Calcul différentiel Essaidi Ali 30 mars 2016
1 1.1
Applications différentiables : Différentielle d’une application :
Proposition et définition 1.1 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . — On dit que f est différentiable en a si ∃u ∈ L (E, F ) telle que ∀a + h ∈ U, f (a + h) = f (a) + u(h) + o(khk). Dans ce cas, l’application u est unique, on l’appelle la différentielle de f en a ou l’application linéaire tangente à f en a et on la note df (a) ou dfa ou Df (a). U → L (E, F ) — On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U . Dans ce cas, l’application x 7→ df (x) s’appelle la différentielle de f sur U et on la note df . Remarques : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . — f est différentiable en a si, et seulement si, f admet un DL1 (a). Dans ce cas, ∀a+h ∈ U, f (a+h) = f (a)+df (a)(h)+ o(khk), df (a)(h) se note aussi df (a).h. — Si f est différentiable en a alors f est continue en a. — La différentiabilité et la différentielle de f en a ne dépendent pas des normes choisies sur E et F . — Si f est différentiable en a alors df (a) est Lipschitzienne sur E. En particulier continue sur E. Proposition 1.1 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U → F . — Si f est constante sur U alors f est différentiable sur U et on a df = 0 (i.e ∀a ∈ U, df (a) = 0). — Si f est la restriction, sur U , d’une application linéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀a ∈ U, df (a) = g (i.e ∀a ∈ U, ∀h ∈ E, df (a)(h) = g(h)). Exemples : — Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie. L’application f : u ∈ L(E) 7→ tru est linéaire sur L(E) donc différentiable sur L(E) et on a df = f . Autrement dit, ∀u, h ∈ L(E), df (u)(h) = f (h) = tr(h). — L’application f : M ∈ Mn (R) 7→ tM est linéaire sur Mn (R) donc différentiable sur Mn (R) et on a ∀M, H ∈ Mn (R), df (M )(H) = f (H) = tH. — L’application f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x+3y, 5x−7y) est linéaire sur R2 donc différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , df (x, y)(h, k) = f (h, k) = (2h + 3k, 5h − 7k). Proposition 1.2 — Soit E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E × F et f : U → G. Si f est la restriction, sur U , d’une application bilinéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀(a, b) ∈ U, ∀(h, k) ∈ E × F, df (a, b)(h, k) = g(a, k) + g(h, b). — Généralement, Soit E1 , . . . , En , F des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E1 × · · · × En et f : U → F . Si f est la restriction, sur U , d’une application multilinéaire g alors f est différentiable sur U et on a ∀(a1 , . . . , an ) ∈ U, ∀(h1 , . . . , hn ) ∈ E1 × · · · × En : df (a1 , . . . , an )(h1 , . . . , hn ) = g(h1 , a2 , . . . , an ) + g(a1 , h2 , a3 , . . . , an ) + · · · + g(a1 , . . . , an−1 , hn ) Exemples : — L’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xy est bilinéaire sur R2 donc différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , df (x, y)(h, k) = f (h, y) + f (x, k) = hy + xk. — Soit E un espace euclidien. L’application f : (x, y) ∈ E 2 7→ hx, yi est bilinéaire sur E donc différentiable sur E et on a ∀x, y, k, h ∈ E, df (x, y)(h, k) = f (h, y) + f (x, k) = hh, yi + hx, ki.
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— L’application f : (A, B, C) ∈ (Mn (R))3 7→ ABC est multilinéaire sur (Mn (R))3 donc différentiable sur (Mn (R))3 et on a ∀A, B, C, H, K, L ∈ (Mn (R))3 , df (A, B, C)(H, K, L) = f (H, B, C) + f (A, K, C) + f (A, B, L) = HBC + AKC + ABL. Proposition 1.3 Soit E, F1 , . . . , Fn des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F1 × · · · × Fn et a ∈ U . On pose f = (f1 , . . . , fn ). f est différentiable en a si, et seulement si, f1 , . . . , fn sont différentiables en a. Dans ce cas, df (a) = (df1 (a), . . . , dfn (a)). Exemple : Soit f : R2 → R3 définie par f (x, y) = (x + y, 2x + 3y, xy). Les composantes f1 (x, y) = x + y, f2 (x, y) = 2x + 3y et f3 (x, y) = xy de f sont différentiables sur R2 car f1 , f2 sont linéaires et f3 bilinéaire donc f est différentiable sur R2 et on a ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 : df (x, y)(h, k) = (df1 (x, y)(h, k), df2 (x, y)(h, k), df3 (x, y)(h, k)) = (h + k, 2h + 3k, xk + hy) Proposition 1.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimensions finies, I un intervalle ouvert de R, f : I → F et a ∈ I. f est différentiable en a si, et seulement si, f est dérivable en a. Dans ce cas, ∀t ∈ R, df (a)(t) = tf 0 (a). En particulier, df (a)(1) = f 0 (a). Exemples : — L’application f : t ∈ R 7→ t2 est dérivable sur R donc différentiable sur R et on a ∀t, h ∈ R, df (t)(h) = hf 0 (t) = 2ht. — L’application f : t ∈]0, +∞[7→ ln(t) est dérivable sur ]0, +∞[ donc différentiable sur ]0, +∞[ et on a ∀t ∈]0, +∞[, ∀h ∈ R, df (t)(h) = hf 0 (t) = ht . — Soit A ∈ Mn (R). L’application f : t ∈ R 7→ exp(tA) est dérivable sur R donc différentiable sur R et on a ∀t, h ∈ R, df (t)(h) = hf 0 (t) = hA exp(tA).
1.2
Dérivées directionnelles :
Définition 1.1 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U et h ∈ E \ {0}. f (a + th) − f (a) On dit que f admet une dérivée en a suivant le vecteur h ou dérivable en a suivant le vecteur h si lim existe. t→0 t Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note Dh f (a). Proposition 1.5 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U et h ∈ E \ {0}. — L’application ϕ(t) = f (a + th) est définie au voisinage de 0. — f est dérivable en a suivant h si et seulement si ϕ est dérivable en 0. Dans ce cas, Dh f (a) = ϕ0 (0). Remarque : Cette proposition est pratique pour calculer les dérivées directionnelles. Exemples : — Dérivée de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ xy en (2, 1) suivant le vecteur (1, 2) : On pose ϕ(t) = f ((2, 1) + t(1, 2)) = f (2 + t, 1 + 2t) = (2 + t)(1 + 2t) donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = (1 + 2t) + 2(2 + t) d’où ϕ0 (0) = 1 + 4 = 5. On déduit que f est dérivable en (2, 1) suivant (1, 2) et on a D(1,2) f (2, 1) = ϕ0 (0) = 5. xy — Dérivée de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ x+y en (1, 1) suivant le vecteur (1, 2) : On pose ϕ(t) = f ((1, 1)+t(1, 2)) = ((1 + 2t) + 2(1 + t))(2 + 3t) + 3(1 + t)(1 + 2t) (1+t)(1+2t) f (1 + t, 1 + 2t) = donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = d’où 2+3t (2 + 3t)2 2(1+2)+3 = ϕ0 (0) = 94 . ϕ0 (0) = 4 On déduit que f est dérivable en (1, 1) suivant (1, 2) et on a D(1,2) f (1, 1) = 94 . — Dérivée de l’application f : (x, y, z) ∈ R3 7→ xy + yz + zx en (1, 1, 1) suivant le vecteur (1, 2, 3) : On pose ϕ(t) = f ((1, 1, 1) + t(1, 2, 3)) = f (1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t) = (1 + t)(1 + 2t) + (1 + 2t)(1 + 3t) + (1 + t)(1 + 3t) donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = (1 + 2t) + 2(1 + t) + 2(1 + 3t) + 3(1 + 2t) + (1 + 3t) + 3(1 + t) d’où ϕ0 (0) = 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 3 = 12. On déduit que f est dérivable en (1, 1, 1) suivant (1, 2, 3) et on a D(1,2,3) f (1, 1, 1) = ϕ0 (0) = 12. — Dérivée de l’application f : M ∈ Mn (R) 7→ exp(M ) en 0 suivant la matrice H ∈ Mn (R) \ {0} : On pose ϕ(t) = f (A + tH) = exp(tH) donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = H exp(tH) d’où ϕ0 (0) = H. On déduit que f est dérivable en 0 suivant H et on a DH f (0) = ϕ0 (0) = H. — Dérivée de l’application f : M ∈ Mn (R) 7→ det(M ) en In suivant la matrice E11 + E22 : On pose ϕ(t) = f (In + t(E11 + E22 )) = det(In + tE11 + tE22 ) = det diag(1, (1 + t), (1 + t), 1, · · · , 1) = (1 + t)2 donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = 2(1 + t) d’où ϕ0 (0) = 2. On déduit que f est dérivable en In suivant E11 + E22 et on a DE11 +E22 f (In ) = ϕ0 (0) = 2.
