Buku-Ajar-Matematika-Terapan-1.pdf

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

1

BAB I ALJABAR

Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar

A. DASAR-DASAR OPERASI BILANGAN 1.Hukum-Hukum Operasi Bilangan Hukum Penjumlahan dan perkalian Komutatif a+b =b+a a.b = b.a Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) a(b.c) = (ab)c Distributif terhadap perkalian : a ( b+c) = ab + ac ( b+c)a = ba + ca a ( b-c) = ab - ac ( b-c)a = ba – ca Hukum-Hukum Perpangkatan 1. a p a q

ap 2. q a

ap ap

q

a

3. (a p ) q

a pq

4. ( ab) p

a pbq

a b

p

1

q

q p

ap ; jika b bp

jika a

0

0

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

5. a 0

2

1; a ± 0 1 ap

p

6. a

Contoh: 1. a 2 .a

5

a2

( 5)

2. a 6 : a 2

a6

2

1 a3

3.

a

4. ab

3

a

3

a4

3

(ab).(ab)(ab)

a 3b 3

2. Akar Akar pangkat ke n dari a ditulis Jika

n

n

a.

a = b maka bn = a. Dengan kata lain

n

a akan menghasilkan suatu bilangan, jika

bilangan tersebut dipangkatkan n maka hasinya a. Aturan akar sama dengan aturan pemangkatan karena,

n

a

a

1 n

Hukum Pengakaran Jika a dan b adalah genap dan positip, maka: 1.

n

a

2.

n

3.

n

4.

n

5.

m n

n

ab a b am a

a

(n a )(n b ) n

a

n

b n

mn

a

m

a

Contoh Menyederhanakan bentuk akar 1.

75

25. 3

5 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

2.

3

( x 1) 3 ( y 2) 6

3

( x 1) 3

3

6

( y 2)

(33 ) 4

3

(x 1 ( y 2) 2

3.

3

27 4

4.

3

8x 5 y 6

3

(2 3 x 3 y 6 )( x 2 )

5. 4

7a 3 y 2 8b 6 x 3

4

7a 3 y 2 2b 2 x . . 2 3 b 6 x 3 2b 2 x

6

2 3 2 3 5 3 5 2

3

34

81 2 xy3 x 2

14a 3 y 2 b 2 x 2 4 b8 x 4

4

18

12

(3 5) 2

7. 3 4 ( x 2 y) 2

xy

4

3 4 x5 y3 2

8. 9.

3

4 . 2

3

5

3

10.

3

3

3

5 3

22 . 2 3

5 32 . 3 32

5

5

2 3

2

2 3 5

2

2 1 2

1

45 3 .

(2 3 2) 12 2

75

50

( 2 5) 3

8 2

7 3

26

26 2

3 4 xy 3

2 3 .2 2 3

1 4 14a 3 y 2 b 2 x 2b 2 x

4 3 6

23

26

7

26

7

13 45 3 2 3

2

2 3

2

5

(2 3 2) 10

(2 3

2) 5

3. Logaritma. Jika bx = n dimana n adalah bilangan positif dan b bilangan positif bulat yang tidak sama dengan 1, maka eksponen x dalah logaritma n dengan bilangan pokok b, dan ditulis.

x

b

log n

bx = n dengan x

b

eksponensial, dan x

log n adalah merupakan hubungan ekivalen , bx = n disebut bentuk b

log n disebut bentuk logaritma.

Hukum-hukum Logaritma.

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

4

Jika m dan n adalah bilangan positif dan b ≠ 1, maka: 1.

b

log mn = blog m + blog n

2.

b

log

3.

b

log mp = p. blog m

4.

b

log 1 = 0

5.

b

log b = 1

6.

b

log a =

7.

b

m b = log m – blog n n

a

1 logb c

log m n =

c

log m n c=≠1 log m n

8. (blog c)(clog d) = blog d ; c = ≠ 1 Catatan 10

log x ditulis log x

Contoh 1. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log 22 – log 6 + log 32 = log 4 – log 6 + log 9 = log

4 .9 6

= log 6 2. 2 log 2 – log 6 + 2 log 3 = log x log 22 – log 6 + log 32 = log x log 4 – log 6 + log 9 = log x log

4.9 6

log x

log 6 = log x x=6

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

5

Contoh Penerapan

1. Perbandingan tegangan kerapatan (Tt) dan kelendutan (Ts) suatu sabuk yang menggerakkan puli, dinyatakan dengan rumus gesekan antara sabuk dan puli, = 60 N;

= 0,2 dan

Tt Ts

2,718

, dimana

= koefisien

= sudut putaran dalam radian. Tentukanlah Tt ketika Ts

= 120 0

Penyelesaian: = 1200 =

1200 .2π rad 2,094 radian 3600

= 2. 2,094 = 0,4188 Tt 60

2,7180, 4188

Kedua ruas dinyatakan ke dalam logaritma. Maka: log

Tt 60

log 2,7180, 4188

Log Tt – log 60 = 0,4188 log 2,718 Log Tt – 1,7782 = 0,4188 . 0,4343 Log Tt = 1,9601 Tt = antilog 1,9601 = 91,22 91 Jadi tegangan kerapatan sabuk = 91 N 2. Penyimpangan Energi dalam kapasitor dinyatakan dengan E

1 CV 2 joule . 2

Hitunglah Energi, jika kapasitansi C = 5 x 10 -6 farad dan tegangan V = 240 v Penyelesaian:

E

1 CV 2 2

E

1 5.10 6. 2402 2

E = 1440. 10-4 E = 144. 10-3 E = 0,144 Joule

1 5.10 6. 242.10 2 2

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

Latihan Soal-Soal

1. Hitunglah a. 163/4 b. 27 c. 8

2 3

2

1 3

d. 16

1 3

e. (25 x 2-1) : 22 f. 3-1 ( 33 + 32) g.

( 2) 3 .2 3 3(2 2 ) 2

3( 3) 2 h. 23 57 i. 4 5 j.

3 pq 3 pq

4( 2) 3 32

210 8 2 ( 2) 3 q

:

p

4( 3) 4

32 p 32 q

k. 2log 32 l. log 4 10 m. 3log

1 9

3. Tentukanlah harga x dari: a.

2

log x = 3

b. Log x = -2 c.

3

d.

4

e.

(x-1)

log (2x + 1) =1 log x3 =

3 2

log (4x - 4) = 2

6

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

7

4. Tentukanlah harga y dari: a. 2 log y = log 16 b. 3 log y + 2 log 2 = log 32 c.

3

log y = 3log 4 – 2. 3log x

d.

2

log (30 – y) = 2log (30 – 2t)

5. Ubahlah ke dalam bentuk yang paling sederhana a.

3

640

b.

2 50a 2 5

c.

a 75a 2 b 3 b

d. 3

3

2 3

e. 3

4

4 9 4 45

d. 60 6. Hitunglah :

a. 2 54 6

2 3

96

b. 2 150 4 54 6 48 = c. 2 3 d. e.

f.

g.

6 3 3 3 6 =

3

5

2 3 1 3

2

6

7

=

10

12

18

x y x y 2x 2 y 2 3

3

=

xy 3

5

7 =

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

5

h.

8

3

y3

x

4

3

z2

x2

4

i.

-2

3

=

y y5

x

8

1 z = z

7. Dari hasil suatu hasil perhitungan ilmu ukur didap[atkan panjang x, y, dan z dari sisi sebuah segitiga sebagai berikut.

x

14 5 8 3

8

; y

5

1 3 8

dan z

2 5 1

2

a. Sebutkan sisi terpanjang b. Apakah segitiga tersebut siku-siku.

9.

