Branislav Kuzmanović OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I. - Zbirka Zadataka i Pitanja

Branislav Kuzmanović OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I Zbirka zadataka i pitanja

Intelektualno je vlasništvo, poput svakog drugog vlasništva, neotuđivo, zakonom zaštićeno i mora se poštivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika.

CIP - Katalogizacija

u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica, Zagreb UDK 62 1 .3(075.8)(076) KUZMANOVIĆ, Branislav Osnove elektrotehnike I : zbirka zadataka i pitanja / Branislav Kuzmanović. - 1. izd. - Zagreb : ELEMENT,

2005.

ISBN 953-197-664"3 I. Elektrotehnika - Zbirka zadataka

4509290 1 1

ISBN

953-197-664-3

Branislav Kuzmanović

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I

Zbirka zadataka i pitanja

1.

izdanje

Zagreb, 2005.

@Prof. dr. se. Branislav Kuzmanović, 2005.

Urednica

Sandra Gračan, dipl. inž. Lektorica

Nikolina Ljubanović, prof. Crteži

Veronika Španić, prof. Slog i prijelom

Ana Vrban, dipl. inž. Dizajn ovitka

Julija Vojković

Nakladnik

ELEMENT, Zagreb, Menčetićeva 2

telefoni: 01/6008-700, 01/6008-701 faks: o1/6008-799 http://www.element.hr/ e-mail: [email protected]

Tisak

Element, Zagreb

SADRžAJ I. E LE KTROSTATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Osnovni pojmovi o elektricitetu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Električni naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

2. Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Statički naboj. Raspodjele statičkog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6

3. Električno polje... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Definicija električnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Električno polje točkastog naboja.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 1O 10

3.3. Električne silnice. Tok vektora if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Proračun elektrostatskog polja raspodijeljenog naboja . . . . . . . . . .

15 18

4. Gaussov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Tvrdnja i dokaz Gaussovog zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Primjene Gaussovog zakona.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21

5. Električni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Rad sile električnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Definicija električnog potencijala . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Potencijal raspodijeljenog naboja . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ekvipotencijalne plohe. Gradijent potencijala . . . . 5.5. Potencijal karakterističnih modela . . . . . . . . . . . . . 5.6. Energija električnog polja. Sila na plošni naboj.. . 5.7. Poissonova i Laplaceova jednadžba . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

25 25 26 30 31 34 37 39

6. Električni dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Potencijal i polje električnog dipola . .. . .. . . . . .. . .. .. .. .. . .

40 40

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

.

_

7. Vodič u elektrostatskom polju . . . .... . . . . . . . .. :·-: . . .. . . : ...�.:. . \� 41 7.1. Naelektrizirani vodič . . . . ... .... ... . .. .. . . . . . . . . .. :· . . . . . ·:· 41 7.2. Vodič u elektrostatskom polju. Elektrostatska indukcija . . . . . . . . . 41 7.3. Električno polje i sile na površini vodiča . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4. Raspodjela naboja na površini vodiča . . . .. . .. . . .... . ... . . 11 = 8µ Wb , odredite tok međuindukcije Cl>2 1 , kao i ulančani tok '1'2 1 . 3. Nađite međuinduktivitet po 1 km dužine između dvaju paralelnih vodova a1 - a2 i b1 - b2 prema slici 19.44 a) i b ). 4. Odredite inducirani napon Uab u trenutku t = 1 s ako se struja mijenja po zakonu i = 2 · ( l - e- 21) A . Zadanoje: k = 0.5 , L1 = 0.2 H, L2 = 0.05 H , L3 = O.I H (slika 19.45). 2.

L3 I

y \k -!___ a

,p s s=zzzt, L1

L2

Sl. 19. 45.

b

a

M

b

L2

c

Sl. 19.46.

Struja u dijelu kruga prema slici 19.46 raste brzinom 100 A/s. Odredite napone Uab i Uac ako je L1 = 0.2 H , L2 = 0.4H i M = 0.3 H . 6. Odredite napon Ucd ako je struja i1 = �t + 2 A , a L 1 = L2 = M = 20 InH (slika 19.47). 5.

