Cálculo 2
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Cálculo 2...
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2018-1
CÁLCULO 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
SEMANA 1 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
CAMBIO TOTAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
2
FACULTAD DE INGENIERÍA
C LCULO 2
INGENIERÍA
LA INTEGRAL DEFINIDA.TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
La Integral Definida
Primer Teorema Fundamental
Segundo Teorema Fundamental
Si f es es continua en un intervalo abierto I que contiene a, entonces, para todo x en el intervalo se cumple: x d ( ) f t dt f ( x ) d x a Forma general
Si f es es continua en el intervalo [a, b] y F es una antiderivada de f en [a,b], entonces
Teorema del Cambio neto
Teorema del valor medio (Para integrales)
La integral definida de la razón de cambio de una cantidad F ( x ) proporciona el cambio total, o cambio neto, en esa cantidad sobre en intervalo a b
b
b
f ( x) dx F (b ) F (a) F ( x )a
a
Si f es una función contínua en [a,b] entonces existe un número c en [a,b] tal que:
,
b
f (c )
F ( x)dx F (b) F ( a)
1 ba
b
a
f ( x ) dx
a
Donde: f (c) es el valor medio de f en [a,b]
Propiedades b
a
f (x)dx 2. k f ( x )dx k f (x )dx para k constante 3. f ( x ) g ( x ) dx f (x )dx g (x )dx 4. f ( x)dx f ( x )dx f (x )dx 5. udv uv uv vdu
1.
a
f ( x )dx
Integrales para funciones pares e impares
b
b
b
a
a
b
b
a
a
c
a
a
b
b
a
a
a
f ( x ) dx
0
a
a
b
b
a
b
c
b
Si f es impar
Si f es par a
a
f ( x ) dx a
a
dx 0 6. f x dx
2 f ( x ) dx 0
a
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3
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INGENIERÍA
CÁLCULO 2
UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 1: INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO NIVEL 1 I. Use el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y halle F ' ( x ) 4 x 2
x
1)
F ( x )
(2t 1)dt
2) F ( x)
0
0
5
1
3)
F ( x)
(t 3 t )dt
(3t 2t 1)dt 2
4)
F ( x)
2 x 1
2 x 3
(3 t 2 2t ) dt
3 x 1
x
5) F ( x)
(3t 3 t )dt
6) F ( x )
x (t 2t )dt 2
3 x
sen x
II. Calcule las siguientes integrales definidas usando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: 1
1) I ( x
2
8 x 1)dx
2) I
0
0
2
3) I
(5 x x
sen x dx
2
2
)dx
4) I
1
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e
x
dx
2
4
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4
5) I
(4
x
4
x)dx
6) I
1
sen
3
2 x. cos 2 x dx
0
III.Calcule el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado:
f ( x) x
g ( x) e
3
3x
3 x
,
en
2, en 1 x 8
0
x
3
2
f (t ) t 8 7t , en 0 t 1
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f ( x) sen x, en 0 x
2
x
h( x)
e
1 2e x
v
g (v ) ve
5
2
,
,
en
en
0
x 1
0v2
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NIVEL 2 x
t
1. Sea F (x)
4
1 dt . Encuentre la recta tangente a la curva
F ( x ) en
el punto de abscisa 1 .
0 x
2. Halle una función f ( x ) y un número
a
tal que: 6
a
f (t ) t 2
3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por
dt 2 x para toda
D ' (t )
3000( 20
x
t )
0.
dólares por año
0 t 20 . Calcule la depreciación total durante los 10 primeros años.
4. De un depósito cuya capacidad es 55 galones. Sale agua a una tasa de
V ' (t )
15
2t en donde t se
mide en horas y V en galones, si al principio el depósito estaba lleno. a) ¿Cuánta agua sale del tanque entre t = 3 y t =5 horas?
b) ¿Cuánto tiempo pasa para que queden exactamente 5 galones en el tanque?
NIVEL 3 1. El comercio electrónico en Latinoamérica crece de acuerdo con el modelo matemático 2
G(t ) 7.8t
2.5t 180.3 , donde G es el gasto en millones de dólares y t es el tiempo en años a
partir del 2003. a) Cuál es el gasto total acumulado entre los años 2006-2011. b) Estimar el gasto total promedio entre los años 2012-2014. 2. Supongamos que una sustancia extraña se introduce en la sangre; la razón a la que se producen los anticuerpos está dada por
t
' (t )
miles de anticuerpos/ minuto, donde el tiempo, t , está dado 1 en minutos. Encuentre la cantidad total de anticuerpos en la sangre durante los 4 primeros minutos. r
t
2
3. Se bombea agua de una cisterna a razón de
5 5e
0.12t
litros por minuto, donde t está dada en
minutos desde que la bomba empieza a funcionar. Si la cisterna tiene 1000 litros de agua cuando la bomba empezó a trabajar, ¿cuánta agua tiene una hora después? 4. Una cisterna llena combustible a un grifo a una velocidad de 15000 , expresada en galones/seg. (t 5)2 a) Calcula los galones de combustible que habrá en el depósito del grifo después de 10 seg.
b) Calcula los galones de combustible que habrá en el depósito del grifo después 30 seg.
Referencia bibliográfica
1 2 3 4
Código UPN-L
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
515 STEW/D 515 HUGH 515.33 AGUI 515 PURC
James Stewart Hughes-G.L.F Aguilar Márquez Purcell -Varberg
“Cálculo Diferencial e integral” “Cálculo Aplicado” Cálculo integral Cálculo
393-399 220-242 56-124 232-242
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INGENIERÍA
CÁLCULO 2
SEMANA 2 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES ACOTADAS
PUENTE QUE CUIDA LA BIODIVERSIDAD
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CÁLCULO 2 CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES ACOTADAS POR UNA O MÁS CURVAS
1. Áreas acotadas por una curva f (x) 0 en
a , b
2. Áreas acotadas por una curva f ( x) 0
en
a , b
3. La función toma valores positivos 4. Áreas acotadas entre curvas y negativos
5. Áreas acotadas entre curvas
5. Áreas entre curvas que se cortan
Excedente del Consumidor y del Productor
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8
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INGENIERÍA
CÁLCULO 2
UNIDAD I: La Integral Indefinida y sus aplicaciones SESIÓN 02: Cálculo de áreas de regiones acotadas por una o más curvas EJERCICIOS NIVEL 1 Identifique la integral definida que permite calcular el área de la región limitada por las siguientes gráficas. a)
c)
4
4
0
0
5 x x x . dx 2
1
1
e y y 2 . dy 2
1
y
x (5 x x 2 ) . dx
1
b)
2
2 e y . dy
d)
2
2
0
0
1 x 1
3
2 y y y
x 2 . dx
2
0
3
y
x 2 . dx x 1 1
0
2
I. Observar el gráfico y calcular el área limitada por las curvas en cada caso:
1)
y x 2 1
9
4 y . dy
4 y 2 y y . dy
NIVEL 2
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2
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2
2)
y
x
2
2x 3
3)
4)
5)
y
x
3
x
2
6x
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10
FACULTAD DE INGENIERÍA
II. En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las gráficas de las funciones y calcular su área 1. 2.
3.
4.
{ 2 == 4 { == 2642 == 0|2 1| ==2 { =
precio sea p = 0,2q 2 + q + 50 dólares por llanta. a. Halle el precio de equilibrio y la cantidad demandada a este precio. b. Determine el excedente de los consumidores y de los productores al precio de equilibrio. 4. Un territorio ocupado por cierta comunidad, está delimitado de un lado por un rio y montañas, si se introduce un sistema de coordenadas como se indica, el límite montañoso está dado aproximadamente por la curva
NIVEL 3
y
4
x
2
,
donde x , y están en metros ¿Cuál es el área total ocupada por la comunidad?
1. Una empresa de electrodomésticos produce planchas eléctricas, si sabe que la función de demanda es: p = 32 4q q 2 y el precio se encuentra en dólares, determine el excedente del consumidor si, q0 = 3 artículos y esboce una gráfica que represente el excedente del consumidor.
– –
2. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por: S: p = g(x) = 52 + 2x D: p = f(x) = 100 x2 Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio de mercado.
