Broj e

Broj e

UNIVERZITET U BEOGRADU

Metodika nastave matematike 2

Broj e

Profesor : dr Zoran Luˇ ci´ c Student : Jelena Koprivica

1

1

Uvod

Broj e je jedna od najznaˇcajnijih matematiˇckih konstanti, poznata joˇs i kao Ojlerov broj ili Nejpirova konstanta. Njegova vrednost, zaokruˇzena na dvadeset decimala, iznosi e = 2, 71828182845904523536 Broj e se prvi put pojavio 1618. godine u logaritamskim tablicama (nakon Nejpirovog otrki´ca logaritama), ali mu tada nije pridavan naroˇcit znaˇcaj. Njegov smisao, kako u matematici, tako i u drugim nauˇcnim oblastima, bi´ce otkriven znatno kasnije.

2

Definicija broja e

Postoji viˇse definicija broja e. Da bismo ga definisali preko limesa, posmatra´cemo slede´ce nizove: µ

1 an = 1 + n µ

¶n

¶

, µ

¶

1 (n+1) 1 bn = 1 + = an · 1 + . n n pri cemu n ∈ N. Ako pokaˇzemo da postoji limes niza bn , bi´ce: lim an =

n→∞

limn→∞ bn = lim bn , limn→∞ (1 + n1 ) n→∞

pa ´ce postojati i limes niza an sa istom vrednoˇs´cu kao limes niza bn . Dokaˇzimo najpre da je niz bn opadaju´ci. Imamo da je: ³

´n

³

´n

1 n 1 + n−1 n2n+1 bn−1 n−1 =³ = ´n+1 = ³ ´n+1 = n+1 bn (n − 1)n · (n + 1)n+1 1 + n1 n

Ã

n2 n2 − 1

!n

µ

·

n 1 = 1+ 2 n+1 n −1

¶n

·

Primenom Bernulijeve nejednakosti dobijamo da vaˇzi: µ

1+

1 2 n −1

¶n

>1+

n2

n , −1

n . n+1

2 odakle sledi da je: µ

¶

µ

¶

bn−1 n n n n n(n + 1) n > 1+ 2 · > 1+ 2 · = · = 1. bn n −1 n+1 n n+1 n2 n+1 Dakle, bn−1 > bn , za ∀n n ∈ N, n ≥ 2. Dokaˇzimo joˇs i da je niz bn ograniˇcen odozdo. Joˇs jednom primenom Bernilijeve nejednakosti dobijamo: ¶

µ

¶

µ

n+1 1 1 n+1 1 >1+ = 2 + > 2. bn = 1 + =1+ 1+ n n n n Dakle, niz bn je opadaju´ci i ograniˇcen odozdo, ˇsto znaci da je konvergentan. Treba joˇs pokazati da je niz an rastu´ci i ograniˇcen odozgo. Ako dokaˇzemo da je: µ

1 an = 1 + n

¶n

µ

1 < 1+ n{z +1 |

¶n+1

µ

n+2 = n+1 }

¶n+1

an+1

moˇzemo tvrditi da je an rastu´ci niz. Iskoristimo nejednakost aritmetiˇcke i geometrijske sredine: sµ

1 n

¶n

1 ⇒ 1+ n

¶n

n+1

1+ µ

³

·1<

n· 1+

1 n

´

+1

n+1

µ

n+2 < n+1

=

n+2 n+1

¶n+1

⇒ an < an+1 . ³

´n

³

´n

Prema tome, niz an je rastu´ci. Poˇsto je an = 1 + n1 < 1 + n1 = bn , a niz bn opadaju´ci i ograniˇcen odozdo, sledi da je niz an ograniˇcen odozgo. Dakle, niz an je konvergentan. Sada moˇzemo uvesti slede´cu definiciju: Definicija 1.

µ

e = n→∞ lim

3

1 1+ n

¶n

Neka znaˇ cajna svojstva broja e Sada ´cemo navesti neka od osnovnih svojstava broja e.

3 Teorema 1.

e=

∞ X 1 n=0

=

n!

1 1 1 1 + + + + ··· 0! 1! 2! 3!

Dokaz: Pokaˇzimo da teorema 1. sledi iz definicije 1. Oˇcigledno je da vaˇzi (za ∀n ∈ N i n ≥ 2) µ

1 an = 1 + n

¶n

=

1 1 n 1 n(n − 1) 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 n(n − 1) · · · 2 · 1 1 · 0+ · 1+ · 2 + · · ·+ · k+ · n > 0! n 1! n 2! n k! n n! n µ

¶

µ

1 1 1 1 2+ · 1− + · 1− 2! n 3! n µ

1 1 + · 1− k! n

¶µ

2 1− n

¶

¶µ

¶

2 1− + ··· n

Ã

!

k−1 ··· 1 − . n

Kada n → ∞, dobijamo nejednakost: 1 1 + ··· + = bk , 2! k! koja je zadovoljena za proizvoljno k. Kako u skupu bk ne postoji najve´ci element, to je za k = n: e≥2+

1 1 + ··· +