Hitunglah pernyataan berikut, jika diberikan x = -2; y = 4; z = 1/3; a = -1; dan b = ½ a. 2xy 6az 3y 2 4x b. ax by

c.

x 2 y (x y) 3x 4y

y d. x

3

a 4 b

2

xy z2

10. Rumus-rumus berikut merupakan terapan praktis dari ilmu keteknikan. Selesaikanlah sampai 3 angka di belakang koma. a. S = A ekt jika A = 300; k = 0,05; t = 14 b. T1 = T2 e

jika T2 = 80;

= 0,4;

c. g

4π 2 L jika L = 3,5 ; T = 3,4 T2

d. S

55 d f

0,14 0,42

jika d = 3,5;

f = 0,2

5 6

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

p1 p2

e. K

f.

S

g. r

h. C

A 1

n 1

9

n 1 n

jika p1= 2; p2 = 4; n = 1,4 r 100

n

jika A = 500; r = 6; dan n = 4

b jika n = 9; b = 600; a = 24 a

d

p2

4D 2 4

d2

jika d = 4; p = 10; D = 22

10. Hilangkan simbol-simbol pengelompokan dari tiap-tiap pernyataan berikut dan sederhanakan hasilnya dengan penggabungkan suku-suku yang sejenis. a. (x + 3y –z) – ( 2y – x - +2z) + (4z – 3x +2y) b. 3(x2 – 2yz + y2) – 4(x2 – y2 – 3yz) + x2 y2 c. 3x + 4y + 3{x – 2(y – x) – y} d. 3 – {2x –[1 – ( x + y )] + [x – 2y]}

11.

Jumlahka pernyataan aljabar dari tiap-tiap kelompok berikut. a. 2x2 + y2 – x + y; 3y2 + x – x2 ; x – 2y + x2 - 4y2 b. a2 – ab + abc + 3c2 ; 2ab + b2 - 3bc – 4c2; ab – 4bc + c2 – a2; a2 + 2c2 + 5bc – 2ab c. 2a2bc – 2cb2 + 5c2ab; 4b2ac + 4 bca2 – 7 ac2b; 4abc2 – 3a2bc – 3ab2c; b2ac – abc2 – 3a2bc

12. Kurangkan pernyataan aljabar yang kedua dari yang pertama. a. 3xy – 2yz + 4zx; 3zx + yz – 2xy b. 4x2 + 3y2 – 6x + 4y -2; 2x – y2 + 3x – 4y + 3 c. r3 – 3r2s + 4rs2 – s2; 2s3 + 3s2r -2sr2 -3r3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

10

13. Tentukan hasil kali pernyataan aljabar di tiap-tiap kelompok berikut. a. -4x2y; 3xy2 – 3xy2 – 4xy b. r2s + 3rs3 – 4rs + s3; 2r2s4 c. y – 4; y + 3 d. x3 + x2y + xy2 + y3; x – y e. x2 + 4x + 8; x2 – 4x + 8 f. 3r –s – t2 ; 2s + r + 3t2 g. 3 – x – y; 2x + y + 1; x – y

14. Kerjakanlah pembagian yang doberikan berikut.

18r3s 2 t 4r 5 st 2

a. b. c.

4ab 3 4x 3

3a 2 bc 12a 3 b 2 c 4 2ab 2 c 3 5x 2 3x 2 x 1

1 x2 x4 d. 1 x 2y3 y 5 3y 2 e. y 2 3y 1 f.

4x 3 y 5x 2 y 2 x 4 2xy 3 x 2 2y 2 3xy

15. Kerjakan operasi berikut dengan menggunakan harga-harga x = 1; y = 2 a. (x4 + x2y2 + y4) ( y4- x2y2 + x4) b.

x4

xy 3 x 3 y 2x 2 y 2 xy x 2 y 2

y4

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

11

B. HASIL KALI KHUSUS Beberapa hasil perkalian yang sering terjadi dalam matematika, diberikan sebagai berikut. Mahasiswa harus mengenal dan pembuktiannya dapat ditunjukkan dengan mengalikan bentuk tersebut.

1. a(c + d) = ac + ad 2. (a – b)(a + b) = a2 - b2 3. (a + b)(a + b) = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4. (a - b)(a - b) = ( a - b)2 =

a2 - 2ab + b2

5. (x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab 6. (ax + b)(cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd 7. (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd 8. (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 9. (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 10. ( a - b )( a2 + ab + b2 = a3 – b3 11. ( a + b )( a2 - ab + b2 = a3 + b3 12. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2 ac + 2 bc 13. Bentuk – bentuk berikut dapat dibuktikan dengan perkalian (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 (a – b )(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 – b4 (a – b )(a4 + a3 b + a2b2 + ab3 + b4 ) = a5 – b5 (a – b )(a5 + a4 b + a3b2 + a2b3 + ab3 + b5 ) = a6 – b6

Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum: (a – b )(an-1 + an-2 b + an-3b2 + ..............+ abn - 2 + b n

-1

) = a n – bn

n adalah sembarang bilangan positif ( 1, 2, 3, ..........) Dengan cara yang sama didapatkan: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b )(a4 - a3 b + a2b2 - ab3 + b4 ) = a5 + b5 (a + b )(a6 – a5 b + a4b2 – a3b3 + a2 b4 – a b5 + b6 ) = a7 + b7

............. (14)

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

12

Dan seterusnya dan dapat dibuat secara umum: (a + b )(an-1 - an-2 b + an-3b2 - ..............- abn - 2 + b n

-1

) = a n + bn

............. (15)

n adalah sembarang bilangan ganjil( 1, 3, 5, 7, ..........)

Contoh Penerapan. 1. (3x +5y)2 = (3x)2 + 2(3x)(5y) + (5y)2 = 9x2 + 30 xy + 25y2 (sifat 3) 2. (7x2 - 2xy)2 = (7x2)2 – 2 (7x2)( 2xy) + (2xy)2 = 49x2 – 28 x3y + 4x2y2 (sifat 4) 3. (x + y + 3)(x + y - 3) = (x + y)2 – 32 = x2 + 2xy + y2 -9 4. (2x – y – 1)(2x – y + 1) = (2x – y )2 – 12 = 4x2 – 4xy + y2 – 1 5. ( xy – 2)3 = (xy)3 – 3(xy)2.2 + 3 xy. 22 - 23 = x3y3 – 6x2y2 + 12 xy – 8 6. (x – 1)( x2 + x + 1) = x3 -1 7. (2x + 3y + z)2 = (2x)2 + (3y)2 + z2 + 2 (2x)(3y) + 2 ( 2x)z + 2(3y).z = 4x2 + 9y2 + z2 + 12 xy + 4 xz + 6 yz 8. ( x + y + z + 1)2 = [(x + y) + ( z + 1)]2 = (x + y)2 + 2(x + y) ( z + 1) + ( z + 1)2 = x2 + 2xy + y2 + 2(xz + x + yz + y) + z2 + 2z + 1 = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2x + 2yz + 2y + z2 + 2z + 1 9. (u – v)3 (u + v)3 = {(u – v)(u + v)}3 = ( u2 – v2)3 = (u2)3 - 3 (u2)2 v2+ 3 u2(v2)2 –(v2)3 = u6 – 3 u4v2 + 3u2v4 – v6 10. (x2 – x + 1)2( x2 + x + 1)2 = {(x2 – x + 1)( x2 + x + 1)}2 = {(x2 + 1– x)( x2 + 1+ x)}2 = {(x2 + 1)2– x2)} 2 = (x4 + 2x2 + 1 – x2)2 =( x4 + x2 + 1)2 = (x4)2 +( x2)2 + 12 + 2 x6 + 2x4 + 2x2 = x8 + 2x6 + 3x4 + 2x2 +1

