Calculo 3

II. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Definiciones, propiedades y teoremas importantes



Definición 2.1: Una función vectorial r de variable real sobre un dominio D  R es una regla que a  todo número real t contenido en D le asigna un único vector del espacio denotado por r t  . Si  r t  es un vector de R3, y f t  , g t  y ht  son las componentes del vector , entonces f, g y h son funciones reales de variable real llamadas funciones componentes de

y se escribe

 r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k El dominio de la función

es la intersección de los dominios de las funciones f, g y h.

 Teorema 2.1: Si r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k entonces  lim r (t )   lim f (t ) , lim g (t ) , lim h(t )    lim f (t )  i   lim g (t )  j   lim h(t )  k t a t a t a  t a   t a   t a   t a  siempre que existan los límites de sus funciones componentes.



Teorema 2.2: Una función vectorial r es continua en a si y sólo si las funciones componentes f, g y h son continuas en a.

  Definición 2.2: Dada una función vectorial r definida r (t )   f (t ) , g (t ) , h(t ) . Si las funciones componentes f, g y h son continuas en un intervalo I. Entonces el conjunto C de los puntos del espacio, x , y , z  , donde x  f (t ) , y  g (t ) y z  h(t ) con t variando en I, se llama curva en el espacio. Las ecuaciones x  f (t ) , y  g (t ) y z  h(t ) representan una parametrización de la curva, a t se le llama parámetro.





Definición 2.3: La derivada r ´ de una función vectorial r es la función vectorial definida por

r´(t ) 

r (t  h)  r (t ) dr  lim dt ha h

si el límite existe.

 Teorema 2.3: Si r (t )   f (t ) , g (t ) , h(t ) y las funciones componentes f, g y h son derivables entonces

1

 r ´t    f ´(t ), g´(t ), h´(t )  f ´(t )i  g´(t ) j  h´(t )k

   El vector r´t  se llama vector tangente a la curva C definida por r en el punto P siempre que r´t   exista y r ´t   0 . Definición 2.4: El vector T t  

r´(t )

se denomina vector tangente unitario.

r´(t ) Teorema 2.4: Sean u y w dos funciones vectoriales derivables en un dominio D  R , sea  un escalar y sea f una función real de una variable derivable. Entonces

           

d u (t )  w(t )  u´(t )  w´(t ) dt d  u (t )   u´(t ) dt d f (t )u (t )  f ´(t ) u (t )  f (t ) u´(t ) dt d u (t )  w(t )  u´(t )  w(t )  u (t )  w´(t ) dt d u(t )  w(t )  u´(t )  w(t )  u(t )  w´(t ) dt d u f (t )   u´ f (t )  f ´(t ) dt

     

 Definición 2.5: Si r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k entonces b



b a

b

b

a

a

 

b a

 

b a

 

b a

 

 r (t ) dt    f (t ) dt ,  g (t ) dt ,  h(t ) dt     f (t ) dt  i    g (t ) dt  j    h(t ) dt  k

a

 Teorema 2.5: Sea una curva C una curva dada por r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k , la cual es recorrida una sola vez cuando t varía de a a b. Entonces la longitud L de arco es

L 

b

 f ´(t )2  g´(t )2  h´(t )2 dt  

b

a

a

r´(t ) dt

Definición 2.6: Sea una curva C suave una curva descrita por

 r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k con a  t  b y al menos una de las funciones f, g o h es uno a uno sobre a , b  . Se define la función longitud de arco s como

2

t

s(t )   r´(u ) du a

Luego, s(t ) es la longitud de la parte de C entre r (a) y r (t ) . Teorema 2.6: La variación de la longitud de arco es igual a la magnitud de r´(t ) , es decir, ds  r´(t ) dt Definición 2.7: Dado T (t ) el vector tangente unitario a una curva C, la curvatura k de la curva se define como k 

dT . ds

 Teorema 2.7: La curvatura de la curva descrita por r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k es k (t ) 

T ´(t ) r´(t )



r´(t )  r´´(t ) r´(t )

3

 Definición 2.8: Sea C curva descrita por r t    f (t ), g (t ), h(t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k el vector normal unitario N (t ) es N t  

T ´(t )

.

T ´(t ) Definición 2.9: Si T (t ) y N (t ) son los vectores tangente unitario y normal unitario a una curva C. El vector B(t )  T (t )  N (t ) , se llama vector binormal y es perpendicular a los vectores T (t ) y N (t ) . Definición 2.10: El plano determinado por los vectores normal y binormal en un punto P sobre una curva C se llama plano normal de C en P. Definición 2.11: El plano determinado por los vectores tangente unitario y normal en un punto P sobre una curva C se llama plano osculador de C en P.

3

Problemas resueltos  1. Sea C la curva descrita por r t    a) Determine el domino de r .  b) Determine. lim r (t ) .

 t 1, e2t ,

ln t

t 1





c) ¿Para cuáles valores de t es la función vectorial r continua? d) Halle r ' (t ) . Solución: a) Las funciones componentes definidas por f t   t  1 y ht   ln t son las que nos restringen a la variable t. El dominio para cada una de ellas es:

Dom f  t  R t  1 Y Domh  t  R t  1 . Por tanto:



 b) lim r t   0, e 2 , 0 t 1

Dom r  t  R t  1



c) Las tres funciones componentes son continuas en su dominio, por tanto la función continua en su dominio.

 r es

 1 1   , 2e 2t , d) r ' (t )   2t ln t   2 t -1  2. Sea C la curva descrita por r t   2 , cos 2t , sen 2t  , determine la longitud L de arco de C para 0t π.