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— Soit p ∈ N∗ . Dérivée de l’application f : M ∈ Mn (R) 7→ M p en A ∈ Mn (R) suivant la matrice In : On pose p p X X kCpk tk−1 Ap−k d’où Cpk tk Ap−k donc, au voisinage de 0, ϕ0 (t) = ϕ(t) = f (A + tIn ) = (A + tIn )p = k=1
k=0
ϕ0 (0) = kAk−1 . On déduit que f est dérivable en A suivant In et on a DIn f (A) = ϕ0 (0) = kAk−1 . Remarque : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul de E alors f n’est pas forcément continue en a. En particulier, si f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul E alors f n’est pas forcément différentiable en a. ® yde 3 si x 6= 0 x Exemple : Soit la fonction f (x, y) = et (h, k) ∈ R2 \ {(0, 0)} : On pose ϕ(t) = f ((0, 0) + t(h, k)) = 0 si x = 0 f (th, tk)) : — Si h = 0 alors ϕ(t) = 0 donc ϕ0 (0) = 0 d’où f est dérivable en (0, 0) suivant (h, k) et on a D(h,k) f (0, 0) = 0. 3 — Si h 6= 0 alors ∀t ∈ R, ϕ(t) = t2 kh donc ϕ0 (0) = 0 d’où f est dérivable en (0, 0) suivant (h, k) et on a D(h,k) f (0, 0) = 0. On déduit que f est dérivable en (0, 0) suivant tout vecteur non nul, ce pendant, f n’est pas continue en (0, 0) car ∀t ∈ 3 R∗ , f (t3 , t) = tt3 = 1 → 1 6= 0 = f (0, 0). t→0
Proposition 1.6 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul de E et on a ∀h ∈ E \ {0}, Dh f (a) = df (a)(h). Remarque : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . S’il existe un vecteur non nul h de E tel(que f ne soit pas dérivable en a suivant h alors f n’est pas pas différentiable en a. |x|y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 2 +y 2 x . Exemple : Soit l’application f (x, y) = 0 sinon On pose ∀t ∈ R∗ , ϕ(t) = f ((0, 0) + t(1, 1)) = f (t, t) = |t| 2 donc ϕ n’est pas dérivable en 0 donc f n’est pas dérivable en (0, 0) suivant (1, 1) d’où f n’est pas différentiable en (0, 0). Remarque : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert ® de E, f : U → F et a ∈ U . Dh f (a) si h 6= 0 On suppose que f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul. Si l’application h 7→ n’est pas linéaire 0 si h = 0 sur E alors f n’est pas différentiable en a. ® xy2 si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 Exemple : Soit l’application f (x, y) = x +y et (h, k) 6= (0, 0). 0 sinon 2
0 On pose ϕ(t) = f (th, tk) donc ϕ(t) = t h2hk +k2 = tf (h, k) d’où ϕ (0) = f (h, k). On déduit que f est dérivable en (0, 0) suivant (h, k) et on a D(h,k) f (0, 0) = f (h, k). Or l’application f n’est pas linéaire donc f n’est pas différentiable en (0, 0). Remarque : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . ® Dh f (a) si h 6= 0 Si f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul et l’application h 7→ est linéaire sur E alors f n’est 0 si h = 0 pas forcément différentiable en a. 2 2 3 y(x + y ) 2 si (x, y) 6= (0, 0) Exemple : Soit l’application f (x, y) = (x2 + y 2 )2 + y 2 et (h, k) 6= (0, 0). 0 sinon 3
y(x2 + y 2 ) 2 d’où ϕ0 (0) = 0. On déduit que f est dérivable en (0, 0) suivant 2 t2 (x2 + y 2 )2 + y ® D(h,k) f (0, 0) si (h, k) 6= (0, 0) (h, k) et on a D(h,k) f (0, 0) = 0. L’application (h, k) 7→ est alors linéaire sur R2 car nulle 0 si (h, k) = (0, 0) sur R2 . 2 Supposons que f est différentiable Ä√ en (0,ä 0) donc Ä√ ∀(h, k) ä∈ R \ {(0, 0)}, df (0, 0)(h, k) = D(h,k) f (0, 0) = 0 d’où f (h, k) = f (0, 0) + df (0, 0)(h, k) + o h2 + k 2 = o h2 + k 2 . 2 ) t2 (t2 +t4 ) 1+t2 1 Absurde, car √f (t,t = (t2 +t4 )2 +t4 = (1+t 2 )2 +1 → 2 6= 0. 2 4 t +t On pose ϕ(t) = f (th, tk) donc ϕ(t) = t|t|
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1.3
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Dérivées partielles :
Définition 1.2 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . On appelle dérivées partielles de f en a les dérivées, si elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en . Dans ce cas, si i ∈ {1, . . . , n}, la dérivée de f en a suivant ei s’appelle la i-ième dérivée partielle de f en a. On la note : ∂f Dei f (a) ou Di f (a) ou ∂x (a). i ∂f (x) s’appelle la i-ième application dérivée partielle Si f est dérivable suivant ei en tout x ∈ U alors l’application x ∈ U 7→ ∂x i ∂f de f sur U . On la note : Dei f ou Di f ou ∂xi . Remarque : Technique de calcul des dérivées partielles lorsque f (x) est exprimé en fonction des coordonnées de x : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert de E, f : U → F et a = a1 e1 + · · · + an en ∈ U . Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on pose gi (t) = f (a1 e1 + · · · ai−1 ei−1 + tei + ai+1 ei+1 + · · · + an en ). ∂f (a) = gi0 (ai ). La i-ième dérivée partielle de f en a existe si, et seulement si, gi est dérivable en ai . Dans ce cas, ∂x i Exemples : — Calcul des dérivées partielles de f : (x, y) ∈ R2 7→ xy en (1, 2) : 0 — On a g1 (x) = f (x, 2) = 2x donc ∂f ∂x (1, 2) = g1 (1) = 2. ∂f — On a g2 (y) = f (1, y) = y donc ∂y (1, 2) = g20 (2) = 1. xy — Calcul des dérivées partielles de f : (x, y) ∈ R2 7→ x2 +y 2 +1 en (0, 0) : 0 — On a g1 (x) = f (x, 0) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) = g1 (0) = 0. ∂f 0 — On a g2 (y) = f (0, y) = 0 donc ∂y (0, 0) = g2 (0) = 0. — Calcul des dérivées partielles de f : (x, y, z) ∈ R3 7→ xy + yz −
—
x yz en (1, −1, 2) : ∂f — On a g1 (x) = f (x, −1, 2) = −x − 2 + x2 = − x2 − 2 donc ∂x (1, −1, 2) = g10 (1) = − 12 . 1 1 7 0 — On a g2 (y) = f (1, y, 2) = 3y − 2y donc ∂f ∂y (1, −1, 2) = g2 (−1) = 3 + 2 = 2 . 1 3 0 — On a g3 (z) = f (1, −1, z) = −1 − z − z1 donc ∂f ∂z (1, −1, 2) = g3 (2) = −1 + 4 = − 4 . 2 Calcul des dérivées partielles de f : a + bX + cX ∈ R2 [X] 7→ a + ab + abc en P = X + 0 — On a g1 (a) = f (a + X + 2X 2 ) = a + a + 2a = 4a donc ∂f ∂a (P ) = g1 (a) = 4. ∂f 0 2 — On a g2 (b) = f (bX + 2X ) = 0 donc ∂b (P ) = g2 (b) = 0. 0 — On a g3 (c) = f (X + cX 2 ) = 0 donc ∂f ∂c (P ) = g3 (c) = 0.
