C. Doca, C. Paunoiu - Metoda Celor Mai Mici Patrate

Cezar Marcel DOCA Constantin PĂUNOIU

METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE. MODELE GENERALE DE REGRESIE STANDARD

50

y = 1.2191x 2 - 0.202x + 1.5535 R2 = 0.9806

40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

-10

Editura Universităţii din Piteşti – 2017

Cezar Marcel DOCA Constantin PĂUNOIU

METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE. MODELE GENERALE DE REGRESIE STANDARD

Editura Universităţii din Piteşti – 2017

Editura Universităţii din Piteşti Str. Târgu din Vale, nr.1, 110040, Piteşti, jud. Argeş Tel/fax: 4038 45 31 23

Copyright © 2017 – Editura Universităţii din Piteşti Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate Editurii Universităţii din Piteşti. Nicio parte din acest volum nu poate fi reprodusă sub orice formă, fără permisiunea scrisă a autorilor

Editor: lector univ. dr. Sorin FIANU Referenţi ştiinţifici: -

cs1. dr. ing. Mihail COJAN

-

cs1. dr. ing. Marin CIOCĂNESCU Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României DOCA, Cezar Marcel Metoda celor mai mici pătrate: modele generale de regresie standard / Cezar Marcel Doca, Constantin Păunoiu – Piteşti. Editura Universităţii din Piteşti, 2017 Conţine bibliografie ISBN 978-606-560-552-7 1. Păunoiu Constantin

-2-

CUVÂNT ÎNAINTE Această carte nu se substituie vreunui tratat, manual sau curs de specialitate: nici de Statistică (analiză de regresie), nici de Analiză Matematică (teoria funcţiilor), nici de Algebră (rezolvarea ecuaţiilor), nici de Programare (utilizarea metodelor numerice) ş.a.m.d. Prezenta lucrarea se doreşte a fi cu deosebire o colecţie de algoritmi de calcul şi formule generalizate, cu aplicabilitate imediată în analiza de regresie standard utilizând, în vederea conturării funcţiilor destinate modelării / interpretării unui set de date experimentale, Metoda Celor Mai Mici Pătrate. În paginile ce urmează folosim şi, la rândul nostru, oferim cititorului informaţii sub GNU Free Documentation Licence.

AUTORII Institutul de Cercetări Nucleare Piteşti

-3-

CUPRINS

1. INTRODUCERE .

.

.

.

.

.

. 7

2. SCURT ISTORIC .

.

.

.

.

.

. 9

3. APROXIMAREA FUNCŢIILOR .

.

.

.

. 13

3.1. Modelarea datelor experimentale

.

.

.

. 15

3.2. Interpolarea

.

.

.

.

.

.

. 17

3.3. Regresia

.

.

.

.

.

.

. 20

4. MCMMP – MODELE GENERALIZATE .

.

.

. 29

4.1. Funcţii cu un singur parametru necunoscut a .

.

. 30

4.2. Funcţii cu doi parametri necunoscuţi a şi b .

.

. 38

5. MCMMP – SERII TAYLOR

.

.

.

.

. 57

CONCLUZII .

.

.

.

.

.

.

. 65

BIBLIOGRAFIE

.

.

.

.

.

.

. 79

ANEXE

.

.

.

.

.

.

. 81

.

-5-

INTRODUCERE

1. INTRODUCERE

Dintr-o perspectivă pur matematică, Metoda Celor Mai Mici Pătrate (MCMMP) este un procedeu standard de rezolvare aproximativă a unui sistem de ecuaţii supradeterminat (v.[1]-[3]). MCMMP este atribuită în mod obişnuit lui Carl Friedrich Gauss (v.[7]), dar a fost publicată pentru prima dată de Adrien-Marie Legendre (v.[8]). Uzual, principala aplicaţie a MCMMP se referă la estimarea prin calcul a celor mai probabile valori ale parametrilor unei funcţii continue care aproximează (to fit în limba engleză) cât mai bine un set discret de date numerice (v.[4]). În acest context sintagma cele mai mici pătrate (least squares în limba engleză, moindres carrés în limba franceză) desemnează faptul că funcţia astfel determinată minimizează suma pătratelor diferenţelor dintre datele iniţiale şi valorile omoloage calculate cu respectiva funcţie. Statistica încadrează MCMMP în rândul metodelor de estimare specifice analizei de regresie, identificând, gradual, următoarele abordări (v.[1]): •

Ordinary least squares (MCMMP ordinară);

•

Linear least squares (MCMMP liniară);

•

Partial least squares (MCMMP parţială);

•

Total least squares (MCMMP totală);

•

Generalized least squares (MCMMP generalizată);

•

Weighted least squares (MCMMP ponderată);

•

Non-linear least squares (MCMMP neliniară);

•

Non-negative least squares (MCMMP ne-negativă);

•

Iteratively re-weighted least squares (MCMMP reponderată iterativ); -7-

INTRODUCERE

Formalismul standard al analizei de regresie ia în considerare în primul rând erorile (de măsură) existente la nivelul variabilei dependente, admiţându-se, implicit, că erorile în variabila independentă sunt zero, sau sunt atât de strict controlate încât pot fi neglijate. În realitate, însă, pot exista erori semnificative şi la nivelul variabilei independente, erori ce pot fi supuse şi ele modelării statistice (v.[9]). În raport cu aceste tipuri de erori se pot identifica următoarele două contexte: •

Regresia (standard) de predicţie. Atunci când erorile variabilei independente sun neglijabile, se aproximează cele mai probabile valori ale parametrilor unui model teoretic bine definit, oferindu-se o regulă de predicţie a comportării viitoare a sistemului studiat.

•

Regresia de aproximare a funcţiei adevărate. Atunci când şi variabila independentă prezintă erori semnificative, analiza de regresie face apel la MCMMP totală, în cadrul căreia se acceptă drept adevărată funcţia rezultată prin minimizarea sumei distanţelor de la punctele de măsură la tangentele funcţiei de aproximare în punctele corespondente (v.[10]).

În plus, dacă datele supuse analizei de regresie reprezintă (1) un eşantion aleator (2) dintr-o populaţie modelată liniar, (3) obţinute în prezenţa unor erori distribuite normal (4) cu media zero şi (5) necorelate cu variabila independentă, atunci rezultatele MCMMP sunt cele mai bune estimări nedeplasate. Cele cinci condiţii de mai sus şi demonstraţia aferentă reprezintă Teorema Gauss-Markov. Următoarele capitole ale cărţii s-ar vrea a veni în întâmpinarea celor care, având cunoştinţe despre mecanismele MCMMP, doresc să-şi elaboreze propriile programe de analiză de regresie standard, acomodate, evident, puterii de calcul avută la dispoziţie. Departe de a-şi propune o abordare exhaustivă a, probabil, celei mai productive metode dedicată modelării fenomenologice pe baza datelor experimentale, prezenta lucrare pune la dispoziţia cititorului o bogată colecţie de algoritmi de calcul şi formule generalizate cu aplicabilitate imediată în utilizarea MCMMP.

-8-

SCURT ISTORIC

2. SCURT ISTORIC

MCMMP îşi are originile în cercetările de astronomie şi geodezie dedicate oferirii de soluţii la provocările navigaţiei pe oceanele Pământului din Era marilor descoperiri geografice. În fapt, corăbiile au putut să navigheze tot mai departe în largul mărilor mai ales după creşterea acurateţei descrierii comportării corpurilor celeste. MCMMP a reprezentat apogeul progreselor realizate de-a lungul secolului al optsprezecelea (v.[1]): •

Combinarea unor observaţii diferite conduce la o mai bună estimare a valorii adevărate. S-a observat că, în loc să crească, erorile mai degrabă descresc odată cu acumularea de măsurători, concluzie exprimată prima dată probabil de Roger Cotes în anul 1722;

•

Combinarea unor observaţii diferite făcute în aceleaşi condiţii conduce la creşterea acurateţei observaţiei prin metoda medierii. Această abordare a fost utilizată mai ales de Tobias Mayer în studiul libraţiilor (oscilaţiilor) Lunii, în anul 1750, şi de Pierre-Simon Laplace în lucrarea sa dedicată explicării diferenţei dintre mişcările planetelor Jupiter şi Saturn, în anul 1788.

•

Combinarea unor observaţii diferite făcute în condiţii diferite conduce la metoda celei mai mici deviaţii absolute. Ea fost perfecţionată de Roger Joseph Boscovich în lucrarea sa despre forma Pământului, în anul 1757, şi de Pierre-Simon Laplace pentru aceeaşi problemă, în anul 1799.

•

Dezvoltarea unui criteriu care să poată fi evaluat pentru a stabili dacă soluţia a fost atinsă cu eroare minimă. Laplace a încercat să specifice o formă matematică a densităţii de probabilitate pentru erori şi să definească o metodă de estimare care să minimizeze eroarea estimării. În acest scop Laplace a folosit o distribuţie exponenţială simetrică, cunoscută azi ca Distribuţia Laplace, pentru a modela distribuţia erorii şi a folosit suma deviaţiilor absolute ca eroare a estimării. El a crezut că -9-

SCURT ISTORIC

acestea sunt cele mai simple ipoteze pe care le-ar putea face şi a sperat să obţină media aritmetică drept cea mai bună estimare. În schimb, estimatorul său a fost mediana (posterioară, dorsală). Prima expunere clară şi concisă a MCMMP a fost publicată de AdrienMarie Legendre în anul 1805 (v.[8]). Metodologia este descrisă ca o procedură algebrică de aproximare a ecuaţiilor liniare plecând de la o mulţime de valori măsurate, metodologie pe care Legendre a demonstrat-o analizând datele lui Laplace obţinute în studiul formei Pământului. Valoarea MCMMP a lui Legendre a fost recunoscută imediat şi a fost folosită de astronomii şi geodezicienii timpului. În anul 1809 Carl Friedrich Gauss a publicat metoda sa de calculare a orbitelor corpurilor celeste. În acea lucrare el a susţinut că ar fi fost în posesia MCMMP încă din anul 1795, fapt ce a conduc la o dispută de prioritate cu Legendre. Totuşi, dându-i credit lui Gauss, el a mers dincolo de Legendre şi a reuşit să conecteze MCMMP cu principiile probabilităţii şi cu Distribuţia Normală. Mai exact, Gauss a completat programul lui Laplace de specificare a formei matematice a densităţii de probabilitate a observaţiilor, dependentă de un număr de parametri necunoscuţi, şi care defineşte o metodă de estimare ce minimizează eroarea de estimare. Gauss a arătat că media aritmetică este, într-adevăr, cea mai bună estimare a parametrului de localizare prin schimbarea atât a densităţii de probabilitate cât şi a metodei de estimare. Cu această ocazie Gauss a inventat Distribuţia Normală (sau Distribuţia Gaussiană). O demonstraţie anterioară a solidităţii Metodei lui Gauss este legată de utilizarea acesteia în vederea localizării viitoare a nou-descoperitului asteroid Ceres. Pe 1 Ianuarie 1801, astronomul italianul Giuseppe Piazzi a descoperit asteroidul Ceres şi a putut să măsoare traiectoria sa pentru următoarele 40 de zile, înainte de pierderea în strălucirea Soarelui. Bazat pe aceste date, astronomii au dorit să determina locaţia lui Ceres după ieşirea din spatele Soarelui fără a rezolva ecuaţiile complicate ale lui Kepler pentru mişcarea planetelor. Predicţiile care i-au permis astronomului maghiar Franz Xaver von Zach să relocheze cu succes asteroidul Cere au fost doar cele realizate de tânărul de 24 de ani Gauss, folosind analiza MCMMP. În anul 1810, după ce a citit lucrarea lui Gauss şi după ce a demonstrat Teorema limită centrală, Laplace a folosit-o pentru a da o justificare mai amplă a MCMMP şi a Distribuţiei Normale. - 10 -

SCURT ISTORIC

În anul 1822, Gauss a statuat că MCMMP este optimală în analiza de regresie în sensul că, pentru un model linear având media erorilor zero şi dispersii egale, cel mai bun estimator nedeplasat al coeficienţilor este estimatorul obţinut cu MCMMP. Acest rezultat este cunoscut acum drept Teorema Gauss-Markov. Să exemplificăm: fie

{(xi , yi ) | xi , yi ∈ R; i = 1,2,K, N } un set de

N dublete

(xi , yi )

reprezentând coordonatele unui număr N de puncte reprezentate grafic într-un sistem cartezian plan, ca în Fig.1: 60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Fig.1 – Date experimentale (simulare numerică în Microsoft Office Excel)

Aşa cum s-a menţionat anterior, în Regresia standard de predicţie MCMMP oferă posibilitatea determinării celor mai probabile valori ale parametrilor unei funcţii care se doreşte să modeleze (aproximeze) cât mai bine datele iniţiale (experimentale). În Fig.2 se prezintă două astfel de funcţii de aproximare (curbele continue): 60

60

y = 2.2043x1.6193 R2 = 0.827

50

y = 1.7678x 2 - 3.5328x + 5.0295 R2 = 0.9527

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0

0 0

1

2

3

4

5

6

7

a)

0

1

2

3

4

5

6

7

b)

Fig.2 – Două funcţii de modelare a datelor experimentale a) funcţia y( x ) = a ⋅ x b ; b) funcţia y ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c

„Vizual” s-ar putea concluziona că funcţia y ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c ar fi cea mai adecvată modelării datelor. În realitate „măsurătorile” din Fig.1 au fost generate cu funcţia y ( x ) = a ⋅ x 2 + random unde random reprezintă valori aleatoare (cu media zero) simulând existenţa unor erori de măsură. Aşadar, fenomenul studiat experimental respectă legea y ( x ) = a ⋅ x b cu b = 2 , dar erorile de măsură au mascat acest lucru. - 11 -

SCURT ISTORIC

Atunci când nu se cunosc nici modelul teoretic al fenomenului studiat şi, mai ales, nici natura erorilor de măsură, s-ar putea face apel fie la Regresia de aproximare a funcţiei adevărate, fie la calcularea Coeficientului de determinare. A se vedea şi Criteriul lui Gauss (v.[11]). În Statistică (v.[5]), Coeficientul de determinare, notat R 2 , este un număr real cuprins în intervalul închis [0,1] care evaluează cât de bine sunt aproximate datele experimentale cu un model (statistic) având drept grafic o curbă continuă. Valoarea R 2 = 1 indică faptul că modelul de regresie descrie (aproximează) perfect datele experimentale, în timp ce valoarea R 2 = 0 indică faptul că modelul de regresie nu descrie (aproximează) deloc măsurătorile analizate. Situaţie R 2 = 0 este specifică, de exemplu, în cazul încercării de a aproxima cu o funcţie continuă nişte date aleatoare.

Cele două grafice din Fig.2 sunt însoţite atât de funcţia de modelare (valorile cele mai probabile ale parametrilor caracteristici) cât şi de valorile Coeficienţilor de determinare asociaţi. Se observă că valorile numerice (obiective) ale numărului R 2 confirmă concluzia (subiectivă) obţinută „vizual”. Dacă, de exemplu, se folosesc pentru modelare şi funcţiile y ( x ) = a ⋅ x + b , respectiv y ( x ) = a ⋅ e b⋅ x , se ajunge la rezultatele grafice şi numerice din Fig.3: 60

90

y = 7.6042x - 6.6776 R2 = 0.8344

50

y = 0.8847e0.7303x R2 = 0.6456

80 70

40

60

30

50 40

20

30 20

10

10

0 0 -10

1

2

3

4

5

6

0

7

0

a)

1

2

3

4

5

6

7

b)

Fig.3 – Alte două funcţii de modelare a datelor experimentale a) funcţia y ( x ) = a ⋅ x + b ; b) funcţia y ( x ) = a ⋅ e b⋅x

Ordonând descrescător valorile R 2 , obţinem măsura în care cele patru funcţii modelează (mai bine sau mai rău) datele experimentale iniţiale. Încheiem această scurtă abordare istorică prin a aminti că ideea unor analize folosind MCMMP a fost formulată în mod independent şi de americanul Robert Adrain în 1808 (v.[4]).

- 12 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

3. APROXIMAREA FUNCŢIILOR

Prelucrarea şi interpretarea fenomenologică a măsurătorilor experimentale presupune modelarea (aproximarea) acestora cu ajutorul unor funcţii analitice f . Pe de altă parte, există situaţii frecvente în care apare problema aproximării până şi a unei funcţii f cu o altă funcţie g , mai ales atunci când (v.[11]): •

funcţia f este cunoscută, dar are formă complicată, este dificil de manipulat în calcule precum operaţiile de derivare, integrare, etc.;

•

funcţia f este incomplet cunoscută, având la dispoziţie doar valorile ei pe o mulţime discretă şi finită de puncte.

În primul caz, aproximarea se poate face, în principiu, oricât de exact, cu condiţia ca funcţia g să fie cât mai simplă. În al doilea caz informaţiile se completează cu ipoteze suplimentare privind, de exemplu, continuitatea funcţiei şi a derivatelor sale. În ambele cazuri, este importantă alegerea unui criteriu de aproximare. Fie [a, b] ⊂ R un interval de numere reale şi xi , i ∈ {1,2,..., N } o partiţie a

acestui interval, unde xi ∈ [a, b], x1 = a, x N = b . Punctele xi se numesc noduri. Fiind date valorile în noduri yi = f ( xi ), i ∈ {1,2,..., N } ale unei funcţii reale

f ( x ) şi notând cu g ( x ) funcţia cu care se aproximează f ( x ) pe intervalul dat, principalele criterii de aproximare sunt:

- 13 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

•

Metoda de aproximare prin interpolare – criteriul egalităţii în noduri. În acest caz, funcţiei „mai simple” g ( x ) i se impune condiţia să ia aceleaşi valori în noduri ca şi f ( x ) , adică: g ( xi ) = yi , i ∈ {1,2,..., N } . Criteriul de aproximare prin interpolare presupune tacit că nodurile (xi , yi ) sunt cunoscute exact. Dacă nodurile sunt afectate de erori, atunci criteriul de interpolare este inadecvat (v.[13]-[14]).

•

Metoda de aproximare mini-max – criteriul minimizării abaterii maxime (Cebîşev). Se impune condiţia ca abaterea maximă să fie minimă pe intervalul ales, adică max f ( x ) − g ( x ) = minim. Criteriul de aproximare prin interpolare presupune tacit că şi nodurile, sub formă discretă, satisfac condiţia max yi − g ( xi ) = minim. (v.[12]) i∈1, N

•

Metoda celor mai mici pătrate – criteriul minimizării sumei pătratelor abaterilor în nodurile cunoscute yi = f ( xi ) . În acest caz se impune ca N

S = ∑ [ yi − g ( xi )] = minim. Deşi în cazul interpolării această sumă, S , 2

i =1

este chiar nulă, având, deci, cea mai mică valoare posibilă, acest criteriu este mai general, aplicându-se mai cu seamă funcţiilor f incert cunoscute, cum ar fi cazul datelor experimentale afectate, în mod obiectiv, de erori de măsură.