Solución: 

L 

 2sen 2t 2  2 cos 2t 2 dt 

0



 4dt  2t

0



 0

 2



 3. Sea C la curva descrita por r t   2 t i  8  t 2 j,  2  t  2 .

a) Grafique la curva C e indique su orientación.   3  b) Grafique, en el mismo gráfico de la parte a), los vectores r  2 y r   . 2 Solución:

4

De la ecuación dada se obtiene que unas ecuaciones paramétricas de la curva C son x  2t

y y  8t2

Si despeja t de la ecuación x  2t y el valor obtenido se sustituye en la ecuación y  8  t 2 , se obtiene la ecuación y  8 

x2 , cuya gráfica se muestra en la 4

figura.  4. Demuestre que la curva C descrita por r t   t cost i  2tsen t j  2t k , t  0 está contenida en

el cono de ecuación z  4 x 2  y 2 . Realice un bosquejo de la curva C e indique la orientación de la misma a medida que t crece. Solución: Unas ecuaciones paramétricas de la curva C son: x  t cos t , y  2tsen t , z  2t , con t  0 . Luego, al sustituir los valores de x y y en

4 x 2  y 2 resulta,

4 x 2  y 2  4t 2 cos2 t  4t 2sen 2t  4t 2  2 t  2t  z Es decir, los valores de x, y y z satisfacen la ecuación del cono, y en consecuencia la curva C está contenida en el cono, como se muestra en la figura

 5. Sea C la curva descrita por r t   t sen t , t cost , t , determine una ecuación paramétrica de la π π recta tangente a la curva C en el punto P , 0 ,  . 2 2 

Solución:  r t   sen t  t cost , cost  t sen t , 1 de manera que el vector tangente en el punto dado es

      r     1,  , 1 y una ecuación de la recta tangente es: 2 2    

5

   x  2 t   y   t 2    z  t  2

t  R , cuya gráfica se muestra en la figura.

3    6. Dado el vector de posición r (t )  sen (4t ) , cos(4t ) , 2t 2  , de una partícula en el tiempo t.     a) Halle el vector velocidad y el vector aceleración. b) Halle la rapidez de la partícula. c) Halle la ecuación de la recta tangente para t  1 .

Solución: 1    a) v(t )  r ' (t )  4cos4t ,  4sen 4t , 3t 2     

y

 3 a(t )  r ' ' (t )   - 16sen 4t ,  16cos4t , 2 t 

  

b) v(t )  16 cos2 (4t )  16sen 2 (4t )  9t  16  9t c) r (1)  sen 4 , cos 4 , 2 . Como el vector velocidad en v(1)  4cos4 ,  4sen 4 , 3 es tangente a la curva descrita por r (t ) en el punto tangente son:

sen 4 , cos 4 , 2 ,

las ecuaciones paramétricas de la recta

 x  sen 4  4 cos 4t   y  cos 4  4sen 4t t  R  z  2  3t 





7. Halle la función r tal que r ' (t )  t , e t , t 2 y r (0)  0 ,  5 ,1 . Solución:

 t2  t3 r ' (t )  t , e t , t 2  r (t )    C1 , e t  C2 ,  C3   r (0)  C1 ,1  C2 , C3  3 2  Como r (0)  0 ,  5 ,1 se debe cumplir que





C1 ,1  C2 , C3   0 ,  5 ,1 En consecuencia C1  0, C2  6 y C3  1 .

6

Por lo tanto, t2 t3  r (t )   ,  6  e t ,1   3 2

8. Pruebe que si r (t ) es el vector de posición de una curva C en R3 con aceleración nula entonces C es una recta o un punto. Solución: Sea r (t )   f (t ) , g (t ) , h(t ) entonces a(t )  r ' ' (t )   f ' ' (t ) , g ' ' (t ) , h ' ' (t ) . Si a(t )  0 se debe cumplir que f ' ' (t )  0, g ' ' (t )  0 y h ' ' (t )  0 . Integrando se obtiene: f ' (t )  C1 , g ' (t )  C 2

y h ' (t )  C3

Al integrar nuevamente, resulta: f (t )  C1t  D1 , g (t )  C2 t  D2

y h (t )  C3t  D3

Si C1, C2 y C3 no son todos nulos r (t )  C1t  D1 , C 2 t  D2 , C3 t  D3 

Es la ecuación vectorial de una recta. Si C1, C2 y C3 son todos nulos r (t )  D1 , D2 , D3 

Es un punto.  x  sen (2t )  t  9. Dada la curva C con ecuaciones paramétricas  y  t 0 π    z  cos (2t )

a) Halle los vectores tangente unitario T (t ) , normal unitario N (t ) y binormal B(t ) en el punto  1  P 1 , , 0  .  4  b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto P. c) Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador en el punto P. d) Halle el ángulo que forma el vector tangente unitario en P con el semieje positivo de z.

Solución:

7



1 4



a) Primero se determina el valor del parámetro t para el cual se obtiene el punto P1 , , 0  . 

