calcul assemblage poutre à treillis sur poteau
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Construction
ASS-CAL 1-02
Métallique
CALCUL D’UN ASSEMBLAGE D’UNE POUTRE À TREILLIS SUR UN POTEAU par I. Ryan
1
1. – INTRODUCTION Lors des calculs des assemblages par gousset de barres fortement sollicitées, – barres de contreventement (dans les structures de bâtiment multi-étages ou de bâtiment industriels), – barres diagonales aux extrémités d’une poutre à treillis, le projeteur s’interroge souvent sur la répartition des efforts au sein de l’assemblage. L’objet de cette rubrique est l’examen détaillé d’un tel assemblage : celui de la diagonale de rive d’une poutre à treillis sur la membrure supérieure et le poteau montant, par gousset et platine boulonnée (voir figure 1). Conformément à l’usage, les axes des barres assemblées se croisent en un point (pas d’excentricité entre les axes). On conçoit l’assemblage pour transmettre les efforts axiaux obtenus d’une analyse globale de la structure réalisée en considérant les extrémités des barres diagonales articulées sur la membrure. Le problème spécifique posé est de connaître la répartition de l’effort appli-
Fig. 1
I. RYAN – Ingénieur Principal CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION
INDUSTRIEL MÉTALLIQUE
Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38
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ASS-CAL 1-02 qué sur les parties de la membrure et du montant (ou poteau) attachées par le gousset. Une fois ces derniers efforts connus, la vérification des résistances des attaches et, éventuellement, celle des éléments attachés, peut être entreprise par référence aux règles applicables (les règles CM66 ou l’Eurocode 3).
2
Un certain nombre d’essais a été réalisé aux États-Unis afin d’apporter des clarifications sur le comportement et la résistance des tels assemblages. Thornton [1, 2, 3], ayant étudié les résultats de six essais [4 à 8], a proposé une méthode de calcul des efforts qui conduit à une concordance satisfaisante avec les résultats expérimentaux. Il a conclu que de ne pas prendre en compte la présence des moments, ni dans les barres assemblées ni dans les attaches sur le périmètre du gousset, ne conduirait pas à une surestimation des résistances des assemblages. La méthode de Thornton, que l’auteur appelle « la Méthode Homogène de Forces » (« Uniform Force Method »), est basée sur les observations suivantes : ●
●
On se situe dans le contexte des assemblages où les axes de toutes les barres assemblées ont un point commun d’intersection, point appelé le « point de fonctionnement » par Thornton. Afin de respecter l’hypothèse que les efforts axiaux dans toutes les barres assemblées passent par ce point de fonctionnement, la résultante de tous les efforts dans les deux attaches aux bords du gousset doit le faire également parce que cet effort résultant doit équilibrer parfaitement l’effort appliqué par la diagonale. Les essais expérimentaux et les études associées concernant la diffusion des efforts dans les parois du poteau et de la membrure en face du gousset indiquent qu’on peut admettre que la résultante des efforts dans chacune des deux attaches aux bords du gousset suit une trajectoire spécifique.
En conformité avec ces observations, Thornton a formulé une expression qui permet de déterminer les trajectoires des efforts résultants dans les deux attaches du gousset. Parce que la solution n’est pas unique, il y a lieu de faire un choix. Une fois qu’une paire de trajectoires a été choisie on obtient une solution complète au problème posé concernant la répartition des efforts au sein des attaches. Ce seront les vérifications des résistances qui montreront que le choix retenu convient ou non. Il existe d’autres approches connues des bureaux d’études pour estimer la répartition des efforts au sein de tels assemblages. Ces approches sont généralement basées sur l’hypothèse d’une répartition linéaire élastique des efforts dans des sections (dont les plans des attaches) où les excentrements éventuels des efforts par rapport aux centres des sections examinées sont pris en compte par l’application de la théorie des poutres (RDM). Parce que la théorie de la RDM conduit à des répartitions des efforts peu représentatives de la réalité (en particulier quand on approche l’état limite ultime), la tendance est souvent de surdimensionner les éléments de l’assemblage, notamment les attaches du gousset. D’après Thornton, l’avantage principal de sa méthode est que, par rapport aux dispositions conçues en utilisant une approche plus « classique », les assemblages obtenus sont significativement plus efficaces. Avec des dimensions réduites des goussets/platines avec moins de boulons et soudures, on peut attendre des coûts de fabrication et d’exécution réduits.
2. – MÉTHODE DE THORNTON
2.1 – Cas élémentaire Thornton a fondé sa méthode sur les conclusions des études expérimentales qui indiquent que les résultantes des efforts dans les attaches du gousset suivent des trajec-
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ASS-CAL 1-02 toires qu’on peut identifier avec une précision adéquate. Il a observé qu’en choisissant des positions spécifiques (en paire) pour ces trajectoires on fait en sorte ●
que les trois conditions d’équilibre soient automatiquement respectées,
●
qu’il n’y ait pas de moment à prendre en compte lors des vérifications,
●
que, comparées aux essais, les estimations des résistances soient acceptables.
Thornton, qui n’a pas explicitement précisé les trajectoires qu’il a adoptées, a donné une règle fixant les centres des attaches et les expressions pour les valeurs correspondantes des efforts résultants dans l’assemblage (figure 2). On peut en déduire que chaque trajectoire est identifiée par deux points spécifiques, dont un est situé au centre de l’attache concernée tandis que l’autre est situé sur l’axe de la barre (membrure ou montant) recevant le gousset. On peut comprendre que ces deux paires de points ont des coordonnées étroitement liées qui sont fonctions de l’effort appliqué et de la géométrie de l’assemblage. Dans l’assemblage de la figure 2 l’axe de la membrure est horizontal et l’axe du montant (le poteau) est vertical (faisant donc un angle de 90° avec l’axe de la membrure).
