Calcul À l'ELS D'une Solive

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

Feuill

1 

Réf. document

SX026a-FR-EU

Titre

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3

Réalisé par Vérifié par

V. Ungureanu, A. Ruff  D. Dubina

de

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion Cet exemple traite du calcul d'une solive de plancher simplement appuyée  profilée en C à bords tombés. On suppose que les semelles supérieure et inférieure sont maintenues latéralement de façon continue. La vérification  à l'état limite de service est également abordée. abordée. Pour le calcul pratique de profilés de faible fai ble épaisseur conformément à l'EN1993, les projeteurs utiliseront généralement un logiciel ou consulteront les données fournies par les fabricants. Cet exemple est présenté à titre d'illustration.

Données

   t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  r   v    0  e    0  s    2  e  ,   r    7  s    0   t   r   h   e  g   r    b   i    l   o   l    t   c  a      O  ,   t   y   h   a    i   g   r    d   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a    i   n  r   o   t   e    d  a   e    t   m   a   i   s   e   r   h    C    T

Portée de la poutre

 L = 5 m

Entraxe des solives

S  = 0,6 m

Charges réparties appliquées sur la solive :  

qG, beam     = 0 ,06 kN m

poids propre de la poutre

0 ,68 kN m 2  

dalle légère

qG,slab = 0 , 68  × 0 ,6 = 0 ,41 kN m

  charges permanentes qG = qG, beam     + qG,slab = 0,47 kN m charges d'exploitation  

7

  2,50 kN m 2   qQ = 2,50  × 0,6 = 1,50 kN m

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

Feuill

 2 

Réf. document

SX026a-FR-EU

Titre

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3 V. Ungureanu, A. Ruff

Réalisé par

 D. Dubina

Vérifié par

de

7

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

Les dimensions de la section transversale et les propriétés du matériau sont les suivantes :

   t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  r   v    0  e    0  s    2  e  ,   r    7  s    0   t   r   h   e  g   r    b   i    l   o   l    t   c  a      O  ,   t   y   h   a    i   g   r    d   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a   n   i   r   o   t   e    d  a   e  m    t   a   i   s   e   h   r    C    T

Hauteur totale Largeur totale de la semelle comprimée

h = 200 mm b1  = 74 mm

Largeur totale de la semelle tendue

b2   = 66 mm

Largeur totale du rebord

c = 20,8 mm

Rayon intérieur des arrondis

r  = 3 mm

Epaisseur nominale

t nom   = 2 mm  

Epaisseur de métal nu

t   = = 1 ,96 mm

Limite d'élasticité de base

2  f yb = 350 N mm

Module d'élasticité

 E  = 210000  N mm

Coefficient de Poisson

ν 

2

= Coefficients partiels

0,3

EN1993-1-3 §2(3)

γ M0   = 1,0  

γ M1  = 1,0   γ G   = 1,35  

– charges permanentes

γ Q   = 1,50

 – charges variables

EN1990

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

Feuill

 3 

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SX026a-FR-EU

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 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3 V. Ungureanu, A. Ruff

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 D. Dubina

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de

7

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

Calcul d de e la sol solive ive à l'éta l'étatt li limit mite e ulti ultime me Propri étés de la se secti cti on effi cace à l’ELU Moment d'inertie du profilé en C à bords tombés formé à froid et sollicité 4 en flexion par rapport à son axe principal :  I eff,y = 4139861 mm

SX022

Position de l'axe neutre : - à partir de la semelle comprimée :

 zc  = 102   ,3 mm

- à partir de la semelle tendue :

 z t  =  95,7 mm

Module de section efficace : - par rapport à la semelle comprimée :    t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e   r    9  v    0  e    0  s    2  e   r  ,   s    7   t    0   h   g   r   i   e  r    b   l    l   o  a    t   c     O  ,   t   y   h   a   i   r   g    d   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a    i   n  r   o   t   e    d  a   e  m    t   a   i   s   e   r   h    C    T

 

W eff, y,c =

 I eff, y

=

4140000 102,3

 zc

= 40460 mm3

- par rapport à la semelle tendue :  