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

Latihan Carilah tiap – tiap hasil kali berikut 1. a. (2st3 – 4rs2 + 3s3t)(5rst2) b. (5xy + 4)(5xy – 4) c. ( 3 – 2x2)2 d. (xy + 6)(xy - 4 ) e. (2t2 + s)(3t2 + 4s) f. (x2 + 4y)(2x2 y – y) g. (r + s – 1)( r + s +1) h. (x – 2y +z)(x - 2y – z) i. (x2 + 2x +4)(x2 – 2x + 4) 2.

a. (2x + 1)3 b. (2x + 2y)3 c. (r - 2s)3 d. (x2 -1)3 e. (ab2 – 2b)3 f. (t – 2)(t2 + 2t + 4) g. (z – x)(x2 + xz + z2) h. (x + 3y)(x2 – 3xy + 9y2)

3. a. (x – 2y + z)2 b. (s – 1)(s3 + s2 + s + 1) c. (1 + t2)(1 - t2 + t4 – t6) d. (3x + 2y)2(3x – 2y)2 e. (x2 + 2x +1)2(x2 - 2x + 1)2 f. (y -1)3(y + 1)3 g. (u + 2)(u – 2)(u2 + 4)(u4 + 16)

4. Faktorkanlah Bentuk Berikut a. 3x2y4 + 6x3y3 =

13

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

14

b. 12s2t2 – 6s5t4 + 4s4t = c. 4y2 – 100 = d. x2y2 – 8xy +16 = e. 4x3y + 12x2y2 + 9xy3 = f. m4 – 4m2 – 21 = g. 4s4t – 4s3t2 – 24s2t3 = h. 36z6 + 6a2b2 + 3b4 = i. y3 + 27 = j. x3y3 – 8 = k. 8x4y – 64xy4 =

5. Sederhanakanlah Pecahan Berikut

a.

b.

x 3 y y3x = x 2 y xy 2 x2

4xy 3y 2 = y2 x 2

c.

r 3s 3r 2 s 9rs = r 3 27

d.

(8xy 4y 2 ) 2 = 8x 3 y y 4

e.

6 x 12 4 xy 4 x

y2 1 = 2 3x x 2

ax ab cx bc g. a2 x2

x2 x2

2x 2 5x 2 h. = 2x 1 3

i.

3 y 2

2 y 2

y y

2

4

2ax a 2 = (b a)x ab

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

j.

3x 6 2 4x 12x 16

k.

a a

b b 1

a a a a

2x 5 6x 2 6

b b b b

2 y y 2 y 2

1

l.

3y

y

m. 1

n.

2y y 2 = 4 y2 4

2

2

2

1 2

o.

2 x2 1

1 2

1 2a 1 3 2a 1

15

3x 2 3 8x 2 10x 32

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

16

BAB II MATRIK DAN DITERMINAN

Kompetensi Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1.Melakukan operasi hitung pada matrik 2. Mencari invers sebu ah matrik 3.Menyelesaikan sebuah sistem persamaan lenier dg menggunakan matrik 4. Menulis bentuk determinan ordo 2 6. Menghitung determinan ordo 2 7. Menghitung determinan nan ordo 3 dengan cara sarrus 8. Menentukan minor dan kofaktor matrik 9. Menghitung determinan ordo n dengan mengunakan Minor dan kofaktor 10.Menyelesaikan sistem liner n variabel dengan determinan

A. Matriks Difinisi: Matriks adalah suatu kumpulan dari pada angka-angka atau huruf-huruf yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbrntuk empat persegi panjang, di mana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan barisbaris. Sebuah matriks dinyatakan dengan huruf besar sedang elemen atau anggotanya apabila merupakan huruf dinyatakan dengan huruf kecil. Apbila sebuah matrik A terdiri dan m baris dan n kolom, maka A bisa ditulis sebagai berikut:

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

Amxn

a11

a12

...

a 21 a31

a 22 a32

... a 2 n ... a3n

. . a m1

. . am2

. . . . ... a mn

17

a1n

(dibaca matriks A ; m kali n, atau A bigitu saja) aij merupakan elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j , i dan j dinamakan index yaitu petunjuk letak ( posisi) bagi setiap elemen. Misalnya:

A

1 3 1 0 2 5 3 2 4 7 5 4

a12 = 3, a22 = 5, dan a43 = 7

6 8 7 6 1. Ordo matriks Ordo suatu matriks A adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom matriks A. Jika matrik A memiliki m baris dan n buah kolom, maka matrik A dikatakan matriks berordi m x n dan ditulis A mxn Contoh

A

1 3 1 0 2 5 3 2 4 7 5 4 6 8 7 6

adalah matriks berordo 4x4

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

18

2. Jenis-jenis Matris Matriks kwadrad ( Squre Matriks), ialah matriks di mana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom ( m = n ). Apabila m = n maka matrik A disebut matris kwadrat ordo n atau matriks jajaran genjang . Misalnya: A

2 4 3 5 2 1

B

3 1

3 2 4 4 4 5 5 3 1 2 3 4

Matriks identitas (Identity Matrix), Ialah suatu matrik di mana-mana elemen-elemennya mempunyai nilai 1 pada diagonal pokok dan 0 pada tempat lain di luar diagonal pokok. Jadi kalau matrik A = (aij), i = j = 1, 2, 3, …, n dan apabila : aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i

j

maka matriks adalah matriks Identitas dan biasa dinyatakan dengan In Misalnya:

I4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Matriks Nol ( Null Matrix), ialah suatu matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol dan biasanya dinyatkan dengan simbul O Contoh:

O

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

19

Tanspose Dari Suatu Matriks . Difinisi: Transpose dari suatu matriks A =(a ij) ialah suatu matriks baru yang mana elemenelemennya diperoleh dari elemen-elemen matrik A dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru. , dengan kata lain baris ke –i dari matrik A menjadi kolom ke j dari matrik baru. Biasanya transpose dari Maytrik A dinyatkan dengan A/ ( dibaca A aksen) dan ditulis A/ =(a /ij) =(aji) Contoh:

1. A

a11

a12

a13

a14

a 21

a 22

a 23

a 24

a31

a32

a33

a34

a 41

a 42

a 43

a 44

maka

1 2 2 2. B

3 4 3

A

a11

a 21

a31

a 41

a12

a 22

a32

a 42

a13

a 23

a33

a 43

a14

a 24

a34

a 44

1 3 5 maka

5 6 5

B

2 4 6 2 3 5

3 Operasinal Matriks. Difinisi: Dua matrik A dan B dikatakan sama yaitu A = B apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama ( aij = bij ) untuk semua nilai i dan j , dimana : aij = elemen matriks A dari baris ke i dan kolom ke j. bij = elemen matriks B dari baris ke i dan kolom ke j. Apabila A tidak sama dengan B ditulis A beberapa nilai i dan j .

B ini berarti aij

bij untuk semua

Penjumlahan Matriks. Kalau matriks A = (aij) dengan m baris dan n kolom, dan matriks B = (b ij) juga dengan m baris dan n kolom, dijumlahkan (dikurangkan) maka diperoleh matriks C =(c ij) dengan m baris dan n kolom dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen matriks A dengan elemen matriks B yaitu : c ij = aij untuk semua i dan j, dimana cij merupakan elemen dari baris ke i dan kolom ke j.

bij,

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

A B

a11

a12

a 21

a 22

. .

. .

.... a1n a2n . . . . . . . ... a mn

. . a m1 a m 2

20

b11

b12

b21

b22

. .

. .

. . bm1 bm 2

.... b1n b2 n . . . . . . . ... bmn

c11

c12

c 21

c 22

. .

. .

