BT LỚN

MỤC LỤC: A. PHẦN CHUNG

Trang:

1. Tên đề tài .................................................................................................. 2. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu ................................................................. 4. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 6. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... B. NỘI DUNG. Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI ..................................... 1.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ..................................... 1.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian. ......................... 1.3. Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều .................. 1.3.1. Chuyển động của hạt tự do ................................................................ 1.3.2. Giếng thế vuông góc sâu vô hạn........................................................ 1.3.3. Giếng thế hình chử nhật có chiều sâu hữu hạn .................................. 1.3.4. Chuyển động qua thế bậc thang......................................................... 1.3.5. Chuyển động qua hàng rào thế .......................................................... 1.3.6 Dao động tử điều hòa lượng tử ............................................................

1

Chương 2. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN .................................... 2.1. Bài toán 1 ............................................................................................... 2.2. Bài toán 2. .............................................................................................. 2.3. Bài toán 3 ............................................................................................... 2.4. Bài toán 4 ............................................................................................... 2.5. Bài toán 5. ..............................................................................................

2

A. PHẦN CHUNG. 1. Tên đề tài: “Định dạng bài tập cơ bản trong cơ học lượng tử liên quan đến phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều”. 2. Lý do chọn đề tài: Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học cổ điển. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý và hóa học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt. Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng, của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt được thể hiện rõ. Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Phương trình mô tả sự thay đổi của hàm sóng theo thời gian là phương trình Schrodinger, đóng vai trò giống như định luật thứ hai của Newton trong cơ học cổ điển. Nó là tiên đề để xác định được các đại lượng như năng lượng, mômen xung lượng và mômen từ ứng với các trạng thái lượng tử của nguyên tử. Chính vì vậy phương trình Schrodinger có vai trò cực kì quan trọng không thể thiếu đối với đông lực học lượng tử. Việc hệ thống hóa lại kiến thức và đi sâu tìm hiểu, nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản liên quan đến phương trình Schrodinger giúp chúng ta vừa nắm chắc được cơ sở lý thuyết, vừa lại hiểu sâu bản chất của thế giới vi mô: nguồn gốc của sự liên tục hoặc gián đoạn của phổ năng lượng của hạt. Chúng ta có thể nắm được cách giải củng như giải được các bài toán 3ien quan đến việc tìm năng lượng các hàm liên, tính xác suất và trị trung bình của các đại lượng động lực tương ứng với hạt vi mô ở một trạng thái đã cho. Chính vì những lí do trên mà tôi chọn đề tài: “ định dạng bài tập trong cơ học lượng tử liên quan đến phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều”. 3

3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nội dung kiến thức chương IV: phương trình Schrodinger giáo trình cơ lượng tử (Lê Đình – Trương Đình Công, đại học sư phạm Huế). Khảo sát phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian hay còn gọi là phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng, đưa ra các dạng bài tập liên quan đến phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều. 4. Mục tiêu nghiên cứu: Trên cơ sở lý thuyết đưa ra những dạng bài tập cơ bản giúp củng cố kiến thức một cách chắc chắn để có thể giải quyết được những bài tập khác liên quan đến phương trình Schrodinger. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Phải xác định được những dạng bài tập chính, cơ bản của chương. 6. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp lí thuyết: tìm đọc, nghiên cứu các sách, giáo trình, tài liệu, bài giảng liên quan đến phương trình Schrodinger. Phương pháp chuyên gia: tham khảo ý kiến, sự góp ý và hướng dẫn của các thầy và bạn bè trong lớp.

4

B. NỘI DUNG. Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI. 1.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian. Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian có dạng: (⃗ )

̂

̂

̂ (⃗ )

̂

(

)

(⃗ )

.

