Cad C2 Exercicios 3serie 1opcao 2bim Matematica

FRENTE 1

ÁLGEBRA

Módulo Módu lo 16 – Radi Radiciaç ciação ão em  1. (MODELO ENEM)  – Os afixos das raízes n-ésima n-ésimass (n ≥ 2) de um número complexo z ≠ 0 são pontos de uma circunferência com centro na origem do plano complexo, raio n igual a   z e que dividem essa circunferência em n partes congruentes. Então, a área do polígono cujos vértices são os afixos das raízes sextas de 1 é 3  3 a)   3 b) 2  3 c) 7  3 d) 4  3 e)  ––––– 2 Resolução

3. Dividir x3 + 2x por x4 + 3x2 – 2x + 1. Resolução x3 + 2x x4 + 3x2 – 2x + 1 , pois x 3 + 2x 0



x3 + 2x ≡ (x4 + 3x2 – 2x + 1) . 0 + (x3 + 2x) gr(R) = 3 < gr(B) = 4

Resposta: Q(x) ≡ 0 e R(x) = x 3 + 2x Obs.: Se gr(A) < gr(B), então R(x) ≡ A(x) e Q(x) ≡ 0 4. Dividir x4 + 3x2 – 7x + 2 por x – 2 pelo método da chave. Resolução x4 + 0x3 + 3x2 – 7x + 2  – x4 + 2x3 2x3 + 3x2 – 7x + 2  – 2x3 + 4x2

O polígono regular cujos vértices são as raízes sextas de 1 é um hexágono regular cujo lado mede 1. 12  3 3  3 Sua área é 6 .  ––––– =  ––––– 4 2 Resposta: E

Móduloss 17 e 18 – Polinô Módulo Polinômios:Gr mios:Grau, au, Raiz, Identidades,  Divisão, Briot-Ruffini e Teorema do Resto 2. (UNE (UNESP SP – MODE MODELO LO ENEM)  – Seja x um número real positivo. O volume de um paralelepípedo reto retângulo é dado, em função de x, pelo polinômio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por: a) x2 – 6x + 8 b) x2 + 14x + 8 c) x2 + 7x + 8 d) x2 – 7x + 8 e) x2 + 6x + 8 Resolução Se o volume do paralelepípedo reto retângulo é dado por x3 + 7x 2 + 14x + 8, com x > 0, então, a área da face perpenperpendicular à aresta de medida x + 1 é dada por x3 + 7x2 + 14x + 8  –––––––––––––––– = x2 + 6x + 8, pois x+1 1 1

7 6

14 8

Resposta: E

8  – 1 0

x2 – 2 x3 + 2x2 + 7x + 7

7x2 – 7x + 2  – 7x2 + 14x 7x + 2  – 7x + 14 16

Resposta: Q(x) = x 3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16 5. Repeti Repetirr a questã questãoo anterior anterior,, utilizand utilizandoo o Dispos Dispositiv itivoo Prático Prático de Briot-Ruffini. Resolução Para α = 2, que é a raiz de x – 2 = 0, tem-se: 1 0 3 –7 2 2 1 2 7 7 16 coeficientes de Q

resto

O resto é 16 e os coeficientes de Q são 1, 2, 7, 7.

Resposta: Q(x) = x 3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16 6. Dividir 2x3 + 7x2 – 4 por x + 2. Resolução Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com α = – 2, que é a raiz de x + 2 = 0, tem-se: 2 7 0 –4 –2 2 3 –6 8 coefi co efici cien ente tess de Q res resto to

Resposta: Q(x) = 2x 2 + 3x – 6 e R(x) = 8  – 1

Módulo 19 – Equações Algébrica Algébricas: s: Relações de Girard 7. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 – 3x3 + 2x2 + ax – 3 = 0. Resolução Se 2 é raiz da equação, então: 24 – 3 . 23 + 2 . 22 + a . 2 – 3 = 0 e daí 16 – 24 + 8 + 2a – 3 = 0 ⇔ 2a – 3 = 0 ⇔ a = 3/2 Resposta: a = 3/2 8. Res esol olve verr a equ equaç ação ão x3 – 3x2 – x + 3 = 0 , sabendo-se que a soma de duas raízes é zero. Resolução Sendo V = {r1, r2, r3} o conjunto verdade da equação, temos: Relações de Girard



r 1 + r2 + r3 = 3 r1 . r2 + r1 . r3 + r2 r3 = – 1 r1 . r2 . r3 = – 3

Relação Rel ação aux auxili iliar: ar: r1 + r2 = 0

(I) (II) (III)



Resposta: O conjunto verdade da equação é {–1; 1; 3}.

Módulo 20 – Equa Equaçõe çõess Algébri Algébricas cas:: Pesquisa de Raízes 9. Res esol olve verr a equ equaç ação ão x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0 , sabendo-se que 1 – i é raiz. Resolução Se a equação tem coeficientes reais e admite 1 – i como raiz, então admite também o conjugado 1 + i como raiz. Assim sendo, o conjunto verdade é {r; 1 – i; 1 + i}. Para calcular r, usar a 1a. Relação de Girard. Assim: r + (1 – i) + (1 + i) = 3 ⇔ r = 1 Resposta: V = {1; 1 – i; 1 + i} 10. Res Resolv olver er a equa equação ção 6x4 + 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0 Resolução Dividir ambos os membros por x2 e agrupar os termos: 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0 1 1 ⇔ 6x2 – 35x + 62 – 35 .  –– + 6 .  ––– = 0 ⇔ x x2



1 x

1 – 35 x +  –– x

  

 + 62 = 0

1 1 = t2 – 2 e, portanto, Se x +  –– = t, então x2 +  ––– x x2 6(t2 – 2) – 35t + 62 = 0 ⇔ 6t2 – 35t + 50 = 0 ⇔ 2–

10 1 10 2 Se t =  ––– , x +  –– =  ––– 3 ⇔ 3x  – 10x + 3 = 0 ⇔ x 3 1 ⇔ x = 3 ou x =  –– 3 1 5 5 Se t =  –– , x +  –– =  –– ⇔ 2x2 – 5x + 2 = 0 ⇔ x 2 2 1 2

⇔ x = 2 ou x =  ––

1 1 Resposta: V =  –– ;  –– ; 2; 3 3 2





Módulo Mód ulo 21 – Fato Fatoria riall e Número Binomial

(IV)

Substituindo (IV) em (I), temos: Substituindo 0 + r3 = 3 ⇒ r3 = 3 Sendo r3 = 3 e r1 + r2 = 0, de (III) e (IV), resulta: r1 . r2 = – 1 ⇔ r1 = – 1 e r2 = +1 r1 + r2 = 0

⇔ 6 x2 +  ––– 2

5 2

10 3

⇔ t =  ––– ou t =  ––

11. (MODELO ENEM)  – De uma reunião participa participam m n pessoas (n ≥ 2). Se todas elas se cumprimentam com um aperto de mãos, então o total de apertos de mãos é dado por n n! 2 =  ––––––––– 2! (n (n – 2) 2)!! Se em uma festa todos os presentes se comprimentarem com um aperto de mãos e foram registrados 190 cumprimentos cumprimentos desse tipo, quantas pessoas estavam presentes no local? a ) 15 b) 18 c ) 20 d) 2 4 e ) 26 Resolução n! n = 190 ⇒  ––––––––––– = 190 ⇒ 2 2! . (n (n – 2) 2)!!

  

  

n2 – n 2

n(nn – 1) n( 1)(n (n – 2) 2)!!

⇒  ––––––––––––––– = 190 ⇒  –––––––– = 190 ⇒

2! . (n – 2)!

⇒ n2 – n – 380 = 0 ⇒ n = 20, pois n ∈ .

Resposta: C 12. (MODELO ENEM)  – Sabend Sabendo-se o-se que a soma dos ele ele-mentos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula p p+1 p+2 n n+1 + + + … + = p p p p p+1 ,

  

 



com n e p número naturais (n ≥ p) e

  

n p é o número binomial

 

de n sobre p, podemos concluir que a soma 2 3 4 18 S= + + +…+ resulta igual a 2 2 2 2

        

a) 87 8 70 b) 96 969 Resolução 2 3 + 2 2 +

c) 11 1 14 0



 

d) 13 1330

e) 15 1 56 0

     42  + … +  182  =  182 ++11  =

=

19 3

19! 19! =  –––––– =   =  –––––––––– 3!(19 3!( 19 – 3)! 3!16!

19 . 18 . 17 . 16! 19 . 18 . 17! =  –––––––––––––– =  ––––––––––– = 969 3 . 2 . 1 . 16! 3.2.1

Módulo 22 – Teorem eoremaa do Binômio de Newton 14. (MODELO ENEM) – O termo geral do desenvolvimento n do binômio binômio (x + y) n, Tk + 1 = xk . yn – k, pode ser utilizado k

  

Resposta: B 13. (MODELO ENEM)  – Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme ilustração abaixo

para resolver certos problemas de probabilidade. Por exemplo, se um casal tem n filhos (n ≥ 2), a probabilidade de serem k homens e, consequ consequente entement mente, e, n – k mulheres mulheres é dada dada por n k n–k p= x .y , em que x e y são, respectivamente, as k probabilidades de, em cada nascimento, o filho ser homem ou mulher.

 

Então, a probabilidade de um casal ter 6 filhos, sendo 2 homens e 4 mulheres é igual a 2 1 7 15 7 a)  ––– b)  ––– c)  ––– d)  ––– e)  ––– 3 6 32 64 64 Resolução n 1 p = k xkyn – k e n = 6, k = 2, x = y = ––– 2

  

Assim, o número total de laranjas que compõem quinze camacamadas é: a ) 680 b) 13 1 360 c) 2040 d) 27 2 720 e ) 34 00 Resolução De acordo com a disposição apresentada, as camadas, (de cima para baixo) podem ser representadas da seguine maneira: 2 1a. camada: 2 2

   3 2. camada: 2  2  4 2 2

  

 15a. camada: 2

 162 

  22  +  32  +  42  + … +  162   =

=2.



16 +1 2+1



=2.

17 3

17! ⇔    = 2 .  –––––––––– 3!.(17 3!. (17 – 3)! 17 . 16 . 15 . 14! 3 . 2 . 1 . 14!

17! ⇔ 2 .  –––––– = 2 .  –––––––––––––––– = 3!.14!

1  –– 2

4

6! 1 1 15 1 =  –––––– .  ––– .  –––– = 15 .  –––– =  –––– 2!.4! 64 4 16 64

Resposta: D

  5 5 c)  ––– .   –––  4 6 3 5 e)  ––– .   –––  8 6

  1 2  ––– d)  ––– 5 . 6 

8

Assim, o número total de laranjas que compõem 15 camadas é igual à soma: 2.

2

      .    =

Logo, resulta p =

1  –– 2

15. (MODELO ENEM)  – Jogando dez vezes um dado honesto, com faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de se obter somente duas vezes a face 6 voltada para cima é 2 1 8 3 1 10 a)  ––– .  ––– b)  ––– .  ––– 3 6 5 6

a

3a. camada:

6 2

17 . 16 . 15 = 2 .  ––––––––––– = 1360 3.2.1 Resposta: B

9

8

Resolução A probabilidade de ocorrer a face 6 em cada lançamento é 1 5 1 x =  ––– e a de não ocorrer é y = 1 –  ––– =  ––– . 6 6 6 Temos, então 1 n 5 p = k xkyn – k, x =  ––– , y =  ––– , n = 10 e k = 2 6 6 Logo, resulta 1 2 5 8 10 58  –––  –––  –––– p= 2 . = 45 . 10 = 6 6 6 58 5 8 45 5 8 5  ––––––  –––– = 45 . =  ––– .  ––– =  ––– 6 4 . 6 36 62 . 68

 

 

 



 

 

Resposta: C  – 3

Módulo 23 – Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos e Permutações 16. (MODELO ENEM)  – Uma clínica dispõe de 4 enfermeiras, 2 clínicos gerais 3 cirurgiões para os plantões. Cada plantão deve ter uma equipe composta de uma enfermeira, um clínico geral um cirurgião. O número de equipes diferentes que podem ser formadas é: a) 11 b) 16 c) 24 d) 32 e) 40 Resolução O número de equipes diferentes que podem ser formadas, nas condições do enunciado é 4 . 2 . 3 = 24, pelo Princípio Fundamental da Contagem. Resposta: C 17. (MODELO ENEM)  – Na figura, temos um quadrado maior de lado 4 cm, subdividido em vários quadrados de lados 1 cm, 2 cm e 3 cm. Quantos quadrados diferentes podem ser contados na figura? a) 16 b) 20 c) 26 d) 28 e) 30

Resolução Quadrado de lado 4 cm = 1 Quadrados de lados 3 cm = 22 = 4 Quadrados de lados 2 cm = 32 = 9 Quadrados de lados 1 cm = 42 = 16 São, portanto, 1 + 4 + 9 + 16 = 30 quadrados diferentes no total. Resposta: E

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12. b) 31. c) 36. d) 63. e) 720. Resolução A partir do enunciado, conclui-se que o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é: C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 = 26 – 1 = 63 Resposta: D

Obs.: Note que nos 63 caracteres possíveis de serem obtidos está incluído aquele em que os seis pontos estão “em destaque”. Neste caso não existe pelo menos 1 que se destaque dos demais; todos, porém, destacam-se em relação ao plano do papel. 20. (MODELO ENEM)  – Quantos são os números de três algarismos do Sistema Decimal de Numeração que possuem pelo menos dois algarismos iguais? a) 126 b) 144 c) 252 d) 378 e) 504 Resolução O total de números de três algarismos do Sistema Decimal de Numeração é igual a 9 . 10 . 10 = 900, dos quais 9 . 9. 8 = 648 têm os algarismos distintos. Portanto, os que possuem pelo menos dois algarismos iguais são em número de 900 – 648 = 252 Resposta: C 21. (MODELO ENEM)  – As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas dessa mesma cidade na direção leste-oeste. Paulo mora em uma das esquinas da cidade e sua namorada Tânia em outra esquina situada, em relação à de Paulo, três quadras ao sul e cinco quadras a leste. Quantos caminhos diferentes Paulo pode fazer para ir de sua casa atá a casa de Tânia caminhando apenas para sul e para leste? a) 28 b) 35 c) 56 d) 84 e) 120 Resolução

Módulo 24 – Combinações 18. (MODELO ENEM) – Num veículo com 9 lugares, sendo um deles o do motorista, deverão viajar 9 pessoas das quais apenas 4 podem dirigir. Nessas condições, de quantas maneiras essas pessoas poderão ser dispostas no referido veículo? a) 20 160 b) 40 320 c) 80 640 d) 161 280 e) 362 880 Resolução Para cada um dos 4 que podem ocupar a posição do motorista, permutamos entre si as demais 8 pessoas. Resulta, portanto, 4 . P8 = 4 . 8! = 161 280 Resposta: D 19. (ENEM)  – A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por • .

• • •

4–

• •

Na figura considere o ponto P como sendo onde mora Paulo e T onde mora Tânia. Se S representa sul e L leste, dois possíveis caminhos para Paulo ir de sua casa até onde mora Tânia, de

acordo com o que se pede é SSSLLLLL e SSLLLSLL. O número de caminhos possíveis é igual à quantidade de 8! (3;5) anagramas da palavra SSSLLLLL que é P = –––––– = 56 8 3!5!

Resposta: C

Módulo 25 – Probabilidade: Definição e União de Eventos 22. (ENEM) – Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:

Resolução A partir da distribuição apresentada no gráfico, temos: 8 mulheres sem filhos. 7 mulheres com 1 filho. 6 mulheres com 2 filhos. 2 mulheres com 3 filhos. Como as 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido 7 um(a) filho(a) único(a) é igual a P =  –––– . 25

Resposta: E

Módulo 26 – Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos 24. (MODELO ENEM)

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40% Resolução A área de alcance de pelo menos uma das emissoras é π 102  –––––– = 157km2. 2 A probabilidade de um morador en contrar-se na área de alcan157 ce de pelo menos uma das emissoras é  –––– = 25%. 628 Resposta: B 23. (ENEM)  – As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15 d) 7/23 e) 7/25

Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 7 azuis e 3 verdes. Retirando-se duas bolas ao acaso e sem reposição da primeira antes de retirar a segunda, qual a probabilidade de as duas bolas serem verdes? 1 2 1 1 1 a)  ––– b)  ––– c)  ––– d)  ––– e)  ––– 3 4 15 5 15

Resolução Representando por PA o evento “primeira bola azul”, SA o evento “segunda bola azul”, PV o evento “primeira bola verde” etc., temos: 3 2 1 P(PV  SV) = P(PV) . P(SV/PV) =  ––– .  –– =  ––– 10 9 15 Resposta: A

25. (MODELO ENEM)  – Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de encon trá-lo com uma dessas cores é diretamente propor cional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar? 1 a)  ––– 25

1 b)  ––– 16

1 c)  –– 9

1 d)  ––– 3

1 e)  –– 3

 – 5

Resolução Se a cada 1 minuto e 40 segundos (100 segundos) a luz verde fica acesa 25 segundos, a probabilidade de o motorista encontrar 25 1 a luz verde, ao passar pelo semáforo, é  ––––– =  ––– 4 100 A probabilidade de encontrar a luz verde acesa nas duas vezes em que passar é 1 1 1  ––– .  ––– =  –––– 4 4 16

Resposta: B

Módulo 27 – Lei Binomial de Probabilidade 26. (MODELO ENEM)  – A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só 2 vezes? a) 14,25% b) 15% c) 15,36% d) 16% e) 16,35% Resolução  – Sendo A o evento “acertar o alvo” e A o evento complementar, temos: a) P(A) = p = 0,2

Módulo 16 – Radiciação em  De 1 a 7 calcular as raízes: 1.

Quadradas de – 4.

2.

Cúbicas de 8 i.

3.

Quartas de – 16.

4.

Quartas de 16 (cos 120° + i . sen 120°)

5.

Sextas de – 64.

6.

Sextas de 64.

7.

Cúbicas de 8.

