Br Gallegos

THREE DIMENSIONAL SEISMIC ANALYSIS WHIT EMPHASIS ON PERFORMANCE-BASED SEISMIC ENGINEERING SECOND EDITION

by Byron Gallegos Ortiz

MACHALA- ECUADOR MAYO 2006

By : Byron Gallegos Ortiz

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ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL CON EMFASIS EN INGENIERIA SISMICA BASADA EN DESEMPEÑO SEGUNDA EDICION

por Byron Gallegos Ortiz

MACHALA- ECUADOR MAYO 2006

By : Byron Gallegos Ortiz

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ANÁLISIS MATRICIALES PREVIOS Para realizar un análisis sísmico por desempeño se tiene que realizar primeramente un análisis dinámico pero sin inercias agrietadas, ya que hay que utilizar ciertos valores de las propiedades dinámicas de la estructura en el transcurso del análisis, con el objetivo de acercarse en lo más posible a la manera de cómo calcula ETABS v8.26 el punto de desempeño, así que necesitaremos las siguientes tablas: Vectores propios Am; Factores de participación modal, hay que tomar que cuando se normalice los modos esto se lo debe hacer para 1 y no para el promedio de las masas y que todo el análisis para obtener estas tablas se lo debe realizar sin inercias agrietadas.

Vectores Propios Am Modo Am u1 u2 u3 v1 v2 v3 θ1 θ2 θ3

Am1

Am2

Am3

Am4

Am5

Am6

Am7

Am8

Am9

-0.003382 -0.007437 -0.010615 0.076428 0.173886 0.239584 -0.001289 -0.003049 -0.004384

-0.078883 -0.175021 -0.237032 -0.004330 -0.008982 -0.010814 -0.001445 -0.003221 -0.004397

0.006572 0.016127 0.014262 -0.014026 -0.018842 -0.003766 -0.020435 -0.045021 -0.059868

-0.005809 -0.003860 0.007123 0.175720 0.123121 -0.214403 -0.002697 -0.004125 -0.000134

0.178454 0.118539 -0.214893 0.007532 0.003689 -0.007604 0.003692 0.002450 -0.004119

-0.014345 -0.009398 0.017675 0.028123 -0.011392 -0.001329 0.044192 0.023674 -0.059723

-0.000077 0.000826 -0.000928 0.209500 -0.166767 0.092426 -0.004339 -0.002122 0.006030

-0.207553 0.168881 -0.094918 -0.000378 0.000673 -0.000585 -0.003370 0.003540 -0.001808

-0.015309 0.012829 -0.007546 -0.001760 -0.001552 0.002616 0.047317 -0.042103 0.030408

Tabla 1

Factores de Participación Modal MODO

 2 3 4 5 6 7 8 9

y

x

MODO

 2 3 4 5 6 7 8 9

5.429363643 -0.271200364 -0.460679258 1.90757296 0.074374188 0.178077436 1.129383576 -0.000731398 -0.019248962

-0.236876155 -5.452019847 0.426235425 -0.059906995 1.874581179 -0.145343766 0.001977117 -1.099135388 -0.080885527

Tabla 2

Sentido X To=0.41826 seg

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Sentido Y To=0.4362196 seg

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DEMANDA SISMICA La demanda sísmica generalmente se representa por medio de un espectro de respuesta, el cual presenta la respuesta máxima de sistemas SDOF como una función de sus frecuencias. Tradicionalmente, en la ingeniería estructural, se ha utilizado un espectro de respuesta de aceleraciones para procedimientos de análisis y diseño de estructuras basados en las fuerzas. Sin embargo, durante los últimos años se ha identificado que los parámetros más relevantes en el diseño son los desplazamientos y las deformaciones. Por lo tanto, se ha promovido el uso de espectros de respuestas en el formato AD(SA vs SD) para propósitos de diseño basado en el desempeño sísmico( ATC-40,FEMA 273. Como su nombre lo indica, en este diagrama se gráfica en el eje de ordenadas la aceleración espectral y en las abscisas el desplazamiento espectral. Las líneas radiales que parten desde el origen, corresponden a periodos constantes Ti. La ventaja de este formato es que la capacidad y la demanda pueden superponerse en el mismo diagrama, permitiendo una solución grafica del nivel de desempeño de una estructura. Es importante notar que este formato es tan solo una representación diferente de los mismo datos del espectro de respuesta.

Espectro de Respuesta formato AD o ADRS

Aceleración espectral

Espectro de Respuesta CEC 2000

Periodo T

Desplazamiento espectral

Como se redacto anteriormente la demanda sísmica se caracteriza usando el espectro de respuesta elástico de aceleración típicamente definido para un amortiguamiento del 5% (CEC200). El procedimiento para construir el espectro de demanda sísmica en el formato AD o ADRS es el siguiente: 1. Cálculo del espectro inelástico de aceleraciones ( SA vs T), el CEC 2000 establece el uso de un espectro inelástico de aceleraciones normalizado, el cual ha sido utilizado en el análisis estático y dinámico.

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ESPECTRO INELASTICO ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.0

0.5

1.0

1.5 2.0 PERIODO T (seg)

2.5

3.0

3.5

2. Cálculo del espectro inelástico de desplazamientos ( Sa vs Sd ), Sd se calcula aplicando la siguiente expresión: T2 Sd  Sa 42 donde : Sa aceleración correspondiente a cada punto “i” del espectro de respuesta T periodo correspondiente a cada punto “i” del espectro de respuesta 3. Construcción del espectro inelástico en formato AD o ADRS, las líneas radiales son las pendientes de 1/T2 .

ESPECTRO DE DEMANDA 0.8 ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.5 seg

0.7 0.6 1 seg

0.5 0.4 0.3

2 seg

0.2

3 seg

0.1 0 0

5

10

15

20

25

30

35

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

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CAPACIDAD ESTRUCTURAL La capacidad de una estructura depende de la resistencia y deformación máxima de sus componentes individuales. Para determinar sus capacidades mas allá del límite elástico, es necesario utilizar algún tipo de análisis no lineal, como por ejemplo, el análisis estático no lineal (análisis pushover). Este procedimiento usa una serie de análisis elásticos secuenciales, que se superponen para aproximarse a un diagrama conocido con el nombre de curva de capacidad. Este curva relaciona las fuerzas en la base (cortante basal, V) y los desplazamientos (D) en el nivel superior de la estructura. El modelo matemático de la estructura se modifica para tener en cuenta la reducción de resistencia de los elementos que ceden. De esta forma, se aplican una serie de fuerzas horizontales, las cuales se incrementan de manera monotónica hasta que la estructura alcanza su capacidad máxima.

Figura 2

La curva de capacidad se construye generalmente para representar la respuesta del primer modo de la estructura, basado en la hipótesis según la cual el modo fundamental de vibración se corresponde con la respuesta predominante, Esto es generalmente válido para estructuras con períodos propios menores que 1 s. Para estructuras más flexibles, el análisis debe considerar la influencia de los modos más altos vibración. Análisis estático no lineal (Análisis " Pushover ”) El análisis estático no lineal es una técnica simple y eficiente para estudiar la capacidad, resistencia-deformación, de una estructura bajo una, distribución esperada de fuerzas inerciales. Este análisis se realiza sometiendo a la estructura a un patrón de cargas laterales Fi que se incrementan de manera monotónica hasta que la estructura alcanza su capacidad máxima. Utilizando este procedimiento, es posible identificar la secuencia del agrietamiento, cedencia y fallo de los componentes, los estados límites de servicio y la historia de deformaciones y cortantes en la estructura que corresponde a la curva de capacidad.

