Buku Ajar Statistik Terapan

BAB I PENDAHULUAN 1.1 PENGERTIAN ISTILAH STATISTIK DAN STATISTIKA Banyak sekali definisi tentang statistik, ini disebabkan karena luasnya ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik dapat diartikan secara sempit dan luas. Dalam arti sempit, statistik mempunyai fungsi menyajikan data tertentu dalam bentuk table dan diagram, statistik ini termasuk statistik deskriptif. Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, ratarata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear. Dalam arti luas, statistik berarti salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan data. Menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan. Statistik dalam arti luas ini disebut juga dengan istilah statistika ( statistics, statistik inferensial, statistik induktif, statistik probabilitas).

1.2 PERANAN STATISTIK Sejak dahulu statistika telah digunaka, dalam bidang biologi, farmasi, geologi, industri, kedokteran, pendidikan, psikologi, sosiologi, teknik danlainlain. Dunia penelitian atau riset dimanapun telah memanfaatkan dan bahkan harus menggunakan statistik untuk mendapatkan hasil yang diharapkan. Karena begitu meluasnya penggunaan statistika maka di bidang teknik khususunya teknik sipil dalam hal ini jalan tol menyadari pentingnya statistika

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

1

sebagai engineering tools yang dapat dipercaya. Disini statistika sebagai alat diantaranya : 1. Pengumpulan data yang baik baik secara poplasi maupun sampel. 2. Pengolahan data atau analisa data. 3. Penyajian data baik dalam bentuk laporan manajemen maupun teknis. 4. pengambilan keputusan atau perencanaan 5. evaluasi atau Pengawasan antara data yang dilaporkan dengan penyimpangan di lapangan 6. Melakukan pemecahan masalah teknis maupun manajerial.

1.3 RANGKUMAN Statistik deskriptif ialah susunan angka yang memberikan gambaran tentang data yang disajikan dalam bentuk table, diagram, histogram, poligon frekuensi, ogivve, ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil), ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik dan modus), simpangan baku, kurva normal, korealsi dan regresi linear.

Statistika induktif ialah salah satu alat untuk mengumpukan data, mengolah data, menyajikan. menganalisa data, menarik kesimpulan dan membuat keputusan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

2

1.4 SOAL-SOAL 1. Apa pengertian statistik dalam arti sempit dan dalam arti luas ? 2. Apa perbedaaan statistik dan statistika.? 3. Mengapa kita perlu statistic ? 4. Bagaimana peranan statistik dalam bidang teknik terutama teknik sipil? 5. Apa yang dimaksud dengn statistik deskriptif dan statistik induktif ?

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

3

BAB II PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA Untuk mendapatkan kumpulan data yang baik dan mencakup seluruh unit yang menjadi objek penelitian maka data statistik harus dapat dipercaya dan tepat waktu, sehingga informasi yang dikumpulkan sesuai dengan keadaan sebenarnya dan dengan metode serta cara yang tepat. Hal-hal yang perlu diperahatikan sebelum data dikumpulkan adalah sebagai berikut : 1. Harus diketahui untuk apa data itu dikumpulkan. 2. Harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki. Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, misalnya orang, organisasi atau badan usaha, barang dan lain-lain. Tujuan darI pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah elemen dan karakteristik elemen tersebut. Karakteristik adalah sifat-sifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemenelemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Nilai karakteristik suatu elemen

berupa

nilai

variabel.

Untuk

menunjukkan

suatu

variable

dipergunakan huruf misalnya: X, Y, Z dan sebagainya. Contoh : 3 perusahaan dengan X = modal perusahaan dalam jutaan rupiah, di mana X1 = 5, X2 = 7, X3 = 4, berarti perusahaan pertama mempunyai modal Rp 5 juta, perusahaan kedua Rp 7 juta, perusahaan ketiga Rp 4 juta.

2.1. POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah kumpulan elemen baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik dari sekelompok objek yang lengkap dan jelas. Sedangkan sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut teknik sampling. Data yang diperoleh dari hasil sampling

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

4

merupakan data perkiraan (estimate value). Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Data yang diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data sebenarnya (true value) atau parameter. Dibandingkan dengan sensus, pengumpulan data dengan cara sampling membutuhkan biaya lebih murah , waktu lebih cepat, tenaga lebih sedikit dan menghasilkan cakupan data yang lebih banyak serta terperinci. Dalam banyak hal pengumpulan data dengan cara sampling lebih disukai dengan pertimbangan biaya, waktu dan penelitian yang bersifat merusak objek. Jika n adalah jumlah elemen sampel dan N adalah jumlah elemen populasi, maka n modus 3. skued negatif, mean < modus

Koefisien Skunes =

mean  mod us Sd

Jika modus sulit ditemukan pada distribusi frekuensi tertentu, maka dapat digunakan rumus modus empiris untuk rumus diatas : Modus empiris = 3 median = 2 mean

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

75

Dengan demikian maka ;

mean  mod us mean  3median  2mean = Sd Sd

Koefisien Skunes =

=

Koefisien Skunes =

3mean  3median 3mean  median = Sd Sd

3(mean  median) Sd

Hasil perhitungan Koefisien Skunes dengan menggunakan cara ini akan memberikan kuantiats nilai dan arah dari skunes yang diberikan di dalam distribusi. Secara praktis nilai dari koefisien ini akan berada pada nilai -1 (skued negatif) dan +1 (skued positif). Untuk nilai distribusi simetris koefisien skunes = 0.

