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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
CUADERNO DE APRENDIZAJE
CÁLCULO
Elaborado por: MARCELA ALEJANDRA SILVA VALLEJOS Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012
Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.
Mucho Éxito.-
Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
UNIDAD 1: Funciones reales, límite y continuidad APRENDIZAJE ESPERADO: 1. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función
lineal como modelo Criterio 1.1. Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros
y gráfica. Recordar que una función lineal es de la forma: f ( x) mx n Donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición.
1. Ejemplo Determine cuál de las siguientes funciones es una función lineal. a) f ( x) x 2 x 3 b) f ( x ) 2 x 3 c) f ( x) x3 x 3 d ) f ( x) x 3
Solución: Para poder identificar funciones lineales debemos fijarnos en la variable x, esta no puede tener un exponente distinto de 1 (x 1 = x). Por lo tanto en este caso la función b y d son lineales
2. Ejemplo Determine los puntos en que la función f(x)= 3x – 6 corta a los ejes, grafique la situación. Solución: Para resolver este tipo de problemas debemos reemplazar f(x) = 0 y calculamos el valor de x 0 3 x 6 6 3 x
Pasamos el 6 sumando para el otro lado
6
Pasamos el 3 dividiendo para el otro lado
x
3 x 2
Simplificamos el resultado
Por lo tanto la recta corta el eje x en el punto (2,0) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Luego remplazamos x por 0 y calculamos calculam os f(x)
f (0) 3 0 6 6 Por lo tanto la recta corta el eje y en el punto (0,-6) Para graficar ubicamos los dos puntos en el plano y los unimos con una recta Consideramos un cuadrado como una unidad
3. Ejemplo Determine la función lineal que tiene pendiente -2 y pasa por el origen. Grafíquela Solución: Si la función tiene pendiente -2 ya sabemos que es de la forma f ( x) 2 x n Para poder descubrir el valor de n debemos remplazar las coordenadas del origen en nuestra función. 0 20 n n0
La función sería f ( x) 2 x Para poder graficarla vamos a buscar 2 puntos que pasen por esta recta.
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Vamos a remplazar x por 1 calculando f (1) 21 2 Por lo tanto la recta pasa por el punto (1,-2) Vamos a remplazar x por -1 calculando
f ( 1) 21 2 Por lo tanto la recta pasa por el punto (-1,2) Ahora graficamos,
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.2. Opera con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su
estudio a situaciones de la vida laboral 1. Ejemplo Determine la pendiente de las aguas de una techumbre, si sabe que su punto más alto está a 6 metros de altura y la distancia entre las piernas de la costanera donde se apoya la techumbre es de 14 metros. Considere el eje x sobre la costanera y el eje y en el centro de esta.
Solución: Para saber la pendiente debemos utilizar la siguiente fórmula m
y2 y1 x2 x1
Luego remplazamos m
60 07
6
0,857 7
Cabe destacar, que la pendiente nos da negativa por ser la recta que se forma al lado derecho, si calculáramos la pendiente de la otra pierna nos daría el mismo valor numérico pero positivo
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2. Ejemplo Se necesita arrendar una camioneta, esta tiene un costo inicial de $45.000 más $350 por kilometro que se use. Determine la función lineal que representa el costo de arriendo de la camioneta, en función de los kilómetros utilizados Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos identificar primero nuestra variable x, en este caso serían los kilómetros. Luego, tenemos que entender que el coeficiente de posición será nuestro costo fijo, ya que aún cuando no utilicemos la camioneta y nuestro kilometraje sea 0, igual debemos pagar el costo inicial si la arrendamos. Por lo tanto la función será
f ( x) 350 x 45000
3. Ejemplo Con respecto al ejercicio anterior, determine el valor a pagar por el arriendo de una camioneta, si viaja 987 kilometro. Solución: Debemos remplazar el valor de los kilómetros por x
f ( x) 350987 45000 390450 Deberíamos pagar $390.450
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.3. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la
función lineal como modelo. 1. Ejemplo Determine qué compañía de celular le conviene más contratar, si usted habla normalmente 400 minutos mensuales desde su celular: La compañía A le cobra $10.500 mensuales más $35 el minuto utilizado La compañía B le cobra solo el consumo a $275 La compañía C le cobra $5.000 mensuales más $100 el minuto utilizado Solución: Para resolver este ejercicio vamos a definir la función del costo en función de los minutos hablados en cada caso y luego remplazamos x por 400 para saber el costo Compañía A
