Cálculo III - Carlos Alberto Abello Muñoz

CÁLCULO III INTEGRALES IMPROPIAS, SUCESIONES, SERIES Y OTROS Carlos Alberto Abello Muñoz, Dumar Villa Zapata, Humberto Colorado Facultad de Educación Facultad de Ciencias Básicas y Tecnológicas Univ ersidad del Quindío Armenia - Colombia Magister Carlos Alberto Abello Muñoz Magister Dumar Villa Zapata Magister Humberto Colorado Torres CALCULO III INTEGRALES IMPROPIAS, SUCESIONES, SERIES Y OTROS No está permitido importar, v ender, dif undir, distribuir y exportar total o parcialmente esta obra, ni su tratamiento o transmisión por cualquier método sin autorización escrita del editor. El contenido de la presente obra es exclusiv o de los autores. Derechos reserv ados ISBN: 978-958-8801-02-5 . 200 ejemplares ELIZCOM S.A.S www.elizcom.com v [email protected] Celular:(57+) 3113349748 Fax: (57) (6) 7493244 Armenia, Quindío, Colombia Diciembre de 2012 Agradecimientos: A la Facultad de Educación y Facultad de Ciencias Básicas y Tecnológıcas, Univ ersidad del Quindío, Armenia - Quindío Colombia. Carlos Alberto Abello Muñoz Dumar Villa Zapata Humberto Colorado Torres Armenia - Quindío, Colombia Diciembre de 2012 Índice general 1. FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS 8 1.1. INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN 2

INFINITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS (TIPO II) 23 2. SUCESIONES 28 3. SERIES INFINITAS 40 3.1. SERIE TELESCÓPICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. CRITERIO DEL N-ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA. . . . . . . . 44 3.3. ADICIÓN O SUPRESIÓN DE TÉRMINOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. RENUMERACIÓN DE LOS TÉRMINOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5. COMBINACIÓN DE SERIES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS 56 4.1. EL CRITERIO DE LA INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2. DEFINICIÓN DE P-SERIE O SERIE P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3. PRUEBAS DE COMPARACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4. CRITERIO BÁSICO DE COMPARACIÓN (DIRECTA). . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5. CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6. CRITERIO DE LA RAZÓN ( O COCIENTE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.7. CRITERIO DE LA RAÍZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8. CRITERIO DE RAABE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.9. SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.9.1. SERIES ALTERNAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.9.2. CRITERIO PARA LAS SERIES ALTERNANTES . . . . . . . . . . . . . 78 4.9.3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA 3

CONDICIONAL. 82 5. SERIES DE POTENCIAS 87 5.1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO SERIE DE POTENCIAS. . . . . . 100 5.2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. . . . . . . . . . 103 5.3. SERIES DE TAY LOR Y MACLAURIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Abello C, Villa D, Colorado H. INTRODUCCIÓN En matemática, más específ icamente en el cálculo dif erencial, la regla de l’Hôpital o regla de l’Hôpital-Bernoulli es una regla que usa deriv adas para ay udar a ev aluar límites de f unciones que estén en f orma indeterminada. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático f rancés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (1661 1704), quien dio a conocer la regla en su obra L´Analy se des inf iniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo dif erencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que f ue quien la desarrolló y demostró. Esta regla tiene mucha aplicación tanto para las integrales impropias (integrales def inidas donde uno o ambos límites de integración son inf initos o donde el integrando es discontinuo en un número f inito de puntos del interv alo de integración), como a la teoría de sucesiones y series. La teoría de series y sucesiones tiene sus antecedentes en la antigüedad clásica. Ya desde la época de Zenón de Elea se conocen intentos por comprender los f enómenos matemáticos de series y sucesiones. Zenón f ue un hombre que se caracterizó por construir muchas aporías, de las cuales sólo cuatro llegaron hasta nosotros. En una de ellas él se preguntaba ¿cómo es que Aquiles, el de los pies ligeros, puede recorrer, es decir correr, el estadio (125 pasos geométricos u octav a parte de una milla)? El decía: antes de llegar a la meta, Aquiles tiene que recorrer la mitad del camino. En este momento le resta la otra mitad. Ahora bien, antes de recorrer la mitad restante, tiene que recorrer la mitad de esta mitad, de modo que aún le resta la mitad de esta mitad, es decir la cuarta parte. 4

Pero antes de recorrer esta cuarta parte restante, tiene que recorrer su mitad, y así sucesiv amente. Ev identemente, siempre –supone Zenón- le quedará una parte por recorrer. Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles llegase a la meta. Él sólo trataba de mostrar la aparente imposibilidad racional del mov imiento. Cuentan que Diógenes de Sinope, el cínico, intentaba ref utar estos argumentos caminando en círculos alrededor de su oponente. Pero una v erdad racional no se ref uta demostrando lo contrario, se ref uta delatando la f alla lógica. El hecho de que Diógenes sólo atinase a caminar sin poder decir nada, muestra cuán f uerte son los argumentos de Zenón. Ya en el siglo XVII y XVIII, algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos f initos a conjuntos inf initos, de manera que en algunos casos la suma de conjuntos de inf initos números f uese f inita. La idea que propone Zenón en esta aporía es que la suma de un número ilimitado de cantidades positiv as no puede tener una suma f inita. La sucesión que propone Zenón es la siguiente: primero el corredor tiene que recorrer la mitad del estadio, luego la mitad de la mitad restante (es decir, la cuarta parte), luego la mitad de la mitad de la mitad (es decir, la octav a parte), y así sucesiv amente. Es decir, la sucesión tiene la f orma: 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 , 1 / 16 , . . . Ev identemente, esta sucesión tiene inf initos términos, cada uno de los cuales es una magnitud positiv a. Fácil es comprender que la magnitud que tiene que recorrer el corredor v iene dada por la serie 1/ 2 +1/ 4 +1/ 8 +1/ 16 +. . . ¿Qué es lo que propusieron los

matemáticos?, que la serie anterior tiene suma positiv a f inita, aunque se sumen inf initos términos. Sabemos que en este caso la suma es 1, es decir la unidad (la unidad que el estadio representa). Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa un lugar importante Leonar Euler. Euler descubría una f órmula interesante después de otra y a la v ez utilizaba las series inf initas como concepto unif icador de div ersas ramas de las matemáticas, que hasta entonces estaban sin relación. La extensión del uso de las series inf initas empezó más tarde, cerca de 50 años después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el desarrollo del cálculo inf initesimal. Nicolás Mercator y Guillermo Brunckor descubrieron en 1668 una serie inf inita para el logaritmo al intentar 5

Newton descubrió la serie calcular el binómico. área de un segmento hiperbólico. Poco después Estos descubrimientos constituy eron un punto f undamental en la historia de las matemáticas. Poco después de la muerte de Euler, el caudal de nuev os descubrimientos empezó a disminuir y el período f ormal en la historia de las series llegó a su término. Un nuev o período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gauss publicó la célebre memoria que contenía por primera v ez un estudio riguroso de la conv ergencia de las series inf initas. Pocos años más tarde, Cauchy (en 1821) introdujo una def inición analítica del concepto de límite y expuso los f undamentos de la teoría moderna de conv ergencia y div ergencia de las series inf initas. Con ello quedó claro que una serie inf inita de números tiene suma f inita si la serie es conv ergente, o lo que es lo mismo: si la serie conv erge, entonces tiene suma f inita. Cuando nos encontramos con una serie inf inita de números hay dos cosas que debemos determinar: a) si la serie conv erge o no, b) si conv erge, ¿cuál es su suma? La may or dif icultad para tratar de dilucidar ambas cuestiones es poder determinar el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. En realidad, puede decirse que son raras las series en las que es posible hallar una f órmula que nos de la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, si para determinar la conv ergencia de la serie es preciso hallar el límite cuando n tiende a inf inito del término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales, cav e la pregunta: ¿de qué manera podemos saber en el caso general el carácter de la serie? De suerte que se han desarrollado criterios que permiten determinar el carácter de la serie sin tener que hallar el término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales. Existe un número bastante amplio de criterios, unos más apropiados que otros para este o aquel tipo de serie, que nos permite realizar semejante cálculo. Ahora bien, no existe un criterio único, una metodología univ ersal que resuelv a el problema en cuestión. La determinación del término n-ésimo de la sucesión de las sumas parciales de una serie es un problema que su 6

Def inición 1. Sif y g son f unciones tales que l´ mf (x) = l´ mg (x) = 0, se dice que la

x→a x→a f unción def inida por f(x) tiene la f orma indeterminada 0 ena. g(x) 0 Existe otro tipo de f orma indeterminada a saber: ∞ . Para mostrar un ejemplo consideremos los ∞ límites l´ m (− ln |x|) → ∞ y l´ım cot |x| → ∞; de este modo, la f unciónG def inida por

x→0 x→0 G ( x )= − ln |x| cot |x| toma la f orma indeterminada∞ enx = 0. AunqueG (x) no existe enx = 0, sucede que∞ l´ m G ( x ) = l´ m − ln | x | = 0 x→0 x→0 cot |x| 8 y es claro que no podemos hallar este límite con ninguno de los métodos que conocemos hasta ahora, no obstante, la regla de L’hôpital nos v a a permitir corroborar esta asev eración. Pero antes de enunciar este f amoso resultado, v amos primero a f ormalizar este otro tipo de f orma indeterminada con la siguiente def inición: Def inición 2. Sif y g son f unciones tales que l´ mf (x) → ±∞ y l´ mg 8

(x) → ±∞, entonces se

x→a x→a dice que la f unción def inida por f(x) adopta la f orma indeterminada±∞ ena. g(x) ∞ FÓRMULA DE Si las f uncionesf y g son continuas en un interv alo cerrado [a, b], CAUCHY. 1.1. deriv ables en el interv alo abierto (a, b) y sig (x) = 0 para todox en (a, b), entonces existe un númerow en (a, b) tal que f(b) − f(a) f (w).g(b) − g(a) = g (w)

Demostración. Nótese primero queg (b) − g (a) = 0, y a que sig (a) = g (b), entonces por el Teorema de Rolle, existe un número c en (a, b) tal que g (c) = 0, lo que contradice la hipótesis sobreg . [1] Seah una nuev a f unción def inida como sigue: h (x) = [f (b) − f (a)] g (x) − [g (b) − g (a)] f (x) para todox en [a, b]. Se deduce queh es continua en [a, b], deriv able en (a, b)y h (a) = h (b). Por el Teorema de Rolle, existe un númerow en (a, b)tal queh (w) = 0, es decir; [f (b) − f (a)] g (w) − [g (b) − g (a)] f (w) = 0 Esto equiv ale a la Fórmula de Cauchy. Tomandog (x) = x en (1,1.)se obtiene: f (b) − f (a)= f (w) b − a 1 . o, equiv alentemente f (b) − f (a) = f (w) (b − a) Lo anterior demuestra que la Fórmula de Cauchy es una generalización del Teorema del Valor Medio. El siguiente resultado es el teorema más importante sobre f ormas indeterminadas. REGLA DE Seanf y g f unciones deriv ables en un interv alo abierto (a, b) que L’HÔPITAL . 1.2. contiene a c, excepto posiblemente en el propioc. Supongamos queg (x) = 0 para todox en (a, b) excepto posiblemente en el propioc. Si el límite def(x) cuandox tiende ac produce la f ormag(x) indeterminada 0, entonces 0 ) l ım f (x f (x)

9

x → c g ( x ) = l´ m →c g (x) supuesto que el límite de la derecha existe o es f inito. Este resultado es v álido también si el límite de f(x) produce cualquiera de las f ormas indeterminadas ∞ , −∞ , ∞ o bien−∞ . g(x) ∞ ∞ −∞ −∞ Demostración. Supongamos quef (x)/g(x) tiene la f orma indeterminada 0/ 0 enx = c y que l´ım x→c [f (x)/g (x)] = L para un númeroL. Se quiere demostrar que l´ m x→c [f (x)/g(x)] = L. SeanF y G tales que F (x) = f (x) si x = c y F (c) = 0, G (x) = g (x) si x = c y G (c) = 0. Como l´ mF (x) = l´ımf (x) = 0 = F (c) , x→c x→c La f unción F es continua enc y por tanto es continua en todo el interv alo (a, b). Análogacamente, G es continua en (a, b). Además,F (x) = f (x) y G (x) = g (x), siempre quex = c. Aplicando la Fórmula de Cauchy a uno de los interv alos [c, x] o [x, c] resulta que existe un númerow entrec y x tal que F (x) − F (c) F (w) f (w).G (x) − G (c) = G (w) = g (w)

Aprov echando el hecho de queF (x) = f (x) , G (x) = g (x)y F (c) = G (c) = 0, se obtiene que f (x) f (w).g (x) = g (w)

Comow se encuentra entrec y x, resulta que f ( x ) f (w) f (w) l ım ım ım L g (x) = l´ g (w) = l´ g (w) =

x→c →c →c

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que es lo que se quería demostrar. Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital (París, 1661 – París, 2 de f ebrero de 1704) f ue un matemático f rancés. El logro más conocido atribuído a su nombre es el descubrimiento de la regla de L’Hôpital, que se emplea para calcular el v alor límite de una f racción donde numerador y denominador tienden a cero o ambos tienden a inf inito. L’Hôpital nació en París, Francia. Inicialmente planeó una carrera militar, pero su poca v isión le obligó a cambiar a las matemáticas. Resolv ió el problema de la braquistócrona, independientemente de otros matemáticos contemporáneos. Murió en París. En 1694 Bernoulli y L’Hôpital acordaron que L’Hôpital le pagaría trescientos f rancos anuales para que le transmitiera sus descubrimientos, que L’Hôpital describiría en su libro. En 1704, tras la muerte de L’Hôpital, Bernoulli rev eló la existencia del trato, asegurando que la may oría de los descubrimientos que aparecían en el libro de L’Hôpital’s eran suy os. En 1922 se encontraron documentos que apoy aban la tesis de Bernoulli. Publicó su libro anónimamente, Guillaume François Antoine agradeciendo la ay uda prestada por Bernoulli en la introducción, y nunca dijo ser el descubridor de la regla. [15] Es también el autor del primer libro conocido sobre cálculo dif erencial, L’Analy se des Inf iniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes. Publicado en 1696, el texto incluy e las clases de su prof esor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la indeterminación 0/ 0 .