Figura 3 By : Byron Gallegos Ortiz

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La forma de la distribución de las fuerzas laterales, constantes, lineal, parabólica, etc., aplicada a una estructura, influye en la determinación de la curva de capacidad. Considerando que no existe un único patrón de cargas, una solución práctica puede ser utilizar por lo menos dos distribuciones diferentes y definir la curva de capacidad como la envolvente de los resultados obtenidos con ambas distribuciones (Fajfar, 2000). Para realizar de forma directa un análisis estático no lineal, existen varios programas entre los cuales se destacan el SAP2000, ETABS, DRAIN-2D, el IDARC-2D, etc. No obstante, es importante tener en cuenta, que, aunque este procedimiento se basa en los desplazamientos y trata la no-linealidad; tiene algunas limitaciones fundamentales que deben ser consideradas en la aplicación e interpretación de los resultados obtenidos. A continuación se comentan algunas de estas limitaciones.  Existe un consenso general en que el daño estructural es una función tanto de la deformación como de la energía. El procedimiento utilizado en el análisis pushover implícitamente asume que el daño depende sólo de la deformación lateral de la estructura, despreciando los efectos de duración y disipación de la energía acumulada. Por lo tanto, la aplicabilidad de esta medida del daño es algo simplista, particularmente para estructuras no dúctiles, cuyos cíclicos histeréticos inelásticos presentan un fuerte estrechamiento y una forma errática.  El análisis pushover se centra sólo en la energía de deformación de una estructura, con lo cual, este procedimiento puede conducir a despreciar la energía asociada a las componentes dinámicas de las fuerzas, es decir, la energía cinética y la energía de amortiguamiento viscoso.  Los efectos de torsión producidos por las variaciones de resistencia y rigidez no pueden ser considerados con un análisis pushover, debido a que es un análisis en dos direcciones.  Los cambios progresivos en las propiedades modales que ocurren en la estructura cuando experimenta cedencia no lineal cíclica durante un sismo, no son considerados en ese tipo de análisis. Análisis estático no lineal en ETABS v8.26 o SAP2000 v8.25 El procedimiento paso a paso para determinar la curva de capacidad se encuentra descrito por varias maneras y por deferentes autores, ya sea en el mundo del Internet o en tesis elaboradas en acorde al análisis Pushover, como referencia recomendamos el siguiente documento para su lectura y aplicación: SAP2000, “ Detailed tutorial including pushover analysis “. CSI 1998 En el anterior documento se describe con exactitud como obtener la curva de capacidad de una estructura ya sea en SAP2000 o en ETABS.

Tomando en cuenta todo el procedimiento del documento anterior y las recomendaciones de FEMA 273 para aplicar el análisis no lineal Pushover, se obtuvieron las siguientes curvas de capacidad de la estructura. By : Byron Gallegos Ortiz

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Capacidad en X

Capacidad en Y

CURVA DE CAPACIDAD

90

CORTANTE BASAL (Ton)

80 70 60 50 40 30

SENTIDO Y

20

SENTIDO X

10 0 0

5

10

15

DESPLAZAMIENTO (cm)

Curvas de Capacidad en X y en Y

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CURVA IDEALIZADA FUERZA- DESPLAZAMIENTO La representa bilineal de la curva de capacidad se la utiliza para estimar el espectro de demanda reducido llamado también espectro inelástico. Para obtener esta representación, es necesario definir el punto de cedencia y el punto de agotamiento de la capacidad o desempeño de la estructura. En la actualidad, no existe un consenso dentro de la comunidad internacional para la definición de estos dos puntos. Han sido formuladas varias propuestas, que se traducen en un amplio espectro de desplazamientos limites y ductilidades. Así por ejemplo, el desplazamiento de cedencia se puede definir como: a) El punto de intercepción de la rigidez tangente inicial con la resistencia nominal. b) La intercepción de la rigidez secante a través de la primera cedencia con la resistencia nominal. c) El desplazamiento en la primera cedencia, entre otras posibilidades. El desplazamiento ultimo, también ha sido definido de diversas formas: a) El desplazamiento correspondiente a la resistencia máxima. b) El desplazamiento correspondiente al 20% o 50% de la resistencia pico o nominal. c) El desplazamiento en la fractura inicial del refuerzo transversal. Bajo las condiciones anteriormente citadas existen cuatro criterios básicos, para la determinación del punto de fluencia, son los siguientes:    

Criterio de las Rigideces Tangentes Criterio de las Áreas Iguales Criterio de la Rigidez Tangente Horizontal Ajuste por Mínimos Cuadrados

El procedimiento propuesto por FEMA-273 para obtener la representación bilineal de la curva de capacidad, es uno de los mas ampliamente utilizados dentro de la comunidad internacional, este explica que los segmentos de la curva idealizada deberían ser localizados usando un procedimiento grafico iterativo que aproximadamente balanceé el área bajo y sobre la curva, es decir el criterio de áreas iguales, la rigidez efectiva lateral Ke, debería ser tomada como la rigidez secante calculada en base a la fuerza cortante igual al 60% del cortante de cedencia Vy de la estructura. El cortante de cedencia no debe ser tomado como mayor que la máxima fuerza cortante de cualquier punto a lo largo de la curva.

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Figura 4

El proceso de FEMA se lo puede describir en los siguientes pasos: 1. Definición preliminar del desplazamiento último Du y el correspondiente valor de cortante en la base Vu al que puede llegar la estructura antes que se inicie el mecanismo de colapso, la selección de este punto preliminar esta en función de la curva de capacidad en la figura 3 se observa la ubicación del punto conforme es la curva de capacidad, el punto es preliminar porque el desplazamiento ultimo es el punto de desempeño. Teniendo en cuenta la forma de cada curva de capacidad escogemos Du en función del máximo cortante antes de llegar al mecanismo de colapso, ya que esta forma se presenta en la figura 3ª, así tenemos que:

Punto de colapso

Capacidad en X

Capacidad en Y

Du Vu

12.8372 cm 83.173 ton

13.357 cm 77.939 ton

2.Cálculo del área bajo la curva de capacidad Acurva , utilizando un método de integración numérico, por ejemplo la regla de los trapecios.

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Definición de la Regla de los trapecios Sea f continua en [a,b]. La regla de los trapecios para aproximar



b a

f ( x) dx viene

dada por:



b a

f ( x) dx 

ba  f ( xo )  2 f ( x1 )  2 f ( x2 )    2 f ( xn1 )  f ( xn ) 2n

Además, cuando n   el miembro de la derecha tiende a



b a

f ( x) dx , siendo n el

numero de partes en que se divide la curva.

