CA1-Col

COLUMNAS Definición.Básicamente la columna es un elemento estructural que trabaja en compresión, pero debido a su ubicación en el sistema estructural deberá soportar también solicitaciones de flexión y torsión. t orsión. La Falla en Columnas.Las columnas llegan a la falla debido a tres casos:  Por

fluencia inicial del acero en la cara de tensión

 Por

aplastamiento del concreto en la cara en compresión o

 Por

pandeo.

Centroide Plástico.El punto en la sección de columna donde la fuerza axial actúa produciendo en toda la sección deformaciones iguales se denomina centroide plástico de la

Y o 

 A g  0.85  f  'c h / 2   A' s   f   y d 1   A s   f   y d 2  A g  0.85  f  'c   A' s   f   y   A s   f   y

Siendo Ag = área de la sección bruta (bh) d1  A´s

yo h

d2

C.P

 As

b

Columnas Cortas.Cuando el proceso de falla en la columna se debe a la falla inicial del material se clasifica a la columna como corta. Según el ACI si la relación de esbeltez kLu/r es menor a 22, la columa se

Y o 

 A g  0.85  f  'c h / 2   A' s   f   y d 1   A s   f   y d 2  A g  0.85  f  'c   A' s   f   y   A s   f   y

Siendo Ag = área de la sección bruta (bh) d1  A´s

yo h

d2

C.P

 As

b

Columnas Cortas.Cuando el proceso de falla en la columna se debe a la falla inicial del material se clasifica a la columna como corta. Según el ACI si la relación de esbeltez kLu/r es menor a 22, la columa se

Columnas Cortas con Carga C arga Axial Axial Si la carga axial actúa en el centroide plástico, se obtendrá la capacidad máxima de la columna sumando la contribución del concreto y la del acero; recordemos que el concreto alcanza su máxima resistencia cuando la deformación unitaria es aproximadamente 0.003, para ésta deformación entonces todo el acero ya estará en fluencia. Luego expresaremos la resistencia nominal a la carga axial de la columna como sigue: Po = 0.85

f’c (

Ag  – Ast) + Ast f y

El factor 0.85 se ha afectado a la resistencia del concreto f’c’ debido a que se ha determinado experimentalmente que en estructuras reales, el concreto tiene una resistencia a la rotura aproximada del 85% del f’c’. Lo anterior es un caso poco probable de tener excentricidad cero, en estructura reales la excentricidad se da por varias causas. El ACI el objeto de tomar en cuenta estás excentricidades reduce la resistencia a la carga axial y da las siguientes expresiones:



Para columnas con estribos: Pn = 0.8 (0.85



f’c (Ag  – Ast)

+ Ast f y)

Para columnas zunchadas o constituida por espirales Pn = 0.85 (0.85

f’c (Ag  – Ast)

+ Ast f y)

Las dos expresiones anteriores nos dan la capacidad máxima de carga axial de las columnas.

Columnas Cortas sometidas a Carga Axial y Flexión La flexión se produce por que hay un momento flector actuante; o si la carga axial actuante es excéntrica. La excentricidad (e) es igual a: e = M/P; donde P es la carga axial actuante en el centroide plástico de la sección y M el momento actuante total. En la figura siguiente se tiene un posible estado de esfuerzos del concreto y

Denominemos: Cc = 0.85 f’c ba Cs1 = As1 f s1 Cs2 = As2 f s2 Ts3 = As3 f s3 Ts4 = As4 f s4 Luego la fuerza axial nominal será: Pn = Cc + cs1 + cs2 – Ts3 – Ts4 Y el momento nominal será: Mn = Cc (yo – a/2) + Cs1 (yo – d1) + Cs2 (yo – d2) + Ts3 (d3 – yo) + Ts4 (d4 – yo)

 Además: Mn = Pne 0.003

 As1 d1  As2

yo

s1 s2

d2

0.85 f´c

 As1 f s1 c a

Cc

 As2 f s2

h

E.N. C.P.

 As3  As4

d3 d4

s3 s4

 As3 f s3  As4 f s4

Condición de Falla Balanceada Falla balanceada en columnas es la condición para la cual se produce simultáneamente la falla por aplastamiento del concreto y la fluencia de la capa exterior del acero en tracción.