1 t  4 π

sen (2t )  1,

y

cos (2t )  0  t 



π 4

 t   Observe que C puede ser descrita por la función vectorial r t    sen 2t  , , cos2t  . π    El vector tangente r ´t  es:  1   r ´t    2 cos 2t  , ,  2sen 2t  π  

Y su magnitud viene dada por:  1 1 r ´t   4 cos 2 (2t )  2  4sen 2 (2t )  4  2 π π

Por lo tanto, el vector tangente unitario T t  

r ' (t )

es el vector

r ' (t )

T t  

1    2 cos 2t  , ,  2sen 2t  π  1 

1 4

π2

π  1  El vector tangente unitario en el punto P1 , , 0  es el vector T    4  4 

1 4

 1   0 , ,  2 .  1  π π2

El vector T ´(t ) viene dado por T ´ t  

1 4

1

 4sen 2t  , 0,  4cos 2t 

π2

Y su magnitud es T ´t  

1 4

16sen 2 (2t )  16 cos 2 (2t )  1 π

4 4

2

Luego, el vector normal unitario N t  

T ' (t )

1 π2

es el vector

T ' (t )

N t  

1  4sen 2t  , 0,  4cos 2t  4

8

π  1  El vector normal unitario en el punto P1 , , 0  es N     1 , 0, 0 .  4  4  1  Finalmente, el vector binormal B(t ) en el punto P1 , , 0  se obtiene mediante  4  1 1 1  1   π π π B   T    N     0 , ,  2    1 , 0, 0  0, 2,  π  1  π 1  4 4 4 4 2 4 2 π π  1  b) El vector director de la recta tangente en el punto P1 , , 0  tiene la dirección del vector  4  π  1  r ´    0 , ,  2  . Luego, la ecuación de la recta es: 4  π   x 1  x 1   1 1 t ó tR  y   R y   4 π 4    z  2 π   z  2 t

c) El plano normal es el plano determinado por los vectores normal y binormal, es decir, el vector director del plano tiene la dirección del vector tangente. Por lo tanto, la ecuación del plano normal  1  en el punto P1 , , 0  es:  4  1    x  1 , y  , z   0 , 1 ,  2π   0 4  

o

4 y  8π z  1

El plano osculador es el plano determinado por los vectores tangente y normal, es decir, el vector director del plano tiene la dirección del vector binormal. Por lo tanto, la ecuación del plano  1  osculador en el punto P1 , , 0  es:  4  1    x  1, y  , z   0 , 2π ,1  0 4  

o

2 z  4π y  π

d) Puesto que T k  T

k cos θ

donde θ es el ángulo que forma el vector tangente unitario con el vector k el cual tiene la dirección del semieje positivo de z, luego, al sustituir los valores conocidos, resulta

9

   -2 1  1   0 , ,  2   0 , 0 , 1  cos θ  θ  arccos  1  π  4 1 4 2  π π2 

      

En la figura se observa la curva, el plano normal y el plano osculador.

 10. Dada curva C descrita por r t   cos t i  sen t j  t k , 0  t  2π determine los puntos de la curva donde el plano normal es ortogonal al plano π de ecuación x  z  7 .

Solución:  El vector tangente r ´t  a la curva C es:  r ´t    sen t , cos t , 1

El plano normal es el plano cuyo vector normal tiene la dirección del vector tangente. Por otra parte, el vector normal del plano π es n  1, 0 ,1 . Los dos planos serán ortogonales si sus vectores normales son ortogonales, es decir, si

π  r ´t   n  0   sen t , cos t , 1  1 , 0 , 1  0  sen t  1  0  sen t  1  t  2  π  Para hallar el punto de la curva, debemos hallar r   . 2  π   π r     0 ,1,  2 2  π  Por lo tanto, en el punto Q 0 , 1 ,  de la curva el plano normal a la curva es ortogonal al plano 2  dado.

10

11. ¿En qué puntos de la curva descrita por r (t )  t 3 i  3t j  t 4 k el plano normal es paralelo al plano de ecuación 3x  3 y  4 z  5 ? Solución: El plano normal es el plano determinado por el vector normal y el vector binormal, es decir, el vector director del plano tiene la dirección del vector tangente. r ´(t )  3t 2 i  3 j  4t 3 k

El vector normal al plano de ecuación 3x  3 y  4 z  5 es n  3i  3 j  4k . Ambos planos son paralelos para aquellos valores de t para los cuales existe un número α tal que r ´(t )   3 , 3 ,  4 , es decir, si

 3t 2  3   3  3 4t 3  4  De donde se obtiene que   1, t 2  1 y t 3  1 , por lo tanto, el sistema anterior tiene como única solución t  1 . En consecuencia, el punto de la curva descrita por r (t )  t 3 i  3t j  t 4 k en el cual el plano normal es paralelo al plano de ecuación 3x  3 y  4 z  5 es el punto P 1 ,  3, 1 .





