Calcule El Volumen Del Solido Generado Al Girar Alrededor Del Eje ?

1. Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor del eje 𝑥, la región acotada por la parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 1 y la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 Sol: 𝑥2 + 1 = 𝑥 + 3 𝑥2 + 1 − 𝑥 − 3 = 0 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −1 2

2

2

𝑉 (𝑥 ) = ∫ (𝑥 + 3 − (𝑥 + 1))𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 𝑥 2 + 2)𝑑𝑥 −1

−1

2 1 1 = ( 𝑥 2 − 𝑥 3 + 2𝑥)| 2 3 −1 1 1 1 1 = (2)2 − (2)3 + 2(2) − ( (−1)2 − (−1)3 + 2(−1)) 2 3 2 3 8 1 1 = 2 − + 4 − ( + − 2) 3 2 3 8 1 1 =2− +4− − +2 3 2 3 12 − 16 + 24 − 3 − 2 + 12 27 9 2 = = = 𝑢 6 6 2

2. Encuentre el volumen del sólido que genera al hacer girar, en torno al eje x, la región acotada por la recta 𝑦 = 6𝑥 y la parábola 𝑦 2 = 4𝑥 Sol: 𝑏

2

2

𝑉(𝑥 ) = ∫ 𝜋 [(𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥)) ] 𝑑𝑥 𝑎

1 9

2

𝑉(𝑥 ) = 𝜋 ∫ [(√4𝑥) − (6𝑥 )2 ] 𝑑𝑥 0

1 9

= 𝜋 ∫ [4𝑥 − 36𝑥 2 ]𝑑𝑥 0

1

= 𝜋(2𝑥 2 − 12𝑥 3 )|09 1 2 1 3 = 𝜋 (2 ( ) − 12 ( ) ) 9 9 2 12 ) = 𝜋( − 81 729 18 − 12 = 𝜋 729 2 𝑉 (𝑥 ) = 𝜋 243

3. Encuentre el volumen del sólido que genera al hacer girar, en torno al eje x, la región acotada por la recta x - 2y = 0 y la parábola 𝑦 2 = 4𝑥 Sol: 1 𝑥 − 2𝑦 = 0 → 𝑦 = 𝑥 2 1 2 1 2 ( 𝑥) = 4𝑥 → 𝑥 = 4𝑥 2 4 2 2 𝑥 = 16𝑥 → 𝑥 − 16𝑥 = 0 𝑥 (𝑥 − 16) = 0 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 16 𝑏

𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥 )]2 𝑑𝑥 𝑎

1 2 𝑉(𝑥 ) = 𝜋 ∫ [(√4𝑥) − ( 𝑥) ] 𝑑𝑥 2 0 16

2

16 1 = 𝜋 ∫ [4𝑥 − 𝑥 2 ] 𝑑𝑥 4 0 1 3 16 2 = 𝜋 (2𝑥 − 𝑥 )| 12 0 1 (16)3 ) = 𝜋 (2(16)2 − 12 4096 )𝜋 = (512 − 12 6144 − 4096 = 𝜋 12 512 𝑉(𝑥) = 𝜋 3

4. Encuentre el volumen del solido generado al hacer girar la región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥 3 , la recta 𝑥 = 3 (en torno al eje 𝑥),𝑦 = 0 Sol: 3

3

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 3 )2 𝑑𝑥 ^ = 𝜋 ∫ 𝑥 6 𝑑𝑥 0

0

1 7 3 ( 𝑉 = 𝜋 𝑥 )| 7 0

1 (7)3 𝜋 7

𝑉= 𝑉=

343 𝜋 = 49𝜋𝑢3 7

5. Encuentre el volumen del solido generado al hacer girar la región acotada por la curva 2

𝑥 = 𝑦 3 , el eje, 𝑥 = 0 y la recta 𝑦 = 9 (en torno al eje 𝑦) Sol: 2

3

𝑥 = 𝑦3 → 𝑦 = 𝑥2 𝑏

𝑉 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 𝑎 9

2 2

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑦 3 ) 𝑑𝑦 0

9

4

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦 3 𝑑𝑦 0

7

9

𝑦3 𝑉 = 𝜋 ( )| 7 3 0 3 7 9 𝑉 = 𝜋 ( 𝑦 3 )| 7 0 7 3 𝑉 = (9)3 𝜋 7 1733 𝑉= 𝜋 24