecuación xy  ln 2 y no hay otros extremos. Puntos de silla en (−1, −1) y (1, 1); no hay otros extremos. Los coeficientes m y b son (generalmente) las únicas soluciones de las ecuaciones N

B

N

B

ID N

CM IH







 X



 X

17. 0; la región: Y    

N

.XI / D

XI C M ID N



XI YI

Y

ID N

XI D IH

YI :





19. π; la región:

IH

Y

SECCIÓN 13.1 (página 1004)  A 

B 

   ,

 -



 

5

   

 

 

 :

 :

 



E 

 E 



 

p  p   C 

X N YN D X D Y D 



37. Observe que 0 de R.







X



21. 1; la región:



 !MBOSVALORES 







Y

  C      LN   !MBOSVALORES



  .N C /

f (x, y)

sen  π  1 si (x, y) es un punto







X

Respuestas a los problemas impares

33.

23. 2; la región:

A-147

 ; la región: 

Y

Y





 



25.



X



 ; la región: 





X

Y 

35. Aproximadamente 7.9517471897



37. 0

 









X

39. 0

41. 0

43. 0

53. Aproximación de punto medio: 0.109696; valor exacto: E . La partición interior:  Y 

 27. ; la región: 

 

Y 







 











X







X



X

SECCIÓN 13.3 (página 1018) 1.

29.



 ; la región: 

 ; la región: 

Y  Y



 



31. 2



 X

3.

 

A-148



Respuestas a los problemas impares

  LAREGI˜N 



  LAREGI˜N  Y

Y





  X





 



X



 

  LAREGI˜N Y

 LN  LAREGI˜N

 Y





 



 



X



 

  LAREGI˜N

  

Y

 X





 E

 

  LAREGI˜N 

 

Y 

  









p     

 



  LAREGI˜N  Y

 ABC 



  p   C   2   







A  X  Y  D Y D X 

X

X

A  X 

 %LVOLUMENES 6 D  



p

A





 

47. Aproximadamente 3.5729749639

49. 8π 51. 108π 53. El “volumen del agujero” es aproximadamente 26.7782. 

SECCIÓN 13.4 (página 1026) 





X





R DR D D  





  

Respuestas a los problemas impares

p      LASDOSCIRCUNFERENCIAS 

SECCIÓN 13.5 (página 1036)  .; /   ;   

Y 

 

 X



p    





 



 



 . COS /  : 



   LN  

A

.H C R COS /
R DR D 



  



p     A 

  LALEMNISCATA 

   ;  

 

A A ;  

 A  



  ;  

   ;  

 ) D

   p A  

 XO D YO D 

R R ;  

A  C AB C B  A C B

A
.A  C AB C B /     ) H  ) D M.A  C B / K     -ASA  CENTROIDE ;   CENTROIDE 

  ;  

SECCIÓN 13.6 (página 1046)

Y

 



 



     DOSVISTAS   





 X





 





Y



 

 



X 







  Z

Z 

  B .B A  /= 

43. Agujero hexagonal: 9.83041 (los números con decimales son aproximaciones). Agujero pentagonal: 9.03688. Agujero heptagonal: 10.32347. Agujero con 17 lados: 11.49809.



 



Y 



  A B

 

 



X

 

  ;  



 -ASA





  



B VOLUMEN

 

  ;  

   ;  

 A #ENTROIDE ;

A



  



A NC NC   ) D K  p p  XO D  YO D    R R  ;  

R A  R  DR D 



 ) D

  

 

 A     A   ; ;     p p  C    C     ; p   C  

 



;

 .; /   ;   

  





A-149



 



 

A-150

Respuestas a los problemas impares

 -ASA

    CENTROIDE ; ;   



  ; ;  



;

 D D

3

    ;     

  )Z D 

   -ASA M D  H  - YZ D  -X Z D  -X Y D  H        KA  )Z D A  )Z D        ; ;  )Z D K      



   ; ;   

  

  D

 

   D D    p p     C  CSCH   LN    p C  LN. C /  ::

 

  

49. x ≈ 2.76447 × 106 (metros); espesor del manto: 3606 km aproximadamente

SECCIÓN 13.8 (página 1062) 

p p     C LN  C   

p   



 p    

A  R 

p       )Z D A  H  

 

 



 )X D

 A  H.A  C H  / H 

 

 

=

   A H    .; ; /   p     M.A  C H  /   ; ; A 

SEC 

  SEN  D D D H

 6 D 



 A







B

H

R DZ D 

   TAN C  LN   :   p   p   C   SENH    p p       TAN TAN  



Y 

 

 

p

 %STE hTOROESTRANGULADOvTIENEVOLUMEN 6 D   A   p      A   )X D     -ASA A   X D Y D  Z D A     A  T EXP.A  /U 

 :

La superficie en el inciso a):

p     A   X D Y D  Z D C  A      )Z D A  D MA   

 M D



 ! D

R DZ DR D 

 A 

A DZ D 

p     

p

A

 6 D  



H

 ! D

 

p     

p   



SECCIÓN 13.7 (página 1055)



.X  C Y  / D ! DONDE D ! H A  SEN  D D

 )Z D

  ) Y D 



 A 

Z

 

 X

 

p  p    C  LN. C  /  :  p p    p    C   LN   TAN  : B  

 A

Respuestas a los problemas impares

17. Primero use la sustitución x  u + v, y  u − v. El valor de la integral es  p      ::  E

La superficie en el inciso a): 

Y 

 







D

D

 )Z D  D

Z

A-151

 



.  SEN  /.A  COS 

C B SEN  /ABC  SEN  D D D p p p p         ;  LN  LN 

 .X; Y / D  X

 -.A  C B /; los otros momentos se deducen por si metría. 27. 2.30026852



25. )Z D

29. Paraboloide elíptico: con a  2, b  1, c  3:

CAPÍTULO 13 PROBLEMAS DIVERSOS (página 1075)





X

XD

YD



Z   



X



  

Y

E E





 

 I ; ;



 

31. Hiperboloide de dos hojas; con a  2, b  1, c  4:



  



 







 X

 Y 





33. Aproximadamente 111.545770

SECCIÓN 13.9 (página 1071)  X D

UCG U G @.X; Y/  YD  D   @.U; G/ 

3. Dos soluciones: x  ±(u/v)1/2, y  ±(uv)1/2 (elija el mismo signo); el Jacobiano es 1/(2v) en cada caso. p UCG UG ;Y D 5. X D (escoja el signo de modo que   y 0); el Jacobiano es @.X; Y/  : D p @.U; G/  UG p      LN         

;

  

 ; 

B   p   

 Y D





 

 

 K .; / Z 

E  

 



p   DY DX D p   C X 

 

 -A     ABC.B C C / D -.B C C /  )X D      )Z D . /      -.A  C B / DONDE - D   A  B ESLAMASADEL  TORO  )Z D

 D D  D H

 A   A 



A SEN 

R  DR D 

 



A

  SEN  D D D 





 5SELASESFERAS  D  COS Y D  COS  DD

 



=

 COS 

  SEN  D D D D 



 COS 

p p       

p   

 ) D 



 ABC 

 : 

Respuestas a los problemas impares

A-152

SECCIÓN 14.1 (página 1085) Y





Y

X

X

Y



Z



X

Y

 . C /   p    A   ;    -ASA K  CENTROIDE .; ; /      -ASA KA   CENTROIDE A; A;   )X H ) Y H MA       ) H MA    ) H K H M DONDE M ESLAMASADELALAMBRE  A   p p     C ARCTANH  :          A K LN  B K LN   

37. Observe que F es normal a la esfera. 39. 15,000 ft·lb 41. 20,000 ft·lb Y





SECCIÓN 14.3 (página 1104)



 .X; Y/ D X  C X Y C Y 



 .X; Y/ D X  C X Y  C Y 

Y  X









 X





 .OCONSERVATIVA    .X; Y/ D X  C Y LN X C Y     .X; Y/ D SEN X C X LN Y C E Y  .OCONSERVATIVA



  Y  X Y p C YC   .X; Y/ D Y X



 .X; Y/ D X  Y  C X Y  C

 Y





 .X; Y/ D X  C X Y  C Y    .X; Y/ D X  Y  C X Y  C Y  







 X





∇ · F  3, ∇ × F  0 ∇ · F  0, ∇ × F  0 ∇ · F  x 2 + y 2 + z 2, ∇ × F  −2yz, −2xz, −2xy ∇ · F  0, ∇ · F  2y − 2z, 2z − 2x, 2x − 2y ∇ · F  3, ∇ × F  x cos xy − x cos xz, y cos yz − y cos xy, z cos xz − z cos yz 35. Vea la respuesta del problema 15. 37. Use los resultados de los problemas 28 y 35. 41. Use los resultados de los problemas 28, 35 y 39.

15. 17. 19. 21. 23.

  ; Y        Y   

 

p

    Y       



 

 .X; Y; Z/ D X Y COS Z YZE X  7 D :   .
M

SECCIÓN 14.4 (página 1114)  

 

 

 

     



SECCIÓN 14.2 (página 1095) 

 E  .X; Y; Z/ D X YZ

 

A  COS T DT D A 

 



 

 

   A

p  

  B

p   C   

     

Respuestas a los problemas impares

SECCIÓN 14.5 (página 1125) p

    

p p    C         p     D M DONDE M ESLAMASADE3      D M DONDE M ESLAMASADE3      D M DONDE M ESLAMASADE3       

  

 

 

   A; A; A   



p



 A

C .A C A /  C I  . C A  /=   )Z D   .A  C A  /  C A  C   ZD

   ; ;     p   C  ARCSENH     )Z  :

R  .R / R

 )Z  :

SECCIÓN 14.6 (página 1134) r
& D 6 H  D "

    

        C  LN    

 

 

 

 

 

  X



  ; C1

  ;  

 1;  [ .; C1/   ;  

 

 

 .; /

 .; /  ;  [

  ;  

 1;  [

 ; C1 

 .1; / [ .; C1/

 1;  [

 ; C1 

 

  < ) < 

P



Están en una recta. No están en una recta. ¡Este paralelogramo es un rectángulo! Ángulo recto en A 0ENDIENTE  INTERCEPCI˜NY 



 

7. Primero suponga (a manera de contradicción) que existe una función φ (x, y) tal que ∇φ  x 2y, xy 2.

 

 Y D 

 Y D X 

 Y D  X

 X C Y H 

 Y D  X



p  

 0 - Y - 0 TIENENLAMISMAPENDIENTE

Y Y  X X

 + D

CAPÍTULO 14 PROBLEMAS DIVERSOS (página 1145) 

 

 T; C1/

 .X; Y; Z/ D XE Z C Z C Y COS X

 

 

 0ENDIENTE  INTERCEPCI˜NY

 .X; Y; Z/ D X Y X Z C YZ



C 

 0ENDIENTE  INTERCEPCI˜NY 

SECCIÓN 14.7 (página 1142)  



 .1; /

1. 3. 5. 7. 