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x 2− ln x x→1 1 = 1 Ejemplo 2. Calcular el límite l´ m sin x

x→0x Como la sustitución directa llev a a la f orma indeterminada 0, podemos aplicar la regla de L’hôpital, esto es: 0 l´ m sin x = l´ım cos x = 1

x→0x x→01 Otra f ormulación de la regla de L’hôpital establece que si el límite de f(x)

existe cuandox tiende ag(x)

∞ (o a−∞) produce una f orma indeterminada 0 o±∞ , entonces 0 ∞ f (x) f (x)l ım

ım g (x) = l´

x→∞ →∞ g (x) supuesto que el límite de la derecha exista. e

x Ejemplo 3. Calcular el límite l´ m

x→∞ x Como la sustitución directa llev a a la f orma indeterminada∞ , podemos aplicar la regla de L’hôpital, ∞ esto es: ex ex l´ m x = l´ım 1→ ∞

x→∞ x→∞ Ejemplo 4. Calcular el límite l´ m x2

x→−∞ e−x Como la sustitución directa llev a a la f orma indeterminada∞ , podemos aplicar la regla de L’hôpital, ∞ esto es: x2 2xl´ m

e−x = l´ım

x→−∞ −e−xx→−∞ pero este límite v uelv e a generar la f orma indeterminada−∞ , luego−∞ 2 2x = l´ m e−x=0x→−∞ e−x= l´ım −e−x x→−∞

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l´ m x 2

x→−∞ Nota. La regla de L’hôpital puede aplicarse también a límites laterales. e

x Ejemplo 5. Ev aluar el límite l´ım − (1 + x) ,n un entero positiv o.

x→0+ x n Para este ejemplo v amos a analizar los casos particularesn = 1, 2 y 3 x n = 1 : l ım e − (1 + x)

x→0+ x Ya que la sustitución directa produce la f orma indeterminada 0, utilizamos la regla de L’hôpital0 x x x l ım e − (1 + x)= l ım e − 1= 0x→0+ x x→0+ 1 n = 2 : l ım e − (1 + x)

x→0+ x 2 Como la sustitución directa produce la f orma indeterminada 0, utilizamos la regla de L’hôpital0 x x x l ım e − (1 + x)= l ım e − 1= l ım e

x → 0 + x

2 x → 0 + 2 x

x →0+ 2= 14

12 De nuev o se tiene la f orma ind

00 x n = 3 : l ım e − (1 + x)

x→0+ x 3 La sustitución directa produce la f orma indeterminada 0, utilizamos entonces la regla de L’hôpital0 l´ m ex− (1 + x)= l ım ex− 1= l ım ex x

3 x → 0 + 3 x

2 x → 0 + 6x→∞

x→0+ De nuev o se tiene la f orma ind

00 En general, para n ≥ 3 l´ m ex− (1 + x) → ∞

x→0+ x n Además de 0 y ∞ , existen otras f ormas indeterminadas, tales como: 0 ∞

0 · ∞, 1∞ ,∞0, 00 y ∞ − ∞ y para calcular el límite de una f unción que presenta una de estas f ormas indeterminadas, primero debe reexpresarse la f unción (con 15

ay uda del algebra y /o de sus propiedades) de tal f orma que presente la f orma indeterminada 0 o∞ para poder usar la regla de L’hôpital. 0 ∞ Ejemplo 6. Ev aluar el siguiente límite l´ım − (ln sin x) tan x.

x → π 2 Puesto que l´ım ln sin x = 0 y l´ım tan x → ∞, este límite toma la f orma indeterminada

x → π − x→π − 22 0 · ∞. Debemos entonces reexpresar el límite dado, de f orma tal que aparezca una de las f ormas indeterminadas 0 o∞ para poder usar la regla de L’hôpital, esto es: 0 ∞ l ım (ln sin x) tan x = l ım ln sin x (Reescribiendo la f unción

→ 0 π− x→π− cot x para obtener la f orma ind

220 cos x = l´ m

sin x − csc

2 x (Aplicando la regla de L’hôpital)

x → π− 2 16

x

cos x = l´ m sin x = − l´ım cos x sin x = 0

x → π − −1 x→π − 2 sin2 x 2 Nota . Las f ormas indeterminadas 1∞ ,∞0 y 00 prov ienen de límites de f unciones con bases y exponentes v ariables. Cuando nos encontramos ante esta situación recurrimos a procesos semejantes al de la deriv ación logarítmica, además del uso del siguiente teorema del cálculo dif erencial. Teorema 1. Si l´ mg (x) = b y si la f unciónf es continua enb, entonces

x→a l´ m (f ◦ g) (x) = f (b)

x→a o equiv alentemente, l´ mf (g (x)) = f l´ımg (x)x→a x→a Ejemplo 7. Ev aluar el límite l´ım 1 + 1 x

x→∞

x

Vemos que la sustitución directa conduce a la f orma indeterminada 1∞ . Para hallar el límite, empezamos por considerar que el límite existe y que es igual ay, esto es: y = l´ım 1 + 1 x

x→∞

x

luego, ln y = ln l´ım 1 + 1 x .

x→∞

x

Como la f unción logaritmo natural es continua, podemos escribir x (En v irtud del teorema enunciado) 1 x→∞ ln 1 + ln y = l´ım x 1 = l´ mx ln 1 + (Por propiedades de ln u)x→∞ x = l ım ln 1 + 1 (Reescribiendo la función parax 0x→∞ 1 obtener la f orma

indeterminada0x 1 −1

17

(

1+ 1) x2 = l´ m x (Aplicando la regla de L’hôpital)

x →∞ −

1 x2 = l´ m 1 = 1 (Simplif icando y ev aluando)

x →∞ 1+

1 x En conclusión, ln y = 1, por lo tantoy = e y así l´ m 1 + 1 x = e. Este resultado es una f orma alternativ a para def inir al número de Euler. x→∞ x Ejemplo 8. Ev aluar el límite l´ım (sin x)x

x→0+ La sustitución directa produce la f orma indeterminada 00, entonces suponemos que el límite existe y que es igual ay y = l´ım (sin x)x

x→0+ ln y = ln l´ım (sin x)x (Tomando logaritmos)

x→0+ = l´ m ln (sin x)x (En v irtud del teorema enunciado)

x→0+ = l ım x ln (sin x) (Por propiedades de ln u) x→0+ (Se obteniene la f orma

ind 0 (−∞)) = l ım ln (sin x) (Reescribiendo la f unción para

x → 18

0 + 1

obtener la f orma indeterminada−∞

x∞

1 = l´ m sin x cos x (Aplicando la regla de L’hôpital)

x → 0 +

−1

2

x

= − l´ m x 2 cot x (simplif icando)

x→0+ 2 = − l ım x (Reescribiendo la f unción para

x → 0 + tan x obtener la f orma indeterminada

00

= − l´ m 2x = 0 (Aplicando la regla de L’hôpital y ev aluando) x→0+ sec 2x Como ln y = 0, entoncesy = 1, luego l´ım (sin x)x = 1

x→0+ EJERCICIOS (Regla de L’Hôpital) 1. Use la regla de L´Hopital para calcular los siguientes límites. sin x l ım(1 + x)1/x− el ım x→0 xx2 x→0 √x −√a +√x − a 100) l ım ln(x x→∞ l ım √x 2− a2 ln(

x )

x→a+x 19

l´ m

n 2 x lim

k =1 x k− n x→∞ x − 1 l´ m sec x +1

x→1 lim (cos x)

cot x x→π/2 tan x x→0 ax− 1, b = 1 x→π−l ım lim (cos x)tan x bx− 1 2x→0 2x − x −2) l´

m ln(ln x ) lim(csc

x→0 x→∞ ln x lim xlnx + 1 l ım ln(1 − 2x)x→∞ x − 1 x → 1− tan πx lim(x + ex/2)2/x

2

x→0

l´ m cot x l´ım (cos x)x−π ln

x

2 x→π −x→0+ 2 20

l´ m csc x l´ mx 1/x

2 x→0 cot x

x→∞

l´ m2x ln x 2 1− x x→0 lim x − 1 ln x l ımx2 csc x x→1 x→0

1 + 1x

l´ m(csc x − cot x)lim

x→0

x→∞

x

l´ m 2(sec x − tan x) lim(cos x − sin x)1/x x→π/

−√x→0

x 4− x 2 + 2) lim √xl´ m (x 2 x→∞

x→∞ 1 + x 2

l´ m (x 6 + 3x 5 + 4)1/6− x 1 + 1 x2

x→∞ lim l´ım e−1/xx→∞ 2x

x→0+ x lim [ln(x + 1) − ln(x − 1)] l´ m (cos x) · ex2/2 4/x2 x→∞ −tdt x→0 lim 1

x √1 + e

l´ m (2x)x2 x→1+ x

x→0+ lim ecos x x→∞l ımx1/(1−x) nx + 1x x→1 Si l´ım nx − 1 = 9 determinen. l ım xxx

x→∞ x→0+ 2. Halle los v alores dea y b tales que lim sin 3x + ax + bx 2 x

3 =0

x→0 3. Si f (x) =(1 − e4x)x si x < 0 , determinek de modo quef sea continua enk si x > 0 21

x=0 4. Suponga que f ( x )= x 3t√ 4

e

9t + 1 dt y g(x) = x ne3x. Sixlim f (x) ∞ g (x) = 1, obtengan . 1 →+

5. La primera aparición impresa de la regla de L’Hôpital f ue en el libro Analy se des Inf iniment Petits, publicado por el marqués de l´Hopital en 1696. Fue el primer libro de texto de cálculo alguna v ez publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla f ue hallar el límite de la f unción √

2a3x − x 4− a 3√aax y = a − 4√ax3 cuandox tiende aa , dondea > 0. (En aquel tiempo era común escribiraa en lugar dea2.) Resuelv a este problema. 1.1. INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN INFINITOS Hasta aquí, en el estudio de la integral def inida se ha supuesto que el integrando está def inido en un interv alo cerrado. Se extenderá la def inición de la integral def inida para considerar un interv alo inf inito de integración. A estas integrales se les denomina integrales impropias. (Tipo I) Def iniciones. 1. Sea f una f unción integrable en [ a, + ∞ ) . Si l´ m ´b b→+∞ af (x) dx existe, se dice que la integral impropia

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+∞

(x) dx es

conv ergente y en este caso se escribe: a f ˆ+∞ ˆb f ( x ) dx = l´ m b→+∞ f (x) dx

aa

si el límite no existe, se dice que la integral impropia es div ergente. 2. Sea f una f unción integrable en ( −∞ ,b ] . Si l´ m

a→−∞ a bf (x) dx existe, se dice que la integral impropia b f (x) dx es conv ergente y en este caso se escribe: −∞

ˆb ˆb f ( x ) dx = l´ m a→−∞ f (x) dx

−∞ a

si el límite no existe, se dice que la integral impropia es div ergente. 3. Sif es integrable en (−∞, +∞), y c ∈ R, entonces: ˆ+∞ ˆc ˆ+∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx

−∞ −∞ c Observ aciones. 1. El signif icado de la def inición (3) es el siguiente: 23

Si las integrales impropias c f (x) dx y ´

+ ∞ −∞ ( x) dx son conv ergentes, siendo c cualquier número real, entonces la integral impropiac f +∞ f (x) dx es conv ergente y su v alor es la suma de las dos integrales impropias. Pero si al−∞

menos una de las dos integrales impropias de la derecha es div ergente, entonces la integral +∞ f (x) dx es div ergente. −∞ 2. Cuando f ( x ) ≥ 0 y la integral impropia ´

+∞

a f (x) dx es conv ergente, entonces el v alor de dicha integral

corresponde al área de la región acotada por la curv ay = f (x), el ejex y la rectax = a. Ejemplo 9. Ev alúe la integral: ˆ2 dx (4 − x)

2 −∞ Solución. ´

2 dx = l´ m 24

a→−∞ ´ 2 dx

a (4−x)2 −∞ (4−x)2 = l´ m

a →−∞ 4−x 1 2 = l´ m

a →−∞ 1 −

4−a 1 2 =1− 0 =

21 2 Ejemplo 10. Ev alúe, si existen: 1. r +∞ x dx 2. l´ m r→+∞ −r x dx −∞ Solución. 1. +∞ x dx = l´ım 0 b a→−∞ ax dx + l´ m b→+∞ 0x dx −∞

= l´ m

a →−∞ 1x 2 0 + l´ım 1 2b b→+∞ x

2a20 = l´ m

a →−∞ 25

− 1 2

a + l´ m b→+∞ 1b2

22 Como ninguno de estos dos límites existe, entonces la integral impropia div erge. 2. l´ım

r → + ∞ − r x dx = l´ m

r→+∞ 1x 2 rr

2 −r = l´ m

r → + ∞ 1r2− 1r2

22 = l´ m r→+∞ 0 = 0 Ejemplo 11. Ev alúe la integral si es conv ergente: ˆ+∞ x e−xdx

0 Solución. +∞ x e−xdx = l´ım b

26

−x b→+∞ 0x e dx 0

A f in de ev aluar la integral se utiliza integración por partes conu = x y dv = e−xdx, de modo que du = dx y v = −e−x, así: +∞ x e−xdx = l´ım −x −x b b→+∞ [−xe − e ]

00 = l´ m b→+∞ −be−b− e−b + 1 = l´ m b→+∞ b− 0 + 1eb Con objeto de calcular l´ m b→+∞ b, se aplica la regla de L’Hopital porque l´ m b→+∞ b = +∞ y l´ m

b → + ∞ e

b eb = +∞. De este modo se tiene l´ m

b → + ∞ b = l´ım b→+∞ 1

e

b eb = 0 Por lo tanto la integral ˆ+∞ x e−xdx = 1

0 EJERCICIOS (Integrales impropias tipo I ) 1. Determine si la integral impropia es conv ergente o div ergente. Si es conv ergente, ev alúela. ∞ −xdx f) +∞ x dx k) ∞3−√xa) 0 e −∞ x 4 + 9 √xdx 0 b) ∞

27

0 x 2e−xdx g) ´∞ 1dx ∞ 1 dxc) 2 1 xdx h) 1 x 3/4 ∞ x3 l) e x(ln x)2−∞

5 − 20 (x2 + 1)2dx d) ∞ x dx i) 0 1 dx m) +∞ 1 dx1 1 + x 2 −∞ x 2 + 6x + 12 e ) ´ 0 1 dx −∞ 2

x − 3x + 2

j)

+∞ −∞ +∞ e−| x| dx(x − 1)3 0 e−2x sin 3x dx, n)−∞ 2. Determinar los v alores de p para los cuales conv erge la integral ˆ∞ 1dx

p 1x 3. Demuestre que la integral impropia b f (x) dx es conv ergente, entonces +∞ −∞ −b f (−x) dx también es conv ergente y tiene el mismo v alor. 4. Para un cierto v alor real deC , la integral ˆ∞ Cx 1 2 x + 1 dx x 2 + 1 − 2

conv erge. DeterminarC y calcular la integral. 5. Determine un v alor den para la cual la integral impropia ˆ

+∞ n − 3x

2x

2 + n dx 1 x + 1 es conv ergente, y ev alúe la integral para este v alor den. 6. La f unción gamma Γ(n) se def ine como ˆ

+∞

Γ(n) = x n−1e−xdx n > 0

0 a ) Calcular Γ(1) , Γ(2) , y Γ(3) . b) Probar integrando por partes, que Γ(n + 1) = nΓ(n) c) Expresar Γ(n) en términos de la notación f actorial, paran entero positiv o.

