Calcul Des Structures Hyperstatique

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Chapitre 1 INTRODUCTION

Ce cours expose les méthodes générales de calcul des sollicitations et des déplacements des structures hyperstatiques. Il consacre également une large place aux problèmes isostatiques jugés nécessaires à la bonne clarté de l'exposé. Les méthodes particulières classiques sont également présentées afin de donner à l'étudiant des moyens de calcul pratiques mais aussi rigoureux que possible. Ce chapitre est consacré à des rappels. 1.1 CLASSIFICATION DES CORPS - NOTION DE POUTRE Les corps qu'on rencontre et qu'on sera amené à étudier peuvent être classé en fonction de leurs dimensions. On distingue :

P



a) Les poutres (ou barres) : Une dimension est beaucoup plus grande que les deux autres qui sont de même ordre de grandeur.

d

G1

G2

Figure 1.1 La poutre est l'élément le plus répandu en construction. Les poutres sont associées, entre elles ou à d'autres types d'éléments pour constituer des systèmes ou structures. DEFINITION : une poutre est un solide engendré par une aire plane () dont le centre de gravité décrit une courbe G1G2. Le plan P contenant  restant normal à la courbe G1G2 (Figure 1.1). Section : l'aire  est appelée section droite, ou plus simplement section de la poutre. Fibre : le volume engendré par un élément d de l'aire  est désigné par fibre de la poutre.

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Fibre moyenne : la courbe G1G2 est appelée fibre moyenne ou axe moyen de la poutre. C'est le lieu géométrique des centres de gravité des sections de la poutre. Poutre gauche : c'est une poutre dont la fibre moyenne est une courbe gauche. Poutre plane : il s'agit d'une poutre dont la fibre moyenne est une courbe plane (c'est-à-dire contenue dans un plan). Poutre droite : lorsque la fibre moyenne d'une poutre plane est un segment de droite, on parle de poutre droite. Poutre à plan moyen : c'est une poutre possédant un plan de symétrie qui contient la fibre moyenne. Ce plan est désigné par plan moyen. Les poutres à plan moyen chargées dans ce plan se rencontrent fréquemment et constituent un des problèmes essentiels traités par la Résistance des Matériaux. Nous avons supposé la section  constante et dans ce cas la poutre est dite à section constante ou poutre prismatique. Il arrive aussi qu'on soit amené, généralement pour des raisons d'économie, à choisir des sections variables ; on parle dans ce cas de poutre à section variable. b) Les plaques, coques et membranes : Il s'agit de corps dont deux dimensions, de même ordre de grandeur, sont beaucoup plus grandes que la troisième (Figures 1.2a et 1.2b). Ces types d'éléments ne sont pas traités ici. c) Les poutres à parois minces ou poutres coques : Les trois dimensions sont significatives et aucune n'est faible comparativement aux autres (Figure 1.2c).

(a)

(b)

(c)

Figure 1.2 (a)

(b)

(c)

1.2 SYSTEMES ET CHARGES CONSIDERES Les systèmes qui seront considérés dans ce cours seront constitués de poutres isolées ou de poutres reliées les unes aux autres. Les poutres peuvent être assemblées de façon rigide (ex. portiques) ou de manière à permettre certaines possibilités de déplacement - degrés de liberté - (ex. systèmes articulés). Les poutres (ou plus exactement leurs axes moyens), les charges extérieures et les réactions des appuis des systèmes étudiés dans ce cours seront généralement situées dans un même plan. Dans ce cas, on dit qu'on a affaire à des systèmes plans. C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S