•

Metoda verosimilităţii maxime – Fie x1 , x2 ,..., x N un sondaj aleatoriu, prelevat dintr-o populaţie a cărei densitate de repartiţie este f ( x ) . Probabilitatea ca fiecare valoare de sondaj să se plaseze în intervalul xi − ε 2 şi xi + ε 2 este egală cu f ( xi ) ⋅ ε , iar probabilitatea ca prima valoare de sondaj să se afle în primul interval, a doua valoare de sondaj în al doilea interval etc. va fi P = f ( x1 ) ⋅ f ( x2 ) ⋅ ... ⋅ f ( x N ) ⋅ ε N , de unde rezultă P ε N = f ( x1 ) ⋅ f ( x2 ) ⋅ ... ⋅ f ( x N ) . Principiul verosimilităţii maxime impune ca formularea şi alegerea unui estimator să fie astfel făcute încât funcţia de verosimilitate: N  P L = ln n  = ln[ f ( x1 ) ⋅ f ( x1 ) ⋅ ... ⋅ f ( x N )] = ∑ ln[ f ( xi )] ε  i =1

să ia valoarea maximă (v.[11]). - 14 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

3.1. Modelarea datelor experimentale Modelarea datelor experimentale presupune stabilirea unui set de ecuaţii parametrice caracteristice unui anume model teoretic al fenomenului studiat. O un rol deosebit în acest sens îl joacă înţelegerea legilor reprezentante de datele experimentale. În mod firesc, modelul ar trebui să fie astfel ales încât să reflecte cât mai fidel aceste legi, parametrii curbelor de aproximare a datelor experimentale având un înţeles fizic, o interpretare fenomenologică. Modelarea datelor experimentale se poate realiza în principal prin două tehnici: de interpolare, respectiv de regresie. Interpolarea garantează că graficele funcţiilor de aproximare vor trece prin toate punctele experimentale. Cele mai utilizate metode de interpolare sunt interpolarea Lagrange şi interpolarea cu funcţii spline. Regresia asigură, în mod simplu, minimizarea „funcţiei de calitate”, adică a funcţiei ce măsoară diferenţa dintre datele experimentale şi model, parametrii modelului fiind astfel ajustaţi încât această funcţie să atingă valori cât mai mici posibil. Eroarea în aproximarea cu funcţii de regresie este evaluată pe baza Erorii standard şi a Coeficientului de determinare. Aceste instrumente statistice nu sunt perfecte, dar ele oferă o evaluare utilă a performanţei curbei de aproximare. Eroarea standard S a datelor experimentale este definită (v.[5]): N puncte

∑ [y

S=

− f ( xi )]

2

i

i =1

N puncte − N parametri

unde f ( xi ) desemnează valoarea calculată cu modelul de regresie, yi reprezintă datele experimentale şi N parametri este numărul parametrilor din respectivul model teoretic, iar diferenţa (N puncte − N parametri ) este numărul gradelor de libertate. De subliniat este faptul că ceastă funcţie de eroare este foarte asemănătoare, dar nu aceeaşi cu funcţia χ 2 analizată în următorul paragraf. Eroarea standard a datelor experimentale cuantifică împrăştierea punctelor experimentale în jurul curbei de regresie. Cu cât creşte calitatea modelării, cu atât se apropie de zero valoarea erorii standard. - 15 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

O altă măsură a „calităţii aproximării” este Coeficientul de determinare. Pentru a explica înţelesul acestei măsuri trebuie pornit de la definiţia abaterii standard, care cuantifică împrăştierea în jurul valorii medii: N puncte

∑ (y − y )

St =

2

i

i =1

unde valoarea medie y este media aritmetică:

y=

1

N puncte

N puncte

∑y

i

i =1

Cantitatea S t consideră împrăştierea în jurul unei drepte constante (valoarea medie) ca fiind opusă împrăştierii în jurul modelului de regresie. Aceasta este incertitudinea variabilei dependente anterior regresiei. Se defineşte şi deviaţia de la curba de aproximare ca fiind: N puncte

Sr =

∑ [y

− f ( xi )]

2

i

i =1

De notat similaritatea acestei expresii cu cea a erorii standard a datelor experimentale indicată mai sus; aceasta cantitate de asemenea măsoară împrăştierea punctelor în jurul funcţiei de aproximare. Astfel încât corectarea (sau reducerea erorii) datorată descrierii datelor experimentale în termenii unui model de regresie poate fi cuantificată prin diferenţa normalizată acelor două cantităţi:

R2 ≡

St − S r St

unde R 2 este definit drept Coeficient de determinare. Cu cât modelul de regresie descrie mai bine datele experimentale, cu atât Coeficientul de determinare se apropie mai mult de unitate. Pentru o aproximare „perfectă”, Eroarea standard a datelor experimentale se va apropia de valoarea S r = 0 şi Coeficientul de corelaţie se va apropia de valoarea R 2 = 1 .

- 16 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

3.2. Interpolarea •

Interpolarea Lagrange

Interpolarea Lagrange este o interpolare simplă a datelor experimentale cu ajutorul unui polinom (v.[13], [14]). Ordinul polinomului este determinat de numărul de puncte experimentale, acesta trebuind să aibă suficiente grade de libertate pentru a aproxima setul de date experimentale în fiecare punct. De aceea, pentru un set de N puncte, polinomul de interpolare va fi de (cel mult) gradul N − 1 : N

N

i =1

j =1 j ≠i

p N −1 ( x ) = ∑ yi ∏

x − xj xi − x j

Polinoamele Lagrange sunt în mod particular foarte potrivite pentru seturile de date cu număr mic de puncte (2 ≤ N ≤ 8) . De preferat, punctele experimentale ar trebui să nu fie foarte împrăştiate. Ca orice polinom, şi polinomul de interpolare Lagrange prezintă variaţii oscilante cu atât mai importante cu cât creşte gradul său. De aceea, utilizarea interpolării Lagrange ar trebui să fie evitată dacă umărul punctelor experimentale este mare. Aşa cum arată şi numele, extrapolarea dincolo de domeniul datelor experimentale cu un polinom de interpolare este nerecomandată. Interpolarea asigură acurateţe numai pentru valorile aflate între punctele experimentale – utilizarea ei pentru a obţine valori y în afara domeniului datelor experimentale trebuind să se facă numai cu atenţie foarte mare.

•

Interpolarea cu funcţii spline

Interpolarea polinomială globală, pe tot intervalul [a, b] , nu converge întotdeauna, fapt pentru care se poate opta pentru metode de interpolare polinomială pe porţiuni, adică definind câte un polinom individual de interpolare, numit şi funcţie spline, pe chiar fiecare diviziune [xi , xi +1 ] în parte (v.[13], [14]).

- 17 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

Funcţii spline liniare Funcţiile spline liniare sunt cele mai simple forme ale funcţiilor spline, aproximarea domeniului dintre datele experimentale făcându-se prin linii drepte:

p1,i ( x ) = yi + mi ( x − xi ), mi =

x ∈ [xi , xi +1 )

yi +1 − yi xi +1 − x i

Cea mai simplificată definiţie a interpolării cu funcţii spline liniare este aceea că ea asigură faptul că fiecare funcţie spline discretă se potriveşte datelor experimentale. Aceste funcţii spline reprezintă pur şi simplu o metodă de „conectare a punctelor”, care poate fi utilă în creşterea rezoluţiei unui tabel de valori utilizând interpolarea liniară între puncte. Totuşi, dacă aceasta este cerinţa, funcţiile spline cubice oferă o reprezentare mult mai precisă între punctele experimentale.

Funcţii spline pătratice Funcţiile spline pătratice interpolează domeniul dintre două puncte experimentale printr-un polinom de ordinul doi (polinom pătratic).

p2,i ( x ) = yi + mi ( x − xi ) + ai ( x − xi ) , x ∈ [xi , xi +1 ), i ∈1, N − 1 2

mi =

ai =

yi +1 − yi xi +1 − xi

yi +1 − yi yi + 2 − yi +1 − 2 (xi+1 − xi ) (xi+2 − xi+1 )(xi+1 − xi )

Aproximarea cu funcţii spline pătratice asigură faptul că fiecare funcţie spline este adecvată pentru datele experimentale şi că primele derivate ale funcţiilor spline sunt continue chiar şi în noduri. Funcţiile spline pătratice lucrează mai bine decât funcţiile spline liniare, dar sunt adesea caracterizate printr-o „pivotare” prea mare sau prea mică dincolo de datele experimentale. Funcţiile spline pătratice trebuie să aibă o condiţie de libertate specificată pentru prima funcţie spline, cea mai comună fiind egalarea cu zero a - 18 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

derivatei de ordinul doi a acestei prime funcţii spline, având ca efect conectarea primelor două puncte cu o linie dreaptă.

Funcţii spline cubice Funcţiile spline interpolează domeniul dintre puncte prin polinoame de ordinul trei (polinoame cubice): p3,i ( x ) = yi + mi ( x − xi ) + bi ( x − xi ) + ai ( x − xi ) , x ∈ [xi , xi +1 ), i ∈1, N − 1 2

mi =

ai =

3

yi +1 − yi xi +1 − xi

mi +1 + mi y − yi − 2 i +1 2 (xi+1 − xi ) (xi+1 − xi )3

bi = 3

yi +1 − yi m + 2mi − i +1 2 (xi+1 − xi ) xi+1 − xi

Aproximarea cu funcţii spline cubice asigură că fiecare funcţie spline este adecvată setului de puncte experimentale şi derivatele de ordinul unu şi doi sunt continue în noduri. Deoarece discontinuităţile derivatelor de ordinul trei sau mai mult nu pot fi detectate vizual, funcţiile spline cubice prezintă „un aspect estetic” deosebit. Pentru funcţiile spline cubice se pot folosi diferite condiţii de capăt. Cea mai comună practică este aceea de a utiliza condiţii de capăt „naturale” specificând că derivatele de ordinul doi sunt zero în punctele de capăt. Acest lucru oferă aparenţa vizuală de „ieşire aliniată” la capete.

Funcţii spline tensionate Funcţiile spline tensionate sunt similare funcţiilor spline cubice, atâta doar că li se adăugă un parametru nou – tensiunea – care specifică cât „de feste” sunt funcţiile spline în fiecare nod. Un parametru de tensiune joasă va conduce la o funcţie spline similară celei cubice, în timp ce pentru o tensiune ridicată respectiva funcţie spline va tinde către cea liniară.

- 19 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

3.3. Regresia •

Regresia liniară

Modelele care constau dintr-o combinaţie liniară de funcţii particulare f k se numesc modele liniare, regresia liniară putând fi utilizată pentru a minimiza diferenţa dintre model şi datele experimentale. Forma generală a acestui tip de model este:

y ( x ) = ∑ ak ⋅ f k ( x ) k

unde f k ( x ) sunt funcţii fixate de x , numite şi funcţii de bază, iar ak sunt parametri liberi. De notat că „liniaritatea” se referă numai la dependenţa liniară în raport cu parametrii ak , funcţiile f k ( x ) putând să nu fie liniare. Minimizarea modelului liniar de mai sus este realizată în raport cu „funcţia de calitate”:

S (a ) =

N puncte

∑ i =1

N parametri   y − ak f k ( xi )  i ∑ k =1  

2

Minimul ecuaţiei de mai sus se obţine atunci când se anulează derivata sumei S (a ) în raport cu parametrii:

∂S (a ) = 0, k = 1, N parametri ∂a k Substituind modelul liniar în această funcţie şi anulând primele sale derivate se obţine un sistem de ecuaţii a cărui rezolvare permite determinarea valorile parametrilor ak .

Modele de regresie liniară Cele mai frecvente modele liniare folosite în prelucrarea şi interpretarea datelor experimentale sunt: aproximarea liniară:

y = a + bx - 20 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

•

aproximarea pătratică:

y = a + bx + cx 2

aproximarea polinomială:

y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ...

Regresia neliniară

Un model de regresie este neliniar dacă depinde neliniar de parametrii ak ,

y ( x ) = ∑ ϕ k (ak , f k ( x )) . k

O primă variantă de rezolvare a modelelor de regresie neliniară constă în încercarea de liniarizare a modelului prin aplicarea unei transformări oarecare asupra variabilei dependente: inversare y → 1 y , logaritmare

y → ln( y ) , ridicare la putere y → y n etc., sau prin combinarea succesivă a unor astfel de transformări. Dacă liniarizarea nu este posibilă, atunci trebuie rezolvat numeric un sistem de ecuaţii neliniare având drept necunoscute parametrii modelului, cel mai adesea folosindu-se metoda Levenberg-Marquardt (LM). Această metodă combină metoda descreşterilor abrupte cu metoda bazată pe dezvoltarea în serie Taylor, obţinându-se o tehnică rapidă şi sigură pentru optimizarea neliniară. Totuşi niciuna dintre cele două metode nu este ideală oricând şi oriunde; descreşterea abruptă lucrează bine numai departe de minim, în timp ce seriile Taylor lucrează bine numai în apropierea acestui minim. Algoritmul LM permite o tranziţie netedă între cele două metode pe parcursul iteraţiilor. În cazul unei singure variabile independente, ecuaţia de modelare a datelor r experimentale poate fi scrisă: y = y ( x; a ) , expresie ce indică faptul că variabila dependentă y poate fi exprimată ca o funcţie de variabila independentă x şi un vector de parametrii a de lungime arbitrară. De notat că, în cazul metodei LM, se poate utiliza pentru modelarea datelor experimentale orice ecuaţie neliniară cu un număr arbitrar de parametri. Atunci „funcţia de calitate” ce trebuie minimizată este funcţia „hi pătrat”:

r χ (a ) = 2

N puncte

∑ i =1

r 2  y i − y ( xi ; a )    σi  

- 21 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

unde xi desemnează valorile experimentele ale variabilei independente x , yi desemnează valorile experimentale ale variabile dependente y , σ i este r deviaţia standard (incertitudinea) în punctul i , iar y ( x; a ) este un model neliniar arbitrar evaluat în punctul i . Această funcţie măsoară concordanţa dintre punctele măsurate şi modelul parametric; o valoare mică a acestei funcţii înseamnă o concordanţă mai bună. Fără a intra în detalii de algoritm, menţionăm faptul că un pas în trecerea de r r la parametrul curent acurent către valoarea sa minimă amin poate fi scris sub forma: r r r amin = acurent + H −1 ⋅ − ∇χ 2 (acurent )

[

]

unde H este matricea Hessian a derivatelor de ordinul doi. Dacă aproximarea funcţiei cu una pătratică este slabă, atunci se poate folosi metoda descreşterii abrupte, caz în care un pas către cele mai bune valori va fi: r r r amin = acurent − c ⋅ ∇χ 2 (acurent )

Constanta c este forţată să fie mică, condiţie impusă de obţinerea unei suficiente acurateţe a gradientului în regiunea de valori în care este realizat respectivul pas. Derivând funcţia χ 2 se obţine vectorul gradient: ∂χ 2 = −2 ∂a k

N puncte

∑ i =1

r r yi − y ( x i ; a ) ∂y ( x i ; a ) ⋅ σ i2 ∂a k

şi matricea Hessian:

∂2χ 2 = −2 ∂ak ∂al

N puncte

∑ i =1

r r r r  1 ∂y ( x i ; a ) ∂y ( x i ; a ) yi − y ( x i ; a ) ∂ 2 y ( x i ; a )  ⋅ − ⋅  2⋅  ∂ak ∂al σ i2 ∂ak ∂al  σ i

Făcând notaţiile: 1 ∂χ 2 Gk = − ⋅ = 2 ∂a k

N puncte

∑ i =1

r r yi − y ( x i ; a ) ∂y ( x i ; a ) ⋅ σ i2 ∂a k - 22 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

∂2χ 2 C kl = = ∂ak ∂al

N puncte

∑ i =1

r r  1 ∂y ( x i ; a ) ∂y ( x i ; a )  ⋅  2⋅  ∂ak ∂al  σ i

se poate construi metoda seriilor Taylor (sau metoda Hessian inversă) sub forma setului de ecuaţii liniare: N parametri

∑C

kl

δal = Gk

k =1

ce urmează să fie rezolvate pentru pasul de incrementare δa . O a doua formulare a metodei LM presupune definirea matricei M :

M ii = Cii (1 + λ )  M ij = Cij , i ≠ j ce va conduce la evaluarea parametrică δa din sistemul de ecuaţii liniare: N parametri

∑M

kl

δal = Gk

k =1

De notat că atunci când valoarea proprie λ este mare, matricea M este forţată să fie diagonală superior, ecuaţiile de mai sus conducând la metoda descreşterilor abrupte. Invers, dacă valoarea proprie λ tinde spre zero, ecuaţiile de mai sus conduc către metoda seriilor Taylor. Prin urmare, modificând valoarea λ se poate alterna între cele două metode specifice algoritmului LM şi anume: [1] Se calculează χ 2 (a ) [2] Se alege o valoare iniţială pentru λ (de exemplu: 0.001) N parametri

[3] Se rezolvă ecuaţia

∑M

kl

δal = Gk în necunoscuta δa

k =1

[4] Se evaluează χ 2 (a + δa ) [5] Dacă χ 2 (a + δa ) ≥ cχ 2 atunci se incrementează λ cu un factor (de exemplu: 10) şi se reia pasul [3] - 23 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

[6] Dacă χ 2 (a + δa ) < χ 2 atunci se decrementează λ cu un factor (de exemplu: 10), se corectează vectorul parametrilor a = a + δa şi se reia pasul [3] Iteraţiile se termină atunci când χ 2 (a + δa ) − cχ 2 < toleranţa (aleasă iniţial) •

Modele de regresie neliniară

Cele mai des utilizate modele de regresie neliniară sunt grupate pe „familii” şi anume: Familia modelelor exponenţiale

Modelele exponenţiale folosesc funcţiile exponenţială sau logaritm. În general, ele sunt curbe convexe sau concave, dar unele modele au şi puncte de inflexiune, respectiv un maxim sau un minim. Avem: y = a ⋅ e b⋅x

Funcţia exponenţială:

b x

Funcţia exponenţială modificată:

y = a⋅e

Funcţia logaritm:

y = a + b ⋅ ln( x )

Funcţia logaritm reciprocă:

y=

Modelul presiunii de vapori:

1 a + b ⋅ ln ( x )

y=e

b a + + c⋅ln ( x ) x

Familia modelelor putere

Familia modelelor putere utilizează unul sau mai mulţi parametrii ca exponenţi ai puterii variabilei independente. Această familie conţine curbe convexe şi concave, fără puncte de inflexiune sau de maxime / minim. Avem: Funcţia putere (alometrică):

y = a ⋅ xb

Funcţia putere modificată:

y = a ⋅bx - 24 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR c

Funcţia putere decalată:

y = a ⋅ (x − b )

Funcţia geometrică:

y = a ⋅ x b⋅ x

Funcţia geometrică modificată: y = a ⋅ x

b x

1

Funcţia pas:

y = ax

Modelul Hoerl:

y = a ⋅ b x ⋅ xc

Modelul Hoerl modificat:

y = a ⋅ b x ⋅ xc

1

Familia modelelor recoltă-densitate

Iniţial, aceste modele au fost folosite pentru modelarea relaţiei dintre recolta unei culturi şi spaţiu / densitate / sădire. În practică au fost observate două tipuri de astfel de relaţii: asimptotică şi parabolică. Evident, aceste modele se întâlnesc şi în alte domenii. Avem: Modelul reciproc:

y=

1 a + b⋅ x

Modelul reciproc pătratic:

y=

1 a + b ⋅ x + c ⋅ x2

Modelul Bleasdale:

y = (a + b ⋅ x )

Modelul Harris:

y=

−

1 c

1 a + b ⋅ xc

Familia modelelor de creştere Modelele de creştere sunt caracterizate printr-o creştere monotonă de la o valoare oarecare fixată către un asimptotică. Aceste modele sunt foarte comune în ştiinţele inginereşti. Avem:

- 25 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

Exponenţiala asociată (2):

y = a ⋅ 1 − e − b⋅x

Exponenţiala asociată (3):

( ) y = a ⋅ (b − e ) − c⋅ x

Creşterea de saturaţie:

y=

a⋅x b+x

Familia sigmoidelor (curbe în forma literei S) Procesele evoluând după curbe de creştere sigmoidale sunt comune într-o serie largă de aplicaţii din biologie, inginerie, agricultură şi economie, Aceste curbe pornesc de la o valoare fixată şi îşi măresc rata de creştere în mod monoton până la un punct de inflexiune, după care rata de creştere se apropie asimptotic de o valoare finală. Avem: b −c⋅ x

Modelul Gompertz:

y = a ⋅ e −e

Modelul logistic:

y=

Modelul Richards:

y=

Modelul MMF:

a ⋅b + c ⋅ xd y= b + xd

Modelul Weibull:

y = a − b ⋅ e − c⋅ x

a 1 + e b − c⋅ x a 1 b − c⋅ x d

(1 + e )

d

Familia „amestecată” Ca multe lucruri din viaţă, unele fenomene nu se încadrează într-o categorie „armonioasă”. Familia „amestecată” este una în care se găsesc aceste modele „diferite” de regresie neliniară. Avem: Modelul cosinusoidal: Modelul gaussian;

y = a + b ⋅ cos(c ⋅ x + d )

y = a⋅e

- 26 -

−

( x −b )2 2⋅c 2

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

Modelul hiperbolic:

y=a+

b x

Modelul capacităţii calorice: y = a + b ⋅ x + Funcţia raţională: •

y=

c x2

a +b⋅ x 1+ c ⋅ x + d ⋅ x2

Scheme de regresie ponderată

Ponderarea permite utilizatorului să definească cât de mult influenţează fiecare punct experimental asupra setului final de parametri: o pondere mare denotă că un punct particular influenţează parametrii mai mult (trage puternic curba către el) în timp ce o pondere mică a punctului experimental descreşte efectul său asupra parametrilor. Următoarele scheme de ponderare sunt folosite mai des: Fără ponderare (cu pondere 1) Regresia este realizată „aşa cum este”, fără aplicarea unor ponderări pe durata procesului de fitare. Acesta este cel mai comun tip de analiza de regresie; fiecare punct are influenţă egală asupra curbei finale. Situaţia este echivalentă ponderării fiecărui punct cu valoarea 1. Ponderarea cu funcţia de incertitudine Regresia este ponderată cu incertitudinea furnizată în fiecare punct experimental. Incertitudinile sunt interpretate ca deviaţii standard în jurul punctului. Astfel, pe durata regresiei, calculele vor fi ponderate cu 1 σ i2 . Ponderarea cu 1/x Acest tip de ponderare este utilizat mai rar, fiecare punct experimental fiind ponderat prin inversul valorii variabilei independente x . Această metodă de ponderare NU se aplică dacă în datele experimentale există valori x negative.