28

3 dx =t→ m 3 dx =t→ım [ln x] 3dx 0 x l´t x l´t0+ 0+ = l´ m [ln 3 − ln t] = ∞

t→0+ Como el límite no existe la integral impropia div erge. Ejemplo 14. Determinar si la integral impropia 4 1 dx conv erge o div erge. 0 (x−3)2 Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad inf inita en el punto interior x = 3 . Por tanto, escribimos:

´ 4 1 2dx = ´ 3 1 2dx + ´ 4 1 2dx0

(x−3) 0 (x−3) 3 (x−3)

Para que conv erja la integral del lado izquierdo se necesita que las dos integrales del lado derecho conv erjan. Resolv iendo la primera integral, tenemos: 3 1 dx = m t 1 dx = m −1 t t t

0 (x−3)2 l´ 0 (x−3)2 l´ x−3 0→3− →3− = l´

t m −1− 1 = ∞

→3−

t−3 3

Por lo tanto, la integral impropia div erge. Ejemplo 15. Calcular ´dx

0 ∞√

x(x+1)

dx dx + ´∞ √x(x+1) l´ Para calcular la integral, la div idimos por un punto apropiado (digamosx = 1) y escribimos:

´ dx 0

01

∞ √x(x+1) = 1 √x(x+1)√x] 1 + l´ım[2 arctan√x] b= m [2 arctan t→ t b→∞ 1 =

2

33

1 dx g ) π/2 1 y dy 1 m)

b)−1x2 0 1 − sin0x ln x dx h)∞ ln x dx n) ´ 4 dx c ) 9 1

√ dx i) ´0

13

x − 9 0 1 dw−1 | x| −2(w + 1)1/3 ´ 0 √ 1 dxd) 2√ 1

dx 21 dx ñ) −3 3 + 2x − x 200 (2x − 1)2/3 2x − x2 j)

´ π k) ∞√

x(1 + x)dx o) 0 3−√x e

) 1

π 2 sec θdθ 0 −3√xdx 4

2. Encuentre los v alores p para los cuales conv erge cada integral. 1dx b) 2 dx c) 1 p ln x dxa) 0 xp 1 x(ln x)p 0x 3. La Hipocicloide de cuatro cúspides tiene por ecuación

x 2/3 + y 2/3 = a2/3 donde a es una constante , a >1. Consulte sobre su gráf ica, elaborela y luego calcule su perímetro. Rta 6a Jean le Rond D’Alembert (París; 16 de nov iembre de 1717 octubre de 1783) f ue Íbidem; 29 de un matemático, f ilósof o y enciclopedista f rancés, uno de los máximos exponentes del mov imiento ilustrado. Es célebre por crear con Diderot L’Ency clopédie y por su labor en el campo de las matemáticas, relativ o a las ecuaciones dif erenciales y a las deriv adas parciales. Abordó la matemática a trav és de la f ísica, con el problema de los tres cuerpos (imposibilidad de encontrar ecuaciones de las tray ectorias inestabilidad del sistema), la precesión de los equinoccios estaciones), modos de música). Esto le llev ó a estudiar las (razón del deslizamiento de las las cuerdas v ibrantes (distintos v ibración - aplicación a la ecuaciones ecuaciones También inv entó 36

un criterio para distinguir una serie conv ergente de una div ergente. [15]

37

28 Por ejemplo: 1 , 2, 3, · · · , n, · · · ↓↓↓↓ a1, a2, a3, · · · , an, · · · 1 se aplica ena1, 2 ena2, etc. Llamamos aan el n-ésimo término de la sucesión y denotamos ésta por{an}. {an} = {a1, a2, . . . , an, . . .} , n ∈ Z + La sucesión, también se denota mediante { a

n }

∞ n=1 Algunas sucesiones se pueden def inir mediante una f órmula para el n-ésimo término. En los siguientes ejemplos, se dan tres f ormas de notar o describir una sucesión. Una utiliza la notación anterior, otra emplea la f órmula de def inición y la tercera describe los términos de la sucesión. n∞ n1 2 3 , , ,

, n, n + 1 an = n=1 n + 1 2 3 4n + 1 n (−1)n (n + 1)an = (−1)n (n + 1)−1, 3, − 4, , (−1) (n + 1), 2n 2n 4 8 2n √n − 2 ∞ a =√n − 2, n ≥ 2 0, 1, √2, √3, . . . , √n − 2, . . . n n=2 cos nπ ∞ an = cos nπ , n ≥ 0 1, 1, −1, −1, −1, . . . , cos nπ , . . . 3 n=0 3 2 2 23 Otro ejemplo, es encontrar una f órmula, para el término general{an} de la sucesión. Veamos: 3, − 4 , 5 , − 6 , 7 , . . .5 25 125 625 3125

suponiendo que continúe el patrón de los primeros términos. Así = 3 a2 = − 4 a3 =5 a4 = − 6 a5 =7a1 5 25 125 625 3125 Se tiene que los numeradores empiezan con 3 y aumentan en uno, siempre que v amos al término siguiente. El segundo término tiene el numerador 4, el tercero el numerador 5; en general, el n-ésimo término tiene el numeradorn + 2. Luego los denominadores, son las potencias del 5, por tantoan tiene el denominador 5n. Además los signos de los términos se alternan 39

entre positiv o y negativ o, de modo que se necesita multiplicar por una potencia de−1. Así se puede llegar a la f órmula a

n =( − 1) n n+1 1 cuy a n−1n + 2 5 Ahora v eamos la siguiente sucesiónan = (−1)

gráf ica se observ a. n

an 1.5 1 0.5 n 2 46 Gráf ica de los términos de la sucesión: a

n = ( − 1)

n+1 1 n Se observ a que a medida que el v alor den crece los puntos se aproximan cada v ez más a cero. Def inición 1. Límite de una sucesión. Si para todoε > 0, existe un númeroN > 0 tal que |an− L| < ε siempre quen > N, entonces decimos que el límite de la sucesión{an} esL Se escribe l´ m an = Ln→+∞ Las sucesiones que tienen límite (f inito) se llaman conv ergentes y las demás div ergentes. Gráf icamente, esa def inición dice que ev entualmente (paran > M) los términos de una sucesión que conv erge aL estarán en la f ranja comprendida entre las rectas y =L+εey =L−ε como se muestra en la f igura.

L+e 40

L’Hopital: x ∞ l´ m 1 = 0x→∞ x Por consecuencia del teorema anterior l´ m ln n = 0n→∞ n Por lo tanto la sucesión dada es conv ergente.

an 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Gráf ica de los primeros términos de la sucesión n {an} = ln

n 3.{an} = n sinπ = 0, 2, 3√3 √2, . . . n 2 , 2 Seaf (x) = x sinπ entonces x l´ m x sinπ = 0 · ∞ Forma indeterminada

x→∞ x Entonces πsin l´ m x = 0 L’Hopitalx→∞ 1 0 x −π cos π l´ m x2 x = l´ım π cos π

x→∞ − 1x→∞ x x

2 =π Por lo tanto l´ m π = π n→∞ n sinn Por lo tanto la sucesión dada conv erge aπ.

an 5 4 42

3 2 1

n 2 4 6 8 10 12 14

Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión { a

n } = n sin π n 4. { a

n } = 1+1

n = 2, 9, 64, 625, . . . n 4 27 256 Sea f (x) = 1 + 1x x entonces l ım 1 + 1x

x →∞ = 1∞ x Forma indeterminada l´ m 1 + 1x (1+ 1) = el ımx→∞ x ln(1+ 1) = e1

x→∞ x x→∞ ex ln x x= l´ım l´ m x→∞ x ln 1 + 1 = 0 · ∞x l´ m

x→∞ ln 1+

1 x 1 = 0 (L’Hopital). x0 1 · −1

1+1 43

x

2 1 l´ m x→∞ x 1 = l´ m x→∞ 1 + 1 = 1 − x 2 x Por lo tanto1 + 1 n l´ım = e

n →∞ n Por lo tanto la sucesión dada conv erge ae.

an 5 4 3 2 1 n 2 4 6 8 10 12 14 Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión{an} = 1 + 1n n 5.{an} = {3 + (−1)n} = {2, 4, 2, 4, . . .} que oscilan entre 2 y 4, y la sucesión div erge.

an 5 4 3 2 1 n 2 4 6 8 10 12 14 Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión{an} = {3 + (−1)n} Las siguientes propiedades de los límites, son análogas a los v istos para los límites de f unciones. Def inición 2. Si{an} y {bn} son sucesiones conv ergentes y c es una sucesión constante, entonces: l´ m n→∞ c = c (c constante) l´ım n→∞ (an± bn) = l´ım n→∞ an + l ´ım n→∞ bn l´ m n→∞ can = c l´ım n→∞ an l´ım n→∞ (anbn) = l´ım n→∞ an· l ´ım n→∞ bn l´ 44

m

n→∞

bn l´ım n→∞ bn

an = l´ımn→∞an si l´ m n→∞ bn = 0 l´ m n→∞ apn = [l´ım n→∞ an] p sip > 0 y an> 0

Def inición 3. n f actorial Sin es un entero positiv o, f actorial den se def ine como n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · · (n − 1) · n La f actorial de cero se def ine como 0! = 1 Nota: n! = n (n − 1) (n − 2) . . . 1;n! = n (n − 1)! (2n)! = (2n) (2n − 1)!, (2n + 2)! = (2n + 2) (2n + 1) (2n)! n!

Ejemplo 2. Determine la conv ergencia de la sucesiónan =nn n! = 1, 1 · 2, 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4, , 1 · 2 · 3 · · · · · nan = nn 2 2 3 3 34 4 4 4n n n

n

De acuerdo con esta expresión y la gráf ica parece que los términos son decrecientes y quizas tiendan a cero. Para conf irmar lo anterior tenemos = 1 2 · 3 · · · · · nan n n n n La expresión que aparece entre paréntesis, es como máximo uno, debido a que el numerador es menor que (o igual a) el denominador. De manera que: 10 < a ≤ n n

l´ m an = l´ım 1 = 0

n →∞ n

→∞ n

Por lo tanto, l´ m n! = 0

n n →∞ n así la sucesión dada es conv ergente.

an 1 0.8 0.6 0.4 0.2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión 45

{ a

n }=a

n = n! nn Def inición 4. Una sucesión{an} se llama creciente sian≤ an+1 para todan ≥ 1; esto es, a1≤ a2≤ a3≤ · · ·. Se llama decreciente sian≥ an+1 para todan ≥ 1. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. 3 Ejemplo 3. La sucesiónn + 5 es decreciente porque 33 n+5 3>

(n + 1) + 5 =n + 6 y por consiguientean≥ an+1 para todan ≥ 1

Ejemplo 4. Demuestre que la sucesiónan = n es decreciente. n2 + 1 nSe debe demostrar asi quean+1≤ an; es decir, n + 1 (n + 1)2 + 1≤ n2 + 1 Esta desigualdad equiv ale a la que se obtiene por

multiplicación cruzada: n + 1 ≤ n ⇔ (n + 1) n2 + 1 ≤ n (n + 1)2 + 1 (n + 1)2 + 1 n2 + 1 ⇔ n3 + n2 + n + 1 ≤ n3 + 2n2 + 2n ⇔ 1 ≤ n2 + n Comon ≥ 1, sabemos que la desigualdadn2 + n ≥ 1 se cumple; por

consiguiente,an+1≤ an, así que{an} es decreciente. Otra solución puede ser así: Considere la f unción x f (x) =x2 + 1 : f ( x )= x 2 + 1 − 2x 2 1 − x 2 (x 2 + 1)2 = (x 2 + 1)2< 0 siempre que x 2> 1 Por consiguientef es decreciente en (1, ∞), así quef (n) > f (n + 1). Como consecuencia,{an} es decreciente. 46

Def inición 5. El númeroC recibe el nombre de cota inf erior de la sucesión{an} siC ≤ an, para todo entero positiv on; y el númeroD se llama cota superior de la sucesión{an} sian≤ D para todo entero positiv o. Ejemplo 5. Consideremos los siguientes sucesiones. 1. n =1, 2, 3, 4, . . . , n , . . . . Cualquier número menor que 1 es cota2n + 1 3 5 7 9 2n + 1 3

inf erior. 1 2. 1 = 1, 1, 1, 1, . . . , n, . . . . Cualquier número que sea may or o igual a 1 es una cotan 2 3 4 superior de esta sucesión. Observ ación: Vemos que una sucesión puede tener muchas cotas superiores o inf eriores. Def inición 6. Se dice que una sucesión{an} es acotada sí y solo si: tiene cota superior y cota inf erior. EJERCICIOS 2.1. (Sucesiones) 1. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión: 1 c ) a

n =1+( − 1)

n e )a

n =

( − 1) n(n+1)/2 a) an =n + 2 n2 =1 b ) a

n 47

= − 1n

d) an = sinnπ 2 2 f ) an n! 2. Para los siguientes ejercicios halle una f ormula para el n-ésimo termino de la sucecion a ) 3 , 7 , 11 , 15 ,. . . e) 1, 1, 1, 1, 1 ,. . . 2 6 24 120 b)−1, 1 , -1 , 1 , -1 ,. . . f ) 1, 0 , 1 , 0 , 1,. . . c) 2, -1 , 1 , 1 , 1 ,. . . g)−3, -2 , -1, 0, 1 ,. . . 2 48

d ) 1 ,

111 2 x2 x3 x4, x5,. . . , , 1 3 , 1 3 5 , 1 3 5 7 ,. . . h) 1, x , 2 6 24 120

3. Determinar la conv ergencia o div ergencia de la sucesión cuy o nésimo término se da. En caso de conv ergencia, calcular el límite n + 1 31/n a) a = 2 ñ) an = n sin 1n n + 2 i) an = n n n2− 2n + 1 2− n + 4 o) an = (−1)n nb) an = n − 1 j) an = 3n n + 1c) a = 1 + (−1)n n 2n2 + 1 (10/11)n k n n!d) an = (9/10)n + (11/12)n k) an = 1 + p

n ) an =106n √32n+1e) a = 3n = ln n q) a = n 4n l) an n1/n r) a = n −√n2− n = n n n n cos nπ f ) a2 = 3n

