Bloque 5

La matemática como conocimiento funcional

En la historia de la humanidad las matemáticas han contribuido al desarrollo de la civilización con aportes a la arquitectura, la ingeniería, el comercio, etc. Esta es una evidencia de la importancia que tiene el conocimiento matemático en la práctica, es decir, al aplicarlo para crear e inventar nuevas soluciones a problemas reales. Anteriormente se pensaba que estudiar matemáticas consistía solo en memorizar, pero poco a poco se mostró que es importante resolver planteamientos con métodos propios, generar ideas nuevas e incluso cuestionar la eficacia o utilidad de los algoritmos antes de ponerlos en práctica. No hay un método único para resolver un problema matemático, al contrario, se pueden utilizar todos los recursos, ideas o procedimientos que se tengan a la mano. En este bloque se presentan diversos temas sobre álgebra, aritmética, gráficas, trazos; además analizarás cómo una misma idea se puede expresar en diferentes contextos. Aprenderás más sobre los sistemas de ecuaciones, así como la simetría y los ángulos inscritos en la circunferencia; posteriormente retomarás el tema de gráficas y funciones; y concluirás con el análisis de información gráfica de distribución frecuencial y teórica de fenómenos aleatorios.

B l  lo   q o   ue  5  200

Aprendizajes esperados 1.

Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2.

Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan.

3.

Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, círcu lo, como: ángulos inscritos inscrit os y centrales, arcos de una circunferencia, sectores sectores y coronas circulares.

4.

Explica la relación que que existe entre la probabilidad frecuencial frecuencial y la probabilidad teórica.

201

Aprendizajes esperados 1.

Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2.

Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan.

3.

Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, círcu lo, como: ángulos inscritos inscrit os y centrales, arcos de una circunferencia, sectores sectores y coronas circulares.

4.

Explica la relación que que existe entre la probabilidad frecuencial frecuencial y la probabilidad teórica.

201

Lección 39 Sistemas 39 Sistemas de ecuaciones 2 x 2, método de sustitución Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

Un acertijo numérico Rodrigo compró un libro de acertijos matemáticos y le planteó el siguiente enigma a su amigo Fabián: “La suma de dos números es 400 y su diferencia es 36. ¿Cuáles son esos dos números?”. 1. Resuelve el reto.

 + a) Escribe una expresión algebraica que represente que la suma de dos números es 400. x  +

 = 400  =

y 

dif erencia b) Considera el mismo par de números; anota una expresión algebraica que represente que la diferencia

 – y   == 36  –

de ambos números es 36.

x 

c) ¿Qué característica necesaria deben tener los valores que se asignen a

igualdades?

x  y y  respecto   respecto

a ambas

R. T. Los valores de x , y deben cumplir ambas igualdades.  = 218; y   == 182  =

d) ¿Qué números serán?

x 

e) Compara, en grupo y con ayuda del profesor profesor,, las respuestas de los incisos anteriores. Argumenten Argumenten

sus procedimientos. 2. Reúnete con un compañero. Lean el siguiente planteamiento y contesten.

María quiere hacer un mantel cuyo largo sea el doble de su ancho y, además, que el perímetro sea de 90 dm, pues eso tiene de encaje para decorarlo. Determinen Determinen las dimensiones del mantel. a) Escriban una expresión algebraica que represente que el perímetro es 90 dm.

2x  +  + 2y  =  = 90

b) Anoten una expresión algebraica que indique que la medida del largo es igual al doble de la medida

del ancho.

 = 2y   =

x 

c) Usen la expresión del inciso b) para simplificar la ecuación del inciso a). Sustituyan una variable en

la primera ecuación, hagan las operaciones y escriban la ecuación resultante.

4y  +  + 2y  =  = 90

d) Despejen la incógnita; primero sumen o resten y posteriormente dividan. Escriban el valor numérico

 = 15  =

que obtengan.

y 

e) En el paso anterior hallaron el valor de una incógnita. Ahora encuentren el valor de la otra. Para

determinarla, sustituyan el valor que obtuvieron obtuvier on en el inciso d) en la ecuación del inciso b) y efectúen las operaciones indicadas. ¿Cuál ¿Cuál es el valor numérico que obtienen?

 = 30  =

x 

f) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo cuyo perímetro es 90 dm?

base =

15 dm

altura =

30 dm

g) Compren con el grupo sus respuestas y procedimientos. Corrijan lo que sea necesario. Escriban,

en su cuaderno, una conclusión sobre el procedimiento para resolver este sistema de ecuaciones.

202 Bloque 5 Lección 39

Lección 39

Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con lo trabajado anteriormente. Las expresiones algebraicas de la forma ax  +  + by  =  = c , con a y b  diferentes  diferentes de 0, se llaman l laman ecuaciones lineales con dos incógnitas. incógnitas . Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones cuyos valores para las literales deben satisfacer ambas ecuaciones, es decir, decir, hacer ambas igualdades verdaderas verdaderas,, como en el siguiente ejemplo.  + y  =  = 3 x  +  – y  =  = 1 x  – La solución del sistema son dos valores que, al ser sustituidos en las ecuaciones, hacen que se cumplan las dos igualdades; por ejemplo, x  =  = 2, y = 1 son solución del sistema, pues al sustituir ambos valores y efectuar las operaciones indicadas, ambas ambas igualdades resultan verdaderas: 2+1=3 2–1=1

Oriéntate En un sistema de ecuaciones se usan literales para representar las cantidade cantidadess involucradas. Los siguientes sistemas tienen la misma solución.  + 6y  =  = 27 27 x  + 7x  –  – 3y  =  = –36 27 n + 6m = 27

Un paso adelante

7n – 3m = –36

3. Lee el siguiente problema y responde. Usa la información del recuadro anterior. anterior.

En un taller hay 43 vehículos entre bicicletas y triciclos para trabajo. trabajo. Si el número total de ruedas es 102, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay? a) Escribe una expresión algebraica que represente que la suma de la cantidad de bicicletas más la

cantidad de triciclos es 43.

x  +  + y  =  =

43

b) Considera que las bicicletas tienen ti enen dos ruedas y los triciclos, tres. Anota una expresión algebraica alg ebraica que

represente que la suma de todas las ruedas es 102.

2x  +  + 3y  =  = 102

c) Escribe las dos ecuaciones que obtuviste en los incisos a) y b). x  +  + y  =  =

43

2x  +  + 3y  =  = 102 d) Despeja cualquiera de las incógnitas de la primera ecuación, inciso a). Puedes efectuar sumas y

restas en ambos lados de la igualdad. Escribe tu ecuación despejada.

x  =  =

43 –

y 

e) Sustituye el valor de la incógnita despejada en la ecuación del inciso b) y obtén el valor numérico

de la incógnita. ¿Qué valor obtienes?

86 – 2y  +  + 3y  =  = 102; y   =16 =16

f) Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituye el valor que encontraste para la incógnita de

la ecuación del inciso a), efectúa las operaciones y determina el valor numérico para la segunda incógnita. Anota la incógnita y el valor. g) ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?

x  =  =

43 – 16 = 27

27 bicicletas y 16 triciclos.

h) Comparte tu respuesta con tus compañeros de grupo. Con ayuda de su profesor, escriban entre

todos una conclusión sobre cómo resolver un sistema de ecuaciones. Lección 39

Bloque 5 203

Lección 39 Sistemas 39 Sistemas de ecuaciones 2 x 2, método de sustitución Lee con tu grupo la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Pasos para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de sustitución.

Por ejempl ejemplo: o:

2x  +  + 2y  = 6 x  –  – y  = 1

(ecuación 1) (ecuación 2)

1. Se elige una de las ecuaciones y se despeja despej a una incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 2 se despeja x . x  –  – y  = 1 ecuación original x  =  = 1 + y   despeje 2. Se sustituye el valor encontrado de x  en  en la otra ecuación y se efectúan las operaciones correspondientes. co rrespondientes. 2x  +  + 2y  = 6 ecuación original   2(1+ y ) + 2y  =   = 6 sustitución del valor valor de x 2 + 2y  +  + 2y  = 6 simplificación 2 + 4y  = 6 simplificación

3. Se resuelve la ecuación de primer grado de la incógnita y . 2 + 4y  =  = 6 4y  =  = 6 – 2 4y  =  = 4 y  =  = y  =

_4 4 1

valor numérico de y 

4. De manera general, se sustituye el valor de y  en  en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve la ecuación de primer grado de la incógnita x; sin embargo, es eficiente sustituir en el despeje. x  –  – y  = 1 ecuación original x  – 1 = 1 sustitución del valor de y  x  = 1 + 1 despeje x  = 2 valor numérico de x  De esta forma, la solución del sistema de ecuaciones es y  =  = 1, x  =  = 2. Estos valores se sustituyen en el sistema original de ecuaciones para comprobar que ambas igualdades se cumplan. 2 (2) + 2 (1) = 6 2–1=1

6=6 1=1

Profundiza 4. Resuelve, Resuelve, en tu cuaderno, los sistemas de ecuaciones con el método de sustitución.

 + 2y  =  = 10 a) 2x  + 4x  –  – 3y  =  = 2  + 4y  =  = 3 c) x  + 6x  –  – 5y  = –47

x  =  =

17 __

7 18 __ y  =  = 7 –173 ____ x  =  = 29 65 ___

y  =  =

 + 3y  =  = 10 b) x  + 5x  –  – 2y  =  = 16  – 4y  =  = –3 d) 3x  – 2x  +  + y  =  = 9

x  =  = 4 y  =  = 2 x  =  = 3 y  =  = 3

29

e) Valida, en grupo y con la ayuda del profesor, profesor, los resultados anteriores. Corrijan lo que sea necesario.

204 Bloque 5 Lección 39

Lección 39

5. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y determina su solución por el método de sustitución. a) Israel pagó $370.00 por seis paquetes de hojas y cinc o cuadernos. Isaías fue a la misma papelería

y pago $120.00 por un paquete de hojas y dos cuadernos. ¿Cuánto cuesta el paquete de hojas y cuánto, cada cuaderno? El

paquete de hojas cuesta $20.00 y cada cuaderno, $50.00.

b) Un niño tiene en un bote paletas y chocolates que suman 30 en total. Si duplica el número de

chocolates entonces tendrá 42 dulces. ¿Cuántas paletas y cuántos chocolates hay?

18 paletas

y 12 chocolates. c) Una casa de huéspedes tiene 17 habitaciones; esto incluye habitaciones con una cama y con dos

camas. Si en total hay 27 camas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo hay en la casa de huéspedes?

7 habitaciones de 1 cama y 10 habitaciones de 2 camas. d) Una persona recorre 100 m; en la primera parte camina y en la segunda corre. Si la distancia que

caminó fue la cuarta parte de la que corrió, ¿qué distancia recorrió ca minando?

20 m

e) El perímetro de un rectángulo es 20 y su base es el cuádruple de su altura. Determina sus dimensiones.

Base 8 y altura 2

f) Valida, en grupo y con la ayuda del profesor, las respuestas anteriores. Analicen las dudas y difi-

cultades, y resuélvanlas. 6. Escribe en tu cuaderno dos sistemas de ecuaciones: uno cuya solución sea n = 3 y m  = 7; y otro cuya solución sea r  = –4 y s  = –5. Compara con un compañero tus sistemas. ¿Tendrían que ser iguales? Explícalo. 7. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, el siguiente sistema de ecuaciones. Escriban en sus cuadernos una conclusión respecto a la solución del sistema. x  + y  =

1 x  + y  = 2 TIC

R. T. No tiene solución, no existe un par de número cuya suma sea 1 y 2 al mismo tiempo.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-205a. En tu cuaderno, elabora una explicación de cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con el método de sustitución. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-205b. Efectúa las actividades y, en tu cuaderno, elabora una explicación de las estrategias que seguiste para poder plantear las ecuaciones que resuelven los problemas.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 39 en la bitácora de la página 246.

En un corral hay corderos y patos con un total de 26 cabezas y 84 patas. ¿Cuántos animales de cada especie hay?

16 corderos y 10 patos.

Lección 39 Bloque 5 205

Lección 40 Sistemas de ecuaciones 2 x 2, método de suma y resta Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

Las galletas Una caja contiene dos tipos de galletas; las de nuez pesan 6 g y las de chocolate, 3 g. Si en total la caja tiene 450 g y 90 piezas, ¿cuántas galletas hay de cada tipo? 1. Haz con un compañero lo siguiente. a) Escriban una expresión que represente que x  galletas de nuez de 6 g más y  galletas de chocolate

de 3 g pesan 450 g.

