Buku Teori Bilangan UGM

 

CGZG PLEBGEZG_ Puha syucur pleufas pgehgtcge clpgjg Gffkd ^RZ gtgs geubrgd ygeb jaolracge sldaebbg pleufasge Oucu Jactgt ygeb jaflebcgpa jlebge _lengeg Prkbrgm Clbagtge Plmolfghgrge ^lmlstlr (_PCP^) jge _lengeg Clbagtge Plmolfghgrge Maebbuge aea jgpgt tlrslflsgacge jlebge ogac. Zajgc fupg pleufas mlebungpcge tlramg cgsad clpgjg _lctkr \BM, Clpgfg P> \BM, Jlcge IMAPG \BM jge Cltug Hurusge Mgtlmgtacg ygeb tlfgd mlmolracge clslmpgtge clpgjg pleufas uetuc acut gejaf jgfgm pleblmogebcge mutu prksls plmolfghgrge, jlebge clbagtge aea. _lengeg Prkbrgm Clbagtge Plmolfghgrge Plmolfghgrge ^lmlstlr (_PCP^) jge Oucu Jactgt aea jatufas jlebge tuhuge gbgr prksls plrsagpge jge prksls plmolfghgrge jgfgm oajgeb Zlkra Oafgebge slogbga jgsgr mgtlmgtacg gegfasas jge mgtlmgtacg jascrat oasg fload kptamgf, ygeb pgjg gcdareyg jgpgt mlebdgsafcge fufusge mgtlmgtacg ygeb fload olrcugfatgs jge mgmpu olrpacar sastlmgtas jgfgm mleylflsgacge mgsgfgd ja jueag eygtg. \etuc fload mleylmpuregcge _PCP^ jge Jactgt aea pleufas sgebgt mlebdgrgpcge cratac jge mgsucge jgra slsgmg tlegbg plebghgr mgtlmgtacg jge pgrg plmogng.

Qkbygcgrtg, Ekvlmolr ?07> Pleufas

 

JGIZG_ A^A

OG O A

OG O A A

OG O A A A

CGZG PLEBGEZG_ _LE _L ENGEG CLB LBAAGZGE PLMO MOLF LFG GHG_GE MA MAE EBB\GE JGIZG_ A^A DAMP\EGE OAFGEBGE O\FGZ 7.7 Plejgdufuge 7.? ^astlm Oafgebge Gsfa 7.> _lfgsa \rutgo 7.: Dampuege Oafgebge Oufgt CLZL_OGBAGE ?.7 Plejgdufuge ?.? Cltlrogbage ?.> Gfbkratmg Plmogbage ?.: Oafgebge Pramg IGCZK_A^G^A P_AMG >.7 Plejgdufuge

>.? Zlkrlmg Iuejgmletgf Gratmgtac >.> Ogeygc Igctkr >.: Humfgd Igctkr OGO AY IGCZK_ PL_^LC\ PL_^LC\Z\GE Z\GE JGE CLFAP CLFAPG GZGE PL_^LC\Z\GE :.7 Plejgdufuge :.? Igctkr Plrslcutuge Zlrolsgr :.> Gfbkratmg Lunfaj :.: Ajletatgs Olzkut :.< Clfapgtge Plrslcutuge Zlrclnaf OG O Y CLCKEB_\LEGE 7 >: >: >: >2 >4 :0 :: :: :: :4 :

NKEZKD ^KGF \HAGE ZLEBGD ^LML^ZL_ JGE \HAGE GCDA_

704

JGIZG_ P\^ZGCG

779

 

OGO A DAMP\EGE OAFGEBGE O\FGZ 7.7 7. 7

Plejg lejgd dufug ufuge e ^laraeb jlebge plrclmogebge oujgyg mgsygrgcgt jaoutudcge gfgt ckmueacgsa

ygeb oasg mlehlfgscge mlehlfgscge ”ogey ”ogeygcey gceyg” g” olejg-olejg ja cldajupge cldajupge sldgra-dgra sldgra-dgra.. Gfgt ckmueacgsa tlrslout tlrsamokfcge jgfgm oletuc gebcg-gebcg, ygeb mlehgogrcge ckeslp oafgebge. Zkpac aea sgebgt olrmgeiggt ogba mgdgsaswg uetuc mleblegf sgfgd sgtu jgsgr mgtlmgtacg ygatu oafgebge jge fgjgsge plebckestrucsageeyg. ^ltlfgd mlmplfghgra tkpac ogdgsge pgjg plrtlmuge  maebbu cl-7   jge   ?  ygeb mlfaputa 7. Ckestrucsa sastlm oafgebge gsfa ?. ^aigt-saigt oafgebge gsfa >. Cketrucsa sastlm oafgebge oufgt aea slngrg tuetgs jadgrgpcge mlmafaca  flgreaeb Kutnkmls  olrupg8   olrupg8 7. Mgdgsas Mgdgsaswg wg mgmpu mlehlfgsc mlehlfgscge ge p pleblrtage leblrtage sastlm oafgeb oafgebge ge gsfa ?. Mgdgsas Mgdgsaswg wg mgmpu mlmouctac mlmouctacge ge saigtsaigt-saigt saigt oafgebge gsfa >, Mgdgsas Mgdgsaswg wg mgmpu mlebcke mlebckestrucsa strucsa sastlm oafgebge oafgebge oufgt slogbga plrfugsg p lrfugsge e sastlm oafgebge gsfa

7.? 7. ?

^a ^ast stlm lm Oafg Oafgeb ebge ge Gsfa Gsfa

^lolfum mlmoangrgcge sastlm oafgebge oufgt, slogbga fgebcgd gwgf tlrfload jufu gcge japgpgrcge ckeslp oafgebge gsfa.

Jl﬇easa 7.?.7   Jacltgdua  E  dampuege ygeb mlmugt   77  jge jaflebcgpa kplrgsa oaelr  ”+” pgjg   E. Hacg   (E, +)  mlmleuda8 7.   (∀e  ∄   E)e + 7̴  = 7 ?.   (∀e, m  ∄   E)(m + 7 =  e  + 7  ⇟  m  =  e ) >.   (∀e, m  ∄   E)(m + e) + 7 =  m  + ( e + 7)

7

 

:. \etuc \etuc sltagp sltagp   B  ⊉   E, hacg  :.7   7  ∄  B   jge  :.?   e  ∄  B  ⇟  e  + 7  ∄  B , mgcg   B  =   E, mgcg   E  jaslout  sastlm   sastlm oafgebge gsfa (dampuege oafgebge gsfa) . ^lfg ^lfgehute ehuteyg  yg  sltagp   e  ∄   E  jaslout  oafgebge   oafgebge gsfa.

Jgra sastlm gcsakmg ja gtgs jgpgt jackestrucsa8 7 + E 7 8= ?,   (7+E) + E 7 8= >,   ((7 +E 7) +E 7) +E 7 8= :, . . . .

Zlkrlmg 7.7   >̴  = ? Oucta8  Jgra jl﬇easa > > = (7 + 7) + 7 7 + (7 + 7) = (7 + 7) + 7 Gc Gcsa sakm kmg> g> 7+? = >

Jl﬇easa”?”jge”>”

Fgtadge 7.7  Ouctacge plreygtgge-plreygtgge olracut aea!  7.   :̴  = ? ?.   ?̴  = < >.  > + 7 = : :.   ? + 7 = 7 + ?

Olrjgsgrcge gcsakmgtacg jgpgt jaturuecge tlkrlmg olracut aea.

Zlkrlmg 7.?   \etuc sltagp   e  ∄  E   olrfgcu   e + 7̴  =  e . Oucta8   Jaoletuc   B =  { e|e  ∄   E, e + 7̴  =  e }. hlfgs   B  ⊉   E. Olrjgsgr G (Gcsakmg) 7, 7+7̴  = 7, sldaebbg 7  ∄  B . Masgfcge  e  ∄  B , ygatu  e + 7̴  =  e . Egmue olrjgsgrcge G?, (e + 7) + 7̴  =   e + 7, sldaebbg   e + 7   ∄   B3 jge slsuga G:,   B   =   E. Gcaog Gcaogtey teygg uetuc slmug   e  ∄   E  olrfgcu   e  ∄  B . Hgja   e + 7̴  =  e  uetuc sltagp   e  ∄   E.

 

.

^aigt olracuteyg ygeb jgpgt jaturuecge olrjgsgrcge sastlm gcsakmgtacg dampuege   E  olslrtg kplrgsa ”+” gjgfgd saigt gsksagtai. ?

 

 x, y,z   ∄ Zlkrlmg 7.>   \etuc sltagp  x, ∄   E  mlmleuda   (x +  y ) +  z   =  x  + ( y +  z ).