&
N D3





D  DR

APÉNDICE B (página A-12)

3

 

B .R / C R

  PORQUE  < 

  

 

APÉNDICE A (página A-5)

 A 



13. Ambas integrales son cero. 15. Comience con la observación de que P, Q   ∇φ para alguna función φ derivable.     C  D  

 

 X D  D Y



p p     C   M D  )Y D  

A-153

& C  

  GALONESSEMANA

 X D

  YD  

  Y D  

 X D

  Y D  

   X H Y D  

 X D

  Y D  

 X D

A-154

Respuestas a los problemas impares

APÉNDICE C (página A-17) 

  RAD 



7. 72°

25. Los resultados están en la siguiente tabla

  RAD 

   RAD 

SEN X

9. 675°

 11. Si X D entonces los valores de las seis funciones tri gonométricas están dados en la siguiente tabla. SEN X p  

COS X

TAN X

 

p 

SEC X 

CSC X p   

COT X p  

 entonces los valores de las seis funciones trigo nométricas están dados en la siguiente tabla.

13. 3I X D



  

COS X

 

 

TAN X

SEC X

 

 



 

COT X

 

p

  

p

CSC X



               





 

 

APÉNDICE D (página A-23) SEN X

 

COS X p  

TAN X p  

SEC X p   

15. x  nπ donde n es un entero  17. X D N donde n es un entero  19. x  2nπ donde n es un entero 21. x  nπ donde n es un entero  23. X D N donde n es un entero 

CSC X

COT X



p 

1. 3. 5. 7. 9. 13. 15.

Dado  > 0, sea δ  . Dado  > 0, sea δ  . Dado  > 0, sea δ el mínimo entre 1 y /3. Dado  > 0, sea δ el mínimo entre 1 y /6. Considere tres casos: a > 0, a < 0 y a  0. Considere dos casos: L > 0 y L < 0. p A Dados a > 0 y  > 0, sea δ el mínimo entre a/2 y

APÉNDICE G (página A-35) 

 



 



 



 

Referencias para estudio posterior Las referencias 2, 3, 7 y 10 son una buena fuente de consulta sobre la historia del cálculo. La referencia 14 ofrece un tratamiento más teórico del cálculo de una sola variable que el que aquí presentamos. Las referencias 4, 5, 8 y 15 incluyen temas avanzados de cálculo multivariable. La referencia 11 es un trabajo convencional sobre series infinitas. Las referencias 1, 9 y 13 son libros de texto sobre ecuaciones diferenciales. La referencia 6 expone temas de cálculo junto con computación y programación en BASIC. Quienes deseen profundizar en el tema de fractales deben consultar la referencia 12.

1. Boyce, William E. y Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations. 7a. ed. Nueva York: John Wiley, 2001. 2. Boyer, Carl B., A History of Mathematics. 2a. ed. Nueva York: John Wiley, 1991. 3. Boyer, Carl B., The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Nueva York: Dover Publications, 1959. 4. Buck, R. Creighton, Advanced Calculus. 3a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1977. 5. Courant, Richard y Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis. Vols. I y II. Nueva York: Springer-Verlag, 1982. 6. Edwards, C. H., Jr., Calculus and the Personal Computer Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1986. 7. Edwards, C. H., Jr., The Historical Development of the Calculus. Nueva York: Springer-Verlag, 1979. 8. Edwards, C. H., Jr., Advanced Calculus of Several Variables. Nueva York: Dover Publications, 1994.

9. Edwards, C. H., Jr. y David E. Penney, Differential Equations with Boundary Value Problems: Computing and Modeling. 3a. ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2004. 10. Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vols. I, II y III. Nueva York: Oxford University Press, 1972. 11. Knopp, Konrad, Theory and Application of Infinite Series. 2a. ed. Nueva York: Hafner Press, 1990. 12. Peitgen, H. O. y P. H. Richter, The Beauty of Fractals. Nueva York: Springer-Verlag, 1986. 13. Simmons, George F., Differential Equations with Applications and Historical Notes. 2a. ed. Nueva York: McGrawHill, 1991. 14. Spivak, Michael E., Calculus. 2a. ed. Berkeley: Publish or Perish, 1980. 15. Taylor, Angus E. y W. Robert Mann, Advanced Calculus. 3a. ed. Nueva York: John Wiley, 1983.

A-155

Índices Un índice puede ser una herramienta efectiva en la enseñanza y el aprendizaje. Este libro contiene tres índices diferentes. Índice de personas: esta lista incluye los nombres de algunas personas que contribuyeron al desarrollo, las aplicaciones y la exposición del cálculo. Índice de problemas y ejemplos: busque un sustantivo clave o un adjetivo usado en el enunciado del problema o ejemplo. La notación m : n indica que la entrada puede encontrarse en la página m en el problema n. Índice general: se pueden encontrar aquí todos los términos catalogados, pero que no están en los dos índices anteriores.

ÍNDICE DE PERSONAS A Abel, Neils Henrik (1802-1829), 205 Apery, Roger, 765 Arquímedes (287-212 a.C.), 2, 216 (problema 37), 217, 313, 338, 377, 432, 437 (problema 58), 450, 512 (problema 50), 679 (problema 39), 688 (problema 37), 753, 1048, 1079, 1133

B Babbage, Charles (1793-1871), 53 Bach, familia, 575 Bailey, D., 554 (problema 50) Beckmann, Peter, 753 Bernoulli, Jacques (James, Jakob) (1654-1705), 575 Bernoulli, Juan (John, Johannes) (1667-1748), 296, 515, 575, 682 Boas, R. P., Jr., 739 Borwein, Jonathan M., 754 Borwein, Peter B., 554 (problema 50), 754 Brahe, Tycho (1546-1601), 817 Byron, Ada (1815-1852), 53 Byron, Lord (George Noel Gordon, 1788-1824), 53

C Cardan, Girolamo (1501-1576), 205 Cauchy, Augustin Louis (1789-1857), A-28, A-35 Cavalieri, Bonaventura (1598-1647), 427 Clarke, Arthur C., 316 (problema 78) Clement, Hal (Harry Clement Stubbs), 411 (problema 32) Copernicus, Nicolás (1473-1543), 817

D Dase, Zacharias (1824-1861), 754 De la Vallee Poussin, Charles-Jean (1866-1962), 407 Del Ferro, Scipione (1465-1526), 205

Descartes, René (1596-1650), 1, 196, 659, 660, A-6 Diophantus ( floreció en 250 d.C.), 659

E Edwards, C. Henry, 338, 432, 979, 1127 Einstein, Albert (1879-1955), 1079 Euler, Leonhard (1707-1783), 478, 515, 559, 592, 721, 764, 899

F Farris, Frank A., 697 (problema 55) Fay, Temple H., 670 Fermat, Pierre de (1601-1665), 1, 196, 659, 660 Ferrari, Ludovico (1522-1565), 205 Fibonacci, Leonardo (de Pisa; 1170?-post 1240), 723

K Keenoy, Brendan, 832 Kepler, Johannes (1571-1630), 480, 660, 817, 873 Knopp, Konrad (1882-1957), 796

L Lagrange, Joseph Louis (1736-1813), 748, 899, 974 Lebesgue, Henri (1875-1941), 997, A-32 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), 2, 48, 225, 231, 317, 329, 345, 352, 362, 413, 682, A-28 l’Hôpital, Guillaume-François-Antoine de (Marqués de Sante-Mesme, Conde d’Entremont, 1661-1704), 293, 575 Littlewood, John Edenson (1885-1977), 721 Longley, William Raymond (1880-1965), 716 (problema 75)

M G Galilei, Galileo (1564-1642), 702 Gauss, Carl Friedrich (1777-1855), 338, 407 (problema 35), 1079, 1127, A-28 Gibbs, Josiah Willard (1839-1903), 1141 Granville, William Anthony (1863-1943), 716 (problema 75) Green, George (1793-1841), 1106

H Hadamard, Jacques (1865-1963), 407 Halley, Edmund (1656-1742), 705 Hardy, G. H. (1877-1947), 721 Heaviside, Oliver (1850-1955), 1141 Hopper, Grace Murray (1906-1995), 53 Huylebrouck, Dirk, 1072

J Jacobi, Carl (1804-1851), 1065

MacCluer, C. R., A-38 Machin, John (1680-1751), 754 Maclaurin, Colin (1698-1746), 752 Mandelbrot, Benoit, 659 Mann, W. R., 295 Miel, George, 754

N Newton, Sir Isaac (1642-1727), 2, 48, 105, 207, 225, 329, 352, 362, 413, 660, 682, 705, 787, 801 (problema 51), 818, 873, 1057, 1079, 1127, A-27

O Ore, Oystein, 205 Ostrogradski, Michel (1801-1861), 1127

P Pappus de Alexandria ( floreció circa 300-350), 472

I-1

I-2

Índices

Plouffe, S., 554 (problema 50) Poiseuille, Jean-Louis-Marie (Jean Louis, 1799-1869), 420, 424 (problema 49) Ptolemy (Claudius Ptolemeo, circa 100-170), 817

R Ramanujan, Srinivasa (1887-1920), 721, 754 Riemann, G. F. Bernhard (1826-1866), 413, 997, A-28 Rolle, Michel (1652-1719), 236

S Shapiro, H. N., 488 Smith, Percey Franklyn (1867-1956), 716 (problema 75)

