Bobina acopladas

Universidad de Castil Castilla la – La Mancha Mancha

TEORÍ TE ORÍ A DE CI CI RC RCUI UI TOS CURSO 2008/2009

Tema 8. 8 . Circuitos M agnéticamente Acoplados Raquel García Bertrand Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, Automática y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Contenidos 1. Inductancias mutuas 2. Polaridad y criterio de puntos 3. Resolución por mallas 4. Energía en un acoplamiento magnético 5. Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas

2

Contenidos 1. Inductancias mutuas 2. Polaridad y criterio de puntos 3. Resolución por mallas 4. Energía en un acoplamiento magnético 5. Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas

2

Objetivos 











Establecer la relación entre inductancia mutua y autoinduct autoinductancia ancia de bobinas bobinas acopladas acopladas magnéticamente, y explicar el significado del acoplamiento unitario Aplicar el criterio de puntos para determinar la polaridad de la tensión inducida Escribir las ecuaciones en el dominio del tiempo y en aritmética aritmética fasorial fasorial para un un circuito circuito con con bobinas bobinas acopladas magnéticamente Analizar circuitos con bobinas magnéticamente acopladas empleando el método de mallas Determinación de la energía almacenada en un acoplamiento magnético Utilizar una red equivalente puramente eléctrica para analizar un circuito en alterna con inductancia mutua 3

Autoinducción (repaso) Flujo concatenad o : Φ = Nφ [Wb] dΦ Ley de Faraday : v = [V] dt i

φ

+

φ

V  _ 

N vueltas

4

Autoinducción (repaso) Ni [Wb ] De la Ley de Ampere : φ = ℜ ℜ : reluctancia magnética del medio atravesado por el flujo [A-v/Wb] i

φ

+

φ

V  _ 

N vueltas 5

Autoinducción (repaso) dΦ d(Nφ) dφ = =N v= dt dt dt d ⎛ Ni ⎞ 2 di ℜ v =N ⎜ ⎟ =N 1 2 3 dt ⎝ ℜ ⎠ dt L N2 Esto es : L = ℜ di v =L dt donde L es el coeficient e de autoinducc ión 6

1. Inductancias mutuas φ12

i1 +

v1

i2 +

φL1

 _ 

φL1

φL2

N1

N2

φL2

v2  _ 

φ21

φ21

Debido a la corriente 2 Concatena el arrollamiento 1

7

Inductancias mutuas Flujo total que atraviesa cada bobina : φ1 = φL1 + φ12 ± φ21 φ2 = φL2 + φ21 ± φ12 N1i1 N2i2 φL1 = k1 φL2 = k 2 ℜ ℜ N1i1 N2i2 φ12 = (1 − k1 ) φ21 = (1 − k 2 ) ℜ ℜ Ni Ni Ni Ni φ1 = 1 1 ± (1 − k 2 ) 2 2 φ2 = 2 2 ± (1 − k1 ) 1 1 ℜ ℜ ℜ ℜ Mismo núcleo y arrollamie ntos similares : (1 − k1 ) = (1 − k 2 ) = k 8

Inductancias mutuas Tensiones en las bobinas : dφ1 N12 di1 N1N2 di2 di1 di2 = ±k = L1 ± M v1 = N1 dt ℜ dt dt dt ℜ dt dφ2 N22 di2 N1N2 di1 di2 di1 = ±k = L2 ±M v 2 = N2 ℜ dt dt ℜ dt dt dt donde : N1N2 N12N22 M=k =k = k L1L 2 ℜ ℜ 2

9

Inductancias mutuas y autoinducción 1º Máximo acoplamiento (no hay flujo disperso) φL1 → 0 φL2 → 0 por tanto k →1 M → L1L 2 (máximo acoplamiento) N12 L1 → Reluctancia del núcleo no es ℜ despreciable, L y L finitos 2 1 2 N2 L2 → ℜ 10

Inductancias mutuas y autoinducción 2º Máximo acoplamien to y material ferromagné tico k →1 ℜ→0 por tanto L1 → ∞ L2 → ∞

11

Inductancias mutuas y autoinducción 3º Máximo desacoplam iento (no hay flujo mutuo) φ12 → 0 φ21 → 0 por tanto k →0 M → 0 (máximo desacoplam iento ) N12 L1 → ℜ N22 L2 → ℜ

