calculo alfa numerico

A.ASamarski

~

Introducción a los métodos numéricos

Editorial Mir M oscú

lntroducci6n a los métodos numéricos

Int1·oducción a los métodos numéricos

Á. Á. C4M4pCKr0T10 :J1!ÍI isWTepuypu, i982 t~ t.nduoc16o al Mpallol, edltorlaHMlr. 1986

Contenido

Prólogo

1

Jotroduc:ci6D

9

Capítulo J Ecuaciones en diferencias t f. Fuoclooe. retlcuJa -

• . . . . . . . . . . • . . . . t 2. Ecu•olooes en dllereoclu • • • . . . . • . . . . . • t 3. Reaolucl611 de la11 problelllU de c:ootomo en dUennciu P•n Ju ecuaciones de segu ndo orden . . . • • . . . . § 4. Ecuaciones ea diferencias como ecuaciones operaclonalea § 5. Principio del mWmo para las ecuaclooe1 en dlfereoelu

28 St 40

e

65

Capitulo 11 lnterpolari6n e integuci6n numérica t f. loterpolac16o y •prodmaclóo de 185 luncionl!I § 2. 1otegraclóo o um6rlca • . . . . . . • . . . .

72 82

Capitulo I lI Resolución numérica de los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales t t. Si~temas de ecuaciones algebrelcas lineales . t 2. Metodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Esque1na ituativo de dos capu con puimet.ros

. . . • . . . de Ch6bl· .~.., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § S. M6todo •Jtemado triangula r . . . . . § 6. M6todos i\era\hos de t ipo variaciooaJ . § 7. R~ lución de las ecuaciones no linea les

J 3. M6t.od os l\er•Uvos

fOO

toe tt3

129 1"3 147 150

6

Pr6lo10

Capitulo IV Métodos de diferencias de la resolución de los problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias t l. Coru:eptos fundamenlalee de la teoria de esquemas de dit t f t

fere11eias . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . 2. Eaqllemaa de diJerenclas homogéneos tripuntuales . . . 3. Eaqllemaa de dlfere.nclas conaervativos . . . • . . . . 4. Eaquemu homogéneos 110bre lu redes no un.ifotmes . . . 5. M6t4dos de construcción de los esquemas de diferencia

158 t72 175

t83 t 91

Capitulo V Problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales ordinarias t t. Métodos de Runge-Kut t.a . . . . . . . . . . . . . . t 2. Esquemas de varios paaoe. Métodos de Adamll . . . . . f 3. Aproximación del problema de Cancb.y pra un 1C.tema de

ecnaciones dilerencial• linealee ordlnar1u de primer orden

f 4. Estabilidad del esquema de dos u.pu . . . . . .

200

212 224 230

Capítulo VI Métodos de dHerencias para las ecuaciones

elipticas f

t. Eeq11emas de dUnenclu para la ecuación de Polaeon

f 2. Resolución dll las ecuaciones en diferencias . . .

f

t.

Capítulo VJI Métodos de diferencias para resolver la ecuación de conductibilidad térmica Ecnaci6n de conductibilidad thmlca coa co.fiefeates

cona1.antea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t 2. Problemas mullidimenalonales de conduclibilldad térmica 1. 3. Esquemas econó111 lcos . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo Blbllografla Lúta de daign•clonl'S lodlu alfabético

241 252

364 277 285 295 302 304 306

Prólogo

Este libro representa una introducción a la teoría de los métodos numéricos en la que se emplea un mínimo d e información de tales apar tados de las matemliticas como son el aniil isis, el álgebra lineal y la teoria de ecuaciones diferenciales. El libro ha surgido como resultado de elaboración de las conferencias d ictadas por el autor durante varios afios para los estudiantes de la facultad de matemática de cálculo y cibernética de la Universidad de Moscú Lomonósov. El contenido del libro es tradicional: interpolación y aproximación, integración numérica, resolución de ecuaciones no lineales, métodos directos e iterativos de resolución de los sistemas de ecuaciones al gebraicas lineales, métodos de düerencias destinados a r esolver el problema de Cauclty y problemas de contorno para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La aspiración del autor fue hacer la exposición comprensible de Ja primera lectura, prestando una atención especial a Jos conceptos principales de l a teoria de los métodos numéricos e ilustrándolos con los ejemplos más simples. Para la resolución numérica de varios problemas de la flsica y de la técnica descritos por las ecuaciones de la física matemática se emplea actualmente el método de diferencias finitas. Los conceptos principales de la teoría de los métodos de diferencias (aproximación, estabilidad, convergencia) se ilustran con ejemplos de esquemas de diferencias para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Al aproximar las ecuaciones d iferenciales, obtenemos ecuaciones en düerencias que representan sistemas de ecuaciones lineales de orden su perior con matrices del tipo especial (tienen muchos elementos nulos), por ejemplo, tridiagonales. Un papel de

8

Pr6loro

importancia lo desempell11 la elecci6n de los m6totlos efectivos (direetos e iterativos) pera resolver los sistemas mencionados. Con este motivo en el libro se exponen los fundamentos de la teoría general de métodos iterativos. Una gran atención se ha dedicado a la cuesti6n de estabilidad de los d Jculos ea los ordenadores. En el capítu lo V viene una exposición sencilla de la teoría de estabilidad del pl'oblema de Caucby para el siatema de ecuaciones en diferencias de primer orden. Aqu[ se han obtenido las condiciones coincidentes de estabilidad neeeaarias y suficientes de Jos esquemas de diferencias y, además, se ha invMtigado la estabilidad asintótica de los esquemaa de diferencias. En los dos últimos capltulos del Ubro (VI y VII) se anali1an métodos de diferencias para resolver las ecuaciones elipticas y la ecuación de conductibilidad térmica. Estos capltulos son complementarios y permiten realizar el pnao a la teoría de esquemas de diferencias para las ecuaciones en derivadas parciales. Una exposición mb detallada de los apartados separados de 1011 m6todos num6ricos se da en los libros: •Teor[a de eequemu de diferencias• por Samarsk.i A. A., •Métodos de reaoluci6n de las ecuaciones reticullll'eSt por Samus.kl A. A., Nikol,ev E. S., y otros que se indican en la lista al final del libro. El libro está destinado a los estudiantes de los primeros afios que eligen como su especialidad la matemática aplicada y la fisica matem,Uca; este libro puede rMuhar útil tambi6n para postgraduadoa y colaboradorea cientUicos que estudien los métodos numéricos.

A • A. S am41'skl

Introducci6n

L11 aparición y el perfoocionamiento incesante de los: or denadores de alta velocided han conducido a una transformeclón auténticamente revolucionaria de la ciencia en general y de Jas matemiticaa, en particular. He cambiadola teeooJogía de las investigaciones cienUficas, h an aumentado inmensamente las posibilidades de los estudios teóricos, del pronóstico de procesos complejos, de la proyecciónde las construcciones de ingenierfa. Unicamente gracias a la aplicación de la simulación ma tem&tica y de nuevos métodos numéricos destinados para los ordenadores se hizo posible resolver grandes problernas cient1fico-técnicos ta les comoel dominio de la eoergfa nuc lear y la a.s imilacióo del cosmos. El primer gran problema, el dominio de la energía nuclear, requiere que se resuelva un conjunto do problemas. complejos de la física y mecánica (manejo dol trabajo de la caldera nuclear. Ja otiliucióo de la energia provenientede la fisión de Jos núcleos de uranio, la protección de la irradiación penetrante, el enfriamiento de las paredes d& reactor, el estudio de los campos térmicos y de tensiones elásticas en las paredes, la resolución de varios otros problemas). Todos estos problemas han de ser resueltos antes de que empiece a trabajar u na caldera, usando pa ra este fin la descripción matemá t ica (un modelo) y realizando cálculos. numéricos en el ordenador. El segundo gran problema consistente en la asimilación del cosmos está relacionado con la creación de aparatos voladores y Ja resolución para estos últimos de diferentes problemas aerodinámicos y balistico!> (por e¡emplo, el cálculo del movimiento de un cohete y la dirección de su vuelo). En este dominio también hay uo conjunto de problemas complejos de la mecánica , fisica

to

/nlroducc16n

y técnica los cuale8 pueden ser resueltos s6lo aplicando Jos méwdos numéricos. Indiquemos un problema más planteado ante la humanidad. esto es, la búsqueda de nuevas fuentes de energía. Uno de los proyectos fundamentales para obtener energía consiste en emplear la reacción de Cusión termonuclear tlirigida de los núcleos de deuterio y de tritio. Los recursos de combustible termon uclear en la Tierra son prácticamente inagotables, mientras que los productos de reacción no ensucian el ambiente. No obstante, la reacción termonuclear comienza sólo en condiciones extremadas: a una altísima temperatura (decenas y centenas de millones de grados) y enorme compresión (miles de veces) del deu terio y tr itio; además, se requiere mantener lo snstancia combustible en dicho estado durante un periodo de tiempo que sea suficiente para que se desarrolle Ja reacción de combustión (del síntesis). La creación de las condiciones mencionadas es un problema cienliflco-técnieo que por ahora no '!sti\ resuelw. Existen varios proyectos destinada! a calentar, com primi r y mantener el combustible termonuclear (plasma). Al realizarlos surge une serie de cuestiones que deben ser resueltas antH de proceder a la proyección de las instalaciones correspondientes, incluso experimentales. Es menester estudiar ante todo el comportamiento del plasma o altas temperaturas y densidades, en campos magnétícos y. además, aclarar les condiciones bajo las cuales resulla posible la propia reacción de la s!ntesis termonuclear. Las investigaciones de tal indole se efectúan a base de la descripción matemática (modelo matemático) de los procesos físicos y la resolución ulterior de problemas matemático~ correspondientes en el ordenador con ayu da de al¡oritmos de cálculo (computacionales). Hoy dia podemos decir que ha surgido uu m.Stodo nuevo para la investigación teórica de los proeesos complejos que admiten Ja descripción matemática: se trata de un experimento de c;álculo, es decir, la inveatigaci6n de los problemas eieotificos naturales por medio de la matemática de cálculo. Expliquemos la esencia de este método de investigación coa uo ejemplo de resolución de un problema físico. Supongamos que se pide estudiar cierto proceso fí sico. A la investigación mat~mática le precede la elección de una

