Cálculo Avanzado de Francisco Caicedo

Cálculo avanzado Introducción

José Francisco Caicedo Contreras

Cálculo avanzado Introducción

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Bogotá, D. C., Colombia, agosto de 2012

© Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas © José Francisco Caicedo Contreras

ilustración portada y contraportada Profesor Gustavo Rubiano Departamento de Matemáticas isbn 978-958-761-239-4 Mathematics Subject Classification (MSC2010): 26E15, 26E20 Primera edición, 2012

Bogotá, Colombia Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Caicedo Contreras, José Francisco, 1939Cálculo avanzado / José F. Caicedo -- 2a. ed. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xvi, 410 p. Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-239-4 1. Análisis matemático 2. Análisis funcional no lineal 3. Cálculo 4. Teoría de los grupos I. Tít. CDD-21 515 / 2012

Contenido

Prefacio

XIII

1 Espacios vectoriales normados

1

1.1

Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Espacios m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Espacios topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6

Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7

Aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.8

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

vii

viii

CONTENIDO

2 La diferencial como aplicaci´ on lineal

69

2.1

Aplicaciones F -diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2

Aplicaciones G-diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3

Aplicaciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4

Propiedades de la derivada

2.5

Derivada de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.6

Derivadas de aplicaciones con coordenadas . . . . . . . . . 92

2.7

La matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.8

El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.9

Derivada Fr´echet, derivada compleja . . . . . . . . . . . . 102

. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.10 Funciones continuamente diferenciables . . . . . . . . . . . 108 2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Derivadas de orden superior

119

3.1

Aplicaciones de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . 120

3.2

La segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3

La matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4

Clase C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.5

Aplicaciones de clase k ≥ 1 con coordenadas . . . . . . . . 150

3.6

Simetr´ıa de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.7

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

CONTENIDO

´ 4 Algebras de Banach

ix 179

4.1

Series en ´algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.2

El conjunto de inversibles en ´algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.3

Derivada de inv : G → G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.4

Exponencial en ´algebras de Banach con unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.5

Aplicaci´on a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 207

4.6

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5 Desigualdad del valor medio

215

5.1

La desigualdad del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.2

Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.3

Derivada de Gateaux y valor medio . . . . . . . . . . . . . 235

5.4

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6 Integraci´ on en espacios de Banach

241

6.1

Extensi´ on de funciones lineales continuas

. . . . . . . . . 241

6.2

Integral de aplicaciones salto . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3

Adherencia de las funciones salto y aplicaciones regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.4

Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.5

El teorema fundamental del c´alculo . . . . . . . . . . . . . 267

x

CONTENIDO

6.6

Integraci´ on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.7

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7 Teorema de Schwarz y Taylor

279

7.1

Definici´ on de derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . 280

7.2

Relaci´ on entre derivada parcial y clase C k . . . . . . . . . 281

7.3

Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.4

Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.5

Diferenciaci´on bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . 308

7.6

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8 Funci´ on inversa e impl´ıcita

317

8.1

Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

8.2

Principio de contracci´on de Banach . . . . . . . . . . . . . 322

8.3

Teorema de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.4

Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . 339

8.5

Teorema de inmersi´ on local . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

8.6

Teorema de Inyectividad Local . . . . . . . . . . . . . . . 352

8.7

Teorema de submersi´ on local . . . . . . . . . . . . . . . . 353

8.8

Teorema del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

8.9

Teorema del rango constante . . . . . . . . . . . . . . . . 360

8.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

CONTENIDO

9 M´ aximos y m´ınimos

xi 369

9.1

Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

9.2

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Bibliograf´ıa

401

´ Indice alfab´ etico

405

Prefacio

Este libro introductorio al C´ alculo Avanzado presenta el resultado de cursos que he dictado sobre el tema durante varios a˜ nos en el posgrado de Matem´ aticas de la Universidad Nacional de Colombia; originalmente surgi´ o como notas de clase y he usado parte de ellas en el curso de An´alisis III de la carrera de Matem´ aticas. El objetivo principal de la obra es proveer los conocimientos b´asicos para los cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ecuaciones Diferenciales Parciales, Topolog´ıa Diferencial, Variedades Diferenciales, Mec´ anica y otros que se imparten, tanto en el pregrado, como en el posgrado de Matem´ aticas, a fin de que el estudiante se familiarice con el lenguaje moderno del C´ alculo, sin que pierda el sabor e intuici´on propios de la matem´atica cl´ asica. Desarrollamos la teor´ıa, usando el lenguaje de los espacios vectoriales y teniendo, como cuerpo de escalares, los n´ umeros reales R en espacios vectoriales normados. La mayor´ıa de los resultados se extienden a espacios vectoriales normados con cuerpo de escalares C. El curso se desarrolla suponiendo que el estudiante ya ha recibido ´ un curso preliminar de Algebra Lineal y se entienden como conocidos los conceptos de espacio vectorial y las nociones de base y dimensi´ on de un espacio vectorial, de independencia lineal de vectores, de aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales, etc. Sin embargo, recordamos a lo largo del texto algunos de estos conceptos.