2X 2 ∈ R2 [X] :
Remarque : Technique de calcul des dérivées partielles lorsque f (x) est exprimé en fonction x : Dans ce cas, on utilise la même technique que dans le cas des dérivées directionnelles. Exemples : — Calcul des dérivées partielles de f : P ∈ Rn [X] 7→ P 3 en P ∈ Rn [X] : Soit k ∈ {1, . . . , n} et on pose ϕ(t) = f (P + tX k ) = (P + tX k )3 donc ϕ(t) = P 3 + 3tX k P 2 + 3t2 X 2k P + t3 X 3k d’où ϕ0 (0) = 3X k P 2 . ∂f 0 k 2 On déduit que ∂X k (P ) = ϕ (0) = 3X P . — Soit p ∈ N∗ . Calcul des dérivées partielles de f : M ∈ Mn (R) 7→ M p en M ∈ Mn (R) : Soit i, j ∈ {1, . . . , n} et on pose ϕ(t) = f (M + tEij ) = (M + tEij )p donc ϕ(t) = M p + t(Eij M p−1 + M Eij M p−2 + M 2 Eij M p−3 + · · · + M p−1 Eij ) + o(t) d’où ϕ0 (0) = Eij M p−1 + M Eij M p−2 + M 2 Eij M p−3 + · · · + M p−1 Eij . ∂f (M ) = ϕ0 (0) = Eij M p−1 + M Eij M p−2 + M 2 Eij M p−3 + · · · + M p−1 Eij . On déduit que ∂m ij Proposition 1.7 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors les dérivées partielles de f en a existent et on a ∀h = h1 e1 + · · · + hn en ∈ E, df (a)(h) = n X ∂f Dh f (a) = hi (a). ∂x i i=1 Remarques : — La réciproque est fausse. — Si les dérivées partielles de f en a®existent alors les dérivées directionnelles de f en a n’existent pas forcément. En xy si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 effet, soit l’application f (x, y) = x +y . On a ∀t ∈ R, f (t, 0) = f (0, t) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) = 0 sinon = 0 mais ∀(h, k) ∈ R2 avec hk 6= 0, f (th,tk) = 1t f (h, k) n’admet pas de limite lorsque t → 0 donc f n’est t pas dérivable en (0, 0) suivant (h, k). — Si les dérivées directionnelles de f en a existent alors si h = h1 e1 + · · · + hn en ∈ E on n’a pas forcément Dh f (a) = ∂f ∂y (0, 0)
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n X
∂f hi (a). En effet, pour la fonction f (x, y) = ∂x i i=1
®
x2 y x2 +y 2
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si (x, y) 6= (0, 0) . On a sinon
∂f ∂f ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0 mais 0 ∀(h, k) ∈ R2 avec hk 6= 0 on a D(h,k) f (0, 0) = f (h, k) 6= 0. — Si les dérivées partielles de f en a existent alors f est différentiable en a si, et seulement si, f (a + h) = f (a) − n X ∂f (a)hi + o(khk). ∂xi i=1 ® x3 y si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 en (0, 0) : Exemple : Étude de la différentiabilité de f (x, y) = x +y 0 sinon ∂f On a ∀t ∈ R, f (t, 0) = f (0, t) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0 d’où f est différentiable en (0, 0) si, et seulement si, f (x, y) = o((x, y)). p 2 2 2 2 f (x,y) x2 |xy| √ |xy| √x +y √ 2 2 ≤ 2(x +y √)|xy| = On a ∀(x, y) 6= (0, 0), k(x,y)k x2 + y 2 → 0 donc ≤ ≤ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x +y )
x +y
(x +y )
x +y
x +y
x +y
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = o((x, y)) d’où f est différentiable en (0, 0) et on a df (0, 0) = 0. Définition 1.3 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles n et p respectivement, BE une base de E, BF une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors on appelle matrice Jacobienne de f en a par rapport aux bases BE et BF la matrice de l’application linéaire df (a) dans les bases BE et BF . On la note Jf (a) et on a Jf (a) = mat(df (a), BE , BF ). Si n = p, le réel det Jf (a) s’appelle le Jacobien de f en a et on le note Jacf (a). Remarque : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles n et p respectivement, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, BF = (ε1 , . . . , εp ) une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . On pose f = f1 ε1 + · · · + fp εp . Si f est différentiable en a alors : ê Ü ∂f1 ∂f1 ∂f1 (a) (a) · · · (a) ã Å ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂fi .. .. .. (a) = Jf (a) = matBF (df (a)(e1 ), . . . , df (a)(en )) = . . . 1≤i≤p ∂xj ∂fp ∂fp ∂fp 1≤j≤n (a) (a) · · · ∂x1 ∂x2 ∂xn (a) Exemples : — La matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + 3y, 6x − 7y) : On a f1 (x, y) = 2x + 3y et f2 (x, y) = 6x − 7y donc : 2
∀(x, y) ∈ R , Jf (x, y) =
∂f1 ∂x (x, y)
! ∂f1 ∂y (x, y)
∂f2 ∂x (x, y)
∂f2 ∂y (x, y)
Å 2 = 6
ã 3 −7
Å 2 On peut aussi remarquer que f est linéaire donc ∀(x, y) ∈ R , df (x, y) = f d’où ∀(x, y) ∈ R , Jf (x, y) = 6 — Matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x + y, xy) : On a f1 (x, y) = x + y et f2 (x, y) = xy donc : 2
2
∀(x, y) ∈ R , Jf (x, y) =
2
∂f1 ∂x (x, y)
! ∂f1 ∂y (x, y)
∂f2 ∂x (x, y)
∂f2 ∂y (x, y)
Å
1 y
=
ã 3 . −7
ã 1 x
— Matrice Jacobienne de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x + y, x2 + y 2 , x2 − y 2 ) : On a f1 (x, y) = x + y , f2 (x, y) = x2 + y 2 et f3 (x, y) = x2 − y 2 donc : Ü ∂f1 ∂x
∀(x, y) ∈ R2 , Jf (x, y) =
(x, y)
ê ∂f1 ∂y (x, y)
∂f2 ∂x (x, y)
∂f2 ∂y (x, y)
∂f3 ∂x (x, y)
∂f3 ∂y (x, y)
— Matrice Jacobienne de f : (x, y, z) ∈ R2 → 7 x2 + xy + yz 2 : On a : Ä ∂f ∀(x, y, z) ∈ R3 , Jf (x, y, z) = ∂f ∂x (x, y, z) ∂y (x, y, z)
Ñ
1 2x 2x
=
ä
∂f ∂z (x, y, z)
1 2y −2y
é
= 2x + y
x+z
2yz
Interprétation matricielle de la différentielle : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles n et p respectivement, BE une base de E, BF une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors ∀h ∈ E, [df (a)(h)]BF = Jf (a) × [h]BE . Exemples d’application au calcul de la différentielle :
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— Calcul de la différentielle de f : (x, y) ∈ R2 → 7 x sin y − y sin x : Soit (x, y), (h, k) ∈ R2 . On a : Å ã Å ã h h Jf (x, y) = sin y − y cos x x cos y − sin x = (sin y − y cos x)h + (x cos y − sin x)k k k Donc df (x, y)(h, k) = (sin y − y cos x)h + (x cos y − sin x)k. — Calcul de la différentielle de f : (x, y) ∈ R2 7→ (x2 y, xy) : Soit (x, y), (h, k) ∈ R2 . On a : Å ã Å ãÅ ã Å ã h 2xy x2 h 2xyh + x2 k Jf (x, y) = = k y x k yh + xk Donc df (x, y)(h, k) = (2xyh + x2 k, yh + xk). — Calcul de la différentielle de f : (x, y, z) ∈ R3 7→ (xy + yz + zx, xyz) : Soit (x, y, z), (h, k, l) ∈ R2 . On a : Ñ é Ñ é Å ã h Å ã h y+z x+z x+y (y + z)h + (x + z)k + (x + y)l k = Jf (x, y, z) k = yz xz xy yzh + xzk + xyl l l Donc df (x, y)(h, k) = ((y + z)h + (x + z)k + (x + y)l, yzh + xzk + xyl).
1.4
Opérations sur les applications différentiables :
Proposition 1.8 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f, g : U → F et a ∈ U . Si f et g sont différentiables en a. Alors : — f + g est différentiable en a et on a d(f + g)(a) = df (a) + dg(a). En particulier, Jf +g (a) = Jf (a) + Jg (a). — ∀λ ∈ R, λf est différentiable en a et on a d(λf )(a) = λdf (a). En particulier, Jλf (a) = λJf (a). Proposition 1.9 Soit E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, a ∈ U , f : U → F , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a) alors g ◦ f est différentiable en a et on a d(g ◦ f )(a) = dg(f (a)) ◦ df (a). En particulier, Jg◦f (a) = Jg (f (a)) × Jf (a). Exemples : — Calcul de la différentielle de l’application f : M ∈ Mn (R) 7→ M 2 : Soit les applications : u : Mn (R) → (Mn (R)) M 7→ (M, M )
2
et
v:
(Mn (R)) (M, N )
2
→ Mn (R) 7→ M N
On a u linéaire sur Mn (R) donc différentiable sur Mn (R) et on a ∀M, H ∈ Mn (R), du(M )(H) = (H, H). 2 2 On a v bilinéaire sur (Mn (R)) donc différentiable sur (Mn (R)) et on a ∀M, N, H, K ∈ Mn (R), dv(M, N )(H, K) = v(M, K) + v(H, N ) = M K + HN . On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur Mn (R) comme composée de deux applications différentiables et on a ∀M, H ∈ Mn (R), df (M )(H) = d(v ◦ u)(M )(H) = (dv(u(M )) ◦ du(M ))(H) = dv(M, M )(du(M )(H)) = dv(M, M )(H, H) = M H + HM . — Soit A ∈ Sn (R). Calcul de la différentielle de l’application f : X ∈ Mn1 (R) 7→ tXAX : Soit les applications : u : Mn (R) → (Mn (R)) X 7→ (X, X)
