Calculo (3ra Edicion) - M Spivak

CALCULUS

CALCULUS M. S P I V A K 3a E D I C I Ó N (4a E D I C I Ó N O R I G I N A L )

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EDITORIAL REVERTÉ

Barcelona •Bogotá •Buenos Aires •Caracas •México

Registro bibliográfico (ISBD) S p iv a k , M i c h a e l

[Calculus. Español] Calculus / Michael Spivak ; versión española traducida por José María Oller Sala y Luis Serra Camó. - 3a ed. Barcelona : Reverté, 2012, 2014. XIV, 680 p . : i l .; 25 cm. Traducción de: Calulus, 4a ed. —Indice. D L B. 19524-2012. - ISBN 978-84-291-5182-4 1. Análisis matemático - Cálculo. I. Oller Sala, José María, trad. II. Serra Camó, Luis, trad. III. Título. 517

Título de la obra original: Calculus. Fourth Edition Edición original en lengua inglesa publicada por: Publish or Perish, Inc. PMB 377, 1302 Waugh Drive, Houston, Texas 77019. U.S.A. Copyright © 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivak. All Rights Reserved

Tercera edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2012, 2014 ISBN: 978-84-291-5182-4 R e im p r e s ió n

2014

Versión española traducida por: José María Oller Sala Catedrático de Estadística de la Universidad de Barcelona

y Luis Serra Camó Catedrático de Genética. Profesor Emérito de la Universidad de Barcelona Corrección de estilo: Ana Fernández Saiz Maquetación: Mercedes Aicart Martínez Diseño de la cubierta: David Kimura + Gabriela Varela

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34)93 419 51 89 reverte @reverte.com www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Impreso en España - Printed in Spain ISBN: 978-84-291-5182-4 Depósito legal: B. 19524-2012 Impreso por Liberdúplex, S. L. U. # 1386

Dedicado a la Memoria de Y. P.

Prefacio Considero a cada hombre como un deudor a su profesión, y ya que de ella recibe sustento y provecho así debe procurar mediante el estudio servirle de ornamento y ornato. Fr a n c is B ac o n

Prefacio a la primera edición Cada aspecto de este libro se ha visto influido por el deseo de presentar el Cálculo no sólo como un preludio sino como el primer encuentro real con las matemáticas. Como los fundamentos del análisis constituyen el marco en el cual se desarrollan las formas mo­ dernas del pensamiento matemático, el Cálculo debería ser el lugar donde esperar, más que evitar, el reforzamiento de la percepción matemática mediante la lógica. Además de desarrollar la intuición del estudiante para la comprensión de los hermosos concep­ tos del análisis, es igualmente importante convencerle de que la precisión y el rigor no son disuasorios para la intuición ni tampoco constituyen un fin en sí mismos, sino que representan la manera natural de formular y pensar sobre las cuestiones matemáticas. Este objetivo implica una visión de las matemáticas que, en cierto sentido, se intenta defender a lo largo de todo el libro. Independientemente de lo bien desarrollados que puedan estar determinados temas, los objetivos del libro se alcanzarán sólo si éste tiene éxito en su totalidad. Por esta razón, tendría poco valor enumerar simplemente los temas tratados, o mencionar los aspectos pedagógicos u otras innovaciones. Incluso la simple ojeada que se suele dar a un nuevo texto de cálculo será más informativa que esta ex­ tensa relación de las cualidades del libro, y los profesores que tengan un especial interés respecto a aspectos particulares del cálculo, sabrán donde buscar para comprobar si el libro satisface sus exigencias. Algunas características requieren, sin embargo, un comentario explícito. De los veintinueve capítulos del libro, dos (señalados con un asterisco) son opcionales, y los tres que constituyen la Parte V se han incluido únicamente para aquellos estudiantes intere­ sados en la construcción de los números reales. Además, los apéndices de los Capítulos 3 y 11 contienen también material opcional. Considero que el orden de los restantes capítulos debe mantenerse inflexible, ya que el objetivo del libro es presentar el cálculo como la evolución de una idea, no como una colección de “temas”. Como los conceptos más interesantes del cálculo no apare­ cen hasta la Parte III, las Partes I y II requerirán probablemente menos tiempo de lo que podría indicar su extensión, aunque el libro cubre un curso completo, los capítulos no están pensados para ser tratados a una tasa uniforme. Un punto natural de división se sitúa entre las Partes II y III, lo que permite llegar a la diferenciación e integración todavía más rápidamente, tratando tnuy brevemente la Parte II y, si es necesario, volver a considerar algunos aspectos, con más detalle, posteriormente. Esta opción correspon­ dería a la organización tradicional de la mayoría de cursos de cálculo, aunque pienso que únicamente disminuiría el valor del libro para aquellos estudiantes con unos conoci­ mientos muy rudimentarios del cálculo, y para los buenos estudiantes que ya tienen una preparación suficiente. Los problemas se han diseñado teniendo en cuenta a este tipo de estudiantes. Van desde los ejercicios más sencillos, aunque no excesivamente fáciles, que desarrollan las técnicas básicas y contribuyen a la comprensión de los conceptos, hasta los problemas ■■