1 − n

3 g ) an = m) an n3 s) a = 1 n 1dx n 70 − 4n2 √n n 1 x 1 n) an = √ n+1 n + 1 t) an = n1/n h) an = (−1)

2n − 1 4. Determine si la sucesion es creciente, decreciente o no monótona.¿Es acotada? √ n a 48

) a

n 3n + 4 5n = 2n − 3 b) an = 1c) an = n + 2

49

3 SERIES INFINITAS Una importante aplicación de las sucesiones inf initas consiste en representaciones de sumas inf initas. Dicho de una manera inf ormal, si{an} es una sucesión inf inita, entonces:

∞ an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

n=1 Se denomina serie inf inita ó simplemente serie. Dada la serie ∞ an = a1+ a2+ a3+ · · · + an+ · · ·, entonces la sucesión{Sn} , def inida como: n=1 S1 = S2 = S3 =

a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3

.

n Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an = ak

k=1 . es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde el número Sn , es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parciales conv erge a un límiteL, decimos que la serie conv erge y que su suma esL y escribimos

∞ an = a1 + a2 + · · · + an· · · = L, l´ m n→∞ Sn = L

n=1 ∞ a = l´ım n n n→∞ ak = l´ m n→∞ Sn = Ln=1 k=1

40 La serie an es div ergente si{Sn} div erge. Una serie inf inita div ergente no tiene suma. Ejemplo 1. Demostrar que la serie inf inita: 2+1 4+1 50

8+ ··· +1

∞ · · · o1 = 12 + 14 + · · · 2

n 2n

n=1 conv erge y su suma es 1 Solución: Tenemos que las sumas parciales Suma Parcial S

1 = 1 2 S2 = 2 + 1 S3 = 2 + 14 + 1 Sn = 2 + 14 + 18 + 2n 2n

+ 1= 1− 1

Se observ a un patrón. Las sumas parciales f orman una sucesión cuy o n-ésimo término es: 1S = 1 − n 2n

Ahora, 2n l´ım − 1 = 1 n→∞ Sn = l´ım 2nn→∞ Por lo tanto la serie dada conv erge y su suma es 1, es decir ∞ 1 = 1n=1 2n Ejemplo 2. Sea la serie inf inita ∞ 11111

4+ +

n (n + 1) +

n=1 n (n + 1) =1 2 +2 3 +3

1. Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales {Sn} 2. Determine una f órmula paraSn en términos den 3. Demuestre que la serie dada conv erge y halle su suma. Solución. 1. Las sumas parciales: 51

2. S

1 = 1 1 2=1 S2=

1 2 +2

S3 =

1 2 +2 3 +3

S4 =

1 2 +2 3 +3 4 +4

11

3=2

111

4=3

1111 5 = 4

1 1 1 1 Sn =1 .1

+ − 2 +2 3 +3 4 + n (n + 1) = 1 n + 1 1 Tenemos quean =n (n + 1) , haciendo f racciones parciales 1 an = 1

n − n+1

Por lo tanto, la n-ésima suma parcial de la serie se puede escribir como Sn = a1 + a2 + · · · + an S n = 1 − 2 2 3 3 4 n 1 +1− 1 +1− 1 + · · · +1−1 n + 1

1 3. Sn = 1 −n + 1 1 4. l´ m n→∞ Sn = l´ım n→∞ 1 −n + 1 = 1, así la serie dada conv erge y suma es 1 es decir

∞1 + 1) = 1n=1 n (n 3.1. SERIE TELESCÓPICA. La serie del ejemplo anterior es una serie telescópica y a que tiene la f orma 52

∞ (bn− bn+1) = (b1− b2) + (b2− b3) + (b3− b4) · · · + (bn−1− bn)

n=1 o sea la n-ésima suma parcial de la serie es:Sn = b1− bn. Además si la serie conv erge su suma es l´ m (Sn) = l´ m (b1− bn)n→∞ n→∞ Ejemplo 3. Hallar la suma de la serie (Tarea):

∞2 4 n2− 1n=1 Ejemplo 4. Demostrar que la serie∞ (−1)n−1

n=1 es div ergente. Solución: S1 = S2 = S3 = S4 =

1 1 + (−1) = 0 1 + (−1) + 1 = 1 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0

. S

n = 1 si n es impar 0 si n es par Como la sucesión de sumas parciales{Sn} alterna u oscila entre 1 y 0, resulta que l´ m Snn→∞ no existe. Por lo tanto la serie inf inita es div ergente. Teorema 2. Si la serie∞ an

n=1 es conv ergente, entonces l´ man = 0

n=∞ Demostración. El n-ésimo términoan de una serie inf inita, se puede expresar como 53

Si an = Sn− Sn−1 l´ m n→∞ Sn = S, entonces también l´ım n→∞ Sn−1 = S y l´ım an = l´ m (Sn− Sn−1) = l´ m Sn− l´ m Sn−1 = 0

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 3.2. CRITERIO DEL N-ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA. Teorema 3. Si l´ m n→∞ an = 0 , entonces la serie inf inita ∞ an es div ergente. n=1 La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [3, 8] Ejemplo 5. Aplicar el criterio del n-ésimo término para demostrar div ergencia. ∞ n → l´ m n→∞ 2n + 1 = 1 = 0, por lo tanto la serie es div ergente. n=1 2n + 1 ∞ 11→ l´ m n→∞ n2 = 0. No se puede decidir. n=1 n2

∞ en en n→1 n→ l´ım n→∞ n = ∞, por lo tanto la serie dada div erge. ∞ 3 → l´ m 3 n→∞

. No se permite concluir.n=1 (3n − 2) (3n + 1) = 0 (3n − 2) (3n + 1) Sin embargo al descomponer en f racciones parciales se tiene: 1 1 (3n − 2) (3n 3

+ 1) = 3n − 2− 3n + 1 entonces

∞ 3 = ∞ 1 1 3n − 2− 3n + 1 n=1 (3n − 2) (3n + 1)n=1

= 1 − 1 1 1 4 4 7+ 1− 1 + v iene dada por:

+ 3n − 2− 3n + 1 así la n-ésima suma parcialS n

S1 ⇒ l´ım Sn = 1n = 1 −3n + 1 n→∞ lo cual indica que la serie dada es conv ergente y su suma es 1 ∞ 2n→ l´ım n→∞ 2n = ∞ = 0, por lo tanto la serie es div ergente. n=1

∞ n ! → l ımn→∞

2n! + 1 = l´

54

n! 1 1/2

m n→∞ 2−2n! + 1 = 1 = 0, por lo tanto lan=1 2n! + 1 2 serie dada es div ergente. Def inición 1. La serie ∞1

= 1 + 12 + 13 + · · · + 1 + · · · se conoce como serie armónica. Serie que div erge. n=1 n n Algunas series inf initas aparecen f recuentemente en la solución de problemas aplicados, una de las más importantes es la serie geométrica. Def inición 2. La serie dada por ∞

arn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1· · · cona = 0 se llama serie geométrica de razónrn=0 Teorema 4. Teorema que garantiza la conv ergencia o div ergencia de la serie. Una serie geométrica ∞ arn de razónr div erge si: n=0 |r| ≥ 1 y conv erge si|r| < 1 además si conv erge su suma es: S

n = a

∞ ´ arn = a = L1 − r n=0 1 − r Demostración. Tenemos la serie geométrica ∞ arn = ∞ arn−1 la nésima suma parcial den=0 n=1 la serie dada es: Sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 (3.2.1) Multiplicando porr rSn = ar + ar2 + ar3 + · · · + arn (3.2.2) Restando (3.2.2) de (3.2.1) obtenemos Sn− rSn = a + ar + ar2 + · · · + arn− ar − ar2− ar3 + · · · − arn Sn (1 − r) = a − arn, div idiendo ambos miembros entre 1 − r a (1 − rn ) Sn =

=1 1− r , r Ahora bien, si

| r 55

| < 1 ⇒ l´ m

n →∞ r

n =0 ⇒ l´ m

n →∞ S

n = l´ m a (1 − rn)

n →∞ 1 − r = a 1 − r Por lo tanto, si | r | < 1 la serie geométrica conv erge y su suma es a 1 − r Si|r| ≥ 1 → l´ım n→∞ rn = ∞ 3.3. ADICIÓN O SUPRESIÓN DE TÉRMINOS. En una serie podemos agregar o suprimir un número f inito de términos sin alterar la conv ergencia o div ergencia de la serie, aunque en el caso de la conv ergencia esto suele modif icar la suma. 56

Si ∞ an conv erge entonces ∞ an conv erge parak > 1 y n=1 n=k

∞∞ an = a1 + a2 + a3 + · · · + ak−1 + an

n=1 n=k Inv ersamente. Si ∞ an conv erge para todok > 1, entonces ∞ an conv erge. n=k n=1 Ejemplo 6. ∞ 1 = 15 + 125 + 125 + 1∞ 1

n =4 5

n n=15n y

∞1 ∞ = 1 − 1− 1 −1 5n 5n 5 25 125 n=4 n=1

3.4. RENUMERACIÓN DE LOS TÉRMINOS. Mientras se preserv e el orden de sus términos, podemos renumerar cualquier serie sin alterar su conv ergencia. Para elev ar enh unidades el v alor inicial del indice, se sustituy e lan dean en la f órmula porn − h.

∞∞ an = an−h = a1 + a2 + · · · +

n=1 n=1+h Para reducir en “h” unidades el v alor inicial del índice, sustituy e la “n” dean en la f órmula por n + h Ejemplo 7.

∞∞ an = an+h

n=1 n=1−h Podemos escribir la serie geométrica que comienzan con: 1 + 12 + 14 + · · · como:

∞ 1 ,

57

∞1 ∞1 2 n−5 o incluso2n+4

n =0 2

n n=5 n=−4 Ejemplo 8. (Series Geométricas). Determinar si las series dadas son conv ergentes. Si conv ergen halle su suma. 2+2 3+2

2 + ··· + 3

n − 1 o

∞ 2 1

n 1. 2

n=03 Solución: Tenemos que: ∞ 1 n 2 + 23 + 2 2+

+ 3n−1

n=03 = 22 = 2 1+1 3+1

58

2 + ··· +1 3n−1 Es una serie geométrica conr = 1 y a = 2 3 Además 1 < 1 entonces la serie dada es conv ergente y su suma es: 3 S

n = a = 2 =2

∞ =3 ⇒ 2 1n 1 − r1 − 12 3= 3

3

3

n=0

2. La serie 5 − 10

3 + 20− 27 + · · · = 5 1 − 23 + 4− 8 = 5 −2 n 40 ∞ 27n=0 3

Serie geométrica conr = −2 y a = 5. Como−2 < 1 la serie dada conv erge y su suma es: 3 3 Sn = a =5 = 5 = 31 − r 1 − −2 5

3 3 3. La serie ∞ 22n· 31−n ¿Es conv ergente o div ergente?n=1 Solución:

∞ ∞ 22n ∞ 4n ∞ 4 n 22n· 31−n =3n−1 =3n 3−1 = 33n=1 n=1 n=1 n=1 Es una serie geométrica conr = 4 y a = 3. Además|r| > 1. Así la serie dada div erge. 3 59

4. Halle la suma de la serie ∞ x n, donde|x| < 1n=0

∞ xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + · · ·

n=0 Es una serie geométrica cona = 1 y r = x. Como|r| = |x| < 1 conv erge y su suma es: ∞ 1S = a = a ⇒ x n n 1 − r 1 − x = 1 − x n=0

5. Escriba el número 2, 317 = 2, 317171717 . . . como una razón de números. 2, 3171717 . . . = 2, 3 + 17 + 17 + 17· · · 103 105 107 = 10 + 173 1 +1 +1 + · · ·102 104

∞1 n = 10 + 17 3 100n=0

Serie geométrica, conr =1 y a = 17, además 1 < 1, entonces la serie conv erge. 100 103 100 2, 3171717 = 10 + 173·1 1 − 1 100 = 1147 495 APLICACIÓN. La f igura dada muestra las tres f ilas y parte de la cuarta, de una sucesión de f ilas de semicírculos. Hay 2n semicírculos en la nésima f ila cada uno con radio 1. Calcula la suma de las áreas de todos los semicírculos. 2n

1/8 1/4 1/2 Gráf ica de semicírculos. Solución: Tenemos que el área del semicírculo está dada por πr

60

2 A =2 El área de los semicírculos de las f ilas esta dado por: Primer Fila Segunda Fila Tercera Fila n-ésima Fila

12 π 4

π

8

π

2n

A

1 =2 2

A2 = 4 A3 = 8 · · · An = 2n

2

2

2

2

El área total de los semicírculos es: AT = A1 + A2 + · · · + An + · · ·

2 12 12 π π 8 12 π 4 1

π 2n

= 2 2

+ 4 + 8 + · · · + 2n

2

2

2

2

= π 4+1 8+1 16 + ··· + 1 2n+1 , n = 1, 2, 3, . . .

= π 1 + 12 + 1 2+

+

1

2n−1 4 π ∞ 1 π ∞ 1 π ∞ 1n = =

=4

n=12n−1 4 n=02n 4 n=02 61

1

2 12 12 π

Serie geométrica conr = 1< 1, conv ergente, y cuy a suma es: 2 Así la suma de las áreas de todos los semicírculos es S = π 1= π 4 1 − 1 2 2 π 2

u .2 3.5. COMBINACIÓN DE SERIES. Siempre que tenemos dos series conv ergentes, podemos sumarlas término a término, restarlas término a término, o multiplicarlas por constantes para crear nuev as series conv ergentes. Teorema 5. Si ∞ an = A y ∞ bn = B son series conv ergentes entonces: n=1 n=1 1. Regla de la Suma.

∞∞∞ (an + bn) = an + bn = A + B

n=1 n=1 n=1 2. Regla de la Dif erencia.