Spring, David, 983 (problema 64) Stokes, George (1819-1903), 1136

Voltaire, François-Marie Jean Arouet (1694-1778), 105 Volterra, Vito (1860-1940), 627

T Tartaglia (Niccolo Fontana of Brescia, circa 1500-1557), 205 Taylor, A. E., 295 Taylor, Brook (1685-1731), 748 Thomson, William (Lord Kelvin, 1824-1907), 1136 Tycho, vea Brahe

W

V

Z

Verhulst, Pierre-François (1804-1849), 623 Verne, Julio (1828-1905), 560

Zeno of Elea (490?-430 a.C.), 722 Zwillinger, Daniel, 516

Wallis, John (1616-1703), 527 (problema 68) Watson, James D., 852 Weber, Wilhelm (1804-1893), A-28 Weierstrass, Karl (1815-1897), 85 Wiles, Andrew, 659

ÍNDICE DE PROBLEMAS Y EJEMPLOS A Aceleración de Coriolis, 864 : 66 Agujero por el centro de la Tierra, 651 : 26 Álgebra vectorial, 824 : 39-42 Árbol roto, 24 arcsec x (definición alternativa), 498 : 63 Ardillas, 629 : 18 Área (de la superficie) acotada por la lemniscata, 1077 : 54 por un arco circular, 179 : 85 bajo la curva cuadrática, 392 : 52 de figura en ocho rotada, 697 : 51-52 de la elipsoide, 548 : 52-53 de la lemniscata rotada, 696 : 32, 719 : 66 de las caras de un tetraedro, 898 : 47 de revolución, 695 : 17-22 y 24 de un astroide rotado, 456 : 42, 696 : 31 de un cilindro, 475 : 28 de un círculo, 420, 1026 : 1-2 de un cono, 475 : 25, 1037 : 47, 1076 : 47 de un paralelogramo, 898 : 36 de un polígono, 842 : 23-26, 1115 : 39, 1146 : 14 de un sector circular, 548 : 43 de un segmento parabólico, 392 : 48 de un triángulo, 838, 843 : 35, 896 : 5, 1115 : 38-39 de una cónica truncada, 456 : 39, 475 : 27 de una esfera, 456 : 40, 474, 512 : 29, 692, 1033 de una esfera con agujero cuadrado, 1077 : 55 de una rampa espiral, 1061 de una región no acotada, 392 : 50 de una rosa rotada, 697 : 44 y 46 de una superficie elipsoide, 307 : 47, 312 : 110 de zona esférica, 456 : 43, 512 : 28 del caracol rotado, 697 : 48 del toro, 474, 548 : 49, 695 : 28, 1033, 1061 elíptico, 1064 : 34 pellizcado, 1063 : 20 dentro de dos círculos, 1026 : 5 dentro de la limaçon, 1026 : 7

dentro de un astroide, 696 : 29 dentro de un cardioide, 1026 : 3 dentro de una elipse, 391 : 47, 547 : 42, 695 : 25, 717 : 95 (difícil), 1109 dentro del folio de Descartes, 720 : 81, 1115 : 33 por el teorema de Green, 1114 : 13-16, 1115 : 33-34 y 38-39, 1115 : 41, 1146 : 14 zona de meridiano, 1063 : 14 Aserradero, 160, 167 : 43, 976 Asíntota inclinada, 311 : 96 Atenas (Georgia), 20, 24 : 82, 35, 606 : 40 Atlanta (Georgia), 20, 894 : 56 Atracción gravitacional, 567 : 55-56 de una concha esférica, 1057 : 48, 1126 : 41, 1135 : 25 de una pelota esférica, 1057 : 47, 1135 : 26 Autopista I-80, 245 : 47 Avestruz caminando, 202 : 40

B Ballesta, 324, 619 : 41 Bandeja de hielo, 982 : 44 Big Frog, 406 : 24 Bola de nieve que se derrite, 118 : 49, 138 : 61 Borregos, puercos y reses, 942 : 63 Boya (flotando), 651 : 24-25 Bulbo del termómetro, 961 : 57 Burrito, 166 : 30

C Cable colgante, 507 : 69-70, 607 : 43 submarino, 167 : 46 Caja de dulces, 255 sin tapa, 11 : 47, 157, 165 : 19, 221 : 82, 269 Calgary (Alberta), 424 : 40 Campo petrolero, 10 : 42, 23 : 68 vectorial o de fuerzas de cuadrado inverso, 1086 : 37-38, 1096 : 32-33, 1098, 1103, 1105 : 36

Canaleta para agua, 178: 79 para lluvia, 941 : 59 Caracol, 672 : 33-36 y 38 y 43-44, 675, 676 Cardioide, 673 : 41-42 y 60 y 62 Casa con marco en A, 941 : 55 (difícil) de animales, 166 : 24 Cascada de tanques, 618 : 28 Catenaria, 507 : 69, 607 : 43 Central eléctrica, 167 : 46 Centroide de cicloide, 1096 : 24 de cilindro, 1055 : 18 de cono, 1047 : 32, 1055 : 20 de cono de helado, 1053, 1076 : 26 de disco semicircular, 1029 de esfera abollada, 1057 : 46 de hemisferio, 1055 : 21-22 de paraboloide, 1047 : 31 de R fuera de R, 476 : 34 de superficie hemisférica, 1118 Chernobyl, 45 : 45 Cicloide, 688 : 33, 688 : 38, 692, 1096 : 24 Cilindro inscrito en un cono, 166 : 31 inscrito en una esfera, 166 : 32 Cinta de Möbius, 1126 : 40, 1147 : 31 Círculo, 672 : 37, 673 : 39-40, 679 : 40, 692, 719 : 69 que cae dentro de una parábola, 104 : 66 Ciudad de Gotham, 118 : 42 Clepsidra, 436 : 52, 588 : 47 Cociente de diferencia simétrica, 301 : 67 de la segunda diferencia, 301 : 68 Coeficiente de rebote, 742 : 64-65 Comedero, 163 Cometa Halley, 705 Compresión isotérmica, 961 : 56-57 Concentración de contaminantes, 301 : 72 Congelador, 656 : 57 Cono(s) de punta de cohete, 1127 inscrito en un cono, 221 : 90 truncado, 203 : 63 Conservación del momento angular, 863 : 42

Índices Constante de Euler (γ), 764 : 50 Contagio de enfermedad, 221 : 87 Contraejemplo de función creciente, 245 : 59 Conversión Celsius-Fahrenheit, FahrenheitCelsius, 51 : 12, l18 : 36, A-5 : 38 Coordenadas elipsoidales, 1072 : 20, 1076 : 53 Corral de animales, 6, 19, 60, 96, 146 Cota inferior, 731 : 61-62 Crecimiento de población, 586 : 22-23 y 33 Cuenta de mercado de dinero, 39 Cuerda más larga de una esfera, 996 : 32 Cuerno de Gabriel, 566 : 49-51 Cuña (de Arquímedes), 431 Curva de béisbol, 864 hermosa, 697 : 55 tangente a la gráfica de y = ln x, 513 : 115 Curvatura en coordenadas polares, 898 : 43 en el punto de inflexión, 898 : 38

D Dado con forma de dodecaedro, 743 Datación con radiocarbono, 586 : 24-25 Decaimiento radioactivo, 586 : 31-32 y 35, 655 : 31 y 36-37, 656 : 60 Decimales repetidos y series infinitas, 741 : 38-43 Derivada(s) de log10 x, 193 : 74 por la izquierda y por la derecha, 119 (problemas 54-60) Desarrollo de Arquímedes del volumen de una esfera, 437 : 58 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 834 : 59, 996 : 52 de media aritmética-geométrica, 983 : 62 del triángulo, 52 : 45-46, A-5 : 45-46 Diagonales de un rombo, 897 : 18 Diana, 328 : 78 Dinosaurios, 655 : 46 Dióxido de carbono, 279 : 89 Discotecas, 255 : 48 Disminución de ventas, 583, 586 : 29 Disposición de desechos nucleares, 619 : 40 Distancia de un punto a una recta, 834 : 66, 842 : 29-31, 850 : 54-60, 897 : 12-13, 897 : 14-15, 983 : 65, 990 : 26 promedio, 1056 : 39-40, 1076 : 36-42, 1096 : 26-31, 1146 : 20 Doblez, 179 : 82

E e (el número) 193 : 69, 245 : 64, 301 : 73, 307 : 53, 599, 773 como límite, 304-305 como suma de una serie, 527 : 61, 750, 766 irracional, 815 : 63 Ecuación(es) armónica, 960 : 38 de Airy, 809 de Bessel, 796 : 59, 811 : 24 de calor, 929 : 55-56, 960 : 61, 995 : 10-11, 1147 : 28 derivación, 1146 : 25-27

de continuidad, 1147 : 33 de Laplace, 960 : 58, 60, y 69, 1114 : 26, 1147 : 28 de una onda, 929 : 57, 960 : 59 de van der Waals, 279 : 89, 930 : 67, 995 : 18 diferenciales y determinismo, 657 : 64-67 Edad del universo, 553 Edificio Empire State, 328 : 63 El propio ejemplo de Newton, 215 : 18 Eliminación de droga, 586 : 28 Elipse generada por un punto en un segmento que se mueve, 720 : 75 propiedad de reflexión de la, 716 : 81 puntos, más alto y más bajo, 973 : 52, 979, 982 : 42, 983 : 60 Epicicloide, 719 : 64-65 Epitrocoide, 689 Escalera que resbala, 203 : 57, 222 : 120 recargada, 216 : 41 Escobén, 203 : 60 Esfera abollada, 894 : 64 con agujero, 894 : 55 inscrita en un cono, 179 : 81 en una pirámide, 254 : 47 Espiral de Arquímedes, 673 : 50, 679 : 39, 685, 688 : 37, 695 : 27, 898 : 44 logarítmica, 679 : 41-42, 686 Estes Park (Colorado), 101 : 64 Estrofoide, 720 : 80 Examen actuarial nacional, 716 : 76 Existencia de la raíz cúbica, 101 : 66 Expansión adiabática de un gas, 487 : 34 térmica, 961 : 56-57 Explosión teórica, 581