. . c m1 c m 2

.... c1n c2n . . . . . . . ... c mn

C

Contoh: A

1 2 2 3 4 5 5 6 7

1 2 5 4 6 7 6 8 9

B

1 2 2 3 4 5 5 6 7

A B

1 2 5 4 6 7 6 8 9

2 4 7 7 10 12 11 14 16

Pengurangan Matriks. A – B = A +(-1)B Contoh: A

1 2 2 3 4 5 5 6 7

A B

A ( 1) B

B

1 2 5 4 6 7 6 8 9 1 2 2 3 4 5 5 6 7

1 4 6

2 6 8

5 7 9

0

0 1 1

2 2

3 2 1

Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan matriks B, kedua matriks tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama atau dimensinya sama Hukum assosiatif dan komutatif berlaku juga bagi penjumlahan matriks> a. A + B = (aij+bij)=(bij+aij)= B + A. b. (A + B ) + C = ((aij + bij) +cij) = (aij + (bij +cij)) = A + (B + C). Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k,

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

21

Contoh:

A

4 2 8 3

dan k 2 maka 2 A

2

4 2 8 3

8 4 16 3

Perkalian Matriks Dengan Matriks. Difinisi: Apabila Amxn = (aij) yaitu matriks Bnxp = bij matriks dengan n baris dan p kolom, kemudian dengan perkalian matriks A x B = A.B = AB (tampa tanpa tanda hasil kali), kita maksudkan suatu matriks Cmxp; (AB=C), yaitu matriks dengan m baris dan p kolom, di mana elemen C dari baris ke i kolom ke j diperoleh dengan rumus: cij= ai1b1j + ai2b2j + …+ ainbnj n

ait btj dimana i = 1, 2, 3,……, n dan j = 1, 2, 3, ….,p

cij t 1

AB = C

a11

a12

a 21

a 22

.

.

. .

. .

a m1

am2

.... a1n a2n .

b11

. .

.

.

.

. .

. .

. .

a mn

bn1

bn 2

. ...

b12

b21 b22

.... b1 p . bp

c11

c12

c 21

c 22

. .

. .

.

.

. ...

. bnp

. .

. .

c m1

cm 2

.... c1 p c2 p . . .

. .

. ...

. c mp

C

Jika diperhatikan benar-benar, maka agar hasil kali AB bisa dicari, syarat utama yang perlu dipenuhi ialah bahwa jumlah kolom dari matriks A, atau matriks pertama, harus sama dengan jumlah baris matriks B atau matrik kedua. Jadi dalam menentukan apakah dua buah matriks bisa dikalikan atau tidak dan sekaligus untuk menentukan jumlah baris dan dan kolom dari hasil kalinya, kita harus yakin benar bahwa jumlah kolom dari matriks sebelah kiri ( matriks A) harus sama dengan jumlah baris dari matriks sebelah kanan (matriks B). Am x n Bn x p = Cm x p

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

22

Contoh: 1. A AB

2. A AB

3. A

a11

a12

a 21

a 22

dan B

b12

b21

b22

a11

a12

b11

b12

a11b11

a12 b21

a11b12

a12 b22

a 21

a 22 b21

b22

a 21b11

a 22 b21

a 21b12

a 22 b22

1 3 2 4

1 3 2 1 2 4 3 5

3 0 1 1 3 0 1 1 5 2

2 1 3 5

dan B

dan B

5 2 AB

b11

4 7 6 8

1.2 3.3 1.1 3.5 2.2 4.3 2.1 4.5

11 17 16 22

C

4 7 6 8 3.4 0.6 3.7 0.8 1.4 1.6 1.7 1.8 5.4 2.6 5.7 2.8

12 21 10 15 32 51

Perlu juga disebutkan disini bahwa perkalian matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB ≠ BA, didalam hal khusus dimana AB = BA maka kedua matriks itu dikatakan Commute . Suatu hal yang perlu diperhatikan ialah bahwa didalam mengalikan dua buah matriks harus benar-benar diketahui matriks mana yang berada di sebelah kiri mana berada disebelah kanan tanda perkalian. AB memang tidak selalu sama dengan BA.

Perkalian Matriks Dengan Scalar Apabila matriks A dikalikan dengan suatu scalar k, ini berarti bahwa semua elemen dari matriks A harus dikalikan dengan k, Contoh: Jika A

2 3 4 dan B

5 3 1

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

23

AB

5 2 3 4 3 1

2.5 3.3 4.1

BA

5 3 2 3 4 1

10 15 20 6 9 12 2 3 4

26

Hasil kali diatas AB ≠ BA.

Latihan

1. Diketahui Matriks:

A

3 4 5 8 7 6

dan B

9 8 4

3 6 4 4 2 5 5 7 3

Carilah A + B dan A – B

2 Diketahui Matriks A

1 3 2 4 2 4 , 2 1

B

8 3 5 1 4 7

5

dan C

2 6 6

2 4 6

Carilah: a. A + ( B + C ) b. ( A + B ) + C c. A + B + C

3. Dikethui matriks

A

2 4 , 3 6

Carilah: a. A (BC) b. (AB)C

5 4 1 6

dan C

4 1 2 3 5 1

8 2 4 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

24

3 Diketahui Matriks 8 4 5 7 6 4

X

dan Y

3 7 2

4 6 2 3 4 1 1

2 3

Carilah: a. 2( X + Y ) b. ( X + Y )2 c. 2X + 2Y 5. Diketahui Matriks:

4 3 5 6

A

dan

B

3 2 1 2

Carilah: a. ( A + B ) 2 b. A2 + 2 AB + B2

6. Diketahui Matriks 3 4

X

Y

5

3 9 8

Carilah: a. X.X/ ( X/ adalah transpose dari X ) b. X/X c. XY/ d. X/Y

8. Carilah AB jika A dan B A

1 2

0 2 1 3

4

1 8

B

11 4

2 0

2 1

6

1

1

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

9. Jika A

10. Jika

2

2

4

1

3

4 Tunjukkan bahwa A2 = A

1

2

3

1 5

1 2

3 6

2

1

3

Carilah A3

11. . Diketahui matrik A

12. Jika

x y

3 1

2 2 p dan B q 5

2 a a dan 1 b b

13. Bila determinan matrik A

14. Jika A =

25

2 5

x

4 2q , jika A = B tentukan nilai p 3 5

3 p x maka carilah 2 q y

x 2 x 2 x 2

2 maka nilai x

1 0,5 1 2 dan B = , tentukanlah: 0,5 1 2 3

a) B-1 b) B. A c) B-1.A

2 3 5 15. Jika A = 1 7 4 , bentuklah matriks tranpose AT dan tentukanlah AT.I 8 0 6

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

26

B. SIFAT-SIFAT ELEMENTER DARI DETERMINAN

1. Determinan dari suatu matriks Kwadrat.

Detrminan yang paling mudahialah determinan dari suatu matriks yang mempunyai 2 baris dan 2 kolom. Determinan dari matriks A ditulis /A/ atau det (A).

Jika A

a11

a12

a21

a22

maka det( A)

a11a22

a12 a21 ( yaitu hasil kali elemen-elemen yang

berada di diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen yang berada di dagonal dari kanan atas ke kiri bawah).