Vil

vi i i

Prefacio a la primera edición

de dificultad considerable y, espero, de un interés comparable al grado de dificultad. En total se incluyen unos 625 problemas. Los que hacen hincapié en los métodos de cálculo contienen generalmente muchos ejemplos, numerados con cifras romanas minúsculas, mientras que las letras minúsculas se utilizan para indicar las partes que están interrelacionadas con otros problemas. Un sistema de notación con asteriscos y dobles asteriscos indica el grado de dificultad de algunos problemas, aunque existen tantos criterios para medir la dificultad, y se dan tantas indicaciones para la resolución de los problemas más difíciles, que esta guía no es del todo fiable. Muchos problemas son tan difíciles, sobre todo si no se siguen las indicaciones, que incluso los mejores estudiantes deberían intentar re­ solver sólo aquellos que les resulten de especial interés; en cuanto a los menos difíciles, no debería ser ningún problema seleccionar una muestra representativa para mantener ocupada, pero no frustrada, a una clase con buenos estudiantes. En la sección corres­ pondiente se dan las soluciones a la mitad, aproximadamente, de los ejemplos extraídos de una muestra de problemas, lo cual debería constituir un test de habilidad técnica. Se ha editado a parte un libro con las soluciones de las otras partes de estos problemas y también de los restantes problemas del libro. Finalmente, se da una lista de lecturas acon­ sejadas, a la cual hacen referencia a menudo los problemas, y un glosario de símbolos. Aprovecho la oportunidad para mencionar a las muchas personas a quienes debo mi agradecimiento. Jane Bjorkgren tuvo que realizar auténticos prodigios para mecanogra­ fiar la producción irregular de mi manuscrito. Richard Serkey colaboró en la recopila­ ción del material con las notas históricas incluidas en los problemas, y Richard Weiss elaboró las respuestas incluidas al final del libro. Agradezco especialmente a mis amigos Michael Freeman, Jay Goldman,Anthony Phillips y Robert Wells la atención con la que leyeron una versión preliminar del libro, así como sus críticas implacables. Ni que decir tiene que no son responsables de las deficiencias que todavía puedan haber, sobre todo porque yo mismo rechacé las sugerencias que podrían haber logrado que el libro pu­ diese parecer más adecuado a una audiencia más amplia de estudiantes. Debo expresar mi admiración a los editores y al equipo de W. A. Benjamin, Inc., que siempre se han mostrado dispuestos a incrementar el atractivo del libro, teniendo en cuenta, al mismo tiempo, la audiencia para la cual estaba destinado. Las insuficiencias que siempre contienen las ediciones preliminares han sido vale­ rosamente soportadas por un potente grupo de estudiantes universitarios de primer año, matriculados en el “honors mathematics course” de la Universidad de Brandéis, durante el curso académico 1965-1966. Aproximadamente la mitad del curso se dedicó al álge­ bra y la topología, y la otra mitad al cálculo, utilizando como texto la edición preliminar del libro.En tales circunstancias es casi obligado indicar que la versión preliminar fue un éxito gratificador. De hecho, el éxito está casi asegurado ya que -al fin y al cabo, es poco probable que la clase se subleve y proteste públicamente- pero pienso que los estudiantes tienen el mérito de haber asimilado con rigurosidad una gran cantidad de matemáticas. Me daría por satisfecho si otros estudiantes utilizaran el libro con este fin, y con tanto entusiasmo. Waltham, Massachusetts Febrero 1967

