Bondad de Ajuste - Merged

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Escuela acdemica de ingenieria civil sede-jaen

asignatura: estadística aplicada TEMA: EJERCICIOS DE BONDAD DE AJUSTE DOCENTE: MARIN CUBAS RIGOBERTO CICLO: 3 integrantes : CONSTANTINO HUAMÁN LUZ JHAQUELINE.

Neira Alarcon mareydi yanina. Mejia Velasquez dinson rafael. Mondragon Silva Edwin Yeremi. silva inga geydi maideli.

 

EJERCICIOS DE BONDAD DE AJUSTE 1.  Un investigador, quiere comprobar la hipótesis de que son igualmente probables los eventos “cara” y “sello” en el experimento

de lanzar una moneda, para esto lanzó la nzó 160 veces 4 monedas similares y encontró la siguiente distribución de frecuencias del número de caras.

Probar la hipótesis del investigador que es probar si sigue una distribución binomial. Con un   0,05. ¿A qué conclusión llega? SOLUCIÓN I) 

Planteo de hipotesis.

               . .                . . 

Donde:  N = 4 P y q son las probabilidades respectivas respect ivas de cara y sello en un so solo lo lanzamiento de la moneda. II) 

Para calcular el valor de P se sabe:    → 4  4  

III)  Para la medida del nuemero de caras es: # de cara 0 1 2 3 4 TOTAL

Oi 17 30 64 34 15 160



IV)  Reemplazamos el valor de la media: 





 0.5

∑  ∑

→ 

  2 

320   160

 

 

  1    0.5   1,2,3,4 

Por la distribución binomial: ( )  ( ) 

V) 

! !( !(− −))!

   −  

! 0.5 0.5− !(−)!

 Reemplazamos en dada valor de x

Calculamos Ei = P(x) caras por 160

# de cras

Oi

P(x) caras

Ei

(   ) / 

0 1 2 3 4

17 30 64 34 15

0.0626 0.25 0.375 0.25 0.0625

10 40 60 40 10

4.9 2.5 0.27 0.9 2.5

TOTAL

160

1

160

11.07

VI)  Calculamos el GL: Grados de libertad:   1    5  1  1  3  0.05, 5, 3)  7.8 7.813    (0.0        11. 1.0 07 

Ho se acepta Ho se rechaza

7.813 

  11.0 11.07 7 

VII)  Conclusión: Se rechaza Ho, con un   0,05 lo datos no siguen una distribución binomial.

 

2.  Se propone que el número de defectos de fectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución Poisson?. Haga la prueba pr ueba de la bondad del ajuste con un   0,05. SOLUCIÓN I) 

Planteo de hipótesis.

   ú        ó ó  . .    ú      ó ó  . .

II) 

Calculamos el valor de la media () 

# de defectos

Frecuencia observada 32 15 9 4 60

0 1 2 3 o mas TOTAL

( ) 

45 60

→ 0. 0.7 75 

III)  Calculamos el valor de (  )              0,1,2,3,…  (  )  (  0)  (  1)  (  2) 

 !

 −  

(.) ! (.) ! (.) !

 −.  0,47 ,472    −.  0.35 .354    −.  0.13 .133  

( > 3)  1  (  +  1 +  2)  0.042 

 

# de defectos 0 1 2 3 o mas TOTAL

Frecuencia observada 32 15 9 4 60

 (   )   0,472  0.354  0.133  0.042 

1

IV)  Calculamos las frecuencias esperadas:   . ( )  # de defectos

Frecuencia observada 32 15 9 4 60

0 1 2 3 o mas TOTAL

 (  ) 

Ei

0,472  0.354  0.133  0.042 

28.32 21.24 7.98 2.46

1

Como la frecuencia esperada en la ultima celda es menos a 5, sumamos con la anterior y obtendríamos: # de defectos 0 1 2 o mas TOTAL V) 

Frecuencia observada 32 15 13 60

 (  ) 

Ei

(   ) / 

0,472  0.354  0.174 

28.32 21.24 10.44 60

0,48 1.83 0.63 2.44

1

Calculamos GL:

Grados de libertad:     1  3  1  1  1  (0,05 0,05;; 1)  3.84          2. 2.9 94 

Ho se acepta Ho se rechaza

2.94 

3.84 

 

Se acepta Ho VI)  Conclusión: El número de defectos tiene una distribución poisson, por lo tanto el alfa que es 0,05 el ajuste de los datos provienen de una distribución poisson. 3.  Pruebe la hipótesis de que la distribución de frecuencia de las duraciones de baterías dadas en la siguiente tabla, se puede aproximar mediante una distribución normal con media. Utilice un   0,05. 

