Cálculo diferencial 2012

Cálculo diferencial

I

Cálculo diferencial

II

Dirección y realización del proyecto L.C.C. Gabriel Barragán Casares Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán Planeación y coordinación Lic. Alejandro de Jesús Salazar Ortega Director Académico Lic. Lorenzo Escalante Pérez Metodología y estrategia didáctica, y jefe del Departamento de Servicios Académicos Coordinación de la asignatura primera edición LM. Davy Alejandro Pérez Chan

1ª Edición Julio 2011

Impreso en México

DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser atendidos VyORVLHVWHQLYHOHGXFDWLYRVHGHVDUUROODFRQXQDLGHQWLGDGGHÀQLGDTXHSHUPLWDDVXVGLVWLQWRVDFWRUHVDYDQ]DURUGHQDGDPHQWHKDFLDORVREMHWLYRVSURSXHVWRV(VLPSRUWDQWHVDEHU TXHOD(06HQHOSDtVHVWiFRPSXHVWDSRUXQDVHULHGHVXEVLVWHPDVTXHRSHUDQGHPDQHUD LQGHSHQGLHQWHVLQFRUUHVSRQGHQFLDDXQSDQRUDPDJHQHUDODUWLFXODGR\VLQTXHH[LVWDVXÀFLHQWHFRPXQLFDFLyQHQWUHHOORV(OUHWRHVHQFRQWUDUORVREMHWLYRVFRPXQHVGHHVRVVXEVLVWHPDVSDUDSRWHQFLDUVXVDOFDQFHV\GHHVWDPDQHUDORJUDUHQWUHWRGRVUHJODVFODUDVGH RSHUDFLyQ(VLPSRUWDQWHSDUDHOGHVDUUROORGHOD(06TXHXVWHGHVGRFHQWHV\HVWXGLDQWHV FRQR]FDQORVHMHVTXHODUHJXODQFRPRRSHUD\ORVUHWRVTXHHQIUHQWDHQODDFWXDOLGDGSDUD DVXPLUDSDUWLUGHGLFKRFRQRFLPLHQWRXQDDFWLWXGGLIHUHQWHTXHQRVSHUPLWDFRDG\XYDUHQ HVWHHVIXHU]R /RVGLIHUHQWHVVXEVLVWHPDVGHOD(06KDQUHDOL]DGRFDPELRVHQVXVHVWUXFWXUDV ORVFXDOHVSUHWHQGLHURQGDUODSHUWLQHQFLDHÀFDFLD\FDOLGDGQHFHVDULDVSDUDTXHODSREODFLyQDODTXHDWLHQGH MyYHQHVHQWUHORV\DxRVDSUR[LPDGDPHQWH DGTXLULHUDFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVTXHOHVSHUPLWDQGHVDUUROODUVHGHPDQHUDVDWLVIDFWRULD\DVHDHQ VXVHVWXGLRVVXSHULRUHVRHQHOWUDEDMR\GHPDQHUDPiVJHQHUDOHQODYLGD(QHVWDPLVPD OtQHDQRVHGHEHSHUGHUGHYLVWDHOFRQWH[WRVRFLDOGHOD(06GHHOODHJUHVDQLQGLYLGXRVHQ HGDGGHHMHUFHUVXVGHUHFKRV\REOLJDFLRQHVFRPRFLXGDGDQRV\FRPRWDOHVGHEHQUHXQLU HQDGLFLyQDORVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVTXHGHÀQLUiQVXGHVDUUROORSHUVRQDOXQDVHULH GHDFWLWXGHV\YDORUHVTXHWHQJDQXQLPSDFWRSRVLWLYRHQVXFRPXQLGDG\HQHOSDtVHQVX FRQMXQWR (V HQ HVWH FRQWH[WR TXH ODV DXWRULGDGHV HGXFDWLYDV GHO SDtV KDQ SURSXHVWR OD 5HIRUPD,QWHJUDOGHOD(GXFDFLyQ0HGLD6XSHULRU5,(06 FX\RVREMHWLYRVFRQVLVWHQHQGDU LGHQWLGDGFDOLGDGHTXLGDG\SHUWLQHQFLDDOD(06DWUDYpVGHPHFDQLVPRVTXHSHUPLWDQ DUWLFXODUORVGLIHUHQWHVDFWRUHVGHODPLVPDHQXQ6LVWHPD1DFLRQDOGH%DFKLOOHUDWRGHQWUR GHOFXDOVHSXHGDJDUDQWL]DUDGHPiVGHORDQWHULRUWUiQVLWRGHHVWXGLDQWHVLQWHUFDPELRGH H[SHULHQFLDVGHDSUHQGL]DMH\ODFHUWLÀFDFLyQGHORVPLVPRV /RDQWHULRUVHUiSRVLEOHDSDUWLUGHOGHQRPLQDGR0DUFR&XUULFXODU&RP~Q0&&  GHOD5,(06HOFXDOVHGHVDUUROODFRQVLGHUDQGRHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDV\TXHLQFOX\H &RPSHWHQFLDV*HQpULFDV&RPSHWHQFLDV'LVFLSOLQDUHVEiVLFDV\H[WHQGLGDV \&RPSHWHQFLDV3URIHVLRQDOHVEiVLFDV\H[WHQGLGDV (VWDHVWUXFWXUDSHUPLWHREVHUYDUGHPDQHUDFODUDORVFRPSRQHQWHVFRPXQHVHQWUHORVGLYHUVRVVXEVLVWHPDVDVtFRPRDTXHOORVTXHVRQ SURSLRVGHFDGDXQR\TXHSRUFRQVLJXLHQWHORVKDFHGLVWLQWRV/RDQWHULRUPXHVWUDFRPR OD5,(06UHVSHWDODGLYHUVLGDGGHOQLYHOHGXFDWLYRGHOSDtVSHURKDFHSRVLEOHHO6LVWHPD1DFLRQDOGHO%DFKLOOHUDWRFRQIRUPDGRSRUODVGLVWLQWDVLQVWLWXFLRQHV\VXEVLVWHPDVTXHRSHUDQ HQQXHVWURSDtV 8QD FRPSHWHQFLD HV OD LQWHJUDFLyQ GH KDELOLGDGHV FRQRFLPLHQWRV \ DFWLWXGHV HQXQFRQWH[WRHVSHFtÀFR(VWDHVWUXFWXUDUHRUGHQD\HQULTXHFHORVSODQHV\SURJUDPDVGH HVWXGLRH[LVWHQWHV\VHDGDSWDDVXVREMHWLYRVQREXVFDUHHPSOD]DUORVVLQRFRPSOHPHQWDUORV\HVSHFLÀFDUORV'HÀQHHVWiQGDUHVFRPSDUWLGRVTXHKDFHQPiVÁH[LEOH\SHUWLQHQWH HOFXUUtFXORGHOD(06 1XHVWUR VXEVLVWHPD SHUWHQHFH DO FRQMXQWR GH ORV TXH RIUHFHQ EDFKLOOHUDWR JHQHUDO HO FXDO HQ OD GHÀQLFLyQ GHO 0&& GH OD UHIRUPD LQWHJUDO GHEHUi GHVDUUROODU HQ ORV HVWXGLDQWHVFDSDFLGDGHVTXHOHVSHUPLWDQDGTXLULUFRPSHWHQFLDVJHQpULFDVFRPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHVEiVLFDV\H[WHQGLGDVDGHPiVGHFRPSHWHQFLDVSURIHVLRQDOHVEiVLFDV /DV FRPSHWHQFLDV JHQpULFDV VRQ ODV TXH WRGRV ORV EDFKLOOHUHV GHEHQ HVWDU HQ FDSDFLGDGGHGHVHPSHxDUODVTXHOHVSHUPLWHQFRPSUHQGHUHOPXQGRHLQÁXLUHQpOOHV FDSDFLWDQSDUDFRQWLQXDUDSUHQGLHQGRGHIRUPDDXWyQRPDDORODUJRGHVXVYLGDV\SDUD GHVDUUROODUUHODFLRQHVDUPyQLFDVFRQTXLHQHVOHVURGHDQDVtFRPRSDUWLFLSDUHÀFD]PHQWH HQORViPELWRVVRFLDOSURIHVLRQDO\SROtWLFR'DGDVXLPSRUWDQFLDGLFKDVFRPSHWHQFLDVVH LGHQWLÀFDQWDPELpQFRPRFRPSHWHQFLDVFODYH\FRQVWLWX\HQHOSHUÀOGHOHJUHVDGRGHO6LVWHPD1DFLRQDOGH%DFKLOOHUDWR$FRQWLQXDFLyQVHOLVWDQODVRQFHFRPSHWHQFLDVJHQpULFDV DJUXSDGDVHQVXVFDWHJRUtDVFRUUHVSRQGLHQWHV

III

Se autodetermina y cuida de sí 1. 6HFRQRFH\YDORUDDVtPLVPR\DERUGDSUREOHPDV\UHWRVWHQLHQGRHQFXHQWDORVREMHWLYRVTXHSHUVLJXH

IV

2. (VVHQVLEOHDODUWH\SDUWLFLSDHQODDSUHFLDFLyQHLQWHUSUHWDFLyQGHVXVH[SUHVLRQHVHQ GLVWLQWRVJpQHURV 3. (OLJH\SUDFWLFDHVWLORVGHYLGDVDOXGDEOHV Se expresa y comunica 4. (VFXFKD LQWHUSUHWD \ HPLWH PHQVDMHV SHUWLQHQWHV HQ GLVWLQWRV FRQWH[WRV PHGLDQWH OD XWLOL]DFLyQGHPHGLRVFyGLJRV\KHUUDPLHQWDVDSURSLDGRV 3LHQVDFUtWLFD\UHÁH[LYDPHQWH 5. 'HVDUUROODLQQRYDFLRQHV\SURSRQHVROXFLRQHVDSUREOHPDVDSDUWLUGHPpWRGRVHVWDEOHFLGRV 6. 6XVWHQWDXQDSRVWXUDSHUVRQDOVREUHWHPDVGHLQWHUpV\UHOHYDQFLDJHQHUDOFRQVLGHUDQGRRWURVSXQWRVGHYLVWDGHPDQHUDFUtWLFD\UHÁH[LYD Aprende de forma autónoma 7. $SUHQGHSRULQLFLDWLYDHLQWHUpVSURSLRDORODUJRGHODYLGD 7UDEDMDHQIRUPDFRODERUDWLYD 8. 3DUWLFLSD\FRODERUDGHPDQHUDHIHFWLYDHQHTXLSRVGLYHUVRV Participa con responsabilidad en la sociedad 9. 3DUWLFLSDFRQXQDFRQFLHQFLDFtYLFD\pWLFDHQODYLGDGHVXFRPXQLGDGUHJLyQ0p[LFR \HOPXQGR 10. 0DQWLHQHXQDDFWLWXGUHVSHWXRVDKDFLDODLQWHUFXOWXUDOLGDG\ODGLYHUVLGDGGHFUHHQFLDV YDORUHVLGHDV\SUiFWLFDVVRFLDOHV 11. &RQWULEX\HDOGHVDUUROORVXVWHQWDEOHGHPDQHUDFUtWLFDFRQDFFLRQHVUHVSRQVDEOHV /DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVVRQODVQRFLRQHVTXHH[SUHVDQFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHV \DFWLWXGHVTXHFRQVLGHUDQORVPtQLPRVQHFHVDULRVGHFDGDFDPSRGLVFLSOLQDUSDUDTXHORV HVWXGLDQWHVVHGHVDUUROOHQGHPDQHUDHÀFD]HQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV\VLWXDFLRQHVDORODUJR GHODYLGD/DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVSXHGHQVHUEiVLFDVRH[WHQGLGDV /DV FRPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHV EiVLFDV SURFXUDQ H[SUHVDU ODV FDSDFLGDGHV TXH WRGRV ORV HVWXGLDQWHV GHEHQ DGTXLULU LQGHSHQGLHQWHPHQWH GHO SODQ \ SURJUDPDV GH HVWXGLRTXHFXUVHQ\ODWUD\HFWRULDDFDGpPLFDRODERUDOTXHHOLMDQDOWHUPLQDUVXVHVWXGLRV GHEDFKLOOHUDWR/DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVEiVLFDVGDQVXVWHQWRDODIRUPDFLyQGHORV HVWXGLDQWHV HQ ODV FRPSHWHQFLDV JHQpULFDV TXH LQWHJUDQ HO SHUÀO GH HJUHVR GH OD (06 \ SXHGHQDSOLFDUVHHQGLVWLQWRVHQIRTXHVHGXFDWLYRVFRQWHQLGRV\HVWUXFWXUDVFXUULFXODUHV VHRUJDQL]DQHQORVFDPSRVGLVFLSOLQDUHVVLJXLHQWHV0DWHPiWLFDV&LHQFLDV([SHULPHQWDOHV )tVLFD4XtPLFD%LRORJtD\(FRORJtD &LHQFLDV6RFLDOHV\+XPDQLGDGHV+LVWRULD6RFLRORJtD 3ROtWLFD(FRQRPtD$GPLQLVWUDFLyQ/yJLFDeWLFD)LORVRItD\(VWpWLFD \&RPXQLFDFLyQ/HFWXUD\([SUHVLyQRUDO\HVFULWD/LWHUDWXUD/HQJXDH[WUDQMHUDH,QIRUPiWLFD  /DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVH[WHQGLGDVGDQVXVWHQWRDODVFRPSHWHQFLDVJHQpULFDVGHOSHUÀOGHOHJUHVDGRGHOEDFKLOOHUDWRDGHPiVGHTXHWLHQHQFRPRSURSyVLWRSUHSDUDUDOHVWXGLDQWHSDUDHOQLYHOVXSHULRUGHHVWXGLRVHVSHFLÀFDQGRHQORVHOHPHQWRVGLVFLSOLQDUHVFRUUHVSRQGLHQWHV\HQVXFDVRLQFUHPHQWDQGRODFRPSOHMLGDGGHODFRPSHWHQFLDD GHVDUUROODU$OLJXDOTXHODVGLVFLSOLQDUHVEiVLFDVGHDJUXSDQHQORVFDPSRVGHFRQRFLPLHQWR GHO%DFKLOOHUDWR*HQHUDO

Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas 1. &RQVWUX\HHLQWHUSUHWDPRGHORVPDWHPiWLFRVPHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHSURFHGLPLHQWRV DULWPpWLFRVDOJHEUDLFRVJHRPpWULFRV\YDULDFLRQDOHVSDUDODFRPSUHQVLyQ\DQiOLVLVGH VLWXDFLRQHVUHDOHVKLSRWpWLFDVRIRUPDOHV 2. )RUPXOD\UHVXHOYHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVDSOLFDQGRGLIHUHQWHVHQIRTXHV 3. ([SOLFDHLQWHUSUHWDORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVPHGLDQWHSURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRV\ ORVFRQWUDVWDFRQPRGHORVHVWDEOHFLGRVRVLWXDFLRQHVUHDOHV 4. $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÀFRV DQDOtWLFRVRYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\ODFRPXQLFDFLyQ 5. $QDOL]DODVUHODFLRQHVHQWUHGRVRPiVYDULDEOHVGHXQSURFHVRVRFLDORQDWXUDOSDUDGHWHUPLQDURHVWLPDUVXFRPSRUWDPLHQWR 6. &XDQWLÀFDUHSUHVHQWD\FRQWUDVWDH[SHULPHQWDORPDWHPiWLFDPHQWHODVPDJQLWXGHVGHO HVSDFLR\ODVSURSLHGDGHVItVLFDVGHORVREMHWRVTXHORURGHDQ 7. (OLJHXQHQIRTXHGHWHUPLQLVWDRXQRDOHDWRULRSDUDHOHVWXGLRGHXQSURFHVRRIHQyPHQR\DUJXPHQWDVXSHUWLQHQFLD 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV\FLHQWtÀFRV ESTRATEGIA DIDÁCTICA 3DUD FRQWULEXLU DO GHVDUUROOR GH ODV VHVLRQHV GH DSUHQGL]DMH HQ HO DXOD VH HVWDEOHFLy XQD HVWUDWHJLDTXHSHUPLWDLQWHJUDUORVHOHPHQWRVGHOSURJUDPDGHODDVLJQDWXUDFRQORVPDWHULDOHVGHDSR\R\ODDFWLYLGDGGHGRFHQWHV\HVWXGLDQWHV 6HOHGHQRPLQDHVWUDWHJLDHQHOVHQWLGRGHVXÁH[LELOLGDG\DTXHQRSUHWHQGH VHUXQDOJRULWPRTXHHOGRFHQWHGHEDVHJXLUDOSLHGHODOHWUDVLQRTXHGHEHDGDSWDUORD ODVFDUDFWHUtVWLFDVSURSLDVGHOFRQWH[WRHQHOTXHVHGHVDUUROODQODVVHVLRQHVGHDSUHQGL]DMH /DHVWUDWHJLDFRQVWDGHVLHWHSDVRVRHWDSDVPLVPDVTXHGHEHUiQFRQRFHUVHHQ ODVSULPHUDVVHVLRQHVSDUDXQPHMRUGHVDUUROORGHODVPLVPDV/RVSDVRVVHOLVWDQ\GHVFULEHQDFRQWLQXDFLyQ h 'LQDPL]DFLyQ h &RQWH[WXDOL]DFLyQ h 3UREOHPDWL]DFLyQ h )RUPDFLyQ$GTXLVLFLyQ'HVDUUROOR\&RQVWUXFFLyQGH&RPSHWHQFLDV h 6tQWHVLV h 5HDOLPHQWDFLyQ h (YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD Dinamización (QHOSURFHVRGHFRQVWUXFFLyQGHODSUHQGL]DMHHVLQGLVSHQVDEOHSDUDHOIDFLOLWDGRUWHQHUHYLGHQFLDGHORVDSUHQGL]DMHVSUHYLRVTXHHODOXPQRKDDGTXLULGR\FRQVLGHUDUTXHHVDSDUWLU GHORVPLVPRVTXHVHGHVDUUROODUiQORVQXHYRVPRWLYDQGRDODFRODERUDFLyQGHOHVWXGLDQWH HQHOPLVPRSURFHVR 9,