- 27 -

APROXIMAREA FUNCŢIILOR

Ponderarea cu 1/x2 Acest tip de ponderare este utilizat mai rar, fiecare punct experimental fiind ponderat prin inversul pătratului valorii variabilei independente. Cu cât punctul experimental este mai departe de x = 0 , cu atât mai mică este influenţa lui asupra setului final de parametrii. Acest tip de ponderare este folosit uneori atunci când se cunoaşte ce incertitudinea este un procent din valoarea variabilei independente. Ponderarea cu 1/y Acest tip de ponderare este utilizat mai rar, fiecare punct experimental fiind ponderat prin inversul valorii variabilei dependente y . Această metodă de ponderare NU se aplică dacă în datele experimentale există valori y negative. Ponderarea cu 1/y2 Acest tip de ponderare este utilizat uneori atunci când incertitudinile în fiecare punct experimental nu sunt cunoscute, dar aceste incertitudini tind să fie un procent de valoarea y măsurată. Cu cât este mai mare valoarea y cu atât este mai mică ponderea respectivului punct experimental. •

Regresia multiplă

Regresia multiplă se aplică modelelor y = f ( x, z , a, b, c,...) care depind de două (sau mai multe) variabile independente x , z , ... Astfel, pentru un set dat de măsurători experimentale ( xi , yi , zi ); i = 1,2...N , curba de aproximare se va determina prin MCMMP impunând criteriul: N

S (a, b, c,K) = ∑ [ yi − f ( xi , z i , a, b, c,...)] = minim, 2

i =1

condiţie conducând la rezolvarea sistemului de ecuaţii: ∂S (a, b, c,L) =0; ∂a

∂S (a, b, c,K) =0; ∂b

în necunoscutele a , b , c , ...

- 28 -

∂S (a, b, c,K) = 0 ; ... ∂c

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

4. MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Având în vedere rolul deosebit ce-l are în aproximarea funcţiilor, în cele ce urmează vom aplica MCMMP unei serii de modele generale de o singură variabilă independentă, cu aplicabilitate imediată în analiza de regresie standard .

{(xi , yi ), i = 1,2,..., N } ce se doreşte a fi funcţie y ( x ) = f ( x, a, b, c,...) , MCMMP presupune 2 S (a, b, c,K) = ∑ [ f ( xi ; a, b, c,K) − yi ] în raport cu

Fiind dat setul de măsurători aproximat printr-o minimizarea sumei

parametrii necunoscuţi a, b, c,K , adică minimizarea sumei pătratelor abaterilor măsurătorilor yi de la modelul f ( xi ; a, b, c,K) . Această cerinţă impune rezolvarea sistemului (compatibil determinat) de ecuaţii: ∂S (a, b, c,...) ∂a = 0 ; ∂S (a, b, c,...) ∂b = 0 ; ∂S (a, b, c,...) ∂c = 0 ,... Pentru o mai uşoară înţelegere a paşilor ce trebuie să fie parcurşi în cadrul MCMMP, vom prezenta prin formule detaliate unele modele generale, folosind funcţii generice f ( x ) , g ( x ) , h( x ) , ϕ (⋅) , ψ (⋅) , ξ (⋅) ... Evident, vom analiza atât cazul modelelor liniare cât şi cazul modelelor neliniare, pentru acestea din urmă indicând şi algoritmii de liniarizare. Având la îndemână soluţiile generale şi particularizând funcţiile generice cu diferite funcţii elementare (v.[6] şi ANEXA A):

{

f ( x ), g (x ), h( x )... ∈ r , x r , r x , exp( x ), ln ( x ), sin ( x ), sinh ( x ),K | r ∈ R

se vor regăsi cele mai întâlnite modele utilizate în practică.

- 29 -

}

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

4.1. Funcţii cu un singur parametru necunoscut a •

Cazul funcţiilor liniare în necunoscuta a

Funcţia constantă y ( x ) = a

Se calculează suma pătratelor abaterilor măsurătorilor yi de la model: N

S (a ) = ∑ [a − yi ]

2

i =1

pentru a cărei minimizare se calculează: N ∂S (a ) = 2 ⋅ ∑ [a − yi ] = 0 ∂a i =1 N

N

i =1

i =1

∑ a = ∑ yi ; de unde rezultă cea mai probabilă valoare a parametrului a : a=

1 N ⋅ ∑ yi N i =1

Pentru simplificarea editării formulelor de calcul, în continuare vom N

desemna simbolul

∑ [L] prin simbolul ∑ [L] . i =1

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x )

Se calculează suma pătratelor abaterilor măsurătorilor yi de la model: S (a ) = ∑ [a ⋅ f ( xi ) − yi ]

2

a cărei minimizare impune: ∂S (a ) = 2 ⋅ ∑ [a ⋅ f ( xi ) − yi ]⋅ f ( xi ) = 0 ∂a - 30 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

a ⋅ ∑ f 2 ( xi ) = ∑ yi ⋅ f ( xi ) de unde rezultă cea mai probabilă valoare a parametrului a :

a=

1

∑ f 2 (xi )

⋅ ∑ yi ⋅ f ( xi )

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + g ( x)

Se calculează suma S (a ) :

S (a ) = ∑ [a ⋅ f ( xi ) + g ( xi ) − yi ]2 după care se minimizează: ∂S (a ) = 2 ⋅ ∑ [a ⋅ f ( xi ) + g ( xi ) − yi ]⋅ f ( xi ) = 0 ∂a

a ⋅ ∑ f 2 ( xi ) = ∑ [ yi − g ( xi )]⋅ f ( xi ) şi rezultă:

a=

1

∑ f 2 (xi )

⋅ ∑ [ yi − g ( xi )]⋅ f (xi )

Se observă că funcţia y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + g ( x) poate fi abordată şi într-un al doilea mod. Astfel, făcând notaţiile:

Y (x ) = y(x ) − g (x ) Yi = yi − g ( xi )

şi obţine noua funcţie liniară:

Y ( x ) = a ⋅ f (x ) model tocmai discutat anterior şi a cărui soluţie este:

- 31 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

a=

1 ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ f 2 (xi )

Menţionăm că la diferite astfel de notaţii (transformări) vom apela întotdeauna atunci când acest lucru permite reducerea la modele „tipar” discutate anterior. Exemple de funcţii liniare în necunoscuta a şi soluţiile asociate:

y(x ) = a ⋅ x a=

y (x ) =

1

∑ xi2

⋅ ∑ xi ⋅ yi

a +x x

a=

1 1

∑ x2

⋅∑

1 ⋅ [ yi − xi ] xi

i

y ( x ) = a ⋅ x ⋅ ln ( x ) +

a= •

1 x2

 ⋅ ∑  yi − ∑ xi2 ⋅ ln 2 (xi )  1

1   ⋅ xi ⋅ ln (xi ) x 2i 

Cazul funcţiilor neliniare în necunoscuta a

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + g ( x) ) Neliniaritatea acestui model este dată de prezenţă funcţiei ϕ (⋅) având ca argument şi parametrul a . Liniarizarea modelului se realizează aplicând ambilor membri ai egalităţii funcţia inversă ϕ −1 (⋅) adică:

ϕ −1 ( y ( x )) = a ⋅ f ( x ) + g ( x ) - 32 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Făcând notaţiile: Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x )) − g ( x ) Yi = ϕ −1 ( yi ) − g ( xi ) se obţine funcţia liniară:

Y (x ) = a ⋅ f (x ) având soluţia:

a=

1 ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ f 2 (xi )

sau încă:

a=

1 ⋅ ∑ ϕ −1 ( yi ) − g ( xi ) ⋅ f ( xi ) 2 ( ) f x ∑ i

[

]

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + g ( x) În vederea liniarizării modelului se păstrează în membrul drept al egalităţii numai funcţia ϕ (⋅) , adică:

y ( x ) − g ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) după care se aplică ambilor membri ai ultimei egalităţi funcţia inversă ϕ −1 (⋅) , adică:

ϕ −1 ( y ( x ) − g ( x )) = a ⋅ f (x ) Făcând notaţia: Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x ) − g ( x )) Yi = ϕ −1 ( yi − g ( xi )) se obţine funcţia liniară - 33 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Y (x ) = a ⋅ f (x ) a cărei soluţie este:

a=

1

∑ f 2 (xi )

⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi )

sau încă:

a=

1 ⋅ ∑ϕ −1 ( y i − g ( xi )) ⋅ f ( xi ) 2 ∑ f (xi )

Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + g ( x) Liniarizarea modelului presupune parcurgerea paşilor de calcul:

A = ϕ (a ) ; Y (x ) = y (x ) − g ( x) Yi = yi − g ( xi ) astfel încât se obţine funcţia liniară

Y ( x ) = A ⋅ f (x ) a cărei soluţie este:

A=

1 ⋅ ∑ Yi ⋅ f (xi ) ∑ f 2 (xi )

sau încă:

A=

1 ⋅ ∑ [ yi − g ( xi )] ⋅ f ( xi ) ∑ f 2 (xi )

rezultat care conduce la soluţia căutată: a = ϕ −1 ( A)

- 34 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

  1  [ ( ) ] ( ) a = ϕ −1  ⋅ y − g x ⋅ f x ∑ i i i  2  ( ) f x i ∑  O situaţie aparte o reprezintă liniarizarea modelului logaritmic. Funcţia neliniară y ( x ) = ln(ϕ (a ) ⋅ f ( x )) Acest model reprezintă o situaţie aparte pentru faptul că admite două moduri de abordare: a) Liniarizarea prin exponenţiere:

exp( y ( x )) = ϕ (a ) ⋅ f ( x ) ; cu soluţia:

ϕ (a ) =

1 ⋅ ∑ exp( yi ) ⋅ f ( xi ) ∑ f 2 (xi )

de unde:   1 a = ϕ −1  ⋅ ∑ exp( yi ) ⋅ f ( xi ) 2    ∑ f ( xi )  b) Liniarizarea prin logaritmare:

y ( x ) − ln( f ( x )) = ln(ϕ (a )) cu soluţia: ln(ϕ (a )) =

1 ⋅ ∑ [ yi − ln ( f (xi ))] N

de unde rezultă:  1  a = ϕ −1  exp ⋅ ∑ [ yi − ln ( f (xi ))]  N   Se poate observa că această ultimă soluţie suportă şi variantele de scriere: - 35 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE 1  N    ( ) exp yi a = ϕ −1  ∏  f ( xi )   

    

respectiv:

   1  ∑ [ yi − ln ( xi )]   a = ϕ  exp     N     −1

Cel mai „obiectiv” mod de alegere a soluţiei „adecvate” a modelului logaritmic este compararea valorilor Criteriului de determinare R 2 calculat pentru liniarizarea prin exponenţiere, respectiv liniarizarea prin logaritmare. Autorii au aplicat această comparaţie pe diferite serii de date numerice generate controlat folosind Microsoft Office Excel şi, de fiecare dată, în limita erorilor de calcul în virgulă mobilă, câştig de cauză a avut liniarizarea prin logaritmare. Exemple de funcţii liniarizabile în necunoscuta a , algoritmii de liniarizare şi soluţiile asociate: y ( x ) = e a⋅ x

ln( y ( x )) = a ⋅ x

a=

1

∑ xi2

⋅ ∑ xi ⋅ ln( yi )

y(x ) = x a

ln( y ( x )) = a ⋅ ln( x )

a=

1

∑ ln 2 (xi )

⋅ ∑ ln( xi ) ⋅ ln( yi )

y(x ) = a x

ln( y ( x )) = ln(a ) ⋅ x - 36 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

 1  a = exp ⋅ ∑ xi ⋅ ln ( yi )  x2  ∑ i 

y ( x ) = ln(a ⋅ x ) y ( x ) = ln(a ) + ln( x ) 1  a = exp ⋅ ∑ [ yi − ln ( xi )] N  sau:

y ( x ) = ln(a ⋅ x ) exp( y ( x )) = a ⋅ x

a=

1

∑ xi2

⋅ ∑ xi ⋅ exp( yi )

a y ( x ) = ln   x

y ( x ) = ln(a ) − ln( x ) 1  a = exp ⋅ ∑ [ yi + ln ( xi )] N  sau:

a y ( x ) = ln   x exp( y ( x )) = a=

1 1

∑ x2

a x

⋅∑

exp( yi ) xi

i

- 37 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

4.2. Funcţii cu doi parametri necunoscuţi a şi b •

Cazul funcţiilor liniare în necunoscutele a şi b

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) Se calculează suma pătratelor abaterilor măsurătorilor yi de la model, adică S (a, b ) = ∑ [a ⋅ f (xi ) + b ⋅ g ( xi ) − yi ]

2

a cărei minimizare presupune parcurgerea algoritmului (paşilor) de calcul: Derivarea parţială a sumei S (a, b ) în raport cu a şi b : ∂S (a, b ) = 2 ⋅ ∑ [a ⋅ f ( xi ) + b ⋅ g ( xi ) − yi ]⋅ f ( xi ) = 0 ; ∂a ∂S (a, b ) = 2 ⋅ ∑ [a ⋅ f ( xi ) + b ⋅ g ( xi ) − yi ] ⋅ g ( xi ) = 0 ; ∂b

şi identificarea sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute: a ⋅ ∑ f 2 ( x ) + b ⋅ ∑ g ( x ) ⋅ f ( x ) = ∑ y ⋅ f ( x ) i i i i i   2 a ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) + b ⋅ ∑ g ( xi ) = ∑ yi ⋅ g ( xi ) pentru a cărui rezolvare se calculează determinantul sistemului ∆ , respectiv determinanţii necunoscutelor ∆ a şi ∆ b :

∆=

∑ f 2 (xi ) ∑ g (xi )⋅ f (xi ) ∑ f (xi )⋅ g (xi ) ∑ g 2 (xi )

∆a =

∑ yi ⋅ f (xi ) ∑ g (xi )⋅ f (xi ) ∑ yi ⋅ g (xi ) ∑ g 2 (xi )

- 38 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

∆b =

∑ f 2 (xi ) ∑ yi ⋅ f (xi ) ∑ f (xi )⋅ g (xi ) ∑ yi ⋅ g (xi )

sau încă: ∆ = ∑ f 2 ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) −

[∑ f (xi )⋅ g (xi )]2

∆ a = ∑ yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∆ b = ∑ f 2 ( xi ) ⋅ ∑ yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ yi ⋅ f ( xi ) valori ce permit calculare soluţiilor: a=

∆a = ∆

∑ yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

2 ∆ b ∑ f ( xi ) ⋅ ∑ yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g (xi ) ⋅ ∑ yi ⋅ f ( xi ) b= = 2 ∆ f 2 (x ) ⋅ g 2 (x ) − f (x ) ⋅ g (x )

∑

∑

i

[∑

i

i

]

i

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) În acest caz se observă faptul că, făcând notaţiile:

Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) Yi = yi − h( xi ) se obţine modelul:

Y (x ) = a ⋅ f (x ) + b ⋅ g (x ) ale cărui soluţii au fost obţinute deja mai sus şi sunt:

∑ Y ⋅ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ f (x ) ⋅ g (x ) ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

a=

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

- 39 -

i

i

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

∑ f (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ g (x ) − ∑ f (x ) ⋅ g (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ f (x ) ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

b=

i

i

i

2

i

i

i 2

2

i

i

i

i

i

Exemple de funcţii liniare în necunoscutele a şi b :

y(x ) = a ⋅ x + b a=

b=

y(x ) =

N ⋅ ∑ xi ⋅ yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi N ⋅ ∑ xi2 −

[∑ xi ]2

;

∑ xi2 ⋅ ∑ yi − ∑ xi ⋅ ∑ xi ⋅ yi 2 N ⋅ ∑ xi2 − [∑ xi ]

a + b ⋅ ln ( x ) ; x

y

a=

∑ xi ⋅ ∑ ln 2 (xi ) − ∑ yi ⋅ ln(xi )⋅ ∑ i

 ln ( x )  ∑ 2 ⋅ ∑ ln (xi ) − ∑ x i  xi i   1

2

1

b=

∑ x 2 ⋅ ∑ yi ⋅ ln(xi ) − ∑ i

y ( x ) = a ⋅ exp( x ) +

a=

2

y ln ( xi ) ⋅∑ i xi xi

 ln ( x )  ∑ x 2 ⋅ ∑ ln (xi ) − ∑ x i  i   i 1

ln ( xi ) xi

2

2

b + x; x 1

1

i

i

∑ [yi − xi ]⋅ exp(xi )⋅ ∑ x 2 − ∑ [yi − xi ]⋅ x ⋅ ∑  exp( x )  ∑ exp (xi )⋅ ∑ 2 − ∑ x i  xi  i  2

- 40 -

1

2

exp( xi ) xi

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

1

b=

∑ exp 2 (xi )⋅ ∑ [yi − xi ]⋅ x − ∑ i

 exp( x )  ∑ exp (xi )⋅ ∑ x 2 − ∑ x i  i   i 1

2

•

exp( xi ) ⋅ ∑ [ yi − xi ]⋅ exp( xi ) xi 2

Cazul funcţiilor neliniare în necunoscutele a şi b

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x )) : Liniarizarea acestei funcţii se face aplicând ambilor membri ai egalităţii funcţia inversă ϕ −1 (⋅) :

ϕ −1 ( y ( x )) = a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) făcând notaţiile: Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x )) − h(x ) Yi = ϕ −1 ( yi ) − h( xi ) se obţine modelul liniar:

Y (x ) = a ⋅ f (x ) + b ⋅ g (x ) având soluţiile discutate deja mai sus: Yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∑ a= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ b= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x )) + h( x ) Liniarizarea acestei funcţii se face parcurgând următorul algoritm: Făcând notaţiile: - 41 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x ) − h( x )) Yi = ϕ −1 ( yi − h( xi )) se obţine modelul liniar:

Y (x ) = a ⋅ f (x ) + b ⋅ g (x ) având soluţiile: Yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∑ a= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ b= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ) ⋅ f (x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) Făcând notaţiile:

A = ϕ (a ) Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) Yi = yi − h( xi ) se obţine modelul liniar:

Y (x ) = A ⋅ f (x ) + b ⋅ g (x ) ale cărui soluţii sunt: A=

∑ Yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

a = ϕ −1 ( A )

- 42 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

b=

∑ f 2 (xi )⋅ ∑Yi ⋅ g (xi ) − ∑ f (xi )⋅ g (xi )⋅ ∑ Yi ⋅ f (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + ψ (b ) ⋅ g ( x ) + h( x ) Observăm în acest model existenţa celor două funcţii ϕ (⋅) şi ψ (⋅) . În vederea liniarizării sale se fac notaţiile:

A = ϕ (a ) B = ψ (b ) Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) Yi = yi − h( xi ) obţinându-se modelul liniar

Y ( x ) = A ⋅ f ( x ) + B ⋅ g (x ) ale cărui soluţii sunt: Yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∑ A= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ B= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] de unde rezultă: a = ϕ −1 ( A ) b = ψ −1 (B )

- 43 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Funcţia neliniară y ( x ) = ξ (ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + ψ (b ) ⋅ g ( x )) + h( x ) Observăm în acest model existenţa celor trei funcţii ϕ (⋅) , ψ (⋅) şi ξ (⋅) . În vederea liniarizării sale se fac notaţiile:

A = ϕ (a ) B = ψ (b ) Y ( x ) = ξ −1 ( y ( x ) − h( x )) Yi = ξ −1 ( yi − h( xi )) obţinându-se modelul liniar:

Y ( x ) = A ⋅ f ( x ) + B ⋅ g (x ) ale cărui soluţii sunt: A=

∑ Yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

B=

∑ f 2 (xi )⋅ ∑ Yi ⋅ g (xi ) − ∑ f (xi )⋅ g (xi )⋅ ∑Yi ⋅ f (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

de unde rezultă: a = ϕ −1 ( A ) b = ψ −1 (B ) Până acum s-au discutat exclusiv modele construite pe baza unor sume de funcţii. În continuare vom analiza patru modele care vor conţine şi produse de funcţii.