19.8. MEĐUSOBNA INDUKCIJA 7.

163

Raste li struja i1 ili pada kada je napon na priključnicama µcd < O (slika 1 9.47). Kakav je pritom napon µab

?

a

b

4 Sl. 19.47.

8.

Sl. 19.48.

Dva su svitka induktivno vezana. Ako kroz svitak 1 teče struja /1 i stvara mag­ netski tok 1 1 = 8µWb , odredite 2 1 i '1'2 1 ako je zadano: L1 = 0.04 H , N1 = 500 zavoja, L2 = 0.08 H , N2 = 800 zavoja i k = 0.8 .

9. Odredite napone u12 , u34 (slika 1 9.48). Zadano je: i1 = 1 i2 = - 4e-2t + 1 A , L 1 = L2 = M1 2 = M2 1 = M = 20 mH .

1 t 2 e- + 2 A ,

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU

164

20.

Energija i sile u magnetskom polju

20.1 .

Energija induktivnog svitka u strujnom krugu

20.1 . Pitanja

I

1. Što je induktivna energija? 2. Kako se računa energija linearnog induktiviteta? 3. Kako se računa energija nelineamog induktiviteta?

I 20. 1 . Zadaci I

1. Kroz induktivitet Li

0. 1 H teče struja i V2 sin(3 14t + energiju u induktivitetu u trenutku t = 1 ms . =

=

A.

�)A. Izračunajte

2. Izračunajte induktivnu energiju induktiviteta zadanog '11 -i krivuljom na sli­

ci 20. 1 ako kroz njega teče struja I = 4 'Y (m Wb) 4

3

2 Sl. 20. 1.

4

J (A)

20.2. RASPODJELA ENERGIJE U MAGNETSKOM POLJU

165

3. Za koliko se promij eni magnetska energija torusnog svitka ako se broj zavoja poveća dva puta, a struja ostane nepromij enjena?

4. Tanki torusni svitak s N == 100 zavoja protjecan strujom I = 12 A ima jez­ gru čija je krivulja magnetiziranja B( T) = O.OJ/Ii (A/m), a presjek jezgre S = 1 cm2 i srednja dužina l = 1 m . Odredite energiju magnetskog polja u svitku.

Odredite magnetsku energiju u svitku u 4. zadatku, točka 19.7., kadaje struj a dosegla konačnu vrijednost.

5.

20.2.

Raspodjela energije u magnetskom polju

I 20.2. Pitanja I Gdje je smještena magnetska energija?

1.

2. Definirajte prostornu gustoću magnetske energije. 3. Kako se računa gustoća magnetske energije linearnih materijala?

4. Kako se računa ukupna energija u nekom volumenu ako je poznata njezina gustoća?

Može li se pomoću magnetske energije izračunati induktivitet i kako?

5.

I 20.2. Zadaci �

Izračunajte gustoću energije iz B-H dijagrama (slika 20.2) ako je H 200 A/cm .

1.

B(T) \ 1

I

---- - ----------------

=

. ---- - - - - --- --- --- - - - - -- - - ' I !

0.8 N

10 Sl. 20.2.

20

H (A/cm) Sl. 20.3.

2. Kolika je gustoća magnetske energije ako je H = lO A/cm , a B-H krivulja je dana na slici 20.2?

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU

166 µr

u zadatku 2?

3.

Koliki je

4.

Tanka torusna jezgra (slika 20.4) čija je B-H krivulja zadana na slici 20.4 c) ima N = 600 gusto motanih zavoja, te dimenzije a1 = 200 mm, a1 = 240 mm, h = 40 mm i 8 = 1 .5 mm . Ako je presjek zračnog raspora So = S i u njemu vlada indukcija Bo = 1 .2 T , odredite struju I i energiju magnetskog kruga. h

a)

b)

Sl. 20.4.

B (T)

2400

c)

H (A/m)

zračnom rasporu (slika 20.3) magnetska energija iznosi W0 = 0.04 J . Odredite struju I ako j e N = 100 zavoja, lo = 0.5 mm , lsr = 20 cm , S1 = So = 1 cm2 , B = 0.03VH, gdj e je (B) = T , a (H) = A/m .

