CÓNICAS 2 Junio 8

1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA INEM JOSÉ FÉLIX DE RESTREPO MEDELLÍN

Departamento MATEMÁTICA Guía CÓNICAS Tema:___________________________________________ Grado: Décimo Secciones Todas Equipo de planeación responsable: Rodolfo Pineda, Edwin Nieves, Gustavo Gallego _

Año 2010

Nombre ____________________________________________ Sección _____ Situación problema Si la Tierra se desplaza alrededor del Sol describiendo una trayectoria en forma elíptica, entonces ¿cuál es la menor y la mayor distancia a la que pasamos de él en cada año?. Elementos teóricos Las cónicas: Son figuras geométricas que aparecen al cortar secciones de cónicas (de cono) por el plano de diferentes maneras. Las cónicas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

1. La Circunferencia: Es el lugar geométrico formado por los puntos que tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro.

Deducción de la ecuación de la circunferencia: Sea una circunferencia cualquiera de centro C(h, k) y radio r. Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Hallemos r = D(CP): D(CP) =

( x − h)

2

+( y −k)

2

r=

( x − h)

2

+( y − k)

2

r2 = (x – h)2 + (y – k)2 Ecuación de la circunferencia de centro C(h, k). Ejemplos: 1. Encontrar la ecuación pasa por el punto P(3, 2) y tiene centro C(1, 2)

de

la

circunferencia

que

2 Hallemos el radio: r =

→ r=

( 1 − 3)

2

+ ( 2 − 2)

2

→

r = 2.

4

Ahora hallamos la ecuación: r2 = (x – h)2 + (y – k)2 → 22 = (x – 1)2 + (y – 2)2 → 4 = (x – 1)2 + (y – 2)2 2. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro C(-3, -5) y radio r = 7? Solución: r2 = (x – h)2 + (y – k)2

→

49 = (x + 3)2 + (y + 5)2

Observación: No siempre la ecuación de la circunferencia tiene la presentación anterior, sino, que se encuentra transformada así: 49 = (x + 3)2 + (y + 5)2 ⇒ 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 10y + 25

⇒ x2 + 6x + y2 + 10y – 15= 0

3. Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio r, que pasa por el punto P(x,y) y tiene centro en C(0, 0) Solución: r2 = (x – 0)2 + (y – 0)2

→

r2 = x2 + y2

Esta es la ecuación de una circunferencia de centro C(0, 0) ó centrada en los ejes Forma general de la ecuación de la circunferencia: Al desarrollar la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2 de la circunferencia, obtenemos

x2 +y2 – 2hx – 2ky + h2 +k2 – r2 = 0 Si hacemos D=-2h; E=-2k y F=h2+k2–r2 tenemos: x2 +y2 – Dx – Ey + F = 0, esta expresión recibe el nombre de forma general de la ecuación de la circunferencia. Para comprobar si una ecuación representa una circunferencia la llevamos a su ecuación ordinaria completando cuadrados perfectos. Ejemplos: 1. Comprobar que la ecuación 2x2 + 2y2 – 10x + 6y - 15 = 0 corresponde a una circunferencia. Solución: Para esto llevémosla a la forma ordinaria, completando cuadrados, así: dividimos por 2: x2 + y2 – 5x + 3y =0

15 2 Agrupemos (x2 - 5x) + (y2 + 3y) =

.

15 2 Completemos cuadrados sumando a ambos miembros las cantidades necesarias.

3

25   2 9  15 25 9  2 +  x − 5x +  +  y + 3 y +  = + 4   4 2 4 4  Factorizamos en el primer miembro y sumamos en el segundo, tenemos ⇒ 2

2

5  3 30 + 25 + 9  x −  + y+  = 1  2 4 

2

2

5  3   x −  +  y +  = 16 1  2 

que se puede escribir

, 2

5   x−  + y+ 1  

2

3 2  =4 2

la cual es una ecuación de una circunferencia de centro

C

y

radio r = 4.