F Fairbanks (Alaska), 894 : 57-59 Federal Express, 23 : 79 Feniletilamina, 606 : 35 Flujo del campo vectorial, 1114 : 21-24 Fluorocarbonos, 656 : 58 Folia de Descartes, 196, 201 : 32, 687 : 30, 696 : 37, 720 : 81, 878 : 54, 956, 970, 1115 : 33 curva parecida a la, 201 : 29, 688 : 41, 720 : 82, 1115 : 41 Forma de ocho, 673 : 52, 679 : 34, 697 : 50-52 Fórmula(s) de Heron, 981 : 36 de reducción, 526 : 49-54 y 62, 532, 533, 572 : 106-108, 814 : 57 de suma para arcotangente, 498 : 64 para coseno, A-18 : 41 para seno, A-18 : 42 para tangente, A-18 : 28 e identidades de divergencia, 1085 : 25-44 Foso infestado de cocodrilos, 983 : 63 Fracción continuada, 732, 814 : 47, 815 : 65

I-3

Fuerza de una viga, 165 : 10 Función(es) armónica, 960 : 69-70 con discontinuidades interesantes, 22 : 56 de Bessel, 786, 796 : 57-60 de error, 618 : 21 de mayor entero, 80, 88 : 61-69, 88 : 73-74, 154 : 43, 244 : 39 de valor absoluto, 15, 141 de valor promedio, 1048 : 47-53 diente de sierra, 92 (ejemplo 4) gama, 566 : 47-48, 567 : 60-61, 796 : 64 hiperbólicas, 756 : 43-44 no diferenciable en cero, 180 : 87 no integrable, 351 : 54-55

G γ (constante de Euler), 764 : 50 Gas ideal, 960 : 63, 960 : 37 Globo inflado, 135 Gotas de lluvia que caen, 136 Gráfica(s) exóticas, 292 sin tangente, 82 Gran problema de Arquímedes, 216 : 37 Grand Lake (Colorado), 101 : 64 Granizo que cae, 618 : 30 que se derrite, 138 : 60 Gzyx, 118 : 51, 215 : 36

H Hélice, 852 longitud de arco, 865 Hipérbola, 665 : 35, 720 : 76 Hipocicloide, 688 : 34-36 Hipoteca, 656 : 55 Hipotrocoide, 689 Hyakutake (cometa), 716 : 77

I Identidades de medio ángulo, 380 : 65-68 Integrales con “truco”, 1017 Interés compuesto continuamente, 307 : 48, 586 : 21 y 26-27 Involuta, 696 : 40-42 Irracionalidad de log2 3, 193 : 72

J Juego de dados, 742 : 70, 743 Juneau (Alaska, “al norte hacia el futuro”), 362 : 64 Júpiter (planeta), 879 : 62

K Kahoutek (cometa), 716 : 77

L La Niña y La Pinta, 203 : 58 Lago(s) circular, 311 : 94 Erie, Hurón, Ontario, 613, 618 : 25 Lamborghini, 586 : 18 Lancha de motor, 619 : 33 y 39, 656 : 52 y 56 Lanzar una moneda, 742 : 68-69

I-4

Índices

Laplaciano, 1135 : 15 Latas de refresco con tapa, 169 : 60, 255 : 55 Lemniscata, 202 : 35, 673 : 45, 673 : 46 Ley de Ampere, 1097 : 42 de Boyle, 51 : 11, A-4, A-5 : 37 de enfriamiento de Newton, 655 : 32 de flotación de Arquímedes, 1135 : 21, 1143 : 22 de Gauss, 1135 : 24-27 de Ohm, A-5 : 39 de Snell, 167 : 48-49 de Torricelli, 204 : 66, 572 : 124, 587 : 39-47 Límite original de l’Hôpital, 301 : 69 que es un reto, 312 : 109 Línea(s) de energía, 169 : 62 sesgadas, 897 : 10 Lingüística, 583, 586 : 30 y 36-37 ln 2, 408, 599, 757 : 59, 779 : 61, 815 : 62 ln 3, 8l5 : 66 log2 3, (irracional), 193 : 72 log10 x, (derivada), 193 : 74 Londres (Inglaterra), 893, 894 : 62 Longitud de arco circular, 498 : 67 de una curva de seno, 456 : 36, 548 : 46 en coordenadas, 897 : 28-29 de la curva Lissajous, 697 : 53 de la elipse, 456 : 36, 548 : 46, 698, 802 : 61-62 de la epitrocoide, 697 : 54 de la hipocicloide, 719 : 68 de la rosa, 697 : 43 y 45 y 49 de un astroide, 456 : 41, 696 : 30 de un puente de cable suspendido, 456 : 45-46 de una curva hermosa, 697 : 55 de una forma de ocho, 697 : 50 del caracol, 697 : 47 Loxodroma, 688 : 39

M Mantel 52 : 64 Máquina lanzadora, 615 Mar Labrador, 711 Marco de papalote, 168 : 52 Masa de cicloide, 1096 : 24 de elipsoide sólido, 1076 : 53 y centroide del cardioide, 1037 : 28 Maserati, 618 : 31 Media, aritmética y cuadrática, cuadrática y aritmética, 996 : 37 Mediana de un triángulo, A-13 : 30 Mercurio elemento, 961 : 57 planeta, 716 : 78, 876, 879 : 57 Mesa, 1015 Mesklin, 411 : 32 Método de recta por un punto, 968 Metrópolis, 119 : 52 México, 45 : 43 Minivan, 204 : 68

Mission of Gravity (Clement, 1954), 411 : 32 Modelo de cohete, 411 : 38 de un ciclo para un auto, 652 : 30 del manto central de la Tierra, 1057 : 49 Molécula de metano, 835 : 70 Momento angular, 863 : 42 de inercia de la lemniscata, 1037 : 35 de un cilindro, 1047 : 28, 1055 : 16 de un cono, 1076 : 27 de un cubo, 1047 : 30 y 33 de una cicloide, 1096 : 24 de una esfera, 1047 : 38, 1052, 1055 : 4, 1056 : 43 de una superficie esférica, 1118 del toro, 1076 : 35 Monte McKinley (Denali National Park), 655 : 35 Monumento a Washington, 328 : 71 Movimiento circular uniforme, 863 : 61 planetario, 480

N Nebraska, 245 : 47 Nitrato de potasio, 629 : 17 Nudo de trébol, 851 Nueva York (Nueva York), 893, 894 : 62 Número(s) de Avogadro, 655 : 46 racionales y series infinitas, 741 : 38-43

O Obtención del volumen de la esfera por Arquímedes, 437 : 58 Oficina de correos, envíos, 10 : 20, 166 : 25-26, 941 : 47-48 Ozono, 45 : 44, 656 : 58

P Paca de heno, 860 Panfleto, 23 : 77 Parábola ecuación de la, 719 : 70 identificación de la, 716 : 75 Paraboloide flotante, 1048 Pendiente de la tangente a una folia, 196 Péndulo, 51 : 14, 145 : 63, 220 : 76, 309 : 21, 406 : 32, 950 : 39-40, A-5 : 40 Perímetro de la órbita de la luna, 802 : 62 π (el número), 408, 527 : 68, 572 : 110-111, 599, 756 : 54, 761, 764, 796 : 56 y 63 dígito 10 mil millonésimo hexagesimal, 554 : 50 Pirámide de Keops, 461 Piscina poco profunda, 12 Pista de carreras, 221 : 94 Plano osculador, 897 : 24 Población de ardillas, 118 : 41 de bacterias, 181 de cocodrilos, 620, 629 : 12 y 20 y 25-26 de EUA, 121, 603, 624, 630 : 29 mundial, 579

Polinomio de grado 4 (gráfica), 29 Polo norte, 894 : 59 Primera identidad de Green, 1135 : 18 Primera ley del movimiento de Newton, 863 : 60 Principio de Fermat del tiempo mínimo, 162 Problemas geométricos vía métodos vectoriales, 824 : 50-54 Producto cruz longitud del, 843 : 36 no asociativo, 842 : 11 no conmutativo, 842 : 27 de Wallis, 527 : 68 escalar triple, 842 : 28 infinito, 527 : 68, 814 : 49-50, 815 : 64 vectorial triple, 843 : 32 Propiedad(es) de integrales dobles, 1005 : 38-40 de reflexión de una elipse, 716 : 81 de una hipérbola, 717 : 87 del valor promedio de integrales dobles, 1013 : 50 Proyección de un paralelogramo, 898 : 36 de una curva, 886-887 : 50-53 Proyectil alcance del, 222 : 98, 234 : 45, 716 : 72-74, 863 : 43-49, 950 : 41 trayectoria del, 62 : 32, 897 : 20 Prueba de sangre, 512 : 67 Puente suspendido, 456 : 45-46 Pulso cardiaco, 487 : 33 Punto(s) colineales, 896 : 4 coplanares, 840 de inflexión, 279 : 86-88 medio, 896 : 1

Q Quitanieves, 606 : 41-42

R Radical anidado o continuado, 729, 732 p , 731 : 63 Raqueta, 1038 : 56 (difícil) Reacomodo de series, 780 : 62-65 Recta de mínimos cuadrados, 996 : 51 tangente, 129 : 54-60 y 66-71, 145 : 65-70, 716 : 67, 717 : 86 Rectángulo inscrito en un círculo, 166 : 35, 178 : 78 en un semicírculo, 175 en una elipse, 167 : 36 rotado, 11 : 44 Redondear4, 11 : 55 Refinería de petróleo, 131 Reflector, 234 : 47 Reflexión de un rayo de luz en un espejo, 162 Renos caribú, 23 : 74 Resistencias en paralelo, 960 : 38, 995 : 17, 996 : 34 Resonancia, 653 : 37 Rombo, A-12 : 28 Rosa, 673 : 47-49 y 51, 697 : 43-46

