Cad C1 Teoria 2serie 1bim Matematica

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 1

Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares – Módulos 1 – Matrizes

10 – Inversão de matrizes

2 – Multiplicação de matrizes

11 – Cálculo de um elemento

3 – Propriedades

da inversa e propriedades

4 – Determinantes

12 – Sistemas lineares –

5 – Determinante nulo

Regra de Cramer

6 – Determinante se altera

13 – Escalonamento

7 – Determinante não se altera 8 – Abaixamento da ordem

14 – Escalonamento

9 – Regra de Chió e

15 – Substituição, eliminação 16 – Característica de uma matriz

Teorema de Binet Artur Cayley – (1821-1895) Multiplicação de Matrizes e o Teorema de Cayley

Matrizes

1

• Matriz • Colunas • Matriz nula • Matriz unidade

1. Definição de matriz

A=

Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Representa-se por A ou Am×n. Seja a matriz A de ordem 2 x 3:

A=



m x

n y

p z



O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice um um ou simplesmente a um um. O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um dois ou simplesmente a um dois. O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um três ou simplesmente a um três. De modo análogo, x é o elemento a21, y é o elemento a22 e z é o elemento a23. Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:

A=

a11 a21

a

a12 a22

a11 a12 a13 21 a22 a23

a13 ou A = a23



ou a11 a12 a13 21 a22 a23

a



De modo geral, representando por aij o elemento da linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos representar a matriz A de ordem m x n como se segue:



a11 a21  am1

a12 a22  am2

a13 a23  am3

… …  …

a1n a2n  amn



ou simplesmente A = (aij)mxn Observações • Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, estamos dando uma noção intuitiva de matriz. Formalmente, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o número real aij. MATEMÁTICA

1

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• Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n). • Coluna de uma matriz é uma ênupla de elementos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2). • Fila de uma matriz significa linha ou coluna indistintamente. • A matriz Amxn é chamada:

⇔ Quadrada ⇔ Matriz Linha ⇔ Matriz Coluna ⇔

Retangular

mn m=n m=1



1 5 6

Matriz Quadrada: B=



1 4

3 6

Matriz Linha: C = [1 2 6



7. Adição de matrizes

1 linha

Matriz nula é aquela que tem todos os elementos iguais a zero. É representada pelo símbolo Omxn. Exemplo 0 0 O3×2 = 0 0 0 0



3. Matriz unidade ou matriz identidade

∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}



0

0

0 …1

Matriz identidade de ordem 3: 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1





4. Matriz oposta A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz – A = (– aij)mxn.

2

MATEMÁTICA

Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a soma dos elementos correspondentes de A e B. Simbolicamente:

C = A + B ⇔ cij = aij + bij

para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}

8. Subtração de matrizes Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem, define-se diferença entre A e B como sendo a soma de A com a oposta de B.

A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou identidade de ordem n e é representada por In, se e somente se: 1 0 0 …0 0 1 0 …0 aij = 1 ⇔ i = j ⇔ I = 0 0 1 …0 n aij = 0 ⇔ i  j ......................……



A = B ⇔ aij = bij

para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}

2. Matriz nula



• Obter a transposta é trocar, ordenadamente, linhas por colunas •• A transposta da transposta de A é a própria matriz A

Simbolicamente:

2 linhas 2 colunas 7]

Saiba mais

Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes forem dois a dois iguais. Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij de A é igual ao correspondente elemento bij de B.

3 linhas 2 colunas



?

6. Igualdade de matrizes

Matriz Retangular: 2 4 3

A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz A = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} t

n=1

Exemplo

A=

5. Matriz transposta



Simbolicamente:

A – B = A + (– B)

9. Multiplicação de número real por matriz Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, definese o produto de α por A como sendo a matriz B= (bij)mxn tal que cada elemento bij de B é igual ao produto do número α pelo correspondente elemento da matriz A. Simbolicamente:

B = α . A ⇔ bij = α . aij

para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} Exemplo: 3.



1 4

3 0

7 –3

 =  12 3

9 21 0 –9



C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 3

���

(UERJ – MODELO ENEM) – A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.



35,6

36,4

38,6

38,0

36,0

36,1

37,0

37,2

40,5

40,4

35,5

35,7

36,1

37,0

39,2



M=

P=

Determine a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. Resolução a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.

 

Sabe-se que duas matrizes de mesma ordem são iguais quando possuem todos os elementos correspondentes, dois a dois, iguais. Por exemplo, com relação às matrizes



A=

–1

6

0

,B= 

2

–1

6

0

 eC= 

8

–1

6

0

12

–2



1

–1

2

3

0

–3

1



=



d) 2M =

observa-se que A = B e A ≠ C. Considere as matrizes

Questões de

5

   ,N=

2

–1

x

y

0

5

z

–2

1



e

.



2

–1

3

0

0

5

–2 1 –1+2

0+0

0–3

5+1

12 + 5 2

–2+0 –1 3

1+0



12

  +

2–1

c) M – P =

���

2

3

0

b) M + P =

=

a13 + a23 + a33 38,6 + 37,2 + 36,1 111,9 ––––––––––––––– = –––––––––––––––– = –––––– = 37,3 3 3 3

–1

0

5 0 0 Determine: a) x + y + z, sabendo que M = N b) M + P c) M – P d) 2M Resolução a) Se M = N, temos: x = 3, y = 0 e z = 12. Dessa forma, resulta x + y + z = 3 + 0 + 12 = 15

b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:

2

0

5

12

–2

1



–1–2

3–3

–

0+3

5–1

–2–0

1–0



2.(– 1)

3

–3

1

5

0

0 1



2.3

2.0

2.0

2.5

2.12

2.(– 2)

2.1

=

1

6 6

–2

1

2

0

–3

1

5

0

4

=

=

–3

–1

=



0 17 3

  

0–0 12 – 5 2.2

2

0

3+3

0

2+1

–1

0



3

–3

0

0

3

4

7

–2

1



=

–2

6

0

0

10

24

–4

2





��� a ���.

Sendo A = (a ij ) 2x3 tal que aij = i + 2j, ∀i ∈ {1; 2} ∀j ∈ {1; 2; 3}, pede-se:

���

Escrever a matriz A.

RESOLUÇÃO: A=



a11

a12

a13

a21

a22

a23



⇒ A=



3 4

5 6

7 8



���

Escrever a matriz transposta de A.

RESOLUÇÃO: At =

���



3 5 7

4 6 8



Escrever a matriz oposta de A.

RESOLUÇÃO: –A=



–3 –5 –7 –4 –6 –8

 MATEMÁTICA

3

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 4

���

(MODELO ENEM) – Uma loja guarda as camisas que estão à venda em uma prateleira que permite separá-las em tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca e preta), conforme a figura seguinte:

Verde

Azul

Branca

Preta

Pequeno

���

Se A =



1 x

3 y

,

2 1

 2x – 1 1

B=

z 4

2 1

e

A = B, qual o valor de x + y + z? RESOLUÇÃO:



3=z x = 2x – 1 y=4



z=3 x=1 y=4



3 2 1

1 4 1

3 2 1

1 4 1

 

⇒

⇒ x+y+z=1+4+3=8

Médio Grande Para controlar o estoque, a loja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em que (i; j) indica a posição em que as camisas se encontram na prateleira e aij indica a quantidade de camisas daquela cor e tamanho correspondente. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quando A = a) b) c) d) e)



2 1 9

7 6 2

4 5 0

3 8 4



, pode-se dizer que

existem 7 camisas verdes médias. existem 18 camisas médias. existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas. estão em falta camisas azuis grandes. há mais camisas grandes que pequenas.

���

Sendo A =



eB=





=

1 4 2

0 1 3



, obter 2A – B.

RESOLUÇÃO: 2.A–B=2.

=



6 4 2

2 8 2



  –

1 4 2

1 4 2

0 1 3

 

5 0 0

–

0 1 3

=

2 7 –1



RESOLUÇÃO: Conforme a matriz, têm-se: 1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas grandes. Resposta: C

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M101

2

Multiplicação de matrizes

1. Definição O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento cij de C é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da j-ésima coluna de B.

4

MATEMÁTICA

• Produto • Linha por coluna

Simbolicamente

C = A.B

 cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 5

Note que, sendo A = (aij)2x7 e B = (bjk)7x5, temos: a) A matriz produto A . B existe, pois o número de colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B (sete); b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5 colunas. c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o número de colunas de B (cinco) é diferente do número de linhas de A (dois).

2. Existência da matriz produto a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B; b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B; c) A existência de A. B não implica a existência de B . A.

���

Dadas as matrizes A =

obter a matriz A.B.

冢

1 3

2

2 1 1

冣

e B=

2x3

冢

2 1 3 1 0 2 1 1 0

冣

(

,

3x3

)(

)

2

. 1

2

1

1

1

=

Resolução •

O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira

( =

•

1

2

)(

)

2

. 1

(

1

•

)(

1.2 + 3.1 + 2.1

(

=

3

2

)( .

)

1 0 1

) (

7

)

3

=

primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:

( =

•

3

2

)( .

(

7

3

3 2 0

7

3

9

=

2.2 + 1.1 + 1.1

(

)

•

2

1

(

6

)

) ( =

3

9

)

O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:

)

7

3

=

9

) (

7

3

6

3

)

9

=

6

2.1 + 1.0 + 1.1

segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:

(

)(

3 2 0

.

2

= 7

1

O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a

=

1.3 + 3.2 + 2.0

)(

1 0 1

.

=

O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a

1

) (

9

O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a

=

1.1 + 3.0 + 2.1

7

3

segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:

)

7

=

1

7

=

O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:

( •

3

(

=

linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:

(

1

1

7

3

)

=

9

) (

7

3

9

6

3

8

=

6

3

2.3 + 1.2 + 1.0

)

Assim sendo, A.B=

冢

1 3

2

冣冢 .

2 1

1

2 1 1

1 3 0 2 1 0

冣冢 =

7

3

9

6

3

8

MATEMÁTICA

冣 5

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 18:03 Página 6

���

Para que exista o produto entre duas matrizes, Amxn e Bpxr, é preciso que n = p, ou seja, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Existindo o produto, a matriz C, resultante do produto AB, terá o mesmo número de linhas que a primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz. Dessa forma, se n = p, então Amxn . Bpxr = Cmxr.

冢

Dadas as matrizes mine: a) A.B

2 –1

3 0

冣

e B =

冢

1 1 –1 2

0 5

冣,

deter

Dessa forma, resulta C =

b) B.A

���

2 –1

3 0

冣 冢 .

1 –1

1 2

Dadas as matrizes A =

0 5

冣 冢 =

c11 c21

c12 c22

c13 c23

冣

Respostas: a) C =

冢 23 14 冣 e B = 冢 11 52 冣, obter A.B.

冢3 2

冣

1 4

���

Sendo A =

冤

冢

– 1 8 15 –1 –1 0

3 –2

1 1

冣

b) não existe B.A.

冥

5 ,eB= –3

冤

2 –1 1 3 2 –4

1 2 5

冥

,

obter, se possível, A . B e B . A

RESOLUÇÃO: A.B =

– 1 8 15 –1 –1 0

matriz B, é diferente do número de linhas (2) da segunda matriz A.

a) A2x2 . B2x3 = C2x3 ⇒

冢

冢

b) B2x3.A2x2 não existe, pois o número de colunas (3) da primeira

Resolução

⇒

Observe que: c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 2 . 1 + 3 . (– 1) = –1 c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 2 . 1+ 3 . 2 = 8 c13 = a11 . b13 + a12 . b23 = 2 . 0 + 3 . 5 = 15 c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = (– 1) .1 + 0 . (– 1) = – 1 c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = (– 1) . 1 + 0 . 2 = – 1 c23 = a21 . b13 + a22 . b23 = (– 1) . 0 + 0 . 5 = 0

冣.冢1 1

5 2

冣=冢7

3 12 23

冣

RESOLUÇÃO: A.B=

冤

3 1 5 –2 1 –3

冥

.

冤

2 –1 1 3 1 2 –4 2 5

冥

=

冤

–11 11

8 30 –3 –15

冥

∃B.A

���

Sendo A =

冢

0 –1 2 1 3 –2 0 5 –1

冣

eB=

冢

1 2 3 –1 2 –2

2 0 4

冣

,

��� (FATEC) – Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são, respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A – B).C é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

calcular a matriz A . B.

RESOLUÇÃO: A.B =

6

冢

–1 1 0

2 3 5

0 –2 –1

冣冢 .

MATEMÁTICA

2 1 –1 3 2 –2

2 0 4

冣 冢 =

–4 –5 –7

5 14 17

–2 –6 –4

冣

RESOLUÇÃO: I) Se existe A3xr – B3xs, então as matrizes A e B possuem a mesma ordem. Portanto, r = s e (A – B)3xr. II) Se (A – B)3xr.C2xt = [(A – B).C]3x4, conclui-se que r = 2 e t = 4. III)De (I) e (II), conclui-se que r = s = 2 e t = 4 e, portanto r + s + t = 8. Resposta: B

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 7

���

(UFRJ – MODELO ENEM) – Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas de mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

B =



10 8 4

12 8 6



representa a tabela 2 e a matriz C = B.A 3× 2

representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo. C=



10 8 4

12 8 6



.



MADEIRA

BÁSICO

LUXO

REQUINTE

Mogno

3

5

4

Cerejeira

4

3

5



TIPO

BÁSICO

LUXO

REQUINTE

Dourada

78

86

100

Prateada

56

64

72

Bronzeada

36

38

46

Resposta: D

MADEIRA TIPO

MOGNO

CEREJEIRA

Dourada

10

12

Prateada

8

8

Bronzeada

4

6

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188 RESOLUÇÃO:

 2× 3 representa a tabela 1, a matriz

3

86 100 64 72 38 46

No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.

Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005





78 56 36

FECHADURAS POR MODELO

MODELO

A matriz A =

=

Assim,

Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005

3 5 4 4 3 5



3 5 4 4 3 5

Propriedades

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M102

• Comutativa • Anulamento de produto • Cancelamento

1. Comutativa

pode “cancelar” A e concluir que B = C. Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que AB = AC e B  C.

A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que AB  BA.

4. Propriedades da transposta

2. Anulamento do produto

Se A e B forem matrizes conformes para a operação indicada e k é um número real, então:

a) A = B ⇔ At = Bt

Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A  0, B  0 e AB = 0.

c) (A + B)t = At + Bt

3. Cancelamento

d) (kA)t = k . At

Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se

e) (AB)t = Bt . At

b) (At)t = A

MATEMÁTICA

7

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 8

���

Dadas as matrizes

A=



 

1 0 , B= 2 1

c)

2 1 0 1

determine: a) AB b) BA



e C=





2 0

c) AC

0 , 2



A.C=



A.B=

1 2



0 1



d) CA



d)

b)



1 3





2 0

2 4

B.A=



C.A=



1 1

4 2

1 1

1 2

.

 



0 1

=



=

a) A.B =

c) A.C =

1 3

0 2



���

=

2 0

0 2

 .

1 2

0 1



2 4

A=



0 2

1 3

A.B =



=



=



2 4

1 3



b) B.A =



2 4

0 2



d) C.A =



4 2

1 1





2 4

0 2



(B + C) . A =

–2 5

 eC=  1 2



=

2.0 + 0.1 = 0.0 + 2.1

��� e ���.

, B = 

Considere as matrizes



3 , –4



3 4

1 1

1 1





eB=

1 1 –1 –1



determine A.B e B.A. Resolução

B.A =

  

1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)



1 1 –1 –1

 =

=

Respostas:



2

0 2

2 0

Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.



–2

2 4

.

 



2.0 + 1.1 = 0.0 + 1.1

Enunciado para questões Sendo A =





1.0 + 0.2 = 2.0 + 1.2

= 2.1 + 0.2 0.1 + 2.2

=

1.1 + 0.1 = 2.1 + 1.1

= 2.1 + 1.2 0.1 + 1.2 =

1 1



= 1.2 + 0.0 2.2 + 1.0 =

2 0

.

0 1

= 1.2 + 0.0 2.2 + 1.0

Resolução a)

1 2

1 1

1 1

0 0

0 0

 .

1 1 –1 –1



=

1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)



=

 

1 1

.

1 1



=

1.1 + 1.1

1.1 + 1.1

(– 1).1 + (– 1).1

(– 1).1 + (– 1).1

2

2

–2

–2

=



Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de números reais, temos A.B=O sendo A ≠ O e B ≠ O, em que O é a matriz nula.

1 1

 .  –22

1 3

=

4 6

6 7



Conclusão: Observe que A . (B + C) ≠ (B + C) . A

obter:

���

A.B e B.A

RESOLUÇÃO: A.B=



B.A=



2 1 –2 3

.

1 19

 



6 –5 = – 4 18



1 –2 = 3 5

 

5 7

 

1 –2 2 1 . 3 5 –2 3

���

Considere as matrizes A =

determine A . B.

 2 4  eB=  1 1 2

–2 –6 3

e

RESOLUÇÃO:

Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B e B.A nem sempre são iguais.

A.B=

2 1

. 4   2

=  3  0 0 

–2 –6 1

0 0

Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A  0, B  0 e A . B = 0.

���

A . (B + C) e (B + C) . A

RESOLUÇÃO: 1 –2 + B+C= 3 5



A . (B + C) =

8

 

 –22

1 3

 

2 3 = 1 –4

3 4

.

 =  10 6

3 4

MATEMÁTICA

1 1

1 1

 3 1



C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 9

���

(UNESP – MODELO ENEM) – Uma rede de comunicação tem cinco antenas que transmitem uma para a outra, conforme mostrado na matriz A = (aij), em que aij = 1 significa que a antena i transmite diretamente para a antena j, e aij = 0 significa que a antena i não transmite para a antena j.



0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0



Este resultado significa que existem 3 maneiras distintas de a antena 4 transmitir informações para a antena 1, usando apenas uma única retransmissão entre elas. A saber: 4 transmite para a antena 2 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 3 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 5 e esta retransmite para 1. Resposta: D

Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A2? a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 não transmite para a antena 1. b) Como b41 = 1, isso significa que a antena 4 transmite para a antena 1. c) Como b41 = 3, isso significa que a antena 4 transmite para a antena 1. d) Como b41 = 3, isso significa que existem 3 maneiras diferentes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usando apenas uma retransmissão entre elas. e) Como b41 = 3, isso nada significa, pois bij só pode valer 0 ou 1, conforme definido no enunciado da questão. RESOLUÇÃO Como B = A2 = A . A, temos: b41 = a41 . a11 + a42 . a21 + a43 . a31 + a44 . a41 + a54 . a51 = =1.0+1.1+1.1+0.1+1.1=3

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M103

Determinantes

4

• Matriz quadrada • Determinante é número • Matriz é tabela

1. Conceito Submetendo os elementos de uma matriz quadrada (tabela de números) a operações (mediante uma definição), obtém-se como resultado um número que é chamado determinante dessa matriz. O determinante da matriz

M=



a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . an1 an2 .

det M ou det



… … … … …

a1n a2n . . ann

a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . an1 an2 an3

 … … … … …

ou

? é indicado por:

a1n a2n . . ann



a11 a21 . . an1

a12 a22 . . an2

a13 a23 . . .

… … … … …

a1n a2n . . ann

Saiba mais

a) Matriz é tabela de números reais. b) Determinante é um número real. c) Só se define determinante se a matriz for quadrada.

2. Como calcular a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11 MATEMÁTICA

9

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 10

b) Matriz de Ordem 2

A=



a11 a12 a21 a22



⇒ det A =

II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e a13 . a21 . a32 a11 a12 a21 a22



= a11.a22 – a12.a21 

c) Matriz de Ordem 3 Neste caso, podemos usar um dispositivo prático (Regra de Sarrus), que consiste em: I) Repetir as duas primeiras colunas ao lado na terceira coluna:

det A =

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e a12 . a21 . a33

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21 . a33

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO MAT2M104

���

Calcular o determinante da matriz A =



1 2 1

2 2 3

1 0 3



det A =

���

1

2

1

1

2

2

2

0

2

2 =

1

3

3

1

3





Sendo A =

4 1



3 2

10

1 4

3 2



 , obter det A

RESOLUÇÃO: det(A) =

=1.2.3+2.0.1+1.2.3–1.2.1–3.0.1–3.2.2= = 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2 Resposta: det A = – 2

���

Resolução

= 1 . 2 – 3 . 4 = – 10

MATEMÁTICA



(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite

Calcular o determinante da matriz A =

Resolução det A = 

2

5

3

7

= 2 . 7 – 5 . 3 = –1

Resposta: det A = –1

3 7 2

5

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 11

���

Calcular det



1 –1 3

1 2 1

3 1 3



1 –1 3

1 = 2 1

3 1 = 3

RESOLUÇÃO: 1 = 2 1

���

1 –1 3

3 1 3

= – 6 + 16 = 10

Sendo A =

3 2

0 –1 2 –3

eB=2 1

4 0 –1 1

 , calcular

��� (UNESP-adaptado – MODELO ENEM) – Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que

det (At . B). RESOLUÇÃO: At . B =



2 0 –1

3 2 –3



.