f ( x) 35x 10500 f (400 (400)) 35 400 400 10500 0500 24500 4500 Compañía B f ( x) 275 x f ( x ) 275 400 110000
Compañía C f ( x) 100 x 5000 f ( x ) 100 400 5000 45000
Luego, conviene contratar la compañía A
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2. Ejemplo Si usted sabe que el APU del m 2 de pintura esta a $1980. ¿Cuánto dinero tendría que pagar para pintar 780 m 2? Solución: Primero debemos encontrar la función que representa el costo f ( x ) 1980 x f (780 (780)) 1980 1980 780 780 1.54 1.544. 4.40 400 0 Tendríamos que pagar $1.544.400
3. Ejemplo Si sabemos que 100°C equivalen a 373°K y que 2°C equivalen a 275°K. Determine la función que relaciona °C en función de °K Solución: Debemos reconocer los pares ordenados que tenemos (373,100) y (275,2), luego aplicamos la fórmula para calcular la pendiente. m
y2 y1 x2 x1
373 275 100 2
98 98
1
Elijo un punto para remplazar en la función y calculo n 2 1 275 n n 273
f ( x) x 273
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 2. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función
cuadrática como modelo. Criterio 1.5. Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados,
tablas o expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos. Recordemos que una función cuadrática es de la forma f ( x) Ax2 Bx C 1. Ejemplo Determine la concavidad de la función cuadrática y grafíquela. f ( x) x2 Solución: Para determinar la concavidad debemos identificar A, si es positivo es cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo En este caso A 1 Por lo tanto es cóncava hacia abajo
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2. Ejemplo Determine la grafica que mejor representa a la función f ( x) x2 2 x 15 Solución:
Primero vamos a calcular el vértice b b V ( , f ) 2a 2a
b 2a
2 2 1
1
f (1) 12 2 1 15 16
Por lo tanto el vértice es V(1,-16) Ahora calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 f ( x ) x 2 2 x 15 15 0 2 22 4 1 15 15 x1 x2
2 1 2 8 10 2 28 2
2 6 2
2 8 2
5 3
Entonces corta el eje x en los puntos (5,0) y (-3,0)
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3. Ejemplo Grafique la función cuadrática según la siguiente tabla
X
Y
0
0
1
1
-1
1
2
4
-2
4
Solución:
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 1.6. Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para
interpretar su comportamiento. 1. Ejemplo Determine en que rango la siguiente función es decreciente f ( x) x2 Solución: Si analizamos el grafico de la función podemos identificar claramente en que rango es creciente y decreciente
Una función es decreciente cuando aumentamos el valor de x y el valor de y va disminuyendo Por lo tanto esta función es decreciente [0,+∞[
2. Ejemplo Determine el vértice de la siguiente función cuadrática f ( x) ( x 1)2 1 Solución: f ( x ) ( x 1)2 1 f ( x ) x 2 2 x 1 1 f ( x ) x 2 2 x 2
V(
b 2a
b 2a
b ) 2 a
, f 2 2 1
1
f (1) 12 2 1 2 1 El vértice en el punto (1,1)
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3. Ejemplo Si tenemos la f(x)= -x 2 – 9, determine la gráfica que la representa. Solución: Primero vamos a calcular el vértice V(
b 2a
b 2a
b ) 2a
, f 0
2 1
0
f (0) 02 9 9
Por lo tanto el vértice es V(0,-9) Ahora calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 f ( x) x 2 9 0 x 2 9 x 9
Entonces no corta al eje x Analizaremos la concavidad A1 de la forma f ( x) 2 x Solución: Daremos valor a x para obtener “y” f (2) 2 2 4 f (1) 21 2 f (0) 20 1 f (1) 21 f (2) 22
1 21 1 22
0, 5 0, 25
Nos damos cuenta que “y” nunca es 0 por lo que la gr áfica no intersecta al eje “y”
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2. Ejemplo 1 Grafique una función exponencial con 0< b 11 x 1 2 x 3, x 1
Determinar si es continua para x=1 Solución: Primero analizamos si la función está definida para x=1 y calculamos f(1) f (1) 2 1 3 1
Luego debemos calcular el límite por la izquierda y por la derecha lim 2 x 3 2 1 3 1
x1
lim
x1
x 2 3x 2 x 1
lim
( x 2) ( x 1) 1)
x1
x 1
lim x 2 1 x1
Luego, si es continua porque f (1) lim f ( x) x 1
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UNIDAD 2: La derivada y sus aplicaciones. APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas básicas de derivación,
demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones. Criterio 2.1. Calcula derivadas utilizando las reglas básicas.