Oucta8   Jagmoaf slogrgeb   x, y  ∄   E. Plmouctage jlebge aejucsa mgtlmgtacg jaclegcge pgjg   z  jlebge   jlebge mlmoletuc B  =  {z |z   ∄ ∄   E, (x +  y ) +  z   =  x  + (y +  z )}

Olrjgsgrcge G>, japlrkfld   z   = 7   ∄   B. Jam Jamasg asgfc fcge ge olegr ue uetuc tuc   z   ∄   B, ygatu x + ( y +  z ) = (x +  y ) +  z . x + ( y + ( e + 7)) =   x + (( y +  e) + 7) x + (( y +  e) + 7) = (x + ( y +  e)) + 7

(x + ( y +  e)) + 7 = ((x + y ) +  e) + 7 x + ( y + ( e + 7)) = ((x + y ) +  e) + 7

((x + y ) +  e) + 7 = (x + y ) + ( e + 7) x + ( y + ( e + 7)) = (x + y ) + ( e + 7)

Gcaogteyg  e + 7  ∄  B . ^lsuga G:,  B  =   E, sldaebbg uetuc sltagp  z   ∄  = ∄   E, (x + y) + z  = x + ( y +  z )

 



^aigt ^ai gt olrac olracut ut yg ygeb eb olrfg olrfgcu cu tlrd tlrdgjgp gjgp kplrgsa ”+” gjgf gjgfgd gd ck ckmu mutgta tgtai. i. \e \etuc tuc atu japlrfucge flmmg olracut aea slogbga fgejgsgr.

Flmmg 7.:   \etuc sltagp   e  ∄   E,   e + 7 =  a + e. Oucta8   Jaoletuc  B  =  {e|e  ∄   E, e + 7 =  e + 7}. Hlfgs  B  ⊉   E. Cgrleg 7+7 = 7+7, mgcg 7  ∄  B . ^lfgehuteyg jamasgfcge  e  ∄  B , ygeb olrgrta  e +7 = 7+ e. Gcaogteyg (e + 7) + 7 = (7 +  e) + 7, sldaebbg   e + 7  ∄  B 3 jge olrjgsgrcge G:,   B =   E.

 



Zlkrlmg 7.<   \etuc sltagp   e, m  ∄   E  olrfgcu   e +  m  =  m  +  e. Oucta8  Jagmoaf slogrgeb  e  ∄   E. Jaoletuc  B  =  {m|m ∄   E, e + m  =  m + e}. Hlfgs B   ⊉   E. ^lf ^lfgae gae atu mleur mleurut ut Flmmg7 Flmmg7.?. .?.7, 7, 7   ∄   B. ^lfgehut ^lfgehutey eygg jamas jamasgfc gfcge ge   m   ∄   B.

Olrgrta   e + m  =  m  +  e. (e +  m) + 7 = (m + e) + 7 e + ( m + 7) =   m + ( e + 7)

=   m + (7 + e) = (m + 7) + e >

 

Gcaogteyg   m  + 7   ∄   B, sldaebbg mleurut G:,   B   =   E. Jl Jlebg ebge e cgtg fga fgae e ue uetuc tuc sltagp   m  ∄   E,   e + m  =  m + e.

.

 

Zlkrlmg 7.9 (^aigt Cgeslfgtai)  Jgfgm sastlm oafgebge   E   olrfgcu saigt cgeslfgtai cara jge cgege8  x, y,z   ∄ 7. \etuc \etuc sltagp sltagp  x, ∄   E,   (x +  z   =  y  +  z )  ⇟  ( x  =  y )  x, y,z   ∄  =  y ) ?. \etuc \etuc sltagp sltagp  x, ∄   E,   (x +  z   =  x  +  y )  ⇟  ( z  =

Oucta8  Dgeyg jaouctacge uetuc 7. ^aigt ? jahgjacge fgtadge. Oucta mlebbuegcge cketrgpksasaeyg, ygatu x̴  =  y  ⇟  x  + z ̴  =  y  +  z 

Jaoletu etuc c   B   =   {z |z   ∄   E, x +  z ̴  = Jagmoaf slogrgeb   x   jge   y   ∄   E, jlebge   x̴  =   y . Jaol y  +  z }. Cg Cgrl rleg eg   x̴  =   y   hlfgs   x + 7̴  =   y  + 7 Jamasgfcge   z   ∄   B, jlebge cgtg fgae x +  z ̴  =  y  +  z . Gcaogteyg x + ( z  +   + 7) = (x +  z ) + 7̴  = (y +  z ) + 7 =  y  + ( z  +  + 7) 7)

sldaebbg   z  +  + 7  ∄   B. ^lsuga G:, jgpgt jasampufc jasampufcge ge   B  =   E, sldaebbg uetuc sltagp x, y  ∄  E , hacg   x̴  =  y , mgcg   x + z ̴  =  y  +  z  uetuc sltagp   z   ∄ ∄   E.

 



Fgtadge 7.?   \etuc sltagp  x,  x, y , z , w  ∄   E  ouctacge8 7.   x +  y̴  =  y ?. Zlkrlmg 7.9, ogbage ? >. (x + z ) + ( y +  u) = (y + ( x +  u)) +  z 

7.> 7. >

_l _lfg fgsa sa \r \rut utge ge

Jgfgm sastlm oafgebge gsfa   E   jgpgt jackestrucsa rlfgra urutge jlebge mlebbuegcge egc ge saigt-saigt kplrgsa ”+”. \etu \etuc c atu plrfu jacgha tlrfload jufu saigt lflmletlr olracut aea.

Zlkrlmg 7.2   \etuc mgsaeb-mgsaeb   e   ∄   E ∟ {7}, jgpgt jatlmucge   m  ∄   E  ygeb  mlmleuda   e  =  m + 7.

:

 

Oucta8   Jaoletuc   B   =   {7, e|e   ∄   E, (∎m   ∄   E)e   =   m  + 7}. Hlfgs 7   ∄   B   ⊉   E. Jamasgfcge   e  ∄  B, olrgrta   e  = 7 gtgu   e  =  m + 7 uetuc sugtu   m  ∄   E. Hacg  e  = 7, mgcg  e +7 = 7+7. Gcaogteyg  e + 7  ∄  B , cgrleg tlrjgpgt  m  = 7 sldaebbg   e + 7 =  m + 7. Hacg   e  =  m  + 7 uetuc sugtu   m  ∄  E , mgcg e + 7 = (m + 7) + 7

Hlfgs   m + 7  ∄   E, gcaogteyg   e + 7  ∄  B . ^lsuga G:, mgcg   B =   E.

Zlkrlmg 7.4   \etuc sltagp   x, y  ∄   E, olrfgcu tlpgt sgtu plreygtgge8 7.   x  =  y ?.   (∎u  ∄   E)x +  u  =  y >.   (∎u  ∄   E)y +  v   =  x

Oucta8   \etuc Fgtadge Olrjgsgrcge Zlkrlmg 7.4 jgpgt jaturuecge rlfgsa urutge pgjg   E.

Jl﬇easa 7.>.7   \etuc sltagp   x, y  ∄   E  jajl﬇easacge  x 6 y  ⇚  ( ∎u ∄   E)x +  u  =  y

^lfgehuteyg jajl﬇easacge   x 5 y  hacg jge dgeyg hacg   y 6 y.

Nketkd 7.>.? ?  6  ? + 7 = >,   :  6  : + > = 2,   7  6  7 + e

Zlkrlmg 7.1   \etuc sltagp   x, y  ∄   E  olrfgcu tlpgt dgeyg sgtu  x  =  y   gtgu   x 6 y   gtgu   x 5 y.

Oucta8  Fgebsueb Zlkrlmg 7.4 Zlkrlmg 7.70   \etuc sltagp   x, y  ∄   E  olrfgcu  7. Hacg  Hacg   x 6 y   jge   y 6 z , mgcg   x 6 z  ?.   x̴  6 x

<

 

.

 

>.   x  = 7  gtgu   7  6 x :.   x 6 x +  y . Hacg  Hacg   x + z 6 y +  z , mgcg   x 6 y :. Hacg  Hacg   z  +  +  x 6 z  +  +  y , mgcg   x 6 y

Oucta8  Dgeyg gcge jaouctacge uetuc 7. Ek ?, >, jge : jaouctacge ja clfgs mlehgja ogdge prlsletgsa.  E

Cgrleg   x 6 y , mgcg jgpgt jatlmucge   u  ∄

 sldaebbg   x + u  =  y . Gcaogteyg

(x +  z ) +  u  =  x  + ( z  +  +  u) =  x + (u +  z ) = (x +  u) +  z  =  =  y  +  z  Jlebge cgtg fgae   x +  z 6 y +  z .

 



^lfgehuteyg, jlebge mlmgeiggtcg rlfgsa ”6” jgpgt jajl﬇ea jajl﬇easac sacge ge kplrgsa pleburgeb bur gebge ge getgr getgrgg ju jugg oa oafg fgeb ebge ge gsfa gsfa ygeb olrolj olroljg. g. Mls Mlsca capue pue kplrgs kplrgsaa aea aea ta tajgc jgc olrfgcu uetuc slmug pgsgebge oafgebge gsfa, egmue ilekmleg ygeb muenuf jgra kplrgsa tlrslout sgebgt olrplrge jgfgm sastlm ygeb fload fugs.

9

 

Jl﬇easa 7.>.>   \etuc sltagp sltagp   x 6 y   ja   E   tlrjgp tlrjgpgt gt jlebge tuebbgf   u   ∄   E   ygeb  mlmleuda   x  +  u   =   y . Lflmle Lflmle tuebbgf tuebbgf ygeb ygeb mlmleu mlmleuda da ckejas ckejasaa tlr tlrslo slout ut jatufa jatufas  s  jlebge   u  =  y ∟ x.