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Les charges qui sollicitent les systèmes comprennent : le poids propre (action de la pesanteur), les forces et les couples concentrés, les forces et les couples répartis. Il faut signaler qu'on entend par force concentrée une force répartie sur une petite surface (ex. action d'une roue). Par ailleurs, les charges sont supposées être appliquées lentement, de zéro à leur valeur finale. On dit dans ce cas que les charges sont appliquées statiquement. Enfin, nous supposerons que les charges extérieures sont directement appliquées aux fibres moyennes des poutres. Sous cette hypothèse, les poutres peuvent être représentées par leurs axes moyens. 1.3 APPUIS DES SYSTEMES PLANS Les systèmes sont reliés à l'extérieur par des liaisons appelées appuis, et où apparaissent des réactions qui réagissent à l'action des forces appliquées. Les réactions et les charges exercées constituent un système de forces en équilibre, car les constructions que nous considérons sont toujours en équilibre. La classification des appuis se fait d'après le nombre de degrés de liberté (ddl) (c'est-à-dire les possibilités de mouvement) qu'ils laissent au système et d'après la nature des réactions qu'ils peuvent exercer sur lui. a) L'appui simple (Figure 1.3) Il a deux degrés de liberté : - la rotation autour de l'appui, la translation parallèlement au support de l'appui. La réaction est connue par son point d'application (point de contact du système avec l'appui) et par sa direction (elle est perpendiculaire au support). Seule l'intensité reste à déterminer. En résumé, l'appui simple se caractérise par : 2 degrés de liberté et 1 composante de réaction. La figure 1.3a montre le principe de fonctionnement de l'appui simple. Les figures b, c et d indiquent les représentations courantes. La représentation adoptée ici est celle de la figure d.

A

 A RA

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 1.3 : l'appui simple.  RA

(a)

(b)

(c)

Figure 1.3

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(d)

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b) L'appui double (Figure 1.4) Il a un seul degré de liberté, la rotation autour de l'appui. Toute translation est par contre empêchée. Dans ce cas, la réaction de l'appui est connue uniquement par son point d'application, le point de contact du système avec l'appui (point A) (la ligne d'action de la réaction passe par A). La réaction est décomposée suivant deux directions

A

 RA

A

Art. métallique  RA Art. métallique

 RA

Représentation adoptée

Art. de Freyssinet

 R A 1.4 : l'appui double. Figure

Représentation

Art. de Freyssinet

perpendiculaires et les deux composantes sont à déterminer. L'appui double présente donc 1 degré de liberté et 2 composantes de réaction. c) L'encastrement (Figure 1.5) Il n'a aucun degré de liberté. Tout déplacement est empêché. La réaction est un vecteur pouvant occuper n'importe quelle position du plan. On peut toutefois décomposer la réaction en 3 composantes : - deux composantes suivant deux directions perpendiculaires et passant par A, un couple appliqué en A.



RA CA R A Représentation A Figure 1.5 :Cl'encastrement

Représentation

En définitive, l'encastrement se caractérise par : 0 degré de liberté et 3 comFigure 1.5 posantes de réaction. d) Appui déformable - Appui élastique Un appui qui peut subir un déplacement dans la direction d'une composante de réaction est dit déformable (ex. sol compressible). Si le déplacement est proportionnel à la composante de réaction qui l'a provoqué, l'appui déformable est dit élastique. 1.4 PRINCIPE GENERAL D'ÉQUILIBRE - ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système soit en équilibre sont : a) les sommes des projections de toutes les forces sur 3 axes passant par un point quelconque et non situés dans un même plan doivent être nulles, C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S

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b) les sommes des moments par rapport à chacun des trois axes doivent être nulles. Pour une construction (structure), la vérification de ces conditions signifie qu'elle ne peut se déplacer comme un tout (corps rigide), autrement dit elle est en équilibre. Soient oxyz un repère trirectangle et Fx, Fy et Fz les projections sur les axes ox, oy et oz d'une force quelconque. Les conditions d'équilibre (a) et (b) s'écrivent (cas général) :

Fx  0 Fy  0

M / x  0 M / y  0 (1.1)

Fz  0

M / z  0

Les équations (1.1) sont appelées équations d'équilibre de la statique ou six équations universelles d'équilibre. Dans le cas d'un système plan, xy par exemple, le système d'équations (1.1) se réduit à :

Fx  0

Fy  0

M /   0

(1.2)

où  est un axe quelconque perpendiculaire au plan xy. Notons que les équations d'équilibre de la statique sont écrites en travaillant sur la configuration initiale du système, c'est-à-dire non déformée ; autrement dit les déformations sont négligées. 1.5 PRINCIPE DE LA COUPE - ÉLEMENTS DE RÉDUCTION Considérons la poutre chargée représentée à la figure 1.6. Le corps étant en équilibre sous l'action des charges extérieures et des réactions (supposées connues), chaque partie de ce corps se trouve également en équilibre. z



