Boris Cerne - Hidraulika

IN

Z.

B 0 R I SeE R N E

i UDZBENIK Zft. TEHNICKE SKOLE

IV, NE IZMIJENJENO IZDANJE

I

»SKOLSKA ZAGREB

KNJIGAq; 1965:

UREDNICI

prof, JOSIP BRECEVIC

inz. ZDRAVKO SASEL

SADRZAJ I. UVOD

STRUCNI RECENZENT

sveuc. prof. into DRAGUTIN HORVAT OMOT OPREIVUO

1. Podje1a i znacenje hidraulike

1

:2. Svojstvo telmcina . 3. Pojam specificnog t1aka

1 5

II. HIDROSTATIKA

akad-. sLikar DURO SEDER

1. Specificni t1ak u tekucini na koju ne dje1uje sila teza .

2. '3. 4. 5.

6. 7. 8.

9. :lO.

',II. 'Odobrlo Savjet za prosvjet:..: NRH rj~senjem broj 1909/1 od 30. VI 1.958.

12, '13.

14. 15. 16. 17. .18.

Hidraulicka presa . Hidraulicki akumulator T1ak tekucine na zakrivljenu povrsinu Povrsina tekucine . a) Opceniio . b) Povrsina tekucine koja se giba ubrzano c) Povrsina tekuCine koja rotira . Tlak u tekuCini uslijed djelovanja sile teze Vanjski pritisak Spojene posude T1ak na dno Mjerenje tlaka meta1nim manometrima a) Manometar s Bourdonovom cijevi . b) Membranski manometar c) Manometar s dozom Mjerenje tlaka stupcem tekucine a) Opcenito . b) Barometar c) U-cijev d) Prstenasti manometar e) Pijezometar . Odredivanje specifiCne tezine tekucine s pomocu stupca tekucine Tlak na ravne stijene . a) Vertikalna stijena b) Kosa stijena . Tlak na zakriv1jenu stijenu a) Cilindricki zakriv1jena stijena b) Proizvo1jno zakriv1jena stijena Uzgon Odredivanje specificnih tezina krutih tijela i tekuCina s pomocu uzgona . Plivanje 8tabilnost kod plivanja

7 8

13 20 23

23 24 24

26

28 31 33 35 35

36 36 • 37 ;; 37 40

41 43 44 46 48 48

54 57 57

60 62 64

66 70

III. HIDRODINAMIKA 1. Vrsta strujanja i strujnice

TIS A K: N A ROD NIL 1ST.

Z A DAR

2. Jednadzba kontinuiteta 3. Energija tekuCine . a) Energija gibanja b) Energija po1ozaja c) Energija tlaka 4. Bernoulijeva jednadzba .:5. Primjena Bernoullijeve jednadzbe a) Istjecanje iz posude b) Promjena presjeka toka c) Staticki i dinamiCki. tlak d) Venturijeva ciJev e) Djelovanje sisanja

76 77 79

79 79 79

80 B2

82 83 84

38

89

II. Unuirasnje trenje u tekucini . . 7. Laminarno i turbulentno strujanje . a) Laminarno iIi slojevito strujanje b) Turb~lentno iIi vrtlozno strujanje c) Sredn]a brzina . 8. Reynoldsov broj . 9. Zakon slicnosti . . a) Reynoldsov zakon slicnosti b) Froudeov zakon slicnosti . 10. Prosirena Bernoullijeva jednadzba: . 11. Protjecanj.e. !ealne tekucine kroz cijevi stalnog pre~jek~ a) KoeilCl]ent otpora kod cijevi kruznog presjeka . b) Priblizan nacin racunanja c) Tacan naCin racunanja 12. Posebni otpori . . . . a) Ulazni gubici b) Luk i koljeno . . c) Prosirenja i suzenja . . d) Sisni kos s noznim ventilom . e) Gubici kod zapornih naprava 13. Protjecanje tekucine u otkrivenom kanalu a) Voda se u kanalu giba jednoliko . b) Ubrzano gibanje vode . 14. Proracunavanje kanala. . a) Utjecaj oblika kanala . b) Utjecaj duZine kanala c) Utjecaj brzine strujanja . d) Utjecaj hrapavosti povrsine kanala e) Najpovoljniji profil kanala . . . . 15. Isijecanje realne tekucine iz otkrivene posucte a) Istjecanje iz otvora na dnu posude. . b) Istjecanje iz bocnih otvora . . . c) Istjecanje ispod povrsine tekucine . . . 16. Istjecanje realne tekucine iz posude pod pretlakom 17. Ispraznjivanje posuda s vertikalnim stijenama . 18. Prelivi. .... a) Preliv sirok kao kanal. . b) Preliv s bocnim suzenjem c) Prelivna brana. . . 19. Otpor kod optjecanih tijela . 20. Hidrodinamicki pritisak a) Reakciona sila . b) Akciona sila 1. 2. 3. 4.

IV. HIDRAULICKA MJERENJA Mjerenje pada . . . . Odredivanje razine tekucine . Mjerenje visine stupca tekucine Odredivanje protoka . . . a) Mjerenje protoka posudama b) Vodomjeri. .. c) Venturijev vodomjer. . d) Mjerna sapnica i zaslon . . . . . . . e) M:jerenje koliCine tekucme isi]ecanJem 1Z posude f) Preliv .. . g)

Mjerenje

kemijski~ p~te~

5. Mierenie brz-in p 'a) Mjerenj~ 'plovkom . b) Mjerenje kapkom . c) Hidrometrijsko krilo d) Prandtlova cijev TABLICE 1-4

.,

'.

91>' 99 99 99 100

101 103 103 105' 106 107 108 108 108 118 119 120

121 122 122 128 129· 130 131 131 132.

132 132 134

138' 138 141 .144 144 145 147 147 149

149 150' 152

152 154·

159

160 160 161

161 162 164 166 168 169

I. UVOD 1. PODJELA I ZNACENJE HIDRAULIKE Mehanika tekucina zove se hidromehanika ' i dijeli se na hidrostatiku,' nauku 0 ravnotezi tekucine, i hidrodinamiku,' nauku 0 gibanju tekuCina. Nauka 0 ravnotezi i gibanju tekuCina, ij. hidrostatika i hidrodinamika primijenjena na razlicite grane tehnike zove se tehnicka hidromehanika ili hidraulika.' Hidraulika se bavi rJesavanjem praktickih zadataka iz ravnoteze i gibanja tekucina. Zna.cenje hidraulike u telinici, a narocito u strojarstvu vrlo je veliko. Pomocu zakona hidraulike rjesavaju se zadaei 0 iskori.stenju vodene energije; oni su osnova za projektiranje vodenih tur~na, najrazlicitijih sisaljki i pumpa teostalih hidraulickih strojeva, kao sto su hidraulicke prese, upravljanje strojevima hidraulickim putem i s1. Hidraulika sluzi, osim toga, za rjesavanje zadataka iz podrucja opskrbe vodom, navod- . njavanja, odvodnjavanja i vodenog prometa. 2. SVOJSTVA TEKUCINA Kod svake tekucine postoji kohezija. To je molekularna sUa koja djeluje medu cestieama (molekulama) iste tekuCine, i ona je tolika da drZi tekuCinu na okupu. Pokusima je utvrdeno da svaka cestiea vode prianja uz drugu sHom od 0,0036 kp/em 2 • Dakle je potrebna sila od 3,6 panda da bi se raskinuo vodeni stupae presjeka 1 em'. Zbog kohezije u tekucini nastaje, kod meausobnog pomieanja m::Jlek'lla, sila koja ima smjer protivan smjeru pomie~nja, a zove se unutrasnje tre:,,:e u tekucini iIi zilavost ili viskoznost 5 tekuCine. Viskoznost ovisi znatno 0 vrsti tekucine. Unutrasnje trenje pojavljuje se samo pri srrujanlu Tekucme, dok ga kod tekuCine koja miruje nema.

170 170

170 170 171

172

1 Hidromehanika mehanika tekucina od grc' hyd~r ~o voda i mehane , Hidrostatika od gre. hydor =, voda i lat. stare = siajaii. 3 Hidrodinamika od gre. hydor =, voda i gre. dynamis = sila. , Hidraulika od gre. hydor = voda j gre. cu!o.' ~c cijev. 5 Lat. viSC?!'", = lijepak. .

stroj.

Kod tekucina su kohezija i unutrasnje trenje ma1eni, pa stoga tekucine nemaju, osim kao kap1jice, samosta1an oblik, nego poprimaju oblik posude u kojoj 5e nalaze, a slobodna je povrsina mirne tekucine, zbog dje10vanja sile teze, horizontalna. Na one moleku1e tekuCine koje se na1aze u blizini stijene posude djeluje, osim kohezije, i adhezija, tj. moleku1arna sUa izmedu molekula stijene i tekuCine. Prema prirodi tekucine i stijene posude moze omjer tih molekularnih sUa biti razliCit. Ako je adhezija veca od kohezije, tekuCina kvasi stijenu posude, npr. voda i alkohol kvase staklo. U tom slucaju povrsina 5e tekucine u blizini stijene dize uz stijenu (sl. 1; na slici je sa P /.' oznacena kohezija, sa Fa adhezija, sa R rezultanta obiju sila). Kod nekih tekucina adhezija je toliko velika da se tekucina dize uvis po stijeni, npr. petrolej. Kod tekuCina koje ne kvase stijenu (ziva i staklo, voda i masno staklo), a to se desava kad je kohezija veca od adhezije, povrsina se tekucine u blizini stijene spusta niz stijenu (sl. 2).

Pri mjerenju visicne stupca tekucine u cijevi uvijek se mjeri do sre~il1e zakrivljene povrsine, a cijev ne smije biti suviSe uska da ne blSIl10 wog kapilarnosti doSH do netacnih rezultata. Tekucine su vrlo malo stlacive. Pokusima je utvrdeno da se .Q~ vode smanji ~~l1l~-~a- Q,~~.&__~k;-~Jak .J22.y.:L~L9-d_L.l}~_.tQL§lJ.mQsfera.

K~clicijentkompresibilnosti iznosi, prema tome, 50 . 10-" kp/cm'. Nakon

sto se tlak smanjio na pocetnu vrijednost, vraca se tekucina na prvobitni obujc;m. TekuCine su elasticne. Zbog toga se udax~L_Q"'--Je~ll,~l.I:I~_EE~~ose dalje skora nesmanjenom snagQrn. Prillkom mnogih razmatranja, narocito ~o se n~--~~di--oposebno- visokim tlakovima,~~..::_ da su tek~~~Yje 2tC\:..kj;ickLQEe§.1l:;lcj~,,~ Medutim, ako tekucine usporedimo s krutlm-1Varima, onda proizlazl da su one u veroj mjeri stlaclve.

h

=-A,.---

--+---------31. l.

31. 2.

Karakteristicna je za iekuCine pojava kapilarnosti. Razina vode, a1kohola i tekucina koje kvase 3taklene stijene dize se u uskim staklenim cijevima, koje wvemo vlasastim iIi kapilarnim cijevima (s1. 3). Kod zive i tekUC'!1a koje ne kvase stijene, razina se u uskoj cijevi spusta, i ona je niza nego Ll sirokoj posudi (sl. 4). Visina dizanja, odnosno spustanja razine obrnuto je proporcionalna promjeru cijevi, a razlicita je kod raznih tekucina. ·· d· . V lsma lzama .

U

... . . d 30 cIJevlma 1zn031 za vo Ll h =c - za alkohoI h d'

· spusV t·· d U b ma anJa ]ZnO,'l. za ZlVU h v.

=

d15

=

II

__

cf'

a

I

. \mJere u mm).

Povrsina je tekucine u tankoj cijevi zakrivljena. Kod iekucine koja kvasi stijenu povrsina j" vleknut&. c. koo tehlcinc koja je ne kvasi ona je ispupcena. Takva zakrivJjena povrsina tekucine zove se menisku§*.

* Grc. TIlenis7cos

=

malen mjesf'C'

31. 3.