Figura 5

Definido el desplazamiento preliminar ultimo, se procede a la aplicación de la regla de los Trapecios para calcular el área bajo la curva en cada sentido, así tenemos:  Acurva en sentido X = 885.2062 ton-cm  Acurva en sentido Y = 883.1272 ton-cm 3. Estimación del cortante basal de cedencia Vyi . Este valor, que es un primer paso, se elige arbitrariamente, y se redefine mediante un proceso iterativo que iguala las áreas bajo la curva real Acurva y la curva bilineal idealizada Abilineal . El superíndice indica el paso “i” del proceso iterativo. En el primer paso “ i = 1” ,escogemos arbitrariamente Vy, así tenemos : Capacidad en X Vy = 65 ton

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Capacidad en Y Vy = 65 ton

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4. Calculo de la pendiente inicial Kei de la curva bilineal. Se obtiene uniendo con una línea recta el origen O y el punto sobre la curva de capacidad real con un cortante basal igual a 0.6Vyi . Para ello son necesarios los siguiente pasos :  Apartir de los datos del análisis pushover , se determina el desplazamiento Di0.6 correspondiente a un cortante basal igual a 0.6Vyi .

Capacidad en X 0.6Vy = 39 ton D en 0.6 Vy = 0.9377 cm

Capacidad en Y 0.6Vy = 39 ton D en 0.6 Vy = 1.0574 cm

 La pendiente Kei corresponde a la rigidez lateral efectiva de la estructura y se calcula mediante la siguiente ecuación:

Ke  i

Capacidad en X Ke = 41.588 ton/cm

0.6 V y

i

D i 0.6 Capacidad en Y Ke = 36.8796 ton/cm

5. Calculo del desplazamiento de cedencia Diy , el cual se lo calcula con la ecuación siguiente:

D

i

y

Viy  i Ke

Figura 6

El punto A en la figura anterior corresponde a un cortante basal Vyi y un desplazamiento Dyi. Capacidad en X Dy = 1.56 cm

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Capacidad en Y Dy = 1.76 cm

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6. Definición de la curva bilineal, se define mediante las restas OA(de 0,0 a Dy,Vy ) y AB( de Dy,Vy a Du,Vu ). 7. Calculo del factor reductor α de la rigidez de la estructura después de la cedencia, mediante la siguiente ecuación : Vu 1 Viy i   Du 1 Dii Capacidad en X α = 0.03876

Capacidad en Y α = 0.03026

8. Calculo del área bajo la curva bilineal OAB, Aibilineal ,mediante la ecuación siguiente:

Abilineal 

V y Du  Vu Du  Vu D y 2

Capacidad en X A = 886.0663 ton-cm

Capacidad en Y A = 885.9491 ton-cm

9. Se determina el error ε en la representación bilineal como :



Ai bilineal  Acurva x100 Acurva

Capacidad en X ε = 0.10 %

Capacidad en Y ε =0.32 %

si el error ε excede el nivel de tolerancia preestablecido, generalmente 5%, se requiere de un nuevo proceso iterativo, por lo cual se comienza de nuevo como:  Se calcula un nuevo valor de cortante basal de cedencia con la ecuación :

V yi 1  V i y

Acurva Ai bilineal

Para el segundo paso “ i = 2 “ Capacidad en X Vy = 64.937 ton

Capacidad en Y Vy = 64.793 ton

si desea puede utilizar otros métodos apropiados.  Se repiten los pasos del 4 al 8 con el nuevo valor de Vyi+1.

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Resultados del procedimiento iterativo para obtener la curva bilineal en X Iteración

Vy

0.6Vy

D0.6Vy

Ke

Dy

No

Ton

Ton

cm

Ton/cm

cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

65.000 64.937 64.898 64.874 64.858 64.849 64.843 64.840 64.837 64.836 64.835 64.835 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834 64.834

39.00000 38.96214 38.93867 38.92410 38.91506 38.90945 38.90597 38.90380 38.90246 38.90162 38.90111 38.90078 38.90058 38.90046 38.90038 38.90033 38.90030 38.90029 38.90027 38.90027 38.90026 38.90026

0.93777 0.93663 0.93593 0.93550 0.93523 0.93506 0.93495 0.93489 0.93485 0.93482 0.93481 0.93480 0.93479 0.93479 0.93479 0.93478 0.93478 0.93478 0.93478 0.93478 0.93478 0.93478

41.58814 41.59804 41.60418 41.60800 41.61037 41.61185 41.61276 41.61333 41.61368 41.61390 41.61404 41.61412 41.61417 41.61421 41.61423 41.61424 41.61425 41.61425 41.61425 41.61426 41.61426 41.61426

1.56295 1.56106 1.55989 1.55916 1.55871 1.55843 1.55825 1.55815 1.55808 1.55804 1.55801 1.55800 1.55799 1.55798 1.55798 1.55797 1.55797 1.55797 1.55797 1.55797 1.55797 1.55797

 0.03876 0.03888 0.03895 0.03900 0.03903 0.03904 0.03905 0.03906 0.03906 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907

Área

Error

Ton cm

%

886.0663 885.7399 885.5375 885.4119 885.3339 885.2855 885.2555 885.2368 885.2252 885.2180 885.2136 885.2108 885.2091 885.2080 885.2073 885.2069 885.2067 885.2065 885.2064 885.2063 885.2063 885.2063

0.10 0.06 0.04 0.02 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

CURVA DE CAPACIDAD EN X 90

CORTANTE BASAL (Ton)

80 70 60 50 40 30

REAL

20

BILINEAL

10 0 0

5

10

15

DESPLAZAMIENTO (cm)

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Resultados del procedimiento iterativo para obtener la curva bilineal en Y Iteración

Vy

0.6Vy

D0.6Vy

Ke

Dy

No

Ton

Ton

cm

Ton/cm

cm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

65.000 64.793 64.666 64.588 64.540 64.511 64.493 64.481 64.475 64.470 64.468 64.466 64.465 64.465 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464 64.464

39.00000 38.87578 38.79965 38.75290 38.72416 38.70648 38.69560 38.68890 38.68477 38.68223 38.68066 38.67970 38.67910 38.67874 38.67851 38.67837 38.67829 38.67823 38.67820 38.67818 38.67817 38.67816 38.67816 38.67815

1.05749 1.05297 1.05020 1.04850 1.04746 1.04681 1.04642 1.04617 1.04602 1.04593 1.04587 1.04584 1.04582 1.04580 1.04580 1.04579 1.04579 1.04579 1.04578 1.04578 1.04578 1.04578 1.04578 1.04578

36.87967 36.92000 36.94489 36.96024 36.96970 36.97553 36.97912 36.98134 36.98270 36.98354 36.98406 36.98438 36.98457 36.98469 36.98477 36.98481 36.98484 36.98486 36.98487 36.98488 36.98488 36.98488 36.98488 36.98489

1.76249 1.75496 1.75034 1.74750 1.74576 1.74469 1.74403 1.74362 1.74337 1.74322 1.74312 1.74306 1.74303 1.74301 1.74299 1.74298 1.74298 1.74298 1.74297 1.74297 1.74297 1.74297 1.74297 1.74297