12

2. Polaridad y criterio de puntos φ12

i1 +

v1

i2 +

φL1

 _ 

φL1

φL2

N1

N2

φL2

v2  _ 

φ21 + v1

 _ 

M

i1 L1

i2

L2

+ v2 13

Polaridad y criterio de puntos 



Si los flujos tienen el mismo sentido: la tensión propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se suman Si los flujos tienen sentidos opuestos: la tensión propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se restan

14

Polaridad y criterio de puntos La anterior realidad física equivale a: 1. Si la corriente entra en una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es positiva en el borne marcado con un punto 2. Si la corriente sale de una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es negativa en el borne marcado con un punto

15

Polaridad y criterio de puntos M

i1 +

v1  _ 

+

di2 M dt

 _ 

+

di1 L1 dt  _ 

di1 di 2 v 1 = L1 + M dt dt di1 di 2 v 2 = M + L2 dt dt

i2 +

L1 L 2

di L2 2 dt  _ 

+

+

 _ 

 _ 

di M 1 dt

v2

No se “ve” y no se puede aplicar la regla del tornillo ⇒ criterio de puntos 16

Polaridad y criterio de puntos M

i1 +

v1  _ 

 _  M

di2 dt

+

 _ 

+

di L1 1 dt  _ 

i2

L1 L 2

+

di 2 M di1 L2 dt dt +

 _ 

+

v2  _ 

di1 di 2 v 1 = L1 − M dt dt di1 di 2 v 2 = M − L2 dt dt 17

Polaridad y criterio de puntos

No hace falta saber la disposición geométrica de los arrollamientos 18

Ejemplo 1 Se hallan las expresiones de las tensiones en un circuito formado por tres bobinas acopladas dos a dos

I1

+

V1 X1

-

XM12

XM13 XM23

I2

X2

+

V2

-

I3

X3

+

V3

-

19

Determinación de bornes homólogos SE CONOCE LA DISPOSICIÓN DE LOS ARROLLAMIENTOS (Aunque no es lo usual) A

B

iA

φA

C

φD

iD

D 20

Determinación de bornes homólogos 1. Selecciónese arbitrariamente un borne de un arrollamiento y asígnesele un punto, por ejemplo D 2. Asígnese una corriente entrante iD al borne marcado 3. Empléese la regla del tornillo para determinar el sentido del flujo φD originado por la corriente 4. Selecciónese arbitrariamente un borne (por ejemplo A) del segundo arrollamiento y asígnesele una corriente entrante iA 21

Determinación de bornes homólogos 5. Empléese la regla del tornillo para determinar el sentido del flujo φA originado por la corriente iA 6. Compárese el sentido de los flujos: (i) si los flujos tienen el mismo sentido, asígnese un punto al borne del segundo arrollamiento por donde entra la corriente, (ii) si los flujos tienen sentidos opuestos, asígnese un punto al borne del segundo arrollamiento por donde sale la corriente

22

Determinación de bornes homólogos PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL v3

I

A v1 A’

B ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO B’

Si v 3 < v1, los bornes homólogos son A y B Si v 3 > v1, los bornes homólogos son A y B'

23

Ejemplo 2 Se comprueba por el procedimiento experimental que los bornes homólogos son los marcados. Se conoce que por la bobina 11’ puede circular 1 A.  j2 Ω

A 5 + j5 Ω

A’

B 3 + j3 Ω

B’ 24

3. Resolución por mallas 



El método de las corrientes de mallas es el más apropiado cuando existen acoplamientos magnéticos En régimen estacionario sinusoidal es igual

25

Resolución por mallas 1) Escójanse arbitrariamente los sentidos de corriente en cada malla 2) La autoinducción produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la corriente (como un receptor) 3) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos 4) Aplíquese la Ley de Kirchhoff de tensiones a cada malla

26

Ejemplo 3 R1

vg

ia

Ecuaciones de malla

M

+

+

dib dt

di L1 a dt

 _ 

 _ 

M

 _  L1 L2

L2

dib dt

+

 _  M

dia dt

ib

R2

+

dia dib ⎧ v L M − + + +i R = 0 ⎪⎪ g 1 dt dt a 1 ⎨ ⎪ibR2 + L 2 dib + M dia = 0 ⎪⎩ dt dt