5. U

6. Koliko je energije po jedinici volumena potrebno utrošiti na jedan ciklus mag­ netiziranja magnetskog materijala čija je petlja histereze dana na slici 20.5?

1B (T) 0.8

Sl. 20.5.

7. Magnetski krug izveden je prema slici 20.6 od materijala čija je krivulja mag­ netiziranja aproksimirana funkcijom B(T) = 0.05VH. Odre.dite struju I tako da u zračnom rasponu lo = 1 mm bude energija Wo = 1 .2 J . Zadano je: l = 20 cm , 10 = 1 mm , S = 8n cm2 , N = 500 zavoja, W0 = 1 .2 J, ! 1 = 21 , 12 = 4! , h = I , S1 = l .2S, S2 = S i S3 = 2S .

20.3. GUBICI U ŽELJEZU ZBOG HISTEREZE

167

- -, - - - - - - , - -r-� � l

L----

I I

I I I

I I I I I I

/3 , S 3 I I I _,_ _ _ _ _ _ _ J

Sl. 20.6.

20.3.

I

20.3.

Gubici u željezu zbog histereze Pitanja

I

1. Objasnite kako se mijenja gustoća energije magnetskog polja kod feromagnet­ skog materij ala. 2.

Nastaju li gubici u feromagnetskim materij alima zbog petlje histereze?

3. Kako se računaju gubici zbog petlje histereze?

I 20.3. Zadaci � 1. Odredite gubitke petlje histereze željeznog transformatora s jezgrom od 320 kg debljine d = 0.35 mm kod Bm = 1 .2 T i f = 50 Hz ako je crh = 0.025 . 2.

Kolika se energija troši po jedinici volumena u jednom ciklusu magnetiziranja ako je idealizirana krivulja magnetiziranja dana slikom 20.7?

168

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU B (T) 0 .8

-25

25

H(AJcm)

- 0 .8

Sl. 20. 7.

3. U jezgri od limova mase m = 1 O kg pri Bm = 1 .5 T određeni su ukupni gubici kod /1 = 42 Hz , P1 = 69 W , a kod h = 60 Hz, P2 = 1 16 W . Odredite

konstante limova ah i

4.

av

tog materijala.

Koliki su gubici u materij alu u prethodnom zadatku kod frekvencije f = 50 Hz i Bm = l .S T ?

20.4.

Energija induktivno vezanih svitaka

I 20.4. Pitanja I 1. Kako se računa magnetska energija dvaju međuinduktivno vezanih svitaka? 2. Ovisi li ukupna magnetska energija dvaju međuinduktivnih svitaka o među­

sobnom položaju i o smjerovima struje? 3. Kako se računa magnetska energija više induktivno vezanih svitaka? 4.

I

Kako se može izračunati međuinduktivitet pomoću energije magnetskog polja?

20.4. Zadaci

I

1. Izračunajte ukupnu magnetsku energij u na:

a) slici 20.Sa; b) slici 20.Sb. Zadanoje: L1 = O.S H , L2

= 0.2 H , M = 0.6 H .

20.5. RAČUNANJE SILA U MAGNETSKOM POLJU POMOĆU PROMJENE ENERGIJE

I

/

*

L1

_,--

M

l==2A

L2

a)

/=2A

*

,,.

Li

M

b)

-.....

L2

169

*

I

Sl. 20.8.

2.

Ako kroz spoj na slici 20.8a teče struja i = 2 sin(314t + �)A, izračunajte energiju u trenutku t1 = 1 ms.

Računanje sila u magnetskom polju pomoću promjene energ ije

20.5.