–
Río Referencia bibliográfica
Código # UPN-L AUTOR
3. Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas comprarán (demandarán) q (miles) de llantas radiales cuando el precio es p = 0,1q2 + 90 dólares la unidad, y el mismo número de llantas se suministrarán cuando el
–
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Montañas
Montañas
11
TITULO
PÁGINAS
1
515 STEW
James Stewart
“Cálculo de una variable”
422-428
2
515.83 THOM
George Thomas
“Cálculo”
586-892
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
SEMANA 3 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓ MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS
Cultura nazca : 200 AC – 600 DC
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12
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INGENIERÍA
CÁLCULO 2
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS Fórmulas para calcular el volumen de un sólido de revolución: A) Método del disco(Gira alrededor del eje X)
V
b
a
2
f ( x)dx u
B) Método de las arandelas (Gira alrededor del eje X)
b
2 2 3 f x g x dx u ( ) ( ) a
V
3
Observaciones : 1. Estas fórmulas se pueden adaptar para calcular volúmenes de solidos de revolución que se generan al girar alrededor del otro eje, despejando la variable x y reformulando las expresiones anteriores en función de la variable y. 2. Si el eje de giro es paralelo a alguno de los ejes coordenados, primero tenemos que calcular el radio de giro y luego aplicamos las formulas anteriores. 3. En el siguiente tema se desarrollara en forma detallada el método de las cortezas o capas cilíndricas (3ra. formula).
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INGENIERÍA
CÁLCULO 2
UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 3: MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS NIVEL 1 IV.Grafique y escriba la integral que permite calcular : 2) El volumen de revolución que se genera al rotar la 1) El volumen de revolución que se genera al rotar sobre el eje X la región limitada por la región limitada por la curva f x x2 1 y el eje de curva f x x 2 desde x= -1 hasta x = 1. giro, alrededor de la recta y = -5, desde x= -2 hasta x = 2. (Indique dos posibilidades) (Indique dos posibilidades)
3) El volumen de revolución que se genera al rotar sobre el eje Y la región limitada por la curva f y y 2 desde y= -1 hasta y = 1.
4) El volumen de revolución que se genera al rotar la 2 región limitada por la curva f x y 1 y el eje de giro,
(Indique dos posibilidades)
(Indique dos posibilidades)
alrededor de la recta x = 5, desde y = -2 hasta y = 2.
V. Las siguientes integrales representan el volumen de un sólido de revolución. Describa y grafique dicho solido
2
3)
V
x 1
2
2
dx
4)
1
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V
x
2
1 dx
1
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FACULTAD DE INGENIERÍA
1
5)
V
1 x
2
2
2
dx
6) V
y dy 4
1
1
VI.Grafique el volumen de revolución que calculamos cuando evaluamos las siguientes integrales: q
1) V
q
2) V
f 2 y dy
p
b
3) V
f
2
y g y dy 2
p
2
f x c dx
q
4) V
a
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f x c g x c
p
15
2
2
dx
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NIVEL 2 I. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje X .
1. y
2. y
x
2
1 ; y
x 3
cos x ; 0 x
2
; y
0; x
0
3. y
x
4. y
x
2
,
y
x
2
,
y
x
1/ 3 1/ 3
II. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del solido generado al girar R alrededor del eje Y. 5. 1 y 4; 0 x 6.
x
2
7. x y ,
x 8,
y
8.
y
2 sen2 y ; 0
3
y
2
;
x
y
2 x,
y0
4,
x
0
0
III. Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región:
x y 2 2 y x 2 R x 0 x 1 2
a. En torno al eje X b. En torno a la recta y = 3
1) Considere la región finita limitada por las curvas encuentra en el semiplano
y 0
1 y
8
3
x
e
y
2 x
, que se
. Calcular el volumen del sólido de revolución
obtenido al girar dicha región en torno: a) b) c) d)
Al eje x Al eje y A la recta x = 6 A la recta y
2
2) La región comprendida entre la gráfica de f ( x ) rota alrededor de la recta
y
2. Hallar
x y el eje “ X ” para
0 x 4
el volumen del sólido generado.
3) Calcular el volumen generado al rotar la región limitada por la gráfica de la función
f ( x)
x 1 y el eje de giro;
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x
0, 2 alrededor de la recta y=1
16
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 3 5. La región acotada por
y
x, y
0,
x
0,
a) Determine el valor de x en el intervalo
y x
4 gira alrededor del eje X.
0 4 que divide al solido en dos partes de volumen igual. ,
b) Determine los valores de x en el intervalo
0 4 que divide al solido en tres partes de volumen ,
igual. 6. Encuentre el volumen generado por la rotación de la mitad superior de la elipse
9 x
2
25 y
2
225 ,
si
gira sobre : (utilice una calculadora si es necesario) a) El eje X (para formar un balón de rugby) b) El eje Y (para formar la mitad de un dulce ) 7. Un tanque en el ala de un avión tiene la forma de un sólido de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica
1 y
8
x
2
2
x
y el eje X alrededor del eje X . Encuentre el volumen del
tanque, sabiendo que x e y son medidos en metros (utilice una calculadora si es necesario) 8. Un tanque tiene la forma de una esfera de 50 cm de radio. Determine las profundidades del agua cuando el tanque está lleno en un cuarto y tres cuartos de su capacidad total. (utilice una calculadora si es necesario)
0 .1 x 3 2.2 x 2 10.9 x 22.2 9. Un recipiente se modela al girar la gráfica de y 2 .95
0x
11. 5
11.5 x
15
Alrededor del eje X, donde x e y se miden en centímetros, represente graficmente y calcule su volumen. (utilice una calculadora si es necesario) Para pensar : b
1. Supongamos que f x c; x a, b ; V1
f x c
2
b
dx y V2
a
gráficamente determine que
V1
b
f x dx c dx 2
a
2
a
V 2
2. Halle el volumen generado por la intersección perpendicular de dos cilindros rectos circulares de radio r
Referencia bibliográfica
Códi go UPN-L 515 STEW/D
AUTOR
TITULO
STEWART. JAMES
Departamento de Ciencias
Cálculo diferencial e integral
17
Facultad de Ingeniería
PÁGINAS 450-455
515.43
SANT
SANTIAGO.PARDO. G. Q. Z. P. B. O
Cálculo Integral
CÁLCULO 2
266-279
INGENIERÍA
SEMANA 4 LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas
CAMBIO TOTAL
Departamento de Ciencias
18
Facultad de Ingeniería
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas El método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).
El volumen de un casquete cilíndrico: V
2 rh r
V = (circunferencia)(altura)(grosor ) Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:
Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x = a y x = b y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado los radios exterior e interior a saber y r 1 = f(y) y r 2 = f(y) como ambos radios resultaron ser la misma f. tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento, pero PARALELO al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura:
Por último, si integramos V con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber de la siguiente manera:
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19
FACULTAD DE INGENIERÍA
dx también representa el grosor del casquillo. La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y.
C LCULO 2
INGENIERÍA
UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 4: VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas NIVEL 1 I.
Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje Y. 1) x 3 y
6,
3) y x , x 3
y
0,
x
2, y 0
0
2) y
4) y
x,
x
4,
y
0
x 2 , y x1/3
II. En los siguientes ejercicios, utilice el método de los casquillos para determinar el volumen de los sólidos de revolución generados al girar la región sombreadas alrededor del eje indicado.
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20
FACULTAD DE INGENIERÍA
III. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje X. x 3 y
y x 2 ,
6,
y
0,
x
y 9
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
0
y
y
21
x
3
,
y
x, y
8,
x
x
0
3
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2 1. La región circundada por el eje x y la parábola y
recta vertical sólido.
x
1 para
f ( x)
3 x
2 x se hace girar alrededor de la
generar la forma de un sólido (figura 1). Determinar el volumen del
FIGURA 1 (a) La gráfica de la región del problema 9, antes de hacerla girar. (b) El sólido formado cuando la región de la parte (a) se hace girar alrededor del eje de rotación x = –1.
2.
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana limitada por las curvas y
8x ;
y
x
2
alrededor de la recta:
3.
Determine el volumen del solido generado al hacer girar la región sombreada alrededor del eje Y
4.
Hallar por el método de capas el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la parábola x = y2 +1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.
NIVEL 3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
22
FACULTAD DE INGENIERÍA
= √9 = 0
1. Un sólido se genera al girar la región acotada por y alrededor del eje Y. Un orificio, centrado a lo largo del eje de revolución, se taladra a través de este sólido tal que se pierde un tercio del volumen. Encuentre el diámetro del orificio. 2. Un tanque petrolero tiene la forma de una esfera con diámetro de 60 pies. ¿Cuánto petróleo contiene el tanque si la profundidad del petróleo es de 25 pies? 3. Se quiere construir un estanque de agua para una cierta urbanización representada por un casquete cilíndrico, halle el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y = f ( x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde:
f ( x ) 2
x 2 2 x.
4. Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, como se muestra en la figura 11a. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?
Referencia bibliográfica
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
23
FACULTAD DE INGENIERÍA
# 1
2
Código UPN-L
AUTOR
TITULO
515
STEWART.