- 44 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Funcţia neliniară y( x ) = a ⋅ b g ( x ) + h( x ) Liniarizarea acestei funcţii şi obţinerea celor mai probabile valori ale parametrilor a şi b presupun efectuarea următoarelor calcule în ordinea indicată:

ln( y ( x ) − h( x )) = ln(a ) + ln(b ) ⋅ g ( x )

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) Yi = ln ( yi − h( xi ))

A = ln(a ) B = ln(b ) Y (x ) = A + B ⋅ g (x )

∑ Y ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ g (x ) N ⋅ ∑ g ( x ) − [∑ g ( x )] 2

A=

i

i

i

i

i

B=

i

2

2

i

N ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi N ⋅ ∑ g 2 ( xi ) −

[∑ g (x )]

2

i

a = exp( A) b = exp( A) Funcţia neliniară y ( x ) = a ⋅ g b ( x ) + h( x ) Liniarizarea acestei funcţii şi obţinerea celor mai probabile valori ale parametrilor a şi b presupun efectuarea următoarelor calcule în ordinea indicată:

ln( y ( x ) − h( x )) = ln(a ) + b ⋅ ln( g ( x ))

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) Yi = ln ( yi − h( xi )) - 45 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

A = ln(a ) G ( x ) = ln( g ( x )) Y (x ) = A + b ⋅ G(x )

∑ Y ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ g (x ) A= N ⋅ ∑ g ( x ) − [∑ g ( x )] 2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

a = exp( A) b=

N ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi N ⋅ ∑ g 2 ( xi ) −

[∑ g (x )]

2

i

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) ⋅ b ⋅ g ( x ) + h( x ) 1) Un prim algoritm, „precis”, de liniarizarea acestei funcţii şi obţinerea celor mai probabile valori ale parametrilor a şi b constă în efectuarea următoarelor calcule în ordinea indicată:

ln( y ( x ) − h( x )) − ln(g ( x )) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + ln(b )

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) − ln( g ( x )) Yi = ln ( yi − h( xi )) − ln ( g ( xi ))

B = ln(b ) Y ( x ) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + B Deoarece această ultimă funcţie este la rândul său neliniară şi nu suportă o liniarizare analitică, continuarea algoritmului se face, în general, apelând la metode numerice bazate pe dezvoltare în serie Taylor aşa cum vor fi ele descrise în următorul capitol. 2) Un al doilea algoritm, „aproximativ”, presupune alegerea unei valori acceptabile (cunoscute) b* pentru parametrul b şi avem:

( )

ln ( y ( x ) − h( x )) − ln ( g ( x )) = ln (ϕ (a ⋅ f ( x ))) + ln b * - 46 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

( )

Y ( x ) = ln ( y ( x ) − h( x )) − ln ( g ( x )) − ln b * Yi = ln ( yi − h( x )) − ln( g ( xi )) − ln (b* )

Y ( x ) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) exp(Y ( x )) = ϕ (a ⋅ f ( x ))

ϕ −1 (exp(Y ( x ))) = a ⋅ f ( x ) a=

1 ⋅ ∑ϕ −1 (exp(Yi )) ⋅ f ( xi ) 2 ∑ f (xi )

Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) ⋅ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ) Liniarizarea acestei funcţii şi obţinerea celor mai probabile valori ale parametrilor a şi b presupun efectuarea următoarelor calcul în ordinea indicată:

ln( y ( x ) − h( x )) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + ln(ψ (b ⋅ g ( x )))

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) Yi = ln ( yi − h( xi ))

Y ( x ) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + ln(ψ (b ⋅ g ( x ))) Şi de această dată s-a obţinut o ultimă funcţie neliniară ce nu suportă o liniarizare analitică, continuarea algoritmului făcându-se apelând la metode numerice bazate pe dezvoltare în serie Taylor aşa cum vor fi ele descrise în capitolul următor. Exemple de funcţii neliniare în necunoscutele a şi b, algoritmii de liniarizare şi soluţiile asociate: y (x ) =

1 a⋅x +b 1 = a⋅x+b y(x ) - 47 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

a=

x 1 N ⋅ ∑ i − ∑ xi ⋅ ∑ yi yi N ⋅ ∑ xi2 −

[∑ xi ]2 x

1

b=

y (x ) =

∑ xi2 ⋅ ∑ y − ∑ xi ⋅ ∑ yi N ⋅∑

i xi2 −

i

2

[∑ xi ]

x a +b⋅ x 1 a = +b y(x ) x N ⋅∑ a=

1 1 1 − ∑ ⋅∑ xi ⋅ yi xi yi

 1 N ⋅∑ − ∑  xi2  xi  1

b=

1

1

1

i

i

i

1 i ⋅ yi

∑ x2 ⋅ ∑ y − ∑ x ⋅ ∑ x  1 N ⋅∑ − ∑  xi2  xi  1

y(x ) =

2

2

1 a ⋅ ln ( x ) + b 1 = a ⋅ ln( x ) + b y(x ) N ⋅∑ a=

ln ( xi ) 1 − ∑ ln ( xi ) ⋅ ∑ yi yi

N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) −

[∑ ln(xi )]2 - 48 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

x

1

∑ ln 2 (xi )⋅ ∑ y − ∑ ln(xi )⋅ ∑ yi i

b=

y(x ) =

i

2

N ⋅ ∑ ln ( xi ) −

2

[∑ ln(xi )]

x a ⋅ x2 + b 1 b = a⋅x+ y(x ) x x

a=

1

1 i ⋅ yi

∑ yi ⋅ ∑ x 2 − N ⋅ ∑ x i

i

1

∑ xi2 ⋅ ∑ x 2 − N 2 i

b=

x 1 − N ⋅∑ i yi i ⋅ yi 1 ∑ xi2 ⋅ ∑ x 2 − N 2 i

∑ xi2 ⋅ ∑ x

y ( x ) = b ⋅ ln(a ⋅ x ) y ( x ) = b ⋅ ln(a ) + b ⋅ ln( x ) A = b ⋅ ln(a ) y ( x ) = A + b ⋅ ln( x ) A=

b=

∑ ln 2 (xi )⋅ ∑ yi − ∑ ln(xi )⋅ ∑ ln(xi )⋅ yi 2 N ⋅ ∑ ln 2 (xi ) − [∑ ln ( xi )] N ⋅ ∑ ln ( xi ) ⋅ yi − ∑ ln (xi ) ⋅ ∑ yi N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) −

[∑ ln(xi )]2

- 49 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

 A a = exp  b y ( x ) = a − [x − b]2 y 2 ( x ) = a − [x − b]2 Y (x ) = y 2 (x ) + x 2 Yi = yi2 + xi2 A = a − b2 B = 2b

Y (x ) = A + B ⋅ x B=

N ⋅ ∑ xi ⋅ Yi − ∑ xi ⋅ ∑ Yi N ⋅ ∑ xi2 −

[∑ x ]

2

;

i

∑ x ⋅ ∑Y − ∑ x ⋅ ∑ x ⋅ Y A= N ⋅ ∑ x − [∑ x ] 2 i

i

i

2 i

a = A+ b=

i

i

2

i

B2 4

B 2

Fără a mai continua aceste demers, subliniem faptul că algoritmii MCMMP şi exemple adecvate se pot dezvolta în mod similar şi în cazul a trei sau mai mulţi parametri necunoscuţi a, b, c,... , atât în cazul funcţiilor liniare cât şi pentru funcţii neliniare în aceste necunoscute. Listăm în continuare alte câteva exemple de funcţii particulare neliniare şi algoritmi de liniarizare, determinarea celor mai probabile valori ale parametrilor în cauză presupunând aplicarea imediată a unor formule de calcul stabilite deja anterior: - 50 -

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

Funcţii neliniare cu doi parametri a şi b y = a ⋅ xb

ln( y ) = ln(a ) + b ⋅ ln( x )  ∑ ln( yi ) ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) − ∑ ln( yi ) ⋅ ln( xi ) ⋅ ∑ ln( xi )   a = exp 2 2   N ⋅ ∑ ln ( xi ) − ∑ ln( xi )  

[

b=

]

N ⋅ ∑ ln ( yi ) ⋅ ln ( xi ) − ∑ ln ( xi ) ⋅ ∑ ln( yi ) N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) −

[∑ ln(x )]

2

i

y = a ⋅ ln b ( x )

ln( y ) = ln(a ) + b ⋅ ln(ln( x ))  ∑ ln ( yi ) ⋅ ∑ ln 2 (ln (xi )) − ∑ ln ( yi ) ⋅ ln (ln (xi )) ⋅ ∑ ln (ln (xi ))   a = exp 2 2   N ⋅ ∑ ln (ln ( xi )) − ∑ ln (ln ( xi ))  

[

b=

]

N ⋅ ∑ ln ( yi ) ⋅ ln (ln ( xi )) − ∑ ln (ln ( xi )) ⋅ ∑ yi N ⋅ ∑ ln 2 (ln ( xi )) −

[∑ ln(ln(x ))]

2

i

b y = a ⋅ exp   x ln ( y ) = ln (a ) +

b x

 1 1 1  ln ( y ) ⋅ − ∑ ln ( yi ) ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ i 2  xi xi xi a = exp 2 1  1  N ⋅ − ∑  ∑  xi2  xi  

- 51 -

      

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

N ⋅ ∑ ln ( yi ) ⋅ b=

1 1 − ∑ ⋅ ∑ ln ( yi ) xi xi

1  1 N ⋅ ∑ 2 − ∑  xi  xi 

2

y = a ⋅ bx

ln( y ) = ln(a ) + x ⋅ ln(b )  ∑ ln( yi ) ⋅ ∑ xi2 − ∑ ln( yi ) ⋅ xi ⋅ ∑ xi a = exp 2  N ⋅ ∑ xi2 − ∑ xi 

[

]

   

 N ⋅ ∑ ln( yi ) ⋅ xi − ∑ xi ⋅ ∑ ln( yi )   b = exp 2 2   N ⋅ ∑ xi − ∑ xi  

[

y = a ⋅b

]

1 x

ln ( y ) = ln (a ) +

ln (b ) x

 1 1 1  ln ( y ) ⋅ − ∑ ln ( yi ) ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ i 2  xi xi xi a = exp 2  1  1 N ⋅ ∑ 2 − ∑   xi  xi     1  N ⋅ ln ( y ) ⋅ 1 − ⋅ ∑ ln ( yi )  ∑ ∑ i   xi xi b = exp  2   1  1 N ⋅ ∑ 2 − ∑    xi  xi    y = a ⋅ x b⋅ x

ln( y ) = ln(a ) + b ⋅ x ⋅ ln( x ) - 52 -

      

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

 ∑ ln ( yi ) ⋅ ∑ xi2 ln 2 (xi ) − ∑ ln ( yi ) ⋅ xi ln( xi ) ⋅ ∑ xi ln( xi )   a = exp 2 2 2   N ⋅ ∑ xi ln ( xi ) − ∑ xi ln (xi )  

[

]

 N ⋅ ∑ ln( yi ) ⋅ xi ln( xi ) − ∑ xi ln( xi ) ⋅ ln ∑ ( yi )   b = exp 2 2 2   N ⋅ x ln ( x ) − x ln ( x ) ∑i ∑i i i  

[

]

b y = a⋅x x

ln ( x ) x

ln ( y ) = ln (a ) + b ⋅

2    ln ( y ) ⋅ ln ( xi ) − ln ( y ) ⋅ ln ( xi ) ⋅ ln ( xi )  ∑ x2 ∑ i x ∑ x  i ∑ i i i a = exp  2 2   ln ( xi )  ln ( xi )  N ⋅∑ − ∑    2 xi xi    

N ⋅ ∑ ln ( yi ) ⋅ b=

ln ( xi ) ln( xi ) −∑ ⋅ ∑ ln ( yi ) xi xi

ln 2 ( xi )  ln( xi )  N ⋅∑ − ∑ xi3 xi  

2

y = a ⋅ x ⋅ exp(b ⋅ x )  y ln  = ln (a ) + b ⋅ x x  y  ∑ ln i x   i a = exp   

 y   ⋅ ∑ xi2 − ∑ ln i  ⋅ xi ⋅ ∑ xi   xi  2 2 N ⋅ ∑ xi − ∑ xi

[

- 53 -

]

      

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

y  y  N ⋅ ∑ ln i  ⋅ xi − ∑ xi ⋅ ∑ ln i   xi   xi  b= 2 2 N ⋅ ∑ xi − ∑ xi

[

y=

]

a ⋅ exp(b ⋅ x ) x

ln( y ⋅ x ) = ln(a ) + b ⋅ x  ∑ ln ( yi ⋅ xi ) ⋅ ∑ xi2 − ∑ ln( yi ⋅ xi ) ⋅ xi ⋅ ∑ xi a = exp 2  N ⋅ ∑ xi2 − ∑ xi 

[

b=

]

   

N ⋅ ∑ ln ( yi ⋅ xi ) ⋅ xi − ∑ xi ⋅ ∑ ln( yi ⋅ xi ) N ⋅ ∑ xi2 −

[∑ x ]

2

i

b a ⋅ exp   x y= x ln ( y ⋅ x ) = ln (a ) +

b x

 1 1 1  ln ( y ⋅ x ) ⋅ − ∑ ln ( yi ⋅ xi ) ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ i i 2  xi xi xi a = exp 2  1  1 N ⋅ ∑ 2 − ∑   xi  xi   N ⋅ ∑ ln ( yi ⋅ xi ) ⋅ b=

1 1 − ∑ ⋅ ∑ ln ( yi ⋅ xi ) xi xi

1  1 N ⋅ ∑ 2 − ∑  xi  xi 

- 54 -

2

      

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

y = a ⋅ x b ⋅ ln ( x )  y   = ln (a ) + b ⋅ ln ( x ) ln  ln ( x )         ∑ ln yi  ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) − ∑ ln yi  ⋅ ln (xi ) ⋅ ∑ ln (xi )   ln ( x )   ln (x )    i  i    a = exp  2 2 N ⋅ ∑ ln ( xi ) − ∑ ln (xi )      

[

]

 y   y  N ⋅ ∑ ln i  ⋅ ln ( xi ) − ∑ ln( xi ) ⋅ ∑ ln i   ln( xi )   ln ( xi )  b= 2 N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) − ∑ ln( xi )

[

y = ax

]

b

ln(ln( y )) = b ⋅ ln( x ) + ln(ln(a ))   ∑ ln (ln ( yi )) ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) − ∑ ln (ln ( yi )) ⋅ ln ( xi ) ⋅ ∑ ln (xi )    a = exp exp 2 2    ⋅ − N ln ( x ) ln ( x ) ∑ i ∑ i   

[

b=

]

N ⋅ ∑ ln (ln ( yi )) ⋅ ln ( xi ) − ∑ ln ( xi ) ⋅ ∑ ln (ln ( yi )) N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) −

[∑ ln(x )]

2

i

Funcţii neliniare cu trei parametri a, b şi c 1

→

1 x = a +b⋅ x + y c

y = a ⋅ b x ⋅ xc

→

ln( y ) = ln(a ) + x ⋅ ln(b ) + c ⋅ ln(x )

1 y = a ⋅b x

→

ln ( y ) = ln (a ) +

y=

a + b⋅ x +

⋅ xc

c x

- 55 -

ln (b ) + c ⋅ ln ( x ) x

MCMMP – MODELE GENERALIZATE

 [x − b ]2   → y = a ⋅ exp  c   

ln( y ) = ln(a ) +

 [ln ( x ) − b ]2  → y = a ⋅ exp   c  

ln( y ) = ln(a ) +

c

[ln(x ) − b]2 c

→

1 = a ⋅ [x + b ]2 + c y

y = a ⋅ x b ⋅ [1 − x ]c

→

ln( y ) = ln(a ) + b ⋅ ln( x ) + c ⋅ ln(1 − x )

y = a − b ⋅ [x − c ]2

→

y 2 = a − b ⋅ [x − c ]2

→

ln ( y ) = ln (a ) + b ⋅ x ⋅ ln ( x ) + c ⋅ x 2 ⋅ ln (x )

y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ x →

)

ln ( y ) = ln (a ) + b ⋅ x + c ⋅ x

b  y = a ⋅ exp + c ⋅ x  x 

→

ln ( y ) = ln (a ) +

y=

1

(x − b )2

2

a ⋅ [x + b] + c

y = a ⋅ x b⋅ x + c⋅ x

2

(

b +c⋅x x

b b   y = exp a + + c ⋅ ln ( x ) → ln ( y ) = a + + c ⋅ ln ( x ) x x   Facem precizarea că, în cazul ultimelor funcţii cu trei parametri necunoscuţi, după liniarizare se construieşte suma S (a, b, c ) şi se minimizează în raport cu cei trei parametri punând condiţiile ∂S (a, b, c ) ∂a = 0 , ∂S (a, b, c ) ∂b = 0 , respectiv ∂S (a, b, c ) ∂c = 0 , Se obţine, în final, un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute ce se poate rezolva fără alte probleme.