Point de fonctionnement :O eC
Point B :Centre de l'attache membrure gousset
b
Membrure O
x
eB B
c C
R
Gousset
Diagonale
P Point C :Centre de l'attache poteau gousset Poteau-montant
y
Angle de 90° entre les axes du poteau-montant et de la membrure
Fig. 2
2,11. – Positionnement des centres des attaches et des résultants des efforts aux attaches
Le raisonnement adopté par Thornton pour déterminer la répartition des efforts peut être déduit de la figure 3. Le point de référence O, c’est-à-dire l’origine des repères, est le point d’intersection des axes des barres assemblées (« le point de fonctionnement » selon Thornton). Les centres des attaches sont désignés par les points B (membrure) et C (poteau-montant). Les paramètres géométriques sont indiqués sur les figures 2 et 3. (Note : Avec l’objectif d’améliorer la compréhension, les symboles utilisés ici pour les paramètres géométriques donnant les positions des centres (B et C) des attaches sont différents de ceux adoptés par Thornton).
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Pour qu’une solution pour les efforts (HB , VB ) et (HC , VC ) dans les deux attaches aux bords du gousset soit acceptable une condition fondamentale à respecter est que la résultante de l’ensemble soit parfaitement en équilibre avec l’effort P appliqué par la diagonale. Pour être en équilibre parfait, il faut démontrer que la résultante de l’ensemble des efforts (P, HB , VB , HC , VC ) est nulle. Les conditions nécessaires pour satisfaire ceci peuvent être exprimées ainsi : – les vecteurs des résultantes RB , RC et de l’effort P doivent avoir un point commun d’intersection (point Pp sur la figure 2), – la valeur de la force résultante de l’ensemble (P, RB , RC ) doit être nulle.
4
●
●
Thornton a donc identifié deux trajectoires, une passant par BT pour le vecteur RB et l’autre passant par CM pour le vecteur RC, ayant le même point d’intersection sur la droite passant par OR qui porte le vecteur de l’effort appliqué P. Lors de la conception des attaches, en choisissant de placer le centre de gravité de chaque attache sur la trajectoire de l’effort résultant correspondant, on admet que les répartitions des efforts sur les attaches sont uniformes. Thornton a déduit que les positions des centres des deux attaches doivent être choisies telles que le point R (figure 3) soit situé sur la droite portant le vecteur P. Pour cela, il faut respecter la condition suivante : yR tan θ = xR
(1a)
où θ est l’inclinaison de la diagonale, c’est-à-dire de son effort P, par rapport l’axe vertical, et xR = xB = eC + b et yR = yC = eB + c sont les coordonnées du point R pour le cas de la figure 2. Pour le cas présent (d’un montant et d’une membrure faisant un angle droit) l’expression (1a) devient (après arrangement) : b – c tan θ = eB tan θ – eC.
(1b)
Du fait que les termes à droite de cette expression soient fixés par les dimensions des barres, on voit que toutes les paires de valeurs des distances b et c qui satisfont la différence imposée conduisent à une solution potentielle. Pour l’assemblage de la figure 2, les coordonnées des points définissant les deux trajectoires choisies par Thornton pour RB , RC et celles du vecteur P, sont données dans le tableau 1. Pour des caractéristiques géométriques des éléments assemblés données TABLEAU 1 Vecteur
Trajectoire
Vecteur RB
BT
Vecteur RC
CM
Vecteur P
OR
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Coordonnées des points (point O pour origine) Point Coordonnée x Coordonnée y B : centre de l’attache eC + b eB gousset- membrure T : point sur l’axe de la eC 0,0 membrure C : centre de l’attache eC eB + c gousset - montant eB M : point sur l’axe du poteau0,0 montant O : point de fonctionnement 0,0 0,0 et origine des axes x , y eB + c R : point sur l’axe de la eC + b diagonale
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ASS-CAL 1-02 Pp
Angle montant/membrure = 90°
RB RC
VB
T
O
Axe membrure
x
eB M
VC
I
HC
B
HB
C
c
R
Intrados membrure
c
Axe montant
θ eC
Gousset
b
b
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Choix de B, T, C et M donnent:
y
Intrados montant
VC /c = HB/b = VB/eB = HC/eC = P/r
Tan θ = (HC+HB)/(VC +VB) = (b+eC)/(c+eB) = xR/yR
Pp
Pp
T
O eB c
Figure 3a
P
M
I RC
y
x
RB r
P
x'
R
C
y'
b
eC
P
RC
B
RB
Diagramme des Forces
Géométrie Figure 3b
Figure 3c Fig. 3
(soit eB pour la membrure et eC pour le montant), une fois les valeurs couplées des paramètres géométriques b et c choisies à partir de la relation (1b), toutes les coordonnées des différents points sont connues.