2
et
v:
(Mn (R)) (X, Y )
2
→ Mn (R) 7→ tXAY
On a u linéaire sur Mn (R) donc différentiable sur Mn (R) et on a ∀X, H ∈ Mn (R), du(X)(H) = (H, H). 2 2 On a v bilinéaire sur (Mn (R)) donc différentiable sur (Mn (R)) et on a ∀X, Y, H, K ∈ Mn (R), dv(X, Y )(H, K) = t t v(X, K) + v(H, Y ) = XAK + HAY . On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur Mn (R) comme composée de deux applications différentiables et on a ∀X, H ∈ Mn (R), df (X)(H) = d(v ◦ u)(X)(H) = (dv(u(X)) ◦ du(X))(H) = dv(X, X)(du(X)(H)) = dv(X, X)(H, H) = tXAH + tHAX = 2tXAH car A est symétrique. — Soient E un espace euclidien. Calcul des différentielles des applications f : x ∈ E 7→ kxk2 et g : x ∈ E \ {0} 7→ kxk : 1. Différentielle de l’application f : Soit les applications : u: E x
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→ E2 v : E2 → R et 7 → (x, x) (x, y) 7→ hx, yi
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On a u linéaire sur E donc différentiable sur E et on a ∀x, h ∈ E, du(x)(h) = (h, h). On a v bilinéaire sur E 2 donc différentiable sur E 2 et on a ∀x, y, h, k ∈ E, dv(x, y)(h, k) = v(x, k) + v(h, y) = hx, ki + hh, yi. On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur E comme composée de deux applications différentiables et on a ∀x, h ∈ E, df (x)(h) = d(v ◦ u)(x)(h) = (dv(u(x)) ◦ du(x))(h) = dv(x, x)(du(x)(h)) = dv(x, x)(h, h) = hx, hi + hh, xi = 2hu, hi. 2. Différentielle de l’application g : Soit l’application : w:
]0, +∞[ → t 7→
R √
t
On a f différentiable sur E \ {0} et ∀x ∈ E \ {0}, ∀h ∈ E, df (x)(h) = 2hu, hi. On a w dérivable sur ]0, +∞[ donc différentiable sur ]0, +∞[ et on a ∀t ∈]0, +∞[, ∀h ∈ R, dw(t)(h) = w0 (t)h = h √ . 2 t On a ∀x ∈ E \ {0}, g(x) = (w ◦ f )(x) donc g est différentiable sur E \ {0} comme composée de deux applications différentiables et on a ∀x ∈ E \ {0}, ∀h ∈ E, dg(x)(h) = d(w ◦ f )(x)(h) = (dw(f (x)) ◦ df (x))(h) = dw(kxk2 )(df (x)(h)) = dv(kxk2 )(2hu, hi) = hx,hi kxk . — Soient E un espace euclidien et a ∈ E. Calcul de la différentielle de l’application f : x ∈ E 7→ ha, xix : Soit les applications : u : E → E2 v : E2 → E et x 7→ (x, x) (x, y) 7→ ha, xiy On a u linéaire sur E donc différentiable sur E et on a ∀x, h ∈ E, du(x)(h) = (h, h). On a v bilinéaire sur E 2 donc différentiable sur E 2 et on a ∀x, y, h, k ∈ E, dv(x, y)(h, k) = v(x, k) + v(h, y) = ha, xik + ha, hiy. On a f = v ◦ u donc f est différentiable sur E comme composée de deux applications différentiables et on a ∀x, h ∈ E, df (x)(h) = d(v ◦ u)(x)(h) = (dv(u(x)) ◦ du(x))(h) = dv(x, x)(du(x)(h)) = dv(x, x)(h, h) = ha, xih + ha, hix. — Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ (xy, x + y, x − y) et g : (x, y, z) ∈ R3 7→ x + yz. Calcul de la différentielle de g ◦ f : — Méthode 1 : On a : 1. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , df (x, y)(h, k) = (xk + hy, h + k, h − k). 2. ∀(x, y, z), (h, k, l) ∈ R3 , dg(x, y, z)(h, k, l) = h + zk + yl. Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , d(g◦f )(x, y)(h, k) = (dg(f (x, y))◦df (x, y))(h, k) = dg(xy, x+y, x−y)(df (x, y)(h, k)) = dg(xy, x + y, x − y)(xk + hy, h + k, h − k) = xk + hy + (x − y)(h + k) + (x + y)(h − k) = (2x + y)h + (x − 2y)k. — Méthode 2 : On a : Ñ é y x 1. ∀(x, y) ∈ R2 , Jf (x, y) = 1 1 . 1 −1 3 2. ∀(x, y, z) ∈ R , Jg (x, y, z) = 1 z y . 2 1 x−y x+y × Donc Ñ ∀(x,éy) ∈ R , Jg◦f (x, y) = Jg (f (x, y))×Jf (x, y) = Jg (xy, x+y, x−y)×Jf (x, y) = y x 1 1 = 2x + y x − 2y . 1 −1 Å ã Å ã h h Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , Jg◦f (x, y) = 2x + y x − 2y = (2x + y)h + (x − 2y)k d’où d(g ◦ k k f )(x, y)(h, k) = (2x + y)h + (x − 2y)k. — Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ (2x + y, x + 2y) et g : (x, y) ∈ R2 7→ (xy, x2 + y 2 ). Calcul de la différentielle de g ◦ f : — Méthode 1 : On a : 1. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , df (x, y)(h, k) = (2h + k, h + 2k). 2. ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , dg(x, y)(h, k) = (yh + xk, 2xh + 2yk). Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , d(g◦f )(x, y)(h, k) = (dg(f (x, y))◦df (x, y))(h, k) = dg(2x+y, x+2y)(df (x, y)(h, k)) = dg(2x+y, x+2y)(2h+k, h+2k) = ((x+2y)(2h+k)+(2x+y)(h+2k), 2(2x+y)(2h+k)+2(x+2y)(h+2k) = ((4x + 5y)h + (5x + 4y)k, (10x + 8y)h + (8x + 10y)k). — Méthode 2 : On a : Å ã 2 1 1. ∀(x, y) ∈ R2 , Jf (x, y) = . 1 2 Å ã y x 2. ∀(x, y) ∈ R2 , Jg (x, y) = . 2x 2y www.mathlaayoune.webs.com
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Å ã x + 2y 2x + y Donc ∀(x, y) ∈ R2 , Jg◦f (x, y) = Jg (f (x, y))×Jf (x, y) = Jg (2x+y, x+2y)×Jf (x, y) = × 4x + 2y 2x + 4y Å ã Å ã 2 1 4x + 5y 5x + 4y = . 1 2 10x + 8y 8x + 10y Å ã Å ãÅ ã Å ã h 4x + 5y 5x + 4y h (4x + 5y)h + (5x + 4y)k Donc ∀(x, y), (h, k) ∈ R2 , Jg◦f (x, y) = = k 10x + 8y 8x + 10y k (10x + 8y)h + (8x + 10y)k d’où d(g ◦ f )(x, y)(h, k) = ((4x + 5y)h + (5x + 4y)k, (10x + 8y)h + (8x + 10y)k). Corollaire 1.10 (Règle de la chaîne) Soit E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies respectives m, n, p ∈ N∗ , U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. On pose f = (f1 , . . . , fn ) et g = (g1 , . . . , gp ). n X ∂(g ◦ f )i ∂gi ∂fk Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a) alors ∀i ∈ {1, . . . , p}, ∀j ∈ {1, . . . , m}, (a) = (f (a)) (a). ∂xj ∂xk ∂xj k=1
Application à la résolution des équations aux dérivées partielles du premier ordre : ∂f — Soit a ∈ R. Cherchons les fonctions f : R2 → R différentiables sur R2 telles que ∂f ∂x − ∂y = a : On considère le changement de variables (u, v) = ϕ(x, y) = (x + y, x − y) donc ϕ est inversible et soit g = f ◦ ϕ−1 . On a f = g ◦ ϕ donc, d’après la règle de dérivation en chaîne :
Donc
∂f ∂x
=
∂g ∂ϕ1 ∂g ∂ϕ2 + ∂u ∂x ∂v ∂x
=
∂g ∂g + ∂u ∂v
∂f ∂y
=
∂g ∂ϕ1 ∂g ∂ϕ2 + ∂u ∂y ∂v ∂y
=
∂g ∂g − ∂u ∂v
∂f ∂g ∂g a ∂f − =2 d’où = . ∂x ∂y ∂v ∂v 2 Z
On déduit qu’il existe une fonction h : R → R dérivable sur R telle que g(u, v) =
a a dv + h(u) = v + h(u) donc 2 2
f (x, y) = (g ◦ ϕ)(x, y) = g(ϕ(x, y)) = g(x + y, x − y) = a2 (x − y) + h(x + y). ∂f — Cherchons les fonctions f :]0, +∞[2 → R différentiables sur ]0, +∞[2 telles que x ∂f ∂x + y ∂y = 1 : On considère le changement de variables (x, y) = ϕ(u, v) = (u, uv) et soit g = f ◦ ϕ. D’après la règle de dérivation en chaîne : ∂g ∂u Donc u
=
∂f ∂ϕ1 ∂f ∂ϕ2 + ∂x ∂u ∂y ∂u
=
∂f ∂f +v ∂x ∂y
∂f ∂f ∂f ∂f ∂g 1 ∂g =u + uv =x +y = 1 d’où = car u = x 6= 0 puisque x > 0. ∂u ∂x ∂y ∂x ∂y ∂v u Z
du On déduit qu’il existe une fonction h :]0, +∞[→ R dérivable sur ]0, +∞[ telle que g(u, v) = + h(v) = ln u + u y y h(v), or (u, v) = x, x donc f (x, y) = f (ϕ(u, v)) = (f ◦ ϕ)(u, v) = g(u, v) = g x, x = ln x + h xy . ∂f — Cherchons les fonctions f :]0, +∞[2 → R différentiables sur ]0, +∞[2 telles que x ∂f ∂y − y ∂x = 1 : On considère le passage aux coordonnées polaires (x, y) = ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) avec ρ > 0 et θ ∈] − π, π[ et soit g = f ◦ ϕ. D’après la règle de dérivation en chaîne : ∂g ∂θ
=
∂f ∂ϕ1 ∂f ∂ϕ2 + ∂x ∂θ ∂y ∂θ
= −ρ
∂f ∂f sin θ + ρ cos θ ∂x ∂y
= −y
∂f ∂f +x ∂x ∂y
Z ∂g = 1 d’où, il existe une fonction h :]0, +∞[→ R dérivable sur ]0, +∞[ telle que g(u, v) = dθ + h(ρ) = ∂θ θ + h(ρ). On déduit que f (x, y) = f (ρ cos θ, ρ sin θ) = f (ϕ(ρ, θ)) = (f ◦ ϕ)(ρ, θ) = g(ρ, θ) = θ + h(ρ) = arctan xy + p h( x2 + y 2 ). Donc
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Remarque : Soit ρ > 0 et θ ∈] − π, π[. Si x = ρ cos θ et y = ρ sin θ alors ρ =
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p
x2 + y 2 et θ = 2 arctan
√y 2
x+
x +y 2
.
