Calcul Diferential Si Integral

CALCUL DIFERENT ¸ IAL S ¸ I INTEGRAL coordonator Paul Flondor Radu Gologan, Vasile Iftode, Gavriil P˘altineanu, Mircea Olteanu , Antonela Toma, Tania-Luminit¸a Costache, Jenica Cranganu, Marcel Roman, Monica Burlic˘a , Vilhelm Kecs

2 *

Introducere Acest text este rezultatul muncii colectivului de autori cordonat de dl. Prof. Paul Flondor, in cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768 ” Formarea cadrelor didactice universitare ¸si a student¸ilor ˆın domeniul utiliz˘arii unor instrumente moderne de predare-ˆınv˘a¸tare-evaluare pentru disciplinele matematice, ˆın vederea cre˘ arii de competent¸e performante ¸si practice pentru piat¸a muncii ”. Lucrarea se adreseaz˘ a ˆın special student¸ilor facult˘a¸tilor cu profil tehnic, acoperind capitolele fundamentale ale curriculei de Calcul diferent¸ial ¸si integral. Se prezint˘ a not¸iunile ¸si rezultatele principale, insistˆandu-se asupra preciziei enunt¸urilor ¸si mai put¸in asupra demonstrat¸iilor. Textul este ˆınsot¸it de exemple rezolvate ¸si aplicat¸ii care s˘a contribuie la asimilarea ˆın condit¸ii optime a not¸iunilor prezentate. Textul urmeaz˘ a ˆın linii mari prezentarea din [10]. Pentru aprofundarea not¸iunilor recomand˘ am lucr˘ arile din Bibliografie.

Coordonator prof. Paul Flondor

3

4 *

Cuprins Introducere

3

1 Mult¸imi ¸si relat¸ii

8

2 Spat¸iul Rn

11

3 Elemente de topologie a spat¸iului Rn

13

4 Funct¸ii continue

15

5 Derivate part¸iale, diferent¸ial˘ a

18

6 Extremele funct¸iilor, formule Taylor

24

7 Serii numerice

30

8 Integrale improprii

35

9 S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii. Serii de puteri

39

10 Serii Fourier

43

11 Funct¸ii definite prin integrale

49

12 Integrala curbilinie

51

13 Integrala dubl˘ a ¸si integrala tripl˘ a

55

14 Integrala de suprafat¸˘ a

59

15 Formule integrale

62

16 Funct¸ii olomorfe ¸si teorema reziduurilor

66

17 Spat¸ii metrice. Principiul contract¸iei

71

5

6 18 Exercit¸ii rezolvate 18.1 Mult¸imi ¸si relat¸ii . . . . . . . . . . . . . 18.2 Spat¸iul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Elemente de topologie a spat¸iului Rn . . 18.4 Funct¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Derivate part¸iale, diferent¸ial˘a . . . . . . 18.6 Extremele funct¸iilor, formule Taylor . . 18.7 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . 18.9 S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii. Serii de puteri . 18.10Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 18.11Funct¸ii definite prin integrale . . . . . . 18.12Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . 18.13Integrala dubl˘ a ¸si integrala tripl˘a . . . 18.14Integrala de suprafat¸˘a . . . . . . . . . . 18.15Formule integrale . . . . . . . . . . . . . 18.16Funct¸ii olomorfe ¸si teorema reziduurilor 18.17Spat¸ii metrice. Principiul contract¸iei . .

CUPRINS

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 78 80 83 87 98 117 123 128 133 147 154 160 165 168 182 187

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

CUPRINS *

7

Capitolul 1

Mult¸imi ¸si relat¸ii Vom presupune cunoscute not¸iunile de mult¸ime ¸si operat¸iile elementare cu mult¸imi ca ¸si not¸iunile fundamentale de funct¸ie ¸si de compunere a funct¸iilor. Relat¸ie binar˘ a . O relat¸ie (binar˘a) pe o mult¸ime E este o submult¸ime a produsului cartezian E × E. Relat¸ie de ordine. O relat¸ie R pe E este o relat¸ie de ordine dac˘a : i) (x, y) ∈ R pentru orice x ∈ R (reflexivitate). ii) (x, y) ∈ R ¸si (y, x) ∈ R implic˘a x = y (antisimetric). iii) (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R implic˘a (x, z) ∈ R (tranzitivitate). Se folose¸ste, ˆın general, notat¸ia xRy ˆın loc de (x, y) ∈ R. Exemple. i) Relat¸ia de incluziune ˆıntre submult¸imile unei mult¸imi. ii) Relat¸ia de ”≤” pe mult¸imea numerelor reale R. In cele ce urmeaz˘ a ne vom limita la aceast˘a , din urm˘a , relat¸ie de ordine. Majorant, minorant, margine superioar˘ a , margine inferioar˘ a. Dac˘ a A ⊆ R este o submult¸ime nevid˘a , un num˘ar a ∈ R este un majorant al mult¸imii A dac˘ a x ≤ a pentru orice x ∈ A (similar se obt¸ine not¸iunea de minorant). Cel mai mic maorant (dac˘a exist˘a !) al mult¸imii A se nume¸ste marginea superioar˘ a a mult¸imii A ¸si se noteaz˘a sup A (analog, cel mai mare minorant al mult¸imii A este marginea inferioar˘a a mult¸imii A notat˘ a inf A). O mult¸ime care are majorant¸i (minorant¸i) se zice m˘ arginit˘ a superior (m˘ arginit˘ a inferior). O mult¸ime m˘arginit˘a superior ¸si inferior se zice m˘ arginit˘ a. Exemple. i) Mult¸imea numerelor naturale N nu este m˘arginit˘a superior, dar este m˘ arginit˘ a inferior. ii) Intervalul A = [0, 1) este o mult¸ime m˘arginit˘a ¸si sup A = 1, inf A = 0. Este important˘ a caracterizarea: s = sup A dac˘a ¸si numai dac˘a x ≤ s pentru orice x ∈ A ¸si pentru orice ε > 0 exst˘a a ∈ A, s − ε < a ≤ s. 8

9 O proprietate fundamental˘ a a mult¸imii numerelor reale este: Axioma marginii superioare. In R orice mult¸ime nevid˘ a , m˘ arginit˘ a superior are margine superioar˘ a . (termenul xiom˘a ” trebuie luat ˆın sensul unei posibile construct¸ii axiomatice a mult¸imii numerelor reale, dar practic vom interpreta cele spuse ca un rezultat pe care ˆıl acept˘am f˘ar˘a demonstrat¸ie). Exercit¸iu. S˘ a se arate (folosind axioma de mai sus) c˘a orice mult¸ime nevid˘a , m˘ arginit˘ a inferior are margine inferioar˘a . Lema intervalelor ˆınchise incluse. Fie [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] T ⊇ ... ⊇ [an , bn ] ⊇ . . . un ¸sir de intervale ˆınchise incluse. Atunci intersect¸ia [an , bn ] este nevid˘ a. In plus, dac˘ a lim (bn − an ) = 0, atunci intersect¸ia este redus˘a la un n→∞ singur num˘ ar real. Demonstrat¸ie. Dac˘ a a este marginea superioar˘a a extremit˘a¸tilor stˆangi , iar b marginea inferioar˘ a a extremit˘ a¸tilor drepte ale intervalelor, atunci a ≤ b T ¸si [a, b] ⊆ [an , bn ] etc. Num˘ arabilitate. O mult¸ime E (nu neap˘arat de numere) se zice num˘ arabil˘ a dac˘a exist˘ a (cel put¸in) o biject¸ie ˆıntre mult¸imea numerelor naturale ¸si mult¸imea E. Cu alte cuvinte, E este num˘ arabil˘a dac˘a elementele sale se pot aranja ˆıntr-un ¸sir. Exemple. i) Orice submult¸ime infinit˘ a a mult¸imii numerelor naturale este num˘arabil˘a (se ¸stie c˘ a orice mult¸ime nevid˘ a de numere naturale are cel mai mic element; astfel dac˘ a A ⊆ N este infinit˘ a , aranj˘am elementele din A ˆıntr-un ¸sir luˆ and cel mai mic element a din A, apoi cel mai mic element din mult¸imea A \ a etc. ii) Mult¸imea Z a ˆıntregilor este num˘arabil˘a . iii) Mult¸imea Q a numerelor rat¸ionale este num˘arabil˘a . iv) Fie A o mult¸ime finit˘ a nevid˘a . Un ¸sir finit de elemente din A se nume¸ste cuvˆ ant peste A. Mult¸imea cuvintelor peste A este num˘arabil˘a . Teorema 1.1. Dac˘ a P(X) este mult¸imea p˘ art¸ilor unei mult¸imi X, atunci nu exist˘ a nicio aplicat¸ie surjectiv˘ a de la X la P(X). Demonstrat ¸ie. Prin absurd  fie f : X → P(X) surjectiv˘a ¸si E = x; x ∈ X, x ∈ / f (x) . Exist˘ a a astfel ˆıncˆat f (a) = E. Atunci dac˘a a ∈ f (a) rezult˘ aa∈ / f (a); dac˘ aa∈ / f (a) rezult˘a a ∈ f (a). Aceast˘a contradict¸ie arat˘a c˘a nu poate exista o astfel de surject¸ie. Exemplu. O mult¸ime de cuvinte peste o mult¸ime A se nume¸ste limbaj (peste A). Din teorema de mai sus deducem c˘a mult¸imea limbajelor nu este num˘arabil˘ a. Teorema 1.2. Mult¸imea R a numerelor reale nu este num˘ arabil˘ a .

10

CAPITOLUL 1. MULT ¸ IMI S¸I RELAT ¸ II

Demonstrat¸ie. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a mult¸imea [0, 1] nu este num˘arabil˘a Dac˘ a ar fi putem aranja numerele din interval ˆıntr-un ¸sir (xn )n . Imp˘art¸im intervalul ˆın trei p˘ art¸i egale. Fie [a1 , b1 ] una dintre p˘art¸i astfel ˆıncˆat x1 ∈ / [a1 , b1 ]; ˆımp˘ art¸im [a1 , b1 ] ˆın trei p˘art¸i egale ¸si fie [a2 , b2 ] astfel ˆıncˆat x2 ∈ / [a2 , b2 ] etc. Prin induct¸ie se obt¸ine un ¸sir de intervale ˆınchise incluse a c˘aror intersect¸ie este redus˘ a la un singur num˘ar (lema intervalelor ˆınchise incluse) din [0, 1]. Din construct¸ia f˘acut˘a rezult˘a c˘a acest num˘ar nu se g˘ase¸ste ˆın ¸sirul (xn )n , deci contradict¸ie.

Capitolul 2

Spat¸iul Rn  Prin definit¸ie, Rn = x = (x1 , x2 , ..., xn ); xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n . Pentru o mai bun˘ a ˆınt¸elegere preciz˘ am c˘a : dac˘a x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ), atunci x = y dac˘ a ¸si numai dac˘a x1 = y1 , x2 = y2 ,..., xn = yn (ˆın mult¸imea numerelor reale R). In particular: R1 = R (dreapta real˘a ), R2 este planul (euclidian), iar R3 ”spat¸iul”. Avˆand ˆın vedere structura algebric˘a definit˘a de operat¸iile mai jos introduse vom numi mult¸imea Rn spat¸iul euclidian n-dimensional ¸si elementele sale puncte sau vectori. In acest context, numerele reale x1 ,x2 ,...,xn sunt componentele lui x. S˘ a mai preciz˘am c˘a , ˆın cazul planului (R2 ), vom nota x, y componentele (deci vom scrie, de exemplu, a= (x,y) ), iar ˆın cazul R3 vom nota componentele cu x ,y ,z etc. Aceste notat¸ii sunt tradit¸ionale ¸si au avantajul simplific˘ arii notat¸iilor indiciale. Adunare. Dac˘ a x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ), n definim x + y∈R prin x + y=(x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ). Inmult¸ire cu scalari. Dac˘ a x ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ¸si α ∈ R definim αx ∈ Rn prin αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn ). Se poate ar˘ ata, cu u¸surint¸˘ a , c˘a Rn ˆımpreun˘a cu aceste dou˘a operat¸ii formeaz˘ a un spat¸iu vectorial (peste R) de dimensiune n. In particular, x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , ..., xn − yn ). Vom nota (ambiguu) 0 vectorul (0, 0, ..., 0) ¸si-l vom numi origine. Vectorii e1 = (1, 0, ..., 0),..., en = (0, 0, ..., 1) formeaz˘ a o baz˘ a ˆın Rn numit˘ a baza canonic˘ a . Componentele unui vector coincid cu coordonatele acestuia ˆın baza canonic˘a . Produs scalar. Dac˘ a x,y∈Rn definim x · y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn . Norm˘ a . Dac˘ a x ∈Rn definim kxk = (x21 + x22 + ... + x2n )1/2 (se observ˘a c˘a pentru n=1 se reg˘ ase¸ste modulul unui num˘ar real). Inegalitatea lui Cauchy. |x · y| ≤ kxk kyk pentru orice x,y∈Rn . Propriet˘ a¸tile normei. Pentru orice x,y∈Rn ¸si α∈R: 1. kxk =0 ; kxk=0 dac˘ a ¸si numai dac˘a x=0. 11

CAPITOLUL 2. SPAT ¸ IUL RN

12 2. kx + yk≤kxk+ kyk . 3. kαxk = |α| kxk .

In timp ce i) ¸si iii) se obt¸in cu u¸surint¸˘a , demonstrat¸ia lui ii) folose¸ste inegalitatea lui Cauchy. Distant¸a (euclidian˘ a ). Dac˘a x,y∈Rn se define¸ste d(x,y) = kx − yk. In plan, distant¸a dintre dou˘a puncte reprezint˘a lungimea segmentului de dreapt˘ a care une¸ste cele dou˘a puncte (distant¸a din geometria analitic˘a ). Analog ˆın spat¸iu. Se observ˘a c˘a norma unui vector este distant¸a acestuia la origine. Din propriet˘ a¸tile normei rezult˘a , f˘ar˘a dificultate, propriet˘a¸tile de baz˘ a ale distant¸ei: Propriet˘ a¸tile distant¸ei. Pentru orice x,y,z ∈Rn : 1. d(x, y)≥0 ; d(x, y) =0 dac˘a ¸si numai dac˘a x=y . 2. d(x, y) = d(y, x) . 3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) . Ultima proprietate poart˘a numele de inegalitatea triunghiului preluˆand astfel numele unei binecunoscute inegalit˘a¸ti din geometria plan˘a . Impreun˘ a cu distant¸a introdus˘a , Rn este un spat¸iu metric. In general, un spat¸iu metric este o mult¸ime pe care s-a introdus o funct¸ie (de perechile de elemente din mult¸ime) care satisface condit¸iile i), ii). iii) de mai sus (verific˘ a ”propriet˘ a¸tile distant¸ei”).

Capitolul 3

Elemente de topologie a spat¸iului Rn n Bil˘ a deschis˘ a . Dac˘ a de centru a ¸si de  a a∈R n ¸si r>0, bila deschis˘ raz˘ a r este B(a, r) = x; x ∈ R , d(x, a) < r . In R bilele deschise sunt intervale deschise, ˆın R2 discuri f˘ar˘a circumferint¸a care le m˘ argine¸ste, iar ˆın R3 bile f˘ar˘a sfera care le m˘argine¸ste. Astfel, de exemplu, ˆın R2 , (x,y)∈ B(0, 1) dac˘a ¸si numai dac˘a x2 +y2 0 ∃ Jε astfel ˆıncˆ at dac˘a j ≥ Jε s˘a rezulte d(xj , x) < ε. Un ¸sir care are limit˘ a se zice convergent.

13

14

CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE TOPOLOGIE A SPAT ¸ IULUI RN

Se observ˘ a c˘ a din xj −→ x ¸si xj −→ y rezult˘a x=y (unicitatea limitei). Forma ”geometric˘ a ” a definit¸iei limitei (cum rezult˘a cu u¸surint¸˘a ) este: pentru orice bil˘ a deschis˘a centrat˘a ˆın x exist˘a un rang astfel ˆıncˆat termenii de rang mai mare ai ¸sirului apart¸in bilei. Se remarc˘a folosirea exclusiv˘a a distant¸ei pentru definit¸ia limitei; deci aceast˘a definit¸ie poate fi dat˘a ˆın orice spat¸iu metric. Evident, ˆın cazul R definit¸ia de mai sus coincide cu cea dat˘a , ˆın liceu, pentru ¸siruri de numere reale. Convergent¸a ¸sirurilor ˆın Rn se reduce la convergent¸a (simultan˘a a mai multor) ¸sirurilor ˆın R. Vom descrie acest fenomen doar ˆın cazul particular R2 pentru a evita complicarea scrierii din cauza indicilor. Rezultatul este valabil ˆın cazul general. Propozit¸ia 3.1. (xk , yk ) −→ (x, y) ˆın R2 dac˘ a ¸si numai dac˘ a xk −→ x ¸si yk −→ y ˆın R. 1

Demonstrat¸ia se bazeaz˘a pe inegalit˘a¸tile |x|, |y| ≤ (x2 + y 2 ) 2 ≤ |x| + |y| pentru orice numere reale x,y. Este u¸sor de generalizat inegalit˘a¸tile de mai sus la cazul general Rn . In fond, putem afirma c˘a atˆat convergent¸a cˆat ¸si limita sunt ”pe componente”. Punct aderent unei mult¸imi. Un punct a∈Rn este aderent mult¸imii A⊆Rn dac˘ a exist˘ a un ¸sir de puncte din A cu limita a. Desigur, orice punct din A este aderent mult¸imii A (se poate lua un ¸sir constant etc.). Este simplu de v˘azut c˘a 0 este aderent intervalului deschis (0, 1) dar nu apart¸ine acestui interval. Leg˘ atura dintre puncte aderente ¸si mult¸imi ˆınchise este dat˘a de : Teorema 3.1. O submult¸ime A⊆Rn este ˆınchis˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice punct a aderent mult¸imii A avem a∈A. Frontier˘ a . Dac˘ a A⊆Rn , se define¸ste frontiera FrA a mult¸imii A ca fiind mult¸imea punctelor aderente atˆat mult¸imii A cˆat ¸si mult¸imii Rn \ A. FrA este o mult¸ime ˆınchis˘a . Vom reveni cu not¸iuni importante de topologie ˆın capitolul urm˘ator.

Capitolul 4

Funct¸ii continue In studiul calculului diferent¸ial al funct¸iilor de mai multe variabile vom considera funct¸ii f : Rn −→ Rm sau, mai general, funct¸ii f : A−→ Rm , unde A este o submult¸ime ˆın Rn . Ca un prim exemplu de astfel de funct¸ii, util ˆın cele ce urmeaz˘ a , vom considera proiect¸iile canonice ale spat¸iului n R . Proiect¸ii canonice. Pentru i=1,2,..n vom nota pi funct¸ia, definit˘a pe ¸si cu valori ˆın R, pi (x1 ,x2 ,...,xn )=xi ¸si o vom numi proiect¸ia canonic˘ a de ordin i . Este clar c˘ a proiect¸iile canonice sunt funct¸ii liniare. Componentele unei funct¸ii. Fie f : A −→ Rm (A⊆Rn ). Pentru fiecare j=1,2...m definim fj : A −→ Rn prin fj = pj ◦f , unde pj este proiect¸ia canonic˘ a de ordin j ˆın Rm , iar ”◦” reprezint˘a compunerea funct¸iilor. Funct¸iile fj sunt componentele funct¸iei f ; se scrie f=(f1 ,f2 ,...fm ). Pentru a l˘ amuri mai bine cele spuse s˘a not˘am cu x=(x1 ,x2 ,...,xn ) variabila ˆın Rn ¸si cu y=( y1 ,y2 ,...,ym ) variabila ˆın Rm . Dac˘a , pentru x ∈A not˘am y=f(x), atunci se vede u¸sor c˘ a avem y1 =f1 (x1 ,x2 ,...,xn ), ..., ym =fm (x1 ,x2 ,...,xn ). In particular rezult˘ a c˘ a dou˘ a funct¸ii f,g : A −→ Rm sunt egale dac˘a ¸si numai dac˘ a f1 =g1 , ..., fm =gm . Multe propriet˘a¸ti ale funct¸iilor se reduc la propriet˘ a¸ti analoage ale componentelor. Astfel, de exemplu, o funct¸ie f : Rn −→ Rm este liniar˘a dac˘a ¸si numai dac˘a are (toate) componentele liniare. Funct¸ie continu˘ a . Fie f : A −→ Rm (A⊆ Rn ) ¸si a∈A. Spunem c˘a funct¸ia f este continu˘ a ˆın (punctul) a dac˘a : ∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ˆıncˆat dac˘a x ∈ A, d(x, a) < δε s˘ a rezulte d(f (x), f (a)) < ε. (s-a notat, pentru simplitate, cu d atˆ at distant¸a ˆın Rn cˆat ¸si cea ˆın Rm ). Dac˘ a f este continu˘ a ˆın orice punct din A atunci se zice continu˘ a pe A. Se poate reformula condit¸ia din definit¸ia continuit˘a¸tii ˆıntr-o form˘a ”geometric˘a ” astfel: pentru orice bil˘ a deschis˘a B(f (a), ε) exist˘a o bil˘a deschis˘a B(a, δε ) astfel ˆıncˆ at dac˘ a x ∈ A ∩ B(a, δε ) atunci f (x) ∈ B(f (a), ε). Rn

15

16

CAPITOLUL 4. FUNCT ¸ II CONTINUE

Remarc˘ am c˘ a definit¸ia continuit˘a¸tii poate fi dat˘a , f˘ar˘a modific˘ari formale, pentru funct¸ii definite pe un spat¸iu metric cu valori ˆıntr-un spat¸iu metric. Propozit¸ia 4.1. Compunerea a dou˘ a funct¸ii continue este o funct¸ie continu˘ a. O caracterizare util˘ a a continui˘a¸tii este cea cu ”¸siruri” : Teorema 4.1. Funct¸ia f : A −→ Rn (A ⊆Rn ) este continu˘ a ˆın punctul a∈A dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice ¸sir (xk )k ˆın A , xk −→ a avem (f (xk ))k −→ f (a). Folosind teorema ¸si caracterizarea convergent¸ei ¸sirurilor obt¸inem: Corolarul 4.1. Dac˘ a f : A −→ Rm (A ⊆Rn ), f=(f1 ,f2 ,...fm ), atunci f este continu˘ a ˆın a∈A dac˘ a ¸si numai dac˘ a funct¸iile f1 ,f2 ,...fm sunt continue ˆın a. Exemple. i) Orice funct¸ie constant˘a este continu˘a . ii) Fie s : R2 −→ R funct¸ia ”sum˘a ” s(x,y)=x+y ; s este continu˘a . In adev˘ ar totul revine, folosind teorema de mai sus, la binecunoscuta afirmat¸ie ”limita sumei este suma limitelor” din teoria ¸sirurilor de numere reale. iii) Analog pentru funct¸ia produs. iv) Dac˘ a f,g : A −→ R sunt continue, atunci funct¸iile f + g ¸si f g sunt continue. v) Orice funct¸ie liniar˘ a f : Rn −→ Rm este continu˘a . vi) Fie funct¸ia f : R2 −→ R definit˘a prin f(x,y)= x2xy dac˘a (x,y)6=(0, 0) ¸si +y 2 f(0, 0)=0. S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a f nu este continu˘a ˆın (0, 0). In adev˘ar, fie ¸sirul (1/n,2/n)n ˆın R2 . Evident, acest ¸sir are limita (0,0). Dar (f(1/n,2/n))n =2/5 pentru orice n ¸si deci nu tinde la 0. Pe de alt˘a parte, este u¸sor de v˘azut c˘a f este continu˘ a ˆın orice alt punct. Mult¸ime compact˘ a . O (sub)mult¸ime K⊆Rn se zice compact˘ a orice ¸sir ˆın K are (cel put¸in) un sub¸sir convergent cu limita ˆın K. Teorema 4.2. Fie f : K −→ Rm o funct¸ie continu˘ a ¸si K ⊆Rn o mult¸ime compact˘ a . Atunci f(K)={ f(x) ; x∈K } este compact˘ a. Demonstrat¸ia este o simpl˘a aplicat¸ie a definit¸iilor, dar rezultatul este important, atˆ at prin faptul c˘a propriet˘a¸tile care se p˘astreaz˘a prin continuitate sunt topologic interesante, cˆat ¸si prin aplicat¸iile la problemele de extrem (optimizare). Pentru a preciza acest ultim aspect este util˘a o caracterizare a compacit˘ a¸tii ˆın termeni de m˘arginire a mult¸imilor. Mult¸ime m˘ arginit˘ a . O submult¸ime A ⊆Rn este m˘arginit˘a dac˘a exist˘a M>0 astfel ˆıncˆ at kxk≤M pentru orice x ∈A. Teorema 4.3. O mult¸ime este compact˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a este ˆınchis˘ a ¸si m˘ arginit˘ a.

17 Pentru cazul dreptei reale R teorema de mai sus este o variant˘a a rezultatului cunoscut drept lema lui Cesaro. Exemple. i) Rn nu este compac˘ a. ii) Orice bil˘ a ˆınchis˘ a este compact˘a . Teorema 4.4. (Weierstrass). Fie f : K −→ R o funct¸ie continu˘ a ¸si K ⊂Rn o mult¸ime (nevid˘ a ) compact˘ a . Atunci f este m˘ arginit˘ a ¸si i¸si atinge marginile. Preciz˘ am c˘ a f m˘ arginit˘ a ˆınseamn˘a c˘a f (K) este m˘arginit˘a ˆın R iar c˘a f i¸si atinge marginile ˆınseamn˘ a c˘ a f are o cea mai mare ¸si o cea mai mic˘a valoare pe K. Uniform continuitate. O funct¸ie f : A −→ Rm (A ⊆Rn ) este uniform continu˘ a dac˘ a : ∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ˆıncˆat dac˘a x, y ∈ A, d(x, y) < δε , avem d(f (x), f (y)) < ε. Semnificat¸ia definit¸iei este c˘ a pentru un ε > 0 acela¸si δε este ”bun” pentru toate punctele din A. In mod evident o funct¸ie uniform continu˘a este continu˘ a . Reciproca nu este, ˆın general, adev˘arat˘a . Exemplu. Funct¸ia f : R −→ R f(x)=x2 nu este uniform continu˘a . Teorema 4.5. Dac˘ a f : K −→ Rm este o funct¸ie continu˘ a ¸si K ⊂Rn o mult¸ime compact˘ a , atunci f este uniform continu˘ a.

Capitolul 5

Derivate part¸iale, diferent¸ial˘ a In acest capitol vom prezenta elemente de calcul diferent¸ial pentru funct¸ii de mai multe variabile. Avem ˆın vedere funct¸ii definite pe mult¸imi deschise (nevide) ale spat¸iului Rn . Direct¸ie. Se nume¸ste direct¸ie (ˆın Rn ) orice vector s∈Rn astfel ˆıncˆat ksk=1. Exemplu. In R exist˘a doar dou˘a direct¸ii 1 ¸si –1, ˆın R2 mult¸imea direct¸iilor este cercul cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘a 1 iar ˆın R3 sfera cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘a 1. Vectorii e1 ,e2 ,...,en ai bazei canonice ˆın Rn sunt direct¸ii. Derivata unei funct¸ii dup˘ a o direct¸ie. Fie f : A −→ R, A ⊆Rn , A n deschis˘ a , a∈A ¸si s∈R o direct¸ie. Spunem c˘a f este derivabil˘ a ˆın punctul a dup˘ a direct¸ia s dac˘a exist˘a ¸si este finit˘a (i.e num˘ar real) limita: lim

t→0

f (a + ts) − f (a) df = (a) t ds

df (egalitatea fiind o notat¸ie) ; ds (a) este derivata funct¸iei f dup˘ a direct¸ia s. 0 df Se observ˘ a c˘ a ds (a) este derivata ω (0) a funct¸iei ω(t)=f(a+ts) definit˘a ˆıntr-o vecin˘ atate a lui 0∈R. De aici rezult˘a c˘a derivata dup˘a o direct¸ie are propriet˘ a¸tile bine cunoscute ale derivatei funct¸iilor de o variabil˘a (regulile de derivare a sumei, produsului etc.). De o deosebit˘a important¸˘a sunt derivatele dup˘ a direct¸iile bazei canonice. df Derivate part¸iale. de (a) se nume¸ste derivata part¸ial˘ a a funct¸iei i

f ˆın raport cu variabila xi ˆın punctul a; ∂f ∂xi (a).

df dei (a)

se noteaz˘a tradit¸ional

∂f Funct¸ia f are derivate part¸iale ˆın punctul a dac˘a exist˘a ∂x (a) , i =1,2...,n. i Dac˘ a f are derivate part¸iale ˆın orice punct din A atunci spunem c˘a f are ∂f derivate part¸iale pe A. In acest caz sunt definite funct¸iile ∂x : A −→ R, ˆın i mod evident.

18

19 Derivatele part¸iale definite sunt, mai precis, derivate part¸iale de ordinul ˆıntˆai dar cum, ˆın aceast˘ a sect¸iune nu vom considera alt tip de derivate part¸iale vom folosi terminologia de mai sus. Conform definit¸iei avem: ∂f f (a1 , ..., ai + t, ..., an ) − f (a1 , ..., ai , ..., an ) (a) = lim t→0 ∂xi t Din definit¸ii, rezult˘ a urm˘ atoarea regul˘a ”practic˘a ” de calcul al derivatei part¸iale ˆın raport cu xi pentru funct¸iile ”elementare”: se ¸tin ”fixe” celelate variabile ¸si se deriveaz˘ a ˆın raport cu xi . Exemplu. i) Fie f : R2 −→ Rn , f(x,y)=x2 y. Avem ∂f si ∂x (x,y)= 2xy ¸ ∂f 2. (x,y)= x ∂y dac˘a (x,y)6=(0, 0) ii) Fie funct¸ia f : R2 −→ R definit˘a prin f(x,y)= x2xy +y 2 ∂f ¸si f (0,0)=0. Folosind definit¸ia se constat˘a u¸sor c˘a ∂f ∂x (0, 0)= ∂y (0, 0)=0. Exemplul ii) de mai sus este interesant de comparat cu un exemplu din Capitolul 3 ˆın care s-a ar˘ atat c˘ a aceea¸si funct¸ie nu este continu˘a ˆın (0, 0). Deci existent¸a derivatelor part¸iale ˆıntr-un punct nu asigur˘a continuitatea funct¸iei ˆın acel punct decˆ at ˆın R (unde derivata part¸ial˘a coincide cu derivata obi¸snuit˘ a ). In cazul R2 vom folosi ¸si notat¸iile fx0 , respectiv fy0 pentru ∂f ∂x , respectiv ∂f 0 0 0 3 ın cazul spat¸iului R . ∂y . Analog fx , fy , fz ˆ Pentru a introduce not¸iunea de diferent¸ial˘a a unei funct¸ii de mai multe variabile este util s˘ a revedem cazul funct¸iilor de o variabil˘a . Dac˘a f este o funct¸ie cu valori reale definit˘ a ˆıntr-o vecin˘atate a punctului a ¸si deriv0 (a) abil˘a ˆın a, atunci avem, prin definit¸ie, lim f (a+h)−f = f (a) sau, echivah 0

lent,

lim f (a+h)−fh(a)−f (a)h h→0

h→0

= 0 (∗). (folosirea lui h n notat¸ie este oarecum 0

tradit¸ional˘ a ˆın acest context). Funct¸ia liniar˘a h →f 0 (a)h este diferent¸iala funct¸iei f ˆın punctul a. Ret¸inem c˘a diferent¸iala unei funct¸ii, ˆıntr-un punct, este o funct¸ie (aplicat¸ie) liniar˘ a ¸si leg˘atura dintre diferent¸ial˘a ¸si derivat˘a poate fi exprimat˘ a spunˆ and c˘ a funct¸ia este derivabil˘a ˆıntr-un punct dac˘a ¸si numai dac˘ a este diferent¸iabil˘ a ˆın acel punct (adic˘a exist˘a o aplicat¸ie liniar˘a satisf˘acˆ and (*)) iar derivata este matricea diferent¸ialei ˆın baza canonic˘a (a lui ). Intuitiv, relat¸ia (*) poate fi interpretat˘a ca posibilitatea de a ”aproxima” funct¸ia f ˆın vecin˘ atatea punctului a cu funct¸ia h → f(a)+ f00 (a)h (o funct¸ie afin˘ a ), sensul aproxim˘ arii fiind c˘a diferent¸a f(a+h)- (f(a)+ f00 (a)h) tinde la 0 (cˆ and h tinde la0) ”mai repede” decˆat h. Este remarcabil faptul c˘ a not¸iunea de diferent¸ial˘a se poate extinde la cazul funct¸iilor de mai multe variabile producˆand efecte notabile. Diferent¸ial˘ a . Fie f o funct¸ie definit˘a ˆıntr-o vecin˘atate a punctului a∈Rn ¸si cu valori ˆın Rm . Funct¸ia f este diferent¸iabil˘ a ˆın a dac˘a exist˘a o aplicat¸ie liniar˘ a λ : Rn −→ Rm astfel ˆıncˆat : kf (a + h) − f (a) − λ(h)k =0 h→0 khk

(∗∗) lim

20

˘ CAPITOLUL 5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA

(evident, norma de la numitor este cea din Rn iar la num˘ar˘ator cea din Rm , iar condit¸ia h −→ 0 ˆın Rn ˆınseamn˘a khk −→ 0 n R ). Se arat˘a c˘a , dac˘a exist˘ a , o aplicat¸ie liniar˘a care satisface condit¸ia de mai sus, atunci aceasta este unic determinat˘ a . Dac˘a funct¸ia f este diferent¸iabil˘a ˆın punctul a, vom numi aplicat¸ia liniar˘ a λ diferent¸iala funct¸iei f ˆın punctul a ¸si o vom nota Df(a). Matricea diferent¸ialei ˆın bazele canonice va fi numit˘a matricea iacobian˘ a 0 0 a funct¸iei f ˆın punctul a ¸si se va nota f (a). Deci f (a) este o matrice cu m linii ¸si n coloane. Dac˘a m=n, atunci determinantul matricei iacobiene se nume¸ste iacobianul funct¸iei f ˆın punctul a. In sfˆ ar¸sit, dac˘ a funct¸ia f este definit˘a pe mult¸imea deschis˘a A ¸si este diferent¸iabil˘ a ˆın fiecare punct din A spunem c˘a f este diferent¸iabil˘ a pe A. Propozit¸ia 5.1. Dac˘ a f este diferent¸iabil˘ a ˆın a, atunci este continu˘ a ˆın a. Demonstrat¸ia rezult˘ a din condit¸ia (**) ¸si din faptul c˘a aplicat¸iile liniare sunt continue. Exemple. i) Dac˘ a f este constant˘a ˆın vecin˘atatea punctului a, atunci Df(a)=0 (adic˘ a f este diferent¸iabil˘a ˆın a ¸si diferent¸iala este aplicat¸ia liniar˘a identic nul˘ a ). ii) Dac˘ a f : Rn −→ Rm este liniar˘a , atunci este diferent¸iabil˘a pe Rn ¸si Df(a)=f pentru orice a∈Rn . iii) Funct¸ia s : R2 −→ R, s(x,y)=x+y, este diferent¸iabil˘a pe R2 ¸si Ds(a, b) = s ˆın orice punct (a,b) din R2 . iv) Funct¸ia p : R2 −→ R, p(x,y)=xy este diferent¸iabil˘a pe R2 ¸si p0 (a,b)=(b,a). Exemplele rezult˘ a din simpla verificare a condit¸iei (**). Astfel, pentru √ iv), avem : p(a+h,b+k)-p(a,b)-bh-ak=(a+h)(b+k)-ab-bh-ak=hk √ hk ¸si k(h, k)k= h2 + k 2 ¸si deducem lim = 0 , c˘aci |hk| ≤ h2 +k 2 , h2 +k2 (h,k)→(0,0)

ceea ce implic˘ a (**). Vom enunt¸a principalele rezultate privind diferent¸iala ¸si leg˘atura acesteia cu derivatele part¸ale. Pentru u¸surint¸a scrierii vom considera c˘a domeniul de definit¸ie al funct¸iilor este ˆıntreg spat¸iul. Teorema 5.1. (a funct¸iei compuse). Fie f : Rn −→ Rm , g : Rm −→ Rp , a∈Rn , astfel ˆıncˆ at f este diferent¸iabil˘ a ˆın a ¸si g este diferent¸iabil˘ a ˆın f(a) ∈Rm . Atunci funct¸ia g ◦ f : Rn −→ Rp este diferent¸iabil˘ a ˆın a ¸si avem (regula diferent¸ierii funct¸iilor compuse) Dg ◦ f (a) = Dg(f (a)) ◦ Df (a) sau, la nivel de matrice iacobiene, (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a). Teorema 5.2. Funct¸ia f : Rn −→ Rm , f=(f1 ,f2 ,...fm ) este diferent¸iabil˘ a ˆın punctul a dac˘ a ¸si numai dac˘ a funct¸iile componente f1 ,f2 ,...fm sunt diferent¸iabile ˆın punctul a. Componentele diferent¸ialei sunt diferent¸ialele componentelor. Teorema 5.3. Dac˘ a funct¸ia f : Rn −→ Rm este diferent¸iabil˘ a ˆın punctul a, atunci componentele f1 ,f2 ,...fm sunt diferent¸iabile ˆın punctul a ¸si

21   0 ∂fi f (a)= ∂x (a) . (putem identifica liniile matricei iacobiene cu mai=1,..,m j j=1,...,n

tricele iacobiene ale componentelor). Exemplu. In calculul diferent¸ial se noteaz˘a , tradit¸ional, proiect¸iile canonice, ˆın Rn , cu dx1 , dx2 , ..dxn . Fie f : Rn −→ R, diferent¸iabil˘a ˆın a. Din ∂f ∂f ∂f teorema de mai sus rezult˘ a : Df (a) = ∂x (a)dx1 + ∂x (a)dx2 +, ..., + ∂x (a)dxn . n 1 2 Aceast˘ a teorem˘ a ofer˘ a un ”algoritm” pentru stabilirea diferent¸iabilit˘a¸tii unei funct¸ii ˆıntr-un punct (considerˆand doar cazul m=1, la care ne putem reduce ): dac˘ a funct¸ia nu admite derivate part¸iale ˆın punctul respectiv, atunci nu este diferent¸iabil˘ a iar dac˘a admite derivate part¸iale acestea ofer˘a ”candidatul” pentru diferent¸ial˘ a urmˆand a se decide prin verificarea condit¸iei (**). ∂p Pentru o ilustrare simpl˘ a s˘ a relu˘ am exemplul iv) de mai sus : avem ∂x = ∂p y, ∂y = x etc. Combinˆ and teorema precedent˘ a cu teorema funct¸iei compuse se obt¸ine regula important˘ a a calculului derivatelor part¸iale ale funct¸iilor compuse. Corolarul 5.1. Fie f : Rn −→ Rm , g : Rm −→ R funct¸ii diferent¸iabile ¸si F= gf. Dac˘ a not˘ am x1 ,x2 ,...,xn variabilele ˆın Rn ¸si cu y1, y2, ...,ym variabilele m ˆın R avem : ∂F ∂g ∂f1 ∂g ∂f2 ∂g ∂fm (x) = (f (x)) (x) + (f (x)) (x) + ... + (f (x)) (x) ∂xi ∂y1 ∂xi ∂y2 ∂xi ∂ym ∂xi pentru orice i=1,2,...n. Demonstrat¸ia este imediat˘ a aplicˆ and teoremele precedente ¸si ¸tinˆand cont de faptul c˘ a matricea compunerii a dou˘a aplicat¸ii liniare este produsul matricelor aplicat¸iilor care se compun. Exemplu. i) O funct¸ie f : Rn −→ R este (pozitiv) omogen˘a de grad α ∈R dac˘a pentru orice x∈Rn ¸si orice t>0 avem f (tx) = tα f (x) (sau f(tx1 ,tx2 ,...,txn )= tα f (x1 ,x2 ,...,xn )). Presupunem c˘ a f este diferent¸iabil˘a . Derivˆand aceast˘a identitate ˆın raport cu t (folosind corolarul precedent) ¸si apoi punˆand t=1 se obt¸ine relat¸ia lui Euler : x1

∂f ∂f ∂f (x) + x2 (x) + ... + xn (x) = αf (x), x ∈ Rn . ∂x1 ∂x2 ∂xn

ii) Fie f : Rn −→ R diferent¸iabil˘a , a∈Rn ¸si s=(s1 ,s2 ,...,sn ) o direct¸ie. Atunci : df ∂f ∂f ∂f (a) = s1 (a) + s2 (a) + . . . + sn (a). ds ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂f ∂f ∂f Vectorul ( ∂x (a), ∂x (a), ..., ∂x (a)) se nume¸ste gradientul funct¸iei f ˆın n 1 2 punctul a ¸si se noteaz˘ a (gradf )(a) sau (∇f )(a). Aplicat¸ia a 7−→ (gradf )(a) este un exemplu de cˆ amp vectorial ¸si se noteaz˘a gradf sau ∇f .

22

˘ CAPITOLUL 5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA

iii) Fie (∇f )(a) 6= 0 ¸si s˘a consider˘am direct¸ia na = (∇f )(a)/k(∇f )(a)k. 0 df Dac˘ a ϕ(t) = f (a + tna ), atunci avem ϕ (0) = dn (a) = k(∇f )(a)k > 0. a Intuitiv, ϕ este restrict¸ia funct¸iei f la dreapta care trece prin punctul a ¸si are direct¸ia na ¸si rezultatul obt¸inut arat˘a c˘a ”f cre¸ste pe direct¸ia gradientului, n vecin˘ atatea punctului a”. Mai mult, s˘a observ˘am c˘a (inegalitatea lui df Cauchy), pentru orice direct¸ie s, ds (a) ≤ k (∇f )(a k. Acest rezultat simplu este ˆınceputul unor tehnici de optimizare numite ”metode de gradient”. Notat¸ia na se explic˘a prin faptul c˘a acest vector este normal (perpendicular pe planul tangent) la (hiper)suprafat¸a definit˘a prin ecuat¸ia f = 0. De altfel ecuat¸ia hiperplanului tangent la hipersuprafat¸a f = 0 este (x − a) · (∇f )(a) = 0. O alt˘ a teorem˘ a privind leg˘atura dintre derivatele part¸iale ¸si diferent¸ial˘a este: Teorema 5.4. Fie f : Rn −→ Rm , f = (f1 , f2 , ...fm ) ¸si a ∈ Rn Dac˘ a funct¸iile f1 , f2 , ...fm au derivate part¸iale ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului a ¸si aceste derivate part¸iale sunt continue ˆın a, atunci funct¸ia f este diferent¸iabil˘ a ˆın punctul a (¸si, evident, matricea iacobian˘ a a funct¸iei f ˆın a este matricea derivatelor part¸iale ale componentelor). O funct¸ie f : A −→ R, A ⊆ Rn , A mult¸ime deschis˘a nevid˘a , se zice de clas˘ a C 1 pe A dac˘ a admite derivate part¸iale continue pe A. Cu aceast˘a terminologie, din teorema de mai sus rezult˘a c˘a funct¸iile de clas˘a C 1 sunt diferent¸iabile. Reciproca nu este adev˘arat˘a , dar ˆın general, ˆın analiz˘a se lucrez˘ a cu funct¸ii de clas˘a C 1 . Suma, produsul ¸si compunerea funct¸iilor de clas C 1 sunt funct¸ii de clas˘a C 1 . O funct¸ie f : Rn −→ Rm este, prin definit¸ie, de clas˘ a C 1 dac˘ a toate componentele sale sunt de clas˘a C 1 . Pentru teorema care urmeaz˘a not˘am variabilele ˆın Rn+m cu (x1 ,x2 ,...,xn , y1, y2, ...,ym ). Teorema 5.5. (funct¸iilor implicite). Fie f : Rn+m −→ Rm o funct¸ie de clas˘ a C 1 ˆın vecin˘ atatea punctului (a,b), astfel ˆıncˆ at f(a,b)=0. Dac˘ a ∂fi n det ∂yj (a, b) i=1,..,m 6= 0 , atunci exist˘ a o mult¸ime deschis˘ a A ⊆ R , a∈A, o j=1,...,m

mult¸ime deschis˘ a B ⊆ Rm , b∈B ¸si o unic˘ a funct¸ie g : A −→ B, de clas˘ a C1 astfel ˆıncˆ at f(x,g(x))=0 pentru orice x∈A (¸si g(a)=b). (evident, f1 ,f2 ,...fm sunt componentele funct¸iei f). Asfel, teorema funct¸iilor implicite d˘a un r˘aspuns problemei rezolv˘arii ecuat¸iei f(x,y)=0 ˆın sensul obt¸inerii variabilei y ca funct¸ie de x. Mai pe larg, avem sistemul de ecuat¸ii: f1 (x1 ,x2 ,...,xn , y1, y2, ...,ym )=0 ,..., fm (x1 ,x2 ,...,xn , y1, y2, ...,ym )=0 ˆın necunocutele y1, y2, ...,ym . In condit¸iile teoremei, acest sistem se poate rezolva n vecin˘atatea unui punct care verific˘a ecuat¸iile, n plus, solut¸ia este unic˘ a ¸si de clas˘a C 1 . Desigur c˘ a rezolvarea sistemului este ”teoretic˘a ”, funct¸ia g neputˆandu-se, ˆın general, obt¸ine efectiv. Totu¸si derivatele part¸iale ale solut¸iei se pot obt¸ine

23 efectiv. Vom ar˘ ata aceasta ˆın cazul particular n=2, m=1, cazul general fiind analog. Exemplu. In condit¸iile teoremei s˘a presupunem c˘a avem f(x,y,g(x,y)≡0 pe o mult¸ime deschis˘ a din R2 pe care avem ¸si ∂f and ∂z (x, y, g(x, y)) 6= 0. Derivˆ identitatea ˆın raport cu x obt¸inem: ∂f ∂f ∂g (x, y, g(x, y)) + (x, y, g(x, y)) (x, y) ≡ 0. ∂x ∂z ∂x Deducem

∂f ∂g ∂x (x, y, g(x, y)) . (x, y)=∂x ∂f ∂z (x, y, g(x, y))

Analog pentru

∂g ∂y

etc.

Dac˘ a o funct¸ie are derivate part¸iale pe o mult¸ime deschis˘a , se pune problema dac˘ a aceste derivate part¸iale au, la rˆandul lor, derivate part¸iale etc. Se ajunge astfel la derivatele part¸iale de ordin superior. Ne vom limita, pentru u¸surint¸a scrierii, la cazul funct¸iilor de dou˘a variabile. Fie f : A −→ R , A ⊆ R2 , A mult¸ime deschis˘a ; s˘a presupunem c˘a ∂f ¸iale de ordinul 2 se definesc astfel: exist˘a ∂f ∂x , ∂y pe A. Derivatele part ∂2f ∂x2

=

∂2f ∂ ∂f ∂x ( ∂x ), ∂y∂x

=

∂2f ∂ ∂f ∂y ( ∂x ), ∂x∂y

=

∂2f ∂ ∂f ∂x ( ∂y ), ∂y 2

=

∂ ∂f ∂y ( ∂y ) 00 x2 00

00

(desigur dac˘a 00

00

exist˘a , punctual sau global). Vom folosi ¸si notat¸iile f , fxy , fyx , fy2 pentru 00

aceste derivate part¸iale de ordinul 2. Derivatele fxy , fyx se numesc derivate part¸iale mixte. In general derivatele part¸iale mixte nu sunt egale, ordinea de derivare este important˘ a. Teorema 5.6. (egalitatea derivatelor mixte) Fie f o funct¸ie care are 00 00 derivate part¸iale mixte fxy , fyx ˆıntr-o vecin˘ atate a punctului (a,b)∈ R2 continue ˆın (a,b). Atunci 00 00 fxy (a, b) = fyx (a, b). Pentru funct¸ii de trei sau mai multe variabile notat¸iile sunt similare celor de mai sus iar teorema asupra independent¸ei de ordinea de derivare se extinde cu u¸surint¸˘ a . Vom spune c˘ a o funct¸ie, definit˘a pe o mult¸ime deschis˘a este de clas˘ a C 2 dac˘ a toate derivatele part¸iale pˆan˘a la ordinul 2 exist˘a ¸si sunt continue (pe mult¸imea respectiv˘ a ). Rezult˘a c˘a pentru funct¸ii de clas˘a C 2 , ordinea de derivare este neimportant˘a . Analog se definesc funct¸iile de clas˘a C k , k natural k =3; funct¸iile continue se zic de clas˘a C 0 iar funct¸iile de clas˘a C k pentru orice k natural se zic de clas˘a C ∞ . De exemplu, polinoamele sunt funct¸ii de clas˘ a C ∞ pe ˆıntreg spat¸iul.

Capitolul 6

Extremele funct¸iilor, formule Taylor Vom reaminti, pentru nceput, problematica extremelor funct¸iilor de o variabil˘ a. Extrem local. Fie f : A −→ R, A ⊆ R, mult¸ime deschis˘a ¸si a∈A.. Spunem c˘ a punctul a este un minim local (maxim local) pentru funct¸ia f dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate V a punctului a astfel ˆıncˆat f(a)=f(x) (f(a)≥f(x)) pentru orice x∈V. Un punct de minim local sau de maxim local se nume¸ste punct de extrem local . Teorema 6.1. (Fermat) Fie a un punct de extrem local pentru funct¸ia f derivabil˘ a ˆın a. Atunci f0(a)=0. Demonstrat¸ie. S˘ a presupunem c˘a a este un minim local. Atunci f (x) − (a) f (a) = 0 ˆıntr-un interval deschis centrat ˆın a. Rezult˘a c˘a f (x)−f ≤ 0 penx−a tru xa. Trecˆand la limit˘a obt¸inem rezultatul.

Demonstrat¸ia simpl˘ a de mai sus este importanta˘a pentru c˘a arat˘a rolul jucat de faptul c˘ a funct¸ia este definit˘a pe o mult¸ime deschis˘a . Anularea derivatei este doar o condit¸ie necesar˘a de extrem pentru funct¸ii derivabile. Astfel funct¸ia f, f(x)=x3 are derivata nul˘a ˆın a=0, dar 0 nu este un extrem local pentru f. Din teorema de mai sus rezult˘a c˘a , pentru funct¸ii derivabile pe mult¸imi deschise rezolvarea ecuat¸iei f0 (x)=0 ofer˘a puncte ”candidate” la a fi extreme locale, dar pentru stabilirea celor care sunt extreme locale este nevoie de noi rezultate. Pentru a obt¸ine condit¸ii suficiente de extrem vom folosi formula Taylor (important˘ a ¸si ˆın alte contexte). Polinom Taylor. Fie f o funct¸ie cu valori reale ¸si a∈R astfel ˆıncˆat exist˘ a derivata de ordin n=1, f(n) (a). Polinomul 0

00

f (a) f (a) f (n) (a) Pn (a, x, f ) = f (a) + (x − a) + (x − a)2 +, ..., + (x − a)n 1! 2! n! 24

25 se nume¸ste polinomul Taylor de ordin n al funct¸iei f ˆın a. Polinomul Taylor de ordin n are aceea¸si valoare ¸si acelea¸si derivate pˆan˘a la ordinul n, cu f, ˆın punctul a. In acest sens poate fi considerat o ”aproximare” a funct¸iei f ˆın vecin˘ atatea punctului a. Diferent¸a Rn (a, x, f ) = f (x) − Pn (a, x, f ) este ”restul” ˆın aceast˘a aproximare. Rn (a,x,f ) n x→a (x−a)

Propozit¸ia 6.1. Fie f ca ˆın definit¸ia de mai sus. Atunci lim

= 0.