V

Contextualización

VI

(QHOGHVDUUROORGHFRPSHWHQFLDVVHKDFHQHFHVDULRHODSUHQGL]DMHFRQWH[WXDOHVGHFLUSUHVHQWDU HOHPHQWRV D WUDYpV GH HVFHQDULRV TXH OH VHDQ VLJQLÀFDWLYRV D ORV HVWXGLDQWHV /D FRQWH[WXDOL]DFLyQ GHEHUi UHDOL]DUVH DO LQLFLR GH FDGD EORTXH HQ ORV TXH VH RUJDQL]DQ ORV FRQWHQLGRVHQORVSURJUDPDVGHHVWXGLR Problematización (QHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDVTXHOD5,(06HVWDEOHFHHOFRQWHQLGRWRPDXQVLJQLÀFDGR SULPRUGLDODODFHUFDUQRVDpODWUDYpVGHVXDSOLFDFLyQHQODYLGDFRWLGLDQDSRUWDQWROD SUREOHPDWL]DFLyQGHEHHVWDUSUHVHQWHDORODUJRGHWRGDODHVWUDWHJLDHQHODXOD Formación, Adquisición, Desarrollo y Construcción de Competencias (WDSD HQ OD FXDO HO IDFLOLWDGRU D SDUWLU GH GLYHUVDV H[SHULHQFLDV GH DSUHQGL]DMH IDFLOLWD HO TXHKDFHUGHOHVWXGLDQWHSDUDORJUDUODVFRPSHWHQFLDV(QHVWDHWDSDGHODHVWUDWHJLDHVWXGLDQWHV\GRFHQWHVGHEHQHVWDUSHQGLHQWHVGHOSURFHVRGHDVLPLODFLyQ*DOSHULQORGHVFULEH FRPRXQSURFHVRGHHWDSDV\QRFRPRXQIHQyPHQRLQPHGLDWR /DVGLVWLQWDVHWDSDVGHOSURFHVRGHDVLPLODFLyQTXHHODOXPQRH[SHULPHQWDSDUD GHVDUUROODUHODSUHQGL]DMHVRQODHWDSDGHPRWLYDFLyQODFXDOGHEHIRPHQWDUVH\PDQWHQHUVH GXUDQWHWRGRHOFXUVRUHFRUGHPRVTXHVLXQDOXPQRQRHVWiPRWLYDGRGLItFLOPHQWHDSUHQGHUi/DVHJXQGDHWDSDGHHVWHSURFHVRHVODIRUPDFLyQGHOD%2$HVWDLQFOX\HODIRUPD TXHHOIDFLOLWDGRUXWLOL]DSDUDTXHHODOXPQRGHVDUUROOHXQDFRPSHWHQFLD/D5,(06VXJLHUH ODFUHDWLYLGDGFRPRPpWRGRRIRUPDGHHQVHxDQ]DSDUDFXPSOLUWDOHVÀQHV /D%2$SXHGHOOHYDUVHDFDERGHYDULDVIRUPDVFXEULHQGRWUHVDVSHFWRVLPSRUWDQWHVODRULHQWDFLyQDODOXPQRTXHFRPR\DGLMLPRVGHEHHVWDUSUHFHGLGDSRUXQDEXHQD FDUJDGHPRWLYDFLyQGLFKDRULHQWDFLyQSXHGHVHUGHGRVWLSRVFRPSOHWDHQODTXHHOPDHVWUROHSURSRUFLRQDDODOXPQRWRGRVORVDVSHFWRVGHXQFRQWHQLGRHLQFRPSOHWDHQODFXDO VHGHMDQFLHUWRVDVSHFWRVGHXQFRQWHQLGRSDUDTXHHODOXPQRSXHGDGHVFXEULURLQYHVWLJDU SRUVtPLVPR/DJHQHUDOLGDGHVRWURDVSHFWRLPSRUWDQWHHQODFRQVWLWXFLyQGHO%2$TXH SXHGHVHUFRQFUHWDRJHQHUDOL]DGDHVGHFLUHOGRFHQWHSXHGHPRVWUDUKHFKRVFRQFUHWRV UHODWLYRVDDOJ~QFRQWHQLGRRSXHGHDEDUFDUHOPLVPRFRQWHQLGRSHURSRUPHGLRGHKHFKRV JHQHUDOHVTXHWHQJDQDOJXQDUHODFLyQFRQHOFRQFHSWRTXHVHH[SRQHDODOXPQR (OPRGRGHREWHQFLyQHVHO~OWLPRGHORVDVSHFWRVTXHLQFOX\HOD%2$(VWHVH SUHVHQWDGHGRVIRUPDVSUHHODERUDGDHLQGHSHQGLHQWH(QHOSULPHURHODOXPQROOHJDD REWHQHUHODSUHQGL]DMHGHPDQHUDFRQMXQWDFRQHOIDFLOLWDGRU\HQODVHJXQGDORVDOXPQRV DGTXLHUHQHOFRQRFLPLHQWRHQIRUPDLQGHSHQGLHQWH Síntesis $FWLYLGDG TXH SHUPLWH LQWHJUDU ORV DSUHQGL]DMHV GHO HVWXGLDQWH D WUDYpV GH HYLGHQFLDV GH FRQRFLPLHQWRGHVHPSHxRSURGXFWR\DFWLWXGGHPDQHUDTXHHOGRFHQWHFXHQWHFRQHVWUDWHJLDV SDUD OD HYDOXDFLyQ IRUPDWLYD ORJUDQGR LQYROXFUDU DO HVWXGLDQWH HQ SURFHVRV GH FRHYDOXDFLyQ (YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD 3DUDOOHYDUDFDERODHYDOXDFLyQVXPDWLYDGHODVFRPSHWHQFLDVTXHVHLQGLFDQHQORVSURJUDPDVGHHVWXGLRVHFRQWHPSODHVWDHWDSDODFXDOGHEHYHUVHFRPRSDUWHGHOSURFHVRHV GHFLUQRGHEHHQQLQJ~QPRPHQWRVHSDUDUVHGHODIRUPDWLYD/DPHMRUIRUPDGHORJUDUHVWD XQLGDGVHUiLQWHJUDQGRXQSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDVGHDSUHQGL]DMH

VII

1. Dinamización y motivación

2.Contextualización

3.Desarrollo de criterios

4.Síntesis

5. Realimentación

6. Evaluación de la competencia

7. Problematización

8. Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias

Contenido VIII

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo meGLDQWHHODQiOLVLVGHVXHYROXFLyQVXVPRGHORV matemáticos y su relación con hechos reales 2 Sesión 1: Origen y evolución del Cálculo

5

Orígenes

6

Ideas y conceptos

7

Unificación de los conceptos

8

Desarrollo

10

Sesión 2: Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos

11

Mi proyecto del bloque

23

Rúbrica del bloque

28

%ORTXH,,5HVXHOYHVSUREOHPDVGHOtPLWHVGH FDUiFWHUHFRQyPLFRDGPLQLVWUDWLYRQDWXUDO\ social 32 Sesión 1: Definición y representación de límite de funciones

34

Representación gráfica de límite

39

Definición de límite

44

Sesión 2: Cálculo de límites de funciones

50

Teoremas sobre límites

51

Límites laterales

55

Límites infinitos

58

Límites al infinito

62

Sesión 3: Continuidad de funciones

67

Continuidad en un punto

68

Continuidad en un intervalo

72

Continuidad de funciones trigonométricas

74

Mi proyecto del bloque

77

Rúbrica del bloque

82

Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, HFRQyPLFRV\DGPLQLVWUDWLYRV  Sesión 1: Razón de cambio; la derivada como razón de cambio

88

Interpretación geométrica de la derivada

92

Relación entre diferenciabilidad y continuidad

96

Sesión 2: Fórmulas de derivación. Tangentes y normales

99

Teoremas de derivación de funciones algebraicas

101

Teoremas de derivación de funciones trigonométricas

105

Teorema de regla de la cadena

107

Teoremas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas

110

Derivadas implícitas

111

Ecuación de la recta tangente y normal

113

Otras aplicaciones directas

116

Sesión 3: Razones de cambio (tasas de variación) relacionadas; variación de un fenómeno

119

Mi proyecto del bloque

127

Rúbrica del bloque

134

Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización

138

Sesión 1: Valores máximos y mínimos de funciones

140

Máximos y mínimos

142

Funciones crecientes y decrecientes

149

Sesión 2: Criterios para cálculo de máximos y mínimos

151

Criterio de la primera derivada

152

Criterio de la segunda derivada

162

Sesión 3: Aplicaciones de máximos y mínimos

171

Mi proyecto del bloque

186

Rúbrica del bloque

192

IX

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

Objetos de aprendizaje h 2ULJHQ\HYROXFLyQGHO&iOFXOR h 0RGHORVPDWHPiWLFRVXQDFHUFDPLHQWRDPi[LPRV\PtQLPRV Desempeños del estudiante h ,GHQWLÀFDODVGLIHUHQWHVIXHQWHV\DXWRUHVTXHGLHURQRULJHQDO&iOFXOR h 5HFRQRFHHOFDPSRGHHVWXGLRGHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOGHVWDFDQGRVXLPSRUWDQFLDHQODVROXFLyQGHPRGHORVPDWHPiWLFRVDSOLFDGRVDVLWXDFLRQHVKLSRWpWLFDVR UHDOHV Competencias disciplinares extendidas 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGH ODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQ 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 5.6.8WLOL]DODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQSDUDSURFHVDUHLQWHUSUHWDULQIRUPDFLyQ 6.1.(OLJHODVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQPiVUHOHYDQWHVSDUDXQSURSyVLWRHVSHFtÀFR\ GLVFULPLQDHQWUHHOODVGHDFXHUGRDVXUHOHYDQFLD\FRQÀDELOLGDG 8.3.$SRUWDSXQWRVGHYLVWDFRQDSHUWXUD\FRQVLGHUDORVGHRWUDVSHUVRQDVGHPDQHUDUHÁH[LYD 9.1.3ULYLOHJLDHOGLiORJRFRPRPHFDQLVPRSDUDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV

Cálculo Diferencial

'LQDPL]DFLyQ\PRWLYDFLyQ 4

&RPRSDUWHGHWXIRUPDFLyQHQODHVSHFLDOL]DFLyQ)tVLFRPDWHPiWLFRHQHVWDPDWHULDVHWHSURSRUFLRQDUiQDEXQGDQWHVKHUUDPLHQWDVTXHFRPSOHPHQWHQWXSHUÀOGH HJUHVDGR &RPR KDV HOHJLGR HVWD HVSHFLDOL]DFLyQ HV SUREDEOH TXH WHQJDV LQWHUpV HQ FRQWLQXDU WXV HVWXGLRV HQ FDUUHUDV UHODFLRQDGDV FRQ ODV LQJHQLHUtDV OD )tVLFD OD $UTXLWHFWXUDHVWXGLRVWpFQLFRVRTXL]iWDPELpQELROyJLFRV\VRFLDOHVSDUDORVTXH QHFHVLWDUiVXQDEDVHPDWHPiWLFD3HURQRWHSUHRFXSHVHVWDEDVH\DVHKDHVWDGR FRQVWUX\HQGRDORODUJRGHORVFXDWURVHPHVWUHVGH0DWHPiWLFDV3RGHPRVRUJDQL]DU ODVXQLGDGHVDFDGpPLFDVFXUULFXODUHV8$& RPDWHULDVYLVWDVHQODVLJXLHQWHWDEOD Semestre/UAC

Contenido general de la UAC

UR0DWHPiWLFDV,

ÉOJHEUD

GR0DWHPiWLFDV,,

*HRPHWUtD3ODQD\7ULJRQRPHWUtD

UR0DWHPiWLFDV,,,

*HRPHWUtD$QDOtWLFD

WR0DWHPiWLFDV,9

Pre-cálculo (teoría de funciones)

6LORFRQVLGHUDVSHUWLQHQWHOOHYDDFDERORPiVSURQWRSRVLEOHXQUHSDVR GHODVWHPiWLFDVWUDWDGDVHQHVWDVPDWHULDV\GHVHUSRVLEOHXQIRUPXODULRGHORTXH KDVDQDOL]DGRHQHVWRVFXDWURVHPHVWUHV1RGXGHVHQSHGLURULHQWDFLyQDWXGRFHQWH El estudio del &iOFXORVHSXHGHGLYLGLUHQGRVJUDQGHVUDPDVGHHVWXGLR

Cálculo

Diferencial

Integral

(QHVWHVHPHVWUHHVWXGLDUHPRVHOCálculo Diferencial DSDUWLUGHVXPpWRdo principal, la diferenciación. 0XFKRV SHUVRQDMHV KDQ GDGR RULJHQ DO &iOFXOR \ KDQ SDUWLFLSDGR HQ VX HYROXFLyQUD]yQSRUODFXDOHQODSULPHUDVHVLyQQRVGHGLFDUHPRVDREWHQHUGDWRV LPSRUWDQWHV\IXQGDPHQWDOHVVREUHHVWDPDWHULD(QODVHVLyQGRVQRVHQIRFDUHPRV HQXQDDSOLFDFLyQSUHYLDHLQIRUPDOGHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOHQODTXHREVHUYDUHPRV ORVPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHUHVXHOYHQSUREOHPiWLFDVUHDOHV3RUHMHPSOR¢SRUTXp ODVODWDVGHDW~Q\ODVFDMDVGHOHFKH7HWUD3DFNWLHQHQHVDIRUPD" (O&iOFXORWLHQHPXFKDVDSOLFDFLRQHVDSUREOHPiWLFDVGHOHQWRUQRTXHQR VyOR FRQFLHUQHQ D FLHQWtÀFRV LQJHQLHURV R ELyORJRV PHGLDQWH HO HVWXGLR GH HVWD UDPDGHODV0DWHPiWLFDVSRGHPRVYLVXDOL]DUHOLQPHQVRPDUGHSRVLELOLGDGHVTXH QRVRIUHFHQ\TXHHVWiQDQXHVWUDGLVSRVLFLyQ3RUORWDQWRVHDFXDOVHDWXRULHQWDFLyQKDFLDORVHVWXGLRVVXSHULRUHVHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOWHRIUHFHUiXQDPDQHUD GLIHUHQWHGHYHU\XWLOL]DUODV0DWHPiWLFDV