M ic h a e l S piv a k

Prefacio a la segunda edición A menudo me han sugerido que el título de este libro debería ser algo parecido a “Una Introducción al Análisis”, ya que se utiliza normalmente en cursos en los que los estu­ diantes ya han aprendido los aspectos mecánicos del cálculo, estos cursos son estándar en Europa y van siendo cada vez más frecuentes en los Estados Unidos. Trece años después, me parece que es demasiado tarde para cambiar el título, aunque si que he considerado necesario introducir algunos cambios, aparte de corregir numerosos errores de imprenta y otras deficiencias. Ahora existen apéndices separados para muchos temas que antes apenas eran mencionados: coordenadas polares, continuidad uniforme, curvas parametrizadas, sumas de Riemann y la utilización de integrales para el cálculo de lon­ gitudes, volúmenes y áreas de superficies. Unos pocos temas, como el manejo de series de potencias, se discuten en el texto con mayor profundidad y se incluyen, además, más problemas relativos a los mismos, mientras que otros temas, como el método de Newton y la regla del trapecio y la regla de Simpson se han desarrollado en los problemas. En total hay unos 160 problemas nuevos, muchos de ellos de dificultad intermedia entre la de unos pocos problemas de rutina al comienzo de cada capítulo y la de los más difíciles que aparecen más tarde. La mayor parte de los problemas nuevos son obra de Ted Shifrin. Frederick Gordon detectó algunos errores importantes en los problemas originales y aportó correcciones no triviales, así como la elegante demostración del Teorema 12-2, que incluye dos Le­ mas y ocupa dos páginas en la primera edición. Joseph Lipman también hizo algunos comentarios referentes a esta demostración, y propuso la utilización de la misma estra­ tegia para la demostración del último teorema en el Apéndice del Capítulo 11, el cual no se demostraba en la primera edición. Roy O. Davies sugirió la estrategia para la reso­ lución del Problema 11-66, que anteriormente sólo era demostrado en el Problema 20-8 [21-8 en la tercera edición], y Marina Ratner, la cual propuso varios problemas intere­ santes, en particular los relativos a la continuidad uniforme y las series infinitas. A todos ellos va dirigido mi agradecimiento, con la esperanza de que su contribución quede re­ flejada adecuadamente después del proceso de elaboración de la nueva edición. M ic h a e l S piv a k

Prefacio a la tercera edición El cambio más significativo en esta tercera edición ha sido la inclusión de un nuevo Capítulo 17 (señalado mediante un asterisco) sobre el movimiento planetario, en el cual se utiliza el cálculo para la resolución de un problema físico fundamental. Con este objetivo, el Apéndice del Capítulo 4 se ha sustituido por tres Apéndices: los dos primeros cubren los temas relativos a vectores y secciones cónicas, mientras que las coordenadas polares no se discuten hasta el tercer Apéndice, en el cual se tratan también las ecuaciones en coordenadas polares de las secciones cónicas. Además, el Apéndice del Capítulo 12 se ha extendido para tratar las operaciones con vectores de las curvas con valores vectoriales. Otra modificación importante ha consistido en cambiar el orden del material pre­ viamente existente: “La universalidad de la integral”, que previamente se trataba en un segundo Apéndice del Capítulo 13, se considera ahora en un Apéndice del Capítulo sobre “Integración en términos elementales” (antiguo Capítulo 18 y actual Capítulo 19); además, aquellos problemas del capítulo antiguo que utilizaban el material de este Apén­ dice, aparecen ahora incluidos en los problemas del Apéndice reubicado. Las correcciones y la eliminación de problemas incorrectos ha obligado a hacer otros pequeños cambios y a reordenar el apartado correspondiente a los Problemas. Quedé consternado al observar que, después de un periodo de 13 años transcurridos desde la primera y la segunda edición del libro, habían transcurrido otros 14 años antes de la aparición de esta tercera edición. Durante este tiempo he ido acumulando una lista considerable de correcciones, pero no ha ocurrido lo mismo con las comunicaciones ori­ ginales y, por tanto, no puedo expresar mi agradecimiento a las personas implicadas (las cuales, a estas alturas, probablemente ya no estén interesadas). Unicamente he podido hacer unos pocos cambios en el apartado correspondiente a las Lecturas aconsejadas, el cual, después de todos estos años, requiera probablemente una revisión completa; ésta tendrá que esperar hasta la próxima edición, que espero realizar en un periodo de tiempo más breve. s