2,12 – Équations Le tableau 2 donne les équations indépendantes qu’on peut établir à partir de l’équilibre du système des forces. On constate qu’une fois les paramètres géométriques fixés on a autant d’équations indépendantes que d’inconnues, ce qui permet une résolution complète du système des forces. TABLEAU 2 Considération Résultante de l’attache B : le vecteur RB doit passer par le point T Résultante de l’attache C : le vecteur RC doit passer par le point M Equilibre du système de forces : (P, HB , VB , HC , VC )
Equations générales
Equations pour le cas de la figure 2
HB VB = x B – xT y B – yT
H B VB = b eB
HC VC = xC – xM yC – y M
H C VC = eC c
H = H B + H C = PSin θ
H = H B + H C = PSin θ
V = VB + VC = PCos θ x où Tanθ = R yR
V = VB + VC = PCos θ e +b où Tan θ = C eB + c
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ASS-CAL 1-02 Pour l’assemblage de la figure 2, on peut déduire les expressions suivantes : P HB HC VB VC = = = = ec eb r b c
(2)
(b + ec)2 + (c + eb)2 est celle entre l’origine O et le point R. où la distance r =
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Les expressions (2) donnent les composantes (horizontale et verticale) de l’effort dans chacune des deux attaches du gousset, soient les valeurs recherchées. Pour l’assemblage de la figure 2 les composantes obtenues sont soit normale soit parallèle à la ligne d’attache, ce qui facilite la vérification. Lorsqu’il s’avère que le premier choix retenu pour les positions cohérentes des centres des attaches (B et C ) ne permet pas de réaliser des attaches adéquates, on peut éloigner davantage ces centres du point de fonctionnement, ce qui revient à élargir le gousset tout en respectant la condition (1). Les efforts dans les attaches peuvent être obtenus d’une manière graphique également. On constate qu’en adoptant une échelle telle que la longueur du segment OR représente la valeur de l’effort P, on peut obtenir les valeurs des efforts dans les attaches directement de la figure 3b) ou 3c). Les expressions (1b) et (2) sont celles publiées par Thornton sans explication claire de leur détermination.
2,2. – Cas général En utilisant les équations générales du tableau 2 il est aisé de formuler une variante pour le cas où l’angle entre le montant et la membrure ne serait pas 90° (figure 4 et figure 5). Pour un tel cas les coordonnées des différents points sont celles données dans le tableau 3 et les expressions sont rassemblées au tableau 4. Dans un cas typique, le montant n’est pas vertical et/ou la membrure n’est pas horizontale. Il convient de considérer l’écart entre un angle de 90° et l’angle du montant avec la membrure, soit l’angle que Thornton indique par γ. Pour une application générale, il convient de mettre l’axe x sur l’axe de la membrure (même si cette barre n’est pas horizontale) et en déduire que l’axe du montant n’est pas forcement parallèle à l’axe y. Les composantes, (HB , VB ) et (HC , VC ) sont exprimées selon les axes x et y comme précédemment. Par conséquent lorsque l’angle γ n’est pas nul il faut noter que les composantes (HC , VC ) obtenues ne seront pas normale et parallèle au plan de l’attache concernée (sur le montant). TABLEAU 3 Point B
Coordonnées des points pour le cas général (point O pour origine) Coordonnée x Coordonnée y
eC – eBTanγ + b Cosγ
y B = eB
eC Cos γ
yT = 0,0
eC – eBTanγ – cSinγ Cos γ
yC = eB + cCos γ
M
xM = – eBTanγ
R
e x R = C – eBTanγ – cSinγ + b Cosγ
y M = eB y R = eB + cCosγ
xB =
T C
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xT = xC =
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ASS-CAL 1-02 TABLEAU 4 Expressions pour un cas général Condition de positionnement des centres des attaches 1 :
y RTan θ = xR
Axe du Montant
soit b
O
c
c
M
T
Axe de la Membrure
VB
eB
I HB
VC C
HC
Equilibre et résolution 1:
HC VC P HB VB = = = = r xB – xT xC – xM y B – yT yC – yM
Gousset
R
b
soit
Axe de la Diagonale
P
θ
eC Cosγ
x
B
eC
γ
b – c(Cosγ Tan θ + Sinγ ) = eB (Tanθ + Tanγ ) –
Effort dans la barre diagonale
y
Figure 4
HC VC P HB V = = = B = r b – eBTanγ eC / Cosγ – cSinγ eB cCosγ r = ( xR ) 2 + ( y R ) 2
où
soit L’angle γ peut prendre une valeur positive ou négative dans les expressions. La figure 4 présente un cas où l’angle γ a une valeur positive. 1
e r = ( C – eBTan γ – cSin γ + b) 2 + (eB + cCosγ ) 2 Cosγ
Fig. 5
Le choix proposé pour les axes permet de simplifier les expressions parce qu’il ne sera pas nécessaire de prendre en compte dans les modifications l’angle γ. Un angle γ de valeur positive est défini ici pour un repère, défini avec une rotation autour de l’axe z (normal au plan de l’assemblage) dans le sens des aiguilles d’une montre. Tandis que tous les paramètres sont définis de la même manière que pour le cas élémen-
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ASS-CAL 1-02 taire, les cas des distances b et c nécessitent une précision. Ces distances b et c sont celles entre le point d’intersection des intrados (c.a.d. côté gousset) du montant et de la membrure (le point I de la figure 5) et les centres des attaches du gousset sur le montant et sur la membrure respectivement. Les expressions du tableau 3 permettent d’appliquer la méthode d’une manière générale. Comme pour le cas élémentaire, on peut démontrer que la résultante des efforts (HB , VB , HC , VC ) est en équilibre parfait avec l’effort P dans la diagonale du fait que – la résultante du système (HB , VB , HC , VC ) passe par le point de fonctionnement O,
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– la composante horizontale du système (HB , VB , HC , VC ) est (HB + HC ) = P sin θ, – la composante verticale du système (HB , VB , HC , VC ) est (VB + VC ) = P cos θ. Thornton a publié [3] le résultat pour une variante du cas de la figure 4 où l’angle entre le montant et la membrure est négatif de valeur absolue γ, c’est-à-dire avec un angle de (90 – γ)° entre les axes du montant et de la membrure.