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

6HVLyQ2ULJHQ\HYROXFLyQGHO &iOFXOR Criterios: h 'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQGHO&iOFXORTXHOOHYDURQDOGHVDUUROORGHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO h (VWDEOH]FRODVFLUFXQVWDQFLDV\FRQWH[WRVTXHOOHYDURQDORVGLIHUHQWHVDXWRUHVGHO &iOFXORDXWLOL]DURGHVFXEULUORVHOHPHQWRVSURSLRVGHpVWH h 5HODFLRQRODVGLYHUVDVLGHRORJtDV\OHQJXDMHPDWHPiWLFRTXHXVDURQORVGLIHUHQWHVH[SRVLWRUHVGHO&iOFXORWRPDQGRFRPRUHIHUHQFLDVXVHVFULWRV\DOJXQDVGH VXVREUDVFRQHOÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\HOWUDWDGRGHO&iOFXOR h 8WLOL]RODV7,&SDUDWHQHUXQSDQRUDPDDPSOLRGHODHYROXFLyQGHO&iOFXOR h 3URPXHYRHOHVWXGLR\DSOLFDFLyQGHO&iOFXORSDUDUHVROYHUGLIHUHQWHVVLWXDFLRQHV KLSRWpWLFDVRUHDOHV h (PSOHRHOGLiORJRHQHOTXHFRQVLGHURORVGLIHUHQWHVSXQWRVGHYLVWDSDUDUHIRU]DUODVROXFLyQDSUREOHPiWLFDVVXUJLGDV

&ontextualización ,JXDOTXHPXFKDVGHODVJUDQGHVFLHQFLDVHO&iOFXORKDHYROXFLRQDGRFRQODLQWHUYHQFLyQGHGLIHUHQWHVFDPSRVVRFLDOHVSURFHGLPHQWDOHVpSRFDVSHUVRQDMHVHWFpWHUD(QFXUVRVGH&iOFXORH+LVWRULDVHWRPDQFRPRSHUVRQDMHVSULQFLSDOHVGHHVWD JUDQGLRVDUDPDDOLQJOpVSir Isaac Newton\DODOHPiQGottfried Wilhelm Leibniz VLQ HPEDUJR WDPELpQ H[LVWLHURQ DSRUWDFLRQHV FRPSOHPHQWDULDV R HVODERQDGDV GH RWURVKRPEUHVTXHFRQWULEX\HURQTXL]iVLQVDEHUORDODFRQVROLGDFLyQGHO&iOFXOR 0LLQWHQFLyQQRHVVLQHPEDUJRH[SRQHU~QLFDPHQWHHOFRQWH[WRKLVWyULFR TXHURGHDDHVWDUDPDVLQRGHVFULELUFyPRHOVHUKXPDQRHVFDSD]GHFRPSUHQGHU FDGDYH]PiVSURIXQGDPHQWHVXHQWRUQR\WUDQVIRUPDUOR3RUORWDQWRGHVHRTXHDO FRPSUHQGHUHVWRVKHFKRVSXHGDVFRQFHELUORTXHODPHQWHKXPDQDSXHGHORJUDU FRQSHUVHYHUDQFLD\VHGGHFRQRFHUORVSURFHVRVQDWXUDOHV\PDWHPiWLFRV

PUREOHPDWL]DFLyQ /DVDSOLFDFLRQHVGHO&iOFXORHVWiQUHODFLRQDGDVFRQODVGLIHUHQWHVUDPDVGHODV0DWHPiWLFDVODV&LHQFLDV1DWXUDOHV\ODVWHFQROyJLFDV\DTXHpVWDVKDQFRQWULEXLGRDVX UHÀQDPLHQWR3RUVXSDUWHWDPELpQHO&iOFXORKDFRQWULEXLGRDODYDQFHGHOD)tVLFD\ OD0DWHPiWLFD (ORULJHQGHHVWDUDPDHVWiHQGLYHUVDVLQTXLHWXGHVTXHVHGHVHDEDQVDWLVIDFHUGHIRUPDPDWHPiWLFDDOJXQDVGHODVFXDOHVVHUHPRQWDQDODDQWLJXD*UHFLD (QWUHHOODVGHVWDFDQ h 'HWHUPLQDUODUHFWDWDQJHQWHHQXQSXQWRHVSHFtÀFRGHXQDFXUYDFRQRFLGD h +DOODUHOYDORUPi[LPRRPtQLPRGHXQDFXUYD h 2EWHQHUODORQJLWXGGHXQVHJPHQWRGHXQDFXUYD h (QFRQWUDUHOYDORUGHOiUHDFRQWHQLGDHQXQDUHJLyQ

5

Cálculo Diferencial h 'HWHUPLQDUHOYROXPHQGHXQVyOLGR h 2EWHQHUODYHORFLGDG\DFHOHUDFLyQHQXQWLHPSRHVSHFtÀFRTXHWHQGUiXQFXHUSR TXHVHPXHYHHQXQDWUD\HFWRULDHVWDEOHFLGD

6 Es importante que recuerdes el térmiQR´LQÀQLWRµVHJ~Q el curso anterior de Matemáticas IV, para que en consenso grupal lleguen a una GHÀQLFLyQ~QLFD\ satisfactoria.

(VWDV LQTXLHWXGHV IXHURQ WUDEDMDGDV GXUDQWH PXFKRV DxRV UD]yQ SRU OD FXDOODVWpFQLFDVTXHSHUPLWtDQVXDQiOLVLVVHIXHURQSHUIHFFLRQDQGRWDPELpQVHIXHURQDxDGLHQGRODVQXHYDVWHRUtDVPDWHPiWLFDV\ItVLFDVGHVFXELHUWDVKDVWDTXHODV LQTXLHWXGHVIXHURQVDWLVIHFKDV&RQVLGHUDQGRHVWDVEDVHV\QRFLRQHVFRPHQ]DUHPRV QXHVWURUHFRUULGRSRUHOPDUDYLOORVRFDPSRGHDSOLFDFLyQGHOFiOFXOR

FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\  GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV (OWpUPLQR&iOFXOR,QÀQLWHVLPDO,TXHFRPR\DVHxDOpSRVHHGRVJUDQGHVUDPDVHO 'LIHUHQFLDO\HO,QWHJUDO YLHQHGHOWpUPLQR´LQÀQLWRµTXHVHHPSOHDSDUDUHSUHVHQWDUXQDFDQWLGDGLQFRQPHQVXUDEOHPHQWHJUDQGHRLQFRQPHQVXUDEOHPHQWHSHTXHxD /RVJULHJRVOHWHQtDQFLHUWRUHVSHWRDOLQÀQLWR\HPSOHDEDQHVWDQRFLyQSDUDGHWHUPLQDUHOiUHDGHXQDFLUFXQIHUHQFLD 3DUDHVWXGLDUORVKHFKRVTXHRULJLQDURQ\SHUPLWLHURQGHVDUUROODUHO&iOFXOR RUGHQDGDPHQWHORVDQDOL]DUHPRVGHPDQHUDFURQROyJLFD

2UtJHQHV

FIGURA 1.1 Zenón de (OHD

&RPRUHODWpHQOtQHDVDQWHULRUHVORVJULHJRVWXYLHURQ FLHUWDV QRFLRQHV GHO &iOFXOR SXHV FRQRFtDQ HO LQÀQLWR3DUDGHWHUPLQDUHOiUHDGHXQDFLUFXQIHUHQFLDDOLQHDEDQXQDVHULHGHWULiQJXORVUHVSHFWRDVX UDGLR\FDOFXODEDQVXViUHDVODVFXDOHVVXPDGDVVH DFHUFDEDQDOiUHDUHDOGHOFtUFXOR0LHQWUDVPiVHVWUHFKDVHUDQODVEDVHVGHOWULiQJXORHOYDORUGHVXV iUHDV VXPDGDV VH DFHUFDED PiV DO iUHD UHDO GH OD FLUFXQIHUHQFLD FRQVLGHUDGD (VWH SURFHGLPLHQWR LQYROXFUDEDLPSOtFLWDPHQWHODQRFLyQGHLQÀQLWRSXHV UHTXHUtDGHLQÀQLWRVWULiQJXORV 3HUR ¢FyPR HV SRVLEOH VXPDU XQD FDQWLGDG LQÀQLWD GH HVWDV VHFFLRQHV KDVWD FXEULU FRPSOHWDPHQWHHOiUHDGHODFLUFXQIHUHQFLD"(QUHDOLGDG la idea de estos pensadores era operativa, es decir, DQDOtWLFDPHQWH LPSRVLEOH GH GHPRVWUDU DSDUWH GH TXHWDPELpQREHGHFtDFULWHULRVÀORVyÀFRV

FIGURA 1.2 &XDQGR OD EDVH GH ORVWULiQJXORVHVFDGDYH]PHQRU VXDOWXUDVHDSUR[LPDDOYDORUGHO UDGLR \ OD VXPD GH VXV EDVHV VH DFHUFD DO YDORU GHO SHUtPHWUR GH OD FLUFXQIHUHQFLD VyOR VH YXHOYHQ LJXDOHV FXDQGR VH WLHQH XQD FDQWLGDGLQÀQLWDGHWULiQJXORVGH HVWHWLSR

EVWDLGHDIDVFLQyDPiVGHXQRHQWUHpVWRV VHHQFRQWUDEDZenón D& HOFXDORSLQDEDTXHODFLHQFLDQRSRGtDGHPRVWUDUODH[LVWHQFLDGHOLQÀQLWR3RUVXSDUWHAristótelesD& WUDWyGHUHVROYHU HOSUREOHPDGHOLQÀQLWRDOVHQFLOODPHQWHSURKLELUORHVFULELHQGR´QRHVSRVLEOHTXH HOLQÀQLWRH[LVWDFRPRVHURFRPRVXVWDQFLDµSHURREVHUYyTXHDOOOHJDUDHVWDDÀUPDFLyQÀORVyÀFDVHJHQHUDEDQFRQVHFXHQFLDVLPSRVLEOHVGHIRUPDTXHHOLQÀQLWR ´H[LVWHSRWHQFLDOPHQWH>¬@SRUDGLFLyQRGLYLVLyQµ FIGURA 1.3 $ULVWyWHOHV

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales EudoxioD& DVWUyQRPR\PDWHPiWLFRJULHJRFRQWHPSRUiQHR GH$ULVWyWHOHVUHWRPyHOFDVR\GHPRVWUyHOSUREOHPDGHOiUHDGHOFtUFXORDOXWLOL]DU VXSRVWXODGRTXHLQGLFDEDTXH´WRGDPDJQLWXGÀQLWDSXHGH DJRWDUVHPHGLDQWHODVXVWUDFFLyQGHXQDFDQWLGDGGHWHUPLQDGDµ&RQHVWRVWUDEDMRVSUHYLRVArquímedesD&  ORJUy FDOFXODU HO YROXPHQ GH XQD HVIHUD \ SRU PHGLR GH OD WpFQLFDGHORVDQWLJXRVJULHJRVUHDOL]yFRUWHVLQÀQLWDPHQWH SHTXHxRVSDUDGHPRVWUDUTXHHOYROXPHQGHXQFLOLQGURH[FHGHHQXQDPLWDGDOGHODHVIHUDLQVFULWDHQpO

7

'HELGRDTXH$UTXtPHGHVQRDFDWyODSURKLELFLyQ GHOXVRGHOLQÀQLWRFRPRUHFRPHQGDEDODÀORVRItDDULVWRWpOLFDVHOHFRQVLGHUDXQSUHFXUVRUGHO&iOFXOR/HVREUHYLYHQ VLHWHGHVXVREUDVDXQTXHLQFRPSOHWDV5HVDOWDQEl método, Equilibrios en los planos, Sobre la esfera y el cilindro, Medida del círculo, Stomachion\Líneas espirales

,GHDV\FRQFHSWRs

FIGURA 1.4 Eudoxio de &QLGR

/DPHQWDEOHPHQWHORVHVFULWRVGHHVRVSHQVDGRUHV\ÀOyVRIRV GH OD $QWLJHGDGVRQ HVFDVRV HQ OD DFWXDOLGDG\D TXH PXFKRVGHORVSHUJDPLQRVTXHFRQWHQtDQVXVREUDVRFRSLDV GH HOODV KDEtDQ VLGR UHXWLOL]DGRV R VLPSOHPHQWH GHVWUXLGRV 3DVDURQ YDULRV VLJORV VLQ TXH HVWRV FRQRFLPLHQWRV HYROXFLRQDUDQ\DTXHVHGHVFRQRFtDQ /OHJDQGRDOVLJOR;9,,VHFRQWDEDQFRQYDULRVSHUJDPLQRV\ODFXULRVLGDGGHFRQRFHU\FRPSUHQGHUODVREUDV GHORVDQWLJXRVJULHJRVOOHYyDXQDQiOLVLVPiVGHWDOODGRDVt FRPRDODE~VTXHGDGHXQDMXVWLÀFDFLyQRGHPRVWUDFLyQGH ORTXHVHDÀUPDEDHQHOORV

FIGURA 1.5 $UTXtPHGHV GH6LUDFXVD

/RV FiOFXORV TXH VH OOHYDEDQ D FDER SDUD UHDOL]DU GHPRVWUDFLRQHVJHRPpWULFDVFRPRODVWDQJHQWHVRFXUYDV HUDQHQJRUURVRV\WHGLRVRVKDFtDIDOWDXQPpWRGRPDWHPiWLFRTXHSXGLHUDVLPSOLÀFDUODV(VDTXtGRQGHHQWUDQXHVWUR FIGURA 1.6 René VLJXLHQWH SHUVRQDMH HQ HO HVODEyQ GHO &iOFXOR 6H WUDWD GH 'HVFDUWHV René Descartes TXLHQLQÁX\yHQODLQYHQFLyQ GHOVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVFDUWHVLDQDVHQKRQRUDVXQRPEUH PHGLDQWHHOFXDOHVSRVLEOHUHDOL]DUXQDUHSUHVHQWDFLyQ JUiÀFD GH PHFDQLVPRV DQDOtWLFRV 'H PDQHUD TXH ORV SURFHVRVJUiÀFRVVHSRGUtDQWUDEDMDUGHIRUPDDQDOtWLFDFRQHO OHQJXDMHPDWHPiWLFRDSURSLDGRTXHHVWDEDFREUDQGRDXJH HQ HVDV pSRFDV (VWD KHUUDPLHQWD DQDOtWLFD IXH IRUWDOHFLGD FDVL VLPXOWiQHDPHQWH SRU Pierre de Fermat   TXLHQ SXEOLFy XQD REUD WLWXODGD Métodos para determinar máximos y mínimos y tangentes a líneas curvas &HUFDGHHVWHPLVPRSHULRGRPDWHPiWLFRVFRPR %RQDYHQWXUD )UDQFHVR &DYDOLHUL   WRPDURQ OD LQLFLDWLYD GH WUDEDMDU FRQ HO LQÀQLWR &RQVLGHUy ORV DYDQFHV GHVHFFLRQDUiUHDV\YRO~PHQHVGH$UTXtPHGHVSHURHQXQ SODQRPiVDQDOtWLFRGHPDQHUDTXHLQWHQWyFUHDUXQDWHRUtD FIGURA 1.7 5HQp 5REHUW &DYDOLHUL

FIGURA 1.8 Pierre de )HUPDW

Cálculo Diferencial TXHOHSHUPLWLHUDGHPRVWUDUORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVVLQHPSOHDUHOLQÀQLWR3HVHD VXDUGXDODERUQRSXGRORJUDUOR\DTXHpVWHDSDUHFtDGXUDQWHVXVSURFHVRVGHFiOFXOR\GHPRVWUDFLRQHV