Formula Taylor-Young. Fie f ca mai sus. S˘a definim funct¸ia ρ punˆand n (a,x,f ) ρ(x) = R(x−a) dac˘ a x 6= 0 ¸si ρ(x) = 0 dac˘a x = 0. Atunci ρ este continu˘a n ˆın a ¸si: 0

00

f (a) f (a) f (n) (a) f (x) = f (a)+ (x−a)+ (x−a)2 +, ..., + (x−a)n +ρ(x)(x−a)n 1! 2! n! (formula Taylor-Young). Formula Taylor-Lagrange. Fie f : I −→ R, I un interval deschis ¸si a,x ∈I. Dac˘ a f este de clas˘ a C n+1 , n=0, atunci exist˘a un punct c ˆıntre a ¸si x astfel ˆıncˆ at: 0

(n)

n+1

(c) (x−a)n+1 ( formula f (x) = f (a)+ f 1!(a) (x−a)+. . .+ f n!(a) (x−a)n + f(n+1)! Taylor-Lagrange). Remarc˘ am c˘ a , pentru n=0, reg˘ asim formula de cre¸steri finite Lagrange. Revenind la problema extremelor funct¸iilor avem:

Propozit¸ia 6.2. (condit¸ie suficient˘ a de extrem). Fie funct¸ia f derivabil˘ a de n ori, n=2, ˆın punctul a∈R astfel ˆıncˆ at f0 (a)=0, f000 (a)=0,..., (n−1) (n) f (a)=0, f (a)6=0. Dac˘ a n este num˘ ar par, atunci a este un punct de (n) extrem local pentru f ( pentru f (a)>0, minim local iar pentru f(n) (a)0 ( 0 . In aceste condit¸ii, dac˘a (a,b) este un punct critic el este minim local dac˘ a r(a, b) > 0(sau s(a, b) > 0) ¸si este maxim local dac˘a r(a, b) < 0(sau s(a, b) < 0). Dac˘a , ˆın punctul critic (a,b), rt − s2 < 0, atunci (a,b) nu este punct de extrem local. Cazul rt−s2 = 0 nu este acoperit de rezultatele expuse. Exemplu. i) Fie funct¸ia f : R2 −→ R, f (x, y) = xy(l − x − y), l > 0. Problema este de a determina extremele locale ale acestei funct¸ii. Se observ˘a c˘a funct¸ia este de clas˘a C 2 pe mult¸imea deschis˘ a R2 , deci vom putea aplica ”algoritmul” 0 0 descris mai sus. Avem fx = y(l − 2x − y), fy = x(l − x − 2y) ¸si obt¸inem punctele critice (0, 0), (l, 0), (0, l), ( 3l , 3l ). Vom testa doar punctul ( 3l , 3l ) pentru a vedea dac˘ a este punct de extrem local. Avem r = −2y, s = (l − 2x − 2y), t = −2x. Evaluˆ and ˆın ( 3l , 3l ) obt¸inem pentru rt − s2 valoarea 2 l l l a avem 3 > 0, deci punctul este de extrem local. Din r( 3 , 3 ) < 0 deducem c˘ un maxim local. ii) Vom modifica funct¸ia din i) schimbˆand domeniul de definit¸ie. Fie deci g : T −→ R, g(x, y) = xy(l − x − y), l > 0 unde T={(x, y); x > 0, y > 0, x + y < l}. Punem aceea¸si problem˘a : a extremelor locale. Calculele de mai sus r˘ amˆ an valabile: singurul punct critic al funct¸iei g este ( 3l , 3l ) ¸si este

28 CAPITOLUL 6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR un maxim local. In noua formulare problema pus˘a are o interpretare geometric˘ a simpl˘ a g(x,y) este volumul paralelipipedului (dreptunghic) de muchii x,y, l − x − y. S˘ a observ˘am c˘a suma muchiilor este l. Avem oare dreptul s˘ a afirm˘ am c˘ a dintre toate paralelipipedele cu suma muchiilor constant˘a cel mai mare volum ˆıl are cubul? Din cele de mai sus maximul este doar local iar ˆıntrebarea noastr˘ a cere un r˘aspuns global. Vom da acest r˘aspuns considerˆ and o nou˘ a funct¸ie g 1 definit˘a pe T1 ={(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ l} prin aceea¸si formul˘ a (T este interiorul unui triunghi, iar la T1 s-au ad˘augat ¸si laturile). Funct¸ia g 1 este continu˘a pe mult¸imea compact˘a T1 deci, conform teoremei lui Weiestrass (a se vedea Capitolul 2), este m˘arginit˘a ¸si ¸si atinge marginile pe T1 . Din cauz˘a c˘a g 1 este nul˘a pe laturile triunghiului T1 ¸si strict pozitiv˘ a ˆın interior maximul este atins ˆın interior ¸si astfel (ˆın lipsa altui punct de extrem) nu poate fi decˆat ( 3l , 3l ). Se remarc˘a rolul compacit˘a¸tii ˆın trecerea de la ”local” la ”global”. Am studiat aplicat¸iile calculului diferent¸ial la determinarea extremelor locale ale funct¸iilor definite de mult¸imi deschise (a¸sa numitele extreme libere). Extrem condit¸ionat. Fie f : Rn −→ R ¸si M ⊆Rn o mult¸ime care nu este deschis˘ a . Un punct a∈M este punct de minim local (maxim local) pentru f condit¸ionat de M dac˘a exist˘a o vecin˘ Tatate V a punctului a astfel ˆıncˆ at f(a)≤f(x) (f(a)≥f(x)) pentru orice x ∈V M. Un punct de minim local (maxim local) pentru f condit¸ionat de M se zice punct de extrem local condit¸ionat de M . In general, pentru funct¸ii diferent¸iabile, un punct de extrem local condit¸ionat nu mai este punct critic. Pentru teorema urm˘atoare vom folosi notat¸iile din teorema de funct¸ii implicite (a se vedea Capitolul 3). Teorema 6.4. (de multiplicatori Lagrange).Fie g : Rn+m −→ Rm ,g = (g1 , g2 , ...gm ) o funct¸ie de clas˘ a C 1 , M= {(x, y); g(x, y) = 0} ¸si (a,b)∈M un punct de extrem local condit¸ionat pentru funct¸ia de clas˘ a C 1 f : Rn+m −→ R. Dac˘ a funct¸ia g satisface condit¸iile teoremei de funct¸ii implicite ˆın (a,b), atunci exist˘ a (¸si sunt unice) numerele reale λ1 , λ2 , ..., λm (multiplicatori Lagrange) astfel ˆıncˆ at punctul (a,b) este punct critic pentru funct¸ia F = f + λ1 g1 + λ2 g2 , ..., +λm gm . Teorema de mai sus stabile¸ste o condit¸ie necesar˘a de extrem local condit¸ionat ¸si constituie primul pas ˆın ”algoritmul” de determinare a extremelor condit¸ionate pentru funct¸ii diferent¸iabile (dac˘a mult¸imea M este mult¸imea pe care se anuleaz˘ a m funct¸ii g1 g2 , ..., gm ). Ecuat¸iile g1 = 0, g2 = 0, ..., gm = 0 se mai numesc leg˘ aturi. Teorema se aplic˘ a ˆın felul urm˘ator: Se formeaz˘ a funct¸ia F = f +λ1 g1 +λ2 g2 , ..., +λm gm ˆın care multiplicatorii sunt considerat¸i necunoscut¸i. Se rezolv˘a sistemul de n+2m ecuat¸ii cu n+2m

29 necunoscute x1 , ..., xn , y1 , ..., ym , λ1 , ..., λm : 0

0

Fxi = 0, Fyj = 0, g1 = 0, g2 = 0, ..., gm = 0, i = 1, ...n, j = 1, ...m. Dac˘a (λ, a, b) este o solut¸ie, atunci punctul (a,b) este un posibil punct de extrem local condit¸ionat. Exemplu. S˘ a se determine extremele funct¸iei f : R2 −→ R, f (x, y) = x + y cu leg˘ atura x2 + y 2 − 1 = 0 (extremele locale ale funct¸iei f pe cercul unitate). Observ˘am c˘ a teorema de funct¸ii implicite se poate aplica ecuat¸iei x2 + y 2 − 1 = 0, ˆın raport cu x sau cu y ˆın fiecare punct. Consider˘am funct¸ia F = 0 0 x + y + λ(x2 + y 2 − 1) ¸si rezolv˘ am sistemul Fx = 0, Fy = 0, x2 + y 2 = 1, deci 1 + 2λx = 0, 1 + 2λy√= 0, x2 + y 2 = obt √ 1. Din x = −1/2λ ¸si y = −1/2λ √ √¸inem 2λ2 = 1, deci λ = 2/2, λ = − 2/2. Se obt ¸ in punctele (− 2/2, − 2/2), 2 √ 1√ respectiv ( 2/2, 2/2) care pot fi puncte de extrem local condit¸ionat. Dac˘a observ˘am c˘ a cercul unitate este o mult¸ime compact˘a ¸si folosim teorema lui Weierstrass: funct¸ia f este m˘ arginit˘a ¸si ˆı¸si atinge marginile pe cerc. Fiind neconstant˘ a , deducem c˘ a primul punct obt¸inut este de minim (chiar global), iar cel de-al doilea de maxim (global). O reprezentare geometric˘a simpl˘a arat˘a c˘a aceste puncte sunt chiar punctele de tangent¸˘a ale cercului cu drepte paralele cu dreapta x + y = 0.

Capitolul 7

Serii numerice Serie ˆın R. Fie (un )n un ¸sir n R. Consider˘am ¸sirul (Sn )n definit prin ∞ X Sn = u0 + u1 + ... + un . Se nume¸ste serie ˆın R ¸si se noteaz˘a un perechea n=0

de ¸siruri (u n )n , (S n )n . Termenii u n se numesc termenii seriei, iar termenii S n sumele sale part¸iale. ∞ X Serie convergent˘ a . Seria un se zice convergent˘ a dac˘a ¸sirul (S n )n n=0

este convergent. In acest caz, dac˘a Sn → S, num˘arul real S se nume¸ste ∞ X suma seriei ¸si se noteaz˘a la fel ca seria ˆıns˘a¸si un (ambiguitatea dinn=0

tre notat¸ia pentru serie ¸si notat¸ia pentru sum˘a se ˆınl˘atur˘a cu u¸surint¸˘a din context). O serie care nu este convergent˘a se zice divergent˘ a. Natura unei serii se refer˘a la convergent¸a ei. Modificarea unei mult¸imi finite de termeni ai unei serii nu modific˘a natura acesteia. Astfel vom considera ∞ X ¸si serii un luˆ and, de exemplu, termenii pˆan˘a la ordinul k -1 egali cu 0. n=k

Propozit¸ia 7.1. (condit¸ie necesar˘ a de convergent¸˘ a ) Dac˘ a seria

∞ X

un

n=0

este convergent˘ a , atunci un → 0.

Reciproca propozit¸iei de mai sus nu este adev˘arat˘a . De exemplu, dac˘a ∞ X √ √ √ √ lu˘ am un = n + 1 − n, atunci un → 0, dar seria ( n + 1 − n) este n=0 √ divergent˘ a (c˘ aci Sn = n + 1, Sn → ∞). ∞ X Vom nota seria un ¸si u0 + u1 + ... + un + .... n=0

Exemplu. Pentru x ∈R, consider˘am seria

∞ X

xn (numit˘a serie geo-

n=0

30

31 metric˘ a de rat¸ie x ). Se arat˘ a cu u¸surint¸˘a c˘a aceast˘a serie converge dac˘a 1 ¸si numai dac˘ a |x| 0 ∃Nε astfel ˆıncˆ at pentru n ≥ Nε ¸si ∀ p, |un+1 + un+2 + ... + un+p | < ε. Acest criteriu rezult˘ a din criteriul lui Cauchy pentru ¸siruri aplicat ¸sirului (Sn )n . Un ¸sir (an )n este ¸sir Cauchy dac˘a ∀ε > 0, ∃Nε astfel ˆıncˆat pentru n ≥ Nε ¸si orice p rezult˘ a |an+p − an | < ε. Criteriul lui Cauchy pentru ¸siruri ˆın R afirm˘ a c˘ a un ¸sir ˆın R este convergent dac˘a ¸si numai dac˘a este ¸sir Cauchy. Seria armonic˘ a . Seria 1 + 21 + 13 + ... + n1 + ... se nume¸ste serie armonic˘ a . Seria armonic˘ a este divergent˘a . In adev˘ar avem S2n − Sn = 1 1 1 1 + + ... + > ¸ s acut. n+1 n+2 2n 2 i criteriul lui Cauchy nu este satisf˘ ∞ X Serii cu termeni pozitivi. O serie un este cu termeni pozitivi n=0

dac˘a un ≥ 0 pentru orice n. Pentru o serie cu termeni pozitivi convergent¸a este echivalent˘ a cu m˘ arginirea (superioar˘a ) a ¸sirului de sume part¸iale (acesta este cresc˘ ator). Pentru seriile cu termeni pozitivi avem criteii de comparat¸ie, dintre care vom prezenta pe cele mai simple. Trebuie atent¸ie ˆın a nu aplica criterii de comparat¸ie seriilor care nu satisfac aceast˘a condit¸ie. ∞ ∞ X X Criteriul de comparat¸ie I. Fie un , vn serii cu termeni pozitivi n=0

n=0

astfel ˆıncˆ at un ≤ vn pentru orice n. Dac˘a seria atunci seria ∞ X

∞ X

un este convergent˘a . Dac˘a

n=0

vn este divergent˘ a.

n=0

∞ X

∞ X

vn este convergent˘a ,

n=0

un este divergent˘a , atunci

n=0

32

CAPITOLUL 7. SERII NUMERICE

Criteriul de comparat¸ie II. Fie

∞ X

un ,

n=0

∞ X

serii cu termeni pozitivi,

n=0n

vn >0 pentru orice n. S˘a presupunem c˘a exist˘a ¸si este finit˘a limita L = lim uvnn . n→∞

i) Dac˘ a seria

∞ X

vn este convergent˘a , atunci ¸si seria

n=0

∞ X

un este conver-

n=0

gent˘ a. ii) Dac˘ a L 6= 0 seriile au aceea¸si natur˘a . 1 Exemplu. Fie seria 1 + 212 + 312 + ... + n12 + .... Dac˘a lu˘am vn = n(n+1) deducem imediat, din criteriul comparat¸iei, convergent¸a primei serii. Din comparare cu seria geometric˘a , se obt¸in urm˘atoarele dou˘a criterii. Le enunt¸˘ am doar ˆın forma II. ∞ X Criteriul r˘ ad˘ acinii. Fie un o serie cu termeni pozitivi astfel ˆıncˆat n=0 √ exist˘ a limita L = lim n un . Atunci: n→∞

i) Dac˘ a L < 1, seria

∞ X

un este convergent˘a .

n=0

ii) Dac˘ a L > 1, seria este divergent˘a . iii) Dac˘ a L = 1 nu se poate conchide (a se vedea seriile cu un = n1 , vn = 1 ). n2 ∞ X Criteriul raportului. Fie un o serie cu un > 0 pentru orice n ¸si n=0 un+1 . Atunci: n→∞ un

astfel ˆıncˆ at exist˘ a L = lim

i) Dac˘ a L < 1, seria este convergent˘a . ii) Dac˘ a L > 1, seria este divergent˘a . iii) Dac˘ a L =1 nu se poate conchide. 1 Exemplu. Fie seria 1+ 1!1 + 2!1 +...+ n! +.... Folosind criteriul raportului se deduce imediat convergent¸a acestei serii. Se poate ar˘ata c˘a suma acestei serii este num˘ arul e= lim (1 + n1 )n . Mai general, folosind acela¸si criteriu se n→∞

arat˘ a c˘ a pentru orice x ∈R seria

∞ X |x|n

este convergent˘a . n! Criteriul integral. Fie f : [1, ∞) →R o funct¸ie pozitiv˘a ¸si descresc˘atoare. ∞ X In aceste condit¸ii seria f (n) este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a ¸sirul 1 Rn Rn ( 1 f )nR este convergent (am notat, pentru simplitate, 1 f integrala Rien mann 1 f (x)dx). Exemplu. Fie seria 1 + 21α + 31α + ... + n1α + ...(numit˘a serie Riemann de exponent α). Aplicˆ and (¸si) criteriul integral se deduce c˘a seria Riemann de exponent α este convergent˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a α > 1. Revenim la seriile cu termeni oarecari (nu neap˘arat pozitivi). n=0

33

Criteriul lui Abel. Fie seria

∞ X

un cu ¸sirul sumelor part¸iale m˘arginit ¸si

n=0

∞ X

(αn )n un ¸sir descresc˘ ator cu limita 0. Atunci seria αn un este convergent˘a n=0 . Exemplu (serie Leibniz). Dac˘a (αn )n este un ¸sir descresc˘ator cu limita ∞ X 0 numim serie Leibniz seria (−1)n αn . Din criteriul de mai sus rezult˘a c˘a n=0

seriile Leibniz sunt convergente. In particular, este convergent˘a seria armonic˘ a alternat˘ a 1 − 21 + 13 − ... + (−1)n+1 n1 + .... ∞ X Calcul aproximativ ( al sumei unei serii convergente). Dac˘a un este n=0

o serie convergent˘ a de sum˘ a S, atunci Rn = S−Sn este restul seriei. Evident, ¸sirul (Rn )n tinde la 0 cˆ and n → ∞. Problema calculului aproximativ al sumei S este ˆınlocuirea sa cu o sum˘a part¸ial˘a Sn ¸si estimarea erorii |Rn | care se produce ˆın acest caz. Pentru seriile Leibniz estimarea erorii este deosebit de comod˘ a . Astfel avem, pentru o serie Leibniz, |Rn | 1. Remarc˘ a . In analogia serii, integrale improprii, careRa fost desigur ∞ observat˘ a , criteriul necesar de convergent¸˘a ˆın forma ”dac a f este convergent˘ a , atunci lim f (t) = 0” nu are loc. In adev˘ar, se poate considera n→∞

exemplul unei funct¸ii f definit˘a pe intervalul [0, ∞) astfel  ˆıncˆat f (n) = n pentru orice natural n, al c˘arei grafic pe fiecare interval n − 2n1 3 , n + 2n1 3 , n ≥ 1 este format de laturile triunghiului isoscel de ˆın˘alt¸ime n ¸si care este nul˘ a ˆın rest. R∞ a (de reamintit interpretarea integralei ca arie), dar nu a f este convergent˘ tinde la 0 cˆ and t tinde la infinit. Spat¸iul vectorial al funct¸iilor cu integrala convergent˘ a . Dac˘a f, g sunt local integrabile pe [a, ∞) , atunci: R∞ R∞ R∞ i) Dac˘ sunt Rconvergente, atunci a (f + g) este convergent˘a Ra∞ a f , a Rg ∞ ∞ ¸si avem: a (f + g)= a f + a g.

37 R∞ R∞ ii) Dac˘ a f este convergent˘ a ¸ s i α ∈R, atunci a a αf este convergent˘ R ∞a R∞ ¸si rezult˘ a a αf = α a f . R∞ Criteriul lui Cauchy. a f este convergent˘a dac˘a ¸s i numai dac˘a : R x00 0 00 ∀ε > 0, ∃Bε , a < Bε astfel ˆıncˆ at ∀x , x > Bε s˘a avem x0 f < ε. Remarc˘ a . Dac˘ a funct¸iaR f , local integrabil˘a este pozitiv˘a , atunci ∞ pentru convergent¸a integralei a f este suficient˘a m˘arginirea funct¸iei F. Se pot obt¸ine astfel criterii de comparat¸ie. Criteriul de comparat¸ie I. Fie 0R≤ f ≤ g local integrabile pe [a,R ∞). R∞ ∞ ∞ Dac˘a a g este convergent˘ , atunci ¸si a f este comvergent˘a . Dac˘a a f Ra ∞ este divergent˘ a , atunci ¸si a g este divergent˘a . R∞ 2 2 Exemplu. 1 e−t dt este convergent˘a c˘aci e−t ≤ e−t pentru t ∈ [1, ∞) etc. Criteriul de comparat¸ie II. Dac˘a f, g sunt local integrabile pe [a, ∞) (t) f ≥ 0, g > 0 ¸si exist˘ a limita finit˘ a L = lim fg(t) atunci: x→∞ R R∞ ∞ i) Dac˘ a a g este convergent˘ R ∞ ¸si a f este convergent˘a . R ∞a , atunci ii) Dac˘ a L 6= 0 integralele a f , a g au aceea¸si natur˘a . Putem reformula ¸si: Criteriul integral. Fie f : [1, ∞) →R o funct¸ie pozitiv˘a ¸si descresc˘atoare. ∞ X R∞ In aceste condit¸ii seria f (n) este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a 1 f 1

este convergent˘ a. Observat¸ie. Cu modific˘ ari evidente se definesc integralele improprii pe intervale (−∞, a] ¸si convergent R ∞ ¸a acestora. Fie acum f : (−∞, ∞) →R local integrabil˘ a . Spunem c˘ a −∞ f este convergent˘a dac˘a exist˘a c astfel ˆıncˆat R∞ R∞ Rc a fie convergente. In acest caz definim −∞ f = integralele −∞ f, c f s˘ R∞ Rc ¸ia este corect˘a , atˆat convergent¸a cˆat ¸si valoarea −∞ f + c f . Definit integralei fiind independente de punctul c. Integrala improprie II. Vom considera funct¸ii local integrabile pe Rb Rb (a, b] , a, b ∈R, a < b . a f se zice convergent˘a dac˘a funct¸ia F (x) = x f (t)dt are limit˘ a finit˘ a pentru x → a ¸si valoarea integralei improprii este aceast˘a limit˘a . Am considerat util de separat cazul intervalului m˘arginit de cazul intervalului nem˘ arginit pentru c˘ a , pentru funct¸ii m˘arginite pe (a, b], integrala improprie nu aduce ceva nou: dac˘a f este local integrabil˘a ¸si m˘arginit˘a atunci dˆ andu-i o valoare oarecare ˆın punctul a se obt¸ine o funct¸ie integrabil˘a pe [a, b] a c˘ arei integral˘ a este independent˘a de valoarea dat˘a ¸si egal˘a cu Rb valoarea integralei improprii convergente a f . R1 Exemplu. Fie f : (0, 1] →R, f (t) = tα , α ∈R. Se arat˘a u¸sor c˘a 0 tdtα converge dac˘ a ¸si numai dac˘ a t < 1. Nu vom mai descrie toate tipurile de integrale improprii corespunz˘atoare diferitelor tipuri de intervale necompacte. Cititorul le poate defini cu u¸surint¸˘a folosind cazurile tratate mai sus. De asemenea nu vom mai enunt¸a criterii

38

CAPITOLUL 8. INTEGRALE IMPROPRII

de tip Cauchy sau criterii de comparat¸ie etc. Acestea sunt adapt˘ari ale rezultatelor corepunz˘ atoare de mai sus. Absolut convergent¸˘ a . Integrala improprie a unei funct¸ii local integrabile f este absolut convergent˘ a dac˘a este convergent˘a integrala funct¸iei |f |. O integral˘ a absolut convergent˘ a este convergent˘a . Reciproca nu este R ∞ sin t adev˘ arat˘ a : astfel 0 t dt este convergent˘a dar nu este absolut convergent˘a

Capitolul 9

S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii. Serii de puteri Vom considera ¸siruri (fn )n de funct¸ii fn : I →R, unde I este un interval ˆın R. Convergent¸˘ a simpl˘ a. S ¸ irul (fn )n converge simplu (punctual) c˘atre funct¸ia f : I →R dac˘ a , pentru orice x ∈ I ¸sirul (fn (x))n converge la f (x). s In acest caz scriem fn → f . Dezvoltat: (*) ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃Nx,ε astfel ˆıncˆat dac˘a n > Nx,ε atunci |fn (x) − f (x)| ≤ ε. Exemplu. Fie fn (x) = xn , x ∈ [0, 1] ¸si f : [0, 1] →R, f (x) = 0, x < s 1, f (1) = 1. Atunci fn → f (rezult˘ a c˘a un ¸sir de funct¸ii continue poate converge simplu c˘ atre o funct¸ie care nu este continu˘a ). Convergent¸˘ a uniform˘ a. S ¸ irul (fn )n converge uniform c˘atre funct¸ia u f : I →R ( ¸si scriem fn → f ) dac˘ a: (**) ∀ε > 0, ∃Nε astfel ˆıncˆ at dac˘a n > Nε atunci |fn (x) − f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ I. Se observ˘ a c˘ a dac˘ a u s fn → f atunci fn → f . Reciproca nu este adev˘arat˘a . Exemplu. Reluˆ and exemplul precedent, se arat˘a c˘a ¸sirul fn nu converge uniform c˘ atre f . Propozit¸ia 9.1. Dac˘ a (fn )n este un ¸sir de funct¸ii pe I ¸si f : I → R not˘ am u mn = sup |fn (x) − f (x)| , mn ∈ [0, ∞]. Atunci fn → f dac˘ a ¸si numai dac˘ a x∈I

mn → 0.

Corolarul 9.1. Dac˘ a exist˘ a un ¸sir (xn )n ˆın I astfel ˆıncˆ at ¸sirul (fn (x))n nu tinde la 0 atunci ¸sirul (fn )n nu tinde uniform c˘ atre funct¸ia identic nul˘ a 0. u

Teorema 9.1. (transfer de continuitate). S˘ a presupunem c˘ a fn → f ¸si c˘ a toate funct¸iile fn sunt continue ˆın punctul a ∈ I. Atunci funct¸ia f este 39

40 CAPITOLUL 9. S ¸ IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II. SERII DE PUTERI u

continu˘ a ˆın a. Rezult˘ a c˘ a dac˘ a fn → f ¸si funct¸iile fn sunt continue pe I, atunci f este continu˘ a pe I. Teorema 9.2. (integrare termen cu termen). Fie (fn )n un ¸sir de funct¸ii Rb Rb u continue, fn → f pe un interval compact [a, b]. Atunci a fn → a f (integrala limitei este limita integralelor). Teorema 9.3. (derivare termen cu termen). Fie (fn )n un ¸sir de funct¸ii 0 u s derivabile pe intervalul I astfel ˆıncˆ at fn → f ¸si fn → g. Atunci funct¸ia f este 0 derivabil˘ a ¸si f = g. Serie de funct¸ii. Dac˘a (fn )n este un ¸sir de funct¸ii pe I consider˘am ¸sirul ∞ X de funct¸ii (Sn )n , unde Sn = f0 + f1 + ... + fn . Seria de funct¸ii fn este perechea de ¸siruri (fn )n , (Sn )n . Spunem c˘a seria

∞ X

n=0

fn converge simplu

n=0

(uniform) dac˘ a ¸sirul (Sn )n converge simplu (uniform). In acest caz limita simpl˘ a (uniform˘ a ) a ¸sirului (Sn )n este suma seriei. ∞ X Criteriu (Weierstrass). Dac˘a exist˘a o serie convergent˘a an astfel ˆıncˆ at |fn (x)| ≤ an , ∀x, atunci seria

∞ X

n=0

fn converge uniform.

n=0

Remarc˘ a . Teoremele de transfer de continuitate, integrare termen cu termen, derivare termen cu termen se extind imediat la serii de funct¸ii. De ∞ X exemplu, dac˘ a fn este o serie uniform convergent˘a de funct¸ii continue pe n=0

∞ ∞ Z b X Rb X fn ) etc. ( intervalul [a, b], atunci a ( fn ) = n=0

n=0

a

Serie de puteri. Se nume¸ste serie de puteri (ˆın R) o serie de funct¸ii ∞ X de forma an xn , an ∈ R. Numerele reale an se numesc coeficient¸ii seriei. n=0

Raz˘ a de convergent¸˘ a . Fie

∞ X

an xn o serie de puteri. Exist˘a (¸si este

n=0

unic) R ∈ [0, ∞], numit raza de convergent¸˘ a a seriei

∞ X

an xn , astfel

n=0

ˆıncˆ at i) Dac˘ a |x| < R, atunci seria de numere particular, seria de funct¸ii

∞ X

∞ X

an xn converge absolut. In

n=0

an xn converge simplu pe (−R, R). In cazul

n=0

R = 0 singurul punct de convergent¸˘a al seriei este x = 0.

41

ii) Dac˘ a 0 < r < R atunci seria

∞ X

an xn converge uniform pe [−r, r].

n=0

In particular, dac˘ a R = ∞, atunci seria converge uniform pe orice interval compact. p iii) Dac˘ a exist˘ a limita l = lim n |an |, atunci rezult˘a : n→∞

R=

1 l

1 (cu convent¸ia 10 =∞, ∞ = 0).

|an | , n→∞ |an+1 | ∞ X n

iv) Dac˘ a exist˘ a limita l = lim Exemplu. Seria geometric˘ a ∞ n X x n=0

n!

atunci avem R=l .

x are raza de convergent¸˘a R=1. Seria

n=0

are raza de convergent¸˘ a R=∞.

Teorema 9.4. Fie seria de puteri

∞ X

a de convergent¸˘ aR>0 an xn cu raz˘

n=0

¸si fie f suma seriei pe intervalul de convergent¸˘ a (−R, R). Atunci: i) Funct¸ia f este de clas˘ a C ∞ ¸si derivatele sale se obt¸in prin derivare ∞ X 0 termen cu termen. De exemplu, f (x) = nxn−1 etc. (seriile derivatelor n=1

au aceea¸si raz˘ a de convergent¸˘ a ca seria init¸ial˘ a ). ii) Funct¸ia f se poate integra termen cu termen pe orice interval compact ∞ X Rb bn+1 − an+1 an [a, b] ⊂ (−R, R). Astfel a f (x)dx = . n+1 n=0 ∞ X xn+1 iii) Dac˘ a F este o primitiv˘ a a funct¸iei f, atunci F (x) = F (0)+ an . n+1 n=0

Dezvoltare ˆın serie de puteri. Dac˘a o funct¸ie f este suma unei serii de puteri (pe intervalul de convergent¸˘ a al acesteia) spunem c˘a f este dezvolta∞ X bil˘ a ˆın serie de puteri (pe intervalul respectiv). Dac˘a f (x) = an xn , x ∈ n=0

n

(−R, R), atunci an = f n!(0) , n ∈ . In particular, seria de puteri cu sum˘a f este unic determinat˘ a de f. Exemplu. FolosindPteorema de mai sus, deducem, pornind de la seria n+1 xn pentru |x| < 1. geometric, ln(1 + x) = ∞ n=1 (−1) n Remarc˘ a . Seriile de puteri sunt utile ˆın definirea unor funct¸ii foarte importante. Astfel, putem lua prin definit¸ie: exp(x) = ex = 1 + cos(x) = 1 −

x x2 xn + + ... + + ... pentru x ∈ R 1! 2! n!

x2 x4 x2n + − ... + (−1)n + ...x ∈ R. 2! 4! (2n)!

42 CAPITOLUL 9. S ¸ IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II. SERII DE PUTERI sin(x) = x −

x3 x5 x2n+1 + − ... + (−1)n + ...x ∈ R. 3! 5! (2n + 1)!

Este de preferat a se lucra cu serii de puteri ˆın C definind exponent¸iala complex˘ a prin aceea¸si formul˘a ca cea real˘a ¸si, apoi, funct¸iile trigonometrice pe baza ”relat¸iei lui Euler” : eix = cos x + i sin x, x ∈R. In acest mod toate formulele trigonometrice se deduc din relat¸ia lui Euler folosind proprietatea fundamental˘ a a exponent¸ialei: exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ). Teorema 9.5. (Abel). Fie

∞ X

an o serie convergent˘ a de numere reale.

n=0

∞ X Dac˘ a not˘ am f suma seriei de puteri ( an xn ˆın intervalul (−1, 1), atunci n=0 P a . lim f (x) = ∞ n n=0 x→1

P n+1 xn , Exemplu. Am obt¸inut, mai sus, dezvoltarea ln(1+x) = ∞ n=1 (−1) n ∞ X |x| < 1. In acest caz seria an din teorema precedent˘a este seria armonic˘a n=0

alternat˘ a . Deducem c˘ a suma seriei armonice alternate este ln 2. ∞ X Se consider˘ a , mai general, serii de puteri de forma an (x − a)n numite n=0

serii Taylor (centrate ˆın a). Teoria acestor serii se este analoag˘a teoriei discutate mai sus. Funct¸ie analitic˘ a O funct¸ie definit˘a pe o mult¸ime deschis˘a A din R se zice (real) analitic˘ a dac˘a , ˆın vecin˘atatea fiec˘arui punct a ∈ A, este suma unei serii Taylor centrate ˆın a.

Capitolul 10

Serii Fourier Definit¸ia 10.1. Fie H un spat¸iu vectorial (complex sau real); o aplicat¸ie : H × H 7→ C (respectiv IR) se nume¸ste produs scalar dac˘ a pentru orice x, y, z ∈ H ¸si orice α, β ∈ C sunt adev˘ arate relat¸iile: i. < α x + β y, z > = α < x, z > + β < y, z >; ii. < x, y > = < y, x >; iii. < x, x > ≥ 0; iv. < x, x > = 0 ⇔ x = 0. Perechea (H, ) se nume¸ste spat¸iu cu produs scalar. √ Aplicat¸ia k k : H 7→ H, k x k= < x, x > este norm˘ a pe H ¸si verific˘a inegalitatea lui Schwarz: | < x, y > | ≤ k x k k y k, ∀ x, y ∈ H. Reciproc, un spat¸iu normat (H, k k) este spat¸iu cu produs scalar dac˘a ¸si numai dac˘ a este verificat˘ a legea paralelogramului:
k x + y k2 + k x − y k2 = 2 k x k2 + k y k2 , ∀x, y ∈ H. Spat¸iul (H, ) se nume¸ste spat¸iu Hilbert dac˘a orice ¸sir Cauchy este convergent (spat¸iul normat (H, k k ) este complet). In cele ce urmeaz˘ a (H, ) este un spat¸iu Hilbert. Exemplul 10.1. Spat¸iul Banach Cn (cu norma euclidian˘a ) este spat¸iu Hilbert cu produsul scalar: < x, y >=

n X

xj yj ,

j=1

pentru orice x = (x1 , x2 , ..., xn ) ¸si y = (y1 , y2 , ..., yn ) vectori din Cn . Analog ¸si pentru Rn . 43

44

CAPITOLUL 10. SERII FOURIER

Exemplul 10.2. Spat¸iul Banach al ¸sirurilor de p˘atrat sumabil, X |x(n)|2 < ∞} `2 (N ) = {x : N 7→ C | n∈N

este spat¸iu Hilbert cu produsul scalar: X < x, y >= x(n)y(n), n∈N

pentru orice ¸siruri x, y ∈ `2 (N ). Analog ¸si pentru spat¸iul ¸sirurilor bilaterale (definite pe Z), `2 (Z). Definit¸ia 10.2. Doi vectori x, y ∈ H se numesc ortogonali (sau perpendiculari; not˘ am x ⊥ y) dac˘a < x, y >= 0. Ortogonalul unei mult¸imi nevide M ⊆ H este, prin definit¸ie, mult¸imea (subspat¸iul ˆınchis) M ⊥ = {x ∈ H | x ⊥ y, ∀y ∈ M }. Teorema 10.1. (Teorema proiect¸iei) Fie H un spat¸iu Hilbert ¸si fie M ⊆ H o mult¸ime nevid˘ a , ˆınchis˘ a ¸si convex˘ a . Atunci exist˘ a un unic vector xM ∈ M astfel ˆıncˆ at k xM k= inf{k x k | x ∈ M }. O consecint¸˘ a important˘a este generalizarea descompunerii dup˘a direct¸ii perpendiculare din geometria euclidian˘a : Teorema 10.2. (Descompunerea ortogonal˘ a ) Fie K ⊆ un subspat¸iu ˆınchis ¸si fie K ⊥ ortogonalul s˘ au. Atunci, pentru vector x ∈ H exist˘ a ( ¸si ⊥ sunt unici) y ∈ K ¸si z ∈ K astfel ˆıncˆ at x = y + z. Definit¸ia 10.3. Fie H un spat¸iu Hilbert; o submult¸ime B = {εi }i∈J se nume¸ste baz˘ a ortonormal˘ a ˆın H dac˘a : i. < εi , εj >= δij (simbolul lui Kronecker), ∀i, j ∈ J; ii. subspat¸iul vectorial generat de B este dens ˆın H. Definit¸ia 10.4. Spat¸iul Hilbert H se nume¸ste separabil dac˘a admite baze ortonormale cel mult num˘arabile. In continuare vom considera numai spat¸ii Hilbert separabile. Definit¸ia 10.5. Fie H un spat¸iu Hilbert (separabil), fie B = {εn }n∈N o baz˘ a ortonormal˘ a (fixat˘ a ) ¸si fie x ∈ H un vector fixat; coeficient P ¸ii Fourier ai lui x (ˆın baza B) sunt x bn =< x, εn >, ∀n ∈ N , iar seria n∈N x bn εn se nume¸ste seria Fourier asociat˘a lui x. Aplicat¸ia H 3 x 7→ (b xn )n ∈ `2 (N ) se nume¸ste transformarea Fourier (pe spat¸iul H). Propriet˘ a¸tile seriei Fourier P i. Pentru orice x ∈ H, seria Fourier asociat˘a , n∈N x bn εn , converge la x;

45 P ii. k x k2 = n∈N |b xn |2 (identitatea lui Parseval); iii. transformarea Fourier este un izomorfism (izometric) de spat¸ii Hilbert. Serii trigonometrice Un caz particular remarcabil de serie Fourier este seria trigonometric˘a . Consider˘ am spat¸iul Hilbert al funct¸iilor periodice (de perioad˘a 2π) de p˘atrat integrabil: Z 2π 2 L [0, 2π] = {f : [0, 2π] 7→ C | f m˘asurabil˘a ¸si |f (t)|2 dt < ∞}. 0

Produsul scalar este Z

1 < f, g >= 2π

2π

f (t)g(t)dt, 0

q R 2π 1 2 iar norma k f k2 = 2π 0 |f (t)| dt. Pentru orice n ∈ Z, fie ωn (t) = eint . Un rezultat clasic de analiz˘a afirm˘a c˘a mult¸imea (sistemul trigonometric) B = {ωn | n ∈ Z} este baz˘a ortonormal˘a ˆın L2 [0, 2π]. Pentru orice funct¸ie f ∈ L2 [0, 2π] , coeficient¸ii Fourier ( ˆın raport cu baza fixat˘ a mai sus), sunt Z 2π 1 f (t)e−int dt, ∀n ∈ Z, fbn =< f, ωn >= 2π 0 X iar seria Fourier (sau seria trigonometric˘a ) asociat˘a funct¸iei f este fbn ωn ; n∈Z n X

sumele part¸iale ale seriei, Pn =

fbk ωk , se numesc polinoame trigono-

k=−n

metrice ¸si lim Pn = f ˆın spat¸iul L2 [0, 2π], sau, echivalent: n→∞

lim k Pn − f k2 = 0.

n→∞

Identitatea lui Parseval devine ˆın acest caz: Z 2π X 1 |f (t)|2 dt =k f k22 = |fbn |2 . 2π 0 n∈Z

Folosind egalitatea eint = cos nt + i sin nt, ∀t ∈ R, seria Fourier asociat˘a funct¸iei f se poate scrie sub forma: ∞

a0 X + (an cos nt + bn sin nt), 2 n=1

unde coeficient¸ii trigonometrici (clasici) an ¸si bn sunt: Z 1 2π an = f (t) cos ntdt, ∀ n ≥ 0, π 0

46

CAPITOLUL 10. SERII FOURIER 1 bn = π

Z

2π

f (t) sin ntdt, ∀ n ≥ 1. 0

Leg˘ atura dintre coeficient¸ii fbn , an ¸si bn este: a0 an − ibn b an + ibn fb0 = , fbn = , f−n = , ∀ n = 1, 2, ... 2 2 2 Lema lui Riemann afirm˘a c˘a dac˘a funct¸ia f este integrabil˘a , atunci: lim an = lim bn = 0.

n→∞

n→∞

In leg˘ atur˘ a cu convergent¸a punctual˘a a seriei Fourier, are loc urm˘atorul rezultat clasic: Teorema 10.3. (Teorema lui Dirichlet) Dac˘ a f : IR 7→ IR este o funct¸ie periodic˘ a de perioad˘ a 2π, m˘ asurabil˘ a , m˘ arginit˘ a , avˆ and cel mult un num˘ ar finit de discontinuit˘ a¸ti de spet¸a intˆ ai ¸si avˆ and derivate laterale ˆın orice punct, atunci seria Fourier asociat˘ a funct¸iei f converge ˆın fiecare punct x ∈ IR la 1 (f (x + 0) + f (x − 0)). 2 In particular, dac˘ a funct¸ia f este continu˘ a ( ¸si verific˘ a celelalte ipoteze din teorema lui Dirichlet), atunci are loc descompunerea: ∞

f (t) =

a0 X + (an cos nt + bn sin nt). 2 n=1

Condit¸ii suficiente pentru convergent¸a uniform˘a a seriei Fourier sunt date ˆın teorema urm˘ atoare: Teorema 10.4. (Convergent¸a uniform˘ a a seriei Fourier) Dac˘ a f : R 7→ C este o funct¸ie continu˘ a , de clas˘ a C 1 pe port¸iuni ¸si periodic˘ a de perioad˘ a 2π, atunci seria sa Fourier este absolut ¸si uniform convergent˘ a , iar suma este f . R 2π 1 Num˘ arul a20 = 2π 0 f (x)dx este media semnalului f , primul termen a1 cos x + b1 sin x este oscilat¸ia principal˘ a ( ˆın jurul valorii medii), iar termenul an cos nt + bn sin nt, n ≥ 2 este armonica de ordinul n a funct p ¸iei f . Perioada armonicei de ordinul n este 2π , iar amplitudinea A = |an |2 + |bn |2 ; conform lemei lui Riemann n n rezult˘ a lim An = 0. n→∞

47 In cazul ˆın care funct¸ia f are perioada T = 2`, (` > 0), atunci toate rezultatele de mai sus sunt ˆın continuare adev˘arate, cu adapt˘arile corespunz˘atoare; baza ortonormal˘ a este {n | n ∈ Z}, cu n (x) = ei

nπx `

,

iar coeficient¸ii Fourier sunt: Z nπx 1 2` b f (x)e−i ` dx, ∀ n ∈ Z, fn = 2` 0 Z nπx 1 2` f (x) cos an = dx, ∀ n = 0, 1, 2, ..., ` 0 ` Z nπx 1 2` f (x) sin bn = , ∀ n = 1, 2, ... ` 0 ` Teorema lui Dirichlet se scrie: ∞

a0 X  nπx nπx  1 (f (x + 0) + f (x − 0)) = + an cos + bn sin = 2 2 ` ` n=1

=

∞ X

nπx fbn ei ` , ∀ x ∈ IR.

n=−∞

Identitatea lui Parseval devine ˆın acest caz:
1 |a0 |2 X + |an |2 + |bn |2 = 2 ` n≥1

Z

2`

|f (t)|2 dt.

0

Evident, toate rezultatele de mai sus r˘amˆan adev˘arate dac˘a ˆınlocuim intervalul [0, 2`] cu orice alt interval de lungime 2`, de exemplu, [−`, `]. Serii de sinusuri ¸si cosinusuri Fie f : [0, `] 7→ IR, o funct¸ie integrabil˘a ¸si fie f˜ : IR 7→ IR, periodic˘a de perioad˘ a 2`, definit˘ a prin:  f (x) , x ∈ [0, `] ˜ f (x) = f (−x) , x ∈ (−`, 0) Dac˘a funct¸ia f˜ satisface condit¸iile teoremei lui Dirichlet, atunci, dezvoltˆand f˜ ˆın serie Fourier, rezult˘ a: ∞

1 a0 X πnx (f (x + 0) + f (x − 0)) = + an cos , ∀ x ∈ (0, `), 2 2 ` n=1

f (0 + 0) =

∞

∞

n=1

n=1

a0 X a0 X + an , f (` − 0) = + (−1)n an , 2 2

48

CAPITOLUL 10. SERII FOURIER

coeficient¸ii an fiind coeficient¸ii Fourier reali asociat¸i funct¸iei f˜. Formula de mai sus se nume¸ste dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a lui f . Analog, dac˘ a funct¸ia (impar˘a ):  f (x) , x ∈ [0, `] ˜ f (x) = −f (−x) , x ∈ (−`, 0) satisface condit¸iile teoremei lui Dirichlet, atunci dezvoltarea ˆın serie de sinusuri a funct¸iei f este: ∞

X πnx 1 (f (x + 0) + f (x − 0)) = bn sin , ∀ x ∈ (0, `), 2 ` n=1

coeficient¸ii bn fiind coeficient¸ii Fourier reali asociat¸i funct¸iei f˜.

Capitolul 11

Funct¸ii definite prin integrale Funct¸ie definit˘ a printr-o integral˘ a proprie. Fie f : [a, b]×(c, d) →R. S˘a presupunem c˘ a pentru orice y ∈ (c, d) funct¸ia x 7→ f (x, y) este integrabil˘a pe [a, b]. Este deci bine definit˘ a , printr-o integral˘a , funct¸ia (∗) F (y) = Rb a f (x, y)dx Continuitate. Dac˘ a funct¸ia f este continu˘a , atunci funct¸ia F este continu˘ a. Derivabilitate. Dac˘ a f este continu˘a ¸si exist˘a ∂f si este continu˘a , ∂y ¸ R b ∂f 0 atunci funct¸ia F este derivabil˘ a ¸si F (y) = a ∂y (x, y)dx. Ultima formul˘a poart˘a numele de regula lui Leibniz. Funct¸ie definit˘ a printr-o integral˘ a improprie. Fie f : [a, b) × (c, d) →R (b real sau ∞). S˘ a presupunem c˘a pentru orice y ∈ (c, d) funct¸ia Rb x 7→ f (x, y) este local integrabil˘ a pe [a, b] ¸si a f (x, y)dx este convegent˘a . Este bine definit˘ a , printr-o integral˘a improprie, funct¸ia (∗∗)F (y) = Rb ¸ii analoage pentru celelalte tipuri de intervale a f (x, y)dx. Se dau definit necompacte. Convergent¸a uniform˘ a . In condit¸iile definit¸iei de mai sus spunem c˘a integrala (∗∗) converge uniform ˆın raport cu y dac˘a : ∀ε > 0, ∃Bε < b R b astfel ˆıncˆ at Bε < u < b s˘ a implice u f (x, y)dx < ε, ∀y∈ (c, d). Continuitate. Cu notat¸iile de mai sus dac˘a f este continu˘a ¸si integrala (∗∗) converge uniform, atunci funct¸ia F este continu˘a . Derivabilitate. S˘ a presupunem c˘a f este continu˘a , ∂f a ¸si este ∂y exist˘ R b ∂f continu˘ a ¸si funct¸ia F din (∗∗) este definit˘a . Dac˘a integrala G(y) = a ∂y (x, y)dx 0

converge uniform, atunci F este derivabil˘a ¸si F = G. Criteriu de convergent¸˘ a uniform˘ a . Dac˘a |f (x, y)| ≤ g(x) pentru Rb Rb orice x ∈ [a, b) ¸si y ∈ (c, d) ¸si a g este convergent˘a , atunci a f (x, y)dx converge uniform. Funct¸iile B ¸si Γ. Exemple importante ¸ii definite prin integrale R 1 p−1 de funct q−1 dx,p, q > 0 ¸ sunt funct ¸ iile B ¸ s i Γ: B(p, q) = x (1 − x) si Γ(α) = 0 R ∞ α−1 −x x e dx,α > 0. Avem: 0 49

50

CAPITOLUL 11. FUNCT ¸ II DEFINITE PRIN INTEGRALE i) Γ(1) = 1 ii) Γ(α + 1) = αΓ(α) iii) B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) iv) B(p, 1 − p) = sinππp , 0 < p < 1.

Capitolul 12

Integrala curbilinie Drum parametrizat. Se nume¸ste drum parametrizat de clas˘ a C k (pe k n k scurt, drum de clas C ) ˆın R o aplicat¸ie de clas˘a C ϕ : [a, b] →Rn ([a, b] ⊂R). Imaginea intervalului [a, b] prin funct¸ia ϕ este o submult¸ime compact˘ a ˆın Rn care se nume¸ste ¸si imaginea drumului ¸si va fi notat˘a Iϕ . Vom nota, ˆın leg˘ atur˘ a cu o posibil˘a intuit¸ie cinematic˘a , variabila ˆın [a, b] cu t. Punctele A = ϕ (a) ,B = ϕ (b) sunt extremit˘ a¸tile drumului. Dac˘a 1 A = B drumul se zice ˆınchis. Dac˘ a ϕ = (ϕ1 ,  ϕ2 , ..., ϕn ) ¸si ϕ este de clas˘  aC , 0 0 0 0 atunci exist˘ a o identificare natural˘a ϕ (t) = ϕ1 (t) , ϕ2 (t) , ..., ϕn (t) . Este util de scris drumul ϕ ”desf˘ a¸surat”: x1 = ϕ1 (t) , x2 = ϕ2 (t) , ..., xn = ϕn (t). Conexiune prin arce. O mult¸ime M⊆Rn este conex˘ a prin arce dac˘a pentru orice dou˘ a puncte A, B ∈ M exist˘a un drum continuu cu imaginea ˆın M ¸si de extremit˘ a¸ti A, B. Se zice, pe scurt, c˘a orice dou˘a puncte din M pot fi unite printr-un drum ˆın M. Propozit¸ia 12.1. i) Fie M conex˘ a prin arce ¸si f : M →R o funct¸ie continu˘ a care nu se anuleaz˘ a . Atunci f p˘ astreaz˘ a un semn constant pe M. ii) Dac˘ a M este deschis˘ a , conex˘ a prin arce ¸si f : M →R o funct¸ie diferent¸iabil˘ a astfel ˆıncˆ at ∇f = 0, atunci f este constant˘ a. Lungimea unui drum. Fie ϕ : [a, b] →Rn un drum parametrizat ¸si fie ∆ = {t0 , t1 , ..., tk }, a = t0 < t1 < ... < tk = b o diviziune a intervalului [a, b]. k−1 X Definim L∆ (ϕ) = kα (ti+1 − α (ti ))k (lungimea ”liniei poligonale” dei=0

terminate de punctele ϕ (t0 ) , ϕ (t1 ) , ..., ϕ (tk )).