3. – EXEMPLE DE CALCUL
3.1 – Description Nous proposons de ne présenter dans cette rubrique que la conception et le calcul d’un gousset d’assemblage et de ses attaches sur les trois éléments assemblés (fig. 6). Les autres vérifications nécessaires, notamment celles du poteau PRS et de la membrure, ne sont pas présentées. Nous examinons le cas d’un assemblage à l’extrémité d’une poutre à treillis au droit d’un poteau (voir la figure 1 et la figure 4). Dans une telle poutre à treillis il est courant de considérer la membrure comme continue dans l’analyse globale, sauf à l’extrémité où on considère qu’elle est articulée sur l’élément de support comme la barre diagonale. Afin d’éviter un excentrement des efforts, les axes des barres de l’assemblage (montant, diagonale et membrure) coïncident en un point O. Pour l’assemblage en tête du poteau, l’analyse globale réalisée selon les hypothèses indiquées ne donne que des efforts axiaux dans la membrure et dans la diagonale. Lorsque le poteau-montant (fig. 1) est continu à travers l’attache de la membrure inférieure, l’analyse globale donnera un effort de cisaillement en plus de l’effort axial dans le montant au point O (fig. 6). La membrure est inclinée avec une pente de 3 % (soit un angle de 1,72° par rapport à l’horizontale) tandis que le poteau est vertical. L’effort de traction appliqué à la diagonale, qui fait un angle de 58,35° avec l’axe du poteau-montant, est de 1 200 kN. Les éléments de l’assemblage sont les suivants : – Barre diagonale : constituée de deux cornières 150 × 150 × 15, une chaque côté du gousset, formant une section en croix. – Membrure : constituée d’un HEB 220 plus un UPN 300 soudé sur l’aile supérieure du HEB.
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ASS-CAL 1-02 – Poteau-montant : section I en PRS avec des ailes 320 × 20 et une âme 560 × 12. – Gousset : épaisseur 10 mm (autres dimensions à déterminer). – Assemblage poteau/gousset/membrure par une platine boulonnée/soudée d’épaisseur 18 mm – Boulons M22 classe 8.8 (non précontraints). – Gousset soudé sur la membrure et sur la platine par double cordons d’angle symétriques. – Cornières soudées sur le gousset par double cordons d’angle symétriques. – L’acier utilisé est un S235.
Fig. 6
3,2. – Conception et analyse des efforts dans les attaches Il faut noter (fig. 6) que le système des forces [P, (HB , VB ), (HC , VC )] est un système en équilibre de même que le système des forces dans les barres [P, FB , (FNC , FVC )] convergeant au point O. Nous utilisons les définitions et les expressions de la figure 4, notant que l’axe x correspond à l’axe de la membrure. Données – Effort de calcul (à l’état limite ultime) dans la diagonale : P = 1 200 kN. – Inclinaison de l’axe du poteau par rapport l’axe y : γ = + 1,72° donc sin γ = 0,03 ; cos γ = 1,0 ; Tan γ = 0,03.
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ASS-CAL 1-02 – Inclinaison de la diagonale par rapport l’axe y : θ = 58,35° – γ = 56,63° donc tan θ = 1,52. – Distance entre l’axe de la membrure et son intrados : eB = 155 mm. – Distance entre l’axe du poteau et son intrados : eC = 300 mm.
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Dans le cas présent l’encastrement de la poutre à treillis sur le poteau est utilisé pour constituer un portique. Dans ce cas, la membrure inférieure de la poutre à treillis est attachée au poteau à l’extrémité de la poutre et on a un effort de cisaillement FVC dans le poteau au point O. Pour l’analyse globale associée, les poteaux sont considérés continus à travers les attaches de la membrure inférieure tandis que la membrure inférieure est considérée articulée sur les poteaux. Pour le cas de charge étudié, les valeurs obtenues de l’analyse globale pour les efforts au point O dans les barres assemblées au nœud O (modélisé comme une articulation) ont été : – Diagonale : Effort axial P = 1 200 kN Traction – Membrure supérieure : Effort axial FB = 589 kN compression (Membrure inférieure : Effort axial FB,inf = 433 kN compression) – Montant : Effort axial : FNC = 646,5 kN compression, Effort de cisaillement FVC = 434 kN.
Position des centres des attaches B et C ●
La condition à respecter pour le positionnement des centres des attaches aux bords du gousset est : yR tan θ = xR
où
xR =
eC – eB tan γ – c sin γ + b cos γ
yR = eB + c cos γ
et
soit b – c (cos γ tan θ + sin γ) = eB (tan θ + tan γ) –
b – c (1,0 . 1,52 + 0,03) = 155 (1,52 + 0,03) –
eC cos γ
300 1,0
b – 1,55c = – 59,75. ●
●
●
En prenant la distance b = 430 mm on obtient pour la distance c 315 mm. Les dimensions du gousset rectangulaire nécessaires sont donc approximativement de 860 × 630, mais une forme plus raffinée peut être dessinée (par exemple en utilisant une découpe réduite sur la diagonale). Les coordonnées du point R, la distance entre ce dernier et l’origine (le point de fonctionnement O) deviennent : xR =
eC – eB tan γ – c sin γ + b = 300/1,0 – 155 . 0,03 – 315 . 0,03 + 430 716 mm cos γ
yR = eB + c cos γ = 155 + 315 = 470 mm
2 = 856,5 mm. (716)2 + (470) r =
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ASS-CAL 1-02 Valeurs des efforts dans les attaches Utilisant les expressions de Thornton, les composantes des efforts dans les attaches sont : P 1 200 = 1,4 kN/mm r 856,5 HB = (b – eB tan γ) VB = (eB )
P = (430 – 155 . 0,03) . 1,4 595,5 kN r
P = (155) . 1,4 217 kN r
11
P HC = (eC /cos γ – c sin γ) = (300 – 315 . 0,03) . 1,4 = 407 kN r VC = (c cos γ)
P = (315) . 1,4 441 kN. r
On peut vérifier que la résultante des efforts obtenus dans les attaches est bien en équilibre avec l’effort P dans la diagonale: (HB + HC)2 + (VB + VC)2 = Rattaches = (595,5 + 407)2 + (217 + 441)2 1 200 kN = P tan θRattaches =
(HB + HC) 1 002,5 = tan (56,63°) = tan θ (VB + VC) 658
On obtient les résultats suivants : ●
Équilibre des efforts horizontaux : (HB + HC) = 1 002,5 kN P sin θ
●
Équilibre des efforts verticaux : (VB + VC) = 658 kN P cos θ
●
Équilibre de moments (autour du point O) : (VByB + VCyC) 283,5 kNm (HBxB + HCxC)
3,3. – Vérifications des attaches selon l’EC3-DAN [9] Les valeurs suivantes des paramètres de calcul selon l’EC3-DAN sont adoptées pour les différentes vérifications des résistances de calcul: ●
Acier S235 : fy = 235 N/mm2, fu = 340 N/mm2 (3 mm épaisseurs 100 mm).