xiii

xiv

CAP´ITULO 0. PREFACIO PREFACIO

En el cap´ıtulo 1 procuramos dar los resultados que usaremos en los cap´ıtulos siguientes, con el ´animo de precisar el lenguaje a usar en el resto de estas notas; quien haya estudiado Espacios M´etricos, Topolog´ıa General y An´alisis Funcional, puede evitar el breve repaso que hacemos en este cap´ıtulo. Por motivos did´ acticos recomendamos tener en cuenta el Teorema 1.33, el cual establece equivalencias para que una aplicaci´ on lineal entre espacios normados sea continua; el Teorema 1.75, que establece equivalencias para que una aplicaci´ on multilineal entre espacios normados sea continua; y el Teorema 1.72, el cual establece que en un espacio normado de dimensi´ on finita todas las normas son equivalentes. Recomendamos los teoremas sobre continuidad de aplicaciones lineales y multilineales continuas en espacios normados. Usaremos en los cap´ıtulos siguientes los ejemplos citados en el Cap´ıtulo 1. No pretendo nada sobre pedagog´ıa en este libro, me da miedo pensar en ense˜ nar a ense˜ nar, solo queremos presentar un enfoque diferente de la noci´ on de derivada como una aplicaci´ on lineal. En primera lectura he destacado qu´e partes pueden omitirse. En el texto se dan ejemplos trabajados en detalle, con el a´nimo de mostrar algunos m´etodos; al final del libro, citamos la bibliograf´ıa usada y algunos art´ıculos de referencia. La idea de culminar las notas del curso se debe al inter´es de muchos de mis estudiantes, hoy colegas, quienes me alentaron a hacerlo. Agradezco los comentarios sobre redacci´ on y errores cometidos en versiones preliminares a esta, hechos por algunos profesores del Departamento, entre ellos, Lucimar Nova, Sim´on Frias (q. e. p. d.) y V´ıctor M. Ardila de la Pe˜ na. Agradecimientos especiales al profesor Rodrigo De Castro, quien hace a˜ nos me sugiri´ o escribir notas de ayuda para los cursos de An´alisis III y de C´ alculo Avanzado que se impart´ıan en la carrera y Posgrado de Matem´aticas; este libro es fruto de esa sugerencia. Adem´as, a ´el se le debe mucho acerca del levantamiento del texto en TEX. Agradezco tambi´en a la se˜ norita Patricia Ch´ avez, TEX-perta (de la revista de Estad´ıstica), quien me colabor´o en la presentaci´ on final de esta versi´on, y a aquellas personas que de alguna u otra forma aportaron a estas notas.

PREFACIO

xv

Finalmente, agradezco a la directora del Departamento, profesora Myriam Campos, al profesor Gustavo Rubiano, y al coordinador de Publicaciones del Departamento, profesor V´ıctor Tapia, por su empe˜ no en que estas notas se pudieran publicar. Jos´e Francisco Caicedo C.

CAP´ITULO

1

Espacios vectoriales normados

En este cap´ıtulo, introducimos algunos conceptos de espacios vectoriales normados, con cuerpo de escalares, los n´ umeros reales R, o el cuerpo de los n´ umeros complejos C. Por razones de tipo did´actico, nos restringiremos a R; la mayor´ıa de los resultados son v´ alidos cuando el cuerpo de escalares es C. Suponemos que el lector conoce resultados de ´algebra lineal como los de espacio vectorial, dependencia lineal de vectores, base, dimensi´ on, subespacio, aplicaci´ on lineal, etc. En cuanto sea posible daremos ejemplos en dimensi´on finita. Sin embargo, la teor´ıa ser´ a planteada en dimensiones arbitrarias, destacando el caso finito.