∞∞∞ (an− bn) = an− bn = A − B

n=1 n=1 n=1 3. Regla del múltiplo constante.

∞∞ kan = k an = kA

n=1 n=1 1. Todo múltiplo constante no cero de una serie div ergente, div erge. ∞ a conv erge y ∞ b div erge, entonces tanto ∞ (a + b ) como ∞ (a n n n n n

− bn)2. Sin=1 n=1 n=1 n=1 div ergen. Ejemplo 9. Determinar si la siguiente serie conv erge o div erge. ∞ 1 + 1n=1 5n n Solución. La serie ∞ 1 + 1 = ∞ 1 + ∞ 1 entonces: n=1 5n n n=1 5n n=1 n Como ∞ 1 es una serie geométrica conv ergente cona = 1 y |r| =1 < 1 y n=1 5n 5 ∞ 1 es una serie armónica div ergente entonces por el corolario

anterior concluimos n=1 n que la serie ∞ 1 + 1 es div ergente. n=1 5n n 62

Ejemplo 10. Hallar la suma de la serie: n−1− 1 ∞ 3

n=1 6n−1 Solución:

∞ 3

n − 1 − 1 = ∞ 112

n−1− 6n−1 n =1 6

n−1 n=1 ∞ 1 n−1 ∞ 1 n−1 ∞ 1 n ∞ 1 n =2−6=2−6

n=1 n=1 n=0 n=0

Ambas series geométricas cona = 1 y |r| = 1, 1< 1 conv ergentes y cuy a suma es: 26 S = S 1 + S2 =1 − r a− a= 1 1 6 1 − 1 −1 − 1 = 2 − 5 = 41 1 − r2 2 6

Asi la serie, ∞ 3n−1− 1∞ =1 n ∞ 1 n 65 = 4n=1 6n−1 2 −6 = 2 −

n=0 n=0 EJERCICIOS (Series ) 63

1. Hallar los cinco primeros términos de la sucesión de sumas parciales a) 1 + 14 + 19 + 116 + 125 + . . . 2345 b) 1 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + . . . 3 4 5 6 2

c )

∞3 n=1 2n−1 2. Encuentre una f órmula para la n-ésima suma parcial de cada serie y usela para hallar la suma de la serie si ésta conv erge 2 2 + 23 + 29 + 2 27 + . . .+3n−1 + . . . 1 b) 1 − 5555 a)

1

2 + 1− 8 + . . .+(−1)n−1 1 + . . . 2n−1

c)

...+ ... 1 2 +2 3 +3 4 + n (n + 1) + 3. Determine si la serie es conv ergente o div ergente. En caso de que conv erja calcule la suma.

4 + 85 + 1625 + 32125 + . . . j) ∞ na)n=1 n + 5 25 ∞ n! b)− 2 + 5− 8 + 125− . . . k) n=0 1000n 2

c ) 0 , 37 + 0 , 0037 + ... + 37 + . . . l) ∞ nn (100)n n=1 n!

2 n−1 m) ∞ ln n + 1 n=1d) ∞ n 3

5 n=1 64

e ) n n ∞4 ∞ 3 + 2 n)

n=16n n=1 (4n − 3)(4n + 1) f

)

∞ (−5)n−1 4−n

ñ) ∞ 40n

n=1 n=1 (2n − 1)2(2n + 1)2 g

) ∞ [2(0,1)n + (0,2)n n=1 ] o) ∞ cos nπ h

)

∞ e n+1 n=0 n=1 π p) ∞ cos nπ 3

n=0 q ) ∞ arctan n n+1i) ∞ 5n n=1(−1)

2n r )

n=1

∞1 n=1 5 + 2−n

ns) ∞ n=1 √1 + n2 (

n + 1)

2 t )

∞ n=1 n(n + 2) ∞ u) n sin 1n=1 n v ) ∞ (2−n− 2−3n)

n=1

w )

65

∞ 3− 3 n=2 (n − 1)2 n2

x )

∞1 n=2n 1− n − 1 y ) ∞ 1 |x| > 1n=2 xn

z ) n n=0 2n 5n ∞ 1 + (−1)

4. Series geom´etricas. Determine los v alores de x para los cuales conv erge la serie geométrica dada. Hallar también la suma de la serie (como f unción dex) para esos v alores dex. ∞ 2nx n c) ∞ (ln x)na) n=0 n=0

b ) ∞ (−1)n(x + 1)n d) ∞ (x + 3)n

n=0n=0 2n 5. Expresar cada decimal periódico como una serie geométrica y escribir su suma en f orma de cociente de dos números enteros. a ) 0,222222 . . . d) 12,234234 . . . b) 0,353535 . . . e) 3,05454545 . . . c) 3,55555555 . . . f ) 1,22315315 . . . 6. Demuestre que si an div erge entonces can div erge para todoc = 0. 7. Demuestre o ref ute que si an y bn div ergen entonces (an + bn) div ergen. 8. ¿Para que v alores der la serie inf inita 1 + 2r + r2 + 2r3 + r4 + 2r5 + r6 + . . . conv erge?.Calcula la suma cuando la serie conv erge. 9. Se deja caer una pelota desde 4 m de altura. Cada v ez que la pelota choca contra el asf alto después de caer de una altura deh metros rebota hasta una altura de 0,75 metros. Calcula la distancia total que recorre la pelota en su mov imiento hacia arriba y abajo. Rta 28 m

66

10. La tray ectoria de cada oscilación, después de la primera, del disco de un péndulo es la f racción 0,93 de la anterior (de un lado al otro). Si la tray ectoria de la primera oscilación tiene una longitud de 56 cm, y la resistencia del aire termina por prov ocar que el péndulo quede en reposo, ¿qué tanto se desplaza el péndulo antes de quedar en reposo? Rta 8 m. 11. Un triángulo equilátero tiene 4 unidades de longitud por lado ; por consiguiente, su perímetro es de 12 unidades. Se construy e otro triángulo equilátero trazando segmentos de rectas a trav és de los puntos medios de los lados del primer triángulo. Este triángulo tiene lados de 2 unidades de longitud y su perímetro es de 6 unidades. Supóngase que este procedimiento puede repetirse un número ilimitado de v eces. ¿Cuál es el perímetro total de todos los triángulos que se f orman?. 12. Ingresos. Un ingeniero entra en una empresa que paga $ 0,01 el primer día, $ 0,02 el segundo día, $ 0,04 el tercero, etc. Si el salario diario se mantiene así, doblándose cada día, ¿cuánto habrá cobrado en total si trabaja 29 días , 30 días ?. Rta $ 5368 709,11 , $10737 418,23

67

4 SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS Es dif ícil determinar si una serie an conv erge o div erge usando directamente la def inición de sucesión de sumas parciales{Sn} porque en la may oría de los casos es imposible encontrar una f órmula sencilla paraSn. Sin embargo, se pueden desarrollar criterios de conv ergencia o div ergencia basados en un análisis del n-ésimo terminoan. Estos criterios se aplican sólo para determinar si la serie conv erge o div erge, no para calcular la suma. Nota: La causa de que sólo tratemos series de términos positiv os es que las sumas parciales de estas series f orman sucesiones no decrecientes, y las sucesiones no decrecientes que están acotadas superiormente siempre conv ergen (teorema). Para demostrar que una serie de términos positiv os conv erge, bastará mostrar que sus sumas parciales están acotadas superiormente. 4.1. EL CRITERIO DE LA INTEGRAL Como una integral def inida es límite de una suma por def inición es lógico esperar que puedan usarse como prueba de conv ergencia de series. Veamos el siguiente teorema Teorema 6. Si una f unciónf es continua y decreciente y toma v alores positiv os enx ≥ 1 entonces la serie inf inita

∞ f (n) = f (1) + f (2) + · · · + f (n) + · · ·

n=1 Conv erge si la integral impropia ∞ f (x)dx existe. 1 ∞ (x)dx no existe. Div erge si la integral impropia 1f

La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [1, 2] 56 Ejemplo 1. Usar el criterio de la integral para demostrar que la serie armónica 1 + 12 + 13 + + 1+ n es div ergente. Solución: Si def inimosf (x) = 1 , entoncesf es una f unción continua y decreciente que toma v alores positiv os para

68

x ≥ 1 x y, por lo tanto, sé puede aplicar el criterio de la integral. Como ˆ∞ ˆ∞ 1 ˆ b 1 b

f (x)dx = xdx = l´ m xdx = l´ m[ln x] 11 1 b→∞ 1 b→∞ = l´ m[ln b − ln 1] = ∞

b→∞ Dado que la integral impropia es div ergente, la serie armónica ∞ 1 es div ergente. n=1 n Ejemplo 2. Determinar si la serie inf inita ∞ ne−n es conv ergente o div ergente. Solución: Sí def inimos f ( x )= xe

− x n=1 entonces la serie dada es igual a f (n). Six ≥ 1,f es continua y toma v alores positiv os. Para inv estigar sif es decreciente, usamos la primera deriv ada. Como f (x) = e−x− xe−x = e−x (1 − x) ≤ 0 f es decreciente en [1, ∞). Por consiguiente puede aplicarse el criterio de la integral. ˆ∞ ˆ∞ ˆ b bf (x)dx = xe−xdx = l´ m xe−xdx = l´ım−e−x(x + 1) 11 1 b→∞ 1 b→∞ = l´ m b + 1 + 2 = l´ m−b + 1 + l´ m 2 = 2

b→∞ − eb e b →∞ eb b→∞ e e Por lo tanto la serie dada es conv ergente. xe−xdx = −e−x + e−xdx = −xe−x− e−x + C u = x −→ du = dx dv = e−xdx → v = −e−x l´ m b→∞ −b + 1 = ∞ Forma indeterminada (L’Hopital). Entonces eb ∞ l´ m b→∞ − 1 = 0. eb Así, 69

l´ m−b + 1 = 0b→∞ eb 4.2. DEFINICIÓN DE P-SERIE O SERIE P. El criterio de la integral permite analizar la conv ergencia y div ergencia de muchas series como es la serie p. Def inición 1. Una serie de la f orma ∞1

= 1 + 1 + 1+ p p p p p n=1 n 1 2 3 n

+ 1+

Se llama una p-serie conp > 0 Teorema 7. La serie p ∞1=1 +1 +1 + p p p p p n=1 n 1 2 3 n

+ 1+

1. Conv erge sip > 1 2. Div erge si 0 < p ≤ 1 Demostración. Observ amos primero que el casop = 1 corresponde a la serie armónica div ergente. Supongamos ahora quep es un número real positiv o dif erente de 1. Si se def inef (x) = 1 = x −p, xp entonces f es continua y toma v alores positiv os parax ≥ 1. Además, para estos v alores dex se v e quef (x) = −px −p−1 y por tantof es decreciente. Entonces,f satisf ace las condiciones del Criterio de la integral. Consideremos ˆ∞ ˆ∞ 1dx = l´ m x −pdx = l´ m x1−p bˆ b

f (x)dx = p 1 1−p− 1 1 1 x b→∞ 1 b→∞ 1 − p1 = l´ m b 1 − p b→∞

Sip > 1 entoncesp − 1 > 0 y la expresión anterior puede escribirse 111 1−p

b→∞

1 l´ m bp−1− 1 =1 − p(0 − 1) = −1 − p

Entonces por el criterio de la integral, la serie p conv erge para todop > 1. Si 0 < p < 1, entonces 1 − p > 0 y Por lo tanto por el criterio de la integral, la serie p es div ergente. 1 l´ m 1 bp−1− 1 = ∞1 − p b→∞

Si p

70

≤ 0 , entonces l´ m 1 b→∞ np = ∞. Por el criterio de n-ésimo término, la serie div erge. Ejemplo 3. Determinar si la serie conv erge o div erge. + 1+ 1. 1 + 1 + 1 + 22 32 n2 La serie ∞ 1 conv erge porque es la serie p conp = 2 > 1n=1 n2 2. 5 +52 +53 + · · · +5 + · · ·n La serie ∞ 5 div erge porque es la serie p conp = 1≤ 1n=1 n 2 EJERCICIOS (Criterio de la integral y la p-serie) 1. Inv estigar si la serie dada conv erge o no.(Cuando v erif ique cada respuesta, recuerda que puede haber más de una f orma de determinar la conv ergencia o div ergencia de una serie) ∞ n ∞ (1/ ln n)a) n=1 n + 1 l) n=3 (ln n) ln2n − 1 b

)

∞1 n=1 10n 5n m) ∞ c )

∞ −2 n=1 3 + 4n n=1 n√n ∞ 1 d) ∞ n e−n n) n=1 (ln 2)nn=1 √n

∞ 1e) ∞

n=12 ln n ñ) n=2 n(ln n)3

f )

n=1 ∞ 1 + 1 ∞ 2nn2 n3 o) n=1 n4 + 1g) ∞ sec h n n=1 ∞ n−0,99

h )

∞ 2p) n=1 n=1 1 + en ln 2 + ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6 + . . i) ∞ 8 arctan n q) 2 3 4 5 6n=1 1 +

71

n2

√ 1111 n r) 1 + √ √ √ √ ... ∞ 5− 2 2 2 +3 3 +4 4 +5 5 + j)

n=1n3 k) ∞ en 12 + 15 + 110 + 117 + 126 + . . . n=1 1 + e2n s)

2. Halle los v alores de p para los cuales la serie dada es conv ergente.

1

1 b) ∞ a) ∞

n=2 n(ln n)p n=3 n ln n [ln(ln n)] p

3. Para que v alor de a , si lo hay, conv erge la serie

∞1 n=1 n + 2 a− n + 4

4. La f unci´on zeta de Riemann ζ se def ine con

∞ ζ(x) = n−x. . .

n=1 y se usa en la teoría de números para estudiar la distribución de los números primos.¿Cuál es el dominio deζ? 4.3. PRUEBAS DE COMPARACIÓN. Hasta ahora hemos desarrollado criterios de conv ergencia para tipos especiales de series, cuy os términos eran muy simples y debían cumplir condiciones muy especiales para que f ueran aplicables esos criterios. La más mínima desv iación de tales condiciones los hacia inserv ibles. Por ejemplo, en las series que siguen, la segunda serie no puede ser estudiada con el mismo criterio, pese a ser muy similares entre sí. La serie

∞ n=1 1 es geométrica, pero ∞ n no lo es. 2n n=0 2n

La serie

∞ n=1 72

1

es una serie p , pero ∞ 1 no lo es. n4 n=0 n4 + 2

Es por ello que en esta sección discutiremos cuatro criterios más para series de términos positiv os que amplían mucho la colección de series analizables. Y ello gracias a que permiten comparar una serie, con términos análogos, pero más complicados, a otra más sencilla cuy a conv ergencia o div ergencia y a es conocida. En las pruebas por comparación la idea es comparar una serie dada con una serie conocida conv ergente o que sea div ergente. La serie ∞ bn que usualmente se utilizan para comparar son las series geométricas y la serien=1 p. 4.4. CRITERIO BÁSICO DE COMPARACIÓN (DIRECTA). El siguiente teorema indica como usar una serie conv ergente o div ergente para demostrar que otras series también conv ergen o div ergen. Teorema 8. Sea la serie ∞ an una serie de términos positiv os: n=1 1. Si todo entero positiv o ∞ b es una serie de términos positiv os que se sabe que es n

conv ergente y an≤ bn paran=1 n, entonces ∞ an es convergente n=1 2. Si ∞ bn es una serie de términos positiv os que se sabe que es div ergente y an≥ bn paran=1 todo entero positiv on, entonces ∞ an es div ergente. n=1 Demostración. Para demostrar la primera propiedad, denotamos:

∞ L = bn y Sn = a1 + a2 + · · · + an

n=1 Comoan≤ bn, sabemos que la sucesión S1, S2, S3, · · · es no decreciente y acotada porL superiormente, luego debe ser conv ergente. Además, como

∞ l´ m Sn = ann→∞ n=1 se sigue que ∞ an conv erge. La segunda propiedad es lógicamente equiv alente a la primera, así n=1 que la demostración es completa. 73

Ejemplo 4. Determinar si la serie conv erge o div erge, aplicando el criterio básico de comparación. 1.

