Caderno Didático de Sistemas de Controle I
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UNIVERSIDADE FEDERAL FE DERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPART DEPA RTAMENTO AMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO COMPUTAÇÃO - DELC
PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA
CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1
ELABORAÇÃO: ELABORAÇÃO: Prof. Hélio Leães Hey, Dr. Eng. DIGITAÇÃO: DIGITAÇÃO:
Patrick
, bolsista
AGOSTO - 1997
APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 ÍNDICE CAPÍTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE 1.1- INTRODUÇÃO _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ______________ I-1 1.2- DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES BÁSICAS _______________________ __________________________________ _______________________ _________________ _____ I-1 1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA______ M ALHA-ABERTA_______________ _____________ ____ I-2 1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE CONTROLE ______________________ __________________________ ____ I-3 1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA SISTEMA _____________ _____________ I-4
CAPÍTULO 2 - REVISÃO MATEMÁTICA 2.1- INTRODUÇÃO _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ______________ II-1 2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA ____________ ____________ II-1 2.3- FUNÇÕES FUNÇÕES ANALÍTICAS _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________ ____ II-2 2.4- TEOREMA DE EULER ________________________ ___________________________________ _______________________ _________________ _____ II-2 2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE _______________________ ___________________________________ ___________________ _______ II-3 2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES __________ II-3 a) Função Exponencial___________________________________________________________ II-3 b) Função Função Degrau _______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ ________________ _____ II-4 c) Função Rampa___________________ Rampa______________________________ _______________________ _______________________ _____________________ __________ II-4 d) Função Senoidal _______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ _______________ ____ II-4 e) Função Co-senoidal____________________ Co-senoidal_______________________________ _______________________ _______________________ ________________ _____ II-5 2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE_______________________ LAPLACE__________________________ ___ II-6 a) Função Transladada____________________ Transladada_____________________________ ___________________ ____________________ ____________________ __________ II-6 b) Função Pulso ______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ ___________________ _______ II-7 c) Função Impulso Impulso ______________________ _________________________________ _______________________ _______________________ _________________ ______ II-7 d) Multiplicação Multiplicação de f(t) por e- t ____________________________________________________ II-8 e) Mudança de escala de tempo__________ tempo ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ __ II-8 f) Demonstração Demonstração do teorema teo rema da dif diferenciação erenciação ____________________ ______________________________ ____________________ __________ II-8 g) Teorema do Valor Final Final _______________________ __________________________________ _______________________ ____________________ ________ II-10
h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________ II-11
2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ____________________ ______________________________ ____________ __ II-11 2.6.1- MÉTODO M ÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS_______________________ PARCIAIS_______________________ II-12 DETERMINAÇÃO DOS RESÍDUOS RESÍDUOS ASSOCIADOS ASSOCIADOS AOS PÓLOS _____________ _____________ II-12 a) Pólos Reais e Distintos Distintos ________________________ ___________________________________ _______________________ ____________________ ________ II-12 b) Pólos Reais Múltiplos_______________________________________________ II-14 c) Pólos Complexos Conjugados ________________________ ___________ _________________________ _________________________ _____________ II-15 2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ATRAVÉS DE T.L. ______________________ _________________________________ _______________________ __________________ ______ II-16
CAPÍTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.1- INTRODUÇÃO _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ____________ III-1 3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA____________ TRANSFERÊNCIA_______________________ _______________________ ____________________ ________ III-1 COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA TRANSFERÊNCIA _______________________ _______________________ III-1 3.3- DIAGRAMA DIAGRAMA DE BLOCOS _______________________ ___________________________________ _______________________ _____________ __ - Blocos e Fluxo Fluxo de Sinais Sinais ______________________ _________________________________ _______________________ ______________________ __________ - Ponto de Soma ______________________ _________________________________ _______________________ _______________________ _________________ ______ - Pontos de Ramificações________________________________________________________
III-2 III-2 III-2 III-2
3.4- DIAGRAMA DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA SISTEMA EM MALHA FECHADA FECHADA ________ __________ III-3 3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES_______ PERTURBAÇÕES_____________ ______ III-4 3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DIAGRAMA DE BLOCOS ______________________ ______________________ III-5 3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL _______________________ __________________________________ __________________ _______ III-6 DEFINIÇÕES DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS USADOS EM GRÁF. DE FLUXO FLUXO DE SINAIS __________ III-7 ÁLGEBRA DO GRÁFICO GRÁFICO DE FLUXO FLUXO DE SINAIS SINAIS _________________________________ III-7
3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON ______________________ __________________________________ _________________ _____ III-8 3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO ESTADO _______ III-9 3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA________________________ SISTEMA________________________________ ________ III-12 3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS_____________ DIFERENCIAIS________________________ _______________________ _______________________ _____________ __ III-13
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA _____________________________________________ III-13 3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO _______________________________________________ III-14 3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE ESTADO III-15
CAPÍTULO 4 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS 4.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ IV-1 4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ________________ - Massa _____________________________________________________________________ - Força ______________________________________________________________________ - Torque_____________________________________________________________________ - Deslocamento, Velocidade e Aceleração __________________________________________ - Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular______________________
IV-1 IV-1 IV-2 IV-2 IV-2 IV-2
LEIS DE NEWTON ___________________________________________________________ IV-3 - Segunda lei de Newton (Translação) _____________________________________________ IV-3 - Segunda lei de Newton (Rotação)________________________________________________ IV-3
4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO______________________________ - Elemento de Inércia (Massa)____________________________________________________ - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ - Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________
IV-3
4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO _________________________________ - Elementos de inércia (Momento de Inércia) ________________________________________ - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ - Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________
IV-6
IV-3 IV-4 IV-4
IV-7 IV-7 IV-7
4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS _________________ IV-8 4.3.1- CIRCUITO RLC________________________________________________________ IV-8 4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS __________________________________________________ IV-9 4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS_______________ IV-9 a) Analogia Força-Tensão _______________________________________________________ IV-9 b) Analogia Força-Corrente _____________________________________________________ IV-10 4.5 - SISTEMAS ELETROMECÂNICOS _______________________________________ IV-11
4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA __________________________ IV-11 4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC ______________ IV-12 4.5.1.2- GERADOR CC ______________________________________________________ IV-16 4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS ________________________________ IV-17 4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES _________ IV-18
CAPÍTULO 5 - AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS 5.1- AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE _________________________________________ V-1 5.1.1- AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIÇÕES ___________________ V-1 5.1.2- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL__________________________________ V-2 5.1.3- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-2 5.1.4- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL ______________________ V-3 5.1.5- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO ____________________ V-4 5.1.6- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO_________ V-4 5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1 a ORDEM _____ V-5 5.2.1- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL ________________ V-6 5.2.2- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO___ V-6 5.2.3- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL _____ V-7 5.3- EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO DESEMPENHO DO SISTEMA _________________________________________________ V-8 5.3.1- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-8 5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A PERTURBAÇÃO _____________________________________________________________ V-9 5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE “P-I” A PERTUBAÇÕES ____ V-9
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA, DO ERRO DE REGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS 6.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ VI-1
6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM________________________________________ VI-1 a) Resposta ao degrau __________________________________________________________ VI-1 b) Resposta a Rampa Unitária ____________________________________________________ VI-2 6.3- SISTEMAS DE 2 a ORDEM ________________________________________________ a) Pólos Reais ________________________________________________________________ b) Pólos Complexos____________________________________________________________ 1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO __________________________________________ 2o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO _______________________________ 3o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO ________________________________________
VI-3
6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA ___________________________ - Tempo de Subida “tr” _________________________________________________________ - Tempo de Pico “tp”___________________________________________________________ - Tempo de Acomodação “ts” ____________________________________________________ - Overshoot Máximo “Mp” ______________________________________________________
VI-6
VI-3 VI-3 VI-3 VI-4 VI-5
VI-6 VI-6 VI-6 VI-6
6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA _____________ VI-8 6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2a ORDEM ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL _______________________________________ VI-9 6.6- CONTROLADOR “P-D” APLICADO A UM SISTEMA DE 2 a ORDEM _________ VI-10 6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ_____________________ VI-11 6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE_____________________________________ 6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO _____________ 6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA_______________ 6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA _____________________
VI-12 VI-13 VI-13 VI-14
QUADRO RESUMO _________________________________________________________ VI-15
CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES 7.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________ VII-1 7.2- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES ______________________________________ VII-1 7.2.1- PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES____________ VII-1 7.2.2- DEFINIÇÃO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES ___________________________ VII-3
7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES ___________________ VII-5
CAPÍTULO 8- ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 8.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________ VIII-1 8.2- PRINCÍPIO BÁSICO ____________________________________________________ VIII-1 8.3- DIAGRAMA DE BODE __________________________________________________ VIII-4 8.3.1- GANHO CONSTANTE “K” _____________________________________________ VIII-5 8.3.2 - PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM_________________________________________ VIII-5 8.3.3- PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO_______________________ VIII-6 8.3.4- PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS ________________________________________ VIII-7 8.4- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST _____________________________ VIII-9 Teorema de Cauchy: _________________________________________________________ VIII-10 8.4.1- VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ _______________________ VIII-11 8.4.2- APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST ____________________________ VIII-11 8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE_____________________ VIII-12 Margem de Ganho: __________________________________________________________ VIII-12 Margem de Fase: ____________________________________________________________ VIII-12 8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS _________________________ VIII-14
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“ GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE ”
1.1- INTRODUÇÃO Embora muitas vezes não percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo com a função de monitorá-lo, está participando do fechamento de uma malha. Como exemplos de sistemas de controle, pode-se citar: -
Ato de guiar um automóvel (malha fechada); Ato de utilizar um liqüidificador (malha fechada); Ato de utilizar um máquina de lavar (malha aberta); Ato de utilizar um microondas (malha aberta).
Atualmente os sistemas de controle têm assumido um papel progressivamente importante no desenvolvimento da civilização moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diária são afetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficiência e precisão, praticamente exige a presença de sistemas de controle em malha fechada sem a presença do operador humano, isto é, CONTROLE AUTOMÁTICO . O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notícia, é o relógio de água inventado dois séculos antes de cristo. O tempo era medido pelo volume de água acumulada no reservatório inferior, o qual recebia os pingos de água com uma vazão constante de um reservatório para o outro. Isto era conseguido, graças a válvula flutuante do primeiro reservatório que possuía a função de garantir sempre o mesmo nível de água no primeiro reservatório. Esta válvula apresentava as funções de sensor e atuador do sistema.
1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS A seguir são introduzidas as definições básicas a respeito das denominações utilizadas na teoria de controle.
- Planta: A planta de um sistema de controle é definida como sendo a parte do sistema a ser controlada. Ex: reator químico, caldeira, gerador, etc. - Processo: O processo é definido como sendo a operação a ser controlada na planta. Ex: processo químico, físico, biológico, etc.
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- Perturbações: São sinais que tendem a afetar o valor da saída de um sistema. Se a perturbação é gerada dentro do sistema, ela é denominada interna. Caso contrário, é considerada como um sinal de entrada do sistema. - Controle Realimentado: É a operação que na presença de perturbações externas, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência. - Sistema de Controle Realimentado: É um sistema que tende a manter uma relação preestabelecida entre o sinal de saída e a entrada de referência, comparando-as e utilizando a diferença entre estes sinais como um meio de controle do sinal de saída. Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparação da temperatura da sala (saída) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo de igualar os sinais. Outro exemplo é o controle de velocidade de um automóvel pelo motorista. Para que o automóvel não ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente a velocidade do veículo ( saída) com a velocidade estabelecida (entrada). - Servo Mecanismo: É um sistema de controle realimentado no qual a saída do sistema é uma posição mecânica, velocidade ou aceleração. - Sistema Regulador Automático: É um sistema de controle cujas saída e entrada de referência são constantes, ou variam lentamente, e o objetivo do sistema é manter a saída em um valor desejado mesmo na presença de perturbações. Ex: controle de pressão e temperatura em um processo químico.
1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA O controle em malha fechada é o mesmo que controle realimentado. A diferença entre o sinal de entrada (referência ) e o sinal de saída realimentado, chamado de sinal de erro, é introduzido no controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a saída em um valor desejado. Conforme já foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada (realimentado ), definidos como controle manual e controle automático . No controle automático, o operador é substituído por dispositivos que desempenham as suas funções de formas mais eficientes e precisas.
Já nos sistemas de controle em malha aberta , a saída não tem efeito na ação de controle, isto é, a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Para cada entrada de referência haverá uma condição preestabelecida de operação. Qualquer sistema que opere em uma base de tempo é um sistema em malha aberta. A operação em malha aberta deve ser usada, quando se conhece a relação entre entrada-saída e o sistema não apresentar nenhum tipo de perturbação.
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Nem sempre, os sistemas em malha fechada são aconselháveis. Nos sistemas em que as entradas são conhecidas e não estão sujeitas a perturbações, a operação em malha aberta deve ser preferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbações e variações imprevisíveis devese preferir a operação em malha fechada. Porém, estes sistemas devem ser analisados e projetados com bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo, instabilidade e oscilações.
1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE - Sistemas de Controle Linear e Não-Linear Praticamente todos os sistemas físicos existentes na prática são não-lineares. Entretanto, quando os módulos dos sinais dos sistemas de controle são limitados a uma certa faixa de valores, na qual os componentes do sistema exibem características lineares, o sistema é dito linear . Quando os módulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operação, o sistema deverá ser considerado como não-linear . No geral o sistema é dito linear, quando o princípio da superposição pode ser aplicado.
- Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempo Um sistema de controle é dito invariante no tempo quando seus parâmetros são estacionários com relação ao tempo, isto é, não variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instante de tempo no qual a entrada é aplicada. Por outro lado, um sistema de controle é dito variante no tempo, quando um ou mais parâmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual a entrada é aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo é o controle de um míssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, já que combustível é consumido durante o vôo.
- Sistemas de Controle Contínuos e Discretos Um sistema é dito contínuo , quando todas as variáveis do sistema são conhecidas em todos os instantes de tempo. Um sistema é dito discreto, quando pelo menos uma variável do sistema só é conhecida em alguns instantes de tempo.
- Sistemas de Controle “uma entrada - uma saída” e “várias entradas - várias saídas” Um exemplo claro de um sistema “uma entrada - uma saída ” é o sistema de controle de velocidade de um motor elétrico, onde a entrada é a velocidade desejada e a saída é a velocidade atual. Como exemplo de sistemas “várias entradas - várias saídas ” pode-se citar o controle de pressão e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de saída (pressão e temperatura).
- Sistemas de Controle Clássico e Sistemas de Controle Moderno A teoria de controle clássico utiliza exaustivamente o conceito de função de transferência, onde a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio de freqüência, isto é, no domínio “S”. Esta teoria fornece resultados satisfatórios somente para sistemas do tipo “uma entrada - uma saída”.
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A teoria de controle moderno é baseado na abordagem de espaço de estado , que utiliza exaustivamente os conceitos de matriz de transferência e a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio do tempo.
1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA - Requisitos de um Sistema de Controle A exigência fundamental de um sistema de controle é ser estável , isto é, apresentar estabilidade absoluta . Deve também, apresentar um boa estabilidade relativa , isto é, a velocidade de resposta deve ser rápida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema de controle deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolerável. As exigências de uma ótima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes são incompatíveis. Deve-se portanto buscar um ponto ótimo entre estas exigências.
- Modelagem Matemática Os componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle são geralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos, eletrônicos, etc. Para que haja uma uniformidade na análise estes componentes e/ou dispositivos são substituídos pelos seus modelos matemáticos. Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema de controle, é na obtenção de modelos matemáticos precisos para os dispositivos físicos. Estes modelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos. A análise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemático deve ser razoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo matemático. É baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle é uma abordagem única e interdisciplinar. Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos em que a relação entre entrada-saída não são lineares, normalmente são linearizados em torno do ponto de operação através das técnicas disponíveis.