Cálculo diferencial e
STEW/D
JAMES
integral
515.43 SANT
SANTIAGO.PARDO
Cálculo Integral
PÁGINAS 428- 455
266-279
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
SEMANA 5 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
24
FACULTAD DE INGENIERÍA
C LCULO 2
INGENIERÍA
LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES
Longitud de Arco
, y = () a, = 1 () , x = g() , = 1 g ()
Si es una función continua y derivable en la longitud del arco de la curva en a:
Si es una función continua y derivable en la longitud del arco de la curva en a:
entonces es igual
entonces es igual
Área de una superficie de revolución
,
es una función no negativa continua y derivable en entonces el área de la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva en es igual a: Si
y = () a , = 2 () 1 ()
Centroide de una región irregular DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
25
FACULTAD DE INGENIERÍA
= = = () =(̅,()); g() ≤ () ∫ () g() ̅ = ∫∫ () ()g() = g() ∫ () g() Considere una lámina homogénea acotada por , , y con . Las coordenadas del centroide de la lámina, se obtienen con las fórmulas:
INGENIERÍA
CÁLCULO 2 UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
SESIÓN 5: LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES NIVEL 1
1. En cada figura, aplique integral definida para calcular la longitud de arco de la curva desde el punto A hasta el punto B.
= 2 1
Solución:
B
A
Solución:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
26
FACULTAD DE INGENIERÍA
= 23
B
A
2. Grafique cada curva en su respectivo plano cartesiano y luego encuentre el área de la superficie generada al girar dicha curva alrededor del eje X. a)
y
6 x,
0
x 1
Solución:
b)
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
y
27
2
25 x ,
0
x
3
Solución:
FACULTAD DE INGENIERÍA
3.
Aplicando integrales definidas, calcular el centroide de la región R
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
28
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
29
FACULTAD DE INGENIERÍA
1) Calcule la longitud de arco de cada una de las siguientes curvas:
a) y
b) y
c)
y
1
x
6 2 3
3
3
x
2
2
8 x
1
, 1 x 3
2 x
3/2
1
,
0
x
2
desde 1, 2 a 8,8
2) Halle el área de la superficie generada al girar la curva y
6 x
2
2 8 x
,
1
x
3 alrededor del eje X.
3) En cada caso, dibujar la región limitada por las curvas y luego calcular su centroide: 2 2 2 a) y
c) x
4 x ,
4
y
2
,
y
x
x
0
2
b) y x ,
y 8 x
x 2 y y2
d ) x y 0,
4) Aplicando integrales definidas y propiedades de simetría, determinar el centroide de la:
a) Semicircunferencia:
b) Semielipse:
NIVEL 3 1) Un cable eléctrico soportado por dos postes distantes entre 40 metros, x
adopta la forma de una catenaria cuya ecuación es: y . Calcular la longitud del cable entre esos postes.
10(e 20
e
x
20 )
2) Calcule el perímetro de la hipocicloide de cuatro cúspides, cuya 2/ 3 2/3 ecuación es x y 1
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
30
FACULTAD DE INGENIERÍA
3) Un granero es de 100 pies de largo y 40 pies de ancho (ver figura). Una sección transversal de la cubierta es la catenaria invertida. Encontrar el número de metros cuadrados del techo en el granero.
4) Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica de
= ⁄ ⁄, 0 ≤ ≤
, alrededor del
, donde y están medidas en pies. Encontrar el área superficial de la bombilla y usar el resultado para aproximar la cantidad de vidrio necesario para hacer la bombilla. Suponer que el vidrio tiene un espesor de 0.015 pulgadas.
Referencia bibliográfica
N°
Código UPN
AUTOR
TITULO
PÁGINAS
1
515 STEW/D
STEWART. JAMES
Cálculo diferencial e integral
428- 455
2
515.15/ LARS
LARSON, RON
Cálculo
478-508
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
31
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
SEMANA 6 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES 1. TRABAJO MECÁNICO: LLENADO/VACIADO DE TANQUES 2. TEOREMA DE PAPPUS. APLICACIONES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
32
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA C LCULO 2 UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
SESIÓN 6: TRABAJO MECÁNICO LLENADO/VACIADO DE TANQUE
Sea F(x) la fuerza que se aplica a un objeto, la cual lo desplaza de fuerza efectúa un trabajo definido por:
En el SI, el trabajo se mide en Jolue (J).
= ()
= = hasta
, entonces la
NIVEL 1 1. Un cilindro de 1,2m de alto, cuyo radio de la base es de 0,5m, está lleno de agua. Encuentre el trabajo efectuado al bombear el agua hasta el borde superior de dicho cilindro.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
2. Calcule el trabajo efectuado para llenar de aceite hasta la mitad, un cilindro circular recto, de altura 2m y cuya base tiene radio 1m. (Densidad de aceite 920 kg/m 3)
33
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2 Resolver: 1. Un depósito con forma de un cono circular recto invertido, está lleno de agua. Si la altura del tanque es de 100cm y el radio de la parte superior es de 40cm, encuentre el trabajo hecho al: a. Bombear el agua hasta el borde superior del depósito. b. Bombear el agua hasta una altura de 50cm por encima del borde superior del depósito. 2. Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene un diámetro de 8 m en su parte superior y una profundidad de 10 m. Si el tanque se llena a una altura de 9 m con agua, calcule el trabajo efectuado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.
NIVEL 3 Resolver: 1. Un depósito lleno con agua tiene la forma de un paraboloide de revolución como se muestra en la figura, es decir, su forma se obtiene al girar una parábola alrededor del eje vertical. Si su altura es de 4 m, el radio en lo alto es de 4 m, determine el trabajo requerido para extraer por bombeo el agua del tanque.
2. Calcule el trabajo efectuado al llenar completamente de gasolina un tanque esférico de radio 5m. (Densidad de gasolina: 680 kg/m3) 3. Calcule el trabajo efectuado para vaciar totalmente de agua un tanque esférico de radio 3 m.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
34
FACULTAD DE INGENIERÍA
2. TEOREMA DE PAPPUS. APLICACIONES
=
óá
d:
:ó
NIVEL 1 1. Utilice el Teorema de Pappus para calcular el volumen del toro, generado al rotar un círculo de radio 2, alrededor de la recta .
: = 3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
35
FACULTAD DE INGENIERÍA
2. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor de la recta lámina homogénea limitada por la semicircunferencia
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
= √4
36
y el eje
.
= 2
, la
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2 Resolver: 1. La región mostrada gira alrededor de la recta
=
2. La región mostrada gira alrededor de la recta
revolución obtenido.
. Calcular el volumen del sólido obtenido.
= 1
. Calcular el volumen del sólido de
NIVEL 3
= 4, = 2 = , = 8 = 4 , = 0 = 0, = 2
= 2 1 = 0
En cada ejercicio, hacer el gráfico correspondiente. 1. La región limitada por , que gira alrededor de la recta volumen del sólido obtenido. 2. Dada la región limitada por
, que gira alrededor de la recta
el volumen del sólido obtenido. 3. Al girar la región limitada por sólido de revolución.
, alrededor de la recta
4. Al girar la región limitada por
= 2
. Calcular
. Calcular el volumen del
, alrededor de la recta
volumen del sólido generado.
. Calcular el
=
. Calcular el
Referencia bibliográfica
# 1 2
Código UPN-L
AUTOR
515
STEWART.
STEW/D
JAMES
515.15/ LARS
LARSON, RON
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
37
TITULO
P GINAS
Cálculo diferencial e integral
428- 455
Cálculo 1
478-508
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CÁLCULO 2
INGENIERÍA
SEMANA 7 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: CLASIFICACIÓN 4. EDO DE VARIABLES SEPARABLES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
38
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C LCULO 2
INGENIERÍA
1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDIANARIAS: CLASIFICACIÓN Por el tipo: i. EDO Contiene sólo derivadas de funciones de una sola variable independiente.
Por ejemplo:
i) EDP Contiene derivadas de funciones de dos o más variables independientes.
5 =
Por ejemplo:
= 0
Por el orden: El orden de una ED es igual al de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:
44 22 =
es de orden 4.
Por el grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Por ejemplo: tiene grado 4
( ′) =
Por la linealidad:
,, , … , ()
La ED de orden n. es lineal si cumple: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir son de primer grado (tiene exponente 1). ii) Los coeficientes dependen sólo de la variable independiente o son constantes. Por ejemplo:
, ,…, 2 (ln 2)′ =
2. ED DE VARIABLES SEPARABLES
()() = ()()
Dada la ED se puede reescribir como cual resolvemos integrando a ambos lados:
() = ()
, la
f y dy g x dx DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
39
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C LCULO 2
INGENIERÍA
UNIDAD 02: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN SESIÓN 7: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS
NIVEL 1 1. Identificar las siguientes ecuaciones diferenciales:
Variable dependiente(s)
Ecuación diferencial 1. t
dy
5
dt
E.D.O.