Índices

S Salida cardiaca, 424 : 50-52 San Francisco (California), 894 : 56 San Petersburgo (Rusia), 894 : 57-59 Satélite, 459, 876 Sección cónica excentricidad de la, 720 : 79 identificación de la, 720 : 83 Segunda identidad de Green, 1135 : 19 Segunda ley de Kepler, 879 : 56 Sendero por el bosque, 179 : 86 Serie(s) armónica, 764 : 49-50 binomial, 787, 796 : 67 de Leibniz, 815 : 62 de potencias arcoseno, 790 arcotangente, 790 ex, 801 : 51 función secante, 801 : 49 función tangente, 796, 811 : 25, 814 : 60 seno hiperbólico inverso, 814 : 59 suma y multiplicación, 796 tangente hiperbólica inversa, 815 : 58 de Stirling, 815 : 61 telescópicas, 741 : 50-55 Silla de montar de mono, 986, 991 : 32 para perro, 991 : 33 Síndrome de Michaud, 629 : 16 Sioux City (Iowa), 424 : 42 Sólido con forma de cuña, 1015 Stonehenge, 581 Sucesión de Fibonacci, 731 : 56, 814 : 48 extraordinaria, 731 : 64 Superficie mínima de Scherk, 960 : 68 Sustitución especial, 573 para racionalizar, 572 : 120

T Tanque cónico con fuga, 129 : 53 Tasa de café estable, 155 Temperatura, A-13 : 33 Teorema de números primos, 407 : 35 de Pitágoras, 898 : 47

Theorie des fonctions analytiques (Lagrange, 1797), 899 Tiburón, 995 : 26 Tienda de campaña, 255 : 49 Toro ecuación, 894 : 63 pellizcado, 1063 : 20 Torque, 863 : 42 Torsión, 898 : 30-32 Trabajo cavar un agujero profundo, 512 : 36 de un mono, 467 : 28 de una máquina de vapor, 467 : 23 elevar el satélite, 1205 : 37-38 hecho por el campo de fuerzas, 1096 : 34-41 llenar el baño de pájaros, 468 : 40 vaciar un tanque de gasolina, 466 : 16 Trapezoide inscrito en un círculo, 166 : 34 en un semicírculo, 179 : 83 Tren suburbano, 166 : 31 Triángulo de área máxima, 982 : 47-48 de perímetro mínimo, 996 : 33 inscrito en un círculo, 981 : 37, 996 : 33 Trineo de perros, 834 : 56 Trocoide, 689, 719 : 63 Truncar4, 11 : 56 Tumor, 657 : 62-63

V Vaca pastando, 696 : 41, 697 : 42 Valor promedio, 371 : 33-44 Varilla dando la vuelta a una esquina, 251, 254 : 45 Vector(es) binormal unitario, 898 : 30 gradiente en coordenadas cilíndricas, 995 : 24 paralelos, 834 : 39-42 Velocidad constante, 862 : 40, 863 : 55 terminal, 619 : 43 Ventana de doble hoja, 742 : 71 Vértices de un tetraedro regular, 835 : 69 Vía de ferrocarril, 216 : 44, 878 : 55, 898 : 45 Viaje en taxi, 23 : 80 Vida útil de un foco, 309 : 22

Viga hexagonal, 179 : 84 horizontal, 950 : 42 Villabuena, 169 : 62 Volumen baño para pájaros, 445 : 47 barrido por un cubo que gira, 1077 : 59 (difícil) barril de vino de Newton, 436 : 51 cilindro con agujero cuadrado, 1019 : 43 cono, 436 : 55, 444 : 35, 475 : 24 y 26, 510 : 14 y 15, 1027 : 29, 1037 : 46, 1076 : 25 cuña (de Arquímedes), 431, 1027 : 26 curva en forma de ocho rotada, 697 : 51-52 de agua, 123, 128 : 51, 130 : 72, 165 : 15 de tienda de campaña, 168 : 53-55 dentro de una cicloide rotada, 695 : 23, 696 : 39, 719 : 67 elipsoide, 444 : 37, 695 : 25, 1019 : 40, 1071 : 14 esfera, 435 : 46, 437 : 58, 439, 445 : 43, 472, 512 : 50, 692, 1019 : 39, 1020 : 52-53, 1023, 1027 : 23, 1028 : 41-43, 1031, 1055 : 3, 1056 : 45 intersección, 435 : 47, 436 : 56-57, 1019 : 37, 1055 : 10, 1056 : 44 observatorio, 435 : 39 paraboloide, 435 : 43, 444 : 36, 445 : 44, 475 : 30 pelota esférica, 424 : 46 pirámide, 435 : 44, 840, 842 : 19-22 segmento, 436 : 48, 444 : 38, 510 : 16, 512 : 17, 1044, 1027 : 33 tapa, 527 : 65 tetraedro, 1019 : 35 toro, 436 : 49, 444 : 39, 472, 1027 : 35, 1032, 1069, 1076 : 34

W Wesleyville (Newfoundland), 711 Wind from the Sun, The, 328 : 79

Z Zembla, 606 : 31 ζ(2), 764, 794 : 68, 1072 : 28-29 ζ(n), valores conocidos y desconocidos de, 764 Zorg, 412 : 35

ÍNDICE GENERAL A Abscisa, A-6 Aceleración, 321, 855 componentes normal y tangencial de la, 871 constante, 322 escalar, 855 Acta Eruditorum (Leibniz, 1684), 225 Adiabática, 1068 Advanced Calculus (Taylor y Mann, 1983), 295 Advanced Calculus of Several Variables (Edwards, 1973, 1994), 979

Agujero(s) negros, 1079 sin fondo, 616 Alanina l y d, 825 Alfabeto griego, A-43 Álgebra vectorial, 819, 821, 838 “Algorithm for the calculation of π”, 754 Almagesto de Ptolomeo, 817 Amplitud variable en el tiempo, 645 Ángulo(s) de inclinación, 12, A-10 directores, cosenos, 830 entre vectores, 829 negativo, positivo, A-13

I-5

Anillo anular, 430 Antiderivación, antiderivada, 315-316 linealidad de la, 318 (vea también Integración) Aproximación de la recta tangente, 398 de puntos extremos, derecho e izquierdo, 394 de Simpson, 399, 402 del punto medio, 397, 402, 999 lineal, 226, 227, 230, A-40 parabólica, 401 por mínimos cuadrados, 1079 trapezoidal, 395, 402

I-6

Índices

arccos x, 496 arccot x, 490 arccsc x, 494 Arco suave, 446 arcsec x, 497 alterna, 498 (problema 63) arcsen x, 493 arctan x, 489 Área(s), 329, 389, 415 bajo gráficas, 330 como límites, 336-337 de regiones del plano, 382 de un círculo, 387 de una superficie, 1059 cónica truncada, 450 de revolución, 450-453 en coordenadas cilíndricas, 1060 en coordenadas rectangulares, 1059 en coordenadas polares, 674 en forma paramétrica, 690 entre curvas, 383, 386 fórmulas de, A-42 por el teorema de Green, 1106 por integración respecto a y, 386 Asíntota, 31 horizontal, 283 inclinada (oblicua), 287 vertical, 281 Atenas (Georgia), 364 Autopista de Pennsylvania, 239 Axioma de la completez, A-24

B Banda de Möbius, 1121, 1126 Barril de vino de Newton, 436 (problema 51) Base para función exponencial, 38 para función logarítmica, 40 Batalla de Hastings, 705 Beso, 869 Bloque esférico, 1051 Bosquejo de curvas y solución de ecuaciones, 261 Budín (figurativo), 210

C Caballos de fuerza, 459, 832 Calculadora y computadora para graficar, 262, 288 coordenadas polares, 670 Cálculo de variaciones, 899 diferencial, 46 Campo de direcciones (de pendientes), 588 de fuerza, 1081, 1098 vectorial, 1080 conservativo, 1101-1102 de la velocidad, 1080 funciones componentes del, 1080 gradiente, 1081 irrotacional, 1139 y funciones de potencial, 1102 Cantidad creciente, decreciente, 110, 115 Caos, 105 Capa(s) cilíndricas, 437 de hielo, 858

Capacidad de contención, 622 Caracol, 672 Cardioide, 668 Cebolla, mondar una, 141 Centro de curvatura, 869 de masa, 468, 469 Centroide, 155, 469, 472, 1028-1031 del alambre, 1088 Ceres (asteroide), 1079 Cero (de una función), 27 Cicloide, 682 Cilindro, 425, 880-881 Circulación, 1139 Círculo o circunferencia de curvatura, 868 máximo, 891 osculadora, 873 Clasificación de puntos críticos, 248-249 Clepsidra, 436 (problema 52), 588 (problema 47) Cociente de diferencias, 57 de funciones, 26 Coeficiente inicial, 32 Combinación lineal de las funciones, 121 de soluciones de una ecuación diferencial, 631 de vectores, 821 Componente(s) de a a lo largo de b, 831 normal y tangencial de la aceleración, 871 radial y transversal de la aceleración, 873-874 Comportamiento creciente, decreciente de funciones, 257-261 de una gráfica cerca del infinito, 256 Composición (de funciones), 37, 94 continuidad de, 94, 934 Concavidad y puntos de inflexión, 270-276 Condición inicial, problema de valor inicial, 320, 369, 576 existencia y unicidad, 598 Conductividad calorífica, 1123 Conjugado, 73 Conjunto acotado de números reales, A-23, A-24 de Mandelbrot, 659 Cono elíptico, 883 Conservación de la energía mecánica, 1103 Constante de amortiguamiento, 641 de decaimiento, 580 de Euler (γ), 764 (problema 50), 779 (problema 61) del resorte, 458, 651 Construcciones con regla y compás, 1079 Continuidad, 91-92 de composiciones, 94, 914 de f (x, y), 912 de funciones racionales, 93, 95, 853 de polinomios, 93, 96, 913 de un lado, 96 en un intervalo cerrado, 96-97 en un punto, 91 uniforme, A-30