- Análise, Projeto e Síntese de um Sistema de Controle A análise de um sistema de controle significa a investigação do desempenho do sistema, cujo
modelo matemático é conhecido sob certas condições especificadas. Esta, deve começar pela descrição matemática de cada dispositivo que o compõe. Uma vez que o modelo matemático do sistema é obtido, a análise do mesmo independe de sua natureza física (eletrônico, pneumático, etc.). No geral, a análise de um sistema é feita sob dois aspectos: análise da resposta transitória e análise de regime permanente. Projetar um sistema , significa
determiná-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se as características da resposta transitória e do regime permanente não forem satisfatórias, deve-se adicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado do mesmo. Este componente adicional é conhecido como compensador . Em geral o projeto de um compensador, na teoria de controle clássico, é baseado nos métodos da resposta em freqüência e/ou do lugar das raízes. Síntese de um sistema , é a sua determinação através de um procedimento direto que faça com que funcione com uma característica específica. Geralmente, este procedimento é puramente matemático. Atualmente, os computadores têm tido um papel importante na análise, projeto e operação de sistema de controle, tanto na parte de simulação do sistema e projeto orientado, como também fazendo parte do sistema atuando como um controlador digital.
- Abordagem Básica para Projetos de Sistema de Controle
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Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve métodos de tentativa e erro. Isto se deve principalmente, as não-linearidades do sistema e também as imprevisões e simplificações adotadas na determinação dos modelos característicos dos dispositivos do sistema. Na prática, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para que atenda as especificações solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Precisão em Regime Permanente, Confiabilidade e Custo. As especificações podem ser solicitadas explicitamente ou não. Caso sejam solicitadas, o projetista deve, dentro do possível, obtê-las. Caso contrário, deve obter as especificações que julgar conveniente. As especificações devem ser analisadas em termos matemáticos. Deve-se salientar, que as especificações devem ser realísticas.
- Metodologia de projeto De posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser utilizado. Após, deve-se obter os modelos matemáticos da planta , sensor e atuador. A seguir, define-se o modelos matemático do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaça as especificações do projeto. Uma vez que o projetista tenha em mãos o modelo matemático completo do sistema, deve simulá-lo para avaliar o seu desempenho em relação a variações do sinal de entrada e também na presença perturbações. Nesta fase é que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a resposta do mesmo atenda as especificações solicitadas. Após, deve-se construir o protótipo físico do sistema, para que o mesmo seja testado e para que sejam feitos os ajustes práticos.
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“REVISÃO MATEMÁTICA” 2.1- INTRODUÇÃO Este capítulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemáticos necessários para o estudo da teoria de controle. Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma variável complexa e uma função complexa. Após, revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformação de Laplace. O domínio da Transformação de Laplace é fundamental para o entendimento da teoria de Controle Clássico.
2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA - Variável Complexa É um número complexo, cujas partes real e ou imaginária são variáveis. A variável complexa “S” é expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir: Onde:
S1 = τ1 + jω1
τ = Re(s) ω = Im( s)
- Função Complexa Uma função complexa F(s), é uma função de “S” com parte real e imaginária; podendo ser expressa como: F(s) = Fx + jFy
Onde:
Fx e Fy são reais
Ex: VARIÁVEL COMPLEXA
FUNÇÃO COMPLEXA
Plano “S”
Plano F(s) F(s) = FX 2 + FY 2 Fy θ = tg−1 FX
O conjugado da função Complexa F(s) é : F(s)= Fx− jFy
2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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Uma função é dita Analítica, quando ela e suas derivadas são definidas para um dado valor de “S” ou um dado ponto no plano “S”. Quando a função F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de “S”, diz-se que a função não é analítica para aquele ponto. Seja a seguinte função F(s): F(s) = 1 (S + 1) A derivada desta função em relação a “S”, é dada por:
−1 d F ( s) = dS (S + 1) 2 Tanto a função F(s), como sua derivada, são definidas para todos os pontos do plano “S”, exceto para o ponto S = −1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, a função F(s) é Analítica em todo o Plano “S”, exceto no Ponto S = −1. Os pontos no plano “S”, onde a função F(s) é analítica são chamados PONTOS ORDINÁRIOS, enquanto que os pontos onde F(s) não é analítica, são chamados P ONTOS SINGULARES. Os pontos singulares são também chamados de PÓLOS DA FUNÇÃO (S = −1 é um pólo da função F(s)). Seja uma função F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S = −p e se a função F(s).(s + p) n onde n = 1, 2, 3..., é um valor finito não nulo para o ponto S = −p, então: S = −p é chamado de PÓLO DE ORDEM “n”. - Se n = 1 ⇒ Pólo simples; - Se n = 2 ⇒ Pólo de 2a ordem; - Se n = 3 ⇒ Pólo de 3a ordem. Os valores de “S” em que a função F(s) é igual a zero, são chamados de ZEROS DA FUNÇÃO.
Ex: F(s) =
K(S + 2)(S + 10) S(S + 1)(S + 5)(S + 15) 2
Esta função tem zeros em S = −2 e S = −10 e pólos simples em: S = 0, S = −1 e S = −5 e um pólo de 2a ordem em S = −15. Caso S → ∞, G (s) = K3 e G (s) = 0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a s S →∞ S →∞ função passa a ter 5 zeros sendo um de 3a ordem, em S = ∞.
2.4- TEOREMA DE EULER O teorema de Euler, é definido por: e jθ =cosθ+ j senθ Pelo uso deste teorema, podemos expressar funções em seno e co-seno, na forma de uma função exponencial. Se e-jθ = cosθ - j senθ então, e-jθ é o conjugado complexo de e jθ . Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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Utilizando-se o teorema de Euler, pode-se definir as seguintes expressões para o senθ e para o cos θ. 1 1 cos θ = (e jθ + e − jθ ) sen θ = ( e jθ − e − jθ ) j2 2
2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE - T.L. A transformada de laplace, é a ferramenta matemática utilizada para converter um sinal do domínio de tempo em um função de variáveis complexas. Diversas funções, como por exemplo funções senoidais, exponenciais, etc.., podem ser convertidas para funções algébricas da variável complexa “S”. O uso do método de transformada de laplace, simplifica os cálculos para a obtenção da resposta do sistema. Operações complicadas no domínio de tempo, como por exemplo integração e diferenciação, são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma vez resolvida a expressão algébrica no domínio “S”, a resposta da equação diferencial no domínio de tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão em frações parciais. A transformada de laplace, caracteriza completamente a resposta exponencial de uma função linear invariante no tempo. Esta transformação é gerada através do processo de multiplicação de um sinal linear f(t) pelo -St sinal “e ” e integrando-se este produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +∞). Sejam as seguintes definições: f(t) ⇒ É uma função no domínio de tempo Linear e Invariante no tempo, tal que f(t) = 0 para t < 0. S ⇒ Variável Complexa.
⇒ Operador transformada de laplace. Indica que a função temporal f(t) associada, será transformada pela integral de Laplace:
∫
+∞ − ST
0
e
dt.
F(s) ⇒ Transformada de laplace da função f(t).
Obs:
{f ( t)} = F(s) = ∫ ∞ e − 0
ST
dt{f ( t )} =
∫ f ( t)e ∞
0
− ST
dt
Não esquecer que S = τ + j ω. Se as funções f(t), f 1(t) e f 2(t) apresentam T.L., então:
*
{A f ( t )} = A.
{f ( t )} *
*
{f1 ( t ) + f2 ( t )} =
{f ( t )} + 1
{f2 ( t )} *
2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES a) Função Exponencial f (t ) = 0 f ( t ) = A . e − αT Prof. Hélio Leães Hey - 1997
para t 1 e G1(s). H ( s) >>> 1 então: YN (s) ≈ 0 YX(s) ≈
1 . X(s) H (s)
Y(s) =
X(s) H (s)
Com isto, concluí-se que:
• Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na resposta do sistema, são desprezados.
• Se o ganho G 1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganho da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a igualar a saída com a entrada.
3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS Geralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laços de realimentação, vários blocos em série, pode ser simplificado através da manipulação de blocos no diagrama, utilizando-se as regras da álgebra de blocos mostrados a seguir:
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III-6
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Observações: - Em toda simplificação a ser feita, o produto das funções de transferência diretas deve permanecer inalterado. Isto também vale para funções de transferência em um laço. - Para a correta simplificação de um diagrama de blocos deve-se inicialmente deslocar-se pontos de soma e junção, permutar pontos de soma e, então, reduzir-se os laços de realimentação internos.
3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL Da mesma forma que o diagrama de blocos, o gráfico de fluxo de sinais é usado para a representação gráfica de uma função de transferência. No gráfico de fluxo de sinais, os blocos são substituídos por setas e os pontos de soma por nós. Porém, os nós também representam as variáveis do sistema. Cada seta indica a direção do fluxo de sinal e também o fator de multiplicação que deve ser aplicado a variável de partida da seta (ganho do bloco).
Ex:
≈ Prof. Hélio Leães Hey - 1997
C(s) = G (s). E (s)
III-7
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≈
DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
Nó: Representa uma variável. Ganho de Ramo: É o ganho entre dois nós. Ramo: É uma reta interligando dois nós. Nó de Entrada: São os nós que possuem apenas ramos que saem do nó. Corresponde a uma variável de controle independente. Nó de Saída: São os nós que possuem apenas ramos que chegam ao nó. Corresponde a uma variável dependente. Nó Misto: São os nós que apresentam ramos saindo e chegando ao nó. Caminho: É uma trajetória de ramos ligados no sentido das flechas. Caminho Aberto: É aquele em que nenhum nó é cruzado mais de uma vez. Caminho Fechado: É aquele em que termina no mesmo nó em que começou. Caminho Direto: É o caminho desde um nó de entrada até um nó de saída, cruzando cada nó uma única vez. Laço: É um caminho fechado. Ganho do Laço: É o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do laço. Laços que não se tocam: São laços que não apresentam nós comuns.
ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
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III-8
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3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON A fórmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malha fechada diretamente do diagrama de blocos ou do gráfico de fluxo de sinais, sem a necessidade de redução dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicação desta técnica deve ser usada com extremo cuidado para que os termos que compõe a fórmula do ganho não sejam trocados. Ex: Seja o seguinte sistema:
A definição dos caminhos diretos e dos ganhos dos laços envolvidos é mostrado abaixo. CAMINHOS DIRETOS: G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5 G6 ,G4 ,G5 LAÇOS: G2 H1 G4 H2 Seja “T”, o ganho do gráfico acima, isto é, a sua função de transferência. A fórmula do ganho de Mason é dada por: T=
1
P
1 MK. ∆K = (M. ∆ ∑ ∆ ∆ K =1
1
+ M 2 . ∆ 2 +......+ M p . ∆ p )
Onde:
∆ ⇒ Determinante do gráfico ∆ ⇒ 1 − ( Σ dos ganhos dos laços individuais) + ( Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de dois laços que não se tocam) − ( Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de três laços que não se tocam) + ( Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de quatros laços que não se tocam) − (........ ∆ ⇒ 1 − ∑ La + ∑ Lb . Lc − ∑ Ld . Le . Lf +..... a
b ,c
d ,e ,f
MK = ganho do K-ésimo caminho direto;
∆K = É o determinante associado ao K-ésimo caminho direto. É obtido de ∆, removendo-se os laços que tocam este K-ésimo caminho direto.
Para o exemplo mostrado, resulta: M1 = G1, G2, G3, G4, G5 M2 = G6, G4, G5 L1 = - G2H1 L2 = - G4H2 Prof. Hélio Leães Hey - 1997
Ganho dos caminhos Diretos;
Ganhos dos laços individuais;
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L1. L2 = G2H1.G4H2
III-9
Ganho de 2 laços que não se tocam;
∆ = 1 - (- G2H1 - G4H2) + (G2H1.G4H2) ∆1 = 1 ∆2 = 1 + G2H1 T=
M 1∆ 1 + M 2 ∆ 2
∆ T=
( G 1G 2 G 3 G 4 G 5 ).1 + ( G 6 G 4 G 5 ). (1 + G 2 H 1 ) 1 + G 2 H1 + G 4 H 2 + G 2 H1 .G 4 H 2
3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO A tendência dos sistemas modernos é de que cada vez mais aumente sua complexidade. Isto se deve principalmente a necessidade de uma boa precisão, aliada a própria complexidade das tarefas a serem executadas pelo sistema. Nestes sistemas tem-se várias-entradas e várias-saídas que geralmente podem ser variantes no tempo. Esta complexidade fez com que os sistemas de controle fossem analisados segundo uma nova abordagem, que é o modelo de variáveis de estado. Esta abordagem é uma ferramenta fundamental na teoria de sistemas de controle moderno, sendo aplicável a sistemas com múltiplas entradas e saídas, lineares ou não, variantes ou invariantes no tempo. Esta abordagem é feita no domínio de tempo. Vale lembrar que a abordagem de controle clássico, baseada no conceito de função de transferência, é válida para sistemas lineares, invariantes no tempo e uma entrada-uma saída e feita no domínio freqüência. A seguir são feitas algumas definições necessárias para a abordagem de ESPAÇO DE ESTADO .
- Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (de estado), tal que o conhecimento destas variáveis em t = t0, juntamente com a entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0.
- Variáveis de Estado É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo menos “n” variáveis ( χ 1 ( t), χ 2 ( t ),.... χ n ( t) ) são necessárias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de estado. Embora não seja necessário, é interessante que as variáveis de estado sejam grandezas facilmente mensuráveis devido a aplicação das de de controle que necessitam da realimentação destas variáveis.
- Vetor de Estado Se “n” variáveis de estado são necessárias para descrever o comportamento de um sistema, então estas “n” variáveis podem ser consideradas como “n” componentes de um vetor X1 ( t ) , chamado VETOR DE ESTADO . Prof. Hélio Leães Hey - 1997
III-10
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- Modelo de Variáveis de Estado
É um conjunto de equações diferenciais de 1 a ordem, escritas na forma matricial que permite, além de representar as relações entre as entradas e as saídas do sistema, permite representar também algumas características internas do sistema. Como característica desta abordagem, pode-se citar: - Como o sistema pode ter mais de uma entrada, é possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta; - Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Visto que depende da escolha das variáveis de estado; - As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem; - Para simulação de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variáveis de estado.
Ex: Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equação diferencial de segunda ordem que o define, a sua função de transferência e duas representações por modelo de variáveis de estado. i1 ( t) =
ϑi( t ) − ϑc( t ) R1
di2 ( t ) dt dϑc( t ) i 1 ( t ) − i 2 ( t ) = C. dt ϑ 0( t ) = R 2 . i 2 ( t )
ϑc( t ) − ϑ 0( t ) = L.
“2” → ϑc( t ) = ϑ 0( t ) + L.
di 2 ( t ) dt
“5”
“1” “2” “3” “4”
“1”, “2”, “4” → “3”
ϑi( t ) ϑc( t ) ϑ 0( t ) d L d = + + C. ϑ 0( t ) + . .ϑ 0( t ) R1 R1 R2 dt R 2 dt
“6”
ϑi( t ) ϑ 0( t ) L dϑ 0 ( t ) ϑ 0 ( t ) dϑ 0( t ) LC d 2ϑ 0( t ) = + + + C. + . 2 . R1
R1
R 1R 2
dt
R2
dt
R2
“7”
dt
L + CR1R 2 R + R 2 LCR1 .ϑ 0( t ) + 1 .ϑ 0( t ) + .ϑ 0( t ) = ϑi( t ) R2 R 2 R 2
“8”
A expressão acima representa o sistema mostrado, através da equação diferencial de 2a ordem que o define.