 12. Sea curva C descrita por r t   t 2  2, t 2  4t , 2 t . a) ¿Es la curvatura de C constante? b) Halle la curvatura cuando t  1 c) Determine la curvatura en el punto P2 , 0, 0 . Solución: a) El vector tangente es el vector:

 r ´t   2t , 2t  4, 2

Y su magnitud viene dada por:  2 r ´t   4t 2  2t  4  4  8t 2  8t  20  2 2t 2  4t  5

Y el vector r´´(t ) es el vector r´´(t )  2 , 2 , 0

11

Y r´(t )  r´´(t )  4i  4 j  8k  r´(t )  r´´(t )  16  16  64  4 6

Al aplicar la definición k (t ) 

r´(t )  r´´(t ) . Se obtiene,

3

r´t )

k (t ) 

4 6



8 2t 2  4t  5



3 2

Dado que la curvatura k (t ) depende del parámetro t, no es constante, es decir, varía en cada punto de la curva.

k (1) 

b)

4 6 82  4  5

3 2



2 6

c) Para calcular la curvatura en el punto P2 , 0, 0 se debe determinar primero el valor del parámetro t, para ello se debe resolver el sistema de ecuaciones: t2  2  2  2 t  4t  0  2t  0 

Cuya solución es t  0 . Por lo tanto, la curvatura en el punto P2 , 0, 0 es: k (0) 

30 50

13. Sea C la curva intersección de la superficie de ecuación 4 x 2  y 2  2 y  1  4 con el plano de ecuación z  2 y . a) Parametrice la curva C. b) Determine los puntos de la curva donde la curvatura es igual a

1 20

Solución: a) La curva C puede ser parametrizada por (ejercicio 16 resuelto del capítulo 1) x  cos t ,

y  1 2sen t , z  2  4sen t , con 0  t  2π

 Y puede ser descrita por r t   cos t , 1  2sen t , 2  4sen t  .

12

El vector tangente es el vector:

 r ´t    sen t , 2 cos t , 4 cos t 

Y su magnitud viene dada por:  r ´t   sen 2 t  4 cos 2 t  16 cos 2 t  sen 2 t  20 cos 2 t  1  19 cos 2 t

Y el vector r´´(t ) es el vector r´´(t )   cost ,  2sen t ,  4sen t 

Y r´(t )  r´´(t )  4 j  2k  r´(t )  r´´(t )  20

Al aplicar la definición k (t ) 

r´(t )  r´´(t ) . Se obtiene,

3

r´t ) k (t ) 

20

1  19cos t  2

k (t ) 

20

1  20



3 2



1  1  19cos2 t 20

1  19cos t  1  19cos t   8000 1  19cos 2

2

3 2

3

2



3 2

 20 20 

t  20

 19cos t  19  cor t  1  cost  1 ó cost  1  t  0 ó t  π 2

2

Los puntos de la curva donde la curvatura es igual a

1 son: P1 1, 1, 2  y P2  1, 1, 2  . 20

14. a) Halle la ecuación del plano que contiene a las rectas L1 y L2 de ecuaciones x 1  y  z 2. 2

x 1  y  z 1 y 2

 16 b) Dada la curva C descrita por r t   3t 2 i  t 3 j  1  2t  k , determine los puntos de la curva 3 donde el vector tangente es ortogonal al plano π obtenido en a).

Solución:  a) Observe que ambas rectas son paralelas con vector director v   2, 1 , 1 . Para hallar el vector normal al plano se requiere de otro vector que esté contenido en el plano, para ello tomemos un punto en cada recta. Por ejemplo A 1, 0 ,  1 L1 y B  1, 0 , 2 L2 , el vector AB   2 , 0 , 3 y

13

 el vector v   2, 1 , 1 determinan el plano buscado. Por lo tanto, el vector n  v  AB es ortogonal al plano. i j k n  v  AB   2 1 1  3 i  4 j  2k 2 0 3

La ecuación del plano que contiene a las rectas de L1 y L2 es

x 1, y , z  1 3 , 4 ,2  0 3x  4 y  2 z  1  0  b) El vector tangente r ´t  a la curva C es:  r ´t   6 t , 16 t 2 , 2





 El vector tangente es ortogonal al plano π si r ´t  es paralelo al vector director del plano.

Luego,





 1 r ´t   6 t , 16 t 2 , 2  3 , 4 ,2  t  2  1  Para hallar el punto de la curva, se debe hallar r   . 2  1   3 2  r     , , 2 2 4 3  3 2  Por lo tanto, en el punto Q , , 2  de la curva el vector tangente es ortogonal al plano π 4 3  obtenido en a).

15. La curva de ecuación y  x 2  2 x  1 en el punto de coordenadas k  2 , halla x 0 .

 x0 , y 0 

tiene curvatura

Solución: Se sabe que para el caso de una curva plana

k ( x) 

y ' ' ( x)





3

1  y ' ( x) 2  2  

14

y  x 2  2 x  1  y ' ( x)  2 x  2  y '' ( x)  2 Se tiene entonces que

k ( x0 ) 

2

1  2x

y

0

 2



3 2 2



 2  1  2 x0  2



3 2 2

 1  1  2 x0  2  1  2 x0  2  0 2

2

2x0  22  0  2x0  2  0  x0  1





16. Suponga que una partícula sigue la trayectoria dada por r (t )  cos t , e t , e t hasta que sale por la tangente para t  1 , ¿dónde estará la partícula en t  5 ? Solución:

1  r (1)   cos1, e ,  e  y





1  r ' (t )   sen t , e t ,  e t  r ' (1)    sen 1 , e ,   e 

Luego, unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente en t  1 son   x  cos1  sen1  , R  y  e  e  1  z   e e 

Observe que cuando   0 se obtiene r (1) , luego para hallar la posición de la partícula en t  5 se debe hacer   4 . 3  Por lo tanto, en t  5 la partícula estará en el punto  cos1  4sen 1 , 5e ,  . e 



17. Dada la función vectorial definida por f (t )  t 2 , ln t , 2t



a) Determine el dominio de la función f . b) Halle la longitud de arco de la parte de la curva descrita por f desde el punto P1 , 0 , 2 hasta





el punto Q e 2 , 1, 2e . c) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto P.

d) Determine la curvatura de la curva descrita por f en el punto P1 , 0 , 2 . e) Halle la ecuación del plano osculador en el punto P1 , 0 , 2 .