W eff, y, t =

 I eff, y

=

4140000 95,7

 z t

= 43260 mm3

3 W eff,y = min(W    eff,y,c ,W eff,y,t ) = 40463 mm  

Charges Cha rges appli quées sur l a soliv e à l'ELU qd  = γ G  qG  + γ Q qQ = 1,35   × 0,47 + 1,50 × 1,50 = 2,89 kN m

EN1990

Moment fléchissant appliqué maximal (à mi-portée) par rapport à l'axe  principal y-y : 2  M Ed  = qd  L2 8 =   2 ,  89 × 5 8 = 9 ,03 kNm  

Vérif Vé rif icatio n de la résistance à la flexion à l'ELU Calcul du moment de résistance à la flexion de la section transversale :

    × 10 − × 350 × 10 1 ,0 = 14,16 kNm    M c,Rd  = W eff,y  f yb γ M0   = 40463 9

3

Vérification de la résistance à la flexion :  M Ed   M c,Rd 

=

9 ,03   = 0,638 < 1 14 ,16

EN1993-1-3 §6.1.4.1(1) EN1993-1-1 

 – OK

§6.2.5(1)

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

Feuill

 4 

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SX026a-FR-EU

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 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3 V. Ungureanu, A. Ruff

Réalisé par

 D. Dubina

Vérifié par

de

7

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

Vérif Vé rif icatio n de la résistance au cisaillement à l'ELU Calcul de l'effort de cisaillement Effort de cisaillement maximal appliqué V Ed  = q  d L 2 =  2,89 × 5 2 = 7,225 kN   Résistance plastique de calcul au cisaillement

V  pl,Rd  =

hw

(

 Av  f yb

3

γ M0

) = sin  φ  t ( f 

yb

3

)

EN1993-1-1 §6.2.6(2)

γ M0

où :

   t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  v    0  r    0  e    2  s  ,   e   r    7  s    0   t   r   h   e  g   r    b   i   o   l    l    t   c  a      O  ,   t   y   h   a    i   g    d  r   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a    i   n  r   o   t   e    d  a   e    t   m   a   i   s   e   r   h    C    T

 Av  

– est l'aire de cisaillement

hw =  h   − t nom  

– est la hauteur de l'âme

φ  = 90°

 – est l'inclinaison de l'âme par rapport aux semelles.

(200 − 2 ) × 10 −3 sin 90°

V  pl,Rd  =

(

× 1 ,96 × 10 −3 × 350 × 103    

3

1 ,0

)

= 78,42 kN  

Résistance de calcul au voilement par cisaillement hw V  b,Rd    =

  EN1993-1-3 §6.1.5

tf  bv

sinφ  γ M0

 

où :  f  bv   est la résistance au cisaillement, compte tenu du voilement

Pour une âme avec raidissage au droit de l'appui :  f  bv  = 0,58   f yb

si

λ w   ≤ 0,83

  yb λ w    f  bv  = 0,48 f 

si

λ w   > 0,83

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

 5 

Feuill

Réf. document

SX026a-FR-EU

Titre

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3 V. Ungureanu, A. Ruff

Réalisé par

 D. Dubina

Vérifié par

de

7

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

L'élancement réduit λ w pour les âmes sans raidisseurs longitudinaux : λ w = 0,346 s w t  0,346 ×

 

 f yb = 0,346 h − t nom  E  t 

200 − 2 1,96

350

×

λ w = 1 ,427     > 0 ,83

210000

 f yb =  E 

 

= 1,427

et donc :

 f  bv = 0,48  f yb λ w = 0, 48 × 350 1,427 = 117,7 N mm2  

(200 − 2) × 10 −3 sin 90°

V  b, Rd  =    t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  v    0  r    0  e    2  s   e  ,   r    7  s    0   t   r   h   e  g   r    b   i   o   l    l    t   c  a      O  ,   t   y   h   a    i   g    d  r   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a    i   n  r   o   t   e    d  a   e    t   m   a   i   s   e   r   h    C    T