SOLUCIÓN I)

 

Planteo de hipótesis.

            ó ó  . .     0      ó ó  . .

II)  ̅  ̅ 

Calculamos la media y la distribución estándar. ∑ =  

 

. 

 

  3.41

  0.7 

III)  Calculamos los valores de 2 para encontrar las probabilidades en la tabla, recordando que: 

− 

 

Se distribuye al valor de x por los limites de clase, comenzando con el limite de 1,95; 2,45; 2,95; 3,45; 3,95; 4,45; 4,95. IV)  Calculamos la probabilidad para cada valor de 2 Límites de clase 1,45 –  1,95

Límite real 1,95

2 -2,09

Probabilidad 0,0183

 –  2,95 1,95 –  2.45 2,45

2,45 2,95

-1.37 -0,66

0,0670 0.1693

 

2,95 –  3,45 3,45 –  3,95 3,95 –  4,45 4,45 –  4,95

3,45 3,95 4,45 4,95

0,06 0,77 1,49 -

0,2693 0,2556 0,1525 0,0681 1

V) 

Calculamos el valor de la frecuencia esperada          n           4 40 0 

Límites de clase 1,45 –  1,95 1,95 –  2.45 2,45 –  2,95 2,95 –  3,45 3,45 –  3,95 3,95 –  4,45 4,45 –  4,95 TOTAL

Fo

Fe

(  ) / 

2 1 4 15 10 5 3 40

0,7 2,7 6,8 10,8 10,2 6,1 2,7 40.0

2,4143 1,0704 1,1529 1,6333 0.0039 0,1964 0,0333 6,5065

Como la frecuencia esperada en la primera y segunda celda son menos qque ue 5, se suman con la tercera celda ce lda y como la frecuencia esperada eenn la ultima celda también es menos a 5, se suma a la anterior y tendríamos: Límites de

Fo

Probabilidad

Fe

clase 1,45 –  2.45 2,95 –  3,45 3,45 –  3,95 3,95 –  4,45 TOTAL

7 15 10 8 40

0,2546 0,2693 0,2565 0,2206 1

10,2 10,8 10,2 8,8 40,0

VI)  Calculamos GL: Grados de libertad:     1  4  1  2  1 0,05;; 1)  3.8 .84 41    (0,05         2. 2.71 714 4 

(  ) / 

1.004 1,633 0.004 0,073 2,714

 

 

Ho se acepta Ho se rechaza

2.714 

3.841 

Se acepta Ho VII)  Conclusión: La Ho se acepta, concluimos que con un   0,05 que el ajuste de los datos si provienen de una distribución normal.

 

4.

N° DE

0

1

2

3

4

5

6

VENTAS DÍAS

3

3

9

9

6

0

0

 

 

 

 

5

 

 

X

0

1

2

3

4

5

0i

17

81

152

180

104

16

 

 

 

 

6.

 

N° ERRATAS

N° PÁGINAS

0

65

1

25

2 3

8 2

 

 

 

 

7.  Con el fin de estudiar la distribución que siguen las estaturas de los alumnos de la Escuela de Ingeniería Civil, se selecciona una muestra aleatoria de 100 alumnos, cuyas estaturas podemos agrupar en la siguiente tabla:

Comprobar, con un 5% de significación, si la l a muestra procede de una población normal.

 

 

 

 

8.  En una investigación del Ministerio de Economía de profesionales liberales, se tomaron al azar los expedientes de inspección abiertos a 60 profesionales, siendo las cantidades defraudadas l as que aparecen resumidas en el siguiente cuadro:

Utilizando Kolmogorov – Kolmogorov – Smirnov,  Smirnov, verificar que las cantidades defraudadas por los profesionales liberales con expediente de inspección abierto se distribuyen normalmente con con un nivel de significación del 5 %.

 

 

9.  El servicio médico del grupo “Maquinaria Pesada” observó durante un período fijo la cantidad de accidentes que sufrieron sus operarios de máquinas. Los resultados se dan en la tabla que sigue:

N° de

0

1

2

3

4

5

6 ó más

40

34

16

7

2

1

0

Pacientes N° de Días

 

Un analista opina que la distribución de los datos sigue el modelo de Poisson. Al nivel de significancia 0.05 ¿Concuerda usted con la opinión del analista?