6x  + 3y  = 450

b) La segunda parte del enunciado les permitirá escribir la segunda ecuación del sistema. Anoten

la expresión que represente que la cantidad de galletas de nuez más la cantidad de galletas de x  +

chocolate es igual a 90 piezas.

y  =

90 6x  + 3y  = 450

c) Escriban el sistema de ecuaciones resultante.

x  + y  =

90

d) Observen que al escribir una ecuación debajo de otra, se asemeja al procedimiento de la suma

vertical que se usa cotidianamente para los números enteros; en este caso el propósito no es sumar las ecuaciones, sino eliminar una de las incógnitas. Fíjense en la segunda ecuación. ¿Por qué número deberán multiplicar el segundo término de la segunda ecuación, para que al sumarlo con

–3

el segundo término semejante de la primera ecuación el resultado sea 0?

e) Al multiplicar uno de los términos de la segunda ecuación, deberán multiplicar los demás términos

por ese mismo número, incluyendo el miembro que está a la derecha del signo igual. Recuerden que se debe mantener la igualdad. Multipliquen la segunda ecuación del inciso b) por el número

–3x  – 3y  = –270

que eligieron anteriormente y escríbanla.

6x  + 3y  = 450

f) Escriban la primera ecuación, inciso a), y debajo

la que obtuvieron en el inciso anterior.

Oriéntate En el sistema de ecuaciones 5x  + 4y  = 6 2x  – 8y  = 10, 5x  y 2x  son términos semejantes; también lo son 4y  y –8y .

–3x  – 3y  = –270

g) Observen que los términos que involucran a y  tanto en la primera como en la segunda ecuación

son simétricos (tienen signos contrarios). Sumen de manera vertical, término a término, ambos miembros de la ecuación para eliminar la incógnita y . Anoten la ecuación resultante.

3x  = 180

h) Obtuvieron una ecuación de primer grado con una incógnita. Ahora resuelvan la ecuación aplicando

división en ambos miembros de la igualdad. Escriban el valor de x .

x  =

60

i) Como ya conocen el valor de x , sustituyan la x  de cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, incisos

a) y b), para hallar el valor de y ; escríbanlo.  j) ¿Cuántas galletas hay de cada tipo?

y  =

30

De nuez hay 60 y de chocolate, 30.

k) Para verificar si esos valores obtenidos son correctos, sustitúyanlos en ambas ecuaciones y efectúen

las operaciones; comprueben que ambas igualdades se cumplan.

206 Bloque 5 Lección 40

Lección 40

l) Validen, con la participación de su profesor, las respuestas anteriores. Analicen las dudas y dificul-

tades, y resuélvanlas.

Un paso adelante Lee con tu grupo la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables mediante el método de suma y resta, o también llamado reducción, hay que transformar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones hasta que sean simétricos, y posteriormente sumar o restar miembro a miembro en las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones 2x  + 2y  = 6 x  – y  = 1 1. Se puede multiplicar por –2 la segunda ecuación para que el término x  en la segunda ecuación se convierta en –2x , y este sea el simétrico de 2x  de la primera ecuación. –2(x  – y ) = 1 (–2 ) multiplicar por –2 –2x  + 2y  = –2 resultado 2. El sistema se reduce en la siguiente forma. 2x  + 2y  = 6 –2x  + 2y  = –2 3. Al sumar y restar como corresponde (términos semejantes), se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. 2x  + 2y  = 6 –2x  + 2y  = –2 4y  = 4

Oriéntate Los números simétricos son aquellos que tienen el mismo valor absoluto pero con signo contrario. Por ejemplo: 6 y  –6 son simétricos.

Oriéntate El valor absoluto de un número a es el mismo número (cuando es positivo o 0) y el opuesto de cuando es negativo, por ejemplo: el valor absoluto de 4 es 4, el valor absoluto de –2 es 2.

4. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre 4. 4y  _ _ =4 4

4

y  =

1 5. Para determinar el valor de x , se sustituye el valor encontrado para y   en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales; en este caso, se efectúa en la segunda ecuación. x  – y  = 1 segunda ecuación inicial x  – (1) = 1 sustituir y  por su valor numérico x  = 1 + 1 despejar x  = 2 6. La solución del sistema es x  = 2, y  = 1. 2. Trabaja en pareja. Completen en su cuaderno la resolución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de suma y resta. x  = 3; y  = 4

Resolver el siguiente sistema por el método de reducción. 5x  + 8 y  = 47 4x  + 2 y  = 20 Multiplicar la primera ecuación por –4 y la segunda por 5.

Lección 40

Bloque 5 207

Lección 40 Sistemas de ecuaciones 2 × 2, método de suma y resta Profundiza 3. Resuelve los sistemas de ecuaciones con el método de reducción. a) x  + 6y  = 30

3x  – 2y  = 10 c) 3x  + y  = 25

 = 6

b) 7x  – 4y  = 13

x 

 = 4

5x  + 3y  = 11

y 

 = 7

d) 9x  – 2y  = 52

x 

x 

y  x 

 = 4

2x  – 5y  = –6

y 

e) 6x  + 5y  = 74

x 

–7x  + 2y  = –8 g) 6x  – 12y  = –219

5x  + 3y  = 11 i) 3x  – 7y  = 1

7x  + 2y  = 39

 = 4

x  + 7y  =

 = 10

175  = –___ 26

 =

 = 1

13

y 

 = 51

x 

 = 26

–4x  + 6y  = –48

y 

 = 7

h) 8x  – 3y  = 50

387  = ___ 26

x 

 =2

12x  + 4y  = 92

y 

 = 5

 j) 7x  – 10y  = –72

x 

y=2

–3x  + 2y  = 14

y 

x 

83 ___ 41 12 __ 41

 = 6

f) –2x  + 5y  = 28

y  x 

 =

 =

 =

y 

__1 4 59 ___ 8

k) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias y revisen, entre todos,

los posibles errores. 4. Resuelve los planteamientos con el método de reducción. Haz los pasos en tu cuaderno. a) La suma de dos números es 25 y su diferencia es 9. ¿Qué números son?

17 y 8

b) Luis va a la tienda y compra tres latas de jugo y siete teleras por $50.00. Eduardo compró dos latas

y seis teleras por $36.00. ¿Cuál es el precio de cada producto? latas

$12.00 y teleras $2.00

c) La quinta parte de la suma de dos números es 8 y la mitad de la diferencia de ambos es 2. Determina

cuáles son esos dos números.

22 y 18

d) Rubén ahorró en su alcancía $235.00. Si solamente tiene monedas de $5.00 y de $10.00, y hay

30 monedas, ¿cuántas monedas hay de $5.00 y cuántas de $10.00?

$5.00 y 17 monedas de $10.00

13 monedas de

e) La edad de José es tres veces la edad de su hijo Julián. Hace quince años la edad de José era seis

veces la de Julián. ¿Qué edades tienen ac tualmente padre e hijo?

Padre 75 e hijo 25.

f) El perímetro de un rectángulo es de 46 m y el doble del largo más el cuádruple del ancho es 48 m.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Largo 22 m, ancho 1 m

g) Elige en grupo y con la ayuda del profesor algunos de los planteamientos anteriores. Argumenten

sus respuestas. 208 Bloque 5 Lección 40

Lección 40

5. Reúnete con un compañero. Contesten en sus cuadernos. a) Resuelvan los sistemas de ecuaciones. Sistema A

2x  – 2y  = 6 6x  + 3y  = 45

Sistema B x  – y  =

3

2x  + y  = 15

b) ¿Cuál es la solución del primer sistema de ecuaciones? x  =

6; y  = 3

c) ¿Cuál es la solución del segundo sistema de ecuaciones? x  =

6; y  = 3

d) ¿Por qué se obtienen esos resultados? R.

T. Por que las ecuaciones son equivalentes (las del primer sistema son un múltiplo de las del segundo)

e) Analicen si es posible obtener uno de los sistemas de ecuaciones a partir del otro. Describan cómo

lo harían. R. T. Sí es posible, si se multiplican las ecuaciones del segundo sistema por 2 y 3.

f) Compartan sus explicaciones con sus compañeros de grupo y escriban una conclusión sobre cómo

obtener un sistema a partir de otro. Lee con tu grupo la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. A partir de una ecuación se puede obtener otra equivalente… • sumando o restando un mismo número a ambos miembros de la ecuación original, • multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por un mismo número diferente a 0.

a) Un estudiante resolvió el sistema de ecuaciones. Revisa su procedimiento y obtén los valores

 =

x 

43 ___ 8;

7x  –  y  = 40 2x  – 2 y  = 16 14x  – 2 y  = 40 12x  = 24

6. Observa el sistema de ecuaciones de la derecha y responde.

correctos. Comenta la solución con un compañero.

2x  + 2 y  = 6

x  = 2

19  = –__ 8

y 

7. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, las ventajas y desventajas entre el método de sustitución y el de reducción para resolver sistemas de ecuaciones. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-209a. Efectúa las actividades y, en tu cuaderno, elabora un resumen de los distintos procedimientos que conoces para resolver un sistema de ecuaciones. Te ayudará a reconocer cuándo usarlos. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-209b . Repasa el método de reducción y, si tienes dudas, revisa la actividad 1 y el recuadro informativo de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 40 en la bitácora de la página 246.

En una fábula, un caballo y un mulo llevan un cargamento de sacos. El mulo le dice al caballo: “Si tú me dieras un saco, mi carga sería el doble de la tuya y si yo te diera un saco, nuestras cargas serían iguales”. ¿Cuántos sacos lleva cada animal?

Caballo: 5 sacos; mulo: 7 sacos.

Lección 40 Bloque 5 209

Lección 41 Sistemas de ecuaciones 2 x 2, método de igualación Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones Contenido

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución)

Una obra de teatro Los estudiantes de primer grado de secundaria montaron una obra de teatro con el fin de recaudar fondos para visitar un museo. La entrada costó $20.00 para los adultos y $10.00 para los menores. Si se recaudó un total de $1 220.00 y asistieron 72 personas, ¿cuántos adultos y menores fueron al evento? 1. Responde con un compañero. a) Escriban una ecuación que represente la recaudación total obtenida a partir de las cuotas que

20x  + 10y  = 1 220

pagaron: $20.00 por adulto y $10.00 por menor.

b) La segunda parte del planteamiento permitirá escribir la segunda ecuación del sistema. Anoten

una ecuación que represente el total de asistentes a partir de la suma de la cantidad de adultos y menores.

x  + y  =

72

c) Escriban el sistema de ecuaciones resultante.

20x  + 10y  = 1 220; x  + y  = 72

d) Despejen una incógnita en la segunda ecuación del sistema para obtener una expresión algebraica

equivalente; escríbanla.

R. T. x  = 72 –

y 

e) Despejen también la misma incógnita en la primera ecuación; apliquen operaciones de resta y

1 220 – 10y  división en ambos miembros de la ecuación. Escriban el resultado de su despeje. x  = ________ 20

f) Cuando hayan despejado la misma incógnita en ambas ecuaciones, igualen las expresiones resul-

tantes. Anoten la expresión.

1 220 – 10y  ________ =72 – 20

y 

g) Argumenta, en grupo y con ayuda del profesor, por qué es posible igualar las expresiones resultantes.

Discutan cuál es el propósito de esto. h) Formaron una ecuación de primer grado con una incógnita. Resuélvanla y encuentren el valor de y  =

la incógnita. Escriban en parejas la solución.

22

i) Como ya conocen el valor numérico de una incógnita, sustituyan ese valor en cualquiera de las dos

ecuaciones iniciales, inciso a) y b), y de esta forma resuelvan la ecuación de primer grado que tiene la otra incógnita. Anoten el valor.  j) ¿Cuántos adultos y menores asistieron?

x  =

50

50 adultos y 22 menores.

k) Comprueben si los valores obtenidos son correctos. l) Compartan con sus compañeros de grupo la solución que obtuvieron. Analicen y resuelvan sus

diferencias. 210 Bloque 5 Lección 41

Lección 41

Un paso adelante Lee con tu grupo la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante el método de igualación hay que despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las dos expresiones. Se formará entonces una ecuación de primer grado con una incógnita. Se hacen las operaciones necesarias y se obtiene el valor de la incógnita. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones 2x  + 2y  = 6 x  – y  = 1 1. Se despeja la x  en ambas ecuaciones. ecuación 1.

