CAIXETA-FILHO, J. v. - Pesquisa Operacional Aplicada Ao Sistema Agroindustrial

.-/rYl

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA "LUIZ DE QUEIROZ" DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E SOCIOLOGIA RURAL

PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AO

SISTEMA AGROINDUSTRIALI

( (,

USP/ESALQ Departamento de Economla , :;oclologiaRural RIBLIOTECA

o 1)'1

(:

José Vicente Caixeta Filhd

Julho 1997 I Relatório técnico referente ao projeto de pesquisa intitulado "Pesquisa Operacional Aplicada el Agropecuária", apoiado pelo CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (Proc.: 301540/91-8-NV). 2 Professor Associado do Departamento de Economia e Sociologia Rural, da Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", da Universidade de Silo Paulo.

-

3

CONTEÚDO

1. Conceitos Básicos de Modelagem 1.1 Programa9ao Linear 1.2 Formula9ao de modelos

" :

2. Estrutura9aode ModelosLineares 2.1 MétodosAIgébricose Gráficos

12 13

" "

2.2 Regra de Cramer 2.3 Método de Gauss-Jordan . 2.4 Método Simplex 2.4.1 Interpreta9ao Gráfica 'r<

10 8 6 4 2

-

O

-4

-2

O ---

2

4

Ipág.60

I

Objetivo: Maximizar o lucro

Alternativas: - produyao de soja (xl)

- produyao

de algodao (X2)

Restric;oes: - área

- disponibilidade de mao-de-obra

- crédito

8

10

restric;;ao1 -ti- restric;;ao2 -H- restric;;ao3

(vide comentários adicionais as páginas 56-67)

~

6 X2

12

14

158

Estrutura matemática:

Max Z = 50 x¡ + 25 X2 sujeito a x¡ +

X2 :s; 20

20x¡ + 120x2 :s; 1200 600x¡ + 200X2 :s; 6000 A soluc;ao ótima é X¡ = 7,06, X2= 8,82 e Z = 573,53

I

EX.2

I

pág.60

I

Objetivo: Maximizac;aodo lucro Alternativas: - ovino Merino (x¡)

- fado

Here10rd (x~)

- ovino Romey (x3) Restri~oes:

-capital - área

Estrutura matemática:

Max Z = 12 x¡ + 40 X2+ 7x3

sujeito a 7x¡ + x¡ +

100x2 +10x3:S;10400 3X2 + 0,5X3 :s;500

Soluc;ao ótima X¡ = O,x2 = O e X3= 1.000 e Z = 7.000,00

159

~

Ipág.60

I

Objetivo: Maximizar o lucro Alternativas:

- planta9ao

de soja (x¡)

- planta9ao de milho (X2) - planta9ao de aveia (X3} - cria9ao de vacas (X4)- cria9ao de galinhas (X5) - meses de invemo a serem trabalhados na fazenda vizinha (X6) - meses de verao a serem trabalhados na fazenda vizinha (x7) Restri~oes: - mao-de-obra no invemo - mao-de-obra no verao

- área total de terra

/

- investimelltos inicia:s para a c'iá9ao de vacaS'e galinha~ Estrutura matemática:

Max Z = 937,5x¡ + 1375 X2+ 625x,3+ 800 X4+ 5x5 + 4X6+ 4,5x7 (

1

,

sujeito a ~

x¡+

X2+

X3 +

~

0,6X4

30000

900X4 + 7X5 50x¡ + 87,5x2 +

25x3 + 100x4 + 0,6X5 + X6

125x¡ + 187,5x2 + 100X3+ 50X4+ 0,3X5

40)

+X7

=

3500

=

4000 32

X4

X5

~

3000

A solu9ao ótima é X¡.= 22,5, X2= O, X3= O, X4= 5,75, X5= 3.000, X6= O, X7= Oe Z = 40.693,75

160

[Ex.l

I pág.69

I

Objetivo: minimizac;:ao do custo de rac;:ao Alternativas:

- milho

(x¡)

- farelo de soja (X2) - quantidade mínima requerida de proteínas - quantidade mínima requerida de energia - peso total

Restri~oes:

Estrutura matemática: Min Z = 1,8x¡ + 4,2 x2 sujeito a 3146x¡ + 2283 X2 ~ 3000 8,51x¡

+

45,6x2 ~ 17,16

x¡ +

X2 = 1

o proble.na nao t~m soluc;:ao!