Convergencia absoluta implica convergencia, 774 de sucesiones, 207, A-27 Coordenadas cilíndricas, 887 elípticas, 1072 (problema 20), 1076 (problema 53) en el plano cartesiano, A-6 esféricas, 889 polares, 665, 666, 696 rectangulares, 825, A-6 Corrimiento del índice de la suma, 805 cosh x, 507 (problema 69), 575, 607 (problema 43) vea también Funciones hiperbólicas Costo (fijo, adicional, total), 158 Cota inferior, A-23 máxima, A-24 superior, 731 (problemas 61 y 62), A23 mínima, A-24 Crear frecuencias falsas, 42 Crecimiento de población, 576, 579, 603 Cuarto grado (polinomio de), 29 Cubiertas, 662 Cuentas de ahorro, 604 Cuña de Arquímedes, 431-432 Curva(s) “mariposa”, 670 cerrada, 1105 de aproximación, 871 de contorno, 903 de nivel, 903 de solución (de una ecuación diferencial), 578, 588 Lissajous, 681 paramétrica, 680,683, 851 polares como curvas paramétricas, 685 suave, 1087, 1090-1091 u, 1064 v, 1064 Curvatura, 866-870 Cúspide, 142, 683

D Da vuelta hacia arriba, hacia abajo, 267-268 De la Tierra a la Luna (Verne, 1865), 560 Decaimiento radioactivo, datación con radiocarbono, 580-582 Decimal repetido infinitamente, 736 Definición de funciones con series de potencias, 808 Derivación, 106 de funciones de valores vectoriales, 853 implica continuidad, 143 implícita, 198 logarítmica, 190-191 por componentes, 853 Derivada(s), 46, 58, 71, 106, 119-123 de combinación lineal, 121 de funciones, 107, 182-184, 189-190, 483, 485, 853 de polinomio, 123 de seno y coseno, 170 de tangente, secante, etcétera, 172 de una constante, 120 de una función inversa, 187

Índices direccional, 962-964 notación alternativa, 119 parciales, 939-950 de segundo orden, 926 interpretación geométrica de las, 922 por la derecha y por la izquierda, 119 (problemas 54-60) regla de la cadena, 131, 132 regla de la potencia generalizada, 138 segunda (y más altas), 266 Desarrollo de Arquímedes del volumen de la esfera, 437 (problema 58) Desigualdad(es), A-I conjunto de soluciones, A-3 del triángulo, A-2 Desplazamiento, 418 Desviación estándar, 562 Determinante, 835-836 Diagrama indicador, 1068 Diferencia (de funciones), 26 Diferencial, 109, 226, 231 Differential Equations: Computing and Modeling (Edwards y Penney, 2004), 595 Difusión de información, 604 térmica, 1132 Dimensiones (al verificar respuestas), 162 Discontinuidad, 16, 36, 91, 92 Discriminante, 984 Disquisitiones arithmeticae (Gauss, 1801), 1079 Distancia, A-2 en el espacio, 826 en el plano, A-6 neta, 418 promedio, 1076 (problemas 35-42) total, 4l8 Distribución de números primos, A-28 Divergencia (del campo vectorial), 1082, 1112 fórmulas e identidades, 1085-1086 (problemas 25-44) Doble hélice, 852 Dominio (de función), 2, 4, 900 Double Helix, The (Watson, 1968), 852

E e (el número), 40, 75 (problema 57), 184, 194, 478, 515, 753, 766 como exp(1), 481 Ecuación(es) auxiliar o característica (de una ecuación diferencial), 634 de calor, 1132 de crecimiento, 578-581 de la recta vertical y horizontal, 13 de Laplace, 1141 de población general, 620 diferenciales, 314, 576 con coeficientes constantes, 633 condición inicial, 320, 576 de primer orden, 609 de segundo orden, 631 lineal, 602, 607, 631 logística, 591, 621 muy sencillas, 320-325 parcial, 1132 separable, 599

solución particular de la, 320, 576, 577, 600, 803 escalar del plano, 846 existencia de soluciones de las, 97 paramétricas, 681, 851 pendiente-intersección, 12, A-9 polar de una sección cónica, 712 punto-pendiente, 12, A-9 simétricas de la recta, 845 trascendental, 41 vectorial del plano, 845 Ejes, x y y, A-6 Elemento de área superficial, 1117 Elementos (de Euclides), 1079 Elements of Differential and Integral Calculus (Granville et. al., 1929), 716 (problema 75) Elevación, A-7 Eliminación de drogas, 582 Elipse, 662-663, 702, A-39 diámetro de una, 719 (problema 71) directriz de la, 702 ejes mayor y menor de la, 703 excentricidad de la, 702 foco de la, 702 propiedad de reflexión de la, 706 semiejes de la, 703 vértices de la, 703 Elipsoide, 882 Energía cinética de la rotación, 1034 potencial, total y cinética, 1103 Enigma, 659 Epiciclo, 817 Error absoluto o relativo, 229 en aproximaciones, 402 Escalares, 818 Esfera, 826 Espacio n dimensional, 916 Espectro, 105 Estimación de residuos, 768 Estrategia(s) de integración, 568-569 para bosquejo de curvas, 285 Estrecho de Messina, 456 Evaluación de integrales, 354 Evento binario, 563 Excentricidad, 663 Existencia de extremos, 147, 931 de integral doble, 1006 de p las rectas tangentes, 81 de , 298 y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, 611 Expansión decimal, A-1 Experimentos de química humeante, 105 Explosión o extinción, 625 Extremo, 148, 246, 931-932, 934

F Factibilidad, 161 Factor cuadrático, 539 de integración, 607-608 lineal, 537

I-7

Flujo de calor, 1123 de fluido en tuberías circulares, 419 de un campo vectorial, 1111 Foco, 663 Folia de Descartes, 196, 204 Forma cuadrática, 988 de Lagrange para el residuo, 748 diferencial, 1090 indeterminada ∞ − ∞, 302 ∞/∞, 298 ∞0, 303 1∞, 303 00, 296, 307 (problema 52) 0/0, 301 0∞ no indeterminada, 304 00, 303 y series de potencias, 797 vectorial del teorema de Green, 1112 Fórmula(s) cuadrática, 11 (problemas 57-66) de álgebra, geometría, trigonometría, A-4l a A-43 de Cardano, 262; vea también George S. Carr, Formulas and Theorems in Pure Mathematics (Nueva York: Chelsea, 1970), Artículo 484 de derivación, 854 de Euler, 515, 637, 753 de la distancia, 13, 826, A-6 de la suma para la tangente, A-18 (problema 28) para seno y coseno, 170, A-14 de reducción para cosn x, 552 para secn x, 524, 532, 552 para tann x, 532 de Taylor, 748 de grado n con residuo, 749 demostración de la, A-38 de volumen, A-42 del binomio, A-42 para ángulos dobles, A-14 Fracciones parciales, 536 Frecuencia, 642, 643, 645 Fuente, 1131 Fuerza ejercida por un líquido, 463 externa, 641 Función(es), 2 algebraica, 31 con derivadas, 239 continua, 91 creciente y decreciente, 235, 240, 280 cuadrática, 17 de Airy, 808-810 de área de la sección transversal, 426 de Bessel, 786, 793 (problema 57) de diente de sierra, 16, 92 de dos, tres variables, 900 de error, erf(x), 562, 618 (problema 21) de n variables, 916 de posición, 112, 321 de potencia, 24, 479, 484

I-8

Índices de potencial, 1101, 1102 de valores vectoriales, 852 continuidad, 853 derivada, 853 límite, 852 derivable, 106, 967-968 dominio de la, 2, 4, 900 elemental, 397 entero mayor, 3, 16 exponenciales, 38, 180, 482 base a, 38, 182, 482 natural, 184, 480 gamma,  (t ), 559, 566 (problemas 47-48), 793 (problema 64) hiperbólicas, 499 derivadas e integrales de las, 500-501, 503-504 en términos de logaritmos, 504 gráficas de las, 500 identidades, 499 inversas, 502-505 implícitamente definidas, 196 integrable, 345, 1006 inversas, 186, 488 vea también funciones específicas por nombre; por ejemplo, arctan límite cuando x crece sin límite, 282 logarítmicas, 40, 185-188, 476 no integrable, A-32 par, impar, 176, 381 (problemas 77-78) racionales, 30 continuidad de las, 93 propia, 536 raíz, 139 recorrido de la, 2 suave, 446 suma, diferencia, etcétera, 26 trigonométricas, 34-36, 171, A-13, A-14 derivadas de las, 172-173 inversas, 498 periodicidad de las, A-16 uno a uno, 488 valor de la, 2 absoluto, 15 zeta de Riemann, 764-765, A-28 vea también ζ (zeta, en el índice de problemas y ejemplos)

G γ (constante de Euler), 764 (problema 50), 779 (problema 61) Galería de los secretos, 706 Ganancia, 416 Generador (de un cono), 662 Geometría analítica plana, 660 diferencial, 1079 no Euclidiana, 1079 Giza (Egipto), 461 Gradiente, vector gradiente, 965 analogías con Dx, 972 (problemas 35-38) como vector normal, 968 fórmulas e identidades, 1085-1086 (problemas 25-44) linealidad del, 1082 regla del producto, 1082 significado del, 967

Gráfica(s), 13, 15 de función de dos variables, 902 de y  ln x, 477 en coordenadas cilíndricas, 888 en tres variables, 826, 879 polar, 666 Gravitación, 105, 113 g (aceleración gravitacional) 113, 324, A-41 Greenwich (Inglaterra), 891

H Hipérbola(s), 662-663, 706, A-39 asíntotas, 708 centro de la, 708 definición de diferencia, 717 (problemas 88-89) directriz de la, 706 ejes de la, 707 excentricidad de la, 706 foco de la, 706 propiedad de reflexión, 711 ramas de la, 707 rectangular, 24 vértices de la, 707 Hiperboloide, 883-884 Hipótesis de Riemann, 764 Historical Development of the Calculus, The (C. H. Edwards, Jr., 1979), 338, 432