 0.03026 0.03069 0.03095 0.03111 0.03121 0.03127 0.03131 0.03133 0.03135 0.03136 0.03136 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137

Área

Error

Ton cm

%

885.9491 884.8599 884.1925 883.7826 883.5306 883.3756 883.2802 883.2214 883.1852 883.1629 883.1492 883.1407 883.1355 883.1323 883.1304 883.1291 883.1284 883.1279 883.1276 883.1275 883.1274 883.1273 883.1272 883.1272

0.32 0.20 0.12 0.07 0.05 0.03 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

CURVA DE CAPACIDAD EN Y

90

CORTANTE BASAL (Ton)

80 70 60 50 40 30

REAL 20

BILINEAL

10 0 0

By : Byron Gallegos Ortiz

5 10 DESPLAZAMIENTO (cm)

15

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METODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD El método del espectro de capacidad fue propuesto por Freeman 1975, como un método rápido para la evaluación de riesgo sísmico. Posteriormente fue utilizado para correlacionar movimientos sísmicos con las observaciones del desempeño de construcciones existentes(ATC 82). En la actualidad , el método constituye un procedimiento simple para determinar el punto de desempeño de una estructura cuándo se ve sometida a movimientos sísmicos de diferente intensidad. Mediante un procedimiento grafico, se compara la capacidad para resistir fuerzas laterales con la demanda sísmica, representada por medio de un espectro de respuesta reducido(Freeman 95) .La representación grafica hace posible una evolución visual de cómo podría comportarse la estructura cuando se somete a un determinado movimiento sísmico. La capacidad de la estructura se representa por medio de una curva que relaciona la fuerza lateral, cortante basal V, con el desplazamiento en la parte superior D. Esta curva se puede obtener mediante un análisis pushover . Para comparar directamente la demanda con la capacidad de la estructura, ambos parámetros se convierten a un grupo de coordenadas espectrales usando las característica dinámicas del modo fundamental, que representa la estructura como un sistema de un solo grado de libertad (SDOF); a esta representación se la conoce con el nombre de espectro de capacidad. La demanda sísmica se representa por medio de un espectro inelástico en formato ADRS ( Sa vs Sd ) , que considera la respuesta no lineal de la estructura. El espectro inelástico se obtiene a partir de la reducción del espectro elástico lineal, por medio de un amortiguamiento histéretico equivalente (βeq) ;para determinar el punto de desempeño de la estructura se superponen los espectros de demanda y capacidad sísmica. Este punto debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. Debe estar sobre el espectro de capacidad para representar a la estructura en un determinado desplazamiento. 2. Debe estar sobre el espectro de demanda(reducido a partir del espectro elástico) que representa la demanda no lineal en el mismo desplazamiento estructural. En la mayoría de los casos, la determinación del punto de desempeño, requiere de un procedimiento iterativo de ensayo y error para satisfacer los dos criterios especificados. Sin embargo, actualmente existen algunos procedimientos que estandarizan y simplifican este proceso iterativo(ATC 96).

Dos herramientas son necesarias para el desarrollo del Método del Espectro de Capacidad: una es la curva de capacidad que relaciona el cortante basal V y el desplazamiento en máximo en el tope del edifico D y la otro es el diagrama de demanda, representada por el espectro de respuesta de aceleraciones. By : Byron Gallegos Ortiz

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Representación bilineal de la curva de capacidad El MEC utiliza la representación bilineal de la curva de capacidad para estimar el amortiguamiento viscoso equivalente βeq (ATC- 40). Este procedimiento es diferente al propuesto en FEMA –273 y su obtención sigue los siguientes pasos : 1. Se dibuja una línea recta que parte desde el origen (punto O) con una pendiente igual a la rigidez inicial Ki de la estructura en el rango elástico 2. Se define un punto de desempeño de prueba ( dpi Vpi ), denotado con la letra P. 3. Se traza una línea que va desde el punto P hasta cortar la línea definida en el paso 1. La pendiente de esta segunda línea debe ser tal que cuando intercepte la primera, en el punto A, de coordenadas (dy , Vy ) , las áreas A1 y A2, que quedan respectivamente por encima y por debajo del espectro de capacidad y su representación bilineal tengan la misma energía. El punto A representa la cedencia de la estructura, en el formato bilineal. 4. Se define la representación bilineal de la curva de capacidad uniendo con una línea los puntos OAP.

P

Vpi Espectro de Capacidad

A2

A

Vy

A1

Ki

dy

Modelo bilineal

dpi

Amortiguamiento Viscoso equivalente ζ eq y espectro de demanda reducido según ATC-40 El amortiguamiento que ocurre cuando un movimiento sísmico lleva a una estructura dentro del rango inelástico puede ser visto como una combinación de un amortiguamiento viscoso, que es inherente a la estructura (generalmente igual al 5%) y un amortiguamiento histéretico ζo , que esta relacionado con el área interior de los lazos que se forman cuando By : Byron Gallegos Ortiz

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se grafica la fuerza sísmica(cortante en la base) frente al desplazamiento de la estructura. De esta forma, el amortiguamiento viscoso equivalente ζ eq puede ser representado como :

 eq   o  0.05 El termino ζo se calcula cono la expresión siguiente:

o 

1 ED 4  ES

donde la energía disipada en el sistema inelástico esta dado por ED y la energía absorbida por el sistema es dada por ES. Ambas energías se pueden calcular a partir de los puntos característicos de la representación bilineal del diagrama de capacidad.

Vpi =( 1 +

Vpi

-

Vpi

)

Vpi =( 1 +

-

)

P

P

Ki

Vy

A

1

ES

E

A

Vy 1

Ksec

Ki dy

ED

dy

dpi

dpi C

D

Hallando las respectivas energías la ecuación queda así:

o 

2 (   1)(1   )   (1      )

reemplazando en la ecuación :

 eq  0.05 

2 (   1)(1   )   (1      )

La ecuación anterior es valida para sistemas estructurales dúctiles y periodos de vibración relativamente cortos. No obstante, un factor modificador k suele incluirse para considerar el comportamiento de la estructura, en función de la capacidad del sistema resistente y de la duración de la vibración(ATC-40).

 eq  0.05  k

2 (   1)(1   )   (1      )

con ζo limitado a 0.45. Aunque la base para seleccionar este limite superior en amortiguamiento no esta expresado explícitamente, ATC-40 manifiesta que “ El comité quien desarrollo estos coeficientes de amortiguamientos concluyó que el espectro no By : Byron Gallegos Ortiz

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debería ser reducido a esta magnitud a valores mas altos y justamente fijar un limite absoluto en (0.05+ζo ) de alrededor del 50 %”.