Corollaire 1.11 Soit I un intervalle de R, a ∈ I, E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, f : I → E, U un ouvert de E tel que f (I) ⊂ U et g : U → F . Si f est dérivable en a et g différentiable en f (a) alors g ◦ f est dérivable en a et on a (g ◦ f )0 (a) = dg(f (a))(f 0 (a)). n X ∂g (f (a))fk0 (a). Si, en plus, (e1 , . . . , en ) est une base de E et f = f1 e1 + · · · + fn en alors (g ◦ f )0 (a) = ∂xk k=1
Interprétation géométrique : Cette expression permet de déterminer le vecteur tangent en a à l’image par f d’un chemin ϕ sur U . Technique : Comment montrer qu’une application n’est pas différentiable : Pour montrer que f n’est pas différentiable en a, on cherche une application à variable réelle ϕ : I → U avec 0 ∈ I, ϕ(0) = a, n X ∂f (a)ϕ0i (0). ϕ dérivable en 0 et (f ◦ ϕ)0 (0) 6= ∂x i i=1 ® x3 y si (x, y) 6= (0, 0) 4 2 n’est pas différentiable en (0, 0) : Exemple : Montrons que f (x, y) = x +y 0 sinon ∂f On a ∀x ∈ R, f (x, 0) = f (0, x) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0. Supposons que f est différentiable en (0, 0) et soit ϕ(t) = (t, t2 ). 0 On a ϕ est dérivable en 0 et f différentiable en (0, 0) = ϕ(0) donc f ◦ ϕ est dérivable en 0 et on a (f ◦ ϕ)0 (0) = ∂f ∂x (0, 0)ϕ1 (0) + ∂f 0 ∂y (0, 0)ϕ2 (0) = 1 × 0 + 2 × 0 × 0 = 0. D’autre part, on a ∀t ∈ R, (f ◦ ϕ)(t) = 2t donc (f ◦ ϕ)0 (0) = 21 6= 0. Absurde, d’où f n’est pas différentiable en (0, 0).
2 2.1
Gradient, vecteurs tangents : Gradient :
Proposition et définition 2.1 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors ∃!b ∈ E, ∀h ∈ E, df (a)(h) = hb, hi. b s’appelle le gradient de f en a et on le note ∇f (a) ou gradf (a). Si f est différentiable sur U alors l’application x ∈ U 7→ ∇f (x) s’appelle l’application gradient de f sur U et on la note ∇f ou gradf . Exemples : Soit E un espace euclidien. — L’application gradient de l’application f : x ∈ E 7→ kxk2 : On a déjà montré que f est différentiable sur E et que ∀x, h ∈ E, df (x)(h) = 2hx, hi = h2x, hi donc ∀x ∈ E, ∇f (x) = 2x. — L’application gradient de l’application g : x ∈ E \ {0} kxk : On a déjà montré que g est différentiable sur E \ {0} ¨ 7→ ∂ hx,hi x x et que ∀x ∈ E \ {0}, ∀h ∈ E, dg(x)(h) = kxk = kxk , h donc ∀x ∈ E, ∇f (x) = kxk . Expression du gradient dans une base orthonormée : Soit E un espace euclidien non nul, (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E, U un ouvert de E, f : U → R et a ∈ U . * n + n n n X X X ∂f X ∂f Si f est différentiable en a alors ∀h = hk ek ∈ E, h∇f (a), hi = df (a)(h) = (a)hk = (a)ek , hk ek = ∂xk ∂xk k=1 k=1 k=1 k=1 + * n n X X ∂f ∂f (a)ek , h donc ∇f (a) = (a)ek . ∂xk ∂xk k=1 k=1 Exemples : Soit E un espace euclidien. 2 2 2 — L’application gradient Ä ä de l’application f : (x, y) ∈ R 7→ xy : On a f différentiable sur R donc ∀(x, y) ∈ R , ∇f (x, y) = ∂f ∂f ∂x (x, y), ∂y (x, y) = (y, x). 3 2 3 — L’application gradient Ä de l’application g : (x, y, z) ∈ Rä 7→ x + yz : On a f différentiable sur R donc ∀(x, y, z) ∈ ∂f ∂f ∂f R3 , ∇f (x, y, z) = ∂x (x, y, z), ∂y (x, y, z), ∂z (x, y, z) = (2x, z, y). Interprétations géométriques : Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, a ∈ U , f : U → R différentiable en a. On suppose que ∇f (a) 6= 0 et soit h ∈ E unitaire. ∇f (a) — On a df (a)(h) = h∇f (a), hi ≤ k∇f (a)k donc df (a)(h) est maximale si, et seulement si, h = k∇f . (a)k ¨ ∂ Ä ä ∇f (a) ∇f (a) — Pour t > 0 assez petit, on a f (a + th) − f (a) w th∇f (a), hi ≤ k∇f (a)k = t ∇f (a), k∇f (a)k w f a + t k∇f (a)k − ∇f (a) f (a) donc la variation de f en a est maximale lorsque h = k∇f (a)k , autrement dit, la variation de f en a est maximale lorsqu’on se déplace suivant la direction ∇f (a). On dit que le gradient de f en a est la direction de la plus grande pente de f en a.
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Vecteurs tangents :
Définition 2.1 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E et a ∈ A. Un vecteur v de E est dit tangent à A en a s’il existe une suite (xn ) dans A \ {a} et une suite (αn ) de réels positifs telles que xn → a et αn (xn − a) → v. L’ensemble des vecteurs tangents à A en a se note Ta A. Si Ta A est un sous-espace vectoriel de E alors a + Ta A s’appelle l’espace affine tangent à A en a ou la variété affine tangente à A en a. Proposition 2.1 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E, a ∈ A et γ :] − ε, ε[→ A tel que γ(0) = a. Si γ est dérivable en 0 alors γ 0 (0) est un vecteur tangent à A en a. Proposition 2.2 Si U est un ouvert de R2 , (x0 , y0 ) ∈ U et f : U → R différentiable en (x0 , y0 ) alors : — L’ensemble des vecteurs tangents à la surface S d’équation z = f (x, y) au point M0 = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est un plan vectoriel. ∂f — la surface S admet en M0 un plan affine tangent d’équation : (x − x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 ) − (z − z0 ) = 0. Exemple : Équation du plan P tangent à la surface S : z = xy au point (1, 1, 1) : ∂f On considère la fonction f : (x, y) ∈ R2 7→ xy donc S : z = f (x, y), 1 = f (1, 1) et ∂f ∂x (1, 1) = ∂y (1, 1) = 1. On déduit que P : (x − 1) + (y − 1) − (z − 1) = 0 donc P : x + y − z = 1. Remarque : Soit E est un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de E, f : U → R et c ∈ R. l’ensemble A = {x ∈ U/f (x) = c} s’appelle la ligne de f de niveau c et f (x) = c s’appelle l’équation de A. En dimension 3, A s’appelle la surface de f de niveau c et, en dimension 2, A s’appelle la ligne ou la courbe de f de niveau c. Proposition 2.3 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R, A une ligne de niveau de f et a ∈ A. Si f est différentiable en a alors le gradient de f en a est orthogonal aux vecteurs tangents à A en a. Proposition 2.4 Soit U un ouvert de R2 , c ∈ R et f : U → R différentiable sur U . Supposons qu’il existe (x0 , y0 ) ∈ U tel que f (x0 , y0 ) = c. Si ∇f (x0 , y0 ) 6= 0 alors l’équation de la tangente à la courbe ∂f d’équation f (x, y) = c en (x0 , y0 ) est (x − x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 ) = 0. Exemple : Équation de la tangente T à l’ellipse H : On pose f (x, y) = yy0 xx0 a2 + b2 = 1.
x2 a2
+
y2 b2
donc ∇f (x0 , y0 ) =
y2 x2 a2 + b2 = 1 2x0 2y0 6= a2 , b2
au point (x0 , y0 ) ∈ H. (0, 0) donc T : (x − x0 ) xa20 + (y − y0 ) yb20 = 0 d’où T :
Proposition 2.5 Soit U un ouvert de R3 , c ∈ R et f : U → R différentiable sur U . Supposons qu’il existe (x0 , y0 , z0 ) ∈ U tel que f (x0 , y0 , z0 ) = c. Si ∇f (x0 , y0 , z0 ) 6= 0 alors l’équation du plan tangent à la ∂f ∂f surface d’équation f (x, y, z) = x en (x0 , y0 , z0 ) est (x−x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 , z0 )+(y−y0 ) ∂y (x0 , y0 , z0 )+(z−z0 ) ∂z (x0 , y0 , z0 ) = 0. Exemple : Équation du plan tangent P à la sphère S : x2 + y 2 + z 2 = 1 au point (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. On pose f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 donc ∇f (x0 , y0 , z0 ) = (2x0 , 2y0 , 2z0 ) 6= (0, 0) donc P : x0 (x − x0 ) + y0 (y − y0 ) + z0 (z − z0 ) = 0 d’où P : xx0 + yy0 + zz0 = 1.