∞ 1 3. ∞ ln n n=1 2 + 5n n=1 n

2n12.

∞

n=1 n2− n + 1 4. ∞ n=1 2 +√n Solución: 1. ∞ 1 .n=1 2 + 5n

Tenemos que el n–ésimo términoan =1 sugiere que comparemos esta serie con 1 2 + 5n aquella cuy o n–ésimo término b

n = 5

n . La serie b

n =

∞1 n n=1 5 es una serie

geométrica conv ergente con|r| = 1< 1. 5 Además, 1 < 1 para todon ≥ 1 2 + 5n 5n

Por el criterio de la comparación la serie dada es conv ergente. 2.

∞ 2n n=1 n2− n + 1

Tenemos que el n–ésimo término a

n = 2n n2− n + 1 sugiere que comparemos esta serie con

74

aquella cuy o n–ésimo términobn = 2. La serie bn = ∞ 2 = 2 ∞ 1 es una serie armónica div ergente. Además. n n=1 n n=1 n 2n ≥ 2 para todon ≥ 1 n2− n + 1 n

Por el criterio de la comparación la serie dada es div ergente.

ln n

3. ∞

n=1 n Tenemos que el n–ésimo términoan = ln n sugiere que comparemos esta serie con aquella n cuy o n–ésimo términob = 1. La serie bn = ∞ 1 es una serie armónica div ergente. n n n=1 nAdemás. ln n 1 Para todon ≥ 3n > n Por el criterio de la comparación la serie dada es div ergente. 1 4.

∞ n=1 2 +√n

1 Tenemos que el n–ésimo términoan =2 + √n sugiere que comparemos esta serie con aquella cuy o n–ésimo términobn =n1/2 n=1 n1/2 pdiv ergente con 1 . La serie b = ∞ 1 es una serie p = 1< 1. Además, n 2 1 1 para todon ≥ 1 √ ≤ 2+ n n

No cumple con los requisitos de la div ergencia. Pese a todo, esperando que la serie sea div ergente, la comparamos con

∞1 n=1 n 1 Serie armónica div ergente. Además 1 para todon ≥ 42 + √n≥n Por el criterio de la comparación directa la serie dada es div ergente. Observ ación: Cuando se busca una serie bn adecuada para compararla con an donde an es cociente de dos expresiones, conv iene despreciar todos los términos del numerador y del denominador excepto los que tienen may or peso para n grande. Los términos de la serie que se v a a probar deben ser menores que 75

los de una serie conv ergente, o mas grandes que los de una serie div ergente. Si son may ores o menores que una serie conv ergente o div ergente, respectiv amente, entonces no se puede aplicar la prueba de comparación. Por ejemplo:

∞1 2n− 1n=1 La desigualdad 1 1 n

> 2 − 1 2n no sirv e, al menos en lo que concierne a la prueba de comparación, debido a que

∞1 n bn =2n=1 conv erge paraan> bn. No obstante se tiene la impresión de que ∞ 1 debe conv ergern=0 2n−1 debido a que es muy parecida a la serie geométrica conv ergente ∞ 1 n . En tal caso, sen=1 2puede utilizar la prueba o criterio siguiente:

4.5. CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE. Con f recuencia una serie dada se parece a una p serie o a una serie geometríca, pero no resulta f ácil establecer comparaciones término a término. Entonces es útil recurrir a un segundo criterio de comparación, el criterio de comparación en el límite. Teorema 9. Sea la serie ∞ an una serie de términos positiv os cuy a naturaleza se desea determinar y sea

∞ n=1 bn una serie de términos positiv os cuy a naturaleza conocemos. n=1 Considere el límite l´ m

n→∞ bn an = k. Entonces

Si k > 0 entonces ambas series conv ergen o div ergen. Sik = 0 y ∞ bn conv erge, entonces ∞ an conv erge. n=1 n=1 Sik = ∞ y ∞ bn div erge, entonces ∞ an div erge. n=1 n=1

76

La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [7, 9, 10] Ejemplo 5. Determinar si la serie conv erge o div erge. 13. ∞ 3n2 + 5n1.

∞

n=1 3√ 2

n + 1n=1 2n(n2 + 1)

2. n n=1 5n3 + 2n + 1n=1 4n3 + 3n ∞ n + 24. ∞ 2 n + 5

Solución: 1.

∞1 n=1 3√n2 + 1 1 Tenemos que el n–ésimo términoa = √ n 3 n2 + 1 sugiere

que comparemos esta serie con aquella cuy o n–ésimo términob1 . La serie bn = ∞ 1 una serie p div ergenten =n2/3 n=1 n2/3 conp = 2< 1. Aplicando el criterio de comparación por límite3 3√ 1√3 l´ m an = l ım n2 + 1 = l ım 3√ ım 3 n 2n2 n2 + 1 = l´

1

n→∞ →∞ n2 + 1 = 1 > 0 n→∞ bn n→∞

2/3

n y como b

n div erge , se concluy e que la serie

∞√ 1 n2 + 1 es div ergente. n=1 3

2. ∞ n+2 n=1 5n3 + 2n + 1

Tenemos que el n–ésimo término a

n = n+2 5n3 + 2n + 1 sugiere que comparemos esta serie con

aquella cuy o n-ésimo términob = 1. n n2

77

1

es una serie p conv ergente conp = 2 > 1. Aplicando el criterion =

∞

La serie bn=1 n2 de comparación por límite n+2 l´ m an = l ım 5n3 + 2n + 1= l ım n3 + 2n2 5 n

3 +2 n +1=1 >0

n→∞ bn n→∞ 1 n→∞ n2 y como bn conv erge, se concluy e que la serie ∞ n + 2 es conv ergente. n=1 5n3 + 2n + 1 3. 2 n=1 n 2 2 (n + 1) ∞ 3n + 5n

Tenemos que el n–ésimo términoan =3n2 + 5n sugiere que comparemos esta serie con2n(n2 + 1) aquella cuy o n-ésimo términobn = 3. 2n ∞ 31 n es una serie geométrica conv ergente conr = 1< 1. = n n=1 2 2 La

serie b Aplicando el criterio de comparación por límite 3n2 + 5n n 2 2 l ım an = l ım 2 (n + 1) = 13 l ım 3n + 5n= 1 > 0

n →∞ bn

n→∞ 3 →∞ n2 + 1

2n y como bn conv erge, se concluy e que la serie ∞ 3n2 + 5n es conv ergente. n=1 2n(n2 + 1) 4. n ∞ 2 n+5 n=1 4n3 + 3n

78

Tenemos que el n–ésimo términoan =2nn + 5 sugiere que comparemos esta serie con =2 3 n 4n + 3n2n

aquella cuy o n-ésimo términobn n2. La serie bn = ∞ es una serie div ergenten=1 n2 por el criterio del término n-ésimo , pues 2

n l´ m n→∞ n2 = 0 . Ahora aplicando el criterio de comparación por límite 5 l ım an = l ım 4n3 + 3n 2nn3 + 5n2 2nn + 51 + n2n = 1> 0

n →∞ b

n n →∞ 2

n = l ım n

2 4n3 + 2n3n = l ım

n→∞ n→∞ 4 + 3 4 n2 n2 y como bn div erge, se concluy e que la serie ∞ 2nn + 5 es div ergente. n=1 4n3 + 3n COMENTARIO: Los criterios de conv ergencia que dependen de la comparación de las series con integrales u otras series, sé llaman criterios extrínsecos. Estos son útiles, pero hay buenas razones para buscar criterios que no requieren comparaciones. En la práctica tal v ez no encontremos las series o f unciones que necesitamos para que la comparación sea ef icaz. Además, en principio, toda la inf ormación sobre una serie dada debería estar contenida en sus propios términos. Por eso enf ocaremos la atención en los criterios intrínsecos (es decir, los que dependen únicamente de la serie en cuestión). 79

EJERCICIOS 4.3.(Criterios de comparación) 1. Determine si la serie es conv ergente o bien si es div ergente. (Usar criterio de comparación directa o comparación en el límite).

1

1 m) ∞ a) ∞

n=1 n2 + 1n=1 2n− 5

b )

∞√ 1 n +

3 √ n n )

∞ √ 1 n=1 2n=1 34 n − 1

∞ sin2n n3

ñ) ∞

n + 2n c) n=1 2n n=1 n22n

1d) ∞

n=1 n! n=2o) ∞ √n ln n

e ) ∞ 10n + 1 √ n=1 nn(n + 1)(n + 2) p) ∞ n=1 n2 + 1

f ) ∞ 1 + cos n

n=1 n2q) ∞ 3n−1 + 1 ∞ √ 1

n=1 3n 80

g) n=1 ∞

n n2− 1r) ∞ n!

sin 1n=1 (2n)! h) n=1 n s) ∞ n

ln n n=1 3n(n + 1)(n + 2) i) ∞ n=2 n + 1 n2 + n + 1 j) ∞ 4n t) ∞ √ 6 n + n2 + 13n− 1 n=1n=1

k )

∞ 1 u) ∞ 1 n=1 n +√n2 + 1n=1 1 + 2 + 3 + . . . + n ∞ 1 v) ∞ n2n + 5l) n=1

1 + 22 + 32 + . . . + n2 n=1 4n3 + 3n 2. Utilizar el criterio de la comparación en el límite con la serie armónica para demostrar que la serie an donde 0 < an< an−1div erge si l´ m n→∞ nan = 0. 3. Probar que la serie de términos no negativ os

∞∞ an y bn

n=1 n=1 son conv ergentes, entonces también es conv ergente la serie ∞ anbn. n=1 4.6. CRITERIO DE LA RAZÓN ( O COCIENTE). Cuando se aplica el criterio de la integral a una serie de términos positiv os ∞ an, dondean =n=1 f (n), los términos deben decrecer y se debe poder integrar . Esto casi siempre excluy e a las series con f actoriales u otras expresiones complicadas. Entonces v amos a presentar dos criterios que se pueden emplear para determinar conv ergencia o div ergencia cuando no es posible aplicar otros criterios. Desaf ortunadamente, como se indica en la parte (3), los criterios no son concluy entes para algunas series. Teorema 10. Sea la serie ∞ an+1 = Ln=1an una serie de términos positiv os tal que:l´ m n→∞ an 1. SiL < 1 la serie es conv ergente. 2. SiL > 1 o bien l´ m an+1 = ∞ la serie es div ergente . n→∞ an 3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser conv ergente o div ergente. Observ aciones No demostraremos el teorema, sin embargo, un análisis sencillo es hacer v er el resultado del teorema como algo 81

triv ial. En ef ecto l´ m

n→∞ an+1

= L, entoncesan+1≈ Lan; como aproximación que indica que laan serie se comporta como una serie geométrica, cuy a razón esL y sabemos que cuandoL > 1 la serie geométrica div erge. El criterio de la razón no proporciona inf ormación con respecto a la conv ergencia o div ergencia sian es una f unción racional, puesto que siempre l´ m an+1 = 1

n→∞ an El criterio de la razón casi siempre proporciona inf ormación con respecto a la conv ergencia o div ergencia si el terminoan contiene f actoriales (n!), f ormas exponenciales (an), potencias de potencias (nn) o combinaciones de las f ormas anteriores. Ejemplo 6. Determinar si la serie conv erge o div erge.

n

∞ nn 1. ∞ n=1 2nn=1 n! 3.

(2n)! 4. ∞ 2n + 52. ∞ n=1 3n(n!)2 n=1 3n Solución: Aplicando el criterio de la razón. 1.

∞n n=1 2n Tenemos quean = n y an+1 =n + 1 entonces 2n 2n+1 l´ m an+1 = l´ m n + 1 2n n + 1 = l´ m 2 = 1< 1

n+1. n = l´ım 2n →∞ n →∞ an n →∞ 2 n 2 1+1 n n →∞ Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergente.

(2n)!

2.

∞

n=1 3n(n!)2

82

Tenemos que a

n = (2n)! yan+1 = [2(n + 1)]! 3n+1 [(n + 1)!] 2 entonces3n(n!)2 n 2 2 l ım an+1 = l ım 3n+1 [(n + 1)!]2.3 (n!) 1 [2(n + 1)]! (n!) [2(n + 1)]! = l ım 3 (2n)! [(n + 1)!]2n→∞ an n→∞ (2n)! n→∞

l´ m a

n +1 1 = 3 l ım (2n + 2) (2n + 1) = 23 l ım 2n + 1 = 4> 1

n →∞ an

→∞ (n + 1)2 →∞ n

Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es div ergente [2(n + 1)]! = (2n + 2)! = (2n + 2) (2n + 1) (2n)! = (2n + 2) (2n + 1)(2n)! (2n)! (2n)! (n!)2 n! 2 n! 2 1 [(n + 1)!] 2 = (n + 1)! = (n + 1) n! = (n + 1)2

3.