31. 4.

idealna Cesto se zbog JednostavmJeg racunanJa pretpostavlJ· a tzv . ______ -0._ tek:u,c'ina. To bi bila tekuCina u kojoj uopce ~~~~~~~tE§:~_~t"K)E~nJa i l"oja bi hila nestlaciva. Rezultati dobiveni uz pretpostavku da Je tes:uCl'"l~ ide~liia odgovaraju stvarnosti u hidrostatici, dok se rezultatl u hldroJ:namlcl dobiveni teoretskim putem uz pretpostavku da je tekucina ideama, ne poklapaju s rezultatima koje daju pokusi .sa st~arni~yi reaI~i:n. tekuCinama. Da bi se teoretski dobiveni rezultati u hldrodmamlcl lspravlh 1 da bI odgovarali 'Stvarno'Sti, uvode se prakticni koeficijenti dobiveni pokusima. -

•

• •

v

•

U hidraulici se proucava najveCim dijelom gibanje i mirovanje vo::!e. Specificna tezina vode, a to je te2:1na jedinice obujma, mijenja se pone':;to s promjenom temperature i tla'ka, ali su te promjene toliko malene da se u veCini tehnickih racuna moze uzeti da je specificna tezma neprol11JenljlVa

2

3

i da je y = 1 000 kp/m". Isto to vrijedi i za gustotu vode. Gustoca p opcenito je vezana sa specifienom tezinom y izrazom: p=

;

[k~lF]

pri eemu je g ubrzanje sile teze (g = 9,81 m/s 2). Voda ima najvecu specifienu teZinu i gustocu kod temperature ad 4° C. U ovoj tablici navedene su vrijednosti za yip vode kod temperature izmedu 0° i 100° C: temperatura u DC: 00 10° 20 0 40 0 SOO 60 0 100 0 rkp 1000 1000 99S 992 y 9S3 972 958

lm3 J: kp S2] P rn

l

4

101,9

101,9

101,7

101,1

100,2

99,1

97,8

Plinovita tijela i tekucine zovu se zajednickim imenom fluidi*. Pri vecim brzinama plinova nastaju vece promjene u gustoci, tlakovima i temperaturama, pa se takvi problemi rjesavaju u termodinamiei. 3, POJAM SPECIFICNOG TLAKA Na plocu A povrsine F djeluje sila P (s1. 5). Ta se sila prenosi preko ploce A, tako da ploca A djeluje na podloguB takoder silom P. Istom sHorn. ali protivnog smjera djeluje podloga B na ploeu A (akcija = reakciji). Pri tom sila P tlab na ploeu A u jednoj taeki, a ploca A djeluje citavom svojom povri3inom F na podlogu B. To znaci: sila P ne djeluje na podlogu B u jednoj tacki, nego se ona rasprostire po citavoj povrsini F. Ako je tijelo A kruto, i ako su dodirne povrsine tijela A i podloge B raYne, onda ce se siia P jednoliko razdijeliti po povrsini F.

Za razliku od tekucina, plinovi nemaju stalan obujam, nego ispunjavaju svaki prostor koji im stoji na raspolaganju. RazlGg je tome sto su sile meau molekulama toliko malene da ne drZe molekule na okupu. Kod plinova postoji takoaer unutrasnje trenje, ali one nije uzrokovano molekularnim silama, jer su te sile neznatne. Ako se pojedini slojevi plina gibaju me ausobno razlieitim brzinama, onda molekule jednog sloja zbog svog molekuIarnog gibanja zadiru u susjedni sloj. Time kao da nastaje neka veza izmedu susjednih slojeva i teznja za izjednaeenjem brzina obaju slojeva. Brzi se sloj zaustavlja. Posljedica je toga sUa sliena trenju, sa smjerom koji je protivan smjeru strujanja. Obujam pEnova znatno se mijenja s promjenom tlaka i temperature. Iskustvo je pokazalo da se gustoca uzduha pri strujanju do brzine od 50 m/s (= 180 km/sat) malo mijenja (u svemu oko 10f0). Ako se zanemari tako mal en a promjena gustoce uzduha, onda i za nj priblizno vrijede zakoni koji su izvedeni za tekuCine u gibanju, odnosno za plinove u kojima se gibaju druga tijela. Kako su zakoni hidraulike jednostavni, oni se mnogo primjenjuju i u aero din amici, ali, naravno, sarno za manje brzine (do priblizno 50 m/s). Za uzduh pod vrijede u pogledu temperatura u °C: --20 0 kfi 1 1,39 Y l~'''J

r

p

kPS:l] m

r

L

:

4

0,142

normalnim atmosferskim pritiskom (760 mm StunC3 zive) specificne tezine i gustoce ove vrijednosti: jJ . --100 1,34

0,137

1,29 0,132

1,24 0,127

1,20 0,123

1,12 0,114

1,06 0,10S

0,99 0,101

0,99

81. 5.

Na jedinicu povrsrine otpada sUa

P F

Sila koja djeluje na jedinicu

povrsine zove se specijicni flak iIi specificni pTitisak i biljezi se slovom p. p p=F U tehnici sila se mjeri u kp, a povri3ina u em', pa je dimenzija jedinice

za sp· ec. tlak

[k P]. J edinica za spec. tlak od 1kp/cm' zove se tehnicka cn1 2

atmosfem, ili, krace, atmosfera, i biljezi se oznakom at. U hidrauliei se duzine, povrsine i obujmovi redovito mjere u m, m' i m a, pa je u tom slucaju kp/rn 2 oznaka za spec. tlak. Kako je 1 m' = 10 000 cm", to je 1 at = 1 kp/cm 2 = 10000 kp/m'

0,096 * Lai. f1?dcf7nTI

tekute tijelo.

4 5

U Sjedinjenim Americkim DrZavama, u Engleskoj, u engleskim dominionima i ko~onijama upotrebljava "e za mjerenje spec. tlakajedinica ad jedne funte na kvadratni palac (oznaka 1 lbs/sq inch iIi psi); pri tome je 1 funta (1 lb) = 0,454 kp, a 1 palac (col) = 2,54 cm. Pri preracunavanju vrijedi:

1 lbs/sq inch

0,0703 kp/cm2

1 kp/cm2

14,223 lbs/sq inch

II. HID R 0 S TAT I K A

100 lbs/sq inc~ "" 7 kp/cm2

1. SPECIFICNI TLAK U TEKUCINI NA KOJU NE DJELUJE SILA TEZA Posuda A napunjena je tekucinom i zatvorena stapom K' koji je na tekuCini (sL 6). Na stap djeluje sila P. Pri razmatranjima koja dolaze zanemarit cemo tezinu tekucine. Ako pretpostavimo da se stap moze gibati u grlu posude bez trenja, onda ce se Citava sila P prenositi na tekucinu. BuduCi da je tekucina prakticki nestlaCiva, stap se nece pomaknuti, tekucina ce ostati na miru. p Povrsina stapa jednaka je

Sila P j ednoliko se rasprostire po citavoj povrsini F, tako da na dodirnoj povrsini izmedu stapa i tekuc'ine vlada specificni tlak P

P

-P = F- =U";:

4

k Djcm2 ' .

f Sl. 6.

Kako se molekule tekucine dadu vrlo lako pomicati, prenosi se tlak s povrsine stapa kroz tekucinu na sve strane nesmanjenom jakoscu. TekuCina tlaci pa stijene posude spec. tlakom p koji je proizveo stap. Sila kojom djeluje tekucina na stijenu, uvijek je okomita na povrsinu stijene, jer da n:je taka. nastalo oi STrUJan]e tekuCine u posudl. Ako u tekuCini odaberemo povrsinu od 1 cm", tlacit ce tekuCina i na tu povrsinu silom od p kp, a smjer sile bit ce ok omit na povrsinu. Bio polozaj povrsine koji mu drago, ilak ce biti uvijek okomit na 6 7

U tlacenoj tekucini na koju ne djelnje sila teza vlada na svim mjestima

i u svim smjerovima jednak specificni aak.

Taj zakon poznat je pod imenom Pascalov zakon*. Spec. tlak u tekucini koja miruje zove se hidrostatski flale. Ako odaberemo na bilo kojem mjestu ravnu povrsinu od f cm", onda ce tekucina pod tlakom djelovaii na tu povrsinu silom P1 =

f·

Taj se tlak siri po citavoj tekucini i djeluje na veci stap promjera d". Sila kojom ce tekucina djelovati na ovaj stap bit ce d.,2 TC P2=-p-"-kp

4

iIi, aka uvrstimo prijasnji izraz za p, bit ce

d,/7t

p kp

-4-

Smjer sile P 1 bit ce okomit na povrsinu f. i, nakon kracenja: ~

2. HIDRAULICKA FRESA HidrauIicka presa ili hidraulicki tijesak sluzi da bi se upotrebom razmjerno malenih sila mogle postiti goleme sileo

iii: P1_ d j 2

P" - d 2 2

To znaci: S i 1 e n a s t a po vim a 0 d nos e s e k a 0 k v a d rat i n j i h 0 vi h pro m j era. Ako se npr., promjeri stapova d 1 i d 2 adnose kao 1 : 10, odnosit ce se sile kao 1 : 100. Neka se stap promjera d 1 pomakne za put S1· U tom slucaju istisnuo je stap kolicinu tekucine volumena dj 2

7t

V=-4-·

Sj

Kako je tekuc:mi nestlaciva, podignut ce se stap promjera d2 za pomak 82. Taj je pom:lk 82 toliki da ispod stapa stane upravo jednaka koiicina -

- - -p-

volumena V:

12 tih jednadzbi izlazi:

S1. 7.

Na s1. 7. prikazan je princip djelovanja hidraulicke prese. Na manji stap promjera d 1 cm tlaci sila od PI kp. U tekuCini ispad stapa nastat ce spec. tlak.

ili: napokon:

~=

4 Blais2 Pascal (1623-1662), francuski matemkovima da je jednak jednoj tehnickoj atmosferi, jer se time racunanje znatno pojednostavnjuje. Neka bude na nekom mjestu u posudi specificni tlak p koji je veci 00. vanjskog atmosferskog tlaka Po. Razlika izmedu tlaka u posudi i atmosferskog tlaka zove se pretlak. Ako oznacimo pretlak sa PP' bit ce

primjer na str. 29). PRIMJERI: 1. Voda je u koHu pod tlakom ad 12 atp. Koliki je aps'Olutni tlak? Rjesenje:

p =P p +Po P

Pp=P - Po Tlak p u posudi je apsolutni tlak, tj. tlak mjeren od apsolutnog zrakopraznog prorstora, od apsolutnog nul tiaka. On je odreden jednadzbom

Potlak ad 0,24 at znaci Cia je tlak u posudi za 0,24 at rrianji od atmosferskog tiaka, dakle: P = Po -

P

=

Ppo

1,18 ata -

0,24 at

=

0,94 ata

8. SPOJENE POSUDE

p - Po, pa cemo

Dvije posude A i B (s1. 28) spojene s cijevi C zovu se spojene posude. Posude sunapunjene tekucinom koja miruje. Neka na povrsine U objemG posudama dieluje specificni tlak Po' Zamislimo u cijevi tacku D. Spec. ~ritisak u toj tacki :?rouzrokovan stupcem tekucine u posudi A bit ce

+

Pp = Po y fz - Po = Y h Pretlak kod otvorenih posuda ovisi samo 0 tezini stupca tekucine. Ako j,e, pak, pritisark u posudi p manji od vanjskog atmosferskog pritiska po, onda se razlika tih pritisaka zove potlak. Potlak je P}JO = Po - P Uz poznati potlak i atmosferski tlak, bit ce apsolutni tlak

1 ata = 13 ata

Po = 0,765 . 13600 = 11 800 kg/m2 = 1,13 ata

Pp=P-Po Buduci da je tlak p u dubini h zbog djelovanja atmosferskog pritiska Po na povrsinu tekucine, prema jednadzbi p = y h, jednak =

+

12 ata

2. U nekoj posudi vlada :potlak od 0,24 at, dok atmosferski pritisak 1znosi po = 765 mm s. Z. Koliki je apsolutni tlak? R j e sen j e: Prije svega, morarmo atmosferski tlak izraziti u atm:lsferama:

P =Pp+Po Apsolutni tlak izrazen u atmosferama oznacuje se oznakom ata, a pretiak {)znakom atp. Kod otvorenih posuda dfeluje na povrsinu tekuoine atmosferski pritisak po. U dubini h vladat ce pretlak

P=Po+ y h mozemo ovu vrijednost za p uvrstiti u jednadzbu pp dobiti, da je pretlak

=

Pi

= Po+ yhl

U istoj tacki vladat ce spec. tlak od tekuCine u posudi B

J '1

P2

=

Po

Buduci cIa tekucina 111lrUJe, to je P1

=

+ '(he p~. Iz toga praizlazi da je h1

=

h::.. 31

U spojenim posudama stoje razine tekucina u o b j em a po sud a m a p r i jed n a k 0 m van j s k 0 m s p e c ifie nom p r i tis k u jed n a k;) vis 0 k o.

