UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN – SEDE LIMA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Facilitador:
Dr. SORIA QUIJAITE JUAN JESÚS
EMAIL:
[email protected] [email protected] .pe Tema: LA ANTIDERIVADA D S i Q ij it J
J ú
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REFLEXIÓN
¡Reflexión! Suponga que dentro de t meses la población de cierta ciudad crecerá a una 2
4 5 t 3
razón de de habitantes por mes. Si la población actual es de 10000, ¿cómo podríamos determinar la población dentro 8 meses? 2
INTERROGANTE
¡Interrogante! ¿Qué función F ( x) tiene como derivada a la función f ( x) x2 5 ? ¿Y la función F ( x)
1 3
x
3
5 x es la única que
cumple con F ´( x) = f ( x) ? ¿Qué otras funciones F ( x) cumplen?
3
LA ANTIDERIVADA
Antiderivada Si se cumple que: F´ ( x) = f ( x)………..( 1) para todo x en el dominio de f , entonces F ( x) es una antiderivada de f ( x). La expresión (1) equivale a escribir:
d dx
F ( x)
f ( x) 4
LA ANTIDERIVADA
Propiedad fundamental de las antiderivadas Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) , entonces cualquier otra antiderivada G( x) de f ( x) difieren sólo en una constante. La antiderivada general de f ( x) simbólicamente se expresará:
f ( x)dx F ( x) C la cual se denomina integral indefinida de f . 5
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Notación:
Signo integral integrando
f ( x)dx F ( x) C
Variable respecto a la cual se integra
Constante de integración 6
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas para integrar funciones comunes k : Constante 1 2. x dx x C, n -1 n 1 1 3. dx ln | x | C , x 0 x 1 4. e dx e C, k 0 k
1. kdx kx C ,
n 1
n
kx
kx
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios Halle las siguientes integrales. Verifique su respuesta mediante derivación: a)
b)
3
x 1
x
dx
c)
3e
dx
d)
dx
2
2
2x
dx
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas algebraicas para la integración indefinida
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx k f ( x)dx k f ( x)dx k constante
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios Halle las siguientes integrales. Verifique su respuesta mediante derivación 1. 2. 3.
(3t 5t 2)dt 2
6
(8e u ln 2)du 2 1 (1 y y )dy 2u
4. 5.
x (
x(2 x 1) dx 2
2
2 x 1 x
2
)dx
3
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Problema 1 Halle la función f ( x) cuya tangente a su gráfica tiene pendiente 4 x + 1 para cada valor de x y su gráfica pasa por el punto (1; 2)
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
Problema 2 Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad crecerá a una razón de 2
4
5 t 3
habitantes por mes. Si la población actual es de 10 000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?
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INTEGRACIÓN POR PARTES
La antiderivada
Integración por partes
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Desafío ¿Será verdad que
x dx x x dx x dx x dx ? 5
3
2
2
3
Conclusión:
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx ¿Cómo podemos hacer entonces para integrar un producto de funciones?
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Integración por partes Si u y v son funciones de x, entonces
(u v)´ u v´v u´ )´
u
Integrando
u v dx u vdx v u dx
v
´
se tiene
´ (u
Al despejar
u
v
v
´
´
v u
´
u dv u v v du Nota: dv debe de contener a dx 15
INTEGRACIÓN POR PARTES
¿En qué consiste este método? Este método consiste en identificar a u como una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de aplicar la formula obtenida, la integral del segundo miembro sea más fácil de obtener que la primera.
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 1 u Halle
x e
2x
dx
dv
Solución:
Hacemos u x; entonces.... d u
x e
por tanto ....
2 x
dv e 2 x dx d x;
d x
v
1
e
2 x
2
2 x 1 x e 2 1 2
x e
2 x
1 2 1 4
e e
2x
2x
d x
C 17
INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 2 Use integración por partes para hallar:
x ln x dx
¿Cuál de las dos opciones sugiere tomar? u
x
dv ln x dx
ó u
ln x
dv x dx
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 3
Halle
u
ln x dx
dv
Solución:
Hacemos u
entonces.... du
ln x; 1
x
por tanto .... ln x
dv
dx;
dx
v
dx x
x ln x x x ln
x
1
dx
x
x C 19
INTEGRACIÓN POR PARTES
Pautas para aplicar integración por partes: 1. Seleccione uno de los factores del producto. Este factor debe ser fácil de integrar; el otro factor debe quedar simplificado al derivarse. 2. Al reemplazar en la nueva fórmula integral, en el integrando debe quedar una función más sencilla de determinar su integral. 3. Completar el procedimiento calculando la nueva integral del paso 2.
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Dr. Soria Quijaite Juan Jesús
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