1. Ejemplo Si f x x3 x2 , calcule su derivada. Solución: Sabemos que si f x xn , entonces
df dx
x nx n1
Luego, calculamos la deriva de f x x3 x2 . d
x dx
3
x 2 3 x2 2 x
Respuesta: La derivada de f x es 3 x 2 2 x
2. Ejemplo Si f x 3 x6 2 , calcule su derivada. Solución: Además de la propiedad propiedad nombrada nombrada anteriormente anteriormente sabemos sabemos que, que, si f x c (c: constante), entonces
df dx
x 0
Luego, d
3 x dx
6
2 6 3 x5 0 18 x5
18 x5 Respuesta: La derivada de f x es 18 x
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3. Ejemplo Si f x 3senx , calcule su derivada. Solución: Sabemos que si f x senx , entonces
df dx
x cos x
Luego, d dx
3 senx 3 cos x
Respuesta: La derivada de f x es 3cos x 3cos x Criterio 2.2. Aplica el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos. 1.
Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x) 3 x2 x 2
Solución: Debemos calcular el incremento y y y 3( x x)2 ( x x) 2
y 3( x x)2 ( x x) 2 y y 3( x 2 2 xx x 2 ) x x 2 (3x 2 x 2) y 3x 2 6 xx 3x 2 x x 2 3x 2 x 2 y 6 xx 3x 2 x
Por definición la derivada es 6 xx 3x 2 x y x (6 x 3x 1) lim lim lim x 0 x x 0 x 0 x x lim (6 x 3x 1) 6 x 3 0 1 6 x 1 x 0
Entonces f ´( x) 6 x 1
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2. Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x) x2 Solución: Debemos calcular el incremento y y y ( x x )2
y ( x x)2 y y ( x 2 2xx x 2 ) ( x 2 ) y x 2 2 xx x 2 x 2 y 2 xx x 2
Por definición la derivada es 2 xx x 2 y x (2 x x) lim lim lim x 0 x x 0 x 0 x x lim (2 x x) 2 x 0 2 x x 0
Entonces, f ´( x) 2 x
3. Ejemplo Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x) x2 x Solución: Debemos calcular el incremento y y y ( x x) 2 ( x x )
y ( x x)2 ( x x) y y ( x 2 2 xx x 2 ) ( x x ) ( x 2 x ) y x 2 2 xx x 2 x x x 2 x y 2 xx x 2 x
Por definición la derivada es 2 xx x 2 x y x (2 x x 1) lim lim lim x 0 x x 0 x 0 x x lim (2 x x 1) 2 x 0 1 2 x 1 x 0
Entonces, f ´( x) 2 x 1 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.3. Determina pendiente de una función en un punto dado, aplicando las reglas
básicas de derivación. La pendiente de una recta se calcula derivando la función 1. Ejemplo Si f ( x) 3 x 5 , determine la pendiente. Solución: m
d dx
( 3x 5) 3
Respuesta: La pendiente en cualquier punto es 3 .
2. Ejemplo Si f ( x)
2 3
5 x , determine la pendiente.
Solución: m
d 2
5x 5 dx 3
Respuesta: La pendiente es 5, para cualquier punto
3. Ejemplo Si f ( x) x3 2 x 6 , determine la pendiente en el punto x 3 . Solución: m
d
x dx
3
2 x 6 3 x2 2
Se evalúa x 3 2
m 3 3 2 3 9 2 27 2 25 25 Respuesta: La pendiente en el punto x 3 es 25.