- Função de Transferência Para a obtenção da função de transferência deste sistema, deve-se obter a razão entre as transformações de laplace dos sinais de entrada e saída. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
III-11
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Entrada: ϑi( t ) − Vi ( s)
Saída: ϑ 0( t ) − V0 ( s)
L + CR 1 R 2 R 1 + R 2 LCR 1 2 + . S V 0 ( s) + . SV ( s ) 0 R V0 ( s) = Vi( s) R2 R 2 2 Seja: A=
LCR 1 ; R2
L + CR 1 R 2 ; R2
B=
V 0(s) 1 = 2 Vi (s) AS + BS + C
C=
“9”
R1 + R2 ; R2
“10”
- 1 o Modelo de Variáveis de Estado Para a obtenção do modelo de variáveis de estado, deve-se inicialmente definir quem são as variáveis de estado; sinais de entrada e sinais de saída. Entrada: ϑi( t ) Variáveis de Estado:
Saída: ϑ 0( t )
ϑ 0( t ), ϑ 0( t )
Desta forma, tem-se que:
χ 1( t ) = ϑ 0( t ) χ 2 ( t ) = ϑ 0( t ) Variáveis de estado
y( t) = ϑ 0 ( t ) = χ 1 ( t ) → Sinal de saída
L + CR 1 R 2 χ R + R LCR 1 χ . 1(t ) + . 1 ( t ) + 1 2 . χ 1( t ) = ϑi ( t ) R2 R 2 R2 mas,
“11”
χ1 ( t ) = χ 2 ( t ) . Desta forma, resulta que: L + CR 1 R 2 χ R + R 2 χ LCR 1 χ . 2 ( t) + . 1 (t ) = ϑi( t ) . 2 (t ) + 1 R2 R R 2 2
Seja: D=
R1 + R 2 ; LCR 1
E=
L + CR 1 R 2 ; L + CR 1
χ 1( t ) 0 1 χ 1( t ) 0 χ 2 ( t ) = − D − E .χ 2 ( t ) + F.ϑi( t ) χ1(t ) y ( t ) = [1 0]. χ 2 (t ) - 2 o Modelo de Variáveis de Estado
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“14”
F=
R2 ; LCR 1
“13”
“12”
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Sejam agora as variáveis de estado, a tensão do capacitor e a corrente do indutor. Entrada: ϑi( t ) Saída: ϑ 0( t ) Variáveis de Estado: χ1( t ) = ϑc ( t ) χ2 (t ) = i2 ( t )
χ 1( t ) = 1 .ϑi( t ) − 1 . χ 1( t ) − 1 . χ 2 ( t )
“15”
χ 1( t ) = − 1 χ 1( t ) − 1 χ 2 (t ) + 1 ϑi ( t )
“16”
R 1C
R 1C
R 1C
C
χ 2 ( t) = 1 χ1( t ) − R 2 . χ 2 (t ) L
L
C
R 1C
“17”
y(t ) = R2 .χ 2 ( t ) 1 1 χ 1( t ) − R C − C χ 1( t ) 1 1 + R C .ϑi( t ) . χ 2 ( t ) = 1 R 2 χ 2 ( t ) 1 0 − L L
χ 1 (t ) y ( t ) = [ 0 R 2 ]. χ 2 ( t )
3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA A forma padrão para representação do modelo de variáveis de estado para um sistema qualquer é mostrado abaixo.
X(t ) = A. X (t ) + B. U (t ) ⇒ Equação de Estado Y(t ) = C. X (t ) + D. U (t ) ⇒ Equação de Saída Onde: X(t) → Vetor de Estado; A → Matrix de Estado; B → Matrix de Entrada; C → Matrix de Saída; D → Matrix de Transmissão direta; Y(t) → Vetor de Saída.
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III-13
U(t) → Vetor de Entrada;
Geralme nte, a Matrix de Transmissão Direta é nula, visto que quase sempre existe uma dinâmica em todas as ligações entrada e saída dos sistemas. A obtenção do modelo de variáveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer através de uma das formas apresentadas abaixo - Equações Diferenciais do Sistema: Geralmente as variáveis de estado são variáveis físicas do sistema. - Função de Transferência: Geralmente não são variáveis físicas do sistema.
3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Seja o seguinte sistema de equações, onde y1(t) e y2(t) são as saídas do sistema e µ1(t) e µ2(t) as entradas do sistema.
y 1 ( t ) + K 1 y 1 ( t ) + K 2 y 1 ( t ) = µ 1 ( t ) + K 3 µ 2 ( t ) y 2 ( t ) + K 4 y 2 ( t ) + K 5 y 1 ( t ) = K 6 µ 1 ( t ) - Variáveis de Estado
χ1 ( t ) = y 1 ( t ) χ ( t ) = y (t ) 2 1 χ ( t ) = y ( t ) 2 3 Desta forma, substituindo as variáveis de estado no sistema de equações, resulta:
χ1 ( t) = χ 2 (t ) χ 2 ( t ) = − K 1 χ 2 ( t ) − K 2 χ 1 ( t ) + µ1 ( t ) + K 3 µ 2 ( t ) χ 3 ( t ) = − K5 χ 2 ( t ) − K 4 χ 3 ( t ) + K6 µ1 ( t ) 1 0 χ1 (t ) 0 0 χ1 (t ) 0 χ ( t ) = − K − K . χ (t ) + 1 K . µ 1 ( t ) 0 1 3 2 2 2 µ 2 ( t ) χ 3 (t ) 0 − K 5 − K 4 χ 3 (t ) K 6 0 Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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χ 1 (t ) y ( t ) 1 0 0 1 y (t ) = 0 0 1. χ 2 ( t ) 2 χ ( t ) 3
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Seja a seguinte Função de Transferência: χ1 (s) b 2 S 2 + b 1S + b 0 Y (s) . = G (s) = 3 U (s) S + a 2 S 2 + a 1S + a 0 χ1 (s) Y(s) = b 2 S 2 χ 1 (s) + b1Sχ1 (s) + b 0 χ1 (s) U (s) = S3 χ1 (s) + a 2 S 2 χ 1 (s) + a 1Sχ1 (s) + a 0 χ1 (s)
Definindo-se: Sχ1 (s) = χ 2 (s)
S 2 χ 1 (s) = Sχ 2 (s) = χ 3 (s)
Aplicando-se a transformação inversa de laplace no sistema de equações acima, resulta que : Y( t ) = b 2 χ 3 (t ) + b1 χ 2 ( t ) + b 0 χ1 (t ) e:
χ 3 ( t ) = −a 2 χ 3 (t ) − a 1 χ 2 (t ) − a 0 χ1 (t ) + µ (t ) χ1 (t ) = χ 2 (t ) χ 2 (t ) = χ 3 (t )
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1 0 χ 1 (t ) 0 χ1 (t ) 0 χ (t ) = 0 0 1 . χ 2 (t ) + 0. µ ( t ) 2 χ 3 (t ) −a 0 − a1 − a 2 χ 3 (t ) 1 y ( t ) = [b 0 b 1
χ 1 (t ) b 2 ]. χ 2 ( t ) χ 3 ( t )
3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO Seja a representação de estado, mostrada abaixo:
X• (t ) = A. X (t ) + B. µ (t ) Y( t ) = C. X (t ) + D. µ (t ) Aplicando a transformação de laplace nestas equações e considerando nulas as condições iniciais, resulta: SX (s) = AX( s) + BU(s) Y ( s) = CX (s) + DU( s) matrix identidade
(SI − A ). X (s) = BU( s) → X(s) = (SI − A ) −1 . BU (s) Substituindo a expressão de X(s) na equação de Y(s), resulta: Y(s) = {C.(SI − A ) −1 . B + D}. U(s) Com isto, tem-se: Y(s) = G(s) = C.(SI − A ) −1 . B + D U(s) Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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III-16
3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE ESTADO Seja a seguinte representação de estado:
X( t ) = A. X( t ) + B. U( t ) Y( t ) = C. X (t ) + D. U( t ) resulta.
Definindo-se um outro Vetor de Estado V(t) = Q.X(t), onde “Q” é uma matrix qualquer, X ( t ) = Q −1 . V ( t ) Onde:
Q −1 = P ; P → Matrix de Transformação; X( t ) = P. V( t ) X( t ) = P. V ( t )
Substituindo-se as expressões de X(t) e X( t ) na representação mostrada, tem-se:
P. V(t ) = A. P. V(t ) + B. U (t ) Y( t ) = C. P. V (t ) + D. U (t ) V( t ) = P −1 . A. P. V( t ) + P −1 . B. U( t ) Y( t ) = C. P. V (t ) + D. U (t ) V( t ) = Av.V(t ) + Bv. U( t ) ⇒ NOVA REPRESENTAÇÃO DE ESPAÇO DE ESTADO Y( t ) = Cv.V(t ) + D. U( t ) Ex: Dado G (s) =
1 obtenha: S2 + 3S + 2
- Uma representação por Espaço de Estado; - Uma representação por Espaço de Estado para a seguinte transformação:
ϑ1( t) = χ1 ( t ) + χ 2 ( t) ϑ2( t) = χ1 ( t ) + 2.χ 2( t) Utilizando-se o procedimento mostrado no ítem 3.12, o modelo de estado para este sistema é obtido como mostrado abaixo:
X 1 (t ) 0 1 X 1 ( t ) 0 X ( t ) = −2 −3. X (t ) + 1. µ( t ) 2 2 Prof. Hélio Leães Hey - 1997
III-17
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X1 X 2
Y( t ) = [1 0] .
O novo conjunto de variáveis de estado V(t), em função das variáveis de estado X(t), é dado por:
1 1 X1 ( t ) V( t ) = . Onde: 1 2 X 2 ( t )
2 −1 1 1 = e Adj . Q Q= e Q 1 = + −1 1 1 2
Sendo P-1=Q, resulta que:
1 1 P −1 = Q = 1 2
P = Q −1 =
Adj. Q Q
2 −1 −1 1
P =
Com isto, temos que:
1 1 0 1 2 −1 −2 −2 2 −1 −2 0 = = P −1 . A. P = . . . 1 2 −2 −3 −1 1 −4 −5 −1 1 −3 −1 e:
1 1 0 1 P −1 . B = . = 1 2 1 2
2 −1 C.P = [1 0]. = [2 −1] −1 1
Finalizando, o novo modelo de variáveis de estado é dado por : V1 ( t ) −2 0 V1 ( t ) 1 . + . µ( t ) = V2 ( t ) −3 −1 V2 ( t ) 2
V1 ( t ) Y( t ) = [2 −1]. V2 ( t )
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IV-1
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
“
”
4.1- INTRODUÇÃO Inicialmente é necessário que se defina o que é sistema, sistema dinâmico e sistema estático. Um SISTEMA é uma combinação de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado. O sistema é dito ESTÁTICO , quando a saída atual do sistema depende somente da entrada atual. A saída do sistema só varia se a sua entrada variar. O sistema é dito DINÂMICO, se a sua saída depende da entrada e dos valores passados da entrada. Num sistema dinâmico a saída varia se ela não estiver num ponto de equilíbrio, mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como sendo o conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com uma certa precisão. O modelo matemático de um dado sistema não é único, isto é, um sistema pode ser representado por diferentes modelos dependendo da análise que se deseja fazer. Na obtenção do modelo matemático para um dado sistema deve-se ter um compromisso entre a simplicidade do modelo e a sua precisão. Nenhum modelo matemático, por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema. Em geral deve-se obter um modelo matemático, que seja adequado para solucionar o problema específico que esta em análise. Porém, é importante ressaltar que os resultados obtidos desta análise serão válidos somente para os casos em que o modelo é válido. Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumas propriedades físicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do sistema são pequenos, então uma boa semelhança entre os resultados da análise matemática e os resultados práticos do sistema é obtido. Em geral os sistemas dinâmicos são não lineares. Porém, os procedimentos matemáticos para a obtenção de solução de modelos lineares são muito complicados. Por isto, geralmente substituí-se o modelo não linear por um modelo linear, com validade somente em uma região limitada de operação, ou para um ponto de operação. A obtenção dos modelos que representam um dado sistema, são baseados nas leis que regem aquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecânico, deve-se ter em mente as leis de Newton; na modelagem de sistemas elétricos deve-se ter em mente as leis das correntes e das tensões de Kirchoff; na modelagem de sistemas térmicos deve-se ter mente as leis que regem os fenômenos térmicos, isto é, condução, radiação e convenção, etc... Neste capítulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecânicos de translação e rotação e sistemas eletromecânicos. A modelagem de outros sistemas físicos, tais como, sistemas térmicos e sistemas hidráulicos não serão objeto de análise.
4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS Os sistemas mecânicos são divididos em dois grupos, isto é, sistemas mecânicos de translação, e sistemas mecânicos de rotação. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemas mecânicos, serão revisados. - Massa
A massa de um corpo, é a quantidade de matéria deste corpo, a qual é constante. Fisicamente, a massa de um corpo é responsável pela inércia do mesmo, isto é, a resistência à mudança de movimento de um corpo. O peso de um corpo, é a força com a qual a terra exerce atração deste corpo. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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m=
ω
IV-2
Onde:
g
m é massa (Kg)
é é o peso (Kgf) gravidade (≈ 9,81 m/s2) g é a aceleração da gravidade
ω
Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo não varia. - Força
A força é definida como a causa que tende a produzir uma mudança na posição de um corpo, no qual a força está atuando. As forças, podem ser classificadas de duas formas, F ORÇAS DE CONTATO e FORÇAS DE CAMPO. As forças de contato são aquelas que tem um contato direto com o corpo, enquanto as forças de campo não apresentam contato direto com o corpo, como por exemplo, força magnética magnética e força gravitacional. - Torque
O torque, é definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudança na posição angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando. - Deslocamento, Velocidade e Aceleração
O deslocamento deslocamento χ( t ) é a troca de posição posição de um ponto, ponto, tomado como como referência referência,, para outro. A velocidade é a derivada temporal do deslocamento χ( t ) .
ϑ( t) =
d χ( t ) χ = (t) dt
A aceleração é a derivada temporal da velocidade: dϑ ( t ) d 2 χ ( t ) = ∴ a( t ) = ϑ( t ) = χ( t ) a( t ) = 2 dt dt - Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular
O deslocamento angular “θ(t)”, é definido como a troca de posição angular, sobre um eixo, de um ângulo tomado como referência e outro. É medido em radianos. A direção anti-horário é tomada como positiva. A velocidade angular “ ω(t)”, é a derivada temporal do deslocamento deslocamento angular “θ(t)”.
ω( t ) =
dθ( t ) = θ( t ) dt
A aceleração angular “α (t)”, é a derivada derivada temporal da velocidade angular angular “ω”. dω( t ) d 2θ( t ) α( t ) = = 2 ∴ α( t ) = ω( t ) = θ( t ) dt dt
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IV-3
Obs: Se a velocidade ou a velocidade angular é medida em relação a uma referência fixa, então chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrário serão grandezas relativas. O mesmo é válido para a aceleração. LEIS DE NEWTON
Das três leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei é a mais importante, para a obtenção de modelos matemáticos de sistemas mecânicos. - Segunda lei de Newton (Translação)
“A aceleração adquirida por de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional as forças que atuam neste corpo, e inversamente inversamente proporcional a massa massa deste corpo”. co rpo”.
Σ forças = m.a - Segunda lei de Newton (Rotação)
“A aceleração angular de qualquer corpo rígido é diretamente proporcional aos torques que atuam neste corpo, corpo , e inv inversamente ersamente proporcional ao momento momento de inércia inércia deste corpo”.
ΣT = Jα Onde: J → Momento de inércia;
4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO Nos sistemas mecânicos de translação, há três elementos mecânicos envolvidos que são: elemento de inércia, elemento de amortecimento, elemento de elasticidade. - Elemento de Inércia (Massa)
M → massa; f (t) (t) → força aplicada; χ(t) → deslocamento. deslocamento.
É assumido que a massa é rígida. Desta forma a conexão superior, não deve se mover em relação a conexão inferior, inferior, isto é, ambas conexões se deslocam segundo segundo χ(t). dϑ ( t ) d 2 χ (t ) =M 2 f ( t ) = M. a ( t ) = m dt dt Onde:
a(t) → aceleração; ϑ(t) → velocidade; χ(t) → deslocamento. deslocamento. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-4
- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)
No caso deste elemento existe um deslocamento relativo entre o ponto de conexão superior e o ponto de conexão inferior. Portanto, existe existe a necessidade necessidade de duas variáveis variáveis deslocamento deslocamento para descrever este elemento. A realização física deste elemento é a fricção viscosa associada ao óleo ou ar.
Força de Amortecimento Amortecimento
d χ 1 ( t ) d χ 2 ( t ) f(t) = B(ϑ1(t)- ϑ2(t)) − dt dt
f ( t ) = B
B → Coeficiente de amortecimento; ϑ1(t) → Velocidade relativa ao deslocamento deslocamento χ 1 ( t ) ϑ2(t) → Velocidade relativa ao deslocamento deslocamento χ 2 ( t ) . - Elemento de Elasticidade (Mola)
Este elemento, elemento, pode ser deformado por uma força externa, tal que a deformação é diretamente proporcional a esta força. f ( t ) = K( χ 1 ( t ) − χ 2 ( t ))
Força de elasticidade elasticidade
Uma vez que os elementos mecânicos dos movimentos de translação estão definidos, as equações de sistemas mecânicos mecânicos de translação podem ser escritas seguindo seguindo as leis leis de Newton. Newto n.