9. TLAK NA DNO Kako je u poglavlju 6. izvedeno, tlak u tekucini vlastite tezine, tj. hidrostatski tlak ovisi sarno 0 specificnoj tezini tekucine i 0 visini stupca tekucine iznad mjesta na kojem seodreduje tlak. Na osnovu toga odreclit cemo tlak na dn'll posude posebnog oblika (s1. 30). U posudi se nalazi tekucinaspecificne iezine y. Uzi dio posude ima preS'jek f1, a siri f2. U tacki A vladat ce tlak kojr odgovara visini stupca tekucine iznad te taeke:

Pi =yh j 81. 28.

V odokazno staklo kod parnih kotlova i spremista za tekucine 08nivct ~e .~a ~akonu spojenih posuda. Meautim, ako je presjek jecL'Ile posude (najcesce Je to staklena cijev) malen, razina se u toj cijevi zbog kapilarnosti ne ~od.~dara.s ::azinom u drugoj, siroj posudi. Kod vode (tekucina koja kvasl cIJev) bIt ce razina u cijevi nesto visa, kod zive, naprotiv, nesto niza nego u sirokoj posudi. Meautim, ako je promjer mjerne staklene cijevi dovoljno velik, razlika u visinama' . ma1ena, pa se moze razma pos t aJe prakticki zanemariti (vidi str. 2).

Taj se pritisak siri na sve strane, pa ce u taeki B, koja je na jednakoj visini kao i taeka A vladati isti tlak 'Pl. Prerna tome, u taeki B bit ce tlak kao da se iznad te taeke nalazi stupac tekucine visine hI. Ako podemo od taCke B do taeke C, porast ce tlak za iznos koji odgovara visini stupca h2, pa ce tlak u taeki C biti

h

r S1. 31.

A"+-ft--f==-=dL-==-1

--==l ------1

Hi, ako uvrstimo za P1 prije izracunatu vrijednost:

--j

P2 = Y hl

11-~~ S1. 29.

E j e sen j e:

p =

81. 30.

+ h2)

12 Y (h l

+ 1z

2)

Specijicni tIak kojim tekueina djeluje na dno posude n.e ovisi 0 obIiku posude, vee jedino 0 specificnoj tezini tekucine i 0 ve1·tikalnoj udaljenosti do razine tekuCine, odnosno do pToduzene Iinije razine. Na s1. 31. prikazane su tri posude razlicitog obUka, ali s jednakom povrsinom dna. Posude su napunjene do jednake visine jednakim tekucinama. Specifieni tlak i ukupna sila kojom tekucina djeluje na dno u sve su tri posuae jednaki:

Visina dizanja u mjernoj cijevi bit ce za vodu (vidi

30 30 !1h = - - mm = - - mm "" 3 8 mm d 8 ' 32

r (.171

Taj ce tlak vladati na svakorn mjestu dna posude. Sila kojom ce tekucina tlaeiti dno posude bit ce

PRIMJER: VodostaJ' u rezervoaru mJeTl ' . se stakl enom cijevi (s1. 29). Za koliko ce razina u mjernoj cijevi biti viSa od razine u rezervoaru ako je promjer mjerne cijevi 8 mm? str. 2)

+ Y .172 =

p =:: y h

P= y

ht

Tlak na dno ne ovisi'% obliku posuae, vee sarno a velieini povrSine dna, udaljenosti dna do razine tekucine i 0 SDec. tezini tekucine. 3 Cerne: Hidraulika

33

Da sila kojom tekucina djeluje na dno ne ovisi 0 obliku posude i da razlicito velike kolicine tekucine mogu vrsiti isti pritisak na dna to izgleda u prvi mah neocekivano (hidrostatski paradoks!). PRIlV{JER: T 1 a k u c j e v 0 v 0 d u. Na spremiste S vode (s1. 32) ukopcan je cjevovod. Koliki ce biti tlak vade u tackama A, B i C kaje su 30 m, 10 m i 40 m ispod razine vode u spremistu?

=

=

4. Stap u eijevi (sl. 33) podigao je morsku vodu (y 1,03 kpidm') na visinu h 4,5 m. Ako je atmosferski tlak pa 745 mm s. z., koliki je tlak vode neposredno ispod samog stapa, i koUka je sila P potrebna za dizanje stapa? Promjer stapa iznosi 50 mm. Trenje stapa pri pomicanju udjevi moze se zanemariti, (Napomena: visina je h negativna jer se nalazi iznad slobodne povrsine tekuCine).

=

p

Pretpostavlja se da je cijev u tacki C zatvorena i da voda ne tece kroz cijev. Tlak ce na svakom mjestu cjevovoda odgovarati stupcu vade iznad tog mjesta. p~745mm ~:l

o

i!= 1,03 kp/dm:J

s !

__ \

~L _

~'-___

--"-"i ~-=I==• S1. 33. S1. 32.

10. MJERENJE TLAKA METALNIM MANOMETRIMA Rjesenje: Tacka A P1

=

Y h1

=

1 000 . 30 kp/m2

= 30 000

Tacka B P2

=

Y h2

=

1 000 . 10 kp/m2

=

Tacka C

ip3 =

Y hs = 1 000 . 40 kp/m2

kp/m2 iIi 3 at

10000 kp/m2 ili 1 at

= 40000

1. Kroz rupice u dnu Bessemerove kruske duse se zrak koji prolazi kroz rastaljeno zeljezo. Koliki mora biti tlak zraka da rastaljeno zeljezo ne bi uslo u rupice? Specificna je tezina rastaljenog zeljeza y 7,85 kp/dm', a visina sloja 0,7 m.

=

2. U plinovodu je rasvjetni plin pod pretlakom od 40 mm s. v. Treba izracunati: a) koliki je preilak i apsolutni tlak izrazen u tehnickim atmosferama' b) koliki je pretlak i apsolutni Hak izrazen u stupcu :livE'. ' 3. U nekom spremistu vIada iznad tekuCine potlak pp= 0,24 m. Visina je stupe a tekuCine h 1,4 m. Specificna je tezina tekuCine y= 1,3 kp/dm'. Koliki je spec. tlak na dno izrazen kao apsolutni tlak i kao pretlak iIi potlak? 34

a) Manometar s Bourdonovom cijevi

kp/m2 ili 4 at

ZADACI

=

U tehnici se za mjerenje tlaka upotrebljavaju najcesce metalni manometri*, koji djeluju na principu promjene obhka metalne cijevi ili ploce.

Glavni diD toga manometra (s1. 34) jeste kruzno savijena cIJev ovalnoga presjeka A. Cijev je za pritiske do 50 at od mjedi Hi bronze, a za vece pritiskeod ceHka. Jedan je kraj cijevi nepomican, i na tom kraju nalazi se prikljucak za mjerenje tlaka, dok je drugi kraj cijevi zatvoren i maze se slobodno pomicati. Pod djelovanjem pritistka nastoji se ovalni presjek cijevi pretvoriti u kruzni, i zbog toga se cijev ispravlja. Slobodni se kraj cijevi prj tom pomice i preko mehanizma, koji se sastoji ad motke B, dvokrake poluge S ozubljenjem C i zupcanika D. pokrece kazaljku E. Kazaljka na skali pokazuje tlak U odabranim jedinicama. Da hi se izbjegao prazan hod kazaljke zbog zracnosti izmedu zubaca, nalazi se

*

Manometar od gre. munos

= rijedak.

na osovini kazaljke maleno spiralno pero koje tu osovinu nastoji zaokrenuti na j€dnu stranu. Prilikom bazdarenja regulira se manometar pomicanjem zgloba a. Ovakvi se manometri grade za tlakove od 0,5 pa do vise hiljada atp.

A b) Membranski manometar Membranski manometar (s1. 35) sastoji se ad celicne valovite m€mbrane A koja je stegnuta izmedu dvije prirubnice. Pod utjecajem tlaka membrcma se savine. Progib je mjerilo za tlak, i on s€ prenosi preko mehanizma na kazaljku. Kod ovog sistema postoji takoder mogucnost da se manometar pomicanjem zgloba a regul:ira. Manometri s membranom grade s€ za tlakove od 0,5 do 10 atp. Ovakvi manometri nisu toliko osjetljivi na udarce i tresnju kao. manometri s Bourdonovom cijevi.

81. 36.

n.

MJERENJE TLAKA STUPCEM TEKUCINE a) Opcenito

U posudi A (s1. 37) nalazi se pEn pod spec. tlakom p. S posudom je spojena staklena cijev B, svinuta u obliku slova U. Cijev je dje}omi~O napunjena nekom tekucinom spec. tezine y. U lijevom kraku cijevi djelu]e . na povrsinu tekucine tlak plina p, a u desnom kraku atmosferski tlak po. BuduCi da je stupae u lijevom kraku cijevi ITlanji od stupea u desnom kraku, mozemo zakljuciti da je tlak plina p veci od atmosferskog

tlaka, a to znaci da u posudi A vlada pretlak. Na mjestu cijevi u tacki 1 potjeeat ce tlak Pi u tekucini od lijevog stupea teku6ine

hi i tlaka plina p: S1. 34.

S1. 35.

Pi =p

+r h

j

Na istom mjestu bit 6e tlak P2 od desnog c) Manometar s dozom

1\1:aI10n1-etar s ciozorll lSI. upotreolJava se za nlJe.:.:e:lje sasvinl malenih prihsaka. Doza A naCinjena je od tankoga valovitog ce1icnog lima, Posuda u kojoj se odreauje tla!k iIi potlak spoji se s dozam. Doza se zbog razlike tlakova u njoj i izvan nje izbaci, odnosno ulekne. Ta se promjena prenese na kaza1jku.

stupea teku6ine h2 i atmosferskog tlaka po i:)l..

SI.

P"=Po+ylz,, BuduCi da se tekucina ne giba, znaci da je u ravnotezi i da su tlakovi Pl i p~ medusobno jednaki:

37

iIi:

ili u atmosferama:

13600 Iz ~ P-Po= 10000 cm-

i odavde je

1,36 h kp/cm 2 ili at

=

(h apet u m)

Pretlaku od 1 at odgovarat ce stupac zive

iIi:

1 = 1,36 h

a jer je

1,~6 m = 0,7356 m = 735,6 mm

h=

bit ce kanacno

Ako je tlak p u posudi A manji od atmosfe~skog (s1. 38), tj. ako u posudi (y u kpjm3, hum)

P -Po=y h Kako je p ovako izreCi:

Po, sto otprije znamo, pretlak, posljednji se izraz moze

vlada potlak ili vakuum, bit 6e u cijevi B stupac tekuCine u lijevom kraku visi negoli u desnom. U tacki 1 tlak je s lijeve strane:

+ Y Izl

Pretlak u posudi dobije se ako se vi.sina stupca h pomnozi sa specificnom tezinom tekuCine y.

P1 = P i. s desne strane:

Mozemo zamisliti da je svaKl pritisak proizveden stupcem tekucine, pa nam taj stupac slub kao mjerilo specificnog tlaka.

P2=Po+yh 2 Buduci cIa je tekucina u ravnotezi (miruje), bit ce

ViJsina· tlElJka h jeste ona visina stupca tekucine koja na dnu proizvede pritiska iIi ,visina tlaka. Visina tlaka h jeste ana visina stupca teku6ine koja na dnu proizvede spec. tlak p.

P = Po

Najeesce se specificni pritisak mjeri stupcem vade ili zive, ali, maze se mjeriti stupcem bilo koje tekucine. U slucaju cia se u cijevi nalazi voda (y =

=

1000 kp/m3), bit ce

1000 h kp/m2

Po

+ y he

+ y h2 -

Y h1

i potlak ili: 31. 38.

iIi u atmosferama: P - Po =

p2

iIi:

y

po

+ Y h1 =

Odavde je tlak

h=J!...