1.1

Espacios normados

1.1 Definici´ on. Una norma en un espacio vectorial E sobre R (o C) es una aplicaci´on N , definida en E a valor real N :E→R la cual satisface las siguientes tres propiedades: 1

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

2

(N1 ) N (x) ≥ 0 para todo x ∈ E y N (x) = 0 si y solo si x = 0. (N2 ) N (λx) = |λ|N (x) para todo x ∈ E y para todo λ ∈ R. (N3 ) N (x + y) ≤ N (x) + N (y) para x, y ∈ E (desigualdad triangular). Usaremos las notaciones siguientes N (x) = x y leeremos “norma de x”. 1.2 Nota. En (N2 ), |λ| es el valor absoluto del n´ umero real λ (o si el cuerpo de escalares es C, es el m´ odulo del complejo λ). Al par (E,  ) lo llamaremos Espacio vectorial normado. Los axiomas (N1 ), (N2 ), (N3 ) implican: 1.3 Proposici´ on. En un espacio vectorial normado (E,  ), tenemos a)

 − x = x para todo x ∈ E.

b)

x − z = z − x para todo x, z ∈ E.     Para x, z ∈ E x − z ≤ x − z.

c) Demostraci´ on.

 − x = (−1)x = | − 1|x. x − z = (−1)(z − x) = z − x. Para c), observamos que x = x − z + z. Luego x = x − z + z ≤ x − z + z, por lo tanto x − z ≤ x − z. An´ alogamente, z = z − x + x ≤ z − x + x. Obtenemos z − x ≤ z − x = x − z,

(∗)

1.1. ESPACIOS NORMADOS

3

−x − z ≤ x − z.

(∗∗)

es decir,

De (∗) y (∗∗), deducimos −x − z ≤ x − z ≤ x − z. Esto equivale a     x − z ≤ x − z.



La desigualdad anterior ser´a u ´til luego para demostrar que la norma es una aplicaci´ on continua, a´ un m´as uniformemente continua. Si (N1 ) es reemplazada por x ≥ 0 para todo x ∈ E y x = 0, implica x = 0; en este caso, la aplicaci´ on N =   es llamada una seminorma. Note la diferencia. 1.4 Ejemplo. a) E = R es considerado como espacio vectorial sobre s´ı mismo y | | el valor absoluto, como norma. (R, | |) es espacio vectorial normado. b) E = RN = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) | xj ∈ R}. Las tres siguientes funciones son normas en E:  N  x1 =  x2j , j=1

x2 =

N 

|xj |,

j=1

x3 = sup{|xj | : j = 1, 2, . . . , N }. Es f´acil demostrar que  2 ,  3 son normas. La desigualdad triangular para la norma  1 ser´a deducida posteriormente como consecuencia de resultados en espacios vectoriales con producto interno. La norma  1 es llamada euclideana o usual.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

4

c) E = M (m × n) es el espacio vectorial de las matrices de tama˜ no m × n con elementos en R, con las operaciones usuales de adici´on de matrices y multiplicaci´ on de un real por una matriz. Podemos definir en E las siguientes normas: para A = (aij ) en E, definimos   (m,n)    A1 =  a2ij , (i,j)=(1,1)



(m,n)

A2 =

|aij |,

(i,j)=(1,1)

A3 = sup{|aij | : i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n}. Dejamos como ejercicio verificar que son tres normas en E.

1.2

Espacios con producto interno

1.5 Definici´ on. a) Un producto interno en un espacio vectorial real E es una funci´ on P : E × E → R, tal que P es bilineal sim´etrica positivamente definida, es decir, (P1) P(x + y, z) = P(x, z) + P(y, z) para todo x, y, z ∈ E. (P2) P(λx, y) = λP(x, y) para todo λ ∈ R, para todo x, y ∈ E. (P3) P(x, y) = P(y, x) para todo x, y ∈ E (simetr´ıa). (P4) P(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ E y P(x, x) = 0 si y solo si x = 0 (positividad). b) Un producto interno o producto hermitiano sobre un espacio complejo es una aplicaci´ on P : E × E → C, tal que (C1) P(x + y, z) = P(x, z) + P(y, z) para todo x, y, z ∈ E. (C2) P(λx, y) = λP(x, y) para todo λ ∈ C, para todo x, y ∈ E. (C3) P(x, y) = P(y, x) para todo x, y ∈ E, donde P(y, x) es el {“conjugado del complejo P(y, x)”}. (C4) P(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ E y P(x, x) = 0 si y solo si x = 0.

