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MATEMÁTICA 7 º. A N O
CADERNO DE ATIVIDADES Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano
s e r 3 a 1 l 0 u 2 c i e r r d u a C s m a t a r e g o M r m P o c o o v d r o o c a N e D e
N O VA Ç Ã O E D I Ç
ÍNDICE
UNIDADE 1
Atividades
Página
Números 4 8
Resumir Praticar 1. Multiplicação e divisão de números racionais relativos 2. Propriedades da adição e multiplicação de números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 21
racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 3. Potências de base racional e expoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 4. Quadrados perfeitos e raiz quadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35 5. Cubos perfeitos e raiz cúbica 22, 23, 24, 26, 32, 34 14
Testar
UNIDADE 2
Funções 16 18
Resumir Praticar 1. Referencial cartesiano 2.1 Correspondências e funções 2.2 Modos de representar correspondências 2.3 Análise de algumas correspondências 3. Funções 4. Operações com funções 5. Função afim 6. Proporcionalidade direta como função 7. Interpretação de gráficos
1 1, 8, 9, 25 1, 7, 31 2, 3, 15, 17, 18, 19 4 5, 14, 20, 25, 30 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 33 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28 34
Testar
UNIDADE 3
Sequências e regularidades 36 38
Resumir Praticar 1. Sequências 1.1 Gráfico de uma sequência numérica 2. Sucessões
1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13 13 3, 4, 8 44
Testar
UNIDADE 4
Figuras geométricas 46 48
Resumir Praticar 1. Demonstrações 2. Linha poligonal e polígono 3. Ângulos internos e externos de um polígono 4.1 Algumas propriedades dos paralelogramos 4.2 Áreas de alguns quadriláteros
Testar
19, 30, 32 1, 2, 3 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 28 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 23, 30 26, 27, 29, 32 58
UNIDADE 5
Atividades
Página
Tratamento de dados 60 62
Resumir Praticar 1.1 Média e moda 1.2 Mediana
3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11 70
Testar
UNIDADE 6
Equações 72 74
Resumir Praticar 1. Noção de equação 6, 12, 15, 20, 26, 29, 34 2. Raiz ou solução de uma equação 1, 3, 4, 19, 22 19 3. Equações equivalentes 4. Adição de termos semelhantes 25 5. Princípios de equivalência de equações 2, 3, 4, 25, 26 6. Classificação de equações 19, 20, 33 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7. Equações lineares a uma incógnita
19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 8. Resolução de problemas com equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32 84
Testar
UNIDADE 7
Figuras semelhantes 86 88
Resumir Praticar 1. Comparação entre segmentos de reta 2. Segmentos de reta comensuráveis 3. Segmentos de reta proporcionais 4. Decomposição de um triângulo 5. Teorema de Tales 6. Figuras semelhantes 7. Semelhança de triângulos
1 (Testar)
15, 6 (Testar) 1, 4, 7 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29 30, 31, 32, 34, 35, 37, 38 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 28 22
8. Semelhança de polígonos 9. Círculos semelhantes 10. Como dividir um segmento de reta? 11. Homotetias 12. Perímetros e áreas de figuras semelhantes 13. Determinação de distâncias aplicando semelhanças 14. Incomensuráveis
4, 21 22, 23, 25, 37 12, 27, 28, 31, 33, 36, 38
Testar
102
Provas globais
104 106 108 110
Prova global 1 Prova global 2 Prova global 3 Soluções disponíveis em: www.pi7.asa.pt
Unidade 1
Números
Resumir Multiplicação e divisão de números racionais relativos Para multiplicar números racionais positivos representados por frações, multiplicam-se os numeradores e os denominadores das frações. Exemplo:
2 11 2 ¥ 11 22 ¥ = = 5 3 5 ¥ 3 15 Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Exemplo:
3 2 3 11 3 ¥ 11 33 : = ¥ = = 7 11 7 2 7 ¥ 2 14
Operações com números racionais relativos O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q e r números racionais, –(q + r ) = (–q) + (–r ). Exemplo:
–
( 25 + 3) = (– 25 ) + (–3)
O simétrico da diferença entre dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q e r números racionais, –(q – r ) = (–q) + r . Exemplo:
(
– 4–
7 7 = (–4) + 5 5
)
Para quaisquer números racionais q e n, n ¥ (–q) = (–q) ¥ n = –(n ¥ q). Exemplo:
2 2 2 ¥ (–5) = – ¥5=– ¥5 3 3 3
( )
(
)
O produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário. Exemplos: 2 1 2 = 1. – ¥ – 3 5 15
( )
4
( 27 ) = – 107
2. 5 ¥ –
Para quaisquer números racionais q e r ,
–q r
=
q q =– . r –r
Exemplo:
–8 8 8 = =– 5 –5 5 O quociente entre um número racional e um número racional diferente de zero é o número racional cujo valor absoluto é igual ao quociente entre os valores absolutos, sendo o sinal desse quociente positivo se os números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário. Exemplos: 1 1 1 5 = ¥5= 1. : 3 5 3 3
()
2. –11 :
11 2 = – 11 ¥ = –2 2 11
(
)
O quociente entre zero e um qualquer número racional diferente de zero, é igual a zero. Exemplos: 1. 0 : (–3) = 0
2. 0 : 1,8 = 0
3. 0 :
5 =0 3
( 67 ) = 0
4. 0 : –
Quadro-resumo Multiplicação
(+) × (+) = (+) (+) × (–) = (–) (–) × (+) = (–) (–) × (–) = (+)
Divisão
(+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–) (–) : (–) = (+)
0 : (+) = 0 0 : (–) = 0 (–) : 0 é impossível (+) : 0 é impossível
Propriedades da adição e da multiplicação de números racionais
Propriedades da adição
Propriedade comutativa
Para quaisquer números racionais a e b: a+b=b+a
Propriedade associativa
Para quaisquer números racionais a, b e c: a + (b + c) = (a + b) + c
Existência de elemento neutro
Sendo a um qualquer número racional: a+0=0+a=a
Exemplo: 2 15 13 2 2 3+ – = – +3=– + = 5 5 5 5 5
( ) ( )
(
Exemplo: 1 2 2 1 7 2 2 – + = + – + = 5 3 5 5 15 3 5
)
(
)
Exemplo: 11 11 11 +0=0+ = 5 5 5 5
Unidade 1
Números
Resumir Exemplo: 6 3 2 2 3 – =– ¥ = ¥ – 35 7 5 5 7
Propriedade comutativa
Para quaisquer números racionais a e b: a¥b=b¥a
Propriedade associativa
Para quaisquer números racionais a, b e c: a ¥ (b ¥ c) = (a ¥ b) ¥ c
Existência de elemento neutro
Sendo a um qualquer número racional: a ¥ 1 = 1 ¥ a = a
Exemplo: 2 ¥1=1¥ 2 = 2 5 5 5
Existência de elemento absorvente
Sendo a um qualquer número racional: a ¥ 0 = 0 ¥ a = a
Exemplo:
Existência de elemento inverso
Sendo a ≠ 0 um qualquer número racional, o seu 1 inverso é igual a
Exemplo: 2 2 O inverso de – é 1 : – = 7 7 7 7 =1¥ – =– 2 2
Para quaisquer números racionais a, b e c: a ¥ (b + c) = a ¥ b + a ¥ c
Exemplo: 1 3 7 1 3 1 7 + = ¥ + ¥ = ¥ 2 2 5 2 2 2 5 3 7 15 14 29 = + = + = 4 10 20 20 20
Para quaisquer números racionais a, b e c: a ¥ (b – c) = a ¥ b – a ¥ c
Exemplo: 1 3 7 1 3 1 7 = ¥ + ¥ – = ¥ – 2 2 5 2 2 2 5 3 7 15 14 1 = – = – = 4 10 20 20 20
Propriedades da multiplicação
( )
Exemplo: 2 4 2 4 24 –3 ¥ =– ¥ = –3 ¥ ¥ 7 5 7 5 35
(
Propriedade distributiva em relação à subtração
Potências
)
–
(
3 3 =0 ¥0=0¥ – 7 7
( )
( )
(
(
)
)
( )
Sejam a e b números racionais e m e n números naturais. • an ¥ am = an + m • an ¥ bn = (a ¥ b)n • an : am = an – m, n > m, a ≠ 0 • an : bn = (a : b)n, b ≠ 0 Quadro-resumo: positiva (+)
6
)
( )
a
Propriedade distributiva em relação à adição
( )
negativa (–)
base
par
ímpar
Expoente
par
ímpar
+
+
sinal da potência
+
–
Quadrados perfeitos e raízes quadradas Chama-se quadrado perfeito a um número que é quadrado de um número inteiro positivo. Exemplo: 25 é um quadrado perfeito porque 25 = 5 2.
A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b ¥ b = a e representa-se por a ou 2 a. Exemplo: 64 = 8, porque 82 = 64. m
• Sejam m e n quocientes de quadrados perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são quocientes de quadran dos perfeitos. Exemplos: 16 1 42 12 (4 ¥ 1)2 42 = 1. ¥ = 2 ¥ 2 = 9 4 3 2 (3 ¥ 2)2 62
2.
16 1 42 12 42 22 (4 ¥ 2)2 82 : = : = ¥ = = 9 4 32 22 32 12 (3 ¥ 1)2 32
• Sejam q e r dois números racionais positivos. Então, q ¥ r = q ¥ r . Exemplo: 36 = 4 ¥ 9 = 4 ¥ 9 • Sejam q e r dois números racionais positivos com r ≠ 0. Então, Exemplo:
√∫2549 =
25 49
√∫qr =
q r
.
Cubos perfeitos e raízes cúbicas Chama-se cubo perfeito a um número que é cubo de um número inteiro positivo. Exemplo: 27 é um cubo perfeito porque 27 = 33.
A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b ¥ b ¥ b = a e representa-se por 3 a. Exemplo: 3 64 = 4, porque 4 3 = 64. m
• Sejam m e n quocientes(ou simétricos de quocientes) de cubos perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são n quocientes de cubos perfeitos. Exemplos: 8 1 23 13 (2 ¥ 1)3 23 = 3¥ 3= = 1. ¥ 27 125 3 5 (3 ¥ 5)3 153
2.
1 8 1 27 13 33 (1 ¥ 3)3 33 ¥ : = = ¥ = = 343 27 343 8 73 23 (7 ¥ 2)3 143
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3 q ¥ r = 3 q ¥ 3 r . Exemplo: 3 8 ¥ 27 = 3 8 ¥ 3 27 q 3q = , para r ≠ 0. r 3 r
√∫
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3
√∫
Exemplo: 3
27 3 27 = 64 3 64
• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos. Então, 3 –q = –3 q. Exemplo: 3 –8 = –3 8 7
Unidade 1
Números
Praticar 1
Completa as duas tabelas seguintes. +2
×
–2 –2
4 3 +8
3 –1 5
:
–0,7
+4 8 +5 –12
0
0
+
2
+2 –0,3 –4 2
Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas. 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9
( 45 ) = _________________ 7 (+2) ¥ (+ ) = _________________ 2 (– 207 ) ¥ (– 39 )= _______________ (– 57 + 2) ¥ (–0,7) = ____________ (–0,2 – 45 ) + (–7 + 43 ) = _______ (–3) ¥ +
2.2 2.4 2.6 2.8 2.10
(– 53 ) ¥ (– 34 ) = _________________________ (+ 63 ) ¥ (– 87 ) = _________________________ (– 23 ) ¥ (+ 52 ) ¥ 0,3 = ___________________ 1 (+5) ¥ (+4 – 2 ) = ______________________ 5 5 3 3 8 (–2) ¥ (– + ) – (– – ) = _________ 2 4 5 10
_________________________________ 3
1 3
__________________________________________
Completa o esquema sabendo que em cada retângulo se escreve o produto dos dois números que estão imediatamente por baixo dele.
–0,6 –2 –1 4
1 –2 3
Completa a tabela, identificando a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das igualdades. Igualdade
Propriedade
5 5 = ¥ (–7) 2 2 2 9 2 9 ¥ (–3) = – ¥ ¥ (–3) – ¥ 7 5 7 5 4 6 4 6 (–2) ¥ – + – = (–2) ¥ – + (–2) ¥ – 5 11 5 11 (–7) ¥
( (
8
)
( ) ( ( )) ( )
) ( )
5
Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas, utilizando, sempre que possível, a propriedade distributiva da multiplicação. 2 3 8 5 3 5 3 7 3 2 5 7 5.1 ¥ – + 5 5.2 – ¥ – + 6 5.3 – – + + (–4) ¥ – – 5.4 – ¥ –22 – + (–1)7 + 3 5 7 2 2 3 5 3 2 7 2
(
6
(
)
(
)
(
) ( ) (
)
Completa os espaços com um número inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades. 6.1
–3 ¥ _____ = –
6.3
_____ : –
6.5
7
)
9 7
6.2
( 307 ) = +1 (– 152 + 3) ¥ _____ = –36
6.4 6.6
15 : _____ = +15 3 1 3 _____ : – – = –2 6 5 –
(
)
_____ : (–14 ¥ (–1)) = –3
Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de a, b e c que tornam as igualdades verdadeiras. a
b
c
Expressão
a ¥ b = 1,5 c ¥ b ¥ (–4) =
30 7
a : c = –2b
3 (a : b) ¥ c = – 2 8
Faz corresponder cada expressão da coluna da esquerda a uma expressão da coluna da direita, de modo que cada uma das expressões fique associada a outra com o mesmo valor. (–2)2 + (–1)5 9 : (–1,5) × (–1)200 2 (–2)2 1 –16 : (–4) × – 5
( )
9
l
l
l
l
l
l
l
l
(–3)2 – (22 × 3) 22 – 5 –16 × (–1) – 13 16 2 8 – : – 5 5
( ) ( )
2
Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres afirmações verdadeiras. Para isso, utiliza os termos: ímpar/positivo/quadrado perfeito/par/ cubo perfeito/zero. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
Uma potência de base positiva é sempre um número _________________________. Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre _________________________. Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número positivo. Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número negativo. Um número que é quadrado de um número inteiro diz-se um _________________________. Um número que é cubo de um número inteiro positivo diz-se um _________________________. 9
Unidade 1
Números
Praticar 64 como uma potência de expoente 2. Explica como procedeste. 25
10
Escreve
11
Escreve 64 como uma potência de base 2. Explica como procedeste.
12
Uma potência de expoente ímpar e base positiva é sempre: (Escolhe a opção correta.) [A] negativa
13
[B] positiva
[C] maior do que 1
[D] menor do que 1
Uma potência de base negativa é: (Escolhe a opção correta.) [A] sempre positiva. [B] sempre negativa. [C] positiva se o expoente for um número par. [D] negativa se o expoente for um número par.
14
Considera as potências a e a , de expoente inteiro, sendo a um número inteiro positivo. x
Se x – y = 3 , então [A] a3
15
10
é igual a: (Escolhe a opção correta.) [B] a
[C] 1
[D] 0
[C] –120 = +1
[D] (–7)4 = –74
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] –1,4 > –
16
a x a y
y
1 2
[B] (–1)207 = –207
Escreve em linguagem matemática e calcula: 16.1
a soma de –2 com o dobro de –
16.2
o produto da soma de +
16.3
o triplo do quadrado de –
16.4
a soma do cubo de –
16.5
o quadrado da soma de –
3 ; 2
3 5 com – pelo triplo de –7; 5 4 5 ; 4
1 7 com o quadrado de + ; 5 2 5 com o dobro do seu simétrico. 7
17
3 4 A expressão – – 2 5
( ) é igual a: (Escolhe a opção correta.) 3 4 3 4 [A] (– ) – (– ) [B] (– ) + (– ) 2 5 2 5 2
18
19
2
2
2
2
[C] –
23 10
[D] +
23 10
Utiliza um dos símbolos >, < ou = para completar os espaços, tornando as afirmações verdadeiras. 2 – 3
3
2 _____ – 3
2
5
18.1
( )
( )
18.2
3 1,5 _____ – 5
18.4
(–1)4002 _____ (+1)25
18.5
–33 _____ (–3)3
( )
7 – 2
( )
18.3
030 _____
18.6
–34 _____ (–3)4
301
Considera um número racional a. 19.1 Mostra que o simétrico de a – 1 é 1 – a. 19.2
Calcula cada um dos números referidos na alínea anterior no caso de a = 3. Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
20
21
2 5 22 2 + , y = – – – 3 2 5 3 das seguintes expressões.