Ex1: d 2 χ( t ) d χ( t) = − − K χ ( t) M f ( t ) B dt 2 dt
Neste sistema, três tr ês forças exercem influên influências cias sobre a massa M: força aplicada aplicada f(t), a força de amortecimento amortecimento e a força de elasticidade. elasticidade. A função de transferência , pode ser obtida, considerando-se a força aplicada como entrada e o deslocamento deslocamento χ( t ) com como saí saída da.. F(s) = MS2X(s) + BSX(s) + KX(s) X(s) 1 = G(s) = = F(s) MS 2 + BS + K Prof. Hélio Leães Hey - 1997
1M B K S2 + S + M M
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IV-5
Ex2:
Este sistema mecânico, é o modelo simplificado de um sistema de suspensão de uma das rodas de um automóvel, onde: M1 → Massa do automóvel; M2 → Massa do roda; K1 → Cte de elasticidade (mola); K2 → Cte de elasticidade (pneu); B → Cte de amortecimento (amortecedores). Se observarmos a figura, existem 2 deslocamentos independentes χ 1 ( t ) e χ 2 ( t ) . Isto significa que, conhecer o deslocamento χ 1 ( t ) não implica em conhecer o deslocamento χ 2 ( t ) . Portanto devese escrever 2 equações.
d. χ 1 ( t ) d.χ 2 ( t ) d 2 χ1 ( t) χ χ = − − − − ( ) M1 K ( t ) ( t ) B 1 2 1 dt dt dt 2
“1”
d χ 2 ( t ) d χ 1( t ) χ d 2 χ 2 (t) χ χ − K ( t ) = − − − − M2 f ( t ) K ( t ) ( t ) B ( ) 2 1 1 dt dt 2 2 dt 2
“2”
Supondo que deseja-se obter a função de transferência entre a força aplicada f(t) e o deslocamento do carro χ 1 ( t ) . M1S2X1(s) = - K1(X1(s) - X2(s)) - B(SX1(s) - SX2(s))
“3”
M2S2X2(s) = F(s) - K1(X2(s) - X1(s)) - B(SX2(s) - SX1(s)) - K2X2(s)
“4”
Pela equação “3”; resulta X1(s)(M1S2 + K1 + BS) = X 2(s)(K1 + BS) X 1 (s) =
BS + K 1 . X (s) M 1S 2 + BS + K 1 2
“5”
Pela equação “4”, resulta X2(s)(M2S2 + K1 + K2 + BS) = F(s) + (K1 + BS)X1(s) X 2 (s) =
BS + K 1 1 + . F ( s ) X (s) M 2 S 2 + BS + K 1 + K 2 M 2 S 2 + BS + K 1 + K 2 1 X 1 (s) = G 1 (s). X 2 ( s)
“5”
X 2 (s) = G 2 (s ). X1 (s) + G 3 (s). F(s)
“6”
As equações “5” e “6” fornecem as seguintes representações: Prof. Hélio Leães Hey - 1997
“6”
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Caminho direto:
IV-6
⇒
Diagrama de blocos
⇒
Gráficos de fluxo de sinais
M1 = G1. G3
Laços individuais:
La = G1. G2
Determinante do sistema:
∆ = 1 − G 1G 2
Função de transferência:
X1 GG = 1 3 F 1 − G 1G 2
Onde:
G1G 2 =
BS + K 1 BS + K 1 . ( M 1S 2 + BS + K 1 ) ( M 2 S2 + BS + K 1 + K 2 )
G1G 3 =
BS + K 1 1 . ( M 1S 2 + BS + K 1 ) ( M 2S 2 + BS + K 1 + K 2 )
Com isto, a função de transferência deste sistema é dada por: BS + K 1 ( M 1S 2 + BS + K 1 ).( M 2S 2 + BS + K 1 + K 2 )
X 1 (s) = F( s) ( M 1S 2 + BS + K 1 )( M 2 S 2 + BS + K 1 + K 2 ) − ( BS + K 1 ) 2 ( M 1S 2 + BS + K 1 )( M 2S 2 + BS + K 1 + K 2 ) X1 (s) BS + K 1 = F(s) M 1 M 2 S 4 + (M 1 + M 2 )BS 3 + (M 1K 1 + M 1 K 2 + M 2 K1 )S 2 + BK 2S + K 1 + K 2 Esta função de transferência, descreve completamente, a dinâmica do sistema apresentado. Uma vez conhecido, a massa do carro “M1”, massa da roda “M2” e a elasticidade do pneu “K2”, a suavidade ou conforto do carro é determinado pela definição dos valores de K 1 e B.(B → amortecedor; K1 → mola). Como o coeficiente de amortecimento B varia com o desgaste do amortecedor, a função de transferência também varia com o tempo mudando o conforto do carro.
4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO Os elementos mecânicos envolvidos nos sistemas mecânicos de rotação, são os mesmos já definidos para os sistemas mecânicos de translação. A diferença é que agora os deslocamentos são angulares. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-7
- Elementos de inércia (Momento de Inércia)
dω( t ) d 2 θ( t ) = J 2 ∴ T(t) = Jθ( t ) T( t ) = J α( t ) = J dt dt Onde:
J → Momento de inércia; T(t) → Torque aplicado; θ(t) → Deslocamento angular. α(t) → Aceleração angular; ω(t) → Velocidade angular. - Elemento de Amortecimento (Amortecedor)
θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) = Velocidade Relativa; T(t ) = B(θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ))
T = Torque aplicado; B = Coef. de amortecimento Rotacional.
- Elemento de Elasticidade (Mola)
T(t ) = K(θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ))
T (t) = Torque aplicado; θ1(t) - θ2(t) = Desloc. angular relativo.
Exemplos:
1) Considere o sistema mecânico rotacional, mostrado a seguir:
∑
Jα( t ) = T( t ) Jω ( t ) = T(t ) − Bω ( t ) T(t ) = Jω( t ) + Bω ( t ) Aplicando T.L, resulta: T(s) = JS.Ω(s) +B.Ω(s)
Ω(s) T(s)
=
1 J. S + B
2) Considere o sistema mecânico rotacional, mostrado a seguir: Este sistema é um exemplo de relógios de pêndulo. O momento de Inércia do pêndulo, é representado por J; a fricção entre o pêndulo e o ar é representado por B, e a elasticidade do pêndulo é representada por K. Jα( t ) = ∑ T( t )
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d 2 θ(t ) dθ( t ) = − − Kθ( t ) J T(t ) B dt 2 dt
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IV-8
Aplicando T.L, resulta: J. S2 θ(s) = T(s) − BS.θ(s) − K.θ(s) A função de transferência, será então:
θ(s) T(s)
=
1 J.S 2 + B.S + K
4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS A modelagem de sistemas elétricos é baseada nas leis das tensões e das correntes de Kirchoff. Devido a nossa familiaridade com circuitos elétricos, a modelagem dos mesmos torna-se facilitada. Os elementos envolvidos nos circuitos elétricos são: Resistores, Indutores, Capacitores, amplificadores, etc...
4.3.1- CIRCUITO RLC di( t ) + Ri( t ) + ϑc( t ) = ei( t ) dt dϑc( t ) i( t ) = C dt L
Aplicando a T.L nas expressões acima, resulta: L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) = Ei(s) I(s) = C.S.Vc(s) Substituindo-se a expressão de I(s) na primeira equação, tem-se: L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) = Ei(s) Como: Vc(s) = E0(s) LCS2. E0(s) + R.CSE0(s) + E0(s) =Ei(s) E 0 (s) 1 = Ei(s) L. C.S 2 + R. C.S + 1
Obs: Em invés trabalharmos com o elemento elétrico podemos trabalhar com o circuito de impedância complexa, facilitando a obtenção da Função de Transferência. ELEMENTO R L C Prof. Hélio Leães Hey - 1997
IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA R LS 1/CS
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IV-9
2)
E 0 (s) =
Ei (s) + R 1 I 1 (s) +
1 (I (s) − I 2 (s)) = 0 C1S 1
1 (I (s) − I 2 (s)) + R 2 I 2 (s) + E 0 (s) = 0 C 1S 1 I 1 (s) =
1 . I (s) C2S 2
I 1 (s) − I 2 ( s) = Ei(s) − R 1I 1 (s) C1S I 1 (s) − I 2 ( s) = E 0 (s) + R 2 I 2 (s) C1S
C 1SEi( s) + C 2 SE 0 (s) 1 + R 1 C 1S
I 2 (s) = C 2 SE 0 (s)
C1SEi (s) + C 2 SE 0 (s) = E 0 (s) + R 2 C 2 SE 0 (s) 1 R C S + 1 1
Ei (s) − R 1 .
Ei (s)(1 + R 1C1S − R 1C1S) + R 1C 2 SE 0 (s) = (1 + R 1C1S)(1 + R 2 C 2 S )E 0 (s ) E0 1 = Ei (1 + R 1C 1S)(1 + R 2 C 2 S) + R 1C 2 S
4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS Sistemas análogos, são sistemas que embora apresentem características físicas diferentes, são descritos pelos mesmos modelos matemáticos. A existência deste conceito é muito utilizada na prática. Uma vez que um determinado sistema físico esteja estudado e analisado, um outro sistema análogo a este também estará. Em virtude da construção de um protótipo de um sistema mecânico, hidráulico, etc, ser mais complicado, estes sistemas podem se estudados e analisados através do circuito elétrico análogo.
4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS Entre os sistemas elétricos e mecânicos, existem dois tipos de analogias:
• •
Analogia Força-Tensão; Analogia Força-Corrente.
a) Analogia Força-Tensão
Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas Elétricos e Mecânicos para este caso. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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SISTEMA ELÉTRICO
IV-10
SISTEMA MECÂNICO DE TRANSLAÇÃO Força F(t) Massa M Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Deslocamento χ ( t ) Velocidade χ ( t )
Tensão ϑ(t) Indutância L Resistência R Inverso da Capacitância 1/C Carga Elétrica q(t) Corrente i(t)
SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO Torque T(t) Momento de Inércia (J) Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Desloc. Angular θ(t) Veloc. Angular θ( t ) = ω( t )
Sejam os sistemas elétricos e mecânicos, abaixo representados.
Para o sistema mecânico, tem-se que: d 2 χ( t ) dχ ( t ) +B + K χ( t ) = f M dt dt
“1”
Para o sistema elétrico, tem-se que: di( t ) 1 + Ri( t ) + i( t )dt = ϑ ( t ) L C dt
∫
dq 2 ( t ) dq ( t ) 1 dq (t ) → L 2 +R + q (t ) = ϑ (t ) mas, i( t ) = C dt dt dt
“2”
onde: q(t) → Cargas elétricas. As equações diferenciais “1” e “2” são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos. b) Analogia Força-Corrente
Sejam os sistemas elétricos e mecânicos, abaixo representados.
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IV-11
A equação que define o sistema mecânico já foi obtida acima, em “1”. Para o sistema elétrico, tem-se que: iL(t) + iR(t) + iC(t) = is(t)
“3”
ϑ( t ) 1 dϑ ( t ) ϑ ( t ) dt + +C = is( t ) L R dt
∫
mas: ϑ ( t ) =
dφ ( t ) ; dt
onde: φ → fluxo magnético.
dφ 2 ( t ) 1 d φ ( t ) 1 + + φ( t ) = is( t ) C dt 2 R dt L
“4”
As equações “1” e “4”, são idênticas e portanto os dois sistemas apresentados são análogos. Abaixo é mostrado as grandezas análogas entre os sistemas elétricos e mecânicos para o caso da analogia Força-Corrente. SISTEMA ELÉTRICO Corrente i(t) Capacitância C Inverso da Resistência 1/R Inverso da Indutância 1/L Fluxo Magnético φ(t)
SISTEMA MECÂNICO DE TRANSLAÇÃO Força F(t) Massa M Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Deslocamento χ ( t )
SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO Torque T(t) Momento de Inércia (J) Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Desloc. Angular θ(t)
4.5 - SISTEMAS ELETROMECÂNICOS Os sistemas eletromecânicos a serem analisados são o servomotor de corrente contínua e o gerador de corrente contínua.
4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA Um servomotor de corrente contínua é um motor de corrente contínua, com características dinâmicas especiais, para serem usados em sistemas realimentados. As características desejáveis de um servomotor de CC são:
• • • •
Inércia reduzida; Máxima aceleração possível; Alta relação torque-inércia; Constante de tempo extremamente pequena.
Os servomotores CC de baixas potências são usados em equipamentos computacionais como acionadores de disco, impressoras, acionadores de fita e também em instrumentação. Já os servomotores CC de médias e altas potências são usados em sistemas robotizados, controles de posição, etc... O modelo básico de um servomotor CC, é mostrado a seguir: Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-12
ϑa(t) → Tensão aplicada na armadura; Ra → Resistência de armadura; La → Indutância de armadura; Ea(t) → Força eletromotriz ia(t) → Corrente da armadura; Lf → Indutância de campo; Rf → Resistência de campo; ϑf (t) → Tensão aplicada no campo; if (t) → Corrente de campo; T(t) → Torque desenvolvido pelo motor; Lf , Rf → Enrolamento de campo; Ra, La → Enrolamento de armadura. Este servomotor pode ser acionado de 2 formas, que são: • Controle da Armadura; • Controle de Campo; No CONTROLE DE ARMADURA, o enrolamento de campo é excitado separadamente. A corrente de campo é mantida constante e o controle do motor é exercido pela corrente de armadura. No C ONTROLE DE CAMPO, a corrente de armadura é mantida constante e a velocidade é controlada pela tensão de campo. O controle pelo campo dos servomotores, apresenta como desvantagens, o fato de trabalhar com constantes de tempo maiores e também a maior dificuldade de obtenção de uma fonte de corrente contínua.
4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC Considere o diagrama esquemático do controle de servomotores CC pela armadura. A corrente de campo é mantida constante.
As equações que definem o motor CC em Regime Permanente estão abaixo definidas. O torque eletromagnético desenvolvido pelo motor CC é dado pela seguinte expressão: T(t) = Ka.φ(t).ia(t)
“1”
Onde:
φ → Fluxo no entreferro; Ka → CTE; ia(t) → Corrente de armadura. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-13
Pela curva de magnetização mostrada, o fluxo no entreferro na região linear, é proporcional a corrente de campo. φ(t) = Kf . if (t) “2” Como neste caso a corrente de campo é constante, resulta que o fluxo também será:
φ(t) = K1
“3”
T(t) = K2 . ia(t)
“4”
Substituindo “3” em “1”, tem-se:
Pela expressão “4”, o torque eletromagnético produzido pelo motor CC é diretamente proporcional a corrente de armadura. A força eletromotriz “Ea(t)” induzida na armadura é dada por: Ea(t) = Ka.φ (t).ωm(t)
“5”
Onde:
ωm(t) → Velocidade angular do motor; Como o fluxo é constante, resulta: E a ( t ) = K 3 ω . m (t )
“6”
ou E a (t) = K 3 .
dθ(t) dt
A equação diferencial associada a armadura do motor CC, isto é, a equação do motor CC é definida em “7”. d. i (t) “7” ϑ a (t) = L a a + R a . i a (t) + E a ( t ) dt A equação diferencial mecânica associada ao sistema representado na figura, é definido em
“8”. dθ 2 ( t ) dθ( t ) +B T(t ) = J dt dt
“8”
Assumindo condições iniciais nulas, a transformada de Laplace das expressões “6”, “7”, “8” e “4”, será: “9” Ea(s) = K3.S.θ(s) “10” Va(s) = La.S.Ia(s) +Ra.Ia(s) +Ea(s) 2 “11” T(s) = J.S .θ(s) + B.S.θ(s) “12” T(s) = K2.Ia(s) Considerando que a tensão aplicada na armadura da máquina “V a(s)” é a entrada do sistema, o deslocamento angular do eixo do rotor “ θ(s)” é a saída, pode-se então obter a Função de Transferência deste sistema. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-14
Inicialmente, mostra-se o diagrama de blocos para o sistema apresentado.