15

Solución: a) Dom  0 ,    f

b) Primero hay que determinar el valor del parámetro t para el cual se obtiene el punto P1 , 0 , 2 . t 2  1, ln t  0

y

2t  2  t  1





En forma análoga, se obtiene que para t  e se obtiene el punto Q e 2 , 1, 2e . El vector tangente f ´t  es: 1   f ´t    2t , , 2  t  

Se tiene entonces que: e e  1 LC   f '(t ) dt    2t   dt  e 2 t 1 1 

c) El vector director de la recta tangente en el punto P1 , 0 , 2 tiene la dirección del vector f ´ 1  2 ,1, 2 . Luego, la ecuación de la recta tangente es:

 x  1  2   y  , R z  2  2   d) Se sabe que k (t ) 

f ´(t )  f ´´(t ) 3

f ´(t )

Y

1   1   f ´t    2t , , 2   f ´´t    2 , 2 , 0  t   t   Luego, en t  1 , se tiene que: f ´1  2 , 1, 2 , f ´´1  2 , 1, 0 ,

f ´1  4  1  4  3

f ´1 f ´´(1)  2 , 1, 2 2 ,  1, 0  2 , 4 ,  4 , f ´1 f ´´(1)  4  16  16  6

Por lo tanto

16

k (1) 

6 2  27 9

e) El plano osculador es el plano determinado por el vector tangente unitario y el vector normal, es decir, el vector director del plano tiene la dirección del vector binormal. 1 1   f ´t    2t , , 2   f ´t   2t  t t  

Luego, T t  

1    2t , , 2  t  2t  1  t

2

 4t 4t 2  4t 2 T ' t    ,  , 2 2 2  2 2t 2  1 2t 2  1  2t  1



T ´t  

2t



1 2



1

2



 



 1  4t ,  4t , 2  4t 2 2  2  2t  1



16t 2  16t 2  4  16t 2  16t 4 

En consecuencia, N t  

1





2t

1 2

16t 2  4  16t 4



1



2

4t ,  4t , 2  4t  2

16t  4  16t 2

4

En el punto P1 , 0 , 2 se tiene que: T 1 

1 2 ,1, 2 y 3

N 1 



1 4,  4,  2 6



Y i j k 1 1 B(1)  T 1 N (1)  2 1 2  1 , 2 ,  2 3 18 4 4 2

Por lo tanto, la ecuación del plano osculador en el punto P1 , 0 , 2 es:

x 1, y , z  2 1, 2 ,  2  0 o

x  2 y  2z   3





 18. Sea C la curva descrita por r t   2  t 2 , t . a) ¿Es la curvatura de C constante? b) Halle el punto de la curva donde la curvatura tiene su máximo valor.

17

1 . Con base al resultado obtenido en k (t ) la parte a) diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. c.1) Si t    ó t    entonces k (t )  0 . c.2) Si k (t )  0 entonces  (t )   

c) El radio de curvatura se define como  (t ) 

Solución: a) El vector tangente a la curva es el vector:  r ´t   2t , 1

Y su magnitud viene dada por:

 r ´t   4t 2  1 Y el vector r´´(t ) es el vector r´´(t )  2 , 0

Luego, i r´(t )  r´´(t )  2t 2

Al aplicar la definición k (t ) 

j k 1 0  2k  r´(t )  r´´(t )  2 0 0

r´(t )  r´´(t ) . Se obtiene,

3

r´t )

2

k (t ) 

4t

2



3

1 2

Dado que la curvatura k (t ) depende del parámetro t, no es constante, es decir, varía en cada punto de la curva. b) Para hallar el punto donde la curvatura es máxima debemos hallar k ' (t )

k ' (t )  





3 4t 2  1

4t

2

1 2



1

 8t

3

 

24t

4t

2



1

5 2

Se tiene que k ' (t )  0  t  0 . Como k ' (t )  0 para t  0 ,   y k ' (t )  0 para t    , 0 , k es creciente en   , 0 y es decreciente en 0 ,    , por lo tanto la curvatura es máxima para t  0 , es decir, en el punto 2, 0 .

18

c.1) Verdadero, ya que lim k (t )  lim t  

c.2) Verdadero, ya que  (t ) 

t 

2

4t

2



1

0

3 2

1 y si k (t )  0 entonces  (t )    . k (t )

19. Una mosca camina a lo largo de un alambre en forma de hélice, la cual se encuentra dentro de un globo centrado en el origen y tiene radio 10. Su vector posición está dado por

r (t )  6 cos(t ) , 6sen (t ) , 2t  con t  0 . a) Justifique que la trayectoria tiene forma de hélice. b) ¿En cuál punto la mosca chocaría con el globo esférico? c) ¿Qué tanto viajó, desde su inicio, hasta que chocó con el globo? d) ¿Qué puede decirse sobre su vector velocidad con respecto a la aceleración? Solución: a) Dado que la posición de la mosca viene dada por r (t )  6 cos(t ) , 6sen (t ) , 2t  , se tiene que x  6 cos(t ) , y  6sen( t ) , z  2t , con t  0 . Como x 2  y 2  36 cos 2 (t )  36sen 2 (t )  36

