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Partie B : Calcul et dimensionnement des Ouvrages d’Art Chapitre 4 : Etude des Ponts à Poutres à Travées Indépendantes « calcul de CRT »

Par Othman Ben Mekki ENIT 2011

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Avant-propos

Flexion locale et transversale

Flexion longitudinale 2

Objectifs

Cette Charge comment sera répartie sur les poutres principales ??? 3

Introduction Depuis très longtemps, les ponts ont été construit et bien souvent leurs conceptions ainsi que leurs réalisations reposaient sur des connaissances empiriques et le savoir faire des concepteurs. Les ponts ont été construits avant même de savoir les calculer et aujourd’hui encore, certains types de ponts ne peuvent pas être

calculés convenablement malgré la puissance des ordinateurs et des méthodes aux éléments finis.

Avant le développement des MEF, les ingénieurs ont développé des méthodes pour calculer analytiquement les ponts à poutres. Ces

méthodes, basées sur la théorie de l’élasticité, permettaient d’offrir des moyens de dimensionner ces structures en prenant en compte la rigidité transversale des pièces d’entretoisement. 4

Introduction •Le rôle principal des entretoises est de répartir les efforts entre les poutres principales. •Dans le cas de l'absence des entretoises, c'est le hourdis qui joue le rôle d'entretoisement. pour déterminer les efforts dans une poutre, on doit tenir compte de la répartition transversale des surcharges à travers un coefficient correctif appelé Coefficient de Répartition Transversale "CRT". Ce coefficient détermine la portion des surcharges transmise sur la poutre considérée.

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Coefficient de Répartition Transversale L'étude du tablier est subdivisée en une étude dans le sens transversal et une étude d'une poutre dans le sens longitudinal.

• La première étude donne un Coefficient de Répartition Transversale (CRT).

• La deuxième étude donne les sollicitations globales à partir des lignes d’influences. Ainsi, on obtient le principe suivant: Sollicitation moyenne (poutre) = CRT x Sollicitation globale 6

Coefficient de Répartition Transversale

Pi= ηi P

 ηi =1

•Dans le cas des poutres infiniment rigides à la torsion et les entretoises infiniment rigides à la flexion Pi= P/n

ηi =1/n

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Coefficient de Répartition Transversale •La répartition transversale des charges consistes en l’évaluation de la portion des surcharges transmise sur chaque poutre principale. • Cette répartition des charges dépend des paramètres suivants :  La rigidité flexionnelle des poutres et des entretoises ( EIP, EIE)  La rigidité torsionnelle des poutres et des entretoises( GKP, GKE)

Méthodes de calcul  EIE=infini GKP=GKE=0

 EIE≠ infini GKP≠ 0

Méthode de Courbon (c’est la plus simple) Méthode de Guyon-Massonnet (c’est la plus sophistiquée)

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Coefficient de Répartition Transversale • Section droite indéformable : pont à poutre avec entretoises intermédiaires

Méthode de Courbon

Méthode de torsion non uniforme (gênée)

•Section droite

déformable : pont à poutre sans entretoises intermédiaires Méthode de Guyon-MassonnetBares Méthode des ossatures plissées Méthode des matrices-transfert De flexion transversale 9

CRT :

Méthode de Courbon (Entretoises rigides)

•L’entretoise d’un pont multipoutre n’est que très peu soumise à la flexion. Cette dernière est la conséquence de la différence de flexion longitudinale des poutres principales. • S’inspirant de ce constat, Courbon considère l’entretoise comme une poutre infiniment rigide par rapport aux poutres principales.

•Cette hypothèse lui permet de développer une méthode simple pour dimensionner ce type d’ouvrage d’art. •A partir d’un chargement fixé au préalable, la méthode de Courbon détermine les réactions d’appuis exercées par les poutres principales sur l’entretoise :  D’une part, la poutre infiniment rigide (entretoise) se déplacera dans son ensemble sans fléchir.  D’autre part, l’entretoise repose sur n appuis élastiques au niveau des liaisons avec les poutres principales. Cela signifie que les réactions d’appuis verticales exercées sur la poutre sont 10 proportionnelles à l’abaissement de la poutre au droit de l’appui.

CRT : Méthode de Courbon • Hypothèse: • •

Rigidité torsionnelle des poutres est négligeable (VIPP, acier) On peut isoler l’entretoise et l’étudier comme une poutre continue sur appuis élastiques

e

i

i =  +  yi

Ri = Ki ( +  yi)

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CRT : Méthode de Courbon • Les deux équations d’équilibre pour déterminer les 2 inconnues

δ

n

 Ki

n

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

2  R i yi  P e   K i yi

2. Équation d’équilibre de rotation

P

n

 R i  P   Kiδ

1. Équation d’équilibre de translation verticale



i 1

Pe n

2  K i yi

i 1

• D’où la portion de charge transmise sur la i-ème poutre est :

   K  K y e Pi  Ri  P  n i  n i i    K i  K i yi2  i 1  i 1 

Coefficient de répartition transversale

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CRT : Méthode de Courbon • Raideur élastique de i-ème ressort :

EI Pi Ki  c 3 L • La valeur de charge transmise sur la i-ème poutre est :