M ic h a e l S piva k

Prefacio a la cuarta edición ¡Promesas, promesas! En el prefacio de la tercera edición comentaba que transcurrieron 13 años entre la primera y la segunda edición, y que habían transcurrido otros 14 años antes de la aparición de la tercera, expresando mi deseo que la siguiente edición no tardaría tanto tiempo en aparecer. Bien, al cabo de otros 14 años he aquí la cuarta, y probablemente la útima edición. Aunque se han introducido algunos pequeños cambios, especialmente en los Capítu­ los 5 y 20, esta edición difiere de las anteriores sobre todo por la introducción de proble­ mas adicionales, una puesta al día completa de las Lecturas aconsejadas y la corrección / de numerosos errores. Estos me han sido advertidos, durante todos estos años, por Nils von Barth, Philip Loewen, Fernando Mejias y Lance Miller, entre otros, quienes me fa­ cilitaron una larga lista, sobre todo del libro de soluciones; y Michael Maltenfort, quien me facilitó una lista increíblemente larga de erratas, errores y sugerencias. Sobre todo, sin embargo, estoy en deuda con mi amigo Ted Shifrin, quien ha estado utilizando el libro como texto en la Universidad de Georgia durante todos estos años, y me ha ido insistiendo y me ha ayudado a que, finalmente, hiciera esta necesaria re­ visión. Debo también agradecer a los estudiantes de su curso, durante este ultimo año académico, quienes han actuado como “conejillos de Indias” para la nueva edición, lo que ha determinado, en particular, la demostración del Lema del Sol Naciente, en el Pro­ blema 8-20, mucho más sencilla que la demostración original de Reisz, o incluso que la demostración en [38] de las Lecturas aconsejadas,la cual ha sido actualizada considera­ blemente, gracias de nuevo a la ayuda facilitada por el mismo Ted. M ic h a e l S piv a k

Indice PREFACIO PARTE I

PARTE II

PARTE III

vi

Prólogo 1 Propiedades básicas de los números 2 Distintas clases de números 21

3

Fundamentos 3 Funciones 39 Apéndice. Pares ordenados 54 4 Gráficas 56 Apéndice 1. Vectores 75 Apéndice 2. Las secciones cónicas 81 Apéndice 3. Coordenadas polares 85 5 Límites 90 6 Funciones continuas 115 7 Tres teoremas fuertes 122 8 Cotas superiores mínimas 133 Apéndice. Continuidad uniforme 144 Derivadas e integrales 9 Derivadas 149 10 Diferenciación 168 11 Significado de la derivada 188 Apéndice. Convexidad y concavidad 219

xiv

índice

12 Funciones inversas 230 Apéndice. Representación paramétrica de curvas 13 Integrales 253 Apéndice. Sumas de Riemann 282 14 El Teorema Fundamental del Cálculo 285 15 Las funciones trigonométricas 303 *16 ti es irracional 324 *17 Movimiento planetario 330 18 Las funciones logaritmo y exponencial 339 19 Integración en términos elementales 363 Apéndice. La universalidad de la integral 402 PARTE IV

PARTE V

244

Sucesiones y series infinitas 20 Aproximación mediante funciones polinómicas 411 *21 e es transcendente 442 22 Sucesiones infinitas 452 23 Series infinitas 471 24 Convergencia uniforme y series de potencias 498 25 Números complejos 525 26 Funciones complejas 541 27 Series complejas de potencias 555 Epílogo 28 Cuerpos 581 29 Construcción de los números reales 588 30 Unicidad de los números reales 601

Lecturas aconsejadas 611 Soluciones de problemas seleccionados Glosario de símbolos 667 índice alfabético 671

621

Prólogo

Ser consciente de la propia ignorancia es un gran paso hacia el saber. B e n ja m ín D isr a el i

Propiedades básicas de los números

l título de este capítulo expresa en pocas palabras el conocimiento matemático re­ querido para leer este libro. De hecho, este corto capítulo no es más que una explica­ ción de lo que se entiende por “propiedades básicas de los números”, todas ellas -adición y multiplicación, sustracción y división, soluciones de ecuaciones y desigualdades, factorización y otros procesos algebraicos- familiares ya para el lector. Sin embargo, este capítulo no es una clase de repaso. A pesar de la familiaridad del tema, el estudio que va­ mos a emprender parecerá, probablemente, muy novedoso; no se pretende presentar una revisión amplia de material tradicional, sino condensar este conocimiento en unas pocas propiedades de los números, simples y obvias. Algunas pueden parecer incluso demasia­ do obvias para ser dignas de mención, pero un número sorprendente de hechos diversos e importantes resultan ser consecuencias de las propiedades que vamos a destacar. De las doce propiedades que estudiaremos en este capítulo, las nueve primeras están relacionadas con las operaciones fundamentales de “adición” y “multiplicación”. Por el momento vamos a considerar solamente la adición; esta operación se efectúa con un par de números: la suma a + b existe para dos números cualesquiera a y b (los cuales, evi­ dentemente, pueden ser el mismo número). Es razonable considerar la adición como una operación que puede realizarse con varios números a la vez, y tomar la suma a\-\ Yan de n números a\ , . . . , an como un concepto básico. Sin embargo, es más conveniente con­ siderar sólo la adición entre pares de números y en términos de ésta definir las demás sumas. En el caso de las sumas de tres números a, b, y c, esto puede hacerse de dos maneras diferentes. Primero pueden sumarse b y c, obteniendo b + c, y luego añadir a a este número, obteniendo a + (b + c); o bien pueden sumarse primero a y b, y luego añadir la suma a + b a c, obteniendo (a + b) -Y c. Evidentemente, las dos sumas com­ puestas son iguales, y este hecho es precisamente la primera propiedad de nuestra lista:

E

(Pl)

Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a + (b + c) — (a + b) + c.

Esta propiedad hace innecesaria una definición por separado de la suma de tres números; convenimos simplemente en que a + b + c representa al número a + (b + c) = (a + b) + c. La suma de cuatro números requiere consideraciones similares aunque ligeramente más complicadas. El símbolo a + b + c + d se define como

3

4

PARTE I I

Prólogo

( 1) o o o o

(2)

(3) (4) (5)

((a + b) 4~ c) + tí?, (a + (fe + c)) + tí?, a + ((& + c) + tí?), , a + + (c + tí?)), (a 4" b^j -f- {c H- tí?).

Esta definición es única ya que todos estos números son iguales. Afortunadamente no es necesario incluir este hecho en la lista ya que se deduce de la propiedad P1. Por ejemplo, sabemos por P1 que (a, + b) + c = a + (b + c), deduciéndose inmediatamente que (1) y (2) son iguales. La igualdad de (2) y (3) es una consecuencia directa de P l, aunque esto puede no ser aparente a primera vista (debe considerarse que b + c desempeña el papel de b en P l, y d el papel de c). Las igualdades (3) = (4) = (5) son también sencillas de demostrar. Parece obvio que recurriendo a P l sea suficiente para demostrar la igualdad de las 14 maneras posibles de sumar cinco números, pero no está tan claro como se puede plantear una demostración de que esto es así, sin dar la lista de estas 14 sumas. Este método es factible, pero dejaría pronto de serlo si considerásemos colecciones de seis, siete o más números; sería totalmente inadecuado para demostrar la igualdad de todas las sumas posibles de una colección arbitraria de números a i , ... ,a n. Este hecho puede admitir­ se como demostrado, pero para aquellos que se interesen por la demostración (y vale la pena interesarse alguna vez), en el Problema 24 se indica un método de demostración ra­ zonable. En lo sucesivo utilizaremos tácitamente los resultados de este problema y escri­ biremos las sumas a H Yan despreocupándonos de la disposición de los paréntesis. El número 0 tiene una propiedad tan importante que la enunciamos a continuación: (P2)

Si a es cualquier número, entonces a + 0 = 0 + a = a.

El 0 también desempeña un papel importante en la tercera propiedad de nuestra lista: (P3)

Para todo número a, existe un número - a tal que i.

a + {—a) = {—a) + a — 0. La propiedad P2 debería representar una característica distintiva del número 0, y anima saber que ya estamos en condiciones de demostrarlo. En efecto, si un número x satisface ic i a+ x= a para cierto número a, entonces x = 0 (y por tanto esta ecuación también se cumple para todos los números a). La demostración de este hecho requiere únicamente restar a de ambos lados de la ecuación, eif otras palabras, sumar —a a ambos lados; tal y como se describe en la siguiente demostración detallada, deben utilizarse las tres propiedades P1-P3 para justificar esta operación.

CAPÍTULO 1

Si entonces de donde de donde y por tanto

Propiedades básicas de los números

a + x = a, (—a) + (a+ x) = (—a )+ a = 0; ((—a) +a) + x = 0; 0 + x = 0; x = 0.

Como ya hemos insinuado, es conveniente considerar la “resta” como una operación derivada de la suma: consideramos a — b como una abreviación de a + (—b). Así es posible hallar la solución de ciertas ecuaciones sencillas mediante una serie de pasos (cada uno justificado por P l, P2 o P3) semejantes a los que acabamos de indicar para la ecuación a + x = a. Por ejemplo: Si entonces de donde de donde y por tanto

x + 3 = 5, (x + 3) + (—3) = 5 + (—3); x + (3 + (—3)) = 5 —3 = 2; jt + 0 = 2; x = 2.