●
Boulons classe 8.8 M22 : As = 303 mm2 (section filetée), fub = 800 N/mm2.
●
●
Coefficients partiels de sécurité : γM0 = 1,1 ; γM2 = γMw = 1,25 ; γMb = 1,5 traction et γMb = 1,25 cisaillement. Soudures pour l’acier S235 : βw = 0,8.
3,31. – Attache soudée des cornières de la diagonale sur le gousset Il s’agit d’une barre en double cornière 2 × 150 × 150 × 15 de section brute A = 2 × 4 302 = 8 604 mm2. Les cornières, une de chaque côté du gousset formant une croix, sont soudées au gousset par des cordons d’angle symétriques (figure 7).
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ASS-CAL 1-02 B
UPN 300
axe 155
HEB 220 B
A
Découpe réduite possible 10 Section B-B
630
lw Gorge 2a = 6 A
12
Gorge a = 3 860
Gorge a = 3
Barre diagonale : 2 Cornières 150x150x15 Soudures : cordons d'angle symétriques
Section A-A Gorge 2a = 6
Fig. 7
●
Résistance en traction des cornières :
Résistance en traction de la section brute selon l’EC3-DAN §6.6.10(2): Ny, Rd = ●
Afy 8 604.235 = = 1 838 kN NSd = 1 200 kN : satisfaisante 1,1 . 103 γM0
Longueur minimale des cordons de soudures :
Il existe quatre cordons d’angle de longueur effective lw dont deux de gorge minimale de 3 mm et deux de gorge de 6 mm. L’utilisation d’une gorge plus grande au pied de l’aile normale au gousset est conseillée pour réduire l’excentricité entre l’axe de la cornière et le centre de gravité de l’ensemble des deux cordons. La longueur minimale requise de chaque cordon longitudinal est (voir EC3-DAN §6.6.5.2(2) et §6.6.5.1(1)A): NRd =
2 . Iw (a + 2a)fu
3βwγMw
= Iw
2,9 . 340
3 . 0,8 . 1,25
NSd = 1 200 . 103
soit
lw 340 mm
Dans ce dernier calcul les soudures longitudinales seules sont prises en compte. Les soudures frontales aux extrémités des cornières, parfois appelées « d’étanchéité » pour éviter la corrosion des surfaces inaccessibles après réalisation de l’assemblage, sont négligées. ●
Dimensions minimales du gousset : Une fois sa résistance vérifiée on peut déterminer la dimension minimale requise en diagonale du gousset comme indiqué dans la figure 7. On déduit des calculs de résistance des cordons de soudures que, au droit des attaches au moins, un gousset d’épaisseur de 10 mm n’est pas excessivement sollicité. Néanmoins il y lieu d’examiner de plus près la transmission de l’effort entre la diagonale et le gousset, c’est-à-dire la résistance à « l’arrachement de bloc » du gousset d’épaisseur 10 mm (fig. 8).
Ce dernier mode de ruine n’est pas intégré dans la norme EC3 pour les assemblages soudés. Néanmoins, par analogie avec la vérification requise du « cisaillement de bloc » pour les goussets des assemblages boulonnés, une vérification de ce genre est toujours conseillée. Au lieu de prendre la règle compliquée et peu compréhensible de l’EC3-DAN, la nouvelle formulation du projet final de l’EC3, soit la norme prEN1993- Partie 1-8 [11] pour les assemblages, est prise ici. La résistance à « l’arrachement de bloc » du gousset est obtenue en ajoutant la résistance plastique au cisaillement de la partie du gousset attachée par les cordons de soudures longitudinaux (aux deux bords extérieurs des cor-
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ASS-CAL 1-02 nières de longueur lG) à la résistance ultime à la traction de la partie transversale du gousset aux extrémités des cornières (fig. 8). Ce mode de ruine est couvert par la vérification suivante : Veff, Rd =
Veff, Rd =
fy Anv fu Ant + NSd γM2 3 γM2
340 . 300 . 10 235 . 2 . lG . 10 + = 816 + lG . 2,47 1 200 kN 1,25 . 103 3 . 1,1 . 103 soit
lG 156mm
Parce que la résistance ultime à la traction de la partie du gousset au bout des cornières est relativement grande, la longueur minimale 2 . lG de la section du gousset requise en cisaillement n’est pas déterminant. Nous avons adopté un gousset presque rectangulaire 860 × 630 × 10, permettant de réaliser toutes les attaches de longueurs adéquates sans difficulté.