3
Applications continûment différentiables :
Proposition et définition 3.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F . Les assertions suivantes sont équivalentes : — f est différentiable sur U et sa différentielle est continue sur U . — Les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U . Dans ce cas, On dit que f est continûment différentiable sur U ou que f est de classe C 1 sur U . Remarque : Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F . Si les composantes de f sont composées de fonctions usuelles (polynômes, fractions, fonctions trigonométriques, fonctions puissance, exponentiels ...) en les coordonnées de la variable alors f est de classe C 1 sur U . Exemples : — La fonction f (x, y, z) = 3x2 z + xyz − z 3 y 2 + x − 2 est de classe C 1 sur R3 car polynomiale en x, y et z. 2 y+1 est de classe C 1 sur A = {(x, y) ∈ R2 /x2 6= y 2 } car fraction en x et y sur A. — La fonction f (x, y, z) = xy+4x x2 −y 2 √ — La fonction f (x, y, z) = 3x sin(x + y) + xy − ln(2x2 + xy) + xy + xy est de classe C 1 sur B = {x, y) ∈ R2 /xy > 0} car se compose de fonctions usuels en x et y sur B. — La fonction M 7→ det M est de classe C 1 sur Mn (R) car polynomiale en les coefficient de M . www.mathlaayoune.webs.com
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— La fonction M 7→ χM est de classe C 1 sur Mn (R) car ses composantes (les coefficients du polynôme χM ) sont polynomiales en les coefficient de M . ® xy3 si(x, y) 6= (0, 0) 4 2 : Exemple : Étude de l’application f (x, y) = x +y 0 sinon f est fraction en x et y sur R2 \ {(0, 0)} donc de classe C 1 sur R2 \ {(0, 0)} d’où le problème se pose en (0, 0). ∂f On a ∀t ∈ R, f (t, 0) = f (0, t) = 0 donc ∂f ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0. Soit (x, y) 6= (0, 0) donc
∂f ∂x (x, y)
=
y 3 (y 2 −3x4 ) (x4 +y 2 )2
et
∂f ∂y (x, y)
=
xy 2 (3x4 +y 2 ) (x4 +y 2 )2
d’où :
4 2 2 4 2 2 4 ∂f (x, y) − ∂f (0, 0) = |y|y (y + 3x ) ≤ |y|(x + y )(3y + 3x ) ≤ 3|y| → 0 ∂x 4 2 2 4 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) (x,y)→(0,0) Et
4 2 4 2 2 4 2 ∂f (x, y) − ∂f (0, 0) = |x|y (3x + y ) ≤ |x|(x + y )(3x + 3y ) ≤ 3|x| → 0 ∂y ∂y (x4 + y 2 )2 (x4 + y 2 )2 (x,y)→(0,0)
On déduit que les dérivées partielles de f sont continues en (0, 0) d’où f est de classe C 1 sur R2 . Proposition 3.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles et U un ouvert de E. L’ensemble des applications de U vers F continûment différentiables sur U est un R-espace vectoriel. On le note C 1 (U, F ). Proposition 3.2 Soient E, F, G des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f : U → F , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ G et g : V → G. Si f ∈ C 1 (U, F ) et g ∈ C 1 (V, G) alors g ◦ f ∈ C 1 (U, G). Proposition 3.3 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , I un intervalle de R et γ : I → E telle que γ(I) ⊂ U . Z β Si γ ∈ C 1 (I, E) et f ∈ C 1 (U, F ) alors ∀α, β ∈ I, si a = f (α) et b = f (β) alors f (b) − f (a) = df (γ(t))(γ 0 (t))dt. α
Remarques : Soient E, F deux espaces euclidiens non nuls, U un ouvert de E, f : U → F et γ ∈ C 1 ([a, b], U ). — On dit que f dérive d’un potentiel sur U si ∃g ∈ C 1 (U, R) telle que f = ∇g. Z b — L’intégral hf (γ(t)), γ 0 (t)idt s’appelle la circulation de f le long du chemin γ. a
— Si f dérive d’un potentiel g sur U alors la circulation de f le long du chemin γ est g(γ(b)) − g(γ(a)). En particulier, la circulation de f le long du chemin γ ne dépend que de γ(a) et γ(b) et non pas du chemin suivi. Corollaire 3.4 (Caractérisation des applications constantes sur un ouvert connexe par arcs :) Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies respectives n, p ∈ N∗ , U un ouvert connexe par arcs non vide de E et f ∈ C 1 (U, F ) de composantes f1 , . . . , fp dans une base de F . Les assertions suivantes sont équivalentes : — f est constante sur U . — ∀x ∈ U, df (x) = 0. — ∀x ∈ U, Jf (x) = 0. ∂fi — ∀x ∈ U, ∀i ∈ {1, . . . , p}, ∀j ∈ {1, . . . , n}, ∂x (x) = 0. j Application : Expression de arctan x + arctan y : x+y On considère l’ouvert U = {(x, y) ∈ R2 /xy 6= 1} et soit l’application f : (x, y) ∈ U 7→ arctan x + arctan y − arctan 1−xy . On a ∀x, y ∈ U : ∂f 1 (1 − xy) + y(x + y) 1 (x, y) = − Ä ä2 2 2 ∂x 1+x (1 − xy) 1 + x+y 1−xy
= = =
1 1 + y2 − 1 + x2 (1 − xy)2 + (x + y)2 1 1 + y2 − 1 + x2 1 + x2 y 2 + x2 + y 2 1 1 + y2 1 1 − = − =0 1 + x2 (1 + x2 )(1 + y 2 ) 1 + x2 1 + x2
et puisque f (x, y) = f (y, x) alors on a aussi ∂f ∂y (x, y) = 0. On déduit que f est constantes sur les ouverts connexes par arcs de U , c’est à dire, sur U1 = {(x, y) ∈ R2 /xy < 1}, U2 = {(x, y) ∈]0, +∞[2 /xy > 1} et U3 = {(x, y) ∈] − ∞, 0[2 /xy > 1}. On déduit que : x+y — Si xy ≤ 1 alors f (x, y) = f (0, 0) = 0 car (0, 0) ∈ U1 d’où arctan x + arctan y = arctan 1−xy . www.mathlaayoune.webs.com
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x+y — Si x, y > 0 et xy > 1 alors f (x, y) = lim f (t, t) = π donc arctan x + arctan y = arctan 1−xy + π. t→+∞
x+y − π. — Si x, y < 0 et xy > 1 alors f (x, y) = lim f (t, t) = −π donc arctan x + arctan y = arctan 1−xy t→−∞ ®π si x > 0 En fin, si x, y ∈ R tels que xy = 1 alors arctan x + arctan y = arctan x + arctan x1 = 2 π . − 2 si x < 0 x+y si xy ≤ 1 arctan 1−xy π si xy = 1 et x < 0 − 2 x+y On déduit que arctan x + arctan y = arctan 1−xy − π si xy > 1 et x, y < 0 . π si xy = 1 et x > 0 2 x+y arctan 1−xy + π si xy > 1 et x, y > 0
4 4.1
Applications de classe C k , extrema : Applications de classe C k :
Notation : Soit k ∈ N∗ , E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F. k−1 k ∂ f ∂ — ∀i ∈ {1, . . . , n}, on note, ∂∂xfk = ∂x . i ∂xk−1 i
i
— ∀α1 , . . . , αp ∈ N∗ tels que α1 + · · · + αp = k, ∀i1 , . . . , ip ∈ {1, . . . , n}, on note, : å åå Ç Ç Ç ∂ α1 ∂kf ∂ α2 ∂ αp f ··· ··· αp = α 1 2 1 ∂xα ∂xα ∂xα ∂xipp i1 i2 i1 · · · ∂xip 2 2 4 Exemple : Pour l’application Å f : (x, y, z)ã∈ R 7→ x y z on a 2 ∂ f ∂ ∂ 2 4 ∂ — (x, y, z) = (x y z) = 2 (xy 4 z) = 2y 4 z. ∂x2 ∂x ∂x ∂x Å ã ∂2f ∂ ∂ 2 4 ∂ — (x, y, z) = (x y z) = 4 (x2 y 3 z) = 4x2 y 3 z. ∂z∂y ∂z ∂y ∂z ã Å ã Å ∂3f ∂2 ∂2 2 3 ∂ ∂ 2 3 ∂ ∂ 2 4 — (x, y, z) = (x y z) = 4 (x y z) = 4 (x y z) = 12 (x2 y 2 z) = 24x2 yz. ∂y 3 ∂y 2 ∂y ∂y 2 ∂y ∂y ∂y Å ã Å ã ∂3f ∂2 ∂ 2 4 ∂2 ∂ ∂ ∂ 4 4 — (x, y, z) = (x y z) = 2 (xy z) = 2 (xy z) = 2 (xy 4 ) = 4y 4 z. ∂x∂z∂x ∂x∂z ∂x ∂x∂z ∂x ∂z ∂x Å 2 Å ãã Å 2 ã ∂4f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 4 2 4 — (x, y, z) = (x y z) = (x y ) = 12 (x2 y 2 ) = 24xy 2 . 2 2 2 ∂x∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x
Définition 4.1 Soit k ∈ N∗ , E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F. k f — Soit a ∈ U . On appelle dérivée partielle d’ordre k de f en a tout vecteur ∂xα1∂···∂x αp (a) de F avec i1 , . . . , ip ∈ i1
ip
{1, . . . , n} et α1 , . . . , αp ∈ N∗ tels que α1 + · · · + αp = k lorsqu’il existe. k f ∗ — Toute application x ∈ U 7→ ∂xα1∂···∂x αp (x) avec i1 , . . . , ip ∈ {1, . . . , n} et α1 , . . . , αp ∈ N tels que α1 +· · ·+αp = k, i1
ip
lorsqu’elle est définie sur U , s’appelle application dérivée partielle d’ordre k de f sur U . On la note
∂k f α α ∂xi 1 ···∂xi p 1
.