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.4. Determina ecuación de la recta tangente y recta normal a una función dada,
aplicando las reglas básicas de derivación. La ecuación de la recta tangente, está dada por: y f ' a x a f a La ecuación de la recta normal, está dada por: 1 x a f a y f ' a
1. Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente de la función f ( x) x2 3 x 5 , en el punto x 7 Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: m
d dx
(x 2 3x 5) 2 x 3
Evaluamos x 7 en la pendiente, f ' 7 2 7 3 14 3 17 Calculamos f 7 , f 7 72 3 7 5 49 21 21 5 65
Reemplazando en y f ' a x a f a , encontramos la ecuación de la recta tangente. y f ' a x a f a y f ' 7 x 7 f 7 y 17 x 7 65
y 17 x 119 65 y 17 x 54
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2. Ejemplo Determine la ecuación de la recta tangente de la función f ( x)
1 2
x 2 x 100 , en el punto
x 2
Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: d 1 2 1 m x x 1 0 0 2x 1 x 1 dx 2 2 Evaluamos x 2 en la pendiente, f ' 2 2 1 3 Calculamos f 2 , f 2
1 2
2
1
100 4 2 100 2 2 100 102 2 2 10 2
Reemplazando en y f ' a x a f a , encontramos la ecuación de la recta tangente. y f ' a x a f a
y f ' 2 x 2 f 2 y 3 x 2 102
y 3x 6 102 y 3 x 96
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3. Ejemplo Determine la ecuación de la recta normal de la función f ( x) 3 x2 5 x , en el punto x 3 Solución: Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene: m
d dx
(3x 2 5 x) 3 2 x 5 6 x 5
Evaluamos x 3 en la pendiente, f ' 3 6 3 5 18 5 13 Calculamos f 3 , 2
f 3 3 3 5 3 3 9 15 27 27 15 42 42
Reemplazando en y
1 f ' a
x a f a , encontramos la ecuación de la recta
normal. y
y
1 f ' a
x a f a
1 x 3 f 3 f ' 3
y y y
1 13 1 13 1 13
x 3 42 x x
3
42
13 543 13
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 8. Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla del producto y del
cuociente, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones. Criterio 2.6. Calcula derivadas utilizando la regla del producto.
Recordemos que: d dx
f ( x) g ( x)
f ( x) g´( x) f ´( x) g( x)
1. Ejemplo Si g ( x) x 1
y
f ( x) 1 x 1 , determine
Solución: Si g ( x) x 1
g '( x) 1
f ( x) 1 x1
f '(x) x2
d dx
f ( x) g ( x) .
Como,
d dx
f ( x) g ( x)
f ( x) g´( x) f ´( x) g( x)
Reemplazamos,
d dx d dx d dx
f ( x) g ( x) 1 x1 1 x2 x 1 f ( x) g ( x) 1 x1 x1 x2 f ( x) g ( x) 1 x2
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2. Ejemplo Si g ( x) 5 4 x
f ( x) 3 x 2 x 2 , determine
y
Solución: Si g ( x) 5 4 x
g '( x) 4
f ( x) 3 x 2 x2
f '( x) 3 4 x
d dx
f ( x) g ( x) .
Como,
d dx
f ( x) g ( x)
f ( x) g´( x) f ´( x) g( x)
Reemplazamos,
d dx d dx d dx
f ( x) g ( x) 3 x 2 x2 4 3 4 x 5 4 x f ( x) g ( x) 12 x 8 x2 15 12 x 20 x 16 x2 f ( x) g( x) 24 x2 4 x 15
3. Ejemplo Si g ( x) x 3 3x
y
f (x ) x 2 1 , determine
Solución: 3 Si g ( x) x 3 x
g '( x) 3 x2 3
f ( x) x2 1
f '( x) 2 x
d dx
f ( x) g ( x) .
Como,
d dx
f ( x) g ( x)
f ( x) g´( x) f ´( x) g( x)
Reemplazamos,
d dx d dx d dx
f ( x) g ( x) x2 1 3 x2 3 2 x x3 3 x f ( x) g ( x) 3 x4 3 x2 3 x2 3 2 x4 6 x f ( x) g( x) 5 x4 6 x 3
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.7. Calcula derivadas utilizando la regla del cuociente.