1 2

4 0 –1 1

=



8 5 3 4 –2 2 –7 –1 –3

A=



det(At . B) = 48 – 70 – 12 – 42 + 16 + 60 = 0



1

–1

1

3

0

0

2

–x 2 –– 3



Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 RESOLUÇÃO 2 p(x) = det A = 1 . 0 . ––– + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) – 3 2 – 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . ––– = 3 = 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8 Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18 Resposta: A

��� (FEI – MODELO ENEM) – As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por: aij =

j

2i + f, se i = j em que f é o valor associado à face cor, se i ≠ j

respondente. Qual é o valor do determinante da matriz registrada na face 5? a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 e) 0 RESOLUÇÃO: Para a face 5, temos f = 5. Dessa forma, os elementos da matriz A são definidos por aij =



2i + 5, se i = j j, se i ≠ j

Assim, det (A) = det

 1 9  = 63 – 2 = 61 7 2

Resposta: B

MATEMÁTICA

11

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 12

Determinante nulo

5

• Fila nula • Filas paralelas iguais • Filas paralelas proporcionais • Fila combinação linear

1. Fila nula

3. Filas paralelas proporcionais

O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui uma fila nula.

O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui duas filas paralelas proporcionais.

Exemplo

2 0 3 0 5 0

Exemplo

7 3 = 0, pois a segunda coluna é nula. 1

5 2 15 6 1 5

3 9 = 0, pois a segunda linha é 2 proporcional à primeira (L2 = 3.L1).

De fato:

De fato:

2

0

7

2

0

3

0

3

3

0

5

0

1

5

0

– 0 – 0 – 0

+

= 0

0 + 0 + 0

5

2

3

5

2

15

6

9

15

6

1

5

2

1

5

– 18 – 225 – 60

+

= 0

60 + 18 + 225

2. Filas paralelas iguais

4. Fila combinação linear

O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.

O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui uma fila que é combinação linear das demais filas paralelas. Exemplo

Exemplo

1 3 1

5 4 5

2 4 2

= 0, pois a primeira linha é igual à terceira (L1 = L3).

1 1 3

2 0 = 0, pois a terceira linha é combina4 ção linear das duas primeiras (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).

De fato:

De fato:

1

5

2

1

5

3

4

4

3

4

1

5

2

1

5

– 8 – 20 – 30

12

1 3 5

MATEMÁTICA

+

= 0

8 + 20 + 30

1

1

2

1

1

3

1

0

3

1

5

3

4

5

3

– 10 – 0 – 12

+

= 0

4 + 0 + 18

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 13

���

Dada a matriz A =



a 0 6

b c 8

5 d e



pois , mostrar que

a) se c = d = 0, então det A = 0. b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então det A = 0. c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então det A = 0. d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então det A = 0. Resolução a)



a 0 6

b 0 8



5 0 e





6 8 5 e det A = 0, 0 c d 6 8 5 pois a 3a. linha é igual à 1a. linha. c)



3 0 6

4 c 8



5 d 10

6

8

32

6

8







1 0 6

1 1 8

Nas questões de

2 6 0

5 5 0

5 1 32



e det A = 0,



=





Note que, neste caso, det A = 0 e em A não há fila nula, nem filas pa-

(3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).

��� 3 4 1

Resolver, em , a equação: 2 1 –1

3 5 1

2 x =0 5

Resolução

3

2

2

3

2

4

1

x

4

1 =0 ⇔

��� a ���,



–1 

5

1





–1 



⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7 Resposta: V = {7} Observação: Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação linear das outras duas. De fato: 3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)

“calcular” os determinantes.

4 8 =0 0

Observações: Se todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.

a b c



1

se a = b = c = d = 1 e e = 32, então: A=

���

1

= 32 + 6 + 0 – 30 – 8 – 0 = 0

e det A = 0,

pois a 3a. linha é proporcional à 1a. linha (3a. linha = 2 . (1a. linha)).

���

1

0

se a = 3, b = 4 e e = 10, então: A=

d)

1

1

Verifique, por exemplo, que: e det A = 0,

se a = 6, b = 8 e e = 5, então: A=

5

1

das filas é combinação linear das demais filas paralelas.

pois a segunda linha é nula. b)

1

0

ralelas iguais e nem filas paralelas proporcionais. Certamente, uma

se c = d = 0, então: A=

1

a b = 5ac + ab + 3bc – 5ac – ab – 3bc = 0 c

Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas paralelas iguais, então det (M) = 0.

���

1 2 3

2 4 6

5 1 = 2

1 2. 2 3

1 2 3

5 1 =2.0=0 2

Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas paralelas proporcionais, então det (M) = 0.

���

1 3 2 = a b c 1+a 3+b 2+c

= b.(2 + c) + 2a.(3 + b) + 3c(1 + a) – 2b(1 + a) – c(3 + b) – 3a(2 + c) = = 2b + bc + 6a + 2ab + 3c + 3ac – 2b – 2ab – 3c – bc – 6a – 3ac = 0 Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é combinação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.

MATEMÁTICA

13

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 14

a 5 3

���

b 3 1

2a – 3b 1 3

��� (MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de estagiário foram distribuídos em uma sala de espera, como representado a seguir: Alberto Bruno André Carlos Denise Alvaro Daniele Fernanda Barone

= 0



Observando que cada elemento da coluna 3 é igual ao dobro do correspondente elemento da coluna 1 subtraído do triplo do correspondente elemento da coluna 2, conclui-se que o determinante é nulo.

��� O valor de x que satisfaz a equação a)

1

b) 2

c) 3

2 7 1

3 –1 4

d) 4

5 6 x



A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. O determinante dessa nova matriz é igual a: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 RESOLUÇÃO: A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do respectivo nome é: 1 2 1 1 2 1 e o seu determinante é 3 3 4 1 4 1 = 0, pois a 4 6 2 4 6 2



=0é

e) 5



terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à soma da primeira linha com a segunda linha. Resposta: C.

RESOLUÇÃO: 2 3 5 7 –1 6 = 0 ⇔ –2x + 18 + 140 + 5 – 21x – 48 = 0 ⇔ 1 4 x ⇔ – 23x + 115 = 0 ⇔ 23x = 115 ⇔ x = 5 Observe que para x = 5, C3 = C1 + C2 Resposta: E

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M105

Determinante se altera

6

• Muda de sinal • Multiplicando a matriz por α • Multiplicando o determinante por αn

1. Trocando filas paralelas O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição. Exemplo Trocando entre si as duas últimas colunas, por exemplo, obtêm-se

2

3

1

2

3

5

0

2

5

0

1

1

0

1

1

–0 – 4 – 0

14

MATEMÁTICA

+

= 7

0 + 6 + 5

e

2

1

3

2

1

5

2

0

5

2

1

0

1

1

0

–6 – 0 – 5

+

4 + 0 + 0

= –7

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 15

2. Multiplicando uma fila por α O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por α, quando os elementos de uma fila são multiplicados por α. Exemplo Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:

1 2 3 1 1 2 1 3 0

3 6 9 1 1 2 1 3 0

e

= 4

= 3 .

1 2 3 1 1 2 1 3 0

= 12

De fato:

1

2

3

1

2

3

6

9

3

6

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

3

0

1

3

1

3

0

1

3

–3 – 6 – 0

+

4

0 + 4 + 9=

– 9 – 18 – 0

+

0 + 12 + 27 =

12

3. Multiplicando a matriz por α O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por por α. Exemplo M=



1 2 1

1 3 4

–1 0 1



⇒ det M =

1 2 1

1 3 4

–1 0 1

αn, quando a matriz é multiplicada

= –4

Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se

2M =



2 4 2

2 6 8

–2 0 2



⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32

De fato:

1

1

–1

1

1

det M = 2

3

0

2

3

1

4

1

1

4

=+3 – 0 – 2

+

det (2M) =

=

3 + 0 – 8=

–4

2

2

–2

2

2

4

6

0

4

6 =

2

8

2

2

8

+ 24 – 0 – 16

Resolução

���

Calcular o valor de

do-se que

1 2 3

2 x 4

5 8 2

2 x 4

3 6 9

= – 17.

5 8 , saben2

2 3 5 Para calcularmos o valor de x 6 8 , é im4 9 2 portante que observemos que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto, podemos colocar o 3 em evidência. Dessa forma, resulta

2 x 4

+

3 6 9

24 + 0 – 64 =

5 2 8 =3. x 2 4

1 2 3

– 32

5 8 2

Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colunas, desse novo determinante, de posição entre si, obteremos o determinante cujo resultado é igual a – 17. Não podemos esquecer que ao trocar duas linhas ou duas colu-

MATEMÁTICA

15

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 16

nas de posição entre si, o sinal do determinante é alterado. Assim, temos: 2 x 4

3 6 9

5 2 8 =3. x 2 4 1 2 3

=–3.

2 x 4

1 2 3

5 8 = 2

���

Calcular o determinante da matriz



2n y b

6m 3x 3a

a

b

c

m

n

p

2p z c



2n y b

= (– 3) . (– 17) = 51

6m 3x 3a

n

p

y

z

a

b

c

a =–6. m x

b n y

c p = – 6k z

, sabendo-se que

=k

x y z Resolução

5 8 = 2

m =–6. x

2p n z =2.3. y c b

m x a

p z = c

2n y b

Resposta:

Resposta: 51

Considere as matrizes A=



1 3

2 8

, B = 

2 8

resolva as questões de

���



1 ,C= 3



3 3

6 8

, D = 

3 6 9 24

e

��� a ���.

Calcular det(A) e det(B).

RESOLUÇÃO: det(A) =

1 3

2 =8–6=2 8

det(B) =

2 8

1 =6–8=–2 3

Observação: Comparando os determinantes da matriz A e da matriz B, verificamos que o determinante de uma matriz quadrada muda de sinal quando trocamos duas filas paralelas de posição entre si.

���

RESOLUÇÃO: det(C) =

3 3

6 = 24 – 18 = 6 = 3 . 2 = 3 det A 8

Observação: Os elementos da primeira linha da matriz C são iguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A, multiplicados por 3. Por este motivo, o det(C) = 3 . det A.

16

MATEMÁTICA

p c z

2p z = – 6k c

RESOLUÇÃO: det(D) =

3 9

6 = 72 – 54 = 18 = 9 . 2 = 32 . 2 = 32 . det A 24

Observação: A matriz D = 3 . A, enquanto det D = 32 . det A, pois A e D são matrizes de ordem 2.

���

Dado que A =

a) – 30 Obter det(C).

6m 3x 3a

n b y

Calcular o determinante da matriz D.

concluir que det

���

m =+6. a x





b n y

2c 2b 2a 3p 3n 3m z y x

b) – 5

RESOLUÇÃO: 2c 2b 2a c 3p 3n 3m = 2 . 3 . p z y x z Resposta: A

a m x

c) 10

c p z





e det(A) = 5, podemos

é igual a: d) 15

b a a b n m =–6. m n y x x y

e) 30

c p = (– 6).5 = – 30 z

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 17

���

(PUC-MG) – M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M) = 2. O valor da expressão det(M) + det(2M) + det(3M) é: a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72 RESOLUÇÃO: Sendo M uma matriz quadrada de ordem 3 e det(M) = 2, temos: det(2M) = 23.det(M) = 8.2 = 16 e det(3M) = 33.det(M) = 27 . 2 = 54 Assim, det(M) + det(2M) + det(3M) = 2 + 16 + 54 = 72 Resposta: E

Considere os determinantes 1 1 0 0 –1 2 –3 2 3 3 . Utilize seus – 6 – 6 5 5 1 3 A = e B = 2 2 5 5 1 1 3 9 3 3 2 –3 3 6 –3 3 conhecimentos sobre o tema e o texto da questão para determinar qual das alternativas relaciona de forma correta A e B. A a) B = A b) B = – A c) B = ––– 2 d) B = 3A e) A = 3B RESOLUÇÃO: B=

–3 2 0 3 5 –6 9 1 5 6 –3 3

1 3 2 3

=3.

–1 2 0 1 5 –6 3 1 5 2 –3 3

1 3 2 3

=3.A

Resposta: D

���

(MODELO ENEM) – Sabe-se que multiplicar o determinante de uma matriz quadrada por um número real k é o mesmo que multiplicar os elementos de uma única fila (linha ou coluna) desse determinante por k. Por exemplo: a k. m x

b n y

ka b = km n kx y

c ka kb kc a b c a b c p = m n p = km kn kp = m n p = z x y z x y z kx ky kz c a kb p = m kn z x ky

c a p = m z x

No Portal Objetivo

kc kp kz

b n y

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M106

Determinante não se altera

7

• Trocando linhas por colunas • Somando uma combinação linear

1. Trocando linhas por colunas O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas colunas. t Simbolicamente det A = det A Exemplo



M=

–2 1 3

1 1 4

5 3 1



⇒ det M = det

Mt

–2 1 = 3

1 1 4

5 3 1

= 35

De fato:

det M =

–2

1

5

–2

1

1

1

3

1

1

3

4

1

3

4

– 15 + 24 – 1

=

35

– 2 + 9 + 20

det Mt =

–2

1

3

–2

1

1

4

1

1 =

5

3

1

5

3

– 15 + 24 – 1

–

2

1

35

+ 20 + 9

MATEMÁTICA

17

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 18

2. Somando uma combinação linear Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear das demais filas paralelas, obteremos uma nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi). Exemplos:

51 7

43 6

=

De fato:

51 7

43 6

1)

1 –2 1 2 1 5 –3 4 –2

2)

51 + (–7) . 7 7

43 + (–7) . 6 6

1 2 –3

=

2 7

e

= 306 – 301 = 5

=

1 6

2 7

1 6

= 12 – 7 = 5

1 + 2 . 1 + 3 .(– 2) 5+2. 2 +3. 1 – 2 + 2.(– 3) + 3 . 4

–2 1 4

1 –2 –3 2 1 12 –3 4 4

=

De fato:

1

–2

1

1

–2

2

1

5

2

1

–3

4

–2

–3

4

+ 3 – 20 – 8

���

Considere a matriz A =



=

–

2 + 30 + 8

1 0 1

–2 1 2 –6 0 1



11

1 0 1

. Calcule det(A) e

1 0 1

–3

1

2

1

12

2

–3

4

4

281 det(M) = 394 211

2 3 2

= 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12

–2 1 =

–3

+

11

4

4 + 72 – 24

8 9 , adicionando à primeira coluna de M, 1

a seguinte combinação linear: – 100.(coluna 2) – 10.(coluna 3) 281 Dessa forma resulta det(M) = 394 211

–2 1 2 – 6 = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12 0 1

1 0 det(At) = – 2 2 1 –6

–2

– 9 – 48 + 16

det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se obtém trocando, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas. Resolução det(A) =

1

=

281 – 100.2 – 10.8 394 – 100.3 – 10.9 211 – 100.2 – 10.1

2 3 2

8 9 1

2 3 2

=

8 9 1 1 4 1

=

2 3 2

8 9 1

Observe que det(A) = det(At) Resposta: det(A) = det(At) = 12

���

Calcular o determinante da matriz M =



281 394 211

2 3 2

8 9 1



Note que, embora o determinante original e o novo determinante sejam iguais, o determinante resultante pode ser calculado mais facilmente. .

Resolução Lembrando que o determinante de uma matriz não se altera quando adicionamos a uma fila qualquer uma combinação linear das demais filas paralelas, podemos calcular

18

MATEMÁTICA

281 Assim det(M) = 394 211

2 3 2

8 9 1

1 = 4 1

= 3 + 18 + 64 – 24 – 18 – 8 = 35 Resposta: 35

2 3 2

8 9 = 1

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 19

���

Calcular os determinantes de A =



2 –1 3 –2 –2 3 0 3 1



e de

At (transposta de A). RESOLUÇÃO: 2 –1 det A = – 2 – 2 0 3

a b c

1 O valor de 1 1

a) 1

b) 0

b+c a + c é: a+b c) abc

d) a + b + c

e) 3

RESOLUÇÃO: Somar a 2a. coluna na 3a. coluna.

3 3 = – 42 1

2 –2 det(At) = – 1 – 2 3 3

���

0 3 = – 42 1

1

a

b+c

1

b

a+c

1

c

a+b

1 =

a a+b+c

1

a

1

1 b a + b + c = (a + b + c) . 1 b 1 = 0 1

c a+b+c

1

c

1

Resposta: B At,

Observação: Comparando os determinantes de A e de verificamos que o determinante de uma matriz A não se altera quando trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente, det A = det At.

���

Sejam A =

B=



1 0 2

2 1 0



1 0 2

2 1 0

2 1 1



���

e

2+2.1+3.2 1+2.0+3.1 1+2.2+3.0

  =

1 0 2

2 10 1 4 0 5



a) 0

O valor do determinante b) 2

c) – 2

1 17 –5

3 –2 52 – 33 é: – 16 11 d) 1

e) 572

RESOLUÇÃO:

A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos elemen-

I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.

tos da 3a. coluna uma combinação linear das outras colunas.

II) multiplicar a 1a. linha por (5) 1 3 1 3 –2 1 17 52 – 33 = 0 0 –1 – 5 –16 11

Calcular det(A), det(B) e observe que, apesar de A ≠ B, temos det(A) = det(B).

e somar na 3a. linha. –2 1 =2 1

Resposta: B RESOLUÇÃO: 1 2 det(A) = 0 1 2 0 1 det(B) = 0 2

2 1 0

2 1 =1+4+0–4–0–0=1 1 10 4 = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1 5

MATEMÁTICA

19

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 20

���

(MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de

uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou

o valor do determinante da matriz A =



2 0 0 0 0

4 3 0 1 2

6 1 0 2 1

3 4 3 1 5

8 2 0 3 1



B=



0 3 1 4 2

0 0 0 3 0

0 1 2 1 3

0 2 1 5 1



.

.

Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resultados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais. O professor então comentou que o que eles haviam observado era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos ordenadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A, representada por At, cujo determinante é igual ao determinante da matriz original. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos considerar que essa propriedade pode ser expressa matematicamente pela sentença: 1 a) det(A) = – det(A) b) det(A) = –––––– det(A)

8

1. Menor complementar O menor complementar Dij, do elemento aij da matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.

2. Cofator ou complemento algébrico O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é Aij = (–1)i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.

O determinante de qualquer matriz quadrada M de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos cofatores.

20

MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO: Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A e representada por At. O que o professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente, det(A) = det(At). Resposta: D

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M107

Abaixamento da ordem

3. Teorema de Laplace

d) det(At) = det(A)

e) det(At) = – det(A)

Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 2 4 6 3 8

1 c) det(A) = ––––––– det(At)

• Menor complementar • Cofator • Teorema de Laplace

Simbolicamente: a11 a12 . . ai1 ai2 Se M = . . an1 an2



… … …

a1j . aij . anj

… … …

a1n . ain . ann



, então

det M = a1j . A1j + a2j . A2j + … + aij . Aij + … + anj . Anj ou

det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain O Teorema de Laplace permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a ordem.

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 21

���

Calcular o menor complementar e o cofator do elemento a23 da matriz M =

冢

1 4 1

5 8 2

2 3 –1

冣

��� M=

Resolução

冢

Na matriz M =

1 4 1

5 8 2

2 3 –1

冣

1

5

1

2

A23 = (–

1)2 + 3

, temos

5 8 2

. D23 = (–

1)5

Na matriz M =

.

1

5

1

2

A13 = (–1)1 + 3 .

冢

1 4 1

5 8 2

冢

Calcular o determinante da matriz

M=

冢

1 4 1

5 8 2

2 3 –1

冣

aplicado o Teorema de

Laplace e utilizando a 3a. coluna. 2 3 –1

冣

Resolução , temos

De acordo com os exercícios 1 e 2, temos A13 = 0; A23 = 3; A33 = –12.

4

8

1

2

A33 = (–1)3 + 3 .

1

5

4

8

= 1 . (8 – 8) = 0

Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos: det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =

= 1 . (8 – 20) = – 12

= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21

Resposta: A13 = 0; A33 = – 12

1 0 –1 2 –2 5 –3 4 3

冣

, pedem-se:

2a.

a) os cofatores dos elementos da linha de M. b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na segunda linha de M.