 

 

 

se generaron generaron 100 números números pse pseudoaleatorios udoaleatorios uniformes en entre tre 0 y 1, obteniendo obteniendo la siguiente siguiente tabla tabla de 10.  Asume que se frecuencias:

0.0-0.1 11

0.1-0.2 13

0.2-0.3 8

0.3-0.4 6

0.4-0.5 4

0.5-0.6 12

0.6-0.7 17

0.7-0.8 9

0.8-0.9 9

0.9-1 11

 Aplique una prueba Chi - Cuadrado de bondad de ajuste para ver si los datos siguen una distribución uniforme en [0,1), para un alfa = 0.01. Solución:                      

INTERVALO

Oi

Ei

(Oi-Ei)^2/Ei

0.0 - 0.1

11

10

0.1

0.1 - 0.2

13

10

0.9

0.2 - 0.3

8

10

0.4

0.3 - 0.4

6

10

1.6

0.4 - 0.5

4

10

3.6

0.5 - 0.6

12

10

0.4

0.6 - 0.7

17

10

4.9

0.7 - 0.8

9

10

0.1

0.8 - 0.9

9

10

0.1

0.9 - 1

11

10

0.1

Total

100

12.2

Nivel de significancia: 0.01 Determinamos el chi cuadrado de tablas:   = 21.67 =  .;9  .;−

12.2

 Como 12.2 < 21.67 entonces se concluye que los datos siguen una distribución uniforme, por lo tanto, se acepta la .



 

11. Un ingeniero controla la calidad de lotes grandes escogiendo escogiendo de cada lote una mue muestra stra aleatoria de 5 unidades y observando en ellas el número de defectuosas. Si de 200 lotes l otes controlados obtuvo la siguiente distribución de frecuencias del número de defectuosos: N de 0 Defectuosos 137 N de muestras (Oi)

1

2

3

4

5

43

10

5

3

2

Pruebe la hipótesis de que la distribución del número de defectuosos se ajusta por un modelo de probabilidad binomial use un α=0.01  

Solución:

=           =           

(p , n=5)  Ahora bien, calculamos calculamos la media: 

137 ∗ 0 + 1 ∗ 43 4 3 + 2 ∗ 10 10 + 3 ∗ 5 + 4 ∗ 3 + 5 ∗ 2 200

 0.5

Calculamos el P: U = np

0.5 = 5p

p= 0.1

q=0.9

N de Defectuosos Oi

P(x) Defectuosos Ei

0

137

0.5904

118.08

1

43

0.328

65.6

2

10

0.0729

14.58

3

5

0.0081

1.62

4

3

0.00045

0.09

5

2

0.00001

0.002

Total

200

Como podemos observar las filas 3,4 y 5 son inferiores a 5 por lo cual las unimos: N de Defectuosos Defectuosos Oi

P(x) Defectuosos Defectuosos Ei

(Oi - Ei)^2/Ei

0

137

0.5904

118.08

3.03155827

1

43

0.328

65.6

7.78597561

2

20

0.08146

16.292

0.84392733

2

X  = 11.66  Ahora calculamos el chi cuadrado cuadrado de tablas:    .;−− = 6.63 =  .;

Como 11.66>6.63 se rechaza la H0, y se concluye con un  = 0.01 que el número



de defectuosos no se ajusta por un modelo binomial.

 

12. Durante 100 intervalos de tiempo cada uno de 3 minutos, se registró el número de llamadas telefónicas recibidas en una central, resultando la l a siguiente distribución: N de llamadas N de intervalos

0

1

2

3

4 o mas

43

35

11

08

1

Puede usted concluir con probabilidad α=0.01, que la distribución de los datos sigue una distribución Poisson de parámetro λ = 0.85.  

       . 

=     

=       N de llamadas

N de llamadas

         

N de llamadas Ei

0

43

0.4274

41.8852

1

35

0.3633

35.6034

2

11

0.1544

15.1312

3

8

0.0437

4.2826

1 98

0.00926

0.90748

4 o mas Total

Como se observa la frecuenc fr ecuencia ia esperada las 2 ulti ultimas mas filas son inferiores a 5. Lo cual por conveniencia las unimos. N de llamadas

3 o más

Oi

Probabilidad

Ei

(Oi-Ei)^2/Ei

0

43

0.4274

41.8852

0.029671078

1

35

0.3633

35.6034

0.010226314

2

11

0.1544

15.1312

1.127922005

9

0.05296

5.19008

2.796775851

2

X  = 3.96  Ahora calculamos el chi cuadrado cuadrado de tablas:    = 6.63   =  .;  .;−−

Como 3.96