A



x

z

y

B

x

Figure 1.6 A

y

B

Pratiquons (par l'esprit) une coupe dans la poutre suivant le plan vertical yz, de manière à avoir deux tronçons. Intéressons-nous par exemple à la partie de gauche. Le tronçon considéré est en équilibre sous l'action des sollicitations qui lui sont appliquées, des composantes de réaction de l'appui A et de l'action du tronçon de droite supprimé. L'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche peut être remplacée par : une force résultante R (Rx, Ry et Rz) et un couple résultant C (Cx, Cy et Cz) C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S

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agissant au centre de gravité de la section . Les six composantes représentant l'action de la partie de droite sur la partie de gauche peuvent être déterminées à l'aide des équations de la statique exprimant l'équilibre de la partie considérée (3 équations d'équilibre de translation et 3 équations d'équilibre de rotation). R x  Fx

R y  Fy

Rz  Fz

C x  C / x

C y  C / y

Cz  C / z

(1.3)

Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz s'appellent éléments de réduction (réduction de toutes les forces à droite de la section ) dans la section  de la poutre considérée. En RDM, on utilise plutôt les notations Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz qui désignent l'effort normal (Nx), les efforts tranchants (Ty et Tz), le moment de torsion (Mt) et les moments fléchissants (My et Mz). Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy, Cz et les grandeurs Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz ne diffèrent que par le signe. Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz sont positives si elles sont orientées dans les sens positifs des axes x, y et z du trièdre direct xyz (Figures 1.7b et 1.7c). Par contre, pour Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz nous adopterons des conventions de signes particulières (§ 1.6) pour des raisons pratiques qui apparaîtront plus loin (Figures 1.7b et 1.7d). La composante Nx (Rx) agit normalement à la section ; quant aux efforts Ty et Tz (Ry et Rz), ils s'exercent tangentiellement (transversalement) à la section. La composante Mt s'appelle moment de torsion (Cx couple de torsion), car il tord la poutre. Convenons tout de suite de considérer un moment de torsion comme positif s'il tend à faire tourner la section considérée dans le sens horlogique.

y

z

Rz

Cz

x

Rx=N x R =TRz

Cx

z

Tz=-Rz

x

(a) y

y

(b) Tz=-Rz

Cy

y

Rx=N x Ry=Ty Figure

Mt=-Cx Mz=-Cz

Cx

(c)

1.7

Cz

Cy

My=Cy (d)

Mz=-Cz

Mt=-Cx My=Cy

Les(a)deux dernières composantes, (b) My et M de flexion (c)z, sont appelées moments (d) (Cy et Cz couples de flexion), car ils fléchissent la poutre. La seule différence entre les moments et les couples de flexion réside comme on l'a souligné dans la convention des signes (Figure 1.7). Les couples Cy et Cz sont positifs s'ils sont orientés dans les sens positifs des axes y et z du trièdre direct xyz. Pour les moments My et Mz, on a l'habitude de les considérer comme positifs si les centres de courbure de la poutre fléchie sont du côté des z négatifs pour My et du côté des y négatifs pour Mz. Ceci nous amène à préciser les conventions de signes que nous utiliserons. Mais auparavant, remarquons que dans le cas d'un système plan, xy par exemple, les éléments de réduction se réduisent à : un moment fléchissant (M = Mz), un effort tranchant (T = Ty) et un effort normal (N = Nx).

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Enfin, il convient de noter que si on avait gardé le tronçon de droite et supprimé celui de gauche, on aurait trouvé dans la section des éléments de réduction de même intensité et de même nature que ceux trouvés en considérant le tronçon de gauche. Il serait absurde en effet de trouver dans la même section des sollicitations différentes selon qu'on la regarde de la gauche ou qu'on la regarde de la droite.

1.6 DEFINITIONS ET CONVENTIONS DES SIGNES DE N, T, M Considérons un système, de préférence plan pour plus de clarté, constitué par une poutre prismatique (Figure 1.8). 

F



F

()

() N T

M N

Figure 1.8 T

M

1.6.1 Effort normal Figure 1.8

D'après ce qu'on vient de voir (relations 1.3 notamment), l'effort normal N dans la section  est égal à la somme algébrique des projections sur l'axe des x de toutes les forces (charges extérieures et réactions d'appui) agissant sur le tronçon à gauche de  (*). N  F cos

(1.4a)

Un effort normal exerçant une traction sur la section étudiée sera considéré comme positif. 1.6.2 Effort tranchant L'effort tranchant T dans la section  est égal à la somme algébrique des projections sur l'axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre située à gauche de la section  (*). T  F sin (1.4b)

Nous conviendrons de considérer un effort tranchant comme positif s'il a tendance à faire tourner la section  dans le sens horlogique.