E.D.P.
2
dx
t
d y
3
dt 2
6y
0
2
3x d x
500
dt
4.
Tipo
= 0
2.
3.
Variable independiente(s)
3
500 dt
2
= ( ) du
5.
dt
2
c
d u dx
k
2
dw dy
2. Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
Ecuación diferencial 3
1.
2
d y dx
2. (
x
3
3
d2y dx
2
2
d y dx
)3 2 y(
2
d y
3. x 2
4.
5.
dx
d3y dx
3
2
d2y dx 2
3
2
x
2 x (
2
dy dx
dy dx
d2y
3 x
dx
2
5
x
dy dx
2y
)3 2 y
e
Grado
Lineal
No lineal
0
)7 y3 (
Orden
dy dx
)2
5x
x
dy dx
x
d3y dx 3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
40
FACULTAD DE INGENIERÍA
3. En las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, encontrar la solución gen eral: dy dy cos x 4. ye senxdx 0 0 1. y ln x x y dx
2. x tan y 3.
y
dy dx
dy
dx
sec x
senx e x
2
2
( x xy2 )dx e x ydy 0
5.
0
y
6.
( xy 4 x)dx ( x 2 y y)dy 0
NIVEL 2 En las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, determinar la solución particular:
1. 2.
dy dx
dy
x y
x
2
x
1 y
4.
y 0 1
;
5.
1
, y(1) 1 y2 1 dy x x e ; y 0 1 3. 1 e y dx dx
6.
y
1
dy dx
2
x y'
5 x
4
x
3x
1 2
y
2
0 ; y 0 1
2 , y(1) 4
y
xdy (2 x 1)e dx 0; y 1 2
NIVEL 3 1. La tasa de descomposición de radio radiactivo es proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo. La vida media de radio radiactivo es de 1599 años. Si en la actualidad se tiene 250 u de radio radioactivo. ¿Qué cantidad permanecerá después de 50 años? 2. En una reacción química, un compuesto se transforma en otro a una tasa proporcional a la cantidad no cambiada. Si inicialmente existen 40 gramos del compuesto original, y permanecen 35 gramos después de 1 hora. ¿Cuándo se transformará 75% del compuesto? 3. En un cultivo de levadura, la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas. Al inicio se tiene 25 gramos de levadura. ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 15 horas, con la misma rapidez de crecimiento? 4. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95°C, se enfría y llega a 80°C en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21°C. Determine en qué momento el café estará a la temperatura ideal de 50°C. 5. Un termómetro se lleva desde una habitación a 72°F hacia el exterior, donde la temperatura es 20°F. La lectura cae a 48°F después de 1 minuto. Determinar la lectura del termómetro después de 5 minutos.
6. El Sábado 08 de Noviembre del 2014 a las 7:00 A.M. un conserje de seguridad encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de. Enfriamiento de Newton, ¿cuál fue la hora de la muerte?
Referencia bibliográfica
C DIGO 515.35/ EDWA/E
515.35 ZILL/E 2007
AUTOR
T TULO
EDWARDS, C.H Ecuaciones diferencial y problemas con valores de frontera.
ZILL, Dennis G.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 41
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 2
INGENIERÍA
SEMANA 8 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2| ORDEN HOMOGENEAS 5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
42
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C LCULO 2
INGENIERÍA
1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN. ED de BERNOULLI ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN Una ecuación diferencial lineal de 1° orden tiene la forma: los siguientes pasos:
= ()
. Para resolver seguimos
() = () ∫() = ∫() ∫()() = ∫() () [∫()] = ∫() ()
1. Escribir la ecuación diferencial lineal de primer orden en la forma : . 2. Multiplicamos a la EDL por el Factor Integrante : , de la siguiente manera: 3. Por la derivada del producto de funciones se tiene :
4. Integrando resulta:
∫ () = ∫ () () = −∫() ∫() () −∫()
5. De donde se obtiene la solución:
PROBLEMAS DE MEZCLAS
() = ( ) () = (0) = () = ()()
VOLUMEN de SOLVENTE en el tiempo : CANTIDAD de SOLUTO en el tiempo :
con
CONCENTRACIÓN de SOLUTO en el tiempo :
ECUACI N DIFERENCIAL DE BERNOULLI
() = () − = = (1 )−
La ecuación diferencial de Bernoulli tiene la forma: esta ecuación hacemos el cambio de variable:
Lo que origina la ecuación:
, con
≠ 0,1
. Para resolver
(1)() = (1)()
que es una Ecuación Diferencial Lineal
de 1° orden, resuelta anteriormente.
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43
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CÁLCULO 2
INGENIERÍAS
UNIDAD 02: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN SESIÓN 8: E.D.O LINEALES DE ORDEN HOMOGÉNEOS
NIVEL 1 1. Indicar cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales son ED Lineales de 1° orden: Ecuación Diferencial
1. 2. 3.
¿Es ED lineal de 1° orden? ¿Por qué?
=
3 2 = 5 3 = 0 2 = 5 ) ( = 3 =
4. 3 5. 6.
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
1.
2 = 5
2.
3
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
44
() =
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2
1.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: a)
= ( )
3 = − = 0 2 2 = 2 = − ′ + = = =( 1) 3 2 = = 2 = − 3 = − 3 =
b)
) = 0 (1 = = 2 = = 2 = 2 = ln + = = − = − = = 8 = √ +
g) h)
c)
i)
d)
j)
e)
k)
f)
2. a) b) c) d) e) f) g)
l)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli: h) i) j) k) l)
m) n)
NIVEL 3 1. Un depósito tiene 400 litros de agua donde se han disuelto 50 gramos de sal. Se ingresa una solución a una tasa de 3 litros/min con 2 gramos de sal por litro. Y sale la mezcla a una razón de 4 litros/min. Calcular la cantidad de sal en el instante .
2. Se disuelven inicialmente 50 lb. de sal en un tanque que contiene 300 galones de agua. Se bombea salmuera al tanque a la razón de 3 gal/min; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min?, ¿Cuánta después de un periodo largo?
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
45
FACULTAD DE INGENIERÍA
3. Un tanque contiene 200 galones de agua en los que están disueltos 40 lb de sal. Al tanque entran 5 galones de salmuera por minuto, cada una contiene 2 lb de sal disuelta, y la mezcla cuya uniformidad se mantiene agitándola, sale a la misma razón. Encontrar la concentración de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t.
()
4. Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte dentro del tanque, agua que contiene ½ libra de sal por galón a una velocidad de 2 gal/min y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Después de 10 min se para el proceso y se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 gal/min, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min. 5. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de 1 lb/gal, a razón de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de 2 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo. b) Determine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcanza el volumen total del tanque.
Referencia bibliográfica # 1
Código UPN-L 515 STEW/C2008
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
AUTOR
TITULO
James Stewart
Cálculo de una variable
515.35
Cornejo,
Ecuaciones
CORN
Villalobo,
Diferencial
Quintana
aplicaciones
46
Pag. 524 --549
586-892
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 2
INGENIERÍA
SEMANA 9 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS EDO LINEAL DE 2° ORDEN HOMOGENEAS HOMOGENEAS Y APLICACIONES
APLICACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
47
FACULTAD DE INGENIERÍA
C LCULO 2
INGENIERÍA
EDO LINEAL DE 2° ORDEN ORDEN HOMOGENEAS HOMOGENEAS Y APLICACIONES DEFINICIONES PREVIAS
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO Es un movimiento que se genera imaginariamente al unir bloque de masa m a un extremo de un resorte, fijando el otro extremo, y moverse en un medio resistente al desplazamiento, el modelo matemático que se genera es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con coeficientes constantes de la forma:
ay'' by' cy 0 ......... ............ ...*
Donde : a: Masa del bloque. b :Constante :Constante de resistencia resistencia al movimiento. movimiento. c : Constante de elasticidad del resorte. Obs: Al resolver resolver la ecuació ecuación n diferenci diferencial al * se obtiene obtiene la osición osición del blo ue
x en cual cual uier instante instante x
RESOLUCION DE UNA ECUACION ECUACION DIFERENCIAL DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES. ............ ..* , Sea la EDO de 2do. orden homogénea: ay'' by' cy 0 ..........