Módulo 17 – Polinômios: Grau, Raiz, Identidades e Divisão 1. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do polinômio x4  – 10x 3 + 24x2 + 10x – 24 por x2 – 6x + 5, são: a) – 1 e 5 b) – 1 e – 5 c) 1 e – 5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 2. (UESPI) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x 4 + 69 por x2 + 4x + 8 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6–

 – b) P(A ) = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8 c) A probabilidade pedida é C 4,2 . (0,2)2 . (0,8)4 – 2 = 0,1536 Resposta: C 27. (MODELO ENEM)  – Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade for inferior a 50%, irá procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para assegurar que terá os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. c) 7,5%, assim ele precisará fazer um tratamento. d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. Resolução Admitindo-se que para esse casal a probabilidade do filho ser do sexo masculino (ou feminino) é 50%, a probabilidade deles terem exatamente dois filhos homens e, claro, uma mulher é 3

1 3 P = C3,2 . 50% . 50% . 50% = 3 .  –– =  ––– = 0,375 = 37,5% 8 2 Resposta: E

 

3. (PUC-RS)  – Se chamamos de Q(x) o quociente da divisão de P(x) = x3  – 12x 2 + 41x – 30 por D(x) = x2 – 7x + 6, então Q(3) é igual a: a)

–8

b) – 2

c) 2

d) 3

e) 8

4. (UESPI) – Se o polinômio P(x) = x 3 + mx2 – 1 é divisível por x2 + x – 1, então m é igual a: a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 1 e) 2 5. (UEL) – Sabe-se que na divisão do polinômio f = x3 – 2x2 + kx + t por g = x2 – x + 1, obtém-se resto 3x – 2. Nessas condições, os números reais k e t são tais que k – t é igual a: a) 8 6. a)

b) 4

c) 2

d) – 2

e) – 8

O quociente da divisão do polinômio f = x3 – 1 por g = x2 + 1 é: x+1 b) x – 1 c) x d) – x + 1 e) – x – 1

7. (FGV) – Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x – 1 obtém-se quociente igual a x – 5 e resto igual a 13x + 5. O valor de P(1) é: a) 12 8.

b) 13

c) 15

d) 16

e) 14

(UFRN)  – Se A, B e C são números reais e

P(x) = x5 – 7x2 + 2x + 4 dividido por Q(x) = x3 – 8 deixa resto R(x) = Ax2 + Bx +C, pode-se afirmar que 4 A + 2 B + C é igual a: a)

8

b) 16

c) 12

d) 20

9. (UEL) – Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se: a) x3 – 2x2 + x – 12 com resto nulo b) x3 – 2x2 + 3 com resto 16 c) x3 + x2 – 13x + 35 e resto 84 d) x3 + x2 – 3x + 1 com resto 2 e) x3 – x2 + x – 7 e resto nulo 10. O resto da divisão do polinômio x4 + x3 + x 2 + x + 1 por x + 1 é: a) 0 b) 5 c) – 1 d) 1 e) 2 11. O resto da divisão do polinômio p(x) = 2x4 – 3x + 1 por g(x) = 2x – 1 é: 4 4 3 3 2 a)  –– b) –  –– c)  –– d) –  –– e)  –– 5 5 8 8 5 12. (UEL) – Se o resto da divisão do polinômio p = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10, o valor de k é: a) – 5 b) – 4 c) 5 d) 6 e) 8

Módulo 18 – Polinômios: Briot-Ruffini e Teorema do Resto 1. (PUCCAMP) – Dividindo-se um polinômio f por g = x 2  – 1 , obtêm-se quociente q = 2x + 1 e resto r = kx – 9 , sendo k ∈ . Se f é divisível por x – 2, então k é igual a a) 6 b) 3 c) – 1 d) – 3 e) – 6 2. O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é: a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2

e) – 2

3. A divisão x999  – 1 por x – 1 tem resto R(x) e quociente Q(x). Pode-se afirmar que: a) R(x) = – 2 e Q(x) tem grau 998 b) R(x) = 0 e Q(x) se anula para x = 0 c) R(x) = – 2 e Q(x) se anula para x = – 1 d) R(x) = 0 e Q(x) vale 1 para x = 0 e) R(x) = – 2 e Q(x) vale – 1 para x = 0

7. O resto da divisão de um polinômio P(x) por 2x – 1 é 4; deste modo, o resto da divisão de (x2 – x) . P(x) por 2x – 1 é: 1 1 a) – 2 b) –  –– c)  –– d) – 1 e) 4 2 2 8. (FUVEST)  – Seja p(x) um polinômio divisível por x – 3 . Dividindo p(x) por x – 1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10. O resto da divisão de q(x) por x – 3 é: a) – 5 b) – 3 c) 0 d) 3 e) 5 9. (FUVEST)  – Considere P(x) um polinômio de grau ≥ 2 tal que P(1) = 2 e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x – 2) (x – 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x). a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). b) Sabendo-se que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x). 10. Um polinômio P(x) dividido por x – 2 dá resto 3 e dividido por x2  – 2 dá resto 3x – 1. O resto da divisão de P(x) por (x – 2) (x2 – 2) é: a) – x2 + 3x + 1 b) 9x – 3 c) x2 – 3x – 1 d) 4x2 + 2x – 3 e) x2 + 3x + 1 11. (UnB)  – O resto da divisão do polinômio 3 –10 . (x + 3)12 pelo polinômio x3 é: a) 66x2 + 36x + 9 b) zero c) 48x2 + 12x + 9 d) 66x2 – 9 e) x2 + x + 9 12. Um polinômio P(x) é divisível por x + 1 e, dividido por x2 + 1, dá quociente x2 – 4 e resto R(x). Se R(2) = 9 , escreva P(x). 13. (UnB)  – P1(x) e P2(x) são polinômios do 2o. grau que se anulam quando x = 0. O resto da divisão de P1(x) por (x – 1) (x + 2) é 3x + 1. O resto da divisão de P2(x) por (x + 1) (x + 2) é 2x – 1. Então, o quociente da divisão de P1(x) por P2(x) é: a) 1 b) 0 c) x + 1 d) 2 e) x – 1 14. (MACKENZIE) – Um polinômio p(x), de grau maior que 1, deixa resto 1, quando dividido por x – 2, e deixa resto 2, quando dividido por x – 3. O resto da divisão de p(x) por x2 – 5x + 6 é a) x. b) 2x + 1. c) 2x. d) x – 1. e) 2.

5. Para que o polinômio x3  – 6x2 + mx + n seja divisível por (x – 1) (x – 2) o produto mn deve ser igual a: a) 2 b) – 66 c) – 2 d) 66 e) 0

15. (UNESP)  – Considere a matriz x 1 x x 0 x 1 – ––– A= . 2 2 0 x O determinante de A é um polinômio p(x). a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x). b) Determine todas as raízes de p(x).

6. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4  – 12x 3 + 47x2 + mx + n seja divisível por x2 – 7x + 6. Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) – 36 d) 36 e) 58

16. (UNIFESP)  – Dividindo-se os polinômios p 1(x) e p2(x) por x – 2 obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática y = ax2 + bx + c, conforme gráfico,

4. O polinômio P(x) = x 5 + ax 4  – bx é divisível por x – 2. Dividido por x + 2, dá resto 8. Então, o valor de b é: 1 a)  –– 4

b) – 18

c) 18

1 d) –  –– 4

e) 12





 – 7

9. (UFCE)  – Sabendo-se que as raízes do polinômio P(x) = x3  – 18x 2 + 8x + 384 estão em progressão aritmética, determinar a maior delas. 10. (VUNESP) – Se as raízes do polinômio p(x) = x3 – 6x2 + kx – 6 são reais e estão em progressão aritmética, o valor de k é: a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 11 o resto da divisão do polinômio produto p 1(x).p2(x) por x – 2 é: a) 3 b) 5 c) 8 d) 15 e) 21 17. (UNESP) – Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x 2 + 2bx + c. Se p’(1) = 0, p’(–1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x – 1 é 2, então o polinômio p(x) é: a) x3 – x2 + x + 1. b) x3 – x2 – x + 3. c) x3 – x2 – x – 3. d) x3 – x2 – 2x + 4. e) x3 – x2 – x + 2.

Módulo 19 – Equações Algébricas: Relações de Girard 1. Determinar o polinômio do 3o. grau que se anula para x = 1 e que, dividido por x + 1, x – 2 e x + 2, dá restos iguais a 6. 2. Se P(x) = x 3 + ax + b , em que a, b são números reais e  – 1, 2, c são raízes do polinômio P(x), então c é igual a: a) 0 b) – 1 c) 3 d) 1 e) – 3 3. A equação polinomial 4x5 + 3x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3 = 0 tem como raízes a, b, c, d e e. 1 1 1 1 1 O valor de  –– +  –– +  –– +  –– +  –– é: a b c d e 4 4 3 3 1 a) –  –– b)  –– c)  –– d) –  –– e)  –– 3 3 4 4 4 4. (FUVEST)  – O polinômio p(x) = x3 – x2 + x + a é divisível por x – 1. Ache todas as raízes complexas de p(x). 5. Resolver a equação x3  – 7x + 6 = 0 , sabendo-se que 1 é uma de suas raízes. 6. (FATEC) – Se – 1 é raiz do polinômio p(x) = x3 – 4x2 + x – k , k ∈ , então as outras duas raízes são: a) reais e de multiplicidade 2 b) racionais e negativas c) não reais d) irracionais e) inteiras 7. (UEL) – Uma das raízes do polinômio x3 + 2x2 – 7x – 2 é 2. O produto das outras raízes é: a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2 8. (MACKENZIE) – Se a soma de duas raízes de P(x) = x3 – 6x2 + 11x + k é 3, então o número real k é igual a: a) – 6 b) – 3 c) – 2 d) 3 e) 6 8–

11. (FUVEST) – Sabe-se que P(x) é um polinômio cujas raízes formam uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 221. O grau do polinômio é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. (ITA)  – As raízes da equação de coeficientes reais x3 + ax2 + bx + c = 0 são inteiras, positivas e consecutivas. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a2 + b2 + c2 é igual a: a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 194 13. Um polinômio P1(x) anula-se em 3 pontos distintos. Um polinômio P2(x) anula-se em 4 pontos distintos. Então, o produto dos polinômios P1(x) e P2(x): a) pode não se anular em nenhum ponto. b) anula-se em exatamente 7 pontos distintos. c) pode anular-se em mais de 7 pontos distintos. d) pode anular-se em apenas 5 pontos distintos. e) anula-se em exatamente 12 pontos distintos. 14. (FGV) – O polinômio p(x) = x3 – 5x2 – 52x + 224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é 1, então, o produto da primeira e a segunda é a) – 224. b) – 167. c) – 56. d) 28. e) 5. 15. (UNIFESP) – Considere a equação x3 – Ax2 + Bx – C = 0, onde A, B e C são constantes reais. Admita essas constantes escolhidas de modo que as três raízes da equação são as três dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo. Dado que o volume desse paralelepípedo é 9 cm3, que a soma das áreas de todas as faces é 27 cm2 e que a soma dos comprimentos de todas as arestas é 26 cm, pede-se: a) os valores de A, B e C. b) a medida de uma diagonal (interna) do paralelepípedo. 16. (UNESP)  – Seja z = 1 + i um número complexo. a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica. b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente dominante igual a 1. 17. (FUVEST) – O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a – 1. Determinar a) o valor de m. b) as raízes de p.

18. (UFOP)  – Sabendo que –1 é raiz da equação polinomial 6x3 + 5x2 + kx – 1 = 0 e denominando de a e b as outras raízes dessa equação, pode-se afirmar que a2 + b2 vale: 13 a)  ––– 36

1 b)  ––– 6

c) 1

d) –1

Módulo 20 – Equações Algébricas: Pesquisa de Raízes 1. Na equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0 , o número 1 é raiz: a) simples b) dupla c) tripla d) quádrupla e) quíntupla 2. Se a equação x3 – 2x2 + x + m – 1 = 0 tem uma raiz dupla, então m pode ser: a) zero b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. (FUVEST) – Suponha que o polinômio do 3o. grau P(x) = x3 + x2 + mx + n , em que m e n são números reais, seja divisível por x – 1. a) Determine n em função de m. b) Determine m para que P(x) admita raiz dupla diferente de 1. c) Que condições m deve satisfazer para que P(x) admita três raízes reais e distintas? 4. a) c) e)

O polinômio x7 – 2x6 + x5 – x4 + 2x3 – x2 = 0 tem: 2 raízes duplas b) 1 raiz tripla 4 raízes não reais d) 6 raízes não reais 3 raízes duplas

5. Determine as raízes da equação x3 – 16x2 + 85x – 150 = 0 , sabendo-se que uma das raízes tem multiplicidade 2. 6. (UEL)  – Sabe-se que  – 2 é raiz de multiplicidade 2 da equação 2x4 + x 3  – 17x 2  – 16x + 12 = 0 . A soma das demais raízes dessa equação é: 7 7 a) 7 b)  –– c) 3 d) –  –– e) – 7 2 2 7. (UNICAMP)  – Para resolver equações do tipo x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2 e, 1 após fazer a mudança de variáveis u = x +  –– x , resolve-se a

9. (PUCCAMP)  – Sabe-se que a equação 2x3 + x2  – 6x – 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são: a) inteiras e positivas. b) inteiras e de sinais contrários. c) não reais. d) irracionais e positivas. e) irracionais e de sinais contrários. 10. (VUNESP) – Os coeficientes do polinômio f(x) = x3 + ax2 + bx + 3 são números inteiros. Supondo que f(x) tenha duas raízes racionais positivas distintas: a) encontre todas as raízes desse polinômio. b) determine os valores de a e b. 11. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 – 3x2 – 4 = 0. Então: a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2. b) as soluções dessa equação formam uma progressão. c) a equação tem duas soluções reais irracionais. d) a equação tem 2 soluções reais racionais. e) a equação não tem soluções reais. 12. Se x4  – 3x3 + 2x2 + 2x – 4 = 0 admite a raiz complexa 1 – i, então a soma das duas raízes reais dessa equação é: a) – 3 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 3 13. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser: a) x3 – 2x2 – x + 2 b) x2 + (2 – i)x – 2 c) x2 – (2 + i)x + 2i d) x3 – 2x2 + x – 2 e) x3 + x2 – x – 2 14. O polinômio p(x) = x 3 – 2x2 – x + 2 tem: a) duas raízes reais no intervalo [– 1; 0] 1 b) pelo menos uma raiz real no intervalo ]0;  –– [ 2 c) pelo menos uma raiz real no intervalo ]2; 3[ d) duas raízes reais no intervalo [1; 3] e) uma raiz real no intervalo [3; 4] 15. (FUVEST)  – A figura mostra parte do gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3.

equação obtida [na variável u]. Observe que, se x ∈  e x > 0, então u ≥ 2 . a) Ache as 4 raízes da equação x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0. b) Encontre os valores de b ∈  para os quais a equação x4  – 3x 3 + bx 2  – 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz real positiva.

O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m tem três raízes reais distintas é: a) – 4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 d) – 1 < m < 1 e) m > – 4

8. As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são: 1 1 1 a) 7, 6,  –– b) 6, 5, –– c) 5, 7,  –– 7 6 5 1 1 d) 1, 3,  –– e) 2, 4,  –– 3 2

16. (GV) – Considere a seguinte equação polinomial: x4 + 2x3 + x2 – x – 6 = 0 a) Mostre que esta equação tem uma raiz racional e encontre esta raiz. b) Mostre que esta equação tem uma raiz irracional.  – 9

17. (UNICAMP)  – Dada a equação polinomial com coeficientes reais x3 – 5x2 + 9x – a = 0: a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. 18. (UFPR) – Considere as seguintes afirmativas a respeito do polinômio p(x) = x2 + bx + c: I. Quando c = 0, o valor x = 0 é raiz do polinômio. II. Se x = α e x = –α são raízes do polinômio e α ≠ 0, então b = 0. III. Se o número complexo x = 1–i é raiz do polinômio, então b + ic = 0. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa I é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 19. (UFMT) – A divisão de um polinômio de coeficientes reais P(x) por (x + 1) apresenta como quociente um polinômio Q(x) de grau 3 com o coeficiente do termo de maior grau igual a –1 e, como resto, (x – 3). O gráfico de Q(x) é mostrado na figura a seguir.

(n + 1)! 2. Simplificando a expressão  –––––––– obtemos: (n – 1)! a) n b) n2 + 1 c) n2 + n d) n2 – 1 e) n2 – n 3. (UNESP)  – Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n – 1) . (n – 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. (UESPI) – Se n1 e n2 são os números inteiros positivos que satisfazem a equação 2 1 1  ––––––––  –  ––––––––– –  ––––––––– = 0, então 5!(n – 5)! 4!(n – 4)! 6!(n – 6)! n1 + n1 . n2 + n2 é igual a: a) 119 b) 129 c) 139

d) 149

e) 159

5. (VUNESP)  – Seja n ∈ , n ≥ 1. Então, (n – 1)! [(n + 1)! – n!] é igual a: a) n!n b) (n – 1)!n c) (n2)! d) (n!)2

e) 2(n!)

1 n 6. (MACKENZIE)  – Efetuando  –––– –  –––––––– , n! (n + 1)! obtém-se: 1 a)  –––––––– (n + 1)!

2 b)  ––– n!

2n + 1 d)  –––––––– (n + 1)!

e) 0

7. O valor do número binomial a) 19900 d) 39800

200 é: 198

 

b) 20000 e) 5460

8. O valor do número binomial a) 336

n!(n + 1)! c)  –––––––––– n–1

b) 56

c) 48

c) 19800

 83  é: d) 36

e) 20

A partir dessas informações, qual é a soma dos coeficientes de P(x)? a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

9. Resolver a equação 2

20. (MACKENZIE) – Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio p(x) = x 3 – a3x2 + ax – 1, a ∈ , formam uma progressão geométrica, então o valor de a – a 3 é a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

n+1  4  7 10. (UEL) – A solução da equação  –––––– = –– é um número 2 n–1 2 inteiro múltiplo de a) 11

Módulo 21 – Fatorial e Número Binomial

10 –

b) 420

c) 360

d) 400

c) 7

e) 500

12.

 

d) 5



e) 3

 514– x  =  5x14– 7  ≠ 0 15 15 Resolver a equação  = 3 – x   2x 

11. Resolver a equação

21! – 20! 1. O valor de  –––––––– é: 19! a) 210

b) 9



x–1 x+1 =7 2 4

13. O valor de a)

20 14

 

b)

    20 15

 

14. (PUC) – Se igual a: a) 40

gráfica é um ponto do: a) primeiro quadrante c) terceiro quadrante e) eixo das abscissas

20 20 + é: 13 14



c)

21 d) 15

 

21 14

 

21 13

 

e)

m–1 m m–1 = 10 e = 55, então é p–1 m–p p



b) 45









c) 50

b) segundo quadrante d) quarto quadrante

3. (UEL) – No desenvolvimento do binômio 4 1 x + ––––– segundo as potências decrescentes de x, o   x   sétimo termo é:





11  – ––– 4

d) 55 e) 60 p–1 p–1 + 2 3 5 = –– 15. Calcular p, p > 3, sendo dado:  –––––––––––––––– 3 p p–1  – 2 3

a) 210

Questões de 16 a 21

5. (U.F.CEARÁ)  – O coeficiente de x6 no desenvolvimento de (  2 . x2 + 2)5 é:



      

7 Lembrando

que

∑ ak,

por

exemplo,

significa

k=2

a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 e utilizando as propriedades do Triângulo de Pascal, calcular: 4 4 = 4 + 4 16. ∑ k 0 1 k=0 k +2 2 = 17. ∑ k 0 k=0

9 18. ∑ p=2

10 20. ∑ p=5



+

3 + 1

4 + 4 2 3

+ 4 4

=

4 5 6 + 2 + 3 + 4 =

                10

9 p =

  

19.

∑ p=4

3

p 5 =

 

21.

∑ p=0

p 4 =

  

 p +p 8  = m

m 22. O valor de m que satisfaz a sentença ∑ k = 512 é: k=0 a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

  

e) 9

Módulo 22 – Teorema do Binômio de Newton 1. Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver (x – 2)6 2. (MACKENZIE) – O sistema



3 0

()

x3 +

3 1

()

x2y+

3 2

()

b) 120 . x

11  –––

xy2 +

3 3

()

y3 = 8

x2 – y2 = 6

tem por solução um par ordenado (x, y) cuja representação

c) 210 . x –2

e) 210 . x4

d) 120 . x 4

4. Calcular o sexto termo do desenvolvimento de (  2 x –   5 y)10.

a) 40   2 b) 48   2

c) 60   2

d) 80   2 e) 84   2

6. (UFSC)  – Qual é o coeficiente numérico do termo em x2, 1 10 no desenvolvimento do binômio   x +  –– x ?