Recordemos que: d f ( x)
dx g ( x)
f ´( x) g( x) f ( x) g´( x) 2
g ( x)
1. Ejemplo Si g ( x) x 1
y
f ( x) x 2 3 x 2 , determine
Solución: Si g ( x) x 1
g '( x) 1
f ( x) x2 3 x 2
f '( x) 2 x 3
d f ( x)
.
dx g ( x)
Como,
d f ( x)
dx g ( x)
f ´( x) g( x) f ( x) g´( x) 2
g ( x)
Reemplazamos,
2 x 3 x 1 x 2 3x 2 1 2 dx g ( x ) x 1 d f ( x)
d f ( x)
2 x2 2 x 3 x 3 x2 3 x 2
dx g ( x)
x2 2 x 1
d f ( x)
x2 2x 5
x2 2x 1
dx g ( x )
2. Ejemplo Si g ( x) 3x 1
y
f ( x) 2 x 3 , determine
Solución: Si g ( x) 3 x 1
g '( x) 3
f ( x) 2 x3
f '( x) 6 x2
d f ( x)
.
dx g ( x)
Como,
d f ( x)
dx g ( x)
f ´( x) g( x) f ( x) g´( x) 2
g ( x)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Reemplazamos,
d f ( x)
6 x 2 3x 1 2 x3 3
dx g ( x )
3x 1
2
d f ( x)
18 x3 6 x 2 6 x3
dx g ( x )
3x 1
2
d f ( x)
12 x3 6 x 2
dx g ( x)
3x 1
2
d f ( x)
6 x 2 2 x 1
dx g ( x)
3x 1
2
3. Ejemplo Si g ( x) 3x 2 5 Solución: 2 Si g ( x) 3 x 5 f ( x) 7
f ( x) 7 , determine
y
d f ( x)
.
dx g ( x )
g '( x) 6 x f '( x) 0
Como,
d f ( x)
dx g ( x)
f ´( x) g( x) f ( x) g´( x) 2
g ( x)
Reemplazamos,
d f ( x)
0 3 x 2 5 7 6 x
dx g ( x )
3 x 2 5
d f ( x)
2
42 x
2 dx g ( x) 3 x 2 5
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.8. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,
utilizando las reglas del producto y del cuociente. 1. Ejemplo Determinar f ´ x si sabe que f x (2 x2 1) (3 x2 3) Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g x (2 x 2 1) h( x) (3x 2 3) Luego, f ( x ) g ( x ) h ( x ) Entonces f ´( x ) g´( x ) h ( x ) g ( x ) h´( x ) g´( x ) 4 x h´( x ) 6 x f ´( x ) ( 4 x ) (3x 2 3) ( 2 x 2 1) (6x ) f ´( x ) (12 x 3 12 x ) (12x3 6x )
f ´( x) 24 x3 18 x
2. Ejemplo Determinar f ´ x si sabe que f x (4 x2 4) (4 x3 6) Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g x (4 x 2 4) h( x) (4 x3 6) Luego, f ( x) g ( x) h( x) Entonces Entonces f ´( x) g´( x) h( x) g ( x ) h´( x ) g´( x) 8 x h´( x ) 12 x 2 Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 f ´( x) (8 x) (4 x3 6) (4 x2 4) (12 x2 ) f ´( x) (32 x4 48 x) (4 ( 48 x4 48 x2 ) f ´( x) 80 80 x4 48 x2 48 x
3. Ejemplo Determinar f ´ x si sabe que f x
(4 x3 5 x 2 ) (3 x 2 4)
Solución: Primero determinamos las funciones que componen nuestra función g x (4 x 3 5 x 2 ) h( x) (3 x 2 4) Luego, f ( x )
g ( x) h( x)
Entonces, f ´(x )
g´( x ) h( x ) g ( x ) h´( x ) ( h( x) ) 2
g´( x ) 12 x 2 10 x h´( x ) 6 x
f ´(x ) f ´(x ) f ´(x )
f ´(x)
(12 x 2 10 x ) (3x 2 4) ( 4 x3 5x 2 ) (6 x ) (3 x 2 4)2 (36 x 4 30 x 3 48 x 2 40 x ) ( 24 x 4 30 x3 ) 9 x 4 24 x 2 16 36 x 4 30 x 3 48 x 2 40 x 24 x 4 30 x3 9 x 4 24 x 2 16
12 x 4 48 x 2 40 x 9 x 4 24 x 2 16
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.10. Deriva funciones reales de una variable, aplicando regla de la cadena.