I i (número imaginario), 478, 515, 752 i (vector unitario), 821, 828 Identidad de medio ángulo, 528, A-14 fundamental de trigonometría, A-14 Imágenes de fractales, 105, 213 Incremento, 54, 108, 109, 226, 963, A-7 Índice de la suma, 333, 805 de refracción, 167 (problema 48) Integración de funciones de valores vectoriales, 856 indefinida por sustitución, 374, 517 por componentes, 857 por partes, 521 Integral(es) aproximaciones, 396-402 como un límite, 344-346 de línea de una función a lo largo de una curva, 1087 dependiente o independiente de la trayectoria, 1092, 1098, 1100 equivalentes, 1094 respecto de coordenadas variables, 1089 respecto de la longitud de arco, 1087 teorema fundamental del cálculo, 1097 de productos de secantes y tangentes, 530-532 de superficie, 1117, 1119-1120 definida, 316, 345, 414 doble, 998, 1006 en coordenadas polares, 1021 evaluación de, 1008

inversión del orden de integración, 1009 elíptica, 698, 802 (problema 61) en estadística y probabilidad, 561-565 evaluación de la, 354 existencia de la, 346, A-29 impropia, 555, 556-557 iteradas, 1000-1003 logarítmica, 413 múltiples, 998 parcial, 1001 propiedades básicas de las, 357-359 triple, 1040 en coordenadas cilíndricas, 1049 en coordenadas esféricas, 1052 Interés compuesto continuamente, 582 Intersección (de conjuntos), A-5 Intersección y, 12, A-9 Intervalo(s), 4, A-3 Introductio in Analysin Infinitorium (Introducción al análisis infinitesimal) (Euler, 1755), 515 Involuta, 696 (problema 40) Isobaras, 904 Isotermas, 904, 1068 Iteración, 206

J j (vector unitario), 821, 828 Jacobiano, 1065-1068 Jalón, 871 Joule, 832

K k (vector unitario), 828 Kings Park (Perth), 852 Kristiansand (Noruega), 239

L Lámina, 469 Latitud, 891 Leçons sur le calcul des fonctions (Lagrange, 1866), 899 Lemniscata, 669 Ley(es) de Arquímedes de la flotabilidad, 1133, 1135 (problema 21), 1143 (problema 22) de compresión de los límites, 78 para sucesiones, 725 de conservación de energía mecánica, 1103 de enfriamiento de Newton, 314, 602 de flujo laminar de Poiseuille, 420 de Gauss, 1124, 1133, 1135 (problema 24) de Hooke, 458, 641 de Kepler del movimiento planetario, 817, 873 primera, 873 segunda, 716 (problema 69), 717 (problema 96), 873, 875 tercera, 480, 873 de la gravitación de Newton, 459, 818, 873-875

Índices de la palanca, 468 de la suma del triángulo, 819 de los cosenos, 829, A-43 de los exponentes, 181, 482 de los gases ideales, 900, 930 (problema 63) de los límites para funciones, 68-69 para sucesiones, 725 de los logaritmos, 187, 478, 485 de los senos, A-43 de Snell, 167 (problemas 48-49) de sustitución para sucesiones, 725 de Torricelli de drenaje, 314, 576, 583-585 del paralelogramo para la suma, 819, 827 li(x), 413 Límite(s), 56, 65, 85, A-19 al infinito, 282-285 de funciones, 726, 852 demostraciones, A-20 a A-23 infinitos, 82 laterales, 79-81 leyes de los, 68-71, 78 trigonométrico, 77, 84 unicidad de los, A-23 (problema 11) Linealización, 233 Litroticia de ondas de choque, 706 Llantas de carros de carreras, diseño óptimo de las, 1038 ln, 769 Logaritmo(s), 40 común, 40, 185 con base a, 185, 484 natural, 40, 76, 188 y datos experimentales, 480 Londres (Inglaterra), 892-894 Longitud de arco, 690, 865 vea también Función de longitud de arco, 866 de un vector, 827, 916 de una curva, 446-449 natural de un resorte, 458 Longs Peak (Colorado), 903 Lugar geométrico, 660

Media vida, 580 Medida, en grados y en radianes, 170, A-15 Meridiano de Greenwich, 892 Mesas de billar, 706 Método babilónico de la raíz cuadrada, 205-206 de capas cilíndricas, 437 de Euler, 592-595 de fracciones parciales, 535 de máximo y mínimo en un intervalo cerrado, 149 de Newton, 105, 207, 262 con calculadoras y computadoras, 210-211 y gráficas por computadora, 211-213 de secciones transversales, 425 Método, El (Arquímedes), 313 Micronote on a functional equation, 488 Mission of Gravity (Clement, 1984), 411 Modelado matemático, 5, 7 Molécula de ADN, 852 Momento, 468, 841 de inercia, 1033, 1041 de un alambre, 1088 polar de, 1033 Movimiento amortiguado, 644 amplitud variable en el tiempo, 645 frecuencia circular, 645 seudoperiodo, 645 armónico simple, 643 de proyectiles, 859 con resistencia, 614 no amortiguado, 642 vertical, 113-114 con aceleración gravitacional constante, 324-325 Muestreo, 563-565 Multiplicadores de Lagrange, 974-979 Multiplicidad de factores cuadráticos, 539 de factores lineales, 537 Múltiplo escalar (de una función), 26 Mysterium Cosmographicum (Kepler, 1596), 817

M

N

Magnitud, vea Vector (longitud) Máquina (motor) analítica, 53 de Carnot, 1068 diferencial, 53 Mareas, 177 Masa, 416, 1028, 1040 de un alambre curvado, 1086, 1088 Matriz de derivadas, 957 Máximo y mínimo global (absoluto), 246, 931, 934 prueba de la primera derivada para el extremo, 252 local (relativo), 246, 932 condiciones necesarias para el valor, 933 prueba de la primera derivada para el extremo, 247 Mecánica celeste, 899 Mecanique analytique (Lagrange, 1788), 899

NASA 0012 superficie de sustentación, 31 Norma (de una partición), 345, 998, 1006 Notación de suma, 333 diferencial, 108-109 Nueva York (Nueva York), 893 Número complejo, 211 conjugado, 212 primo, 413 racional e irracional, 736, A-1 recta real, A-1

O Operador diferencial vectorial, 1082 Órbita geosíncrona, 876 Orden de integración, invertido, 1009 de magnitud de e x y ln x, 296-298

I-9

Ordenada, A-6 Orientación (de una curva suave), 1090 Origen, A-6 Oscilaciones forzadas, 647 Oslo (Noruega), 239

P Pappus primer teorema, 472, 1031 segundo teorema, 473, 1033 Parábola(s), 17-18, 662-663, 699, A-39 directriz de la, 699 eje de la, 700 foco de la, 699 propiedad de reflexión de la, 701 vértice de la, 17, 700 y rectas tangentes, 58 Paraboloide elíptico, 883 hiperbólico, 885 Paradoja de Zenón, 722 Parametrización de la longitud de arco, 866 Parámetro, 680 Partición, 341, 998 esférica, 1051 interior (interna), 1006, 1039 norma de la, 345, 998, 1006 polar, 1020 regular, 346 selección de la, 998, 1006 Pendiente, 12, 106, A-7 de la recta horizontal, A-8 de la recta tangente, 58 de la recta vertical, A-8 de rectas paralelas, A-10 de rectas perpendiculares, A-10 Periodicidad de las funciones trigonométricas, 35 Periodo, 643 Perth (Australia), 852 (el número e), 338, 774 (x), función para contar números primos, 413 Peso, 459 Pies-libra, 832 Piso, 4, 16 Planetas y satélites, 874-876 Plano(s) ángulo entre, 846 coordenado, 825, A-6 ecuación escalar, 846 ecuación vectorial, 845 paralelos, 846 tangente, 924, 969 vector normal, 846 Población(es) acotadas, 621 depredador-presa, 626 en equilibrio, 622 limitante, 622 umbral, 625 Polinomio(s), 27 continuidad del, 92 cuadrático irreducible, 536 de Taylor, 746 derivada de, 123 Polo norte, 858

I-10

Índices

Posición de equilibrio, 641, 651 Potencia, 459, 832 Potencial de velocidades, 1141 Presión, 463 Primer octante, 825 “Príncipe de las matemáticas”, 1127 Principia Mathematica (Newton, 1687), 105, 818, 873, 1127 Principio de Cavalieri, 427 de simetría, 469, 1029 de traslación, 14, 18 Probabilidad, 562 Problema(s) de la braquistocrona, 682 de la catenaria, 575 de la tangente, 46 de máximo-mínimo en intervalos abiertos, 249-252 variables múltiples, 937 de mezclas, 612 de tasas relacionadas, 197 del área, 47 isoperimétrico, 899 “...nariz del cono (Newton)” (Edwards), 1127 Procesos inversos, 367 Producto cruz, 835 longitud del, 837 no conmutativo, 836, 838 perpendicularidad del, 835 propiedades algebraicas del, 838 significado geométrico del, 837 de funciones, 26 escalar, vea Producto punto escalar triple, 839 y volumen, 840 infinito, 527 (problema 68), 814 (problemas 49 y 50), 815 (problema 64) punto, 828 interpretación del, 829 propiedades del, 829 vectorial, vea Producto cruz Promedio, 363-364 Pronosticador de pendiente(s), 46, 54, 56, 58, 59, 71, 106 Pronóstico de alta contaminación atmosférica, 904 Propagación de enfermedades, 604 Propiedad(es) de las integrales dobles, 1010 de simetría de ecuaciones, 661 de una sucesión monótona acotada, 728, A-24 del intervalo anidado, A-25 del valor intermedio (medio), 97, A-25 del valor máximo y mínimo, 147 Prueba de comparación, 765, 767 de concavidad, 270 de la integral, 758, 760 de la línea vertical, 15 de la primera derivada, 247, 252 de la raíz, 777 de la razón, 776

de la segunda derivada, 268, 984 de punto de inflexión, 272 de series aalternas, 771 de vectores, 830 del n-ésimo término para divergencia (de series), 737 estimación del residuo, 772 Pulgas (figurativo), 213 Punto(s) crítico, 149, 934 de inflexión, 270-276 dulce, 1035 interior, 246, 932 límite, A-26 medio, 826, A-7 silla, 885, 984