2x  + 2y  – 2y  = 6 – 2y 

ecuación 2.

x  = 1 + y 

_  _

2x  = 6 – 2y 

2x  = 6 – 2y  _ 2

2

x  =

 _

2. Se igualan los valores.

6 – 2y  2 

6 – 2y  2 

= 1 + y 

 _

3. Se resuelve la ecuación.

6 – 2y  2 

= 1 + y 

6 – 2y  = 2(1 + y ) 6 – 2y  = 2 + 2y  6 – 2y  – 6 = 2 + 2y – 6 –2y  = –4 + 2y  –2y  – 2y = –4 –4y  = –4 y  = 1

4. Para determinar el valor de x , en general se sustituye el valor de y  en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales; en este caso, se considera en la segunda. Es más eficiente sustituir en el despeje. x  – y = 1 segunda ecuación inicial x – (1) = 1

sustitución de y  por su valor numérico

x = 1 + 1 despeje x  = 2

5. La solución del sistema es x  = 2, y  = 1. Lección 41

Bloque 5 211

Lección 41 Sistemas de ecuaciones 2 x 2, método de igualación Profundiza 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de igualación. a) x  + 3y  = 1

2x  – 4y  = 10

17  = __ 5

x 

2x  + 5y  = 13

y 

–4  = __ 5

167  = ___ 16

x 

x  + 7y  =

y 

59

x 

y 

c) 2x  – 2y  = 7

d) x  + 7y  = 16

111  = __ 16

3x  – 2y  = 25

 = 5

f) 4x  – 3y  = 36

e) 3x  + 6y  = 69

x 

7x  – y  = 26

y 

g) 6x  + 2y  = 50

x 

9x  – 7y  = 35

y 

 = 9

 = 7

 = 4

b) 3x  + 2y  = 14

7x  + 12y  = 125 h) 3x  – 2y  = 0

 = 4

–19x  – 9y  = –65

 = 1

 = 9

x 

 = 1

y 

269  = ___ 23

x 

248  = ___ 69

y 

 = 2

x 

 = 3

y 

i) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias y corrijan, entre todos,

los posibles errores. 3. Reúnete con un compañero. Planteen, para cada situación, un sistema de ecuaciones y resuélvanlo en sus cuadernos con el método de igualación. Anoten las soluciones. a) La edad de un padre es cinco veces la edad de su hijo menos dos. Si la suma de ambas edades es

34, ¿qué edad tiene cada uno?

El padre tiene 28 años y el hijo, 6 años.

b) El largo y ancho de un terreno están a razón de 3:1, y su perímetro es de 68 m. Determinen las

dimensiones del terreno.

Largo = 25.5 m, ancho = 8.5 m

c) Un grupo de amigos conformado por cuatro adultos y cuatro niños pagan $235.00 por entrar al

cine. Otro grupo con seis adultos y un niño van al mismo cine y pagan $250.00. ¿Cuánto cuestan las entradas de adulto y cuánto, las de niño?

Adultos = $38.25, niños = $20.50

d) En una sala de cine hay un total de 65 personas, incluyendo niños y adultos. Si cada adulto pagó

$35.00; cada niño, $30.00; y se obtuvo una recaudación de $2 125.00, ¿cuántos niños y cuántos adultos hay en el cine?

Hay 35 adultos y 30 niños.

e) El señor de la tienda escolar compró bolsas de paletas a $65.00 cada una y bolsas de bombones

a $40.00 cada una. Si en total gastó $855.00 y tiene un total de 17 bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo compró?

Paletas: 7 y bombones: 10

f) Validen las respuestas anteriores en grupo con apoyo de su profesor. Analicen las dudas y dificul-

tades, y resuélvanlas.

212 Bloque 5 Lección 41

Lección 41

4. Contesta con un compañero. x  + y  =

3 3x  + 3y  = 9 a) Resuelvan el sistema de ecuaciones cada quien en su cuaderno y por su cuenta. b)  Comparen sus soluciones. Si hay diferencias, revisen y corri jan. Anoten la solución.

pareja de números que sumen 3 es solución del sistema.

c) ¿Qué operación en la primera ecuación permite obtener la segunda?

Cualquier

Multiplicar por 3.

d) Hagan estimaciones numéricas. Obtengan tres pares de valores diferentes que satisfagan las

ecuaciones; pueden ser negativos o positivos.

R. T. (0,3), (1,2), (2,1)…

e) Comenten con su grupo las soluciones a este sistema de ecuaciones. Escriban una conclusión.

Lee en grupo la siguiente información. Con la ayuda de su profesor, comenten los conceptos y aclaren las dudas. Un sistema de ecuaciones formado por dos ecuaciones que son equivalentes tiene una infinidad de soluciones, es decir, hay infinitos valores para las incógnitas que satisfacen las igualdades, como en el siguiente ejemplo. x  + y  = 50 2x  + 2y  = 100 En la tabla se muestran algunos de los valores para x  y y  que satisfacen las igualdades. x 

25

24

23

22

y 

25

26

27

28

5. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, las ventajas y desventajas entre los métodos anteriormente estudiados. Expongan en qué tipo de planteamientos de la sección “Profundiza” conviene más utilizar cierto método (igualación, sustitución o eliminación) y por qué. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-213a . Resuelve los problemas que aparecen en las aplicaciones prácticas. Si tienes dudas, revisa los recuadros informativos que aparecen en las lecciones 39, 40 y 41.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-213b. Efectúa las actividades y, en tu cuaderno, elabora un resumen de los distintos procedimientos que conoces para resolver un sistema de ecuaciones.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 41 en la bitácora de la página 246.

Toño fue a la feria. Se subió cinco veces a los caballitos y siete veces a la rueda de la fortuna; gastó $200.00. Como le gustaron mucho ambos juegos, regresó más tarde y se subió tres veces a los caballitos y dos veces a la rueda de la fortuna; pagó $76.00. ¿Cuánto cuesta cada juego?

Caballitos $12.00, rueda de la fortuna $20.00.

Lección 41 Bloque 5 213

Lección 42 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema

Problema de automóviles y motocicletas Rogelio trabaja en una pensión nocturna de automóviles y motocicletas. Tiene que verificar que los autos estén completos y además que sus llantas no estén desinfladas. Ayer contó 11 vehículos y 38 llantas no desinfladas. ¿Cuántos automóviles y cuántas motocicletas hay? 1. Responde con un compañero. a) Escriban una ecuación que represente que hay un total de once vehículos entre automóviles y

motocicletas.

 + y  = 11

x 

b) Escriban una ecuación asociada con un total de 38 llantas entre automóviles y motocicletas.

4x  + 2y  = 38 c) Escriban el sistema de ecuaciones resultante. Ecuación 1

Ecuación 2

 + y  = 11

4x  + 2y  = 38

x 

d) Despejen la misma incógnita (y ) en ambas ecuaciones. Anoten las ecuaciones. Ecuación 1

 = 11 –

y 

Ecuación 2

 = 19 – 2x 

x 

y 

e) Sustituyan los valores de x  que se encuentran en la tabla. Cada tabla corresponde a cada ecuación

del inciso anterior.    1    n    ó    i    c    a   u    c    E

 = 11 –

y 

x 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y 

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

–1

x 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y 

17

15

13

11

9

7

5

3

1

–1

–3

–5

x 

   2    n    ó    i    c    a   u    c    E

 = 19 – 2x 

y 

f) ¿Existe un valor de x, tal que se obtenga el mismo valor para y   en ambas tablas? ¿Cuál es ese

valor?

Sí; x  = 8

g) Resuelvan el sistema de ecuaciones con el método que deseen y comparen los valores obtenidos

R. T. Que el único par de valores que cumplen las dos igualdades del sistema es x  = 8, y  = 3. con los del inciso anterior, ¿qué pueden concluir?

h) Comparen su respuesta con la de sus compañeros de grupo. Escriban una conclusión sobre la forma

de resolver un sistema de ecuaciones mediante una tabla de valores.

214 Bloque 5 Lección 42

Lección 42

Un paso adelante 2. Analiza el siguiente planteamiento y responde.

Dado un sistema de ecuaciones, se despeja y  en ambas. x  + y  = 5 y  = 5 – x  x  – y  = 1 a) Obtén los valores correspondientes para y  en las tablas. x

y

= 5 – x 

y  = –1 + x 

x

y

Oriéntate

= –1 + x 

La ecuación

–4

5 – (–4) = 9

–4

–1 + (–4) = –5

–3

–3

1

5 – (–3) = 8 5 – (–2) = 7 5 – (–1) = 6 5 – 0 = 5 5 – 1 = 4

1

–1 + (–3) = –4 –1 + (–2) = –3 –1 + (–1) = –2 –1 + 0 = –1 –1 + 1 = –0

2

5 – 2 = 3

2

–1 + 2 = 1 

3

5 – 3 = 2 

3

–1 + 3 = 2 

Oriéntate

4

5 – 4 = 1 

4

–1 + 4 = 3

5

5 – 5 = 0 

5

–1 + 5 = 4 

Representación del par de números

–2 –1 0

–2 –1 0

–y  = 6 – 2x  se puede multiplicar por –1 y se obtiene y  = –6 + 2x .

b) ¿Existe un valor dado a x , tal que se obtenga el mismo valor para y  en ambas tablas? ¿Cuál es ese

 

x = 3

valor?

(a, b ) Valor x  

Valor y 

c) A partir de la información de las tablas, completa los pares de números; sigue el ejemplo. ( –3,8 )

(–2, 7)

( –1, 6 )

( 0, 5 )

( 1, 4 )

( 2, 3 )

( 3, 2 )

( 4, 1 )

( 5, 0)

( –4, –5) ( –3, –4 )

(–2, –3)

(–1, –2)

( 0, –1)

( 1, 0 )

( 2, 1 )

( 3, 2 )

( 4, 3 )

( 5, 4 )

( –4, 9)

d) Ubica los puntos de la primera tabla sobre el plano cartesiano. Recuerda que el primer valor de la

pareja (–4, 9) corresponde al eje x  y el segundo, al eje y . (–4, 9)

10

y 

5

x 

–10

–5

0

5

10

–5

–10 Lección 42

Bloque 5 215

Lección 42 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 e) Una vez que hayas ubicado todos los puntos, únelos y describe las características de la gráfica que

obtuviste.

R. T. Los puntos están sobre una línea recta.

f) Ubica los puntos de la segunda tabla sobre el mismo plano cartesiano. Al terminar únelos de nuevo

y describe las características de la segunda gráfica que obtuviste.

R. T. Los puntos están

sobre una línea recta. g) ¿Las gráficas se intersecan en algún punto del plano cartesiano? ¿En qué valor de x  y en qué valor

de y  sucede esto?

Sí; x  = 3, y  = 2

h) Resuelve el sistema de ecuaciones con cualquier método y compara la solución con los valores

obtenidos en el inciso anterior. ¿Qué puedes concluir?

ción de las rectas es la solución del sistema.

R. T. Que el punto de intersec-

En grupo, lee la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante el método gráfico 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (generalmente y ). 2. Se elabora una tabla de valores para cada expresión despejada y se otorgan valores a x  para obtener su correspondiente valor en y .