6.4 MOMEN Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik skunes dan kurtoris. Momen dari suatu distribusi adalah perhitungan menengah dari variasi pangkat deviasi cacah yang berupa bilangan. Untuk data dalam bentuk deretan individu, momen ke r di sekitar harga rata-rata di beri lambing µr, yang dinyatakan sebagai berikut : n

( X1  X ) µr =

i 1

n

r

(X  X ) =

r

n

Dengan r = 1,2,3,…

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

76

Dimana x1,

x2,x3, …xn adalah nilai kuantitas variable yang memenuhi

persamaan diatas. Untuk dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan hubungan sebagai berikut :

n

 fi( X 1  X ) µr =

r

i 1

n

 fi( X  X ) =

r

n

Dimana fi adalah frekuensi dari (1 < I < n) Jika nilai variable diketahui dalam bentuk kelas maka titik menengahnya diambil sebagai variable (x). Dari definisi maka :

µ1 =

(X  X ) 0  0 = =

n

n

Oleh karena penjumlahan cacah deviasi rata-rata adalah selamanya = 0. Untuk setiap distribusi µ1 = 0, maka,

µr = =

(X  X )

2

n

Pada dasarnya µ2 adalah Standard Deviasi pangkat dua (Sd2) atau = Varians.Dengan demikian untuk setiap distribusi µ2 = Varians. 6.5 KURTOSIS Untuk suatu distribusi walaupun sudah dapat ditentukan tendensi sentral, dispersi dan skunes, pada dasarnya belum diperoleh gambaran lengkap dari distribusi yang diberikan. Pada kenyataannya masih diperlukan satu lagi perhitungan yang menurut Karl Pearson disebut sebagai Kurva Flatness atau Kurva Convexity atau Kurva Kurtosis. Kurtosis dapat memberi gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva normal atau distribusi normal apakah itu berbentuk seperti lonceng ataukah landai seperti bukit, sehubungan dengan ini KarPearson memberi koefisien ß2. Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

77

Leptokurtik ß2 > 3 Normal (Mesokurtik) ß2 = 3 Platikurtik ß2 < 3

Koefisien kurtosis = ß2 = ( m4/m22 )

Dimana : m4 = momen 4 m2 = momen 2 Pengujian normalitas data dengan koefisie kurtosis persentil dihitung dengan rumus : K=

!/ 2( K 3  K1) P90  P10

Dimana = K3 = kuartil ketiga K1 = Kuarti kesatu P10 = Persentil kesepuluh P90 = Persentil ke – 90 Kriteria :

Jika K = 0,263 atau mendekati 0263 maka datanya berdistribusi normal atau mendekati distribusi normal. Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

78

6.6 RANGKUMAN Skunes berasal dari kata ketidaksimetrian atau tidak simetris suatu distribusi. Distribusi yang tidak simetris disebut sebagai distribusi skued. Distribusi skued positif adalah jika niali mean terbesar, nilai modus yang terkecil dan nilai median berada diantara nilai harga mean dan nilai modus. Distribusi skued negatif adalah jika nilai modus terbesar sedangkan nilai mean yang terkecil, sedangkan nilai median berada diantara modus dan mean

Koefisien Skunes =

3(mean  median) Sd

Momen adalah suatu perangkat yang digunakan untuk melakukan penelitian dalam statistik, yaitu untuk mempelajari distribusi statistik skunes dan kurtoris. Kurtosis dapat memberi gambaran tinggi rendahnya bentuk kurva normal atau distribusi normal apakah itu berbentuk seperti lonceng ataukah landai seperti bukit, sehubungan dengan ini KarPearson memberi koefisien ß2

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

79

6.7 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi skued? 2. Bagaimanakah hubungan antara mean, median dan modus pada distribusi skued positif dan skued negatif! 3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007 Kelas 1 2 3 4 5 6

Tanda Kelas (dalam ratusan) 17 28 39 50 61 72

Frekuensi 1 4 11 7 5 2

a. Hitung koefisien skunes distribusi frekuensi diatas. b. Bagaimanakah gambaran bentuk kurva normal dari distribusi frekuensi diatas.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

80

BAB VII DISTRIBUSI NORMAL Histogram seperti ditunjukan dalam contoh-contoh terdahulu tidak memberikan kesempatan pada kita untuk dapat mengadakan interprestasi secara seksama, oleh sebab itu fungsi tangga tersebut direalisasikan menjadi fungsi teoritis menurut suatu persamaan matematik tertentu. Didalam matematik statistik dikenal berbagai fungsi distribusi hasil pemeriksaan, dimana fungsi Distribusi Normal adalah yang sering digunakan. Distribusi Normal atau Distribuai Gauss ditemukan oleh Gauss dan dipublikasikan tahun 1809 hingga sekarang. Distribusi normal merupakan hukum probabilitas yang mendasari semua Variable Kontinu. Suatu variable random kountinu xi dikatakan berdistribusi normal dengan mean

dan

2

varians S . Apabila variable itu mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk :

 f .(x

).dx i 

1  1 S 2 .( x i .x ) 2

.e 2 .S 2 2 2 ( x i .x ) 11 S . S .e  f .(x i ).dx i  2 . i

Keterangan : xi = nilai variable ke i S2 = variansi S = standard deviasi = nilai rata-rata e

= 2,718



= 3,14

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

81

Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik yanng dinamakan kurva normal, seperti dibawah ini :

f (xi) 100 %

xi Dengan memperhatikan kurva kita peroleh sifat-sifat kurva, sebagai berikut : 1.

Harga Modus, yaitu harga sumbu x dengan kurvanya, maksimum terletak pada x =

.

2.

Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui

.

3.

Kurva normal mempunyai titik belok pada x =

4.

Kurva normal memotong sumbu mendatar secara ASIMITOSIS.

5.

Luas daerah diantara kurva normal dan sumbu mendatar = 1 atau

 S.