1.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian. Trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng. Khi đó phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: ̂ ( ⃗)

( ⃗)

(

)

Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn thì nghiệm (1.1) có dạng: (⃗ )

∑

( ⃗)

∑

( )

( ⃗)

(

)

(

)

Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục: (⃗ ) Các hệ số thì:

∫

( ⃗)

∫

( )

( ⃗)

được xác định từ điều kiện đầu, chẳng hạn từ (1.3) khi t = 0

5

(⃗ )

(⃗ )

∑

( ⃗)

⟨

( ⃗)| ( ⃗ )⟩

(

)

⟨

( ⃗)| ( ⃗ )⟩

(

)

1.3. Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động một chiều. ( )

( )) ( )

(

(

)

1.3.1. Chuyển động của hạt tự do. Vì thế năng U(x)=0 nên phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: ( )

( )

(

)

Phương trình có nghiệm: ( )

(

) (

)

(

)

Biểu thức (1.9) có thể viết gọn lại: ( )

Năng lượng E có giá trị bất kỳ, biểu thức năng lượng là: (

)

(

)

Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng: ( )

(

)

(

6

)

Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát có dạng: (

)

(

∮

⁄ √ định từ điều kiện đầu: Với

(

)

Từ đó:

)

(

∮

)

∮ ∫

)

chính là biên độ của bó sóng được xác

, hệ số

√

(

(

)

(

)

(

)

1.3.2. Giếng thế vuông góc sâu vô hạn. Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L. Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. thế năng đang xét có dạng như hình 1.1. Dạng giải tích của thế năng là:

( )

*

Ta thấy rằng ngoài giếng thế năng U(x) = , hàm sóng (x) = 0, hạt không tồn tại. Như vậy chỉ xét trong giếng thế (0 ). Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:

U=

U=

( )

( )

(

0

L

)

H1.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn.

Hay:

( )

( )

(

)

Giải ta được hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng 7

là:

√

( )

(

)

(

)

Biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế:

Trong đó thái cơ bản.

ứng với n = 1 và được goi là năng lượng của hạt ở trạng

|

|

|

|

25 16 9

|

|

H 1.2: Đồ thị hàm sóng

4

( ), mật độ xác suất |

( )| và năng lượng

* Với trường hợp giếng thế đối xứng thì phân thành hai lớp nghiệm chẵn và lẻ: + Đối với nghiệm chẵn: ( )

(

)

(

)

+ Đối với nghiệm lẻ: ( )

8

1.3.3. Giếng thế hình chử nhật có chiều sâu hữu hạn. Thế năng có dạng: ( )

U(x )

*

(

)

Khi năng lượng E > hạt tự do không bị liên kết, năng lượng liên tục, khi E hạt bị nhốt trong giếng, năng lượng bị lượng tử hóa. Ta sẽ giải phương trình Schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của hạt.

0

-L/2

H 1.3: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuông góc sâu hữu hạn.

Phương trình Schrodinger và nghiệm tương ứng cho từng miền như sau:

(

√

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

√

(

)

Biểu thức năng lượng:

9

L/2

√

(

)

)

1.3.4. Chuyển động qua thế bậc thang. Thế năng có dạng: ( )

U(x )

*

Phương trình Schrodinger cho từng miền: ( )

( )

( )

( ) (

(

( (

I

II

) 0

)

H 1.4: Sơ đồ thế năng biểu diễn giếng thế bậc thang.

)

)

Nghiệm của 2 phương trình này là: ( )

(

)

( )

(

)

(miền II không có sóng phản xạ). Hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T trong các trường hợp: =2

+ Trường hợp E > U:

(

)

R + T =1 chứng tỏ số hạt được bảo toàn.

E

H 1.5: Hàm sóng của hạt có năng lượng E > U.

10

+ Trường hợp E > U: Khi đó k < 0, ta đặt k = i với thành: R = |

(

√

)

. Lúc này hệ số phản xạ trở

| = 1. Sóng phản xạ có dạng: (

)

(

)

Sóng truyền qua miền II khác không và có dạng:

Mật độ xác suất tìm hạt ở miền II: ( ) =|

|

(1.28) I II

Đây là một hiệu ứng đặc thù của cơ học lượng tử gọi là “hiệu ứng đường ngầm”. xác suất tìm hạt tỉ lệ nghịch với x và giảm nhanh theo hàm số mũ khi x tăng.

H 1.5: Hàm sóng của hạt có năng lượng E