Fie L (ϕ) = sup L∆ (ϕ), ∆

marginea superioar˘ a a mult¸imii numerelor L∆ (ϕ) cˆand ∆ parcurge mult¸imea tuturor diviziunilor intervalului [a, b]. In general L(ϕ)∈ [0, ∞]. Dac˘a L(ϕ)∈ spunem c˘ a drumul ϕ este rectificabil ¸si num˘arul L(ϕ) este, prin definit¸ie, lungimea drumului ϕ. Teorema 12.1. Dac˘ a drumul ϕ este de clas˘ a C 1 , atunci este rectificabil ¸si 51

52

CAPITOLUL 12. INTEGRALA CURBILINIE

Rb

0 avem L (ϕ) = a ϕ (t) dt. (reamintim c˘ a avem

q 02 02

0 02

ϕ (t) = ϕ1 (t) + ϕ2 (t) + ... + ϕn (t) ). Exemplu. Fie drumul ϕ : [0, 2π] →R2 , ϕ (t) = (cos t, sin t). Imaginea drumului este cercul unitate. Un calcul simplu arat˘a c˘a L(ϕ)=2π . Integrarea funct¸iilor. Fie ϕ : [a, b] →Rn un drum ¸si f :R Iϕ →R o funct¸ie continu˘ a . Integrala funct¸iei f pe drumul ϕ este ϕ f ds =

Rb 0

ang este o notat¸ie). Se observ˘a c˘a lungimea a f (ϕ(t)) ϕ (t) dt (membrul stˆ drumului este integrala funct¸iei constant˘a f ≡ 1 pe drumul respectiv. Integrala funct¸iilor pe drumuri parametrizate se mai nume¸ste integal˘ a curbilinie de primul tip. Interpretarea fizic˘a a integralei este, de exemplu, calculul masei unui ”fir” descris de parametrizarea ϕ atunci cˆand se cunoa¸ste densitatea f. Cˆ amp vectorial. Se nume¸ste cˆ amp vectorial pe mult¸imea A⊆Rn orice funct¸ie V : A →Rn . Dac˘a V = (V1 , V2 , ..., Vn ) atunci funct¸iile reale V1 , V2 , ..., Vn sunt componentele cˆampului. Un cˆamp se zice de clas˘a C k dac˘ a toate componentele sunt de clas˘a C k . In cazul planului vom nota componentele unui cˆ amp cu P, Q iar ˆın cazul spat¸iului cu P, Q, R. Exemplu. Dac˘ a f : A →R este o funct¸ie de clas˘a C 1 pe mult¸imea deschis˘ a A ⊆Rn atunci gradientul ∇f al funct¸iei f este un exemplu important de cˆ amp vectorial (a se vedea ¸si Capitolul 4). Circulat¸ia unui cˆ amp. Fie ϕ : [a, b] →Rn un drum ¸si V un cˆamp vectorial continuu pe Iϕ . Se define¸ste circulat¸ia cˆ ampului V pe drumul ϕ prin: Z V · dr = ϕ

Z b

 0 0 0 V1 (ϕ(t))ϕ1 (t) + V2 (ϕ(t))ϕ2 (t) + ... + Vn (ϕ(t))ϕn (t) dt

a

S˘ a observ˘ am c˘ a dac˘ a scriem V ·d r = V 1 dx 1 +V2 dx2 +...+ V n dx n ¸si folosim forma ”desf˘ a¸surat˘ a ” de scriere a drumului formula de mai sus se ret¸ine cu u¸surint¸˘ a. Circulat¸ia unui cˆ amp vectorial se mai nume¸ste integral˘ a curbilinie de al doilea tip. Dac˘ a V este un cˆ amp de fort¸e, atunci circulat¸ia se interpreteaz˘a ca lucru mecanic. y x Exemplu. S˘ a consider˘am cˆampul vectorial V =(− x2 +y 2 , x2 +y 2 ) definit pe R2 -{0} ¸si de clas˘ a C ∞ . S˘a calcul˘am circulat¸ia acestui cˆaRmp pe drumul ϕ(t) = (a cos t, a sin t), t ∈ [0, 2π] , a > 0. Se obt¸ine imediat ϕ V · dr = 2π. Poate p˘ area surprinz˘ ator c˘a circulat¸ia nu depinde de a (imaginea drumului este cercul cu centrul ˆın 0 ¸si de raz˘a a). Acest fapt se explic˘a prin aceea c˘ a , ˆın acest caz, circulat¸ia exprim˘a m˘arimea unghiului parcurs la o rotire complet˘ a.

53 Cˆ amp de gradient¸i. Un cˆ amp vectorial V pe o mult¸ime deschis˘a se zice cˆ amp de gradient¸i dac˘ a exist˘a o funct¸ie de clas˘a C 1 astfel ˆıncˆat V = ∇f . In acest caz funct¸ia f este un potent¸ial scalar al cˆampului V . Independent¸˘ a de drum. Fie V un cˆamp de gradient¸i pe mult¸imea deschis˘a Ω ⊆Rn ¸si f un potent R ¸ial scalar al cˆampului V . Pentru orice drum ϕ astfel ˆıncˆ at Iϕ ⊂ Ω avem ϕ V · dr = f (ϕ(b)) − f (ϕ(a))(circulat¸ia depinde doar de extremit˘ a¸tile drumului; s˘a observ˘am c˘a dac˘a Ω este conex˘a prin arce dou˘ a potent¸iale ale unui cˆ amp difer˘a printr-o constant˘a ). In particular circulat¸ia unui cˆ amp de gradient¸i pe un drum ˆınchis este nul˘a . Exemplu. Cˆ ampul vectorial din exemplul precedent nu este un cˆamp de gradient¸i; ntegrala pe drumul ˆınchis din exemplu nu este nul˘a . Remarc˘ a . Integrala curbilinie de al doilea tip a fost prezentat˘a ca circulat¸ie a cˆ ampurilor vectoriale. Un mod echivalent de prezentare utilizeaz˘a formele diferent¸iale. Fie V = (V1 , V2 , ..., Vn )= ∇f un cˆ amp de gradient¸i de clas˘a C 1 . Din egali∂V ∂Vi tatea derivatelor part¸iale mixte ale funct¸iei f obt¸inem (∗) ∂x = ∂xji : i, j = j 1, 2, ..., n. Aceste condit¸ii sunt deci necesare pentru ca un cˆamp de clas˘a C 1 s˘a fie cˆamp de gradient¸i. Teorema 12.2. (Poincar´ e). Fie V un cˆ amp de clas˘ a C 1 satisf˘ acˆ and condit¸iile (∗) pe bila deschis˘ a B(0,R). Atunci V este un cˆ amp de gradient¸i pe n R1 X B(0,R). In plus, un potent¸ial scalar este f (x) = 0 ( xi Vi (tx1 , tx2 , ..., txn ))dt. i=1

Teorema poate fi enunt¸at˘ a ¸si sub forma: dac˘a V este un cˆamp de clas˘a C 1 satisf˘acˆ and condit¸iile (∗) pe mult¸imea deschis˘a Ω, atunci V este ”local” un cˆamp de gradient¸i (fiecare punct are o vecin˘atate pe care exist˘a un potent¸ial scalar). In general V nu este global un cˆamp de gradient¸i. Un bun exemy x plu ˆın acest sens ˆıl constituie cˆ ampul V =(− x2 +y ıntr-un 2 , x2 +y 2 ) discutat ˆ exemplu anterior. Mult¸ime stelat˘ a . O mult¸ime M ⊆Rn se zice stelat˘ a ˆın raport cu a∈ M dac˘ a pentru orice x ∈ M segmentul de dreapt˘a [a, x] ⊆ M . Spunem c˘a M este stelat˘ a dac˘ a este stelat˘a ˆın raport cu un punct al ei. Exemplu. R2 -{0} nu este stelat˘a . Teorema 12.3. Fie V un cˆ amp de clas˘ a C 1 satisf˘ acˆ and condit¸iile (∗) pe mult¸imea deschis˘ a ¸si stelat˘ a Ω. Atunci V este un cˆ amp de gradient¸i pe Ω. In particular, aceasta se ˆıntˆ ampl˘ a pentru Ω= Rn . Schimbare de parametru (variabil˘ a ). Se nume¸ste schimbare de 1 parametru o aplicat¸ie de clas˘ a C , bijectiv˘a θ : [a, b] → [c, d] astfel ˆıncˆat inversa θ−1 este de clas˘ a C 1 . O schimbare de parametru este fie strict cresc˘atoare (direct˘ a ) fie strict descresc˘atoare. Arc. Dou˘ a drumuri parametrizate de clas˘a C 1 ϕ : [a, b] →Rn , ψ : [c, d] →Rn se zic echivalente, ϕ ∼ ψ, dac˘a exist˘a o schimbare de parametru

54

CAPITOLUL 12. INTEGRALA CURBILINIE

θ : [a, b] → [c, d] astfel ˆıncˆat ϕ = ψ ◦ θ. Dou˘a drumuri echivalente au aceea¸si imagine. Relat¸ia ”∼” este o relat¸ie de echivalent¸˘a (reflexiv˘a , simetric˘a , tranzitiv˘ a ). Se nume¸ste arc (de clas˘ a C 1 ), ˆın Rn , o clas˘a de echivalent¸˘a γ fat¸˘ a de relat¸ia ”∼”. Dac˘a ϕ ∈ γ spunem c˘a ϕ este o parametrizare admisibil˘ a pentru arcul γ. Vom nota cu Iγ imaginea comun˘a a drumurilor din γ ¸si o vom numi imagine a arcului γ. n Integrala funct¸iilor pe arce. Fie γ un R arc ˆın RR ¸si f : Iγ →R o funct¸ie continu˘ a . Atunci dac˘ a ϕ, ψ ∈ γ rezult˘a ϕ f ds = ψ f ds. Se poate defini R deci, f˘ ar˘ a ambiguitate, integrala funct¸iei f pe arcul γ prin γ f ds = R a ϕ ∈ γ. In particular, putem vorbi ϕ f ds pentru o parametrizare admisibil˘ f˘ ar˘ a ambiguitate de lungimea unui arc. Arc orientat. Dou˘ a drumuri parametrizate de clas˘a C 1 ϕ : [a, b] →Rn , n ψ : [c, d] →R se zic direct echivalente, ϕ ∼◦ ψ, dac exist˘a o schimbare direct˘ a de parametru θ : [a, b] → [c, d] astfel ˆıncˆat ϕ = ψ ◦θ. Dou˘a drumuri direct echivalente sunt echivalente. Relat¸ia ”∼◦ ” este o relat¸ie de echivalent¸˘a Se nume¸ste arc orientat (de clas˘ a C 1 ), ˆın Rn , o clas˘a de echivalent¸˘a γ fat¸˘ a de relat¸ia ”∼◦ ”. Dac˘a ϕ ∈ γ spunem c˘a ϕ este o parametrizare admisibil˘ a pentru arcul γ. Circulat¸ia unui cˆ amp vectorial pe un arc orientat. Fie γ un arc n orientat ˆın R ¸siR V un cˆamp R continuu pe imaginea arcului. Atunci dac˘a ϕ, ψ ∈ γ rezult˘ a ϕ V · dr = ψ V · dr. Se poate defini deci, f˘ar˘a ambiguitate, R R circulat¸ia cˆ ampului V pe arcul γ prin γ V · dr = ϕ V · dr pentru o parametrizare admisibil˘ a ϕ ∈ γ.

Capitolul 13

Integrala dubl˘ a ¸si integrala tripl˘ a Integrala dubl˘ a Fie A=[a, b] × [c, d] , a ≤ b, c ≤ d un dreptunghi ˆın R2 . Definim aria dreptunghiului A ca fiind σ(A)=(b − a) × (d − c). O diviziune ∆ a dreptunghiului A este o pereche ∆1 , ∆2 , unde ∆1 este o diviziune a intervalului [a, b], iar ∆2 o diviziune a intervalului [c, d]. Prin paralele la laturi, o diviziune ˆımparte dreptunghiul ˆın ”sub”dreptunghiuri X ¸si vom nota un asemenea subdreptunghi generic cu S∈ ∆. Avem σ(A)= σ(S). S∈∆

Este evident ce se ˆınt¸elege spunˆ and c˘a o diviziune este mai fin˘ a decˆat alta ¸si este u¸sor de v˘ azut c˘ a , date dou˘a diviziuni, exist˘a una mai fin˘a decˆat ambele. Sume Darboux. Fie f :A→ R o funct¸ie m˘arginit˘a ¸si ∆ o diviziune a dreptunghiului A. Pentru fiecare S∈ ∆ not˘am MS (f ) = sup f, mS (f ) = inf f S

S

¸si definim sumele Darboux X X U (∆, f ) = MS (f )σ(S), L(∆, f ) = mS (f )σ(S). S

S

Propozit¸ia 13.1. Fie ∆1 , ∆2 diviziuni ale dreptunghiului A. i) Dac˘ a ∆2 este mai fin˘ a decˆ at ∆1 , atunci L(∆1 f ) ≤ L(∆2 f ) ¸si U (∆2 , f ) ≤ U (∆1 , f ). ii) L(∆1 , f ) ≤ U (∆2 , f ) (∆1 , ∆2 arbitrare). Integrabilitate (pe dreptunghi). Fie f o funct¸ie m˘ arginit˘ a pe dreptunghiul A. Spunem c˘ a funct¸ia f este integrabil˘ a pe A dac˘a (*) sup L(∆, f ) = inf U (∆, f ). In acest caz, se define¸ste integrala (dubl˘ a ) ∆ ∆ RR a funct¸iei RR f pe A, A f (x, y)dxdy, ca fiind valoarea comun˘a din (*). Vom nota ¸si A f integrala funct¸iei f. Remarc˘am c˘a integrala funct¸iei f ≡ 1 este σ(A). 55

56

˘ S¸I INTEGRALA TRIPLA ˘ CAPITOLUL 13. INTEGRALA DUBLA

Exemplu. Fie ξ(a,b) : A →R, (a, b) ∈ A funct¸ia definit˘a astfel: ξ(a,b) (x, y) = 0, (x, y) 6= (a, b), ξ(a,b) (a, b) = 1. Funct¸ia este integrabil˘a ¸si are integrala nul˘a Teorema 13.1. Funct¸ia m˘ arginit˘ a f este integrabil˘ a pe A dac˘ a ¸si numai dac˘ a ∀ε > 0, ∃∆ astfel ˆıncˆ at U (∆, f ) − L(∆, f ) < ε. Propriet˘ a¸tile funct¸iilor integrabile. Fie f, g : A →R funct¸ii m˘arginite, i) Dac˘ a f, g sunt integrabile, atunci funct¸ia f + g este integrabil˘a ¸si ZZ ZZ ZZ g(x, y)dxdy. f (x, y)dxdy + (f + g)(x, y)dxdy = A

A

A

ii) Dac˘ a f este integrabil˘a ¸si α ∈ R, atunci funct¸ia αf este integrabil˘a ¸si ZZ ZZ (αf )(x, y)dxdy = α f (x, y)dxdy. A

A

iii) Dac˘ a f, g sunt integrabile ¸si f ≤ g, atunci ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy. A

A

iv) Dac˘ a f este integrabil˘a , atunci |f | este integrabil˘a ¸si ZZ Z Z f (x, y)dxdy ≤ |f (x, y)| dxdy. A

A

v) Dac˘ a ∆ este o diviziune, atunci f este integrabil˘a pe A dac˘a ¸si numai dac˘ a pentru orice S ∈ ∆ restrict¸ia f/S a funct¸iei f la S este integrabil˘a pe S. In acest caz avem: ZZ X f (x, y)dxdy = f/S (x, y)dxdy. A

S∈A

Teorema 13.2. Funct¸iile continue sunt integrabile. Teorema 13.3. (integrale iterate). Dac˘ a f : A →R este o funct¸ie continu˘ a atunci: ZZ Z d Z b Z d Z b (∗∗) f (x, y)dxdy = ( f (x, y)dx)dy = dy f (x, y)dx A

c

a

c

a

ultima egalitate fiind o notat¸ie. Aceast˘ a teorem˘ a reduce calculul unei integrale duble la dou˘a integrale ”simple”. Putem interpreta rezultatul ca o teorem˘a de integrare a unei funct¸ii definite printr-o integral˘a . Vom extinde definit¸ia integrabilit˘a¸tii pentru funct¸ii definite pe mult¸imi mai generale decˆ at dreptunghiurile.

57 Fie K ⊂R2 o mult¸ime compact˘a ¸si f ; K →R o funct¸ie m˘arginit˘a . Dac˘a A este un dreptunghi, K ⊆ A definim funct¸ia fA : A →R egal˘a cu f pe K ¸si 0 ˆın rest. Integrabilitate (pe mult¸imi compacte). Spunem c˘a funct¸ia f este integrabil˘ a pe K dac˘ a exist˘ a un dreptunghi A ⊇ K astfel RRˆıncˆat funct¸ia fA s˘a fie integrabil˘ a pe ∆. In acest caz punem, prin definit¸ie A f (x, y)dxdy = RR f (x, y)dxdy. Atˆ at integrabilitatea cˆat ¸si valoarea integralei sunt indeA A pendente de dreptunghiul A. M˘ asur˘ a Jordan nul˘ a . O mult¸ime M⊆R2 are m˘asur˘ nul˘a S a (Jordan) P dac˘a ∀ε > 0, ∃ dreptunghiuri A1 , ..., An astfel ˆıncˆat M ⊆ Ai , n1 σ(Ai ) < i

ε.

Mult¸ime m˘ asurabil˘ a (Jordan). O mult¸ime M⊆R2 este m˘ asurabil˘ a (Jordan) dac˘ a este m˘ arginit˘ a ¸si frontiera (a se vedea Capitolul 2) FrM are m˘asur˘a nul˘ a. Teorema 13.4. Fie K⊆R2 o mult¸ime compact˘ a m˘ asurabil˘ a ¸si f ; K →R o funct¸ie continu˘ a . Atunci f este integrabil˘ a RR pe K. In particular funct¸ia 1 (constant egal˘ a cu 1) este integrabil˘ a pe K ¸si K 1dxdy este, RR prin definit¸ie, aria σ(K) a compactului K ; de obicei, se scrie σ(K) = K dxdy. Propriet˘ a¸tile funct¸iilor integrabile. Propriet˘a¸tile i),ii),iii),iv) ale funct¸iilor integrabile pe dreptunghi r˘amˆan valabile ¸si ˆın cazul funct¸iilor integrabile pe mult¸imi compacte. T Pentru proprietatea v) avem : dac˘a L, K sunt compacte astfel ˆıncˆ at L K are m˘ Sasur˘a nul˘a ¸si f este integrabil˘a pe L ¸si pe K, atunci f este integrabil˘ a pe L K ¸si ZZ ZZ ZZ f = f + f. S L

K

L

K

Intergrafic. Fie ϕ, ψ : [a, b] →R de clas˘a C 1 ¸si ϕ ≤ ψ. Intergraficul determinat de ϕ, ψ este mult¸imea compact˘a K = {(x, y) : x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}. Intergraficul K este o mult¸ime m˘ asurabil˘a . Fie f : K →R o funct¸ie continu˘a Avem: ZZ Z b Z ψ(x) (∗ ∗ ∗) f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. K

a

ϕ(x)

Rb

Rezult˘a , ˆın particular σ(K) = a (ψ(x) − ϕ(x))dx. Exemplu. Fie intergraficul K determinat de funct¸iile ϕ, ψ : [0, 1] →R, φ(x) = x2 , ψ(x) = x ¸si funct¸ia f ; K →R ,f (x, y) = y. Avem : ZZ

Z ydxdy =

K

1

Z

x

dx 0

x2

1 ydy = 2

Z 0

1

(x2 − x4 )dx =

1 . 15

58

˘ S¸I INTEGRALA TRIPLA ˘ CAPITOLUL 13. INTEGRALA DUBLA

Schimbare de variabile. Fie W, Ω mult¸imi deschise ˆın R2 ; o aplicat¸ie Φ : W → Ω este o schimbare de variabile dac˘a : Φ este bijectiv˘a , de clas˘ a C 1 ¸si Φ−1 este de clas˘a C 1 . Teorema 13.5. (schimbarea de variabile). Fie Φ : W → Ω o schimbare de variabile (vom nota variabilele cu u,v ˆın W ¸si cu x,y ˆın Ω), L o submult¸ime compact˘ a ˆın W , K= Φ(L) ¸si f ; K →R o funct¸ie. Dac˘ a L,K sunt m˘ asurabile ¸si f este integrabil˘ a pe K, atunci f ◦ Φ este integrabil˘ a pe L ¸si ZZ ZZ f ◦ Φ(u, v) |JΦ (u, v)| dudv

f (x, y)dxdy = L

K 0

unde JΦ (u, v) =detΦ (u, v)(determinantul matricei iacobiene). Exemplu. Fie W =(0, ∞)×(0, 2π). Notˆand, tradit¸ional, cu r,t variabilele ˆın W (numite coordonate polare), aplicat¸ia Φ, Φ(r, t) = (r cos t, r sin t) este o schimbare de variabile; JΦ (r, t) = r. In condit¸iile teoremei de mai sus avem: ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (r cos t, r sin t)rdrdt K

L

Integrala tripl˘ a Integrala tripl˘ a se refer˘a la integrarea ˆın R3 . Teoria urmeaz˘a pas cu pas teoria f˘ acut˘ a pentru integrala dubl˘a ˆınlocuind dreptunghiurile cu paralelipipede: A= [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ], ai ≤ bi , i = 1, 2, 3. Volumul unui paralelipiped se define¸ste ca ν(A) = [b1 − RRR a1 ] × [b2 − a2 ] × [b3 − a3 ] etc. Vom nota integrala tripl˘ a cu ¸imi compacte K f (x, y, z)dxdydz pentru mult 3 K ⊂R . Intergrafic. Fie ϕ, ψ : L →R , L un dreptunghi ˆın R2 , ϕ, ψ de clas˘a C 1 ¸si ϕ ≤ ψ. Intergraficul determinat de ϕ, ψ este mult¸imea compact˘a K = {(x, y, z) : (x, y) ∈ L, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}. Intergraficul K este o mult¸ime m˘ asurabil˘ a . Fie f ; K →R o funct¸ie continu˘a . Avem: ZZZ ZZ Z ψ(x,y) (∗ ∗ ∗∗) f (x, y, z)dxdydz = dxdy f (x, y, z)dz. K

L

ϕ(x,y)

RR Rezult˘ a , ˆın particular, ν(K) = L (ψ(x, y) − ϕ(x, y))dxdy. Schimbare de variabile (exemple). F˘ar˘a s˘a mai insist˘am asupra mult¸imilor deschise respective vom da dou˘a schimb˘ari de variabile clasice. i) Coordonate cilindrice: x = r cos t, y = r sin t, z = z, r > 0 etc (r, t sunt coordonatele polare ˆın plan). Iacobianul este J =r . ii) Coordonate sferice: x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, r > 0, θ ∈ (o, π), ϕ ∈ (0, 2π), etc (r este distant¸a la origine, θ unghiul razei vectoare u axa Oz, iar ϕ unghiul polar al proiect¸iei punctului pe planul x Oy. Iacobianul este J= r2 sin θ etc.

Capitolul 14

Integrala de suprafat¸˘ a Vom considera doar cazul suprafet¸elor ˆın R3 . Prezentarea este apropiat˘a ˆın spirit, de cea a arcelor. O deosebire este definirea parametriz˘arilor pe mult¸imi deschise pentru a lucra cu funct¸ii de clas˘a C 1 f˘ar˘a convent¸ii suplimentare. Pˆ anz˘ a parametrizat˘ a . Vom numi pˆ anz˘ a parametrizat˘ a de clas˘ a C k o funct¸ie ϕ : ∆ →R3 , de clas˘ a C k , pe mult¸imea deschis˘a ¸si conex˘a (prin arce) ∆ ⊆R2 . Vom nota, ˆın general, variabilele ˆın R2 cu u,v ¸si componentele funct¸iei ϕ prin X,Y,Z, deci ϕ(u, v) = (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)). A spune c˘a ϕ k este de clas˘ a C k revine la faptul c˘a X,Y,Z sunt P de clas˘a C . Imaginea pˆ anzei parametrizate este, prin definit¸ie, ϕ = ϕ(∆). Vom considera, ˆın problema integr˘ arii, restrict¸ia p˘ anzei la submult¸imi compacte m˘asurabile. Desf˘a¸surat o p˘ anz˘ a se scrie x = X(u, v), z = Z(u, v), y = Y (u, v). In cele ce urmeaz˘ a vom considera doar pˆ anze parametrizate de clas˘ a C k , k≥ 1. De asemenea vom spune ”pˆ anz˘ a ” ˆın loc de pˆanz˘a parametrizat˘a . Exemplu.i) ∆=(0, π) × (0, 2π) ¸si ϕ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos v). Imaginea pˆ anzei este o parte a sferei centrate ˆın origine ¸si de raz˘a 1. ii) Fie∆ deschis˘ a ¸si conex˘ a ˆın R2 ¸si f : ∆ →R o funct¸ie de clas˘a C k . Folosind, pentru simplitate x, y pentru notarea parametrilor definim pˆanza ϕ pe ∆ prin: ϕ(x, y) = (x, y, f (x, y)). Imaginea pˆanzei este graficul funct¸iei f . Vom numi acest tip de pˆ anz˘ a cartezian˘ a. 3 1 iii) Fie F :R →R o funct¸ie de clas˘a C , M = {(x, y, z); F (x, y, z) = 0} 0 ¸si a ∈ M astfel ˆıncˆ at Fz (a) 6= 0. Atunci, ˆınr-o vecin˘atate a punctului a, mult¸imea M este imaginea unei pˆanze carteziene (teorema funct¸iilor implicite). Normal˘ a . Dac˘ a ϕ : ∆ →R3 este pˆanz˘a parametrizat˘a , definim: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂X ∂Y ∂Z ∂X ∂Y ∂Z si funct¸ia normal˘ a Nϕ = ∂ϕ ∂u = ( ∂u , ∂u , ∂u ), ∂v = ( ∂v , ∂v , ∂v ) ¸ ∂u × ∂v , D(Z,X) unde ”×” este produsul vectorial. Punˆand A = D(Y,Z) D(u,v) , B = D(u,v) , C = ∂Y ∂Z D(X,Y ) D(Y,Z) ∂u ∂u etc avem Nϕ = (A, B, C). ∂Z D(u,v) cu D(u,v) = ∂Y ∂v

∂v

59

˘ CAPITOLUL 14. INTEGRALA DE SUPRAFAT ¸A

60

Exemplu. In cazul unei pˆanze carteziene (x, y) 7→ (x, y, f (x, y)) vom 0 0 avea N = (−p, −q, 1), unde s-a notat, tradit¸ional, p = fx , q = fy . Aria unei pˆ anze. Dac˘a ϕ : ∆ →R3 este pˆanz˘a parametrizat˘a ¸si K este o mult¸ime compact˘ a m˘ asurabil˘a K ⊂ ∆ definim aria pˆanzei ϕ|K : . ZZ kNϕ (u, v)k dudv.

(∗)S(ϕ|K ) = K

RR √ RR p Astfel avem: S(ϕ|K ) = K A2 + B 2 + C 2 dudv sau S(ϕ|K ) = K 1 + p2 + q 2 dudv (ˆın cazul unei pˆ anze carteziene). IntegralaPunei funct¸ii. Cu notat¸iile de mai sus fie f o funct¸ie continu˘a pe imaginea ϕ|K . Definim integrala funct¸iei f pe pˆanza ϕ|K ca fiind: ZZ (∗∗)

ZZ f ◦ ϕ(u, v) kNϕ (u, v)k dudv

f dσ = ϕ|K

K

integrala din dreapta fiind integrala dubl˘a . Mai dezvoltat: ZZ ZZ p f dσ = f (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)) A2 (u, v) + B 2 (u, v) + C 2 (u, v)dudv ϕ|K

K

Se remarc˘ a faptul c˘ a aria este integrala funct¸iei constant˘a 1. Dac˘a f reprezint˘a o densitate, atunci integrala ei este masa corespunz˘atoare. Integrala unui cˆ amp. Cu P notat¸iile de mai sus fie V =(P,Q,R) un cˆamp vectorial continuu pe imaginea ϕ|K . Definim integrala cˆ ampului V pe pˆ anza ϕ|K ca fiind: ZZ (∗ ∗ ∗)

ZZ P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy =

ϕ|K

(P A + QB + RC)dudv K

Evident, membrul stˆ ang este o notat¸ie ˆın timp ce membrul drept este integrala dubl˘ a. Normala unitar˘ a . Cu notat¸iile de mai sus, s˘a presupunem c˘a funct¸ia normal˘ a Nϕ este diferit˘ a de 0 ˆın orice punct definim funct¸ia normal˘ a uniNϕ tar˘ a nϕ = kNϕ k . Flux. Cu notat¸iile de mai sus, dac˘a normala unitar˘a este definit˘a pe K, este evident c˘ a putem aduce integrala (***) a cˆampului V la forma: ZZ ZZ (∗ ∗ ∗∗) P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = V · nϕ dσ ϕ|K

ϕ|K

Sub aceast˘ a form˘ a integrala cˆampului V poart˘a numele de flux al cˆ ampului V prin pˆ anza ϕ|K . Dac˘a V este cˆampul de viteze al unui fluid care traverseaz˘ a imaginea pˆ anzei, fluxul poate fi interpretat ca fiind cantitatea de fluid care trece ˆın unitatea de timp.

61 Suprafat¸˘ a . Dac˘ a ϕ : ∆ →R3 , ψ : Ω →R3 sunt pˆanze, spunem c˘a ele sunt echivalente, ϕ ˜ψ, dac˘ a exist˘a o schimbare de variabile θ : ∆ → Ω, ϕ = ψ ◦ θ. O suprafat¸˘ a este o clas˘ a de echivalent¸˘a de pˆanze. Dac˘a S este o suprafat¸˘a ¸si ϕ ∈ S spunem c˘ a ϕ este o parametrizare admisibil˘ a pentru S. Pˆ anzele P echivalente au aceea¸si imagine deci definim imaginea unei suprafet¸e S ca imaginea comun˘ a a parametriz˘ arilor sale admisibile. P Integrala unei funct¸ii. Fie f o funct¸ie continu˘a pe imaginea S a suprafet¸ei S,ϕ, ψ parametriz˘ ari admisibile ¸si K,L mult¸imi compacte RR m˘asurabile care se corespund prin schimbarea de variabil˘a θ. Atunci ϕ f dσ = |K RR ar˘a ambiguitate integrala unei funct¸ii pe ψ|L f dσ. Se poate defini, deci, f˘ RR RR o suprafat¸˘ a S f dσ = ϕ f dσ, ϕ ∈ S. Pentru a nu complica notat¸ia am |K scris S ˆın locul imaginii compactului K. Vom folosi ¸si denumirea de suprafat¸˘a compact˘ a ˆın aceast˘ a situat¸ie. Suprafat¸˘ a orientat˘ a . Dac˘ a θ este o schimbare de variabil˘a atunci, avˆand ˆın vedere c˘ a domeniile de definit¸ie ale parametriz˘arilor sunt conexe, iacobianul Jθ este fie strict pozitiv fie strict negativ. Schimbarea θ se zice direct˘ a dac˘ a iacobianul este strict pozitiv. Scriem ϕ ˜o ψ dac˘ a ϕ = ψ ◦ θ cu θ direct˘a . O suprafat¸˘ a orientat˘ a este o clas˘ a de echivalent¸˘ a ˆın raport cu relat¸ia ˜o ”. Dac˘a S este o suprafat¸˘a orientat˘ a ¸si ϕ ∈ S spunem c˘ a ϕ este o parametrizare admisibil˘ a pentru S. Se arat˘a c˘ a dac˘ a ϕ ˜o ψ ¸si normalele unitare sunt definite, atunci ele coincid pe imaginea comun˘ a . Deci normala unitar˘a ”caracterizeaz˘a ” orientarea. Integrala unui cˆ amp. Fie V =(P,Q,R) un cˆamp vectorial continuu pe imaginea unei suprafet¸e orientate compacte S. Definim integrala cˆ ampului V RR pe S prin: RR S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ϕ P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, unde P,Q,R sunt componentele cˆ ampului ¸si ϕ o parametrizare admisibil˘a . Definit¸ia se dovede¸ste a fi corect˘ a valoarea integralei fiind independent˘a de parametrizarea admisibil˘ a aleas˘ a. Flux. Cu notat¸iile de RR mai sus este clar c˘a integrala cˆampului se poate scrie, ˆıntr-un sens evident, S V ·ndσ purtˆand numele de flux al cˆ ampului V prin suprafat¸a orientat˘ a S.

Capitolul 15

Formule integrale Aceast˘ a sect¸iune este dedicat˘a formulelor Green-Riemann, Gauss - Ostrogradski ¸si Stokes. Felul ˆın care vor fi prezentate aceste formule (de fapt cazuri particulare ale unei formule Stokes generale) este mai mult intuitiv decˆ at riguros. Motivul ˆıl constituie dificultatea de a dezvolta o teorie a variet˘ a¸tilor cu bord ˆın contextul unui text adresat mai ales celor ce aplic˘a matematica. O tratare riguroas˘a ar implica not¸iuni de algebr˘a ¸si topologie care dep˘ a¸sesc nivelul acestui text. Drum C 1 pe port¸iuni. Un drum continuu ϕ : [a, b] →Rn se zice C1 pe port¸iuni dac˘ a exist˘a o diviziune a = t0 < t1 < ... < tn = b astfel ˆıncˆ at pe fiecare interval [ti−1 , ti ] , i = 1...n funct¸ia ϕ s˘a fie de clas˘a C 1 . Integralele funct¸iilor ¸si circulat¸ia cˆampurilor se extind la cazul drumurilor C 1 pe port¸iuni ˆınsumˆ and integralele pe intervalele diviziunii. Extinderea se dovede¸ste corect˘ a fiind independent˘a de diviziunea folosit˘a . Se trece, ˆın mod natural, la arce ¸si la arce orientate etc. Compact cu bord orientat ˆın R2 . Vom numi compact cu bord orientat o mult¸ime compact˘a K ⊂R2 astfel ˆıncˆat frontiera sa s˘a fie (local) imaginea unui drum C 1 pe port¸iuni, orientat ˆın sens trigonometric. Vom nota aceast˘ a frontier˘ a cu ∂K ¸si o vom numi bord orientat ¸si compactul cu bord orientat cu (K, ∂K). A¸sa cum am menionat mai sus, definit¸ia este mai mult intuitiv˘a decˆat riguroas˘ a. Exemplu. Intergraficul determinat de ϕ, ψ este un compact cu bord orientat definind bordul ca format din graficele funct¸iilor ϕ, ψ ¸si din segmentele de dreapt˘ a {(a, y} : ϕ(a) ≤ y ≤ ψ(a)}, {(b, y) : ϕ(b) ≤ y ≤ ψ(b)} orientarea pe fiecare port¸iune fiind astfel ˆıncˆat orientarea ˆıntregului bord s˘a fie ˆın sens trigonometric. Formula Green-Riemann. Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat ˆın R2 ¸si V =(P, Q) un cˆ amp de clas˘a C 1 pe o mult¸ime deschis˘a care cont¸ine K. Atunci : 62

63

Z

ZZ V · dr =

(

∂K

K

∂Q ∂P − )dxdy (formula Green-Riemann). ∂x ∂y

Calculul ariei. Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat . Atunci: Z 1 xdy − ydx σ(K) = 2 ∂K 2

Exemplu. Fie compactul cu bord orientat K = {(x, y); xa2 + x2 a2

y2 b2

y2 b2

≤ 1}

+ = 1; a, b > 0 ”orientat˘a ” ˆın sens trigonometric. cu bordul elipsa Aplicˆand formula de mai sus se obt¸ine σ(K) = πab. Vom stabili formula Gauss-Ostrogradski doar ˆın cazul simplu al unui intergrafic. Formula se generalizeaz˘a pentru compact¸i cu bord orientat ˆın R3 dar nu vom intra ˆın detalii privind aceast˘a not¸iune. Un alt mod de a extinde formula este de a considera compact¸i care se pot descompune, prin plane paralele cu planele de coordonate ˆıcompact¸i de tip intergrafic. Fie un intergrafic K ˆın R3 determinat de dou˘a funct¸ii de clas˘a C 1 ϕ, ψ : L →R, ϕ ≤ ψ, unde L este un compact m˘asurabil ˆın R2 . Deci K = {(x, y, z) : (x, y) ∈ L, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}. Frontiera compactului K este compus˘ a din graficele funct¸iilor ϕ, ψ ¸si din mult¸imea C a punctelor de forma (x, y, z), unde punctul (x, y) apart¸ine frontierei compactului L, iar ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y). Vom considera graficele funct¸iilor ϕ, ψ ca imagine de suprafet¸e orientate corespunz˘ atoare parametriz˘arilor carteziene respective alegˆand, pe fiecare, orientarea dat˘a de normala exterioar˘a (sensul acesteia indicˆand ”p˘ ar˘ asirea compactului” sau altfel spus, pe graficul funct¸iei ψ normala are sensul ”cre¸sterii lui z” iar pe graficul funct¸iei ϕ sensul descre¸sterii lui z). Not˘ am aceste suprafet¸e orientate cu S 1 respectiv S 2 . Vom considera ¸si mult¸imea C ca imaginea unei suprafet¸e orientate dup˘a normala exterioar˘a S3 . Suprafet¸ele S 1 , S 2 , S 3 formeaz˘a bordul orientat ∂K al compactului K. Perechea (K, ∂K) este un compact cu bord orientat. Fluxul unui cˆamp prin ∂K este, prin definit¸ie, suma fluxurilor prin cele trei componente ale bordului. Propozit¸ia 15.1. Fie cˆ ampul vectorial V=(0,0,R), unde funct¸ia R este de 1 clas˘ a C ˆın vecin˘ atatea compactului K. Atunci: ZZ ZZZ ∂R V · ndσ = dxdydz ∂K K ∂z Considerˆ and compact¸i cu bord orientat provenit¸i din intergrafice ˆın raport cu celelalte axe vom obt¸ine formule analoage celei de mai sus. Divergent¸a unui cˆ amp. Dac˘a V = (P, Q, R) este un cˆamp de clas˘a ∂Q ∂R 1 C divergent¸a sa divV se define¸ste prin divV= ∂P ∂x + ∂y + ∂z . Formula Gauss-Ostrogradski. Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat, intergrafic ˆın raport cu toate axele, cu bordul orientat dup˘a normala

64

CAPITOLUL 15.

FORMULE INTEGRALE

exterioar˘ a , ¸si V = (P, Q, R) un cˆamp de clas˘a C 1 ˆın vecin˘atatea lui K. Atunci: RR RRR ∂K V · ndσ = K divV dxdydz (formula Gauss-Ostrogradski) Formula de mai sus se nume¸ste ¸si formula flux-divergent¸˘ a. Calculul volumului. Fie (K, ∂K)un compact cu bord orientat ca ˆın formula de mai sus. Atunci Z Z pentru volumul compactului K obt¸inem: 1 xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy. v(K) = 3 ∂K A¸sa cum am afirmat mai sus, formula Gauss-Ostrogradski se extinde la o clas˘ a mai general˘ a de compact¸i cu bord orientat; o extensie rapid˘a se poate face la acei compact¸i care se pot descompune, prin plane paralele cu planele de coordonate ˆın compact¸i de tip intergrafic. Pentru prezentarea formulei Stokes vom considera un caz simplu. Fie (L, ∂L) un compact cu bord orientat ˆın R2 ¸si f o funct¸ie de clas˘a C 2 ˆın vecin˘ atatea mult¸imii L. Vom considera suprafat¸a orientat˘a S indus˘a de pˆ anza cartezian˘ a determinat˘a de f cu orientarea normalei ˆın sensul cre¸sterii variabilei z (funct¸ia normal˘a fiind, cu o notat¸ie mai sus folosit˘a , (−p, −q, 1)). Restrict¸ia parametriz˘ arii la ∂L determin˘a un arc orientat (C 1 pe port¸iuni) astfel ˆıncˆ at orientarea suprafet¸ei s˘a fie compatibil˘a cu cea a arcului ˆın sensul ”regulei burghiului”. Vom numi bord al suprafet¸ei S acest arc orientat iar perechea (S, ∂S) va fi o suprafat¸˘ a orientat˘ a cu bord orientat. Rotor al unui cˆ amp vectorial. Fie V =(P, Q, R) un cˆamp vectorial de clas˘ a C 1 . Vom numi rotor al cˆampului V cˆampul vectorial ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rotV= ( ∂R ∂y − ∂z , ∂z − ∂x , ∂x − ∂y ). Se ret¸in, cu u¸surint¸˘ a , componentele rotorului dac˘a se consider˘a determinantul ”formal”: i j k ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z care se “dezvolt” dup prima linie (a bazei canonice, sau P Q R a versorilor axelor) i n care “nmulirea “ unui operator de derivare cu o funcie nseamn aplicarea operatorului funciei respective. Formula Stokes. Fie (S, ∂S) o suprafat¸˘a orientat˘a cu bord orientat ¸si V un cˆ amp vectorial de clas˘a C 1 ˆın vecin˘atatea imaginii suprafet¸ei S. Atunci: R RR ∂S V · dr = S rotV · ndσ (formula Stokes). Formula Stokes se extinde la suprafet¸e orientate cu bord orientat mai generale dar nu vom intra ˆın detalii. ∂ ∂ ∂ i + ∂y j + ∂z k. Operatorul nabla. Definim ”operatorul” nabla ∇ = ∂x Putem interpreta formal gradientul unei funct¸ii, divergent¸a ¸si rotorul unui cˆ amp astfel: gradf = ∇f ”produsul” operatorului cu cˆampul scalar f. divV= ∇ · V ”produsul scalar” al operatorului cu cˆampul vectorial V.

65 rotV = ∇ × V ”produsul vectorial” al operatorului cu cˆampul vectorial V. Desigur ”produs” ˆınseamn˘ a aplicarea operatorului iar justificarea formal˘a a acestei scrieri este u¸sor de intuit. Prin cˆamp scalar ˆınt¸elegem funct¸ie cu valori reale. Remarc˘ a . Operatorii gradient, divergent¸˘a , rotor se pot aplica succesiv obt¸inˆandu-se noi operatori important¸i. Astfel, dac˘a f este de clas˘a C 2 atunci 2 2 2 div(gradf ) = ∆f este laplacianul funct¸iei f , ∆f = ∂∂xf2 + ∂∂yf2 + ∂∂zf2 .

Capitolul 16

Funct¸ii olomorfe ¸si teorema reziduurilor In acest capitol vom studia funct¸ii de variabil˘a complex˘a ¸si cu valori complexe. Reamintim corespondent¸a bijectiv˘a dintre C ¸si R2 x + iy ↔ (x, y) ˆın care distant¸ei dintre numere complexe ˆıi corespunde distant¸a uzual˘a ˆın plan. Trimitem la Capitolul 3 pentru not¸iunile de bil˘a deschis˘a , bil˘a ˆınchis˘a mult¸ime ˆınchis˘ a etc. Vom utiliza termenul de ”disc” ˆın loc de bil˘a (din rat¸iuni intuitive evidente) ¸si notat¸ia D(a, r) ˆın loc de B(a, r) etc. Funct¸ie olomorf˘ a . Fie Ω o mlt¸ime deschis˘a ˆın C ¸si f : Ω → C o funct¸ie. Spunem c˘ a funct¸ia f este derivabil˘ a ˆın punctul a ∈ Ω dac˘a exist˘a limita : f (z) − f (a) lim = f 0 (a) z→a z−a (f 0 (a) ∈ C ¸si egalitatea este o notat¸ie). Dac˘a funct¸ia este derivabil˘a ˆın orice punct din Ω, atunci spunem c˘a este olomorf˘ a pe Ω. Not˘am f 0 derivata funct¸iei f . Propriet˘ a¸ti. i) Dac˘ a f este olomorf˘a pe Ω, atunci este continu˘a pe Ω. ii) Dac˘ a f, g sunt olomorfe pe Ω, atunci ¸si f + g este olomorf˘a pe Ω ¸si 0 (f + g) = f 0 + g 0 . iii) Dac˘ a f, g sunt olomorfe pe Ω, atunci f g este olomorf˘a pe Ω ¸si (f g)0 = f 0g + f g0. iv) Dac˘ a f, g sunt olomorfe ¸si h = g ◦ f , atunci h este olomorf˘a ¸si h0 (z) = g 0 (f (z))f 0 (z). v) Dac˘ a f, g sunt olomorfe pe Ω, g(z) 6= 0, ∀z, atunci fg este olomorf˘a ¸si  0 0 f g0 = f g−f . g g2 Se observ˘ a c˘ a regulile de derivare de la funct¸iile reale sunt valabile ¸si ˆın cazul funct¸iilor complexe ceea ce este normal, definit¸ia fiind ”formal” aceea¸si. 66

67 Exemple. i) Fie f (z) = z n , z ∈ C. Este imediat de v˘azut c˘a f este olomorf˘ a ¸si f 0 (z) = nz n−1 . ii) Din i) rezult˘ a c˘ a funct¸iie polinomiale sunt funct¸ii olomorfe ¸si derivarea se face similar cazului real. Analog funct¸iile rat¸ionale unde nu se anuleaz˘a numitorul etc. Serie de puteri. Se nume¸ste serie de puteri (ˆın C) o serie de funct¸ii ∞ X de forma an z n , an ∈ C. Numerele complexe an se numesc coeficient¸ii n=0

seriei. Raz˘ a de convergent¸˘ a . Fie

∞ X

an z n o serie de puteri. Exist˘a (¸si este

n=0

unic) R ∈ [0, ∞], numit raza de convergent¸˘ a a seriei

∞ X

an z n , astfel

n=0

ˆıncˆat: i) Dac˘ a |z| < R, atunci seria de numere particular, seria de funct¸ii

∞ X

∞ X

an z n converge absolut. In

n=0

an z n converge simplu pe (−R, R). In cazul

n=0

R = 0 singurul punct de convergent¸˘a al seriei este z = 0. ∞ X ii) Dac˘ a 0 < r < R, atunci seria an z n converge uniform pe D(0, r). n=0

In particular, dac˘ a R = ∞ seria converge uniform pe orice disc ˆınchis. Urm˘ aorul rezultat este important: Teorema 16.1. Fie seria de puteri

∞ X

an z n cu raza de convergent¸˘ aR>0

n=0

¸si fie f suma seriei pe discul de convergent¸˘ a D(0, r). Atunci: ∞ X i) Funct¸ia f este olomorf˘ a pe D(0, r) ¸si f 0 (z) = nan z n−1 (derivare n=1

termen cu termen). ii) Funct¸ia f are derivate de orice ordin pe D(0, r) ¸si acestea se obt¸in prin derivare termen cu termen (ˆın particular toate aceste derivate sunt funct¸ii olomorfe). Obt¸inem noi exemple de funct¸ii olomorfe utilizˆand seriile de puteri: 2 n Funct¸ia exponent¸ial˘ a . exp(z) = ez = 1 + 1!z + z2! + . . . + zn! + . . . pentru z ∈ C. Evident (ez )0 = ez . Funct¸ia exp are perioada 2πi. 5 3 z 2n+1 + . . ., z ∈ C. Funct¸ia sinus. sin(z) = z − z3! + z5! − . . . + (−1)n (2n+1)! 2

4

2n

z Funct¸ia cosinus. cos(z) = 1 − z2! + z4! − . . . + (−1)n (2n)! + . . ., z ∈ C. iz Formula lui Euler. e = cos(z) + i sin(z), z ∈ C. Exercit¸iu. Ar˘ atat¸i c˘ a sin0 = cos, cos0 = − sin.