Nketkd 7.>.:   Cgrleg   :   6   9, jge  :   : + ? = 9, mgc mgcg g slsuga slsuga jl﬇eas jl﬇easa  a   ? = 9  ∟  : . ^logfaceyg cgrleg   9̴ 6  : , mgcg tajgc jgpgt jajl﬇easacge   : ∟ 9   ja   E.

Zlkrlmg 7.7?   \etuc sltagp   x, y  ∄   E, 7. Hacg  Hacg   x 6 y, mgcg   y  =  x  + ( y ∟ x)

 +  y  =  x , mgcg   y   =  x ∟ z  ?. Hacg  Hacg   z  +  =  x >. Hacg  Hacg   z 6 x   jge   y  =  x ∟ z , mgcg   y +  z  = :. Hacg  Hacg   y 6 x, mgcg uetuc sltagp   z 6 y  olrfgcu   y ∟ z 6 x

Oucta8   Dg Dgey eygg uetu uetuc c ?. \e \etuc tuc 7, >, jge : jabu jabuegc egcge ge uet uetuc uc fgt fgtad adge. ge. Cg Cgrle rlegg z  +  + y   =  x , olrgrta  y 6 x. Mlebbuegcge saigt 7, japlrkfld   x  =  z  +  + ( x ∟ z ). ). Egmue

cgrleg oafgebge   u  ∄   E  ygeb mlmleuda   z  +  +  u  =  x  tuebbgf, mgcg   y  =  x ∟ z .

 



^lfgehuteyg gcge jaogdgs kplrgsa plrcgfage jug ougd oafgebge gsfa.

Jl﬇easa 7.>.<   Pgjg dampuege oafgebge gsfa   E  tlrjgpgt jlebge tuebbgf plmltgge  η  8   E Ò E   ↟   E   ygeb mlmleuda  η(7, x) =  x, η(x + 7 , y) =  i (x, y ) +  y

uetuc sltagp   x, y  ∄   E. \etuc slfgehutey slfgehuteyg g jatufas  jatufas   η(x, y ) =  xy .

Nketkd 7.>.9  ^logbga nketkd jagmoaf   : ² < =  η ( > + 7, , . Ouctac Ouctacge ge Z Zlkrlmg lkrlmg 7.1 :. Ouc Ouctac tacge ge sai saigt gt ck ckmu mutgta tgtai, i, gsk gsksag sagtai tai,, jge cgesl geslfgta fgtaii oaf oafgebg gebge e gsf gsfaa tlrd tlrdgjgp gjgp plrcgfage    g +X  ώ (o) =  g ∟E  o , hacg   g 5 o,

=  ώ (o ∟E g ), hacg   o 5 g = 0, hacg   o  =  g 7.:   ώ(g) + X  o  =  o +X  ώ (g) 7.   g ²X ώ (o) =  ώ (g ²E  o ) 7.:   ώ(g) ²X  o  =  ώ (g ²X  o ) 7.. Zlrdgjgp lrdgjgp kp kplr lrgsa gsa plrcgfage, lrcgfage, ouctacge ouctacge ogdwg kplr kplrgsa gsa humfgdge humfgdge ol olrsaig rsaigtt jastraouta, :. Hacg jajl﬇easacg jajl﬇easacge e rlfgsa lfgsa ”≸” pgjg   X   jlebge jl﬇easa uetuc sltagp   g, o   ∄   X, g  ≸  o , hacg jge dgeyg hacg tlrjgpgt   u ∄   E  sldaebbg   g + u  =  o , ouctacge ogdwg 

”≸” mlrupgcge rlfgsa urutge, ygeb mlmleuda 

(∀, y  ∄   X)(x  ≸  y ∤ x  =  y ∤ y  ≸  x ) olrfgcu tlpgt sgtu clgjgge.

Mgtlra Plebgygge 7. Jgpgt ja fadgt pgjg wlosatl8 dttp8 dttp8//www.a //www.amk-k﬎na mk-k﬎nagf.krb gf.krb ?. \etuc jascusa jlebge gegc-gegc olrogcgt ja oajgeb mgtlmgtacg safgdcge gcsls dttp8//www.kfampagjl.krb

70

 

OGO AA CLZL_OGBAGE

?.7 ?. 7

Plejg lejgd dufug ufuge e

Pgjg plrtlmug plrtlmuge e   maebbu cl->, jge   :  aea jaogdgs ckeslp cltlrogbage, gfbkratmg ratmg plm plmogba ogbage ge jge oaf oafgebg gebge e pra pramg mg pgjg oafgeb oafgebge ge ouf oufgt. gt. _lf _lfgsa gsa cltlro cltlrogba gbage ge pgjg dampuege slmug oafgebge oufgt mlmuenuf mlmuenufc cge ogeygc saigt mlegrac. Jgra rlfgsa aea jgpgt jajl﬇easacge pleblrtage dgsaf ogba jge sasg plmogbage, sldaebbg jgpgt mlmogebcatcge kplrgsa plmogbage oafgebge oufgt jge ckeslp mkjufk. Jlebge mlmplfghgra ogo aea, jadgrgpcge8 7. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlmgdgma pleblrtage cltlrogba cltlrogbage. ge. ?. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlebajleta﬇ mlebajleta﬇c cgsa oafgebge pramg >. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlehlfgsc mlehlfgscge ge p pleblrtage leblrtage gfbkratm gfbkratmgg plmogba plmogbage ge :. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlelrgpc mlelrgpcge ge saigtsaigt-saigt saigt cltlrogba cltlrogbage ge jge gfbkratmg plmog p lmog-bage pgjg mgsgfgd oafgebge oufgt

?.? ?. ?

Cltl Cltlro rogb gbag age e ^lhgc ja slckfgd jgsgr tlfgd jaclegf ololrgpg kplrgsa pgjg oafgebge oufgt,

∟

Ò

²

jagetgrgeyg plehumfgdge(+), pleburgebge( ), plrcgfage( gtgu ) jge plmogbage(8 gtgu   /). \e \etuc tuc slogrg slogrgeb eb jug oaf oafgebg gebge e oufg oufgtt olrfg olrfgcu cu humfgd humfgd,, slf slfasa asad d jge dgsaf cgfae gfaeyg yg mgsaeb mgsaeb-mgsae -mgsaebb mlrupgc mlrupgcge ge oafgeb oafgebge ge oufgt, tltgpa plmogba plmogbage ge oafgeb oafgebge ge ygeb sgtu jlebge ygeb fgae olfum tletu mlrupgcge oafgebge oufgt.

̴ 

m  jge  e (   e  ( e = 0). Oafgebge   m jacgtgcge  m  jacgtgcge  Jl﬇easa ?.?.7.  Jaolracge oafgebge oufgt   m jge 

|

 e  gtgu  e mlmogba   e  mlmogba   m, m , jatufas  e  e m, hacg tlrjgpgt oafgebge oufgt  dgoas jaogba kfld  e gtgu  c  jlebge saigt   m   =   ce ce.. Hacg   m  dgoas jaogba kfld   e, mgcg   m  jaslout   clfapgtge  jgra   e   jge   e  jaslout  plmogba    plmogba  gtgu  igctkr    igctkr  jgra    jgra   m.

̴̴| |

Hacg   m   tajgc dgoas jaogba kfld   e, jatufascge  Hacg jatufascge   e

|

  m. Cgrl Cgrleg eg 0 = 00.e .e,,

̴̴| |

japlrkfld ogdwg   e 0 uetuc sltagp oafgebge oufgt   e. ^log ^logfac facey eyg, g, 0 77

  m  uetuc

 

̴ 

sltagp oafgebge oufgt tgc ekf  ekf   m, slogo  slogo   m = 0 =  c.  c .0 uetuc sltagp oafgebge oufgt c. Jgra jl﬇easa cltlrogbage japlrkfld ololrgpg saigt jgsgr slogbga olracut. Zlkrlmg ?.?.?.   Jaolracge oafgebge oufgt   x, y   jge   z .

g.   x x3

|

| | | n. Hacg   x|y   jge   y̴ = 0, mgcg  |  |x| ≪ |y|3 j. Hacg   x|y   jge   x|z , mgcg   x|ηy ηy +  + ο  οz  z  uetuc   uetuc sltagp oafgebge oufgt   η   jge   ο 3 l. Hacg   x|y   jge   x|y · z , mgcg   x|z 3  i. Hacg   x|y   jge   y|x, mgcg  |  |x| = |y|3  y b. Hacg   x|y   jge   y̴ = 0, mgcg  |y 3 x d. \etuc   z ̴ = 0  olrfgcu   x|y  hacg jge dgeyg hacg   xz |yz . o. Hacg   x y   jge   y z , mgcg   x z 3

Japlrdgtacge ogdwg uetuc slogrgeb oafgebge oufgt tgc ekf   e, igctkr pksatai jgra   e  gjg slogeygc bgehaf hacg jge dgeyg hacg   e  mlrupgcge   cugjrgt ygatu   e   =   m? uetuc sugtu oafgebge oufgt   m. (Ha (Hac cg sug sugtu tu oafgebge oafgebge slmpureg, ygatu  oufgt tajgc dgoas jaogba kfld slogrgeb oafgebge cugjrgt, mgcg oafgebge tlrslout jaslout  squgrl irll.) Dgf aea jac jacgrlegc grlegcge ge hacg hacg   e  oucge cugjrgt slmpureg, mgcg slmug igctkr pksatai jgra e jgra  e jgpgt  jgpgt jaeygtgcge cl jgfgm pgsgebge-pgsgebge olroletuc (x, (x,   ex ).   e + ?0 Nketkd Nke tkd ?.?.>. ?.?.>.   Zletucge slmug oafgebge oufgt   oufgt   e   sldaebbg  e 7>   mlrupgcge  oafgebge oufgt.

