Cálculo 2

July 1, 2019 | Author: saul | Category: Integral, Derivado, Cálculo, Geometría, Análisis matemático
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Cálculo 2...

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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2018-1

CÁLCULO 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

1

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

SEMANA 1 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

CAMBIO TOTAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

LA INTEGRAL DEFINIDA.TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

 La Integral Definida

Primer Teorema Fundamental

Segundo Teorema Fundamental

Si f  es  es continua en un intervalo abierto I que contiene a, entonces, para todo  x en el intervalo se cumple:  x  d   ( )  f t  dt       f ( x ) d  x  a  Forma general

Si f  es  es continua en el intervalo [a, b] y F es una antiderivada de f  en [a,b], entonces

Teorema del Cambio neto

Teorema del valor medio (Para integrales)

La integral definida de la razón de cambio de una cantidad F ( x )  proporciona el cambio total, o cambio neto, en esa cantidad sobre en intervalo  a b 

b



b

 f ( x)  dx  F (b )  F (a)  F ( x )a

a

Si f es una función contínua en [a,b] entonces existe un número c en [a,b] tal que:

,

b

 f (c ) 

 F ( x)dx  F (b)  F ( a)

1 ba



b

a

f ( x ) dx

a

Donde: f (c) es el valor medio de f en [a,b]

Propiedades b

a

  f (x)dx 2.  k f ( x )dx  k  f (x )dx para k   constante 3.    f ( x )  g ( x ) dx   f (x )dx   g (x )dx 4.   f ( x)dx   f ( x )dx   f (x )dx 5.  udv  uv uv    vdu

1.

a

 f ( x )dx  

Integrales para funciones pares e impares

b

b

b

a

a

b

b

a

a

c

a

a

b

b

a

a

a

 f ( x ) dx

0

 a

a

b

b

 a

b

c

b

Si f es impar

Si f es par  a

a

 f ( x ) dx  a

a



dx   0 6. f  x  dx

2 f ( x ) dx 0

a

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

3

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 1: INTEGRAL DEFINIDA Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO NIVEL 1 I. Use el Primer Teorema Fundamental del Cálculo y halle F  ' ( x ) 4 x 2

 x

1)

F ( x )

  (2t   1)dt 

2) F ( x)

0

0

5

1

3)

F ( x)

  (t 3  t )dt 

  (3t   2t   1)dt  2

4)

F ( x)





 

2 x 1

2 x 3



(3 t 2  2t ) dt

3 x 1

 x

5) F ( x)



(3t 3  t )dt 

6) F ( x ) 



x (t  2t )dt   2

3 x

sen  x

II. Calcule las siguientes integrales definidas usando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: 1



1)  I   ( x

  

2

 8 x  1)dx

2)  I  

0

0

2

3)  I  

 (5 x   x

 sen x dx

2

2

)dx

4)  I  

1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

e

x

dx

2

4

FACULTAD DE INGENIERÍA

4

5)  I  



  

(4

 x

4

  x)dx

6)  I  

1

 sen

3

2 x. cos 2 x dx

0

III.Calcule el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado:

 f  ( x)   x

g ( x)  e

3

3x

 3 x 

,

en

2, en 1  x  8

0

x

3

2

 f (t )  t 8  7t , en 0  t   1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

 f  ( x)  sen x, en 0  x 

  

2

 x

h( x) 

e

1  2e x

v

g (v )  ve

5

2

,

,

en

en

0

x 1

0v2

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2  x

 t

1. Sea F (x) 

4

 1 dt . Encuentre   la recta tangente a la curva

F ( x ) en

el punto de abscisa 1 .

0  x

2. Halle una función  f  ( x )  y un número

a

 tal que: 6 

 a

 f  (t ) t 2

3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por

dt   2  x  para toda

 D ' (t )



3000( 20



 x  

t )

0.

dólares por año

0  t   20 . Calcule la depreciación total durante los 10 primeros años.

4. De un depósito cuya capacidad es 55 galones. Sale agua a una tasa de

V  ' (t )



15



2t   en donde t se

mide en horas y V en galones, si al principio el depósito estaba lleno. a) ¿Cuánta agua sale del tanque entre t = 3 y t =5 horas?

 b) ¿Cuánto tiempo pasa para que queden exactamente 5 galones en el tanque?

NIVEL 3 1. El comercio electrónico en Latinoamérica crece de acuerdo con el modelo matemático 2

G(t )  7.8t 



2.5t   180.3 , donde G es el gasto en millones de dólares y t   es el tiempo en años a

 partir del 2003. a) Cuál es el gasto total acumulado entre los años 2006-2011.  b) Estimar el gasto total promedio entre los años 2012-2014. 2. Supongamos que una sustancia extraña se introduce en la sangre; la razón a la que se producen los anticuerpos está dada por



' (t ) 

 miles de anticuerpos/ minuto, donde el tiempo, t , está dado 1 en minutos. Encuentre la cantidad total de anticuerpos en la sangre durante los 4 primeros minutos. r 



2



3. Se bombea agua de una cisterna a razón de

5  5e

 0.12t 

litros por minuto, donde t   está dada en

minutos desde que la bomba empieza a funcionar. Si la cisterna tiene 1000 litros de agua cuando la  bomba empezó a trabajar, ¿cuánta agua tiene una hora después? 4. Una cisterna llena combustible a un grifo a una velocidad de 15000 , expresada en galones/seg. (t   5)2 a) Calcula los galones de combustible que habrá en el depósito del grifo después de 10 seg.

 b) Calcula los galones de combustible que habrá en el depósito del grifo después 30 seg.

Referencia bibliográfica

1 2 3 4

Código UPN-L

AUTOR

TÍTULO

PÁGINAS

515 STEW/D 515 HUGH 515.33 AGUI 515 PURC

James Stewart Hughes-G.L.F Aguilar Márquez Purcell -Varberg

“Cálculo Diferencial e integral”  “Cálculo Aplicado” Cálculo integral Cálculo

393-399 220-242 56-124 232-242

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

6

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

SEMANA 2 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES ACOTADAS

PUENTE QUE CUIDA LA BIODIVERSIDAD

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

7

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2 CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES ACOTADAS POR UNA O MÁS CURVAS

1. Áreas acotadas por una curva f (x)  0 en

a , b

2. Áreas acotadas por una curva  f ( x)  0

en

 a , b

3. La función toma valores positivos 4. Áreas acotadas entre curvas y negativos

5. Áreas acotadas entre curvas

5. Áreas entre curvas que se cortan

Excedente del Consumidor y del Productor

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

8

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INGENIERÍA

CÁLCULO 2

UNIDAD I: La Integral Indefinida y sus aplicaciones SESIÓN 02: Cálculo de áreas de regiones acotadas por una o más curvas EJERCICIOS NIVEL 1 Identifique la integral definida que permite calcular el área de la región limitada por las siguientes gráficas. a)

c)



4



4

0

0



 5 x  x   x  . dx   2

1

1

e y   y  2 . dy   2

1

  y

 x  (5 x x 2 ) . dx

1

 b)

2

 2  e y  . dy

d)



2



2

0

0

 1   x  1 

 

3

  2 y  y    y

  x  2 . dx 

2

0

3

  y

  x  2   . dx  x  1  1

0

2

I. Observar el gráfico y calcular el área limitada por las curvas en cada caso:

1)

 y  x 2  1

9

 4 y  . dy

 4 y    2 y  y  . dy

NIVEL 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2

FACULTAD DE INGENIERÍA

2

2)

 y



x

2



2x  3

3)

4)

5)

 y



x

3 

x

2 

6x

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

10

FACULTAD DE INGENIERÍA

II. En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las gráficas de las funciones y calcular su área 1. 2.

3.

4.

{ 2 == 4 {  == 2642     == 0|2 1| ==2    {  =   

precio sea p = 0,2q 2 + q + 50 dólares por llanta. a. Halle el precio de equilibrio y la cantidad demandada a este precio. b. Determine el excedente de los consumidores y de los productores al precio de equilibrio. 4. Un territorio ocupado por cierta comunidad, está delimitado de un lado por un rio y montañas, si se introduce un sistema de coordenadas como se indica, el límite montañoso está dado aproximadamente por la curva

NIVEL 3

 y



4



x

2

,

donde x , y están en metros ¿Cuál es el área total ocupada por la comunidad?

1. Una empresa de electrodomésticos produce planchas eléctricas, si sabe que la función de demanda es:  p  = 32  4q  q 2 y el precio se encuentra en dólares, determine el excedente del consumidor si, q0 = 3 artículos y esboce una gráfica que represente el excedente del consumidor.

– –

2. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por: S: p = g(x) = 52 + 2x D: p = f(x) = 100  x2 Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio de mercado.