4 3 2 5

Misalnya: Jika A

maka det( A)

4.5 3.2 14

Salah satu kegunaan dari determinan adalah untuk menyesaikan sistem persamaan linier. Untuk dua persamaan linier dengan dua variabel dapat diselesaikan dengan determinan matriks ordo 2 Misalanya: Untuk persamaan

a1 x b1 y

c1

a2 x b2 y

c2

ditulis

a1

b1

x

c1

a2

b2

y

c2

AX

C

Matriks A disebut matriks koefisien dan C disebut matriks konstanta Harga x dan y dapat dihitung sbb:

x y

det( Ax ) det( A) det( Ay ) det( A)

det( A)

a1

b1

a2

b2

dan det( Ax )

c1

b1

c2

b2

dan det( Ay )

a1

c1

a2

c2

Misalnya carilah harga x dan y pada sistem persamaan berikut:

4x 2 y 3x 2 y

4 2

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

27

Pennyesaian dengan determinan:

4x 2 y 3x 2 y det(A)

det( Ax ) x y

4 2

4 2 x 3 2 y

4 2 3 2

4.2 2.3

4 2 2 2

det( Ax ) det( A) det( Ay )

4.2 2.2

4 2

2

4

dan det( Ay )

4 4 3 2

4.2 4.3

2

2

4 2

det( A)

4 2

2

2. Mencari Determinan Dengan Menggunakan Kofaktor. Difinisi: Kalau dari matriks A dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke i dan kolom ke j, maka determinan dari matriks kwadrat dengan ( n-1) baris dan (n – 1) kolom, yaitu sisa matrik yang tinggal disebut matriks Matriks minor dari elemen aij. Dan dinyatakan dengan Aij Apabila setiap minor ditambahkan tanda + (plus) atau – (minus) sebagai tanda pada determinant dan selanjutnya dinyatakan dengan simbul: (-1)i+j Aij , selanjutnya disebut Kofaktor dari elemen aij dan biasanya dinyatkan dengan Kij. Jadi kofaktor dari elemen aij yaitu Kij = (-1)i+j Aij . Ini berarti setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri. Nilai determinan dari matriks A sama dengan penjumlahan dari hasil kali semua elemen daru sesuatu baris (kolom) dari matriks A tersebut dengan kofaktor masing-masing, yaitu: 1. Dengan menggunakan elemen-elemen dari baris ke-i Det(A) = A = ai1Ki1 + ai2Ki2 + ……+ ainKin n

Det ( A)

ait K it ,

i 1, 2, 3,......., n

t 1

2. Dengan menggunakan elemen-elemen dari kolom ke j Det(A) = A = a1jK1j + a2jK2j + ……+ anjKnj n

Det ( A)

atj K tj , t 1

j 1, 2, 3,......., n

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

28

Contoh: 1. Tentukan determinan dari matriks 1 A

2 4

5 1

2

3 2 1

(i).Dengan menggunakan baris ke 1 ( i = 1). det( A) A a11 K11 a12 K12 a13 K13 K 11

( 1)1 1 A11

K 12

( 1)1

2

1 2 2 1 5 2 3 1

A12

1 4

3

(5 6) 1

5 1 10 3 7 3 2 Det(A)=1.(-3) + 2(1) + 4(7) = -3 +2 + 28 Det(A) = 27 ( 1)1 3 A13

K 13

(ii). Dengan mepergunakan kolom ke 1 ( j = 1) det( A) A a11 K11 a 21 K 21 a31 K 31 K 11

( 1)1 1 A11

K 21

( 1) 2 1 A21

1 2 2 1 2 4 2 1

1 4

3

(2 8)

6

2 4 4 4 0 1 2 Det(A)=1.(-3) + 5(6) + 3(0) = -3 +30 + 0 Det(A) = 27 ( 1) 3 1 A31

K 31

3. Carilah Determinant dari matriks

A

3 4 2 7 2 3 3 2 5 7 3 9 2 3 2 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

29

Penyelesaian: Dengan menggunakan baris pertama ( i = 1 ) det( A) A a11 K11 a12 K12 a13 K13 a14 K14 3 3 2 1 1

7 3 9 3 2 3

3

3 9 2 3

( 1)

K 11

3(9 18) 3(21 27) 2(14 9) 27 18 10 1 2 3 2

K 12

( 1)

1 2

5 3 9 2 2 3

2

3 9 2 3

3

2

7 3 3 2

5 9 2 3

2

5 3 2 2

[2(9 18) 3(15 18) 2(10 6)] ( 18 9 8) 1

K 12

2 3 2 K13

3

7 9 3 3

K 11

( 1)

1 3

5 7 9 2 3 3

2

7 9 3 3

3

5 9 2 3

2

5 7 2 3

[2(21 27) 3(15 18) 2(15 14)] K13

( 12 9 2)

1

2 3 3 K 14

( 1)1 4 5 7 3 2 3 2

K 14 det( A)

2

7 3 3 2

3

5 3 2 2

3

5 7 2 3

[2(14 9) 3(10 6) 2(15 14)] (10 12 3) 1 A

a11 K11

a12 K12

a13 K13

a14 K14

det(A) = 3(1) + 4(1) + 2(-1) + 7(-1) det(A) = -2 ( Cobalah dihitung dengan menggunakan kolom pertama (j = 1)

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

30

3. Sifat-Sifat Determinant. Kadang-kadang determinant tingkat n ditulis: a11 a12 a13 .... a1m a 21

a 22

a 23

.... a 2 m

a31

a32

a33

.... a3m

...

...

...

.......... .

... a n3

.......... . .... a nm

... ... a n1 a n 2

Sifat-sifat determinant yaitu: I.

Pertukaran baris dengan kolom dari determinat tidak mengubah nilai determinant a1 b1 c1 a1 a 2 a3

II.

a2

b2

c2

b1

b2

b3

a3

b3

c3

c1

c2

c3

Apabila setiap elemen disebuah baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai determinan adalah nol. a1 0 c1 a2

0 c2

a3

0 c3

0

III. Pertukaran sembarang dua baris ( atau kolom) akan mengubah tanda determinant. a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2

b2

c2

a2

b2

c2

a3

b3

c3

a1

b1

c1

IV Apabila dua baris (atau kolom) determinan identik, maka nilai determinant adalah nol. a1 b1 a1 a2

b2

a2

a3

b3

a3

0

V. Apabila tiap-tiap elemen pada sebuah baris ( atau kolom ) determinant dikalikan dengan bilangan yang sama p, maka nilai determinant dikalikan dengan p. pa1 b1 c1 a1 b1 c1 pa2

b2

c2

p a2

b2

c2

pa3

b3

c3

a3

b3

c3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

31

VI. Apabila setiap elemen dari sebuah baris ( atau kolom ) determinan dinyatkan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih ) suku-suku, maka determinan dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua ( atau lebih) determinan. a1

a '1

b1

'

a2

a2

a3

'

c1

b2

c2

b3

a3

a1 a2

c3

a3

b1 b2 b3

c1

a '1

b1

c1

c2

'

a2

b2

c2

c3

'

b3

c3

a3

VII. Apabila pada setiap elemen dari sebuah baris (atau kolom) determinan ditambah m kali elemen yang bersesuaian dari sembarang baris ( atau kolom) lain, maka nilai determinan tidak berubah. a1

mb1

b1

c1

a1

b1

c1

a2

mb2

b2

c2

a2

b2

c2

a3

mc3

b3

c3

a3

b3

c3

Minor dari sebuah elemen pada determinant tingkat n adalah determinan tingkat n – 1 yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang diberikan.Minor dari sebuah elemen dinyatakan dengan huruf besar. Jadi minor dari elemen b 3 dinyatakan oleh B3. Nilai determinan dapat diperoleh dalam suku-suku minor sebagai berikut: 1. Pilih sembarang baris ( atau kolom) 2. Kalikan setiap elemen di baris (atau kolom) dengan minor yang bersesuaian didahului dengan tanda tanda positif atau negatif sesuai dengan jumlah nomor kolom dan nomor baris genap atau ganjil. 3. Jumlahkan secara aljabar hasil kali yang diperoleh (2).