Fig. 8
3,32. – Attaches soudées du gousset sur la membrure et sur la platine La méthode simplifiée de vérification de la résistance des cordons de soudures est employée ici. On admet que l’effort appliqué sur chaque attache est reparti uniformément sur toute la longueur de la soudure. Pour des soudures à deux cordons symétriques avec des gorges de 3 mm : ●
●
La résistance par unité de longueur des deux cordons est (EC3-DAN §6.6.5.3(3) et §6.6.5.3(4)) : fu 340 2a = 2 . 3 = 0,942 kN/mm Fw, Rd = fvw Σa = 3 βwγMw 3 . 0,8 . 1,25 . 103 Les vérifications pour les attaches sont les suivantes : Attache B (gousset-membrure) : Fw, Sd =
HB2 + VB2 2(b – eplatine)
=
395,52 + 2172 2 . (430 – 18)
= 0,769 N/mm Fw, Rd = 0,942 N/mm
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ASS-CAL 1-02 Attache C (gousset-platine) : Fw, Sd =
HC2 + VC2
=
407 2 + 4412 2 . 315
2c
= 0,953 N/mm Fw, Rd = 0,942 N/mm
On constate un léger dépassement ( 1 %) de la résistance de l’attache soudée C lorsqu’on a des cordons de gorge de 3 mm. Une augmentation de la gorge n’est pas nécessaire étant donnés ce faible dépassement et le caractère en sécurité de la méthode de vérification simplifiée de la résistance des cordons de soudures.
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3,33. – Attache platine - poteau
●
Vérification de la disposition (EC3-DAN § 6.5.1):
La disposition adoptée est celle de la figure 9. En tout il y a 10 boulons M22 de classe 8.8 repartis en deux files, écartées de 100 mm et de cinq boulons chacune. Les rangées sont espacées de 180 mm entre elles. Compte tenu des efforts appliqués déformant la platine en flexion, nous conseillons que les critères pour un élément comprimé soient adoptés. Les trous pour les boulons M22 sont de diamètre d0 = 24 mm. Les conditions sont celles sans intempéries et sans risque de corrosion. L’épaisseur de la platine est de 18 mm. – Pinces longitudinales : 1,2d0 e1 max (12t, 150 mm) : e1 = 45 mm satisfaisant. – Pinces transversales : 1,2d0 e2 max (12t, 150 mm) : e1 = 110 mm satisfaisant – Entraxes longitudinaux : 2,2d0 p1 max (14t, 200 mm) : p1 = 180 mm satisfaisant si t 13mm 320
430
10 105
B
180 45 880
589 kN 155 595,5 kN 217 kN
180 407 Kn 180 180
C 441 kN
315
55 10 10
3x100
10
Fig. 9
●
Vérifications de la résistance en traction/cisaillement des boulons sur la platine (EC3-DAN § 6.5.5)
La méthode de Thornton donne la répartition des efforts exercés par le gousset sur la platine et il est aisé de déduire les efforts appliqués au bout de la membrure sur la platine (fig. 9).
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ASS-CAL 1-02 En ce qui concerne l’effort normal à la ligne de l’attache, la résistance d’une rangée ou un groupe de rangées est prise égale au minimum des résistances des trois modes de ruine possibles (fig. 11), à savoir : – Mode 1 : la formation d’un mécanisme complet dans la platine – Mode 2 : la formation d’un mécanisme partiel dans la platine associé à la rupture des boulons – Mode 3 : la rupture des boulons Dans ces vérifications il convient de vérifier les boulons de chaque zone de la platine pour les efforts correspondants. Ceci revient à considérer les parties de la platine sous le gousset et sous la membrure comme des platines séparées, même lorsqu’il s’agit d’une seule platine continue. Ainsi fait, il faut retenir que l’influence du moment éventuel dans le plan de l’assemblage platine-poteau est prise en compte d’une façon indirecte par la répartition obtenue des efforts normaux au plan de l’assemblage. Parce que l’effort admissible en traction d’un boulon est fonction de l’effort de cisaillement concomitant qu’il supporte, avant d’évaluer la résistance correspondant aux différents modes, il y a lieu d’établir la répartition de l’effort parallèle à la ligne de l’attache parmi les boulons. Étant donnée que la platine est continue (c’est-à-dire commune aux deux parties), on admet que l’effort résultant total parallèle au plan de la platine, c’est-àdire l’effort de cisaillement, est uniformément réparti parmi tous les boulons sur la platine. Les efforts appliqués aux deux parties de l’attache par platine sont donnés au tableau 5. TABLEAU 5 Efforts et parties de la platine
Partie de la platine attachant le gousset Partie de la platine à l’extrémité de la membrure
Effort selon les axes x et y kN Selon axe x
Selon axe y
407
441
6,5
217
Effort normal et parallèle au plan de la platine kN Normal Parallèle (Traction) (Cisaillement) 420,1 428,6 13
216,7
Considérant que l’effort total de cisaillement est reparti sur tous les boulons, les efforts appliqués par boulon sont donc : ●
Boulons sur la partie de la platine attachant le gousset où il y a quatre rangées de 2 boulons (8 boulons) en traction – Ft,Sd = 420,1/8 = 52,51kN en traction – Fv,Sd = (428,6 + 216,7)/10 = 64,53 kN en cisaillement
●
Boulons sur la partie de la platine à l’extrémité de la membrure où il y a une rangée de 2 boulons en traction – Ft,Sd = 13/2 = 6,5kN en traction – Fv,Sd = (428,6 + 216,7)/10 = 64,53 kN en cisaillement