 5 3  ,−   2 2 2. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2 + y2 – 4x - 2y = 31 Solución: Agrupamos y completamos cuadrados, tenemos: (x2 – 4x + 4) + (y2 - 2y +1) = 31 + 4 + 1 (1) Factorizando el primer miembro y sumando el segundo en (1), tenemos (x2 – 2)2 + (y2 - 1)2 = 36 (2). Ecuación ordinaria de la forma (x2 – h)2 + (y2 - k)2 = r2 donde h = 2, k = 1, r2 = 36. Entonces el centro es el punto C(2, 1) y r = =6

36 EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación de centro C(7, -6) y pasa por el punto P(2, 2). 2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2, -4) y que es tangente al eje y. 3. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro C(-5, -3) y radio r = 1.5. 4. Encuentre la ecuación de una circunferencia de centro C(h, k) y radio r = a 5. Demostrar que las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias: a. 4x2 + 4y2 – 16x + 12y + 13 = 0 b. 12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 c. x2 + y2 – 4x + 6y - 23 = 0 6. Encuentre la distancia entre los centros de las circunferencias: x2 + y2 + 2y = 0.

x2 + y2 + 2x = 0 y

4 30 - x2 + 10x - y2 + 9y = 0.

7. Hallar el centro y el radio de la ecuación

2. La parábola: Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de una recta fija situada en el plano y de un punto fijo que no pertenece a ella.

La recta L se llama directriz de la parábola, el punto V es el vértice de la parábola y el punto F es el foco de la parábola. De acuerdo con la definición: MP = PF; QV = VF y La recta QF que es perpendicular a L se llama eje de la parábola.

NP’ = P’F

Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada descubierta por los Griegos: un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. Recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco. Este hecho es útil en construcción de linternas, faros de automóviles y faros buscadores, los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa está en el foco.

fue

la en

Ecuación de la parábola de vértice en el origen de los ejes coordenados y eje uno de ellos: 1.Consideremos una parábola de vértice V(0, 0) abierta hacia la derecha y con eje, el eje de las x. En la figura, por definición de parábola tenemos: |AP| = |PF|; pero |AP| = |P+x| y |PF|=

( x − P) |P+x| =

( x − P)

2

+ ( y −0 )

2

2

+ ( y −0 )

, entonces: 2

5 |P+x| =

Elevamos al cuadrado

( x − P)

2

+ ( y)

2

(|P+x|)2 = (x - P)2 + y2 desarrollando cuadrados P2 + 2Px + x2 = x2 – 2Px + P2 + y2 Simplificando: 2Px + 2Px = y2 ∴ y2 = 4Px Nota: Es importante tener en cuenta que 4 es constante y P es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz Observación: Se puede demostrar que la ecuación de la parábola de vértices V(0, 0) abierta hacia la izquierda y con foco sobre el eje de las x es: y2 = -4Px

2. Consideremos una Parábola de vértice V(0, 0) abierta hacia arriba y con eje, el eje de las y. Por definición de parábola tenemos: |AP| = |FP|; pero: |AP| = |P+y| y |FP| = , entonces:

( x + 0)

2

+ ( y − P)

2

|P+y| =

( x + 0)

2

+ ( y − P)

|P+y| =

2

elevando al cuadrado,

x 2 + ( y − P)

2

tenemos: (|P+y|)2 = x2 + (y – P)2 desarrollando cuadrados: P2 + 2Py + y2 = x2 + y2 – 2Py + P2 Simplificando: 2Py + 2Py = x2 ∴ x2 = 4Py Observación: Se puede demostrar que la ecuación de la parábola de vértice V(0,0) abierta hacia abajo y con foco sobre el eje de las y es: x2 = -4Py Ejemplos:

6 1. Encontrar el foco y la ecuación de la directriz de una parábola cuya ecuación es y2 = 8x Solución: Tenemos y2 = 8x, como la ecuación de una parábola es y2 = 4Px, luego: P = ⇒ P = 2.

8 4 Por lo tanto F(2, 0) y la ecuación de la directriz es x = -2. 2. Encontrar el foco y la ecuación de la directriz de una parábola cuya ecuación es x2 = -16y. Solución: Tenemos x2 = -16y; sabemos que la ecuación de la parábola es x2 = 4Py ⇒ P = 4; por tanto: F(0, -4) y la ecuación de la directriz es y = 4 3. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene F(2, 0)y V(0, 0) Solución: De F(2, 0) deducimos: P=2, el foco esta sobre el eje x, abre a la derecha, pues 2 es positivo, por lo tanto la ecuación es de la forma y2 = 4Px, reemplazando tenemos: y2 = 4(2)x ⇒ y2 = 8x 4. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice V(0, 0) y foco F(0, -4) Solución: De F(0, -4) deducimos: P=4, tiene foco sobre el eje y, y abre hacia abajo. Luego su ecuación es de la forma: x2 = -4Py, reemplazando tenemos: x2=-4(4)y ⇒ x2 = - 16y

