Bissmillah Nilai Maksimum Dan Minimum Turunan Fungsi

Assalam Mualaikum Warohmatullahi  wabarokatu.  wabar okatu.

Kelompok : - M. Raja Fadhillah - Meili Dwi Ananda - Muthmainnah - Oktarina Handayani - Radhitya Abdani S. - Rizka Khairunnisa - Rori Fernandes - Ryanto Adhiguna - Sabela Putri Elsiriani

Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S; 2. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; 3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.

Teorema A : (Teorema ekstensi Maks-Min)

 Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.



 Langkah 1 : Tentukan nilai rasioner dalam interval itu (jika ada).



 Langkah 2 : Tentukan nilai nilai fungsi pada ujung-ujung interval.



 Langkah 3 : Dari perhitungan langkah 1 dan langkah 2 diambil kesimpulan bahwa nilai terbesar adalah nilai maksimum , sedangkan yang terkacil nilainya adalah nilai minimum.

1.

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f(x) = 6x2 – x3 pada interval –1 < x < 3. Penyelesaian:

2. Tentukannilaimaksimumdanminimum untukfungsi f(x) = 2x – 2 padainterval {x | –1 < x < 2}. Penyelesaian:

Teorema B (Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu: 1. titik ujung dari I; 2. titik stasioner dari f(f’(c) = 0); 3. titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3+3x2-6 pada [-1, 3]. Penyelesaian :

Untuk mencari titik kritis, kita pecahkan f’(x) = 3x2+6x = 3x(x + 2) = 0 untuk x diperoleh 0 dan -2. Maka, titik-titik kritis adalah -2, -1, 0, 3. f(−1) = −12, f(0) = −6, f(−2) = −2, dan f(3) = −6. Jadi nilai maksimum adalah −2 (dicapai pada −2) dan nilai minimum adalah −12 (dicapai pada −1).

4. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -3x3 + x3 pada [-1,2] Penyelesaiannya ; Sebelumnya kita perlu mencari titik-titik kritis terlebih dahulu, titik-titik ujung adalah -1 dan 2 , kemudian kita pecahkan, f’(x) = -9x2 + 3x = 0 untuk x , diperoleh 0 dan ⅓ ,  jadi titik kritisnya adalah -1, 0, ⅓, 2 sekarang f(-1) =-4, f(0) = 0 , f(1/3) = -2/27 dan f(2) = -16 nilai maksimum f(0) = 0 dan nilai minimum f(2) = -16

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].  Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x).  Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1 dan titik kritisnya, yakni -1, 0, 1, dan 2. Maka nilai f di titik-titik kritis tersebut: f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.  Jadi, nilai maksimumny = 6 (di -1) dan minimumnya = -3 (di 2).

Semoga bermanfaat...



Wassalamu’alaikum wr.wb