I

EX.2

I

pág.69

Objetivo:

I

Minimizac;:ao do custo da rac;:ao

Alternativas:

- ingrediente l(x¡)

- ingrediente

2 (X2)

Restri~oes:- quantidade mínima exigida para o nutriente A

- quantidade mínima exigida para o nutriente B - quantidade mínima exigida para o nutriente e

- quantidade mínima exigida para a vitamina X

161

Estrutura matemática: Min Z = 0,6 X¡ + 0,4 X2 sujeito a 1OOx¡ +

200X2

80x¡ +

150x2 48

40x¡ +

20X2 20 1,5

lOx¡ X¡ + A soluyao ótima é x¡

~

Ipág.70

90

X2=1

= 0,15, X2 = 0,85 e Z = 0,43

I

Objetivo: Minimizayao do custo de rayao

Alternativas: - milho (x¡) - tanyagem (X2) - alfafa (X3)

Restri~oes:

- quantidades requeridas dos ingredientes nutricionais (carbohidratos, proteínas e vitaminas)

A estrutura matemática: Min e = 21x¡ + 18x2+ 15x3 sujeito a 90x¡ + 20x2 + 40x3 ~ 200 30x¡ + 80X2+ 60xj ~ 180 10x¡ + 20X2+ 60X3~ 150

A soluyao ótima é X¡= 1,14, X2= O, X3= 2,43 e Z = 60,43

162

I

Ex.4

I

pág.70

I

Objetivo: Minimizar o custo da ra((ao Alternativas: - ingrediente A (Xl)

- ingrediente

B (X2)

- ingrediente

e (X3)

Restrh;oes: - quantidade total da ra((aorequerida

- quantidade máxima de A - quantidade mínima de B e e a) Estrutura matemática:

Min Z = 8000Xl + 10.000 X2 + 11.COOx3

(1)

sujeito a

3.000

Xl

1.500

(3)

2.000

(4)

xl + X2+ X3= 10.000

(5)

X2 X3

A solu((ao é Xl

(2)

= 3000, X2 = 5000, X3 = 2000 e Z = 74.400.000,00

163

b) c'J

Base

b.I

8000

10000

11000

O

O

O

MI

M2

M3

XI

X2

X3

SI

S2

S3

Al

A2

A3

Cb

O

SI

3000

1

O

O

1

O

O

O

O

O

MI

Al

1500

O

1

O

O

-1

O

1

O

O

M2

A2

2000

O

O

1

O

O

-1

O

1

O

M3

A3

10000

O

O

O

O

O

O

O

O

1

z.J

-

O

O

O

O

-MI

-M2

MI

M2

M3

-

8000

O

MI

M2

O

O

O

Cj- Zj

10000- 11000 -

- M3 MI-M3

M2 -M3

C) Reescrevendo, a restriyao (5), como: XI + X2 + x3 :s;;10.000 XI

+

X2

+ X3 ~ 10.000

A estrutura matemática padrao pode ser dada por, Min Z = 8000xI + 10.000 x2 + 11.000x3 sujeito a ~-3.000

-XI X2

~ 1.500 X3~ 2.000

-XI - X2 - X3 ~ -10.000 XI + X2+ x3 ~ 10.000

Assim, estrutura dual é expressa por: Max Z = -3000YI + 1500Y2+ 2000Y3

- 10000Y4 +

10000ys

sujeito a

YI

-Y4 + Ys :s;; 8.000 Y2

-Y4 + Ys :s;;10.000 Y3 -Y4 + Ys :s;;11.000

d) Faz sentido, senda atuantes as restriyoes (2), (3) e (5).