(

                 

4

. x – 4

)

7. (MACKENZIE)  – O coeficiente do termo em x –3 no 1 6  –– desenvolvimento de   x + x é: a) 1 b) 6 c) 10 d) 15 e) inexistente

(

)

8. Calcular o termo independente de x no desenvolvimento 1 4 18  ––– de x2 +   x .

(

)

9. (MACKENZIE)  – Um dos termos do desenvolvimento de (x + 3a)5 é 360x3. Sabendo-se que a não depende de x, o valor de a é: a) ± 1 b) ± 2 c) ± 3 d) ± 4 e) ± 5 10. (U.F.GOIÁS) – Determine o valor que deve ser atribuído a k de modo que o termo independente de x, no desenvolvi6 k , seja igual a 160. mento de x +  –– x

(

)

3 k 11. (MACKENZIE)  – No desenvolvimento x2 +  –– x , k ∈ , os coeficientes binomiais do quarto e do décimo-terceiro termos são iguais. O termo independente de x, feito segundo os expoentes decrescentes de x, é o: a) décimo b) décimo-primeiro c) nono d) décimo-segundo e) oitavo

(

)

12. (MACK)  – No desenvolvimento de (2x + b)5, b ≠ 0, o coeficiente numérico do termo em x4 é oito vezes aquele do termo em x3. Então, b vale: 1 1 1 a)  –– b)  –– c)  –– d) 32 e) 16 8 4 2  – 11

13. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x – y)104 é: a) 1 b) – 1 c) 0 d) 104 e) 2

5. (UNESP) – Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, conforme a ilustração.

14. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (3x – 2y) n é: a) 1 b) – 1 c) 2 d) 2n e) – 2n

Módulo 23 – Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos e Permutações 1. (FUVEST)  – Considere todas as trinta e duas sequências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16 2. (VUNESP)  – De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12 3. (UEL) – Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado abaixo, colocando-se um “x” em uma só resposta para cada questão.

CARTÃO RESPOSTA QUESTÕES

1

2

3

4

5

SIM

�

�

�

�

�

NÃO

�

�

�

�

�

De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? a) 3125

b) 120

c) 32

d) 25

e) 10

4. (UFRJ)  – Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam:

Primeira

Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes? a) 24 b) 18 c) 16 d) 12 e) 6 6. (MACKENZIE) – Cada um dos círculos da figura ao lado  deverá ser pintado com uma única  –––––––––––––––––––––cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é: a)100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040 7. (UEL) – Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 2 42 8. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA)  – O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é: a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720 9. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA)  – Numa corrida de Fórmula 1, estão inscritos 12 participantes. Não podendo haver empate, o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares é: a) 96 b) 108 c) 112 d) 121 e) 132 10. Quantos números de 3 algarismos distintos, maiores que 500, podemos formar com os algarismos de 0 a 9? 11. Quantos números diferentes de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração?

verde

amarelo

bege

verde

cinza

Segunda

verde cinza verde bege cinza Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 12 –

12. Quantos números ímpares diferentes, de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração? 13. Quantos números pares diferentes, de quatro algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração? 14. Cada linha telefônica nova é formada por 8 algarismos, divididos em 2 grupos: um formado pelos primeiros 4 algarismos, que distingue os centros telefônicos, e outro, com 4 algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Su-

ponha que só os algarismos de cada grupo sejam todos distintos. Quantas linhas telefônicas, começando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas? 15. (UFMG)  – O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é: a) 576 b) 648 c) 728 d) 738 e) 741

21. (UNIFESP)  – A figura exibe um mapa representando 13 países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é:

16. (MACKENZIE) Agrupamentos de quatro algarismos TIPO I – Quantidade x

TIPO II – Quantidade y

Os dois primeiros algarismos iguais e os dois últimos iguais, mas diferentes dos primeiros

Três algarismos iguais em posições consecutivas, sendo o algarismo restante diferente dos anteriores.

Considerando a tabela acima, x + y é igual a: a) 180 b) 190 c) 270 d) 280 e) 300 17. (FGV)  – Num concurso que consta de duas fases, os candidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com 30 questões de 4 alternativas cada. Na segunda fase, outra prova continha 30 questões do tipo falsa ou verdadeira. Chamando de n1 o número dos diferentes modos de responder a prova da 1.a fase e de n2, o número dos diferentes modos de responder a prova da 2.a fase, temse que a) n1 = 2 n2. b) n1 = 30 n2. c) n1 = 4 n2. 30 30 d) n1 = 2 n2. e) n1 = 4 n2. 18. (FGV)  – Por ocasião do Natal, um grupo de amigos resolveu que cada um do grupo mandaria 3 mensagens a todos os demais. E assim foi feito. Como o total de mensagens enviadas foi 468, pode-se concluir que o número de pessoas que participam desse grupo é a) 156. b) 72. c) 45. d) 13. e) 11. 19. (FGV) – Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é: a) 78 125 b) 7 200 c) 15 000 d) 6 420 e) 50 20. (MACKENZIE)  – Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 163 diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de a) 2 horas e 16 minutos. b) 1 hora e 40 minutos. c) 3 horas e 48 minutos. d) 3 horas e 12 minutos. e) 2 horas e 30 minutos.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

22. (UNESP)  – Considere o tabuleiro da figura.

a) Considere uma peça com 4 casas:

De quantas maneiras diferentes pode-se colocá-la no tabuleiro, sem girá-la e mantendo-se sempre a mesma face voltada para cima, de forma a cobrir 4 casas por completo? b) Considere, agora, a peça com 3 casas:

Imaginando todas as posições possíveis para a mesma, e mantendo-se sempre a mesma face voltada para cima, de quantas maneiras diferentes pode-se colocá-la no tabuleiro de modo que cubra 3 casas por completo? 23. (UNESP)  – Considere a identificação das placas de veículos, compostas de três letras seguidas de 4 dígitos. Sendo o alfabeto constituído de 26 letras, o número de placas possíveis de serem constituídas, pensando em todas as combinações possíveis de 3 letras seguidas de 4 dígitos, é a) 3 120. b) 78 624 000. c) 88 586 040. d) 156 000 000. e) 175 760 000. 24. (FUVEST)  – A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) 24

b) 26

c) 28

d) 30

e) 32  – 13

Módulo 24 – Combinações 1. Calcular o número total de anagramas da palavra VESTIBULAR. Questões de 2 a 17 Considerando-se os anagramas da palavra ALIMENTO, qual é o número total dos que: 2. começam com a letra M? 3. terminam com a letra O?

20. Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros de Matemática, três diferentes de Física e dois diferentes de Química. Querendo manter juntos os da mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira da estante, de modos diversos, num total de: a) A9,3 b) A9,3 . A9,3 . A9,2 c) P9 d) P4 . P3 . P2

e) P3 . P4 . P3 . P2

21. (UNESP)  – O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15.

4. começam com a letra M e terminam com a letra L? 5. possuem a letra N em segundo lugar e a letra O em quinto lugar? 6. começam com AL, nessa ordem, e terminam em I? 7. começam com a letra L ou terminam com a letra I? 8. possuem as letras LIM juntas e nesta ordem? 9. possuem as letras LIM juntas? 10. começam com uma vogal? 11. terminam com uma consoante? 12. começam com vogal e terminam em consoante? 13. começam e terminam com vogal? 14. começam com vogal ou terminam em consoante? 15. começam ou terminam com vogal? 16. não possuem duas vogais juntas nem duas consoantes  juntas? 17. possuem todas as letras em ordem alfabética? 18. (MACK)  – Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720 19. (GV) – Um processo industrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E. a) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas no início do processo e A deve anteceder B? b) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo? 14 –

22. (UNESP)  – Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242a. posição. 23. (UNIFESP)  – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73 a. palavra nessa lista é a) PROVA. b) VAPOR. c) RAPOV. d) ROVAP. e) RAOPV. 24. (UFOP) – Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, formam-se todos os números de três algarismos distintos possíveis. Dentre estes, o número de múltiplos de três é: a) 0 b) 6 c) 12 d) 24 25. Considere o conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Calcular o número de subconjuntos de A com 3 elementos. a) 2 b) 18 c) 20 d) 120 e) 216 26. De um grupo de estudos de vinte pessoas, em que só seis são médicos, deseja-se formar comissões de dez pessoas, sendo que todos os médicos devem ser incluídos em cada comissão. O número de formas para elaborar as comissões pode ser dado por: a) A14,4 b) A20,4 c) A20,6 d) C20,4 e) C14,4 27. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca são colineares. Qual o número total de retas determinadas por estes pontos? 28. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca são colineares. Qual o número total de triângulos com vértices nestes pontos? 29. São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em 3 dos 12 pontos?

30. (MACKENZIE)  – Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de: a) 83 b) 84 c) 85 d) 168 e) 169

31. (UEL)  – Em uma floricultura, estão à venda 8 mudas de cravos e 12 mudas de rosas, todas diferentes entre si. Um cliente pretende comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantos modos ele pode selecionar as 7 mudas que quer comprar? a) C20,7 b) A20,7 c) 7! d) A8,3 . A12,4 e) C8,3 . C12,4 32. (VUNESP)  – De um grupo constituído de 6 enfermeiros e 2 médicos, deseja-se formar comissões de 5 pessoas. Quantas dessas comissões podem ser formadas se os 2 médicos devem, necessariamente, fazer parte de todas as comissões? a) 10 b) 15 c) 20 d) 168 e) 336 33. (GV)  – Em uma Universidade, no Departamento de Veterinária, existem 7 professores com especialização em Parasitologia e 4 em Microbiologia. Em um congresso, para a exposição dos seus trabalhos, serão formadas equipes da seguinte forma: 4 com especialização em Parasitologia e 2 com especialização em Microbiologia. Quantas equipes diferentes poderão ser formadas? 34. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4  japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

1 a) ––– . 4

1 b) ––– . 3

1 c) ––– . 2

1 d) ––– . 5

1 e) ––– . 6

42. (PUC) – Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles é 3 a) ––– 4

1 b) ––– 2

1 c) ––– 4

1 d) ––– 6

1 e) ––– 8

43. (FGV)  – No estoque de uma loja há 6 blusas pretas e 4 brancas, todas de modelos diferentes. O número de diferentes pares de blusas, com cores diferentes que uma balconista pode pegar para mostrar a uma cliente, pode ser calculado assim: a) A10,2 – (C6,2 + C4,2) b) C10,2 – (C6,2 + C4,2) c) A10,2 – A6,4 d) C10,2 – C6,4. e) C10,2 – A6,4. 44. (UNESP)  – Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. A quantidade total de números distintos que se obtêm multiplicando-se dois ou mais destes algarismos, sem repetição, é a) 120. b) 52. c) 36. d) 26. e) 21. 45. (UNESP) – Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura.

35. De quantas maneiras doze brinquedos diferentes podem ser distribuídos entre três crianças, de modo que a mais nova ganhe cinco brinquedos, a mais velha quatro, e a outra três? 36. Calcular o número total de “palavras” (com sentido ou não) de 4 letras, que podem ser formadas com as 10 primeiras letras do alfabeto. 37. Quantos são os anagramas da palavra SAPATO? 38. Quantos números naturais de 4 algarismos existem, ao todo, no sistema decimal de numeração, tendo cada um pelo menos dois algarismos iguais? 39. Quantos números de três algarismos podemos formar, ao todo, com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4? 40. Quantos números de três algarismos existem no sistema decimal de numeração? 41. (MACKENZIE)  – O frentista de um posto de gasolina deve calibrar os 4 pneus de um carro. Como está com pressa, escolhe, ao acaso, apenas 2 deles para calibrar. A probabilidade de ele ter calibrado os dois pneus dianteiros é

O número total de triângulos que podem ser formados, unin do-se três quaisquer desses pontos, é a) 24. b) 112. c) 116. d) 120. e) 124. 46. (UNESP) – A turma de uma sala de n alunos resolve formar uma comissão de três pessoas para tratar de um assunto delicado com um professor. a) Explicite, em termos de n, o número de comissões possíveis de serem formadas com estes alunos. b) Determine o número de comissões possíveis, se o professor exigir a participação na comissão de um determinado aluno da sala, por esse ser o representante da classe. 47. (FUVEST)  – Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem  – 15

ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 48. (FUVEST)  – Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 49. (UEG)  – A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte: primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática; segundo dia: História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de a) 1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes. c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes. e) 70 modos diferentes. 50. (UFMT) – Braille é o sistema de leitura e escrita mais utilizado pelos deficientes visuais em todo mundo. Esse método tátil consiste em pontos em relevo, dispostos de maneiras diferentes para cada letra do alfabeto, números, símbolos e pontuação. A unidade de leitura onde são assinalados os pontos para representar cada algarismo é denominada CELA. A figura ao lado ilustra uma CELA. Admita que na ilustração abaixo estão as representações dos algarismos da base decimal nesse sistema.

(Adaptado da Revista Galileu, maio/2005, p.82.) A partir das informações acima, quantas celas distintas, no sistema Braille, podem ser assinaladas com 1, 2, 3 e 4 pontos e NÃO representam algarismos da base decimal? a) 78 b) 109 c) 380 d) 46 e) 506 16 –

51. (UNB) – Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura a seguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). ES

DI

Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado nas representações seguintes.

Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem. (0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a 70. (1) Se forem utilizados movimentos horizontais, verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140. (2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a 10. 52. (MACKENZIE)  – Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais somente duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 122 53. Um feirante possui, em sua banca, maçãs, peras e laranjas em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de modo que cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantos tipos de pacotes poderá o feirante oferecer, no máximo, à sua clientela? 54. (VUNESP) – Dez rapazes, em férias no litoral, estão organizando um torneio de voleibol de praia. Cinco deles são selecionados para escolher os parceiros e capitanear as cinco equipes a serem formadas, cada uma com dois jogadores. a) Nessas condições, quantas possibilidades de formação de equipes têm os capitães escolhidos? b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se realizarão, se cada uma das equipes deverá enfrentar todas as outras uma única vez?

55. (MACKENZIE) – O número de comissões diferentes, de 2 pessoas, que podemos formar com os n diretores de uma firma, é k. Se, no entanto, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente podemos formar k + 3 comissões diferentes. Então, n vale: a) 3 b) 10 c) 13 d) 30 e) 40 56. (MACKENZIE) – O valor de Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n –1, com n ∈ *, é: a) 2n – 1

b) 2n

c) 2n + n

d) n2

e) (n + 2) . 2

57. Existem n maneiras de distribuir 7 moedas de valores diferentes entre duas pessoas. Excluindo-se a possibilidade de uma só receber todas as moedas, o valor de n será: a) 126

b) 128

c) 49

d) 45

e) 30

n! 58. (UNICAMP)  – O símbolo Cn,p é definido por  –––––––– p!(n – p)! para n ≥ 0 com 0! = 1. Estes números Cn,p são inteiros e aparecem como coeficientes no desenvolvimento de (a + b) n. a) Mostre que Cn,p – 1 + Cn,p = Cn + 1,p. b) Seja S = Cn,0 + Cn,1 + .... + Cn,n. Calcule log 2S. 59. (UNICAMP)  – a) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 bolas? b) Escolhendo, aleatoriamente, uma das distribuições do item (a), qual a probabilidade de uma delas receber exata mente 9 bolas?

Módulo 25 – Probabilidade: Definição e União de Eventos 1. (FATEC) – Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade de ele ser um número ímpar é: a) 1

1 b)  ––– 2

2 c)  ––– 5

1 d)  ––– 4

1 e)  ––– 5

2. O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: a) 1/10 b) 1/2 c) 4/9 d) 5/9 e) 1/5 3. Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, das quais, a pedido, sessenta deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A proba bilidade de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 4. Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar. Repete-se a operação. Qual a probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja 5?

5 a)  ––– 36 24 d)  ––– 36

8 b)  ––– 36 35 e)  ––– 36

12 c)  ––– 36

5. Sete lâmpadas de néon são dispostas formando um “ oito”, como no mostrador de uma calculadora (figura I), e podem ser acesas independentemente umas das outras. Estando todas as sete apagadas, acendem-se quatro delas ao mesmo tempo, ao acaso. A probabilidade de ser formado o algarismo 4, como aparece na figura II, é: a) 1/35 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/5 e) 1/28

6. (VUNESP)  – A final da Olimpíada de Matemática de uma certa escola vai ser disputada por apenas três alunos, A, B e C. Admite-se que é duas vezes mais provável que A vença do que B e é duas vezes mais provável que B vença do que C. Nesse caso, a probabilidade de que A vença a Olimpíada é: 5 a)  –– 7

4 b)  –– 7

3 c)  –– 7

2 d)  –– 7

1 e)  –– 7

7. (FUVEST) – Considerando-se um polígono regular de n lados, n ≥ 4, e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é: a) 0 se n é par.

1 b)  –– se n é ímpar. 2

1 d)  –– se n é ímpar. n

1 e)  ––––– se n é par. n–3

c) 1 se n é par.

8. (FUVEST)  – Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos? (n – 2)! a)  ––––––– n!

(n – 3)! b)  ––––––– n!

(n – 2)! 3! d)  –––––––––– n!

e) 6(n – 2) (n – 1)

(n – 2)! c)  ––––––– 3!n!

9. (UNICAMP)  – Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características: • X delas são brancas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a X.

 – 17

• X + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a X + 1. • X + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a X + 2. • X + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente de 1 a X + 3. a) Qual é o valor numérico de X? b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul ou uma bola com o número 12?

15. (FGV) – Dois dados com a forma de tetraedro regular têm as faces numeradas de 1 a 4 e de 7 a 10, respectivamente. Combina-se que ao lançá-los, a face sorteada é a que fica virada para a mesa. Os dois dados são lançados. a) Calcule a probabilidade de serem sorteados dois números cujo produto é par. b) Represente, num gráfico de setores, as probabilidades de se obter produto par e de se obter produto ímpar, no lançamento desses dois dados.

10. São escolhidas aleatoriamente três das células brancas do tabuleiro representado na figura ao lado. Qual a probabilidade de as três posições escolhidas não estarem alinhadas?