- 56 -

MCMMP – SERII TAYLOR

5. MCMMP – SERII TAYLOR

Odată cu creşterea gradului de acurateţe a aproximării datelor experimentale cu modele analitice, acestea din urmă ajung să conţină funcţii neliniare ce nu mai pot fi liniarizate printr-o simplă transformare analitică. În acest caz valorile parametrilor necunoscuţi se pot evalua, în general numeric, utilizând alte tipuri de transformări adecvate. O astfel de metodă des utilizată se bazează pe dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei neliniare iniţiale, în puncte cunoscute, şi obţinerea unui al doilea set de ecuaţii liniare sau liniarizabile ca în următorul exemplu:

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) Alegând o valoare a * cunoscută, parametrului a se defineşte drept:

a = a* + ε a

şi funcţia ϕ (⋅) poate fi dezvoltată în seria Taylor (v. ANEXA B):

 ∂ϕ (a ⋅ f ( x ))   ⋅εa +L ∂a   a*

ϕ (a ⋅ f ( x )) = ϕ (a * ⋅ f ( x )) + 

Derivata parţială ∂ϕ (⋅) ∂a din al doilea termen din membrul drept al egalităţii de mai sus poate fi explicitată dacă se pleacă de la derivata parţială a funcţiei neliniare y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) în raport cu a , adică:

∂y ( x ) ∂ϕ (a ⋅ f ( x )) ∂ (b ⋅ g (x ) + h( x )) = + ∂a ∂a ∂a Deoarece:

∂(b ⋅ g ( x ) + h(x )) =0 ∂a rezultă: - 57 -

MCMMP – SERII TAYLOR

∂y ( x ) ∂ϕ (a ⋅ f ( x )) = ∂a ∂a iar funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) capătă forma:

 ∂ϕ (a ⋅ f ( x ))  y(x ) = ϕ a* ⋅ f (x ) +   ⋅ ε a + L + b ⋅ g ( x ) + h( x ) ∂a   a*

(

)

adică:

 ∂y (x )  y(x ) = ϕ a* ⋅ f (x ) +   ⋅ ε a + L + b ⋅ g ( x ) + h( x )  ∂a  a*

(

)

Menţinând din seria Taylor numai primii doi termeni şi făcând notaţiile:

(

)

Y ( x ) = y ( x ) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − h( x )

(

)

Yi = yi − ϕ a * ⋅ f ( xi ) − h( xi ) se obţine modelul liniar în necunoscutele ε a şi b :

 ∂y ( x )  Y (x ) =   ⋅ ε a + b ⋅ g (x )  ∂a  a* sau încă:

 ∂y (x )  F (x ) =    ∂a  a* Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + b ⋅ g (x )

şi având soluţiile:

εa = ∑

Yi ⋅ F ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ F ( xi ) ⋅ g ( xi )

∑ F (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ F (x ) ⋅ g (x )] 2

2

2

i

i

a = a* + ε a

- 58 -

i

i

MCMMP – SERII TAYLOR

∑ F (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ g ( x ) − ∑ F ( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ ∑ Y ⋅ F ( x ) b= ∑ F (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ F (x ) ⋅ g (x )] 2

i

i

2

i

i

i

i 2

2

i

i

i

i

i

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ) Alegând două valori a * şi b* cunoscute ale parametrilor a şi b , se definesc:

a = a* + ε a b = b* + ε b după care funcţiile ϕ (⋅) şi ψ (⋅) se dezvoltată în seria Taylor:

 ∂ϕ (a ⋅ f ( x ))   ⋅εa +K ∂a   a*

ϕ (a ⋅ f ( x )) = ϕ (a * ⋅ f ( x )) + 

 ∂ψ (b ⋅ g ( x ))   ⋅εb +K ∂b   b*

ψ (b ⋅ g ( x )) = ϕ (b* ⋅ g ( x )) + 

Parcurgând acelaşi algoritm ca în cazul anterior:

(

) ( ) − ϕ (a ⋅ f ( x )) − ψ (b ⋅ g ( x )) − h( x )

Y ( x ) = y ( x ) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − ψ b * ⋅ g ( x ) − h( x ) Yi = yi

*

*

i

i

i

se obţine modelul liniar în necunoscutele ε a şi ε b :

 ∂y ( x )   ∂y ( x )  Y (x ) =   ⋅εa +   ⋅εb  ∂a  a*  ∂b  b* sau, notând:

 ∂y (x )  F (x ) =    ∂a  a*  ∂y ( x )  G(x ) =    ∂b  b* - 59 -

MCMMP – SERII TAYLOR

avem ecuaţia:

Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + ε b ⋅ G (x ) soluţiile căutate fiind:

εa = ∑

Yi ⋅ F ( xi ) ⋅ ∑ G 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ G ( xi ) ⋅ ∑ F ( xi ) ⋅ G ( xi )

∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

2

2

i

i

i

i

∑ Y ⋅ F ( x ) ⋅ ∑ G (x ) − ∑ Y ⋅ G ( x ) ⋅ ∑ F ( x ) ⋅ G ( x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

εb

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

şi, în final: a = a* + ε a b = b* + ε b Funcţia neliniară y ( x ) = ξ (ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x )) Aplicând ambilor termeni ai egalităţii funcţia inversă ξ −1 (⋅) avem:

ξ −1 ( y ( x )) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ) adică se obţine cazul modelului generalizat rezolvat anterior. Prin urmare, după alegerea celor două valori a * şi b* cunoscute ale parametrilor a şi b şi dezvoltarea în serie Taylor, aplicând algoritmul de mai sus se fac notaţiile:

(

) ( ) ( y ) − ϕ (a ⋅ f (x )) −ψ (b ⋅ g (x )) − h(x )

Y ( x ) = ξ −1 ( y ( x )) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − ψ b* ⋅ g ( x ) − h( x ) Yi = ξ −1

*

i

*

i

i

i

şi se obţine modelul liniar în necunoscutele ε a şi ε b : Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + ε b ⋅ G (x ) unde: - 60 -

MCMMP – SERII TAYLOR

 ∂y (x )  F (x ) =    ∂a  a*  ∂y ( x )  G(x ) =    ∂b  b* soluţiile căutate fiind:

∑ Y ⋅ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − ∑ Y ⋅ G(x ) ⋅ ∑ F (x ) ⋅ G(x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

εa

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

∑ Y ⋅ F ( x ) ⋅ ∑ G (x ) − ∑ Y ⋅ G ( x ) ⋅ ∑ F ( x ) ⋅ G ( x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

εb

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

şi, în final: a = a* + ε a b = b* + ε b Prezentăm mai jos câteva exemple de funcţii liniarizabile prin algoritmi „aproximativi”, o listă mult mai bogată conţinând astfel de funcţii putând fi consultată în ANEXA C.

Funcţii neliniare cu doi parametri a şi b

y = a ⋅ [1 − exp(b ⋅ x )] a = a*

(

)

( )

ln a * − y − ln a * = b ⋅ x

 a * − yi  1  ⋅ xi b= ⋅ ln 2 ∑ * x a ∑i  

y = a ⋅ sin (b ⋅ x ) a = a* - 61 -

MCMMP – SERII TAYLOR

 y arcsin *  = b ⋅ x a 

b=

1 y  ⋅ arcsin  *i  ⋅ xi 2 ∑ a  ∑ xi

y = a ⋅ ln( x + b ) a = a*  y exp *  = x + b a 

b=

 y   1 ⋅ ∑ exp *i  − xi  N  a  

Funcţii neliniare cu trei parametri a, b şi c

y = a + b ⋅ exp(c ⋅ x ) a = a*

(

)

ln y − a * = ln (b ) + c ⋅ x

(

)

(

)

 ∑ ln yi − a * ⋅ ∑ xi2 − ∑ ln yi − a * ⋅ xi ⋅ ∑ xi b = exp 2  N ⋅ ∑ xi2 − ∑ xi 

[

c=

(

)

(

N ⋅ ∑ ln yi − a * ⋅ xi − ∑ xi ⋅ ∑ ln yi − a * N ⋅ ∑ xi2 −

y = a ⋅ xb + c c = c*

(

]

)

ln y − c * = ln (a ) + b ⋅ ln ( x )

- 62 -

[∑ x ]

2

i

)

   

MCMMP – SERII TAYLOR

(

)

(

) ]

 ∑ ln yi − c * ⋅ ∑ ln 2 (xi ) − ∑ ln yi − c * ⋅ ln ( xi ) ⋅ ∑ ln ( xi )   a = exp 2 2   ( ) ( ) N ln x ln x ⋅ − ∑ i ∑ i  

[

b=

(

)

(

N ⋅ ∑ ln yi − c * ⋅ ln ( xi ) − ∑ ln ( xi ) ⋅ ∑ ln yi − c * N ⋅ ∑ ln 2 ( xi ) −

)

[∑ ln(x )]

2

i

y = a ⋅ exp(b ⋅ exp(c ⋅ x )) a = a*   y  ln ln *   = ln (b ) + c ⋅ x   a     y  y   ∑ ln ln *i   ⋅ ∑ xi2 − ∑ ln ln *i   ⋅ xi ⋅ ∑ xi    a    a  b = exp 2 2 N ⋅ ∑ xi − ∑ xi   

[

]

      

  y    y  N ⋅ ∑ ln ln *i   ⋅ xi − ∑ xi ⋅ ∑ ln ln *i     a    a  c= 2 2 N ⋅ ∑ xi − ∑ xi

[

]

Deşi pe parcursul acestui capitol nu s-a menţionat în mod explicit, este evident faptul că setul de măsurători {( xi , yi ), i = 1,2,..., N } va trebui să satisfacă cerinţelor domeniului de definiţie, respectiv ale codomeniului pentru fiecare funcţie elementară ce intră în construcţia modelelor de aproximare (v.[11). Încheiem prezentul capitol reamintind faptul că MCMMP se aplică de o manieră asemănătoare şi pentru modelelor generalizate y = f ( x, z , a, b, c,...) cu 2 variabile independente x şi z (regresie multiplă). Din motive obiective lesne de înţeles nu abordăm aici şi aceste situaţii, noi rezumându-se la a indica în ANEXA C câteva astfel de funcţii ce se folosesc, de obicei, în caracterizarea analitică a modelelor spaţiale. - 63 -

MCMMP – SERII TAYLOR

Evident, în aceste cazuri vom avea ca date de intrare seturi de măsurători se tipul {( xi , yi , zi ) | xi , yi , zi ∈ R; i = 1,2,K, N } , adică un set de N triplete

(xi , yi , zi )

reprezentând coordonatele unui număr N de puncte plasate întrun sistem cartezian 3D. În Fig.4 se prezintă un caz de aproximare a datelor experimentale cu modelul α (x, T ) = α x (x ) ⋅ α T (T ) = exp Aα + 

Bα  D  + Cα ⋅ ln x  ⋅ exp α + Eα ⋅ ln T  x   T 

tridimensional (v.[15]):

a)

b)

Fig.4 - Modelare tridimensională cu MCMMP a) date experimentale b) model teoretic

- 64 -

CONCLUZII

CONCLUZII

Un model matematic poate fi construit chiar şi numai pe baza unor concepte abstracte. Totuşi, dacă modelul este destinat explicării unui fenomen real, atunci sunt necesare observaţii şi/sau măsurători (date numerice) din lumea reală destinate „confruntării” cu modelul teoretic. Interacţiunea dintre aceste date şi modelul testat se poate realiza în trei moduri (v.[12]):

•

Datele sunt necesare pentru a sugera un model adecvat. Modelul, numit şi empiric, se bazează exclusiv pe date.

•

Datele sunt necesare pentru a estima valorile parametrilor ce apar în model. Această situaţie se mai numeşte şi calibrarea modelului.

•

Datele sunt necesare testării modelului.

Se întâmplă adesea ca datele iniţiale să nu fie suficiente pentru a construi un model bun, caz în care vor fi necesare date suplimentare. Se pune problema (v.[12]):

•

Ce înseamnă date relevante? Mai exact, ce tip de date sunt necesare?

•

Cum se pot obţine date relevante?

•

Sub ce formă trebuie să fie datele necesare?

Odată culese aceste date, trebuie decise tehnicile ce trebuie folosite pentru a găsi un model adecvat. Avem două grupe majore de tehnici:

•

Interpolarea – determinarea unei funcţii care trece prin toate punctele definite de măsurători. Această funcţie se numeşte şi curbă de interpolare.

•

Regresia – determinarea unei funcţii care să fie cât mai aproape posibil de toate punctele definite de măsurători. Această funcţie se numeşte şi curbă de regresie. - 65 -

CONCLUZII

Uneori s-ar putea să fie necesară o combinaţie a celor două metode, mai ales atunci când curba de interpolare este prea complicată, iar cea mai bună curbă de regresie nu oferă o acurateţe suficientă. După cum pot exista şi situaţii în care este mai bine ca, în loc să se folosească o singură funcţie, modelarea datelor să se facă cu ajutorul unor funcţii definite pe porţiuni (v.[11]) Se cunosc numeroase produse software (Microsoft Office Excel, Matlab, Wolfram Mathematica®, Origin, LabFit, CurveExpert etc.) ce permit evaluarea celor mai probabile valori ale parametrilor unei curbe de regresie, respectiv a Coeficientului de determinare aferent. Majoritatea acestor instrumente de prelucrare abordează în primul rând modele precum:

•

Modelul liniar y = a ⋅ x + b . Datele sunt „liniare” dacă intervalelor echidistante xi +1 − xi = const. ale variabilei independente le corespund intervale echidistante yi +1 − yi = const. ale variabilei dependente.

•

Modelul pătratic y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c . Datele sunt „pătratice” dacă prezintă un minim sau un maxim şi, în plus, valorilor echidistante xi +1 − xi = const. ale variabilei independente le corespund valori echidistante [ yi + 2 − yi +1 ] − [ yi +1 − yi ] = const. intervale [ yk +1 − yk ] consecutive.

ale diferenţelor dintre

•

Modelul cubic y = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d . Datele sunt „cubice” dacă prezintă un minim şi un maxim.

•

Modelul quadratic y = a ⋅ x 4 + b ⋅ x 3 + c ⋅ x 2 + d ⋅ x + e . Datele sunt „quadratice” dacă prezintă două minime şi un maxim, sau două maxime şi un minim.

•

Modelul exponenţial y = a ⋅ b x şi y = a ⋅ e k ⋅ x . Datele sunt „exponenţiale” dacă prezintă un gradient procentual constant de variaţie. Dacă k > 0 atunci funcţia este crescătoare şi dacă k < 0 funcţia este descrescătoare.

•

Modelul logaritmic y = a + b ⋅ ln( x ) . Dacă b > 0 , atunci funcţia este crescătoare. Dacă b < 0 , atunci funcţia este descrescătoare. Datele sunt „logaritmice” dacă prezintă o creştere la început rapidă şi apoi din ce în ce mai lentă. - 66 -

CONCLUZII

•

c . Dacă b > 0 funcţia este crescătoare. 1 + a ⋅ e − b⋅ x Pentru cazul b > 0 , datele sunt „logistice” dacă prezintă o creştere la început lentă, apoi accelerată şi apoi din nou din ce în ce mai lentă. Modelul logistic y =

•

Modelul putere y = a ⋅ x b . Dacă a > 0 funcţia este crescătoare pentru b > 0 , respectiv descrescătoare pentru b < 0 . Pentru cazul b > 0 , datele sunt de tip „putere” dacă o creştere a variabilei independente x cu un factor t conduce la o creştere a variabilei dependente y cu factorul t b . Funcţia putere crescătoare nu creşte la fel de rapid ca funcţia exponenţială crescătoare.

•

Modelul sinusoidal y = a ⋅ sin (b ⋅ x + c ) + d . Este adecvat datelor ce prezintă o oarecare periodicitate. Desigur, a este amplitudinea, b este perioada, c este faza (deplasarea pe orizontală) şi d este deplasarea pe verticală.

Fiind gândită să vină în întâmpinarea celor care, având cunoştinţe despre mecanismele MCMMP, doresc să-şi elaboreze propriile programe de analiză de regresie standard de predicţie, prezenta carte rezolvă şi oferă cititorului o colecţie de modele generale aplicabile în prelucrarea şi interpretarea datelor experimentale. Deşi demonstraţiile noastre s-au restrâns la doar doi parametri necunoscuţi a şi b , algoritmii calcul prezentaţi pot fi aplicaţi cu uşurinţa şi funcţiilor cu 3, 4, 5, ..., parametri. La fel, MCMMP se aplică în mod similar şi modelelor (funcţiilor) cu două (sau mai multe) variabile independente x, z ,... (v. ANEXA C). Adoptând o manieră de creştere graduală a dificultăţii de calcul, pe parcursul lucrării au fost abordate următoarele modele generalizate (însoţite de exemple adecvate):

•

Funcţii cu un singur parametru necunoscut a

Funcţia constantă y ( x ) = a a=

1 N ⋅ ∑ yi N i =1

- 67 -

CONCLUZII

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x )

a=

1

∑

f 2 ( xi )

⋅ ∑ yi ⋅ f ( xi )

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + g (x)

a=

1

∑

f 2 ( xi )

⋅ ∑ [ yi − g ( xi )]⋅ f (xi )

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + g (x) )

a=

∑

1 ⋅ ∑ ϕ −1 ( yi ) − g ( xi ) ⋅ f ( xi ) f 2 ( xi )

[

]

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + g (x)

a=

∑

1 ⋅ ∑ ϕ −1 ( y i − g ( xi )) ⋅ f ( xi ) f 2 ( xi )

Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + g (x)   1  [ ( ) ] ( ) a = ϕ −1  ⋅ y − g x ⋅ f x ∑ i i i  2  ( ) f x i ∑ 

Funcţia neliniară y ( x ) = ln(ϕ (a ) ⋅ f ( x )) a) Liniarizarea prin exponenţiere:   1 a = ϕ −1  ⋅ ∑ exp( yi ) ⋅ f ( xi ) 2    ∑ f ( xi )  a) Liniarizarea prin logaritmare:  1  a = ϕ −1  exp ⋅ ∑ [ yi − ln ( f (xi ))]  N  

- 68 -

CONCLUZII

•

Funcţii cu doi parametri necunoscuţi a şi b

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x )

∑ y ⋅ f ( x ) ⋅ ∑ g ( x ) − ∑ y ⋅ g ( x ) ⋅ ∑ f ( x ) ⋅ g (x ) a= ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

i

i

i

2

i

i

i 2

2

i

i

i

i

i

∑ f (x ) ⋅ ∑ y ⋅ g (x ) − ∑ f (x ) ⋅ g (x ) ⋅ ∑ y ⋅ f (x ) ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

b=

i

i

i

2

i

i

i 2

2

i

i

i

i

i

Funcţia liniară y ( x ) = a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x )

Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) Yi = yi − h( xi )

∑ Y ⋅ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ f (x ) ⋅ g (x ) ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

a=

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

∑ f (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ g (x ) − ∑ f (x ) ⋅ g (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ f (x ) b= ∑ f (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ f (x ) ⋅ g (x )] 2

i

i

2

i

i

i

i 2

2

i

i

i

i

i

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x )) : Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x )) − h(x ) Yi = ϕ −1 ( yi ) − h( xi ) Yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∑ a= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ b= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

- 69 -

CONCLUZII

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x ) + b ⋅ g ( x )) + h( x ) Y ( x ) = ϕ −1 ( y ( x ) − h( x )) Yi = ϕ −1 ( yi − h( xi )) a=

∑ Yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ b= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ) ⋅ f (x ) + b ⋅ g ( x ) + h( x )

A = ϕ (a ) Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) Yi = yi − h( xi ) Yi ⋅ f ( xi ) ⋅ ∑ g 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ∑ A= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] a = ϕ −1 ( A ) f 2 ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ f ( xi ) ⋅ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi ⋅ f ( xi ) ∑ b= 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )] Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + ψ (b ) ⋅ g ( x ) + h( x )

A = ϕ (a ) B = ψ (b ) Y ( x ) = y ( x ) − h( x ) - 70 -

CONCLUZII

Yi = yi − h( xi ) A=

∑ Yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

B=

∑ f 2 (xi )⋅ ∑ Yi ⋅ g (xi ) − ∑ f (xi )⋅ g (xi )⋅ ∑Yi ⋅ f (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

a = ϕ −1 ( A ) b = ψ −1 (B ) Funcţia neliniară y ( x ) = ξ (ϕ (a ) ⋅ f ( x ) + ψ (b ) ⋅ g ( x )) + h( x )

A = ϕ (a ) B = ψ (b ) Y ( x ) = ξ −1 ( y ( x ) − h( x )) Yi = ξ −1 ( yi − h( xi )) A=

∑ Yi ⋅ f (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ g (xi )⋅ ∑ f (xi )⋅ g (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