=

i stoga p

Pri spec. tezini tekucine y bit ce visina tlaka

p-

pi

A

a jer je

1000

10000

Iz kp(cm2 = -

Iz

10

kp/cm 2 jIi at

(h u m)

hl-h2

=

h

(y u kp(m2, hum)

Po - P = y h kp/m 2

Pretlaku od 1 at odgovara sturpac vode od 10 m. 13600 Icp/m j ), glasi jecinadzba:

33

(1'-

Po

P-

PIJ =

=

U slucaju da je cijev napunjena vodom bit ce opet

r h j

3 600 . h kp/m 2

Iz

(hum)

n / ,0-

p =j(j

~{"--.iJ,/cm~

iIi at 39

a ako je napunjena zivom: po - p = 1,36 h kp/em2 iii at

(h u m)

liZ

Aka na slobodnu povrsillu tekucine djeluje atmosferski tlak Po = 10 000 kp/m 2 i ako je eijev napunjena vodom, bit ce visina stupca vode, pretpostcwku da je prost or iznad vade u eijevi zrakoprazan (sto se

U tehniei se wlo cesto mjere tlakovi stupeem tekuCine. Taikvi manometri razlicitog ob11ka upotrebljavaju se za mjerenje potlaka i manjih pretlaka. Kao tekucina kojom se pune sluzi najcesce voda i ziva, ali katkada i petrolej, toluol, g1ieerin. Stoga se pored jedinica za mjerenje spec. tlaka: kp/m2 i kp/cm2 iIi at, upotrebljavaju jedinice: m vodenog stupca (m v. s.) i em v. S., pa mm bvinog stupea (mm z. s.). Medusobni odnos razlicitih jedinica za mjerenje tlaka izgleda ovako:

stvarno ne da provesti),

1 tehnicka atmosfera (1 at

kodistog atmosferskog pritiska

I mm v.s.

=

1 kp/em2)

=

l 1 kp.m2

=

10 000 kp/m2

1 mm Z. s. (kod 0 C)

1 fizikalna atmosfera

10 m v. s.

10 000 mm v. s. = 736 mm Z. s. (kod 0° C)

=

I t -10000 kp/cm 2 .a I

0,0736 rom 0

=

=

_

i

13,6

-

__ l03~~. __ 10 33 1000 ' m

ho .

Aka je, pak, cijev napunjena zivom y

=

13000 kplm2, bit ce visina stupea

'1'

1,1

z. s. (kod 0° C)

13,6 mm v. s. = 13,6 kp/m2 = 0,00136 kp/em 2 (at) 760 rrun s. Z.

=

10330 kp/m2

=

1,03 kp/cm2 (at)

b) Barometal'

Barometar sluzi za mjerenje atmosferskog tlaka. Cijev koja je na jednom kraju zatvorena .i napunjena nekom tekucinom uronjena je u posudu s istom tekucinom (sl, 39). Aka je cijev dovoljno duga, razina se spusti i prostor iznad razme napuni parom tekucine specificnog. tlaka koji odgovara temperaturi tekuCine. Specificni tlak pare aka je cijev napunjena zivom to1iko je malen da se moze zanemaDiti i smatrati da je prostor iznad razine tekucine zrakoprazan. Specificni tlak na razini tekuCine u tacki 1 jeste

P = Po Tu jep

yh

p=O=Po-yh Uzima se da je visina h negativna, jer se mjeri od ipovrsine tekucine prema gore, dakle, u negativilom smjeru.

Po===yho

i visina stupea h "0

=

Po y

81. 40.

81. 39.

0, pa je

Speeificni tlak p manji je od atmosrerskog tIaka, i to odgovara tezini stupca tekuCine ~, h.

------

Z1\

iznos koji

Barometar punjen zivom u razliCitim tehnickim d.zvedbama sluzi za ~je­ ren}e atmasferskog tlaka, dok se u tehnici upotreb1java, osim toga 1 za Injerenje potlaka. c) U-cijev

Na s1. 40. prikazana je najobicnija izvedba manometra s tekucinor:1. Liievi krak eijevi spoji se gumenom cijevi s mjestom na kojem se hoce iz~jeriti tlak. Izmedu krakova nalazi se ploCica s ,podjelom u milimetrima: Plotiea se moze u vertikalnom smjeru pomicatl i tako nulta tabca aOVC3tI 41

40

na visinu razina tekucina dok manometar ne racE. Prilikom rada manometra treba oeitati na skali udaljenosti razina gornjeg i donjeg stupca ad liule i obje vrijednosti (one su jednake) zbrojiti. Kod tehnicke izvedbe takva manometra zamjenjuje se cesco jedan krak U-cijevi Ioncicem (s1. 41). Za mjerenje sasvim malenih tlakova upotrebljava se mikromanometar sa stupcem tekuCine kakav je shematski prikazan na s1. 42. Desni, mjerni krak koso je polozen, dok je li~ h jevi krak izveden kao posuda veceg promjera. Razlika je u presjecima krakova tolika da se prakticki moze smatrati kako se razina u lijevom kraku prilikom promjene tlaka ne mijenja. Nul tacka stoga je stalna, i skalu s podjelorn ne treba pomicati. Ako se hoce mjeriti pDtlak, prikljuci se gumena cijev kod B, a otvor S1. 41. A ostavi se otvoren. Prilikom mjerenja pretlaka prikljuCi se gumena cijev na A, a otvor B ostavi se otvoren.· Aka instmment treba da posluzi kaa diferencijalni manometar, tj. ako se hoce mjeriti razlika u tlaku izrnedu dva mjesia, otvor A prikljuei se na mjesto veceg,_ a otVOT B na mjesto manjeg tlaka .. Prednost je ovog manometra u tome sto je pomak stupca tekucine i za malene razlike u tlaku velik.

I.

A

:=--l_=~~_~r tl1---------=---

J(

I

~

B

\.f

~

S1. 42.

Uzmimo da je tlak toHki da je h razlika u visini stupca. Pri tome se stupac pomakao za duzinu l. KoliCina tekucine koja je pri tom usIa iz lijevog kraka u desm wliim je malena cia 5e razina u .iiJevDm kratku praktieki nije spustila. Aka je a kut pod kojim je nagnut desni krak, bit ce h

-;-- = I

.

Slfl CI.

1= _._h_ Sill

Uz a = 6° sin a

CI.

0,10, pa je

l=_h_= 10 /z 0,1

To zna6i da se stupac tekucine pomiee za 10 mm ako je razlika u tlak~l toHlm da odgovara visirri stupca tekuCine od 1 mm.

d) Prstenasti manometar Stakleni ili metalni prsten A podijeljen je pregradom B u dva I i II, i moze se okretati eka okretista (51. 43). Donji dio prstena njen je tekucinom, obieno zivom. Dijelovi I i II imaju pr;ikljucke na koje se moze nataknuti tanka gumena djev. Na clonjem dijelu prstena nalazi se uteg G. Dok su tlakovi u dijelovima I i II jednaki, razina je tekuCine u oba kraka u istoj visini, uteg G zaokrene cijev tako da 5e nalazi u najnizem polozaju, i kazaIjka pokazuje nulu. Poraste Ii tlak u dijelu I, spustit ce se razina tekucine u lijevom, a dignuti u desnom kraku. Ravnoteza je sada poremecena jer je u desnoj polovini prstena veea tezina tekueine. Prsten ee se zaokrenuti nadesno dok zakretni momenat koji tvori uteg G s obzirom na okretiste 0, ne bude u ravnotezi sa zakretnim momentom koji je nastaood tezine G 1 stupca tekucine visine h. Kazaljka pokazuje na skali razliku tlakova izmedu dijelcva I i S1. 43. II. Prstenasti manometar upotrebliava se za mjerenje potlaka i pretlaka, a najcesce kao diferencijalni

°

dijela, napua i b

mano-

metar ;; ureaajem za pisanje. 43

e) Pijezometar Specif'rcni tlak tekutina u cijevima maze se mjeriti taka da se na harizantalnu cijev postavi verDikalna staklena cijev ili metalna djev sa staklenim ulaskam (s1. 44). Tekucina se popne u mjernoj cijevi na visinu h koja odgovara specificnom tlaku u cijevi. Ako promjer cijevi nije razmjerno prevelik, tlak je u citavom presjeku prakticki konstantan, pa se h mjeri ad o"i cijevi. Ako je specificna tezina tekucine u cijevi '(, hit ce pretlak

pp=h Y Takva sprava zove se pijezometar, a visina tlaka h pijezometarska visina.

2. Na plinski rezervoar prikljucen je manometar u abliku U-cijevi punjen zi:vom. Stupac zive pokazuje potlak od 124 mm, dok je vanjski barometarski tlak 736 ULrrl. Koliki je potlfllk u at i mm s. v. pa apsolutni tlak u s. z., s. v. i ata? Rj esenj e: a) Potlak. Stupac zive od 735,6 mm odgovara 1 at, pa ce 124 mm s. Z. odgovarati

124

-=7~35;;-,"'"6- at = 0,169 at iIi 1690 mm

s. v.

b) Apsolutni t1ak Paps = po - p = 736 mm s. Z. - 124 mm s. Z. = 612 mm s. Z. 612 mm s. Z. = 612 . 13,6 mm s. v. "" 8350 mm s. v. = 8350 kp/m 2 = = 0,835 ata

I h

I

-~

P

-

\-------

--

---

--I

81. 44.

81. 45.

PRIMJERI: 1. Na cijev kroz koju se provodi uzduh pod tlakom prikopcana je mjerna U-cijev (s1. 45). Kod vanjskog atmosferskog pritiska ad 742 ffi..TJ1 s. Z. razlika je stupca vode u manometru 220 mm. Odredi koliki je u cijevi pretlak u kp/m2 , atp i mm s. Z., ata i m s. v. R j e sen j e: a) Pretlak. Stupac h = 220 mm s. v. pokazuje pretlak U oijevi p = 220 kp/m2 = 0,0220 kp!cm 2 pretlaka iIi 0,0220 atp p=

220

136 = ,

16,5 mm s.

z.

pretlaka

=

=

1,03 ata

1. Cijevni manometar pokazuje pretlak od 420 mm s. z. Vanjski je atmosferski tlak 764 mm s. Z. Koliki je pretlak izrazen u atmosferama i koliki je apsolutni tlak?

2. U loziStu kotla pri obicnom propuhu iznosi potlak 2,4 em s. v. Koliki je potlak izrazen u atmosferama? 3. 'Cijevni vakuum-metar pokazuje da je u kondenzatoru vakuum od 672 mm s. (s1. 46). Vanjski je barometarski tlak 757 mm s. Koliki je apsolutni tlak u kondenzatoru izrazen u stupcu zive, u kp/Ul:': i u ata?

z.

4. Na uredaju za duhanje zraka u visoku pee vlada pritisak od 456· mm s. z. Koliki. je pretlak u at i apsolutni tlak zraka ako je vanjski atmosferski ilak 760 mm s. z.

+ po =

758,5 mm s. Z.

16,5 mm s. Z. + 742 mm s. Z. = 758,5 mm s. Z. 758,5 . 13,6 mm s. v. = 10300 mm s. v. = 10300 kp/m 2

ZADACI

z.

b) Apsolutni tlak

p

81. 46.

=

5. I~a sisnoj zracnoj kOlTIOri sisaljke nalazi se cijevni'l11.anometar V (s1. 47}. Manometar pot:azuje potlak od 530 mm s. z. Vanjski je atnl.osferski tlak 754 n"l~-:J. s. z. Koliki je

45

6.

7. 8.

9.

apsolutni tlak u komori i kolika je sila potrebna za usisavanje vode ako je promjer klipa 250 mm, a srediSnjica klipa udaljena 0,7 mm od razine vode u komori? . Uljnim vakuum-sisaljkama moze sei danas postiCi zrakoprazan prostor u kojem vlada tlak od 0,00001 mm s. z. Koliki je to tlak izrazen u ata? Kako se visoko moze teglicom dizati tekucina specificne iezine y 0,82 kp/dm 3 ako je vanjski atmosferski tlak 746 mm s. z.? Na cijevnom mikromanometru (s1. 42) zelimo ocitati jos tlak 0,5 mm s. v. tako da tom tlaku odgovara na skali 1 mm. Pod kojim kutom " mora biti nagnuta mjerna cijev? Cijevni manometar napunjen je petrolejem (y 0,8 kp/dm 3 ). Koliki tlak, izrazen u stupeu vode i atmosferama, odgovara svakom em stupca petroleja?