lfllrodaccl6fl

aproximación fisica , es decir, se debe determinar qué factores han !le tomarse en consideración y cuáles pueden ser menospreciados. Resuelta la cuestión citada, se realiza Ja investigación del problema mediante un experimento de cálculo, en el que pueden distinguirse las siguientes etapas principales. En la primera etapa se elíge un modelo matemático, es decir. la descripción aproximada del proceso en forma de ecuaciones algebraicas, diferenciales o integrales. Estas ecuaciones expresan corrientem ente las leyes de conser vación de ~as magnitudes fisicas principales (la energia, la cantidad de movimiento, la masa. etc.). El modelo matemático obteni O igual en orden , pero con diferente número de operaciones Q (e). Entre estos algoritmos (de los cuales suele decirse que ellos so n equivalentes según el orden de exactitud) se debe elegir uno que proporcione la solución con un gasto minimo de tiempo de máquina (número de operaciones Q (e)). Tales algoritmos se denominarán «On6múos. He aquí una exigencia más que ha de ser satisfecha 'J'Or el algoritmo de cálculo, es decir. el requ.isito de que no haya parada de emerge ncia (de indispo nibílidad) del ordenador en el proceso de los cálculos. Es necesario tener en cuenta que todo ordenador opera con números que tienen una cantidad finita de cifras significativas y que pertenecen (en módu lo) no a todo el eje numérico, sino a cierto intervalo (A-10 , M ..), lll 0 >O, M .. < oo, donde M 0 es un cero de máquina y M .. , un infinito de máquina. Si la condición 1 M 1 < M .. no se cumple en el proceso de los cálculos, ocurre una parada de emergencia del ordenador (•paremt), a consecuencia ele que queda rellenada la red de órdenes y los cálculos se dan por terminado. La p osibilidad de una pa rem depende tanto del algoritmo como del problema de partida. Si la solución del problema de partida se expresa en términos de números muy grandes (muy pequeños) J M J > > .M .. (1 M 1< M 0 ). entonces, como regla, variando Ja escala, el problema puede ser reducido a una forma que contiene aólo las magnitudes pertenecientes (en módulo) al intervalo prefijado (M 0 , M ..). La posibilidad de la parem se elimina frecuentemente cambiando el orden de operaciones. Expliquémoslo con un ejemplo sencillo. ZDXPLO. Sea 111 .. - tQJ>, M 0 - tO-J>, p - 2", n es un número entero. Se pide calcular el producto de los números iO"''· 1QP/• , 10 -P/I, 10ª"'ª· 10 -•Pt•.

15

llllrodacct6n

1or IRTOOO.

Fijemos loa números en el orden decreciente:

91- i()ll'I•, 9:a = i()Pl:I, 91 = i()PI•, 9,-1(}-P/:I (/5""" 1(}-IP/&

y formemos los productos S,+1 = S,.q,.+1• S1 = q1• En este caso, ya en el primer paso tendrá lugar una parem, puesto que S, = 91'11 = 10'"'' > M ... ad 0 ll2TODO. Fijemos los números en el orden creciente: 91 = 10"''·

q, ... 1()1'12,

q 1 ==103"''·

En este caso obtendremos en el primer paso

s, =

, y sustituiremos B = {/ (z), z E la, bl} por un espacio de dimensi6n tiaiu (de dimensión N + 1) H N+l = { JI¡, O~ ~ 1 ~ N} de fun.cionea reticulares. Es evidente, que la función reticular y, = f (:i1) puede considerarse como un vector 11 = (11 • • llJ• • • •• 11 ,,). Podemos discretisar también el espacio de funciones f (%) de varias variables, si z = (Zi. %1 , •• ., %,.) es un punto del espacio euclfdeo p-dimeo.sional (p > 1). Por ejempJo, en un pJano (z1 , zJ se puede introducir una red w = {z1 = (11 hi. ish,), 11 , t, = O, ±1, ±2, ... } como conjunto de puntos (nodos) de intersecei6n de las reet.u perpendiculares :(.¡t.l = l 1hi. :rN.> =- lsh,, hi >O, h, >O, 11 , ' • = O, ± 1, ±2, ... , donde hi y h 1 son loa puoa de la red según las direcciones de z 1 y % 1 , respec\lvamente. La red

I O, AT = A 1 , A 1 + A 1 == A, las matrices Ai Y A 1 son lriRngulares. Hemos obtenido la í6rmola para

lnlrodacc~n

el parámetro m. El algoritmo para este método es muy simple. En todo caso se dan a conocer las fórmulas para el número de iteraciones con las cuales se alcanza la exactitud requerida. Los diferentes métodos fueron comparados a base de un problema modelo para la ecuación en diferencias de segundo orden y,_1 - 2y, + Yi +t = - h'f,, t = 1, 2, . . . . . . , N - 1, Yo = YN = O, h = 1/N , que corresponde al problema de contorno u• (:z:} = - 1 (:z:) (O< x < 1), u (O)= = u (t) = O. Esta ecuación es un análogo unidimensional de la ecuación de Laplace. Por cuanto el número de iteraciones no depende prácticamente del número de mediciones, entonces en el proceso de comparación podemos limitarnos a este problema unidimensional. El método al ternativo triangular exige O { J,.1n{) iteraciones, donde e> O es la exactitud prefi jada. Ha de ser notado que en el cap. lll , en forma lo suficientemente com pleta, está expuesta de hecho, con ayu da de los medios matemá'ticos más sencillos, la teoria general de los métodos iterativos para resolver la ecuación Au = = f (A = A• >O). Los conceptos fundamentales de la t eoria de esquemas de diferencias - error de aproximación, estabilidad, convergencia y exactitud- se exponen a base de ejemplos de los problemas de contorno y del problema de Cauchy para ecua-· ciones diferenciales ordinarias (cap. IV y cap. V). En el cap . IV se analizan esquemas de diferencias tripuntu al es para una ecuación diferencial ord inaria de segundo orden

!

(k(:z:) :: )-q(:z:)u-= -f(z),

u (O)= u.,

u (1) = Uz,

k (z) >O,

OO,

u(O) = U,

(8)

se emplean loa m.Stodoa de Runge-Kutta y de Adama expuestos en el cap. V. Estos m.Stodos son tambi.Sn aplicables para un sistema de ecuaciones en que f y u son vectores. Una atención e!peeial en el cap. V se presta al problema de Cauchy para el sistema de ecuaciones lineales du di+ Au =f (t), t> O, u (0)= "o· (9) donde A = (a11) es una matri't cuadrada N X N, u. (t) = = (u.1, u.1 , . • . , ull), f (t) = (!1. f 11 ) es una función vectorial de N-ésima dimensión. Tal problema surge, en particular, si en la ecuación de conductibilidad térmica

r . .. ..

a..

y,=6u+ f (z, t). sustituimos el operador de Laplace t.u. por el operador de diferencias correspondiente. Entonces, (9) puede interpretarse como un mlitodo de la.a rectas para la ecuación de conductibilidad térmica (10). Empleando para resolver este problema algún esquema de un paso, llegamos a ún esquema operacional de diferencias de dos capas de forma general, el cual se escribe en la forma canónica

B

llhi;vi.

+Ay,.=cp,.,

k-0, 1., ... ,

para todo Yo E B N• donde A, 8: H N ...- H N son los operadores lineales, paso do la red según t.

(ti) i:

es el

f"'roduccl6n

Se ha demostrado que la condición neces11ria y suficiente de estabilidad del esquema tiene por expresión B ";;!J ; A, o bien

(8%, :) ;;;;.T(A:, :) (12)

Este es el t.aorema fundamental de la t.aoria general de estabilidad de esquemas operacionales de diferencias (véase eTeorla de los esquemas de diferencias• por Samarski A.A.) 11 pllca ble en la investigación de Ja estabilidad de esquemas da diferencias para las ecuaciones con derivadas parciales de la flslea matem,tiea (véase el cap. VII). En realidad, en el § 4 están expuestos los fundamentos do la teoría general de estabilidad de los esquemas de diferencias, incluida Ja ost abilidad asintótica. Los conocimientos dados a conocer en los capltulos 111 , IV y V permit.an pasar sin dificultad alguna al estudio de la teoria do los métodos de diferencias para resolver ecuaciones en derivada.s parciales. En el cap. VI este estudio se ha realizado pan esquemas de diferencias que aproximan la ecuación de Poisson y las ecuaciones elipticas en un rectángulo con condiciones do co ntorno de primera especie. Aqul están analizadas tanto las cuestiones de convergencia como los métodos de resolución de las ecuaciones en dHeroncias. La teor{a general do estabilidad do los esquemas de dHerencias de dos capas (cap. V) simplifica la exposición de los métodos de diferencias para la ecuación de conductibilidad térmica con coeficientes constantes y variables realizada en el cap. VII. En el mismo capitulo se analizan también los esquemas económicos (de direcciones variables, de fisión, etc.) para los problemas multidimonsionales, como también el principio general de la aproximación sumarla el que permite efectuar la partición de los problemas complejos en una sucesión de problemas más sencU1011 y debido a ello simplificar considerablemente la resolución de los problemas multidimensionales de la ftsica matemática. Se debe observar que el contenido principal de este libro se expone desde un punto de vista único. El carácter único se logra debido a que los esquemas de diferencias !le

lntrodaccl41'

tratan como ecuaciones operacionales u opa.racionales de diferencias con operador-es que actúan en un espacio de dimensión finita dotado de un producto escalar. Al constru ir la teoría de los métodos iterativos y la de estabilidad de los esquemas de diferencias se emplean las propiedade~ mb simples de los operadores (de las matrices): el carácter constante de los signos, la autoconjugación, ciertas propiedades de los valores propios y de los vectores propios; no se hacen ningunas suposiciones referentes a la estructura de los operadores. Todas las condiciones de la teorla resultaron ser muy cómodas para la com probación en el caso de esquemas ·concretos de diferencias. El material expuesto en los cap. VI y VII puede servir para un estudio mb completo de la teoria 111 cu11l se da en los lihros (6, 9¡.