Recordemos que:
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) sen x2 Solución: Identificando h( x) x2
h '( x) 2 x
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) g (h( x)) ' cos x2 2 x g (h( x)) ' 2 x cos x2 2. Ejemplo 3
Determine la derivada de g ( x) x2 1 Solución: Identificando h( x) x2 1
h '( x) 2 x
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) 2
g (h( x)) ' 3 x2 1 2 x g (h( x)) ' 6 x x2 1
2
3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) e x Solución: Identificando h( x) x2
2
h '( x) 2 x
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) 2
g (h( x)) ' e x 2 x g (h( x)) ' 2 xe x
2
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.11. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,
utilizando la regla de la cadena. 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) sen(5x) Solución: Identificando
g ( x) sen(5 x ) g '( x) cos(5 x ) h( x) 5 x
h´( x) 5
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) )) 5 5co 5cos(5 x) g (h( x))' (cos(5 x)) g '( x) 5cos(5x)
2. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) cos(3x ) Solución: Identificando
g ( x ) cos(3 x ) g '( x) sen(3x) h( x) 3 x
h´( x) 3
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) g (h( x)) ' ( sen(3x)) 3 3sen(3x) g '( x) 3s en(3x)
3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) cos(3x2 ) Solución: Identificando
g ( x) cos(3 x 2 ) g '( x) sen(3x 2 ) h( x) 3 x 2
h´( x) 6 x
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) )) (6 x) 6 x sen(3x 2) g (h( x))' ( sen(3x 2)) g '( x) 6 x sen(3 x2 )
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.13. Calcula derivadas utilizando regla de la función exponencial.
Recordemos u x
Si f ( x) a
f ´( x) u´ x au x ln a
1. Ejemplo 2
Determine la derivada de f ( x) 2 x 1 Solución: Identificando u( x) x2 1 u x
f ´( x) u´ x a f ´( x) 2 x 2 x
2
1
u '( x) 2 x
ln a
ln 2
2
f ´( x) x 2 x ln 2
2. Ejemplo Determine la derivada de f ( x) 5x Solución: Identificando u( x) x3
3
u '( x) 3 x u x
f ´( x) u´ x a
ln a
3
f ´( x) 3 x 5 x ln 5
3. Ejemplo 3
2
Determine la derivada de f ( x) 3x x 2 Solución: Identificando u( x) x3 x2 2 u x
f ´( x) u´ x a
u '( x) 3 x2 2 x
ln a 3
f ´( x) 3 x2 2 x 3 x x
2
2
ln 3
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.14. Calcula derivadas utilizando regla de la función logarítmica.
Recordemos, d
1
ln(u x ) u ' x dx u x
1. Ejemplo Determine la derivada de f ( x) ln x2 Solución: Sea u( x) x2
u ' x 2x
Luego, f ´( x) f ´(x)
1
2x
x 2 2 x
2. Ejemplo Determine la derivada de f ( x) ln( x2 3) Solución: Sea u( x) x2 3
u ' x 2x
Luego, f ´( x) f ´(x)
1 x 2 3 2 x
( 2 x)
x 2 3
3. Ejemplo Determine la derivada de f ( x) ln(3x4 ) Solución: Sea u( x) 3 x4
u ' x 12 x3
Luego, f '( x)
f '( x)
1 3 x
4
12 x3
12 x 3 3 x
4
f '( x)
4 x
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.15. Resuelve problemas contextualizados, aplicando derivadas de funciones
exponenciales y logarítmicas. 1. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) (3 x 4)2 Solución:
g ( x) (3x 4) 2 g '( x) 2 (3x 4) Identificando h( x) 3 x 4 h´( x) 3
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) g (h( x))' 2 (3x 4) 3 18 x 24 g '( x) 18x 24
2. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) e3 x
2
Solución: Identificando
g ( x) e3 x
2
h( x) 3 x 2
g '( x) e3 x h´( x) 2 x
2
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) 2
g (h( x)) ' (e3 x ) (2 x) g '( x) 2 xe3x
2
3. Ejemplo Determine la derivada de g ( x) ln 3 x Solución: Identificando