68CAPITOLUL 16. FUNCT ¸ II OLOMORFE S¸I TEOREMA REZIDUURILOR

Remarc˘ a . Se pot considera, mai general, serii Taylor

∞ X

an (z − a)n ;

n=0

rezultatele sunt similare celor de mai sus. Este absolut remarcabil c˘a funct¸iile olomorfe sunt, local, sume de serii de Taylor. Teorema 16.2. Fie f : Ω → C o funct¸ie olomorf˘ a pe Ω. Atunci pentru fiecare punct a ∈ Ω exist˘ a un disc deschis, cont¸inut ˆın Ω pe care f este suma unei serii Taylor (unic determinat˘ a ). Ecuat¸iile (condit¸iile) Cauchy-Riemann. Fie f : Ω → C o funct¸ie olomorf˘ a pe Ω. Consider˘am partea real˘a u ¸si partea imaginar˘a v ale funct¸iei f (f = u + iv). Atunci funct¸iile u, v au, ca funct¸ii de dou˘a variabile reale, derivate part¸iale de orice ordin ¸si : ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x aceste ecuat¸ii se numesc ecuat¸iile (condit¸iile) Cauchy-Riemann. Este imediat de v˘ azut c˘a funct¸iile u, v de mai sus sunt armonice, adic˘a verific˘ a ecuat¸ia lui Laplace: ∂2v ∂2v ∂2u ∂2u + = 0, + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 Integrala. Dac˘ a f este o funct¸ie de variabil˘a complex˘a , cu valori complexe f = u+iv avem f (z)dz = udx−vdy +i(vdx+udy) R R R = (u+iv)(dx+idy) ¸si definim integrala prin γ f dz = γ udx − vdy + i γ vdx + udy; dac˘a ϕ : [a, b] → C este o parametrizare admisibil˘a pentru arcul orientat γ, atunci R Rb 0 γ f dz = a f (ϕ(t))ϕ (t)dt. Exemplu. Fie ϕ :R[0, 2π] → C, ϕ(t) = z0 +Reit , R > 0 ¸si γ arcul orientat 1 generat de ϕ. Atunci γ z−z dz = 2πi. 0 Teorema 16.3. (Cauchy) Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat ˆın plan ¸Rsi f o funct¸ie olomorf˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a care cont¸ine K. Atunci f dz = 0. γ Demonstrat¸ie. Se aplic˘ a formula Green-Riemann ¸tinˆandu-se cont de condit¸iile Cauchy-Riemann. Teorema 16.4. (Formula Cauchy) Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat ˆın plan ¸si f o funct¸ie olomorf˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a care cont¸ine K. Dac˘ a z0 este un punct interior compactului K, atunci Z f (z) 1 f (z0 ) = dz 2πi γ z − z0

69 Demonstrat¸ie. Se consider˘ a compactul obt¸inut ˆınl˘aturˆand un disc deschis centrat ˆın z0 ¸si cont¸inut ˆın K; se aplic˘a teorema lui Cauchy ¸si se face raza discului s˘ a tind˘ a la 0. Serie Laurent. Fie o serie ˆın C de forma converge dac˘ a converg simultan seriile

∞ X 0

∞ X

an . Vom spune c˘a seria

−∞

an ,

X

an . O serie Laurent este

n 0 ∃Nε astfel ˆıncˆat dac˘a n ≥ Nε s˘a rezulte d(xn , x) < ε. In acest caz scriem lim xn = x sau, mai simplu, xn → x. n→∞

71

72 CAPITOLUL 17. SPAT ¸ II METRICE. PRINCIPIUL CONTRACT ¸ IEI S ¸ ir convergent. Un ¸sir care are limit˘a se zice convergent. Limita unui ¸sir convergent este unic˘a . S ¸ ir Cauchy. Un ¸sir (ˆın X) (xn )n se zice ¸sir Cauchy dac˘a : ∀ε > 0 ∃Nε astfel ˆıncˆ at dac˘ a n, m ≥ Nε s˘a rezulte d(xn , xm ) < ε. Spat¸iu metric complet. Un spat¸iu metric ˆın care orice ¸sir Cauchy este convergent se zice complet. Exercit¸ii. 1) A da un ¸sir ˆın Rn revine la a da n ¸siruri de numere reale (¸sirurile componentelor). Ar˘ atat¸i c˘a un ¸sir este convergent (Cauchy) dac˘a ¸si numai dac˘ a ¸sirurile componentelor sunt convergente (Cauchy). Pentru un ¸sir convergent componentele limitei sunt limitele ¸sirurilor componentelor (limita se face ”pe componente”). Deducet¸i c˘a Rn este un spat¸iu metric complet. 2) Ar˘ atat¸i c˘ a spat¸iile metrice din exemplele 1) ¸si 4) de mai sus sunt complete. Vom considera un spat¸iu metric fixat (X, d). Bil˘ a deschis˘ a . Dac˘ a de centru a ¸si  a a ∈ X ¸si r > 0, bila deschis˘ raz˘ a r este B(a, r) = x; x ∈ X, d(x, a) < r . In R bilele deschise sunt intervale deschise, ˆın R2 discuri f˘ar˘a circumferint¸a care le m˘ argine¸ste, iar ˆın R3 bile f˘ar˘a sfera care le m˘argine¸ste. Astfel, de exemplu, ˆın R2 , (x, y) ∈ B(0, 1) dac˘a ¸si numai dac˘a x2 + y 2 < 1; ˆın R3 , (x, y, z) ∈ B(0, 1) dac˘ a ¸si numai dac˘a x2 + y 2 + z 2 < 1. Bil˘ a ˆınchis˘ a. Dac˘ a a ∈ X ¸si r > 0, bila ˆınchis˘ a de centru a ¸si raz˘ a r este B(a, r) = x; x ∈ X, d(x, a) ≤ r . Astfel, ˆın R2 , (x, y) ∈ B(0, 1) dac˘a ¸si numai dac˘a x2 + y 2 ≤ 1 etc. Vecin˘ atate. O mult¸ime V ⊆ X este o vecin˘ atate a punctului a ∈ X dac˘ a exist˘ a B(a, r) ⊆ V ( o vecin˘atate a lui a este o mult¸ime care cont¸ine o bil˘ a deschis˘ a centrat˘ a ˆın a). Este evident c˘ a orice vecin˘atate a unui punct cont¸ine punctul respectiv ¸si c˘ a orice bil˘ a (deschis˘ a sau ˆınchis˘a ) centrat˘a ˆın a este o vecin˘atate a lui a. De asemenea se observ˘a , f˘ar˘a dificultate, c˘a intersect¸ia a dou˘a vecin˘at˘a¸ti ale unui punct este o vecin˘atate a acelui punct. Ideea de vecin˘atate se leag˘a de studiul propriet˘ a¸tilor ”locale” ale funct¸iilor. Mult¸ime deschis˘ a . O submult¸ime A ⊆ X este deschis˘ a (ˆın X) dac˘a pentru orice a ∈ A exist˘a B(a, r) ⊆ A. Mult¸imea vid˘ a ∅ ¸si ˆıntreg spat¸iul X sunt deschise. Un exercit¸iu simplu arat˘ a c˘ a orice bil˘ a deschis˘a este o mult¸ime deschis˘a . Mult¸ime ˆınchis˘ a . O submult¸ime A ⊆ X este ˆınchis˘ a (ˆın X) dac˘a mult¸imea X \ A (complementara mult¸imii A) este deschis˘a . Evident, ∅ ¸si X sunt ˆınchise. Se arat˘a c˘a bilele ˆınchise sunt mult¸imi ˆınchise. Teorema 17.1. Orice reuniune de mult¸imi deschise este deschis˘ a . Orice intersect¸ie finit˘ a de mult¸imi deschise este deschis˘ a . Orice intersect¸ie de

73 mult¸imi ˆınchise este ˆınchis˘ a . Orice reuniune finit˘ a de mult¸imi ˆınchise este ˆınchis˘ a. Punct aderent unei mult¸imi. Un punct a ∈ Rn este aderent mult¸imii A ⊆ Rn dac˘ a exist˘ a un ¸sir de puncte din A cu limita a. Desigur, orice punct din A este aderent mult¸imii A (se poate lua un ¸sir constant etc.). Este simplu de v˘ azut c˘a 0 este aderent intervalului deschis (0, 1), dar nu apart¸ine acestui interval. Leg˘atura dintre puncte aderente ¸si mult¸imi ˆınchise este dat˘a de : Teorema 17.2. O submult¸ime A ⊆ Rn este ˆınchis˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice punct a aderent mult¸imii A avem a ∈ A. Frontier˘ a . Dac˘ a A ⊆ Rn , se define¸ste frontiera FrA a mult¸imii A ca fiind mult¸imea punctelor aderente atˆat mult¸imii A cˆat ¸si mult¸imii Rn \ A. FrA este o m,ult¸ime ˆınchis˘ a. Punct interior. Dac˘ a A ⊆ Rn , un punct a ∈ A se zice interior mult¸imii A dac˘ a exist˘ a o vecin˘ atate a puctului a cont¸inut˘a ˆın A. Punct fix. Un punct fix al unei funct¸ii f : X → X este un element c ∈ X astfel ˆıncˆ at f (c) = c. Contract¸ie. Dac˘ a (X, d) este un spat¸iu metric, o funct¸ie f : X → X se nume¸ste contract¸ie (pe X) dac˘ a exist˘a un num˘ar pozitiv k < 1 astfel ˆıncˆat D(f (x), f (y)) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X. Teorema 17.3. (principiul contract¸iei) Fie (X, d) este un spat¸iu metric complet ¸si f o contract¸ie pe X. Exist˘ a ¸si este unic un punct fix al funct¸iei f. Demonstrat¸ie. Fie x0 ∈ X un punct arbitrar. Construim prin induct¸ie un ¸sir ˆın X : x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xn+1 = f (xn ) etc. Vom ar˘ ata c˘ a ¸sirul (xn )n este un ¸sir Cauchy. Avem pentru orice n : d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k 2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ . . . ≤ k n d(x0 , x1 ). Rezult˘ a , pentru orice n ≥ 0, p ≥ 1 (aplicˆand inegalitatea triunghiului) : d(xn , xn+p ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xn+p−1 , xn+p ) ≤ p ≤ (k n + k n+1 + . . . + k n+p−1 )d(x0 , x1 ) = k n 1−k 1−k d(x0 , x1 ). In fond avem: 0 ,x1 ) d(xn , xn+p ) ≤ k n d(x1−k , de unde rezult˘a c˘a ¸sirul (xn )n este un ¸sir Cauchy. Spat¸iul metric (X, d) fiind complet, ¸sirul (xn )n este ¸si convergent. Fie c limita sa. Din inegalitatea 0 ≤ d(f (xn ), f (c)) ≤ kd(xn , c) rezult˘a c˘a f (xn ) → f (c); dar cum xn+1 = f (xn ) trecˆ and la limit˘a vom avea f (c) = c. Punctul fix a fost obt¸inut : s˘ a ar˘at˘am c˘a este unic cu aceast˘a proprietate.

74 CAPITOLUL 17. SPAT ¸ II METRICE. PRINCIPIUL CONTRACT ¸ IEI Dac˘ a ar mai exista un punct fix c1 6= c, atunci d(c, c1 ) = d(f (c), f (c1 )) ≤ kd(c, c1 ), de unde rezult˘a 1 ≤ k, o contradict¸ie. Teorema este complet demonstrat˘a . Metoda folosit˘a ˆın demonstrat¸ie poart˘ a numele de ” metoda aproximat¸iilor succesive”. Exemplu. Fie f : R → R o funct¸ie derivabil˘a astfel ˆıncˆat exist˘a un num˘ ar pozitiv k < 1 ˆıncˆat |f 0 (x)| ≤ k pentru orice x ∈ R. Din teorema de cre¸steri finite Lagrange deducem c˘a funct¸ia f este o contract¸ie. R fiind un spat¸iu metric complet rezult˘a c˘a funct¸ia f are un punct fix unic. Remarc˘ a . In cursul demonstrat¸iei teoremei a fost obt¸inut˘a inegalitatea: d(xn , xn+p ) ≤ k n

d(x0 , x1 ) . 1−k

Trecˆ and la limit˘ a (justifcat¸i!) obt¸inem : d(xn , c) ≤ k n

d(x0 , x1 ) 1−k

Interpret˘ am aceast˘ a inegalitate ca o estimare a erorii ˆın procesul de determinare a punctului fix prin aproxim˘ari succesive pornind de la punctul x0 ∈ X. Exemplu ¸si exercit¸iu. Fie ˆın [0, 1] ⊆ R ecuat¸ia x3 + 12x − 1 = 0. 1 Ecuat¸ia este echivalent˘ a cu x = x2 +12 ¸si deci cu c˘autarea punctelor fixe 1 ale funct¸iei f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = x2 +12 . S˘a se arate c˘a funct¸ia este o contract¸ie ¸si s˘ a se estimeze eroarea ˆın metoda aproximat¸iilor succesive pornind din x0 = 0.

Capitolul 18

Exercit¸ii rezolvate 18.1

Mult¸imi ¸si relat¸ii

1. Pentru orice mult¸imi A, B, C, avem: (i) dac˘ a A ⊆ B atunci A ∪ B = B (ii) A ∪ B = B ∪ A (iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (iv) dac˘ a A ⊆ B atunci A ∩ B = A (v) A ∩ B = B ∩ A (vi) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (vii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (viii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (ix) dac˘ a A ⊆ B atunci B \ (B \ A) = A (x) dac˘ a C ⊇ B ⊇ A atunci C \ A ⊇ C \ B (xi) C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B) (xii) C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B). Ultimele dou˘ a propriet˘ a¸ti se numesc legile lui De Morgan. Solut¸ie. (iii) Demonstr˘ am A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ B) ∪ C. Dac˘a x ∈ A ∪ (B ∪ C), atunci sau x ∈ A sau x ∈ B ∪ C; dac˘a x ∈ A atunci x ∈ A ∪ B ¸si deci x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Dac˘a x ∈ B ∪ C, atunci sau x ∈ B sau x ∈ C; dac˘ a x ∈ B, atunci x ∈ A ∪ B ¸si x ∈ (A ∪ B) ∪ C; dac˘a x ∈ C atunci x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Analog, (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C). (xi) Incluziunea C \ (A ∪ B) ⊆ (C \ A) ∩ (C \ B): dac˘a x ∈ C \ (A ∪ B), atunci x ∈ C ¸si x 6∈ A ∪ B; rezult˘a x 6∈ A ¸si x 6∈ B, deci x ∈ C \ A ¸si x ∈ C \ B; ˆın concluzie x ∈ (C \ A) ∩ (C \ B). Cealalt˘ a incluziune: (C \ A) ∩ (C \ B) ⊆ C \ (A ∪ B); dac˘a x ∈ (C \ A) ∩ (C \ B), atunci x ∈ (C \ A) ¸si x ∈ (C \ B), deci x ∈ C ¸si x 6∈ A ¸si x 6∈ B. Rezult˘ a c˘ a x 6∈ A ∪ B, deci x ∈ C \ (A ∪ B). 2. Fie (Q, ≤) mult¸imea numerelor rat¸ionale cu ordinea uzual˘a; atunci submult¸imea A = {x ∈ Q ; x2 < 2} este nevid˘a ¸si majorat˘a, dar nu 75

76

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE are margine superioar˘a. ˆIn mult¸imea numerelor reale, (R, √ ≤) cu aceea¸si relat¸ie de ordine, A are margine superioar˘a, ¸si anume 2. Axioma lui Cantor afirm˘ a c˘ a ˆın mult¸imea numerelor reale orice submult¸ime nevid˘a ¸si majorat˘ a are margine superioar˘a. 3. Fie (N, |) mult¸imea numerelor naturale ordonat˘a cu relat¸ia ”divide” ¸si fie A = {6, 8, 12}; atunci A este m˘arginit˘a ¸si sup(A) = 2, inf(A) = 24. S˘ a se generalizeze exemplul la o submult¸ime finit˘a arbitrar˘a. 4. i. Fie X 6= ∅ ¸si fie (P(X), ⊆). Dac˘a A = {H, K} ⊆ P(X), atunci sup(A) = H ∪ K ¸si inf(A) = H ∩ K. S˘ a se generalizeze la o submult¸ime arbitrar˘a A ⊆ P(X). ii. Fie A, B ∈ P(X). S˘a se demonstreze: A = B ⇔ ∀G ∈ P(X) A ∩ G = B ∩ G ¸si A ∪ G = B ∪ G. iii. Fie A, B ∈ P(X). S˘a se demonstreze: A = B ⇔ ∃ G ∈ P(X) astfel ˆıncˆat A ∩ G = B ∩ G ¸si A ∪ G = B ∪ G. 5. Fie M 6= ∅ ¸si fie ρ o relat¸ie reflexiv˘a ¸si tranzitiv˘a pe M . Definim the relat¸ia: x ∼ρ y ⇔ xρ y ¸si yρ x, ∀x, y ∈ M. i. S˘ a se arate c˘ a ∼ρ este o echivalent¸˘a pe M . c c definim relat¸ia ii. Fie M mult¸imea factor asociat˘a relat¸iei ∼ρ . Pe M x b ≤ yb ⇔ xρ y. S˘a se demonstreze c˘a ≤ este bine definit˘a ¸si c˘a c, ≤) este mult¸ime ordonat˘a. (M iii. Aplicat¸i construct¸ia de mai sus cazului: (M, ρ) = (Z, |). 6. Mult¸imea numerelor ˆıntregi este num˘arabil˘a. Solut¸ie. Mult¸imea Z poate fi scris˘a sub forma unui ¸sir: Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, ...}, sau, echivalent, aplicat¸ia f : N 7→ Z,  − n2 , dac˘a n este par f (n) = n+1 a n este impar 2 , dac˘ este bijectiv˘ a. 7. Mult¸imea numerelor rat¸ionale este num˘arabil˘a . Solut¸ie. Mult¸imea numerelor rat¸ionale pozitive poate fi scris˘a ca un ¸sir: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ··· 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 S ¸ irul de mai sus cont¸ine la un anumit pas toate fract¸iile pentru care suma dintre num˘ ar˘ator ¸si numitor este aceea¸si.

18.1. MULT ¸ IMI S ¸ I RELAT ¸ II

77

8. Mult¸imea P a numerelor prime este num˘arabil˘a . Solut¸ie. Cum P ⊂ IN =⇒ Card(P) ≤ CardIN Va fi suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a ℵ0 ≤ Card(P), deci P este infinit˘a .  Presupunem c˘ a P este finit˘ a , P = p1 , p2 , . . . , pn . Consider˘ am q = p1 · p2 · . . . · pn + 1. q > pk , k = 1, n =⇒ q nu apart¸ine mult¸imii P Presupunem q num˘ ar compus =⇒ ∃pi |q =⇒ pi |p1 · p2 · . . . · pn + 1, dar pi |p1 · p2 · . . . · pn =⇒ pi |1 contradict¸ie. Deci presupunerea f˘acut˘a este fals˘ a a¸sadar P este infinit˘ a. 9. Mult¸imea numerelor reale cuprinse ˆıntre 0 ¸si 1 nu este num˘arabil˘a . Solut¸ie. Fie X = (0, 1). Vom scrie fiecare element al lui X sub forma unei fract¸ii zecimale infinite procedˆand ˆın felul urm˘ator (simbolul lui K¨ onig) : - sau num˘ arul real se scrie ˆın mod normal sub forma unei fract¸ii zecimale infinite 1 = 0, 3333333 . . . 3 π − 3 = 0, 1415926 . . . √ 2 = 0, 141421 10 ¸si ˆıl vom p˘ astra sub aceast˘ a form˘a ; - sau num˘ arul real nu are decˆat un num˘ar finit de zecimale 1 = 0, 5 2 7 = 0, 175 40 ¸si ˆın acest caz se ˆınlocuie¸ste ultima zecimal˘a prin num˘arul imediat inferior ¸si apoi se scrie o infinitate de 9, astfel : 1 = 0, 499999 . . . 2 7 = 0, 1799999 . . . 40 S-a realizat astfel o corespondent¸˘a biunivoc˘a ˆıntre elementele lui X ¸si toate simbolurile lui K¨ onig de forma 0, a1 a2 a3 . . . , ai fiind o cifr˘a oarecare cuprins˘ a ˆıntre 0 ¸si 9. Pentru a demonstra c˘ a mult¸imea X nu este num˘arabil˘a vom rat¸iona prin reducere la absurd presupunˆand c˘a toate elementele lui X pot fi scrise sub forma unui ¸sir.

78

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Primul element al lui X este 0, a11 a12 a13 . . . Al doilea element al lui X este 0, a21 a22 a23 . . . Al treilea element al lui X este 0, a31 a32 a33 . . . .......................................... Presupunerea c˘ a toate elementele lui X sunt ˆın acest ¸sir este fals˘a , deoarece exist˘ a un simbol al lui K¨onig ce nu figurez˘a aici ¸si anume b = 0, b1 b2 b3 . . . bp . . . , unde b1 6= a11 , b2 6= a22 , . . . . . . bp 6= app . Acest simbol reprezint˘a un num˘ ar real cuprins ˆıntre 0 ¸si 1, deci va fi un element al lui X. Totu¸si el este diferit de orice element din ¸sirul de mai sus, deci b nu apart¸ine lui X. Ajungem astfel la o contradict¸ie ce ne conduce la a afirma c˘a mult¸imea X nu este num˘arabil˘a .

10. Punctele unui segment de dreapt˘a constituie o mult¸ime nenum˘arabil˘a Solut¸ie. Fie AB un astfel de segment. Alegem o ax˘a x0 Ox astfel ca originea O s˘ a fie ˆın A ¸si astfel ca vectorul s˘au unitar s˘a coincid˘a cu vectorul AB. Oric˘ arui punct M al lui AB (punctele A ¸si B fiind excluse ˆıi va corespunde abscisa lui M care va fi un num˘ar cuprins ˆıntre 0¸si 1, deci un element al mult¸imii X = (0, 1) ¸si aceast˘a corespondent¸˘a este biunivoc˘ a . Mult¸imea punctelor segmentului AB (A ¸si B fiind excluse) este astfel echipotent˘a cu mult¸imea (0, 1) care nu este num˘arabil˘a . Faptul c˘ a ad˘ aug˘ am extremit˘a¸tile A ¸si B nu schimb˘a cu nimic concluzia.

18.2

Spat¸iul Rn

1. S˘ a se calculeze normele vectorilor: a) x = (−1, 3) b) y = (2, −1, 5) c) z =

1 1 1 1 2, 3, 4, 6




d) u = (0, 1, 0, −1, 0, −1)

Solut¸ie

√ 1 + 9 = 10 √ √ b) kyk = 4 + 1 + 25 = 30 q 1 1 + 36 = c) kzk = 14 + 19 + 16 √ √ d) kuk = 1 + 1 + 1 = 3 a) kxk =

√

√

65 12

18.2. SPAT ¸ IUL RN

79

2. S˘a se calculeze produsul scalar x · y dac˘a: a) x = (3, 4, 5, −4); y = (3, 0, 3, 3)

b) x = − 12 , 21 , 14 , − 41 ; y = 13 , − 61 , 16 , − 13 c) x = (1, 2, −3, 1, 4); y = (1, 2, −1, 3, 4)

Solut¸ie a) x · y = 3 · 3 + 4 · 0 + 5 · 3 − 4 · 3 = 12 b) x · y = − 61 −

1 12

1 24

+

+

1 12

= − 81

c) x · y = 1 + 4 + 3 + 3 + 16 = 27 3. S˘a se arate c˘ a pentru orice doi vectori x, y ∈ Rn au loc relat¸iile:   a) kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 b) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2x · y c) kx + yk2 − kx − yk2 = 4x · y

Solut¸ie a) kx + yk2 + kx − yk2 = (x + y) · (x + y) + (x − y) · (x − y) = = x · x + 2x · y + y · y + x · x − 2x · y + y · y = 2 kxk2 + 2 kyk2 b) kx + yk2 = (x + y)·(x + y) = x·x+2x·y +y ·y = kxk2 +2x·y +kyk2 c) kx + yk2 − kx − yk2 = (x + y) · (x + y) − (x − y) · (x − y) = = x · x + 2x · y + y · y − x · x + 2x · y − y · y = 4x · y 4. S˘a se scrie ecuat¸iile parametrice ale dreptelor ce trec prin punctul x0 ¸si au direct¸ia v, unde: a) x0 = (1, 3, −1) ;

v = (−5, −2, 3)

b) x0 = (1, 2, −3, 1) ; c) x0 =

− 21 , 12 , 14 , − 14

v = (3, 4, 5, −4)


;

v=

1 1 1 1 3, −6, 6, −3




Solut¸ie Un punct oarecare de pe dreapta care trece prin x0 ¸si are direct¸ia v este de forma: x = x0 + tv, t ∈ R.   x = 1 − 5t y = 3 − 2t a) (x, y, z) = (1, 3, −1) + t (−5, −2, 3) sau , t∈R  z = −1 + 3t

80

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE  x = 1 + 3t    y = 2 + 4t b) z = −3 + 5t    u = 1 − 4t  x = − 21 + 3t    y = 12 − 6t c) z = 14 + 6t    u = − 41 − 3t

,

t∈R

,

t∈R

5. S˘ a se afle cosinusurile unghiurilor triunghiului de vˆarfuri: A (2, −1, 1) ; B (1, −3, −5) ; C (3, −4, −4) −−→ Solut¸ie AB = (1 − 2, −3 + 1, −5 − 1) = (−1, −2, −6), −→ AC = (3 − 2, −4 + 1, −4 − 1) = (1, −3, −5) r −−→ −→ −1 + 6 + 30 35 35 AB · AC



√ √ √ √ cos A =

−−→ −→ = 1+4+36 1+9+25 = 41 35 = 41

AB · AC r −−→ −−→ 6 2−2+6 √ BA = (1, 2, 6) ; BC = (2, −1, 1) , cos B = √ = 41 1+4+36 4+1+1 −→ −−→ 2+3−5 √ CA = (−1, 3, 5) ; CB = (−2, 1,−1) , cos C = √ =0 1+9+25 4+1+1   Cˆ = 90◦

18.3

Elemente de topologie a spat¸iului Rn

1. S˘ a se precizeze valoarea maxim˘a a razei r a bilei deschise cu centrul ˆın x0 care este inclus˘a ˆın mult¸imea S, unde: a) x0 = (1, 2, −1, 3); S este bila deschis˘a cu centrul ˆın a = (0, 3, −2, 2) ¸si de raz˘ a 7.  b) x0 = (1, 2, −1, 3); S = (x1 , x2 , x3 , x4 ) |xi | ≤ 5, i = 1, 4
c) x0 = 3, 52 ; S este triunghiul (plin) de vˆarfuri A (2, 0), B (2, 2) ¸si C (4, 4). Solut¸ie n o a) S = B(a, 7) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x21 + (x2 − 3)2 + (x3 + 2)2 + (x4 − 2)2 < 49 n o B(x0 , r) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) (x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 + (x3 + 1)2 + (x4 − 3)2 < r2 √ d (a, x0 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 < 7, deci x0 ∈ S. Dac˘ a x ∈ B (x0 , r), atunci d (x, x0 ) < r. Pe de alt˘a parte, d (x, a) ≤ d (x, x0 ) + d (x0 , a) < r + 2 < 7, de unde rezult˘ a c˘ a r < 5, deci max {r |B(x0 , r) ⊂ S } = 5.

18.3. ELEMENTE DE TOPOLOGIE A SPAT ¸ IULUI RN

81

b) S reprezint˘ a un cub (ˆın R4 ) cu centrul ˆın origine ¸si de latur˘a 10. Evident, x0 este un punct interior lui S. Cea mai mic˘a distant¸˘a de la x0 la fet¸ele cubului este 2, deci max {r |B(x0 , r) ⊂ S } = 2. c) Ecuat¸iile laturilor triunghiului sunt: AB : x = 2; BC
: y = x; AC : y = 2x − 4. Se observ˘a c˘a 5 punctul x0 = 3, 2 se afl˘ a la dreapta lui AB, sub BC ¸si deasupra lui AC, deci ˆın interiorul triunghiului. Cea mai mic˘a distant¸˘a de la x0 la 1 laturile triunghiului este distant¸a de la x0 la AC, care este 2√ , deci 5 √

max {r |B(x0 , r) ⊂ S } =

5 10 . ◦

2. Precizat¸i frontiera ∂S, interiorul S , ˆınchiderea S ¸si exteriorul Ext S mult¸imii S: a) S = {(x, y, z) | |x| < 1, |y| < 1,  b) S = (x, y, 1) x2 + y 2 ≤ 1

z ∈ R}

Solut¸ie a) ∂S = {(x, y, z) | |x| = 1, |y| < 1, z ∈ R }∪{(x, y, z) | |x| < 1, |y| = 1, z ∈ R } ∪ ∪ {(x, y, z) | |x| = 1, |y| = 1, z ∈ R } S = {(x, y, z) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, z ∈ R } ◦

S=S Ext S = {(x, y, z) | |x| > 1, y, z ∈ R } ∪ {(x, y, z) | |y| > 1, x, z ∈ R } ◦

b) ∂S = S; S = S; S = ∅ Ext S = (x, y, z) x2 + y 2 > 1 sau z 6= 1 3. Precizat¸i dac˘ a mult¸imile urm˘atoare sunt deschise, ˆınchise, nici deschise, nici ˆınchise: a) S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | |x1 | > 0, x2 < 1, x3 6= −2 } b) S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = 1, x3 6= −4 } c) S = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 = 1, −3 ≤ x2 ≤ 1, x4 = −5 } Solut¸ie a) Fie: S1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | |x1 | > 0 } S2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x2 < 1 } S3 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x3 6= −2 } S = S1 ∩ S2 ∩ S3 . Cum S1 , S2 ¸si S3 sunt evident mult¸imi deschise ¸si o intersect¸ie finit˘ a de mult¸imi deschise este deschis˘a, rezult˘a c˘a S este deschis˘ a. b) Nici deschis˘ a ¸si nici ˆınchis˘a.

82

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE c) Fie (1, uk , vk , −5) ∈ S,

∀k ∈ N∗ . Atunci −3 ≤ uk ≤ 1, ∀k ∈ N∗¸si R4

vk ∈ R. Dac˘ a (1, uk , vk , −5) −→ (1, u, v, −5), atunci −3 ≤ u ≤ 1 ¸si v ∈ R, deci (1, u, v, −5) ∈ S. Rezult˘a c˘a S este o mult¸ime ˆınchis˘a. ˇ r) = {x | kx − ak ≤ r } este o mult¸ime 4. S˘ a se arate c˘ a bila ˆınchis˘a B(a, ˆınchis˘ a. Solut¸ie ˇ r) = {x | kx − ak > r } Vom ar˘ ata c˘ a mult¸imea complementar˘a C B(a, ˆ ˇ e deschis˘ a. Intr-adev˘ar, fie b ∈ C B(a, r) oarecare. Atunci kb − ak > r. Fie 0 < ε < kb − ak − r ¸si x ∈ B(b, ε). Atunci kx − bk < ε ¸si avem: kb − ak ≤ kb − xk + kx − ak < ε + kx − ak < kb − ak − r + kx − ak, de ˇ r), deci b este unde rezult˘ a c˘ a kx − ak > r. A¸sadar, B(b, ε) ⊂ C B(a, un punct interior. 5. S˘ a se arate c˘ a ˆınchiderea bilei deschise coincide cu bila ˆınchis˘a, adic˘a: ˇ r) B(a, r) = {x | kx − ak < r } = {x | kx − ak ≤ r } = B(a, Solut¸ie ˇ r) ¸si B(a, ˇ r) este ˆınchis˘a, rezult˘a c˘a B(a, r) ⊂ Cum B(a, r) ⊂ B(a, ˇ r). R˘ B(a, amˆ ane s˘a dovedim incluziunea invers˘a. Pentru aceasta este suficient s˘ a ar˘ at˘ am c˘a orice b cu proprietatea kb − ak = r apart¸ine mult¸imii B(a, r). Fie b un astfel de punct , fie {εn } un ¸sir de numere pozitive astfel ˆıncˆ at 0 < εn < 1, εn → 0 ¸si fie xn = εn a + (1 − εn ) b. Atunci kxn − bk = εn ka − bk = εn r → 0, de unde deducem c˘a xn → b. Pe de alt˘ a parte, kxn − ak = (1 − εn ) kb − ak = (1 − εn ) r < r, deci xn ∈ B(a, r). Cum xn ∈ B(a, r) ¸si xn → b, rezult˘a c˘a b ∈ B(a, r). 6. S˘ a se studieze dac˘a urm˘atoarele mult¸imi din R2 sunt deschise, respectiv ˆınchise. Pentru fiecare mult¸ime s˘a se determine ˆınchiderea ¸si frontiera. a) A = [0, 3) × (1, 2]; b) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 < 1}. Solut¸ie. a) Mult¸imea A este m˘arginit˘a, nu este deschis˘a, nici ˆınchis˘a; A = [0, 3] × [1, 2], F rA = ([0, 3] × {1, 2}) ∪ ({0, 3} × [1, 2]). b) Mult¸imea nu este m˘arginit˘a, este deschis˘a, dar nu este ˆınchis˘a; A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 ≤ 1}, F rA = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 1}. 7. Fie A, B ⊆ Rn dou˘a submult¸imi nevide. S˘a se arate c˘a: a) A ∪ B = A ∪ B ; b) A ∩ B ⊆ A ∩ B. Solut¸ie. a) Dac˘ a x ∈ A ∪ B atunci pentru orice vecin˘atate V a lui x avem (A ∪ B) ∩ V 6= ∅, sau echivalent (A ∩ V ) ∪ (B ∩ V ) 6= ∅, de unde

18.4. FUNCT ¸ II CONTINUE

83

(A ∩ V ) 6= ∅ sau (B ∩ V ) 6= ∅, adic˘a x ∈ A sau x ∈ B. In concluzie x ∈ A∪B. Incluziunea invers˘a rezult˘a din faptul c˘a A ⊆ A∪B implic˘a A ⊆ A ∪ B ¸si analog B ⊆ A ∪ B implic˘a B ⊆ A ∪ B. b) Se procedeaz˘ a similar. S˘ a remarc˘am c˘a incluziunea invers˘a nu este ˆın general adev˘ arat˘ a. In acest sens consider˘am mult¸imile A = (0, 1), B = (1, 2).

18.4

Funct¸ii continue

1. S˘a se arate c˘ a funct¸ia:  3  x + y3 , dac˘a (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0, dac˘a (x, y) = (0, 0) este continu˘ a pe R2 . Solut¸ie ˆIn orice punct (a, b) 6= (0, 0), funct¸ia este continu˘a, a¸sa cum rezult˘a cu u¸surint¸˘ a din definit¸ia cu ¸siruri. Pentru a dovedi continuitatea ˆın (0, 0), observ˘am c˘a: 3
3
3 x ≤ x2 + y 2 2 ¸si y 3 ≤ x2 + y 2 2 , de unde rezult˘a: 2 x2 + y 2 |f (x, y)| ≤ x2 + y 2


3

2

p = 2 x2 + y 2 , ∀ (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} .

Dac˘ a (xn , yn ) → (0, 0) atunci lim

p x2n + yn2 → 0, deci:

f (x, y) = 0 = f (0, 0). A¸sadar f este continu˘a ¸si ˆın (0, 0).

(x,y)→(0,0)

2. Fie f : R2 → R. Spunem c˘a f este continu˘a part¸ial ˆın raport cu x (respectiv y) ˆın punctul (a, b), dac˘a funct¸ia de o variabil˘a x → f (x, b) este continu˘ a ˆın a (respectiv funct¸ia y → f (a, y) este continu˘a ˆın b). S˘a se arate c˘ a funct¸ia ( f (x, y) =

x2

xy , dac˘a (x, y) 6= (0, 0) + y2 0, dac˘a (x, y) = (0, 0)

nu este continu˘ a ˆın (0, 0), dar este continu˘a part¸ial ˆın (0, 0), atˆat ˆın raport cu x, cˆ at ¸si ˆın raport cu y. Solut¸ie Funct¸ia f nu este continu˘ a ˆın (0, 0) deoarece nu exist˘a limita

lim (x,y)→(0,0)

f (x, y).

84

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE
ˆIntr-adev˘ ar, pentru ¸sirul (x0n , yn0 )= n1 , n1 →(0, 0) rezult˘a f (x0n , yn0 )= 21 , ∀ n, deci f (x0n , yn0 ) → 12 .
Pentru ¸sirul (x00n , yn00 ) = n2 , n1 → (0, 0) rezult˘a f (x00n , yn00 ) = 52 , ∀ n, deci f (x00n , yn00 ) → 25 . Pe de alta parte, f este continu˘a part¸ial ˆın raport cu x ˆın origine, deoarece funct¸ia de o variabil˘a x → f (x, 0) = 0 : R → R este evident continu˘ a ˆın 0. Analog, funct¸ia de o variabil˘a y → f (0, y) = 0 : R → R este continu˘ a ˆın 0, deci f este continu˘a part¸ial ˆın raport cu y ˆın origine. 3. O funct¸ie f : A ⊂ R → R se nume¸ste lipschitzian˘ a pe A dac˘a exist˘a o constant˘ a L > 0 astfel ˆıncˆat f (x0 ) − f (x00 ) ≤ L x0 − x00 , ∀ x0 , x00 ∈ A a) S˘ a se arate c˘ a dac˘a f este lipschitzian˘a pe A atunci f este uniform continu˘ a pe A. b) S˘ a se arate c˘ a dac˘a f : I → R are derivata m˘arginit˘a pe intervalul I, atunci f este uniform continu˘a pe I. c) S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f (x) = 2x + 3 sin2 x, continu˘ a pe R.

x ∈ R, este uniform

d) Exist˘ a funct¸ii uniform continue care nu sunt lipschitziene? Solut¸ie a) Fie ε > 0 oarecare ¸si fie δε = Lε . Atunci, dac˘a x0 , x00 ∈ A ¸si |x0 − x00 | < δε , rezult˘a |f (x0 ) − f (x00 )| < L · Lε = ε, deci f este uniform continu˘ a pe A. b) Afirmat¸ia rezult˘a din teorema lui Lagrange. Fie M > 0 astfel ˆıncˆat |f 0 (x)| ≤ M, ∀ x ∈ I. Pentru ∀ x0 , x00 ∈ I, exist˘a ξ ˆıntre x0 ¸si x00 astfel ˆıncˆ at
f (x0 ) − f (x00 ) = f 0 (ξ) x0 − x00 . ˆIn continuare avem: f (x0 ) − f (x00 ) ≤ M x0 − x00 ,

∀ x0 , x00 ∈ I,

deci f este lipschitzian˘a pe I. Din a) deducem c˘a f este uniform continu˘ a pe I. c) f 0 (x) = 2+6 sin x cos x, x ∈ R, deci |f 0 (x)| ≤ 8, ∀ x ∈ R. Afirmat¸ia rezult˘ a acum din b). d) Fie funct¸ia: ( f (x) =

1 , dac˘a x ∈ (0, 1] x 0, dac˘a x = 0

x sin

18.4. FUNCT ¸ II CONTINUE

85

1 = 0, rezult˘a c˘a f este continu˘a ¸si ˆın 0, deci f x este continu˘ a pe mult¸imea [0, 1]. Cum [0, 1] este o mult¸ime compact˘a, rezult˘ a c˘ a f este uniform continu˘a pe [0, 1]. Deoarece lim x sin x→0

Vom ar˘ ata c˘ a f nu este lipschitzian˘a pe [0, 1], deci c˘a ∀ L > 0, exist˘a x0L , x00L ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆ at |f (x0L ) − f (x00L )| > L |x0L − x00L |. 1 , Fie k ∈ N∗ cu proprietatea c˘a 4k + 2 > L ¸si fie x0L = (4k + 1) π2 1 4 0 00 x00L = . si |x0L − x00L | = π . Evident, xL , xL ∈ [0, 1] ¸ (4k + 3) 2 π(4k + 1)(4k + 3) Pe de alt˘ a parte, f (x0L ) − f (x00L ) = x0L sin π − x00L sin 3π = x0L + x00L = 2 2 =

4(4k + 2) = (4k + 2) x0L − x00L > L x0L − x00L . π(4k + 1)(4k + 3)

4. S˘a se arate c˘ a funct¸ia f : (1, ∞) → R,

f (x) =

x2 + 1 x−1

nu este uniform continu˘ a pe (1, ∞). Solut¸ie Trebuie s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a ∃ ε0 > 0 astfel ˆıncˆat ∀δ > 0, ∃ x0δ , x00δ ∈ (1, ∞) cu proprietatea c˘ a |x0δ − x00δ | < δ ¸si |f (x0δ ) − f (x00δ )| ≥ ε0 . 2 Evident, f (x) = x + 1 + , x ∈ (1, ∞). x−1 1 Fie ε0 = 1, δ > 0 oarecare ¸si nδ ∈ N∗ astfel ˆıncˆat < δ. nδ (nδ + 1) 1 1 Alegem x0δ = 1 + ¸si observ˘am c˘a |x0δ − x00δ | < δ, ¸si x00δ = 1 + nδ + 1 nδ 1 iar |f (x0δ ) − f (x00δ )| = |x0δ − x00δ + 2| = 2 − > 1 = ε0 , deci f nδ (nδ + 1) nu este uniform continu˘ a pe (1, ∞). 5. S˘a se arate c˘ a funct¸ia f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 nu este uniform continu˘ a pe R2 . Solut¸ie 1 δ √ Fie ε0 = 1, δ > 0 arbitrar ¸si nδ ∈ N∗ astfel ˆıncˆat √ < . 2 nδ + nδ + 1
√ √ √ √
0 0 00 00 Dac˘ a alegem (xδ , yδ ) = nδ + 1, nδ + 1 ¸si (xδ , yδ ) = nδ , nδ , √ 1 δ √ atunci |x0δ − x00δ | = |yδ0 − yδ00 | = nδ + 1 − nδ = √ √ < 2 nδ + 1 + nδ ¸si |f (x0δ , yδ0 ) − f (x00δ , yδ00 )| = 2 > ε0 = 1.

86

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE A¸sadar, ∃ ε0 = 1 astfel ˆıncˆat ∀δ > 0, ∃ (x0δ , yδ0 ) ∈ R2 , (x00δ , yδ00 ) ∈ R2 cu d ((x0δ , yδ0 ), (x00δ , yδ00 )) < δ ¸si |f (x0δ , yδ0 ) − f (x00δ , yδ00 )| > ε0 = 1, deci f nu este uniform continu˘a pe R2 . 6. Fie f, g : Rn → Rm dou˘a funct¸ii continue. S˘a se arate c˘a mult¸imea A = {x ∈ Rn : f (x) = g(x)} este ˆınchis˘a ˆın Rn . Solut¸ie. Fie a ∈ A ¸si (xn ) ⊂ Rn astfel ˆıncˆat xn → a. Cum f, g sunt funct¸ii continue vom avea f (xn ) → f (a), g(xn ) → g(a) ¸si cum f (xn ) = g(xn ) va rezulta c˘a f (a) = g(a), deci a ∈ A, adic˘a mult¸imea A este ˆınchis˘ a.

7. Fie A ⊆ Rn ¸si f : A → R o funct¸ie continu˘a ˆın punctul a ∈ A, iar f (a) > 0. S˘ a se arate c˘a exist˘a o vecin˘atate V a punctului a astfel ˆıncˆ at f (x) > 0, pentru orice x ∈ V ∩ A. Solut¸ie. Fie r > 0 astfel ˆıncˆat 0 < r < f (a). Cum f este continu˘ a ˆın punctul a exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat pentru orice x ∈ A cu d(x, a) < δ avem d((f (x), f (a)) = |f (x) − f (a)| < r, de unde rezult˘a c˘ a f (x) > f (a) − r > 0, pentru orice x ∈ B(a, δ) ∩ A.

8. Fie f, g : Rn → R dou˘a funct¸ii continue. S˘a se arate c˘a mult¸imea A = {x ∈ Rn : f (x) < g(x)} este deschis˘a ˆın Rn . Solut¸ie. Fie a ∈ A. Folosind problema 2 exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat f (x) < g(x), pentru orice x ∈ B(a, δ), deci B(a, δ) ⊂ A, adic˘a A este deschis˘ a.

9. S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : Rn → R, f (x) = kx − ak, unde a ∈ Rn , este uniform continu˘ a. Solut¸ie. Rezult˘ a din inegalitatea kx − ak − ky − ak ≤ kx − yk, pentru oricare x, y ∈ Rn .

10. S˘ a se arate c˘ a funct¸ia f : (0, ∞) × (0, ∞) → R, f (x, y) =

x+1 nu este y

uniform continu˘ a.  Solut¸ie. Consider˘ am ¸sirurile (xn , yn ) =

   1 2 0 0 1, , (xn , yn ) = 1, ¸si n n

1 → 0, pentru n → ∞, iar n 0 0 |f (xn , yn ) − f (xn , yn )| = n → ∞. Folosind definit¸ia rezult˘a imediat c˘a f nu este uniform continu˘a. 0

0

evident avem k(xn , yn ) − (xn , yn )k =

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA

18.5

87

Derivate part¸iale, diferent¸ial˘ a

1. Fie funct¸ia:

f (x, y) =

  

S˘a se calculeze


x2 y + xy 2 sin(x − y) x2 + y 2 0

dac˘a (x, y) 6= (0, 0) dac˘a (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f ∂2f ∂2f (0, 0) , (0, 0) , (0, 0) , (0, 0). ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x

Solut¸ie

2xy + y 2 sin(x − y) + x2 y + xy 2 cos(x − y) ∂f (x, y) = − ∂x x2 + y 2
2x x2 y + xy 2 sin(x − y) − , dac˘a (x, y) 6= (0, 0); (x2 + y 2 )2 ∂f f (x, 0) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = lim = lim = 0. x→0 x→0 x − 0 ∂x x−0 ∂f ∂f (0, y) − (0, 0) ∂2f −y 2 sin y ∂x (0, 0) = lim ∂x = lim = −1. y→0 y→0 ∂y∂x y−0 y3

x2 + 2xy sin(x − y) − x2 y + xy 2 cos(x − y) ∂f (x, y) = ∂y x2 + y 2
2y x2 y + xy 2 sin(x − y) − , dac˘a (x, y) 6= (0, 0); (x2 + y 2 )2 ∂f f (0, y) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = lim = lim = 0. y→0 y→0 y − 0 ∂y y−0 ∂f ∂f (x, 0) − (0, 0) ∂2f x2 sin x ∂y ∂y (0, 0) = lim = lim = 1. x→0 x→0 ∂x∂y x−0 x3 Rezult˘ a c˘ a

∂2f ∂2f (0, 0) 6= (0, 0). ∂x∂y ∂y∂x

2. S˘a se calculeze derivatele part¸iale de ordinul I ale urm˘atoarelor funct¸ii:  z x a) f (x, y, z) = , x > 0, y > 0 y y

b) f (x, y, z) = x z , yz

c) f (x, y, z) = x ,

x > 0, z 6= 0 x > 0, y > 0

Solut¸ie ∂f =z a) ∂x

 z−1  z−1    z   x 1 ∂f x x ∂f x x · ; =z · − 2 ; = ·ln y y ∂y y y ∂z y y

88

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE  y y y y y ∂f ∂f ∂f 1 = · x z −1 ; = x z · · ln x; = x z · − 2 · ln x ∂x z ∂y z ∂z z ∂f ∂f ∂f z z z c) = y z · xy −1 ; = xy · zy z−1 · ln x; = xy · y z · ln y · ln x ∂x ∂y ∂z ( 2 2 dac˘a (x, y) 6= (0, 0) xy sin xx2 −y 2 +y 3. Fie funct¸ia f (x, y) = 0 dac˘a (x, y) = (0, 0) 1 a. S˘ a se arate c˘ a f este de clas˘a C pe R2 . b. S˘ a se arate f are derivate part¸iale mixte de ordinul al doilea ˆın ∂2f ∂2f orice punct ¸si s˘ a se calculeze ¸si ˆın origine; este funct¸ia f ∂x∂y ∂y∂x de clas˘ a C 2 pe R2 ? Solut¸ie a. Derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆai sunt: ( 2 −y 2 4x2 y 3 x2 −y 2 ∂f y sin xx2 +y dac˘a (x, y) 6= (0, 0) 2 + (x2 +y 2 )2 cos x2 +y 2 (x, y) = ∂x 0 dac˘a (x, y) = (0, 0) b)

∂f (x, y) = ∂y

(

2

2

−y x sin xx2 +y 2 −

Se demonstreaz˘ a c˘a

4y 2 x3 (x2 +y 2 )2

2

2

cos xx2 −y dac˘a +y 2 0 dac˘a

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f ¸si sunt continue, deci f este de clas˘a C 1 ∂x ∂y

pe R2 . b. Evident, funct¸ia are derivate part¸iale de ordinul al doilea ˆın orice punct (x, y) 6= (0, 0); studiem existent¸a derivatelor mixte ˆın origine (cu definit¸ia): ∂2f x sin 1 ∂2f y sin(−1) (0, 0) = lim = sin 1; (0, 0) = lim = − sin 1. x→0 y→0 ∂x∂y x ∂y∂x y Funct¸ia nu este de clas˘a C 2 pe R2 ; dac˘a ar fi fost, atunci, conform teoremei de simetrie a lui Schwartz, cele dou˘a derivate mixte de ordinul al doilea ar fi trebuit s˘a fie egale. (

xy 3 x2 +y 2

dac˘a (x, y) 6= (0, 0) 0 dac˘a (x, y) = (0, 0) a. S˘ a se arate c˘ a f este de clas˘a C 1 pe R2 . b. S˘ a se arate f are derivate part¸iale mixte de ordinul al doilea ˆın ∂2f ∂2f orice punct ¸si s˘ a se calculeze ¸si ˆın origine; este funct¸ia f ∂x∂y ∂y∂x de clas˘ a C 2 pe R2 ? Solut¸ie Derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆai sunt:

4. Fie funct¸ia: f (x, y) =

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA ∂f (x, y) = ∂x

(

y 5 −x2 y 3 (x2 +y 2 )2

dac˘ a 0 dac˘ a

89

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

( 3 2 4 3x y +xy ∂f dac˘a (x, y) 6= (0, 0) (x2 +y 2 )2 (x, y) = ∂x 0 dac˘a (x, y) = (0, 0) Derivatele part¸iale de ordinul al doilea ˆın origine: ∂2f (0, 0) = lim x→0 ∂x∂y

∂f ∂y (x, 0)

∂2f (0, 0) = lim y→0 ∂y∂x

∂f ∂x (0, y)

x

y

= 0,

= 1,

deci funct¸ia nu este de clas˘ a C 2 (R2 ). 5. S˘a se studieze existent¸a derivatelor ( 2 2part¸iale ¸si a diferent¸ialei ˆın origine xy −yx dac˘a (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 pentru funct¸ia: f (x, y) = 0 dac˘a (x, y) = (0, 0) Solut¸ie Funct¸ia are derivate part¸iale ˆın orice punct, dar nu este diferent¸iabil˘a ˆın origine.  6. Fie mult¸imea A = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ −2 ¸si funct¸iile √ p  p x, x2 + 3y 2 , y + 2 , f : A → R3 , f (x, y) = g : R3 → R2 ,


g(u, v, w) = u2 + v 2 + 2w2 , u2 − v 2 , h = g ◦ f : A ⊂ R2 → R2 .

Not˘ am cu a = (1, −1) ∈ A ¸si cu b = f (a) = (1, 2, 1). S˘a se verifice c˘ a h0 (a) = g 0 (b) · f 0 (a) ¸si dh(a) = dg(b) ◦ df (a) Solut¸ie  1 0  2  0          1 3y 3    p 0 0  p f (x, y) =   ¸si f (1, −1) =  −   x2 + 3y 2 x2 + 3y 2  2 2        1   √ 0 1 2 y+2 0     2 2u 2v 4w 2 4 4 0 0 g (u, v, w) = ¸si g (1, 2, 1) = 2u −2v 0 2 −4 0 √ p  p h(x, y) = g (f (x, y)) = g x, x2 + 3y 2 , y + 2 = 



1 √ 2 x x



90

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE = x + x2 + 3y 2 + 2y + 4, x − x2 − 3y 2

0



h (x, y) =

1 + 2x 6y + 2 1 − 2x −6y





0




3 −4 −1 6

, h (1, −1) =

 .

Pe de alt˘ a parte avem: 1  2    2 4 4   1 g 0 (1, 2, 1) · f 0 (1, −1) = 2 −4 0   2   0 

0



     3 −4 3  = −  −1 6 2    1  2

ˆIn continuare avem:  df (1, −1) =

1 3 1 1 dx, dx − dy, dy 2 2 2 2



dg(1, 2, 1) = (2du + 4dv + 4dw, 2du − 4dv)

dh(1, −1) = (3dx − 4dy, −dx + 6dy)

dg(1, 2, 1) ◦ df (1, −1) =      1 1 3 1 1 1 3 2 · dx + 4 dx − dy + 4 · dy, 2 · dx − 4 dx − dy = 2 2 2 2 2 2 2 (3dx − 4dy, −dx + 6dy) x2 y dac˘a (x,y)6=(0, 0) ¸si f (0,0)=0. x6 + y 2 S˘ a se arate c˘ a f nu este continu˘a ˆın punctul (0, 0) dar este derivabil˘a ˆın (0, 0) dup˘ a orice versor s = (s1 , s2 ) ∈ R2 .
0 0 Solutie. Consider˘ am ¸sirurile (xn , yn ) = n1 , n1 → (0, 0), (xn , yn ) = 

7. Fie funct¸ia f : R2 → R, f (x, y) =

√1 , 1 n n

0

0

→ (0, 0), iar f (xn , yn ) → 0, f (xn , yn ) → 1, deci f nu este

continu˘ a ˆın punctul (0, 0). Evident

df ds (0, 0)

= 0.

