Caída Con Resistencia Del Aire

 

Caída con resistencia del aire.

Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo entonces por la segunda ley de Newton (ver textos de Física), se llega a que:

      =     Dividiendo por m:

   =            =          obtenemos la Ecuación Diferencial Lineal en v:

 + +     =      Despejando:

 +( + (  )  ) = 0  Siendo , , = 1 y ,, = =     , comprobamos si son exactas o no. ,,  =      ,,  = 0       Dado que:

,,  ,,  ≠     Concluimos que la Ecuación Diferencial no es exacta. Por ello, hallamos un factor de integración. Utilizando el caso 2:

, tenemos que: ,,    ,,      1    = ∫  ∫   ,,        ∫   = ∫   lnln[[] = =       =   

 

Multiplicando el factor de integración en la ecuación diferencial inicial:

Como

,, ꓱ ,  =    

+    (  )  ) = 0     +  ,  =        , ,   =   f(v,t)/  f(v,t) 

Integrando con respecto a v:

∫  ,, = ∫      ,, =    + +   Derivando con respecto a t:

Además

 ,,  =      + ´ ´    ,  = ,, =    (    )   

Resolviendo la igualdad:

    +   (      +  ´   =    )     ´ ´ =        = ∫ ∫      =        +   Entonces:

  Despejando v :

  

  ,, =       +  =         =      −   =     +   

 

 

EJERCICIO Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/s. Si la resistencia del aire varía de manera directamente proporcional a la velocidad instantánea y su magnitud es de 180 lb cuando la velocidad es de 45 pies/s: 1)  Determinar la velocidad y la posición del paracaidista en cualquier instante t>0.

 

2) Calcular la velocidad límite Usando la siguiente figura como referencia:

Consideramos que la dirección positiva es hacia abajo y que t > 0, a partir de que el paracaídas se abre. La resistencia del aire es R y se cumple que , con  > 0, y . Tenemos:

 ǀRǀ = ẞǀǀ

ẞ

0 = ° = 40 / , 0 = ° = 0  y w=mg          =   Como mg= w= 200 lb, entonces  =     =    Ya que ǀRǀ = ẞǀǀ y que ǀRǀ = 180 cuando ǀ ǀǀ = 45, entonces ẞ = 4  En cualquier segundo t≥0 ocurre que:    =  +  ẞvt     =   ẞvt 25  = 200 4vt  4  200  4vt  + + 16  = 32   25

R = ẞ 

 

Resolviendo la ecuación diferencial:

 32))  = 0   +( + (16 25  32 Siendo

,, = 1   ,, = =    3  32 

Y

,,  = 16  ,,  = 0     25 

Entonces, no es exacta.

  , resolvemos:

     ) = 32   ( + + 16 25   = 5050 + − 

Sabiendo que el factor de integración es:

Como

0 = 40, entonces

50 +  = 40   = 10 

≥

Por lo tanto, la velocidad instantánea del paracaidista, en cualquier t 0, es:

 = 50 50  10− 

Si

  es la posición instantánea, medida a partir del del punto donde se abre el paracaídas paracaídas::  =   −    ′ ′ = = 55050 500  1100−   = ∫(50 ∫(50  10−)  

−  + )   = 50 50 10( 10( 25 16  +  

 

Como x0=x (0) =0

0 = 50 500 + 125 8   +    =  125 8 

≥  8 ) −   125  = 50 50 +( + (125 8   8 ) −   1   = 50 50 +( + (125

Por lo que la posición del paracaidista en el instante (segundo) t 0, es:

2)  La velocidad límite del paracaidista es

 −  = →∞ lim (5010 ) = 50 /