El factor modificador de amortiguamiento k , depende en el comportamiento histerético del sistema, caracterizado por tres tipos : tipo A denota un comportamiento histerético estable, razonablemente lasos histeritico totales, mientras que el Tipo C representa severos lasos histeréticos degradados o una notable reducción del área energética ; el Tipo B denota un comportamiento histerético intermedio entre los Tipos A y c. ATC-40 contiene ecuaciones para k como una función de ζo para los tres tipos de comportamiento histerético. En el grafico anterior denota los limites inferior y superior de k para cada comportamiento así para : Tipo A tiene un limite superior de 1 e inferior de 0.77, para Tipo B tiene un limite superior de 2/3 e inferior de 0.53 y para el tipo C el factor k constante e igual a 1/3. La tabla siguiente muestra los valores del factor modificador para diferentes tipos de comportamiento estructural, que varían desde estructuras con una buena disipación de energía (Tipo A) hasta estructuras con un comportamiento histerético bastante deficiente (Tipo C). Comportamiento Histerético Tipo A Tipo B Tipo C

ζo

k

≤ 0.1625 > 0.1625 ≤ 0.25 > 0.25 Cualquier valor

1 1.13 – 0.51π ζo / 2 2/3 0.845-0.446 π ζo / 2 1/3

El espectro de demanda reducido se obtiene a partir de dos factores de reducción espectral para la aceleración, SRA, y para la velocidad, SRV , Estos factores son función del amortiguamiento viscoso equivalente ζeq y se definen como :

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SR A 

3.21  0.68 ln(100eq ) 2.12

2.31  0.41ln(100eq ) 1.65 Los valores de estos dos factores deben ser mayores a los mínimos indicados en la tabla siguiente : SRV 

Tipo de comportamiento Tipo A Tipo B Tipo C

SRA 0.33 0.44 0.56

SRV 0.50 0.56 0.67

La figura siguiente muestra la forma típica de un espectro inelástico de respuesta y el espectro reducido obtenido a partir de los factores SRA y SRV. La forma del espectro esta definida por los coeficiente sísmicos locales CA y Cv, cuyos valores dependen de las características de la estructura y la amenaza sísmica local. Espectro de Respuesta CEC 2000

Aceleración espectral

2.5C A SR A 2.5C A C v/T

SR V C v /T

Periodo T

Periodo Equivalente

Teq  To

 1  

To, es periodo de la estructura en sentido de análisis

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Amortiguamiento Viscoso equivalente ζ eq y espectro de demanda reducido según FEMA-274 El espectro de respuesta inelástico debe ser sucesivamente ajustado para un factor de amortiguamiento compatible con el nivel de deformaciones esperado. De hecho, para altos niveles de deformación se esperan importantes incrementos en al capacidad de disipar energía, más aún, si la estructura cuenta con dispositivos de disipación, en cuyo caso, la demanda sísmica inicial debe ser reducida en proporción al incremento del amortiguamiento característico efectivo. Para el fin, diversas recomendaciones proponen valores de amortiguamiento característico para diferentes sistemas estructurales(tabla 2) y factores de modificación de la respuesta elástica dependientes del amortiguamiento (tabla 3) los cuales deben aplicarse de manera consistente para cada nivel e movimiento del terreno especificado. Espectro de Respuesta CEC 2000

Aceleración espectral

2.5C A 2.5C A /Bs C v/T

(C v /T)/B 1

To

 eq  0.05 

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Periodo T

2 (   1)(1   )   (1      )

To 

CV Bs 2.5C A B1

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Descripción del Método B del ATC-40 El procedimiento B empleado para la determinación del nivel de desempeño de una estructura utilizando el método del espectro de capacidad es el que utiliza ETABS 8.26 y puede describirse así: 1. Calculo de la curva de capacidad mediante un análisis pushover. El método del espectro de capacidad no impone el uso de un determinado patrón de cargas para el análisis y permite adicionalmente considerar los efectos de los modos de vibración más altos para estructuras de gran altura. CURVA DE CAPACIDAD

90

CORTANTE BASAL (Ton)

80 70 60 50 40 30

SENTIDO Y

20

SENTIDO X

10 0 0

5

10

15

DESPLAZAMIENTO (cm)

2. Estimación de las características dinámicas de la estructura , tales como: periodo de vibración (Ti), formas modales (Ami) , factores de participación modal (γ) y el coeficiente de masa modal efectiva (Cmm).

Cmm 





N

i 1

N

mi Ami

mi i 1 mi Ami 2 N

i 1

mi = masa concentrada en cada piso i Ami = formas modales del modo i , vectores propios Am N = números de pisos Sentido X (modo 2) Piso

Am i

mi

1

0.078883

12.2436

0.9658119 0.07618614

2

0.175021

13.552

2.37188459 0.41512961

3

0.237032

8.9198

2.11427803 0.50115155

suma

By : Byron Gallegos Ortiz

34.7154

mi mi

5.45197452

i mi

Cmm

0.86272

0.9924673

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Sentido Y (modo 1) Piso

Ami

mi

Ami mi

1

0.076428

12.2436

0.93575386

2

0.173886

13.552

2.35650307 0.40976289

3

0.239584

8.9198

2.13704136 0.51200092

34.7154

5.4292983 0.99328161

suma

Sentido X(Modo 2) γ = 5.45201 Cmm =0.86272

i mi

Cmm

0.0715178 0.85486

Sentido Y(Modo 1) γ = 5.42936 Cmm =0.85486

3. Determinación del espectro de capacidad mediante el uso de los factores Cmm y γ. Las aceleraciones Sai y los desplazamientos espectrales Sdi se obtienen como : Sai 

Vi Cmm W

Sdi 

Di Ami

CURVA DE CAPACIDAD EN FORMATO A-D

0.3 0.25

SA

0.2 0.15 0.1

Sentido X Sentido Y

0.05 0 0

2

4

6

8

10

12

SD (cm)

donde W es el peso muerto mas un porcentaje de carga viva considerado de toda la estructura, Vi y Di son respectivamente los cortantes y desplazamientos de cada punto de la curva de capacidad y Ami es la forma modal del ultimo piso. 4. Representación bilineal del espectro de capacidad.

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CURVA DE CAPACIDAD EN FORMATO A-D

0.3 0.25

SA

0.2 0.15 0.1

Sentido X Sentido Y

0.05 0 0

2

4

6

8

10

12

SD (cm)

Sentido X SAy =0.22067 SDy = 1.20557 SAu = 0.28308 SDu = 9.93360

Sentido Y SAy = 0.22143 SDy = 1.33993 SAu = 0.26771 SDu = 10.2685

5. Representación del espectro de demanda con amortiguamiento 5%.

ESPECTRO DE DEMANDA 0.8 ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.5 seg

0.7 0.6 1 seg

0.5 0.4 0.3

2 seg

0.2

3 seg

0.1 0 0

5

10

15

20

25

30

35

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

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6. Superposición del espectro de demanda con el e espectro de capacidad.

ESPECTROS 0.8 0.7 Sentido X Sentido Y Demanda

0.6

SA

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

SD (cm)

7. Calculo de espectros reducidos a partir de cada punto en la zona inelástica de la representación bilineal del espectro de capacidad:

SDi SDy 2 (   1)(1   )  Cálculo de ζo ;  o    (1      )  Cálculo de ductibilidad μ ;  

 Cálculo de k ; según el tipo estructural y ζo  Cálculo de ζeq  eq  0.05  k

2 (   1)(1   )   (1      )

 Cálculo de SRA y SRV ;

SR A 

3.21  0.68 ln(100 eq ) 2.12

 Cálculo de Tp ; Tp  T

, SRV 

2.31  0.41ln(100 eq ) 1.65

SRV SR A

Donde T es el periodo en el espectro del CEC2000 de fin de aceleración constante, Tp es el periodo de fin de plataforma, es decir el periodo hasta donde la aceleración es constante en el espectro reducido.