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA 8. Fie funct¸ia f : R2 → R, f (x, y) = cos(2x+3y). S˘a se calculeze , unde s = (s1 , s2 ) ∈ R2 este un versor. f (( π4 , 0) + t(s1 , s2 )) − f ( π4 , 0) df π Solut¸ie. ( , 0) = lim = t→0 ds 4 t π cos( 2 + 2ts1 + 3ts2 ) lim = −(2s1 + 3s2 ). t→0 t

91 df π ( , 0) ds 4

9. Fie f : R3 7→ R ; f (x, y, z) = x2 + yz − xy ¸si a = (1, 1, 2). S˘a se df determine versorul s ¸stiind c˘a (a) este maxim. ds Solut¸ie df (a) = s · grada f =k s k · k grada f k · cos (s, \ grada f ) = ds =k grada f k · cos (s, \ grada f ). Deci maximul se obt¸ine atunci cˆand s are aceea¸si direct¸ie ¸si acela¸si 1 sens cu grada f. Rezult˘ a : grada f = (1, 1, 1) ⇒ s = √ (1, 1, 1). 3 10. S˘a se calculeze laplacianul urm˘atoarelor funct¸ii: a. f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f (x, y) = ln(x2 + y 2 ). 1 b. k : R3 \ {(0, 0, 0)} 7→ R, k(x, y, z) = p . x2 + y 2 + z 2 Solut¸ie Laplacianul unei funct¸ii f de n variabile, este, prin defini’tie: ∆f =

∂2f ∂2f ∂2f . + + ... + ∂x2n ∂x21 ∂x22

O funct¸ie al c˘ arei laplacian este nul se nume¸ste funct¸ie armonic˘a . a. Calcul˘ am derivatele part¸iale: ∂f 2x (x, y) = 2 , ∂x x + y2 ∂f 2y (x, y) = 2 ∂y x + y2 ∂2f 2y 2 − 2x2 (x, y) = , ∂x2 (x2 + y 2 )2 ∂2f 2x2 − 2y 2 (x, y) = , ∂y 2 (x2 + y 2 )2 ¸si deci ∆f = 0.

92

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE b. Derivatele part¸iale: ∂k −x , (x, y, z) = q ∂x (x2 + y 2 + z 2 )3 ∂2k 2x2 − y 2 − z 2 q (x, y, z) = , ∂x2 (x2 + y 2 + z 2 )5 ¸si deci ∆k = 0.

11. Fie a ∈ R ¸si fie g ¸si h dou˘a funct¸ii de clas˘a C 2 pe R. S˘a se demonstreze c˘ a f (x, y) = g(x − ay) + h(x + ay) verific˘a ecuat¸ia coardei vibrante: 2 ∂2f 2∂ f − a = 0. ∂y 2 ∂x2

Solut¸ie Calcul direct. 12. S˘ a se afle f ∈ C 2 (R) ¸stiind c˘a funct¸ia u(x, y) = f (x2 − y 2 ) este armonic˘ a pe R2 . Solut¸ie ∂2u ∂2u O funct¸ie este armonic˘a dac˘a satisface relat¸ia + 2 = 0. ∂x2 ∂y ∂2u ∂u = 2xf 0 (x2 − y 2 ) ; = 2f 0 (x2 − y 2 ) + 4x2 f 00 (x2 − y 2 ). ∂x ∂x2 ∂u ∂2u = −2yf 0 (x2 − y 2 ) ; = −2f 0 (x2 − y 2 ) + 4y 2 f 00 (x2 − y 2 ) ∂y ∂y 2 ∂2u ∂2u + = 0, rezult˘a 4(x2 + y 2 )f 00 (x2 − y 2 ) = 0; ˆın final ∂x2 ∂y 2 se obt¸ine f (t) = at + b, cu a, b ∈ R arbitrar fixate. Inlocuind ˆın

13. S˘ a se afle f ∈ C 2 (R) ¸stiind c˘a funct¸ia v(x, y) = f ( xy ) este armonic˘a . Solut¸ie ∂v y y ∂2v 2y 0 y y 2 00 y = − 2 f 0( ) ; ) + = f ( f ( ) ∂x x x ∂x2 x3 x x4 x ∂v 1 y ∂2v 1 y = f 0( ) ; = 2 f 00 ( ). 2 ∂y x x ∂y x x Inlocuind ˆın ecuat¸ia dat˘a , rezult˘a : x2 + y 2 00 y 2y y f ( ) + 3 f 0 ( ) = 0. 4 x x x x

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA Notˆ and t =

y x

93

se obt¸ine (dup˘a calcule): f 00 (t) −2t = 2 , 0 f (t) t +1

¸si deci f (t) = a · arctg(t) + b cu a, b ∈ R arbitrar fixate. 14. S˘a se demonstreze c˘ a laplacianul ˆın coordonate polare este: ∆f =

∂2f 1 ∂2f 1 ∂f + + . 2 2 2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ

Solut¸ie Fie f ∈ C 2 (R2 ), x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. ∂x ∂y ∂y ∂x = cos ϕ, = −ρ sin ϕ, = sin ϕ, = ρ cos ϕ. ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f = + = cos ϕ + sin ϕ ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂x ∂y ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f = + = (−ρ sin ϕ) + ρ cos ϕ. ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂x ∂y Rezolvˆ and sistemul, (ˆın necunoscutele

∂f ∂x

¸si

∂f ∂y ),

rezult˘a :

∂f ∂f ∂f sin ϕ ∂f ∂f ∂f cos ϕ = cos ϕ − , = sin ϕ + . ∂x ∂ρ ∂ϕ ρ ∂y ∂ρ ∂ϕ ρ       ∂2f ∂ ∂f ∂ ∂f sin ϕ ∂ ∂f = = cos ϕ − = 2 ∂x ∂x ∂x ∂ρ ∂x ρ ∂ϕ ∂x =

∂2f ∂ 2 f sin ϕ cos ϕ ∂ 2 f sin2 ϕ ∂f sin2 ϕ 2 cos ϕ − 2 + + + ∂ρ2 ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ2 ρ2 ∂ρ ρ ∂f sin ϕ cos ϕ +2 . ∂ϕ ρ2

∂2f ∂2f ∂ 2 f sin ϕ cos ϕ ∂ 2 f cos2 ϕ ∂f cos2 ϕ 2 = sin ϕ + 2 + + − ∂y 2 ∂ρ2 ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ2 ρ2 ∂ρ ρ ∂f sin ϕ cos ϕ −2 . ∂ϕ ρ2 ’In concluzie: ∂2f 1 ∂2f 1 ∂f ∆f = + + . 2 2 2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ

94

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE d2 y dy + x + 2y = 0. Ce devine ecuat¸ia dac˘a 2 dx dx se face schimbarea de variabile (x, y) 7→ (t, y), unde x = et ? Solut¸ie 2 dy d2 y Calcul˘ am dx ın funct¸ie de dy ¸si dx si ddt2y . Din x = et , rezult˘a t = ln x 2 ˆ dt ¸ dt ¸si deci dx = x1 = e−t ; rezult˘a :

15. Fie ecuat¸ia diferent¸ial˘a x2

dy dt dy −t dy = = e , dx dt dx dt       2 d dy −t dy d2 y d dy −t dt −2t d y = − . e = e =e dx2 dx dt dt dt dx dt2 dt Ecuat¸ia devine:

d2 y + 2y = 0. dt2

16. Operatori diferent¸iali. Fie V = P i + Qj + Rk un cˆamp de vectori de clas˘ a C 2 pe un deschis U ⊆ R3 ¸si f ∈ C 2 (U ) (cˆamp scalar). Operatorii diferent¸iali de ordinul ˆıntˆai sunt gradientul, divergent¸a ¸si rotorul, definit¸i pentru orice a ∈ U astfel: (gradf )(a) = (∇f )(a) =

(divV )(a) = (∇V )(a) =

 =

∂f ∂f ∂f (a)i + (a)j + (a)k. ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R (a) + (a) + (a). ∂x ∂y ∂z

(rotV )(a) = (∇ × V )(a) =      ∂R ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂P (a) − (a) i+ (a) − (a) j + (a) − (a) k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

In cele a vom nota cu r = (x, y, z) vectorul de pozit¸ie ¸si cu p ce urmeaz˘ r = x2 + y 2 + z 2 norma sa. Evident, r este un cˆamp vectorial, iar r este un cˆ amp scalar. Pentru orice cˆ ampuri vectoriale V ¸si W ¸si orice cˆampuri scalare f ¸si g 2 de clas˘ a C , au loc relat¸iile: a. grad(f g) = f gradg + ggradf . b. div(f V ) = f divV + V gradf . c. div(V × W ) = W rotV − V rotW . d. rot(f V ) = f rotV − V × gradf . dV W e. grad(V W ) = W × rotV + V rotW + + , dW dV dV unde, este derivata dup˘a direct¸ia W a lui V . dW dV dW f. rot(V × W ) = V divW − W divV + − . dW dV

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA

95

df = agradf, grad(a r) = a, pentru orice vector constant a. da h. gradrα = αrα−2 r, ∀α ∈ R. i. rot(gradf ) = 0. j. div(rotV ) = 0. ∂2f ∂2f ∂2f k. div(gradf ) = ∆f = + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Solut¸ie Calcul direct. g.

17. S˘a se arate c˘ a ecuat¸ia: ln

p

x2 + y 2 − 2arctg

y =0 x

define¸ste intr-o vecin˘ atate a punctului (1, 0) o funct¸ie implicit˘a y = f (x). S˘ a se calculeze f 0 (1) ¸si f 00 (1). Solut¸ie p y x2 + y 2 − 2arctg , atunci x ∂F x + 2y ∂F y − 2x = 2 ¸si = 2 . 2 ∂x x +y ∂y x + y2 Verific˘ am condit¸iile teoremei funct¸iilor implicite:

Dac˘ a not˘ am F (x, y) = ln

F (1, 0) = 0 ∂F (1, 0) = −2 6= 0 ∂y Din teorema funct¸iilor implicite rezult˘a c˘a exist˘a o vecin˘atate deschis˘a U a punctului a = 1, o vecin˘atate deschis˘a V a punctului b = 0 ¸si o funct¸ie implicit˘ a unic˘ a f : U → V cu propriet˘a¸tile: f (1) = 0 F (x, f (x)) = 0,

∀x∈U

∂F (x, f (x)) x + 2f (x) F ∈ ¸si = − ∂x = , ∀x ∈ U . ∂F 2x − f (x) (x, f (x)) ∂y ˆIn particular avem f 0 (1) = 1 . 2 Derivˆ and ˆınc˘ a o dat˘ a, obt¸inem: (1 + 2f 0 (x)) (2x − f (x)) − (x + 2f (x)) (2 − f 0 (x)) f 00 (x) = − , deci (2x − f (x))2 5 f 00 (1) = . 8 C ∞ (U )

f 0 (x)

96

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Pentru calculul derivatelor f 0 ¸si f 00 putem proceda ¸si ˆın modul urm˘ator: deriv˘ am succesiv identitatea F (x, f (x)) = 0, ∀ x ∈ U , adic˘a deriv˘am identitatea
1 f (x) ln x2 + f 2 (x) − 2arctg =0 2 x ¸si obt¸inem: x + 2f (x) + f 0 (x) (f (x) − 2x) = 0 ¸si 1 + 2f 0 (x) + f 00 (x) (f (x) − 2x) + f 0 (x) (f 0 (x) − 2) = 0 1 Pentru x = 1 obt¸inem 1 − 2f 0 (1) = 0, deci f 0 (1) = , iar din a doua 2 relat¸ie,   1 1 5 1 − 2 = 0, de unde deducem c˘a f 00 (1) = . 1+2· +f 00 (1) (−2)+ 2 2 2 8

18. S˘ a se arate c˘ a sistemul:  2 x + y 2 + z 2 − 4x − 9 = 0 x3 − y 3 + z 3 − 3z = 0 √
define¸ste ˆıntr-o vecin˘atate a punctului 3, 3, − 3 funct¸iile implicite y = f (x), z = g(x). S˘a se calculeze f 0 (3) ¸si g 0 (3). Solut¸ie Not˘ am cu

F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4x − 9 G(x, y, z) = x3 − y 3 + z 3 − 3z √
√
Constat˘ am c˘ a F 3, 3, − 3 = 0, G 3, 3, − 3 = 0. ∂F D(F, G) ∂y = ∂G D(y, z) ∂y

∂F ∂z 2y 2z = 2 3z 2 − 3 −3y ∂G ∂z

√ √  6 D(F, G)  −2 3 3, 3, − 3 = −27 6 D(y, z)



√ = 18(2 − 3 3) 6= 0.

Din teorema funct¸iilor implicite rezult˘a c˘a exist˘a o vecin˘atate deschis˘a U a punctului a = 3, o vecin˘atate deschis˘ √a V a punctului b = 3, o vecin˘ atate deschis˘ a W a punctului c = − 3 ¸si dou˘a funct¸ii implicite unice: f :U →V ; g:U →W cu propriet˘ a¸tile: a) f (3) = 3 ,

√ g(3) = − 3

˘ 18.5. DERIVATE PART ¸ IALE, DIFERENT ¸ IALA

97

 F (x, f (x), g(x)) = 0 b) , ∀x ∈ U , adic˘a G (x, f (x), g(x)) = 0  2 x + f 2 (x) + g 2 (x) − 4x − 9 = 0 , ∀x ∈ U x3 − f 3 (x) + g 3 (x) − 3g(x) = 0 Derivˆ and identit˘ a¸tile de mai sus, obt¸inem  2x + 2f (x)f 0 (x) + 2g(x)g 0 (x) − 4 = 0 2 3x − 3f 2 (x)f 0 (x) + 3g 2 (x)g 0 (x) − 3g 0 (x) = 0 Pentru x = 3 obt¸inem √  = 0 6 + 6f 0 (3) − 2 3g 0 (3) − 4 27 − 27f 0 (3) + 9g 0 (3) − 3g 0 (3) = 0 ¸si, mai departe, 

√ 3f 0 (3) − 3g 0 (3) = −1 9f 0 (3) − 2g 0 (3) = 9

Rezolvˆ and acest sistem, obt¸inem: √ 2+9 3 0 √ f (3) = , 3(3 3 − 2)

12 g 0 (3) = √ 3 3−2

19. S˘a se arate c˘ a ecuat¸ia x3 − y 3 + x + y = 10 define¸ste funct¸ia y pe o vecin˘ atate a punctului (2, 1). S˘a se calculeze y 0 (2), y 00 (2) . Solut¸ie. Ecuat¸ia este de forma f (x, y) = 0, unde f : R2 → R, f (x, y) = x3 − y 3 + x + y − 10. Evident f (2, 1) = 0, f ∈ C 1 (R2 ), ∂f ∂y (x, y) = −3y 2 +1, de unde ∂f ¸iilor ∂y (2, 1) = −2 6= 0 , deci ipotezele teoremei funct implicite sunt ˆındeplinite. Conform teoremei ecuat¸ia f (x, y) = 0 define¸ste funct¸ia y pe o vecin˘atate a punctului (2, 1), adic˘a exist˘a o mult¸ime deschis˘ a A ⊆ R, 2 ∈ A, o mult¸ime deschis˘a B ⊆ R, 1 ∈ B ¸si o unic˘ a funct¸ie y : A → B, de clas˘a C 1 , cu valorile y = y(x) astfel ˆıncˆ at y(2) = 1 ¸si f (x, y(x)) = 0, (∀)x ∈ A, adic˘a x3 −y 3 (x)+x+y(x) = 10, (∀)x ∈ A. Derivˆ and ˆın raport cu x obt¸inem 3x2 − 3y 2 (x)y 0 (x) + 1 + y 0 (x) = 0, (∀)x ∈ A. (1) Pentru x = 2 avem y(2) = 1 ¸si atunci 12 − 3y 0 (2) + 1 + y 0 (2) = 0, de unde y 0 (2) = 13 and din nou ˆın raport cu x ˆın relat¸ia (1) 2 . Derivˆ obt¸inem 6x − 6y(x)(y 0 )2 (x) − 3y 2 (x)y 00 (x) + y 00 (x) = 0, (∀)x ∈ A. x = 2 vom obt¸ine y 00 (2) = − 483 4 .

98

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

18.6

Extremele funct¸iilor, formule Taylor

1. Folosind formula lui Taylor cu restul √ Lagrange de ordinul 2, s˘a se g˘ aseasc˘ a o valoare aproximativ˘a pentru 4 260 ¸si s˘a se precizeze eroarea. Solut¸ie Observ˘ am c˘ a 256 = 44 este cel mai apropiat num˘ar de 260 de forma 4 n . √ Scriind formula lui Taylor pentru funct¸ia f (x) = 4 x, x > 0, ˆın jurul punctului a = 256, obt¸inem: f (260) = f (256) +

260 − 256 0 (260 − 256)2 00 f (256) + f (256) + 1! 2! +

(260 − 256)3 000 f (ξ) , 3!

unde 256 < ξ < 260. Efectuˆ and calculele, rezult˘a: f (256) = 4; f 0 (256) =

3 1 1 (256)− 4 = 4 4 4

7 3 3 (256)− 4 = − 9 2 4 4 11 21 21 f 000 (256) = 3 (256)− 4 = 14 > f 000 (ξ) 4 4

f 00 (256) = −

A¸sadar, avem: f (260) = 4 +

1 3 43 000 − + f (ξ) . 43 2 · 47 3!

Valoarea aproximativ˘a c˘autat˘a este 4 + ε=

1 3 − , iar eroarea este 3 4 2 · 47

43 000 43 7 1 f (ξ) < f 000 (256) = < 6. 11 3! 3! 2·4 10

2. S˘ a se scrie explicit formula lui Taylor cu restul de ordinul 1 pentru 2 2 funct¸ia f (x, y) = ex −y ˆın jurul punctului (1, 1). Solut¸ie Formula cerut˘ a este: 

 ∂f ∂f f (x, y) = f (1, 1) + (1, 1) (x − 1) + (1, 1) (y − 1) + ∂x ∂y   1 ∂2f ∂2f ∂2f 2 2 + (ξ, η) (x − 1) + 2 (ξ, η) (x − 1) (y − 1) + 2 (ξ, η) (y − 1) 2! ∂x2 ∂x∂y ∂y

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

99

unde (ξ, η) este un punct interior pe segmentul de dreapt˘a de capete (1, 1) respectiv (x, y). F˘ acˆ and calculele, obt¸inem: ∂f 2 2 = 2xex −y ; ∂x

∂f 2 2 = −2yex −y ; ∂y

2
x2 −y2 ∂ 2 f
x2 −y2 ∂2f 2 x2 −y 2 ∂ f 2 = 2 + 4x e ; = −4xye ; = 4y − 2 e . ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

ˆInlocuind ˆın formula de mai sus, rezult˘a: ex +

2 −y 2

= 1 + [2 (x − 1) − 2 (y − 1)] +

i 2 2

1 h 2 + 4ξ 2 (x − 1)2 − 8ξη (x − 1) (y − 1) + 4η 2 − 2 (y − 1)2 eξ −η 2!

x+y . S˘a se aprox1 − xy imeze funct¸ia f printr-un polinom de grad doi ˆın vecin˘atatea punctului (1, −1).

3. Fie funct¸ia f : D ⊂ R2 → R, f (x, y) = arctg

Solut¸ie. Din formula lui Taylor avem aproximarea  ∂f 1 ∂2f f (x, y) ' f (1, −1)+ ∂f (1, −1)(x−1)+ (1, −1)(y+1)+ ∂x ∂y 2 ∂x2 (1, −1)(x−  2 2 ∂f 1 ∂ f 1)2 +2 ∂x∂y (1, −1)(x−1)(y+1)+ ∂∂yf2 (1, −1)(y+1)2 . Cum = , ∂x 1 + x2 ∂f 1 ∂2f −2x ∂2f ∂2f −2y = , = , = 0, = rezult˘a 2 2 2 2 2 ∂y 1 + y ∂x (1 + x ) ∂x∂y ∂y (1 + y 2 )2 c˘a funct¸ia f se aproximeaz˘ a ˆın vecin˘atatea punctului (1, −1) prin polinomul 1 1 1 −1 1 1 P = (x−1)+ (y+1)+ [ (x−1)2 + (y+1)2 ] = (y 2 −x2 +4x+4y). 2 2 2 2 2 4 4. S˘a se studieze extremele locale ale funct¸iei f : D ⊂ R2 → R, f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 4 ln x − 10 ln y + 3. Solut¸ie. Determin˘ am mai ˆıntˆai punctele critice. Rezolv˘am sistemul: ∂f ∂f 4 10 = 0, = 0, sau echivalent 2x + y − = 0, x + 2y − = 0, cu ∂x ∂y x y solut¸ia (x, y) = (1, 2), care este punct critic. Vom calcula derivatele ∂2f 4 ∂2f ∂2f 10 part¸iale de ordinul doi: r = = 2 + , s = = 1, t = = 2+ 2. 2 2 2 ∂x x ∂x∂y ∂y y Atunci r0 = r(2, 1) = 6, s0 = s(2, 1) = 1, t0 = t(2, 1) = 29 , de unde r0 t0 − s20 = 26 > 0, ¸si cum r0 > 0 rezult˘a c˘a punctul (2, 1) este punct de minim local.

5. S˘a se afle punctele de extrem local ale funct¸iei:

100

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

f (x, y) = x3 + y 3 + 21xy + 36x + 36y Solut¸ie Pentru ˆınceput, afl˘am punctele critice rezolvˆand sistemul  ∂f   = 3x2 + 21y + 36 = 0   ∂x   ∂f   = 3y 2 + 21x + 36 = 0 ∂y Punctele critice sunt (−4, −4) ¸si (−3, −3). ∂2f = 6x; ∂x2

∂2f = 21; ∂x∂y

∂2f = 6y ∂y 2

d2 f (−4, −4) = −24dx2 + 42dxdy − 24dy 2

a11 = −24;

a12 = 21 :

a22 = −24

−24 21 ∆1 = −24 < 0; ∆2 = 21 −24

= 135 > 0

Deci forma p˘ atratic˘a d2 f (−4, −4) este negativ definit˘a, de unde rezult˘a c˘ a (−4, −4) este un punct de maxim local. d2 f (−3, −3) = −18dx2 + 42dxdy − 18dy 2

−18 21 ∆2 = 21 −18

= −117 < 0

Deoarece d2 f (−3, −3) este alternant˘a, rezult˘a c˘a punctul (−3, −3) nu este punct de extrem local. 6. Metoda celor mai mici p˘ atrate Presupunem c˘ a pentru o funct¸ie f : I ⊆ IR 7→ IR valorile ˆın punctele (distincte) x0 , x1 , ..., xp sunt cunoscute: f (x0 ) = y0 , f (x1 ) = y1 , ..., f (xp ) = yp

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

101

In general, punctele Mi (xi , yi ) nu sunt coliniare, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a nu exist˘ a a, b ∈ IR astfel ˆıncˆat yi − axi − b = 0, ∀i = 0, 1, ..., p. Intr-adev˘ ar, c˘ aut˘ am a, b ∈ IR astfel ˆıncˆat suma p˘atratelor p X

(yi − axi − b)2

i=0

s˘a fie cˆ at mai mic posibil˘ a . Mai precis, consider˘am funct¸ia p X E : IR → 7 IR, E(a, b) = (yi − axi − b)2 2

i=0

Problema este de a g˘ asi punctele de minim ale funct¸iei E. Folosind ∂E ∂E algoritmul de mai sus, rezolv˘ am mai ˆıntˆai sistemul: = 0, = 0; ∂a ∂b sistemul liniar: p X

(yi − axi − b)xi = 0,

i=0

p X

(yi − axi − b) = 0

i=0

are o unic˘ a solut¸ie (a0 , b0 ). Acum calcul˘am r=

p

p

i=0

i=0

X X ∂2E ∂2E ∂2E 2 = 2 x , s = = 2 x , t = = 2(p + 1) i i ∂a2 ∂a∂b ∂b2

Folosind inegalitatea lui Schwartz se poate verifica rt − s2 > 0 ¸si r > 0, deci (a0 , b0 ) este un punct de minim pentru E. Dreapta y = a0 x+b0 se nume¸ste dreapta de regresie a punctelor (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), ..., (xp , yp ). 7. S˘a se determine extremele funct¸iei y = y(x) definite implicit de ecuat¸ia x3 + y 3 − 2xy = 0. Solut¸ie Fie F (x, y) = x3 + y 3 − 2xy. Funct¸ia y = y(x) este definit˘a ˆın a 3y 2 − 2x 6= 0. In vecin˘ atatea punctelor pentru care ∂F ∂y 6= 0, adic˘ aceast˘ a ipotez˘ a , se determin˘a punctele critice ale funct¸iei y: 3x2 + 3y 2 y 0 − 2y − 2xy 0 = 0 ⇒ y 0 (x) =

2y − 3x2 . 3y 2 − 2x

Punctele critice sunt solut¸iile sistemului:   0  2  y
= 3x2 2y − 3x2 = 0  y = 0   F = 0 ⇒ x3 27x3 − 16 = 0 x3 + y 3 − 2xy = 0 ⇒ .  ∂F   ∂F 2  = 6 0 3y − 2x = 6 0 = 6 0 ∂y ∂y

102

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Unica solut¸ie este (x, y) =



√ √  232 234 , . 3 3

Pentru a decide dac˘a x =   √ 3 este punct de extrem local pentru y, vom calcula y 00 2 3 2 : 6x + 6y y deci x =


0 2

√ 232 3

√ 232 3

√ 232 + 3y y − 2y − 2y − 2xy = 0, ⇒ y ( ) = −3 < 0, 3 2 0

0

0

00

00

√ 3

este maxim local pentru y ¸si y( 2 3 2 ) =

√ 234 3 .

8. S˘ a se determine extremele funct¸iei z = z(x, y), definite implicit de ecuat¸ia z 3 + z + 20(x2 + y 2 ) − 8(xy + x + y) = 0. Solut¸ie Fie F (x, y, z) = z 3 +z+20(x2 +y 2 )−8(xy+x+y); condit¸ia de existent¸˘a 2 a funct¸iei z este ∂F ¸ia este ∂z 6= 0, adic’a 3z + 1 6= 0. Evident, condit ˆındeplinit˘ a pentru orice x, y, z ∈ R. Derivatele part¸iale de ordinul ˆıntˆai ale lui z: 3z 2

∂z ∂z ∂z 8(y + 1) − 40x + + 40x − 8(y + 1) = 0 ⇒ = . ∂x ∂x ∂x 3z 2 + 1

∂z ∂z 8(x + 1) − 40y ∂z + + 40y − 8(x + 1) = 0 ⇒ = . ∂y ∂y ∂y 3z 2 + 1 Punctele critice ale funct¸iei z sunt solut¸iile sistemului:   8(y+1)−40x ∂z  = 0 = 0   ∂x 3z 2 +1 ∂z 8(x+1)−40y = 0 ⇒ = 0 ∂y 3z 2 +1    3 F (x, y, z) = 0 z + z + 20(x2 + y 2 ) − 8(xy + x + y) = 0 3z 2

Unica solut¸ie a sistemului este (x, y, z) = ( 41 , 14 , 1). Pentru a decide dac˘ a el este punct de extrem local, se calculeaz˘a derivatele part¸iale ale funct¸iei z.  2 ∂z ∂2z ∂2z ∂2z 40 6z + 3z 2 2 + 2 + 40 = 0 ⇒ =− 2 . ∂x ∂x ∂x ∂x2 3z + 1  2 ∂z ∂2z ∂2z ∂2z 40 6z + 3z 2 2 + 2 + 40 = 0 ⇒ 2 = − 2 . ∂y ∂y ∂y ∂y 3z + 1 6z

∂z ∂z ∂2z ∂2z ∂2z 8 + 3z 2 + −8=0 ⇒ = 2 . ∂y ∂x ∂x∂y ∂x∂y ∂x∂y 3z + 1

Rezult˘ a ∂2z 1 1 ∂2z 1 1 ∂2z 1 1 ( , ) = −10, ( , ) = −10, ( , ) = 2, ∂x2 4 4 ∂y 2 4 4 ∂x∂y 4 4 deci ˆın punctul ( 41 , 14 ), funct¸ia z are un maxim local.

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

103

9. Fie a ∈ R, a 6= 0; s˘ a se determine extremele locale ale funct¸iei z = z(x, y) definite implicit de ecuat¸ia (x2 + y 2 + z 2 )2 = a2 − x2 − z 2 . Solut¸ie Fie F (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )2 − a2 + x2 + z 2 ; Condit¸ia de existent¸˘a a funct¸iei z este ∂F a z 6= 0. In aceast˘a ipotez˘a , se calculeaz˘a ∂z 6= 0, adic˘ derivatele part¸iale ale funct¸iei z:   ∂z ∂z ∂z x 2 2 2 + 2x + 2z 2(x + y + z ) 2x + 2z =0 ⇒ =− . ∂x ∂x ∂x z   ∂z ∂z + 2z 2(x + y + z ) 2y + 2z = 0, ∂y ∂y 2

∂z de unde rezult˘ a = ∂y  ∂z  ∂x ∂z Sistemul ∂y  F (x, y, z)

2

2

−2y(x2 + y 2 + z 2 ) . z(2x2 + 2y 2 + 2z 2 + 1) = 0 = 0 are solut¸iile = 0 

s

(x1 , y1 , z1 ) = 0, 0, 

−1 +

s

(x2 , y2 , z2 ) = 0, 0, −

√

−1 +

 1 + 4a2  ¸si 2 √

1+ 2

4a2

 .

Se observ˘ a c˘ a este verificat˘ a condit¸ia z 6= 0. Derivatele part¸iale de ordinul al doilea:     ∂z 2 ∂z ∂2z ∂z ∂2 2 2 2 2x + 2z +(x +y +z ) 2 + 2 + 2z 2 +2+2 +2z 2 = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂2z 3z 2 + y 2 + z 2 + 1 = − . ∂x2 z(x2 + y 2 + z 2 + 1)   ∂2z ∂2z 2 2 2 2 4y + (x + y + z ) 2 + 2z 2 + 2z 2 = 0, ∂y ∂y

de unde rezult˘ a

de unde rezult˘ a

∂2z x2 + 3y 2 + z 2 =− . 2 ∂y z(x2 + y 2 + z 2 + 1)    ∂z ∂z 2x + 2z 2y + 2z + ∂x ∂x

  ∂z ∂z ∂2z ∂z ∂z ∂2z + 2z ∂y + 2 + 2z = 0, +(x + y + z ) 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2

2

2

104

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE ∂2z 2xy =− . 2 ∂x∂y z(x + y 2 + z 2 + 1) Calculˆ and derivatele part¸iale de ordinul al doilea ˆın punctul critic (0, 0), rezult˘ a: de unde rezult˘ a

r=

1 z ∂2z ∂2z ∂2z (0, 0) = − (0, 0) = − 2 , s = (0, 0) = 0, t = . 2 2 ∂x z ∂x∂y ∂y z +1

Deoarece rt − s2 = z 21+1 > 0, (’si pentru z1 ¸si pentru z2 ), rezult˘a c˘ a atˆ at z1 cˆ at ¸si z2 au extreme locale ˆın (0, 0). Funct¸ia z1 satisface condit¸ia r < 0, deci are un maxim local ˆın (0, 0), iar valoarea ei ˆın acest punct este s √ −1 + 1 + 4a2 z1 (0, 0) = . 2 Funct¸ia z2 satisface condit¸ia r > 0, deci are un minim local ˆın (0, 0), iar valoarea ei ˆın acest punct este s √ −1 + 1 + 4a2 . z2 (0, 0) = − 2 10. S˘ a se determine extremele locale ale funct¸iei y = y(x) definite implicit de ecuat¸ia x3 + y 3 − 3x2 y − 3 = 0. Solut¸ie Fie F (x, y) = x3 + y 3 − 3x2 y − 3. Condit¸ia de existent¸˘a pentru y este ∂F a 3y 2 − 3x2 6= 0. In aceast˘a ipotez˘a , se calculeaz˘a y 0 : ∂y 6= 0, adic˘ 3x2 + 3y 2 y 0 − 6xy − 3x2 y 0 = 0 ⇒ y 0 (x) =

2xy − x2 , y 2 − x2

deci punctele critice ale funct¸iei y sunt √ 3 x1 = 0, y1 (0) = 3, x2 = −2, y2 (−2) = −1. 6x + 6y(y 0 )2 + 3y 2 y 00 − 6y − 12xy 0 − 3x2 y 00 = 0 ⇒ y 00 (x) =

−2x + 2y − 2y(y 0 )2 + 4xy 0 . y 2 − x2

2 Rezult˘ a y 00 (0) = √ > 0, deci x1 = 0 este minim local ¸si y 00 (−2) = − 23 , 3 3 deci x2 = −2 este maxim local.

11. S˘ a se determine punctele de extrem ale funct¸iei y = y(x) definite 2arctg x y , y 6= 0. implicit de ecuat¸ia x2 + y 2 − e

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

105

Solut¸ie Condit¸ia de existent¸˘ a a funct¸iei y este y(x2 + y 2 ) + xe

2arctg x y

6= 0.

Se obt¸ine

arctg xy 2ye − x(x2 + y 2 ) ; y = 2arctg x y y(x2 + y 2 ) + xe punctele critice sunt: s s π π e2 e2 x1 = , x2 = − . 2 2 0

In aceste puncte y(x1 ) = x1 ¸si y(x2 ) = x2 . Se calculeaz˘a y 00 (x1,2 ), etc. 12. S˘a se determine cea mai mare ¸si cea mai mic˘a valoare a funct¸iei: √ 1 1 f (x, y) = x2 + 3xy − y 2 2 2 ˆın domeniul m˘ arginit  D = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1 . Solut¸ie Pentru ˆınceput c˘ aut˘ am punctele de extrem local ˆın interiorul domeniului, adic˘ a ˆın:  D = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 < 1 Avem:

 √ ∂f   = x + 3y = 0   ∂x

 √  ∂f   = 3x − y = 0 ∂y Punctul (0, 0) este unicul punct critic. √ d2 f (0, 0) = dx2 + 2 3dxdy − dy 2 √ 1 3 √ Deoarece ∆2 = = −4 < 0, rezult˘a c˘a forma p˘atratic˘a 3 −1 d2 f (0, 0) este alternant˘ a, deci (0, 0) nu este punct de extrem local. ˆIn continuare c˘ aut˘ am punctele de extrem local pe frontiera domeniului D, adic˘ a pe cercul  Γ = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 = 1 Am obt¸inut astfel o problem˘a de extrem cu leg˘aturi, ¸si anume:

106

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

13. S˘ a se determine valorile extreme ale produsului xy cˆand x ¸si y sunt coordonatele unui punct de pe elipsa de ecuat¸ie x2 + 2y 2 = 1. Solut¸ie Problema este echivalent˘a cu a g˘asi valorile extreme ale funct¸iei f (x, y) = xy cu leg˘ atura g(x, y) = x2 + 2y 2 − 1. Consider˘ am funct¸ia F (x, y) = xy + λ(x2 + 2y 2 − 1). Din sistemul:  ∂F y + 2λx = 0  ∂x = ∂F = x + 4λy = 0  ∂y 2 2 g = x + 2y − 1 = 0 √

2 . √ 4 2 Pentru λ = 4 , rezult˘  a:  √  √ (x1 , y1 ) = 22 , − 12 ¸si (x2 , y2 ) = − 22 , 12 . √ Pentru λ = − 42 ,rezult˘a :  √  √ (x3 , y3 ) = 22 , 21 ’si (x4 , y4 ) = − 22 , − 21 .

rezult˘ aλ=±

Valorile extreme ale funct¸iei continue f pe elips˘a (care este mult¸ime √ √ 2 2 compact˘ a ) sunt: f (x1 , y1 ) = − 4 ( minim) ¸si f (x3 , y3 ) = 4 ( maxim). 14. S˘ a se afle valorile extreme ale funct¸iei √ 1 1 f (x, y) = x2 + 3xy − y 2 , cu leg˘atura x2 + y 2 − 1 = 0. 2 2 Solut¸ie Consider˘ am funct¸ia auxiliar˘a √
1 1 F (x, y, λ) = x2 + 3xy − y 2 + λ x2 + y 2 − 1 2 2 Punctele sale critice se afl˘a rezolvˆand sistemul  ∂F √  = x + 3y + 2λx = 0    ∂x      ∂F √ = 3x − y + 2λy = 0  ∂y         ∂F = x2 + y 2 − 1 = 0 ∂λ Primele dou˘ a ecuat¸ii se scriu √  (1 + 2λ) x + 3y = 0 √ 3x + (2λ − 1) y = 0 Cum (x, y) 6= (0, 0) pe Γ, determinantul acestui sistem trebuie sa fie 0:

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR √ 1 + 2λ 3 √ 3 2λ − 1

107


= 4 λ2 − 1 = 0, deci λ = ±1.

Pentru λ = 1 obt¸inem sistemul √



x2

care are solut¸iile

√ ! 1 3 , ,− 2 2

3x + y = 0 + y2 − 1 = 0 √ ! 1 3 − , . 2 2

A¸sadar, punctele critice pentru λ = 1 sunt

√ ! 1 3 ¸si ,− 2 2

√ ! 1 3 − , . 2 2

1 2 √ 1 x + 3xy − y 2 + x2 + y 2 − 1 ¸si fie 2 2 ϕ (x, y) = x2 + y 2 − 1. Atunci: √ d2 F1 (x, y) = 3dx2 + 2 3dxdy + dy 2 ¸si

Fie F1 (x, y) = F (x, y, 1) =

dϕ (x, y) = 2xdx + 2ydy = 0 √ ! √ √ 1 3 Deoarece dϕ ,− = dx − 3dy, deducem c˘a dx = 3dy ¸si, 2 2 √ ! 1 3 mai departe, c˘ a forma p˘ atratic˘a d2 F1 ,− = 16dy 2 este pozitiv 2 2 √ ! 1 3 ,− este un punct de minim local definit˘ a. Rezult˘ a c˘ a punctul 2 2 √ ! 1 3 ,− = −1. condit¸ionat. Avem f 2 2 √ ! 1 3 La aceea¸si concluzie ajungem pentru punctul critic − , . 2 2 ! ! √ √ 3 1 3 1 Pentru λ = −1 se obt¸in punctele critice , ¸si − ,− . 2 2 2 2 √ 1 1 Dac˘ a not˘ am cu F2 (x, y) = F (x, y, −1) = x2 + 3xy− y 2 −x2 −y 2 +1, 2 2 √ atunci d2 F2 (x, y) = −dx2 + 2 3dxdy − 3dy 2 . ! ! √ √ √ 3 1 3 1 Cum dϕ , =2 dx + dy = 3dx + dy = 0, rezult˘a c˘a 2 2 2 2 ! √ √ 3 1 2 dy = − 3dx ¸si, mai departe, c˘a forma p˘atratic˘a d F2 , = 2 2

108

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE √ −16dx2 este negativ definit˘a. Rezult˘a c˘a punctul ! √ 3 1 punct de maxim local condit¸ionat ¸si f = 1. , 2 2 ! √ 3 1 concluzia este aceea¸si. Pentru punctul − ,− 2 2

3 1 , 2 2

! este un

ˆIn concluzie, valorile extreme ale funct¸iei f ˆın domeniul D sunt: fmin = −1 ¸si fmax = 1. 15. S˘ a se determine triunghiul de perimetru dat 2p, care printr-o rotat¸ie ˆın jurul uneia din laturi, genereaz˘a un corp de volum maxim. Solut¸ie Dac˘ a not˘ am cu x, y ¸si z lungimile laturilor triunghiului, atunci x > 0, y > 0, z > 0 ¸si x + y + z = 2p. Conform formulei lui Heron, aria triunghiului este : p S = p (p − x) (p − y) (p − z), deci ˆın˘ alt¸imea corespunz˘atoare bazei de lungime z este p p (p − x) (p − y) (p − z) S h= = z z Prin rotirea triunghiului ˆın jurul laturii z se obt¸ine un corp format din dou˘ a conuri de raz˘a r = h ¸si ˆın˘alt¸imi z1 ¸si z2 cu proprietatea c˘a z1 + z2 = z. Volumul corpului de rotat¸ie obt¸inut este V =

πh2 z π p (p − x) (p − y) (p − z) = · 3 3 z

Se obt¸ine astfel urm˘ atoarea problem˘ a de extrem cu leg˘ aturi: 16. S˘ a se afle valoarea maxim˘a a funct¸iei π p (p − x) (p − y) (p − z) V (x, y, z) = · , cu leg˘atura 3 z x + y + z = 2p,

x > 0, y > 0, z > 0

Solut¸ie Consider˘ am funct¸ia auxiliar˘a F (x, y, z, λ) =

πp (p − x) (p − y) (p − z) + λ (x + y + z − 2p) 3z

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR Rezolvˆ and sistemul  ∂F     ∂x        ∂F     ∂y    ∂F     ∂z         ∂F ∂λ

=

−

πp (p − y) (p − z) +λ=0 3z

=

−

πp (p − x) (p − z) +λ=0 3z

= −

109

πp2 (p − x) (p − y) +λ=0 3z 2

=

x + y + z − 2p = 0

3p 3p p πp2 , y= , z= , λ= . 4 4 2 12 ˆIn continuare avem: obt¸inem x =

∂2F ∂2F = =0; ∂x2 ∂y 2

∂2F 2πp2 (p − x) (p − y) = ∂z 2 3z 3

πp (p − z) ∂ 2 F πp2 (p − y) ∂ 2 F πp2 (p − x) ∂2F = ; = ; = ∂x∂y 3z ∂x∂z 3z 2 ∂y∂z 3z 2   πp2 Fie F1 (x, y, z) = F x, y, z, 12     3p 3p p 2πp 1 2 2 d F1 , , = dz + dy + dxdz + dydz 4 4 2 3 2 Diferent¸iind leg˘ atura x + y + z − 2p = 0 obt¸inem: dx + dy + dz = 0 ¸si mai departe dz = −dx − dy. ˆInlocuind ˆın diferent¸iala de ordinul II rezult˘a c˘a:  
3p 3p p πp 2 d F1 , , = − dx2 + dy 2 este negativ definit˘a. A¸sadar 4 4 2  3 3p 3p p punctul , , este un punct de maxim condit¸ionat. Triunghiul 4 4 2 3p p 3p c˘autat are dimensiunile laturilor: x = , y= , z= . 4 4 2 17. O companie aerian˘ a a impus ca pentru bagajul de mˆan˘a suma dintre lungime, l˘ a¸time ¸si ˆın˘ alt¸ime s˘a nu dep˘a¸seasc˘a 1 m (se presupune c˘a forma bagajului este rectangular˘a). Ce dimensiuni ar trebui s˘a aib˘a bagajul pentru a avea volumul maxim? Solut¸ie Fie x, y, z lungimea, l˘ a¸timea ¸si respectiv, ˆın˘alt¸imea bagajului de mˆan˘a, x > 0, y > 0, z > 0. Restrict¸ia din problem˘a se scrie x + y + z = 1.

110

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Funct¸ia ce trebuie maximizat˘a este dat˘a de volumul paralelipipedului V = xyz. T ¸ inˆ and cont de acestea, rezult˘a c˘a trebuie s˘a g˘asim maximul funct¸iei: f (x, y) = xy(1 − x − y) pe (0, ∞) × (0, ∞). Determin˘ am punctele stat¸ionare ale funct¸iei rezolvˆand sistemul dat de derivatele part¸iale ale funct¸iei:   ∂f   = y(1 − 2x − y) = 0    ∂x  x = y = 0 (nu convine) sau ⇐⇒     x=y= 1 ∂f   = x(1 − x − 2y) = 0 3 ∂y Singurul punct stat¸ionar este M ( 13 , 13 ). Matricea Hessian˘ a este: 

−2y

1 − 2x − 2y

H(x, y) = 

 1 − 2x − 2y

iar ˆın M :



 2 −3 1 1 HM ( , ) =  3 3 − 31

−2x − 13 − 23

 .

∂2f 1 T ¸ inˆ and cont de faptul c˘a A = |M = − < 0 ¸si AC − B 2 = 2 ∂x 3  2 2 ∂2f ∂2f ∂ f 1 |M |M − |M = > 0, obt¸inem c˘a M ( 13 , 13 ) este punct ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y 3 de maxim iar maximul funct¸iei este 1 1 1 fmax = f ( , ) = ≈ 0, 037 m3 = 37 dm3 = 37 litri. 3 3 27 ˆIn concluzie, bagajul are volumul maxim de 37, 037 litri dac˘a dimen1 siunile sale sunt x = y = z = ≈ 0, 33 m. 3 18. Dimensionat¸i un acvariu cu volumul de 500 m3 pentru care s˘a se consume minimum de material. Solut¸ie Dac˘ a not˘ am cu x ¸si y dimensiunile bazei ¸si cu z ˆın˘alt¸imea, atunci suprafat¸a acvariului este S = xy + 2xz + 2yz iar restrict¸ia problemei este dat˘a de volumul acvariului xyz = 500 m3 . Substituind z din restrict¸ie obt¸inem funct¸ia ce trebuie minimizat˘a pe (0, ∞) × (0, ∞): f (x, y) = xy +

1000 1000 + . x y

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

111

Punctele critice se determin˘ a din sistemul:  1000 ∂f   = y − 2 = 0,   ∂x x   ∂f 1000   = x − 2 = 0. ∂y y Scot¸ˆ and y din prima ecuat¸ie ¸si ˆınlocuind ˆın cea de-a doua, obt¸inem:   x3 = 0, x 1− 1000 din care rezult˘ a x = 0 sau x = 10. Singura valoare acceptabil˘a este x = 10, de unde avem y = 10. Deci singurul punct critic este M (10, 10). Matricea Hessian˘ a este: 

2000 x3

1

1

2000 y3

H(x, y) =  iar ˆın M :

 HM (10, 10) =



2 1 1 2



 .

 2 2 ∂2f ∂2f ∂2f ∂ f 2 Cum A = = 2 > 0 ¸si AC − B = − = 3 > 0, 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y punctul M (10, 10) este punct de minim iar minimul funct¸iei este fmin = f (10, 10) = 300. Pentru x = 10 ¸si y = 10 obt¸inem z =

500 10·10

= 5.

A¸sadar acvariul trebuie construit cu baza de 10 m pe 10 m ¸si ˆın˘alt¸imea de 5 m, caz ˆın care suprafat¸a minim˘a este de 300 m2 ¸si consumul de material este minim, implicit costurile de realizare sunt minime. 19. Problema de mai sus poate fi formulat˘a ˆın situat¸ia ˆın care consumul de materiale este limitat, metoda de rezolvare fiind diferit˘a (metoda multiplicatorilor lui Lagrange): S˘a se dimensioneze un acvariu paralelipipedic de volum maxim, ¸stiind c˘a avem disponibili numai 48 m2 de material disponibil. Solut¸ie. Dac˘ a not˘ am cu x ¸si y dimensiunile bazei ¸si cu z ˆın˘alt¸imea, atunci dorim s˘ a maximiz˘ am volumul acvariului V = xyz, avˆand restrict¸ia dat˘ a de suprafat¸a de material folosit: S = xy + 2xz + 2yz = 48 m2 .

112

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Evident, x > 0, y > 0 ¸si z > 0. Dac˘ a not˘ am restrict¸ia cu F (x, y, z) = xy + 2xz + 2yz − 48 = 0, atunci funct¸ia de maximizat este f (x, y, z) = xyz

pe

(0, ∞) × (0, ∞) × (0, ∞).

Consider˘ am funct¸ia lui Lagrange: L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λF (x, y, z) = xyz + λ(xy + 2xz + 2yz − 48). Determin˘ am punctele stat¸ionare rezolvˆand sistemul  ∂L   =0   ∂x      ∇f (x, y, z) = λ∇F (x, y, z)  ∂L ⇐⇒ =0    ∂y F (x, y, z) = 0       F (x, y, z) = 0. Obt¸inem  yz = λ(y + 2z)    xz = λ(x + 2z) xy = λ(2x + 2y)    xy + 2xz + 2yz = 48 Eliminˆ and λ din primele dou˘a ecuat¸ii avem: xz yz = ⇐⇒ xz(y + 2z) = yz(x + 2z). y + 2z x + 2z Urmeaz˘ a c˘ a z = 0(nu convine) sau x = y. ˆInlocuind ˆın ecuat¸ia a treia se obt¸ine x = 0(nu convine ) sau x = 4λ. Din cea de-a doua ecuat¸ie rezult˘a 4λz = λ(4λ + 2z) = 4λ2 + 2λz, de unde z = 0 (nu convine) sau z = 2λ. A¸sadar, x = y = 4λ ¸si z = 2λ ˆımpreun˘a cu ultima ecuat¸ie conduc la: 16λ2 + 16λ2 + 16λ2 = 48. Obt¸inem λ = ±1 ¸si ˆın consecint¸a x = y = 4 ¸si z = 2, adic˘a punctul stat¸ionar este M (4, 4, 2). d2 L(x,y,z) =

∂2L ∂2L ∂2L 2 2 (dx) + (dy) + (dz)2 + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR +2

113

∂2L ∂2L ∂2L dxdy + 2 dydz + 2 dzdx = ∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x

= 2(z − λ)dxdy + 2(x − 2λ)dydz + 2(y − 2λ)dzdx. d2 L(λ=1) (4, 4, 2) = 2dxdy + 4dydz + 4dzdx d2 L(λ=−1) (4, 4, 2) = 6dxdy + 12dydz + 12dzdx Diferent¸iind restrict¸iile avem: (y + 2z)dx + (z + 2z)dy + 2(x + y)dz = 0. Pentru punctul stat¸ionar M (4, 4, 2) se obt¸ine: 8dx+8dy +16dz = 0, de unde dx = −dy−2dz. Atunci d2 L(λ=1) (4, 4, 2) = −2(dy+dz)2 −6(dz)2 , respectiv d2 L(λ=−1) (4, 4, 2) = −6(dy + dz)2 − 18(dz)2 . ˆIn consecint¸˘ a, M (4, 4, 2) este punct de maxim, valoarea maxim˘a a funct¸iei fiind fmax = f (4, 4, 2) = 32 m3 . Deci acvariul trebuie s˘ a aib˘ a baza p˘atrat˘a de latur˘a 4 m ¸si ˆın˘alt¸imea de 2 m, pentru avea volumul maxim de 32 m3 . 20. Presupunem c˘ a temperatura unei pl˘aci de metal ˆın fiecare punct al s˘au este dat˘ a de funct¸ia T (x, y) = 1 + x2 − y 2 . S˘a se determine traiectoria unei particule de c˘aldur˘a, ce are originea ˆın punctul (−2, 1). Solut¸ie. Particula se mi¸sc˘ a ˆın direct¸ia vectorului gradient ∇T = 2xi − 2yj. Vom determina curba C : r(t) = x(t)i + y(t)j, cu originea ˘in punctul (−2, 1), cu proprietatea c˘a ˆın fiecare punct exist˘ a vector tangent ˆın direct¸ia ∇T. Pentru prima condit¸ie trebuie s˘a impunem ca x(0) = −2, y(0) = 1, iar pentru a doua x0 (t) = 2x(t), y 0 (t) = −2y(t).

114

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Prima ecuat¸ie este echivalent˘a cu x0 (t) = 2 ⇒ ln |x(t)| = 2t + C1 , C1 ∈ R, ⇒ x(t) = Ce2t , C ∈ R. x(t) ˆIntrucˆ at x(0) = −2, deducem c˘a C = −2. Deci, x(t) = −2e2t . Analog se obt¸ine y(t) = e−2t . Eliminˆ and t, deducem xy = −2. ˆIn concluzie, particula se deplaseaz˘a din punctul (−2, 1) pe una din ramurile hiperbolei de ecuat¸ie xy = −2, ˆın direct¸ia ˆın care x descre¸ste.