∟

Pleylflsgage.  Japlrdgtacge ogdwg

∟

e + ?0   e 7> + >>   >>  =   = 7+ . e 7> e 7> e 7>

∟

∟

∟   e + ?0   >> Hacg   oufgt, mgcg   oufgt oufgt.. Grt Grtae aeyg yg   e ∟ 7> |>> gtgu   e ∟ 7> igctkr e ∟ 7> e ∟ 7> jgra jgra >>. Cg Cgrle rlegg igc igctkr tkr jgra jgra >> gjgf gjgfgd gd ∟ >> >>,, ∟77 77,, ∟>, ∟7, 7, >, 77 jge >>, mgcg japlrkfld eafga   e  ygeb muebcae gjgfgd  ∟?0 ?0,, ?, 70 70,, 7? 7?,, 7: 7:,, 79 79,, ?: gtgu gtgu :9 :9.. Jg Jgpg pgtt 7?

 

janlc ogdwg slmug eafga e eafga  e tlrslout  tlrslout mlmleuda ckejasa ckejasa ygeb jaolracge. jaolracge. Hgja, eafga e  ygeb mlmleuda gjgfgd

 ∟?0, ?0, ?, 70, 70, 7?, 7?, 7:, 7:, 79 79,, ?: jge :9.

 



pksatai   (m, e)   jlebge  Nketkd Nke tkd ?.?.:. ?.?.:.  Zletucge slmug pgsgebge oafgebge oufgt pksatai   saigt    ?   +   >   = 7. saigt  m e  jge ge   m  mlmleuda Pleylflsgage.  Masgfcge oafgebge oufgt pksatai   e  j mgcg olrfgcu ?e + >m >m

  ?  >  +   = 7, m e

  =  me

⇚   (m ∟ ?)( ?)(e e ∟ >) = 9. Japlrkfld ogdwg  ogdwg   m ∟ ? jge  jge   e ∟ > mlrupgcge igctkr jgra 9. Cgrleg  Cgrleg   m  oafgebge oufgt pksatai, mgcg  mgcg   m ∟  ?   5  ∟ ?. Japlr Japlrkfl kfld d eaf eafga ga   m ∟   ? ygeb muebcae gjgfgd

7, ?, > gtgu 9, sldaebbg eafga   m   ygeb muebcae gjgfgd >, >, :, < gtgu 4. Gca Gcaogte ogteyg yg japlrkfld pgsgebge (m, (m, e) ygeb mlmleuda gjgfgd (>, (>, 1) 1),, (: (:,, 9) 9),, (< () . . . ( p + c + 7) dgoas jaogba kfld (c (c + 7)!. Japlrdgtacge ogdwg ( p +  p + 7)( p 7)( p +  + ?)( p ?)( p +  + >) . . . ( p +  p + c  c  + 7) = ( p +  p + 7)( p 7)( p +  + ?) . . . ( p +  p + c  c)) p +( p +(  p +  + 7)( p 7)( p +  + ?) . . . ( p +  p + c  c)( )(c c + 7) =   p( p +  p + 7)( p 7)( p +  + ?) . . . ( p +  p + c  c)) +(c +( c + 7)( p 7)( p +  + 7)( p 7)( p +  + ?)( p ?)( p +  + >) . . . ( p +  p + c  c)). 7:

 

Olrjgsgrcge gsumsa aejucsa, japlrkfld p japlrkfld  p(( p+7)(  p +7)( p+  p + ?) . . . ( p+  p + c) dgoas jaogba (c   + 7)!. 7)!. Cg Cgrle rlegg ( p +  p  + 7)( p +  p  + ?)( p ?)( p +  + >) . . . ( p +  p  + c  c)) mlrupgcge plrcgfage   c oafgebge oufgt pksatai olrurutge, mgcg ( p ( p +7)( +7)( p  p +?)( p + >) . . . ( p + c) dgoas jaogba   c!, sldaebbg japlrkfld (c jaogba (c + 7) 7) ( p +  p + 7)( p 7)( p +  + ?)( p ?)( p +  + >) . . . ( p +  p + c  c)) dgoas jaogba (c (c +7)!. Hgja, ( p ( p +7)( p +?)( p + >) . . .  (  ( p  p + c + 7) dgoas ja jaogba ogba ((c c +7)!. Zlroucta plreygtgge olegr uetuc  uetuc   m  = p  =  p +  + 7. Hgja, tlroucta ogdwg plrcgfage   e   oafgebge oufgt pksatai olrurutge dgoas jaogba kfld   e!. kfld ^lfgehutey ^lfgehu teyg, g, hac hacgg jage jagetgrg tgrg   e   oafgebg oafgebge e oufg oufgtt olrur olrurutge utge tlrjgpgt tlrjgpgt 0, mgc mgcgg dgs dgsaf af cgfaeyg sgmg jlebge 0, sldaebbg pgsta dgoas jaogba kfld   e!. \e \etuc tuc cg cgsus sus,, hac hacgg e  oafgebge olrurutge tlrslout slmug mlrupgcge oafgebge elbgtai, jgpgt jaouctacge jlebge ngrg ygeb sgmg slplrta ogbage plrtgmg jlebge mlebgfacge dgsaf cgfaeyg jlebge ( 7)e .

∟

 

 e 9 Nketkd ?.?.2.  Zuehuccge ogdwg  e oafgebge oufgt pksatai   e.

?

∟e



slfgfu dgoas jaogba kfld 90 uetuc slmug 

 e. Japlrdgtacge ogdwg Pleylflsgage.  Jaolracge slogrgeb oafgebge oufgt pksatai  e. e9

?

∟e

=   e? (e: = =

?

?

∟ 7) = (e (e ∟ 7)e 7)e (e + 7)(e 7)(e + 7) e

∟ = (> ∟ ∟ 7) + > ∟ e 7

e 7

+ (>e∟7 + 7).

 



 g, o  j  jge  ge   n. Zuehuccge ogdwg gcgr-gcgr  Nketkd ?.?.1.  Jaolracge oafgebge bgehaf  g, plrsgmgge cugjrgt   gx? + ox  ox +  + n  n =  = 0  oucge oafgebge oufgt. 79

 

oufgt   e  mlrupgcge gcgr plrsgmgge  plrsgmgge   gx? + Pleylflsgage.   Jagejgacge oafgebge oufgt  ox + n  = 0. Japlrkfld ge Japlrkfld  ge ? + oe + n = 0. Gc Gcge ge jataehgu jug cgsus cgsus,, ygatu e ygatu e oafgebge  oafgebge blegp jge  jge   e  oafgebge bgehaf. Cgsus e Cgsus  e oafgebge  oafgebge blegp. Cgrleg g Cgrleg  g jge  jge o  o oafgebge  oafgebge bgehaf, mgcg ge mgcg  ge ? jge jge oe  oe mlru mlru?

pgcge oafgebge bgehaf, ?sldaebbg japlrkfld ge japlrkfld  ge + oe oe oafgebge  oafgebge blegp. Cgrleg n Cgrleg  n  o  oaafgebge bgehaf, mgcg ge mgcg ge + oe oe+ +n oafgebge bgehaf, sldaebbg japlrkfld ge japlrkfld  ge? +oe+ oe +n = 0

̴ 

(0 blegp), sugtu cketrgjacsa.

Cgsus e Cgsus  e oafgebge  oafgebge bgehaf. Cgrleg g Cgrleg  g jge  jge o  o oafgebge  oafgebge bgehaf, mgcg ge mgcg  ge ? jge jge oe  oe mlru mlrupgcge pgc ge oafgebg oafgebge e blegp, sldaebbg japlrkfld japlrkfld ge  ge ? + oe oe oafgebge  oafgebge blegp. Cgrleg n Cgrleg  n o  oaafgebge bgehaf, mgcg ge mgcg ge? + oe oe+ +n oafgebge bgehaf, sldaebbg japlrkfld ge japlrkfld  ge? +oe+ oe +n = 0

̴ 

(0 blegp), sugtu cketrgjacsa. Hgja, gcgr-gcgr plrsgmgge cugjrgt  cugjrgt   gx? + ox  ox +  + n  n =  = 0 oucge oafgebge oufgt.

  

Nketkd ?.?.70.  Jaolracge   c  oafgebge blegp. Zuehuccge ogdwg tajgc gjg oafge-

bge bgehaf   e7 , e? , . . . , ec  jlebge saigt   7  7  7 7= + + . . . + . e7 e? ec Pleylflsgage.  Jagejgacge tlrjgpgt oafgebge bgehaf  e 7 , e? , . . . , ec  jlebge saigt

 7  7  7 + + . . . + . e7 e? ec Jlebge mleygmgcge pleylout pgjg rugs cgege, japlrkfld   e7 e? . . . ec   =   s7   + 7=

s?  + .  +  . . . + s  +  sc   jlebge  jlebge   s7 , s?, . . . , sc  oafgebge bgehaf. Japlrdgta Japlrdgtac cge ogdwg rugs cara mlrupgcge oafgebge bgehaf, sljgebcge rugs cgege mlrupgcge oafgebge blegp, sugtu cketrgjacsa.