=

V V-cijevi odnose se visine swpca dvij1I tekuCina, mjerene iznad dodirne povrsine, obj'nuto kao specificne teZine tih tekttC'nr. Ako je specificna tezina jedne tekucine poznata, npr. Y" bit ce specificna tezina druge tekuCine '{~ =

=

II

ii,

h;

Kod tekucina koje se mijesaju upotrebljava se izvrnuta V-djev (81. 49). 1z krakova V-cijevi isiSe se ponesto uzduh tako da se u krakovlma popnu

t A

31. 47.

31. 48.

12. ODREDIV ANJE SPECIFICNE TEZINE TEKUCINE POMOC'U STUPCA TEKUCINE U staklenoj cijevi svinutoj poput slova U (s1. 43) nalaze se dvije tekucine koje se medusobno ne mijesaju, a razlicite su spec. tezine: Yt i Y2 • U ravnini A-A gdje se tekucine dodiruju bit ce tlak s donje strane

=

Ako desne strane obiju jednadzbi izjednaCimo, dobivamo:

P2 proizlazi: Po

odavde:

tekucine do visine Ih, odnosno h 2 • Neka bude tlak uzduha u prostoru iznad stupaca tekuCine p. Tlak u razini a-a bit ce

a u razini b-b:

i gornje stmne:

a jer je PI

31. 49.

+ It fit =

Po

iIi: It 'Y:2

46

fi ..

h; 47

nanosi se specificni tlak p, a na vertikalnu os dubina h. Primjecuje se da se nul tacka koordinatnog sustava nalazi u vi:sini razine tekuCine i da je vertikalna O'S u'Smjerena prema dolje.

Ako poznajemo specificnu tezinu Y1' bit ce nepoznata specificna tezina

h, '(2 =

Y1

iz2

Kako je na dnu posude tlak y H, nanesena je ta vrijednost kao duzina 1-2 u horizontalnom smjeru u visini dna. Na razini vode tlak je jednak nuE, i u dijagramu tome odgovaTa tacka O. Buduci da se specificni tlak mijenja hnearno, spojene su tacke 0 i 2 pravcern. Pravac 0-2 prikazuje kako 5e tlak mijenja s promjenom dubine h. U dubini hx, bit ce specificni tlak px= '( hx Ta je vrijednost prikazana u dijagrarnu duzinom 3-4.

ZADACI 1. U staklenu cijev svinutu u obliku slova U ulili smo vodu i petrolej. Visina je stupca

vode iznad povrsine dodira 30 em, a petroleja Z4 em.. KoUka je speeificna tezina petroleja? 2. Izvrnuta U-cijev upotrijebljena je za mjerenje specificne tezine neke tekuCine koja se mijesa s vodom. Visina stupca vode iznosi 122 mm, a visina stupca mjerene: tekucine 86 mm. KoUka je specificna tezina te tekucine?

o

A

Da brsrno odredili kolika je ukupna sEa kojom tekucina djeluje na dio bocne stijene povrsine F, postupit cerna na' ovaj nacin. Povrsinu F Tazdijeht cerna po visini u sasvim uske horizontalne trake, kako je to prikazano na bokocrtu slike. Povrsine su tih tra.."l;:a .11, h, 1;1 ... in, a visine tezista pojedinih traka od povrsine tekucine h1, h2, h 3 · . •. hn-

A

1

Na usku povrSinu

na ,povrsinu

f1

djelovat ce iekucina silom

12 sil·om

ana posljednju povrsinu

in

silom P n = Pnfn = I~hnfn

Sl. 50.

Zbroj svih tih sila dat ce ukupnu silu kojom tekuCina tlaci na bocnu stijenu: 13. TLAK NA RAVNE STIJENE

P=P1+ P2+ P3+"'+ Pn P = yh 1 fl yh2f2 yhata

a) Vertikalna stijena

P

U otvorenoj posudi nalazi se tekucina specificne tezine y (s1. 50). Poznato je iz poglavlja 6. da je specificni tlak u dubini h jednak (jednadzba na

=

Y (hd1

+ + ... + ,{h"!n + h2f2 + hata + ... + hnfnl

Zbroj umnozaka unutar zagrada jeste zbroj statickih rnomenata pojedinih povrsina S obzirorn na pravac A-A koji 1ezi u visini razine tekucine. Zbroj statickih momenata pojedinih povrsina

str. 26) p=yh Specificni tlak raste linearno s dubinom. Na dnu posude bit ce specificni

moze se zamijeniti, kako je poznato iz rnehanike, umnoskom ukupne povrsine p; tezistc::

tlak p=yH Da bi se graficki prikazala promjena tlaka s promjenom dubine, nacrtan .i e koo:'dinatni sClstav (s desne stl'ane posude na s1. N Sl n::rrizontalnu os

I

Ii "

pa je sila kojom tekucina dje1uje na bocnu pClvrsinu F odredena izrazom P= t Fho -4 Cerne: Hidraulika

48

I

(y

E

49

Sila na ravnu vertikalnu bacnu stijenu jednaka je umnasku hidrostatskog specificnog tlaka u tezistu povrsine i tlacene povrsine. Na osnavu ovoga sto je izlozeno odredena je samo velicina rezultante P. Hvatiste rezultante mora se zasebno odrediti. Svaka od sila Pi, P2, Ps ... P n daje s obzirom na povrsinu tekuCine ili pravca A-A momenat:

iIi: Xo

=

P 2 . h"

=

yh2f2h2

=

h[0

o

Hvaiiste rezultante P kojom tekucina djeluje na bocnu stijenu povrsine Ji' jeste za vrijednost e ispod tezista T povrsine F , ; pri tom je

10

M, =P, . h, = yhjf,h, = yf,h , 2 M2

10 + =7h

e=P-h • 0

Yf21122

PRIMJERI: 1. Treba odrediti veliCinu tlaka tekucine na bocnu stijenu (51. 51).

hvatiste sHe koja potjece od

Zbroj svih tih momenata jednak je momentu rezultante. Neka rezultanta P bude udaljena za rezultante

Xo

+ + + .. '.+ + + yf .iz + yfn h n2 y(l,h," + f21122 + fal132 + ... + fn hn

PX O =M, -'112 Ma PX o = Yf,h," Yf2h} Px o =

od pravca A-A, pa je momenat

3 3

3

..•

2

)

a jer je otprije P= Y Fho bit ce yF hoxo = Y (f,h,2 f21122 f31132 i udaljenost rezultante od razine vode

+

f,h,2 Xo

=

+

+ ... + fnl1,,2)

Zadano je: dubina tekucine H = 6 m sirina stijene p = 6 m spec. tezina tekucine y = 1200 kp/ms

+ f2h22 + f3h32 + ... + fnhn" Fho

R j e sen j e: VeliCina sHe

Izraz u brojniku jednak je momentu tromosti povrsine F razinu vode A-A:

S

obzirom na

P= Y Fho

Teziste povrSine F nalazi se u dubini ho paje

. '6 .

16

2

kp

=

H

= 2'

P

=

H

y F'2

=

1200·

57 600 kp

Hvatiste sHe Ako je 10 momenat tromosti povrsine F s obzirom na os koja prolazi kroz tez'iste, anda ce momenat iromosti povrsine F S obzirom na os A-A koja se nalazi u udaljenosti ho od teziSta biti (,=1 +Ph 2

Sila P djeluje na

i napokon je

10

+ Fh Ph I

,

50

~(I

i

3 visine bocne stijene mjereci od razine tekucine: 2

o"

Xo

2

= -3 H = 3- . 4 ill =

2.67 m 51

2. Na bocnoj stijeni posude nalazi se poklopac visine h b = 3 m. Gornji je rub poklopca 6 m ispad razine vade. Kolikom silo'll djeluje voda' na poklopac i na kojem hvatiste sile?

S6

=

2 m i sirine

3. Okrugli poklopac promjera 40 em nalazi se no. vertikalnoj bocnoj stijeni, srediste je poklopca 8 m ispod povrsine 'lode. Treba odrediti velicinu i hvatiste sHe koja djeluje na taj poklopae.

mjestu nalazi

R j e sen j e: Velicina sile p= y Fha P

=

1000 . 6 . 7 kp

=

42 000 kp

Hvatiste sile

81. 52.

3.2 3 12

81. 53.

4. Zadana je brana prema s1. 52. Treba odrediti velicinu i hvatiste sile Kojom djeluje

voda no. 1 m duzine brane. 5. Brana visine 1,8 m, debljine 1,2 m sagradena je od betona speeifiCne tezine 2400 kpim' (s1. 53). Treba izracunati:

3. Okrugla ploca promjera d = 0,5 m lezi, mjereci da sredista ploce, 2 m ispod razine vade. Treba adrediti velicinu i hvatiSte sile koja djeluje na tu plocu. R j e sen j e: Velicina sHe P

0,5 2

"it

2m

+ 0,0078 m

= y . Fha = 1000 . -~4- . 2 kp = 493 kp

Hvatiste sile

Xa =

2 ill

o 52 + ~6' 2 m 1

.

=

=

2, 0078 m

ZADACI 1. Nacrtaj dijagram KOji pokazuje kako se mijenja tlak s promjenom dubine, oaredl graficki veliCinu i hvatiste sHe P. 2. Gornji rub kvadraticnog poklopca sa stranicom a = 50 em nalazi se 4 m ispod povrsine vode. Kolika je sila 'kojon: ajeluje "'loda !.1a pok:lcpac i kolik2. je :lcc:.lje:n.ost hvatiSta od teziSta? 52

I

I

a) tezinu brane do dna A-B racunajuci. za 1 m sirine; b) silu kojom djeluje voda na 1 m duzine brane; C} naprezanje na tlak i no savijanje u presjei-\u L~l-E;

d) treba nacrtati dijagram ovih naprezanja' koja se javljaju u presjeku A-B. 53

6. Vodeni kanal dubine 1,2 m i sirine 1.6 m zatvara se prema s], 54. drvenom zapornicom_ Kolika je sila P kOjom tlaci voda na zapornicu, i sila P v koja je potrebna za dizanje drvene zapornice? Koeficijent je trenja prilikom klizanja drveta po drvetu f.L G,5.

=

povrsini tekucine, nece biti krakovi sila hI, 112: h~ .... h n · nego udaljenosii 7 '" ~to se racunaJ'u od hvatista pO]edmlh slla Pi, P2, p;) . .. P n Z1 22, _3· .. -n ~ d~ praVC3J A-A. Prema tome BU momenti pojedinih sila:

7. Brana (s], 55) sagradena je od drvenih platnica duiine 1,6 m. Koliko debele moraju biti platnice pri visini vode od (J,g ill, a da naprezanje ne prijede 70 kp/cm 2 ?

Ma = Pa2a, ... M".

M 2::::= P ~,(,::l' -

::::=./..P 1Z 1,

Pn 2 11

=

Aka sa mo oznacimo udaljenost hvatista rezultante M od pravca A-A, bit ce b) Kosa stijena

Da b1srno odredili velicinu i hvatiste sile P kojom tekucina djeluje na kosu povrsinu F (s1. 56), postupit cerna na isti nacin kako smo prije postupili kod vertikalne bocne stijene.

+ P +,P + ... + P yhltlZj + yhd2 z + yhsf3 Z + .,.

Pm D = P 1 2 1 Pm =

n-n

3Z 3

2Z 2

2

3

Iz s1. 56. izlazi da je P = y Fha h'1

=

21

. ex, Slil

h2

=

2 2 v.n dn

pa posljednja jednadzba prelazi u .

F2a Slil

ex . m =

· y t121-oSlil rx

=

w,

+

y PZ a sin ex

h.,~ =

N

v

I

23

,.." ~ . T~2 "-" Sin

sin

"'I

-

,:x, •••

hn =

+ ... -+-

'V

2n

sin ex

f Zn ::: sill

I ' • 11

(J.

.

Odavde izlazi da je udaljenost m hvatista M od pravca A.-A odredena izrazom m=

Pvr=t:J + yh2t2 ,(h 3t3 + ... yhntn y (h,f1 + h2te + hds + ... + hntn)

Fzo

Izraz u brojniku predstavlja momenat tromosti povrsine F A.-A i oznacuje se sa T.

S

obzirom na os

Dakle je I

m=-P2

S]' 56.