× 1,96 × 10 − 3 × 117,7 × 103   = 45,7 kN   1,0

Résistance de calcul au cisaillement V c,Rd  = min V  pl,Rd    ,V  b,Rd    = min(78,42 ; 45,7 ) = 45,7 kN  

Vérification de la résistance au cisaillement V Ed 

=

V c,Rd 

7 ,225   = 0,158 < 1   45 ,7

EN1993-1-1

– OK

§6.2.6(1)

Vérif Vé rif icatio n de la résist ance transversale locale à l'ELU Réaction d'appui : F Ed  = q  d L 2 =  2,89 × 5 2 = 7,225 kN  

EN1993-1-3 Pour obtenir la résistance transversale locale de l'âme pour une section §6.1.7.2 (1) transversale comportant une seule âme non raidie, les critères suivants doivent être satisfaits : hw t   ≤

198 1,96 = 101   ,02 <

200  

r  t  ≤

6

 

45°

φ  ≤

90°

 ≤

3 1,96 = 1,53 <

6

200 – OK – OK

où φ   est l'inclinaison de l'âme par rapport aux semelles : φ  = 90°

– OK

 

  c E   g

x

e

m

p

l

 FEUILLE DE CALCUL

   O    i

e

:

C

a

Feuill

l

6  

c

Réf. document

SX026a-FR-EU

Titre

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3

de

u

7

    r

V. Ungureanu, A. Ruff

Réalisé par

 ,

  y   p

 D. Dubina

Vérifié par

  y

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

La résistance transversale locale de l'âme ss   = 80 mm

La longueur d'appui est :   a   o

Date

EN1993-1-3

Pour ss t  = 80 1,96   = 40,816 < 60 la résistance transversale locale de l'âme

§6.1.7.2 (2) Figure 6.7

 Rw,Rd  est :

   d   c   s  

 Rw,Rd  =

⎡ ⎣

k 1k 2 k 3 ⎢5,92 −

hw t ⎤ ⎡ ss ⎤ 2 + 1 0 , 01 t   f yb 132 ⎥⎦ ⎢⎣ t  ⎥⎦   γ M1

  e   s

  n    i

où : k 1 = 1 ,33 − 0,33k  

avec

228 = 1,535   k  =   f yb 228 = 350  

§6.1.7.2(3) de l'EN19931-3

k 1 = 1,33 − 0, 33 × 1,535 = 0,823

   d  

k 2 = 1,15 −  0,15 r  t  =  1,15 − 0,15 × 3 1,96 = 0,92     e    l

k 3 = 0,7 +  0,3(φ  90) =  0,7 + 0,3 × (90 90) = 1   2

   W   a

    i

 Rw,Rd  =

2

⎡ ⎣

0,823 × 0,92 × 1 × ⎢5,92 −

198 1,96 ⎤ ⎡ 80 ⎤ × + × × 1,96 2 × 350 1 0 , 01 ⎢ ⎥ ⎥ 132 ⎦ ⎣ 1,96 ⎦

 

1,0

= 7396  N

 Rw,Rd   = 7,396 kN     n  r

Vérification des efforts transversaux locaux   o  e

    t

   d  a

F Ed  = 7,225 kN    

<

Rw,Rd  = 7,396 kN  

– OK

§6.1.7.1(1) de l'EN19931-3

Vérific érification ation à l'éta l'étatt li limit mit e de se servi rvice ce Chargement Chargeme nt de la soli ve à l’ELS (combin aison f réquente) qd,ser  = qG  + qQ  = 0,47 + 1,50 = 1,97 kN m

  e  m

Le moment fléchissant appliqué maximal :    t  

  a  s

  e   i

  r   h

   C    T

2 2  M Ed,ser  = qd,ser  L  8 =  1 ,97 × 5 8 = 6 ,16 kNm

 

EN1990

l

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 FEUILLE DE CALCUL

7  

Feuill

Réf. document

SX026a-FR-EU

Titre

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

Réf. Eurocode

 EN 1993-1-3

Réalisé par Vérifié par

V. Ungureanu, A. Ruff  D. Dubina

de

7

Date

 Déc 2005

Date

 Déc 2005

Propri étés de la se secti cti on effi cace à l’ELS Moment d'inertie à l'ELS : σ gr   I fic =  I gr  −    ( I gr  −  I (σ )eff  )   σ 