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Sentido X Punto cedencia 1 2 3 4 5

SD 1.205578444 1.792539275 4.3214396 4.606744685 4.978562134 8.534390528

 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907 0.03907

 1.000 1.487 3.585 3.821 4.130 7.079

 0.0000 0.1966 0.4006 0.4068 0.4131 0.4245

 0.667 0.667 0.564 0.560 0.556 0.548

 eq 0.050 0.181 0.276 0.278 0.280 0.282

SR A 1.000 0.585 0.450 0.448 0.446 0.443

SA V 1.000 0.680 0.575 0.574 0.572 0.570

Tp 0.5185686 0.6028923 0.6634139 0.6645828 0.6657369 0.6677425

ESPECTROS DE DEMANDA REDUCIDOS

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 CEC2000

0.6

Punto 1 Punto 2

0.5

Punto 3 Punto 4

0.4

Punto 5

0.3 0.2 0.1 0 0

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5 10 15 DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

20

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Sentido Y Punto cedencia 1 2 3 4 5 6 7

SD 1.339935104 1.612253761 2.174528413 4.742971963 4.955227954 5.144497873 7.635296168 10.12609446



 1.000 1.203 1.623 3.540 3.698 3.839 5.698 7.557

0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137 0.03137

 0.000 0.103 0.232 0.410 0.415 0.419 0.443 0.444

 0.667 0.667 0.667 0.558 0.554 0.552 0.535 0.534

 eq 0.050 0.119 0.205 0.279 0.280 0.281 0.287 0.287

SR A 1.000 0.720 0.546 0.447 0.445 0.444 0.440 0.440

SA V 1.000 0.785 0.650 0.573 0.572 0.571 0.566 0.566

Tp 0.5185686 0.5652719 0.6174420 0.6651341 0.6660424 0.6667432 0.6670329 0.6668855

ESPECTROS DE DEMANDA REDUCIDOS 0.7

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

CEC2000 0.6

Punto 1 Punto 2

0.5

Punto 3 Punto 4 Punto 5

0.4

Punto 6 0.3

0.2

0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

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8. Intersección del espectro reducido y el periodo secante, se traza una línea de periodo secante que pase por el punto SDi, la intersección de esta línea con el espectro reducido debería ser el punto de demanda y por consiguiente formar parte del espectro de capacidad. Sentido X Aquí se aprecia que la intercepción del periodo secante con SDi y los espectros reducidos, aunque estos no coinciden, entonces a medida que aumentamos el amortiguamiento ζeq el error va disminuyendo.

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7

0.6 CEC2000 0.5

Espectro de Capacidad X

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

5 10 15 DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

20

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6 Punto 1 0.5 Espectro de Capacidad

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

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INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6 Punto 2 0.5 Espectro de Capacidad X

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6 Punto 3 0.5 Espectro de Capacidad X

0.4

0.3 0.2

0.1 0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7

0.6 Punto 4 0.5 Espectro de Capacidad X 0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

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INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7

0.6 Punto 5 0.5 Espectro de Capacidad X

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

ESPECTROS DE DEMANDA REDUCIDOS 0.7

CEC2000 Punto 1

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

Punto 2

0.6

Punto 3 Punto 4 Punto 5

0.5

Espectro de Capacidad X

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

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Sentido Y Aquí se aprecia que la intercepción del periodo secante con SDi y los espectros reducidos, aunque estos no coinciden, entonces a medida que aumentamos el amortiguamiento ζeq el error va disminuyendo. INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

CEC2000

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 1

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

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INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 2

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 3

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 4

0.5

Espectro de Capacidad

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

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INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 5

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

INTERCEPCION DE PERIODO SECANTE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6

Punto 6

0.5

Espectro de Capacidad Y

0.4 0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAM IENTO ESPECTRAL (cm)

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ESPECTROS DE DEMANDA REDUCIDOS 0.7

CEC2000

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

Punto 1

0.6

Punto 2 Punto 3 Punto 4

0.5

Punto 5 Punto 6

0.4

Espectro de Capacidad Y

0.3

0.2 0.1

0 0

5

10

15

20

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

9. Generación del Espectro de Demanda para Amortiguamiento Variable(EDVA), si no coincide la intersección anteriormente descrita, se genera para los demás puntos del tramo inelástico del espectro de capacidad varios espectros reducidos y se traza las líneas de periodo secante correspondientes, la intersección de los espectros reducidos y las líneas genera una serie de puntos que forman una curva denominada “Espectro de Demanda para Amortiguamientos Variable” Sentido X ESPECTRO DE DEMANDA DE AMORTIGUAMIENTO VARIABLE CEC2000 Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4 Punto 5 Espectro de Capacidad X EDAV

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6 0.5

0.4 0.3 0.2

0.1 0 0

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5 10 15 DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

20

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Sentido Y ESPECTRO DE DEMANDA DE AMORTIGUAMIENTO VARIABLE CEC2000

0.7

Punto 1

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

Punto 2

0.6

Punto 3 Punto 4 Punto 5

0.5

Punto 6 Espectro de Capacidad Y

0.4

EDAV

0.3 0.2 0.1 0 0

5

10

15

20

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

10. Intersección del Espectro de Demanda de Amortiguamiento Variable con el Espectro de Capacidad, se intercepta la curva anteriormente hallada con el espectro de capacidad y dicha intersección será el Punto de Demanda. Sentido X ESPECTRO DE DEMANDA DE AMORTIGUAMIENTO VARIABLE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 0.6 Curva Bilineal EDAV

0.5

Curva Real

0.4

0.3 0.2

0.1 0 0

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2

4 6 8 DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

10

12

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Sentido Y ESPECTRO DE DEMANDA DE AMORTIGUAMIENTO VARIABLE

ACELERACION ESPECTRAL (m/s^2)

0.7 Curva bilineal

0.6

EDAV Curva Real

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

10

12

DESPLAZAMIENTO ESPECTRAL (cm)

Punto de Demanda Sentido X Curva bilineal SD = 4.87 SA = 0.25 Curva real SD = 4.87 SA = 0.26 Sentido Y Curva bilineal SD = 5.00 SA = 0.24 Curva real SD = 5.00 SA = 0.25

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RECALCULO DE FORMAS BILINEALES CURVA DE CAPACIDAD EN X 120

CORTANTE BASAL (Ton)

100 80 60 40

REAL BILINEAL

20 0 0

2

4

6

8

10

8

10

DESPLAZAMIENTO (cm)

CURVA DE CAPACIDAD EN Y 120

CORTANTE BASAL (Ton)

100 80 60 40

REAL BILINEAL

20 0 0

2

4

6

DESPLAZAMIENTO (cm)

Sentido X Vy = 51.89 ton Dy = 1.17 cm Vu = 76.99 ton Du = 6.29 cm SAy = 0.176 SDy =0.906 SAu = 0.26 SDu = 4.87