Río Referencia bibliográfica

Código # UPN-L AUTOR

3. Un fabricante de llantas calcula que los mayoristas comprarán (demandarán) q (miles) de llantas radiales cuando el precio es p = 0,1q2  + 90 dólares la unidad, y el mismo número de llantas se suministrarán cuando el



DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Montañas

Montañas

11

TITULO

PÁGINAS

1

515 STEW

James Stewart

“Cálculo de una variable”

422-428

2

515.83 THOM

George Thomas

“Cálculo” 

586-892

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

SEMANA 3 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓ MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS

Cultura nazca : 200 AC – 600 DC

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

12

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INGENIERÍA

CÁLCULO 2

CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS Fórmulas para calcular el volumen de un sólido de revolución: A) Método del disco(Gira alrededor del eje X)



V    

b

a

2

f ( x)dx u

B) Método de las arandelas (Gira alrededor del eje X)

b

2 2 3   f x g x dx u ( )  ( ) a  

V    

3

Observaciones : 1.  Estas fórmulas se pueden adaptar para calcular volúmenes de solidos de revolución que se generan al girar alrededor del otro eje, despejando la variable x  y reformulando las expresiones anteriores en función de la variable y. 2. Si el eje de giro es paralelo a alguno de los ejes coordenados, primero tenemos que calcular el radio de giro y luego aplicamos las formulas anteriores. 3.  En el siguiente tema se desarrollara en forma detallada el método de las cortezas o capas cilíndricas (3ra. formula).

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

13

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 3: MÉTODO DEL DISCO Y DEL ANILLO O ARANDELAS NIVEL 1 IV.Grafique y escriba la integral que permite calcular : 2) El volumen de revolución que se genera al rotar la 1) El volumen de revolución que se genera al rotar sobre el eje X la región limitada por la región limitada por la curva  f  x  x2 1 y el eje de curva  f  x    x 2 desde x= -1 hasta x = 1. giro, alrededor de la recta y = -5, desde x= -2 hasta x = 2. (Indique dos posibilidades) (Indique dos posibilidades)  



3) El volumen de revolución que se genera al rotar sobre el eje Y la región limitada por la curva  f  y  y 2 desde y= -1 hasta y = 1.

4) El volumen de revolución que se genera al rotar la 2 región limitada por la curva  f  x   y  1 y el eje de giro,

(Indique dos posibilidades)

(Indique dos posibilidades)



alrededor de la recta x = 5, desde y = -2 hasta y = 2.

V. Las siguientes integrales representan el volumen de un sólido de revolución. Describa y grafique dicho solido

2

3)

V



  x  1

2

2

dx

4)

1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

V



x

2

 1 dx

1

14

FACULTAD DE INGENIERÍA

1

5)

V





1 x

2



2

2

dx

6) V 

 y dy 4

1

1

VI.Grafique el volumen de revolución que calculamos cuando evaluamos las siguientes integrales: q

1) V 



q

2) V 

f 2  y  dy

 p

 b

3) V 

  f

2

 y   g  y  dy 2

 p

2

  f  x   c  dx

q

4) V 

 a

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

  f  x   c    g  x   c 

 p

15

2

2

 dx 

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 I. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje  X .

1.  y



2.  y



x

2

 1 ;  y



x   3

cos x ; 0  x 

  

2

; y



0; x



0

3.  y



x

4.  y



x

2

,

y



x

2

,

y



x

1/ 3 1/ 3

II. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y hallar el volumen del solido generado al girar R alrededor del eje Y. 5. 1   y  4; 0   x  6.

 x 

2

7.  x  y ,

x  8,

 y

8.

y

2 sen2 y ; 0 

3

  

y 

2

;

x  

 y



2 x,



y0

4,





0

0

III. Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región:

 x  y  2  2 y  x  2  R    x  0   x  1 2

a. En torno al eje X  b. En torno a la recta y = 3

1) Considere la región finita limitada por las curvas encuentra en el semiplano

 y  0

1  y



8

3



 e

 y



2 x 

, que se

. Calcular el volumen del sólido de revolución

obtenido al girar dicha región en torno: a)  b) c) d)

Al eje x Al eje y A la recta  x = 6 A la recta  y 

2



2) La región comprendida entre la gráfica de  f ( x ) rota alrededor de la recta

 y



2.  Hallar



x y el eje “ X ” para

0   x   4

el volumen del sólido generado.

3) Calcular el volumen generado al rotar la región limitada por la gráfica de la función

 f ( x)



x 1 y el eje de giro; 

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

 x  

0, 2 alrededor de la recta y=1

16

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 3 5. La región acotada por

 y



x, y



0,

x



0,

a) Determine el valor de x en el intervalo

y x



4 gira alrededor del eje X.

0 4 que divide al solido en dos partes de volumen igual.  ,

 b) Determine los valores de x en el intervalo

0 4 que divide al solido en tres partes de volumen  ,

igual. 6. Encuentre el volumen generado por la rotación de la mitad superior de la elipse

9 x

2



25 y

2



225 ,

si

gira sobre : (utilice una calculadora si es necesario) a) El eje X (para formar un balón de rugby)  b) El eje Y (para formar la mitad de un dulce ) 7. Un tanque en el ala de un avión tiene la forma de un sólido de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica

1  y



8

x

2

2



x

y el eje X alrededor del eje X . Encuentre el volumen del

tanque, sabiendo que x e y son medidos en metros (utilice una calculadora si es necesario) 8. Un tanque tiene la forma de una esfera de 50 cm de radio. Determine las profundidades del agua cuando el tanque está lleno en un cuarto y tres cuartos de su capacidad total. (utilice una calculadora si es necesario)

 0 .1  x 3  2.2 x 2  10.9 x  22.2 9. Un recipiente se modela al girar la gráfica de  y   2 .95

0x

 11. 5

11.5  x

 15

Alrededor del eje X, donde x e y se miden en centímetros, represente graficmente y calcule su volumen. (utilice una calculadora si es necesario) Para pensar :  b

1. Supongamos que  f  x   c; x  a, b ; V1 

  f  x  c

2

 b

dx  y V2 

 a

gráficamente determine que

V1

b

 f  x  dx   c dx 2

 a

2

a

 V 2

2.  Halle el volumen generado por la intersección perpendicular de dos cilindros rectos circulares de radio r

Referencia bibliográfica

Códi go UPN-L 515 STEW/D

AUTOR

TITULO

STEWART. JAMES

Departamento de Ciencias

Cálculo diferencial e integral

17

Facultad de Ingeniería

PÁGINAS 450-455

515.43

SANT

SANTIAGO.PARDO. G. Q. Z. P. B. O

Cálculo Integral

CÁLCULO 2

266-279

INGENIERÍA

SEMANA 4 LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas

CAMBIO TOTAL

Departamento de Ciencias

18

Facultad de Ingeniería

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas El método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).

 El volumen de un casquete cilíndrico: V



2  rh r  

V = (circunferencia)(altura)(grosor ) Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:

Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x = a y x = b y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado los radios exterior e interior a saber y r 1 = f(y) y r 2 = f(y) como ambos radios resultaron ser la misma f. tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento, pero PARALELO al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura:

Por último, si integramos V con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber de la siguiente manera:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

19

FACULTAD DE INGENIERÍA

dx también representa el grosor del casquillo. La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x  por y.

C LCULO 2

INGENIERÍA

UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 4: VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Método de Capas Cilíndricas NIVEL 1 I.

Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje Y. 1)  x  3 y



6,

3)  y  x , x 3

y



0,

x

 2, y  0



0

2)  y

4)  y





x,

x



4,

y



0

x 2 , y  x1/3

II. En los siguientes ejercicios, utilice el método de los casquillos para determinar el volumen de los sólidos de revolución generados al girar la región sombreadas alrededor del eje indicado.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

20

FACULTAD DE INGENIERÍA

III. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje X.  x  3 y



 y  x 2 ,

6,

y



0,

x



y 9

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

0

 y



 y 

21

x

3

,

y

x, y





8,

x

x



0

3

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 1. La región circundada por el eje x y la parábola  y

recta vertical sólido.

 x  

1  para





 f  ( x)



3 x



2 x  se hace girar alrededor de la

generar la forma de un sólido (figura 1). Determinar el volumen del

FIGURA 1 (a) La gráfica de la región del problema 9, antes de hacerla girar. (b) El sólido formado cuando la región de la parte (a) se hace girar alrededor del eje de rotación  x = –1.

2.

Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana limitada por las curvas  y



8x ;

y



x

2

 alrededor de la recta:

3.

Determine el volumen del solido generado al hacer girar la región sombreada alrededor del eje Y

4.

Hallar por el método de capas el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre la parábola x = y2 +1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.

NIVEL 3

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

22

FACULTAD DE INGENIERÍA

 = √9  = 0

1. Un sólido se genera al girar la región acotada por  y  alrededor del eje Y. Un orificio, centrado a lo largo del eje de revolución, se taladra a través de este sólido tal que se pierde un tercio del volumen. Encuentre el diámetro del orificio. 2. Un tanque petrolero tiene la forma de una esfera con diámetro de 60 pies. ¿Cuánto petróleo contiene el tanque si la profundidad del petróleo es de 25 pies? 3. Se quiere construir un estanque de agua para una cierta urbanización representada por un casquete cilíndrico, halle el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y =  f ( x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde:

 f ( x )  2 

x 2  2 x.

4. Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, como se muestra en la figura 11a. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?

Referencia bibliográfica

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

23

FACULTAD DE INGENIERÍA

# 1

2

Código UPN-L

AUTOR

TITULO

515

STEWART.