8

John Wallis PDWHPiWLFRLQJOpVQDFLGRHQ$VKIRUGLQWURGXMR HOVtPEROR f SDUDHOLQÀQLWR(GLWyODVREUDVGH$UTXtPHGHV\FRQVLQWLySDUFLDOPHQWHHOXVRLQLFLDOGHOFRQFHSWRGHOtPLWH7DPELpQSXGRHQFRQWUDUHOYDORUGHOiUHDGH SDUiERODVXVDQGRVXLQWXLFLyQ\HOPpWRGRDULWPpWLFRDGHPiVGHXQDIyUPXODSDUD GHWHUPLQDUHOYDORUGH S  Isaac Barrow  IXHHOSULPHURHQREVHUYDUTXHHOSUREOHPDGH GHWHUPLQDUODUHFWDWDQJHQWHHQXQSXQWRGHXQDFXUYDVHUHODFLRQDEDHVWUHFKDPHQWH FRQODSHQGLHQWHGHODFXUYDHQHOSXQWRGHFRQWDFWR6RUSUHQGHQWHPHQWHWDPELpQ YLVXDOL]yTXHODFXHVWLyQGHKDOODUHOiUHDTXHWLHQHGHOLPLWDGDXQDFXUYDFRPRHO FDVRGHODFLUFXQIHUHQFLDHVWDEDUHODFLRQDGDFRQORTXHOODPDPRVDKRUDLQWHJUDFLyQ GHXQiUHDEDMRXQDFXUYD'HVJUDFLDGDPHQWHQROHGHGLFyPXFKRHVIXHU]RDVHJXLU HVWRVHVWXGLRV(VPX\SUREDEOHTXHFRPSDUWLHUDHVWRVFRQFHSWRVFRQXQRGHVXV GLVFtSXORV,VDDF1HZWRQ

UQLÀFDFLyQGHORVFRQFHSWRV FIGURA 1.9 -RKQ:DOOLV

FIGURA 1.10 ,VDDF%DUURZ

0iV WDUGH FXDQGR ORV FRQFHSWRV \ WHRUtDV REWHQLGDV D OR ODUJRGHORVDxRVHVWDEDQFRQVROLGiQGRVH\FRPHQ]DEDQD YHUVH VXV DSOLFDFLRQHV FRPR HO FDVR GHO VLVWHPD FDUWHVLDQR GHVWDFDURQ GRV SHUVRQDMHV TXH UHDOL]DURQ VXV HVWXGLRV HQIRUPDFDVLVLPXOWiQHD\HQGLVWLQWRVFRQWH[WRVHOORVHQFDXVDURQ WRGRV ORV FRQFHSWRV \ WHRUtDV SDUD GDU RULJHQ DO &iOFXOR (O SULPHUR GH HOORV VLQ TXLWDU PpULWR DO VHJXQGR es Sir Isaac Newton PDWHPiWLFR\ItVLFREULWiQLFRFX\RVWUDEDMRVRFXSDQHQHGLFLRQHVPRGHUQDVPiV GHFLQFRPLOSiJLQDVDSHVDUGHTXHVHPRVWUDEDUHVHUYDGR \UHDFLRDSXEOLFDUVXVHVFULWRV(QHVFULEHXQWUDWDGR VREUHÁX[LRQHV\HQODREUDDe Analysi0iVWDUGHUHDOL]DXQWUDWDGRVREUHVHULHVLQÀQLWDVHQ\RWURVREUHOD cuadratura de las curvas en De Quadratura Curvarum $O GHVDWDUVH OD SHVWH EXEyQLFD 1HZWRQ VH UHIXJLyHQVXFDVDQDWDO\IXHDKt GRQGHGHVFXEULy FIGURA 1.11 ,VDDF 1HZWRQ HOWHRUHPDGHOELQRPLRHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDOODOH\GHOD JUDYLWDFLyQXQLYHUVDO\ODWHRUtDGHORVFRORUHVeVWRVIXHURQVXDxRVPiVSUROtÀFRV &RQHOÀQGHVHxDODUODLPSRUWDQFLD\SRWHQFLDGHO&iOFXORGHGLFyXQRVHVFULWRVD UHVROYHUWRGRVORVSUREOHPDVGHWDQJHQWHV\iUHDVTXHSUHRFXSDEDQDODFRPXQLGDG FLHQWtÀFD(QHVFULELyVXREUDPiVIDPRVDPrincipia, donde detalla su teoría de ODJUDYLWDFLyQXQLYHUVDOFRQDUJXPHQWRVJHRPpWULFRVTXHGHÀHQGHYDOLpQGRVHGHO FiOFXORLQÀQLWHVLPDO Por su parte, Gottfried Wilhelm Leibniz GHRULJHQDOHPiQ WXYRXQDIRUPDFLyQLQLFLDOGH)LORVRItD'HUHFKR\/HQJXDV&OiVLFDV&KULVWLDDQ+X\JHQV DVWUyQRPRPDWHPiWLFR\ItVLFRKRODQGpVOHSURSXVRXQSUREOHPD PDWHPiWLFRTXHKL]RFUHFHUVXLQWHUpVSRUHVWDFLHQFLD\OHKL]RUHFRPHQGDFLRQHVELEOLRJUiÀFDVODYHUVLyQHQODWtQGHLa GéométrieGH'HVFDUWHV\ORVWUDEDMRVGH3DVFDO 6XGHGLFDFLyQWXYRVXUHFRPSHQVDFXDQGRHQGHVFXEULyHO&iOFXOR'HVSXpV SXEOLFyGRVDUWtFXORVGHVSXpVGHHQHO$FWD(UXGLWRUXPXQDUHYLVWDGHFRUWH FLHQWtÀFRÀORVyÀFRHOSULPHURVREUH&iOFXOR'LIHUHQFLDO\HOVHJXQGRVREUH&iOFXOR

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

³

,QWHJUDO6REUHORVFRQFHSWRVTXHXWLOL]yHVWiQOD d GHGLIHUHQFLDO\OD GHLQWHJUDO TXHUHÁHMDQHOGHVHRGHUHSUHVHQWDUJUiÀFDPHQWHFRQFHSWRVLQLFLDOPHQWHÀORVyÀFRV 'HVSXpVGHDOJXQRVDxRVFRPHQ]yHOGHEDWHVREUHTXLpQGHORVGRVKDEtD VLGR HO YHUGDGHUR FUHDGRU GHO &iOFXOR 1HZWRQ SRVSXVR OD SXEOLFDFLyQ GH VXV WUDEDMRVSRUQRVDEHUFyPRVHUtDQUHFLELGRVSRUODFUtWLFD/HLEQL]VLQHPEDUJRKL]R S~EOLFRVVXVGHVFXEULPLHQWRVGHLQPHGLDWR/RVVHJXLGRUHVGHDPERVHPSH]DURQOD GHIHQVDGHODRULJLQDOLGDGXQDSROpPLFDTXHWRPyWLQWHVQDFLRQDOLVWDVHQWUHEULWiQLFRV\DOHPDQHV

9

EVQHFHVDULRSUHFLVDUTXHVXVWUDEDMRVGLVWLQWRVHQQDWXUDOH]DOOHJDQDODV PLVPDVFRQFOXVLRQHV1HZWRQSDUWHGHOD)tVLFDDQDOL]DHOWLHPSRTXHGHPRUDQORV FXHUSRVHQUHFRUUHUXQDWUD\HFWRULDGHWHUPLQDGD0LHQWUDVTXH/HLEQL]SDUWHGHSUREOHPDVÀORVyÀFRVDOWUDWDUGHEXVFDUXQRVHOHPHQWRVOODPDGRVLQÀQLWHVLPDOHV, razón SRUODFXDOVXWUDEDMRWLHQHFRPRIXQGDPHQWRODVVXPDVLQÀQLWHVLPDOHVRVXPDGH FDQWLGDGHVLQÀQLWDPHQWHSHTXHxDV 1HZWRQHQFRQWUDVWHFRQ/HLEQL]QRWHQtDXQD SUHRFXSDFLyQSRUHVFULELUVXVUHVXOWDGRVGHIRUPDJHQHUDOVLQRTXHOHEDVWDEDQYDULRVHMHPSORV PaUDUHÀQDUORVDYDQFHVGHHVWRVGRVSHUVRQDMHVJohan Bernoulli  SURSXVRXQDQWLJXRSUREOHPDHQODUHYLVWD$FWDV(URGLWRUXPTXHWRGDYtDQR HVWDEDUHVXHOWR\TXHHOPLVPR*DOLOHR*DOLOHLQRSXGRVROXFLRQDUVDWLVIDFWRULDPHQWH HQVXWLHPSR\DTXHQHFHVLWDEDGHO&iOFXORSDUDORJUDUOR6HWUDWDEDGHOSUREOHPD GHODEUDTXLVWyFURQD, el cual SHGtDGHWHUPLQDUODFXUYDSRUODTXHXQFXHUSRGHVFLHQGH GH IRUPD PiV UiSLGD HQWUH GRV SXQWRV TXH QR HVWpQ QL HQ SRVLFLyQ YHUWLFDO QL KRUL]RQWDO'LRXQSOD]RGHXQDxRSDUDUHVSRQGHUFRQHOREMHWRGHTXHORVHXURSHRV GHPRVWUDUDQ VX DYDQFH SHUR VyOR OOHJDURQ VHLV VROXFLRQHV XQD DQyQLPD XQD GH /HLEQL]XQDGHOPLVPR%HUQRXOOLRWUDGHVXKHUPDQRJakob Bernoulli  XQD GH :DOWHU YRQ 7VFKLUQKDXV \ XQD GHO 0DUTXpV GH /·+{SLWDO (VWD ~OWLPD HUD OD ~QLFDHUUyQHDWRGDVODVGHPiVGDEDQODUHVSXHVWDFRUUHFWDODFXUYDHUDODFLFORLGH /D VROXFLyQ GHO DQyQLPR FRQVWDED GH  SDODEUDV VRODPHQWH PiV WDUGH %HUQRXOOL UHFRQRFLyFODUDPHQWHTXHHUDREUDGH1HZWRQFRQORFXDOTXHGyGHPRVWUDGRTXH HO FiOFXOR GH 1HZWRQ HUD WDQ SRGHURVR FRPR HO GH /HLEQL] SDUD UHVROYHU HVWH SUREOHPD /DVREULQDGH1HZWRQFRPHQWy TXH HO UHWR OH OOHJy D pO D ODV FXDWUR GHODWDUGHWUDVUHJUHVDUFDQVDGRGHOWUDEDMRVLQHPEDUJRGRFHKRUDVPiVWDUGH \DWHQtDODVROXFLyQ/RTXHODVREULQDQR FRQWHPSODEDHUDTXHVXWtR\DKDEtDUD]RQDGRHQHVHSUREOHPDDxRVDWUiVFRQ lo cual al enterarse del reto sólo tuvo que KDFHUPHPRULD¢3RUTXpQRKL]RS~EOLFR VXGHVFXEULPLHQWR"&RPRGLMRAugusto de Morgan ´FDGD GHVFXEULPLHQWR GH 1HZWRQWHQtDGRVDVSHFWRV1HZWRQWXYR TXHKDFHUOR\OXHJRORVGHPiVWHQtDPRV FIGURA 1.13 -RKDQ %HUQRXOOL TXHGHVFXEULUTXHpOORKDEtDKHFKRµ

FIGURA 1.14 -DNRE %HUQRXOOL

FIGURA 1.12 *RWWIULHG:LOKHOP/HLEQL]

Cálculo Diferencial

'esarrollo 10

7UDVHVWRVPDJQtÀFRVWUDEDMRVQDFLyHO&iOFXORVLQHPEDUJRKDFtDIDOWDHVWDEOHFHU GHIRUPDRUGHQDGD\PHWyGLFDVXVIXQGDPHQWRV$TXtHQWUDQHQMXHJRGLIHUHQWHV DXWRUHV Leonhard Euler   UHDOL]y FRQWULEXFLRQHV HQ YDULDV UDPDV GH OD 0DWHPiWLFD SXUD \ OD )tVLFD 5HVDOWDQ VXV REUDV GH F&iOFXOR ,QWURGXFWLR LQ $QDO\VLV LQÀQLtorum HQ  Institutiones Calculo Differentialis HQ  e Institutiones Calculo IntegralisHVFULWDHQWUH\ 7DPELpQ GLR XQD GHÀQLFLyQ FRPSOHWD GH IXQFLyQ SDVDQGR GHODVIXQFLRQHVSDUWLFXODUHVFRQRFLGDVDODQRFLyQJHQHUDO GHIXQFLyQODFRQFHEtDFRPRXQDH[SUHVLyQDQDOtWLFDHQOD TXHVHLQYROXFUDEDQYDULDEOHV\DOJXQDVFRQVWDQWHV 2WURPDWHPiWLFRFRQWHPSRUiQHRGH(XOHUHVJoseph L. Lagrange TXHGHÀQLyODIXQFLyQFRPR FXDOTXLHUH[SUHVLyQ~WLOSDUDGHWHUPLQDUFiOFXORVGRQGHGH DOJXQDPDQHUDXRWUDLQWHUYLHQHQODVYDULDEOHV (O&iOFXORVXIULyXQDHYROXFLyQPiVDEVWUDFWDDPH- FIGURA 1.15 /HRQKDUG GLGDTXHORVGHPiVSHQVDGRUHVFRQWULEX\HURQDDOLPHQWDUOD (XOHU resaltan Bernhard Bolzano Agustin L. Cauchy  Karl Weierstrass Georg Friedrich Riemann  Richard Dedekin HQWUHPXFKRVRWURVFX\DVFRQWULEXFLRQHVQRSXHGHQ GHWDOODUVHHQHOHVSDFLRGHHVWDREUD

FIGURA 1.16 -RVHSK/ /DJUDQJH

(QQXHVWURVWLHPSRVODFRPSXWDGRUDSURJUDPDEOHKDKHFKRTXHHODQiOLVLV QXPpULFRODV0DWHPiWLFDVLQÀQLWDVODWHRUtDGHQ~PHURVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOiOJHEUDDEVWUDFWDWXYLHUDQXQJUDQDOLDGR\VHGLHUDRULJHQDQXHYDViUHDVGH LQYHVWLJDFLyQFRPRHOHVWXGLRGHORVDOJRULWPRV$XQTXHPXFKRVSUREOHPDVGHOD $QWLJHGDGVHKDQUHVXHOWRRWURVVHKDQDxDGLGRODPHQWHKXPDQDVLHPSUHHVWDUi RFXSDGDWUDWDQGRGHDQDOL]DUHVWXGLDU\FRPSUHQGHUVXHQWRUQR

$FWLYLGDG /HVSURSRQJRDJUXSDUVHHQHTXLSRVGHRLQWHJUDQWHVEDMRHOYLVWREXHQRGHVX GRFHQWH/RVLJXLHQWHHVTXHFRQVLGHUDQGRODVDSRUWDFLRQHVTXHUHDOL]DURQGLIHUHQWHVFRODERUDGRUHVTXHGLHURQRULJHQDO&iOFXORUHDOLFHQXQWUtSWLFRTXHFRQWHQJDOR HVHQFLDOGHFDGDXQR6XGRFHQWHOHVRIUHFHUiODVSDXWDVTXHGHEHUiVHJXLUVXWUtSWLFRDVtFRPRODVFRQGLFLRQHVGHHQWUHJD

Síntesis $FRQWLQXDFLyQWHSUHVHQWRXQDVHULHGHSUREOHPiWLFDVTXHGDUiQXQDDSUR[LPDFLyQ JHQHUDODODVFRPSHWHQFLDVGHHVWDVHVLyQ 1. 5HDOL]DXQDLQYHVWLJDFLyQHQGLIHUHQWHVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQQRROYLGDQGRGDU DFRQRFHUODVFLWDVELEOLRJUiÀFDVRSiJLQDVZHE VREUHHOPDUFRSROtWLFRVRFLDOR FLUFXQVWDQFLDOHQHOTXHORVSHUVRQDMHVGHWDOODGRVHQHVWDVHVLyQOOHYDURQDFDER VXVGHVFXEULPLHQWRV

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 2. (QWHUFLDVHODERUHQXQPDSDFRQFHSWXDOVREUHORTXHFDGDXQRGHORVPDWHPiWLFRVGHVFULWRVHQHVWDVHVLyQKDDSRUWDGRDO&iOFXOR(VWHPDSDVHUiUHDOL]DGRHQ SDSHOERQGRGLDSRVLWLYDVGH3RZHU3RLQW\SUHVHQWDGRDOUHVWRGHWXVFRPSDxHURVGHFODVH

