Bobine Différentes Méthodes CPF0910

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TS Physique

Etude d’une bobine par différentes méthodes

Electricité

Exercice résolu

Enoncé On se propose de déterminer l’inductance d’une bobine par différentes méthodes. On dispose pour cela d’un dispositif d’acquisition et d’un logiciel adapté. Dans la partie 1 de l’exercice, la résistance du circuit sera non nulle. Dans les parties 2 et 3, un dispositif adapté permet d’annuler la résistance de l’ensemble. E

On considère le montage ci-contre composé :  d’un générateur idéal de tension de force électromotrice E = 5,0 V  d’un condensateur de capacité C = 2200 F  d’une bobine d’inductance L à déterminer, comprise entre 600 et 900 mH, et de résistance r = 15   d’un dispositif d’acquisition relié à un ordinateur

(1) A (2)

i u (L;r) B

C

A. Première partie : détermination de l’inductance par une méthode temporelle L’interrupteur est d’abord placé en position (1) pendant la durée nécessaire à la charge complète du condensateur. On le bascule ensuite en position (2) et le système d’acquisition relié à l’ordinateur permet d’enregistrer l’évolution de la tension u aux bornes du condensateur en fonction du temps. La courbe obtenue est représentée en annexe n°1 (document 1). 1. Expliquer le phénomène observé. 2. Déterminer graphiquement la pseudo-période T de la tension. 3. En assimilant la pseudo-période à la période propre T0, calculer la valeur L de l’inductance de la bobine.

B. Deuxième partie : détermination de l’inductance par une méthode énergétique On note :  EC : l’énergie emmagasinée dans le condensateur  EB : l’énergie emmagasinée dans la bobine  ET : l’énergie totale du circuit On ajoute au circuit précédent un dispositif (non représenté) qui permet d’annuler la résistance de la bobine sans modifier son inductance. On considère, pour la suite de l’exercice, que le nouveau circuit ainsi obtenu est composé uniquement d’un condensateur et d’une bobine idéale.

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On charge à nouveau le condensateur avant de basculer l’interrupteur en position (2) à la date t = 0. Le logiciel permet de tracer les courbes représentées en annexe n°1 et donnant, en fonction du temps : - l’évolution de la tension u aux bornes du condensateur (document 2), - l’évolution de l’intensité i (document 3), - l’évolution des différentes formes d’énergie (document 4). 1. Rappeler les expressions littérales des énergies EC et EB. 2. En déduire l’expression littérale de l’énergie ET du circuit, en fonction de L, C, u et i. 3. Identifier, sur le document 4, les courbes donnant l’évolution de E B, EC et de ET. 4. Déterminer graphiquement la valeur de l’énergie ET du circuit. 5. Dans quel dipôle est emmagasinée l’énergie à la date t = 0,20 s ? 6. Déduire, des réponses aux questions précédentes et de l’un des documents de l’annexe n°1, la valeur L de l’inductance de la bobine.

C. Troisième partie : modélisation de la tension u aux bornes du condensateur et de l’intensité i du courant dans le circuit 1. En tenant compte des conventions d’orientation figurant sur le schéma du circuit, donner l’expression de la tension u aux bornes de la bobine en fonction de son inductance L et de l’intensité i du courant dans le circuit. 2. Lorsque l’interrupteur est en position (2), donner l’expression de l’intensité i du courant qui parcourt le circuit en fonction de la tension u et de la capacité C du condensateur. 3. En déduire, en fonction de u, l’expression de l’équation différentielle vérifiée par le circuit.

 2

4. La solution de l’équation différentielle est de la forme u(t) = umax cos 

 T0



t   .



a) À partir de l’enregistrement de l’évolution de la tension (document 2 en annexe n°1),

déterminer les valeurs des constantes umax et  puis écrire u(t) sous forme numérique.

b) En déduire l’expression numérique de i(t).

D. Quatrième partie : comparaison de différents régimes de fonctionnement Le dispositif destiné à annuler la résistance de la bobine peut être réglé de façon que la résistance totale du circuit soit plus ou moins importante. On réalise des acquisitions en déchargeant le condensateur dans la bobine et en testant successivement différents réglages du dispositif de compensation de la résistance de la bobine. On réalise 4 expériences et, pour chacune d’entre elles, on mesure la résistance totale du circuit de décharge, comportant le condensateur, la bobine et le dispositif de compensation de résistance. On enregistre à chaque fois la tension u aux bornes du condensateur en fonction du temps (courbes du document 5 en annexe n°2) 1. Sans justifier, compléter le tableau en annexe n°2. 2. Justifier l’aspect de la courbe 6 par des considérations énergétiques.