21. S˘ a se arate c˘ a, dintre toate triunghiurile ˆınscrise ˆıntr-un cerc de raz˘a R, triunghiul echilateral are cel mai mare perimetru. Solut¸ie. Fie 4ABC ˆınscris ˆıntr-un cerc de raz˘a R ¸si not˘am cu x, y, z unghiurile la centru care subˆıntind laturile BC, CA respectiv AB. Se ¸stie din Teorema sinusurilor c˘a BC CA AB = = = 2R. sin A sin B sin C Dar, sin A = sin x2 , sin B = sin y2 , sin C = sin z2 . Din cele de mai sus deducem c˘a perimetrul 4ABC este dat de funct¸ia f (x, y, z) = 2R(sin

x y z + sin + sin ), 2 2 2

cu condit¸ia x + y + z = π, x > 0, y > 0, z > 0. Definim funct¸ia auxiliar˘a (funct¸ia lui Lagrange): F (x, y, z) = 2R(sin

y z x + sin + sin ) + λ(x + y + z − π). 2 2 2

Consider˘ am sistemul           

∂F ∂x

= R cos x2 + λ = 0

∂F ∂y

= R cos y2 + λ = 0

         

∂F ∂z

= R cos

z 2

∂F ∂λ

=x+y+z−π =0

(18.1) +λ=0

18.6. EXTREMELE FUNCT ¸ IILOR, FORMULE TAYLOR

115

λ de unde obt¸inem relat¸ia cos x2 = cos y2 = cos z2 = − R , ˆın ipoteza x, y, z ∈ (0, π ].

A¸sadar, punctul stat¸ionar M are coordonatele x = y = z = corespunz˘ ator lui λ = −R cos π6 =

√

π 3

¸si este

− R2 3 .

Derivatele part¸iale de ordinul al doilea ale funct¸iei F sunt ∂2F R x ∂2F R y ∂2F R z = − sin , = − sin , = − sin , 2 2 2 ∂x 2 2 ∂y 2 2 ∂z 2 2 ∂2F ∂2F ∂2F = = = 0. ∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x √

Fie funct¸ia F1 (x, y, z) = F (x, y, z, − R 2 3 ). π π π  R π R = − sin (dx2 +dy 2 +dz 2 ) = − (dx2 +dy 2 +dz 2 ) < 0. d F1 , , 3 3 3 2 6 4   Deci, d2 F1 π3 , π3 , π3 este form˘a p˘atratic˘a negativ definit˘a, ceea ce ne   asigur˘ a c˘ a M π3 , π3 , π3 este punct de maxim condit¸ionat. 2

ˆIn concluzie, triunghiul cu perimetru maxim ˆınscris ˆın cercul de raz˘a R are proprietatea m(A) = m(B) = m(C) =

π , 3

adic˘ a este triunghi echilateral. 22. S˘a se determine extremele funct¸iei f (x, y, z) = x3 +y 3 +z 3 pe mult¸imea {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}. Solut¸ie Funct¸ia f este continu˘ a , iar mult¸imea dat˘a este compact˘a , deci exist˘a cel put¸in dou˘ a puncte de extrem (ˆın care f ˆı¸si atinge valorile extreme). Fie F (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + λ(x2 + y 2 + z 2 − 1); rezult˘a sistemul sistemul  ∂F = 3x2 + 2λx = 0    ∂x ∂F 2 ∂y = 3y + 2λy = 0 ∂F 2   ∂z = 3z + 2λz = 0  2 2 x + y + z2 − 1 = 0 Sistemul format din primele trei ecuat¸ii are solut¸iile x = y = z = 0 ¸si x = y = z = − 23 λ. Prima solut¸ie nu verific˘a ultima ecuat¸ie; cea de a √

doua, ˆınlocuit˘ a ˆın ultima ecuat¸ie d˘a λ1 = √

3 3

3 2

√

¸si λ2 = −

√ − 33 .

3 2 .

Se obt¸in

solut¸iile x1 = y1 = z1 = ¸si x2 = y2 = z2 = Calculˆand valorile funct¸iei f ˆın aceste puncte, rezult˘a valorile extreme ale lui f .

116

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

23. Fie a, b, c ∈ R, a2 + b2 + c2 6= 0; s˘a se determine valorile extreme ale funct¸iei f : R3 7→ R, f (x, y, z) = ax + by + cz, pe mult¸imea D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = r2 }. Solut¸ie Se aplic˘ a metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Fie g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − r2 ¸si F (x, y, z) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) Mult¸imea D este compact˘a . Deoarece f este continu˘a , rezult˘a c˘a f este ˆı¸si atinge marginile pe D. In concluzie, f are cel put¸in un punct de minim global condit¸onat de g ¸si un punct de maxim global condit¸ionat de g. Sistemul  ∂F a − 2λx = 0  ∂x =   ∂F = b − 2λy = 0 ∂y ∂F  = c − 2λz = 0   ∂z 2 2 2 2 g = x +y +z −r = 0 √
2 2 +c2 a b c are solut¸iile λ = ± a +b , (x, y, z) = 2λ , 2λ , 2λ . 2r Deoarece f are cel put¸in dou˘a puncte de extrem globale pe D, de√ 2 2 2 ducem c˘ a valoarile extreme ale lui f sunt ± r a + b + c .

24. Fie matricea (simetric˘a de ordinul n), A = (aij )ij , aij = aji , ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}. S˘ a se determine valorile extreme ale funct¸iei (formei p˘atratice) f (x1 , x2 , ..., xn ) =

n X

aij xi xj

i,j=1

pe sfera x21 + x22 + ... + x2n = 1. Solut¸ie Construim funct¸ia lui Lagrange F (x1 , x2 , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) − λ(x21 + x22 + ...x2n − 1). Rezult˘ a sistemul:  ∂f ∂F   ∂x1 = ∂x1 − 2λx1 = 0   ∂f ∂F  = ∂x − 2λx2 = 0  ∂x 2 2 .....  ∂f  ∂F  = ∂x − 2λxn = 0  n n   ∂x ∂F = 1 − (x21 + x22 + ... + x2n ) = 0 ∂λ

18.7. SERII NUMERICE

117

Sistemul se scrie sub forma echivalent˘a :  (a11 − λ)x1 + a12 x2 + ... + a1n xn      a21 x1 + (a22 − λ)x2 + ... + a2n xn ...................................................   a x + an2 x2 + ... + (ann − λ)xn    n1 1 x21 + x22 + ... + x2n

= 0 = 0 = 0 = 1

Evident, sistemul liniar (format din primele n ecuat¸ii) are solut¸ii nenule dac˘ a ¸si numai dac˘ a λ este valoare proprie a matricei A (valorile proprii sunt reale deoarece A este matrice simetric˘a ). In acest caz, pentru a calcula valorile extreme ale funct¸iei f , se ˆınmult¸e¸ste prima ecuat¸ie de mai sus cu x1 , a doua cu x2 , ¸s.a.m.d., a n-a ecuat¸ie cu xn ¸si se adun˘a membru cu membru cele n relat¸ii obt¸inute; rezult˘a : f (x1 , x2 , ..., xn ) − λ(x21 + x22 + ... + x2n ) = 0 In concluzie, pe sfera unitate are loc egalitatea f (x1 , x2 , ..., xn ) = λ. Rezult˘ a c˘ a valorile minim˘ a ¸si maxim˘a ale funct¸iei f sunt cea mai mic˘a ¸si (respectiv) cea mai mare valoare proprie ale matricei A.

18.7

Serii numerice

1. S˘a se afle suma seriei

∞ X n=1



2 ln 1 + n (n + 3)



Solut¸ie

 un = ln 1 +

2 n (n + 3)

 = ln

(n + 1) (n + 2) n (n + 3)

Folosind propriet˘ a¸tile funct¸iei logaritm deducem c˘a: un = − ln n + ln (n + 1) + ln (n + 2) − ln (n + 3)

118

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Dˆ and valori particulare lui n, rezult˘a: u1 = − ln 1 + ln 2 + ln 3 − ln 4 u2 = − ln 2 + ln 3 + ln 4 − ln 5 u3 = − ln 3 + ln 4 + ln 5 − ln 6 u4 = − ln 4 + ln 5 + ln 6 − ln 7 ···································· un−3 = − ln (n − 3) + ln (n − 2) + ln (n − 1) − ln n un−2 = − ln (n − 2) + ln (n − 1) + ln n − ln (n + 1) un−1 = − ln (n − 1) + ln n + ln (n + 1) − ln (n + 2) un = − ln n + ln (n + 1) + ln (n + 2) − ln (n + 3) n+1 sn = u1 + u2 + . . . + un = ln 3 + ln → ln 3 n+3 A¸sadar seria este convergent˘a ¸si suma sa este ln 3.

2. S˘ a se afle natura seriilor: ∞ X

a)

cos

n=1

π ; n2

b)

∞ X

sin

n=1

π n2

Solut¸ie π = 1 6= 0. n2 b) Este o serie cu termeni pozitivi ¸si aplic˘am criteriul II de comparat¸ie: a) Seria este divergent˘a pentru c˘a lim cos n→∞

lim

sin nπ2

n→∞

1 n2

= π ∈ (0, ∞)

∞ 1 ∞ P P π este convergent˘ a , rezult˘ a c˘ a ¸ s i seria sin 2 este 2 n n=1 n n=1 convergent˘ a.

Cum seria

3. S˘ a se afle natura seriei ∞ X n=1

√ n n
n , a + n1

a > 0.

Solut¸ie Este o serie cu termeni pozitivi ¸si aplic˘am criteriul r˘ad˘acinii: lim

n→∞

√ n

p √ n n n 1 un = lim = 1 n→∞ a + a n

√ p √ (n + 1) n + 1 n √ (Am folosit faptul c˘a lim n n = lim = 1.) n→∞ n→∞ n n

18.7. SERII NUMERICE

119

Dac˘ a a > 1 rezult˘ a c˘ a seria este convergent˘a. Dac˘ a a < 1 seria este divergent˘a. √ ∞ P n n
, care este divergent˘a deoarece Dac˘ a a = 1 seria devine 1 n n=1 1 + n √ n n
n = ∞. lim n→∞ 1 + 1 n 4. Fie f : [1, ∞) → R+ o funct¸ie descresc˘atoare ¸si fie an =

n X

Z

n

f (k) −

f (x) dx 1

k=1

a) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul {an } este descresc˘ator ¸si 0 ≤ an ≤ f (1) ,

∀n ∈ N∗

b) S˘ a se arate c˘ a ¸sirul 1 1 1 + + · · · + − ln n 2 3 n

bn = 1 + este convergent.

c) S˘ a se arate c˘ a seria armonic˘a generalizat˘a dac˘ a α > 1 ¸si divergent˘ a dac˘a α ≤ 1.

∞ 1 P este convergent˘a α n=1 n

Solut¸ie a) Deoarece f este descresc˘ atoare rezult˘a c˘a este local integrabil˘a ¸si Z

k

f (k) ≤

f (x) dx ≤ f (k − 1) k−1

Dˆ and valori particulare lui k, obt¸inem: f (2) ≤ f (3) ≤

R2 1 R3

f (x) dx ≤ f (1) f (x) dx ≤ f (2)

2

....................................... Rn f (n) ≤ f (x) dx ≤ f (n − 1) n−1

ˆIn urma sum˘ arii rezult˘ a: −f (1) +

n X k=1

Z f (k) ≤

n

f (x) dx ≤ 1

n X k=1

f (k) − f (n)

120

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE ¸si mai departe, 0 ≤ f (n) ≤

n X

Z

n

f (k) −

k=1

f (x) dx ≤ f (1) , deci 1

0 ≤ an ≤ f (1) ,

∀n.

Pe de alt˘ a parte, Z

n+1

f (x) dx ≤ 0,

an+1 − an = f (n + 1) − n

de unde deducem c˘a ¸sirul {an } este descresc˘ator. 1 b) Pentru cazul particular al funct¸iei f (x) = , x devine:

x ∈ [1, ∞), ¸sirul

1 1 1 + + · · · + − ln n 2 3 n Din a) deducem c˘ a acest ¸sir este descresc˘ator ¸si m˘arginit, deci convergent. Limita sa se noteaz˘a cu C (sau γ).
A¸sadar lim 1 + 12 + 31 + · · · + n1 − ln n = C. an = 1 +

n→∞

Acest num˘ ar este irat¸ional ¸si este egal aproximativ cu 0, 577 (C ≈ 0, 577). Dac˘ a not˘ aam cu εn = an − C, atunci εn > 0, lim εn = 0 ¸si are loc n→∞ formula 1+

1 1 1 + + · · · + = ln n + C + εn 2 3 n

c) Din formula precedent˘a deducem c˘a   1 1 1 = ∞, 1 + + + ··· + n→∞ 2 3 n lim

∞ 1 P este divergent˘a. n=1 n 1 1 Dac˘ a α ≤ 1, atunci ≤ α ¸si din criteriul I de comparat¸ie rezult˘a c˘a n n ∞ 1 P seria este divergent˘a ˆın acest caz. α n=1 n 1 Fie α > 1 ¸si f (x) = α x Rn dx 1 1 Cum = − , din a) rezult˘a c˘a α α − 1 (α − 1) nα−1 1 x

deci seria armonic˘ a

18.7. SERII NUMERICE

1+

121

1 1 1 1 1 + + ··· + α − + ≤ 1, 2α 3α n α − 1 (α − 1) nα−1

deci 1+

1 1 1 1 + α + ··· + α ≤ 1 + , α 2 3 n α−1

∀n.

Rezult˘ a c˘ a ¸sirul sumelor part¸iale este m˘arginit, deci seria

∞ 1 P este α n=1 n

convergent˘ a dac˘ a α > 1. 5. S˘a se afle natura seriilor: ∞ X 1 ; a) nα

b)

∞ X n=2

n=1

1 ; n (ln n)α

c)

∞ X n=3

1 n ln n [ln (ln n)]α

Solut¸ie Din criteriul integral al lui Cauchy rezult˘a c˘a aceste serii au aceea¸si natur˘ a cu integralele improprii ∞

Z 1

∞

Z

dx , xα

2

dx , x (ln x)α

Z

∞

3

dx x ln x [ln (ln x)]α

care sunt divergente pentru α ≤ 1 ¸si convergente pentru α > 1: a) Natura primei integrale este cunoscut˘a, fiind una din integralele improprii test. b) Dac˘ a α 6= 1, Z

u

dx = x (ln x)α

2

u

Z

1 α−1

2



−α+1 u (ln x) (ln x)−α (ln x) dx = = −α + 1 0

2

1 1 α−1 − (ln 2) (ln u)α−1

 .

ˆIn continuare avem: u

Z lim

u→∞ 2

 

dx =  x (ln x)α

∞ 1 (α − 1) (ln 2)α−1

dac˘a α < 1 dac˘a α > 1

Dac˘ a α = 1, atunci Z 2

u

dx = ln (ln x)|u2 = ln (ln u) − ln (ln 2) → ∞. x ln x

122

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE A¸sadar, α ≤ 1.

R∞ 2

dx este convergent˘a dac˘a α > 1 ¸si divergent˘a dac˘a x (ln x)α

c) Dac˘ a α = 1, atunci

Ru 3

dx = ln [ln (ln x)]|u3 x ln x [ln (ln x)]

Ru

u dx 1 [ln (ln x)]1−α . Rezult˘a α = α−1 3 3 x ln x [ln (ln x)] c˘ a integrala este divergent˘a pentru α ≤ 1 ¸si convergent˘a pentru α > 1.

Dac˘ a α 6= 1, atunci

6. S˘ a se studieze natura seriilor

a)

∞ X

1 arctg 2 n +n+1

n=1

∞ X √ √ √ b) ( n + 2 − 2 n + 1 + n)

c)

n=0

∞ X

sinn

n=1

1 Solutie. a) Termenul general se scrie sub forma un = arctg n2 +n+1 = n X 1 1 uk = arctg1 − arctg , si atunci Sn = , care arctg n1 − arctg n+1 n+1 k=1 π este convergent ¸si are limita , deci seria este convergent˘a ¸si are suma 4 π . 4 n X √ √ b) In acest caz Sn = uk = n + 2 − n + 1 − 1, care este converk=0

gent ¸si are limita −1, deci seria este convergent˘a ¸si are suma −1. c) Se arat˘ a c˘ a un = sinn 9 0, deci seria este divergent˘a. 7. S˘ a se studieze natura seriilor

a)

∞ X n=1

n! ,a > 0 a(a + 1)...(a + n − 1)

b)

∞ X n=1

n
n2 , a > 0. n+a

Solut¸ie. a) Aplicˆ and criteriul raportului obt¸inem un+1 n+1 = lim = 1, n→∞ a + n n→∞ un lim

deci nu se poate decide natura seriei. Vom aplica criteriul lui RaabeDuhamel: lim n

n→∞


un n(a − 1) − 1 = lim = a − 1. n→∞ n + 1 un+1

18.8. INTEGRALE IMPROPRII

123

Dac˘ a a − 1 > 1, echivalent a > 2, seria este convergent˘a, iar dac˘a a − 1 < 1, echivalent a < 2 seria este divergent˘a. Pentru a = 2 se obt¸ine seria armonic˘ a, o serie divergent˘a. b) Aplic˘ am criteriul raportului: lim n→∞ deci seria este convergent˘ a.

√ n

un = lim

n→∞


n n n+a

= e−a < 1,

8. Folosind eventual seriile, s˘ a se arate c˘a: nk n n→∞ a

a) lim

= 0, unde k > 0, a > 1,

b) ¸sirul cu termenul general xn =

n X k=1

cos

k! , este convergent. 2k

Solut¸ie. a) Aplicˆ and criteriul raportului se arat˘a c˘a seria

∞ k X n

este an convergent˘ a. Din condit¸ia necesar˘a de convergent¸˘a va rezulta c˘a termenul general are limita 0. n=1

b) Folosind criteriul de comparat¸ie cu inegalit˘a¸ti se arat˘a c˘a seria ∞ X n! cos n este absolut convergent˘a, deci convergent˘a. Conform definit¸iei, 2 n=1 ¸sirul sumelor part¸iale, adic˘ a (xn ), este convergent. 9. Folosind faptul c˘ a seria 1 + 1!1 + 2!1 + ... + are suma e s˘ a se arate c˘ ae∈ / R \ Q.

1 n!

+ ... este convergent˘a ¸si

Solut¸ie. Presupunem prin reducere la absurd c˘a e = pq , unde p, q ∈ 1 1 1 N ∗ , (p, q) = 1 ¸si fie Sn = 1 + 1!1 + 2!1 + ... + n! , rn = (n+1)! + (n+2)! + ...
1 1 1 n+2 1 Evident avem 0 < rn < (n+1)! 1 + n+2 + (n+2)2 + ... = (n+1)! n+1 < 1 n! n ,

de unde 0 < e − Sn < n!1n , (∀)n ≥ 1. Pentru n = q obt¸inem 0 < e − Sq < q!1q , de unde 0 < (e − Sq )q! < 1q , contradict¸ie, deoarece (e − Sq )q! ∈ N ∗ .

18.8

Integrale improprii

1. S˘a se studieze convergent¸a urm˘atoarelor integrale improprii: √ R1 R1 x dx a) dx; b) . sin x x −1 0 e 0 e − 1 − sin x

124

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Solut¸ie

√

x ≥ 0, ∀x ∈ (0, 1] . esin x − 1 x f (x) 1 = lim sin x = Fie g(x) = √ , x ∈ (0, 1] . Observ˘am c˘a lim x&0 x&0 g (x) e −1 x √ R1 R1 dx 1 x lim sin x = 1. Cum √ este convergent˘a, rezult˘a c˘a dx sin x x→0 e cos x −1 x 0 e 0 este convergent˘ a. a) f (x) =

b) Din inegalitatea ex ≥ 1 + x deducem c˘a: ex − 1 − sin x ≥ x − sin x ≥ 0, ∀x ∈ (0, 1] . Fie g (x) =

1 , x ∈ (0, 1] . Deoarece x2

f (x) x2 2x 2 = lim x = lim x = lim x =2 x&0 g (x) x&0 e − 1 − sin x x&0 e − cos x x&0 e + sin x lim

¸si

R1 dx R1 dx este divergent˘ a , rezult˘ a c˘ a este divergent˘a. 2 x 0 x 0 e − 1 − sin x

2. S˘ a se studieze convergent¸a, ¸si ˆın caz afirmativ s˘a se calculeze urm˘atoarea integral˘ a: Z∞

dx . x (x2 + 1)

1

Solut¸ie Fie 1 < u < ∞ oarecare. Zu

dx = x (x2 + 1)

1

Zu 

1 x − x x2 + 1

 dx =

ln x|u1

1


 1 = ln u − ln u2 + 1 − ln 2 = ln u − ln 2 Zu lim

u→∞ 1

r


u 1 2 − ln x + 1 = 2 1

√ u2 + 1 u 2 = ln √ . 2 u2 + 1

√ √ u 2 1 dx = lim ln √ = ln 2 = ln 2. 2 x (x + 1) u→∞ 2 u2 + 1

18.8. INTEGRALE IMPROPRII

125

3. S˘a se calculeze: Z∞ 1

x ln x (1 + x2 )2

dx

Solut¸ie Integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem: Zu 1

Zu ln x u 1 dx =− + 2 2 x (1 + x ) 1 2 x (1 + x2 ) (1 + x2 ) xdx

1

 1 0 f (x) = ln x, f (x) =   x  0  1 x , g (x) = − g (x) = 2 2 (1 + x2 ) (1 + x2 ) 

Din exercit¸iul precedent deducem c˘a: lim

Ru

u→∞ 1

dx 1 = ln 2. 2 x (x + 1) 2

A¸sadar, avem: Zu lim

u→∞ 1

x ln x (1 +

dx x2 )2

= − lim

u→∞

ln u 1 + ln 2. 2 (1 + u2 ) 4

R∞ x ln x ln u 1 = 0, rezult˘ a c˘ a dx = ln 2. 2 2 2 u→∞ 2 (1 + u ) 4 1 (1 + x )

Cum lim

4. S˘a se calculeze: Z 0

∞

arctg x (1 + x2 )3/2

dx.

Solut¸ie Fie f : [a, b) → R continu˘ a ¸si ϕ : [α, β) → [a, b], o funct¸ie de clas˘a C 1 , strict cresc˘ atoare cu propriet˘a¸tile: ϕ (α) = a ¸si lim ϕ (t) = b. t%β

Rb

Rβ Se ¸stie c˘ a dac˘ a una din integralele a f (x) dx, respectiv α f [ϕ (t)] · 0 ϕ (t) dt este convergent˘ a atunci ¸si cealalt˘a este convergent˘a ¸si are loc egalitatea:

126

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

b

Z

Z

β

f (x) dx =

0

f [ϕ (t)] ϕ (t) dt.

a

α

Fie x = ϕ (t) = tg t, t ∈ [0, π/2).

Z

∞

Z

arctg x

dx = (1 + x2 )3/2

0

Z

π/2

0

π/2

=

t cos tdt = 0

t

1 · dt = 3/2 cos2 t 2 (1 + tg t)

π/2 t sin t|0

Z

Z 0

π/2

−

sin tdt = 0

π/2

t dt = 1 2t · cos cos3 t

π − 1. 2

5. S˘ a se studieze convergent¸a absolut˘a a integralei: Z∞

sin x dx, p > 0. xp

1

Solut¸ie Dac˘ a p > 1 atunci

R∞ dx este convergent˘a. p 1 x

sin x R∞ | sin x| 1 Cum p ≤ p , ∀x ∈ [1, ∞), deducem c˘a dx este converx x xp 1 gent˘ a. R∞ sin x A¸sadar dx este absolut convergent˘a ¸si ˆın particular convergent˘a p 0 x dac˘ a p > 1. Dac˘ a p = 1 atunci avem: Zkπ

| sin x| dx > x

Zkπ π

1 k−1 P

k−1

X | sin x| dx = x i=1

(i+1)π Z iπ

k−1

X | sin x| 1 dx > x (i + 1) π i=1

(i+1)π Z

| sin x|dx = iπ

  2 2 1 1 1 = · + + ... + → ∞ cˆand k → ∞. π 2 3 k i=1 (i + 1) π R∞ | sin x| dx este divergent˘a. Rezult˘ a c˘ a x 1 R∞ | sin x| | sin x| | sin x| Dac˘ a 0 < p ≤ 1 atunci ≥ de unde deducem c˘a dx p x x xp 1 este divergent˘ a dac˘a 0 < p ≤ 1.

=

18.8. INTEGRALE IMPROPRII

127

R∞ sin x dx nu este absolut convergent˘a dac˘a 0 < p ≤ 1. p 1 x R∞ sin x Vom ar˘ ata ˆıns˘ a c˘ a dx este convergent˘a pentru 0 < p ≤ 1. p 1 x Ru sin x Ru cos x cos u ˆIntr-adev˘ ar, dx = − + cos 1 − p · dx. p p+1 up 1 x 1 x cos x R∞ 1 1 Deoarece p+1 ≤ p+1 ¸si dx este convergent˘a pentru p > 0, p+1 x x 1 x R∞ cos x dx este absolut convergent˘a ¸si deci convergent˘a. rezult˘ a c˘ a p+1 1 x A¸sadar

Mai departe avem: Ru sin x R∞ cos x lim dx = cos 1 − p · dx < ∞, dac˘a p > 0. p+1 u→∞ 1 xp 1 x 6. Folosind definit¸ia s˘ a se studieze natura integralelor ¸si ˆın caz de convergent¸˘a s˘a se calculeze: Z ∞ Z 1 Z 2 arctg x 1 1 a) dx b) dx c) dx. 2 2 1+x 0 −∞ x − x + 1 1 x ln x Z x Z x arctg t 1 Solut¸ie. a) F (x) = f (t)dt = dt = arctg2 x ¸si lim F (x) = 2 x→∞ +t 2 0 0 1Z ∞ 2 arctg x π π2 a ¸si dx = . 8 , deci integrala este convergent˘ 2 1 + x 8 0 Z Z 1 Z 1 1 1 1 b) F (x) = f (t)dt = dt = 3 dt = 1 2 2−t+1 t x x x (t − 2 ) + 4 2 1 2 2x − 1 4π = √ arctg √ − √ arctg √ ¸si lim F (x) = √ , deci integrala x→−∞ 3 3 3 3 3 3 Z 1 1 4π este convergent˘ a ¸si dx = √ . 2 3 3 −∞ x − x + 1 c) Este o integral˘ a improprie de al doilea tip, lim f (x) = ∞, unde x→1,x>1 Z 2 1 f : (1, 2] → R, f (x) = . In acest caz F (x) = f (t)dt = x ln x x Z 2 1 dt = ln(ln 2) − ln(ln x) ¸si cum lim F (x) = ∞, rezult˘a c˘a x→1,x>1 x t ln t integrala este divergent˘ a. 7. S˘a Zse arate c˘ a urm˘ atoarele Zintegrale sunt convergente ¸si s˘a se calculeze: ∞ ∞ 1 −2x a) e cos 3xdx b) dx (1 + x2 )2 0 0 Solut¸ie. R Rx x 3 −2x 2 −2x a) F (x) = 0 f (t)dt = 0 e−2t cos 3tdt = 13 e sin 3x− cos 3x+ 13 e R ∞ 2 2 −2x si lim F (x) = 13 , deci integrala este convergent˘a ¸si 0 e cos 3xdx = 13 ¸ x→∞

128

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE 2 13 .

Z

x

Z

x

1 1 1 x π dt = arctgx − ¸si lim F (x) = , 2 )2 2 x→∞ (1 + t 2 2 1 + x 4 0 0 Z ∞ 1 π deci integrala este convergent˘a ¸si dx = . (1 + x2 )2 4 0 b) F (x) =

f (t)dt =

8. Folosind criteriile de convergent¸˘a s˘a se studieze natura integralelor: Z

∞

a) 0

x+1 √ dx, 3 7 2x + 3x + 1

1

Z b) 0

√ 3

1 dx. 1 − x3

xα+1 q x→∞ 7 3 x 3 2 + x36 +

Solut¸ie. a) lim xα f (x) = lim x→∞

4 3

1 , pentru α = = √ 3 2

> 1, deci integrala este convergent˘a.

b)

lim (1 − x)α f (x) =

x→1,x 1. Rezulta ca fn → g, dar neuniform, cum g nu este continu˘a. b) |fn (x)| ≤ n21+1 → 0, deci (fn ) converge simplu ¸si uniform c˘atre g = 0, pe R. s c) lim fn (x) = 0, (∀)x ≥ 0, deci fn → 0 pe [0, ∞). Cum mn = sup |fn (x)| = n→∞

x∈I

1, rezult˘ a c˘ a ¸sirul nu este uniform convergent.

18.10

Serii Fourier

S˘a se dezvolte ˆın serii Fourier funct¸iile: 1. f (x) = x, pe (−π, π) Solut¸ie. Intrucˆ at funct¸ia f e impar˘a avem: ak = 0, k ≥ 0, Rπ k+1 iar bk = π2 0 x sin kxdx = 2(−1) , k > 0 (am integrat prin p˘art¸i, k ¸tinˆ and cont c˘ a sin kπ = 0 ¸si cos kπ = (−1)k ) ∞ X (−1)k+1 sin kx Prin urmare,∀x ∈ R avem x = 2 k Pentru x =

π 2

se obt¸ine

π 4

=1−

k=1 1 1 3 + 5

−

1 7

+ ...

2. f (x) = π 2 − x2 , pe (−π, π) Solut¸ie. Deoarece funct¸ia e par˘a bk = 0, k > 0 Z 2 π 2 4π 2 (π − x2 )dx = a0 = π 0 3 Z 2 π 2 4(−1)k−1 ak = (π − x2 ) cos kxdx = ,k > 0 π 0 k2 (am integrat prin p˘ art¸i) Atunci π 2 − x2 =

2π 2 3

+4

∞ X (−1)k−1 k=1

k2

cos kx

Sunt ˆındeplinite condit¸iile Teoremei 10.3, deci dezvoltarea e valabil˘a pentru x ∈ [−π, π]

134

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

Pentru x = π se obt¸ine

∞ X π2 1 = k2 6 k=1

3.



ax, dac˘a x ∈ (−π, 0) bx, dac˘a x ∈ [0, π)

f (x) =

Rπ Solut¸ie. a0 = π1 −π f (x)dx = π2 (b − a) R  Rπ Rπ 0 an = π1 −π f (x) cos nxdx = π1 −π ax cos nxdx + 0 bx cos nxdx R  Rπ Rπ 0 bn = π1 −π f (x) sin nxdx = π1 −π ax sin nxdx + π1 0 ax sin nxdx Calculˆ and prin p˘ art¸i urm˘atoarele dou˘a integrale obt¸inem R 1 x cos nxdx = n x sin nx + n12 cos nx + c1 R x sin nxdx = − n1 x cos nx + n12 sin nx + c2 unde c1 , c2 sunt constante de integrare. Avem Z 0 t cos ktdt = −π

Z

1 [1 − (−1)k ], k2

0

t sin ktdt = −π −π

π

Z

(−1)k , k

t cos ktdt = − 0

Z

1 [1 − (−1)k ] k2

π

t sin ktdt = −π 0

(−1)k k

a − b 1 − (−1)k (−1)k−1 · , b = (a + b) k π k2 k Se observ˘ a c˘ a avem ak =

a2n−1 =

2(a − b) 1 · , a2n = 0, n = 1, 2, 3, . . . π (2n − 1)2

Seria Fourier a funct¸iei f (t) este f (t) = −

∞

∞

n=1

n=1

X a−b 2(a − b) X cos(2n − 1)t sin nt π+ + (a + b) (−1)n−1 4 π (2n − 1)2 n

Observat¸ia 18.1. Din aceast˘a dezvoltare putem calcula suma seriei ∞ X 1 care este convergent˘a . Intr-adev˘ar, funct¸ia numerice (2n − 1)2 n=1 f (t) este continu˘ a ˆın punctul t = 0 ¸si, cf. Teoremei 4.3, suma seriei Fourier ˆın punctul t = 0 este egal˘a cu f (0). Avem astfel ∞ ∞ X X 1 1 π2 2(a−b) 0 = f (0) = − a−b π + ,de unde = 4 π (2n − 1)2 (2n − 1)2 8 n=1

n=1

18.10. SERII FOURIER 4.

135

     t ∈ −π, −π2 ∪ π2 , π  0, t + π2 , t ∈ − π2 ,0 f (t) =  π −t + 2 , t ∈ 0, π2 Solut¸ie. Funct¸ia f este par˘ a , deci bn = 0, ∀n ≥ 1 hR π i  2  π
Rπ R π a0 = π2 0 f (t)dt = π1 02 −t + π2 dt + π 0dt = π2 − t2 + π2 t /02 = 2 = π4 hR π i
Rπ 1−cos k π2 ak = π2 02 −t + π2 cos ktdt + π 0 cos ktdt = π2 · k2 2

Seria Fourier a funct¸iei date este f (t) =

π 8

+

2 π

∞ X 1 − cos n π 2

n=1

n2

cos nt

5. f (x) = eax , a 6= 0, pe (−π, π) Rπ 2 shaπ Solut¸ie. a0 = π1 −π eax dx = aπ R π an = π1 −π eax cos nxdx = (−1)n π1 · a22a ·shaπ(am integrat prin p˘art¸i) +n2 R π bn = π1 −π eax sin nxdx = (−1)n−1 π1 · a22n · shaπ(am integrat prin +n2 p˘art¸i) " # ∞ X (−1)n 2 1 ax Atunci e = π · shaπ 2a + · (a cos nx − n sin nx) a2 + n2 n=1

6. f (x) = |x|, pe [−π, π] Solut¸ie. f este par˘ a , deci bn = 0, ∀n ≥ 1 R 2 π a0 = π 0 xdx = π Rπ an = π2 0 x cos nxdx = πn2 2 [(−1)n − 1](am integrat prin p˘art¸i) Deci |x| =

π 2

−

4 π

∞ X cos(2n − 1)x n=1

(2n − 1)2

7. f (x) = | sin x|, pe (−π, π] Solut¸ie. f este par˘ a , deci bn = 0, ∀n ≥ 1 R π Avem a0 = π2 0 sin xdx = π4 Z Z 1 π 2 π an = sin x cos nxdx = [sin(n + 1)x + sin(1 − n)x]dx = π 0 π 0   1 (−1)n + 1 (−1)n−1 − 1 2 (−1)n + 1 4 1 = + = = 2 π n+1 n−1 π 1−n π 1 − 4n2 pentru n = par Atunci | sin x| =

2 π

+

4 π

∞ X cos 2nx n=1

1 − 4n2

136

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

8.

 f (x) =

cos x, dac˘a −π < x < −ϕ, ϕ < x < π cos ϕ, dac˘a −ϕ < x < ϕ

Solut¸ie. f este par˘a , deci bn = 0, ∀n ≥ 1 Z Z 2 ϕ 2 π f (x) cos nxdx = cos ϕ cos nxdx+ an = π π 0 Z π0 2 2 cos ϕ sin nϕ + cos x cos nxdx = − π ϕ π n   2 sin(n + 1)ϕ sin(n − 1)ϕ = − − π 2(n + 1) 2(n − 1)   1 sin(n + 1)ϕ sin(n − 1)ϕ = − π n(n + 1) n(n − 1) Expresia e nedeterminat˘a pentru n = 0 ¸si n = 1. Rϕ Rπ Avem a0 = π2 0 cos ϕdx + π2 ϕ cos xdx = π2 [ϕ cos ϕ − sin ϕ] Z Z 2 ϕ 2 π a1 = cos ϕ · cos xdx + cos2 xdx = π 0 π ϕ 2 1 1 1 = [sin ϕ · cos ϕ + (π − ϕ) − sin 2ϕ] = [π − ϕ + sin ϕ · cos ϕ] π 2 4 π 1 1 (ϕ cos ϕ − sin ϕ) + (π − ϕ + sin ϕ · cos ϕ) cos x+ π π  ∞  1 X sin(n + 1)ϕ sin(n − 1)ϕ + − cos nx π n(n + 1) n(n − 1)

f (x) =

n=2

9. S˘ a se dezvolte ˆın serie de sinusuri funct¸ia f (x) = valul (0,l).

|x| x

definit˘a ˆın inter-

Solut¸ie. Prelungim funct¸ia f impar fat¸˘a de origine  dac˘a 0 < x < l  1, 0, dac˘a x = 0 f (x) =  −1, dac˘a −l < x < 0 Calcul˘ am coeficient¸ii Fourier ai acestei funct¸ii periodice impare definite pe intervalul (-l,l): an = 0, ∀n ≥ 0  4 1 Z l 2 nπx 2 1 − (−1)n a n = 2k + 1 π 2n+1 , dac˘ 1·sin dx = · = bn = 0, dac˘a n = 2k l 0 l π n Atunci f (x) =

4 π

∞ X n=0

1 πx sin(2n + 1) 2n + 1 l

18.10. SERII FOURIER

137

10. S˘a se dezvolte ˆın serie de cosinusuri funct¸ia  sin x + cos x, dac˘a 0 < x ≤ π2 f (x) = sin x − cos x, dac˘a π2 < x ≤ π Solut¸ie. Observ˘ am c˘ a √

 π 2 sin x + 4  √ π f2 (x) = sin x − cos x = 2 sin x − 4
π Deci f1 (x) = f2 x + 2 f1 (x) = sin x + cos x =

De aceea dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a funct¸iei f coincide cu dezvoltarea ˆın serie de cosinusuri a funct¸iei f1 definit˘a pe intervalul (0, π2 ). Prelungim funct¸ia f1 par fat¸˘ a de origine ¸si obt¸inem coeficient¸ii Fourier: bn = 0, ∀n ≥ 1 √ R π a0 = 2 π 2 02 sin(x + π4 )dx = π4 √ R π an = 4 π 2 02 sin(x + π4 ) cos 2nxdx =  =

Atunci f (x) =

4 π

8 1 π 1−4n2 ,

0,

4 (−1)n +1 π 1−4n2

=

dac˘a n = 2k dac˘a n = 2k + 1

∞ X cos 4nx + 1 − 16n2 8 π

n=1

11. S˘a se dezvolte funct¸ia f (x) = cos ax dup˘a sinusuri ˆın intervalul [0, π], a 6= 0. Solut¸ie. Se prelunge¸ste prin imparitate ˆın intervalul (−π, 0). Rπ Rπ Avem bn = π2 0 cos ax sin nxdx = π1 0 [sin(a + n)x + sin(n − a)x]dx Pentru |a| = n =⇒ bn = 0.Pentru |a| = 6 n =⇒ bn = ·[1 − (−1)n cos aπ] Dac˘ a |a| nu e natural, atunci b2k−1 = 4k (1 π(4k2 −a2 )

2n π

2(2k−1) (1 π[(2k−1)2 −a2 ]

·

+ cos aπ) ¸si

− cos aπ), k ∈ IN astfel c˘a ∞ X 2k − 1 2 sin(2k − 1)x+ cos ax = π (1 + cos aπ) (2k − 1)2 − a2 k=1 ∞ X 2k + π2 (1 − cos aπ) sin 2kx 2 4k − a2

b2k =

k=1

1 · n2 −a2

138

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE 4(2k−1) Dac˘ a a = 2m, atunci b2k−1 = π[(2k−1) si 2 −4m2 ] , b2k = 0 ¸ ∞ X 2k − 1 sin(2k − 1)x, x ∈ [0, π] cos 2mx = π4 (2k − 1)2 − 4m2 k=1

8k Dac˘ a a = 2m − 1, atunci b2k−1 = 0, b2k = π[4k2 −(2m−1) si 2] ¸ ∞ X k cos(2m − 1)x = π8 sin 2kx, x ∈ [0, π] 2 4k − (2m − 1)2 k=1

12. S˘ a se dezvolte ˆın serie Fourier f (x) = 10 − x ˆın (5, 15). R 15 Solut¸ie. a0 = 15 5 (10 − x)dx = 0 Z nπx 1 15 1 nπx 15 (10 − x) cos an = dx = (10 − x) sin / + 5 5 5 nπ 5 5 Z 15 nπx 1 sin dx = 0 + nπ 5 5 Z 1 15 nπx 1 nπx 15 bn = (10 − x) sin dx = − (10 − x) cos / − 5 5 5 nπ 5 5 Z 15 1 nπx 10 − cos dx = (−1)n nπ 5 5 nπ Atunci f (x) =

10 π

X

(−1)n

n≥1

nπx 1 sin n 5

13. S˘ a se demonstreze formula: π − x X sin nx = , ∀x ∈ (0, 2π). 2 n n≥1

Solut¸ie. Fie f (x) = π−x a prin periodicitate la 2 , x ∈ [0, 2π), prelungit˘ IR; calcul˘ am coeficient¸ii Fourier:   2π Z 1 2π π − x 1 x2 a0 = = 0. dx = πx − π 0 2 2π 2 0 Z 1 2π π − x an = cos nx dx = π 0 2 Z 2π (π − x) sin nx 2π 1 = sin nx dx = 0, ∀ n ≥ 1. − 2nπ 2nπ 0 0 Z 1 2π π − x bn = sin nx dx = π 0 2

18.10. SERII FOURIER

139

Z 2nπ 1 −(π − x) cos nx 2π 1 = − cos nx dx = , ∀ n ≥ 1. 2nπ 2nπ n 0 0 Aplicˆ and teorema lui Dirichlet, rezult˘a : π − x X sin nx = , ∀x ∈ (0, 2π). 2 n n≥1

In punctele x = 0 ¸si x = 2π funct¸ia f nu este continu˘a ; ˆın aceste puncte seria trigonometric˘ a asociat˘a ei are suma 0. 14. S˘a se demonstreze egalitatea: X sin 2nx 2n

n≥1

=

π x − , ∀ x ∈ (0, π). 4 2

Solut¸ie. Din formula: π − x X sin nx = , ∀x ∈ (0, 2π), 2 n n≥1

demonstrat˘ a ˆın exercit¸iul precedent, ˆınlocuind pe x cu 2x, rezult˘a identitatea: π − 2x X sin 2nx = , ∀ x ∈ (0, π). 2 n n≥1

Imp˘ art¸ind acum cu 2, rezult˘a egalitatea cerut˘a . 15. S˘a se demonstreze identit˘ a¸tile: X sin(2n − 1)x 2n − 1

n≥1

X sin(2n − 1)x n≥1

2n − 1

π , ∀x ∈ (0, π) 4

=

π = − , ∀x ∈ (−π, 0). 4

S˘a se calculeze apoi suma seriei: 1−

1 1 1 1 + − + − ... 5 7 11 13

Solut¸ie. Pentru prima identitate se scad membru cu membru cele dou˘ a egalit˘ a¸ti demonstrate ˆın exercit¸iile precedente; a doua identitate rezult˘ a din prima ¸si din imparitatea funct¸iei sinus. Pentru a calcula suma seriei numerice date, se ia x = π3 ˆın prima egalitate ¸si obt¸inem: (2n−1)π

π X sin 3 = , 4 2n − 1 n≥1

de unde rezult˘ a : 1−

1 5

+

1 7

−

1 11

+

1 13

− ... =

√ π 3 6 .

140

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

16. ( Fenomenul Gibbs) In jurul unui punct de discontinuitate al unei funct¸ii date, seria Fourier asociat˘a ei converge doar punctual (nu neap˘arat uniform). Acest fapt conduce la un defect de convergent¸˘a (aparent paradox) al ¸sirului sumelor part¸iale asociat seriei trigonometrice date, numit fenomenul Gibbs. D˘am ˆın continuare un exemplu ˆın acest sens. Consider˘ am restrict¸ia funct¸iei signum la intervalul (−π, π),   −1 , x ∈ (−π, 0) 0 , x=0 sgn : (−π, π) 7→ IR, sgn(x) =  1 , x ∈ (0, π) In exercit¸iul anterior s-a demonstrat egalitatea: sgn(x) =

4 X sin(2n − 1)x , ∀ x ∈ (−π, π). π 2n − 1 n≥1

Not˘ am cu Sn ¸sirul sumelor part¸iale: Sn (x) =

n 4 X sin(2k − 1)x , ∀ x ∈ (−π, π). π 2k − 1 k=1

In punctul x = 0 funct¸ia sgn nu este continu˘a ; seria sa Fourier converge (conform teoremei lui Dirichlet) la 12 (−1 + 1) = 0 = sgn(0); convergent¸a lim Sn (x) = sgn(x), ∀ x ∈ (−π, π) este punctual˘a , nu ¸si n→∞ uniform˘ a. a. S˘ a se demonstreze egalitatea: Z 2 x sin 2nt Sn (x) = dt, ∀ x ∈ (−π, π). π 0 sin t b. S˘ a se arate c˘ a funct¸ia Sn are un maxim ˆın punctul x =  π  2 Z π sin t lim Sn = dt ≈ 1, 1789. n→∞ 2n π 0 t

π 2n

¸si:

c. S˘ a se calculeze π lim Sn − sgn(0+) . n→∞ 2n Solut¸ie. a. Calcul˘ am mai ˆıntˆai suma A = cos x + cos 3x + ... + cos(2n − 1)x, ∀ x 6= kπ, k ∈ Z. Pentru aceasta, consider˘am ¸si suma B = sin x+sin 3x+...+sin(2n−1)x ¸si calcul˘ am: A + iB = = (cos x+i sin x)+(cos 3x+i sin 3x)+...+(cos(2n−1)x+i sin(2n−1)x) =

18.10. SERII FOURIER

141

z 2n − 1 , z2 − 1 unde am notat z = cos x + i sin x. Dup˘a calcule, rezult˘a : = z2

sin nx (cos nx + i sin nx), sin x

A + iB = ¸si deci:

cos x + cos 3x + ... + cos(2n − 1)x =

sin 2nx , ∀ x 6= kπ, k ∈ Z. 2 sin x

Integrˆ and de la 0 la x, rezult˘a : n X sin(2k − 1)x k=1

sau, ˆınmult¸ind cu

Z =

2k − 1

0

x

sin 2nt dt, 2 sin t

4 π:

2 Sn (x) = π

x

Z 0

sin 2nt dt, ∀ x ∈ (−π, π). sin t

b. Din cele demonstrate la punctul precedent rezult˘a c˘a Sn0 (x) = ¸si deci

π 2n

2 sin 2nx π sin x

este punct critic al lui Sn ; ˆıntr-o vecin˘atate a lui Sn0 (x) =

π 2n

avem:

2 sin 2nx π > 0, x < , π sin x 2n

π 2 sin 2nx < 0, x > . π sin x 2n este punct de maxim al funct¸iei Sn . Sn0 (x) =

π Rezult˘ a c˘ a x = 2n Calcul˘ am acum: π Z Z  π  2 Z 2n sin 2nt 2 π sin u du 1 π sin u

Sn dt = = = u u du. 2n π 0 sin t π 0 sin 2n 2n n 0 sin 2n

Rezult˘ a:

 π  2 Z π sin u du. lim Sn = n→∞ 2n π 0 u

Ultima integra˘ a se aproximeaz˘a dezvoltˆand funct¸ia sinus ˆın serie de puteri:   Z π Z π X n sin u (−1)  du = x2n−2  du = u (2n − 1)! 0 0 n≥1

142

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE =

X n≥1

π X (−1)n (−1)n π 2n−1 2n−1 x = . (2n − 1)!(2n − 1) (2n − 1)!(2n − 1) 0 n≥1

Seria fiind alternat˘a , eroarea este mai mic˘a decˆat primul termen neglijat. Cu o eroare mai mic˘a decˆat 10−3 , se obt¸ine π lim Sn ≈ 1, 1789. n→∞ 2n π c. Rezult˘ a : lim Sn − sgn(0+) ≈ 0, 1789. n→∞ 2n 1 2+cos x

17. S˘ a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia f (x) =

pe IR.