(
Sabendo que x = – –
)
2
( )e
w
(
= –3 ¥ –
1 5 – , determina o valor de cada uma 5 2
)
+ y + w
20.1
x
20.2
x ¥ y
20.3
x2
+w
–( y – w)2
Dentro de um saco estão quatro cartões de igual textura e formato. Em cada um deles está escrito um dos números +1, –1, –2 e +2. Num outro saco estão também quatro cartões de igual textura e formato, mas todos com o número –3 escrito.
21.1
Sem olhar, a Ana retirou dois cartões, um de cada saco, e somou os números neles escritos. Obteve –5. Que números estavam escritos nos cartões?
21.2
Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartões, um de cada saco, e multiplicou os números neles escritos. Qual o valor máximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocínio.
21.3
A Carlota afirmou que, na experiência descrita na alínea anterior, o Pedro tinha mais hipóteses de obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica o teu ponto de vista. 11
Unidade 1
Números
Praticar 22
23
Completa os espaços em branco. 22.1
√∫8 ∫1 = _____ porque 92 = _____ ;
22.2
√∫_ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 7 porque 72 = _____ ;
22.3
3√∫ _ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 3 porque 33 = _____ ;
22.4
3√∫ 8 = _____ porque _____3 = _____
Completa a tabela, apresentando, sempre que necessário, os valores arredondados às décimas. √∫a
a
√∫a
3
(√∫ a)2
(3√∫ a)3
64 3 5 24
Considera as seguintes afirmações. A. 9 é um cubo perfeito. C. A raiz cúbica de 64 é 4.
B. A raiz quadrada de cinco é vinte e cinco. D. 36 é um quadrado perfeito.
Escolhe a opção correta.
25
[A] As afirmações A e B são verdadeiras.
[B] As afirmações C e D são
[C] As afirmações A e D são
[D] Nenhuma das opções anteriores.
Qual é o perímetro de um quadrado com 36 cm 2 de área? (Escolhe a opção correta.) [A] 6 cm
26
[B] 9 cm
[C] 24 cm
[D] 36 cm
Qual é o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com 125 cm3 de volume? (Escolhe a opção correta.) [A] 250 cm3
27
verdadeiras.
verdadeiras.
[B] 1000 cm3
[C] 10 cm3
[D] 20 cm3
Dado um número racional q, mostra que 5 ¥ (–q) = –(5 ¥ q). Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
28
12
Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expressões numéricas. 28.1
[(– 35 ) ¥ ( 23 )] : –47
28.2
2 4 ¥ –3 + 7 5
28.3
( 3)2 + 3 6 ∫4 – (3 5)3
28.4
( 8 ∫1) ¥ (– 1 ∫0 ∫0 – 3 1 ∫2 ∫5)
28.5
–3 + 3 ∫6 : 3 2 ∫7 + (–5) ¥ 3
(
)
√∫243
29
Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma não seja um quadrado perfeito.
30
Sabe-se que 3 < 3√∫6 ∫2 < 4. Sem utilizar a calculadora, indica outros quatro números cuja raiz cúbica também seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocínio.
31
Sabendo que
32
Mostra que se p e q são cubos perfeitos não nulos, então
33
Considera o número racional
34
√∫pq =
5 7
p q
, q ≠ 0, determina o valor de
√∫3625 . Apresenta o resultado sob a forma de fração. p q
também é um cubo perfeito.
5 . 7
2
( ).
33.1
Calcula
33.2
Que relação existe entre o quadrado de
5 e o quadrado do seu simétrico? 7
A Joana comprou um perfume para oferecer ao João Nuno no dia dos namorados. Na perfumaria, para embrulhar o perfume, utilizaram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a figura. Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm 3 de volume, e que para fazer o laço foram utilizados 30 cm, determina o comprimento total da fita utilizada no embrulho. Explica como procedeste.
35
Na figura ao lado estão representados três quadrados. Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm 2 de área e que o quadrado CB = – B A. maior tem 144 cm2. Sabe-se ainda que – 35.1
Determina o comprimento do lado do quadrado maior. D
35.2
C B A
Determina a área do quadrado do lado [ BD]. Explica o teu raciocínio.
13
Unidade 1
Números
Testar 1
“O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.” Prova que a afirmação anterior é falsa, apresentando um contraexemplo.
2
Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências. 27 9
24
( )
(–9)2
Potência
+
(–35)457
(+2,4)223
Sinal
3
Determina o valor de cada uma das seguintes expressões. 7 5 6 3.1 ¥ – + (–3)2 ¥ – 2 3 5
[
4
( )] ( 1 2
)
3
)] : (– 52 )
3.2
[ (
3.3
0456 + (–1)789 ¥ – 3
3.4
√∫( ∫)∫(∫∫) ∫√∫∫∫(∫√∫ ∫)
–5 ¥ –2 +
( √ ∫ )
3 2 ¥ – – + 2 3
125 32 + (+1)178 ¥ – + 3 ∫6 27 4
3
27 – 64
(
3
3 2
)
3
Observa a figura.
Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem 36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.
14
5
Seja p um número racional. Mostra que 2 ¥ (–p) = –(2 ¥ p).
6
Escreve 3
7
√∫
4 na forma de dízima. 25
4 5 ¥ – Calcula, utilizando a definição de produto de dois números racionais, e verifica que é 3 7 4 5 igual a – ¥ . 3 7
(
() ( )
)
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
8
Observa o polígono [RSTU ]. R
S
U
T
O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos geometricamente iguais, [ RR’U ] e [SS’T ], e um quadrado, [RR’S’S], tal como mostra a figura seguinte.
U
R
R
S
S
R’
R’
S’
S’
T
U R’ = 4 cm e que a área do quadrado [ RR’S’S] é igual a 16 cm2, determina – U T . Sabendo que –
15
Unidade 2
Funções
Resumir Referencial cartesiano Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitualmente igual em ambos. y
2.o quadrante
Eixo das ordenadas 1.o quadrante
Origem do referencial
A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).
x
Eixo das abcissas 3.o quadrante
4.o quadrante
Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma abcissa e por uma ordenada. ( x, y)
abcissa ordenada
Coordenadas cartesianas
Funções Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numa função, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada. Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-se por D . Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais. A cada objeto, x, a função fará corresponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objeto. A imagem de x representa-se por f ( x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D ’.
Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou expressões analíticas: f ( x) = 2 x Número de pernas
Elefante Gato Aranha Polvo Homem
16
4
a r u t l A
8 2
Tempo
Veículo
Número de rodas
Bicicleta
2
Triciclo
3
Automóvel
4
Uma dada função f : A → B diz-se uma função numérica quando B é um conjunto de números e uma função de variável numérica quando A é um conjunto de números. O gráfico de uma função f : A → B é o conjunto dos pares ordenados ( x, y), com x ∈ A e y = f ( x). x designa-se por variável independente e y, porque depende de x, designa-se por variável dependente.
Operações com funções • A soma de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de cada x ∈ A é a soma das imagens. (a + b)( x) = a( x) + b( x) • A diferença entre funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de cada x ∈ A é a diferença das imagens. ( a – b)( x) = a( x) – b( x) • O produto de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função de mesmo domínio tal que a imagem de cada x ∈ A é o produto das imagens. (a ¥ b)( x) = a( x) ¥ b( x)
Função afim Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional b tal que f ( x) = b, para todo o racional x, diz-se uma função constante. Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional a tal que f ( x) = a x, para todo o racional x, diz-se uma função linear. f ( x) = a x diz-se a forma canónica da função linear e a diz-se o coeficiente da função. A soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes iguais, respetivamente, à soma e à diferença dos coeficientes das funções dadas. O produto de uma função linear por uma função constante é uma função linear cujo coeficiente é igual ao produto pela constante do coeficiente da função linear. Uma função afim é a soma de uma função linear com uma função constante. f ( x) = a x + b diz-se a forma canónica da função afim, onde a é o coeficiente da função linear e b o valor da constante. a diz-se o coeficiente de x e b o termo independente. O produto por uma função constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à d iferença dos coeficientes das funções dadas.
Proporcionalidade direta As grandezas X e Y são diretamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporcionalidade direta. Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = k ¥ x ou, de forma equivalente, f ( x) = k ¥ x, k ≠ 0, diz-se uma função de proporcionalidade direta. f ( x) k ¥ x Para x não nulo, = = k diz-se a constante de proporcionalidade direta. x
x
y
y
3
y = k x 1
1
y = k x 2
y
2
2
y = k x 3
3
y
1
x
1
x
2
x
3
x
Uma função f de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma função linear de coeficiente a = f (1). Num gráfico de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem do referencial. 17
Unidade 2
Funções
Praticar 1
Indica quais das seguintes correspondências são funções. Justifica a tua resposta.
1 a i c n ê d n o p s e r r o C 2 a i c n ê d n o p s e r r o C
A 0 1 2
7 a i c n ê d n o p s e r r o C
18
É função Não é função
y
Justificação
1 1
É função
2 4
3
2
1
1
–
2
3
4
1 2
x
Não é função
–1
4 a i c n ê d n o p s e r r o C
6 a i c n ê d n o p s e r r o C
Justificação
–2 –1 0 1 2
3 a i c n ê d n o p s e r r o C
5 a i c n ê d n o p s e r r o C
B
x
y
–2 –2 –2 –2
4 0 1 35
Justificação É função Não é função
Justificação
y
É função x
C
Não é função
D
3
Justificação
–2
7
4
É função
5
Não é função
9
8
E
F
–2
Justificação
3
4
7
5 8
É função Não é função
9
Justificação
y
É função x
Não é função
2
A
Considera a função f : A → B definida pelo diagrama ao lado.
a
Identifica o domínio, o contradomínio, o conjunto de chegada e o gráfico de f .
B f
3 1
b
4
c
7
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
3
4
Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–6, –3, 0, 3, 6}, a função i : A → B é definida pela expressão i ( x) = 3 x. 3.1
Determina o contradomínio de i .
3.2
Determina o gráfico de i .
Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os gráficos das funções f e g. y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
x
4
0
1
2
3
4.1
Indica o domínio de f e de g.
4.2
Identifica o contradomínio de cada uma das funções.
4.3
Completa com números, por forma a obteres igualdades verdadeiras.
4
x
(f + g)(2) = f (2) + g(__) = ___ + ___ = ___ 4.4
Preenche a tabela e indica o contradomínio da função f + g. x
1
2
3
4
f ( x ) g( x )
(f + g) x ) 19
Unidade 2
Funções
Praticar 4.5
Representa num referencial cartesiano o gráfico da função f + g.
4.6
Identifica o domínio e determina o contradomínio de cada uma das seguintes funções.
a) f – g
c) f 2
b) f ¥ g
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
5
Quais dos seguintes gráficos representam uma função linear? Justifica a tua resposta. y
g
10
f
9 8
i
7
h
6 5
j
4 3 2 1 0
6
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 x
Comenta cada uma das afirmações seguintes.
A.
O comprimento de um lado de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu perímetro.
B.
O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional à sua área.
C.
O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional ao seu perímetro.
7
8
9
A Matilde inscreveu-se num workshop de dança. Este workshop de 50 h decorre às terças-feiras e cada sessão tem uma duração de 5 horas. O número P de horas que falta para terminar o workshop é dado pela fórmula P(n) = 50 – 5 n, sendo n o número de sessões já realizadas. 7.1
Quantas sessões terá o workshop?
7.2
Se já se tivessem realizado quatro sessões, quantas horas faltariam para terminar o workshop?
7.3
Quantas sessões é que já se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar o workshop?
Uma loja de eletrodomésticos está em liquidação de stock . Assim, durante três dias, todos os artigos expostos têm um desconto de 70%. 8.1
Qual é o valor do desconto de um frigorífico que custava 650 €?
8.2
Sendo x o preço do artigo sem desconto e g( x ) o valor do desconto, escreve uma expressão algébrica para a função g.
8.3
Sendo x o preço do artigo sem desconto e f ( x ) o preço do artigo com desconto, escreve uma expressão algébrica para a função f .
8.4
Justifica que as funções f e g são funções de proporcionalidade direta e indica as respetivas constantes de proporcionalidade.
8.5
Determina o preço final a pagar por um MP3 cujo preço de venda inicial é 180 €.
Indica uma expressão algébrica que defina: 9.1
a área do quadrado, A, em função do comprimento do seu lado, l.
9.2
a área do círculo, A, em função do comprimento do seu raio, r .
21
Unidade 2
Funções
Praticar 10
Observa o gráfico ao lado. Qual das seguintes interpretações pode resultar da observação do gráfico?
y
8 7 6
[A] O Jorge ganha 20 € por cada hora de trabalho.
5 4
[B] Por cada 10 rebuçados, a Filipa paga 1 €.
3 2
[C] Por cada 10 alunos presentes, são necessários 2 professores.
1
[D] Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.
0
1020 30 40 50 60 70 80 x
Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)
11
Quais das seguintes variáveis são diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opção(ões) correta(s).) [A] Número de horas de estudo e nota obtida no exame. [B] O peso das laranjas e o preço a pagar por elas. [C] A altura de uma pessoa e o seu peso. [D] O número de pães e o preço a pagar por eles.
12
O Sr. Fernando produz e vende batatas.
PREÇO ESPECIAL
0,15 €/kg
12.1
A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantia recebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a. Peso (kg) Valor recebido (€)
22
0
2 0,60
1,5
12.2
Seja h a função que à quantidade de batatas vendidas (em q uilogramas) associa o valor a receber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expressão algébrica de h.
12.3
Se alguém comprar três sacos de 20 kg, quanto terá que pagar? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
12.4
Na última venda que realizou, o Sr. Fernando recebeu 30 €. Quantos quilogramas de batatas vendeu?
13
Considera os quatro retângulos seguintes.
I
III
IV
II
No gráfico ao lado, cada ponto A, B, C e D é definido pela base e pela altura dos retângulos I, II, III e IV. Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada retângulo.
D a r u t l A
B A
C
Ponto
A
B
C
D
Base
Retângulo
14
Os pais do Gonçalo foram passar uns dias a Évora e ficaram instalados num hotel mesmo no centro da cidade. Na tabela que se segue estão registados os preços, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel. Número de noites ( x )
Preço a pagar, em euros ( y)
1
45 €
2
90 €
3
135 €
4
180 €
14.1
Évora
Desenha o gráfico da função representada pela tabela. Preço a pagar (€) 200 150 100 50 0
14.2
1
2
3
4
5 Números de noites
Indica, justificando, qual das seguintes expressões define a expressão analítica da função representada pela tabela. [A] y = 45 x
[B] y = 5 x
[C] y = 90 x
[D] y =
1 x 2 23
Unidade 2
Funções
Praticar 15
Considera a função h, representada pela tabela. 15.1
Indica o domínio e o contradomínio de h.
15.2
Completa: a) h(3) = _______
16
x
0
2
3
4
5
h( x )
4
3
5
0
1
b) h(_______) = 1
15.3
Qual é a imagem, por h, do objeto 2?
15.4
Qual é o objeto que, por h, tem imagem 0?
Em janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do b arbeiro, decidiu estudar o crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida. O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor, desde o mês de janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).
) m10 c ( 9 o l e 8 b a 7 c o d 6 o t 5 n e m 4 i r p 3 m o 2 C – 1 C
0 janeiro
1
2
3
4
5
março maio fevereiro abril junho
M – Mês
16.1
Completa a tabela de acordo com os dados representados no gráfico.
(M) – Mês (C) – Comprimento do cabelo
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
0
1
2
3
4
5
4,4
5,8
7,2
8,6
16.2
Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?