p
Exemple : ® — Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application f : (x, y) ∈ R2 7→ ∂f ∂f ∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0 et ∀(x, y) ∂f ∂2f ∂x (t, 0) = 0 donc ∂x2 (0, 0) = 0.
On déjà montré qu — On a ∀t ∈ R,
— On a ∀t ∈ R, ∂f ∂x (0, t) = t donc — On a ∀t ∈ R, ∂f ∂y (t, 0) =
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∂2f ∂y∂x (0, 0)
∂f ∂y (0, t)
= 0 donc
6= (0, 0), ∂f ∂x (x, y) =
xy 3 x4 +y 2
0 y 3 (y 2 −3x4 ) (x4 +y 2 )2
si(x, y) 6= (0, 0) : sinon et
∂f ∂y (x, y)
=
xy 2 (3x4 +y 2 ) (x4 +y 2 )2 .
= 1. ∂2f ∂x∂y (0, 0)
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=
∂2f ∂y 2 (0, 0)
= 0.
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xy(x2 −y 2 ) x2 +y 2
( — Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application g(x, y) = On a ∀t ∈ R, g(t, 0) = g(0, t) = 0 donc Soit (x, y) 6= (0, 0) donc :
∂g ∂x (0, 0)
=
∂g ∂x (0, 0)
0
si (x, y) 6= (0, 0) : sinon
= 0.
3x4 y + 3x2 y 3 − x2 y 3 − y 5 − 2x4 y + 2x2 y 3 y(x4 + 4x2 y 2 − y 4 ) (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − 2x(x3 y − xy 3 ) ∂g = = (x, y) = 2 2 2 2 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) (x2 + y 2 )2 On a ∀(a, b) ∈ R2 , g(a, b) = −g(b, a) donc : ∂g ∂f x(x4 − 4x2 y 2 − y 5 ) (x, y) = − (y, x) = ∂y ∂x (x2 + y 2 )2 ∂g — On a ∀t ∈ R, ∂x (t, 0) = 0 donc
∂2g ∂x2 (0, 0)
= 0.
∂2g ∂y∂x (0, 0)
∂g — On a ∀t ∈ R, ∂x (0, t) = −t donc ∂g — On a ∀t ∈ R, ∂y (0, t) = 0 donc
∂2g ∂y 2 (0, 0)
∂g — On a ∀t ∈ R, ∂y (t, 0) = t donc
∂2g ∂x∂y (0, 0)
= −1.
= 0. = 1. ®
— Dérivées partielles d’ordre deux en (0, 0) de l’application h : (x, y) 7→ — On a ∀t ∈ R, f (t, 0) = 0 et f (0, t) = t2 donc — On a ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂f ∂x (x, y) =
−2xy 4 (x2 +y 2 )2
et
∂f ∂x (0, 0) ∂f ∂y (x, y)
— On a ∀t ∈ R, ∂h ∂x (t, 0) = 0 donc
∂2h ∂x2 (0, 0)
— On a ∀t ∈ R, ∂h ∂x (0, t) = 0 donc
∂2h ∂y∂x (0, 0)
= 0.
— On a ∀t ∈ R, ∂h ∂y (0, t) = 2t donc
∂2g ∂y 2 (0, 0)
= 2.
— On a ∀t ∈ R, ∂h ∂y (t, 0) = 0 donc
∂2h ∂x∂y (0, 0)
= 0.
= =
∂f ∂y (0, 0)
y4 x2 +y 2
0 = 0.
4y 3 (x2 +y 2 )−2y 5 (x2 +y 2 )2
=
si (x, y) 6= (0, 0) : sinon
2y 3 (2x2 +y 2 ) (x2 +y 2 )2 .
= 0.
Définition 4.2 Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F . — Soit k ∈ N∗ . On dit que f est de classe C k sur U si les dérivées partielles d’ordre k de f existent et sont continues sur U. — On dit que f est de classe C ∞ sur U si ∀p ∈ N∗ , f est de classe C p sur U . Remarque : Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F . Si les composantes de f sont composées de fonctions usuelles (polynômes, fractions, fonctions trigonométriques, fonctions puissance, exponentiels ...) en les coordonnées de la variable alors f est de classe C ∞ sur U . Proposition 4.1 Soit k ∈ N∗ ∪ {∞}, E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles et U un ouvert de E. L’ensemble des applications de U vers F de classe C k sur U est un R-espace vectoriel. On le note C k (U, F ) ou C k (U ) lorsque F = R. Proposition 4.2 Soit k ∈ N∗ ∪ {∞}, E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f : U → F , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. Si f ∈ C k (U, F ) et g ∈ C k (V, G) alors (g ◦ f ) ∈ C k (U, G). Lemme 4.3 Soit U un ouvert de R2 tel que (0, 0) ∈ U , F un R espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et f : U → F. ∂2f ∂2f Si f ∈ C 2 (U, F ) alors ∂x∂y (0, 0) = ∂y∂x (0, 0). Théorème 4.1 (Théorème de Schwarz) Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, n = dim E, U un ouvert de E et f : U → F . 2 2 f f Si f ∈ C 2 (U, F ) alors ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂x∂i ∂x = ∂x∂j ∂x sur U . j i www.mathlaayoune.webs.com
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Remarque : Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, n = dim E, U un ouvert de E et f : U → F. 2 2 f f Pour montrer que f 6∈ C 2 (U, F ), on peut vérifier que ∃i, j ∈ {1, . . . , n}, ∃a ∈ U, ∂x∂i ∂x (a) 6= ∂x∂j ∂x (a). j i Exemples : ® xy3 si (x, y) 6= (0, 0) 4 2 ∂2f ∂2f — Pour l’application f : (x, y) 7→ x +y (0, 0) = 0 6= 1 = ∂y∂x (0, 0) donc f , on a montré que ∂x∂y 0 sinon n’est pas de classe C 2 sur R2 . ( xy(x2 −y 2 ) si (x, y) 6= (0, 0) ∂2g ∂2g x2 +y 2 — Pour l’application g : (x, y) 7→ , on a montré que ∂x∂y (0, 0) = 1 6= −1 = ∂y∂x (0, 0) 0 sinon donc g n’est pas de classe C 2 sur R2 . Remarque : Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, n = dim E, U un ouvert de E et f : U → F . 2 2 f f = ∂x∂j ∂x alors f n’est pas forcément de classe C 2 sur U . Si ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂x∂i ∂x j i ® y4 si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 ∂2f ∂2f Exemple : Pour l’application h : (x, y) 7→ x +y , on a montré que ∂x∂y (0, 0) = ∂y∂x (0, 0) = 0. 0 sinon On a montré que ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂f ∂x (x, y) = 3 3 y −8 (x2x+y 2 )3
d’où ∀t 6= 0,
On déduit que
4.2
∂2f ∂y∂x
∂2f ∂y∂x (t, t)
= −1 6→ 0
−2xy 4 (x2 +y 2 )2 donc ∂2f = ∂y∂x (0, 0).
2
∂ f ∀(x, y) 6= (0, 0), ∂y∂x (x, y) = −2x 4y
3
(x2 +y 2 )2 −4y 5 (x2 +y 2 ) (x2 +y 2 )4
=
n’est pas continue en (0, 0) donc f n’est pas de classe C 2 sur R2 .
