C05 Indicial

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles Análisis Matricial de Estructuras

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MÉTODO INDICIAL Modelo Elemento Genérico: Para el estudio del método de indicial consideremos un elemento “p” genérico, de propiedades: AEI, de longitud: L y ángulo de inclinación: γ



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Nomenclatura: m: Número de elementos “p” presentes en una estructura n: Número de nudos de la estructura Para el elemento “p”, se tiene: 1.- Vector de desplazamientos nodales.

ua  v   a a  rp 6 x1  u   b  vb    b 

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2.- Vector de solicitaciones externas nodales.

 Fxa   Fy   a  M a  R p 6 x1   Fx   b  Fyb     M b 

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3.- Matriz de compatibilidad geométrica

4.- Matriz de rigidez del elemento “p” 2 EI 4 EI 0  L L   k p  2 EI L 4 EI L 0    AE 0  0 L  p 3x3

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5.- Matriz de rigidez de la estructura “p”

K 

p 6 x6

   k   a 

 ap

T

p 3x3

6 x3

p 3x6

Debe existir una compatibilidad entre los grados de libertad de la estructura “p” y los grados de libertad de la estructura a la cual pertenece.

r 

p 6 x1

 

 p

   r 3nx1 6 x 3n

6.- Matriz de transformación de GDL del elemento “p” a GDL de la estructura 

 

p 6 x 3n

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Ejemplo: AEI

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Existe una compatibilidad entre los GDL de la estructura y los GDL de cada elemento “p”. Si se analiza el elemento p=1:

u a1  0 va1  0

a1  1 ub1  r2 va1  r3

a1  3

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Así se tiene la matriz [β]p=1:

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Existe también una relación entre los estados de carga de los elementos y la estructura

R3nx1 R p 6 x1

Se define el vector de equivalencia estática como:

Z  p

 

  p 3 nx1

Así finalmente se tiene:

   R p 3 nx 6 6 x1

T

R    Z p  m

p 1

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Así también se tiene que:

r3nx1 rp 3nx1

Teniendo que:

r 

p 6 x1

 

 p

6 x 3n

 r3nx1

Matriz de rigidez del elemento “p”:

K 

p 6 x6

   k   a 

 ap

T

6 x3

p 3x3

p 3x6

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Relación de rigidez del elemento “p”:

R 

p 6 x1

   r 

 Kp

6 x6

p 6 x1

Vector de equivalencia estática:

Z 

p 3 nx1

 

 p

T 3 nx 6

 R p 6 x1

R3nx1   Z p 3nx1 m 1

R 3 nx 1    p 3 nx 6  R p 6 x1 m 1

T

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Asi:

R 3 nx 1    p 3 nx 6  K p 6 x 6  r p 6 x1 m

T

1

Y sabemos que:

r 

p 6 x1

 

 p

6 x3n

 r 3 nx 1

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Reemplazando se tiene:

R 3 nx 1

 

 m   p  1

T 3 nx 6

   

 Kp

   p 6 x 3 n   r 3 nx 1 6 x6 

Donde se define la matriz de rigidez de la estructura como:

K EST 3 nx 3 n    p 3 nx 6  K p 6 x 6   p 6 x 3 n m

T

1

Finalmente:

R 3 nx 1  K EST 3 nx 3 n  r 3 nx 1

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Para encontrar los esfuerzos de cada elemento:

R   K  r  p

p

p

R   K    r     p

p

p

p

Si el modelo del elemento establece que es axialmente indeformable, implica que deben corregirse los esfuerzos axiales del vector {σp}, ya que el método arrojará siempre error en los esfuerzos axiales de una barra EI.

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Para una barra EI horizontal:

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Para una barra EI vertical:

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Para una barra EI diagonal:

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ALGORITMO INDICIAL: 1. Reducción estructura y/o Modelación. 2. Determinar Grados de libertad. 3. Enumerar y asignar sentido de cada barra. 4. Determinar GDLI y matriz [T] de transformación. 5. MEP ( EST A reacción + EST B acción y cargas). 6. Matriz de compatibilidad geométrica [ap] para cada barra. 7. Matrices de rigidez de cada barra [kp] asociada a las deformaciones propias.

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8. Matriz transformación geométrica [βp]

GDL LOCAL  GDLGLOBAL

9. Matriz de rigidez asociada a GDL locales. K p   a p   k p  a p  T

10.Matriz de rigidez asociada a GDL global K EST     p T  K p   p  m

K   T   K  T  1

11.Matriz de rigidez asociada a los GDLI 12.Vector cargas externas GDL {R} y GDLI {Q}. 13.Compatibilidad de GDLI. 14.Ley de Hooke Matricial.

T

q

EST

Q  T T  R

r  T  q

Q  K q  q

15.Esfuerzos internos (CORREGIR BARRAS EI).

 B   K  a  r

16.Esfuerzos totales de la estructura.

 T    A   B 