∞ nn n=1n! Tenemos que a

n = n n = (n + 1)n+1

y an+1 (n + 1)! entonces n! a

n +1 = l´ m a

83

n +1 · 1 = l´ m ( n + 1) n+1 n! n+1 l´ım = l ım (n + 1)

n→∞ an n→∞ an n→∞ (n + 1)!

nn n→∞ nn (n + 1) (

n + 1) nn+ 1n

1 + 1n = l´ m nn = l´ım n = l´ m = e > 1n→∞ n→∞ n→∞ n Por lo tanto, por el criterio de la razón la serie dada es div ergente. n! (n + 1)! = (n + 1)n n! ! =1

n+1 4.

∞ 2n + 5 n=1 3n Tenemos quean = 2n + 5 y an+1 = 2n+1 + 5 entonces 3n 3n+1 n+1 + 5 3n + 5 = 1 n+1 + 5 l ım an+1 = l ım an+1 1= l ım 2 3 l ım 2

n+1 · 2n n →∞ an n →∞ an n →∞ 3

→∞ 2n + 5

5 1

=

→∞

1 + 2n+1 = 2< 13 l´ m 1 5 32 + 2n+1

Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergente Otra f orma de resolv erlo:

∞ 2n + 5 ∞ ∞ ∞ = 2 n + 5 2n ∞ 5 2 n ∞ 1 n = =

84

+

3n 3+ 5 3n=1 3n 3n 3n 3n

n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 Aplicando propiedades de las sumatorias, las dos últimas series

n1 n ∞ 2y 5 ∞ n=1 3 n=1 3 Son series geométricas con razonesr = 2, 1 < 1 conv ergentes. Por lo tanto la serie

∞ 2 n

+ 53 3 es conv ergente. n=1 3n Ejemplo 7. Examinar la conv ergencia y div ergencia de las siguientes series (Tarea). (2n)! 3. ∞ n + 21. ∞ n=1 n=1 n(n + 1)n!n! 2. ∞ 4nn!n! √nn=1 (2n)! 4. ∞ n=1

n+1 Ejemplo 8. Determine si la serie ∞

1 · 3 · · · (2n − 1) 4n· 2nn! n=1 Conv erge o div erge. Solución: aplicando el criterio de la razón a

n =1 · 3 · · · (2n − 1)y an+1 = 1 · 3 · · · (2n − 1)(2n + 1) 4n· 2nn! 4n+1· 2n+1 (n + 1)! entonces n n l ım an+1 = l ım an+1 1= l ım 1 · 3 · · · (2n − 1)(2n + 1) 4 · 2 n! n→∞ an n→∞ an n→∞ 4n+1· 2n+1 (n + 1)! 1 · 3 · · · (2n − 1) (2n + 1)n! 2n + 1 + 1) = 18 l´ım 2n + 1=l ım ım 4 2(n + 1)! = l´

n→∞ →∞ 4 · 2(n →∞ n + 1 2 + 1 = l´ m n = 1< 1n→∞ 1 + 1 4n Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergente. 4.7. CRITERIO DE LA RAÍZ. El siguiente criterio, conocido como el criterio de la raíz y 85

estrechamente ligado con el criterio de la razón en la conclusión, es útil para determinar la conv ergencia o div ergencia de las series cuy o término general contenga sólo potencias den comonn oan. Teorema 11. Sea la serie ∞ an una serie de términos positiv os tal que: n=1 l´ m n√an = L

n →∞ 1. Si L < 1 la serie es conv ergente. 2. SiL > 1 o bien l´ m an+1 = ∞ la serie es div ergente. n→∞ an 3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser conv ergente o div ergente. La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [5, 6] Observ ación: √n = 1n→∞ nl ım Ejemplo 9. Use el criterio de la raíz para establecer la conv ergencia o div ergencia de las series. ∞ =1 2

3 n +1 3. ∞ (3 n +1)

n 1. n nn n=1 (1+ 1)n(2n+1)n n

2. ∞=1 2n n n2 ∞ (n!)n 4. n=1 (nn)2 Solución: ∞=1 23n+11. n nn Tenemos que a

n =2

3n+1 nn 86

entonces 3+ 1 l´ m n√an = l´ m n 23n+1 2 n = 0 < 1n→∞ n→∞ nn = l´ım

n →∞ n Por lo tanto la serie ∞ =1 23n+1 es conv ergente. n nn Nota: podriamos haber aplicado el criterio de la razón, pero la ev aluación del límite seria más complicada. ∞=1 2n2. n n2 Tenemos que = 2n an n2

entonces l´ m n√an = l´ m n 2n 2 = 2 > 1

n→∞ n→∞ n2 = l´ım (n√n)2 n→∞ Por lo tanto la serie ∞ =1 2n es div ergente. n n2 3. ∞ (3n+1)n n=1 (1+ 1)n(2n+1)nn Tenemos quen a

n = (3n + 1) 1 + 1 n (2n + 1)n

n entonces n 1n (2n + 1)n = l ım l ım n√an = l ım n (3n + 1) (3n + 1) n→∞ n→∞ 1 + 1 + 1 (2n + 1)n n→∞ n 1 (3n + 1) 1 l ım (3n + 1)= l ım ım 1 + 1 (2n + 1) = l´ n→∞ 1 + 1 n→∞ (2n + 1)n →∞ n =3> 12

Por lo tanto la serie dada es div ergente. Trate de analizar la serie dada usando el criterio de la razón para que observ e la dif icultad del proceso. 4. ∞ (n!)n n=1 (nn )2 Tenemos quen n!) an = ( (nn)2 entonces l´ m n√an = l´ım n (n!)n n! = ∞n→∞ n→∞ (nn)2 = l´ m n2n→∞

Por lo tanto la serie 87

∞ (n!)n n=1 (nn)2 es div ergente.

Pruebe por el criterio de la razón, y que puede decir de ello. EJERCICIOS (Criterio del Cociente y de la Raíz) 1. Usar el criterio del cociente para determinar si la serie dada es conv ergente o div ergente. n ! h )

∞ ( − 1) n−1(3/2)n a

)

∞ n=0 3n n=1 n2 ∞ n (−1)n 24nb) n=1 2n ∞ i) 2n n=0 (2n + 1)! c) ∞ (−1)n

n=1 n! n ln n

j) ∞

4n

n=0 3n + 1d) ∞

n=1 2n (−1)n+1n! e

)

∞ n 2 n(n + 1)! k) ∞ n=0 1 · 3 · 5 . . . (2n + 1) n=1 3nn!

f ) n n=1 n (n + 2)! n=1 2 · 5 · 8 . . . (3n − ∞ n! ln nl) ∞ (−1) 2 · 4 · 6 . . . (2n)

1) ∞ 1− 1m) ∞ 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)g) n=1 n n2 n=1 4n2nn! 2. Usar el criterio de la raíz para estudiar la conv ergencia de la serie. n

n ∞ nn 88

a )

∞ n=1 d) n=1 (2n)22n + 1

b )

∞ e −n e) ∞ (n!)n n=0n=1 nn2 c )

∞ (2

n √ n + 1)

n f )

∞ (−1)n n=1 (arctan n)nn=1

3. Considere la serie

∞ 1 n=1 2n+1+(−1)n 4. Demuestre que la prueba de la razón no es apropiada para esta serie. 5. Use la prueba de la raíz para determinar si la serie es conv ergente o div ergente. 6. Demuestre que

∞ xn n=1 n! conv erge para todax.

n Deduzca que l´ m x n→∞ n! = 0 para todax. 7. Probar que el criterio de la raíz no decide en el caso de una p serie. 4.8. CRITERIO DE RAABE. 89

Cuando para una serie dada f alla el criterio del cociente l´ m

a n→∞

n+1

= 1 o el criterio de la raíz

l´ m

n →∞ n √ a

n =1

an , el siguiente criterio puede aplicarse con éxito en la determinación de la conv ergencia o div ergencia de la serie dada. Teorema 12. Sea ∞ an una serie de términos positiv os tal que: n=1 l´ m n · an − 1

n→∞ an+1 1. Si L > 1 la serie es conv ergente. 2. SiL < 1 la serie es div ergente. 3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser conv ergente o div ergente. La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [13, 14] Ejemplo 10. Determinar la conv ergencia o div ergencia de la serie ∞ 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) · 2n· n! n=1

Solución: Por la f orma del término n-ésimo nos v emos tentados a aplicar el criterio de la razón a

n =1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)y an+1 = 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) (2n + 1) · 2n· n! (2n + 3) · 2n+1· (n + 1)! entonces, l´ m an+1 = l´ m an+1· 1 90

n→∞ an n→∞ an (2n + 1) (2n + 1)2 2

→∞

n = l ım 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) (2n + 1) · 2 · n! n→∞ (2n + 3) n+1

·2

· (n + 1)! 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)

= l ım 1

(2n + 3) (n + 1)! = l´

ım

2

2

n! 1

n→∞ (2n + 3) (n + 1) 1

· l´ m 4 n 2

+ 4n + 1

=

2 n→∞ 2n2 + 5n + 3 = 1 Por lo tanto, por el criterio de la razón nada dice acerca de la conv ergencia o div ergencia de la serie. Apliquemos entonces el criterio de Raabe y para ello considere el límite: l´ m n ·

an − 1 = l ım n 4n2 + 10n + 6− 1 = l ım 6n2 + 5n 4n2 + 4n + 1= 3> 1n→∞ a 2 n+1 n→∞ 4n + 4n + 1n→∞ 2 Por el criterio de Raabe la

serie dada es conv ergente. COMENTARIO. Los criterios establecidos hasta ahora son los de más f recuente uso en un primer curso introductorio sobre series. Existen muchos otros criterios, como el de Kummer, el del logaritmo, el de Prinsheim, etc., que el estudiante puede encontrar en la bibliograf ía del f inal del texto. 4.9. SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES. Todo el desarrollo teórico sobre series considerado hasta aquí es aplicable solamente a series con términos no negativ os, pero las series con términos no positiv os pueden ser tratadas de la misma 91

f orma. En ef ecto, al ser ∞ an = − ( ∞ (−an)) , todas las consideraciones mencionadas paran=1 n=1 series con términos positiv os puede aplicarse para series con terminos negativ os. Si ∞ an es una serie con terminos positiv os y negativ os, se puede considerar en su lugarn=1 la serie ∞ |an| , cuy os terminos son todos no negativ os y son v alidos todos los resultados n=1 presentados anteriormente. La conv ergencia absoluta o condicional de una serie esta ligada a la conv ergencia o no de la serie ∞ |an| f ormada por los v alores absolutos de la serie dada. n=1 4.9.1. SERIES ALTERNAS. Sea{an} una sucesión de términos positiv os. Una serie de cualquiera de las f ormas

∞ (−1)nan = −a1 + a2− a3 + a4− · · · + (−1)nan· · ·

n=1 o

∞ (−1)n+1an = a1− a2 + a3− a4 + · · · − (−1)n+1an· · ·

n=1 Se denomina serie alterna. Es decir, en las series alternas siempre aparece un término positiv o seguido de un término negativ o o v icev ersa. El siguiente criterio constituy e una prueba de la conv ergencia de una serie alternada. A esta se le denomina criterio o prueba de la serie alterna, también se le conoce como criterio de Leibniz para series alternas, y a que Leibniz lo f ormuló en 1705.

92

Comoan+1< an toda cantidad entre paréntesis es positiv a. Por lo tantoS2n≤ a1 para todo entero positiv on. Luego{S2n} es acotada y creciente. Conv erge a cierto limiteL. Ahora bien, comoS2n+1 = S2n + a2n+1 y l´ım n→∞ a2n+1 = 0. Resulta l´ m a2n+1 = l´ m S2n + l´ım a2n+1 = L + l´ım a2n+1 = L

n→∞ n→∞ n →∞ n →∞ Ya que tanto la sucesión de sumas parciales pares como las impares conv ergen al mismo límiteL, se sigue que{S2n} conv erge aL también. En consecuencia, la serie alternada dada es conv ergente. Ejemplo 11. Use el criterio de las series alternantes para establecer la conv ergencia o div ergencia de las series. ∞(−1) n+1 13. ∞ (−1)n n1. n=1 n n=1 ln 2n ∞ (−1)n+1 n+34. ∞(−1) n−1 2n2. n=1 n(n+1) n=1 4n2−3 Solución: 1.

∞ ( − 1)

n +1 1 =1 − 1 2+1 1 − 4 + · · ·n=1 n Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos f(n) = 1 n Se debe demostrar quean≥ an+1 para todo entero positiv on. Mostremos quef (x) = 1 es decreciente parax ≥ 1x f (x) = − 1< 0x2 Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1, para todo entero positiv on . Otra f orma de obtener el mismo resultado es demostrando quean− an+1≥ 0. Concretamente, sia1 = 1 y an+1 =n + 1, entonces n n 94

a1− an+1 = 1−n + 1 = 11 n ( n + 1) ≥ 0 n para todo entero positiv on oan≥ an+1 1 ≥ n+11n Además l´ m 1 = 0n→∞ an = l´ım

n →∞ n Se v erif ica que la serie armónica alterna ∞ (−1)n+1 1 conv erge. n=1 n 2. ∞ (−1)n+1 n + 3 4 −

− n=1 n (n + 1) =5 6 2 3 +3 4 1·2 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos: n + 3f(n) = n (n + 1)

Se debe demostrar a

n ≥ a

n +1 para todo entero positiv o n . Mostremos que f ( x ) = x + 3 x (x + 1) es decreciente parax ≥ 1 x + 3 x + 3f (x) = x (x + 1) = x2 + x 2 2 f (x) = x + x − (x + 3) · (2x + 1)= − x + 6x + 3 < 0x2 (x + 1)2 x2 (x + 1)2

Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1, para todo entero positiv on. Además n + 3 l´ m an = l´ım n→∞ n→∞ n (n + 1) = 0 Se v erif ica que la serie alterna ∞ (−1)n+1 n+3 conv erge. n=1 n(n+1) 3. 95

∞ ( − 1)

n n 1 =−

ln 2 +2 − n=1 ln 2n ln 4 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos: n

f (n) =ln 2n Se debe demostrar quean≥ an+1 para todo entero postiv on. Mostremos que x

f (x) =ln 2x es decreciente parax ≥ 1 f ( x ) = ln 2 x − 1= − 1 − ln 2x x )

2 (ln 2 x)

2 < 0 (ln 2 Se deduce quef es decreciente y por tanto,an≥ an+1, para todo entero positiv on. Además l´ m n = ∞ = 0

n →∞ an = l´ m n→∞ ln 2n

l´ m n ∞ n→∞ ln 2n = Forma indeterminada (L’Hopital)∞

l´ 96

m 1 n→∞ 1/n = l´ım n→∞ n = ∞

Así pues {an} no conv erge a cero y, por tanto, el criterio de las series alternadas no es aplicable. Sin embargo por el criterio del nésimo término para la div ergencia nos permite concluir que la serie dada div erge. 4.