27

Ejemplo 3 R1

Vg

En el dominio de la frecuencia

 jωM

I1

I2

 _ 

+

+

 _ 

 jωM I2

 jωL1I1

 jωL 2 I2

 jωM I1

+

 _ 

 _ 

+

R2

⎧⎪− Vg + jωL1I1 − jωM I2 + R1I1 = 0 ⎨ ⎪⎩R2 I2 + jωL 2 I2 − jωM I1 = 0 28

Ejemplo 4 4H

i2

vg

8Ω

i1

4 .5 H

9H

6Ω

i3

20 Ω

29

Ejemplo 5  jω4 Ω I2

Vg

5Ω

I1

 jω8 Ω

 jω16 Ω

20 Ω

I3

60 Ω

30

4. Energía en un acoplamiento magnético M

i1

i2

+

v1

L1

L2

 _ 

+ v2  _ 

di1 di 2 v 1 = L1 + M dt dt di1 di 2 v2 = M + L2 dt dt

31

Energía en un acoplamiento magnético di1 di2 ⎞ ⎛  di2 di1 ⎞ + + + p = v1i1 + v 2i2 = ⎛  L M i L M ⎜ 1 ⎟1 ⎜ 2 ⎟ i2 dt  ⎠ ⎝  dt dt  ⎠ ⎝  dt di1 di2 di1 ⎞ di2 di1 d(i1i2 ) di2 ⎛  = L1 i1 + M + L 2 i2 p = L1 i1 + M ⎜ i1 + i2 ⎟ + L 2 i2 dt dt  ⎠ dt dt dt dt ⎝  dt t

t

t

t

1 2 1 1 2 w = ∫ pdt = L1 ∫ i1di1 + M∫ d(i1 i2 ) + L 2 ∫ i2di2 = L1i1 + Mi1i2 + L 2i2 2 2 2 0 0 0 0

32

Energía en un acoplamiento magnético Si una corriente entra por el borne marcado y otra sale por el borne marcado 1 2 1 2 w (t ) = L1i1 + L 2i2 − Mi1i2 2 2 En general 1 2 1 2 w (t ) = L1i1 + L 2i2 ± Mi1i2 2 2

33

Energía en un acoplamiento magnético En régimen permanente sinusoidal :

i1 = 2 Ι1 cos( ωt + α1 ) ; i2 = 2 Ι 2 cos( ωt + α 2 ) 1 2 1 2 L1 2 w = L1i1 ± Mi1i2 + L2i2 = ⋅ 2Ι1 cos2 (ωt + α1 ) 2 2 2

L2 2 2 ± M ⋅ 2Ι1Ι 2 cos(ωt + α1) cos(ωt + α 2 ) + ⋅ 2Ι 2 cos (ωt + α2 ) 2

L1Ι12 L 2Ι 22 w= + ± MΙ1Ι 2 cos( α1 − α 2 ) 2 2

L1Ι12 L 2Ι 22 + cos( 2ωt + 2α1 ) + cos( 2ωt + 2α 2 ) ± MΙ1Ι 2 cos( 2ωt + α1 + α 2 ) 2 2

Wmed

L1Ι12 L 2Ι 22 = + ± MΙ1Ι 2 cos(α1 − α 2 ) 2 2

34

Ejemplo 6 Hallar la expresión instantánea de la energía almacenada en las bobinas acopladas, así como las energías media, mínima y máxima almacenadas por dichas bobinas. La pulsación de la fuente es de 100 rad/s I1

+ -

5Ω

185 V  j4 Ω

 j4 Ω

10 Ω

 j8 Ω

I2

− j3 Ω

35

5. Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas di1 di 2 v 1 = L1 + M dt dt di 2 di1 +M v2 = L2 dt dt R1 i1