   EI p  EI p i yi  i Pi   n  n e P 2   EI p   EI p  yi  i i i 1  i 1 

• Si toutes les poutres de l’hourdis sont identiques et même pour une charge répartie :   Coefficient de 1  y répartition Pi ( x)    n i e  P( x) transversale  n  yi2  i 1   1. Si on fixe yi et on fait varier e, on obtient la ligne d’influence du CRT 2. Si on fixe e et on fait varier yi, on obtient la portion de charge transmise à 13 chaque poutre longitudinale

Commentaire sur la méthode de Courbon Cette méthode néglige complètement le rôle de la dalle dans la transmission des efforts. •

Elle ne peut pas prendre la spécificité d’un pont biais, qui est un cas très fréquent dans la construction des ponts. •

Si la charge n’est pas sur une entretoise, le tablier est supposé doter d’une infinité d’entretoises rigides très rapprochées. •

Cette méthode, très simple, est bien adaptée dans le cas des tabliers en béton (armés ou précontraint). En effet, dans le cas des ponts en ossature mixte ou métalliques, les effets du gauchissement des sections peuvent affecter de façon sensible les bords des semelles inférieures des poutres principales. Or, ces effets ne peuvent être quantifiés par la méthode de Courbon, qui présente un caractère relativement global. Donc, si on veut examiner de près le niveau de contraintes dans les semelles des poutres, il est préférable de recourir à la théorie de la torsion non uniforme ou gênée. 14 •

CRT :

Méthode de Guyon-Massonnet (Dalle orthotrope et de grillage des poutres) •Lorsque la section transversale du pont est considérée déformable: rigidité torsionnelle des éléments d'un pont ne peut être négligée. Méthode de Guyon-Massonnet-Bares

• Cette méthode repose sur la théorie des plaques orthotropes. • Elle fut développée par Guyon dans les années 46 dans le cas d’une dalle orthotrope à rigidité torsionnelle négligeable.

• Massonnet en 1950 généralisa les relations trouvées par Guyon en introduisant l’effet de torsion dans les calculs. • En 66, Massonnet et Bares publièrent un recueil de ces méthodes illustré par un certain nombre d’exemples. 15

CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Le système dalle-poutre discret est remplacé par un système uniforme composé d’une dalle anisotrope ou orthotrope ayant des caractéristiques constantes suivant chacun de ses axes transversal et longitudinal. x x

y y e1

e2

Disposition des nervures dans le plan moyen de la plaque.

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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • Ce passage d’une répartition discrète de la rigidité, à une

répartition continue, est l’hypothèse principale sur laquelle repose cette méthode. • La deuxième hypothèse consiste à admettre que le coefficient de Poisson du matériau constitutif est nul. • La troisième hypothèse consiste à considérer sinusoïdale appliquée dans la direction des poutres

une

charge

• Le réseau des poutres sera assimilé à une dalle orthotrope possédant deux bords libres (selon ox) et deux bords simplement appuyés (selon oy). 17

CRT : Méthode de Guyon-Massonnet • La méthode s’appuie sur la résolution approchée de l’équation

différentielle d’un grillage simple d’une travée indépendante, de portée L et de largeur 2b, constitué de n poutres longitudinales (portée L, espacement b1) et de m entretoises (portées 2b, et espacement L1).

•

4w 4w 4w  P 4   P   E  2 2   E 4  p( x, y) x x y y

P, E :

rigidité flexionnelle des poutres, respectivement, des entretoises répartie par unité de longueur

•P, E : rigidité torsionnelle des poutres, respectivement , des entretoises répartie par unité de longueur • w : déformée de la dalle • p(x,y) : chargement de la dalle

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CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Poutres

Bp=E.IP CP=G.KP Entretoises

BE=E.IE CE=G.KE E E : Module de Young G  ν : coefficient de Poisson 2(1   ) G: Module de cisaillement. IP et IE sont les moments d'inerties de flexions des poutres, respectivement, des entretoises. KP et KE sont les moments d'inerties de torsions des poutres, respectivement, des entretoises.

Rigidités par unité de longueur Rigidité de flexion :

Bp E.I p      p b1 b1     E  BE  E.I E  L1 L1 

Rigidité de Torsion :

C p G.K p      p b b1  1    C E  G.K E E  L1 L1 

 E Kp  p  2 b1     E K E E  2 L1 

CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Les 2 paramètres fondamentaux • La résolution analytique directe de cette équation conduit à des calculs compliqués et

peu pratiques à mettre en œuvre. • La méthode de Guyon-Massonnet permet de s’affranchir de cette difficulté en utilisant une méthode approximative basée sur les coefficients de répartitions.

•La construction réelle est remplacée par une dalle orthotrope présentant les mêmes rigidités moyennes de flexion et de torsion. • Deux paramètres caractérisent l’ouvrage calculé : Paramètre d’entretoisement

Paramètre de torsion

b  L

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P E

P E  2 P E 20

CRT : Méthode de Guyon-Massonnet Les 2 paramètres fondamentaux Paramètre d’entretoisement : caractérise la souplesse de l’entretoisement • Plus



est grand, plus l’entretoisement est souple. • Lorsque le pont est très allongé ou les entretoises sont très rigides,  est voisin de zéro. Pour 