Para resolver (*) se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- Escribir le ecuación característica de (*) am 2.-
2
bm c 0 ............ Ecuacion caracteristica de (*)
Calcular el discriminante discriminante de la ecuación característica 2
b 4ac
3.- Analice el resultado del discriminante (para determinar el tipo de raíces de la EC) Se presentaran tres casos posibles: a) Si 0 entonces la EC tiene dos raíces reales diferentes: m 1 y m2 , la solución de la EDO es es y x C1e
C em x
m1 x
b) Si
0
2
2
entonces la EC tiene dos raíces reales m 1 = m2=m , la solución de la EDO es
y x C1 e
mx
mx
C2 xe
la EC tiene dos raíces complejas conjugadas m1 la solución de la EDO es
c) Si
0 entonces
C
cos x C2 sen x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
48
y x e
x
1
i
y m2
i
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA
CÁLCULO 2
UNIDAD II: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS EDO LINEAL DE 2° ORDEN ORDEN HOMOGENEAS Y APLICACIONES APLICACIONES
Notas : 1. Para determinar los valores de las raíces m 1 y m2 podemos utilizar cualquier método de factorización, factorización, en muchos muchos casos casos es mas practico practico utilizar utilizar el método método del aspa simple. simple. 2. y x es llamada Solución
General (SG) de la EDO de 2do. orden homogénea.
3. En los problemas de aplicación, es común considerar a la solución general de la forma y g t
4. Los coeficientes coeficientes C 1 y C 2 que aparecen en la SG son llamados coeficientes indeterminados. 5. Cuando una EDO de 2do. orden homogénea tiene asociada dos condiciones: y x0 y
y' x0 , se dice que que es una EDO EDO de 2do. orden orden con condicione condicioness iniciales (CI). (CI). 6. En una EDO EDO de 2do. orden orden homogénea homogénea con CI es posible posible determinar determinar los valores C 1 y C 2. 7. Cuando se conocen los valores C 1 y C 2., La SG se convierte en Solución Particular (SP) de la EDO, y se denota por y p x o y p t
NIVEL 1 Identifique escribiendo verdadero (V) o falso (F) si es una EDO de segundo orden homogénea con coeficientes constantes
I.
Ecuación
2
9 1212 4′4′ = 0 y' y'' 2 x 0;
12
4Ecuación 29 29 = 0;0;
3
7 y''
13
y''
4
y'' y'
5 6
9 = 0
14 15 16
8 r ' r '' 16 r
7
y' 4 y'' 2 y 0;
17
y' 9 y 3 0;
8
y'' 4 y' 4 y 1 0;
18
y'' 36 y 2 y'
9
yx' 4 yx'' 2 yx 0;
19
y'' 9 y 9 0;
10
5 y' 2 y'' 1 0;
20
z'' 36z z
1
y' 2 y x 0 ;
y' 2 y y''
y''
36 y
0;
y'
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
VoF 11
49
y' 2 y x
2
cos x
VoF 0;
0;
0
0;
y'' 16 y senx senx 8 y'
0;
0;
FACULTAD DE INGENIERÍA
II. Sea ay'' by' cy 0 una EDO de 2do. orden homogénea , identifique sus coeficientes
EDO
1 2 3
9 12124 29294′4′==0;0
4
y' 2 y y''
5 6
8 r ' r '' 16 r
y''
7
y' 4 y'' 2 y 0;
8
y''
9
y'' 9 y 9 0;
y'' y'
0;
0;
y'
0;
z'' 36z z
10
0;
III.Determine III. Determine la ecuación característica (EC) y calcule su discriminante (
EDO
2 3
9 12124 29294′4′==0;0
4
y' 2 y y''
5 6
8 r ' r '' 16 r
y''
7
y' 4 y'' 2 y 0;
8
y''
9
y'' 9 y 9 0;
1
y'' y'
36 y
2
b 4ac ):
Ecuación Característica (EC)
Discriminante ( )
0
0;
0;
y'
0;
z'' 36z z
10
c
0
36 y
b
a
0;
IV.Determine IV.Determine y escriba que tipo de raíces tiene la EC asociada a cada EDO de 2do. orden homogénea. Obs: Tomar en cuenta el resultado del discriminante del ejercicio anterior, además: RRD = Raíces Reales Diferentes; RRI = Raíces Reales Reales Iguales; Raíces complejas y conjugadas (RCC) En los ejercicios que no necesita el discriminante para calcular sus raíces, puede obviar dicho paso.. EDO
1 2 3
9 12124 29294′4′==0;0;0
4
y'
5 6
8 r ' r '' 16r
y''
7
y' 4 y'' 2 y 0 ;
8
y''
9
y'' 9 y 9 0;
10
z'' 36 z z 0 ;
y'' y'
2
RRI
RRCC
0
y y''
36 y
RRD
2
b 4ac
0;
0;
y'
0;
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
50
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 2 1. Calcule las raíces M 1 y M2, luego escriba la SG de la EDO de 2do. orden homogénea. EDO M1 M2 Solución General (SG) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. D e t e 1 r m2 i n3 e 4 l 5 o s 6
4 = 0 36 = 0 9 = 0 6 = 0 8 16 = 0 2 = 0 4 4 3 = 0 94 126 9 ==00 16 24 9 = 0 EDO
9 12 4 = 0 6 9 = 0 4 4 = 0 4 29 = 0 4 4 = 0 4 y ' ' y ' 0;
y x0
y0
(0) = 2, (0) = 0 (1) = 2 (0) = 5 (0) = 4 y( 0 )
1
y' x0
y0 '
C1
C2
SP
y(x)
Y p
(0) = (0) = 2 (1) = (0) = 5 (0) = 4 −1
−1
y'( 0 )
1
c7 y( 0 ) 1 y'( 0 ) 1 y ' ' 36 y 0 o e8 y( 0 ) 1 y'( 0 ) 1 y ' ' y ' y 0; f x'' 10 x' 16 x 0; x( 0 ) 1 / 2 x'( 0 ) 0 i 9 c ientes C1 y C2 y la SP sujetas a las condiciones iniciales indicadas
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
51
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 3 Determine la EDO de la forma my''
y' ky 0 que modela a cada situación, donde m= masa;
=Constante de amortiguamiento ; k= Constante del resorte. Complete el cuadro adjunto :
A) Una masa de 20 g estira 5 cm un resorte. Suponga que la masa también está sujeta a un amortiguador viscoso cuya constante de amortiguamiento es de 0.4 N.s/m. Si se tira hacia abajo la masa 2 cm más y luego se suelta, encuentre su posición en cualquier instante a) Recolección de datos y modelado m k y x0 y0
b)
y' x0
Calculo para hallar la EG y la EP EC M1 M2 SG
y g
EDO de 2do. orden homogénea
y0 '
C1
C2
SP
y p
B) Una masa de 1 kg está unida a un resorte de constante 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine la posición de la masa en cualquier instante si: a. La masa se suelta partiendo del reposo a 1 m debajo de la posición de equilibrio. b. La masa se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad de 10 m/s hacia arriba C) Una masa de 1 slug estira un resorte cuya constante es de 5lb/ft. Suelta la masa a 1 ft debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo, el movimiento se da en un medio cuyo amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento. Nota: slug, lb y ft son unidades en el sistema inglés para masa, fuerza y longitud respectivamente. D) Una masa de 100 g alarga 5 cm un resorte. Si la masa se pone en movimiento desde su posición de equilibrio con una velocidad hacia debajo de 10 cm/s y no hay resistencia del aire (no hay amortiguamiento), determine la posición de la masa en cualquier instante. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Código UPN-L 1 2
515 STEW/C2008 515.35 CORN
AUTOR
TÍTULO
James Stewart
Cálculo de una variable
Cornejo, Villalobo, Quintana
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
PÁGINAS 524 –549 586-892
Ecuaciones Diferencial aplicaciones
52
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 2
INGENIERÍA
SEMANA 10 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. APLICACIONES
APLICACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
53
FACULTAD DE INGENIERÍA
C LCULO 2
INGENIERÍA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. APLICACIONES DEFINICIONES: FUNCION DE VARIAS VARIABLES Se dice que f es una función de varias variables, si f
:
n
D
; n=2,3,4,…
Ejemplos :
1. f : D
2
2. f : D
3
3. f : D
4
4. f : D
2
5. g : D
3
/ Z
f x, y
sen xy x 2
y2
/
W f x y z sen xy e
/
U
,
x z
,
f x, y , z , w x²
/ Z f x , y
sen x y e x z
xz x w
y² 9
x
/ W= g x, y, z
x
9
Observaciones: 1.- El dominio de una función f : D
x ² n
y ²
z ²
es un subconjunto D del conjunto de partida
que hacen posible la existencia de la función f, el rango es un subconjunto del conjunto de llegada formado por todos las imágenes f. n
2.- La grafica de una función f : D es decir: Graf
f a, b
n 1
n
es el conjunto de puntos (a,b) / b=f(a),
/ b f a , a D
2
3.- Una de las formas de visualizar la gráfica de una función f : D es asignando diferentes valores al rango para poder intuir el co mportamiento de la función y hacer el bosquejo respectivo, es decir las gráficas de f x, y k; k nos dan la idea para
graficar Z
f x y . ,
4.- Las curvas f x, y k; k función Z
son llamadas curvas de nivel o líneas de contorno de la
f x y ,