16.3
Assinala a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos primeiros seis meses. [A] C = 1,4 M
16.4
[B] C = 3 + 1,4 M
[C] C = 1,4 + 3 M
O João foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vítor, mas o seu cabelo ficou mais curto, com apenas 2 cm. Constrói o gráfico que representa o crescimento do cabelo do João desde janeiro até maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada mês.
[D] C = 3 M
12
) m11 c ( 10 o l e 9 b a 8 c o d 7 o 6 t n e 5 m i r 4 p m o 3 C – 2 C
1 0
o
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3. Ciclo, 2004 24
1
2
janeiro fevereiro março
3
4
abril
maio
(M) – Mês
17
18
Considera o gráfico de uma função g definido por Gg = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}. 17.1
Identifica o domínio e o contradomínio de g.
17.2
Representa a função g por um diagrama de setas, supondo que o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
17.3
Supõe que o contradomínio de g não coincide com o conjunto de chegada. Representa por um diagrama de setas um possível exemplo d e g.
17.4
Determina uma expressão algébrica que defina o valor de g( x) para qualquer x no domínio de g.
{
}
18.1
1 3 , 0, , 2 2 2 Determina o contradomínio de g.
18.2
Representa o gráfico da função f num referencial cartesiano.
Considera a função g de domínio A =
–
e conjunto de chegada Q, definida por g( x) = 2 x – 1.
25
Unidade 2
Funções
Praticar 19
Na figura está representado o gráfico de uma função g num referencial cartesiano. 19.1
Indica o domínio de g.
19.2
Completa as igualdades:
21
4 3 2
a) g(3) = ____
20
y
b) g(__) = 4
1
19.3
Completa com um número de forma a obteres uma afirmação verdadeira: “____________ é o objeto cuja imagem é 0.”
19.4
Indica se é verdadeira ou falsa afirmação: “2 é a imagem de um único objeto”.
0
1
2
3
4
5
x
Para cada uma das funções, de Q em Q, definidas em cada uma das seguintes alíneas, indica se se trata de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica. 20.1
f ( x) = 2 – ( x + 1) + x
20.2
g( x) = 1 – 3 x + (4 x – 2) – 1
20.3
h( x) =
20.4
i ( x) = 2 x2 – (2 x2 + 1) – x
2 x – (3 x – 1) + 3 2
Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro. 8,89 7,62 o r 6,35 t e m 5,08 í t n 3,81 e C 2,54 1,27 0
21.1
21.2
a l o n g a D i
0
0,5
1
1,5 2 Polegada
2,5
3
Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor, em centímetros ( c), dado o seu comprimento em polegadas ( p)? 1 1 [A] c = 1,27 p [B] c = [C] c = 2,54 p [D] c = p p 1,27 2,54 O Gonçalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta também comprou um, mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico , 1.a chamada, 2007 26
22
O Sr. Marques é alfarrabista. No final de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendas do ano anterior e regista a informação que obtém através de um gráfico. O gráfico ao lado é referente às vendas do ano passado. 22.1
Em que mês foram vendidos mais livros?
s o d i d n e v s o r v i l e d o r e m ú N
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
l i o h o h o t o r o r o r o r o i i r o e i r o r ç o b r a l o s b u b b b e a r M J u n J u A n m m m A g e t e O u t o v e e z e J a F e v e M S N D
22.2
Em que mês foram vendidos menos livros?
22.3
Quantos livros foram vendidos em outubro?
22.4
Em dois dos meses foram vendidos o mesmo número de livros. Quais foram esses meses?
22.5
A determinada altura houve um grande crescimento nas v endas, que terminou com a tendência de descida que se observava há alguns meses. Em que mês isso aconteceu?
22.6
No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?
Meses do Ano
23
No seu telemóvel, o Marco tem atualmente um tarifário em que cada chamada custa 0,18 €, por minuto, independente da rede para que ligue. O Marco está em dúvida. Não sabe se deve aderir a uma promoção em que, pagando 50 € mensais, pode ligar, sem restrições de tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinando o número de minutos de conversação a partir do qual o seu tarifário atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocínio.
24
Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preços, estava afixado o seguinte cartaz informativo: 24.1
A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?
24.2
A Sofia pagou 9 €. Quantos bilhetes comprou?
24.3
Completa a seguinte tabela, que será afixada na bilheteira do circo, em substituição do cartaz informativo.
Número de bilhetes comprados ( n)
Preço a pagar ( P )
1 2 3 4 …
…
n 27
Unidade 2
Funções
Praticar 25
Representa graficamente cada uma das funções f e g definidas por: 25.1
26
f ( x ) = 3 x
25.2
g( x ) = x + 1
Imagina que um recipiente com a forma da pirâmide, inicialmente vazio, se vai encher com água. A quantidade de água que sai da torneira, por unidade de tempo, até o recipiente ficar cheio, é constante. Qual dos seguintes gráficos poderá traduzir a variação da altura da água, no recipiente, com o tempo que decorre desde o início do seu enchimento? Explica, numa pequena composição, a razão por que não escolheste nenhum dos outros três gráficos. altura
Gráfico A
Gráfico B
a r u t l A
Gráfico C
a r u t l A
Tempo
Gráfico D
a r u t l A
Tempo
a r u t l A
Tempo
Tempo
Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007 28
27
Na realização de uma determinada experiência, foi necessário encher, com água, três recipientes de diferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utilizou-se uma torneira que debitava água de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica o gráfico que pode representar a variação da altura da água em função do tempo decorrido desde o instante em que se abriu a torneira. [A] 1 e t n e i p i c e R
[B]
a r u t l A
[C]
a r u t l A
a r u t l A
Tempo
2 e t n e i p i c e R
Tempo
[A]
[B]
[C]
a r u t l
a r u t l
a r u t l
A
A
A
Tempo
3 e t n e i p i c e R
Tempo
[B]
[C]
a r u t l A
a r u t l A
a r u t l A
Tempo
O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de idade. Os seguintes gráficos permitem calcular a evolução dos pesos de ambos, desde o nascimento até hoje. 28.1
Tempo
[A]
Tempo
28
Tempo
Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam o mesmo?
Tempo
80
) g k ( o s e P
70
Paulo
60
Teresa
50 40 30 20 10
28.2
Observa o gráfico e assinala a afirmação correta sobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 e os 10 anos de idade.
0
0
5
10
15
20
Idade (anos)
[A] A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg. [B] A Teresa aumentou exatamente 15 kg. [C] A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg. [D] A Teresa aumentou exatamente 20 kg. Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2003 29
Unidade 2
Funções
Praticar 29
O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automóvel vê um obstáculo na estrada e o momento em que carrega no travão denomina-se tempo de reação. Durante o tempo de reação, o automóvel continua a circular à mesma velocidade e percorre uma distância a que se chama distância de reação (Dr ). Quanto menor for a distância de reação, mais depressa se imobiliza o automóvel. Existe uma fórmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade ( v ) a que um automóvel circula e a distância de reação (Dr ). O gráfico dessa relação está representado na figura seguinte. Dr (m)
80
40
0 0
200 v (km/h)
100
De acordo com o gráfico, responde às seguintes questões. 29.1
Qual é a distância que um automóvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h, desde o instante em que o condutor vê um obstáculo até que inicia a travagem?
29.2
A que velocidade seguiria um automóvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condutor viu um obstáculo até que iniciou a travagem?
29.3
A distância de reação é diretamente proporcional à velocidade a que um automóvel circula. Indica qual das seguintes expressões relaciona a distância de reação ( Dr ) com a velocidade a que um automóvel circula ( v ). [A] Dr =
100 v 30
[B] Dr =
100 v 3
[C] Dr =
3 v 100
[D] Dr =
30 v 100 Projeto 1000 itens
30
Dados dois números racionais b e k , seja f a função definida em Q por f ( x) = b x e g a função constante igual a k . Prova que a função g ¥ f é linear e identifica o respetivo coeficiente.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico 30
31
O F-16 Fighting Falcon, avião de combate supersónico, é um dos melhores aviões da atualidade para o combate aéreo e também para o ataque ao solo, dada a sua extraordinária manobrabilidade, avançadas características aerodinâmicas e elevada capacidade de suportar acelerações até 9G. Força Aérea Portuguesa ,
consultado em junho de 2009
Um caça F-16 da Força Aérea Portuguesa encontrava-se a fazer testes no espaço aéreo do Alentejo. A determinada altura, o avião atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos. Nessa altura, registou-se o seguinte: f – Tempo decorrido (segundos)
0
2
4
6
d – Distância percorrida (metros)
0
1056
2112
3168
distância , determina a velocidade atingida pelo avião. tempo
31.1
Sabendo que velocidade =
31.2
Se o avião mantivesse a mesma velocidade durante três minutos, quantos quilómetros percorreria?
31.3
Mantendo a velocidade constante, quanto tempo, em horas, demoraria o avião a percorrer 4500 km?
31.4
Técnicos especializados, que estudavam a hipótese de melhorar a descolagem do avião, registaram as diferentes alturas a que o avião se encontrava, t segundos após ter iniciado o seu movimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte. Tempo decorrido (segundos)
0
10
20
40
Altura do avião (metros)
0
0
100
1000
Seja A a função que ao tempo, t , decorrido desde o instante em que o avião iniciou as manobras necessárias à descolagem, faz corresponder a altura do avião. a)
Completa as expressões seguintes, indicando o seu significado no contexto da situação. i. A(20) = ___________ Significado: ________________________________________________________________ ii. A(___________) = 1000
Significado: ________________________________________________________________ b)
Comenta a afirmação: “A função A é uma função de proporcionalidade direta”. 31
Unidade 2
Funções
Praticar 32
O tempo que um modem leva a transferir um ficheiro via internet depende do tamanho do ficheiro e da velocidade de transferência do modem. A tabela seguinte indica o tempo que o modem da Bárbara demora a transferir alguns ficheiros. t – Tempo (segundos)
2,5
100
25
60
105
f – Tamanho (em kB)
72
288
720
1728
3024
32.1
Calcula a velocidade de transferência do modem, em kB por segundo (kB/s). Explica o teu raciocínio.
32.2
Quantos segundos demora o modem da Bárbara a transferir um ficheiro de 1000 kB? Apresenta todos os cálculos que efetuares e explica a tua resposta. Indica o resultado com uma casa decimal.
32.3
Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor aproximado, considerando 1 kB = 1000 bytes, e estabelecem-se as seguintes equivalências entre as diversas unidades de medida: Gigabyte (GB)
Megabyte (MB)
Kilobyte (kB)
Byte (B)
0,001
1
1000
1 000 000
Tendo em conta as equivalências da tabela, assinala a igualdade verdadeira. [A] 1 kB = 10 6 bytes
[B] 1 MB = 106 bytes
[C] 1 GB = 106 bytes
[D] 1 byte = 106 MB Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – A
33
32
Considera um polígono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo perímetro é 20,4 cm. 33.1
De que polígono regular se trata?
33.2
Escreve uma expressão algébrica que represente a função que a cada valor do comprimento do lado associa o perímetro deste polígono regular.
33.3
Representa graficamente essa função.
33.4
Observa agora o gráfico no qual estão representadas as relações entre o comprimento do lado e o perímetro de quatro polígonos regulares. a)
Indica a que polígono regular corresponde cada uma das funções representadas graficamente na figura.
d ()
18
c()
b() a()
16 14 12 10 8
b) Indica uma expressão algébrica que represente cada uma das
funções de proporcionalidade direta representadas.
6 4 2 0
c) Indica a constante de
1
2
3
4
5
proporcionalidade referente a cada uma das quatro situações.
d) À medida que o
valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao gráfico de uma função do tipo y = k x?
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Sequências e Funções
34
Um táxi A cobra 2 € de bandeirada e 0,78 € por quilómetro percorrido. Um táxi B não cobra bandeirada mas cobra 1,1 € por quilómetro percorrido. 34.1
Quanto paga um consumidor que faça uma viagem de 20 km no táxi A? Explica o t eu raciocínio.
34.2
O dono do táxi B pretende colar uma tabela informativa dos preços que pratica, no vidro do seu táxi. Essa tabela está representada de seguida. Completa-a. Número de quilómetros percorridos Preço a pagar (€)
34.3
1 1,1
2 11
49,5
O carro do Rui avariou. Para se deslocar para o emprego, o Rui tem de chamar um táxi. Qual dos dois táxis deve chamar? Justifica a tua resposta.
33
Unidade 2
Funções
Testar 1
Qual das seguintes correspondências não define uma função? [A]
[B] y
[C]
[D]
y
y
y
x
x
x x
2
Observa a representação gráfica da função g. y
2 1 0 –2
–1
0
1
2
3 x
–1
3
34
2.1
Indica o domínio e o contradomínio da função g.
2.2
Qual a imagem, por g, do objeto –1?
2.3
Qual é o objeto que, por g, tem imagem 2?
2.4
Completa as seguintes expressões: a) g(3) = _______ b) g(_______) = 1
Numa papelaria todos os artigos escolares estão em promoção. A quantia a pagar por cada artigo marcado originalmente com o preço v, em euros, é dada, também em euros, pela expressão C(v ) = 0,85v . 3.1
Se um determinado artigo estiver marcado com o preço de 4,5 € e lhe for aplicado o desconto, qual é o preço a pagar?
3.2
Podemos afirmar que o preço a pagar, C(v ), e o preço de marcado, v , são grandezas diretamente proporcionais? Justifica.
3.3
Qual é a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?
3.4
Comenta a afirmação: “O desconto e o preço marcado são grandezas diretamente proporcionais”.
4
A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia, em euros. ) € ( r e b e c e r a a i t n a u Q
y
40 30 20 10 0
2
4
6
8
x
Tempo de trabalho (h)
5
4.1
Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?
4.2
Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?
4.3
A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cálculos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?
4.4
Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é diretamente proporcional ao número de horas que trabalhará”.
O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô cai no chão. 5.1
Indica qual o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão, desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão. [A]
[B]
Altura
Altura
Tempo
[C]
[D]
Altura
Altura
Tempo
5.2
Tempo
Tempo
Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três gráficos. Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B
35
Unidade 3
Sequências e regularidades
Resumir Sequências numéricas Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termos consecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência. 11, 21, 31, 41, 51, …
1.o termo ou termo de ordem 1
2.o termo ou termo de ordem 2
3.o termo ou termo de ordem 3
4.o termo ou termo de ordem 4
5.o termo ou termo de ordem 5
Lei de formação: Com exceção do 1.o termo, cada termo obtém-se adicionando 10 unidades ao termo anterior.
Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral. O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência. 11, 21, 31, 41, 51, …
→
Termo geral: 10 n + 1
Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais. Termo geral: 10n + 1
11, 21, 31, 41, 51, …
Termo geral: 11 + (n – 1) ¥ 10
…
11 + ( n – 1) ¥ 10 = 11 + 10 n – 10 = 10 n + 1 → 11 + ( n – 1) ¥ 10 é equivalente a 10 n + 1.
36
Gráfico de uma sequência numérica O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a, b), em que a é a ordem do termo e b é o próprio termo da sequência.
(a, b) Termo Ordem do termo
Estes pares ordenados de números podem ser representados num referencial cartesiano, obtendo-se assim a representação gráfica da sequência. Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na representação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n + 1.
Sucessões 3
5
7
2.o termo u2 1.o termo u1
9
11
4.o termo u4 3.o termo u3
13
15
6.o termo u6 5.o termo u5
17
…
8.o termo u8 7.o termo u7
Uma sequência numérica infinita diz-se uma sucessão. Assim, uma sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.
37
Unidade 3
Sequências e regularidades
Praticar 1
Considera as seguintes sequências numéricas e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos. Sequência 1: 7, 14, 21, 28, … Sequência 2: 11, 8, 5, 2, … 2 3 4 5 Sequência 3: , , , , … 3 5 7 9 1.1
Indica os próximos três termos de cada uma das sequências. Sequência 1: _________________________ Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________
1.2
Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio. Sequência 1: _________________________ Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________
1.3
Indica um possível termo geral para cada uma das sequências. Sequência 1: _________________________ Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________
2
O termo geral de uma sequência finita é 3n + 2. O último termo dessa sequência é 17. Quantos termos tem a sequência?