EN1993-1-3

avec :

§7.1(3)

 I gr  = 4496000 mm4  – est le moment d'inertie de la section transversale brute

contrainte maximale maximale de compression compression due à la flexion flexion à l'ELS σ gr  – contrainte  z c,gr    =  96 ,88 mm  – position de l'axe de gravité par rapport à la semelle

comprimée    t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  r   v    0  e    0  s    2  e  ,   r    7  s    0   t   r   h   e  g   r    b   i    l   o   l    t   c  a      O  ,   t   y   h   a    i   g    d  r   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a    i   n  r   o   t   e    d  a   e    t   m   a   i   s   e   h   r    C    T

σ gr  =

 M Ed,ser 

 M Ed,ser 

=

W gr 

 I gr   zc, gr 

6,16 × 106

=

= 132,7 N mm2  

4496000 96,88

σ  =   f yb = 350 N mm2    I (σ )eff  =  I eff, y = 4140000 mm 4    I fic = 4496000 −

132,7 350

× (4496000   − 4140000 ) = 4361000 mm 4  

Vérif Vé rif icatio n de la flèche Flèche de la solive : δ  =

4 5 qd,ser  L

384  EI fic

=

5 384

×

1,97 × 5000 4

= 17,51 mm  

210000 × 4361000

La flèche est de  L/286 – OK   Remarque  1 : Le client doit spécifier les limites pour les flèches. L’Annexe Nationale peut préciser quelques valeurs limites. Dans le cas  présent, on on peut considérer considérer que les les résultats résultats sont pleinemen pleinementt satisfaisants. satisfaisants. Remarque 2 :  Pour ce qui a trait aux vibrations, l'Annexe Nationale peut spécifier des limites concernant leur fréquence. Dans le cas présent, la flèche totale est suffisamment faible ; le problème de vibration ne se pose donc pas.

§7.2.1 de l'EN l'EN 1993-11 

§7.2.3 de l'EN l'EN 1993-11 

 

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

 Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service service d'un élément en acier  formé à froid et sollicité en flexion SX026a-FR-EU

Enregis nregistrement trement de la qualit qualité é TITRE DE LA RESSOURC RESSOURCE E

Exemple : Calcul et vérification à l'état limite de service d'un élément en acier formé à froid et sollicité en flexion

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Société

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Créé par

V. Ungureanu, A. Ruff

BRITT Ltd. Timisoara, Roumanie

Contenu technique vérifié par

D. Dubina

BRITT Ltd. Timisoara, Roumanie

1. Royaume-Uni

G W Owens

SCI

12/04/06

2. France

 A Bureau

CTICM

12/04/06

3. Suède

B Uppfeldt

SBI

11/04/06

4. Allemagne

C Müller

RWTH

11/04/06

5. Espagne

J Chica

Labein

12/04/06

G W Owens

SCI

11/09/06

eTeams International Ltd.

26/06/06

CTICM

19/07/06

Contenu rédactionnel vérifié par Contenu technique approuvé par l es partenaires :

   t   n   e   m   e   e   r   g    A   e   c   n   e   c    i    L    l   e   e    t    S   s   s   e   c   c    A   e    h    t    f   o   s   n   o    i    t    i    d   n   o   c    d   n   a   s   m   r   e    t   e    h    t   o    t    t   c   e    j    b   u   s   s    i    t   n   e   m   u   c   o    d   s    i    h    t    f   o   e   s    U  .    d   e    9  v    0  r    0  e    2  s  ,   e   r    7  s    0   t    h   r   e  g   r    b   i   o   l    l    t   c  a      O  ,   t   y   h   g   a    i    d  r   s  y   e  p   n  o    d  c   s   e   i    l    W   a   n   i   r   o   t   e    d  a   e  m    t   a   i   s   e   r   h    C    T

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P Mangin

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