La trayectoria tiene forma de hélice. b) La ecuación de un globo esférico centrado en el origen y de radio 10 es x 2  y 2  z 2  100 , reemplazando las coordenadas de la trayectoria de la mosca en la ecuación del globo se tiene: 36  2t 2  100  4t 2  64  t  4

El punto en el cual la mosca choca con el globo es la imagen de 4, es decir, r (4)  6 cos( 4 ) , 6sen (4 ) , 8  6 , 0 , 8

c) la distancia recorrida es la longitud de arco: 4

4

0

0

L   r´(t ) dt  

 6sen t 2  6 cos 2 t 

2

4

 4dt   4  36π 2 dt  8 9π 2  1 0

d) Observe que v(t )  r ´(t )   6sen (t ) , 6cos (t ) , t  y



a(t )  r ´´(t )   6 2 cos (t ) , 6 2 sen (t ) , 0

 19

Luego, v(t )  a(t )  36 3 cos(t )sen (t )  36 3 cos(t )sen (t )  0

En consecuencia el vector velocidad y el vector aceleración son ortogonales. 20. Considere la curva C descrita por: t  t   2  r t   e , 2 2 e , t     





a) Encuentre la ecuación del plano normal a la curva C en el punto P 1, 2 2 , 0 . b) Halle el valor o los valores, si existen, de la constante k para que la recta L que tiene como





vector director al vector VL t   k 3  k 2 , 2 k , k  3k 2 sea paralelo al plano normal obtenido en el apartado a)  c) ¿Existe algún valor t en los reales que cumpla r ´ t   9 ? Solución: t  t    2  r ´t   e , 2 e , 1  r ´P   1, 2 , 1    



a)







La ecuación del plano normal en el punto P 1 , 2 2 , 0 es:

x 1, y  2





x  2y  z  5

2 ,z  1, 2 ,1  0 ó

b) El vector director de la recta es paralelo al plano si y sólo si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, luego

k c)

3





 k 2 , 2 k , k  3k 2 1, 2 , 1  0  k 3  k 2  2k  k  3k 2  0  k 3  2k 2  k  0





2  k k  2k  1  0  k k  1  0  k  1 ya que k  0 2

 r ´t   e 2t  2e t  1 

e  1 t

2

 et  1  et  1

 r ´t   9  e t  1  e t  8  t  ln 8  3 ln 2

20

Problemas propuestos En los problemas del 1 al 4, halle una función vectorial que describa la curva cuyas ecuaciones paramétricas se dan. 1. x  cos t , 3. x  e t ,

y  sen t

2. x  2t 2 ,

y  e  t , z  e 2t

y  3t 3 , z  t

4. x  3 cos2 t , 2 3 2) r (t )  2t i  3t j  t k

Respuestas: 1) r (t )  cos t i  sen t j

y  3sen 2 t , z  t

3) r (t )  et i  e t j  e 2t k

2 2 4) r (t )  3 cos t i  3sen t j  t k

En los problemas del 5 al 8, halle una función vectorial que describa la curva dada en ecuaciones cartesianas. 5. x  3  y

6. y  2  x 2

Respuestas: 5) r (t )  3  t  i  t j

8. x  2   y  1  25

7. x 2  y 2  9

 

2

7) r (t )  3 cos t i  3sen t j

6) r (t )  t i  2  t 2 j

2

8) r (t )  2  5 cost i   1  5sen t  j

En los problemas del 9 al 12 determine el dominio de la función vectorial dada 1 t 2 1 16 i j t k 2 t t 1 t 1 e 5   12. r (t )   arccost, e t ,  2t  1  

2 9. r (t )  4  t i  lnt  1 j



10.



1 2   11. r (t )   ln 9  t 2 , , 2  1  ln t t  2t  3   Respuestas: 9) Domr  1, 2

10) Domr  4, 4  1, 0,1

r (t ) 

11) Domr  0,3  e

1  12) Domr   1,1    2

En los problemas del 13 al 16, evalúe el límite, si existe.

 t2  9 1  j  k  13. lim e t i  t 3 t 3 t    t2  t 3 t j 2 15. lim  e t i  2 t   2t  1 t  1  Respuestas: 13)  e 3 , 6 ,  3 

14) 0 , 0 , 4

1  cos t   14. lim sen t i  j  4k  t 0  t 

 k  

 ln t t3 1  i t j k 16. lim 2 t 1 t  1 t  1  

 1  15)  0 , , 0   2 

1  16)  ,1, 3  2  

En los problemas del 17 al 20, determine los intervalos en los que la función vectorial es continua. 17. r (t )  sen t i  cos t j  e t k 1 19. r (t )  t  2 i  j  4t 2 k t

18. r (t )  t i  4t j  4 ln t k 20. r (t )  arccos2t i  3t j  arctant k

21

Respuestas: 17)  ,  

19) 2 ,  

18) 0 ,  

 1 1 20)  ,   2 2

En los problemas del 21 al 24, encuentre los valores de r ´(t ) y r´´(t ) para los valores de t dados. 21. r (t )  sen t i  cos t j  e t k , t  0

22. r (t )  t i  3t 3 j  4 ln t k , t  1

 2

23. r (t )  3 cos t i  3sen t j  4t k , t  Respuestas: 21)