16. (FGV)  – Uma urna contém quatro fichas numeradas, sendo: • A 1a. com o número 5 • A 2a. com o número 10 a • A 3. com o número 15 • A 4a. com o número 20

6 a)  –– 7

13 b)  ––– 14

25 c)  ––– 28

27 d)  ––– 28

11 e)  ––– 65

11. (UNICAMP) – Em uma festa para calouros estão presentes 250 calouros e 350 calouras. Para dançar, cada calouro escolhe uma caloura ao acaso formando um par. Pergunta-se: a) Quantos pares podem ser formados? b) Qual a probabilidade de que uma determinada caloura não esteja dançando no momento em que todos os 250 calouros estão dançando? 12. (MACKENZIE)  – Uma loja colocou à venda 27 calças  jeans, das quais 6 apresentam defeito. Escolhendo-se 3 calças ao acaso, a probabilidade de as 3 estarem com defeito é 15 a)  ––––. 351

2 b)  –––. 9

6 c) –––– . 117

4 24 d)  –––– . e)  ––– . 585 65

13. (PUC)  – Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios, cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatro moças entram nesse ônibus e devem ocupar os bancos vagos. Se os lugares forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de que cada banco seja ocupado por 1 rapaz e 1 moça é 1 a)  ––– 70

6 b)  ––– 35

3 c)  ––– 14

8 d)  ––– 35

2 e)  ––– 7

14. (FGV) a) Uma urna contém 6 bolas brancas, 8 bolas pretas e 4 bolas verdes, todas iguais e indistinguíveis ao tato. Um jogador tira uma bola ao acaso. Se a bola for branca, ele ganha; se a bola for preta, ele perde. Se a bola for verde, ele retira outra bola ao acaso, sem repor a verde. Ele ganha se a segunda bola for branca; se não, ele perde. Determine a probabilidade de o jogador ganhar. b) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a Diretoria de um clube formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a Diretoria, onde Paulo é vice-presidente e Bento não é presidente nem tesoureiro. 18 –

Uma ficha é sorteada, tem seu número anotado e é recolocada na urna; em seguida outra ficha é sorteada e anotado seu número. A probabilidade de que a média aritmética dos dois números sorteados esteja entre 6 e 14 é: 5 9 6 7 8 a)  –– b)  ––– c)  ––– d)  ––– e)  ––– 16 13 14 15 12 17. (UNIFESP)  – Um engradado, como o da figura, tem capacidade para 25 garrafas. Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, é: 5!20! 5! 5!5! a)  –––– b)  –––– c)  –––––– 25! 25! 25! 5!5!20! d)  –––––––– 25!

5!5!25! e)  –––––––– 20!

18. (UFSCar)  – Juntam-se 27 cubos brancos, cada um com 1 cm3 de volume, formando um cubo de 27 cm3. Em seguida, pinta-se de preto cada uma das seis faces do cubo de 27 cm3, como indica a figura 1.

Separa-se novamente os 27 cubos. Aleatoriamente e de uma única vez, 2 desses cubos são sorteados. Com os cubos sorteados, deseja-se formar um paralelepípedo de 2 cm3 com cinco faces brancas e apenas uma preta, da forma indicada na figura 2.

A probabilidade de que esse paralelepípedo possa ser formado com os cubos sorteados é igual a 2 17 29 2 5 a)  ––– b) ––– c)  –––– d) ––– e)  –––– 3 39 117 9 117 19. (UFRN)  – Para a correção das provas de um concurso, o coordenador da equipe dispõe de dez pessoas, sendo sete homens e três mulheres, para formar duplas de examinadores. Admitindo-se que a escolha das duplas seja aleatória, a probabilidade de se ter uma dupla feminina é igual a: 1 1 1 3 a)  –– b) ––– c)  ––– d) ––– 5 30 15 10 20. (UFPE)  – As cidades A e B estão conectadas por três rodovias, e as cidades B e C estão conectadas por cinco rodovias.

6. (UNESP) – Um piloto de Fórmula I estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se chover no dia da prova e de 20% se não chover. O serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. 7. (UNESP) – A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? 8. (MACK)  – Numa caixa A, temos um dado preto e outro branco e, numa caixa B, dois dados brancos e um preto. Escolhida ao acaso uma caixa, se retirarmos dela, também ao acaso, um dado, então a probabilidade de termos um dado branco com o número 2 é: 1 a)  ––– 12

Se escolhermos aleatoriamente uma trajetória para ir de A até C e voltar para A, usando as rodovias indicadas, qual a probabilidade de a trajetória não conter rodovias repetidas? a) 2/5 b) 7/15 c) 8/15 d) 3/5 e) 2/3

Módulo 26 – Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos 1. Jogando-se um dado “honesto” de seis faces e sabendo que ocorreu um número maior do que 2 , qual é a probabilidade de ser um número ímpar ? 2. (PUCC)  – Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, então a probabilidade de ocorrer a face 5, em um deles, é: a) 1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 1/5 e) 1/4 3. Sabendo-se que 6% de uma população tem estatura superior a 1,80m e 30% entre 1,70m e 1,80m, qual a probabilidade de uma pessoa com mais de 1,70m ter mais de 1,80m? 4. Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas brasileiras e três argentinas , qual será a probabilidade de: a) serem premiadas as duas brasileiras? b) ser premiada pelo menos uma argentina? c) serem premiadas duas argentinas? 5. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3o. mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26%

1 b)  ––– 36

5 c)  ––– 72

7 d)  ––– 72

3 e)  ––– 24

9. (PUC)  – Em uma urna há 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Um amigo propõe-me o seguinte jogo: – “Sorteie 3 bolas. Se a soma dos números nelas marcados for menor do que ou igual a 9, você ganha. Caso contrário, você perde.” Nesse jogo, a probabilidade de que eu ganhe é: 1 a)  ––– 30

1 b)  ––– 24

1 c)  ––– 20

7 d)  –––– 120

7 e)  –––– 720

10. (MACKENZIE)  – Um ultraleve está a 400 metros de altura quando o motor pára de funcionar. Antes de cada tentativa de religar o motor, inclusive a primeira, o piloto deve esperar um intervalo de 10 segundos e, a cada tentativa, cai pela metade a probabilidade de o motor voltar a funcionar. Se o ultraleve está em queda, com velocidade vertical constante de 10m/s, e a chance de o motor ligar na primeira tentativa é de 40%, a probabilidade de o motor funcionar antes de o ultraleve tocar o solo é de a) 56,8% b) 43,2% c) 70% d) 62% e) 65,6% 11. (FATEC)  – Suponha que, na região em que ocorreu a passagem do Furacão Katrina, somente ocorrem três grandes fenômenos destrutivos da natureza, dois a dois mutuamente exclusivos: • os hidrometeorológicos (A), • os geofísicos (B) e • os biológicos (C). Se a probabilidade de ocorrer A é cinco vezes a de ocorrer B, e esta corresponde a 50% da probabilidade de ocorrência de C, então a probabilidade de ocorrer a) A é igual a duas vezes a de ocorrer C.  – 19

b) C é igual à metade da de ocorrer B. c) B ou C é igual a 42,5%. d) A ou B é igual a 75%. e) A ou C é igual a 92,5%. 12. (UNESP) – O gerente de uma loja de roupas, antes de fazer nova encomenda de calças jeans femininas, verificou qual a quantidade de calças vendidas no mês anterior, para cada número (tamanho). A distribuição de probabilidades referente aos números vendidos no mês anterior foi a seguinte: Número (tamanho) 36 38 40 42 44 46 Probabilidade

0,12 0,22 0,30 0,20 0,11 0,05

Se o gerente fizer uma encomenda de 500 calças de acordo com as probabilidades de vendas dadas na tabela, as quantidades de calças encomendadas de número 40 ou menos, e de número superior a 40, serão, respectivamente: a) 320 e 180. b) 380 e 120. c) 350 e 150. d) 180 e 320. e) 120 e 380. 13. (UNESP)  – Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x2 + bx + 1 = 0. Determine a) a probabilidade de essa equação ter raízes reais. b) a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo-se que ocorreu um número ímpar. 14. (UNESP)  – Uma urna contém as letras: A, C, D, D, E, E, F, I, I e L. a) Se todas as letras forem retiradas da urna, uma após a outra, sem reposição, calcule a probabilidade de, na sequência das retiradas, ser formada a palavra FELICIDADE. b) Se somente duas letras forem retiradas da urna, uma após a outra, sem reposição, calcule a probabilidade de serem retiradas duas letras iguais. 15. (UNESP)  – Um colégio possui duas salas, A e B, de determinada série. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30 alunos. Dois amigos, Pedro e João, estudam na sala A. Um aluno é sorteado da sala A e transferido para a B. Posteriormente, um aluno é sorteado e transferido da sala B para a sala A. a) No primeiro sorteio, qual a probabilidade de qualquer um dos dois amigos ser transferido da sala A para a B? b) Qual a probabilidade, no final das transferências, de os amigos ficarem na mesma sala? 16. (UNESP) – O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Além disso, o sangue de uma pessoa pode possuir, ou não, o fator Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui esse fator, diz-se que a pessoa pertence ao grupo sanguíneo Rhésus positivo (Rh +) e, se não possui esse fator, diz-se Rhésus negativo (Rh –). Numa pesquisa, 1000 pessoas foram classificadas, segundo grupo sanguíneo e respectivo fator Rhésus, de acordo com a tabela 20 –

A

B

AB

O

Rh+

390

60

50

350

Rh –

70

20

10

50

Dentre as 1000 pessoas pesquisadas, escolhida uma ao acaso, determine a) a probabilidade de seu grupo sanguíneo não ser A. Determine também a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser B ou Rh+. b) a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser AB e Rh –. Determine também a probabilidade condicional de ser AB ou O, sabendo-se que a pessoa escolhida é Rh –. 17. (FGV) – Quatro meninas e cinco meninos concorreram ao sorteio de um brinquedo. Foram sorteadas duas dessas crianças ao acaso, em duas etapas, de modo que quem foi sorteado na primeira etapa não concorria ao sorteio na segunda etapa. A probabilidade de ter sido sorteado um par de crianças de sexo diferente é 5 a)  ––– . 9

4 b)  ––– . 9

5 c)  ––– . 8

1 d)  ––– . 2

5 e)  ––– . 18

18. (UNIFESP) – Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, sabe-se que a probabilidade de A ocorrer é 3 2 p(A) =  ––– , e que a probabilidade de B ocorrer é p(B) =  ––– . 4 3 Seja p = p(A  B) a probabilidade de ocorrerem A e B. a) Obtenha os valores mínimo e máximo possíveis para p. 7 b) Se p =  ––– , e dado que A tenha ocorrido, qual é a 12 probabilidade de ter ocorrido B?

Módulo 27 – Lei Binomial de Probabilidade 1. Jogando-se cinco vezes um dado, qual é a probabilidade de ocorrer cinco vezes o resultado 6? 2. Um jogador A joga um dado perfeito 4 vezes e ganhará caso consiga, pelo menos, dois resultados iguais a 1 , durante as  jogadas. Neste caso a probabilidade de o jogador A ganhar é: 47 11 19 7 13 a)  –––– b)  –––– c)  –––– d)  ––– e)  –––– 143 101 144 53 107 3. Jogando-se seis vezes um dado, qual é a probabilidade de ocorrer o resultado 3 só duas vezes? 4. (MACK)  – No lançamento de 4 moedas “honestas”, a probabilidade de ocorrerem duas caras e duas coroas é: 1 3 1 3 1 a)  ––– b)  ––– c)  ––– d)  ––– e)  ––– 16 16 4 8 2

5. (VUNESP)  – Sabe-se que, de cada 5 pessoas de uma determinada comunidade, uma é portadora de um certo tipo de anemia. Se selecionarmos, ao acaso, 3 pessoas dessa comunidade, qual é a probabilidade de que pelo menos uma delas seja portadora daquele tipo de anemia? 68 64 61 3 1 a)  –––– b)  –––– c)  –––– d)  –––– e)  –––– 125 125 125 125 125 6. (UFPE)  – As faces de um tetraedro são numeradas de 1 a 4 e as de um cubo de 5 a 10. Lançando-os simultaneamente 100 vezes, qual o número mais provável de vezes em que a soma é menor do que 9? (Contam-se, em cada lançamento, os números da face da base do tetraedro e do cubo.) 7. (GV) – Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relação entre o número de acidentes (y) em um certo período e a idade

em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo:

y=0

y=1

y=2

y>2

x < 20

200

50

20

10

20 ≤ x < 30

390

120

50

10

30 ≤ x < 40

385

80

10

5

x ≥ 40

540

105

20

5

Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento, obtenha: a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado. b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

 – 21

ÁLGEBRA

FRENTE 2

Módulo 11 – Definição e Propriedades dos Determinantes 1. Calcular o determinante da matriz A =

2 5

 3 7 

4. Calcular o determinante da matriz 281 2 8 394 3 9 M= 211 2 1



Resolução 281 det M = 394 211

Resolução 2 5 det A = 3 7 = 2 . 7 – 5 . 3 = –1

 

2 3 2

8 9 1

281 – 100.2 – 10.8 = 394 – 100.3 – 10.9 211 – 100.2 – 10.1

2 3 2

8 9= 1

Resposta: det A = –1 2. Calcular o determinante da matriz A =



1 2 1 2 2 0 1 3 3

 

Resolução = 3 + 18 + 64 – 24 – 18 – 8 = 35 Resposta: det M = 35

=1.2.3+2.0.1+1.2.3–1.2.1–3.0.1–3.2.2= = 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2 Resposta: det A = – 2 3. 1 2 3

2 3 5 Calcular o valor de x 6 8 , sabendo-se que 4 9 2 2 5 x 8 = – 17 4 2

Resolução a)

2 x 4

3 6 9

5 2 8 =3. x 2 4

b)

2 x 4

1 2 3

5 1 8 =– 2 2 3

Assim sendo: 2 3 5 1 = – 3 . x 6 8 2 4 9 2 3

2 Resposta: x 4 22 –

3 6 9

1 2 3 2 x 4

2 x 4

5 8 = 51 2

5 8 2 5 8 2

5 8 = (– 3) . (– 17) = 51 2

Módulo 12 – Teorema de Laplace, Teorema de Binet e Propriedades Complementares 5. Calcular o menor complementar e o cofator do elemento 1 5 2 a23 da matriz M = 4 8 3 1 2  –1 Resolução 1 5 2 4 8 3 , temos a23 = 3 e, portanto, Na matriz M = 1 2  – 1 D23 = 1 5 = 2 – 5 = – 3 1 2 1 5 A23 = (– 1)2 + 3 . D23 = (– 1)5 . = (– 1) . (– 3) = 3 1 2





 



Resposta: D23 = – 3; A 23 = 3

1 5 2 4 8 3 6. Calcular o determinante da matriz M = 1 2  – 1 aplido o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna. Resolução De acordo com o exercício anterior, temos A13 = 0; A23 = 3; A33 = –12. Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos: det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 = = 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21 Resposta: det M = 21





7. Cal Calcul cular ar o det determ ermin inant antee da matr matriz iz M =



1 4 1

5 2 8 3 2  –1



aplicando o Teorema de Laplace e utilizando a 1a. linha.

Resolução 1 de t M = 4 1

5 2 8 3 = 1 . A11 + 5 . A12 + 2 . A13 = 2  –1

= 1 . (–1)1 + 1 .

4 3 8 3 + 5 . (–1)1 + 2 . + 2  –1 1  –1

+ 2 . (–1)1 + 3 .

4 8 = 1 2

Módulo 13 – Definição Definição,, Cálculo Cálculo e Propriedades da Matriz Inversa 9. Determinar a sabendo-se que 2 1 é a matriz inversa de 5 3 3 a .  – 5 2

 





Resolução Se as matrizes são inversas uma da outra, então:

 25 13 .  – 35 a2  = 10 01  ⇔ 2a + 2 = 0 ⇔ a = – 1 1 2a + 2 1 0 ⇔ 0 5a + 6  =  0 1  ⇔  5a + 6 = 1

= 1 . 1 . (–14) + 5 . (–1) . (–7) + 2 . 1 . 0 = 21

Resposta: Resp osta: det M = 21 21

Resposta: a = – 1

Observações a) Os exercícios exercícios 6 e 7 confirmam confirmam que que o valor do determi determinante nante independe da fila escolhida. b) Pela Regra de Sarrus, Sarrus, obteríamos, obteríamos, é claro, claro, o mesmo resulresultado. De fato:

10. Determinar Determinar o valor de a para para o qual qual a matriz matriz 1 2 a M = 3 2 2 é singular. 0 1 1 Resolução 1 2 a M singular ⇔ det M = 0 ⇔ 3 2 2 = 0 ⇔ a = 2 0 1 1





Resposta: a = 2 11. Determ Determinar inar os possíve possíveis is valores valores reais de a para os quais quais a matriz M = 2 5 é inversível. 6 a

 

8. Cal Calcul cular ar o det determi erminan nante te de de A . B, sen sendo do 2  –1 5 2 A. B= eB= 3 4 1 3







Resolução



M inversível ⇔ det M ≠ 0 ⇔ 2 5 ≠ 0 ⇔ a ≠ 15 6 a

Resposta: a ≠ 15

Resolução Primeiro Processo 2  –1 A. B= 3 4



=



9 19

1 18



 .

5 1

⇒ det (AB) =

2 3 9 19

Módulos 14 e 15 – Sistemas Linear Lineares: es: Regra de Cramer e Escalonamento

= 1 = 16 162 – 19 = 143 18

12. Resol Resolver ver o sistema



3x + y = 9 pela Regra de Cramer Cramer.. 2x + 3y = 13

Resolução

Segundo Processo det (AB) = det A . det B =

2 3

 –1 5 . 4 1

= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143

Resposta: det (AB) = 143

2 = 3

a) O sistema é normal normal e pode ser resolvido resolvido pela pela Regra de Cramer, pois D = 3 1 = 9 – 2 = 7 ⇒ D ≠ 0 2 3 Dx 14 b) Dx = 9 1 = 27 – 13 = 14 ⇒ x =  ––– =  ––– = 2 13 3 D 7

 – 23

Dy 3 9 21 c) Dy = 2 13 = 39 – 18 = 21 ⇒ y =  ––– =  ––– = 3 D 7

1 0 2  – 1 0 4 3 2

Resposta: (2;3) 13. Resolver o sistema

x + 2y – z = 2 2x – y + z = 3 pela Regra de x + y +z =6



Cramer. Resolução a) O sistema sistema é normal e pode pode ser resolvido resolvido pela pela Regra de Cramer, pois 1 2  – 1 D = 2  – 1 1 = – 7 ⇒ D ≠ 0 1 1 1

2 2 b) Dx = 3  – 1 6 1 1 2 c) Dy = 2 3 1 6 d) Dz =

 – 1 1 =–7⇒x= 1

Dx —– D

 – 1 1 = –14 ⇒ y = 1

Dy —– D

2 3 = – 21 ⇒ z = 6

Dz —– D

1 2 2  – 1 1 1

=

–7 ––– –7

1 3 1 1

1 2 0 3

=0

e) Sendo nulos nulos todos os determinant determinantes es de ordem 4, concluímos concluímos que a característica característica p é 3. Resposta: 3 15. Dis Discut cutir ir o sist sistema ema



x+ y=1 2x – y = 1 . 3x + 2y = 5

Resolução a) A característica p da matriz MI =

b) A caracter característ ística ica q da matriz MC =

=

=2

=

–21 —— –7

=3









a)  1  = 1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 1 b) 1 0 = –1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 2 2  – 1 1 0 1 c) 2  – 1 3 = – 5 ≠ 0 ⇒ p ≥ 3 0 4 1 d) Orlando Orlando este menor menor de ordem 3, obtemos: obtemos: 1 0 1 0 2  – 1 3  – 1 0 4 1 4 =0 3 2 1 2 24 –



1 1 1 2  – 1 1 3 2 5



é 3, pois

1 1 1 2  – 1 1 ≠ 0. 3 2 5 c) p = 2, q = 3 ⇒ p ≠ q ⇒ o sistema não tem solução .