3. Con los valores de cada tabla se forman parejas ordenadas y se ubican en el plano cartesiano para elaborar la gráfica.

x

y 

x

y 

–4

7

–4

–5

–3

6

–3

–4

–2

5

–2

–3

–1

4

–1

–2

0

3

0

–1

1

2

1

0

2

1

2

1

3

0

3

2

4

–1

4

3

5

–2

5

4

4. Finalmente, al trazar las dos gráficas se localiza el punto donde se intersecan ambas; este punto será la solución del sistema, el cual indicará el valor de x  y de y . 2x  + 2y  = 6 x  – y  = 1 Ejemplo: 6 – 2x  1. Despejar y  en ambas ecuaciones y  = ____ y  = x  – 1 2 10 y 

2. Elaborar la tabla de valores para cada expresión 5

3. Formar pares ordenados

x 

4. Localizar los puntos en la gráfica

–10

–5

0

5

10

–5

–10

5. Localizar el punto de intersección

x  =

2

y  =

1

i) En grupo, y con la participación del profesor, valida las respuestas anteriores. Corrijan lo que sea

necesario. 216 Bloque 5 Lección 42

Lección 42

Profundiza 3. Resuelve en tu cuaderno los sistemas de ecuaciones con el método gráfico. a) 2x  + y  = 3 x  – y  =

 =

x 

b) 2x  + 2y  = 8

–1

y  – x  =

_5_ _2_ , y  = 3 3

c) 2x  – y  = 1

2

d) 3x  – 2y  = –1

–x  – y  = –2

x  +9y  =

516

3x  + y  = 7

 = , y  = __ 5

 = 1, y  = 1

 = 1, y  = 3

x 

x 

x 

__ 5

e) x  – y  = 1  = 2, y  = 1

x 

4. Trabaja en pareja. Resuelvan los sistemas de ecuaciones con el método gráfico, posteriormente contesten las preguntas. Háganlo en sus cuadernos. a) x  + y  = 1 No tiene solución x  + y  =

b) x  + 2y  = 1 Tiene una infinidad c) 3x  + y  = 5

 = 1 x  + 3y  = 7 y  = 2

2x  + 4y  = 2 de soluciones

5

x 

d) Analicen las gráficas resultantes y escriban las características que observen de cada una.R.

T. a) Son rectas paralelas, b) son la misma recta y c) las rectas se cortan en el punto (1, 2).

e) ¿Qué pueden expresar en relación con las gráficas obtenidas y la solución de cada sistema de

ecuaciones? R.

T. Cuando las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Cuando coinciden, hay una infinidad de soluciones. Cuando se cortan en un punto, hay una única solución.

f) Compartan sus observaciones en grupo y con ayuda del profesor. Debatan sobre las características

de los sistemas de ecuaciones planteados y las gráficas resultantes. Clasificación de los sistemas de ecuaciones, de acuerdo con las gráficas resultantes Sistema de ecuaciones sin solución

Sistema de ecuaciones con infinidad de soluciones

Sistema de ecuaciones con una solución

Gráficas paralelas sin intersección en ningún punto

Gráficas coincidentes, una encima de la otra; todos los puntos concuerdan

Gráficas que se cortan en un solo punto

4

4

y 

4

y 

3

3

3

2

2

2

1

1

1

x  –2

–1

0

1

2

3

4 –2

y 

x  –1

0

1

2

3

4 –2

x  –1

0

–1

–1

–1

–2

–2

–2

1

2

3

4

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-217a . Verifica las gráficas que resolviste en esta lección usando el graficador de ecuaciones. Comenta con un compañero las dificultades que tuviste. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-217b . En tu cuaderno, explica paso a paso cómo graficar un sistema de ecuaciones. Comenta tu respuesta con un compañero.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 42 en la bitácora de la página 246. Lección 42 Bloque 5 217

Lección 43 Construcción de figuras simétricas respecto a un eje Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

Completar figuras: eje de simetría 1. En la siguiente figura la línea azul representa un espejo visto de canto. Completa el reflejo y responde en tu cuaderno.

R´

P´

M´

Se dice que las imágenes que se forman en un espejo son virtuales, es decir, tienen existencia aparente y no real. Se ven como si estuvieran dentro del espejo.

P

Q´ Q

N´ L´

Oriéntate

R

N M L

a) ¿Cómo es la distancia del punto R y su reflejo respecto a la línea azul (espejo)? Considera que las

imágenes que se forman en el espejo son aparentes, igual que las distancias.

Son iguales.

b) ¿Sucede lo mismo con los puntos L, M, N, P, Q y su reflejo? Explica cómo encontraste el reflejo

Sí. Las distancias de los puntos a la recta con su respectivo reflejo son iguales.

de cada punto.

c) Observa la figura siguiente. Se le pidió a Rogelio trazar la línea simétrica, con respecto a la línea

azul, de la línea negra. Rogelio trazó la línea roja y está seguro que su trazo es el reflejo de la línea negra. Responde.

i) ¿El trazo de Rogelio es correcto? Escribe tus razones. No.

R. T. La distancia de los puntos rojos respecto a la recta azul no es igual a la de los correspondientes puntos negros.

ii) Compara, con ayuda del profesor, tus observaciones con las de tus compañeros. Hagan notar

diferencias u otros posibles errores. iii) Haz el trazo que consideres correcto con un color distinto, a partir de las observaciones del inciso ii). d) Utiliza un espejo y comprueba los trazos de los incisos a) y b).

Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con lo visto anteriormente. La línea azul en los incisos a) y b) (donde se ubica el espejo) se llama eje de simetría. Un punto y su reflejo son simétricos respecto a este eje.

218 Bloque 5 Lección 43

Lección 43

Un paso adelante 2. Analiza con un compañero la construcción y resuelvan. Tengan a la mano su juego de geometría. a) Una figura simétrica en el plano cartesiano cuyo eje de simetría es el eje y .

y 

Oriéntate

paso 1 E´

F

F´

D

D´

C´

Los vértices de la figura original se nombran con letras mayúsculas, por ejemplo A, y los vértices de la figura reflejada o simétrica se llaman A’ (se lee “a prima”) que representa el punto reflejado o simétrico del punto A.

E C

A

A´ B´

B

x 

y  paso 2 E´  F´ C´

Oriéntate

E 5 cm

5 cm

Para calcular la distancia de un punto P a una recta R se traza una recta perpendicular a R que pase por el punto P.

F D

D´

C

A

A´ B´

B

Q

x  R

90

°

b) Ubiquen el segmento EE´. ¿Qué ángulo forma con el eje y ?

P

c) Unan cada punto con su reflejo y anoten sobre la imagen el ángulo que forma cada segmento de

cada color con el eje y .

La medida del segmento PQ es la distancia del punto P a la recta R.

d) Tracen la figura simétrica formada por los puntos simétricos.

y 

paso 3 E´  F´  D´ 

C´ 

E 5 cm 4 cm 6 cm 10 cm

5 cm 4 cm 6 cm 10 cm

3 cm 8 cm

3 cm 8 cm

D

C

A

A´  B´ 

F

B

x 

Lee la siguiente información en grupo. Relaciónenla con lo visto. Para construir el simétrico de un segmento FG respecto a un eje l , se F traza el simétrico de F, denominado F´ , y el simétrico de G, que se denota G´ ; además, los segmentos FF´ y GG´ deben ser perpendiculares a l  y es necesario cumplir la igualdad FH = HF´ y GJ = JG´.

l 

F´

H G

J

G´

Lección 43

Bloque 5 219

Lección 43 Construcción de figuras simétricas respecto a un eje Profundiza 3. Reúnete con dos compañeros. Desarrollen lo que se indica con regla y compás. a) Analicen la siguiente construcción y respondan.

A´  F´ 

B´  E´ 

F

F D´  E

A

E A

D

B

C

C´ 

D

B

C

R. T. Permiten verificar si los puntos simétricos están a la misma distancia del eje.

i) ¿Cuál es la utilidad de trazar circunferencias?

ii) ¿Las parejas de puntos FF´, AA´, BB´, DD´ y CC´ cumplen con lo que se explicó en el recuadro

Explíquenlo en sus cuadernos. Los segmenSí. tos simétricos miden lo mismo y son perpendiculares a la línea verde. verde de la página anterior?

b) Construyan la figura simétrica respecto al eje l ; tracen las circunferencias necesarias, como en el

inciso a).

l 

c) Muestren su trabajo al grupo. Redacten entre todos el procedimiento y escriban como título “Trazo

de una figura simétrica respecto a un eje dado”. 220 Bloque 5 Lección 43

Lección 43

4. Haz lo que se pide. a) Traza los ejes de simetría de las figuras.

b) Traza la figura simétrica respecto al eje y . y 

x 

c) Traza la figura simétrica respecto al eje dado.

d) Completa la palabra y la figura; ten en cuenta que la línea roja es su eje de simetría.

5. Discute, en grupo y con ayuda del profesor, sobre el uso de la simetría en la vida diaria (qué beneficios tiene y cuáles son algunos ejemplos concretos). Escriban una conclusión en sus cuadernos. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-221a . Manipula el recurso y contesta las preguntas. Compara tus respuestas con las de un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-221b. En tu cuaderno, elabora una explicación de las propiedades de cómo construir paso a paso una figura simétrica a otra con respecto aun eje.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 43 en la bitácora de la página 246.

La naturaleza que se refleja en un lago permite observar la simetría. Busca fotografías o imágenes de naturaleza alrededor de un lago, encuentra la simetría y preséntala al grupo. Lección 43 Bloque 5 221

Lección 44 Propiedades de figuras simétricas Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Búsqueda de similitudes 1. Observa la imagen y responde con base en ella.

Contenido Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos

A´ 

D´  B´ 

C´ 

Oriéntate

D

Los lados o segmentos se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, el segmento de recta con extremos A y B se lee “segmento AB”.

A

A

C m

B

B

a) ¿Cuál segmento es paralelo a AB?

DC

b) ¿Cuál segmento es paralelo a A'B'?

D´C´

c) ¿Cuál segmento es paralelo a AD?

BC

d) ¿Cuál segmento es paralelo a B'C'?

A´D´

e) ¿Qué ángulos son iguales al ángulo A?

A´, C´, C

f) ¿Qué ángulos son iguales al ángulo A’?

A, C´, C

g) ¿Qué segmentos son perpendiculares a m?

AA´, DD´, BB´, CC´

h) En la figura ABCD, ¿qué ángulos son iguales?

A y C; B y D

i) En la figura A’B’C’D’, ¿qué ángulos son iguales? A´ y C´; B´ y D´  j) Mide los lados y ángulos de las figuras ABCD y A’B’C’D’, y completa la tabla. Figura ABCD

Figura A’B’C’D’

Lados

Medida

Ángulo

Medida

Lados

Medida

Ángulo

Medida

AB

2.5 cm 1.4 cm 2.5 cm 1.4 cm

A

  40   140   40   140

A’B’

2.5 cm 1.4 cm 2.5 cm 1.4 cm

A’

40 140 40 140

BC CD DA

B C D

°

°

°

°

B’C’ C’D’ D’A’

B’ C’ D’

°

°

°

°

k) Analiza de manera grupal la tabla anterior. Escriban en su cuaderno conclusiones sobre las medidas

de la figura original y de la simétrica.

222 Bloque 5 Lección 44

Lección 44 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide. a) Tracen la figura simétrica respecto al eje indicado.

B´ A´

A

C´

Oriéntate

B

La longitud del segmento AB es igual a la longitud de BA, es decir AB = BA.

C n

b) Si el triángulo ABC es un triángulo isósceles, i) el segmento AC es igual al segmento ii) el ángulo A es igual al ángulo

BC

B

iii) Si el ángulo C mide 40º, ¿cuánto miden los ángulos A y B?

70

º

70

º

c) Si el perímetro del triángulo es 17.66 cm y AC mide 6.64 cm, ¿cuánto mide el lado AB?4.38

cm

d) Completen la tabla. Lados AB BC CA

Figura ABC Medida Ángulo

3.1 cm 4.7 cm 4.7 cm

A B C

Medida

Lados

  70   70   40

°

A’B’

°

B’C’

°

C’A’

Figura A’B’C’ Medida Ángulo

3.1 cm 4.7 cm 4.7 cm

A’ B’ C’

Medida

70 70 40

° °

°

e) Comenten, grupalmente, cómo son AA’, BB’ y CC’ respecto a la recta n. Escriban sus conclusiones.

R. T. Los tres segmentos son perpendiculares a la recta , ya que los puntos n 

correspondientes de las figuras son simétricos entre sí. Además la recta  es n 

mediatriz de los segmentos AA’, BB’ y CC’. Lección 44

Bloque 5 223

Lección 44 Propiedades de figuras simétricas Profundiza 3. Reúnete con dos compañeros. Desarrollen lo que se pide. a) Tracen la figura simétrica a WXYZ respecto al eje x ; posteriormente tracen la figura simétrica a W’X’Y’Z’ respecto al eje y . y 

W´´´

W

Oriéntate

Un vértice se nombra con una letra mayúscula A (a), su simétrico se llama A’ (a prima) y el simétrico del simétrico se nombra A’’ (a biprima).

X´´´

Z´´´

X

Z

Y

Y´´´

x 

W´´

X´´

W´

Z´´

Z´

Y´´

X´

Y´

b) Si la figura WXYZ está en el cuadrante I, ¿en qué cuadrante se encuentra la figura W’X’Y’Z’ ?