Cálculo diferencial e

STEW/D

JAMES

integral

515.43 SANT

SANTIAGO.PARDO

Cálculo Integral

PÁGINAS 428- 455

266-279

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

SEMANA 5 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

24

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES

 Longitud de Arco

   , y = () a,     =   1     ()     ,  x = g() ,        =   1  g ()  

 

Si es una función continua y derivable en la longitud del arco de la curva  en a:



Si es una función continua y derivable en la longitud del arco de la curva  en a:

entonces   es igual

entonces   es igual

 Área de una superficie de revolución

 , 

es una función no negativa continua y derivable en entonces  el área de la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva  en es igual a: Si

 y = () a ,   = 2 () 1  () 

Centroide de una región irregular DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

25

FACULTAD DE INGENIERÍA

 =   =   = ()  =(̅,()); g() ≤ ()  ∫ ()  g()  ̅ = ∫∫  () ()g()   =   g() ∫    ()  g() Considere una lámina homogénea acotada por , ,  y con . Las coordenadas del centroide de la lámina, se obtienen con las fórmulas:

INGENIERÍA

CÁLCULO 2 UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

SESIÓN 5: LONGITUD DE ARCO, ÁREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y CENTROIDE DE REGIONES IRREGULARES NIVEL 1

1. En cada figura, aplique integral definida para calcular la longitud de arco de la curva desde el punto A hasta el punto B.

 = 2 1

Solución:

B

A

Solución:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

26

FACULTAD DE INGENIERÍA

 = 23  

B

A

2. Grafique cada curva en su respectivo plano cartesiano y luego encuentre el área de la superficie generada al girar dicha curva alrededor del eje X. a)

 y 

6 x,

0

x   1

Solución:

 b)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

 y 

27

2

25  x ,

0

x  

3

Solución:

FACULTAD DE INGENIERÍA

3.

Aplicando integrales definidas, calcular el centroide de la región R

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

28

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

29

FACULTAD DE INGENIERÍA

1) Calcule la longitud de arco de cada una de las siguientes curvas:

a)  y





 b)  y

c)

 y

1

x

6 2 3

3



3

x



2

2



8 x 

1

, 1 x  3

2 x

3/2



1

,

0

x  

2

 desde 1, 2   a 8,8

2) Halle el área de la superficie generada al girar la curva  y



6  x  

2

2 8 x 

,

1

x  

3 alrededor del eje X.

3) En cada caso, dibujar la región limitada por las curvas y luego calcular su centroide: 2 2 2 a) y

c) x





4 x ,

4



y

2

,

y

x



x

 0



 

2

b) y  x ,

y 8 x

x  2 y  y2

d ) x  y  0,

4) Aplicando integrales definidas y propiedades de simetría, determinar el centroide de la:

a) Semicircunferencia:

b) Semielipse:

NIVEL 3 1) Un cable eléctrico soportado por dos postes distantes entre 40 metros,  x

adopta la forma de una catenaria cuya ecuación es:  y . Calcular la longitud del cable entre esos postes.



10(e 20





e



20 )

2) Calcule el perímetro de la hipocicloide de cuatro cúspides, cuya 2/ 3 2/3 ecuación es  x  y  1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

30

FACULTAD DE INGENIERÍA

3) Un granero es de 100 pies de largo y 40 pies de ancho (ver figura). Una sección transversal de la cubierta es la catenaria invertida. Encontrar el número de metros cuadrados del techo en el granero.

   

4) Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica de

 =  ⁄ ⁄, 0 ≤  ≤ 

, alrededor del

, donde  y están medidas en pies. Encontrar el área superficial de la bombilla y usar el resultado para aproximar la cantidad de vidrio necesario para hacer la bombilla. Suponer que el vidrio tiene un espesor de 0.015 pulgadas.

Referencia bibliográfica



Código UPN

AUTOR

TITULO

PÁGINAS

1

515 STEW/D

STEWART. JAMES

Cálculo diferencial e integral

428- 455

2

515.15/ LARS

LARSON, RON

Cálculo

478-508

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

31

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

SEMANA 6 INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES 1. TRABAJO MECÁNICO: LLENADO/VACIADO DE TANQUES 2. TEOREMA DE PAPPUS. APLICACIONES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

32

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA C LCULO 2 UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

SESIÓN 6: TRABAJO MECÁNICO LLENADO/VACIADO DE TANQUE

Sea F(x) la fuerza que se aplica a un objeto, la cual lo desplaza de fuerza efectúa un trabajo definido por:

En el SI, el trabajo se mide en Jolue (J).

  =  ()

=  =   hasta

, entonces la

NIVEL 1 1. Un cilindro de 1,2m de alto, cuyo radio de la  base es de 0,5m, está lleno de agua. Encuentre el trabajo efectuado al bombear el agua hasta el  borde superior de dicho cilindro.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2. Calcule el trabajo efectuado para llenar de aceite hasta la mitad, un cilindro circular recto, de altura 2m y cuya base tiene radio 1m. (Densidad de aceite 920 kg/m 3)

33

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 Resolver: 1. Un depósito con forma de un cono circular recto invertido, está lleno de agua. Si la altura del tanque es de 100cm y el radio de la parte superior es de 40cm, encuentre el trabajo hecho al: a. Bombear el agua hasta el borde superior del depósito.  b. Bombear el agua hasta una altura de 50cm por encima del borde superior del depósito. 2. Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene un diámetro de 8 m en su parte superior y una  profundidad de 10 m. Si el tanque se llena a una altura de 9 m con agua, calcule el trabajo efectuado al  bombear el agua hasta la parte superior del tanque.

NIVEL 3 Resolver: 1. Un depósito lleno con agua tiene la forma de un paraboloide de revolución como se muestra en la figura, es decir, su forma se obtiene al girar una parábola alrededor del eje vertical. Si su altura es de 4 m, el radio en lo alto es de 4 m, determine el trabajo requerido para extraer por bombeo el agua del tanque.

2. Calcule el trabajo efectuado al llenar completamente de gasolina un tanque esférico de radio 5m. (Densidad de gasolina: 680 kg/m3) 3. Calcule el trabajo efectuado para vaciar totalmente de agua un tanque esférico de radio 3 m.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

34

FACULTAD DE INGENIERÍA

2. TEOREMA DE PAPPUS. APLICACIONES

 = 

óá 

 d:   

:ó

NIVEL 1 1. Utilice el Teorema de Pappus para calcular el volumen del toro, generado al rotar un círculo de radio 2, alrededor de la recta .

: = 3

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

35

FACULTAD DE INGENIERÍA

2. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor de la recta lámina homogénea limitada por la semicircunferencia

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

 = √4  

36

 y el eje

.

 =  2

, la

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 Resolver: 1. La región mostrada gira alrededor de la recta

=

2. La región mostrada gira alrededor de la recta

revolución obtenido.

. Calcular el volumen del sólido obtenido.

 =  1

. Calcular el volumen del sólido de

NIVEL 3

 = 4,  =  2  = ,  = 8  = 4 , = 0   = 0, = 2 

 =  2   1 = 0

En cada ejercicio, hacer el gráfico correspondiente. 1. La región limitada por , que gira alrededor de la recta volumen del sólido obtenido. 2. Dada la región limitada por

, que gira alrededor de la recta

el volumen del sólido obtenido. 3. Al girar la región limitada por sólido de revolución.

, alrededor de la recta

4. Al girar la región limitada por

 = 2

. Calcular

. Calcular el volumen del

, alrededor de la recta

volumen del sólido generado.

. Calcular el

 =  

. Calcular el

Referencia bibliográfica

# 1 2

Código UPN-L

AUTOR

515

STEWART.

STEW/D

JAMES

515.15/ LARS

LARSON, RON

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

37

TITULO

P GINAS

Cálculo diferencial e integral

428- 455

Cálculo 1

478-508

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2

INGENIERÍA

SEMANA 7 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: CLASIFICACIÓN 4. EDO DE VARIABLES SEPARABLES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

38

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDIANARIAS: CLASIFICACIÓN Por el tipo: i. EDO Contiene sólo derivadas de funciones de una sola variable independiente.

Por ejemplo:

i) EDP Contiene derivadas de funciones de dos o más variables independientes.

  5 = 

Por ejemplo:

   = 0

Por el orden: El orden de una ED es igual al de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:

44  22 = 

 es de orden 4.

Por el grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Por ejemplo:  tiene grado 4

   ( ′)     = 

Por la linealidad:

,, , … , ()

La ED de orden n. es lineal si cumple: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir  son de primer grado (tiene exponente 1). ii) Los coeficientes  dependen sólo de la variable independiente o son constantes. Por ejemplo:

 , ,…,       2       (ln  2)′ =  

2. ED DE VARIABLES SEPARABLES

 ()() = ()()

Dada la ED  se puede reescribir como cual resolvemos integrando a ambos lados:

 () = ()

, la

  f  y  dy   g  x  dx DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

39

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

UNIDAD 02: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN SESIÓN 7: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS

NIVEL 1 1. Identificar las siguientes ecuaciones diferenciales:

Variable dependiente(s)

Ecuación diferencial 1. t

dy

5

dt

E.D.O.