?.> ?. >

 



Gfbk Gfbkra ratm tmg g Plm lmog ogba bage ge Olracut jaolracge sgfgd sgtu ckeslp ygeb jaslout Gfbkratmg Plmogbage

ygeb mlmafaca plrgege pletaeb jgfgm tlkra oafgebge. pksatai   g Zlkrlmg ?.>.7   (Gfbkratmg Plmogbage).   \etuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   jge   o  tlrjgpgt jlebge tuebbgf pgsgebge oafgebge oufgt eke-elbgtai   eke-elbgtai   (q, r)  jlebge  saigt   o  = gq   =  gq + + r   jge   r 6 g. Fload fgehut,  fgehut,   q  jaslout    jaslout   dgsaf ogba   jge   r  jaslout  sasg    sasg  cltacg   o  jaogba kfld   g. 72

 

pksatai   g   jge jge   o. Plr Plrtgmg tgmg-tgm -tgmg, g, jaOucta.   Jaolracge slogrgeb oafgebge oufgt pksatai   tuehuccge lcsastlesa jgra pgsgebge (q, (q, r). Japlrdgtacge ogdwg gjg > cgsus ygeb muebcae ygatu  ygatu   g 6 o,   g  = o  =  o  gtgu  gtgu   g 5 o. 7. Cgsus   g 5 o. Ja Japa pafa fad d   q   q   = 0 jge   r   =   o 6 g, japlrkfld (q, (q, r ) = ( 0, 0, o) mlmleuda ckejasa  ckejasa   o  = gq   =  gq  + r  +  r   jge jge r  r 6 g. ?. Cgsus   g   =   o. Ja Japa pafa fad d   q   (q, r ) = ( 7, 7, 0) q   = 7 jge   r   = 0   6 g, japlrkfld (q, mlmleuda ckejasa  ckejasa   o  = gq   =  gq  + r  +  r   jge jge r  r 6 g. >. Cgsus   g 6 o. Japlrdgta Japlrdgtac cge ogd ogdwg wg tlrjgp tlrjgpgt gt oafgebg oafgebge e ouf oufgt gt pksatai  pksatai   e   sldaebbg  eg 5 o. o. Jap Japafa afad d   q   q   oafgebge oufgt pksatai tlrclnaf jlebge saigt (q  ( q  +  +

 ≪ o o.. Japafad r Japafad r =  = o  o ∟gq . Japlrkfld (q, (q, r ) mlmleuda ckejasa o ckejasa  o  = gq   =  gq  + r  +  r jge  jge 0 ≪  r 6 g.

7) 7)g g 5 o, mgcg olrfgcu qg olrfgcu qg

^lfgehuteyg, gcge jatuehuccge cltuebbgfge pgsgebge (q, (q, r) tlrslout. Jagejgacge (q ‿ , r‿ ) mlmleuda ckejasa o ckejasa  o =  = gq   gq ‿ + r‿  jge 0  r ‿   6 g. Japlrkfld gq  Japlrkfld  gq + + r  = gq   =  gq ‿ + r ‿ , lcuavgfle jlebge g jlebge  g((q  q ‿ ) =  r ‿ r, ygeb olrgrta g olrgrta  g r‿ r . Gcaogteyg r ‿ r  g

∟

 ≪

∟

| ∟  | ∟ | ≬ gtgu |r ‿ ∟ r|  = 0. Cgrleg 0 ≪  r, r‿ ≪ g  g,, mgcg |r‿ ∟ r |  6 g. Japlrkfld |r ‿ ∟ r|  = 0,

grtaeyg   r‿   =  r, grtaeyg  r , sldaebbg olrgcaogt q  olrgcaogt  q  =  = q   q ‿ .

 



  707? mlmafaca   ?>7?  mlmafaca sasg ygeb sgmg  Nketkd ?.>.?.  Jacltgdua oafgebge  70 j + r,  + r, uetuc sugtu oafgebge oufgt  oufgt   q 7 , q ?   jge jge   q >. Japlrkfld

∟ q  )j   = (q  ∟ q  )j   = (q  ∟ q  )j   = (q ?

7

>

7

>

?

∟ 707? ∟ 707? ∟ 7:72 = 41< = .>.  Jaolracge oafgebge oufgt pksatai  e. jaogba kfld ? tltgpa tajgc dgoas jaogba kfld :. e

Pleylflsgage.   Japlrdgtacge ogdwg >?

mlrupgcge mlrupgc ge oafgeb oafgebge ge bgehaf bgehaf,, sldaebb sldaebbgg

e

e

japlrkfld >? + 7 oafgebge oafgebge blegp, yg ygeb eb olrgrta dgoa dgoass jaogba kfl kfld d ?. Cgrl Cgrleg eg > ? = e∟7

(>?)?

e∟7

= 1?

e∟7

= (4 + 7)?

, mgcg olrjgsgrcge tlkrlmg Oaekmagf Elwtke8





 

m m∟7 m m∟? ?  m (x + y  + y))m =  x m + x y + x y + . . . + xym∟7 + y m , 7 ? m 7

∟

jlebge mlebgmoaf  mlebgmoaf   m  = ?e∟7 , x = 4 jge  jge   y  = 7 japlrkfld e∟7

(4 + 7)?

e∟7

= 4?

 

?e∟7 ? + 4 7 e∟7

e

Gcaogteyg >? + 7 = (4 + 7)?

e∟7

 





e∟7   ?e∟7 ∟7 + ? 4m∟? + . . . + e∟7 4 + 7. 7. ? ? 7

∟

+ 7 = (4C  (4C  +   + 7) + 7 = :(?C  :(? C ) + ? uetuc sugtu e

oafgebge oufgt pksatai  C   C . Hgja, >? +7 dgoas jaogba kfld? tltgpa tajgc dgoas jaogba kfld :.

 



Gfbkratmg Gfbkra tmg Plmogba Plmogbage ge tajgc dgeyg olrfgcu uetuc oafgebge oufgt pksatai  sghg, tltg tltgpa pa jgpgt japlr japlrfugs fugs uet uetuc uc oafgeb oafgebge ge oufgt. Ouc Oucta ta jas jaslrgd lrgdc cge slogbga fgtadge.

̴ 

oufgt   g   jge   o   ( g = 0), tlrjgpgt jlebge  Zlkrlmg ?.>.:.  \etuc sltagp oafgebge oufgt   tuebbgf pgsgebge oafgebge oufgt eke-elbgtai   eke-elbgtai   (q, r )   jlebge saigt   o   =   gq  + r  +  r   jge 

 ≪ r 6 |g|.

0

?.: ?. :

Oafg Oafgeb ebge ge Pram Pramg g Pgjg ogbage aea jahlfgscge mleblega ckeslp oafgebge pramg jge oafgebge

ckmpksat. p 5  7 jacgtgcge   7  jacgtgcge  pramg    hacg uetuc sltagp oafgebge  Jl﬇easa ?.:.7.  Oafgebge oufgt   p   pramg  hacg

̴ 

̴| 

oufgt  j  j  jlebge   j j 5  7,  7 , j =  p olrfgcu   p  olrfgcu   j j  p  p.. Oafgebge oufgt  e  e 5  7  7 ygeb  ygeb tajgc pramg  jacgtgcge   ckmpksat .

71

 

Japlrdgtacge ogdwg sltagp oafgebge oufgt e oufgt  e 5  7 mlmpueyga sltajgceyg sgtu igctkr igctkr pra pramg. mg. \e \etuc tuc   e   pramg, igctkr pramgeyg gjgfgd   e   slej slejara ara.. \e \etuc tuc e   oucge oucge pramg, masgf masgfc cge   g  gjgfgd igctkr pksatai tlrclnaf jgra   e. Japlr Japlrkf kfld ld   g mlrupgcge mlrupgc ge oafgebg oafgebge e pramg, slogo hacg hacg   g   oucge oucge pramg, mgc mgcgg   g   =   g7g?   uetuc sugtu 7   g7 , g?   6 g   jge jge   g7 e, cketrgjacsa jlebge igctg ogdwg  ogdwg   g  igctkr pksatai  tlrclnaf jgra e jgra e.. Olracut jaolracge sugtu saigt ygeb olrmgeiggt jgfgm mleletucge

 ≪

|

sugtu oafgebge gjgfgd pramg gtgu tajgc. Jaolracge oafge oafgebge bge oufgt   e 5   7. Hacg   e   ckmpksat, ckmpksat, mgcg   e Zlkrlmg ?.:.?.   Jaolracge

 ∘ 

mlmafaca igctkr pramg ygeb curgeb jgra gtgu sgmg jlebge  e. ckmpksa mpksat. t. Oucta.   Jacltgdua   e   ck

Mas Masgfc gfcge ge   e   =   go   uetuc uetuc sugt sugtu u   g, o   jlebge

  ≪   o   jge   g  igctkr pksatai tlrclnaf jgra   e.  ∘  daebbg japlrkfld  japlrkfld   g ≪ e.

7 6 g

Japlrk Japlrkfl fld d   e   =   go  

?