��� M=

Resposta: det M = 21

Calcular os cofatores dos elementos a14 e a44 da matriz

冢

3 –1 2 1

4 2 –3 2

2 1 1 5

–1 0 0 –1

冣

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO: 0 4

–1 3 =–1.4=–4

1 –1 A22 = (–1)2+2 – 3 3 = 0 A23 = (–1)2+3

冣

=

Resposta: D23 = – 3; A23 = 3

Dada a matriz M =

���

Logo:

=2–5=–3

a) A21 = (–1)2+1

2 3 –1

a13 = 2 e a33 = – 1

= (– 1) . (– 3) = 3

���

冢

1 4 1

Resolução

a23 = 3 e, portanto, D23 =

Calcular os cofatores dos elementos a13 e

a33 da matriz

1 –3

0 4

=–1.4=–4

–1 2 A14 = (–1)1+4 2 –3 1 2

1 1 = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6 5

3 4 A44 = (–1)4+4 –1 2 2 –3

2 1 = 6 + 6 + 8 – 8 + 9 + 4 = 25 1

b) det M = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23 det M = 2 . (– 4) – 2 . 0 + 5 . (– 4) det M = – 28

Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra de Sarrus, confirmando o resultado. 1 0 –1 1 0 2 – 2 5 2 – 2 = – 6 + 0 – 8 + 6 – 20 + 0 = – 28 –3 4 3 –3 4

MATEMÁTICA

21

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 22

���

3 4 Calcular o valor de –1 2 2 –3 1 2

2 1 1 5

de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos ordenadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A, representada por At, cujo determinante é igual ao determinante da matriz original. O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a: a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28

–1 0 0 –1

RESOLUÇÃO: 3 4 –1 2 2 –3 1 2

2 1 1 5

–1 0 = (– 1) . A14 + 0 . A24 + 0 . A34 + (– 1) . A44 = 0 –1

RESOLUÇÃO: De acordo com o Teorema de Laplace, temos:

= (– 1) . A14 + (– 1) . A44 = (– 1) . (– 6) + (– 1) . 25 = 6 – 25 = – 19 Obs.: Os cofatores A14 e A44 foram calculados no exercício anterior.

2 0 det(A) = 0 0 0

4 3 0 1 2

6 1 0 2 1

3 4 3 1 5

8 2 0 =2. 3 1

= 2 . (– 3) .

3 1 2

1 2 1

2 3 1

= (– 6) . (– 4) = 24

3 0 1 2

1 0 2 1

4 3 1 5

2 0 3 1

=

Resposta: C

���

(MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou 2 4 6 3 8 0 3 1 4 2 o valor do determinante da matriz A = . 0 0 0 3 0 0 1 2 1 3 0 2 1 5 1





Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz

B=



2 4 6 3 8

0 3 1 4 2

0 0 0 3 0

0 1 2 1 3

0 2 1 5 1



.

No Portal Objetivo

Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resultados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais. O professor então comentou que o que eles haviam observado era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria

9

Regra de Chió e Teorema de Binet

1. Regra de Chió A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu determinante. Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.

22

MATEMÁTICA

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M108

• Regra de Chió • Teorema de Binet

Consiste em a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij = 1. 1

a

b

c

x y

m q

n r

p s

z

t

u

v

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 23

b) De cada um dos elementos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna eliminadas. 1

a

b

c

x

m–a.x

n–b.x

p–c.x

y z

. .

. .

. .

1

a

b

c

x

m–a.x

n–b.x

p–c.x

y

q–a.y

r–b.y

s–c.y

z

t–a.z

u–b.z

v–c.z

c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.

m–a.x q–a.y t–a.z

n–b.x r–b.y u–b.z

p–c.x s–c.y v–c.z

. (–1)i + j

���

Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz

M=



3

4

2

0

2

3

2

–1

–1

2

–3

2

2

3

1

4



Resolução O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1 fazendo, pelo Teorema de Jacobi,

=

=

4 3 2 3

2 0 2 –1 = –3 2 1 4

1 0 2 1

4 3–4.0 2–4.2 3–4.1

3

2

2

–1 –1

4

2. Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A.B) = det A . det B Para calcular o determinante do produto de duas matrizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos, portanto: a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz; b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos (Teorema de Binet).

Observação Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a 1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 3a. coluna.

���

Calcular o determinante de A . B, sendo

A=



2

–1

3

4



eB=



5

2

1

3



Primeiro Processo 1 0 2 1

2 2–2.0 –3–2.2 1–2.1

4 3 2 3

2 0 2 –1 = –3 2 1 4

0 –1–0.0 2–0.2 4–0.1

A.B=



det (AB) =

2

–1

3

4

9

1

19

18

  .

5

2

1

3

  =

9

1

19

18



= 162 – 19 = 143

= Segundo Processo det (AB) = det A . det B =

–1

–6 –7

Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1n ou an1 ou ann.

Resolução

(1.a coluna) – (3.a coluna). Assim sendo: 3 2 det M = –1 2

Observação

. (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33

2

–1

3

4

.

5

2

1

3

=

= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143

Resposta: det M = – 33

Resposta: det (AB) = 143

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO MAT2M109

(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite

MATEMÁTICA

23

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 24

���

O determinante da matriz M =

冢

1 5 20

3 8 15 41 61 159

冣

é igual

a: a) 1

b) –1

c) 2385

d) 0

3

Sejam as matrizes A =

Calcule: a) det A

15

41

20

61 159

5 –3 4

冣 e B = 冢– 1 4

c) det (A + B)

5 2

冣

d) det (A . B)

RESOLUÇÃO: a) det A = 20 + 3 ⇒ det A = 23 b) det B = 8 + 5 ⇒ det B = 13 c) A + B =

8

5

b) det B

冢1

e) –1938

RESOLUÇÃO: a11 ↓ 1

���

41 – 40 = 0 1 = 1 –1 159 – 160

= (– 1)2. 15 – 15 61 – 60

冤

5 1

–3 4

冥 + 冤–1 4

5 2

冥=冤

9

2

0

6

冥

det (A + B) = 54 (Observe que: det(A + B) ⫽ det A + det B) d) det (A . B) = det A . det B = 23 . 13 = 299

=0–1=–1 Resposta: B

��� M=

Calcular o determinante da matriz

冤

3 14 10 5

7 30 20 16

冥

2 6 8 3

1 4 3 2

utilizando a Regra de Chió.

RESOLUÇÃO:

det M = –

1 4 3 2

14 – 3 . 4 = – 10 – 3 . 3 5–3.2

3 14 10 5

7 30 20 16

2 6 8 3

30 – 7 . 4 20 – 7 . 3 16 – 7 . 2

=

6–2.4 8–2.3 3–2.2

= – (2 – 4 – 4 + 2 + 2 – 8) = – (– 10) = 10

2 2 –2 =– 1 –1 2 = –1 2 –1

��� (MODELO ENEM) – Dezesseis candidatos a uma vaga de estagiário foram distribuídos em uma sala de espera, como representado a seguir: Geraldo André Bruno Alberto Deise Márcia Denise Carlos Carla Barone Daniel Daniele Antônio Álvaro Benedito Estela

冤

A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. O determinante dessa nova matriz é igual a: a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192 RESOLUÇÃO: O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do respectivo nome é: 1 3 4 1

2 4 4 2

1 13 2 5

Resposta: A

24

MATEMÁTICA

冥

7 –2 4 = (– 1)1+1 . – 4 3 0 1

10 – 17 – 2 – 25 = – 192 4 –6

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Página 25

Inversão de matrizes, cálculo de um elemento da inversa e propriedades

10 e 11 1. Definição

—

M=

As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In é a matriz identidade de ordem n. Indicaremos a inversa de M por M–1.

2. Existência Existe a inversa de M se, e somente se, det M  0. Neste caso, diz-se que M é inversível ou M é não singular. Se det M = 0, então M é não inversível ou M é singular.



4 1 11 3







4x + z ⇔ 11x + 3z

⇔





 

 

4y + w 11y + 3w

4x + z = 1 11x + 3z = 0 ⇔ 4y + w = 0 11y + 3w = 1



=



1 0

0 1

⇔

x=3 3 –1 y=–1 ⇔ M–1 = z = – 11 – 11 4 w=4

A11 21

A12 A22



 =  – 13



=

 – 113

–1 4



d) Obter M–1, que é a inversa de M, multiplicando –– 1 M por –––––– . det M — 1 M –1 = –––––– . M ⇒ det M



1 3 –1 ⇒ M –1 = –– . – 11 4 1

 =  – 113

–1 4



cofator de aji bij = ––––––––––––––– det M sendo aji um elemento de M.

5. Propriedades

(A–1) –1 = A



b) Obter a matriz M’ chamada matriz dos cofatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo cofator.

A

t

Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

Este modo não é prático, pois se recai em n sistemas de n equações e n incógnitas. 2o. Modo: Regra Prática a) Calcular o determinante de M: 4 1 det M = = 12 – 11 = 1 11 3

M’ =

– 11 4

Se M é uma matriz inversível e bij um de seus elementos, então:

.

1o. Modo: Usando a definição Resolução: x y , por definição de inversa, decorre Se M–1 = z w que: 4 1 x y 1 0 . ⇔ = 11 3 z w 0 1



• Matriz adjunta • Matriz inversa

4. Como obter um elemento de M–1

3. Como obter a matriz inversa Exemplo: Obter a inversa da matriz M =



3 –1

• Existência • Matriz dos cofatores

– 11 4



–– c) Obter a matriz M , chamada matriz adjunta de M, –– sendo M = (M’)t

A = B ⇔ A–1 = B –1 (At) –1 = (A–1)t (A . B) –1 = B –1 . A –1 1 det(A–1) = ––––––– det A

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M110

MATEMÁTICA

25

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 26

Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11 ���

Obter o elemento da segunda linha e terceira coluna da inversa da matriz:



1 5 0

M=

2 –1 4

3 1 7



a) det M =

Resolução

=

Se as matrizes são inversas uma da outra, então: 3 a  52 13 .  – 5 2 = 10 01  ⇔

2 Resposta: – ––– 3

3 1 = – 21 7

���

1 3 = – (1 – 15) = 14 5 1

b) A32 = (– 1)3 + 2 .

cofator de a32 ––––––––––––––––– det M

A32 14 2 = –––––––– = –––––– = – ––– 3 – 21 det M

Resolução 1 2 5 –1 0 4

c) b23 =

Determinar a sabendo-se que

a matriz inversa de

 52 31 é

 – 53 2a .

 = 10 01  ⇔

⇔

10

⇔

 5a + 6 = 1

2a + 2 5a + 6

2a + 2 = 0

⇔ a=–1

Resposta: a = – 1

Exercícios Propostos – Módulo 10 ���

(UEL) – A soma de todos os elementos da inversa da

matriz M = a) – 2





1 –1 é igual a: 0 2 b) – 1

c) 0

d) 1

���

Dada a matriz M =



1 5 0

2 1 1

4 10 1



, calcular

a) o determinante de M;

e) 2

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: Se a b for a inversa da matriz 1 – 1 , então, por definição, c d 0 2 temos: a b 1 –1 1 0 a – a + 2b 1 0 . = ⇔ = ⇔ c d 0 2 0 1 c – c + 2d 0 1





⇔

 







 

a=1 – a + 2b = 0 ⇒ c=0 – c + 2d = 1





 

mentos é 2. Resposta: E

MATEMÁTICA

1 5 0

2 1 1

4 10 = 1 + 20 – 10 – 10 ⇔ det M = 1 1



a=1 1 b = –– 2 c=0 1 d = –– 2

A matriz inversa é, portanto,

26





det M =

b) a matriz dos cofatores de M;

RESOLUÇÃO:

  1 1 –– 2 1 0 –– 2

e a soma de seus ele-

A11 = (– 1)1 + 1 .

1 1

10 1 =–9

A13 = (– 1)1 + 3 .

5 0

1 1

A22 = (– 1)2 + 2 .

1 0

4 1

A31 = (– 1)3 + 1 .

2 1

A33 = (– 1)3 + 3 .

1 5

A12 = (– 1)1 + 2 .

5 0

=5

A21 = (– 1)2 + 1 .

2 1

4 1

=2

=1

A23 = (– 1)2 + 3 .

1 0

2 1

=–1

4 = 16 10

A32 = (– 1)3 + 2 .

1 5

4 = 10 10

2 1

M’ =

=–9



–9 –5 5 2 1 –1 16 10 –9

10 =–5 1



C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 11:23 Página 27

��� (MODELO ENEM) – Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.

c) a matriz adjunta de M; RESOLUÇÃO: — M = (M’)t =

冤

–9 –5 5

2 1 –1

16 10 –9

冥

A

— 1 M–1 = –––––– . M = det M

���

(UFF) – x3 M= 1 0

冤

冤

– 9 2 16 – 5 1 10 5 –1 –9

2

3

Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões. b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.

d) a matriz inversa de M. RESOLUÇÃO:

B

冥

RESOLUÇÃO: É preciso virar o primeiro cartão para confirmar que no verso tem um número par. É preciso virar o último para confirmar que no verso não tem uma vogal. Resposta: E

Determine os valores de x ∈ ⺢ para que a matriz 0 1 não admita inversa. 0 x –x 1

冥

RESOLUÇÃO: Se M é matriz quadrada e não existe M –1, temos: det(M) =

x3 0 1 1 0 x = 0 ⇔ x5 – x = 0 ⇔ x = 0, x = – 1 ou x = 1 0 –x 1

Observação: Ditar para o aluno: Se a matriz quadrada M não possui inversa (é não inversível), seu determinante é igual a zero e ela é chamada de matriz singular. Se a matriz quadrada M possui inversa (é inversível), seu determinante é diferente de zero e ela é chamada de matriz não singular. Resposta: Os valores de x para que não exista a inversa de M são os elementos do conjunto {0; – 1; 1}.

Exercícios Propostos – Módulo 11 ���

tos b13 e b32

冢

4 –3 1 da matriz inversa

Dada a matriz M =

2 1 3 5 0 1 de M.

冣

, calcular os elemen-

A23 2 b32 = –––––– ⇒ b32 = ––– det M 25

RESOLUÇÃO: A31 = 7 A23 = (– 1) . (– 2) ⇒ A23 = 2 det M = 12 + 10 – 3 + 6 ⇒ det M = 25 A31 7 b13 = –––––– ⇒ b13 = ––– det M 25

MATEMÁTICA

27

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 28

���

(FUVEST) – O determinante da inversa da matriz

A=



1 0 –1 –2 1 ––– 4 5

– 52

1 0 3



– 48

a) ––––

–5

b) ––––

5

é:

c) ––––

5

48

5

d) ––––

52

5

e) ––––

48

RESOLUÇÃO:

I) det (A) =

1 0 –1 –2

1 0

1 –– 5

3

4

48 = – –––– 5

��� (MODELO ENEM) – A teoria de matrizes e determinantes encontra grande aplicação na resolução de sistemas lineares. E ao que tudo indica, segundo documentos históricos, sua criação remonta a um artigo de 1855, assinado pelo inglês Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo, Cayley utiliza as matrizes para facilitar o estudo das transformações dadas por equações lineares. Para ele, a resolução de sistemas lineares estaria facilitada com o uso da teoria de matrizes. A ideia era transformar um sistema linear em uma equação matricial equivalente cuja resolução forneceria a solução do sistema. Em notação atual, teríamos, por exemplo, +y=4 2 ⇔  2x 5x + 3y = 14 5

1 3

 .  y  =  14  x

4

1 1 –5 II) det (A–1) = –––––– = ––––––– = –––– det(A) – 48 48 ––––– 5

Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes

Resposta: C

cuja solução é X = A–1.B, em que A– 1 é a matriz inversa de A.

5 2

1 3

 ,  y  e  14  , resulta a equação matricial A.X = B x

4

Considere a matriz A =

 5 3  e a sua inversa A 2 1

–1

=

 –5 2  3 –1

Com base no texto, e seguindo as orientações de Cayley, podemos concluir que o par (x, y), solução do sistema +y=4 , é tal que x + y é igual a:  2x 5x + 3y = 14 a) 6

b) 8

RESOLUÇÃO: 2x + y = 4 ⇔ 5x + 3y = 14

 Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolva as equações ��� e ���.

���

AX = B

XA = B

RESOLUÇÃO: XA = B ⇔ X . A . A– 1 = B . A – 1 ⇔ X . I = B . A–1 ⇔ X = B . A–1

28

 xy  =  –35

⇔

y = 8

x=–2

Resposta: A

RESOLUÇÃO: AX = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ I . X = A– 1 . B ⇔ X = A–1 . B

���

⇔

MATEMÁTICA



–1 2

c) 10

2 5

1 3

d) 12

 .  xy  =  144  ⇔

 .  144  ⇔  xy  =  –82  ⇔

⇒x+y=–2+8=6

e) 14

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 29

12

Sistemas Lineares – Regra de Cramer

1. Sistemas lineares Sistemas de equações, como



+ 2y = 1 e  3x 5x – y = 2

4x – y + z = 3 , constituídos apenas por equações do 2x + y + 3z = 7

1o. grau nas incógnitas x, y ou z são chamados sistemas lineares. Observe que não são lineares os sistemas

 xx –+3yy == 01 e  xx +. y2y= =8 1, pois, em cada um, nem todas

• Matrizes de um sistema • Sistema normal • Regra de Cramer

Portanto, quanto ao número de soluções, podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

Sistema Possível e Determinado (SPD): uma só solução Sistema Possível e Indeterminado (SPI): infinitas soluções

2

Sistema Impossível (SI): nenhuma solução

as equações são do 1o. grau. Podemos dizer então que sistema linear (S) é todo conjunto de m (m  2) equações em n incógnitas x1, x2, …, xn, que se denota da seguinte forma: a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1 a21 . x1 + a22 . x2 + ... + a2n . xn = b2 , em que os . . . am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm reais aij são os coeficientes de xj e b1, b2, …, bm são constantes. Se b1 = b2 = … = bm = 0, o sistema linear é dito homogêneo.

2. Solução de um sistema As soluções dos sistemas com duas incógnitas são pares ordenados da forma (α1, α2), com três incógnitas são ternos ordenados da forma (α1, α2, α3), com quatro incógnitas são quadras ordenadas da forma (α1, α2, α3, α4), e assim por diante. A ênupla (α1, α2, …, αn) é uma solução do sistema linear (S) se ela é solução de cada uma das n equações de (S).

3. Classificação de um sistema quanto ao número de soluções a) Um sistema linear é POSSÍVEL (ou compatível) se admite pelo menos uma solução. b) Um sistema linear é IMPOSSÍVEL (ou incompatível) se não admite solução alguma. c) Um sistema linear é possível e DETERMINADO se admite uma única solução. d) Um sistema linear é possível e INDETERMINADO se admite infinitas soluções.

4. Exemplos a) O sistema

=5  xx ++ 3y y=3

é possível e determinado.

A única solução é o par ordenado (2; 1). b) O sistema

 x2x++y2y= 4= 8

é possível e indeter-

minado, pois apresenta infinitas soluções. São todos os pares ordenados do tipo (k; 4 – k). Algumas dessas soluções são: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), … etc. c) O sistema

 x + y = 5 é impossível, pois não exisx+y=4

te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenças verdadeiras “simultaneamente”. Em outras palavras: não existem 2 números reais x e y cuja soma é 4 e 5 “simultaneamente”.

5. Matrizes de um sistema a) Matriz incompleta A matriz incompleta, representada por M.I., associada a um sistema, é a matriz cujos elementos são, ordenadamente, os coeficientes das incógnitas. Se M.I. é quadrada, diz-se que o seu determinante é o determinante do sistema (D).

b) Matriz completa A matriz completa, representada por M.C., associada a um sistema, é a matriz que, além dos elementos de M.I., possui mais uma coluna constituída pelos segundos membros de cada equação do sistema. No sistema linear a seguir, as matrizes incompleta e completa são:

MATEMÁTICA

29

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 30

No sistema linear (S) plo, temos:

M.I. =



2 3 –4 1 2 1 1 –3 2





xn, demonstra-se que:

2x + 3y – 4z = 5 x + 2y + z = – 1 por exemx – 3y + 2z = 7

M.C. =



2 3 –4 5 1 2 1 –1 1 –3 2 7

D1 D2 D . x1 = D1 ⇔ x1 = ––––; D . x2 = D2 ⇔ x2 = ––––; D D



D3 Dn D . x3 = D3 ⇔ x3 = –––– … D . xn = Dn ⇔ xn = –––– D D na qual ressaltamos que a) D é o determinante do sistema; b) Dj é o determinante da matriz que se obtém da matriz incompleta, trocando-se sua j-ésima coluna por b1, b2, …, bn.

6. Sistema normal Um sistema linear de n equações e n incógnitas é normal se o determinante D do sistema for diferente de zero.

Teorema de Cramer Todo sistema normal é possível e determinado e a

No Portal Objetivo

única solução pode ser obtida pela Regra de Cramer. Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M111

Regra de Cramer Dado um sistema normal nas variáveis x1, x2, x3, …,

���



Dy 21 ⇒ y = —– = –— = 3 7 D

Resolver o sistema

3x + y = 9

pela Regra de Cramer.