I 20.5. Pitanja I Napišite bilancu energij e dvaju međuinduktivno vezanih svitaka. 2. Na što se troši dio energij e izvora ako magnetska sila izvrši rad? 3. Kako se računa magnetska sila pomoću promjene magnetske energij e ako je: a) 'I' =konstanta; b) I =konstanta? Može li se moment rotacije odrediti pomoću magnetske energije? [ 20.5. Zadaci I 1 . U dugom solenoidu s N/ l zavoja po metru dužinskom i presjeka S nalazi se željezna jezgra ( µr 1 ) dužine (sl. 20.9). Ako kroz solenoid teče struja I, odredite silu i njezin smjer na željeznu jezgru, uz zanemarivanje rubnih uvjeta. 1.

4.

n =

x

>

® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

-

1 01 I - -

X X

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sl. 20.9.

2.

Odredite prosječnu snagu potrebnu za rotiranje konture u primjeru 19.20 (sl.19.26, OEl) ako se zanemari trenje. Zadano je: = b = lOcm, w = 80 s- 1 , B = 0.5 T, a ukupan otpor konture iznosi R = 0.6 Q . a

= c

REZULTATI RJEŠENJA ZA DATA KA

173

3. ELEKTRIČNO POLJE

1. Osnovni pojmovi o elektricitetu

1.

3.

., b) 14.98 · 10 16 C. 2. a) NAg 5.86 · 1028 elektrona 3 m Qpr = 418.66 · 109 C. _ -

Vi

_

-

0.0307m3 .

2. Coulombov zakon

[EJ t.

4.

Q = 2 - 10-10 c . 2. Q = 5.024 . 10-10 c. Q = 0.01 nC. Q = 4n . 10-15 C. 5.

3.

Q = 16.741 - 10- 12 c.

= 4 N. 2. f = -0.4866 . 10-6rn. 3. F1 = -0.525 . 1 o-6rn. F3 = -0.95625iN. 6. f2 = o.165625iN. F2 = i.012 . 10-6rn. F = (-2.58751:'- 1.3375.7) . 10-6N' IFI = 2 . 9127 . 10-6N. 9. F3 = o.l15JN. s. F3 = o.288JN. 10. Fe = 82.24nN; T 1.523 · 10-16 s, = 4.124 · 10 1 6 (r/s). 11. Q = 202.26nC. 12. F3 = O ; = 4.124cm. 13. F = 86.4µN. . 14. f = 3.6 10-6JN. 15. Q2 o i Ql = - Q2 . 16. a) f1 o , b) F2 = 0.1449.fN , c) f3 = -0.36JN, d) F4 = 0.45?:N, av'2 e) Fs = -0.45iN. 17. T(O, ±--) . 1 8. F = 0.541:' + 2.12625j, 2 22 IFI = 2.19375 . 19. a) nAg = 0.5581 · 10 atoma, b) 0.8336 · 10-9%. 20. F = 4N.

1 . F2 4. 7.

5.

==

>

==

3 . Električno polje

[EJ 1. E

= 3 · 103 V/m.

x

w

RJEŠENJA ZADATAKA IZ ELEKTROSTATIKE

174

1. Q = 5.55 1 0- 6 C . 2. a) E1 = O ; b) E2 = 90f V m; c) E3 = 28.98f V m; = -90i V m; e) Es = -28.98J V m. 3. a) E1 = 1 8f V m; b) E2 = -72f V m; c) E3 = 14.49f V m; d) E4 = -72f V m; e) E5 = 14.49f V m. 4. E = 27002 + 3600) V /m, IEI = 4500 V/m. 5. E = -68.47f+ 334.59) V/m, IEI = 341 . 526 V/m. 6. E = 3 l . 82f + 32.2f V /m, IEI = 45.27 V/m. 8. E = 6.3 1 k V/m. 7. E = - 15.91f - 63.64) V/m, IEI = 65.6 V /m. 9. ff = - 3 . 1 555 k . 10. X = 0.0366 m , ·

-+

-+

-t

d) E4

-+

E

X

11. x = - 13 .66 cm . 12. E = 1 .018.23f V/m. 13. a) EA = 0.391 5f + 0.4212) + 0.5366 k , b) EA = - 0.8055f + 1 .5888f 1 .5777k . 14. a) EA (Q2 ) = - 1 .8 106 f V/m, b) E = -0.42 · I 06f V/m. 16. EA = 1 600 V/m. 15. E1 = - 12882 V/m, E2 = O , E3 = 1288f V/m. I 17. E' ·