100% (secara singkat dikatakan luas kurva normal = 1) Luas bagian-bagian kurva normal merupakan harga probabilitas , yang akan mendapatkan harga xi yang membatasi luas bagian itu. Luas bagian-bagian kurva normal merupakan dapat dihitung dengan menghitung harga integral f (xi) dalam batas harga-harga x. Misalnya luas kurva normal seluruhnya, yaitu luas antara x = -  dan x = 

(x i .x ) 2 11 S . S .e adalah:  f .( x i ).dx i  2 . 2

Luas bagian kurva normal antara xi = a dan xi = b atau probabilitas harga x antara a dan b yang dapat ditulis P (a  x  b), adalah:

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

82

a

P . (a  x  b) =



f (xi) . dxi

b

Kurva normalnya, sebagai berikut:

f (xi)

a

b

xi

Integral ini selalu dapat dihitung dengan x dan S diketahui. Tetapi menghitung P (a  x  b) dengan cara integral fungsi diatas tidak praktis. Maka untuk itu ditemukan suatu cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan tabel luas kurva normal standard yang mempunyai

= 0 dan

S = 1 atau disebut “Distribusi Normal Standard ” Apabila suatu kurva normal dengan

 0 dan S  1 untuk menggunakan

tabel (Tabel A) maka skala kurva normal xi harus diubah menjadi skala zi (besaran random variable tidak berdimensi yang mengikuti distribusi normal dari GAUSS dengan x = 0 dan S = 1). Rumus :

zi 

xi x S

z dapat dilihat di tabel A Contoh : = 114, 435 kg/cm2 S

= 12,063 kg/cm2

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

83

Pa Pb

x

a = 100

b = 120

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (100  xi  120) kg/cm2 = Pa + Pb

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

Zb  

b  x 120  114,435   0,46 S 12,063

Pb = 0,1772 = 17,72%

2.

x

Pa

Pb

a=120

b=135 xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

12,063

84

P (120  xi  135) kg/cm2 = Pa - Pb

b  x 135  114,435   1,70 S 12,063

Zb  

Pb = 0,4554 = 45,54 %

Za  

a  x 120  114,435   0,46 S 12,063

Pa = 0,1772 = 17,72%

P (120  xi  135) = 45,54 % - 17,72 % = 27,82 % 3.

Pa

a = 100 x

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (xi  100) kg/cm2 = 50 % - Pa

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

P (xi  100) = 50 % - 38,49 % = 11,51% Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

85

4.

Pa

a = 100 x

xi kg/cm2

= 114, 435 S

=

12,063

P (xi  100) kg/cm2 = 50 % + Pa

Za  

a  x 100  114,435   1,20 S 12,063

Pa = 0,3849 = 38,49%

P (xi  100) = 50 % + 38,49 % = 88,49 %

7.1 CARA MEMBUAT LENGKUNG DISTRIBUSI NORMAL Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan dengan persamaan

(x i .x ) 2 1 .1  1 2 . .e S S f (x i )  Y  2 yi = Dapat Dilihat Pada Tabel B I = Interval Kelas

Lengkung Distribusi Normal :

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

86

f (xi) = Yi = I / S . yi

xi =

- zi . S

xi =

- zi . S

Menentukan ordinat lengkung Distribusi Normal dari Histogram yang diketahui. xi =

- zi .

zi

yi

Yi = I / S . yi

S 0 0,5 1 1,5 2

Keterangan : zi = Besaran random variable tak berdimensi yang mengikuti distribusi normal dan GAUSS dengan

= 0 dan S = 1 dalam urutan absis ke

i. yi = Ordinat dari fungsi distribusi normal dalam urutan absis ke i Yi = Dimulai dari 0 dan seterusnya, diambil dengan interval yang sama, semakin kecil interval zi semakin kecil teliti lengkung distribusi normal. Sehubungan bentuk lengkung distribusi normal adalah simetris, maka dalam pembuatan legkung distribusi normal cukup dihitung ordinatnya ½ bagian, yaitu untuk zi positif atau negative.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

87

=114, 435 kg/cm2, S=12,063 kg/cm2, I=8,720 kg/cm2 Contoh : ’ bi = xi Lengkung Distribusi Normal dan Histogram hasil pemeriksaan keteguhan tekan beton (benda uji kubus sisi 15 cm) sesudah 28 hari dengan campuran 1 : 2: 3 yang dilaksanakan di laboraturium Pengujian Bahan Politeknik UI dalam satuan kg/cm2. ’ bi =T’bm + zi . S (kg/cm2 ) ’ b1 = 114,435 + 0 . 12,063 = 114,435 ’ b2 = 114,435 + 0,5 . 12,063 = 120,4665 ’ b3 = 114,435 + 1 . 12,063 = 126,498 ’ b4 = 114,435 + 1,5 . 12,063 = 132,5295 ’ b5 = 114,435 + 2 . 12,063 = 138,561 ’ b6 = 114,435 + 2,5 . 12,063 = 144,5925 0,30

frekuensi

0,25

zi

yi

Yi = I / S . yi

0

0,399

0,5

0,352

1

0,242

1,5

0,1295

2

0,054

2,5

0,0175

Y1 = 8,72 / 12,063 . 0,399 = 0,29 Y2 = 8,72 / 12,063 . 0,352 = 0,25 Y3 = 8,72 / 12,063 . 0,242 = 0,17 Y4 = 8,72 / 12,063 . 0,1295 = 0,09 Y5 = 8,72 / 12,063 . 0,054 = 0,04 Y6 = 8,72 / 12,063 . 0,0175 = 0,01

0.29 0.25

0,20 0.017

0,15 0,10 0,05

0.09 0.04 0.01

0,00

114,435 120,467 126,498 132,530 138,561 144,593

keteguhan tekan beton (kg/cm2)

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

88

Luas antara lengkung Distribusi Normal dengan garis ’ bi = 1 atau 100%.Kalau dikembalikan lagi pada rumus keteguhan tekan beton karakteristik ’ bk = ’ bm – zi . S , dimana zi = 1,645 (dari tabel C). Pki

Pka

qi = ½ . (100 – Pi)