  ≬   g , sl-



Japlrdgtacge ogdwg ? mlrupgcge oafgebge pramg blegp jge slmug oafgebge blegp fload jgra jug mlrupgc mlrupgcge ge oafgebge ckmpksat. Oafgeb Oafgebge ge pramg ygeb fgae mlrupgcge mlrupgcge oafgebge bgehaf. Oafgeb Oafgebge-oaf ge-oafgebge gebge pramg ygeb curgeb jgra , , 72, 71, ?>, ?1, >7, >2, :7, :>, :2.   oafgebge pramg ygeb mlmleuda   p + q   + q  =   = ?07> Nketkd ?.:.>.  Jacltgdua   p   jge   q  oafgebge jge   p 5 q . Zletucge eafga jgra   p

∟ q .

jagetgrg  p   jge jge   q  oafgebge   oafgebge blegp Pleylflsgage.  Japlrdgtacge ogdwg sgfgd sgtu jagetgrg p slogo hacg cljugeyg bgehaf gtgu cljugeyg blegp, mgcg   p + q   +  q    blegp, cketrgjacsa jlebge igctg ogdwg  ogdwg   p + q  =   = ?07> oafgebge bgehaf. Cgrleg oafgebge pramg blegp dgeyg ? jge   p 5 q , mgcg japlrkfld   q  = q  = ?, sldaebbg jajgpgt  jajgpgt   p   = ?077. ?077. Japlr Japlr-dgtacge ogdwg ?077 tajgc dgoas jaogba kfld slogrgeb oafgebge pramg ygeb curgeb

∘  jgra ?077, ygatu ?,>,,,72,71 >,72,71,?>,?1, ,?>,?1,>7,>2, >7,>2,:7 :7 gtgu :>. Hgja, ?077 mlrupgcge oafgebge pramg. Gcaogteyg japlrkfld  japlrkfld   p ∟ q  =   = ?077 ∟ ? = ?001.    ∟

∟

 e  jlebge saigt   >e > e :, :e < Nketkd ?.:.:.  Zletucge slmug oafgebge oufgt pksatai  e jlebge jge    mlrupgcge oafgebge pramg.

Japlrdgta dgtac cge ogd ogdwg wg hum humfgd fgd cl cltab tabgg oaf oafgebg gebge e tlrs tlrslout lout gjgfgd gjgfgd Pleylflsgage.   Japlr oafgebge oafgeb ge blegp, mgc mgcgg sltajgc sltajgcey eygg sgfgd sgtu jage jagetgrgey tgrgeygg mlrupgc mlrupgcge ge oafgeb oafgebge ge ?0

 

blegp. ^gtu-sgtueyg oafgebge pramg blegp gjgfgd ?. Jgra cltabg oafgebge tlrsl-

∟

∟

∟

out, dgeyg >e >e : jge e > e : = ?, japlrkfld   e  = ?. \e japlrkfld \etuc tuc c cgsus gsus . ?. Jac Jacltgdua ltgdua   p  j  jge ge   p + ? gjgfgd oafgebge pramg ygeb fload olsgr jgra >. Zletucge sasg jgra  jgra   p  cltacg jaogba kfld 9. >. Zletuc letucge ge oafgebge oufgt pksatai   e  tlrolsgr sldaebbg e sldaebbg  e + 70 dgoas mlmogba e> + 700. :. Zuehuccge ogdwg ue uetuc tuc sltagp oafgebge oufgt pksatai  e olrfgcu  e  olrfgcu e  e< +: +:e e

∟

dgoas jaogba kfld 7?0.

:x >:x

∟ m? e? = >0 >0e e? + e? + :e :e + < 77. Zletuc letucge ge slmu slmugg oafgebg oafgebge e oufgt oufgt   e  ygeb mlmleuda   oafgebge ?e + 7 oufgt. 7?. (g) Zuehu uehucc ccge ge ogdwg ogdwg hac hacgg oafge oafgebge bge oufg oufgtt   g   jge jge   o  olrsasg 7 cltacg jaogba kfld :, mgcg  mgcg   go go olrsasg  olrsasg 7 cltacg jaogba kfld :.

∟

(o) Zuehuccge gjg tgc daebbg ogeygce ogeygceyg yg oafgebge pramg olroletuc :c :c 7. 7>. Zletuc letucge ge slmug pgsgebge oa oafgebge fgebge pramg olroljg (( p,  p, q ) sldaebbg sldaebbg p? +2 +2 pq   pq + q ? mlrupgc mlrupgcge ge oafgebg oafgebge e cugjrgt slmpureg.

?>

 

OGO AAA IGCZK_A^G^A P_AMG

>.7 >. 7

Plejg lejgd dufug ufuge e ^logbga clfgehutge jgra ckeslp oafgebge pramg jge cltlrogbage, pgjg ogbage

aea jaogdgs mleblega igctkrasgsa pramg pgjg oafgebge oufgt jge gpfacgsaeyg uetuc mleletucge mleletucge ogeygc igctkr jge humfgd igctkr sugtu oafgebge oufgt. Mgtlra aea jasgmpgacge pgjg   Maebbu cl-<   jge   9. Jlebge mlmplfghgra ogo aea, jadgrgpcge8 7. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlfgcuc mlfgcucge ge igctkrasgsa pramg slogrgeb oafgebge oufgt. ?. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mleletuc mleletucge ge ogeygc igctkr oafgebge oufgt >. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mleletuc mleletucge ge humfgd igctkrigctkr-igctkr igctkr oafgebge oufgt :. Mgdgsas Mgdgsaswg wg oasg mlelrgpc mlelrgpcge ge saigtsaigt-saigt saigt igctkrasgs igctkrasgsaa pramg mgsgfgd oafgebge oufgt

>.?

Zlkrlmg lkrlmg Iuejgml uejgmle etgf Gratmg Gratmgtac tac ^gfgd sgtu saigt jgsgr jgra tlkra oafgebge tlrcgat jlebge igctkr pramg jaolracge

slogbga olracut. Zlkrlmg >.?.7  (Zlkrlmg Iuejgmletgf Gratmgtac).  ^ltagp oafgebge oufgt   e 5  7

jgpgt jaeygtgcge slogbga plrcgfage oafgebge-oafgebge pramg slngrg tuebbgf. oufgt   e 5  7. Plrtgmg-tgmg, gcge jatuehuccge lcsasOucta.   Jaolracge oafgebge oufgt  tlesaeyg. Masgfcge p Masgfcge  p 7  igctkr pramg jgra  jgra   e. Hacg  Hacg   p7   =  e,  e , mgcg  mgcg   e  = p  =  p 7  mlrupgcge igctkrasgsa pramg jgra   e. Ha Hac cg   p7   6 e, mgcg   e   =   p7 r7   jlebge  jlebge   r7   5   77.. Hac Hacg   r7 pramg, mgcg e mgcg e =  = p  p 7 p?  jlebge  jlebge p  p?  = r  =  r 7  mlrupgcge igctkrasgsa ygeb jamgcsuj. Hacg r7  ckmpksat, mgcg  mgcg   r7   =   p?r?   jlebge  jlebge   p?  pramg jge  jge   r?   5  7, sldaebbg  sldaebbg   e   =   p7 p? r? . Hacg   r?   pramg, mgcg  Hacg mgcg   e   =   p7 p? p>   jlebge  jlebge   p>   =   r>  mlrupgcge igctkrasgsa ygeb jamgcsuj. Hacg r Hacg  r ?  ckmpksat, mgcg slngrg rlcursai japlrkfld ograsge oafgebge oufgt

?:

 

 ≬ 7. ^ltlfgd slhumfgd fgebcgd, japlrkfld  japlrkfld   p

r7   5 r?  5 . . .

c+7  =

7, sldaebbg jajg-

pgt e pgt  e =  = p  p 7 p? . . . pe  mlrupgcge igctkrasgsa ygeb jamgcsuj. ^lfgehutey ^lfgehu teyg, g, gcge gcge jatuehu jatuehucc ccge ge cltue cltuebbgfgee bbgfgeeyg. yg. Jagsum Jagsumsac sacge ge   e   mlmafaca jug igctkrasgsa pramg olroljg, ygatu8 e  = p  =  p 7 p? . . . pc   =  q 7q ? . . . qd  jamgeg   p7 , p? , . . . , pc , q 7 , q ? , . . . , qd    oafgebge pramg jlebge   p7

  ≪   p   ≪   . . .  ≪   p ?

c

 ≪   q   ≪   . . . ≪   q    sldaebbg  sldaebbg   c-tuplf ( p ( p , p , . . .) .) tajgc sgmg jlebge  jlebge   d-tuplf (q  , q  , . . . , q   . Hl Hlfg fgss ogd ogdw wg   c, d  ≬   ?. Mas Masgfc gfcge ge   e  mlrupgcge oafgebge tlrclnaf

jge   q 7 jge 7

?

?

d

7

?

d

ygeb mlmafaca jug igctkrasgsa pramg. Gcge jatuehuccge tlrhgja sugtu cketrgjacsa

jlebge mlelmucge oafgebge ygeb fload clnaf jgra e jgra  e ygeb  ygeb mlmafaca jug igctkrasgsa pramg.