B=

∑ f 2 (xi )⋅ ∑ Yi ⋅ g (xi ) − ∑ f (xi )⋅ g (xi )⋅ ∑Yi ⋅ f (xi ) 2 ∑ f 2 (xi )⋅ ∑ g 2 (xi ) − [∑ f (xi )⋅ g (xi )]

a = ϕ −1 ( A ) b = ψ −1 (B ) Funcţia neliniară y( x ) = a ⋅ b g ( x ) + h( x )

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) - 71 -

CONCLUZII

Yi = ln ( yi − h( xi ))

A = ln(a ) B = ln(b ) Y (x ) = A + B ⋅ g (x )

∑ Y ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ g (x ) A= N ⋅ ∑ g ( x ) − [∑ g ( x )] 2

i

i

i

i

i

2

2

i

B=

i

N ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi N ⋅ ∑ g 2 ( xi ) −

[∑ g (x )]

2

i

a = exp( A) b = exp( A) Funcţia neliniară y ( x ) = a ⋅ g b ( x ) + h( x )

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) Yi = ln ( yi − h( xi ))

A = ln(a ) G ( x ) = ln( g ( x )) Y (x ) = A + b ⋅ G(x )

∑ Y ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ g (x ) N ⋅ ∑ g ( x ) − [∑ g ( x )] 2

A=

i

i

i

i

i

2

2

i

i

a = exp( A) b=

N ⋅ ∑ Yi ⋅ g ( xi ) − ∑ g ( xi ) ⋅ ∑ Yi N ⋅ ∑ g 2 ( xi ) −

[∑ g (x )]

2

i

- 72 -

CONCLUZII

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) ⋅ b ⋅ g ( x ) + h( x ) 1) Un algoritm, „precis”:

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) − ln( g ( x )) Yi = ln ( yi − h( xi )) − ln ( g ( xi ))

B = ln(b ) Y ( x ) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + B a = a* + ε a urmează dezvoltarea în serii Taylor şi determinarea necunoscutelor ε a şi B 2) Un algoritm, „aproximativ”:

b = b*

( )

Y ( x ) = ln ( y ( x ) − h( x )) − ln ( g ( x )) − ln b *

( )

Yi = ln ( yi − h( x )) − ln( g ( xi )) − ln b*

ϕ −1 (exp(Y ( x ))) = a ⋅ f ( x ) a=

∑

1 ⋅ ∑ ϕ −1 (exp(Yi )) ⋅ f ( xi ) 2 f ( xi )

Funcţia neliniară y( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) ⋅ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x )

Y ( x ) = ln( y ( x ) − h( x )) Yi = ln ( yi − h( xi ))

Y ( x ) = ln(ϕ (a ⋅ f ( x ))) + ln(ψ (b ⋅ g ( x ))) a = a* + ε a - 73 -

CONCLUZII

b = b* + ε b urmează dezvoltarea în serii Taylor şi determinarea necunoscutelor ε a şi ε b

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + b ⋅ g ( x ) + h( x ) a = a* + ε a

 ∂y ( x )  y(x ) = ϕ a* ⋅ f (x ) +   ⋅ ε a + b ⋅ g ( x ) + h( x )  ∂a  a*

(

)

(

)

Y ( x ) = y ( x ) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − h( x )

(

)

Yi = yi − ϕ a * ⋅ f ( xi ) − h( xi )

 ∂y ( x )  F (x ) =    ∂a  a* Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + b ⋅ g (x )

∑ Y ⋅ F (x ) ⋅ ∑ g (x ) − ∑ Y ⋅ g (x ) ⋅ ∑ F (x ) ⋅ g (x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ F (x ) ⋅ g (x )] 2

εa

i

i

i

i

2

i

i

i

2

2

i

i

i

i

a = a* + ε a

∑ F (x ) ⋅ ∑ Y ⋅ g ( x ) − ∑ F ( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ ∑ Y ⋅ F ( x ) b= ∑ F (x ) ⋅ ∑ g (x ) − [∑ F (x ) ⋅ g (x )] 2

i

i

2

i

i

i

i 2

2

i

i

i

i

Funcţia neliniară y ( x ) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ) a = a* + ε a b = b* + ε b

 ∂ϕ (a ⋅ f ( x ))   ⋅εa +K ∂a   a*

ϕ (a ⋅ f ( x )) = ϕ (a * ⋅ f ( x )) + 

- 74 -

i

CONCLUZII

 ∂ψ (b ⋅ g ( x ))   ⋅εb +K ∂b   b*

ψ (b ⋅ g ( x )) = ϕ (b* ⋅ g ( x )) + 

(

) ( ) − ϕ (a ⋅ f ( x )) − ψ (b ⋅ g ( x )) − h( x )

Y ( x ) = y ( x ) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − ψ b * ⋅ g ( x ) − h( x ) Yi = yi

*

*

i

i

i

 ∂y ( x )   ∂y ( x )  Y (x ) =   ⋅εa +   ⋅εb  ∂a  a*  ∂b  b*  ∂y (x )  F (x ) =    ∂a  a*  ∂y ( x )  G(x ) =    ∂b  b* Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + ε b ⋅ G (x )

∑ Y ⋅ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − ∑ Y ⋅ G(x ) ⋅ ∑ F (x ) ⋅ G(x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

εa

i

i

i

2

i

i

εb = ∑

i

i

i

2

2

i

i

i

Yi ⋅ F ( xi ) ⋅ ∑ G 2 (xi ) − ∑ Yi ⋅ G ( xi ) ⋅ ∑ F ( xi ) ⋅ G ( xi )

∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

2

2

i

i

i

i

a = a* + ε a b = b* + ε b Funcţia neliniară y ( x ) = ξ (ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ))

ξ −1 ( y ( x )) = ϕ (a ⋅ f ( x )) + ψ (b ⋅ g ( x )) + h( x ) a = a* + ε a b = b* + ε b

- 75 -

CONCLUZII

(

) ( ) ( y ) − ϕ (a ⋅ f (x )) −ψ (b ⋅ g (x )) − h(x )

Y ( x ) = ξ −1 ( y ( x )) − ϕ a * ⋅ f ( x ) − ψ b* ⋅ g ( x ) − h( x ) Yi = ξ −1

*

*

i

i

i

i

 ∂y (x )  F (x ) =    ∂a  a*  ∂y ( x )  G(x ) =    ∂b  b* Y ( x ) = ε a ⋅ F ( x ) + ε b ⋅ G (x )

εa = ∑

Yi ⋅ F ( xi ) ⋅ ∑ G 2 ( xi ) − ∑ Yi ⋅ G ( xi ) ⋅ ∑ F ( xi ) ⋅ G ( xi )

∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

2

2

i

i

i

i

∑ Y ⋅ F ( x ) ⋅ ∑ G (x ) − ∑ Y ⋅ G ( x ) ⋅ ∑ F ( x ) ⋅ G ( x ) = ∑ F (x ) ⋅ ∑ G (x ) − [∑ F (x ) ⋅ G(x )] 2

εb

i

i

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

a = a* + ε a b = b* + ε b Evident, modelele de mai sus nu epuizează multitudinea unor astfel de cazuri generale. Pe de altă parte, înlocuind chiar şi în aceste puţine modele generale funcţiile generice f ( x ) , g ( x ) , h( x ) , ϕ (⋅) , ψ (⋅) , ξ (⋅) ... cu oricare dintre funcţiile

{

}

elementare (sau combinaţii ale acestora) r , x r , r x , exp(x ), ln ( x ),K | r ∈ R (v.[6] şi ANEXA A), se obţin un număr practic nelimitat de modele particulare, cele mai întâlnite în prelucrarea şi interpretarea datelor experimentale fiind listate în ANEXA C. MCMMP se poate aplica de o manieră asemănătoare şi în cazul modelelor generalizate cu 2 (3 şi mai multe) variabile independente x, z ,K În aceste situaţii datele experimentale ce trebuie modelate vor proveni din seturi de măsurători de tipul {( xi , yi , zi ) | xi , yi , zi ∈ R; i = 1,2,K, N } , adică un - 76 -

CONCLUZII

set de N triplete ( xi , yi , zi ) reprezentând coordonatele unui număr N de puncte plasate într-un sistem cartezian tridimensional. Important de reţinut este şi faptul că, dintr-o perspectivă pur matematică, toate aceste modele abordează variabilele independente x şi z , respectiv variabila dependentă y ca fiind adimensionale (sunt simple numere Reale). Prin urmare, dacă datele analizate provin din măsurători de mărimi fizice, o atenţie deosibită în alegerea modelului de regresie trebuie acordată unităţilor de măsură. În spiritul acestor ultime afirmaţii, să analizăm următorul exemplu: În funcţia logaritmică y = a + b ⋅ ln ( x ) , parametrii a şi b trebuie să aibă dimensiunea variabilei dependente y , iar variabila independentă x trebuie să fie adimensională. Dacă şi variabila x are o dimensiune fizică, atunci se va alege modelul y = a + b ⋅ ln ( x c ) unde c şi x au aceeaşi dimensiune şi raportul x c este adimensional. Consecinţe: 1) dacă parametrul c are o valoare cunoscută c* (eventual c * = 1 ), atunci modelul y = a + b ⋅ ln x c * este liniar în necunoscutele a şi b .

(

)

2) dacă şi parametrul c este necunoscut, atunci modelul y = a + b ⋅ ln ( x c ) este neliniar în necunoscutele a , b şi c . În sfârşit, deşi nu face obiectul prezentei lucrări, un domeniu de studiu foarte important legat de utilizarea MCMMP este cel al erorilor cu care se obţin cele mai probabile valori ale parametrilor modelului de regresie analizat. O abordare detaliată a problemei poate fi găsită în lucrarea „P. H. Richter (1995), Estimating Errors in Least-Squares Fitting, Progress Report 42-122, de la: ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-122/122E.pdf

- 77 -

BIBLIOGRAFIE [1.]

https://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

[2.]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_des_moindres_carrés

[3.]

https://ro.wikipedia.org/wiki/Metoda_celor_mai_mici_pătrate

[4.]

https://en.wikipedia.org/wiki/Least-squares_function_approximation

[5.]

https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination

[6.]

http://www.matematicon.ro/free-zone/definitii-si-formulen,ro

[7.]

Bretscher, Otto (1995). Linear Algebra With Applications (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall

[8.]

Stigler, Stephen M. (1981). Gauss and the Invention of Least Squares. Ann. Stat. 9 (3): 465–474.

[9.]

Fuller, W. A. (1987). Measurement Error Models. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-86187-1

[10.] Yaakov (J) Stein (1983). Two Dimensional Euclidean Regression.

Conference on Computer Mapping, Herzelia, Israel, 1983 [11.]

I. Constantinescu, D. Golumbovici, C. Militaru (1980). Prelucrarea datelor experimentale cu calculatoare numerice. Editura Tehnică, Bucureşti

[12.] Lia Vas (2007). Mathematical Modeling. Empirical Models. University of

the Sciences, Philadelphia, USA [13.] Corneliu Berbente, Sorin Mitran, Silviu Zancu (1998). Metode numerice,

Ed. Tehnică, Bucureşti [14.] V. Iorga, B. Jora, C. Nicolescu, I. Lopătan, I. Fătu (1996). Programarea

numerică. Ed. Teora, Bucureşti [15.] C. Doca, L. Doca (2010), A Mathematical Approach Of The “SelfDisintegration” Experimental Data. The Third Annual International Conference on Sustainable Development through Nuclear Research and Education NUCLEAR 2010, 26-28 Mai, Piteşti, Romania

- 79 -

ANEXA A

FUNCŢII ELEMENTARE ÎN Microsoft Office Excel

ABS

= Calculează valoarea absoluta a unui număr

ACOS

= Calculează arc-sinusul unui număr

ACOSH

= Calculează arc-cosinusul hiperbolic al unui număr

ASIN

= Calculează arc-sinusul unui număr

ASINH

= Calculează arc-sinusul hiperbolic al unui număr

ATAN

= Calculează arc-tangenta unui număr

ATANH

= Calculează arc-tangenta hiperbolică a unui număr

COS

= Calculează cosinusul unui unghi dat

COSH

= Calculează cosinusul hiperbolic al unui unghi dat

EXP

= Calculează numărul e la puterea exprimată de un număr

INT

= Rotunjeşte un număr către cel mai apropiat întreg

LN

= Calculează logaritmul natural al unui număr

LOG

= Calculează logaritmul unui număr într-o bază specificată

LOG10

= Calculează logaritmul în bază 10 al unui număr

POWER

= Calculează rezultatul ridicării unui număr la o putere

SIN

= Calculează sinusul unui unghi dat

SINH

= Calculează sinusul hiperbolic al unui unghi dat

SQRT

= Calculează rădăcina pătrată pozitivă

TAN

= Calculează tangenta unui unghi dat

TANH

= Calculează tangenta hiperbolică a unui unghi dat - 81 -

ANEXA B

DEZVOLTAREA ÎN SERIE TAYLOR

Teoremă: Dacă I este un interval deschis, f (t ) este o funcţie în C m+1 (I ) şi t 0 ∈ I , atunci pentru orice t ∈ I se poate scrie: t

m

(*)

1 (k ) 1 m k f (t 0 )(t − t 0 ) + ∫ f (m +1) (τ )(t − τ ) dτ m! t0 k = 0 k!

f (t ) = ∑

Seria: (**)

m

1 (k ) 1 1 (m ) k m f (t 0 )(t − t 0 ) = f (t 0 ) + f (1) (t 0 )(t − t 0 ) + L + f (t 0 )(t − t 0 ) k ! 1 ! m ! k =0

Pm (t ) = ∑

se numeşte polinomul Taylor de ordinul m sau, încă, aproximaţia lui Taylor pentru f (t ) în apropierea abscisei t = t 0 . Dacă M este un număr astfel încât f (m+1) (τ ) ≤ M pentru toate valorile τ din m

intervalul dintre t 0 şi t, atunci, deoarece (t − τ ) nu-şi schimbă semnul pe acest interval, termenul rezidual din dezvoltarea (*) (numit şi eroare de aproximare) satisface condiţia: t

t

1 M m f (m+1) (τ )(t − τ ) dτ ≤ (t − τ )m dξ = M t − τ ∫ ∫ (m + 1)! m! t0 m! t0

m +1

În cazul particular în care aproximaţia lui Taylor se realizează în apropierea abscisei t = 0 , înlocuind t 0 = 0 în polinomul (**) se obţine dezvoltarea în serie McLaurin:

f (t ) = f (0 ) +

1 (1) 1 (m ) f (0 ) ⋅ t + L + f (0 ) ⋅ t m 1! m!

- 83 -

ANEXA C

FUNCŢII ÎNTÂLNITE ÎN MODELAREA TEORETICĂ

•

Funcţii de o singură variabilă independentă x

Funcţii cu un singur parametru a 1.

y(x ) = a ⋅ x

2.

y (x ) =

3.

y ( x ) = a ⋅ x ⋅ ln ( x ) +

4.

y ( x ) = exp(a ⋅ x )

5.

y(x ) = x a

6.

y(x ) = a x

7.

y ( x ) = ln(a ⋅ x )

8.

a y ( x ) = ln   x

a +x x 1

x2

etc.

Funcţii cu doi parametri a şi b 9.

y(x ) = a ⋅ x + b

10.

y(x ) =

11.

y ( x ) = a ⋅ exp( x ) +

a + b ⋅ ln ( x ) x b +x x - 85 -

12.

y (x ) =

1 a⋅x +b

13.

y (x ) =

x a +b⋅ x

14.

y(x ) =

1 a ⋅ ln ( x ) + b

15.

y(x ) =

16.

y ( x ) = b ⋅ ln(a ⋅ x )

17.

y ( x ) = a − [x − b]2

18.

y(x ) = a ⋅ x b

19.

y ( x ) = a ⋅ exp(b ⋅ x )

20.

y ( x ) = a ⋅ ln b ( x )

21.

b y = a ⋅ exp   x

22.

y = a ⋅bx

23.

1 y = a ⋅b x

24.

y = a ⋅ x b⋅ x

25.

b y = a⋅x x

26.

y = a ⋅ x ⋅ exp(b ⋅ x )

x a ⋅ x2 + b

- 86 -

27.

28.

y=

a ⋅ exp(b ⋅ x ) x

b a ⋅ exp   x y= x

29.

y = a ⋅ x b ⋅ ln ( x )

30.

y=

31.

y = a ⋅ [1 − exp(b ⋅ x )]

32.

y = a ⋅ sin (b ⋅ x )

33.

y = a ⋅ cos(b ⋅ x )

34.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x )

35.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x )

36.

y = a ⋅ ln( x + b )

a ⋅ xb ln ( x )

etc.

Funcţii cu trei parametri a, b şi c 37.

y = a + b ⋅ x + c ⋅ x2

38.

y = a ⋅ x + b ⋅ x 2 + c ⋅ x3

39.

y = a +b⋅ x +

40.

y = a + b ⋅ x2 +

c x c x

- 87 -

41.

y = a +b⋅ x +

42.

y=a+

43.

y=

c x2

b c + x x2 1

a + b⋅ x + 44.

y = a ⋅ b x ⋅ xc

45.

1 y = a ⋅b x

c x

⋅ xc

46.

 [x − b ]2   y = a ⋅ exp  c   

47.

 [ln ( x ) − b ]2   y = a ⋅ exp   c  

48.

y=

49.

y = a ⋅ x b ⋅ [1 − x ]c

50.

x  x y = a ⋅   exp  b  b

51.

y = a − b ⋅ [x − c ]2

52.

y = a ⋅ x b + c⋅ x

1

a ⋅ [x + b]2 + c

c

53.

y = a⋅x

b+

c x

- 88 -

54.

y = a ⋅ x b + c ⋅ln ( x )

55.

y = a ⋅ x b⋅ x + c⋅ x

56.

y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ x

57.

b  y = a ⋅ exp + c ⋅ x  x  

58.

b   y = exp a + + c ⋅ ln ( x ) x  

59.

y = a + b ⋅ exp(c ⋅ x )

60.

y = a ⋅ xb + c

61.

y = a ⋅ exp(b ⋅ exp(c ⋅ x ))

62.

y=

63.

y=

64.

y = a ⋅ [exp(b ⋅ x ) − exp(c ⋅ x )]

65.

y=

66.

y=

67.

y=

68.

y = [a + b ⋅ x ]c

2

(

)

a+x b +c⋅x a+ x b + c ⋅ x2

a 1 + b ⋅ exp(c ⋅ x ) a b + xc a

[1 + b ⋅ x ]

c 2

- 89 -

[

]c

69.

y = a +b⋅ x

70.

y=

71.

b y = a ⋅ exp  + c  x

72.

y=

1 +c a⋅x+b

73.

y=

x +c a + b⋅ x

74.

y=

75.

y = a ⋅ ln b ( x ) + c

76.

y = a ⋅ ln( x + b ) + c

77.

y=

a + b ⋅ xc x

78.

y=

a c + b ⋅ exp  x  x

79.

y=

a + b ⋅ exp(c ⋅ x ) x

80.

y = a − (x − b )2 + c

81.

y = a ⋅ x b ⋅ ln ( x + c )

82.

y = a ⋅ xb + c

1

a + b ⋅ xc

1

[a + b ⋅ x ]

2 c

- 90 -

83.