Sebagai contoh, mari kita ekspansikan determinan a1 b1 c1 d 1 a2

b2

c2

d2

a3

b3

c3

d3

a4

b4

c4

d4

dengan elemen-elemen dibaris ketiga. Minor-minor dari a3, b3, c3, d3 masing-masing adalah A3, B3, C3, D3. Tanda yang bersesuaian pada elemen a 3 adalah + karena tampak dikolom pertama dan baris ketiga dan 1 + 3 = 4 adalah genap. Begitu juga tanda-tanda yang bersesuaian dengan elemen-elemen b3, c3, d3 masing-masing adalah - , + , - . Jadi nilai determinannya adalah: a3A3 – b3B3 + c3C3 – d3D3. Sifat VII berguna dalam menghasilkan nol dalam kolom atau baris yang diberikan. Sifat ini digabungkan dengan ekspansi dalam-dalam suku-sukur minor membuat perhitungan nilai determinan lebih mudah.

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

32

Misalnya, gunakan sifat VII untuk mentransformasikan determinan

1 2

2 3 1 4 ke dalam

2 3 1 determinan yang nilainya sama dengan nol dibaris pertama kolom kedua dan ketiga.

Penyelesaian: Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan 2 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke dua, maka diperoleh 1 (2)(1) 2 (2)(2)

2 3 1 4

1 2

0 3 3 4

2 (2)( 2) 3 1 2 1 1 Kalikan setiap elemen di kolom pertama dengan -3 dan tambahkan pada elemen-elemen yang bersesuain pada kolom ke tiga, maka diperoleh 1 0 ( 3)(1) 3 1 0 0 2 3 ( 3)(2) 4 2 3 2 2 1 ( 3)( 2) 1 2 1 7 Hasil tersebut bisa diperoleh dalam satu langkah dengan menulis 1 2

2 (1) - 2 ( 3)(1) (2)(2) - 1 ( 3)(2)

2 (2)( 2) 3

3 4

1 2

0 3

0 2

( 3)( 2) 1

2

1

7

Jika dihitung determinannya diperoleh: 1 2 3 1 2 (1) - 2 ( 3)(1)

2 2

1 4 3 1

2 (2)(2) - 1 2 (2)( 2) 3 (1)

3 -2 1 7

(0)

3 ( 3)(2) 4 ( 3)( 2) 1

2 -2 2 7

{(3.7) ( 2)( 1)} 19

(0)

1 2 2 2 2

3 1

0 3 1

0 2 7

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

33

Latihan Hitunglah nilai diterminan berikut: 4 1. 2

2 6 1 3

2

4.

1

8 2. 5

3

2 6 1 3

4

2 3 1

1 1 3

3 2 1

2 4 3

1

2

2

3

1

5.

a 1 2 a 1 a

4. Bila matrik A

3.

3

4 2

3 1

2 3

5

5

1

3 4 2

1 2 1

2 0 3

1 3 2

1

3

1

4

tentukanlah harga a

5. Carilah harga yang memenuhi persamaan:

2

2

0

2

6. Selesaikanlah persamaan

x 2 2 x 3 3

4

3 6 x 6

0

2 3 1

1 2 1

1 1 4

3

4

3

2

disebut sebagai matrik singular, yaitu Det (A) = 0,

5 6 7

x 3 x 2 x 3 3 1

6.

1 2 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

34

C. INVERSE DARI SUATU MATRIKS KWADRAT

1. Arti Dan Keguanaan Dari Pada Inverse.

Pada suatu persamaan

ax b

x

b a

a 1b

a-1 disebut kebalikan atau inverse dari pada a sebab jika dikalikan yaitu a. a -1= a-1 .a = 1.( sifat identitas perkalian).Dari persamaan matriks AX = H, jelaslah untuk mencari X (= vektor kolom) diperlukan inverse dari matriks A yaitu 1/A atau A-1 jadi X jadi X = H/A atau X = A-1H. Jadi inverse dipergunakan untuk mencari pemecahan suatu sistem persamaan.

2. Difinisi Inverse Dari Suatu Matriks.

Difinisi. Misalkan A merupakan suatu matriks kwadrat dengan n baris dan n kolomdan I n suatu matriks identity. Apabila ada square matriks A –1 sedemiakian sehingga berlaku hubungan sebagai berikut A.A-1 = A-1.A = I, maka A-1 ini disebut inverse dari matriks A Selanjutnya bagaimana caranya untuk menghitung suatu inverse. Dalam uraiannya berikutnya akan dibahas akan tetapi sebelumnya diberikan suatu ilustrasi sederhana untuk menghitung inverse dengan cara yang amat sederhana.

Jika diketahui suatu matriks A

Misalkan A

1

a b c d

2 3 3 5

cari A

1

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

Maka

A. A

1

2 3 a b . 3 5 c d

I.

2a 3c 1

(1)

2b 3d

0

(2)

3a 5c

0

(3)

3b 5d

1

(4)

35

1 0 0 1

Dari persamaan (1) dan (3) dengan mengeminasi a diperoleh harga c = -3 Dari persamaan (2) dan (4) dengan mengeminasi b diperoleh harga d = 2 Dengan mensubstitusi harga c = -3 ke (1) diperoleh harga a = 5 Dengan mensubstitusi harga d = 2 ke (2) diperoleh harga b = -3 Jadi harga a = 5, b = -3, c = -3, dan d = 2. Singga ahkirnya A

1

a b c d

5 3

3 2

3. Mencari Inverse Suatu Matriks Dengan Mempergunakan Adjoint.

Misalkan A suatu matriks kwadrat dengan baris dan kolomnya masing-masing sebesar n. Jadi A = (aij),

i, j = 1,2, 3, ….., n. Dan setiap elemen dari matriks masing-masing

mempunyai kofaktor, yaitu elemen a ij mempunyai kofaktor Kij. Apabila semua kofaktor itu dihitung untuk semua elemen dari matriks A, kemudian dibentuk suatu matriks K dengan kofaktor dari semua elemen matriks A sebagai elemnya, maka:

K

( K ij )

K 11

K 12

K 21

K 22

.... .... K n1 K n 2

... ... ... ...

K 1n K 2n .... K nn

disebut matriks kofaktor

Difinisi: Yang disebut adjoint dari matriks A ialah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari transpose dari semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

36

apabila K = Kij, dimana Kij ialah kofaktor dari elemen aij, maka adjoint dari matriks A yaitu: adj (A) = K/ = (K ij/ = Kji). Jadi Adj (A) = ialah tranpose dari matriks kofaktor K, yaitu: K 11 K 21 ... K n1 Adj ( A)

K/

K 12

K 22

.... K 1n

.... K 2n

... K n 2 ... .... ... K nn

Contoh: Diketahui suatu matriks A sebagai berikut: 2 1 2 A

1

2 3

4 2 1 Maka adj (A) diperoleh sebagai berikut: K 11

( 1)1 1 M 11

K 11

(1).

K 12

( 1)1 2 M 12

dan M 12

K 12

1 3 ( 1). 4 1

1(1 12) 11

K 13

( 1)1 3 M 13

dan M 13

K 13

1 2 (1). 2 1

K 21

( 1) 2 1 M 21

K 21

1 2 ( 1). 2 1

2 3 2 1

dan M 11 1(2 6)

1(2 8)

4

1 3 4 1

1 2 4 2

6

dan M 21 1(1 4)

2 3 2 1

3

1 2 2 1

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

K

K 22

( 1) 2

2

K 22

(1).

K 23

( 1) 2 3 M 23

K 23

( 1).