g ( x) ln 3x g '( x) h( x) 3 x
1
3 x h '( x) 3
g (h( x)) ' g( h( x)) h( x) g (h( x)) ' g '(x)
1 3 x
3
1 x
1 x
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.17. Determina intervalos donde la función es creciente o decreciente, utilizando
primera derivada. 1. Ejemplo 1
Determine los intervalos donde la función f ( x) ( x 2 4 x 1) , creciente y decreciente. 2
Solución: f ( x) f '( x)
1
( x 2 4 x 1)
2 1
2x 4 2 f '( x) x 2 Si f ´( x) 0 la función es creciente Si f ´( x) 0 la función es decreciente x 2 0 x 2 x 2 0 x 2
x 2, creciente
x , 2 decreciente
2. Ejemplo Determine los intervalos donde la función f ( x) x2 , creciente y decreciente. Solución: f ( x) x 2 f ´( x) 2 x 2 x 0 x 0 2 x 0 x 0
x 0, creciente
x , 0 decreciente
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
3. Ejemplo Determine los intervalos donde la función f ( x) 2 x2 , creciente y decreciente. Solución: f ( x) 2 x 2 f ´( x) 4 x 4 x 0 x 0
x , 0 creciente
4 x 0 x 0
x 0, decreciente
Criterio 2.18. Determina máximos y mínimos relativos de funciones, utilizando el criterio
de la primera derivada. 1. Ejemplo Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x) x3 3 x 2 Solución: f ´( x) 3 x 2 3 f ´( x) 0
3 x 2 3 0 3 x 2 3 x 2 1 x1 1 x2 1
f (1) ( 1)3 3 ( 1) 2 1 3 2 4 f (1) 13 3 1 2 1 3 2 0 Respuesta: Máximo (-1,4) mínimo (1,0)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
2. Ejemplo 4
Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x) 4 x x3 3
Solución: 4 f ´( x) 4 3x2 4 4 x2 3 f ´( x) 0
4 4 x 2 0 4 x 2 4
x 2 1
x1 1 x2 1
4 4 8 f (1) 4 (1) (1)3 4 3 3 3 4 4 8 f (1) 4 1 13 4 3 3 3 8 8 Respuesta: Máximo 1, y mínimo 1, 3 3
3. Ejemplo Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x) x4 8 x2 3 Solución: f ´( x) 4x 3 8 2 x 4x 3 16x f ´( x) 0 4 x3 16 x 0 4 x x 2 4 0 4 x x 2 x 2 0
x1 0
x2 2 x3 2
f (0) 04 8 02 3 3 f (2) 24 8 22 3 13
f (2) ( 2) 4 8 ( 2) 2 3 16 8 4 3 13 Respuesta: Máximo 0,3 y mínimo 2, 13 , 2, 13
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.19. Resuelve problemas contextualizados de máximos y mínimos relativos,
aplicando el criterio de la primera derivada. 1. Ejemplo Dada la función f ( x) x3 6 x2 9 x 4 . Determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x) 3x 2 12 x 9 0 f ´( x) x 2 4 x 3 0 f ´( x) ( x 3)( x 1) 0 x1 1 x2 3
Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x) x3 6 x 2 9 x 4 f (1) 13 6 12 9 1 4 8 f (3) 33 6 32 9 3 4 4
Los posibles máximos o mínimos son (1,8) y (3,4)
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
2. Ejemplo Dada la función f ( x) x3 6 x2 determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x) 3x 2 12 x f ´( x) x 2 4 x 0 f ´( x) x ( x 4) 0 x1 0 x2 4
Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x) x3 6 x 2 f (0) 03 6 02 0 f (4) 43 6 42 64 96 96 32
Los posibles máximos o mínimos son (0,0) y (4,-32) 3. Ejemplo Dada la función f ( x) x3 3 x2 8 . Determine si tiene posibles máximos y mínimos. Solución: Para desarrollar este ejercicio debemos calcular la primera derivada e igualarla a cero. f ´( x) 3x 2 6 x f ´( x) x 2 2 x 0 f ´( x) x ( x 2) 0 x1 0 x2 2
Reemplazamos los valores de x en la función: f ( x) x3 3x 2 8 f (0) 0 3 3 02 8 8 3
2
f (2) 2 3 2 8 8 12 8 4
Los posibles máximos o mínimos son (0,-8) y (-2,-4) Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012 APRENDIZAJE ESPERADO 12. Resuelven problemas de optimización sencillos, utilizando el criterio de la segunda
derivada. Criterio 2.21. Calcula la segunda derivada de funciones.
1. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x) 5 x2 3 x5 6 . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f '( x) 5 2 x 3 5x 4 10 x 15x 4 f ''( x) 10 15 4 x 3 f ''( x ) 10 60 x3
2. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x) 7 x5 4 . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f ´( x) 7 5 x4 35 x4 f ´´( x) 35 4 x3 f ´´( x) 140 x3
3. Ejemplo Determina la segunda derivada de la función f ( x) x 6 3x 3 8 x 2 16x . Solución: Aplicando Aplicando las propiedades propiedades y técnicas de derivación, derivación, se debe derivar derivar la función, y luego se deriva el resultado f ´( x) 6 x 5 9 x 2 16x 16 f ''( x) 30 x4 18 x2 16
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.22. Calcula máximos y mínimos relativos de una función, utilizando el criterio de
la segunda derivada 1. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x) x2 5 x 4 , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x) 2 x 5 f ''( x) 2
f (2) 22 5 2 4 4 10 10 4 10 Respuesta: Como la segunda derivada es mayor a 0 entonces hay un mínimo en
2,10 .
2. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x) 3 x2 6 x , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x) 6 x 6 f ''( x) 6 2
f (6) 3 6 6 6 3 36 36 144 Respuesta: La segunda derivada es negativa, entonces hay un máximo en
144 . 6, 144
3. Ejemplo Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x) 2 x2 3 , utilizando el criterio de la segunda derivada. Solución: f '( x) 4 x f ''( x) 4 f (4) 2 42 3 32 3 35 Respuesta: La segunda derivada es positiva, entonces hay un mínimo en
4,35 .
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012 Criterio 2.23. Resuelve problemas sencillos de optimización.
1. Ejemplo Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de ancha. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?
Solución: Si se corta un cuadradito de lado x, el volumen de la caja es: V x (32 2 x) (24 2 x) x 4 x 3 112 x 2 768x V ' x 12 x 2 224 x 768 V ' x 0
12 x 2 224 x 768 0 x
224 ( 224) 2 4 12 768 2 12
x1 4,53 x2 14,14
V '' x 24 x 224
Reemplazamos x1 , en V '' x 24 x 224 V '' 4,53 ,53 24 4,53 ,53 224 115,25 ,25 0
(Máximo)
Reemplazamos x2 , en V '' x 24 x 224 V '' 14,14 24 14,14 ,14 224 115,36 ,36 0
(Mínimo)
Respuesta: Entonces el volumen máximo es para x=4,53
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Cuaderno de Aprendizaje – 2012
2. Ejemplo Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 metros.
Solución: En el triángulo el área es: A
1 2
1
b h 2 x h xh 2
En el círculo, se tiene: 122 x 2 (h 12) 2 144 x 2 h 2 24h 144 x 2 24h h 2 x 24h h 2
Luego, S h h 24h h 2 24h3 h 4 S ' h
72h 2 4h3 2 24h h 3
4
2h (36h 2h 2 ) 2h 24h h
2
36 36h 2h 2 24h h 2
S ' h 0 36h 2h 2 0 2h 18 h 0
h1 0 y h2 18
Como,
x 24h h2
24 18 182 108 36 3 6 3
Base : 2 x 12 3 Lado : l
x2 h2
6 3
2
182 36 3 182 432 144 3 12 3
Respuesta: El triángulo isósceles de área máxima es el de base 12 3 y lados 12 3 . Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2012
3. Ejemplo Se tiene un alambre de 1 metro de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que debe tener cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y el cuadrado sea la mínima. Solución: Superficie (s)= r 2 a 2 Largo (perímetro)= 2 r 4a 1 Entonces (a)=
1 2 r
4 1 2 r 2 s r 2 ( ) 4 d
1 2 r r dr 4
2
2
2 2r 8 r 2 2r 1 2 r 2 2 r 2 4 2 r 4 4 4
8r 2
4
r 1
2r 4 1
4
Para encontrar máximos o mínimos debemos igualar a 0 la primera derivada
2r 4 1 0
4
2r 4 1 0 2r
1
4
r
1 8 2
Remplazamos (r) Trozo de círculo es
1 0, 4399 8 2
2 r 2
El trozo cuadrado es 0,561
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