164

e) Estrutura matemática: Min Z = 10.000 X2 + 11.000x3 sujeito a ~ 1.500

X2

X3 ~ 2.000 X2 +

A soluyao

X3

= 10.000

ótima é X2 = 2000,

X3

= 8000 e Z = 108.000.000,00, sendo o preyo-

sombra associado élrestriyao de peso igual a 11.000.

E

Ipág.80

I

Objetivo: Minimizar o custo total de transporte

Alternativas:

-transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 1 (XII) - transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 2 (X12)

-transportar arroz do armazém 1 ao centro consumidor 3 ( X\3) - transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 1 (X21)

-transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 2 ( X22) -transportar arroz do armazém 2 ao centro consumidor 3 (X23)

-transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 1 (X31) -transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 2 ( X32)

-transportar arroz do armazém 3 ao centro consumidor 3 ( X33) Restri-roes: - estoques disponíveis nos armazéns 1,2 e 3

-quantidades demandadas nos centros consumidores 1, 2 e 3 o modelo matemático pode ser descrito como segue:

165

Min Z = 10xII + 5 X12+ 12x13+ 4X21+9X22+ 15x23+ 15x31+ 8X32+ 6X33

sujeito a

XII + Xl2 + X13::;200 X21+ X22+ X23::; 150 X31+ X32+ X33::; 300 XII + X21+ X312::100 XI2 + X22+ X322::300 X13+ X23+ X332::250

A solw;:ao ótima é Xli = O, XI2 = 200, X13 = O,X21 = 100,X22 = 50, X23 = O,X31 = O, x32

I

= 50, X33 = 250 e Z = 3750,00

EX.2

I

pág.81

I

INGLATERRA Cultura

FRANinforma sobre as condic;5es em que a soluc;ao ótima permanece a mesma (nao sao alterados os valores dos xij,apenas do Z).

I

EX.6

I

pág.84

\

Objetivo: Maximizac;aodo lucro Alternativas:

Restri~oes:

- plantar

no lote i ( 1,2,e 3) a culturaj (tomate, feijao e arroz)

-área máxima dos lotes - capacidade máxima da terra para cada cultura

- árer'.mínima utilizada de cada lote - proporc;aoplantada de urna mesma cultura em cada urn dos lotes o modelo matemático pode ser descrito como segue: Max Z = 600xll + 450X12+ 300x13+ 600X21+ 450 X22+ 300X23+ 600X31+ 450X32+ (O)

300X33 sujeito a Xli

+ X21 + X31 ~ 900

X21 + X22 + X32 ~

700

(1) (2)

+ x32 + x33 ~ 1000

(3)

Xli + X12 + X13 ~ 0,6 X 500

(4)

X21+ X22+ X23~ 0,6 X 800

(5)

X31+ X32+ X33~ 0,6 X 700

(6)

XII + XI2 + XI3 ~ 500

(7)

X21+ X22+ X23~ 800

(8)

+ X32 + X33 ~ 700

(9)

X33

X31

xI¡!500

-

x21/800

=O

(10)

173

- X31/700= O

(11)

X12

/500 - X22/800= O

(12)

X12

/500 - x32/700= O

(13)

- x23/800 = O

(14)

/500 - x33/700= O

(15)

xII/500

X13/500 Xl3

a)

NUda RESTRIc;AO

LHS

RHS

Sk(folga)

ATUAc;Ao

1

900

900

O

ATUANTE

2

700

700

O

ATUANTE

3

400

1000

600

NAo ATUANTE

4

500

300

200

NAo ATUANTE

5

800

480

-320

NAo ATUANTE

6

700

420

-280

NAo ATUANTE

7

O

O

O

ATUANTE

8

O

O

O

ATUANTE

9

O

O

O

ATUANTE

10

O

O

O

ATUANTE

11

O

O

O

ATUANTE

12

O

O

O

ATUANTE

13

O

O

O

ATUANTE

14

O

O

O

ATUANTE

Supondo um custo de oportunidade para a restri