E.D.P.

2



dx

t

d y

3

dt 2 



6y

0



2

3x d x

500 

dt

4.

Tipo

   = 0

2.

3.

Variable independiente(s)



3

500 dt

2

 

 = (   ) du

5.

dt

2

c

d u dx

 k 

2

dw dy

2. Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

Ecuación diferencial 3

1.

2

d y dx

2. (

 x

3

3

d2y dx

2

2

d y dx

)3  2 y(

2

d y

3.  x 2

4.

5.

dx

d3y dx

3

2



d2y dx 2

3

2

x

2 x (



2



dy dx

dy dx

d2y

3 x

dx

2

 5

x

dy dx



2y



)3  2 y

e

Grado

Lineal

No lineal

0



)7  y3 (

Orden

dy dx 

)2



5x

x

dy dx



x

d3y dx 3

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

40

FACULTAD DE INGENIERÍA

3. En las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, encontrar la solución gen eral: dy dy cos x 4.   ye senxdx  0 0 1.  y ln x x  y dx 

2.  x tan y 3.

 y

dy dx



dy 

dx

sec x

senx  e x





2

2

( x  xy2 )dx  e x ydy  0

5.

0

y

6.

( xy  4 x)dx  ( x 2 y  y)dy  0

NIVEL 2 En las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, determinar la solución particular:

1. 2.

dy dx

dy



x y

x

2



x

1 y

4.

 y  0   1

;

5.

1

,  y(1)  1 y2 1 dy  x x  e ; y 0   1 3. 1  e  y  dx dx



6.

 y

1

dy dx





2

x y'

5 x



4



x

3x

1 2





y

2



0 ; y 0 1 

2 , y(1)  4

 y

 xdy  (2 x  1)e dx  0; y 1  2

NIVEL 3 1. La tasa de descomposición de radio radiactivo es proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo. La vida media de radio radiactivo es de 1599 años. Si en la actualidad se tiene 250 u de radio radioactivo. ¿Qué cantidad permanecerá después de 50 años? 2. En una reacción química, un compuesto se transforma en otro a una tasa proporcional a la cantidad no cambiada. Si inicialmente existen 40 gramos del compuesto original, y permanecen 35 gramos después de 1 hora. ¿Cuándo se transformará 75% del compuesto? 3. En un cultivo de levadura, la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas. Al inicio se tiene 25 gramos de levadura. ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 15 horas, con la misma rapidez de crecimiento? 4. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95°C, se enfría y llega a 80°C en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21°C. Determine en qué momento el café estará a la temperatura ideal de 50°C. 5. Un termómetro se lleva desde una habitación a 72°F hacia el exterior, donde la temperatura es 20°F. La lectura cae a 48°F después de 1 minuto. Determinar la lectura del termómetro después de 5 minutos.

6. El Sábado 08 de Noviembre del 2014 a las 7:00 A.M. un conserje de seguridad encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y  pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de. Enfriamiento de Newton, ¿cuál fue la hora de la muerte?

Referencia bibliográfica

C DIGO 515.35/ EDWA/E 

515.35 ZILL/E 2007

AUTOR

T TULO

 EDWARDS, C.H   Ecuaciones diferencial y problemas con valores de frontera.

ZILL, Dennis G.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 41

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2

INGENIERÍA

SEMANA 8 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2| ORDEN HOMOGENEAS 5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

42

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN. ED de BERNOULLI ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1° ORDEN Una ecuación diferencial lineal de 1° orden tiene la forma: los siguientes pasos:

    = ()

. Para resolver seguimos

  () = ()  ∫()  =  ∫()  ∫()() = ∫() ()  [∫()] = ∫() ()

1. Escribir la ecuación diferencial lineal de primer orden en la forma : . 2. Multiplicamos a la EDL por el Factor Integrante : , de la siguiente manera: 3. Por la derivada del producto de funciones se tiene :

4. Integrando resulta:

∫ () = ∫ () ()   =  −∫() ∫() ()  −∫()

5. De donde se obtiene la solución:

PROBLEMAS DE MEZCLAS

 () = (  )     ()  =  (0) =   () = ()()

VOLUMEN de SOLVENTE en el tiempo : CANTIDAD de SOLUTO en el tiempo :

 con

CONCENTRACIÓN de SOLUTO en el tiempo :

ECUACI N DIFERENCIAL DE BERNOULLI

  () = () −  =   = (1 )− 

La ecuación diferencial de Bernoulli tiene la forma: esta ecuación hacemos el cambio de variable:

Lo que origina la ecuación:

, con

 ≠ 0,1

. Para resolver

  (1)() = (1)()

  que es una Ecuación Diferencial Lineal

de 1° orden, resuelta anteriormente.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

43

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2

INGENIERÍAS

UNIDAD 02: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN SESIÓN 8: E.D.O LINEALES DE ORDEN HOMOGÉNEOS

NIVEL 1 1. Indicar cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales son ED Lineales de 1° orden: Ecuación Diferencial

1. 2. 3.

¿Es ED lineal de 1° orden? ¿Por qué?

    = 

3  2 = 5   3    = 0   2 = 5 )    (  =     3 = 

4. 3 5. 6.

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

1.

  2 = 5

2.

3

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

44

   () = 

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2

1.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: a)

 = (  )  

   3 =  −   = 0   2 2   =        2  = − ′  +  =      =   =(  1) 3   2 =      =  2    =  −   3 = −   3 = 

 b)

)     = 0 (1   =     =     2 =     =    2 =   2     =   ln    +  =        =     −  = −      =      =   8   =  √ +

g) h)

c)

i)

d)

 j)

e)

k)

f)

2. a)  b) c) d) e) f) g)

l)

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli: h) i)  j) k) l)

m) n)

NIVEL 3 1. Un depósito tiene 400 litros de agua donde se han disuelto 50 gramos de sal. Se ingresa una solución a una tasa de 3 litros/min con 2 gramos de sal por litro. Y sale la mezcla a una razón de 4 litros/min. Calcular la cantidad de sal en el instante .



2. Se disuelven inicialmente 50 lb. de sal en un tanque que contiene 300 galones de agua. Se bombea salmuera al tanque a la razón de 3 gal/min; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min?, ¿Cuánta después de un periodo largo?

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

45

FACULTAD DE INGENIERÍA

3. Un tanque contiene 200 galones de agua en los que están disueltos 40 lb de sal. Al tanque entran 5 galones de salmuera por minuto, cada una contiene 2 lb de sal disuelta, y la mezcla cuya uniformidad se mantiene agitándola, sale a la misma razón. Encontrar la concentración de sal  que hay en el tanque en cualquier tiempo t.

()

4. Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte dentro del tanque, agua que contiene ½ libra de sal por galón a una velocidad de 2 gal/min y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Después de 10 min se para el proceso y se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 gal/min, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 min. 5. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de 1 lb/gal, a razón de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de 2 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo.  b) Determine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcanza el volumen total del tanque.

Referencia bibliográfica # 1

Código UPN-L 515 STEW/C2008

2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

AUTOR

TITULO

James Stewart

Cálculo de una variable

515.35

Cornejo,

Ecuaciones

CORN

Villalobo,

Diferencial

Quintana

aplicaciones

46

Pag. 524 --549

586-892

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2

INGENIERÍA

SEMANA 9 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS EDO LINEAL DE 2° ORDEN HOMOGENEAS HOMOGENEAS Y APLICACIONES

APLICACION

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

47

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

EDO LINEAL DE 2° ORDEN ORDEN HOMOGENEAS HOMOGENEAS Y APLICACIONES DEFINICIONES PREVIAS

MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO Es un movimiento que se genera imaginariamente al unir bloque de masa m a un extremo de un resorte, fijando el otro extremo, y moverse en un medio resistente al desplazamiento, el modelo matemático que se genera es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con coeficientes constantes de la forma:

 ay''  by'  cy  0 ......... ............ ...* 

 Donde : a: Masa del bloque.  b :Constante :Constante de resistencia resistencia al movimiento. movimiento. c : Constante de elasticidad del resorte. Obs: Al resolver resolver la ecuació ecuación n diferenci diferencial al * se obtiene obtiene la osición osición del blo ue

x en cual cual uier instante instante x

RESOLUCION DE UNA ECUACION ECUACION DIFERENCIAL DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES. ............ ..*  , Sea la EDO de 2do. orden homogénea:  ay''  by'  cy  0 ..........