IV

¿Y la figura W’’X’’Y’’Z’’?

Iguales.

c) ¿Cómo son entre sí los ángulos W y W’’? d) ¿A qué otros segmentos es igual WX?

A todos los lados de las figuras (por ser rombos).

e) ¿A qué segmento es paralelo YZ?

WX

f) ¿A qué segmento es paralelo Z’’W’’?

X´´Y´´

g) ¿Cómo es X’X’’ respecto al eje x ?

III

Perpendicular

h) ¿Cómo son entre sí los ángulos Y, Y’ y Y’’?

Iguales.

i) ¿A qué distancia del eje x  se encuentra W?

6 unidades

¿Y W’?

6 unidades

 j) Validen, en grupo, y con la ayuda de su profesor, las respuestas anteriores. Analicen las dudas y

dificultades, y resuélvanlas. 224 Bloque 5 Lección 44

Lección 44 4. Completa la figura de la derecha; considera que simetría y responde. a) ¿Qué figura se formó?

q   es

q

el eje de

A

Un cuadrado.

b) Si el ángulo C mide 90º, ¿cuánto mide el ángulo C’?

90

º

B

c) Si el ángulo A mide la mitad del ángulo C, ¿cuánto medirá el ángulo B’?

C

45

º

d) El segmento BC es paralelo a

A´C´

B´C´

El segmento AC es paralelo a

e) Ubica un punto M sobre Q. ¿A qué distancia de M está C? R.

T. 0.7 cm ¿Y C’?

0.7 cm

f) Completa la tabla. Original

Medida

Simétrico

Medida

AC

2 cm 2 cm 45 45 90

A´C´ C´B´ Ángulo A´ Ángulo B´ Ángulo C´

2 cm 2 cm 45 45 90

CB

Ángulo A Ángulo B Ángulo C

º º

º

º º

º

g) ¿Cómo son los ángulos y los lados de la figura original respecto a la simétrica?

Iguales

h) Valida, en grupo y con la ayuda del profesor, las respuestas de los incisos anteriores.

Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con lo visto en la lección. La simetría respecto a un eje L en que a cada punto P se le asocia el simétrico P´ se llama reflexión,

cuya propiedad es conservar distancias y ángulos con un cambio de orientación. 5. Traza, en grupo y con ayuda del profesor, dos polígonos iguales en un papel que tenga color blanco de un lado y otro color del otro. Peguen un polígono en el pizarrón con el color blanco hacia abajo y tracen un eje de simetría cerca del polígono; si el otro polígono es su simétrico, ¿cómo deberán pegarlo, con el color blanco hacia arriba o hacia abajo? Redacten, en sus cuadernos, una conclusión sobre su respuesta.

R. P.

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-225a. Manipula el recurso y efectúa las actividades. En tu cuaderno, elabora un resumen de lo que aprendiste de la simetría axial. Comenta tu escrito con un compañero.

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-225b. Comenta con un compañero qué dificultades tuvieron para efectuar las actividades que se presentan. Si tienes alguna duda, revisa las actividades 3 y 4 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 44 en la bitácora de la página 246.

Traza los ejes de simetría de la figura anterior y describe lo que observas. Lección 44 Bloque 5 225

Lección 45 Ángulo inscrito y central, arco, sector circular y corona Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Arreglos con pasteles

Contenido

1. Lee la situación y responde.

Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

Se quieren cocinar veinte pasteles con la forma de un trébol de cuatro hojas. Para ello, se usarán moldes con las medidas explicitadas en la siguiente figura:

10 cm

10 cm

1   0   c  m

  m   c    0    1

1   0   c  m

  m   c    0    1 10 cm

10 cm

Para conocer la cantidad de masa se necesita preparar, es necesario conocer primero cuál es el área de la base del molde. a) ¿Cuánto mide el área de la base del molde? b) Explica tu procedimiento.

1 342

cm2.

R. T. Calculé el área de una circunferencia de 10 cm

de radio (314 cm2). Multipliqué por 3 el resultado (942 cm2). Sumé el área del cuadrado central (400 cm2). El resultado es 400 cm2 + 942 cm2 = 1 342 cm2. c) La altura que alcanza la masa dentro del molde es de 5 cm. ¿Cómo calculas el volumen de masa

que se necesitará preparar?

R. T. Multiplicando el área de la base por 5 obtengo

el volumen de un pastel; multiplicando el resultado por 20 calculo el volumen total.

d) ¿Cuál es el volumen de masa necesaria para cocinar un pastel de trébol?

6 710 cm3

cm3.

e) ¿Cuál es el volumen de masa necesaria para fabricar los veinte pasteles?

134 200 cm3

cm3.

f) Con la ayuda de tu profesor, comparte tus respuestas y procedimientos con el grupo. Justifiquen

sus respuestas.

226 Bloque 5 Lección 45

Lección 45 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten en sus cuadernos. A

3.17 cm

B

A

   m    c    8    5  .    1

2.24 cm D

C

D

Figura 1 a) ¿Cuál es el área del cuadrado en ambas figuras?

B

3.17 cm

C

Figura 2

10.05 cm2

b) ¿Qué área tiene el círculo de la figura 1? ¿Y el de la figura 2? 15.76

cm2

7.84 cm2

c) ¿Cuál es el área de la superficie que queda fuera del cuadrado en la figura 1? d) ¿Cuál es el área de la superficie que queda fuera del círculo en la figura 2?

5.71 cm2

2.21 cm2

e) ¿Cuál es el área de la superficie sombreada de la figura 1? Redacten cómo lo resolvieron.

3.94 cm2 R. T. Dividiendo el área del círculo entre 4, pues el sector sombreado es un cuarto de círculo.

f) ¿Cuál es el área de la superficie sombreada de la figura 2? Redacten su procedimiento.

1.96 cm2 R. T. Dividiendo el área del círculo entre 4, pues el sector sombreado es un cuarto de círculo.

g) Compartan su procedimiento con el grupo. Discutan con ayuda del profesor cuál es el correcto y

escríbanlo en sus cuadernos. 3. Efectúa en tu cuaderno lo que se pide. a) Traza un círculo de 3 cm de radio. Calcula su área y perímetro.

Área: 28.26 cm2, perímetro: 18.84 cm

b) Traza dos radios sobre ese mismo círculo. i) ¿En cuántas partes dividen los radios al círculo?

En dos.

ii) ¿Cuánto mide el ángulo comprendido entre los dos radios?

R. P.

Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con el inciso b) de la actividad 3. Un sector circular es la porción del círculo limitada por dos radios.

r 

Sector circular

O r 

Lección 45

Bloque 5 227

Lección 45 Ángulo inscrito y central, arco, sector circular y corona Profundiza 4. Reúnete con dos compañeros. Analicen el siguiente procedimiento. Luego escriban en su cuaderno, con sus propias palabras, una conclusión respecto a lo que hicieron en la actividad 3.

a) Calculen el área del sector circular que está a la izquierda. 90 Un círculo tiene un ángulo central de 360° y el sector, un ángulo central de 90°. ___ = __14 ; por lo tanto, 360 90º es __14 de 360º, o el sector circular es __14 del círculo. 90°

La fórmula para calcular el área de un círculo es A = πr2. Tenemos entonces lo siguiente.

r = 7 cm

A = π(7)2,

con π ≈ 3.14,

A = (3.14)(49),

A = 153.86 cm2

Pero como el sector circular es una cuarta parte del círculo entonces el área anterior se divide entre 4 o se multiplica por __14 . Por lo tanto, el área del sector circular es 153.86(0.25) = 38.465 cm2. Lee en grupo la siguiente información. Expresen sus dudas respecto al método que se presenta y resuélvanlas con ayuda del profesor. Para calcular el área de un sector circular se aplica la siguiente fórmula, donde α es la medida del ángulo central cuya área del sector circular se requiere saber.

_

2 A = πr α 360

5. Trabaja en pareja. Calculen el área del sector circular sombreado. Usen la información del recuadro anterior.

26.17 cm2

113.04 cm2 42 m r  =

12 cm

  m   c   5 8.66 cm

923.16 m2 6. Lee la siguiente información con un compañero. Hagan en su cuaderno lo que se pide.

Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. Un arco es la parte de la circunferencia delimitada por una cuerda. arco

cuerda centro

228 Bloque 5 Lección 45

Lección 45 a) Calculen el arco de una circunferencia de 2 cm de radio y un ángulo central de 20°.

0.7 cm

b) Redacten, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para calcular un arco y comparen sus

procedimientos. R. P.

c) Lean la siguiente información.

El perímetro de una circunferencia es 2πr; una circunferencia tiene 360º y el ángulo α es la medida del ángulo central. La relación es: "longitud de la circunferencia es a 2πr como el ángulo α es a L 360º”, es decir, ___ = ___ . 2πr 360 α

i) Calculen la medida del arco del inciso a) con la relación mencionada. ¿Obtienen el mismo resu ltado?

R. P.

ii) Discutan cómo despejaron L de la relación. L = (2πrα)/360 d) Debate, en grupo y con ayuda de tu profesor, sobre la relación que guarda la longitud del arco y el

área del sector circular comprendido en él. Escriban una conclusión en su cuaderno. 7. Resuelve la siguiente situación para completar tu conocimiento sobre el cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales. a) Tamara está diseñando logotipos para una empresa. C B

8 cm

C

 x 

106.32º

A

A

D

Figura 1

8 cm

E

60.05º

O

120.1º

 x 

Figura 2

B

i) A partir de los datos de la figura 1, calcula la medida del ángulo B. Redacta el procedimiento

que usaste para determinar el ángulo.

36.84°

ii) A partir de los datos de la figura 2, calcula la medida del ángulo desconocido ( x ). Redacta el

procedimiento que usaste para determinar el ángulo.

30.025°

b) Valida tus respuestas grupalmente y con ayuda del profesor. Analicen dudas y dificultades,

y resuélvanlas. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-229a. Contesta las preguntas y comenta tus respuestas con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-229b. Contesta las preguntas y, en tu cuaderno, escribe la relación que hay entre el ángulo inscrito y central que comprenden un mismo arco. Comparte tus respuestas con un compañero.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 45 en la bitácora de la página 247.

Calcula el área aproximada del parabrisas de un automóvil. Mide el largo de la goma del limpiaparabrisas y el ángulo de la superficie que limpia, y calcula esa área. R. P. Lección 45 Bloque 5 229

Lección 46 Cálculo del área de una corona circular

Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona

Riego el jardín 1. Lee los planteamientos y contesta. a) Iván tiene un jardín rectangular con medidas 7m × 4m. Desea hacer una jardinera en el centro, de

forma circular con 1.5 m de radio, y sembrar pasto en el terreno restante del jardín. 1.5 m 4m

Oriéntate 7m

Un aspersor es un mecanismo destinado a esparcir líquido a presión, como el agua para el riego o los herbicidas químicos.

i) ¿Qué área ocupará la jardinera?

7.065 m2 20.935 m2

ii) ¿Qué área del jardín tendrá pasto?

b) Si Iván construyera una jardinera de 2m de radio, i) ¿qué área ocuparía la jardinera?

12.56 m2

ii) ¿qué área del jardín tendría pasto?

15.44 m2

iii) ¿qué área del jardín cubriría la jardinera de 2 m que no cubre la de 1.5 m?

5.495 m2

2. Responde con un compañero.

24 cm

48 cm

a) Si el radio del círculo mayor es el doble del radio del círculo menor, como en el dibujo, i) ¿el área del círculo mayor será también el doble del área del círculo menor?

Justifiquen su respuesta.

No.

 R. T. Es cuatro veces más grande.

ii) ¿el área sombreada es igual a la del círculo menor?

No.

Expliquen.

R. T. Es tres

veces más grande. b) ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

5 425.92 cm2

c) Compartan con el grupo y la ayuda del profesor el procedimiento que usaron para calcular el área

de la superficie sombreada. Escriban una conclusión en sus cuadernos.

230 Bloque 5 Lección 46

Lección 46

Un paso adelante Una corona circular es la superficie comprendida entre dos círculos concéntricos (con el mismo centro)

y diferente radio. En la figura, la parte sombreada es la corona circular. R  r 

3. Trabajen en pa reja. Analicen el procedimiento y contesten. a) Completen lo que se pide para hallar el área sombreada.