Pi

qi

qi ’ bki = ’ bm – zi . S x = ’ bm

’ bka = ’ bm + zi . S

Nilai zi = 1,645 disebabkan resiko terjadinya keteguhan tekan beton yang kurang dari harga karakteristik q = 5 %, maka prosentasi jatuhnya hasil pemeriksaan Pi = 90 %. Pi (’ bki  ’ bi  ’ bka) kg/cm2 = Pki + Pka

 b ki   b m  z i .S  114,435  1,645.12,063  94,591kg cm 2

 b ki   b m  z i .S  114,435  1,645  12,063  134,279 kg cm 2 Pi (94,59  ’ bi  134,279) kg/cm2 = Pki + Pka

z ki  

 b ki   b m 94,591 114,435   1,645 S 12,063 Pki = 0,4505

= 45,05 %

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

89

z ka  

 b ka   b m 134,2791 114,435   1,645 S 12,063 Pka = 0,4505

= 45,05 %

Pk i  Pk a Pi

(94,59



’

bi



kg/cm2

134,279)

 45,05%  45,05%  90,10%  90%

q i  1 2 .(100  Pi )%  1 2 .(100  90)%  5% 7.2 RANGKUMAN Distribusi normal merupakan hukum probabilitas yang mendasari semua Variable Kontinu. Suatu variable random kountinu xi dikatakan berdistribusi normal dengan mean

dan varians S2.

Garis lengkung yang menggantikan suatu histogram dinyatakan dengan persamaan

(x .x ) 2 1 .1  1 2 . i .e S S f (x i )  Y  2

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

90

7.3 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi normal? 2. Bagaimanakah cara membuat distribusi normal? 3. Data volume kendaraan pada ruas jalan tol jakarta-bogor-ciawi untuk 30 hari kerja pada pukul 07.00 s/d 09.00 pada bulan agustus september 2007 Kelas 1 2 3 4 5 6

Tanda Kelas (mi) (dalam ratusan) 17 28 39 50 61 72

Frekuensi 1 4 11 7 5 2

c. Gambarkan distribusi normal dari distribusi frekuensi diatas. d. Hitung persentase distribusi -

(xi < 60)

-

(xi > 60)

-

(30>xi > 60)

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

91

BAB VIII ANALISIS REGRESI Salah satu tujuan analisa data ialah untuk memperkirakan /memperhitungkan besarnya efek kuantitatif atau hubungan dari perubahan suatu variable lainnya. Contoh nyata dari hubungan tersebut dalam kehidupan sehari – hari antara lain : 1. Besarnya biaya perawatan kendaraan sebagai akibat dari banyaknya kilometer yang sudah dijalani. 2. Banyaknya perjalanan perhari yang dilakukan suatu rumah tangga sebagai akibat dari pemilikan kendaraan dan jumlah orang dewasa di dalam rumah tangga tersebut. 3. Produktifitas kerja dalam taraf tertentu tergantung pada efisiensi dan efektivitas kerja. Berdasarkan contoh diatas terlihat mana : 1. Variabel Bebas : yang mempengaruhi → Independent variable/variable predictor → lambang “x” 2. Variable terikat → yang dipengaruhi → dependent variable/variable kriterium → lambang ”y” Untuk membuat ramalan (forecasting) x dan y diukur dengan suatu nilai yang disebut koefisien korelasi, sedangkan besarnya pengaruh x dan y diukur dengan koefisien regresi. Hubungan yang diperoleh antara variablevariable tesebut dinyatakan dalam persamaan matematik yang dinyatakan hubungan fungsional Hubungan fungsional antara : 1. Satu variable predictor dan satu variable kriterium disebut analisis regresi tunggal 2. Lebih dari satu variable disebut analisis regresi ganda Fungsi analisis regresi Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

92

1. Untuk mendapatkan hubungan fungsional antara dua variable atau lebih atau untuk mendapatkan pengaruh antara variable predictor terhadap variable kriterium. 2. Untuk meramalkan pengaruh variable predictor terhadap variable kriterium

8.1 PERSAMAAN ANALISIS REGRESI Dalam statistika untuk unutk menyimpulkan data populasi biasanya digunakan data sampel. Dalam analisis regresi hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan

→ hubungan fungsional tersebut dalam

persamaan matematis disebut persamaan regresi. Regresi dengan x merupakan variable bebas dan y merupakan variable tak bebas → dinamakan regresi y atas x, sebaliknya regresi x atas y

Dimana yˆ  a: b.x Ŷ (baca ye topi) = variable kriterium X = variable predictor a = bilangan konstan b = koefisien arah regresi linier Koefisien arah regresi dinyatakan dengan huruf b yang juga menyatakan perubahan rata-rata variable y untuk setiap variable x sebesar satu bagian. Bila harga b positif → variable y akan mengalami kenaikan atau pertambahan Bila harga b negatif → variable y akan mengalami penurunan

8.2 METODE TANGAN BEBAS Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan sumbu datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan berdasarkan Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

93

letak titik-titik. Jika letak titik-titik sekitar garis lurus cukup beralasan menduga regresi linier. Jika letak regresi sekitar garis lengkung cukup beralasan menduga regresi non linier. Regresi linier ditarik secocok mungkin dengan letak titik-titik → persamaan ditentukan dengan menggunakan 2 (dua) titik yang dilalui.

Contoh : y

Vol. kend .

x

. .

. .

. .

a

. .

y

. .

regresi linier

.

b

y x

. .

ŷ = a + b.x 0

Kecepatan Kendaraan

x

Diagram pencar menunjukkan model lengkung, regresi digambarkan secocok mungkin dengan ketak titik-titik dengan persamaan parabola, pangkat dua atau bentuk lain. Regresi

ini

memberikan

perkiraan

yang

berbeda

sesuai

dengan

pertimbangan pribadi

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

94

y

Regresi lengkung . . .

. . . .

. .

.

. .

. .