5.- Las líneas de nivel se utiliza para hacer levantamientos topográficos en lugares inaccesibles.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
54
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 1 1. En los siguientes ejercicios, determine las variables independientes (VI), dependientes (VD) y en que espacio se encuentra el dominio, rango y la grafica de las siguientes funciones:
Función 1
Z 2
3
4 Z
5
x 2
Rango
Grafica
x z
,
f x y z w sen x y e x ,
Dominio
y2
W f x y z sen xy e U
VD
sen xy
f x, y ,
VI
,
f x, y
z
,
x²
W g x , y , z
xz x w
y² 9
x
x 9 x²
y² z²
2. Tome solo los valores posibles para escribir las curvas de nivel correspondientes a k = -1, 0, 1, 2, y 3 FUNCION FUNCION FUNCION FUNCION K i x, y xy x f x, y x² y² 9 g x , y 9 x² y² h x, y y
2
2
FUNCION j x , y
1
x
y
-1 0 1 2 3 3. Represente las curvas de nivel del cuadro anterior y muestre un bosquejo de la grafica de la función Curvas de nivel en el plano XY( Para z f x, y ) Curvas de nivel en el Espacio XYZ Para z f x, y
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
55
FACULTAD DE INGENIERÍA
Curvas de nivel en el plano XY( Para
z
g x, y
)
Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para z
g x, y
)
Curvas de nivel en el plano XY( Para z h x, y )
Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para z h x, y )
Curvas de nivel en el plano XY( Para z i x, y )
Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para z
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
56
i x, y )
FACULTAD DE INGENIERÍA
Curvas de nivel en el plano XY( Para z
j x, y )
Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para z
4. Halle dominio y rango de las siguientes funciones: Dominio y Rango FUNCION FUNCION 9 x² g x , y f x, y x² y² 9
Dominio Rango Dominio y Rango
FUNCION i x, y
FUNCION
y²
FUNCION
xy
j x , y
1
h x, y
y2
x2
FUNCION
x
j x, y )
y
k x, y
x2
y2
Dominio Rango
NIVEL 2 Función : z
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
57
f ( x, y ) x2
y2
4
FACULTAD DE INGENIERÍA
Función : z
f x, y
x
2
y
2
Grafica Halle el dominio, rango y grafica de las siguientes
Grafica
funciones:
Función : z
f x, y
1/
x
y x > y
Grafica
Dominio Dominio
Función : z f ( x, y) Dominio
Rango Rango
2 2 16 4 x y Rango
Grafica
Función : z
f x, y
Dominio
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
2
x2
Rango
58
FACULTAD DE INGENIERÍA
Función : z
Grafica
f ( x, y ) 2
Grafica
Dominio
Dominio
Rango
Rango
Función : z
f ( x , y ) x2
y2
Grafica
NIVEL 3 I.- Con la ayuda de algún software matemático, trace la gráfica de las siguientes funciones 1.
f ( x, y )
2.
f ( x, y)
3.
f x, y 2 x
4.
f ( x, y ) x 2
5.
f x, y
6.
f x, y
2
x2
y2
x2
2
x² y² 9
7.
f x, y 9 x² y²
8.
f x, y y x
9.
f x, y
2
10. f x , y
xy
x
14. f x, y
11. f x , y
y
sen xy x
2
y
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Rango
12. f ( x, y) ( x 13. f x, y
2
1
Dominio
y2
15. f x , y 16. f ( x, y )
59
2
1 x2 y2
2
y )e
4 x
x² y ² 1 x² y² 9 x
x 9 x² y²
sen x sen y
FACULTAD DE INGENIERÍA
…Puede utilizar un Graficador online …. >> Graficador online Ejemplo: Grafique la siguiente función : f ( x, y )
sen x sen y
>> Si utiliza el WolframlAlpha
>> Si utiliza el Geogebra
1.
Producción. Empleando puede producir Q( x, y)
x trabajadores
calificados y
y
trabajadores no calificados, un fabricante
10x 2 y unidades por día.
Actualmente hay 20 trabajadores calificados y 40 no calificados en el trabajo. a) ¿Cuántas unidades se producen actualmente cada día?
b) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador calificado más a la actual fuerza laboral? c) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador no calificado más a la actual fuerza laboral? d) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador calificado y además 1 trabajador no calificado a la actual fuerza laboral? 2.
Un fabricante estima que su función de producción es f(x,y)=100x 0.6y0.4, donde x es el número de unidades de trabajo e y el de unidades de capital. Comparar el nivel de producción cuando x = 1.000 e y = 500 con el nivel de producción para x = 2.000 e y = 1.000.
3.
Volumen. Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
60
FACULTAD DE INGENIERÍA
4.
Costo de producción. Una caja rectangular, abierta por la parte superior, tiene x pies de longitud; y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir los lados cuesta $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo de construcción de la caja en función de
5.
x y z ,
,
.
Distribución de temperaturas. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x,y) de una placa circular de 10 metros de radio es T = 600 – 0,75x² - 0,75y² donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.
6.
Un sólido rectangular en el primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto ( x, y , z ) en el plano x 3 y 2z 6 . a) Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función. b) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades? c) Obtenga un modelo matemático que exprese el área total de la superficie del paralelepípedo, como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función.
Referencia bibliográfica
1 2
Código UPN-L
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
515 LARS 2008 515 THOM 2027
Larson Ron Thomas
“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”
895 - 896 973-974
CÁLCULO 2
INGENIERÍA
SEMANA 11 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
61
FACULTAD DE INGENIERÍA
C LCULO 2
INGENIERÍA
DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
62
FACULTAD DE INGENIERÍA
DERIVADAS PARCIALES Definición de derivada parcial en un punto: Sea f: A
→
R, con A
⊂ ℝ
y sea (a, b) un punto
interior de A. Se denomina derivadas parciales de f respecto a las variables “x” e “y” en el punto (a, b) a
los siguientes límites cuando existan y sean finitos:
Otras notaciones para las derivadas parciales son:
C LCULO 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
63
INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA
PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL
La ecuación de este plano tangente es:
Explícita
z – z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
Implícita
F x (P)( x − xo ) + F y (P)( y − yo ) + F z(P)( z − zo ) = 0
Donde: S está dada implícitamente por F( x, y, z) = 0,
RECTA NORMAL Se llama recta normal ( L N ) a una superficie S con ecuación z = f ( x, y), a la recta que pasa por el punto P( x0, y0, z0) y es perpendicular al plano tangente.
C
Vector
L
L N : ( x, y , z ) ( x0 , y 0 , z 0 ) t f x (x0 , y 0 ), f y (x 0 , y 0 ), 1 ; t R
Simétrica x x0
y
f x ( x0 , y0 )
y0
f y ( x0 , y0 )
z
z0
x
1
C LCULO 2 UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
( x0 ,y0)
INGENIERÍA
SESIÓN 11: DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
64
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 1 IV. Calcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones 1)
f ( x, y) x4 y3 x3 y 2 2 xy x 6 y
3) y
x
3
,
x
2,
y
0
2) f ( x, y) xe
4)
x 2 y
2
f ( x, y, z) 3 x yz
3
xyz 3 x z
V. Evalúa las derivadas parciales f x ( x, y) y f y ( x , y ) en el punto P0 ( x0 , y0 ) indicado. 1.
f ( x, y ) x 2 3xy y 1 ; en el punto (4, -5).
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
65
FACULTAD DE INGENIERÍA
2. f ( x, y ) xe
2y
ye
x
2
xy ; en el punto
P0 (0,1)
3. f (x, y) = 2x3 + 2y3 – x2 – y2 – 2xy; en el punto (1; -1)
NIVEL 2 1. Calcula las segundas derivadas parciales (incluyendo las derivadas parciales mixtas. f ( x, y) 5 x4 y3
2 xy
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
f ( x, y)
66
x 1 y 1
FACULTAD DE INGENIERÍA
2
f ( x, y) x ye
f ( x, y )
x
y sen(xy )
2. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = f ( x, y); en los puntos que se indican: a)
z
x
3
2
x y
4
en el punto (2, 1, 4)
b) z x y 2 xy 2 y 2 en el punto P (1, 2, 3). 2
3. Halla
z
la
f x, y
2
ecuación
6 x x
del 2
plano 2
tangente
2 y , en el punto 1, 2,
y
de
la
recta
normal
al
paraboloide
4 .
4. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide z
2
2
x2 2 y 2
12
en el punto 1, 1, 4 .
NIVEL 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
67
FACULTAD DE INGENIERÍA
5. Una lata de bebida gaseosa es un cilindro de altura H y con un radio de R centímetros. Su volumen está 2
dado por la fórmula V R H . Una lata en particular mide 12 cm de alto con radio de 3 centímetros. Utilice cálculo para estimar el cambio de volumen que resulta si el radio aumenta en 1 cm mientras que la altura permanece en 12 cm.
6. Cálculo de la pendiente de una superficie en la dirección y. El plano x = 1 corta al paraboloide z
x
2
y
2
en una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la parábola en (1, 2, 5).
3. Una compañía que fabrica computadoras ha determinado que su función de producción está dada por 2
P( x; y) 500 x 800 y 3 x y x
3
y
4
4
, donde x es el tamaño de la fuerza de trabajo (en horas de
trabajo por semana) e y es la cantidad de capital (en unidades de S/. 1000) invertido. Encuentre P x ( x;y) y P y ( x; y) cuando x = 50 y y = 20 e interprete los resultados.
Referencia bibliográfica 1 2
Código UPN-L
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
515 LARS 2008 515 THOM 2027
Larson Ron Thomas
“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”
909- 916 984-996
CÁLCULO 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
68
INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA
SEMANA 12 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES
C LCULO 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
69
INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES
TEOREMA DE DERIVADA DIRECCIONAL Si z = f(x, y) es función diferenciable de x y de y, Si el vector unitario u forma un ángulo Ө con el eje entonces f tiene derivada direccional en un punto positivo X, entonces podemos escribir , u=(cosӨ , senӨ) P( x , y ) ,en la dirección de cualquier vector unitario u 0
0
= ( a, b)
Du f ( P) f x ( P)a f y ( P)b
Du f ( P) f x ( P) cos f y ( P)sen
VECTOR GRADIENTE Para una función de dos variables definida por z=f (x,y):
Para una función de tres variables definida por w=f(x,y,z)
f f f f ( P) ( P), ( P), ( P) y z x
f f f ( P) ( P), ( P) y x
LA DERIVADA DIRECCIONAL EN TÉRMINOS DEL VECTOR GRADIENTE
Propiedades del vector gradiente
Du f ( P) f ( P). u CÁLCULO 2
INGENIERÍA
UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
70
FACULTAD DE INGENIERÍA
SESIÓN 12: DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES
NIVEL 1 a)
Calcula la derivada direccional de f en el
direccional de la función f ( x, y) x
punto P (1,2) en la dirección de PQ . Si:
f ( x, y) x
2
3 xy y ;
P (1,2) ,
Q ( 2,5)
c) Calcular la derivada de f ( x, y ) 1 x
b) Calcula, usando las derivadas parciales, la derivada
2
2y2
en el punto P(1,-1) y la dirección v = (3,4).
2
3xy
2
en el
punto P (1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.
d)
Calcula, usando las derivadas parciales, la
derivada direccional de la función f ( x, y) x
2
y
2
en el punto P (1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido positivo del eje OX .
NIVEL 2 1. Calcula en cada caso, el gradiente, la dirección de máximo crecimiento y el valor máximo de la derivada direccional de la función en el punto que se indica:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
71
FACULTAD DE INGENIERÍA
a) f ( x, y) x y 2
c) f ( x, y)
x
2
,
P (2,1)
b) f ( x, y)
y x
2
2
x y
, P (2,1)
d) f ( x, y, z)
y
x
ze
2
, P (1,1)
cos y , P (0,
4
,1)
2. Encuentra la dirección en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más rápidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra el valor mínimo de la derivada direccional en el punto indicado. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
72
FACULTAD DE INGENIERÍA
a) f ( x, y)
20 x2
2
y ;
c) f ( x, y ) cos(3x y );
P
( 1, 3)
b)
d)
P( , ) 6 4
xy
f ( x, y ) e ; P(2,3)
f ( x, y)
x y x y
;
P (3,1)
NIVEL 3 1. La
temperatura
T (x , y , z )
es
T
60 x
2
y
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
z2 3
grados
en
cualquier
punto
( x, y , z ) en
el
espacio
R
3
y
, la distancia se mide en pulgadas.
73
FACULTAD DE INGENIERÍA
a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2, 2) en la dirección del vector
i
2
3j
k .
6
b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, 2, 2) .
2.
Considere la placa rectangular que se muestra en la figura siguiente.
La temperatura en un punto ( x , y ) de la placa está dada por: T ( x, y) 5 2 x 2
y
2
a) Determine la dirección en la que se debe mover un insecto que está en el punto (4,2) para que se enfríe lo más rápido posible. Observe que (0,0) es el punto más frío de la placa. b) Encuentre la trayectoria que el insecto (que busca el frío) debe seguir hacia el origen, partiendo del punto (4,2).
Referencia bibliográfica 1 2
Código UPN-L
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
515 LARS 2008 515 THOM 2027
Larson Ron Thomas
“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”
933- 950 1006-1014
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2018-1
UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 74 SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SIN
UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA INCREMENTOS, DIFERENCIAL TOTAL Y LA REGLA DE LA CADENA
= (, ) → = (, ) : ⊂ ∆ ∆ = (, ) ∆ = ( ∆, ∆)(,)
Definición [Incremento en una función de la forma
]
Una función dos variables es aquella tal que , y DE considerando , 75 DEPARTAMENTO DEde CIENCIAS FACULTAD INGENIERÍA a como los incrementos de respectivamente, se define el incremento para en cualquier punto como:
(,) ∈
Definición [La diferencial total en una función de la forma
z =(,= ∆) ∆= ∆∆
Si son
,y y
,
=
como los incrementos de . Y la diferencial total para
es:
, donde f es una función
, donde
de
,
Sea
. Si
es
una
dt
w
dx
x
dt
, donde f es una función
que las derivadas parciales de primer orden
función
∂ x /∂s, ∂ x /∂t , ∂y /∂s y ∂y /∂t existen, entonces
diferenciable de , y
dw
= (,)
derivable de e . x=g(t,s) y y = h(t,s) son tales
y son funciones derivables
entonces
∂w /∂s y ∂w /∂t existen y están dadas por
w
dy
w
y
dt
s
w x x s
w y y s
y
w t
CÁLCULO 2
w x x t
SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA
76
w y y t
INGENIERÍAS
UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
REGLA DE LA CADENA: DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
= (,) = (), = ℎ() ℎ derivable de e
]]
respectivamente, entonces las diferenciales
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea
= (, )
FACULTAD DE INGENIERÍA
NIVEL 1:
4. Halle la diferencial total de cada función:
1. Encuentre z
y
2
a)
para la función polinomial
z
xy ¿cuál
f ( x, y) = 3 x Cos y 5 x 2 y 4 3
b) f ( x, y, z ) = x
es el cambio en la función
de (1,1) al (1.4,1.3) ?
5. Calcula
dz dt
3 y 2 xz 3 2
3
2
si z = x y ; x 3t ; y t
6. Dada la función z = 2 xy donde x s 2 t 3 ; y
2. Encuentre z
x
2
2t
3s
; hallar
z s
z ;
t
.
para la función polinomial
z
xy ¿cuál
es el cambio en la función
de (1,1) al (1.2,0.7) ?
NIVEL 2: 1. Se miden las dimensiones de una caja rectangular con una cota de error de ± 0.1
3. El volumen del cono truncado que se muestra en V
la 1
h
3
figura
r
diferencial
2
rR
total
R
2
del
de
abajo
es
.
Determine
el
volumen
del
mm. Las medidas, en centímetros, son 50, 20, 15. Mediante la diferencial estime el error al
cono
truncado.
calcular el volumen de la caja.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
77
FACULTAD DE INGENIERÍA
2. El radio de la base y la altura de un cono
cm, respectivamente. ¿La tensión aumenta o
circular recto miden 20 cm y 50 cm
disminuye?
respectivamente, con un posible error en la medición de 0,01 cm. Utilice diferenciales
2. Un corredor va por una pista circular de 40
para estimar el error máximo y el error
metros de radio a razón de 8 m/seg. En el
porcentual en el cálculo del volumen del
centro de ésta hay una luz, la sombra del
cono.
corredor se proyecta sobre un muro recto tangente a la pista en el punto de partida.