3
Considera a sucessão ( an) de termo geral an = 4n – 1.
38
3.1
Determina os quatro primeiros termos da sucessão e representa-os graficamente.
3.2
Determina o décimo quinto termo da sucessão.
3.3
Verifica se 78 é termo da sucessão. Explica o teu raciocínio.
4
Considera as sucessões, cujos termos gerais são: an = 3n + 6 n bn = n+1 cn = n2 + 1
4.1
Para cada uma das sucessões, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos. an: _________________________________________________________________ bn: _________________________________________________________________ cn: _________________________________________________________________
4.2
5
Considera, agora, apenas a sucessão ( an). Verifica se os números 22, 31, 144, 186 e 211 são termos da sucessão e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todos os cálculos ou esquemas que efetuares.
Observa a sequência de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Cada uma das figuras apresentadas é formada por triângulos equiláteros com 1 unidade de medida de comprimento de lado.
6
5.1
Quantos triângulos equiláteros são necessários para formar uma figura com 20 unidades de perímetro? Explica o teu raciocínio.
5.2
Descobre uma regra que permita determinar o perímetro de uma qualquer figura desta sequência.
Considera as seguintes sequências. I. II.
4, 9, 14, 19, ... 19, 15, 11, 7, ...
6.1
Para cada uma delas, indica: a) o primeiro termo; b) o vigésimo termo; c) o termo de ordem n.
6.2
Considera, agora, a sequência em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordem das duas sequências da alínea anterior. Determina o termo de ordem n desta nova sequência.
39
Unidade 3
Sequências e regularidades
Praticar 7
Observa a sequência de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.
Número da figura
1
2
3
Número de palitos
7
12
17
7.1
Representa as figuras 4 e 5 desta sequência e indica o número de palitos que as constituem.
7.2
Por quantos palitos é formada a 40.a figura? Explica o teu raciocínio.
7.3
Descobre uma regra que permita determinar o número de p alitos de uma qualquer figura.
7.4
Para construir uma figura desta sequência foram necessários 122 palitos. Qual é o número da figura? Explica o teu raciocínio.
7.5
Considera agora os retângulos que limitam as figuras da sequência anterior.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Descobre uma regra que permita determinar a área de cada um desses retângulos. (considera 1 palito como unidade de medida de comprimento). 7.6
40
Calcula a área do retângulo que limita a figura 19.
8
Considera as três primeiras figuras de uma sequência.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.
Número da figura
1
2
3
Número de pontos
5
8
11
Número de segmentos de ligação
5
9
13
8.1
Completa a tabela.
8.2
Descreve o padrão que observas.
8.3
Considera a sucessão ( an) do número de pontos de cada figura. a) Determina o termo geral da sucessão.
4
5
b) Calcula a5 e interpreta o resultado no contexto do problema. c) Determina o número de pontos da figura 5. d) Existirá alguma figura com 90 pontos? Justifica a tua resposta. 8.4
9
Determina o termo geral da sucessão ( bn) do número de segmentos de ligação de uma figura de qualquer ordem.
Observa a sequência de figuras.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
9.1
Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados brancos de uma figura de qualquer ordem.
9.2
Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados amarelos de uma figura de qualquer ordem.
9.3
Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados total de uma figura de qualquer ordem. 41
Unidade 3
Sequências e regularidades
Praticar 10
Durante as férias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Uma das zonas que visitou foi a Praça de Espanha, onde se encontram duas magníficas torres. Tal como a figura sugere, as torres da Praça de Espanha têm a forma de uma pirâmide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, formando uma torre de quatro lados. De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.
Barcelona
10.1
O modelo apresentado respeita a Fórmula de Euler? (Fórmula de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2)
10.2
Determina o número de vértices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.
10.3
Descobre uma expressão que permita calcular: a) o número de vértices do modelo de uma torre com n lados; b) o número de arestas do modelo de uma torre com n lados; c) o número de faces do modelo de uma torre com n lados.
10.4
11
Averigua se a Fórmula de Euler se verifica no modelo de uma torre de n lados.
O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado.
…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Olimpíadas Portuguesas da Matemática – Pré-Olimpíadas 42
12
O Superchocolate é uma caixa de doces constituída por chocolates e caramelos. As caixas são organizadas da seguinte forma: cada caramelo é colocado no centro d e cada conjunto de quatro chocolates, tal como sugere a figura seguinte. 3 5 2 4 2 2
As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos o número de colunas e de linhas de chocolates que cada caixa possui. Descreve um método para encontrar o número de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas dimensões. Exemplifica e justifica o teu método através de palavras, diagramas ou expressões.
Adaptado de Principles and Standards, NCTM , 2000
13
De regresso ao Colégio, depois das férias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumprimentaram com um abraço. Cada um cumprimentou cada colega uma só v ez. A tabela seguinte esquematiza parte da situação descrita.
Número de colegas
Esquema
Número de abraços
2
1
3
3
4
6
5 13.1
Completa a tabela anterior.
13.2
Observa com atenção o esquema constituído por quatro colegas. Quantos abraços deu cada colega? E no esquema constituído por cinco colegas?
13.3
Quantos abraços se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Explica o teu raciocínio.
13.4
Escreve uma expressão algébrica que permita determinar o número de abraços dados por um qualquer número de colegas.
13.5
Quantos colegas tem a Margarida na sua turma, sabendo que, no total, foram dados 55 abraços?
43
Unidade 3
Sequências e regularidades
Testar 1
Observa as sequências e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos. I.
26, 24, 22, 20, …
II.
2 3 4 5 , , , ,… 4 9 16 25
1.1
Indica os próximos três termos de cada uma das sequências. I. II.
1.2
Indica um possível termo geral para cada uma das sequências. I. II.
2
Considera uma sequência em que o primeiro termo é 126. Sabendo que a lei de formação dos restantes termos da referida sequência é subtrair seis ao termo anterior e dividir por três , determina o seu quarto termo. Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.
3
Considera a seguinte sequência de pontuações obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em que jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15. 3.1
Verifica se alguma das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números. [A] 95 – 30n
3.2
[B]
5n + 60 2n – 1
[C] 55 – 10n
[D] 5 +
60 n
Admitindo que a sequência foi gerada por uma das expressões indicadas na alínea anterior e se a Joana continuasse a jogar e as pontuações continuassem a seguir este mesmo modelo, que pontuação iria obter na 10.a jogada?
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
44
4
Considera as sequências: Sequência 1: 5n – 3 1 Sequência 2: + 1 n 4.1
Para cada uma das anteriores sequências, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos. Sequência 1: _________________________________________________________________ Sequência 2: _________________________________________________________________
4.2
5
Considera, agora, apenas a sequência 1. Verifica se os números 33, 72 e 222 são termos da sequência e, em caso afirmativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos os cálculos ou esquemas que efetuares.
De seguida apresentam-se as primeiras figuras de uma sequência.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
5.1
Encontra o número de pontos da 20.a figura. Explica o teu raciocínio.
5.2
Escreve uma expressão que permita determinar o número de pontos de uma figura de qualquer ordem.
5.3
Para construir uma figura desta sequência foram necessários 128 pontos. Qual é o número da figura? Explica o teu raciocínio.
45
Unidade 4
Figuras geométricas
Resumir Ângulos internos e externos de um polígono
ângulo externo
A
Cada ângulo externo de um polígono convexo é adjacente a um ângulo interno e é suplementar de um ângulo interno.
B
C
D
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dada pela expressão (n – 2) x 180o.
ângulo interno
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é 360 o.
Quadriláteros Quadriláteros
Não trapézios: Quadrilátero sem lados paralelos.
Retângulo:
Paralelogramo com quatro ângulos retos.
Trapézios: Trapézios: Quadrilátero com lados paralelos.
Paralelogramos: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos.
Trapézio Trapéz io não paralelogramo: paralelogramo:
Quadrilátero com um único par de lados paralelos.
Quadrado: Trapézio Trapézio isósceles:
Paralelogramo com quatro lados geometricamente iguais e quatro ângulos retos.
Trapézio em que os lados opostos não paralelos são geometricamente iguais.
Losango:
Trapézio Trapézio retângulo:
Paralelogramo com quatro lados geometricamente iguais.
Trapézio em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases.
Paralelogramo obliquângulo:
Trapézio Trapézio escaleno:
Paralelogramo sem ângulos retos.
Trapézio em que os lados opostos não paralelos não são geometricamente iguais.
Num paralelogramo paralelogramo:: • os ângulos opostos são geometricamente iguais;
D
• os ângulos consecutivos são suple suplemen menta tares; res;
E
• os lados opostos são geometricamente iguais; • as diagonais bissetam-se e dividem o parale paralelo logramo gramo em quatro triângulos geometricamente iguais dois a dois. 46
C c
d
a A
b B
Num losango, as diagonais bissetam-se e são perpendi perpendicul cular ares. es. B
E
A
C
D
Num retângulo, as diagonais bissetam-se e são geometricamente iguais. A
D
B
C
Num quadrado, as diagonais bissetam-se, são perpendiculares e são geometricamente iguais. A
D
B
C
Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares. suplementares. Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais e a suas diagonais são geometricamente iguais. B
C
A
D
Área do paralelogramo = base × altura altura base
Área do papagaio = d ¥¥ D 2 d
d – – diagonal menor
D
Área do trapézio =
b+B
2
D – diagonal maior
¥ h b b – base menor B – base maior
h
h – altura B
47
Unidade 4
Figuras geométricas
Praticar 1
Desenha três linhas poligonais.
2
Desenha um pentágono e traça as suas diagonais.
3
De entre as seguintes figuras, indica, justificando, as que são polígonos. A
48
B
C
D
4
Desenha, na grelha seguinte, um: 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
5
quadrado; retângulo não quadrado; trapézio isósceles; paralelogramo obliquângulo; losango não quadrado; trapézio retângulo; papagaio; quadrilátero não trapézio.
Em cada uma das seguintes alíneas, estão representados dois dos lados dos quadriláteros referidos. Desenha os dois lados em falta. 5.1 Retângulo 5.2 Losango 5.3 Paralelogramo obliquângulo 5.4 Quadrado
49
Unidade 4
Figuras geométricas
Praticar 6
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x. 6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7
Determina o perímetro e a área do seguinte paralelogramo.
8
Completa o esquema, utilizando os termos trapézio, papagaio, paralelogramo, quadrado e losango.
50
9
10
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] Todos os losangos são papagaios.
[B] Todos os papagaios são losangos.
[C] Todos os retângulos são quadrados.
[D] Todos os losangos são quadrados.
Na figura estão representados dois pontos, A e B. B
10.1
Quantos quadrados se podem desenhar de modo que A e B sejam dois dos seus vértices? A
11
10.2
Quantos quadrados se podem desenhar de modo que A e B sejam dois vértices consecutivos?
10.3
Quantos quadrados se podem desenhar de modo que o segmento de reta AB seja uma das suas diagonais?
Na figura seguinte está representado um losango.
D
C o
27
α
11.1
Indica a amplitude do:
O
β
a)
∠a;
ε θ
11.2
12
b)
∠b;
c)
∠q;
d)
∠e.
A
B
Sabendo que – O A = 3 cm, indica o comprimento de [ AC]. Explica o teu raciocínio.
De entre os quadriláteros seguintes, apenas um não é sempre um paralelogramo. Assinala-o. [A] Quadrado
[B] Retângulo
[C] Losango
[D] Papagaio 51
Unidade 4
Figuras geométricas
Praticar 13
Na figura está representado o triângulo [ ABC] e o trapézio retângulo [ ABDE ]. 13.1
B
Determina a amplitude do ∠ε . Explica o teu raciocínio.
C
D
60o 150o 45o A
13.2
14
E
Classifica o triângulo [ ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos seus lados.
Considera o segmento de reta [ AB], representado de seguida.
1 cm2
A
B
Sabe-se que [ AB] é um dos lados de um paralelogramo obliquângulo com 21 cm 2 de área.
15
16
14.1
Desenha, na figura, o paralelogramo referido.
14.2
Será que a tua resposta é única? Justifica.
Apenas uma das afirmações seguintes é falsa. Assinala-a. [A] Todos os quadrados são paralelogramos.
[B] Todos os triângulos são polígonos.
[C] Todos os trapézios são retângulos.
[D] Todos os retângulos são paralelogramos.
Uitlizando os triângulos [ ABC] e [DEF ], construiu-se um papagaio, como o que podes observar na figura seguinte. A B D
C
F
E
Que outros quadriláteros é possível construir, utilizando os mesmos dois triângulos retângulos?
52
17
Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos α e β . Explica o teu raciocínio. 17.1
B
99o o
150
30o
51o
A
17.2
C
A D
B
42o
50o 66o C A
17.3
C o
31
60o E
D B
18
Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro A. B A
C
19
18.1
Prova que A, B e C podem ser vértices consecutivos de um losango.
18.2
Utilizando material de desenho, assinala na figura o quarto vértice do losango referido na alínea anterior.
Na figura ao lado pode observar-se o triângulo [ AGF ] e o quadrado [ ABCD]. 19.1
Prova que ∠ AGF e ∠DCF são geometricamente iguais.
F
C
G 29o
D
B
A
19.2
Determina a amplitude do ∠β . Explica o teu raciocínio.
19.3
Classifica o triângulo [ AGF ] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos seus lados. Justifica.
53
Unidade 4
Figuras geométricas
Praticar 20
21
ˆ A = 90o. As diagonais de um paralelogramo [ ABCD] intersetam-se no ponto X . Sabe-se que BX 20.1
O Filipe acha que [ ABCD] é um quadrado. A Catarina não concorda e afirma que, com as informações fornecidas, apenas se pode garantir que [ ABCD] é um losango. Qual dos dois achas que tem razão? Justifica a tua opinião.
20.2
Sabendo que BDˆ A = 60o, determina a amplitude do ∠ XCD. Explica o teu raciocínio. (Sugestão: começa por fazer um esboço do paralelogramo.)
A
Na figura está representado um triângulo equilátero [ ABC]. Determina a amplitude do ângulo x. Explica o teu raciocínio. 84o
B
x
22
Na figura, [ ABCD] é um retângulo. 22.1
Classifica o triângulo [ AED] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos seus lados. Explica o teu raciocínio.
C
A
D
51o
22.2
23
– D = 4 cm, Determina a área do trapézio [ ADCE ], sabendo que A – DC = 2 cm e – E C = 3 cm.
63o B
E
C
Num teste de Matemática, era pedido aos alunos que riscassem, de entre os q uadriláteros apresentados, os que não verificavam determinada característica. De seguida, apresenta-se a resposta da Sandra a esta questão.
Sabendo que a resposta da Sandra está correta, formula uma possível questão para o teste. Explica o teu raciocínio.
54
24
B
Um agrimensor romano (cerca de 180 d. C.) usou triângulos geometricamente iguais para determinar a largura de um rio numa zona do seu leito. Começou por traçar uma reta AB ao longo da margem onde se encontrava. Num ponto C tirou uma perpendicular CG a AB. Colocou uma estaca no ponto E , ponto médio de [ AC]. De A fixou um ponto F na outra margem, sendo AF perpendicular a AC. Finalmente, descobriu um ponto D a partir do qual observou os pontos E e F de modo que D, E e F estivessem sobre a mesma reta. 24.1
24.2
O agrimensor concluiu que os triângulos [ ECD] e [EAF ] são geometricamente iguais. Esta conclusão é correta? Porquê?
C
Rio
D
G
E
F
A
A afirmação “A largura do rio na zona do ponto A é igual ao comprimento do segmento de reta CD” é verdadeira ou falsa? Justifica.
Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros
25
3 cm
A figura ao lado é composta por dois paralelogramos obliquângulos, [ ABCD] e [BCFE ]. Tendo em conta os comprimentos assinalados, determina a área da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
A
D
E
F
2,5 cm 5 cm
B
26
C
Considera o losango [ ABCD ], representado de seguida. Sabe-se que – A C = 3 cm e – BD = 5 cm. 26.1
B
Sabendo que I e J são os pontos médios dos lados [ AB] e [BC], respetivamente, determina a amplitude do ângulo ε . Explica o teu raciocínio.
I
J
A
C
67o
26.2
Determina a área do losango [ ABCD]. D
26.3
Determina a área do trapézio [ AIJC].
55
Unidade 4
Figuras geométricas
Praticar 27
Observa a figura. 9 cm A
D G
1 cm
E
I
F
J
Sabe-se que: 6 cm
H
1 cm
K
B
•
[ ABCD] é um retângulo;
•
[EFGD] é um paralelogramo obliquângulo;
•
[HKJI ] é um paralelogramo obliquângulo.
C
Determina a área da figura colorida a verde. Apresenta todos os cálculos que efetuares.
28
Na figura 1 está representado o quadrilátero [ ABCD] e, na figura 2, uma sua decomposição em dois triângulos e um quadrilátero. D A C
28o 139o 42o
27o 18o
79o B Figura 1
Figura 2
Determina a amplitude dos ângulos α , β , ε e δ . Explica o teu raciocínio.
29
Prova que a área de um papagaio, em unidades quadradas, é igual ao semiproduto das diagonais percorrendo os seguintes passos:
– – 1. Considera um papagaio [ ABCD] em que A B = A D e – BC = – CD. Designando o ponto de interseção das diagonais por E , escreve uma expressão que permita determinar a área de cada um dos triângulos [ ACD] e [ ACB]. 2. Completa as seguintes igualdades com medidas de compri-
mento de segmentos de reta: A[ ACD] + A[ ACB] = 56
– ___ ¥ – E D ___ ¥ E B ___ ¥ ( – E D + – E B) ___ ¥ ___ + = = 2 2 2 2
D
A
E
B
C
30
31
E
Na figura estão representadas duas circunferências com o mesmo raio, uma de centro A e outra de centro B. 30.1
Prova que [ AEBF ] é um losango.
30.2
Classifica o triângulo [ AEB] quanto ao comprimento dos seus lados.
A
B
F
A e B são dois pontos situados em duas ilhotas fluviais. Pretende determinar-se a distância entre A e B. Fixa-se uma estaca em terra num certo ponto C colinear com A e B, à nossa escolha. Fixa-se outra estaca em D de modo que AC ⊥ CD . Toma-se o ponto médio do segmento de reta [CD], que se designa por E . Traça-se uma reta r perpendicular a CD e que passa por D. Finalmente, marcam-se os pontos G e F que resultam da interseção das retas BE e AE com a reta r , respetivamente. Então, [ GF ] representa a distância entre as ilhotas. Porquê?
Rio A
B
D E G
C
F r
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros
32
Dois quadrados, [ ABCD] e [ EFGH ], sobrepõem-se tal como mostra a figura ao lado. Sabendo que um dos vértices do quadrado maior, E , coincide com o centro do quadrado menor, prova que a área do polígono [IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor. Sugestão: Percorre as seguintes etapas.
• Traça as diagonais do quadrado menor. • Prova que os triângulos [EIC] e [EJD] são geometricamente iguais. • Utiliza a prova anterior para justificar que a área do polígono [IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.
A D J
E
B
H
I C
G F
57
Unidade 4
Figuras geométricas
Testar 1
Observa os quadriláteros.
2
3
5
4
6
1
8
9
10
11
7
12
Indica, pelo número correspondente:
2
1.1
os trapézios não paralelogramos;
1.2
os paralelogramos;
1.3
os retângulos;
1.4
os quadrados;
1.5
os losangos não quadrados.
Na figura seguinte estão representados os triângulos [ ABC] e [BED]. Sabe-se que A, B e E estão ali – C = – BD e que – CB = – DE. nhados, que A A
B
E o
27 o
108
45o C
58
45o D
2.1
Prova que os triângulos [ ABC] e [BED] são geometricamente iguais.
2.2
Determina a amplitude do ângulo ε . Explica o teu raciocínio.
3
C
Observa a figura. Determina a amplitude dos ângulos α e β . Explica o teu raciocínio.
110o 28o
51o
F
B
D A
4
Considera um paralelogramo [ ABCD], tal que as diagonais [ AC] e [BD] têm o mesmo comprimento. 4.1
Justifica que os triângulos [ ACD] e [BCD] são geometricamente iguais.
4.2
Justifica que os ângulos ∠ ADC e ∠BCD são geometricamente iguais.
4.3
5
Sabendo que dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares e que os ângulos opostos são geometricamente iguais, verifica que o paralelogramo [ ABCD] é um retângulo.
Qual das seguintes afirmações é falsa? [A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes. [B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. [C] Num paralelogramo, as diagonais bissetam-se. [D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.
6
Justifica que os quadrados são os paralelogramos que têm as diagonais perpendiculares e iguais.
7
Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão CD = – BC. Colocou-se uma outra estaca em E sobre a mesma reta e – – C = – CE. tal que A, C e E também estão sobre uma mesma reta e A Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as árvores é igual ao comprimento do segmento de reta [ DE ]? Justifica a tua resposta.
B
A C E
D
Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros
59
Unidade 5
Tratamento de dados
Resumir Estatística
A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados. Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo). Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar conclusões válidas para toda a população. Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações.
Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico.
Exemplos: 1. Gráfico circular Consumo de água
12,50%
Higiene pessoal Autoclismo
18,75%
43,75%
Comida e bebida Roupa
6,25%
Outros
2. Gráfico de barras Profissões desejadas pelos alunos Número 8 de alunos 7 6 5 4 3 2 1 0
Médico
Astronauta Professor Comerciante Futebolista Profissões
60
3. Gráfico de linha Crescimento demográfico nas últimas décadas População 7 (mil milhões) 6 5 4 3 2 1 0 1950
1960 1970
1980
1990
2000 2010 Anos
4. Diagrama de caule-e-folhas 5 6 7 8 9
1 6 6 2 0
caule
8 4 3 6 3
3 8 9 1
9 7 3 6
6 6 7
1 4
3
folhas
Medidas de localização Média de um conjunto de dados A média de um conjunto de dados, que se representa por x–, é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de observações.
Exemplo: Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10. – = 5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10 = 7,5 x 8 Mediana de um conjunto de dados
Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações: • se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados; • se o número de dados do conjunto for par, a mediana ( Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto de dados. Exemplos: 1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8.
2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.
Mediana:
Mediana:
4 5 6 7 8 8 12
4 5 6 7 8 8 10 12 7+8 = 7,5 Me = 2
Me = 7
61
Unidade 5
Tratamento de dados
Praticar 1
Os carboidratos são um composto orgânico indispensável para o metabolismo energético. A tabela seguinte resultou de um estudo estatístico e revela a quantidade de carboidratos existente em determinadas marcas de cereais. Carboidratos existentes em diferentes marcas de cereais (gramas)
62
16
18
31
15
17
37
37
20
37
27
41
32
41
28
17
43
39
22
16
27
15
35
37
33
26
1.1
Determina o número de marcas de cereais que foram alvo do estudo estatístico.
1.2
Com os dados da tabela, constrói um diagrama de caule-e-folhas.
1.3
Quantas marcas de cereais têm mais de 33 gramas de carboidratos na constituição dos seus cereais?
1.4
Qual é a percentagem de marcas de cereais que têm, no máximo, 21 gramas de carboidratos na constituição dos seus cereais?
1.5
Qual é a percentagem de marcas de cereais que têm entre 21 e 33 gramas de carboidratos na constituição dos seus cereais?
2
3
Determina a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores. 2.1
2, 7, 3, 3, 5, 6, 2, 2, 7, 3, 4, 2.
2.2
6, 3, 2, 6, 6, 2, 4, 5, 8, 4.
A família da Patrícia reuniu-se na noite de consoada para celebrar o Natal. Pais, tios, avós, primos e irmãos encontram nesta festividade um momento raro de confraternização. De seguida apresentam-se as idades dos familiares da Patrícia. 10
76
12
68
12
37
25
22
16
34
20
33
35
3.1
Constrói um diagrama de caule-e-folhas.
3.2
Determina a média, a mediana e a moda das idades dos familiares da Patrícia.
3.3
Qual das medidas de localização referidas na alínea anterior é a mais adequada para representar o conjunto de dados? Explica o teu raciocínio.
3.4
Indica a percentagem de familiares da Patrícia que têm, pelo menos, 25 anos de idade. Explica o teu raciocínio.
3.5
O Dinis, primo da Patrícia, apenas se pôde juntar à família depois da consoada. Sabendo que, com a sua chegada, a média de idades mudou para 30 anos, determina a idade do Dinis. Explica o teu raciocínio.
63
Unidade 5
Tratamento de dados
Praticar 4
O casal Silva tem quatro filhos, dos quais três são raparigas. As idades, em anos, das raparigas são 18, 8 e 4 e a do rapaz é 10. Qual é a mediana das idades dos quatro filhos do casal Silva?
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática , 9.o ano, 12/04/2013
5
As tabelas seguintes mostram os sucessivos Presidentes da República Portuguesa, desde a sua implantação, e o período de tempo durante o qual presidiram a esse cargo. Presidentes
2006 – Cavaco Silva 1996-2006 – Jorge Sampaio 1986-1996 – Mário Soares 1976-1986 – Ramalho Eanes 1974-1976 – Costa Gomes 1974-1974 – António Spínola 1958-1974 – Américo Tomas 1951-1958 – Craveiro Lopes 1926-1951 – Óscar Carmona 1926-1926 – Gomes da Costa 1926-1926 – Mendes Cabeçadas 1925-1926 – Bernardino Machado 1923-1925 – Teixeira Gomes 1919-1923 – António José de Almeida 1918-1919 – Canto e Castro 1917-1918 – Sidónio Pais 1915-1915 – Bernardino Machado 1915-1915 – Teófilo Braga 1911-1915 – Manuel de Arriaga
Presidentes
Cavaco Silva Jorge Sampaio Mário Soares Ramalho Eanes Costa Gomes António Spínola Américo Tomas Craveiro Lopes Óscar Carmona Gomes da Costa Mendes Cabeçadas Teixeira Gomes António José de Almeida Canto e Castro Sidónio Pais Bernardino Machado Teófilo Braga Manuel de Arriaga
Tempo (aproximado em meses)
47(a) 120 120 115,8 21,4 4,2 188,5 84 297,3 0,4 0,6 26,2 48 9,6 11,7 31,7(b) 4,2 45,2
(a) Cavaco Silva iniciou o seu mandato a 09/03/2006. Nesta contagem do tempo considerámos as datas 09/03/2006 a 09/02/2010. (b) Inclui os dois mandatos de Bernardino Machado.
64
5.1
Indica os Presidentes que estiveram durante mais e menos tempo na Presidência da República.
5.2
Consegues detetar algum período bastante conturbado da vida política portuguesa? Justifica.
6
O Sérgio realizou um inquérito para saber o número de mensagens escritas que os colegas de turma enviaram num determinado dia. Os resultados que obteve estão representados no gráfico de barras seguinte. Número de mensagens que os colegas do Sérgio enviaram num dia Número de alunos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de mensagens
6.1
Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas.
6.2
Quantos colegas tem o Sérgio na sua turma?
6.3
Indica a percentagem de colegas do Sérgio que enviou mais de cinco mensagens nesse dia.
6.4
Determina a média e mediana do conjunto de dados.
65
Unidade 5
Tratamento de dados
Praticar 7
Os gráficos seguintes mostram a mesma informação. No entanto, apresentam uma imagem diferente. Supõe que um desses gráficos foi apresentado pelo governo de um determinado país e o outro pela oposição. Gráfico I
Gráfico II
Desemprego entre 2000 e 2003 s o d a g 250 e r ) p s 200 e m r e a s h 150 e l i d m e 100 d m e s ( o r 60 e m ú 0 N
2000
2001
2002
2003
Desemprego entre 2000 e 2003
2004
s o d a 230 g e r ) 220 p s e 210 m r e a 200 s h e l i 190 d e m180 d m e 170 s ( o 160 r e m 150 ú N
2000
2001
Anos
2002
2003
2004
Anos
7.1
Qual foi o gráfico apresentado pelo governo? E qual foi usado pela oposição?
7.2
Para defenderem as suas posições, tanto o governo como os diferentes partidos da oposição fizeram uso de outras ferramentas estatísticas. Tendo em conta as medidas estatísticas que conheces, indica as que terão sido utilizadas pelo governo e as que terão sido utilizadas pela oposição. Explica a tua escolha.
Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – OTD
8
Considera o conjunto de dados seguinte. 2
8
9
8
Sabendo que a mediana é 6, qual é o valor de a?
66
3
4
a
7
9
O queijo, proveniente do leite, é um alimento rico em cálcio. No entanto, é necessário não abusar, já que, de um modo geral, é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na tabela seguinte apresentam-se, para vários tipos de queijo, a quantidade de gordura e o número de calorias, por cada 100 gramas. Alimento (100 g) Queijo Brie Queijo
Camembert Queijo da Ilha Queijo da Serra curado Queijo da Serra fresco Queijo de Azeitão Queijo de Évora Queijo de Serpa Queijo de Tomar Queijo flamengo 20% Queijo flamengo 30% Queijo flamengo 45% Queijo fresco Queijo Gorgonzola Queijo Gruyère Queijo Parmesão Queijo Roquefort Queijo Suíço
Gordura (g)
Calorias
20 23 26 32 27 25 34 26 27 8 14 23 21 37 20 28 32 29
263 313 357 385 327 309 412 330 305 185 246 315 265 407 315 401 371 357
–
Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevado conteúdo em calorias. – Alimento intermediário: consumir com moderação. – Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu consumo.
Considera os dados respeitantes à quantidade de gordura, por cada 100 gramas de queijo. 9.1
Representa essa informação através de um diagrama de caule-e-folhas.
9.2
Como podes observar, as representações anteriores revelam um determinado tipo de enviesamento. Atendendo a este facto, o que podes esperar relativamente aos valores da média e da mediana? Explica o teu raciocínio. Comprova a tua tese determinando os valores das medidas de tendência central referidas.
Adaptado de Análise de Dados, Ministério da Educação – DGDIC 67
Unidade 5
Tratamento de dados
Praticar 10
No ensino profissional, o número de horas semanais na disciplina de Matemática varia de acordo com os cursos e com os anos de escolaridade. Num agrupamento de escolas, registou-se o número de horas semanais na disciplina de Matemática de cada turma do ensino profissional. Com base nesse registo, elaborou-se o seguinte gráfico. Número de horas semanais de Matemática 15
Número de turmas
13
10
8
4
1
1,5
2
2,5
3
Número de horas semanais
Qual é o número médio de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do ensino profissional deste agrupamento? (Escolhe a opção correta.) [A] 2,2
[B] 2,3
[C] 22
[D] 23
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática , 9.o ano, 12/04/2013
11
68
A Ana registou o número de pessoas que a sua mãe atendeu na papelaria durante uma semana e registou os dados na tabela seguinte. Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
Sexta-feira
Sábado
30
24
31
28
42
21
11.1
Determina a média e a mediana das pessoas atendidas pela mãe da Ana durante essa semana.
11.2
Qual seria a média de pessoas atendidas se na quinta-feira tivesse atendido 40 pessoas? E a mediana? Mostra como chegaste à tua resposta.
12
Na turma da Marta fizeram um estudo acerca do número de idas ao cinema dos alunos durante o primeiro período e concluíram que a mediana era quatro. Sabe-se que a turma tem 27 alunos, que a Marta foi ao cinema só uma vez e a colega Ana foi oito vezes. 12.1
Qual o número mínimo e máximo de alunos que foi ao cinema: a) mais do que quatro vezes?
b) menos do que quatro vezes?