O diagrama de fluxo de sinais, é mostrado a seguir:
K2 ( L a .S + R a )(J .S 2 + B.S) K2 θ(s) θ(s) = ∴ = K 2 . K 3 .S Va (s) Va (s) ( L a .S + R a ). S. ( J .S + B) + K 2 . K 3 .S 1+ ( L a .S + R a )( J.S 2 + B.S)
θ(s)
K2 ( ) S{K 2 . K 3 + ( L a .S + R a ) J .S + B }
“13”
K2 S( L a . J.S 2 + ( L a . B + R a . J )S + R a . B + K 2 . K 3 )
“14”
Va (s)
θ(s) Va (s)
=
=
Considerando-se que La é pequena e pode ser desprezada, temos:
θ(s)
K2 S( R a . J. S + R a . B + K 2 . K 3 )
“15”
K2 Km θ(s) R a B + K2 .K 3 θ(s) = = ⇒ Va (s) Ra .J S.( Tm .S + 1) Va (s) S S + 1 R a . B + K 2 . K3
“16”
Va (s)
=
Ou:
Tm =
R a .J R a . B + K 2 . K3
K2 Km = R a . B + K 2 . K3
Km = ganho constante da máquina; Tm = constante de tempo da máquina.
Pelas expressões acima observa-se que quanto menor for “R a” e “J”, menor será a constante de tempo da máquina. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-15
As expressões “15” e “16” representam a Função de Transferência para o sistema eletromecânico mostrado. Para obtermos a representação por espaço de estado, basta que se tenha as equações diferenciais relacionadas as expressões “15” e “16”. Da expressão “15”, resulta: R a . J. θ( t ) + ( R a . B + K 2 . K 3 )θ( t ) = K 2 .ϑ a ( t )
“17”
Sejam χ 1( t ) e χ 2 ( t ) as variáveis de estado.
χ1 ( t) = θ(t ) χ 2 ( t ) = θ( t ) A saída θ(t) será: y(t) = θ(t) = χ 1(t) e a entrada: ϑa(t) = µ(t)
χ1 ( t) = χ 2 (t ) χ 2 (t ) = −
(Ra . B+ K2 .K3 ) R a .J
.χ 2 +
K2 ϑ (t ) R a .J a
A representação por Espaço de Estado para a equação “17” resulta:
χ1 ( t) 0 1 χ1 (t) 0 χ 2 ( t ) = 0 − R a . B + K 2 . K 3 .χ 2 ( t ) + K 2 . µ( t ) R a . J R a .J
“18”
χ 1( t ) = y( t ) [1 0].χ 2 (t) resulta:
Em função dos termos “Km” e “Tm”, já definidos, a representação por espaço de estado, 1 χ 1 ( t) 0 χ1 (t ) 0 χ 2 ( t ) = 0 − 1 .χ 2 ( t ) + K m . µ( t ) Tm Tm
χ 1( t ) y( t ) = [1 0].χ 2( t ) O uso do controle eletrônico de servomotores CC, também conhecido como servo acionamento, melhora significamente a operação dos servomotores. A seguir é mostrado um diagrama de blocos de um servoacionamento para controle de velocidade de um servomotor CC.
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IV-16
Ei → referência de velocidade (volts); E0 → velocidade de saída (volts); TN → sensor de velocidade. O diagrama acima, representa o controle de velocidade de um servomotor CC. O servoacionamento, transforma o erro entre a Velocidade de Referência e a Velocidade medida, num aumento ou diminuição da tensão que alimenta a armadura do servomotor. A seguir é mostrado, um diagrama simplificado, para o controle de posição de um servomoK 1 tor. O bloco a , representa o ganho do servoacionamento Ka e o integrador . S S
Atualmente, através do uso de servoacionamentos incorpora-se ao sistema (servoacionamento + servomotor) duas malhas de controle de velocidade e posição, conforme mostrado abaixo.
4.5.1.2- GERADOR CC O modelo básico do gerador CC, é mostrado a seguir:
As equações que regem este sistema são: Equação de campo:
ϑ f ( t) = R f i f (t) + L f
Equação de Armadura:
E a (t ) = R a i a ( t ) + La
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d i (t) dt f
“19”
d i (t) + ϑ a (t ) dt a
“20”
Equaçã
Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I o de carga:
IV-17
ϑ a ( t ) = Z. i a ( t )
“21” E a ( t ) = K a . φ.
Pela equação “5” temos que:
dθ( t ) dt
Considerando-se que a velocidade do gerador é constante, e que pela equação “2” o fluxo no entreferro é diretamente proporcional a corrente de campo if (t), resulta: E a ( t ) = K 4 . i f ( t )
“22”
Desta forma, as transformadas de Laplace das equações “19”, “20”, “21” e “22”, são dadas por:
Vf (s) = ( R f + L f .S). I f (s) E a (s) = K 4 . i f (s) I a (s) =
1 E (s) R a + Z + L a .S a
Va (s) = Z. I a (s)
“23” “24” “25” “26”
O diagrama de bloco para o sistema é mostrado abaixo:
A função de transferência entre Va(s) e Vf (s) é dada por: Va (s) K4 . Z = Vf (s) ( L f .S + R f )(L a .S + R a + Z)
“27”
Pela expressão acima, verifica-se que a carga “Z” afeta tanto a dinâmica do gerador como também a própria saída ϑa(t).
4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS Em um circuito elétrico, um transformador é um dispositivo de acoplamento magnético, cuja finalidade é transformar os níveis de tensão e corrente de um lado do acoplamento para o outro. Em nosso estudo todos os transformadores serão considerados ideais, sendo desta forma, a potência de entrada do mesmo igual a sua potência de saída. A seguir é mostrado o modelo de um transformador ideal. P1 ( t ) = e1 ( t ). i1 ( t ) P2 ( t ) = e 2 ( t ). i 2 ( t ) P1 ( t ) = P2 ( t )
e1 ( t) i 2 ( t) = e 2 ( t ) i1 ( t ) Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-18
Pela Lei de Faraday sabe-se que a tensão induzida em um bobina é diretamente proporcional a taxa de variação do fluxo magnético e ao número de espiras da bobina. Com isto, tem-se que:
e1 ( t ) = N 1 Portanto:
e1 ( t ) N1
=
dφ( t ) dt
e 2 (t ) N2
e
e
e 2 ( t) = N 2
dφ ( t ) dt
N 1 e1 ( t) i 2 ( t) = = N 2 e 2 ( t) i1 ( t)
A função da engrenagem em um sistema mecânico é a mesma, do transformador em um sistema elétrico, isto é, propiciar o acoplamento mecânico. Seja o acoplamento mecânico mostrado a seguir: Onde: T1(t), T2(t) → Torques; θ1(t), θ2(t) → Deslocamentos angulares; → Número de dentes das engrenagens. N1, N2
Em uma outra perspectiva, o sistema de engrenagens pode ser representado como mostrado abaixo. O produto entre o número de dente de uma engrenagem (N1) e o deslocamento angular desta engrenagem (θ1), deve ser igual ao mesmo produto relativo a outra engrenagem. Portanto: N 1 . θ 1 (t ) = N 2 . θ 2 ( t ) ou N 1 θ 2 ( t ) = N 2 θ1 ( t ) Já os torques T1(t) e T2(t) são diretamente proporcionais aos números de dentes das engrenagens. Portanto: N 1 T1 ( t ) = N 2 T2 ( t ) Por outro lado, o número de dentes de uma engrenagem é diretamente proporcional ao raio N R (ou diâmetro) da engrenagem, isto é, 1 = 1 = n a . N2 R2
4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES Conforme já foi comentado anteriormente, os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares. Entretanto, a transformação de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares. Por isto, é necessário que seja introduzida uma técnica de linearização de sistemas não-lineares. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
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IV-19
Seja o sistema de um pêndulo mostrado abaixo: L → comprimento do pêndulo; M → massa do pêndulo; f → força que atua no pêndulo; g → gravidade. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo, é: L d 2 θ( t ) = − sen θ(t) . g dt 2 Esta equação é não linear, devido a presença do termo sen θ(t). A característica não-linear para a função f(θ) = sen θ é mostrada abaixo.
O procedimento usual de linearização é substituir a característica da função por uma linha reta, o que fornece uma precisão razoável para uma pequena região de operação. Por exemplo, suponha que deseja-se linearizar a função f( θ) = sen θ em torno do ponto f( θ0). Através de expansão em Série de Taylor, representa-se a função f(θ) em torno do ponto “ θ0”, por: df f (θ) = f (θ 0 ) + dθ
d 2 f .(θ − θ0 ) + 2 ( θ=θ0 ) dθ
(θ − θ0 ) 2 +...... . ( θ = θ0 ) 2!
“2”
Se a variação “θ - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em: f (θ) ≅ f (θ 0 ) +
df dθ
( θ =θ 0 )
. (θ − θ 0 )
“3”
Seja portanto: f(θ) = sen θ. Com isto temos: sen θ = sen θ0 + {cosθ0 }. (θ − θ0 )
“4”
0 Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que θ = 0 , pode-se linearizar a função em torno do ponto θ0 = 0 0 .
sen θ ≅ 0 + 1.( θ − 0 0 ) ∴ senθ ≅ θ Prof. Hélio Leães Hey - 1997
“5”
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IV-20
Substituindo “5” em “1”, resulta: L d 2 θ( t ) = −θ( t ) . g dt 2
“6”
ou g L
θ( t ) + θ( t ) = 0
“7”
Portanto, para linearizar uma função f (χ ) em torno do ponto “ χ 0 ”, deve-se⇒ expandir esta função através de Série de Taylor, considerando-se desprezível os termos (θ − θ0)n, ⇒para n > 1. f (χ ) = f (χ 0 ) +
df ( χ) (χ − χ 0 ) d χ χ=χ0
A precisão, desta linearização depende da magnitude dos termos ignorados.
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V-1
“AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS” Conforme havíamos mencionado no Capítulo I, a busca da qualidade, eficiência e precisão nos processos industriais, exige sistemas de controle em malha fechada sem a presença do operador humano, os quais são chamados de Controladores Automáticos.
5.1- AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE A comparação do valor atual da variável de saída de um planta com um valor de referência desejado, gera um sinal de erro. Este sinal de erro, produz um sinal de controle que deverá agir no sentido de tornar este erro nulo ou próximo de zero. Isto é chamado de Ação de Controle. Os controladores industriais analógicos, são classificados de acordo com a ação de controle que executam. Esta classificação é mostrada a seguir.
• • • • • •
Controladores ON-OFF; Controladores Proporcionais; Controladores Integrais; Controladores Proporcionais-Integrais; Controladores Proporcionais-Derivativos; Controladores Proporcionais-Integrais-Derivativos.
Estes controladores podem ser implementados de três formas: Controladores Eletrônicos, Controladores Pneumáticos ou Controladores Hidráulicos. Como fonte de energia utilizam a eletricidade, pressão ar e pressão de óleo respectivamente. Seja o sistema de controle mostrado abaixo:
O controlador automático é formado pelo detector de erro e um amplificador, cuja função é transformar o sinal de erro, que é de baixa potência em um sinal de potência um pouco mais elevada. O atuador transforma o sinal de erro amplificado no valor de entrada da planta, com o objetivo de que a saída da planta se aproxime do valor de referência.
5.1.1- AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIÇÕES Nos controladores On-Off, o atuador tem somente duas posições fixas, isto é, Ligado/Desligado. Por esta razão apresenta um custo relativamente baixo, aliado a simplicidade.
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V-2
Seja o sinal de saída do controlador “µ(t)” e a entrada o sinal de erro atuante. Neste tipo de controlador, a saída “µ(t)” permanece num valor máximo ou num valor mínimo, dependendo do sinal do erro atuante, isto é, positivo ou negativo.
µ(t) = U1 µ(t) = U2
para para
e(t) > 0 e(t) < 0
O valor mínimo U2, ou é zero ou é -U1. Na prática, deve-se implementar este controlador, considerando-se uma pequena diferença entre os valores positivos e negativos de erro. Isto significa que na transição do sinal de erro atuante, de um valor positivo para um valor negativo, o controlador não será acionado exatamente no ponto e(t) = 0, mas sim quando e(t) = e(t) . Da mesma forma, o controlador será acionado na transição do sinal de erro atuante de um valor negativo para positivo, + quando e(t) = e(t) . Isto cria um intervalo diferencial, conhecido como histerese, cuja finalidade é diminuir a freqüência de abertura e fechamento do controlador e portanto aumentar a sua vida útil.
5.1.2- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL Em um controlador, cuja ação de controle é proporcional, a relação entre a saída do controlador “µ(t)” e o sinal de erro atuante “e(t)”, que é a entrada do controlador, é dada por:
µ( t ) = Kp. e( t )
“1”
ou
Kp =
U( s) E(s)
“2”
Onde: Kp = Ganho Proporcional Independente do mecanismo utilizado e da forma de operação, o controlador proporcional é essencialmente um amplificador com um ganho ajustável.
5.1.3- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL Em um controlador, cuja ação de controle é integral a saída do controlador “ µ(t)”, varia com um taxa proporcional ao sinal de erro atuante, isto é: dµ( t ) dt
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= Ki. e( t )
“3”
ou
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V-3
SU( s) = Ki. E ( s)
→
U( s) E(s)
=
Ki
“4”
S
Onde: Ki → Ganho Integral.
Obs: Se o sinal de erro atuante é nulo, significa que a taxa de variação do sinal de saída do controlador é nula, portanto “µ(t)” é Constante. Por outro lado, como a saída não pode variar instantaneamente, a ação integral afeta a dinâmica do sistema.
5.1.4- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL A ação de controle proporcional-integral é definida por:
µ( t ) = Kp. e(t ) + Ou:
Kp
U( s) = Kp. E (s) +
∫ e(t )dt Ti t
“5”
0
Kp E(s) . Ti S
∴
U( s) E(s) U( s) E(s) U( s) E(s)
Onde: Kp = Ganho proporcional; Ti = Tempo integral.
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= Kp +
Kp Ti.S
1 = Kp1 + Ti.S =
Kp (1 + TiS) Ti
S
“6”
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V-4
5.1.5- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO A ação de controle proporcional-derivativa é definida por:
µ( t ) = Kp. e( t ) + Kp.Td.
d dt
e(t )
“7”
Ou: U( s)
= Kp. E( s) + Kp.Td .S. E (s) ∴
U( s) E(s)
U( s) E(s)
= Kp(1 + Td.S)
1 = Kp. Td “8” S + Td
Onde: Kp = Ganho Proporcional; Td = Tempo Derivativo.
Obs: Conforme pode ser visto acima, a ação de controle derivativo, tem um caracter antecipativo. A ação de controle derivativa, só apresenta influência nos transitórios.
5.1.6- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO Este tipo de ação, combina as vantagens das três ação de controle envolvidas. A ação de controle Proporcional-Integral-Derivativa é definida por:
µ( t ) = Kp. e( t ) +
Kp
de( t ) e ( t ). dt + KpTd ∫ Ti dt t
0
Ou: U( s) E(s)
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1 = Kp1 + + Td.S Ti.S
“10”
“9”
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V-5
Comentários: Um controlador proporcional, nada mais é, do que um ganho. Este, é utilizado em situações quando uma resposta transitória e uma resposta em regime são satisfatórias simplesmente adicionando-se um ganho ao sistema, sem a necessidade de compensação dinâmica. Um controlador PI, é utilizado para melhorar a resposta de Regime Permanente. Este tipo de controlador, apresenta um pólo na origem. Um controlador PD, é utilizado para melhorar a resposta transitória de um sistema. Este tipo de controlador, adiciona ao sistema um zero. Um controlador PID, é utilizado para melhorar tanto a resposta transitória, como a resposta de Regime Permanente. Este tipo de controlador adiciona ao sistema 2 zeros e 1 pólo.
5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1a ORDEM a
Seja a planta de um sistema de 1 ordem, dada pela seguinte função de transferência Y( s) X( s)
=
1
“11”
RCS + 1
O sistema em malha-fechada é mostrado abaixo:
A função de transferência do sistema, pode ser representada pela expressão a entrada de referência. Y(s) Kp R (s)
=
1 + RCS + Kp
“14”, sendo R(s)
“14”
Deseja-se agora analisar a resposta do sistema para uma entrada degrau-unitário. Se r(t) é um degrau-unitário, a sua função de transferência será:
{r ( t )} = R(s) = Substituindo Y( s)
1 S
“15”
“15” em “14”, resulta:
=
Kp
.