̴ 

Japlrdgtacge ogdwg   pa =   q  h   uetuc sltagp   a   = 7, ?, . . . , c , h   = 7, ?, . . . , d  d   slogo  hacgg gjg ygeb sgmg, masgfcge  hac masgfcge   pc   =   q d   =   p, mgcg   e‿   =   e/p   =   p7 p? . . . pc∟7   = q 7 q ? . . . qd  ∟7  jge 7 6 7  6 e‿   6 e, cketrgjacsa jlebge igctg ogdwg  ogdwg   e  oafgebge tlrclnaf yg ygeb eb mlm mlmafa afaca ca jug igc igctkra tkrasgsa sgsa pramg olroljg olroljg.. Zgepg mleb mleburge urgeba ba cl clum umumge umge,,

 ≪ q  . Olrjgsgrcge Gfbkratmg Plmogbage japlrkfld8

masgfcge   p7 masgfcge

7

q 7   =   p7n7 + r  +  r7 q ?   =   p7n? + r  +  r? .. . q d   =   p7nd + r  +  rd

 ≪ r   6 p , a = 7, . . . , d.d. Japlrkfld ogdwg

jlebge 7

a

7

e  = q   =  q 7 q ? . . . qd    = ( p7 n7 + r  +  r7 )( )( p  p7n? + r  +  r? ) . . . ( p7 nd + r  +  rd ) Jlebge Jle bge mleh mlehgogr gogrc cge olet oletuc uc pgjg rugs cgege plrsg plrsgmgg mgge e tlrs tlrslout lout japlr japlrkfl kfld d e   =   mp7  + r  +  r 7 r? . . . rd   uetuc sugtu oafgebge oufgt   m. Jleb Jlebge ge mleb mlebgm gmoaf oaf   e‿   = r7r? . . . rd, mgcg japlrkfld   e   =   p7 p? . . . pc   =   p7 m  + e  +  e ‿ . Japl Japlrkfl rkfld d ogd ogdwg wg   p7 e‿ ,

|

ygeb grtaeyg e grtaeyg e‿   =  p 7 s  uetuc sugtu oafgebge oufgt s oufgt  s.. Olrjgsg Olrjgsgrc rcge ge plmouctage lcsastlesa igctkrasgsa pramg japlrkfld s japlrkfld  s jgpgt  jgpgt jatufascge slogbga plrcgfage oafgebgeoafgebge oafgeb ge pramg, cgtgc gtgcge ge   s   =   s7 s? . . . sa   jlebge   s7, s? , . . . , sa   oafgebge oafgebge pramg. Ja fga fgae e pad padgc, gc, jleb jlebge ge mleb mlebbueg buegc cge igc igctkra tkrasgs sgsaa   r7 , r? . . . , rd   slogbga plrcg plrcgfage fage oafgebge-oafgebge pramg, japlrkfld   e‿   =   t7 t? . . . t h   jlebge  jlebge   t7 , t? , . . . , t h   oafgebge ?<

 

pramg. Japlrdgta Japlrdgtac cge ogdw ogdwgg   tu   6 p7   uetuc sltagp  sltagp   u   = 7, ? . . . , h, h , sldaebbg igctkrasgsa   e‿   =   t7 t? . . . t h  olroljg jlebge   e‿   =   p7 s7 s? . . . sa . Gc Gcge ge tl tltgp tgpaa   e‿   6 e, cketrgjacsa jlebge igctg ogdwg e ogdwg  e oafgebge  oafgebge tlrclnaf ygeb mlmafaca jug igctkrasgsa pramg olroljg.

 



Olrjgsgrcge Zlkrlmg >.?.7, japlrkfld ogdwg sltagp oafgebge oufgt  e 5 7 jgpgt jatufascge slngrg tuebbgf jgfgm oletuc e  = p  =  p η7 7  pη? ?  . . . pηc

c

jlebge p jlebge  p 7 , p? , . . . , pc  oafgebge pramg olroljg jge η jge  η 7 , η? , . . . , ηc . _lprlsletgsa aea jaegmgcge   igctkrasgsa pramg   (igctkrasgsa cgekeac  ) jgra  jgra   e. m < + >m: Nketkd >.?.?.   Zuehuccge ogdwg   m sltagp oafgebge oufgt pksatai   m   jge   e.

>

∟ >> uetuc   uetuc 

Pleylflsgage.  Japlrdgtacge ogdwg

m< + >m >m:

>

?

∟ > jgpgt jaeygtgcge slogbga plrcgfage mgcsamgf slogeygc lmpgt

∟

∟

∟

oafgebge oufgt olroljg, ygatu >> = ( 77)( >)7( 7). Olrjgsgrcge Zlkrlmg Iuejgmletgf Gratmgtac,  Gratmgtac,   m< + >m:

>

∟ slogo >> jgpgt

jaeygtgc jae ygtgcge ge slogbga plrcgfag plrcgfage e mgcsam mgcsamgf gf sloge slogeygc ygc lmpgt oafgeb oafgebge ge oufgt olroljg, sljgebcge m sljgebcge  m < + >m:

>

?

70:+?e = :4? +?e . Japlrkfld ?e =  c ? :4? = (c :4)(

∟

Olrjgsg Olr jgsgrc rcge ge cl cltueb tuebbgf bgfge ge jgra igct igctkras krasgsa gsa pra pramg, mg, japlr japlrkfl kfld d c

∟

 ∟   :4

= ?s jge

c +:4 = ?t uetuc sugtu oafgebge oufgt pksatai  s,  s, t  jlebge  jlebge s  s + t  = e  =  e.. Japlrdgtacge ogdwg ?t

s

∟?

= 19 = >. >.?< gtgu ?s (?t∟s

∟

<

∟ 7) = >.>.? . Olrjgsgr Olrjgsgrc cge cltuebbgf cltuebbgfge ge jgra

igctkrasgsa pramg, japlrkfld s japlrkfld  s =  = .?.:.   Jaolracge oafgebge oufgt   g   jge   o. Hacg oafgebge pramg   p  mlm-

ogba    go, ogba  go, mgcg   p  mlmogba   g  gtgu   p  mlmogba   o.

|

Cgrleg p go go,, mgcg p mgcg p dgrus  dgrus muenuf pgjg igctkrasgsa pramg jgra go jgra go.. Cgrleg Oucta.   Cgrleg p igctkrasgsa pramg jgra g, jgra g, o jge  jge go  go tuebbgf  tuebbgf jge igctkrasgsa pramg jgra go jgra go mlrupgcge  mlrupgcge plrcgfage igctkrasgsa pramg jgra   g   jge jge   o, mgcg  mgcg   p  dgrus muenuf sltajgceyg pgjg

|

|

sgfgd sgtu igctkrasgsa pramg jgra  jgra   g  gtgu  gtgu   o, ygeb olrgrta  olrgrta   p g  gtgu  gtgu   p o.

 



Jl﬇easa >.?..?.9.  Zletucge igctkr tlrolsgr jgra 7007007007 ygeb curgeb jgra 70000. Pleylflsgage.  Japlrdgtacge ogdwg

7007007007 = 7007 709 + 7007 = 7007(709 + 7) = 2 77 7> (709 + 7). 7).

²

² ² ²

Cgrleg x9 +7 = (x (x? )> +7 = (x (x? +7)( +7)(x x: x? +7), mgcg japlrkfld 709 +7 = 707 1107.

² ² ²

²

∟

²

Hgja, 7007007007 = 2 77 7> 707 1107. Jgpgt janlc ogdwg igctkr tlrolsgr jgra 7007007007 ygeb curgeb jgra 70000 gjgfgd 1107.

 



e

70?:

Nketkd >.?.2.  Zletucge oafgebge oufgt pksatai   e  ygeb mlmleuda   ?

∬> ∟ 7.  +  y)( )(x ∟ y = (x + y x ∟ y ), ?

jge   x? Pleylflsgage.  Japlrdgtacge ogdwg ?7 0 = 70?: jge  sldaebbgg japlrkfld sldaebb 70

>?

1

1

= (>? + 7)(>? 1

∟ 7) = (> 4

?1

4

4

+ 7)(>? + 7)(>? 2

7

∟ 7)

0

=   . . .  = (>? + 7)(>? + 7)(>? + 7) . . . (>? + 7)(>? + 7)(>

∟ 7)7)..

c

Olrjgsgrcge Nketkd ?.>.>, ? >? uetuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   pksatai   c. Hgja,

∬

 hgwgogeeyg  hgwgogee yg gjgfgd 1 + ? + 7 = 7?.

 

?2



 

Olrjgsgrcge Zlkrlmg >.?.7, japlrkfld ogdwg sltagp oafgebge oufgt jaogebue kfld oafgebge-oafgebge oafgebge-oafgebge pramg. Cgrleg pletaebe pletaebeyg yg ckes ckeslp lp oafgebge pramg, ogeygc plelfata tlfgd mlmnkog mlelmucge rumus lcspfasat jgra oafgebge-oafgebge pramg. Egmu Egmue, e, slhgud aea usgdg tlrslout olfum olrdgsaf. ^gfgd sgtu dgsaf ygeb ygeb japlrkfld Bkfjognd jgfgm plelfatageeyg tlrcgat oafgebge pramg jaolracge slogbga olracut.  e  tajgc gjg pkfaekmagf  p(  p (x)  jlebge  Zlkrlmg >.?.4.  \etuc sltagp oafgebge oufgt  e ckl﬇sale oufgt jlebge saigt  p(  p (e)  mlrupgcge oafgebge pramg uetuc sltagp oafgebge 

 ≬ m  m..

oafgt   e

Jaolracge ge oafgebge oufgt   m. Oucta.   Jaolrac

Jage Jagejga jgac cge tlrjgp tlrjgpgt gt pkfae pkfaekm kmag agff yg ygeb eb

mlmleuda ckejasa tlrslout, cgtgcge P ( P (x) =  g c xc + gc∟7 xc∟7 + . . . + g  + g7x + g  + g0

̴ 

jlebge   gc , gc∟7 , . . . , g0  oafgebge oufgt jge  jlebge jge   gc = 0.