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Sentido Y Vy = 51.68 ton Dy = 1.28 cm Vu = 74.18 ton Du = 6.53 cm SAy = 0.176 SDy =0.989 SAu = 0.25 SDu = 5.0

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Sentido X Punto SD cedencia 0.9059313 demanda 4.874329

 0.11039 0.11039

 1.000 5.380

 0.0000 0.3108

 0.667 0.627

 eq 0.050 0.245

Teq 0.4183 0.7965









 eq

Teq

0.10577 0.10577

1.000 5.582

0.0000 0.3148

0.667 0.624

0.050 0.247

0.4362 0.8458

Sentido Y Punto

SD

cedencia 0.9890573 demanda 5.0569684

Cálculo del punto de demanda en ETABS 8.26

Sentido X

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Sentido Y

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METODO DEL COEFICIENTE DE DESPLAZAMIENTO EL MCD utiliza una versión modificada de la aproximación de desplazamientos iguales para estimar el punto de desempeño de una estructura mediante un procedimiento numérico, el MCD es el procedimiento preliminar no lineal estático presentado por FEMA 273 y 274 Esta aproximación modifica la respuesta lineal de un sistema equivalente de un solo grado de libertad (SDOF) multiplicándola por una serie de coeficientes para generar una estimación del máximo desplazamiento global (elástico o inelástico)de la estructura, el cual es el desplazamiento dado para un espectro de respuesta.

Figura 1 Ilustración que representa el proceso del MCD

Descripción del método La agencia federal para el manejo de emergencia FEMA propone los siguiente pasos para determinar el desplazamiento máximo en el tope de la estructura:

1. Representación bilineal de la curva de capacidad, siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, para calcular Ki , Ke y 

Sentido X Ki = 49.94179 ton/cm Ke = 44.3278 ton/cm α =0.11039

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Sentido Y Ki = 45.5560 ton/cm Ke = 40.44005 ton/cm α =0.10577

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2. Calculo del periodo fundamental efectivo Te:

Te  To

Ki Ke

donde : To = es el periodo fundamental elástico Ki = es la rigidez lateral elástica Ke = es la rigidez lateral efectiva de la estructura en la dirección considerada Sentido X To = 0.41826 seg Ki = 49.94179 ton/cm Ke = 44.32785 ton/cm Te =0.44395 seg

Sentido Y To = 0.436196 seg Ki = 45.556 ton/cm Ke = 40.44005 ton/cm Te = 0.46296 seg

3. Calculo del punto Sa que representa Te en el espectro de respuesta elástico. ESPECTRO ELASTICO

8

ACELERACION ESPECTRAL /g

7

Espectro de Respuesta Sentido X

6

Sentido Y

5 4 3 2 1 0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

PERIODO T (seg)

Sentido X Te =0.443956 seg Sa = 7.3575 m/seg2

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Sentido Y Te = 0.46296 seg Sa = 7.3575 m/seg2

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4. Calculo del punto de desempeño de la estructura  mediante la ecuación:

Te 2   Co C1 C 2 C3 Sa 4 2 Sa = es el valor de la aceleración espectral correspondiente al periodo fundamental Te Co , C1 ; C2 y C3 son factores modificadores, que se describen continuación: Co es un factor de modificador que relaciona el desplazamiento espectral de un sistema SDOF equivalente para el desplazamiento en el tope de la estructura de un sistema MDOF, es calculado usando uno de los siguientes procedimientos:  El factor de participación modal del modo de vibración en el nivel del nodo de control.  El factor de participación modal al nivel del nodo de control calculado usando un vector de forma correspondiente a la forma reflectada de la estructura en el nivel superior, este procedimiento se usará si el patrón de carga adoptado definido en FEMA 273(párrafo 2.2 de la sección 3.3.3.2.3) es usado, cabe aclarar que el patrón de carga adoptado en esa sección dice: “Una distribución de carga adaptable que cambie como la estructura se desplazada, la distribución de carga adaptable modificará la distribución de carga original usando un procedimiento que considere las propiedades de fluencia de la estructura.” Aunque la literatura revisada FEMA 274 en la sección C3.3.3.3(método 1)expresa que se lo puede calcular con la siguiente expresión: Co   i i

i es le factor de participación modal del modo i. i es la forma del modo i en el piso i, es tomado de los vectores propios Am

Sentido X(Modo 2) γ =0.237032  = 5.45201 Co = 1.2923

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Sentido Y(Modo 1) γ =0.239584  = 5.4293 Co = 1.3007

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 Un valor apropiado de la siguiente tabla: Valores para Co Número de pisos 1 2 3 5 +10

Patrón de carga triangular 1 1.2 1.3 1.4 1.5

Es posible interpolar para valores intermedios

C1 es un factor modificador que relaciona el desplazamiento inelástico máximo esperado con el desplazamiento calculado para la respuesta elástica lineal, se calcula con la siguiente expresión: 1.0    1  R  1 Tc  Te C1   R  1.5   

Te  Tc

     Te  Tc    Te  0.1    

Tc es un periodo característico del espectro de respuesta, que define el punto de transición del segmento de aceleración constante al segmento de velocidad constante. Te es el periodo fundamental efectivo de la estructura en la dirección considerada. R es la relación entre la demanda de resistencia elástica y el coeficiente de resistencia de cedencia, calculada con la expresión:

Sa g 1 R Vy Co W Vy es el cortante de cedencia de la representación bilineal de la a curva de capacidad. W es peso total de la estructura y el porcentaje de carga viva considerado.

PISO

Área 2

1 2 3 Suma

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m 114.1235 117.061 125.7205 356.905

WL Ton/m 0.2 0.2 0.1

2

WD

WL

WD+0.25WL

Ton 120.1099 132.9476 87.5034 340.5609

Ton 22.8247 23.4122 12.57205 58.80895

Ton 125.816075 138.80065 90.6464125 355.2631375

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Sentido X(Modo 2) Vy = 51.896 ton T c = 0.5186 seg Te = 0.443956 seg Co = 1.2923 Sa = 7.3575 m/seg2 R =3.9729 Te ≤Tc C1 = 1.125

Sentido Y(Modo 1) Vy =51.689 ton T c = 0.5186 seg Te = 0.46296 seg Co = 1.3007 Sa = 7.3575 m/seg2 R =3.9631 Te ≤ Tc C1 = 1.089

C2 representa los efectos de estrangulamiento de los ciclos histeréticos, degradación de rigidez y la deteriorización de resistencia sobre la respuesta del desplazamiento máximo. En la tabla siguiente se muestran algunos valores de C2 definidos para dos tipos de sistemas estructurales y tres niveles de desempeño estructural. El tipo 1 corresponde a estructuras en las cuales más del 30% del cortante en cualquier nivel es resistido por cualquier combinación de los componentes o elementos cuya resistencia y rigidez pueden deteriorarse durante el sismo, mientras que el tipo 2, corresponde a todas las estructuras no incluidas en el tipo 1. Alternativamente, use C2=1 para procedimientos no-lineales. Valores para el factor modificado C2 Desempeño Estructural Ocupación Inmediata Seguridad de vida Prevención de Colapso

T = Tc seg Tipo 1 Tipo 2 1 1

1.3

1

1.1

1

1.5

1

1.2

1

Es posible interpolar para valores intermedios de T

T periodo fundamental elástico en la dirección de análisis.