(8)2 – π(4)2

π

8m 4m

La fórmula para calcular el área de un círculo es A = πr 2, con π ≈ 3.14. –

Área del círculo mayor: A = π(8)2,

A ≈

200.96 m2

 Área del círculo menor: A = π(4)2,

A ≈

50.24 m2

A ≈

150.72 m2

Área de la corona circular:

4. Calcula el área de la superficie sombreada y comparte tu respuesta con el grupo. Escribe los cálculos en el espacio de abajo. 14 m 5m 7m 10 m

Área =

235.5 m2

Área =

461.58 m2

a) Comparte tus reflexiones con el grupo, con la ayuda del profesor. Detecten posibles errores, discutan

y corrijan. Escriban una conclusión en sus cuadernos. Lección 46

Bloque 5 231

Lección 46 Cálculo del área de una corona circular

Profundiza

Lean en grupo la siguiente información y redacten con palabras la expresión algebraica. El área de una corona circular se calcula con la fórmula A =

π(R 2 − r 2),

donde R  es el radio del círculo mayor y r , el radio del círculo menor. 5. Reúnete con dos compañeros. Resuelvan; consideren que π ≈ 3.14. Discutan cómo usar la información del recuadro de información anterior. a) En la entrada de una ciudad hay una glorieta de 8 m de diámetro. En el centro tiene un monumento

de 1 m de radio; el resto de la glorieta está cubierto de pasto. ¿Qué área tiene pasto? A = 3.14(82 – 12) = 197.82 m2 b) En un parque se desea construir una fuente circular de 3 m de radio (A), rodeada por una superficie de

pasto de 1 m de ancho (B) con un camino de cemento de 2 m de ancho (C), como lo muestra la imagen.

B A

i) ¿Cuál es el área de la zona con pasto? ii) ¿Cuál es el área del camino de cemento?

C

15.7 m2 62.8 m2

iii) ¿Cuál área es mayor que la de la fuente? El área del camino de cemento. iv) En grupo, y con la ayuda del profesor, compartan sus respuestas. Expliquen el procedimiento

que usaron. c) Determinen, a partir de la imagen, el área de la corona circular que se forma por las c ircunferencias

inscrita y circunscrita a un cuadrado de 5 m de lado.

3.53 m

Área = 232 Bloque 5 Lección 46

19.5 m2

Lección 46

6. Resuelve los planteamientos; considera que π ≈ 3.14. a) El área de una corona circular es 65.94 m2. Si el radio del círculo menor es de 2 m, ¿qué medida

5 m

tiene el radio del círculo mayor?

b) ¿Qué radio debe tener el círculo mayor para que el área de la corona circular sea el doble del área

del círculo menor?

6.93 m

4m

c) El área de una corona circular es 84.78 m2. Si el radio del círculo mayor es de 6 m, ¿qué medida

3 m

tiene el radio del círculo menor?

Oriéntate

d) El área de una corona circular es 241.78 m2 y la del círculo mayor es 254.34 m2. ¿Qué medida

2 m

tiene el radio del círculo menor?

Los círculos concéntricos tienen el mismo centro.

e) El área de una corona circular es 47.1 m2 y la del círculo menor es 153.86 m2. ¿Qué medida tiene

el radio del círculo mayor?

8 m

f) El área de un círculo mayor es 314 m2 y la del círculo menor es 3.14 m2. Si ambos círculos son concéntricos, i) ¿cuál es el área de la corona circular comprendida entre ellos? 310.86 m2 ii) ¿cuál es el radio del círculo mayor?

10 m

iii) ¿cuál es el radio del círculo menor?

1 m

7. Analiza con el grupo por qué en la fórmula del área de una corona circular se restan los cuadrados de los radios. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos. TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-233a. En tu cuaderno, elabora un resumen del procedimiento para calcular el área de una corona circular. Comenta tu escrito con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-233b. Resuelve los problemas y, en tu cuaderno, elabora una explicación de las estrategias que seguiste para calcular las áreas en cada caso.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lec ción 46 en la bitácora de la página 247.

Investiga las medidas de la glorieta donde se encuentra la Columna de la Independencia en la Ciudad de México y calcula el área de la corona circular que en su mayoría tiene pasto. R. P. Lección 46 Bloque 5 233

Lección 47 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Viaje en taxi La tarifa de un taxi es de $6.00 el precio inicial (banderazo). Se cobra en función de la cantidad de metro s recorridos: 50¢ por 100 m. Por ejemplo, a los 50 m se cobran $6.25 y a los 255 m, $7.275.

Contenido Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos

1. Responde con un compañero. a) Nombren x  al número de metros y y , a la cantidad que se pagará, y escriban una expresión que les permita determinar el total que se pagará después de ciertos metros recorridos. y  =

6 + 0.005x 

b) Asignaremos diferentes valores a x  con el fin de encontrar valores para y . Completen la tabla donde

se expresan los metros y el total que se pagará. Posteriormente, anoten los pares de números con la forma (x , y ). x  (m)

0

50

100

150

200

250

300

500

750

1 000

y  ($)

6

6.25

6.50

6.75

7

7.25

7.50

8.50

9.75

11

(0,  6 )

(50, 6.25 ) (100, 6.50) (150,

6.75 )

(

200, 7

) (250,

7.25) (300, 7.50) (500, 8.50) (750, 9.75)

( 1000,

11

)

c) Ubiquen sobre el cuadrante del plano cartesiano las coordenadas que obtuvieron. Recuerden que el primer valor de la pareja corresponde al eje x   y el segundo valor, al eje y . Tracen la gráfica que pasa por estos puntos. 15

y 

10

5

x  0

500

1 000

1 500

(0,6)

d) ¿En qué punto la gráfica coincide con el eje y ?

e) Si el precio del banderazo fuera de $5.00, ¿cómo cambiaría la expresión que obtuvieron en el inciso a)?

Escriban la nueva expresión.

y  =

5 + 0.005x 

f) Elaboren, en sus cuadernos, una tabla para obtener los nuevos valores de y  con el mismo rango de x  (de 0 a 1 000). Obtengan los pares ordenados y finalmente tracen la gráfica. g) ¿En qué punto la gráfica que trazaron coincide con el eje y ?

(0, 5)

h) Observen las expresiones algebraicas que escribieron en los incisos a) y e). ¿De qué valor depende

el lugar donde la gráfica interseca el eje y ?

234 Bloque 5 Lección 47

R. T. Del costo del banderazo

Lección 47

i) Compartan, en grupo y con la ayuda del profesor, su respuesta. Analicen con otros ejemplos si su

formulación es la correcta. Escriban una conclusión en su cuaderno.

Un paso adelante 2. Lee el planteamiento y responde las preguntas.

Para convertir grados Celsius (C) en grados Fahrenheit (F) se utiliza la fórmula 1.8 °C + 32 = °F. a) Determina o estima, sin graficar, el punto donde la gráfica de la expresión algebraica anterior

(0, 32)

interseca al eje y .

b) Completa la siguiente tabla, que relaciona los grados Celsius con los Fahrenheit. Posteriormente

escribe los pares de números con la forma (x , y ). °C

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

°F

–40

–22

–4

14

32

50

68

86

(–40, –40 ) (–30, –22 ) (–20, –4 ) ( –10, 14 ) ( 0, 32 ) ( 10, 50 ) ( 20, 68 ) ( 30, 86 )

c) Ubica sobre el plano cartesiano las coordenadas que obtuviste. Traza la gráfica que pasa por estos

puntos. 100

y 

75

Oriéntate 50

Las escalas numéricas del plano cartesiano pueden variar y lo más conveniente es que ambos ejes tengan la misma escala.

25

x  –40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

–25

–50

–75

–100

d) Determina el punto donde la gráfica interseca el eje vertical . Escribe su coordenadas.

(0, 32)

e) A partir de la expresión algebraica, ¿se puede determinar donde será el lugar de coincidencia entre

la gráfica y el eje horizontal? Analiza y escribe tu explicación en tu cuaderno. R. T. Sí. Si evaluando la

expresión algebraica en F = 0, se obtiene el valor donde la gráfi ca se interseca con el eje horizontal. f) Comparte tu explicación con tus compañeros de grupo con la ayuda del profesor. Anoten una

conclusión en su cuaderno. Lección 47

Bloque 5 235

Lección 47 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con los ejercicios anteriores y propongan ejemplos al respecto. Algunos fenómenos tienen asociada una expresión algebraica de la forma y  = mx  + b . Las gráficas asociadas con este tipo de expresiones son líneas rectas. Se denomina ordenada al origen a la distancia que existe entre el origen y el punto donde la gráfica cruza el eje y . En la expresión y  = mx  + b , la b  determina la ordenada al origen. Por ejemplo: Función

Gráfica

Oriéntate

3

y 

El origen en un plano cartesiano es el punto (0, 0). 2

y  = 3x  + 2

La ordenada al origen es 2, por lo que la gráfica corta el eje y  en el punto (0, 2).

1

x  –2

0

–1

1

2

–1

3. Determina en tu cuaderno, sin tabular ni graficar, las coordenadas donde la gráfica cruza el eje y  y el x . Usa la información del recuadro anterior. a) y  = 4x  – 8 c) y  = 6x  – 10

Al y : (0, –8); al x : (2, 0) Al y : (0, –10); 10 al x : (__ , 0) 6

b) y  = 2x  – 5 d) y  = 7.5x  – 3.1

Al y : (0, –5); al x : (2.5, 0) Al y : (0, –3.1); 31 al x : (___ , 0) 75

4. Grafica las siguientes expresiones algebraicas en tu cuaderno. Usa la información anterior. a) y  = 2x  – 1

b) y  = x  + 6

c) y = 3x  – 2

d) y  = 7x  – 7

5. Trabaja en pareja. Respondan y argumenten su respuesta. a) Una gráfica de la forma y  = mx  + b  corta el eje y  en la coordenada (0, 1) y el eje x  en la coordenada

y=x+1

(–1, 0). Anoten la expresión.

b) Compartan su respuesta con sus compañeros de grupo. Escriban una conclusión sobre el procedi-

miento que usaron para determinar la función. R.

236 Bloque 5 Lección 47

P.

Lección 47

Profundiza 6. Reúnete con un compañero. Resuelvan en su cuaderno; utilicen lo visto anteriormente en la lección. a) Rentar una película en el videoclub cuesta $10.00 más $2.50 por cada día. Víctor devolvió la

30

película al día siguiente y pagó $12.50. Escriban la función que exprese lo que hay que pagar al rentar una película por x  días. y  = 10 + 2.5x 

25

b) Elaboren una tabla de valores de 0 a 10. 20

c) Escriban las parejas de valores y tracen la gráfica. Compartan con sus compañeros de grupo la

gráfica resultante. 15

d) La gráfica de la derecha expresa los precios de otro videoclub. Interpreta en pareja la información

que presenta la gráfica para mencionar los precios.

10

R. T. Cuesta $6.00 más 2.50 por cada día.

e) Compartan sus resultados del inciso d) con sus compañeros de grupo. Escriban una conclusión

sobre cómo obtuvieron información de la gráfica.

5

7. Escribe la función correspondiente a cada gráfica.

–10

a)

10

10

10

5

5

5

0

–5

5

–10

0

–5

5

10

–10

0

–5

–5

–5

–5

–10

–10

–10

 = 2x  + 2

y 

10

b)

 = x  – 1

y 

c)

0

5

5

10

10

 = –x  + 2

y 

d) Anota en tu cuaderno el procedimiento que usaste para determinar la expresión algebraica de la

función lineal a partir de la gráfica. e) Comparte con el grupo, con la ayuda del profesor, las expresiones algebraicas que deter-

minaste y tu procedimiento. Resuelvan dudas y corrijan lo necesario. 10

TIC

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-237a. Efectúa las actividades y, en tu cuaderno, elabora una explicación de la relación que hay entre la gráfica y los valores de la ecuación. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-237b . Elabora en tu cuaderno un resumen de las estrategias que empleaste para resolver los problemas y construir las gráficas. Comenta con un compañero tus resultados.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 47 en la bitácora de la página 247.