Extrema des fonctions à valeurs réelles :
Proposition 4.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U tel que f soit différentiable en a. Si f admet un extremum local en a alors df (a) = 0. Remarque : La réciproque est fausse. En effet, pour f (x) = x3 on a f 0 (0) = 0 mais f n’admet pas d’extremum en 0. Définition 4.3 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U . On dit que a est un point critique ou stationnaire de f si f est différentiable en a et df (a) = 0. Théorème 4.2 (Développement de Taylor-Young d’ordre 2) Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert E et f : U → R. n X Si f ∈ C 2 (U ) alors ∀a ∈ U, ∀h = hi ei ∈ E : i=1
f (a + h) = f (a) + df (a)(h) +
n 1 X ∂2f hi hj (a) + o khk2 2 i,j=1 ∂xi ∂xj
Démonstration : Soit a ∈ U et ε > 0. On a f ∈ C 2 (U ) donc les dérivées 2 partielles d’ordre2 deux de f sont continues en a donc ∃α > 0, ∀h ∈ E, ∂ f ∂ f si khk ≤ α alors a + h ∈ U et ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂xj ∂xi (a + h) − ∂xj ∂xi (a) ≤ ε. n X Soit h = hi ei ∈ E tel que khk ≤ α et ϕ : t ∈ [0, 1] 7→ f (a + th) donc ϕ est C 2 sur [0, 1] comme composée i=1
de deux applications de classe C 2 et on a ∀t ∈ [0, 1], ϕ0 (t) = ! n n n X X X ∂2f ∂2f (a + th)hj hi = (a + th)hi hj . ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi i=1 j=1 i,j=1
ã0 n Å n X X ∂f ∂f (a + th)hi et ϕ00 (t) = (a + th) hi = ∂xi ∂xi i=1 i=1
Z
1
On a ϕ est C sur [0, 1] donc, d’après la formule de Taylor avec reste intégrale, ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) + (1 − t)ϕ00 (t)dt = 0 Z 1 1 ϕ(0) + ϕ0 (0) + ϕ00 (0) + (1 − t)(ϕ00 (t) − ϕ00 (0))dt. 2 0 Z 1 ã n n Å X 1 X ∂2f ∂2f ∂2f On déduit que f (a+h) = f (a)+df (a)(h)+ (a)hi hj + (1−t) (a + th) − (a) hi hj dt. 2 i,j=1 ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 0 i,j=1 0
2
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Z 1 ã n Å n Z 1 2 2 X X ∂2f ∂ f ∂ f ∂2f dt ≤ n2 εkhk2∞ . On a (1 − t) (a + th) − (a) hi hj dt ≤ khk2∞ (a + th) − (a) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x j i j i j i j i 0 i,j=1 i,j=1 0 Z 1 ã n Å X ∂2f ∂2f (1 − t) On déduit que (a + th) − (a) hi hj dt = o khk2 d’où le résultat. ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 0 i,j=1 Définition 4.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert E, f ∈ C 2 (U ) et a ∈ U . Ä 2 ä f (a) s’appelle la matrice Hessienne de f en a par rapport à la base B. On la note Hf (a). La matrice ∂x∂i ∂x j 1≤i,j≤n
Remarque : D’après le théorème de Schwarz la matrice Hessienne est symétrique. En particulier, d’après le théorème spectral elle diagonalisable. Interprétation matricielle du développement de Taylor-Young d’ordre deux : Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert E et f ∈ C 2 (U ). Si a ∈ U et h ∈ E tel que a + h ∈ U alors f (a + h) = f (a) + Jf (a)H + 21 tHHf (a)H + o khk2 avec H = [h]B . Exemples : — Développement de Taylor-Young d’ordre deux de la fonction f (x, y) = x sin y en (x, y) ∈ R2 : 2 2 ∂f ∂2f On a ∂f = x cos y, ∂∂xf2 (x, y) = 0, ∂∂yf2 (x, y) = −x sin y et ∂x∂y (x, y) = cos y donc Jf (x, y) = ∂x (x, y) = sin y, ∂y (x, y) Å ã 0 cos y sin y x cos y et Hf (x, y) = d’où ∀(h, k) ∈ R2 : cos y −x sin y f (x + h, y + k)
Å ã Å ã h h + 12 h k Hf (x, y) + o h2 + k 2 k k Å ã Å ãÅ ã h 0 cos y h = f (x, y) + sin y x cos y + 12 h k + o h2 + k 2 k cos y −x sin y k = x sin y + h sin y + kx cos y + hk cos y − 21 xk 2 sin y + o h2 + k 2 = f (x, y) + Jf (x, y)
— Développement de Taylor-Young d’ordre deux de la fonction f (x, y) = sin xy en (x, y) ∈ R2 : 2 ∂f ∂2f ∂2f 2 On a ∂f sin xy, ∂∂yf2 (x, y) = −x2 sin xy et ∂x∂y (x, y) = ∂x (x, y) = y cos xy, ∂y (x, y) = x cos xy, ∂x2 (x, y) = −y Å 2 ã −y sin xy −xy sin xy −xy sin xy donc Jf (x, y) = y cos xy x cos xy et Hf (x, y) = d’où ∀(h, k) ∈ R2 : −xy sin xy −x2 sin xy f (x + h, y + k)
= = =
Å ã h k Hf (x, y) + o h2 + k 2 kÅ Å ã ãÅ ã h −y 2 sin xy −xy sin xy h 1 +2 h k + o h2 + k 2 f (x, y) + y cos xy x cos xy 2 k −xy sin xy −x sin xy k sin xy + hy cos xy + kx cos xy + hkxy sin xy − 21 y 2 h2 sin xy − 12 x2 k 2 sin xy + o h2 + k 2 f (x, y) + Jf (x, y)
Å ã h + k
1 2
h
Corollaire 4.5 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, B une base de E, U un ouvert de E, f ∈ C 2 (U ) et a ∈ U un point critique de f . — Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement positives alors f admet un minimum local stricte en a. — Si les valeurs propres de la matrice Hessienne Hf (a) sont strictement négatives alors f admet un maximum local stricte en a. Définition 4.5 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f ∈ C 2 (U ) et a ∈ U . On dit que f admet un point col ou un point selle en a s’il existe deux vecteurs h et k de E tels l’application t 7→ f (a + th) admet un maximum local stricte en 0 et l’application t 7→ f (a + tk) admet un minimum local stricte en 0. Notation de Monge : Soient U un ouvert non vide de R2 , f ∈ C 2 (U ) et (a, b) ∈ U . ∂f ∂2f ∂2f ∂2f On pose p = ∂f ∂x (a, b), q = ∂y (a, b), r = ∂x2 (a, b), s = ∂x∂y (a, b) et t = ∂y 2 (a, b) donc : f (a + h, b + k)
= =
Å ã Å ãÅ ã h r s h + h k + (h2 + k 2 ) k s t k f (a, b) + hp + kq + 12 (rh2 + 2shk + tk 2 ) + o h2 + k 2 f (a, b) + p
q
Corollaire 4.6 SoientÅU unãouvert non vide de R2 , f ∈ C 2 (U ) et (a, b) ∈ U un point critique de f . r s On note Hf (a, b) = (Notation de Monge) et on suppose que rt − s2 6= 0. s t — Si rt − s2 > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a. www.mathlaayoune.webs.com
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— Si rt − s2 > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a. — Si rt − s2 < 0 alors f admet un point col en a. Exemples : — Extrema de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 3x − 6y : — Recherche des points ( ∂f critiques de f : ß ∂x (x, y) = 0 2x + y − 3 = 0 d’où (x, y) = (0, 3) est l’unique point critique donc Soit le système ∂f 2y + x − 6 = 0 (x, y) = 0 ∂y
de f . — Recherche des extrema de f : 2 2 ∂2f (x, y) = 1 donc la matrice hessienne de f en (0, 3) est Hf (0, 3) = On a ∂∂xf2 (x, y) = 2, ∂∂yf2 (x, y) = 2 et ∂y∂x è Ö 2 ∂2f ∂ f Å ã Å ã ∂x2 (0, 3) ∂x∂y (0, 3) 2 1 r s = = donc rt − s2 = 4 − 1 = 3 > 0 et r = 2 > 0 d’où f admet un 1 2 s t ∂2f ∂2f ∂y∂x (0, 3) ∂y 2 (0, 3) minimum local stricte en (0, 3). — Extrema de la fonction f (x, y) = x3 − y 2 − 3xy : — Recherche des points ( ∂f critiques de f : ß ß 2 ß ∂x (x, y) = 0 3x2 − 3y = 0 x = y 2x2 = −3x Soit le système donc donc donc ∂f −2y − 3x = 0 3x = −2y 3x = −2y ∂y (x, y) = 0 d’où (x, y) = (0, 3) ou (x, y) = − 23 , 94 . On déduit que f admet deux points critiques (0, 0) et − 32 , 94 . — Recherche des extrema de f : 2 2 ∂2f On a ∂∂xf2 (x, y) = 6x, ∂∂yf2 (x, y) = −2 et ∂y∂x (x, y) = −3 Ö 2 è ∂ f ∂2f ∂x2 (0, 0) ∂x∂y (0, 0) — Cas du point critique (0, 0) : La matrice hessienne de f en (0, 0) est Hf (0, 0) = = ∂2f ∂2f ∂y∂x (0, 0) ∂y 2 (0, 0) Å ã Å ã 0 −3 r s = donc rt − s2 = −9 < 0 donc f admet un point col en (0, 3). −3 −2 s t Ö 2 è ∂ f ∂2f − 23 , 94 − 32 , 94 2 ∂x ∂x∂y — Cas du point critique − 32 , 49 : La matrice hessienne de f en (0, 0) est Hf − 23 , 49 = = ∂2f ∂2f 3 9 3 9 − − , , 2 ∂y∂x 2 4 ∂y 2 4 Å ã Å ã −9 −3 r s 3 9 2 = donc rt−s = 9 > 0 et r = −9 < 0 d’où f admet un maximum local stricte en − 2 , 4 . −3 −2 s t
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