Para resolver (*) se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.- Escribir le ecuación característica de (*)  am 2.-

2



bm  c  0 ............ Ecuacion caracteristica de (*)

Calcular el discriminante discriminante de la ecuación característica 2

   b  4ac

3.- Analice el resultado del discriminante (para determinar el tipo de raíces de la EC) Se presentaran tres casos posibles: a) Si   0  entonces la EC tiene dos raíces reales diferentes: m 1 y m2 , la solución de la EDO es es  y  x   C1e

 C em x

 m1 x

b) Si

0

2

2

entonces la EC tiene dos raíces reales m 1 = m2=m , la solución de la EDO es

 y  x   C1 e

 mx



mx

C2 xe

la EC tiene dos raíces complejas conjugadas  m1 la solución de la EDO es

c) Si

  0  entonces

C

cos  x   C2 sen  x  

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48

 y  x   e

 x

1





i

y m2





i

 FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA

CÁLCULO 2

UNIDAD II: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1° ORDEN Y 2° ORDEN HOMOGENEAS EDO LINEAL DE 2° ORDEN ORDEN HOMOGENEAS Y APLICACIONES APLICACIONES

Notas : 1. Para determinar los valores de las raíces m 1 y m2 podemos utilizar cualquier método de  factorización,  factorización, en muchos muchos casos casos es mas practico practico utilizar utilizar el método método del aspa simple. simple. 2.  y  x   es llamada Solución

General (SG) de la EDO de 2do. orden homogénea.



3.  En los problemas de aplicación, es común considerar a la solución general de la forma  y g t

4.  Los coeficientes coeficientes C 1 y C 2 que aparecen en la SG son llamados coeficientes indeterminados. 5. Cuando una EDO de 2do. orden homogénea tiene asociada dos condiciones:  y  x0  y

 y'  x0  , se dice que que es una EDO EDO de 2do. orden orden con condicione condicioness iniciales (CI). (CI). 6.  En una EDO EDO de 2do. orden orden homogénea homogénea con CI es posible posible determinar determinar los valores C 1 y C 2. 7. Cuando se conocen los valores C 1 y C 2., La SG se convierte en Solución Particular (SP) de la EDO, y se denota por  y p  x  o  y p  t 

NIVEL 1 Identifique escribiendo verdadero (V) o falso (F) si es una EDO de segundo orden homogénea con coeficientes constantes

I.

Ecuación

2

9  1212  4′4′ = 0  y'  y''  2 x  0;

12

   4Ecuación   29 29 = 0;0;

3

7 y'' 

13

 y''

4

 y''  y'

5 6

     9 = 0

14 15 16

8 r '  r ''  16 r

7

 y'  4 y''  2 y  0;

17

 y'  9 y  3  0;

8

 y''  4 y'  4 y 1  0;

18

 y''  36 y  2 y'

9

 yx'  4 yx'' 2 yx  0;

19

 y''  9 y  9  0;

10

5 y'  2 y''  1  0;

20

 z''  36z  z

1

y'  2 y x  0 ;

 y'  2 y y''

 y''



36 y





0;

y'

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

VoF 11

49

 y'  2 y  x 

2



cos x



VoF 0;

0; 

0 

0;

 y'' 16 y  senx senx  8 y'





0;

0;

FACULTAD DE INGENIERÍA

II. Sea  ay''  by'  cy  0 una EDO de 2do. orden homogénea , identifique sus coeficientes

EDO

1 2 3

9   12124  29294′4′==0;0

4

 y'  2 y y''

5 6

8 r '  r ''  16 r

 y''

7

 y'  4 y''  2 y  0;

8

 y''

9

 y''  9 y  9  0;

 y''  y'



0;





0;

y'



0;

 z''  36z  z

10



0;

III.Determine III. Determine la ecuación característica (EC) y calcule su discriminante (

EDO

2 3

9   12124  29294′4′==0;0

4

 y'  2 y y''

5 6

8 r '  r ''  16 r

 y''

7

 y'  4 y''  2 y  0;

8

 y''

9

 y''  9 y  9  0;

1

 y''  y'





36 y



2

   b  4ac ):

Ecuación Característica (EC)

Discriminante (  )

0



0;



0;

y'



0;

 z''  36z  z

10

 c

0



36 y



 b

 a



0;

IV.Determine IV.Determine y escriba que tipo de raíces tiene la EC asociada a cada EDO de 2do. orden homogénea. Obs: Tomar en cuenta el resultado del discriminante del ejercicio anterior, además: RRD = Raíces Reales Diferentes; RRI = Raíces Reales Reales Iguales; Raíces complejas y conjugadas (RCC) En los ejercicios que no necesita el discriminante para calcular sus raíces, puede obviar dicho paso.. EDO

1 2 3

9   12124  29294′4′==0;0;0

4

 y'

5 6

8 r '  r ''  16r

 y''

7

 y'  4 y''  2 y  0 ;

8

 y''

9

 y''  9 y  9  0;

10

 z''  36 z  z  0 ;

 y''  y' 

2







RRI

RRCC

0

y y'' 

36 y

RRD

2

   b  4ac





0;



0;

y'

0;

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

50

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 2 1. Calcule las raíces M 1 y M2, luego escriba la SG de la EDO de 2do. orden homogénea. EDO M1 M2 Solución General (SG) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. D e t e 1 r  m2 i n3 e 4 l 5 o s 6

4    = 0    36 = 0    9 = 0      6 = 0    8  16 = 0    2   = 0 4   4  3 = 0 94  126  9 ==00 16   24  9 = 0 EDO

9   12  4 = 0    6  9 = 0    4  4 = 0    4  29 = 0    4  4 = 0 4 y ' ' y '  0;

 

 y x0



y0

(0) = 2, (0) = 0 (1) = 2 (0) = 5 (0) = 4  y( 0 )



1

 y'  x0 



y0 '

C1

C2

 

SP

y(x)

 Y p

(0) = (0) = 2 (1) = (0) = 5 (0) = 4 −1

−1

 y'( 0 )



1

c7  y( 0 ) 1  y'( 0 ) 1  y ' ' 36 y 0 o e8  y( 0 ) 1  y'( 0 ) 1  y ' ' y ' y  0; f   x''  10 x'  16 x  0;  x( 0 )  1 /  2  x'( 0 ) 0 i 9 c ientes C1 y C2 y la SP sujetas a las condiciones iniciales indicadas 













DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

51

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 3 Determine la EDO de la forma  my'' 

y'  ky  0  que modela a cada situación, donde m= masa;

=Constante de amortiguamiento ; k= Constante del resorte. Complete el cuadro adjunto :

A) Una masa de 20 g estira 5 cm un resorte. Suponga que la masa también está sujeta a un amortiguador viscoso cuya constante de amortiguamiento es de 0.4 N.s/m. Si se tira hacia abajo la masa 2 cm más y luego se suelta, encuentre su posición en cualquier instante a) Recolección de datos y modelado m k  y  x0  y0 

 b)

 y'  x0 

Calculo para hallar la EG y la EP EC M1 M2 SG 

 y g



EDO de 2do. orden homogénea

y0 '

C1

C2

SP 

 y  p

B) Una masa de 1 kg está unida a un resorte de constante 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine la posición de la masa en cualquier instante si: a. La masa se suelta partiendo del reposo a 1 m debajo de la posición de equilibrio.  b. La masa se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad de 10 m/s hacia arriba C) Una masa de 1 slug estira un resorte cuya constante es de 5lb/ft. Suelta la masa a 1 ft debajo de la  posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo, el movimiento se da en un medio cuyo amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento.  Nota: slug, lb y ft son unidades en el sistema inglés para masa, fuerza y longitud respectivamente. D) Una masa de 100 g alarga 5 cm un resorte. Si la masa se pone en movimiento desde su posición de equilibrio con una velocidad hacia debajo de 10 cm/s y no hay resistencia del aire (no hay amortiguamiento), determine la posición de la masa en cualquier instante. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Código UPN-L 1 2

515 STEW/C2008 515.35 CORN

AUTOR

TÍTULO

James Stewart

Cálculo de una variable

Cornejo, Villalobo, Quintana

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

PÁGINAS 524 –549 586-892

Ecuaciones Diferencial aplicaciones

52

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CÁLCULO 2

INGENIERÍA

SEMANA 10 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. APLICACIONES

APLICACION

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53

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C LCULO 2

INGENIERÍA

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. APLICACIONES DEFINICIONES: FUNCION DE VARIAS VARIABLES Se dice que f es una función de varias variables, si  f

:

n

D



; n=2,3,4,…

Ejemplos :

1.  f : D 

2

2.  f : D 

3

3.  f : D 

4

4.  f : D 

2

5. g : D 

3

/  Z









f  x, y  

sen  xy   x 2



y2

/

W  f  x y z   sen  xy   e

/

U

,



 x  z

,

f  x, y , z , w   x²

  /  Z  f  x , y  





sen  x  y   e x  z



xz  x  w

y²   9

 x

  / W= g  x,  y, z 

 x 

9



Observaciones: 1.- El dominio de una función  f : D 

 x ² n



 y ²





 z ²

 es un subconjunto D del conjunto de partida

que hacen posible la existencia de la función f, el rango es un subconjunto del conjunto de llegada formado por todos las imágenes f. n

2.- La grafica de una función  f : D  es decir: Graf

 f    a, b  

n 1

n



 es el conjunto de puntos (a,b) / b=f(a),



/ b  f  a  , a  D

2

 3.- Una de las formas de visualizar la gráfica de una función  f : D  es asignando diferentes valores al rango para poder intuir el co mportamiento de la función y hacer el  bosquejo respectivo, es decir las gráficas de  f  x, y   k; k   nos dan la idea para

graficar  Z



f  x y . ,

4.- Las curvas  f  x, y   k; k  función  Z



son llamadas curvas de nivel o líneas de contorno de la

f  x y ,

5.- Las líneas de nivel se utiliza para hacer levantamientos topográficos en lugares inaccesibles.

