Breve Reseña Historica Teoría de Conjuntos

BREVE RESEÑA HISTORICA TEORÍA DE CONJUNTOS George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conunto! a finale! del !iglo "#" $ principio! del ""% &u o'etivo era el de formaliar la! matemática! como $a !e a'ía eco con el cálculo cien a*o! ante!% Cantor comenó e!ta tarea por medio del análi!i! de la! 'a!e! de la! matemática! $ e+plicó todo 'a!ándo!e en lo! conun conunto to!! (por (por eempl eemplo, o, la def defini inició ciónn de funci función ón !e a ace ce e!tric e!tricta tamen mente te por med medio io de con conun unto to!) !)%% !te !te mo monu nume ment ntal al tra' tra'a aoo logr logróó un unifific icar ar a la! la! ma mate temá mátitica ca!! $ pe perm rmititió ió la compren!ión de nuevo! concepto!% l pro'lema apareció cuando !e comenaron a encontrar paradoa! en e!ta teoría, !iendo la má! c.le're la paradoa de /u!!ell, $ má! tarde vario! matemático! encontraron má! paradoa!, inclu$endo al mi!mo Cantor% /u!!ell de!cu'rió !u paradoa en 1901, $ la pu'licó en un ap.ndice de !u li'ro 2rincipio! de la! matemática!% Cuan Cuando do lo! lo! ma mate temá mátitico co!! !upi !upier eron on de e!ta e!ta pa para rado doa a,, mu muc co! o! !e preg pregun unta taro ronn !i la! la! matemática! en realidad eran con!i!tente!, $ !o're todo verdadera!, $a que cualquier  !upo!ición matemática podía 'a!ar!e en una teoría incon!i!tente% 3a primera propue!ta para !olucionar el pro'lema de la! paradoa! provino de un matemático oland.! llamado rouer, quien propu!o una redefinición radical de toda! la! matemática! $ prometió una !olución al conflicto% l programa de rouer !e 'a!a'a en lo má! !imple de la intuición6 el acepta'a lo! concepto! que !on aparente! a la intuición general% general% !ta filo!ofía rec reca aa' a'aa mu muc co! o! prin princi cipi pio! o! fund fundam amen enta tale le!! de la! la! ma mate temá mátitica ca!, !, pe pero ro en cam' cam'io io,, !olucion !oluciona'a a'a !ati!fact !ati!factoria oriament mentee el pro'lema pro'lema de la! parado paradoa!% a!% 2articula 2articularmen rmente te rouer  rouer  recaa'a el principio del medio e+cluido, el cuál decía que lo! elemento! de un conunto o 'ien tienen una propiedad 7 o no la tienen, lo cuál !ería la negación de la propiedad 7% 7 e!ta corriente de pen!amiento !e le llamó intuicioni!mo%