1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

5

De (C3) deducimos que P(x, x) es real. Si E es un espacio con producto interno P al par (E, P), se le llama espacio con producto interno. 1.6 Ejemplo. a) Sea E = RN , consideramos el producto interno usual  , : R N × RN → R (x, y) → x, y =

N 

x j yj ,

j=1

donde x = (x1 , x2 , . . . , xN ), y = (y1 , y2 , . . . , yN ). b) En E = CN el producto interno usual es z, w =

N 

zj w j ,

j=1

donde z = (z1 , z2 , . . . , zN ), w = (w1 , w2 , . . . , wN ) en E. Se considera E con la norma inducida por este producto interno, luego  N  z =  |zk |2 , k=1

donde |zk | es la norma o valor absoluto del complejo zk . c) Consideramos E el conjunto de funciones continuas, definidas en [0, 1] a valor real: E = {f : [0, 1] → R | f es continua}. Podemos dotar E de estructura de espacio vectorial sobre R al definir: i) Para f, g ∈ E, f +g es la funci´on definida por (f +g)(t) = f (t)+g(t) para todo t ∈ [0, 1]. ii) Para λ ∈ R, λf es la funci´on definida por (λf )(t) = λf (t) para t ∈ [0, 1]. Es claro que f + g y λf son funciones continuas en [0, 1] si f, g lo son en [0, 1]. E con estas dos operaciones es un espacio vectorial sobre R.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

6

Al definir P : E × E → R por  1 P(f, g) = f, g = f (t)g(t) dt

(integral de Riemann),

0

vemos que P es un producto interno en E. Al usar las propiedades de la integral, para f, g, h ∈ E y λ ∈ R, obtenemos P(f, g) = P(g, f ). P(f + g, h) = P(f, h) + P(g, h). P(λf, g) = λP(f, g). Para que P sea positiva, se obtiene as´ı:  1  P(f, f ) = f (t)f (t) dt = 0

1

f 2 (t) dt ≥ 0

0

por propiedades de la integral. 1 1. Si P(f, f ) = 0 f 2 (t) dt = 0, concluimos que f (t) = 0 para todo t ∈ [0, 1]. En efecto, si f no es id´enticamente cero, existe s en [0, 1] tal que f (s) = 0. Luego, f 2 (s) > 0, y como f 2 es continua, existe vecindad de s, es decir, existe r > 0, tal que para todo t ∈ (s − r, s + r) ∩ [0, 1], f 2 (t) > 0. Por consiguiente,  1  s−r  s+r  1 2 2 2 I= f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt + f 2 (t) dt. 0

Ya que  s+r

0

s−r

 f 2 (t) dt > 0,

s−r

1 s+r

s+r

 f 2 (t) dt ≥ 0

s−r

y

f 2 (t) dt ≥ 0,

0

vemos que I > 0. Como es claro que si f ≡ 0, obtenemos  1 f 2 (t) dt = 0 si y solo si f ≡ 0.

1 0

0 dt = 0,

0

En un espacio vectorial con producto interno E con escalares en R, es v´alida la desigualdad de Cauchy-Schwarz; antes un lema:

1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

7

1.7 Lema. Sean a > 0, b, c n´ umeros reales, f (t) = at2 + 2bt + c, t ∈ R, tenemos: f (t) ≥ 0 para todo t ∈ R

si y solo si

b2 ≤ ac.

Demostraci´ on. Como a > 0, si f (t) ≥ 0 para todo t ∈ R, entonces:

2b b2 0 ≤ at + 2bt + c = a t + t + 2 a a 2



2

luego: si t = − ab , obtenemos que

ac−b2 a

b2 b 2 ac − b2 +c− + =a t+ , a a a ≥ 0, es decir, b2 ≤ ac.

Rec´ıprocamente,

b si b ≤ ac, entonces f (t) = a t + a 2



b Por ser a > 0, se tiene a t + a

2

2

+

ac − b2 ≥ 0 para todo t ∈ R. a

≥ 0.