Resposta: (1; 2; 3)

Módulo 16 – Caracterí Característica, stica, Teorema Teorema de Rouché-Capelli e Sistemas Homogêneos



1 1 ≠ 0. 2  – 1

=1

–14 —— –7

14. Calcular Calcular a caracter característica ística da matriz: matriz: 1 0 1 0 1 2  – 1 3  – 1 2 0 4 1 4 0 3 2 1 2 3 Resolução Se p for a característica de 1 0 1 0 1 2  – 1 3  – 1 2 , então: 0 4 1 4 0 3 2 1 2 3



1 1 2  – 1 é 2, pois 3 2

16. Res Resolv olver er o sis sistema tema



x + 2y 2y – z = 7 y + 4z = 13 3z = 9

Resolução x + 2y – z = 7 x + 2y – z = 7 y + 4z = 13 ⇔ y + 4z = 13 ⇔ 3z = 9 z=3 x + 2y 2y – z = 7 x + 2y – z = 7 y + 4 . 3 = 13 y=1 ⇔ ⇔ ⇔ z=3 z=3 x=8 x+2.1–3=7 y=1 ⇔ y=1 ⇔ z=3 z=3 Resposta: (8; 1; 3)





 

17.. Re 17 Reso solv lvaa o sistem sistemaa

 



2x + 3y + 4z = 0 3x – y + z = 0 5x + 2y + 8z = 0

Resolução 2 3 4 a) 3  –1 1 ≠ 0 ⇒ p = n ⇒ sistema possível e determinado. 5 2 8 b) A única única solução do sistema sistema é a trivial (0, (0, 0, 0). Resposta: (0, 0, 0)

Módulos 17 17 e 18 – Noções de Estatístic Estatísticaa 18. (FGV)  – Seja x um inteiro positivo menor que 21. Se a mediana dos números 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x é igual a 4, então, o número de possibilidades para x é a) 13. b) 1 4. c) 15. d) 1 6. e) 17.

Resolução Se  x é um inteiro positivo menor que 21, e a mediana dos números 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x é igual a 4, então, dispostos em ordem crescente podemos ter 2, 2, 2, 4, x, 5, 10 ou 2, 2, 2, 4, 5, x, 10 ou ainda 2, 2, 2, 4, 5, 10, x. Assim, 4 ≤ x < 21, portanto o número de possibilidades para  x é 17. Resposta: E 19. (UF (UFPR PR – MOD MODELO ELO ENEM) ENEM)  – Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas: Número de Desvio Turma Média alunos padrão A 15 6.0 1.31 B 15 6.0 3.51 C 14 6.0 2.61 Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias médias serem iguais iguais nas três três turmas, as notas notas

Módulo 11 11 – Definição e Propriedade Propriedadess dos Determinantes Determinantes 1. (UEL) – A solução positiva da equação 2 5 x 1 = é um número: x 5 4 x a) ímpar b) primo d) cubo pe perfeito e) quadrado pe perfeito x 1 0 y 2. A sentença + = x 0 x y 1 y

c) não inteiro



2 3

1 4



eB=



4 2 , calcular o número 3  – 1



    

(UNIFOR)  – Sejam as matrizes A =

6.

B=

y+1 : x+1

4. (PUC) – A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 aij = 2i – j para i = j com a = 3i – 2j para i ≠ j ij O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6



5. Se A =

real x tal que det(A de t(A – x . B) = 0.

x 1 0 y x y+1 + = 0 x y 1 y y+1 b) só é verdadei verdadeira ra se x = y ≠ 0. 0. c) só é verdad verdadeir eiraa se x = y = 0. 0. d) nun nunca ca é verdadei verdadeira. ra. e) é equival equivalent entee a x = y. 1 x 1 1 1 1 3. O co conj njun unto to so solu luçã çãoo de –– –––– –––– –––– = é: x 1 1 1 x 1 a) {x ∈   x ≠ 1} b) {0, 1} c) {1} d) {– 1} e) {0} a) é equivalente a

dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas turmas tiveram tiveram a mesma média, média, mas com variação variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram apresentaram mais dispersas dispersas em torno torno da média. Assinale a alternativa correta. a) Soment Somentee a afirmativa afirmativa 3 é verdadeira. verdadeira. b) Soment Somentee a afirmativa afirmativa 2 é verdadeir verdadeira. a. c) Soment Somentee as afirmativas afirmativas 2 e 3 são verdadeir verdadeiras. as. d) Soment Somentee as afirmativas afirmativas 1 e 2 são verdadeira verdadeiras. s. e) Soment Somentee as afirmativas afirmativas 1 e 3 são verdadeir verdadeiras. as. Resolução 1. VERDA VERDADEIRA DEIRA,, pois o desvio-padrã desvio-padrãoo das notas desses alunos é maior que o desvio-padrão das notas dos outros. 2. VERDADEIRA VERDADEIRA,, pois as médias médias são todas todas iguais e o desvio-pa desvio-pa-drão das notas são diferentes. 3. FALSA, pois o desvio-padrão 1,31 é menor, indicando menos dispersão. Resposta: D

  –10

0 1 2  –2

e

2  – 1 1 2 . 0 1





O determinante da matriz ma triz A . B é:



a ) 64

b) 8

c) 0

d) – 8

e) – 64

x 1 x 7. O conjunto solução da equação 3 x 4 = – 3 é: 1 3 3 a) {1; 3} b) {–1; 2} c) {2; 4} 1 2 d) {– 2; 4} e)  – –––; 2

{

}

8. (UNESP)  – Considere as matrizes reais A=



x2 0 2 y+z



eB=



4 y

z –x

.

Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz



x z 4

a) – 1

y  –1 1 1 5 2



é igual a: b) 0

c) 1

d) 2

e) 3  – 25

9. (FEI) – Para que o determinante da matriz 1+a –1 seja nulo, o valor de a deve ser: 3 1–a



Pode-se afirmar que n é raiz da equação a) (1). b) (2). c) (3). d) (4).



a) 2 ou – 2

b) 1 ou 3

c) – 3 ou 5

d) – 5 ou 3

e) 4 ou – 4

1 10. O produto M . N da matriz M = 1 pela matriz N = (1 1 1): 1

()

a) b) c) d) e)

não se define; é uma matriz de determinante nulo; é a matriz identidade de ordem 3; é uma matriz de uma linha e uma coluna; não é matriz quadrada.

e) (5).

15. (UNESP)  – Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde 1 –x A= 2 0 2 –– 3 Com base na fórmula p(x) = det A, determine: a) o peso médio de uma criança de 5 anos; b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.



1 3

–1 0



11. Sabendo-se que o determinante associado à matriz





1  –11 6  –2 4  –3 é nulo, concluímos que essa matriz tem:  –3  –7 2 a) duas linhas proporcionais. b) duas colunas proporcionais. c) elementos negativos. d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas. e) duas filas paralelas iguais. 12. (MACKENZIE)  – O menor valor assumido pela função real definida por f(x) = a) –1

1 b)  ––– 2

x 1

3x – 4 é x

1 c)  – ––– 4

d) 1

e) 2

13. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y são tais





b) – 3

c) – 1

2 1 0 que a matriz 3 x 4 tem traço igual a 4 e deter1 1 y minante igual a –19, então o produto xy é igual a a) – 4

d) 1



e) 3



logx x log39 com log31 log93 x ∈ , x > 0 e x ≠ 1 e seja n, o determinante de A. Considere as 14. (FGV) – Considere a matriz A =

equações: (1) → 6 x + 3 = 0 (3) → 9x – 3 = 0 1 (5) → x2 = ––– 2 26 –



1 (2) → x + ––– 2 1 (4) → x2 = ––– 4



2

=0

16. O valor do determinante da matriz sen(θ) sec(θ) cos(θ) A= cos(θ) sen(θ) cossec(θ) tg(θ) sec2(θ) 1



a) – 1.

b) tg(θ).

c) sec(θ).

17. (UNESP)  – Sejam A = B=

 – 21

1  – 2



π  , para 0 < θ 2 d) x > 5

0 0 0 x 0

x 4 0 x 2. Sejam A = 1 x e B = x 1 . Os valores de x, tais que

 

o determinante de A . B é igual a zero, são:

d) 8

b d x h 0

0 x 0 i 0

e) 16

x e 0 < – 32, devemos ter:  j 0

b) 0 < x < 5 e) 1 < x < 2

c) x < – 2

37. Os valores de a para os quais são tais que:

1 a a 0

a 1 0 a

a 0 1 a

a) – 1 < a < 1

1 1 b)  – ––– < a 2

1 1 d) a  ––– 2 2

38. (FUVEST)

a) 2

b) 1

1 2 2 2

1 2 3 3

0 a a 1

>0

determinante da matriz 9 a)  ––– 4

9 b)  ––– 2





e) – 2



m1 3   m2     2

2   é   –––– , então o 2

 –1 2 m 1  – 1 2  –1 m 2 + 2

25 c)  ––– 4



25 d)  ––– 2

12 e)  ––– 5

6 12 1. (UEL)  – Se A é a matriz  – 3 – 6 , o determinante da matriz A2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 9 e) 25 28 –

3. (ITA)  – Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det (2A . At) = 4x? a) 4

b) 8

c) 16



d) 32

1  –2 3 0 1 0

e) 64 6 3 1

 eB=

determinante da matriz produto A . B é: a) 5 b) – 5 c) 15 d) – 15

5 0 0



,o

e) 10

5. (U.F.SANTA CATARINA)  – Considere as matrizes 1 0  –1  –1 1 1

 





e B = 0 1 2 e n = det (AB). Calcule 7n. 3 4 5

 10 11  e B = ac bd 

.

 

7. (MACK)  – Na função real definida por x 2 4 3 9 , f(0,001) vale: f(x) = x x 4 16 a) 0,02 b) 1000 –1 c) 10 –2 d) 500 –1

e) 0,5

8. Resolver a equação: 1 x x2 2 4 det 1 =0 1  –3 9





9. Estando a, b e c em P.A. de razão r, o determinante da

Módulo 12 – Teorema de Laplace,  Teorema de Binet e Propriedades Complementares



e) 0; 2; – 2

c) 0; 1; 4

Se o determinante de AB é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter: a) ab + cd = 0 b) a = 0 e b = 0 c) ad – bc = 0 d) a + c = 0 e b + d = 0 e) a = b = c = d = 0

d) –1

1 1 1

d) 0; 1; – 1

6. Sejam as matrizes A =

39. (UFCEARÁ) – Sejam m1 e m2 números reais positivos. Se o determinante da matriz

b) 0; – 1; – 4

A=

1 2 = 3 4

c) 0

a) 0; 4; – 4

4. Dadas as matrizes A =

1 e) a > ––– 2 1 1 1 1

 

matriz



1 a a2

1 b b2

1 c c2



a) é sempre positivo. b) depende de a. c) depende só de r, qualquer que seja a. d) é a3 – r3.

e) é 8r 3.

1 10. Calcule log 7 (log 7) 2

1 log 70 (log 70)2

1 log 700 (log 700) 2

Módulo 13 – Definição, Cálculo e Propriedades da Matriz Inversa

11. Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, em que 0, se i < j i aij = + j , se i = j i – j , se i > j



O valor do determinante de A é: a) 0

b) 12

12. 1 0 0 0 0

c) 24

d) 48

e) 6

Somando-se 0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 4 0

a) 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 5 6

0 0 0 0 5 0

0 0 0 4 0 0

0 0 3 0 0 0

0 2 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

b) – 840

c) 600

e) 0

d) π/2

e) π/3

2 x 0 14. O determinante 0 x x é estritamente positivo se, e 0 1 x somente se: a) x < 1 b) x > 0 c) 0 < x < 1 d) x < 0 ou x > 1 e) x < 1 ou x > 2 1 1 15. (UFG) – Se A = 1 1 , então os valores de λ, tais que o



1 –– 3 1



d) – 600

 – 5 cotg x = 0 é: cos x c) π/4

   1  –– 4 1

 –11

b)

–3 4



1  – –– 4 d) 1

b) λ = 0 ou λ = 2

c) qualquer que seja λ real

d) λ = 4 ou λ = 2







1 1 B =  – 4  – 5 e I =

2. Sejam A =

1 2 1 4

  

2 –1 eB= x y



  duas matrizes.

Se B é a inversa de A, então x + y vale: a) 3/2 b) 1/2 c) –1 d) 1



1 , b

0 1

determinante da matriz A2 a) 1

b) 4

é c) 9

d) 16

e) 25

valores de x tais que A + A –1 a) 0

b) 1

 2x 1x  , então o número de 3 0 =  0 3  é:

c) 2

d) 3

ai,j = 3i – j, o valor do determinante da matriz A2 é a) 0

b) 1

c) 4

d) 9

e) 16

e) 4

4. Se b for o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz inversa da matriz



1 2 0  – 2 2 0

a) b = – 2

b) b = – 1

d) b = 1

e) b = 2

0 1 1



, então:

c) b = 0



3 0 0 x 0 2x

a) x = 0 e x = 1

b) x ≠ 0

d) x ≠ 0 e x ≠ 1

1 e) x ≠ 0 e x ≠  ––– 2

6. (FUVEST)  – A matriz



é inversível se, e somente se: a) θ ≠ nπ, n ∈ 

17. (MACKENZIE)  – Dada a matriz A = (ai,j)2x2 , tal que

e) 0

3. (MACKENzIE)  – Se A =

inversa se, e somente se:

   são tais que A.B = I, então o 1 0



 

5. (U.F.LAVRAS)  – A matriz A =

e) λ = 0 ou λ = 4 a 16. (MACKENZIE) – Se as matrizes A =  – 4

1 –– 3 –1



determinante da matriz A2 – λ I é igual a zero, são: a) somente λ = 0



 – 4 3 e)  – 1 1

13. (MACK)  – Se 0 ≤ x ≤ 2, o menor valor de x tal que:  – 8  – sen x 0  – sen x 0 0 a) 0 b) π/6

 41 13  é:

c) inexistente

obtém-se: a) 840

1. A inversa da matriz

π

c) θ ≠  –– + nπ, n ∈  2

0 x 1



admite

c) x > 1

sen θ cos θ sen θ cos θ sen θ 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0



b) θ ≠ 2nπ, n ∈  π

d) θ ≠  –– + nπ, n ∈  4

e) θ ∈   – 29

7. Determine as condições que x deve satisfazer para que a matriz A seja inversível. 1 2 3 4 1 3 x 5 A= 1 3 4 3 1 6 5 x





8. Os valores de k para que a matriz A = não admita inversa são a) 0 e 3. b) 1 e – 1. d) 1 e 3. e) 3 e – 1.



1 k 1

0 1 k

1 3 3







 

igual a: a) 24

15. (FUVEST)  – Se as matrizes a b 1 2 A = c d e B = 0 1 são tais que AB = BA, pode-se afirmar que: a) A é inversível b) det A = 0 c) b = 0 d) c = 0 e) a = d = 1

  

c) 1 e 2.

3 2 9. (PUCCAMP)  – São dadas as matrizes A =  –1 2 e 1 0 B = 1 – 2 . Se A . B –1 = C, o determinante de A – B + C é



14. (ITA) – Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que: A = M –1 BM Então: a) det (– At) = det B b) det A = – det B c) det (2A) = 2 det B d) Se det B ≠ 0 então det(– AB) < 0 e) det (A – I) = – det (I – B)

c) 18

d) 15

e) 12

10. (PUC)  – Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X . A) t = B, então: a) X = A –1 . Bt

b) X = Bt . A –1

d) X = (AB)t

e) X = At . B –1

c) X = (B . A)t

 

16. (ITA) – Considere as matrizes 1 0 1 0  –1 A = 0  –1 2 , I = 0 1 , X =



b) 20



   

x y

 

eB=

1 2

 

Se x e y são soluções do sistema (A At  – 3I) X = B , então x + y é igual a: a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 17. (UNICAMP)  – Considere as matrizes cos θ sen θ 0 x M =  – sen θ cos θ 0 , X = y e Y = z 0 0 1



   1 0 3

11. (ITA) – Sejam A, B, C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às seguintes relações: AB = C –1, B = 2 A. Se o determinante de C é 32, qual o valor do módulo do determinante de A? 1 1 1 a)  ––– b)  ––– c)  ––– d) 8 e) 4 16 8 4

a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. b) Resolva o sistema MX = Y .

3 0 2 12. (MACKENZIE) – Dados A = 0 – 2 , P = 3 1 e B =  ––– a 10 . 13 75 b

1. Resolver, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte sistema: x+y=1  – 2x + 3y – 3z = 2 x+z=1









–1 5





Módulo 14 – Sistemas Lineares: Regra de Cramer e Escalonamento



Os valores de a e b, tais que B = P . A . P –1, são respectivamente: a) 24 e – 11 b) 18 e 53 c) – 19 e 17 d) 33 e – 47 e) 35 e 2

2. (UESPI) – Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema 3x + z = – 5 x + y + z = –2, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a: 2y – z = – 3 a) – 8 b) – 7 c) – 6 d) – 5 e) – 4

13. (ITA) – Sejam as matrizes reais de ordem 2: 2+a a 1 1 A= 1 e B = 1 a 2+a

3. (UFG) – Os valores de x, y e z nesta ordem, tais que 2x + y = 5 2y + z = 3 , são: 3x + 2y + z = 7 7 5 4 4 5 7 a)  –– ; –  –– e  –– b)  –– ; –  –– e  –– 3 3 3 3 3 3 7 4 5 4 7 5 c)  –– ;  –– e –  –– d)  –– ;  –– e –  –– 3 3 3 3 3 3 5 4 7 e)  –– ;  –– e  –– 3 3 3







 

A soma dos elementos da diagonal principal de (AB) –1 é igual a: a) a + 1 1 c)  –– (5 + 2a + a2) 4 1 e)  –– (5 + 2a + a2) 2 30 –

b) 4 (a + 1) 1 d)  –– (1 + 2a + a2) 4

 

4. (FUVEST)  – Considere o sistema de equações lineares x + y + z = – 2m x – y – 2z = 2m 2x + y – 2z = 3m + 5 Para cada valor de m, determine a solução (xm, ym, zm) do sistema.



ax + y + a2z = a2 2 2 5. O valor de z no sistema bx + y + b z = b , sabendo-se que cx + y + c2z = c2 a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c, é: a) abc b) ab + ac + bc c) a + b + c d) a3 e) 1



6. Se o sistema



então: a) a = 1 d) a ≠ 5

x + 2y + 3z = 13 3x + y + 2z = 13 tem uma única solução, 4x + 3y + az = 14 b) a ≠ 1 e) a ≠ 4

c) a = 5

7. Resolver o sistema do exercício anterior para a = 1. 8. (ITA)  – Sejam a, b, c ∈ * com a2 = b 2 + c 2. Se x, y e z satisfazem o sistema c cos y + b cos z = a c cos x + a cos z = b, então cos x + cos y + cos z é igual a: b cos x + a cos y = c



a) (a – b)/c d) (c + a)/b

b) (a + b)/c e) (b2 + c2)/a

c) (b + c)/a

9. (FUVEST)  – No início de sua manhã de trabalho, um feirante tinha 300 melões que ele começou a vender ao preço unitário de R$ 2,00. A partir das dez horas reduziu o preço em 20% e a partir das onze horas passou a vender cada melão por R$ 1,30. No final da manhã havia vendido todos os melões e recebido o total de R$ 461,00. a) Qual o preço unitário do melão entre dez e onze horas? b) Sabendo que 5/6 dos melões foram vendidos após as dez horas, calcule quantos foram vendidos antes das dez, entre dez e onze e após as onze horas. 10. (FUVEST)  – Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas: + by = 1  xx +– yy == 20 e  ax bx – ay = 1

Módulo 15 – Sistemas Lineares: Regra de Cramer e Escalonamento x + 2y + 3z = 14 1. (FUVEST) – Se 4y + 5z = 23 , então x é igual a: 6z = 18



a) 27

b) 3

c) 0

d) – 2

e) 1

2. Resolver o sistema:



x + 2y – z = 6 2x + y + 2z = 5 3x + 3y – 2z = 14

3. (UNICAMP)  – As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2.718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 10, 00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas? 4. (UEL) – Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam R$ 105,00, a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual é o preço do artigo C? a) R$ 20,00 b) R$ 25,00 c) R$ 30,00 d) R$ 35,00 e) R$ 40,00 5. (U.F.CEARÁ)  – Para uma festinha foram encomendados 90 refrigerantes, 230 salgados e 120 doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e senhoras. Cada criança deverá consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 doces; cada senhora deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces. Qual deverá ser o total de convidados para que não sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces? a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65 6. (FEI) – Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 30m e outros com 20m, num total de 2080m de comprimento. Quantos rolos de 30m foram adquiridos? a) 40 b) 52 c) 28 d) 32 e) 48

7. Se tivermos é igual a: a) – 1



b) 7

8. (FUVEST) – a) – 2

x+y+z=–1 x+z+t=5 y + z + t = 7 , então x + y + z + t x+y+t=4



c) 5

d) 4

e) 5/9

x + 4z = – 7 x – 3y = – 8 . Então, x + y + z é igual a: y+z=1

b) – 1

c) 0

d) 1

e) 2

9. (UNIFESP)  – Considere o sistema de equações

 xcx–+yy==23 onde c é uma constante real. Para que a solução do sistema seja um par ordenado no interior do primeiro quadrante (x > 0, y > 0) do sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem em (0, 0), é necessário e suficiente que a) c ≠ –1.

b) c < –1.

c) c < –1 ou c > 3/2.

d) 3/2 < c.

e) –1 < c < 3/2.  – 31

Módulo 16 – Característica, Teorema de Rouché-Capelli e Sistemas Homogêneos

10. (PUC-GO)  – Determine a e b para que o sistema x + 2y + 2z = a 3x + 6y – 4z = 4 seja indeterminado. 2x + by – 6z = 1



Nas questões de 1 a 3, calcular a característica de cada matriz. 1.