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54

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 1 1. En los siguientes ejercicios, determine las variables independientes (VI), dependientes (VD) y en que espacio se encuentra el dominio, rango y la grafica de las siguientes funciones:

Función 1

 Z 2



3



4  Z

5

 x 2





Rango

Grafica

 x  z

,

f  x y z w   sen  x  y   e x ,

Dominio

y2

W  f  x y z   sen  xy   e U

VD

sen  xy 

f  x, y   ,

VI

,

f  x, y 



z

,

 x²

W  g  x , y , z 





xz  x  w

y²   9

 x

 x 9   x²

 y²  z² 

2. Tome solo los valores posibles para escribir las curvas de nivel correspondientes a k = -1, 0, 1, 2, y 3 FUNCION FUNCION FUNCION FUNCION K i  x, y  xy x  f  x, y   x²  y²   9  g  x , y  9 x² y²   h  x, y  y 







2



2



FUNCION   j  x , y 

1 

 x



y

-1 0 1 2 3 3. Represente las curvas de nivel del cuadro anterior y muestre un bosquejo de la grafica de la función Curvas de nivel en el plano XY( Para  z  f  x, y  ) Curvas de nivel en el Espacio XYZ Para z f  x, y  

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55

FACULTAD DE INGENIERÍA

Curvas de nivel en el plano XY( Para

 z





g x, y

)

Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para  z





g x, y

)

Curvas de nivel en el plano XY( Para  z  h  x, y  )

Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para  z h  x, y  )

Curvas de nivel en el plano XY( Para  z  i  x, y  )

Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para  z

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS



56



i  x, y  )

FACULTAD DE INGENIERÍA

Curvas de nivel en el plano XY( Para  z



j  x, y )

Curvas de nivel en el Espacio XYZ( Para  z

4. Halle dominio y rango de las siguientes funciones: Dominio y Rango FUNCION FUNCION 9 x²  g  x , y   f  x, y   x²  y²   9 

Dominio Rango Dominio y Rango

FUNCION i  x, y 





FUNCION 

y² 

FUNCION

xy

  j  x , y 

1 

 h  x, y 



y2



x2

FUNCION



 x

j  x, y  )



y

k  x, y  

x2



y2

Dominio Rango

NIVEL 2 Función :  z 

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

57

f ( x, y )  x2



y2



4

FACULTAD DE INGENIERÍA

Función :  z



f  x, y  

x

2



y

2

Grafica Halle el dominio, rango y grafica de las siguientes

Grafica

funciones:

Función :  z



f  x, y 



1/

x



y   x > y

Grafica

Dominio Dominio

Función :  z f ( x, y) Dominio 



Rango Rango

2 2 16 4 x y Rango 



Grafica

Función :  z



f  x, y 

Dominio

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS



2



x2

Rango

58

FACULTAD DE INGENIERÍA

Función :  z

Grafica



f ( x, y )  2

Grafica

Dominio

Dominio

Rango

Rango

Función :  z 

f ( x , y )  x2



y2

Grafica

NIVEL 3 I.- Con la ayuda de algún software matemático, trace la gráfica de las siguientes funciones 1.

 f ( x, y )

2.

 f ( x, y)

3.

 f  x, y   2  x

4.

 f  ( x,  y )   x 2

5.

 f  x, y  

6.

 f  x, y  

2



x2



y2



x2

2



x²  y²   9

7.

 f  x, y   9  x²  y² 

8.

  f  x, y   y  x

9.

  f  x, y 

2

10.  f  x , y 



xy

 x

14.   f  x, y  

11.  f  x , y  



y

sen  xy   x

2



y

2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Rango

12.  f ( x, y)  ( x 13.  f   x, y  

2

1 

Dominio

y2

15.  f  x , y   16.  f ( x, y )

59



2

1 x2  y2

2



y )e



4 x

 x²   y ²  1  x²  y²   9  x

 x 9   x²  y² 

sen  x  sen  y 

FACULTAD DE INGENIERÍA

…Puede utilizar un Graficador online …. >> Graficador online Ejemplo: Grafique la siguiente función :  f ( x, y )



sen  x  sen  y 

>> Si utiliza el WolframlAlpha

>> Si utiliza el Geogebra

1.

Producción. Empleando  puede producir Q( x, y)

 x   trabajadores

calificados y

 y

 trabajadores no calificados, un fabricante

 10x 2 y  unidades por día.

Actualmente hay 20 trabajadores calificados y 40 no calificados en el trabajo. a) ¿Cuántas unidades se producen actualmente cada día?

 b) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1   trabajador calificado más a la actual fuerza laboral? c) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador no calificado más a la actual fuerza laboral? d) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador calificado y además 1 trabajador no calificado a la actual fuerza laboral? 2.

Un fabricante estima que su función de producción es f(x,y)=100x 0.6y0.4, donde x es el número de unidades de trabajo e y el de unidades de capital. Comparar el nivel de producción cuando x = 1.000 e y = 500 con el nivel de producción para x = 2.000 e y = 1.000.

3.

Volumen. Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

60

FACULTAD DE INGENIERÍA

4.

Costo de producción. Una caja rectangular, abierta por la parte superior, tiene  x  pies de longitud;  y  pies de ancho y  z  pies de alto. Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir los lados cuesta $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo de construcción de la caja en función de

5.

 x y z ,

,

.

Distribución de temperaturas. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x,y) de una  placa circular de 10 metros de radio es T = 600 –  0,75x² - 0,75y² donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.

6.

Un sólido rectangular en el primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto ( x, y , z ) en el plano  x  3 y  2z  6 . a) Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de las dimensiones de la  base. Determine el dominio de la función.  b) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades? c) Obtenga un modelo matemático que exprese el área total de la superficie del paralelepípedo, como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función.

Referencia bibliográfica

1 2

Código UPN-L

AUTOR

TÍTULO

PÁGINAS

515 LARS 2008 515 THOM 2027

Larson Ron Thomas

“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”

895 - 896 973-974

CÁLCULO 2

INGENIERÍA

SEMANA 11 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

61

FACULTAD DE INGENIERÍA

C LCULO 2

INGENIERÍA

DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

62

FACULTAD DE INGENIERÍA

DERIVADAS PARCIALES Definición de derivada parcial en un punto: Sea f: A



 R, con A

⊂ ℝ

y sea (a, b) un punto

interior de A. Se denomina derivadas parciales de f respecto a las variables “x” e “y” en el punto (a, b) a

los siguientes límites cuando existan y sean finitos:

Otras notaciones para las derivadas parciales son:

C LCULO 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

63

INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

La ecuación de este plano tangente es:

Explícita

 z –  z0 = f  x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f  y ( x0 , y0 )( y − y0 )

Implícita

F  x (P)( x − xo ) + F  y (P)( y − yo ) + F  z(P)( z − zo ) = 0

Donde: S está dada implícitamente por F( x, y, z) = 0,

RECTA NORMAL Se llama recta normal ( L N ) a una superficie S con ecuación  z =  f ( x,  y), a la recta que pasa por el punto P( x0, y0, z0) y es perpendicular al plano tangente.

C

Vector

 L





 L N : ( x, y , z )  ( x0 , y 0 , z 0 )  t f x (x0 , y 0 ), f y (x 0 , y 0 ),  1 ; t   R

Simétrica  x x0

y



 f x ( x0 , y0 )





y0

f y ( x0 , y0 )

z 



z0

 x

1



C LCULO 2 UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

( x0 ,y0)

INGENIERÍA

SESIÓN 11: DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

64

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 1 IV. Calcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones 1)

 f ( x, y)  x4  y3  x3 y 2  2 xy  x  6 y

3)  y



x

3

,

x



2,

y



0

2)  f ( x, y)  xe

4)

x 2 y

2

 f ( x, y, z)  3 x yz

3



xyz  3 x  z

V. Evalúa las derivadas parciales  f x ( x, y) y  f y ( x , y )  en el punto P0 ( x0 , y0 ) indicado. 1.

 f ( x, y )  x 2  3xy  y  1 ; en el punto (4, -5).

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

65

FACULTAD DE INGENIERÍA

2.  f ( x, y )  xe

2y





ye



x



2

xy ; en el punto

P0 (0,1)

3.  f (x, y) = 2x3 + 2y3 –  x2 –  y2 –  2xy; en el punto (1; -1)

NIVEL 2 1. Calcula las segundas derivadas parciales (incluyendo las derivadas parciales mixtas.  f ( x, y)  5 x4 y3



2 xy

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

 f ( x, y) 

66

 x  1  y  1

FACULTAD DE INGENIERÍA

2

 f ( x, y)  x ye

 f ( x, y )

x



y sen(xy )

2. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie  z = f ( x, y); en los puntos que se indican: a)

 z



x

3

2



x y

4

 en el punto (2, 1, 4)

 b)  z  x  y  2 xy  2 y  2  en el punto P (1, 2, 3). 2

3. Halla

 z



la

 f   x,  y 

2

ecuación 

6  x  x 



del 2



plano 2

tangente

2 y , en el punto 1, 2,

y

de

la

recta

normal

al

paraboloide

 4 .

4. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide z

2

2

x2  2 y 2

 12

en el punto 1,  1, 4  .

NIVEL 3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

67

FACULTAD DE INGENIERÍA

5. Una lata de bebida gaseosa es un cilindro de altura  H  y con un radio de  R centímetros. Su volumen está 2

dado por la fórmula V   R H  . Una lata en particular mide 12 cm de alto con radio de 3 centímetros. Utilice cálculo para estimar el cambio de volumen que resulta si el radio aumenta en 1 cm mientras que la altura permanece en 12 cm. 

6. Cálculo de la pendiente de una superficie en la dirección y. El plano  x  = 1 corta al paraboloide  z



x

2



y

2

 en una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la parábola en (1, 2, 5).

3. Una compañía que fabrica computadoras ha determinado que su función de producción está dada por 2

P( x; y)  500 x  800 y  3 x y  x

3



 y

4

4

, donde  x es el tamaño de la fuerza de trabajo (en horas de

trabajo por semana) e  y  es la cantidad de capital (en unidades de S/. 1000) invertido. Encuentre P x ( x;y) y P y ( x; y) cuando x = 50 y  y = 20 e interprete los resultados.

Referencia bibliográfica 1 2

Código UPN-L

AUTOR

TÍTULO

PÁGINAS

515 LARS 2008 515 THOM 2027

Larson Ron Thomas

“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”

909- 916 984-996

CÁLCULO 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

68

INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA

SEMANA 12 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES

C LCULO 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

69

INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES

TEOREMA DE DERIVADA DIRECCIONAL Si  z = f(x, y) es función diferenciable de  x  y de  y, Si el vector unitario u forma un ángulo Ө con el eje entonces  f   tiene derivada direccional en un punto  positivo X, entonces podemos escribir  , u=(cosӨ , senӨ)  P( x , y ) ,en la dirección de cualquier vector unitario u 0

0

= ( a, b)

 Du  f  ( P)   f  x ( P)a   f  y ( P)b

 Du  f ( P)   f  x ( P) cos    f  y ( P)sen 

VECTOR GRADIENTE Para una función de dos variables definida por z=f (x,y):

Para una función de tres variables definida por w=f(x,y,z)

  f     f   f   f  ( P)   ( P), ( P), ( P)   y  z   x  

  f     f   f  ( P)   ( P), ( P)   y   x  

LA DERIVADA DIRECCIONAL EN TÉRMINOS DEL VECTOR GRADIENTE

Propiedades del vector gradiente

 Du  f  ( P)   f  ( P). u CÁLCULO 2

INGENIERÍA

UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

70

FACULTAD DE INGENIERÍA

SESIÓN 12: DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE. APLICACIONES

NIVEL 1 a)

Calcula la derivada direccional de  f  en el

direccional de la función  f  ( x,  y)   x

 punto P (1,2) en la dirección de PQ . Si:

 f  ( x,  y)   x

2



3  xy  y ;

P (1,2) ,

Q ( 2,5)

c) Calcular la derivada de  f  ( x,  y )  1   x

b) Calcula, usando las derivadas parciales, la derivada

2

 2y2

en el punto P(1,-1) y la dirección v = (3,4).

2

 3xy

2

en el

punto P (1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.

d)

Calcula, usando las derivadas parciales, la

derivada direccional de la función  f  ( x,  y)   x

2



y

2

en el punto P (1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido positivo del eje OX .

NIVEL 2 1. Calcula en cada caso, el gradiente, la dirección de máximo crecimiento y el valor máximo de la derivada direccional de la función en el punto que se indica:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

71

FACULTAD DE INGENIERÍA

a)  f ( x, y)  x  y 2

c)  f ( x, y) 

x

2

,

P (2,1)

b)  f ( x, y) 

y  x

2



2

 x  y

 , P (2,1)

d)  f ( x, y, z)



y

 x



ze

2

 , P (1,1)

cos y  , P (0,

  

4

,1)

2. Encuentra la dirección en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más rápidamente  posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra el valor mínimo de la derivada direccional en el punto indicado. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

72

FACULTAD DE INGENIERÍA

a)  f ( x, y)



20 x2 



2

y ;

c)  f ( x, y )  cos(3x  y );

P





( 1, 3)

b)

  

d)





P( , ) 6 4

 xy

 f ( x, y )  e ; P(2,3)

 f ( x, y) 

 x  y  x  y

;

P  (3,1)

NIVEL 3 1. La

temperatura

T (x , y , z ) 

es

T

60  x

2



y

2



DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

z2  3

grados

en

cualquier

punto

( x, y , z ) en

el

espacio

 R

3

y

, la distancia se mide en pulgadas.

73

FACULTAD DE INGENIERÍA

a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2, 2)  en la dirección del vector

i

2 

3j

k  .

6

b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, 2, 2) .

2.

Considere la placa rectangular que se muestra en la figura siguiente.

La temperatura en un punto ( x , y )  de la placa está dada por: T ( x,  y)  5  2 x 2



y

2

a) Determine la dirección en la que se debe mover un insecto que está en el punto (4,2) para que se enfríe lo más rápido posible. Observe que (0,0) es el punto más frío de la placa. b) Encuentre la trayectoria que el insecto (que busca el frío) debe seguir hacia el origen, partiendo del punto (4,2).

Referencia bibliográfica 1 2

Código UPN-L

AUTOR

TÍTULO

PÁGINAS

515 LARS 2008 515 THOM 2027

Larson Ron Thomas

“Cálculo 2” “Cálculo en varias variables”

933- 950 1006-1014

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2018-1

UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 74 SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SIN

UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA INCREMENTOS, DIFERENCIAL TOTAL Y LA REGLA DE LA CADENA

 = (, )  →   = (, )    : ⊂  ∆ ∆   = (, ) ∆ = ( ∆, ∆)(,)

Definición [Incremento en una función de la forma

 ]

Una función dos variables es aquella  tal que , y DE considerando , 75 DEPARTAMENTO DEde CIENCIAS FACULTAD INGENIERÍA a como los incrementos de  respectivamente, se define el incremento para  en cualquier punto  como:

(,) ∈ 

Definición [La diferencial total en una función de la forma

z =(,= ∆) ∆= ∆∆

Si son

,y  y

,

  =     

 como los incrementos de  . Y la diferencial total para

 es: 

, donde  f   es una función

, donde

de

,

Sea

. Si

es

una

dt



w

dx

x

dt



, donde  f   es una función

que las derivadas parciales de primer orden

función

∂ x /∂s, ∂ x /∂t , ∂y /∂s y ∂y /∂t   existen, entonces

diferenciable de , y

dw

 = (,) 

derivable de  e  .  x=g(t,s) y y = h(t,s) son tales

y  son funciones derivables

entonces

∂w /∂s y ∂w /∂t  existen y están dadas por

w

dy

w

y

dt  

s



w x x s



w y y s

 y

w t

CÁLCULO 2



w x x t

SESIÓN 13: DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA

76



 w y  y t  

INGENIERÍAS

UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS



REGLA DE LA CADENA: DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

 = (,)   = (),  = ℎ()  ℎ   derivable de  e

]]

 respectivamente, entonces las diferenciales

REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea

 = (, )

FACULTAD DE INGENIERÍA

NIVEL 1:

4. Halle la diferencial total de cada función:

1. Encuentre  z

 y



2



a)

para la función polinomial

 z

 xy  ¿cuál

 f ( x, y) = 3 x Cos y  5 x 2 y 4 3

 b)  f ( x, y, z ) = x

es el cambio en la función

de (1,1)  al (1.4,1.3) ?

5. Calcula

dz dt 



3 y 2  xz 3 2

3

2

si  z = x  y ; x  3t  ;  y  t 

6. Dada la función  z = 2 xy  donde  x  s 2  t 3 ;  y

2. Encuentre  z



 x

2





2t

 3s

; hallar

  z s

z ;

 t 

.

para la función polinomial

 z

 xy  ¿cuál

es el cambio en la función

de (1,1)  al (1.2,0.7) ?

NIVEL 2: 1. Se miden las dimensiones de una caja rectangular con una cota de error de ± 0.1

3. El volumen del cono truncado que se muestra en V 

la 1 

  h

3

figura

r 

diferencial

2



rR

total

  R

2

del



de

abajo

es

.

Determine

el

volumen

del

mm. Las medidas, en centímetros, son 50, 20, 15. Mediante la diferencial estime el error al

cono

truncado.

calcular el volumen de la caja.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

77

FACULTAD DE INGENIERÍA

2. El radio de la base y la altura de un cono

cm, respectivamente. ¿La tensión aumenta o

circular recto miden 20 cm y 50 cm

disminuye?

respectivamente, con un posible error en la medición de 0,01 cm. Utilice diferenciales

2. Un corredor va por una pista circular de 40

para estimar el error máximo y el error

metros de radio a razón de 8 m/seg. En el

porcentual en el cálculo del volumen del

centro de ésta hay una luz, la sombra del

cono.

corredor se proyecta sobre un muro recto tangente a la pista en el punto de partida.