De la figura tenemos: c = 0.003

C b

0.003



d



0.003   y

C b



0.003 0.003   y

( d )

cb Eje Neutro

d

 y 

cb y



  f   y



 E  s

  f   y 2 *10 6

6000 d  6000    f   y

Donde “d” es la distancia de la fibra extrema al centroide de la capa de acero exterior. Para esta condición tendremos también una excentricidad balanceada:

eb 

Mnb Pnb

Condición de Falla Dúctil Falla primero el acero, para ésta condición tenemos.

Condición de Falla Frágil Falla primero el concreto, para ésta condición tenemos. C > Cb Diagrama de Interacción de Columna

Pn  A Pn máx Falla frágil e Pnb

B

eb

Falla dúctil C

D

Mnb

Mn

El punto A representa la condición teórica de comprensión pura o carga concéntrica, pero debemos recordar que el código ACI nos limita a un valor Pn máx, el punto B es la condición balanceada, el punto C la condición de flexión pura, el punto D de tracción pura y el tramo CD de flexo tracción

Factor de Reducción de Resistencia en Columnas ( ) Según el código ACI 318-02 el parámetro   no es constante y depende de magnitud de la carga axial, este parámetro afecta tanto al momento nominal como a la carga axial nominal de la columna. Así tenemos: Si Pu > 0.1 f’c Ag  = 0.65 (Para columnas estribadas)  = 0.70 (Para columnas zunchadas, elementos armados en espiral)

Si Pu  0.1 f’c Ag

  0.9 

2 Pu  0.65 f ´c  A g

(Para columnas estribadas )

  0.9 

1.5 Pu  0.70 f ´c  A g

(Para columnas zunchadas )

Donde Pu deberá tomar como máximo el menor valor entre 0.1 f´c Ag y  Pnb

Refuerzo Máximo y Mínimo en Columnas El código ACI recomienda lo siguiente: Refuerzo Máximo :

Ast = 0.08 Ag, esto además deberá estar sujeto a la facilidad de armado del acero y vaciado del concreto. Refuerzo Mínimo :

Ast = 0.01 Ag

Distribución del Acero Longitudinal y Transversal  C o l u m n a s Es t r i b a d a s

Las columnas con estribos rectangulares o circulares requieren cuatro varillas longitudinales como mínimo. En cualquier tipo de sección de columna deberá proporcionarse una varilla longitudinal en cada esquina y además toda varilla longitudinal deberá estar apoyado sobre estribos. Si las varillas longitudinales son menores a la Nº 10 el diámetro del refuerzo transversal será por lo menos 3/8 ’’, en caso contrario el diámetro del refuerzo transversal será por lo menos ½’’.

Espaciamiento vertical de estribos “s”.

s  16 p (p diámetro de la varilla longitudinal) s  48 estribo s  menor dimensión de la sección transversal de columna

Las varillas longitudinales deberán contar con estribos que doble alrededor de ellas en forma alternada, la distancia libre entre varillas longitudinales contiguas deberá ser menor a 15 cm en caso contrario las varillas longitudinales deberán contar con estribos que doble alrededor de ellas.

 C o l u m n a s Z u n c h a d as

En las columnas zunchadas se requiere como mínimo seis varillas longitudinales. El diámetro del zuncho será por lo menos 3/8 ’’. La distancia libre entre espirales estará entre 2.5 cm a 7.5 cm y mayor que 11/3 del tamaño máximo del agregado.

Aplicaciones en el Diseño de Columnas: Aplicación Nº 01: Para la sección de la columna que se muestra en la figura, determine los siguientes puntos del diagrama nominal de interacción: a. Carga concéntrica b. Condición balanceada c. Un punto de falla en la zona de fluencia del acero en tracción

0.40

0.30

f’c = 350 kg/cm2, f y = 4200 kg/cm2, estribos de  3/8’’

 Ast = 8  5/8’’

Solución:  As1 = 5.94 cm2 d1 = 5.74 cm  As2 = 3.96 cm2 d2 = 20.00 cm  As3 = 5.94 cm2 d3 = 34.26 cm

 As1

 As2

 As3

d1

d2

d3

a) Condición de Carga Concéntrica  Ag = 30 * 40 = 1200 cm2; Ast = 15.84 cm2 Pno = 0.85 f’c (Ag - Ast )+ Ast f y = 418.81 t

b) Condición Balanceada y 

C b d

f y Es



c = 0.003

 0.0021

0.003 0.0051

cb

 C b  20.15cm

d = 34.3 cm

β1  0.8  a b  16.12cm

f si  6 *

f s1  6 *

y

(c  d i ) c (20.15 5.74) 20.15

 4.29  f s1  f y  4.2 t/cm2

f s2  0.045t/cm2 f s3   6.75 t/cm2  f   f y   4.2 t/cm2 s3

 Ahora podemos calcular las fuerzas en el acero y el concreto, y hacer el equilibrio: Cs1 = 24.95 t Cs2 = 0.18 t Ts3 = 24.95 t Cc = 0.85 * f’c * b * a = 143.87 t Pnb = Cc + Cs1 + Cs2 - Ts3 = 144.05 t

