Cables Con Cargas Concentradas y Distribuidas

Presentación

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Cables con carga concentrada Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería como puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, etc. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre ellos: Considere un cable unido a dos puntos fijos A y B que soporta n cargas concentradas verticales P1, P2…Pn. Se supone que el cable es flexible, esto es, que su resistencia a la flexión es pequeña y se puede despreciar. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta. Por tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una línea vertical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; además, también se supone que se conocen las distancias horizontal y vertical entre los apoyos. Se busca determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos C1,C2…Cn, y también se desea encontrar la tensión T en cada uno de los segmentos del cable.

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Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el cable. Como la pendiente de las porciones del cable unidas en A y B no se conoce, cada una de las reacciones en A y B deben representarse con dos componentes. Por tanto, están involucradas cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no son suficientes para determinar las reacciones en A y B’. De esta manera, se debe obtener una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable. Lo anterior es posible si se conocen las coordenadas x y y de un punto D del cable. Dibujando el diagrama de cuerpo libre del segmento AD del cable y escribiendo ∑ 𝑀𝐷 = 0, se obtiene una relación adicional entre las componentes escalares Ax y Ay y se pueden determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el problema continuaría siendo indeterminado si no se conocieran las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra relación entre Ax y Ay (o entre Bx y By). Como se indica por medio de las líneas discontinuas, el cable podría colgar en varias formas posibles. Una vez que se han determinado Ax y Ay se puede encontrar fácilmente la distancia vertical desde A hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto C2 se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción AC2 del cable. Si se escribe ∑ 𝑀𝐶2 = 0, se obtiene una ecuación que se puede resolver para y2. Al escribir ∑ 𝐹𝑥 = 0 y ∑ 𝐹𝑦 = 0 se obtienen las componentes de la fuerza T que representa la tensión en la porción del cable que está a la derecha de C 2. Se observa que 𝑇 cos 𝜃 = −𝐴𝑥 ; por tanto, la componente horizontal de la fuerza de tensión siempre es la misma en cualquier punto del cable. Se concluye que la tensión T es máxima cuando cos 𝜃 es mínimo, esto es, en la porción del cable que tiene el mayor ángulo de inclinación 𝜃. Obviamente, dicha porción del cable debe ser adyacente a uno de los apoyos del cable.

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Cables con cargas distribuidas Considere un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga distribuida. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, esta cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva.

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Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto D del cable. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión T0 en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porción CD del cable. Si se dibuja el triángulo de fuerzas correspondiente, se obtienen las siguientes relaciones: 𝑇 cos 𝜃 = 𝑇0

𝑇 sin 𝜃 = 𝑊

𝑇 = √𝑇0 2 + 𝑊 2

tan 𝜃 =

𝑊 𝑇0

A partir de las relaciones, es evidente que la componente horizontal de la fuerza de tensión T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W de la carga medida a partir del punto más bajo. Las relaciones muestran que la tensión T es mínima en el punto más bajo y máxima en uno de los dos puntos de apoyo.

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Cables parabólicos

Ahora suponga que el cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo largo de la horizontal. Se puede suponer que los cables de los puentes colgantes están cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeño en comparación con el peso de la calzada. La carga por unidad de longitud (medida en forma horizontal) se representa con w y se expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando ejes coordenados con su origen en el punto más bajo C del cable, se encuentra que la magnitud W de la carga total soportada por el segmento del cable que se extiende desde C hasta el punto D de coordenadas x y y está dada por W = wx. De esta forma, las relaciones que definen la magnitud y la dirección de la fuerza en D, se convierten en 𝑇 = √𝑇0 2 + 𝑤 2 𝑥 2

tan 𝜃 =

𝑤𝑥 𝑇0

Además, la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante W es igual a la mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D. Si se suman momentos con respecto a D, se escribe +↺ ∑ 𝑀𝐷 = 0

𝑥

𝑤𝑥 2 − 𝑇0 𝑦 = 0

Y, resolviendo y, se obtiene

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𝑦=

𝑤𝑥 2 2𝑇0

Esta es la ecuación de una parábola con un eje vertical y con su vértice en el origen del sistema de coordenadas. Por tanto, la curva formada por cables que están cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola. Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevación, la distancia L entre los apoyos se conoce como el claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto más bajo se llama la flecha del cable. Si se conocen el claro y la flecha del cable y si la carga por unidad de longitud horizontal w está dada, se puede encontrar la tensión mínima T0 sustituyendo x = L /2 y y= h en la ecuación. Entonces, las ecuaciones proporcionaran la tensión y la pendiente en cualquier punto del cable y la ecuación definirá la forma del cable.

Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posición del punto más bajo del cable y se deben determinar las coordenadas xA, yA y xB, yB de los apoyos. Con ese propósito, se expresa que las coordenadas de A y B satisfacen la ecuación y que xB - xA = L y yB - yA= d, donde L y d representan, respectivamente, las distancias horizontal y vertical entre los dos apoyos.

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La longitud del cable desde su punto más bajo C hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la formula 𝑥𝐵

𝑆𝐵 = ∫

√1 + (

0

𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Si se obtiene la diferencial de la ecuación se obtiene la derivada 𝑑𝑥 = 𝑤𝑥/𝑇0 si se sustituye este resultado en la ecuación y se utiliza el teorema del binomio para expandir el radical en una serie infinita, se obtiene 𝑥𝐵

𝑆𝐵 = ∫

√1 +

0

𝑤 2𝑥2 𝑇0 2

𝑥𝐵

𝑑𝑥 = ∫

𝑆𝐵 = 𝑥𝐵 (1 + Y, como

𝑤𝑥𝐵 2 2𝑇0

(1 +

0

𝑤 2 𝑥𝐵 2 6𝑇0 2

−

𝑤 2𝑥 2 2𝑇0 2

𝑤 4 𝑥𝐵 4 40𝑇0 4

−

𝑤 4𝑥 4 8𝑇0 4

+ ⋯ ) 𝑑𝑥

+ ⋯)

= 𝑦𝐵 2 𝑦𝐵 2 2 𝑦𝐵 4 𝑆𝐵 = 𝑥𝐵 [1 + ( ) − ( ) + ⋯ ] 3 𝑥𝐵 5 𝑥𝐵

La serie converge para valores de la relación yB/xB menores que 0.5; en la mayoría de los casos, dicha relación es menor y solo es necesario calcular los dos primeros términos de la serie.

Ejercicios 1. Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. Calcule también la flecha YB y la tensión máxima del cable.

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Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones máximas serán aquellas cuya componente vertical sea máxima, esta se presentará siempre en los apoyos. Como una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal. Aplicando el método de los nudos podemos despejar Ay: Equilibrio en el nudo B

por equilibrio en A, TBAy=Ay=4kN si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en función de Ay conocida:

Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P:

Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal: Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E:

Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto:

La tensión máxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, ¿por qué?

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2. Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable. Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.

En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable. La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto, una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros. Reacciones verticales:

Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:

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Área de cable mínima:

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