2or otro lado, avid il'ert !e opu!o al intuicioni!mo $ aunque no tolera'a la! paradoa!, no e!ta'a di!pue!to a ver la! matemática! mutilada!% n 1904 propu!o la teoría de la prue'a, la cuál era una teoría de la lógica independiente del conte+to $ podría !er aplicada a la! matemática! !in encontrar paradoa!% /u!!ell a !u ve de!arrolló !u teoría de lo! tipo! para evitar evitar la! parado paradoa!% a!% l propon proponía ía que lo! enu enuncia nciado! do! !e acomoda acomodaran ran erárqui erárquicame camente nte%% /u!!ell pu'licó !u! re!ultado! en 1908 con la cola'oración de 7lfred :ort ;iteead%  3a cuarta re!pue!ta a la paradoa paradoa fue de rn!t mero! :aturale! :  D 1, E, F, 4, 5, , H,%%%%%%%I l conunto de lo! :>mero! :aturale! !urgió de la nece!idad de contar, lo cual !e manifie!ta en el !er umano de!de !u! inicio!% !te conunto !e caracteria porque6 Jiene un n>mero ilimitad de elemento! Cada elemento tiene un !"#$!%  $ todo!, $&#$'t $l (, un a)t$#$!%* l !uce!or de un n>mero natural !e o'tiene !umando uno (K1)= el antece!or !e o'tiene re!tando uno (-1)% E) :L  : 0  Conunto de lo! :>mero! Cardinale! : 0  D 0, 1, E, F, 4, 5, ,%%%%%I  7l Conunto de lo! :>mero! :aturale! !e le agregó el 0 (cero) $ !e forma el Conunto de lo! :>mero! Cardinale!% F) <  Conunto de lo! :>mero! ntero! <  D %%%%% MF, -E, -1, 0, 1, E, F,%%%I l Conunto de lo! :>mero! ntero! !urge de la nece!idad de dar !olución general a la !u!tracción, pue! cuando el !u!traendo e! ma$or que el minuendo, e!ta !u!tracción no tiene !olución en lo! Conunto! :aturale! $ Cardinale! (por eemplo6 5 M E0  NO)% e'ido a e!to, la recta num.rica !e e+tiende acia la iquierda, de modo que a cada punto que repre!enta

un n>mero natural le corre!ponda un '")t !im+t%i#, !ituado a la iquierda del cero% 2unto !im.trico e! aquel que e!tá u'icado a igual di!tancia del cero (uno a la dereca $ el otro a la iquierda de .l)% <  :L B Conunto de lo! :>mero! ntero! negativo! <  Jiene F &u'conunto!6 ntero! :egativo!6 <  P  ntero! 2o!itivo!6 < K ntero! 2o!itivo! $ el Cero6 < 0K 2or lo tanto, el Conunto de lo! Nm$%! E)t$%! e! la unión de lo! tre! !u'conunto! mencionado!% <  < P B D0I B < K 4) Q  Conunto de lo! :>mero! /acionale! Q  D%%%%- R, - S, - T , 0, T , S, R,%%%%%I l conunto de lo! :>mero! /acionale! !e creó de'ido a la! limitacione! de cálculo que !e pre!enta'an en el conunto de lo! :>mero! :aturale!, :>mero! Cardinale! $ :>mero! ntero!% 2or eemplo, !ólo !e puede dividir en el conunto de lo! :>mero! ntero! !i - !.l !i el di/id$)d $! mlti'l, di!ti)t d$ #$%, d$l di/i!%* 2ara !olucionar e!ta dificultad, !e creó e!te conunto, el cual e!tá formado por todo! lo! n>mero! de la forma  a 0 1% !ta fracción en la cual el numerador e! a, e! un n>mero entero $ el denominador 1, e! un n>mero entero di!tinto de cero% 2V$%3 4%a##i)$!5 l conunto de lo! Nm$%! Ra#i)al$! 2Q 5 !e a con!truido a partir del conunto de lo! Nm$%! E)t$%! 2Z5* &e e+pre!a por compren!ión como6 Q 6 7 a 0 1 tal 8"$ a - 1

Z9 - 1

:;

!te conunto !e repre!enta gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta num.rica en e!pacio! iguale!, que repre!enten n>mero! entero!% Cada una de e!ta! !u'divi!ione! repre!enta una fracción con denominador igual al n>mero de parte! de la !u'divi!ión% Cada fracción e! un )m$% %a#i)al $ cada n>mero racional con!ta de infinita! fraccione! equivalente!%

5) #  QL  Conunto de :>mero! #rracionale! I  Conunto de :>mero! ecimale! #nfinito! no 2eriódico!