1 y = a ⋅b x

84.

y = a ⋅ x b⋅ x + c

85.

b y = a⋅xx

86.

y=

87.

y = a ⋅ exp b ⋅ x c

88.

y = a ⋅ ln c (x + b )

89.

y = a ⋅ x b⋅ x

90.

y=

x a +b⋅ x +c⋅ x

91.

y=

1 +c⋅x a + b ⋅ ln (x )

92.

y=

1 + c ⋅ ln ( x ) a + b ⋅ ln ( x )

93.

y = a − [x − b ]2 + c ⋅ x

94.

y = a − [x − b]2 + c ⋅ ln ( x )

95.

b y = a⋅xc

+ c ⋅ ln ( x )

96.

b y = a⋅x x

+c⋅x

97.

y = a ⋅ sin (b ⋅ x + c )

+c

+c

1 +c a + b ⋅ ln ( x )

( ) c

- 91 -

98.

y = a ⋅ cos(b ⋅ x + c )

99.

y = a ⋅ tan (b ⋅ x + c )

100.

y = a ⋅ sin (b ⋅ x ) + c

101.

y = a ⋅ cos(b ⋅ x ) + c

102.

y = a ⋅ tan (b ⋅ x ) + c

103.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x ) + c

104.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x ) + c

105.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x ) + c ⋅ x

106.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x ) + c ⋅ x

107.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x ) + c ⋅ x 2

108.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x ) + c ⋅ x 2

109.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x ) + c ⋅ ln( x )

110.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x ) + c ⋅ ln( x )

111.

y = a ⋅ sinh (b ⋅ x ) + c ⋅ ln 2 ( x )

112.

y = a ⋅ cosh (b ⋅ x ) + c ⋅ ln 2 ( x )

etc.

Funcţii cu patru parametri a, b, c şi d 113.

y = a ⋅ xb + c ⋅ x d

114.

y = a ⋅ exp(b ⋅ x ) + c ⋅ exp(d ⋅ x )

115.

y = a ⋅ sin (b ⋅ x + c ) + d - 92 -

116.

y = a ⋅ cos(b ⋅ x + c ) + d

117.

y = a ⋅ tan (b ⋅ x + c ) + d

118.

y = a ⋅ cos(d ⋅ x ) + b ⋅ cos(2 ⋅ d ⋅ x ) + c ⋅ cos(3 ⋅ d ⋅ x )

119.

y = a ⋅ x b + c ⋅ exp(d ⋅ x ) a + b ⋅ xc

120.

y=

121.

y=

122.

y = a ⋅ exp(b ⋅ exp(c ⋅ x )) + d

123.

y=

124.

y=

125.

y = [a + b ⋅ x ]c + d

126.

y = a + b⋅ x

127.

y=

128.

y = a ⋅ exp b ⋅ x c + d

129.

y=

130.

y = a ⋅ x b⋅ x + d

d + xc 1

[a + b ⋅ exp(c ⋅ x )]d a +d 1 + b ⋅ exp(c ⋅ x ) a

[1 + b ⋅ x ]

c 2

[

1

a + b ⋅ xc

+d

]c + d +d

( )

a +b⋅ x 1+ c ⋅ x + d ⋅ x2 c

- 93 -

131.

d  y = a ⋅ x b + c ⋅ exp  x

132.

y=

133.

y=

134.

y=

a + b ⋅ xc + d x

135.

y=

a c + b ⋅ exp  + d x  x

136.

y=

a + b ⋅ exp(c ⋅ x ) + d x

137.

y = a ⋅ ln c (x + b ) + d

138.

y = a ⋅ b x ⋅ xc + d

x +d a +b⋅ x +c⋅ x 1

[a + b ⋅ x ]

2 c

1 = a ⋅b x

+d

⋅ xc + d

139.

y

140.

 [ln ( x ) − b ]2  +d y = a ⋅ exp   c  

141.

y=

142.

x  x y = a ⋅   ⋅ exp  + d b  b

143.

 [x − b ]2  +d y = a ⋅ exp  c   

1

a ⋅ [x + b ]2 + c

+d

c

- 94 -

1

144.

y=

145.

y = a ⋅ xb + c⋅ x + d

c a + b⋅ x + x

b+

c x

+d

146.

y = a⋅x

147.

y = a ⋅ x b + c ⋅ln ( x ) + d

148.

y = a ⋅ x b⋅ x + c ⋅ x + d

149.

y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ x + d

150.

b  y = a ⋅ exp + c ⋅ x  + d x 

151.

y=

152.

y=

153.

y = a − b ⋅ [x − c ]2 + d

154.

y = a − b ⋅ [x − c ]2 + d ⋅ x

155.

y = a ⋅ ln c (x + b ) + d ⋅ x

156.

y = a ⋅ ln c ( x + b ) + d ⋅ x 2

157.

y = a ⋅ b x ⋅ xc + d ⋅ x

158.

1 y = a ⋅b x

+d

2

(

)

a+x +d⋅x b+c⋅x a+x b + c ⋅ x2

+d

⋅ xc + d ⋅ x - 95 -

159.

 [ln ( x ) − b ]2  +d ⋅x y = a ⋅ exp   c  

160.

y=

161.

x  x y = a ⋅   ⋅ exp  + d ⋅ x b  b

162.

 [x − b ]2  +d ⋅x y = a ⋅ exp  c   

163.

y=

164.

y = a ⋅ x b + c⋅ x + d ⋅ x

1

a ⋅ [x + b]2 + c

+d⋅x

c

1

c a + b⋅ x + x

b+

c x

+d⋅x

165.

y = a⋅x

166.

y = a ⋅ x b + c ⋅ln ( x ) + d ⋅ x

167.

y = a ⋅ x b⋅ x + c⋅ x + d ⋅ x

168.

y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ x + d ⋅ x

169.

b  y = a ⋅ exp + c ⋅ x  + d ⋅ x x 

170.

y=

171.

y=

+d⋅x

2

(

)

a+x + d ⋅ x2 b+c⋅x a+x b + c ⋅ x2

+d⋅x

- 96 -

172.

y = a − b ⋅ [x − c ]2 + d ⋅ x 2

173.

y = a − b ⋅ [x − c]2 + d ⋅ x 3

174.

y = a ⋅ ln c ( x + b ) + d ⋅ ln ( x )

175.

y = a ⋅ ln c ( x + b ) + d ⋅ ln 2 (x )

176.

y = a ⋅ b x ⋅ x c + d ⋅ ln ( x )

177.

1 y = a ⋅b x

⋅ x c + d ⋅ ln (x )

178.

 [ln ( x ) − b] 2   + d ⋅ ln ( x ) y = a ⋅ exp   c  

179.

y=

180.

x  x y = a ⋅   ⋅ exp  + d ⋅ ln( x ) b  b

181.

 [x − b]2   + d ⋅ ln ( x ) y = a ⋅ exp  c   

182.

y=

183.

y = a ⋅ x b + c ⋅ x + d ⋅ ln ( x )

1

a ⋅ [x + b ]2 + c

+ d ⋅ ln ( x )

c

1

c a + b⋅ x + x

b+

c x

+ d ⋅ ln ( x )

+ d ⋅ ln (x )

184.

y = a⋅x

185.

y = a ⋅ x b + c ⋅ln ( x ) + d ⋅ ln ( x ) - 97 -

2

186.

y = a ⋅ x b ⋅ x + c ⋅ x + d ⋅ ln( x )

187.

y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ x + d ⋅ ln ( x )

188.

b  y = a ⋅ exp + c ⋅ x  + d ⋅ ln (x ) x 

189.

y=

190.

y=

191.

y = a − b ⋅ [x − c]2 + d ⋅ ln ( x )

192.

y = a − b ⋅ [x − c ]2 + d ⋅ ln 2 ( x )

(

)

a+x + d ⋅ ln 2 (x ) b+c⋅x a+x b + c ⋅ x2

+ d ⋅ ln (x )

etc.

Funcţii cu cinci şi mai mulţi parametri a, b, c, d, e,... 193.

y = a ⋅ x b + c ⋅ exp(d ⋅ x ) + e

194.

y = a ⋅ xb + c ⋅ x d + e

195.

y = a ⋅ x b ⋅ [c − x ]

196.

y = a ⋅ x b ⋅ [c − x ] + e

197.

y=

198.

y=

199.

d  y = a ⋅ x b + c ⋅ exp  + e  x

d

d

a + b ⋅ xc d + xc

+e

1

[a + b ⋅ exp(c ⋅ x )]d

+e

- 98 -

200.

y = a ⋅ cos(e ⋅ x + d ) + b ⋅ cos(2 ⋅ e ⋅ x + d ) + c ⋅ cos(3 ⋅ e ⋅ x + d )

201.

y = a ⋅ cos(e ⋅ x + d ) + b ⋅ cos(2 ⋅ e ⋅ x + d ) + c ⋅ cos(3 ⋅ e ⋅ x + d ) + f

etc.

•

Funcţii de două variabile independente x şi z

Funcţii cu doi parametri a, b 1.

y = a ⋅ x + b ⋅ z2

2.

y = a ⋅ xb ⋅ z 2

3.

y=

x a +b⋅ z

4.

y=

x a + b ⋅ z2

5.

y = a ⋅ x b⋅ z

6.

y = a⋅ xz

b

etc.

Funcţii cu trei parametri a, b şi c 7.

y = a ⋅ bx ⋅ zc b

x 8. y = y ⋅   + c z 9.

y=a+

b c + x z2

10. y = a + b x +

c z2 - 99 -

c

z x 11. y =   ⋅ exp  b b  etc.

Funcţii cu patru şi mai mulţi parametri a, b, c, d ... 12. a ⋅ x b ⋅ z c + d 1 x

13. a ⋅ b ⋅ c z + d 14. y =

a d + b ⋅ exp(c ⋅ x ) + 2 x x c

z x 15. y = a ⋅   ⋅ exp  + d b b 

(

)

16. y = a ⋅ exp b ⋅ x + c ⋅ z 2 + d 17. y =

a c + b ⋅ exp  + d ⋅ ln ( z ) x  x

18. y = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d ⋅ z + e

(

)

19. y = a ⋅

exp [x − b] [z − d ] + c e

20. y = a ⋅

exp [ln( x ) − b] [ln(z ) − d ] + c e

(

2

2

2

)

2

etc.

- 100 -

ANEXA D

PERSONALITĂŢI REFERITE

Roger Cotes (10 Iulie 1682 – 5 Iunie 1716) Matematician englez care a lucrat alături de Isaac Newton pentru corectura celei de a doua ediţii a faimoase cărţi Principa înainte de publicare. Este cunoscut pentru rezultate deosebite în studiul spiralei logaritmice şi al celor mai mici pătrate, a inventat formulele de quadratură cunoscute ca formulele Newton-Cotes, a introdus primul ceea ce astăzi sunt cunoscute drept formulele lui Euler şi a analizat conceptul de radian. A fost primul Plumian Professor la Universitatea Cambridge din 1707 până în 1716. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Cotes

- 101 -

Tobias Mayer (17 Februarie 1723 – 20 Februarie 1762) Astronom german faimos pentru studiile sale despre Lună. Matematician autodidact, şi-a câştigat existenţa predând matematica încă de tânăr. A publicat două lucrări originale în domeniul geometriei. În 1746 a intrat la Institutul Cartografic al lui J.B. Homann din Nuremberg. Aici a introdus numeroase îmbunătăţiri în desenarea harţilor şi a căpătat o reputaţie ştiinţifică care l-a condus la alegerea sa în 1751 în catedra de economie şi matematică la Universitate din Göttingen. În 1754 devine superintendent (conducător) la observator, unde a lucrat până în 1762. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Tobias_Mayer

- 102 -

Pierre-Simon Laplace (23 Martie 1749 – 5 Martie 1827)

Influent savant francez a cărui activitate ştiinţifică a fost importantă în dezvoltarea matematicii, statisticii, fizicii şi astronomiei. A rezumat şi dezvoltat munca predecesorilor săi în lucrarea sa Mécanique Céleste (Mecanica cerească) (cinci volume, 1799-1825). Această lucrare a transpus studiul geometric al mecanicii clasice în studiul bazat pe analiza matematică, deschizând vast domeniu de probleme. În statistică, interpretarea bayesiană a probabilităţii a fost dezvoltată în primul rând de Laplace. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

- 103 -

Roger Joseph Boscovich (18 Mai 1711 – 13 Februarie 1787) Croat de origine, din Dubrovnik, a fost fizician, astronom, matematician, filozof, diplomat, poet, teolog, preot iezuit, deţinând un volum enciclopedic de cunoştinţe, a studiat şi a trăit în Italia şi Franţa unde a şi publicat numeroase lucrări. A elaborat un precursor al teoriei atomice şi a avut numeroase contribuţii în astronomie. A elaborat prima procedură geometrică de determinare a ecuatorului unei planete aflată în rotaţie pe baza a trei observaţii ale comportării suprafeţei, respectiv pentru calcularea orbitei unei planete din trei observaţii ale poziţiei acesteia. În 1753 a descoperit absenţa atmosferei pe Lună. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Joseph_Boscovich

- 104 -

Adrien-Marie Legeandre (18 Septembrie 1752 – 10 Ianuarie 1833) Matematician francez care a avut numeroase contribuţii în matematică. Lui îi aparţin binecunoscutele şi importante concepte precum polinoamele Legendre. transformările Legeandre. Multe din lucrările sale au fost perfecţionate de alţii cum ar fi: lucrarea sa asupra rădăcinilor polinoamelor inspirând teoria lui Galois; lucrarea lui Abel despre funcţiile eliptice a fost construit pe rezultatele lui Legeandre în studiul funcţiilor eliptice; unele lucrări ale lui Gauss din statistică şi teoria numerelor au completat cele ale lui Legeandre. A dezvoltat şi publicat primul metoda celor mai mici pătrate (1806). În jurul anului 1811 a numit funcţia gamma şi a introdus simbolul Γ, normalizând-o prin Γ(n+1) = n! În 1830 a găsit o demonstraţie a Ultimei teoreme a lui Fermat pentru exponentul n = 5. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

- 105 -

Carl Friedrich Gauss (30 Aprilie 1777 – 23 Februarie 1855) Matematician german care a contribuit în mod semnificativ în numeroase domenii incluzând teoria numerelor, algebră, statistică, analiză, geometrie diferenţială, geodezie, geofizică, mecanică, electrostatică, astronomie, teoria matricelor şi optică. Denumit uneori Princeps mathematicorum (cel mai remarcabil dintre matematicieni), Gauss a avut o influenţă excepţională în numeroase domenii ale matematicii şi ştiinţei şi este recunoscut ca fiind cel mai influent matematician din istorie. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

- 106 -

Giuseppe Piazzi (16 Iulie 1746 – 22 Iulie 1826) Italian, preot catolic din ordinul Theatine , matematician şi astronom, el a atestat actualul Osservatorio Astronomico di Palermo. Poate că cea mai faimoasă descoperire a sa a fost asteroidul Ceres. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Piazzi

- 107 -

Johannes Kepler (27 Decembrie 1571 – 15 Noiembrie 1630) Matematician, astronom şi astrolog german, figură cheie a revoluţiei ştiinţifice din secolul XVII, este cel mai bine cunoscut pentru legile privind mişcarea planetară, stabilite pe baza lucrărilor sale Astronomia nova, Harmonices Mundi şi Epitome of Copernician Astronomy. Aceste lucrări au oferit, de asemenea, bazele teoriei lui Isaac Newton a atracţiei universale (gravitaţia universală). Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

- 108 -

Franz Xaver, Baron von Zach (4 Iunie 1754 – 2 Septembrie 1832) Astronom maghiar. A studiat fizica la Pesta (astăzi Budapesta) şi a predat la Universitatea din Lemberg (azi Lviv, în Ucraina). A trăit în Paris (17801783) şi în Londra (1783-1786) unde a intrat în cercurile unor astronomi precum Joseph de Lalande, Pierre-Simon Laplace and William Herschel. În 1786 a fost numit de către Ernest II, Duce de Saxe-Gotha-Altenbyur, director al noului observator (terminat în 1791) de pe dealul Seeberg din Gotha. A organizat „Poliţia Celestă”, un grup de 24 de astronomi, în vederea unei căutări sistematice a „planetei lipsă” prezisă de legea Titius-Bode între Marte şi Jupiter, şi care au descoperit accidental asteroidul Ceres. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Franz_Xaver_von_Zach

- 109 -

Robert Adrain (30 Septembrie 1775 – 10 August 1843) Matematician irlandez a cărui carieră a evoluat în USA. A fost considerat unul dintre cele mai strălucitoare minţi matematice ale timpului în America, într-o perioadă în care puţini savanţi conduceau cercetări originale. Este amintit în principal pentru studiile sale privind metoda celor mai mici pătrate. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Adrain

- 110 -

Andrei Andreevici Markov (14 Iunie 1856 – 20 Iulie 1922) Matematician rus cunoscut cel mai bine pentru lucrările sale privind procesele stocastice. Subiecte importante al cercetărilor sale devin cunoscute mai târziu ca Lanţuri Markov, respectiv Procese Markov. Împreună cu mai tânărul său frate Vladimir Andreevici Markov, au demonstrat Inegalitatea fraţilor Markov. Şi fiul său, un alt Andrei Andreevici Markov, a fost un matematician remarcabil, având contribuţii în Matematica constructivă şi teoria funcţiilor recursive. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Markov

- 111 -

Brook Taylor (18 August 1685 – 29 Decembrie 1731) Matematician englez cunoscut mai ales pentru Teorema lui Taylor şi Seriile Taylor. Studiind matematica sub conducerea lui Jon Machin şi John Keil, la nici 23 de ani (în 1708) a obţinut o soluţie remarcabilă a problemei „centrul de oscilaţii” care, totuşi, a rămas nepublicată până în Mai 1714 când revendicarea lui asupra priorităţii a fost disputată cu Johann Bernoulli. Lucrarea sa Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715) a adăugat o direcţie nouă în matematicile superioare, cunoscută azi ca analiza diferenţelor finite. Printre alte aplicaţii ingenioase, a utilizat această metodă pentru determinarea formei fibrei deformate a unui fir care vibrează. Credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor

- 112 -

ANEXA E

LICENŢIEREA GNU FDL

Aceasta este o traducere neoficială în limba română a Licenţei GNU pentru Documentaţie Liberă (GNU Free Documentation Licence). Textul original al licenţei, în limba engleză, se găseşte şi poate fi descărcat de la: http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html

Licenţa GNU pentru Documentaţie Liberă (GNU Free Documentation Licence) Versiunea 1.2 din noiembrie 2002. Copyright (C) 2000, 2001, 2002 Free Software Foundation, Inc. 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA Oricine poate copia şi distribui copii identice ale acestui document, dar modificarea lui nu este permisă.

0. PREAMBUL Scopul acestei Licenţe este de a conferi unui set de instrucţiuni, manual şcolar sau altui document folositor "libertate", înţeleasă în sensul următor: asigură tuturor libertatea de a copia şi redistribui textul, cu sau fără modificări, în scopuri comerciale şi necomerciale. Ca scop secundar, această Licenţă rezervă pentru autor şi editor dreptul de a fi creditaţi pentru munca lor şi de a nu fi responsabili pentru modificările efectuate de alţii. Această Licenţă conferă un fel de "copyleft", ceea ce înseamnă că lucrările derivate trebuie să fie şi ele libere în sensul de mai sus. Această Licenţă este inspirată de Licenţa Publică Generală GNU (GNU General Public Licence, - 113 -

GNU GPL), care este o licenţă similară concepută pentru a acoperi softul liber. Această Licenţă a fost scrisă pentru a acoperi manuale pentru soft liber, pentru că softul liber necesită documentaţie liberă: un program trebuie însoţit de manuale care oferă aceeaşi libertate în folosire ca şi softul. Această Licenţă nu este limitată la manuale pentru soft şi poate fi folosită pentru a acoperi orice lucrare, indiferent de subiect sau de modul de publicare. Această Licenţă este recomandată în principal pentru lucrări care servesc drept referinţă sau au fost scrise în scop de instruire.