Ukupna sila na povrsinu F bit ce opet zbroj pojedinih sila:

I1 Z 1 2 + 12Z22 + t3Z32 + .... + In 2 n2

0

a kako je

P = yh,f1 P=

onda je

P= y Fha

m=

ho je udaljenost tezista povrsine F od razine vode. Rezultanta djeluje okomito na bocnu povrsinu.

i napokon

Kod kose stijene djeluje sila okomito na stijenu, a jednaka jeumnosk!L povrsine i hidrostatskog tIaka k01i vlada 11. tezistu povTsine.

Fzo " . , v.Vt' "v' Hvaiiste sile na kosu povrsinu lezi za udaljenost K lspod tezlS a te povlsme. OVCl. jf: Ie, t~ 1~osl~

Hvatiste rezultante naci cemo aka uzmema da je zbroj momenata svih 1Jojedinih sila s obzirom na razinu tekucine jednak momentu rezultante. Pri tom treba uzeti da je krak sile pri odredivanju momenta okomit na sHu. Buduci da su pojedine sile i rezultania tih sila kose prema 54

f0

,.

m =--- T

k =

/.

Zo=fI.

I

T

_, "'0

momenat tromosti povFsine S obzirom na os koj2. prolazi teziStem ., staticki momenat povrsine S obzirom na sjeciste povrsine s razino.m tek~cme Silu .P mO'zemo rastaviti na horizontalnukomponentu PI, 1 vertlkalnu

komponentu P". 55

ZADACI

jer je F . sin

1; Usporedi branu s vertikalnom stijen~m i branu sa sti:ienom na~nutom P~d ~utom

ex;

od 60°. Kolike su sile kojima voda d]elu]e no. 1 m clUzme bran a . Odredl hvatiSte .

projekcija povrsine F na vertikalnu ravninu, pa je

Ph

=

Y hoF'

P v = PeDs

ex;

L

nJIhovo

.2. Rezervoar (s1. 57) ima kosu bocnu stijenu nagnutu pod kutom od 6ao. U toj stijeni nalazi se kvadratan otvor kojem je stranica 40 cm, koji sluzi za praznjenje rezervoara. Otvor se zatvara plocom koja prekriva otvor sa svake strane za 5 em, a moze se podignuti uzetom. Sredina je otvora 2,2 m ispod razine vode. Odredi: a) sil~ kojO~n voda tlaci na zapornu ploeu, b) hvatiSte sile i c) potrehnu sHu za podlzanJe ploce ako je koeficijent trenja izrnedu ploce i stijene 0,4.

= "r Fho . C()S x

y F cos x . 11.0 jeste tezina stupca teku6ine iznad povrsine F.

Horizontalna komponenta sire na kosu povrsinu jednaka je siLi kojom bi tekucina tlaCila na projekciju povrsine F na vertikalnu ravninu.

Vertikalna komponenta sire na ravnu kosu povTi'iinu jednaka je tezini stupca tekucine iznad kose povrsine. PRIMJER: Kosa brana Vlisine a = 1,6 m, Slrlne b = 6 m nagnuta je prema razL'1i vode pod kutom 0:; = 60°. Kolika je horizontalna i vertikalna komponenta sile kojom voda djeluje na brann, pa velicina i polozaj rezultante? . R j e sen j e: Horizontalna komponenta F' = a b sill a = 1,6·6·0,866 m2 "" 8,3 m"

S1. 57.

Ph = yhoF' = 1000·0,8·0,866·8,3 kp = 5750

Vertikalna komponenta Pv

= F cos IX' y. ho =

a b cos ex;. Y ·lI o = 1,6.6.0,5.1000·0,8.0,866"" 3325 kp

.1

14. TLAK N A ZAKRIVLJENU STIJENU

Rezultanta P=

VPv + P 2

h 2 ""

+ 3325 kp

V5750 2

2

a) Cilindricki zakrivl.jena stijena =

6650 kp

Sila P mogla bi se izracunati i iz jednadzbe P = Y F ho = 1000 . 1,6 . 6 . 0,8 . 0,866 kp

6640 kp

Posuda je omedena zakrivljenom stijenom S-S (s1. 58). Da bismo odredili sHu i hvatiSte sHe koja djeluje na povrsinu F, za. d mislit cemo a 'Je povrsm a razru'J'elJ'ena • na' malene horizontalne trake v,

Hvatiste sile P b a3

+_l_o_~~--L m~ ~ zo F ~ 2 I Zo

rn

=

2

.

12 ab.~

L6

Dl =

a

a

2

=-+-=-a 263 1.06 7 m

Kod kose stijene koja Siize db razine tekncine sila djeluje okomito na 2 stijenu u 3 visine stijene mjereCi od razine tekucine. 81. 58. 56

57

fl' fe, to' .. In . Na svaku traku djelovat ce cdgovarajuca sila F't, Pc, P s, ... P,,Te sile mozemo rastaviti na horizontalne i vertika-lne komponente Phl> Ph" /\'3'" Phn i ,1-) , P"", Pv :)' • P,m' (Na slici je oznacena sarno traka fn).

Horizontalne komponente bit ce:

Rezultanta sila Ph i P v moze se odrediti iz izraza

p=rp,,"

+ I-'v"

PRIl\![JER: Neki kanal ogracl:en je polukruznim nasipom (s1. 59). Kolike su horizontalne i vertikalne komponente sile na 1 m duzine brane, pa kohka je velicina i koji je smjer rezultante?

r,

gdje su 1/, f"', Is' ... fn' projekcije povrsina f" t3 ... in na vertikalnu ravninu. Horizontalna komponenta Ph bit ce jednaka zbroju svih horizontalnih komponenata na povrsine fl, fe, f3"

R j e sen j e: Horizontalna komponenta F' = r . /; = 2,6 . I m" = 2,6 m"

Ph = F' . y . ho

r

. in:

hO=2= J,3

·"+1,/Izraz u zagradi jednak je statickom momentu projekcije povrsme F net vertikalnu ravninu s obzi1'om na razinu tekuCine, pa je, dakle,

ill

Ph = 2,6 . 1000 . 1,3 kp = 3380 kp Vertikalna komponenta jednaka je tezini volumena tekucine iznad zakrivljene povrsine (na slici srafirano):

Pv=1000.2,6~.(1- ~)kP=1453kP

Sl. 59.

ho je udaljenost tezista povrsine F' od razine tekucine. Sila Ph prolazi k1'oz tacku koja 5e nalazi za iznos Xu ispod 1'azine tekuCine, analogno kao kod vertikalne stijene. Xo =

Rezultanta

° Io' jeste momenat t1'omosti pov1'sine F' teziste te povrsine.

S

obzi1'om na os koja prolazi k1'oZ'

p = lP~

+ f)~

=

1'3:')80"

+ 1153" =

3679 kp

Smjer rezultante

.,

"\7e!'tik2.1ne SHc Dc: tezinama stupaca tekucine iznad tih povrsina. Stoga ce ve1'tikalna komponenta P v biti jednaka zbroju svih komponenata, a to je jednako tezini volumena tekuCine iznatd zakrivljene povrsine. Ova sUa ima hvatiste u tez:v{) ce biti sirujanje?

9. ZAKON SLICNOSTI Kod grade turbina, cenirifugalnih pumpa,. brodova, avi~:ria, auto"mobila, brana s prelivima i lSI. vrse se pri,je same lzvedbe pokusi na mo"delima u laboratorijima. Modeli se izrade redovito u manjem mjerilu,· ali tako da b11du potpw"'lO slicni kasnijim stvarnirn .izvedbama. Ispitivanjll se vrse pod uvjetima koji odrgovaraju stvarnasti. Tako rezultati dobiveni na modelima vrijede, onda, za stvarne izvedbe koje ce se tek izraditi. Na modelima se mogu lako vrSiti izmjene i preinake; i maze se odmah ispitati: kakav im je utjecaj.

R j e sen j e: Za ulje ad 60° C kinematioka je zilavost (vidi tabli~lL na kraju knjige)

v = 40 . 10-6 m2js

Re = Buduci da je .Re

0,5 ~g,02 106

< 2320; strujanje ee

= 250

biti laminarno.

3. Kod kaje brzine uzduha u cijevi promjera 100 mm nastaje turbu~ Ientno strujanje? 81. 110.

Rj esenj e:

zakon slicnosti

Re·v d

Kinematieka zilaJvost za uzduh kod 20° C jesfe y = 14,9 . 10-6 m2/s. vkrit

=

2320.14,9· 10-6 =. 0,348 mls . 0 ,1

Na s1. 110. prikazane su dvije geometrijski slione cijevi promJera dl i d2. Brzine su strujanja Hulda Vi i V2. Stmjanja fluida ikroz ove dvije geometrijski sliene cijevi bit ~~ takoaer sliena, to znaci vrsit ce se pod istim uvjetima ako su za oba slueaja Reynoldsovi brojevi jednaki: Vi

Kako jekinematicka zilavost uzduha karl 20° e pribliZno 15 puta veelli od kinematicke zilavosti vode, nastupit ce kad uzduha turbulentna strujanje, uz inaee jednaU>:e ;uvjete, kad brzina koje su 15 puta manje ~d brzinao. V'ode. ZADACI

1. Kroz cijev promjera 200 mm teee u minuti 5 m" vade. Kolika je srednja brzina $: ikakvo cebiti strujai:lje" laminarno ili turbulentno? 2. Gdredi kriticnubrzinu vode od 40 0 C kod cijevi bd25 mm~unutrasnjeg promjera. 3. Kroz cjevovod od 80 mm slobodnog pJ;omjera protjece it minuti 4(}() 1 mazivog ulja, 0 ziJavosti .15 E. Ka;kvo ce biti strujanje? (Za pretvaranje °E u cSt vidi tablicu na~ kraju knjige.) .

d

V d

2 2 Re = - -1 = -

'1 1

Y2

i V2 oznacuju ovdje karakteristiene brzine, d 1 i d 2 karakteristicne dimenzije, a '11 i '1 2 kinematieke zilavosti. Ovaj zakon slienosti, poznat pod imenom Reynoldsov zakon sIicnosti,. . vrijedi samo dok dolazi u pitanje trenje t'ekucine. To se desava kod stru. janja u zatvorenim tokovima, ispitivanja madela· aviona, imtomobila, podmornica i uopee uronjenih tijela; mjera protoka, prijelazniih oipoTa, pumpa i turbina. Pri tome nije vaino u kojem se sredstvu ispitivanje vrSi. Model podmornice maze se ispttati u zraenom tunelu, a model aviona u vodenom tunelu, pod uvjetom ·da je zadovoljeila gornja· jednadzba slienosti. Vi

103

Pri Li's]?oredivanju strujanja u vodi i u uzduhu morat ce brzina uzduha, MjqJEm~pela jednakih dimenzija, biti 15 pub veca. Razlog je tome stc je ~j1}t~&tiicka, zilavost uzdll ha kod 20°C 15 puta ve¢a od kinematicke

fi~a~0fl1~ vade,

strff;~¥fJMJERI: 1., Model a1.Jtomobila treba ispitati u zracnom tunelu. 1?£1'jnJbEautomobiIa iznosi 20 mls = 72 km/sat, a visina mu je 1,5 m. U ?iw.cgjLefmnal moze se ugraditi model maksimalnevisine 0,5 m. Kouka ~llfpJiJiti brzina strujanja zraka u zracnom kanalu da bi strujanje odgo,varalo stvarnosti? R j e sen j e: Reynoldsov broj za stva;rni automobil iznosi: _ vd Re v

Rel

velike teskoce. Narocito pr,i ispitivanju turbina i pumpi ne moze se zbog tehnickih razloga ostvariti slicnost strujanja prema propitE;ima Reynoldsova broja. Tatno se ostvaTUje samo formalmi, slicnost,a to je daleko ad meha-' nteke s.lienosti, sto proizlazi iz jednakosti Re brojeva. b) _Froudeov zakon sHcnosti

Akokod strujanja djeluje sila, teze kao sila ubrzanja,kao npr. kod strujanja u otvorenim tokovima (stupovimostova, pDelivi, modeli brodova), onda va.Zi Froudeov zakon slicnosti. Model broda izazivat ce sliene valove kao stvarni brod ako su Fr()udeovi brojevi jednaki. Froudeov broj odreCien je ovim izrazom: v2 p=19

