Calcul Vectoriel PDF

 

BTS CPI

 Calcul vectoriel

Mécanique

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On utilise la notion de vecteur pour représenter vitesses, accélérations, forces, contraintes Le scal sc alai aire re : nombres positifs, négatifs ou nul qui permettent de représenter des quantités diverses : temps, températures, masses, … En général ce scalaire est suivi d'une unité. Le vect vecteeur : il est défini par :

- une direction (droite qui porte le vecteur) - un sens (orientation symbolisé par une flèche) - une norme ou intensité, module (valeur de la grandeur mesurée,   y   notés ⃗ ∥v∥ )

   V

Repè re orthonorm Repère ortho norméé direct direc t : Il est constitué : - d'une base directe  B⃗( x ⃗,  y ⃗, z )  avec ⃗ ∥ x∥=⃗∥ y∥=⃗∥ z ∥=1 - d'un point, origine du repère : par exemple  R ( O ⃗, x ⃗,  y ⃗, z )

O

x

 

  z 

Composan Compo santes tes d'un d'u n vecteur vecte ur : dans la base  B⃗( x ⃗,  y ⃗, z ) on peut trouver 3 réel x, y et z tel que :  x ⃗V = x.⃗ x + y.⃗ y + z.⃗ z =  y x, y, y, z sont les composantes du vecteur V sur les 3 directions et ⃗ x ⃗,  y⃗,  z   sont les  B  z  vecteurs unitaires de la base B sur les 3 directions.

∥⃗V ∥=√  x x 2+ y 2+ z 2

Norme Nor me d'un d'u n vecteu vect eurr : se calcule par

Somme Som me de vecte vec teur urss : ⃗ A= x A⃗. x + y A⃗.  y + z  A⃗. z 

  ⃗ B= x B⃗. x + y B⃗.  y + z  B⃗. z  ⃗S =⃗ A+⃗ B =( x A+ x B )⃗. x +( y A+ y B)⃗. y +( z  A + z  B )⃗. z 

  A

 

B  

S

Prod Pr odu uits : Produit scalaire :

Produit vectoriel :

Définition C'est un scalaire, noté ⃗ A.⃗ B  tel que : ⃗ A.⃗ B=∥⃗ A∥.∥⃗ B∥.cos⃗( A ⃗, B )

C'est un vecteur noté ⃗ A∧⃗ B  : - de direction au plan ⃗( A ⃗, B) - de sens tel que ⃗( A ⃗, B ⃗,  A∧⃗ B )  trièdre direct.   sin ⃗( A ⃗, B ) - de norme ⃗ A.⃗ B.

   0 Remarque   A.  B

 ∧ B    0  A

Si - soit   - soit

∥⃗ A∥=0   ou   ∥⃗ B∥=0 cos ⃗ ( A ⃗, B )= 0

Propriétés  ⃗ A ⃗. B =⃗ B ⃗. A   Calcul :  : 

⃗ A∥=0   ou   ∥⃗ B∥=0 Si - soit ∥

    c.a.d   A ⊥  B

⃗ A.⃗( B +⃗C )=⃗ A⃗. B+⃗ A ⃗. C 

sin ⃗ ( A ⃗, B )=0

  - soit

 

 B

 x A  y A  z  A

∧

 x A

 

x B

 y A

 

y B

⃗ 0 /1  et un moment Notat Not atio ion n torse tor seur ur : en en point A s'il existe un effort  A

 B

⃗

actions de la façon suivante :

 M 

 A 0 / 1

 x B  y B  z  B

=  B

 X  A   L A

 A

 y A . z  B− z  A .  y B  z  A . x B− x A . z  B  x A .  y B− y A . x B

 M  A 0 / 1 , on peut noter ces deux

⃗  0 / 1   ;   M  A 0 /1 }= Y    M  = A  A  A  A

⃗  { { }

{T 0 /1 }=

 ⃗    A   //  B

 A∧⃗ B=−  B ⃗ A ⃗⃗ A )=⃗ A∧⃗ B +⃗ A∧⃗C  ∧. ⃗( B+⃗⃗C ∧

même base  base : si ⃗ A  et ⃗ B  sont dans la même    A. B= x A . x B + y A .  y B + z  A . z  B

 ⃗ 0 /1  A

  c.a.d 

 Z  A   N  A

{ }

 R