2x + 3y = 13

Resolução a) O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer, pois D=

3 2

1 =9–2=7⇒D≠0 3

Dx –7 ⇒ x = —– = ––– = 1 D –7

Resposta: (2;3)

���

c) Dy =

Resolver o sistema



x + 2y – z = 2 2x – y + z = 3 x+ y+z=6 Resolução

pela Regra de Cramer.

1 2 1

2 3 6

–1 1 = –14 ⇒ 1

Dy –14 ⇒ y = —– = —— = 2 D –7

a) O sistema é normal e pode ser resolvido pe9 1 b) Dx = = 27 – 13 = 14 ⇒ 13 3

D=

Dx 14 ⇒ x = ––– = —– = 2 D 7 c) Dy =

���

3 9 = 39 – 18 = 21 ⇒ 2 13

Considere o sistema



b) Dx =

3x + y = 5 . Pedem-se: x+y=3

a) a matriz incompleta do sistema;

30

la Regra de Cramer, pois

MATEMÁTICA

1 2 1

2 –1 1 2 3 6

2 –1 1

d) Dz =

–1 1 =–7⇒D≠0 1

Resposta: (1; 2; 3)

RESOLUÇÃO:



2 –1 1

3 1

2 3 6

= – 21 ⇒

Dz –21 ⇒ z = —– = —— = 3 D –7

–1 1 =–7⇒ 1

M.I. =

1 2 1

1 1



C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 31

b) o determinante do sistema; RESOLUÇÃO:

1 Dz = 1 2

D= 3 1

V = {(1, 2, –1)} (S.P.D.)

1 =3–1=2 1

–1 –2 Dz –2 –1 = – 8 ⇒ z = –––– ⇒ z = – 1 D 1 1

c) resolver o sistema pela “Regra de Cramer”.

��� (UFPE – MODELO ENEM) – Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: “Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos.” Qual a idade de Júnior? a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos

RESOLUÇÃO: Dx = 5 3

Dy =

Dx 1 ⇒ D = 2 ⇒ x = ––– ⇒x=1 x 1 D 5 ⇒ D = 4 ⇒ y = Dy ⇒ y = 2 ––– y 3 D

3 1

V = {(1, 2)} RESOLUÇÃO: Sendo x, y e z, respectivamente, as idades de José, de Júnior e de Maria, temos:



x + y = 47 x + z = 78 y + z = 39

D =

1 1 0

1 0 1

0 1 1

= – 2 e Dy =

1 1 0

47 78 39

0 1 1

= – 8. Dessa forma,

Dy y = –––– = 4 D Resposta: C

���

Resolver o sistema

de Cramer”.



x– y+ z=–2 x – 2y – 2z = –1 2x + y + 3z = 1

pela “Regra

RESOLUÇÃO: 1 –1 1 D = 1 –2 –2 =8 2 1 3 –2 –1 1 Dx Dx = –1 –2 –2 = 8 ⇒ x = –––– ⇒ x = 1 D 1 1 3 1 Dy = 1 2

–2 1 Dy –1 –2 = 16 ⇒ y = –––– ⇒ y = 2 D 1 3

MATEMÁTICA

31

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 32

Escalonamento

13 e 14

冦

Dizemos que o sistema

x + 2y – z = 7 y + 4z = 13 3z = 9

• Escalonamento • Sistemas equivalentes

Para tanto, fazemos: a) (Segunda Equação) – 2 . (Primeira Equação)

está

冦

escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equação é zero e os coeficientes de x e y na 3a. equação são iguais a zero. É fácil resolver este sistema, pois:

x + 2y + z = 7 y – 5z = – 6 3x + 8y – 5z = 11

b) (Terceira Equação) – 3 . (Primeira Equação) x + 2y – z = 7 y + 4z = 13 3z = 9

冦 ⇔

⇔

冦 冦

⇔

冦

x + 2y – z = 7 y + 4 . 3 = 13 ⇔ z= 3 x+2.1–3=7 y=1 z=3

⇔

x + 2y – z = 7 y + 4z = 13 ⇔ z= 3

冦

x + 2y – z = 7 y=1 ⇔ z=3

冦

x=8 y=1 z=3

冦

Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equações e “eliminar” a variável y da 3a. equação. Para tanto, basta fazermos: (Terceira Equação) – 2 . (Segunda Equação)

冦

Logo: V = {(8; 1; 3)}

Exemplo

namento.

冦

x + 2y + z = 7 y – 5z = – 6 2z = 2

Resolvendo, agora, o sistema por substituição, obtêm-se z = 1, y = –1 e x = 8. Portanto, o conjunto verdade do sistema é V = {(8; –1; 1)}. Importante Para escalonar um sistema e transformá-lo em outro sistema, equivalente (que apresenta a mesma solução) e mais simples, podemos

Se o sistema não estiver escalonado, podemos transformá-lo em um outro, escalonado, que tenha a mesma solução, ou seja, “equivalente” ao primeiro.

Resolver o sistema

x + 2y + z = 7 y – 5z = – 6 2y – 8z = – 10

x + 2y + z = 7 2x + 5y – 3z = 8 por escalo3x + 8y – 5z = 11

a) trocar de posição duas equações; b) multiplicar qualquer equação por um número real diferente de zero;

Primeiro Passo: Repetir a 1a. equação e “eliminar” a

c) multiplicar uma equação por um número real diferente de zero e adicioná-la à outra equação.

variável x das demais.

Exercícios Resolvidos – Módulos 13 e 14 ���

冦

Resolver o sistema

x + 2y – 3z = – 5 – y + 7z = 15 67z = 134

Resolução I) Da terceira equação, resulta z = 2. II) Substituindo z por 2, na segunda equação, temos – y + 7 . 2 = 15 ⇔ y = –1. III) Substituindo z por 2 e y por –1, na primeira equação, temos x + 2(– 1)– 3 .2 = –5 ⇔x = 3 IV) De I, II e III resulta V = {(3; – 1; 2)}

32

MATEMÁTICA

��� Resolver o sistema

冦

x + 2y – 3z = – 5 2x + 3y + z = 5 3x – 5y + z = 16

Resolução Vamos escalonar o sistema, transformando-o em um sistema equivalente (de mesma solução) e cuja resolução é mais simples. Conservamos a primeira equação e eliminamos x nas demais equações. Para isso, devemos seguir as seguintes etapas: a) conservamos a primeira equação;

b) trocamos a segunda equação por (segunda equação) – 2.(primeira equação); c) trocamos a terceira equação por (terceira equação) – 3(primeira equação). Dessa forma, temos:

冦

x + 2y – 3z = – 5 – y + 7z = 15 – 11y + 10z = 31

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 33

Agora, conservamos a primeira e a segunda equações e eliminamos a incógnita y na terceira equação. As etapas a serem seguidas, são: a) conservamos as duas primeiras equações; b) trocamos a terceira equação por (terceira equação) – 11(segunda equação).



Dessa forma resulta

x + 2y – 3z = – 5 – y + 7z = 15 – 67z = – 134

Que é equivalente a



x + 2y – 3z = – 5 – y + 7z = 15 67z = 134

Resolvendo esse último sistema, chegamos a x = 3, y = – 1 e z = 2. Portanto, o conjunto solução é S = {(3; – 1; 2)}.

Exercícios Propostos – Módulo 13 ���

Resolver o sistema:



x + 2y + z = 8 y – 2z = – 4 3z = 9

RESOLUÇÃO: I) 3z = 9 ⇔ z = 3 II) y – 2z = – 4 ⇔ y – 6 = – 4 ⇔ y = 2 III) x + 2y + z = 8 ⇔ x + 4 + 3 = 8 ⇔ x = 1 V = {(1; 2; 3)} (S.P.D.)

���

(UFES) – Resolva o sistema linear



2x + 3y + z = 11 x+y+z=6 5x + 2y + 3z = 18

RESOLUÇÃO:



2x + 3y + z = 11 x+y+z=6 ⇔ 5x + 2y + 3z = 18



x+y+z=6 2x + 3y + z = 11 5x + 2y + 3z = 18

Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à segunda e multiplicando a primeira por (– 5) e adicionando-a à terceira, temos:



x+y+z=6 y–z=–1 – 3y – 2z = – 12

Multiplicando a segunda equação por (3) e adicionando-a à terceira, temos:

���



Aplicando o método do escalonamento, resolver o sistema:

x + 2y + z = 8 x + 3y – z = 4 2x + 6y + z = 17

RESOLUÇÃO: x + 2y + z = 8 x + 3y – z = 4

 



Resposta: V = {(1; 2; 3)}

x(– 1) +

x(– 2) +

2x + 6y + z = 17 x + 2y + z = 8 y – 2z = – 4 2y – z = 1



x + y+ z = 6 y – z = – 1 ⇔ x = 1, y = 2 e z = 3 – 5z = – 15

x(– 2) +

x + 2y + z = 8 y – 2z = – 4 3z = 9

V = {(1; 2; 3)} (S.P.D.)

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M112

MATEMÁTICA

33

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 34

���

(U.F.CEARÁ – MODELO ENEM) – Para uma festinha, foram encomendados 90 refrigerantes, 230 salgados e 120 doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e senhoras. Cada criança deverá consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 doces; cada senhora deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces. Qual deverá ser o total de convidados para que não sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces? a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65

Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à segunda, temos:



2x + 3y + 3z = 90 4x – y = 50 4x + 3y + 3z = 120

Multiplicando a primeira equação por (– 1) e adicionando-a à terceira, resulta



2x + 3y + 3z = 90 4x – y = 50 2x = 30

⇔



z = 10 y = 10 ⇔ x + y + z = 25 x = 15

Resposta: B RESOLUÇÃO: Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senhores e de senhoras convidados para a festa, temos: I) Os refrigerantes a serem consumidos são 2 para cada criança, 3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma, resulta 2x + 3y + 3z = 90. II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, 5 para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos 8x + 5y + 6z = 230. III)Os doces a serem consumidos são 4 para cada criança, 3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos 4x + 3y + 3z = 120. Resolvendo o sistema formado pelas três equações.



2x + 3y + 3z = 90 8x + 5y + 6z = 230 4x + 3y + 3z = 120

Exercícios Propostos – Módulo 14 Nos exercícios de ��� a ���, resolva e classifique os sistemas, aplicando o método do escalonamento:

���



x + 2y + z = 9 2x + y – z = 3 3x – y – 2z = – 4

 

x + 2y + z = 9



x + 2y + z = 9

3x – y – 2z = – 4

x(– 2) x(– 3) + +

– 3y – 3z = – 15 (÷ 3) – 7y – 5z = – 31

34

– y – z=–5 – 7y – 5z = – 31

MATEMÁTICA

– y– z=–5 2z = 4

x=1 y = 3 ⇒ V = {(1; 3; 2)} z=2

O sistema apresenta uma única solução, portanto, trata-se de um Sistema Possível e Determinado (S.P.D.).

RESOLUÇÃO: x + 2y + z = 9 2x + y – z = 3



x + 2y + z = 9

x(– 7) +

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 35

���



���

(PUCCAMP – MODELO ENEM) – Se o convidarem para saborear um belo cozido português, certamente a última coisa que experimentará entre as iguarias do prato será a batata, pois ao ser colocada na boca sempre parecerá mais quente. ... Mas será que ela está sempre mais quente, uma vez que todos os componentes do prato foram cozidos juntos e saíram ao mesmo tempo da panela? Sabemos que, ao entrarem em contato, objetos com temperaturas diferentes tendem a trocar calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho, não? Uma coisa é certa: ao comer o cozido, a chance de você queimar a boca com a batata é muito maior do que com o pedaço de carne. Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de comer.

x–y+z=4 3x – 2y + z = 0 5x – 3y + z = – 4

RESOLUÇÃO:



x–y+z=4 3x – 2y + z = 0 5x – 3y + z = – 4



x– y+ z=4 y – 2z = – 12 2y – 4z = – 24



x(– 3) x(– 5) + +

x(– 2) +

(Aníbal Figueiredo. Física – um outro lado – calor e temperatura. São Paulo. FTD, 1997.)

x– y+ z=4 y – 2z = – 12 0z = 0

A terceira equação é verdadeira para ∀z ∈ . Abandonando a última equação e fazendo z = α, com α ∈ , temos:



x=α–8 x–y=4–α x–y+ α=4 , ⇒ ⇒ y = 2α – 12 y = 2α – 12 y – 2α = – 12





com α ∈  ⇒ V = {(α – 8; 2α – 12; α)}, α ∈  O sistema apresenta infinitas soluções, portanto, trata-se de um Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.).

De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes usados no preparo de um belo cozido português, incluem-se x gramas de batatas, y gramas de cebolas e z gramas de linguiça portuguesa, totalizando 1450 gramas. Sabendo-se que z e x, nesta ordem, estão entre si na razão 2/3 e que o dobro de y, acrescido de 100, é igual à soma de x e z, é correto afirmar que compõem essa receita: a) 450 g de cebolas. b) 480 g de batatas. c) 480 g de cebolas. d) 500 g de linguiça. e) 750 g de batatas. RESOLUÇÃO: A partir dos dados contidos no enunciado, temos:

 ���



⇔



x + y + z = 1450 2x – 3z = 0 x – 2y + z = 100

Multiplicando a primeira equação por (2) e adicionado-a à terceira, temos:

x – 2y – 3z = 5 – 2x + 5y + 2z = 3 – x + 3y – z = 2



RESOLUÇÃO:



x + y + z =1450 z 2 –– = –– x 3 2y + 100= x + z

x + y + z = 1450 2x – 3z = 0 3x + 3z = 3000

Adicionado a segunda equação à terceira, temos:

x – 2y – 3z = 5 – 2x + 5y + 2z = 3 – x + 3y – z = 2

x(2)

x(1)

+ +



x + y + z =1450 ⇔ x = 600, z = 400 e y = 450 2x – 3z = 0 5x = 3000

Resposta: A



x – 2y – 3z = 5 y – 4z = 13 y – 4z = 7



x – 2y – 3z = 5 y – 4z = 13 0z = – 6

x(– 1) +

A terceira equação é falsa para ∀z ∈  ⇒ V = Ø O sistema não apresenta solução, portanto, trata-se de um Sistema Impossível (S.I.).

MATEMÁTICA

35

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 36

Substituição, eliminação

15

• Eliminar incógnitas

Portanto, z = 7 – 2 . 3 – (–1) ⇒ z = 2 O conjunto verdade do sistema é: V = {(3; –1; 2)}

Os métodos de resolução de sistemas lineares (Cramer e Escalonamento) apresentados anteriormente são bastante úteis e muito utilizados. No entanto, para certos sistemas, é mais simples “eliminar” incógnitas pela “adição” ou “subtração” de duas ou mais equações, ou, ainda, usar o método geral da substituição.

Exemplo 2 Resolver o sistema



Exemplo 1 Resolver, por substituição, o sistema



2x + y + z = 7 3x – y + z = 12 x + 2y – 3z = – 5

RESOLUÇÃO “Isolando” z na 1a. equação, temos: z = 7 – 2x – y. Substituindo z, na 2a. e na 3a. equação, pela expressão obtida, resulta:

 3xx +– y2y+–(73 –. (72x––2xy) =– y)12= – 5 ⇔  7xx –+ 2y5y == 516 ⇔ 2y ⇔ 7x .=(55 ++ 2y) + 5y = 16 x = 5 + 2y x=3 ⇔  ⇔  y = –1 y = –1 ⇔

⇔

 x2y=+2yy = 90

3x + 4y – 7z = – 34 5x – 4y + 7z = 50 3x – 3y – 7z = – 13

RESOLUÇÃO A resolução deste sistema, tanto pelo método da substituição, como pelo método do escalonamento, e, também, pela Regra de Cramer, é muito trabalhosa. No entanto, se observarmos as relações existentes entre os coeficientes das incógnitas, podemos resolvê-lo rapidamente. De fato: a) Somando, membro a membro, as duas primeiras equações, obtemos: 8x = 16 ⇔ x = 2 b) Multiplicando a terceira equação por – 1 e somando-a com a primeira, temos: 7y = – 21 ⇔ y = – 3 c) Substituindo os valores encontrados na primeira equação, por exemplo, obtemos: 3 . 2 + 4 . (– 3) – 7 . z = – 34 ⇔ z = 4 O conjunto verdade é, portanto, {(2; – 3; 4)}

��� (ENEM) – Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 Resolução Sendo x e y respectivamente, o número de carros roubados durante um ano, das marcas X e Y, tem-se:

 xx =+ 2y y = 60% .150

• Substituir

⇔

 y = 30 x = 60

���

Se tivermos



x+y+z=–1 x+z+t=5 , então x + y + z + t é igual y+z+t=7 x+y+t=4

a: a) – 1

b) 7

c) 5

d) 4

e) 5/9

Resolução



x+y+z=–1 x+z+t=5 y+z+t=7 x+y+t=4

Somando, membro a membro, as equações, temos: O número esperado de carros roubados da marca Y, durante um ano, é 30.

Resposta: C

Resposta: B

36

3x + 3y + 3z + 3t = 15 ⇔ x + y + z + t = 5

MATEMÁTICA

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���



(UNICAMP) – Resolver o sistema

x+ y+ x+ y+ x + 2y + 2x + y +

z+ 2z + z+ z+

2w = 1 w=2 w=3 w=4

RESOLUÇÃO: Somando membro a membro as quatro equações, resulta 5x + 5y + 5z + 5w = 10 ⇔ x + y + z + w = 2 Substituindo x + y + z + w = 2 em cada equação, obtêm-se:



2 2 2 2

+ + + +



w=1 z=2 y=3 ⇒ x=4

x=2 y=1 z=0 w=–1

Resolver o sistema



2x + 3y + z = 17 x – 5y + 2z = 5 x + 3y + z = 11

RESOLUÇÃO: Multiplicando a 3a equação por (– 1), temos: 2x + 3y + z = 17 (I) x – 5y + 2z = 5 (II) – x – 3y – z = – 11 (III) Somando membro a membro as equações I e III, resulta x = 6. Substituindo x = 6 em cada equação, obtemos:





3y + z = 5 – 5y + 2z = – 1 – 3y – z = – 5

(PUC – MODELO ENEM) – Sabe-se que na compra de uma caixa de lenços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será a) R$ 72,00 b) R$ 65,00 c) R$ 60,00 d) R$ 57,00 e) R$ 49,00

RESOLUÇÃO: Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de uma caixa de lenços, de um boné e de uma camiseta, temos: x + 2y + 3z =127 3x + 4y + 5z = 241



O conjunto solução é V = {(x, y, z, w)} = {(2; 1; 0; – 1)}

���

���

(a) (b) (c)

A equação (c) é equivalente à equação (a), logo, pode ser eliminada. Substituindo z = 5 – 3y (a) em (b): – 5y + 10 – 6y = – 1 ⇒ ⇒ – 11y = – 11 ⇒ y = 1 ⇒ z = 2 V = {(6; 1; 2)}

Multiplicando a primeira equação por (–1) e adicionando-a à segunda equação, temos: x + 2y + 3z =127 2x + 2y + 2z = 114 Dividindo a segunda equação por (2), resulta: x + y + z = 57 (quantia a ser desembolsada na compra de apenas três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo). Resposta: D



��� (UFR-RJ – MODELO ENEM) – Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um videocassete e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o videocassete custam juntos R$ 1 200,00; o videocassete e o aparelho de som custam juntos R$ 1 100,00; o televisor e o aparelho de som custam juntos R$ 1 500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? RESOLUÇÃO: Sendo t, v e s, respectivamente os preços de um televisor, um videocassete e um aparelho de som, temos:



t + v = 1 200 v + s = 1 100 t + s = 1 500 Somando, membro a membro, as três equações, resulta 2t + 2v + 2s = 3 800 ⇔ t + v + s = 1 900 Resposta: Para comprar os três produtos anunciados, o cliente pagará R$ 1 900,00.

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MATEMÁTICA

37

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 38

Característica de uma matriz

16

• Teorema de Kronecker

Os sistemas lineares são utilizados para resolver problemas práticos. Além de resolver, é muito importante “discutir” o sistema, que consiste em prever se ele é possível ou impossível. Em certos casos, quando uma ou mais equações dependem de um “parâmetro”, é importante verificar em que condições o sistema admite soluções. Um dos critérios existentes para discutir um sistema é o Teorema de Rouché-Capelli. Este teorema utiliza o conceito de característica de uma matriz. Para simplificar a apresentação deste conceito, abusando um pouco da linguagem, escreveremos DETERMINANTE DE ORDEM p em lugar de determinante de uma matriz de ordem p.