20· 1,5 30 = ----, = '-'v v

Za model mora vrijediti jednaki Re:

30 v V2

=

v 2 • 0,5 v

gdje je v karakteris;j;icna brzina, r karakteristicna dimenzija tijela,· a 9 , akceleracija sile teze. PRIMJER: Brod duzine 100 m plovi normalno brzinom od 8 m/s. U pokusnom kanalu izvrsit ce se ispitivanja pomocu modela duzine 1 m. Kolika mora biti brzina modela? Rjeilenje:

3.0 0,5 = 5.0 m/s

2. U zracnom tuneIu treba ispitati model torpeda izraden u mjerilu 1 : 5. Maksimaina je brzina torpeda 20 m/s. Kolika brzina zraka mora biti

prilikom pokusa da bi strujanje bilo sHeno? R j e sen j e: Kinematicka zilavost kod 20° C: za vodu V1 = 1,01 . 10-6 m 2 /s za zrak V2 = 15,1 . 10-6 m 2/s

V2

2

82

m2

•

= 10052 = .0,64 m2/s2, V 2 = 0,8 m/s

Kod te brzine dat 6e model istu sliku valova kao stvarni brad. ZADACI

20· d1 : 106

1,.01

v 2 d 2 • 106 15,1

2.0· 15,1 1,.01

1

'S=50m/s

Pxi ispitivanju modela u istom mediju povecava se brzina u istom omjeru sa smanjenjem modela.Zbog toga' ispitivanja madela zadaju vrl0 104

1. Ventil sa slobodnim otvorom od 100 mm kroz kdji protjece voda srednjom brzinom od 1;2 m/s ispitat ce se strujom uzduha. Kolika mora biti brzina uzdlL'la da bi ' strujarije bilo slieno? ' '2. Dimenzij€l modela centrifugalne pmnpe odnose se prema. stvarnoj pumpi kao 1: 4~ Kako bise morale odnositi brzine 'lode? 3. U vodenom kanalu za ispitivanje vucenjem ispitat ce se model brzog motornog eamca. Model je izraden u ItS prirodne velicine. Ispitivanje je izvrseno brzinom od 5,3 m/s. KoUka bi imala biti brzina prototipa? 4. Projekt :Venturijeva apar,ata za mjerenje protoka uzduha treba ispitati vodom kao model izraden u 1/4 prirodne velicme. Ako je aparat namijenjen za brzinu uzduha maksimalilo od 40 m/s;, kolika ce prilikom ispitivanja biti brzina vade? '

105

10. PROSIRENA BERNOlJLLIJEVA JEDNADZBA

11. PROTJECANJE REALNE TEKUCINE KROZ CIJEVI

. Kod strujanja l'ealne tekucine treba stalno. svladayati otpore koji nastaju zhog trenja tekucine, sta iziskuje izvjestan utrosak,. hidraulicke ener~ .gije. Radnja izvrsena pri svlada'Vanju otpor,a, tj. radnja trenja, pretvara se u toplinu, i taj obLik energije. izgubljen je za daljnje strujanje tekucine, jel' se ne moze ponovno pretvoTiti u hidraul1cku energiju. Uzmimoda je izmedu presjeka 1 i 2 (s1. 111) radnja trenja Rt kpm. Kako se.u hidraulid sve racuna s obzirom, na 1 k:p tekucine,. bit ce

STALNOG PRESJEKA

Rt 0= ht

Zbog stalnog presjeka (sl. 112) bilt ce srednja brzina u svim presjecima jedna:ka. Vis ina brzine imat ce uzduz cijevi svagdje ish vrijednost v2 2g' Prooilcena Bemoullrjeva jednadzba glasi za presjeke 1 i 2:

m. Radnja trenja 1 kp tekucine ht ima linearnu dimenzijti kao

i visina brzine i visina tlaka, i zove se visina otpora. Visina otpora oznacuje . 'gubitak energij e 1 kp tekucine.

t

1

81. 112. 2

a

-:..-----

----'---a

Sl. 111.

Ukupna energija El koju rposjeduje teku6ina u presjeku 1 nije jednaka ukupnoj energiji E2 u presjeku kako je to bilo kod ridealne tekucine, jer se jedan clio energije El utrosio na svladavanje radnje trenja. Bernoullijeva jednadzba za rea1nu tekucinu glasi: El

=

E2

+ Rt

Iznad cijevi na slid graficki su prikazane promjene visine tla}ca, visine brzine i porast visine otpora izmedu presjeka 1 i 2.

Iznad cijevt prikazane su na sl. 112. visine otpora i visine brzine, zatim. promjene visine tlaka. Aka se ucini da je hi = hi - h2, postaje Pi = P2. To roam: tlak postaje uzduz cijevi sta1an, ukoliko je pad cijevi jednak visa otpora. U slucaju da je cijev vodoravno po1ozen.a, bit ce hi = h2 i gomja jednadzba glasi: ht=.Pl-~

'Y

Na svladavanje visine otpora trosi se tlacna vi:sina. Zbog otpora kod strujanja tekuCtne u vodoravnoj cijevi nastaje pad tlaka. 107'

a) Jioeficijent otpora 1>:od cijevi krqznog presjeka

Visina otpora ht postavlja 5e iz prakticnih razloga proporcionalnom .

Hi

v2

ht = 32v L d2 g

visini brzine, --. , 2g Za knlznu cijev stalnog promjera racuna se visina otpora obicno po Darcyju (citaj Darsi)*: ht -

L v2 A~ --d 2g

Prema ovom izrazu visina otpora proporcionalna je duzini cijevi L v2 :i visini brzine 2 g' aobrnuto propnrcionalna ,promjeru cijevi d. Osim

toga, otpor u cijevi ovisii 0 koeficijentu otpOTa A, koji je dobiven na osnovu nmogobrojnih pokusa. ), nije nikakva konstal1tna vrijednost, nego ovisi, :kako su p{}kazali pokus{, 0 Reynoldsovu broju i {} hrapavosti cijevi.

7!

Visina je otpora kod laminarnog strujanja proporcionalna b,rzinL 2. U turbulenrtnom podrucju iznad2320 mijenja se koeficijent A takoder s Reynoldsorvim brojem, all je Ovlsan i 0 hrapavosti stijena cijevi. U dijagramu (sl. 113) oznacenje koeficijent A U ovisnosti 0 Re za razne promjene; i to. za celicne cijevi normalne trgovacke izvedbe. Najdonja krivulja a odnosi se n", ipotpuno glatke eijevi, kao sto su npr. staklene cijevi, cijevi od umjetne rnase, nove vucene mesingane d. o.lovne cijevi.

1\

OGi---,-l-l-1~I\-t-+l-t-i+--+-l-H+H+l-+-t---H-j-t+tt-Jr-rtTtttti 1\

b)Priblizan nacin racun:mja Kod sasvim pribliznog racunanja maze se uzeti da je koeficijent trerija stalan ri. da za upotrebljavanje eijevi s tankim slojem taloga iIi kamenca i za srednje brzine vode 0,5 m/s - 1 m/s iznosi A = 0,03. Za nove eijevi moze se uzeti da je ), = 0,023. c) Tacall nacin racunanja

j

Koeficijent trenja ovisi, kako je vee spomenuto, hraparvosti eij evi.

0

Reynoldsovu broju

1. Do Reynoldsova broja2320 strujanje je laminarno. U tom je :podrucju

A=

64

Re i neov1sno

0

hrapavosti stijena cijevi. Sl. 113.

'K k . R vd, " ' ) 64 v ; a 0 Je, e = -v-' Dit ce , = -vd' Uvrstimo Ii u parcyjevu jednadzbu tu vrijednost za A, dobivamo: 64 v L v 2 ht = - - - vd d 2g

* Henri lDS

Darcy (1803-1855), francuski inzenjer.

Kod hrapavih cijevi stupanj hrapavosti po.visuje koeficijent otpora.· Ako oznacimo sa e srednju hrapavost (s1. 114), a sa : relativnu hraparVQst, OIllda se ), moze odredtti prema dijagramu (151. 115). Srednja je hrapavost za razlicite materijale ,ovakva: lijevano zeljezo novo' . . . . . . lijevano zeljezo zardalo . . . . . lijevano zeljezo s debelim slojem rae

0,5-1 mm 1 - 1,5 rom 1,5- 3 mm f09

0,3- 0,8 rom 1 - 2 mm 1 - 2',5 mm 1,2- 2,5 mm 1,5- 3 mID 8 -1'5 mm

cement zagladen . cementneobraden . hrapave daske . . zlae od opeka . . kan1eno zide obradeno siravo kameno _zide .

fF~~~~ t~~~~~~ 81. 114.

Kod cijevikojih s11 stijene valovite, a mace glatke; kao npr. kod iasfaltiranih cijevi, mora. se ;'0' a to je koeficijent trenja za glatke cijevi, pomnozitis koeficijentom 1;. /I.

0." r-L-T--II-rrTT~-----'--'---;--'-'-'-~--'--'--' Q;a --ill-T-++-H-Hf-t--i-+-I---!-~--,Li-JJJ

t=! ~

qq,

,

I

Koeficijent otpora za valovite cijevi:

),=0'0 Koeficijent ~ za valovite cijevi:

1,5-2 drvene cijevi 1,2-1,5 asfaltirani zeljezni lim PRIMJERI: 1. Kroz ravni vodoravni cjevovod promjera 50 mm i duzine :BOO mprotjece na sat 6 m 3 ulja za lozenje. Ulje i11'1a viskoznost .od 6°E, sto odgovara kmematickoj 'zilavosti od 45 cSt, i specifirnu tezinu ad 0,95 Kip/runs. Treba odrediti brzinu strujanja, Reynoldsorv broj, oblik strujanja, visinu otpoTa ipad tlaka. R j e sen j e: Brzma strujanja

Q = 6 rns/sat

3QOOs

'=

000166 rn3js '

= 0,85 rn/s

Reynoldsov broj: 45 cst = 45 . 10-6 m2[s

Re= vd

0,85·0,05 . 10-6 = 945 45

Buduci da je Reynoldsov broj manji odkriticnog broja 2320, bit ce strujanje laminarno. Koeficijent otpora odredi!t cemo za laminarno strujanje iz jednadzbe

\\ I

.

64

64

A=y= 945"" e '\

00"8 ,0

:pa je visina otpora

,\,

I/!lS

L v2 8000,85 2 ht= )'d 2g "" 0,068 0,05 . 2.9,81

['\.

I1D5 ~

6 rn S

0,00166 rn 0,00195 s

v=

r\ /lD1

=

ill ""

40,1 rn

Razlika tlcika bit ce

I

Pi y

P2 = ht

= hy = 37,6 . 960 ~ 38496 kp/m 2

3,8 at Pri prorac1,1navanju cjevovoda imamo cetiri osnovne velicme: Q, v, .d, hi. Postupak je pri. racunanju razlicit i ovisi 0 tome sto je zadano i s,to se traZi. N a vodimo cetiri karakteristicna primjera. flp = P1 - P2

""

81. 115.

111

2. Zadano je d, Q, trazi se v, L> p. Kroz vodoravno polozenu cijev od lijevanog zeljeza duzine 800 m i promjera 55 cm prolazi na sat 1000 m 3 vode temperature 10° C. Cijev je vee dugo vremena u pogonu, pa se zbog toga u unutrasnjosti staloziosloj kanienca. Trazi se srednja brzina protj~canja vade, visina otpora i pad tlaka.

Strujanje je actto tur>bulentrio. Kad hi cijev bila glatka, mogli bismo odabrati A prema dijagramu (s1. 109), ali kako se ra:di {) hrapavoj cijevi s.a znatnim slojem kamenca, pretpostavit cemo cia. je srednja hrapavost pre"; ma tablici mi str. 109. 8 = 3 mm. Relativna hrapavost

Zbog sloja kamenca mora se racunati sa smanjenimslobodnim promjerom, recimo 50 cm.

~= 500 = 167

Q

v=2

8

d -IT.

m

4

v= 3600 . 0,52 TC s= 1,42 m/s

Visina otpora

Visinu otpora ii pad tlaka odredit cemo pribliZilom i tacnom metodom, a) Priblizan nacin racunanja Buduei da se radi 0,03.