1
RC. S + (1 + KT) S
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Kp
∴
Y(s) =
RC 1 + Kp
S S +
RC
“17”
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V-6
Aplicando a transformação inversa de Laplace em y( t ) =
Onde:
α=
1 + Kp RC
Kp −α + (1 − e t ) 1 Kp
t
“17”, resulta:
≥0
“18”
“19”
1 . Portanto, quanto maior for o ganho “K p” 1 + Kp menor será o erro de regime permanente. A presença de um erro de R.P é característico do Controlador Proporcional. Para eliminá-lo é necessariamente introduzir no controlador uma ação integral. O erro de regime permanente é igual a
5.2.1- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL Os controladores eletrônicos, são implementados através de circuitos amplificadores, mais especificamente os amplificadores operacionais. A seguir, são mostrados dois exemplos de controladores proporcionais.
e 0 ( t) ei (t)
e 0 (t ) ei ( t)
RF = 1 + R 1
=
RF R1
“20”
“21”
5.2.2- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO Neste caso, deseja-se implementar a seguinte ação de controle: “Kp(1 + TdS)”. Em função da variável “S”, deve-se acrescentar ao circuito uma dinâmica. Isto consegue-se, através de um capacitor. Primeiro, implementa-se “1 + TdS” e após, multiplica-se por um ganho.
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e x (s) e i (s)
= 1+
R 1 CS
V-7
∴
e x (s)
= 1 + RCS
“22”
RF = 1 + e x (s) R1
“23”
e i (s) e 0 (s)
Substituindo e 0 (s) e i (s)
“22” em “23”, resulta:
RF = 1 + .(1 + RCS) ∴ R1
e 0 (s) e i (s)
= Kp(1 + TdS)
“24”
Onde: Kp = 1 +
RF
e Td
R1
= RC
5.2.3- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL
Neste caso deseja-se implementar a seguinte ação de controle: “Kp 1 +
e x (s) e i (s)
1
= 1+
CS R
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∴
e x (s) e i (s)
= 1+
1 RCS
“26”
e 0 (s) e x (s)
”. TiS 1
= 1 +
RF R1
“27”
Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I Substituindo e 0 (s) e i (s)
V-8
“26” em “27”, resulta:
RF 1 ∴ = 1 + 1 + R RCS 1
e i (s)
1 = Kp1 + TiS
e
Ti = RC
e 0 (s)
“28”
Onde: Kp = 1 +
RF R1
5.3- EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO DESEMPENHO DO SISTEMA 5.3.1- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL Conforme foi visto no item 5.2, a adição de um controlador do tipo proporcional, a uma planta cuja função de transferência não apresenta um integrador (1 S) , haverá um erro de regime permanente, na resposta ao degrau. Este erro, pode ser eliminado, adicionando-se uma ação integral ao controlador (pólo na origem).
K Y( s) R ( s)
=
S( RCS + 1) K
1+
∴
Y( s) R ( s)
=
K RCS 2
+S+ K
“29”
S( RCS + 1)
O sinal de erro é dado por: E(s) = R(s) - Y(s) (÷ R(s)). E(s) R ( s) Substituindo-se
=
R ( s) − Y(s) R ( s)
“30”
“29” em “30”, resulta: E(s) R(s)
=
+S “31” 2 RCS + S + K RCS 2
Portanto, o erro produzido para uma entrada degrau unitário, resulta:
RCS 2 + S 1 . E(s) = RCS2 + S + K S
“32”
Para obtermos o erro em regime permanente, utiliza-se o teorema do valor final. Este teorema, é o seguinte:
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V-9
e(∞) =
t →∞
e( t ) =
“33”
S. E (s)
S →0
Aplicando o teorema acima em "32", resulta:
RCS 2 + S 1 e(∞) = 0 e(∞) = S. . S →0 RCS 2 + S + K S 5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A PERTURBAÇÃO
0
Como, desejamos saber a resposta do sistema a perturbação “N(s)”, considera-se a entrada R(s) = 0. CN ( s) N ( s)
=
1 JS
2
“1”
+ BS + Kp
A expressão do erro, é dada por: E(s) = R(s) - C N(s)
E(s) N ( s)
=−
CN( s) N ( s)
E (s)
“2”
N ( s)
=
−1 JS
2
+ BS + Kp
“3”
Seja a perturbação um degrau de amplitude igual a T N. Portanto: e( ∞ ) =
e( ∞)
t →∞
e (t ) =
S→ 0
.S. E (s)
“4”
TN −1 = S→ 0 . S 2 . JS + BS + Kp S
e(∞) =
− TN Kp
“5”
Como E(s) = −CN(s), o erro da saída devido a perturbação é o mesmo mostrado em “5”, porém com sinal trocado. Isto significa que para reduzir este erro, deve-se trabalhar com ganhos proporcionais (Kp) bastante elevados, o que não é prático. A solução, é a substituição do controlador Proporcional, por um controlador Proporcional-Integral.
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V-10
5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE “P-I” A PERTUBAÇÕES
CN( s) N ( s)
S
= JS
+ BS 2 + KpS +
3
“1”
Kp Ti
Da mesma forma, que no caso anterior: E (s) N ( s)
=
− CN (s)
“2”
N ( s)
Portanto: E (s) N ( s)
−S
= JS 3
+ BS 2 + KpS +
Kp
“3”
Ti
Seja a perturbação, um degrau de valor T N, portanto: e( ∞ ) =
t →∞
. e( t ) =
S→ 0
.S. E (s)
“4”
TN − S e( ∞ ) = .S. S→ 0 Kp 3 2 JS + BS + KpS + Ti S e(∞) = 0
“5”
“6”
A expressão “6” mostra que o erro de regime permanente devido a uma perturbação pode ser eliminado, pela adição de uma ação de controle integral ao controlador proporcional.
Obs: a
A adição da ação integral, tornou o sistema de 3 ordem. Nestes casos, se valores grandes de Kp forem usados, as raízes da equação característica (pólos) poderão ter partes reais positivos, tora nando o sistema instável. Já para os sistema de 2 ordem, estes serão sempre estáveis se os coeficientes são todos positivos.
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VI-1
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CAPÍTULO VI
“A NÁLISE DA RESPOSTA TRA NSITÓRIA, DO ERRO DE R EGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS” 6.1- INTRODUÇÃO Neste capítulo inicialmente serão estudados o comportamento transitório de sistemas de 1a. e 2a. ordem. Após é mostrado que os sistemas de ordem superior a 2 a., podem ser decompostos em sistemas de 1 a. e 2a. ordem. As especificações relativas a resposta transitória para sistemas de 2a. ordem são apresentadas. Após, são analisados os erros de regime permanente para um sistema genérico considerando como sinal de entrada, um degrau unitário, uma rampa e uma parábola. Em um sistema de controle real, quase sempre o sinal de entrada não é conhecido, e com isto a saída do sistema não pode ser obtida analiticamente. Entretanto, para o projeto de um determinado sistema de controle deve-se ter um procedimento padrão para comparar o seu desempenho. Isto é conseguido, estipulando-se como sinais de entrada, sinais conhecidos e comparando as respostas de vários sistemas a estes sinais. A decisão sobre qual sinal deve-se adotar para análise depende da forma da entrada a que o sistema está sujeito mais freqüentemente. Para finalizar este capítulo, é apresentado o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Este critério é uma ferramenta bastante importante para o estudo da estabilidade de sistemas.
6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Seja o sistema de primeira ordem, representado a seguir.
A função de transferência deste sistema é dada por: Y( s ) X ( s )
= T( s ) =
a S
+a
“1”
Um sistema é considerado estável, se a sua resposta natural tende a se anular com o decorrer do tempo. O denominador da função de transferência T(s), mostrada acima, é conhecido como equação característica ou polinômio característico. Para que o sistema seja estável, as raízes deste polinômio devem estar localizadas no semiplano esquerdo do plano complexo “S”. Isto significa que para o sistema mostrado ser estável, é necessário que a > 0, isto é, S = -a. a) Resposta ao degrau
Seja o sinal de entrada x(t), um degrau unitário. O sinal de saída é dado por: Y( s )
=
a S( S + a )
= A + S
B S+a
A = 1 B
= −1
Substituindo os valores de A e B na expressão acima, e aplicando a transformação inversa de laplace, resulta: y( t ) = 1 − e − a .t “2” Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
VI-2
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
A expressão acima é composta de um termo constante e um termo exponencial decrescente, responsável pela resposta transitória da sistema. Isto permite concluir que : - Quanto maior for o valor de “a”, menor será o período transitório; - Caso “a” seja menor que zero, isto é, s = a, o termo exponencial será crescente e levará o sistema a instabilidade. O mesmo raciocínio é valido caso a realimentação do sistema seja positiva. b) Resposta a Rampa Unitária
Seja o sinal de entrada x(t), uma rampa unitária. O sinal de saída é dado por: a11 = 1 Y( s ) a a11 a12 B = 2 = 2+ + a = − 12 X ( s ) S ( S + a) S S S + a B = 1 a
1 a
Substituindo os valores de a 11 , a12 e B na expressão acima, e aplicando a transformação inversa de Laplace, resulta: y( t ) = t −
1 a
+
1 a
e − a .t
“2”
A seguir é mostrado os sinais de saída e de entrada em função do tempo.
O erro em regime Permanente é dado por: E( s ) X ( s ) E ( s ) X ( s ) E( s ) X ( s )
=
S S+a
→
=
X ( s ) − Y ( s )
= 1−
E ( s ) =
X ( s ) Y( s ) X ( s )
=1−
1 S ( S + a)
a S
+a
→
e( ∞ ) = lim e( t ) = lim S . E ( s ) = t →∞
S → 0
1 a
Isto significa que quanto maior for o valor de a, menor será o erro de regime permanente para uma entrada do tipo rampa.
6.3- SISTEMAS DE 2a ORDEM Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
VI-3
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
Para a análise de sistemas de 2 a. ordem, será considerada o sistema mostrado a seguir .
A função de transferência deste sistema é dada por: C( s) K = 2 R( s) JS + BS + K S1 , 2
Onde:
ou
C( s) K = R( s) ( S + S1 )(S + S 2 )
“7”
B 2 K B = − ± − 2J J 2J
Os pólos da função de transferência mostrada acima, podem ser: a) Reais
→
b) Complexos:
→
B 2 K − > 0 2J J B 2 K − < 0 2J J
(2 raízes reais). (2 raízes complexas conjugadas).
Para a análise da Resposta transitória de um sistema de 2 a ordem, deve-se representar a função de transferência na sua forma padrão, a qual está representada a seguir. Note que esta função depende de dois parâmetros, que são: A freqüência natural de oscilação “ωn ” e o Coeficiente de amortecimento “ζ”. Isto significa que o desempenho de sistemas de segunda ordem depende somente deste dois parâmetros.
ωn 2 C( s) = “8” R( s) S 2 + 2ζωnS + ωn 2 Os pólos desta função padrão são determinados por: S1, 2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ2 ∴ S1, 2 = −ζωn ± jωd
“9”
O termo ωd é conhecido como Freqüência Natural Amortecida: ωd = ωn 1 − ζ 2 K B ; ζ= J 2 JK Os sistemas de segunda ordem, são classificados de acordo com o valor do coeficiente de amortecimento, como mostrado a seguir. Para o sistema mostrado os valores de ωn e ζ são: ωn =
1 o Caso : SISTEMA SUBAMORTECIDO: → 0 < ζ < 1 Neste caso , o sistema apresenta dois pólos complexos e conjugados com parte real negativa (semiplano esquerdo), e portanto o sistema será estável. Então, a função de Transferência para este caso, será:
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VI-4
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
ωn2 C(s) = R( s) ( S + ζωn + jω d)( S + ζωn − jωd )
“10”
Se a entrada R(s) for um degrau unitário, então C(s) é obtida aplicando-se T.I.L na expressão abaixo.
ωn 2 C( s) = S( S + ζωn + jωd)( S + ζωn − jωd ) c( t ) = 1 −
1 1−ζ
2
“11”
. e −ζωnt . sen{ωdt + cos− 1 ζ}
t ≥ 0
O erro entre o sinal de entrada e o sinal de saída, é dado por: e(t) = r(t) - c(t) e −ζωnt e( t ) = + sen{ωd . t + cos −1 ζ} 2 1−ζ
“13”
O erro em regime Permanente é obtido para t = ∞, e portanto: e(∞) = 0
2 o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO: → ζ = 1 Neste caso, o sistema apresenta 2 pólos reais e iguais.
ωn 2 C( s) = R( s) ( S + ωn) 2
“14”
Se R(s) é um degrau unitário, então:
ωn2 C( s) = 2 S. (S + ωn )
“15”
Aplicando-se T.I.L na expressão acima, resulta: C( t ) = 1 − e − ωnt ( 1 + ωnt )
t ≥ 0
“16”
O erro é dado por: e(t) = r(t) - c(t)
e( t ) = e −ωnt ( 1 + ωnt ) e(∞ ) = 0 Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
para t = ∞
“12”
VI-5
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
3 o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO: → ζ > 1 Neste caso, o sistema apresenta dois pólos reais e diferentes. Portanto as raízes da equação característica são: 2 S1 = −ζωn + ωn ζ − 1
e
2 S 2 = −ζωn − ωn ζ − 1
A função de transferência para este caso é mostrada a seguir.
ωn 2 C( s) = R( s) ( S + ζ ωn + ωn ζ 2 − 1)( S + ζωn − ωn ζ 2 − 1)
“17”
Se R(s) é um degrau unitário, então C(s) é obtida aplicando-se T.I.L. na expressão acima:
e − s1t e− s2t ω n − C( t ) = 1 + 2 s2 2 ζ − 1 s1
t ≥ 0
“18”
Da mesma forma que nos casos anteriores, o erro em regime permanente será nulo. Conforme verifica-se na expressão “18”, a resposta do sistema, sofre a influência de 2 2 exponenciais que são função das raízes S1 e S2, isto é: −ζωn ± ωn ζ − 1. Se ζ >> 1, a exponencial que é função de −ζωn − ωn ζ − 1 deve exercer pouca influência no sistema, podendo ser desprezível. Com isto, a resposta do sistema aproxima-se à de um sistema de primeira ordem. O gráfico mostrado abaixo, apresenta uma família de curvas com vários valor de ζ. Nota-se que as curvas que chegam mais rapidamente ao valor final, correspondem a sistemas subamortecidos com 0,5 < ζ < 0,8. 2
Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
VI-6
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA O desempenho de um sistema de segunda ordem é muito freqüentemente caracterizado através da definição de algumas especificações que descrevem as características que o sistema deve apresentar quando a entrada do sistema é um degrau unitário. Estas especificações são: tempo de subida, tempo de pico, tempo de acomodação e overshoot máximo.
A seguir é mostrada uma resposta típica de um sistema de 2 a ordem para uma entrada do tipo degrau unitário.
No sinal mostrado, as seguintes especificações são definidas: - Tempo de Subida “tr” : tempo necessário para o sinal passar de 10% para 90% do seu valor final; - Tempo de Pico “tp” : tempo necessário para o sinal alcançar o primeiro “overshoot”; - Tempo de Acomodação “ts” : tempo necessário para o sinal permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final. Normalmente esta faixa é especificada como 5% ou 2% do valor final; - Overshoot Máximo “Mp” : é o máximo valor de pico do sinal. Mp =
C( tp) − C(∞) x 100% C(∞)
“19”
Observação: Entre estas especificações, algumas são conflitantes como por exemplo, “Overshoot Mínimo” e “Tempo de Subida Reduzido”; A minimização de um, implica na maximização do outro. Portanto, cabe ao projetista estabelecer estas especificações no sentido de otimizar estas especificações. Seja a expressão “12”, que caracteriza a resposta de um sistema subamortecido: c( t ) = 1 −
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1 1 − ζ2
. e −ζωnt . sen{ωdt + cos− 1 ζ}
“20”
VI-7
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
Para obtermos a definição do tempo de subida “tr”, basta que se substitua na expressão “20”, t = tr e C(tr) = 1. Desta forma, a expressão “20” pode ser representada como mostrada a seguir. e − ζωntr sen( ωdtr + cos−1 ζ) = 0 “21” 2 1−ζ Como “ ζ ” e “ ωn ” são diferentes de zero, para que a expressão acima seja válida, é necessário que: sen( ωdtr + cos−1 ζ) = 0 “22”
ωdtr + cos−1 ζ = 0
“23”
ωdtr = − cos−1 ζ seguir.