Exemplo Na matriz



A característica de uma matriz M, não nula, é a máxima ordem dos determinantes não todos nulos que podem ser extraídos de M. Em outras palavras, a característica de M é o número natural p 1 se, e somente se:

a) Existir pelo menos um determinante de ordem p diferente de zero. b) Forem nulos todos os determinantes de ordem maior que p. Na matriz M =



2 5 2

3 4 3

1 2 1

3 0 3



N=

, por exemplo, po-

3 por exemplo. 4

Todos os determinantes de ordem 3, 1 2 , 1

2 3 5 4 2 3

3 0 , 3

3 1 4 2 3 1

3 0 3

e

4 2 8 2

5 3 10 3

7 2 14 2



 



2 1

–1 0

3 1

4 2

5 3

7 2



A característica de Q é 2, pois existe pelo menos um determinante de ordem 2 diferente de zero. Por exemplo: 2 –1 1

0

A característica da matriz inicial M é, portanto, igual a 2.

3. Teorema de Kronecker

2 1 5 2 2 1

3 0 3

a) Existir um determinante de ordem p (Dp) diferente de zero. b) Forem nulos todos os determinantes de ordem p + 1 obtidos orlando Dp com uma das restantes linhas e uma das restantes colunas.

2. Como calcular Quando forem “visíveis” numa matriz as propriedades que anulam um determinante, o cálculo da característica é rápido.

MATEMÁTICA

3 1 6 1

A característica de uma matriz é p se, e somente se:

são iguais a zero, pois a primeira e a terceira linha são iguais e, portanto, a característica de M é 2.

38

–1 0 –2 0

Nesta matriz, são nulos todos os determinantes de ordem 4, pois a segunda e a quarta linha são iguais. A característica de N, de modo análogo, é a mesma da matriz 2 –1 3 4 5 7 1 0 1 2 3 2 P= 4 –2 6 8 10 14

Q=

2 5



2 1 4 1

Nesta matriz, são nulos todos os determinantes de ordem 3, pois a terceira linha é o dobro da primeira. A característica de P é a mesma da matriz

dem ser extraídos determinantes de ordem 1, de ordem 2 e de ordem 3. Assim sendo, a característica dessa matriz pode ser 1, 2 ou 3. Existe pelo menos um determinante de ordem 2 diferente de zero,



2 –1 3 4 5 7 1 0 1 2 3 2 M= 4 –2 6 8 10 14 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 0 0 são nulos todos os determinantes de ordem 5, por possuírem uma fila nula. Ao calcular a característica de M, podemos, então, eliminar esta linha. A característica de M é, portanto, a mesma da matriz

1. Definição

2 3 5 4 2 3

• Característica

Na matriz M =



2 5 7

3 1 3 4 –2 0 7 –1 3



, existe pelo me-

nos um determinante de ordem 2 diferente de zero.

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 11:23 Página 39

Portanto, a característica de M é 2.

Por exemplo: 2 3 ⫽ 0. Os determinantes de ordem 3, que Dp = 5 4 se obtêm orlando Dp, são todos nulos, pois: 2

3

1

5

4

–2 = 0

7

7

–1

e

���

Calcular a característica da matriz:

冤

1 2 0 3

0 –1 4 2

1 3 1 1

0 –1 4 2

1 2 0 3

2

3

3

5

4

0

7

7

3

Observações a) Para obter os determinantes de ordem 3, orlando Dp, fixamos os elementos de Dp e copiamos os elementos de uma das restantes linhas e uma das restantes colunas que estão em torno (na “orla”) de Dp. b) Se pelo menos um dos determinantes de ordem 3 fosse diferente de zero, a característica de M seria 3.

= 0

d) Orlando este menor de ordem 3, obtemos:

冥

1

0

1

0

2

–1

3

–1

0

4

1

4

3

2

1

2

Resolução

1

0

1

1

Se p for a característica de

2

–1

3

2

0

4

1

0

3

2

1

3

冤

1

0

1

0

1

2

–1

3

–1

2

0

4

1

4

0

3

2

1

2

3

冥

1 0 = –1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 2 2 –1

c)

1 2 0

0 –1 4

1 3 1

���

冢

1 4

3 2

��� a ���,

冣

RESOLUÇÃO: 1 4

2 a

2

3 3

2

7

b 5

���

冢

3 = – 10 ⫽ 0 2

1 1 2

b)

2 a 3 3 b 5

1

5

1

2

Resolução Se p for a característica da matriz

���

≠0⇒p≥2

冢

2 1

1

5

2

1

2

3

2

7

b

1

5

a

1

2

3

2

7

5

=0⇔b=5

=0⇔a=2

d) Se a = 2 e b = 5, então p = 2, pois todos os determinantes de ordem 3 são nulos. e) Sendo a ≠ 2 ou b ≠ 5, então p = 3, pois existe pelo menos um determinante de ordem 3 diferente de zero. Resposta: a = 2 e b = 5 ⇒ p = 2 a ≠ 2 ou b ≠ 5 ⇒ p = 3

冣

calcular a característica de cada

, então:

c) Orlando este determinante de ordem 2, temos:

=0

Calcular a característica da matriz 5 2 7

冣

a) 兩 1 兩 ≠ 0 ⇒ p ≥ 1

e) Sendo nulos todos os determinantes de ordem 4, concluímos que a característica p é 3. Resposta: 3

=–5≠0⇒p≥3

Nas questões de matriz.

5

1

, então:

a) 兩 1 兩 = 1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 1 b)

=0

冢

1

4 2

冣

RESOLUÇÃO: 2 1

4 =0 ⇒ 2 =2⫽0 || 2

A característica da matriz é 1.

A característica da matriz é 2.

MATEMÁTICA

39

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 40

���

冢

1 2

3 1

4 5

0 8

冣

���

RESOLUÇÃO: 1 2

O valor de a é: a) 1 b) 0

3 = –5⫽0 1

A característica da matriz é 2.

���

冢

1 2 3

3 1 4

0 0 0

冣

���

2 1 1

5 0 0

a 0 1

d) 2

冣

é 2.

e) – 2

冣

10624 9421 9364

10000

6000

7932

7247

8000 5348

5140

6085

5531

5353

4738

4457

4750

4834 1299

610

683

781

1960

1964

1968

7075 6434 6983

5848 4000

10321

4265

1251 1088

6659 3549

6416 3905

1992 1996

2000

2438 2705 1498

0 1972 1976

1980 1984 1988 Ano

Total Homens Mulheres

Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participação de

A característica da matriz é 3.

��� Determinar as características das matrizes incompleta e completa do sistema linear x – 2y – 3z = 5 – 2x + 5y + 2z = 3 – x + 3y – z = 2

RESOLUÇÃO: Sendo p e q, respectivamente, as características das matrizes completa e incompleta do sistema linear, temos: 1 –2 –3 5 2 =0 e p = 2, pois – 2 –1 3 –1 1 –2 5 q = 3, pois – 2 –1 3

12000

2000

RESOLUÇÃO: 1 2 5 2 1 0 =5⫽0 1 1 0

冦

2 1 1

(ENEM) – O número de atletas nas Olimpíadas vem aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de 10 000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney, em 2000.

Número de Atletas

冢

c) – 1

0 –2 2

���

3 = – 5 ⫽ 0 A característica da matriz é 2. 1

1 2 1

冢

1 1 0

RESOLUÇÃO: 1.a linha – 2 a. linha = 3 a. linha (combinação linear) a–0=1 a=1 Resposta: A

RESOLUÇÃO: 1 3 0 2 1 0 =0 3 4 0 1 2

A característica da matriz

5 3 2

a) homens e mulheres, na mesma proporção. b) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada. c) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou. d) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada. e) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou. RESOLUÇÃO: A partir do gráfico apresentado, nas últimas cinco Olimpíadas, o número de participantes aumentou devido ao crescimento da participação de mulheres (1498, 2438, 2705, 3549 e 3905), pois a de homens praticamente não se alterou (6434, 6983, 6659, 7075, 6416). Resposta: E

1 –2 ⫽0 –2 5

=–6⫽0

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MATEMÁTICA

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Geometria Plana – Módulos 1 – Introdução ao estudo da geometria 9 – Polígonos 2 – Ângulos

10 – Quadriláteros notáveis

3 – Paralelismo

11 – Quadriláteros notáveis

4 – Triângulos

12 – Linhas proporcionais

5 – Segmentos notáveis do triângulo

13 – Semelhança de triângulos

6 – Triângulo retângulo e condição de 14 – Semelhança de triângulos existência de um triângulo 7 – Congruência de triângulos 8 – Polígonos

15 – Semelhança de triângulos 16 – Relações métricas nos triângulos (Pitágoras)

Tales de Mileto – Teorema de Tales (624/625 a.C – 556/558 a.C.)

1

Introdução ao estudo da geometria

1. Geometria plana A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é plana, estamos afirmando que ela está totalmente contida num plano.

• Geometria plana • Ponto • Reta • Plano • Semirreta • Segmento de reta

Representação gráfica Ponto A A

Reta r

r

Plano a

«

«

Reta AB

O conjunto universo da geometria plana será, pois, o plano.

a

AB B

A

2. Ponto, reta e plano

Notação Costumam-se indicar

São ideias primitivas, entes que não possuem definição. Conhecemos imagens de ponto, por exemplo, como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens, pois não há dimensão para ponto.

a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, …

Analogamente, possuímos a intuição de reta e plano.

b) as retas com letras minúsculas r, s, t, … c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ, … d) como dois pontos distintos determinam uma reta, pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.

MATEMÁTICA

41

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 42

3. Semirreta

6. Congruência

Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subconjuntos chamados semirretas.

O termo congruência não será definido. A ideia intuitiva de congruência entre dois entes geométricos está associada às suas medidas. Dois entes serão congruentes quando suas medidas forem iguais. Para indicarmos a congruência entre dois entes geométricos, utilizaremos o símbolo ≅.

O ponto A é origem das semirretas e pertence a am→ → bas. Representa-se por Ar1 e Ar2.

7. Congruência de segmentos de reta —

B

cm

D

3

A semirreta pode ser também indicada por dois pon→ tos. AB indica a semirreta com origem A, que contém o → ponto B, e AC indica a semirreta com origem A, que contém o ponto C.

—

Dois segmentos de reta, AB e CD, serão congruentes se, e somente se, tiverem mesma medida.

3

cm

C A AB

@

CD

Simbolicamente:

—

—

AB ≅ CD ⇔ AB = CD

4. Segmento de reta Podemos definir segmento de reta como sendo a intersecção de duas semirretas, cada uma contendo a origem da outra. —

Representa-se por AB.

8. Segmentos colineares São aqueles que são subconjuntos da mesma reta. Exemplos —

—

— —

AB, MN, AN, AM etc …

9. Ponto médio de um segmento —

Simbolicamente:

—

→

→

AB = Ar1 傽 Br2

M será ponto médio de um segmento AB se, e — — somente se, M pertencer ao segmento AB e AM for — congruente com BM.

5. Medidas Medida de um ente geométrico é um número real positivo, obtido pela comparação deste ente com um outro escolhido como unidade. Ao escolhermos esta unidade, estamos estabelecendo um sistema de medidas. Assim,

–– M é o ponto médio de AB ⇔

—

A medida do segmento AB em centímetros é 5 e pode ser representada por: —

AB = 5 cm ou med (AB) = 5 cm

42

MATEMÁTICA

冦

–– M ∈ AB ––– ––– AM ≅ BM

10. Região convexa Um conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S, — o segmento AB for subconjunto de S.

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 43

Assim,

S é convexa  —

∀A ∈ S, ∀B ∈ S, AB  S Quando existirem dois pontos, A e B, de S, de tal — forma que AB não é um subconjunto de S, a região é dita côncava ou não convexa.

Região angular é a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos pontos “interiores”.

Assim,

S é não convexa  ∃A ∈ S e ∃ B ∈ S —

tal que AB  S

13. Ângulos consecutivos

11. Ângulos Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem.

Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo vértice e pelo menos um lado em comum. m

r

O

Simbolicamente: ^

→

→

r Os = Or  Os

s

→

O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas Or

→

e Os são os lados do ângulo. Notação

^

^

Os ângulos mOr e rOs são consecutivos, pois admitem o lado →

Or em comum. →

→

O ângulo determinado pelas semirretas Ar e As será indicado por:

m

r

O

^

^

^

r As ou B AC ou A

12. Região angular Observe que o ângulo geralmente determina, no plano, três conjuntos: a) pontos “interiores” (P; Q; R; …) b) pontos do ângulo (O; A; B; …) c) pontos “exteriores”(X; Y; Z; …)

s ^

^

Os ângulos mOs e rOs são consecutivos, pois admitem o lado →

Os em comum.

14. Ângulos adjacentes Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quando a intersecção entre seus conjuntos de pontos “interiores” for vazia. MATEMÁTICA

43

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:14 Página 44

16. Ângulo reto

m

Duas retas são chamadas concorrentes se, e somente se, elas possuírem um único ponto em comum. O

r

s ^

^

Os ângulos mOr e rOs são adjacentes.

Observação Dois ângulos adjacentes são sempre dois ângulos consecutivos, porém dois ângulos consecutivos nem sempre são adjacentes.

Observe que duas retas concorrentes determinam quatro regiões angulares adjacentes. Quando duas dessas regiões angulares adjacentes forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas define uma região de ângulo reto.

15. Congruência de ângulos

r

Dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles têm mesma medida. D

^ AOB é reto

A

E

B

A

O

s

B F C

Simbolicamente: ^ ^

^

^

ABC ≅ DEF ⇔ med (ABC) = med (DEF)

���

As lentes são formadas por materiais transparentes (meio refringente) de tal forma que pelo menos uma das superfícies por onde passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana. Nas lentes esféricas, uma das superfícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e, consequentemente, caracterizadas por um raio de curvatura. As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua construção, como lentes convergentes e divergentes. Quando a lente está no ar ou em qualquer meio menos refringente que o seu material, as lentes convergentes são mais grossas na parte central que nas bordas. O contrário ocorre nas divergentes, que são delgadas no seu centro e mais grossas nas extremidades. Exemplos de lentes convergentes são lupas e lentes para corrigir hipermetropia. Lentes divergentes são encontradas em olho-mágico de portas e em óculos para correções da miopia. Outra classificação é feita em termos da geometria da lente. Caso as duas superfícies sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava. Se as duas superfícies são convexas, tem-se uma lente biconvexa. Sendo uma superfície

44

MATEMÁTICA

Observação Quando duas retas r e s são concorrentes e determinam ângulos adjacentes congruentes, elas são chamadas perpendiculares. Simbolicamente: r ⊥ s.

plana e outra convexa, tem-se uma lente planoconvexa e assim por diante. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br Existem seis tipos de lentes, que são representadas pelas figuras a seguir.

Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a quantidade de regiões não convexas é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução Somente as duas primeiras não são regiões não convexas. Resposta: D

���

Quando falamos em figuras iguais, intuitivamente nos vêm à mente figuras de mesmo tamanho e forma. Isto significa que, executando-se alguns movimentos, as figuras se “encaixam” exatamente umas sobre as outras. Observemos que a palavra “iguais” está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que os conjuntos de pontos que formam cada uma das figuras são diferentes. Tornamos mais precisa nossa linguagem usando a expressão "figuras congruentes". http://penta.ufrgs.br/edu

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 45

É importante saber que duas figuras congruentes têm medidas iguais. Assim, se os ângulos das figuras a seguir são congruentes, então, o valor de x é: a) 20°20’ d) 20°50’

b) 20°30’

Resolução Devemos ter: x + 27º

c) 20°40’

e) 21°

-1

Nos exercícios de ��� a ���, represente graficamente os entes geométricos, apresentando sua notação:

���

⇒ x = 20°30’

4º

3x

3x – 14° = x + 27° ⇒ 2x = 41° ⇒

Resposta: B

e) círculo

f) coroa circular

Reta r determinada por dois pontos, A e B.

RESOLUÇÃO:

convexa

↔

não convexa

r = AB

���

Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem origem no ponto A e contém o ponto B.

RESOLUÇÃO: →

AB

���

Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.

RESOLUÇÃO:

— AB

���

→ → Ângulo de lados OA e OB e vértice O.

RESOLUÇÃO:

���

(MODELO ENEM) – É dificíl saber se foram os egípcios ou os sumérios os primeiros a produzir escritos de natureza matemática. É fato que os mais antidos documentos indubitavelmente matemáticos que chegaram até nós são tabletes sumérios de barro cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C., mas como os egípcios escreviam sobre papiros facilmente degradáveis, eles podem ter produzido documentos ainda mais antigos e que se perderam. É preciso lembrar, entretanto, que existem tabletes sumérios de cerca de 3500 a.C., quando ainda eram usados símbolos anteriores aos cuneiformes, que já traziam registros numéricos. O sistema de numeração dos sumérios, depois adotado e adaptado por seus sucessores, usava como base o número 60, de onde se origina a convenção que empregamos até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a hora em 60 minutos e o minuto em 60 segundos (a divisão do dia em 24 horas vem dos egípcios). Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2a. ed. Livraria da Física.

���

Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa. a) reta b) ângulo

Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60”, faça os cálculos a seguir, associando-os com: a) 45°13’ b) 12°40’ c) 104°53’37” d) 23°12’17” e) 24°01’17” I) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” RESOLUÇÃO:

convexa

c) região angular

convexa

não convexa

d) circunferência

83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” ––––––––––––– 104° 52’ 97”

Como 1’ → 60”, temos que. 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”

Resposta: C

não convexa

MATEMÁTICA

45

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 46

II) 92° 43’ – 47° 30’

IV) 38° : 3

RESOLUÇÃO: 92° 43’ – 47° 30’ –––––––––– 45° 13’

RESOLUÇÃO: 38° 3 08° 12° 40’ 2° = 120’ 0 Resposta: B

Resposta: A

Logo, 38° : 3 = 12° 40’

III) 41° 23’ – 17° 21’ 43” RESOLUÇÃO: 41° 22’ 60” – 17° 21’ 43” –––––––––––– 24° 01’ 17” Resposta: E

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2

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Ângulos

• Obtuso • Agudo • Reto • Complementares • Suplementares

1. Ângulos agudo, obtuso e raso Ângulo agudo Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.

Âgulo obtuso Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.

Ângulo raso Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas opostas. A medida de um ângulo raso corresponde a dois ângulos retos ou a 180°.

2. Soma de ângulos ^

^

A soma de dois ângulos A BC e D EF é um ângulo ^ P QR tal que: ^

^

^

med(PQR) = med(ABC) + med(D EF)

Exemplos

Observação: ^

^

^

Quando med(P QR) = med(ABC) – med(DEF), o ân^

^

^

gulo P QR é a diferença entre os ângulos ABC e DEF.

46

MATEMÁTICA

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 47

3. Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos congruentes. Assim, →

^

OC é bissetriz do ângulo AOB  ^ ^ AOC ≅ BOC

O suplemento de um ângulo de medida x é

180° – x

6. Ângulos replementares Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um dos ângulos é chamado replemento do outro.

A

^ b

O

C

^ a

B

4. Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é chamado complemento do outro.

^

^

Replementares ⇔ a + b = 360° O replemento de um ângulo de medida x é

360° – x

7. Ângulos opostos pelo vértice Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

^ b ^ a

^

^

Complementares ⇔ a + b = 90°

a

b

O complemento de um ângulo de medida x é

Teorema

90° – x

5. Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos ângulos é chamado suplemento do outro.

Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. Demonstração x b

a

^ b ^ a

^

^

Suplementares ⇔ a + b = 180°

a + x = 180° b + x = 180°

⇒a+x=b+x⇔a=b MATEMÁTICA

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���

Nas regiões próximas à linha do Equador, todas as estrelas nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as noites, sempre à mesma hora, notará que seu aspecto irá modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão surgindo no horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três meses, verá que tal modificação será bem mais sensível. Ao término de seis meses, você poderá verificar que todas as constelações visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar. Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro Publicações S/A

A

B

C D

Na figura acima, o astrônomo observou que as

���

estrelas A, B e C estão posicionadas de tal —

^

modo que BD é bissetriz do ângulo ADC. Se ^

^

ADB = 3x – 10° e CDB = 2x + 8°, então, a ^

medida do ângulo ADC é: a) 80° d) 86°

b) 82° e) 88°

c) 84°

Resolução I)

3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°

II)

CDB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°

III)

ADC = 2 . 44° = 88°

^ ^

Resposta: E

���

Castelos e palácios eram residências majestosas para nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres e fossos. Embora os palácios fossem grandes residências e pudessem ter muros ao seu redor, não tinham muros altos de proteção e não eram projetados para finalidades militares. O fosso – um grande dique ou trincheira ao redor do muro externo do castelo – era a primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio de água ou seco (um fosso seco poderia ser forrado com estacas pontiagudas de madeira). Normalmente, havia uma ponte elevadiça que permanecia erguida quando o castelo era atacado. Vários fossos eram também locais para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram construídos no alto de uma rocha e não precisavam deles. Os castelos de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto

→ Calcular x na figura, sabendo-se que OC é bissetriz do ^

de uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno foram construídos nas áreas montanhosas do vale. www.spectrumgothic.com.br

���

Durante um ataque a um castelo medieval, os sentinelas ergueram a ponte levadiça, até que ela formasse um ângulo α com a horizontal. Se a medida do ângulo α é a metade da medida do seu suplemento, então, o complemento de α vale: a) 30° b) 40°

c) 50°

d) 60°

Resolução 180° – α α = ––––––––– ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60° 2 Logo, o complemento de α é 30°. Resposta: A

(ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) – As medidas do com-

plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de

ângulo AOB.