CopUDlo I

Ecuaciones en diferencias

En el presente capitulo se estudian funciones reticulares, cuyo argumento ea un número entero, y ademb ecuaciones en diferencias de eegundo orden. Se da a conocer un aparato matemitico mb simple para el estudio de las funciones reticulares y de los operadores de diferencias. Para resolver las ecuaciones en diferencias de segundo orden se emplea el método de eliminación llamado método de factorizac16n.

§ 1. Funciones reticulares t. Funclonee retlcularee y operaciones sobre ellas. Y a se ha mencionado que en los métodos aproximados las funciones de un argumento continuo se sustituyen habitualmente por las de argumento discreto, esto es, por las funciones reticulares. La fun,ct,611 rettcular puede, pues, considerarse como una función cuyo argumento es un número entero: !/ (i) = "" t = o, ± 1, ±2, ... Podemos introducir para ¡¡ (i) las operaciones que representan un análogo discreto (de diferencias) de las operaciones de difereoclacl6n e integnci6n. El aoilogo de la primera derivada lo constituyen las diferencias de prtmer onkn: !1111 = !11 +1 - ¡¡,, la dtfer.ncta ckrecha; Vy, = V1 - llt-t• la dtfermcto tsquterda; ~!11

= Tt

(6111 + V111) -

t

T (111+1 - 111- 1), lo dlferencta cen-

tral; resu lta fácil notar en este caso que /ly 1 = V111+1•

29

Ahora podemos escribir las diferencias de llllfUndo ortkn: !:J.'y, = !:J. (!:J.y,) = !:J. (y,+ 1 - Y1) = Y1+1 - 2Y1+1 + y,. !:J.VYr = !:J. (y, - Y1-1) = (y1+1 - Y1) - (y, - Y1-1) = = Yr+s - 2y, 111"'' de modo que !:J.•y, = !:J.VY1+1· Ao6logamente 1141 define la diferencia de m-l1tmo orden: !:J.'"y, = !:J. (!:J."'-ly,),

+

que contiene los valores de 1111 l/r+i• ••. , Y1+"'· Es evidente .

q~

1

1

~ VY1=Y1-111a-1· ,_,.

~ ÓY1=Y1+1-Y1a.

J-11

2. Análogos en dllerenclu de las fórmulas de dllere.o claclón de un producto y de Integración por partes. Sean y,. v 1 las funciones arbitrarias cuyo argumento es un número entero. En este caso ser6n v61idas las fórmulas !:J. t 0 , si está prefijado el valor y (t 0 ). Supongamos que para l = O viene prefijado !lo = y (O). En tal caso podemos determinar

YH lit• .•. ,

y,, ...

Eliminando sucesivamente según la y1 , obtendnmos

fórmula (•) 111. 111_ 1 ,

•.•,

Y1+1 = 9191-1 • • • 9ollo + epi + 9,cp,_1 + + 9191-1cp,_, + . . . + 9191-1 ••• q¡cp••

o bien

' 111+1 - ( []

A-O

e-u

9a) llo + ~ (

1

[J

A-0 .-A+I

q,) epa+ epi.

(5)

Pf,ra la ecuación con coeficientes constantes q1 = q, de lo que se tiene

'

1/1+1 = gl+ 111o+ ~ g•-•cpa1 a-o

I =O, 1, 2, . . •a

(6)

que es una solución de la ecuación en diferencias (4) con coeficientes constantes. 3. Dealgualdadee de primer orden. Si el signo de i¡ualdad en las expresiones de tipo (1) ó (2) lo sustituimos por los signos de desigualdad , ~. obtendremos tk1lgualdades en diferencias de m-ésimo orden. Sea dada una desigualdad en diferencias de primer orden L = O, 1, 2, ... , q >O; (7) sin restringir la generalidad de nuestros razonamientos, en adelante consideramos siempre que 9 >O (y0 , q, f 1 son conocidos). Hallemos la solución de la desigualdad citada. Sea v1 una solución de la ecuación en diferencias V1+1 = qv, + /,, t =O, 1, . . .. Vo = !lo· (8) En este caao queda licita la estimación (9) 1/1 ~ En efecto, al sustraer (8) de (7), encontramos

>.

v,.

Y1+1 -

V1+1 ~

q Ú/1 -

V1)

~ 91 (!11-1 -

V1-1) ~ • • •

Vo) = O, Al poner en (9) la expresión explicita para v 1, tenemos • • •

~ gl+l Úlo -

1-1

y 1 ~g1 y 0 + ~

•-o

91-1-•1..

i=O, 1, 2, ... ,

lo que es la solución de la desigualdad (7).

(10)

Cap, l. Be1UU1/Qn..

1n

dl/n1nel4•

4. Ecuaclo11e11 de aegundo orden con coeficientes constan-

tes. Analicemos una ecuación en diferencias de segundo orden b111+1 - c111 + ª111-1 = /,. t = O, 1, •.. , a=1=0,

b=l=O,

cuyos coeficientes oo dependen de t. Si / 1

(11)

= O, la ecuación

+ ª111-i =

O, i = O, 1, .. . , (12) se llamar' homoglma. Su solución se halla en la forma explicita. Sea 1 una solución de la ecuación homogénea (12), y sea ¡¡f una solución cualquiera de la ecuación no homogénea (11). Entonces, la suma ¡¡1 = V, + yf será. también una solución de la ecuación oo homogénea: b111+1 - c111

y

b(i;+, +111)-c (V1+117> +a (V1-1 +111-1)= lbv1+1-c'ii1 +av1-1I + fb11t+1 -cll1 +a11f-1J = /,. Esta propiedad se debe a la linealidad de la ecuación (11); ella queda en vigor para la ecuación en diferencias (1) de cualquier orden. Es evidente que si Y, es una solución de la ecuación homogénea (12), entonces también (donde e es una constante arbitraria) satisface la citada ecuación. Sean 11l" e 11111 dos soluciones de la ecuación (12). Se denominarán ltMalmente tndependtentes, si la igualdad c111l" '2111'"= O, t =O, 1, 2, .. . ,

cy,

+

se verllica sólo cuando c1 = c 1 = O. Esta afirmación es equivalente a la exigencia de que el determinante del sistema ci11r· +e.vi"=º· Ctl/l!tm cs11I~ .. =O, m '"" ± 1, ± 2, .•. , sea distinto de cero para cualesquiera i, m. En particular,

+

111" ~ •• l+I = 1111~1

I

111" .,, ,PO. llHI

Al Igual que en la teoria de las ecuaciones diferenciales, se puede intro clr la noción de soluci6n ge111:ral de la

ecuación en diferencias (12) y mostrar que si las soluciones 11~". 11l" son linealmente independientes, la solución general de la ecuación (12) tendr6 la forma 1/1

=C11/~"

+c211J1',

donde c1 y c1 son unas constantes arbitrarlas. La solución general de la ecuación no homogénea (U) puede representarse en la forma l/1 ~ C11/l11 + C11/l11 + //~,

(13)

donde yf es una solución (particul ar) cualquiera de la ecuación (11). Lo mismo que en el caso de las ecuaciones diferenciales, para determinar c1 y c1 se deben definir lascondi· ciones complementarias iniciales o las de contorno. La solución particular de la ecuación (12) puede hallarse en la forma explicita. Buscaremos dicha solución en la forma y 1 = 91, donde 9 =I= O ea un número hasta ahora desconocido. Al reaUzar la sustitución 11.i. = rl' en (12), obtendremos una ecuación cuadr6tica bq1 - cq + a = O, cuyas rafoes son 91

e+ y'Ci=44b 2b

9 ,2

=

e-~ 2b

.

(14)

Según sean los valores del discriminante D = e• - 4ab, son posibles tres casos: 1) D = e• - 4ab >O. Las ralees 91 y 9 1 son reales y distintas. Les corresponden las soluciones particulares l/~1) = q~ •

//~Z) =

la;

estas soluciones son linealmente independientes, puesto que es distinto de cero el determinante: t1.i. • .1t+1=

9' 9'+1 1

~ :~+I = ~~ (92-91),PQ

1 Ha de notarse que 91 =I= O y q 1 =I= O, pues en el caso contrario a = O y la ecuación (12) no sería ecuación en diferencias de segundo orden. La solución general de la ecuación (12) tiene por expresión (15)

ca,. l. BcaacÜ>MI

In

dl/•renc/.41

2) D = e• - 4ab =arctg y' lcD l . No sólo las funciones ~

= plelA• =

~

= pAe-IA•-p-' (cos kc¡>-1 sen kc¡>)

p-' (eos kcp-1 sen kcp),

representan soluciones particulares sino también las funciones siguientes: 111>= p-' cos kcp, y~2l = p-' sen kc¡>, las cuales son linealmente independientes en virtud de la independencia lineal de las funciones sen kcp y eos kcp. La solución general tiene la forma YA = p" (c1 cos kc¡> e, sen kcp). (16)

+

3) D = c2 - 4ab = O. Las ralees son reales e iguales: q1 = q, = c/(2b) = q0 • Las soluciones

v¡,1>.,. ~.

y~2> = k~

(17)

son linealmente independientes. Mostraremos que yl, una solución de la ecuación (12):

1

'

es

bvl.2./.1-cvl.2>+aviª~1 =b (k+ 1) 1o+1 -cklo+a (k-1) 1o-• = =k(bq:+ 1 -clo +aq~- ) + (bq~- a) 1o-• = O, 1

u= O.