“24”
Seja a representação no plano complexo “S” das raízes da equação característica, mostrada a
Observa-se que :
cos θ =
ζωn ∴ θ = cos− 1 ζ ∴ π − θ = − cos−1 ζ “25” ωn
Substituindo “25” em “24”, resulta:
tr =
π−θ ωd
Para a obtenção do tempo de pico “tp”, basta que se derive a expressão “20”, e se imponha dc (t ) = 0 e t = tp . que dt dc( t ) dt
=
e −ζωnt 1− ζ
2
ωn.sen ωdt
“25”
e −ζωntp ωn.sen ωd. tp = 0 “26” 2 1− ζ Como ζωn ≠ 0 , para que a expressão acima seja válida resulta que: sen ωd . tp = 0 Desta forma:
ωd . tp = 0, π,2 π,3π ,.......
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VI-8
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
Como o overshoot ocorre antes de “2 π “ e depois de “0 o”, resulta: Para a obtenção do overshoot máximo, tem-se que: e −ζωntp − sen (ωdtp + cos −1 ζ) = C( t) − 1 2 1−ζ
tp =
π ωd
“27”
“28”
Substituindo “27” em “28”, resulta: Mp = −
π −ζω n . ω d e
1− ζ
2
sen( π + θ) ∴
Mp = e
− ( ζπ
sen( π + θ) = − sen θ = − 1 − ζ 1−ζ 2
)
2
“29”
A definição do tempo de acomodação é novamente baseado na expressão “12”. Esta expressão é função do coeficiente de amortecimento “ζ “ e da freqüência natural de oscilação “ωn”. Por outro lado, o Tempo de Acomodação “ts” é função da tolerância admitida, a qual em geral é 2% ou 5%. Com isto, para uma dada freqüência “ ωn”, e uma dada tolerância admitida, o tempo de acomodação é função somente de “ ζ “. Na prática adota-se os seguintes valores de “ts”, considerando 0 < ζ < 0,9:
Tolerância 2% → ts = 4 Constantes de Tempo → ts = 4 ζωn Tolerância 5% → ts = 3 Constantes de Tempo → ts = 3 ζ ωn 1 Constante de Tempo = ζ ωn
Observação: Na a expressão “29”, a qual define o overshoot máximo, vê-se que este é definido única e exclusivamente pelo coeficiente de amortecimento ( ζ ). Por outro lado, o tempo de acomodação é função de “ζ ” e “ωn”. Com isto, definido um overshoot admissível para um dado “ζ ” o tempo de acomodação é função de “ ωn” exclusivamente.
6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA Seja um sistema genérico como o mostrado abaixo.
A função de transferência deste sistema pode ser escrita como o quociente entre dois polinômios, como mostra a expressão “30”, onde o grau do polinômio do numerador deve ser menor que o grau do polinômio do denominador. C(s) b 0S m + b1S m− 1 +.....+b m −1S + bm = R( s) a 0Sn + a1S n− 1+.....+ a m −1S + a m Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
m≤n
“30”
VI-9
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A função de transferência mostrada pode ser expandida em frações parciais, como uma série de termos de 1 a. ordem e de 2 a. ordem (pólos) associados aos seus respectivos resíduos. Por simplicidade, neste estudo será considerado apenas pólos reais simples. Aplicando-se técnicas de fatoração de polinômios na expressão acima, resulta: C(s) K(S + Z1 )(S + Z2 ).....(S + Z m ) = R( s) (S + P1 )(S + P2 ).....(S + Pn )
“31”
Considere que o sinal de entrada R(s) é um degrau unitário. A aplicação de expansão em frações parciais na expressão “31”, resulta: a n ai C( s) = + S i =1 S + Pi
∑
Onde: ai → Resíduo associado ao pólo Pi.
Desta forma, uma função de transferência de ordem “n” é uma somatória de termos 1 a. ordem e de 2a. ordem (pólos) onde cada um apresenta uma certa influência na resposta global do sistema, que depende da constante de tempo e do resíduo associado ao pólo. Os termos que apresentam resíduos muitos pequenos, praticamente não exercem influência na resposta transitória e podem ser desprezados. Isto permite analisar a resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema simplificado. Os pólos que estão mais próximos do eixo jω no plano complexo “S”, chamados de Pólos Domi nantes , correspondem aos termos de resposta transitória que decaem mais lentamente (maior constante de tempo). De acordo com os comentários feitos, pode-se concluir que a estabilidade relativa e a resposta transitória de um sistema estão diretamente ligados com a localização de pólos e zeros no plano “S”. Muitas vezes, é necessário ajustar um ou mais parâmetros do sistema para que o mesmo tenha um desempenho satisfatório.
6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2 a. ORDEM ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL Seja o diagrama de bloco mostrado abaixo, que representa uma planta de segunda ordem.
A função de transferência deste sistema é mostrada na expressão “32”. C( s) K = 2 “32” R( s) JS + BS + K O erro apresentado pelo sinal de saída em relação ao sinal de entrada, é mostrado na expressão “33”.
JS 2 + BS E( s) C( s) = 1− ⇒ E( s) = 2 . R(s) R( s) R( s) JS + BS + K Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
“33”
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e( ∞ ) = lim e( t ) = lim S . E ( s ) Pelo teorema do valor final, sabe-se que: t →∞ S → 0 Se R(s) é um degrau unitário, então o erro apresentado pelo sinal de saída, é dado por:
S .( JS + B ) 1 e( ∞ ) = lim S . 2 S →0 JS + BS + K . S
⇒ e(∞) = 0
“34”
Se R(s) é uma rampa unitária, então o erro apresentado pelo sinal de saída, é dado por:
S .( JS + B ) 1 e( ∞ ) = lim S . 2 S →0 JS + BS + K . S 2
B
⇒ e(∞ ) = K
Para o sistema mostrado, os valores de ωn e ζ são: K ωn = e J Então, o erro em função de “ ζ ” e “ωn” será:
ζ=
e(∞ ) =
2ζ
ωn
“35”
B 2 J. K
“36”
Pela expressão do erro em regime permanente para um sistema de 2 a ordem, com um entrada do tipo rampa, concluí-se que “ ζ ” deve ser pequeno para que o erro seja pequeno. Porém, isto acarreta um aumento no overshoot durante os transitórios. Para que se obtenha um compromisso melhor entre erro de regime permanente e overshoot, deve-se considerar outros tipos de controladores.
6.6- CONTROLADOR “P-D” APLICADO A UM SISTEMA DE 2 a ORDEM A utilização de um controlador do tipo “PD” aplicado a um sistema de 2a ordem, melhora o desempenho do mesmo tanto em regime transitório como em regime permanente. Isto porque a ação derivativa atua no sentido de minimizar o período transitório, e a ação proporcional atua para minimizar o erro em regime permanente. Seja o diagrama de blocos e a sua função de transferência mostrados abaixo. C( s) Kp + KdS = 2 “37” R( s) JS + ( B + Kd )S + KP
O erro apresentado pelo sinal de saída em relação ao sinal de entrada, é mostrado na expressão “38”. E ( s ) R( s )
=
JS 2 2
JS
+ BS
+ ( B + Kd )S + KP
⇒
e( ∞ ) = lim e( t ) = lim S . E ( s )
Para uma entrada do tipo rampa unitária, o erro será: Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
t →∞
S → 0
“38”
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e(∞ ) =
B Kp
“39”
A equação caraterística da função de transferência “37” é dada por:
( B + Kp)
Kp = 0 “40” J J S 2 + 2 ζωn + ωn 2 = 0 , Igualando a expressão acima, com a equação característica padrão resulta que: Kp B + Kd ζ= ωn = J 2 J. Kp Neste caso, pode-se definir valores para B, Kp e Kd que simultaneamente minimizem tanto o erro de regime, como o overshoot nos transitórios. S2 +
S+
6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ Para os sistemas que apresentam equações características de 1 a. ou de 2a. ordem, a estabilidade pode ser determinada diretamente por inspeção. Um polinômio de 1a. ou de 2a. ordem apresentará todas as suas raízes no semiplano esquerdo do plano “S”(estabilidade), se e somente se todos os coeficientes do polinômio apresentarem o mesmo sinal algébrico. Entretanto para polinômios de ordem superior a 2 a., estas informações não são conclusivas. Nestes casos deve-se aplicar algum procedimento matemático que auxilie na determinação do número de raízes que o polinômio apresenta no semiplano direito (instabilidade). O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, permite investigar a estabilidade absoluta dos sistemas, através dos coeficientes das equações características. A utilização deste método evita a necessidade de fatoração da equação característica para obtenção dos pólos (raízes) e aí verificar se existe algum destes no semiplano direto do plano complexo, ou sobre o eixo imaginário. Caso exista, o sistema é instável. O procedimento utilizado nesta técnica é: 1) Escrever a equação característica de “S” na seguinte forma: a 0Sn + a 1Sn −1 +.....+a n −1S + a n = 0 2) Se um dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então há pelo menos uma raiz com parte real positiva e portanto o sistema NÃO É ESTÁVEL. 3) Se todos os coeficientes são positivos, arranje os coeficientes da equação caraterística em linhas e colunas da seguinte forma: a 1a 2 − a 0 a 3 b1a 3 − a 1b 2 Sn a 0 a 2 a 4 a6 = = b c 1 1 a1 b 1 S n −1 a 1 a 3 a 5 a 7 a 1a 4 − a 0 a 5 b1 a 5 − a 1b 3 S n− 2 b 1 b 2 b 3 b 4 = = b c 2 2 a1 b 1 S n − 3 c1 c 2 c 3 c 4 a1 a6 − a 0 a 7 b 1a 7 − a 1 b 4 = = b c 3 3 a1 b 1 S2 d1 d 2 a a −a a b a − a b S1 e1 b 4 = 1 8 0 9 c4 = 1 9 1 5 a1 b 1 S0 f 1
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O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz diz que o número de raízes da equação característica com parte real positiva, é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna da tabela (a0, a1, b1 , c1, d1, e1, f 1). Se todos estes coeficientes são positivos, então todos os pólos da equação característica apresentam parte real negativa e portanto o sistema é estável .
Observações: - Se um termo da primeira coluna (b 1 , deve ser substituído por um número positivo calculado. - Caso os termos de uma linha sejam coeficientes da derivada do polinômio anterior chamado de polinômio auxiliar.
c1, d1, etc) é nulo, e os restantes não são, então zero muito pequeno “ε ”, e então o resto da tabela é todos nulos, devemos substituir estes valores, pelos (linha anterior) em relação a “S”. Este polinômio é
6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE Seja o sistema abaixo:
O sinal de saída deste sistema é dado por: C(s) =
Gc( s).Gp(s ) R( s) 1 + Gc(s).Gp(s)
“1”
Onde: Gc (s). Gp (s) =
K. F(s) S N . Q(s)
“2”
F(s), Q(s) → São Polinômios da variável “S” são escritos na seguinte forma: “(Ra.S+1).(Rb.S+1).(Rc.S+1)......”, e não apresentam raízes do tipo S = 0; K → ganho de malha-aberta; N → número de integradores na função de transferência, isto é, números de pólos (raízes) na origem. O número de integradores presentes na função de Transferência, serve de parâmetro para classificar o sistema, isto é, se N = 0 o sistema édito do T I PO “ 0”; Se N 1, o sistema édi to do = =
TI PO “ 1”; Se N = 2 o sistema édito do T I PO “ 2”, e assim sucessivamente.
Para o sistema mostrado, o erro em regime permanente é dado por: E ( s) =
R( s) 1 + Gc( s).Gp(s)
“3”
ou
S . R( s ) t →∞ 1 + G ( s ). G ( s ) c p
e( ∞ ) = lim
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“4”
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1 S
6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO : R ( s) =
1 1 1 e( ∞ ) = lim = = t →∞ 1 + G ( s ).G ( s ) c p 1 +lim {Gc ( s ). G p ( s )} 1 + K p
“4”
t →∞
K p
= lim {Gc ( s ).G p ( s )} t →∞
ou
Kp
= Gc( 0 ).Gp (0 )
“5”
Onde:
Kp → CONSTANTE DE ERRO DE P OSIÇÃO; Substituindo “2” em “5”, resulta:
K.F( s ) S N Q( s )
Kp = lim . S →0
K .( RaS + 1 )( RbS + 1 )..... Kp = lim . N S → 0 S ( R1 S + 1 )( R2 S + 1 ).....
=
“6”
Desta forma, o erro de posição do sistema, pode ser obtido para os diferentes tipos de sistema. SISTEMA TIPO “0“ → N = 0 SISTEMA TIPO “1” → N = 1 SISTEMA TIPO “2” → N = 2
1 1 + K Kp = ∞ → e(∞) = 0
⇒ ⇒ ⇒
Kp = K → e( ∞) =
Kp = ∞ → e(∞) = 0
N > 1 → Kp = ∞ Portanto, se desejamos que o sistema apresente erro nulo para uma entrada do tipo degrau, o sistema deve ser do tipo “1” ou maior .
6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA: “ R( s) =
1 ∴ S →0 + S S . Gc ( s ). Gp ( s )
e( ∞ ) = lim .
Kv
e( ∞ ) =
1 lim .{ S .Gc ( s ).Gp( s )} S → 0
= lim {S .Gc( s ).Gp( s )} S → 0
Onde:
Kv → CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE; Substituindo “2” em “9”, resulta:
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“9”
=
1 Kv
1 ” S2
“8”
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Kv
K. F ( s ) = lim . N −1 S →0 S Q( s )
“10”
Desta forma, o erro de velocidade do sistema pode ser obtido para os diferentes tipos de sistemas: SISTEMA TIPO “0“ → N = 0
⇒
Kv = 0 → ess = ∞
SISTEMA TIPO “1” → N = 1
⇒
Kv = K → ess = 1 K
SISTEMA TIPO “2” → N = 2
⇒
Kv = ∞ → ess = 0
N > 2 → Kv = ∞ Pelo exposto, concluí-se que para um sistema do tipo “0“, a saída não consegue acompanhar uma entrada do tipo rampa e o erro tende a aumentar indefinidamente. Para um sistema do tipo “1”, o erro em regime é inversamente proporcional ao ganho de malha aberta. E para sistema do tipo “2” ou maior, o erro torna-se nulo. 1 ” S3
6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA : “ R ( s) =
1 ∴ 2 2 S + S .Gc( s ).Gp( s )
e( ∞ ) = lim . S →0
Ka
e( ∞ ) =
1 lim .{ S 2 .Gc( s ). Gp( s )}
=
1 Ka
“11”
S →0
2 = lim S . Gc( s ). Gp( s )} { S →0
“12”
Onde:
K A → CONSTANTE DE ERRO DE ACELERAÇÃO; Substituindo “2” em “11”, resulta:
K. F( s ) N − 2 S → 0 S Q( s )
Ka = lim .