24. r (t )  e t i  e 2t j  e 3t k , t  0

r ' (0)  1 , 0 , 1 ; r ´´(0)  0 ,  1 , 1

    23) r '    - 3 , 0 ,  4 ; r ´´   0 ,  3 , 0 2 2  

22)

1  r ' (1)   , 9 ,  4  2 

;

 1  r ´´(1)   - ,18 , 4   4 

24) r ' (0)  1, 2 , 3 ; r ´´( 0)  1, 4 , 9

En los problemas del 25 al 28, se da el vector de posición r (t ) de una partícula que se mueve en el espacio encuentre los vectores r ´(t ) y r´´(t ) en el tiempo t. 25. r (t )  i  t 2 j  t 3 k

26. r (t )  4 cos t i  4sen t j  9t k

27. r (t )  4t  t 3 i  7t 2 j  e 4t k

28. r (t )  9 cos 3t i  sen3t j  8k







Respuestas: 25) r ' (t )  2t j  3t 2 k ; r ´´ (t )  2 j  6t k

r ´´( t )  4cos ti  4sen t j



26) r ' (t )  4sen ti  4 cost j  9 k ;



27) r ' (t )  4  3t i  14t j  4e 4t k ;







2

28) r ´ (t )  27  sen 3t i  cos3 t j ; r ´´(t )  81 cos3t i  sen 3 t j

29. Dado el vector de posición r (t ) 







r ´´ (t )  6t i  14 j  16et k



2 t , e t , e t de una partícula en el tiempo t,

a) Halle el vector velocidad y el vector aceleración. b) Halle la rapidez de la partícula. Respuestas: a) v(t ) 

 2 ,e , e  ; t

t



a(t )  0 , et , e t



b) et  e t

30. Las ecuaciones paramétricas de un punto en movimiento son x  4 cos 2t , y  4sen 2t ,  z  6t . Encuentre el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración en el tiempo t  . 8   Respuesta: v    4 2 i  4 2 j  6k ; 8

  v    10 ; 8

  a    8 2 i  8 2 j 8

En los problemas del 31 al 34, halle las integrales indefinidas. 1   31.   2t 3 i  j  3 t k dt t  





32.  cos t i  sen t j  e t k dt

22

t  2 1 2  je 34.  sec t i   1 t2 

1   33.   2  t  i  e 2t j   k dt 2 1 t  

 k dt  

 3    1  Respuestas: 31)  t 4  C1  i  ln t  C 2  j   2t 2  C3  k 32) sen t  C1 i   cost  C2  j  et  C3 k 2     



   e 2t  t2  C1  i    C2  j   arctant  C3  k 33)  2t      2 2    



 t    34) tan t  C1 i  arcsent  C 2  j   2e 2  C3  k    

En los problemas del 35 al 38, determine la longitud del arco de curva descrita por la función  vectorial r en el intervalo dado.

  35. r t   2 cos t i  2sen t j  t k , 0  t  2 3  37. r t   sen 4t i  cos 4t j  2t 2 k , 0  t  1 Respuestas: 35)

5 2

36) 14

37)

122 27

 3t 2 3t 3 36. r t   t i  j k , 0t 2 2 2  38. r t   a cos t i  a sen t j  bt k , 0  t  2

38) 2 a 2  b 2

En los problemas del 39 y 40, determine una ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva  descrita por la función vectorial r en el punto dado.





 4  40. r t    4 t , t 2  10,  , P8 , 6 ,1 t  

 39. r t   2t 3  1,  5t  3, 8t  2 , P1,  2 ,10  x  1  6t  Respuestas: 39)  y  2  5t  z  10  8t 

t R

40)

 x  8  t   y  6  8t  1 z  1  t 4 

t R

En los problemas del 41 al 44, determine, si existen, para el valor particular de t dado, los vectores T , N y B ; la curvatura k; las ecuaciones de la recta tangente; y la ecuación del plano osculador a las curvas descritas por el vector de posición dado.  41. r t   1  t i  3  t  j  2t  4 k , t  3

 42. r t   e t cos t i  e t sen t j  e t k , t  0

t t  t  t         2 2 2 2 i  e  e  j  2t k , t  0 43. r t   e  e        

  44. r t   i  sen t j  cos t k , t  4

Respuestas: 41) T(3) 

i  j  2k  , 6

1

plano osculador: no está definido. 42) T(0) 

1 3

i  j  k  ,

N(0) 

N(3)  0 , B(3)  0 ,

 i  j  2

1

,

B(0) 

1 6

k (3)  0 ,

 i  j  2k  ,

ecuación de la recta tangente: x  4   y 

k (0) 

2 , 3

ecuación de la

z  10 , 2

recta tangente:

x  1  y  z  1 , ecuación del plano osculador: x  y  2z  1  0 .

23

43) T(0) 

1 5

 j  2k  ,

N(0)  i ,

B(0) 

1 5

2 j  k  ,

k (0) 

1 , 10

ecuación de la recta tangente: 2 y  z, x  2 ,

ecuación del plano osculador: 2 y  z  0 . 44)

2 2   T   j k , 2 2 4

x  1,

2y  2 2



2  2z

2 2   N    j k 2 2 4

  B   i , 4

,

  k   1 , 4

ecuación de la

recta tangente:

, ecuación del plano osculador: x  1 .