Solut¸ie. f e par˘ a , deci bk = 0, k > 0 Z dx 2 π 2 a0 = =√ π 0 2 + cos x 3 (s-a f˘ acut schimbarea de variabil˘a tg x2 = t) Fie f (x) =

a0 2

+

∞ X

an cos nx (1)

n=1

Inmult¸im ambii membri ai egalit˘a¸tii (1) cu 2(2 + cos x) ¸si obt¸inem: 2 = 2a0 + a0 cos x + 4

∞ X

an cos nx +

n=1

=⇒ 2 = 2a0 + a0 cos x + 4

∞ X

2an cos x cos nx =⇒

n=1 ∞ X

an cos nx+

n=1

+

∞ X

an [cos(n + 1)x + cos(n − 1)x]

n=1

Funct¸ia g(x) = 2 poate fi considerat˘a ca o funct¸ie par˘a , deci dezvoltabil˘ a ˆın serie Fourier de cosinusuri pe toat˘a axa real˘a . Tinˆand seama de egalitatea a dou˘a serii Fourier obt¸inem: 2 = 2a0 + a1 0 = a0 + 4a1 + a2 0 = 4ak + ak+1 + ak−1 (k = 1, 2, . . .) Sirul ak este un ¸sir ce verific˘a relat¸ia de recurent¸˘a linear˘a ak = −4ak−1 − ak−2 cu a0 =

√2 3

=

√ 2 3 3

¸si a1 = 2 − 2a0 =

√ 6−4 3 3

18.10. SERII FOURIER

143

Ecuat¸ia caracteristic˘ a ata¸s√at˘a este r2 + 4r + 1 = 0 cu solut¸iile √ r1 = −2 + 3, r2 = −2 − 3 √ √ Atunci ak = c1 (−2 − 3)k + c2 (−2 + 3)k , constantele c1 , c2 determinˆ andu-se din a0 ¸si a1 . Deci obt¸inem sistemul: √ 2 3 c1 + c2 = 3 √ √ √ 6−4 3 c1 (−2 − 3) + c2 (−2 + 3) = 3 A¸sadar, c1 = 0 ¸si c2 = ak va fi de forma ak = √

Deci f (x) =

3 3

+

√ 2 3 3

√ 2 3 3 √ √ 2 3 3 ( 3 ∞ X

·

− 2)k

√ ( 3 − 2)n cos nx

n=1

18. S˘a se dezvolte ˆın serie Fourier funct¸ia f (x) = ln(2 + cos x). Solut¸ie. Prin derivare obt¸inem f 0 (x) = −

sin x 2 + cos x

Cum f 0 este o funct¸ie impar˘ a , ea este dezvoltabil˘a ˆın serie Fourier de sinusuri, adic˘ a ∞ X − sin x = bn sin nx 2 + cos x n=1

sau − sin x =

∞ X n=1

∞

2bn sin nx +

1X bn [sin(n + 1)x + sin(n − 1)x] 2 n=1

Tinˆ and seama de egalitatea a dou˘a serii Fourier obt¸inem 1 −1 = 2b1 + b2 2 1 1 0 = 2bk + bk−1 + bk+1 (∗) 2 2 R R 2 2 π sin2 x 2 ∞ Dar b1 = − π 0 2+cos x dx = − π 0 (1+t28t dt(am f˘acut schim)2 (t2 +3) x barea t = tg 2 ) Descompunem ˆın fract¸ii simple ¸si obt¸inem:   Z Z Z 16 3 ∞ dt 3 ∞ dt 1 ∞ dt b1 = − − + − = π 4 0 t2 + 3 4 0 1 + t2 2 0 (1 + t2 )2   √ 3 π 3π 1π 16 − √ + − = 2( 3 − 2) =− π 42 3 42 24

144

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE √ Atunci b2 = −2 − 4b1 = 2(7 − 4 3) Ecuat¸ia caracteristic˘a a ¸sirului (*) este: t2 + 4t + 1 = 0 √ √ cu r˘ ad˘ acinile t1 = −2 − 3, t2 = −2 + 3 Deci bk = c1 (−2 −

√

3)k−1 + c2 (−2 +

√

3)k−1

c1 ¸si c2 determinˆ andu-se din sistemul √ 2( 3 − 2) = c1 + c2 √ √ 2(7 − 4 3) = −2(c1 + c2 ) − 3(c1 + c2 ) √ Solut¸iile sistemului sunt c1 = 0, c2 = 3 − 2 √ Deci bk = 2( 3 − 2)k Atunci avem −

∞ X √ sin x = 2( 3 − 2)n sin nx 2 + cos x n=1

Integrˆ and ˆıntre 0 ¸si x obt¸inem: √ √ ∞ ∞ X 2( 3 − 2)n X 2( 3 − 2)n ln(2 + cos x) − ln 3 = − cos nx n n n=1 n=1 √ ∞ X √ 2( 3 − 2)n Dar = − ln(3 − 3) n n=1 √ ∞ X √ 2( 3 − 2)n Atunci ln(2 + cos x) = ln 3 − ln(3 − 3) − cos nx. n n=1

19. S˘ a se calculeze: lim n

n→∞

2

Z 0

n

sin x dx + x3

n3

Solut¸ie. RFacem schimbarea de variabil˘ x = nt ˆın integrala R 1a sin n sin x 2 bn = n 0 n3 +x3 dx ¸si obt¸inem bn = 0 1+tnt3 dt 1 Funct¸ia f (t) = 1+t a pe [0,1] ¸si bn fiind coeficientul ei Fourier 3 e continu˘ ¸si seria Fourier fiind convergent˘a , rezult˘a bn −→ 0, cˆand n −→ ∞

20. Fie 0 < u < 1 ¸si f : IR → IR 2π-periodic˘a astfel ˆıncˆat ∀x ∈ [−π, π], f (x) = cos(ux). a) Calculat¸i coeficient¸ii Fourier ai lui f ; X 2u b) Calculat¸i g(u) = u2 − n2 n≥1

18.10. SERII FOURIER

145

c) ∀t ∈ [0, 1], calculat¸i I(t) =

Rt 0

g(u)du

Solut¸ie. a) f este funct¸ie par˘a deci bn = 0, ∀n ≥ 1 Rπ R 1 π an =π2 0 cos(nx) cos(ux)du 0 [cos(n + u)x + cos(n − u)x]du =  = π n+1 sin(u−n)π (−1) 1 sin(n+u)π =π − n−u = · n22u · sin πu n+u π −u2 Deoarece f e continu˘ a , de clas˘a C 1 , atunci seria sa Fourier converge uniform pe IR ¸si are suma f . Deci pentru x ∈ [−π, π], X (−1)n+1 2u cos(ux) = sin(πu) + · 2 · sin πu · cos(nx) πu π n − u2 n≥1

b) Inlocuim x cu π ˆın formul˘a ¸si obt¸inem cos(πu) = sinπuπu − π1 · X 2u sin πu g(u) sin πu · sin πu = + / : sin πu =⇒ ctg πu = · 2 2 n −u πu π n≥1 1 = πu

+

g(u) π

=⇒ g(u) = π · ctg πu −

1 u

c) g e continu˘ a pe (0,1) ¸si se prelunge¸ste prin continuitate ˆın 0 prin g(0) = 0  Z t Rt 1 π · ctg πu − Dac˘ a α ∈ (0, t) putem scrie 0 g(u)du = lim du =  α→0 α   u sin πt sin πα = lim [ln(sin πu) − ln u]/tα = lim ln − ln = α→0 α→0 t α


R t = ln sintπt − ln π = ln sinπtπt =⇒ 0 g(u)du = ln sinπtπt 21. Fie f ¸si F dou˘ a funct¸ii de p˘ atrat integrabile definite pe [−π, π] ¸si ∞

f (x) =

a0 X + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 ∞

F (x) =

A0 X + (An cos nx + Bn sin nx) 2 n=1

seriile Fourier ata¸sate lor. S˘ a se arate c˘a 1 π

Z

∞

π

f (x)F (x)dx = −π

a 0 A0 X + (an An + bn Bn ) 2 n=1

Solut¸ie. Seriile Fourier ata¸sate funct¸iilor f + F ¸si f − F sunt ∞

a0 + A0 X f (x) + F (x) = + [(an + An ) cos nx + (bn + Bn ) sin nx] 2 n=1 ∞

f (x) − F (x) =

a0 − A0 X + [(an − An ) cos nx + (bn − Bn ) sin nx] 2 n=1

146

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Deoarece f ¸si F sunt funct¸ii de p˘atrat integrabile, atunci ¸si f + F ¸si f − F sunt funct¸ii de p˘atrat integrabile. Egalitatea lui Parseval ne conduce la: ∞ X R 2 1 π 2 dx = (a0 +A0 ) + [f (x) + F (x)] [(an + An )2 + (bn + Bn )2 ] π −π 2 1 π

Rπ

−π [f (x)

− F (x)]2 dx =

(a0 −A0 )2 2

+

n=1 ∞ X

[(an − An )2 + (bn − Bn )2 ]

n=1

Sc˘ azˆ and cele dou˘ a egalit˘a¸ti obt¸inem:

# ∞ a0 Ao X f (x)F (x)dx = 4 + (an An + bn Bn ) =⇒ 2 −π n=1 Z π ∞ a0 A0 X 1 f (x)F (x)dx = + (an An + bn Bn ) =⇒ π −π 2

4 π

Z

"

π

n=1

22. S˘ a se demonstreze egalitatea: " # ∞ 2n−1 X X (−1)k+1 √ √ π 8 4 ln(1 + 2) + 2 sin(2k + 1) · sec x = π ln(1+ 2)+ π 2k + 1 4 k=0 n=1  · cos 4nx , pentru x ∈ − π4 , π4 .   Solut¸ie. Funct¸ia f (x) = sec x verific˘a pe intervalul − π4 , π4 condit¸iile Teoremei 10.3. Deoarece f este par˘a avem: √ Rπ R1 1 a0 = π8 04 sec xdx = π8 0 √1+t dt = π8 ln(1 + 1 + t2 )/10 = 2 √ = π8 ln(1 + 2) Pentru calculul lui an folosim identitatea cos 4nx cos x

= 2 cos(4n − 1)x − 2 cos(4n − 3)x +

De unde integrˆ and obt¸inem h 1 π an = 16 π 4n−1 sin(4n − 1) 4 −

1 4n−3

cos(4n−1)x cos x

i sin(4n − 3) π4 + an−1

De aici deducem h 1 π ak − ak−1 = 16 π 4k−1 sin(4k − 1) 4 −

1 4k−3

sin(4k − 3) π4

i

Insumˆ and obt¸inem an =

16 π

2n−1 X k=0

(−1)k+1 π sin(2k + 1) + a0 2k + 1 4

  A¸sadar, dezvoltarea ˆın serie Fourier pe intervalul − π4 , π4 a funct¸iei f este

18.11. FUNCT ¸ II DEFINITE PRIN INTEGRALE

sec x =

4 π

147

" # ∞ 2n−1 X X (−1)k+1 √ √ π ln(1 + 2) + 2 · ln(1+ 2)+ π8 sin(2k + 1) 2k + 1 4 n=1

· cos 4nx

k=0

∞ X

sin nx , atunci f n2 − 1 n=2 verific˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a f 00 (x) + f (x) = − sin x ¸si s˘a se g˘aseasc˘a apoi suma.

23. S˘a se arate c˘ a dac˘ a f (x) este suma seriei

Solut¸ie. Fie f (x) = f 0 (x) =

c 2

+

∞ X

a0 2

+

∞ X

(−1)n

(an cos nx + bn sin nx), atunci

n=1

[(nbn + (−1)n c) cos nx − nan sin nx], unde

n=1

c = π1 [f (π) − f (−π)] = lim [(−1)n+1 nbn ] n→∞   n2 = −1 In cazul nostru c = lim − 2 n→∞ n −1 Obt¸inem f 0 (x) = − 12 + cos x +

∞ X

(−1)n

n=2

cos nx n2 − 1

F˘ acˆ and un rat¸ionament analog obt¸inem f 00 (x) = − sin x −

∞ X

(−1)n

n=2

n sin nx n2 − 1

¸si se verific˘ a astfel relat¸ia din ipotez˘a . Pentru calculul sumei observ˘am c˘a solut¸ia general˘a a ecuat¸iei este x f (x) = c1 cos x + c2 sin x + x cos 2 Pentru a calcula c1 facem x = 0 ¸si avem f (0) = c1 , dar f (0) = 0, deci c1 = 0 Derivˆ and f ¸si ¸tinˆ and seama de dezvoltarea sa ˆın serie obt¸inem c2 cos x +

cos x 2

−

x sin x 2

=

− 12

+ cos x +

∞ X

(−1)n

n=2

Facem x = 0 ¸si obt¸inem c2 =

∞ X

(−1)n

n=2

Deci f (x) =

18.11

sin x 4

+

cos nx n2 − 1

1 1 = n2 − 1 4

x cos x 2 .

Funct¸ii definite prin integrale

1. S˘a se calculeze:

148

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

Z2 lim

y→0

x2 cos xydx, y ∈ R.

0

Solut¸ie Dac˘ a not˘ am cu f (x, y) = x2 cos xy, x ∈ [0, 1] , y ∈ R, ¸si cu R2 F (y) = f (x, y) dx, y ∈ R, atunci din teorema de continuitate de0

ducem c˘ a F este continu˘a pe R. Rezult˘a c˘a: Z2 lim F (y) = F (0) =

y→0

8 x2 dx = . 3

0


Rby 2. Fie f ∈ C 1 R2 ¸si F (y)= f (x + y, x − y) dx, y ∈ R; a, b ∈ R, a 6= b. ay 0

S˘ a se calculeze F (y).

Solut¸ie Din teorema de derivare a lui Leibniz rezult˘a:

0

Zby 

F (y) =

 ∂f ∂f (x + y, x − y) − (x + y, x − y) dx+ ∂x ∂y

ay

+b · f (by + y, by − y) − a · f (ay + y, ay − y) , y ∈ R

3. S˘ a se calculeze: Zπ F (y) =

ln (1 + y cos x) dx, |y| < 1. cos x

0

Solut¸ie ln (1 + y cos x) , |y| < 1. cos x Rπ ∂f Rπ 1 Observ˘ am c˘ a (x, y) dx = dx este uniform conver0 ∂y 0 1 + y cos x gent˘ a pe orice interval (a, b) ⊂ (−1, 1), deci pe (−1, 1).

Not˘ am cu f (x, y) =

18.11. FUNCT ¸ II DEFINITE PRIN INTEGRALE

149

h πi ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a x ∈ 0, , atunci cos x ≥ 0 ¸si 2 0<

1 1 ≤ , pentru 1 < a < y < b < 1. 1 + y cos x 1 + a cos x

π/2 R dx dx este o integral˘a proprie, rezult˘a c˘a 1 + a cos x 1 + y cos x 0 0 este uniform convergent˘ a pe (a, b). ˆIn mod analog avem:

Cum

π/2 R

hπ i 1 1 < ,x ∈ , π , y ∈ (a, b) . 1 + y cos x 1 + b cos x 2

0<

Rezult˘ a c˘ a

Rπ

dx este uniform convergent˘a pe (a, b). 1 + y cos x

π/2

Din teorema de derivare rezult˘a c˘a Zπ

0

F (y) =

1 dx, y ∈ (−1, 1) . 1 + y cos x

0

Dac˘ a facem schimbarea de variabil˘a tg Z∞

0

F (y) =

1+y·

0

=

2 1−y

Z∞ 0

t2

1

dt + 1+y 1−y

1−t2 1+t2

x = t, rezult˘a: 2

2 · dt = 2 1 + t2

Z∞

dt = (1 − y) t2 + 1 + y

0

∞ √ t 2 1−y π = ·√ · arctg q . =p 1+y 1−y 1+y 1 − y2 1−y 0

ˆIn continuare avem: F (y) = π arcsin y + C. Cum F (0) = 0 deducem c˘ a C = 0 ¸si deci F (y) = π arcsin y, y ∈ (−1, 1).

4. S˘a se calculeze: Zπ/2
F (y) = ln y 2 − sin2 x dx, y ∈ (1, ∞) . 0

150

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Solut¸ie
Dac˘ a not˘ am cu f (x, y) = ln y 2 − sin2 x , y > 1 atunci Zπ/2

∂f dx = ∂y

Zπ/2

0

Observ˘ am c˘ a

π/2 R

y2

0

y2

2y dx. − sin2 x

0

dx este uniform convergent˘a pe intervalul − sin2 x

(a, ∞) dac˘ a a > 1. π/2 R 1 1 dx < , ∀1 < a < y ¸ s i 2 2 2 2 2 2 y − sin x a − sin x 0 a − sin x este integral˘ a proprie.

ˆIntr-adev˘ ar,

Din teorema de derivare rezult˘a: Zπ/2

0

F (y) = 2y ·

y2

dx . − sin2 x

0

Dac˘ a facem schimbarea de variabil˘a tgx = t, obt¸inem: Z∞

0

F (y) = 2y ·

y2

0

2y = 2 y −1

Z∞ 0

1

dt t2 +

y2 y 2 −1

−

t2 1+t2

dt = 2y · · 1 + t2

Z∞ (y 2

dt = − 1) t2 + y 2

0

2y = 2 · y −1

p t y2 − 1 arctg y √ y 2 y

∞ =p π . 2−1 y −1 0

Mai departe avem:   p F (y) = π ln y + y 2 − 1 + C. Pentru a determina constanta C, scriem funct¸ia F sub forma echivalent˘ a:

  Zπ/2 Zπ/2 Zπ/2  2  sin x sin2 x 2 2 F (y) = ln y 1 − dx = ln y dx+ ln 1 − dx = y2 y2 0

0

0

 Zπ/2  sin2 x = π ln y + ln 1 − dx. y2 0

18.11. FUNCT ¸ II DEFINITE PRIN INTEGRALE

151

ˆIn continuare avem:  p C = F (y)−π ln y + y 2 − 1 = π ln 

Cum lim

π/2 R

y→∞ 0

sin2 x ln 1 − y2 

y p + y + y2 − 1

 Zπ/2  sin2 x dx. ln 1 − y2 0

 dx = 0, deducem c˘a

y 1 C = π lim ln p = π ln = −π ln 2. 2 y→∞ 2 y −1 p y + y2 − 1 A¸sadar, F (y) = π ln , y ∈ (1, ∞). 2

5. S˘a se arate c˘ a

R1 arctg x √ dx este convergent˘a ¸si s˘a se calculeze. 2 0 x 1−x

Solut¸ie Z1 0

Z1/2

arctg x √ dx = x 1 − x2

0

arctg x √ dx + x 1 − x2

Z1

arctg x √ dx. x 1 − x2

1/2

1/2 R arctg x arctg x √ Deoarece lim √ = 1, dx este convergent˘a. 2 x&0 x 1 − x2 0 x 1−x

Pe de alt˘ a parte,

π = √ . 4 2

R1 arctg x dx √ este convergent˘a, rezult˘a c˘a dx este con2 1−x 1/2 1/2 x 1 − x R1 arctg x √ dx este convergent˘a. vergent˘ a. A¸sadar 2 0 x 1−x Pentru a o calcula consider˘ am urm˘atoarea funct¸ie: Cum

R1

arctg x √ x 1−x2 lim x%1 √ 1 1−x

√

Z1 F (y) = 0

Dac˘ a not˘ am cu f (x, y) = Z1 0

∂f dx = ∂y

arctg (yx) √ dx, y ∈ R. x 1 − x2

arctg (yx) √ , atunci x 1 − x2 Z1 0

dx √ , y ∈ R. (1 + y 2 x2 ) 1 − x2

152

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE R1 1 dx 1 √ ≤√ , x ∈ [0, 1] , y ∈ R ¸si √ = (1 + y 2 x2 ) 1 − x2 1 − x2 1 − x2 0 R1 ∂f π este convergent˘ a, rezult˘a c˘a dx este uniform convergent˘a pe R, 2 0 ∂y deci se poate aplica teorema de derivare. Rezult˘a: Cum

Z1

0

F (y) = 0

(1 +

dx √

y 2 x2 )

1 − x2

, y ∈ R.

Dac˘ a facem schimbarea de variabil˘a x = sin t, obt¸inem Zπ/2

0

F (y) =

cos tdt
= 1 + y 2 sin2 t · cos t

0

Zπ/2

dt . 1 + y 2 sin2 t

0

F˘ acˆ and schimbarea de variabil˘a tgt = u obt¸inem: Z∞

0

F (y) = 0

1 · = 1 + y2

Z∞ 0

1 1+

y2

·

u2 1+u2

du · = 1 + u2

Z∞

du = 1 + (1 + y 2 ) u2

0

 p  ∞ p du 1 = · 1 + y 2 arctg u 1 + y 2 = 1 1 + y2 u2 + 1+y 2 0 π = p 2 1 + y2

ˆIn continuare rezult˘a: F (y) =

 p π  ln y + 1 + y 2 + C. 2

Cum F (0) = 0, deducem c˘a C = 0.  p π  A¸sadar F (y) = ln y + 1 + y 2 ¸si 2 Z1 0

√  arctg x π  √ dx = lim F (y) = ln 1 + 2 . y→1 2 x 1 − x2

6. Folosind proprietatea de derivare ˆın raport cu parametrul, s˘a se calculeze integrala Z I(y) = 0

π 2

1 arctg (ytg x) dx, y ≥ 0. tg x

18.11. FUNCT ¸ II DEFINITE PRIN INTEGRALE

153

1 arctg (ytg x) pentru x = 6 0, f (0, y) = y tg x π ¸si f ( 2 , y) = 0. Funct¸ia f este derivabil˘a ˆın raport cu y pentru orice 1 0 0 0 x ∈ [0, π2 ] ¸si fy = pentru x 6= 0, fy (0, y) = 1, fy ( π2 , y) = 0. 2 2 1 + y tg x Derivata este continu˘ a ˆın raport cu ambele variabile pentru y 6= 0 ¸si x ∈ [0, π2 ]. Folosind derivarea ˆın raport cu parametrul ¸si utilizˆand substitut¸ia tg x = t, obt¸inem Z ∞ Z π 2 1 1 1 0 · dt dx = I (y) = 2 2 2 2 1 + y t 1 + t2 0 0 1 + y tg x Solut¸ie. Fie f (x, y) =

Descompunˆ and ˆın fract¸ii rationale simple, se obt¸ine Z ∞ Z ∞ y2 1 1 1 0 I (y) = 2 dt + dt 2 2 2 y −1 0 1+y t 1 − y 0 1 + t2 =

y2

y 1 π 1 arctg (yt)|∞ arctg t|∞ · . 0 + 0 = 2 −1 1−y 2 1+y

Prin integrare, obt¸inem I(y) = π2 ln(1 + y) + C. F˘acˆand pe y → 0, obt¸inem I(0) = C ¸si cum din definit¸ie I(0) = 0, rezult˘a C = 0. Deci, I(y) =

π 2

ln(1 + y).

7. Utilizˆ and funct¸iile B ¸si Γ, s˘ a se calculeze urm˘atoarele integrale: Z 1 Z ∞ √ 4 dx x √ a) I1 = ; b) I = dx. 2 6 6 (1 + x)2 1−x 0 0 1

Solut¸ie. a) Folosim schimbarea de variabil˘a x6 = t. Avem x = t 6 , 1 dx = 16 t 6 −1 dt, iar integrala devine   Z 1 1 1 1 1 π π − 16 1 16 −1 ,1 − = · . I1 = (1 − t) · t dt = B π = 6 6 6 6 6 sin 6 3 0 b) Folosim schimbarea de variabil˘a

1 1−t = t. Avem x = , 1+x t

1 dt ¸si integrala devine t2 1 Z 0 Z 1 1 1 1 − t 4 2 −1 I2 = · t · 2 dt = t− 4 (1 − t) 4 dt t t 1 0

      Γ 1 − 41 · Γ 1 + 14 1 1 1 1 1 = =Γ 1− · Γ = = B 1 − ,1 + 4 4 Γ(2) 4 4 4 1 π π = · = √ . 4 sin π4 2 2

dx = −

154

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

18.12

Integrala curbilinie

1. S˘ a se calculeze

Z xyds, γ

unde γ este port¸iunea din primul cadran a elipsei

x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

Solut¸ie O reprezentare parametric˘a a arcului de curb˘a γ este:  h πi x = a cos t , t ∈ 0, . y = b sin t 2 Conform definit¸iei integralei curbilinii de spet¸a I, avem: Z

Zπ/2 p xyds = ab sin t cos t a2 sin2 t + b2 cos2 t dt.

γ

0

Dac˘ a facem schimbarea de variabil˘a   u = a2 sin2 t + b2 cos2 t , t ∈ 0, π2 , obt¸inem: Z

ab xyds = 2 2 (a − b2 )

γ

Za2 b2

√


a2 ab a2 + ab + b2 ab 3/2 udu = u = 3 (a2 − b2 ) 3 (a + b) b2

2. S˘ a se calculeze I


2y 2 − 4y + x dx + 4x (y − 1) dy

γ

unde γ este cercul de ecuat¸ie x2 + y 2 − 2y = 0.

Solut¸ie Dac˘ a not˘ am cu P (x, y) = 2y 2 − 4y + x ¸si cu Q (x, y) = 4x (y − 1), atunci ∂Q ∂P = 4y − 4 = . ∂y ∂x

18.12. INTEGRALA CURBILINIE

155


Rezult˘ a c˘ a V (x, y) = 2y 2 − 4y + x, 4x (y − 1) este un cˆamp de gradient¸i. H Cum γ este o curb˘ a ˆınchis˘ a, rezult˘a c˘a V dr = 0. γ

3. S˘a se calculeze:

I ydx + zdy + xdz, γ+

x2 + y 2 + z 2 = R 2 , parcurs ˆın sens invers acelor x+y =R unui ceasornic, dac˘ a privim din centrul sferei. 

unde γ+ este cercul

Solut¸ie Eliminˆ and y ˆıntre ecuat¸iile curbei γ obt¸inem R2 z2 = , x2 − Rx + 2 2   R 2 z2 R2 sau x − + = . 2 2 4 R R R Notˆ and x− = cos t ¸si z = √ sin t, obt¸inem urm˘atoarea reprezentare 2 2 2 parametric˘ a a curbei γ+ :  R  x = (1 + cos t)    2    R , t ∈ [0, 2π] y = (1 − cos t)    2   R   z = √ sin t 2 ˆIn continuare avem: I ydx + zdy + xdz = γ+

Z2π 

      R R R R R R (1 − cos t) − sin t + √ sin t sin t + (1 + cos t) √ cos t dt = 2 2 2 2 2 2

0

 Z2π  R2 R2 R2 R2 R2 2 2 = − sin t + sin t cos t + √ sin t + √ cos t + √ cos t dt = 4 4 2 2 2 2 2 2 0

156

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE  =

 2π R2 R2 R2 R2 πR2 2 √ √ cos t + sin t + t+ sin t = √ 4 8 2 2 2 2 2 0


4. S˘ a se arate c˘ a V = y cos xy, x cos xy + 2yz 3 , 3y 2 z 2 este un cˆamp de gradient¸i. S˘ a se determine o funct¸ie f astfel ˆıncˆat V = ∇f ¸si s˘a se calculeze ZB


y cos xydx + x cos xy + 2yz 3 dy + 3y 2 z 2 dz,

A

pπ pπ
unde A si B (0, 2, 1). 2, 2,0 ¸

Solut¸ie Not˘ am cu P (x, y, z) = y cos xy, Q (x, y, z) = x cos xy + 2yz 3 , R (x, y, z) = 3y 2 z 2 . Constat˘ am ca:

∂Q ∂R = 6yz 2 = ∂y ∂z ∂P ∂R =0= ∂z ∂x ∂Q ∂P = cos xy − xy sin xy = , ∂x ∂y

deci V este un cˆ amp de gradient¸i. Din egalitatea V = ∇f deducem c˘ a: ∂f ∂f ∂f = y cos xy, = x cos xy + 2yz 3 , = 3y 2 z 2 . ∂x ∂y ∂z Integrˆ and prima relat¸ie ˆın raport cu x obt¸inem: f (x, y, z) = sin xy + g (y, z), unde g este o funct¸ie oarecare de clas˘a C 1. T ¸ inˆ and seama de a doua relat¸ie rezult˘a x cos xy +

∂g = x cos xy + 2yz 3 ∂y

18.12. INTEGRALA CURBILINIE

157

∂g = 2yz 3 . Integrˆand ˆın raport cu y obt¸inem: ∂y g (y, z) = y 2 z 3 + h (z), unde h este o funct¸ie arbitrar˘a de clas˘a C 1 .

¸si, mai departe,

A¸sadar, f (x, y, z) = sin xy + y 2 z 3 + h (z). ˆIn sfˆ ar¸sit, din a treia relat¸ie deducem: 3y 2 z 2 + h0 (z) = 3y 2 z 2 Rezult˘ a c˘ a h0 (z) = 0, deci h (z) = C ¸si funct¸ia cerut˘a este f (x, y, z) = sin xy + y 2 z 3 + C R

V dr depinde numai de capetele arcului, deci are sens

d AB

ZB V dr = f (B) − f (A) = 4 + C − 1 − C = 3 A

5. S˘a se calculeze Z (z − y) dx + (x − z) dy + (y − x) dz MABC

unde A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) , C (0, 0, c) ,

a > 0, b > 0, c > 0

Solut¸ie Ecuat¸iile parametrice ale segmentului de dreapt˘a [AB] sunt:   x = a (1 − t) y = bt , t ∈ [0, 1]  z = 0 Rezult˘ a c˘ a: Z1

Z (z − y) dx+(x − z) dy+(y − x) dz = AB

(−bt (−a) + a (1 − t) b) dt = ab 0

ˆIn mod analog, [BC] are reprezentarea parametric˘a  0  x = y = b (1 − t) , t ∈ [0, 1]  z = ct

158

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE ¸si Z1

Z

(−ct (−b) + b (1 − t) c) dt = bc.

= 0

BC

ˆIn sfˆ ar¸sit, [CA] are reprezentarea parametric˘a  at  x = y = 0 , t ∈ [0, 1]  z = c (1 − t) R ¸si = ac. CA

ˆIn final avem: Z

Z =

Z +

AB

MABC

Z +

BC

= ab + bc + ac

CA

6. S˘ a se calculeze integrala Z I=

(x2 + y 2 ) ln z ds

γ

  x = et cos t y = et sin t ; t ∈ [0, 1]. unde γ este dat˘ a parametric prin γ :  z = et 0

0

0

Solut¸ie. Avem x = et cos t − et sin t, y = et sin t + et cos t ¸si z = et . p ds =p (x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 √ = et cos2 t − 2 sin t cos t + sin2 t + sin2 t + 2 sin t cos t + cos2 t + 1 = et 3. Prin urmare Z 1 √ √ Z 1 3t 2t 2 2t 2 t t I= (e cos t + e sin t) ln e · e 3 dt = 3 te dt 0

√ Z = 3 0

1

 t

0

√ 3 √ 3t √ e3t 1 √ Z 1 e3t 3e 3e 1 dt = 3t |0 − 3 dt = − | = 3 3 3 9 0 0 √ √ 3 √ 3 √ 3e 3e 3 3 3 = − + = (2e + 1). 3 9 9 9

e3t 3

0

7. S˘ a se calculeze integrala curbilinie de tipul doi Z p I= 1 − x2 dx + xdy γ 2

unde γ este port¸iunea din elipsa de ecuat¸ie x2 + y4 = 1, corespunz˘atoare restrict¸iei x ≥ 0 ¸si parcurs˘a ˆın sens direct.

18.12. INTEGRALA CURBILINIE

159

Solut¸ie. O reprezentare parametric˘a a curbei este  π π x = cos t γ: ; t ∈ [− , ]. y = 2 sin t 4 4 Aplicˆ and formula de calcul pentru integrala de tipul doi obt¸inem: Z I=

π 2

Z p 2 2 (− 1 − cos t sin t+2 cos t) dt = −

− π2

π 2

Z | sin t| sin t dt+2

− π2

π 2

cos2 t dt

− π2

Prima integrala este 0 deoarece funct¸ia de sub integrala este impar˘a, 2t iar pentru a doua, folosim formula cos2 t = 1+cos . Prin urmare 2 Z I=

π 2

(1 + cos 2t) dt = (t +

− π2

sin 2t π2 )|− π = π. 2 2

8. S˘a se calculeze urm˘ atoarea integral˘a, ar˘atˆand ˆın prealabil c˘a este independent˘ a de drum. Z I= yzdx + xzdy + xydz; A(1, 1, 0), B(2, 3, 1). d AB

Solut¸ie. Deoarece V1 = yz, V2 = xz, V3 = xy ¸si ∂V1 ∂V2 ∂V2 ∂V3 ∂V3 ∂V1 = = z, = = x, = = y, ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z rezult˘ a c˘ a integrala este independent˘a de drum. Rezult˘ a c˘ a un potent¸ial scalar este Z 1 Z f (x, y, z) = (x · tytz + y · txtz + z · txty) dt = xyz 0

1

3t2 dt = xyz.

0

Prin urmare I = f (2, 3, 1) − f (1, 1, 0) = 6. 9. Densitatea de mas˘ a a unei sˆ arme semicirculare de raz˘a a variaz˘a proport¸ional cu distant¸a fat¸˘ a de diametrul care une¸ste cele dou˘a capete ale sˆarmei. (a) Determinat¸i masa sˆ armei; (b) Stabilit¸i coordonatele centrului de mas˘a. Solut¸ie. Firul poate fi parametrizat prin r(t) = a cos ti + a sin tj, t ∈ [0, π],

160

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE iar densitatea de mas˘a este de forma λ(x, y) = ky. ˆIntrucˆ at r0 (t) = −a sin ti + a cos tj, obt¸inem s0 (t) = kr0 (t)k = a. (a) Masa sˆ armei este dat˘a de: Z Z Z ky ds = λ(x, y) ds = M=

0

Z

k(a sin t)a dt 0

π

Z

= ka2

π

ky(t)s (t) dt =

0

C

C

π

sin t dt = 2ka2 .

0

(b) Datorit˘ a simetriei configurat¸iei, xM = 0. Z Z Z π Z 2 2 0 yM M = yλ(x, y) ds = ky ds = [ky(t)] s (t) dt = C

C

= ka

3

0 π

Z 0

ˆIntrucˆ at M =

2ka2 ,

π

1 sin2 t dt = ka3 π. 2

rezult˘a yM = ( 12 ka3 π)/(2ka2 ) = 41 aπ.

Deci, centrul de mas˘a se afl˘a pe mediana firului, la distant¸a diametru.

18.13

k(a sin t)2 a dt

0

1 4 aπ

Integrala dubl˘ a ¸si integrala tripl˘ a

1. S˘ a se calculeze

ZZ xdxdy, K



unde K = (x, y) ∈



≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ x2 + 1

R2 0



Solut¸ie

ZZ

Z xdxdy =

1

Z dx

0

K

x2 +1

xdy = 2x

2. S˘ a se calculeze

1

Z 0

ZZ


5 x3 + x + 2x2 dx = 12


x2 + y 2 dxdy,

Ω

 unde Ω =

(x, y) ∈



R2

x2

+

y2

≤

a2 , 0

 √ x ≤ √ ≤y≤x 3 . 3

de

˘ S ˘ 18.13. INTEGRALA DUBLA ¸ I INTEGRALA TRIPLA

161

Solut¸ie Fie W =

π

 π si φ : W → Ω schimbarea de variabile , 6 3 × [0, a] ¸ φ (t, r) = (r cos t, r sin t) .

Cum det φ0 (t, r) = r, rezult˘ a c˘a ZZ

2

x +y

2




Zπ/3 Za πa4 dt r3 dr = r · rdrdt = 24

ZZ

2

dxdy =

Ω

W

π/6

0

3. S˘a se calculeze ZZ

3

xy(1 + x2 + y 2 )− 2 dxdy

I= D

pe domeniul dreptunghiular D = [0, 1] × [0, 1]. R1 R1 3 Solut¸ie. Avem I = 0 dx 0 xy(1 + x2 + y 2 )− 2 dy. R1 R 2 2 − 23 dy = x 1 (1 + x2 + y 2 )− 23 (1 + x2 + y 2 )0 dy y 2 0 0 xy(1 + x + y ) 2

= x2 · (1+x −+y1

1 2 )− 2

1

1

1

|10 = −x(1+x2 +y 2 )− 2 |10 = −x(2+x2 )− 2 +x(1+x2 )− 2 2  R1 1 1 Deci I = 0 x(1 + x2 )− 2 − x(2 + x2 )− 2 dx R1 R1 1 1 0 0 = 12 0 (1 + x2 )− 2 (1 + x2 ) dx − 12 0 (2 + x2 )− 2 (2 + x2 ) dx √ √ √ √ = 1 + x2 |10 − 2 + x2 |10 = 2 2 − 3 − 1. 4. S˘a se calculeze

ZZ xy dxdy D

domeniul D fiind m˘ arginit de parabola y = x2 ¸si dreapta y = 2x + 3. Solut am y = x2 cu dreapta y = 2x + 3:  parabola  ¸ie. 2Intersect˘ 2 y=x y=x ⇔ ⇔ A(−1, 1), B(3, 9) x2 − 2x − 3 = 0 y = 2x + 3 Z 3 R 3 R 2x+3 R3 R 2x+3 y2 I = −1 x2 xy dxdy = −1 dx x2 xy dy = [(x )|2x+3 ] dx 2 2 x −1 Z 3 Z 3 x x = [(2x + 3)2 − (x2 )2 ] dx = (4x2 + 12x + 9 − x4 ) dx 2 2 −1 −1 Z 3 x5 9x x6 x4 9x2 3 = (− + 2x3 + 6x2 + ) dx = (− + + 2x3 + )| = 2 2 12 2 4 −1 −1 301 6

162

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

5. Folosind coordonatele polare s˘a se calculeze  ZZ p 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 2 2 I= x + y dxdy, unde D : x+y ≥0 D Solut¸ie. Facem schimbarea de variabil˘a 

x = r cos t y = r sin t

⇒

D(x, y) = r. D(r, θ)

√ Utilizˆ and desenul deducem r ∈ [ 2, 2] ¸si r ∈ [− π4 , 3π 4 ]. √ Fie D0 = [ 2, 2] × [− π4 , 3π 4 ]. AstfelRR avem: p RR p 2 + y 2 dxdy = I = x r2 cos2 t + r2 sin2 t| D(x,y) D D0 D(r,t) | drdt = 3π √ R R RR R 2 2 2 2 2 4 √ r 2 π dr = r π |2 √ dr √ = 2π (4 − 2) 3 3 − π r dt = 2 2 D0 r drdt = 2 4

6. S˘ a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu originea unei pl˘aci plane omogene m˘ arginit˘a de curbele y = 0, x + y − 6 = 0, y 2 = 8x. Demonstrat¸ie. Intersectˆand curbele obt¸inem punctele O(0, 0), A(6, 0), B(0, 6). Momentul de inert¸ie ˆın raport cu originea este   RR R 4 R 6−y 2 2 2 2 I0 = (x + y )dx dy = y2 D (x + y )dxdy = 0 8  h  i R 4 (6−y)3 R4 3 2 (6 − y) − y 6 − y 4 dy = dy = + y = 0 x3 + xy 2 ) /6−y y2 3 8 0 3·83 = 136 −

128 5

−

32 21

8

7. S˘ a se afle coordonatele  centrului de greutate al pl˘acii omogenecare x2 y 2 formeaz˘ a domeniul Ω = (x, y) ∈ R2 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . a b Solut¸ie Coordonatele centrului de greutate sunt date de formulele: RR RR xdxdy ydxdy Ω Ω xG = RR , yG = RR dxdy dxdy Ω

Ω

˘ S ˘ 18.13. INTEGRALA DUBLA ¸ I INTEGRALA TRIPLA

163

Observ˘ am c˘ a domeniul plan Ω este port¸iunea din primul cadran a x2 y 2 elipsei 2 + 2 ≤ 1. a b ZZ 1 dxdy = aria (Ω) = πab. 4 Ω

Pentru calculul celorlalte dou˘a integrale consider˘am schimbarea de φ : W → Ω, φ (t, r) = (ar cos t, br sin t), cu (t, r) ∈ W = variabile  0, π2 × [0, 1]. Cum det Jφ (t, r) = abr, rezult˘a: ZZ

ZZ xdxdy =

Zπ/2 Za a2 b ar cos t · abrdrdt = a b cos tdt r2 dr = 3 2

0

W

Ω

ZZ

Zπ/2 Za ab2 ydxdy = dt br sin t · abrdr = 3 0

Ω

 A¸sadar, G

0

0

 4a 4b , . 3π 3π

8. S˘a se calculeze volumul tetraedrului T ⊂ R3 m˘arginit de planele x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y + z − 6 = 0.

Solut¸ie Vˆ arfurile tetraedrului T sunt O (0, 0, 0) , A (6, 0, 0) , B (0, 3, 0) , C (0, 0, 6), iar proiect¸ia sa ˆın planul xOy este triunghiul dreptunghic Ω de vˆarfuri (0, 0), (6, 0) ¸si (0, 3). Avem:  Ω = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 3 − x2 ¸si  T = (x, y, z) ∈ R3 0 ≤ z ≤ 6 − x − 2y; (x, y) ∈ Ω

ZZZ Vol (T ) =

dxdydz = T

=

Z

dx 0

dxdy

0

ZZ (6 − x − 2y) dxdy =

dz = 0

Ω 3− x2

Z6

6−x−2y Z

ZZ

Ω

 Z6  x2 (6 − x − 2y) dy = 9 − 3x + dx = 18. 4 0

164

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

9. S˘ a se calculeze

ZZZ p x2 + y 2 + z 2 dxdydz, T

 unde T este sfera (plin˘a) T = (x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 ≤ z . Solut¸ie  Fie W = (s, t, r) ∈ R3 0 ≤ s ≤ 2π, 0 ≤ t ≤ π2 , 0 ≤ r ≤ cos t ¸si φ : W → T , schimbarea de variabile: φ (s, t, r) = (r sin t cos s, r sin t sin s, r cos t) Cum det Jφ (s, t, r) = r2 sin t, rezult˘a: ZZZ ZZZ p 2 2 2 x + y + z dxdydz = r · r2 sin tdsdtdr = W

T

Z2π = 0

π/2 Zπ/2 cos Z t Zπ/2 4 cos t sin t π cos5 t π 3 ds dt r sin tdr = 2π dt = − · = 4 2 5 0 10 0

0

0

10. S˘ a se calculeze masa corpului V de densitate ρ(x, y, z) = z m˘arginit de suprafet¸ele x2 + y 2 + z 2 = 24, x2 + y 2 = 2z. Demonstrat¸ie. Intersect¸ia celor dou˘a suprafet¸e este cercul x2 + y 2 = 8 situat ˆın planul z = 8  √  RRR RR R 24−x2 −y2 M= zdz dxdy = x2 +y 2 V zdxdydz = x2 +y 2 ≤8 2   2 RR 2 − y 2 − x2 +y 2 = 21 24 − x dxdy = 2 2 2 x +y ≤8 √   R 2π R 2 2 4 24 − ρ3 − ρ4 dρ = 176π = 21 0 dθ 0 3 11. S˘ a se determine coordonatele centrului de greutate al unui corp omogen definit de x2 + y 2 ≤ 2z, x + y − z ≤ 0.   RRR RR R x+y Demonstrat¸ie. M = dxdydz = dz dxdy = x2 +y 2 V x2 +y 2 −2(x+y)≤0 2 R R = 12 (2x + 2y − x2 − y 2 )dxdy = x2 +y 2 −2(x+y)≤0 √ R R 2π 2 = 12 0 dθ 0 (2ρ2 − ρ3 )dρ = π (unde am folosit trecerea la coordonate polare x = 1 + ρ cos θ, y = = 1 + ρ sin θ)

˘ 18.14. INTEGRALA DE SUPRAFAT ¸A RRR = =

V xdxdydz = R R 1

2 1 2

RR

x2 +y 2 −2(x+y)≤0

165  R x+y

x2 +y 2 2

 xdz dxdy =

x(2x + 2y − x2 − y 2 )dxdy x2 +y 2 −2(x+y)≤0 √ R 2π R 2 2 3 0 dθ 0 (2ρ − ρ )(1 + ρ cos θ)dρ = π

=

Deci xG = 1   RRR RR R x+y ydz dxdy = x2 +y 2 V ydxdydz = x2 +y 2 −2(x+y)≤0 2 R R = 21 y(2x + 2y − x2 − y 2 )dxdy = x2 +y 2 −2(x+y)≤0 √ R 2π R 2 = 21 0 dθ 0 (2ρ2 − ρ3 )(1 + ρ sin θ)dρ = π Deci yG = 1   RRR RR R x+y zdz dxdy = x2 +y 2 V zdxdydz = x2 +y 2 −2(x+y)≤0 2i h RR (x2 +y 2 )2 2 = 21 dxdy 4 x2 +y 2 −2(x+y)≤0 (x + y) −   Trecem la coordonate polare x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, θ ∈ − π4 , 3π 4 , 0 ≤ ρ ≤ 2(sin θ + cos θ) ¸si obt¸inem  R 3π R 2(sin θ+cos θ)  2 RRR 2 sin 2θ − ρ4 dρ = 5π 4 ρ ρ + ρ zdxdydz = π 4 3 − 0 V 4

Deci zG =

5 3

12. S˘a se calculeze momentul de inert¸ie ˆın raport cu axa Oz al corpului omogen de densitate ρ(x, y, z) = ρ0 m˘arginit de suprafet¸ele sferice (S1 ) : x2 + y 2 + z 2 = 2z ¸si (S2 ) : x2 + y 2 + z 2 = 1. Demonstrat¸ie. Corpul este m˘arginit inferior de S1 ¸si superior de S2 .Suprafet¸ele S1 ¸si S2 se intersecteaz˘ a dup˘a cercul x2 + y 2 = 43 din planul z = 21 . RRR RRR 2 + y 2 )ρ(x, y, z)dxdydz = ρ 2 2 IOz = 0 V (x  V (x + y )dxdydz =  √ RR R 1−x2 −y2 √ = ρ0 (x2 + y 2 )dz dxdy = x2 +y 2 ≤ 34 1− 1−x2 −y 2 √ RR 1−x2 −y 2 2 2 √ = ρ0 x2 +y 2 ≤ 43 (x + y )z/1− 1−x2 −y 2 dxdy = p RR 2 2 2 2 = ρ0 x2 +y 2 ≤ 34 (x + y )(2 1 − x − y − 1)dxdy = p R 2π R 3 0π = ρ0 0 04 ρ3 (2 1 − ρ2 − 1)dρdθ = 53ρ 480

18.14

Integrala de suprafat¸˘ a

1. S˘a se calculeze aria torului. Solut¸ie Consider˘ am ˆın planul xOy un cerc de raz˘a a, cu centrul ˆın punctul (b, 0) unde 0 < a < b.

166

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE y 6

O

'$ a qu 

b

&%

-

x

Torul este suprafat¸a care se obt¸ine cˆand rotim acest cerc, ca un corp rigid, ˆın spat¸iu, ˆın jurul axei Oy. Dac˘a not˘am cu v unghiul de rotat¸ie al cercului ˆın jurul axei Oy atunci ecuat¸iile parametrice ale torului T sunt:   x = (b + a cos u) cos v y = a sin u , 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π.  z = (b + a cos u) sin v Avem: a cos u −a sin u sin v A = 0 (b + a cos u) cos v

= a (b + a cos u) cos u cos v;

−a sin u cos v −a sin u sin v B = − − (b + a cos u) sin v (b + a cos u) cos v

−a sin u cos v a cos u C = − (b + a cos u) sin v 0

= a (b + a cos u) sin u;

= a (b + cos u) cos u sin v

¸si A2 + B 2 + C 2 = a2 (b + a cos u)2 . Dac˘ a not˘ am cu Ω = [0, 2π] × [0, 2π] atunci: ZZ p Z2π Z2π 2 2 2 Aria (T ) = A + B + C dudv = dv a (b + a cos u) du = 4π 2 ab. Ω

0

0

2. S˘ a se calculeze aria port¸iunii din emisfera superioar˘a x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ 0, decupat˘ a de cilindrul x2 + y 2 − Rx = 0. Solut¸ie

˘ 18.14. INTEGRALA DE SUPRAFAT ¸A

167

Dac˘ a not˘ am cu S suprafat¸a ment¸ionat˘a ˆın enunt¸ atunci S este graficul funct¸iei: p  f (x, y) = R2 − x2 − y 2 , (x, y) ∈ D, unde D = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 − Rx ≤ 0 . RR p ∂f ∂f 1 + p2 + q 2 dxdy, unde p = ¸si q = . Avem: A = Aria (S) = ∂x ∂y D −y R2 −x , q=p , 1 + p2 + q 2 = 2 p= p R − x2 − y 2 R 2 − x2 − y 2 R 2 − x2 − y 2 ¸si mai departe ZZ A=R D

dxdy p . R 2 − x2 − y 2

π n o π 2 Fie W = (t, r) ∈ R − ≤ t ≤ ; 0 ≤ r ≤ R cos t ¸si φ : W → D 2 2 schimbarea de variabile φ (t, r) = (r cos t, r sin t). Deoarece det Jφ (t, r) = r, avem: Zπ/2 A=R

RZcos t

dt 0

−π/2

Zπ/2 = −R

r √ dr = −R R2 − r 2

Zπ/2 p R cos t R2 − r 2 dt = 0

−π/2

Zπ/2 (R| sin t| − R) dt = −2R (sin t − 1) dt = (π − 2) R2 . 2

0

−π/2

3. S˘a se calculeze

RR

(xy + yz + zx) dσ, unde S este port¸iunea din conul

S

x2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0, decupat˘ a de cilindrul x2 + y 2 = 2y. Solut¸ie Observ˘ am c˘ a suprafat¸a S este graficul ¸iei f (x, y) 2 funct = 2 2 (x, y) ∈ D, unde D = (x, y) ∈ R x + y − 2y ≤ 0 .

p x2 + y 2 ,

ˆIn continuare avem: ∂f x ∂f y =p , q= =p , 1 + p2 + q 2 = 2. ∂x ∂y x2 + y 2 x2 + y 2 ZZ ZZ h i√ p (xy + yz + zx) dσ = xy + (y + x) x2 + y 2 2dxdy. p=

S

D

Fie W = (t, r) ∈ R2 |0 ≤ t ≤ π; 0 ≤ r ≤ 2 sin t ¸si φ : W → D schimbarea de variabile φ (t, r) = (r cos t, r sin t) . 