12.2
Sabendo que a média do conjunto de dados é 3, apresenta, justificando, um possível conjunto de dados correspondente a este estudo.
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
13
A Helena elaborou a seguinte tabela com o desporto preferido de todos os alunos da sua turma. Desporto Número de alunos
Andebol
Futebol
Basquetebol
10
8
Voleibol
Hóquei
1
13.1
Completa a tabela, sabendo que a turma tem 24 alunos e que 12,5% preferem andebol.
13.2
Com os dados da alínea anterior constrói um gráfico de barras e indica a moda do desporto preferido dos alunos da turma da Helena.
69
Unidade 5
Tratamento de dados
Testar 1
Na tabela seguinte, estão as classificações dos alunos de uma turma do 10.o ano na disciplina de Matemática. O número de alunos que tiveram classificação de 10 valores e o número de alunos que tiveram classificação de 12 valores estão representados pela letra a.
Classificações (em valores)
9
10
12
14
15
18
Número de alunos
2
a
a
5
3
2
1.1
Determina a média das classificações dos alunos que tiveram classificação superior a 12 valores. Apresenta os cálculos que efetuaste.
1.2
Admite que a mediana das classificações dos alunos da turma é 13 valores. Qual é o valor de a? (Escolhe a opção correta.) [A] 3
[B] 4
[C] 5
[D] 6
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática , 8.o ano – 29/02/2012
2
O seguinte conjunto de dados representa a duração, em horas, da carga da bateria de 10 modelos diferentes de telemóveis. 400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240 Determina a média e a mediana do conjunto de dados.
70
3
Observa atentamente o gráfico de barras relativo às faltas dos alunos do 7.o ano, turma A, durante o mês de setembro. Faltas no mês de setembro (7.o A) 16 14 12
Número de alunos
10 8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Número de faltas
Determina a mediana do conjunto de dados e o número médio de faltas.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
4
A Joana pretende saber o que os alunos da sua escola preferem fazer nos tempos livres. No gráfico está representado o estudo ilustrativo das respostas dadas por 200 alunos. Ocupação preferida nos tempos livres
31%
29%
Ler Andar bicicleta Jogar no computador
4.1
Quantos alunos responderam jogar computador? Justifica.
4.2
Comenta a afirmação: “A maioria dos alunos prefere andar de bicicleta”.
71
Unidade 6
Equações
Resumir Dadas duas funções f e g, chama-se equação com uma incógnita a uma expressão da forma f ( ) = g( ). Quando as funções f e g que constituem a equação f ( ) = g( ) forem funções afins, a equação designa-se por equação linear com uma incógnita ou, simplesmente, equação linear. Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o primeiro membro, f ( x ), e a que fica à direita é o segundo membro, g( x ). x
x
x
x
x
x
– 3 = 5 – 2 x
1.o membro f ( x)
2.o membro g( ) x
Cada um dos membros da equação pode ser constituído por uma ou mais parcelas, que se designam por termos da equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita chamam-se termos independentes. x
– 3 = 5 – 2 x
Termos com incógnita ( x, –2 x)
Termos independentes (–3, 5)
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.
Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízes dessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).
Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-se uma equação equivalente à inicial.
Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal: x + a = b ⇔ x = b – a
Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial. a x = b ⇔ c . a x = c . b
72
e
a x = b ⇔
a c
x
=
b c
, em que c é um número diferente de zero.
De acordo com as regras anteriores, pode definir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar rapidamente à solução de uma equação.
Principais passos na resolução de uma equação 1.o desembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva; 2.o agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes no segundo membro);
3.o reduzir os termos semelhantes; 4.o aplicar a regra da multiplicação e simplificar para obter o conjunto-solução.
Exemplo:
2( x – 6) = –12 ⇔ ← Desembaraçar de parênteses. ⇔ 2 x – 12 = –12 ⇔ ← Adicionar em ambos os membros o termo +12. ⇔ 2 x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔ ← Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes. ⇔ 2 x = 0 ⇔ 0 ← Dividir ambos os membros por 2. ⇔ x = ⇔ 2 ← Simplificar, tornando a fração irredutível. ⇔ x = 0 C.S. = {0}
Classificação de equações
Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada. Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada. Uma equação que não admite solução diz-se impossível.
Principais passos na resolução de um problema 1.o ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido; 2.o escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido; 3.o escrever uma equação que traduza o problema; 4.o resolver a equação; 5.o verificar se a solução da equação também é solução do problema; 6.o apresentar a resposta ao problema.
73
Unidade 6
Equações
Praticar 1
2
74
Averigua, sem a resolveres, se algum dos números do conjunto A = {–2, 0, 23} é solução da equação: 1.1
2 x = 10
1.2
2 x – 6 = – 10
1.3
–( x – 7) = x + 3
Resolve cada uma das seguintes equações. 2.1
x
+ 6 = 10
2.2
2a = 12
2.3
2 y – 4 = 12
2.4
4u = 16
2.5
2b – 20 = 10
2.6
12a – 3 = a + 6
2.7
t + 3t = 3t – 12
2.8
x
2.9
–(v – 4) = v – 10
2.10
–(3 – c) = 0
2.11
2(a – 6) – (a – 4) = 3
2.12
2(c + 3) = –3c + 4
+ 6 = 2 x – 12
3
2.13
–(k – 6) = –3k + 12
2.15
4(n – 2) – 4(n + 2) = n
2.17
2( x – 3) – 4 = x + 5
2.19
7 y – 2(– y – 9) = – 8(–4 y – 7)
2.14
4( x – 1) – 3( x – 6) = 0
2.16
–3n + 3(n – 4) – (n – 1) = 0
2.18
–n – 5(–n – 4) = –(8n – 1)
2.20
–11d + 9(–d + 3) = d – 7
Na aula de Matemática, a Joana, depois de ter resolvido corretamente uma equação, obteve a solução –4. Assinala a equação que a Joana resolveu. [A] 2(1 – x) = 16 – (2 – x)
[B]
–4( x – 8) = –8
[C] x – 4 = x + 4
[D] 21 – 4 x = 5 Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – D
4
Liga cada uma das equações à sua solução. 2( x – 6) = 12
l
l
–3
– x – 4 = –16 + x
l
l
+
–( x – 3) = +6
l
l
5 3 +12
4( x – 3) = 2( x – 4) – ( x – 1)
l
l
+6
–(5 – x) = –(2 x – 6) + 3
l
l
+
14 3 75
Unidade 6
Equações
Praticar 5
A soma de três números pares consecutivos é 66. Quais são esses números?
6
A Maria e a Leonor adoram brincos. Sabe-se que a Maria tem mais quinze pares de brincos do que a Leonor. 6.1
Quantos pares de brincos tem a Leonor se: a) a Maria tem 54 pares de brincos?
b) a Maria tem 3 x pares de brincos?
6.2
Quantos pares de brincos tem a Maria se: a) a Leonor tem 12 pares de brincos?
b) a Leonor tem 4m + 3 pares de brincos?
6.3
7
76
Em conjunto, a Maria a e a Leonor têm 41 pares de brincos. Quantos pares de brincos tem cada uma delas?
Num jardim zoológico, o cacho de bananas da figura vai ser utilizado para alimentar o Gervásio e o Fialho, dois chimpanzés. Sabendo que o Gervásio come o dobro das bananas do Fialho, determina quantas bananas come cada animal.
8
Num torneio de matraquilhos, a equipa vencedora, constituída pelo Paulo e pelo Toni, marcou um total de 50 golos. O Toni marcou o quádruplo dos golos do Paulo. Quantos golos marcou o Paulo?
9
Os polígonos seguintes são todos regulares. Determina o perímetro de cada um deles. 9.1
(2 x – 6) cm
( x + 6) cm
9.2
2 x cm
( x + 4) cm
9.3
(2 x + 12) cm
–(– x – 30) cm
9.4
(3 x – 10) cm
( x + 8) cm
10
O Ricardo pensou num número, multiplicou-o por 8, somou-lhe 10 e obteve o triplo do número em que pensou. Em que número pensou o Ricardo?
11
Quando nasceu a sua filha, a Margarida tinha 28 anos. Atualmente, tem o triplo da idade dela. Qual é a idade atual da sua filha?
77
Unidade 6
Equações
Praticar 12
O gráfico seguinte mostra os gastos mensais de uma família. Gastos mensais
%
x
Renda da casa
15% 45%
Alimentação Vestuário
29%
Outros
12.1
Escreve uma equação que permita determinar o valor de x.
12.2
Resolve a equação que escreveste na alínea anterior.
12.3
Sabendo que esta família gasta cerca de 200 € mensais em vestuário, determina quanto gasta esta família mensalmente em alimentação.
13
Num stand de automóveis de uma conhecida marca estão expostos 26 automóveis de dois modelos diferentes: Modelo A, que custa 26 000 € e Modelo B, que custa 19 500 €. Sabendo que há mais 6 automóveis do modelo B do que do modelo A, determina quanto dinheiro receberá o stand se vender todos os automóveis.
14
A Filomena tem na sua carteira 7,5 €, em moedas de 1 € e de 0,50 €. Sabendo que o número de moedas de 1 € é o dobro do número de moedas de 0,50 €, determina quantas moedas de 1 € tem a Filomena na sua carteira.
15
Observa o tirângulo.
15.1
A
102o
Escreve uma equação que permita determinar a amplitude do ângulo ABC.
49o B
15.2
78
C
Resolve a equação e classifica o triângulo quanto à amplitude dos ângulos e quanto ao comprimento dos lados.
A Leonor adora ler! No ano passado, a Leonor leu 12 livros. Esses livros eram todos de dois autores portugueses: José Saramago e Vergílio Ferreira. Sabendo que a Leonor leu mais dois livros de José Saramago do que de Vergílio Ferreira, determina o número de livros lidos de cada autor, começando por equacionar o problema.
16
Vergílio Ferreira
José Saramago
17
O Tiago é mais velho que o Pedro três anos. O Cândido, tio do Tiago, tem o dobro d a idade do Pedro. Sabendo que a soma das idades do Pedro, do Tiago e do Cândido é 43 anos, determina a idade do Pedro.
18
Na figura estão representados um quadrado e um triângulo equilátero. 3( x + 2)
5 x – 12
Determina x de modo que os dois polígonos tenham o mesmo perímetro.
Considera a equação 8(– a +2) + 12a = 3 + 4. Pode-se afirmar que: (Escolhe a opção correta.)
19
[A] –13 é solução da equação. [B] a equação é impossível porque a solução é negativa. [C] a equação 2a – 2 = 9 – a + 2 não é equivalente à dada. [D] a equação é possível indeterminada. 20
20.1
Traduz para linguagem matemática: “A soma do triplo de um número com quinze é igual à diferença entre cinquenta e cinco e esse número”.
20.2
Na alínea anterior escreveste uma equação. Indica: a) os termos do 1.o membro dessa equação; b) o 2.o membro dessa equação.
20.3
Resolve e classifica a equação obtida em 20.1.
79
Unidade 6
Equações
Praticar 21
No passado havia a necessidade de transportar o vinho do Porto para Vila Nova de Gaia, daí surgiu uma embarcação única, o barco rabelo, especialmente adaptado a este rio acidentado. Hoje, podemos ver alguns barcos rabelos que, além de o enfeitarem, fazem as suas viagens pelo Douro e despertam a curiosidade e admiração de todos quando os veem passar. Estes barcos levam as pessoas a percorrer um caminho inesquecível e a admirar uma paisagem deslumbrante, calma e incomparável. Quando entramos nos barcos rabelos, e à medida que eles deslizam para o meio do rio, temos a sensação que nos encontramos num paraíso natural.
Porto
Retirado de site promocional a cruzeiros do Douro
Uma das empresas turísticas que opera no rio Douro é proprietária do barco “Rabelo Douro”. Ontem de manhã, este barco partiu do cais de Vila Nova de Gaia para um curto passeio panorâmico. Embarcaram 39 pessoas, de três nacionalidades diferentes: os portugueses eram o triplo dos espanhóis, que, por sua vez, eram o triplo dos italianos. Determina quantos eram os portugueses.
22
23
Observa a figura ao lado. Pode afirmar-se que: (Escolhe a opção correta.) [A] r = 51
[B] r = 64
[C] r = 52
[D] r = 38
(r + 37)o
(2r – 50)o (r – 11)o
Determina o valor de a, sabendo que a figura ao lado tem 76 cm de perímetro.
2
a + 6 a a + 6
24
Observa os dois polígonos seguintes.
Polígono A
Polígono B
3 cm
(2 x + 6) cm 6 cm
Sabendo que o polígono B tem o dobro da área do polígono A, determina o seu perímetro.
80
25
O José, a Luísa e o Vasco resolveram a mesma equação, na aula de Matemática, mas chegaram a soluções diferentes. Na tabela seguinte apresenta-se a resolução de cada um deles, onde apenas uma está totalmente correta. José
Luísa
Vasco
2( x – 7) = x + 4
2( x – 7) = x + 4
2( x – 7) = x + 4
⇔ 2 x – 7 = x + 4
⇔ 2 x – 14 = x + 4
⇔ 2 x – 14 = x + 4
⇔ 2 x – x = 4 + 7
⇔ 2 x – x = 4 + 14
⇔ 2 x + x = 4 – 14
⇔ x = 11
⇔ x = 18
⇔ 3 x = –10 ⇔ x = –
10 3
Qual dos alunos resolveu a equação corretamente? Justifica a tua resposta, explicando os erros que os outros dois alunos cometeram.
Adaptado de Prova de Aferição do 3.o Ciclo do Ensino Básico – E
26
O Francisco faz treze anos e os seus pais organizaram-lhe uma festa-surpresa, no seu restaurante preferido. Todos os amigos do Francisco foram convidados, mas ainda ninguém confirmou a sua p resença... Dada a ocasião, a gerência do restaurante fez um orçamento especial.
26.1
Se cada convidado consumir uma bebida, a expressão que representa o valor a pagar p elos pais do Francisco, no restaurante, é 5 n + 2n. O que representa a variável n na expressão?
26.2
Escreve uma expressão que represente o valor a pagar pelos pais do Francisco, se: a) todos os convidados consumirem duas bebidas; b) dois dos convidados não consumirem bebidas e todos os outros consumirem apenas uma.
81
Unidade 6
Equações
Praticar 26.3
Determina o valor a pagar pelos pais do Francisco se: a) forem 10 os convidados e todos consumirem uma bebida; b) forem 11 os convidados e todos consumirem duas bebidas.
26.4
Os pais do Francisco tentaram fazer uma estimativa do valor que teriam que pagar. Para isso, consideraram a hipótese de que todos os amigos do Francisco vinham à festa, que metade deles bebia uma bebida e que a outra metade bebia duas. Com base nestes pressupostos, chegaram à conclusão que iam pagar 80 €. Quantos amigos tem o Francisco?
27
Hoje, o Renato tem o triplo da idade do André. Daqui a 5 anos, a diferença entre as suas idades será 6 anos. Que idade tem o Renato?
28
A mãe do Paulo tem um minimercado. Quando não está ninguém na loja, o Paulo gosta de se divertir tentando colocar uma balança de pratos em equilíbrio. Ontem de tarde, o Paulo conseguiu equilibrar a balança três vezes.
Determina quanto pesa cada frasco de detergente. Explica o teu raciocínio.
29
82
Uma empresa de confeção tem uma produção diária de 1000 camisas. Na semana passada, o encarregado de confeção decidiu efetuar um controlo de qualidade à produção. Para isso, analisou detalhadamente todas as camisas produzidas na empresa na segunda, terça e quarta-feiras, tendo verificado que a diferença entre o número de camisas sem defeito e o número de camisas com defeito era 2800. Determina a percentagem de camisas com defeito produzidas na empresa nesses três dias.
30
Considera o triângulo [ ACB], representado ao lado. Sabendo que CAˆB = BCˆ A, determina o perímetro e a área do triângulo [ ABC].