∞ (−1)n−12n n=1

4n2− 3 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos: 2n

f (n) =4n2− 3 Se debe demostrar quean≥ an+1 para todo entero positiv on. Mostremos que 2xf (x) = 4x2− 3

es decreciente parax ≥ 1 f (x) = −2 (4x2 + 3) < 0(4x2− 3)2 Se deduce quef es decreciente y por lo tantoan≥ an+1, para todo entero positiv on. Además 2 l´ m a

n = l´ m 2nn 4 n

2 − 3 = l´ m4 − 3 = 0

n →∞ n

→∞ →∞ n2

Se v erif ica que la serie alterna ∞ (−1)n−1 2n conv erge . n=1 4n2− 3 Ejemplo 12. Determine si la serie alternante conv erge o div erge

97

∞ 2n

(−1)n−1

n=1 4n − 3

Puede demostrarse quean≥ an+1 para todo entero positiv on; sin embargo 2n

3 = l´ m 4 − 3 = 1 = 0

n l´ m 2

n→∞→∞ an = l´ım

4n −

→∞ n 2

y por tanto, de acuerdo con el criterio del n-ésimo término para la div ergencia nos permite concluir que la serie div erge. 4.9.3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL. Def inición 2. Una serie inf inita cualquiera ∞ an conv erge absolutamente (es absolutamenten=1 conv ergente) si la serie correspondiente de v alores absolutos ∞ |an| conv erge. Es decir, unan=1 serie conv erge absolutamente si la serie f ormada por los v alores absolutos de los términos de la serie dada conv erge. Observ e que si ∞ an es una serie de términos positiv os, entonces|an| = an y en este cason=1 conv ergencia absoluta es lo mismo que conv ergencia. Def inición 3. Cuando una serie inf inita ∞ an es conv ergente, pero la serie f ormada por los n=1 v alores absolutos de los términos de la serie dada div erge, sé dice que la serie dada conv erge condicionalmente o que es condicionalmente conv ergente Teorema 14. Si la serie ∞ |an| conv erge, entonces la serie ∞ an es conv ergenten=1 n=1 La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [4, 5, 2] Ejemplo 13. Tenemos la serie alternante armónica.

∞ (−1)n+1 1 1 = −12 + 1− 4 + · · ·

98

n=1n Es una serie conv ergente por el criterio de las series alternantes, pero no es absolutamente conv ergente por que la serie correspondiente de v alores absolutos es

∞∞ (−1)

n+1 1

n=1n

=

1

= 12 + 13 + 14 +

n=1n

que es una serie armónica (serie p, conp = 1) y por lo tanto es div ergente. De esta f orma se deduce que la serie armónica alterna

∞ (−1)n+1 1 1 = −12 + 1− 4 + · · ·

n=1n conv erge condicionalmente o es condicionalmente conv ergente. Ejemplo 14. Determinar si conv ergen las siguientes series, y en caso af irmativ o, sí lo hacen absoluta o condicionalmente. 1. ∞ (−1)n(n−1) 1 3. ∞ (−1)nn!

n=12 n n=0 2n3 n 2.

∞ (− 1) n=1 √n 4.

∞ cos n n=1 n2

Solución: 1. ∞

(−1)

3n

n(n−1) 1 = 1 19 + 127 + 1 − 81−

n=1 2

3

Esta serie no es alternada, y a que los signos cambian de dos en dos. La serie correspondiente de v alores absolutos es

∞∞ ( − 1)

n 99

2 (n−1) 1 1

= = 13 + 19 + 127 + 181 + · · ·

n =1 3

n 3n n=1 Es una serie geométrica conv ergente conr = 1< 1 . Como consecuencia la serie dada es 3 absolutamente conv ergente y , por tanto, conv ergente. ( − 1)n 2. ∞ 11 +1 −13 +1 − · · ·n=1 √n = −2 4 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos: f ( n )= 1 n Se debe demostrar que a

n ≥ a

n +1 para todo entero positiv o n . Mostremos que f ( x ) = 1 x es decreciente parax ≥ 1 . f (x) = − 1 < 02x3

2 Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1 , para todo entero positiv on. Además l´ m 1 = 0

n →∞ n 100

Se v erif ica que la serie alterna conv erge. Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos ∞ −

( 1)n ∞

√ 1 = 11 +12 +13 +14 +

n=1n = n n=1 div erge porque es la serie p conp = 1< 1. 2 Concluimos que la serie dada es condicionalmente conv ergente. n! 1! + 2! − 3! + 3. ∞ (−1) n = 0! −

n=0 2n 20 21 22 23

El criterio de las series alternantes no es aplicable a esta serie, pese a ser alternada, debido a que el límite del término general no es cero. Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos

∞∞ n! n! = 0! + 1! + 2! + 3! + (−1) n =

n =0 2 n 2n 20 21 22 23

n=0

Aplicando el criterio de la razón tenemos: a

n = n! ; an+1 = (n + 1)! 2n 2n+1 l´ m an+1 = l ım an+1 1= l ım (n + 1)! 2n

· n! n→∞ a n→∞ 2n+1 n→∞ a n n = l ım (n + 1) · n! = l ım (n + 1)= ∞

n →∞ 2n! n →∞ 2 Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es div ergente. 4.

∞ cos n = cos 1 + cos 2 + cos 3 + cos 4 +

n=1 n2 12 22 32 42

Esta serie tiene términos negativ os y positiv os, pero no es alternante. (El primer término es positiv o, los siguientes tres son 101

negativ os y los siguientes tres son positiv os. Los signos cambian con irregularidad). Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos ∞ cos n∞

= |cos n| n

2 n2 n=1 n=1 Puesto que|cos n| ≤ 1 para todon, y usando el criterio de comparación directa tenemos que el n-ésimo término| cos n| an = n2 sugiere que comparemos esta serie con aquella cuy o n-ésimo términobn = 12. La serien ∞ 1b = n n2

n=1 conv erge porque es la serie p conp = 2 > 1. Además. | cos n| 1 para todon ≥ 1 ≤ n2 n2

Por el criterio de la comparación directa la serie ∞ | cos n| es conv ergente. n=1 n2 Así la serie dada es absolutamente conv ergente y, por tanto, conv ergente. EJERCICIOS 4.9.(Series alternantes) 1. Analizar si la serie dada es conv ergente o div ergente, usando el criterio de las series alternadas 1 f ) ∞ (−1)n n + 1a) ∞ √ n−1√ n=1 (−1) 2n + 1 n=0 8n + 5

1 g )

∞ ( − 1)

n − 102

1 1 b) ∞ (−1)n+1 n=1 n2/3n=1 2n − 1 1 c )

∞ ( − 1)

n 3

n h )

∞ (−1)n−1 n=1 ln(n + 1) n=1 n2 ∞ cos nπ

d )

∞ ( − 1)

n 1

i) n=1

∞ ( − 1)

n +1 n

n n=0 (2n)! j) n=1 10

e )

∞ 103

( − 1)

n +1 2 √ k ) n=1 n e − e−n n=1 n + 1 2. Determinar si la serie dada es absolutamente conv ergente, condicionalmente conv ergente o div ergente. a ) ∞ (−1)n+1 n + 1

∞ (−1)n+1 1 i) ∞ (−1)n−13n n=1 n=1 4

n

n + 4 b) ∞ (−1)ne−n ∞ (−100)nn=1 j) n=1 n!c) ∞ (−1)n 1

n=1 n + 3 k) ∞ (−1)narctan n d

)

∞ (−1)nsin n n=1 n2 n=1 n2 l) ∞ (−1)n31/n

∞ ( − 1)

n √ 1

n=1 e) n=0 √n + 1 −√n) ∞ n n 3 n + 1 m) (−1) (n=1 ∞ cos nπ ∞ (−1)n (2n)!f) n=1 n3/4 n)n=1 2nn!n g )

∞ 2n−1 n=11 3 +1

3 5 + . . . +5n (n + 1) ñ) 1 + n 2! 3! h) ∞ 10 − 2 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)+ . . n=1 n! n!

104

3. Muestra que si ∞ an div erge, entonces ∞ |an| div erge también. n=1 n=1

4. Demostrar que la p- serie alternada ∞ (−1)n 1 + . . . conv erge si p > 0. n=1 np

105

5 SERIES DE POTENCIAS Ahora que sabemos analizar la conv ergencia de series inf initas, estudiaremos un tipo importante de series con términos v ariables denominada serie de potencias, la cual se puede considerar como una generalización de una f unción polinomial. Vamos a utilizar las series de potencias para calcular v alores de f unciones como sin x, ex, ln x, √x que no se pueden ev aluar por medio de operaciones aritméticas comunes para determinar v alores de f unciones racionales. Una serie de potencias es aquella que tiene la f orma

∞ c nx n = c 0 + c 1x + c 2x 2 + · · · + c nx n + · · · (5.0.1)

n=0 En donde x es una v ariable y losc n son constantes, llamados coef icientes de la serie. Para cadax f ija, la serie (5.0.1) es una serie de constantes que podemos probar para v er si es conv ergente. Una serie de potencias puede conv erger ante ciertos v alores de x y div ergir ante otros . La suma de la serie es una f unción

∞ f (x) = c nx n = c 0 + c 1x + c 2x 2 + · · · + c nx n + · · ·

n=0 Es el conjunto de todas las x para las que conv erge la serie. Observ ara quef se parece a un polinomio. La única dif erencia es quef tiene una cantidad inf inita de términos. Por ejemplo, conc n = 1 para todon la serie de potencias se transf orma en la serie geométrica ∞ 1x n = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + · · · = 1 − xn=0

Que conv erge cuando|r| = |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1 y div erge cuando|x| >1 87 De manera más general una serie de la f orma

∞ 106

c n (x − a)n = c 0 + c 1 (x − a) + c 2 (x − a)2 + · · · + c n (x − a)n + · · · (5.0.2)

n=0 Se llama serie de potencia en (x − a) .o serie de potencias centrada ena o serie de potencias alrededor dea. Observ e que six = a todos los términos son cero paran ≥ 1 y así la serie de potencias (5.0.2) siempre conv erge cuandox = a Los siguientes ejemplos muestran como se puede utilizar el criterio de la razón para determinar los v alores dex para los cuales una serie de potencias es conv ergente. Ejemplo 2. Determinar los v alores dex para los cuales la serie de potencias dado sea conv ergente. 2

nxn

2.

∞ (−1)n+1n! · xn3. ∞ (x − 3)n

1.

∞ (−1)n+1 n=1 n · 3n n=1 n=1 n

Solución: 1.

∞ (−1)n+1 2n x n n=1 n · 3n Para la serie dada a

n =( − 1)

n +1 2

nx nn+2 2n+1x n+1 y an+1 = (−1) (n + 1) · 3n+1n · 3n

Aplicando el criterio de la razón tenemos: l´ m a

n 107

+1 = l´ m a

n +1 · 1 = l´ m ( − 1) n+2 2n+1x n+1 n · 3n (−1)n+1 2n x nn→∞ an n→∞ an n→∞ (n + 1) · 3n+1 2 nx = 2| x| l ım n + 1 = 2| x| = l ım n→∞ 3 (n + 1)3 n→∞

Por lo tanto la serie de potencias será absolutamente conv ergente cuando 2|x| < 1 o|x| < 3 o en f orma equiv alente − 3

< x R La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [4, 7] El númeroR se denomina radio de conv ergencia de la serie de potencias. Por conv ención, el radio de conv ergencia esR = 0 en el caso 1. y R = ∞ en el caso 2. El interv alo de conv ergencia de una serie de potencias consta de todos los v aloresx para los cuales la serie conv erge. En el caso 1. El interv alo solo consta de un puntoa En el caso 2. El interv alo es (−∞, +∞) En el caso 3. La desigualdad|x − a| < R, se puede escribir en la f ormaa − R < x < a + R. Cualquierx es un punto extremo del interv alo (esto esx = a ± R) puede suceder cualquier cosa: la serie puede conv erger en uno o ambos puntos extremos o div ergir en ellos. Así es este caso pueden ocurrir cuatro posibilidades (a − R, a + R) , (a − R, a + R] , [a − R, a + R), [a − R, a + R] conv ergencia para |x-a|R A continuación se resume el radio de conv ergencia de los ejemplos anteriores. Series Radio de Interv alo de Conv ergencia Conv ergencia Serie Geométrica ∞ xn

n=0 R = 1 (−1, 1) Ejemplo 2. 1 ∞ (−1)n+1 2nxn n=1 n · 3n

117

R = 3− 3, 3

222 Ejemplo 2.2 ∞

(−1)n+1n! · x n

n=1 R = 0 [0, 0] = {0} Ejemplo 2.3 n ∞ (x − 3)

n=1n Ejemploxn 3 ∞ (−1)n n=1 (2n − 1) · 32n−1 R = 1 [2, 4)

R = 9 (−9, 9] Ejemplo 4 J

0 ( x )=

∞ (−1)n x2n n=0 22n (n!)2

R = ∞ (−∞, ∞) En general se debe emplear la prueba de la razón, o a v eces la prueba de la raíz, para determinar el radio de conv ergencia R. Los criterios de la razón y de la raíz f allan en un punto extremo del interv alo de conv ergencia, por lo que se debe comprobar los puntos extremos con algún otro método. Ejemplo 6. Determine el radio y el interv alo de conv ergencia de las siguientes series: x n n · (x + 2)n

1.

∞ (−3)n√n + 1 2. ∞ n=0 n=0 3n+1 Solución: 118

1.

∞ (−3)n x n n=0 √

n + 1 Para la serie dada

a

n =( − 3)

n x n n+1 x n+1 √n + 1 y an+1 = (−3)√n + 2 Aplicando el criterio de la razón tenemos: l´ m an+1 = l´ m an+1· 1 = l´ m (−3)n+1 xn+1 √n + 1

n→∞ an n→∞ an n→∞ √n + 2· (−3)n x n = 3 l´ m x · 1+

1 n = 3 |x|

n →∞ 1+

2 n Por tanto la serie de potencias será absolutamente conv ergente cuando 3 |x| < 1 o|x| < 1 o en f orma equiv alente −

1