•' D puesto que bt.- a= b -¡¡¡--a=

= 1~+• ~: 1) !to+I I = ~l+ 1 +O,

Como

entonces

6A. A+• =

las

solu-

5 z.

8ctNOIOINI ' "

111/•renei..

87

ciones (17) son lineal mente· independientes y Ja solución general tiene por expresión V1a = c1tlo + c"'q~. 5. Ejemplos. Veamos algunos ejemplos de reaolucl6n de las ecuaciones en diferencias de segundo orden (11). 1. H!Jlese le solución general de la ecuación

2py,. + Ya-i = 0, a = b = 1, e = 2p > O. Son posibles tres casos. 1) p < 1. Ponemos p = cosa; entonces D = 4 (cos1 a - 1) = -4aen1 a< O. Las soluciones particulares tienen la forma vlt' = cos ka, v1•· = sen ka. V1a+1 -

2) p > 1. Suponiendo p = ch a, obtendremos para 9 una ecuación cuadr!tica r¡I - 2ch aq 1 = O; su discriminante es D = 4 (ch1 a - 1) = 4sh1 a, mientras que las ralees tienen por expresión q1, 1 = ch a ± sh a = e±". El papel de soluciones particulares desempeñan les funciones

+

y111 = ah ka. Y1" =ch ka, 1 3) p = 1. En este caso 9 - 2q + 1 =O, 91.1 = 1, las soluciones particulares tienen la forma y)¡" = t , vi." = k, y la solución general es Y11

= e, + e"'.

2. Hállese la solución de la ecuación Y11+1 - Y1a+1 = 2y,. = O. El discr iminante es igual a D = 1 + 8 = 9, las ralees serán 9 1• 1 = (1 ± 3)/2, 91 = 2, 91 = -1. La solución general es de la forma Y11

=

C12"

+ C1 (-1)".

3. Hállese la solución general de la ecuación Y11+1 -

Y11 -

6y,._1 = 2a.1 •

(11:!)

La solución general de una eruación no homogé11oa os la = y11 + de la solución general i'A do la 11cuución homogénea y de la solución particular de la ecuación

~umu

y,.

u:

v:

no homogénea. Hallemos primero la solución general de le ecuación homogénea. El discriminante es D = 1 + 24 = = 25 > O, y las raíces de Ja ecuación cuadrática q2 - q - 6 = O son Y N = x.y N-1 + µ, . (24) Si x 1 = x 1 = O, obtenemos de aquí las condiciones de primer género; cuando x 1 = 1, x 1 = 1, tenemos condiciones de segundo género Ayo = - µ1 , VYN = µ,. (25) Si >< 1 l:J.y 0 + (t - >< 1) !lo = µ1, (26) x,VyN + (1 - x,) YN = µ,. Adomás, pueden encontrarse problemas de contorno con ciertas combinaciones de las citadas condiciones de con-

torno: las condiciones de un tipo para t = O, y condiciones de otro tipo, para l = N. La solución del problema de Cauchy so halla directamente de la ecuación (21) seg6n la fórmula recurrente (20), tomando en consideración los datos iniciales y 0 = µ.¡, 111 = 14,. Para la resolución de los problemas de contorno se emplea un m6todo mh complejo (m6todo de eliminaciones) el cual se expondrá en adelante. Para nna ecuación con coeficientes conatantes la solución del problema de contorno puede expresarse en la forma explicita. IUlDD'LO. Hállese la solución del problema de contorno 4 1111-.1

-

1,

t

= t,

2, ... , N - t,

Yo = 0,

y,.,= O. (27)

La ecuación homog6nea 4 1111- i = 111+ 1 - 2111 + 111-i =O tiene au solución general ¡¡, = c1 + c,i. La solución particular 11r de la ecuación no homogánea 6 1111_ 1 = 111+ 1 - 2y1 + 111_ 1 = i se buscar' en la forma 11r = et•. Al sustituir esta expresión en la ecuación (27), encontramos 6 1 yt_1 = e ((t + i)1 - 211 + (l - t) 1 ) = t , es decir, e= = i/2, de suerte que y1 = y1 + 111 = e + c,t + t1/2. Con ol fin de determinar c1 y e, so usan las condiciones de contorno para t = O, t = N: Yo ... c1 = O, y N = c,N + N1 /2 = O, e, ... -N/2. De este modo, t t t 111= -2tN+,-l'-= - 2 l (N-I) es la solución del problema (27).

§ 3. Resolución de los problemas de contorno en diferencias para las ecuaciones de segundo orden f. RelOludón de loe problem• de contorno en dllerencfu por el m~o de factorlncl6n. Un problema de contorno 011/1-1 - C11/1 + b11/1 +1 = -f,, 01 ,,P 0, b¡ ~ 0, 1 = t, 2, .... N - 1, (1)

rep?919D\a el sistema de eeuaclones alpbraJeas lineal• oon matrfa trldiagonal de dimenal6n (N t) X (N t):

1 - x, o a1 -c1 b1

+ ... o o o ... o

•••

O

+

O O • •• O • • •

o o ... ª' -c. b1 ••• o o o o ... o 0 0 • • • G¡f-1 o o ... o o o ... o O

A=

o

o

O

O

o

o

b,,_. t

-º

En lugar de (t) podemos 88Clribir

Al/-=

f,

11 = (!lo• 111• • • ·• y,,), I = {µ¡, - /¡, ...•

-f N-1• µ,).

(2)

En el caso del primer problema del contorno la matri:s correspondiente tiene la dimensl6n (N - 1) X (N - 1). Para resol ver el problema de contorno (1) puede emplearse el siguiente método de eliminaci6n llamado mltodo de facwrúact6n. Supongamos que tiene lugar la relaci6n (3) con coeficientes indeterminados a 1+1 y = a 1111 + P1 en (t):

g1_,

P1 +1 • y s111tltuyamos

(01 1. de manera exponencial a medida que rrece t. Volvamos al método de factorización y probemos 4uc el error óy 1 no aumenta cunnuo 1 a 1 1 ~ 1. 8fcctivarnentc, >

+

<

qy

y,

Cop. /. BauoclonH en dlfarencllll

las igualdades Y, = a.1t-:Ü1+1 + ~•+i• Y1 a.1+1Y1+1 + ~1+1 proviene 6111 = a.1+10111+1• 16y1 1~ 1a.1+1 116111+1 1~ ~ 16Y1+ 1 l. porque 1a.1+ 1 1~1. Tomando en consideración que en el transcurso de lo~ cálculos se perturban también los coeficientes a. 1+ 1, ~1+1 • se puede seiialar ll'le el error 6y 1 es proporcional al cuadr,do del número de nodos N;

=

mú f4111l~e~,

t.;;t1(1+1 · Al cotejar con la fórmula y 1 = ~ 1 11 1 _ 1 + ~ 1 • obLendremos (13) y (14). El vaJor de Yo hallamos de la coudición llo = = x 1 y1 ¡A1 y de la fórmula Yo = ~1 y 1 'li· De la desi-

+

+

+

g11Aldad 1C1 - b1i1+ 1 1;> 1c1 1- 1b, 1 1i1+1 1;;> l 111 1 + 1b, 1(t - 1i1+1 1), 11 - i1X1 1>1 - 1i1 1l "11116 ve que las condiciones (11) garantiaan que les fórmulas de far.terlzación izquierda sean aplicables y su úlculo sea estable, puesto que 1i1 1~1 (t = t, 2, ... , N). La combinación de las factoriuciones izquierda y derecha da el método >O. Al conocer y 1 , podemos hallar, airvi6ndonos ae la fórmula (10), todos los valores de y1 para t < t 0 , y, por la fórmula (15), todos los valores de y1 para t > f 0 • Cuando t > 10 e t < t 0 , los c6.lculos son autónomos (se llevan a cabo paralelamente). El m6todo de factorizaciones opuesta.s es particularmente cómodo, si, por ejemplo, se pide hallar y 1 sólo en un nodo t = t 0 •

§ 4. Ecuaciones en diferencias como ecuaciones operacionales t. &pacto lineal•). Veamos un conjunto H de elementos z, y, z, .. ., respecto de los cuales se sabe que a cada par de elementos z e y, pertenecientes a H, ee le pone en correspondencia de tal o cual modo un elemento tercero s E H, llamado suma de los dos elementos primeros y designado i = z + ¡¡: a todo elemento z E H y a cada número A. • ) V6ue, p.r ejemplo, V. llylo, 8. Pomyak, "Linear alpbra•. Editorial Mir, Moeeú, 1985.

se les pone en corrospondencia un elemento u EH, denominado producto do x por el número A. y designado u = A.x. El conjunto H se llamará espacio lt11i!ol, si la.e operaciones de sumaci6n y multiplicación por un nÚIJlero, determinadas para sus elementos z, y, s, ... , satisfacen los siguientes axiomas: i) x +y = 11 z para cualesquiera x, y E R (conmutatividad de la sumación); 2) {:r y) s = x (y s) para cualesquiera x, y, s E H (asociatividad de la sumaclón); 3) existe un elemento ccero•, designado O, tal que x O = x para cualquier x E H ; 4) para todo elemento x E H existe un elemento opuesto ( - z) tal que x ( - x) = O; 5) 1 ·z = x ; 6) (A.µ) z = A. (µz) {asociatividad de la multiplicación); 7) A. {z y) = A.x A.y; {A µ) x = A.x µz {distributívidsd de la multiplicación respecto a aumación), donde).. y µ son unos números cualesquiera. Un espacio lineal se denomina complejo, si para sus elementos está definida Ja multiplicación por números complejos y se Llama real, si viene definida solamente la multiplicación por nÚIJleros reales. Los elementos z, y, z, ..• del espacio lineal H llevan el nombre de vectores. Los vectores .z,.. x~, ... , x" se denominan linealmente irukpendten.les, siempre que la igualdad

+

+ +

+ +

+

+

+

+

C¡Z1

+

+

+

+ C.X1 + ... + C NXN = Ü

se verifica sólo cuando c1 = c1

== e N

(1)

O. Si, en cambio, existen tales c1 , e,, . . . , e N (no todos iguales e cero) que tiene lugar la igualdad (1), entonces los vectores ~· ... , x N se llamarán liMolnunle depenatentes. El número máximo (si existe) de vectores Unealment.e independientes del espacio lineal H se denomina dimenst6n del espacio citado. Un espacio que posee una infinidad de vectores linealmente indepe.odient.es, se denomina de dirneMt6n. ""

. • .