Ecuación de la parábola de vértice (h, k): Sea la parábola de vértice (h, k) que pasa por el punto p(x, y). Tracemos por el vértice una paralela a cada eje x e y llamándolas x’ y y’. Donde: x=h+x’ y y=k+y’ (1) ∴ x’=x-h y y’=k+y (2) la ecuación de la parábola con vértice en el centro de los ejes coordenados x’ y y’ es: y’2=4px’ (3) pero reemplazamos (1) y (2)en (3), tenemos: (y - k)2 = 4P(x-h) Esta es la ecuación de la parábola de vértice (h, k) en los eje coordenados x e y de foco F(h+p, k); directriz x = h – p y eje central y = k. de igual forma se puede demostrar que: 1. (y - k)2 = -4P(x-h) Es la ecuación de la parábola de vértice (h, k); de eje central y=k abierta a la izquierda y foco F(h-p, k) y ecuación de la directriz x = h+p. 2. (x - h)2 = 4P(y - k) Es la ecuación de la parábola de vértice (h, k); eje central x=h abierta arriba de foco F(h, k+p) y directriz y = k – p.

7 3. (x - h)2 = -4P(y - k) Es la ecuación de la parábola de eje central x=h abierta hacia abajo de foco F(h, k-p) y directriz y = k + p. Ejemplos: 1. El vértice de una parábola es (-3, 4) y el foco F(-5, 4). Hallar la ecuación de la parábola, la ecuación de la directriz y dibujarla Solución (y - k)2 = -4P(x-h) → (y - 4)2 = -4P(x + 3) 2 (y - 4) = -4.2(x + 3) → (y - 4)2 = -8(x + 3) y2 - 8y + 16 = -8x -24 → y2 - 8y + 8x + 40 = 0 Directriz x = -1 Ecuación del eje central y = 4

2.Encontrar el foco, vértice, ecuación de la directriz y eje central de la parábola: (y-4)2 = -12(x+5). Solución: (y - 4)2 = -4.3(x + 5) Pues 4p=-12 ∴ p=

−

⇒ p=-3

12 4

Además v(-5, 4) y abre hacia abajo. EJERCICIOS 1. Encuentre el foco y la ecuación de la directriz de la parábola y2 = 13x. 2. Encuentre el foco, la ecuación de la directriz y dibuje la curva: x2 = 6y. 3. Encuentre el foco, la ecuación de la directriz y dibuje la curva: x2 = 10y 4. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco F(5, 0) 5. Encontrar la ecuación de un parábola con vértice en el origen y foco F(0, -3) 6. Encontrar el foco y la ecuación de la directriz en cada uno de los siguientes casos: Dibuje la curva a. y2 = 14x b. x2 = 24y 2 c. y = -10x d. x2 = -20y 7. Dibuje la curva; halle le ecuación de la parábola y de su directriz en cada uno de los siguientes casos: a. v(0, 1); F(7, 1) b. v(3, -2); F(8, -2) c. v(-1, 5); F(-6, 5) d. v(-4, 2); F(0, 2) 8. Encontrar el foco, vértice, ecuación de la directriz y eje central de las siguientes parábolas:

8 a. (y - 3)2 = 16(x + 4) c. (x - 2)2 = 8(y - 5)

b. (y + 5)2 = -24(x - 3) d. (x + 1)2 = -12(y + 3)

3.La elipse: Una elipse es un conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias de unos de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante. Esta cantidad constante la representamos por 2a

Elemento de la elipse: Focos: Son los puntos fijos F y F’ Eje focal: Es la recta que pasa por los focos de la elipse Vértice: Los puntos donde la curva corta el eje focal. Son los puntos v y v’. Eje mayor: Es el segmento comprendido v y v’; vv’=2a Centro: Es el punto medio entre v y v’ y también punto medio de F y F’, se denota por O. Así: vv’=2a ⇒ vO=v’O=a FF’=2c ⇒ FO=F’O=c semieje mayor Eje menor: Es el segmento BB’ perpendicular al eje mayor que pasa por el centro. Si hacemos BB’=2b ⇒ OB=OB’=b: semieje menor. Ecuación de la elipse con centro en el origen: La ecuación de una elipse con centro en el origen, eje focal el eje x, distancia focal igual 2c y cantidad constante igual a 2a es:

x2 y2 + =1 a 2 b2 Observaciones:

✔ Si el eje focal de la elipse coincide con el eje y de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0,-c), la ecuación de la elipse es:

x2 y2 + =1 b2 a2

9 ✔ Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor y a, b y c están ligados por la relación a2 = b2 + c2 ✔ Para cada elipse la longitud de cada lado recto es:

y la excentricidad e es: 2b a

2

b la curva tiene los focos sobre el eje x ✔ Si a < b la curva tiene los focos sobre el eje y ✔ Si a = b la curva es una circunferencia con centro en el origen cuya ecuación es: x2 + y2 = a2 Ejemplos: 1. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje y. si uno de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a ½. Hallar las coordenadas del otro foco. Las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos. Solución: Como uno de los focos es el punto (0, 3) tenemos c=3 y las coordenadas del otro foco son (0, -3), la excentricidad ½, tenemos entonces: E=½=

=

c a

;a=6

3 a

Se tiene también: b =

;b=3

a 2 − c2

3

Por lo tanto, las longitudes de los ejes mayor y menor son: 2a=12 y 2b=6 respectivamente

3 La ecuación de la elipse es la de la forma

;

x2 y2 x2 y 2 + = 1 + =1 b2 a2 27 36 la longitud de cada lado recto es

2b 2.27 = =9 a 6

1. Encontrar la ecuación de una elipse centrada en el origen cuyos focos son los puntos F’(-4, 0) y F(4, 0) y vértices v’(-6, 0) y v(6, 0). Solución: Si la abscisa de un vértice mide 6 unidades, entonces a=6; c=4;

10 ⇒ b=2

b=?; b=

.

5

a2 − c2

⇒

La ecuación es 2

2

x y + 2 =1 2 a b

x2 y 2 + =1 36 20

Ecuación de la elipse con centro (h, k): La ecuación de la elipse de centro (h, k) y eje focal paralelo al eje x esta dado por la segunda forma ordinaria:

( x − h)

2

a2

( y − k) +

2

b2

=1

La ecuación de la elipse de centro (h, k) y eje focal paralelo al eje y esta dado por la segunda forma ordinaria:

( x − h) b2

2

( y − k) + a2

2

=1

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor y a, b y c están ligados por la relación a2 = b2 + c2 Para cada elipse la longitud de cada lado recto es: y la excentricidad e es:

2b 2 a 1

c a2 − b2 e= = a a Ejemplo:

2

13 Los vértices de una hipérbola son los puntos v(0, 3) y v’(0, -3) y sus focos los puntos F(0, 5) y F’(0, -5). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transversales y conjugados, su excentricidad y la longitud de cada lado recto. Solución: Como los vértices y los focos están sobre el eje y, el eje focal coincide con el eje y. además el punto medio del eje transversal esta en el origen. Por lo tanto la ecuación de la hipérbola es la de la forma

y 2 x2 − =1 a 2 b2 la distancia entre los vértices es 2a=6, la longitud del eje transverso. La distancia entre los focos es 2c=10, por tanto a=3 y c=5 de donde b2 = c2 - a2 = 25-9=16, por lo tanto b=4 y la longitud del eje conjugado es 2b=8. La ecuación de la hipérbola es entonces: , la excentricidad

y 2 x2 − =1 9 16 es e=

y la longitud de cada lado recto es:

c 5 = a 3

2b 2 2.16 32 = = a 3 3

Observación La hipérbola

tiene por asíntotas las rectas

x2 y2 − =1 a 2 b2 bx – ay = 0

y

bx + ay = 0

Ecuación de la hipérbola con centro en (h, k): La ecuación de una hipérbola de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje x, es de forma: .

( x − h) a2

2

( y − k) − b2

2

=1

Si el eje focal es paralelo al eje y, su ecuación es:

( y − k) a2

2

( x − h) − b2

2

=1

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transversal, b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada uno de los focos y a, b y c estás ligados a la relación a2 = b2 + c2.