3.

( (

1 1 2

2 3 5

2 3 5

1 1 2

2 3 5

2 3 6

4. A matriz a) 1

)

2.

1 0 3 0



3 1 2

1 2 5

)

1 1 0 0

2 1 3 0

4 2 6 0

b) 2

(

1 1 2

2 3 5

2 3 6

)



c) 3

tem característica: d) 4

e) 0



6. A característica da matriz 1 3 1  – 2 4 2 0 3 3 3 M= é: 1 1 1 0 2 4 2 4 2 6 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1



7. a) b) c) d) e)



5x + 3y – 11z = 13 O sistema 4x – 5y + 4z = 18 9x – 2y – 7z = 25 só apresenta a solução trivial. é possível e determinado não tendo solução trivial. é possível e indeterminado. é impossível. admite a solução (1; 2; 1).



8. O sistema a) b) c) d) e)

e) 0



x + 2y – z = 2 2x – 3y + 5z = 11 x – 5y + 6z = 9

é impossível. é possível e determinado. é possível e indeterminado. admite apenas a solução (1; 2; 3). admite a solução (2; 0; 0).

9. (UEL) – O sistema

=9  6x2x +– ky 7y = 1 , de incógnitas x e y, é:

a) impossível, para todo k real diferente de – 21. b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de  – 63. c) possível e determinado, para todo k real diferente de – 21. d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de – 3. e) possível e determinado, para todo k real diferente de – 1 e – 63. 32 –



12. (MACKENZIE) – A equação matricial: x 5 1 1 –1 . = y 2  –1 1 1 z k 1 3 –1



5. Qual a característica da matriz abaixo? 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1



11. Discutir o sistema:

x+y+z=0 x – y + mz = 2 mx + 2y + z = – 1

   

não admite solução qualquer que seja k. admite solução qualquer que seja k. admite solução se k = 4. admite solução somente se k = 8. admite solução somente se k = 12. kx + y + z = 1 13. (MACK)  – Para que o sistema x + ky + z = k , nas x + y + kz = k2 incógnitas x, y e z, seja impossível ou indeterminado, deveremos ter para o real k, valores cuja soma é: a) –1 b) 1 c) 0 d) – 2 e) 2 a) b) c) d) e)

{

14. Escolha entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor da constante m, de modo que o sistema 2x – y + z + t = 1 admita solução. x + 2y – z + 4t = 2 x + 7y – 4z + 11t = m 2 a) m = 3 b) m = 4 c) m = –– 3 d) m = 5 e) m = 6

{

15. (UNIP)  – Se é:

9 a)  –– 4



4 =7 x + 3y + –– z 2 = 8 , então o valor de (x + y)z x + 4y + –– z 2 =4 x + 2y – –– z

81 b)  ––– 16

c) 16

d) 81

e) 256

16. (UEM)  – Com três tipos de peças diferentes, montam-se dois brinquedos, conforme a tabela: brinquedo 1 brinquedo 2 4 3 quantidade de peças A 2 4 quantidade de peças B 3 2 quantidade de peças C Sabe-se que: a) os preços unitários das peças A, B e C são, respectivamente, x reais, y reais e z reais, onde x, y e z são inteiros positivos e x < z < y; b) os gastos para montarem-se os brinquedos 1 e 2 são, respectivamente, R$ 39,00 e R$ 43,00. Assim, o valor de x + y + z é...

x + 2y = 6 17. (MACKENZIE) – O sistema (a + 1)x + ay = 4a + 2 a) admite solução única para a = – 2. b) admite infinitas soluções para a ≠ – 2. c) não admite solução para a = – 2. d) admite solução única, qualquer que seja a ∈ . e) admite solução, qualquer que seja a ∈ . 18. (UNICAMP)  – Dado o sistema linear homogêneo: [cos(α) + sen(α)] x + [2sen(α)] y = 0 [cos(α)] x + [cos(α) – sen(α)] y = 0 a) Encontre os valores de a para os quais esse sistema admite solução não trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0. b) Para o valor de a encontrado no item (a) que está no intervalo [0, π/2], encontre uma solução não trivial do sistema.



19. (UNICAMP)  – A função y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é chamada função quadrática . a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1). b) Dados os pontos A(x0, y0), B(x1, y1) e C(x2, y2), mostre que, se x0 < x1 < x2 e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C. 20. (MACKENZIE) – A soma dos possíveis valores do real k 5 4 x x x 0 para que 4 5 = k admita solução ≠ y y y 0 é:



a) zero

   

b) 10

   

c) – 10

d) 8

e) – 8

21. (CESGRANRIO) – Sejam λ1 e λ2 os valores distintos de λ para os quais a equação x1 2 3 x1 x1 = admite solução λ. x 3 2 x2 x2 2

      



  

      x1 x2

a) – 5

≠

0 0 . Então λ1 + λ2 é:

b) 4

c) 10

d) – 6

e) 0

22. (UFSM) – Considere o seguinte sistema de equações lineares: x–y–z+t=0 2x – 2z + t = 0 3x – 3y + z = 0  –x + y + 5z – 4t = 0



Então, pode-se afirmar que o sistema é: a) impossível. b) possível e determinado. c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, t formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, t formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. e) possível, porém não admite a solução nula.

23. 0 0 4 a)

(FUVEST)  – O número de raízes da equação: 3x 1 3x 2 = 0 é: 3x 3 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

24. 1 6 11 16 21

(IME) – Calcular o valor de: 2 3 4 5 1 2 4 7 8 9 10 0 1 0 12 13 14 15 + 1 3 0 17 18 19 20 1 4 2 22 23 24 25

5 0 1 1

25. (ITA) – Sejam A, B, C matrizes reais 3x3, satisfazendo às seguintes relações: A . B = C e B = 2 . A. Se o determinante de C é 32, o valor do módulo do determinante de A é: a) 2 b) 1/8 c) 16 d) 8 e) 4 26. Para que valores de λ, o sistema x = λ(2 – y) e λ(x + y) = 2 tem a) uma única solução? b) mais de uma solução?

Módulos 17 e 18 – Noções de Estatística 1. (UFSF)  – Um professor de Física aplicou uma prova, valendo 100 pontos, em seus 22 alunos e obteve, como resultado, distribuição das notas vista no quadro seguinte: 40 20 10 20 70 60 90

80

30

50

50

70

50

20

50

50

10

40

30 20 60 60 Faça os seguintes tratamentos de dados solicitados: a) Determine a frequência relativa da moda. b) Esboce um gráfico com as frequências absolutas de todas as notas. c) Determine a mediana dos valores da segunda linha do quadro apresentado. 2. (UEMS) – Os salários dos funcionários de uma empresa X estão dispostos na tabela abaixo: Salário em (R$) Número de funcionários da empresa X 300,00

20

500,00

15

700,00

17

1000,00

10

1500,00

8

2000,00

5

2500,00

3

3000,00

2

Total

80  – 33

Pode-se afirmar que a média ponderada dos salários da empresa X é de: a) R$ 1437,50 b) R$ 1200,50 c) R$ 1024,25 d) R$ 925,25 e) R$ 886,25

6. (FUVEST) – A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela abaixo

Salário (em R$)

No. de funcionários

500,00 1 000,00 1 500,00 2 000,00 5 000,00 10 500,00

10 5 1 10 4 1

Total

31

3. (ESPM)  – As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas da seguinte forma: Notas Número de Alunos De zero até 5

12

Acima de 5, até 7

20

Acima de 7, até 10 08 A média aritmética dessa distribuição é: a) 5,15 b) 5,45 d) 5,75 d) 6,00 e) 6,15 4. (UEMT)  – João, Marcos, Maria e Juliana realizaram um concurso. A prova abrangia três áreas: Matemática, Língua Portuguesa e História. Cada prova equivalia de 0 (zero) a 10 (dez), sendo que a média final, foi calculada através da média ponderada, que foi dada de acordo com as tabelas abaixo:

Nome/nota João Marcos Maria Juliana

Mat. Port. Hist. 8,00 6,50 4,00 7,00 6,50 8,00 4,00 7,00 10,00 2,00 9,00 9,00

Peso Matemática 5 4 Português 3 História

Sendo a média de aprovação igual a sete (7,00) pode-se afirmar que: a) todos foram aprovados no concurso. b) ninguém foi aprovado no concurso. c) somente os homens foram aprovados no concurso. d) somente as mulheres foram aprovadas no concurso. e) João e Maria tiveram a mesma nota final, porém somente Marcos foi aprovado no concurso. 5. (UNIMES) – O gráfico abaixo representa a distribuição de frequências das faixas salariais numa pequena empresa:

Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa? 7. (UF-SE)  – Para analisar as afirmativas 3 3 e 4 4,

considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição da arrecadação de certo imposto em um determinado município, em 2001. Valor da arrecadação Número de individual,em contribuintes reais 0  10 600 10  20 310

Classe 1 2

Valor total arrecadado, em reais 4800 4500

3

20  30

80

2000

4

30  40

10

350

3 3 – O valor médio individual arrecadado foi R$ 11,65, 4 4 – O valor médio individual pago pelos contribuintes da classe 1 foi menor do que R$ 6,00. 8. Dada a distribuição xi

20

30

40

50

60

f i

2

3

1

3

1

obtenha: a) a média c) a variância

b) o desvio médio d) o desvio padrão

9. (FGV) – Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) possuem a seguinte distribuição de frequências:

Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é aproximadamente a) $ 400 b) $ 600 c) $ 800 d) $ 1000 e) $ 1200

34 –

Salários $ 50,00 $ 100,00 $ 150,00

Frequência 30 60 10

a) Qual a média dos salários das 100 pessoas? b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários?

FRENTE 3

GEOMETRIA ANALÍTICA

Módulo 11 – Alinhamento de Três Pontos – Área de um Triângulo 1. Calcular a área do triângulo formado pelo ponto A(2; 5) e pontos B e C, interceptos da reta x + y = 1 Resolução Os interceptos da reta x + y = 1 são: a) intercepto com Ox: y = 0 ⇒ x = 1 ⇒ B(1; 0) b) Intercepto com Oy: x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ C(0; 1) Os vértices do triângulo são: A(2; 5), B(1; 0) e C(0; 1) 2 5 1 1 Daí: S∆  =  ––– |D|, em que D = 1 0 1 = – 6 2 0 1 1 1 1 Portanto: S∆  =  ––– . | – 6| =  ––– 2 .6=3 2 Resposta: S∆ABC = 3u.a. →

→

2. Achar a área do quadrilátero ABCD, dados A(2; 5), B(7; 1), C(3; – 4) e D(–2; 3). Resolução A partir da representação do quadrilátero no sistema cartesiano e em seguida dividindo-o em 2 triângulos, temos:

41 38 79 SABCD =  ––– +  ––– =  ––– = 39,5 2 2 2

Resposta: SABCD = 39,5u.a.

Módulos 12 e 13 – Equação Geral da Reta e Casos Particulares – Declividade e Equação Reduzida da Reta 3. Dados os pontos A(2; 1) e B(3; 2), determine a equação geral e a equação reduzida da reta AB. Em seguida, esboce o seu gráfico no sistema cartesiano.

Resolução Seja P(x; y) um ponto genérico da reta determinada por A e B. A equação geral é obtida fazendo-se x y 1 2 1 1 = 0 ⇔ x + 3y + 4 – 3 – 2x – 2y = 0 ⇔ 3 2 1 ⇔ x – y – 1 = 0 (equação geral)

Isolando a variável y, teremos: y = 1 x – 1 , que é a equação reduzida. coeficiente linear (h) coeficiente angular (m) Note que tg θ = m = 1 (coeficiente angular positivo) indica que a “reta é estritamente crescente”. → h = – 1 indica que a reta “corta o eixo Oy no ponto de ordenada  – 1”.

2 5 1 7 1 1 41 3 –4 1 a) S∆ABC = –––––––––––– =  ––– 2 2

Resposta:

2 5 1 3 –4 1 38  – 2 3 1 b) S∆ACD = –––––––––––– =  ––– 2 2 A área do quadrilátero representa a soma das áreas dos triângulos, portanto:

x – y – 1 = 0 é a equação geral y = x – 1 é a equação reduzida  – 35

4. Achar a equação da reta que corta o eixo dos y no ponto de ordenada – 3 e forma com o eixo dos x um ângulo de 30°. Resolução

1  –2 h) retas t e u:  ––– ≠  ––– e 1 . 2 + (–2) . 4 ≠ 0 ⇒ t e u são 2 4 concorrentes (não perpendiculares) 1  – 2 i) retas t e v:  ––– ≠  –––– e 1 . 4 + (–2) . (–2) ≠ 0 ⇒ t e v 4  – 2 concorrentes (não perpendiculares) 2 4  j) retas u e v:  ––– ≠  ––– e 2 . 4 + 4 . (–2) = 0 ⇒ u e v são 4  – 2 perpendiculares

Temos:     3 a) θ = 30° ⇒ m = tg θ = tg 30° =  –––– 3 b) A reta corta o eixo dos y no ponto de ordenada – 3. Indica que o coeficiente linear da reta é h = – 3. c) A equação reduzida da reta no plano cartesiano é: 3     y = mx + h ⇒ y =  –––– x + (– 3) ⇔ 3

3x – 9 ⇔     3x – 3y – 9 = 0 ⇔ 3y =    

6. O que representa no plano cartesiano a equação 3x + 2y + k = 0, k ∈ ? Resolução A equação 3x + 2y + k = 0 representa, para cada valor real de 3 k, uma reta com coeficiente angular m = –  ––– . 2 Daí, se k assume todos os possíveis valores reais, a equação 3x + 2y + k = 0 fornecerá todas as infinitas retas, de um feixe 3 . de retas paralelas , com coeficiente angular m = –  ––– 2 Resposta: feixe de retas paralelas

Resposta:     3x – 3y – 9 = 0

Módulo 14 – Posição Relativa de Duas Retas – Equação do Feixe de Retas 5. Determine a posição relativa das seguintes retas tomadas duas a duas: (r) 2x – y + 3 = 0 (s) 3x – 6y + 3 = 0 (t) x – 2y + 3 = 0 (u) 2x + 4y + 3 = 0 (v) 4x – 2y + 6 = 0 Resolução

Módulo 15 – Distância de Ponto a Reta 7. Determinar o coeficiente angular da reta s da figura, 2 . sabendo que o coeficiente angular da reta r é  ––– 3

2  – 1  ––– ⇒ r e s são concorrentes a) retas r e s:  ––– ≠ 3  – 6 2  –1 b) retas r e t:  ––– ≠  ––– ⇒ r e t são concorrentes 1  –2 2  –1  ––– e 2 . 2 + (– 1) . 4 = 0 ⇒ r e u são c) retas r e u:  ––– ≠ 2 4 perpendiculares 2  –1 3 d) retas r e v:  ––– =  ––– =  ––– ⇒ r e v são coincidentes 4  –2 6 3  – 6 3 e) retas s e t:  ––– =  ––– ≠  ––– ⇒ s e t são paralelas (distintas) 1 6  – 2 3  – 6 f) retas s e u:  ––– ≠  ––– e 3 . 2 + (–6) . 4 ≠ 0 ⇒ s e u são 2 4 concorrentes (não perpendiculares) 3  – 6 g) retas s e v:  ––– ≠  ––– e 3 . 4 + (–6) . (–2) ≠ 0 ⇒ s e v são 4  – 2 concorrentes (não perpendiculares) 36 –

Resolução Usando a convenção anti-horária para representação do ângulo entre duas retas, verificamos que o ângulo (45°) assinalado na figura é o de r para s, portanto a fórmula fica: 2 m  – ––– s ms – mr 3 tgrs^ =  ––––––––––– ⇔ tg 45° =  –––––––––––– 2 1 + ms . mr 1 + ms . ––– 3 2 ms – ––– 3 ⇔ 1 =  –––––––––––– ⇔ ms = 5 2 1 + ––– . ms 3

Resposta: ms = 5

8. Determine a distância entre o ponto P(2; 3) e a reta 3x + 4y + 1 = 0. Resolução Temos: a=3 3x + 4y + 1 = 0 ⇒ b = 4 c=1



P(2; 3) ⇒

x0 = 2

y =3

(x – 0)2 + (y – 0)2 = 32

11. Dada a circunferência: x2 + y2  – 3x + 5x – 14 = 0, determinar o centro e o raio. Resolução A partir da equação x 2 + y2 – 3x + 5y – 14 = 0, temos: a) centro  – 3 a = –  ––– 2

19 | ax0 + by0 + c | | 3 . 2 + 4 . 3 + 1| d =  ––––––––––––– =  ––––––––––––––– =  –––– 5 a2 + b2 32 + 42    

5 ⇒ b = –  ––– 2

r =   a2 + b2 – p

Resolução Sendo r e s retas paralelas, a distância entre r e s é obtida pela

2 –(– 5) 7 7   5 Portanto: d =  ––––––––– =  ––––– =  ––––– 5   5 22 + 12  



3 a =  ––– 2

⇒

3 –5 C  –––; –––– 2 2





b) raio:

9. Determine a distância entre as retas: r : 2x + y – 5 = 0 e s: 2x + y + 2 = 0.

A partir das equações, os coeficientes são: a=2 b=1 c2 = 2 e c1 = – 5

⇒

5 b = –  ––– 2

Observação: Observe que ax 0 + by0 + c significa substituir as coordenadas do ponto na equação da reta.

|c2 – c1| fórmula d =  ––––––––– a2 + b2  

x2 + y2 = 9

Resposta: x2 + y2 = 9

0

19 Resposta: d =  –––– 5

⇔

3  ––– 2

⇒

2

5 2 +  –  –––  – (– 14) ⇔ 2

⇒

r=

  

⇔

r=

90  ––– 4

⇔



3 .   10 r =  –––––––– 2

3 –5 Resposta: C  –––; –––– 2 2





3 .   10 e r =  –––––––– 2

12. Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(– 1; 6) e é tangente ao eixo dos “y” no ponto B(0; 3).