0

. .

x

8.3 METODE KUADRAT TERKECIL (LEAST SQUARE METHODE) Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang biasanya digunakan untuk mencari hubungan garis lurus. Cara ini berpangkat pada kenyataan bahwa jumlah pangkat 2 (kuadrat dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin.Untuk sebuah variable bebas “x” dan variable tak bebas “y” didapat persamaan regresi untuk model regresi linier populasi :

. y.x  1   2 .x Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b. Sehingga didapat persamaan regresi menggunakan model regresi data sampel :

yˆ  a  b.x

→ regresi x atas y

Data hasil pengamatan dicatat dalam susunan seperti di bawah ini.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

95

Variablet ak bebas (y) y1

Variable bebas(x) X1

y2

X2

.

.

.

.

.

.

yn

Xn

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung dengan rumus : Koefisien regresi x atas y

 yi xi    xi xi. yi a n. xi    xi 2

2

2

b

n. xi. yi   xi yi





n.  xi 2   xi

2

Jika koefisien b dihitung terlebih dahulu, maka koefisien a dapat dihitung dengan rumus :

a  y  b.x Dimana : ỹ = rata-rata variable tak bebas x = rata-rata variable bebas Persamaan regresi y atas x

xˆ  c  d. y

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

96

Koefisien regresi y atas x :

 xi yi    yi xi. yi c n. yi    yi 2

2

2

d

n. xi. yi   xi yi





n.  yi 2   yi

2

Estimasi Dari Varians “S2 Y. X” Varians dari komponen kesalahan, S2 y. x mempunyai pengaruh terhadap ketelitian dari parameter regresi. Besarnya varians, S2 y. x semakin besar kesalahan prediksi parameter dan semakin tidak teliti prediksi y sebagai fungsi variable x. Dalam kebanyakan kasus, S2 y. x tidak diketahui besarnya, untuk mengestimasi harga tersebut maka S 2 y. x dapat dihitung :

S 2 y.x  Se 2

Dimana :

  yi  yˆi  

2

n2

n – 2 = derajat kebebasan untuk kesalahan

Contoh : Tentukan nilai regresi dan nilai varians kekuatan geser sebagai fungsi linier dari kedalaman.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

97

No. Benda Kedalaman (ft) Kekuatan geser (kst) uji xi yi 1 6 0.28 2

8

0.58

3

14

0.50

4

14

0.83

5

18

0.71

6

20

1.01

7

20

1.29

8

24

1.50

9

28

1.29

10

30

1.58

Σ=

182

9.57

1.

ŷ = a + b.x

2.

b

3.

a  y  b.x

n. xi. yi   xi yi





n.  xi 2   xi

2

  yi  yˆi  

4.

S y.x  Se

5.

x

1  182  18.2 10

6.

y

1  9.57  0.957 10

2

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

2

2

n2

98

No.

xi.yi

xi2

yi2

ŷi = a + b xi (yi – ŷi) (yi – ŷi)2

1

1.68

36

0.078

0.325

-0.045

0.0020

2

4.64

64

0.336

0.429

0.151

0.0228

3

7.00

196

0.250

0.739

-0.239

0.0571

4

11.63

196

0.689

0.739

0.091

0.0083

5

12.78

324

0.504

0.946

-0.236

0.0557

6

20.20

400

1.020

1.049

-0.039

0.0015

7

25.80

400

1.662

1.049

0.241

0.058

8

36.00

576

2.250

1.257

0.243

0.0590

9

36.10

784

1.662

1.463

-0.173

0.0299

10

47.40

900

2.445

1.566

0.014

0.0002

Σ = 203.23 3876 10.946

b

10.203.32  1829.57 10.3876  182

2

0.2945

 0.0516

a  y  b.x = 0.957 – (0.0516)(18.2) = 0.018 Persamaan regresi kekuatan geser sebagai fungsi kedalaman adalah : Ŷ = 0.018 + 0.0516 x

S 2 y.x 

0.2945  0.0368 → Estimasi Varians 10  2

Sy.x  0.368  0.192 → estimasi standar deviasi (simpangan baku) Kesalahan Prediksi = 0.192 Persamaan regresi bisa digunakan untuk menaksir kekuatan geser dari kedalaman 6 kaki sampai 30 kaki.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

99

Persamaan ini dapat digunakan untuk kedalaman > 30 kaki jika kecenderungan linier dapat dipertanggungjawabkan → berdasarkan alasan fisik (misal : jenis tanah sama) Secara grafis, garis linier yang dapat ditunjukkan oleh garis berikut. Jika dituluskan kisaran + Sy.x dari garis ini menghasilkan suatu pita selebar satu deviasi standar (simpangan baku) dari setiap garis tepi garis linier. y k e k u a 2 t a 1.5 n 1 g e 0.5 s e r 0

. . . .

. . ŷ = 0.018 + 0.0516 .

.

. . .

.

Sy.x = 0.192

.

. x 10

20

30 Kedalaman (ft)

8.4 TES DAN EVALUASI MODEL REGRESI Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat dites terhadap beberapa keadaan : 1. Apakah variable bebas x betul mempunyai koreksi yang baik dengan variable tak bebas y. Jika x tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y maka x tidak menyumbang informasi apapun terhadap prediksi harga y → kemiringan dari regresi b = 0, untuk melihat kemungkinan tersebut perlu diadakan tes untuk melihat apakah b = 0. 2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence intervalnya”