1.8 Teorema. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea (E,  , ) espacio vectorial sobre R con producto interno, entonces para todo par x, y de vectores de E, tenemos:     x, y  ≤ x, x y, y . La igualdad se da si y solo si x, y son linealmente dependientes. Demostraci´ on. i) Si x = 0 (de E) es claro de la definici´ on de  , que 0, y = 0 y adem´ as 0, 0 = 0. As´ı la desigualdad es evidente. ii) Sea x = 0, entonces para todo t, y todo x, y ∈ E: 0 ≤ tx + y, tx + y = t2 x, x + 2tx, y + y, y , si a = x, x > 0, b = x, y , c = y, y . Vemos que 0 ≤ at2 + 2bt + c para todo t ∈ E. El lema 1.7 nos implica que b2 ≤ ac, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 

8

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

1.9 Proposici´ on. Sea (E,  , ) espacio vectorial sobre R con producto interno, podemos dotar a E de estructura de espacio vectorial normado, al definir para x ∈ E:  x = x, x . Demostraci´ on. Solo demostraremos que satisface (N 3); para ello, usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz: x + y2 = x + y, x + y = x, x + 2x, y + y, y = x2 + y2 + 2x, y ≤ x2 + y2 + 2xy = (x + y)2 . Hemos usado el teorema 1.8, por tanto x + y2 ≤ (x + y)2 .



La norma anteriormente definida se llama norma inducida por el producto interno. 1.10 Nota. En un espacio con producto interno E,  , , se puede definir a´ngulo entre dos vectores no nulos, debido a la desigualdad de CauchySchwarz, como |u, v | ≤ uv; se define ´angulo entre u y v como el real θ, tal que cos(θ) =

u, v . uv

No es u ´nico, debido a la periodicidad de cos. En el caso E = R2 , el real θ se escoge para z = (x, y) a θ ∈ (−π, π]. Se llama a este u ´nico real valor principal o ´ angulo principal o argumento principal y se suele escribir θ = arg(z). Su determinaci´ on en este caso tiene algo de dificultad: en coordenadas polares si (x, y) ∈ R2 , (x, y) = (0, 0) existen r > 0 y θ ∈ (−π, π) tales que x = r cos(θ), y = sen(θ); esto implica que  x2 + y 2 = r. Si x = 0, entonces xy = tan(θ). Como la funci´ on tangente tiene periodo π, esto implica que θ est´ a determinado salvo adici´ on de mπ, donde m es entero. Como tan(θ) es continua y estrictamente creciente

9

1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO



en el intervalo abierto J = − π2 , π2 , entonces existe un u ´nico v ∈ J, tal que tan(θ) = tan(v); se deduce que θ es el valor principal del ´angulo obtenido de v, por: si z = (x, y), x = 0, se tiene: ⎧ ⎪ si x > 0 ⎨v arg(z) = v + π si x < 0, y ≥ 0 ⎪ ⎩ v − π si x < 0, y < 0. Dejamos al lector examinar las posibilidades para los otros casos, es decir, cuando x = 0, θ = π2 o − π2 , seg´ un que sea y > 0 o y < 0. 1.11 Ejemplo. a) El producto interno usual de RN nos muestra que x21 = es inducida por este producto interno.

N

2 j=1 xj

b) Consideramos E = C([0, 1], R) = {f : [0, 1] → R | f es continua} el espacio vectorial del ejemplo 1.6 c). Vimos que f, g =

1 0

f (t) g(t) dt es un producto interno en E, luego   1 f  = f 2 (t) dt 0

es la norma inducida por el anterior producto interno en E. 1.12 Nota. No siempre una norma proviene de un producto interno. (La siguiente proposici´on provee condiciones para que lo sea, y para el rec´ıproco de esta es decir, para obtener condiciones necesarias y suficientes; ver proposici´on 1.37 de este cap´ıtulo 1). 1.13 Proposici´ on. Sea (E,  , ) un espacio con producto interno. En E es v´ alida la ley del paralelogramo, es decir, dados x, y ∈ E, x + y2 + x − y2 = 2x2 + 2y2 . Demostraci´ on. x + y, x + y + x − y, x − y = x + y2 + x − y2 = x, x + 2x, y + y, y + x, x − 2x, y + y, y = 2x2 + 2y2 .

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

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 1.14 Definici´ on. Sean (E,  , ) espacio vectorial con producto interno (sobre R); x, y dos vectores de E; x se dice ortogonal a y si x, y = 0. Lo notaremos x ⊥ y. Vemos que x ⊥ y implica y ⊥ x, y el vector 0 de E es tal que 0 ⊥ x para todo x en E. 1.15 Teorema (Teorema de Pit´ agoras). Sea (E,  , ) un espacio vectorial con producto interno sobre R, x, y en E; x ⊥ y, si y solo si x + y2 = x2 + y2 . Demostraci´ on. Ejercicio para el lector.



A continuaci´ on recordaremos algunos conceptos referentes a espacios m´etricos.