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1.6.3 Moment fléchissant Le moment fléchissant M dans la section  est égal à la somme algébrique des moments créés dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronçon à gauche de  (*). M  C  Fd sin

(1.4c)

Où C et d représentent un couple concentré courant et le bras de levier de la composante transversale de la force courante F. _____________________________________ (*) Nous avons considéré le tronçon à gauche de  mais il est bien évident qu'on obtiendrait des efforts de même intensité et de même nature si on considérait le tronçon situé à droite de la section étudiée.

Un moment fléchissant qui provoque des tractions dans les fibres inférieures d'une poutre horizontale sera considéré positif. Dans le cas des pièces obliques ou verticales, on peut considérer comme positif un moment qui tend les fibres de gauche. 1.7 DIAGRAMMES N, T, M La construction des diagrammes des éléments de réduction constitue une étape essentielle dans toute étude de RDM. Un diagramme est un graphe qui indique la valeur (intensité et nature) de la sollicitation considérée dans toutes les sections du système étudié. Ils sont tracés à partir des relations (1.4). Les diagrammes des éléments de réduction permettent de localiser les sections les plus sollicitées (sièges des contraintes les plus élevées) et servent au dimensionnement des différents éléments des structures. Dans la construction des diagrammes, les valeurs positives et négatives sont portées de part et d'autre d'un axe-origine. Par ailleurs, pour le diagramme du moment fléchissant, on a pour habitude de porter les ordonnées toujours du côté des fibres tendues. Pour éviter tout risque de mauvaise interprétation des diagrammes, il est vivement recommandé d'ajouter dans chaque aire des diagrammes les précisions suivantes :

F  5 2t A

A

C=5tm

45° 2m

P 2 1m /3 45° 5t 1m

2m 5t RA=4t

2m c=5tm

2m 5tm

H=5t

5tm

RA=1t H=5t

5t 5t

N RA=4t 4t N T

©

RA=1t 5t

©

5t 1t

1t T M

1t 2 M

8

7

8

Figure 7 1.9

2

C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S Figure 1.9

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-

-

9

diagramme de N : la lettre C ou T, selon qu'il s'agisse d'un effort de compression ou d'un effort de traction. diagramme de T : le sens de la rotation provoquée par l'effort (voir diagramme de T). diagramme de M : on peut ajouter un arc pour préciser le sens de la courbure provoquée par le moment (voir diagramme de M).

1.8 RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS Nous avons vu que les éléments de réduction dans une section représentent l'action sur la partie de la poutre située d'un côté de cette section, des forces qui s'exercent sur l'autre partie. Ceci ne veut nullement dire que la section considérée soit soumise à des sollicitations (N - T - M - Mt) concentrées en son centre de gravité (ou ailleurs). A l'intérieur d'un corps il n'y a pas d'efforts concentrés, mais uniquement des contraintes dont la sommation est équivalente aux éléments de réduction.

z

 z x

 xz

x

x

xy x

xzy

xy

Figure 1.10 y Figure 1.10

Les relations entre les efforts et les contraintes se déduisent facilement (Figure 1.10). Nx 



x d

Ty 

Mz 

 

x yd

My 



 

xy d

 

x zd

Mt 

 ( 

 

xz d

(1.5)

xz y   xy z )d

(1.6)

Tz 

1.9 RELATIONS DIFFERENTIELLES ENTRE Q, T ET M Considérons par exemple une poutre droite symétrique chargée dans son plan de symétrie (mais non soumise à une répartition de moments toutefois) et isolons par deux section (1 et 2) un tronçon dx sur lequel agit une charge répartie transversale q (Figure 1.11).

2

1 q M

2

1 T

M

q

M+dM

O T+dT M+dM

dx dx

T

Figure 1.11 dx

Figure 1.11 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S

T+dT

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10

Sur le tronçon dx, les grandeurs T et M subissent les variations dT et dM. L'équilibre du tronçon est régi par les équations de la statique.