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

100

3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien korelasi diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya. 1. Interval Kepercayaan Sehubungan Dengan Regresi Linier / Confidence Interval (Distribusi T / Student) Confidence interval untuk parameter a / 100.(1-  )% CI

a  t .S a

 Analisa varians 1 arah

Confidence interval untuk parameter b / 100.(1-  )% CI

b  t .Sb

 Analisa varians 1 arah

t

didasarkan atas degree of freedom / derajat kebebasan (df) = (n-2) dan  = 5% = 0.05  taraf signifikan Jika semua interval b positif ini berarti bahwa harga b akan positif  harga Y yang diharapkan akan bertambah besar apabila X bertambah Contoh :

t

dilihat dari table

 = 5 % = 0.05

t

di dapat  = 2.306 df = (n-2) = (10 – 2) = 8 Jadi :

a  t .S a = 0.018  batas bawah batas atas

= 0.018 – 2.306 . 0.16 = -0.35 = 0.018 + 2.306 . 0.16 = 0.39

b  t .Sb = 0.0516  batas bawah

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

2.306 . 0.16

2.306 . 8.06 . 10-3

= 0.0516 - 2.306 . 8.06 . 10-3 = 0.033

101

= 0.0516 + 2.306 . 8.06 . 10-3 =0.07

batas atas

Nilai a = 0.018 memenuhi kriteria interval batas Nilai b = 0.0516 memenuhi kriteria interval batas 2. Menguji Independent X Dan Y, Tepatnya Pengujian Hipotesa / H0 : B =0, Dapat Ditempuh Dengan Menggunakan Analisis Varians  Dengan Distribusi F (Flourence) Jumlah kuadrat semua nilai individu

Y  Y 2 ,

dipecah menjadi 3

bagian sumber yaitu :

Yi 2 

 Yi  n

2



 b.  X i  X  . Yi  Y    Yi  Yˆi

(1)

(2)



2

(3)

  X i  . Yi   b  X i .Yi   n   Dimana :

Yi 2

= jumlah kuadrat-kuadrat total

(1)

= Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi a

(2)

= Jumlah kuadrat-kuadrat karena regresi b|a

(3)

= Jumlah kuadrat-kuadrat residu / penyimpangan sekitar regresi

Rumus diatas dapat ditulis

Yi 2  JK a  JK  b a   JK Re s

Tiap jumlah kuadrat-kuadrat (JK) mempunyai derajat kebebasan (dk) masing-masing yaitu :

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

102

n 

Yi 2

1 

JK a

1 

JK  b a 

(n - 2) 

jika tiap JK dibagi oleh dk – nya masingmasing, maka dapat diperoleh  kuadrat tengahnya (KT) untuk tiap sumber variasi

JK Re s

Untuk memudahkan perhitungan dibuat daftar analisa varians (ANOVA) untuk regresi linier sederhana Sumber variasi

dk

JK

Regresi (a)

1

 Yi 

KT

F

Sreg  JK  b a 

2 S Re g

2

n Regresi (b|a)

1

Residu

(n-2)

Jumlah

n

F

JK  b a 



 Yi  Yˆi

Yi 2



2

S Re s 



 Yi  Yˆ



2

2 S Re s

 n  2

-

-

2 SRe g 2 SRe s

ternyata berdistribusi F dengan dk pembilang 1 dan dk

penyebut (n-2)  berdasarkan hipotesa H0 : b = 0 ditolak jika F  F1 (1 ) (1.n-2) dan diterima jika sebaliknya

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

103

Contoh : Sumber Dk variasi Regresi (a)

1

Regresi (b|a)

1

Residu Jumlah

JK

 Yi 

KT 9.572  10

2

n

8

JK  b a 



 Yi  Yˆi



1.49

2 SRe g

S 2

2 Re s



-

Regresi (a) → n = 10 →

1.49  40  F 0.0368

0.0368

Yi 2

10

F

-

9,57  0.957 10

 

Regresi (b/a) → 0,0516203,23 

182  9,57  1,49 10

 

Residu → 0,0368

S 2 reg 1,49   40 2 S res 0,0368 Nilai F  F1 (1- 

) (1.n-2)

dilihat dari table di dapat nilai F = 5.32

Ternyata 40 > 5.32  F  F1 (1- 

) (1.n-2)

Maka : H0 dengan B=0 ditolak berarti regresi linier 3. Koefisien korelasi Untuk menentukan seberapa kuat hubungan fungsional antara variablevariable pada persamaan regresi maka perlu ditentukan derajat hubungan variable-variable. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara variable-variable dikenal dengan nama analisis korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan terutama untuk data kuantitatif disebut koefisien korelasi

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

104

Korelasi dalam regresi linier Koefisien korelasi r berdasarkan sekumpulan data (xi, yi) berukuran n dapat digunakan rumus :

r

n xi. yi   xi  yi 

n xi

2



  xi  n yi 2   yi  2

2



Bentuk lain dapat digunakan

r  1  S 2 y.x S 2 y r2 = koefisien determinasi Jika persamaan regresi linier y atas x telah ditentukan dan sudah didapatkan koefisien arah b, maka koefisien determinasi r2, dapat ditentukan dengan rumus sbb :

r2 





b n xi. yi   xi yi n yi 2   yi

2

Dari rumus diatas dapat diturunkan rumus koefisien korelasi :

r  b.Sx / Sy Koefisien korelasi r merupakan akar dari koefisien determinasi r2 Dari rumus diatas berlaku 0 < r2 < 1 Sehingga untuk koefisien korelasi -1 < r < +1 Harga r = -1 → hub. Linier sempurna tak langsung Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung Harga r = 0 → tidak terdapat hub. Linier Harga – harga r lainnya bergerak antara -1 dan +1 Tanda negatif → korelasi tak langsung Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

105

Tanda positif → korelasi langsung Estimasi dari varians → ssti simpangan baku → kesalahan prediksi

  yi  yˆi  

2

S y.x  S .e 2

2

n  2

Dimana : yi = variable tak bebas hasil pengamatan ŷi = di dapat dari regresi berdasarkan sampel n = Ukuran sampel S2y.x dapat ditulis :

 n 1  2 2 2 S 2 y.x    S y b S x n2





Dimana : S2y = Varians untuk variabel y S2x = Varians untuk variabel x Setelah estimasi dari varians atau rata-rata kuadrat penyimpangan sekitar regresi / rata-rata kuadrat residu, Se2 diketahui maka-maka varians – varians lain untuk regresi linier sederhana dapat ditentukan Varians koefisien regresi b S 2b 

S 2 y.x

 xi  x 

2

Varians koefisien regresi a

1  x2  S a  S y.x   2 n   xi  x   2

2

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

106

Varians ramalan rata-rata y untuk Xo yang diketahui 2 1  xo  x    S yˆ  S y.x   2  n  xi  x   2