6HVLyQ0RGHORVPDWHPiWLFRV XQ DFHUFDPLHQWR D Pi[LPRV \ PtQLPRV

11

Criterios: h ,GHQWLÀFRTXpHVXQPRGHORPDWHPiWLFR\ORVHOHPHQWRVTXHOHGDQRULJHQGH IRUPDTXHSXHGRGLVFHUQLUVXXWLOL]DFLyQHQHOFDPSRGHO&iOFXOR h 5HFRQR]FRODVYDULDEOHVTXHLQWHUDFW~DQDOPRPHQWRGHSUHVHQWDUXQDVLWXDFLyQ TXHUHTXLHUDGHPRGHODMHPDWHPiWLFR h &DUDFWHUL]RODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDGHPRGHODMHPDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRVGLVSRQLEOHVFRPRORVJUiÀFRVDQDOtWLFRVOHQJXDMHYHUEDOR HOXVRGHODV7,& h $VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHVGHOPRGHORPDWHPiWLFRFRQHOÀQGHSURYHHUXQD UHODFLyQPDWHPiWLFDDODVROXFLyQGHODVLWXDFLyQGDGD h $SRUWRSXQWRVGHYLVWDSDUDUHVROYHUODVGLYHUVDVVLWXDFLRQHVSUHVHQWDGDVGHPDQHUDTXHVHFUHHXQDPELHQWHySWLPR\UHODMDGR h &RQVLGHURODVDFWLWXGHV\UD]RQDPLHQWRVGHPLVFRPSDxHURVGHPDQHUDUHÁH[LYD SDUDOOHJDUDXQFRQVHQVRUHVSHFWRDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV

&ontextualización El modelaje matemáticoHVXQDGHODVKHUUDPLHQWDVIXQGDPHQWDOHVTXHXQPDWHPiWLFRSXHGHSRVHHU6HWUDWDSULPRUGLDOPHQWHGHXQVLVWHPDSDUDUHSUHVHQWDUDOJHEUDLFDPHQWHSRUPHGLRGHIXQFLRQHVOHQJXDMHRVLPERORJtDPDWHPiWLFDGLYHUVRV SUREOHPDVTXHSURYLHQHQGHVLWXDFLRQHVTXHVHSUHVHQWDQHQODYLGDUHDORKLSRWpWLFDHVWRFRQHOÀQGHTXHVHSXHGDOOHJDUDXQDVROXFLyQXRSWLPL]DFLyQUHTXHULGD TXHWLHQHFRPREDVHODVLWXDFLyQUHDORKLSRWpWLFDDWUDYpVGHPpWRGRVPDWHPiWLFRV ItVLFRVTXtPLFRVDQDOtWLFRVHWFpWHUDQHFHVDULRV 6LUYDGHHMHPSORODVLJXLHQWHVLWXDFLyQ /XLV\3DFRWLHQHQGLIHUHQWHFDQWLGDGHQSHVRV6HVDEHTXH/XLVWLHQHPiV TXH3DFR\TXHODVXPDGHDPEDVFDQWLGDGHVGD\ODUHVWD¢&XiQWR SRVHHFDGDXQRGHHOORV" &DEHVHxDODUTXHODLGHQWLÀFDFLyQGHYDULDEOHV\GHSODQWHDPLHQWRVPDWHPiWLFRVVHKDHVWDGRDQDOL]DQGRGHVGHFXUVRVDQWHULRUHVGH0DWHPiWLFDV (Q HVWH FDVR ODV YDULDEOHV VRQ GRV OD FDQWLGDG GH GLQHUR GH /XLV \ OD GH 3DFRTXHODVUHSUHVHQWDUHPRVFRPRL\PUHVSHFWLYDPHQWH'HPDQHUDTXHHOPRGHORPDWHPiWLFRTXHUHSUHVHQWDDHVWDVYDULDEOHV\DODVLWXDFLyQHQWHUDHV

Te recomiendo realices un repaso del contenido relacionado a modelaje matemático en los bloques V a X de Matemáticas I.

Cálculo Diferencial

L
P  2000   L  P  400

12

$OUHVROYHUHVWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVFRQORVSURFHGLPLHQWRVDOJHEUDLFRV DGHFXDGRVVHREWLHQHL=\P=HVGHFLU/XLVWLHQH\3DFR 'HIRUPDVLPLODUHOPRGHODMHPDWHPiWLFRHVDSOLFDEOHQRVyORDOÉOJHEUD VLQRDODVGHPiVFLHQFLDVUD]yQSRUODFXDOHOFiOFXORFREUDPXFKRSRWHQFLDO9HDPRV XQSULPHUDFHUFDPLHQWRDODDSOLFDFLyQGHOFiOFXORPHGLDQWHHOXVRGHORVPRGHORV PDWHPiWLFRVDOJHEUDLFRVRItVLFRV

PUREOHPDWL]DFLyQ 6XSRQJDPRV TXH WUDEDMDV HQ XQD HPSUHVD TXH VH GHGLFD D FRQIHFFLRQDUFDMDV GH FDUWyQSDUDGLIHUHQWHVFRQWHQLGRV8QFOLHQWHGHVHDTXHOHHODERUHQFDMDVSHTXHxDV VLQWDSDFRQHOPD\RUYROXPHQSRVLEOHDSDUWLUGHXQFDUWyQUHFWDQJXODUFRQEDVH GHFP\DOWXUDGHFPLJXDODODVGLPHQVLRQHVGHXQDKRMDWDPDxRFDUWD  7XMHIHGHSURGXFFLyQWHSLGHTXHHQFXHQWUHVHOYDORUGHOFRUWHFXDGUDGRTXHKDGH UHDOL]DUVHHQFDGDHVTXLQDGHOFDUWyQUHFWDQJXODUSDUDFXEULUODSHWLFLyQGHOFOLHQWH EXVFD

2EVHUYD ODV ÀJXUDV SDUD TXH WHQJDV XQD QRFLyQ PiV FODUD GH OR TXH VH

28.2 cm

21.8 cm

$FWLYLGDG 2UJDQL]DGRV HQ HTXLSRV UHVSRQGDQ FRQ DUJXPHQWRVORVLJXLHQWH¢FyPRVHUiSRVLEOHUHDOL]DUHVWDWDUHDFRQORVFRQRFLPLHQWRVTXHWLHQHVHQHVWRVPRPHQWRV" (Q SULPHU OXJDU GHGLTXHQ XQRV PLQXWRV D UD]RQDU HQ HVWD VLWXDFLyQ UHDO GHPDQHUDTXHDOÀQDOL]DUHOWLHPSRGDGR por su docente realicen una lluvia de ideas FIGURA 1.17 &RUWHV GHO FDUWRQFLOOR UHFWDQJXODU SDUDIRUPDUXQDFDMDUHFWDQJXODUVLQWDSD VREUHODVIRUPDVGHSODQWHDUOD\UHVROYHUOD

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 6XJHUHQFLDVREWHQLGDV

13

5HFXHUGDTXHDOSHJDUODVRULOODVGHODFDMDVHGHEHREWHQHUHOiUHDPi[LPD SRVLEOH3XHGHQXWLOL]DUFLQWDDGKHVLYDSDUDSHJDUORVERUGHVGHODVFDMDV\DUHQDSDUD PHGLUVXFDSDFLGDG 5HDOLFHQODVFRPSDUDFLRQHVGHVXVPRGHORVFRQODDUHQDWUDVKDEHUORVFRQFOXLGR¢'HFXiQWRVFHQWUtPHWURVIXHHOFRUWHPiVySWLPRSDUDKDOODUHOiUHDPi[LPD"

FoUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV /R DQWHULRU IXH XQ SULPHU DFHUFDPLHQWR DO PRGHODMH PDWHPiWLFR \ GH Pi[LPRV \ PtQLPRVTXHVHFRQVLGHUDUiFRQGHWHQLPLHQWRHQHO%ORTXH,90LLQWHQFLyQHUDTXH QRWDUDVTXHH[LVWHQSUREOHPiWLFDVUHDOHVTXHUHTXLHUHQGHXQDVROXFLyQPiVULJXURVDTXHHOOODPDGR´WDQWHR\HUURUµ\HQODTXHLQWHUYLHQHQHOPRGHODMHPDWHPiWLFR GH OD VLWXDFLyQ \ HO FiOFXOR /D H[DFWLWXG HVXQÀQFRQVWDQWHHQODPD\RUtDGHODV FLHQFLDVHQ$VWURQRPtDSRUHMHPSORXQ ´SHTXHxRµHUURUVHWUDGXFLUtDHQHOIUDFDVR GH XQD PLVLyQ \ HQ $UTXLWHFWXUD XQ SXHQWH SRGUtD YHQLUVH DEDMR FREUDQGR LQFOXVRYLGDVKXPDQDV 'H HVWD PDQHUD FRPHQFHPRV FRQ XQ UHSDVR GLUHFWR GH PRGHODMH PDWHPiWLFR FRQ XQ OHYH DFHUFDPLHQWR D OD optimizaciónYLVWDHQ&iOFXOR'LIHUHQFLDO TXHHVQXHVWURREMHWRGHHVWXGLRHQHVWH VHPHVWUH 

FIGURA 1.18 En distancias estelares, un error de FiOFXORSXHGHFRQYHUWLUVHSRWHQFLDOPHQWHHQXQ DOHMDPLHQWRNLORPpWULFRTXHSRGUtDSRUHMHPSOR H[WUDYLDUXQDVRQGDHVSDFLDO

(V LPSRUWDQWH LQGLFDU GHVGH HO LQLFLR TXH SDUD UHDOL]DU XQ PRGHOR GH HVWHWLSRQRH[LVWHXQPpWRGRHVSHFtÀFR \ULJXURVRDVHJXLUSHURVtH[LVWHQFLHUWDV UHJODV ~WLOHV DO PRPHQWR GH WUDEDMDU FRQ VLWXDFLRQHVGHRSWLPL]DFLyQ6XEUD\RTXH ORVSUREOHPDVGHRSWLPL]DFLyQVHUiQDERUGDGRVHQHO%ORTXH,9SHURHVLPSRUWDQWH TXHGHVGHDKRUDWHQJDVODVKHUUDPLHQWDV SDUD SODQWHDU ODV VLWXDFLRQHV UHDOHV R KLFIGURA 1.19 ,PDJLQD OD FDQWLGDG GH SHUVRQDV potéticas (no olvides todas estas pautas que podrían sufrir un accidente si un puente no GXUDQWHORVVLJXLHQWHVEORTXHV  HVWXYLHUDFRQVWUXLGRFRQSUHFLVLyQ

Cálculo Diferencial /DVSDXWDVDVHJXLUSDUDFUHDUXQPRGHORPDWHPiWLFRVRQ

14

1. &RPSUHQGHROHHELHQODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD(V~WLOUHSUHVHQWDUODVLWXDFLyQ HQXQGLDJUDPD5HFRQRFHTXpHVORTXHVHGHVHDVDEHU 2. ,GHQWLÀFDORVGDWRVFRQRFLGRV\ORVTXHKDVGHREWHQHUpVWRVUHSUHVHQWDUiQ ODVYDULDEOHVTXHHQWUDUiQHQMXHJRHQHOPRGHOR(VLPSRUWDQWtVLPRTXHFRPSUHQGDVFXiOHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\FXiOVHUiODGHSHQGLHQWHDGHPiV GHTXHVHSDVFyPRVHUHODFLRQDQHVWDVYDULDEOHV3XHGHVXVDUODVOLWHUDOHVTXH GHVHHVSDUDUHSUHVHQWDUODVHQHOGLDJUDPDGHODSDXWDDQWHULRU 3. &RQORVGDWRVUHFDEDGRV\ODVUHODFLRQHVHQWUHODVYDULDEOHVIRUPXODODVH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVTXHVHDQSRVLEOHVGHPDQHUDTXHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH TXHGHHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH(VWDUHODFLyQVHUiHOPRGHOR PDWHPiWLFRGHODVLWXDFLyQ 4. 'HWHUPLQDORVYDORUHVTXHVDWLVIDFHQODVLWXDFLyQSODQWHDGD\HVFULEHWXUHVSXHVWDHQWpUPLQRVGHODSUREOHPiWLFDRULJLQDO $ ÀQ GH TXH FRPSUHQGDV \ UHODFLRQHV HVWDV DÀUPDFLRQHV FRQ ODV KHUUDPLHQWDVTXHKDVREWHQLGRDORODUJRGHWXFDUUHUDHVWXGLDQWLO0DWHPiWLFDV,0DWHPiWLFDV,9 SUHVHQWRWUHVHMHPSORVDGLFLRQDOHVDOGHODDFWLYLGDGGH3UREOHPDWL]DFLyQ1RROYLGHVTXHPLHQWUDVDYDQFHPRVHQHOGHVDUUROORGHFDGDHMHPSORDQDOLFHV FyPRFDGDXQDGHODVFXDWURSDXWDVDQWHULRUHVVHYDDGDSWDQGRDODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD Ejemplo 1 &RQVLGHUDTXHXQDPDUFDFKRFRODWHUDGHVHDYHQGHUVXVSURGXFWRVHQXQDFDMDGH EDVHFXDGUDGDVLQWDSD\TXHSRVHHHQH[LVWHQFLDFDUWRQFLOORVFXDGUDGRVGHFPGH ODGRSDUDWDOSURSyVLWR(OJHUHQWHGHSURGXFFLyQSURSRQHTXHFRQHVRVFDUWRQFLOORV VHFRQVWUX\DQODVFDMLWDVGHPDQHUDTXHFRQWHQJDQXQYROXPHQPD\RUSRVLEOH3DUD WDOSURSyVLWRVHFRUWDUiXQFXDGUDGLWRGHORQJLWXGGHVFRQRFLGDHQFDGDHVTXLQDGH ORVFDUWRQFLOORVSDUDOXHJRGREODU\SHJDUORVODGRVUHVXOWDQWHVFRQFLQWDVGHFRUDWLYDV HVSHFLDOHVIRUPDQGRDVtHOHPSDTXHGHORVFKRFRODWHVVHGHVSUHFLDHOJURVRUGHO FDUWRQFLOOR  Solución $YDQFHPRVHQODUHVROXFLyQGHHVWDVLWXDFLyQUHDO SRUPHGLRGHODVFXDWURSDXWDVGDGDVDQWHULRUPHQWH 1. 6HGHVHDFRQVWUXLUXQDFDMLWDVLQWDSDPHGLDQWH XQ FRUWH GH ORQJLWXG GHVFRQRFLGD SDUD ORJUDU XQYROXPHQPi[LPRHVGHFLUKHPRVGHKDOODU ODORQJLWXGGHFDGDFXDGUDGLWRGHIRUPDTXHOD FDMDWHQJDXQYROXPHQPD\RU 2. (QHVWHFDVRHQWUDQHQMXHJRVyORGRVYDULDEOHV FIGURA 1.20 &KRFRODWHV ODGHODORQJLWXGGHFRUWHTXHHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\HOYROXPHQDPD[LPL]DUTXHVHUiODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSXHV GHSHQGLHQGRGHOFRUWHUHDOL]DGRYDULDUiQODVGLPHQVLRQHVGHODFDMD\SRUHQGH YDULDUiWDPELpQVXYROXPHQ 5HSUHVHQWDUHPRVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHFRPRx, \ODLQGHSHQGLHQWHFRPRVHVGHFLU

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales x ORQJLWXGGHFRUWH V YROXPHQGHODFDMD (OGLDJUDPDVHUtDXQRVLPLODUDODVLJXLHQWHÀJXUD

15

15 cm x

15-2x

x

x 15 cm 15-2x

15-2x

FIGURA 1.21 5HSUHVHQWDFLyQGHODVLWXDFLyQGHOHMHPSOR

3. 'HVHDPRVREWHQHUXQPD\RUYROXPHQGHODFDMDFRQVLGHUDQGRHOFRUWHGHORQJLtud x. $TXtHVGRQGHHQWUDQHQMXHJRQXHVWURVFRQRFLPLHQWRVDGTXLULGRVGXUDQWH ORVSDVDGRVVHPHVWUHV 2EVHUYDQGRELHQODVÀJXUDVDQWHULRUHVSRGHPRVGLVFHUQLUTXHDOUHDOL]DU los cortes de cuadritos de lado xSRGHPRVGREODUHOFDUWRQFLOOR\IRUPDUODFDMLWDTXH WHQGUiXQYROXPHQV(VWHYROXPHQSDUDXQSULVPDFXDGUDQJXODUHVV = (área de la EDVH DOWXUD GHPDQHUDTXHREWHQHPRV V = (15 −2 x ) (15 −2 x ) x = x (15 − 2 x )2

3HURFRPRVHWUDWDGHXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHQRWHQHPRVSUREOHPDHQUHSUHVHQWDUHOYROXPHQYDULDEOHGHSHQGLHQWH HQWpUPLQRVGHODYDULDEOH independiente x V ( x ) = x (15 − 2 x )2

(VWHVHUiHOPRGHORPDWHPiWLFRGHQXHVWUDVLWXDFLyQ 4. $~QQRVIDOWDGHWHUPLQDUHOYDORUGHxSDUDREWHQHUXQYROXPHQVPD\RU3DUDHOOR UHFXUULPRVDODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ 3RUPHGLRGHXQDFDOFXODGRUDFLHQWtÀFDYHUHPRVTXpVXFHGHFRQFLHUWRV valores de x&RQVLGHUHPRVTXHUHDOL]DPRVORVFRUWHVDOFDUWRQFLOORFRQXQDORQJLWXG GHFPHQWRQFHVHOPRGHORPDWHPiWLFRQRVGDUiHOYROXPHQJHQHUDGRDOVXVWLWXLU el valor x = HQODUHODFLyQV ( x ) = x (15 − 2 x )2 GHPDQHUDTXHHOYROXPHQVHUi

(

V (1 ) = (1 ) 15 −2(1 )

)

2

2

= (15 − 2 )

= 169

Cálculo Diferencial (VWRLQGLFDTXHFRQXQFRUWHGHFPVHREWLHQHXQDFDMLWDGHYROXPHQGH FP3/DSUHJXQWDREOLJDGDHV¢VHWUDWDGHOYROXPHQPi[LPRSRVLEOH" 3DUDDYHULJXDUORFRQVLGHUHPRVGLIHUHQWHVYDORUHVGHx\ORVVXVWLWXLUHPRV en VSDUDGHWHUPLQDUVLKD\YDORUHVPD\RUHVRQR&RORFDUHPRVORVUHVXOWDGRVHQOD VLJXLHQWHWDEOD

16 x (cm)

1

2

3

4

5

6

7

V (cm )

169

242

243

196

125

54

7

3

¢&yPRHVSRVLEOHHVWR"&XDQGRUHDOL]DPRVXQFRUWHGHFPHOYROXPHQ VHUiGHFP3FXDQGRHOFRUWHHVGHFPREWHQHPRVFP3FRQVHWLHQHQ YDHQDXPHQWRSHURFXDQGRSDVDPRVGHFPHQDGHODQWHHOYDORUGHOYROXPHQGHOD FDMLWDYDGHFUHFLHQGR¢&XiOHVHOYDORUHQWRQFHVTXHPD[LPL]DHOYROXPHQ" 8WLOL]DPRVRWUDKHUUDPLHQWDTXHQRVVHUYLUiSDUDUHVSRQGHUHVWDSUHJXQWD SRUXQDDSUR[LPDFLyQ6HWUDWDGHXQJUDÀFDGRUGHIXQFLRQHV7DOFRPRUHDOL]DVWHHQ 0DWHPiWLFDV,9XQDJUiÀFDHVXQDUHSUHVHQWDFLyQGHXQDIXQFLyQ\FRQHOODSRGUHPRVREVHUYDUVXFRPSRUWDPLHQWR(QQXHVWURFDVRODIXQFLyQHVODGHOYROXPHQV(x). 7UDVXVDUXQDJUDÀFDGRUDGHEROVLOORXQsoftwareJUDÀFDGRURPHGLDQWHODVWpFQLFDV GHJUDÀFDFLyQTXHKD\DVDQDOL]DGRSUHYLDPHQWHODUHSUHVHQWDFLyQGHOPRGHORPDWHPiWLFRGHOYROXPHQGHODFDMLWDHVODVLJXLHQWH y 250

(2.5, 250) 200

V(x)=x(15-2x)2 150

100

50

x -1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

FIGURA 1.22 5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOPRGHORPDWHPiWLFRGHODFDMDGHFKRFRODWHV

1RWDTXHVyORWLHQHXQYDORUPD\RUHQHOLQWHUYDOR>@PiVDGHODQWH YHUHPRVSRUTXpKD\TXHFRQVLGHUDULQWHUYDORV \HVHYDORUPD\RURDOWXUDPi[LPD HQHVHLQWHUYDORHVGHFXDQGRHOYDORUGHxHVH[DFWDPHQWHLJXDOD 3RUHOORFRQFOXLPRVTXHFXDQGRUHDOL]DPRVFRUWHVGHFXDGULWRVGHFP GHODGRHQFDGDHVTXLQDGHOFDUWRQFLOORFXDGUDGRTXHPLGHFPHQWRQFHVVRORDVt REWHQGUHPRVXQDFDMLWDVLQWDSDFX\RYROXPHQHVGHFP3(VHHVHOPD\RUYROXPHQSRVLEOHFRQODVFRQGLFLRQHVGDGDVSRUHOJHUHQWH

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales -XQWRFRQWXGRFHQWH\FRPSDxHURVOOHJXHQDXQDFXHUGRVREUHODXWLlización de un softwareLQIRUPiWLFRUHODFLRQDGRFRQODJUDÀFDFLyQGHIXQFLRQHV 3XHGHQXWLOL]DUSRUHMHPSORORVSURJUDPDVJUDWXLWRV*UDSK*UDSKPDWLFDHWFpWHUDRHQVXGHIHFWR0DWHPiWLFDVGH0LFURVRIW +DVWDDTXtHOHMHPSOR&RQVLGHUHPRVFRPRVHJXQGRHMHPSORODVLWXDFLyQ SODQWHDGDDOLQLFLRHQODVHFFLyQ3UREOHPDWL]DFLyQWRPDQGRHQFXHQWDTXHRPLWLUp DOJXQRVSDVRVSRUTXH\DGHEHVSRGHUUHDOL]DUORVFRQWXH[SHULHQFLD,GHQWLÀFDODV FXDWURSDXWDVSDUDOOHYDUDFDERHVWHPRGHOR$GHODQWH Ejemplo 2 'HWHUPLQDUODORQJLWXGGHOFRUWHFXDGUDdo en cada una de las esquinas de la siWXDFLyQGDGDHQOD3UREOHPDWL]DFLyQGH HVWDVHVLyQ Solución En este caso se trata de un cartoncillo UHFWDQJXODU YHU ÀJXUD   4XHUHPRV DYHULJXDUODORQJLWXGGHOFRUWHFXDGUDGR HQFDGDHVTXLQDSDUDTXHHOYROXPHQGH ODFDMLWDIRUPDGDVHDPi[LPR &RQVLGHUDUHPRV D OD YDULDEOH independiente x, que representa la lonJLWXG GHO FRUWH \ FRPR OD YDULDEOH GHSHQGLHQWHDOYROXPHQVGHODFDMLWD8Q ERVTXHMRVHUiFRPRHOVLJXLHQWH

FIGURA 1.23 'LYHUVDVFDMDV VLQWDSD

x

21.8-2x 28.2-2x FIGURA 1.24 5HSUHVHQWDFLyQGHODFDMDGHOHMHPSOR

(OYROXPHQGHHVWDÀJXUDHVWiGDGDSRU

   
    
    

17

Cálculo Diferencial

18

(VWH HV HO PRGHOR PDWHPiWLFR GH HVWD VLWXDFLyQ )LQDOPHQWH SDUD GHWHUPLQDUHOYDORUxTXHSXHGDGDUQRVHOYROXPHQPD\RUGHODFDMLWDSURFHGHUHPRVD UHDOL]DU OD JUiÀFD FRUUHVSRQGLHQWH FRQ XQD JUDÀFDGRUD R VRIWZDUH JUDÀFDGRU (VWD TXHGDGHODVLJXLHQWHPDQHUD

y (4.065,1115.26) 1000

V(x)=(x)(28.2-2x)(21.8-2x) 800

600

400

200

x -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

FIGURA 1.25 *UiÀFDGHODIXQFLyQ

   
    
    

EQHVWDJUiÀFDQRWDPRVTXHHOYDORUGHFRUWHQHFHVDULRSDUDGHWHUPLQDUXQ PD\RUYROXPHQHVGHFPFRQORFXDOREWHQGUtDPRVXQYROXPHQGH FP3¤,PSRVLEOHGHGHVDUUROODUSRUWDQWHR\HUURU $TXtQRWDUiVODXWLOLGDGGHODVJUDÀFDGRUDVSDUDUHSUHVHQWDUORVPRGHORV DGHPiVGHODQHFHVDULDLQWURGXFFLyQDO&iOFXORSDUDUHVROYHUHVWH\PXFKRVWLSRVGH SUREOHPDVTXHSXHGDQVXUJLUDORODUJRGHWXYLGDHVFRODUSURGXFWLYDRLQFOXVLYH FRWLGLDQD 3DVDPRVSRU~OWLPRDOHMHPSORTXHFRQWHQGUiXQUHWRD~QPD\RU Ejemplo 3 8QDHPSUHVDTXHVHGHGLFDDHQODWDUFKLOHVMDODSHxRVHQHVFDEHFKHGHVHDPHMRUDU ODFDOLGDG\DSDULHQFLDGHVXVODWLWDV6HVDEHTXHVRQGHIRUPDFLOtQGULFDDGHPiVGH TXHWLHQHQTXHFRQWHQHUXQYROXPHQGHFP3(VWDHPSUHVDODQ]DHOUHWRDVXV JHVWRUHVGHUHFXUVRV¢TXpGLPHQVLRQHVKDGHWHQHUHVWDQXHYDSUHVHQWDFLyQFRQHO ÀQGHTXHODFDQWLGDGGHPDWHULDSULPDVHDODPHQRU" FIGURA 1.26 Lata cilíndriFDGHFKLOHV

Solución 6H WUDWD SRU VXSXHVWR GH XQD VLWXDFLyQ TXH UHTXLHUH GH XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUDVHUDQDOL]DGRKDVWDDKRUDFRQHOsoftwareJUDÀFDGRUFRPRKHUUDPLHQWDEiVLFD (OUHWRFRQVLVWHHQGHWHUPLQDUHOYDORUGHOUDGLR\DOWXUDGHOFLOLQGURGHPDQHUDTXH

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales FRQWHQJDORVFP3\VHXVHHOPHQRUPDWHULDOSRVLEOH$TXtHQWUDQWUHVYDULDEOHV el radio r, la altura h \HOPHQRUPDWHULDOSDUDXVDUTXHOODPDUHPRVA. 1RWDODÀJXUD VLJXLHQWH

19 r

h

FIGURA 1.27 'LPHQVLRQHVGHXQDODWD

6HJ~QORVGDWRVSURSRUFLRQDGRVVHVDEHTXHHOYROXPHQÀMRDFRQWHQHUHV GHFP3pVWHHVXQGDWRTXHPHGLDQWHHOXVRGHODIyUPXODGHOYROXPHQGHXQ 2 FLOLQGURSRGHPRVH[SUHVDUFRPRV =
r h  3HURFRPRV = VHWLHQHTXH 



 S


7DPELpQHVLPSRUWDQWHREVHUYDUTXHHOPDWHULDOQHFHVDULRSDUDFRQVWUXLU HVWDODWLWDFRQWDSDHVHTXLYDOHQWHDOiUHDTXHFRQIRUPDVXVEDVHV\VXiUHDODWHUDO 'HPDQHUDTXHVL´GHVEDUDWDPRVµODODWLWDGHODÀJXUDSDUDREVHUYDUVXViUHDV TXHGDUiXQDÀJXUDSODQDFRPRODVLJXLHQWH

Tapa



Lateral




FIGURA 1.28 0DWHULDOUHTXHULGRSDUDHODERUDUHOFLOLQGUR



Cálculo Diferencial 'HHVWDIRUPDHVPiVVHQFLOORREVHUYDUHOiUHDRPDWHULDOQHFHVDULRFXDQGR VHWLHQHQORVYDORUHVGHOUDGLR\ODDOWXUD3RUORWDQWRHOiUHDWRWDOGHHVWDÀJXUDHV iUHDGHODEDVHiUHDGHODWDSDiUHDGHOODWHUDO

20

0DWHPiWLFDPHQWH A =
r

2

+
r

2

+ 2
rh = 2
r

2

+ 2
rh

1RWDTXHODEDVHGHOiUHDGHOODWHUDOHV S r TXHHTXLYDOHDOSHUtPHWURGHO FtUFXORSXHVGHEHFXEULUORH[DFWDPHQWH /DSUREOHPiWLFDHVpVWDVHWLHQHXQDUHODFLyQGRQGHDSDUHFHQGRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVr\hMXQWRFRQODYDULDEOHGHSHQGLHQWHA,GHOiUHD(QWRQFHVHV QHFHVDULRUHSUHVHQWDUODIyUPXODGHOiUHDPHGLDQWHXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH ¢&yPRORJUDUHPRVHVWHFRPHWLGR" 2

7HQHPRVODUHODFLyQDX[LOLDUGHOYROXPHQREWHQLGDDOLQLFLR200 =
r h 'H HVWDUHODFLyQSRGUHPRVGHVSHMDUXQDGHODVGRVYDULDEOHV\VXVWLWXLUODHQODUHODFLyQ GHOiUHD&RQHVWHKHFKRSURFHGHPRVDGHVSHMDUODLQFyJQLWDPHQRV´SUREOHPiWLFDµ la hGHPRGRTXH h=

200


r

2

6XVWLWX\HQGR A
r   2
r

2

 200  400  2
r 2   2
r   2 r r


4XHHTXLYDOHD A (r ) =

3

2
r + 400 r

(VWDHVODH[SUHVLyQGHOPRGHORGHOPDWHULDOXWLOL]DGRSDUDODODWLWD$KRUD SDUDREWHQHUHOYDORUGHOUDGLRGHPDQHUDTXHVHORJUHXQiUHDRPDWHULDOPHQRUOR GHWHUPLQDUHPRVSRUPHGLRGHOJUiÀFRGHHVWDIXQFLyQSXHVVHJXUDPHQWHUHVXOWDUi HQGHFLPDOHV y 400 350

 2
400

300 250 200

3.169,189.32

150 100 50

xr -4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-50

FIGURA 1.29 5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOPRGHORGHOiUHDGHODODWD

4.5

5

5.5

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 8QDYH]TXHVHKDGHWHUPLQDGRHOYDORUGHOUDGLRSURFHGHPRVDKDOODUOD 200 DOWXUD(VWRVDOHGHODUHODFLyQLQLFLDOGHOYROXPHQh =  2
r 6XVWLWXLPRVHOYDORUGHOUDGLRREWHQLGR3DUDPD\RUFRPRGLGDGFRQGRV GHFLPDOHV h=

200 2


(3.16 )

= 6.37

)LQDOPHQWHFRQFOXLPRVTXHSDUDREWHQHUXQYROXPHQGHFP3\XQD FDQWLGDGGHPDWHULDOPHQRUiUHDPtQLPD ORVJHVWRUHVGHFDOLGDGGHEHQSURSRQHU ODVGLPHQVLRQHVGHODODWLWDFRQFPGHUDGLR\FPGHDOWXUD 7H KDEUiV GDGR FXHQWD GH OD LPSRUWDQFLD GHO PRGHODMH DO PRPHQWR GH UHVROYHUSUREOHPiWLFDV3RUHOORWHLQYLWRDTXHFRQWLQ~HVFRQWXDQiOLVLVGHO&iOFXOR SDUDDYDQ]DUHQWXVFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHV\DFWLWXGHV