40° são, respectivamente, iguais a a) 30°, 60° e 90°

b) 30°, 45° e 60°

c) 320°, 50° e 140°

d) 50°, 140° e 320°

e) 140°, 50° e 320° RESOLUÇÃO: 1) complemento: 90° – 40° = 50° 2) suplemento: 180° – 40° = 140° 3) replemento: 360° – 40° = 320° Resposta: D

RESOLUÇÃO: 3x – 20° = x + 11° 2x = 31° x = 15,5°, ou seja, x = 15° 30’

48

e) 70°

MATEMÁTICA

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 49

���

Calcule o complemento de 69° 51’ 22”.

RESOLUÇÃO: I) 90° = 89° 59’ 60” II) 89° 59’ 60” – 69° 51’ 22” ––––––––––––––––––– 20° 08’ 38”

���

A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. O complemento desse ângulo mede: a) 60° b) 90° c) 120° d) 30° e) 45° RESOLUÇÃO: 180° – x I) x = –––––––– 2 2x = 180° – x 3x = 180° x = 60° Resposta: D

II) Logo, o complemento é 90° – 60° = 30°

���

Na cidade jônia de Mileto (hoje em território pertencente à Turquia), viveu um homem admirável, mais tarde considerado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemático grego e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido entre 640 a.C. e 564 a.C. Embora a Filosofia, a Astronomia e a Matemática fossem suas paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio. Aristóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o criticavam por descuidar-se dos negócios e desperdiçar seu tempo com aqueles interesses estranhos. Indiferente às críticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou, ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter demonstrado que os filósofos, quando querem, também sabem como enriquecer. Se não o fazem é porque dão valor a outras coisas que lhes parecem muito mais importantes. Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou seja, a de que suas verdades devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio do raciocínio. Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências. 2a. ed. Livraria da Física.

As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales demonstrou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então, eles são congruentes. Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na figura seguinte é: a) 16°

��� (PUC-MG) – O dobro do complemento de um ângulo é igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do ângulo é igual a: a) 80° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20°

b) 18°

c) 20°

3x-30º

d) 22°

e) 24°

60º-2x

RESOLUÇÃO: 180° – x 2(90° – x) = ––––––––– ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔ 5 ⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80° Resposta: A

RESOLUCÃO: 3x – 30° = 60° – 2x ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18° Resposta: B

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MATEMÁTICA

49

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 50

3

Paralelismo

• Alternos • Colaterais • Correspondentes

1. Nomenclatura Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma transversal t, obtemos oito ângulos com as designações

r // s ⇔ α ≅ β

4. Ângulos alternos ^

^

^ ; • correspondentes: a e α ^

^

^

^

b e β; c e γ ; ^

^

^

^

deδ

^

• alternos externos: a e γ; b e δ ^

^

^ • alternos internos: c^ e α ;

d e β

^

^

b e γ

^

^

d e α

• colaterais externos: a e δ ; • colaterais internos: c e β ;

Duas retas paralelas distintas formam com uma transversal ângulos alternos congruentes e reciprocamente.

^

^

^ ^

2. Retas paralelas Duas retas são paralelas se, e somente se, são coplanares com intersecção vazia ou são coincidentes. Representa-se r // s.

r // s ⇔ γ ≅ β

5. Ângulos colaterais Duas retas paralelas distintas formam com uma transversal ângulos colaterais suplementares e reciprocamente.

3. Ângulos correspondentes Duas retas paralelas distintas formam com uma transversal ângulos correspondentes congruentes e reciprocamente.

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M117

50

MATEMÁTICA

r // s ⇔ β + δ = 180°

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���

(UNICAMP) – Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

A

raios solares

7,2º

800 km S

Resolução Seja x o comprimento da circunferência da Terra. De acordo com o enunciado, tem-se:

Nos exercícios ��� e o com: a) 20° b) 25°

360° x = ––––– . 800 km ⇔ x = 50 . 800 km ⇔ 7,2°

soma das medidas dos ângulos x e y vale: a) 140°

b) 160°

⇔ x = 40 000 km

d) 200°

e) 220°

Resposta: 40 000 km

d) 50°

B

A 60º

���

Nelson Piquet, três vezes campeão do mundo, se tornará um dos donos da equipe BMW, em 2010, junto com o suíço Peter Sauber – proprietário hoje de cerca de 20% da organização. Assim, o futuro de Nelsinho Piquet estará praticamente assegurado na Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP da Europa, no dia 23, em Valência, pela Renault, mas no ano que vem sua vaga estaria reservada no Mundial. Quando escreveu no twitter que poderia “quem sabe correr no seu próprio time”, há dois dias, e depois disse que estava “brincando”, na realidade Nelsinho falou a verdade. Nelson, seu pai, tenta dar sequência ao que sempre fez com o filho: competir em sua escuderia. Foi assim no kart, na Fórmula 3, na GP2 – Nelsinho sempre obteve sucesso – e provavelmente será agora também na Fórmula 1.

O Estado de São Paulo – 03/08/2009 —

Na pista de kart da figura seguinte, temos: AB — — paralelo a DE e também paralelo a FG. Assim, a

���, determinar o valor de x, associandoc) 40°

c) 180°

y H

135º 105º

I

50º

C

x

E

D

150º F

G

Resolução B

A 60º 60º

135º

y

I 20º 20º H 30º 50º

E

45º

C 60º 105º x D

150º G

F

Assim, x + 60° = 180° ⇒ ⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto, x + y = 120° + 80° = 200° Resposta: D

���

e) 80°

���

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: x + 10° = 50° x = 40°

x = 30° + 50° x = 80° Resposta: E

Resposta: C

MATEMÁTICA

51

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���

Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para fazer

um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são paralelas. No local aonde eles foram, havia uma ponte que ligava a margem

I) x + 135° = 180° ⇔ x = 45° II) x +y + 70°= 180° ⇔ 45°+ y + 70°= 180° ⇔ x = 65° Resposta: C

r com um ilha localizada pelo ponto B e uma outra ponte ligando a ilha com o ponto C na outra margem, como mostra a figura seguinte. Se o ângulo agudo que a margem forma com —

^

AB mede 18° e ABC = 92°, então, a medida do ângulo obtuso —

que a margem s forma com a ponte BC é: a) 102°

b) 104°

c) 106°

d) 108°

e) 110°

���

(UFPE) – Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

RESOLUÇÃO:

As medidas dos ângulos α e β são, respectivamente: a) 65° e 115°

b) 70° e 110°

α + 74° = 180° ⇒ α = 106°

d) 60° e 135°

e) 45° e 145°

Resposta: C

RESOLUÇÃO:

���

Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

I) α + 70°+ 45° = 180° ⇔ α = 65° II) 45° + β = 180° ⇔ β = 135° Resposta: C

O valor de y é: a) 55°

b) 60°

c) 65°

RESOLUÇÃO:

52

MATEMÁTICA

d) 70°

e) 75°

c) 65° e135°

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Triângulos

4

• Vértices • Ângulos internos • Ângulos externos ^

^

^

Como β ≅ B , γ ≅ C e A + β + γ = 180°, temos:

1. Definição

^

Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama–– –– –– se triângulo a união dos três segmentos, AB, AC e BC. Simbolicamente:

–– ––– –– ΔABC = AB  BC  AC

^

^

A + B + C = 180° Soma dos ângulos externos Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos externos é igual a 360°. Demonstração

A união do triângulo ABC com os pontos de sua região interior é chamada região triangular.

a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo. — — — b) Os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo. ^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

A + α = 180°

2. Elementos do triângulo

^

c) Os ângulos BAC = A, ABC = B e ACB = C são os ângulos internos do triângulo. d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo ^ ^ β e ^γ são os ângulos externos dos interno. Na figura, α, vértices A, B e C, respectivamente.

B + β = 180° C + γ = 180°

14243

A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o sentido de região triangular.

⇒

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ⇒ A + B + C + α + β + γ = 540° ⇒ α + β+γ 14243 180°

= 360°

4. Teorema do ângulo externo Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Demonstração

3. Propriedades Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Demonstração

^

^

^

^

A + α = 180° ^

A + B + C = 180°

⇒

^

^

^ α =B +C

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M118

MATEMÁTICA

53

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 54

���

^

(ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um

triângulo ABC (figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo ^

que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e ^

encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz do ângulo A SC —

ângulo STC é: b) 95°

A

c) 96°

Túnel Ayr

(figura 1)

B

^

^

a) 94°

ABD = 60°.

^

encontra o lado AC. Se ABC = 62° e ACB = 34°, então, a medida do

e) 98°

ton Sen na

A

C

D

d) 97°

Praça das Esculturas

A (figura 2) B

C

B

C

D ^

A medida do ângulo BCD é: a) 22°

b) 21°

c) 20°

d) 19°

e) 18°

Resolução

Resolução

Túnel Ayrt on Sen na

A

49º

49º

B 60º

A

60º B’

C

D

—

^

^

I) AD é bissetriz do ângulo B’AC ⇒ B’AD = 49°

42º

Praça das Esculturas

42º T

II) No triângulo AB’C, temos: ^

^

BCD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ BCD = 22°

52º

Resposta: A

���

62º

52º

B

34º C

S

Arthur pretende encontrar um tesouro que está escondido no

Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o ponto S onde a bissetriz —

^

^

do ângulo BAC encontra o lado BC do triângulo ABC. Finalmente, ele

Resposta: A

��� Demonstre que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

α + b + c = 180° β = b (alternos internos) γ = c (alternos internos)

RESOLUÇÃO: — Sejam α, β e γ os ângulos internos do ΔABC. Traçando r // BC, temos:

54

MATEMÁTICA

^

Assim, STC + 52° + 34° = 180° ⇒ STC = 94°



⇒ α + β + γ = 180°

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���

(PUC) – Na figura abaixo, a = 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x? a) 30° b) 50° c) 80° d) 100°

���

Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue como o que aparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2. Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas figuras é: a) 235° b) 240° c) 245° d) 250° e) 255°

e) 150°

RESOLUÇÃO: a = x + (180° – b) ⇔ x = a + b – 180° ⇔ x = 30° Resposta: A

RESOLUÇÃO:

Nos exercícios ��� e a) 40° b) 60°

���, calcule x, associando-o com: c) 70°

d) 90°

e) 100°

���

I) α = 90° + 30° = 120° II) β = 80° + 35° = 115° RESOLUÇÃO: x + 50° = 120° x = 70° Resposta: C

Logo, α + β = 120° + 115°= 235° Resposta: A

���

RESOLUÇÃO: 3x = 80° + x 2x = 80° x = 40° Resposta: A

MATEMÁTICA

55

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5

Segmentos notáveis do triângulo

1. Mediana Mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade num dos vértices do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

• Mediana • Bissetriz • Altura • Acutângulo • Obtusângulo • Retângulo

4. Classificação dos triângulos Classificação quanto aos lados Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em: a) equilátero, quando tem os três lados congruentes. b) isósceles, quando tem dois lados congruentes. c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são congruentes.

—

AMA é a mediana relativa ao vértice A. Isósceles

Equilátero

2. Bissetriz Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice do triângulo e pela intersecção do lado oposto a esse vértice com a bissetriz do ângulo interno desse vértice.

Escaleno

Classificação quanto aos ângulos Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classificado em: a) retângulo, quando possui um ângulo reto. b) acutângulo, quando possui os três ângulos agudos. c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso. —

B

ASA é uma bissetriz do triângulo.

3. Altura Altura de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice e pela intersecção da reta que contém o lado oposto a esse vértice, com a perpendicular a ela traçada por esse vértice.

B

A

C

C

A acutângulo ^ ^ ^ ( A; B; C < 90°)

retângulo ^ ( A = 90°)

B

A

—

AHA é a altura relativa ao vértice A.

56

MATEMÁTICA

obtusângulo ^ ( A > 90°)

C

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���

(ENEM) – Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais – objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada é a) b)

���

Carlos colocou em sua barraca de cam— — —

na figura seguinte, pois o sistema de meteorologia havia previsto um vendaval. Se —

—

—

^

a medida do ângulo DAE é: c)

d)

a) 65° b) 65°

c) 67°

d) 68°

e) 69°

P

Q

R

A

e)

B

D

E

C

Resolução Resolução A figura 4 será obtida retirando-se os triângulos equiláteros “menores”, que têm vértices nos pontos médios dos lados de cada triângulo azul. Portanto, será

A 28º

28º

28º

28º D

^

E

C

^

I)

A DE = AED = 28° + 28° = 56°

II)

No triângulo ADE, temos:

Figura 2

Figura 3

^

^

DAE + 56° + 56° = 180° ⇒ DAE = 68° Resposta: C

���

Assinale a afirmação falsa: Todo triângulo equilátero é acutângulo. Todo triângulo equilátero é equiângulo. Todo triângulo equilátero é isósceles. Todo triângulo acutângulo é equilátero. Nenhum triângulo retângulo é equilátero.

RESOLUÇÃO: Resposta: D

���

^

^

...

a) b) c) d) e)

—

AD = AE = BD = EC e ABD = ACE = 28°, então,

B

Figura 1

—

ping os tirantes AB, AC, PQ e PR, como aparece

(UFES) – Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 140°

Resposta: D

1) 2x + 2x + 100° = 180° ⇔ x = 20° 2) α = x + x ⇔ α = 2x = 40° Resposta: B

���

Calcule x, com os dados da figura seguinte, na qual ^

AB = BC = CD e med (CDB) = 25°.

RESOLUÇÃO:

MATEMÁTICA

57

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 58

RESOLUÇÃO:

No ΔABD, x é ângulo externo. Logo, x = 25° + 50° x = 75°

���

Um triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Nele, está —

—

inscrito um triângulo equilátero DEF, tal que D ∈ AB, E ∈ AC, —

^

^

F ∈ BC e os ângulos A DE e FEC são complementares. Calcule ^

a medida, em graus, do ângulo BFD. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 1) α + β = 90° 2) Nos triângulos BFD e FEC, tem-se: θ + x = α + 60° θ + 60° = β + x Assim: 2θ + x + 60° = α + β + x + 60° ⇔ ⇔ 2θ = α + β ⇔ 2θ = 90° ⇔ θ = 45° ^

Resposta: O ângulo B FD mede 45°

���

(MODELO ENEM) – Índios guajajaras derrubam torre de alta tensão no Maranhão 24/10/2007 – da Agência Folha

Um grupo de índios da etnia guajajara derrubou anteontem uma torre de transmissão de energia elétrica da Eletronorte que cruza a terra indígena Cana Brava, próxima ao município de Barra do Corda (456 km de São Luís), no Maranhão. O grupo já havia ameaçado derrubar a torre diversas vezes, mas esta foi a primeira vez em que o ato foi concretizado. A reportagem não conseguiu falar ontem com as lideranças guajajaras para saber o motivo da derrubada da torre. A assessoria da Funai (Fundação Nacional do Índio) informou que os índios exigem a presença do presidente do órgão, Márcio Meira, na aldeia, mas não apresentaram uma reivindicação específica. Na torre da figura seguinte, temos: ^

AB = BC = CD = DE = EF. Se G AH = 10°, então a medida do ^

ângulo GEF é: a)

58

40°

b) 45°

c) 50°

MATEMÁTICA

d) 55°

e) 60°

^

Logo, G EF = 50° Resposta: C

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M119

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 18:01 Página 59

Triângulo retângulo e condição de existência de um triângulo

6

1. Propriedade importante do triângulo retângulo

• Existência • Ângulo reto

Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo tem a metade da medida da referida hipotenusa, ou seja

Se um triângulo está inscrito numa circunferência e um de seus lados é um diâmetro, então o triângulo é retângulo.

BC AM = –––– 2

2. Condição de existência do triângulo

–– –– –– a) AO ≅ BO ≅ CO (raio da circunferência) ^

^

^

^

b) ABO ≅ BAO, pois ΔAOB é isósceles c) ACO ≅ CAO, pois ΔAOC é isósceles d) No triângulo ABC, temos: α + α + β + β = 180° ⇔ ⇔ 2α + 2β = 180° ⇔ α + β= 90° ⇒

^

BAC = 90°

Observação Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A condição necessária e suficiente para existir um triângulo é que a medida de cada um de seus lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois. Se a, b, e c forem, respectivamente, as medidas dos –– –– –– lados BC, AC e AB do triângulo ABC, então:

冦

a – 12 II. 2x + 1 < x – 1 + 10 ⇒ x < 8

7

Congruência de triângulos

• Congruência • LLL • LAL • ALA • LAAo

1. Definição Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência entre os vértices de um e os do outro, de modo que os lados e os ângulos correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.

ΔABC ≅ ΔRPQ ⇔



—

AB — BC — AC ^ A ^ B ^ C

≅ ≅ ≅ ≅ ≅ ≅

—

RP — PQ — RQ ^ R ^ P ^ Q

2. Critérios de congruência A definição de congruência exige a congruência dos seis elementos, enquanto os critérios de congruência nos permitem concluir que dois triângulos são congruentes a partir da congruência de três elementos convenientes. MATEMÁTICA

61

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 62

Temos quatro critérios de congruência de triângulos:

1o.

—

Critério: LLL

^

Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes. P

A

B

C

—

—

AB ≅ PQ — — AC ≅ PR — — BC ≅ QR



—

Q



BC ≅ QR

R

^

B≅ Q ^ ^ A≅ P

⇒ ΔABC ≅ ΔPQR

Observações a) LLA não assegura congruência. Na figura, os triângulos ABC e A’BC não são congruentes, pois AC  A’C, embora –– BC (lado comum)



⇒ ΔABC ≅ ΔPQR

^

C (ângulo comum) –– –– AB ≅ A’B (raio)

2o. Critério: LAL Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente, congruentes. A

P

B

C

—

—

AB ≅ PQ — — AC ≅ PR ^ ^ A≅ P

R

Q

b) Se dois triângulos retângulos possuem hipotenusas congruentes e um dos catetos congruentes, então eles são congruentes.

3. Teorema



Se um triângulo ABC é isoângulo, então ele é isósceles. Demonstração

⇒ ΔABC ≅ ΔPQR

3o. Critério: ALA Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente, congruentes. A

P

Hipótese B

Q

C

R —

—

—

BC ≅ QR ^ ^ B ≅Q ^ ^ C ≅ R





ΔABC isoângulo ^ ^ B≅C —

Tese { AB ≅ AC

⇒ ΔABC ≅ ΔPQR

^ ^ –– Seja AS a bissetriz de A e, portanto, BAS ≅ CAS. ^

^

BAS ≅ CAS ^

4o. Critério: LAAo Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse lado, respectivamente, congruentes.



⇒

⇒ ΔBAS ≅ ΔCAS pelo critério LAAo. —

—

Logo AB ≅ AC.

P

A

^

Assim sendo, B ≅ C — AS (lado comum)

Observação —

B

62

C

MATEMÁTICA

Q

R

Da demonstração anterior, conclui-se que AS, além de bissetriz, é a mediana e a altura relativa ao vértice A.

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 63

���

A congruência de triângulos é utilizada para demonstrar várias propriedades importantes. Podemos por exemplo demonstrar que I) se um triângulo é isósceles, então, ele é isoângulo; II) a bissetriz do ângulo formado pelos lados congruentes de um triângulo isósceles coincide com a altura. ^

Assim, a medida do ângulo C AH da figura

I)

No triângulo BHD, temos: ^

Para construir a estrela da figura seguinte, ^

HBD + 90° + 50° = 180° ⇒ HBD = 40° II)

foram utilizados os triângulos ABC, ADE, AFG e

Assim ABC = 40° + 40° = 80°

AHI, que são congruentes. Se AB = 12 cm,

Como AB = AC, temos:

AC = 5 cm e BC = 13 cm, então, o perímetro

^

^

^

^

ACB = ABC = 80° e, portanto, B AC = 20° ^

—

Logo, CAH = 10°, pois AH é bissetriz do ^

da estrela mede: a) 80 cm b) 90 cm d) 110 cm e) 120 cm

c) 100 cm

ângulo B AC D

Resposta: A

—

seguinte, na qual AB = AC, AH é a altura —

^

relativa ao vértice A, BS é bissetriz do ângulo B ^

e S DH = 130°, é igual a: a) 10° b) 12° c) 14°

d) 16°

���

C

(MODELO ENEM)

e) 18°

Estrela gigante tem cauda do tamanho do sistema solar

E

F

A

B

I

A

Redação do Site Inovação Tecnológica –

G

31/07/2009 S

Gigante vermelha Há pouco mais de um mês, astrônomos descobriram que a supergigante vermelha Betelgeuse, uma das estrelas mais brilhantes no céu, quase 1.000 vezes maior do que o Sol, está encolhendo misteriosamente.