   

M nb  Cc *  0.20 

0.1612  2

  Cs1 * (0.20 0.0574)  

Cs2 * (0.20 0.20)  Ts3 * (0.3426 0.20)  24.91t  m

Luego :

e b 

M nb Pnb

 0.125m

c) Un punto de falla en la zona de fluencia del acero en tracción. C < Cb C = 15 cm



a = 12 cm

f s1 = 3.7 t/cm2



Cs1 = 21.98 t

f s2 = -2 t/cm2



Ts2 = - 7.92 t

f s3 = - 7.7 t/cm2 

f y   4.2 t/cm2  s3

f 



Cc = 107.1 t

 Ts3 = - 24.95 t

Pn = 96.21 t Mn = 21.68 t - m



e = 0.225 m

Aplicación Nº 02: Para la sección de columna que se muestra en la figura, determine la capacidad nominal de carga axial y de momento para una excentricidad de e = 1.5 eb.

Consideraciones: AB en tracción:

 Ast = 3  Nº 9 f’c = 420 kg/cm2

f y = 3500 kg/cm2

0.40

Estribos  3/8’’

 A

B 0.35

   

d 2  40   4  0.95 

sen θ 

4  0.95 

 X

2.86    33.62 c m 2  

2.86 2



X

x

6.38 sen θ 4+

Tg θ 

17.5 40



estribo +

40 - x

sen θ  0.40

d1  X  15.95 c m a 40  x o 17.5



2X 0  0.875 a

X o  0.4375 a



A c  0.4375 a 2

C c  0.85 f'c ' A c  0.85 * 0.42  Ac C c  0.156 a 2

p

35/2

Condición Balanceada:

y 

3500 2 *10

6

 0.00175

d1 Yp = 26.67

d2

    33.62 Cb  0.003    21.23 cm 0.003 0.00175     

x

ab  β1 * c b  0.75 c b 15.93 cm Cc  39.59 t C  di si  C  di  2   f si  6 *   t / cm 0.003 C   C  

f si  6 *

a

(c  di ) t /cm2  f y  3.5 t / cm2 c X

X

f s1 1.50 t / cm2



f s2   3.50 t / cm2

Cs1  f s1 * A s1  9.60 t



Ts2  f s2 * A s2  44.87 t

Pnb  Cc  Cs1  Ts2  4.32 t 2     M nb  Cc  0.2667  * 0.1593  Cs1 (0.2667 0.1595) Ts (0.3362 0.2667) 3     M nb 10.50 t  m

e b 

M nb Pnb

 2.43m

Para e = 1.5 eb = 3.65 m (zona de fluencia del acero en tracción)  Asumimos: c = 18 cm



Cc = 28.43 t

a = 13.5 cm



f s1 = 0.68 t / cm2

Ts2 = 44.87 t c = 20 cm



a = 15

Cs1 = 4.38 t



Pn = - 12.06 t



Cc = 35.11



Cs1 = 7.79 t pn = - 1.98 t c = 20.4 cm



a = 15.6 cm

Cc = 36.52 t

Cs1 = 8.39 t Pn = 0.04 t c = 20.8 cm



a = 15.6 cm

Cc = 37.96 t

Cs1 = 8.97 t Pn = 2.06 t

Mn 10.24 t  m c = 21 cm





e

10.24  4.97 m 2.06

a = 15.75 cm Pn = 3.08 t



Cs = 38.70 t

Cs1 = 9.254 t

Aplicación Nº 04: Para la sección de columna circular que se muestra, determinar su diagrama de interacción.

f’c = 280 kg/cm2, f y = 4200 kg/cm2

zuncho de  1/2’’, Ast = 8 Nº 8

0.50 m

Solución:  As1 = As5 = 5.07 cm2  As2 = As3 = As4 = 10.14 cm2 d1 = 4 + 1.27 + (2.54/2) = 6.54 cm d2 = 25 – (25 – 6.54) * cos 45º = 11.95 cm d3 = 25 cm d4 = 25 + (25-6.54) * cosº = 38.05 cm ds = 50 – 6.54 = 43.46 cm  As1  As2

d1

d2

d3 d4

 As3  As4  As5

d5

El centroide plástico se encuentra a la mitad de la sección: yo = 25 cm

El área en comprensión del concreto será:

 25  a  0  arc cos     25    Ac = 252 ( - cos sen)

Condición de carga concéntrica

D2 502  A g    1963 cm2 ; A st  40.56 cm2 4 4 Pno = 0.85 f’c (Ag – Ast) + Ast fy = 628 t

a

Condición balanceada

s y 

f y Es



4200 2 * 10

6

 0.0021

cb 0.003   c b  25.56 cm d 0.003  0.0021 ab  0.85 c b  21.73 cm f si  6 *

(c  di ) c

( 25.56  6.54)  4.46  f s1  f y  4.2 t / cm2 f s1  6  25.56

f s2 = 3.19 t/cm2 f s3 = 0.13 t/cm2 f s4 = 2.93 t/cm2 f s5 = 4.2 t/cm2 Cs1 = 5.07 * 4.2 = 21.30 t Cs2 = 10.14 * 3.19 = 32.35 t Cs3 = 10.14 * 0.13 = 1.32 t Ts4 = 10.14 * 2.93 = 21.71 t Ts5 = 5.07 * 4.02 = 21.29 t  = 1.439 rad



Ac = 818.70 cm2

2 R3 (sen θ)3  0.124 m 3  A c

Cc = 0.85 * f’c * Ac = 0.85 * 0.28 * 818.70 = 194.85 t Pnb = Cc + Cs1 + Cs2 + Cs3 – Ts4 – Ts5 = 198.82 t

;Mnb =

Cc * (0.124) + C s1 * (0.25 – 0.0654) + C s2 * (0.25 – 0.1195) + Ts4 * (0.3805 – 0.25) + Ts5 (0.4346 – 0.25)

Mnb = 40.12 t – m Luego: eb 

Mnb  0.2018 m Pnb

Condición de Flexión Pura  Asumiendo: c = 13.5



a = 1c = 11.475 cm

Un punto en la zona de falla frágil c > cb



Asumimos: c = 30 cm

 = 1.5908 rad





a = 1c = 25.5 cm

Ac = 1006.75 cm2

Cc = 0.85 * f’c * Ac = 0.85 * 0.28 * 1006.75 = 239.6 t 2 R3 (sen θ)3  0.1034 m 3  A c

f si  6 *

(c  di ) c

f s1 = 4.2 t/cm2  f s2 = 3.61 t/cm2  f s3 = 1.0 t/cm2 

Cs1 = 5.07 * 4.2 = 21.29 t Cs2 = 10.14 * 3.61 = 36.61 t Cs3 = 10.14 * 1.0 = 10.14 t

f s4 = 1.61 t/cm2 

Ts4 = 10.14 * 1.61 = 16.32 t

f s5 = 2.69 t/cm2 

Ts5 = 5.07 * 2.69 = 13.64 t

Pn = Cc + Cs1 + Cs2 + Cs3 – Ts4 – Ts5 = 277.7 t Mn = Cc * (0.1034) + C s1 * (0.25 – 0.0654) + C s2 * (0.25 – 0.1195) + Ts4 * (0.3805 – 0.25) + Ts5 (0.4346 – 0.25) Mn = 38.13 t – m

Un punto en la zona de falla dúctil.

c < cb



Asumimos: c = 20 cm

 = 1.245 rad





a = 1c = 17 cm

Ac = 588.68 cm2

2 R3 (sen θ)3  0.1505 m 3  A c

Cc = 0.85 * f’c * Ac = 0.85 * 0.28 * 588.68 = 140.11 t

(c  di ) f si  6 * c f s1 = 4.04 t/cm2 

Cs1 = 5.07 * 4.04 = 2047 t

f s2 = 2.42 t/cm2 

Cs2 = 10.14 * 2.42 = 24.49 t

f s3 = 1.5 t/cm2 

Ts3 = 10.14 * 1.5 = 15.21 t

f s4 = 4.2 t/cm2 

Ts4 = 10.14 * 4.2 = 42.59 t

f s5 = 4.2 t/cm2 

Ts5 = 5.07 * 4.2 = 21.29 t

P  = C  + C  + C  - T

 T

 T  = 105.98 t