1. APLICABILITATE ŞI DEFINIŢII Această Licenţă se aplică oricărui manual sau lucrări, în orice mediu, care conţine o notă inclusă de către deţinătorul dreptului de autor ce permite distribuţia sub acoperirea acestei Licenţe. Această notă conferă dreptul universal (world-wide), fără indemnizaţie şi nelimitat ca durată de a folosi această lucrare în condiţiile descrise de această Licenţă. Termenul "Documentul" folosit mai jos se referă la manualul sau lucrarea acoperită de Licenţă. Orice membru al publicului este un beneficiar al acestei Licenţe şi va fi desemnat prin termenul "Dvs." sau prin folosirea persoanei a doua. Se consideră în mod automat că aţi acceptat termenii acestei Licenţe dacă copiaţi, modificaţi sau distribuiţi Documentul într-un mod ce necesită permisiunea autorului în conformitate cu legea drepturilor de autor. O "Versiune Modificată" a Documentului este orice lucrare conţinând Documentul sau o porţiune din Document, copiată identic sau cu modificări şi / sau tradusă într-o altă limbă. O "Secţiune Secundară" este o anexă cu titlu, sau o secţiune menţionată în cuprins care are ca scop exclusiv descrierea relaţiei editorilor sau a autorilor Documentului cu subiectul Documentului (sau cu subiecte legate de acesta) şi care nu conţine subiecte incluse în mod direct în subiectul Documentului. (Aşadar, dacă Documentul este în parte manual de matematică, o Secţiune Secundară nu poate conţine explicaţii matematice.) Relaţia poate fi o conexiune istorică cu subiectul sau cu problemele înrudite cu subiectul, sau puncte de vedere legale, comerciale, filozofice, etice sau politice legate de acesta. "Secţiunile Invariante" sunt anumite Secţiuni Secundare ale căror titluri sunt specificate ca fiind titluri de Secţiuni Invariante din Document în nota ce permite distribuţia Documentului sub acoperirea acestei Licenţe. Dacă o - 114 -

secţiune nu este conformă cu definiţia de mai sus a unei Secţiuni Secundare ea nu poate fi desemnată drept Secţiune Invariantă. Documentul poate să nu conţină nici o Secţiune Invariantă. Dacă Documentul nu specifică nici o Secţiune Invariantă se consideră că nu există nici una. "Textele De Copertă" sunt pasaje scurte de text care sunt listate ca Texte Pentru Coperta I (coperta din faţă) şi Texte Pentru Coperta IV (coperta din spate) în nota ce permite distribuţia Documentului sub acoperirea acestei Licenţe. Un Text Pentru Coperta I poate avea cel mult 5 cuvinte, iar un Text Pentru Coperta IV poate avea cel mult 25 de cuvinte. O copie "Transparentă" a Documentului este o copie în format electronic, reprezentată într-un format a cărui specificaţie este disponibilă publicului, care este uşor de modificat folosind un editor de text generic sau (pentru imagini compuse din pixeli) un editor grafic generic sau (pentru desene) un editor larg răspândit de grafică vectorială, şi care poate fi folosit de către programe de formatare de text sau de către programe de conversie în alte formate care pot fi folosite ca intrare de către programe de formatare a textului. O copie făcută într-un format de fişier Transparent dar care prin prezenţa sau absenţa anumitor elemente specifice formatului descurajează sau împiedică modificările ulterioare nu este o copie Transparentă. Un format grafic - o imagine - nu este un format Transparent dacă este folosit pentru a reprezenta o cantitate substanţială de text. O copie care nu este "Transparentă" este "Opacă". Exemple de formate compatibile cu copiile Transparente includ: text ASCII fără marcare, format de intrare Texinfo, format de intrare LaTeX, SGML şi XML folosind un DTD public, HTML simplu şi standard, fişiere PostScript şi PDF modificabile. Exemple de formate Transparente pentru imagine includ PNG, XCF şi JPG. Formatele Opace includ formate de text ce pot fi citite şi editate doar de procesoare de text particulare (proprietary), SGML şi XML pentru care DTD-ul şi / sau uneltele de procesare nu sunt disponibile, HTML generat automat, documente PostScript şi PDF produse de diverse procesoare de text exclusiv în scopul printării / afişării. "Pagina de Titlu" înseamnă, pentru o carte tipărită, pagina cu titlul şi paginile următoare necesare pentru a tipări lizibil materialul care trebuie tipărit conform acestei Licenţe pe Pagina de Titlu. Pentru lucrări care nu au o pagină cu titlu propriu-zisă "Pagina de Titlu" este textul aflat lângă principala apariţie a titlului lucrării, precedând începutul corpului Documentului. - 115 -

O secţiune "Numită XYZ" este o secţiune din Document al cărei titlu este fie XYZ sau conţine XYZ în paranteze după textul care traduce XYZ în altă limbă. (Aici XYZ înlocuieşte nume specifice ce vor fi menţionate mai jos, ca de exemplu "Mulţumiri", "Dedicaţii", "Giruri" (Endorsement) şi "Istorie".) A "Păstra Titlul" unei astfel de secţiuni atunci când modificaţi Documentul înseamnă că aceasta rămâne "Numită XYZ" conform acestei definiţii. Documentul poate include Limitări de Responsabilitate (Warranty Disclaimers) ataşate notificării care afirmă că această Licenţă se aplică Documentului. Aceste Limitări de Responsabilitate se consideră a fi incluse pentru referinţă în această Licenţă: orice alte implicaţii pe care aceste Limitări de Responsabilitate le-ar putea avea sunt nule şi nu au nici un efect asupra înţelesului acestei Licenţe.

2. COPII IDENTICE Puteţi copia şi distribui Documentul pe orice mediu, comercial sau necomercial, atâta timp cât această Licenţă, notificările de drepturi de autor şi notificarea de licenţă care spune că această Licenţă se aplică acestui Document sunt reproduse în toate copiile, şi atâta timp cât nu adăugaţi nici un fel de altă condiţie în afară de cele prezente în această Licenţă. Nu aveţi dreptul să luaţi măsuri tehnice de a obstrucţiona sau controla citirea sau recopierea copiilor pe care le faceţi sau le distribuiţi. Aveţi totuşi dreptul să acceptaţi compensaţii în schimbul copiilor. Dacă distribuiţi un număr suficient de mare de copii trebuie să respectaţi şi condiţiile din secţiunea 3. Aveţi de asemenea dreptul să împrumutaţi copii în aceleaşi condiţii ca cele de mai sus, şi aveţi dreptul să afişaţi copii.

3. COPIEREA ÎN CANTITĂŢI MARI Dacă publicaţi copii tipărite (sau copii în medii care folosesc de obicei coperte tipărite) ale Documentului, în număr mai mare de 100 şi dacă notificarea de licenţă a Documentului cere Texte de Copertă, trebuie să includeţi copiile pe coperte care să conţină, clar şi lizibil, toate aceste Texte de Copertă: Textele Pentru Coperta I pe coperta I şi Texte Pentru Coperta IV pe coperta IV. Ambele coperte trebuie de asemenea să vă identifice în mod clar şi lizibil ca editor al respectivelor copii. Coperta I trebuie să prezinte titlul în întregime, cu toate cuvintele din titlu la fel de vizibile şi proeminente. Puteţi adăuga alte materiale pe copertă în plus. Copierea cu - 116 -

modificările limitate la coperte, atâta timp cât satisfac aceste condiţii, pot fi tratate în toate celelalte aspecte ca şi copii identice. Dacă textele necesare pentru oricare dintre coperte sunt prea voluminoase pentru a încăpea în mod lizibil, trebuie să le includeţi pe primele în ordinea originală (atâtea câte încap în mod rezonabil) pe coperta efectivă şi să continuaţi cu restul pe pagini adiacente. Dacă publicaţi sau distribuiţi copii Opace ale documentului în număr mai mare de 100, trebuie ori să includeţi câte o copie Transparentă în format electronic împreună cu fiecare copie Opacă, sau să specificaţi în sau împreună cu fiecare copie Opacă o locaţie de reţea electronică la care publicul general care foloseşte reţeaua să aibă acces pentru a descărca, folosind un protocol standard public, copii complete Transparente ale documentului, fără adăugarea oricărui material adiţional. Dacă folosiţi a doua opţiune trebuie să faceţi demersuri rezonabil de prudente ca atunci când începeţi distribuirea copiilor Opace să vă asiguraţi că această copie Transparentă va rămâne accesibilă în acest fel la locaţia respectivă timp de cel puţin un an după distribuţia ultimei copii Opace (în mod direct sau prin agenţi sau distribuitori) a acelei ediţii pentru public. Se cere, dar nu în mod necesar, să contactaţi autorii Documentului cu o perioadă bună înainte de a distribui orice cantitate mare de copii, pentru a le da ocazia să vă pună la dispoziţie o versiune actualizată a Documentului.

4. MODIFICĂRI Puteţi copia şi distribui o Versiune Modificată a Documentului în condiţiile secţiunilor 2 şi 3 de mai sus, cu condiţia de a acoperi Versiunea Modificată sub exact această Licenţă, cu Versiunea Modificată ţinând locul Documentului, astfel licenţiind distribuirea şi modificările Versiunii Modificate oricui intră în posesia unei copii ale acesteia. În plus, trebuie să faceţi următoarele lucruri în Versiunea Modificată:

A) Folosiţi în Pagina de Titlu (şi pe coperte, dacă există) un titlu diferit de cel al Documentului, şi de versiunile sale anterioare (care trebuie, dacă există, să fie listate în secţiunea de Istorie a Documentului). Puteţi folosi acelaşi titlu ca o versiune anterioară dacă editorul original al acelei copii vă dă permisiunea. B) Listaţi pe Pagina de Titlu, ca autori, una sau mai multe dintre persoanele sau entităţile responsabile în calitate de autori pentru - 117 -

modificările Versiunii Modificate, împreună cu cel puţin cinci dintre autorii principali ai Documentului (toţi autorii principali, dacă are mai puţin de cinci), în afară de cazul că aceştia vă eliberează de această obligaţie.

C) Includeţi pe Pagina de Titlu numele editorului Versiunii Modificate în calitate de editor. D) Păstraţi toate notificările de drepturi de autor ale Documentului. E) Adăugaţi o notificare de drepturi de autori relevantă pentru modificările Dvs. adiacent celorlalte notificări de drepturi de autor. F) Includeţi, imediat după notificările de drepturi de autor, o notificare de licenţă dând permisiune publică de a folosi Versiunea Modificată în condiţiile acestei Licenţe, sub forma prezentată în Apendicele de mai jos. G) Păstraţi în acea notificare de licenţă lista integrală a Secţiunilor Invariante şi Textele de Copertă necesare date în notificarea de licenţă a Documentului. H) Includeţi o copie nealterată a acestei Licenţe. I) Păstraţi secţiunea Numită "Istorie", Păstraţi-i Titlul şi adăugaţi-i un element care să indice măcar titlul, anul, noii autori şi editorul Versiunii Modificate aşa cum este dat pe Pagina de Titlu. Dacă nu există o secţiune Numită "Istorie" în Document, creaţi una în care indicaţi titlul, anul, autorii şi editorul Documentului aşa cum este dat pe Pagina de Titlu al acestuia şi apoi adăugaţi un element care să descrie Versiunea Modificată aşa cum a fost cerut în fraza precedentă. J) Păstraţi locaţia de reţea, dacă există, dată în Document pentru acces public la o copie Transparentă a Documentului, cât şi locaţiile de reţea date în Document pentru versiunile mai vechi pe care s-a bazat acesta. Acestea pot fi incluse în secţiunea Numită "Istorie". Puteţi omite locaţia de reţea a unei lucrări care a fost publicată cu cel puţin patru ani înainte de Documentul în sine, sau dacă editorul original al versiunii la care se referă vă dă permisiunea.

- 118 -

K) Pentru orice secţiune Numită "Mulţumiri" sau "Dedicaţii" Păstraţi Titlul secţiunii şi păstraţi în secţiunile respective toată substanţa şi tonul mulţumirilor şi dedicaţiilor fiecărui contribuitor. L) Păstraţi toate Secţiunile Invariante ale Documentului, nealterate ca text şi ca titluri. Numerotarea secţiunilor sau echivalentul numerotării nu sunt considerate ca făcând parte din titlurile secţiunilor. M) Ştergeţi orice secţiune Numită "Giruri". O astfel de secţiune nu poate fi inclusă în Versiunea Modificată. N) Nu modificaţi titlul nici unei secţiuni existente pentru a fi Numită "Giruri" sau pentru a intra în conflict cu vreo Secţiune Invariantă. O) Păstraţi toate Limitările de Responsabilitate. Dacă Versiunea Modificată include secţiuni noi incluse în titlu sau anexe care se califică drept Secţiuni Secundare şi nu conţin material copiat din Document, aveţi dreptul la alegerea Dvs. să numiţi unele sau toate acestea ca fiind secţiuni invariante. Pentru a face aceasta, adăugaţi-le titlurile la lista de Secţiuni Invariante în notificarea de licenţă a Versiunii Modificate. Aceste titluri trebuie să fie distincte faţă de toate celelalte titlurile de secţiune. Puteţi adăuga o secţiune Numită "Giruri" doar dacă aceasta conţine numai girurile a diverse entităţi asupra Versiunii Modificate - de exemplu recenzii sau faptul că textul a fost aprobat de o organizaţie ca fiind o definiţie autoritară a unui standard. Puteţi adăuga un pasaj de cel mult cinci cuvinte ca Text Pentru Coperta I şi un pasaj de cel mult 25 de cuvinte ca Text Pentru Coperta IV la sfârşitul Textelor De Copertă în Versiunea Modificată. Numai un singur pasaj poate fi adăugat la Textul Pentru Coperta I şi unul la Textul Pentru Coperta IV de către (sau prin aranjament cu) orice entitate. Dacă Documentul conţine deja texte de copertă pentru coperta respectivă, adăugat în prealabil de Dvs. sau prin aranjament cu aceeaşi entitate în numele căreia acţionaţi, atunci nu puteţi adăuga un altul, însă puteţi să-l înlocuiţi pe cel vechi numai cu permisiunea explicită a editorului anterior care l-a adăugat pe cel vechi. Autorul (autorii) şi editorul (editorii) Documentului nu vă dau prin această Licenţă permisiunea de a le folosi numele pentru publicitate sau pentru a pretinde sau implica vreo girare a oricărei Versiuni Modificate. - 119 -

5. COMBINAREA DOCUMENTELOR Puteţi combina Documentul cu alte documente acoperite de această Licenţă sub termenii definiţi în secţiunea 4 de mai sus pentru versiuni modificate, cu condiţia să includeţi în versiunea combinată toate Secţiunile Invariante ale tuturor documentelor originale, nemodificate, şi să le listaţi pe toate ca Secţiuni Invariante ale versiunii combinate în notificarea de licenţă, cât şi să păstraţi toate Limitările de Responsabilitate. Versiunea modificată nu trebuie să conţină decât o singură copie a acestei Licenţe, iar duplicatele identice ale Secţiunilor Invariante pot fi înlocuite cu o singură copie. Dacă există Secţiuni Invariante cu nume identice şi conţinut diferit, schimbaţi-le numele adăugând la sfârşitul titlului, în paranteză, ori numele autorului sau al editorului original al acelei secţiuni dacă acesta este cunoscut, ori un număr unic. Faceţi aceleaşi modificări respective titlurilor secţiunilor în lista de Secţiuni Invariante din notificarea de licenţă a versiunii combinate. În versiunea combinată trebuie să combinaţi şi toate secţiunile Numite "Istorie" din diversele documente originale, creând o secţiune unică Numită "Istorie"; la fel trebuie să combinaţi şi toate secţiunile Numite "Mulţumiri" cât şi cele Numite "Dedicaţii". Trebuie să ştergeţi toate secţiunile Numite "Giruri".

6. COLECŢII DE DOCUMENTE Puteţi crea o colecţie formată din Document şi alte documente acoperite de această Licenţă şi să înlocuiţi copiile individuale ale acestei Licenţe din diversele documente cu o singură copie care să fie inclusă în colecţie cu condiţia să urmaţi regulile acestei Licenţe pentru copii identice pentru fiecare document în toate celelalte privinţe. Puteţi să extrageţi un document dintr-o astfel de colecţie şi să-l distribuiţi individual sub această Licenţă cu condiţia de a include o copie a acestei Licenţe în documentul extras şi să urmaţi condiţiile acestei Licenţe în toate celelalte privinţe în legătură cu copiile identice ale acelui document.

7. AGREGAREA CU LUCRĂRI INDEPENDENTE O compilaţie a Documentului sau a unui derivat al său cu orice document sau lucrare separată independentă, în sau pe un volum de stocare sau distribuire se numeşte "agregat" dacă drepturile de autor rezultate în urma - 120 -

compilării nu sunt folosite pentru a limita drepturile legale ale utilizatorilor compilaţiei mai mult decât permit lucrările individuale. Când Documentul este inclus într-un agregat, această Licenţă nu se aplică celorlalte lucrări din agregat care nu sunt ele însele rezultate derivate ale Documentului. Dacă cerinţele legate de Textele de Copertă din secţiunea 3 se aplică acestor copii ale Documentului, atunci dacă Documentul este mai puţin de jumătate din întregul agregat atunci Textele de Copertă ale Documentului pot fi puse pe coperte care să separe Documentul în cadrul agregatului, sau pe un echivalent electronic al acestora, dacă Documentul se prezintă în format electronic. Altfel ele trebuie să apară pe copertele tipărite care îmbracă întreg agregatul.

8. TRADUCERE Traducerea este considerată o formă de modificare, drept care puteţi distribui traduceri ale Documentului sub cerinţele secţiunii 4. Înlocuirea Secţiunilor Invariante cu traduceri ale acestora necesită permisiune specială din partea celor care deţin drepturile de autor, însă puteţi include traduceri ale unora dintre sau tuturor Secţiunilor Invariante împreună cu variantele originale ale acestora. Puteţi include o traducere a acestei Licenţe cât şi toate notificările de licenţă din Document, cât şi Limitările de Responsabilitate atâta timp cât includeţi şi versiunea originală în engleză a acestei Licenţe, plus versiunile originale ale respectivelor notificări de licenţă şi limitări de responsabilitate. În cazul apariţiei oricăror discrepanţe între versiunea tradusă şi versiunea originală a acestei Licenţe, a vreunei notificări de licenţă sau a vreunei limitări de responsabilitate, versiunea originală are prioritate. Dacă vreo secţiune din Document este Numită "Mulţumiri", "Dedicaţii" sau "Istorie" cerinţa (din secţiunea 4) de a-i Păstra Titlul (secţiunea 1) va necesita în mod normal schimbarea titlului în sine.

9. REZILIERE Nu puteţi copia, modifica, sublicenţia sau distribui Documentul decât în condiţiile specificate explicit în această Licenţă. Orice copiere, modificare sau redistribuire a Documentului în vreo altă condiţie este nulă şi vă va anula în mod automat drepturile conferite de această Licenţă. Pe de altă parte, terţilor cărora le veţi fi transmis copii sau drepturi în conformitate cu această Licenţă nu li se vor anula aceste drepturi atâta timp cât i se conformează. - 121 -

10. VERSIUNI VIITOARE ALE ACESTEI LICENŢE Fundaţia Free Software (Free Software Foundation) poate publica versiuni noi, revizuite ale acestei Licenţe (GNU Free Documentation Licence) din timp în timp. Aceste noi versiuni vor păstra spiritul acestei versiuni dar pot diferi în privinţa detaliilor, cu scopul de a se adresa unor noi probleme reale sau potenţiale. Vezi http://www.gnu.org/copyleft/. Fiecărei versiuni ale acestei Licenţe îi este asociat un număr de versiune distinct. Dacă Documentul specifică un anumit număr de versiune "sau orice versiune ulterioară" al acestei Licenţe, aveţi de ales între a vă conforma termenilor şi condiţiilor ori ale versiunii specificate explicit sau ale oricărei variante ulterioare publicate (nu ca variantă preliminară) de către Free Software Foundation. Dacă Documentul nu specifică un număr de versiune al acestei Licenţe atunci puteţi alege orice versiune publicată (nu ca variantă preliminară) de către Free Software Foundation.

- 122 -

978-606-560-552-7