0

3

Koeficijent otpora dobit cerna iz dijagrama (s1. 110):

4

=

3 500

i reciprocna vrijednost

R j e sen j e: Srednja brzina

1000

8

d

L v2 ht=A-·-d 2g

cijevi s hrapavim stijenama, odabrat cemo

800 1,422 . . . ht =0,034'(f,5'T9,81 m=5,63 m

V1sina otpora Pad tlaka L

ht =A7 h t -

0 03 .,

.

v ll

2g

800 1,42 2 ----a,5' 2. 9,81 m = 4,96 m

Ap

t.p

= 1000.5,63 m kp2 =· 5630 kp_ . m2 = a.' 563 at

3. Zadano je ai, ht, traii ~e v, Q.

Pad tlaka L>p =

L>p=yh t

Y ·ht

= 1000· 4,96 = 4960 kp/m 2 = 0,5 at

b) Tacan naCin racunanj~ Za vodu od 10° C kinematicka je zilavost (str. 174)

Celicna vodovodna cl;ev ,promjera 15 cm ima na duzini od 400 m pad od 1,2 m. Kolika je srednja brzina i protok? Buduei da ne mozemo odmah odrediti brzinu jer ne znamo A, koji je, opet, ovLsan i 0 brzini, moramo ispr~a pretpostaviti neki A1. Ako se radi 0 novoj celiCnoj cijevi normalne trgovacke izvedbe uzet cemo )'1 = 0,023.

v = 1,31 .10-6 m2 /s Reynoldsov broj

R.= vd v

R

= 1,42.0,5.1~:...- 542000 1,31

112

8 Cerne: Hidraulika

113

Pomavajuci sada priblfzho bizinu (jer Smo Ai pretpostavili), ,odredit ,:

Vi' d

,

cemoReynoldsov broj Ref -:- - - ' : V

Re1

Prema standardu postoje cijevi promjera 70 mm i80 mm; pa ,cemo ·odabrati eijevi promjera 8Q rrnn. Brzina vade u cijevi promjera 80 rom bit ce

0,62.0,15.10 6 101 (V za vodu od 20° C)

=

v =.-iL 2

,

d n;

-4-

Rei"" 93000

1z dijagrama za cehcne cijevi na str. 109 proizlazi da je za / d= 150 mm, 93000, A2 =0,0183 Kako se vrijednost za )'2 = 0,0183 ne poklapa s {mom koju smo pretpostavili (A1 = 0,023), moramo brzinu izra:cunati nanova upotrijebivsi All :

Re1

v

=

=

=

V2

V

2 . 9',81 . 1,2· 0,15=0,69 0,0183.400'

0,69·0,15· 10 1,0 L

R = e2

6

=

0,0067

---,-=-~.

--4--' v2 h =" 2g

,m s

1,342 h,,=m=0,09m 2 ·9,81

102000 ()tpor' u cijevi

Iz. dijagrama moze se sada odrediti A3 "" 0,0182.

,,'

VJ.dimo da se ova vrijednostza A poklapa sonoll koju smo upotrijebili za odredivanje brz1ne v. Dakle je A3 = A. Kad tako ne bi bilo, morali bismo ponovno racunati, .tj, morali bismo sposljednjom vrijednosti A ponovno izracunati novu brzi~u v i kontrolirati d~ It je ), tacan.

hi , "

v' .

4001

Q,-"60 S

=

' 6,67 lis "" 0,0067 m 3 /s

v2

vd

·Re = -V1,34 ·0,08 . 10 1,01

6

=

107000

Xako se radi 0 normaL1J.oj vodovodnoj cijevi, uzet cemo A prema dijagramu ..za, celicne cijevi: ;, = 0,019 2000 ht = 0,019 0,08 ·0,09 m

= '1,5m/s

'Uz

L

== A,d- 2g,' -"

4. Zadano je Q i h ,ill pad cijeVi, traii se d i v.

R j e sen j e: Uzmimo da je brzina vade u tlacnoj cijevi

1,34 mfs

yisina brzine

';

Pumpa tlaci 400 l/min kroz cijev duzine 2000 m na Vlsmu od 30 m. Koliki mora biti promjer cijevi i koliki tlak mora svladati pumpa? Brzinu vade odabrat cemo prem'a tablici ~a kraJu knjige.

m s

,-,- -:-

n;·0,0802

=

42,5 m

'Pumpa tlaCi na visinu ho = 30 m, pa ee, rprema tome, mo,rati svladavati ukupno ht + ho:

+ ht

bit ce promjer cijevi

= 30m

+ 42,5m =

72,5m

Toj visini odgovara tlak od 7,25 at koji ee pumpa morati u radu ·svladati .• 5. Zadano d= , d'

V

TQ· -

If

n; v'

4· 0,0067 m = 0,0755 m n;. 1,5

Q, h, traZi sev, d.

Na dnu_ brane nalazi se cijev duzine L = 40 m (81. 116). Treba ,odre·diti promjer cijevi tako da kod vodenog stupca odR =35 m bude maksimalni ;pmtok ad 5 mS/s. Cijev ce bitiuvijek cistihstijena, jer je pristupacna :za ciscenje. 115

"RJ,esenje: Karlu djeVri. ne bi bilootpora, citava bf se visina H trosila na ubrzanje: vade, pa bi.' u tom slucaju bila:brzina .' v~V~

v -

V2· 9,81 ·35 mls -:- 2{;,3 mlS

, , . ,vd :Reynoldsovbroj za sva tri slucaja (v = 1,15.10-6 za 15° C); Re = -v" ' Re1

=

20· '0,564 .106 1,15

:

98000

=

15·0,65 . 106 = 85000 1,15 R '

~~. 106

70000

'

1,15

e3

Pretpostavljajuci cia ce cijev biti ad lijevanog zeljeza i da: ce is vre'- ' menom na povrsmi lagano ,zardati, uzet cemo s = 1 mm, pa 6e relatiyna, ' brapavost biti:

d;= S1.11&. j

reciprocne vcijednostt:

Medutlm" dio visine H troM se nil. svladavanje otpqra (h), a ostatak sluzi ubrzanje vode: ' "

za

,

v2

H= ht +2g

564'

!i.= 564, 13

~=650i E

,ds = 800 E

'

'Tim vrijednostima odgC!varali bi koeficijenti otpora: " A1 = 0,023,

. )'2

=

0,022,

1..3

= 0,021

v L H=A---+, d ~g 2g

Sada mozemo izracunati visinu otpora za sva tri slucaja:

H=~(A~+l) 2g d

v ( A(f+ L' 1 ) H=Tg

V"

2

U ovom slucaju nije pam poznato ni v, ni )., ni d. Brzina ce zbog 6tpora biti svakako manja od teoretske v = 25,3 m/s. Ra~unatcerno za tri slucaja, pretpostavljajuci da cebrzina biti 20m/5, 15 ,rrt!~, IO,' J:rlls., UZPTotok ad 5 m3fs Pio bi. pn:lInjer ,

2

H1 -

2

15 2 H2 -'- 2.9,81

d2 n

Q =-4-' v

20

2.9,81

H3 =

(

(

" 30 0,023· 0,564

,,30 ,'0,022 '~O,65

+1)

=

20,3(1,12+ 1) = 20,3 . 2,12= 43 m

+I)

=

11,5 (1,01

,1~ (. 0,021 . 0,80 3 0 1) '= 5,1 (0,79 2.9,81

+

+ ~l =

+ i) =

11,5 . 2,01 = 23,2 In

5,1 . 1,79 = 9,15 m 117

Ove vrijednosti zaH U ovisnosti 0 promjeru d cijevi prikazat cemo.~ . . graflQki (s1 117). Kroz tacke 1, 2 i 3 povu'ci cemo krivulju koja nam daj~ . ovisnost H od~ . . . Za H = 35 m dobivamo na krivulji tackh a i vrijednost d = 0,59 m.

stiu racunanju uzima se da je pojedinavisina otpOra hp proporcionalna. visini brzine:

h-e

p ~ .p

v2

~.

2g

gdje je v brzina iza ugradene napr.ave, a ~p koeficijent otpora, koji ovisi

H

0

toj ugraaenoj napravi. Ukupna visina otp~ra htll cijelog cjevovoda sastoji se od visine otpora ravnih dijelova cijevi i zbroja pojedinih posebnih otpora:

~3t----~

-~

htu =

3Si-'-1

L

ht

+ L flp

Kod dugaooh cjevovoda nacimasuje visina otpora ravnm cijevi inatno visinu posebnih otpora. a) Ulazni guhid Na mjestu gdje je cijev prikljucena narezervoar lD.astaje ulazni otpor. Kod ulaiZenja tekucine u cijev pastaje suzenje (koritrakcija,sl. 118),

,60

Q40

0,70

aBO

0,564 Q59 a65

d

m.

a:

S1. 117.

Odabrat cerno standardni promjer d

=

0,6 m

Sada na..'TI je poznata brzina vode u cijevi: c=

Q d 2 T",

-4-

5 c=062 ' =17,7mfs ,

rc

-4-

12. POSEBNI OTPORI Cjevovod je redovito saJstavljen od raznih komada cijevi' razliCitih. . promjera, koji 8U meausobno spoj~ni raznim fazonskim komaaima, kao sta 8U lu:kovi,koljena, prijelazni komadi i dr. Osim tog~, u cjevovod Sll ugradene zaporne napr!ve: ventili, zasunci, pipci i zaklopke, koje. sluie za ., regulaciju protoka. Svi ti ugraaeni dijel~vi prouzrokuju posebne otpore,' i zanjihovo savladavanje trosi se dio energije tekucine. Zbog jed.11:ostavno-

S1. 118.

i brzina v" u suzenju iza ulaza veca je od brzine v u cijevi. Zbog toga djelicitek1,16iJ~e vece brzine udaraju na djelice manje brzine. Posljedica toga stalnog udaranja jesu gubici energije tekuCine. Osim toga,~a mjestu

-suzenja mlaza u mrfvom prostoru nastaju vrtlozi, koji takoder trose dio e.nergije. lUI

118

Za koljena kakva su prikazana na s1. 119..~ se.nalazi u. ovoj JabIicit

Ulaznisu gubici: v2

hp=~2

d

. g ~ je ~odostrobridnog ulaza 0,5 (s1. 118.a),

mm

kod zaobljenog ulaza

0,05-0,1 (s1. 118.b):

kodslucaja na 51. l1S.c.

do· 3.

£

~

0

20

25

.,0

35

40

J,7

1,6

1,3

1,2

J,l

1,0

I I

4,S

50

0,9

0,8

I

II

c) Prosirenja j suzenja

b) Luk i koljeno

Kod luka ovisi koeficijent otpora

i

15

omjeru'

:

(51. 119). Srednje

Nag lop r os ire n j e (s1. 121)

vrijednasti za zakrivljehjahika od 90~ nalaze 5e u ovoj tablici:

I

"

~ '\

\~

I

I

I 0. 231 0, 14 1 0,10 0, 08 1 0,09 0,20 I 0,51 I 0,30 / ~,231 0,18/

I~

glatk a cijev hrl\pava cijev

I

4

2

I

/

Ii

10 /

I

I 81. 121.

F Xoeficiient otpora ovrsio omjeru ,/-: 1

Po s t e pen 0 pro sir e n j e (s1. 122) 81. 120.

81. 119.

Najmanje otpore pruza luk aka jed =.7 dOl 8. Za zakrivljenja liZ

manja od 90° mijenja se koeficijent razmjemo kutu zakrivljenja: i=

-

.,CG -

-==90 s 900 l:

Za ostra k01jena, kakva nastaju kod varenih cjevovoda (81. 120), ~ se nalazi u ovoj tablici: kut zaokreta

gIatka cijev hrapava cijev

120

I

I

i

b

I

100

(;

I

0, 03 1 0,04 I 0,13/

~

I 0,04/

150

30 0

I

45

0

I

60

0

1 90d

O,24JO.47/

I

U 3/

0, 06 1 0,15/ 0.321 0,68/1,27

81.122.

Najpovoljniji kut prosirenja jeste 0= 8 0 ; u tom slucaju iznosi koeficijent otpora

I 121.

Naglo sllzenje (s1. 123)

Ven tili

Na 81. 125: naznaceni BU koefieijenti otpora za razne konstr:xkciJe vehtiia za slobodan pr()mjerod 1.0.0 mm. Navedene vrijednosti uglavnom zadovoljavaju i kad se radi 0 drugim dimenzijama.

Visina je otpora