B
(5 x – 5) cm
( x + 3) cm ( x + 1) cm
A
C
(3 x ) cm
31
O João escreveu as coordenadas de três pontos: A(2(c – 6), c – 5), B(2c – 6, b + 12), C(4, 3b – 10) e lançou o seguinte desafio ao seu colega Pedro: “O ponto A tem a mesma abcissa que o ponto C que, por sua vez, tem a mesma ordenada que o ponto B. Consegues descobrir as coordenadas dos três pontos?”. Ajuda o Pedro, determinando as coordenadas dos pontos A, B e C.
32
Em cada uma das seguintes alíneas, apresentam-se duas equações na incógnita x , sendo que, numa delas, um número foi substituído por k . Sabendo que as equações são equivalentes, determina em cada caso o valor de k .
33
32.1
x
32.2
2( x – 16) = k e 2 x – ( x + 12) = 18 – x
+ 4 = 12 e 2 x – k = 5
Observa a seguinte sequência.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
33.1
Desenha a 6.a figura da sequência. Quantas setas tem?
33.2
Qual é a quantidade total de setas da 121.a figura da sequência? Explica como obtiveste a resposta.
33.3
Determina o termo geral da sequência.
33.4
Utiliza uma equação para calcular o termo da sequência que tem 1738 setas.
33.5
Existe alguma figura que tenha 2429 setas? Justifica a resposta. Brochura de Apoio ao NPMEB – Equações
83
Unidade 6
Equações
Testar 1
2
3
84
Resolve e classifica as seguintes equações. 1.1
2( x – 6) = 2 x + 4
1.2
–(– x + 12) = 2( x – 6) – x
1.3
3 x – 17 = –(–2 x + 10)
1.4
–(– x – 6) –2 x = – x
Considera a equação 2 x – 12 = –( x + 6). 2.1
Indica o primeiro membro da equação.
2.2
Verifica, sem a resolveres, se 3 é solução da equação.
2.3
Inventa um problema que possa ser traduzido pela equação anterior.
2.4
Prova que a equação considerada é equivalente à equação 2 x – 12 = –4 x .
A Anabela pensou num número, somou-lhe 10, multiplicou a soma por 2 e obteve o quádruplo do número em que pensou. Em que número pensou o Anabela?
4
O Manuel, a pedido da sua mãe, foi ao supermercado comprar cebolas. Na figura seguinte está a representada a pesagem das cebolas que o Manuel pretende comprar.
Sabendo que cada quilograma de cebolas custa 1,3 €, determina quanto pagará o Manuel.
5
O André disse ao Afonso: “Tu tens o dobro dos meus cromos, contudo, para ficarmos com o mesmo número, basta que me dês 12 dos teus”. Quantos cromos tem o André?
6
Observa os dois polígonos seguintes, que têm a mesma área.
Polígono A
Polígono B
2 cm
( x + 6) cm 4 cm
Comenta a afirmação: “Os dois polígonos não têm o mesmo perímetro”.
7
Considera a equação 3 x + k = k x – 8, na incógnita x . Prova que, independentemente do valor de k , a equação nunca será possível indeterminada.
85
Unidade 7
Figuras semelhantes
Resumir Dois segmentos de reta dizem-se comensuráveis quando (e apenas quando) existe uma unidade de comprimento tal que a medida de ambos é expressa por números inteiros, ou, de forma equivalente, quando (e apenas quando) um deles pode ser medido através de um número racional, tomando o outro para unidade. Teorema de Tales Duas retas paralelas determinam em duas retas concorrentes segmentos de reta co rrespondentes proporcionais. Recíproco do Teorema de Tales Se duas retas determinam em duas retas concorrentes segmentos de reta correspondentes proporcionais, então essas duas retas são paralelas.
Duas figuras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.
se verifica uma ampliação
são geometricamente iguais
Duas figuras dizem-se semelhantes se:
se verifica uma redução
Em figuras semelhantes, os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e a razão entre os comprimentos de segmentos correspondentes é constante. A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de figuras semelhantes chama-se razão de semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.
Razão de semelhança (r 0)
r
1
Ampliação
r
1
Redução
=1
Isometria
r
Para construir figuras semelhantes podem utilizar-se diferentes métodos. Por exemplo: Método da quadrícula
Método da homotetia
A
A’
O
C’ C B’
D’
B
86
D
Pantógrafo
Polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes se e só se os ângulos correspondentes são congruentes e os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais.
Exemplo: B 1,4
C
2 o
135
o
Ângulos Lados correspondentes correspondentes
o
45
A
Notação
1,4
o
135
45
D
F
4 2,8
[ABCD ] ~ [EFGH ]
o
135
45
45
ˆ = G ˆ C
é semelhante a…
o
[AB] Æ [EF ] [BC ] Æ [FG ] [CD ] Æ [GH ] [DA] Æ [HE ]
ˆ = F ˆ B
↓
2,8
o
135 o
E
ˆ = E ˆ A
G
4
ˆ = H ˆ D
H
8
Triângulos semelhantes Para verificar se dois triângulos são semelhantes não é necessário comparar os três lados e os três ângulos dos dois triângulos. Basta utilizar um dos seguintes critérios. Critérios de semelhança
Critério lado-lado-lado (LLL)
Critério ângulo-ângulo (AA)
Critério lado-ângulo-lado (LAL)
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados proporcionais.
Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos geometricamente iguais.
Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados geometricamente iguais.
F C 3
A
6
F
F
C
4
C
2 3
4 2
B
D
– DF = – A C – F E = – CB – DE = – A B
6
E
6 =2 3 4 =2 2 6 =2 3
A
B
D
ˆE ACˆB = DF ˆD CBˆ A = FE Pelo critério AA, o triângulo [ ABC] é semelhante ao triângulo [ DEF ].
Pelo critério LLL, o triângulo [ ABC] é semelhante ao triângulo [ DEF ].
E
A
3
B
D
6
E
– F E = – CB – DE = – A B
4 =2 2 6 =2 3 ˆD CBˆ A = FE
Pelo critério LAL, o triângulo [ ABC] é semelhante ao triângulo [ DEF ].
Perímetros e áreas de figuras semelhantes • Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre os respetivos perímetros é igual à razão de semelhança. • Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre as respetivas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. 87
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 1
Observa a figura.
Quais das seguintes figuras são semelhantes à anterior? Justifica.
[A]
2
[B]
[C]
[D]
Na grelha de triângulos equiláteros estão representados vários triângulos. Tendo em conta unicamente a medida do comprimento dos lados, identifica, justificando, os pares de triângulos semelhantes e indica, em cada caso, a razão de semelhança.
1
6
5
4
2 3
Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
3
Observa a figura.
Apenas uma de entre as quatro afirmações seguintes é falsa. Qual?
88
A.
Os triângulos A e C são geometricamente iguais.
B.
O triângulo A é uma ampliação do triângulo B.
C.
O triângulo C é uma redução do triângulo A.
D.
Os triângulos B e C são geometricamente iguais.
4
No esquema seguinte, B é uma ampliação de A.
B
5
A
4.1
Como se chama o método utilizado para efetuar a ampliação?
4.2
Sem efetuar qualquer medição, indica se a razão de semelhança é superior ou inferior a 1. Justifica a tua resposta.
4.3
Com o auxílio de uma régua graduada, determina a razão de semelhança.
4.4
Desenha, no mesmo esquema, uma redução de A de razão 0,5.
Observa as seguintes figuras. Razão de semelhança: 1
Razão de semelhança: 0,5
Razão de semelhança: 3
Utilizando o quadriculado seguinte, constrói uma figura semelhante a cada uma das anteriores, utilizando a respetiva razão de semelhança.
89
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 6
Em cada uma das seguintes situações apresentam-se duas figuras semelhantes. Para cada uma delas, indica a razão de semelhança da figura 1 para a figura 2.
6.1
Figura 1
Figura 2 Razão de semelhança: _____
6.2
Razão de semelhança: _____ Figura 2 Figura 1
6.3 Figura 1 Razão de semelhança: _____ Figura 2
7
8
90
Indica, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.
A.
Duas figuras com a mesma forma dizem-se geometricamente iguais.
B.
Duas figuras geometricamente iguais são semelhantes.
C.
Duas figuras semelhantes são geometricamente iguais.
Assinala, de entre as afirmações seguintes, a única que é verdadeira.
A.
Todos os triângulos são semelhantes.
B.
Todos os quadriláteros são semelhantes.
C.
Dois quadriláteros não podem ser semelhantes.
D.
Todos os círculos são semelhantes.
E.
Todos os triângulos retângulos são semelhantes.
F.
Todos os hexágonos são semelhantes.
9
Observa os retângulos.
R1
R2
R5
R4
R6
R3
9.1
Apenas uma de entre as quatro afirmações seguintes é verdadeira. Qual?
[A] Todos os retângulos representados são semelhantes. [B] Os retângulos R1 e R6 são semelhantes. [C] Os retângulos R2 e R6 são semelhantes. [D] Entre os retângulos representados não há dois que sejam semelhantes. 9.2
10
No quadriculado seguinte, constrói um retângulo semelhante a R5, numa semelhança de razão
2 . 3
Prova que os pares de triângulos seguintes são semelhantes.
10.1 4
2 2
6
1
3
10.2 56o
34o
10.3 2 cm
74o 3 cm
4 cm 74o
6 cm
91
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 11
ˆF e que Acerca dos dois triângulos [ ABC] e [DEF ] representados, sabe-se que ABˆC = DE
– – E D E F = . – – B A BC
B B
C D
A
F
Prova que os triângulos [ ABC] e [DEF ] são semelhantes, respondendo às seguintes questões. 11.1 No triângulo [DEF ] marca dois pontos P e Q que pertencem, respetivamente, aos lados [ ED] e E P = – B A e – E Q = – BC. [EF ] e tais que – 11.2 Justifica que os triângulos [ ABC] e [DEF ] são geometricamente iguais.
11.3
– E D
– E F
11.4
Atendendo à alínea anterior, completa a proporção = com comprimentos de lados do … … triângulo [PEQ]. Justifica que [PQ] é paralelo a [ DF ]
11.5
Completa as igualdades seguintes, utilizando o Teorema de Tales:
– – – – – – – – E D DF E F DF E D DF E F DF = e = pelo que = e = – – – – E P E Q B A BC … … … … 11.6
De acordo com o critério LLL de semelhança de triângulos, o que podes conclui?
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
12
Na figura seguinte encontram-se representados dois triângulos semelhantes. B
5 cm F
4,4 cm 2,2 cm A
92
C
D 1 cm E
12.1 12.2
Completa a afirmação: “O triângulo [ DEF ] é uma _______________ do triângulo [ ABC]”. Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta [ AC].
12.3
Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta [ EF ].
13
Observa os triângulos [ ABC] e [DEF ], representados de seguida. D
A
7,5
5
4
B
3
6
C E
y
F
Qual é o valor de y que garante que os triângulos são semelhantes? Explica o teu raciocínio.
14
Observa os dois triângulos representados de seguida.
4 cm
2 cm
3 cm
1,5 cm 61o
1 cm
80o
2 cm
15
14.1
Prova que os triângulos são semelhantes.
14.2
Determina a amplitude do ângulo ϕ . Explica o teu raciocínio.
Observa a figura e determina o comprimento de [ AC]. DE // AC
A
4 c m D
6 c m
4 cm C
E
B
93
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 16
Considera um quadrado de lado a e um quadrado de lado b, sendo a e b números racionais.
a
b
16.1
Justifica que os dois quadrados são semelhantes.
16.2
Indica a razão da semelhança que transforma o primeiro quadrado no segundo.
16.3
Escreve uma expressão da área do segundo quadrado utilizando a medida do lado do primeiro, ou seja, a.
16.4
Calcula o quociente entre as áreas do segundo e do primeiro quadrado.
16.5
Completa a afirmação: “Dois quadrados são sempre semelhantes sendo a razão entre as áreas igual ao _________________________ da razão de semelhança.” Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
17
Observa os seguintes polígonos. A E
2,5 cm 1,5 cm B
D
H
G
4,6 cm
C
Sabendo que [ ABCD] é semelhante a [ EFGH ], determina:
94
F
17.1
a razão de semelhança da redução;
17.2
a razão de semelhança da ampliação;
17.3
o comprimento do segmento FG;
17.4
a amplitude do ângulo β .
18
Na figura estão representados dois pentágonos semelhantes, por uma semelhança que transforma um ponto C num ponto C’. C’
2,8 cm C B’ B D
P1
P2
D’
1,15 cm A
2,3 cm
E
A’
3 cm
E’
– Tendo em conta os dados da figura e que – CD = A B, responde às seguintes perguntas. 18.1
Indica a razão de semelhança que transforma P1 em P2.
18.2
Sabendo que o perímetro do polígono P1 é igual a 7,65 cm, determina o perímetro do polígono P2 – – e a medida de A’ B’ e de C’ D’ .
18.3
Sabendo que a área do polígono P2 é igual a 14,7 cm2 determina a área do polígono P1.
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico
19
Observa os seguintes pares de polígonos e indica, justificando, se são semelhantes.
A.
B.
C.
95
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 20
Observa o triângulo [ ABC], representado de seguida. B
A
C
O triângulo [ ABC] é uma redução de um triângulo [ DEF ]. Sabendo que o lado [DE ], representado de seguida, é o lado correspondente ao lado [ AB], completa a construção do triângulo [ DEF ].
D E Nota: A utilização de uma régua e de um transferidor é essencial à resolução desta questão.
21
Na figura seguinte estão representados o triângulo [ ABC] e os pontos D, E e F .
B D F A
C
E
96
21.1
Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto D, uma redução de razão
1 . 2
21.2
Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto E , uma redução de razão
1 . 2
21.3
Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto F , uma redução de razão
1 . 2
21.4
Completa a afirmação: “As respostas às três alíneas anteriores levam-me a admitir que _____________________________”.
22
Observa os dois círculos seguintes. C
? cm
H 4 cm
Círculo 2 Círculo 1
Sabendo que
23
Área do círculo 1 = 25, determina o raio do círculo 1. Área do círculo 2
O retângulo representado de seguida tem 24 cm2 de área.
6 cm
24
23.1
Determina a área do retângulo que se obtém numa ampliação de razão 7 do retângulo da figura.
23.2
1 Determina o perímetro do retângulo que se obtém numa redução, de razão do retângulo da fi2 gura.
O Paulo é jardineiro. O retângulo seguinte representa o canteiro onde o Paulo costuma plantar rosas. A
D
10 m
B
C
Sabendo que o canteiro está representado à escala, determina a sua área.
25
Um pentágono foi ampliado. A área do pentágono resultante é 18 m 2 superior à área do pentágono original. Sabendo que o pentágono original tem 6 m 2 de área, determina a razão de semelhança.
97
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 26
27
O professor de Matemática pediu aos seus alunos que construissem um triângulo no seu caderno. Na figura seguinte encontram-se representados os triângulos construídos pelo João e pelo Carlos. O Filipe, observando os dois triângulos, afirmou: “Mesmo não conhecendo as dimensões dos triângulos tenho a certeza que os triângulos são semelhantes”. Comenta a afirmação do Filipe.
A 60o
60o
60o
C B
João
Carlos
Observa, com atenção, os triângulos [ ABC] e [DEF ], representados de seguida. A
F
7,2 cm
4 cm
3,6 cm 117o 34o
B
28
C
E
27.1
Calcula a área do triângulo [ ABC].
27.2
Prova que os dois triângulos são semelhantes.
27.3
Determina a área do triângulo [ DEF ]. Explica detalhadamente como procedeste.
27.4
Indica a amplitude do ângulo β .
