c) Problemas de Programacion Lineal Resueltos

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Programación Lineal

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL 1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla. NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Materia Prima Producto 1 2 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 Base disolvente 1/2 1/5 3/10 Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.

La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas Materia Prima Materia prima 1 Materia Prima 2 Materia prima 3

Cantidades disponibles para la producción 20 toneladas 5 toneladas 21 toneladas

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas

Oswaldo Paul Rivadeneira

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Programación Lineal

de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de toneladas de aditivo para combustible X2 = número de toneladas de base disolvente



Función objetivo: Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2



Restricciones Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20 Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5 Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21



No negatividad Xi ≥0; i=1,2

Entrada de datos para Solver

Salida de resultados

1

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 220. Oswaldo Paul Rivadeneira

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Informe del problema: Orden de producción: 25 toneladas de aditivo 20 toneladas de base disolvente con: 20 toneladas de materia prima 1, 4 toneladas de materia prima 2, y 21 toneladas de materia prima 3 2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2 Solución: Diseño del modelo matemático: 

Definición de variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero



Función objetivo: Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2



Restricciones Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000 Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000

2

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 242. Oswaldo Paul Rivadeneira

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

Programación Lineal

No negatividad Xi ≥0; i=1,2

Entrada de datos para Solver

Datos de salida del Solver

Informe de asesoría: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año. 3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. Tiempo de producción Corte y Costura Oswaldo Paul Rivadeneira

Terminado

Inspección

Utilidad por Página: 4

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Producto Estándar Deluxe

teñido 7/10 1

Programación Lineal

1/2 5/6

1 2/3

y empaque 1/10 1/4

Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) b) c) d)

Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3

Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 

Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2



Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución gráfica:

3

Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 264. Problema 15. Oswaldo Paul Rivadeneira

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Entrada de datos Solver:

Solución Solver:

Oswaldo Paul Rivadeneira

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a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de Lujo. b) Contribución total = $ 7.667,942 c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura, 708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no tienen holgura. 4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la unidad por bolsa.

Producto Estándar Deluxe

Tiempo de producción Corte y Costura teñido 7/10 1/2 1 5/6

Terminado 1 2/3

Inspección y empaque 1/10 1/4

Utilidad por Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas: a) b)

c)

El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa. Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa estándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puede incrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a la utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará la capacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 + 9X2 es la función objetivo apropiada)

Oswaldo Paul Rivadeneira

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Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería la solución óptima y la contribución total a la utilidad?4 Solución: Formulación del modelo:  Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo 

Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2



Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque



No negatividad Xi ≥0; i=1,2 X2

700 Solución GLP 665 630 Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417 595 560 525 490 455

: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000

420 385 350 : 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000

315

: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000

280 245 210 175

: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000

140 105 70 35 0 0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110) : 0.7000X1 + 1.0000X2