2

 45. Una partícula P se mueve a lo largo de la curva C descrita por r t   cos t i  sen t j , t  0 . a) Pruebe que la trayectoria descrita por el movimiento de la partícula P es una circunferencia. b) ¿La partícula se mueve en sentido antihorario? c) Halle la velocidad y la aceleración. d) ¿Son los vectores velocidad y aceleración perpendiculares? e) ¿La partícula se mueve con una rapidez constante? Respuesta: b) Si c) vt   sen t i  cos t j , at   cos t i  sen t j d) Si e) Si

46. Demuestre que en el movimiento circular en el plano los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares.  47. Sea C la curva descrita por r t   acos t i  asen t j  bt k . a) Verifique que el ángulo θ que la recta tangente en cualquier punto de la curva forma con el eje z es constante. b) Demuestre que el vector normal en cualquier punto de la curva es perpendicular al eje z. c) Demuestre que el ángulo α que forma el vector binormal con el eje z es constante. d) Calcule la curvatura k.  b  Respuesta: a)   arccos  a2  b2 

   

 

2 c)   arccosa

d) k (t ) 

a a2  b2

 En los problemas 48 y 49 demuestre que la curva descrita por la función vectorial r está contenida en un plano. Determine la ecuación del plano que lo contiene.  1 t 1 1 48. r t   i j k , t  R   1, 1 2 1 t 1 t 1 t  49. r t   4t  t 2 i  2t  t 2 j  t 2  4t  2 k



 

 



Respuestas : 48) x  4 y  2z  1 49) x  4 y  3z  6

50. Dada la curva C en el plano de ecuación 2 y  x2  4 y2  x   4x  1 . a) Encuentre una parametrización para la curva C. b) Determine para cuales valores del parámetro en el intervalo 0 , 2  la curvatura de C es igual a ¼. c) Halle los puntos de la curva correspondientes a los valores del parámetro obtenidos en la parte b). Respuestas: a) y  1  sent , x  2  2 cost

b) t 

π 2

ó t

3π 2

c) P12 , 0 y P2 2 ,  2

24

51. Sea C la curva de intersección del cilindro de ecuación 4 x 2  8x  4  9 z 2  18z  9  1 con el plano de ecuación y  x . a) Halle una ecuación paramétrica para la curva C. b) Determine los puntos de la curva donde el vector tangente es paralelo a la recta L de ecuación  x  1    y   ,   R .  z0  c) Halle la ecuación del plano normal en el punto obtenido en la parte b) que está más próximo al origen. cos t  x  1  2  cos t  , 0  t  2 Respuesta: a)  y  1  2  sen t  z  1   3

2 4   b) A1,1  y A1,1  3 3  

c) x  y  2

52.Considere la curva C dada por:   r t   cos(2t ) , sen (2t ) , lncos(2t ) con 0  t  4 a) Determine los puntos de la curva C donde la rapidez es igual a 4. b) Determinar el valor de la curvatura y los vectores de T y N de la curva C en el punto P(1,0,0). 1 3  12 ,  ln 2  b) ; k (0)  Respuesta: a) P , 2 2  8  

T0  j ;

N0  

2

i

8

2

k

8

 1 53. El vector de posición de una partícula es en función del tiempo es r t   2 t i  j  2 ln t k , t t 0 a) Halle el vector velocidad y el vector aceleración. b) ¿Existe algún valor de t para el cual la rapidez sea máxima? c) Determine el valor de la curvatura y de la torsión en el punto P2 ,1, 0 de la trayectoria. d) Calcule la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula desde el punto P2 ,1, 0 hasta el  1  punto Q 4 , , 2 ln 2  .  2  Respuesta: a) vt   2 i 

1 t2

j

2 2 2 k , at   j k t t3 t2

b) No

c) k (1) 

2 2 ,  (1)   9 9

d)

5 2

54. Un águila inicia su vuelo en el punto A2 , 0 , 0 siguiendo la trayectoria dada por  r t   2cos t i  2sen t j  t k , hasta que choca con el plano de ecuación y  0 . A partir de ese momento comienza a descender a una velocidad constante vt    i  2 j  k hasta que llega al suelo ubicado en el plano z  0 . Determine la ecuación total de la trayectoria del vuelo del águila, desde su inicio hasta que toca el suelo e indique las coordenadas del punto final.    2 cost i  2sent j  t k si t  0 , π Respuesta: r t      i  2t  2π j   t  2πk si t  π , 2π  t   

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 55. El vector de posición de una partícula es en función del tiempo r t   t 2 i  t j  t 4 k , para t  0 . Determine el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez cuando dicha partícula choca con el plano de ecuación x  2 y  z  0 , para t  0 . Respuesta: v1  2 i  j  4k , a1  2 i  12 k , v1  21

56. Las ecuaciones paramétricas x  v0 cos t , y  h0  v0 sen  t 

1 2 gt 2 Donde v 0 es la velocidad inicial, h0 es la altura inicial, g es la aceleración de gravedad y t es el tiempo, modelan el movimiento de un proyectil a lo largo de una curva en el plano. a) Pruebe que la trayectoria descrita es una parábola.

m y el s ángulo de elevación de 30. ¿En cuál instante el proyectil impacta contra el suelo, si se toma m g  10 2 ? s b) El proyectil es disparado con un cañón desde el suelo con una velocidad inicial de 700

Respuesta: b) 70s

57. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo a una velocidad inicial de 75 pies por segundos con un ángulo de 30° con la horizontal. Halle el alcance el proyectil. Respuesta: 152 pies

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