R2

M

+

+ v1

 _ 

L1

L2

v2

i2

 _  36

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas L1 − M

R1

+ v1

 _ 

L2 − M

i2

i1 M

R2

+ v2

 _ 

di1 di1 di 2 ⎛ di1 di 2  ⎞ +M v 1 = (L1 − M) + M ⎜ + ⎟ = L1 dt dt dt ⎝  dt dt  ⎠ di 2 di 2 di1 ⎛ di1 di 2  ⎞ +M⎜ + +M v 2 = (L 2 − M) ⎟ = L2 dt dt dt ⎝  dt dt  ⎠ 37

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas Equivalente en T  jXM

I1

 _

_ 

I2

I1

+ V1

 jX1

 jX2

-

+

+ _

V2

V1

-

-

 jXM

 jX1

V2

(b)

 j(X 1 – XM)

V1

 jX2

+ _  -

(a)

+  

I2

 j(X2 – XM)

_

I1

 jXM

(a)

I2

+

+

V2

V1

-

-

 j(X1 + XM )

 j(X2 + XM )

 _  _ I1

 _ 

_ 

I2

 – jXM

+ V2

(b) 38

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas Equivalente en π Aplicando el equivalente estrella-triángulo: R1

a

i1

v1

b L1L 2 − M2 M

+

L1L 2 − M2 L2 − M

 _  c

R2

+ v2

L1L 2 − M2 L1 − M

i2

 _  d

39

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas Equivalente en π Régimen estacionario sinusoidal R1

a +

I1

 j(X1X 2 − XM2 ) XM

 j(X1X2 − XM2 ) X2 − XM V1

R2

c

 j(X1X2 − X X1 − XM

2 M

)

+ I2

V2

 _ 

 _  b

d

40

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas Equivalente en π  jXM

I1

I2

+  jX1

V1

 jX2

I1

+  _  2

-

-

+  jX1

V1

V1

-

2 M

 j( X1X2 − X ) X2 − XM (a)

V2

(b)  j( X1X2 − X2M ) − XM

 j( X1X 2 − XM2 ) _ X_1 − XM I1

 jX 2

-

 j( X 1X 2 − X2M ) XM

 

 jX M

+

(a)

+

I2

I2

+

+ _ 

V2

V1

-

-

I1

 j( X1X 2 − X M2 ) X1 + XM 2 M

 j( X1X 2 − X ) X2 + XM (b)

+  _  _  I2

V2

41

Circuitos equivalentes de bobinas magnéticamente acopladas Equivalente serie A

 jX1

 jX2

I

B

C

 jXM

 j( X1 + X 2 + 2 XM ) (a)

I

 jX2

D

XM (b)

(a)

A

 jX1

 _ 

B

C

 j( X1 + X 2 − 2 XM )

D

(b)

42

Ejemplo 7  j 1200 Ω  j 100 Ω

500 Ω o

300∠0 V

200 Ω

100 Ω

+ I1

800 Ω

+  j 3600 Ω

 j 1600 Ω

V1

V2

 _ 

 _ 

I2

− j 2500 Ω

a) Empléese el circuito en T y calcúlese I1 e I2 b) Repítase a) con el borne homólogo de la bobina j1600 Ω cambiado

43

Ejemplo 7 a)  j 2400 Ω

 j 400 Ω

 j 1200 Ω

44

Ejemplo 7 V − 300 V V + + =0 700 + j2500  j1200 900 − j2100 V = 136.24∠ − 3.37º V 300 − V Ι1 = = 63.25∠ − 71.57º mA 700 + j2500 V Ι2 = = 56.63∠63.43º mA 900 − j2100 500 Ω  j 100 Ω

200 Ω  j 2400 Ω

 j 400 Ω

100 Ω

+ I2

I1

300∠0 o V

 j 1200 Ω

800 Ω

V

 _ 

− j 2500 Ω 45

Ejemplo 7 b)  j 4800 Ω

 j 2800 Ω

− j 1200 Ω

46

Ejemplo 7 V − 300 V V + + =0 700 + j4900 − j1200 900 + j300 V = 56.57∠ − 98.13 V I1 = 63.25∠ − 71.57 mA I2 = 59.63∠ − 116.57 mA o

o

o

500 Ω  j 100 Ω

200 Ω  j 4800 Ω

 j 2800 Ω

100 Ω

+ I2

I1

300∠0 o V

− j 1200 Ω

800 Ω

V

 _ 

− j 2500 Ω

47