BUKU SISWA BARIS DAN DERET.pdf

Buku Siswa Barisan dan Deret

Mathematics

Pola adalah bentuk atau model (lebih abstrak, suatu set peraturan) yang bisa dipakai untuk membuat atau untuk menghasilkan suatu atau bagian dari sesuatu, khususnya jika sesuatu yang ditimbulkan cukup mempunyai suatu yang sejenis untuk pola dasar yang dapat ditunjukkan atau terlihat

. Dalam gambar 1.1 terbentuk pola barisan 3x6

Barisan Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tentu antara satu  bilangan dengan bilangan berikutnya U1, U2, U3, …, Un. Keterangan

:

U1 = suku pertama U2 = suku kedua U3 = suku ketiga Un = suku ke-n Contoh Barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1 Jawab : suku pertaman (U1)=1 , (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1

Barisan Aritmatika Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...  Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b) Un-Un-1 = b Contoh

23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7 2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4

Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal 1. Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab:  –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan  bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U 20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

2. Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut? Jawab : U3 = 36

⇔

a + (3-1) b = 36 ⇔ a + 2b = 36 …….

U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144

⇔

(1)

2a + 10 b = 144

⇔

a + 5b =72 ……

(2)

eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2) a + 2b = 36 a + 5b = 72 ————– -3b = – 36

⇔

b = 12

a + 2b = 36 a + 2(12) = 36

⇔

a + 24 = 36

⇔

a = 12

suku ke 100, U100 = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?  Rumus mencari nilai suku tengah

Contoh soal Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya! Jawab : Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk  m m+b m+2b m+3b m+4b … n

Contoh

Kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku. 10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda ( b)?

Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b

20 = 10 + 5b

⇔

 b = 2

⇔

DERET ARITMATIKA Deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika. Jadi suku-suku yang membentuk deret aritmatika adalah barisan aritmatika.

Misal, deret aritmatika adalah :

maka dan Jumlah

suku pertama deret aritmatika adalah :

Sekarang kita jabarkan rumus jumlah

suku pertama dari deret aritmatika.

atau Jadi rumus jumlah

suku pertama deret aritmatika adalah :

atau

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bias dicari menggunakan rumus berikut:

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku

dimana

maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

 Keterangan:  jumlah

suku pertama suku pertama

 beda suku ke-n  banyak suku suku tengah suku terakhir 

Contoh soal 1. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +.... Jawab:

Diketahui bahwa a= 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. S 100

=

x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

2. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:

Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, danU n= 99. Terlebih dahulu kita cari-n sebagai berikut ; U n=a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah : S n=

n (a + U  )

S 33 =

x 33(3 + 99)

= 1.683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

Sisipan Diantara dua bilangan yang diketahui dapat disisipkan sejumlah bilangan sehingga  bilangan-bilangan tersebut membentuk deret aritmatika atau barisan aritmatika. Misal diantara bilangan

dan

disisipkan

bilangan sehingga terbentuk deret

aritmatika dengan beda bilangan . Deret aritmatika yang terbentuk adalah :

Dari deret yang terbentuk ini dapat dituliskan suku ke- adalah

BARISAN GEOMETRI Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.

Perbandingan setiap dua suku berurutannya disebut rasio (r ). u1 = a u2 = u1. r = a. r  u3 = u2. r = ar.r = ar 2 u4 = u3. r = ar 2.r=ar 3 dan seterusnya

u1 u2 u3 u4 u5 2

a

4

ar ar ar ar

r

r=

3

=

r

r

=

=

r

=

Ket : a =u1 = suku pertama u2 = suku kedua un = suku ke- n r = rasio Bentuk umum suku ke– n barisan geometri dituliskan sebagai berikut: n-

Un= ar  ,

Contoh :

1. Tentukan rasio dari 1,2,4,8,16,32.... Jawab : 1, 2, 4, 8, 16, ... u1 u2 u3 u4 u5 u6

r=

=

=2

r=

r=

r=

=

=

=2

=2

2. Tentukan suku pertama ,rasio, suku ke 6 dan rumus suku ke-n pada barisan-barisan geometri berikut ini 27,9,3,1,...,.... Jawab : 27, 9, 3,1 u1 u2 u3 u4 

suku pertama (u1) = 27



rasio =



=

=

suku ke-6 (u 6) Un= ar n-1 u6 = ar 5 = 27.

)5

= 27 . = Un = ar n-1 = 27.

)n-1

Deret geometri Jika U1, U2, U 3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = ar n–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama. Sn = U1 + U2 + ... + Un Sn = a + ar + ... + ar n–2 + ar n–1 .............................................. (1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh : rSn = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n–1 + ar n ................................... (2) Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh; ar + ar2  + ar 3 + ... + ar n–1 + ar 

rSn =

Sn =

a+

ar + ar + ar + ... + arn–    -

rSn -  –a + ar n Sn = ↔( r-1)Sn =a(r n–1)

↔ Sn =

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

Sn =

, untuk r > 1

Sn =

, untuk r < 1

Keterangan: Sn = jumlah n suku pertama

a = suku pertama r = rasio n = banyak suku Apa yang terjadi jika r bernilai 1? Contoh Soal Deret Geometri : Tentukan jumlah dari deret geometri berikut. a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)  b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku) Pembahasan : a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

Sn =

↔ S8 =

= 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

 b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = Jumlah

deret

Sn =

sampai

↔ S6 =

6

suku

= 24(1-

pertama,

)=

Contoh Soal : Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukan : a. suku pertama;

(r < 1). berarti

n

=

6.

 b.rasio; c. banyak suku. Penyelesaian : Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363 a. Suku pertama: a = 3  b. Rasio: r = ... = .... = 3 c. Untuk Sn = 363 Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :

Sn =

↔ 363 = ↔ 726 = 3n+1 – 3 ↔ 3n+1 = 729 ↔ 3n+1 = 36 Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5. Contoh Soal : Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ... Jawaban : Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

Sn =  Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :

> 1.000 ↔ 4n > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh : log 4n > log 3.001 ↔ n log 4 > log 3.001

↔n> ↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma) Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6. 3. Deret Geometri Tak Berhingga Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak   berhingga. Perhatikan deret geometri berikut. a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

c. 1 +

+

+ ....

d. 9 – 3 + 1 –

+ .....

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga. Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2. Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio

masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan  jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen,  jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S ∞ .  Nilai S∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S n) dengan n mendekati tak   berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .

Karena

deret

konvergen

(|

r

|

<

1),

untuk 

n → ∞ m a k a rn  → 0 sehingga : Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

, dengan | r | < 1 Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 : Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

a. 1 +

+

+

+ ...

 b. Pembahasan :

a.1+

+

+

+

...

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :

 b.

Perhatikan deret 2 + 1 +

+

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.

+

+ ....

Jadi,

= 24 = 16.

Contoh dalam kehidupan; Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan  jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995) Jawaban : U0 = 10 m; r = 3/4. U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m

Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 ×

) = 10 + (2 ×

) = 10 + (2 × 30) = 70