=

tnftnita.

El espacio H se llama norma.do , si para cada x E H viene definido un número real 11 x 11. denominado norma. que satisface las siguientes condiciones:

Cap. l . BcuacloM1 •n dl/•rcncl1u

47

1) JI x JI> O para z *O; 11 z JI = O, si z = O; 2) 11 x 11 JI ~ 11 z JI JI y 11 (desigualdad triangular); 3) 11 ex 11 = 1e l ·11 z JI, donde e es un número. Se denomina espacio euclúleo (unitario, respectivamente) el espacio lineal real de dimensión finita H (espacio linea] complejo de dimensión ünita H, respeciivamenle), en eJ cual a todo par de vectores z, 11 se les ha puesto en correspondencia un número rea] (complejo) (z, y), denominado producto escalar de dichos vectores, con la particularidad de que se consideran cumplidas las siguientes condiciones: Para el caso de un espacio euclideo: 1) (z, y) = (11. x) (simetría); 2) (.x1 z 1 , 11) = (z1 , y) (x1 , 11) (distributividad); 3) ()...x, 11) = A. (.x, y) (homogeneidad), donde A. es un número real cualquiera; 4) si z *O, entonces (z, x) >O. Para el caso de un espacio unitario; 1) (.x, y) = (11 • .x); 2) (z1 + x,, y) = (.x1 , 11) (z,, 11); 3) ()...x, y) = A. (z, y) para cualquier número complejo A.; 4) si x O, entonces (z, z) > O. Hemos de observar que el producto escalar introducido (x, y) engendra en H la norma

+

+

+

+

+

*

11

xn=V ex.

x).

(2)

Resulta válida aqui la desigualdad deCauchy-Buniakovski

1(z,

11)

1' ~ (x,

.x) ·(y, y),

(3)

la cual puede escribirse, tomand o en consideración (2), en la forma 1 (.x, y) 1 ~ 11 x 11-11 Y 11· 2. Operadores lineales en un espacio de dimeualón finita. Sea H un espacio lineal de dimensión finita provisto de producto escalar (z, y). Designemos con D cierto subespacio de H. Si a todo vector x E D se le ha puesto en correspondencia, de acuerdo con una regla determinada, el vector 11 = Ax de fJ , suele decirse que en H está dado el operador A. El conjunto D e: U se llama dominio de definición del opera-

Cap. l. BcaoclonH en dl/erenc/JJ1

dor A y se designa D (A). Un conjunto de todos Jos vectores del tipo 1J = Az, z e D (A ) se denomina campo de valores del operador A y se denota R (A). Si D (A) = H, dicen que el operador A est' prefijado sobre H. El operador A se llama lineal, si a) es aditivo, es decir, A (z, + z,) = Az, + Az1 para cualesquiera z 1 , z 1 EH; b) es homogéneo, es decir , A (cz) = cAz para todo z E H y cualesquiera números c. Los requisitos a) y b) son equivalentes a la condición A (c 1z 1 + c.z1 ) = c1 Az1 + c1 Az1 , cualesquiera que sean z 1 , z, E H y los números c 1 y c1 • Un operador lineal ae denomina acotado, si existe tul constante M > O que para todo z EH. (4) llAz ll~M llzll La cota inferior exacta del conjunto de números M que satisfacen la condición (4) lleva el nombre de norma del operador A y se denota 11 A 11· Est' claro que 11 Az 11 ~ 11 A 11 •ll x 11·

(5)

En adelante se considerarán siempre operadores lineales acotados A prefijados sobre H con el campo de valores R (A) s; H. Tal operador A aplica H en H, lo que se escribe en le forma: A: H-+ H. En el espacio de dimensión finita cualquier operador lineal es acotado. Si a cada y E H le corresponde sólo un vector x E H, para el cual Az = y, entonces mediante esta correspondencia queda definido un operador A - 1 , denominado liwer10: A - 1 : H-+ H. De la defin ición de operador inverso A -1 proviene que A. - 1 (Az)

= z,

A (A - 111)

-= y para cualesquiera z, y E H .

Un operador D que act úa según la regla Dz = A (Bz) reclbe el nombre de producto de los operadores A y B y se designa D = AB. Un operador E se denomina operador unidad (idlnttco), si Ex = z para todos los x E H. Si existe A-1 , entonces A -1 A = AA - 1 = E. Los operadores A y B se llaman permutables o conmutativos, si AB = BA. Es evidente que A - 1 es un operador lineal, si lo es el operador A . Resulta válida le siguiente afirmación:

I l . Bcuclonu •n tllf•r•ncl41

49

Para que un operador lineal A: H-+ H cuente con su inverso, es necesario y suficiente que la ecuación Az = O tenga la única solución z = O. Un operador A• : H-+ H se denomina conjugado del operador A: H-+ H, si (Ax , y) = (z, A •y)

z,

para cualesquiera

v EH .

El operado r A es autoconjugado (slmltrico) , siempre que A = A• (o bien (A x, y) = (z. Ay) para cualesquiera z, v E H ). El operador li neal A se llamará: positivo, si (Ax, z) > >O (x E H ; z =I= O); ckfinido posltlilo, si (Az, x) 6 11 x (x E H), donde 6 > Oes un número; no negativo, si (Az, z) ~ >O (z E H ). Cualquier operador A puede ser representado como una suma:

>

A = Ao + A.,

i Ao = :r- O, si (Az, x) > O, para todos los z E 1/, x =I= O; A ;;;r, 6E, si (Ax, z) ~ 6 11 x JI'. paro todos los x E H, (7) donde E es un operador unidad. La desigualdad B ~aA

significa que queda cumplida la condición 8 - aA ~O, os decir, ((8 - aA) x, z) ~O (para todos los x E 1/). Si en un espacio real A =I= A• , entonces la desigua ldad A ;;;;., O (A >O) será equivalente n la desigualdad /\ 0 ~O (A 0 > 0). lo que se deduce do (6)

50

Cap. l. Ecuaclone1 en dl/erenc1J11

Sea A un operador positivo. Entonces, existe un operador inverso A -1 : H -+- H, siendo A - 1 >O para A >O. (A -1)• = A -1 cuando A• = A. En efecto , el operador A - 1 existe, siempre que la ecuación Az = O tiene solamente la ecuación trivial. Admitamos que Ax = O cuando x =I= O; entonces O = (Ax, z) cuando x =I= O, lo que contradice la condición A >O, o bien (Ax, x) > O cuando x =fo O. De esto modo, si A > O, entonces la ecuación Ax = y tiene la solución única. 3. Valoree propios del operador lineal. Sea A un operador autoconjugado en el espacio N-dimensional H provisto de producto escalar (,). Analicemos un problema sobre los valores propios del operador A: se pide hallar los valores del parámetro A. (valores propios), para los cuales la ecuación homogénea (8)

tenga soluciones no triviales (i·ectores propios). He aqui algunas afirmaciones !undamentales del álgebra lineal sobre el problema de valores propios. 1) El operador autoconjugado A tiene N vectores propios ortonormalizados ti. t 1 , • • • , ~N : (~.,

"") =6,.,..

1, s=m. 6,m = { O, s =I= m.

(9)

2) Los valores propios correspondientes son reales y pueden disponerse en el orden de crecimiento de sus magnitudes absolutas: o~ 1Ai 1~ 1.>..,1 ~ .•. ~ 1>..,., J. (10) 3) Si A es un operador positi vo, entonces todos los valores propios (A.•) son positivos:

o 0, puesto que ¡, O. 4) Un veet.or arbitrario :e E H puede ser descompuesto según Jos vectores propios del operador A = A•:

+

N

x = ~ c.~.

•-1

e~ = (x,

¡.),

(12)

5t

S 4. Ecuoclonu en dl/erenclar

quedando en est.o caso válida la igualdad N

llzlll =

'l: e&. 1t-1

(13)

En efecto, debido a la condición (9) de ortonormalidad del sistema (t,.} tenemos N

11z11 1 = (z, z) = ( ~ N

=

Az

•-t

c,.t,.,

N

~ c.-·6.•) =

-~-,

N

~ ~ c"c.-· (t;,., ~-) =

Ji-t "~-1

N

'l:

N

l} c,.c-·Bu· =

•-t •"-t

N

'l:

•-sel.

5) Si A = A• > O, entonces la solución de la ecuación = f puede ser representada en la forma N

Z = ,._, ~ ~~~•

(14)

donde /,. = (/, t") es el coeficiente de Fourier de la función /. Hagamos uso de las representaciones

y escribamos N

0=Az-f =

l:

·~-1

(A.-·c.-• - /1t•)t.-•.

Al multiplicar esta igualdad escalarmente por t" y teniendo en cuenta que (t"' ¡;".) = Bu·. hallemos 0 = A."c" - /,., es decir, e" = hl'J..". 6) La norma de un operador autocoojugado A es igual al módulo de su valor propio máximo:

11A 11 = máx IA.-1 = IA.NI· 1..;A.,;N

F.fectivamente, aprovechando (12), obtenemos N

Az = ~ c,.At;" = 1c-1

N

'l: · - ·

A."c"t;",

(15)

52

Cap. l . Ecuoclon.. e n di/erencio1

y, en virtud de (tO) y (13), tenemos N

N

~-1

--1

11Ax112 = ~ ).lc:~).Ji ~ el = ).J.. 11z1 2 , es decir, 11 A 11 ~ 1'A.N ¡. Esta estimación se consigue. En efecto, para x = ~N tenemos 11 Az 11' = 11A~N11' = = 11 ¡,NEN 11' = 1'J..N 1•, puesto que 11 ~N 11' = 1. De aquí precisamente se desprende que 11 A 11 = 1'Jo.N I· 7) Si A = A•, entonces

11A 11 = sup

""11-1

!(Ax, .x)¡.