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Annexes

Annexe n°1

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Annexe n°2

résistance totale du circuit de décharge (en )

n° de la courbe correspondante

nom du régime associé

0

2,0

80

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Corrigé

A. Première partie : détermination de l’inductance par une méthode temporelle 1. Expliquer le phénomène observé.

Il s’agit d’oscillations électriques libres (pas de générateur et pas de dispositif d’entretien) amorties (l’amplitude diminue au cours du temps). 2. Déterminer graphiquement la pseudo-période T de la tension.

Sur le document 1, on lit : T = 0,26 s 3. En assimilant la pseudo-période à la période propre T0, calculer la valeur L de l’inductance de la bobine.

T = T0 = 2..

L.C => L =

T

2

soit : L =

4. .C 2

 0,26 2 4  3,14  2200  10 2

6

= 7,8 x 10-1 H

B. Deuxième partie : détermination de l’inductance par une méthode énergétique 1. Rappeler les expressions littérales des énergies EC et EB.

EC =

1 2

.C.u

2

et

EB =

1 2

.L.i

2

2. En déduire l’expression littérale de l’énergie ET du circuit, en fonction de L, C, u et i.

1

ET = EC + EB => ET =

2

.C.u + 2

1 2

.L.i

2

3. Identifier, sur le document 4, les courbes donnant l’évolution de EB, EC et de ET.

Initialement, le condensateur est chargé sous la tension E = 5,0 V et aucun courant ne circule dans le circuit donc, à t = 0 : u = 5,0 V et i = 0. On en déduit que la courbe 3 donne l’évolution de EC et que la courbe 2 donne l’évolution de EB. La résistance totale du circuit est nulle donc l’énergie totale du circuit est constante : ET = cte. On en déduit que la courbe 1 donne l’évolution de ET. 4. Déterminer graphiquement la valeur de l’énergie ET du circuit.

Sur le document 4, on lit : ET = 2,75 x 10-2 J ou 27,5 mJ 5. Dans quel dipôle est emmagasinée l’énergie à la date t = 0,20 s ?

A t = 0,20 s : EC = 0 et EB est maximale. Toute l’énergie est emmagasinée dans la bobine. 6. Déduire, des réponses aux questions précédentes et de l’un des documents de l’annexe n°1, la valeur L de l’inductance de la bobine.

A la date t = 0,20 s, toute l’énergie du circuit est emmagasinée dans la bobine : EB = ET. A la même date, on lit sur le document 3 : i = 0,26 A. EB =

1 2

.L.i => L = 2

2.EB 2

i

soit : L =

2  2, 75  10 2

0,26

2

= 8,1 x 10-1 H

C. Troisième partie : modélisation de la tension u aux bornes du condensateur et de l’intensité i du courant dans le circuit 1. En tenant compte des conventions d’orientation figurant sur le schéma du circuit, donner l’expression de la tension u aux bornes de la bobine en fonction de son inductance L et de l’intensité i du courant dans le circuit.

uCB = L.

di dt

= - u => u = - L.

di dt

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2. Lorsque l’interrupteur est en position (2), donner l’expression de l’intensité i du courant qui parcourt le circuit en fonction de la tension u et de la capacité C du condensateur.

i=

dq dt

et q = C.u => i = C.

du dt

3. En déduire, en fonction de u, l’expression de l’équation différentielle vérifiée par le circuit.

di dt

du dt

2

du

=> u = - L. C.

dt

2

du 2

2

2

 C.

et

dt

2

+

1 L.C

.u = 0

4. a) À partir de l’enregistrement de l’évolution de la tension (document 2 en annexe n°1), déterminer les valeurs des constantes umax et  puis écrire u(t) sous forme numérique.

Pour t = 0 : u = umax = 5,0 V et u = umax = umax.cos  => cos  = 1 et = 0 2 2 1 1 Par ailleurs : = = = = 24 rad.s-1  6 T0 2 L.C L.C 0, 81  2200  10 On a donc : u = 5,0.cos (24.t) b) En déduire l’expression numérique de i(t).

du

du

= - (5,0 x 24).sin(24.t) = - 1,2 x 102.sin(24.t) dt dt => i = - 2200 x 10-6 x 1,2 x 102.sin(24.t) et i = - 2,6 x 10-1.sin(24.t) i = C.

avec

D. Quatrième partie : comparaison de différents régimes de fonctionnement 1. Sans justifier, compléter le tableau en annexe n°2.

résistance totale du circuit de décharge (en ) 0

n° de la courbe correspondante

nom du régime associé

5

régime périodique

6 4

régime pseudo-périodique régime apériodique

2,0 80

2. Justifier l’aspect de la courbe 6 par des considérations énergétiques.

L’amplitude de la tension diminue au cours du temps car une partie de l’énergie totale du circuit est dissipée par effet Joule, sous forme de chaleur, dans la résistance.

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