Considera o referencial ao lado. 28.1 Assinala no referencial os pontos A(-2, 4), B(2, 4) e C(-2, 1). 28.2 Unindo os pontos A, B e C, obtém-se um polígono. Classifica-o quanto ao comprimento dos seus lados e quanto à amplitude dos seus ângulos. 28.3 28.4
98
4 cm
34o 2 cm D
Constrói uma ampliação do polígono [ ABC], de razão 2, construída a partir do vértice A. A reta paralela ao eixo das abcissas, que passa no ponto de coordenadas (5, 2), interseta o polígono [ ABC] num segmento de reta. Determina o comprimento desse segmento de reta, explicando o teu raciocínio.
x
6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
1
2
3
4
5
x
29
Os dois triângulos representados de seguida são semelhantes. r 30o
90o
a
60o
s
c
t 60o
90o
30o
b
Qual das seguintes proporções se verifica para este par de triângulos? [A]
a c = s t
[B]
a b = s t
[C]
a c = s r
[D]
a s = s b
Adaptado de Virginia Standards of Learning Assessments; Spring 2004; Grade 8; Core1
30
Na figura seguinte estão representados os triângulos [ ABC] e [CDE ]. E
A
C B D
Sabendo que
31
– CB – C A 1 = = , prova que os triângulos são semelhantes. – CE – CD 2
Um cone, C, foi cortado em duas partes, X e Y , por um plano paralelo à sua base.
3 5
4
X
C 2
Y
Tendo em conta as dimensões apresentadas na figura, que se encontram expressas em centímetros, determina a altura do cone X .
99
Unidade 7
Figuras semelhantes
Praticar 32
Observa com atenção a figura, na qual se está representado o paralelogramo [ ABCD], uma das suas diaB C gonais, [ AC], e um segmento de reta, [ EF ]. Sabe-se que: • o paralelogramo [ ABCD] tem 34,4 cm de perímetro; • EF // AC; • o ponto E encontra-se a igual distância de A e de D; • o ponto F encontra-se a igual distância de D e de C.
33
F c m 7 ,6
A
E
5 cm
32.1
Prova que os triângulos [EFD] e [ ABC] são semelhantes.
32.2
Determina a razão entre as áreas dos triângulos [ EDF ] e [ ADC].
32.3
Determina o perímetro do triângulo [ ABC].
D
De modo a poder determinar a distância entre dois pontos, Y e Z , nas duas margens do rio foram efetuadas diversas medições. 1 6 0
W 2 5 V
Y
X 4 0
Z
Rio
ˆ X = ZY ˆ X = 90o. Sabe-se que os pontos W , X e Z , bem como os pontos V , X e Y , estão alinhados, e que WV 33.1
Mostra que os triângulos [VWX ] e [YZX ] são semelhantes.
33.2
VW = 25 m, – V X = 40 m e – X Y = 160 m, calcula – Y Z. Sabendo que –
Adaptado de University of Cambridge International Examinations; October/November 2007; syllabus D
34
Sabendo que, na figura ao lado, as retas AB e CD são paralelas, prova que os triângulos [ ABE ] e [CDE ] são semelhantes.
B
E
A
D C
100
35
Comenta a afirmação: “Um triângulo retângulo pode ser semelhante a um triângulo isósceles, mas nunca poderá ser semelhante a um triângulo equilátero”.
36
O Sr. José pretende transportar um pipo de vinho. Para carregar o pipo no seu camião, o Sr. José utilizou uma rampa, tal como mostra a figura ao lado. 2m
8m
Para que a rampa não cedesse com o peso do pipo, o Sr. José colocou quatro barras de suport e, igualmente espaçadas. Sabendo que a rampa assenta no chão a 8 m da b ase da barra maior, que tem 2 m de altura, determina a altura de cada uma das outras três barras.
37
38
Observa a figura ao lado.
A
F
37.1
Prova que o triângulo [ ABC] é isósceles.
37.2
Determina a área do triângulo [ ABC].
37.3
Prova que os triângulos [ ABC] e [DEF ] são semelhantes.
37.4
5 Sabendo que o triângulo [DEF ] se obtém do triângulo [ ABC] numa ampliação de razão , de4 termina a área do triângulo [ DEF ].
90o
B
45o C 4 cm
E
D
D
Na figura, AB//DC e ACˆB = CDˆ A. 38.1
Explica porque é que os triângulos [ ABC] e [CDA] são semelhantes.
38.2
B – – – Sabendo que A B = 4 cm, – BC = 7 cm, A C = 6 cm e – CD = 9 cm, calcula A D.
A
C
Adaptado de University of Cambridge International Examinations; October/November 2005; syllabus D
101
Unidade 7
Figuras semelhantes
Testar 1
Considera os segmentos de reta paralelos [ AB] e [CD]. Determina duas homotetias que transformem [ AB ] em [CD] e, para cada uma delas, indica a respetiva razão de semelhança.
B D
2,5 4,1
A
C
2
Completa os espaços em branco, de modo a obteres afirmações verdadeiras. 2.1 2.2 2.3
3
4
Duas figuras dizem-se semelhantes quando têm a mesma __________________. Se B é uma ampliação de A em que se triplicaram todos os comprimentos, então a razão de semelhança de A para B é __________________. Quando a razão de semelhança entre duas figuras é __________________, as figuras dizem-se geometricamente iguais.
Considera os quadriláteros [ ABCD ] e [ A’B’C’D ’] representados na figura em que se indicam as medidas dos comprimentos dos respetivos lados bem como as medidas de amplitude dos ângulos. Prova que os dois polígonos são semelhantes respondendo às seguintes questões. 3.1 Tendo em conta as condições expressas na figura, mostra que os triângulos [ ABC] e [ A’B’C’ ] são semelhantes.
B
B’
1,8 o
o
81
2
81 o
74 o
72
A
1,2
3,6
C
o
133
4
1,5 D
o
74
o
72
3
A’
2,4
D’
3.2
Justifica que as diagonais [ AC] e [ A’C’ ] estão na mesma proporção que os pares de lados correspondentes nos dois polígonos.
3.3
Utilizando um raciocínio análogo ao efetuado nas alíneas anteriores, justifica que as diagonais [ BD] e [B’D’ ] estão na mesma proporção que os pares de lados correspondentes nos dois polígonos.
3.4
Conclui das alíneas anteriores que os quadriláteros são semelhantes.
O André estava a construir uma ampliação do polígono [JLKI ], de razão 2, sendo o ponto O o centro da homotetia, mas não a conseguiu terminar. Termina a construção do André.
O
I L J
J’
102
o
133
C’
K
5
Considera um segmento de reta [ AB] com 4 cm de comprimento. 5.1
Efetuou-se uma redução do segmento de reta [ AB]. O segmento de reta obtido tem 0,8 cm de comprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução? [A] 0,2
5.2
[B] 0,3
[C] 0,4
[D] 0,5
Na figura abaixo, está desenhado o segmento d e reta [ AB], numa malha quadriculada em que a unidade de comprimento é um centímetro.
A
B
1 cm
Existem vários triângulos com 6 cm 2 de área. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângulos, em que um dos lados é o segmento de reta [ AB]. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 5.3
O triângulo que construíste na alínea anterior obteve-se de um triângulo [ XYZ ], ], numa ampliação de razão 3. Determina a área do triângulo [ XYZ ]. ].
Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo do Ensino Básico, 2007
6
Para determinar a distância entre dois pontos A e B, utilizou-se o seguinte esquema.
B
A
C D
Rio E
BD // AE
6.1
Prova que os triângulos [ ACE ] e [BCD] são semelhantes.
6.2
BC = 10 m, – CD = 4 m e – DE E = 6 m, determina a distância entre os pontos A e B. Sabendo que –
103
Provas globais
De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te prepararem para a prova que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade. As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cada exercício, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.
104
Grelhas de conteúdos Prova global 1 Unidade Números
1.1 1.2 2.1 2.2 2.3
Funções
X
Sequências e regularidade regularidadess
3.
4. 5.1a) 5.1 b) 5.2 6.1 6.2 6.3 6. 6.4a) 6.4b)
X X
X
X
X
Figuras geométricas
X
X
X
Tratamento de dados
X
Equações
X
X
X
X
4.2
4.3
X
Figuras semelhantes
X
Prova global 2 Unidade Números
1.1 1. 1.2 2a) 1.2b) 1.2c)
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
4.1
X
Funções Sequências e regularidade regularidadess
2.1
X X
X
X
X
X
X
Figuras geométricas
X
X
Tratamento de dados
X
Equações
X
Figuras semelhantes
X
Prova global 3 Unidade Números
1.1
1.2 1.3a) 1.3b) 1.3c) 2.1
2.2
Sequências e regularidade regularidadess
3.3
3.4
X
X
X
X
3.5 3. 3.6a) 3.6b)
X X
Figuras geométricas
X
X
Tratamento de dados Figuras semelhantes
3.2
X
Funções
Equações
3.1
X
X
X
X X 105
Prova global 1 1
2
Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, cinema português. Esta sala é composta por várias filas, todas com 23 lugares. Numa determinada sessão, para a primeira fila foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8. 1.1
Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta fila?
1.2
Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as filas, sendo que a última ficou completa. Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas filas tem o cinema. Explica o teu raciocínio.
Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição de um filme. A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, aproximadamente, pela expressão C = 21 + 2t , com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas. 2.1
Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?
2.2
Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como chegaste à tua resposta.
2.3
No final do filme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocorrido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.
Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 9.o ano, 2008 – 1.a chamada
3
A figura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se no lugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã. Numas filas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J), que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã, sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica o teu raciocínio.
Ecrã
I
A
106
J
4
Tal como a figura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a sala tem 225 m2 de área e um pé-direito (distância do pavimento ao teto) constante e igual a 15 m. Pretende-se forrar o teto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico da sala e que custa 125 €/m 2. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.
5
A direção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor logótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte. A
D
Sabe-se que: • [ABCD] é um paralelogramo; • [DCE ] é um triângulo retângulo escaleno; • ECˆD = 72o; – BC = 7 dm; – E D = 3 dm; A B = 3,16 dm; – CE = 1 dm. • –
Português
Cinema B
5.1
C
E
Determina: a) DCˆB; b) ADˆC.
5.2
6
Determina a área do logótipo.
Para a escolha do melhor logótipo realizou-se um concurso em que participaram adolescentes e adultos, distribuídos de acordo com a tabela seguinte. Adolescentes
Adultos
9
21
18
32
Feminino Masculino
6.1
Quantos adultos participaram no concurso?
6.2
Quantas pessoas do sexo masculino participaram no concurso?
6.3
Com base na informação da tabela completa o gráfico de barras seguinte. Participantes no concurso do melhor logótipo Número de participantes
60 50 40 30 20 10 0
Feminino
6.4
Masculino
Sexo
Indica a percentagem de participantes: a) do sexo feminino;
b) adultos.
107
Prova global 2 1
O Ezequiel comprou recentemente um terreno agrícola onde cultiva vários produtos: cebola, batata, diversas frutas, etc. O Ezequiel destinou uma grande parte do terreno à plantação de macieiras. Para as plantar, utiliza um padrão quadrangular e, para as proteger do vento, planta coníferas à volta do pomar. Esta situação está ilustrada no diagrama seguinte, no qual se pode ver a disposição das macieiras e das coníferas para um número qualquer ( n) de filas de macieiras. n=1
n=2
n=3
n=4
X X X X l X X X X
X X X X X l X X l X X l X X l X X X X X
X X X X X X X l l X X l X X l l X X l X X l l X X l X X X X X X X
X X X X X X X X X l l l X X l X X l l l X X l X X l l l X X l X X l l l X X l X X X X X X X X X
X = conífera l = macieira
1.1
Completa a tabela. n
Números de macieiras
Números de coníferas
1
1
8
2
4
3 4 5
1.2
Seja n o número de filas de macieiras. a) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de macieiras de uma qualquer figura desta sequência. b) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de coníferas de uma qualquer figura desta sequência. c) Haverá alguma figura com 98 macieiras? Porquê? Adaptado de Pisa 2000
2
108
Para combater o bicho da fruta, o Ezequiel utiliza um pesticida que não tem efeitos nocivos para o meio ambiente. Este pesticida é vendido em sacos de 10 kg. 2.1 Na semana passada o Ezequiel comprou 12 Número de sacos 0 12 7 sacos e pagou 180 €. Com base nesta inforPreço (€) 180 45 mação, completa a tabela ao lado: 2.2
Seja h a função que ao número de sacos comprados, n, associa o valor a pagar pelo Ezequiel. Escreve uma expressão algébrica de h.
2.3
Este mês, o Ezequiel gastou 150 € na compra de pesticida. Quantos quilogramas comprou? Explica o teu raciocínio.
3
Na figura apresenta-se um esquema do terreno comprado pelo Ezequiel. D
A
60 cm
E
Macieiras
Limoeiros G B
4
Pereiras 27o O Pessegueiros H
F
80 cm
40 cm Legumes
140 cm
C
3.1
Determina a amplitude dos ângulos α , β e ε . Explica o teu raciocínio.
3.2
Determina a área destinada às macieiras.
3.3
Prova que os triângulos [ GOE ] e [HCF ] são semelhantes.
O Ezequiel tem um minimercado onde coloca à venda cabazes de legumes variados. Cada um desses cabazes, independentemente do peso e da constituição, é vendido a 7 €. O número de cabazes de legumes vendidos em cada um dos 15 primeiros dias deste mês foi: 10; 12; 8; 8; 6; 7; 9; 15; 10; 14; 17; 18; 7; 14; 7 4.1
Indica, justificando, qual dos seguintes di agramas corresponde à informação dada. 0 1
6 7 7 8 8 9 0 0 2 4 4 5 7 7 8
0 1
6 7 7 7 8 8 9 0 0 2 4 4 5 7 8
4.2
Uma cliente comprou dois cabazes de legumes, três latas de ananás em calda e dois pacotes de arroz. Sabendo que a cliente pagou 18,7 € e que o pacote de arroz custa mais dez cêntimos do que a lata de ananás, determina o preço de cada pacote de arroz. Explica o teu raciocínio.
4.3
Os cabazes que não são vendidos são colocados numa enorme arca frigorífica com a forma de um cubo. O Ezequiel pretende forrar o chão dessa arca com um material antiderrapante que custa 15 €/m2. Sabendo que a arca tem 27 000 dm 3 de volume, determina quanto terá de gastar o Ezequiel. Explica o teu raciocínio.
109
Prova global 3 1
Uma grande empresa nacional decidiu construir uma fábrica de enchidos perto de Montalegre. A Câmara Municipal desta vila achou que a construção desta fábrica seria importante porque criaria centenas de novos postos de trabalho, ação importante no combate à desertificação do interior do País. Assim, decidiram oferecer à referida empresa um campo, nos arredores da vila, com 22 500 m 2 de área e com a forma de um quadrado, onde a fábrica pudesse ser edificada. 1.1
Antes de começar a construção, foi necessário vedar o terreno. A vedação foi feita com painéis metálicos retangulares com 2 m de altura e 3 m de comprimento. Determina o número mínimo de painéis que foram necessários. Explica o teu raciocínio.
1.2
Depois de construída a fábrica, foi preciso contratar pessoas. A fábrica contratou mais trinta mulheres do que homens, num total d e 68 pessoas. Determina quantos homens contratou a fábrica, explicando o teu raciocínio.
1.3
Das 68 pessoas contratadas, apenas 25 não moram em Montalegre. A fábrica fez um estudo acerca do tempo, em minutos, que cada uma dessas pessoas demora a fazer o percurso casa-fábrica. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte: Tempo (minutos)
5
10
15
20
25
Número de funcionários
5
7
8
3
2
a) Indica a moda. b) Determina a média do tempo, em minutos, que as pessoas demoram a fazer o percurso casa-fábrica. c) Elabora um gráfico de barras com a informação da tabela.
2
O Diogo foi contratado para gerir a fábrica de enchidos e, de imediato, lançou uma campanha publicitária que relacionava os produtos com Geometria. Assim, em todas as encomendas que enviava era colocado um rótulo igual ao da figura, acompanhado do seguinte texto: “Sabendo que [ BCE ] é um triângulo equilátero e que [ ABCD] é um quadrado, descubra a amplitude do ∠FBE , enquanto se delicia com o nosso maravilhoso fumeiro”. 2.1
110
Determina FBˆE , explicando o teu raciocínio.
A
D E F
Fumeiro Montalegrense B
C
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