Resolução A partir do enunciado, temos C(x; 3) como centro da circun ferência.

7   5 Resposta: d =  –––––– 5

Módulos 16 e 17 – Circunferência e Elipse 10. Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 uni dades. Resolução A equação da circunferência de centro C(a; b) e raio r é: (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Como C(0; 0) e r = 3, teremos:

Como o ponto C é equidistante de A e B, temos: CA = CB ⇔ ⇔

  (x + 1)2 + (3 – 6)2 =   (x – 0)2 + (3 – 3)2

Elevando-a ao quadrado e simplificando-a, vem: (x + 1)2 + 9 = x2

⇔

x=–5

O centro é o ponto C(– 5; 3) e o raio r = 5 (r = BC). A equação da circunferência é: (x + 5)2 + (y – 3)2 = 52 ⇔ x2 + y2 + 10x – 6y + 9 = 0

Resposta: x2 + y2 + 10x – 6y + 9 = 0 2 2     13. O ponto P  ––––; –––– 2 2



 pertence à circunferência de

equação x2 + y2 = 1. Determinar a equação da reta t, tangente à circunferência, no ponto P.

 – 37

Resolução

relação à origem e sabendo que seus eixos são: 2a = 10 (eixo transverso) e 2b = 8 (eixo conjugado). Resolução

a) Na circunferência x2 + y2 = 1, temos: C(0; 0) e r = 1 — b) O coeficiente angular da reta que contém o raio CP é dado por:   2  –––– – 0 yP – yC 2 m =  –––––––– ⇒ m =  ––––––––– ⇔ m = 1 xP – xC 2    –––– – 0 2 c) A reta t, tangente à circunferência e que passa por P, é — perpendicular ao raio CP. Portanto: 1 1 mt = –  ––– ⇒ mt = –  ––– ⇒ mt = – 1 m 1 2   2   d) A equação da reta t será: y – –––– = mt . x – –––– ⇒ 2 2 2 2     ⇒ y –  –––– = – 1 x –  –––– ⇔ x + y –   2=0 2 2 Resposta: x + y –   2=0









14. Determinar a equação da elipse de centro na origem, com eixo maior horizontal medindo 10 unidades e eixo menor medindo 8 unidades: Resolução Temos: Centro (0; 0) eixo maior: 2a = 10 ⇔ a = 5 eixo menor: 2b = 8 ⇔ b = 4

De acordo com o enunciado, temos: Centro C(0; 0) eixo transverso: 2a = 10 ⇔ a = 5 eixo conjugado: 2b = 8 ⇔ b = 4 Se o eixo transverso é horizontal e o centro é a origem, a equação da hipérbole é: x2 y2  –––  –  ––– = 1 a2 b2 Substituindo pelos valores, vem: x2 y2 y2 x2  – = 1 ⇔  –––  –  ––– = 1  –––  ––– 25 16 42 52

x2 y2 Resposta:  –––– –  ––– = 1 25 16 16. Uma parábola, cujo vértice é a origem e cujo eixo de simetria é coincidente com o eixo “x”, passa pelo ponto P(– 2; 4). Determinar a equação da parábola, o seu foco e a sua diretriz. Resolução

Se o eixo maior é horizontal, então a equação da elipse é do tipo: y2 x2  –––– +  –––– = 1 b2 a2 Substituindo pelos valores, resulta: x2 y2 x2 y2  –––– +  –––– = 1 ⇔  –––– +  –––– = 1 16 25 42 52

x2

y2

Resposta:  –––– +  –––– = 1 25 16

Módulo 18 – Hipérbole e Parábola 15. Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo das abscissas, simetricamente situados em 38 –

Pelo enunciado, a parábola tem o aspecto da figura acima, portanto sua equação é do tipo: y2 = – 4 . f . x. Então: P(– 2; 4) ∈ y2 = – 4 . f . x ⇔ 42 = – 4f . (– 2) ⇔ f = 2 Para f = 2, nas condições do problema, temos: • equação reduzida: y2 = – 8 . x • foco: F(– 2; 0) • diretriz: x = 2 Resposta: y2 = – 8x; F(– 2; 0) e x = 2.

Módulo 11 – Alinhamento de Três Pontos – Área de um Triângulo

No gráfico anterior estão representadas as funções f(x) = x – 1 e g(x) = 3 – x, que se interceptam no ponto Q. A razão entre as áreas dos triângulos MQT e RQP pode ser expressa pela fração:

1. Os pontos A(4; – 1), B(8; 1) e C(– 2; – 4) são alinhados?

1 a)  –– 4

2. A área do triângulo ABC da figura é:

1 b)  –– 2

3 c)  –– 4

3 d)  –– 2

5 e)  –– 2

9. (FGV)  – A área do trapézio determinado pelas retas de equações x = 3, y = 5; y = x + 1 e pelo eixo y é: a) 7,5 b) 7 c) 6,5 d) 6 e) 5,5 10. (UNICAMP)  – Considere no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC?

a) – 18

b) – 9

c) 9

d) 15

e) 18

3. (MAUÁ)  – Achar a área do quadrilátero ABCD, dados A(2; 5), B(7; 1), C(3; – 4) e D(– 2; – 3). 4. (UMG) – Determinar o perímetro e a área do triângulo A(1; 3), B(4; 7) e C(6; 5). 5. Determinar o valor inteiro de x, sabendo-se que os pontos A(7; 5), B(3; – 4) e C(x; 6) formam um triângulo de 29 unidades de área. 6. (U.V.RIO DOS SINOS)  – Se a reta 3mx + y – 6 = 0 forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo situado no 1o. quadrante cuja área é 9u.a. (unidades de área), então o valor de m é: 2 3 a)  –– b)  –– c) 2 d) 3 e) 6 3 2 7. (UN.FED.FLUMINENSE)  – A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x2 + y 2 = 5. A reta y = – x + p interc epta C nos pontos M e Q. Determine: a) o valor de p; b) as coordenadas dos pontos M e Q. 8. (UNIVEST) –

11. (MACKENZIE)  – Se os pontos A = (a,0), B = (0,2b) e C = (a+b,0) são vértices de um triângulo de área 2b, então o valor de b é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. (UNESP) – O valor da área S do triângulo de vértices A, B e C no plano cartesiano, sendo A = (6;8), B = (2;2), C = (8;4), é igual a a) 5,4. b) 12. c) 14. d) 28. e) 56,3.

Módulo 12 – Equação Geral da Reta e Casos Particulares 1. (FUVEST)  – Os pontos (a; 1) e (2; b) estão sobre a reta x + 2y = 0. A distância entre eles é: a) 2  5

b)   6

c)   10

d) 2

e) 4  5

2. (F.C.CHAGAS)  – As retas r e s são definidas por y = 2x + 1 e 5y + 2x – 2 = 0. A reta vertical que contém o ponto de intersecção de r e s é definida por: 3 1 1 a) x = –  –– b) y =  –– c) x = –  –– 8 4 4 3 d) x =  –– e) x = – 4 8 3. a) c) e)

(ESAPP)  – A equação geral da reta r da figura é: x – 3y + 4 = 0 b) – 2x + 3y + 6 = 0 3x – 4y + 6 = 0 d) 3x – 2y – 4 = 0 – x + 4y – 6 = 0

 – 39

4. (U.GAMA FILHO) –

x y 1 8. (FGV) – Dada a reta de equação 3  –2 1 = 0, determinar 1 m 1 o valor de m, para que ela seja perpendicular a x = 5. a) 3

b) 0

1 d) –  ––– 5

c) – 2

e) 1

9. Dados os pontos A(3; – 1) e B(– 2; 4), determinar a intersecção da reta AB com a bissetriz dos quadrantes ímpares.

No gráfico anterior estão representadas as funções do 1o. grau f(x) e g(x), cujas retas se interceptam no ponto P, de abscissa 3. A expressão que define g(x) é: x+1 x+2 x–1  –––––  ––––– a) x – 1 b) 2x – 2 c)  ––––– d) e) 2 2 2 5. (UNA)  – A reta r passa pelos pontos (2; 5) e (5; 9). Um outro ponto dessa reta é: a) (500; 669) b) (500; 670) c) (500; 671) d) (500; 672) e) (500; 673) 6. (UESB)

A figura representa os gráficos das funções reais definidas por y = f(x), onde ax – 4y – 6 = 0, e y = g(x), onde 3x – by – 3 = 0, com a, b ∈ *. O valor de a + b é: a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6 7. (U. MARÍLIA)  – Dados os pontos A(2; –2); B(5; 2) e C(8; 6), considere as afirmações abaixo: I. A, B e C são colineares. ↔ II. – 4x + 3y + 14 = 0 é a equação geral da reta AB. — III. B é o ponto médio de AC. Das alternativas abaixo, assinale a correta: a) I, II e III são verdadeiras. b) Somente a I não é verdadeira. c) Somente a II é verdadeira. d) Somente a III é verdadeira. e) I, II e III não são verdadeiras. 40 –

10. (MACKENZIE) – A equação da reta paralela ao eixo Ox e que passa pela intersecção das retas 3x + 5y – 7 = 0 e 4x + 6y – 5 = 0 é: 13 a) y =  ––– x 2

13 b) x =  ––– 2

13 c) y =  ––– 2

3 13 d) y =  ––– x +  ––– 2 2

3 13 y +  ––– e) x =  ––– 2 2 11. (MACKENZIE)  – Na figura, a reta r encontra o gráfico de y = log 3x no ponto (9, b). O valor de a + b é

a) 2

1 b) – ––– 2

7 c)  ––– 4

d) – 1

2 e)  ––– 9

Módulo 13 – Declividade e Equação Reduzida da Reta 1. Determinar o coeficiente angular e a inclinação da reta que passa pelos pontos de coordenadas: (2; 2) e (3; 2 +   3 ). 2. (F. CARLOS CHAGAS)  – O coeficiente angular da reta 1 1 ; 0 , com que passa pelos pontos A 0;  –– e B –  –– m m



m ≠ 0, é: a) m b) – m

c) 1







d) – 1

e) m2

3. (F. CARLOS CHAGAS)  – Os coeficientes angulares de AB e CD valem, respectivamente: a) 3 e 1 b) – 3 e – 1 c) 2 e 1/2 d) 3 e – 1 e) 2 e – 1 ↔

↔

9. (F. CARLOS CHAGAS)  – O gráfico que melhor representa a relação | y | = x + 1, ∀x, y ∈ , é:

4. (F. CARLOS CHAGAS)  – Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função y = sen x. A menor das 3 correspondentes abscissas: a) é um múltiplo de π b) está entre – 3π/2 e – π   c) é nula d) está entre – 2π e – 3π/2 e) é positiva 5. Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos. a) A(0; 3) e B(– 1; 0) b) C(1; – 2) e D(– 3; 4) x y 1 6. Dada a reta de equação 3 2  –1 = 0, a sua expressão sob 1 0 1 a forma reduzida é: a) x – y – 5 = 0

1 1 b) y =  –– . x –  –– 2 2

d) x – y = 1

e) y = 3x + 2

c) x = 3y + 2

7. (F. CARLOS CHAGAS)  – Considere o triângulo V1(0; 0), V2(a; a) e V3(a; – a). A equação da reta que passa pelo vértice V3 e pelo ponto médio do lado V1 V2 é: 1 29 a) y = –  –– . x +  ––– 3 3

b) y = – 3x + 2a

c) y = x – 1

a a 1 d) y =  –– . x –  –– + –– 2 2 3

(

e) y = 3x + 2a 8. (ABC) – A reta abaixo tem por equação:

a) x – 2y – 2 = 0 c) y = 2x + 1 e) 2x + y – 2 = 0

)

10. (PUC) – Dada a reta de equações paramétricas x=5+t , o seu coeficiente angular é: y = – 2 + t .   3



5 a)  – ––– 2

5 b)  ––––– 13  

d)   3

1 e)  –––– 3  

 – 2 c)  ––––– 5  

11. (FUVEST)  – Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é: a)   5–1

b) 5 – 2  2

d) 2 +   5

e) 5 + 2  2

c) 5 –   2

b) x + 2y – 2 = 0 d) x = 2y + 1  – 41

Módulo 14 – Posição Relativa de Duas Retas – Equação do Feixe de Retas 1. (FUVEST) – As retas de equações x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0: a) são reversas b) concorrem na origem c) não têm ponto em comum d) formam um ângulo de 90° e) têm um único ponto em comum 2. Determinar k, de modo que a reta 3x = 2ky – 6 seja perpendicular à reta 3y = – 5x + 2: 2 5 2 6 5 a)  ––– b)  ––– c) –  ––– d) –  ––– e)  ––– 5 2 5 5 2 3. (UNISA)  – Achando-se os valores de K e L para os quais 2x + Ky + 12 = 0 e 5x – y – L = 0 são equações de uma mesma reta, verifica-se que K + L é igual a: a) – 34

b) – 26

13 c) –  ––– 30

24 d)  ––– 5

e) – 30,4

4. Para que valor de k as retas (r) kx + 5y + k = 0 e (s) 4x + (k + 1) . y – 5 = 0 são paralelas (distintas)? ↔

↔

5. Determinar o valor de x, sabendo-se que as retas AB e CD são perpendiculares entre si. São dados A(x; – 2), B(5; 1), C(10; 0) e D(13; – 2). a) – 1 b) 2 c) – 4 d) 3 e) – 3

7 b)  ––– 2 ;–2

9  ––– d) 2 ; – 2







a) (5; – 2)



c) (4; – 2)

e) (3; – 2)

9. (UN. CAT. RS)  – As retas r: 3x – (p + 1)y + 4 = 0 e s: 5x – py – 2 = 0 são concorrentes, se 3 a) p ≠ 5 b) p ≠ 2 c) p ≠  –– 2 5 d) p ≠ – 1 e) p ≠ –  –– 2 10. (UESB)  – Considere as retas de equações x + y – 1 = 0, 2x + y – 1= 0 e 3x + y = 0. Sobre essas retas, pode-se afirmar que: a) são concorrentes em um único ponto b) se interceptam duas a duas c) são coincidentes d) são duas a duas perpendiculares e) são paralelas 11. (FGV)  – No plano cartesiano, a reta de equação y = x + 1 — corta o lado AC do triângulo de vértices A = (1,7), B = (1,1) e C = (10,1), no ponto a) (3,4).

b) (4,5).

c) (5,6).

 117  117 d)  –––––– ,  –––––– + 1 . 2 2





6. Para que valores de K as retas (K – 1) . x + 6 . y + 1 = 0 e 4 . x + (K + 1) . y – 1 = 0 são paralelas?

e) (5,5; 4).

a) ± 3

b) ± 5

d) ∀K ∈ 

e) nenhum

12. (UNICAMP) – Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/ x, x > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento  AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

c) somente 5

7. (ULBRA)  – O valor de α para que as retas 2x – y – 3 = 0 e 3y + αx – 2 = 0 sejam perpendiculares é 2 3 1 1 a) 3 b) –  –– c) –  –– d)  –– e)  –– 3 2 2 3 8. (FGV)  – Sabendo que o ∆ABC é um triângulo retângulo em B, calcular as coordenadas do vértice C.

13. (UNIFESP)  – Se P é o ponto de intersecção das retas de 1 equações x – y – 2 = 0 e  ––– x + y = 3, a área do triângulo de 2 vértices A(0,3), B(2,0) e P é 1 a) ––– . 3

5 b) ––– . 3

8 c) ––– . 3

10 d) ––– . 3

20 e) ––– . 3

14. (F. OSVALDO ARANHA)  – A equação da reta que passa pelo ponto (– 2; 4) e tem coeficiente angular igual a – 3 é: a) y – 3x + 4 = 0 b) y + 3x + 4 = 0 c) y – 3x – 2 = 0 d) y + 3x + 2 = 0 e) y – 3x – 4 = 0 42 –

15. (UESB)  – Uma reta t que intercepta o eixo Oy no ponto P(0; 2) e forma com este um ângulo de 30° tem como equação a) y =   3x +2 1 b) y =   3 x +  ––– 2 1 c) y =  ––– x + 2 3   1 1 d) y = –  ––– x +  –––   3 2

23. (MAUÁ)  – Num sistema de eixos ortogonais, são dados os pontos A(1; 0), B(6; 0) e C(2; 6), que definem um ∆ABC. Escrever as equações das retas suportes, da mediana relativa ao lado BC e da altura relativa do lado AC.

e) y = –   3x +2 16. (F.E.SERRA DOS ÓRGÃOS)  – ABCD é um paralelogramo. Se A(1; 3), B(2; 4) e C(3; – 1), a equação da reta CD é: a) y = – 1 b) y = – x + 2 c) y = x – 4 d) y = 2x – 7

22. Achar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas: x – 3y + 2 = 0 e 5x + 6y – 4 = 0 e é paralela à reta 4x + y + 7 = 0.

e) y = 3x – 10

17. (FFCLUSP) – A equação da reta perpendicular à reta 5x – 3y = 2 pelo ponto (4; 5) é: a) 3.(x – 4) + 5.(y – 5) = 0 b) 5.(x – 4) + 3.(y – 5) = 0 c) 3.(x – 4) – 5.(y – 5) = 0 d) 5.(x – 4) – 3.(y – 5) = 0 e) 4.(x – 5) + 5.(y – 3) = 0 18. (F. CARLOS CHAGAS)  – Se o ponto (– 1; 2) é um dos vértices de um quadrado e 2x – 3y + 6 = 0 é a equação da reta suporte de uma de suas diagonais, a equação da reta suporte da outra diagonal é: a) 3x – 2y – 2 = 0 b) 3x + 2y – 1 = 0 c) 3x – 2y + 1 = 0 d) 3x + 2y + 1 = 0 e) 3x – 2y + 2 = 0 19. (PUC-MG)  – Seja P = (a; 1) um ponto da reta r de equação 3x + y – 7 = 0. A equação da reta s que pa ssa por P e é perpendicular a r é: a) x – y – 1 = 0 b) x – 3y + 1 = 0 c) x – 3y – 5 = 0 d) x + y – 3 = 0 e) 2x – 3y – 1 = 0 20. (FUVEST)  – A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz do 2o. quadrante é: a) y = x – 1 b) x + y – 7 = 0 c) y = x + 7 d) 3x + 6y = 33 e) y = – x – 7 21. (MACKENZIE)  – Observe a figura. Pertence à reta r o ponto:

24. (UFPR)  – Considere, no cartesiano, o triângulo de vértices A = (0,0), B = (3,1) e C = (1,2) e avalie as afirmativas a seguir: I. O triângulo ABC é isósceles. 1 II. O ponto D = 2,  –– 2 pertence ao segmento AB.