!te conunto !urgió de la nece!idad de reunir a cierto! n>mero! que no pertenecen a lo! conunto! anteriore!= entre ello! !e pueden citar a la! %amero! racionale!, porque .!to! !on n>mero! decimale! finito!, infinito! periódico! e infinito! !emiperiódico! que !< '"$d$) t%a)!=%ma%!$ $) ")a =%a##i.)* emplo!6 1,414E1F5%%%%

 

0,10E00F00004000005%%%%

) Conunto de :>mero! /eale! (/)% /  D%%%%- 10, -1, - R, - S, - T, 0, T , UE, 5 , %%%%%I &urgen de la nece!idad de reunir lo! racionale! $ lo! irracionale! en un !olo conunto% &e denotan por /% / DQ B irracionale!I% @2/7C#@:& 3 C@:VB:J@ /  3@& :BW/@& /73& 3a union del conunto de lo! numero! racionale! con el conunto de lo! numero! irracionale!, reci'e el nom're de conunto de lo! numero! reale! $ !e denota con el !XYm'olo /, !im'olicamente e!cri'imo!6 /QB# INTERVALOS 3o! intervalo! !on !u'conunto! de lo! )m$%! %$al$! que !e pueden repre!entar gráficamente en la recta num.rica por un trao o una !emirrecta% +i!ten intervalo! a1i$%t!, en lo! que no !e inclu$en lo! e+tremo!=  #$%%ad! en lo! que !e inclu$en lo! e+tremo!, $ aquello! en que !e com'inan am'o!% 2ara repre!entar lo! intervalo! !e utilia una #i%#")=$%$)#ia /a#mero! (+) ma$ore! o iguale! a H (+ \ H), inclu$endo el H, a!ta el infinito (K [)% Como vemo!, la !im'ología que !e utilia en lo! #a!! a1i$%t! (que no inclu$en al e+tremo) !on el !igno > 2m$)% 8"$5 o ? 2ma-% 8"$5= $ para lo! #a!! #$%%ad! (que inclu$en al e+tremo) !on el !igno @ 2ma-%  i"al 8"$5 o el !igno  2m$)%  i"al 8"$5 % e acuerdo con la !im'ología $ la! caracterí!tica!, e+i!ten lo! !iguiente! tipo! de intervalo!6 I)t$%/al a1i$%t, que !e grafica

&e e!cri'e a > & > 1 (a e! menor que equi! $ equi! e! menor que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que

equi! $ equi! e! menor que 1) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! (n>mero! reale!) entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, pero que no inclu$en ni a ni 1% I)t$%/al #$%%ad, que !e grafica

&e e!cri'e a  &  1 (a menor o igual que equi!, $ equi! menor a igual que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor o igual que 1)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a $ el de 1% I)t$%/al a1i$%t a la i8"i$%da, que !e grafica

&e e!cri'e a > &  1 (a menor que equi!, $ equi! menor o igual que ') $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que equi! $ equi! e! menor o igual que 1)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a pero !í inclu$en el valor de 1% I)t$%/al a1i$%t a la d$%$#a,  que !e grafica

&e e!cri'e a  & > 1 (a menor o igual que equi! $ equi! menor que ') $ tam'i.n  ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor que 1)%

!to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ 1 que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a pero no inclu$en el valor de 1% I)t$%/al i)=i)it '% la i8"i$%da - a1i$%t , que !e grafica

&e e!cri'e & > a (equi! e! menor que a) $ tam'i.n ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que equi! e! menor

que a)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la iquierda que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la i8"i$%da - #$%%ad , que !e grafica

&e e!cri'e &  a (equi! e! menor o igual que a) $ tam'i.n  ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que $8"i! e! menor o

igual que a)% !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la iquierda que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la d$%$#a - a1i$%t , que !e grafica

&e e!cri'e & ? a (equi! e! ma$or que a) $ tam'i.n  ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor que

equi!) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la dereca que a$ en la recta num.rica, $ que no inclu$en el valor de a% I)t$%/al i)=i)it '% la d$%$#a - #$%%ad , que !e grafica

&e e!cri'e & @ a (equi! e! ma$or o igual que a) $ tam'i.n  ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que equi! e! ma$or o

igual que a) !to !ignifica que la !olución para la inecuación !e encuentra en todo! lo! valore! entre a $ el infinito a la dereca que a$ en la recta num.rica, $ que inclu$en el valor de a%