3. La utilidad mensual en nuevos soles de una

¿Con qué rapidez se mueve la sombra cuando

empresa que comercializa un solo producto es dada por: U ( x,  y )



1 50

( x 2



lleva recorrido1/8 dé la pista?

3. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de

 xy ) donde x 

largo, 5 pies de profundidad en un extremo y

representa el número de unidades vendidas

12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un

en Lima e y   el número de unidades vendidas

plano inclinado. Si la piscina está llenándose

en Arequipa. Si en la actualidad la empresa

con un caudal de 20 pies3 /seg, ¿a qué

vende 200 unidades en Lima y 300 unidades

velocidad se está elevando el nivel de agua

en Arequipa, estime el cambio aproximado en

cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo

la utilidad de la empresa si las ventas en Lima

más profundo?

4. Volumen y área superficial Los dos radios del

disminuyen en 1%, mientras que en Arequipa

tronco

aumentan en 2%.

de

un

cono

circular

recto

se

incrementan a razón de 4 centímetros por N° 1

CÓDIGO

AUTOR

515 THOM

PÁGINAS

minuto y la altura se incrementa a razón de 12 centímetros por minuto (ver la figura).

Cálculo en Varias THOMAS

2007

2

TITULO

Hallar a qué velocidad cambian el volumen y

Variables

el área superficial cuando los radios son 15 y

515 LARS

LARSON, RON

2008

Cálculo 2

25 centímetros, respectivamente, y la altura es de 10 centímetros.

Referencia bibliográfica

NIVEL 3: 1. La tensión T en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura, es

T   mg

 R 2

2r 



R

2

, donde mg  es

UNIDAD 03: FUNCIONES DE

su peso constante. Determine el cambio aproximado en la tensión si R y r se

SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE V

incrementa de 4 cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9

ALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES QUE HAY QUE TOMAR EN CUENTA

Observación: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

78

 No todos los puntos críticos originan valores extremos. FACULTAD DE INGENIERÍA 2 2 Por ejemplo, la función  f ( x,  y) =  y  –  x tiene un único  punto crítico P(0, 0), pero  f (0, 0) = 0 no es un valor extremo de  f   puesto que en una vecindad de 0, la

PUNTO CRÍTICO

 

Sea definida en una región abierta R que contiene ( x 0 , y 0). El punto ( x 0 , y 0) es un punto crítico de si se satisface una de las condiciones siguientes: • •

    ((,,),) = 0, ( (, ,) =) 0= 0  y

o

  no existe

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL Sea  f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región

abierta

 f x (a , b )



0

que

y

contiene

f y (a , b )



un

punto

(a,

b),

para

el

cual

0

Es decir, (a, b) es un punto crítico de f . Para buscar los extremos relativos de f , considérese la cantidad

d  f x x (a, b)  f y y (a, b)   f x y (a, b) 

2



Si d



0 y f x x (a, b)  0, entonces f  tiene un mínimorelativo en (a , b ).



Si d



0 y f x x (a, b)  0, entonces f   tiene un máximo relativo en (a, b)



Si d

 0, entonces (a, b,



Si





f (a , b )) es   un puntosilla

0, elcriterio nolleva a ninguna conclu sió n

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

79

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2

INGENIERÍAS

UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SIN RESTRICCIONES

NIVEL 1: 1. De los siguientes puntos (1,2), (1,-2), (-1,2), (-

NIVEL 2:

1,-2), (2,1), (-2,-1), diga ¿cuál de ellos no

4. ¿Para cuales valores de  k está garantizado

corresponde a ser un punto crítico para la

mediante el criterio de la segunda derivada

función

3

 f ( x, y)  x



2

3xy



15 x  12 y

que  f ( x, y )  x

?

2



k xy  y 2   tendrá:

a) En (0,0) un punto silla?

Justifique su respuesta

b) En (0,0) un mínimo local? c)

2. Determine los extremos relativos de las

criterio

de

la

segunda

derivada

no

permite, directamente, clasificar un punto

funciones:

a)

¿Qué ocurre en el caso en el cual el

 f ( x, y)  x  y 2

crítico de  f  ?

2

 b)

5. Un fabricante de artículos electrónicos

c)

 f ( x, y)  4 y3  x2 12 y2  36 y  2

d)

 f ( x, y)  2 x

e)

 f ( x, y)  e x

3

2



 y

y

2



determina que la ganancia o beneficio

P

(en

dólares) obtenido al producir  x  unidades de

9 x2  4 y  12 x  2

un reproductor de DVD y

2

y

unidades de

grabador de DVD se aproxima mediante el modelo



 P  x , y   8 x  10 y  0 .001 x

3. CONSTRUCCIÓN. Suponga que usted desea construir

una

volumen de utilizarán

caja

32 

tres

rectangular

con

diferentes.

material para los lados cuesta

cuadrado.

6. VENTAS AL MENUDEO. Una compañía



  por metro

son

      = 100     = 100  (,) = 

 produce unidades de la mercancía  y unidades de la mercancía . Todas las unidades se pueden vender en dólares por unidad de  y dólares por unidad . El costo (en dólares) de  producir estas unidades está dado por la función de costo conjunto . ¿Qué valor deben tener  y  para maximizar la utilidad?

las

dimensiones de la caja menos costosa?

 

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS



El

$1 $3 $5

¿Cuáles

2

ganancia máxima?

por metro cuadrado y el de la tapa cuesta metro

xy  y

una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la

cuadrado, el material para el fondo cuesta

por



. Halle el nivel de producción que proporciona

un

, en cuya construcción se

materiales

2

80

FACULTAD DE INGENIERÍA

10000

4. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con NIVEL 3:

extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.

1. Una empresa fabrica chocolates según la función

de

Q  x, y    x donde

 x 

3

3

y

3

3

producción

x

2



24 y

  es la cantidad de cacao e

 y

la de

leche empleadas para su fabricación. a) Calcúlese las productividades marginales en el punto 1 , 2  b) Hállese la producción máxima.

5. A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la figura adjunta. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 . Encuentre las alturas  x y  y de manera que el volumen del tanque sea un máximo.

2. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres

 

de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x +2y +3z = 6.

3. Un pedazo de latón de 24 pulg de ancho se dobla de manera tal que su sección transversal es un trapezoide isósceles (vea la figura) . Calcule  x y θ de manera que el área de la sección transversal sea un máximo. ¿Cuál es el área máxima?

Referencia bibliográfica N°

CÓDIGO

1

515 THOM 2007

2

515 LARS 2008

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

81

AUTOR

THOMAS

TITULO

Cálculo en Varias

LARSON, RON

FACULTAD DE INGENIERÍA

Variables Cálculo 2

PÁGINAS

CÁLCULO 2

INGENIERÍAS

UNIDAD 03: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 15: OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES C ON RESTRICCIONES NIVEL 1: 1.

2.

NIVEL 2:

Encuentre los valores extremos de

5. Rectángulo de mayor área en una

 (, ) = 3  + 4  − 3 sujeto a la

elipse

restricción ( − 1) +   = 25 .

multiplicadores

Sea  (, ) =   + 2  . Encuentre

determinar

los valores máximo y mínimo de la

rectángulo de mayor área que puede

función  (, )

inscribirse

restricción

 x

2



y

sujeto 2

1

a

la

.

use

  ⁄9 = 1

el

método

de

de

Lagrange

para

las

en

dimensiones

la

elipse

del

⁄16 

 con los lados paralelos a los

ejes coordenados.

6. Hormiga en una placa de metal la

 (,) (, =) 4 

temperatura en un punto placa de metal es

4  la

 de una

. Una hormiga camina sobre

placa

alrededor

de

una

circunferencia de radio 5 con centro en el origen ¿Cuáles son las temperaturas 3.

Emplee

el

método

multiplicadores

de

de

los

Lagrange

para

máxima y mínima encontradas por la hormiga?

determinar el máximo de  (, ) =

9 −   −   sujeto a la restricción

7. Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias

 +  = 3.

máxima y mínima de un punto de la 4.

Encuentre los valores máximo y

elipse

mínimo de  ( ,  , ) =  + 3  −

 x

  sujeto a



y

 x 

2



4y

2



4

a

la

recta

4.

 = 2  +  

7. Tanque de almacenamiento más económico su empresa debe diseñar un tanque de almacenamiento para gas líquido. Las especificaciones del

8000

cliente piden un tanque cilíndrico con

8. contener

extremos

de gas. El cliente

también quiere usar la menor cantidad posible de material para construir el tanque.

¿Qué

radio

y

altura

recomendarían para la parte cilíndrica del taque?

NIVEL 3: 9. Un

semicírculo

está

sobre

un

rectángulo (ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.

Referencia bibliográfica



CÓDIGO

1

515 THOM 2007

2

515 LARS 2008

AUTOR

THOMAS LARSON, RON

TITULO

Cálculo en Varias Variables Cálculo 2

PÁGINAS

semiesféricos,

que

debe

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