Desta forma, o erro de aceleração do sistema, para os diferentes tipos de sistema será: SISTEMA Tipo “0“ → N = ∅
⇒
Ka = 0 → e (∞) = ∞
SISTEMA Tipo “1” → N = 1
⇒
Ka = 0 → e (∞) = ∞
SISTEMA Tipo “2” → N = 2
⇒
Ka = K → e(∞ ) = 1 K
SISTEMA Tipo “3” → N = 3
⇒
Ka = ∞ → e(∞) = 0
N > 3 → Ka = ∞
Conforme mostrado acima, se a entrada do sistema é do tipo Parábola e o sistema for do tipo “0” ou “1” a saída não conseguirá acompanhar a entrada e o erro tende a aumentar indefinidamente. Já para um sistema do tipo “2” o erro será inversamente proporcional ao ganho de malha aberta. Para o sistema do tipo “3” ou maior, o erro a uma entrada do tipo parábola será nulo. Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
VI-15
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QUAD RO RESUMO
TIPO DE ENTRADA TIPO
0
r(t) = 1
r ( t) = t
r ( t ) = t2
1
∞
∞
1 + K
DE
1
0
1 K
∞
SISTEMA
2
0
0
1 K
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VII-1
“ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES” 7.1- INTRODUÇÃO O método de localização e análise do lugar das raízes é uma forma de se representar graficamente os pólos da função de transferência de um sistema em malha-fechada e as suas várias localizações, em função da variação de algum parâmetro presente na função de transferência. Conforme foi visto no capítulo anterior, a resposta transitória de um sistema em malhafechada, é função do valor dos pólos (raízes) da equação característica do sistema. Por exemplo:
• 2 Raízes Complexas: sistema é subamortecido; • 2 Raízes Reais e iguais: sistema criticamente amortecido; • 2 Raízes Reais e diferentes: sistema é Superamortecido. A localização das raízes, isto é, os seus valores, definem ainda algumas especificações do sistema como por exemplo, overshoot, tempo de pico, tempo de acomodação, etc. Com isto, o uso do método do lugar das raízes permite que se defina os valores dos parâmetros da função de transferência através da localização das raízes que satisfaçam as especificações do sistema. Com o uso deste método, pode-se prever os efeitos sobre a localização dos pólos de malhafechada, quando houver variação do valor do ganho de malha-aberta ou for acrescidos pólos e/ou zeros na função de transferência de malha-aberta. No capítulo seguinte, será usado o método da resposta em freqüência para analisar sistemas. O procedimento da resposta em freqüência fornece informações a respeito dos sistemas diferentes das oferecidas pelo método do lugar das raízes. Será visto que estes dois métodos se complementam e em muitos casos de projetos práticos ambos os métodos são aplicados.
7.2- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES O método do lugar das raízes, possibilita determinar os pólos da função de transferência em malha-fechada a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha-aberta, considerando o ganho de malha-aberta como parâmetro. No que diz respeito o projeto de sistemas de controle, o método do lugar das raízes indica a maneira pela a qual os pólos e zeros em malha-aberta devem ser modificados de modo que a resposta satisfaça as especificações de desempenho do sistema.
7.2.1- PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES Seja o sistema em malha fechada, mostrada abaixo:
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VII-2
θ0 (s)(JS 2 + BS) = T(s) ∴ θ0 (s) = T(s) = A. E( s)
1 . T(s) JS 2 + BS
“1”
“2” A θ0 (s) J = E (s) S(S + B
“2” → “1”
J)
= G (s)
“3”
O diagrama de blocos, então pode ser expresso da seguinte forma: Onde:
K S(S + 2) H(s) = 1 θ0(s) = C(s), θi(s) = R(s) K = A/J 2 = B/J G (s) =
C(s) G (s) = R(s) 1 + G (s). H (s) C(s) K = 2 R (s) S + 2S + K
“4”
Ec(s) ⇒ S 2 + 2S + K = 0
“5”
Ec(s) → equação característica.
Supondo que uma das especificações deste sistema, seja um overshoot máximo de 4,5%, isto é, ζ = 0,707. A equação característica padrão para um sistema de 2a ordem é: S 2 + 2 ζ ωn S + ωn 2 = 0
“6”
Igualando “5” com “6” e sabendo que ζ = 0,707, resulta que ωn = 1,414 e K = 2. Desta forma, a definição do ganho de malha-aberta satisfez integralmente a única especificação solicitada. Porém, se outras especificações são solicitadas, como por exemplo, tempo de pico, tempo de subida, tempo de acomodação, a definição do único parâmetro de projeto, isto é, o ganho “K” não consegue satisfazer integralmente todas as especificações. Com isto, este ganho deve ser escolhido de maneiras a satisfazer em parte todas as especificações de projeto, se possível. É nesta hora que o método do lugar das raízes é útil, para investigar o efeito produzido na resposta do sistema pela escolha de diferentes valores para o ganho “K”. Sejam portanto, S1 e S2 as raízes da equação característica mostrada em “5”. S 1 , 2
= −1 ±
1 − K
∴ S1, 2 = −1 ± j K − 1
“7”
Para que este sistema seja estável é necessário que o ganho K seja maior do que zero. Sejam Sa e Sb as raízes da equação característica mostrada em “6”.
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VII-3
S a ,b = −ζωn ± jωn 1 − ζ ωd
2
“8”
S a , b = ωn 180 0 ± θ = ωn 180 0 ± cos−1 ζ
“9”
Para traçarmos no plano “S” as raízes S1, S 2, mostradas em “7”, é necessário que se conheça o valor de “K”. Porém como este é o nosso parâmetro de projeto, podemos traçar as raízes S 1 e S2 para todos os valores de “K” entre “0“ e “ ∞“ e após, definir qual o valor de “K” que melhor atende as especificações. Sejam os valores de “K”: K 0 0,5 1,0 2,0 3,0
S1 -0+ j0 -0.3 + j0 -1,0 + j0 -1,0 + j1,0 -1,0 + j1,414
S2 -2 - j0 -1,707-j0 -1,0-j0 -1,0 - j1,0 -1,0 - j1,414
As linhas grossa definidas no plano “S”, mostrado acima, é o lugar das raízes para o sistema de 2 ordem, em questão. Para K > 1, as raízes são complexas e a constante de tempo do sistema passa a ser constante Τ = 1ζωn . Por outro lado o aumento do valor de “K”, diminuí o valor de “ ζ“ e portanto aumenta o overshoot; causa também um aumento de “ ωn ” e “ωd ” diminuindo o tempo de pico e o tempo de subida. Para o problema em questão, o valor de “K” que melhor atende as especificações de projeto é K = 2. Neste caso, o valor de “K”, obtido experimentalmente é o mesmo que o obtido pela comparação das equações características do sistema (5) e a padrão (6). Entretanto, a medida que a ordem do sistema aumenta, isto é, aumenta o número de pólos e zeros do sistema, a dificuldade da obtenção das especificações se forma extremamente complexa e o método do lugar das raízes torna-se bem mais atraente. a
7.2.2- DEFINIÇÃO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES Seja o sistema genérico mostrado abaixo: C(s) K. G (s) = R (s) 1 + K. G ( s). H ( s) A equação característica da função de transferência mostrada em “10” é: 1 + K.G(s).H(s) = 0 K= Prof. Hélio Leães Hey - 1997
“11” ∴ K. G ( s). H( s) = −1
−1 G ( s).H ( s)
“12”
“10”
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VII-4
Onde:
G(s).H(s) → Razão de Polinômios em “S”.
Seja um ponto qualquer “S 1” definido no plano complexo. O valor S = -S 1 deverá pertencer ao lugar da raízes, se e somente se a expressão “11” é satisfeita. K .G( s ). H ( s ) =
K( S N
+
S (S
1
)( S
+ 2 ) ......( S + w )
“13”
+ P1 )( S + P2 ).....( S + P M )
Como, geralmente a expressão “13” é uma quantidade complexa, a expressão “12”, pode ser separada em duas equações a fim de igualarem-se os ângulos e módulos de ambos os lados da equação. KG(s).H(s) = -1
- CONDIÇÃO DE MÓDULO: K.G (s). H (s) = 1
“14”
- CONDIÇÃO DE ÂNGULO: G (s). H (s) = ±180(2N + 1)
“15”
Os valores de “S” que satisfazem as condições de módulo e de ângulo são as raízes da equação característica ou os pólos da função de transferência do sistema em malha-fechada. Como a condição de módulo pode ser satisfeita para uma dada combinação de valores de “S” e “K”, a mesma não pode ser considerada isoladamente para a definição dos valores possíveis para a variável “S” que estão no lugar das raízes. Já a condição de ângulo pode ser considerada isoladamente pois não depende do parâmetro K.
Ex: Seja a seguinte função de transferência de malha aberta: K .G( s ). H ( s ) =
+ Z 1 ) ( S + P1 )( S + P2 ) K( S
“16”
Deseja-se saber se o ponto S = S1 faz parte do lugar das raízes deste sistema.
β1 − θ1 − θ2 = ±180 o (2 N + 1)
“17”
Se a expressão “17” for satisfeita significa que o ponto S 1 pertence ao lugar das raízes. A localização de todos os pontos que satisfazem “17” formam o lugar das raízes para este sistema. Prof. Hélio Leães Hey - 1997
Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I
VII-5
Uma vez que para o ponto “S1” a equação “17” foi satisfeita deve-se então, substituir-se “S” por “S1” na expressão “14” para que se defina qual o valor do ganho de malha aberta (K) que fornece este ponto. K. G (s1 ). H (s1 ) = 1
“18”
Através do que foi mostrado, concluí-se então que a condição para que um ponto no plano “S” seja lugar das raízes é que:
Σ(todos ângulos desde os Zeros finitos) − Σ(todos ângulos desde os pólos finitos = ± 180o (2N+1) “19”
7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES Seja o sistema mostrado abaixo:
1) Obtenha a equação característica:1+ G(s).H(s) = 0, e coloque-a na seguinte forma: 1+
+ Z 1 ).( S + Z 2 )......( S + Z m ) =0 ( S + P1 )( S + P2 )......( S + Pn )
KBm ( S
“20”
ou (S
+ P1 )( S + P2 )......( S + Pn ) + KB m ( S + Z 1 ).( S + Z 2 )......( S + Z m ) = 0
“21”
2) Localize no plano “S” os pólos e zeros da equação característica; 3) Se Se
=0 → K=∞ → K
( S + P1 )( S + P2 )......( S + Pn )
=0 ( S + Z 1 )( S + Z 2 ).....( S + Z m ) = 0
“22” “23”
Como K aumenta de zero até ∞, significa que o lugar das raízes começa nos pólos e termina nos zeros, isto é, os pólos são pontos de partida e os zeros são pontos de chegada do lugar das raízes.
Observação: 1- Isto inclui os zeros no infinito; 2- O número de pólos menos o número de zeros fornece o número de zeros no infinito. 4) Determine os lugares das raízes que estão sobre o eixo real.
Obs1:
Os pólos e zeros complexos de G(s).H(s) não afetam a localização dos lugares das raízes sobre o eixo real.
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I
Obs2:
VII-6
Se o número de pólos e zeros reais à direita do ponto de teste for ímpar, então este ponto de teste pertence ao lugar das raízes.
5) Determine o ângulo das assíntotas dos lugares das raízes. Vimos que o número de pólos menos o número de zeros, fornece o número de zeros no infinito. As assíntotas são a direção que o lugar das raízes assumem para chegar até os zeros que estão na infinito. Se a equação característica não se encontra na forma fatorada (eq.(20)) então ela pode ser expressa na forma de uma razão de polinômios, como mostrado a seguir. K( B mS m + B m−1S m−1 +......) 1 + G (s). H (s) = 1 + S n + a n−1S n−1 ...... Onde: n≥m
α → no de zeros no infinito.
n - m = α,
e
“22”
Com isto: KB mS m KB m . G (s). H (s) = = α , S →∞ S →∞ S →∞ S Sn Portanto: . {1 + G(s). H( s)} = 0 ≈
S →∞
Sα + KBm = 0
⇒
“23”
α>0
KB m 1 + α = 0 S →∞ S
“24”
Sα = − KB m = KB m ±180(2 K + 1)
“25”
A expressão “25”, diz que a somatória dos ângulos dos zeros no infinito ( α), tem que ser igual a ±180(2 K + 1) . Portanto o ângulo de cada zero no infinito, é dado por:
α 0 1 2 3 4
Ângulos β 180o ± 90o ± 60o, 180o ± 45o, ± 135o
β=
± 180(2 K + 1) α
“26”
6) Determine a interseção das assíntotas com o eixo real. Isto é dado por:
τ
A
=
Soma dos pólos − Soma dos zeros α
“27”
7) Determine os pontos de separação de partida e chegada em relação ao eixo real. Seja a expressão “22”, expressa da seguinte forma: Prof. Hélio Leães Hey - 1997
Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I
VII-7
1 + G (s). H( s) = B(s) + K. A (s) = 0
“28”
Os pontos de separação de partida e chegada serão as raízes de: dB(s) dA (s) − . A ( s ) . B(s) dK dS dS =− =0 dS A 2 (s)
“29”
8) Determine os ângulos de partida dos lugares das raízes de um pólo complexo. p
= 180o - Σ entre os outros pólos e este pólo +Σ entre os zeros e este pólo
O ângulo de partida para o pólo complexo S 1 é: p
= 180 - θ1 - θ2 - θ3 + β
9) Determine os ângulos de chegada dos lugares das raízes de um zero complexo.
10) Determine os pontos onde os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário. Isto pode ser feito de duas maneiras: 1- Substituindo-se na equação característica “S” por “jω” e calculando-se o valor de “ ω” e “K”; 2- Através do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
VIII-1
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
CAPÍTULO VIII
“A NÁL ISE DO M ÉTOD O DA RESPO STA EM FR EQÜÊNCIA” 8.1- INTRODUÇÃO O método da resposta em freqüência, nada mais é que a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência é variada dentro de uma faixa preestabelecida. A vantagem do uso do método da resposta em freqüência, reside no fato de que a mesma pode ser obtida experimentalmente, sem a necessidade do conhecimento prévio da função de transferência.
8.2- PRINCÍPIO BÁSICO Considere o seguinte sistema: G ( s)
=
Y ( s) X ( s)
=
Q( s) (S + P1 )( S + P2 ).....
Onde: Q(s), P(s) → Polinômios em “S”. Seja:
χ( t ) = A.sen ωt A. ω X( s) = 2 S + ω2
Y ( s) X ( s)
= G( s)
“1”
Y(s) =
Q(s) A.ω Q(s) A. ω. Q( s) = . X (s) ∴ Y (s) = 2 . P (s) S + ω2 P (s) (S 2 + ω2 )(S + P1 )(S + P2 )
Y(s) =
a1 a b 1 b 2 + 1 + +...... S + jω S − jω ( S + P1 ) ( S + P2 )
L
−1
“3”
{ Y(s)} = y( t ) = a 1 .e − jωt + a 1 .e jωt + b1 .e − P1t + b 2 .e − P2 t + .....
Para t → ∞: y ( t ) = a 1e − jωt + a1e + jωt
⇒
a1
=−
A.ω. G(S) a 2 = ( S − jω). ( S + jω)( S − jω) S = jω
⇒
a1
=
A. G ( − j ω)
2 j
A. G ( jω)
Sabe-se que:
G( − jω) = G ( − jω) . G( − j ω) = G( − j ω) . −∅ Pr of. Hé li o Leães Hey - 1997
“4”
“5”
A.ω. G( s) ( S + jω)(S − jω) S =− jω
a 1 = ( S + jω) .
“2”
2 j
“6”
“7”
=
Q( s ) P( s )
VIII-2
Proj eto R eenge - En g. Elé tr ic a Apos tila de Sistemas de Controle I
G( − jω) = G( − jω) . e − j∅ G( jω) = G ( jω) . G( jω) = G ( jω) . ∅
“8” G( jω) = G( jω) . e j∅
⇒
G( j ω) = G(− jω)
“9”
“10”
Substituindo, “6”, “7”, “8”, “9” e “10” em “5”, resulta: y( t )
=
y( t )
=
− A. G(− jω) 2 j
− A 2 j
. e − jωt +
A. G ( jω)
2 j
. G( jω) . e − j∅ . e − jωt +
A
2 j
. e + jωt
. G ( j ω). e + j∅ . e + jω t
e j( ωt+∅) − e − j( ωt+∅) y( t ) = A. G( jω) . ⇒ y (t ) = A. G ( jω).sen(ωt + ∅) 2 j y ( t ) = B.sen(ωt + ∅)
“11”
Com isto, pode-se concluir que a resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a uma entrada senoidal, também será senoidal na mesma freqüência com amplitude e fase diferentes. Portanto: Y( jω) = G ( jω) X ( j ω)
“12”
e
Y( jω) X ( jω)
= G ( jω)
“13”
Onde: G(jω) → FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL. Uma vez que G(jω) é complexa, são necessárias duas grandezas para especificá-la, como por exemplo, módulo e fase ou parte real e parte imaginária.
Ex: 1
a)
G( s) =
1 S +1
τ
→ G( jω ) = 1
τ
τ + jω
=
1 1
τ τ
2
− tg −1 (τ. ω ) + ω2
Representação Gráfica 0< ω
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