Como vemo!, lo! intervalo! !e pueden repre!entar con corcete!, pero tam'i.n !e puede acer en forma de conunto6 emplo6  ($8"i! pertenece a lo! reale!, tal que a e! menor o igual que equi! $ equi! e! menor que 1)%

INECUACIONES 3a! i )$#"a#i)$!  !on d$!i"aldad$! al$1%ai#a!  en la que !u! do! miem'ro! !e relacionan por uno de e!to! !igno!6 > m$)% 8"$ & F ( > G  m$)%  i"al 8"$ & F (  G ? ma-% 8"$ & F ( ? G @ ma-%  i"al 8"$ & F ( @ G

3a !l"#i.) de una i)$#"a#i.) e! el conunto de valore! de la varia'le que la verifica% 3a !olución de la inecuación !e e+pre!a mediante6 (* U)a %$'%$!$)ta#i.) %=i#a* * U) i)t$%/al* E+ ] 1 ^ H E+ ^ 8 +^4 2, K5 INECUACIONES LINEALES &uponemo! que $a conocemo! lo! !ím'olo! _Z` (ma$or que), _^` (menor que), _\` (ma$or o igual que) $ _` (menor o igual que) que u!amo! para relacionar un n>mero con otro% !cri'imo!, por eemplo, K ?( para !e*alar que 4 e! ma$or que M1% Jam'i.n podemo! e!cri'ir  >  para !e*alar que ME e! menor que F% emplo! como e!to! !e conocen como d$!i"aldad$!% &a'ido e!to, diremo! que una inecuación e! el enunciado de una de!igualdad que inclu$e alguna de la! !iguiente! relacione! de orden6 _ma$or que`(Z)= _menor que` (^)= _ma$or o igual que` (\), $ _menor o igual que` ()% n la de!igualdad aparece al meno! una incógnita o valor de!conocido $ que !e cumple para cierto! valore! de ella% Si $l %ad d$ la i)$#"a#i.) $! ") 2d$ '%im$% %ad5, !$ di#$ 8"$ la i)$#"a#i.) $! li)$al* !to porque al e!cri'ir la! de!igualdade! u!amo! n>mero! $ por e!to mi!mo e! que podemo! u!ar la recta num.rica para vi!ualiar o graficar dica! de!igualdade!%

@'!erva que en la recta de arri'a6 K ? (, porque 4 e!tá a la dereca de M1 en la recta num.rica%   > , porque ME e!tá a la iquierda de F en la recta num.rica   > (, porque -F e!tá a la iquierda de M1 en la recta num.rica : ? K, porque 0 e!tá a la dereca de M4 en la recta num.rica  Bna inecuación lineal, entonce!, e! una e+pre!ión matemática que de!cri'e cómo !e relacionan entre !í do! e+pre!ione! lineale! * 2or eemplo6   & @ (= $ otro, 2&  5 > % INECUACIONES CUADRATICAS

3a! #necuacione! Cuadrática! !on aquella! que tienen la varia'le elevada al cuadrado $ !u !olución !e puede encontrar de do! forma!6 e!tudiando lo! !igno! de lo! factore! encontrado! luego de la factoriación o e!tudiando la función cuadrática% &i encuentra! la !olución por lo! factore! de'e! con!iderar todo! lo! po!i'le! !igno! que cumplan con la de!igualdad $ !i e! por la función una ve graficada !e o'!erva donde la función cumple con la de!igualdad% INECUACIONES RACIONALES

&on inecuacione! racionale!, aquella! en la! que tanto el numerador como el denominador  !on inecuacione! polinómica! cuadrática! o polinómica! de grado ma$or a E! uno de lo! que trae má! complicacione!, porque una inecuación racional e! una e+pre!ión de tipo fracción, donde la varia'le e!tá en el numerador $ el denominador%