L'équation d'équilibre de translation verticale s'écrit :

Fv = 0

d'où on tire :

q = - dT/dx

(1.7a)

A partir de l'équation de l'équilibre de rotation, on obtient :

M/o = 0

d'où on tire :

T = dM/dx

(1.7b)

q = - d2M/dx2

(1.7c)

et d'après (1.7a) :

Les relations (1.7) permettent de tirer quelques enseignements qui facilitent la construction et le contrôle des diagrammes de T et de M. On peut en déduire essentiellement : 1. L'effort tranchant est la tangente de l'angle formé par la tangente au diagramme de M au niveau de la section considérée et l'axe longitudinal de la poutre. De même, la valeur absolue de la charge répartie représente la tangente de l'angle formé par la tangente au diagramme de T et l'axe longitudinal de la poutre. 2. Là où T est nul, M a une valeur extrémale. 3. Là où T passe par la valeur zéro de façon discontinue, le diagramme de M perd son allure monotone (voir figure 1.9). 4. Là où T subit un saut mais sans passer par zéro, le diagramme de M présente un point anguleux (M change de pente). 5. La variation de M sur un tronçon donné est égale à l'aire du diagramme de T sur ce tronçon. 6. La concavité du diagramme de M est tournée dans le sens contraire de la charge q. 7. Le diagramme de T doit se refermer (en partant de l'extrémité gauche). Ce corollaire exprime la nullité de la résultante des forces et permet en même temps de retrouver les forces localisées. 8. Le diagramme de M d'un système symétrique (géométrie et chargement) est symétrique tandis que celui de T est antisymétrique.

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1.10 EXERCICES

Calculer les réactions des systèmes représentés ci-après. Remarque : Dans les réponses données, une réaction positive signifie qu'elle est dirigée vers le haut s'il s'agit d'une composante verticale et de gauche à droite lorsqu'il s'agit d'une composante horizontale. Pour l'effort tranchant, l'effort normal et le moment fléchissant, les conventions des signes sont celles du § 1.6. Exercice 1.1

Exercice 1.2 F1=9t

A

q=3t/m

F3=3t

B

A

B

A

B

F2=6t A

3m

3.5m

2.5m 1m

4m

4m

F2=6t 2,5m Rép. : VA = 4.5 t,3,5m VB = 1.5 t

1m

Rép. : VA = 9 t, VB = 3 t

Exercice 1.3

A

Exercice 1.4

F1=6t

q=3t/m

B F2=2t

A B

A 2m

4m

B 2m

A

6m

2m

Rép. : VA = 3.34 t, VB= 4.66 t

Rép. : VA= 8 t, VB = 16 t

Exercice 1.5

Exercice 1.6 q=2t/m

q

F=33t A

A

B

B L

Rép. : VA=qL/6, VB=qL/3

A

4.5m

2.5m B 2m

Rép. : VA= 1.7 t, VB= 5.8 t

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Exercice 1.7

A

Exercice 1.8 F2=2t

F1=1t

1m

12

2m

B

4m

B

A

C

A 2m

B

a

b

A

Rép. : VA=-0.83 t, VB=2.83 t, HA=-1 t

Rép. : VA=-C/(a+b), VbB=C/(a+b)

Exercice 1.9

Exercice 1.10

A 2m

q=2t/m

C=2tm

F=5t

B

A 1.5m

3m

C=6tm

3m

3m

3m

A

Rép. : VA=2.6 t, VB=2.4 t

Rép. : CA=-21 tm, VA=6 t

Exercice 1.11

Exercice 1.12

F=1t

5m

q1=4t/m

q2=2t/m

q=1t/m A 5m

Rép. : CA=-7.5 tm, VA=5 t, HA=-1 t

A

C=16tm 4 q=3t/m 4m

4m 4m

Rép. : VA=5.33 t, VB=0.67 t

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B

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Exercice 1.13

13

Exercice 1.14

C=6tm

C=6tm

A

P A

B

B 2a

l=4m

2a

a

2a

Rép. : VA=-3 t, VB=3 t

Rép. : VA=3P/7, VB=4P/7

Exercice 1.15

Exercice 1.16

2t/m

2m

4m

1.5t/m

A

B

A

2t

1t/m

1.5t

B a=2m

2m

Rép. : VA=2.83 t, VB=4.67 t

a/2

a/2

a

Rép. : VA=3.17 t, VB=3.83 t

Tracer les diagrammes de M, T et N des systèmes représentés ci-après. Exercice 1.17