168

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE ˆIn urma acestei schimb˘ari de variabile obt¸inem: ZZ

π 2Zsin t √ Z (xy + yz + zx) dσ = 2 dt (r2 sin t cos t+r2 sin t+r2 cos t)rdr = 0

S

0

π 2Zsin t √ Z r3 dr = = 2 (sin t cos t + sin t + cos t) dt 0

0 π

√ Z 4 2


sin5 t cos t + sin5 t + sin4 t cos t dt =

0 π

π

√ Z √ Z = 4 2 sin5 tdt = 4 2 0

18.15

√
2 64 2 . 1 − cos t sin tdt = 15 2

0

Formule integrale

1. S˘ a se calculeze: I

y 2 dx + x2 dy

∂K

unde cu ∂K am notat frontiera domeniului compact  K = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0 . Solut¸ie Dac˘ a not˘ am cu P (x, y) = y 2 ¸si Q (x, y) = x2 atunci din formula Riemann-Green rezult˘a: I ZZ 2 2 y dx + x dy = 2 (x − y) dxdy. K

∂K

Dac˘ a facem schimbarea de variabile (t, r) → (r cos t, r sin t) : W → K, unde W = [0, π] × [0, 1] obt¸inem: Zπ

ZZ 2 (x − y) dxdy = 2 K

Z1 dt

0

0

2 r (cos t − sin t) dr = 3 2

Zπ 0

4 (cos t − sin t) dt = − . 3

18.15. FORMULE INTEGRALE

169

2. S˘a se calculeze direct ¸si apoi s˘a se verifice rezultatul cu formula RiemannGreen: I (xy − y) dx + (xy + x) dy ∂K

 unde ∂K este frontiera domeniului compact K =

(x, y) ∈

2  x y2 + ≤ 1 . a2 b2

R2

Solut¸ie Pentru calculul direct folosim reprezentarea parametric˘a a elipsei:  x = a cos t ∂K : , t ∈ [0, 2π] y = b sin t Obt¸inem: I (xy − y) dx + (xy + x) dy = ∂K

Z2π (ab sin t cos t − b sin t)·(−a sin t)+(ab sin t cos t + a cos t)·(b cos t) dt =

= 0

2

Z2π

= −a b

2

2

Z2π

sin t cos tdt + ab 0

Z2π

2

cos t sin tdt + ab 0

dt = 2πab. 0

Dac˘ a not˘ am cu P (x, y) = xy − y ¸si Q (x, y) = xy + x atunci ∂Q ∂P − = x + y + 2 ¸si din formula Riemann-Green deducem: ∂x ∂y I ZZ (xy − y) dx + (xy + x) dy = (x + y + 2) dxdy. K

∂K

Fie W = [0, 2π]×[0, 1] ¸si schimbarea de variabile φ (t, r) = (ar cos t, br sin t). Deoarece det Jφ (t, r) = abr avem: Z1

ZZ (x + y + 2) dxdy =

dr 0

K

2

Z2π

Z1

2

Z2π

r dr ·

=a b 0

0

2

Z1

2

Z2π

r dr ·

cos tdt + ab 0

(ar cos t + br sin t + 2) abrdt =

0

= 2ab ·

Z1 rdr ·

sin tdt + 2ab 0

1 · 2π = 2πab. 2

Z2π

0

dt = 0

170

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

3. S˘ a se calculeze integral˘a curbilinie aplicˆand formula GreenZ urm˘atoarea x2 Riemann: xydx + dy, unde Γ = {(x, y) | x2 + y 2 = 1, x ≤ 0 ≤ 2 Γ y} ∪ {(x, y) | x + y = −1, x ≤ 0, y ≤ 0}. Solut¸ie Curba Γ nu este ˆınchis˘a , deci nu putem aplica direct formula GreenRiemann. Fie A(0, −1) ¸si B(0, 1) ¸si fie [AB] segmentul orientat (de la A c’atre B) determinat de aceste puncte. Fie Λ = Γ ∪ [AB]; atunci Λ este o curb˘ a ˆınchis˘ a ¸si deci, aplicˆand formula Green-Riemann, obt¸inem (not˘ am cu K compactul m˘arginit de Λ): Z Z Z x2 xydx + dy = 0dxdy = 0. 2 Λ K Rezult˘ a deci: Z xydx + Γ

x2 dy = − 2

Z xydx + [AB]

x2 dy = 0, 2

ultima integral˘ a curbilinie calculˆandu-se imediat cu definit¸ia. 2

2

4. S˘ a se calculeze aria mult¸imii m˘arginite de curba Γ: x 3 + y 3 = 1. Solut¸ie Z 1 xdy − ydx. Cu Aria mult¸imii m˘ arginite de curba Γ este A = 2 Γ parametrizarea x(t) = cos3 t, y(t) = sin3 t, t ∈ [0, 2π), obt¸inem: Z Z 1 3 2π 2 3 A= xdy − ydx = sin t cos2 tdt = π. 2 Γ 2 0 8 5. Fie α =

x−y x+y dx + 2 dy. 2 2 x +y x + y2 Z

a. S˘ a se calculeze integrala curbilinie

α, unde, am notat cu C(O,R)

C(O, R) cercul de centru O ¸si raz˘a R > 0. Z b. S˘ a se calculeze α, unde, Γ este o curb˘a arbitrar˘a ˆınchis˘a astfel Γ

ˆıncˆ at O 6∈ Γ. Solut¸ie a. S˘ a observ˘ am, mai ˆıntˆai c˘a α ∈ C 1 (R2 \ {O}), deci pentru calculul integralei de la punctul a nu se poate aplica formula Green-Riemann. Folosim definit¸ia integralei curbilinii; parametriz˘am cercul: x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t ∈ [0, 2π) ¸si obt¸inem: Z

Z α=

C(O,R)

2π

dt = 2π. 0

18.15. FORMULE INTEGRALE

171

b. Not˘ am cu K compactul m˘arginit de curba Γ. Distingem dou˘a cazuri: dac˘ a O 6∈ K (se poate aplica formula Green-Riemann) sau dac˘ a O ∈ K (nu se poate aplica formula Green-Riemann). Presupunem mai ˆıntˆ ai c˘ a O 6∈ K; atunci:     Z Z  Z ∂ x+y ∂ x−y α= − dxdy = 0. ∂x x2 + y 2 ∂y x2 + y 2 K Γ Presupunem acum c˘ a O ∈ K; fie R > 0 astfel ˆıncˆat C(O, R) este inclus ˆın interiorul lui K. Not˘ am cu D(O, R) discul deschis de centru O ¸si raz˘ a R. Fie A compactul A = K \ D(O, R). Bordul orientat al lui A este reuniunea ∂A = Γ ∪ C(O, R), sensul pe cerc fiind sensul trigonometric negativ. Deoarece O 6∈ A, avem: Z Z Z 0dxdy = 0. α= A

∂A

Rezult˘ a:

Z

Z α=

Γ

α = 2π. C(O,R)

6. Fie a < b, fie γ : [a, b] 7→ R2 , γ(t) = (x(t), y(t)), un drum parametrizat ˆınchis (γ(a) = γ(b)) , orientat ˆın sens trigonometric pozitiv ¸si fie K compactul m˘ arginit de imaginea lui γ. Intr-un punct arbitrar γ(t) = (x(t), y(t)), consider˘ am vectorul normal la γ, n(t) = (y 0 (t), −x0 (t)). S˘a se demonstreze c˘ a pentru orice cˆamp de vectori V de clas˘a C 1 pe o vecin˘ atate a lui K, avem: b

Z

Z Z V (γ(t))n(t)dt =

div(V )dxdy.

a

K

Solut¸ie Din definit¸ia integralei curbilinii, rezult˘a : b

Z

Z P dy − Qdx.

V (γ(t))n(t)dt = a

γ

Aplicˆ and ultimei integrale curbilinii formula Green-Riemann, obt¸inem: Z

b

Z P dy − Qdx =

V (γ(t))n(t)dt = a

Z Z  = K

γ

∂P ∂Q + ∂x ∂y



Z Z dxdy =

div(V )dxdy. K

172

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

7. Formula de medie pentru funct¸ii armonice O funct¸ie f : U ⊆ R2 7→ R se nume¸ste armonic˘a pe U dac˘a ∆f =

∂2f ∂2f + = 0 pe U. ∂x2 ∂y 2

Fie f o funct¸ie armonic˘a pe discul unitate. Atunci: Z 2π 1 f (ρ cos t, ρ sin t)dt, ∀ρ ∈ (0, 1), f ((0, 0)) = 2π 0 egalitate numit˘ a formula de medie pentru funct¸ii armonice. Solut¸ie Fie ρ ∈ (0, 1) ¸si fie Z 2π 1 g(ρ) = f (ρ cos t, ρ sin t)dt. 2π 0 Vom demonstra c˘ a funct¸ia g este constant˘a . Pentru aceasta, calcul˘am derivata sa:  Z 2π  1 ∂f ∂f g 0 (ρ) = (ρ cos t, ρ sin t) cos t + (ρ cos t, ρ sin t) sin t dt = 2π 0 ∂x ∂y  Z 2π  1 ∂f ∂f = (ρ cos t, ρ sin t), (ρ cos t, ρ sin t) · (ρ cos t, ρ sin t) dt. 2πρ 0 ∂x ∂y Vom aplica acum rezultatul exercit¸iului de mai sus. Vectorul n = (ρ cos t, ρ sin t) este vectorul normal (exterior) la cercul ∂f ∂f de centru O ¸si raz˘ a ρ, iar cˆampul vectorial V = i+ j. Obt¸inem ∂x ∂y (not˘ am cu K discul de centru O ¸si raz˘a ρ): Z Z 1 0 g (ρ) = ∆f dxdy = 0. 2πρ K Rezult˘ a deci c˘ a funct¸ia g este constant˘a pe intervalul (0, 1); ˆın consecint¸˘a avem: Z 2π 1 f (ρ cos t, ρ sin t)dt = g(ρ) = lim g(ρ) = ρ→0 2π 0 Z 2π 1 = f ((0, 0)) = f ((0, 0)). 2π 0

8. S˘ a se calculeze, folosind formula Gauss-Ostrogradski, urm˘atoarea integral˘ a de suprafat¸a: ZZ x2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy ∂K

18.15. FORMULE INTEGRALE

173

 unde ∂K este bordul domeniului compact K = (x, y, z) ∈ R3 0 ≤ x, y, z ≤ a , orientat dup˘ a normala exterioar˘a. Solut¸ie Fie cˆ ampul V = (P, Q, R) unde P (x, y, z) = x2 , Q(x, y, z) = y 2 , R(x, y, z) = 2 z . Atunci divV = 2 (x + y + z) ¸si din formula Gauss deducem: ZZ ZZZ 2 2 2 x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy = 2 (x + y + z) dxdydz = K

∂K

Za =2

Za dx

dy

0

0

Za

Za

=2

dx 0

Za

0

Za (x + y + z) dz = 2

0

0

 a Za  z 2 dy = dx (x + y) z + 2 0 0

   a Za  a2 y 2 a2 ax + ay + dy = 2 axy + a · + · y dx = 2 2 2 0 0

Za =2

(a2 x + a3 )dx = 3a4 .

0

9. Legea lui Arhimede. Consider˘am un recipient (cont¸inut ˆın semispat¸iul z < 0) ˆın care s-a turnat un lichid avˆand densitatea constant˘a c. Scufund˘ am ˆın lichid un corp pe care ˆıl asimil˘am cu un compact cu bord orientat (K, ∂K). Presupunˆand c˘a presiunea exercitat˘a de lichid asupra corpului scufundat cre¸ste proport¸ional cu adˆancimea, obt¸inem pentru cˆ ampul presiunilor formula V = czk. Fort¸a ascensional˘a pe care lichidul o exercit˘ a asupra corpului scufundat este, prin definit¸ie, egal˘ a cu fluxul cˆ ampului presiunilor prin suprafat¸a (bordul) ∂K, ˆın raport cu normala exterioar˘ a , n. Aplicˆand formula Gauss-Ostrogradski, obt¸inem: Z F∂K (V ) =

V ndσ = Z Z Z Z Z Z = divV dxdydz = cdxdydz = c vol(K), ∂K

K

K

adic˘ a fort¸a ascensional˘ a este egal˘a cu masa lichidului dezlocuit de corpul scufundat. 10. Legea lui Gauss. Pentru orice q > 0, consider˘am cˆampul scalar f (x, y, z) =

q q p = 4πr 4π x2 + y 2 + z 2

¸si fie cˆ ampul de gradient¸i: E = −gradf.

174

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Cˆ ampul scalar f reprezint˘a potent¸ialul electric (sau potent¸ial Newtonian) asociat sarcinei electrice q plasate ˆın O, iar E este cˆampul electric generat (sau cˆamp Newtonian). a. S˘ a se expliciteze E ¸si s˘a se demonstreze c˘a este cˆamp solenoidal, adic˘ a : divE = 0. b. S˘ a se demonstreze c˘a fluxul cˆampului E prin orice suprafat¸˘a ˆınchis˘a ce nu cont¸ine originea ˆın interior este nul. c. S˘ a se demonstreze c˘a fluxul cˆampului E prin orice suprafat¸˘a ˆınchis˘a ce cont¸ine originea ˆın interior este q, (legea lui Gauss). Solut¸ie a. Putem calcula E direct cu definit¸ia, sau aplicˆand propriet˘a¸tile gradientului; obt¸inem: q r E = −gradf = . 4π r3 Ar˘ at˘ am acum c˘ a E este solenoidal: divE = −grad(divf ) = −∆f =


q 3r3 − 3r(x2 + y 2 + z 2 ) = 0. 6 4πr

b. Fie Σ o suprafat¸˘a ˆınchis˘a ce nu cont¸ine originea ˆın interior. Deoarece cˆ ampul electric E este de clas˘a C 1 pe R3 \{O}, sunt ˆındeplinite ipotezele formulei Gauss-Ostrogradski ¸si deci, (not˘am cu K compactul m˘arginit de Σ ¸si cu n versorul normalei exterioare la Σ), obt¸inem: Z Z Z Z E ndσ = divEdxdydz = 0. FΣ (E) = Σ

K

c. Fie acum Σ o suprafat¸˘a ˆınchis˘a ce cont¸ine originea ˆın interior. Deoarece E nu este de clas˘a C 1 pe compactul K m˘arginit de Σ, (E nefiind de clas˘ a C 1 ˆın origine), nu putem aplica formula Gauss-Ostrogradski pentru a calcula fluxul lui E prin Σ. Fie R > 0 astfel ˆıncˆat sfera de centru O ¸si raz˘ a R (notat˘a ˆın continuare cu S), s˘a fie inclus˘a ˆın interiorul lui Σ. Fie suprafat¸a (ˆınchis˘a ) Σ1 = Σ ∪ S, orientat˘a dup˘a normala exterioar˘ a (deci pe S este normala interioar˘a la sfer˘a ). Fie K1 mult¸imea compact˘a m˘arginit˘a de Σ1 . Deoarece O 6∈ K1 , fluxul lui E prin Σ1 este nul (conform (b)). Rezult˘a c˘a fluxul lui E prin Σ este r egal cu fluxul lui E prin S (orientat˘a dup˘a normala exterioar˘a n = R la sfer˘ a ): Z Z 2π Z π q FΣ (E) = E ndσ = dϕ sin θ dθ = q. 4π 0 S 0

11. Fie n ∈ N ¸si fie qı > 0, ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Fie Aı , ı ∈ {1, 2, .., n}, n puncte ˆın R3 de coordonate (xı , yı , zı ). Not˘am cu rı vectorul de pozit¸ie

18.15. FORMULE INTEGRALE

175

al punctului Aı . Potent¸ialul electric generat de sarcinile electrice qı plasate ˆın punctele Aı este f (x, y, z) =

n qı 1 X , 4π k r − rı k ı=1

unde, k · k este norma euclidian˘a ˆın R3 . Fie E = −gradf cˆampul electric asociat potent¸ialului f . S˘a se demonstreze c˘a fluxul cˆampului electric E printr-o suprafat¸˘ a arbitrar˘a ˆınchis˘a ce cont¸ine toate punctele n X Aı ˆın interiorul ei este egal cu qı . ı=1

Solut¸ie Se aplic˘ a rat¸ionamentul din exercit¸iul anterior. 12. Fie Σ o suprafat¸˘ a ˆınchis˘ a ¸si fie K compactul m˘arginit de Σ. S˘a se demonstreze c˘ a: Z 1 r ndσ = vol (K) , 3 Σ unde, n este normala exterioar˘a la Σ. Solut¸ie Se aplic˘ a formula Gauss-Ostrogradski: Z Z Z Z Z Z Z 1 1 r ndσ = div(r) dxdydz = dxdydz = vol(K). 3 Σ 3 K K 13. Fie cˆ ampul vectorial V = r +

kr r ¸si fie suprafat¸a r4

Σ = {(x, y, z); z = 3 − x2 − y 2 , 1 ≤ z} ∪ {(x, y, z); x2 + y 2 ≤ 2, z = 1}. S˘a se calculeze fluxul lui V prin Σ, orientat˘a dup˘a normala exterioar˘a . Solut¸ie Se aplic˘ a formula Gauss-Ostrogradski; pentru aceasta, calcul˘am       kr kr kr divV = div r + 4 r = 3 + divr + rgrad = 4 r r r4   kr 1 −4 =3+3 4 +r grad(k r) + (k r)gradr = r r4   kr k (k r) =3+3 4 +r − 4 6 r = 3. r r4 r Notˆ and cu K compactul m˘ arginit de suprafat¸a Σ, rezult˘a : Z Z Z Z FΣ (V ) = V ndσ = 3dxdydz = 3vol(K). Σ

K

176

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

1 14. S˘ a se calculeze fluxul cˆampului vectorial V = (r × k) prin: r a. O suprafat¸˘ a ˆınchis˘a arbitrar˘a ce nu cont¸ine originea ˆın interior. b. Sfera de centru O ¸si raz˘a R. Solut¸ie a. In primul caz se poate aplica formula Gauss-Ostrogradski; fluxul este nul deoarece divV = 0. b. In cazul al doilea, fluxul se calculeaz˘a cu definit¸ia integralei de suprafat¸˘ a (nu sunt ˆındeplinite ipotezele formulei Gauss-Ostrogradski); ¸si ˆın acest caz fluxul este tot 0 deoarece vectorii V ¸si normala exterioar˘ a la sfer˘ a sunt ortogonali. 15. Formulele lui Green Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat din R3 . Fie n normala exterioar˘ a la ∂K ¸si fie f, g dou˘a funct¸ii de clas˘a C 2 pe o vecin˘atate a lui K. ZS˘ a se demonstreze formulele  Green:  Z Z Z lui f ∆g + (gradf )(gradg) dxdydz. a. f (gradg) n dσ = K  Z∂K  Z Z Z  b. f (gradg) − g (gradf ) n dσ = f ∆g−g ∆f dxdydz. ∂K

K

Solut¸ie a. Pentru prima formul˘a se aplic˘a formula Gauss-Ostrogradski cˆampului de vectori V = f gradg: Z Z Z Z f (gradg) n dσ = div(f gradg) dxdydz = ∂K

K

 Z Z Z  = f div(gradg) + (gradg) (gradf ) dxdydz = K

 Z Z Z  = f ∆g + (gradg) (gradf ) dxdydz. K

b. A doua formul˘ a rezult˘a direct din prima. 16. Fie (K, ∂K) un compact cu bord orientat din R3 ¸si fie n versorul normalei exterioare la suprafat¸a ∂K. Fie h o funct¸ie armonic˘a pe o dh vecin˘ atate a lui K ¸si fie derivata dup˘a direct¸ia n a lui h. S˘a se dn demonstreze egalit˘a¸tile: Z dh a. dσ = 0. Z∂K dn Z Z Z dh b. h dσ = k gradh k2 dxdydz. dn ∂K K

18.15. FORMULE INTEGRALE

177

Solut¸ie a. Se aplic˘ a prima formul˘ a a lui Green pentru: f = 1 ¸si g = h; o alt˘ a metod˘ a este de a aplica formula Gauss-Ostrogradski cˆampului V = gradh: Z Z dh (gradh) n dσ = dσ = ∂K dn ∂K Z Z Z Z Z Z ∆h = 0. div(gradh) dxdydz = = K

K

b. Se aplic˘ a a doua formul˘a a lui Green pentru f = g = h; o alt˘a metod˘ a const˘ a ˆın a aplica formula Gauss-Ostrogradski pentru V = h gradh: Z Z Z Z dh h h gradh n dσ = dσ = dn ∂K K Z Z Z = div(h gradh) dxdydz = K

Z Z Z  =

 h div(gradh) + (gradh) (gradh) dxdydz =

K

Z Z Z  h ∆g + k gradh k

=

2



Z Z Z

k gradh k2 dxdydz.

dxdydz =

K

K

Z 17. S˘a se calculeze, folosind formula lui Stokes, integrala curbilinie

α ˆın Γ

urm˘ atorul caz : α = (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz. Γ : z = x2 + y 2 , z = 1. Solut¸ie Fie suprafat¸a Σ = {(x, y, z); z = x2 + y 2 + z 2 , z ≤ 1}; atunci Γ este bordul lui Σ ¸si aplicˆ and formula lui Stokes obt¸inem (l˘as˘am ca exercit¸iu verificarea compatibilit˘ a¸tii orient˘arilor): Z Z (y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz = −2(dy∧dz+dz∧dx+dx∧dy) = Γ

Σ

Z Z = −2

(−2x − 2y + 1)dxdy, D

unde D este discul unitate. 18. Z S˘a se calculeze, folosind formula lui Stokes, integrala: y(y + 2z)dx + 2x(y + z)dy + 2xydz , Γ : z 2 = x2 + y 2 , x2 + y 2 = 2x. Γ

Solut¸ie Integrala este 0.

178

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

19. S˘ a se calculeze circulat¸ia cˆampului vectorial V = (y 2 + z 2 )i + (x2 + z 2 )j + (x2 + y 2 )k pe curba Γ : x2 + y 2 + z 2 = R2 , ax + by + cz = 0. Solut¸ie Curba Γ este un cerc mare al sferei (intersect¸ia sferei cu un plan ce trece prin centrul sferei); consider˘am drept suprafat¸˘a Σ oricare din cele dou˘ a semisfere determinate de plan pe sfer˘a . Aplicˆand formula lui Stokes, obt¸inem: Z Z V dr = (rotV ) n dσ = Γ

Σ

Z (2(y − z)i + 2(z − x)j + 2(x − y)k) ·

= Σ

1 (xi + yj + zk) dσ = 0, R

deoarece versorul normalei (exterioare) la sfer˘a , n = perpendiculari.

1 Rr

¸si rotV sunt

20. S˘ a se calculeze direct ¸si cu formula lui Stokes integrala curbilinie Z (y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz, Γ

unde Γ este poligonul de intersect¸ie dintre cubul [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ¸si 3 planul x + y + z = . 2 Solut¸ie Γ este un hexagon regulat. Pentru a calcula integrala cu definit¸ia trebuie parametrizate laturile hexagonului; de exemplu, latura din planul xOy are parametrizarea:   3 1 x(t) = t, y(t) = − t, t ∈ ,1 . 2 2 Calcul˘ am acum integrala aplicˆand formula lui Stokes. Fie Σ port¸iunea 3 din planul x + y + z = situat˘a ˆın interiorul cubului (interiorul 2 hexagonului). Proiect¸ia lui Σ pe planul xOy este mult¸imea D = {(x, y); a c˘ arei arie este

1 3 ≤ x + y ≤ , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, 2 2

3 . O parametrizare (cartezian˘a ) a suprafet¸ei Σ este 4 z=

3 − x − y, (x, y) ∈ D. 2

18.15. FORMULE INTEGRALE

179

Aplicˆ and formula lui Stokes, obt¸inem: Z (y 2 − z 2 )dx + (z 2 − x2 )dy + (x2 − y 2 )dz = Γ

Z (x + y)dx ∧ dy + (y + z)dy ∧ dz + (z + x)dz ∧ dx =

= −2 Σ

Z Z = −2

9 3dxdy = −6 aria(D) = − . 2 D

21. Fie a > 0, b > 0, c > 0, ¸si fie punctele A(a, 0, 0), B(0, b, 0) ¸si C(0, 0, c). Fie Γ reuniunea segmentelor [AB] ∪ [BC] ∪ [CA] (cu acest sens). S˘a Z (z − y)dx + (x − z)dy + (y − x)dz.

se calculeze Γ

Solut¸ie Vom calcula integrala aplicˆ and formula lui Stokes (l˘as˘am ca exercit¸iu calculul direct). Fie Σ interiorul triunghiului ABC; obt¸inem: Z Z (z − y)dx + (x − z)dy + (y − x)dz = 2dx ∧ dy + 2dy ∧ dz + 2dz ∧ dx. Γ

Σ

Proiect¸ia lui Σ pe planul xOy este interiorul triunghiului OAB, iar parametrizarea cartezian˘ a este  x y z =c 1− − . a b Rezult˘ a: Z Z Z (z − y)dx + (x − z)dy + (y − x)dz = 2 Γ

c OAB

a

+

 c + 1 dxdy = b

= ab + bc + ca.

1 22. S˘a se calculeze circulat¸ia cˆ ampului de vectori V = (k × r) pe curba r Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 , unde: Γ1 = {(x, y, z); x2 + y 2 = 1, z = 0, x > 0, y > 0} Γ2 = {(x, y, z); y 2 + z 2 = 1, x = 0, y > 0, z > 0} Γ3 = {(x, y, z); z 2 + x2 = 1, y = 0, z > 0, x > 0}. Solut¸ie Vom aplica formula lui Stokes; pentru aceasta, calcul˘am mai ˆıntˆai rotorul cˆ ampului V : rotV =

1 1 rot(k × r) − (k × r)grad = r r

180

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE 1 = r

  dk dr r 2k k divr − r divk + + (k × r) 3 = − . dr r r dk

Fie suprafat¸a Σ = {(x, y, z); x2 + y 2 + z 2 = 1, x > 0, y > 0, z > 0}; evident, bordul lui Σ este Γ. Aplicˆand formula lui Stokes, obt¸inem: Z Z V dr = rotV ndσ, Σ

Γ

unde, n = r este versorul normalei exterioare la Σ. Pentru a calcula integrala de suprafat¸˘a , putem folosiZ atˆat parametrizarea cartezian˘a cˆ at ¸si coordonatele sferice; se obt¸ine

V dr = Γ

π 2.

23. Fie (Σ, ∂Σ) o suprafat¸˘a cu bord orientat, fie n versorul normalei la Σ ¸si fie c un vector constant. S˘a se demonstreze c˘ Za circulat¸ia cˆampului vectorial V = (c r) r pe curba ∂Σ este egal˘a cu c (r × n) dσ. Σ

Solut¸ie Aplic˘ am formula lui Stokes:   Z Z (c r) r dr = rot (c r) r n dσ = ∂Σ

Σ

 Z  Z Z = (c r) rotr − r × grad(c r) n dσ = (c × r) n dσ = c(r × n)dσ. Σ

Σ

Σ

24. Fie (Σ, ∂Σ) o suprafat¸˘a cu bord orientat, fie n versorul normalei la Σ ¸si fie f ¸si g dou˘ a funct¸ii de clas˘a C 2 pe o vecin˘atate a lui Σ. S˘a se demonstreze relat¸iile:  Z Z  f gradg dr = (gradf ) × (gradg) ndσ. ∂Σ

Σ

      ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f f +g dx + f +g dy + f +g dz = 0. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂Σ

Z

Solut¸ie Se aplic˘ a formula lui Stokes. Pentru prima egalitate: Z Z f grad g dr = rot(f · (grad g)) · n dσ = ∂Σ

Σ

 Z  = f · rot(grad g) − grad g × grad f ·n dσ = Σ

Z  = Σ

 (gradf ) × (gradg) ndσ.

18.15. FORMULE INTEGRALE

181

Pentru a doua egalitate, calcul˘am rotorul:        ∂g ∂g ∂g ∂f ∂f ∂f rot f i+ f j+ f k = 0, +g +g +g ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z deci circulat¸ia este nul˘ a (s-a folosit teorema de simetrie a lui Schwartz). 25. Fie (Σ, ∂Σ) o suprafat¸˘ a cu bord orientat ¸si fie n versorul normalei la suprafat¸a Σ. a. Dac˘ a f este o funct¸ie de clas˘a C 1 pe (0, ∞), s˘a se calculeze circulat¸ia cˆampului vectorial V = f (r)r pe curba ∂Σ. b. Dac˘ a g este o funct¸ie de clas˘a C 1 pe o vecin˘atate a lui Σ ¸si c este un vector constant, s˘ a se demonstreze c˘a circulat¸ia cˆampului de vectori W (x, y, z) = g(x, y, z) c pe curba ∂Σ este Z c (n × gradg)dσ. Σ

Solut¸ie a. Aplic˘ am formula lui Stokes; pentru aceasta, calcul˘am rotV = f (r) rotr − r × gradf (r) = −r ×

f 0 (r) r = 0, r

deci circulat¸ia este nul˘ a. b. Aplic˘ am formula lui Stokes; calculˆand rotorul cˆampului W , obt¸inem rotW = −c × gradg, ceea ce conduce la rezultatul cerut. 26. Fie (Σ, ∂Σ) o suprafat¸˘ a cu bord orientat, fie f ∈ C 1 (R), a ∈ R3 ¸si fie V = (a gradf (r)) r, unde, r este vectorul de pozit¸ie. S˘a se demonstreze: Z Z a×r 0 V dr = f (r) n dσ, r ∂Σ Σ unde, n este versorul normalei la Σ. Solut¸ie Se aplic˘ a formula lui Stokes: Z Z Z a×r 0 V dr = f (r)n dσ = rot ((a gradf (r)) r) n dσ. r ∂Σ Σ Σ Calcul˘ am acum rotorul lui V ; pentru aceasta, calcul˘am mai ˆıntˆai: r gradf (r) = f 0 (r) gradr = f 0 (r) . r

182

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE Obt¸inem: 

 (a r) 0 rot (( a gradf (r) ) r) = rot f (r) · r = r   (a r) 0 (a r) 0 = f (r) rotr − r × grad f (r) r r     (a r) (ar) 0 0 + = −r × f (r) grad gradf (r) = r r ! r a − ( a r ) rr ( a r ) 00 r 0 + f (r) = = −r × f (r) r2 r r =

f 0 (r) (a × r), r

ceea ce ˆıncheie demonstrat¸ia.

18.16

Funct¸ii olomorfe ¸si teorema reziduurilor

1. S˘ a se determine punctele ˆın care funct¸ia f (z) = z 2 + zz − z 2 + 2z − z este olomorf˘ a ¸si s˘ a se calculeze derivata funct¸iei ˆın acele puncte. Solut¸ie. Dac˘ a z = x + iy, atunci f (z) = x2 + y 2 + x + iy(4x + 3), deci 2 P (x, y) = x + y 2 + x ¸si Q(x, y) = y(4x + 3). Condit¸iile Cauchy-Riemann ne dau 2x + 1 = 4x + 3 ¸si 2y = −4y, deci x = −1, y = 0. A¸sadar, funct¸ia f este olomorf˘a ˆın z = −1. f (−1 + h) − f (−1) = Derivata ˆın z = −1 este f 0 (−1) = lim h→0 h ! 2 2 2 h2 − h + hh − h h h = lim = −1+ lim (h+h− ) = −1+ lim − = h→0 h→0 h→0 h h h 2 2 |h|2 = −1, deoarece hh = |h| and h −→ 0 |h| = |h| = |h| −→ 0, cˆ 2. Fie P (x, y) = e2x cos 2y + y 2 − x2 . S˘a se determine funct¸ia olomorf˘a f = P + iQ pe C astfel ˆıncˆat f (0) = 1. Solut¸ie. Verific˘ am c˘a funct¸ia P este armonic˘a . Aplic˘ am condit¸iile Cauchy-Riemann ¸si obt¸inem ∂P ∂Q = = 2e2x cos 2y − 2x ∂x ∂y −

∂P ∂Q = = 2e2x sin 2y − 2y ∂y ∂x

18.16. FUNCT ¸ II OLOMORFE S ¸ I TEOREMA REZIDUURILOR

183

Integr˘ am a doua ecuat¸ie ˆın raport cu x ¸si obt¸inem Q(x, y) = e2x sin 2y− −2xy + c(y). Inlocuind apoi ˆın a prima ecuat¸ie avem c0 (y) = 0, deci c(y) = k. Atunci f (z) = e2x cos 2y + y 2 − x2 + i(e2x sin 2y − 2xy + k) = = e2x (cos 2y + i sin 2y) − (x + iy)2 + ki =⇒ f (z) = e2z − z 2 + ki. Din condit¸ia din enunt¸ obt¸inem constanta k : f (0) = 1 =⇒ k = 0. A¸sadar, f (z) = e2z − z 2 . 3. S˘a se determine funct¸ia olomorf˘a f = P + iQ pe C, unde Q(x, y) = = ϕ(x2 − y 2 ), ϕ ∈ C 2 . Solut¸ie. Not˘ am α = x2 − y 2 . Avem ∂2Q ∂y 2

∂Q ∂x

0 = 2xϕ0 (α), ∂Q ∂y = −2yϕ (α), deci

∂2Q ∂x2

= 2ϕ0 (α) + 4x2 ϕ00 (α),

= −2ϕ0 (α) + 4y 2 ϕ00 (α) 2

2

Cum Q este armonic˘ a rezult˘a c˘a 4Q = 0 =⇒ ∂∂xQ2 + ∂∂yQ2 = = 4(x2 + y 2 )ϕ00 (α) = 0 =⇒ ϕ00 (α) = 0 =⇒ ϕ0 (α) = c =⇒ ϕ(α) = = cα + c1 =⇒ Q(x, y) = c(x2 − y 2 ) + c1 , c, c1 ∈ IR Din condit¸iile Cauchy-Riemann obt¸inem ∂P ∂Q = = −2cy ∂x ∂y ∂P ∂Q =− = −2cx ∂y ∂x Integrˆ and a doua ecuat¸ie ¸si ˆınlocuind ˆın prima obt¸inem P (x, y) = = −2cxy + k, deci f (z) = −2cxy + k + i(c(x2 − y 2 ) + c1 ) =⇒ =⇒ f (z) = ciz 2 + d, c, d ∈ IR 4. S˘a se dezvolte ˆın serie de puteri ale lui z funct¸ia f (z) = ˆın urm˘ atoarele domenii:

1 z 3 −6z 2 +11z−6

a) |z| < 1; b) 1 < |z| < 2; c) 2 < |z| < 3; d) |z| > 3. Solut¸ie. Funct¸ia f are ca poli r˘ad˘acinile ecuat¸iei z 3 −6z 2 +11z −6 = 0, adic˘ a punctele z1 = 1, z2 = 2, z3 = 3. a) In cercul |z| < 1, funct¸ia f este olomorf˘a , deci dezvoltabil˘a ˆın serie Taylor ˆın acest domeniu. f (z) = 1 6

·

1 1− z3

1 (z−1)(z−2)(z−3)

=

1 2(z−1)

−

1 z−2

+

1 2(z−3)

= − 21 ·

1 1−z

+

1 2

·

1 1− z2

−

184

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE In acest domeniu avem |z| < 1, z2 < 1, z3 < 1. Atunci f (z) = X 1 X zn 1 X zn − = − 12 zn + 2 2n 6 3n n≥0

n≥0

n≥0

b) In coroana circular˘a 2 < |z| < 3, funct¸ia f este dezvoltabil˘a ˆın serie Laurent. 1 2z

· 1−1 z 3 z In domeniul 1 < |z| < 2 avem 2 < 1, z3 < 1, z1 < 1, deci f (z) = X1 1 X zn 1 X zn 1 = 2z + − zn 2 2n 6 3n

f (z) =

·

1 1− z1

n≥0

+

1 2

·

1 1− z2

n≥0

·

1 1− z1

1 z

n≥0

−

·

1 1− z2

1 6

· 1−1 z 3 1 In domeniul 2 < |z| < 3 avem z < 1, z3 < 1, z2 < 1 X1 1 X 2n 1 X z n 1 − − Atunci f (z) = 2z zn z zn 6 3n+1 f (z) =

1 2z

1 6

−

−

n≥0

1 2z

n≥0

1 z

1 1− z2

n≥0

1 2z

1 1− z3

− · + · 1 2 In acest domeniu z < 1, z < 1, z3 < 1 X1 1 X 2n 1 X 3n 1 Atunci f (z) = 2z − + n n z z z 2z zn d) f (z) =

·

1 1− z1

n≥0

n≥0

n≥0

5. S˘ a se calculeze reziduul funct¸iei f (z) = z3

1 z sin z 2

ˆın punctul z = 0.

z5

Solut ¸ie. Avem sin z = 1!z − 3! + 5! − . . . =⇒ z sinz 2 = 6 10 4 8 2 = z z1! − z3! + z5! − . . . = z 3 1 − z3! + z5! − . . . =⇒ =⇒ f (z) =

1   8 4 z 3 1− z3! + z5! −...

Exist˘ a o serie de puteri

X

 an z n astfel ˆıncˆat 1 −

z4 3!

+

z8 5!

 − ... ·

n≥0

z2

·(a0 + a1 z + a2 + . . .) = 1 =⇒ a0 = 1, a0 · 0 + a1 · 1 = 0, a0 · 0 + a1 · 0 + a2 · 1 = 0 =⇒ a2 = 0 X a0 a1 a2 Atunci f (z) = z13 an z n = 3 + 2 + + a3 + . . ., deci Rez(f, 0) = z z z n≥0 = a2 = 0 R 6. S˘ a se calculeze integrala |z−2i|=1 z 21+4 dz. Solut¸ie. f (z) = 1 = z+2i

R

1 |z−2i|=1 z 2 +4 dz

=

R

1 z+2i

|z−2i|=1 z−2i dz

=

f (z) |z−2i|=1 z−2i ,

R

unde

Aplic˘ am formula integral˘a a lui ¸si obt¸inem : R R Cauchy f (z) f (z) 1 f (2i) = 2πi =⇒ |z−2i|=1 z−2i |z−2i|=1 z−2i = 2πif (2i) = 2πi ·

1 4i

=

π 2

18.16. FUNCT ¸ II OLOMORFE S ¸ I TEOREMA REZIDUURILOR 7. S˘a se calculeze integrala

R

ez sin z |z|=r 1−z 3 dz,

r > 0.

Solut¸ie. Conform teoremei lui Cauchy rezult˘a c˘a 8. S˘a se calculeze integrala

R

185

R

ez sin z |z|=r 1−z 3 dz

=0

tg z |z|=2 z 2 dz.

Solut¸ie. Funct¸ia f (z) = tgz 2z are ca poli r˘ad˘acinile ecuat¸iei z 2 cos z = 0, adic˘ a z = 0, 2kπ ± π2 , k ∈ ZZ. In interiorul cercului |z| = 2 se afl˘a polii simpli 0, π2 , − π2 . tg z =1 z→0 z2  4 π  tg z −ctg v =− 2 Rez(f, π2 ) = limπ z − · 2 = lim v ·
2 v→0 2 z π z→ 2 v + π2 Calcul˘ am Rez(f, 0) = lim z ·

Rez(f, − π2 ) = − π42 Din reziduurilor obt¸inem :
R teorema tg z dz = 2πi Rez(f, 0) + Rez(f, π2 ) + Rez(f, − π2 ) = 2πi 1 − 2 |z|=2 z 9. S˘a se calculeze integrala

R

ez |z|=r (z−i)(z−2) dz, r

8 π2




> 0, r 6= 1, r 6= 2.

Dac˘ a 0 < r < 1, aplic˘am teorema lui Cauchy si obt¸inem RSolut¸ie. 1) ez |z|=r (z−i)(z−2) dz = 0 2) Dac˘ a 1 < r < 2, aplic˘ am formula integral˘a a lui Cauchy. ez |z|=r (z−i)(z−2) dz

R

Atunci

R

=

f (z) |z|=r z−i dz

R

ez z−2

|z|=r z−i dz

=

R

f (z) |z|=r z−i dz,

unde f (z) =

ez z−2

i

e = 2πif (i) = 2πi i−2

3) Dac˘ a r > 2, aplic˘ am teorema reziduurilor. Punctele i ¸si 2 sunt poli simpli. Calcul˘ am Rez(f, i) = lim(z − i) z→i

ez ei = (z − i)(z − 2) i−2

ez e2 = z→2 (z − i)(z − 2) 2−i  i  R z e e e2 Atunci |z|=r (z−i)(z−2) dz = 2πi i−2 + 2−i =

Rez(f, 2) = lim (z − 2)

10. S˘a se calculeze integrala

R

ei −e2 i−2

1

ez |z|=r 1−z dz, r

> 0, r 6= 1.

1

Solut¸ie. Funct¸ia f (z) = singularitate esent¸ial˘ a.

ez 1−z 1

are ˆın z = 1 pol simplu ¸si ˆın z = 0

ez = −e Rez(f, 1) = lim (z − 1) · z→1 1−z

186

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE
1 Pentru 0 < |z| < 1 avem f (z) = 1 + 1!z + 2!z1 2 + . . . + n!z1 n + . . . · 1 ·(1 + z + z 2 + . . . + z n + . . .) =⇒ Rez(f, 0) = 1!1 + 2!1 + . . . + n! +... = 1 = e − 1(coeficientul lui z ) 1 R ez Dac˘ a 0 < r < 1, |z|=r 1−z dz = 2πiRez(f, 0) = 2πi(e − 1) Dac˘ a r > 1,

1

ez |z|=r 1−z dz

R

11. S˘ a se calculeze integrala

= 2πi(Rez(f, 0) + Rez(f, 1)) = −2πi Rπ

cos 3t −π 5−4 cos t dt.

Solut¸ie. Facem schimbarea z = eit ¸si integrala devine z 3 +z −3 R R dz 1 z 6 +1 2 · dz = − = |z|=1 1 iz 2i |z|=1 z 3 (2z 2 −5z+2) dz z+ 5−4·

Rπ

cos 3t −π 5−4 cos t dt

=

z

2

Polii funct¸iei f (z) =

z 6 +1 z 3 (2z 2 −5z+2)

sunt 0, 2, 12 ¸si doar 0, pol triplu ¸si

1 2,

pol simplu, sunt ˆın interiorul cercului |z| = 1. Aplicˆand teorema R 6 +1 reziduurilor obt¸inem |z|=1 z 3 (2zz2 −5z+2) dz = 2πi(Rez(f, 0) + Rez(f, 2)) 1 Calcul˘ am Rez(f, 0) = 21 lim [z 3 f (z)]00 = z→0 2   1 1 + 26 Rez(f, 12 ) = lim z − f (z) = − 2 3 · 22 z→ 12   R π cos 3t 1 1 1+26 dt = − · 2πi · − Deci −π 5−4 2 cos t 2i 2 3·2 12. S˘ a se calculeze integrala

R∞ 0

x2 dx. (1+x2 )3

x2 Solut¸ie. lim xα · = 1 pentru α = 4 > 1, deci integrala x→∞ (1 + x2 )3 R ∞ x2 a. 0 (1+x2 )3 dx este convergent˘ R ∞ x2 R x2 1 ∞ x2 Funct¸ia f (x) = (1+x a , deci 0 (1+x 2 )3 este par˘ 2 )3 dx = 2 −∞ (1+x2 )3 dx  z2 Fie f (z) = (1+z ± i olomorf˘a 2 )3 ,z ∈ C \ ±i sunt poli de ordinul 3 Fie r > 1 ¸si Γr = [−r, r] ∪ γr , unde γr = reit , t ∈ [0, π] R Aplic˘ am teorema reziduurilor ¸si obt¸inem Γr f (z)dz = 2πiRez(f, i)   00 z2 i 3 1 Rez(f, i) = 2! lim (z − i) =− 2 3 z→i (1 + z ) 16 R π Deci Γr f (z)dz = 8 R Rr R x2 Dar π8 = Γr f (z)dz = −r (1+x a relat¸ie 2 )3 dx + γ f (z)dz. In aceast˘ r R∞ π x2 trecem la limit˘ a cˆ and r −→ ∞ ¸si obt¸inem 8 = −∞ (1+x2 )3 dx, deoarece

18.17. SPAT ¸ II METRICE. PRINCIPIUL CONTRACT ¸ IEI

187

z2 f (z)dz = 0 cf. lemei lui Jordan ( lim zf (z) = lim z· = z→∞ z→∞ (1 + z 2 )3 r→∞ γ r R ∞ x2 π = 0). A¸sadar, 0 (1+x 2 )3 dx = 16 Z

lim

18.17

Spat¸ii metrice. Principiul contract¸iei

1. S˘a se demonstreze c˘ a urm˘ atoarele aplicat¸ii sunt distant¸e pe R2 , echivalente cu distant¸a euclidian˘ a: a. d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |. b. d∞ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max{|x1 − x2 |, |y1 − y2 |}. Solut¸ie Se verific˘ a direct definit¸ia distant¸ei. Fie d2 distant¸a euclidian˘a pe R2 ¸si fie (x, y) ∈ R2 ; din inegalit˘a¸tile: p p |x|2 + |y|2 ≤ |x| + |y| ≤ 2 (|x|2 + |y|2 ), 1 (|x| + |y|) ≤ max{|x|, |y|} ≤ |x| + |y|, 2 rezult˘ a: d2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≤ d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≤

√

2 d2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 ))

¸si respectiv 1 d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≤ d∞ ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ≤ d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )). 2 2. S˘a se caracterizeze ¸sirurile convergente ¸si ¸sirurile Cauchy ˆıntr-un spat¸iu metric discret. S˘ a se demonstreze c˘a orice spat¸iu metric discret este complet. Solut¸ie Fie (X, d) un spat¸iu metric discret ¸si fie xn un ¸sir ˆın X; fie 0 < ε < 1. Dac˘ a xn → a, atunci exist˘a nε ∈ N astfel ˆıncˆat d(xn , a) < ε < 1, ∀n ≥ nε , deci d(xn , a) = 0, ∀n ≥ nε ; rezult˘a c˘a ¸sirul xn este constant (ˆıncepˆ and de la un rang). Un rat¸ionament similar se aplic˘a ¸si ˆın cazul ¸sirurilor Cauchy. 3. Pe mult¸imea numerelor rat¸ionale, Q, consider˘am distant¸a uzual˘a (indus˘ a din R), d(x, y) = |x − y|. S˘a se demonstreze c˘a spat¸iul metric (Q, d) nu este complet. Solut¸ie
n Fie ¸sirul de numere rat¸ionale xn = 1 + n1 . Se ¸stie c˘a ˆın R ¸sirul xn este convergent la e ∈ R \ Q. Rezult˘a c˘a xn este ¸sir Cauchy ˆın R, deci ¸si ˆın Q; dac˘ a xn ar fi convergent ˆın Q, atunci ˆın R ar avea dou˘a limite, ceea ce constituie o contradict¸ie.

188

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE

4. Fie a, b ∈ R, a < b. a. S˘ a se demonstreze c˘a Z

b

|f (x) − g(x)|dx

d1 (f, g) = a

este distant¸˘ a pe mult¸imea funct¸iilor continue C[a, b]. b. S˘ a se demonstreze c˘a orice ¸sir fn ∈ C([a, b]) convergent ˆın raport cu distant¸a d∞ este convergent ¸si ˆın raport cu distant¸a d1 , dar reciproca este fals˘ a. Solut¸ie a. Se verific˘ a direct definit¸ia (se folosesc propriet˘a¸tile modulului ¸si ale integralei). b. Fie fn , f ∈ C([a, b]) astfel ˆıncˆat d∞ (fn , f ) → 0. Atunci: Z

b

|fn (x) − f (x)|dx ≤ (b − a) · d∞ (fn , f ) → 0.

d1 (fn , f ) = a

1 . 1 + nx Atunci fn → 0 ˆın raport cu distant¸a d1 , dar nu converge ˆın raport cu d∞ . Pentru a ar˘ ata c˘ a reciproca este fals˘a , fie ¸sirul fn (x) =

5. a. S˘ a se demonstreze c˘a aplicat¸ia d : R × R 7→ [0, ∞), d(x, y) = |arctgx − arctgy|, ∀x, y ∈ R, este distant¸˘ a pe R. b. Spat¸iul metric (R, d) nu este complet. Solut¸ie a. Funct¸ia arctg este injectiv˘a , deci d(x, y) = 0 ⇔ x = y. b. Sirul xn = n este ¸sir Cauchy ˆın raport cu distant¸a d:   n − m d(xn , xm ) = |arctg n − arctg m| = arctg → 0, 1 + nm dac˘ a m, n → ∞. Presupunˆ and, prin absurd, c˘a ¸sirul xn este convergent la a ∈ R, atunci d(xn , a) → 0; pe de alt˘a parte: d(xn , a) = |arctg n − arctg a| =     1 n − a arctg → 6= 0, ∀a ∈ R, = arctg 1 + na a contradict¸ie.

18.17. SPAT ¸ II METRICE. PRINCIPIUL CONTRACT ¸ IEI

189

6. S˘a se decid˘ a dac˘ a urm˘ atoarele funct¸ii sunt contract¸ii pe mult¸imile indicate: a. f (x) = sin x, x ∈ R. b. f (x) = ln x, x ∈ [e, ∞). c. f (x) = arctg x, x ∈ R. 1 − x2 d. f (x) = , x ∈ R. 5(1 + x2 ) 2x e. f (x) = , x ∈ R. 1 + x2 Solut¸ie. a. Funct¸ia f (x) = sin x nu este contract¸ie pe R. Presupunˆand prin absurd c˘ a ar exista k ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat | sin x − sin y| ≤ k |x − y|, ∀x, y ∈ R, atunci, ˆın particular pentru y = 0, se obt¸ine | sin x| ≤ | sin x| k |x|, ∀x ∈ R; rezult˘ a c˘ a lim ≤ k < 1, contradict¸ie. Funct¸ia x→0 |x| sinus este totu¸si contract¸ie pe orice interval ˆınchis care nu cont¸ine numere de forma kπ, ∀k ∈ Z (pentru demonstrat¸ie se poate aplica teorema lui Lagrange). b. Funct¸ia f (x) = ln x este contract¸ie pe [e, ∞); din teorema lui Lagrange rezult˘ a:   1 1 |x − y| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R. | ln x − ln y| ≤ sup c e c≥e c. Funct¸ia f (x) = arctg x nu este contract¸ie pe R; fie, prin absurd, k ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆ at |arctg x − arctg y| ≤ k |x − y|, ∀ x, y ∈ R. In particular pentru y = 0 rezult˘a |arctg x| ≤ k |x|, ∀ x ∈ R ¸si deci |arctg x| lim ≤ k < 1, contradict¸ie. Funct¸ia f (x) = arctg x este x→0 |x| contract¸ie pe orice interval I pentru care 0 nu este punct de acumulare, deoarece, pe un astfel de interval are loc inegalitatea sup |f 0 (x)| < 1. x∈I

d. Funct¸ia nu este contract¸ie pe R; rat¸ionament similar cu exemplele a ¸si c de mai sus. e. Funct¸ia este contract¸ie pe R. 7. S˘a se aproximeze cu o eroare mai mic˘a decˆat 10−3 solut¸ia real˘a a ecuat¸iei x3 + 4x − 1 = 0. Solut¸ie. Ecuat¸ia are o singur˘ a solut¸ie real˘a , ξ ∈ (0, 1). Vom aplica metoda aproximat¸iilor succesive. Fie X = [0, 1] ¸si f : X 7→ X, f (x) = x21+4 . Ecuat¸ia este echivalent˘ a cu f (x) = x, iar spat¸iul metric X este complet (cu metrica uzual˘ a indus˘a din R); demonstr˘am acum c˘a f este 0 contract¸ie pe X. Derivata este f 0 (x) = (x−2x 2 +4)2 , iar supx∈X |f (x)| = −f 0 (1) =

2 25

< 1, deci f este contract¸ie cu factorul factorul de contract¸ie

190

CAPITOLUL 18. EXERCIT ¸ II REZOLVATE k=

2 25 .

Sirul aproximat¸iilor succesive este x0 = 0, xn+1 = f (xn ) =

x2n

1 ; +4

evaluarea erorii:  n kn 1 2 |xn − ξ| < |x0 − x1 | = · , 1−k 3 25
16 deci ξ ≈ x3 = f 65 = 0, 2355072. Aceea¸si ecuat¸ie se poate rezolva aproximativ ¸si folosind contract¸ia g(x) = 41 (1 − x3 ), x ∈ [0, 1]. In acest caz factorul de contract¸ie este 3 k = sup |g 0 (x)| = . Metoda aproximat¸iilor succesive converge mult 4 x∈(0,1) mai ˆıncet ˆın acest caz, ξ ≈ x6 . 8. Fie a, b, c ∈ R; ˆın ce condit¸ii se poate aplica metoda aproximat¸iilor succesive ecuat¸iei: x = a sin x + b cos x + c ? Solut¸ie Fie f : R 7→ R, f (x) = a sin x + b cos x + c. Funct¸ia f se poate scrie sub forma:   p b a 2 2 sin x + √ cos x + c = f (x) = a + b √ a2 + b2 a2 + b2 p = a2 + b2 sin(x + φ) + c, cu φ ∈√R bine ales. Rezult˘a c˘a aplicat¸ia f este contract¸ie dac˘a ¸si numai dac˘ a a2 + b2 < 1; dac˘a aceast˘a ipotez˘a este adev˘arat˘a , atunci un ¸sir al aproximat¸iilor succesive este (de √ exemplu) n x0 = 0, xn+1 = f (xn ). a2 + b2 √ Eroarea la pasul n este cel mult |b + c|. 1 − a2 + b2

Bibliografie [1] K.R. Davidson, A.P. Donsig, Real Analysis with Real Applications, Prentice Hall, 2002. [2] B.P. Demidovitch, Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed Tehnica, 1956. ( other editions, Mir Publishers). [3] N. Donciu, D. Flondor, Analiza matematica, culegere de probleme, Ed ALL, 2004. [4] G. M. Fihtenholt¸ , Curs de calcul diferent¸ial ¸si integral (vol II-III), Ed.Tehnic˘ a , 1964. [5] P. Flondor, O. Stanasila, Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate, Ed ALL, 2004. [6] G.B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002. [7] M. Olteanu, Analiza Matematica - notiuni teoretice si probleme rezolvate, Ed. Printech, 2005. [8] Gh. Oprisan, O. Stanasila, Analiza matematica in 14 lectii, Ed. Printech, 2006. [9] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill, 1976. [10] O. St˘ an˘ a¸sil˘ a et al, Enciclopedie Matematic˘ a , Ed. AGIR, 2010.

191