Calcolo Pedana

 

Calcolo piattaforma

F

L

8  

2

3

6

    l

7

Dati di calcolo Base 1200 x 900 mm mm Altezza massima 900 mm Altezza minima 200 mm Tempo Salita 9 s

5 1 0

α 4

Ipotesi di calcolo: La struttura risulta simmetrica, si ipotizza che il carico sia applicato sull'asse di simmetria e si divide in parti uguali sui piedi, per cui la forza è la metàalla delpiastra peso del L'asta 1-3 è Fcollegata dicarico. base mediante un perno, posto nel punto 1, questo coincide con l'origine di un sistema di riferimento x y, l'altro l'altro vertice dell'asta, il numero 3, sorregge la piattaforma e può spostarsi lungo essa senza attrito L'asta 2-4 è collegata alla piattaforma piattaforma mediante un perno posto nel pu punto nto 2, l'altra estrem estremità ità scorre sulla piastra di Ba Base. se. Le due aste sono collegate tra loro mediante un perno posto nel ne l loro punto medio (punto 7. Calcolo Pedana

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Nel disegno sono riportate le posizioni estreme della piattaforma. Dall'esame del del disegni si ricavano i seguenti dati:

9

L'angolo α esistente tra l'asse x e l'asta 1- 3 varia , risultando comunque compreso tra due valori α1 ed α2 con i dati della nostra piattaforma α2 è prossima a 45°, mentre α1 non potrà mai essere 0 I punti 1 e 2 hanno ascissa uguale come anche i punti 3 e 4

2

3

6     x     a     m      H

I punti 2 e 3 si trovano sempre alla stessa altezza (la piattaforma deve essere orizzontale) pari ad H , così come i punti 1 e 4 che avranno sempre ordinata nulla

7

    n      i     m      H

5 1 0

4

La distanza tra i punti 5 e 6 è variabile, essa è minima quando H = Hmin e massima quando H=Hmax Tutte le varie posizioni sono comunque funzioni dell'angolo α 

Calcolo Pedana

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Calcolo delle forze agenti nei punti 1 e 3 Nelle varie figure della pagina è schematizzata la piattaforma sorretta nel punto 1 da una cerniera e nel punto 3 da un carrello

F

L

 

1

3

x

Le posizioni del carrello e della forza non sono definite, ma variabili, la L e la x variano tra i rispettivi valori minimi e massimi.

F

L max

 

1

3

L min

1

F   x

x

F

L

1

  x max

Calcolo Pedana

3

F

L

3

1

 

3

x min

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Sostituiamo ai vincoli le reazioni vincolari

L

F

R1x 1 R1y

x

3 R3y

E' facile ricavare che :  L  R3y 󰀽 ⋅F   x  R1y 󰀽

 x − L

800*y/x

F 

 x

 3500  3000  2500  2000  1500  1000  500

 R1x 0 󰀽

 3500  3000  2500  2000

Il diagramma a lato riporta l'andamento delle R3y al variare della x e della L

 1500  1000  500  0

0

Calcolo Pedana

 200

 400

 600

 800

 1000

 300  400  500  600  700  800  900  1000  1200 1100

 0

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Valutazione angoli del triangolo 5 6 7 La necessità di far si che la piattaforma sia orizzontale in ogni posizione impone che

6

il punto 7 divida le aste in parti uguali per cui i segmenti 1-7 e 4-7 sono uguali. Il triangolo 174 è isoscele isoscele per cui gli angoli alla base sono uguali, e pari ad α. e l'angolo al vertice ha una ampiezza pari a 180 – 2α 2 α.

γ  γ  2α 2 α

γ = 180 -(2α -(2α + β)

Si ha:

l    2   

7 1 18 8 80 0 − 2α 2α

Applicando il teorema dei seni al triangolo 5 6 7 si ha l1 sen 

󰀽

  l2 sen 

sen  l 1 󰀽   sen  l 2

  da cui

5

sen  180 − 2⋅ l 1   󰀽 l2 sen 

β

   1     l

ricordando che sen 180 −󰀽 sen     si ha: l1 l2

󰀽

l 1 sen  2  ⋅cos  sen ⋅cos  2⋅ sen  2   sen  2⋅   cos  2⋅   da cui è possibile ricavare tgβ   󰀽 󰀽 tgβ   tg   sen   l2 sen    tg 󰀽

  sen  2  l1 l2

Calcolo Pedana

− cos  2⋅  pag. 5 di 8

 

Coordinate dei punti nel diagramma x-y

le aste sono lunghe 2l

x7 x1 = 0 x2 = 0

y1 = 0 y2 = 2 l sen α

x3 = 2 l cos α x4 = 2 l cos α x5 = (l - l1) cos α x6 = (l - l2) cos α  x7 = l cos α

y3 = 2 l sen α y4 = 0 y5 = (l - l1) sen α  y6 = (l+l2) sen α y7 = l senα senα

 

2

3

     3

     y

6 2α

     2

7

     y

180 − 2α      7

     y

5 1

α

α

4

0

x4

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Calcolo delle reazioni vincolari

La struttura viene ipotizzata tutta rigida Applichiamo le equazioni cardinali della statica, calcolando il rispetto al punto 1.

∑ F  󰀽0   ∑ F  󰀽0   ∑  M  󰀽0  y

 x

∑ F  󰀽 0  x

 z

F2y F2x

F3y

2

 

 

3

6 2α

F 1x  F 2x 󰀽 0

 

momento

7

180 − 2α

∑ F  󰀽0 ∑  M  󰀽0  y  y

 z

 

1y  F 4y − F 2y 2y − F 3y 3y 󰀽 0 F 1y

 

F 2x⋅ y 2  F 3y⋅ x 3 − F 4y⋅ x 4󰀽0

5

F1x 1

α

α

4

0

F1y

F4y

Le incognite sono 3 ovvero F1x, F1y ed F4y e risultano facilmente ricavabili .

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Valutazione forze agenti sulle aste

x3

Le forze incognite sono quelle applicate nei punti 5 e 7 o ovvero: vvero: F5x , F5y, F7x, F7y.

 

∑ F  󰀽 0

 

∑ F  󰀽0  y

∑  M  󰀽0  z

3

F 1x − F 5x − F 7x 󰀽0

 

 x

F5x x7

F 1y − F 5y  F 7y − F 3y 󰀽0

 

F3y

 

  F 5y⋅ x 5− F 5x⋅ y 5− F 7y⋅ x 7− F 7x⋅ y 7 F 3y⋅ x 3󰀽 0

F7y

α+ α+β +β

7

F5y x5 7

 

F 5y 󰀽 tg  F 5x

F5y

F7yx

F1x

5

1

F5xy5

y

y x

F1y

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