K 31

( 1) 3 1 M 31

K 31

1 2 (1). 2 3

K 32

( 1) 3 2 M 32

K 32

2 2 ( 1). 1 3

K 33

( 1) 3 3 M 33

K 33

2 1 (1). 1 2

K 13

K 21

K 22

K 23

K 31

K 32

K 33

K

/

dan M 22

1(2 8)

2 1 4 2

K 12

Jadi Adj ( A)

M 22

2 2 4 1

K 11

37

6

dan M 23 1(4 4)

1(3 4)

1 2 2 3

1

dan M 32 1(6 2)

2 2 1 3

4

dan M 33

K/

2 1 4 2

0

dan M 31

1(4 1)

2 2 4 1

2 1 1 2

3

K 11

K 21

K 31

K 12

K 22

K 32

K 13

K 23

K 33

4 3 1 11 6 4 6 0 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

38

Difinisi: Apabila matriks A adalah matriks kwadrat n baris dan n kolom, dan merupakan matriks yang non singular yaitu det (A) tidak nol dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka inverse matriks A yaitu A-1 dirumuskan sebagai berikut: 1 K/ 1 A Adj( A) / A/ / A/ K 11 K 21 ... K n1 / A / / A / ... / A / K 11 K 21 ... K n1 K 12 K 22 K n2 ... 1 K 12 K 22 ... K n 2 1 A / A/ / A/ / A/ ... .... ... / A / .... .... .... .... .... .... K 1n K 2 n ... K nn K n1 K n 2 K nn / A/ / A/ / A/ Contoh 1. Carilah inverse dari matriks A berikut: 4 1 A 3 2 /A/ = 4.2 – 1.3 = 5 1 K11 K 21 A1 / A / K12 K 22 K 11

( 1) 2 (2)

K 12

( 1) 3 (3)

3

K 21

( 1) 3 (1)

1

K 22

( 1) 4 (4)

4

Jadi A

1

2

1 5

2 3

1 4

2/5 1/ 5 3/ 5 4 / 5

2. Carilah inverse dari matriks X berikut: a c X b d /X/ = ad - cd 1 K11 K 21 X 1 / X / K12 K 22

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

( 1) 2 (d )

K 11 K 12

d

3

b

3

c

( 1) (b)

K 21

( 1) (c) 4

K 22

( 1) (a )

39

a d

Jadi X

1

d

b

ad cb

c

a

1

ad cb c ad cb

4 3 2

3. Jika A

2 1 1 carilah A-1 1

2 2

Penyelesaian: 1 1 M 11 , 2 2

2 1 , 1 2

M 12

K11

( 1) 2 / M 11 /

( 1) 2 (2 2)

K12

( 1) 3 / M 12 /

( 1) 3 (4 1)

K13

( 1) 4 / M 13 /

( 1) 4 (4 1)

M 21

3 2 , 2 2

4 2 , 1 2

M 22

K 21

( 1) 3 / M 21 /

( 1) 3 (6 4)

K 22

( 1) 4 / M 22 /

( 1) 4 (8 2)

K 23

( 1) 5 / M 23 /

( 1) 5 (8 3)

M 31

3 2 , 1 1

4 2 , 2 1

M 32

M 13 0 3 3

M 23

6 5

M 33

( 1) 4 / M 31 /

( 1) 4 (3 2) 1

K 32

( 1) 5 / M 32 /

( 1) 5 (4 1)

K 33

( 1) 6 / M 33 /

( 1) 6 (4 6)

/ A/

a11 K11

a13 K13

4(0) 3( 3) 2(3)

3

4 3 1 2

2

K 31

a12 K12

2 1 1 2

0 2

4 3 2 1

b ad cb a ad cb

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

Adj ( A)

Jadi A

-1

K 11

K 21

K 31

K 12

K 22

K 32

K 13

K 23

K 33

1 Adj ( A) / A/

40

0 3 3 1 3

0 3 3

2 6 5 2 6 5

1 0 2 1 0 2

0 1

2/3 1/ 3 2 0 1 5/3 2/3

4. Mencari Inverse Dengan Metode Kounter.

Metode ini didasarkan atas teori transformasi elementer terhadap baris dari matriks yang inversenya akan dicari. Dalil: Apabila A suatu matriks kwadrat yang non singular yaitu determinanya tidak nol, baris dan kolom masing-masing sebanyak n dan In diletakkan disebelah kanan matriks A, maka diperoleh suatu matiks M yang disebut Augmented matriks sebagai berikut: M = A In. Selanjutnya apabila terhadap baris-baris baik pada matriks A maupun matriks In, jelasnya terhadap baris-baris augmented matriks M, dilakukan troansformasi elementer sedemikian sehingga matriks A berubah menjadi matriks In maka akan diperoleh inverse dari matriks A yaitu A-1 yang berada ditempat dari mana In berasal, dengan kata lain setelah A berubah menjadi In maka In berubah menjadi A-1.

Contoh: Carilah inverse matriks dengan menggunakan metode kounter, jika matriks A adalah sebagai berikut: A

1 2

3 5

2 1

6

7 23

Dibentuk augmented M sebagai berikut: M = A I3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

M

41

1

3

21

0 0

2

5

10 1

6

7

0

23 0 0 1

a. Terhadap matriks M, baris yang kedua ditambah dengan 2 kali yang pertama, baris yang ketiga dikurangi denga 6 kali yang pertama, maka diperoleh mariks M1.sebagai berikut:

M

1

3

2 6

5 7

21

0 0

10 1 0 23 0 0 1

2 R1 6 R1

M1

1

3

2 1 0 0

0 0

1 11

3 2 1 0 35 6 0 1

b. Terhadap matriks M1, baris yang pertama dikurangi dengan 3 kali yang kedua, baris yang ketiga ditambah 11 kali yang kedua, maka diperoleh mariks M2.sebagai berikut

M1

1

3

2 1 0 0

0 0

1 11

3 2 1 0 35 6 0 1

3 R2 M2 11R2

1 0

7 7

3 0

0 1 0 0

3 2 1 0 2 16 11 1

c. Terhadap matriks M2, baris yang pertama dikurangi dengan 7/2 kali yang ketiga, baris yang kedua ditambah 3/2 kali yang ketiga, maka diperoleh mariks M3.sebagai berikut M2

1 0

7 7

3 0

(7 / 2) R3

0 1 0 0

3 2 1 0 2 16 11 1

(3 / 2) R3 x1 / 2

M3

1 0 0 49

71/ 2

7/2

0 1 0 26 0 0 1 8

35 / 2 11/ 2

3/ 2 1/ 2

Oleh karena A sudah berubah menjadi I3, maka matriks yang berada disebelah kanan A yaitu I3 menjadi A-1. Jadi A

1

49 26

71/ 2 35 / 2

7/2 3/ 2

8

11/ 2

1/ 2

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

42

Latihan 3 1. Dengan menggunakan Adjoint carilah inverse dari matriks berikut a.

A

b. B

1 0 2 3 4 1

2

0 1

0

8 4 5

c.

X

5 7 8 9 4 2 1 3 1 4 5 7 6 7 2 1

2. Carilah inverse dari matrik A, B dan C dengan metode kounter, Apabila matriks A, B dan C adalah sebagai berikut:

A

4 6 , 5 7

B

4 3 6 1 5 7 2 9 1

dan C

3 4 2 7 2 3 3 2 5 7 3 9 2 3 2 3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

43

D. SISTEM PERSAMAAN LINIER

Didalam persamaan linier untuk mengetahui berapa besarnya dari variavel-variabel yang belum diketahui bisa diselesaikan dengan bermacam-macam sistem penyelesaian. Sistem persamaan linier dengan n buah persamaan dan n bilangan anu (variabel) bisa diselesaikan dengan bermacam-macam metode. Diantara metode tersebut yang umum dipergunakan yaitu: metode eleminasi Gauss –Jordan dan metode Aturan Cramer. Bentuk Umum sistem n persamaan linier dengan n buah variabel adalah: a11 x11

a12 x12

a13 x13

...... a1n x1n

h1

a 21 x 21

a 22 x 22

a 23 x 23

...... a 2 n x 2 n

h2

a31 x31

a32 x32

a33 x33

...... a3n x3n

h3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... a n1 x n1 a n 2 x n 2 a n 3 x n 3 ...... a nn x nn hn

Dalam bentuk persamaan matriks: a11

a12

......

a1n

x1

h1

a 21

a 22

....... a 2 n

x2

h2

a31

a32

....... a3n

x3

h3

....