Sentido X(Modo 2) T = 0.41826 seg Tc = 0.5186 seg T ≤ Tc y T ≥0.1 Interpolando Tipo 1 C2 OI = 1 SV = 1.147 PC =1.27

Sentido Y(Modo 1) T = 0.436196 seg Tc =0.5186 seg T ≤ Tc y T ≥0.1 Interpolando Tipo 1 C2 OI = 1 SV = 1.139 PC =1.259

C3 representa el incremento del desplazamiento debido a los efectos de segundo orden llamados también P-. Para estructuras con rigidez post-cedencia positiva de la rigidez By : Byron Gallegos Ortiz

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elástica Ki, C3 = 1, de lo contrario para estructuras con rigidez pos-cedencia negativa de la rigidez elástica Ki (menores a α = 0.05 ) , C3 es calculado con la expresión siguiente :

C3  1 

 R  1

3

2

Te

 es la relación entre la rigidez pos-cedencia Ks y la rigidez elástica Ki, obtenidas de representación bilinal de la curva de capacidad. Sentido X(Modo 2) α = 0.11039 Te = 0.4439 seg C3 = 1

Sentido Y(Modo 1) α = 0.10577 Te = 0.4629 seg C3 = 1

Resumen de Resultados

Coeficientes Sentido X Co 1.2923 C1 1.1250 C2 OI 1.0000 SV 1.1479 PC 1.2719 C3 1.0000 Sa 7.3575 Te 0.4440

Sentido Y 1.3007 1.0890 1.0000 1.1394 1.2591 1.0000 7.3575 0.4630

Desplazamientos máximos Desempeño Estructural Ocupacion Inmediata Seguridad de Vida Prevención de Colapso

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Du (cm) Sentido X Sentido Y 5.340 5.658 6.130 6.447 6.792 7.124

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FACTOR DE MODIFICACIÓN DE RESPUESTA “R” El factor de Modificación de Respuesta, normalmente conocido como “factor R”, constituye uno de los parámetros de mayor importancia en el cómputo de las cargas sísmicas inelásticas utilizadas en el proceso de diseño o evaluación estructural de un edificio. Basados en el hecho de que durante la respuesta inelástica a la acción de cargas dinámicas, las estructuras disipan energía y pueden activar tres recursos esenciales a saber:  ductilidad (µ)  sobre-resistencia (ω)  redundancia (ρ) El Factor R se utiliza para reducir la intensidad de las cargas elásticas usadas para el diseño a niveles inelásticos. Sorprendentemente la cuantificación de las cargas sísmicas según los códigos vigentes no atienden con suficiente claridad el verdadero valor del Factor R que debe ser asignado a una estructura en particular, sino que generaliza los valores correspondientes por grupos de sistemas estructurales(códigos de .EE.U.U.). Los coeficientes que se sugieren provienen exclusivamente de la experiencia y poseen muy poco rigor cuantitativo, pudiendo llevar a sobre-estimar o reducir excesivamente las cargas sísmicas de diseño. Descripción del Factor R Durante la acción de una carga lateral, creciente y unidireccional en una estructura, es posible caracterizar su comportamiento mediante la relación del nivel de desplazamientos en el techo y la carga lateral acumulada que se aplica en cada nivel. Pn

Cortante Vu P3

Ke

Ki

Kf

Vy

K eff

P2

P1

Dy

Desplazamiento

Du

V

Figura 7

En la Figura 6 se describe el comportamiento de una estructura típica. Se puede observar que tanto los niveles de carga y de desplazamiento ayudan a definir las diferentes etapas del comportamiento del edificio: una primera etapa en donde el edificio responde a las cargas laterales con su rigidez original (Ki), una segunda etapa en donde después de agrietar sus elementos estructurales, sobreviene la cedencia de alguno de sus elementos estructurales caracterizados por el nivel de cargas y desplazamientos respectivos (Vy, Dy) y finalmente, la falla estructural definida por los valores (Vu, Du). By : Byron Gallegos Ortiz

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Los valores característicos anteriores ayudan a definir las variaciones de rigidez estructural Ki, Ke, Kf y Keff, correspondientes a las rigideces inicial, cedencia, final y efectiva, respectivamente. La energía que se genera durante el proceso de carga monotónica puede ser diferenciada en tres formas básicas: energía elástica, energía plástica y energía no recuperable. Cortante Vu

Vy

EP E NR EE

Dy

Desplazamiento

Du

Figura 8

La figura 7 indica la representación de cada una de ellas. La energía elástica (E E) corresponde al área bajo la curva hasta el punto en el cual ocurre la cedencia. Esto significa que si la carga aplicada fuese interrumpida antes de alcanzar el estado de cedencia, la estructura sufriría deformación permanente despreciable. La energía plástica (EP) está representada por el área bajo la curva delimitada por las deformaciones de cedencia (Dy) y última (Vu), pero sin tener en cuenta el sector triangular el cual representa la energía no recuperable (ENR). Estas formas de energía asociadas con el comportamiento inelástico de la estructura representan la generación de deformaciones permanentes. Debe notarse además que se asume que cualquier procedimiento de descarga que ocurra en el tramo inelástico seguirá una pendiente similar a la pendiente original Ki. Esta pendiente, medida a partir del punto (Du, Vu), define la frontera izquierda del área de energía no recuperable. El Factor de Modificación de Respuesta consta del efecto simultáneo de 3 parámetros: ductilidad, sobre resistencia y redundancia. Se asocia con cada parámetro un componente del factor R, de forma tal que se puede definir de la siguiente forma: R  R R R

Factor de modificación debido a ductibilidad ( Rμ ) Una de las investigaciones mas trascendentes en torno al factor de ductibilidad Rμ, proviene de Newmark & Hall en el cual se establece que este parámetro , según calculado para respuesta a aceleraciones de suelo medidas en terremotos es sensitivo al periodo natural de la estructura, así Chopra 1995, sección 7.1; formula ecuaciones consistentes con

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los propuestos por Newmark & Hall, esto es para sistemas elastoplásticos, es decir para α=0:

Grafico 9

 1   (2  1) 2  R   2   1 T   Tc  

   Ta  T  Tb   Tb  T  T ' c   T ' c  T  Tc    T  Tc 

si T  Ta si si si si

donde

ln  T  T    a T ln  b   Ta  T ' c  Tc

2  1



y Ta , Tb y Tc estan definidas en el grafico 8 y T’c es el periodo donde las ramas de aceleración constante y velocidad del espectro inelástico se interceptan.. Recalculando las ecuaciones anteriores dan μ como una función de Rμ :

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si T  Ta

indefinido  2  (1  R  )  2   ( 1  R 2 )  2  Tc  T R   R 

si si si si

   Ta  T  Tb    Tb  T  T ' c    T ' c  T  Tc   T  Tc  

Para un Rμ dado , μ puede ser calculado para todo T excepto para Tb