Exercice 1.18 P

P

P

A

B C a

D

A C

D a

a

B

P

a

2a

a

Rép. : TA=TC(g) =-TD(d)=-TB=P

Rép. : MC=-MD=Pa/2

TC(d)=TD(g)=0, MC=MD=Pa

TA=TC(g)=TD(d)=TB=-TC(d)=-TD(g)=P/2

Exercice 1.19

Exercice 1.20

q=3t/m A

B

C

A

C 2a=4m

B D

a

a

b

Rép. : TA=8 t, TC=TB=-4 t

Rép. : TA=TB=TD=-C/(a+b)

MC=8 tm

MD(g)=-Ca/(a+b), MD(d)=Cb/(a+b)

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Exercice 1.21

Exercice 1.22 2t

6t A

9t

B

A

C 4m

3t

D C

D

2m

2m

3m

3.5m

B

E

6t 2.5m

1m

Rép. : TA+TC(g)=3.33 t

Rép. : TA=TC(g)=-TC(d)=-TD(g)=4.5 t

TC(d)=TB(g)=-2.67 t, TB(d)=TD=2 t

TD(d)=TE(g)=-TE(d)=-TB=1.5 t

MC=6.67 tm, MB=4 tm

MC=13.5 tm, MD=-2.25 tm, ME=1.5 tm

Exercice 1.23

Exercice 1.24

q=3t/m

6t

q=3t/m

A

B

A B q=3t / m 6m

A

C

C

2m B

Rép. : TA=8 t 6m

3m B

q=3t / m 5m

A

B

B

2m

2mTA(d)=11.1 t Rép. :6mTC=TA(g)=-6 t,

TB(g)=-10 t, TB(d)=6 t

TB=-3.9 t

Mmax=10.67 tm, MB=-6 tm

MA=-18 tm, Mmax=2.5 tm

Exercice 1.25

Exercice 1.26 C=2tm

5t

A

E l=4m

3m

A

C=6 tm B 1.5m A

l=4m Rép. : TBA=TD(g)=2.6 t

B

C=5tm

q=2t/m

B

D B 2m

14

A

B 3m

A

D q=2t / m 3m

A 3m

Rép. : TA=TB=6 t

E C=6t m 3m A

A 3m

3m

TD(d)=TB(g)=2.4 t, TB(d)=TE=0

TD=TC=0

MD=5.2 tm, MB=ME=-2 tm

MA=-31 tm, MB=-14 tm, MD=ME=-5 tm

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Exercice 1.27

15

Exercice 1.28

Articulation P

q B

A

A

B C

3mC a

q=2t /m

2a

A

Rép. : TA=TC=-TB=qa

A

A

a

D 2a

3m Rép. : TA=TC(g)=2P/3

3m

a A 3m

MA=-qa²

TC(d)=TD=TB=-P/3

Mmax=qa²/2

MC=2Pa/3, MD=0, MB=-Pa/3

Exercice 1.29 Rép. : VA= 10.5 t, VB=18.5 t F1=10t

q1=5t/m

TA=T1(g)=10.5 t, T1(d)=T2=0.5 t

F2=6t

q2=2t/m

T3=T4=TB(g)=-9.5 t, TB(d)=9 t

A 1 1

2 1

3 4 C=2 tm 2m 1 1

B

5

2m

6

T5(g)=6.33 t, T5(d)=0.33 t, T6 =0

1

M1=10.5 tm, M2=11 tm, M3=2 tm, M4(g)=-7.5 tm, M4(d)=-5.5 tm, MB=-15 tm, M5=-0.11 tm