3. La utilidad mensual en nuevos soles de una
¿Con qué rapidez se mueve la sombra cuando
empresa que comercializa un solo producto es dada por: U ( x, y )
1 50
( x 2
lleva recorrido1/8 dé la pista?
3. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de
xy ) donde x
largo, 5 pies de profundidad en un extremo y
representa el número de unidades vendidas
12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un
en Lima e y el número de unidades vendidas
plano inclinado. Si la piscina está llenándose
en Arequipa. Si en la actualidad la empresa
con un caudal de 20 pies3 /seg, ¿a qué
vende 200 unidades en Lima y 300 unidades
velocidad se está elevando el nivel de agua
en Arequipa, estime el cambio aproximado en
cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo
la utilidad de la empresa si las ventas en Lima
más profundo?
4. Volumen y área superficial Los dos radios del
disminuyen en 1%, mientras que en Arequipa
tronco
aumentan en 2%.
de
un
cono
circular
recto
se
incrementan a razón de 4 centímetros por N° 1
CÓDIGO
AUTOR
515 THOM
PÁGINAS
minuto y la altura se incrementa a razón de 12 centímetros por minuto (ver la figura).
Cálculo en Varias THOMAS
2007
2
TITULO
Hallar a qué velocidad cambian el volumen y
Variables
el área superficial cuando los radios son 15 y
515 LARS
LARSON, RON
2008
Cálculo 2
25 centímetros, respectivamente, y la altura es de 10 centímetros.
Referencia bibliográfica
NIVEL 3: 1. La tensión T en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura, es
T mg
R 2
2r
R
2
, donde mg es
UNIDAD 03: FUNCIONES DE
su peso constante. Determine el cambio aproximado en la tensión si R y r se
SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE V
incrementa de 4 cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9
ALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES QUE HAY QUE TOMAR EN CUENTA
Observación: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
78
No todos los puntos críticos originan valores extremos. FACULTAD DE INGENIERÍA 2 2 Por ejemplo, la función f ( x, y) = y – x tiene un único punto crítico P(0, 0), pero f (0, 0) = 0 no es un valor extremo de f puesto que en una vecindad de 0, la
PUNTO CRÍTICO
Sea definida en una región abierta R que contiene ( x 0 , y 0). El punto ( x 0 , y 0) es un punto crítico de si se satisface una de las condiciones siguientes: • •
((,,),) = 0, ( (, ,) =) 0= 0 y
o
no existe
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región
abierta
f x (a , b )
0
que
y
contiene
f y (a , b )
un
punto
(a,
b),
para
el
cual
0
Es decir, (a, b) es un punto crítico de f . Para buscar los extremos relativos de f , considérese la cantidad
d f x x (a, b) f y y (a, b) f x y (a, b)
2
•
Si d
0 y f x x (a, b) 0, entonces f tiene un mínimorelativo en (a , b ).
•
Si d
0 y f x x (a, b) 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b)
•
Si d
0, entonces (a, b,
•
Si
d
f (a , b )) es un puntosilla
0, elcriterio nolleva a ninguna conclu sió n
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
79
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 2
INGENIERÍAS
UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SIN RESTRICCIONES
NIVEL 1: 1. De los siguientes puntos (1,2), (1,-2), (-1,2), (-
NIVEL 2:
1,-2), (2,1), (-2,-1), diga ¿cuál de ellos no
4. ¿Para cuales valores de k está garantizado
corresponde a ser un punto crítico para la
mediante el criterio de la segunda derivada
función
3
f ( x, y) x
2
3xy
15 x 12 y
que f ( x, y ) x
?
2
k xy y 2 tendrá:
a) En (0,0) un punto silla?
Justifique su respuesta
b) En (0,0) un mínimo local? c)
2. Determine los extremos relativos de las
criterio
de
la
segunda
derivada
no
permite, directamente, clasificar un punto
funciones:
a)
¿Qué ocurre en el caso en el cual el
f ( x, y) x y 2
crítico de f ?
2
b)
5. Un fabricante de artículos electrónicos
c)
f ( x, y) 4 y3 x2 12 y2 36 y 2
d)
f ( x, y) 2 x
e)
f ( x, y) e x
3
2
y
y
2
determina que la ganancia o beneficio
P
(en
dólares) obtenido al producir x unidades de
9 x2 4 y 12 x 2
un reproductor de DVD y
2
y
unidades de
grabador de DVD se aproxima mediante el modelo
P x , y 8 x 10 y 0 .001 x
3. CONSTRUCCIÓN. Suponga que usted desea construir
una
volumen de utilizarán
caja
32
tres
rectangular
con
diferentes.
material para los lados cuesta
cuadrado.
6. VENTAS AL MENUDEO. Una compañía
por metro
son
= 100 = 100 (,) =
produce unidades de la mercancía y unidades de la mercancía . Todas las unidades se pueden vender en dólares por unidad de y dólares por unidad . El costo (en dólares) de producir estas unidades está dado por la función de costo conjunto . ¿Qué valor deben tener y para maximizar la utilidad?
las
dimensiones de la caja menos costosa?
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
El
$1 $3 $5
¿Cuáles
2
ganancia máxima?
por metro cuadrado y el de la tapa cuesta metro
xy y
una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la
cuadrado, el material para el fondo cuesta
por
. Halle el nivel de producción que proporciona
un
, en cuya construcción se
materiales
2
80
FACULTAD DE INGENIERÍA
10000
4. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con NIVEL 3:
extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.
1. Una empresa fabrica chocolates según la función
de
Q x, y x donde
x
3
3
y
3
3
producción
x
2
24 y
es la cantidad de cacao e
y
la de
leche empleadas para su fabricación. a) Calcúlese las productividades marginales en el punto 1 , 2 b) Hállese la producción máxima.
5. A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la figura adjunta. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 . Encuentre las alturas x y y de manera que el volumen del tanque sea un máximo.
2. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres
de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x +2y +3z = 6.
3. Un pedazo de latón de 24 pulg de ancho se dobla de manera tal que su sección transversal es un trapezoide isósceles (vea la figura) . Calcule x y θ de manera que el área de la sección transversal sea un máximo. ¿Cuál es el área máxima?
Referencia bibliográfica N°
CÓDIGO
1
515 THOM 2007
2
515 LARS 2008
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
81
AUTOR
THOMAS
TITULO
Cálculo en Varias
LARSON, RON
FACULTAD DE INGENIERÍA
Variables Cálculo 2
PÁGINAS
CÁLCULO 2
INGENIERÍAS
UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 15: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES C ON RESTRICCIONES NIVEL 1: 1.
2.
NIVEL 2:
Encuentre los valores extremos de
5. Rectángulo de mayor área en una
(, ) = 3 + 4 − 3 sujeto a la
elipse
restricción ( − 1) + = 25 .
multiplicadores
Sea (, ) = + 2 . Encuentre
determinar
los valores máximo y mínimo de la
rectángulo de mayor área que puede
función (, )
inscribirse
restricción
x
2
y
sujeto 2
1
a
la
.
use
⁄9 = 1
el
método
de
de
Lagrange
para
las
en
dimensiones
la
elipse
del
⁄16
con los lados paralelos a los
ejes coordenados.
6. Hormiga en una placa de metal la
(,) (, =) 4
temperatura en un punto placa de metal es
4 la
de una
. Una hormiga camina sobre
placa
alrededor
de
una
circunferencia de radio 5 con centro en el origen ¿Cuáles son las temperaturas 3.
Emplee
el
método
multiplicadores
de
de
los
Lagrange
para
máxima y mínima encontradas por la hormiga?
determinar el máximo de (, ) =
9 − − sujeto a la restricción
7. Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias
+ = 3.
máxima y mínima de un punto de la 4.
Encuentre los valores máximo y
elipse
mínimo de ( , , ) = + 3 −
x
sujeto a
y
x
2
4y
2
4
a
la
recta
4.
= 2 +
7. Tanque de almacenamiento más económico su empresa debe diseñar un tanque de almacenamiento para gas líquido. Las especificaciones del
8000
cliente piden un tanque cilíndrico con
8. contener
extremos
de gas. El cliente
también quiere usar la menor cantidad posible de material para construir el tanque.
¿Qué
radio
y
altura
recomendarían para la parte cilíndrica del taque?
NIVEL 3: 9. Un
semicírculo
está
sobre
un
rectángulo (ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.
Referencia bibliográfica
N°
CÓDIGO
1
515 THOM 2007
2
515 LARS 2008
AUTOR
THOMAS LARSON, RON
TITULO
Cálculo en Varias Variables Cálculo 2
PÁGINAS
semiesféricos,
que
debe
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