(16)

8) Si A = A•> O, entonces 'A.1E ~A~ 'Jo.NE, o bien

A. 1 11 x 11 2

~(Ax, .z:) ~ 'J,.N

11 x 111 ,

A.,> O, x E H.

(17)

9) Si el operador A es positivo, será definido positivo, es decir, existe una constante f¡ >O tal que de lacondición A > O proviene la desigualdad A;;;:;., fiE. P ara un operador autocon jugado esta propiedad se deduce de la propiedad 8). En el caso geoera.1 representemos A en forma de una suma A = A 0 + A1 , donde A 0 =A : > O, A 1 = -A: es un operador antisimétrico. Puesto que (A 1.x, x) = O, se tiene (Ax, x) = (A 0 x, .x) >O. Para A 0 es cierta la propiedad 8). Suponiendo 'A.1 = 'A.1 (A 0 ) = f¡ >O, obtenemos (A.,.x, .x) = = (Ax, .x);;;:;., fJ 11 x 11' para todos los x E H. t0) Si existe Q-1 , las desigualdades operacionales

c;;;i,o.

Q•CQ ;;;¡p; O

(18)

serán equivalentes. Est.o se deduce de la identidad (Q•CQx, x)

=

(CQx , Qx) = (Cy, y),

donde y = Qx, x = Q-ly. H) Sean A 1 y A 1 los operadores en H aut.ocoojugados, positivos y permutables:

A 1 = AT >O,

A, = Al> O,

En este caso los operadores A 1 y A•• la suma de ellos A 1 + A 1 y el producto A 1 A 1 tiener1 un sistema común de fun-

+

f 4. Bcruclone1 en dl/crcncúu

{¡;1}: A1¡;1 = ).A11 ¡;.,

53

eiones propias

). (As

+ A 1)

A,¡;.= AÁ'''•·

= ).(As)

+). (A 1),

). (A 1A.) = ). (As)). (AJ. 12) Si A = A • >O, entonces elJ operador A- 1 = (A - 1) • > O es también au toconjugado, tiene loa mismos vectores propio~ que el operador A, y los valorea propios ). (A - 1 ) = 1/). (A). Efectivamente, de A!;i. = ).1¡;1 proviene ¡;. = )..A-1 t •. es decir, (A - 1 ) t 1 = (t/A.•) t 1 • De aquí concluimos que la.s desigualdades As E ~ A ~ ')..HE y (i/). H) E ~ A-s ~ (il'-i) E son equivalentes. 4. Problema genera.Usado sobre valores propios. Sea dado un operador autoconjugado positivo B. Introduzcamos un producto escalar nuevo (;i:, y) 8 = (B;i:, y) y una norm a 11 /1 11 8 = V (By , y). Un espacio H provisto de producto escalar (;i:, y) 8 recibe el nombre de tspacio tntrgétlco y se designa Ha· Ex.iminemos un problema geoeraJizado sobre valores propios que consiste en bnscar las solur.iones no triviales v de la ecuación (20) Av = µBv, V =#= 0,

==

donde A es un operador autoeonjugado positivo. Supongamos que los operadores A y B están representados por las matrices respecLi vas A = (a1J), B = (b1J) (i, j = i, 2, ... , N). La ecuación opera cional (20) puede escribirse en forma de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales H

N

1-1

J-s

~ a11v - µ ~ b11v,

t = i, 2, .. . , N,

donde v. .•. , ¡¡(Hl son com ponentes del veclor v. P ara determinar los valores propios se obt iene una ecuación algebraica de N-ésimo grado det (a 1¡ - µb¡¡) = O. (2i ) Para el problema (20) son justas las propiedades análogas a las del problema corriente sobre valores propios, a saber:

Cop. l . Ecuaclonei en dl/orenela1

existen N vectores propios ortonormalizados en el sentido del producto escalar (z, y).¡¡ k, m = 1, 2, ... , N ,

(22)

a los cuales corresponden los valores propios

<

0

fl1 ~ · • · ~ fl N•

(23)

Por aoalogla con el p . 3 tenemos N

z = ~ c,.v.,

c11 = (z, v.) 8 ,

•-1

N

UzllL = ~e&.

.,_,

(24)

Se verifican las de.siguaJdades operacionales 11iB ~A~ µNB,

(25)

con la particularidad de que µ N es Ja norma del operador A en H 8 . Esto significa que 11 Az 11 s ~ 11 A 11 s 11 z 11 a· OllSBl\YACION .

Las desigualdades

y 1 B~A~y1B, y 1 ~µ.~y1 ,

y,>0, h = 1, 2, ... , N,

(26) (27)

son equivaJentes. En efecto, descompongamos un vector N

arbitrario z = ~ c,.11., A-1

N

hallemos (A-yB)z= ~ c,.(µ,.A-1

-Y) Bva y el producto escalar N

((A - yB)z, z) = ~ cl(µ,.-y)(Bv,., 1111) = k-t

N

~ (µ11-y)cl,

•-1

donde y e9 uno de los números y 1 6 y 1 • Suponiendo z = 11,., ileterminemos ((A - yB) 11¡,, 11,.) = 1111 - y. Sea Y = Y1 y 9upongamos cumplida la condición A ~ y,B; entonces µ,. ~ y ,. La afirmación reciproca es también cierta. Ani\logameote se realizan Jos razonamientos para y = Yi·

§ ' ·

Bcuoctoner •n dl/eroncua

5. &paclos llnealee de lu funciones reticulares. 0pe. radoree de dllerenclas. En lo que sigue se examinarán a6lo las funciones deflnidas sobre la r ed con nodos de números enteros: WN = (t: t = i , ... , N}. Al introducir en el segmento O ~ :t ~ i los nodos :t1 = ih, h = i.IN (t = O, i , ... , N), obtendremos una red uniforme de paso h como una variedad de nodos %1 = lh con indices de números enteros: wh = {:r1 = ih: i = O, 1, ... , N; h = t/N}.

º·

E l paso de una red a la otra es evidente y en algunos casos (bastante frecuentes) no las destinguiremos. Denotemoscon ON+i = {¡¡,, t =O, t, ... , N}elespacio de funciones reticulares definidas sobre la red w N• con ÓN+t = (y., i = O, i, ... , N; Yo = O, YN = O} el !\ubespacio de funciones reticulares que están definidas sobre la red w N y ae reducen a cero en los nodos de frontera de la red w N: Yo = y N = O. Las funciones de ON+i se designarllD (i) = Veamos unos ejemplos de operadores de diferencias más simples. Pua el operador de la diferencia derecha ó. tenemos Ay, = V1 + 1 - y 1, i =O, f. ... , N - 1;

y

Yt·

aquí el dominio de definición e11 Q N +i• el campo de valoro11 está representado por el espacio QÑ = (y,. 1 = O, i, ... . , N - 1 } de N-ésima dimensión. P ara el operador de la diferencia izquierda V tenemos VY1 = Y1 - Yt-1> t = i , 2, ... , N; el dominio de definición es Q N+I• el campo de valores está representado por el espacio QÑ = {y1 , ¡ = i, 2, ... , N}. De la fórmula A2 y,_ 1 = A (Ay,_1) = A (Vy,) = Y1 +i - 2y, + Y1-1 se ve que el operador de la segunda diferencia está d efinido para las funciones reticulares y 1 con t = 1, 2. . .. , N - 1, es decir, aplica Q N + i en el espacio Q N -l = (y 1 , t = 1, 2, ... . . . , N - 1 ). La misma propled&d posee el operador do

56

Cop. J. Ecruclonei en tfl/erenc•••

diferencias A:

+

Ay, = l>1Y1+1 - c,y, ª1Y1-1 = (I>, - a1) (Vy1) -

= I>, 6. (VY1) -

(c 1 - a1 - 1>1) y,, 1 = 1, 2, ... , N - 1,

es decir , Ay1 E QN-i • si y, E QN+i• o bien, en la notación reducida, A: nN+ l-+ QN-1·' Analicemos un problema de contorno en diferencias

Ay1

= - /1 ,

i

= 1,

2, .. . , N - 1, Yo = 111 •

YN

= 111

(28)

y escribámosla en la forma matricial:

AY = cI>,

(29)

+

+ I> N-1111) es el

donde; cI> = U1 ª1111• f ,, · · ·, f N-•• f N-1 vector conocido e Y = (y1 , y 1 , . • ., y 1!~•· vector desconocido, ambos de dimensión N matriz t rid iagonal cuadrada de dimensión X (N - 1):

y N-i> es un 1; A es una (N - 1) X

Al comparar (28) y (29), vemos que se puiide escribi r

~y, = -cp,, t = t, 2, . . . , N - 1,

+ l>1Y1• 'P1 = f1 + ª1111• Ay, = Ay¡,

El operador de diferencias dificil observar que Ay1 = mos

Ay, =

-cp,,

i

'PN-1

= f N - 1+ l>N- 111:·

A aplica '2 N-l

hy

1•

(28')

en Q N-i · No es En lugar de (28' ) obtendre-

= 1,

2, .. ., N - i.

S 4. Bcuaclon,. .,. diferenciar

51

lntroduzcamos ahora el operador A correspondiente a la matriz {29), suponiendo

t = i, 2, ... ,N-t.

Ay,=-Ay, = -Ay,.