2

Varians ramalan individu y untuk Xo yang diketahui 2  1  xo  x     S y.x 1   2 n   xi  x  

S yˆ i  2

2

Contoh :

Analisis regresi populasi penduduk cibubur No

tahun (xi)

populasi (yi)

xi.yi

yi2

1

2000

58.045

116090000

3369222025

2

2001

58.165

116388165

3383167225

3

2002

58.878

117873756

3466618884

4

2003

59.160

118497480

3499905600

5

2004

59.577

119392308

3549418929

10010

293.825

588241709

17268332663

Korelasi

b=

n (∑ x i

y i ) - (∑ x i ∑ y i )

(∑ xi )- (∑ yi ) 2

n

n

=5

∑Xi.Yi

= 588.241.709

∑Xi.

= 10010

∑Yi

= 293.825

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

2

=

5.( 588.241.709 ) - ( 10010 x 293.825 ) 5.(20.040.030) - (10010)2

= 405.9

107

∑Yi²

r2 =

= 17.268.332.663

b(n.∑ Xi.Yi) - (∑ Xix ∑ Yi) (nx ∑ Yi 2 ) - (∑ Yi )2

r² = 0.964 r = 0.9825 Harga r = +1 → hub. Linier sempurna langsung

8.5 REGRESI NON LINIER Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya dengan persamaan regresi non linier. Beberapa model persamaan regresi non linier : 1. Parabolik Kuadratik

yˆ  a  b.x  c.x 2 Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maka a, b dan c dapat dihitung dari sistem persamaan :

 yi  n.a  b xi  c xi  xi. yi  a xi  b xi  c xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi 2

2

2

2

3

3

4

b. Parabolik Kubik

yˆ  a  b.x  c.x 2  d .x 3 Untuk menentukan koefisien a, b, c dan d digunakan persamaan sebagai berikut :

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

108

 yi  n.a  b xi  c xi  d  xi  xi. yi  a xi  b xi  c xi  d  xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi  d  xi  xi . yi  a xi  b xi  c xi  d  xi 2

2

3

3

4

2

2

3

4

5

3

3

4

5

6

c. Model Exponen

yˆ  a.b X Dalam logaritma, persamaannya menjadi :

log yˆ  log a  log b.x Maka a dan b dapat dicari dari :

log a  log b 

 log yi  log b  xi 

 n    n xi. log yi    xi log yi  n

n xi 2   xi

2

Model exponen sering pula disebut model pertumbuhan, model persamaannya menjadi :

yˆ  a.e bx e = bilangan pokok logaritma = 2.7183 Persamaan diatas menjadi :

ln yˆ  ln a  b.x Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

→ linier dalam x dan ln y 109

Sehingga a dan b dapat dihitung sbb :

log yˆ  log a  0.4343b.x

d. Model Geometrik

yˆ  a.x b Jika diambil logaritmanya, maka :

log yˆ  log a  b log x Koefisien a dan b dapat dicari dari :

log a 

 log yi  b  log xi

n n n log xi. log yi    log xi  log yi 

e. Model Logistik

b





n  log 2 xi   log xi 

yˆ 

2

1 a.b x

untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan diatas dapat ditulis :

1  a.b x yˆ

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

110

Jika diambil logaritmanya, maka :

1 log   log a  log b x  yˆ  f. Model Hiperbola

yˆ 

1 a.  b.x

Untuk ŷ ≠ 0 maka persamaan di atas dapat ditulis :

1  a  b.x yˆ

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

111

8.6 RANGKUMAN Analisis regresi digunakan untuk mendapatkan hubungan fungsional antara dua variable atau lebih atau untuk mendapatkan pengaruh antara variable prediktor terhadap variable kriterium. Persamaan regresi dengan x merupakan variable bebas dan y merupakan variable tak bebas dinamakan regresi y atas x,

yˆ  a  b.x Metode ini menggunakan metode kira-kira menggunakan diagram pencar berdasarkan hasil pengamatan. Data digambarkan dengan sumbu datar → x dan sumbu tegak → y. Bentuk regresi diperkirakan berdasarkan letak titik-titik.. Metode kuadrat terkecil merupakan metode persamaan regresi yang biasanya

digunakan

untuk

mencari

hubungan

garis

lurus.

. y.x  1   2 .x Akan ditaksir harga θ1 dan θ2 oleh a dan b. Jika persamaan regresinya non linier maka perlu memperbaikinya dengan persamaan regresi non linier. Persamaan regresi yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil dapat dites terhadap beberapa keadaan : 1. Untuk melihat kemungkinan Apakah variable bebas x betul mempunyai koreksi yang baik dengan variable tak bebas y. Jika x tidak mempunyai koreksi yang dekat dengan y maka x tidak menyumbang informasi apapun

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

112

terhadap prediksi harga y → kemiringan dari regresi b = 0, diadakan tes untuk melihat apakah b = 0. 2. Evaluasi terhadap b dapat dilakukan dengan menghitung “confidence intervalnya” 3. Kegunaan model regresi (goodness of fit). Dilihat dari koefisien korelasi diantara tiap-tiap variable dan koefisien variasinya. Beberapa model persamaan regresi non linier. 1. Parabolik Kuadratik 2. Parabolik Kubik 3. Model Exponen 4. Model Geometrik 5. Model Logistik 6. Model Hiperbola

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

113

8.7 SOAL 1. Apa yang dimaksud dengan analisis regresi? 2. Sebutkan fungsi analisis regresi? 3. Apa yang dimaksud dengan variabel bebas dan tak bebas? 4. Dibawah ini disajikan pertumbuhan kota Palembang :

Tahun 1997

PDRB Penduduk PC (jutaan rp) 4670319 1184608 3158

Bus

Truk

2409

21569

1998

6809872

1198224

3200

2417

20367

1999

7941073

1199783

1729

2428

20471

2000

8924252

1460224

2811

2475

20594

2001

10269137

1489370

3175

2791

22261

2002

12348540

1530578

3250

2901

22689

yang

mempunyai

a. Tentukan

persamaan

regresi

hubungan

fungsional antara tahun pertumbuhan dengan jumlah bus. b. Hitung kesalahan prediksi atau kesalahan residu dari persamaan regresi tersebut. c. Gambarkan garis persamaan regresi dengan skala yang benar, dan bandingkan hasilnya dengan garis persamaan regresi dengan metode tangan bebas. d. Uji dan evaluasi persamaan regresi yang dihasilkan dengan : -

Confidence interval

-

Menguji hipotesa nol (b = 0).