Naturalmente, estas soluciones tan elaboradas son de interés sólo hasta que el lector se convence de que siempre pueden utilizarse. En la práctica es una pérdida de tiempo resolver una ecuación indicando de manera tan explícita la relevancia de las propiedades P l, P2 y P3 (o de las restantes propiedades que vamos a añadir a la lista). Sólo nos queda por añadir a la lista otra propiedad de la adición. Al considerar las sumas de tres números a, b y c, sólo mencionamos dos sumas: (a + tí) + c y a + (b + c). En realidad se obtienen otras disposiciones distintas si se cambia el orden de a, b y c. El hecho de que todas estas sumas sean iguales depende de: (P4)

Si a y b son números cualesquiera, entonces a + b = b + a.

El enunciado de P4 trata de enfatizar que, aunque la operación de adición de pares de números se podría concebir que depende del orden de los dos números, en realidad esto no es así. Conviene recordar que no todas las operaciones se comportan de esta manera. Por ejemplo, la resta no posee esta propiedad: generalmente a —b ^ b —a. Podríamos preguntamos cuando a — b e s distinto de b —a, y es interesante descubrir lo poco que podemos hacer si para justificar nuestras manipulaciones nos queremos basar solamente en las propiedades P1-P4. El álgebra más elemental demuestra que a —b — b —a sólo cuando a — b. Sin embargo, es imposible deducir este hecho a partir de las propiedades P1-P4; es instructivo examinar el álgebra elemental cuidadosamente y determinar cuáles son el o los pasos que no pueden justificarse mediante P1-P4. De hecho, podremos jus­ tificar todos los pasos en detalle cuando añadamos unas pocas propiedades más a nuestra lista. Por raro que parezca, la propiedad cmcial se refiere a la multiplicación. Afortunadamente, las propiedades básicas de la multiplicación son tan similares a las de la adición que pocos comentarios será necesario añadir; tanto el significado como las consecuencias deberían ser claros para el lector. (Al igual que en álgebra elemental, el “producto” de a y b se representará mediante a-b, o simplemente mediante ab.)

6

PARTE I

Prólogo

(P5)

Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a - (b - c) = (a - b) - c.

(P6)

Si a es cualquier número, entonces a - 1 = 1 •a = a.

Además, 1 ^ 0 . (Puede parecer extraño que añadamos a la lista la afirmación que 1 ^ 0 , pero debemos hacerlo ya que no puede demostrarse a partir de las otras propiedades de la lista; todas ellas se cumplirían si sólo existiese un número, el 0.) (P7)

Para todo número « / 0, existe un número a~x tal que a -a ~ x = a~x -a = 1.

(P8)

Si a y b son números cualesquiera, entonces a-b — b-a.

Un detalle que merece destacarse es la aparición de la condición a ^ 0 en P7. Esta condición es absolutamente necesaria; como 0 *b — 0 para todo número b, no existe ningún número 0_1 que verifique 0 • 0_1 = 1. Esta restricción tiene una consecuencia importante para la división. Al igual que la resta se definió en términos de la adición, así también la “división” se define en términos de la multiplicación: el símbolo a/b significa a -b ~ x. Como 0_1 no tiene sentido, tampoco lo tiene ¿j/0; la división por 0 siempre es indefinida. La propiedad P7 tiene dos consecuencias importantes. Si a - b = a - c, no se deduce necesariamente que b = c; ya que si a = 0, entonces ambos a - b y a- c son 0, indepen­ dientemente de los valores que tengan ¿ y e . Sin embargo, si a ^ 0, entonces b — c; esto puede deducirse a partir de P7 de la manera siguiente: Si entonces de donde por tanto o sea

a-b = a- c y 0, a~l • {a •b) = a~x • (a •c); (a~x -a)-b = (a~x •a) •c; 1 • b — 1 •c; b — c.

También es una consecuencia de P7 que si a •b — 0, entonces a — 0 o b — 0. De hecho, si entonces de donde de donde es decir

a-b a~x - (a-b) (a~x - a) -b 1 •b b

=0 = 0; = 0; = 0; — 0.

y

(Puede ocurrir que se cumpla a la vez que a — 0 y b — 0 ; esta posibilidad no se excluye cuando afirmamos que “a = 0 ó b = 0”; en matemáticas la conjunción “o” se utiliza siempre en sentido no exclusivo de “uno o el otro, o ambos”.)

