Bit, Byte, Nibble, Word, Algebra Booleana

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE TEMA: Byte, Nibble, Word, Algebra Booleana. Nombre: Germán David Mera Otoya Nivel: Sexto Mecatrónica “A” Fecha: 4 de noviembre del 2015 Resumen: Los bytes, Nibbles y Word, son términos que se utilizan para definir grupos de bits, debido a que las computadoras generalmente trabajan con un número fijo de bits. Álgebra de Boole es también conocida como álgebra booleana, es muy importante en los campos de informática y matemática debido a que es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel.

Desarrollo Bytes. La mayoría de las microcomputadoras maneja y almacena datos binarios e información de ocho bits, por lo que una cadena de ocho bits tiene un nombre especial: Byte. Un byte consiste de ocho bits y puede representar cualquier tipo de datos o información. Un byte consta también de 2 Nibbles, los bits 0, 1, 2 y 3 forman el llamado Nibble de menor orden, y los bits 4, 5, 6 y 7 forman el Nibble de mayor orden. Nibble. Algunas veces los números binarios se descomponen en grupos de cuatro bits, a

estos se denomina Nibble, abarca la mitad de un byte. No sería un tipo de dato interesante a excepción de que con un Nibble se presenta un número BCD y también que un Nibble puede representar un dígito hexadecimal. Words. Los términos bit y byte representan un número fijo de dígitos binarios. A medida que los sistemas han ido creciendo a través de los años, también ha crecido su capacidad de manejar datos binarios. Una palabra es un grupo de bits que representa una cierta unidad de información. El tamaño de la palabra

depende del tamaño de la ruta de datos en el sistema que utiliza información. El tamaño de palabra puede definirse como el número de bits en la palabra binaria con el que opera un sistema digital. [1] Álgebra Booleana El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. Utilizaremos postulados:

además

los

siguientes

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · conmutativos.

y + son

P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B) +(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B) +C = A+ (B+C). Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió. Propiedades Del Álgebra De Boole: Idempotente respecto función: x + x = x

a

la

primera

Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x'' = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y' Función Booleana Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole. Diagramas De Karnaugh Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.

Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. [2] Álgebra Booleana electrónicos.

y

circuitos

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho, se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una

compuerta NAND, después de todo, NOT (NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, esto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

(NOR = NOT (A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.[3]

Conclusiones 

El álgebra Booleana es un tema que podemos aplicar en áreas más complejas como lo puede ser los sistemas digitales. La semejanza existente entre el álgebra booleana y la lógica proposicional, nos permite realizar una relación entre las funciones existentes en una y en otra. El álgebra de Boole es la base de toda la electrónica digital significa que, desde un reloj, hasta internet, no funcionarían sin este ingenio matemático. Es justo decir que, sin ella, no existiría el mundo actual tal y como lo conocemos.

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A OR B A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan

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A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR

Bibliografía [1]

Tocci, R. J., & Widmer, N. S. (2003). Sistemas digitales: principios y aplicaciones. Pearson Educación.

[2]

Boole, G. S. (2012). Álgebra de Boole.

[3]

Floyd, T. L. (1997). Fundamentos de sistemas digitales (Vol. 7). E. B. L. de Turiso (Ed.). Prentice Hall.