5

0

5

10

Escribe una situación que se represente con la gráfica. Elije algunas para mostrarlas al grupo. R. P. Lección 47 Bloque 5 237

Lección 48 Parámetros de la función  y  = Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y  = mx  + b , en la gráfica correspondiente

mx  +  b

Compra de naranjas Una persona se dirige en su automóvil al supermercado a comprar naranjas. Cada una cuesta $2.00 y paga $2.00 de estacionamiento. 1. Contesta con un compañero. a) Escriban una expresión que relacione el número de naranjas que compró más el precio del estaR. T. y  = 2 + 2x 

cionamiento con el total que pagará.

b) Hagan una tabla de valores con un rango o dominio de 0 a 10; posteriormente, tracen la gráfica

en su cuaderno. c) En la siguiente semana, la misma persona compró naranjas en otro supermercado. El precio de

cada una era de $2.00 y pagó $3.00 de estacionamiento. d) Modifiquen la expresión que escribieron en el inciso a) y escríbanla.

y  = 3 + 2x 

e) Elaboren una tabla con valores de 0 a 10; posteriormente, tracen la gráfica en el mismo plano

cartesiano donde trazaron la primera gráfica. f) En la siguiente semana, compró sus naranjas en una bodega de la central de abasto. El precio era

el mismo, pero el del estacionamiento fue de $5.00. g) Modifiquen la función que escribieron en el inciso a) y anótenla

y  = 5 + 2x 

h) Elaboren una tabla con valores de 0 a 10; posteriormente, tracen la gráfica en el mismo plano

cartesiano donde trazaron la primera gráfica. i) Completen la tabla; escriban cada función obtenida y la ordenada al origen de su gráfica. Expresión

Ordenada al origen (lugar donde la gráfica cruza al eje y )

y  = 2 + 2x 

2

y  = 3 + 2x 

3

y  = 5 + 2x 

5

 j) Para la expresión y  = 2x  + 6, ¿cuál es la ordenada al origen de la gráfica?

6

k) En el plano se encuentra la gráfica de la expresión y  = 2x  + 4. Tracen en su cuaderno la gráfica de

las siguientes expresiones. 10

y 

i) y  = 2x  + 1

y  = 2x  + 4

ii) y  = 2x  + 7 5

iii) y  = 2x  – 2 x  –10

–5

0

5

iv) y  = 2x  – 1

10

v) y  = 2x  + 0

238 Bloque 5 Lección 48

Lección 48

l) Analicen en grupo y la ayuda del profesor los efectos que se observan en la gráfica cuando varía b  en la expresión y  = 2x  + b . Escriban una conclusión en sus cuadernos. R. T. Se obtienen

rectas paralelas, pero varía el punto donde la gráfi ca corta al eje y . Un paso adelante

2. Lee el planteamiento y resuelve. a) Observa que en el plano siguiente hay varias gráficas. Grafica la expresión y  = x  + 1.

10

y 

5

x  –10

A

0

–5

B

5

10

–5

A = y  = x  +

6

B = y  = x  +

3

C = y  = x  –

1

D = y  = x  –

4

E = y  = x  –

6

C D E –10

b) Analiza cada gráfica y escribe la expresión que corresponda a cada una. c) Comparte tus respuestas con el grupo. Analicen sus diferencias, expresen las confusiones y anoten

en sus cuadernos un procedimiento para determinar las funciones a partir de la gráfica. En la expresión y  = mx  + b   el número b determina el lugar donde la gráfica interseca el eje y . Si varía b , es decir, si tiene diferentes valores, entonces la gráfica tendrá un efecto de desplazamiento vertical sobre el plano. 3. Reúnete con un compañero. Escriban la ecuación que corresponde a cada gráfica. Usen la información anterior. 10

y 

5

x  –10

–5

0

5

10

–5

–10

Lección 48

Bloque 5 239

Lección 48 Parámetros de la función  y  =

mx  +  b

Profundiza 4. Responde con un compañero los planteamientos en tu cuaderno. a) Un vendedor de arreglos florales ofrece rosas de invernadero. Las de color melón cuestan $12.00

cada una; las rosadas, $11.00; y las rojas, $10.00. El vendedor añade un costo extra de $20.00 de propina para el repartidor. Anoten, para cada caso, la función que relaciona el número de flores y la propina para el repartidor con el costo total.

Melón: y  = 12x  + 20, rosadas: y  = 11x  + 20; rojas: y  = 10x  + 20

b) Tracen la tres gráficas en el plano.

100

y 

50

x  –10

–5

0

5

10

–50

–100

Oriéntate

La inclinación se refiere al declive o la pendiente que tiene la gráfica respecto al eje x . Por ejemplo: en el plano, la recta amarilla tiene una inclinación más pronunciada que la verde.

c) Observen las tres gráficas anteriores, ¿coinciden en algún punto? ¿Cuál es?

Sí, en el (0,20)

d) De acuerdo con el comportamiento de cada gráfica, ¿se cruzarán en algún otro punto? ¿Por qué?

No, R. P.

e) ¿Cuál es la expresión cuya gráfica tiene una inclinación (respecto al eje x ) mayor?

Melón: y  = 12x  + 20

f) ¿Cuál es la expresión cuya gráfica tiene menor inclinación (respecto al eje x )?

Rojas: y  = 10x  + 20

g) Si en la función y  =

mx   +

20 varía m, es decir, se le asignan diferentes valores, ¿qué efectos se

R. T. Se obtienen rectas con la misma ordenada al origen, pero distinta pendiente.

observan en la gráfica?

h) Compartan la respuesta con sus compañeros de grupo y escriban una conclusión. i) Grafiquen en pareja, en su cuaderno, la función y  = 8x  + 20.

 j) Comparen la gráfica obtenida con las gráficas trazadas en el inciso c). ¿Qué efectos se

observan en la gráfica cuando en la función y  = mx  + 20 la m toma valores menores a 1?

R. T. La gráfica va hacia abajo (de izquierda a derecha).

k) Compartan con el grupo, con la ayuda del profesor, su respuesta. Grafiquen otros casos, por ejemplo y  =

240 Bloque 5 Lección 48

14x  + 20; escriban en su cuaderno sus conclusiones sobre los efectos de variar

m.

Lección 48

Lee con tu grupo la siguiente información. Relaciónenla con lo visto en la actividad anterior. Expongan sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor. En la función y  = mx  + b , el término m determina la inclinación de la recta. Si m es negativa entonces la gráfica tiene una pendiente negativa, como se muestra en el ejemplo. 5

5

y 

x  0

–5

5

5

y 

y 

x  0

–5

–5

5

x  –5

–5

5

–5

gráfica con un valor de m muy pequeño pero mayor a 0

gráfica con un valor de m negativo

0

gráfica con un valor de m muy grande

Cuando m = 0, la gráfica es paralela al eje x . Al aumentar el valor de m, la gráfica tiende a ser paralela al eje y . Al variar m en la función y  = mx  + b , se obtiene una familia de rectas que pasan por un mismo punto pero cuya inclinación es diferente. A este efecto se le llama "de rotación". 5. Completa la tabla. Usa lo visto en la lección. Función

Pendiente

Ordenada al origen

Lugar donde cruza con el eje x 

y  = 3x  + 1

3

1

(–1/3, 0)

y  = 2x  – 6

2

–6

(3, 0)

y  = 0.5x + 7

0.5

7

(–14, 0)

y  = 5x  – 5

5

–5

(1, 0)

6. Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones, que forman una familia de rectas. Usa la información del recuadro anterior. a) y  = –2x  +1

b) y  = –2x  – 1

c) y  = –2x  + 3

d) y  = –2x  + 5

e) y  = –2x 

7. Analiza, de manera grupal, qué valores se necesita asignar a m  y b   para que la gráfica coincida totalmente con el eje x . Propongan varios casos y escriban sus conclusiones en su cuaderno.

5

y 

x 

TIC –5

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-241a . Usa el graficador como un apoyo para verificar las gráficas que hayas construido a lo largo de la lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-241b. Comenta con un compañero las estrategias que utilizaste para ganar el juego. Si tienes alguna duda, revisa las actividades 4 y 5 de esta lección.

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 48 en la bitácora de la página 247.

0

5

–5

La expresión de la gráfica roja es y  = 2x  + 5. ¿Qué operaciones debes hacer para m y b  de tal forma que obtengas como resultado la gráfica azul? Dividir m entre 2 y restar 10 a b. Lección 48 Bloque 5 241

Lección 49 Gráficas de distribuciones frecuencial y teórica Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Contenido Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio

Volados Ramiro, Felipe y Toño jugarán "disparejo". El juego consiste en que cada participante lanza una moneda al aire y gana quien obtenga un resultado diferente al de los otros dos. 1. Responde con un compañero y contesten. a) Ramiro, Felipe y Toño jugaron 90 "disparejos". Antes de iniciar, decidieron contar cuántas veces

cayó águila en esas rondas de juego. La tabla muestra los resultados. Completen la columna de frecuencia relativa. Cantidad de águilas obtenidas

Frecuencia absoluta

0 (nadie gana)

11

1 (hay un ganador)

21

2 (hay un ganador)

30

3 (nadie gana)

Frecuencia relativa 11 ___ 90 21 ___ 90 30 ___ 90 28 ___

28

90

90

b) ¿Cuánto se obtiene al sumar la columna “Frecuencia absoluta”? c) ¿Cuánto se obtiene al sumar la columna “Frecuencia relativa”?

90 _ )

1 (

90 d) Completen la gráfica para mostrar la distribución de frecuencias al lanzar tres monedas 90 veces consecutivas. 1

Oriéntate

   )   a   v    i    t    d  a    l   a   e    d    i    l   r    i   a    i    b   a  c    b  n   o  e   r   u    P  c   e   r    f    (

Para obtener la frecuencia relativa se divide la frecuencia absoluta entre el total de datos.

0.75 0.5 0.25

0 1 2 3 Número de águilas obtenidas (x )

e) Compartan con el grupo, con la ayuda del profesor, la gráfica que obtuvieron. Corrijan lo que sea

necesario. 2. Trabaja en pareja. Analicen la probabilidad teórica de obtener cero, uno, dos y tres águilas al lanzar tres monedas. a) ¿Cuántas combinaciones posibles se obtienen al lanzar las tres monedas?

8

b) Escriban todas las combinaciones posibles de resultados. (A = águila, S = sol). Observen el ejemplo.

AAA,

AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS

c) De acuerdo con la lista anterior, solo hay un caso en el que no se obtendrían águilas (0 águilas).

¿Cuál es? Escriban la combinación.

242 Bloque 5 Lección 49

SSS

Lección 49

d) Esto significa que solo en un caso de ocho no se obtienen águilas, es decir, __18 o 0.125. Determinen

ahora en cuántos casos se obtendría un águila. Anoten todos los que identifiquen.ASS, SAS, SSA 3 __ = 0.375 8

e) ¿Qué fracción y decimal obtienen del planteamiento anterior?

f) ¿Qué fracción y decimal se asocia con la posibilidad de obtener dos águilas al lanzar tres monedas?

_3_ = 0.375 8 g) ¿Qué fracción y decimal se relaciona con la posibilidad de obtener tres águilas al lanzar tres monedas?

__1 8

= 0.125

h) ¿Cuánto suman las cuatro fracciones obtenidas?

1

i) Completen la gráfica para mostrar la distribución teórica de las probabilidades de que caiga águila

al lanzar tres veces una moneda. 1 0.75    d   a    )    d   a    i    l   c    i    i    b  r    ó   a   e    b    t    (   o   r   p

0.5 0.375 0.25 0.125 0 1 2 3 número de águilas obtenidas ( x )

 j) Compartan con el grupo, con la ayuda del profesor, la gráfica que obtuvieron. Corrijan lo que sea

necesario. Discutan acerca de la semejanza entre las gráficas de probabilidad teórica y probabilidad frecuencial y escriban una conclusión.

Un paso adelante 3) Si Ramiro, Felipe y Toño hicieran más lanzamientos de monedas... a) ¿la gráfica de la probabilidad frecuencial tendría cambios? ¿Por qué? Contesta en t u cuaderno.

R. P.

b) Reúnete con dos compañeros. Jueguen 100 disparejos y completen la tabla.

Cantidad de águilas obtenidas en cada volado

Frecuencia absoluta

0

R. P.

Frecuencia relativa

1 2 3

Lección 49

Bloque 5 243

Lección 49 Gráficas de distribuciones frecuencial y teórica c) Obtengan la frecuencia relativa y, después, grafiquen la probabilidad frecuencial de obtener águila.    )   a   v    i    t    d  a    l   a   e    d    i   r    l    i    i    b  a   a  c    b  n   o  e   r   u    P  c   e   r    f    (

1

R. P.

0.75 0.5 0.25 1 2 3 0 Número de águilas obtenidas (x )

d) Comparen la gráfica del inciso anterior con la que obtuvieron en la primera parte de la lección (con

los disparejos de Ramiro, Felipe y Toño). ¿Por qué tienen diferencias?

frecuencias relativas han cambiado.