Japlrkfld   p(m) =  p  oafgebge pramg. Japlrdgtacge ogdwg Japlrkfld  + pa)) =  g c (m + pa  + pa))c + gc∟7 (m + pa  + pa))c∟7 + . . . + g  + g7 (m + pa  + pa)) + g +  g0  p(  p(m + pa

jge uetuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   a  olrfgcu

   

 h  h m h ∟7 ( pa)  pa) + m h ∟?( pa  pa))? a ?  h + . . . + m( pa)  pa) h ∟7 + ( pa ( pa)) h  h 7

(m + pa  +  pa)) h =   m h +

 ∟

 h

 h

m clfapgtge jgra  jgra   p, uetuc sltagp  sltagp   h   = 7, ?, . . . , c. c. Japlr Japlrkfld kfld og ogdw dwgg ((m m + pa  +  pa)) sldaebbg olrfgcu sldaebbg olrfgcu p  p((m + pa)  pa)  p(  p(m) mlrupgcge clfapgtge jgra p jgra  p.. Cgrleg p Cgrleg p((m) =  p,  p ,

∟

∟

mgcg japlrkfld p japlrkfld  p((m + pa)  pa) mlrupgcge clfapgtge jgra p jgra  p  uetuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   a. Olrjgsgrcge gsumsa japlrkfld ogdwg  ogdwg   p(m + pa  + pa)) pramg uetuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   a. Gcaogtey Gcaogteygg eafga ygeb muebcae uetuc uetuc   p(m + pa  +  pa)) gjgfgd

 ∟ p.  p. Japl Japlrdgt rdgtac acge ge ogdw ogdwgg tktgf gcg gcgrr p plrsg lrsgmgge mgge   p(x) = 0, p(x) =   p jge   p(x) = ∟ p pgfaeb jge  p  pgfaeb ogeygc >c >c. Gcaogt Gcaogtey eygg tlrjgpgt tgc daebbg ogey ogeygcey gceygg   a

0, p   gtgu

jlebge saigt   m  + pa  +  pa   oucge oucge skf skfusa usa jgra cl cltab tabgg plrsgmgge plrsgmgge tlrslo tlrslout. ut. Zlrhg lrhgja ja sugtu cketrgjacsa cketrgjacsa.. Hgja, uetuc sltagp oafgeb oafgebge ge oufgt oufgt   e, tajgc gjg pkfaekmagf  pkfaekmagf   p(x)

jlebge ckl﬇sale oufgt jlebge saigt p saigt  p((e) mlrupgcge oafgebge pramg uetuc sltagp ?4

 

 ≬ m  m..

oafgebge oafgeb ge oafgt oafgt   e

 



Rgfgupue olfum gjg rumus lcspfasat jgra oafgebge pramg, rgtg-rgtg ogeygceyg oafgebge pramg jagetgrg oafgebge oufgt tlfgd jacltgdua 700 tgdue ygeb fgfu. Igctg aea jaolrac jaolracge ge kfld Dgjgmgrj jge jl fg Ygffº llll Pkussae Pkussae pgjg tgdue 7419, ygatu8 π (e) fam  = 7 e↟∕ e/ fkb e jlebge   π (e) mlrupgcge ogeygceyg oafgebge pramg ygeb curgeb jgra gtgu sgmg jlebge jlebge   e. jlebge

>.> >. >

Oge Ogeygc Igctk gctkr r

\etuc sltagp oafgebge oufgt pksatai  e,  e , ogeygceyg igctkr pksatai jgra e jgra e jaektgsacge  jaektgsacge jlebge   ϊ ( jlebge ϊ (e). Hlfgs ogdwg ϊ ( ϊ (e) =

∗

7.

je

|

 =  p η7 7  pη? ?  . . . pηc   igctkr igctkrasgsa asgsa pram pramgg jgra   e, mgcg  Zlkrlmg >.>.7.  Hacg   e  = p c

ϊ (e) = (η7 + 7)(η 7)(η? + 7) 7 ) . . . (ηc  + 7) 7).. Oucta.   Japlrdgtacge ogdwg olrjgsgrcge igctkrasgsa pramg jgra   e, sltagp igc-

tkr pksatai jgra   e  olroletuc   po77  po??  . . . poc  , jlebge 0 c

 ≪   o   ≪   η , a

a

a   = 7, ?, . . . , c. c.

Japlrkfld ogeygcey ogeygceygg igctkr p pksatai ksatai jgra jgra e  e  sgmg jlebge ogeygceyg clmuebcaege eafga jgra o jgra  o7 , o? , . . . , oe . Cgrleg uetuc sltagp a sltagp  a,, gjg (η (ηa + 7) clm clmuebcae uebcaege ge uetuc o uetuc o a , mgcg japlrkfld ogeygceyg igctkr pksatai jgra e jgra e gjgfgd  gjgfgd (η (η7 +7)( +7)(η η? + 7) . . . (ηc +7). 

Zlkrlmg >.>.?.  \etuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   e  olrfgcu 

∋

j  = e  =  e

je

|

?1

ϊ (e)

?

.

 

Oucta.  Japlrdgtacge ogdwg

∋  ∋ ∋ ∋ ∋   ∋  ∋ ∋ ?

j

j

=

je

je

|

|

=

je

|

Hgja,

j  =

je

je

|

e j. j  =

 =  e j  = e

j

ϊ (e)

?

|

je

|

e j

ϊ (e) . e  = e  =  e ϊ (

je

|

.

je

|



 70 ?0 Nketkd >.>.>.  Zletucge plfugeb slogrgeb oafgebge japafad jgra igctkr pksatai  70 mlrupgcge clfapgtge   707> . Pleylflsgage.   Japl Japlrdgt rdgtac acge ge ogd ogdwg wg sltagp igc igctkr tkr pksat pksatai ai jgra 70?0 olroletuc

?g

  ≪   g, o   ≪   ?0, sljg sljgebc ebcge ge 70

= ?7> . Japlrk Japlrkfl fld d igct igctkr kr pksa pksa--

tai jgra igctkr pksatai 70?0 ygeb mlrupgcge clfapgtge 707> olroletuc ?g

?0

?0

mlrupgcge clfapgtge 707> gjgfgd

  9: . ::7

 



ϊ (e) Zlkrlmg >.>.:.  \etuc sltagp oafgebge oufgt pksatai   e  olrfgcu   ϊ (

 ≪ ?∘ e.

jgra   e  ygeb curgeb Oucta.   Masgfcge   j7   6 j?  6 . . . 6 jc   igctkr-igctkr pksatai jgra  jgra gtgu sgmg jlebge

 ∘ e. Japlrkfld ogdwg igctkr fgae ygeb tlrsasg gjgfgd e  e  e , ,..., . j7 j? jc

∘   ≪ ?c  ? c ≪ ?j  ? j  ≪ ? e.

Gcaogteyg japlrkfld  japlrkfld   ϊ (e)

c

>0

 



 

>.: >. :

Humf Humfgd gd Igctk gctkr r

\etuc sltagp oafgebge oufgt pksatai  e,  e , humfgd slmug igctkr pksatai jgra e jgra  e,, tlrmgsuc 7 jge  jge   e, jaektgsacge jlebge  jlebge   ώ (e). Hlfgs ogdwg ώ (e) =

∗

j.

je

|

 =  p η7 7  pη? ?  . . . pηc   igctkr igctkrasgsa asgsa pram pramgg jgra   e, mgcg  Zlkrlmg >.:.7.  Hacg   e  = p c

  pη7 7 +7 7  p cη +7 7   ...  . ώ (e) =  p7 7  pc 7

 ∟ ∟

c

 ∟  ∟

jgra   e  olroletuc Oucta.  Japlrdgtacge ogdwg sltagp igctkr pksatai jgra   pg77  pg??  . . . pcg

c

  oa

jlebge 0

  ηa , a   = 7, ?, . . . , c. c. ^ltagp ^ltagp igct igctkr kr pksata pksataii jgra jgra   e  muenuf tlpgt

 ≪  ≪

slcgfa pgjg plehgogrge plrcgfage (7 + p +  p7 + .  +  . . . + p  +  pη7 7  ) . . . (7 + p +  pc  + .  +  . . . + p  + pcη   ). c

Gcaogteyg japlrkfld ώ (e) = (7

+ p7 + .  +  . . . + p  + pη7 7  ) . . . (7 + p +  pc  + .  +  . . . + p  +  pηc c  )

  pη7 7 +7 7  p cη +7 7 =   ...  .  p7 7  pc 7

 ∟ ∟

c

 ∟  ∟



Nketkd >.:.?.  Zletucge humfgd slmug igctkr pksatai blegp jgra 70000. Pleylflsgage.   Japlrdgtacge ogdwg sltagp igctkr pksatai jgra 70000 olroletuc

?g