-

Koefisien korelasi.

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

114

DAFTAR PUSTAKA -

Anto Dajan, Pengantar Metoda Statistik Jilid I, LP3ES, Jakarta, 1972

-

Alan Marino, Ar. Alvinsyah., Heddy R. Agah., Sutanto, Meng., Suyono Dikun, Tri Tjahyono, Analiisis Statistika dalam Perencanaan Lalu Lintas dan Transportasi, Jakarta

-

Raymond, H. Myers dan Ronald, E. Wolpole, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan Terbitan Kedua, Penerbit ITB, 1986

-

Sudjana, Metoda Statistik Edisi Kelima, Penerbit Tarsito Bandung, 1989.

-

Sudjud, R. Karjasaputradan Wiratman Wangsadinata, Evaluasi dan Klasifikasi Beton Sehubungan Dengan Peraturan Beton Bertulang Indonesia, Jakarta, 1970

-

Zainal Mustafa, Pengantar Statistik Deskriptif Edisi Kedua, Bagian Penerbitan Fakultas Ekonomi Universitas Islam Indonesia Yogyakarta, 1992

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

115

BUKU AJAR STATISTIKA TERAPAN Untuk Mahasiswa Semester 3 D-IV Jalan Tol

Disusun oleh : Nunung Martina, ST, Msi

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

116

PRAKATA Penyusunan Buku Ajar Statistik Terapan untuk ini dimaksudkan untuk membantu para mahasiswa semester 3 D-IV Jalan Tol untuk mengambil mata kuliah Statistik Terapan. Hal ini karena penulis menyadari bahwa di Jurusan Teknik Sipil khususnya D-IV Jalan Tol belum ada buku pegangan tersebut. Isi buku ini terdiri dari 8 bab yang tiap bab diakhiri dengan rangkuman dan soal-soal latihan untuk memahamkan setiap bab yang diberikan. Penulisan buku ini dimulai dari Pendahuluan, Pengumpulan dan Pengolahan Data, Distribusi Frekuensi Empiris, Ukuran-ukuran Deskriptif Dalam Statistik, Ukuran-ukuran Lokasi, Skunes, Momen dan Kurtosos, Distribusi Normal dan Analisis Regresi. Penyusunan buku ini telah diusahakan sedemikian rupa dimulai dari pengertian dasar hingga pembahasan dan contoh-contoh terapan sehingga mahasiswa dapat memperoleh manfaatnya. Mudah-mudahan, karya kecil ini mampu menjadi sumbangsih guna meningkatkan kualitas belajar mengajar, khususnya mahasiswa Politeknik Negeri Jakrta.

Depok, Oktober 2007 Penyusun

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

117

DAFTAR ISI PRAKATA

i

DAFTAR ISI

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1

1.1

Pengertian istilah statistik dan statistika

1

1.2

Peranan statistik

2

1.3

Rangkuman

3

1.4

Soal latihan

3

BAB II

BABIII

PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

4

2.1

Populasi dan Sampel

5

2.2

Teknik pengambilan sampel

6

2.3

Jenis data

9

2.4

Pembulatan bilangan

9

2.5

Teknik Pengumpulan data

11

2.6

Pengolahan data

12

2.7

Rangkuman

14

2.8

Soal latihan

16

DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS

17

3.1

Bagian-bagian dari distribusi frekuensi

17

3.2

Distribusi frekuensi tunggal

18

3.3

Distribusi frekuensi bergolong

20

3.4

Distribusi frekuensi relatif

25

3.5

Distribusi frekuensi komulatif

26

3.6

Penyajian

distribusi

frekuensi

dalam

28

bentuk grafik dan diagram 3.7

Rangkuman

34

3.8

Soal latihan

36

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

118

BAB IV UKURAN-UKURAN

DESKRIPTIF

DALAM

37

STATISTIK

BAB V

4.1

Summasi

37

4.2

Ukuran-ukuran lokasi/ harga-harga tengah

40

4.3

Rangkuman

53

4.4

Soal latihan

54

UKURAN-UKURAN LOKASI

56

5.1

Range

57

5.2

Deviasi kuartil

57

5.3

Deviasi rata-rata

58

5.4

Standard deviasi dan variasi

62

5.5

Rangkuman

73

5.6

Soal latihan

74

BAB VI SKUNES, MOMEN DAN KURTOSOS

VII

VIII

76

6.1

Distribusi skued positif

76

6.2

Distribusi skued negatif

77

6.3

Pengujian skunes

78

6.4

Momen

79

6.5

Kurtosis

81

6.6

Rangkuman

82

6.7

Soal latihan

83

DISTRIBUSI NORMAL

84

7.1

Cara membuat lengkung distribusi normal

91

7.2

Rangkuman

96

7.3

Soal latihan

96

ANALISIS REGRESI

98

8.1

Persamaan analisis regresi

99

8.2

Metode tangan bebas

100

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

119

8.3

Metode kuadrat terkecil

102

8.4

Tes dan evaluasi model regresi

107

8.5

Regresi non linier

115

8.6

Rangkuman

119

8.7

Soal latihan

120

DAFTAR PUSTAKA

Statistik Terapan Sem 3 D-IV Jalan Tol

122

120