$FWLYLGDG &RPRSDUWHGHWXSUHSDUDFLyQHQHVWDVHVLyQWHSUHVHQWRGRVSUREOHPiWLFDVDVtTXH SXHGHVUHDOL]DUOLEUHPHQWHODVLQYHVWLJDFLRQHVSHUWLQHQWHVSDUDHOSODQWHDPLHQWRGH VXVPRGHORV\UHVROXFLyQGHFDGDXQDGHHOODV6LWXGRFHQWHORFRQVLGHUDSHUWLQHQWHDJU~SDWHHQHTXLSRV\H[SRQJDQVXVUHVXOWDGRVDOUHVWRGHOJUXSRFRQHOÀQGH GHVFXEULUVXVIRUWDOH]DV\SRVLEOHVGHELOLGDGHV8WLOLFHQXQJUDÀFDGRUSDUDDSUR[LPDU VXVVROXFLRQHV a) 8QDIiEULFDGHFRQRVGHVHFKDEOHVSDUDEHEHUDJXDGHVHDREWHQHUODVGLPHQVLRQHVGHVXUDGLR\DOWXUDSDUDTXHFRQWHQJDQXQYROXPHQGHOtTXLGRPi[LPRGH FP3¢&XiOHVVHUiQODVGLPHQVLRQHVDSURSLDGDVSDUDTXHHVWDIiEULFDORJUH VXREMHWLYR" b) 6HYDDFHUFDUXQWHUUHQRUHFWDQJXODUFRQORVPGHDODPEUHGLVSRQLEOHV'HWHUPLQDODVGLPHQVLRQHVGHOWHUUHQRSDUDTXHVHORJUHREWHQHUXQiUHDPD\RU 3DUDÀQDOL]DUHVWDVHFFLyQSURFHGHUiVGHPDQHUDLQGLYLGXDODUHVROYHUXQ SUREOHPDGH&iOFXOR'LIHUHQFLDOSDUDRWURFDPSRHQHVWHFDVRDOD0HGLFLQD

$FWLYLGDG 1XHVWURVLVWHPDFDUGLRYDVFXODUFRQVWDGHXQDFRPSOHMD\FRPSOHWDUHGGHDUWHULDV FDSLODUHV \ YHQDV FX\D IXQFLyQ HV OOHYDU OD VDQJUH D ORV yUJDQRV GHO FXHUSR (VWH VLVWHPDGHEHIXQFLRQDUGHIRUPDWDOTXHODHQHUJtDGHERPEHRGHOFRUD]yQVHDOD PHQRUSRVLEOH7DPELpQHVVDELGRTXHDPHQRUUHVLVWHQFLDGHODVDQJUHPHQRUVHUi ODHQHUJtDUHTXHULGDGHOFRUD]yQSDUDUHJDUDWRGRVORVyUJDQRVGHHVWHYLWDOÁXLGR 6LVHWLHQHXQYDVRVDQJXtQHRSULQFLSDOFRQXQUDGLRr1\pVWHVHUDPLÀFDHQ XQYDVRPHQRUGHUDGLRr2HQXQiQJXOR T HQWRQFHVXQDGHODVOH\HVGH3RLVHXLOOH indica que la resistencia RGHODVDQJUHTXHVLJXHODWUD\HFWRULDABCHVWiGDGDSRU      T   T 

 
  

'RQGHC es una constante positiva de acuerdo con la viscosidad de la sanJUH(VWRHVFRQEDVHHQODVLJXLHQWHÀJXUD

21

Cálculo Diferencial

 22



 B








 FIGURA 1.30 5HSUHVHQWDFLyQGHXQYDVRFDSLODUSULQFLSDO\VHFXQGDULR

/DUHVLVWHQFLDHVPHQRUFXDQGR
T

  


&RQHVWRHQPHQWHGHWHUPLQDHO

YDORU GHO iQJXOR UHTXHULGR FXDQGR HO UDGLR GHO YDVR PHQRU r2) es dos tercios del UDGLR GHO YDVR PD\RU r1  ([SyQ WX UHVXOWDGR \ FRPSiUDOR FRQ ORV GH WXV GHPiV FRPSDxHURV

$FWLYLGDG 5HDOL]DXQDLQYHVWLJDFLyQGDQGRVLHPSUHWXVIXHQWHVELEOLRJUiÀFDVVREUHORVXVRV TXHWLHQHHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOHQGLIHUHQWHViUHDVGHOVDEHU6LHVSRVLEOHSUHVHQWD XQRRGRVHMHPSORVGHFDGDXQDGHHVWDVDSOLFDFLRQHVGHPDQHUDTXHSXHGDVHU UHSUHVHQWDGDDWXGRFHQWHGHIRUPDGHUHSRUWH

Síntesis /OHJyHOPRPHQWRGHUHDOL]DUXQDVHULHGHVLWXDFLRQHVTXHFRQGHQVDUiQORREWHQLGR \GHVDUUROODGRDORODUJRGHHVWDVHVLyQ3XHGHVDSR\DUWHHQORVUHFXUVRVYLVWRVSDUD FDGDSODQWHDPLHQWR\REWHQFLyQGHODVROXFLyQ1RROYLGHVHVFULELUWRGRVORVSURFHVRVQHFHVDULRVDVtFRPRXQsoftwareLQIRUPiWLFRSDUDGHWHUPLQDUODVROXFLyQDFDGD VLWXDFLyQ 1. (QXQMDUGtQGHIRUPDUHFWDQJXODU0DULRGLVSRQHGHPGHDODPEUDGRGHS~DV SDUDFHUFDUOR6LGHVHDREWHQHUXQDPD\RUiUHDFHUFDGD¢TXpGLPHQVLRQHVKDGH WHQHUHVHWHUUHQR" 2. &RQVLGHUDODVLWXDFLyQGHVFULWDHQHOHMHUFLFLRDQWHULRUVyORTXHHQHVWHFDVRHO WHUUHQRWLHQHXQODGRFHUFDGHXQGHVÀODGHURTXHQRUHTXLHUHVHUFHUFDGR 3. 'LYLGLUHOQ~PHURHQGRVSDUWHVGHPDQHUDTXHHVDVGRVSDUWHVWHQJDQXQ SURGXFWRPD\RU

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

0LSUR\HFWRGHOEORTXH (VPRPHQWRGHWUDEDMDUHOSUR\HFWRVHSUHVHQWDXQDVLWXDFLyQTXHWHUHVXOWDUiGH D\XGDSDUDIRUPDU\GHVDUUROODUODVFRPSHWHQFLDVGHOSUHVHQWHEORTXH7DPELpQWH D\XGDUiFRQODLQWHUDFFLyQGHODV7,& Proyecto:

0RGHODMHPDWHPiWLFR

Problema:

0RGHODU\REWHQHUHOYROXPHQPD\RUGHXQFLOLQGURFLUFXODUUHFWR

Duración:

'RVGtDV

Puntuación: Competencias:

SXQWRV $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRV QXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMH YHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\ FRPXQLFDFLyQ &RPRSDUWHGHVXVKRZXQPDJRGHVHDRFXOWDUGHQWURGHXQ JRUULWRLQIDQWLOHQIRUPDGHFRQRXQFLOLQGURFLUFXODUUHFWRTXH FRQWHQGUiODPD\RUFDQWLGDGGHFRQIHWLeOVDEHTXHHOJRUULWRTXH XVDUiWLHQHXQUDGLRGHFPGHUDGLR\FPGHDOWXUD/DODERU FRQVLVWHHQTXHKDOOHVHOYDORUGHOUDGLRr\DOWXUDh del cilindro, de WDOPDQHUDTXHTXHGHH[DFWDPHQWHGHQWURGHOFRQR\TXHFRQWHQJDHOPD\RUYROXPHQ/DVLJXLHQWHUHSUHVHQWDFLyQWHVHUYLUiSDUD FRPSUHQGHUWXODERU

10 cm h

$FWLYLGDGHV

r

5 cm

$OJRTXHWHD\XGDUiDRUJDQL]DUWHHVODVLJXLHQWHVHFXHQFLD ‡ 2UJDQt]DWHHQHTXLSRVTXHWXGRFHQWHGHWHUPLQH ‡ 'HOpJXHQVHUHVSRQVDELOLGDGHVSDUDWHUPLQDUGHIRUPDFRUUHFWD HOSUR\HFWR ‡ +DOOHQHOPRGHORPDWHPiWLFRGHODVLWXDFLyQGHWHUPLQDQGRFODUDPHQWHFXiOHVVHUiQODVYDULDEOHVHQMXHJRDVtFRPRVXUHODFLyQ ‡ *UDÀTXHQ FRQ DOJ~Q software LQIRUPiWLFR OD IyUPXOD REWHQLGD HQHOPRGHOR\GHWHUPLQHQGHHVWHPRGRORVYDORUHVGHOUDGLR\ DOWXUDTXHFRQVROLGDQXQFLOLQGURGHPD\RUYROXPHQGHQWURGHO JRUULWR ‡ 3UHVHQWHQVXSUR\HFWRSRUHOPHGLRTXHWXGRFHQWHVXJLHUD

Recursos:

/LEURGHWH[WR3&softwareLQIRUPiWLFRGHJUDÀFDFLyQKRMDVHQ EODQFRLPSUHVRUDOLEURVGHFRQVXOWDHQODELEOLRWHFD

23

Cálculo Diferencial

6HSUHVHQWDUiHQODIHFKDLQGLFDGDSRUHOGRFHQWHeOGHWHUPLQDUi ODVFXHVWLRQHVQRSUHYLVWDVVHJ~QVXEXHQMXLFLR

Normas:

7RGRVHQHOHTXLSRSDUWLFLSDUiQ\SUHVHQWDUiQHOSUR\HFWRGHO PRGRTXHVXGRFHQWHVHxDOH

24

RHDOLPHQWDFLyQ )LQDOPHQWHWHSURSRUFLRQRDFWLYLGDGHVTXHWHVHUYLUiQGHWUDPSROtQÀQDOHQHOGHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDVFRUUHVSRQGLHQWHV I. /RVJULHJRVDFRVWXPEUDEDQGHVDUUROODUUHWRVJHRPpWULFRVFRQHOXVR~QLFDPHQWH GHXQDUHJODQRJUDGXDGD\FRPSiV(QWUHHVWRVUHVDOWDQHOGHFXDGUDWXUDVGHSROtJRQRVUHJXODUHVORVFXDOHVFRQVLVWtDQHQGLYLGLUFRQWUD]RVXQSROtJRQRUHJXODU SDUDTXHDOFRUWDUORIRUPHXQDFXDGUDGRFRPRVLVHWUDWDVHGHXQURPSHFDEH]DV&RPRHMHPSORFRQVLGHUDODFXDGUDWXUDGHXQWULiQJXOR/RVSDVRVVRQORV VLJXLHQWHVWRPDQGRFRPREDVHODÀJXUDGHOWULiQJXORHTXLOiWHUR$%&VtJXHORV GHIRUPDGHWDOODGD  H B

F E D

G M L

A

J

K

C

FIGURA 1.31 3URFHGLPLHQWR SDUD OD FXDGUDWXUD GHOWULiQJXOR

‡ 'LEXMDUXQWULiQJXORHTXLOiWHUR$%& ‡ 2EWHQHUORVSXQWRVPHGLRVGHORVODGRV$%\%&OODPiQGRORV'\(UHVSHFWLYDPHQWH ‡ 3URORQJDU$(KDVWD)GHPRGRTXH() (% ‡ +DOODUHOSXQWRPHGLRGH$)GHQRPLQiQGROR* ‡ &RQFHQWURHQ*GLEXMDUHODUFR$+) ‡ 3URORQJDU(%KDVWDFRUWDUHODUFRREWHQLHQGRHOSXQWR+ ‡ &RQFHQWURHQ(GLEXMDUXQDUFRGHUDGLR(+/ODPDU-DOSXQWRHQTXHFRUWH DOODGR$&

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales ‡ 7UD]DUHOVHJPHQWR-( ‡ 6REUHODEDVH$&GHOWULiQJXORPDUFDU.GHIRUPDTXH-. %( ‡ 'LEXMDODVSHUSHQGLFXODUHVVREUH(-GHVGH'\.REWHQLHQGRORVSXQWRV/\ 0UHVSHFWLYDPHQWH ‡ $VtHOWULiQJXORTXHGDGLYLGLGRHQSDUWHVHOWULiQJXOR-0.\ORVFXDGULOiWHURV %(/' (&.0 \ '/-$ 3RGHPRV UHRUGHQDU HVWDV SDUWHV \ IRUPDU XQ FXDGUDGR

FIGURA 1.32 /DFXDGUDWXUDGHOWULiQJXORHQLPiJHQHV

'LVHxHQXQPpWRGRSDUDODFXDGUDWXUDGHXQSHQWiJRQR\UHDOtFHQORHQFDUWRQFLOOR RSDSHOFDVFDUyQ II. 3ODQWHDHQIRUPDGHPRGHORPDWHPiWLFRFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVVLWXDFLRQHV\ DSR\iQGRWHGHXQsoftwareGHWHUPLQDODVROXFLyQDFDGDSUREOHPiWLFD a) ¢3DUD TXp YDORU GH x UHVXOWDUi PiV SHTXHxD OD VXPD GH ODV GLVWDQFLDV GHO SXQWR$x DORVSXQWRV% \& " b) ¢&XiOHVHOUDGLRPHQRUGHXQDFLUFXQIHUHQFLDTXHSXHGHFLUFXQVFULELUVHHQ XQWULiQJXORUHFWiQJXORGHSHUtPHWURFP" c) 'HWHUPLQDODDOWXUDGHXQFRQRFLUFXQVFULWRDXQDHVIHUDGHUDGLRFPGH PDQHUDTXHHOYROXPHQGHOFRQRVHDHOPHQRUSRVLEOH

25

Cálculo Diferencial

EYDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD 26

7HSUHVHQWRODU~EULFDFRUUHVSRQGLHQWHDOSUR\HFWRSDUDTXHORDQDOLFHVMXQWRFRQWX GRFHQWH\SUHYHQJDQORTXHKDVGHFXPSOLU 5~EULFDGHOSUR\HFWR Producto, logro o desempeño

Conocimientos

1LYHOGHORJURRGHVHPSHxR 5

4

3

2

1

Estratégico

Autónomo

Básico

Inicial

Pre-formal

Reconozco en todo WLHPSRODV YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR

Reconozco ODPD\RU parte del WLHPSRODV YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR

Reconozco sólo en pocas ocasiones las YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR

Reconozco GLItFLOPHQWH una de las YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR

Reconozco GLItFLOPHQWH ODVYDULDEOHV que entran HQMXHJRHQ la situación GHOSUR\HFWR

,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR

Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV

Habilidades

Represento con un software el PRGHORREtenido dándole toques GLVWLQWLYRV 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV Presento acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR

,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR

Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV Represento con un software HOPRGHOR REWHQLGR 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR

,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR dándole toques disWLQWLYRV 'HWHUPLQR sólo con D\XGDOD solución al SUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR

1RLGHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO

Planteo parte del PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR

1RLGHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO

Planteo parte del PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR dándole toques disWLQWLYRV 1RGHWHUPLQROD solución al SUREOHPD 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud positiva ante el reto SODQWHDGR

Actitudes

Puntaje

3URPXHYR HOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRGDQdo respeto DORVGHPiV en todo WLHPSR

0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud positiva ante el reto SODQWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR PDQWHQJR respeto a ORVGHPiV en todo WLHPSR

7UDEDMRFRQWLQXDPHQWH aportando puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV

7UDEDMRHQ continuaPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV

15

12

0DQWHQJR una actitud neutral ante el reto planWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto la PD\RUtDGHO WLHPSRDORV GHPiV 7UDEDMR continuaPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV

9

0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud neutral ante el reto planWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto ocasionalPHQWHDORV GHPiV

0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud QHJDWLYD ante el reto SODQWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto ocasionalPHQWHDORV GHPiV

7UDEDMRSDUFLDOPHQWH\ no aporto puntos de YLVWD

7UDEDMR ocasionalPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWD

6

3

27

Cálculo Diferencial

5~EULFDGHOEORTXH 7HSURSRUFLRQRODU~EULFDGHHVWHSULPHUEORTXHFRQHOÀQGHTXHQRROYLGHVFXiOHV VRQORVREMHWLYRVDFRQVLGHUDUGXUDQWHHOPLVPR

28

5~EULFDSDUDODHYDOXDFLyQGHOEORTXH Producto, logro o desempeño

1LYHOGHORJURRGHVHPSHxR 5

4

3

2

1

Estratégico

Autónomo

Básico

Inicial

Pre-formal

'HÀQRORVRUtJHnes o evolución GHO&iOFXORTXH llevan al desaUUROORGHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDO

'HÀQRYDJDPHQWHDOJXQRV GHORVRUtJHnes o evoluFLyQGHO&iOFXlo que llevan al desarrollo GHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO

'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQ GHO&iOFXORTXH llevan al desarrollo GHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDODSRUWDQGR FRQFHSWRV

Conocimientos

,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQGH IRUPDTXHSXHGR discernir su utilizaFLyQHQHOFDPSR GHO&iOFXOR Reconozco todas ODVYDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQDO PRPHQWRGH presentar una situación que requiera de PRGHODMH PDWHPiWLFR

'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQ GHO&iOFXORTXH llevan al desaUUROORGHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO ,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ GHIRUPDTXH puedo discernir su utilización HQHOFDPSRGHO &iOFXOR

,GHQWLÀFRYDJDPHQWHTXpHVXQ PRGHORPDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ

Reconozco DOJXQDVGHODV YDULDEOHVTXH 5HFRQR]FRDOJXLQWHUDFW~DQDO nas de las variaPRPHQWRGH EOHVTXHLQWHUDFpresentar una W~DQDOPRPHQWR situación que de presentar UHTXLHUDGHPRuna situación GHODMHPDWHPique requiera de WLFR PRGHODMHPDWHPiWLFR

,GHQWLÀFR YDJDPHQWH qué es un PRGHORPDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ Reconozco FRQPXFKDGLÀFXOWDGDOPHnos una de las YDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQ DOPRPHQWR de presentar una situación que requiera GHPRGHODMH PDWHPiWLFR

'HÀQRVyOR DOJXQRVGHORV RUtJHQHVRHYROXFLyQGHO&iOculo que llevan al desarrollo del &iOFXOR,QÀQLWHVLPDO ,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR pero no los HOHPHQWRVTXH ORFRPSRQHQ 1RUHFRQR]FR ODVYDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQDO PRPHQWRGH presentar una situación que requiera de PRGHODMHPDWHPiWLFR

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

Relaciono las diversas ideoloJtDV\OHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositores del &iOFXORWRPDQGR FRPRUHIHUHQFLD VXVHVFULWRV\ DOJXQDVREUDVFRQ HOÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\HO tratado del cálculo DSRUWDQGRPLV FRQFOXVLRQHV

Habilidades

Relaciono las diversas ideoloJtDV\OHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositoUHVGHO&iOFXOR WRPDQGRFRPR referencia sus esFULWRV\DOJXQDV REUDVFRQHOÀQ GHFRPSUHQGHU HORULJHQ\HOWUDWDGRGHOFiOFXOR 0DQHMRSDUFLDOPHQWHODVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQLQFOX\HQGR ODV7,&SDUDWHQHU XQSDQRUDPD DPSOLRGHOD evolución del &iOFXOR

0DQHMRGLIHrentes fuentes GHLQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGRODV 7,&SDUDWHQHUXQ SDQRUDPDDPSOLR de la evolución del &iOFXORHLQYHVWLJR &DUDFWHUL]ROD RWURVFRQFHSWRV VROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOH&DUDFWHUL]ROD VROXFLyQREWHQLGD PDGHPRGHODMH PDWHPiWLFR GHXQSUREOHPD PHGLDQWHORV GHPRGHODMHPDPpWRGRVGLVSRWHPiWLFRPHGLDQQLEOHVFRPROR WHORVPpWRGRV GLVSRQLEOHVFRPR VRQORVJUiÀFRV JUiÀFRVDQDOtWLFRV analíticos, lenJXDMHYHUEDORHO OHQJXDMHYHUEDOR XVRGHODV7,& HOXVRGHODV7,& $VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHVGHO PRGHORPDWHPiWLFRFRQHOÀQGH proveer una relaFLyQPDWHPiWLFD a la solución de la VLWXDFLyQGDGD

$VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHV GHOPRGHOR PDWHPiWLFRSHUR no proveo de la UHODFLyQPDWHPitica a la solución de la situación GDGD

Relaciono parFLDOPHQWHODV diversas ideoloJtDVROHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositoUHVGHO&iOFXOR WRPDQGRFRPR referencia sus HVFULWRVRDOJXQDVREUDVFRQHO ÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\ el tratado del FiOFXOR 0DQHMRSDUFLDOPHQWHGLIHUHQtes fuentes de LQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGRODV 7,&SDUDWHQHU XQSDQRUDPD JHQHUDOGHOD evolución del &iOFXOR &DUDFWHUL]RFRQ D\XGDODVROXFLyQREWHQLGD GHXQSUREOHPD GHPRGHODMH PDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRVGLVSRQLEOHV FRPRJUiÀFRV analíticos, lenJXDMHYHUEDORHO XVRGHODV7,& 1RDVRFLRODV diferentes variaEOHVGHOPRGHOR PDWHPiWLFR

Relaciono las diversas LGHRORJtDV \OHQJXDMH PDWHPiWLFR que usaron los diferentes expositores GHO&iOFXOR WRPDQGR FRPRUHIHUHQcia sus escriWRV\DOJXQDV REUDVFRQHO ÀQGHFRPprender parte GHORULJHQGHO FiOFXOR 0DQHMRXQD fuente de LQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGR ODV7,&SDUD tener un paQRUDPDGHOD evolución del FiOFXOR &DUDFWHUL]R con lecturas la solución REWHQLGDGH XQSUREOHPD GHPRGHODMH 1RDVRFLR las diferentes YDULDEOHVGHO PRGHORPDWHPiWLFR

1RSXHGR relacionar las diversas ideoloJtDV\HOOHQJXDMHPDWHPiWLFR que usaron los diferentes expositores del &iOFXORWRPDQGRFRPR referencia sus HVFULWRV\DOJXQDVREUDVFRQ HOÀQGHFRPprender el oriJHQ\HOWUDWDGR GHO&iOFXOR 0DQHMRODV7,& para tener un SDQRUDPDGHOD evolución del &iOFXOR 1RFDUDFWHULzo la solución REWHQLGDGHXQ SUREOHPDGH PRGHODMHPDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRV GLVSRQLEOHV FRPRORVRQORV JUiÀFRVDQDOtWLFRVOHQJXDMH YHUEDORHOXVR GHODV7,& 1RDVRFLRODV diferentes variaEOHVGHOPRGHOR PDWHPiWLFR

29

Cálculo Diferencial

30

Actitudes

Puntaje

3URPXHYRHO PD\RUWLHPSRHO 3URPXHYRVLHPSUH HVWXGLR\DSOLFDHOHVWXGLR\DSOLFLyQGHO&iOFXOR FDFLyQGHO&iOFXOR para resolver dipara resolver ferentes situaciodiferentes situaQHVKLSRWpWLFDVR FLRQHVKLSRWpWLFDV UHDOHV RUHDOHV $SRUWRSXQWRV $SRUWREXHQRV de vista para repuntos de vista solver las diverpara resolver las sas situaciones diversas situaciopresentadas, de nes presentadas, PDQHUDTXHVH GHPDQHUDTXHVH FUHHXQDPELHQWH FUHHXQDPELHQWH ySWLPR\UHODySWLPR\UHODMDGR MDGR &RQVLGHURODV &RQVLGHURDOJXDFWLWXGHV\UD]Rnas de las actiQDPLHQWRVGHPLV tudes o razonaFRPSDxHURVGH PLHQWRVGHPLV PDQHUDUHÁH[LYD FRPSDxHURVGH SDUDOOHJDUDXQ PDQHUDUHÁH[LYD consenso respecto SDUDOOHJDUDXQ a la solución de consenso respecVLWXDFLRQHV to a la solución GHVLWXDFLRQHV

15

12

3URPXHYR RFDVLRQDOPHQWHHOHVWXGLR\ aplicación del &iOFXORSDUD resolver diferentes situaciones KLSRWpWLFDVR UHDOHV

3URPXHYR YDJDPHQWH HOHVWXGLR\ aplicación del &iOFXORSDUD UHVROYHUDOJXnas situacioQHVKLSRWpWLFDV RUHDOHV

1RSURPXHYR el estudio ni la aplicación del &iOFXORSDUD resolver situaFLRQHV

$SRUWRHQRFDsiones, puntos de vista para resolver las diversas situaciones presentadas GHPDQHUDTXH VHFUHHXQDPELHQWHySWLPR\ UHODMDGR

$SRUWRHQ ocasiones, puntos de vista para resolYHUDOJXQDVGH las situaciones presentadas, GHPDQHUD que se cree un DPELHQWHySWLPR\UHODMDGR

$SRUWRXQ punto de vista para resolver una situación presentada, de PDQHUDTXHVH FUHHXQDPELHQWHySWLPR\ UHODMDGR

9

6

3

1RFRQVLGHUR ODVDFWLWXGHV\ &RQVLGHUR UD]RQDPLHQWRV 1RFRQVLGHUR DOJXQDVGH ODVDFWLWXGHV\ GHPLVFRPSDODVDFWLWXGHV\ UD]RQDPLHQWRV xHURVGHPDQHUD]RQDPLHQWRV UDUHÁH[LYDSDUD GHPLVFRPGHPLVFRPSDOOHJDUDXQFRQSDxHURVGH xHURVGHPDQHUD PDQHUDUHÁH[L- senso respecto UHÁH[LYDSDUD YDSDUDOOHJDU a la solución de OOHJDUDXQFRQa un consenso VLWXDFLRQHV senso respecto respecto a la a la solución de solución de VLWXDFLRQHV VLWXDFLRQHV

Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

127$6 31

Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social

Objetos de aprendizaje h 'HÀQLFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQGHOtPLWHVGHIXQFLRQHV h &iOFXORGHOtPLWHVGHIXQFLRQHV h &RQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV Desempeños del estudiante h 5HSUHVHQWD\GHVFULEHHOFRQFHSWRGHOtPLWHDSDUWLUGHODHODERUDFLyQGHWDEODV QXPpULFDV\JUiÀFDVGiQGROHODLQWHUSUHWDFLyQFRUUHFWD h &DOFXODOtPLWHVDOJHEUDLFRVPHGLDQWHHOXVRGHODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWDGHOt PLWH h $SOLFDORVWHRUHPDVUHODFLRQDGRVDOtPLWHVDVLWXDFLRQHVKLSRWpWLFDVRUHDOHVSDUD REWHQHUORVYDORUHVGHOtPLWHVUHDOHVODWHUDOHVLQÀQLWRV\DOLQÀQLWRDVtFRPRODV WpFQLFDVDSURSLDGDVSDUDREWHQHUORV h 'HWHUPLQD FXiQGR XQD IXQFLyQ HV FRQWLQXD \ HQ TXp LQWHUYDOR GH VX GRPLQLR DGHPiVGHUHDOL]DUDSOLFDFLRQHVGHpVWDVHQGLYHUVDViUHDV Competencias disciplinares extendidas 1. &RQVWUX\HHLQWHUSUHWDPRGHORVPDWHPiWLFRVPHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHSURFHGL PLHQWRVDULWPpWLFRVDOJHEUDLFRVJHRPpWULFRV\YDULDFLRQDOHVSDUDODFRPSUHQ VLyQ\DQiOLVLVGHVLWXDFLRQHVUHDOHVKLSRWpWLFDV\IRUPDOHV 2. )RUPXOD\UHVXHOYHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVDSOLFDQGRGLIHUHQWHVHQIRTXHV 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀ FRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGH ODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQ 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 4.5 0DQHMDODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQSDUDREWHQHU LQIRUPDFLyQ\H[SUHVDULGHDV 5.1 6LJXHLQVWUXFFLRQHV\SURFHGLPLHQWRVGHPDQHUDUHÁH[LYDFRPSUHQGLHQGR  FyPRFDGDXQRGHVXVSDVRVFRQWULEX\HDODOFDQFHGHXQREMHWLYR 6.2 (YDO~DDUJXPHQWRV\RSLQLRQHVHLGHQWLÀFDSUHMXLFLRV\IDODFLDV 7.3 $UWLFXODVDEHUHVGHGLYHUVRVFDPSRV\HVWDEOHFHUHODFLRQHVHQWUHHOORV\VX YLGDVXFRWLGLDQD 8.1 3URSRQHPDQHUDVGHVROXFLRQDUXQSUREOHPDRGHVDUUROODUXQSUR\HFWRHQ HTXLSRGHÀQLHQGRXQFXUVRGHDFFLyQFRQSDVRVHVSHFtÀFRV



8.3 $VXPHXQDDFWLWXGFRQVWUXFWLYDFRQJUXHQWHFRQORVFRQRFLPLHQWRV\ KDELOLGDGHVFRQORVTXHFXHQWDGHQWURGHGLVWLQWRVHTXLSRVGHWUDEDMR 9.1 3ULYLOHJLDHOGLiORJRFRPRPHFDQLVPRSDUDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV

Cálculo Diferencial

DLQDPL]DFLyQ\PRWLYDFLyQ ´¤(VWiVOOHJDQGRDOOtPLWHGHPLSDFLHQFLDµ

34

´(VWHHVWDFLRQDPLHQWRKDOOHJDGRDVXOtPLWHORVHQWLPRVQRKD\PiVOXJDUµ ´¤0LSRGHUQRWLHQHOtPLWHVµ ¢&XiOHVGHHVDVIUDVHVKDVHVFXFKDGR\DVHDHQWXYLGDSHUVRQDODWXDOUHGHGRUR LQFOXVRHQÀOPHVGH+ROO\ZRRG" 6HJXUDPHQWHDOPHQRVXQDYH]HQWXYLGDVHWHKDSUHVHQWDGRHVWDSDODEUDOtPLWH ¢4Xp VLJQLÀFDGR OH GDV D FDGD XQD GH ODV H[SUHVLRQHV DQWHULRUHV" ¢TXp UHODFLyQ JXDUGDODGHÀQLFLyQGHOtPLWH"¢XQOtPLWHVHWUDWDGHXQDFDQWLGDGPX\JUDQGHPX\ SHTXHxDRLQLPDJLQDEOH" (QHVWHEORTXHHVWXGLDUiVODGHÀQLFLyQ\DSOLFDFLyQGHOtPLWHFODURGHVGH XQSXQWRGHYLVWDPDWHPiWLFR 3RURWURODGRFXDQGRWHWRSDVFRQXQDVHxDOGHWUiQVLWRTXHLQGLFD´&RQ WLQ~DFRQSUHFDXFLyQµRFXDQGRWHLQWHUUXPSHQHQXQDDFFLyQ\WHGLFHQ´FRQWL Q~Dµ¢TXpWLHQHQHQFRP~QHVWDVIUDVHV"HVGHFLUODSUHJXQWDREOLJDGDHV¢TXp HQWLHQGHV SRU HO WpUPLQR FRQWLQXLGDG" 6LQ GXGD DOJXQD VDEUiV H[SOLFDU FRQ WXV SURSLDVSDODEUDVHVWDVUHVSXHVWDVSHURHQ0DWHPiWLFDVTXL]iVWHVXUMDQPiVSUH JXQWDVTXHVROXFLRQHV

6HVLyQ  'HÀQLFLyQ \ UHSUHVHQ WDFLyQGHOtPLWHGHIXQFLRQHV Criterios: h 'LVWLQJRODUHODFLyQJUiÀFDDOJHEUDLFD\FRQFHSWXDOGHOtPLWHGHXQDIXQFLyQ h 'HVFULERORVHOHPHQWRV\ODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWDGHXQOtPLWH h (VWDEOH]FRODUHODFLyQHQWUHORVFRQFHSWRVDOJHEUDLFR\JUiÀFRGHOtPLWH h 8WLOL]RXQSURJUDPDLQIRUPiWLFRSDUDUHSUHVHQWDUHOFRPSRUWDPLHQWRGHXQOt PLWH h 5HÁH[LRQRVREUHODDSOLFDFLyQGHORVOtPLWHVHQGLYHUVDViUHDVGHODVFLHQFLDVDVt FRPRVREUHVXXWLOLGDGHQHOODV

CRQWH[WXDOL]DFLyQ &RPRSDUWHSULQFLSDOGHO&iOFXORLQLFLDUiVFRQHOHVWXGLRGHORVOtPLWHVGHIXQFLRQHV eVWRVKDFHQSUHVHQFLDHQPXFKDVFLHQFLDVWDOHVFRPROD)tVLFD(FRQRPtD%LRORJtD 6RFLRORJtDHWFpWHUD