III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é 2x + y = 5. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 25. (MACKENZIE)  – Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A = (0;0), B = (3;6) e C = (8;0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) deste triângulo é 12 11 13 13 11 a) ––– b) ––– c) ––– d) ––– e) ––– 5 2 6 2 3 26. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são, respectivamente: 1 2 a)  –––; x – 3y – 5 = 0. b)  –––; 2x – 3y –1 = 0. 3 3 1 1 c)  – ––– ; x + 3y – 5 = 0. d)  –––; x + 3y – 5 = 0. 3 3 1 e)  – –––; x + 3y + 5 = 0. 3 27. (UFOP) – No triângulo ABC, a seguir, o ângulo  é reto. M e N são pontos médios de seus respectivos lados, AB = 18 cm e AC = 24 cm.

a) (0; 2 – 3   3) 3 ; 0) b) (2 –  

c) (0;   3  – 6) d) (3 –   3 ; 0) e) (0; 3 – 2  3)

 – 43

a) Obtenha as equações da reta r, passando por A e M, e da reta s, passando por C e N.    b) Obtenha a medida do segmentoAG. 28. (UFOP)  – A curva c, a seguir, é gráfico da função f(x) = 2x. A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é:

2 a) y =  ––– x – 1 3

3 b) y =  ––– x – 1 2

2 c) y =  ––– x + 1 3

3 d) y =  ––– x + 1 2

29. (FUVEST)  – Dados os pontos P(3; 2) e a reta (r) x – y + 1 = 0, determinar as coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r.

37. (F. CARLOS CHAGAS)  – A reta r passa pelos pontos (1; 0) e (0; – 2) e forma com a reta s um ângulo π/4 orientado como na figura. O coeficiente angular de s é: 1 1 a)  –– b) – 3 c) – 2 d) –  –– e) – 1 3 3

38. Resolva graficamente as inequações: a) 3x – 4y – 6 < 0

b) 5x + y – 5 ≤ 0

39. (PUC)  – O semiplano hachurado é o conjunto dos pontos (x; y) tais que: a) x ≥ 2y – 2 b) x ≥ – 2y – 2 c) x ≤ 2y + 2 d) y ≤ x + 2

x e) y ≥  –– 2 +1

30. (FUVEST) – Achar o pé da perpendicular baixada do ponto P(– 1; 2) à reta 3x – 5y – 21 = 0. 31. (FUVEST)  – Entre os pontos da reta de equação x + 3y – 8 = 0, existe um ponto Q cuja distância ao ponto P(1; 2) é mínima. As coordenadas do ponto Q são: 11 23 a)  ––– ;  ––– b) (2; 2) c) (8; 0) 10 10

  11 23 d)  ––– ; –––  5 5

e)



13 2;  ––– 10



Questões 40 e 41.

32. Determinar as retas paralelas a 3x – 4y + 5 = 0 e que definem com os eixos um triângulo de área 6.

Resolva graficamente os sistemas:

33. (F. CARLOS CHAGAS)  – O menor ângulo formado pelas m–1 retas cujos coeficientes angulares são m e  ––––– mede: m+1 π  π  π  3π  π  a)  ––– b)  ––– c)  ––– d)  ––– e)  ––– 3 4 6 4 2

40.

34. Qual o ângulo obtuso formado pelas retas: 3x – y – 10 = 0 e 2x + y – 6 = 0? 35. Determinar as equações das retas que passam pelo ponto P(2; – 1) e formam, cada uma, um ângulo de 45° com a reta 2x – 3y + 7 = 0. 36. (UN. ESTÁCIO DE SÁ)  – As retas x + y = 3 e x – y = – 12 formam entre si um ângulo de: a) 30° b) 60° c) 90° d) 120° e) 150° 44 –



x–y–1 r. Ao retirarmos o cilindro de ferro, o nível da água baixará de: rh r 2 Rh a)  ––– b)  ––– c)  ––– h r R R

  

r 2 e) π  –––   h R

  

12. (FUVEST-SP) – Na figura ao lado, tem-se um cilindro circular reto, em que A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o — ponto do segmento BC, cujas distâncias a — — AC e AB são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d . 13. (UNESP) – Considere um cilindro circular reto de altura x cm e raio da base igual a y cm. Usando a aproximação π = 3, determine x e y nos seguintes casos: a) o volume do cilindro é 243 cm 3 e a altura é igual ao triplo do raio; 66 –

14. (MACKENZIE)  – Num cilindro reto de altura 6  3 completamente cheio de água, foi imerso um prisma triangular regular de altura 2π, conforme a figura. A razão entre o volume de água que transbordou e o volume do cilindro é 1 a)  –– 2

1 b)  –– 3

1 d)  –– 5

1 e)  –– 6

1 c)  –– 4

15. (MACKENZIE)  – Uma lata tem forma cilíndrica com 4 diâmetro da base e altura iguais a 10 cm. Do volume total, ––– 5 é ocupado por leite em pó. Adotando-se π = 3, o volume de leite em pó, em cm3, contido na lata é a) 650 b) 385 c) 600

c) 8  3 π 

d) h

b) a área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2 e a altura tem 10 cm a mais que o raio.

d) 570

e) 290

16. (UFPR)  – O tanque de combustível de um posto de gasolina possui o formato de um cilindro circular reto e está instalado de modo que as bases estão na vertical. Para saber o volume de combustível presente no tanque, o funcionário utiliza uma régua graduada e só necessita observar a altura alcançada pelo combustível dentro do tanque. Essa régua foi confeccionada com base no estudo da função que relaciona o volume v com a altura h, desde zero até a altura total T. Qual dos gráficos abaixo mais se aproxima do gráfico dessa função?

17. (FATEC-SP)  – A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: a) 64π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π  

26. (UNIUBE-MG) – A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2 e um dos ângulos mede 60°. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone cujo volume é igual a:

18. (UEBA)  – Na figura, está representado um cone cuja geratriz g mede 63 cm, e o ângulo que ela faz com a reta que contém a altura do cone mede 30°. O volume desse sólido, em cm3, é: a) 9π

b) 27π

d) 81π

e) 243π  

em torno de um eixo que contém a hipotenusa, é igual a: π  π  π  π  2π   ––  –––  –––  ––– a)  –– b) c) d) e) 3 6 12 24 3

π   3 b)  ––––– 3

a) π

c) 54π  

19. (MACKENZIE-SP) – A área lateral de um cone equilátero que tem 16π de área da base vale: a) 32π b) 2π c) 8π d) 4π e) 16π   20. (UFSCar) – Dois cones de mesma base têm alturas iguais a 18 cm e 6 cm, respectivamente. A razão de seus volumes é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 21. (FUVEST-SP)  – Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? a) 3  10 b) 10 cm c) 10  3 cm d) 20 cm e) 20  2 cm 22. (FUVEST-SP) – Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é: a) 144° b) 192° c) 240° d) 288° e) 336°

π   3 c)  ––––– 6

π  π   2  ––– d)  ––––– e) 3 3

27. (MACKENZIE-SP)  – Ao se girar um triângulo retângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m em torno de sua hipotenusa, obtém-se um sólido cujo volume, em m3, é igual a: 48 π  a) 12 π b) 16 π c) 25 π d) 30 π e)  ––––– 5 28. (ITA-SP)  – Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é: 1 +   5 a)  ––––––– 2

5–1   b)  ––––––– 2

3

5–1   d)  ––––––– 3

e)

5–1     c)  –––––––– 2

5+1    –––––– 2

29. (FUVEST)  – Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é

23. (UNISANTOS-SP)  – Com um semicírculo de papel, com raio igual a 20 cm, um pipoqueiro faz saquinhos para vender pipocas, com a forma de cone circular reto. O volume desses saquinhos, usando π ≅ 3, é mais próximo de: a) 1100 cm3 b) 1300 cm3 c) 1500 cm3 d) 1700 cm3 e) 2000 cm3 24. (ITA-SP) – O desenvolvimento da superfície lateral de um cone reto é um setor circular de raio a e ângulo central igual a 60°. O volume deste cone é: a2 a)  ––– π 6 a d) π   ––– 6

  

1 c)  ––– πa3 3

b) π  35  a3 3

a 1 e)  ––– π   ––– 6 3

  

3 35  

25. (UNISA-SP) – O volume de um sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo e isósceles de hipotenusa igual a 1,

a)   5

b)   6

c)   7

d)   10

e)   11

30. (MACKENZIE) – Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é a) 256π d) 316π

b) 298,6π e) 328,4π  

c) 307,2π  

31. (UFOP) – Uma pirâmide reta de base quadrada está inscrita num cone reto de raio da base 2  2 cm.  – 67

Módulo 16 – Troncos 1. (PUC)  – Corta-se uma pirâmide de 12 cm de altura por um plano paralelo à base distando 4 cm desta. A razão entre a área da base e a área da secção é igual a: 9 12 7  –––  ––– a)  –––– b) c) 4 7 4 7 d)  ––– 9 A relação entre os volumes do cone e da pirâmide, nesta ordem, é: 3π π π π a)  ––– b)  ––– c)  ––– d)  ––– 2 2 3 6 32. (UNIFESP) – A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite que foi apontada, mede s mm.

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lápis. b) Calcule o volume da grafite retirada. 33. (UFPE)  – Um recipiente na forma de um cone reto invertido está preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir.

Se o volume do recipiente é 54 cm 3, qual o volume da camada de óleo? a) 32 cm3 b) 34 cm3 c) 36 cm3 d) 38 cm3 e) 40 cm3 68 –

9 e)  ––– 7

2. (PUC)  – Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 21 dm3 de volume. A altura do tronco mede 30 cm e o lado do quadrado da base maior, 40 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede: a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 14 cm 3. (PUC)  – O volume de um tronco de pirâmide de bases h paralelas e altura h é dado por V =  ––– (S + S’ +   S . S’), em 3 que S e S’ são as áreas das bases. Se as bases de um tronco de pirâmide são quadrados de lados 3 e 4 e se a altura é 5, então o seu volume é: 175  3 a)  ––––––– 3

b) 73

d) 25 +   3

185 e)  –––– 3

c)     12

4. (ITA-SP)  – A base de uma pirâmide tem área igual a 225 cm2. A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. A área da secção é igual a: a) 4 cm2 b) 9 cm2 c) 25 cm2 d) 100 cm2 e) 125 cm2 5. (UNESP-SP)  – A figura abaixo representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA’B’C’D’ e um tronco de pirâmide de altura H.

Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determine: a) o volume da pirâmide EA’B’C’D’; b) o volume do tronco de pirâmide.

12. (CESGRANRIO)  – Uma ampulheta repousa numa mesa como mostra a figura (I) (o cone B completamente cheio de areia). A posição da ampulheta é invertida. A figura (II) mostra o instante em que cada cone contém metade da areia. Nesse instante, a areia no cone B forma um cone de altura:

6. (FUVEST-SP)  – As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule: a) a altura do tronco de cone; b) o volume do tronco de cone. 7. (FAAP-SP)  – Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro da base. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida ficar exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: 1 b)  ––– 2

3 a)  ––– 4

2 c)  ––– 3

1 e) ––– 8

3 d)  ––– 8

8. (FUVEST-SP) – Um copo tem a forma de cone com altura 8 cm e raio de base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: 8 a)  ––– cm 3

H a)  –––– 3  

H b)  ––– 2

H d)  ––––– 3 3  

H e)  ––– 4

H c)  ––––– 3 2  

b) 6 cm

Módulo 17 – A Esfera e suas Partes

c) 4 cm

1. (UNESP-SP) – Seja r um número real positivo e P um ponto do espaço. O conjunto formado por todos os pontos do espaço que estão a uma distância de P menor ou igual a r, é: a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como ponto médio. b) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r. c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r. d) uma esfera de centro P e raio r. e) um círculo de centro P e raio r.

d) 4   3 cm 3

e) 4   4 cm 9. (UFMG) – Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um plano paralelo à base, a uma distância d dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A distância d deve ser: 3

a) 6 – 3   2

3

3  4 b) 3 –  –––––– 2

3

c) 6 – 3   4

3

d) 6 – 2   2

10. (SÃO JUDAS-SP)  – Em um tronco de cone, os raios das bases medem 3 cm e 7 cm e a geratriz mede 5 cm. O volume desse tronco, em centímetros cúbicos, é: a) 39π b) 49π c) 69π d) 79π e) 58π   11. (MACKENZIE-SP) – Um cone reto é seccionado por um plano paralelo à base, que passa pelo ponto médio da altura. A razão entre os volumes dos sólidos obtidos pode ser: 1 1 1 a)  ––– b)  ––– c)  ––– 2 8 7 1 d)  ––– 4

1 e)  ––– 3

2. (UNIFENAS-MG)  – O volume de uma esfera cresce 72,8% quando o raio dessa esfera aumenta: a) 26% b) 25% c) 24% d) 20% e) 15% 3. (FUVEST-SP)  – Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm de centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. (UFLA-MG)  – A intersecção de um plano com uma esfera é um círculo de 16π dm2 de área. Sabendo-se que o plano dista 3 dm do centro da esfera, o volume da esfera é: a) 100π dm3

100 b)  ––––– π dm3 3

d) 500π dm3

500 e)  ––––– π dm3 3

c) 400π dm3

 – 69

5. (FUVEST-SP) – Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da esfera é: a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm

10. (FUVEST-SP)  – Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica, com diâmetro 2 cm, é colocada dentro do cálice. supondo que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice, e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir da vértice do cone, determinar o valor de V.

6. (UNESP-SP) – Um copinho de sorvete, em formato de cone, tem 10 cm de profundidade, 4 cm de diâmetro no topo e tem aí  colocadas duas conchas semi-esféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que: a) não transbordará. b) transbordará. c) os dados são insuficientes. d) os dados são incompatíveis. e) todas as afirmações anteriores são falsas. 7. (FAAP-SP) – Uma indústria metalúrgica produzirá três mil “pesos de papel”, projetados conforme a figura abaixo. Observe que cada um daqueles pesos é formado por um cilindro reto e uma esfera de mesmo diâmetro. O volume de aço necessário para a produção das três mil peças é: a) 56π m3 b) 5,6π m3 c)

d) 3 π R2

0,056π m3

d) 560π m3

8. (UNICENTRO-PR)  – Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica, conforme a figura seguinte. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno com profundidade de 12 cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça? b)     10

c)     10 – 1

d) 3

e) 2

9. (FGV)  – Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério para uma exposição. Se para o revestimento do piso utilizaram-se 78,5 m2 de lona, quantos metros quadrados se utilizariam na cobertura do galpão? a) 31,4 b) 80 c) 157 d) 208,2 e) 261,66 70 –

4 2 e)  –– 3 πR

12. (ITA-SP) – Considere um retângulo de altura h e base b e duas circunferências com diâmetro h e centros nos lados do retângulo, conforme a figura a seguir. Seja z um eixo que passa pelo centro destas circunferências. Calcule a área da superfície do sólido gerado pela rotação da região hachurada em torno do eixo z.

e) 0,56π m3

a) 4

11. (CESGRANRIO)  – Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: 1 3 2 2  –– a) 2π R2 b)  –– π R c) 3 4 πR

a) πh (b – h) d) πb (b + h)

b) πh (b + h) e) πbh

c) πb (b – h)

13. (FUVEST)  – Um cubo de aresta m está inscrito em uma semiesfera de raio R, de tal modo que os vértices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semiesfera e os demais vértices pertencem à superfície da semiesfera. Então, m é igual a: 2 a) R  –– 3

  2 b) R  –––– 2

d) R

3 e) R  –– 2

  2 c) R  –––– 3

14. (MACKENZIE)  – Um frasco de perfume de forma 1 esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em  –– de 4 seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 m do perfume, das alternativas abaixo, a que indica o maior período de tempo de duração do perfume é a) 16 dias. b) 31 dias. c) 26 dias. d) 54 dias. e) 43 dias. 15. (MACKENZIE) – Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4m de comprimento, acrescido de duas semiesferas, de raio 2m, uma em cada extremidade, como mostra a figura.

a) 30

Adotando π = 3, a capacidade total do tanque, em m3, é a) 80.

b) 70.

c) 60.

d) 55.

e) 50.

16. (MACKENZIE)  – Uma esfera de raio R cortada por dois planos paralelos, um deles passando por seu centro, obtendo-se, assim, dois círculos cujas áreas estão na razão de 1 para 4. A distância d entre os dois planos, em função de R, é R  3 2R R a) d =  ––––– b) d =  ––– c) d =  –––––– 2 2 3   R  3 d) d =  –––––– 3

e) d = R  2

17. (UNESP) – O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando π = 3, é: a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102. d) 4 045 × 104. e) 4 045 × 105. 18. (FGV)  – Uma pirâmide reta de base quadrada e altura de 4 m está inscrita numa esfera de raio 4 m. Adotando π = 3, pode-se afirmar que a) Vesfera = 6 . Vpirâmide. b) Vesfera = 5 . Vpirâmide. c) Vesfera = 4 . Vpirâmide. d) Vesfera = 3 . Vpirâmide. e) Vesfera = 2 . Vpirâmide.

Módulo 18 – Poliedros Convexos 1. (FUVEST) – Sejam π’ e π” as faces de um ângulo diedro de 45° e P um ponto interior a esse diedro. Sejam P’ e P” as projeções ortogonais de P sobre π’ e π” respectivamente. Então a medida, em graus, do ângulo P’P P” é:

b) 45

c) 60

d) 90

e) 135

2. (FEI-SP)  – Num triedro V(abc) as faces ac e bc medem 45° cada uma e formam um diedro reto. A face ab mede: a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° 3. (ITA)  – Numa superfície poliédrica convexa aberta, o número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o número de arestas é: a) 8 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 4. (ITA)  – Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 18 c) 28 d) 30 e) 32 5. (PUC-SP) – O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces, todas triangulares é: a) 4 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8 6. (PUC-SP)  – Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas pentagonais. Então o número de face F, o número de arestas A e o número de vértices V do poliedro são: a) F = 7, A = 10 e V = 12 b) F = 5, A = 9 e V = 12 c) F = 7, A = 6 e V = 10 d) F = 5, A = 12 e V = 9 e) F = 7, A = 15 e V = 10 7. (MACKENZIE-SP)  – Sabe-se que um poliedro convexo tem 8 faces e que o número de vértices é maior que 6 e menor que 14. Então o número A de arestas é tal que: a) 14 ≤ A ≤ 20 b) 14 < A < 20 c) 13 < A < 19 d) 13 ≤ A ≤ 19 d) 17 ≤ A ≤ 20 8. (UNIRIO)  – Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44  – 71