D

B

A

S D 130º 50º

H

C

D

Supernova Os cientistas descobriram que a Betelgeuse tem uma espécie de cauda, uma gigantesca emanação de gases tão grande quanto o nosso sistema solar inteiro, além de uma espécie de bolha fervente em sua superfície. Essas podem ser as razões por trás da enorme perda de massa da estrela. Apesar de sua magnitude, Betelgeuse está-se aproximando rapidamente do fim da sua vida. Emitindo luz equivalente a 100 000 Sóis, ela perde massa rapidamente e logo deverá explodir como uma supernova. Quando isto acontecer, a supernova poderá ser vista da Terra mesmo à luz do dia. http://www.inovacaotecnologica.com.br/

���

Cite os critérios de congruência de triângulos.

RESOLUÇÃO: LAL, ALA, LLL e LAAo.

Resolução

C

H

Resolução

B

H

7 13

C 13

5 F

7

E 13

5 A 5 G

5

I

7

B

13

7 H

O perímetro da estrela mede 80 cm. Resposta: A

→ → ^ Na figura, OX é bissetriz de AO B e M ∈ OX . Prove que: ––– ––– AM ≅ BM

���

MATEMÁTICA

63

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:08 Página 64

RESOLUÇÃO: OM é comum ^

^

^

^

AOM ≅ BOM (bissetriz) OAM ≅ OBM (retos)

冧

⇒ LAAo ⇒ ΔMOA ≅ ΔMOB ⇒ AM ≅ BM

���

Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes.

RESOLUÇÃO:

Hipóteses

— BD comum ^ ^ ADB ≅ CBD (alternos internos) ^

⇒ ALA ⇒ ΔABD ≅ ΔCDB

^

ABD ≅ CDB (alternos internos) — — — — Logo, AB ≅ CD e BC ≅ DA

��� Pretendo construir uma piscina circular com 10 m de diâmetro e centro no ponto O, como mostra a figura seguinte. No ponto A, pretendo colocar um pequeno toboágua, no ponto B, uma escada e no ponto C, um guarda-sol com algumas ca^ deiras. Se BC = 5 m e ACO = 15°, então, a medida do ângulo ^ A OD é: a) 42° b) 43° c) 44° d) 45° e) 46°

冦 AB ≅ AC

ΔABC é isósceles

^ ^ Tese: B ≅ C — — Seja M o ponto médio de BC e, portanto, BM ≅ MC. — — AB ≅ AC — — BM ≅ MC — AM comum ^

RESOLUÇÃO:

⇒ LLL ⇒ ΔAMB ≅ ΔAMC

^

Logo, B ≅ C

���

No quadrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se: –– –– –– ––– –– –– –– –– AB // CD e AD // BC. Prove que AB ≅ CD e BC ≅ DA .

^

^

I) BC = BO = 5 m e, portanto, BOC = B CO = 15°, pois o triângulo COB é isósceles ^

II) OBA = 15° + 15° = 30°, pois é ângulo externo do triângulo COB. III)O triângulo AOB também é isósceles e, portanto, ^

^

OAB = O BA = 30°. ^

Logo, AOD = 15° + 30° = 45°, pois é ângulo externo do triângulo AOC. Resposta: D

RESOLUÇÃO:

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M121

64

MATEMÁTICA

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8e9

Polígonos

• Polígono equilátero • Equiângulo • Diagonais • Soma dos ângulos

1. Definição Consideremos, num plano, n pontos (n  3), A1, A2, A3, …, An, ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares. Chama-se polígono A1, A2, A3, …, An a figura formada pela união dos n segmentos consecutivos:

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3. Classificação Polígono equilátero É o polígono que tem todos os lados congruentes. Exemplos: Losango, quadrado etc.

Polígono equiângulo –––– –––– ––––– –––– A1A2  A2A3  A3A4  …  AnA1

É o polígono que tem todos os ângulos internos congruentes. Exemplos: Retângulo, quadrado etc.

Região poligonal

Polígono regular

É a região determinada pela união do polígono com os pontos de sua região interior.

Polígono convexo

É o polígono que é equilátero e equiângulo simultaneamente. Exemplo: Quadrado.

É o polígono cuja região poligonal é convexa.

4. Número de diagonais

Observação Estudaremos somente polígonos convexos.

2. Nomenclatura De acordo com o número de lados, temos: triângulo

— 3 lados eneágono

— 9 lados

quadrilátero — 4 lados decágono

— 10 lados

pentágono

— 5 lados undecágono

— 11 lados

hexágono

— 6 lados dodecágono

— 12 lados

heptágono

— 7 lados pentadecágono — 15 lados

octógono

— 8 lados icoságono

— 20 lados

Genericamente, usa-se o termo polígono de n lados. Observação importante Um polígono convexo com n lados tem n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos.

Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono. Num polígono de n lados: a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais. b) os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais. c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois vértices. Assim, sendo d o número de diagonais do polígono, temos:

n . (n – 3) d = –––––––––– 2 Exemplo O polígono convexo da figura ao lado tem 7 lados e cada vértice dá origem a 7 – 3 = 4 diagonais. Assim, 7.4 d = ––––– = 14 2 MATEMÁTICA

65

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5. Soma dos ângulos internos

6. Soma dos ângulos externos

Seja um polígono de n lados e P um ponto interno. Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é 180° . n.

Sejam, num polígono de n lados, ai e ae, respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo externo adjacente a ele, Si a soma dos ângulos internos e Se a soma dos ângulos externos. Sendo ai + ae = 180° para cada um dos vértices do polígono, temos

Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do polígono, temos Si = 180° . n – 360° ⇔

Si = (n – 2) . 180°

Si + Se = 180° . n ⇔ Se = 180° . n – Si ⇔ ⇔ Se = 180° . n – (n – 2) . 180° ⇔

Exemplo

Se = 360°

Observação: A soma dos ângulos internos do polígono da figura é: 6 . 180° – 360° = 720°

Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos são congruentes e, portanto,

Si ai = –––– n

Se ae = –––– n

e

Exercícios Resolvidos – Módulos 8 e 9 ���

(PUCCAMP) – A figura descreve o movimento de um robô:

2m

45º

2m A

45º 2m

Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45° para a esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida terá sido a) uma circunferência. b) um hexágono regular. c) um octógono regular. d) um decágono regular. e) um polígono não regular. Resolução Quando esse robô retornar ao ponto A, terá percorrido os lados de um polígono regular, cujo ângulo externo mede 45°. Assim, sendo n o número de lados desse polígono, tem-se:

Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15°. b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°. d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles. e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. Resolução B P

45º

D

45º 90º C

A O

360° ––––– = 45° ⇔ n = 8 n

E

120º 60º

N

120º

F

Resposta: C G

M

���

K

(UFSCar) – A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.

I

L

H J

Em relação aos seis triângulos “encaixados” perfeitamente nos espaços da figura acima, pode-se afirmar que dois deles são equiláteros, e os demais são triângulos retângulos isósceles. Figura 1

66

MATEMÁTICA

Figura 2

Resposta: D

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Exercícios Propostos – Módulo 8 ���

Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo.

RESOLUÇÃO: n=9 n(n – 3) 9(9 – 3) 9.6 d = –––––––– ⇒ d = –––––––– = ––––– = 27 ⇒ d = 27 2 2 2

���

Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantas diagonais tem esse polígono?

RESOLUÇÃO: 360° I. ae = ––––– n

360° ⇒ 15° = ––––– ⇒ n = 24 n

n(n – 3) 24 . 21 II. d = ––––––––– ⇒ d = ––––––––– ⇒ d = 252 2 2

���

Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? RESOLUÇÃO: d = 2n n (n – 3) d = ––––––––– 2

n (n – 3) ⇒ 2n = ––––––––– ⇒ 4n = n(n – 3) ⇒ n = 7 2

Logo, o polígono é um heptágono convexo.

��� (ENEM) – Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.

���

A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é: a) 360° b) 540° c) 1400° d) 900° e) 180°

RESOLUÇÃO: n=7 Si = (n – 2) . 180° ⇒ Si = (7 – 2) . 180° ⇒ Si = 900° Resposta: D

���

Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede 150°. Qual é o número de lados do polígono?

Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano

RESOLUÇÃO: ae + ai = 180°

⇒ ae = 30°

ai = 150° Se 360° ae = –––– ⇒ 30° = ––––– ⇒ n = 12 n n

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)

MATEMÁTICA

67

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 68

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome

Triângulo

Quadrado

Pentágono

60º

90º

108º

Hexágono

Octógono

Eneágono

120º

135º

140º

Figura

Ângulo interno Nome

a) triângulo. d) hexágono.

b) quadrado. e) eneágono.

c) pentágono.

RESOLUÇÃO: Para que não haja falhas, ou superposição de ladrilhos, a soma dos ângulos internos dos ladrilhos, em torno do vértice comum, deve ser igual a 360°. Assim, se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ser quadrado, pois 360° = 135° + 90° + 135° e, então, em torno do mesmo vértice, teremos dois ladrilhos octogonais e um quadrado. Resposta: B

Figura

Ângulo interno

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

Exercícios Propostos – Módulo 9 ���

Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de diagonais desse polígono.

RESOLUÇÃO: I. Si = 5 . Se ⇒ (n – 2) . 180° = 5 . 360° ⇒ ⇒ n – 2 = 10 ⇒ n = 12

–– Num polígono regular ABCDE…, a diagonal AC forma com –– o lado BC um ângulo de 18°. Esse polígono possui a) 20 diagonais. b) 20 lados. c) 40 diagonais. d) 18 lados. e) 35 diagonais.

���

RESOLUÇÃO:

n(n – 3) 12 . 9 II. d = ––––––––– ⇒ d = ––––––– ⇒ d = 54 2 2

I. ae = 18° + 18° = 36°

���

A soma dos ângulos internos de dois polígonos cujos números de lados são inteiros e consecutivos é 1620°. A soma das quantidades de diagonais destes polígonos é: a) 9 b) 13 c) 17 d) 20 e) 23

RESOLUÇÃO: I. Si + Si = 1620° 1 2 (n – 2) . 180° + (n – 1) . 180° = 1620° (÷ 180°) n–2+n–1=9⇒n=6 Logo, os polígonos têm 6 e 7 lados, respectivamente. II. d = d1 + d2 6.3 7.4 d = –––––– + –––––– 2 2 d = 9 + 14 = 23 Resposta: E

68

MATEMÁTICA

360° 360° II. ae = ––––– ⇒ n = ––––– ⇒ n = 10 n 36° n(n – 3) 10 . 7 III. d = –––––––– ⇒ d = –––––– = 35 2 2 Resposta: E

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���

Calcule, em graus a soma dos ângulos assinalados na figura seguinte:

���

(MODELO ENEM) – Para desenhar uma estrela regular com nove pontas, Luciana desenhou inicialmente um eneágono regular como o que aparece na figura seguinte. Ela prolongou os lados do eneágono, obtendo assim sua estrela regular. A soma das medidas dos ângulos das pontas da estrela é igual a: a) 780° b) 800° c) 840° d) 860° e) 900°

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: b a b

a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = Se = 360°

10 e 11

Como β é ângulo externo do eneágono regular, temos: 360° β = ––––– = 40° 9 Assim, α + 40° + 40° = 180° ⇒ α = 100° Logo, a soma dos ângulos das pontas da estrela é 9 . 100° = 900° Resposta: E

Quadriláteros notáveis

Alguns quadriláteros que possuem propriedades particulares são chamados quadriláteros notáveis. Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e suas propriedades.

• Trapézio • Paralelogramo • Retângulo • Losango • Quadrado

No trapézio, ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso são suplementares.

1. Trapézio Trapézio é todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. –– –– –– –– Os lados AB e CD (AB // CD ) são as bases do trapézio da figura. –– –– Os lados AD e BC são chamados lados transversais ou lados transversos.

No trapézio da figura, temos: α + β = 180° e γ + δ = 180° MATEMÁTICA

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Observações a) Trapézio isósceles é aquele que possui os lados transversais congruentes. b) Trapézio retângulo é aquele que possui um ângulo reto.

Nos retângulos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: a) as diagonais são congruentes. b) os quatro ângulos são retos.

4. Losango Losango é todo paralelogramo que possui dois lados adjacentes congruentes.

2. Paralelogramo Paralelogramo é todo quadrilátero que possui lados opostos paralelos.

Todo losango é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio. —

—

—

—

AB // CD e AD // BC Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem dois lados paralelos. Nos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: a) os lados opostos são congruentes. b) os ângulos opostos são congruentes. c) as diagonais se cortam em seus respectivos pontos médios.

3. Retângulo

Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: a) as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos. b) as diagonais são perpendiculares. c) os quatro lados são congruentes.

5. Quadrado Quadrado é todo quadrilátero que é retângulo e losango ao mesmo tempo. No quadrado, valem todas as propriedades do retângulo e todas as propriedades do losango.

Retângulo é todo paralelogramo que possui um ângulo reto.

Todo retângulo é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.

Todo quadrado é retângulo e losango e, portanto, também é paralelogramo e trapézio.

Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11 ���

15,5 cm

(ENEM) – Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere, a seguir, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):

10,5 cm

Seguindo o processo representado, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de a) 84 cm x 62 cm

70

b) 84 cm x 124 cm

MATEMÁTICA

c) 42 cm x 31 cm

d) 42 cm x 62 cm

e) 21 cm x 31 cm

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Resolução Para produzir um exemplar de cordel com 32 páginas, são necessárias 16 folhas de 10,5 cm x 15,5 cm dispostas como na figura seguinte, na qual as medidas estão em centímetros:

15,5

���

(UNESP-MODELO ENEM) – A sequência de configurações iniciada a seguir dá origem a um fractal, obtido em estágios da seguinte maneira: (i) Começa-se com um quadrado de lado 1, no estágio 0; (ii) O estágio n + 1 é obtido a partir do estágio n, dividindose cada lado em três partes iguais, construindo-se externamente sobre a parte central um quadrado e suprimindo-se, então, a parte central. Com base nessa descrição, o perímetro da figura, à direita, referente ao estágio de número 2, é

15,5 62 15,5

a) 15 b) 100/9 Resolução

15,5

10,5

10,5

10,5

c) 10

d) 75/8

e) 15/2 __ 1 3

10,5

1

1

42

A folha mais econômica deverá ter 42 cm por 62 cm e ser dobrada como se segue:

__ 5 3

__ 1 3

__ __ 5 1 17 . __ 3 +2 9 = 9

Como pode-se

ser observado na sequência de figuras acima, o

perímetro da figura 2 é: 17 1 100 4 . –––– + 8 . 4 . –––– = –––– 9 9 9 Resposta: B

Resposta: D

Exercícios Propostos – Módulo 10 ��� a) b) c) d) e)

Assinale a afirmação falsa. Todo quadrado é um retângulo. Todo quadrado é um losango. Todo losango é um paralelogramo. Todo retângulo é um paralelogramo. Todo trapézio é um paralelogramo.

RESOLUÇÃO: Basta observar as relações de inclusão.

Resposta: E

MATEMÁTICA

71

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 72

���

(PUCCAMP) – Considere as afirmações. I) Todo retângulo é um paralelogramo. II) Todo quadrado é um retângulo. III) Todo losango é um quadrado. Associe a cada uma delas a letra V, se for verdadeira, ou F caso seja falsa. Na ordem apresentada, temos a) FFF b) FFV c) VFF

d) VVF

���

(CESGRANRIO)

e) FVF

RESOLUÇÃO: Todo quadrado é losango e retângulo simultaneamente; assim, um losango só será quadrado quando for também retângulo. Resposta: D

���

Determinar o menor ângulo de um paralelogramo, cuja diferença entre dois ângulos internos é 64°.

Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras anteriores, nas quais estão descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça — — coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o ^ quadrilátero BEDF da fig. 3, pode-se concluir que o ângulo BED mede: a) 100° b) 112° 30’ c) 115° d) 125° 30’ e) 135° RESOLUÇÃO: I)

RESOLUÇÃO:

^

β + α = 180° β – α = 64°

⇒ β = 122° e α = 58°

^

No triângulo isósceles ABD, temos: A BD = ADB = 45° II)

Logo, o menor ângulo mede 58°.

���

(UNIFESP) – Em um paralelogramo, as medidas de ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede a) 45° b) 50° c) 55° d) 60° e) 65°

RESOLUÇÃO: Sejam k e 3k as medidas dos dois ângulos internos consecutivos do paralelogramo a seguir.

— ^ ^ 45° DE é bissetriz do ângulo ADB e, portanto, EDB = –––– = 22°30’ 2

III) No triângulo BED, temos: ^

Resposta: B

Logo, 3k + k = 180°⇔ k = 45° Resposta: A

72

MATEMÁTICA

^

B ED + 45° + 22°30’ = 180° ⇔ B ED = 112°30’

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Exercícios Propostos – Módulo 11 ���

^

Calcule a medida do ângulo BAD assinalado na figura abaixo, na qual ABC é um triângulo equilátero e BCDE é um quadrado.

RESOLUÇÃO:

^ I. A DE + 90° + 150° = 360° ^ ^ ADE = 360° – 240° ⇒ A DE = 120° ^ II. α + α + ADE = 180° 2α = 180° – 120° ⇒ α = 30° ^ III. AEF = α + 15° + 15° = 60°

RESOLUÇÃO: I. α + α + 60° + 90° = 180° α = 15° II. x + α = 60° x = 60° – 15° = 45°

���

Na figura, ABCD é um quadrado e CDEF um losango. Se ^

^

EC F mede 15°, a medida do ângulo AEF é:

Resposta: D

��� (UNESP) – Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. 9,4 km

W

Z

b rio 2b X

5,7 km

Y

(figura fora de escala)

^

^

Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: a) 15°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 75°

a) 7,5

b) 5,7

c) 4,7

d) 4,3

MATEMÁTICA

e) 3,7

73

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 74

RESOLUÇÃO:

Traçando TY// XW, temos T WX = T YX = b

���

e XY = WT = 5,7 km, pois XYTW é um paralologramo.

BC = CD = DA. A medida a do ângulo BAD assinalado é igual a:

––––

––––

^

^

^

^

No trapézio ABCD da figura abaixo, tem-se: AB = BD e ^

^

O triângulo TZY é isósceles, pois ZYT = ZYX – T YX = ^

^

= 2b – b = b e Z TY= XYT = b (alternos internos). Logo, YZ = ZT = WZ – WT = 9,4 km – 5,7 km = 3,7 km Resposta: E

a)

75°

b) 72°

c) 60°

d) 45°

e) 36°

RESOLUÇÃO:

���

(MACKENZIE) – Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190°. O maior dos ângulos formados pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105° b) 100° c) 90° d) 95° e) 85°

2α + β = 180° α + 3β = 180°

α = 72°

Resposta: B

RESOLUÇÃO:

I. α + β = 190° ⇒ 2x + 2y = 170° ⇒ x + y = 85° II. x + y + z = 180° 85° + z = 180° ⇒ z = 95° Logo, o maior ângulo mede 95°. Resposta: D

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M123

74

MATEMÁTICA

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 75

12

Linhas proporcionais

• Teorema de Tales • Bissetriz interna • Bissetriz externa

Na figura, temos:

1. Teorema de Tales Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes da outra.

AB AC –––– = –––– BS CS

3. Teorema da bissetriz externa Quando a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, ficam determinados, nesta reta, dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo. Na figura, temos: Assim, na figura, temos:

AB PQ AC PR –––– = –––– ou –––– = –––– ou CD RS BD QS AD PS –––– = –––– ou … AB PQ

2. Teorema da bissetriz interna Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno determina no lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse ângulo.

���

(UNIRIO – MODELO ENEM)

Rua A I Rua B

II

No desenho ao lado apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

AB AC –––– = –––– BS CS

Resolução

250

200

x + 40 r

x s // r

MATEMÁTICA

t // s

75

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Página 76

—

De acordo com o Teorema linear de Tales, tem-se

posto de gasolina. Se AP é bissetriz do ângulo ^ BAC, a distância da cidade B até o posto será:

250 x + 40 ––––– = –––––––– ⇔ x = 160 200 x

a) 7 km d) 10 km

b) 8 km e) 11 km

Resolução A

c) 9 km 18

14

Resposta: A A

���

(MODELO ENEM) – No mapa da figura seguinte, estão representadas as cidades A, B e C, bem como as estradas retilíneas que ligam as três cidades. As distâncias entre as cidades AB, AC e BC medem, respectivamente, 18 km, 14 km e 16 km. No ponto P, será construído um

B

B

���

(UnB)__– Considere __ ___a figura abaixo. Sabendo que os segmentos AB, BC e A’B’ têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 8 cm, respectivamente, determine o comprimento do segmen––– to B’C’.