R. T. Porque las

e) Comparen la gráfica anterior con la de probabilidad teórica. ¿Qué diferencias encuentran?

R. P. f) Compartan sus observaciones con sus compañeros de grupo. Analicen las gráficas que obtuvieron

y elaboren una conclusión sobre el procedimiento para obtener la gráfica de distribución teórica.

dado 1

En grupo, lee la siguiente información. Discutan acerca de los conceptos que se presentan. La gráfica de probabilidad frecuencial muestra los resultados obtenidos de un determinado número de casos registrados en un experimento aleatorio; mientras más casos se registran, la gráfica de probabilidad frecuencial se parece más a la gráfica de probabilidad teórica (de ese mismo experimento). Es decir, existe una tendencia de la gráfica de probabilidad frecuencial a asemejarse a la gráfica de probabilidad teórica.

dado 2

1

1 2 3 4 5 6

2

1 2 3 4 5 6

3

1 2 3 4 5 6

4

1 2 3 4 5 6

5

1 2 3 4 5 6

6

1 2 3 4 5 6

244 Bloque 5 Lección 49

Profundiza 4. Trabaja en pareja. Respondan los planteamientos. a) El diagrama de árbol de la izquierda muestra el total de resultados posibles al lanzar dos dados. i) ¿Cuántas combinaciones dan como resultado dos puntos?

1

ii) ¿Qué fracción y decimal se asocian con la posibilidad de obtener dos puntos al lanzar dos dados?

1 ___ 36 iii) ¿Cuántas combinaciones dan como resultado tres puntos?

2

iv) ¿Qué fracción y decimal se relacionan con la posibilidad de tener tres puntos al lanzar dos dados?

2 ___ 36 v) ¿Qué fracción y decimal se asocian con la posibilidad de tener cuatro puntos al lanzar dos dados?

3 ___ 36

Lección 49

b) Completen la tabla. Total de puntos obtenidos al lanzar dos dados Probabilidad teórica (fracción)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 __

2 ___ 36

3 ___ 36

4 ___ 36

5 ___ 36

6 ___ 36

5 ___ 36

4 ___ 36

3 ___ 36

2 ___ 36

1 ___ 36

32

c) Elaboren la gráfica de histogramas con la información anterior.

   d   a    d   a    i    l   c    i   i    b  r    ó   a   e    b    t   o   r   p

_6 36 _5 36 _4 36 _3 36 _2 36 _1 36 0

2

3

4 5 6 7 8 9 10 11 resultados posibles al lanzar dos dados

12

d) Consigan un par de dados y láncenlos 100 veces. Elaboren una tabla de frecuencia absoluta y

frecuencia relativa, así como la gráfica de probabilidad frecuencial. e) Comparen ambas gráficas. ¿Qué similitudes encuentran?

R. T. Esta nueva gráfica es

semejante a la de probabilidad teórica, pero no igual. f) Compartan con sus compañeros de grupo las gráficas que obtuvieron. Verifiquen que la gráfica de

probabilidad frecuencial tiende a la forma de la de probabilidad teórica. 5. Elabora, con ayuda del profesor y el grupo, una conclusión sobre las principales diferencias entre la información que expresa la gráfica de probabilidad frecuencial y la de probabilidad teórica.

0.5 0.4

TIC

0.3 0.2

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-245a , donde encontrarás la posibilidad de repetir varias veces un experimento (lanzamiento de una moneda), como un apoyo para las actividades de esta lección.

0.1 0

Para la bi†ácora

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 49 en la bitácora de la página 247.

   5    2    1  .    0

1

   5    2  .    0

2

   5    2    1    3  .    0

3

   5    2  .    0

4

   5    7    8    1  .    0

5

Esta gráfica de distribución teórica de probabilidad tiene un error. Determina cuál es.

La suma de las probabilidades no puede ser mayor a 1 Lección 49 Bloque 5 245

Bitácora Lecciones 39, 40 y 41 Un autobús sale de una ciudad a una velocidad de 80 km/h, dos horas más tarde sale otro en la misma

dirección pero a 120 km/h. ¿Después de cuántas horas se encuentran los autobuses? a) Completa las tablas.

Seis horas después de que parte el primer autobús.

Autobús 1

Autobús 2

Hora (x )

Distancia recorrida (km) (y )

Hora (x )

Distancia recorrida (km) (y )

0

0

2

0

1

80

3

120

2

160 240 320 400 480 560

4

240 360 480 600 720 840

3 4 5 6 7

5 6 7 8 9

b) Calcula las expresiones algebraicas asociadas a cada tabla.

Autobús 1: y  = 80x ; autobús 2: y = 120x – 240

Lección 42

a) Verónica tiene cierta cantidad de dinero: más de $10.00 y menos de $100.00. Si la suma de los

dígitos es igual a 5 y la resta del primero y el segundo dígito es 1, ¿cuál es esa cantidad? $32.00

Lecciones 43 y 44 a) Traza el polígono A’B’C’D’ simétrico al polígono ABCD respecto al eje x  y el polígono simétrico A’’B’’C’’D’’  respecto

al eje y . y  A B D C x 

C''

D''

D'

C'

B''

B' A''

246 Bloque 5

A'

Bitácora

Lección 45

a) Calcula el área de la superficie sombreada y la medida del arco dentro del triángulo equilátero.

A = 4.71 m2; medida

del arco = 3.14 m

3 m 

Lección 46 15 cm

a) Un disco de acetato mide 15 cm de radio, la parte de la etiqueta tiene un radio de 7 cm. ¿Cuál es

el área de la parte de grabación (superficie negra )?

552.64 cm2 7 cm

Lección 47

a) Redacta, en tu cuaderno, un planteamiento que se exprese con la siguiente gráfica. 10

R. T. Una alberca permanece semivacía con 5 m3 de agua durante 5 horas, pasado ese tiempo se abre una llave que la llena a una razón de 1m3/h.

5

0

5

10

b) Una arrendadora de automóviles renta un coche compacto por $500.00 y por cada día subsecuente

se debe pagar $75.00. Elabora la gráfica que exprese la cantidad que se pagará por determinados días x . y  = 500 + 75x  Lección 48

a) Resuelve en tu cuaderno el sistema de ecuaciones con el método gráfico. x

+ 10y = 143 x – 20y = 7

293 68 ___ ;   = x  = ___ y  3 15

Lección 49

a) Se hicieron 50, 100, 150 y 200 tiros con un dado de cuatro caras. Las tablas muestran los

resultados. Elabora, en tu cuaderno, las gráficas de probabilidad frecuencial de cada conjunto de datos y compárala con la gráfica de la probabilidad teórica. Si se graficaran los datos obtenidos en 500 lanzamientos, ¿cómo sería la gráfica de la probabilidad frecuencial respecto a la teórica? ¿Y con 1 000 lanzamientos? Responde en tu cuaderno. Cara

Frecuencia

Cara

Frecuencia

Cara

Frecuencia

Cara

Frecuencia

1

16

1

29

1

35

1

50

2

13

2

25

2

38

2

50

3

9

3

28

3

46

3

53

4

12

4

18

4

31

4

47 Bloque 5 247

Laboratorio de matemáticas

Definir una función a partir de su gráfica En una expresión de la forma y  = mx  + b , m es la pendiente y b , la ordenada al origen. La pendiente de una recta es la inclinación que tiene respecto al eje horizontal (x ). La pendiente m de una recta que pasa por dos puntos (x  , y ) (x 2, y 2) se define con la razón y 2 – y 1 1 1 ____ m = x   – x  . 2

10

y 

1

1. Define la función, dada una gráfica. (2, 8)

a) Elige dos puntos de la recta. 5

b) Aplica la fórmula. y 2 – y 1 –1 – 8 m = ____ m = ____ x 2 – x 1

x 

–10

–5

0

5

(–1, –1)

–1 – 2

–9 m = __ m=3 –3

c) Localiza la ordenada al origen (b ), es decir, el valor de y  cuando x  = 0; en este caso es b  = 2.

10

–5

d) Los elementos que conforman la expresión

algebraica y  = mx  + b  son y  = 3x  + 2. –10

e) Para verificarlos, sustituye cualquier x   en la expresión algebraica y   comprueba que el valor de y 

obtenido corresponda a la gráfica. f) Si x  = 1, y  = 3(1) + 2, y  = 3 + 2, y  = 5, entonces el punto es (1, 5), que efectivamente está en la gráfica de y  = 3x  + 2. Si x  = –4, y  = 3(–4) + 2, y  = –12 + 2, y  = –10, entonces el punto es (–4, –10), que efectivamente está en la gráfica de y  = 3x  + 2. 2. Determina la expresión de las gráficas.

De izquierda a derecha: y  = 4x  – 2; y  = –2x  + 1; y  = 5

y 

y 

y 

10

10

10

5

5

5

x 

–10

–5

0

5

10

x 

–10

–5

0

5

10

x 

–10

–5

0

–5

–5

–5

–10

–10

–10

5

10

3. Contesta, en grupo, las preguntas. Escriban en su cuaderno las respuestas. a) ¿Cómo es la gráfica cuando la pendiente es positiva? Ascendente b) ¿Cómo es la gráfica cuando la pendiente es negativa?

Descendente(de izquierda a derecha).

c) ¿Cómo es la gráfica cuando la pendiente es nula (igual a 0)?

248

Bloque 5

(de izquierda a derecha).

Horizontal.

En el tintero

Zonas del círculo Nombre

Diagrama

sector circular

corona circular

trapecio circular

segmento circular

zona circular

O

Definición área comprendida entre dos radios

O

área comprendida entre dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro)

O

área comprendida entre dos circunferencias concéntricas y dos radios

O

O

área comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente

área comprendida entre dos cuerdas paralelas

1. Cálculo del área de un segmento circular πr2 . a) El área de un sector circular se calcula mediante la fórmula A = ___ 360 α

A

b) Al trazar los radios correspondientes al arco se forma un sector circular, y este a su vez está formado

por un segmento circular y un triángulo (AOB), por lo tanto: área del sector circular = segmento circular + triángulo.

O

Al despejar el segmento circular se obtiene: área del segmento circular = sector circular – triángulo. B

2. Cálculo del área de un trapecio circular a) Un trapecio circular es una parte de un sector circular, por lo tanto basta restar el área del sector R 

circular menor al área del sector circular mayor.

O

b) Si se resta el radio menor (r ) al radio mayor (R ) se obtiene el radio del trapecio circular; por lo tanto,

el área de un trapecio circular se obtiene con la fórmula:

A

r

π(R 2 – r 2) = _______ . 360 α

3. Cálculo del área de una zona circular O

a) Una zona circular está comprendida entre dos cuerdas paralelas, que es una parte de un segmento

B

circular; por lo tanto: área del sector circular = segmento circular + zona circular + triángulo. b) Al despejar se obtiene:

área de la zona circular = sector circular – segmento circular – triángulo.

A

Bloque 5 249

Bloque 5 Evaluación

Lee con atención los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. El triple de un número más el doble de otro es 28 y la diferencia entre ambos números es –4. ¿Cuáles son esos números? A) 3 y 7

B) 4 y 8

C) 12 y 16

D) 20 y 24

2. En un videojuego, Adriana consiguió dos medallas doradas y cuatro plateadas; y Emilio, cuatro doradas y tres plateadas. Si cada uno logró 300 puntos, ¿cuánto valía cada medalla? A) Dorada = 60 puntos, plateada = 30 puntos B) Dorada = 100 puntos, plateada = 25 puntos C) Dorada = 30 puntos, plateada = 60 puntos D) Dorada = 45 puntos, plateada = 40 puntos 3. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones? x  + 3y  =

12

2x  + 6y  = 24

A) Una infinidad de soluciones.

B) Dos soluciones.

C) Una solución.

D) No tiene solución.

4. ¿Qué se obtiene cuando se hace la misma operación en ambos lados de una ecuación? A) Una ecuación equivalente a la original, es decir, que tiene las mismas soluciones. B) Una ecuación idéntica a la original. C) Una ecuación diferente de la original, es decir, que tiene distintas soluciones. D) Una ecuación sin soluciones. 5. Construye la figura simétrica con respecto a la semirrecta L.

L

250 Bloque 5 Evaluación