Les résistances en traction et en cisaillement d’un boulon M22 de la classe 8.8 sont : – Traction seule : Ft, Rd =
0,9 . 800 . 303 0,9fubAs = = 145,4 kN Ft, Sd 1,5 . 103 γMb, traction
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ASS-CAL 1-02 – Cisaillement seul : Fv, Rd =
0,6fubAs γMb, cisaillement
=
0,6 . 800 . 303 = 116,35 kN Fv, Sd 1,25 . 103
Ni la résistance en traction ni celle en cisaillement d’un boulon n’est dépassée. La vérification pour la combinaison traction/cisaillement du boulon le plus sollicité est la suivante : Ft, Sd 52,51 Ft, Rd = 145,4 = 0,361 1,0
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et
Ft, Sd Fv, Sd 52,5 64,53 + 1,4Ft, Rd Fv, Rd = 1,4 . 145,4 + 116,35 = 0,81 1,0
La vérification précédente ne concerne que le mode 3 de ruine (rupture des boulons) où il n’y a pas d’effet de levier sur les boulons. Dans les calculs de résistances pour le mode 2 (voir les vérifications de la platine ci-dessus) où l’effet de levier est inclus, il y a lieu de prendre une résistance réduite en traction du boulon comme pour le mode 3. L’effort maximal de traction qu’un boulon M22 de la classe 8.8 peut prendre en combinaison avec un effort de cisaillement de Fv,Sd = 64,53 kN est : Fv, Sd Ft, Sd 1,4 Ft, Rd . 1,0 – F = 1,4 . 145,4 . (1 – 64,53/116,35) = 90,66 kN v, Rd
●
Vérification de la résistance à la pression diamétrale :
Tenant en compte de la direction de l’effort de cisaillement et des positions des trous, la vérification de la résistance à la pression diamétrale pour une épaisseur de la platine de 18 mm est la suivante : Fb, Rd =
2,5fudt 2,5 . 340 . 22 . 18 = = 269,3 kN Fv, Sd = 64,53 kN γMb 1,25 . 103
La résistance à la pression diamétrale est adéquate. ●
Vérification de la platine (EC3-DAN Annexe J révisée [10] ) :
L’Annexe J de l’EC3 donne des règles de calcul pour les assemblages des poutres par platine d’extrémité entre autres. L’application de ces règles est spécifiquement permise pour les assemblages type poutre- poteau et poutre-poutre dans lesquels aucun transfert de moment n’est prévu par l’analyse globale (§J.1.1(7) et (9)). Nous considérons qu’en utilisant les mêmes règles de calcul pour le cas présent nous restons dans l’esprit de l’Annexe J. Les parties qui nous intéressent sont uniquement celles traitant de la résistance de calcul en flexion des platines et des ailes boulonnées soumises aux efforts normaux à leur plan. L’effort de traction NSd = 420,1 kN, qu’on considère réparti uniformément par le gousset sur une hauteur de platine de 640 mm, soumet cette platine à une flexion. Pour cette partie, où il y a quatre rangées de boulons, on négligera dans les calculs que la rangée supérieure est plus résistante (parce que raidie par l’aile de la membrure) que les autres rangées. La partie de la platine sous la membrure, où l’effort de traction appliqué est faible, ne nécessite pas de vérification spécifique. Pour obtenir la résistance de la platine, il faut d’abord évaluer la résistance d’une rangée d’extrémité et celle d’une rangée centrale typique en face du gousset. La résistance totale sera prise comme la somme des résistances des rangées, dont deux sont des rangées d’extrémité et deux sont des rangées centrales. Les valeurs des paramètres géométriques (tp, p1, e1, m, e) intervenant dans le calcul de la résistance d’une rangée sont montrées à la figure 10. Lors du calcul de la résistance
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ASS-CAL 1-02 d’une rangée, c’est-à-dire d’un tronçon en T de la platine, on fait référence à celle d’un tronçon T de base d’une longueur efficace pour prendre en compte la forme du mécanisme de ruine. Le tronçon T de base a une forme simple (« idéalisée ») du mécanisme de ruine où les quatre charnières plastiques (sur les ailes en flexion) sont parallèles à l’axe longitudinal du tronçon T, dont deux passent par les axes des boulons et les deux autres sont de chaque côté de l’âme du T sollicité en traction (fig. 10). Les différentes formes possibles, c’est-à-dire réalistes, des mécanismes de ruine sont identifiées à la figure 12. D’une manière générale, les formes de mécanisme n° 1 et n° 5 sont les plus courantes pour une rangée d’extrémité tandis que les mécanismes n° 2 et n° 7 sont les plus courantes pour une rangée centrale. Les formes de mécanisme n° 3, n° 4, n° 8 et n° 9 (appelés mécanismes « circulaires » par l’Annexe J révisée de l’EC3 [10]) ne concernent que la situation peu courante suivante : ●
platines relativement larges, d’épaisseur relativement faible associées à des boulons de résistance relativement importante, avec le mode 1 de ruine, à savoir celui par mécanisme complet (fig. 10).
A chaque type de mécanisme pour une rangée on associe un tronçon T de base d’une longueur donnée par l’Annexe J et qui correspond à la longueur « efficace » de la rangée pour ce mécanisme. Dans le cas présent d’une platine en traction/flexion, il convient pour chaque rangée de considérer toutes les mécanismes possibles et, lors du calcul de la résistance correspondante, de prendre la longueur efficace la plus courte obtenue pour le tronçon T de base.
