Calcul Vectoriel

 

M7 : CALCUL VECTORIEL.

CALCUL VECTORIEL. I : Opérations. 1°) Produit scalaire. 



B 

 p = A.B =  A.B  . cos(θ )    

θ



soit

p = AxBx + A y B y  + AzBz 



A 

2°) Produit vectoriel 

ex 



 



 

By

 A z

Bz

B . Bz

n 

C  = A ∧ B =

e

y

y



ez

 A y

A Az

C 





C = A ∧ B = A.B. sin(θ ) n  



Bx

 



qui donne : C =



Ax

e x − 

Ax

Bx

Az

Bz 

ey + 

 A x

Bx

 A y

By



y

B 

θ 

A 



ez  .



B



C



C  n'est défini que dans un espace affine euclidien orienté  (dans   (dans lequel on a choisi une base orthonormée directe ). ). Cette orientation est donné par la règle dite des "3 doigts de la main droite ": ": La règle de la main droite permet également de trouver le sens de la normale "positive" à un contour Γ  orienté comme l'indique la figure cicontre :



A



n+

Γ



3°) Double produit vectoriel. C'est le vecteur D  défini par :  D = A ∧ ( B ∧ C ) = ( A.C ) B − ( A.B ) C  .  





















Les parenthèses sont indispensables car le double produit vectoriel n'est pas associatif .

4°) Produit mixte. C'est le scalaire noté ⎡⎣ A, B, C ⎤⎦  : ⎡⎣ A, B, C ⎤⎦  = A. ( B ∧ C ) = C. ( A ∧ B ) = B. ( C  ∧ A ) ,. 



































Le produit mixte représente le volume d'un parallélépipède d'arêtes A  , B  et C  . Propriété: 

le produit mixte est invariant par permutation circulaire des vecteurs.

II : Angles solides.  

 

 

L'angle solide Ω est l’angle sous lequel on voit une surface S depuis un point O. Cet angle ne dépend pas de la surface S, mais uniquement du contour Γ sur lequel s’appuie la surface S. L’unité d’angle solide est  le stéradian (symbole  sr) : nombre « pur »  sans dimension physique. L’angle solide est un scalaire axial. Expression. 

Soit un élément de surface surface dS, de norm normale ale n  orientée, situé à la distance r de O, vu suivant 



la direction définie par le vecteur unitaire e r  . Alors : d Ω = 



er .n.dS  r 2

. 

L’angle solide apparaît ainsi comme le flux du champ vectoriel e r  / r 2  à travers la surface S orientée. Page 1 sur 2

 

M7 : CALCUL VECTORIEL.

 Valeurs particulières.

O à l’intérieur d’une surface fermée.

O à l’extérieur d’une surface fermée.

O au sommet d’un cône de révolution de demi-angle θ au sommet

Ω = 4π  

Ω = 0

Ω = 2π .( 1 −  cos(θ ) )  

III : Dérivées vectorielles. 1°) Distributivités. Opération:  A  + B  

Différentielle: d A  + d B  

p. A   A 

 

 

 A  . B

 

 

p d A  +  A  dp  

 A  ^  B

 

 

(d A  ). B +  A  .(d B )

 

 

 

 

 

(d A )^ B +  A ^(d B )

 

 

 

 

 

2°) Fonction composée. 



 A dq  A dp ∂   d ∂    A( p, q) =  +  .   Avec p et q fonctions de la variable m : dm ∂  p dm ∂  q dm 

  Plus généralement, pour toute fonction F(u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z)), on a :

∂ F ∂ x  

=

∂F ∂u

+

∂F ∂v

∂u ∂x

+

∂v ∂x

∂F ∂w

.

∂w ∂x

Dérivation par rapport à l'angle polaire. 







d A /dθ 



n ^A 



Avec n , vecteur unitaire unitaire normal aau u plan ( u , A ), orienté par le 



sens de rotation de A , on a :

dA dθ

 =

dA dθ

 

 





e r  + n ∧ A .





er   A   θ 



n 



u 

3°) Le repère de Frenet. Le repère de Frenet est défini en un point M (repéré par son abscisse abscisse ccurviligne urviligne s) d'une courbe C par les trois  vecteurs unitaires unitaires suivants: d r  La tangente   e t =    , tangent à la courbe C en M, ds orienté dans le sens des s croissants . (convention différente des mathématic mathématiciens iens !).

courbe C M









r  = OM 

en

O

ds



et

dα  

de t   , normale à C, dirigé vers la dα  concavité de la courbe (où d α est l'angle élémentaire entre deux tangentes voisines. 

La normale   en =  

Le plan (M, et  ,en ) est appelé plan osculateur, la binormale   e b  =  et  ∧ en   complétant le trièdre. 

On note  R =



ds α 



, appelé rayon de courbure  en  en M.

d 

Page 2 sur 2