CAPÍTULO 1

Propiedades básicas de los números

Esta última consecuencia de P7 se utiliza constantemente en la resolución de ecua­ ciones. Supongamos, por ejemplo, que un número x satisface (x — 1) (jc —2) = 0. Entonces se deduce que x —í = 0ójc —2 = 0; por tanto x — \ ó x — 2. Basándose en las propiedades que hasta ahora hemos incluido en la lista, todavía se pueden demostrar muy pocas cosas. Esta situación, sin embargo, va a cambiar radical­ mente con la inclusión de la siguiente propiedad, que combina las operaciones de adición y multiplicación. (P9)

Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a • (b + c) = a •b + a •c.

(Observemos que la ecuación (Z?+ c )-a = ¿- a + c- a también se cumple según P8.) Como un ejemplo de la utilidad de P9 vamos ahora a determinar cuando a —b — b —a: Si entonces de donde de donde Por consiguiente y por tanto

a —b = b —a, (a —b) + b = (b —a) + b = b + (b —a); a = b + b —a\ a + a = (b + b —a) + a = b + b. a • (1 + 1) = b • (1 + 1), a — b.

Una segunda aplicación de P9 permite justificar la afirmación a • 0 = 0 que ya hemos hecho e incluso utilizado en la demostración de la página 6, (¿puede el lector encontrar dónde?). Este hecho no se ha incluido en la lista como una de las propiedades básicas, a pesar de no haberlo demostrado la primera vez que se mencionó. No era posible hacerlo tan sólo con las propiedades P1-P8 ya que el número 0 aparece solamente en P2 y P3, que se refieren a la adición, mientras que la afirmación en cuestión se refiere a la multiplicación. Con P9 la demostración es sencilla,aunque quizás no obvia: tenemos a-0 + a-0

= 0.) Podemos observar ahora que (\a + b\)2 = (a + b)2 = < = =

este símbolo

a2 + 2ab + b2 a2 + 2\a\ • |fo| + b2 \a\2 + 2|a| • \b\ + \b\2 (\a\ + \b\)2.

De aquí deducimos que \a + b\ < \a\ + \b\ ya que *2 < y 2 implica que jc < y, si x e y son ambos no negativos; la demostración de este hecho se deja para el lector (Problema 5). Podemos hacer una observación final relativa al teorema que acabamos de demostrar: un examen más detallado de las demostraciones muestra que a + b\ — \a\ + \b\ i

si a y b tienen el mismo signo (es decir, son ambos positivos o ambos negativos), o si uno de ellos es 0, mientras que +

< a T- \b\

si a y b tienen signos opuestos. Concluiremos este capítulo con un punto sutil, que hasta ahora no hemos considerado, cuya inclusión es necesaria en cualquier análisis en profundidad de las propiedades de los números. Después de enunciar la propiedad P9, demostramos que a —b = b — a

c a pítu lo

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Propiedades básicas de los números

implica que a = b. La prueba comenzaba estableciendo que #•(1 + 1) = ¿*(1 + 1), de lo cual deducíamos que a = b. Este resultado se obtiene a partir de la ecuación #•(1 + 1) —Z?• (1 + 1) dividiendo ambos lados por 1 + 1. La división por 0 debe evitarse escrupulosamente, y por tanto hay que admitir que la validez del argumento depende del hecho que 1 + 1 ^ 0. ¡El Problema 25 se ha incluido para convencer al lector de que este he­ cho no puede deducirse sólo a partir de las propiedades P1-P9! Sin embargo, una vez que se dispone de las propiedades PIO, P ll y P12, la demostración es muy sencilla: ya hemos visto que 1 > 0; de lo cual se deduce que 1 + 1 > 0, y en particular que 1 + 1 ^ 0 . Quizás esta última demostración no haya hecho más que reforzar la sensación de que es absurdo preocuparse por demostrar hechos tan obvios, pero la valoración honesta de nuestra situación actual muestra que vale la pena tomar en serio estos detalles. En este capítulo hemos supuesto que los números son objetos familiares, y que las propiedades P1-P12 son meras declaraciones explícitas de propiedades obvias, bien conocidas de los números. Sin embargo, sería difícil justificar esta suposición. Aunque se aprende a “tra­ bajar” con números en la escuela, lo que realmente son los números continua siendo una idea muy vaga. Una gran parte de este libro está dedicada a esclarecer el concepto de número, y hacia el final del mismo ya habremos tenido la ocasión de familiarizarnos su­ ficientemente con dicho concepto. Por tanto, debemos admitir honestamente que todavía no entendemos suficientemente a los números; lo que si podemos afirmar es que, sea cual sea la forma en que se definan finalmente, cumplirán desde luego las propiedades P1-P12. Gran parte de este capítulo ha consistido en tratar de presentar pruebas convincentes de que P1-P12 son realmente propiedades básicas que hemos de admitir para deducir otras propiedades corrientes de los números. Se han incluido algunos problemas (en los que se deducen otras propiedades de los números a partir de P1-P12) para profundizar en este aspecto. Una cuestión esencial, sin embargo, es si P1-P12 realmente explican todas las propiedades de los números. De hecho, pronto veremos que no. En el siguiente capítulo se pondrán de manifiesto claramente las insuficiencias de las propiedades P I­ PO , aunque no es tan fácil descubrir la manera correcta de corregirlas. La propiedad adicional, esencial y básica de los números que estamos buscando, es profunda y sutil, to­ do lo contrario de P1-P12. El descubrimiento de esta propiedad esencial va a requerir todo el trabajo de la Parte II de este libro. En el resto de la Parte I comenzaremos a ver por qué es necesaria alguna propiedad adicional; para investigar este aspecto tendremos que considerar con más detalle lo que entendemos por “números”.