1.3

Espacios m´ etricos

1.16 Definici´ on. Sea M un conjunto no vac´ıo, una m´etrica o distancia en M es una aplicaci´ on d : M × M → R, tal que d1) Para x, y ∈ M, d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 si y solo si x = y. d2) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M . d3) Para x, y, z ∈ E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular). La funci´on d se llama tambi´en distancia, d(x, z) es la distancia entre los puntos x y z. Al par (M, d) donde M es un conjunto no vac´ıo y d una m´etrica en M , se le llama espacio m´etrico. Para efectos de homogeneidad en el lenguaje, recordamos: 1.17 Definici´ on. Sea (M, d) un espacio m´etrico, x0 ∈ M , r > 0 real, definimos:

´ 1.3. ESPACIOS METRICOS

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a) Bola abierta de centro en x0 y de radio r al conjunto Br (x0 ) = B(x0 , r) = {x ∈ M | d(x, x0 ) < r}. b) Esfera de centro en x0 y radio r al conjunto: S[x0 , r] = Sr [x0 ] = {x ∈ M | d(x, x0 ) = r}. c) Dado S ⊂ M, x0 ∈ M, x0 se dice punto interior de S si existe r > 0, tal que B(x0 , r) ⊂ S. d) Dados x0 ∈ M , se dice que V ⊂ M es vecindad de x0 si existe r > 0 tal que B(x0 , r) ⊂ V , es decir, si x0 es un punto interior de V. e) En el espacio m´etrico (M, d), A ⊂ M, A se dice abierto en M si para todo x en A, A es vecindad de x, es decir, si para todo x en A, x es un punto interior de A. Esto equivale a decir que para todo x ∈ A existe B(x, r) tal que B(x, r) ⊂ A (r depende de x, r > 0). f) Bola cerrada de centro en x0 y de radio r al conjunto: Br [x0 ] = B[x0 , r] = {x ∈ M | d(x, x0 ) ≤ r}. g) Dado x0 ∈ M y S ⊂ M , se dice que x0 es punto de acumulaci´ on de

S si para toda vecindad V de x0 ; se tiene que V − {x0 ∩ S = ∅. Note las diferencias en los par´entesis en las definiciones de bola abierta y bola cerrada. Si llamamos τd = {A ⊂ M | A es abierto en M }, los elementos de τd satisfacen las siguientes propiedades: 1. M y ∅ son abiertos en M , es decir, est´ an en τd . 2. Si (Aj )j∈Jes familia de abiertos de M, (Aj ∈ τd para todo j ∈ J), entonces j∈J Aj est´ a en τd .  3. Si Aj ∈ τd j = 1, 2, entonces A1 A2 ∈ τd .

CAP´ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

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1.4

Espacios topol´ ogicos

Recordamos que dado un conjunto no vac´ıo Y , una topolog´ıa en Y es una familia τ de subconjuntos de Y , τ ⊂ P(Y ) = {A | A ⊂ Y }, tal que satisface 1. Y, ∅ est´ an en τ . 2. Si (Aj )j∈J familia de elementos de τ , entonces la reuni´on pertenece a τ .

 j∈J

Aj

an en τ , entonces A1 ∩ A2 ∈ τ . 3. Si A1 , A2 est´ Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos en Y o simplemente abiertos en Y . Al par (Y, τ ), donde τ es topolog´ıa en Y , se le llama espacio topol´ ogico o simplemente se dice que Y es un espacio topol´ ogico. Por u ´ltimo, si a ∈ Y , V ⊂ Y , se dice vecindad de a si existe A abierto en Y , tal que a ∈ A ⊂ V . Vemos que los abiertos de M , cuando (M, d) es un espacio m´etrico, forman una topolog´ıa en M (dejaremos a cargo del lector verificar las propiedades 1, 2 y 3 anteriormente citadas). Por tanto, (M, d) puede dotarse de estructura topol´ogica al definir en M sus abiertos como los elementos del conjunto τd . Podemos entonces hablar de l´ımites, continuidad, etc., entre espacios m´etricos; supondremos conocidos estos conceptos. Recordamos algo m´as: 1.18 Definici´ on. Sea (M, d) espacio m´etrico (an )n∈N sucesi´on de elementos de M . a) b ∈ M, b se dice l´ımite de la sucesi´ on an si dado ε > 0, existe m ∈ N tal que si n ≥ m implica que d(an , b) < ε. notaremos an → b

o

l´ım an = b

n→∞

Se dice que la sucesi´ on an es convergente en M si existe b ∈ M tal que b = l´ımn→∞ an .