Exercice 1.30 Rép. : VA=-8.625 t, VB=16.625 t

q1=2t/m D

HA=-13 t, NAD=8.625 t, NDE=3 t,

E

NEB=-16.625 t,

A

1m A

q2=1t/m

C

A 3m

10t

TAC=TCA=13 t, TCD=TDC=3 t TDE=-8.625 t, TED=-16.625 t

A A

A A

B

4m

A

TEB=-3 t, TBE=0, MCD=MCA=-52 tm, MDE=-MDC=55 tm, MED=MEB=4.5 tm

A A A

A

4m

A

C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ U E S

I n t r o d u c t i o n - e x e r c ic e s

Exercice 1.31 q2=20KN/m

P1=40 2 KN q1=10KN/m 45° D

A

P2=30KN G q4=30KN/m A

E

C

F A

A

A

A A q3=12KN/m A

A A Ap=10KN/m

3m

A 5m

A

A

B Mo=15KNm

A

A A A 1.5m

3m

1m

1m

A A

A

A Rép. : HA=-55 KN, VA=135 KN, VB=45 KN, NAEA=-135 KN, NEA=-85 KN,

NDE=NED=-40 KN, NEG=NGE=NGB=NBG=-45 KN, MAE=83.75 KNm, MEA=-41.25 KNm, MED=-71.25 KNm, MEC=-30 KNm, MFC=MFG=-15 KNm, MGF=MGB=-60 KNm, MBG=-15 KNm, TAE=55 KN, TEA=-5 KN, TDE=-40 KN, TED=-55 KN, TEC=30 KN, TCE=TCF=TFC=-15 KN, TFG=TGF=-45 KN, TGB=45 KN, TBG=0.

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Déplacements des poutr es f léc hies

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Chapitre 2 DÉPLACEMENTS DES POUTRES FLÉCHIES

Les poutres considérées sont droites et possèdent un plan de symétrie qui contient les charges appliquées. Dans ces conditions, la flexion se fait dans le plan de symétrie de la pièce considérée. Ce chapitre expose les principales méthodes qui permettent d'obtenir l'équation de la déformée. 2.1 IMPORTANCE DES CALCULS DE DEPLACEMENTS Dans toute étude de structure, outre le calcul des réactions, des éléments de réduction et des contraintes, on fait également des calculs de déplacements. Généralement, on fixe pour les déplacements des sections des limites admissibles à ne pas dépasser, tout comme pour les contraintes. Il n'est pas rare même que les conditions de déformabilité soient plus sévères que les conditions de résistance. La limitation des déplacements vise avant tout à préserver la fonctionnalité de la construction. A titre d'exemple, une trop grande déformabilité des poutres peut provoquer la fissuration des cloisons légères et engendrer des désordres très gênants. D'autre part, lorsque les déplacements sont importants ils peuvent modifier significativement l'action des charges appliquées (ils engendrent d'autres efforts, dits effets du second ordre), et dans ce cas il est nécessaire d'en tenir compte. Par ailleurs, la résolution des problèmes hyperstatiques, qui constituent l'essentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de déplacements. Le déplacement de la section d'une poutre peut être : une translation une rotation Dans le cas d'une poutre horizontale fléchie dans le plan xy, l'axe des x étant confondu avec l'axe longitudinal de la pièce, les déplacements verticaux des centres de gravité des sections droites, mesurés à partir de l'axe x, sont appelés flèches. Les rotations se font autour de l'axe z (axe neutre) et représentent les angles, mesurés en radians, dont tournent les sections droites de la poutre. -

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Déplacements des poutr es f léc hies

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2.2 EQUATION DIFFERENTIELLE DE LA DEFORMEE Considérons une poutre horizontale simplement appuyée, fléchie dans le plan vertical xy (Figure 2.1). Après flexion, l'axe longitudinal AB de la poutre prend la forme courbe AMB. Cette courbe est appelée déformée ou ligne élastique (ou élastique tout simplement) de la poutre et peut être décrite par une équation de la forme y = f(x). Les ordonnées y représentant les flèches subies par les sections (leurs centres de gravité plus exactement) de la pièce.

R

d

 

A

B

x

M x

dx

y

Figure 2.1 L'influence de l'effort tranchant sur la courbure de la déformée étant généralement très faible, elle peut être négligée (nous étudierons plus loin l'influence de T). Nous admettrons donc que la courbure de la ligne élastique en un point donné ne dépend que de la valeur du moment fléchissant en ce point. Dans ce cas, nous utilisons la relation liant la courbure au moment fléchissant obtenue rigoureusement dans le cas de la flexion pure et qui s'écrit : 1 Mz  R EI z

(2.1)

D'autre part, on apprend dans les cours de Géométrie Différentielle que la courbure en un point M, d'une courbe plane donnée par l'équation explicite y = f(x), vaut : x M

y"