En tal caso, en voz del problema de contorno en dilerenclaa (28) obtendremos una ecuación operacional Ay = cp, donde A: '2 N-l - '2 N-l• q> E '2 H-l • ea decir, el oper ador A actúa de ON_1 en 0,,_1 • Ea evidente que A sed un operador lineal. Ha de notarse que también puede considerarse (teniendo en cuenta que Ay = -Ay), que A aplica ÓN-l en QN-1· En el espacio H = O N-l se puede introducir un producto esca1ar N-1

(y, V) =

~ ~

fl¡V¡

1-1

y una norma

llYll = V(y, y). Si se estudian el segundo (x1 = x. = 1) o el tercero (x, =fo O, x 1 =fo O) de los problema.a de contorno (véase (1) del§ 3), la matriz A será cuadrada de dimensión (N 1) X x (N + 1) y el operador A se definirá de la manera siguiente: Ay, = - Ay, = -(b1Y1+1 - C¡y¡ + ª1Y1-1l. t = 1, 2, .. . , N - 1, Ay0 = - (x1y1 - Yo), AyN = - (YN - X1YN-1) · En este caso el operador A aplica el espacio de funciones reticulares H = QN +i en sí mismo: A: H - !l . En adelante se analizará el primer problema de contorno para una ecuación en dücrencias de segundo orden; en este caso, según lo mostrado más arriba, H = Q,,_ 1 • 6. Fórmulas de Green de diferencias. Examinemos un operador ele diferencias D: Ly, = b,y, + 1 - C¡!f¡ + ª1!11-1· l = 1, .. .• N - 1. (30)

+

58

Cop. /. BcuocloM• •• tlt/•r•ncla1

Si b, =fo o 1+1 • la matriz correspondiente no será simétrica.

Es simétrica sólo en el caso t = 1, 2, .. ., N - i.

(31)

Al tomar en consideración esta condición, eseribimos Ly1 en la forma siguiente: L111

=

ª1+1111+1 -

c1111

+ ª1!11 - 1 =

=

ª1+1 (v1+1 - /11) - a, (111 - 111-1) - (c1 - ª1 - 111+1) /11 = ª1+ 1 V/11+1 - ª 1 VY1 - (c1 - a1 - ª 1+1) Y1 = /J. (a, V/11) - (e, - a, - a1+ 1) /11·

(321 Dividamos el segmento (0, f) con los puntos z 1 en N partes iguales, hagamos y (z1) = y 1 = y (i) e introduzcamos las designaciones que siempre se usarán en lo sucesivo: 1

h = -¡¡- ·

z 1 = ih, l!.111

11,,,1 =

t =O, 1, ... , N, z 0 = 0,

l/1+1-111

-¡; = - -11-- ·

ll-

z 11 = i,

_ V111 _ 111-111-1

,.,, -

11 -

11

'

(33)

= l!.(V111) 11-""· 1= y-"" (i)=ll1-1-2111+ll1+1 11 --,;r-· Dividamos la expresión (32) por h' y obtendremos uu operador de diferencias Ay1 = (ayi),., 1 -d1y,. t (34) d1 = ¡¡¡- (c 1-a1-a1+ 1). i = 1, ... , N - 1. En el § 1 se he obtenido Je fórmula de sumaclón por partes N-t

N

~ 1111J.v1= - ~ v1Vy 1+ (yv) 11 - (yv)0. (35) c.- o c-s Haciendo uso de les designaciones (33), eseribamos esta fórmula en la forma N- t

~ y1v,,,1 h = -

•-o

N-1

N

~ v 1¡¡i 1 h + (yv) 11 - (¡¡v)0 ,

•-t

N- t

·

N-1

puesto que ~ y 1/J.u 1 = ~ y 1 ( ; 4

t-0

l•O

1

)

h=

~ 1-0

11111,,, 1 h.

(36)

f 4. Bcruclonu en dtfcrenct.1

59

Para que la exposición ulterior sea mb cómoda, introduzcamos en el primer miembro de (36) la sumaclón entre l = 1 o t = N - 1; esto nos cond uce a la fórmula H-1

N

1-1

t-1

~ y,v,,. 1 h = - ~ v111; 1 h+ (yv)tt - Ye"t·

Sustituyamos aqul

111 ...

•

(37)

o1s;.1 ; se obtendrá

N

rt - t

~ Y1 ((U¡),.,1 h =

- •~ -t 0 1Y;¡.1-'i.1 h +

•-t

+(oyz;¡)N-y0 (oi;¡) 1. (38)

Esta es la primero f6rmulo de Green de dtferen.ctos. Cambiemos de lugar en ella y 1 y 1 1: N- 1

~

1-t

N

'' (oy;¡),..1 h= -

~

1-1

º''i•1Yi•1 h+ + (0Yis),., -

1o (oy¡) 1. (38')

Al sustraer (38') de (38) obtenemos la segundo /6rmula de Green de diferencias l't - 1

N- 1

1-1

1-1

~ y 1 (az;¡)r, 1 h = ~ z 1 (ayz),., 1 h+aN(Yzi-sY;;)N- (Yo (ozi) 1- 10 (ay¡).).

(39)

Si están cumplidas las condiciones Yo=

Zo

(40)

=O,

y=;,

es decir, si z = ; EON+I • entonces en el segundo miembro de la igualdad (39) dos últimos sumandos se anulan y

. .

N- 1 ~

L.J

,_,

y1 (oz;¡),., 1 h =

,, . .

N-1

·-·

kl z 1 (oyi),., 1 h.

(41)

Al s ustraer de ambos miembros de la identidad (41) la suma N-1

y,; h,

~ d1

1- t

1

ohtenemos la segundo /6rmulo de Green para

eo N-1

N-1

1-1

1-1

~ Y1~1h = ~

;,Ay,h

(42)

para el operador de diferencias

Ay1 .,. (ayi),,. 1 - d1y., cualquiera que sea

yEÓH+i·

(43)

Sea H = O N-i un espacio de funciones reticulares ¡¡1, prefijadas para i = 1, 2, ... , N - 1, con el prod ucto escalar N -1

(JI, 11) = ~

l11ll1h

1- 1

y la norma

=V

11 Y 11 (!l. 11>· 1otrodur.eamos el operador A:

Ay= -Ay,

y EH .

(44)

Entonces la segunda fórmula de Green puede anotarse en la forma (y, As)

=

(Ay, z).

(45)

Esta fórmula expresa la propiedad de autoconjugación del operador A: A•= A y, por lo tanto, A* = A. Cuando ; = E ÓH+t• la prime.r e fórmula de Green (38) nos da:

y

H- 1

N

t-1

·· ·

- ~ ;, (avz)••1 h= ~ a, o,

para (46) (ya que = H = O, (46) puede ser igual a cero sólo en el caso en qu_e 1 - O (i = i, .. ., N - 1)). Teniendo preeente la definición del operador A, halíamos

Vt v y

N

(A11, 11) -

·-·

N

~ 11i(11i 1) 1h + ~ d111th>O, a 1 >O. '

,_.

d, ;;;;.o.

(47)

&i

§ 4. Bcuaclo11u en rltJcrenclu

De ost.e modo, el operador de diferencias A, definido por las fórmulas (43), (44), es autoconjugado y positivo: A = = A• >O, siempre que

a1 >0, d1 ;;¡. 0,

i= 1, 2, ... , N-1, aN>O.

(48)

7. Condición de autoconjugaclón del operado r de d lleren cias de seg:undo orden. Nos hemos convencido de que la condición (31) os su íiciente para que ol operador do diferencias (30) sen au toconjugado on el espacio lf = Q,., + t · Mostremos qu e la condición (31) es necesar ia para que sea autocoujugado L . Representemos L en forma de una suma: Ly1

= L,y +· L.,y = a,~' CY1 + 1 1

L1Y1

1,

Y1)

- a, (y,

-

Y1-1) - (e, -

a, -

b,)y,,

L,y, = (b, - ª1 + 1) Y1 + 1· Como ya se ha mostrado en el punto aot.ecedento, el operad or L 1 y 1 = h'Ay1, J\y 1 = (atrx)x,1 - d 1 y 1 , es autoco njugad o en el espacio H = ÍlH + t ó on H ... QH-t con el N-1

producto escalar (y, u) = ~y 1 u 1 h. Por eso podemos escrihir:

(~ Ly,

~) -

(y, :. L~) =

= (Ay. ~) - (y,/\~)+(:,

LiY.

~) - (y, -~Li~)

=

N

=h

:,

(b1-a1+ 1>CV1+1V1

=

(y,

- y,u,. 1) h.

1-1

De aquí se vo que (Ly, ~) só lo a la condición de que

Lu), es decir , L = L*

N- 1

~ (b1-a1+1)(Y1+1U1-ll1U1+1)h = O.

1-1

(49)

Por sor arhitrari11s y 1 y u,, podemos toma r y 1 = p. J. Bcat1>clone• en dl/eronc'41

Obtenemos, pues, y 1 +1 v1 - y,v1 +1 = 6 1 , 1,, y la condición (49) nos da b1 , = 1• Con esto queda demostrada la necesidad de In condición (31.). Se debe notar que la ecuación

a,,.