C

P

x

P

16 - x

C

Do teorema da bissetriz do ângulo interno do triângulo, temos: 18 14 ––– = –––––– ⇒ 14x = 18 . (16 – x) ⇒ x = 9 km x 16 – x Resposta: C

filósofos. Não tendo recursos para manter-se em Atenas, alojou-se no porto do Pireu, a sete quilômetros de distância, onde a vida era mais barata, e todas os dias levantava bem cedo e caminhava até a escola. Entre outros grandes feitos, coube a Eudóxio a eterna honra de reformular a teoria das proporções de modo a levar em conta a existência dos irracionais, problema que os pitagóricos não haviam conseguido resolver. Sua abordagem, profunda e sutil, recebeu pouca atenção durante longo tempo, até que, no século XIX, os matemáticos Dedekind e Weierstrass utilizaram ideias análogas às eudoxianas para colocar em bases sólidas a teoria dos números reais. Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências 2a. ed. Livraria da Física.

RESOLUÇÃO: AB A’B’ De acordo com o Teorema Linear de Tales, tem-se –––– = ––––– BC B’C’ 8 4 Assim: –– = ––––– ⇔ B’C’ = 4 2 B’C’ Resposta: B’C’ = 4 cm

Como você observou no texto acima, quem realmente completou a demonstração do Teorema de Tales foi Eudóxio. Utilize o Teorema de Tales para calcular x em cada caso e o associe com: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

���

Texto para as questões de

��� a ���.

Logo na fase inicial de sua Academia, Platão recebeu um humilde aluno, de nome Eudóxio, de Cnidos (Jônia), que estava destinado a tornar-se um dos maiores matemáticos da Antiguidade. Extremamente pobre, nascido em 408 a.C., Eudóxio foi atraído pela fama de Atenas, de Platão e de sua Academia e para lá mudou-se em busca da sabedoria junto aos

76

MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO: 4 1 ––– = ––– ⇒ x = 8 x 2 Resposta: E

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 77

���

—

—

—

—

^

^ γ (correspondentes) I. CD // SA ⇒ α ^

^

CD // SA ⇒ θ β (alternos internos) ^

^ como por hipótese α

β⇒ —

^

—

⇒ θ ^γ, logo ΔCAD é isósceles ⇒ AC AD II. Aplicando o Teorema de Tales, temos: AB BS AB AC ––––– = ––––– ⇒ ––––– = ––––– (c.q.d.) AD SC BS SC

RESOLUÇÃO: 2 x ––– = ––– x 8 x2

= 16 x=±4 x=4 Resposta: C

���

—

—

—

No esquema seguinte, os segmentos AB, AC e BC repre-

sentam as trajetórias (retilíneas) entre as cidades A, B e C. No ponto P será construído um posto de gasolina. Determine a distância do posto à cidade B, sabendo-se que AB = 36 km, ^

^

AC = 28 km, BC = 32 km e BAP ≅ CAP.

���

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO: 2x – 1 x+3 ––––––– = –––––– 3 5 10x – 5 = 3x + 9 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2 Resposta: B

^

^

Como BAP ≅ CAP, tem-se

���

Enuncie e demonstre o teorema da bissetriz para um ângulo interno de um triângulo. RESOLUÇÃO: Teorema: Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

AC AB –––– = –––– CP BP 28 36 Assim, –––– = –––––– ⇔ 16x = 9 . 32 ⇔ x = 9 . 2 ⇔ x = 18 32 – x x Resposta: 18 km

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M124

MATEMÁTICA

77

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 78

Semelhança de triângulos

13 a 15

1. Semelhança de triângulos Definição Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

• Semelhança de triângulo • Critérios de semelhança

1o. Critério: (AA苲) “Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então são semelhantes.”

^

^

^

^

A P

B Q

⇒ ΔABC 苲 ΔPQR

2o. Critério: (LAL苲)

A semelhança entre os triângulos ABC e PQR será simbolicamente indicada por:

“Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes ordenadamente proporcionais e se o ângulo compreendido entre esses lados for congruente, então os triângulos são semelhantes.”

ΔABC ⵑ ΔPQR Assim, temos:

ΔABC ⵑ ΔPQR ⇔



^ ^ ^ ^ ^ ^ A P ; B Q; C R AB BC AC –––– = –––– = –––– = k

PQ

QR

PR

O número k é denominado razão de semelhança dos triângulos. Se k = 1, então os triângulos são congruentes. Observações a) Para indicarmos a semelhança dos triângulos, a escolha da ordem dos vértices do primeiro triângulo é qualquer, porém a ordem dos vértices do segundo obedece à mesma sequência do primeiro. Assim, nas figuras, teremos: ΔABC ~ ΔPQR ou ΔCAB ~ ΔRPQ ou ΔBCA ~ ΔQRP ou …

^

^

B ≅Q AB BC –––– = –––– PQ QR



⇒ ΔABC ⵑ ΔPQR

3o. Critério: (LLL苲) “Se dois triângulos têm os três lados correspondentes ordenadamente proporcionais, então os triângulos são semelhantes.”

b) Para facilitar a resolução de problemas envolvendo semelhança, é interessante destacar os triângulos semelhantes.

2. Critérios de semelhança Os critérios de semelhança permitem concluir que dois triângulos são semelhantes a partir de duas ou três condições apenas.

78

MATEMÁTICA

AB BC AC –––– = –––– = –––– ⇒ ΔABC ⵑ ΔPQR PQ QR PR

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Observação Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então a razão entre dois elementos lineares correspondentes quaisquer é k. Exemplo Se a razão de semelhança de dois triângulos é 2, então a razão entre as medianas correspondentes é 2, a razão entre as alturas correspondentes é 2 etc.

3. Polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando possuem o mesmo número de lados e é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices tal que os ângulos correspondentes sejam côngruos e os lados correspondentes, proporcionais.

Assim, se os polígonos das figuras são semelhantes, temos:

a b e ––– = ––– = … = ––– = k a’ b’ e’ Observações a) Dois polígonos semelhantes podem ser decompostos no mesmo número de triângulos semelhantes. b) Em polígonos semelhantes, todas as medidas de segmentos correspondentes estão na mesma razão, que é a razão de semelhança. c) A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os polígonos.

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M125

Exercícios Resolvidos – Módulos 13 a 15 ���

As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros. (Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C. Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione)

(ETEC-SP) – Leia o texto a seguir: ra

ios

de

so

l estaca sombra da estaca

Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é a) 14,80 b) 92,50 c) 148 d) 925 e) 1 480 Resolução Como os raios solares são paralelos, os triângulos da figura são semelhantes.

vara de medir Raios de sol Estaca fincada verticalmente no solo

Altura da pirâmide

HP HE q sE

q sP + b 2 Comprimento da sombra da estaca Metade da medida da base

Comprimento da sombra da pirâmide

Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 metros de lado. Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo.

HP HE –––––––––– = ––––– b sE sP + ––– 2 b b = 230 m ⇒ sP + ––– = (255 + 115)m = 370 m 2 HP 1,0 ––––– = ––––– ⇒ HP = 148 m 370 2,5 Resposta: C

MATEMÁTICA

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���

(UFPR – MODELO ENEM) – Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.

Resolução

4 2 17

1

1

d+2

1

5m

19+d

1m 5m

12 m

d

a)

13,5 m

b) 14,0 m

d)

15,0 m

e) 15,5 m

2m

c) 14,5 m

Da semelhança entre os triângulos retângulos da figura, tem-se: d + 19 4 ––––––– = –– ⇔ 2d + 4 = d + 19 ⇔ d+2 2 ⇔ 2d – d = 19 – 4 ⇔ d = 15 Resposta: D

Exercícios Propostos – Módulo 13 ���

(VUNESP) – A sombra de um prédio, num terreno plano,

numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo

���

(UFMG) – Observe a figura.

instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.

Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. A medida do lado do losango é: a) 4 b) 4,8 c) 5 d) 5,2 e) 5,8 A altura do prédio, em metros, é a) 25 b) 29 c) 30

RESOLUÇÃO:

d) 45

e) 75

RESOLUÇÃO:

Seja h a altura do prédio em metros. Como os triângulos ABC e DEF são semelhantes, temos h 15 ––– = ––– ⇔ h = 25 5 3 Resposta: A

80

MATEMÁTICA

Seja x a medida de cada lado do losango BFDE. Os triângulos ABC e DFC são semelhantes pelo critério (AA~). Assim: AB BC 8 12 –––– = –––– ⇔ ––– = ––––––– ⇔ 20x = 96 ⇔ x = 4,8 DF FC x 12 – x Resposta: B

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���

Com os dados da figura, determine x.

��� Na figura seguinte, sendo BC = 4, AE = 3 e DE = 1, calcule — a medida do segmento AB.

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

^

^

^

I) ΔABE ~ ΔADC pelo critério (AA~), pois A é comum e B EA ⬵ DCA AB BE AE x BE 3 II) –––– = –––– = –––– ⇔ ––– = –––– = ––––– ⇒ AD DC AC 4 DC x+4

Δ ACB ~ Δ ECD (AA~)

⇒ x . (x + 4) =12 ⇔ x2 + 4x – 12 = 0 ⇒ x = 2

AC BC ––––– = ––––– EC DC

—

Resposta: A medida de AB é 2.

4 x+2 ––– = ––––– ⇒ 12 = 2x + 4 ⇒ x = 4 2 3

Exercícios Propostos – Módulo 14 ���

A figura abaixo mostra um quadrado, inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado.

DE // BC ⇒ Δ ABC ~ Δ ADE (AA~) x 12 – x –––– = ––––––– ⇒ 3x = 60 – 5x ⇒ 8x = 60 ⇒ x = 7,5cm 20 12 Logo, o lado do quadrado mede 7,5cm.

RESOLUÇÃO:

MATEMÁTICA

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C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 82

���

(ENEM) – O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.

���

(FUVEST) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado? a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90

RESOLUÇÃO: I. DE // AC ⇒ ΔBDE ~ ΔBAC(AA~)

Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de exinção em 2011 será igual a a) 465 b) 493 c) 498 d) 838 e) 899

II. AB = AD + DB ⇒ DB = 1 – AD e DE = AF = AD BD DE 1 – AD AD III. –––– = –––– ⇒ ––––––– = –––– ⇒ AD = 3 – 3AD ⇒ AD = 0,75 BA AC 1 3 Resposta: B

RESOLUÇÃO: n o. de espécies ameaçadas de extinção

���

Os lados dos quadrados DEFG e GHIJ da figura abaixo medem 6 cm e 9 cm, respectivamente. Calcular a medida do lado do quadrado ABCD. A partir do gráfico, tendo A, B e C alinhados, temos:

a – 461 461 – 239 a – 461 222 –––––––––––– = –––––––––––– ⇔ –––––––– = ––––– ⇔ 24 2011 – 2007 2007 – 1983 4 a – 461 4

⇔ –––––––– = 9,25 ⇔ a = 461 + 37 ⇔ a = 498 Resposta: C RESOLUÇÃO: I. ΔBCE ~ ΔEFH (AA~) II. GH = GF + FH ⇒ FH = 3 e DE = DC + CE ⇒ CE = 6 – DC III. AB = BC = DC (lado do quadrado) BC CE DC 6 – DC –––– = –––– ⇒ –––– = ––––––– ⇒ DC = 12 – 2DC ⇒ DC = 4 cm EF FH 6 3 Logo, o lado do quadrado mede 4 cm.

82

MATEMÁTICA

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���

As bases de um trapézio ABCD medem 10 cm e 25 cm e a altura mede 70 cm. Determinar a distância do ponto de intersecção das diagonais à base maior.

Logo, a distância do ponto de intersecção das diagonais à base maior mede 50 cm.

RESOLUÇÃO:

ΔOCD ~ ΔOAB (AA~) x 25 –––––––– = –––– ⇒ 2x = 350 – 5x ⇒ 7x = 350 ⇒ x = 50cm 70 – x 10

Exercícios Propostos – Módulo 15 ���

Demonstre que o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste terceiro lado. RESOLUÇÃO:

––– ––– As diagonais AC e BD de um quadrilátero medem, respectivamente, 8 cm e 12 cm. O perímetro do quadrilátero com extremos nos pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD é: a) 12 cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm e) 28 cm

���

RESOLUÇÃO: I. Δ PBQ ~ Δ ABC Δ SDR ~ Δ ADC AM 1 M ponto médio de AB ⇒ –––– = –– AB 2

⇒

AN 1 N ponto médio de AC ⇒ –––– = –– AC 2 AM AN LAL ⇒ ––––– = ––––– ⇒ ΔAMN ~ ΔABC ⇒ AB AC

⇒

^ ^ M ≅ B ⇒ MN // BC

II. Δ RCQ ~ Δ DCB Δ SAP ~ Δ DAB

} }

⇒

AC PQ = –––– 2 AC SR = –––– 2

⇒

DB SP = –––– 2 DB RQ = –––– 2

⇒

⇒ 2p = PQ + RS + SP + RQ = AC + DB = 12 + 8 = 20 Resposta: C

MN AM 1 BC –––– = –––– = ––– ⇒ MN = –––– BC AB 2 2

MATEMÁTICA

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���

(FEI) – Uma placa de papelão retangular, de 40 cm por 60 cm, inicialmente será cortada ao longo de uma de suas diagonais e depois ao longo de duas direções paralelas aos seus lados, de modo a obter-se um quadrado, conforme indicado na figura. Qual a medida do lado desse quadrado? a) 20 cm b) 21 cm c) 22 cm d) 23 cm e) 24 cm

RESOLUÇÃO:

ΔBEF ~ ΔDAF BE 6 x EF –––– = –––– ⇒ ––– = –––––– ⇒ 2x= 12 – x ⇒ x = 4 DA 12 12 – x AF

RESOLUÇÃO:

Logo, EF = 4 Resposta: D

40-x

40 x

���

x 60

Sendo x a medida, em centímetros, do lado desse quadrado, temse: 40 – x x 40 – x x ––––––– = –––– ⇔ ––––––– = ––– ⇔ 40 60 2 3

Num triângulo ABC, retângulo em A, os catetos medem 3 cm e 6 cm. A medida do raio da circunferência, com centro na hipotenusa e tangente aos catetos do triângulo, é: a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm RESOLUÇÃO:

⇔ 2x = 120 – 3x ⇔ 5x = 120 ⇔ x = 24 Resposta: E

ΔCDO ~ ΔCAB (AA~) 3–R R CD DO –––– = –––– ⇒ ––––––– = –––– ⇒ R = 6 – 2R ⇒ R = 2 cm 3 6 CA AB Logo, o raio mede 2 cm. Resposta: C

���

Na figura seguinte, ABCD é um retângulo, E é o ponto —

médio de BC e o triângulo ADE é equilátero.

Se BC = 12, então EF é igual a: a)

 6

84

b) 3

c) 2  3

MATEMÁTICA

d) 4

e) 6

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16

Relações métricas nos triângulos (Pitágoras)

1. Projeção ortogonal de um segmento

• Relações métricas • Teorema de Pitágoras

3. Relações métricas num triângulo retângulo

–– Dados um segmento de reta AB e uma reta r, cha–– ma-se projeção ortogonal de AB sobre r o segmento de — reta A’B’ determinado pela intersecção da reta r com as retas que passam pelos pontos A e B e são perpendiculares a r.

No triângulo retângulo ABC da figura, temos: a) ΔAHB  ΔCAB pelo critério (AA), pois o ângulo ^

^

^

B é comum e AHB = CAB = 90°.

2. Elementos de um triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC da figura, temos:

b) ΔAHC  ΔBAC pelo critério (AA), pois o ângulo ^

^

^

C é comum e AHC = BAC = 90°. Da semelhança dos triângulos, obtêm-se as seguintes relações:

• A, B, e C são vértices;

––– • a é a medida da hipotenusa BC ; –– –– • b e c são as medidas dos catetos AC e AB, respectivamente; –– • h é a medida da altura AH relativa à hipotenusa; ––– • m é a medida da projeção ortogonal BH do cate–– to AB sobre a hipotenusa; –– • n é a medida da projeção ortogonal CH do cateto –– AC sobre a hipotenusa.

1) O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogonal deste cateto sobre a hipotenusa (Relação de Euclides). Assim, temos:

c2 = a . m

e

b2 = a . n

Demonstrações I) ΔAHB  ΔCAB

II) ΔAHC  ΔBAC

AB BH –––– = –––– CB BA

AC CH –––– = –––– BC CA

c m ––– = ––– a c

b n ––– = ––– a b

c2 = a . m

b2 = a . n

MATEMÁTICA

85

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 86

2) Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (Teorema de Pitágoras).

Assim, temos:

h2 = m . n

Assim, temos:

Demonstração

AH HB ΔAHB  ΔCHA ⇔ –––– = –––– ⇔ CH HA

a 2 = b2 + c 2 Demonstração Vamos somar membro a membro as Relações de Euclides obtidas anteriormente.

h m ⇔ ––– = ––– ⇔ h 2 = m . n n h 4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos catetos.



2 + c2 = a . m b =a.n ––––––––––––––– b2 + c2 = a . m + a . n ⇔

Assim, temos:

a.h=b.c

⇔ b2 + c2 = a . (m + n) ⇔ ⇔ b2 + c2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2

Demonstração

HA AB ΔHAB  ΔACB ⇔ –––– = –––– ⇔ AC CB h c ⇔ –– = –– ⇔ a . h = b . c b a

3) O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

���

(MACKENZIE – MODELO ENEM) – Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 16 cm por segundo e a da formiga é de 10 cm por segundo. Após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é: a) 2,0 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 2,2 m e) 1,8 m Resolução Poste

Assim sendo, AF2 = AP2 + PF2 ⇒ AF2 = 1,22 + 0,52 ⇔ AF = 1,3 m Resposta: B

���

Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base dele. A que altura do solo se quebrou o poste? a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m Resolução

Formiga

F

0,5m

Aranha Partida A 0,8m

9-x

P

x

1,2m

Após 5 segundos, a aranha andou 16 cm . 5 = 80 cm = 0,8 m e está a 1,2 m do poste.

3

Após os mesmos 5 segundos, a formiga subiu 10 cm . 5 = 50 cm = 0,5 m do solo. Nesse instante, a menor distância entre a aranha e a formiga é dada — pela hipotenusa AF do triângulo AFP.

86

MATEMÁTICA

x2 + 32 = (9 – x)2 ⇔ x2 + 9 = 81 – 18x + x2 ⇔ x = 4 Resposta: A

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 87

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO

(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite

MAT2M126

���

Enuncie e demonstre o Teorema de Pitágoras.

RESOLUÇÃO: x2 = 52 + 122 = 169 ⇔ x = 13

RESOLUÇÃO: Teorema: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Demonstração:

b)

I) ΔAHB ~ ΔCAB (AA~) c AB BH m –––– = –––– ⇒ –– = –– ⇒ c2 = a . m a c CB AB II) ΔAHC ~ ΔBAC (AA~)

RESOLUÇÃO: 122 = y . 24 ⇔ y = 6

n b AC CH –––– = –––– ⇒ –– = –– ⇒ b 2 = a . n b a BC AC Somando-se (I) com (II), temos: c2 + b2 = am + an ⇔ ⇔ c2 + b2 = a(m + n) ⇔ c2 + b2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2

c)

���

Sendo retângulos os triângulos das figuras, determine os valores de x, y e z. a)

RESOLUÇÃO: z2 = 16 . 25 ⇔ z =

 16 . 25 ⇔ z = 4 . 5 ⇔ z = 20

MATEMÁTICA

87

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 88

���

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

(ENEM) 30cm

90cm

corrimão 30cm 24cm 24cm

90cm

24cm 24cm

RESOLUÇÃO: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitágoras). Resposta: D

24cm

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m RESOLUÇÃO P

��� Um barco navegou 10 milhas para o oeste, depois 5 milhas para o sul, depois 13 milhas para o leste e finalmente 9 milhas para o norte. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida? a) 3 milhas a sudoeste b) 3 milhas a sudeste c) 4 milhas ao sul d) 5 milhões ao norte e) 5 milhas a nordeste

30cm C

90cm

x

30cm A

120cm

B

R

RESOLUÇÃO: No triângulo ABC da figura, temos: x 2 = 90 2 + 120 2 ⇔ x = 150 O comprimento do corrimão é PC + CB + BR e, portanto, 30 cm + 150 cm + 30 cm = 210 cm = 2,1 m Resposta: D

chegada E

4 B

A

10

3

9

partida 5

C

���

(UERJ) – Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no infinito. “Quem és tu” — indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” (Millôr Fernandes – Trinta Anos de Mim Mesmo)

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MATEMÁTICA

5

13

(AE)2 = 32 + 42 ⇒ AE = 5 Portanto, E fica a 5 milhas a nordeste de A. Resposta: E

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