....

......

....

....

....

a 1 a n 2 ...... a nn xn n     A

Atau AX = H A= matriks koefisien X= matriks Variabel H = matriks konstanta

X

hn  H

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

44

1. Metode Elimenasi Gauss-Jordan

Pemecahan dengan metode Gauss-Jordan didasarkan atas teori Row Operation ( Elementary transformation) terhadap matriks augmegted AH sedimikian sehingga A menjadi I AH = A H] matriks augmented dari persamaan AX = H

Contoh: Tentukan harga x1, x2 dan x3 pada sistem persamaan berikut:

2 x1

x2

4 x3

16

3 x1

2 x2

x3

10

3 x3

16

x1

3x 2

Penyelesaian: AX = H 2 1 4 x1 3 2 1 x2

16 10

1

16

AH

3 3 x3 AH 2 1

AH

4 16

3 2 1 10 1

M

3 3 16

Dengan melakukan operasi baris/ row operation ( lihat metode cuonter) sehingga matriks A berubah menjadi matriks I dan H berubah menjadi X. Jadi I.X = H X = H * ( H yang telah berubah karena row operation)

2 1 M

M2

4 16

3 2 1 10 1 3 3 16

x1 / 2 (3 / 2) R1 (1 / 2) R1

1 1/ 2

2 8

0 1/ 2 0 5/ 2

5 14 1 8

M1

R2 x2 5 R2

1 1/ 2

2 8

0 1/ 2 0 5/ 2

5 14 1 8

1 M2

0

0 1 0 0

R2 x2 5 R2

7 22

(7 / 24) R3

10 28 24 78

(10 / 24) R3 x(1 / 24)

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3  

M3

I

x1

45

Jadi IX

H

H

1 2 3

x2 x3

2. Aturan Cramer.

Untuk menyelesaikan n persamaan linier yang simultan dalam n variabel adalah analog dengan aturan dalam bab sebelumnya untuk kasus n = 3 ataupun n = 3. Jika diketahui n persamaan linier dengan n variabel x1, x2, x3, ………, xn sebagai berikut a11 x11

a12 x12

a13 x13

...... a1n x1n

h1

a 21 x 21

a 22 x 22

a 23 x 23

...... a 2 n x 2 n

h2

a31 x31

a32 x32

a33 x33

...... a3n x3n

h3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... a n1 x n1 a n 2 x n 2 a n 3 x n 3 ...... a nn x nn hn

Misalkan

(1)

adalah determinan dari koefisien-koefisien x1, x2, x3, ………, xn,yaitu:

a11

a12

a 21

a 22

a31

a32

..... a1n ..... a1n ...... a1n

..... ...... ..... a n1 a 2 n .....

.... a nn

Determinan dengan kolom ke k ( yang bersesuaian dengan koefisien-koefisiendari variebel xk ) diganti dengan kolom dari koefisien-koefisien pada sisi sebelah kanan (1) dinyatakan dengan k, maka: x1

1

,

x2

2

,

x3

3

,

.......... xn

n

;

Apabila 0 ada satu dan hanya satu penyelesaian. Dan apabila mempunyai penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian.

0

= 0 maka persamaan bisa

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

46

Contoh: 1. Selesaikanlah sistem persamaann berikut dengan menggunakan determinan: 2x y z w 4

x 2 y 2 z 3w 3x

y

6

z 2w

2x 3y

0

z 4w

5

Penyelesaian:

2 1

1 2

1 2

1 3

3 2

1 3

1 1

2 4

1

3

x

1

86 86

86

4 6

1 2

1 2

1 3

0 5

1 3

1 1

2 4

2

1

4

1

1 3

2 1

6 0

3 2

2

3

5

4

1; y

2

86

258

172 86

2

4

2; z

2 1

4 6

1 2

1 3

3 2

0 5

1 1

2 4

2

1

1

4

1 3

2 1

2 1

6 0

2

3

1

5

3

258 86

172

86

3; dan w

4

86 86

1

2. Arus-arus i1 , i 2 , i3 , i 4 , i5 ( diukur dalam amper) dapat ditentukan dari sistem persamaan rangkaian berikut. Carilah besarnya i3

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

i1

2i2

i3

i2

3i4

i5

i1

i2

2i2 i1

i3

3

3 5

i3 i3

i5

1

2i4

2i5

2i4

i5

0 3

1 0 1

2 1 1

3 5 1

0 3 0

0 1 1

0 1

2 0

0 3

2 2

2 1

38 19

3

i3

47

38;

1 0 1

2 1 1 0 1 1

0 3 0

0 1 1

0 1

2 1 0 1

2 2

2 1

19

2 amper

Latihan 1. Dengan menggunakan cara matrik selesaikanlah persamaan berikut x1

2 x2

3 x3

5

3x1

x2

2 x3

8

4 x1

6 x2

4 x3

2

1. Selesaikan Setiap sistem persamaan berikut dengan menggunakan determinan:

x 2 y z 3w 4 2 x 3 y z 2w 4 a). 3x 4 y 2 z 4w 12 2x

y 3z 2w

b).

2

2 x y 3z 5 3y z w 5 2z w 4x 0 w 3x

y

4

2.Carilah i1 dan i4 untuk sistem persamaan arus pada suatu rangkaian: 2i1 3i3 i4 4

3i1 i1

i2

2i3

3i2

2i4

2i4

i1

2i3

i5

2i1

i2

5

9

3i5

2i5 2

0

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

48

BAB III GEOMETRI

Kompetensi Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menunjukan hubungan antara derajat dengan radian 2. Mengetahui sifat-sifat segitiga 3. Menghitung luas luas segitiga 4. Mengetahui sifat-sifat segi empat 5. Menghitung luas segi empat(persegi empat, bujur sangkar, jajaran genjang, belah ketupat dan trapesium) 6. Mengit:kll,luas, dan luas bagian lingkaran 7. Menghitung luas daerah dengan aturan Tarapesium 8. Menggambar betuk prisma, limas, . bola dan elipsoida 9. Menghit luas permukaan prisma kubus,baluk,tabung, limas, kerucut dan bola 10. Menghit volume sebuah prisma, balok,tabung, kerucut, bola dan elipsoida

1. Sudut Datar dan Garis Sudut datar adalah daerah yang dibentuk oleh perpotongan dua garis pada satu titik.

A O . B AOB

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

49

Bisa juga diartikan sebagai daerah yang dibentuk bila sinar garis diputar, sudut besarnya positif bila arah putaran berlawanan denga arah jarum jam dan sudut besarnya negatif bila arah putaran searah dengan jarum jam.

+

Satuan sudut yang sering digunakan adalah derajat dan radian 1 putaran = 3600 (derajat) 1 derajat = 60’ (menit) 1 menit = 60 “ (detik)

Sudut dalam radian

Panjang busur lingkaran jari jari lingkaran

Hubungan antara radian dan derajat adalah sebagai berikut Keliling lingkaran = 2

r

Sudut dalam radian =

2 r r

2

1 putaran = 3600 ( sama dengan keliling limgkaran), berarti 2

radian = 3600 radian = 1800

1 radian =

1800

57,30

Contoh 1 : Nyatakan sudut 1,5 radian dalam derajat dan menit Jawab:

1,5rad 1,5

1800

85,560

Matematika Terapan 1 I Ketut Darma – Teknik Mesin Politeknik Negeri Bali

50

Contoh 2: Nyatakan sudut 1100 kedalam radian

1100

Jawab:

1100

1800

1,92rad.

Ada beberapa jenis sudut yaitu: Sudut lancip 00<