14 También para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es

y la

2b a excentricidad e esta dad por la relación

2

>1

e=

c a2 − b2 = a a

Ecuación general de la hipérbola: Si los coeficientes A y C difieren del signo, la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados o par de rectas que se cortan Ejemplo: Discutir el lugar geométrico de la ecuación

9x2-4y2-54x+8y+113=0

Solución: Vamos a reducir la ecuación a la forma ordinaria completando los cuadrados, entonces: 9(x2 - 6x) - 4(y2 - 2y ) = -113 → 9(x2 - 6x + 9) - 4(y2 - 2y + 1) = -113 +81 - 4 2 2 9(x - 3) - 4(y - 1) = -36 Entonces:

( y − 1) 9

2

( x − 3) − 4

2

=1

EJERCICIOS 1. En cada uno de los siguientes ejercicios, para la ecuación dada de la hipérbola, halle las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transversales y conjugados, la excentricidad y la longitud de cada lado. a. 9x2 - 4y2 = 36 b. 4x2 - 9y2 = 36 2 2 c. 9y - 4x = 36 d. x2 - 4y2 = 4 1. Los vértices de una hipérbola son los puntos v(2, 0) y v’(-2, 0) y sus focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0). Hallar la ecuación y su excentricidad. 3. Los vértices de una hipérbola son los punto (-1, 3) y (3, 3) y su excentricidad es 3/2. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de los focos y la longitud del eje transverso y conjugado y de cada lado recto. 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, reducir la ecuación a su forma ordinaria, determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asuntotas. a. x2-9y2-4x+36y-41=0 b. 4x2-9y2+32x+36y+64=0 2 2 c. x -4y -2x+1=0 d. 3x2-y2-30x+78=0 2 2 e. 9x -4y +54x+16y+29=0 Actividades de Profundización:

15 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibujarlas: a) 4x2 + 9y2 = 36 d) x2 – 4y2 = 16

b) 16x2 – 9y2 = 144 e) y2 = 14x

c) 9x2 + 9y2 = 25 f ) 25x2 + 144y2 = 900

1. Halla la ecuación de una circunferencia cuyo centro en el punto C(0, -2) y es tangente a la recta 5x - 12y + 2 = 0 2. Hallar la ecuación de las circunferencias cuyo centro es el punto P(-4, -1)y es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0 3. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0 4. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x – 7y + 25 = 0. Halle la longitud de la cuerda. 5. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio anterior y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia. 6. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. el punto medio de una cuerda de esta circunferencia es E(-2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda. 7. Hallar la área del círculo cuya ecuación es: 9x2 + 9y2 +72x - 12y + 103 = 0. 8. Halla la longitud de la circunferencia 25x2 + 25y2 +30x - 20y - 62 = 0. 9. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0); (3, 6) y (7, 0) 10. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia la derecha pasa por el punto (3, 2). Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la ecuación de la parábola. 11. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y abierta a la izquierda, si pasa por el punto (-5, 7) 12. Hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y abierta hacia arriba, si pasa por el punto (4, 9). 13. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia abajo pasa por el punto Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la ecuación de la curva.

(-2, -8).

14. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0) y (-2, 0) y su excentricidad es igual a 2/3. 15. Los vértices de una elipse son los puntos (1, 1) y (7, 1) y su excentricidad es 1/3. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto 16. Los vértices de una elipse son los puntos (-4, -2) y (-4, -6) y la longitud de cada laso es 6. Hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad.

16 17. En el centro de una hipérbola está en el origen y su eje transverso está sobre el eje y. si un foco es el punto (0, 5) y la excentricidad es igual a 3, hallar la ecuación y la longitud de cada lado recto. 18. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2 ,2) y (-2, -4)y la longitud de su lado recto es 2. Hallar la ecuación de la curva, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. 19. El centro de una hipérbola es el punto (4, 5) y uno de sus focos es (8, 5). Si la excentricidad de la hipérbola es de 2, hallar su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado. BIBLIOGRAFÍA: DÍEZ, Luis H. Matemática operativa. Decimacuarta edición. Servigráficas Ltda. Medellín. 1998. GUARIN, Hugo y Otros. Matemática moderna estructurada 5. Editorial Norma. Medellín, 1979. LONDOÑO, Nelson y Otros. Matemática progresiva. Editorial Norma. Bogotá, 1984.