Fig. 10
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Fig. 11
Lorsqu’elle est prise seule, la longueur efficace d’une rangée d’extrémité (voir les mécanismes n° 1 à 4) est donnée par : ltronçon, seul = min [(2m + 0,625e + e1) ; (4m + 1,25e) ; (πm + 2e1)] ltronçon, seul = min [207 ; 303 ; 9 ; 261 ; 4 ; 240,7] = 207 mm Pour la rangée d’extrémité considérée seule, on obtient que la longueur efficace la plus courte du tronçon T est celle associée au mécanisme n° 1. Cependant, lorsque la contribution d’une rangée à la résistance totale d’un groupe de rangées est considérée, la longueur efficace du tronçon est souvent plus faible que celle obtenue pour la même rangée isolée. Ceci résulte d’une interaction entre les mécanismes des rangées voisines et on constate que c’est bien le cas ici. La longueur efficace de la rangée d’extrémité lorsqu’elle est prise en groupe (mécanismes n° 5, n° 6, n° 8 et n° 9) est donnée par : ltronçon, groupe = min [(e1 + 0,8p1) ; (2m + 0625e + 0,8p1) ; (2e1 + p1) ; (πm + p1)] ltronçon, groupe = min [145 ; 242 ; 290 ; 310,7] = 145 mm On conclut que la longueur efficace à prendre pour les rangées d’extrémité est celle du tronçon de base pour le mécanisme n° 5.
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ASS-CAL 1-02 Pour une rangée centrale la longueur efficace (voir les mécanismes n° 2, n° 3, et n° 7) est donnée par : ltronçon = min [(4m + 1,25e) ; (2πm) ; (p1)] ltronçon = min [303 ; 261 ; 4 ; 180] = 180 mm Les formes des mécanismes identifiées comme critiques pour les deux types de rangée et les longueurs efficaces correspondantes indiquent que, dans le cas présent, chaque rangée de la platine se comporte sur toute sa longueur réelle comme le tronçon T de base équivalent. Autrement dit, la forme du mécanisme de ruine potentielle pour la platine entière est la même que celle du tronçon T de base. La résistance de calcul en flexion de la platine d’épaisseur de 18 mm est, par unité de longueur : mpl, Rd =
t p2fy 18 . 18 . 235 = = 17,305 kN . mm/mm 4γM0 4 . 1,1 . 103
Résistance de la platine attachant le gousset (hauteur totale de 640 mm) : ●
Mode 1 : Mécanisme complet : Ft, rd =
●
Mode 2 : Rupture des boulons en traction et mécanisme partiel, notant que n = min (e ; 1,25 m) = 1,25m = 52 mm et Bt,Rd = 90,66 kN la résistance en traction d’un boulon en combinaison avec Fv,Sd = 64,53 kN de cisaillement : Ft, rd =
●
4Mpl, Rd 4 . l . mpl, Rd 4 . 640 . 17,305 = = 1 064,9 kN m m 41,6
2Mpl, Rd + n ∑ Bt, Rd 2 . 640 . 17,305 + 52 . 8 . 90,66 = = 639,6 kN m+n 41,6 + 52
Mode 3 : Rupture des deux boulons de la rangée en traction = 8x Résistance en traction d’un boulon en combinaison avec Fv,Sd = 64,53 kN de cisaillement : Ft, Rd = ∑Bt, Rd = 8 . 90,66 = 725,3 kN
La résistance critique est celle obtenue pour le mode 2 (formation d’un mécanisme partiel et la rupture des boulons), soit Ft,Rd = 639,6 kN. Donc, la vérification de la résistance de l’attache de la platine est : NSd = 420,1 kN NRd = 639,6 kN : satisfaisante.
RÉFÉRENCES
[1]
Thornton W.A. – « On the Analysis and Design of Bracing Connections », Proceedings of the AISC National Engineering Conference, Washington DC, June 1991, pages 26/1 – 26/33.
[2]
Thornton W.A. – « Connections : Art, Science and Information in the Quest for Economy and Safety », AISC Engineering Journal, 4th Quarter 1995, Vol. 32 N° 4, pages 132 – 144.
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[3]
Thornton W.A. – « Design Methods for Truss and Bracing Connections », Proceedings of Third International Workshop, « Connections in Steel Structures III - Behaviour Strength and Design », Edited by Bjorhovde, Colson, Zandonini, 1st edition 1996, Pergamon, pages 149-157 .
[4]
Bjorhovde R., Chakrabarti S.K. – « Tests of full size Gusset Plate Connections », ASCE Journal of Structural Engineering, Vol 111, N° 3, March 1995, pages 667-684.
[5]
Chakrabarti S.K., Bjorhovde R. – « Tests of Gusset Plate Connections », Department of Civil Engineering and Engineering Mechanics, University of Arizona, Tucson, 1983.
[6]
Gross J.L., Cheok G. – « Experimental Study of Gussetted Connections for Laterally Braced Buildings », National Institute of Standards and Technology Report, NISTIR 89-3849, Gaitersburg MD, November, 1988.
[7]
Gross J.L. – « Experimental Study of Gussetted Connections », AISC Engineering Journal, 3rd Quarter 1995, Vol. 7, pages 89-97.
[8]
Richard R.M. – « Analysis of Large Bracing Connection Designs for Heavy Construction », Proceedings of the AISC National Engineering Conference, Nashville TN, June 1986, pages 31/1 - 31/24.
[9]
EC3-DAN – Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier et Document d’Application Nationale – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments », Indice de classement AFNOR : P22-311 (chapitre 6).
[10] Amendement 2 de l’EC3-DAN – Eurocode 3 « Calcul des structures en acier et Document d’Application Nationale – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments », Indice de classement AFNOR : P22-311 Annexe J (publication imminente). [11] prEN 1993-Partie 1-8 : Eurocode 3 – « Assemblages », Juin 2002 (rédaction du projet final pour vote officiel).
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