Ly1 = -/1 puede ser reducida a la forma

Ly, =

!J. (A, Vy,) - D11J1

(50)

=

(51)

-F1.

donde L es un operador autoeonjugado. En efecto, multipliquemos ambos miembros de Ja ecuación (50) por µ 1 O:

+

'l11,

= 1110.1111-1 -

111c,11,

+ b1111Y1+1 = -

µ,¡,

y exijamos que para la ecuación obtenida se cumpla la condi-

ción (31), es decir, b1111

=

De aqul obtenem05

(µa)1 +1 = ª1+1!11+1 = A1+1· 11i+i

= (-b-'-) 0 1+1

1

µ 1 = 111

Il

bt.fa,..1 y

la

ecuación (51), donde A 1 = o.111,. D1 = µ¡(c1~-· - a1 -b1), P 1 = = µ,/, . 8. Valores propios del operador de dUerenclas d.e segundo orden. Examinemos un problema de diferencias sobre valores propios: (a.v;)...1

-

d,y,

+ '>.y1 = O,

i

=

1., 2 . . .. , N - i Yo = Y N = O,

(52)

o bien Ay = 1..y, y E nN-•• donde A se determina por la igualdad (44). El operador A es autoconjugado y positivo, razón por la cual a tSI se refiere todo lo dicho en el p. 4. En el caso más simple, a 1 = i , d 1 =O, los valores propios y los vectores propios pueden hallarse en la forma explicita. Asl pues, se requiere encontrar soluciones no triviales de la ecuación homogtSnea con condiciones de contorno homogáneas Yix.1 + "Ay, = 0, l = 1, 2, . . . , N - 1, hN = 1, Yo= O, YN =O, Yt i¡é O. (53)

Escribamos la ecuación (53) en la forma sjguiente Y1-1 -

2 cos

ay,

+ y,_ = o, 1

2 cos ex

=

2 -

u•.

(54)

La solución general de esta ecuación tiene por expresión (55)

Exigimos que se cumplan las condleiones de contorno: Yo = c1 = O, y N = e, sen Ncx = O. Como se bosca una solución no trivial, entonces c1 =FO y sen Nr¡. = O, es decir, Nr¡. = mn (m = O, t , 2, .. . ), r¡. = r¡.,.. = mn/N = = mnh. De la relación 2 cos ex = 2 - M' encontramos

"

i.hs = 2 (1 -eos r1.) = 4 sen' T, •,., = •,.,.,. = -¡asen 4 • ""'" .

(56) 2 A este valor de i.,,. le corresponde una función propia

y,,. (t) = e seo nmz1 , e O. Con este fin se debe calcular H- 1

Usennmz.. 11' =- ~ hsentnmz..

=+ ~

H- 1

h(1 - cos2nmz.. ).

Al denotar a = 2nmh y sustituir = Re elM, llegamos a que

C-OS 2mn.z~

= cos a.k

=

ll-1

(N- t )A 11 sen n171%11 lll = -2- - - 21

"'

NA

h cos 2nmz11 = 2

L.J

=

t 2,

11-1

11 een nmzlf = 1/V2; por consiguiente, e= V2. De esto modo, la función

Ym ti)= V2 sen nmz1 (58) esté normalizada hacia la unidad. Las funciones propias y. (t) e y_,,. (i), correspondieutes a los diferentes valores propios A., y A.m. son ortogonales en el sentido del producto escalar ll-1

(y, v) = ~ y 1v 1h. 1-1

El problema (53) constituye un caso particular del (t). Dicho problema (8) con ol operador Ay (i) = operador es, evidentemente, autoconjugado y positivo, puesto que

-Yzx

ll- 1

(Ay, y)=~ (Y;, 1 ) 1 h> O. 1-1

•

Por esta razón todo lo dicho en el p. 3 queda vigente t ambién en el caso dado. Loe valores propios >-. crecen a medida que crece s, ttA n.\ puesto que een 2 1O, b 1 >O, c1 ;;;;;., a1 + b1 , t = 1, 2, . .. , N - 1 (2) tieoe lugar el siguiente principio del máximo. TKORIUL\ 1 (princtpto del rnáJ:tmo). Su.pongamos que u.n operador de dífereT1Cías L está definido por las /6rmv.las (1), (2). Si para una funcl6n y1, prefi/ada sobre la red y diferente de una constante (1. ~ i ~ N - 1.) , se cumple to. condU:i6n Ly1 ;;i: O (Ly 1 ~ O) para todo i = 1, 2, ... , N - 1, entonces dicha f unci6n no puede tomar el valor positivo m.ázimo (negatiVQ minimo) en loa nodos interior es de la red. DBMOSTRACION. Sea Ly1 ;;i: O (i = 1, 2, ... , N - 1). Supongamos que el teorema no es cierto e y 1 alcanza su valor posi\ivo máximo en un nodo interior t 1. ~ ~ i• ~ N - 1: y,.= mh y 1 = M 0 > O. Como y, ..

w

= '••

O ~ l.o;N

¡¡¡9 const, se encontrará un nodo interior í 0 (t 0 puede coincidir con i•) en el cual y1, = y 1, = M 0 O, y en uno de los i 0 - 1, se nodos vecinos, por ejemplo, en el nodo i

> = Yo, 111 >o, entonces la aoluctón ckl probkma (1)-(2) ea no negativa: y 1 >O (t = =o, 1, ..... N). COROLARIO a. St quedan cumplidas las condtctones (2), el problmul Ly 1 = O, 1=1 , 2, ... , N-1, Yo = O, YN = O (3) ttene '6lo una aoluci6n lrlvlal v el problema (1), (2) es resoluble unlvocam4nte, cualesquiera que nan cp,, 111· DllM08"Jl.Ac10N. Suponiendo que la so ución y1 del problema (3) es diferente de cero por lo menos en un solo punto l . = '•• llegamos a una contradicción con el principio del máximo: sl Jfi. > O (111• > O cuando i 10 (O < i 0 < N). de suerte que 1 y, 1 ~ ~ 1 y1, 1 para cualquier i =O, 1, ... , N. Entonces, de (4') se deduce para i = t 0 :

=

1c1, J J Yi, I = 1ac,Y1,-1 +b1,Y1,+t + epi,

I~ 1a1,

+ J b,, J 1Vc.+t 1+ 1cp,Ji ~

l I V1,-1 1+

ª'· 1+ 1b¡, 1) 1y'· 1+ 1cp¡. 1.

~ (1

a

(loi.l- l ai.l-lb1,l)IY1.l~l11>c.I, IYc,I ~ 1IP1,• 1~ 11 7cp 110 1

Con esto queda demostrada la estimación (8). OBBBRVACION. Si la condición d, = b, > o o d, = 1c1 1- 1 1 - 1 b, 1>O no s e cu mple, por ejemplo, d1 c1 - a1 -b1 ~ O, a 1 >O, b1 >O, i = 1, 2, . .. , N - 1,

=

ª'

e, - ª' -

(9)

69

f 5. Pr lnelplo dd mdzlmo

es decir, d 1 puede reducirse a cero en ciertos nodos, entonces el teorema 3 no puede ser aplicado. E n este caso, con el fin de estimar la solución y 1 del problema (4), se puede proceder de la manera siguiente. Representemos y 1 en forma de una suma y 1 = v1 + w 1 , donde w1 es Ja solución del problema

iw, = b, (w1+ t

=

w,) - a1 (w1 - w,_1) = -q>¡, 1 1, 2, . . . • N - 1, w. = w N =

o.

(10)

Entonces, v1 se determina partiendo de las condiciones

a,

Lv, = b, (v1+ 1 - v,) (v1 - v1_ 1) - d,v, = - d,w,, i = 1, 2, ... , N - 1, v 0 = vN = O. (11) Se puede convencerse de esto sumando término a término las ecuaciones (10) y (11.). La función w 1 puede estimarse inmediatamente (véase el cap. [V, § 3), al escribirla en la forma explicita, mientras que para la estimación de v 1 necesitaremos el TEORZMA 4. Para resolver el problema (11) ba;o las condiciones (9) es válida la estlmaci6n llullc~llwl lc· (12) Dl!.MOSTRACtON. Si d1 O, entonces, en virtud del corolar io 3, v 1 """O, y la estimación (12) queda cumplida. Sea d 1 =F. O siquiera en un solo punto. Construyamos la mayorante Ü, como una solución del problema

=

LÜ, = -d1 1 w1 ¡,

i= 1, 2, ... , N-1.,

v0 =vN=0.

Supongamos que ü,;;;;i.O alcanza su valor máximo para entonces ÍÍ1,+1-ÍÍ1.~0. 1, -v1,-1 ~O. y de (4) proviene d1,ü,, ~ - b,, c'ii,,+. - ü,.>+ cii1. -ü,,_,) + d1,v1. = =d1,lw1, I· Si d1, >O, entonces ii,. < 1 w1 , 1 y obtenemos en seguida la estimación (12), puesto que 1 u1 ¡ ~Ü1 • Si d 1, = 0, la ecuación (t 1) tomará la forma-b 1 1, + 1 1, ) + ª'· (v1, -Üi.- s) = = O, y de esta última se deduce que V.,+1 = Ü..- i = 1, . Por i

v

= i 0;

ª'·

.(v

-v

v

70

v

cuanto Ü1 .,.. con.et, existe tal punto I = 11 en el eusl 1, == ii.,, y en el punto vecino, por ej4!mplo, 1=t1 +1, ii1,+1 < 1,; entone&s aqul d1, +O y obtenemos, puee, el caso analizado mb arriba: = llli 11.:s;;; l Wt, I:s;;; 11 ro lle· 3. &tlmac16n de Ja aolucl6n de una eeuac16n en dUerenclu con ayuda d.e laa f6rmulu de factortsac16n. Para el caso en que b1 = 4 1 +1 • es decir, euando el operador Ly1 sea autoeonjugado, la solución del problema (4) puede ser es~­ mada eon ayuda de las fórmulas de factorir.ación derecha. Es más conveniente escri)>ir la ecuación (4) en la forma Ay, = (4¡fr),.,1 - d1111 = -cp,. i = 1, ... , N - 1, !/o= O, JIN =O, (13) 4 1 >0, d1 >0. Escribámosla en la forma habitual: 411/1-1 C¡y¡ + 41+1Yt+1 = -h•i:p¡, Jlo = JI N = 0, c1 = 4 1 + a 1+ 1 + h1d,. 4 1 > O, t = i, 2, ... , N - 1. Veamos las fórmulas de faetorizaeión 111 = ª1+11/1+1 + fi1+1• llN = i = 1, 2, ... , N - 1,

v

v,,

º·

1

ª1+1=

e,~~·,. ,

A

•1111+•1~·

f'l+I

=

e¡-a¡