Problemas 1. Demuestre lo siguiente: (i) Si ax = # para algún número # ^ 0, entonces x = 1 (ii) x2 - y 2 = ( x - y ) ( x + j) . (iii) Si x2 = y2, entonces x = y o x — —y.

PrÓlOgO

PARTE I I

(iv) x3 —y3 = (x —y)(x2 +xy + y2). (v) xn —yn — (x —y ) ^ -1 -fx"” 2y H

\-xyn~2 + y"_1).

(vi) x3 4-y3 = (x+y)(x2 —x y+ y2). (Existe una manera particularmente sencilla de hacerlo utilizan­ do (4), que muestra además como encontrar una factorización de x" + y n cuando n es impar.) 2. ¿Dónde está el error en la siguiente “demostración”? Sea x = y. Entonces

x2 = xy, x'2 - y 2 = x y ~ r2, ( * + y) (* - y) = ;y(*-;y), ^ 2y = y, 2=1. 3. Demuestre lo siguiente: a ac W Ib = rbe-’ a c ad + bc . (u) Ib + aj = — bd Z T ~ >S1 b' d r (iii) (ab)~l = a~lb~l , si ^ 0. ...

(Para resolverlo hay que recordar la propiedad que define a (ab)~l .) a c ac . 0. (¿Cuándo es positivo el producto de dos números?) x2 —2x + 2 > 0. x2 + x + 1 > 2. x2 —x + 10 > 16. x2 + x + 1 > 0. (x —ti) (x -j- 5)(x —3) > 0. (x —y/2 ) (x —y/2 ) > 0. 2* < 8. x + 3X < 4.

(xiii) - + ~ ~ > 0. x 1 —x (xiv)

~ > 0. X~j" 1

CAPÍTULO 1

Propiedades básicas de los números

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5. Demuestre lo siguiente: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x)

Si a be. Si a >, entonces a 2 > a. Si 0 < a 1, entonces a2 < a. S i 0 < a < £ > y 0 < c < ¿ / , entonces ac < bd. Si 0 < a < b, entonces a2 < b2. (Utilice (8).) Si a.b > 0 y a 2 < b2, entonces a < b. (Utilice (9), hacia atrás.)

.

6 (a) Demuestre que si 0 < x < y, entonces xn < y n, n — 1,2,3,.

(b) Demuestre que si x < y y n es impar, entonces Xa < yn. (c) Demuestre que si Xa = yn y n es impar, entonces x = y. (d) Demuestre que si xf1 = yn y n es par, entonces x = y o x — - -y7. Demuestre que si 0 < a < b, entonces r—r ü + b a < v a b < —-— < b. Observe que la desigualdad v a b < (a + b) / 2 se verifica para todo a, b > 0. En el Problema 2-22 se presenta una generalización de este hecho. 8 . Aunque las propiedades básicas de lasdesigualdades fueron enunciadasen términos del conjunto

P de los números positivos, y < se definió en términos de P, esteprocedimiento puede invertirse. Suponga que P10-P12 se sustituyen por (P'10) Para cualquier número a y b se verifica una, y sólo una, de las relaciones siguientes: (1) a = b, (2) a < b, (3) b