R Radio de curvatura, 868 de giro, 1035 p , 97 “Ramanujan and pi”, 774 Rango (o recorrido) de un proyectil, 178 (problema 73), 702 de una función, 2 Rapidez, 113, 855 Raqueta de tenis, 1035 Reacomodo y agrupamiento (de series), 769 Recorrido, A-7 Recta(s) ecuaciones, 843-845 normal, 59 paralelas, A-10 perpendiculares, A-10 secante, 54 sesgadas, 844 tangente vertical, 142 Rectángulo polar, 1020 Redondear4, 11 (problema 55) Refinamiento (de una partición), A-29 Refuta (nemotécnica), 889 Región centralmente simple, 1052 conectada simplemente, 1139 horizontalmente simple, 1008, 1014 plana acotada, 1006 plana conectada, 1013 (problema 50) radialmente simple, 1022 verticalmente sencilla o simple, 1008, 1014 Regla de l’Hôpital, 297-299, 575, 727, A-37 de la cadena, 131-133, 135-136, 232-233,951, 953, 957 de las potencias, 120-121, 126, 134, 138, 140, 319 del cociente, 126 del producto, 125 del recíproco, 125 Relación de recurrencia, 804 Reloj de agua, vea Clepsidra Repaso de secciones cónicas, 718 Representación de f (x) con series de potencias, 785 Residuo(s) de grado n, 748 estimación de, 768, 772

Resolución de un vector en sus componentes, 822 Resonancia, 648 Resortes, 458 Restricción, 974 Resumen del área de superficie, 453 Rizo (de un campo vectorial), 1083 fórmulas e identidades, 1085-1086 (problemas 25-44) Rodillo para pintar, 353 Rondana, 430 Rosa de cuatro pétalos, 668

S Salida cardiaca, 420-421 Sección cónica, 660, 662-663, A-39 transversal, 425 Segmento de recta con dirección, 818 Segunda derivada, importancia de la, 267 Segunda ley del movimiento de Newton, 615 Selección, 341 Separación de variables, 600 Serie(s) armónica, 738-739, 771 binomial, 787 convergentes condicionalmente, 775 de Leibniz, 753 de Maclaurin, 751, 786 de potencias, 780, 781, 784, 789, 790, 797, 803 de Stirling, 815 (problema 61) de Taylor, 780, 786 geométrica, 734-735 infinita, 732-739, 760, 776-777, 779 p, 759 Seudoperiodo, 645 sgn(x), función signo, 89 (problema 70), 91 (ejemplo 2) Signo de la primera derivada, 235 Simetría en coordenadas polares, 668 “Similitudes en las pruebas de irracionalidad para π, ln 2, ζ(2), y ζ(3)”, 1072 sinh x, vea Funciones hiperbólicas Sistema heliocéntrico, 817 masa-resorte, 641-649 Situación de competencia, 624 de proporción conjunta, 624 de un entorno limitado, 624 Sólido de revolución, 427 Solución(es) de equilibrio, 610 “...de un problema de cálculo sobre el volumen mínimo”, 983 (problema 64) general, 576, 633 implícita (de ecuación diferencial), 577 independientes (de ecuaciones diferenciales), 632 particular, 576 singular, 601 Special Functions (Andrews, Askey y Roy, 1999), 765 St. John’s (Newfoundland), 711 Standard Mathematical Tables and Formulae, 516

Índices Submarino, 858 Sucesión de Fibonacci, 723 infinita, 722-728, A-24 definida de manera recursiva, 723, 731 Suma(s) de áreas, 335-336 de k-ésimas potencias, 334 de los momentos, 469 de puntos, 342-343, 1005 de Riemann, 342, 414, 998, 1006, 1040, A-33 parciales, 739 por componentes, 819 Sumidero, 1131 Superficie(s) cerrada, 1128 cuádricas, 882 de nivel, 904 de revolución, 449, 882 ecuación de las, 882 eje de las, 882 en forma paramétrica, 690 de Riemann, 413 orientable, no orientable, 1121 orientada, 1136 paramétrica, 1057 suave, 1057, 1128 vector normal a, 1058 tipo sombrero, 906 traza de la, 879 Sustitución(es) de límites, 70 en integrales definidas, 377 trigonométrica, 543

T Tabulación repetida, 7 Tamaño de paso (en el método de Euler), 596 Tangente (recta), 54, 57, 853 Tasas de cambio, 109, 110, 114, 124, 952, 963 de crecimiento, 579 de muertes, de nacimientos, 620 Techo, 4 Telescopio reflejante, 711 Teorema de Bolzano-Weierstrass, A-26 de Green, 1106, 1108, 1112 de la divergencia, 1079, 1127, 1128

de la función implícita, 955 de los números primos, 407 (problema 35), 1079 de Pitágoras, A-6, A-7, A-42 de Rolle, 237 de Stokes, 1136, 1138 del límite central, 564 del sándwich, vea Ley de compresión del valor medio, 236-239, 365, 1002, A-36 fundamental del álgebra, 27 fundamental del cálculo, 48, 314, 366, 997 para funciones de valores vectoriales, 857 para integrales de línea, 1097 general del cambio de variables, 1066, 1068 Término (en la suma), 333 Theory and Application of Infinite Series (Knopp, 1971), 796 Tiempo para duplicarse, 39 Tiende a, 85 Torre ADN (Perth), 852 CN (Toronto), 832 Tour de force, 1127 Trabajo, 416, 457-461, 832, 1093 Transformación, 957, 1064 Traslación de gráficas, 14 Trayectoria, 859, 1098 Triángulo característico (de Leibniz), 225 Truncar4, 11 (problema 56) Tubo de rayos catódicos, 856

U Unidades de medida, A-41 Unión (de conjuntos), A-4 Último teorema de Fermat, 659

V Valles de atracción de Newton, 212 Valor absoluto, A-2 de una función, 2 máximo, mínimo, 147-149, 246, 931-932 presente (del dólar futuro), 561 Variable(s) aleatoria normal, 562 dependiente, independiente, 3, 901, 952 intermedia, 952

I-11

Vecindad, 65 Vector(es), 818 cero, 819 componentes, 818 con dirección opuesta, la misma, 820 de posición, 818, 827, 852 diferencia de, 820 igualdad de, 819, 827 longitud de, 818, 827 múltiplo escalar, 820, 827 negativo de, 820 normal, 846 paralela, perpendicular, 829 producto cruz, 835 producto punto, 828 suma, 819, 827 tangente, 853, 867, 869, 1092 torque, 840 unitario, 821, 828, 868, 870, 873 velocidad, 818, 855 de velocidad aparente, 824 (problemas 47-49) Velocidad de escape, 560 instantánea, 112 limitante, 590, 616 promedio, 112 y aceleración, 112, 321-322 Vientos del Sol, Los, 328 Volumen, 416, 425, 690 de segmento esférico, 217 de sólido de revolución, 427-429 de un sólido, 1013, 1040 entre superficies, 1016 por integrales iteradas, 1014 por secciones transversales, 427 y producto escalar triple, 840

W “Wheels on Wheels on Wheels-Surprising Symmetry” 698 (problema 55)

X x simple, 1043

Y y simple, 1043

Z z simple, 1041

TABLA DE INTEGRALES FORMAS ELEMENTALES

FORMAS TRIGONOMÉTRICAS

La tabla de integrales continúa al final del libro

Tabla de integrales, continúa de la hoja anterior

FORMAS QUE IMPLICAN

FORMAS QUE IMPLICAN

FORMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Edwards.SE.cvr.mech

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12:48 PM

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ÁLGEBRA Fórmula cuadrática Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se dan por

(n1 ) x y + ( n2 ) x y n n y +…+( xy +y , + … + ( )x k n − 1) n n! donde el coeficiente binomial ( ) es el entero . m m!(n − m)! En general, (x + y)n = x n +

2 x = − b ± b − 4ac . 2a Notación factorial Para cada entero positivo n, n! = n(n − 1)(n − 2) … 3 .2 .1; por definición, 0! = 1.

n

(a r )s = a rs

m

a ra s = a r + s ar = ar − s as

n−2 2

n−1

n

Factorización Si n es un entero positivo, entonces x n − y n = (x − y)(x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3y 2 + … + x n − k − 1 y k + … + xy n − 2 + y n − 1).

x m = ( x ) = x m/n

Exponentes (ab)r = a r b r

n−1

n−k k

Radicales n

FORMAS HIPERBÓLICAS

Fórmula binomial (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3 y + 6 x 2 y 2 + 4xy3 + y 4

FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS

Si n es un entero positivo impar, entonces x n + y n = (x + y)(x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3y 2 − … ± ± x n − k − 1 y k … − xy n − 2 + y n − 1).

1 x −n = n x

GEOMETRÍA

Área del triángulo:

Fórmulas de distancia Distancia sobre la recta numérica real: d = |a − b|

A = 12 bh

h

d

a

Área del rectángulo: A = bh h b

b

b

Distancia en el plano coordenado: d

d = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

(x2, y2)

(x1, y1) Ecuaciones de líneas y circunferencia

Área de la circunferencia: A = πr 2 Circunferencia: r C = 2πr

Área del trapezoide: b2 b + b2 A= 1 h 2 h

y

b1

Ecuación de la intersección de la pendiente: y = mx + b

Pendiente: m (0, b) Volumen del cilindro: V = πr 2h

Volumen de la esfera: x

Ecuación de punto pendiente: y − y1 = m (x − x1)

Pendiente: m (x1, y1)

V=

4 πr 3 3

r

Área de la superficie: A = 4πr 2

Área de la superficie curvada: A = 2πrh

r

h

y

Circunferencia con centro (h, k) y radio r : (x − h)2 + (y − k)2 = r 2

Volumen del cono: V = 13 πr 2h

(h, k) x

TRIGONOMETRÍA + =1 tan2A + 1 = sec2A

sen2 A

cos2A

h

Superficie del área curvada:

( la identidad fundamental )

cos 2A = cos2A − sen2A = 1 − 2 sen2A = 2cos2A − 1 sen 2A = 2 sen A cosA

A = πr r 2 + h2

r

cos(A + B) = cos Acos B − sen Asen B cos(A − B) = cos Acos B + sen Asen B sen(A + B) = sen Acos B + cos Asen B sen(A − B) = sen Acos B − cos Asen B cos2A =

1 + cos2 A 2

sen2A =

1 − cos2 A 2

INTEGRALES DEFINIDAS

Véase los apéndices para más fórmulas de referencia.

si n es un entero par y n si n es un entero impar y n

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