Calculo 1

 

CÁLCULO 1 UNIDAD I: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SESIÓN 5: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN - LINEALIZACIÓN Y APROXIMACIONES EJEMPLO Una importante empresa está produciendo una nueva línea de conservas, los que envasará en latas de forma de cilindro circular recto de 840 cc. Encuentre las dimensiones de la lata de modo que para hacerla se use la menor cantidad de material. Solución:  Solución:  Datos: Volumen Total = 840  840 cm3.

r

Busquemos una relación entre h y r, para ello usemos el dato del volumen:

 =  ℎ = 840 

V=840

ℎ =    

2r

Despejando h, se tiene:

h





h 

r  

Como lo que debemos minimizar es el área de la superficie de la lata:

2πr  

   = 2( ) +       = 2( ) + 2ℎ ℎ  Reemplazando h:

   = 2  + 2   

   = 2  +     ´  = 4 −  Derivamos e igualamos a Cero:    = 0    =  3√     ≈ 5.114   Resolviendo la ecuación se tiene: Simplificando

Reemplazando en h:

ℎ =   = 10,229  

Rpta: Para que el envase use la menor cantidad de material debe construirse un cilindro de 5,114 cm de radio 10,229 cm de alto.

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CÁLCULO 1 NIVEL 1:  1:  1.  1.  Completa:

 



Sea  una función continua y sea  un punto crítico:

′

a)  Si b)  Si

 para

′

 y

  para

, entonces

 es un punto……………… 

(,( (,())) es un   ′()   00 para  >  , entonces (,

2.  2.  Halle la LINEALIZACIÓN de   f ( x )  

 x3 

6

 en

 x

 

0

 



3.  3.  Determine la APROXIMACIÓN LINEAL de   f ( x) 

valor de

3.98

punto……………… 

  (2.01) 2 y úsela para aproximar   f   x  3 en  x   0

 

 



1y

 

úsela para aproximar el

 

4.  4.  Completa:



Sea f una función dos veces derivable en un intervalo :

 ′′() > 0 en , la ggráfica ráfica de  en   b)  Si   ′′ ()  < 0  en , la gráfica de  en   a)  Si

es cóncava hacia ………………………. 

es cóncava hacia ………………………. 

5.  5.  Sea la función

 () =  −  . Completa:

  Primera derivada:



  Puntos críticos:



  Intervalos de monotonía:

Creciente:



  Puntos extremos

Decreciente: Puntos máximos:



Puntos mínimos:

  Segunda derivada:



  Intervalos de concavidad:

Hacia arriba:



Hacia abajo:

  Puntos de inflexión:



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NIVEL 2 6.  Se desea fabricar cajas abiertas de piezas de cartón rectangulares de 50 cm de ancho por 80 cm de 6. 

largo, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible. posible.   7.  Una caja de base rectangular sin tapa tiene un volumen de 10 m 3. El  7.  El largo de su base es el doble de

su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado; el de los costados, cuesta $6 por metro cuadrado. Encuentre el costo de materiales para hacer la caja más barata.  barata.   8.   La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene 8.

() = 90 + 15 −0.6



 donde  es el tiempo transcurrido desde 1 de enero dada por la función  de 1990 contado en años. ¿Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?  ciudad?  Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?

9.  9.  Se encontró que la arista de un cubo es de 30 cm, con un posible error en

la medición de 0.1 cm. Utilice diferenciales para estimar el error, al calcular : a)  El volumen del cubo El área superficial del cubo. NIVEL 3 10.   Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay 10.

que conectar los extremos superiores de los postes mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable posible?

2 

1

  30 

11.   Un hombre está en un punto  A sobre una de las riberas de un rio recto que tiene 3km de ancho y 11.

desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea posible. Podría remar en su bote, cruzar el rio directamente hasta el punto C  y  y correr hasta B; podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C   y B, luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h y correr a 8 km/h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B  tan pronto como sea posible?

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12.   Se quiere construir un depósito de combustible en forma 12.

cilíndrica, cuya longitud fija debe ser de 6 metros, y el radio de la base es de 1,5 metros con un margen de error de 1,2 cm. Halle aproximadamente: a)  El error relativo porcentual al calcularse el área superficial del cilindro. b)  El error relativo porcentual al calcularse el volumen del cilindro. 13.  En un pueblo de la Selva, las condiciones climáticas y del medio ambiente han propiciado la propagación de una enfermedad. Los responsables del Ministerio de Salud estiman que después



de  días, el número de d e personas contagiadas es modelada por:

() =  15000  + 150  a)  Estime la variación en el número de personas contagiadas entre los días 100 y 102. Compare su respuesta con la variación exacta. b)  Considerando el resultado anterior, calcule aproximadamente el número de personas contagiadas después de 102 días.

Referencia Referenci a bibliográfica Código

1 2 3

Autor

PURCELL, EDWIN J. STEWART, 515.STEW/P.2007 JAMES LARSON, RON 515.15/LARS

515.33 PURC

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Título

Cálculo Diferencial E Integral Cálculo De Una Variable: Transcendentes Tempranas Cálculo

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Editorial

Pearson Educación Thomson Learning McGraw-Hill

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