!U! \( X �i i

+Q

\ I

I I

1 -Q

d

I

I

18. E1 = 0.5 · 106 f V/m, E2 0.2 106f V /m. 19. x = 20 cm . . 20. Q2 = 0.36356 10- 6 C . 21. E = - 104.436f - 63 .64) V/m, IEI = 122.3 V/m. 22. E = - 13 127.21 f-5 927.21fV/m, IEI = 14403.3i V/m. 23. IEI = 1 190.59 V m. =

·

·

4.

175

GAUSSOV ZAKON

[EJ

Vm. 2. E = 120 Vm. 3. Ex = 6000 V/m, Ey 2000 V/m. 4. f EdS EQQ . E = 44 Vm. 6. = 1 8n Vm. 7. E 1 88.747 kV/m. 8. a1 = 49. 107° . 1. E

=

240

S

=

A 1. E (x = O ) = 4ne0y 3.

Q2

4.

� ) 2 l

V \2J 1

2

3 . 17. .

=

[

=

v

11.

2 y = . 2 neoa +

).

(z+ fJ 4ne a ' E = 4ne a v 2 . o o A

µ;

y OE l na +gornjoj polovici prstena je Qi , a na donjoj . koQ ko (2 Q1 - Q) .

= Q Q1 , pa Je trazeno po1Je

E

-+

2· E =

·

-E - EyE ;� c� y - v'if,l+ y,)

Prema slici

6. E = 8.

·

5.

=

=

5.

a)

=

cos a;Ez = r2

r =

11.

1

2 nEo 7.

2

E

Jn2 =

:

+1;

20

(j

(1

4Eo .

sma .

r2

b) Er = O .

:+ y'

Ja

).

4. Gaussov zakon

I 4.1 . i 4.2. I

s1

2.

r � a.

( ) E-+ -- -

Eu = 3pEoa3r2 ; r � a . a3 Eu = _!!_ r- 2 ; r 3 Eo 7.

=

).

2ndeo

i

-+

4.

�

. Q1 + Q2 Q1

Q . f EdS = 8 Eo 1

5.

3.

8

).

E1 = O;

2rcd../3eo

E2 = 0.21 57 . 106 r v/m.

J, -+

·

pr ...L ; E1 = ...:. 3 EQ

-s

6.

pr E1 = ; 2 Eo

O � r < a1 ,

O � r � a,

O � r � a,

RJEŠENJA ZADATAKA IZ ELEKTROSTATIKE

176

9.

10.

E

E

(J

I

"Eo o o

X I

X2

-(J &o

i::o

2cr

Sl. 1.

11.

12. 60 (J

eo

o

X

X

Sl. 2.

:.t o

X

X:l

�

I

X

x

X

i

- cr "Eo

Sl. 3.

Sl. 4.

13. E 2cr

o

X

Q1 , 0 < r < a1 , a = 0.157m . 15. E1 = 4ne0r 2 1 + Qz , a2 � r � a3 , Em = Q1 + Q2 + Q3 ETI = Q4ne 4neor2 or2 16. E 1 = 45 V m, E2 = 22.5 V m, E3 = O . A M A (_, ;;'I i + J1 , E = 17. E = neod neod v 2 . 14.

_,

-

-

,

r

?

a3 .

5. ELEKTRIČNI POTENCIJAL

177

5. Električni potencijal

1. a) W 1 J,b) d1 = 0. 1 25 m . 2. A = 0.3375 µJ, rad izvršio sustav nabo­ ja. 3. A = - 1 J, rad izvršila vanjska sila. A = -0. 1 2 µJ, rad izvršile vanjske sile. 5. A = 0.27 µJ, rad izvršio sustav naboja. 6. W = 0 .2 J . 2 mJ, rad izvršio sustav naboja. 8. A 3 . 528 µJ . 7. A =

4.

=

=

d ( Q1 - Q2 ) · x(d + x ) 3.